Заказать математику — решение на заказ онлайн

Оглавление:

Заказать математику
Здравствуйте! Я Людмила Анатольевна Фирмаль занимаюсь помощью более 17 лет. У меня своя команда грамотных, сильных преподавателей. Мы справимся с любой поставленной перед нами работой технического и гуманитарного плана. И не важно она по объёму на две формулы или огромная сложно структурированная на 125 страниц! Нам по силам всё, поэтому не стесняйтесь присылайте.
Если что-то непонятно, Вы всегда можете написать мне в воцап и я помогу!

Чуть ниже я предоставила теорию для того чтобы вы освежили свои знания и примеры оформления работ по математике, так я буду оформлять ваши работы если закажите у меня.

Элементы теории чисел

К оглавлению…

Целые числа. Делимость и остатки Теоретический материал

К оглавлению…

При решении задач на целые числа необходимо знать следующие факты:

• любое натуральное число единственным образом (с точностью до перестановки сомножителей) может быть представлено в виде произведения простых чисел;

• при делении натурального числа Заказать работу по математике на натуральное число Заказать работу по математике возможны Заказать работу по математике различных остатков: 0,1, 2,…, (Заказать работу по математике — 1).

Полезно также помнить признаки делимости натуральных чисел:

• при делении на 5 и на 10 число даёт такой же остаток, как и последняя его цифра;

• при делении на 4, 25, 50 и на 100 число даёт такой же остаток, как и число, записанное двумя его последними цифрами;

• при делении на 3 и на 9 число даёт такой же остаток, как и сумма его цифр. Поэтому, если сумма цифр делится на 3 или на 9, то и само число делится на 3 или на 9.

Заметим, что при изучении делимости чисел достаточно работать не с самими числами, а с остатками от деления этих чисел. Все арифметические действия с остатками, кроме деления, повторяют действия с числами, а именно: при сложении чисел складываются остатки, при возведении в степень в эту степень возводятся остатки и т.д.

В задачах, где требуется установить, что какое-то выражение, зависящее от натурального числа Заказать работу по математике, делится или не делится при всех Заказать работу по математике на заданное натуральное число, часто используется следующий факт: произведение Заказать работу по математике последовательных натуральных чисел делится на Заказать работу по математике.

Эта ссылка возможно вам будет полезна:

Предмет математика полный курс лекций

Пример оформления заказа №1.

Остатки от деления на 3 чисел тип равны 1 и 2 соответственно. Каковы остатки от деления на 3:

а) суммы Заказать работу по математике;

б) произведения Заказать работу по математике?

Решение:

Так как Заказать работу по математике то

Заказать работу по математике

Следовательно, Заказать работу по математике делится на 3 нацело. Рассмотрим теперь произведение

Заказать работу по математике

то есть при делении на 3 произведения топ остаток равен 2. Ответ, а) 0, б) 2.

Пример оформления заказа №2.

Доказать, что для всех натуральных Заказать работу по математике выражение Заказать работу по математике делится на 6.

Решение:

Так как Заказать работу по математике — есть произведение трёх последовательных чисел, которое всегда делится и на 2, и на 3, то Заказать работу по математике делится на 6.

Пример оформления заказа №3.

Дано число Заказать работу по математике. Найти

а) последнюю цифру этого числа,

б) остаток от деления на 7.

Решение:

а) Представим исходное число в виде

Заказать работу по математике

Поскольку 16 в любой натуральной степени оканчивается на б, а 6 • 8 = 48, последняя цифра числа Заказать работу по математике равна 8.

б) Рассмотрим остатки степеней двойки от деления на 7:

Заказать работу по математике при делении на 7 даёт остаток 2,

Заказать работу по математике при делении на 7 даёт остаток 4,

Заказать работу по математике при делении на 7 даёт остаток 1.

Эти остатки повторяются с периодом Заказать работу по математике = 3. Так как 1995 = 3 • 665, то Заказать работу по математике при делении на 7 даёт остаток 1.

Ответ, а) 8, б) 1.

Уравнения в целых числах

К оглавлению…

Теоретический материал и примеры решения задач Приведём основные приёмы решения уравнений в целых числах.

• Разложение на множители с последующим перебором возможных вариантов.

Пример оформления заказа №4.

Решить в натуральных числах уравнение Заказать работу по математике

Решение:

Заказать работу по математике
Заказать работу по математике

Следовательно, оба множителя равны единице и Заказать работу по математике

Ответ. (2;2).

Пример оформления заказа №5.

Решить в целых числах уравнение Заказать работу по математике.

Решение:

Если Заказать работу по математике то Заказать работу по математике и Заказать работу по математике. При Заказать работу по математике также Заказать работу по математике.

Пусть Заказать работу по математике тогда Заказать работу по математике следовательно, Заказать работу по математике Заказать работу по математике и Заказать работу по математике. Откуда

Заказать работу по математике

Возможные варианты:

Заказать работу по математике

Ответ: (3;3), (3;-3).

• Использование делимости целых чисел.

Пример оформления заказа №6.

Доказать, что уравнение Заказать работу по математике не имеет решений в целых числах.

Решение:

Перепишем уравнение в виде

Заказать работу по математике

Так как правая часть уравнения является чётным числом, то и левая часть также должна быть чётным числом. Если Заказать работу по математике чётно, то Заказать работу по математике тоже чётно, и наоборот. Следовательно, левая часть уравнения делится на 4, но правая часть на 4 не делится. Значит уравнение не имеет решений.

• Использование оценок с последующим перебором возможных значений.

Эта ссылка возможно вам будет полезна:

Решение задач по математике

Пример оформления заказа №7.

Решить в натуральных числах уравнение Заказать работу по математике.

Решение:

Вынесем Заказать работу по математике за скобки:

Заказать работу по математике

Выражение в скобках не равно нулю, так как иначе Заказать работу по математике, что неверно при Заказать работу по математике. Следовательно,

Заказать работу по математике

Так как Заказать работу по математике то Заказать работу по математике, то есть

Заказать работу по математике

Откуда видно, что Заказать работу по математике не может быть больше 1, а при Заказать работу по математике = 1 получаем

Заказать работу по математике

Следовательно, Заказать работу по математике либо Заказать работу по математике.

Ответ. (1; 1; 2), (2;1;1).

• Рассмотрение остатков.

Пример оформления заказа №8.

Решить в целых числах уравнение Заказать работу по математике

Решение:

Выразив Заказать работу по математике через Заказать работу по математике, получим Заказать работу по математике. Представим Заказать работу по математике в виде

Заказать работу по математике

Тогда Заказать работу по математике Для того, чтобы у было целым надо, чтобы Заказать работу по математике делилось на 7. В результате перебора всех значений Заказать работу по математике оказывается, что подходит только Заказать работу по математике. Следовательно, Заказать работу по математике Заказать работу по математике

Ответ. Заказать работу по математике

Смешанные задачи на целые числа

К оглавлению…

При решении смешанных задач пригодятся методы и приёмы решения задач на целые числа, приведённые в предыдущих разделах, а именно: разложение на множители с последующим перебором возможных вариантов, использование делимости целых чисел, рассмотрение остатков, использование оценок с последующим перебором возможных значений.

Также в этот раздел включены задачи, связанные с исследованием сократимости дробей вида Заказать работу по математике Существует несколько способов решения таких задач.

• Предполагается сократимость дроби на натуральное Заказать работу по математике. Этот факт переписывается в виде двух равенств для числителя и знаменателя. Затем исключается исходная переменная Заказать работу по математике и получается равенство для Заказать работу по математике, из которого находятся возможные значения Заказать работу по математике.

• Заданная дробь Заказать работу по математике представляется в виде

Заказать работу по математике

где выражения Заказать работу по математике принимают целочисленные значения. Поскольку натуральное число к является общим делителем выражений Заказать работу по математике и Заказать работу по математике тогда и только тогда, когда оно является общим делителем выражений Заказать работу по математике и Заказать работу по математике, вопрос о сократимости исходной дроби сводится к исследованию сократимости дроби Заказать работу по математике. В случаях, когда указанное представление исходной дроби является выделением целой части или когда Заказать работу по математике не зависит от Заказать работу по математике (то есть является целым числом), исследование сократимости новой дроби Заказать работу по математике является, как правило, менее трудоёмким, чем исследование сократимости исходной дроби Заказать работу по математике.

Напомним также, что если числа Заказать работу по математике и Заказать работу по математике представлены в виде произведения простых множителей

то наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общие кратное (НОК) этих чисел вычисляются следующим образом:

Заказать работу по математике

Замечание.

Заказать работу по математике

Пример оформления заказа №9.

При каких Заказать работу по математике выражение Заказать работу по математике является целым числом:

Решение:

Так как Заказать работу по математике то исходное число будет целым только, если целым будет число Заказать работу по математике что возможно при Заказать работу по математике

Ответ, Заказать работу по математике

Пример оформления заказа №10.

Доказать, что дробь Заказать работу по математике несократима ни при каком Заказать работу по математике.

Решение:

Преобразуем исходную дробь

Заказать работу по математике

Если сократима дробь Заказать работу по математике то сократима дробьЗаказать работу по математике Если сократима дробь Заказать работу по математике, то сократима дробь Заказать работу по математике и сократима дробь Заказать работу по математике, что неверно. Следовательно, исходная дробь несократима.

Пример оформления заказа №11.

При каких натуральных Заказать работу по математике число Заказать работу по математике простое?

Решение:

Так как

Заказать работу по математике

то Заказать работу по математике — простое число, только если Заказать работу по математике или Заказать работу по математике. Первое уравнение решений в натуральных числах не имеет. Решением второго уравнения является Заказать работу по математике, в этом случае выражение Заказать работу по математике равно 5, то есть является простым числом.

Ответ. Заказать работу по математике.

Пример оформления заказа №12.

Является ли полным квадратом число Заказать работу по математике?

Решение:

Так как

Заказать работу по математике

то

Заказать работу по математике

Так как Заказать работу по математике делится нацело на 3, то исходное число является полным квадратом.

Ответ. Да.

Рациональные и иррациональные числа

К оглавлению…

Рациональным числом называется действительное число, представимое в виде несократимой дроби Заказать работу по математике, где Заказать работу по математике — целое число, Заказать работу по математике — натуральное число.

Иррациональным числом называется действительное число, непредставимое в виде несократимой дроби Заказать работу по математике.

Замечание 1. Любое рациональное число можно представить в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби, а любое иррациональное число — в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Замечание 2. Сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел всегда является рациональным числом. Сумма, разность, произведение и частное двух иррациональных чисел может оказаться как рациональным, так и иррациональным числом.

Доказательство иррациональности числа, как правило, проводится от противного. Предполагается, что заданное число можно представить в виде несократимой дроби, после чего полученное равенство с помощью алгебраических преобразований приводится к уравнению в целых числах, не имеющему решений.

Утверждение 1. Если числа Заказать работу по математике а Заказать работу по математике, то Заказать работу по математике — иррационально.

Доказательство. Предположим противное. Пусть Заказать работу по математике — несократимая дробь, тогда Заказать работу по математике. Пусть Заказать работу по математике — делитель числа Заказать работу по математике и Заказать работу по математике — простое число. Так как Заказать работу по математике делится на Заказать работу по математике, то Заказать работу по математике делится на Заказать работу по математике. Следовательно, дробь Заказать работу по математике сократима на Заказать работу по математике, а это противоречит нашему предположению. Значит, Заказать работу по математике — иррационально.

Утверждение 2. Если Заказать работу по математике взаимно простые числа и Заказать работу по математике то Заказать работу по математике -число иррациональное.

Доказательство. Предположим противное. Пусть Заказать работу по математике — несократимая дробь, тогда Заказать работу по математике, что невозможно, так как у Заказать работу по математике и Заказать работу по математике нет общих делителей.

Пример оформления заказа №13.

Доказать иррациональность числа Заказать работу по математике

Решение:

Пусть Заказать работу по математике. Тогда Заказать работу по математике и, следовательно, Заказать работу по математике. Но Заказать работу по математике иррационально согласно утверждению 1. Значит наше предположение о том, что Заказать работу по математике — неверно.

Пример оформления заказа №14.

Доказать, что число Заказать работу по математике иррационально.

Решение:

Из формулы синуса тройного угла получим

Заказать работу по математике

Предположим, что Заказать математику — рациональное число, то есть Заказать работу по математике где Заказать работу по математике — несократимая дробь. Тогда

Заказать работу по математике

Из последнего равенства следует, что Заказать работу по математике — чётное, то есть Заказать работу по математике. Тогда

Заказать работу по математике

Следовательно, Заказать работу по математике, а так как дробь Заказать математику несократима, то Заказать работу по математике. Поскольку полученное в этом случае уравнение для Заказать работу по математике

Заказать работу по математике

решений в целых числах не имеет, число Заказать работу по математике нельзя представить в виде несократимой дроби Заказать работу по математике и, значит, оно является иррациональным.

Пример оформления заказа №15.

Доказать, что число 0,1010010001… является иррациональным.

Решение:

Пусть оно рациональное. Тогда в его десятичной записи есть период из Заказать работу по математике цифр. Но в записи числа сколь угодно далеко от начала встречаются Заказать работу по математике нулей подряд. Следовательно, в периоде содержатся одни нули, а это противоречит условию.

Сравнение чисел

К оглавлению…

При решении задач этого раздела будут полезными следующие приёмы.

• В случае сравнения однотипных числовых выражений следует алгебраическими преобразованиями привести исходную задачу к сравнению двух целых чисел.

• При сравнении разнотипных числовых выражений Заказать работу по математике и Заказать работу по математике подбирают такое число Заказать работу по математике, которое сравнимо и Заказать работу по математике и Заказать работу по математике. Например, для обоснования неравенства Заказать работу по математике находят число с такое, что Заказать работу по математике и Заказать работу по математике.

• Иногда бывает удобно ввести некоторую вспомогательную функцию Заказать работу по математике и заменить исходную задачу сравнения на сравнение значений функции Заказать математику при заданных значениях аргумента.

Также могут оказаться полезными следующие неравенства:

Заказать работу по математике где Заказать работу по математике (оценка суммы двух взаимно обратных величин), равенство достигается при Заказать работу по математике;

Заказать работу по математике, где Заказать работу по математике равенство достигается при Заказать работу по математике (среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического);

Заказать работу по математике при Заказать работу по математике

Заказать работу по математике где Заказать работу по математике и Заказать работу по математике (неравенство Бернулли).

При сравнении логарифмов может быть полезным следующее утверждение. Утверждение 1. Заказать работу по математике при Заказать работу по математике убывает с ростомЗаказать работу по математике. Доказательство. Представим Заказать работу по математике в виде
logn (n + 1) = log,

Заказать работу по математике

Для строгого доказательства убывания первого слагаемого достаточно записать его в виде дроби

Заказать работу по математике

где числитель убывает, а знаменатель возрастает. Таким образом, первое слагаемое убывает, а, следовательно, убывает и сумма. Что и требовалось доказать.

Пример оформления заказа №16.

Что больше: Заказать работу по математике или Заказать математику?

Решение:

Заказать работу по математике.

Ответ. Заказать работу по математике

Пример оформления заказа №17.

Сравнить числа Заказать работу по математикеи 1,006.

Решение:

Составим формальное неравенство и возведём обе его части в степень 200:

Заказать работу по математике

Оценим правую часть с помощью неравенства Бернулли:

Заказать работу по математике

То есть Заказать работу по математике и, следовательно, Заказать работу по математике

Ответ. Заказать работу по математике

Пример оформления заказа №18.

Что больше: Заказать работу по математике или Заказать работу по математике?

Решение:

Покажем, что

Заказать математику

1) Неравенство Заказать работу по математике следует из того, что в первой четверти Заказать работу по математике.

2) Неравенство Заказать работу по математике выполняется потому, что Заказать работу по математике, а в первой четверти Заказать работу по математике убывает.

Ответ, Заказать работу по математике.

Замечание. Неравенство Заказать работу по математике справедливо при всех Заказать работу по математике.

Пример оформления заказа №19.

Сравнить числа Заказать работу по математике и Заказать работу по математике.

Решение:

Оба числа (проверьте самостоятельно) лежат на отрезке [2; 3]. Сравним их с серединой отрезка, то есть с Заказать работу по математике:

Заказать работу по математике

Следовательно, числа Заказать работу по математике и Заказать работу по математике лежат на отрезке Заказать работу по математике Сравним их с серединой этого отрезка, то есть Заказать работу по математике:

Заказать работу по математике

Следовательно, Заказать работу по математике

Ответ. Заказать работу по математике

Пример оформления заказа №20.

Доказать, что Заказать математику.

Решение:

Возведём обе части неравенства в куб:

Заказать работу по математике

Обозначим Заказать работу по математике и покажем, что Заказать работу по математике

Неравенство Заказать работу по математике справедливо при Заказать работу по математике Докажем, что

Заказать работу по математике

Поскольку Заказать работу по математике, левое неравенства очевидно. Правое неравенство равносильно неравенству Заказать работу по математике. Возведём обе части в куб:

Заказать работу по математике

так как после возведения в квадрат получим очевидное неравенство Заказать работу по математике. Следовательно, исходное неравенство также справедливо.

Тригонометрические неравенства, обратные тригонометрические функции

К оглавлению…

Основные свойства арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Преобразование выражений с обратными тригонометрическими функциями

К оглавлению…

В этом разделе собраны задачи, связанные с преобразованием выражений, содержащих обратные тригонометрические функции. Для решения таких задач достаточно знать определения обратных тригонометрических функций и помнить основные тригонометрические формулы:

Заказать работу по математике

He забывайте, что тригонометрические формулы справедливы лишь при соответствующих допустимых значениях аргументов.

Напомним определения обратных тригонометрических функций:

• арксинусом числа Заказать работу по математике называется число Заказать работу по математике, удовлетворяющее двум условиям: Заказать работу по математике и Заказать работу по математике;

• арккосинусом числа Заказать работу по математике называется число Заказать работу по математике, удовлетворяющее двум условиям: Заказать работу по математике и Заказать работу по математике;

• арктангенсом числа Заказать работу по математике называется число Заказать работу по математике, удовлетворяющее двум условиям: Заказать работу по математике и Заказать работу по математике;

• арккотангенсом числа Заказать работу по математике называется число Заказать работу по математике, удовлетворяющее двум условиям: Заказать работу по математике и Заказать работу по математике.

График обратной тригонометрической функции симметричен графику основной тригонометрической функции относительно прямой Заказать работу по математике на соответствующей области определения:

Заказать работу по математике

Полезно также знать следующие формулы, связанные с обратными тригонометрическими функциями:

Заказать математику
Заказать работу по математике

Подобные формулы получаются при комбинировании определений обратных тригонометрических функций и основных тригонометрических формул.

Пример оформления заказа №21.

Докажем формулу:

Заказать работу по математике

Доказательство. Перепишем исходное равенство в виде

Заказать работу по математике

и докажем его, используя определение арксинуса. Проверим выполнение двух условий:

Заказать работу по математике

С помощью формулы приведения получаем, что

Заказать работу по математике

следовательно, первое условие выполняется. Проверим выполнение второго условия:

Заказать работу по математике

Справедливость последнего неравенства следует из определения арккосинуса.

Пример оформления заказа №22.

Вычислить

Заказать работу по математике

Решение:

Положим Математика на заказ, тогда Математика на заказ и Математика на заказ. Из основного тригонометрического тождества следует, что

Математика на заказ

Так как Математика на заказ, то подходит только положительное значение синуса.

Замечание. Аналогичным образом доказываются и другие формулы этого раздела в общем случае.

Ответ: Заказать математику

Эта ссылка возможно вам будет полезна:

Примеры решения задач по математике

Пример оформления заказа №23.

Построить график функции Математика на заказ.

Решение:

Так как Математика на заказ является периодом функции Математика на заказ, то Математика на заказ будет периодом и для функции Математика на заказ. Поэтому нам достаточно построить график этой функции на отрезке Математика на заказ, а потом продолжить его на всю числовую ось этой функции на отрезке с учётом периодичности.

1) Рассмотрим отрезок Математика на заказ:

Математика на заказ

2) На отрезке Математика на заказ получим

Математика на заказ

3) Продолжим график с учётом периодичности на всю числовую прямую.

Математика на заказ

Замечание. Аналогичным образом строятся графики функций

Математика на заказ
Математика на заказ

Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими функциями

К оглавлению…

Для успешного решения уравнений и неравенств с обратными тригонометрическими функциями достаточно знать определения и свойства обратных тригонометрических функций.

Напомним, что функции Математика на заказ и Математика на заказ монотонно возрастают на своих областях определения и принимают значения из промежутков Математика на заказ и Математика на заказ соответственно, а функции Математика на заказ и Математика на заказ монотонно убывают на своих областях определения и принимают значения из промежутков Математика на заказ и Математика на заказ соответственно.

Общий метод решения задач с обратными тригонометрическими функциями состоит в применении одной и той же тригонометрической функции к обеим частям данного уравнения или неравенства. При этом для обеспечения равносильности переходов необходимо тщательно следить за областью значений левой и правой частей исходного уравнения (неравенства), при необходимости рассматривая задачу на нескольких промежутках.

Пример оформления заказа №24.

Решить неравенство

Математика на заказ

Решение:

Применив формулу

Математика на заказ

получим

Математика на заказ

откуда в силу монотонности арксинуса следует, что Математика на заказ

Ответ. Математика на заказ

Пример оформления заказа №25.

Решить уравнение

Математика на заказ

Решение:

Первый способ. Перепишем уравнение в виде

Математика на заказ

Согласно определению арккосинуса это равенство равносильно системе

Математика на заказ

Второй способ. Проанализируем, в каких пределах может изменяться переменная Математика на заказ. Обратные тригонометрические функции, входящие в исходное уравнение

Математика на заказ

определены при

Математика на заказ

При этих значениях переменной Математика на заказ оба слагаемых исходного уравнения неотрицательны, и равенство нулю возможно только в случае

Математика на заказ

Ответ. 0.

Пример оформления заказа №26.

Решить уравнение

Математика на заказ

Решение:

Перепишем уравнение в виде

Математика на заказ

Согласно определению арккосинуса это равенство равносильно системе

Математика на заказ

Используя формулу приведения, решим уравнение:

Математика на заказ

Осталось произвести отбор корней по условию Математика на заказ.

Математика на заказ

Ответ. Математика на заказ

Отбор решений в тригонометрических уравнениях. Тригонометрические неравенства

К оглавлению…

Тригонометрические неравенства нередко возникают при решении уравнений, содержащих наряду с тригонометрическими функциями радикалы и логарифмы. Если тригонометрическое неравенство возникает как дополнительное ограничение при решении уравнения, то в большинстве задач удобнее сначала решить уравнение, а затем произвести отбор полученных корней посредством подстановки в неравенство.

Если необходимость в решении тригонометрического неравенства остаётся, советуем воспользоваться тригонометрической окружностью. И хотя способы решения тригонометрических неравенств тесно переплетаются со способами решения соответствующих тригонометрических уравнений, графическая иллюстрация поможет избежать ошибок при отборе.

Пример оформления заказа №27.

Решить неравенство

Математика на заказ

Решение:

Исходное неравенство равносильно следующему двойному неравенству:

Математика на заказ

Отметим на тригонометрической окружности углы, синусы которых удовлетворяют этому условию.

Заказать математику

Получим промежутки

Математика на заказ

Ответ.

Математика на заказ

Пример оформления заказа №28.

Найти все решения уравнения

Математика на заказ

удовлетворяющие условию Математика на заказ.

Решение:

С помощью формулы косинуса двойного утла уравнение сводится к квадратному:

Математика на заказ

Корень Математика на заказ не подходит. Второй корень равен Математика на заказ; следовательно,

Математика на заказ

Отберём те значения переменной, для которых выполняется условие Математика на заказ.

1)- Если

Математика на заказ

Значение косинуса отрицательно при чётном Математика на заказ. Следовательно, Математика на заказ и, значит,

Математика на заказ

2) Если

Математика на заказ

Косинус отрицателен при нечётном Математика на заказ. Следовательно, Математика на заказ и, значит,

Математика на заказ

Ответ.

Математика на заказ

Пример оформления заказа №29.

Решить уравнение

Математика на заказ

Решение:

Разделим обе части уравнения на Математика на заказ и введём вспомогательный аргумент Математика на заказ:

Математика на заказ

Обозначим

Математика на заказ

тогда уравнение примет вид:

Математика на заказ

Уравнение системы сводится к квадратному уравнению Математика на заказ имеет корни Математика на заказ. Заметим, что из первой строки системы следует неотрицательность выражения Математика на заказ; следовательно, оба корня удовлетворяют условию Математика на заказ.

Сравним оба корня с числом Математика на заказ.

1) Математика на заказ — не подходит.

2) Сравним второй корень:

Математика на заказ

значит,

Математика на заказ

и это значение нам подходит. В результате

Математика на заказ

Ответ,

Математика на заказ

Полезные преобразования и замены переменных

К оглавлению…

Использование формул сокращённого умножения, выделение полного квадрата

К оглавлению…

В этом параграфе собраны задачи, при решении которых используются различные полезные формулы и преобразования: формулы сокращённого умножения, теорема Везу, выделение полного квадрата, домножение на сопряжённое выражение, введение новых переменных.

Напомним базовые формулы сокращённого умножения:

Математика на заказ

Для поиска рациональных корней уравнений высших степеней с целыми коэффициентами удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема Безу. Если уравнение

Математика на заказ

с целыми коэффициентами Математика на заказ имеет рациональные корни, то есть корни, представимые в виде несократимой дроби Математика на заказ, то старший коэффициент Математика на заказ делится нацело на Математика на заказ, а свободный член Математика на заказ делится нацело на Математика на заказ.

Следствие 1. Если уравнение имеет целые коэффициенты и старший из них равен единице, то рациональными корнями такого уравнения могут быть только целые числа.

Следствие 2. Целые корни уравнения с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена.

Теорема Безу формулирует необходимое (но не достаточное) условие существования рациональных корней уравнений с целыми коэффициентами и является эффективным инструментом разложения на множители многочленов высших степеней.

Для получения более чёткого представления о структуре выражения полезно вводить новые переменные (одну или несколько). На возможность использования таких замен обычно указывает наличие повторяющихся выражений в уравнении или неравенстве.

Во многих задачах с параметрами полезно сначала выяснить, какая из переменных является параметром по существу условия, а какая — независимой переменной. Иногда по смыслу задачи Математика на заказ… играют роль параметров, в то время как Математика на заказ… играют роль переменных.

Напоминаем вам, что после решения задачи в новых переменных необходимо возвращаться к исходным переменным.

Пример оформления заказа №30.

Решить систему уравнений

Математика на заказ

Решение:

Преобразуем второе уравнение системы, используя формулу разности кубов:

Математика на заказ

Далее выделим полный квадрат во втором сомножителе левой части преобразованного уравнения:

Математика на заказ

Подставим значение Математика на заказ из первого уравнения, тогда второе уравнение принимает следующий вид:

Математика на заказ

Получаем систему уравнений, эквивалентную исходной:

Математика на заказ

Подставляя найденные значения переменной Математика на заказ в первое уравнение системы, находим соответствующие им значения переменной Математика на заказ.

Ответ. (1; -5), (5; -1).

Пример оформления заказа №31.

Вычислить

Математика на заказ

Решение:

Обозначим искомое выражение через Математика на заказ и преобразуем его.

Математика на заказ

Из условия получаем:

Математика на заказ

Значит,

Математика на заказ

Ответ. Математика на заказ

Пример оформления заказа №32.

Найти наименьшее значение произведения Математика на заказ, где Математика на заказ и Математика на заказ удовлетворяют системе

Математика на заказ

Решение:

Заметим, что

Математика на заказ

Возведём обе части первого уравнения в квадрат и почленно вычтем из них обе части второго уравнения:

Математика на заказ

Для того чтобы найти наименьшее значение, которое может принимать произведение Математика на заказ, надо найти минимум квадратичной функции

Математика на заказ

График функции Математика на заказ — парабола, ветви которой направлены вверх. Минимальное значение функция принимает в точке Математика на заказ, которая является абсциссой вершины параболы. Значение функции в этой точке Математика на заказ

Таким образом, минимальное значение, которое может принимать произведение Математика на заказ — это значение — Математика на заказ. Осталось убедиться, что при Математика на заказисходная система имеет решение. При Математика на заказ система принимает вид

Математика на заказ

Решая систему подстановкой, приходим к уравнению

Математика на заказ

Вычислим дискриминант:

Математика на заказ

Из положительности дискриминанта заключаем, что решение системы существует; следовательно, минимальное значение Математика на заказ достигается.

Ответ. Математика на заказ.

Пример оформления заказа №33.

Найти все значения Математика на заказ, при которых неравенство

Математика на заказ

имеет не более одного решения.

Решение:

Преобразуем исходное неравенство:

Математика на заказ

Последнее двойное неравенство имеет не более одного решения тогда и только тогда, когда Математика на заказ, то есть Математика на заказ.

Ответ. Математика на заказ.

Замены переменных в рациональных уравнениях, неравенствах и системах

К оглавлению…

Перечислим основные ситуации, в которых целесообразно использовать замену:

• наличие повторяющегося выражения;

• возможность приведения к симметричному виду, например, уравнение

Математика на заказ

после замены

Математика на заказ

приводится к биквадратному уравнению

Математика на заказ

• «возвратность» уравнения, например, уравнение

Математика на заказ

после деления на Математика на заказ, преобразуется к уравнению

Математика на заказ

квадратному относительно

Математика на заказ

«однородность» уравнения, например, уравнение

Математика на заказ

при Математика на заказ равносильно квадратному уравнению

Математика на заказ

• «симметричность» уравнений системы, например, при решении системы

Математика на заказ

где

Математика на заказ

замена

Математика на заказ

может упростить вычисления.

Эта ссылка возможно вам будет полезна:

Помощь по математике

Пример оформления заказа №34.

Решить систему

Математика на заказ

Решение:

Перепишем систему в виде

Математика на заказ

Сделаем замену переменных

Математика на заказ

тогда

Математика на заказ

Подставив выражение для Математика на заказ из первого уравнения во второе, получим квадратное уравнение относительно Математика на заказ:

Математика на заказ

Решим это уравнение:

Математика на заказ

Из первого уравнения последней системы определяем Математика на заказ:

Математика на заказ

Возвращаясь к исходным переменным, получим две системы уравнений для нахождения Математика на заказ и Математика на заказ:

Математика на заказ

Значит, во втором случае решений нет.

Ответ. Математика на заказ.

Пример оформления заказа №35.

Решить уравнение

Математика на заказ

Решение:

Так как Математика на заказ не является решением нашего уравнения, то можем поделить его на Математика на заказ. Получим

Математика на заказ

Положим

Математика на заказ

тогда

Математика на заказ

и уравнение примет вид:

Математика на заказ

Ответ. Математика на заказ

Пример оформления заказа №36.

Решить систему уравнений

Математика на заказ

Решение:

Умножим первое уравнение системы на 6, второе уравнение — на 11 и приравняем левые части полученных уравнений:

Математика на заказ

Заметим, что, если Математика на заказ, то исходная система не имеет решений. Разделим однородное уравнение на Математика на заказ и сделаем замену Математика на заказ, получим

Математика на заказ

Первый случай:

Математика на заказ

Второй случай:

Математика на заказ

Ответ. (2; 1), (-2;-1), (14;-5), (-14;5).

Замены переменных в иррациональных уравнениях, неравенствах и системах

К оглавлению…

В некоторых задачах целесообразно заменить иррациональное выражение на новую переменную так, чтобы уравнение или неравенство приняло существенно более простой вид. Иногда удачная замена позволяет выделить полный квадрат некоторого выражения под арифметическим квадратным корнем (этот метод рассмотрен в примере 3).

Кроме того, полезно вводить ограничения для введённых новых переменных, которые определяются их областью значений. Например, при замене Математика на заказ появляется очевидное ограничение Математика на заказ. Такие ограничения помогают производить отбор допустимых значений новых переменных и избегать рассмотрения случаев, приводящих к уравнениям или неравенствам с пустым множеством решений.

Пример оформления заказа №37.

Решить уравнение

Математика на заказ

Решение:

Добавим 3 к обеим частям уравнения и вынесем множитель 4 из подкоренного выражения:

Математика на заказ

Пусть Математика на заказ Заметим, что новая переменная Математика на заказ может принимать только неотрицательные значения. Исходное уравнение преобразуется к квадратному относительно Математика на заказ:

Математика на заказ

Значение Математика на заказ не подходит. Остаётся корень Математика на заказ = 2. Возвращаемся к исходной переменной:

Математика на заказ

Ответ. Математика на заказ.

Пример оформления заказа №38.

Решить неравенство

Математика на заказ

Решение:

Сделаем замену

Математика на заказ

Исходное неравенство примет вид

Математика на заказ

Так как правая часть последнего неравенства должна быть положительна, то

Математика на заказ

и, значит,

Математика на заказ

Приходим к системе

Математика на заказ

Вернёмся к переменной Математика на заказ:

Математика на заказ

Ответ. (17;248).

Пример оформления заказа №39.

Решить уравнение

Математика на заказ

Решение:

Приведём два способа решения этой задачи.

1-й способ.

Левая часть уравнения определена тогда и только тогда, когда подкоренные выражения неотрицательны. Значит, Математика на заказ Возводя обе части уравнения в квадрат, получим

Математика на заказ

Уравнение имеет смысл при

Математика на заказ

Возведём обе уравнения в квадрат:

Математика на заказ

Сделаем замену

Математика на заказ

Получим систему относительно Математика на заказ:

Математика на заказ

Возвращаемся к исходной переменной:

Математика на заказ

2-й способ.

Сделаем замену

Математика на заказ

Тогда вместо уравнения получим систему

Математика на заказ

Преобразуем левую часть второго уравнения системы:

Математика на заказ

Подставим из первого уравнения системы значение суммы Математика на заказ в преобразованное второе уравнение:

Математика на заказ

Таким образом, получаем две системы:

Математика на заказ

Решая их и возвращаясь к переменной Математика на заказ, находим

Математика на заказ

Ответ. 3; 18.

Замены переменных в показательных и логарифмических уравнениях, неравенствах и системах

К оглавлению…

В задачах, содержащих выражения с показательными и логарифмическими функциями, также целесообразно применять замены переменных.

Как правило, прежде чем производить замену, необходимо произвести некоторые преобразования степеней и логарифмов: привести все степенные функции к одному основанию (пример 2), перейти к логарифмам по одному основанию и с одинаковыми подлогарифменными функциями (примеры 1 и 3) и так далее.

При решении задач в новых переменных следует учитывать области значений заменённых выражений, чтобы отбросить полученные значения новых переменных, которые не удовлетворяют ограничениям, и тем самым сократить количество рассматриваемых случаев.

Пример оформления заказа №40.

Решить уравнение

Математика на заказ

Решение:

Перепишем уравнение в виде

Математика на заказ

Сделаем замену переменной

Математика на заказ

в новых обозначениях уравнение становится квадратным:

Математика на заказ

Принимая во внимание ограничение Математика на заказ, отбрасываем отрицательный корень Математика на заказ.

Возвращаемся к исходной переменной:

Математика на заказ

Ответ. Математика на заказ.

Пример оформления заказа №41.

Решить уравнение

Математика на заказ

Решение:

Так как Математика на заказ > 0, то можно поделить числитель и знаменатель левой части на Математика на заказ. Получим уравнение

Математика на заказ

Сделаем замену переменной

Математика на заказ

в новых обозначениях уравнение примет вид

Математика на заказ

Поскольку Математика на заказ оставляем решение Математика на заказ Возвращаемся к исходной переменной:

Математика на заказ

Ответ. Математика на заказ

Пример оформления заказа №42.

Решить неравенство

Математика на заказ

Решение:

Перепишем неравенство в виде Математика на заказ и сделаем замену Математика на заказ

Математика на заказ

Последнее неравенство выполнено при Математика на заказ и Математика на заказ. Возвращаемся к исходной переменной:

Математика на заказ

Ответ,

Математика на заказ

Пример оформления заказа №43.

Решить систему уравнений

Математика на заказ

Решение:

Из второго уравнения следует, что

Математика на заказ

Преобразуем первое уравнение системы:

Математика на заказ

Преобразуем второе уравнение системы:

Математика на заказ

Сделаем замену переменных Математика на заказ

Математика на заказ

Вернёмся к исходным переменным. Рассмотрим первую пару Математика на заказ.

Математика на заказ

При полученных значениях Математика на заказ и Математика на заказ второе уравнение исходной системы не имеет смысла, так как основание логарифма в левой части равно нулю:

Математика на заказ

Рассмотрим вторую пару Математика на заказ.

Математика на заказ

Проверим, имеет ли исходная система смысл при полученных значениях Математика на заказ и Математика на заказ. Вычислим значение основания логарифма:

Математика на заказ

Сравним с нулём:

Математика на заказ

Значит, Математика на заказ то есть основание логарифма положительно. Сравним его значение с единицей:

Математика на заказ

Итак, полученные значения Математика на заказ и Математика на заказ удовлетворяют исходной системе.

Ответ.

Математика на заказ

Замены в тригонометрических уравнениях и тригонометрические замены

К оглавлению…

В некоторых задачах удобно использовать следствия из основного тригонометрического тождества, например,

Математика на заказ

Другими словами, если тригонометрическое уравнение или неравенство содержит выражения вида Математика на заказ и Математика на заказ, то заменой переменных Математика на заказ оно может быть сведено к алгебраическому (этот подход реализован в примере 1).

Если ОДЗ исходной задачи ограничена (например, уравнение содержит иррациональность вида Математика на заказ, поэтому область определения будет содержаться в отрезке Математика на заказ), то можно сделать тригонометрическую замену переменной

Математика на заказ

Такая замена в алгебраической задаче не приводит к потере возможных решений в силу ограниченности ОДЗ, но может существенно облегчить её решение благодаря большому арсеналу тригонометрических тождеств и способов преобразований тригонометрических выражений (см. пример 2).

Переход от алгебраической постановки к тригонометрической целесообразен и в случае, когда одно из уравнений задачи имеет вид

Математика на заказ

где Математика на заказ

Приведя уравнение к виду

Математика на заказ

и сделав замену переменных

Математика на заказ

можно трактовать его как основное тригонометрическое тождество и смело переходить к тригонометрической интерпретации задачи в целом.

Пример оформления заказа №44.

Решить уравнение

Математика на заказ

Решение:

Заметим, что

Математика на заказ

Сделаем замену переменной Математика на заказ, при этом Математика на заказ. Получим:

Математика на заказ

Решая последнее уравнение, с учётом условия на Математика на заказ находим Математика на заказ. Возвращаемся к переменной Математика на заказ:

Математика на заказ

Ответ.

Математика на заказ

Пример оформления заказа №45.

Решить уравнение

Математика на заказ

Решение:

Исходное уравнение эквивалентно системе

Математика на заказ

Учитывая, что Математика на заказ и заменяя Математика на заказ; на новую переменную Математика на заказ, перепишем систему в виде

Математика на заказ

Возвращаемся к переменной Математика на заказ:

Математика на заказ

Ответ.

Математика на заказ

Пример оформления заказа №46.

Решить уравнение

Математика на заказ

Решение:

Перепишем уравнение в виде

Математика на заказ

Из исходного уравнения получаем, что Математика на заказ, поэтому можем сделать замену Математика на заказ где Математика на заказ. Тогда с учётом ограничения на Математика на заказ уравнение преобразуется к следующему виду:

Математика на заказ

Вычислим Математика на заказ для найденных значений переменной Математика на заказ:

Математика на заказ

Ответ. Математика на заказ

Возможно эти страницы вам будут полезны: