Контрольные работы по высшей математике на заказ

Здравствуйте! Я Людмила Анатольевна Фирмаль занимаюсь помощью более 17 лет. У меня своя команда грамотных, сильных преподавателей. Мы справимся с любой поставленной перед нами работой технического и гуманитарного плана. И не важно она по объёму на две формулы или огромная сложно структурированная на 125 страниц! Нам по силам всё, поэтому не стесняйтесь присылайте.
Если что-то непонятно, Вы всегда можете написать мне в воцап и я помогу!

Ниже я предоставила примеры оформления работ по всем темам высшей математики, так я буду оформлять ваши работы если закажите у меня.

Элементы линейной алгебры

К оглавлению…

Контрольная работа №1. Нахождение определителей n-го порядка, миноров и алгебраических дополнений.

К оглавлению…

Цель: формирование умения находить определители второго, третьего и четвертого порядка, вычислять миноры и алгебраические дополнения элементов определителя.

Методические указания по выполнению работы:

Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие некоторое число , называемое её определителем, следующим образом:

Второго порядка:

Третьего порядка:

Любого порядка. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки или столбца определителя на их алгебраические дополнения:

где — алгебраическое дополнение элемента ;

— минор элемента — новый определитель порядка (-1), полученный из вычеркиванием -й строки и -го столбца, на пересечении которых находится элемент . Свойства определителей:

  1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот (свойство равноправности строк и столбцов).
  2. При перестановке двух строк или столбцов определитель меняет свой знак на противоположный.
  3. Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю.
  4. Общий множитель всех элементов строки или столбца можно вынести за знак определителя. Следствие: Если элементы двух строк или столбцов определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Приведем примеры нахождения определителей второго, третьего и четвертого порядков:

Пример решения заказа контрольной работы №1.

Найдите определитель

Решение:

Ответ:

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

  1. Пример решения заказа контрольной работы №2.
  2. Пример решения заказа контрольной работы №3.
  3. Пример решения заказа контрольной работы №4.

Контрольная работа №2. Нахождение обратной матрицы, вычисление ранга матрицы.

К оглавлению…

Цель: формирование умения находить обратную матрицу, вычислять ранг матрицы.

Методические указания по выполнению работы:

При решении задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Матрица называется обратной для матрицы , если выполняется условие: , где — единичная матрица того же порядка, что и матрица .

Матрица называется единичной, если её элементы, стоящие на главной диагонали, равны 1, остальные элементы равны нулю.

Теорема. Квадратная матрица имеет обратную, если .

Для нахождения обратной матрицы удобно использовать следующий алгоритм: Алгоритм нахождения обратной матрицы.

  • Вычислите определитель матрицы , проверьте условие: .
  • Найдите алгебраические дополнения элементов матрицы и составьте матрицу алгебраических дополнений :
  • Составьте матрицу , транспонируя матрицу .
  • Найдите обратную матрицу по формуле:

Пример решения заказа контрольной работы №5.

Найдите матрицу, обратную матрице

Решение:

1. Находим определитель матрицы :

2.Найдем алгебраические дополнения каждого элемента матрицы :

Составляем матрицу из алгебраических дополнений :

Транспонируем матрицу :

Составляем обратную матрицу по формуле:

Проверим, действительно ли матрица является обратной к матрице . Должно выполняться равенство:

где — единичная матрица.

Получили, что , следовательно, матрица является обратной к матрице .

Ответ:

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Контрольная работа №3. Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса.

К оглавлению…

Цель: формирование умения решать системы линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса.

Методические указания по выполнению работы:

Для решения систем линейных уравнений применяют правило Крамера и метод Гаусса. 1. Правило Крамера решения системы линейных уравнений с неизвестными.

Система линейных уравнений с неизвестными имеет единственное решение, если определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля:

где — определитель, полученный из определителя заменой столбца коэффициентов при столбцом свободных членов;

— определитель, полученный из определителя заменой столбца коэффициентов при столбцом свободных членов;

— определитель, полученный из определителя заменой столбца коэффициентов при столбцом свободных членов.

Пример решения заказа контрольной работы №8.

Решите систему уравнений по правилу Крамера:

Решение:

Составим определитель из коэффициентов при неизвестных и вычислим его:

Определитель отличен от 0, следовательно, система имеет единственное решение. Для его нахождения вычислим и :

По правилу Крамера найдем неизвестные:

Замечание. Для проверки правильности решения системы уравнений необходимо подставить найденные значения неизвестных в каждое из уравнений данной системы. При этом, если все уравнения обратятся в тождества, то система решена верно.

Истинно.

Итак, решение системы найдено правильно.

Ответ:

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Элементы аналитической геометрии

К оглавлению…

Контрольная работа №4. Операции над векторами в координатах.

К оглавлению…

Цель: формирование умения выполнять основные операции над векторами в координатах.

Методические указания по выполнению работы:

Вектор — это направленный отрезок. Все равные между собой направленные отрезки называют свободным вектором.

Коэффициенты разложения вектора по векторам и (единичным взаимно перпендикулярным векторам) называют координатами вектора на плоскости.

При решении задач по теме «Векторы» используйте следующие рекомендации:

  1. Выпишите исходные данные — дано. Если в условии задачи сказано о коллинеарности, перпендикулярности, равенстве длин векторов, то это также необходимо выписать.
  2. Определите, что нужно найти или что доказать в соответствии с условием задачи.
  3. Опираясь на то, что нужно найти, попытайтесь поискать ключ к решению: выбрать в таблице нужные операции или использовать признаки коллинеарности и перпендикулярности векторов, сформулированные в теоремах 1 и 2.

Теорема 1. Если векторы и коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны:

если

коллинеарны, то

Теорема 2. Если ненулевые векторы и взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, и наоборот, если скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны:

Пример решения заказа контрольной работы №12.

Даны точки

Найти: 1) координаты вектора ;

2) длину вектора ;

3) координаты точки — середины . Решение:

1) Воспользуемся формулой нахождения координат вектора:

Тогда

2) Зная координаты вектора , найдем его длину по формуле:

3) Пусть точка — середина отрезка . Тогда ее координаты находятся по формуле:

Ответ:

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Контрольная работа №5. Составление уравнений прямых.

К оглавлению…

Цель: формирование умения составлять уравнения прямых на плоскости.

Методические указания но выполнению работы:

Уравнением линии на плоскости называется уравнение с двумя переменными .v и у, которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Прямые — самые простые линии на плоскости. Им соответствуют уравнения первой степени. При решении задач удобно использовать следующие обобщающие таблицы:

Рассмотрим примеры решения типовых задач.

Пример решения заказа контрольной работы №15.

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор в каноническом и параметрическом виде.

Решение:

Определим способ задания прямой: с помощью точки

и направляющего вектора

Подставим координаты точки и направляющего вектора в уравнение

канонический вид.

Подставим координаты точки и направляющего вектора в уравнение

параметрический вид.

Ответ:

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Контрольная работа №6. Составление уравнений кривых второго порядка и их построение.

К оглавлению…

Цель: формирование умения составлять уравнения кривых второго порядка и выполнять их изображение.

Методические указания по выполнению работы:

Кривая второго порядка — линия на плоскости, задаваемая уравнением:

где коэффициенты — любые действительные числа при условии, что одновременно не равны нулю. Выделяют следующие кривые второго порядка:

  1. Окружность — множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром.
  2. Эллипс — множество точек на плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (называемых фокусами) есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами).
  3. Гипербола — множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (называемых фокусами) есть величина постоянная (меньшая, чем расстояние между фокусами).
  4. Парабола — множество точек плоскости, равноудаленных от заданной точки (называется фокусом) и данной прямой (называется директрисой).

Для того чтобы по заданному уравнению определить вид кривой второго порядка, удобно использовать следующую обобщающую таблицу:

Рассмотрим примеры решения типовых задач.

Пример решения заказа контрольной работы №18.

