Заказать высшую математику — решение на заказ онлайн

Оглавление:

Заказать высшую математику
Здравствуйте! Я Людмила Анатольевна Фирмаль, занимаюсь помощью студентам более 17 лет. У меня своя команда грамотных, сильных преподавателей. Мы справимся с любой поставленной перед нами работой технического и гуманитарного плана. И неважно – она по объёму на две формулы или огромная, сложно структурированная, на 125 страниц! Нам по силам всё, поэтому не стесняйтесь, присылайте.
Если что-то непонятно, Вы всегда можете написать мне в воцап и я помогу!

Как заказать выполнение заданий по высшей математике

Вы можете написать сообщение в WhatsApp. После этого я оценю ваш заказ и укажу стоимость и срок выполнения вашей работы. Если условия Вас устроят, Вы оплатите, и преподаватель, который ответственен за вашу работу, начнёт выполнение и в согласованный срок или, возможно, раньше срока Вы получите файл готовой работы в личные сообщения.

Сколько может стоить заказ высшей математики

Стоимость заказа зависит от задания и требований Вашего учебного заведения. На цену влияют: сложность, количество заданий и срок выполнения. Поэтому для оценки стоимости заказа максимально качественно сфотографируйте или пришлите файл задания, при необходимости, загружайте поясняющие фотографии лекций, файлы методичек, указывайте свой вариант.

Какой срок выполнения заказа

Минимальный срок выполнения заказа составляет 2-4 дня, но помните, срочные задания оцениваются дороже.

Как оплатить заказ

Сначала пришлите задание, я оценю, после вышлю вам форму оплаты, в которой можно оплатить с баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, apple pay, google pay.

Гарантии и исправление ошибок

В течение 1 года с момента получения Вами готового решения заказа действует гарантия. В течении 1 года я и моя команда исправим любые ошибки в заказе.

Ниже я предоставила краткую теорию по всем темам высшей математики, чтобы вы смогли освежить память.

Основные понятия теории множеств

Определения, термины и символы

Множество — совокупность различимых между собой объектов, объединяемых в целое некоторым общим признаком. Например, множества студентов, книг, законов, чисел и т.п.

Обозначения: Заказать работу по высшей математике — множества, Заказать работу по высшей математике — элементы (точки) множеств.

Изображение:

Заказать работу по высшей математике

Круги или диаграммы Эйлера-Венна.

Принадлежность:

Заказать работу по высшей математикеЗаказать работу по высшей математике принадлежит множеству Заказать работу по высшей математике (или входит в Заказать работу по высшей математике);

Заказать работу по высшей математикеЗаказать работу по высшей математике не принадлежит множеству Заказать работу по высшей математике (или не входит в Заказать работу по высшей математике).

Задание — два основных способа:

1. Перечисление: Заказать работу по высшей математике.

2. Указание характеристического свойства: Заказать работу по высшей математике — множество Заказать работу по высшей математике состоит из элементов Заказать работу по высшей математике, удовлетворяющих свойству Заказать работу по высшей математике. Например, если Заказать работу по высшей математике состоит из точек интервала Заказать работу по высшей математике, то запишем: Заказать работу по высшей математике.

Задание множеств с помощью свойства используется при невозможности задать его перечислением.

При факторном рассмотрении множества могут выделяться его отдельные части. Это называется выделением подмножеств:

Заказать работу по высшей математике

Множество Заказать работу по высшей математике называется подмножеством множества Заказать работу по высшей математике, если все элементы Заказать работу по высшей математике принадлежат и Заказать работу по высшей математике: Заказать работу по высшей математике включено (или содержится) в Заказать работу по высшей математике. Если хотя бы один элемент Заказать работу по высшей математике не содержится в Заказать работу по высшей математике, то Заказать работу по высшей математике не подмножество (не включено в) Заказать работу по высшей математике.

Заказать работу по высшей математике

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым, обозначается символом Заказать работу по высшей математике и аналогично понятию нуля в арифметике. Оно является подмножеством любого множества. Вообще, множество можно разбить на подмножества самыми разными способами. Так, из Заказать работу по высшей математике, можно получить подмножества: Заказать работу по высшей математике. При этом Заказать работу по высшей математике и Заказать работу по высшей математике называются несобственными подмножествами Заказать работу по высшей математике, остальные — собственными подмножествами Заказать работу по высшей математике.

Заметим, что нельзя путать символы Заказать работу по высшей математике и Заказать работу по высшей математике. Не имеют смысла выражения Заказать работу по высшей математике или Заказать работу по высшей математике, т.к. 3 — элемент, но не совокупность объектов, Заказать работу по высшей математике — не элемент, а объект с условным номером 8, который может содержать большой набор элементов.

Для множества Заказать работу по высшей математике, содержащего Заказать работу по высшей математике элементов, число всех возможных подмножеств равно Заказать работу по высшей математике.

Операции над множествами

1. Множества Заказать работу по высшей математике и Заказать работу по высшей математике равны, Заказать работу по высшей математике, тогда и только тогда, когда Заказать работу по высшей математике и Заказать работу по высшей математике, т.е. состоят из одинаковых элементов, причем порядок следования элементов не имеет значения: если Заказать работу по высшей математике, Заказать работу по высшей математике, то Заказать работу по высшей математике.

2. Пересечением множеств Заказать работу по высшей математике и Заказать работу по высшей математике называется множество Заказать работу по высшей математике, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и Заказать работу по высшей математике, и Заказать работу по высшей математике: Заказать работу по высшей математике.

Заказать работу по высшей математике

3. Объединением (или суммой) множеств Заказать работу по высшей математике и Заказать работу по высшей математике называется множество Заказать работу по высшей математике всех элементов, входящих либо в Заказать работу по высшей математике, либо в Заказать работу по высшей математике. Причем общие элементы учитываются только один раз:

Заказать работу по высшей математике или Заказать работу по высшей математике.

Заказать работу по высшей математике

4. Разностью множеств Заказать работу по высшей математике и Заказать работу по высшей математике называется множество Заказать работу по высшей математике, состоящее из тех элементов множества Заказать работу по высшей математике, которые не содержатся в множестве Заказать работу по высшей математике: Заказать работу по высшей математике и Заказать работу по высшей математике. Отметим, что Заказать работу по высшей математике не равно Заказать работу по высшей математике.

Заказать работу по высшей математике

Заметим, что на втором рисунке Заказать работу по высшей математике. В этом случае разность Заказать работу по высшей математике называется дополнением множества Заказать работу по высшей математике до множества Заказать работу по высшей математике и обозначается Заказать работу по высшей математике.

5. Симметрической разностью множеств Заказать работу по высшей математике и Заказать работу по высшей математике называется множество Заказать работу по высшей математике, состоящее из элементов, принадлежащих только Заказать работу по высшей математике и только Заказать работу по высшей математике: Заказать работу по высшей математике.

Заказать работу по высшей математике

6. Абсолютным дополнением множества Заказать работу по высшей математике называется множество Заказать работу по высшей математике всех элементов, которые не принадлежат множеству Заказать работу по высшей математике. Например, если Заказать работу по высшей математике, то Заказать работу по высшей математике.

Заказать работу по высшей математике

Введенные выше операции распространяются и на несколько множеств. С помощью диаграмм Эйлера можно легко доказать ряд свойств операций с множествами, во многом похожих на обычные арифметические. Наиболее часто встречающимися являются следующие свойства:

  1. Заказать работу по высшей математике — коммутативность.
  2. Заказать работу по высшей математике — ассоциативность.
  3. Заказать работу по высшей математике — дистрибутивность.
  4. Заказать работу по высшей математике.
  5. Заказать работу по высшей математике — идемпотентность.
  6. Заказать работу по высшей математике — поглощение.
  7. Заказать работу по высшей математике.
  8. Заказать работу по высшей математике.
  9. Заказать работу по высшей математике — двойственность.

Основные числовые множества

В процессе получения количественных результатов мы постоянно имеем дело с множествами чисел. Приведем классификацию числовых множеств:

  1. Натуральные числа Заказать работу по высшей математике.
  2. Неотрицательные числа Заказать работу по высшей математике.
  3. Целые числа Заказать работу по высшей математике.
  4. Рациональные числа Заказать работу по высшей математике, где Заказать работу по высшей математике.
  5. Действительные числа Заказать работу по высшей математике, полная совокупность рациональных и иррациональных чисел.

Очевидно: Заказать работу по высшей математике, т.е. каждое числовое множество является подмножеством следующего.

Все эти числовые множества обладают свойством упорядоченности, т.е. для любых двух элементов Заказать работу по высшей математике и Заказать работу по высшей математике любого множества можно указать, что либо Заказать работу по высшей математике, либо Заказать работу по высшей математике. Для трех различных элементов Заказать работу по высшей математике, Заказать работу по высшей математике и Заказать работу по высшей математике выполняется свойство транзитивности: из Заказать работу по высшей математике и Заказать работу по высшей математике следует, что Заказать работу по высшей математике.

Ясно, что все числовые множества — бесконечны, причем Заказать работу по высшей математике и Заказать работу по высшей математике — счетные (т.е. элементы этих множеств можно перенумеровать), Заказать работу по высшей математике — несчетное множество.

При практических расчетах мы достаточно часто имеем дело не со всем числовым множеством, а с его некоторой частью, т.е. подмножеством. Изображение подмножеств числовых множеств удобно иллюстрировать с помощью числовой оси, которая в этом случае является вариантом диаграммы Эйлера-Венна. Напомним, что числовой осью называется линия (чаще всего прямая), на которой указаны: начало отсчета, направление отсчета и единица измерения. Для удобства примем, что если конец интервала является элементом описываемого множества, то он обозначается кружочком, а если нет, то — крестиком. Тогда основные типы интервалов определяются следующим образом:

Заказать работу по высшей математике

Заказать работу по высшей математике или Заказать работу по высшей математике — ограниченный открытый интервал (или открытый промежуток), концы Заказать работу по высшей математике и Заказать работу по высшей математике не принадлежат данному множеству точек;

Заказать работу по высшей математике

Заказать работу по высшей математике или Заказать работу по высшей математике, или Заказать работу по высшей математике, аналогично Заказать работу по высшей математике или Заказать работу по высшей математике, или Заказать работу по высшей математике — неограниченные открытые интервалы;

Заказать работу по высшей математике

Заказать работу по высшей математике или Заказать работу по высшей математике — ограниченный замкнутый интервал, концы Заказать работу по высшей математике и Заказать работу по высшей математике принадлежат данному множеству точек (другие названия: отрезок, сегмент, замкнутый промежуток);

Заказать работу по высшей математике

Заказать работу по высшей математике или Заказать работу по высшей математике — полуоткрытый интервал. И другие аналогичные варианты. Легко заметить, что квадратная скобка соответствует нестрогому знаку неравенства Заказать работу по высшей математике или Заказать работу по высшей математике, а круглая скобка — строгому знаку < или >.

Для оценивания множеств на практике удобно использовать дополнительные характеристики. Пусть Заказать работу по высшей математике — произвольное, но не пустое множество. Число Заказать работу по высшей математике называется максимумом множества Заказать работу по высшей математике, если Заказать работу по высшей математике и любые другие элементы множества не превосходят этого числа: Заказать работу по высшей математике. Аналогично определяется и минимум множества Заказать работу по высшей математике.

Множество Заказать работу по высшей математике называется ограниченным сверху, если существует число Заказать работу по высшей математике, такое, что для всех элементов множества справедливо Заказать работу по высшей математике. Это число назовем верхней гранью (или мажорантой) множества Заказать работу по высшей математике. Минимально возможное значение Заказать работу по высшей математике называется точной верхней гранью множества Заказать работу по высшей математике и обозначается Заказать работу по высшей математике.

Множество Заказать работу по высшей математике называется ограниченным снизу, если существует число Заказать работу по высшей математике, такое, что что для всех элементов множества справедливо Заказать работу по высшей математике. Это число назовем нижней гранью (или минорантой) множества Заказать работу по высшей математике. Максимально возможное значение Заказать работу по высшей математике называется точной нижней гранью множества Заказать работу по высшей математике и обозначается Заказать работу по высшей математике.

Функция

Определение и свойства функции

Напомним известные из школьного курса понятия, которые во многом наполняются новым содержанием в высшей математике.

Если каждому элементу Заказать работу по высшей математике из множества Заказать работу по высшей математике ставится в соответствие определенный элемент Заказать работу по высшей математике множества Заказать работу по высшей математике, то Заказать работу по высшей математике называется функцией аргумента Заказать работу по высшей математике на множестве Заказать работу по высшей математике.

Множество Заказать работу по высшей математике называется областью определения функции, a Заказать работу по высшей математике — областью значений функции.

Задание функции производится следующими способами:

  1. Аналитическим — формулой;
  2. Табличным;
  3. Графическим;
  4. Программой для ЭВМ;
  5. Словесным (семантическим).

К основным свойствам функции относятся:

1. Функция Заказать работу по высшей математике называется четной, если Заказать работу по высшей математике; нечетной, если Заказать работу по высшей математике; иначе — общего вида.

2. Если каждому следующему значению Заказать работу по высшей математике в данном интервале соответствует большее (меньшее) значение Заказать работу по высшей математике, то функция называется монотонно возрастающей (убывающей) на интервале.

3. Если функция Заказать работу по высшей математике на всем множестве Заказать работу по высшей математике не превосходит некоторого числа Заказать работу по высшей математике, т.е. Заказать работу по высшей математике, то функция называется ограниченной, иначе — неограниченной.

4. Функция Заказать работу по высшей математике называется периодической с периодом Заказать работу по высшей математике, если соблюдается равенство Заказать работу по высшей математике.

5. Если любому значению Заказать работу по высшей математике соответствует только одно числовое значение Заказать работу по высшей математике, то функция называется непрерывной, иначе в некоторых точках функция терпит разрыв.

Классификация функций

На практике встречаются самые различные функции. Многие из них можно отнести к исторически сложившимся типам, которые мы перечислим:

1. Основные элементарные функции:

— степенная Заказать работу по высшей математике;

— показательная Заказать работу по высшей математике;

— логарифмическая Заказать работу по высшей математике;

— тригонометрические Заказать работу по высшей математике;

— аркфункции Заказать работу по высшей математике.

2. Алгебраические функции:

— целая рациональная (полином) Заказать работу по высшей математике

— рациональные — отношение полиномов.

— иррациональные — наличие радикалов (дробных степеней).

3. Неалгебраические (трансцендентные) функции.

К ним относятся тригонометрические, логарифмические, показательные и смешанные функции.

4. Неявные функции.

Если значение у определяется из уравнения Заказать работу по высшей математике, то функция называется неявной. Примеры: Заказать работу по высшей математике.

5. Сложные функции.

Это функции составного типа Заказать работу по высшей математике или более громоздкие Заказать работу по высшей математике и т. п. Для анализа удобно представлять их системами:

Заказать работу по высшей математике и Заказать работу по высшей математике

Например, функция Заказать работу по высшей математике.

Вычисление значений функции

Если функция задана формулой, то конкретное значение Заказать работу по высшей математике при любых Заказать работу по высшей математике определяется подстановкой. Но при табличном задании (т. е. на дискретном множестве точек) следует использовать интерполяцию. Наиболее простой является линейная, позволяющая приближенно подсчитать значение функции в промежутке между двумя известными значениями. Чем меньше разница (по оси Заказать работу по высшей математике) между известными значениями функции, тем точнее результат интерполяции:

Заказать работу по высшей математике

Для любого Заказать работу по высшей математике в интервале между известными точками Заказать работу по высшей математике и Заказать работу по высшей математике значение Заказать работу по высшей математике:

Заказать работу по высшей математике

Аналогично можно определить неизвестное значение Заказать работу по высшей математике по известному значению Заказать работу по высшей математике (обратная задача):

Заказать работу по высшей математике

Общее уравнение прямой линии

Заказать работу по высшей математике

Общее уравнение прямой линии имеет вид Заказать работу по высшей математике, где Заказать работу по высшей математике, Заказать работу по высшей математике, Заказать работу по высшей математике. Другая форма записи (нормализованное уравнение) Заказать работу по высшей математике, где Заказать работу по высшей математике. Отметим, что Заказать работу по высшей математике, где Заказать работу по высшей математике — угол наклона прямой к оси Заказать работу по высшей математике. Придавая нулевые значения коэффициентам, получим варианты общего уравнения:

Заказать работу по высшей математике или Заказать работу по высшей математике — прямая, параллельная оси Заказать работу по высшей математике;

Заказать работу по высшей математике или Заказать работу по высшей математике прямая, параллельная оси Заказать работу по высшей математике;

Заказать работу по высшей математике или Заказать работу по высшей математике — прямая проходит через начало координат;

Заказать работу по высшей математике — вырождение прямой.

Таким образом, всякое невырожденное уравнение первой степени Заказать работу по высшей математике при Заказать работу по высшей математике является уравнением прямой линии на плоскости.

Если на плоскости имеются две прямые Заказать работу по высшей математике и Заказать работу по высшей математике, то их взаимодействие описывается четырьмя случаями:

1. Точка пересечения прямых определится из системы уравнений:

Заказать работу по высшей математике или Заказать работу по высшей математике

2. Если прямые параллельны, то соблюдается условие:

Заказать работу по высшей математике

3. Если прямые перпендикулярны, то соблюдается условие:

Заказать работу по высшей математике или Заказать работу по высшей математике

4. Угол Заказать работу по высшей математике между прямыми определится из условия:

Заказать работу по высшей математике или Заказать работу по высшей математике

Здесь знак модуля взят для обеспечения положительного результата.

Дополнительная теория к этой теме:

Определители

Определители второго и третьего порядков

Определителем второго порядка называется число Заказать работу по высшей математике, вычисляемое по формуле Заказать работу по высшей математике и равное разности произведений элементов главной диагонали (Заказать работу по высшей математике и Заказать работу по высшей математике) и элементов побочной диагонали (Заказать работу по высшей математике и Заказать работу по высшей математике). Формально определитель записывается квадратной таблицей чисел (или функций). Вычисление определителей третьего и более высоких порядков — уже не так просто, как Заказать работу по высшей математике. Так, для определителя третьего порядка Заказать работу по высшей математике, покажем два новых понятия, справедливых для определителей любого порядка:

1. Минором определителя называется определитель на единицу меньшего порядка, получаемый из данного вычеркиванием строки и столбца, содержащих элемент Заказать работу по высшей математике. Так, для Заказать работу по высшей математике:

Заказать работу по высшей математике и т.д.

2. Алгебраическим дополнением или адъюнктом Заказать работу по высшей математике называется произведение минора Заказать работу по высшей математике на Заказать работу по высшей математике, т.е. Заказать работу по высшей математике. Здесь Заказать работу по высшей математике — номер строки, Заказать работу по высшей математике — номер столбца, где расположен элемент Заказать работу по высшей математике. Так, для определителя Заказать работу по высшей математике:

Заказать работу по высшей математике и т.д.

После введения этих понятий, можно указать общее правило вычисления определителей: определитель Заказать работу по высшей математике-го порядка равен сумме произведений элементов любого ряда (т.е. любых строки или столбца) на их алгебраические дополнения, т.е. разлагается по элементам строки или столбца:

Заказать работу по высшей математике и т.д.

Совершенно аналогично вычисляются определители 4-го и более высоких порядков. Но их миноры — уже увеличиваются до третьего и выше порядков. Это влечет за собой резкое возрастание количества арифметических операций. Поэтому на практике редко просчитываются определители порядка выше четвертого.

Отметим, что определитель первого порядка Заказать работу по высшей математике — не интересен, т.к. это — просто число: Заказать работу по высшей математике, поэтому отдельно не рассматривается. Формально с их помощью можно записать общее выражение для Заказать работу по высшей математике, но это явно не нужно.

Основные свойства определителей

Определители обладают большим рядом свойств, многие из которых, к настоящему времени, устарели и не используются в эпоху компьютеров. Приведем только те, которые удобны при практических вычислениях:

1. При транспонировании (замене строк столбцами) определитель не изменится: Заказать работу по высшей математике, где Заказать работу по высшей математике — знак транспонирования.

2. При однократной перестановке двух параллельных рядов (строк или столбцов) определитель меняет знак: Заказать работу по высшей математике

3. Если два параллельных ряда (две строки или два столбца) определителя одинаковы, то определитель равен нулю: Заказать работу по высшей математике

4. Определитель с нулевыми рядом (строкой или столбцом) равен нулю:

Заказать работу по высшей математике

5. Диагональный или треугольный определитель равен произведению элементов главной диагонали:

Заказать работу по высшей математике

Все эти свойства легко доказываются прямым вычислением. Другие свойства определителей приводятся в учебниках, перечисленных в конце этой темы.

Определители и системы линейных уравнений

Рассмотрим систему из двух уравнений первого порядка:

Заказать работу по высшей математике

Выделим из этой системы три определителя: определитель самой системы Заказать работу по высшей математике, определитель для первого неизвестного Заказать работу по высшей математике, определитель для второго неизвестного Заказать работу по высшей математике. Обратим внимание, что индексы у определителей для неизвестных будут теперь соответствовать номеру неизвестного в системе. Рассмотрим три возможных случая:

1. Определитель системы Заказать работу по высшей математике. Тогда имеем единственное решение Заказать работу по высшей математике (формулы Крамера для двух неизвестных).

2. Заказать работу по высшей математике. В этом случае система имеет бесконечное множество решений.

3. Заказать работу по высшей математике, но Заказать работу по высшей математике или Заказать работу по высшей математике, или оба вместе, не равны нулю. В этом случае система несовместна, т.е. не имеет никаких решений.

Совершенно аналогично строятся формулы Крамера для систем более высокого порядка. Так, для трех уравнений:

Заказать работу по высшей математике

Тогда, если Заказать работу по высшей математике, то единственное решение определится формулами Заказать работу по высшей математике.

Так же, как и при вычислении определителей, формулы Крамера, из-за арифметических трудностей, используются на практике для систем не выше третьего — четвертого порядков.

Матрицы

Определения

Матрицей Заказать работу по высшей математике называется прямоугольная таблица чисел, имеющая Заказать работу по высшей математике строк и Заказать работу по высшей математике столбцов, т.е. размерность Заказать работу по высшей математике. Примеры:

Заказать работу по высшей математике — прямоугольная;

Заказать работу по высшей математике — квадратная;

Заказать работу по высшей математике — строка (или: матрица-строка); Заказать работу по высшей математике — вектор (или: матрица-столбец); Заказать работу по высшей математике — единичная (всегда квадратная); Заказать работу по высшей математике — диагональная (тоже всегда квадратная).

Квадратная матрица называется симметричной, если Заказать работу по высшей математике при Заказать работу по высшей математике.

Заметим, что матрица качественно отличается от определителя. Матрица — не число, а нераздельное множество чисел, представленное в виде таблицы. Только квадратные матрицы можно связать с определителями, которые в этом случае будут иметь статус некоторой полезной характеристики при операциях с квадратными матрицами.

Матрицы имеют большое практическое значение, т.к. многие объекты и процессы проще всего описывать именно матрицами.

Операции над матрицами

1. Две матрицы Заказать работу по высшей математике и Заказать работу по высшей математике равны, если они имеют одинаковую размерность и Заказать работу по высшей математике, т.е. равны соответственно расположенные элементы.

2. Две матрицы одинаковой размерности можно суммировать: Заказать работу по высшей математике, причем результатом будет поэлементная сумма: Заказать работу по высшей математике:

Заказать работу по высшей математике

3. Матрицу любой размерности можно умножить на число Заказать работу по высшей математике. Это значит — умножить на это число все элементы матрицы: Заказать работу по высшей математике.

4. Матрицу Заказать работу по высшей математике можно умножить на матрицу Заказать работу по высшей математике, тогда и только тогда, когда число столбцов у Заказать работу по высшей математике, т.е. Заказать работу по высшей математике, равно числу строк у Заказать работу по высшей математике. Результатом будет матрица Заказать работу по высшей математике. Элемент Заказать работу по высшей математике этой матрицы равен сумме произведений элементов строки Заказать работу по высшей математикеЗаказать работу по высшей математике в матрице Заказать работу по высшей математике на элементы столбца Заказать работу по высшей математикеЗаказать работу по высшей математике в матрице Заказать работу по высшей математике. Примеры:

Заказать работу по высшей математике
Заказать работу по высшей математике
Заказать работу по высшей математике

Несколько матриц множим по очереди: Заказать работу по высшей математике.

Отметим, что, в отличие от числовой арифметики, матрицы редко подчиняются правилу Заказать работу по высшей математике. Чаще всего Заказать работу по высшей математике, если такая перестановка в принципе возможна. В немногих случаях, когда равенство соблюдается, Заказать работу по высшей математике и Заказать работу по высшей математике называются коммутирующими матрицами. Особого практического значения они не имеют.

Транспонирование матриц и его свойства

Так же, как в определителях, транспонирование — это замена строк столбцами: если Заказать работу по высшей математике, то Заказать работу по высшей математике. Приведем основные свойства транспонирования, которые легко доказываются вычислением:

  1. Двойное транспонирование возвращает исходную матрицу: Заказать работу по высшей математике.
  2. Транспонирование суммы матриц эквивалентно сумме транспонированных слагаемых: Заказать работу по высшей математике.
  3. Транспонирование произведения двух матриц эквивалентно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке: Заказать работу по высшей математике.
  4. Произведение матрицы на свою транспонированную: Заказать работу по высшей математике или Заказать работу по высшей математике всегда имеет результатом симметричную квадратную матрицу.
  5. Если матрица Заказать работу по высшей математике — квадратная, то значение ее определителя не зависит от транспонирования: Заказать работу по высшей математике.

Обратная матрица

Понятие обратной матрицы определено только для квадратных матриц, определитель которых не равен нулю. Если Заказать работу по высшей математике, то заданная матрица обратной не имеет и называется особенной (или вырожденной).

Матрица Заказать работу по высшей математике называется обратной но отношению к матрице Заказать работу по высшей математике, если выполняется равенство: Заказать работу по высшей математике.

Алгоритм вычисления Заказать работу по высшей математике покажем на примере Заказать работу по высшей математике по шагам:

1. Вычисляем определитель Заказать работу по высшей математике. Если Заказать работу по высшей математике, то работа прекращается с заключением: Заказать работу по высшей математике — вырожденная матрица.

2. Вычисляем все адъюнкты матрицы Заказать работу по высшей математике: Заказать работу по высшей математике.

3. Из вычисленных адъюнктов составляем союзную (или присоединенную) матрицу Заказать работу по высшей математике. Обратим внимание, что индексы этой матрицы транспонированы по отношению к исходной матрице Заказать работу по высшей математике.

4. Вычисляем обратную матрицу Заказать работу по высшей математике.

5. Если расчет проводится вручную, то выполняется проверка: Заказать работу по высшей математике или Заказать работу по высшей математике.

Перечислим основные свойства обратной матрицы:

1. Заказать работу по высшей математике.

2. Заказать работу по высшей математике, т.е. при раскрытии скобок порядок сомножителей меняется на обратный.

3. Заказать работу по высшей математике, т.е. операции обращения и транспонирования можно менять местами.

В заключение отметим, что из-за арифметического объема работы с определителями, использование описанной процедуры ограничивается матрицами второго и третьего порядков.

Матричные уравнения

Любая система линейных уравнений может быть легко переписана в матричной форме:

Заказать работу по высшей математике или Заказать работу по высшей математике.

Умножим полученное матричное уравнение на матрицу Заказать работу по высшей математике слева: Заказать работу по высшей математике, откуда Заказать работу по высшей математике, т.е. при известной матрице Заказать работу по высшей математике можно получить решение Заказать работу по высшей математике для произвольных значений Заказать работу по высшей математике в векторе Заказать работу по высшей математике. Относительно привычного нам вектора Заказать работу по высшей математике отметим, что можно решать и самые общие уравнения, в которых неизвестными являются уже не векторы, а матрицы, причем не всегда квадратные: Заказать работу по высшей математике — здесь для получения ответа надо умножить уравнение на Заказать работу по высшей математике справа.

Степень и функции матриц

Для квадратных матриц целая степень матрицы определяется так же, как и для обычных чисел: Заказать работу по высшей математике (Заказать работу по высшей математике сомножителей). При этом полагается: Заказать работу по высшей математике.

В целом ряде случаев необходимо использовать отрицательную степень матрицы. Она может быть введена по правилу: Заказать работу по высшей математике.

С помощью этих формул можно решать задачи типа: если известен закон изменения Заказать работу по высшей математике, то: определить Заказать работу по высшей математике — функцию от матрицы. Например, если Заказать работу по высшей математике, то Заказать работу по высшей математике. Если Заказать работу по высшей математике, то Заказать работу по высшей математике.

Ясно, что матрица Заказать работу по высшей математике должна быть такой, чтобы все операции имели смысл. Единичная матрица Заказать работу по высшей математике использована для формального преобразования обычных чисел к матричной записи. По размерности она должна соответствовать матрице Заказать работу по высшей математике.

Понятие о проблеме собственных значений матрицы

В большом ряде моделей процессов и в задачах анализа требуются как оценка имеющегося объекта, так и сравнение между собой различных моделей. Так как матрицы — один из наиболее распространенных способов описания экономических процессов и объектов, то использование их универсальных характеристик удобно для задач эталонного сравнения. Собственные значения и векторы и представляют собой такие характеристики.

Собственным вектором квадратной матрицы Заказать работу по высшей математике называется вектор Заказать работу по высшей математике, удовлетворяющий матричному уравнению Заказать работу по высшей математике, где Заказать работу по высшей математике — собственное значение матрицы, соответствующее вектору Заказать работу по высшей математике.

Представим это равенство в виде

Заказать работу по высшей математике

Чтобы это однородное матричное уравнение имело ненулевые решения Заказать работу по высшей математике, необходимо и достаточно равенство нулю определителя

Заказать работу по высшей математике

Это — характеристическое уравнение (степени Заказать работу по высшей математике) для матрицы Заказать работу по высшей математике.

Отсюда получаем сначала собственные значения Заказать работу по высшей математике, а затем собственные векторы Заказать работу по высшей математике. Общее число этих характеристик равно порядку Заказать работу по высшей математике матрицы Заказать работу по высшей математике.

Рассмотрим пример: определить собственные значения матрицы Заказать работу по высшей математике.

Составим: Заказать работу по высшей математике; Заказать работу по высшей математике или Заказать работу по высшей математике, откуда получим два собственных значения: Заказать работу по высшей математике.

Определим собственные векторы для каждого Заказать работу по высшей математике:

1. Заказать работу по высшей математике, т.е. Заказать работу по высшей математике или Заказать работу по высшей математике.

Собственный вектор определится с точностью до постоянного множителя Заказать работу по высшей математике. Положим Заказать работу по высшей математике, тогда Заказать работу по высшей математике и Заказать работу по высшей математике.

2. Заказать работу по высшей математике и Заказать работу по высшей математике. Полагая Заказать работу по высшей математике, получим Заказать работу по высшей математике и вектор Заказать работу по высшей математике.

Вычисленные собственные значения обычно проверяются по их свойствам:

  1. Сумма собственных значений равна сумме диагональных элементов матрицы Заказать работу по высшей математике (следу матрицы Заказать работу по высшей математике): Заказать работу по высшей математике.
  2. Произведение собственных значений связано с определителем Заказать работу по высшей математике матрицы Заказать работу по высшей математике формулой: Заказать работу по высшей математике.
  3. Если матрица Заказать работу по высшей математике симметрична, то ее собственные значения всегда действительны, т.е. Заказать работу по высшей математике.

Описанное выше, в целом, представляет собой полную проблему собственных значений — определяются все Заказать работу по высшей математике и Заказать работу по высшей математике для матрицы Заказать работу по высшей математике. В большинстве же практических задач это не нужно — итоговое заключение делается по минимальному (или максимальному) собственному значению и соответствующему ему вектору. При этом нет необходимости решать сложное характеристическое уравнение полностью — надо найти только один нужный корень. Такая задача называется частичной проблемой собственных значений. Для ее решения имеются достаточно простые и быстрые методы.

Дополнительная теория к этой теме:

Векторы

Основные определения и понятия

Частный случай матрицы, состоящей из одного столбца, имеет широкое самостоятельное применение. Геометрическое изображение вектора направленным отрезком, известное из школьного курса, можно определить как совокупность проекций вектор-отрезка, записанных в виде матрицы-столбца. Тогда имеем понятие свободного вектора, не зависящего от точки приложения, которая может быть как в начале координат (радиус-вектор), так и в любой точке пространства. Направление вектора всегда строго сохраняется. Для двумерного случая: Заказать работу по высшей математике или Заказать работу по высшей математике или Заказать работу по высшей математике. Для общности, все проекции в дальнейшем обозначаются через Заказать работу по высшей математике и называются координатами вектора. Если какая-то проекция Заказать работу по высшей математике отрицательна, то она откладывается в противоположную сторону соответствующей оси координат.

Заказать работу по высшей математике

Совершенно так же выглядят векторы Заказать работу по высшей математике в трехмерной системе координат — добавляется координата Заказать работу по высшей математике. Но векторы размерности более трех наглядно не представимы — они могут быть поняты только по аналогии. Общее определение: вектором в Заказать работу по высшей математике-мерном пространстве называется упорядоченный набор Заказать работу по высшей математике координат Заказать работу по высшей математике, число которых равно размерности пространства, т.е. Заказать работу по высшей математике.

Длина вектора определяется формулой Заказать работу по высшей математике. Все операции с векторами — те же, что и матрицами.

Рассмотрим линейную комбинацию трех векторов: Заказать работу по высшей математике.

Если равенство Заказать работу по высшей математике возможно только при Заказать работу по высшей математике, то векторы Заказать работу по высшей математике и Заказать работу по высшей математике называются линейно независимыми. Иначе, но крайней мере, один из векторов можно выразить суммой двух других и векторы будут линейно зависимыми . Например, при Заказать работу по высшей математике можно записать: Заказать работу по высшей математике.

Максимально возможное число линейно независимых векторов равно размерности пространства. Так, для плоскости возможны только два таких вектора, для прямой — один. Для Высшая математика на заказ-мерного пространства число векторов равно Высшая математика на заказ.

Пусть на плоскости имеются векторы Высшая математика на заказ и Высшая математика на заказ. Покажем, что они линейно зависимы. Составим их линейную комбинацию: Высшая математика на заказ и перейдем к алгебраической форме:

Высшая математика на заказ

Таким образом, положив Высшая математика на заказ, имеем: Высшая математика на заказ или Высшая математика на заказ, т.е. третий вектор не является независимым и выражается суммой двух других или разлагается по двум другим векторам. Рассмотрим первые два вектора подробнее: Высшая математика на заказ и Высшая математика на заказ. Тогда Высшая математика на заказ — очень компактная запись через единичные векторы (или орты). Покажем, что орты линейно независимы: Высшая математика на заказ или Высшая математика на заказ, откуда Высшая математика на заказ.

Так как Высшая математика на заказ и Высшая математика на заказ произвольны, то, очевидно, любой вектор на плоскости можно представить комбинацией двух ортов Высшая математика на заказ и Высшая математика на заказ. Это называется разложением вектора по единичному базису или, точнее, но ортонормированному, т.к. длина каждого орта равна 1. Конечно, можно разлагать не по ортам, а по двум любым линейно независимым векторам (по общему базису), к примеру, Высшая математика на заказ и Высшая математика на заказ, но разложение с помощью ортов является и простым, и общим.

Все введенные выше понятия справедливы для пространства любой размерности. В Высшая математика на заказ-мерном пространстве всегда имеются Высшая математика на заказ линейно независимых ортов Высшая математика на заказ, поэтому любой вектор Высшая математика на заказ можно разложить по ортонормированному базису: Высшая математика на заказ. Разложение векторов по базису из линейно независимых векторов всегда единственно в любом принятом базисе.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов Высшая математика на заказ и Высшая математика на заказ называется число Высшая математика на заказ. Часто вместо Высшая математика на заказВысшая математика на заказ используется обозначение (Высшая математика на заказ,Высшая математика на заказ).

Если, к примеру, Высшая математика на заказ — контейнеры с товарами, Высшая математика на заказВысшая математика на заказ — стоимость одного контейнера, то Высшая математика на заказВысшая математика на заказ — суммарная стоимость всех контейнеров.

Скалярное произведение имеет следующие основные свойства:

  1. Высшая математика на заказ — коммутативность.
  2. Высшая математика на заказ — дистрибутивность.
  3. Высшая математика на заказ — любой из векторов можно умножить на число, не равное нулю.
  4. Высшая математика на заказ при Высшая математика на заказ только в случае Высшая математика на заказ — скалярный квадрат не нулевого вектора всегда положителен.
  5. Если Высшая математика на заказ, то векторы Высшая математика на заказ и Высшая математика на заказ перпендикулярны (ортогональны).

Пространство всех векторов, в котором определено скалярное произведение, называется евклидовым пространством. Легко проверить, что орты описанных ранее пространств попарно ортогональны, т.к. Высшая математика на заказ при Высшая математика на заказ. Таким образом, введенное евклидово пространство векторов имеет ортогональный ортонормированный базис.

Пределы

Общее понятие предела переменной величины

Рассмотрим некоторую последовательность, зависящую от натурального аргумента Высшая математика на заказ Высшая математика на заказ, например: Высшая математика на заказ:

Высшая математика на заказ

Легко заметить, что при возрастании Высшая математика на заказ члены последовательности все ближе подходят к значению Высшая математика на заказ. Если вокруг этого значения выделить какую-то область радиусом Высшая математика на заказ (Высшая математика на заказ-окрестность), то при некотором Высшая математика на заказ Высшая математика на заказ войдет в эту окрестность и уже не выйдет из нее, какой бы малой она ни была. Это и означает, что Высшая математика на заказ — предел, к которому стремится последовательность Высшая математика на заказ.

Высшая математика на заказ

Так что, если в некотором процессе изменение Высшая математика на заказ таково, что в какой-то момент он попадает в Высшая математика на заказ-окрестность числа Высшая математика на заказ и не выходит из нее, то Высшая математика на заказ — предел величины Высшая математика на заказ:

Высшая математика на заказ

Рассмотрим последовательность Высшая математика на заказ, т. е. Высшая математика на заказ.

Высшая математика на заказ

Здесь другой случай: если задаться любым числом Высшая математика на заказ, то всегда найдется такое число Высшая математика на заказ, что Высшая математика на заказ будет больше Высшая математика на заказ. Эта последовательность не имеет предела. Условно записывают:

Высшая математика на заказ

и называют Высшая математика на заказ бесконечно большой величиной.

Для последовательности Высшая математика на заказ, т.е. Высшая математика на заказ при возрастании номера Высшая математика на заказ пределом является Высшая математика на заказ, т.е. Высшая математика на заказ. Если предел равен 0, то величина называется бесконечно малой.

Последнее, что отметим: переменная, зависящая от натурального аргумента, может иметь только один предел.

Предел функции

Пусть теперь для некоторой функции Высшая математика на заказ процесс таков, что Высшая математика на заказ стремится к числу Высшая математика на заказ. Выясним, к чему стремится функция Высшая математика на заказ. Если двигаться от 0 к точке Высшая математика на заказ, то в некоторый момент войдем в Высшая математика на заказ-окрестностъ числа Высшая математика на заказ. При этом функция (при движении по графику) будет ограничена по оси Высшая математика на заказ Высшая математика на заказ-окрестностью, увязанной с Высшая математика на заказ-окрестностью по оси Высшая математика на заказ, и неизбежно приходит в точку Высшая математика на заказ, принимая значение А.

Высшая математика на заказ

Таким образом, изменение функции Высшая математика на заказ, в конечном итоге, приводит к тому, что ее значения не выйдут за пределы Высшая математика на заказВысшая математика на заказ окрестности точки, которая и является ее пределом:

Высшая математика на заказ
Высшая математика на заказ

Функция может и не иметь предела. Тогда Высшая математика на заказ. Но где-нибудь рядом предел может быть: Высшая математика на заказ. Если Высшая математика на заказ, то функция называется бесконечно большой в точке Высшая математика на заказ (вариант Высшая математика на заказ). Если Высшая математика на заказ, то функция называется бесконечно малой в точке Высшая математика на заказ (вариант Высшая математика на заказ).

Бесконечно малые (б.м.) и бесконечно большие (б.б.) величины

Так как б.м. и б.б. часто встречаются в анализе, то сформулируем их свойства. Для удобства положим Высшая математика на заказ — б.м., Высшая математика на заказ — б.б. величины при Высшая математика на заказ (или Высшая математика на заказ).

  1. Если функция Высшая математика на заказ может быть представлена суммой постоянного числа Высшая математика на заказ и б.м. величины Высшая математика на заказ, т.е. Высшая математика на заказ, то Высшая математика на заказ и обратно, если Высшая математика на заказ, то Высшая математика на заказ.
  2. Сумма нескольких б.м. величин тоже является б.м. величиной.
  3. Произведение б.м. величины на ограниченную функцию (или число) также является б.м. величиной.
  4. Частное от деления б.м. величины на ненулевую ограниченную функцию (или число) является б.м. величиной.
  5. Произведение б.б. величины на ограниченную функцию (или число) также является б.б. величиной.
  6. Сумма б.б. величины и ограниченной функции (или числа) является б.б. величиной.
  7. Частное от деления б.б. величины на ненулевую ограниченную функцию (или число) является б.б. величиной.
  8. Величина, обратная б.м. величине, является б.б. величиной: Высшая математика на заказ; Величина, обратная б.б. величине, является б.м. величиной: Высшая математика на заказ.

Теоремы о пределах

Для того, чтобы вычислять пределы, разработан ряд удобных теорем, которые приведем без доказательств:

  1. Предел постоянной величины (числа) равен этой постоянной: Высшая математика на заказ.
  2. Предел суммы равен сумме пределов: Высшая математика на заказ.
  3. Предел произведения равен произведению пределов: Высшая математика на заказ.
  4. Предел дроби равен частному пределов числителя и знаменателя при условии, что знаменатель — не б.м. величина: Высшая математика на заказ.
  5. В неравенствах можно переходить к пределу, т.е., если Высшая математика на заказ (или другой знак неравенства), то Высшая математика на заказ.

Замечательные пределы

Ряд достаточно часто встречающихся в практике пределов по историческим причинам получил название замечательных. Приведем некоторые из них, встречающиеся в практических задачах:

Высшая математика на заказ

Вычисление пределов

  1. Прямая подстановка: Высшая математика на заказ. Это — наиболее общий прием, который всегда используется первым: Высшая математика на заказ.
  2. Упрощение функций. Если при прямой подстановке получается неопределенное выражение типов: Высшая математика на заказ и некоторых других, то выделение общего множителя или приведение к замечательным пределам приводят к нужному результату:
Высшая математика на заказ

В последнем примере учтено, что, если Высшая математика на заказ, то, очевидно, и Высшая математика на заказ (свойство 3 в разделе 6.3).

Непрерывность и разрывы функции

Функция Высшая математика на заказ называется непрерывной в точке Высшая математика на заказ если она:

  1. Определена в этой точке, т.е. существует Высшая математика на заказ.
  2. Имеет предел в этой точке Высшая математика на заказ.
  3. Предел совпадает со значением функции Высшая математика на заказ.

Если хотя бы одно из этих условий нарушено, то функция разрывная в точке Высшая математика на заказ. Этот разрыв может быть конечен — скачок (разрыв первого рода), или бесконечен (второго рода).

Высшая математика на заказ

Для функций, непрерывных в точке Высшая математика на заказ сумма Высшая математика на заказ, произведение Высшая математика на заказ и частное Высшая математика на заказ (при Высшая математика на заказ) также непрерывны в этой точке.

Если функция Высшая математика на заказ непрерывна в точке Высшая математика на заказ, а функция Высшая математика на заказ непрерывна в точке Высшая математика на заказ, то, при Высшая математика на заказ, сложная функция Высшая математика на заказ тоже непрерывна в этой точке, т.е. можно записать: Высшая математика на заказ.

Функция Высшая математика на заказ называется непрерывной на интервале Высшая математика на заказ, если она непрерывна в каждой точке этого интервала. При этом:

  1. Она ограничена на этом интервале сверху и снизу (не может быть бесконечного значения).
  2. Обязательно имеет минимальное и максимальное значения.
  3. Если по концам интервала функция имеет разные знаки, то внутри интервала имеется хотя бы одна точка Высшая математика на заказ, в которой Высшая математика на заказ (корень функции).

Производная и дифференциал функции

Определения. Геометрический и физический смысл

Высшая математика на заказ

Приращением функции Высшая математика на заказ в интервале Высшая математика на заказ называется разность Высшая математика на заказ. Если Высшая математика на заказ, то функция на интервале возрастает; при Высшая математика на заказ — убывает; при Высшая математика на заказ — не изменяется.

Предел отношения приращения функции Высшая математика на заказ к приращению аргумента Высшая математика на заказ при стремлении Высшая математика на заказ к нулю называется производной функции:

Высшая математика на заказ

Другие, эквивалентные, обозначения:

Высшая математика на заказ

Геометрический смысл производной тесно связан с понятием касательной.

Высшая математика на заказ

Проведем через точку Высшая математика на заказ секущую Высшая математика на заказ. Если точку Высшая математика на заказ устремить к Высшая математика на заказ, т.е. уменьшать Высшая математика на заказ до нуля, то в момент слияния точек Высшая математика на заказ и Высшая математика на заказ угол Высшая математика на заказ
перейдет в угол Высшая математика на заказ : Высшая математика на заказ;

Высшая математика на заказ

Следовательно, производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

С физической точки зрения производная — скорость изменения функции в данной точке.

Если функция имеет единственную производную в точке, она называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках интервала Высшая математика на заказ, называется дифференцируемой в данном интервале.

Табличные производные

С помощью определения можно вычислять производные функций. Пример:

Высшая математика на заказ
Высшая математика на заказ

Отсюда Высшая математика на заказ и Высшая математика на заказ.

Совершенно аналогично можно получить и производные любых других функций. На этой основе разработана и постоянно используется стандартная таблица производных:

Высшая математика на заказ
Высшая математика на заказ

Теоремы дифференцирования

Так же, как и при вычислении пределов, математика разработала ряд теорем, ускоряющих вычислительную работу. Приведем их без доказательств:

  1. Сумма: Высшая математика на заказ.
  2. Произведение: Высшая математика на заказ.
  3. Частное: Высшая математика на заказ.
  4. Постоянный множитель: Высшая математика на заказ.

Производная сложной функции

Как было показано в теме 2 Функция. сложную функцию следует заменить эквивалентной системой. После этого полученную систему дифференцируем по каждому уравнению системы. Окончательный результат получается как произведение промежуточных:

Высшая математика на заказ

Совершенно аналогично представляются и рассчитываются и более громоздкие функции.

Производная неявной функции

Неявная функция включает в себя составляющие, которые содержат операции над Высшая математика на заказ. Например, Высшая математика на заказ или Высшая математика на заказ и т.п. Рассмотрим выражение Высшая математика на заказ, где Высшая математика на заказ. Подходя к нему как к сложной функции, запишем систему:

Высшая математика на заказ

Это и есть правило дифференцирования неявной функции.

Пример: Высшая математика на заказ

Следовательно, производная от данной неявной функции имеет вид:
Высшая математика на заказ, откуда Высшая математика на заказ.

Производные высших порядков

Производная Высшая математика на заказ определяет, очевидно, некоторую новую функцию, которую, конечно, можно продифференцировать еще раз. По отношению к исходной функции Высшая математика на заказ это будет уже вторая производная Высшая математика на заказ или Высшая математика на заказ. Ясно, что этот процесс можно продолжать и получать все более высокие производные Высшая математика на заказ. По-другому: Высшая математика на заказ.

Пример: для Высшая математика на заказ и т.д.

Только вторая производная имеет общефизический смысл — она характеризует “скорость изменения скорости’’ функции в точке, т.е. — ускорение.

Логарифмическое дифференцирование

Рассмотрим сложную функцию Высшая математика на заказ, где Высшая математика на заказ. Запишем систему:

Высшая математика на заказ

Выражение Высшая математика на заказ и называется логарифмической производной.

На практике очень часто приходится иметь дело с дифференцированием сложных степенных функций. Предварительное логарифмирование позволяет упростить эту задачу. Пример:

Высшая математика на заказ

Таким образом, Высшая математика на заказ.

Дифференциал функции

Вернемся к определению производной: Высшая математика на заказ. С помощью свойства связи предела и бесконечно малой величины Высшая математика на заказ (см. главу Пределы), запишем: Высшая математика на заказ или Высшая математика на заказ. Так как Высшая математика на заказ — бесконечно малая и Высшая математика на заказ стремится к нулю, то вторым слагаемым можно пренебречь. Тогда первое слагаемое Высшая математика на заказ и называется дифференциалом функции Высшая математика на заказ. Для того, чтобы подчеркнуть это определение, принято записывать Высшая математика на заказ. Рассмотрим геометрический смысл дифференциала:

Высшая математика на заказ

Дифференциалом функции Высшая математика на заказ первого порядка называется главная, линейная относительно приращения Высшая математика на заказ, часть приращения функции Высшая математика на заказ, равная произведению производной этой функции на приращение аргумента Высшая математика на заказ, обозначаемое в этом случае, как Высшая математика на заказ.

Высшая математика на заказ

Эквивалентность записи Высшая математика на заказ докажем и по-другому: пусть Высшая математика на заказ, тогда

Высшая математика на заказ

Отсюда и следует Высшая математика на заказ. Кроме того, определение дифференциала обосновывает представление производной, как отношения: из Высшая математика на заказ следует Высшая математика на заказ.

Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной:

Высшая математика на заказ

Высшая математика на заказ

Приведем обозначения для дифференциалов высших порядков: Высшая математика на заказ и т.д.

Формула для дифференциала используется в приближенных вычислениях. Действительно, из Высшая математика на заказ следует: Высшая математика на заказ, откуда Высшая математика на заказ. Чем меньше значение Высшая математика на заказ, тем точнее результат. К примеру, вычислим Высшая математика на заказ. Здесь Высшая математика на заказ и Высшая математика на заказ. Тогда Высшая математика на заказ или Высшая математика на заказ — практически точно.

Применения производной

Вычисление пределов по правилу Лопиталя

В задачах по пределам часто встречаются неопределенные отношения Высшая математика на заказ или Высшая математика на заказ, а также приводимые к ним Высшая математика на заказ и некоторые другие. Быстро раскрыть такие неопределенности помогает следующее правило Лопиталя:

Высшая математика на заказ и т.д.

т.е. отношение функций заменяется отношением их производных до тех пор, пока неопределенность не исчезнет. Очень важно запомнить, что при отсутствии неопределенности правило Лопиталя применять нельзя.

Пример: Высшая математика на заказ

К отношениям двух функций легко приводятся и неопределенности типа Высшая математика на заказ, т.е. произведения вида Высшая математика на заказ, где Высшая математика на заказ. Легко перейти к дробям Высшая математика на заказ или Высшая математика на заказ и использовать правило Лопиталя обычным образом.

Степенные неопределенности типа Высшая математика на заказ и т.п., т.е. функции вида Высшая математика на заказ удобно сначала прологарифмировать. Если Высшая математика на заказ, то Высшая математика на заказ, и используем приведение к отношению Высшая математика на заказ или
Высшая математика на заказ, после чего правило Лопиталя не вызывает затруднений.

Возрастание и убывание функции

Поясним сущность процесса изменения функции графически.

Высшая математика на заказ

Из геометрии известно, что для острого угла Высшая математика на заказ, для тупого Высшая математика на заказ. Так как производная Высшая математика на заказ, то на участке 1-2, где Высшая математика на заказ — функция возрастает, а на участке 2-3, где Высшая математика на заказ, функция убывает.

Таким образом, доказана важная теорема: если производная функции положительна в пределах интервала, то функция Высшая математика на заказ на этом интервале возрастает, если производная отрицательна, то функция на интервале убывает.

Особое значение имеет точка 2, в которой касательная параллельна оси Высшая математика на заказ и Высшая математика на заказ. Такие точки называются стационарными и часто характеризуют момент смены возрастания на убывание и наоборот. Этих точек может быть и несколько.

Экстремумы функции

Среди стационарных точек выделим экстремальные: функция Высшая математика на заказ имеет максимум (минимум) в точке Высшая математика на заказ, если вблизи этой точки всем значениям Высшая математика на заказ соответствуют Высшая математика на заказ меньшие (большие), чем Высшая математика на заказ. По нашему чертежу точка 2 является точкой экстремума, в данном случае — максимума.

Высшая математика на заказ

Сформулируем необходимое условие экстремума: если функция Высшая математика на заказ имеет экстремум в точке Высшая математика на заказ, то в этой точке ее производная Высшая математика на заказ либо равна 0, либо бесконечна, либо не существует.

Высшая математика на заказ

Отметим, что необходимое условие экстремума еще не гарантирует присутствие экстремума. Кроме того, оно не дает ответа о типе экстремума — минимуме или максимуме. И, наконец, оно может соблюдаться и не в экстремальных точках, что и показано на рисунке.

Таким образом, чтобы установить наличие экстремума и определить его тип, следует сформулировать достаточные условия. На практике используют два основных условия:

Первое достаточное условие экстремума: если в стационарной точке Высшая математика на заказ производная Высшая математика на заказ меняет свой знак с плюса на минус (с возрастания на убывание), то функция Высшая математика на заказ в этой точке имеет максимум, если с минуса на плюс, то функция имеет минимум.

Первое достаточное условие обычно используют в случаях, когда производная Высшая математика на заказ имеет громоздкий вид. Если же вторая производная вычисляется достаточно просто, то удобно использовать следующее условие.

Второе достаточное условие: если в стационарной точке Высшая математика на заказ вторая производная Высшая математика на заказ положительна, то функция Высшая математика на заказ в этой точке имеет минимум, если же Высшая математика на заказ отрицательна, то функция имеет максимум.

Таким образом, приведем схему определения экстремумов функции Высшая математика на заказ:

  1. Определяем производную Высшая математика на заказ.
  2. Находим стационарные точки функции из анализа области определения производной и уравнения Высшая математика на заказ.
  3. Выбираем первое или второе достаточное условие. В последнем случае находим Высшая математика на заказ.
  4. Исследуем стационарные точки по достаточному условию, определяем наличие и вид экстремума.
  5. Вычисляем экстремальные значения функции Высшая математика на заказ.
Высшая математика на заказ

Заметим, что, если интервал изменения функции Высшая математика на заказ ограничен, т.е. Высшая математика на заказ, то часто возникает задача отыскания наибольшего и наименьшего значений (глобальных экстремумов) функции на этом интервале, причем они могут далеко не всегда совпадать с локальными. Для решения проблемы сравниваются не только внутренние экстремумы, но и проверяются значения функции Высшая математика на заказ и Высшая математика на заказ на концах интервала. На чертеже показано, что глобальный и локальный минимумы совпадают и равны Высшая математика на заказ, но глобальный максимум Высшая математика на заказ не совпадает с локальным Высшая математика на заказ.

Дополнительная теория к этой теме:

Асимптоты функции

Следующей дополнительной характеристикой функции Высшая математика на заказ являются асимптоты. Это — прямые, к которым стремится график функции при неограниченном возрастании (или убывании) аргумента. Существуют три вида асимптот, которые поясним чертежом:

Высшая математика на заказ

Приведем, без доказательств, технику определения асимптот:

  1. Вертикальные асимптоты Высшая математика на заказ находятся из анализа области определения функции Высшая математика на заказ. Например, Высшая математика на заказ не определена в точке Высшая математика на заказ, следовательно, Высшая математика на заказ и есть вертикальная асимптота.
  2. Если существует предел Высшая математика на заказ или Высшая математика на заказ (или оба вместе), то уравнения Высшая математика на заказ или (и) Высшая математика на заказ определяют горизонтальные асимптоты.
  3. Если существуют конечные пределы Высшая математика на заказ и Высшая математика на заказ, причем оба одновременно, то прямая Высшая математика на заказ является наклонной асимптотой графика функции Высшая математика на заказ.

Общая схема исследования функции и построения графиков

В современных условиях построение графиков осуществляется на практике, как правило, по точкам или с помощью компьютера. Однако в задачах с повышенной ответственностью необходимо использовать описанные выше приемы. Полная последовательность анализа функции и построения ее графика состоит из следующих этапов:

  1. Находится область определения функции Высшая математика на заказ и вертикальные асимптоты, если они есть.
  2. Устанавливается тип функции: четная, нечетная, общего вида.
  3. Из решения уравнения Высшая математика на заказ определяются корни функции, т.е. точки ее пересечения с осью Высшая математика на заказ.
  4. Вычисляются производные Высшая математика на заказ и Высшая математика на заказ.
  5. Определяются экстремумы функции.
  6. Определяются точки перегиба и исследуются выпуклости функции.
  7. Проверяется наличие горизонтальных и наклонных асимптот.
  8. При необходимости детализации, вычисляются значения функции в нескольких дополнительных точках.
  9. Все полученные результаты отображаются на плоскости, и строится график.

Расчеты и отображение результатов обычно делаются одновременно. Этапы 2, 6 и 7, во многих случаях, можно опустить.

Неопределенный интеграл

Первообразная функция и неопределенный интеграл

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала данной функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу — нахождение самой функции но ее производной или дифференциалу.

Определение. Функция Высшая математика на заказ называется первообразной функцией для функции Высшая математика на заказ, если Высшая математика на заказ. Например, Высшая математика на заказ является первообразной для функции Высшая математика на заказ, так как Высшая математика на заказ.

Следует отметить, что для заданной функции Высшая математика на заказ ее первообразная определена неоднозначно. Дифференцируя, можно убедиться, что функции Высшая математика на заказ и вообще Высшая математика на заказ, где Высшая математика на заказ — произвольное число, являются первообразными для функции Высшая математика на заказ.

Определение. Совокупность всех первообразных для функции Высшая математика на заказ называется неопределенным интегралом от функции Высшая математика на заказ и обозначается Высшая математика на заказ, где Высшая математика на заказ — знак интеграла, Высшая математика на заказ — подынтегральная функция, Высшая математика на заказ — подынтегральное выражение. Таким образом,

Высшая математика на заказ

где Высшая математика на заказ — некоторая первообразная для Высшая математика на заказ, Высшая математика на заказ — произвольная постоянная.

Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.

Отметим, что в практических задачах встречаются случаи, когда значение произвольной постоянной можно определить точно. Например, найдем Высшая математика на заказ, если заранее известно, что Высшая математика на заказ. Здесь имеем: Высшая математика на заказ. Тогда Высшая математика на заказ и Высшая математика на заказ. Таким образом, частное выражение для первообразной запишется в виде Высшая математика на заказ.

Свойства неопределенного интеграла

Приведем, без доказательства, основные свойства неопределенного интеграла:

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

Высшая математика на заказ

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

Высшая математика на заказ

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е.

Высшая математика на заказ

Сравнивая между собой свойства 2 и 3, можно сказать, что операции нахождения неопределенного интеграла и дифференциала взаимно обратны (знаки Высшая математика на заказ и интеграла взаимно уничтожают друг друга, в случае свойства 3, хотя и с точностью до постоянного слагаемого).

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

Высшая математика на заказ

где Высшая математика на заказ — число, не равное нулю.

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций, т.е.

Высшая математика на заказ

Свойство 5 является справедливым для любого конечного числа слагаемых.

Интегралы от основных элементарных функций

На основе обращения известных табличных производных и добавления первообразных для ряда часто встречающихся функций, в практике решения задач постоянно используются интегралы от элементарных функций, которые в дальнейшем мы будем называть табличными:

Высшая математика на заказ
Высшая математика на заказ

Справедливость приведенных формул проверяется непосредственно дифференцированием. Заметим, что к этой таблице в процессе решения задач удобно добавлять часто встречающиеся формулы, т.е. создать индивидуальную таблицу интегралов в зависимости от профессиональных интересов.

Непосредственное интегрирование (метод разложения)

С помощью свойств неопределенного интеграла и таблицы интегралов от элементарных функций становится возможным отыскание первообразных для несложных алгебраических выражений. Например,

Высшая математика на заказ

В большинстве случае для приведения к табличным интегралам необходимо выполнить предварительное преобразование подынтегрального выражения:

Высшая математика на заказ

Метод замены переменной

Если подынтегральное выражение является достаточно сложным, то привести его к табличному виду часто удается одним из основных методов интегрирования — методом замены переменной (или методом подстановки). Основная идея метода состоит в том, что в выражение Высшая математика на заказ вместо переменной Высшая математика на заказ вводится вспомогательная переменная Высшая математика на заказ, связанная с Высшая математика на заказ известной зависимостью Высшая математика на заказ. Тогда подынтегральное выражение преобразуется к новому виду Высшая математика на заказ, т.е. имеем

Высшая математика на заказ

Здесь, по правилу дифференцирования сложной функции, Высшая математика на заказ.

Если, после такого преобразования, интеграл Высшая математика на заказ является табличным или значительно проще исходного, то замена переменной достигла своей цели.

Пример:

Высшая математика на заказ

К сожалению, нельзя указать общих правил выбора «удачной» подстановки: такой выбор зависит от структуры конкретного подынтегрального выражения. В разделе 9.12 приводятся примеры, поясняющие различные способы выбора подстановки в ряде частных случаев.

Метод интегрирования по частям

Следующим основным общим методом является интегрирование но частям. Пусть Высшая математика на заказ и Высшая математика на заказ — дифференцируемые функции. Для произведения этих функций имеем, по свойству дифференциала:

Высшая математика на заказ или Высшая математика на заказ.

Интегрируя левую и правую части последнего равенства и учитывая свойство 3 неопределенного интеграла, получаем

Высшая математика на заказ

Эта формула называется формулой интегрирования по частям для неопределенного интеграла. Для ее применения фиксируется разбиение подынтегрального выражения на два сомножителя Высшая математика на заказ и Высшая математика на заказ. При переходе к правой части формулы первый из них дифференцируется (при нахождении дифференциала: Высшая математика на заказ), второй интегрируется: Высшая математика на заказ. Такой прием приводит к цели,
если Высшая математика на заказ интегрируется легче, чем Высшая математика на заказ. Пример:

Высшая математика на заказ

Иногда для получения результата формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз. Отметим, что при промежуточном вычислении Высшая математика на заказ можно не дописывать произвольную постоянную Высшая математика на заказ; легко убедиться, что в ходе решения она уничтожится.

Интегрирование рациональных дробей

Если подынтегральная функция представляет собой алгебраическую дробь, то на практике достаточно часто встречаются два типовых случая:

1. Степень числителя дроби больше или равна степени знаменателя (неправильная дробь). Для такой дроби можно разделить числитель на знаменатель известным из школьного курса методом деления углом (иначе — выделение целой части), после чего выполнить интегрирование. Пример:

Высшая математика на заказ

Здесь использовалась и замена переменной:

Высшая математика на заказ

Для промежуточного расчет произвольную Высшая математика на заказ можно не указывать, но в окончательном ответе она обязательна.

2. Метод неопределенных коэффициентов. Если дробь — правильная и знаменатель разлагается на множители, то этот метод позволяет представить подынтегральную функцию суммой простых дробей, проинтегрировать которые уже несложно. Метод имеет большое значение не только в интегрировании. Покажем его суть на примере вычисления интеграла Высшая математика на заказ.

Разложив знаменатель дроби на множители, имеем: Высшая математика на заказ. Введем теперь предположение, что эту дробь можно представить суммой простых дробей:

Высшая математика на заказ

Здесь Высшая математика на заказ и Высшая математика на заказ — неизвестные коэффициенты, которые следует найти (неопределенные коэффициенты). Для этого приведем правую часть равенства к общему знаменателю:

Высшая математика на заказ

Сократив знаменатели и раскрыв скобки, получим

Высшая математика на заказ

Теперь используем теорему, чтобы два алгебраических выражения были тождественно равны, необходимо и достаточно равенство их соответственных коэффициентов. Таким образом, получим систему из двух уравнений и решим ее:

Высшая математика на заказ

Следовательно,

Высшая математика на заказ

Возвращаясь к задаче интегрирования, получим

Высшая математика на заказ

Дополнительная теория к этой теме:

Понятие о дифференциальных уравнениях

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию, аргумент и производные различных порядков данной функции.

Простой пример дифференциального уравнения дает задача о нахождении первообразной Высшая математика на заказ для заданной функции Высшая математика на заказ, т.к. ее вполне можно рассматривать как задачу о нахождении функции Высшая математика на заказ, удовлетворяющей уравнению Высшая математика на заказ.

В общем случае дифференциальное уравнение можно записать в виде

Высшая математика на заказ

где Высшая математика на заказ — некоторая функция, при этом порядок Высшая математика на заказ старшей производной, входящей в запись уравнения, называется порядком дифференциального уравнения. Например, задача о нахождении первообразной приводит к дифференциальному уравнению первого порядка, уравнение Высшая математика на заказ — второго порядка и т.п.

Дифференциальное уравнение называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид

Высшая математика на заказ

где Высшая математика на заказ — некоторая функция.

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется такая функция Высшая математика на заказ, которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество. Например, функция Высшая математика на заказ является решением уравнения Высшая математика на заказ, так как Высшая математика на заказ для любых Высшая математика на заказ.

Задача о нахождении решения дифференциального уравнения называется задачей интегрирования данного дифференциального уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Отметим, что без дополнительных предположений решение дифференциального уравнения принципиально неоднозначно, т.е., аналогично неопределенному интегралу, содержит постоянные константы Высшая математика на заказ, число которых равно порядку уравнения. Такое решение называется общим решением дифференциального уравнения. Для определения этих постоянных и получения однозначного частного решения используются дополнительные условия, которые задают значения решения либо в точке Высшая математика на заказ (начальные условия), либо в точках Высшая математика на заказ (граничные условия).

В нашем курсе ограничимся изучением дифференциальных уравнений первого порядка Высшая математика на заказ (или Высшая математика на заказ) и простейших уравнений второго порядка.

Дополнительная теория к этой теме:

Понятие о дифференциальных уравнениях второго порядка

Общая форма уравнения второго порядка Высшая математика на заказ. Ограничимся иллюстрацией случая Высшая математика на заказ, когда общее решение может быть получено последовательным интегрированием. Пример:

Высшая математика на заказ

т.е., после первого интегрирования результатом будет первая производная. Проинтегрируем еще раз для получения общего решения

Высшая математика на заказ

Произвольные постоянные Высшая математика на заказ и Высшая математика на заказ могут быть вычислены при наличии начальных или граничных условий.

1. Пусть в точке Высшая математика на заказ заданы начальные условия Высшая математика на заказ. Подставим в полученное общее решение:

Высшая математика на заказ

Таким образом, частное решение Высшая математика на заказ.

2. Пусть заданы граничные условия Высшая математика на заказ. Подставим в то же общее решение:

Высшая математика на заказ

Таким образом, частное решение Высшая математика на заказ.

Обратим внимание, что условия для уравнений второго порядка обладают вариабельностью: можно задавать в точке как значение функции, так и ее первой производной.

Определенный интеграл

Определения

Пусть Высшая математика на заказ — функция, непрерывная на отрезке Высшая математика на заказ, a Высшая математика на заказ — ее первообразная, т.е. Высшая математика на заказ. Тогда определенным интегралом функции Высшая математика на заказ называется приращение ее первообразной:

Высшая математика на заказ

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница. Здесь Высшая математика на заказ и Высшая математика на заказ — соответственно нижний и верхний пределы интегрирования, причем Высшая математика на заказ.

Вычисление определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два шага: на первом шаге, используя технику нахождения неопределенного интеграла, находят первообразную Высшая математика на заказ для подынтегральной функции Высшая математика на заказ; на втором — применяется собственно формула Ньютона-Лейбница, т.е. вычисляется приращение первообразной, равное искомому интегралу. Легко показать, что значение произвольной постоянной Высшая математика на заказ не влияет на результат, поэтому при вычислении первообразной удобно сразу принять Высшая математика на заказ.

Пример: Высшая математика на заказ.

Отметим формальную разницу между неопределенным и определенным интегралами: неопределенный интеграл — функция, определенный интеграл — число.

Высшая математика на заказ

Геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что он численно равен площади криволинейной трапеции, образованной кривой Высшая математика на заказ, осью Высшая математика на заказ и линиями Высшая математика на заказ и Высшая математика на заказ, т.е.

Высшая математика на заказ

Свойства определенного интеграла

Все пять свойств, сформулированные в разделе 9.2 темы «Неопределенный интеграл» остаются без изменений для определенного интеграла. Но добавляются новые свойства, которые приведем здесь без доказательства.

1. Интеграл с постоянными пределами равен нулю Высшая математика на заказ.

2. При перестановке пределов интеграл меняет знак на противоположный

Высшая математика на заказ

3. Если интервал интегрирования разбит на части, то значение интеграла на всем интервале равно сумме интегралов по каждой из составляющих частей, т.е. при любых Высшая математика на заказ:

Высшая математика на заказ, при условии, что Высшая математика на заказ.

Заметим, что это свойство справедливо при любом числе частей, на которые разбивается интервал Высшая математика на заказ.

4. Если на интервале Высшая математика на заказ определены две функции Высшая математика на заказ и Высшая математика на заказ, причем Высшая математика на заказ, то Высшая математика на заказ, т.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать.

Основные методы интегрирования

Для того, чтобы вычислить определенный интеграл, достаточно найти первообразную и затем применить формулу Ньютона-Лейбница. Некоторое ускорение (чисто арифметическое) процесса интегрирования можно получить с помощью более ранней подстановки пределов интегрирования.

1. Интегрирование но частям. Можно использовать формулу в следующем виде:

Высшая математика на заказ

Отметим, что по сравнению с формулой Высшая математика на заказ выигрыш в скорости расчета невелик.

2. Замена переменной. В этом случае раннее преобразование пределов интегрирования по принятой формуле подстановки может привести к хорошему ускорению, т.к. отпадает необходимость обратной замены. Общая формула имеет вид

Высшая математика на заказ, где Высшая математика на заказ.

Для ясности, приведем пример:

Высшая математика на заказ

Интеграл с переменным верхним пределом

В практических задачах часто встречаются случаи, когда имеется начальная точка интервала интегрирования, т.е. Высшая математика на заказ , а конец интервала еще не известен. Определенный интеграл вполне можно применить и для таких задач, если известен закон образования верхнего предела Высшая математика на заказ; в простейшем варианте Высшая математика на заказ. Формула Ньютона-Лейбница применяется обычным образом, однако результатом будет не число, а функция:

Высшая математика на заказ

Изменение обозначения переменной интегрирования Высшая математика на заказ — чисто психологическое, во избежание путаницы при вычислениях.

Несобственные интегралы

Если предел интегрирования может быть переменным, то легко представить случай, когда он переходит в бесконечность. Интегралы с одним или обоими бесконечными пределами получили название несобственных интегралов первого рода. Здесь также можно, на практике, использовать формулу Ньютона-Лейбница, однако следует помнить, что символ Высшая математика на заказ — не число, а условное обозначение неограниченного возрастания (или убывания) аргумента в процессе изменения. Т.е., со строгих позиций, вычисление несобственного интеграла первого рода — это вычисление некоторого предела, с постоянным использованием теорем о бесконечно малых и бесконечно больших величинах, приведенных ранее в теме 6 Пределы. Таким образом:

Высшая математика на заказ

Т.е., символы бесконечности условно заменяются буквенными параметрами, применяется формула Ньютона-Лейбница, после чего обычным образом вычисляются пределы. Если в результате такого расчета получится число Высшая математика на заказ (включая 0), то ответ следует записать в форме: интеграл сходится к значению Высшая математика на заказ. Если же результатом будет Высшая математика на заказ (или —Высшая математика на заказ), то ответ: интеграл расходится.

При практических вычислениях, как демонстрируется далее в разделе 10.9, вполне допустимо не использовать в явной форме операторы lim , но не следует забывать о том, что на самом деле вычисляются пределы, а не конкретные числовые значения.

Следующим видом несобственных интегралов являются интегралы от функций с разрывом на одном (или обоих) конце интервала интегрирования или с разрывом внутри интервала интегрирования. Например: Высшая математика на заказ и т.п. Такие интегралы носят название несобственных интегралов второго рода. Эти интегралы очень опасны, т.к. часто выглядят вполне безобидно, но применение формулы Ньютона-Лейбница приводит к неверным результатам.

Вычисление интегралов второго рода осуществляется приведением к интегралам первого рода (или сумме таких интегралов), т.е. ставится задача вычисления предела относительно точки, в которой подынтегральная функция разрывна. Здесь не будем подробно останавливаться на схеме вычисления таких интегралов, т.к., если в прикладной задаче появился интеграл второго рода, то это свидетельствует либо об ошибке расчетчика, либо о некорректности всей математической модели для данной задачи и необходимости изменения этой модели.

Дополнительная теория к этой теме:

Функции нескольких переменных

Основные понятия

В предыдущих разделах изучались функции одной переменной. Однако многим явлениям присуща многофакторная зависимость. Исследование таких зависимостей потребовало совершенствования математического аппарата, в частности, введения понятия функции нескольких переменных.

Определение. Пусть имеется Высшая математика на заказ переменных величин, и каждому набору их значений Высшая математика на заказ из некоторого множества Высшая математика на заказ соответствует одно вполне определенное значение переменной величины Высшая математика на заказ. Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных Высшая математика на заказ. Например, формула Высшая математика на заказ задает объем параллелепипеда Высшая математика на заказ как функцию трех переменных: Высшая математика на заказ (длины), Высшая математика на заказ (ширины) и Высшая математика на заказ (высоты).

Переменные Высшая математика на заказ называются независимыми переменными (или аргументами), Высшая математика на заказ — зависимой переменной, а символ Высшая математика на заказ означает закон соответствия. Множество Высшая математика на заказ называется областью определения функции.

Частный случай функции двух аргументов определяется соотношением Высшая математика на заказ. Основное внимание мы уделим именно этому случаю, т.к. функции трех и более переменных легко вводятся по аналогии.

Высшая математика на заказ

График функции двух переменных Высшая математика на заказ представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве. Как видно из рисунка, график функции двух переменных — значительно более сложный объект, чем график функции одной переменной. Как правило, построение поверхности оказывается непростой задачей. В то же время поверхность в пространстве обладает гораздо меньшей наглядностью, чем линия на плоскости. Поэтому в случае двух переменных для изучения поведения функции желательно использовать другие, более наглядные инструменты. Важнейшим из них являются линии уровня.

Линией уровня функции двух переменных Высшая математика на заказ называется множество точек на плоскости, в которых функция принимает одно и то же значение Высшая математика на заказ. Число Высшая математика на заказ в этом случае называется уровнем. На рисунке показаны сечения функции двумя плоскостями Высшая математика на заказ и Высшая математика на заказ, а также проекции этих сечений на плоскость Высшая математика на заказ. Эти проекции изображаются на отдельном чертеже и являются линиями уровня.

Многие примеры линий уровня хорошо известны и привычны. Например, параллели и меридианы на глобусе — это линии уровня функций широты и долготы. Синоптики публикуют карты с изображением изотерм — линий уровня температуры. Построение линий уровня оказывается существенно более легкой задачей, чем построение графиков самих функций.

Все определения и большая часть понятий анализа, определенных ранее для функций одной переменной, может быть перенесена на случай многих переменных без существенных изменений. Несколько увеличивается объем формул, т.к. надо учитывать несколько аргументов. Проиллюстрируем сказанное на примере классического определения предела функции.

Число Высшая математика на заказ называется пределом функции Высшая математика на заказ при Высшая математика на заказ и Высшая математика на заказ (или в точке Высшая математика на заказ), если для любого, сколь угодно малого положительного числа Высшая математика на заказ, найдется положительное число Высшая математика на заказ, такое, что для всех точек Высшая математика на заказ, отстоящих от точки Высшая математика на заказ на расстояние меньшее, чем Высшая математика на заказ, выполняется неравенство Высшая математика на заказ.

Обозначается предел так: Высшая математика на заказ.

Вычисление пределов функций двух переменных оказывается существенно более трудной задачей по сравнению со случаем одной переменной. Причина заключается в том, что на линии существуют всего два направления, по которым аргумент может стремиться к предельной точке, а именно — справа и слева. На плоскости же таких направлений — бесконечное множество, и пределы функции по разным направлениям могут не совпадать.

Дополнительная теория к этой теме:

Производные высших порядков

Так как частные производные Высшая математика на заказ и Высшая математика на заказ являются новыми функциями двух переменных, го можно найти также и их следующие частные производные, которые будут частными производными второго порядка т.е.

Высшая математика на заказ и Высшая математика на заказ.

Здесь логика вычислений очевидна. Однако обратим внимание на то, что производную Высшая математика на заказ можно было бы дальше дифференцировать не по своему аргументу Высшая математика на заказ, а по аргументу Высшая математика на заказ. Точно так же Высшая математика на заказ можно было бы далее дифференцировать по аргументу Высшая математика на заказ. Т.е. получить производные

Высшая математика на заказ и Высшая математика на заказ

Такие производные называются смешанными частными производными второго порядка. В теории функции одного переменного ничего подобного нет.

Рассмотрим производные высших порядков на примере функции Высшая математика на заказ. Вычислим первые производные:

Высшая математика на заказ, аналогично Высшая математика на заказ.

Вторые частные производные:

Высшая математика на заказ, аналогично Высшая математика на заказ.

А теперь получим смешанные производные:

Высшая математика на заказ, аналогично Высшая математика на заказ.

Совпадение двух последних результатов не случайно — мы попутно доказали важную теорему. если частные производные второго порядка непрерывны в точке Высшая математика на заказ, то в этой точке вторые смешанные производные равны между собой и не зависят от способа их вычисления, т.е.

Высшая математика на заказ

Для вычисления второй смешанной производной можно использовать любой из этих двух способов. Отметим, что производные порядка выше второго, а также дифференциалы высших порядков редко встречаются в прикладных задачах, поэтому здесь не рассматриваются.

Дополнительная теория к этой теме:

Интегрирование функции двух переменных

Двойной интеграл введем аналогично определению геометрического смысла определенного интеграла функции одного переменного: если функция Высшая математика на заказ непрерывна и неотрицательна в области Высшая математика на заказ, то двойным интегралом Высшая математика на заказ называется объем прямого цилиндрического тела (цилиндроида — см. рисунок), построенного на области Высшая математика на заказ как на основании и ограниченного сверху поверхностью Высшая математика на заказ.

Заметим, что неопределенные двойные интегралы на практике не встречаются, поэтому не будем обсуждать непростое понятие первообразной, которая должна учитывать частные производные. Свойства же двойного интеграла те же, что и у однократного.

Интегрирование функции двух переменных значительно более трудная и арифметически громоздкая задача по сравнению с задачей для одной переменной. Рассмотрим наиболее распространенную на практике методику вычисления двойного интеграла сведением к повторному интегрированию.

Высшая математика на заказ

В этой методике ключевым моментом является область интегрирования Высшая математика на заказ. Если эта область непрерывна (см. рисунок) и ее границы могут быть четко определены, то для непрерывной в этой области функции Высшая математика на заказ справедлива формула

Высшая математика на заказ

Таким образом, двойной интеграл сводится к последовательному вычислению двух однократных определенных интегралов (повторных интегралов). При этом внутренний интеграл имеет функциональные (или числовые) пределы интегрирования, а внешний — всегда числовые. Внутренний интеграл (по Высшая математика на заказ) вычисляется в предположении, что Высшая математика на заказ — постоянная величина (полная аналогия с вычислением частных производных). Расчет производится с помощью двукратного применения обычной формулы Ньютона — Лейбница.

Заметим, что область интегрирования Высшая математика на заказ может быть и бесконечной в одном или в обоих направлениях осей координат. Тогда, при непрерывности функции Высшая математика на заказ, имеем несобственные двойные интегралы первого рода, которые, очевидно, сводятся к несобственным повторным интегралам.

Наиболее простым будет случай Высшая математика на заказ, где Высшая математика на заказ и Высшая математика на заказ — константы, т.е. прямоугольник Высшая математика на заказ. Тогда

Высшая математика на заказ

Для практического вычисления двойного интеграла рекомендуется следующая схема:

1. Сделать эскиз области интегрирования Высшая математика на заказ, определить все функциональные и числовые границы;

2. С помощью формулы Ньютона — Лейбница вычислить внутренний интеграл Высшая математика на заказ (или Высшая математика на заказ — для прямоугольника). Ответом, как правило, будет некоторая функция одного аргумента Высшая математика на заказ;

3. С помощью формулы Ньютона — Лейбница вычислить внешний интеграл Высшая математика на заказ.

Если область интегрирования Высшая математика на заказ имеет сложное очертание, то рекомендуется разбить ее на сумму простых подобластей, например, Высшая математика на заказ. Тогда искомый интеграл будет алгебраической суммой интегралов по подобластям, т.е.

Высшая математика на заказ

В заключение отметим, что двойной интеграл часто используется для вычисления площади плоских фигур. Формула для вычисления площади имеет вид

Высшая математика на заказ

Возможно эти страницы вам будут полезны: