Контрольные работы по высшей математике на заказ

Оглавление:

Здравствуйте! Я Людмила Анатольевна Фирмаль, занимаюсь помощью студентам более 17 лет. У меня своя команда грамотных, сильных преподавателей. Мы справимся с любой поставленной перед нами работой технического и гуманитарного плана. И неважно – она по объёму на две формулы или огромная, сложно структурированная, на 125 страниц! Нам по силам всё, поэтому не стесняйтесь, присылайте.
Если что-то непонятно, Вы всегда можете написать мне в воцап и я помогу!

Как заказать выполнение контрольной работы по высшей математике

Вы можете написать сообщение в WhatsApp. После этого я оценю контрольную работу и укажу стоимость и срок выполнения вашей работы. Если условия Вас устроят, Вы оплатите, и преподаватель, который ответственен за вашу работу, начнёт выполнение и в согласованный срок или, возможно, раньше срока Вы получите файл готовой работы в личные сообщения.

Сколько может стоить заказ контрольной работы по высшей математике

Стоимость контрольной работы зависит от задания и требований Вашего учебного заведения. На цену влияют: сложность, количество заданий и срок выполнения. Поэтому для оценки стоимости заказа максимально качественно сфотографируйте или пришлите файл задания, при необходимости, загружайте поясняющие фотографии лекций, файлы методичек, указывайте свой вариант.

Какой срок выполнения заказа

Минимальный срок выполнения контрольной работы составляет 2-4 дня, но помните, срочные задания оцениваются дороже.

Как оплатить заказ

Сначала пришлите задание, я оценю, после вышлю вам форму оплаты, в которой можно оплатить с баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, apple pay, google pay.

Гарантии и исправление ошибок

В течение 1 года с момента получения Вами готового решения заказа действует гарантия. В течении 1 года я и моя команда исправим любые ошибки в заказе.

Ниже я предоставила примеры оформления работ по всем темам высшей математики, так я буду оформлять ваши работы если закажите у меня.

Элементы линейной алгебры

Контрольная работа №1. Нахождение определителей n-го порядка, миноров и алгебраических дополнений

Цель: формирование умения находить определители второго, третьего и четвертого порядка, вычислять миноры и алгебраические дополнения элементов определителя.

Методические указания по выполнению работы:

Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие некоторое число Заказать контрольную работу по высшей математике, называемое её определителем, следующим образом:

Второго порядка:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Третьего порядка:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Любого порядка. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки или столбца определителя на их алгебраические дополнения:

Заказать контрольную работу по высшей математике

где Заказать контрольную работу по высшей математике — алгебраическое дополнение элемента Заказать контрольную работу по высшей математике;

Заказать контрольную работу по высшей математике — минор элемента Заказать контрольную работу по высшей математике — новый определитель порядка (Заказать контрольную работу по высшей математике-1), полученный из Заказать контрольную работу по высшей математике вычеркиванием Заказать контрольную работу по высшей математике-й строки и Заказать контрольную работу по высшей математике-го столбца, на пересечении которых находится элемент Заказать контрольную работу по высшей математике. Свойства определителей:

  1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот (свойство равноправности строк и столбцов).
  2. При перестановке двух строк или столбцов определитель меняет свой знак на противоположный.
  3. Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю.
  4. Общий множитель всех элементов строки или столбца можно вынести за знак определителя. Следствие: Если элементы двух строк или столбцов определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Приведем примеры нахождения определителей второго, третьего и четвертого порядков:

Пример решения заказа контрольной работы №1

Найдите определитель

Заказать контрольную работу по высшей математике

Решение:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Ответ:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

  1. Пример решения заказа контрольной работы №2.
  2. Пример решения заказа контрольной работы №3.
  3. Пример решения заказа контрольной работы №4.

Контрольная работа №2. Нахождение обратной матрицы, вычисление ранга матрицы

Цель: формирование умения находить обратную матрицу, вычислять ранг матрицы.

Методические указания по выполнению работы:

При решении задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Матрица Заказать контрольную работу по высшей математике называется обратной для матрицы Заказать контрольную работу по высшей математике, если выполняется условие: Заказать контрольную работу по высшей математикеЗаказать контрольную работу по высшей математике, где Заказать контрольную работу по высшей математике — единичная матрица того же порядка, что и матрица Заказать контрольную работу по высшей математике.

Матрица называется единичной, если её элементы, стоящие на главной диагонали, равны 1, остальные элементы равны нулю.

Теорема. Квадратная матрица имеет обратную, если Заказать контрольную работу по высшей математике.

Для нахождения обратной матрицы удобно использовать следующий алгоритм: Алгоритм нахождения обратной матрицы.

  • Вычислите определитель матрицы Заказать контрольную работу по высшей математике, проверьте условие: Заказать контрольную работу по высшей математике.
  • Найдите алгебраические дополнения элементов матрицы Заказать контрольную работу по высшей математике и составьте матрицу алгебраических дополнений Заказать контрольную работу по высшей математике:
Заказать контрольную работу по высшей математике
  • Составьте матрицу Заказать контрольную работу по высшей математике, транспонируя матрицу Заказать контрольную работу по высшей математике.
  • Найдите обратную матрицу по формуле:
Заказать контрольную работу по высшей математике

Пример решения заказа контрольной работы №5.

Найдите матрицу, обратную матрице

Заказать контрольную работу по высшей математике

Решение:

1. Находим определитель матрицы Заказать контрольную работу по высшей математике:

Заказать контрольную работу по высшей математике

2.Найдем алгебраические дополнения каждого элемента матрицы Заказать контрольную работу по высшей математике:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Составляем матрицу из алгебраических дополнений Заказать контрольную работу по высшей математике:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Транспонируем матрицу Заказать контрольную работу по высшей математике:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Составляем обратную матрицу по формуле:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Проверим, действительно ли матрица Заказать контрольную работу по высшей математике является обратной к матрице Заказать контрольную работу по высшей математике. Должно выполняться равенство:

Заказать контрольную работу по высшей математике

где Заказать контрольную работу по высшей математике — единичная матрица.

Заказать контрольную работу по высшей математике

Получили, что Заказать контрольную работу по высшей математике, следовательно, матрица Заказать контрольную работу по высшей математике является обратной к матрице Заказать контрольную работу по высшей математике.

Ответ:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Контрольная работа №3. Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса

Цель: формирование умения решать системы линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса.

Методические указания по выполнению работы:

Для решения систем линейных уравнений применяют правило Крамера и метод Гаусса. 1. Правило Крамера решения системы Заказать контрольную работу по высшей математике линейных уравнений с Заказать контрольную работу по высшей математике неизвестными.

Система Заказать контрольную работу по высшей математике линейных уравнений с Заказать контрольную работу по высшей математике неизвестными имеет единственное решение, если определитель Заказать контрольную работу по высшей математике, составленный из коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля:

Заказать контрольную работу по высшей математике

где Заказать контрольную работу по высшей математике — определитель, полученный из определителя Заказать контрольную работу по высшей математике заменой столбца коэффициентов при Заказать контрольную работу по высшей математике столбцом свободных членов;

Заказать контрольную работу по высшей математике — определитель, полученный из определителя Заказать контрольную работу по высшей математике заменой столбца коэффициентов при Заказать контрольную работу по высшей математике столбцом свободных членов;

Заказать контрольную работу по высшей математике — определитель, полученный из определителя Заказать контрольную работу по высшей математике заменой столбца коэффициентов при Заказать контрольную работу по высшей математике столбцом свободных членов.

Пример решения заказа контрольной работы №8.

Решите систему уравнений по правилу Крамера:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Решение:

Составим определитель Заказать контрольную работу по высшей математике из коэффициентов при неизвестных и вычислим его:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Определитель Заказать контрольную работу по высшей математике отличен от 0, следовательно, система имеет единственное решение. Для его нахождения вычислим Заказать контрольную работу по высшей математике и Заказать контрольную работу по высшей математике:

Заказать контрольную работу по высшей математике

По правилу Крамера найдем неизвестные:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Замечание. Для проверки правильности решения системы уравнений необходимо подставить найденные значения неизвестных в каждое из уравнений данной системы. При этом, если все уравнения обратятся в тождества, то система решена верно.

Заказать контрольную работу по высшей математике

Истинно.

Итак, решение системы найдено правильно.

Ответ:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Элементы аналитической геометрии

Контрольная работа №4. Операции над векторами в координатах

Цель: формирование умения выполнять основные операции над векторами в координатах.

Методические указания по выполнению работы:

Вектор — это направленный отрезок. Все равные между собой направленные отрезки называют свободным вектором.

Коэффициенты Заказать контрольную работу по высшей математике разложения вектора Заказать контрольную работу по высшей математике по векторам Заказать контрольную работу по высшей математике и Заказать контрольную работу по высшей математике (единичным взаимно перпендикулярным векторам) Заказать контрольную работу по высшей математике называют координатами вектора на плоскости.

При решении задач по теме «Векторы» используйте следующие рекомендации:

  1. Выпишите исходные данные — дано. Если в условии задачи сказано о коллинеарности, перпендикулярности, равенстве длин векторов, то это также необходимо выписать.
  2. Определите, что нужно найти или что доказать в соответствии с условием задачи.
  3. Опираясь на то, что нужно найти, попытайтесь поискать ключ к решению: выбрать в таблице нужные операции или использовать признаки коллинеарности и перпендикулярности векторов, сформулированные в теоремах 1 и 2.
Заказать контрольную работу по высшей математике

Теорема 1. Если векторы Заказать контрольную работу по высшей математике и Заказать контрольную работу по высшей математике коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны:

если

Заказать контрольную работу по высшей математике

коллинеарны, то

Заказать контрольную работу по высшей математике

Теорема 2. Если ненулевые векторы Заказать контрольную работу по высшей математике и Заказать контрольную работу по высшей математике взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, и наоборот, если скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Пример решения заказа контрольной работы №12.

Даны точки

Заказать контрольную работу по высшей математике

Найти: 1) координаты вектора Заказать контрольную работу по высшей математике;

2) длину вектора Заказать контрольную работу по высшей математике;

3) координаты точки Заказать контрольную работу по высшей математике— середины Заказать контрольную работу по высшей математике. Решение:

1) Воспользуемся формулой нахождения координат вектора:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Тогда

Заказать контрольную работу по высшей математике

2) Зная координаты вектора Заказать контрольную работу по высшей математике, найдем его длину по формуле:

Заказать контрольную работу по высшей математике
Заказать контрольную работу по высшей математике

3) Пусть точка Заказать контрольную работу по высшей математике — середина отрезка Заказать контрольную работу по высшей математике. Тогда ее координаты находятся по формуле:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Ответ:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Контрольная работа №5. Составление уравнений прямых

Цель: формирование умения составлять уравнения прямых на плоскости.

Методические указания но выполнению работы:

Уравнением линии на плоскости называется уравнение с двумя переменными .v и у, которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Прямые — самые простые линии на плоскости. Им соответствуют уравнения первой степени. При решении задач удобно использовать следующие обобщающие таблицы:

Заказать контрольную работу по высшей математике
Заказать контрольную работу по высшей математике

Рассмотрим примеры решения типовых задач.

Пример решения заказа контрольной работы №15.

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку Заказать контрольную работу по высшей математике и имеющей направляющий вектор Заказать контрольную работу по высшей математике в каноническом и параметрическом виде.

Решение:

Определим способ задания прямой: с помощью точки

Заказать контрольную работу по высшей математике

и направляющего вектора

Заказать контрольную работу по высшей математике

Подставим координаты точки и направляющего вектора в уравнение

Заказать контрольную работу по высшей математике
Заказать контрольную работу по высшей математике

канонический вид.

Подставим координаты точки и направляющего вектора в уравнение

Заказать контрольную работу по высшей математике
Заказать контрольную работу по высшей математике

параметрический вид.

Ответ:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Контрольная работа №6. Составление уравнений кривых второго порядка и их построение

Цель: формирование умения составлять уравнения кривых второго порядка и выполнять их изображение.

Методические указания по выполнению работы:

Кривая второго порядка — линия на плоскости, задаваемая уравнением:

Заказать контрольную работу по высшей математике

где коэффициенты Заказать контрольную работу по высшей математике — любые действительные числа при условии, что Заказать контрольную работу по высшей математике одновременно не равны нулю. Выделяют следующие кривые второго порядка:

  1. Окружность — множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром.
  2. Эллипс — множество точек на плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (называемых фокусами) есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами).
  3. Гипербола — множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (называемых фокусами) есть величина постоянная (меньшая, чем расстояние между фокусами).
  4. Парабола — множество точек плоскости, равноудаленных от заданной точки (называется фокусом) и данной прямой (называется директрисой).

Для того чтобы по заданному уравнению определить вид кривой второго порядка, удобно использовать следующую обобщающую таблицу:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Рассмотрим примеры решения типовых задач.

Пример решения заказа контрольной работы №18.

Составьте уравнение окружности с центром Заказать контрольную работу по высшей математике и радиусом Заказать контрольную работу по высшей математике.

Решение:

Подставив Заказать контрольную работу по высшей математике и Заказать контрольную работу по высшей математике в каноническое уравнение окружности

Заказать контрольную работу по высшей математике

получим:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Основы математического анализа

Контрольная работа №7. Виды числовых последовательностей. Определение пределов последовательностей

Цель: формирование умения классифицировать числовые последовательности и вычислять их пределы.

Методические указания по выполнению работы:

Знание следующего теоретического материала будет Вам полезно при классификации и нахождении предела числовой последовательности.

Бесконечной числовой последовательностью называется функция Заказать контрольную работу по высшей математике, заданная на множестве натуральных чисел Заказать контрольную работу по высшей математике. Для обозначения числовой последовательности принята следующая запись: Заказать контрольную работу по высшей математике.

Последовательность Заказать контрольную работу по высшей математике называется убывающей, если каждый последующий член последовательности меньше или равен предыдущему, т.е. если

Заказать контрольную работу по высшей математике

для всех Заказать контрольную работу по высшей математике.

Последовательность Заказать контрольную работу по высшей математике называется возрастающей. если каждый последующий член последовательности больше или равен предыдущему Заказать контрольную работу по высшей математике.

Последовательность Заказать контрольную работу по высшей математике называется ограниченной. если существуют числа Заказать контрольную работу по высшей математике и Заказать контрольную работу по высшей математике такие, что для любого номера п имеет место неравенство:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Геометрически ограниченность последовательности Заказать контрольную работу по высшей математике означает существование отрезка [Заказать контрольную работу по высшей математике; Заказать контрольную работу по высшей математике], на котором помещены все члены этой последовательности. Для неограниченной последовательности Заказать контрольную работу по высшей математике отрезка [Заказать контрольную работу по высшей математике; Заказать контрольную работу по высшей математике] у которому принадлежат все члены Заказать контрольную работу по высшей математике, не существуют.

Число Заказать контрольную работу по высшей математике называется пределом последователыюстн Заказать контрольную работу по высшей математике, если для любого наперед заданного положительного числа Заказать контрольную работу по высшей математике найдется такое натуральное число Заказать контрольную работу по высшей математике, что для любого номера элемента Заказать контрольную работу по высшей математике выполняется неравенство: Заказать контрольную работу по высшей математике В этом случае пишут Заказать контрольную работу по высшей математике

Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся, а не имеющая предела — расходящейся.

Для практического нахождения пределов числовых последовательностей используют следующие свойства пределов.

Пусть Заказать контрольную работу по высшей математике и Заказать контрольную работу по высшей математике — сходящиеся последовательности, т.е.

Заказать контрольную работу по высшей математике

Тогда справедливы следующие утверждения:

  • Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.
  • Для любого числа Заказать контрольную работу по высшей математике последовательность Заказать контрольную работу по высшей математике также сходится, причем Заказать контрольную работу по высшей математике.
  • Сумма (разность) Заказать контрольную работу по высшей математике и также сходится, причем
Заказать контрольную работу по высшей математике
  • Произведение Заказать контрольную работу по высшей математике также сходится, причем
Заказать контрольную работу по высшей математике
  • При дополнительном условии Заказать контрольную работу по высшей математике частное Заказать контрольную работу по высшей математике также сходится, причем
Заказать контрольную работу по высшей математике

Проиллюстрируем использование теоретического материала при исследовании числовых последовательностей.

Пример решения заказа контрольной работы №22.

Исследуйте числовую последовательность

Заказать контрольную работу по высшей математике

Решение:

Выпишем элементы числовой последовательности, поочерёдно подставляя вместо Заказать контрольную работу по высшей математике значения 1, 2, 3, 4, 5 и т.д. Получим бесконечное числовое множество:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Последовательности Заказать контрольную работу по высшей математике соответствует следующее геометрическое изображение:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Последовательность Заказать контрольную работу по высшей математике убывающая, т.к.

Заказать контрольную работу по высшей математике

Она ограничена, т.к. существует Заказать контрольную работу по высшей математике и Заказать контрольную работу по высшей математике, такие, что Заказать контрольную работу по высшей математике. Геометрически все элементы последовательности Заказать контрольную работу по высшей математике принадлежат промежутку Заказать контрольную работу по высшей математике;

Покажем, что Заказать контрольную работу по высшей математике. Выберем любую точность Заказать контрольную работу по высшей математике (например, Заказать контрольную работу по высшей математике). Тогда найдется натуральное число Заказать контрольную работу по высшей математике (в нашем случае Заказать контрольную работу по высшей математике=9), такое что для всех Заказать контрольную работу по высшей математике выполняется неравенство: Заказать контрольную работу по высшей математике (уже для Заказать контрольную работу по высшей математике будет меньше Заказать контрольную работу по высшей математике).

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Контрольная работа №8. Вычисление пределов с помощью замечательных пределов, раскрытие неопределенностей

Цель: формирование умения вычислять пределы функций, раскрывая неопределенности и используя замечательные пределы.

Методические указания по выполнению работы:

При решении задач необходимо знание следующего теоретического материала: 1. Предел функции в точке. Вычисление пределов путем раскрытии неопределенности вида Заказать контрольную работу по высшей математике.

Число Заказать контрольную работу по высшей математике называется пределом функции Заказать контрольную работу по высшей математике при Заказать контрольную работу по высшей математике, стремящемся к Заказать контрольную работу по высшей математике (или в точке Заказать контрольную работу по высшей математике), если для любого наперед заданного Заказать контрольную работу по высшей математике существует такое Заказать контрольную работу по высшей математике, что для всех Заказать контрольную работу по высшей математике, удовлетворяющих условиям Заказать контрольную работу по высшей математике, имеет место неравенство: Заказать контрольную работу по высшей математике. Если Заказать контрольную работу по высшей математике есть предел функции Заказать контрольную работу по высшей математике при Заказать контрольную работу по высшей математике то пишут: Заказать контрольную работу по высшей математике.

При вычислении предела функции в точке удобно использовать следующую технику: 1. Если под знаком предела стоит многочлен, то предел вычисляется простой подстановкой.

Пример решения заказа контрольной работы №25.

Вычислите:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Решение:

Подставим в многочлен вместо Заказать контрольную работу по высшей математике значение -1, тогда

Заказать контрольную работу по высшей математике

Ответ:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Если под знаком предела стоит отношение двух многочленов Заказать контрольную работу по высшей математике, то проверяем, обращается ли при подстановке Заказать контрольную работу по высшей математике знаменатель в ноль. Если не обращается, то предел вычисляется простой подстановкой.

Если при подстановке Заказать контрольную работу по высшей математике знаменатель обращается в ноль, то необходимо использовать дополнительные приемы.

Если Заказать контрольную работу по высшей математике, то имеем неопределенность вида Заказать контрольную работу по высшей математике. В этом случае предел Заказать контрольную работу по высшей математике можно вычислить разложением многочленов Заказать контрольную работу по высшей математике и Заказать контрольную работу по высшей математике на множители, используя формулы сокращенного умножения и формулу разложения квадратного трехчлена на множители:

Заказать контрольную работу по высшей математике

где Заказать контрольную работу по высшей математикеи Заказать контрольную работу по высшей математике — корни уравнения

Заказать контрольную работу по высшей математике

Если разложение выполнено верно, то в числителе и знаменателе дроби должны получиться одинаковые множители, которые следует сократить. После сокращения предел вычисляется простой подстановкой.

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Дополнительная теория к теме:

Контрольная работа №9. Решение задач на нахождение и классификацию точек разрыва функции

Цель: формирование умения вычислять односторонние пределы, находить точки разрыва функции и классифицировать их.

Методические указания по выполнению работы:

При решении задач на нахождение и классификацию точек разрыва функции одним из главных умений является умение вычислять односторонние пределы функции: левосторонний и правосторонний.

Если при нахождении предела функции выбирать значения переменной Заказать контрольную работу по высшей математике только слева от точки Заказать контрольную работу по высшей математике, то такой предел называется левосторонним и обозначается

Заказать контрольную работу по высшей математике

Если при нахождении предела функции выбирать значения переменной Заказать контрольную работу по высшей математике только справа от точки Заказать контрольную работу по высшей математике, то такой предел называется правосторонним и обозначается

Заказать контрольную работу по высшей математике

Функция имеет в точке единый предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как правосторонний, так и левосторонний пределы, и они равны.

Пример решения заказа контрольной работы №32.

Вычислите односторонние пределы функции

Заказать контрольную работу по высшей математике

в точке Заказать контрольную работу по высшей математике= -2.

Решение:

Для нахождения левостороннего предела функции в точке Заказать контрольную работу по высшей математике = -2 будем выбирать значения переменной, меньшие -2. Но при Заказать контрольную работу по высшей математике<-2 наша функция задается формулой

Заказать контрольную работу по высшей математике

Таким образом, получим:

Заказать контрольную работу по высшей математике

При нахождении правостороннего предела функции в точке Заказать контрольную работу по высшей математике = -2 будем выбирать значения переменной, большие -2. Но при Заказать контрольную работу по высшей математике> -2 наша функция задается формулой

Заказать контрольную работу по высшей математике

Таким образом, получим:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Ответ

Заказать контрольную работу по высшей математике

Функция Заказать контрольную работу по высшей математике называется непрерывной в точке ха. если она определена в ней, существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е.

Заказать контрольную работу по высшей математике

Функция Заказать контрольную работу по высшей математике называется непрерывной на промежутке Заказать контрольную работу по высшей математике, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Все элементарные функции (основные элементарные и полученные из них путем выполнения конечного числа арифметических операций или составления сложных функций) непрерывны на области определения.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.

Все точки разрыва функции подразделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Точка разрыва Заказать контрольную работу по высшей математике называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке существуют конечные левосторонние и правосторонние пределы, т.е.

Заказать контрольную работу по высшей математике

Если Заказать контрольную работу по высшей математике, то точка Заказать контрольную работу по высшей математике называется точкой устранимого разрыва.

Точка разрыва Заказать контрольную работу по высшей математике называется точкой разрыва второго рода, если в этой точке хотя бы один (левосторонний или правосторонний) предел не существует или равен бесконечности.

Заказать контрольную работу по высшей математике

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Контрольная работа №10. Решение задач на нахождение производных и дифференциалов с использованием правил и формул дифференцирования

Цель: формирование умения находить производные и дифференциалы функций, используя правила и формулы дифференцирования.

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала: Производной функции Заказать контрольную работу по высшей математике в точке .Заказать контрольную работу по высшей математике, называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Заказать контрольную работу по высшей математике

Производная функции Заказать контрольную работу по высшей математике есть некоторая функция Заказать контрольную работу по высшей математике производная из данной функции. Значение производной функции Заказать контрольную работу по высшей математике в точке Заказать контрольную работу по высшей математике обозначается одним из символов: Заказать контрольную работу по высшей математике или Заказать контрольную работу по высшей математике.

Функция Заказать контрольную работу по высшей математике, имеющая производную в каждой точке интервала Заказать контрольную работу по высшей математике называется дифференцируемой на этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Для нахождения производных основных элементарных функций удобно использовать следующую таблицу: «Формулы дифференцирования».

Формулы дифференцирования:

Заказать контрольную работу по высшей математике
Заказать контрольную работу по высшей математике

В ряде случаев, если функция представляет собой сумму, разность, произведение или частное двух функций, для нахождения ее производной используются правила дифференцировании.

Пусть Заказать контрольную работу по высшей математике и Заказать контрольную работу по высшей математике — дифференцируемые функции, с — константа. Тогда справедливы правила нахождения производной суммы, произведения и частного двух функций:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Таким образом, для нахождения производной функции удобно использовать следующую технику. Определите, что представляет собой функция. Если она является основной элементарной — для нахождения производной сразу используйте таблицу «Формулы дифференцирования». В тех случаях, когда перед Вами сумма, разность, произведение или частное функций — сначала используйте соответствующее правило дифференцирования, затем (для дифференцирования основной элементарной функции) таблицу «Формулы дифференцирования». Рассмотрим примеры решения типовых задач.

Пример решения заказа контрольной работы №37.

Найдите производную функции

Заказать контрольную работу по высшей математике

Решение:

Функция представляет собой сумму и разность функций. Тогда для нахождения её производной воспользуемся правилом Заказать контрольную работу по высшей математике

Заказать контрольную работу по высшей математике

Константу можно вынести за знак производной по правилу: Заказать контрольную работу по высшей математике Тогда

Заказать контрольную работу по высшей математике

Далее воспользуемся формулами нахождения производных:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Ответ:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Контрольная работа №11. Нахождение производной сложной функции

Цель: формирование умения находить производную сложной функции.

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Рассмотрим функции Заказать контрольную работу по высшей математике и Заказать контрольную работу по высшей математике. Тогда функция Заказать контрольную работу по высшей математике будет называться сложной

функцией. Например, если Заказать контрольную работу по высшей математике будет являться сложной функцией.

Для нахождения производной сложной функции используется следующая теорема: если функция Заказать контрольную работу по высшей математике дифференцируема по переменной Заказать контрольную работу по высшей математике, а функция Заказать контрольную работу по высшей математике дифференцируема по переменной Заказать контрольную работу по высшей математике, то сложная функция Заказать контрольную работу по высшей математике дифференцируема по переменной Заказать контрольную работу по высшей математике, причем её производная вычисляется по формуле: Заказать контрольную работу по высшей математике.

Функцию Заказать контрольную работу по высшей математике называют основной функцией, а Заказать контрольную работу по высшей математике— «сложностью». Тогда правило нахождения производной сложной функции будет иметь вид: производная сложной функции равна производной основной функции, умноженной на производную «сложности»: Заказать контрольную работу по высшей математике.

Для нахождения производных конкретных сложных функций целесообразно использовать следующую технику: принять какое-либо выражение за Заказать контрольную работу по высшей математике, чтобы прийти к одной из формул таблицы «Формулы дифференцирования сложных функций».

Формулы дифференцирования сложных функций

Заказать контрольную работу по высшей математике

Рассмотрим нахождение производных сложных функций на конкретных примерах.

Пример решения заказа контрольной работы №41.

Найдите производную функции Заказать контрольную работу по высшей математике.

Решение:

Функция Заказать контрольную работу по высшей математике — сложная функция. Обозначим Заказать контрольную работу по высшей математике и придем к показательной функции Заказать контрольную работу по высшей математике. Найдем ее производную по таблице производных сложных функций:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Заменяя Заказать контрольную работу по высшей математике через Заказать контрольную работу по высшей математике придем к производной вида:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Ответ:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Контрольная работа №12. Решение задач на нахождение производных высших порядков, раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя

Цель: формирование умения находить производные высших порядков, вычислять пределы функций, раскрывая неопределенности по правилу Лопиталя.

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала. Понятие производной высших порядков

Пусть Заказать контрольную работу по высшей математике — дифференцируемая на интервале Заказать контрольную работу по высшей математике функция. Тогда ее производная Заказать контрольную работу по высшей математике — тоже функция, определенная на интервале Заказать контрольную работу по высшей математике. И у нее можно найти производную, называемую производной второго порядка или второй производной. Итак, производная от первой производной Заказать контрольную работу по высшей математике называется второй производной функции и обозначается Заказать контрольную работу по высшей математике или Заказать контрольную работу по высшей математике.

Пример решения заказа контрольной работы №45.

Найдите вторую производную функции

Заказать контрольную работу по высшей математике

Решение:

Найдем

Заказать контрольную работу по высшей математике

Найдем Заказать контрольную работу по высшей математике как производную от

Заказать контрольную работу по высшей математике

Ответ:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Вторая производная — тоже представляет собой функцию, следовательно, существует производная второй производной Заказать контрольную работу по высшей математике называемая третьей производной или Заказать контрольную работу по высшей математике. Так, в примере 1. Заказать контрольную работу по высшей математике

Аналогично вводится определение четвертой производной

Заказать контрольную работу по высшей математике

пятой производной

Заказать контрольную работу по высшей математике

Заказать контрольную работу по высшей математике-и производной

Заказать контрольную работу по высшей математике

Таким образом, производной Заказать контрольную работу по высшей математике-го порядка функции Заказать контрольную работу по высшей математике называется производная от производной (Заказать контрольную работу по высшей математике-1)-го порядка (если она существует).

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Контрольная работа №13. Решение задач на определение промежутков возрастании и убывании, нахождение экстремумов функции

Цель: формирование умения находить промежутки возрастания и убывания функции, исследовать функцию на экстремум с помощью производной.

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала: I. Признаки возрастания и убывания функции

Критерий возрастания и убывания функции: пусть Заказать контрольную работу по высшей математике — дифференцируемая на интервале Заказать контрольную работу по высшей математике функция. Функция Заказать контрольную работу по высшей математике возрастает на Заказать контрольную работу по высшей математике тогда и только тогда, когда её производная больше или равна нулю в любой точке этого промежутка.

Функция Заказать контрольную работу по высшей математике убывает на Заказать контрольную работу по высшей математике тогда и только тогда, когда её производная меньше или равна нулю в любой точке этого промежутка.

Критерий возрастания и убывания функции удобно представляется в виде схемы:

Заказать контрольную работу по высшей математике

II. Достаточные условия существования экстремума

Критическими точками функции (первого рода) называются точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. По теореме Ферма (необходимое условие существования экстремума функции), точки экстремума нужно искать среди критических точек. Но не любая критическая точка является точкой экстремума функции. Чтобы выяснить, в каких критических точках функция имеет экстремум, рассмотрим достаточные условия существования экстремума.

Достаточные условия существования экстремума (критерий нахождения точек экстремума): пусть функция Заказать контрольную работу по высшей математикенепрерывна и дифференцируема в некоторой окрестности точки Заказать контрольную работу по высшей математике. Тогда:

  1. если производная Заказать контрольную работу по высшей математике при переходе через точку Заказать контрольную работу по высшей математике меняет знак с плюса на минус, то точка Заказать контрольную работу по высшей математике является точкой максимума;
  2. если производная Заказать контрольную работу по высшей математике при переходе через точку Заказать контрольную работу по высшей математике меняет знак с минуса на плюс, то точка Заказать контрольную работу по высшей математике является точкой минимума.

Критерий нахождения точек экстремума функции удобно представляется в виде схемы:

Заказать контрольную работу по высшей математике
Заказать контрольную работу по высшей математике

Для нахождения промежутков монотонности и экстремумов функции используется следующий алгоритм:

  1. Найдите область определения функции.
  2. Найдите первую производную функции.
  3. Определите критические точки первого рода Заказать контрольную работу по высшей математике или Заказать контрольную работу по высшей математике не существует).
  4. На числовой оси отметьте критические точки и определите знаки производной на каждом из получившихся интервалов.
  5. Найдите интервалы монотонности, выпишите точки экстремума функции (если они есть), используя соответствующие критерии, вычислите значения функции в точках экстремума.

Пример решения заказа контрольной работы №51.

Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции

Заказать контрольную работу по высшей математике

Решение:

1. Данная функция определена на множестве Заказать контрольную работу по высшей математике.

Найдем первую производную функции:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Определим критические точки первого рода

Заказать контрольную работу по высшей математике
Заказать контрольную работу по высшей математике

На числовой оси отметим критические точки Заказать контрольную работу по высшей математике. Эти точки разбивают область определения функции на три интервала Заказать контрольную работу по высшей математике. Расставим знаки производной функции Заказать контрольную работу по высшей математике на каждом из полученных интервалов:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Согласно критерию возрастания и убывания функция

Заказать контрольную работу по высшей математике

возрастает при Заказать контрольную работу по высшей математике, убывает при Заказать контрольную работу по высшей математике.

Согласно критерию нахождения точек экстремума Заказать контрольную работу по высшей математике — точка максимума, Заказать контрольную работу по высшей математике — точка минимума. Для нахождения экстремумов вычислим значения функции в этих точках:

Заказать контрольную работу по высшей математике

максимум функции;

Заказать контрольную работу по высшей математике

минимум функции.

Ответ:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Дополнительный пример решения заказа к этой теме:

Контрольная работа №14. Определение промежутков выпуклости, вогнутости графика функций, нахождение точек перегиба

Цель: формирование умения находить промежутки выпуклости, вогнутости графика функции и его точки перегиба.

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

График функции Заказать контрольную работу по высшей математике называется вогнутым на интервале Заказать контрольную работу по высшей математике если он расположен выше любой касательной к графику функции на данном интервале.

График функции Заказать контрольную работу по высшей математике называется выпуклым на интервале Заказать контрольную работу по высшей математике, если он расположен ниже любой касательной к графику функции на данном интервале.

Точка графика непрерывной функции, в которой меняется характер выпуклости, называется точкой перегиба.

Функция может иметь несколько интервалов выпуклости и вогнутости, несколько точек перегиба. При определении промежутков выпуклости и вогнутости в качестве ответа выбирают интервал значений: точки перегиба не относят ни к промежуткам выпуклости, ни к промежуткам вогнутости.

Так, график функции на рис.1, является выпуклым на промежутках Заказать контрольную работу по высшей математике и Заказать контрольную работу по высшей математике вогнутым на Заказать контрольную работу по высшей математике. График функции имеет две точки перегиба: Заказать контрольную работу по высшей математике и Заказать контрольную работу по высшей математике

Заказать контрольную работу по высшей математике

Критерий выпуклости-вогнутости функции: если функция Заказать контрольную работу по высшей математике имеет положительную вторую производную, то график функции на интервале Заказать контрольную работу по высшей математике вогнутый;

если функция Заказать контрольную работу по высшей математике имеет отрицательную вторую производную, то график функции на интервале Заказать контрольную работу по высшей математике выпуклый.

Критерий выпуклости-вогнутости функции удобно представляется в виде схемы:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Таким образом, исследовать функцию на выпуклость-вогнутость означает найти те интервалы области определения, в которых вторая производная сохраняет свой знак.

Критическими точками функции второго рода называются те точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Только критические точки могут быть точками перегиба. Для их нахождения используется следующая теорема:

Теорема (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная Заказать контрольную работу по высшей математике при переходе через точку Заказать контрольную работу по высшей математике меняет знак, то точка графика с абсциссой Заказать контрольную работу по высшей математике является точкой перегиба.

При исследовании функции Заказать контрольную работу по высшей математике на выпуклость-вогнутость и точки перегиба удобно использовать следующий алгоритм:

  1. Найдите область определения функции.
  2. Найдите первую производную функции Заказать контрольную работу по высшей математике.
  3. Найдите вторую производную функции Заказать контрольную работу по высшей математике.
  4. Определите критические точки второго рода (Заказать контрольную работу по высшей математике или Заказать контрольную работу по высшей математике не существует).
  5. На числовой оси отметьте критические точки второго рода и определите знаки второй производной на каждом из получившихся интервалов.
  6. Найдите интервалы выпуклости-вогнутости графика функции, используя соответствующие критерии; выпишите абсциссы точек перегиба (если они есть) и найдите значение функции в этих точках.

Пример решения заказа контрольной работы №53.

Найдите промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции

Заказать контрольную работу по высшей математике

Решение:

1. Данная функция определена на множестве Заказать контрольную работу по высшей математике.

Найдем первую производную функции:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Найдем вторую производную функции:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Определим критические точки второго рода Заказать контрольную работу по высшей математике.

На числовой оси отметим критическую точку Заказать контрольную работу по высшей математике. Она разбивает область определения функции на два интервала Заказать контрольную работу по высшей математике и Заказать контрольную работу по высшей математике. Расставим знаки второй производной функции Заказать контрольную работу по высшей математике на каждом из полученных интервалов:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Согласно критерию выпуклости-вогнутости график функции

Заказать контрольную работу по высшей математике

выпуклый при Заказать контрольную работу по высшей математике, вогнутый при Заказать контрольную работу по высшей математике.

Значение Заказать контрольную работу по высшей математике — абсцисса точки перегиба. Вычислим значение функции при Заказать контрольную работу по высшей математике:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Итак, точка с координатами (3;2) — точка перегиба.

Ответ: график функции Заказать контрольную работу по высшей математике выпуклый при Заказать контрольную работу по высшей математике, вогнутый при Заказать контрольную работу по высшей математике — точка перегиба.

Дополнительный пример решения заказа к этой теме:

Контрольная работа №15. Нахождение асимптот графика функции

К оглавлению…

Цель: формирование умения находить асимптоты графика функции.

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала: Поиск асимптот является одним из важных этапов построения графиков функций. Асимптоты бывают трех видов: вертикальная, горизонтальная и наклонная.

Прямая Заказать контрольную работу по высшей математике называется вертикальной асимптотой функции Заказать контрольную работу по высшей математике, если Заказать контрольную работу по высшей математике.

Прямая Заказать контрольную работу по высшей математике называется горизонтальной асимптотой функции Заказать контрольную работу по высшей математике, если Заказать контрольную работу по высшей математике.

Прямая Заказать контрольную работу по высшей математике называется наклонной асимптотой функции Заказать контрольную работу по высшей математике если Заказать контрольную работу по высшей математике.

На чертеже асимптоты принято обозначать пунктирными линиями.

Рассмотрим следующий искусственно составленный график функции (рис.1), на примере которого хорошо видны все виды асимптот:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Горизонтальные и наклонные асимптоты рассматриваются только при условии Заказать контрольную работу по высшей математике. Иногда их различают на горизонтальные и наклонные асимптоты при Заказать контрольную работу по высшей математике и Заказать контрольную работу по высшей математике. Для поиска асимптот удобно использовать следующий алгоритм:

Для поиска вертикальных асимптот находим точки, не принадлежащие области определения Заказать контрольную работу по высшей математике и проверяем следующее условие: если Заказать контрольную работу по высшей математике, то Заказать контрольную работу по высшей математике вертикальная асимптота. Вертикальных асимптот может быть одна, несколько или не быть совсем.

  • Для поиска горизонтальных асимптот находим Заказать контрольную работу по высшей математике.
    Если с — число, то Заказать контрольную работу по высшей математике — горизонтальная асимптота;

Если с — бесконечность, то горизонтальных асимптот нет.

Для поиска наклонных асимптот находим Заказать контрольную работу по высшей математике.

Если Заказать контрольную работу по высшей математике — число, отличное от 0, то находим Заказать контрольную работу по высшей математике). Тогда Заказать контрольную работу по высшей математике — наклонная асимптота;

• Если Заказать контрольную работу по высшей математике — бесконечность, то наклонных асимптот нет.

Если функция представляет собой отношение двух многочленов, то при наличии у функции горизонтальных асимптот наклонные асимптоты искать не будем — их нет. Рассмотрим примеры нахождения асимптот функции:

Пример решения заказа контрольной работы №55.

Найдите асимптоты графика функции Заказать контрольную работу по высшей математике

Решение:

1. Найдем область определения функции: Заказать контрольную работу по высшей математике.

Проверим, является ли прямая Заказать контрольную работу по высшей математике вертикальной асимптотой. Для этого вычислим предел функции Заказать контрольную работу по высшей математике в точке Заказать контрольную работу по высшей математике.

Получили, что Заказать контрольную работу по высшей математике, следовательно, Заказать контрольную работу по высшей математике — вертикальная асимптота.

Для поиска горизонтальных асимптот находим Заказать контрольную работу по высшей математике

Поскольку в пределе фигурирует неопределенность Заказать контрольную работу по высшей математике, воспользуемся правилом Лапиталя:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Т.к. Заказать контрольную работу по высшей математике (число), то Заказать контрольную работу по высшей математике — горизонтальная асимптота.

Так как функция представляет собой отношение многочленов, то при наличии горизонтальных асимптот утверждаем, что наклонных асимптот нет.

Таким образом, данная функция имеет вертикальную асимптоту Заказать контрольную работу по высшей математике и горизонтальную асимптоту Заказать контрольную работу по высшей математике.

Ответ: график функции Заказать контрольную работу по высшей математике имеет вертикальную асимптоту Заказать контрольную работу по высшей математике и горизонтальную асимптоту Заказать контрольную работу по высшей математике.

Дополнительный пример решения заказа к этой теме:

Советую посмотреть контрольную работу №16 повышенной сложности:

Контрольная работа №17. Нахождение неопределённых интегралов методом непосредственного интегрировании

Цель: формирование умения находить неопределённые интегралы методом непосредственного интегрирования.

Методические указания но выполнению работы:

Напомним, что суть дифференцирования: по заданной функции Заказать контрольную работу по высшей математике найти её производную. Интегрирование — операция, обратная дифференцированию: нахождение первоначальной функции Заказать контрольную работу по высшей математике по известной производной Заказать контрольную работу по высшей математике.

Функция Заказать контрольную работу по высшей математике называется первообразной для функции Заказать контрольную работу по высшей математике на интервале Заказать контрольную работу по высшей математике), если для всех .v из этого промежутка справедливо равенство: Заказать контрольную работу по высшей математике.

Основное свойство первообразных: множество первообразных для функции Заказать контрольную работу по высшей математике задается формулой: Заказать контрольную работу по высшей математике, где Заказать контрольную работу по высшей математике — константа.

Множество всех первообразных для функции Заказать контрольную работу по высшей математике называется неопределённым интегралом от функции Заказать контрольную работу по высшей математике и обозначается символом Заказать контрольную работу по высшей математике, т.е.

Заказать контрольную работу по высшей математике

Свойства неопределенного интеграла:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Для нахождения неопределённых интегралов существует несколько методов. Рассмотрим первый метод — метод непосредственного интегрирования.

В основе метода — сведение неопределенного интеграла к одному или нескольким табличным путем преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла.

Основные формулы интегрирования:

Заказать контрольную работу по высшей математике

При нахождении неопределенных интегралов методом непосредственного интегрирования используйте следующие рекомендации:

Проанализируйте, что представляет собой выражение под знаком интеграла. • Если подынтегральное выражение представляет собой сумму или разность функций, то воспользуйтесь свойством:

Заказать контрольную работу по высшей математике

представьте интеграл как сумму и разность соответствующих интегралов. Вынесите константы за знаки интегралов (Заказать контрольную работу по высшей математике) и возьмите табличные интегралы (разберите пример 1).

Если в подынтегральном выражении встречаются члены вида

Заказать контрольную работу по высшей математике

то с помощью формул

Заказать контрольную работу по высшей математике

приведите каждый одночлен к табличному интегралу:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Если подынтегральное выражение представляет собой произведение функций, попробуйте раскрыть скобки, выполнить преобразования и прийти к табличным интегралам (разберите пример 3).

Если подынтегральное выражение представляет собой дробь, в знаменателе которой стоит одночлен, то разделите почленно каждое слагаемое числителя на знаменатель и придите к табличным интегралам (разберите пример 4). В остальных случаях попробуйте:

  • разложить числитель и знаменатель на множители и выполнить соответствующие сокращения;
  • добавить и вычесть из числителя какое-либо выражение, чтобы возможно было представить дробь как сумму двух дробей, одна из которых сокращается, а от другой можно взять табличный интеграл.

Пример решения заказа контрольной работы №57.

Найдите

Заказать контрольную работу по высшей математике

Решение:

Воспользуемся свойствами неопределенного интеграла: представим интеграл как сумму и разность соответствующих интегралов:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Вынесем константы за знак интеграла:

Заказать контрольную работу по высшей математике

и воспользуемся табличными интегралами. Получим, что

Заказать контрольную работу по высшей математике

Ответ:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Контрольная работа №18. Нахождение неопределённых интегралов методом подстановки

Цель: формирование умения находить неопределённые интегралы методом подстановки.

Методические указания но выполнению работы:

Некоторыми сложными функциями будем считать функции вида Заказать контрольную работу по высшей математике, где Заказать контрольную работу по высшей математике и Заказать контрольную работу по высшей математике любые действительные числа, Заказать контрольную работу по высшей математике — функция, от которой существует табличный интеграл.

Так, Заказать контрольную работу по высшей математике — примеры некоторых сложных функций. В аргументе этих функций переменная Заказать контрольную работу по высшей математике— находится только в первой степени!

Для нахождения интеграла от некоторых сложных функций будем использовать формулу:

Заказать контрольную работу по высшей математике

или применять следующий алгоритм:

Проанализируйте, к какому табличному интегралу можно свести данный интеграл.

Вместо Заказать контрольную работу по высшей математике в табличный интеграл подставьте выражение Заказать контрольную работу по высшей математике из исходного интеграла.

В правую часть введите дополнительный множитель Заказать контрольную работу по высшей математике, где Заказать контрольную работу по высшей математике — коэффициент перед Заказать контрольную работу по высшей математике.

Рассмотрим нахождение интеграла от некоторых сложных функций на примерах.

Пример решения заказа контрольной работы №61.

Найдите Заказать контрольную работу по высшей математике.

Решение:

Видим, что под знаком интеграла стоит некоторая сложная функция. Воспользуемся табличным интегралом Заказать контрольную работу по высшей математике.

В нашем примере в качестве аргумента выступает угол 2Заказать контрольную работу по высшей математике. Выделим коэффициент Заказать контрольную работу по высшей математике, стоящий перед Заказать контрольную работу по высшей математике, следовательно, в правую часть мы должны ввести множитель Заказать контрольную работу по высшей математике, то есть Заказать контрольную работу по высшей математике. Тогда получим, что

Заказать контрольную работу по высшей математике

Ответ:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Дополнительная теория к теме:

Контрольная работа №19. Нахождение неопределённых интегралов методом по частям

Цель: формирование умения находить неопределённые интегралы методом по частям.

Методические указания по выполнению работы:

При вычислении интеграла методом по частям подынтегральное выражение Заказать контрольную работу по высшей математике представляют в виде произведения двух множителей Заказать контрольную работу по высшей математике и Заказать контрольную работу по высшей математике причем Заказать контрольную работу по высшей математике обязательно входит в Заказать контрольную работу по высшей математике.

Далее пользуются формулой интегрирования по частям:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Существуют интегралы, которые удобно находить методом интегрирования по частям:

1. В интегралах вида

Заказать контрольную работу по высшей математике

где Заказать контрольную работу по высшей математике — многочлен, Заказать контрольную работу по высшей математике — const, за Заказать контрольную работу по высшей математике принимают многочлен Заказать контрольную работу по высшей математике, остальные множители — за Заказать контрольную работу по высшей математике.

  • Если в подынтегральной функции один из множителей — логарифмическая или обратные тригонометрические функции Заказать контрольную работу по высшей математике, то их обозначают за Заказать контрольную работу по высшей математике, остальные множители — за Заказать контрольную работу по высшей математике.

Для нахождения неопределенного интеграла методом по частям используйте следующий алгоритм:

Разбейте подынтегральное выражение на Заказать контрольную работу по высшей математике и Заказать контрольную работу по высшей математике (в соответствии с правилом, рассмотренным выше).

Найдите

Заказать контрольную работу по высшей математике

Подставьте Заказать контрольную работу по высшей математике и Заказать контрольную работу по высшей математике в формулу Заказать контрольную работу по высшей математике и возьмите получившийся интеграл.

Рассмотрим применение метода интегрирования по частям на примерах.

Пример решения заказа контрольной работы №67.

Найдите Заказать контрольную работу по высшей математике.

Решение:

1. Поскольку под знаком интеграла встречается логарифмическая функция, то ее принимаем за Контрольная работа по высшей математике на заказ. Остальные множители принимаем за Контрольная работа по высшей математике на заказ.

Находим

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Находим Контрольная работа по высшей математике на заказ (полагаем Контрольная работа по высшей математике на заказ).

Воспользуемся формулой

Контрольная работа по высшей математике на заказ
Контрольная работа по высшей математике на заказ

Ответ:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Дополнительный пример решения заказа к этой теме:

Контрольная работа №20. Нахождение определённых интегралов методом непосредственного интегрировании

Цель: формирование умения находить определённые интегралы методом непосредственного интегрирования и как интегралы от некоторых сложных функций.

Методические указания по выполнению работы:

Определенным интегралом от функции Контрольная работа по высшей математике на заказ на отрезке Контрольная работа по высшей математике на заказ называют предел интегральных сумм Контрольная работа по высшей математике на заказ при Контрольная работа по высшей математике на заказ и Контрольная работа по высшей математике на заказ где Контрольная работа по высшей математике на заказ), который не зависит ни от способа разбиения отрезка Контрольная работа по высшей математике на заказ на части, ни от выбора точек Контрольная работа по высшей математике на заказ

Числа Контрольная работа по высшей математике на заказ и Контрольная работа по высшей математике на заказ называются соответственно нижней и верхней границами интегрирования. Контрольная работа по высшей математике на заказ -подынтегральной функцней, Контрольная работа по высшей математике на заказ — подынтегральным выражением. Контрольная работа по высшей математике на заказ — переменной интегрирования, отрезок Контрольная работа по высшей математике на заказ — областью (отрезком) интегрирования.

