Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Оглавление:

Здравствуйте! Я Людмила Анатольевна Фирмаль занимаюсь помощью более 17 лет. У меня своя команда грамотных, сильных преподавателей. Мы справимся с любой поставленной перед нами работой технического и гуманитарного плана. И не важно она по объёму на две формулы или огромная сложно структурированная на 125 страниц! Нам по силам всё, поэтому не стесняйтесь присылайте.
Если что-то непонятно, Вы всегда можете написать мне в воцап и я помогу!

Чуть ниже я предоставила примеры оформления работ по некоторым темам линейной алгебры, так я буду оформлять ваши работы если закажите у меня, это не все темы, это лишь маленькая часть их, чтобы вы понимали насколько подробно я оформляю.

Определители

К оглавлению…

Контрольная работа с оформлением и решением №1

Вычислить определитель второго порядка

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Ответ: 5

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет линейная алгебра

Контрольная работа с оформлением и решением №2

Вычислить определитель третьего порядка

Способ 1. Метод треугольника

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Ответ: 184

Способ 2, Метод раскрытия по строке (или столбцу). Раскроем по второй строке.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Ответ: 184

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по линейной алгебре

Контрольная работа с оформлением и решением №3

Вычислить определитель четвертого порядка, преобразовав его так, чтобы три элемента некоторого ряда равнялись нулю, и разложить полученный определитель по элементам этого ряда.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Используя свойства определителей, его нужно преобразовать так, чтоб в каком, либо столбце или строке стало три элемента нуля.
В данном задании проще всего к такому виду привести вторую строку, т.к. в ней уже содержится один ноль, а остальные числа не большие и удобны для преобразования.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Теперь во второй строке появилось два нуля. Далее, ко второму столбцу прибавим четвёртый, умноженный на два.
К первому столбцу прибавим четвёртый, т.е. почленно прибавим элементы четвёртого столбца к элементам первого.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Теперь во второй строке появилось три нуля. То. что и требовалось сделать. Далее раскроем данный определитель по второй строке.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Получилось, что в первых трёх определителях множители равны нулю, значит дальше их можно и не раскрывать, т.к. они всё равно обернутся в ноль. Раскроем только определитель в четвёртом слагаемом и найдём его значение.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Ответ: -51

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Контрольная работа с оформлением и решением №4

Решить неравенство (или уравнение) с определителями

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Для его решения необходимо раскрыть определители и решить обычное неравенство (или уравнение).

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Упрощаем

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Ответ: Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Матрицы

К оглавлению…

Контрольная работа с оформлением и решением №5

Операции чад матрицами.
Дано матрицы

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Выполнить операции

Заказать контрольную работу по линейной алгебре
Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Примечание: Заказать контрольную работу по линейной алгебре, перестановка не тождественна.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Возможно эта страница вам будет полезна:

Помощь с линейной алгеброй

Контрольная работа с оформлением и решением №6

Найти обратные матрицы

а) Обратная матрица второго порядка Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Находим ответ

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Ответ: Заказать контрольную работу по линейной алгебре

б) Обратная матрица третьего порядка Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Способ 1. Метод миноров.

Этот метод заключается в составлении союзной матрицы и в дальнейшем делении её на определитель матрицы.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

В матрице Заказать контрольную работу по линейной алгебре в нижнем ряду два нулевых элемента, так что будет проще раскрыть определитель по этой строке.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Союзная матрица

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Способ 2. Метод Гаусса.

Расширим исходную матрицу единичной матрицей и методом Гаусса преобразуем исходную матрицу в единичную. Расширение матрицы и будет обратной матрицей.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Дальнейшая последовательность действий приводится без объяснений

Заказать контрольную работу по линейной алгебре
Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Ответ совпал с предыдущим методом.

Ответ: Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Возможно эта страница вам будет полезна:

Заказать работу по линейной алгебре

Контрольная работа с оформлением и решением №7

Решить матричное уравнение

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

В общем виде уравнение решается Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Умножим обе стороны на Заказать контрольную работу по линейной алгебре справа.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Нам необходимо найти обратную матрицу и выполнить умножение.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Ответ: Заказать контрольную работу по линейной алгебре Чтоб убедиться в правильности, можно выполнить проверку.

Примечание. Имеет больше значение то, с какой стороны находится Заказать контрольную работу по линейной алгебре.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Решение систем линейных уравнений

К оглавлению…

Дана система линейных алгебраических уравнений

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Необходимо решить данную систему. Прежде всего, нужно найти определитель матрицы коэффициентов. Если определитель равен нулю, то система не имеет решения.
Далее показано три метода решения.

Контрольная работа с оформлением и решением №8

Решить методом Гаусса
Для удобства выпишем матрицу коэффициентов

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Далее, нам нужно привести матрицу к треугольному виду, т.е. чтоб ниже главной диагонали были нули, а на диагонали — единицы. Для удобства, также поменяем первую и вторую строки местами для того чтоб верхний левый элемент был равен единице (что делать не обязательно).
Ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-2), для того, чтоб первый элемент второй строки стал равным нулю. Какими станут значения других элементов этой строки, пока что нас не волнует.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

К третьей строке прибавим первую, умноженную на (-3), для того, чтоб первый элемент третьей строки стал равным нулю.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

К третьей строке прибавим вторую, умноженную на (-1), для того, чтоб второй элемент третьей строки стал равным нулю.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Приведя матрицу к требуемому виду можно находить значения неизвестных:

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Откуда получим ответ
Ответ: Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Ответ можно было также найти при дальнейшем преобразовании матрицы. Для этого нужно привести матрицу коэффициентов при неизвестных к виду единичной матрицы.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Из последнего, можно увидеть, чему равна каждая неизвестная.
Ответ: Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Примечание. Метод Гаусса, на первый взгляд может показаться запутанным, однако, но является наименее трудозатратным и широко применяется.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Готовые контрольные работы по линейной алгебре

Контрольная работа с оформлением и решением №9

Решить по правилу Крамера.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Выпишем матрицу коэффициентов

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Найдём основной и дополнительные определители. Определитель ещё обозначается символом Заказать контрольную работу по линейной алгебре.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Находим неизвестные

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Ответ: Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Данный метод кажется простым, но это только для системы с тремя неизвестными, при увеличении количества уравнений сложность резко возрастает.

Контрольная работа с оформлением и решением №10

Решить матричным методом.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Решение матричного уравнения в общем виде

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Найдем матрицу, обратную Заказать контрольную работу по линейной алгебре.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре
Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Союзная матрица

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Т.к. элементы матрицы не делятся нацело на 12, оставим делитель за скобками, это не будет ошибкой.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Теперь можем разделить на определитель

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Ответ: Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Примечание. При перемножении матриц и скаляра, действует переместительный закон, но только на скалярное число.

Ранг матрицы. Разрешимость систем

К оглавлению…

Контрольная работа с оформлением и решением №11

Определить ранг матрицы

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Найдем определитель данной матрицы

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Определитель не равен нулю, значит, ранг матрицы равен ее размерности

Ответ: Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Найдём её определитель

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Определитель матрицы равен нулю, значит, ранг матрицы не будет равен её размерности. Из матрицы Заказать контрольную работу по линейной алгебре составим матрицы меньшей размерности (2×2) путём удаления одной строки и одного столбца. Таких комбинаций будет девять. Если хоть одна такая матрица не даст нулевой определитель, то ранг всей матрицы будет равен двум.
Из матрицы Заказать контрольную работу по линейной алгебре отбросим первую строку и столбец и найдём определитель получившейся матрицы.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Значит ранг матрицы Заказать контрольную работу по линейной алгебре равен размерности последней матрицы

Ответ: Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Данная матрица прямоугольная, а определитель можно найти только квадратной. Значит будем составлять квадратные матрицы путем отбрасывания лишних столбцов.

1) Возьмем два первых столбца.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

2) Возьмём первый и третий столбцы.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

3) Возьмём первый и четвёртый столбцы.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Ранг матрицы Заказать контрольную работу по линейной алгебре равен размерности данной матрицы, несмотря на то, что два первых определителя равны нулю.
Ответ: Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Примечание. Данный метод нахождения ранга матрицы становится затруднительным при повышении размерности матрицы. Далее будет показано применение метода Гаусса для нахождения ранга матрицы.

Контрольная работа с оформлением и решением №12

Определение ранга матрицы методом Гаусса.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Приведём матрицу к виду трапеции.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Как видим, получили матрицу, в которой два ряда сократились, а остальные два ряда не сокращаются. Рангом матрицы является количество несокращаемых рядов в матрице.
Ответ: ранг матрицы равен 2.

Контрольная работа с оформлением и решением №13

Дана система, где Заказать контрольную работу по линейной алгебре и Заказать контрольную работу по линейной алгебре некоторые константы.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

а) При каких Заказать контрольную работу по линейной алгебре и Заказать контрольную работу по линейной алгебре система имеет единственное решение.
Система имеет единственное решение, если определитель матрицы коэффициентов не равен нулю.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Определим, при каком значении Заказать контрольную работу по линейной алгебре, определитель матрицы Заказать контрольную работу по линейной алгебре не будет равным нулю.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Ответ: система имеет решение при Заказать контрольную работу по линейной алгебре


Обратите внимание, что определитель был раскрыт по первому столбцу. Если бы мы применяли метод треугольника, то пришлось бы собирать подобные при неизвестной Заказать контрольную работу по линейной алгебре. Также стоит обратить внимание на то, что на решаемость системы не влияет столбец ответов Заказать контрольную работу по линейной алгебре.
б) При каких значениях Заказать контрольную работу по линейной алгебре и Заказать контрольную работу по линейной алгебре система не имеет решения.
Если определитель системы равен нулю, система не имеет единственного решения, в таком случае система, либо не имеет решения вовсе, либо имеет бесконечное множество решений.
Система не имеет решения если: Заказать контрольную работу по линейной алгебре где Заказать контрольную работу по линейной алгебре — расширенная матрица В основную матрицу подставим, Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Для начала найдём ранг матрицы Заказать контрольную работу по линейной алгебре:

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Определитель данной матрицы равен нулю, т.к. мы подставили искомую Заказать контрольную работу по линейной алгебре Следовательно, ранг матрицы ниже 3-х.

Составим из матрицы Заказать контрольную работу по линейной алгебре матрицу меньшего размера и найдём её определитель. Возьмем матрицу 2×2 построенную из левых верхних элементов матрицы Заказать контрольную работу по линейной алгебре.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Определитель не равен нулю, значит ранг матрицы Заказать контрольную работу по линейной алгебре
Чтоб система не имела решений ранг матрицы Заказать контрольную работу по линейной алгебре должен быть больше 2-х. Определим, при каком значении Заказать контрольную работу по линейной алгебре ранг матрицы Заказать контрольную работу по линейной алгебре не будет равен нулю.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Найдём определитель подматрицы Заказать контрольную работу по линейной алгебре.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Получаем Заказать контрольную работу по линейной алгебре
Проверим для двух других случаев

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Как видим, для всех комбинаций расширенной матрицы Заказать контрольную работу по линейной алгебре
Ответ: система не имеет решение при Заказать контрольную работу по линейной алгебре

в) При каких Заказать контрольную работу по линейной алгебре и Заказать контрольную работу по линейной алгебре система имеет бесчисленное множество решений.
Если Заказать контрольную работу по линейной алгебре а это будет в случае если Заказать контрольную работу по линейной алгебре
Ответ: система имеет бесконечное количество решений при Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Контрольная работа с оформлением и решением №14

Имеет ли система однородных уравнении нетривиальное решение. Если имеет, найти его.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Однородное уравнение всегда имеет нулевое решение, но это решение называется тривиальным. Чтоб система однородных уравнений имела нетривиальное решение, её определитель должен быть равен нулю. Если система однородных уравнений имеет нетривиальное решение, то это бесконечное множество решений.
Найдём определитель

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Следовательно, система имеет нетривиальные решения. Приведём матрицу коэффициентов к виду трапеции.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Ответ: система имеет решение Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Примечание. То, что в ответе присутствуют свободные элементы, это нормально. Выражение полностью исчерпывает ответ. Для любого Заказать контрольную работу по линейной алгебре ответ будет верным, т.с. ответов бесконечное множество.

Линейное пространство

К оглавлению…

Контрольная работа с оформлением и решением №15

Образует ли линейное пространство, заданное множество, в котором определены сумма любых двух элементов Заказать контрольную работу по линейной алгебре и Заказать контрольную работу по линейной алгебре и произведение любого элемента а на любое число Заказать контрольную работу по линейной алгебре.

Немного теории.
Линейное (векторное) пространство над числовым полем Заказать контрольную работу по линейной алгебре называется множество объектов Заказать контрольную работу по линейной алгебре любой математической природы, для которых определены операции сложения и умножения.
Заказать контрольную работу по линейной алгебре — элементы математической природы
Заказать контрольную работу по линейной алгебре — числовое поле
Заказать контрольную работу по линейной алгебре — операция сложения: Заказать контрольную работу по линейной алгебре
Заказать контрольную работу по линейной алгебре — операция умножения Заказать контрольную работу по линейной алгебре
Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Линейное пространство должно удовлетворять следующим свойствам

  1. Заказать контрольную работу по линейной алгебре — замкнутость операций
  2. Заказать контрольную работу по линейной алгебре — коммутативность сложения
  3. Заказать контрольную работу по линейной алгебре — ассоциативность
  4. Заказать контрольную работу по линейной алгебре — существование «нулевого» элемента
  5. Заказать контрольную работу по линейной алгебре — существование «отрицательного» элемента
  6. Заказать контрольную работу по линейной алгебре — существование «единичного» элемента
  7. Заказать контрольную работу по линейной алгебре — существование «обратного» элемента
  8. Заказать контрольную работу по линейной алгебре — ассоциативность умножения на скаляр
  9. Заказать контрольную работу по линейной алгебре — дистрибутивность относительно вектора
  10. Заказать контрольную работу по линейной алгебре — дистрибутивность относительно скаляра

Пример.
Образует ли линейное пространство множество всех дифференцируемых функций Заказать контрольную работу по линейной алгебре если сумма задана — Заказать контрольную работу по линейной алгебре произведение — Заказать контрольную работу по линейной алгебре Попросту говоря, функция называется дифференцируемой, если её график можно нарисовать в виде непрерывной линии на всём участке.

Проверим выполнение всех свойств.

1. Произведение дифференцируемых функций, даст дифференцируемую функцию, произведение действительного числа на дифференцируемую функцию, также, даст дифференцируемую функцию.

2. Второе свойство выполняется по свойствам тождественных преобразований: от перестановки множителей произведение не меняется. Для дифференцируемых функций это также справедливо.

3. Свойство выполняется, аналогично предыдущему.

4. Нулевой элемент Заказать контрольную работу по линейной алгебре, т.к. Заказать контрольную работу по линейной алгебре. Функция Заказать контрольную работу по линейной алгебре также дифференцируема, следовательно, нулевой элемент существует, свойство выполняется.

5. Отрицательный элемент для Заказать контрольную работу по линейной алгебре существует, так как Заказать контрольную работу по линейной алгебре. Однако, отрицательная функция Заказать контрольную работу по линейной алгебре не всюду дифференцируемая, а только если Заказать контрольную работу по линейной алгебре не равно нулю. Следовательно, свойство не выполняется.
Дальнейшую проверку можно не проводить.
Ответ: не образует

Примечание. В показанном примере, множество дифференцируемых функций образовывали бы линейное пространство, если сумма была бы определена следующим образом: Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Контрольная работа с оформлением и решением №16

Исследовать на линейную зависимость систему векторов.
Чтобы проверить является ли система векторов линейно-зависимой, необходимо составить линейную комбинацию этих векторов Заказать контрольную работу по линейной алгебре, и проверить, может ли она быть рана нулю, если хоть один коэффициент равен нулю.

Случай 1. Система векторов заданна векторами

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Составляем линейную комбинацию

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Мы получили однородную систему уравнений. Если она имеет ненулевое решение, то определитель должен быть равен нулю. Составим определитель и найдём его значение.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Определитель равен нулю, следовательно, вектора линейно зависимы.

Случай 2. Система векторов заданна аналитическими функциями:
а) Заказать контрольную работу по линейной алгебре если тождество верно, значит система линейно зависима.
Составим линейную комбинацию.
Заказать контрольную работу по линейной алгебре
Необходимо проверить, существуют ли такие Заказать контрольную работу по линейной алгебре (хотя бы одна из которых не равна нулю) при которых данное выражение равно нулю.
Запишем гиперболические функции

Заказать контрольную работу по линейной алгебре тогда

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

тогда линейная комбинация векторов примет вид: Заказать контрольную работу по линейной алгебре , откуда Заказать контрольную работу по линейной алгебре, возьмем, например, Заказать контрольную работу по линейной алгебре, тогда линейная комбинация
Заказать контрольную работу по линейной алгебре равна нулю, следовательно, система линейно зависима.

Ответ: система линейно зависима.
b) Заказать контрольную работу по линейной алгебре, составим линейную комбинацию
Заказать контрольную работу по линейной алгебре
Линейная комбинация векторов, должна быть равна нулю для любых значений Заказать контрольную работу по линейной алгебре.
Проверим для частных случаев.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Линейная комбинация векторов равна нулю, только если все коэффициенты равны нулю.
Следовательно, система линейно не зависима.
Ответ: система линейно не зависима.

Контрольная работа с оформлением и решением №17

Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Сформируем расширенную матрицу и приведём её к виду трапеции методом Гаусса.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Получим

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Чтоб получить какой-нибудь базис подставим произвольные значения: Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Получим остальные координаты

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Ответ: (1, -5, 1, 1, 1)

Контрольная работа с оформлением и решением №18

Найти координаты вектора Заказать контрольную работу по линейной алгебре в базисе Заказать контрольную работу по линейной алгебре, если он задан в базисе Заказать контрольную работу по линейной алгебре.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Нахождение координат вектора в новом базисе сводится к решению системы уравнений.

Способ 1. Нахождение при помощи матрицы перехода
Составим матрицу перехода

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Найдём вектор в новом базисе по формуле
Заказать контрольную работу по линейной алгебре
Найдём обратную матрицу и выполним умножение

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Способ 2. Нахождение путем составления системы уравнений.

Составим базисные вектора из коэффициентов базиса Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Нахождение вектора в новом базисе имеет вид Заказать контрольную работу по линейной алгебре, где Заказать контрольную работу по линейной алгебре это заданный вектор Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Полученное уравнение можно решить любым способом, ответ будет аналогичным.
Ответ: вектор в новом базисе (-21, -8, 20).

Контрольная работа с оформлением и решением №19

Пусть Заказать контрольную работу по линейной алгебре Являются ли линейными следующие преобразования.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Составим матрицы линейных операторов из коэффициентов заданных векторов.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Проверим свойство линейных операций для каждой матрицы линейного оператора.
Заказать контрольную работу по линейной алгебре
Левую часть найдём умножением матрицы Заказать контрольную работу по линейной алгебре на вектор Заказать контрольную работу по линейной алгебре. Правую часть найдем, умножив заданный вектор на скаляр Заказать контрольную работу по линейной алгебре.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Мы видим, что Заказать контрольную работу по линейной алгебре значит, преобразование не является линейным. Проверим другие вектора.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Заказать контрольную работу по линейной алгебре, преобразование не является линейным.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Заказать контрольную работу по линейной алгебре, преобразование является линейным.
Ответ: Заказать контрольную работу по линейной алгебре — не линейное преобразование, Заказать контрольную работу по линейной алгебре — не линейное, Заказать контрольную работу по линейной алгебре — линейное.

Примечание. Можно выполнить данное задание гораздо проще, внимательно посмотрев на заданные вектора. В Заказать контрольную работу по линейной алгебре мы видим, что есть слагаемые которые не содержат элементы Заказать контрольную работу по линейной алгебре, что не могло быть получено в результате линейной операции. В Заказать контрольную работу по линейной алгебре есть элемент Заказать контрольную работу по линейной алгебре в третьей степени, что также не могло быть получено умножением на вектор Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Контрольная работа с оформлением и решением №20

Дано Заказать контрольную работу по линейной алгебре Выполнить заданную операцию: Заказать контрольную работу по линейной алгебре.
Выпишем матрицы линейных операторов.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Выполним операцию над матрицами Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Заказать контрольную работу по линейной алгебре
Заказать контрольную работу по линейной алгебре

При умножении полученной матрицы на Заказать контрольную работу по линейной алгебре, получим

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Ответ: Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Контрольная работа с оформлением и решением №21

Найти матрицу в базисе Заказать контрольную работу по линейной алгебре, где Заказать контрольную работу по линейной алгебреЗаказать контрольную работу по линейной алгебре если она задана в базисе Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Запишем вектора в виде системы и составим матрицу перехода и исходную матрицу.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Воспользуемся формулой нахождения матрицы в новом базисе.
Заказать контрольную работу по линейной алгебре
Найдем обратную матрицу и выполним произведение.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Ответ: Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Контрольная работа с оформлением и решением №22

Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора проектирования на плоскость Заказать контрольную работу по линейной алгебре.

Нормальный вектор плоскости Заказать контрольную работу по линейной алгебре. Произвольная точка пространства Заказать контрольную работу по линейной алгебре переходит в точку Заказать контрольную работу по линейной алгебре. При этом вектор Заказать контрольную работу по линейной алгебре является направляющим вектором прямой Заказать контрольную работу по линейной алгебре, поэтому канонические уравнения этой прямой будут:

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Отсюда

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Точка Заказать контрольную работу по линейной алгебре одновременно принадлежит плоскости Заказать контрольную работу по линейной алгебре и прямой Заказать контрольную работу по линейной алгебре, следовательно её координаты удовлетворяют уравнениям прямой и плоскости.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Преобразуем, чтоб найти координаты точки Заказать контрольную работу по линейной алгебре.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Мы получили координаты проекции, точка Заказать контрольную работу по линейной алгебре переходит в точку Заказать контрольную работу по линейной алгебре следовательно, проектирование на плоскость Заказать контрольную работу по линейной алгебре выполняется линейным преобразованием Заказать контрольную работу по линейной алгебре.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

а) Проверим выполнение свойства Заказать контрольную работу по линейной алгебре
Проверим линейность данного преобразования. Рассмотрим вектор Заказать контрольную работу по линейной алгебре и выполним над ним преобразование Заказать контрольную работу по линейной алгебре.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

свойство выполняется.

б) Проверим выполнение свойства Заказать контрольную работу по линейной алгебре Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Выполним преобразование Заказать контрольную работу по линейной алгебре над векторами.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Оба свойства выполняются, значит, преобразование является линейным.
Составим матрицу преобразования. Для этого найдём образы орт:

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Построим матрицу линейного преобразования, строки в которой — координаты образов базисных векторов Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Областью значений преобразования Заказать контрольную работу по линейной алгебре является множество всех образов этого преобразования, то есть Заказать контрольную работу по линейной алгебре
Ядром линейного оператора является подпространство векторов, отображающихся в нулевой вектор

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Распишем равенство по координатам и преобразуем

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Запишем систему в виде канонических уравнений прямой

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Это уравнение прямой, проходящей через начало координат и перпендикулярной к исходной плоскости Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Ответ: матрица Заказать контрольную работу по линейной алгебре ядро линейного оператора

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Контрольная работа с оформлением и решением №23

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Собственные значения матрицы получим, решив характеристическое уравнение.
Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Раскроем определитель

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Решив данное уравнение любым способом, получим его корни: Заказать контрольную работу по линейной алгебре
Это и есть собственные значения матрицы.

Для нахождения собственных векторов матрицы, в выражение характеристического уравнения будем подставлять собственные значения.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Решим систему методом Гаусса

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Получим собственный вектор Заказать контрольную работу по линейной алгебре
Аналогично найдём и для других собственных значений.

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Ответ: собственные значения: 1, 3, 4; собственные вектора: Заказать контрольную работу по линейной алгебре