Задачи теории автоматического управления

Оглавление:

На этой странице я собрала теорию и готовые задачи и подробные решения по предмету теория автоматического управления, чтобы вы смогли освежить знания.

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Предметом дисциплины «Теория автоматического управления» (ТАУ) является изучение моделей элементов и основных характеристик систем, а также методов анализа и синтеза наиболее распространенных классов систем.

Все системы можно подразделить на материальные и абстрактные. Между ними устанавливаются связи через моделирование.

Под моделью понимают отображение свойств реальной системы в другой системе, реализованной в виде макета или абстрактного описания на ка-ком-либо языке (с помощью дифференциальных уравнений, графов, сетей и т.п.). В своей деятельности люди с помощью моделей изучают различные объекты, которые изначально не удовлетворяют их по своим количественным и качественным характеристикам. Приходится вырабатывать управляющие воздействия на объект, чтобы добиться определенных целей. Так возникает процесс управления. Поскольку управление протекает во времени, то системы управления являются динамическими.

Классическая цепочка в динамической системе управления такова: определение программы управления (планирование) — оценка состояния объекта (контроль) — определение управляющих воздействий (принятие решения) — реализация управления (непосредственное воздействие на объект).

В зависимости от степени автоматизации этих этапов различают автоматизированные системы управления и автоматические системы управления.

В автоматизированных системах управления (АСУ) процесс управления осуществляется частично человеком (принятие решения, контроль, иногда -реализация управления), а частично — автоматическими устройствами.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет теория автоматического управления

В системах автоматического управления (САУ) процесс управления осуществляется автоматическими устройствами без непосредственного участия человека на всех этапах рассматриваемой цепочки. Эти системы и будут изучаться в данной дисциплине.

История развития ТАУ связана с созданием высокоточных механизмов, к которым относятся: часы с маятниковым регулятором хода (X. Гюйгенс, 1675); поплавковый регулятор питания котла паровой машины (И. И. Ползунов, 1765); центробежный регулятор скорости паровой машины (Дж. Уатт, 1784); первое программное устройство управления ткацким станком от перфокарты (Ж. Жаккар, 1808) и другие.

Теоретическое осмысление особенностей применения регуляторов было изложено в трудах «О регуляторах» Д. Максвелла (1866) и И. А. Вышнеградского (1876 — 1877). В этот период Раус и Гурвиц разработали математические критерии устойчивости систем.

Двадцатый век явился периодом развития ТАУ. В 1932 г. X. Найквист предложил критерий устойчивости усилителей с обратной связью, а в 1938 г. А. В. Михайлов — критерий устойчивости систем на базе частотных методов.

В 50-е годы XX века В. В. Солодовников завершил формирование частотных методов анализа и синтеза САУ; в трудах А. А. Ляпунова, А. И. Лурье, А. М. Летова, М. А. Айзермана, В. М. Попова разработана теория нелинейных систем.

В 60-е годы прошлого века Я. 3. Цыпкин разработал основы теории дискретных систем; в трудах Г. В. Щипанова, В. С. Кулебакина, Б. Н. Петрова создана теория инвариантных систем; J1. С. Понтрягин, А. А. Фельдбаум, А. А. Красовский разработали принципы экстремального управления и теорию оптимальных систем.

С конца XX века началось внедрение в управление микропроцессоров и микроЭВМ. Появились сложные системы управления производственными процессами, развиваются новые разделы ТАУ, такие как динамика сложных систем, моделирование сложных систем и т.п. В качестве математического аппарата широко используется пространство состояния.

Конспект лекций по дисциплине «Теория автоматического управления» состоит из двух частей. Настоящая первая часть включает материал, описывающий линейные непрерывные системы. Во второй части будут рассмотрены дискретные, нелинейные, адаптивные и оптимальные системы.

Общие сведения о системах автоматического управления

К оглавлению…

Основными частями системы автоматического управления являются объект управления и управляющее устройство. Объект управления (ОУ) (рис. 1.1, а) — это устройство, в котором протекает процесс, подлежащий управлению.

Координаты Задачи теории автоматического управления, которыми в объекте управления необходимо управлять, будем называть управляемыми (регулируемыми) координатами (выходные величины). Требуемый режим функционирования объекта управления нарушается из-за воздействия на него возмущений (колебания нагрузки, воздействия внешней среды и т.п.). Сигналы Задачи теории автоматического управления, характеризующие действующие на объект возмущения, будем называть возмущающими воздействиями, или просто возмущениями.

Группа величин Задачи теории автоматического управления носит название управляющих воздействий (сигналов), с помощью которых можно изменять выходные координаты.

На схемах те или иные скалярные сигналы будем обозначать в виде одиночных стрелок, которые указывают направление действия сигнала. Координаты Задачи теории автоматического управления можно объединить в соответствующие вектора: Задачи теории автоматического управления — вектор управления, Задачи теории автоматического управления — вектор возмущения; Задачи теории автоматического управления — вектор выхода. В этом случае векторные сигналы изображены в виде двойных стрелок (рис. 1.1,6).

Задачи теории автоматического управления

На рис. 1.2 схематично изображено управляющее устройство (УУ), где сигналы представляют собой соответствующие векторы Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления.

Задачи теории автоматического управления

На управляющее устройство также могут действовать некоторые возмущения, характеризуемые вектором Задачи теории автоматического управления. Роль управляющего устройства — переработка информации, содержащейся в сигналах Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления и в соответствии с некоторым алгоритмом, зависящим от внутренней структуры управляющего устройства, — выработка управляющих сигналов Задачи теории автоматического управления.

Систему автоматического управления можно представить как совокупность объекта управления и управляющего устройства (рис. 1.3).

Полагаем, что в векторе Задачи теории автоматического управления учтены возмущения, действующие как на объект управления, так и на управляющее устройство. Штриховыми линиями показана возможность передачи информации об объекте управления и о величинах возмущений на управляющее устройство.

В основу функционирования систем автоматического управления положены три основных принципа управления.

Задачи теории автоматического управления

Принцип разомкнутого управления соответствует структуре, изображенной на рис. 1.4. По этому принципу управляющее устройство формирует сигнал управления без учета информации о возмущениях и о результатах управления. Этот простейший принцип применим только в том случае, если возмущения определены и учтены на предварительной стадии при формировании алгоритма управления и объект управления строго исполняет предписанный алгоритм управления.

Второй принцип управления — это принцип компенсации (управление по возмущению). Структура системы управления представлена на рис. 1.5.

Задачи теории автоматического управления

В этом случае вся информация о действующих возмущениях непрерывно поступает на управляющее устройство и учитывается при выработке алгоритма управления. Недостатками этого принципа являются техническая сложность, а иногда невозможность измерить возмущение, а также — отсутствие информации о результатах управления.

Третий принцип управления — принцип обратной связи (управление по отклонению). Структура системы автоматического управления в данном случае представлена на рис. 1.6. В системе существует канал передачи информации о результатах управления — канал обратной связи. При этом косвенно через объект управления учитывается и влияние возмущений на вектор выхода. В этом случае алгоритм управления непрерывно учитывает результаты управления.

Возможно создание систем автоматического управления, использующих второй и третий принципы управления одновременно, — так называемых систем с комбинированным управлением.

На рис. 1.3, 1.5 и 1.6 место разветвления сигналов, обозначенное в виде точки, будем называть узлом.

В большинстве случаев управляющее устройство структурно можно разделить на две части: устройство сравнения Задачи теории автоматического управления и регулятор Задачи теории автоматического управления, как показано на рис. 1.7.

Задачи теории автоматического управления

Схематично устройство сравнения (сумматор) будем обозначать в виде прямоугольника со знаком суммирования внутри и при помощи знаков « + » и «-» указывать знак поступающей величины. Тогда на рис. 1.7 алгоритм работы устройства сравнения будет иметь вид Задачи теории автоматического управления а сигнал Задачи теории автоматического управления, характеризующий отклонение выходного сигнала Задачи теории автоматического управления от входа сигнала Задачи теории автоматического управления, будем называть сигналом ошибки (сигнал рассогласования, ошибка).

При таком представлении управляющего устройства система управления, построенная по принципу обратной связи, будет иметь вид, изображенный на рис. 1.8.

Задачи теории автоматического управления

Канал передачи сигнала Задачи теории автоматического управления с выхода объекта управления на вход системы будем называть главной обратной связью системы.

Если Задачи теории автоматического управления — обратная связь отрицательная, если Задачи теории автоматического управления — положительная.

Классификация систем автоматического управления

К оглавлению…

Классификацию систем автоматического управления осуществляют в зависимости от признаков, в качестве которых могут быть принципы работы, алгоритмы функционирования, структуры систем, вид представления отдельных элементов, вид математических моделей, области применения и др.

По виду алгоритмов функционирования системы автоматического управления делятся на системы стабилизации ( Задачи теории автоматического управления, поддерживается некоторое постоянное значение выхода Задачи теории автоматического управления, рис. 1.8), системы программного управления (вход Задачи теории автоматического управления должен изменяться по заданной программе), следящие системы — закон изменения входного сигнала Задачи теории автоматического управления неизвестен заранее. Примерами таких систем соответственно являются системы стабилизации скорости вращения и частоты; система автоматического управления промышленного робота, работающая в режиме отработки заданных (программных) движений; радиолокационные следящие системы измерения координат движущегося объекта. С развитием практики и теории автоматического управления появляются новые классы систем: системы с поиском экстремума показателя качества, системы оптимального управления, адаптивные системы.

Приведем классификацию систем по виду законов управления. Под законом управления будем понимать зависимость выходного сигнала регулятора Задачи теории автоматического управления от сигнала ошибки Задачи теории автоматического управления. Для простоты примем, что Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления — скалярные величины, которые обозначим малыми буквами; тогда в общем случае закон управления будет иметь вид:

Задачи теории автоматического управления

Простейшими случаями этого соотношения являются:

  • пропорциональный закон (П-закон): Задачи теории автоматического управления;
  • интегральный закон (И-закон): Задачи теории автоматического управления
  • пропорционально-интегральный закон (ПИ—закон): Задачи теории автоматического управления;
  • пропорционально-интегально-дифференциальный закон (ПИД-закон): Задачи теории автоматического управления

где Задачи теории автоматического управления — коэффициент передачи; а Задачи теории автоматического управления — постоянные времени.

По количеству управляемых координат системы делятся на одномерные (Задачи теории автоматического управления) и многомерные, или многосвязные (Задачи теории автоматического управления) (см. рис. 1.1).

По характеру протекающих процессов системы делятся на непрерывные (все сигналы непрерывны во времени) и импульсные (хотя бы один из сигналов дискретизирован (квантован)) во времени. Если хотя бы один из сигналов в системе является квантованным по уровню, то она относится к релейным системам. При одновременном квантовании сигнала по уровню и времени систему относят к цифровым. Релейные, импульсные и цифровые системы составляют класс дискретных систем автоматического управления.

По зависимости выходных сигналов отдельных элементов от входных системы делятся на линейные и нелинейные.

По виду параметров, характеризующих отдельные элементы и устройства, системы делятся на системы с сосредоточенными или распределенными параметрами, стационарные (все параметры постоянны во времени), нестационарные (параметры изменяются во времени), системы с детерминированными параметрами (закон изменения параметров известен), со случайными (стохастическими) параметрами (заданы их вероятностные характеристики), с неопределенными параметрами (может, например, задаваться только область их изменения).

Приведенная классификация не охватывает всех классов существующих систем. Например, можно выделять еще системы с запаздыванием, системы с перестраиваемой структурой. Адаптивные системы делятся на самонастраивающиеся и самоорганизующиеся.

Примеры систем автоматического управления

К оглавлению…

Отметим, что первыми промышленными системами автоматического управления считаются регулятор уровня воды в котле паровой машины и центробежный регулятор скорости вращения вала паровой машины.

На рис. 1.9 представлена простейшая структура системы регулирования скорости вращения двигателя постоянного тока, которая содержит объект управления — двигатель (Дв), скорость вращения которого у является управляемой координатой (возмущение Задачи теории автоматического управления характеризует влияние момента нагрузки на скорость вращения); управляющее устройство включает тахогенератор (Тг), напряжение на выходе которого пропорционально скорости вращения Задачи теории автоматического управления; устройство сравнения Задачи теории автоматического управления, в качестве которого может применяться суммирующий операционный усилитель или, например, потенциометрический мостик; УП — усилительно-преобразовательные устройства, включающие предварительные усилительные каскады и корректирующие устройства, которые придают системе определенные свойства; УМ — усилитель мощности. Входной сигнал Задачи теории автоматического управления в виде напряжения задает режим работы системы. Если Задачи теории автоматического управления, то система будет системой стабилизации. Изменяя Задачи теории автоматического управления во времени, можно изменять скорость вращения и систему можно рассматривать как систему программного управления или следящую.

Если Задачи теории автоматического управления при заданной величине Задачи теории автоматического управления то на выходе имеем некоторую номинальную скорость Задачи теории автоматического управления, которой будут соответствовать номинальное значение напряжения тахогенератора Задачи теории автоматического управления, ошибка Задачи теории автоматического управления и соответственно напряжение управления Задачи теории автоматического управления, поддерживающее номинальную скорость вращения. Увеличение момента нагрузки Задачи теории автоматического управленияприведет к уменьшению величин Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления, возрастанию сигнала ошибки Задачи теории автоматического управления что обусловит увеличение подаваемого напряжения Задачи теории автоматического управления на двигатель. Таким образом, скорость возрастет до номинальной (или близкой к номинальной). Если Задачи теории автоматического управления уменьшить, то процесс регулирования будет идти в обратном направлении. Таким образом, происходит автоматическая компенсация влияния нагрузки на скорость двигателя и поддержание скорости в заданных пределах.

Задачи теории автоматического управления

В качестве следующего примера рассмотрим цифровой электропривод, структура которого представлена на рис. 1.10. Управляемой координатой является угол поворота Задачи теории автоматического управления некоторого механизма (М), подключенного к двигателю (Дв) через редуктор (Р) (например одна из степеней подвижности промышленного робота). ДУ — датчик угла, выходом которого является напряжение, пропорциональное углу поворота. Это напряжение поступает на аналого-цифровой преобразователь (АЦП). Сигнал Задачи теории автоматического управления представляет собой цифровой код угла и поступает на микроЭВМ (или микропроцессор). На микроЭВМ поступает (например от ЭВМ более высокого уровня) требуемый код угла поворота. В простейшем случае микроЭВМ производит сравнение сигналов Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления, т. е. выступает в роли устройства сравнения. В более общем случае микроЭВМ реализует некоторый закон управления (например ПИД-закон) в цифровой форме. Далее сигнал Задачи теории автоматического управления в цифровом коде поступает на цифроаналоговый преобразователь (ЦАП), после которого через элементы УП и УМ воздействует на двигатель. Такая система может работать в режиме позиционирования, отрабатывая заданный угол Задачи теории автоматического управления, либо в режиме непрерывной отработки угла, изменяющегося по определенной программе.

Существенным отличием этой системы является наличие элементов цифровой техники ЦАП, АЦП, микроЭВМ, для которых характерно квантование сигналов по уровню и по времени.

Математическое описание звеньев систем автоматического управления

Уравнения звеньев

К оглавлению…

Система автоматического управления (САУ) — это совокупность соединенных в определенной последовательности элементов и устройств, которые будем называть звеньями. Примерами звеньев могут служить объекты управления, усилительно-преобразовательные устройства, исполнительные двигатели, тахогенераторы, различного рода датчики, цифровые устройства, в том числе микропроцессоры и управляющие ЭВМ и т.п.

Под линейной непрерывной стационарной системой с сосредоточенными параметрами будем понимать систему, которая в целом так же, как и отдельные звенья, описывается линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

На рис. 2.1 изображено звено САУ, имеющее один входной Задачи теории автоматического управления и один выходной Задачи теории автоматического управления сигналы, являющиеся скалярными величинами (Задачи теории автоматического управления, где Задачи теории автоматического управления — множество действительных или комплексных чисел). В дальнейшем будем интерпретировать все сигналы в системе как функции текущего времени Задачи теории автоматического управления, т. е. Задачи теории автоматического управления, где Задачи теории автоматического управления.

Получение уравнений, описывающих поведение отдельных звеньев в каждом конкретном случае, является задачей той или иной отрасли науки, например, электротехники, электроники, механики и т.п. и не является предметом данного курса. Поэтому будем полагать, что звено в общем случае описывается дифференциальным уравнением следующего вида:

Задачи теории автоматического управления

где

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Коэффициенты Задачи теории автоматического управления зависят от конструктивных параметров и, возможно, от режима работы звена. Порядок Задачи теории автоматического управления дифференциального уравнения (2.1) будет определять также и соответствующий порядок звена. На практике звенья описываются дифференциальными уравнениями низкого порядка, обычно Задачи теории автоматического управления.

Для полного математического описания процессов в звене следует задавать начальные условия

Задачи теории автоматического управления

которые чаще всего будем полагать нулевыми.

В теории автоматического управления наряду с (2.1) уравнения звеньев записывают в стандартной форме, когда координаты при переменных Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления равны единице. Вынося за скобки Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления, имеем

Задачи теории автоматического управления

или, вводя обозначения

Задачи теории автоматического управления

получим следующий вид дифференциального уравнения:

Задачи теории автоматического управления

где Задачи теории автоматического управления — постоянные времени, имеющие размерность [с], а Задачи теории автоматического управления — коэффициент передачи (усиления) имеет размерность [разм. Задачи теории автоматического управления/ разм. Задачи теории автоматического управления].

Уравнения (2.1) и (2.2) можно записать также в операторном (символическом) виде, вводя дифференциальный оператор

Задачи теории автоматического управления

такой, что Задачи теории автоматического управленияЗадачи теории автоматического управления. Тогда уравнение (2.1) может быть записано в операторной форме:

Задачи теории автоматического управления

По виду дифференциального уравнения (2.1) звенья делятся на три типа. Если

Задачи теории автоматического управления

то такие звенья относятся к позиционным; если Задачи теории автоматического управления а Задачи теории автоматического управления, то к дифференцирующим; если

Задачи теории автоматического управления

то к интегрирующим.

Позиционные звенья имеют статическую характеристику. Пусть

Задачи теории автоматического управления

тогда

Задачи теории автоматического управления

Уравнения (2.1)-(2.3) описывают поведение звеньев в динамических режимах, поэтому в дальнейшем будем называть их уравнениями динамики.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по теории автоматического управления

Задача №2.1.

Рассмотрим дифференциальные уравнения часто встречающихся звеньев САУ. В качестве исполнительного устройства в системах управления широко применяются двигатели. Дифференциальное уравнение динамики двигателя постоянного тока при якорном управлении при определенных условиях имеет следующий вид:

Задачи теории автоматического управления

где Задачи теории автоматического управления — электромеханическая и электромагнитная постоянные времени; Задачи теории автоматического управления — коэффициент передачи; Задачи теории автоматического управления — угловая скорость вращения; Задачи теории автоматического управления — напряжение, приложенное к якорю.

Обозначая

Задачи теории автоматического управления

можно получить уравнение в форме (2.2). Дифференциальное уравнение двигателя относительно угла поворота будет

Задачи теории автоматического управления

где Задачи теории автоматического управления — угол поворота.

Величины Задачи теории автоматического управления зависят от конструктивных параметров двигателя. Дифференциальное уравнение тахогенератора может быть записано в виде Задачи теории автоматического управления, где Задачи теории автоматического управления — угол поворота вала тахогенератора; Задачи теории автоматического управления — напряжение на его выходе; Задачи теории автоматического управления — коэффициент передачи, определяемый конструктивными параметрами.

Линеаризация уравнений динамики звеньев

К оглавлению…

Реальные устройства САУ обычно являются нелинейными. Однако при определенных условиях их можно заменить линейными моделями, что значительно упрощает исследование САУ. Операция замены нелинейных уравнений линейными носит название линеаризации. Существуют различные способы линеаризации уравнений динамики. Наиболее распространенным является способ, базирующийся на разложении нелинейных функций в ряд Тейлора.

Пусть звено САУ описывается нелинейным дифференциальным уравнением

Задачи теории автоматического управления

где Задачи теории автоматического управления — входной, а Задачи теории автоматического управления — выходной сигналы.

Рассмотрим установившийся режим работы звена, когда на входе действует постоянный сигнал Задачи теории автоматического управления. Тогда существует постоянное значение выходного сигнала Задачи теории автоматического управления, которое можно найти из уравнения (2.4), полагая Задачи теории автоматического управления (очевидно, Задачи теории автоматического управления). Связь установившихся значений сигналов Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления будет задаваться уравнением установившегося режима

Задачи теории автоматического управления

из которого при заданном Задачи теории автоматического управления, можно найти величину Задачи теории автоматического управления.

Введем отклонения от установившегося режима

Задачи теории автоматического управления

и разложим функцию Задачи теории автоматического управления в (2.4) в ряд Тейлора относительно координат Задачи теории автоматического управления:

Задачи теории автоматического управления

где

Задачи теории автоматического управления

и т.д.

Учитывая, что

Задачи теории автоматического управления

и ограничиваясь в ряде Тейлора только линейным членом, получим

Задачи теории автоматического управления

Уравнение (2.6) является линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами и носит название линеаризованного уравнения.

Приведенной процедуре линеаризации можно дать геометрическую интерпретацию. Уравнение установившегося режима (2.5) определяет нелинейную статическую характеристику звена (рис. 2.2).

Нелинейная функция Задачи теории автоматического управления в точке разложения с координатами Задачи теории автоматического управления аппроксимируется линейной: касательной в точке разложения.

Задачи теории автоматического управления

Отметим ряд существенных моментов в процедуре линеаризации.

  1. Линеаризация допустима, если нелинейная функция Задачи теории автоматического управления в точке разложения является аналитической (т. е. дифференцируема бесконечное число раз). Для звена, имеющего статическую характеристику с разрывом, линеаризация недопустима. САУ, содержащие такие звенья, должны рассматриваться как нелинейные.
  2. Коэффициенты Задачи теории автоматического управления линеаризованного уравнения (2.6) зависят от координат точки разложения Задачи теории автоматического управления. Изменение координат дает уравнение с другими коэффициентами.
  3. Линеаризованное уравнение (2.6) и исходное (2.4) будут близки между собой только в окрестности точки разложения. Это соответствие будет тем лучше, чем меньше отклонения Задачи теории автоматического управления координат от установившегося режима и чем ближе нелинейная функция Задачи теории автоматического управления в точке разложения к своей касательной. Дать определенные количественные оценки такой близости затруднительно.

Рассматриваемые далее САУ будем полагать линейными, считая, что их звенья, если это необходимо, на предварительном этапе подверглись процедуре линеаризации.

Задача №2.2.

Пусть звено описывается нелинейным дифференциальным уравнением

Задачи теории автоматического управления

Уравнение статики имеет вид Задачи теории автоматического управления. Положим входной сигнал Задачи теории автоматического управления тогда очевидно, что Задачи теории автоматического управления. Линеаризация исходного уравнения дает

Задачи теории автоматического управления

Если Задачи теории автоматического управления, то получим уравнение

Задачи теории автоматического управления

Таким образом, в зависимости от координат точки разложения будем иметь уравнения с различными коэффициентами.

Передаточная функция и временные характеристики звеньев

К оглавлению…

Основной характеристикой звена САУ является его дифференциальное уравнение. Однако наряду с ним в теории управления нашли применение и другие характеристики. Важнейшей из них является передаточная функция, получаемая на основе применения преобразования Лапласа к исходному дифференциальному уравнению звена. Прямое и обратное преобразования Лапласа определяются следующими выражениями:

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

где Задачи теории автоматического управленияоригинал; Задачи теории автоматического управления — изображение функции Задачи теории автоматического управления — комплексная переменная; Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления — символы прямого и обратного преобразования Лапласа.

Наиболее важные свойства преобразования Лапласа, а также соответствие между рядом оригиналов и изображений приведены в приложении.

Если в дифференциальном уравнении звена (2.1) положить

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

то после применения прямого преобразования Лапласа получим алгебраическое уравнение относительно изображений:

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

откуда

Задачи теории автоматического управления

Передаточная функция звена Задачи теории автоматического управления есть отношение изображения выходного сигнала к изображению входного сигнала при нулевых начальных условиях.

Если взять дифференциальное уравнение звена в операторной форме (2.3), то формально Задачи теории автоматического управления получим делением оператора Задачи теории автоматического управления на оператор Задачи теории автоматического управления с заменой Задачи теории автоматического управления на Задачи теории автоматического управления

Задачи теории автоматического управления

Из (2.7) следует связь изображений входа и выхода через передаточную функцию:

Задачи теории автоматического управления

Звено САУ на структурных схемах изображают так, как показано на рис. 2.3.

Задачи теории автоматического управления

При использовании уравнения (2.2) передаточную функцию звена будем записывать в виде

Задачи теории автоматического управления

где Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления — многочлены с единичными коэффициентами в младших членах.

Полином Задачи теории автоматического управления будем называть характеристическим полиномом, а уравнение Задачи теории автоматического управления — характеристическим уравнением звена.

Следующий класс характеристик звена — это временные характеристики: весовая и переходная функции звена.

Если рассматривать Задачи теории автоматического управления как изображение, то приходим к понятию весовой (импульсной) функции звена Задачи теории автоматического управления, формально определяемой как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции

Задачи теории автоматического управления

Весовая функция звена Задачи теории автоматического управления есть реакция звена на входной сигнал в виде дельта-функции, которая определяется соотношением

Задачи теории автоматического управления

Дельта-функция обладает фильтрующим свойством:

Задачи теории автоматического управления

Если положить

Задачи теории автоматического управления

откуда

Задачи теории автоматического управления

т. е. Задачи теории автоматического управления — реакция звена на входной сигнал Задачи теории автоматического управления.

К такому же результату можно прийти следующим образом. Правой части (2.8) соответствует в области оригиналов свертка функций Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления:

Задачи теории автоматического управления

Если в (2.11) положить Задачи теории автоматического управления, то на основании фильтрующего свойства дельта-функции будем иметь Задачи теории автоматического управления.

Переходной функцией звена Задачи теории автоматического управления называется реакция звена на единичное ступенчатое воздействие

Задачи теории автоматического управления

Так как

Задачи теории автоматического управления

и по определению

Задачи теории автоматического управления

Так как

Задачи теории автоматического управления

Задача №2.3.

Дифференциальное уравнение двигателя постоянного тока (пример 2.1) по углу поворота в предположении, что Задачи теории автоматического управления, можно записать в виде Задачи теории автоматического управления, где принято Задачи теории автоматического управления.

Передаточная функция и временные характеристики будут иметь вид

Задачи теории автоматического управления

Частотные характеристики звеньев

К оглавлению…

Частотные характеристики определяют динамические свойства звеньев при воздействии на них гармонических сигналов. Формально частотные характеристики получаются из передаточной функции Задачи теории автоматического управления при Задачи теории автоматического управления, где Задачи теории автоматического управления — угловая частота, имеющая размерность [рад/с]. Сделав такую замену, получим

Задачи теории автоматического управления

т. е. частотная передаточная функция Задачи теории автоматического управления есть прямое преобразование Фурье от весовой функции Задачи теории автоматического управления.

Комплекснозначную функцию Задачи теории автоматического управления частоты Задачи теории автоматического управления будем называть амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ) звена.

Как любое комплексное число АФЧХ можно представить в виде

Задачи теории автоматического управления

Если передаточная функция звена представлена в виде

Задачи теории автоматического управления

то

Задачи теории автоматического управления

При этом, очевидно,

Задачи теории автоматического управления

(считаем Задачи теории автоматического управления) и

Задачи теории автоматического управления

В соответствии с (2.14) — (2.16) имеем еще ряд частотных характеристик: Задачи теории автоматического управления — амплитудно-частотная характеристика (АЧХ); Задачи теории автоматического управленияЗадачи теории автоматического управления — (разово-частотная характеристика (ФЧХ); Задачи теории автоматического управления — соответственно вещественная и мнимая частотные характеристики.

Рассмотрим физический смысл частотных характеристик. Если на вход звена с передаточной функцией Задачи теории автоматического управления поступает гармонический сигнал Задачи теории автоматического управления, то в установившемся режиме после затухания переходной составляющей выходной сигнал Задачи теории автоматического управления будет также гармоническим:

Задачи теории автоматического управления

т. е. той же частоты, но измененных амплитуды и фазы.

Изменение амплитуды определяется модулем Задачи теории автоматического управления, а фазы — аргументом Задачи теории автоматического управления на соответствующей частоте Задачи теории автоматического управления.

На практике для наглядности частотные характеристики изображают в виде графиков при изменении частоты Задачи теории автоматического управления от 0 до Задачи теории автоматического управления.

Частотные характеристики обладают следующими свойствами:

Задачи теории автоматического управления

которые непосредственно следуют из (2.14) — (2.16). Другими словами: характеристики Задачи теории автоматического управления являются четными, Задачи теории автоматического управления — нечетными. В силу этого графики при изменении частоты от Задачи теории автоматического управления до 0 не строятся. АФЧХ Задачи теории автоматического управления представляет собой годограф на комплексной плоскости с координатами Задачи теории автоматического управления или Задачи теории автоматического управления при изменении Задачи теории автоматического управления от 0 до Задачи теории автоматического управления.

На рис. 2.4 и 2.5 представлены иллюстративные графики частотных характеристик некоторого звена.

Задачи теории автоматического управления

Штриховой линией показаны части графиков, соответствующие Задачи теории автоматического управления<0. Вполне понятно, что из графика (см. рис. 2.4) нетрудно получить графики а, б или соответственно в, г (см. рис. 2.5) и наоборот.

Задачи теории автоматического управления

На практике часто применяются соответствующие логарифмические частотные характеристики: логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) Задачи теории автоматического управления и логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ) Задачи теории автоматического управления, графики которых строятся в логарифмическом масштабе. При построении Задачи теории автоматического управления по оси ординат откладывается величина Задачи теории автоматического управления, единицей измерения которой является децибел, а по оси абсцисс — частота Задачи теории автоматического управления в логарифмическом масштабе, т. е. величина Задачи теории автоматического управления. Увеличение Задачи теории автоматического управления в 10 раз соответствует приращению Задачи теории автоматического управления вдоль оси ординат на 20 дБ. При построении ЛФЧХ величину Задачи теории автоматического управления откладывают по оси ординат в обычном масштабе (в градусах или радианах), а Задачи теории автоматического управления — в логарифмическом масштабе.

На рис. 2.6 приведены иллюстративные графики ЛAЧX и ЛФЧХ для некоторого звена. Частота Задачи теории автоматического управления, при которой Задачи теории автоматического управления = 1, носит название частоты среза. Левее Задачи теории автоматического управления значения Задачи теории автоматического управления > 1 (усиление), правее — < 1 (ослабление амплитуды гармонического сигнала).

Задачи теории автоматического управления

Элементарные звенья и их характеристики

К оглавлению…

В общем случае звено САУ описывается линейным дифференциальным уравнением произвольного порядка вида (2.1) — (2.3), или соответствующей передаточной функцией (2.7). Введем понятие элементарного звена и покажем, что любое звено может быть представлено в виде совокупности элементарных звеньев.

Передаточная функция (2.7) есть отношение двух полиномов порядка Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления соответственно. Каждый из полиномов всегда можно представить в виде про-изведения простых сомножителей вида:

Задачи теории автоматического управления

где сомножитель Задачи теории автоматического управления соответствует нулевому корню уравнений Задачи теории автоматического управления или

Задачи теории автоматического управления

действительному корню,

Задачи теории автоматического управления

паре комплексно-сопряженных корней.

Исходя из этого, введем в рассмотрение элементарные звенья со следующими передаточными функциями:

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Обозначим произвольную передаточную функцию элементарного звена через Задачи теории автоматического управления. Нетрудно показать, что звено с передаточной функцией Задачи теории автоматического управления можно представить в виде

Задачи теории автоматического управления

Представление Задачи теории автоматического управления в виде (2.17) оказывается удобным при вычислении и построении соответствующих характеристик звена, если известны характеристики элементарных звеньев. Действительно, из (2.17) нетрудно получить следующие полезные соотношения:

Задачи теории автоматического управления

Перейдем к рассмотрению характеристик элементарных звеньев. Идеальное усилительное (безынерционное или пропорциональное) звено. Его уравнение и передаточная функция имеют вид

Задачи теории автоматического управления

(полагаем Задачи теории автоматического управления), а частотные характеристики —

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Временные характеристики звена таковы:

Задачи теории автоматического управления

Графики частотных и временных характеристик вполне очевидны. Идеальное интегрирующее звено. Дифференциальное уравнение и передаточная функция имеют вид

Задачи теории автоматического управления

Характеристики звена определяются следующими выражениями:

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

графики которых представлены на рис. 2.7.

Задачи теории автоматического управления

Идеальное дифференцирующеее звено. Звено имеет следующие дифференциальное уравнение и передаточную функцию:

Задачи теории автоматического управления

и соответственно характеристики:

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

графики которых представлены на рис. 2.8.

Задачи теории автоматического управления

Апериодическое (инерционное) звено первого порядка. Дифференциальное уравнение звена имеет вид

Задачи теории автоматического управления

Передаточная функция и частотные характеристики имеют следующий вид:

Задачи теории автоматического управления

Весовая и переходная функции звена определяются выражениями

Задачи теории автоматического управления

графики которых представлены на рис. 2.9.

Задачи теории автоматического управления

На рис. 2.10 изображены частотные характеристики звена Задачи теории автоматического управленияЗадачи теории автоматического управления. При этом годограф вектора Задачи теории автоматического управления представляет собой полуокружность.

Задачи теории автоматического управления

ЛАЧХ Задачи теории автоматического управления может быть построена по приведенному выше выражению по точкам. Однако возможен более простой способ построения приближенной или асимптотической ЛАЧХ в виде отрезков прямых линий с наклонами: 0 до частоты Задачи теории автоматического управления и -20 дБ на декаду после частоты Задачи теории автоматического управления. Соответствующий график приближенной (асимптотической) ЛАЧХ приведен на рис. 2.11, там же представлена и ЛФЧХ.

Штриховой линией показан точный график Задачи теории автоматического управления. Максимальная ошибка Задачи теории автоматического управления между точным графиком Задачи теории автоматического управления и асимптотическим будет при Задачи теории автоматического управления и составит

Задачи теории автоматического управления

что вполне допустимо.

Колебательное звено. Дифференциальное уравнение колебательного эвена имеет вид

Задачи теории автоматического управления

Будем полагать, что Задачи теории автоматического управления, тогда корни характеристического уравнения

Задачи теории автоматического управления

будут комплексными. Чаще передаточную функцию звена записывают в виде

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Частотные и временные характеристики звена имеют следующий вид:

Задачи теории автоматического управления

Анализ АЧХ показывает, что Задачи теории автоматического управления для любого со, если 0,707 < Задачи теории автоматического управления < 1. При Задачи теории автоматического управления < 0,707 на графике Задачи теории автоматического управления появляется «горб», который уходит в бесконечность при Задачи теории автоматического управления. Величину Задачи теории автоматического управления называют параметром затухания. Чем меньше Задачи теории автоматического управления, тем медленнее затухает колебательная составляющая в выражениях Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления.

Асимптотическая ЛАЧХ в виде ломаной может быть получена только при Задачи теории автоматического управления = 1 и имеет следующий вид:

Задачи теории автоматического управления

Переход от прямой с наклоном 0 дБ/дек на прямую с наклоном -40 дБ/дек происходит по частоте излома Задачи теории автоматического управления. Считается, что такую аппроксимацию можно использовать при 0,5 < Задачи теории автоматического управления < 1. При Задачи теории автоматического управления < 0,5 в окрестностях точки Задачи теории автоматического управления на ЛАЧХ также появляется «горб». В этом случае при построении Задачи теории автоматического управления в диапазоне Задачи теории автоматического управления, близких к Задачи теории автоматического управления, следует использовать точное выражение для Задачи теории автоматического управления или воспользоваться специальными номограммами.

Графики частотных характеристик колебательного звена приведены на рис. 2.12, а временных характеристик — на рис. 2.13.

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Частные случаи колебательного звена: консервативное звено при Задачи теории автоматического управления = 0, имеющее передаточную функцию

Задачи теории автоматического управления

и апериодическое звено второго порядка при Задачи теории автоматического управления, передаточная функция которого равна

Задачи теории автоматического управления

Форсирующее звено первого порядка. Дифференциальное уравнение и передаточная функция звена имеют вид

Задачи теории автоматического управления

а частотные и временные характеристики определяются выражениями

Задачи теории автоматического управления

Графики частотных характеристик представлены на рис. 2.14. Форсирующее звено второго порядка. Диффференциальное уравнение и передаточная функция равны соответственно

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

при условии Задачи теории автоматического управления. При Задачи теории автоматического управления это звено можно представить как произведение двух элементарных форсирующих звеньев первого порядка.

Задачи теории автоматического управления

Особенности и физическая реализуемость звеньев

К оглавлению…

Пусть звено имеет передаточную функцию

Задачи теории автоматического управления

Если нули передаточной функции (корни уравнения Задачи теории автоматического управления) и полюса передаточной функции (корни уравнения Задачи теории автоматического управления) имеют действительные части, отрицательные или равные нулю, то такое звено будем называть звеном минимально-фазового типа. При наличии хотя бы одного нуля или полюса с положительной вещественной частью звено будет относиться к неминимально-фазовому типу.

Рассмотрим эти звенья на простейшем примере. Для звена с передаточной функцией

Задачи теории автоматического управления

которое является минимально-фазовым,

Задачи теории автоматического управления

Звено с передаточной функцией

Задачи теории автоматического управления

являющееся неминимально-фазовым, имеет частотные характеристики

Задачи теории автоматического управления

Таким образом, при одинаковых АЧХ неминимально-фазовое звено имеет больший по модулю фазовый сдвиг.

Указанное свойство справедливо и в общем случае.

Рассмотрим еще одно важное свойство звеньев — свойство физической реализуемости.

Для любого реального устройства АЧХ с увеличением частоты должна уменьшаться и стремиться к нулю, а фазовые сдвиги на высоких частотах должны быть отрицательными. Пусть полином числителя Задачи теории автоматического управления передаточной функции Задачи теории автоматического управления имеет порядок Задачи теории автоматического управления, а полином знаменателя Задачи теории автоматического управления — порядок Задачи теории автоматического управления. Тогда для минимально-фазового звена справедливы следующие соотношения:

Задачи теории автоматического управления

Из приведенных соотношений следует, что звено является физически реализуемым, если будет выполняться соотношение Задачи теории автоматического управления.

С этой точки зрения, например, идеальное дифференцирующее звено с передаточной функцией Задачи теории автоматического управления не является физически реализуемым. Реальное звено, осуществляющее операции дифференцирования, может быть аппроксимировано передаточной функцией Задачи теории автоматического управления в некотором ограниченном диапазоне частот.

Математическое описание систем автоматического управления

Структурные схемы и структурные преобразования

К оглавлению…

Графически системы автоматического управления представляют в виде структурных схем, которые разделяют на конструктивные, функциональные и алгоритмические. В случае конструктивных схем блок является законченным техническим устройством (двигатель, усилитель, тахогенератор и т. п.). В функциональных схемах блок представляет собой один или несколько элементов, осуществляющих какую-либо функцию (усиления, преобразования, сбора информации и т. п.). Часто конструктивные блоки могут совпадать с функциональными.

При математическом описании систем управления распространение получили алгоритмические структурные схемы, составной частью которых являются звенья систем. Характеристикой звена является его математическое описание в виде дифференциального уравнения, передаточной функции или другой характеристики. Наиболее часто такой характеристикой является передаточная функция, которая записывается внутри прямоугольника, изображающего звено на структурной схеме.

Таким образом, алгоритмические структурные схемы, которые в основном в дальнейшем будем использовать и называть просто структурными схемами, являются графической интерпретацией математической модели системы управления.

В процессе исследования структурные схемы подвергаются преобразованию: некоторые звенья могут объединяться в одно звено, другие, наоборот, подвергаются расчленению. Такие преобразования носят название структурных преобразований, которые фактически соответствуют преобразованиям математических моделей. В результате таких преобразований конечная структурная схема может сильно отличаться от исходной, а тем более от функциональной или конструктивной схемы.

Одним из результирующих итогов структурных преобразований является приведение произвольной структуры системы к некоторому стандартному виду. Структурная схема такой стандартной системы автоматического управления представлена на рис. 3.1, где Задачи теории автоматического управления — передаточная функция объекта управления, Задачи теории автоматического управления — передаточная функция регулятора, Задачи теории автоматического управления — входной сигнал, Задачи теории автоматического управления— возмущающий, Задачи теории автоматического управления — выходной сигнал, Задачи теории автоматического управления — сигнал рассогласования. Единичная обратная связь в такой системе называется главной обратной связью.

Задачи теории автоматического управления

На структурных схемах сигналы следует рассматривать как изображения по Лапласу соответствующих переменных.

Рассмотрим преобразование произвольной структуры к стандартному виду, которое осуществляется на основании правил структурных преобразований. Анализ структур систем автоматического управления показывает, что существует три основных вида соединения звеньев: последовательное, параллельное и соединение с помощью обратной связи.

Структурные схемы, соответствующие указанным типам соединений, представлены на рис. 3.2, а, б, в.

Задачи теории автоматического управления

Отметим, что в дальнейшем, если это ясно из контекста, символ s в записи передаточных функций будем иногда опускать.

Рассмотрим задачу объединения звеньев в одно звено, связывающее непосредственно вход и выход соответствующего соединения.

Для последовательного соединения (см. рис. 3.2, а) можно записать:

Задачи теории автоматического управления

Исключая промежуточную величину Задачи теории автоматического управления, получим

Задачи теории автоматического управления

Итак, при последовательном соединении общая передаточная функция соединения будет равна произведению передаточных функций звеньев:

Задачи теории автоматического управления

Если последовательно соединено Задачи теории автоматического управления звеньев, то аналогично

Задачи теории автоматического управления

Для параллельного соединения (см. рис. 3.2, б) уравнения, связывающие координаты, имеют вид

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Исключая величины Задачи теории автоматического управления из этих уравнений, получим

Задачи теории автоматического управления

т. е. общая передаточная функция соединения будет равна сумме передаточных функций звеньев. В случае последовательного соединения Задачи теории автоматического управления звеньев получим

Задачи теории автоматического управления

Уравнения, связывающие переменные при соединении звеньев с помощью обратной связи (рис. 3.2, в), имеют вид

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

откуда, исключая переменные

Задачи теории автоматического управления

получим

Задачи теории автоматического управления

т.е. общая передаточная функция соединения будет равна

Задачи теории автоматического управления

Если звенья соединены с помощью положительной обратной связи, то

Задачи теории автоматического управления

Наряду с объединением звеньев при структурных преобразованиях приходится прибегать к переносу отдельных узлов или сумматоров из одних участков структурной схемы в другие. Такие переносы изображены на рис. 3.3, где слева — исходная схема, а справа — структурная схема после соответствующего переноса узла или сумматора. Нетрудно видеть, что по отношению к сигналам входа и выхода исходная и преобразованная структурные схемы эквивалентны.

Задачи теории автоматического управления

На практике существует и другая задача — расчленения отдельного звена на более простые. Примером решения такой задачи может служить представление передаточной функции звена в виде суммы или произведения передаточных функций элементарных звеньев.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Задача №3.1.

Рассмотрим систему управления, структурная схема которой представлена на рис. 3.4, а. Последовательность преобразования структуры следующая: переносим сумматор Задачи теории автоматического управления через звено Задачи теории автоматического управления и через сумматор Задачи теории автоматического управления. Далее объединим звенья до точки приложения воздействия Задачи теории автоматического управления и после нее. В результате будем иметь структуру, представленную на рис. 3.4, б.

Задачи теории автоматического управления

Передаточные функции и уравнения систем

К оглавлению…

Рассмотрим структурную схему стандартной системы автоматического управления, представленную на рис. 3.1. Обозначим произведение передаточных функций Задачи теории автоматического управления через Задачи теории автоматического управления. Эту передаточную функцию будем называть передаточной функцией разомкнутой системы, которая связывает изображение выходного сигнала Задачи теории автоматического управления и входа Задачи теории автоматического управления при размыкании цепи главной обратной связи и при Задачи теории автоматического управления.

Передаточная функция (как любая передаточная функция линейной системы или звена) есть отношение двух полиномов вида

Задачи теории автоматического управления

где

Задачи теории автоматического управления

Для физически реализуемых систем должно выполняться условие: Задачи теории автоматического управления. Величину Задачи теории автоматического управления будем называть коэффициентом передачи (усиления) разомкнутой системы. Полином Задачи теории автоматического управления назовем характеристическим полиномом разомкнутой системы, а алгебраическое уравнение Задачи теории автоматического управления-й степени Задачи теории автоматического управления, где Задачи теории автоматического управления — комплексная переменная, будем называть характеристическим уравнением разомкнутой системы.

Если Задачи теории автоматического управления не содержит нулевых корней, то систему управления будем называть статической по отношению к управляющему воздействию. Очевидно, Задачи теории автоматического управления.

При наличии нулевых корней передаточную функцию (3.1) можно представить в виде

Задачи теории автоматического управления

где Задачи теории автоматического управления не имеет нулевых корней; Задачи теории автоматического управления — количество нулевых корней уравнения Задачи теории автоматического управления, т. е. говорят, что передаточная функция содержит Задачи теории автоматического управления-й степени в чистом виде.

Систему управления с передаточной функцией вида (3.2) будем называть астатической с астатизмом Задачи теории автоматического управления-го порядка по отношению к управляющему воздействию. Очевидно, (3.1) есть частный случай (3.2) при Задачи теории автоматического управления = 0.

Перейдем к рассмотрению характеристик замкнутой системы (рис. 3.1), для которой можно из структурной схемы записать следующие уравнения:

Задачи теории автоматического управления

Из (3.3) нетрудно определить эти связи:

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Обозначим

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Передаточную функцию Задачи теории автоматического управления назовем главной передаточной функцией замкнутой системы, Задачи теории автоматического управления — передаточной функцией замкнутой системы по возмущению, Задачи теории автоматического управления — передаточной функцией замкнутой системы по ошибке. Если Задачи теории автоматического управления представлена в виде (3.1), то

Задачи теории автоматического управления

где полином Задачи теории автоматического управления, a Задачи теории автоматического управления — полином, который получается в результате перемножения Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления.

Полином Задачи теории автоматического управления носит название характеристического полинома замкнутой системы, а уравнение Задачи теории автоматического управления — характеристического уравнения замкнутой системы. Степень полинома Задачи теории автоматического управления определяется величиной Задачи теории автоматического управления (если Задачи теории автоматического управления) или Задачи теории автоматического управления (если Задачи теории автоматического управления). Для физически реализуемой разомкнутой системы степень полинома Задачи теории автоматического управления равна Задачи теории автоматического управления.

Важной характеристикой замкнутой системы является ее дифференциальное уравнение. Из уравнения

Задачи теории автоматического управления

заменяя Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления выражениями (3.4), получим

Задачи теории автоматического управления

и, переходя к оригиналам (или формально заменяя Задачи теории автоматического управления на оператор дифференцирования Задачи теории автоматического управления), имеем следующее дифференциальное уравнение замкнутой системы:

Задачи теории автоматического управления

Порядок Задачи теории автоматического управления дифференциального уравнения (порядок полинома Задачи теории автоматического управления) будем называть порядком системы.

Уравнение (3.5) описывает поведение системы в динамическом режиме, частным случаем которого является установившийся или статический режим. Полагая в (3.5) величины Задачи теории автоматического управления, а производные этих величин равными нулю, что соответствует Задачи теории автоматического управления в полиномах Задачи теории автоматического управления получим уравнение статического режима:

Задачи теории автоматического управления

Величина Задачи теории автоматического управления a Задачи теории автоматического управления для астатических систем и Задачи теории автоматического управления -для статических систем. Таким образом, имеем следующие уравнения статического режима: Задачи теории автоматического управления при Задачи теории автоматического управления при Задачи теории автоматического управления.

Значение величины Задачи теории автоматического управления зависит от вида передаточных функций Задачи теории автоматического управления.

По аналогии со звеньями систем можно ввести временные характеристики замкнутой системы, используя соответствующие передаточные функции Задачи теории автоматического управления, Задачи теории автоматического управления или Задачи теории автоматического управления. Оригинал Задачи теории автоматического управления передаточной функции Задачи теории автоматического управления замкнутой системы относительно входа Задачи теории автоматического управления и выхода Задачи теории автоматического управления определится как Задачи теории автоматического управления, а переходная функция как Задачи теории автоматического управления.

Аналогично можно определить эти характеристики, используя Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления.

Задача №3.2.

Пусть задана структурная схема системы (см. рис. 3.1), где

Задачи теории автоматического управления

Используя результаты, приведенные выше, определяем основные характеристики системы:

Задачи теории автоматического управления

Дифференциальное уравнение замкнутой системы (3.5) примет вид:

Задачи теории автоматического управления

Система является системой с астатизмом первого порядка, порядок системы равен трем.

Частотные характеристики систем

К оглавлению…

Частотные методы анализа и синтеза систем управления находят широкое применение в инженерной практике. По аналогии с частотными характеристиками звеньев можно ввести соответствующие частотные характеристики для системы автоматического управления.

Важным классом частотных характеристик являются частотные характеристики разомкнутой системы, определяемые из передаточной функции Задачи теории автоматического управления. Это амплитудно-фазовая частотная характеристика

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Задачи теории автоматического управления — соответственно вещественная и мнимая частотные характеристики, Задачи теории автоматического управления — логарифмическая амплитудная частотная характеристика разомкнутой системы.

Отметим некоторые общие свойства частотных характеристик для систем минимально-фазового типа. Пусть

Задачи теории автоматического управления

и степень полинома числителя Задачи теории автоматического управления меньше степени полинома знаменателя Задачи теории автоматического управления, тогда

Задачи теории автоматического управления

При этом годограф Задачи теории автоматического управления на комплексной плоскости при Задачи теории автоматического управления стремится к началу координат, при Задачи теории автоматического управления для статической системы он начинается на действительной оси на расстоянии Задачи теории автоматического управления от начала координат, а для астатических систем при Задачи теории автоматического управления уходит в бесконечность в третьем квадранте при Задачи теории автоматического управления = 1, во втором квадранте при Задачи теории автоматического управления = 2, в первом квадранте при Задачи теории автоматического управления = 3 и т.д. по часовой стрелке.

При построении частотных характеристик разомкнутой системы полезно представить Задачи теории автоматического управления в виде произведения передаточных функций Задачи теории автоматического управления элементарных звеньев (см. подразд. 2.5), т.е.

Задачи теории автоматического управления

В этом случае

Задачи теории автоматического управления

что может существенно облегчить вычисление и построение характеристик. Если

Задачи теории автоматического управления

то каждую элементарную характеристику Задачи теории автоматического управления строят в виде отрезков ломаных

(асимптот) и далее производят суммирование. Отметим, что первая низкочастотная асимптота определяется выражением Задачи теории автоматического управления — это есть прямая с наклоном Задачи теории автоматического управления, проходящая при Задачи теории автоматического управления через точку с координатой Задачи теории автоматического управления.

Рассмотрим теперь частотные характеристики замкнутой системы. Их можно получить по передаточным функциям замкнутой системы Задачи теории автоматического управленияЗадачи теории автоматического управления. Чаще всего рассматривают частотные характеристики на базе главной передаточной функции замкнутой системы Задачи теории автоматического управления. Из них обычно используются

Задачи теории автоматического управления

вещественная частотная характеристика замкнутой системы.

Остановимся на основных свойствах Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления. Для физически реализуемых систем

Задачи теории автоматического управления

Начальные значения этих характеристик будут таковы:

Задачи теории автоматического управления

Между частотными характеристиками разомкнутой и замкнутой системы существует однозначная связь, которая следует из выражения

Задачи теории автоматического управления

Представляя

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

из (3.7) можно получить следующие выражения:

Задачи теории автоматического управления

Эти выражения можно использовать для вычисления частотных характеристик замкнутой системы по частотным характеристикам разомкнутой. Существуют специальные номограммы, решающие такие задачи графически.

Процессы в системах автоматического управления

К оглавлению…

Динамические процессы в стандартной системе автоматического управления, структурная схема которой приведена на рис. 3.1, описываются во временной области дифференциальным уравнением

Задачи теории автоматического управления

или в области изображений выражением

Задачи теории автоматического управления

Выходной сигнал Задачи теории автоматического управления замкнутой системы, являющийся решением линейного дифференциального уравнения (4.1), может возникнуть в системе либо за счет внешних воздействий Задачи теории автоматического управления или Задачи теории автоматического управления, либо за счет вариации начальных условий переменной Задачи теории автоматического управления и ее производных. Составляющую выходного сигнала, обусловленную ненулевыми начальными условиями переменной Задачи теории автоматического управления и ее производных, будем называть свободной и обозначать Задачи теории автоматического управления, а составляющие, обусловленные сигналами Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления, — вынужденными и обозначать соответственно Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления. Тогда процесс Задачи теории автоматического управления, являющийся решением линейного дифференциального уравнения (4.1), определяется выражением

Задачи теории автоматического управления

где

Задачи теории автоматического управления

В математике Задачи теории автоматического управления называют общим решением уравнения (4.1) без правой части (однородного уравнения), a Задачи теории автоматического управления — частным решением уравнения (4.1) с правой частью (неоднородного уравнения).

Общее решение однородного уравнения в случае простых (различных) корней характеристического уравнения Задачи теории автоматического управления, которые обозначим через Задачи теории автоматического управления, определяется выражением

Задачи теории автоматического управления

где Задачи теории автоматического управления — произвольные постоянные, определяемые через начальные условия

Задачи теории автоматического управления

Если характеристическое уравнение Задачи теории автоматического управления имеет один кратный корень, например, Задачи теории автоматического управления кратности Задачи теории автоматического управления, а остальные Задачи теории автоматического управления — простые, то общее решение будет иметь вид

Задачи теории автоматического управления

В случае нескольких кратных корней в свободной составляющей будут появляться аналогичные группы слагаемых, соответствующие каждому кратному корню.

Для вычисления вынужденной составляющей обратимся к уравнению относительно изображений (4.2). Обозначим весовые функции замкнутой системы по управляющему сигналу

Задачи теории автоматического управления

и по возмущению

Задачи теории автоматического управления

тогда переходя в (4.2) к оригиналам, с учетом того, что произведение изображений есть свертка во временной области, получим

Задачи теории автоматического управления

Таким образом, полное решение Задачи теории автоматического управления дифференциального уравнения будет иметь вид

Задачи теории автоматического управления

В случае нулевых начальных условий

Задачи теории автоматического управления

все

Задачи теории автоматического управления

и (4.7) превращается в соотношение (4.6).

При исследовании систем управления обычно ограничиваются внешними воздействиями определенного типа, что дает возможность ввести некоторые показатели качества процессов управления и оказывается удобным для сравнительного анализа проектируемых систем. Наиболее часто сигнал управления Задачи теории автоматического управления (то же самое и для возмущения Задачи теории автоматического управления) задают в виде типового сигнала следующего вида:

Задачи теории автоматического управления — дельта-функция;

Задачи теории автоматического управления — ступенчатая функция амплитуды Задачи теории автоматического управления (скачок по положению);

Задачи теории автоматического управления — скачок по скорости;

Задачи теории автоматического управления — скачок по ускорению’,

Задачи теории автоматического управления — полиномиальное воздействие;

Задачи теории автоматического управления — гармоническое воздействие, где Задачи теории автоматического управления амплитуда, Задачи теории автоматического управления — фаза, Задачи теории автоматического управления — частота;

Задачи теории автоматического управления — гармоническое воздействие в комплексной форме.

В этих выражениях сигналы определены при Задачи теории автоматического управления > 0 и равны нулю при Задачи теории автоматического управления < 0, a

Задачи теории автоматического управления

Выбор того или иного сигнала зависит от вида системы и условий ее функционирования. Например, для систем стабилизации наиболее естественной формой управляющего воздействия является ступенчатая функция. Для следящих систем таковыми являются сигналы гармонического типа.

Наиболее часто динамические свойства системы оцениваются по ее реакции на единичную ступенчатую функцию Задачи теории автоматического управления, т. е. по виду выходного сигнала Задачи теории автоматического управления, являющегося переходной функцией замкнутой системы Задачи теории автоматического управления.

На рис. 4.1 представлен наиболее типичный вид переходной функции Задачи теории автоматического управления, где Задачи теории автоматического управления — установившееся значение выходной координаты.

Задачи теории автоматического управления

Для оценки качества регулирования по виду Задачи теории автоматического управления вводят следующие показатели качества:

Задачи теории автоматического управления — время регулирования (время переходного процесса), это время,

после которого величина

Задачи теории автоматического управления

где обычно Задачи теории автоматического управления от Задачи теории автоматического управления;

Задачи теории автоматического управления

перерегулирование в процентах;

Задачи теории автоматического управления

частота колебаний переходного процесса;

число колебаний за время переходного процесса.

Наиболее важными показателями качества являются Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления. Величина Задачи теории автоматического управления может изменяться в широких пределах в зависимости от вида системы управления. Перерегулирование обычно лежит в пределах от 0 до 30%. Число колебаний за время регулирования обычно 1 — 2, а иногда 3 — 4. В некоторых случаях колебания недопустимы.

По виду функции Задачи теории автоматического управления процессы делятся на три категории (рис. 4.2): монотонные (1), апериодические (2) и колебательные (3).

У монотонных процессов Задачи теории автоматического управления не меняет знак, у апериодического процесса знак производной Задачи теории автоматического управления изменяется только один раз, у колебательного — бесконечное число раз.

Задачи теории автоматического управления

Вычисление процессов в замкнутой системе фактически представляет собой задачу решения дифференциального уравнения (4.1) при заданных входных воздействиях Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления и начальных условиях. Существующие методы решения этой задачи можно разбить на две категории: аналитические методы и методы моделирования на ПЭВМ.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по ТАУ

Задача №4.1.

В системе (см. рис. 3.1) будем полагать

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

где Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления имеют соответствующую размерность.

Найдем выражение, связывающее выходной сигнал Задачи теории автоматического управления с внешними воздействиями Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления Для определения свободной составляющей (произвольных Задачи теории автоматического управления) воспользуемся операционным методом решения дифференциального уравнения.

Выражение (4.2) будет иметь вид

Задачи теории автоматического управления

из которого дифференциальное уравнение замкнутой системы (4.1) будет

Задачи теории автоматического управления

Будем полагать начальные условия для выходного сигнала Задачи теории автоматического управления ненулевыми, а для входных сигналов — нулевыми. Применим к дифференциальному уравнению преобразование Лапласа.

Задачи теории автоматического управления

откуда

Задачи теории автоматического управления

Полученное выражение отличается от первоначального в этом примере наличием членов, учитывающих ненулевые начальные условия. С учетом заданных параметров Задачи теории автоматического управления будем иметь

Задачи теории автоматического управления

Применяя обратное преобразование Лапласа, получим в области оригиналов

Задачи теории автоматического управления

Аналитические методы вычисления процессов

К оглавлению…

Аналитические методы вычисления выходного сигнала замкнутой системы базируются на известных методиках решения дифференциальных уравнений. Решение (4.1) классическими методами во временной области приводит к соотношению (4.7). Зная Задачи теории автоматического управления, внешние воздействия Задачи теории автоматического управления и интегрируя (4.7), можно вычислить реакцию системы Задачи теории автоматического управления. Такой подход редко используется в практике теории управления, а выражение (4.7) в большей степени применяется в теоретических выкладках.

На практике решение уравнения (4.1) чаще всего осуществляют с помощью операционного исчисления на базе преобразования Лапласа, т. е. за основу принимают выражение (4.2).

Рассмотрим методику вычисления реакции системы на внешнее воздействие Задачи теории автоматического управления при нулевых начальных условиях координаты Задачи теории автоматического управления и ее производных. В этом случае связь изображений входа и выхода будет иметь вид

Задачи теории автоматического управления

где в общем случае

Задачи теории автоматического управления

Задачи теории автоматического управления — полиномы степени Задачи теории автоматического управления соответственно.

Вычисление составляющей Задачи теории автоматического управления обусловленной возмущением Задачи теории автоматического управления, будет аналогичным с использованием передаточной функции Задачи теории автоматического управления.

В (4.8) изображение Задачи теории автоматического управления для большинства типовых воздействий представляет собой дробно-рациональную функцию, т. е. также является отношением некоторых полиномов относительно Задачи теории автоматического управления. Таким образом, изображение Задачи теории автоматического управления в этом случае будет иметь следующий вид:

Задачи теории автоматического управления

где степень полинома Задачи теории автоматического управления меньше степени полинома Задачи теории автоматического управления, которую обозначим через Задачи теории автоматического управления и в общем случае Задачи теории автоматического управления.

Вычисление оригинала Задачи теории автоматического управления по его изображению осуществляется по формулам разложения Хевисайда. Если полюса изображения Задачи теории автоматического управления, являющиеся корнями уравнения Задачи теории автоматического управления, которые обозначим Задачи теории автоматического управления, являются различными, то оригинал Задачи теории автоматического управления определяется выражением

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

В случае кратных полюсов для вычисления оригинала Задачи теории автоматического управления используется выражение на основе вычетов [6].

Если входной сигнал

Задачи теории автоматического управления

а изображение реакции системы в соответствии с (4.8) примет такой вид:

Задачи теории автоматического управления

Реакция системы в этом случае будет не чем иным, как переходной функцией замкнутой системы Задачи теории автоматического управления, которая как частный случай (4.9) будет вычисляться по выражению

Задачи теории автоматического управления

где Задачи теории автоматического управления — различные корни характеристического уравнения замкнутой системы.

Следует отметить, что случай кратных корней при исследовании систем управления встречается сравнительно редко.

В (4.10) Задачи теории автоматического управления характеризует так называемую установившуюся составляющую, а Задачи теории автоматического управления — переходную составляющую. И в общем случае в (4.9) для произвольного процесса Задачи теории автоматического управления можно всегда выделить две составляющие: установившуюся Задачи теории автоматического управления и переходную Задачи теории автоматического управления. Частным случаем установившейся составляющей является случай, соответствующий Задачи теории автоматического управления, которую будем называть статической составляющей. Для асимптотически устойчивых систем (это понятие будем рассматривать в разд. 5) всегда

Задачи теории автоматического управления

и при больших значениях Задачи теории автоматического управления реакция системы Задачи теории автоматического управления.

Отметим, что так как в (4.10) Задачи теории автоматического управления — это постоянные величины, то структура переходной составляющей Задачи теории автоматического управления идентична структуре свободной составляющей Задачи теории автоматического управления (4.4).

Реакция системы Задачи теории автоматического управления на входной сигнал Задачи теории автоматического управления при нулевых начальных условиях определяется выражением

Задачи теории автоматического управления

Для вычисления установившейся составляющей можно воспользоваться выражением [1]:

Задачи теории автоматического управления

При гармоническом входном сигнале для вычисления установившейся составляющей можно использовать частотные характеристики системы. Пусть на входе системы Задачи теории автоматического управления, тогда установившееся значение выходного сигнала будет также гармоническим сигналом и может быть вычислено по выражению

Задачи теории автоматического управления

где Задачи теории автоматического управления — значение АЧХ, а Задачи теории автоматического управления — значение ФЧХ замкнутой системы при Задачи теории автоматического управления.

Задача №4.2.

Рассмотрим систему управления, структура которой представлена на рис. 3.1. Как и в предыдущем примере,

Задачи теории автоматического управления

Пусть

Задачи теории автоматического управления

Входной сигнал Задачи теории автоматического управления

С учетом изображения входного сигнала Задачи теории автоматического управления найдем

Задачи теории автоматического управления

Используя (4.10) с учетом того, что характеристическое уравнение

Задачи теории автоматического управления

имеет два различных корня

Задачи теории автоматического управления

получим

Задачи теории автоматического управления

Из полученного выражения следует, что переходная составляющая с течением времени затухает, а установившаяся — постоянна и равна единице.

Вычислим установившуюся составляющую выходного сигнала при гармоническом входном сигнале

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Передаточная функция имеет вид

Задачи теории автоматического управления

откуда, заменяя Задачи теории автоматического управления на Задачи теории автоматического управления, получим

Задачи теории автоматического управления

При Задачи теории автоматического управления значения

Задачи теории автоматического управления

Таким образом, установившееся значение выходного сигнала будет равно

Задачи теории автоматического управления

Применение аналитических методов на практике ограничено из-за необходимости вычисления корней характеристического уравнения, построения по найденному аналитическому выражению переходной функции, нахождения показателей качества системы (Задачи теории автоматического управления и др.). Чтобы обойти эти трудности, были разработаны приближенные графические методы построения переходной функции, вытекающие из связи Задачи теории автоматического управления с вещественной частотной характеристикой замкнутой системы Задачи теории автоматического управления:

Задачи теории автоматического управления

Выражение (4.13) положено в основу приближенных графических методов построения Задачи теории автоматического управления. Суть этих методов заключается в аппроксимации характеристик Задачи теории автоматического управления и вычислении соответствующих составляющих переходного процесса. Например, Вороновым А. А. был предложен метод аппроксимации Задачи теории автоматического управления с помощью треугольных, а Солодовниковым В. В. — с помощью трапецеидальных характеристик.

Однако в связи с развитием вычислительной техники в настоящее время графо-аналитический метод вычисления переходной функции утратил свое прежнее значение. Переходной процесс любой САУ легко строится в Matlab с помощью стандартных функций или с использованием средства Simulink после создания соответствующей математической модели исследуемой системы.

Моделирование переходных процессов на ПЭВМ

К оглавлению…

С помощью известной системы математических расчетов Matlab, в которую встроен специальный пакет для исследования систем автоматического управления — Control System Toolbox, можно по передаточной функции системы построить необходимые графики временных характеристик. В Matlab также можно представить эквивалентную модель системы в среде Simulink и исследовать ее характеристики в этом приложении.

Рассмотрим применение описанных возможностей работы в Matlab на примере системы, структурная схема которой задана в виде последовательного соединения двух апериодических звеньев с параметрами:

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Для этой системы построим график переходной функции Задачи теории автоматического управления двумя способами.

  • При использовании операторов пакета Control System Toolbox запишем в командном окне следующую программу:
Задачи теории автоматического управления

В первой строке происходит определение параметров системы и присвоение им численных значений.

Если передаточную функцию разомкнутой системы представить в виде отношения полиномов по степеням Задачи теории автоматического управления:

Задачи теории автоматического управления

то удобно использовать оператор Задачи теории автоматического управления, который позволяет записывать передаточные функции путем формирования векторов коэффициентов числителя и знаменателя так, как это представлено во второй строке программы.

В третьей строке оператор feedback замыкает систему с единичным коэффициентом усиления в цепи обратной связи.

Оператор step позволяет построить переходной процесс системы при подаче на ее вход единичной ступенчатой функции Задачи теории автоматического управления.

График переходного процесса, полученный в результате выполнения программы, представлен на рис. 4.4.

Задачи теории автоматического управления
  • Представим модель системы в среде Simulink, как показано на рис. 4.5, используя стандартные блоки из библиотеки ее приложения.
Задачи теории автоматического управления

При моделировании получим на экране виртуального осциллографа (Scope) график переходного процесса (рис. 4.6), который совпадает с приведенным на рис. 4.4.

Задачи теории автоматического управления

Аналогичным образом могут быть построены и другие характеристики системы. Более подробно основы работы в системе Matlab рассматриваются в [8].

Устойчивость процессов в системах автоматического управления

К оглавлению…

Общие определения устойчивости процессов, справедливые как для линейных, так и для нелинейных систем, будут даны во второй части конспекта лекций. Здесь отметим, что свойство устойчивости или неустойчивости заданного процесса, протекающего в системе, рассматривается по отношению к другим процессам той же системы, отличающимся от заданного за счет изменений начальных условий. Величинами, отклоняющими процесс от заданного, являются возмущения начальных условий.

Для случая линейной системы динамические процессы в ней описываются линейным дифференциальным уравнением:

Задачи теории автоматического управления

общее решение которого определяется выражением (4.3):

Задачи теории автоматического управления

Изменение начальных условий влияет только на поведение свободной составляющей и не влияет на Задачи теории автоматического управления, откуда следует, что устойчивость будет определяться поведением свободной составляющей. Если Задачи теории автоматического управления, то процессы в линейной системе будем называть асимптотически устойчивыми, при Задачи теории автоматического управления — неустойчивыми и, если при любом Задачи теории автоматического управления свободная составляющая ограничена, то процессы будут просто устойчивы. Если одно из указанных свойств присуще какому-либо процессу, то для линейной системы оно будет справедливо для всех процессов. Поэтому принято говорить об асимптотической устойчивости, неустойчивости или просто устойчивости линейной системы. В последнем случае еще говорят, что линейная система находится на границе устойчивости или является нейтральной.

Структура свободной составляющей имеет вид (4.4) или (4.5). Из (4.4), (4.5) следует, что поведение свободной составляющей во времени не зависит от величин Задачи теории автоматического управления и соответственно от начальных условий, а полностью определяется видом корней Задачи теории автоматического управления.

В комплексной плоскости корней корни интерпретируются как соответствующие точки. Если корень Задачи теории автоматического управления лежит слева от мнимой оси, т. е. Задачи теории автоматического управления, будем называть его левым корнем, если Задачи теории автоматического управления — правым.

Пусть Задачи теории автоматического управления — левый корень, тогда составляющая

Задачи теории автоматического управления

в (4.4) при Задачи теории автоматического управления будет затухать и стремиться к 0, а в случае правого корня Задачи теории автоматического управления — наоборот возрастать до бесконечности. Таким образом, при различных корнях характеристического уравнения, если все корни левые, Задачи теории автоматического управления, что соответствует факту асимптотической устойчивости системы. Если хотя бы один корень правый Задачи теории автоматического управления, то Задачи теории автоматического управления и система будет неустойчива. Если для всех различных корней справедливо соотношение Задачи теории автоматического управления, то в свободной составляющей появятся слагаемые, которые будут либо постоянными (нулевой корень), либо будут изменяться по гармоническому закону (чисто мнимые корни) и составляющая Задачи теории автоматического управления будет ограничена, что соответствует нейтральной системе.

В случае кратного корня Задачи теории автоматического управления, если

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

так как при любом Задачи теории автоматического управления функция Задачи теории автоматического управления затухает быстрее, чем возрастает функция в скобках. Если же Задачи теории автоматического управления, то это утверждение не правомерно.

Таким образом, необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости линейной системы, описываемой уравнением (5.1), является выполнение соотношения

Задачи теории автоматического управления

Система будет просто устойчива, если Задачи теории автоматического управления и среди корней, лежащих на мнимой оси, нет кратных. Система будет неустойчива, если имеется хотя бы один корень, для которого Задачи теории автоматического управления, или хотя бы один кратный корень, лежащий на мнимой оси.

Суждение об устойчивости можно сделать, найдя корни характеристического уравнения замкнутой системы

Задачи теории автоматического управления

Эту задачу можно упростить, так как фактически нам достаточно знать лишь расположение корней в плоскости корней относительно мнимой оси, которую называют границей устойчивости. Выделяют три типа границы устойчивости: апериодического типа, которая характеризуется нулевым корнем характеристического уравнения, колебательного типа, что соответствует наличию пары чисто мнимых корней, и границу, соответствующую бесконечно удаленному корню (Задачи теории автоматического управления (5.2)). Если все корни уравнения (5.2) лежат слева от мнимой оси, т. е.

Задачи теории автоматического управления

то характеристический полином Задачи теории автоматического управления будем называть полиномом Гурвица, или гурвииевым полиномом.

Определение расположения корней уравнения (5.2) относительно мнимой оси без их непосредственного вычисления производят на основе критериев устойчивости, которые делятся на две группы: алгебраические и частотные.

Алгебраические критерии устойчивости

К оглавлению…

К алгебраическим критериям устойчивости относят те, которые позволяют судить об устойчивости системы по коэффициентам уравнения (5.2). Необходимым условием устойчивости линейной системы (5.1) является положительность коэффициентов характеристического уравнения (5.2), т. е.

Задачи теории автоматического управления

Докажем этот критерий. Пусть уравнение (5.2) имеет Задачи теории автоматического управления -корней Задачи теории автоматического управления, тогда полином Задачи теории автоматического управления можно по теореме Безу представить в виде

Задачи теории автоматического управления

Если Задачи теории автоматического управления, то произведение Задачи теории автоматического управления сомножителей Задачи теории автоматического управления всегда даст полином Задачи теории автоматического управления-й степени с положительными коэффициентами и с учетом Задачи теории автоматического управления получим (5.3).

Критерий является лишь необходимым, т. е. если среди Задачи теории автоматического управления есть отрицательные коэффициенты, то система неустойчива; если все Задачи теории автоматического управления положительны, то система может быть как устойчивой, так и неустойчивой. В этом последнем случае требуется дальнейшее исследование.

Рассмотрим критерий, дающий необходимые и достаточные условия устойчивости, предложенные немецким ученым А. Гурвицем в 1895 году. Предварительно из коэффициентов уравнения (5.2) сформируем матрицу Гурвица

Задачи теории автоматического управления

Алгоритм ее формирования следующий. Сначала по главной диагонали слева направо выписываем коэффициенты Задачи теории автоматического управления. Далее столбцы вверх от главной диагонали дополняются коэффициентами с возрастающими индексами, а вниз — с убывающими индексами. Коэффициенты с индексами больше Задачи теории автоматического управления и меньше нуля заменяются нулями. Последний столбец матрицы имеет все нулевые коэффициенты, кроме последнего Задачи теории автоматического управления. Обозначим через Задачи теории автоматического управления— главные определители матрицы Гурвица, которые выделены в (5.4) штриховыми линиями:

Задачи теории автоматического управления

где Задачи теории автоматического управления — определитель матрицы Гурвица.

Критерий Гурвица. Необходимым и достаточным условием устойчивости линейной системы является при Задачи теории автоматического управления положительность всех определителей Гурвица

Задачи теории автоматического управления

Для систем до 4-го порядка включительно, раскрывая определители Гурвица, можно получить следующие необходимые и достаточные условия устойчивости:

Задачи теории автоматического управления

Из (5.6), (5.7) следует, что для системы первого и второго порядка необходимые условия совпадают с необходимыми и достаточными, а при Задачи теории автоматического управления = 3 и 4, кроме необходимых условий, следует соблюдать дополнительное неравенство. При Задачи теории автоматического управления = 5 и 6 появляются два дополнительных неравенства, при Задачи теории автоматического управления = 7 и 8 — три и т. д. При аналитических исследованиях критерий Гурвица наиболее удобен для систем, порядок которых Задачи теории автоматического управления.

С помощью критерия Гурвица можно определить границы устойчивости. Если Задачи теории автоматического управления и все определители Гурвица Задачи теории автоматического управления кроме последнего, больше нуля, то нарушение условий устойчивости будет при Задачи теории автоматического управления, откуда при Задачи теории автоматического управления получаем границу устойчивости апериодического типа (появляется один нулевой корень), а при Задачи теории автоматического управления границу устойчивости колебательного типа (появляются два комплексно — сопряженных корня). При этом все остальные корни являются левыми. Граница устойчивости, соответствующая бесконечному корню, будет Задачи теории автоматического управления.

Одним из частных случаев критерия Гурвица является критерий Льенара-Шипара (1914), по которому для устойчивости системы необходимо и достаточно выполнение следующих неравенств:

Задачи теории автоматического управления

т. е. при соблюдении необходимых условий устойчивости требуется положительность четных или нечетных определителей Гурвица.

Вторым распространенным алгебраическим критерием устойчивости, дающим необходимые и достаточные условия устойчивости, является критерий Рауса-Гурвица. Этот критерий более удобен при анализе устойчивости с помощью ПЭВМ.

На первом этапе составляется таблица Рауса, элементы которой образуются из коэффициентов характеристического полинома замкнутой системы

Задачи теории автоматического управления

в которой

Задачи теории автоматического управления

Таблица Рауса выглядит так:

Задачи теории автоматического управления

Первые две строки состоят из коэффициентов Задачи теории автоматического управления. Коэффициенты последующих строк вычисляются так:

Задачи теории автоматического управления

Левый столбец записывается для наглядности.

По критерию Рауса-Гурвица система устойчива, если при Задачи теории автоматического управления положительны все элементы первого столбца таблицы

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Число правых корней в случае неустойчивой САУ равно числу перемен знака элементов первого столбца. Если элемент какой-то строки первого столбца равен нулю, то САУ либо неустойчива, либо находится на границе устойчивости [6].

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения задач по ТАУ

Задача №5.1.

Рассмотрим замкнутую систему управления, у которой передаточная функция разомкнутой системы Задачи теории автоматического управления имеет порядок не выше второго Задачи теории автоматического управления и определяется одним из перечисленных выражений:

Задачи теории автоматического управления

Характеристическое уравнение замкнутой системы для соответствующей разомкнутой будет иметь следующий вид:

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Если параметры

Задачи теории автоматического управления

то в соответствии с (5.6), (5.7) замкнутая система будет асимптотически устойчивой для всех передаточных функций, кроме

Задачи теории автоматического управления

В этом случае замкнутая система будет находиться на границе устойчивости, так как характеристическое уравнение Задачи теории автоматического управления имеет чисто мнимые корни Задачи теории автоматического управления (коэффициент Задачи теории автоматического управления и условие (5.7) не выполняется).

Задача №5.2.

Пусть передаточная функция разомкнутой системы

Задачи теории автоматического управления

Характеристическое уравнение замкнутой системы будет

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

из которого следует, что при Задачи теории автоматического управления ряд коэффициентов характеристического уравнения Задачи теории автоматического управления (при Задачи теории автоматического управления), Задачи теории автоматического управления (при Задачи теории автоматического управления) и т.д. равен нулю. В этом случае не выполняется необходимое условие устойчивости (5.3) и система ни при таких значениях параметров Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления не может быть асимптотически устойчивой. Такой класс систем называют структурно неустойчивыми.

Задача №5.3.

Передаточная функция разомкнутой системы задана в виде

Задачи теории автоматического управления

Характеристическое уравнение будет

Задачи теории автоматического управления

Используя (5.8), найдем условие устойчивости системы в виде

Задачи теории автоматического управления

из которого следуют неравенства:

Задачи теории автоматического управления

Таким образом, при заданных Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления максимальное значение коэффициента усиления ограничено и увеличение приведет к потери устойчивости. Это свойство, как будет показано дальше, является весьма характерным для систем автоматического управления и в общем случае. Система будет находиться на границе устойчивости, если выполняется одно из соотношений:

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Этот критерий относится к группе частотных и был предложен в 1938г. А. Михайловым. Он базируется на известном в теории функции комплексного переменного принципе аргумента. Характеристический полином замкнутой системы представим в виде

Задачи теории автоматического управления

где Задачи теории автоматического управления — корни уравнения Задачи теории автоматического управления.

Сделаем замену Задачи теории автоматического управления, тогда Задачи теории автоматического управления. Приращение аргумента вектора Задачи теории автоматического управления при изменении частоты Задачи теории автоматического управления от Задачи теории автоматического управления до Задачи теории автоматического управления будет равно Задачи теории автоматического управления для левого корня и Задачи теории автоматического управления для правого корня (рис. 5.1). Приращение аргумента вектора Задачи теории автоматического управления, имеющего Задачи теории автоматического управления правых и Задачи теории автоматического управления левых корней, будет равно

Задачи теории автоматического управления

а при изменении Задачи теории автоматического управления от 0 до Задачи теории автоматического управления— в 2 раза меньше, т. е.

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Из последнего выражения следует, что для устойчивой САУ Задачи теории автоматического управления и

Задачи теории автоматического управления

Полином Задачи теории автоматического управления после замены Задачи теории автоматического управления представляет собой комплексное число, действительная и мнимая части которого зависят от частоты Задачи теории автоматического управления:

Задачи теории автоматического управления

Изменяя Задачи теории автоматического управления от нуля до Задачи теории автоматического управления, на комплексной плоскости строится годограф, который называется кривой Михайлова. При Задачи теории автоматического управления = 0 он всегда будет находиться на действительной оси в точке Задачи теории автоматического управления, а при Задачи теории автоматического управления значения Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления равны Задачи теории автоматического управления или Задачи теории автоматического управления, т. е. годограф будет уходить в бесконечность в каком-либо квадранте комплексной плоскости.

Критерий Михайлова. Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы приращение аргумента функции Задачи теории автоматического управления при изменении Задачи теории автоматического управления от нуля до Задачи теории автоматического управления равнялось Задачи теории автоматического управлениячто означает последовательное прохождение кривой Михайлова Задачи теории автоматического управления квадрантов против часовой стрелки в комплексной плоскости.

Обычно критерий Михайлова применяется посла проверки необходимого условия устойчивости (5.3).

На рис. 5.2 представлен ряд кривых Михайлова для систем различного порядка.

Кривые 1,2 соответствуют устойчивым системам при Задачи теории автоматического управления = 3,4 соответственно, кривая 3 — неустойчивой системе при Задачи теории автоматического управления = 4, так как нарушена последовательность прохождения квадратов комплексной плоскости.

Задачи теории автоматического управления

Рассмотрим определение с помощью кривой Михайлова границ устойчивости. Система будет находиться на границе устойчивости, если чисто мнимая величина Задачи теории автоматического управления будет являться корнем уравнения Задачи теории автоматического управления, что означает Задачи теории автоматического управления, т.е. кривая Михайлова должна проходить через начало координат. При Задачи теории автоматического управления имеем апериодическую границу, при Задачи теории автоматического управления — колебательную, Задачи теории автоматического управления соответствует бесконечному корню. При этом следует проверить, чтобы все остальные корни были левыми. Такую проверку можно осуществить, исследуя соответствующий график кривой Михайлова в точке пересечения начала координат. Если малые деформации кривой приводят к устойчивой системе, то это соответствует границе устойчивости.

На рис. 5.3 представлены два годографа, проходящие через начало координат.

Для кривой 1 малые деформации ее в начале координат приведут к устойчивой системе, что соответствует границе устойчивости, а для кривой 2 система при малых деформациях графика все равно будет неустойчивой.

Задача №5.4.

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

Задачи теории автоматического управления

Характеристический полином замкнутой системы будет

Задачи теории автоматического управления

и соответственно

Задачи теории автоматического управления

При любом Задачи теории автоматического управления кривая Михайлова при Задачи теории автоматического управления будет начинаться на действительной оси в точке с координатами Задачи теории автоматического управления и всегда проходить последовательно первый и второй квадранты комплексной области, так как мнимая часть Задачи теории автоматического управления всегда положительна, а действительная с ростом Задачи теории автоматического управления меняет знак с плюса на минус.

Задачи теории автоматического управления

Система при любых Задачи теории автоматического управления всегда устойчива, что совпадает с результатом примера 5.1.

Критерий устойчивости Найквиста

К оглавлению…

Критерий устойчивости Найквиста — это также частотный критерий, предложенный в 1932 г. Найквистом. Он позволяет судить об устойчивости замкнутой системы управления по виду АФЧХ разомкнутой системы.

Пусть задана передаточная функция разомкнутой системы в виде

Задачи теории автоматического управления

где Задачи теории автоматического управления — полином степени Задачи теории автоматического управления — полином степени Задачи теории автоматического управления.

Тогда ее АФЧХ будет

Задачи теории автоматического управления

Составим вспомогательную функцию

Задачи теории автоматического управления

где Задачи теории автоматического управления — характеристический полином замкнутой системы, степень которого будет Задачи теории автоматического управления.

Предположим, что характеристическое уравнение разомкнутой системы Задачи теории автоматического управления имеет Задачи теории автоматического управления правых корней и Задачи теории автоматического управления левых корней. Тогда приращение аргумента функции Задачи теории автоматического управления при изменении Задачи теории автоматического управления от Задачи теории автоматического управления до Задачи теории автоматического управления будет Задачи теории автоматического управления. Если система устойчива в замкнутом состоянии, то характеристическое уравнение замкнутой системы Задачи теории автоматического управления имеет Задачи теории автоматического управления левых корней и приращение аргумента Задачи теории автоматического управления будет равноЗадачи теории автоматического управления. Найдем приращение аргумента функции Задачи теории автоматического управления при изменении Задачи теории автоматического управления от Задачи теории автоматического управления до Задачи теории автоматического управления, которое будет в этом случае равно

Задачи теории автоматического управления

В случае, если передаточная функция Задачи теории автоматического управления соответствует статической системе (соответствие астатической системе рассмотрим ниже), то при Задачи теории автоматического управления АФЧХ Задачи теории автоматического управления при изменении Задачи теории автоматического управления от Задачи теории автоматического управления до Задачи теории автоматического управления всегда образует замкнутую кривую. Соответственно Задачи теории автоматического управления в комплексной плоскости также всегда образует замкнутую кривую. Таким образом, условие (5.13) для замкнутой кривой Задачи теории автоматического управления соответствует тому, что вектор Задачи теории автоматического управления при изменении Задачи теории автоматического управления от Задачи теории автоматического управления до Задачи теории автоматического управления должен в положительном направлении обойти (охватить) начало координат Задачи теории автоматического управления раз. Из связи Задачи теории автоматического управления для АФЧХ Задачи теории автоматического управления это соответствует охвату точки с координатами Задачи теории автоматического управления на комплексной плоскости Задачи теории автоматического управления раз годографом Задачи теории автоматического управления. На основании изложенного сформулируем критерий.

Критерий Найквиста. Если разомкнутая система автоматического управления имеет Задачи теории автоматического управления правых корней, то для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы Задачи теории автоматического управления при изменении частоты Задачи теории автоматического управления от Задачи теории автоматического управления до + Задачи теории автоматического управления охватывала точку Задачи теории автоматического управления на комплексной плоскости в положительном направлении Задачи теории автоматического управления раз.

Частный случай критерия Найквиста относится к системе, устойчивой в разомкнутом состоянии (Задачи теории автоматического управления = 0). При этом годограф Задачи теории автоматического управления не должен охватывать точку Задачи теории автоматического управления.

Так как при Задачи теории автоматического управления < 0 график Задачи теории автоматического управления является зеркальным отображением относительно действительной оси графика при Задачи теории автоматического управления > 0, то обычно достаточно построить Задачи теории автоматического управления для Задачи теории автоматического управления > 0. При этом в формулировке критерия полагают охват точки Задачи теории автоматического управления раз.

На рис. 5.4, а, б представлены графики Задачи теории автоматического управления в предположении Задачи теории автоматического управления = 2 для случая устойчивой в замкнутом состоянии системы.

Из изложенного следует, что при корректном применении критерия устойчивости Найквиста следует сначала исследовать устойчивость разомкнутой системы и знать число правых корней ее характеристического уравнения. На практике обычно это нетрудно сделать по виду передаточной функции Задачи теории автоматического управления если она представлена в виде произведения передаточных функций отдельных звеньев.

Задачи теории автоматического управления

В случае астатической системы формулировка критерия Найквиста сохраняется, однако при этом возникает проблема понятия охвата и неохвата точки Задачи теории автоматического управления, так как при Задачи теории автоматического управления годограф Задачи теории автоматического управления уходит в бесконечность и кривая Задачи теории автоматического управления не является замкнутой. В этом случае АФЧХ дополняется дугой бесконечного радиуса по часовой стрелке и после этого проверяется выполнение условия критерия Найквиста. Изображенная на рис. 5.5 система устойчива.

Задачи теории автоматического управления

Для нормального функционирования система управления должна обладать и некоторыми запасами устойчивости, т. е. при изменении параметров системы в процессе работы свойство устойчивости должно сохраняться.

Вполне очевидно, что чем дальше находится кривая Задачи теории автоматического управления от точки Задачи теории автоматического управления, тем система будет находиться дальше от границы устойчивости. Числовые величины, характеризующие это свойство, носят название запасов устойчивости и могут быть введены различными способами. На рис. 5.6 представлена АФЧХ разомкнутой системы для устойчивой замкнутой системы.

Задачи теории автоматического управления

Запас устойчивости по фазе определяется как величина угла

Задачи теории автоматического управления

где Задачи теории автоматического управления значение фазы при Задачи теории автоматического управления, а частота среза Задачи теории автоматического управления — это значение частоты, при которой Задачи теории автоматического управления. Из рис. 5.6 видно, что точка Задачи теории автоматического управления получается пересечением Задачи теории автоматического управления и окружности единичного радиуса (штриховая линия).

Запас устойчивости по амплитуде Задачи теории автоматического управления — это величина отрезка оси абсцисс между критической точкой Задачи теории автоматического управления и точкой Задачи теории автоматического управления пересечения Задачи теории автоматического управления с осью абсцисс (там, где Задачи теории автоматического управления). Очевидно, в данном случае величина Задачи теории автоматического управления всегда меньше единицы.

Если характеристика Задачи теории автоматического управления имеет более сложные очертания (так называемая клювообразная характеристика представлена на рис. 5.7), то запас по амплитуде характеризуют двумя числами Задачи теории автоматического управления, а запас по фазе Задачи теории автоматического управления определяется обычным образом.

Задачи теории автоматического управления

Рассмотрим интерпретацию критерия Найквиста в логарифмической области. Для простоты рассмотрим систему, устойчивую в разомкнутом состоянии, для которой АФЧХ разомкнутой системы Задачи теории автоматического управления не должна охватывать точку Задачи теории автоматического управления. Очевидно, «опасным» с точки зрения устойчивости является отрезок действительной оси Задачи теории автоматического управления, когда фазовая характеристика равна Задачи теории автоматического управления и т.д. При этом модуль Задачи теории автоматического управления .Пересечение же отрезка действительной оси (-1, 0) годографом Задачи теории автоматического управления безопасно с точки зрения устойчивости. Если перейти к логарифмическим частотным характеристикам Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления, то характеристики, приведенные на рис. 5.7, будут соответствовать логарифмическим характеристикам, изображенным на рис. 5.8.

Задачи теории автоматического управления

В общем случае критерий Найквиста применительно к логарифмическим характеристикам формулируется так: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов логарифмической фазовой частотной характеристикой Задачи теории автоматического управления разомкнутой системы прямых Задачи теории автоматического управления во всех областях, Задачи теории автоматического управления была равна Задачи теории автоматического управления (Задачи теории автоматического управления — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы).

Отметим, что Задачи теории автоматического управления) > 0 обычно до частоты среза системы Задачи теории автоматического управления. Если система устойчива в разомкнутом состоянии, то Задачи теории автоматического управления = 0.

При использовании логарифмических характеристик также вводят запасы устойчивости, показанные на рис. 5.8. При Задачи теории автоматического управления запас устойчивости по фазе определяется как

Задачи теории автоматического управления

а запас устойчивости по модулю характеризуется величинами отрезков Задачи теории автоматического управления выраженными в децибелах. В случае обычных, не клювообразных, характеристик Задачи теории автоматического управления запас устойчивости по модулю характеризуется одной величиной Задачи теории автоматического управления, определяемой на критической частоте Задачи теории автоматического управления, соответствующей Задачи теории автоматического управления.

На практике величина запасов устойчивости по фазе и модулю обычно колеблется в пределах 30°…60° и (6…20) дБ. Величина (6…20) дБ соответствует усилению в (2… 10) раз.

Рассмотрим, как в общих чертах влияют параметры и вид АФЧХ разомкнутой системы Задачи теории автоматического управления на устойчивость. Если

Задачи теории автоматического управления

то очевидно, что величина коэффициента усиления не влияет на вид фазовой частотной характеристики. Модуль Задачи теории автоматического управления пропорционален величине Задачи теории автоматического управления. Таким образом, увеличение (уменьшение) величины Задачи теории автоматического управления будет пропорционально увеличивать (уменьшать) Задачи теории автоматического управления, не изменяя фазового угла годографа вектора Задачи теории автоматического управления в комплексной плоскости. Кривая Задачи теории автоматического управления (см. рис. 5.6) будет пропорционально расширяться или сжиматься и с увеличением Задачи теории автоматического управления наступит момент, когда Задачи теории автоматического управления охватит точку Задачи теории автоматического управления и система станет неустойчивой. Это следует и по ЛАЧХ (см. рис. 5.8). Увеличение Задачи теории автоматического управления поднимает характеристику Задачи теории автоматического управления, приводит к смещению Задачи теории автоматического управления вправо по оси абсцисс и в конечном счете к потере устойчивости.

В случае клювообразных характеристик (см. рис. 5.7, 5.8) возможна потеря устойчивости и при уменьшении общего коэффициента усиления. Увеличение порядка астатизма системы также отрицательно сказывается на устойчивости, так как приводит к увеличению отрицательных фазовых сдвигов.

Построение областей устойчивости

К оглавлению…

Устойчивость замкнутой системы зависит от корней характеристического уравнения

Задачи теории автоматического управления

Пусть при определенных значениях коэффициентов все корни уравнения (5.14) будут левыми. Изменяя коэффициенты Задачи теории автоматического управления, будем получать то или иное расположение корней на комплексной плоскости. Совокупность всех значений коэффициентов Задачи теории автоматического управления, для которых все корни уравнения (5.14) являются левыми, образует область устойчивости системы в пространстве коэффициентов характеристического уравнения.

Так как коэффициенты уравнения (5.14) являются функциями параметров системы (коэффициентов усиления, постоянных времени и т.п.), то аналогично можно говорить об областях устойчивости в пространстве параметров системы.

Обычно такие области строятся при изменении одного или двух параметров системы, так как при большем числе параметров геометрическая интерпретация областей теряет наглядность.

Вполне очевидно, что для построения областей устойчивости достаточно найти только лишь ее границу и показать, что хотя бы для одной из внутренних точек области все корни будут являться левыми.

Границы устойчивости могут быть найдены с помощью любого критерия (Гурвица, Михайлова). Так, в примере 5.3 с помощью критерия Гурвица найдены границы области устойчивости в пространстве трех параметров от Задачи теории автоматического управления до

Задачи теории автоматического управления

Однако для выделения областей устойчивости разработан специальный метод Задачи теории автоматического управления — разбиения, предложенный Ю. Неймарком. Рассмотрим этот метод.

Корень уравнения (5.14) попадает на мнимую ось (границу устойчивости в плоскости корней), если Задачи теории автоматического управления является решением уравнения (5.14), т. е. выполняется равенство

Задачи теории автоматического управления

Если Задачи теории автоматического управления задано (Задачи теории автоматического управления = 0 соответствует нулевому корню), то (5.15) можно рассматривать как уравнение относительно искомых коэффициентов Задачи теории автоматического управления, при которых один корень находится на границе устойчивости. Изменяя Задачи теории автоматического управления от —Задачи теории автоматического управления до Задачи теории автоматического управления в пространстве коэффициентов Задачи теории автоматического управления, получим некоторую поверхность, соответствующую границе устойчивости (попаданию корня уравнения (5.15) на мнимую ось). Эта поверхность разобьет все пространство коэффициентов на области с определенным расположением левых и правых корней, которые обозначим

Задачи теории автоматического управления

Область Задачи теории автоматического управления соответствует Задачи теории автоматического управления корням в правой полуплоскости, Задачи теории автоматического управления — корню в правой полуплоскости и т.д. Область Задачи теории автоматического управления соответствует Задачи теории автоматического управления корням в левой полуплоскости, т. е. области устойчивости. При пересечении границы, определяемой уравнением (5.15), происходит переход корня из левой полуплоскости в правую или наоборот.

Рассмотрим частный случай: Задачи теории автоматического управления — разбиение по одному комплексному параметру. Пусть исследуемый параметр линейно входит в уравнение (5.14), которое в этом случае приводится к виду:

Задачи теории автоматического управления

а граница области Задачи теории автоматического управления — разбиения определяется уравнением:

Задачи теории автоматического управления

откуда, полагая Задачи теории автоматического управления — комплексной величиной и обозначая ее Задачи теории автоматического управления, получим

Задачи теории автоматического управления

Границу Задачи теории автоматического управления — разбиения в комплексной плоскости строим, изменяя Задачи теории автоматического управления от —Задачи теории автоматического управления до Задачи теории автоматического управления, которая будет представлять собой некоторую кривую. При изменении Задачи теории автоматического управления от — Задачи теории автоматического управления до 0 кривая будет зеркальным отображением относительно действительной оси кривой при Задачи теории автоматического управления.

При движении вдоль границы Задачи теории автоматического управления — разбиения ее штрихуют слева, двигаясь при изменении Задачи теории автоматического управления от —Задачи теории автоматического управления до Задачи теории автоматического управления, что соответствует в плоскости корней движению вдоль мнимой оси снизу вверх так, что левая полуплоскость корней остается слева.

На рис. 5.9 изображена кривая Задачи теории автоматического управления — разбиения в комплексной плоскости.

Задачи теории автоматического управления

Пересечение границы Задачи теории автоматического управления — разбиения из заштрихованной стороны в незаштрихованную сторону (стрелка 1 на рис. 5.9) соответствует переходу одного корня из левой полуплоскости в правую. Стрелка 2 соответствует переходу правого корня в левую полуплоскость плоскости корней.

Обычно претендентом на область устойчивости является область, внутрь которой направлена штриховка, соответствующая наибольшему количеству левых корней. На рис. 5.9 это область, включающая отрезок Задачи теории автоматического управления. Для проверки, является ли эта область областью устойчивости Задачи теории автоматического управления, берут любое значение исследуемого параметра v из этой области, подставляют его в исходное характеристическое уравнение и с помощью любого критерия проверяют устойчивость. Так как на практике исследуемый параметр является действительным, то из полученной области устойчивости выделяют только действительные значения Задачи теории автоматического управления. Это будет отрезок Задачи теории автоматического управления. На рис. 5.9 также показаны области Задачи теории автоматического управления.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Контрольная работа по теории автоматического управления

Задача №5.7.

Рассмотрим систему автоматического управления из примера 5.3. Построим кривую Задачи теории автоматического управления — разбиения по одному параметру — коэффициенту Задачи теории автоматического управления. Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

Задачи теории автоматического управления

Заменяя Задачи теории автоматического управления, получим

Задачи теории автоматического управления

откуда, считая Задачи теории автоматического управления комплексным, получим

Задачи теории автоматического управления

В комплексной плоскости параметра Задачи теории автоматического управления при изменении Задачи теории автоматического управления от —Задачи теории автоматического управления до Задачи теории автоматического управления будем иметь кривую, изображенную на рис. 5.10.

Задачи теории автоматического управления

В точке Задачи теории автоматического управления величина

Задачи теории автоматического управления

Областью устойчивости будет область Задачи теории автоматического управления, что определяется с помощью критерия Гурвица. Так как Задачи теории автоматического управления — действительная величина, то получаем отрезок устойчивости Задачи теории автоматического управления, т. е. область устойчивости будет определяться неравенством

Задачи теории автоматического управления

совпадает с результатом примера 5.3.

Точность систем автоматического управления

К оглавлению…

Обратимся к стандартной структуре системы автоматического управления, представленной на рис. 3.1. Основным назначением системы является как можно более точное воспроизведение управляющего сигнала. Естественно, что точность системы можно оценивать величиной разности управляющего сигнала Задачи теории автоматического управления и выхода Задачи теории автоматического управления, т. е. величиной ошибки Задачи теории автоматического управления. Очевидно, чем меньше величина Задачи теории автоматического управления по модулю в каждый данный момент времени, тем система с большей точностью (меньшей ошибкой) воспроизводит управляющий сигнал. На практике интересуются не полной ошибкой системы Задачи теории автоматического управления, а так называемой установившейся ошибкой Задачи теории автоматического управления, которую определяют для достаточно больших моментов времени после затухания переходной составляющей.

Изображение ошибки в соответствии с рис. 3.1 можно записать в виде

Задачи теории автоматического управления

где

Задачи теории автоматического управления

Из (6.1) следует, что ошибка системы будет определяться суммой двух составляющих: ошибкой системы от управляющего и ошибкой системы от возмущающего воздействий.

В силу линейности системы методика вычисления каждой из этих составляющих будет однотипной, поэтому рассмотрим лишь методы вычисления ошибки системы от управляющего сигнала.

При определенных типах воздействий и определенной структуре системы установившаяся ошибка в системе будет постоянной и может быть вычислена на основании правил операционного исчисления по выражению

Задачи теории автоматического управления

Рассмотрим входные воздействия:

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

изображения которых будут соответственно равны:

Задачи теории автоматического управления

Пусть передаточная функция разомкнутой системы

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Если Задачи теории автоматического управления (статическая система), Задачи теории автоматического управления то, подставляя в (6.2)

Задачи теории автоматического управления

получим

Задачи теории автоматического управления

Ошибку Задачи теории автоматического управления будем называть статической ошибкой системы.

При Задачи теории автоматического управления (система с астатизмом первого порядка) вычислим ошибку при воздействиях Задачи теории автоматического управления. Подставляя передаточную функцию Задачи теории автоматического управления и изображение входного сигнала в (6.2), получим соответственно для первого и второго типов входного сигнала

Задачи теории автоматического управления

где ошибку Задачи теории автоматического управления будем называть ошибкой по скорости (скоростной ошибкой).

При Задачи теории автоматического управления и входных сигналах

Задачи теории автоматического управления

соответственно получим следующие выражения ошибок:

Задачи теории автоматического управления

где Задачи теории автоматического управления — ошибка системы по ускорению.

При воздействии вида

Задачи теории автоматического управления

для системы с астатизмом Задачи теории автоматического управления — го порядка получаем

Задачи теории автоматического управления

Из приведенных выражений следует, что ошибки в системе уменьшаются с ростом порядка астатизма системы и увеличением общего коэффициента усиления Задачи теории автоматического управления.

На рис. 6.1 показаны переходные процессы в различных системах при отработке скачка по положению и скорости: кривая 1 — для статической системы, 2 — для системы с астатизмом первого порядка, 3 — для системы с астатизмом второго порядка.

Задачи теории автоматического управления

Задача №6.1.

Пусть в системе, изображенной на рис. 6.1,

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Найдем изображение сигнала ошибки, равное

Задачи теории автоматического управления

Подставляя в это выражение

Задачи теории автоматического управления

и используя (6.2), получим Задачи теории автоматического управления.

Таким образом, установившаяся ошибка от управляющего воздействия равна нулю (система астатическая по отношению к управляющему сигналу), а ошибка от возмущающего воздействия постоянна (система статическая по отношению к возмущению). Для уменьшения этой ошибки следует увеличивать коэффициент усиления Задачи теории автоматического управления первого звена; величина Задачи теории автоматического управления не влияет на ошибку.

Рассмотрим ту же систему при условии, что

Задачи теории автоматического управления

т. е. интегрирующее звено находится до точки приложения возмущения.

В этом случае

Задачи теории автоматического управления

Если

Задачи теории автоматического управления

то используя (6.2), получим Задачи теории автоматического управления, т. е. статическая ошибка как от управляющего, так и от возмущающего воздействий равна нулю и система обладает астатизмом первого порядка по отношению к обоим внешним воздействиям. Если

Задачи теории автоматического управления

то нетрудно получить

Задачи теории автоматического управления

т.е. в системе имеется скоростная ошибка.

Из рассмотренных примеров следует общий вывод: система будет обладать астатизмом Задачи теории автоматического управления-го порядка по отношению к управляющему и возмущающему сигналам, если

Задачи теории автоматического управления

Если передаточные функции поменять местами, то система по отношению к возмущению будет статической.

Установившиеся ошибки при произвольном входном сигнале

К оглавлению…

Обозначим весовую функцию замкнутой системы по ошибке через

Задачи теории автоматического управления

Тогда соотношению

Задачи теории автоматического управления

во временной области будет соответствовать свертка

Задачи теории автоматического управления

Так как нас интересует установившаяся ошибка после затухания переходной составляющей, то отнесем нижний предел интегрирования, соответствующий моменту подачи входного сигнала, в — Задачи теории автоматического управления. В этом случае получим выражение, справедливое для установившегося значения сигнала ошибки:

Задачи теории автоматического управления

Заменив переменную интегрирования Задачи теории автоматического управления получим

Задачи теории автоматического управления

Полагая функцию Задачи теории автоматического управления аналитической, разложим ее в ряд Тейлора при

Задачи теории автоматического управления

и подставим полученный ряд в (6.7). В результате получим

Задачи теории автоматического управления

где коэффициенты Задачи теории автоматического управления определяются выражением

Задачи теории автоматического управления

Так как передаточная функция замкнутой системы по ошибке есть прямое преобразование Лапласа от весовой функции

Задачи теории автоматического управления

то очевидно соотношение

Задачи теории автоматического управления

Коэффициенты Задачи теории автоматического управления носят название коэффициентов ошибок и характеризуют, с каким весом функция Задачи теории автоматического управления и ее производные входят в общее выражение для установившейся ошибки (6.8). Если входной сигнал изменяется достаточно медленно, то в выражении (6.8) можно ограничиться конечным числом членов ряда.

Если

Задачи теории автоматического управления

то

Задачи теории автоматического управления

В статической системе

Задачи теории автоматического управления

для системы с астатизмом первого порядка имеем

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Аналогично можно показать, что для астатической системы с астатизмом Задачи теории автоматического управления-го порядка

Задачи теории автоматического управления

Коэффициент Задачи теории автоматического управления называют коэффициентом статической ошибки, Задачи теории автоматического управления — коэффициентом скоростной ошибки, Задачи теории автоматического управления — коэффициентом ошибки по ускорению. Из (6.8) следует, что если

Задачи теории автоматического управления

то

Задачи теории автоматического управления

если

Задачи теории автоматического управления

то

Задачи теории автоматического управления

В общем случае формула (6.9) редко используется для вычисления Задачи теории автоматического управления. На практике применяется другой способ. Разложим передаточную функцию Задачи теории автоматического управления в ряд Маклорена при Задачи теории автоматического управления:

Задачи теории автоматического управления

С другой стороны, так как

Задачи теории автоматического управления

есть отношение полиномов, то деля полином числителя на полином знаменателя, получим ряд

Задачи теории автоматического управления

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Задачи теории автоматического управления в (6.10), (6.11), получим

Задачи теории автоматического управления

Величина коэффициентов ошибок в конечном итоге определяет величину ошибки в системе. Из изложенного выше вновь следует, что величины Задачи теории автоматического управления будут тем меньше, чем выше порядок астатизма системы и чем больше величина коэффициента усиления Задачи теории автоматического управления разомкнутой системы.

Задача №6.2.

Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

Задачи теории автоматического управления

Найдем первые три коэффициента ошибок. Передаточная функция замкнутой системы по ошибке будет равна

Задачи теории автоматического управления

Деля полином числителя на полином знаменателя, получим

Задачи теории автоматического управления

В соответствии с (6.12) найдем

Задачи теории автоматического управления

Определим установившуюся ошибку в системе при воздействии

Задачи теории автоматического управления

Подставляя найденные значения Задачи теории автоматического управления и заданные значения
функции Задачи теории автоматического управления и ее производных в (6.8), получим

Задачи теории автоматического управления

Установившиеся ошибки при гармоническом воздействии

К оглавлению…

Если главная передаточная функция замкнутой системы имеет вид

Задачи теории автоматического управления

то при входном сигнале Задачи теории автоматического управления выходной сигнал в установившемся режиме Задачи теории автоматического управления будет определяться выражением

Задачи теории автоматического управления

где

Задачи теории автоматического управления

Аналогично, зная Задачи теории автоматического управления, можно найти закон изменения ошибки в установившемся режиме при гармоническом входном сигнале Задачи теории автоматического управления:

Задачи теории автоматического управления

где

Задачи теории автоматического управления

Выражения (6.13), (6.14) позволяют оценить ошибки воспроизведения гармонического сигнала в установившемся режиме. Из этих выражений следует, что, кроме ошибки воспроизведения амплитуды входного гармонического сигнала, существуют и постоянные фазовые ошибки, которые определяются видом фазочастотных характеристик замкнутой системы. Обычно при анализе точности систем управления их не рассматривают, ограничиваясь лишь анализом ошибок воспроизведения амплитуды.

Из (6.13), (6.14) можно получить ошибки воспроизведения амплитуды гармонического сигнала на заданной частоте, равные

Задачи теории автоматического управления

первая из которых характеризует разность между максимальными значениями амплитуды входного и выходного сигналов, а вторая — максимальную величину ошибки Задачи теории автоматического управления. Очевидно, всегда Задачи теории автоматического управления. Так как

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Если Задачи теории автоматического управления, то

Задачи теории автоматического управления

Таким образом, при малых фазовых сдвигах на заданной частоте со оценки (6.15) и (6.16) будут близки между собой. Это обычно выполняется в диапазоне низких частот.

На рис. 6.2 представлен типичный вид АЧХ замкнутой системы Задачи теории автоматического управления для случая астатической системы, при этом Задачи теории автоматического управления. В случае статической системы Задачи теории автоматического управления. На рисунке заштрихованная область соответствует величинам ошибок Задачи теории автоматического управления.

Задачи теории автоматического управления

Под полосой пропускания системы понимают диапазон частот Задачи теории автоматического управления, при котором ошибка Задачи теории автоматического управления будет меньше некоторой заданной Задачи теории автоматического управления, т. е. Задачи теории автоматического управления.

Иногда полосу пропускания определяют как диапазон частот Задачи теории автоматического управления, при котором выполняется условие

Задачи теории автоматического управления

Полоса пропускания является важной характеристикой системы. С одной стороны, чем шире полоса пропускания, тем с меньшими ошибками система воспроизводит управляющие сигналы. Однако, с другой стороны, увеличение Задачи теории автоматического управления приводит к тому, что система становится чувствительной к влиянию высокочастотных помех.

Из выражения (6.16) можно получить приближенные оценки величины ошибки Задачи теории автоматического управления. Так как

Задачи теории автоматического управления

то для статической системы

Задачи теории автоматического управления

и при достаточно низких частотах можно полагать

Задачи теории автоматического управления

откуда имеем

Задачи теории автоматического управления

Для астатической системы

Задачи теории автоматического управления

и при низких частотах

Задачи теории автоматического управления

откуда получим

Задачи теории автоматического управления

Если выполняется условие Задачи теории автоматического управления, то формула (6.18) принимает вид

Задачи теории автоматического управления

Из (6.17) — (6.19) видно, что ошибка системы обратно пропорциональна коэффициенту усиления разомкнутой системы.

Итак, для повышения точности САУ следует увеличивать коэффициент усиления разомкнутой системы либо увеличивать порядок астатизма. Однако это будет приводить в общем случае к ухудшению устойчивости. Таким образом, требования к точности системы и ее устойчивости являются противоречивыми.

Задача №6.3.

Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

Задачи теории автоматического управления

при

Задачи теории автоматического управления

Передаточная функция системы по ошибке

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Находим величину Задачи теории автоматического управления (6.16):

Задачи теории автоматического управления

Если воспользоваться приближенной формулой (6.19), то

Задачи теории автоматического управления

т.е. с точностью до третьего знака оба результата совпадают.

Оценки качества переходных процессов

К оглавлению…

Численные величины, характеризующие работу системы автоматического управления, носят название показателей качества, которые условно можно разделить на три группы: характеризующие а) устойчивость системы, б) точность системы и в) качество переходных процессов. Обеспечение устойчивости является необходимым условием функционирования любой системы управления и гарантирует затухание свободной или переходной составляющей процесса. К этой первой группе показателей относятся запасы устойчивости по амплитуде Задачи теории автоматического управления и фазе Задачи теории автоматического управления.

После затухания свободной составляющей через достаточно большой промежуток времени в системе протекает установившийся процесс, который обуславливает точность системы. Показателями качества в данном случае выступают величины ошибок в установившемся режиме, которые рассмотрены в разд. 6 (вторая группа).

Наконец, к третьей группе относятся показатели качества переходного процесса, которые характеризуют вид процесса для достаточно малых моментов времени после его начала. Среди таких показателей — время регулирования Задачи теории автоматического управления, перерегулирование Задачи теории автоматического управления и ряд других, приведенных в подразделе 4.1.

Показатели качества могут быть вычислены двумя способами. Первый -непосредственно по виду переходного процесса. В этом случае их называют прямыми оценками качества. Второй способ — это использование косвенных оценок показателей качества без построения кривой переходного процесса.

В данном разделе рассмотрим наиболее распространенные косвенные методы оценки показателей качества переходного процесса.

Корневые оценки качества

К оглавлению…

Переходная функция замкнутой системы как реакция системы на единичный скачок по положению вычисляется в соответствии с выражением (4.11), в котором второе слагаемое в виде суммы определяет переходную составляющую

Задачи теории автоматического управления

a Задачи теории автоматического управления — различные корни характеристического уравнения замкнутой системы Задачи теории автоматического управления.

Если

Задачи теории автоматического управления

т. е. с течением времени переходная составляющая затухает.

В выражении (7.1) перейдем к модулям в левой и правой частях:

Задачи теории автоматического управления

где

Задачи теории автоматического управления

Обозначим расстояние от мнимой оси до ближайших действительного корня (рис. 7.1, а) или пары комплексно-сопряженных корней (рис. 7.1, б) на плоскости корней Задачи теории автоматического управления через Задачи теории автоматического управления.

Задачи теории автоматического управления

Величину Задачи теории автоматического управления будем называть степенью устойчивости. Очевидно, что

Задачи теории автоматического управления

Так как

Задачи теории автоматического управления

то для любого множителя

Задачи теории автоматического управления

в (7.2) будет справедлива оценка

Задачи теории автоматического управления

Таким образом, равносильно выражению

Задачи теории автоматического управления

Из (7.3) следует, что переходная составляющая Задачи теории автоматического управления затухает быстрее, чем экспонента с показателем —Задачи теории автоматического управления. Если принять время регулирования Задачи теории автоматического управления как время, начиная с которого Задачи теории автоматического управления войдет в 5% трубку от некоторого начального значения, то из (7.3) получим Задачи теории автоматического управления, откуда

Задачи теории автоматического управления

Выражение (7.4) и соответственно величина Задачи теории автоматического управления характеризуют предельное быстродействие системы, поэтому иногда величину Задачи теории автоматического управления называют еще мерой быстродействия системы.

Из рассмотренного выше следует, что доминирующее влияние на характер переходного процесса оказывают ближайшие к мнимой оси корни. Если ближайшими являются комплексно-сопряженные корни

Задачи теории автоматического управления

то наряду со степенью устойчивости вводят в рассмотрение колебательность системы (колебательность переходного процесса) Задачи теории автоматического управления. Паре комплексно-сопряженных корней в (7.1) соответствует составляющая

Задачи теории автоматического управления

где Задачи теории автоматического управления — комплексно-сопряженные величины; Задачи теории автоматического управления — действительные величины.

Составляющая (7.5) носит колебательный характер. Период колебания определяется величиной Задачи теории автоматического управления. Уменьшение амплитуды в (7.5) за период Задачи теории автоматического управления будет равно

Задачи теории автоматического управления

т. е. определяться величиной

Задачи теории автоматического управления

Перерегулирование в % может быть оценено по формуле:

Задачи теории автоматического управления

С увеличением Задачи теории автоматического управления увеличивается число колебаний за время регулирования и возрастает перерегулирование. Величина Задачи теории автоматического управления носит чаще качественный характер и является оценкой переходного процесса сверху, поэтому в действительности переходной процесс может иметь лучшие показатели.

Характер переходного процесса в значительной степени зависит от корней Задачи теории автоматического управления характеристического уравнения, т. е. от полюсов передаточной функции Задачи теории автоматического управления замкнутой системы. Однако на величину амплитуды переходных составляющих будут влиять и нули передаточной функции. Пусть полином Задачи теории автоматического управления имеет Задачи теории автоматического управления нулей Задачи теории автоматического управления, тогда

Задачи теории автоматического управления

и выражение (7.1) примет вид

Задачи теории автоматического управления

Очевидно, если какой-то полюс Задачи теории автоматического управления будет близок (или в идеальном случае равен) нулю передаточной функции, то составляющая, соответствующая корню Задачи теории автоматического управления, будет мала по амплитуде (или равна нулю).

Впервые корневые оценки качества переходных процессов для систем третьего порядка были предложены в работе И. А. Вышнеградского (1876), положившей начало развитию теории автоматического управления.

Характеристическое уравнение системы третьего порядка

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

путем замены переменной приводится к виду

Задачи теории автоматического управления

где

Задачи теории автоматического управления

Коэффициенты Задачи теории автоматического управления — параметры Вышнеградского — являются комбинацией коэффициентов Задачи теории автоматического управления и в конечном итоге зависят от реальных параметров системы. Условие асимптотической устойчивости для уравнения (7.7) несложно получить с помощью критерия Гурвица, оно имеет вид Задачи теории автоматического управления > 1. В области устойчивости, ограниченной гиперболой Задачи теории автоматического управления = 1 в плоскости параметров Задачи теории автоматического управления, нанесем кривые, разделяющие область устойчивости на области с одинаковым расположением корней характеристического уравнения (7.7).

На рис. 7.2 представлена диаграмма Вышнеградского, где для каждой области показано расположение корней и вид переходного процесса.

Таким образом, выбирая из диаграммы требуемый вид переходного процесса, можно найти необходимые значения параметров Задачи теории автоматического управления или Задачи теории автоматического управления.

В заключение отметим ряд простых случаев, когда получены оценки степени устойчивости Задачи теории автоматического управления и соответственно быстродействия системы. Рассмотрим систему управления стандартной структуры, изображенной на рис. 3.1. Пусть передаточная функция объекта управления Задачи теории автоматического управления имеет вид:

Задачи теории автоматического управления

где

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Передаточную функцию Задачи теории автоматического управления будем рассматривать как передаточную функцию регулятора (управляющего устройства). Рассмотрим три случая закона управления: интегральный

Задачи теории автоматического управления

пропорциональный

Задачи теории автоматического управления

пропорционально-интегральный

Задачи теории автоматического управления

Быстродействие объекта управления может быть охарактеризовано величиной Задачи теории автоматического управления. Доказано, что для интегрального закона управления быстродействие замкнутой системы, характеризуемое величиной степени устойчивости Задачи теории автоматического управления, не будет превосходить быстродействия объекта, т. е. Задачи теории автоматического управления.

Для пропорционального и пропорционально-интегрального законов управления быстродействие замкнутой системы управления может превосходить быстродействие объекта управления, но будет ограничено неравенством Задачи теории автоматического управления.

Приведенный частный результат распространяется на более общий случай: астатические системы уступают по быстродействию системам статическим.

Задача №7.1.

Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

Задачи теории автоматического управления

Характеристическое уравнение замкнутой системы

Задачи теории автоматического управления

имеет корни

Задачи теории автоматического управления

Если Задачи теории автоматического управления, то имеем два комплексно-сопряженных корня и Задачи теории автоматического управления, Задачи теории автоматического управления.

Если Задачи теории автоматического управления, то имеем два действительных корня и Задачи теории автоматического управления

Задачи теории автоматического управления

Из приведенных соотношений следует, что при Задачи теории автоматического управления процессы в системе будут носить колебательный характер, а быстродействие системы будет ограничено величиной Задачи теории автоматического управления. При Задачи теории автоматического управления процессы носят апериодический характер, но быстродействие в системе уменьшается.

Интегральные оценки качества

К оглавлению…

Интегральные оценки качества являются интегралами по времени от некоторых функций координат системы (выходной координаты, сигнала ошибки) и оценивают одним числом как величину отклонения, так и время регулирования. В качестве исследуемого процесса обычно выбирается разность между установившимся процессом в системе и самой координатой. Рассмотрим замкнутую систему управления стандартной структуры, на вход которой поступает единичный ступенчатый сигнал Задачи теории автоматического управления. Тогда реакция системы будет представлять собой переходную функцию Задачи теории автоматического управления, которая в соответствии с (4.10) определяется выражением

Задачи теории автоматического управления

где

Задачи теории автоматического управления

установившаяся составляющая; Задачи теории автоматического управления — переходная составляющая, характеризующая переходной процесс.

Введем отклонение

Задачи теории автоматического управления

процесса Задачи теории автоматического управления от его установившегося значения. Очевидно, что

Задачи теории автоматического управления

Простейшими интегральными оценками качества являются следующие:

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Оценка Задачи теории автоматического управления носит название линейной интегральной оценки, Задачи теории автоматического управления — абсолютной интегральной и Задачи теории автоматического управления — квадратичной интегральной оценки.

Значение интегралов будет конечной величиной только в том случае, если

Задачи теории автоматического управления

т. е. только для асимптотически устойчивых систем.

Поясним физический смысл оценок (7.8) — (7.10), для чего обратимся к рис. 7.3. Для Задачи теории автоматического управления, соответствующих кривым 1, 2, 3 (см. рис. 4.2), построены графики отклонения Задачи теории автоматического управления (на рис. 7.3 соответственно кривые 1, 2, 3).

Величина Задачи теории автоматического управления для кривой 1 есть величина площади, ограниченной этой кривой и координатными осями.

Задачи теории автоматического управления

Очевидно, чем меньше Задачи теории автоматического управления, тем меньше текущие отклонения Задачи теории автоматического управления от установившегося значения и тем меньше будет время регулирования в системе. В идеальном случае, если Задачи теории автоматического управления =0, то время регулирования будет равно нулю. Для кривых 2, 3 в силу того, что они меняют свой знак, оценка Задачи теории автоматического управления неприменима, так как величина интеграла может оказаться очень малой (даже равной нулю), но процессы будут затухать медленно. Поэтому линейные интегральные оценки можно применять, если заведомо известно, что переходная составляющая имеет монотонный характер.

Для колебательных процессов обычно применяются оценки Задачи теории автоматического управления, которые имеют аналогичный смысл: чем меньше величина Задачи теории автоматического управления, тем меньше время регулирования и меньше отклонения координаты системы от установившегося процесса.

Любые интегральные оценки носят качественный и сравнительный характер, т. е. по величине Задачи теории автоматического управления нельзя определить, например, время регулирования или перерегулирование в системе. Но если для двух вариантов проектируемой системы окажется, что Задачи теории автоматического управления, то считается, что качественные показатели первой системы лучше, чем второй.

Наиболее просто вычисляются интегральные оценки Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления. Пусть передаточная функция замкнутой системы имеет вид

Задачи теории автоматического управления

Найдем изображение отклонения

Задачи теории автоматического управления

с учетом того, что

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Так как

Задачи теории автоматического управления

то с учетом (7.11) имеем

Задачи теории автоматического управления

Квадратичная интегральная оценка Задачи теории автоматического управления может быть определена на основе формулы Парсеваля (или Релея).

В частности, для астатических систем

Задачи теории автоматического управления

Изображение отклонения Задачи теории автоматического управления всегда можно представить как отношение двух полиномов

Задачи теории автоматического управления

При этом оценка может быть аналитически вычислена при Задачи теории автоматического управления через коэффициенты Задачи теории автоматического управления (7.15). Выражение для вычисления имеет достаточно сложный вид и здесь не приводится. Для наиболее распространенного случая Задачи теории автоматического управления приведем несколько конечных выражений для вычисления Задачи теории автоматического управления:

Задачи теории автоматического управления

Наряду с оценками Задачи теории автоматического управления употребляются и более сложные интегральные оценки, учитывавшие не только само отклонение Задачи теории автоматического управления, но и его производные.

При использовании интегральных оценок можно выделить два направления: анализ системы — получение оценки для заданной системы и синтез системы — минимизация оценки по каким-либо параметрам.

Задача №7.2.

Рассмотрим методику применения интегральных оценок к системе, исследуемой в примере 7.1. Передаточная функция замкнутой системы имеет вид

Задачи теории автоматического управления

и в соответствии с (7.11) имеем Задачи теории автоматического управления,

Задачи теории автоматического управления

Линейная интегральная оценка (7.13) в этом случае

Задачи теории автоматического управления

Оценка справедлива для монотонных процессов, когда корни характеристического уравнения замкнутой системы различны, т. е. выполняется условие

Задачи теории автоматического управления

Итак, увеличение величины Задачи теории автоматического управления уменьшает Задачи теории автоматического управления и время регулирования. Минимальное значение Задачи теории автоматического управления при Задачи теории автоматического управления.

Вычислим для этой же системы величину Задачи теории автоматического управления, для чего найдем изображение отклонения

Задачи теории автоматического управления

Коэффициенты в (7.15) будут

Задачи теории автоматического управления

Используя (7.16), получим

Задачи теории автоматического управления

откуда следует, что для уменьшения Задачи теории автоматического управления надо увеличивать величину Задачи теории автоматического управления, либо уменьшать Задачи теории автоматического управления, что повышает быстродействие системы.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Частотные оценки качества

К оглавлению…

Частотные оценки качества базируются на связи частотных и временных характеристик системы управления, в частности, на связи переходной функции замкнутой системы Задачи теории автоматического управления и вещественной частотной характеристики Задачи теории автоматического управления (4.13). Из (4.13) можно получить две категории оценок, одна из которых строго обоснована и математически доказана, а другая получена на основе построения большого числа переходных процессов для различных Задачи теории автоматического управления и осреднения полученных результатов.

Рассмотрим первую группу оценок.

  • Начальное значение Задачи теории автоматического управления и конечное значение Задачи теории автоматического управления связаны с конечным значением Задачи теории автоматического управления и начальным Задачи теории автоматического управления соотношениями
Задачи теории автоматического управления

Эти свойства фактически являются следствием теорем о конечном и начальном значениях оригинала в преобразовании Лапласа. Так как для астатических систем

Задачи теории автоматического управления

а для статических

Задачи теории автоматического управления

то

Задачи теории автоматического управления
  • Сжатию характеристики Задачи теории автоматического управления по оси Задачи теории автоматического управления соответствует пропорциональное растяжение характеристики Задачи теории автоматического управления по оси Задачи теории автоматического управления. Это свойство является следствием из свойств преобразования Фурье об изменении масштаба по оси ординат. Приведенное свойство дает важную сравнительную оценку переходных процессов в системах: более пологим характеристикам Задачи теории автоматического управления (более растянутым вдоль оси Задачи теории автоматического управления) соответствуют более быстро протекающие переходные процессы, а более крутым или сжатым вдоль оси Задачи теории автоматического управления — замедленные процессы. Соответственно следует ожидать, что для первого случая время регулирования Задачи теории автоматического управления будет меньше, чем для второго.
  • Достаточным условием того, чтобы перерегулирование Задачи теории автоматического управления в системе не превышало 18%, является выполнение соотношений
Задачи теории автоматического управления

т. е. Задачи теории автоматического управления является певозрастающей положительной функцией частоты.

  • Достаточным условием монотонности переходного проходного процесса, т. е. Задачи теории автоматического управления = 0 %, является выполнение соотношений
Задачи теории автоматического управления

На рис. 7.4, а представлены две вещественные частотные характеристики, из которых для первой Задачи теории автоматического управления = 0 %, а для второй — Задачи теории автоматического управления = 18%.

Задачи теории автоматического управления
  • Если характеристическое уравнение замкнутой системы Задачи теории автоматического управления имеет чисто мнимый корень Задачи теории автоматического управления, то характеристика Задачи теории автоматического управления при Задачи теории автоматического управления имеет разрыв непрерывности, что соответствует незатухающей гармонической составляющей с частотой Задачи теории автоматического управления в переходном процессе Задачи теории автоматического управления. График такой характеристики представлен на рис. 7.5, а. Поэтому если характеристика вблизи некоторой частоты Задачи теории автоматического управления имеет резкий перепад и большие пики, то следует ожидать наличие в переходной функции медленно затухающей гармонической составляющей частоты Задачи теории автоматического управления. Такой случай представлен на рис. 7.5, б.

Оценки второй группы, как указывалось выше, имеют приближенный и в значительной степени эмпирический характер.

На рис. 7.5, а, б показаны случаи аппроксимации вещественной характеристики Задачи теории автоматического управления соответственно одной и суммой двух трапецеидальных характеристик.

Задачи теории автоматического управления

Для случая, изображенного на рис. 7.5, а, время регулирования Задачи теории автоматического управления оценивается по неравенству

Задачи теории автоматического управления

Для случая аппроксимации в виде суммы двух трапеций (см. рис. 7.5, б) время регулирования Задачи теории автоматического управления и перерегулирования а более сложным образом зависит от параметров аппроксимирующих трапеций.

На рис. 7.6 представлены графики зависимостей Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления от Задачи теории автоматического управления при

Задачи теории автоматического управления

На этом рисунке время регулирования Задачи теории автоматического управления построено в относительных единицах, где Задачи теории автоматического управления — частота среза разомкнутой системы.

Задачи теории автоматического управления

Оценку (7.20) приближенно можно применять и для системы, имеющей произвольную вещественную характеристику Задачи теории автоматического управления.

При этом величину Задачи теории автоматического управления следует выбирать такой, после которой Задачи теории автоматического управления

Для характеристики рис. 7.5, б справедлива такая оценка перерегулирования:

Задачи теории автоматического управления

Наряду с оценками качества системы по переходной функции Задачи теории автоматического управления широкое распространение получили оценки качества системы при отработке гармонических входных сигналов. Особенно это касается исследования следящих систем, для которых изменяющиеся по амплитуде и знаку входные сигналы наиболее характерны. При таком подходе удобнее пользоваться АЧХ замкнутой системы Задачи теории автоматического управления типичный график которой представлен на рис. 7.7.

Задачи теории автоматического управления

Величина Задачи теории автоматического управления для астатических систем равна 1, а для статических Задачи теории автоматического управления и при большом Задачи теории автоматического управления близка к единице. Частота Задачи теории автоматического управления — резонансная частота, при которой Задачи теории автоматического управления достигает максимального значения Задачи теории автоматического управления.

Частота Задачи теории автоматического управления — частота среза замкнутой системы, при которой Задачи теории автоматического управления не совпадает с частотой среза разомкнутой системы, которая обозначается Задачи теории автоматического управления). Интервал частот Задачи теории автоматического управления определяет полосу пропускания системы. Величина Задачи теории автоматического управления может задаваться из условий точности воспроизведения гармонического сигнала (см. подраздел 6.3).

Частота со косвенно характеризует время регулирования в замкнутой системе, которое оценивается величиной

Задачи теории автоматического управления

Для оценки склонности системы к колебаниям вводят так называемый показатель колебательности, который определяется как

Задачи теории автоматического управления

либо иногда как

Задачи теории автоматического управления

Так как Задачи теории автоматического управления для астатических и Задачи теории автоматического управления для