Составьте уравнение окружности с центром и радиусом .

Решение:

Подставив и в каноническое уравнение окружности

получим:

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Основы математического анализа

К оглавлению…

Контрольная работа №7. Виды числовых последовательностей. Определение пределов последовательностей.

К оглавлению…

Цель: формирование умения классифицировать числовые последовательности и вычислять их пределы.

Методические указания по выполнению работы:

Знание следующего теоретического материала будет Вам полезно при классификации и нахождении предела числовой последовательности.

Бесконечной числовой последовательностью называется функция , заданная на множестве натуральных чисел . Для обозначения числовой последовательности принята следующая запись: .

Последовательность называется убывающей, если каждый последующий член последовательности меньше или равен предыдущему, т.е. если

для всех .

Последовательность называется возрастающей. если каждый последующий член последовательности больше или равен предыдущему .

Последовательность называется ограниченной. если существуют числа и такие, что для любого номера п имеет место неравенство:

Геометрически ограниченность последовательности означает существование отрезка [; ], на котором помещены все члены этой последовательности. Для неограниченной последовательности отрезка [; ] у которому принадлежат все члены , не существуют.

Число называется пределом последователыюстн , если для любого наперед заданного положительного числа найдется такое натуральное число , что для любого номера элемента выполняется неравенство: В этом случае пишут

Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся, а не имеющая предела — расходящейся.

Для практического нахождения пределов числовых последовательностей используют следующие свойства пределов.

Пусть и — сходящиеся последовательности, т.е.

Тогда справедливы следующие утверждения:

  • Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.
  • Для любого числа последовательность также сходится, причем .
  • Сумма (разность) и также сходится, причем
  • Произведение также сходится, причем
  • При дополнительном условии частное также сходится, причем

Проиллюстрируем использование теоретического материала при исследовании числовых последовательностей.

Пример решения заказа контрольной работы №22.

Исследуйте числовую последовательность

Решение:

Выпишем элементы числовой последовательности, поочерёдно подставляя вместо значения 1, 2, 3, 4, 5 и т.д. Получим бесконечное числовое множество:

Последовательности соответствует следующее геометрическое изображение:

Последовательность убывающая, т.к.

Она ограничена, т.к. существует и , такие, что . Геометрически все элементы последовательности принадлежат промежутку ;

Покажем, что . Выберем любую точность (например, ). Тогда найдется натуральное число (в нашем случае =9), такое что для всех выполняется неравенство: (уже для будет меньше ).

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Контрольная работа №8. Вычисление пределов с помощью замечательных пределов, раскрытие неопределенностей.

К оглавлению…

Цель: формирование умения вычислять пределы функций, раскрывая неопределенности и используя замечательные пределы.

Методические указания по выполнению работы:

При решении задач необходимо знание следующего теоретического материала: 1. Предел функции в точке. Вычисление пределов путем раскрытии неопределенности вида .

Число называется пределом функции при , стремящемся к (или в точке ), если для любого наперед заданного существует такое , что для всех , удовлетворяющих условиям , имеет место неравенство: . Если есть предел функции при то пишут: .

При вычислении предела функции в точке удобно использовать следующую технику: 1. Если под знаком предела стоит многочлен, то предел вычисляется простой подстановкой.

Пример решения заказа контрольной работы №25.

Вычислите:

Решение:

Подставим в многочлен вместо значение -1, тогда

Ответ:

Если под знаком предела стоит отношение двух многочленов , то проверяем, обращается ли при подстановке знаменатель в ноль. Если не обращается, то предел вычисляется простой подстановкой.

Если при подстановке знаменатель обращается в ноль, то необходимо использовать дополнительные приемы.

Если , то имеем неопределенность вида . В этом случае предел можно вычислить разложением многочленов и на множители, используя формулы сокращенного умножения и формулу разложения квадратного трехчлена на множители:

где и — корни уравнения

Если разложение выполнено верно, то в числителе и знаменателе дроби должны получиться одинаковые множители, которые следует сократить. После сокращения предел вычисляется простой подстановкой.

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Дополнительная теория к теме:

Контрольная работа №9. Решение задач на нахождение и классификацию точек разрыва функции.

К оглавлению…

Цель: формирование умения вычислять односторонние пределы, находить точки разрыва функции и классифицировать их.

Методические указания по выполнению работы:

При решении задач на нахождение и классификацию точек разрыва функции одним из главных умений является умение вычислять односторонние пределы функции: левосторонний и правосторонний.

Если при нахождении предела функции выбирать значения переменной только слева от точки , то такой предел называется левосторонним и обозначается

Если при нахождении предела функции выбирать значения переменной только справа от точки , то такой предел называется правосторонним и обозначается

Функция имеет в точке единый предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как правосторонний, так и левосторонний пределы, и они равны.

Пример решения заказа контрольной работы №32.

Вычислите односторонние пределы функции

в точке = -2.

Решение:

Для нахождения левостороннего предела функции в точке = -2 будем выбирать значения переменной, меньшие -2. Но при <-2 наша функция задается формулой

Таким образом, получим:

При нахождении правостороннего предела функции в точке = -2 будем выбирать значения переменной, большие -2. Но при > -2 наша функция задается формулой

Таким образом, получим:

Ответ

Функция называется непрерывной в точке ха. если она определена в ней, существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е.

Функция называется непрерывной на промежутке , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Все элементарные функции (основные элементарные и полученные из них путем выполнения конечного числа арифметических операций или составления сложных функций) непрерывны на области определения.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.

Все точки разрыва функции подразделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке существуют конечные левосторонние и правосторонние пределы, т.е.

Если , то точка называется точкой устранимого разрыва.

Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода, если в этой точке хотя бы один (левосторонний или правосторонний) предел не существует или равен бесконечности.

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Контрольная работа №10. Решение задач на нахождение производных и дифференциалов с использованием правил и формул дифференцирования.

К оглавлению…

Цель: формирование умения находить производные и дифференциалы функций, используя правила и формулы дифференцирования.

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала: Производной функции в точке ., называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производная функции есть некоторая функция производная из данной функции. Значение производной функции в точке обозначается одним из символов: или .

Функция , имеющая производную в каждой точке интервала называется дифференцируемой на этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Для нахождения производных основных элементарных функций удобно использовать следующую таблицу: «Формулы дифференцирования».

Формулы дифференцирования:

В ряде случаев, если функция представляет собой сумму, разность, произведение или частное двух функций, для нахождения ее производной используются правила дифференцировании.

Пусть и — дифференцируемые функции, с — константа. Тогда справедливы правила нахождения производной суммы, произведения и частного двух функций:

Таким образом, для нахождения производной функции удобно использовать следующую технику. Определите, что представляет собой функция. Если она является основной элементарной — для нахождения производной сразу используйте таблицу «Формулы дифференцирования». В тех случаях, когда перед Вами сумма, разность, произведение или частное функций — сначала используйте соответствующее правило дифференцирования, затем (для дифференцирования основной элементарной функции) таблицу «Формулы дифференцирования». Рассмотрим примеры решения типовых задач.

Пример решения заказа контрольной работы №37.

Найдите производную функции

Решение:

Функция представляет собой сумму и разность функций. Тогда для нахождения её производной воспользуемся правилом

Константу можно вынести за знак производной по правилу: Тогда

Далее воспользуемся формулами нахождения производных:

Ответ:

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Контрольная работа №11. Нахождение производной сложной функции.

К оглавлению…

Цель: формирование умения находить производную сложной функции.

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Рассмотрим функции и . Тогда функция будет называться сложной

функцией. Например, если будет являться сложной функцией.

Для нахождения производной сложной функции используется следующая теорема: если функция дифференцируема по переменной , а функция дифференцируема по переменной , то сложная функция дифференцируема по переменной , причем её производная вычисляется по формуле: .

Функцию называют основной функцией, а — «сложностью». Тогда правило нахождения производной сложной функции будет иметь вид: производная сложной функции равна производной основной функции, умноженной на производную «сложности»: .

Для нахождения производных конкретных сложных функций целесообразно использовать следующую технику: принять какое-либо выражение за , чтобы прийти к одной из формул таблицы «Формулы дифференцирования сложных функций».

Формулы дифференцирования сложных функций

Рассмотрим нахождение производных сложных функций на конкретных примерах.

Пример решения заказа контрольной работы №41.

Найдите производную функции .

Решение:

Функция — сложная функция. Обозначим и придем к показательной функции . Найдем ее производную по таблице производных сложных функций:

Заменяя через придем к производной вида:

Ответ:

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Контрольная работа №12. Решение задач на нахождение производных высших порядков, раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.

К оглавлению…

Цель: формирование умения находить производные высших порядков, вычислять пределы функций, раскрывая неопределенности по правилу Лопиталя.

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала. Понятие производной высших порядков

Пусть — дифференцируемая на интервале функция. Тогда ее производная — тоже функция, определенная на интервале . И у нее можно найти производную, называемую производной второго порядка или второй производной. Итак, производная от первой производной называется второй производной функции и обозначается или .

Пример решения заказа контрольной работы №45.

Найдите вторую производную функции

Решение:

Найдем

Найдем как производную от

Ответ:

Вторая производная — тоже представляет собой функцию, следовательно, существует производная второй производной называемая третьей производной или . Так, в примере 1.

Аналогично вводится определение четвертой производной

пятой производной

-и производной

Таким образом, производной -го порядка функции называется производная от производной (-1)-го порядка (если она существует).

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Контрольная работа №13. Решение задач на определение промежутков возрастании и убывании, нахождение экстремумов функции.

К оглавлению…

Цель: формирование умения находить промежутки возрастания и убывания функции, исследовать функцию на экстремум с помощью производной.

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала: I. Признаки возрастания и убывания функции

Критерий возрастания и убывания функции: пусть — дифференцируемая на интервале функция. Функция возрастает на тогда и только тогда, когда её производная больше или равна нулю в любой точке этого промежутка.

Функция убывает на тогда и только тогда, когда её производная меньше или равна нулю в любой точке этого промежутка.

Критерий возрастания и убывания функции удобно представляется в виде схемы:

II. Достаточные условия существования экстремума

Критическими точками функции (первого рода) называются точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. По теореме Ферма (необходимое условие существования экстремума функции), точки экстремума нужно искать среди критических точек. Но не любая критическая точка является точкой экстремума функции. Чтобы выяснить, в каких критических точках функция имеет экстремум, рассмотрим достаточные условия существования экстремума.

Достаточные условия существования экстремума (критерий нахождения точек экстремума): пусть функция непрерывна и дифференцируема в некоторой окрестности точки . Тогда:

  1. если производная при переходе через точку меняет знак с плюса на минус, то точка является точкой максимума;
  2. если производная при переходе через точку меняет знак с минуса на плюс, то точка является точкой минимума.

Критерий нахождения точек экстремума функции удобно представляется в виде схемы:

Для нахождения промежутков монотонности и экстремумов функции используется следующий алгоритм:

  1. Найдите область определения функции.
  2. Найдите первую производную функции.
  3. Определите критические точки первого рода или не существует).
  4. На числовой оси отметьте критические точки и определите знаки производной на каждом из получившихся интервалов.
  5. Найдите интервалы монотонности, выпишите точки экстремума функции (если они есть), используя соответствующие критерии, вычислите значения функции в точках экстремума.

Пример решения заказа контрольной работы №51.

Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции

Решение:

1. Данная функция определена на множестве .

Найдем первую производную функции:

Определим критические точки первого рода

На числовой оси отметим критические точки . Эти точки разбивают область определения функции на три интервала . Расставим знаки производной функции на каждом из полученных интервалов:

Согласно критерию возрастания и убывания функция

возрастает при , убывает при .

Согласно критерию нахождения точек экстремума — точка максимума, — точка минимума. Для нахождения экстремумов вычислим значения функции в этих точках:

максимум функции;

минимум функции.

Ответ:

Дополнительный пример решения заказа к этой теме:

Контрольная работа №14. Определение промежутков выпуклости, вогнутости графика функций, нахождение точек перегиба.

К оглавлению…

Цель: формирование умения находить промежутки выпуклости, вогнутости графика функции и его точки перегиба.

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

График функции называется вогнутым на интервале если он расположен выше любой касательной к графику функции на данном интервале.

График функции называется выпуклым на интервале , если он расположен ниже любой касательной к графику функции на данном интервале.

Точка графика непрерывной функции, в которой меняется характер выпуклости, называется точкой перегиба.

Функция может иметь несколько интервалов выпуклости и вогнутости, несколько точек перегиба. При определении промежутков выпуклости и вогнутости в качестве ответа выбирают интервал значений: точки перегиба не относят ни к промежуткам выпуклости, ни к промежуткам вогнутости.

Так, график функции на рис.1, является выпуклым на промежутках и вогнутым на . График функции имеет две точки перегиба: и

Критерий выпуклости-вогнутости функции: если функция имеет положительную вторую производную, то график функции на интервале вогнутый;

если функция имеет отрицательную вторую производную, то график функции на интервале выпуклый.

Критерий выпуклости-вогнутости функции удобно представляется в виде схемы:

Таким образом, исследовать функцию на выпуклость-вогнутость означает найти те интервалы области определения, в которых вторая производная сохраняет свой знак.

Критическими точками функции второго рода называются те точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Только критические точки могут быть точками перегиба. Для их нахождения используется следующая теорема:

Теорема (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная при переходе через точку меняет знак, то точка графика с абсциссой является точкой перегиба.

При исследовании функции на выпуклость-вогнутость и точки перегиба удобно использовать следующий алгоритм:

  1. Найдите область определения функции.
  2. Найдите первую производную функции .
  3. Найдите вторую производную функции .
  4. Определите критические точки второго рода ( или не существует).
  5. На числовой оси отметьте критические точки второго рода и определите знаки второй производной на каждом из получившихся интервалов.
  6. Найдите интервалы выпуклости-вогнутости графика функции, используя соответствующие критерии; выпишите абсциссы точек перегиба (если они есть) и найдите значение функции в этих точках.

Пример решения заказа контрольной работы №53.

Найдите промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции

Решение:

1. Данная функция определена на множестве .

Найдем первую производную функции:

Найдем вторую производную функции:

Определим критические точки второго рода .

На числовой оси отметим критическую точку . Она разбивает область определения функции на два интервала и . Расставим знаки второй производной функции на каждом из полученных интервалов:

Согласно критерию выпуклости-вогнутости график функции

выпуклый при , вогнутый при .

Значение — абсцисса точки перегиба. Вычислим значение функции при :

Итак, точка с координатами (3;2) — точка перегиба.

Ответ: график функции выпуклый при , вогнутый при — точка перегиба.

Дополнительный пример решения заказа к этой теме:

Контрольная работа №15. Нахождение асимптот графика функции.

К оглавлению…

Цель: формирование умения находить асимптоты графика функции.

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала: Поиск асимптот является одним из важных этапов построения графиков функций. Асимптоты бывают трех видов: вертикальная, горизонтальная и наклонная.

Прямая называется вертикальной асимптотой функции , если .

Прямая называется горизонтальной асимптотой функции , если .

Прямая называется наклонной асимптотой функции если .

На чертеже асимптоты принято обозначать пунктирными линиями.

Рассмотрим следующий искусственно составленный график функции (рис.1), на примере которого хорошо видны все виды асимптот:

Горизонтальные и наклонные асимптоты рассматриваются только при условии . Иногда их различают на горизонтальные и наклонные асимптоты при и . Для поиска асимптот удобно использовать следующий алгоритм:

Для поиска вертикальных асимптот находим точки, не принадлежащие области определения и проверяем следующее условие: если , то вертикальная асимптота. Вертикальных асимптот может быть одна, несколько или не быть совсем.

  • Для поиска горизонтальных асимптот находим .
    Если с — число, то — горизонтальная асимптота;

Если с — бесконечность, то горизонтальных асимптот нет.

Для поиска наклонных асимптот находим .

Если — число, отличное от 0, то находим ). Тогда — наклонная асимптота;

• Если — бесконечность, то наклонных асимптот нет.

Если функция представляет собой отношение двух многочленов, то при наличии у функции горизонтальных асимптот наклонные асимптоты искать не будем — их нет. Рассмотрим примеры нахождения асимптот функции:

Пример решения заказа контрольной работы №55.

Найдите асимптоты графика функции

Решение:

1. Найдем область определения функции: .

Проверим, является ли прямая вертикальной асимптотой. Для этого вычислим предел функции в точке .

Получили, что , следовательно, — вертикальная асимптота.

Для поиска горизонтальных асимптот находим

Поскольку в пределе фигурирует неопределенность , воспользуемся правилом Лапиталя:

Т.к. (число), то — горизонтальная асимптота.

Так как функция представляет собой отношение многочленов, то при наличии горизонтальных асимптот утверждаем, что наклонных асимптот нет.

Таким образом, данная функция имеет вертикальную асимптоту и горизонтальную асимптоту .

Ответ: график функции имеет вертикальную асимптоту и горизонтальную асимптоту .

Дополнительный пример решения заказа к этой теме:

Советую посмотреть контрольную работу №16 повышенной сложности:

Контрольная работа №17. Нахождение неопределённых интегралов методом непосредственного интегрировании.

К оглавлению…

Цель: формирование умения находить неопределённые интегралы методом непосредственного интегрирования.

Методические указания но выполнению работы:

Напомним, что суть дифференцирования: по заданной функции найти её производную. Интегрирование — операция, обратная дифференцированию: нахождение первоначальной функции по известной производной .

Функция называется первообразной для функции на интервале ), если для всех .v из этого промежутка справедливо равенство: .

Основное свойство первообразных: множество первообразных для функции задается формулой: , где — константа.

Множество всех первообразных для функции называется неопределённым интегралом от функции и обозначается символом , т.е.

Свойства неопределенного интеграла:

Для нахождения неопределённых интегралов существует несколько методов. Рассмотрим первый метод — метод непосредственного интегрирования.

В основе метода — сведение неопределенного интеграла к одному или нескольким табличным путем преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла.

Основные формулы интегрирования:

При нахождении неопределенных интегралов методом непосредственного интегрирования используйте следующие рекомендации:

Проанализируйте, что представляет собой выражение под знаком интеграла. • Если подынтегральное выражение представляет собой сумму или разность функций, то воспользуйтесь свойством:

представьте интеграл как сумму и разность соответствующих интегралов. Вынесите константы за знаки интегралов () и возьмите табличные интегралы (разберите пример 1).

Если в подынтегральном выражении встречаются члены вида

то с помощью формул

приведите каждый одночлен к табличному интегралу:

Если подынтегральное выражение представляет собой произведение функций, попробуйте раскрыть скобки, выполнить преобразования и прийти к табличным интегралам (разберите пример 3).

Если подынтегральное выражение представляет собой дробь, в знаменателе которой стоит одночлен, то разделите почленно каждое слагаемое числителя на знаменатель и придите к табличным интегралам (разберите пример 4). В остальных случаях попробуйте:

  • разложить числитель и знаменатель на множители и выполнить соответствующие сокращения;
  • добавить и вычесть из числителя какое-либо выражение, чтобы возможно было представить дробь как сумму двух дробей, одна из которых сокращается, а от другой можно взять табличный интеграл.

Пример решения заказа контрольной работы №57.

Найдите

Решение:

Воспользуемся свойствами неопределенного интеграла: представим интеграл как сумму и разность соответствующих интегралов:

Вынесем константы за знак интеграла:

и воспользуемся табличными интегралами. Получим, что

Ответ:

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Контрольная работа №18. Нахождение неопределённых интегралов методом подстановки.

К оглавлению…

Цель: формирование умения находить неопределённые интегралы методом подстановки.

Методические указания но выполнению работы:

Некоторыми сложными функциями будем считать функции вида , где и любые действительные числа, — функция, от которой существует табличный интеграл.

Так, — примеры некоторых сложных функций. В аргументе этих функций переменная — находится только в первой степени!

Для нахождения интеграла от некоторых сложных функций будем использовать формулу:

или применять следующий алгоритм:

Проанализируйте, к какому табличному интегралу можно свести данный интеграл.

Вместо в табличный интеграл подставьте выражение из исходного интеграла.

В правую часть введите дополнительный множитель , где — коэффициент перед .

Рассмотрим нахождение интеграла от некоторых сложных функций на примерах.

Пример решения заказа контрольной работы №61.

Найдите .

Решение:

Видим, что под знаком интеграла стоит некоторая сложная функция. Воспользуемся табличным интегралом .

В нашем примере в качестве аргумента выступает угол 2. Выделим коэффициент , стоящий перед , следовательно, в правую часть мы должны ввести множитель , то есть . Тогда получим, что

Ответ:

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Дополнительная теория к теме:

Контрольная работа №19. Нахождение неопределённых интегралов методом по частям.

К оглавлению…

Цель: формирование умения находить неопределённые интегралы методом по частям.

Методические указания по выполнению работы:

При вычислении интеграла методом по частям подынтегральное выражение представляют в виде произведения двух множителей и причем обязательно входит в .

Далее пользуются формулой интегрирования по частям:

Существуют интегралы, которые удобно находить методом интегрирования по частям:

1. В интегралах вида

где — многочлен, — const, за принимают многочлен , остальные множители — за .

  • Если в подынтегральной функции один из множителей — логарифмическая или обратные тригонометрические функции , то их обозначают за , остальные множители — за .

Для нахождения неопределенного интеграла методом по частям используйте следующий алгоритм:

Разбейте подынтегральное выражение на и (в соответствии с правилом, рассмотренным выше).

Найдите

Подставьте и в формулу и возьмите получившийся интеграл.

Рассмотрим применение метода интегрирования по частям на примерах.

Пример решения заказа контрольной работы №67.

Найдите .

Решение:

1. Поскольку под знаком интеграла встречается логарифмическая функция, то ее принимаем за . Остальные множители принимаем за .

Находим

Находим (полагаем ).

Воспользуемся формулой

Ответ:

Дополнительный пример решения заказа к этой теме:

Контрольная работа №20. Нахождение определённых интегралов методом непосредственного интегрировании.

К оглавлению…

Цель: формирование умения находить определённые интегралы методом непосредственного интегрирования и как интегралы от некоторых сложных функций.

Методические указания по выполнению работы:

Определенным интегралом от функции на отрезке называют предел интегральных сумм при и где ), который не зависит ни от способа разбиения отрезка на части, ни от выбора точек

Числа и называются соответственно нижней и верхней границами интегрирования. -подынтегральной функцней, — подынтегральным выражением. — переменной интегрирования, отрезок — областью (отрезком) интегрирования.

При нахождении определённых интегралов используют следующие методы: 1. Heпосредственное интегрирование — метод, основанный на использовании свойств определённого интеграла и формулы Ньютона-Лейбница. Основные свойства определенного интеграла:

Формула Ньютона-Лейбница:

Для нахождения определённых интегралов методом непосредственного интегрирования можно использовать следующий алгоритм:

  1. Найдите неопределённый интеграл от заданной функции (если возникают сложности, перечитайте методические указания к выполнению задания 22).
  2. Выпишите получившуюся первообразную функции, в которую вместо слагаемого С запишите вертикальную черту с верхними и нижними границами интегрирования.
  3. По формуле Ньютона-Лейбница в первообразную вместо переменной подставьте сначала верхнюю границу, затем запишите знак «минус», затем подставьте нижнюю границу интегрирования.

Советуем рассмотреть реализацию данного метода на примере:

Пример решения заказа контрольной работы №69.

Вычислите

Решение:

1. Найдем неопределенный интеграл от заданной функции:

Для нахождения определённого интеграла вместо константы введём границы интегрирования:

В полученную первообразную подставим сначала верхнюю, потом нижнюю границы интегрирования:

Раскроем скобки:

Ответ:

Дополнительная теория к теме:

Советую посмотреть контрольную работу №21 повышенной сложности:

Контрольная работа №22. Нахождение определённых интегралов методом но частям.

К оглавлению…

Цель: формирование умения находить определённые интегралы методом по частям.

Методические указания по выполнению работы:

Интегрирование по частям — осуществляется с использованием формулы

Рекомендации по выбору и , а также алгоритм нахождения интеграла методом но частям были подробно разобраны в методических указаниях к выполнению задания №21.

Рассмотрим примеры применения метода интегрирования по частям в определенном интеграле.

Пример решения заказа контрольной работы №72.

Найдите

Решение:

Исходный интеграл имеет вид следовательно, за принимаем многочлен , остальные множители примем за

Находим

Находим (интеграл от некоторой сложной функции, полагаем ).

По формуле

имеем:

Преобразуем каждое слагаемое отдельно:

Тогда исходный интеграл равен

Ответ:

Советую посмотреть контрольную работу №23 повышенной сложности:

Контрольная работа №24. Нахождение несобственных интегралов.

К оглавлению…

Цель: формирование умения находить несобственные интегралы 1 рода.

Методические указания по выполнению работы:

Несобетвенными будем считать интегралы двух видов:

Определённые интегралы от непрерывной функции, у которых один или оба пределы интегрирования равны бесконечности:

Их называют несобственными интегралами I рода.

Определённые интегралы от разрывной функции с конечными пределами интегрирования. Их называют несобственными интегралами II рода.

Для нахождения несобственных интегралов I рода будем использовать формулы:

где — произвольное число.

Если найденный предел равен конечному числу, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если указанный предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.

Удобен следующий алгоритм нахождения несобственных интегралов:

  1. Проверьте, является ли подынтегральная функция непрерывной на области интегрирования.
  2. Используя одну из формул (*) от несобственного интеграла перейдите к пределу.
  3. Отдельно найдите определённый интеграл с переменной границей или .
  4. Подставьте полученное выражение под знак предела и найдите его значение.
  5. Проанализируйте, является ли исходный интеграл сходящимся (значение предела — конечное число) или расходящимся (значение предела — бесконечность).

Рассмотрим примеры нахождения несобственных интегралов I рода.

Пример решения заказа контрольной работы №74.

Вычислите несобственный интеграл или установить его расходимость:

Решение:

Подынтегральная функция непрерывна на промежутке .

Воспользуемся формулой:

Отдельно найдём определённый интеграл с переменной границей :

Подставим полученное выражение под знак предела и найдём его значение:

Так как значение предела бесконечность, несобственный интеграл расходится.

Ответ: расходится.

Дополнительный пример решения заказа:

Контрольная работа №25. Построение поверхности — графика функции двух переменных — в программе Microsoft Excel.

К оглавлению…

Цель: формирование умения составлять таблицу значений для функции двух переменных и строить её график, используя возможности программы Microsoft Excel.

Методические указания по выполнению работы:

Зависимость переменной от пары значений переменных и , при которой каждой паре значений переменных и , принадлежащей некоторому множеству пар , сопоставляется по определённому правилу единственное значение переменной называется функцией двух переменных, определенной на множестве со значениями в .

Множество пар значений, которые могут принимать независимые переменные и (значение функции при этом является числом), называется областью определения функции двух переменных.

Графиком функции , определенной в области , называется множество точек трехмерного пространства, у которых принадлежит и .

Как правило, график функции двух действительных переменных представляет собой некоторую поверхность в пространстве. Для её построения в программе Microsoft Excel рекомендуем использовать следующий алгоритм:

  • В программе Microsoft Excel составьте таблицу, где в строку заносите значение переменной , в столбец — значение . По условию задачи и принимают значения от -1 до 1 с шагом 0,2:
  • Заполните ячейки таблицы значениями функции .
  • Используя мастер диаграмм, постройте соответствующую функции поверхность. Используйте правильные подписи числовых значений по осям 0 и 0.
  • Оформите Вашу работу по образцу:

Если при выполнении работы у Вас возникают сложности, обратитесь к разбору примера 1.

Пример решения заказа контрольной работы №76.

Постройте график функции .

Решение:

Составим в программе Microsoft Excel таблицу значений функций . Для этого в ячейки B1: L1 поместим значения переменной от -1 до 1 с шагом 0,2. В ячейки А2: А12 поместим значения переменной от-1 до 1 с шагом 0,2.

Остальные ячейки B2:L12 должны содержать формулы для нахождения значений функции

Например, формула в ячейке В2 имеет вид: = В1А2 — А2А2. Можно использовать возможность таблиц подстановки!

  • Используя мастер диаграмм, выберем тип диаграммы «поверхность», в качестве диапазона данных взяв диапазон ячеек B2:L12.

Необходимо изменить подписи по осям 0 и 0, использовав вкладку «Конструктор», пункт «Выбрать данные».

График функции будет иметь следующий вид:

Не правда ли, очень напоминает седло?

И у Вас обязательно получится что-то интересное! Экспериментируйте! Желаем успеха!

Для различных функций двух переменных область определения имеет разный вид. Она может представлять собой конечную или бесконечную часть плоскости, ограниченную одной или несколькими непрерывными линиями — границами области. Возможен случай, когда какая — то из границ превращается в одну точку.

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Контрольная работа №26. Нахождение частных производных функции двух переменных.

К оглавлению…

Цель: формирование умения находить частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных.

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Частной производной функции двух переменных по переменной в точке называется существующий предел отношения частного приращения функции в этой точке по переменной к приращению этой переменной при условии, что последнее стремится к нулю:

Аналогично определяется и обозначается частная производная функции двух переменных но переменной в точке :

Таким образом, частная производная функции двух неременных определяется как производная функции одной из этих неременных при условии постоянства значений другой переменной.

Частные производные функции трех и более переменных определяются аналогичным образом. Поэтому техника нахождения частных производных ничем не отличается от обычного дифференцирования, нужно только помнить, что при дифференцировании функции нескольких переменных по какой — либо переменной все остальные переменные принимаются за постоянные. Рассмотрим примеры нахождения частных производных функций двух переменных.

Пример решения заказа контрольной работы №79.

Найдите частные производные функции но переменным и .

Решение:

Для нахождения частной производной функции по переменной рассматриваем как постоянную величину. Используя правила дифференцирования разности и суммы, получаем:

Для нахождения частной производной функции по переменной рассматриваем как постоянную величину. Используя правила дифференцирования разности и суммы, получаем:

Ответ:

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Дополнительная теория к теме:

Контрольная работа №27. Нахождение частных производных второго порядка функции двух переменных.

К оглавлению…

Цель: формирование умения находить частные производные и дифференциалы второго порядка функций нескольких переменных.

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Частные производные и функции двух действительных переменных называют частными производными первого порядка. Частная производная от частной производной первого порядка называется частной производной второго порядка. Функция двух действительных переменных имеет четыре частных производных второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

— частная производная второго порядка функции по переменной ;

— частная производная второго порядка функции по переменной ;

— частная производная второго порядка функции по переменным и ;

— частная производная второго порядка функции по переменным и .

Рассматривая частные производные от частных производных второго порядка, получим всевозможные частные производные третьего порядка. Например, и т.д.

Частные производные произвольного (высшего) порядка определяются аналогично. Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Таковыми являются, например, .

Для нахождения смешанных частных производных одного порядка функции нескольких переменных, отличающихся лишь порядком дифференцирования, удобно использовать теорему Шварца.

Теорема (Шварца). Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

В частности, смешанные производные второго порядка функции двух переменных равны:

Пример решения заказа контрольной работы №83.

Найдите частные производные второго порядка функции

Решение:

Для функции двух переменных существуют четыре частные производные второго порядка:

Но по теореме Шварца, смешанные производные второго порядка функции равны: . Значит, ограничимся поиском одной смешанной производной, например, . Сначала найдем частные производные первого порядка функции:

Найдем как частную производную по переменной от :

Найдем как частную производную по переменной от :

Найдем как частную производную по переменной от :

По теореме Шварца,

Ответ:

Дополнительная теория к теме:

Контрольная работа №28. Нахождение повторных интегралов.

К оглавлению…

Цель: формирование умения вычислять повторные интегралы.

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Пусть на отрезке заданы непрерывные функции и такие, что ,, и пусть на области (рис. 1) определена функция .

Если для любого фиксированного функция как функция переменной , интегрируема на отрезке т.е. при любом существует интеграл , и функция

интегрируема на отрезке , то интеграл

называется повторным интегралом и обозначается через

При этом называется внутренним интегралом; и — внутренними.

и — внешними пределами интегрирования.

Внутренние пределы интегрирования в повторном интеграле могут быть как постоянными, так и переменными. Внешние пределы интегрирования всегда являются конкретными числами. Важно помнить, что глобально повторный интеграл представляет собой число.

Для вычисления повторного интеграла

надо последовательно взять два обычных определенных интеграла. Сначала берется внутренний интеграл

в котором переменная считается постоянной. Затем берется внешний интеграл, т.е. полученное выражение, зависящее от , интегрируется по от до .

Рассмотрим пример вычисления повторного интеграла.

Пример решения заказа контрольной работы №85.

Вычислите повторный интеграл

Решение:

Сначала найдем внутренний интеграл, считая постоянным:

Затем найдем внешний интеграл, т.е. полученную функцию проинтегрируем по . Тогда

Для сокращения записи все вычисления можно оформить следующим образом:

Ответ:

Дополнительная теория к теме:

Контрольная работа №29. Нахождение двойных интегралов но прямоугольной области и произвольной области 1 типа.

К оглавлению…

Цель: формирование умения вычислять двойные интегралы по прямоугольной и криволинейной областям.

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Двойным интегралом от функции по области называется предел последовательности интегральных сумм, не зависящий ни от способа разбиения области на элементарные области, ни от выбора точек в них, при условии, что число слагаемых каждой интегральной суммы неограниченно возрастает, а наибольший из диаметров разбиения стремится к нулю:

Двойной интеграл вычисляется путем сведения его к повторному с применением соответствующей формулы. Вид формулы, по которой осуществляется сведение, зависит от типа области интегрирования. Различают два типа области интегрирования: прямоугольную и криволинейную. Поэтому при вычислении двойного интеграла возникают две ситуации.

1.Область интегрирования на плоскости является прямоугольной, т.е. ограничена прямыми

причем

(рис. 1).

В этом случае формула сведения двойного интеграла к повторному имеет вид:

  1. Область интегрирования на плоскости является криволинейной областью. т.е. ограничена снизу и сверху непрерывными кривыми и , а слева и справа — отрезками прямых и так, что любая прямая, параллельная оси и проходящая внутри отрезка пересекает границу области (кривые и ) в двух точках (рис.2).

В этом случае формула сведения двойного интеграла к повторному имеет вид:

При вычислении двойных интегралов удобно использовать следующий алгоритм:

Построить область интегрирования в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости (исключением может быть случай прямоугольной области).

Определить тип области и в соответствии с ним составить формулу сведения двойного интеграла к повторному.

Вычислить полученный повторный интеграл. Рассмотрим примеры вычисления двойных интегралов.

Пример решения заказа контрольной работы №87.

Вычислите двойной интеграл

по прямоугольной области , ограниченной прямыми

Решение:

Воспользуемся алгоритмом вычисления двойного интеграла. Поскольку область интегрирования является прямоугольной, мы не будем изображать её в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости.

  • Для вычисления двойного интеграла по прямоугольной области используем соответствующую формулу сведения его к повторному интегралу:

В нашем

Следовательно,

  • Вычислим полученный повторный интеграл:

Таким образом, окончательно имеем:

Этот двойной интеграл по прямоугольной области можно вычислить также с использованием формулы

Тогда

Ответ:

Дополнительный пример решения заказа к этой теме:

Контрольная работа №30. Приложения двойных интегралов в геометрии.

К оглавлению…

Цель: формирование умения применять двойные интегралы для вычисления объёмов цилиндрических тел и площадей плоских геометрических фигур.

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Двойной интеграл используется для вычисления объёма цилиндрического тела и нахождения площади плоской геометрической фигуры.

Рассмотрим функцию ,непрерывную и неотрицательную в некоторой замкнутой области плоскости . Тело, ограниченное сверху поверхностью , снизу — замкнутой областью , с боков — цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси , а направляющей служит граница области , называется цилиндрическим (цилиндроидом) (рис. 1)

Геометрический смысл двойного интеграла заключается в том, что величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела:

Рассмотрим пример вычисления объёма цилиндрического тела с помощью двойного интеграла.

Пример решения заказа контрольной работы №89.

Найдите объём цилиндрического тела, изображённого на рисунке (рис.2), ограниченного сверху поверхностью

снизу — плоскостью , с боков плоскостями

Решение:

Поскольку геометрически двойной интеграл от неотрицательной функции равен объёму цилиндрического тела, будем использовать формулу:

В нашем случае

Область интегрирования , что хорошо видно на рисунке, представляет собой фигуру на плоскости , ограниченную прямыми

т.е. является прямоугольной областью. Следовательно, для нахождения объёма данного цилиндрического тела надо вычислить двойной интеграл по прямоугольной области, т.е.

Будем использовать соответствующую формулу сведения двойного интеграла к повторному:

Таким образом,

Вычислим полученный повторный интеграл:

В итоге,

Следовательно,

Ответ:

Дополнительный пример решения заказа к этой теме:

Дополнительная теория к теме:

Контрольная работа №31. Применение необходимого признака сходимости и свойств рядов.

К оглавлению…

Цель: формирование умения применять необходимый признак сходимости и свойства рядов при исследовании сходимости рядов.

Методические указания но выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Пусть задана бесконечная числовая последовательность

Выражение вида называется числовым рядом. Числа называются членами ряда (соответственно первым, вторым и т.д., -м или общим).

Для сокращенного обозначения ряда используется знак суммирования , а именно:

Рассмотрим ряд

Будем последовательно складывать его члены

Полученные суммы называются частичными суммами ряда. Рассмотрим бесконечную числовую последовательность частичных сумм ряда Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда, т.е. . Данный предел называют суммой ряда. Таким образом, сходящийся ряд имеет сумму (ему можно приписать конкретное число).

Ряд называется расходящимся, если предел последовательности частичных сумм равен бесконечности или вовсе не существует. Расходящийся ряд суммы не имеет (ему нельзя приписать конкретное число).

Важными механизмами в установлении сходимости или расходимости ряда без использования последовательности его частичных сумм являются специальные признаки сходимости. Первый из них — необходимый признак сходимости.

Необходимый признак сходимости ряда, если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е. .

Пример решения заказа контрольной работы №91.

Проверьте, выполняется ли необходимый признак сходимости для ряда

Решение:

Найдём общий член ряда

Вычислим

Так как , следовательно, необходимый признак сходимости для ряда выполняется. Однако, для установления сходимости (расходимости) ряда требуются дополнительные исследования.

Ответ: необходимый признак сходимости для ряда выполняется.

Условие стремления общего члена ряда к нулю является необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда. Так, для гармонического ряда необходимый признак сходимости выполняется:

однако данный ряд расходится. Поэтому, если общий член ряда стремится к нулю, то о сходимости или расходимости ряда заранее ничего сказать нельзя.

На практике часто используется эквивалентное необходимому условию сходимости достаточное условие расходимости ряда: если или вовсе не существует, то ряд расходится.

Дополнительный пример решения заказа к этой теме:

Дополнительная теория к теме:

Контрольная работа №32. Исследование сходимости числовых положительных рядов.

К оглавлению…

Цель: формирование умения применять достаточные признаки (сравнения, Даламбера, радикальный и интегральный Коши) при исследовании рядов на сходимость.

Методические указания no выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала: Числовой ряд с неотрицательными членами называется положительным (знакоположительным).

Признак сравнения позволяет исследовать положительный ряд на сходимость путем сравнения его с другим («эталонным») рядом, о котором известно, сходится он или нет.

Признак сравнения: Пусть даны два положительных ряда и . Если, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то

из сходимости ряда следует сходимость ряда ;

из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Другими словами,

если общий член исследуемого ряда меньше общего члена сходящегося ряда, то исследуемый ряд сходится;

если общий член исследуемого ряда больше общего члена расходящегося ряда, то исследуемый ряд расходится.

В качестве «эталонных» обычно используют следующие ряды:

— расходящийся гармонический ряд;

, если — расходящийся обобщённый гармонический ряд,

, если — сходящийся обобщённый гармонический ряд;

, если — расходящийся ряд геометрической прогрессии,

, если — сходящийся ряд геометрической прогрессии.

Рассмотрим примеры использования признака сравнения для исследования сходимости положительных рядов.

Пример решения заказа контрольной работы №94.

Исследуйте ряд на сходимость, применяя признак сравнения.

Решение:

Сравним данный ряд с «эталонным» рядом геометрической прогрессии , который сходится . Имеем:

Таким образом, общий член нашего ряда меньше общего члена сходящегося ряда. Следовательно, по признаку сравнения, ряд .

Ответ: — сходится.

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Дополнительная теория к теме:

Контрольная работа №33. Исследование абсолютной и условной сходимости знакочередующихся рядов.

К оглавлению…

Цель: формирование умения исследовать знакочередующиеся ряды на абсолютную и условную сходимость.

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала: Ряд называется знакочередующимся. если положительные и отрицательные члены ряда следуют друг за другом поочередно:

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости — признак Лейбница. Признак Лейбница. Если последовательность абсолютных величин членов знакочередующегося ряда монотонно убывает и общий член ряда стремится к нулю то знакочередующийся ряд сходится.

Доказывать сходимость знакочередующегося ряда по признаку Лейбница удобно с помощью алгоритма:

  1. выписать модуль общего члена исходного ряда ;
  2. найти и проверить выполнение неравенств: ;
  3. найти предел общего члена ряда и убедиться в том, что он равен нулю.

Пример решения заказа контрольной работы №99.

Исследуйте сходимость знакочередующегося ряда с помощью признака Лейбница.

Решение:

Для исследования сходимости знакочередующегося ряда по признаку Лейбница воспользуемся алгоритмом.

Выпишем модуль общего члена исходного ряда:

Найдём

Неравенства справедливы, т.к.

(тем самым первое условие признака Лейбница выполняется).

Найдём (второе условие признака Лейбница выполняется).

Следовательно, по признаку Лейбница знакочередующийся ряд сходится.

Ответ: сходится.

Дополнительная теория к теме:

Контрольная работа №34. Нахождение радиуса и интервала сходимости степенного ряда.

К оглавлению…

Цель: формирование умения находить радиус и интервал сходимости степенных рядов.

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Функциональный ряд вида

членами которого являются степенные функции аргумента , называется степенным (— действительная переменная, действительные числа — коэффициенты степенного ряда).

Радиусом сходимости степенного ряда называется неотрицательное действительное число или , удовлетворяющее условиям: при всех , для которых | степенной ряд сходится; при всех , для которых , степенной ряд расходится.

Если степенной ряд сходится лишь в одной точке = 0, то его радиус сходимости равен 0: .

Если степенной ряд сходится при всех действительных значениях переменной (во всех точках числовой оси), то его радиус сходимости равен

У любого степенного ряда есть радиус сходимости, найти который позволяет следующая теорема.

Теорема: Если для степенного ряда существуют конечные или бесконечные пределы

равные , то радиус сходимости степенного ряда находится по формуле: .

Заметим, что находить можно, фактически осуществляя ту же последовательность действий, что и в алгоритмах, предназначенных для исследования сходимости положительных рядов по признакам Даламбера и Коши. При этом роль общего члена положительного ряда будет играть коэффициент степенного ряда.

Рассмотрим примеры нахождения радиуса сходимости степенного ряда.

Пример решения заказа контрольной работы №103.

Найдите радиус сходимости степенного ряда

Решение:

Радиус сходимости степенного ряда

будем искать по формуле: .

Поскольку коэффициент степенного ряда содержит выражение , то для нахождения применим формулу

аналогичную формуле признака Даламбера. Фактически воспользуемся соответствующим алгоритмом. Для этого:

найдём коэффициент

найдём коэффициент

найдём отношение коэффициентов

Таким образом, получим

Следовательно, так как

Ответ:

Дополнительная теория к теме:

Контрольная работа №35. Разложение функций в ряд Маклорена.

К оглавлению…

Цель: формирование умения разлагать элементарные функции в ряд Маклорена и применять данные разложения для вычисления приближённых значений выражений.

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Ряд для функции в точке

называется рядом Маклорена.

Если функция имеет в точке производные любого порядка, то для неё можно составить ряд Маклорена. При этом функция называется порождающей функцией для соответствующего ряда.

Пример решения заказа контрольной работы №105.

Найдите третий член ряда Маклорена

для функции

Решение:

Третий член ряда Маклорена для функции имеет вид . Для его нахождения вычислим вторую производную функции в точке =0:

Подставим в выражение , получим:

Таким образом, третий член ряда Маклорена для функции равен .

Ответ: .

Дополнительный пример решения заказа к этой теме:

Дополнительная теория к теме:

Контрольная работа №36. Решение дифференциальных уравнений с разделёнными и разделяющимися переменными.

К оглавлению…

Цель: формирование умений решать дифференциальные уравнения первого порядка: простейшие, с разделёнными и разделяющимися переменными.

Методические указания по выполнению работы:

Выделяют следующие виды дифференциальных уравнении первого порядка:

  • Простейшие дифференциальные уравнения — уравнения вида .

Метод решения: взять интеграл от правой и левой части по переменной .

Пример решения заказа контрольной работы №110.

Найдите решение дифференциального уравнения .

Решение:

Поскольку перед нами простейшее дифференциальное уравнение первого порядка, найдем его решение по формуле :

общее решение дифференциального уравнения

Ответ:

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Дополнительная теория к теме:

Контрольная работа №37. Решение однородных дифференциальных уравнений.

К оглавлению…

Цель: формирование умений решать однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Методические указания по выполнению работы:

Однородные дифференциальные уравнения — уравнения вида

где

однородные функции одинакового порядка.

Функция называется однородной функцией -го порядка, если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель вся функция умножится на , т.е.

Для решения однородных дифференциальных уравнений удобно использовать следующий алгоритм:

Выполните подстановки:

В получившемся дифференциальном уравнении раскройте скобки и приведите подобные слагаемые. Должно получиться уравнение с разделяющимися переменными.

Проинтегрируйте обе части уравнения с разделяющимися переменными относительно переменных и . Найдите общее решение дифференциального уравнения.

  • В общем решении вернитесь к переменным и , подставив вместо выражение

Выпишите в ответе получившееся общее решение дифференциального уравнения.

Пример решения заказа контрольной работы №113.

Найдите решение дифференциального уравнения:

Решение:

Данное уравнение — однородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Выполним подстановки:

Раскроем скобки:

Приведем подобные слагаемые: первое и последнее взаимно уничтожаются. Получим:

Перед нами уравнение с разделяющимися переменными. Соберем в левой части выражения, содержащие , в правой — выражения, содержащие

Тогда

уравнение с разделёнными переменными.

  • Интегрируя обе части, получим:

Подставим вместо выражение:

Это и есть общее решение исходного однородного дифференциального уравнения.

Ответ:

Контрольная работа №38. Решение линейных дифференциальных уравнений.

К оглавлению…

Цель: формирование умений решать линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Методические указания по выполнению работы:

Линейные дифференциальные уравнения — уравнения вида . Для решения линейных дифференциальных уравнений удобно использовать следующий алгоритм (метод Бернулли):

  1. Приведите дифференциальное уравнение к виду и введите подстановки: .
  2. Сгруппируйте члены, содержащие и, и вынести и за скобки.
  3. Приравняйте к нулю выражение, стоящее в скобках, и найти функцию (необходимо решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и ). Функция не должна содержать константу !
  4. Вернитесь к дифференциальному уравнению, полученному после шага 2. Подставьте в это уравнение функцию v, найти вторую функцию (функция и содержит константу).
  5. Подставьте функции и , найденные на 3-м и 4-м этапе, в уравнение . Полученная функция является общим решением исходного линейного дифференциального уравнения.
  6. Выпишите в ответе получившееся решение дифференциального уравнения.

Пример решения заказа контрольной работы №114.

Найдите общее решение дифференциального уравнения

Решение:

Данное уравнение — линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

  • Выполним подстановки:
  • Сгруппируем члены, содержащие , и вынесем за скобки:
  • Считая, что неизвестная функция является произведением двух также неизвестных функций и , мы можем одну из этих функций () выбрать произвольно. Поэтому приравняем к нулю выражение, стоящее в скобках, и найдем функцию :

уравнение с разделяющимися переменными, для решения которого представим

Тогда:

Взяв интегралы от обеих частей, получим, что

Но поскольку функцию мы выбираем произвольно, удобно константу взять равной нулю. Тогда

Таким образом, на третьем шаге мы нашли функцию

Вернёмся к уравнению (*). Поскольку выражение в скобках на третьем шаге мы выбирали равным нулю, то данное уравнение (*) примет вид:

Подставим функцию в это уравнение и найдем вторую функцию : . Данное уравнение легко приводится к простейшему делением обеих частей на :

Тогда

Константу здесь писать обязательно!

Итак, на четвертом шаге метода Бернулли мы нашли функцию

Решением исходного уравнения будет являться функция . Функции и были найдены нами на 3-м и 4-м этапе решения примера. Подставив их в уравнение , найдем, что

общее решение дифференциального уравнения

Ответ:

Замечание. На 3-м шаге решения линейного дифференциального уравнения требуется выразить функцию через . Во избежание возможных трудностей, рассмотрим некоторые конкретные примеры, показывающие, как из полученного уравнения выразить . Они основаны на определении и одном из свойств логарифма :

Контрольная работа №39. Решение дифференциальных уравнений второго порядка.

К оглавлению…

Цель: формирование умений решать дифференциальные уравнения второго порядка: простейшие, линейные однородные с постоянными коэффициентами.

Методические указания по выполнению работы:

Выделяют следующие виды дифференциальных уравнений второго порядка. 1. Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка — уравнения вида:

Метод решения: двукратное интегрирование но переменной .

Пример решения заказа контрольной работы №115.

Найдите решение дифференциального уравнения . Решение. Поскольку перед нами простейшее дифференциальное уравнение второго порядка, найдем сначала но формуле:

где — константа. Для нахождения искомой функции у найдем интеграл от по переменной :

где и — константы.

Полученная функция является общим решением дифференциального уравнения .

Ответ:

Обратите внимание, что общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные и .

Дополнительная теория к теме:

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Основы теории комплексных чисел

К оглавлению…

Контрольная работа №40. Действии над комплексными числами в алгебраической форме. Решение квадратных уравнений.

К оглавлению…

Цель: формирование умения выполнять операции над комплексными числами в алгебраической форме, решать квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом.

Методические указания по выполнению работы:

Мнимой единицей будем называть такое число, квадрат которого равен -1.

Числа вида , где и — действительные числа , а — мнимая единица, называются комплексными числами.

— действительная часть комплексного числа;

— мнимая часть комплексного числа ( — коэффициент при мнимой части).

Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой комплексного числа.

Множество комплексных чисел принято обозначать буквой .

В алгебраической форме над комплексными числами удобно выполнять операции: сложение, вычитание, умножение и деление.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел производят по правилам соответствующих действий над многочленами.

Пример решения заказа контрольной работы №120.

Для комплексных чисел

найдите:

Решение:

Действительную часть комплексного числа будем складывать с действительной частью, мнимую — с мнимой:

При сложении двух комплексных чисел в алгебраической форме получили комплексное число также в алгебраической форме.

комплексное число в алгебраической форме.

комплексное число в алгебраической форме.

Ответ:

Дополнительная теория к этой теме:

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Контрольная работа №41. Действии над комплексными числами в тригонометрический форме.

К оглавлению…

Цель: формирование умения выполнять операции над комплексными числами в тригонометрической форме.

Методические указания по выполнению работы:

Модулем ( или ) комплексного числа называется длина соответствующего ему вектора,

Аргументом комплексного числа называется угол , который образует вектор с положительным направлением оси .

Трнгонометрн ческая форма комплексного числа имеет вид

Пример решения заказа контрольной работы №123.

Изобразите на комплексной плоскости числа:

Решение:

Все числа заданы в тригонометрической форме. Выделим в записи каждого числа модуль и аргумент:

Отложим от положительного направления оси угол и на полученном луче отметим вектор длиной 2 ед. с центром в начале координат (рис. 43.2).

Дополнительная теория к этой теме:

Контрольная работа №42. Действии над комплексными числами в показательной форме.

К оглавлению…

Цель: формирование умения выполнять операции над комплексными числами в показательной форме.

Методические указания по выполнению работы:

По формуле Эйлера

Тогда показательная форма комплексного числа, где — модуль, — аргумент комплексного числа.

Действия над комплексными числами в показательной форме (аналогичны действиям в тригонометрической форме).

Пусть

Над ними выполнимы следующие операции:

Умножение:

При умножении комплексных чисел в показательной форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Деление:

При делении комплексных чисел в показательной форме их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Возведение в степень:

(7). При возведении в степень комплексного числа в показательной форме модуль числа нужно возвести в -ю степень, а аргумент умножить на .

(8), где = 0, 1, 2… —1 принимает ровно значений.

Извлечение корня -й степени:

Рассмотрим на примерах операции над комплексными числами в показательной форме.

Пример решения заказа контрольной работы №125.

Для комплексных чисел

найдите:

Решение:

а) Согласно формуле (5) получим

б) Используя формулу (6), находим

в) Применяя формулу (7), находим

г) Извлечем квадратный корень из по формуле (8):

где параметр будет принимать значения 0 и 1 (корней 2-й степени из числа существует ровно 2: и ).

Ответ:

Контрольная работа №43. Переход от алгебраической формы к тригонометрической и показательной и обратно.

К оглавлению…

Цель: формирование умения выполнять переход между различными формами комплексных чисел.

Методические указания по выполнению работы:

Итак, существуют три формы записи комплексного числа:

— алгебраическая форма (1);

— тригонометрическая форма (2);

— показательная форма (3).

Переход от тригонометрической и показательной формы

Для того чтобы осуществить переход от тригонометрической формы комплексного числа к показательной и наоборот, достаточно выделить в записи числа значение модуля и аргумента и подставить их в другую форму.

Для того чтобы осуществить переход от тригонометрической формы комплексного числа к алгебраической, необходимо вычислить значения и по таблицам значений тригонометрических функций.

Пример решения заказа контрольной работы №126.

Переведите комплексное число

в показательную и алгебраическую формы.

Решение:

Выделим в записи числа значение модуля и аргумента

Подставим их в формулу (3):

показательная форма.

Для записи заданного комплексного числа в алгебраической форме вычислим

и подставим их в тригонометрическую форму:

алгебраическая форма.

Ответ:

Дополнительная теория к этой теме:

Дополнительные примеры решения заказов к этой теме:

Возможно эти страницы вам будут полезны: