Теоретическая механика на заказ

Оглавление:

Здравствуйте! Я Людмила Анатольевна Фирмаль занимаюсь помощью более 17 лет. У меня своя команда грамотных, сильных преподавателей. Мы справимся с любой поставленной перед нами работой технического и гуманитарного плана. И не важно она по объёму на две формулы или огромная сложно структурированная на 125 страниц! Нам по силам всё, поэтому не стесняйтесь присылайте.
Если что-то непонятно, Вы всегда можете написать мне в воцап и я помогу!

Чуть ниже я предоставила темы по теоретической механике, по которым смогу вам помочь + добавила в них теорию, чтобы вы смогли прочитать и если у вас есть свободное время сами попытались решить, но если нет времени вы сможете заказать у меня.

Статика

Основные понятия и аксиомы статики

К оглавлению…

Статика — это раздел теоретической механики, где рассматриваются вопросы сложения сил и условия покоя тел под действием сил. Абсолютно твердое тело — это тело, расстояния между точками которого не изменяются. В теоретической механике рассматриваются (если не оговорено особо) только абсолютно твердые тела. Поэтому для сокращения можно вместо этого употреблять термины «тело» или «твердое тело», имея в виду абсолютно твердое тело.

Сила — это вектор, являющийся мерой механического взаимодействия тел. Система сил — это совокупность сил, приложенных к твердому телу. Система сил называется уравновешенной если под ее воздействием твердое тело находится в покое.

Две системы сил называются эквивалентными если состояние тела не изменяется в случае замены одной системы на другую. Если система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил.

Если две системы сил, объединенные вместе образуют уравновешенную систему сил, то они называются уравновешивающими по отношению друг к другу.

Аксиомы статики. Аксиома 1. Твердое тело под действием двух сил находится в равновесии тогда и только тогда, когда силы равны по модулю и направлены в противоположные стороны по общей линии действия (рис. 1).

Заказать работу по теоретической механике

Аксиома 2. Состояние тела не изменится если к действующей на него системе сил прибавить или отнять от нее уравновешенную систему сил. Следствие из аксиом 1,2. Силу, действующую на твердое тело, можно не изменяя состояния тела переносить параллельно себе вдоль линии действия силы в любую точку тела.

Аксиома 3 (аксиома параллелограмма). Две силы, приложенные к твердому телу в одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в этой же точке и являющейся диагональю параллелограмма, построенного на векторах сил как на сторонах (рис. 2).

Заказать работу по теоретической механике

Аксиома 4 (аксиома равенства действия и противодействия).Силы взаимодействия двух тел всегда равны по модулю и противоположно направлены по одной прямой (рис.3).

Заказать работу по теоретической механике

Силы Заказать работу по теоретической механике и Заказать работу по теоретической механике приложены к разным тела, поэтому говорить о уравновешивании этих сил бессмысленно.

Аксиома 5 (аксиома отвердевания). Если нетвердое тело находится в равновесии (в покое), то равновесие не нарушится если тело отвердеет. Эта аксиома позволяет использовать условия равновесия твердого тела для нетвердых тел ( жидкостей, газов, деформируемых тел), которые изучаются в других дисциплинах. Следует только заметить, что данные условия равновесия для нетвердых тел являются только необходимыми, но не всегда достаточными.

Тело называется свободным, если его перемещение в пространстве не ограничено другими телами, в противном случае тело называется несвободным.

Тела, ограничивающие перемещение данного тела называются связями ( по отношению к данному телу).

Сила с которой связь действует на данное тело называется реакцией связи. Аксиома 6 (аксиома освобождаемости от связей). Любое несвободное тело можно считать свободным, если связи его мысленно отбросить и заменить их действие реакциями связей. Эта аксиома имеет важное значение при решении задач, так как условия равновесия твердого тела в статике выведены в основном для абсолютно свободных твердых тел.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет теоретическая механика

Основные типы связей и их реакции

К оглавлению…

Гладкая опорная поверхность. Если твердое тело опирается на идеально гладкую (без трения) поверхность, то реакция поверхности R направлена по нормали к ней в точке соприкосновения, т. е. перпендикулярно к касательной плоскости в данной точке поверхности (рис 4). Такая реакция называется нормальной реакцией.

Заказать работу по теоретической механике
  • Гибкая нить. (Рис. 5)
Заказать работу по теоретической механике

Заказать работу по теоретической механике — сила натяжения нити, которая направлена вдоль нити и всегда от тела, равновесие которого будет рассматриваться. 3. Прямолинейный стержень, закрепленный шарнирно. (Рис. 6)

Заказать работу по теоретической механике

Заказать работу по теоретической механике и Заказать работу по теоретической механике — реакции стержней, стержень 1 растягивается, стержень 2 сжимается.

Цилиндрический шарнир (подшипник). Цилиндрическим шарниром называется совокупность неподвижного валика и надетой на него втулки , соединенной с твердым телом (рис.7 ). При этом твердое тело может поворачиваться вокруг оси валика. Направление реакции неподвижного цилиндрического шарнира А сразу указать нельзя, поэтому при решении задач реакция шарнира заменяется двумя взаимно перпендикулярными составляющими Заказать работу по теоретической механике и Заказать работу по теоретической механике. Определив в ходе решения задачи Заказать работу по теоретической механике и Заказать работу по теоретической механике можно найти модуль и направление реакции шарнира. Реакцию шарнира можно разложить на составляющие по любым двум направлениям.

Заказать работу по теоретической механике

Если цилиндрический шарнир подвижный (рис. 7шарнир В), то он не противодействует перемещению вдоль прямой, по которой могут катиться колеса, поэтому возникает только одна составляющая Заказать работу по теоретической механике, перпендикулярная плоскости качения.

Сферический шарнир (подпятник). В случае сферического шарнира (рис. 8) также нельзя заранее указать направление реакции шарнира При решении задач реакция сферического шарнира заменяется тремя взаимно перпендикулярными составляющими Заказать работу по теоретической механике (рис. 8).

Заказать работу по теоретической механике

Жесткая заделка. Такой тип связи будет рассмотрен позже.

Порядок решения задач статики на равновесие твердого тела

Выбирается объект равновесия (некоторое твердое тело):

  1. Показываются активные силы, приложенные к объекту равновесия.
  2. Применяется аксиома освобождаемости от связей: связи мысленно отбрасываются, а их действие заменяется реакциями связей, приложенными к объекту равновесия.
  3. Определяется вид системы сил, действующей на объект равновесия, и составляются соответствующие уравнения (условия) равновесия.
  4. Решая уравнения, определяются неизвестные величины.

Эта инструкция для решения задач статики — универсальная, с ее помощью решаются любые задачи статики на равновесие твердого тела. Чаще всего в задачах статики требуется определить реакции связей, т.е. усилия, возникающие в местах закрепления. Условия равновесия, которые применяются в 4-м пункте инструкции, зависят от вида системы сил, действующей на объект равновесия. Можно выделить три основных вида: сходящаяся система сил, произвольная плоская система сил, произвольная пространственная система сил.

Сходящаяся система сил

К оглавлению…

Система сил называется сходящейся, если линии действия сил пересекаются в одной точке. Сходящуюся систему сил можно заменить равнодействующей геометрическим или векторным способом (рис. 9) или аналитически по формулам (1)- (4).

Заказать работу по теоретической механике
Заказать работу по теоретической механике

Условия равновесия сходящейся системы сил.

Для равновесия сходящейся системы сил необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

  • геометрическое или векторное условие’, силовой многоугольник, построенный на векторах сил как на сторонах должен быть замкнут (рис. 10)
Заказать работу по теоретической механике
Заказать работу по теоретической механике

или

Заказать работу по теоретической механике
  • Аналитические уравнения равновесия:
Заказать работу по теоретической механике

Если все силы сходящейся системы лежат в одной плоскости то следует выбрать систему координат в этой плоскости и использовать только два уравнения.

Произвольная плоская система сил

К оглавлению…

Если плоская система сил не является сходящейся, то для вывода условий равновесия нужно заменить систему сил на более простую. Это называется приведением системы сил. Для этого нужно ввести дополнительные понятия и термины.

Момент силы относительно точки на плоскости (алгебраический) -это взятое со знаком плюс или минус произведение модуля силы на плечо силы относительно точки. Плечо силы относительно точки — это кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы, т е длина перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы (рис. 11)

Заказать работу по теоретической механике

Если сила стремится повернуть плечо против часовой стрелки ( как на рис. 11), то знак момента «+», если по часовой, то « — ».

Парой сил называется система двух равных по модулю сил, направленных в противоположные стороны по параллельным линиям действия. Обозначается пара сил Заказать работу по теоретической механике. Плечом пары называется расстояние между линиями действия сил, образующих пару. Момент пары (алгебраический на плоскости) это взятое со знаком плюс или минус произведение модуля силы на плечо пары

Заказать работу по теоретической механике

Знак момента выбирается по тому же правилу, что и для момента силы относительно точки. (Рис 12).

Заказать работу по теоретической механике

Теоремы о свойствах пар в плоскости

  1. Момент пары сил равен алгебраической сумме моментов сил образующих пару, вычисленных относительно произвольной точки на плоскости.
  2. Две пары сил, лежащие в одной плоскости , эквивалентны тогда и только тогда, когда равны их алгебраические моменты.
  3. Система пар сил, лежащих в одной плоскости, эквивалентна одной паре, момент которой равен алгебраической сумме моментов этих пар.
  4. Система пар сил, лежащих в одной плоскости, уравновешивается тогда и только тогда, когда алгебраическая сумма моментов этих пар равна нулю.

Из теорем следует, что пара сил создает только вращательное воздействие и для полной характеристики пар, лежащих в одной плоскости достаточно алгебраического момента пары. Поэтому на расчетных схемах задач пары можно показывать в виде символа пары или в виде дуговой стрелки, направленных в сторону вращения, создаваемого парой, и с обозначением или численным значением момента пары (рис. 13).

Заказать работу по теоретической механике

После введенных понятий момента силы и момента пары, можно рассмотреть еще один типовой вид связи , который называется «жесткая заделка».

Жесткая заделка.(Рис. 14) Балка Заказать работу по теоретической механике не может в месте закрепления Заказать работу по теоретической механике ни перемещаться ни вращаться, поэтому реакции такого типа связи имеют составляющие Заказать работу по теоретической механике, где Заказать работу по теоретической механике — это момент пары сил, противодействующий вращению балки вокруг точки Заказать работу по теоретической механике.

Заказать работу по теоретической механике

По теореме Пуансо произвольную плоскую систему сил можно заменить на одну силу (главный вектор Заказать работу по теоретической механике, приложенный в выбранном центре приведения Заказать работу по теоретической механике) и одну пару сил (главный момент то), лежащую в плоскости действия сил:

Заказать работу по теоретической механике

Условия равновесия произвольной плоской системы сил. Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно чтобы главный вектор Заказать работу по теоретической механике и главный момент Заказать работу по теоретической механике относительно произвольно выбранного центра приведения равнялись нулю,

Заказать работу по теоретической механике

или в аналитической форме

Заказать работу по теоретической механике

Оси Заказать работу по теоретической механике системы координат и точку в уравнении моментов можно выбирать произвольно.

Теорема Вариньона для произвольной плоской системы сил.

Если система сил приводится к равнодействующей, то момент равнодействующей относительно произвольной точки равен сумме моментов слагаемых сил относительно той же точки

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по теоретической механике

Произвольная пространственная система сил

К оглавлению…

Вывод условий равновесия для произвольной пространственной системы сил аналогичен тому, как это проводилось для произвольной плоской системы сил. Только для оценки вращательного воздействия силы и пары сил потребуются векторные моменты силы и пары сил, а также алгебраический момент силы относительно оси.

Векторный момент силы относительно точки в пространстве определяется по формуле:

Заказать работу по теоретической механике

где Заказать работу по теоретической механике — радиус-вектор точки приложения силы Заказать работу по теоретической механике (рис. 15).

Заказать работу по теоретической механике

Введенный таким образом векторный момент силы относительно точки полностью характеризует вращательное воздействие силы, так как определяется плоскость и направление вращения, создаваемого силой, а также численное значение модуля векторного момента равного моменту силы относительно точки в плоскости силы Заказать работу по теоретической механике и точки Заказать работу по теоретической механике:

Заказать работу по теоретической механике

Для оценки вращательного воздействия пары сил также вводится понятие векторного момента пары сил в пространстве. Векторным моментом пары сил называется вектор равный по модулю моменту пары, и направленный перпендикулярно плоскости пары в ту сторону , откуда вращение , создаваемое парой видно против хода часовой стрелки(рис. 16).

Заказать работу по теоретической механике

Теоремы о свойствах пар в пространстве

Эти теоремы аналогичны теоремам для пар в плоскости:

  1. Векторный момент пары сил равен векторной сумме векторных моментов сил образующих пару, вычисленных относительно произвольной точки в пространстве.
  2. Две пары сил в пространстве эквивалентны тогда и только тогда, когда равны их векторные моменты.
  3. Система пар сил в пространстве эквивалентна одной паре, векторный момент которой равен векторной сумме векторных моментов этих пар.
  4. Система пар сил в пространстве уравновешивается тогда и только тогда, когда векторная сумма векторных моментов этих пар равна нулю.

Векторные моменты силы и пары сил — это свободные векторы, их можно переносить в пространстве параллельно себе в любую точку. Момент силы относительно оси в пространстве определяется следующим образом: (рис. 17)

1) проводится плоскость Заказать работу по теоретической механике, перпендикулярная оси

2) находится проекция Заказать работу по теоретической механике силы Заказать работу по теоретической механике на плоскость Заказать работу по теоретической механике.

3) момент силы относительно оси находится как алгебраический момент проекции Заказать работу по теоретической механике относительно точки пересечения оси Заказать работу по теоретической механике и плоскости Заказать работу по теоретической механике.

Заказать работу по теоретической механике

По теореме Пуансо произвольная пространственная система сил приводится к главному вектору Заказать работу по теоретической механике и главному моменту Заказать работу по теоретической механике

Заказать работу по теоретической механике

Условия равновесия произвольной пространственной системы сил. Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно чтобы главный вектор купить работу по теоретической механике и главный момент Заказать работу по теоретической механике относительно произвольно выбранного центра приведения равнялись нулю

Заказать работу по теоретической механике

или в аналитической форме:

Заказать работу по теоретической механике

Оси Заказать работу по теоретической механике системы координат можно выбирать произвольно.

Равновесие системы тел и расчет ферм

К оглавлению…

Равновесие системы тел

Статический расчет инженерных сооружений во многих случаях сводится к рассмотрению условий равновесия конструкции из системы тел, соединенных какими — нибудь связями. Связи, соединяющие части данной конструкции, будем называть внутренними, в отличие от внешних связей, скрепляющих конструкцию с телами, в нее не входящими (например, с опорами).

Заказать работу по теоретической механике

Если после отбрасывания внешних связей (опор) конструкция остается жесткой, то для нее задачи статики решаются как для абсолютно твердого тела.

Однако могут встречаться такие инженерные конструкции, которые после отбрасывания внешних связей не остаются жесткими. Примером такой конструкции является трехшарнирная арка (рис. 22). Если отбросить опоры Заказать работу по теоретической механике и Заказать работу по теоретической механике, то арка не будет жесткой: ее части могут поворачиваться вокруг шарнира Заказать работу по теоретической механике.

На основании принципа отвердевания система сил, действующих на такую конструкцию, должна при равновесии удовлетворять условиям равновесия твердого тела. Но эти условия, как указывалось, будучи необходимыми, не будут являться достаточными, поэтому из них нельзя будет определить всех неизвестных. Для решения задачи необходимо будет дополнительно рассмотреть равновесие какой-нибудь одной или нескольких частей конструкции.

Например, составляя условия равновесия для сил, действующих на трех шарнирную арку (см. рис. 22), мы получим три уравнения с четырьмя неизвестными Заказать работу по теоретической механике Рассмотрев дополнительно условия равновесия левой (или правой) ее половины, мы получим еще три уравнения, содержащие два новых неизвестных Заказать работу по теоретической механике на рис. 22 не показанных. Решая полученную систему шести уравнений, найдем все шесть неизвестных.

Другой способ решения подобных задач состоит в том, что конструкцию сразу расчленяют на отдельные тела и составляют условия равновесия каждого из тел, рассматривая его как свободное. При этом реакции внутренних связей будут попарно равны по модулю и противоположны по направлению. Для конструкции из Заказать работу по теоретической механике тел, на каждое из которых действует произвольная плоская система сил, получится таким путем Заказать работу по теоретической механике уравнений, позволяющих найти Заказать работу по теоретической механике неизвестных (при других системах сил число уравнений соответственно изменится). Если для данной конструкции число всех реакций связей будет больше числа уравнений, в которые эти реакции входят, то конструкция будет статически неопределимой.

Расчет ферм. Понятие о ферме. Аналитический расчет плоских ферм

К оглавлению…

Фермой называется жесткая конструкция из прямолинейных стержней, соединенных на концах шарнирами. Если все стержни фермы лежат в одной плоскости, ферма называется плоской. Места соединения стержней фермы называют узлами. Все внешние нагрузки к ферме прикладываются только в узлах. При расчете фермы трением в узлах и весом стержней (по сравнению с внешними нагрузками) пренебрегают или распределяют веса стержней по узлам. Тогда на каждый из стержней фермы будут действовать две силы, приложенные к его концам, которые при равновесии могут быть направлены только вдоль стержня. Следовательно, можно считать, что стержни фермы работают только на растяжение или на сжатие. Ограничимся рассмотрением жестких плоских ферм, без лишних стержней, образованных из треугольников. В таких фермах число стержней Заказать работу по теоретической механике и число узлов Заказать работу по теоретической механикесвязаны соотношением

Заказать работу по теоретической механике

Расчет фермы сводится к определению опорных реакций и усилий в ее стержнях.

Опорные реакции можно найти обычными методами статики, рассматривая ферму в целом как твердое тело. Перейдем к определению усилий в стержнях.

Метод вырезания узлов

К оглавлению…

Этим методом удобно пользоваться, когда надо найти усилия во всех стержнях фермы. Он сводится к последовательному рассмотрению условий равновесия сил, сходящихся в каждом из узлов фермы. Ход расчетов поясним на конкретном примере.

Заказать работу по теоретической механике

Рассмотрим изображенную на рис. 23,а ферму, образованную из одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольников; действующие на ферму силы параллельны оси Заказать работу по теоретической механике и равны:

Заказать работу по теоретической механике

В этой ферме число узлов Заказать работу по теоретической механике, а число стержней Заказать работу по теоретической механике. Следовательно, соотношение выполняется и ферма является жесткой, без лишних стержней.

Составляя уравнения равновесия для фермы в целом, найдем, что реакции опор направлены, как показано на рисунке, и численно равны;

Заказать работу по теоретической механике

Переходим к определению усилий в стержнях.

Пронумеруем узлы фермы римскими цифрами, а стержни — арабскими. Искомые усилия будем обозначать Заказать работу по теоретической механике (в стержне 1), Заказать работу по теоретической механике (в стержне 2) и т. д. Отрежем мысленно все узлы вместе со сходящимися в них стержнями от остальной фермы. Действие отброшенных частей стержней заменим силами, которые будут направлены вдоль соответствующих стержней и численно равны искомым усилиям Заказать работу по теоретической механике. Изображаем сразу все эти силы на рисунке, направляя их от узлов, т. е. считая, все стержни растянутыми (рис. 23, а; изображенную картину надо представлять себе для каждого узла так, как это показано на рис. 23, б для узла III). Если в результате расчета величина усилия в каком-нибудь стержне получится отрицательной, это будет означать, что данный стержень не растянут, а сжат. Буквенных обозначений для сил, действующих вдоль стержней, ни рис. 23 не вводам, поскольку ясно, что силы, действующие вдоль стержня 1, равны численно Заказать работу по теоретической механике, вдоль стержня 2 — равны Заказать работу по теоретической механике и т. д.

Теперь для сил, сходящихся в каждом узле, составляем последовательно уравнения равновесия

Заказать работу по теоретической механике

Начинаем с узла 1, где сходятся два стержня, так как из двух уравнений равновесия можно определить только два неизвестных усилия.

Составляя уравнения равновесия для узла 1, получим

Заказать работу по теоретической механике

Отсюда находим

Заказать работу по теоретической механике

Теперь, зная Заказать работу по теоретической механике, переходим к узлу II. Для него уравнения равновесия дают

Заказать работу по теоретической механике

откуда

Заказать работу по теоретической механике

Определив Заказать работу по теоретической механике, составляем аналогичным путем уравнения равновесия сначала для узла III, а затем для узла IV. Из этих уравнений находим:

Заказать работу по теоретической механике

Наконец, для вычисления Заказать работу по теоретической механике составляем уравнение равновесия сил, сходящихся в узле Заказать работу по теоретической механике, проектируя их на ось Заказать работу по теоретической механике. Получим Заказать работу по теоретической механике, откуда Заказать работу по теоретической механике.

Второе уравнение равновесия для узла V и два уравнения для узла VI можно составить как поверочные. Для нахождения усилий в стержнях эти уравнения не понадобились, так как вместо них были использованы три уравнения равновесия всей фермы в целом при определении Заказать работу по теоретической механике и Заказать работу по теоретической механике.

Окончательные результаты расчета можно свести в таблицу:

Заказать работу по теоретической механике

Как показывают знаки усилий, стержень 5 растянут, остальные стержни сжаты; стержень 7 не нагружен (нулевой, стержень).
Наличие в ферме нулевых стержней, подобных стержню 7, обнаруживается сразу, так как если в узле, не нагруженном внешними силами, сходятся три стержня, из которых два направлены вдоль одной прямой, то усилие в третьем стержне равно нулю. Этот результат получается из уравнения равновесия в проекции на ось, перпендикулярную к упомянутым двум стержням.

Если в ходе расчета встретится узел, для которого число неизвестных больше двух, то можно воспользоваться методом сечений.

1.7.4. Метод сечений (метод Риттера). Этим методом удобно пользоваться для определения усилий в отдельных стержнях фермы, в частности, для проверочных расчетов. Идея метода состоит в том, что ферму разделяют на две части сечением, проходящим через три стержня, в которых (или в одном из которых) требуется определить усилие, и рассматривают равновесие одной из этих частей. Действие отброшенной части заменяют соответствующими силами, направляя их вдоль разрезанных стержней от узлов, т. е. считая стержни растянутыми (как и в методе вырезания узлов). Затем составляют уравнения равновесия, беря центры моментов (или ось проекций) так, чтобы в каждое уравнение вошло только одно неизвестное усилие.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения задач по теоретической механике

Равновесие с учетом трения

К оглавлению…

Трение скольжения

Если тело, например, просто лежит на горизонтальной поверхности, то сила трения на него не действует. Трение возникает, если попытаться сдвинуть тело, приложить к нему силу. Пока величина этой силы не превышает определённого значения, тело остаётся в покое и сила трения равна по величине и обратна по направлению приложенной силе. Затем начинается движение.

Сила трения при скольжении твёрдых тел зависит не только от свойств поверхностей и силы давления (это зависимость качественно такая же, как для трения покоя), но и от скорости движения. Часто с увеличением скорости сила трения сначала резко падает, а затем снова начинает возрастать.

Возникновение трения обусловлено, прежде всего, шероховатостью поверхностей, создающей сопротивление перемещению, и наличием сцепления у прижатых друг к другу тел. Изучение всех особенностей явления трения представляет собою довольно сложную физико-механическую проблему, рассмотрение которой выходит за рамки курса теоретической механики.

В инженерных расчетах обычно исходят из ряда установленных опытным путем общих закономерностей, которые с достаточной для практики точностью отражают основные особенности явления трения. Эти закономерности, называемые законами трения скольжения при покое (законами Кулона), можно сформулировать следующим образом:

  1. При стремлении сдвинуть одно тело по поверхности другого в плоскости соприкосновения тел возникает сила трения (или сила сцепления), величина которой может принимать любые значения от нуля до значения Заказать работу по теоретической механике, называемого предельной силой трения.
Заказать работу по теоретической механике

Силой трения скольжения Заказать работу по теоретической механике (или просто силой трения) называется составляющая силы реакции связи, которая лежит в касательной плоскости к поверхностям соприкасающихся тел.

Заказать работу по теоретической механике

Сила трения направлена в сторону, противоположную той, куда действующие силы стремятся сдвинуть тело.

В теоретической механике предполагается, что между поверхностями соприкасающихся тел нет смазывающего вещества.

Будем рассматривать два случая: трения при покое или равновесии тела и трение скольжения при движении одного тела по поверхности другого с некоторой относительной скоростью.

При покое сила трения зависит только от активных сил. При выбранном направлении касательной в точке соприкосновения поверхностей тел сила трения вычисляется по формуле:

Заказать работу по теоретической механике

Аналогично при выбранном направлении нормали нормальная реакция выражается через заданные силы:

Заказать работу по теоретической механике

При движении одного тела по поверхности другого сила трения является постоянной величиной.

  • Величина предельной силы трения равна произведению статического коэффициента трения на нормальное давление или нормальную реакцию:
Заказать работу по теоретической механике

Статический коэффициент трения Заказать работу по теоретической механике — число отвлеченное Заказать работу по теоретической механике; он определяется опытным путем и зависит от материала соприкасающихся тел и состояния поверхностей (характер обработки, температура, влажность, смазка и т. п.). Считается, что коэффициент трения не зависит от скорости движения.

  • Предельная сила трения скольжения при прочих равных условиях не зависит от площади соприкосновения трущихся поверхностей. Из этого закона следует, что для того чтобы сдвинуть, например кирпич, надо приложить одну и туже, силу, независимо, от того, какой гранью он положен на поверхность, широкой или узкой.

Объединяя вместе первый и второй законы, получаем, что при равновесии сила трения покоя (сила сцепления)

Заказать работу по теоретической механике

Возможно эта страница вам будет полезна:

Задачи по теоретической механике

Реакции шероховатых связей. Угол трения

К оглавлению…

До сих пор при решении задач статики мы пренебрегали трением и считали поверхности связей гладкими, а их реакции направленными по нормалям к этим поверхностям. Реакция реальной (шероховатой) связи будет слагаться из двух составляющих: из нормальной реакции Заказать работу по теоретической механике и перпендикулярной к ней силы трения Заказать работу по теоретической механике. Следовательно, полная реакция Заказать работу по теоретической механике будет отклонена от нормали к поверхности на некоторый угол. При изменении силы трения от нуля до Заказать работу по теоретической механике сила Заказать работу по теоретической механике будет меняться от Заказать работу по теоретической механике до Заказать работу по теоретической механике, а ее угол с нормалью будет расти от нуля до некоторого предельного значения Заказать работу по теоретической механике.

Заказать работу по теоретической механике

Наибольший угол Заказать работу по теоретической механике, который полная реакция шероховатой связи образует с нормалью к поверхности, называется углом трения. Из чертежа видно,что

Заказать работу по теоретической механике

Так как Заказать работу по теоретической механике, отсюда находим следующую связь между углом трения и коэффициентом трения:

Заказать работу по теоретической механике

При равновесии полная реакция купить работу по теоретической механике, в зависимости от сдвигающих сил, может проходить где угодно внутри угла трения. Когда равновесие становится предельным, реакция будет отклонена от нормали на угол Заказать работу по теоретической механике.

Конусом трения называют конус, описанный предельной силой реакции шероховатой связи Заказать работу по теоретической механике вокруг направления нормальной реакции.

Если к телу, лежащему на шероховатой поверхности, приложить силу Заказать работу по теоретической механике, образующую угол Заказать работу по теоретической механике с нормалью, то тело сдвинется только тогда, когда сдвигающее усилие Заказать работу по теоретической механике будет больше Заказать работу по теоретической механике (мы считаем N=Pcosa5 пренебрегая весом тела). Но неравенство Заказать работу по теоретической механике в котором Заказать работу по теоретической механике выполняется только при Заказать работу по теоретической механике те. при Заказать работу по теоретической механике.

Следовательно, никакой силой, образующей с нормалью угол Заказать работу по теоретической механике, меньший угла трения Заказать работу по теоретической механике, тело вдоль данной поверхности сдвинуть нельзя. Этим объясняются известные явления заклинивания или самоторможения тел.

Заказать работу по теоретической механике

Для равновесия твёрдого тела на шероховатой поверхности необходимо и достаточно, чтобы линия действия равнодействующей активных сил, действующих на твёрдое тело, проходила внутри конуса трения или по его образующей через его вершину.

Тело нельзя вывести из равновесия любой по модулю активной силой, если её линия действия проходит внутри конуса трения.

Равновесие при наличии трения.

Изучение равновесия тел с учетом трения сводится обычно к рассмотрению предельного положения равновесия, когда сила трения достигает своего наибольшего значения Заказать работу по теоретической механике. При аналитическом решении задач реакцию шероховатой связи в этом случае изображают двумя составляющими Заказать работу по теоретической механике и где Заказать работу по теоретической механике. Затем составляют обычные условия равновесия статики, подставляют в них вместо Заказать работу по теоретической механике величину Заказать работу по теоретической механике и, решая полученные уравнения, определяют искомые величины.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Помощь по теоретической механике

Трение качения и верчения

К оглавлению…

Возьмем деревянный цилиндр и положим его на стол так, чтобы он касался стола по образующей. В центры оснований цилиндра вставим концы проволочной вилки и прикрепим к ней снабженный очень чувствительный динамометр. Если тянуть за динамометр, то цилиндр покатится по столу. По показаниям динамометра увидим, что нужна весьма небольшая сила тяги, чтобы сдвинуть с места цилиндр и катить его равномерно дальше, гораздо меньшая, чем при скольжении того же цилиндра, если бы он не вращался и скользил бы по столу. При той же силе давления на стол сила трения качения много меньше силы трения скольжения. Например, при качении стальных колёс по стальным рельсам трение качения примерно в 100 раз меньше, чем трение скольжения. Поэтому в машинах стремятся заменить трение скольжения трением качения, применяя так называемые шариковые или роликовые подшипники.

Происхождение трения качения можно наглядно представить себе так. Когда шар или цилиндр катится по поверхности другого тела, он немного вдавливается в поверхность этого тела, а сам немного сжимается. Таким образом, катящееся тело всё время как бы вкатывается на горку.

Теоретическая механика на заказ

Вместе с тем происходит отрыв участков одной поверхности от другой, а силы сцепления, действующие между этими поверхностями, препятствуют этому. Оба эти явления и вызывают силы трения качения. Чем твёрже поверхности, тем меньше вдавливание и тем меньше трение качения.

Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого.

Теоретическая механика на заказ

Рассмотрим круглый цилиндрический каток радиуса Теоретическая механика на заказ и веса Теоретическая механика на заказ, лежащий на горизонтальной шероховатой плоскости. Приложим к оси катка силу Теоретическая механика на заказ (рис. 34, а), меньшую Теоретическая механика на заказ. Тогда в точке Теоретическая механика на заказ возникает сила трения Теоретическая механика на заказ, численно равная Теоретическая механика на заказ, которая будет препятствовать скольжению цилиндра по плоскости. Если считать нормальную реакцию Теоретическая механика на заказ тоже приложенной в точке Теоретическая механика на заказ, то она уравновесит силу Теоретическая механика на заказ, а силы Теоретическая механика на заказ и Теоретическая механика на заказ образуют пару, вызывающую качение цилиндра. При такой схеме качение должно начаться, как видим, под действием любой, сколь угодно малой силы Теоретическая механика на заказ.

Истинная же картина, как показывает опыт, выглядит иначе. Объясняется это тем, что фактически, вследствие деформаций тел, касание их происходит вдоль некоторой площадки Теоретическая механика на заказ (рис. 34, б). При действии силы Теоретическая механика на заказ интенсивность давлений у края Теоретическая механика на заказ убывает, а у края Теоретическая механика на заказ возрастает. В результате реакция Теоретическая механика на заказ оказывается смещенной в сторону действия силы с увеличением Теоретическая механика на заказ это смещение растет до некоторой предельной величины Теоретическая механика на заказ. Таким образом, в предельном положении на каток будут действовать пара (Теоретическая механика на заказ) с моментом Теоретическая механика на заказ и уравновешивающая ее пара (Теоретическая механика на заказ) с моментом Теоретическая механика на заказ. Из равенства моментов находим

Теоретическая механика на заказ

или

Теоретическая механика на заказ

Пока Теоретическая механика на заказ каток находится в покое; при Теоретическая механика на заказ начинается качение.

Входящая в формулу линейная величина Теоретическая механика на заказ называется коэффициентом трения качения. Измеряют величину Теоретическая механика на заказ обычно в сантиметрах. Значение коэффициентаТеоретическая механика на заказ зависит от материала тел и определяется опытным путем.

Коэффициент трения качения при качении в первом приближении можно считать не зависящим от угловой скорости качения катка и его скорости скольжения по плоскости.

Для вагонного колеса по рельсу Теоретическая механика на заказ

Рассмотрим движение ведомого колеса. Теоретическая механика на заказ а Теоретическая механика на заказ.

Качение колеса начнется, когда выполнится условие Теоретическая механика на заказ или Теоретическая механика на заказ

Скольжение колеса начнется, когда выполнится условие Теоретическая механика на заказ

Обычно отношение Теоретическая механика на заказ и качение начинается раньше скольжения.

Если Теоретическая механика на заказ, то колесо будет скользить по поверхности, без качения.

Отношение Теоретическая механика на заказ для большинства материалов значительно меньше статического коэффициента трения Теоретическая механика на заказ. Этим объясняется то, что в технике, когда это возможно, стремятся заменить скольжение качением (колеса, катки, шариковые подшипники и т. п.).

Центр параллельных сил и центр тяжести

Сложение параллельных сил. Центр параллельных сил

К оглавлению…

Пусть даны две параллельные силы Теоретическая механика на заказ и Теоретическая механика на заказ направленные в одну сторону и приложенные к точкам Теоретическая механика на заказ и Теоретическая механика на заказ (рис.34).

Теоретическая механика на заказ

Конечно, величина их равнодействующей Теоретическая механика на заказ. Вектор её параллелен силам и направлен в ту же сторону. С помощью теоремы Вариньона найдём точку приложения равнодействующей — точку Теоретическая механика на заказ По этой теореме Теоретическая механика на заказ

Значит

Теоретическая механика на заказ

Отсюда Теоретическая механика на заказ. То есть точка приложения равнодействующей делит расстояние между точками Теоретическая механика на заказ и Теоретическая механика на заказ на части обратно пропорциональные силам.

Если параллельные силы направлены в противоположные стороны (рис.35), то аналогично можно доказать, что равнодействующая по величине будет равна разности сил: Теоретическая механика на заказ (если Теоретическая механика на заказ), параллельна им, направлена в сторону большей силы и расположена за большей силой — в точке Теоретическая механика на заказ. А расстояния от точки Теоретическая механика на заказ до точек приложения сил обратно пропорциональны силам:

Теоретическая механика на заказ
Теоретическая механика на заказ

Следует заметить, что если точка приложения равнодействующей расположена на одной прямой с точками Теоретическая механика на заказ и Теоретическая механика на заказ точками приложения сил, то, при повороте этих сил в одну сторону на одинаковый угол, равнодействующая также повернётся вокруг точки приложения Теоретическая механика на заказ в том же направлении, и останется параллельной им.

Такая точка приложения равнодействующей называется центром параллельных сил.

Конечно, если хотя бы одну из сил перенести по своей линии действия в другую точку, то и точка приложения равнодействующей, центр параллельных сил, тоже переместится по линии действия.

Следовательно, положение центра параллельных сил зависит от координат точек приложения сил.

Центром нескольких параллельных сил, найденный последовательным сложением каждых двух сил, будем называть точку Теоретическая механика на заказ, радиус-вектор которой определяется формулой

Теоретическая механика на заказ

где Теоретическая механика на заказ — радиусы-векторы точек приложения сил; Теоретическая механика на заказ — величина равнодействующей параллельных сил, равная алгебраической сумме этих сил (знак силы определяется направлением, которое заранее выбирается и считается положительным).

Используя (1), нетрудно найти координаты центра параллельных сил. Если радиусы-векторы откладывать из начала координат, то проекции радиусов-векторов точек на оси будут равны их координатам. Поэтому, проектируя векторное равенство (1) на оси, получим

Теоретическая механика на заказ

где Теоретическая механика на заказ — координаты точек приложенных сил.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Контрольная работа по теоретической механике

Параллельные силы, распределенные по отрезку прямой

К оглавлению…

а) общий случай

Теоретическая механика на заказ

Теоретическая механика на заказ — интенсивность распределенной силы [Н/м],

Теоретическая механика на заказ — элементарная сила. Теоретическая механика на заказ — длина отрезка

Распределенная по отрезку прямой сила интенсивности Теоретическая механика на заказ эквивалентна сосредоточенной силе

Теоретическая механика на заказ

Сосредоточенная сила прикладывается в точке Теоретическая механика на заказ (центре параллельных сил) с координатой

Теоретическая механика на заказ

б) постоянная интенсивность

Теоретическая механика на заказ

в) интенсивность, меняющаяся по линейному закону

Теоретическая механика на заказ
Теоретическая механика на заказ

Центр тяжести тел

К оглавлению…

На все точки тела, находящегося вблизи поверхности Земли, действуют силы — силы тяжести этих точек или их вес Теоретическая механика на заказ. Вообще эти силы будут сходящимися — линии действия их пересекаются в центре Земли. Но, если пренебречь размерами тела в сравнении с размерами Земли, то можно считать их параллельными.

Центр этих параллельных сил, сил тяжести точек, называется центром тяжести тела.

Значит находить центр тяжести тел можно как центр параллельных сил. Например, координаты его

Теоретическая механика на заказ

где Теоретическая механика на заказ — вес каждой точки тела, а Теоретическая механика на заказ — вес всего тела.

Теоретическая механика на заказ

При определении центра тяжести полезны несколько теорем.

1) Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести его находится в этой плоскости.

Если оси Теоретическая механика на заказ и Теоретическая механика на заказ расположить в этой плоскости симметрии, то для каждой точки с координатами Теоретическая механика на заказ можно отыскать точку с координатами Теоретическая механика на заказ и координата Теоретическая механика на заказ по (2), будет равна нулю, т.к. в сумме Теоретическая механика на заказ все члены имеющие противоположные знаки, попарно уничтожаются. Значит центр тяжести расположен в плоскости симметрии.
2) Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.

Действительно, в этом случае, если ось Теоретическая механика на заказ провести по оси симметрии, для каждой точки с координатами Теоретическая механика на заказ можно отыскать точку с координатами Теоретическая механика на заказ и координаты Теоретическая механика на заказ и Теоретическая механика на заказ, вычисленные по формулам (2), окажутся равными нулю.

Аналогично доказывается и третья теорема.

3) Если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тяжести тела находится в этой точке.

И ещё несколько замечаний.

Первое. Если тело можно разделить на части, у которых известны вес и положение центра тяжести, то незачем рассматривать каждую точку, а в формулах (2) Теоретическая механика на заказ — определять как вес соответствующей части и Теоретическая механика на заказ — как координаты её центра тяжести.

Второе. Если тело однородное, то вес отдельной части его Теоретическая механика на заказ, где Теоретическая механика на заказ — удельный вес материала, из которого сделано тело, а Теоретическая механика на заказ — объём этой части тела. И формулы (1) примут более удобный вид. Например,

Теоретическая механика на заказ

И аналогично,

Теоретическая механика на заказ

где

Теоретическая механика на заказ

объем всего тела.

Третье замечание. Если тело состоит из однородных пластин одинаковой, малой толщины, то объём каждой пластины Теоретическая механика купить где Теоретическая механика на заказ -площадь пластины, Теоретическая механика на заказ — толщина. И координаты центра тяжести будут определяться только с помощью площадей:

Теоретическая механика на заказ

где Теоретическая механика на заказ — координаты центра тяжести отдельных пластин; Теоретическая механика на заказ — общая площадь тела.

Четвёртое замечание. Если тело состоит из стержней, прямых или криволинейных, однородных и постоянного сечения, то вес их Теоретическая механика на заказ где Теоретическая механика на заказ, — длина, Теоретическая механика на заказ — вес единицы длины (погонного метра), а координаты центра тяжести будут определяться с помощью длин отдельных участков:

Теоретическая механика на заказ

где Теоретическая механика на заказ — координаты центра тяжести Теоретическая механика на заказ-го участка; Теоретическая механика на заказ

Отметим, что согласно определению центр тяжести — это точка геометрическая; она может лежать и вне пределов данного тела (например, для кольца).

Координаты центров тяжести неоднородных тел.

Координаты центра тяжести неоднородного твердого тела в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:

Теоретическая механика на заказ

где Теоретическая механика на заказ — вес единицы объем тела (удельный вес); Теоретическая механика на заказ — вес всего тела.

Если твердое тело представляет собой неоднородную поверхность, то координаты центра тяжести в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:

Теоретическая механика купить
Теоретическая механика на заказ

где Теоретическая механика на заказ — вес единицы площади тела, Теоретическая механика на заказ — вес всего тела.

Если твердое тело представляет собой неоднородную линию, то координаты центра тяжести в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:

Теоретическая механика на заказ
Теоретическая механика на заказ

где Теоретическая механика на заказ — вес единицы длины тела, Теоретическая механика на заказ — вес всего тела.

Координаты центров тяжести однородных тел.

Для однородного тела вес Теоретическая механика на заказ любой его части пропорционален объему Теоретическая механика на заказ этой части:Теоретическая механика на заказ, а вес Теоретическая механика на заказ всего тела пропорционален объему Теоретическая механика на заказ этого тела Теоретическая механика на заказ, где Теоретическая механика на заказ — вес единицы объема.

Подставив эти значения Теоретическая механика на заказ и Теоретическая механика на заказ в предыдущие формулы, мы заметим, что в числителе Теоретическая механика на заказ как общий множитель выносится за скобку и сокращается с Теоретическая механика на заказ в знаменателе. В результате получим:

Теоретическая механика на заказ

Как видно, центр тяжести однородного тела зависит только от его геометрической формы, а от величины Теоретическая механика на заказ не зависит. По этой причине точку Теоретическая механика на заказ, координаты которой определяются формулами, называют центром тяжести объема Теоретическая механика на заказ.

Путем аналогичных рассуждений легко найти, что если тело представляет собой однородную плоскую и тонкую пластину, то для нее

Теоретическая механика на заказ

где Теоретическая механика на заказ — площадь всей пластины, a Теоретическая механика на заказ — площади ее частей.

Точку, координаты которой определяются формулами называют центром тяжести площади Теоретическая механика на заказ.

Точно так же получаются формулы для координат центра тяжести линии:

Теоретическая механика на заказ

где Теоретическая механика на заказ — длина всей линии, Теоретическая механика на заказ — длины ее частей.

Таким образом, центр тяжести однородного тела определяется, как центр тяжести соответствующего объема, площади или линии.

Способы определения координат центра тяжести

К оглавлению…

Исходя из полученных выше общих формул, можно указать конкретные способы определения координат центров тяжести тел.

Теоретическая механика на заказ

Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.

Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести и площадь известны.

Теоретическая механика на заказ
Теоретическая механика на заказ

Дополнение. Частный случай способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны.

Теоретическая механика на заказ
Теоретическая механика на заказ
Теоретическая механика на заказ

Центры тяжести некоторых однородных тел.

1) Центр тяжести дуги окружности. Рассмотрим дугу Теоретическая механика на заказ радиуса Теоретическая механика на заказ с центральным углом Теоретическая механика на заказ в силу симметрии центр тяжести этой дуги лежит на оси Теоретическая механика на заказ.

Теоретическая механика на заказ

Найдем координату Теоретическая механика на заказ по формуле Теоретическая механика на заказ. Для этого выделим на дуге Теоретическая механика на заказ элемент Теоретическая механика на заказ длиною Теоретическая механика на заказ положение которого определяется углом Теоретическая механика на заказ. Координата Теоретическая механика на заказ элемента Теоретическая механика на заказ будет Теоретическая механика на заказ. Подставляя эти значения Теоретическая механика на заказ и Теоретическая механика на заказ и имея в виду, что интеграл должен быть распространен на всю длину дуги, получим:

Теоретическая механика на заказ

где Теоретическая механика на заказ — длина дуги Теоретическая механика на заказ, равная Теоретическая механика на заказ. Отсюда окончательно находим, что центр тяжести дуги окружности лежит на ее оси симметрии на расстоянии от центра Теоретическая механика на заказ, равном

Теоретическая механика на заказ

где угол Теоретическая механика на заказ измеряется в радианах.

2) Центр тяжести площади треугольника. Разобьем площадь треугольника Теоретическая механика на заказ прямыми, параллельными Теоретическая механика на заказ, на узкие полоски; центры тяжести этих полосок будут лежать на медиане Теоретическая механика на заказ треугольника.

Теоретическая механика на заказ

Следовательно, и центр тяжести всего треугольника лежит на этой медиане. Аналогичный результат получается для двух других медиан. Отсюда заключаем, что центр тяжести площади треугольника лежит в точке пересечения его медиан.

При этом, как известно,

Теоретическая механика на заказ

3) Центр тяжести площади кругового сектора. Рассмотрим круговой сектор Теоретическая механика на заказ радиуса Теоретическая механика на заказ с центральным углом . Разобьем мысленно площадь сектора Теоретическая механика на заказ радиусами, проведенными из центра Теоретическая механика на заказ, на Теоретическая механика на заказ секторов. В пределе, при неограниченном увеличении числа Теоретическая механика на заказ, эти секторы можно рассматривать как плоские треугольники, центры тяжести которых лежат на дуге Теоретическая механика на заказ радиуса Теоретическая механика на заказ. Следовательно, центр тяжести сектора Теоретическая механика на заказ будет совпадать с центром тяжести дуги Теоретическая механика на заказ. Окончательно получим, что центр тяжести площади кругового сектора лежит на его центральной оси симметрии на расстоянии от начального центра Теоретическая механика на заказ, равном Теоретическая механика на заказ

Теоретическая механика на заказ

Возможно эта страница вам будет полезна:

Курсовая работа по теоретической механике

Кинематика

Кинематика точки

К оглавлению…

Кинематика это раздел теоретической механики, в котором изучаются движения точек и тел без учета сил, вызывающих это движение.

В кинематике можно выделить две задачи:

1 -я — описать (задать) движение объекта (точки или тела)

2-я — по описанному (заданному) движению объекта определить характеристики его движения.

Три способа описания движения точки.

Векторный способ описания движения точки. Положение точки определяется ее радиус-вектором, проведенным из какого-либо центра, который, изменяясь во времени, определяет движение точки, Теоретическая механика на заказ это уравнение движения точки в векторной форме. Траектория движения точки — это непрерывная линия по которой движется точка. Координатный способ описания движения точки. Положение точки в пространстве определяется тремя координатами, изменения которых определяют закон движения точки:

Теоретическая механика на заказ

Если точка движется в плоскости, то уравнений движения два, если по прямой то одно.. Уравнения движения описывают уравнение траектории в параметрической форме. Исключив из уравнений параметр Теоретическая механика на заказ, получаем уравнение траектории в обычном виде: Теоретическая механика на заказ (для плоскости). Если в пространстве, то исключив параметр Теоретическая механика на заказ, получим два уравнения , которые совместно определяют траекторию движения точки в пространстве. Естественный способ описания движения точки. Указывается траектория движения точки и закон ее движения по этой траектории, начало и направление отсчета дуговой координаты, а также Теоретическая механика на заказ — закон движения точки. При прямолинейном движении: Теоретическая механика на заказ, и естественный и координатный способы тождественны Связь между координатным и векторным способами:

Теоретическая механика на заказ

где Теоретическая механика на заказ — орты — единичные вектора, направленные соответственно по осям Теоретическая механика на заказ.

Переход от координатного способа к естественному можно осуществить по формуле:.

Теоретическая механика на заказ

Скорость точки. Скорость точки это вектор, характеризующий изменение положения точки в единицу времени. Вектор скорости определяется по формуле:

Теоретическая механика на заказ

точка обозначает производную по времени, или

Теоретическая механика на заказ

При координатном способе описания движения точки вначале определяются проекции скорости на оси координат Теоретическая механика на заказ:

Теоретическая механика на заказ

Модуль скорости:

Теоретическая механика на заказ

направляющие косинусы:

Теоретическая механика на заказ

При естественном способе описания движения точки модуль скорости

Теоретическая механика на заказ

вектор скорости

Теоретическая механика на заказ

Теоретическая механика на заказ — орт касательной, т.е. скорость всегда направлена по касательной к траектории. Если Теоретическая механика на заказ, то движение происходит в сторону положительного отсчета дуговой координаты и наоборот.

Ускорение точки.

При векторном способе

Теоретическая механика на заказ

Проекция ускорения:

Теоретическая механика на заказ

Модуль ускорения:

Теоретическая механика на заказ

направляющие косинусы:

Теоретическая механика на заказ

При естественном способе описания движения точки полное ускорение раскладывают на нормальное и касательное (тангенциальное) ускорения:

Теоретическая механика на заказ
Теоретическая механика на заказ

Модуль нормального ускорения:

Теоретическая механика на заказ

где Теоретическая механика на заказ — радиус кривизны траектории, нормальное ускорение направлено по нормали к траектории (Теоретическая механика на заказ к касательной) всегда к центру кривизны, т.е. в сторону вогнутости.

Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению.

Модуль касательного ускорения

Теоретическая механика на заказ

направлено по касательной к траектории, либо в сторону скорости, либо в обратную. Касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине. При ускоренном движении направление касательного ускорения и скорости совпадают, при замедленном — противоположно. Теоретическая механика на заказТеоретическая механика на заказ Вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости Теоретическая механика на заказ его проекция на бинормаль равна 0 (главная нормаль лежит в соприкасающейся плоскости, т.е. в плоскости плоской кривой, бинормаль перпендикулярна к главной нормали и касательной). Частные случаи движения точки:

1 (Прямолинейное: радиус кривизны Теоретическая механика на заказ (бесконечно большой)Теоретическая механика на заказТеоретическая механика на заказ

2)Равномерное криволинейное движение:Теоретическая механика на заказ. Ускорение возникает из-за изменения направления скорости. Закон движения: Теоретическая механика на заказ, при Теоретическая механика на заказ

3)Равномерное прямолинейное движение: Теоретическая механика на заказ. Единственное движение, где Теоретическая механика на заказ

4)Равнопеременное криволинейное движение: Теоретическая механика на заказ Теоретическая механика на заказ. При равноускоренном, движении знаки у Теоретическая механика на заказ и Теоретическая механика на заказ одинаковы, при равнозамедленном — разные.

Кинематика твердого тела

К оглавлению…

Простейшие движения твердого тела: поступательное и вращательное

Поступательное движение тела — это такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельное самой себе. При поступательное движении, все точки тела описывают одинаковые траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения. Вращательное движение тела — это такое движение твердого тела, при котором все точки, принадлежащие некоторой прямой, неизменно связанной с телом, остаются неподвижными. Эта прямая называется осью вращения тела.

При этом движении все точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения. Уравнение (закон) вращательного движения: Теоретическая механика на заказ угол поворота тела в радианах.

Теоретическая механика на заказ

Угловая скорость:

Теоретическая механика на заказ

определяет изменение угла поворота в единицу времени.

Вектор угловой скорости тела, совершающего вращение вокруг неподвижной оси, направлен вдоль оси вращения так, что если смотреть ему навстречу вращение будет против часовой стрелке, Теоретическая механика на заказ— число оборотов в

Теоретическая механика на заказ

Угловое ускорение тела:

Теоретическая механика на заказ

Вектор углового ускорения также направлен вдоль оси вращения. При ускоренном движении совпадает по направлению с угловой скоростью и противоположно при замедленном вращении.

Частные случаи вращения тела: 1) Равномерное вращение:

Теоретическая механика на заказ
Теоретическая механика на заказ

2) Равнопеременное вращение:

Теоретическая механика на заказ

здесь начальный угол

Теоретическая механика на заказ
Теоретическая механика на заказ

Скорости и ускорения точек вращающегося тела, Теоретическая механика на заказ — скорость любой точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна векторному произведению вектора угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки. Модуль векторного произведения:

Теоретическая механика на заказ

Теоретическая механика на заказ -расстояние от точки Теоретическая механика на заказ до оси вращения. Направлен вектор скорости по касательной к окружности, по которой перемещается точка Теоретическая механика на заказ, в сторону вращения. Формула Эйлера:

Теоретическая механика на заказ

Теоретическая механика на заказ — проекции вектора угловой скорости. Проекция вращательной (окружной) скорости:

Теоретическая механика на заказ

Если ось вращения совпадает с осью Теоретическая механика на заказ, то Теоретическая механика на заказ. Ускорение:

Теоретическая механика на заказ

Вращательное (касательное, тангенциальное) ускорение

Теоретическая механика на заказ

модуль вращательного, ускорения

Теоретическая механика на заказ

направлено по касательной к траектории точки, т.е. параллельно скорости. Центростремительное (осестремительное, нормальное) ускорение

Теоретическая механика на заказ

направлено по радиусу к оси (центру) вращения. Модуль полного ускорения.:

Теоретическая механика на заказ

Угол, между векторами полного и центростремительного ускорений:

Теоретическая механика на заказ

Сложное движение точки. — такое движение, при котором точка одновременно участвует в нескольких движениях (например, пассажир, перемещающийся по движущемуся вагону). В этом случае вводится подвижная система координат Теоретическая механика на заказ, которая совершает заданное движение относительно неподвижной (основной) системы координат Теоретическая механика на заказ.

Теоретическая механика на заказ

Абсолютным движением точки называется движение по отношению к неподвижной системе координат. Относительное движение — движение по отношению к подвижной системе координат, (движение по вагону). Переносное движение — движение подвижной системе, координат относительно неподвижной (движение вагона). Теорема о сложении скоростей:

Теоретическая механика на заказ
Теоретическая механика на заказ

орты (единичные вектора) подвижной системы координат, орт вращается вокруг мгновенной оси, поэтому скорость его конца

Теоретическая механика на заказ
Теоретическая механика на заказ
Теоретическая механика на заказ

относительная скорость.

Теоретическая механика на заказ

переносная скорость:

Теоретическая механика на заказ

поэтому абсолютная скорость точки = геометрической сумме ее переносной Теоретическая механика на заказ и относительной Теоретическая механика на заказ скоростей Теоретическая механика на заказ модуль:

Теоретическая механика на заказ

Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса):

Теоретическая механика на заказ

Слагаемые выражения, определяющего ускорения Теоретическая механика на заказ:

Теоретическая механика на заказ

ускорение полюса Теоретическая механика на заказ;

Теоретическая механика на заказ
Теоретическая механика на заказ

относительное ускорение точки;

Теоретическая механика на заказ

получаем:

Теоретическая механика на заказ
Теоретическая механика на заказ

Первые три слагаемых представляют собой ускорение точки в переносном движении: Теоретическая механика на заказ — ускорение полюса Теоретическая механика на заказ — вращательное уск., Теоретическая механика на заказ — осестремительное ускорение., т.е.

Теоретическая механика на заказ

Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса):

Теоретическая механика на заказ

где

Теоретическая механика на заказ

ускорение Кориолиса (кориолисово ускорение) — в случае непоступательного переносного движения абсолютное ускорение = геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений. Кориолисово ускорение характеризует: 1) изменение модуля и направления переносной скорости точки из-за ее относительного движения; 2) изменение направления относительной скорости точки из-за вращательного переносного движения. Модуль ускорения Кориолиса:

Теоретическая механика на заказ

направление вектора Теоретическая механика на заказ с определяется по правилу векторного произведения, или по правилу Жуковского: проекцию относительной скорости на плоскость, перпендикулярную переносной угловой скорости, надо повернуть на 90° в направлении вращения. Кориолисово ускорение = 0 в трех случаях: 1) Теоретическая механика на заказ, т.е. в случае поступательного переносного движения или в момент обращения угловой, скорости в 0; Теоретическая механика на заказ т.е. Теоретическая механика на заказ когда относительная скорость Теоретическая механика на заказ параллельна оси переносного вращения.

Теоретическая механика на заказ

В случае движения в одной плоскости — угол между Теоретическая механика на заказ и вектором

Теоретическая механика на заказ
Теоретическая механика на заказ

Плоскопараллельное движение твердого тела

К оглавлению…

Плоскопараллельным называется такое движение тела, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой неподвижной плоскости. Уравнения плоского движения:

Теоретическая механика на заказ

точка Теоретическая механика на заказ называется, полюсом. Плоскопараллельное движение твердого тела раскладывается на поступательное движение, при котором все точки тела движутся так же, как полюс Теоретическая механика на заказ и вращательное движение вокруг этого полюса. Поступательное перемещение зависит от выбора полюса, а величина и направление угла поворота не зависят. Скорости точек тела при плоском движении:

Теоретическая механика на заказ

т.е. скорость какой-либо точки Теоретическая механика на заказ плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса Теоретическая механика на заказ и скорости точки Теоретическая механика на заказ при вращении плоской фигуры вокруг полюса Теоретическая механика на заказ.

Теоретическая механика на заказ

Теорема о проекциях скоростей точек плоской фигуры. При плоском движении проекции скоростей двух точек тела на прямую, соединяющую эти точки равны между собой:

Теоретическая механика на заказ
Теоретическая механика на заказ

Мгновенный центр скоростей (сокращенно м.ц.с.) — точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Если тело движется непоступательно, т.е. Теоретическая механика на заказ, то мгновенный центр скоростей всегда существует. При поступательном движении м.ц.с. находится в Теоретическая механика на заказ — скорость любой точки плоской фигуры имеет модуль, равный произведению угловой скорости фигуры на длину отрезка, соединяющего точку с м.ц.с., и направлена Теоретическая механика на заказ этому отрезку в сторону вращения фигуры.

Теоретическая механика на заказ скорости точек тела пропорциональны их расстояниям до м.ц.с.

Теоретическая механика на заказ угловая скорость тела равна отношению скорости какой-нибудь точки к ее расстоянию до м.ц.с.

Теоретическая механика на заказ

Определение положения м.ц.с.

1) м.ц.с. — точка пересечения перпендикуляров, восстановленных к скоростям точек (напр. в точке Теоретическая механика на заказ и точке Теоретическая механика на заказ); 2) если скорости точек Теоретическая механика на заказ и Теоретическая механика на заказ параллельны между собой и перпендикулярны Теоретическая механика на заказ, то для определения м.ц.с. должны быть известны модули и направления скоростей (см. Теоретическая механика на заказ и Теоретическая механика на заказ); 3) если они при этом равны между собой, то м.ц.с. находится в Теоретическая механика на заказ, а угловая скорость Теоретическая механика на заказ; 4) если известно, что скорости двух точек Теоретическая механика на заказ и Теоретическая механика на заказ равны, параллельны и не перпендикулярны Теоретическая механика на заказ, то м.ц.с. в Теоретическая механика на заказ, и угловая скорость Теоретическая механика на заказ, если это имеет место только к некоторый момент времени, то имеем мгновенное поступательное движение; 5) если плоская фигура катится без скольжения по неподвижной поверхности, то м.ц.с. плоской фигуры будет в точке соприкасания.

Теоретическая механика на заказ

Теорема Шаля: плоскую фигуру можно переместить из одного положения в любое другое положение на плоскости одним поворотом этой фигуры вокруг некоторого неподвижного центра. Этот центр на неподвижной плоскости, совпадает с м.ц.с. и называется мгновенным центром вращений (ось вращений). При движении плоской фигуры м.ц.с. непрерывно изменяет свое положение. Геометрическое место м.ц.с., отмеченных на неподвижной плоскости, называется неподвижной центроидой. Геометрическое место м.ц.с., отмеченных на плоскости фигуры, называется, подвижной центроидой (колесо катится по прямой: неподвижная центроида — прямая, подвижная -окружность). При движении плоской фигуры подвижная центроида катится без скольжения по неподвижной центроиде (теорема Пуансо).

Ускорение точек:

Теоретическая механика на заказ
Теоретическая механика на заказ

Теоретическая механика на заказ — ускорение любой точки (Теоретическая механика на заказ) фигуры геометрически складывается из ускорения полюса (Теоретическая механика на заказ) и центростремительного и вращательного ускорений во вращательном движении тела относительно полюса.

Теоретическая механика на заказ
Теоретическая механика на заказ

Мгновенный центр ускорений (сокращенно м.ц.у.) — точка (Теоретическая механика на заказ) плоской фигуры, ускорение которой в данный момент времени равно нулю. Для его построения из точки Теоретическая механика на заказ откладываем под углом Теоретическая механика на заказ к ускорению Теоретическая механика на заказ отрезок Теоретическая механика на заказ при этом угол откладывается от ускорения в сторону, направления углового ускорения Теоретическая механика на заказ. Модули ускорений точек плоской фигуры пропорциональны расстояниям от этих точек до мгновенного центра ускорений, а векторы ускорений составляют с отрезками, соединяющими эти точки и м.ц.у. один и тот же угол

Теоретическая механика на заказ
Теоретическая механика на заказ

Мгновенный центр скоростей Теоретическая механика на заказ и мгновенный центр ускорений Теоретическая механика на заказ являются различными точками плоской фигуры.