При нахождении определённых интегралов используют следующие методы: 1. Heпосредственное интегрирование — метод, основанный на использовании свойств определённого интеграла и формулы Ньютона-Лейбница. Основные свойства определенного интеграла:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Формула Ньютона-Лейбница:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Для нахождения определённых интегралов методом непосредственного интегрирования можно использовать следующий алгоритм:

  1. Найдите неопределённый интеграл от заданной функции (если возникают сложности, перечитайте методические указания к выполнению задания 22).
  2. Выпишите получившуюся первообразную функции, в которую вместо слагаемого С запишите вертикальную черту с верхними и нижними границами интегрирования.
  3. По формуле Ньютона-Лейбница в первообразную вместо переменной подставьте сначала верхнюю границу, затем запишите знак «минус», затем подставьте нижнюю границу интегрирования.

Советуем рассмотреть реализацию данного метода на примере:

Пример решения заказа контрольной работы №69.

Вычислите

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Решение:

1. Найдем неопределенный интеграл от заданной функции:

Контрольная работа по высшей математике на заказ
Контрольная работа по высшей математике на заказ

Для нахождения определённого интеграла вместо константы Контрольная работа по высшей математике на заказ введём границы интегрирования:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

В полученную первообразную подставим сначала верхнюю, потом нижнюю границы интегрирования:

Контрольная работа по высшей математике на заказ
Контрольная работа по высшей математике на заказ

Раскроем скобки:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Ответ:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Дополнительная теория к теме:

Советую посмотреть контрольную работу №21 повышенной сложности:

Контрольная работа №22. Нахождение определённых интегралов методом но частям

Цель: формирование умения находить определённые интегралы методом по частям.

Методические указания по выполнению работы:

Интегрирование по частям — осуществляется с использованием формулы

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Рекомендации по выбору Контрольная работа по высшей математике на заказ и Контрольная работа по высшей математике на заказ, а также алгоритм нахождения интеграла методом но частям были подробно разобраны в методических указаниях к выполнению задания №21.

Рассмотрим примеры применения метода интегрирования по частям в определенном интеграле.

Пример решения заказа контрольной работы №72.

Найдите

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Решение:

Исходный интеграл имеет вид Контрольная работа по высшей математике на заказ следовательно, за Контрольная работа по высшей математике на заказ принимаем многочлен Контрольная работа по высшей математике на заказ, остальные множители примем за Контрольная работа по высшей математике на заказ

Находим Контрольная работа по высшей математике на заказ

Находим Контрольная работа по высшей математике на заказ (интеграл от некоторой сложной функции, полагаем Контрольная работа по высшей математике на заказ).

По формуле

Контрольная работа по высшей математике на заказ

имеем:

Контрольная работа по высшей математике на заказ
Контрольная работа по высшей математике на заказ

Преобразуем каждое слагаемое отдельно:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Тогда исходный интеграл равен

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Ответ:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Советую посмотреть контрольную работу №23 повышенной сложности:

Контрольная работа №24. Нахождение несобственных интегралов

Цель: формирование умения находить несобственные интегралы 1 рода.

Методические указания по выполнению работы:

Несобетвенными будем считать интегралы двух видов:

Определённые интегралы от непрерывной функции, у которых один или оба пределы интегрирования равны бесконечности:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Их называют несобственными интегралами I рода.

Определённые интегралы от разрывной функции с конечными пределами интегрирования. Их называют несобственными интегралами II рода.

Для нахождения несобственных интегралов I рода будем использовать формулы:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

где Контрольная работа по высшей математике на заказ — произвольное число.

Если найденный предел равен конечному числу, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если указанный предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.

Удобен следующий алгоритм нахождения несобственных интегралов:

  1. Проверьте, является ли подынтегральная функция непрерывной на области интегрирования.
  2. Используя одну из формул (*) от несобственного интеграла перейдите к пределу.
  3. Отдельно найдите определённый интеграл с переменной границей Контрольная работа по высшей математике на заказ или Контрольная работа по высшей математике на заказ.
  4. Подставьте полученное выражение под знак предела и найдите его значение.
  5. Проанализируйте, является ли исходный интеграл сходящимся (значение предела — конечное число) или расходящимся (значение предела — бесконечность).

Рассмотрим примеры нахождения несобственных интегралов I рода.

Пример решения заказа контрольной работы №74.

Вычислите несобственный интеграл или установить его расходимость:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Решение:

Подынтегральная функция Контрольная работа по высшей математике на заказ непрерывна на промежутке Контрольная работа по высшей математике на заказ.

Воспользуемся формулой:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Отдельно найдём определённый интеграл с переменной границей Контрольная работа по высшей математике на заказ:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Подставим полученное выражение под знак предела и найдём его значение:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Так как значение предела бесконечность, несобственный интеграл расходится.

Ответ: Контрольная работа по высшей математике на заказ расходится.

Дополнительный пример решения заказа:

Контрольная работа №25. Построение поверхности — графика функции двух переменных — в программе Microsoft Excel

Цель: формирование умения составлять таблицу значений для функции двух переменных и строить её график, используя возможности программы Microsoft Excel.

Методические указания по выполнению работы:

Зависимость Контрольная работа по высшей математике на заказ переменной Контрольная работа по высшей математике на заказ от пары значений переменных Контрольная работа по высшей математике на заказ и Контрольная работа по высшей математике на заказ, при которой каждой паре значений переменных Контрольная работа по высшей математике на заказ и Контрольная работа по высшей математике на заказ, принадлежащей некоторому множеству пар Контрольная работа по высшей математике на заказ, сопоставляется по определённому правилу Контрольная работа по высшей математике на заказ единственное значение переменной Контрольная работа по высшей математике на заказ называется функцией двух переменных, определенной на множестве Контрольная работа по высшей математике на заказ со значениями в Контрольная работа по высшей математике на заказ.

Множество Контрольная работа по высшей математике на заказ пар значений, которые могут принимать независимые переменные Контрольная работа по высшей математике на заказ и Контрольная работа по высшей математике на заказ (значение функции при этом является числом), называется областью определения функции двух переменных.

Графиком функции Контрольная работа по высшей математике на заказ, определенной в области Контрольная работа по высшей математике на заказ, называется множество точек Контрольная работа по высшей математике на заказ трехмерного пространства, у которых Контрольная работа по высшей математике на заказ принадлежит Контрольная работа по высшей математике на заказ и Контрольная работа по высшей математике на заказ.

Как правило, график функции двух действительных переменных представляет собой некоторую поверхность в пространстве. Для её построения в программе Microsoft Excel рекомендуем использовать следующий алгоритм:

  • В программе Microsoft Excel составьте таблицу, где в строку заносите значение переменной Контрольная работа по высшей математике на заказ, в столбец — значение Контрольная работа по высшей математике на заказ. По условию задачи Контрольная работа по высшей математике на заказ и Контрольная работа по высшей математике на заказ принимают значения от -1 до 1 с шагом 0,2:
Контрольная работа по высшей математике на заказ
  • Заполните ячейки таблицы значениями функции Контрольная работа по высшей математике на заказ.
  • Используя мастер диаграмм, постройте соответствующую функции Контрольная работа по высшей математике на заказ поверхность. Используйте правильные подписи числовых значений по осям 0Контрольная работа по высшей математике на заказ и 0Контрольная работа по высшей математике на заказ.
  • Оформите Вашу работу по образцу:
Контрольная работа по высшей математике на заказ

Если при выполнении работы у Вас возникают сложности, обратитесь к разбору примера 1.

Пример решения заказа контрольной работы №76.

Постройте график функции Контрольная работа по высшей математике на заказ.

Решение:

Составим в программе Microsoft Excel таблицу значений функций Контрольная работа по высшей математике на заказ. Для этого в ячейки B1: L1 поместим значения переменной Контрольная работа по высшей математике на заказ от -1 до 1 с шагом 0,2. В ячейки А2: А12 поместим значения переменной Контрольная работа по высшей математике на заказ от-1 до 1 с шагом 0,2.

Остальные ячейки B2:L12 должны содержать формулы для нахождения значений функции Контрольная работа по высшей математике на заказ

Например, формула в ячейке В2 имеет вид: = В1А2 — А2А2. Можно использовать возможность таблиц подстановки!

Контрольная работа по высшей математике на заказ
  • Используя мастер диаграмм, выберем тип диаграммы «поверхность», в качестве диапазона данных взяв диапазон ячеек B2:L12.

Необходимо изменить подписи по осям 0Контрольная работа по высшей математике на заказ и 0Контрольная работа по высшей математике на заказ, использовав вкладку «Конструктор», пункт «Выбрать данные».

График функции Контрольная работа по высшей математике на заказ будет иметь следующий вид:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Не правда ли, очень напоминает седло?

И у Вас обязательно получится что-то интересное! Экспериментируйте! Желаем успеха!

Для различных функций двух переменных область определения имеет разный вид. Она может представлять собой конечную или бесконечную часть плоскости, ограниченную одной или несколькими непрерывными линиями — границами области. Возможен случай, когда какая — то из границ превращается в одну точку.

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Контрольная работа №26. Нахождение частных производных функции двух переменных

Цель: формирование умения находить частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных.

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Частной производной функции двух переменных Контрольная работа по высшей математике на заказ по переменной Контрольная работа по высшей математике на заказ в точке Контрольная работа по высшей математике на заказ называется существующий предел отношения частного приращения функции в этой точке по переменной Контрольная работа по высшей математике на заказ к приращению этой переменной при условии, что последнее стремится к нулю:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Аналогично определяется и обозначается частная производная функции двух переменных Контрольная работа по высшей математике на заказ но переменной Контрольная работа по высшей математике на заказ в точке Контрольная работа по высшей математике на заказ:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Таким образом, частная производная функции двух неременных определяется как производная функции одной из этих неременных при условии постоянства значений другой переменной.

Частные производные функции трех и более переменных определяются аналогичным образом. Поэтому техника нахождения частных производных ничем не отличается от обычного дифференцирования, нужно только помнить, что при дифференцировании функции нескольких переменных по какой — либо переменной все остальные переменные принимаются за постоянные. Рассмотрим примеры нахождения частных производных функций двух переменных.

Пример решения заказа контрольной работы №79.

Найдите частные производные функции Контрольная работа по высшей математике на заказ но переменным Контрольная работа по высшей математике на заказ и Контрольная работа по высшей математике на заказ.

Решение:

Для нахождения частной производной функции по переменной Контрольная работа по высшей математике на заказ рассматриваем Контрольная работа по высшей математике на заказ как постоянную величину. Используя правила дифференцирования разности и суммы, получаем:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Для нахождения частной производной функции по переменной Контрольная работа по высшей математике на заказ рассматриваем Контрольная работа по высшей математике на заказ как постоянную величину. Используя правила дифференцирования разности и суммы, получаем:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Ответ:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Дополнительная теория к теме:

Контрольная работа №27. Нахождение частных производных второго порядка функции двух переменных

Цель: формирование умения находить частные производные и дифференциалы второго порядка функций нескольких переменных.

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Частные производные Контрольная работа по высшей математике на заказ и Контрольная работа по высшей математике на заказ функции двух действительных переменных Контрольная работа по высшей математике на заказ называют частными производными первого порядка. Частная производная от частной производной первого порядка называется частной производной второго порядка. Функция Контрольная работа по высшей математике на заказ двух действительных переменных имеет четыре частных производных второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

Контрольная работа по высшей математике на заказ — частная производная второго порядка функции Контрольная работа по высшей математике на заказ по переменной Контрольная работа по высшей математике на заказ;

Контрольная работа по высшей математике на заказ — частная производная второго порядка функции Контрольная работа по высшей математике на заказ по переменной Контрольная работа по высшей математике на заказ;

Контрольная работа по высшей математике на заказ — частная производная второго порядка функции Контрольная работа по высшей математике на заказ по переменным Контрольная работа по высшей математике на заказ и Контрольная работа по высшей математике на заказ;

Контрольная работа по высшей математике на заказ — частная производная второго порядка функции Контрольная работа по высшей математике на заказ по переменным Контрольная работа по высшей математике на заказ и Контрольная работа по высшей математике на заказ.

Рассматривая частные производные от частных производных второго порядка, получим всевозможные частные производные третьего порядка. Например, Контрольная работа по высшей математике на заказ и т.д.

Частные производные произвольного (высшего) порядка определяются аналогично. Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Таковыми являются, например, Контрольная работа по высшей математике на заказ.

Для нахождения смешанных частных производных одного порядка функции нескольких переменных, отличающихся лишь порядком дифференцирования, удобно использовать теорему Шварца.

Теорема (Шварца). Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

В частности, смешанные производные второго порядка функции Контрольная работа по высшей математике на заказ двух переменных равны: Контрольная работа по высшей математике на заказ

Пример решения заказа контрольной работы №83.

Найдите частные производные второго порядка функции

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Решение:

Для функции двух переменных существуют четыре частные производные второго порядка:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Но по теореме Шварца, смешанные производные второго порядка функции Контрольная работа по высшей математике на заказ равны: Контрольная работа по высшей математике на заказ. Значит, ограничимся поиском одной смешанной производной, например, Контрольная работа по высшей математике на заказ. Сначала найдем частные производные первого порядка функции:

Контрольная работа по высшей математике на заказ
Контрольная работа по высшей математике на заказ
Контрольная работа по высшей математике на заказ

Найдем Контрольная работа по высшей математике на заказ как частную производную по переменной Контрольная работа по высшей математике на заказ от Контрольная работа по высшей математике на заказ:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Найдем Контрольная работа по высшей математике на заказ как частную производную по переменной Контрольная работа по высшей математике на заказ от Контрольная работа по высшей математике на заказ:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Найдем Контрольная работа по высшей математике на заказ как частную производную по переменной Контрольная работа по высшей математике на заказ от Контрольная работа по высшей математике на заказ:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

По теореме Шварца,

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Ответ:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Дополнительная теория к теме:

Контрольная работа №28. Нахождение повторных интегралов

Цель: формирование умения вычислять повторные интегралы.

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Пусть на отрезке Контрольная работа по высшей математике на заказ заданы непрерывные функции Контрольная работа по высшей математике на заказ и Контрольная работа по высшей математике на заказ такие, что Контрольная работа по высшей математике на заказ,Контрольная работа по высшей математике на заказ, и пусть на области Контрольная работа по высшей математике на заказ (рис. 1) определена функция Контрольная работа по высшей математике на заказ.

Если для любого фиксированного Контрольная работа по высшей математике на заказ функция Контрольная работа по высшей математике на заказ как функция переменной Контрольная работа по высшей математике на заказ, интегрируема на отрезке Контрольная работа по высшей математике на заказ т.е. при любом Контрольная работа по высшей математике на заказ существует интеграл Контрольная работа по высшей математике на заказ, и функция

Контрольная работа по высшей математике на заказ

интегрируема на отрезке Контрольная работа по высшей математике на заказ, то интеграл

Контрольная работа по высшей математике на заказ

называется повторным интегралом и обозначается через

Контрольная работа по высшей математике на заказ

При этом Контрольная работа по высшей математике на заказ называется внутренним интегралом; Контрольная работа по высшей математике на заказ и Контрольная работа по высшей математике на заказ— внутренними.

Контрольная работа по высшей математике на заказ и Контрольная работа по высшей математике на заказ — внешними пределами интегрирования.

Внутренние пределы интегрирования в повторном интеграле могут быть как постоянными, так и переменными. Внешние пределы интегрирования всегда являются конкретными числами. Важно помнить, что глобально повторный интеграл представляет собой число.

Для вычисления повторного интеграла

Контрольная работа по высшей математике на заказ

надо последовательно взять два обычных определенных интеграла. Сначала берется внутренний интеграл

Контрольная работа по высшей математике на заказ

в котором переменная Контрольная работа по высшей математике на заказ считается постоянной. Затем берется внешний интеграл, т.е. полученное выражение, зависящее от Контрольная работа по высшей математике на заказ, интегрируется по Контрольная работа по высшей математике на заказ от Контрольная работа по высшей математике на заказ до Контрольная работа по высшей математике на заказ.

Рассмотрим пример вычисления повторного интеграла.

Пример решения заказа контрольной работы №85.

Вычислите повторный интеграл

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Решение:

Сначала найдем внутренний интеграл, считая Контрольная работа по высшей математике на заказ постоянным:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Затем найдем внешний интеграл, т.е. полученную функцию проинтегрируем по Контрольная работа по высшей математике на заказ. Тогда

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Для сокращения записи все вычисления можно оформить следующим образом:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Ответ:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Дополнительная теория к теме:

Контрольная работа №29. Нахождение двойных интегралов но прямоугольной области и произвольной области 1 типа

Цель: формирование умения вычислять двойные интегралы по прямоугольной и криволинейной областям.

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Двойным интегралом от функции Контрольная работа по высшей математике на заказ по области Контрольная работа по высшей математике на заказ называется предел последовательности интегральных сумм, не зависящий ни от способа разбиения области Контрольная работа по высшей математике на заказ на элементарные области, ни от выбора точек в них, при условии, что число слагаемых каждой интегральной суммы неограниченно возрастает, а наибольший из диаметров разбиения стремится к нулю:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Двойной интеграл вычисляется путем сведения его к повторному с применением соответствующей формулы. Вид формулы, по которой осуществляется сведение, зависит от типа области интегрирования. Различают два типа области интегрирования: прямоугольную и криволинейную. Поэтому при вычислении двойного интеграла возникают две ситуации.

1.Область интегрирования Контрольная работа по высшей математике на заказ на плоскости Контрольная работа по высшей математике на заказ является прямоугольной, т.е. ограничена прямыми

Контрольная работа по высшей математике на заказ
Контрольная работа по высшей математике на заказ

причем

Контрольная работа по высшей математике на заказ

(рис. 1).

Контрольная работа по высшей математике на заказ
Контрольная работа по высшей математике на заказ

В этом случае формула сведения двойного интеграла к повторному имеет вид:

Контрольная работа по высшей математике на заказ
  1. Область интегрирования Контрольная работа по высшей математике на заказ на плоскости Контрольная работа по высшей математике на заказ является криволинейной областью. т.е. ограничена снизу и сверху непрерывными кривыми Контрольная работа по высшей математике на заказ и Контрольная работа по высшей математике на заказ, а слева и справа — отрезками прямых Контрольная работа по высшей математике на заказ и Контрольная работа по высшей математике на заказ так, что любая прямая, параллельная оси Контрольная работа по высшей математике на заказ и проходящая внутри отрезка Контрольная работа по высшей математике на заказ пересекает границу области (кривые Контрольная работа по высшей математике на заказ и Контрольная работа по высшей математике на заказ) в двух точках (рис.2).

В этом случае формула сведения двойного интеграла к повторному имеет вид:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

При вычислении двойных интегралов удобно использовать следующий алгоритм:

Построить область интегрирования в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости (исключением может быть случай прямоугольной области).

Определить тип области и в соответствии с ним составить формулу сведения двойного интеграла к повторному.

Вычислить полученный повторный интеграл. Рассмотрим примеры вычисления двойных интегралов.

Пример решения заказа контрольной работы №87.

Вычислите двойной интеграл

Контрольная работа по высшей математике на заказ

по прямоугольной области Контрольная работа по высшей математике на заказ, ограниченной прямыми

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Решение:

Воспользуемся алгоритмом вычисления двойного интеграла. Поскольку область интегрирования является прямоугольной, мы не будем изображать её в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости.

  • Для вычисления двойного интеграла по прямоугольной области используем соответствующую формулу сведения его к повторному интегралу:
Контрольная работа по высшей математике на заказ

В нашем

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Следовательно,

Контрольная работа по высшей математике на заказ
  • Вычислим полученный повторный интеграл:
Контрольная работа по высшей математике на заказ

Таким образом, окончательно имеем:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Этот двойной интеграл по прямоугольной области можно вычислить также с использованием формулы

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Тогда

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Ответ:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Дополнительный пример решения заказа к этой теме:

Контрольная работа №30. Приложения двойных интегралов в геометрии

Цель: формирование умения применять двойные интегралы для вычисления объёмов цилиндрических тел и площадей плоских геометрических фигур.

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Двойной интеграл используется для вычисления объёма цилиндрического тела и нахождения площади плоской геометрической фигуры.

Контрольная работа по высшей математике на заказ
Контрольная работа по высшей математике на заказ

Рассмотрим функцию Контрольная работа по высшей математике на заказ,непрерывную и неотрицательную в некоторой замкнутой области Контрольная работа по высшей математике на заказ плоскости Контрольная работа по высшей математике на заказ. Тело, ограниченное сверху поверхностью Контрольная работа по высшей математике на заказ, снизу — замкнутой областью Контрольная работа по высшей математике на заказ, с боков — цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Контрольная работа по высшей математике на заказ, а направляющей служит граница области Контрольная работа по высшей математике на заказ, называется цилиндрическим (цилиндроидом) (рис. 1)

Геометрический смысл двойного интеграла заключается в том, что величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Рассмотрим пример вычисления объёма цилиндрического тела с помощью двойного интеграла.

Пример решения заказа контрольной работы №89.

Найдите объём цилиндрического тела, изображённого на рисунке (рис.2), ограниченного сверху поверхностью

Контрольная работа по высшей математике на заказ

снизу — плоскостью Контрольная работа по высшей математике на заказ, с боков плоскостями

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Решение:

Поскольку геометрически двойной интеграл от неотрицательной функции равен объёму цилиндрического тела, будем использовать формулу:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

В нашем случае

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Область интегрирования Контрольная работа по высшей математике на заказ, что хорошо видно на рисунке, представляет собой фигуру на плоскости Контрольная работа по высшей математике на заказ, ограниченную прямыми

Контрольная работа по высшей математике на заказ

т.е. является прямоугольной областью. Следовательно, для нахождения объёма данного цилиндрического тела надо вычислить двойной интеграл по прямоугольной области, т.е.

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Будем использовать соответствующую формулу сведения двойного интеграла к повторному:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Таким образом,

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Вычислим полученный повторный интеграл:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

В итоге,

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Следовательно,

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Ответ:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Дополнительный пример решения заказа к этой теме:

Дополнительная теория к теме:

Контрольная работа №31. Применение необходимого признака сходимости и свойств рядов

Цель: формирование умения применять необходимый признак сходимости и свойства рядов при исследовании сходимости рядов.

Методические указания но выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Пусть задана бесконечная числовая последовательность Контрольная работа по высшей математике на заказ

Выражение вида Контрольная работа по высшей математике на заказ называется числовым рядом. Числа называются членами ряда (соответственно первым, вторым и т.д., Контрольная работа по высшей математике на заказ-м или общим).

Для сокращенного обозначения ряда используется знак суммирования Контрольная работа по высшей математике на заказ, а именно:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Рассмотрим ряд

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Будем последовательно складывать его члены

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Полученные суммы называются частичными суммами ряда. Рассмотрим бесконечную числовую последовательность частичных сумм ряда Контрольная работа по высшей математике на заказ Ряд Контрольная работа по высшей математике на заказ называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда, т.е. Контрольная работа по высшей математике на заказ. Данный предел называют суммой ряда. Таким образом, сходящийся ряд имеет сумму (ему можно приписать конкретное число).

Ряд Контрольная работа по высшей математике на заказ называется расходящимся, если предел последовательности частичных сумм равен бесконечности или вовсе не существует. Расходящийся ряд суммы не имеет (ему нельзя приписать конкретное число).

Важными механизмами в установлении сходимости или расходимости ряда без использования последовательности его частичных сумм являются специальные признаки сходимости. Первый из них — необходимый признак сходимости.

Необходимый признак сходимости ряда, если ряд Контрольная работа по высшей математике на заказсходится, то его общий член стремится к нулю, т.е. Контрольная работа по высшей математике на заказ.

Пример решения заказа контрольной работы №91.

Проверьте, выполняется ли необходимый признак сходимости для ряда

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Решение:

Найдём общий член ряда Контрольная работа по высшей математике на заказ

Вычислим

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Так как Контрольная работа по высшей математике на заказ, следовательно, необходимый признак сходимости для ряда Контрольная работа по высшей математике на заказ выполняется. Однако, для установления сходимости (расходимости) ряда требуются дополнительные исследования.

Ответ: необходимый признак сходимости для ряда Контрольная работа по высшей математике на заказ выполняется.

Условие стремления общего члена ряда к нулю является необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда. Так, для гармонического ряда Контрольная работа по высшей математике на заказ необходимый признак сходимости выполняется:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

однако данный ряд расходится. Поэтому, если общий член ряда стремится к нулю, то о сходимости или расходимости ряда заранее ничего сказать нельзя.

На практике часто используется эквивалентное необходимому условию сходимости достаточное условие расходимости ряда: если Контрольная работа по высшей математике на заказ или вовсе не существует, то ряд Контрольная работа по высшей математике на заказ расходится.

Дополнительный пример решения заказа к этой теме:

Дополнительная теория к теме:

Контрольная работа №32. Исследование сходимости числовых положительных рядов

Цель: формирование умения применять достаточные признаки (сравнения, Даламбера, радикальный и интегральный Коши) при исследовании рядов на сходимость.

Методические указания no выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала: Числовой ряд с неотрицательными членами называется положительным (знакоположительным).

Признак сравнения позволяет исследовать положительный ряд на сходимость путем сравнения его с другим («эталонным») рядом, о котором известно, сходится он или нет.

Признак сравнения: Пусть даны два положительных ряда Контрольная работа по высшей математике на заказ и Контрольная работа по высшей математике на заказ. Если, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство Контрольная работа по высшей математике на заказ, то

из сходимости ряда Контрольная работа по высшей математике на заказ следует сходимость ряда Контрольная работа по высшей математике на заказ;

из расходимости ряда Контрольная работа по высшей математике на заказ следует расходимость ряда Контрольная работа по высшей математике на заказ.

Другими словами,

если общий член исследуемого ряда меньше общего члена сходящегося ряда, то исследуемый ряд сходится;

если общий член исследуемого ряда больше общего члена расходящегося ряда, то исследуемый ряд расходится.

В качестве «эталонных» обычно используют следующие ряды:

Контрольная работа по высшей математике на заказ — расходящийся гармонический ряд;

Контрольная работа по высшей математике на заказ, если Контрольная работа по высшей математике на заказ — расходящийся обобщённый гармонический ряд,

Контрольная работа по высшей математике на заказ , если Контрольная работа по высшей математике на заказ — сходящийся обобщённый гармонический ряд;

Контрольная работа по высшей математике на заказ, если Контрольная работа по высшей математике на заказ — расходящийся ряд геометрической прогрессии,

Контрольная работа по высшей математике на заказ, если Контрольная работа по высшей математике на заказ — сходящийся ряд геометрической прогрессии.

Рассмотрим примеры использования признака сравнения для исследования сходимости положительных рядов.

Пример решения заказа контрольной работы №94.

Исследуйте ряд Контрольная работа по высшей математике на заказ на сходимость, применяя признак сравнения.

Решение:

Сравним данный ряд с «эталонным» рядом геометрической прогрессии Контрольная работа по высшей математике на заказКонтрольная работа по высшей математике на заказ, который сходится Контрольная работа по высшей математике на заказ. Имеем:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Таким образом, общий член нашего ряда меньше общего члена сходящегося ряда. Следовательно, по признаку сравнения, ряд Контрольная работа по высшей математике на заказ.

Ответ: Контрольная работа по высшей математике на заказ— сходится.

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Дополнительная теория к теме:

Контрольная работа №33. Исследование абсолютной и условной сходимости знакочередующихся рядов

Цель: формирование умения исследовать знакочередующиеся ряды на абсолютную и условную сходимость.

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала: Ряд называется знакочередующимся. если положительные и отрицательные члены ряда следуют друг за другом поочередно:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости — признак Лейбница. Признак Лейбница. Если последовательность абсолютных величин членов знакочередующегося ряда Контрольная работа по высшей математике на заказ монотонно убывает Контрольная работа по высшей математике на заказ и общий член ряда стремится к нулю Контрольная работа по высшей математике на заказ то знакочередующийся ряд сходится.

Доказывать сходимость знакочередующегося ряда Контрольная работа по высшей математике на заказ по признаку Лейбница удобно с помощью алгоритма:

  1. выписать модуль общего члена исходного ряда Контрольная работа по высшей математике на заказ;
  2. найти Контрольная работа по высшей математике на заказ и проверить выполнение неравенств: Контрольная работа по высшей математике на заказ;
  3. найти предел общего члена ряда Контрольная работа по высшей математике на заказ и убедиться в том, что он равен нулю.

Пример решения заказа контрольной работы №99.

Исследуйте сходимость знакочередующегося ряда Контрольная работа по высшей математике на заказ с помощью признака Лейбница.

Решение:

Для исследования сходимости знакочередующегося ряда по признаку Лейбница воспользуемся алгоритмом.

Выпишем модуль общего члена исходного ряда:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Найдём

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Неравенства Контрольная работа по высшей математике на заказ справедливы, т.к.

Контрольная работа по высшей математике на заказ

(тем самым первое условие признака Лейбница выполняется).

Найдём Контрольная работа по высшей математике на заказ (второе условие признака Лейбница выполняется).

Следовательно, по признаку Лейбница знакочередующийся ряд Контрольная работа по высшей математике на заказ сходится.

Ответ: Контрольная работа по высшей математике на заказ сходится.

Дополнительная теория к теме:

Контрольная работа №34. Нахождение радиуса и интервала сходимости степенного ряда

Цель: формирование умения находить радиус и интервал сходимости степенных рядов.

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Функциональный ряд вида

Контрольная работа по высшей математике на заказ

членами которого являются степенные функции аргумента Контрольная работа по высшей математике на заказ, называется степенным (Контрольная работа по высшей математике на заказ— действительная переменная, действительные числа Контрольная работа по высшей математике на заказ — коэффициенты степенного ряда).

Радиусом сходимости Контрольная работа по высшей математике на заказ степенного ряда Контрольная работа по высшей математике на заказ называется неотрицательное действительное число или Контрольная работа по высшей математике на заказ, удовлетворяющее условиям: при всех Контрольная работа по высшей математике на заказ, для которых |Контрольная работа по высшей математике на заказ степенной ряд Контрольная работа по высшей математике на заказ сходится; при всех Контрольная работа по высшей математике на заказ, для которых Контрольная работа по высшей математике на заказ, степенной ряд Контрольная работа по высшей математике на заказ расходится.

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Если степенной ряд Контрольная работа по высшей математике на заказ сходится лишь в одной точке Контрольная работа по высшей математике на заказ = 0, то его радиус сходимости равен 0: Контрольная работа по высшей математике на заказ.

Если степенной ряд Контрольная работа по высшей математике на заказ сходится при всех действительных значениях переменной Контрольная работа по высшей математике на заказ (во всех точках числовой оси), то его радиус сходимости равен Контрольная работа по высшей математике на заказ

У любого степенного ряда есть радиус сходимости, найти который позволяет следующая теорема.

Теорема: Если для степенного ряда Контрольная работа по высшей математике на заказ существуют конечные или бесконечные пределы

Контрольная работа по высшей математике на заказ

равные Контрольная работа по высшей математике на заказ, то радиус сходимости степенного ряда находится по формуле: Контрольная работа по высшей математике на заказ.

Заметим, что находить Контрольная работа по высшей математике на заказ можно, фактически осуществляя ту же последовательность действий, что и в алгоритмах, предназначенных для исследования сходимости положительных рядов по признакам Даламбера и Коши. При этом роль общего члена положительного ряда будет играть коэффициент Контрольная работа по высшей математике на заказ степенного ряда.

Рассмотрим примеры нахождения радиуса сходимости степенного ряда.

Пример решения заказа контрольной работы №103.

Найдите радиус сходимости степенного ряда

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Решение:

Радиус сходимости степенного ряда

Контрольная работа по высшей математике на заказ

будем искать по формуле: Контрольная работа по высшей математике на заказ.

Поскольку коэффициент степенного ряда Контрольная работа по высшей математике на заказ содержит выражение Контрольная работа по высшей математике на заказ, то для нахождения Контрольная работа по высшей математике на заказ применим формулу

Контрольная работа по высшей математике на заказ

аналогичную формуле признака Даламбера. Фактически воспользуемся соответствующим алгоритмом. Для этого:

найдём коэффициент

Контрольная работа по высшей математике на заказ

найдём коэффициент

Контрольная работа по высшей математике на заказ

найдём отношение коэффициентов

Контрольная работа по высшей математике на заказ
Контрольная работа по высшей математике на заказ

Таким образом, получим

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Следовательно, так как

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Ответ:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Дополнительная теория к теме:

Контрольная работа №35. Разложение функций в ряд Маклорена

Цель: формирование умения разлагать элементарные функции в ряд Маклорена и применять данные разложения для вычисления приближённых значений выражений.

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Ряд для функции Контрольная работа по высшей математике на заказ в точке

Контрольная работа по высшей математике на заказ

называется рядом Маклорена.

Если функция Контрольная работа по высшей математике на заказ имеет в точке Контрольная работа по высшей математике на заказ производные любого порядка, то для неё можно составить ряд Маклорена. При этом функция Контрольная работа по высшей математике на заказ называется порождающей функцией для соответствующего ряда.

Пример решения заказа контрольной работы №105.

Найдите третий член ряда Маклорена

Контрольная работа по высшей математике на заказ

для функции

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Решение:

Третий член ряда Маклорена для функции Контрольная работа по высшей математике на заказ имеет вид Контрольная работа по высшей математике на заказ. Для его нахождения вычислим вторую производную функции Контрольная работа по высшей математике на заказ в точке Контрольная работа по высшей математике на заказ=0:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Подставим Контрольная работа по высшей математике на заказ в выражение Контрольная работа по высшей математике на заказ, получим:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Таким образом, третий член ряда Маклорена для функции Контрольная работа по высшей математике на заказравен Контрольная работа по высшей математике на заказ.

Ответ: Контрольная работа по высшей математике на заказ.

Дополнительный пример решения заказа к этой теме:

Дополнительная теория к теме:

Контрольная работа №36. Решение дифференциальных уравнений с разделёнными и разделяющимися переменными

Цель: формирование умений решать дифференциальные уравнения первого порядка: простейшие, с разделёнными и разделяющимися переменными.

Методические указания по выполнению работы:

Выделяют следующие виды дифференциальных уравнении первого порядка:

  • Простейшие дифференциальные уравнения — уравнения вида Контрольная работа по высшей математике на заказ.

Метод решения: взять интеграл от правой и левой части по переменной Контрольная работа по высшей математике на заказ.

Пример решения заказа контрольной работы №110.

Найдите решение дифференциального уравнения Контрольная работа по высшей математике на заказ.

Решение:

Поскольку перед нами простейшее дифференциальное уравнение первого порядка, найдем его решение по формуле Контрольная работа по высшей математике на заказ:

Контрольная работа по высшей математике на заказ
Контрольная работа по высшей математике на заказ

общее решение дифференциального уравнения

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Ответ:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Дополнительная теория к теме:

Контрольная работа №37. Решение однородных дифференциальных уравнений

Цель: формирование умений решать однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Методические указания по выполнению работы:

Однородные дифференциальные уравнения — уравнения вида

Контрольная работа по высшей математике на заказ

где

Контрольная работа по высшей математике на заказ

однородные функции одинакового порядка.

Функция Контрольная работа по высшей математике на заказ называется однородной функцией Контрольная работа по высшей математике на заказ-го порядка, если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель Контрольная работа по высшей математике на заказ вся функция умножится на Контрольная работа по высшей математике на заказ, т.е.

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Для решения однородных дифференциальных уравнений удобно использовать следующий алгоритм:

Выполните подстановки:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

В получившемся дифференциальном уравнении раскройте скобки и приведите подобные слагаемые. Должно получиться уравнение с разделяющимися переменными.

Проинтегрируйте обе части уравнения с разделяющимися переменными относительно переменных Контрольная работа по высшей математике на заказ и Контрольная работа по высшей математике на заказ. Найдите общее решение дифференциального уравнения.

  • В общем решении вернитесь к переменным Контрольная работа по высшей математике на заказ и Контрольная работа по высшей математике на заказ, подставив вместо Контрольная работа по высшей математике на заказ выражение
Контрольная работа по высшей математике на заказ

Выпишите в ответе получившееся общее решение дифференциального уравнения.

Пример решения заказа контрольной работы №113.

Найдите решение дифференциального уравнения:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Решение:

Данное уравнение — однородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Выполним подстановки:

Контрольная работа по высшей математике на заказ
Контрольная работа по высшей математике на заказ

Раскроем скобки:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Приведем подобные слагаемые: первое и последнее взаимно уничтожаются. Получим:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Перед нами уравнение с разделяющимися переменными. Соберем в левой части выражения, содержащие Контрольная работа по высшей математике на заказ, в правой — выражения, содержащие Контрольная работа по высшей математике на заказ

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Тогда

Контрольная работа по высшей математике на заказ

уравнение с разделёнными переменными.

  • Интегрируя обе части, получим:
Контрольная работа по высшей математике на заказ

Подставим вместо Контрольная работа по высшей математике на заказ выражение:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Это и есть общее решение исходного однородного дифференциального уравнения.

Ответ:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Контрольная работа №38. Решение линейных дифференциальных уравнений

Цель: формирование умений решать линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Методические указания по выполнению работы:

Линейные дифференциальные уравнения — уравнения вида Контрольная работа по высшей математике на заказ. Для решения линейных дифференциальных уравнений удобно использовать следующий алгоритм (метод Бернулли):

  1. Приведите дифференциальное уравнение к виду Контрольная работа по высшей математике на заказ и введите подстановки: Контрольная работа по высшей математике на заказ.
  2. Сгруппируйте члены, содержащие и, и вынести и за скобки.
  3. Приравняйте к нулю выражение, стоящее в скобках, и найти функцию Контрольная работа по высшей математике на заказ (необходимо решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными Контрольная работа по высшей математике на заказ и Контрольная работа по высшей математике на заказ). Функция Контрольная работа по высшей математике на заказ не должна содержать константу Контрольная работа по высшей математике на заказ!
  4. Вернитесь к дифференциальному уравнению, полученному после шага 2. Подставьте в это уравнение функцию v, найти вторую функцию Контрольная работа по высшей математике на заказ (функция и содержит константуКонтрольная работа по высшей математике на заказ).
  5. Подставьте функции Контрольная работа по высшей математике на заказ и Контрольная работа по высшей математике на заказ, найденные на 3-м и 4-м этапе, в уравнение Контрольная работа по высшей математике на заказ. Полученная функция Контрольная работа по высшей математике на заказ является общим решением исходного линейного дифференциального уравнения.
  6. Выпишите в ответе получившееся решение дифференциального уравнения.

Пример решения заказа контрольной работы №114.

Найдите общее решение дифференциального уравнения

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Решение:

Данное уравнение — линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

  • Выполним подстановки:
Контрольная работа по высшей математике на заказ
Контрольная работа по высшей математике на заказ
  • Сгруппируем члены, содержащие Контрольная работа по высшей математике на заказ, и вынесем Контрольная работа по высшей математике на заказ за скобки:
Контрольная работа по высшей математике на заказ
  • Считая, что неизвестная функция Контрольная работа по высшей математике на заказ является произведением двух также неизвестных функций Контрольная работа по высшей математике на заказ и Контрольная работа по высшей математике на заказ, мы можем одну из этих функций (Контрольная работа по высшей математике на заказ) выбрать произвольно. Поэтому приравняем к нулю выражение, стоящее в скобках, и найдем функцию Контрольная работа по высшей математике на заказ:
Контрольная работа по высшей математике на заказ

уравнение с разделяющимися переменными, для решения которого представим

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Тогда:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Взяв интегралы от обеих частей, получим, что

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Но поскольку функцию Контрольная работа по высшей математике на заказ мы выбираем произвольно, удобно константу Контрольная работа по высшей математике на заказ взять равной нулю. Тогда

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Таким образом, на третьем шаге мы нашли функцию

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Вернёмся к уравнению (*). Поскольку выражение в скобках на третьем шаге мы выбирали равным нулю, то данное уравнение (*) примет вид:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Подставим функцию Контрольная работа по высшей математике на заказ в это уравнение и найдем вторую функцию Контрольная работа по высшей математике на заказ: Контрольная работа по высшей математике на заказ. Данное уравнение легко приводится к простейшему делением обеих частей на Контрольная работа по высшей математике на заказ:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Тогда

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Константу Контрольная работа по высшей математике на заказ здесь писать обязательно!

Итак, на четвертом шаге метода Бернулли мы нашли функцию

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Решением исходного уравнения будет являться функция Контрольная работа по высшей математике на заказ. Функции Контрольная работа по высшей математике на заказ и Контрольная работа по высшей математике на заказ были найдены нами на 3-м и 4-м этапе решения примера. Подставив их в уравнение Контрольная работа по высшей математике на заказ, найдем, что

Контрольная работа по высшей математике на заказ

общее решение дифференциального уравнения

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Ответ:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Замечание. На 3-м шаге решения линейного дифференциального уравнения требуется выразить функцию Контрольная работа по высшей математике на заказ через Контрольная работа по высшей математике на заказ. Во избежание возможных трудностей, рассмотрим некоторые конкретные примеры, показывающие, как из полученного уравнения выразить Контрольная работа по высшей математике на заказ. Они основаны на определении Контрольная работа по высшей математике на заказ и одном из свойств логарифма Контрольная работа по высшей математике на заказ:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Контрольная работа №39. Решение дифференциальных уравнений второго порядка

Цель: формирование умений решать дифференциальные уравнения второго порядка: простейшие, линейные однородные с постоянными коэффициентами.

Методические указания по выполнению работы:

Выделяют следующие виды дифференциальных уравнений второго порядка. 1. Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка — уравнения вида:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Метод решения: двукратное интегрирование но переменной Контрольная работа по высшей математике на заказ.

Пример решения заказа контрольной работы №115.

Найдите решение дифференциального уравнения Контрольная работа по высшей математике на заказ. Решение. Поскольку перед нами простейшее дифференциальное уравнение второго порядка, найдем сначала Контрольная работа по высшей математике на заказ но формуле:

Контрольная работа по высшей математике на заказ
Контрольная работа по высшей математике на заказ

где Контрольная работа по высшей математике на заказ — константа. Для нахождения искомой функции у найдем интеграл от Контрольная работа по высшей математике на заказ по переменной Контрольная работа по высшей математике на заказ:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

где Контрольная работа по высшей математике на заказ и Контрольная работа по высшей математике на заказ — константы.

Полученная функция является общим решением дифференциального уравнения Контрольная работа по высшей математике на заказ.

Ответ:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Обратите внимание, что общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные Контрольная работа по высшей математике на заказ и Контрольная работа по высшей математике на заказ.

Дополнительная теория к теме:

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Основы теории комплексных чисел

Контрольная работа №40. Действии над комплексными числами в алгебраической форме. Решение квадратных уравнений

Цель: формирование умения выполнять операции над комплексными числами в алгебраической форме, решать квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом.

Методические указания по выполнению работы:

Мнимой единицей Контрольная работа по высшей математике на заказ будем называть такое число, квадрат которого равен -1.

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Числа вида Контрольная работа по высшей математике на заказ, где Контрольная работа по высшей математике на заказ и Контрольная работа по высшей математике на заказ — действительные числа Контрольная работа по высшей математике на заказ, а Контрольная работа по высшей математике на заказ — мнимая единица, называются комплексными числами.

Контрольная работа по высшей математике на заказ — действительная часть комплексного числа;

Контрольная работа по высшей математике на заказ — мнимая часть комплексного числа (Контрольная работа по высшей математике на заказ — коэффициент при мнимой части).

Запись комплексного числа в виде Контрольная работа по высшей математике на заказ называется алгебраической формой комплексного числа.

Множество комплексных чисел принято обозначать буквой Контрольная работа по высшей математике на заказ.

В алгебраической форме над комплексными числами удобно выполнять операции: сложение, вычитание, умножение и деление.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел производят по правилам соответствующих действий над многочленами.

Пример решения заказа контрольной работы №120.

Для комплексных чисел

Контрольная работа по высшей математике на заказ

найдите:

Контрольная работа по высшей математике на заказ
Контрольная работа по высшей математике на заказ

Решение:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Действительную часть комплексного числа будем складывать с действительной частью, мнимую — с мнимой:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

При сложении двух комплексных чисел в алгебраической форме получили комплексное число также в алгебраической форме.

Контрольная работа по высшей математике на заказ

комплексное число в алгебраической форме.

Контрольная работа по высшей математике на заказ
Контрольная работа по высшей математике на заказ
Контрольная работа по высшей математике на заказ

комплексное число в алгебраической форме.

Ответ:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Дополнительная теория к этой теме:

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Контрольная работа №41. Действии над комплексными числами в тригонометрический форме

Цель: формирование умения выполнять операции над комплексными числами в тригонометрической форме.

Методические указания по выполнению работы:

Модулем (Контрольная работа по высшей математике на заказ или Контрольная работа по высшей математике на заказ) комплексного числа Контрольная работа по высшей математике на заказ называется длина соответствующего ему вектора,

Контрольная работа по высшей математике на заказ
Контрольная работа по высшей математике на заказ

Аргументом комплексного числа Контрольная работа по высшей математике на заказ называется угол Контрольная работа по высшей математике на заказ, который образует вектор Контрольная работа по высшей математике на заказ с положительным направлением оси Контрольная работа по высшей математике на заказ.

Трнгонометрн ческая форма комплексного числа имеет вид

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Пример решения заказа контрольной работы №123.

Изобразите на комплексной плоскости числа:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Решение:

Все числа заданы в тригонометрической форме. Выделим в записи каждого числа модуль и аргумент:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Отложим от положительного направления оси Контрольная работа по высшей математике на заказ угол Контрольная работа по высшей математике на заказ и на полученном луче отметим вектор длиной 2 ед. с центром в начале координат (рис. 43.2).

Контрольная работа по высшей математике на заказ
Контрольная работа по высшей математике на заказ

Дополнительная теория к этой теме:

Контрольная работа №42. Действии над комплексными числами в показательной форме

Цель: формирование умения выполнять операции над комплексными числами в показательной форме.

Методические указания по выполнению работы:

По формуле Эйлера

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Тогда Контрольная работа по высшей математике на заказ показательная форма комплексного числа, где Контрольная работа по высшей математике на заказ — модуль, Контрольная работа по высшей математике на заказ — аргумент комплексного числа.

Действия над комплексными числами в показательной форме (аналогичны действиям в тригонометрической форме).

Пусть

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Над ними выполнимы следующие операции:

Умножение:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

При умножении комплексных чисел в показательной форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Деление:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

При делении комплексных чисел в показательной форме их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Возведение в степень:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

(7). При возведении в степень комплексного числа в показательной форме модуль числа нужно возвести в Контрольная работа по высшей математике на заказ-ю степень, а аргумент умножить на Контрольная работа по высшей математике на заказ.

Контрольная работа по высшей математике на заказ

(8), где Контрольная работа по высшей математике на заказ = 0, 1, 2…Контрольная работа по высшей математике на заказ —1 принимает ровно Контрольная работа по высшей математике на заказ значений.

Извлечение корня Контрольная работа по высшей математике на заказ-й степени:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Рассмотрим на примерах операции над комплексными числами в показательной форме.

Пример решения заказа контрольной работы №125.

Для комплексных чисел

Контрольная работа по высшей математике на заказ

найдите:

Контрольная работа по высшей математике на заказ
Контрольная работа по высшей математике на заказ

Решение:

а) Согласно формуле (5) получим

Контрольная работа по высшей математике на заказ

б) Используя формулу (6), находим

Контрольная работа по высшей математике на заказ

в) Применяя формулу (7), находим

Контрольная работа по высшей математике на заказ

г) Извлечем квадратный корень из Контрольная работа по высшей математике на заказ по формуле (8):

Контрольная работа по высшей математике на заказ

где параметр Контрольная работа по высшей математике на заказ будет принимать значения 0 и 1 (корней 2-й степени из числа существует ровно 2: Контрольная работа по высшей математике на заказ и Контрольная работа по высшей математике на заказ).

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Ответ:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Контрольная работа №43. Переход от алгебраической формы к тригонометрической и показательной и обратно

Цель: формирование умения выполнять переход между различными формами комплексных чисел.

Методические указания по выполнению работы:

Итак, существуют три формы записи комплексного числа:

  • Контрольная работа по высшей математике на заказ — алгебраическая форма (1);
  • Контрольная работа по высшей математике на заказ — тригонометрическая форма (2);
  • Контрольная работа по высшей математике на заказ — показательная форма (3).

Переход от тригонометрической и показательной формы

Для того чтобы осуществить переход от тригонометрической формы комплексного числа к показательной и наоборот, достаточно выделить в записи числа значение модуля Контрольная работа по высшей математике на заказ и аргумента Контрольная работа по высшей математике на заказ и подставить их в другую форму.

Для того чтобы осуществить переход от тригонометрической формы комплексного числа к алгебраической, необходимо вычислить значения Контрольная работа по высшей математике на заказ и Контрольная работа по высшей математике на заказ по таблицам значений тригонометрических функций.

Пример решения заказа контрольной работы №126.

Переведите комплексное число

Контрольная работа по высшей математике на заказ

в показательную и алгебраическую формы.

Решение:

Выделим в записи числа значение модуля Контрольная работа по высшей математике на заказ и аргумента

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Подставим их в формулу (3):

Контрольная работа по высшей математике на заказ

показательная форма.

Для записи заданного комплексного числа в алгебраической форме вычислим

Контрольная работа по высшей математике на заказ
Контрольная работа по высшей математике на заказ

и подставим их в тригонометрическую форму:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

алгебраическая форма.

Ответ:

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Дополнительная теория к этой теме:

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Возможно эти страницы вам будут полезны: