Техническая механика на заказ

Здравствуйте! Я Людмила Анатольевна Фирмаль занимаюсь помощью более 17 лет. У меня своя команда грамотных, сильных преподавателей. Мы справимся с любой поставленной перед нами работой технического и гуманитарного плана. И не важно она по объёму на две формулы или огромная сложно структурированная на 125 страниц! Нам по силам всё, поэтому не стесняйтесь присылайте.
Если что-то непонятно, Вы всегда можете написать мне в воцап и я помогу!

Чуть ниже я предоставила краткую теорию и примеры оформления заказов по некоторым темам технической механики, так я буду оформлять ваши работы если закажите у меня, это не все темы, это лишь маленькая часть их, чтобы вы понимали насколько подробно я оформляю.

Расчет статически определимой многопролетной балки

К оглавлению…

Статически определимая неизменяемая система, состоящая из ряда балок, с консолями или без консолей, соединенных между собой шарнирами называется статически определимой многопролетной балкой (рис.4).

Рассмотрим основные этапы расчета многопролетной статически определимой балки.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет техническая механика

Кинематический анализ

Степень статической определимости (неопределимости) определяется числом «лишних» связей по формуле , где

— число замкнутых контуров в конструкции в предположении отсутствия шарнирных соединений; — число одиночных шарниров.

Так для шарнирно — неподвижной опоры (опора на рис.4) число одиночных шарниров-1, для шарнирно — подвижной опоры (например, опора на рис.4) число одиночных шарниров -2. Для сложного шарнира () число одиночных шарниров определяется по формуле , где — число стержней, подходящих к шарниру. На рис.4 шарниры и — одиночные, т.к. к каждому из них подходит по два стержня.

Если , то задача статически определимая. При задача статически неопределимая, а при — геометрически изменяемая.

Так на рис.4 балка имеет три замкнутых контура () и девять одиночных шарниров (), поэтому .

Построение поэтажной схемы

Для удобства расчета и наглядности представления о характере работы отдельных частей многопролетной статически определимой балки строится её поэтажная схема. Для этого балка разрезается по промежуточным шарнирам и выделяются основные (их может быть одна или несколько) и подвесные балки.

Основной или главной является та балка, которая может самостоятельно нести внешнюю нагрузку после разрезания по промежуточному шарниру (балка на рис.4). Все остальные балки являются подвесными или второстепенными (балки и на рис.4).

Различают следующие типы многопролетных балок.

Первый тип характеризуется тем, что во всех пролетах, кроме одного (возможна и консоль), располагается по шарнирно-подвижной опоре. При замене шарниров на шарнирно неподвижные опоры получим однопролетные балки, каждая из которых опирается на консоль предыдущей ( рис.5а ).

Второй тип характеризуется чередованием пролетов, имеющих две шарнирно-подвижные опоры, с безопорными. При этом в поэтажной схеме на консоли основных балок опираются балки-вставки. Для обеспечения статической определимости балок-вставок при замене шарниров на опоры один из них заменяется на шарнирно неподвижную опору, другой — на шарнирно подвижную опору. Если основная балка имеет две подвижные опоры, то одна из них заменяется на шарнирно неподвижную опору (рис.5б).

Возможна и балка, совмещающая первый и второй типы (рис.6).

Построение эпюр внутренних силовых факторов

Расчет балок производят отдельно, начиная с подвесных самых верхних балок и последовательно переходя к ниже лежащим.

Расчет балок сводится к определению опорных реакции и построению эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.

Для ниже лежащих балок необходимо учитывать не только ту нагрузку, которая к ним приложена, но и силы, равные по величине опорным реакциям выше стоящих балок и противоположно направленные (рис.7б).

Построив эпюры внутренних силовых факторов, нужно выполнить статическую проверку для всей многопролетной балки, т. е. сумма заданных реакций опор на вертикальную ось (ось ) должна быть равна нулю.

Построение линий влияния в балке на двух опорах

Линией влияния называется график, изображающий закон изменения реакции опоры или какого-либо внутреннего силового фактора в заданном сечении сооружения в зависимости от положения движущегося единичного груза постоянного направления.

Для построения линии влияния используются уравнения статики, которые позволяют получить аналитическое выражение зависимости искомой величины от текущей координаты единичного груза. Положительные ординаты линий влияния откладываются вверх, а отрицательные — вниз.

Линии влияния реакций опор

Для построения линии влияния опорных реакции рассмотрим балку на двух опорах со свисающими консолями (рис. 8). Установим единичный груз

в произвольное сечение на расстоянии от опоры и составим два уравнения статики:

Полученные выражения реакции и является уравнениями прямой линии, которые можно построить, определив ординаты в двух точках: при при .

Для построения линии влияния отложим на левой опоре величину, равную единице, соединим с нулем на опоре и продлим влево и вправо на величину консольных вылетов (рис.8б). Для построения линии влияния отложим на опоре величину, равную единице, соединим с нулем на опоре и продлим влево и вправо на величину консольных вылетов (рис.8в). Ординаты линий влияния на концах балки определим из подобия соответствующих треугольников.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Техническая механика готовые задачи

Линии влияния изгибающих моментов и поперечных сил

Сечение располагается внутри пролета двух опорной балки со свисающими консолями.

Для построения линии влияния изгибающего момента в сечении , расположенном на расстоянии от левой опоры, надо получить выражение изгибающего момента в зависимости от расположения груза справа или слева от сечения (рис.9а и рис.96).

При движении груза справа от сечения (рис. 9а). Выражение изгибающего момента слева от сечения с учетом правила знаков

Из уравнения видно, что линия влияния (правая ветвь от сечения ) строится как линия влияния реакции с умножением всех ординат на .

При движении груза слева от сечения (рис. 96). Выражение изгибающего момента справа от сечения с учетом правила знаков

Левая ветвь от сечения линии влияния строится как линия влияния реакции с умножением всех ординат на .

При построении линии влияния отложим на левой опоре величину , соединим с нулем на опоре и продлим вправо на величину консольного вылета. Действительная часть этой линии влияния справа от сечения там, где движется груз. Затем отложим на правой опоре величину , соединим с нулем на опоре и продлим влево на величину консольного вылета. Действительная часть этой линии влияния слева от сечения к там, где движется груз (рис. 9в).

Левая и правая ветви линии влияния изгибающего момента пересекаются под сечением . Ордината под сечением будет равна (рис. 9в). Ординаты линий влияния на концах балки определим из подобия соответствующих треугольников.

Для построения линии влияния поперечной силы в сечении , расположенном на расстоянии от левой опоры, надо получить выражение поперечной силы в зависимости от расположения груза справа или слева от сечения (рис.9д и рис.96).

При движении груза справа от сечения (рис. 9а). Выражение поперечной силы слева от сечения с учетом правила знаков

т.е. правая ветвь от сечения линии влияния строится такая же, как линия влияния реакции .

При движении груза слева от сечения (рис. 9б). Выражение поперечной силы справа от сечения с учетом правила знаков

т.е. левая ветвь от сечения линии влияния строится такая же, как линия влияния реакции , ординаты которой берутся с отрицательным знаком.

При построении линии влияния отложим на левой опоре величину, равную единице, соединим с нулем на опоре и продлим вправо на величину консольного вылета. Действительная часть этой линии влияния справа от сечения там, где движется груз. Затем отложим на правой опоре величину, равную единице, соединим с нулем на опоре и продлим влево на величину консольного вылета. Действительная часть этой линии влияния слева от сечения там, где движется груз (рис. 9г).

Линия влияния поперечной силы в сечении имеет скачек на величину, равную единице (рис. 9г).

Сечение располагается в консольной части.

Для построения линий влияния изгибающего момента и поперечной силы в сечении , расположенном на расстоянии от правого конца защемленной балки, рассмотрим два положения груза справа или слева от сечения (рис.9г)).

При движении груза справа от сечения

Строим правые ветви линий влияния и (рис.9е, ж).

При движении груза слева от сечения (на рис.9г) он показан пунктирной линией):

Рассматривая правую от сечения часть балки, получаем

Заметим, что для правой консоли двух опорной балки линии влияния изгибающего момента и поперечной силы строятся таким же образом.

Для построения линий влияния изгибающего момента и поперечной силы в сечении , расположенном на расстоянии от левого конца защемленной балки, рассмотрим два положения груза справа или слева от сечения (рис.9з). При движении груза слева от сечения

Строим левые ветви линий влияния и (рис.9и, к).

При движении груза справа от сечения (на рис.9з он показан пунктирной линией):

Рассматривая левую от сечения часть балки, получаем

Заметим, что для левой консоли двух опорной балки линии влияния изгибающего момента и поперечной силы строятся таким же образом.

На рис.10 показаны линии влияния изгибающих моментов и поперечных сил для различных сечений двух опорной балки с консолями, которые широко используются для построения линий влияния в многопролетной балке. Сечения 2 и 3 расположены слева и справа от опоры , сечения 5 и 6 расположены слева и справа от опоры . Значения ординат линий влияния не проставленные на этом рисунке легко вычисляются из подобия соответствующих треугольников.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по технической механике

Построение линий влияния в многопролетной балке

Рассмотрим построение линий влияния в многопролетной балке на конкретном примере (рис.11 а).

Линия влияния реакций опор, изгибающих моментов и поперечных сил в каком-либо сечении в многопролетной статически определимой балке удобнее строить с использованием ее поэтажной схемы, которая дает наглядное представление о взаимодействии пролетов (рис.11б).

Подвесные балки (балка-вставка) и относительно основных двух балок и являются передаточными и испытывают нагрузку только тогда, когда она действует непосредственно на эти балки.

При движении единичного груза по подвесной балке , возникающая опорная реакция будет оказывать давление на балку , изменяя в частности, опорные реакции и . Как только единичный груз достигнет опоры , опорная реакция , а опорная реакция , а, следовательно, давление на балку будет отсутствовать .

При движении единичного груза по основной балке последняя никакого давления на подвесные балки и не оказывает.

Используя подобные рассуждения, можно сформулировать основные принципы построения линий влияния в многопролетной балке:

  1. Для многопролетной балки строим поэтажную схему.
  2. Для элементарной балки, в которой задано сечение, строим линии влияния, используя рис.10.
  3. Линии влияния достраиваются только на вышерасположснные балки по следующим правилам:
  • под соединительными шарнирами линии влияния всегда имеют перелом;
  • под следующей опорой вышерасположенных балок все линии влияния имеют нулевые ординаты;
  • в пределах каждой вышерасположенной балки линии влияния прямолинейны.
  • ординаты линии влияния на опорах второстепенных балок (шарнирах) определяются из отношений сходственных сторон подобных треугольников.

Для балки, изображенной на рис.11, построим линии влияния опорной реакции и линии влияния изгибающих моментов и поперечных сил в сечениях 1 и 2.

Линия влияния опорной реакции RE

Опора принадлежит балке — это двух опорная балка со свисающими консолями. В соответствии с рис.8в отложим единицу под опорой , соединим с нулем на опоре и продлим влево и вправо на величину консольных вылетов. Ординаты линии влияния в сечениях и балки определим из отношений сторон подобных треугольников. Достраиваем линию влияния на вышерасположенные балки и . Соединяем ординату линии влияния в сечении с нулем в шарнире , а ординату линии влияния в сечении с нулем на опоре и продлеваем вправо на величину консольного вылета . Ординату линии влияния в сечении определим из отношений сторон подобных треугольников.

Линия влияния изгибающих моментов и поперечных сил в сечении 1

Сечение 1 принадлежит консольной балке . Линии влияния изгибающего момента и поперечной силы строятся для этой балки, как для правой консоли двух опорной балки (см. линии влияния и нa рис.10). Достраиваем линии влияния и на вышерасположенную балку . Соединяем ординаты линий влияния и в сечении с нулем в шарнире .

Линия влияния изгибающих моментов и поперечных сил в сечении 2

Сечение 2 принадлежит балке — это двух опорная балка со свисающими консолями. Линию влияния строим в соответствии с рис.10 (линия влияния ). Отложим двойку под опорой , соединим с нулем на опоре и продлим влево на величину консольного вылета, получим правую ветвь линии влияния . Отложим двойку под опорой , соединим с нулем на опоре и продлим вправо на величину консольного вылета, получим левую ветвь линии влияния . Ординаты линии влияния в сечениях и балки определим из отношений сторон подобных треугольников. Достраиваем линию влияния на вышерасположенные балки и . Соединяем ординату линии влияния в сечении с нулем в шарнире , а ординату линии влияния в сечении с нулем на опоре и продлеваем вправо на величину консольного вылета . Ординату линии влияния в сечении определим из отношений сторон подобных треугольников.

Линию влияния строим в соответствии с рис.10(линии влияния ). Отложим единицу под опорой , соединим с нулем на опоре и продлим влево на величину консольного вылета, получим правую ветвь линии влияния . Отложим единицу под опорой , соединим с нулем на опоре и продлим вправо на величину консольного вылета, получим левую ветвь линии влияния . Ординаты линии влияния в сечениях и балки определим из отношений сторон подобных треугольников. Достраиваем линию влияния на вышерасположенные балки и . Соединяем ординату линии влияния в сечении с нулем в шарнире , а ординату линии влияния в сечении с нулем на опоре и продлеваем вправо на величину консольного вылета . Ординату линии влияния в сечении определим из отношений сторон подобных треугольников.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения задач технической механике

Определение внутренних силовых факторов и реакций опор по линиям влияния

Чтобы определить значение реакции опоры, изгибающего момента или поперечной силы в каком-либо сечении балки, необходимо построить соответствующую линию влияния реакции или внутреннего силового фактора для этого сечения.

Значение реакции опоры, изгибающего момента или поперечной силы в заданном сечении по соответствующей линии влияния определяется по формуле

где

— искомая величина (опорная реакция, изгибающий момент или поперечная сила в заданном сечении);

— внешняя сосредоточенная сила, положительна, если направлена вниз;

— интенсивность распределенной нагрузки, положительна, если направлена вниз;

— внешний сосредоточенный момент, положительный, если направлен по ходу часовой стрелки;

— ордината линии влияния в сечении балки под соответствующей силой, берется со своим знаком;

— площадь участка линии влияния, расположенного в пределах распределенной нагрузки, знак которой определяется знаком соответствующей линии влияния;

— тангенс угла наклона линии влияния под сосредоточенным моментом, положительный для восходящей ветви линии влияния.

Согласно приведенной формуле, при вычислении значения реакции опоры, изгибающего момента или поперечной силы в заданном сечении необходимо просуммировать произведения всех действующих на балку сил, моментов и распределенных нагрузок, на соответствующие параметры линии влияния.

Пример оформления заказа №1.

К оглавлению…

Для заданной схемы балки (рис.12) требуется:

  1. Выполнить кинематический анализ системы.
  2. Построить поэтажную схему.
  3. Построить эпюры изгибающих моментов() и поперечных сил ().
  4. Построить линии влияния поперечной силы () и изгибающего момента() для сечений 1 и опоре .
  5. Определить по линиям влияния значения поперечной силы (), изгибающего момента() для заданного сечения и опорной реакции.

Решение:

1. Кинематический анализ В заданной схеме балки (рис. 12а): (число замкнутых контуров), (число одиночных шарниров). Степень статической определимости (неопределимости) определяется по формуле , следовательно, балка статически определимая.

Построение поэтажной схемы

Основной или главной является балка , т. к. имеет три кинематические связи. На балке надстраивается подвесная балка , на которой, в свою очередь, — подвесная балка (рис. 126) .

Построение эпюр внутренних силовых факторов

Согласно поэтажной схеме многопролетной балки, построение эпюр выполняется с балки от заданной нагрузки (рис. 13). Определение опорных реакций.

Проверка:

Для построения эпюры определяем значения изгибающих моментов на границах участков, рассматривая левую или правую часть балки с учетом правила знаков.

Участок

Участок

Строим эпюру изгибающих моментов, на участке это наклонная прямая, а на участке — парабола, выпуклая вниз.

Значения поперечной силы определяем по формуле

где — балочная функция; — значения изгибающих моментов на левой и правой границах участка; — длина участка; — интенсивность распределённой нагрузки.

Участок

Участок

Используя полученные значения, строим эпюру поперечной силы (рис.13). Поскольку поперечная сила меняет знак в пределах участка, определяем координату, при которой она обращается в нуль: ; отсюда — значение, измеряемое от левой границы участка .

Вычисляем значение изгибающего момента в этой точке (расстояние от правой границы, очевидно, равно 3-0,4=2,6 м), рассматривая правую часть балки :

Балка , кроме заданной нагрузки, нагружается силой, равной реакции в опоре балки и противоположно направленной (рис.14) Определение опорных реакций.

Проверка

Значения изгибающих моментов.

Участок

Участок

Строим эпюру изгибающих моментов (рис.14).

Значения поперечной силы.

Участок

Участок

Используя полученные значения, строим эпюру поперечной силы (рис.14). Балка , кроме заданной нагрузки, нагружается силой, равной реакции в опоре балки и противоположно направленной (рис.15). Определение опорных реакций.

Проверка

Значения изгибающих моментов

Участок

Участок

Строим эпюру изгибающих моментов, на участке это парабола, выпуклая вниз, а на участке — наклонная прямая (рис.15). Значения поперечной силы.

Участок

Участок

Используя полученные значения, строим эпюру поперечной силы (рис.15). Поскольку поперечная сила меняет знак в пределах участка, определяем координату, при которой она обращается в нуль: ; отсюда — значение, измеряемое от левой границы участка .

Вычисляем значение изгибающего момента в этой точке, рассматривая левую часть балки:

Построенные эпюры для трех балок в отдельности объединяются в эпюры внутренних силовых факторов для всей многопролетной балки (рис.16«, г).

Возможно эта страница вам будет полезна:

Курсовая работа по технической механике

Статическая проверка

Для многопролетной балки в целом алгебраическая сумма проекций на вертикальную ось всех действующих сил и реакций опор должна быть равна нулю (рис. 16а), т. е.

Построение линий влияния

Линии влияния реакций и внутренних силовых факторов для заданной опоры и сечения строятся на той балке, на которой находится опора или сечение с использованием рис.8 и рис.10, а затем достраиваются на все второстепенные балки (рис.16).

Определение реакций опор и внутренних силовых факторов по линиям влияния

Выполняется по формуле

Согласно принятому правилу знаков, у сосредоточенного момента знак будет отрицательный(), а у сосредоточенной силы и распределенной нагрузки — положительный. Введем обозначения -интенсивность нагрузки на участке — интенсивность нагрузки на участке .

Определяем опорную реакцию , используя линию влияния (рис.16д))

(площадь треугольника); (отношение катетов треугольника).

Совпадает с найденным выше значением.

Определяем изгибающий момент в сечении 1, используя линию влияния (рис. 1 бе)

(площадь треугольника); (отношение катетов треугольника).

Совпадает со значением изгибающего момент в сечении 1.

Определяем поперечную силу в сечении 1, используя линию влияния (рис.16 ж)

(площадь треугольника); (площадь треугольника); (отношение катетов треугольника).

Совпадает со значением поперечной силы в сечении 1.

Определение перемещений в балках и рамах

Любое сооружение под действием внешних факторов деформируется, изменяя свою первоначальную форму и принимает форму равновесия, при котором влияние внешних воздействий уравновешивается внутренними силами сопротивления. При этом перемещение произвольной точки по заданному направлению от нагрузки может быть вычислено по универсальной формуле Мора, которая для балок и рам имеет вид:

Вычисление интеграла Мора удобно производить по правилу Верещагина или правилу «перемножения» эпюр. Определение перемещений с помощь этого правила производится в следующем порядке:

  1. Строится эпюра изгибающих моментов от действия заданной нагрузки -эпюра (грузовая эпюра);
  2. Выбирается вспомогательное единичное состояние системы. Для этого к балке или раме, освобожденной от заданной нагрузки, по направлению искомого перемещения прикладывается единичная сила: при определении линейного перемещения — сосредоточенная сила, при определении угла поворота — сосредоточенный момент;
  3. Строится эпюра изгибающих моментов от действия этой единичной силы -эпюра ;
  4. Ось балки (рамы) разбивается на участки таким образом, чтобы в пределах участка эпюры и не имели бы особенностей (переломов и скачков);
  5. На каждом участке балки (рамы) для вычисления интеграла Мора по правилу Верещагина или правилу «перемножения» эпюр необходимо площадь одной эпюры (если есть криволинейная эпюра, то обязательно ее площадь) умножить на ординату другой эпюры, расположенную под центром тяжести первой, т.е.

где — площадь эпюры — ордината в линейной эпюре , под центром тяжести эпюры (рис.17); — жесткость поперечного сечения балки (рамы).

Результат «перемножения» эпюр является положительным, если эпюры и одного знака и — отрицательным, если эпюры и разных знаков.

Если положительно, то перемещение совпадает с направлением единичной силы, а если отрицательно — то противоположно этому направлению.

На первый взгляд, описанный графоаналитический способ вычисления интегралов Мора не даёт упрощений, т.к. всё равно приходится вычислять площадь криволинейных эпюр. Однако встречающиеся на практике эпюры могут быть разбиты на ряд простых Рис.17. Правило Верещагина фигур (прямоугольник, треугольник, симметричную квадратичную параболу), у которых известны площадь и положение центра тяжести. Примеры разбиения эпюр приведены на рис. 18.

На рис.19 приведены сведения о координатах центра тяжести и площадях простейших эпюр — прямоугольник, треугольники и симметричная квадратичная парабола.

Пример оформления заказа №2.

К оглавлению…

Определить прогиб (вертикальное перемещение) и угол поворота в сечения в статически определимой балке (рис.20).

Решение:

Значения изгибающих моментов.

Строим эпюру от заданной нагрузки -это парабола, выпуклая вниз (рис.20б).

Выбираем единичное состояние — освободив балку от заданной нагрузки, прикладываем в точке сосредоточенную силу , направленную вертикально вниз. Строим эпюру от единичного воздействия (рис.20в).

Эпюру от заданной нагрузки разбиваем на три простейшие () — два треугольника и симметричную параболу (рис.21).

Площади этих эпюр:

Ординаты в эпюре , под центрами тяжести соответственно равны

Прогиб в сечении равен

Положительное значение прогиба показывает, что точка перемещается вниз в направлении единичной силы.

Для определения угла поворота выбираем единичное состояние — освободив балку от заданной нагрузки, прикладываем в точке сосредоточенный момент , направленный по ходу часовой стрелки. Строим эпюру от единичного воздействия (рис.20г). Поскольку ординаты эпюры от единичного момента везде равны единице, а площади простейших грузовых эпюр найдены выше, определяем угол поворота в сечении

Положительное значение угла поворота показывает, что сечение поворачивается по ходу часовой стрелки по направлению единичного момента.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Контрольная работа по технической механике

Пример оформления заказа №3.

К оглавлению…

Определение перемещений в статически определимой балке.

Для заданной схемы балки (рис.22) требуется:

  1. Выполнить кинематический анализ системы.
  2. Построить поэтажную схему.
  3. Построить эпюры изгибающих моментов () и поперечных сил ().
  4. Определить перемещение (прогиб) в сечении 1 и угол поворота в сечении 2 с помощью интеграла Мора с использованием правила Верещагина.
    Исходные данные:

Решение:

Кинематический анализ

В заданной схеме балки (рис.22): (число замкнутых контуров), (число одиночных шарниров). Степень статической определимости (неопределимости) определяется по формуле и, следовательно, балка статически определимая.

Построение поэтажной схемы

Основной или главной является балка , т. к. имеет три кинематические связи. На балке надстраивается подвесная балка (рис. 23Ь).

Построение эпюр внутренних силовых факторов

Согласно поэтажной схеме многопролетной балки, построение эпюр выполняется с балки от заданной нагрузки (рис. 24).
Определение опорных реакций.

Проверка

Для построения эпюры определяем значения изгибающих моментов на границе участка, рассматривая левую часть балки и известное правило знаков.

Участок

Строим эпюру изгибающих моментов — это наклонная прямая (рис.24) Переходим к определению поперечной силы.

Участок

Используя полученные значения, строим эпюру поперечной силы (рис.24). Балка , кроме заданной нагрузки, нагружается силой, равной реакции в опоре балки и противоположно направленной (рис.25). Определение опорных реакций.

Проверка

Значения изгибающих моментов.

Участок

Участок

Участок

Различные значения изгибающего момента, полученного в сечении , объясняются ошибкой округления при определении опорных реакций и . Точное значение .

Строим эпюру изгибающих моментов, на участке это парабола, выпуклая вниз, а на участках и — наклонные прямые (рис.25). Значения поперечной силы.

Участок

Участок

Участок

Используя полученные значения, строим эпюру поперечной силы (рис.25). Поскольку поперечная сила меняет знак в пределах участка , определяем координату, при которой она обращается в нуль: ; отсюда — значение, измеряемое от левой границы участка .

Вычисляем значение изгибающего момента в этой точке, рассматривая левую часть балки:

Построенные эпюры для трех балок в отдельности объединяются в эпюры внутренних силовых факторов для всей многопролетной балки (рис.26).

Определение прогиба и угла поворота с помощью интеграла Мора с использованием правила Верещагина

Для определения прогиба балки в сечении 1, выбираем единичное состояние — освободив балку от заданной нагрузки, прикладываем в сечении 1 сосредоточенную силу , направленную вертикально вниз (рис.26г).

Определение опорных реакций. Промежуточный шарнир позволяет составить дополнительное уравнение -сумма моментов всех сил, расположенных слева (справа) от шарнира равна нулю:

Остальные уравнения статики составляются для всей балки:

Проверка

Значения изгибающих моментов.

Участок

Участок

Строим эпюру от единичного воздействия (рис.26д). Прогиб балки в сечении 1 вычислим с помощью интеграла Мора

Эпюру от заданной нагрузки на участке разбиваем на две простейшие эпюры — треугольник и симметричную параболу (рис.27).

Площади этих эпюр:

Ординаты в эпюре под центрами тяжести соответственно равны

поэтому

Эпюру на участке разбиваем на два треугольника (рис.28).

Площади этих эпюр:

Ординаты в эпюре под центрами тяжести соответственно равны

поэтому

Таким образом, прогиб в сечении 1 будет равен

Положительное значение прогиба показывает, что балка в сечении 1 перемещается вниз в направлении единичной силы.

Определение угла поворота в сечение 2 Сечение 2 совпадает с шарниром, поэтому будем определять взаимный угол поворота примыкающих к шарниру сечений. Выбираем единичное состояние — освободив балку от заданной нагрузки, прикладываем в сечение 2(сечение ) единичные сосредоточенные моменты () слева и справа от шарнира, как показано на рис.26е . Определение опорных реакций.

Используя промежуточный шарнир, составляем дополнительное уравнение:

Остальные уравнения статики составляются для всей балки:

Проверка

Значения изгибающих моментов.

Участок

Участок

Участок

Строим эпюру от единичного воздействия (рис.26.ж).

Взаимный угол поворота в сечении 2 вычислим с помощью интеграла Мора

Эпюру на участке разбиваем на — треугольник и параболу (рис.29).

Площади этих эпюр:

Ординаты в эпюре под центрами тяжести соответственно равны

поэтому

Эпюру от заданной нагрузки на участке разбиваем на два треугольника, эпюру от единичного момента также на два треугольника (рис.30).

Площади этих эпюр

Ординаты в эпюре под центрами тяжести соответственно равны

поэтому

На участке эпюру от единичного момента разбиваем на два треугольника (рис.31).

Площадь эпюры:

Ординаты в эпюре под центром тяжести соответственно равны:

поэтому

На участке (рис.25) площадь эпюры:

Ордината в эпюре под центром тяжести равна:

поэтому

Взаимный угол поворота в сечении 2

Положительное значение угла поворота показывает, что сечения слева и справа от шарнира поворачиваются по направлению единичных моментов.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Помощь по технической механике

Пример оформления заказа №4.

К оглавлению…

Определение перемещений в статически определимой раме.

Для заданной схемы статически определимой рамы (рис.32) требуется:

  1. Выполнить кинематический анализ системы.
  2. Построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил.

3.Определить горизонтальное перемещение в сечении 1 и угол поворота в сечении 2 с помощью интеграла Мора с использованием правила Верещагина.

Исходные данные:

Отношение моментов инерции

Решение:

1. Кинематический анализ

В заданной схеме рамы (рис.32): (число замкнутых контуров), (число одиночных шарниров). Степень статической определимости (неопределимости) определяется по формуле и, следовательно, рама статически определимая.

Построение эпюр внутренних силовых факторов

Определение опорных реакций. Составляем три уравнения статики (рис.33а):

Проверка

Значения изгибающих моментов.

Участок

Участок

Поскольку участки и вертикальные разворачиваем раму на 90″ по ходу часовой стрелки.

Участок

Участок

Строим эпюру изгибающих моментов, на участке это парабола, выпуклая влево, а на остальных участках- наклонные прямые( рис.33 б).

Проверим равновесие узлов. Узлом в раме называется точка соединения вертикальных и горизонтальных участков. В нашем примере это узел и узел (рис. 33а).

Положительные направления внутренних силовых факторов для узла в виде креста показаны на рис.34.

Вырежем узел и проверим его равновесие. При подходе к узлу справа изгибающий момент , а при подходе к узлу снизу (рис.ЗЗb). С учетом правила знаков (рис.34), показываем истинные направления внутренних моментов приложенных в окрестности узла (рис.35а). Очевидно, что сумма моментов относительно точки будет равна нулю, т.е. условие равновесия узла по моментам выполняется.

Вырежем узел и проверим его равновесие. При подходе к узлу сверху изгибающий момент , при подходе к узлу снизу , а при подходе к узлу слева (рис.336). С учетом правила знаков (рис.34), показываем истинные направления внутренних моментов приложенных в окрестности узла и не забываем внешний сосредоточенный момент (рис.356). А теперь составляем уравнение статики:

которое показывает, что условие равновесия узла по моментам выполняется.

Переходим к определению значений поперечной силы.

Участок

Участок

Поскольку участки и вертикальные разворачиваем раму на 90° по ходу часовой стрелки.

Участок

Участок

Используя полученные значения, строим эпюру поперечной силы (рис.36а). Переходим к определению продольных сил в раме. Значения продольных сил на участках определим из условий равновесия узлов и , начиная с узла к которому подходят два стержня.

Вырезаем узел . При подходе к узлу справа поперечная сила , а при подходе к узлу снизу (рис.З6а).
С учетом правила знаков (рис.34), показываем истинные направления поперечных сил, приложенных в окрестности узла и положительные направления продольных сил (рис.37а).

Составляем два уравнения статики:

Вырезаем узел . При подходе к узлу сверху поперечная сила , при подходе к узлу снизу , а при подходе к узлу слева . С учетом правила знаков (рис.34), показываем истинные направления поперечных сил, приложенных в окрестности узла и положительные направления продольных сил (рис.37б). А теперь составляем два уравнения статики:

Используя полученные значения, строим эпюру продольных сил (рис.366).

Для окончательной проверки срезаем опоры и , их действие заменяем значениями поперечных, продольных сил и изгибающих моментов, используя соответствующие эпюры (рис.33б и рис.36). В окрестности опоры

В окрестности опоры :

С учетом правила знаков (рис.34), показываем истинные направления этих силовых факторов (рис.38).

Для проверки равновесия рамы составляем три у равнения статики:

Эпюры продольных сил, поперечных сил и изгибающих моментов построены правильно.

Определение перемещений с помощью интеграла Мора с использованием правила Верещагина

Для определения горизонтального перемещения рамы в сечении I(сечение ), выбираем единичное состояние — освободив раму от заданной нагрузки, прикладываем в сечении сосредоточенную силу , направленную горизонтально (рис.39а).

Возможно эта страница вам будет полезна:

Яблонский решебник

Определение опорных реакций. Составляем три уравнения статики (рис.39а):

Проверка

Значения изгибающих моментов.

Участок

Участок

Поскольку участки и вертикальные разворачиваем раму на 90″ по ходу часовой стрелки.

Участок

Участок

Строим эпюру от единичного воздействия (рис.39б) и, не забываем проверить равновесие узлов и .

Горизонтальное перемещение рамы в сечении 1 по формуле Мора

На участке (рис.40) площадь эпюры:

Ордината в эпюре под центром тяжести равна:

поэтому

Такой же результат получится и для участка

Эпюру от заданной нагрузки на участке у который развернем по ходу часовой стрелки, разбиваем на два треугольника и симметричную параболу, а эпюру — на два треугольника (рис.41).

Площади этих эпюр:

Ординаты в эпюре под центрами тяжести соответственно равны:

поэтому

т.к.

Таким образом, горизонтального перемещения рамы в сечении 1

Отрицательное значение перемещения в сечении 1 показывает, что рама в сечении 1 перемещается в направлении противоположном направлению единичной силы.

Для определения угла поворота рамы в сечении 2(сечение ) , выбираем единичное состояние — освободив раму от заданной нагрузки, прикладываем в сечении сосредоточенный момент , направленный по ходу часовой стрелки (рис.42а).

Определение опорных реакций. Составляем три уравнения статики:

Проверка

Значения изгибающих моментов.

Участок

Участок

Поскольку участки и вертикальные разворачиваем раму на 90″ по ходу часовой стрелки.

Участок

Участок

Строим эпюру от единичного воздействия (рис.42б). Интеграл Мора

На участке (рис.32б) площадь эпюры:

Ордината в эпюре под центром тяжести равна:

поэтому

Такой же результат получится и для участка

Эпюру от заданной нагрузки на участке , который развернем по ходу часовой стрелки, разбиваем на два треугольника и симметричную параболу, как это было сделано выше (рис.41).

Площади этих эпюр:

Ординаты в эпюре под центрами тяжести равны поэтому

т.к.

На участке (рис.336) площадь эпюры: , а ордината в эпюре под центром тяжести равна ; поэтому

Таким образом, угол поворота рамы в сечении 2(сечение )

Отрицательное значение угла поворота рамы в сечении 2 показывает, что сечение 2 поворачивается против хода часовой стрелки, т.е. в направлении противоположном направлению единичного момента.