Задачи по теоретической механике

На этой странице я собрала очень краткую теорию и задачи с решением по всем темам теоретической механики, надеюсь они вам помогут.

Более подробно теория рассмотрена на странице:

Предмет теоретическая механика
Если что-то непонятно, Вы всегда можете написать мне в воцап и я помогу!

Статика

К оглавлению…

В статике рассматривается а) теория сил, б) равновесие тел под действием различных систем сил. Все задачи контрольного задания (С1-СЗ) относятся к теме о равновесии. Это позволяет привести общие для всех задач сведения справочного характера из теории и сформулировать алгоритм решения задач.

Виды связей

К оглавлению…

Связь — тело, препятствующее перемещению данного объекта (тела, узла) в пространстве. Реакция связи — сила, с которой связь действует на объект.
Реакция гладкой поверхности в точке А направлена по нормали к поверхности опоры.
Острие, угол, линия (гладкие).

Реакция направлена по нормали к поверхности объекта.
объекта

Реакция гибкой связи направлена вдоль связи от объекта (нить растянута).
Гибкая связь (трос, цепь, нить).


Реакция цилиндрического шарнира в точке А расположена в плоскости, перпендикулярной оси шарнира; направление в плоскости не определено, указываем составляющие реакции шарнира по координатным осям:
Цилиндрический неподвижный шарнир.


Катки (подвижный шарнир) без трения.

Реакция связи направлена по нормали к поверхности опоры катков.

Невесомый стержень, концы которого закреплены шарнирами.


Реакция связи направлена вдоль прямой, проходящей через концы стержня. Указываем от объекта, предполагая, что стержень растянут; минус в ответе означает, что стержень сжат.

Реакция подшипника В расположена в плоскости, перпендикулярной оси подшипника (ocbz); указываем в плоскости две составляющие этой реакции по коорд. осям: Направление реакции подпятника А в пространстве не определено; указываем в пространстве три составляющие этой реакции по коорд. осям:

В случае плоской системы сил на объект действует сила, направление которой в плоскости действия сил не определено, и пара сил в этой плоскости.

В случае пространственной системы сил на объект действует сила, направление которой в пространстве не определено, и пара сил, направление вектора момента которой в пространстве не определено (см. рис.).


Основные понятия

Виды систем сил, действующих на твердое тело, и уравнений равновесия

К оглавлению…

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по теоретической механике

Задача №С1

К оглавлению…

Жесткая пластина ABCD (рис. С1) имеет в точке А неподвижную шарнирную опору, а в точке В — подвижную шарнирную опору на катках. Все действующие нагрузки и размеры показаны на рисунке.

Определить: реакции в точках А и В, вызываемые действующими нагрузками.

Решение:

Рассмотрим равновесие пластины. Проведем координатные оси ху и изобразим действующие на пластину силы (рис. С1):

а) активные силы (нагрузки): силу и пару сил с моментом М

б) реакции связей:

в точке А связью является неподвижная шарнирная опора, се реакцию изображаем двумя составляющими параллельными координатным осям;

в точке В связью является подвижная шарнирная опора на катках, се реакция направлена перпендикулярно плоскости опоры катков;

в точке D связью является трос, реакция троса направлена вдоль троса от пластины (по модулю

Получилась плоская система сил; составим три уравнения равновесия. При вычислении момента силы относительно точки А разложим силу на составляющие и воспользуемся теоремой Вариньона в алгебраической форме: Получим

Решение системы уравнений начинаем с уравнения (3), так как оно содержит одну неизвестную

Подставляя уравнение (1)

Подставляя уравнение (2)

Проверка. Составим, например, уравнение (или уравнение моментов относительно любой другой точки (кроме А). Если задача решена
верно, то эта сумма моментов должна получиться равной нулю.

Ответ: Знаки указывают, что составляющие реакции шарнира направлены противоположно показанным на рис. C1.

Задача №С2

К оглавлению…

Конструкция состоит из невесомых стержней 1, 2… 6, соединенных друг с другом (в узлах К и М) и с неподвижными опорами А, В, С, D шарнирами (рис. С2). В узлах К и М приложены силы образующие с координатными осями углы соответственно (на рисунке показаны только углы

Определить: усилия в стержнях 1-6.

Решение:

Рассмотрим равновесие узла К, в котором сходятся стержни 1, 2, 3. На узел действуют:

а) активная сила

б) реакции связей (стержней): которые направим по стержням от узла, считая стержни растянутыми. Получилась пространственная система сходящихся сил. Составим се уравнения равновесия:

Решив уравнения (1), (2), (3) при заданных числовых значениях силы Р и углов, получим

  1. Рассмотрим равновесие узла М. На узел действуют:

а) активная сила

б) реакции связей (стержней): При этом по закону о равенстве действия и противодействия реакция направлена противоположно численно же Получилась пространственная система сходящихся сил. Составим се уравнения равновесия:

При определении проекций силы на оси Ох и Оy в уравнениях (4) и (5) удобнее сначала найти проекцию этой силы на плоскость хОу (по числовой величине а затем найденную проекцию на плоскость спроектировать на оси Ох, Оу.

Решив систему уравнений (4), (5), (6) и учитывая, что найдем, чему равны Напоминаем, что в своей задаче решение систем уравнений (1)-(3) и (4)-(6) следует выполнить подробно и с пояснениями.

После решения сделайте проверку, составив для любого узла уравнение , где ось направьте, например, по диагонали квадрата, расположенного в плоскости хОу. Эта сумма должна получиться равной нулю.

Ответ: Знаки показывают, что стержни 2 и 6 сжаты, остальные — растянуты.

Задача №СЗ

К оглавлению…

Вертикальная прямоугольная плита весом Р (рис. С2) закреплена сферическим шарниром в точке А, цилиндрическим (подшипником) в точке В и невесомым стержнем лежащим в плоскости, параллельной плоскости yz. На плиту действуют сила (в плоскости xz), сила (параллельная оси у) и пара сил с моментом М (в плоскости плиты).

Определить: реакции опор А, В и стержня

Решение:

Рассмотрим равновесие плиты. На нее действуют:

а) активные силы и пара сил, момент которой М

б) реакции связей: реакцию сферического шарнира А разложим на три составляющие цилиндрического шарнира (подшипника) В — на две составляющие (в плоскости, перпендикулярной оси подшипника), реакцию стержня направим вдоль стержня, предполагая, что он растянут.

Силы, приложенные к плите, образуют пространственную систему сил. Составляем уравнения ее равновесия:

Для определения момента силы относительно оси у раскладываем на составляющие параллельные осям и применяем теорему Вариньона (относительно оси). Аналогично можно поступить при определении моментов реакции

Подставив в уравнения (1)-(6) числовые значения заданных величин и решив эти уравнения, найдем величины реакций связей.

В своей задаче систему уравнений (1)-(6) следует решить полностью и с пояснениями. Сделайте проверку, например, составив уравнение моментов относительно оси хи проведенной параллельно оси x

Ответ: Знаки указывают, что силы направлены противоположно показанным на рис. С2.

Кинематика

К оглавлению…

Кинематика точки

К оглавлению…

Кинематика точки (краткие сведения из теории)
Задать движение точки — это значит указать способ, позволяющий определить положение точки в любой момент времени относительно выбранной системы отсчета.
Три основных способа задания движения точки: векторный, координатный, естественный.

Задача №К1а

К оглавлению…

Уравнения движения точки в плоскости заданы координатным способом и имеют вид:

где время t задано в секундах, координаты х, у — в метрах.

Найти: уравнение траектории точки; положение точки на траектории при (начальное положение) и при скорость точки; ускорение точки; касательное нормальное ускорения точки и радиус кривизны траектории р при . В каждом пункте выполнить соответствующие построения на рисунке.

Решение:

Найдем уравнение траектории, исключив из (1) и (2)

параметр t — время. Способ исключения t зависит от вида функций в правых частях (1), (2). В данном случае найдем из (1), (2) соответственно

Возводя полученные соотношения в квадрат, после этого складывая их и учитывая, что найдем:

Из этого уравнения следует, что траекторией точки является эллипс, полуоси которого равны 4 м и 6 м, а центр имеет координаты (0, 0).

Выберем масштаб координат и выполним рисунок. Следует заметить, что приведенный рисунок (Рис. К 1а) имеет вид, соответствующий уже окончанию решения; свой рисунок рекомендуется делать по мере продвижения решения. Это позволяет контролировать получаемые результаты и делает их более наглядными.

Находим положение точки при подставляя это значение t в (1) и (2):

Находим положение точки при подставляя это значение t в (1) и (2):

Указываем на рисунке точки учитывая масштаб координат.

Найдем скорость точки. Из теории следует, что при координатном способе задания движения определяются сначала проекции скорости на оси координат. Используя (1) и (2) — уравнения движения точки — находим


Модуль скорости Подставляя сюда (3), (4), получим

Выберем масштаб для скоростей (рис. К 1а), проведем в точке линии параллельные осям x и у, на этих линиях в масштабе скоростей отложим отрезки: 5,44 по оси x — 4,71 по оси у, что соответствует величинам и знакам найденных проекций вектора скорости. На этих составляющих строим параллелограмм (прямоугольник), диагональ которого по величине и направлению соответствует вектору Проверьте следующее: длина построенного вектора должна получиться равной найденному значению (с учетом масштаба скоростей). Вектор направлен по касательной к траектории в точке и показывает направление движения точки по траектории.

В точке именно сейчас построим естественные оси: касательную и главную нормаль (эти оси потребуются позже). Касательную проводим вдоль главную нормаль проводим перпендикулярно в плоскости рисунка и направляем к центру кривизны траектории в точке (в сторону вогнутости траектории).

Находим ускорение точки, используя (3), (4):

Модуль ускорения Из (7), (8) получим

Подставляя в (7) — (9) найдем

В точке строим в масштабе проекции ускорений учитывая их величины и знаки, а затем строим вектор ускорения Построив следует проверить, получилось ли на рисунке (с учетом масштаба ускорений), и направлен ли вектор в сторону вогнутости траектории (вектор проходит через центр эллипса, но это есть особенность данной задачи, связанная с конкретным видом функций (1) и (2)).

Находим касательное ускорение характеризующее изменение модуля

Учитывая (5), получим

При

Касательное ускорение можно также найти, дифференцируя по времени равенство Получим

откуда следует

Нормальную составляющую ускорения, характеризующую изменение направления можно найти по формуле

если р — радиус кривизны траектории заранее известен, или (учитывая, что, и, следовательно, по формуле

Так как в данной задаче радиус р заранее неизвестен, то используем (13). Подставляя (10), (11) в (13), получим

Вернемся к рис. К 1а. Ранее на этом рисунке вектор был построен по составляющим С другой стороны, этот вектор можно разложить на составляющие по естественным осям (пользуясь правилом параллелограмма). Выполним это разложение и построим на рисунке векторы Далее следует провести проверку: с учетом масштаба ускорений определить по рисунку величины и убедиться, что они совпадают с (11),(14).

Заметим, что движение точки ускоренное, т.к. направления векторов и совпадают (рис. К 1а).

Найдем радиус кривизны р, используя (12), откуда следует, что Подставляя в последнее соотношение из (6) и (14), получим радиус кривизны траектории в точке Отложим на рисунке от точки по оси отрезок длины (в масштабе длин); полученная точка сеть центр кривизны траектории в точке

Объединяя полученные результаты, запишем

Ответ:

траектория точки — эллипс, имеющий уравнение

Обсудим некоторые особенности и частные случаи, которые могут встретиться в задачах.

Если траектория точки — прямая линия, то и, следовательно, Найденное по величине и направлению ускорение равно ускорению

Если траектория точки — окружность, то где R — радиус окружности (определяется из уравнения траектории). Если скорость V точки найдена, то Вектор направлен к центру окружности.

Касательное ускорение полное ускорение

Задача №К1б

К оглавлению…

Точка движется по дуге окружности радиуса по закону — в метрах, t — в секундах), где (рис. К16).

Определить: скорость и ускорение точки в момент времени характер движения точки по траектории (ускоренное или замедленное).

Решение:

Определяем скорость точки:

При получим

Ускорение находим по его касательной и нормальной составляющим:

При получим, учитывая, что

Тогда ускорение точки при будет

Изобразим на рис. К1б векторы считая положительным направление от А к М. Так как то движение точки замедленное.

Ответ: движение точки замедленное.

Простые движения твердых тел

К оглавлению…

Простых движений два:

  • Поступательное движение тела,
  • Вращение тела вокруг неподвижной оси.

Поступательное движение тела

Признак движения: при движении тела любая прямая, жестко связанная с телом, остается параллельной своему начальному положению.

Основная теорема: при поступательном движении тела все точки описывают одинаковые траектории и в один и тот же момент времени имеют одинаковые по величине и направлению скорости, а также одинаковые по величине и

направлению ускорения. Из теоремы следует, что это вид движения, когда скорость и ускорение одной точки являются скоростью и ускорением тела в целом (это верно только для поступательного движения).

Задание движения тела. Из теоремы следует: для того, чтобы задать движение тела, надо задать движение одной его точки, что можно сделать векторным, координатным и естественным способом (см. задачу К1). Заметим, что траектории точек — любые линии (не обязательно прямые).


Кабина «колеса обозрения» и стержень АВ механизма совершают поступательное движение (см. признак), но точки этих тел описывают, соответственно, окружности и циклоиды.

Вращение тела вокруг неподвижной оси (вращательное движение).
Признак движения: при движении тела две точки тела (или жестко с ним связанные) остаются неподвижными.
Через эти точки проходит неподвижная ось вращения.
Движение тела в целом характеризуют три параметра: угол поворота тела , угловая скорость тела угловое ускорение тела

Определение скорости и ускорения точки вращающегося тела

Скорости точек вращающегося тела в данный момент времени различны по величине и направлению; ускорения a
точек тела также различны по величине и направлению.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения задач по теоретической механике

Задача №К2

К оглавлению…

Уравнение движения груза 1 (рис. К2): он приводит в движение звено 2; движение затем передастся звеньям 3 и 4. Проскальзывание между телами отсутствует. Известно, что Время t задано в секундах, длины в метрах.

При определить угловые скорости тел 2 и 3 соответственно; угловое ускорение тела 3, скорость движения рейки 4, скорость и ускорения точки А. Векторы построить на рисунке.

Решение:

Поступательное движение груза 1 преобразуется во вращательное движение звена 2 (ось вращения перпендикулярна рисунку), затем во вращательное движение звена 3, которое преобразуется в поступательное движение рейки 4 (рис. К2). Отметим на рис. К2 точки контакта одного тела с другим: точка К (груз — трос), точка В (трос — звено 2), точка D (звено 2 — звено 3), точка М (звено 3 — звено 4).

Проскальзывание в точках контакта отсутствует, следовательно, скорости соприкасающихся точек равны. Это равенство скоростей является основным при решении данной и следующей задач.

Будем называть ведущим звеном то звено, движение которого задано. С рассмотрения ведущего звена начинаем решение задачи. В данной задаче это груз 1. Ведущим могло бы быть и любое другое звено — в кинематике это существенного значения не имеет.

Но условию, уравнение движения груза 1

Из (1) находим скорость этого груза

При и вектор направлен по вертикали вниз.

Рассмотрим точку В. Так как эта точка принадлежит вертикальной части троса ВК, то

с другой стороны, точка В принадлежит вращающемуся телу 2; следовательно,

Для получено два соотношения

Сравнивая эти соотношения, находим

при для использована формула (2).

Укажем на рис. К2 вектор он направлен так же, как вектор в то же время вектор и направлен в сторону поворота тела 2. Тело 2, следовательно, вращается по ходу часовой стрелки. Рассмотрим точку D.

Сравнив эти соотношения, найдем

Подставляя в последнее выражение данные задачи и используя (3), получим

Установим направление поворота тела 3. Скорость точки D перпендикулярна и направлена в сторону поворота тела 2. Этот вектор и покажет направление поворота тела 3 — против хода часовой стрелки. Изобразим вектор на рис. К2 и заметим, что согласно теории

Рассмотрим точку М.

Сравнив эти соотношения, найдем

Подставляя в последнее уравнение данные из (4), получим

при

Вектор направлен перпендикулярно в сторону поворота тела 3, следовательно, вектор направлен вниз.

Рассмотрим точку А. Точка А принадлежит звену 3, которое вращается вокруг оси следовательно,

для нахождения надо определить угловую скорость тела и угловое ускорение тела. Зависимость угловой скорости от времени найдена выше (4). Определяем угловое ускорение:

В момент времени Знаки разные, следовательно, вращение тела 3 замедленное.

Определим расстояние от точки до оси :

после чего находим:

вектор и направлен в сторону поворота тела 3; вектор направлен вдоль к центру

вектор и направлен в сторону, противоположную повороту тела 3 (замедленное вращение тела).

Векторы а строим на рис. К2 в точке A Можно вычислить и построить на рис. К2 вектор Это рекомендуется сделать самостоятельно. Так как то

Ответ: при

— вращение по ходу часовой стрелки;

замедленное вращение против хода часовой стрелки;

— движение по вертикали вниз;

вектор и направлен в сторону поворота тела 3;

вектор направлен по к центру

вектор и направлен в сторону, противоположную вектору так как вращение тела замедленное.

Рассмотрим теперь ременную передачу движения. Методика решения задачи при этом не меняется, но необходимо отразить дополнительным кинематическим уравнением тот факт, что в передаче движения от тела 1 к телу 2 участвует ремень.

Задача №К2с

К оглавлению…

Колесо 1 вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью

направление поворота указано на рис.

Определить угловую скорость колеса 2 и скорость груза 3 в произвольный момент времени t. Радиусы колес известны. Проскальзывание ремня отсутствует.

Решение:

Вращательное движение ведущего звена 1 преобразуется во вращательное движение звена 2, а затем в поступательное движение груза 3. Точки контакта (рис. ): А (звено 1 — ремень), В (ремень — звено 2), D (звено 2 -трос DK), К (трос — звено 3).

Рассмотрим точки А и В.

Сравнив эти соотношения, найдем:

Направление поворота тела 2 покажет вектор который совпадает с вектором Тело 2 вращается против хода часовой стрелки. Рассмотрим точки D и К.

Сравнив эти соотношения, найдем

Подставляя в последнее выражение значение (формула (7)), получим

Вектор совпадает по направлению с вектором Последний перпендикулярен и направлен в сторону поворота тела 2. Следовательно, груз 3 поднимается.
Ответ:

Задача решена в общем виде, но даже в этом случае при построении векторов на рисунке следует соблюдать соотношения «больше-меньше-равно». Например, на рис.

Число вопросов в задаче может быть больше, по если освоена методика решения, то это не вызовет затруднений. Найдите самостоятельно, например,

Примечание: теория вращательного движения твердого тела будет применена также в задачах КЗ и К4 (см. ниже).

Составное (сложное) движение точки

К оглавлению…

Движение точки называется составным, если точка участвует в двух или более движениях относительно выбранной системы отсчета. Чаще всего составным является движение точки относительно неподвижной (условно) системы отсчета. Это движение точки называется абсолютным движением, и скорость (ускорение) точки в неподвижной системе отсчета называется абсолютной скоростью V (ускорением ) точки.

Дополнительно выбирается подвижная система отсчета (в каждой задаче есть конкретное движущееся тело, с которым ее связывают). Движение подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы называется переносным движением точки. Абсолютная скорость (ускорение) той точки подвижного тела (с ним связана подвижная система отсчета), с которой в данный момент совпадает движущаяся по телу точка (мысленно остановили точку на теле), называется переносной скоростью (ускорением точки.

Скорость (ускорение) точки в движении относительно подвижной системы отсчета называется относительной скоростью (ускорением точки (мысленно останавливаем движение тела).

Возможно эта страница вам будет полезна:

Помощь по теоретической механике

Задача №К5

К оглавлению…

Капля воды стекает по лопатке рабочего колеса вращающейся турбины. Неподвижную систему отсчета свяжем со стенами машинного зала. Подвижную — с лопаткой турбины. Движение турбины (вращательное) — переносное движение капли. Движение капли по лопатке — относительное движение капли. Движение капли относительно стен — абсолютное, оно и является составным.

При вычислениях, связанных с относительным движением точки, применяется теория кинематики точки (см. задачу К1). Вычисления, связанные с переносным движением, зависят от вида движения тела, с которым перемещается подвижная система отсчета. Если движение тела поступательное или вращательное, то применяется рассмотренная выше теория (см. задачу К2). Если тело совершает составное движение, то используется теория, относящаяся к соответствующему движению тела. После выполнения упомянутых вычислений, применяется теория сложения скоростей и ускорений точки при ее сложном движении.

Теорема сложения скоростей при составном движении точки

Теорема сложения ускорений при составном движении точки (теорема Кориолиса)

Рассмотрим две здачи (в задаче КЗа ось переносного вращения перпендикулярна пластине, в задаче КЗб — лежит в ее плоскости).

Задача №КЗа

К оглавлению…

Пластина рис. КЗа) вращается вокруг оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости пластины, по закону (положительное направление отсчета угла показано на рис. КЗа дуговой стрелкой). Но дуге окружности радиуса R движется точка В по закону (положительное направление отсчета координаты s на траектории — от А к В).

Определить: абсолютную скорость и абсолютное ускорение в момент времени

Решение:

Рассмотрим абсолютное движение точки В как сложное, считая се движение по дуге окружности относительным, а вращение пластины переносным движением (подвижные оси связаны с пластиной). Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки найдутся по формулам:

где учтено, что

Определим все, входящие в равенства (1) величины.

Относительное движение (мысленно остановим пластину). Это движение задано естественным способом (см. задачу К16). Закон движения точки по траектории:

Сначала установим, где будет находиться точка В на дуге окружности в момент времени Полагая в уравнении (2) получим

Тогда

Знак минус свидетельствует о том, что точка В в момент находится справа от точки А. Изображаем ее на рис. КЗа в этом положении (точка

Теперь находим числовые значения

где — радиус кривизны относительной траектории, равный радиусу окружности R. Для момента времени учитывая, что получим

Знаки показывают, что вектор направлен в сторону положительного отсчета координаты вектор в противоположную сторону; вектор направлен к центру С окружности. Изображаем все эти векторы на рис. КЗа.

Переносное движение (мысленно остановим точку на пластине). Это движение (вращение) происходит по закону (см. задачу К2). Найдем угловую скорость и угловое ускорение с переносного вращения:

и при

Знаки указывают, что в момент с направления противоположны направлению положительного отсчета угла отмстим это на рис. КЗа соответствующими стрелками.

Для определения найдем сначала расстояние точки

от оси вращения О. Из рисунка видно, что Тогда в момент времени учитывая равенства (4), получим

Изображаем на рис. КЗа векторы учетом направления и вектор (направлен к оси вращения).

Ускорение Кориолиса. Модуль ускорения Кориолиса определяем по формуле где а — угол между вектором и осью вращения (вектором В нашем случае этот угол равен 90°, так как ось

вращения перпендикулярна плоскости пластины, в которой расположен вектор В момент времени учитывая, что в этот момент и получим

Направление найдем по правилу Н.Е.Жуковского: так как вектор

лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то повернем его на 90° в направлении т.е. по ходу часовой стрелки. Изображаем на рис. КЗа. (Иначе направление можно найти, учитывая, что Изображаем вектор на рис. КЗа.

Таким образом, значения всех входящих в правые части равенств (1) векторов найдены и для определения остается только сложить эти векторы. Произведем это сложение аналитически.

Определение Проведем координатные оси (см. рис. КЗа) и спроектируем почленно обе части равенства на эти оси. Получим для момента времени

После этого находим

Учитывая, что в данном случае угол между равен 45°, значение можно еще определить по формуле

Определение По теореме о сложении ускорений

Для определения спроектируем обе части равенства (7) на проведенные оси Получим

Подставив сюда значения, которые все величины имеют в момент времени найдем, что в этот момент

Тогда

Ответ:
Рис. КЗб.

Задача №КЗб

К оглавлению…

Треугольная пластина ADE вращается вокруг оси z, совпадающей со стороной АЕ, по закону (положительное направление отсчета угла показано на рис. КЗб дуговой стрелкой). По гипотенузе AD движется точка В по закону положительное направление отсчета

Дано: — в радианах, s -в сантиметрах, t — в секундах). Определить: абсолютную скорость и абсолютное ускорение в момент времени

Решение:

Рассмотрим абсолютное движение точки В как сложное, считая се движение по прямой AD относительным, а вращение пластины — переносным (подвижные оси связаны с пластиной). Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение найдутся по формулам:

где учтено, что

Определим всс входящие в равенство (1) величины.

Относительное движение (мысленно остановим пластину). Это движение задано естественным способом (см. задачу К16). Закон движения точки по прямолинейной траектории:

поэтому так как для прямой линии

В момент времени имеем

Знаки показывают, что вектор направлен в сторону положительного отсчета координаты s, а вектор — в противоположную сторону. Изображаем эти векторы на рис. КЗб.

Переносное движение (мысленно остановим движение точки по пластине). Это движение (вращение) происходит по закону

Найдем угловую скорость и угловое ускорение переносного вращения (см. задачу К2):

Знаки указывают, что в момент направление совпадает с направлением положительного отсчета угла , а направление ему противоположно; отмстим это на рис. КЗб соответствующими дуговыми стрелками.

Из рисунка находим расстояние от точки до оси вращения z: Тогда в момент учитывая равенства (4), получим

Изобразим на рис. КЗб векторы (с учетом знаков направлены векторы перпендикулярно плоскости ADE, а вектор по линии к оси вращения.

Ускорение Кориолиса. Так как угол между вектором и осью вращения (вектором равен 30°, то в момент времени

Направление найдем по правилу Н.Е. Жуковского. Для этого вектор спроектируем на плоскость, перпендикулярную оси вращения (проекция

направлена противоположно вектору и затем эту проекцию повернем на 90° в сторону со , т. с. по ходу часовой стрелки; получим направление вектора Он направлен перпендикулярно плоскости пластины так же, как вектор (см. рис. КЗб).

Определение Так как а векторы взаимно перпендикулярны, то в момент времени

Определение Но теореме о сложении ускорений

Для определения проведем координатные оси и вычислим проекции на эти оси. Учтем при этом, что векторы лежат на оси x а векторы расположены в плоскости т.е. в плоскости пластины. Тогда, проектируя обе части равенства (7) на координатные оси и учитывая одновременно равенства (3), (5), (6), получим для момента времени

Отсюда находим значение
Ответ:

Возможно эта страница вам будет полезна:

Заказать работу по теоретической механике

Многозвенный механизм. Плоское движение тела

К оглавлению…

Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела (краткие сведения из теории).

Признак движения: при движении тела каждая его точка остается на неизменном расстоянии от некоторой неподвижной плоскости, или иначе: точки тела остаются в плоскостях, параллельных неподвижной плоскости. Примером такого движения является качение колеса по неподвижной поверхности без проскальзывания.

Плоскопараллсльнос движение является сложным движением и может быть разложено на два простых движения:

Переносное поступательное, при котором все точки перемещаются как полюс (произвольно выбранная точка тела);

Относительное движение — вращение тела вокруг полюса.

Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки тела, совершающего плоскопараллельное движение.

Абсолютное движение каждой точки тела — составное, следовательно, для определения абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки применимы теорема сложения скоростей и теорема сложения ускорений при сложном движении точки (см. задачу КЗ). При записи этих теорем следует учесть конкретный вид переносного и относительного движений. За полюс удобно выбрать точку, скорость (ускорение) которой известна или легко может быть определена.

Определение абсолютного ускорения точки

К оглавлению…

Задача №К4

К оглавлению…

Механизм (рис. К4а) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами шарнирами.

Дано: (направления — против хода часовой стрелки).

Определить:

Решение:

1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами и длинами стержней (рис. К4б; на этом рисунке в процессе решения задачи изображаем всс векторы скоростей).

Определяем Точка В принадлежит стержню 3, совершающему плоскопараллельное движение. Чтобы найти нужно знать направление и скорость другой точки звена 3. Такой точкой является точка Л, принадлежащая еще звену 1 (звено вращается, см. задачу К2).

Направление найдем, учитывая, что точка В принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно. Теперь, зная и направление воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня 3) на прямую, соединяющую эти точки (прямая АВ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

Определяем Точка Е принадлежит стержню 2, совершающему плоскопаралельное движение. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить надо сначала найти скорость точки D принадлежащей одновременно стержню 3. Для этого, зная строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня АВ\ это точка лежащая на пересечении перпендикуляров к восставленных из точек А и В. Но направлению вектора определяем направление мгновенного поворота стержня 3 вокруг МЦС Вектор перпендикулярен отрезку соединяющему точки D и и направлен в сторону мгновенного поворота тела. Величину найдем из пропорции

Чтобы вычислить заметим, что — прямоугольный, так как острые углы в нем равны 30° и 60°, и что

Тогда является равносторонним и В результате равенство (3) даст

Так как точка Е принадлежит одновременно стержню 4, вращающемуся вокруг В точках Е и D построим перпендикуляры к скоростям получим точку — МЦС стержня 2. По направлению вектора определяем направление мгновенного поворота стержня 2 вокруг центра . Вектор направлен в сторону поворота этого стержня. Из рис. К4б видно, что откуда Составив теперь пропорцию, найдем,

Определяем Так как МЦС стержня 2 известен (точка ) и то

Определяем (рис. К4в, на котором изображаем все векторы ускорений). Точка В принадлежит стержню 3. Чтобы найти , надо знать траекторию точки В и ускорение какой-нибудь другой точки стержня 3. Такой точкой является точка А, принадлежащая еще звену 1. Следовательно, где численно

Вектор направлен вдоль а — перпендикулярно изображаем эти векторы на чертеже (см. рис. К4в). Так как точка В одновременно принадлежит ползуну, то вектор параллелен направляющим ползуна. Изображаем вектор на чертеже, полагая, что он направлен в ту же сторону, что и Для определения воспользуемся равенством (А — полюс):

Изображаем на чертеже в точке В векторы: (переносное ускорение точки В), (вдоль ВА от В к А)

и (в любую сторону перпендикулярно ВА); численно Найдя с помощью построенного МЦС стержня 3, получим

Таким образом, у величин, входящих в равенство (8), неизвестны только числовые значения их можно найти, спроектировав обе части равенства (8) на какие-нибудь две оси.

Чтобы определить спроектируем обе части равенства (8) на направление ВА (ось .x), перпендикулярное неизвестному вектору . Тогда получим

Подставив в равенство (10) числовые значения всех величин из (7) и (9), найдем, что

Так как то вектор направлен, как показано на рис. К4в. 6.

Определяем Чтобы найти сначала определим Для этого обе части равенства (8) спроектируем на направление, перпендикулярное АВ (ось у). Тогда получим

Подставив в равенство (12) числовые значения всех величин из (11) и (7), найдем, что Знак указывает, что направление противоположно направлению, показанному на рис. К4в.

Из равенства получим

Ответ:

Примечание. Если точка В, ускорение которой определяется, движется не прямолинейно (например, как на рис. К4.0-К4.4, где В принадлежит вращающемуся звену 4 и движется по окружности радиуса то направление заранее неизвестно. В этом случае также следует представить двумя составляющими и исходное уравнение (8) примет вид

При этом вектор (см., например, рис. К4.0) будет направлен вдоль а вектор — перпендикулярно в любую сторону. Числовые значения и определяются так же, как в рассмотренной задаче (в частности, по условиям задачи может быть если точка А движется прямолинейно).

Значение также вычисляется по формуле где l

радиус окружности определяется так же, как скорость любой другой точки механизма.

После этого в равенстве (13) остаются неизвестными только значения и они, как и в рассмотренной задачи, находятся проектированием обеих частей равенства (13) на две оси.

Найдя , можем вычислить искомое ускорение

Величина служит для нахождения (как в рассмотренной задаче).

Возможно эта страница вам будет полезна:

Контрольная работа по теоретической механике

Динамика

К оглавлению…

Динамика изучает движение материальных точек и механических систем с учетом сил, которые влияют на это движение.

Динамика точки

К оглавлению…

Второй закон динамики точки в инерциальной системе отсчета:

где m — масса точки, абсолютное ускорение точки, векторная сумма сил, действующих на точку (равнодействующая). Уравнение (1) — это дифференциальное уравнение движения точки в векторной форме. Спроектировав (1) на оси декартовой системы координат, получаем систему дифференциальных уравнений движения точки в координатной форме:

где и т.д.

Первая задача динамики точки: заданы уравнения движения точки в координатной форме (см. задачу К1)

найти силу действующую на точку. Решение: получив дифференциальные уравнения (2), дифференцируем заданные функции (3), подставляем в (2), находим

Вторая задача динамики точки (основная): задана сила действующая на точку; найти кинематические уравнения движения (3) точки. Решение: составив уравнение (1) и спроектировав его на оси, получим уравнения (2). Добавив начальные условия (при проинтегрируем (2) и найдем (3).

Задача №Д1

К оглавлению…

На вертикальном участке AВ трубы (рис. Д1) на груз D массой m действуют сила тяжести и сила сопротивления расстояние от точки А, где до точки В равно l На наклонном участке ВС на груз действуют сила тяжести и переменная сила заданная в ньютонах.

Дано:

Определить: — закон движения груза на участке ВС.

Решение:

1. Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Изображаем груз (в произвольном положении) и приложенные к нему силы Запишем дифференциальное уравнение движения груза в векторной форме:

Проводим ось Az в сторону движения точки и проектируем (1) на эту ось:

где учтено, что Подчеркнем, что в уравнении (2) все

переменные силы надо обязательно выразить через величины, от которых они зависят. Учитывая, что делая замену получим уравнение

Разделим обе части (3) на m и введем обозначение

Тогда уравнение (3) приобретает вид

Решим уравнение (4). Разделим переменные V и z, выполнив два действия: обе части (4) умножим на dz и разделим на получим:

Интегрируя это уравнение, найдем:

Находим Подставим в (5) начальные условия:

Найденное выражение для подставляем в (5):

ИЛИ

Отсюда

Полагая в равенстве (6) и подставляя ранее найденное определим скорость груза в точке В:

Рассмотрим движение груза на участке ВС: найденная скорость будет для движения на этом участке начальной скоростью Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы (активные и реакции связей): Запишем дифференциальное уравнение движения груза в векторной форме:

Проведем из точки В оси Вх (в сторону движения точки) и By и проектируем (8) на ось Вх:

где учтено, что Сила N неизвестна; следовательно, прежде чем интегрировать (9), найдем N, решив первую задачу динамики точки. Для этого спроектируем векторное уравнение (8) на ось By:

Учтем, что движение точки происходит по прямой, и, следовательно, Тогда из (10) получаем Подставим этот результат в (9):

Подставим в это уравнение заданные численные значения (чтобы избежать громоздкой записи). Тогда получим

Решим уравнение (11). Разделим переменные Умножим обе части (11) на dt:

интегрируя, найдем

Находим Подставим в (12) начальные условия: дастся равенством (7). Найденное значение подставляем в (12):

Так как то

Решим уравнение (13). Разделим переменные x и t. Умножим обе части (13) на dt:

интегрируя, найдем

Находим Подставим в (14) начальные условия: Найденное значение подставляем в (14):

Ответ:

Теорема о движении центра масс системы

К оглавлению…

Основные понятия

Механической системой называется множество взаимодействующих точек и тел. Центром масс системы называется геометрическая точка С, декартовы координаты которой равны — координаты точки системы, — масса точки, масса системы. Силы взаимодействия точек системы называются

внутренними силами; они обозначаются Силы, действующие на точки системы со стороны точек и тел, не входящих в систему, называются внешними илами; они обозначаются Свойства внутренних сил: главный вектор главный момент

Дифференциальное уравнение движения центра масс системы в векторной форме

К оглавлению…

где М — масса системы, — абсолютное ускорение центра масс системы, — векторная сумма внешних сил, действующих на точки системы. По форме уравнение (1) совпадает с дифференциальным уравнением движения материальной точки и теорема о движении центра масс системы формулируется следующим образом:

Центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массс всей системы и на которую действуют силы, приложенные к точкам системы.

Следовательно, применяя эту теорему, можно решать две задачи динамики, аналогично задаче Д1.

Частные случаи (законы сохранения движения центра масс)

К оглавлению…

а) Из уравнения (1) следует: если внешние силы таковы, что то

и, следовательно, это означает, что центр масс системы движется прямолинейно и равномерно.

б) Записав уравнение (1) в проекции на ось, получим

Частный случай: если выполнены одновременно два условия

то — координата центра масс системы остается постоянной и равной своему начальному значению

где — координата центра масс в произвольный момент времени, координата центра масс в начальный момент времени.

Задача №Д2

К оглавлению…

Механическая система состоит из грузов массой массой и из прямоугольной вертикальной плиты массой движущейся вдоль горизонтальных направляющих (рис. Д2). В момент времени когда система находилась в покос, под действием внутренних сил грузы начинают двигаться по желобам, представляющим собой окружности радиусов r и R, по законам

Дано:

Определить: — закон движения плиты, — закон изменения со временем полной нормальной реакции направляющих.

Решение:

Рассмотрим механическую систему, состоящую из плиты и грузов в произвольном положении (рис. Д2). Изобразим на рисунке действующие на систему внешние силы: силы тяжести и реакцию направляющих Запишем уравнение движения центра масс системы в векторной форме:

Проведем координатные оси Оху так, чтобы ось у проходила через точку где находился центр масс плиты в момент времени

а) Определение перемещения (вторая задача динамики). Для определения спроектируем уравнение (1) на ось .x Получим

так как все внешние силы перпендикулярны оси x и поэтому

Отметим также, что Поэтому, интегрируя дважды уравнение (2), получим:

(закон сохранения координаты центра масс системы). Из (3) следует, что

Определим значение Координата центра масс системы определяется по формуле

Из рис. Д2 видно, что в произвольный момент времени абсциссы грузов равны соответственно Подставляя эти выражения в формулу (5) и учитывая заданные зависимости получим

Определим значение Подставляя в (6) получим

В соответствии с уравнением (4), приравниваем правые части (6) и (7):

Отсюда получаем зависимость от времени координаты

Ответ:

б) Определение реакции N (первая задача динамики). Для определения спроектируем векторное уравнение (1) на вертикальную ось у (см. рис. Д2):

Отсюда получим, учитывая, что и т.д.:

где пока неизвестно. Для нахождения определим сначала Координата центра масс системы определяется по формуле

Из рис. Д2 видно, что в произвольный момент времени ординаты грузов равны соответственно

Подставляя эти выражения в формулу (10) и учитывая заданные зависимости получим

Продифференцировав обе части этого равенства два раза по времени, найдем

Подставив это значение в уравнение (9), определим искомую зависимость

Ответ: ньютонах.

Теорема об изменении кинетического момента системы относительно оси

К оглавлению…

Основные понятия

Количество движения (импульс) точки — это вектор, равный где m масса точки, абсолютная скорость точки.

Момент количества движения точки относительно какой-либо оси z определяется так же, как момент силы относительно оси z в частности, если вектор параллелей z или прямая, на которой расположен вектор , пересекает ось z.

Кинетический момент системы относительно какой-либо оси z равен (алгебраической) сумме моментов количеств движения точек относительно этой оси:

Кинетический момент вращающегося твердого тела относительно (неподвижной) оси вращения z равен

где — угловая скорость тела,

момент инерции тела относительно оси z; здесь — масса точки тела, расстояние от этой точки до оси z.

Момент инерции тела зависит от формы тела и положения оси z. Значения для однородных тел простой формы (кольцо, стержень, диск, прямоугольник, цилиндр и т. д.) приводятся в справочниках по механике; значения необходимые для решения данной задачи, приведены ниже в указаниях к решению.

Если задан радиус инерции р тела, то где М — масса тела.

Теорема Гюйгенса (теорема о моментах инерции относительно параллельных осей): где — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, — момент инерции тела относительно оси Az, параллельной оси Cz, М — масса тела, d — расстояние между осями Az и Cz.

Теорема об изменении кинетического момента системы относительно неподвижной оси

К оглавлению…

Формулировка: производная по времени от кинетического момента системы относительно неподвижной оси z равна (алгебраической) сумме моментов внешних сил относительно этой оси; математическая запись:

Частный случай (закон сохранения

Если внешние силы таковы, что то есть

Дифференциальное уравнение вращательною движения твердою тела

К оглавлению…

Для вращающегося твердого тела, подставляя (1) в (2) и учитывая, что найдем

дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела; здесь угловое ускорение тела.

Задача №ДЗ

Однородная горизонтальная платформа (прямоугольная со сторонами имеющая массу жестко скреплена с вертикальным валом и вращается вместе с ним вокруг оси z с угловой скоростью (рис. ДЗа). В момент времени на вал начинает действовать пара сил с вращающим моментом (на рис. ДЗ отрицательный знак М уже учтен в показанных противоположных направлениях одновременно груз D массой находящийся в желобе АВ в точке С, начинает двигаться по желобу (под действием внутренних сил) по закону

Дано: ( s — в метрах, t — в секундах),

Определить: закон изменения угловой скорости платформы.

Решение:

Рассмотрим механическую систему, состоящую из платформы и груза D. Для определения угловой скорости применим теорему об изменении кинетического момента системы относительно оси z:

Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести реакции подпятника подшипника и вращающий момент М. Так как силы параллельны оси z, а реакции эту ось пересекают, то их моменты относительно оси z равны нулю. Тогда, считая для момента положительным направление (т.е. против хода часовой стрелки), получаем

и уравнение (1) принимает вид:

Умножая обе части этого уравнения на dt и интегрируя, получим

Для рассматриваемой механической системы

где — кинетические моменты относительно оси z платформы и груза D соответственно.

Поскольку платформа вращается вокруг оси z, то ее кинетический момент равен произведению момента инерции относительно оси z на угловую скорость:

Значение момента инерции платформы относительно оси z найдем по теореме Гюйгенса:

где — момент инерции платформы относительно оси Cz, параллельной оси z и проходящей через центр масс платформы С. Момент

инерции относительно оси, проходящей через центр масс платформы перпендикулярно се плоскости, равен:

Тогда

Следовательно,

Для определения обратимся к рис. ДЗб и рассмотрим движение груза D как сложное, считая его движение по платформе относительным движением, а вращение самой платформы вокруг оси z — переносным движением. Тогда абсолютная скорость груза и по теореме Вариньона,

Так как груз D движется по закону то

Изображаем вектор на рис. ДЗб с учетом знака (при направление было бы противоположным).

Затем, учитывая направление угловой скорости изображаем вектор переносной скорости Модуль переносной скорости равен

Тогда равенство (8) примет вид:

Но на рис. ДЗб видно, что

тогда

Подставляя из (7) и (10) в равенство (4), получим с учетом данных задачи:

Тогда уравнение (3), где принимает вид

Постоянную интегрирования определяем из начального условия: при откуда получаем

При этом значении из уравнения (12) находим искомую зависимость от t

Ответ:

где t — в секундах, со

Теорема об изменении кинетической энергии системы

К оглавлению…

Кинетическая энергия. Кинетической энергией точки называется величина , где m — масса точки, — абсолютная скорость точки.

Кинетическая энергия механической системы

где — масса точки системы, — абсолютная скорость этой точки. Для твердого тела из (1) следует, что при поступательном движении твердого тела

где М — масса тела, — скорость тела;

при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси

где — момент инерции тела относительно оси вращения, — угловая скорость тела;

при плоском движении тела

где М — масса тела, — скорость центра масс тела, — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс С тела, перпендикулярно плоскости сечения, — угловая скорость тела.

Момент инерции тела относительно оси z — это величина

где — масса точки тела, — расстояние от этой точки до оси z.

Момент инерции тела зависит от формы тела и положения оси z. Значения для однородных тел простой формы (кольцо, стержень, диск, прямоугольник, цилиндр и т. д.) приводятся в справочниках по механике; значения необходимые для решения данной задачи, приведены ниже в указаниях к решению.

Если задан радиус инерции р тела, то где М — масса тела.

Элементарная работа силы dA на бесконечно малом перемещении ds точки, в которой приложена сила, равна

где — сила, ds — модуль бесконечно малого перемещения точки, скорость точки, в которой приложена сила (направление ds совпадает с направлением ). Выражение (2) — одна из возможных форм записи dA. Например, если учесть, что то из (2) следует еще одна форма записи:

где dt — время бесконечно малого перемещения. Из (2) (или (3)) следует, что

Если сила приложена к точке вращающегося тела, то, применяя (2), получим

где — момент силы относительно оси вращения тела, бесконечно малый угол поворота тела. Если на тело действует пара сил, то (4) даст элементарную работу пары сил, где — момент пары сил относительно оси z.

Работа силы на конечном перемещении точки из

Из (5) следуют выражения для работы силы в частных случаях.

Работа силы тяжести (постоянной):

где — сила тяжести, — перемещение центра масс тела по вертикали. Знак соответствует движению центра масс вверх.

Работа упругой силы пружины:

где с — жесткость пружины, — начальное и конечное удлинение (или сжатие) пружины.

Работа пары сил, приложенной к вращающемуся телу, при повороте тела на угол , равна

где — момент пары сил относительно оси вращения. Если то

Если пара сил препятствует вращению тела, то

Теорема об изменении кинетической энергии системы

К оглавлению…

Формулировка (в интегральной (конечной) форме): изменение кинетической энергии системы на некотором конечном перемещении системы из одного положения в другое равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, приложенных к точкам системы на соответствующих конечных перемещениях точек приложения этих сил.

Математическая запись:

Если система состоит из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями или стержнями {неизменяемая система), то

Возможно эта страница вам будет полезна:

Курсовая работа по теоретической механике

Задача №Д4

К оглавлению…

Механическая система (рис. Д4а) состоит из сплошного однородного цилиндрического катка 1, подвижного блока 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней и радиусом инерции относительно оси вращения блока 4 и груза 5 (коэффициент трения груза о плоскость равен Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкив 3. К центру Е блока 2 прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с, ее начальная деформация равна нулю; массами нити и пружины пренебречь.

Система приходит в движение из состояния покоя под действием силы зависящей от перемещения s точки ее приложения. На шкив 3 при движении действует постоянный момент М сил сопротивления.

Дано: =

Определить: угловую скорость в тот момент времени, когда где — перемещение центра масс катка 1.

Решение:

1. Рассмотрим движение механической системы, состоящей из весомых тел 1, 3, 5 и невесомых тел 2, 4, соединенных нитями (рис. Д4а).

Для определения искомой угловой скорости воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы в интегральной (конечной) форме:

где — кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях, — алгебраические суммы работ действующих на систему внешних и внутренних сил при перемещении системы из начального положения в конечное.

Сразу отмстим в (1) равные нулю слагаемые. В начальный момент система находилась в покос, поэтому начальная кинетическая энергия равна нулю Далее, так как система является неизменяемой, то Поэтому на рисунке изображены только внешние силы, действующие на тела системы, а внутренние силы не показаны.

Определяем кинетическую энергию системы T в конечном положении (левая часть уравнения (1)). Величина T равна сумме кинетических энергий всех тел системы:

Так как по условию задачи массы тел 2 и 4 равны нулю, эти тела не обладают кинетической энергией, однако для общности изложения мы проведем здесь вычисление кинетической энергии этих тел (но при решении своей задачи следует сразу полагать кинетическую энергию тел, массами которых пренебрегаем, равной нулю).

Кинетическая энергия катка 1, совершающего плоское (сложное) движение, равна

где — масса катка 1,

— скорость его центра масс

— угловая скорость катка 1,

— момент инерции катка относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно плоскости катка. Так как каток 1 является однородным цилиндром,то

Кинетическая энергия блока 4, совершающего вращательное движение, равна

где — угловая скорость блока 4,

— момент инерции блока относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно плоскости блока. Если блок 4 является однородным диском, то Так как и, следовательно,

Кинетическая энергия груза 5, совершающего поступательное движение,равна

где — масса груза 5, — его скорость.

Кинетическая энергия блока 3, совершающего вращательное движение,равна

где — угловая скорость блока 3,

— момент инерции блока относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно плоскости блока. Так как блок 3 является ступенчатым, и для него заданы масса и радиус инерции то его момент инерции вычисляется по формуле:

Кинетическая энергия подвижного блока 2, совершающего плоское (сложное) движение, равна

где — масса подвижного блока 2,

— скорость его центра масс E,

— угловая скорость подвижного блока 2,

— момент инерции блока относительно оси, проходящей через его центр масс Е перпендикулярно плоскости блока. Если блок 2 является однородным диском, то Так как и, следовательно,

Таким образом, с учетом выражений (3)-(9) кинетическую энергию системы можно записать в виде:

Выполняем кинематический расчет системы, т.е. выражаем все входящие в (10) линейные и угловые скорости через искомую угловую скорость

Каток 1 катится без скольжения по наклонной неподвижной плоскости, следовательно, абсолютная скорость точки касания катка с плоскостью равна нулю. Поэтому точка является мгновенным центром скоростей катка 1, откуда следует:

Первая нить, перекинутая через блок 4, соединяет центр катка с грузом 5. Принимая во внимание, что нить нерастяжима и не скользит по блоку 4, получим

Вторая нить одним концом привязана к грузу 5, а другой ее конец намотан на малый барабан радиуса ступенчатого блока 3, поэтому

Из сравнения выражений (11)-(13) получаем:

Третья нить одним концом привязана к неподвижной точке L, а другой се конец, огибая подвижный блок 2, намотан на большой барабан радиуса ступенчатого блока 3 (см. рис. Д4б). Участок нити BD не скользит по блокам 2 и 3, поэтому

Подвижный блок 2 совершает плоское движение. Точка в которой с блока 2 сходит неподвижный участок нити является мгновенным центром скоростей для блока 2 (он как бы катится по участку нити ). Отсюда следует:

Из сравнения выражений (15) и (16) получаем:

Подставив результаты кинематического расчета (14) и (17) в выражение для кинетической энергии (10), с учетом невесомости блоков 2 и 4 получаем окончательно:

Вычисление работ сил. Укажем на рисунке все внешние силы (активные и реакции связей), действующие на точки системы (последовательно по рисунку рассматривая тела системы, начиная с катка 1): Здесь учтено, что Теперь найдем сумму работ всех действующих внешних сил при том перемещении, которое будет иметь система, когда центр катка 1 пройдет путь.

Отметим в этом выражении равные нулю слагаемые (последовательно по рисунку рассматривая тела системы, начиная с катка 1).

Каток 1.

так как скорость точки приложения этих сил равна нулю (качение без скольжения). Следует отмстить, что модуль силы трения не равен произведению коэффициента трения на нормальную реакцию. При качении без скольжения сила трения должна лишь удовлетворять неравенству (определение силы трения при качении рассмотрено в задаче Д5). Работы будут вычислены ниже.

Блок 4.

так как реакция приложена к точке, лежащей на неподвижной оси блока 4.

Груз 5.

так как силы перпендикулярны скоростям точек, в которых они приложены. Работа будет вычислена ниже.

Шкив 3.

так как силы приложены к точке, лежащей на неподвижной оси блока 3. Работа А(М) будет вычислена ниже.

Подвижный блок 2.

так как скорость точки приложения реакция равна нулю (блок 2 катится без скольжения по неподвижной части нити, подобно тому, как каток 1 катится по неподвижной плоскости). Работа будет вычислена ниже.

Таким образом, сумма работ всех действующих внешних сил

Вычислим каждое из этих слагаемых (последовательно по рисунку рассматривая тела системы, начиная с катка 1). Каток 1.

Вычислим Так как сила зависит от переменной s, то работа силы на конечном перемещении определяется выражением:

Сила совпадает по направлению со скоростью центра катка 1,

тогда

Вычислим Сила тяжести постоянна и образует со скоростью угол 30 . Работа силы

Груз 5.

Вычислим работу Сначала найдем величину силы трения. Она определяется аналогично тому, как это было сделано в задаче Д1. Выделим из системы груз 5. На него действуют силы: суммарная реакция левой и правой частей нити. Уравнение движения груза 5 имеет вид:

где — ускорение груза 5, совпадающее по направлению с его скоростью Спроектируем это уравнение на ось у, перпендикулярную направлению движения груза 5 (см. рис. Д1 и решения задачи Д1):

Так как В случае движения груза по наклонной плоскости следует ось у выбрать перпендикулярно плоскости движения груза. Сила трения направлена противоположно скорости груза

поэтому работа силы трения отрицательна:

Шкив 3.

Вычислим работу А(М). Момент сопротивления М направлен

противоположно направлению вращения блока, поэтому его работа отрицательна:

Подвижный блок 2.

Вычислим работу Работа силы упругости пружины равна:

где с — жесткость пружины, — начальное и конечное удлинения пружины.

Но условию задачи начальная деформация пружины отсутствует, Конечное удлинение пружины равно перемещению конца пружины Е, совпадающего с центром блока 2, тогда:

Таким образом, сумма работ внешних сил, действующих па точки системы, равна:

Так как зависимость между линейными и угловыми перемещениями такая же, как между соответствующими скоростями, с помощью результатов кинематического расчета (14) и (17) выразим входящие в выражение (24) перемещения и угол поворота через перемещение

Подставляя эти соотношения в (24), выразим сумму работ внешних сил через заданное перемещение тела 1:

Подставив выражения кинетической энергии (18) и и суммы работ внешних сил (25) в уравнение (1) и учитывая, что приходим к равенству:

Подставляя в это равенство числовые значения, которые имеют заданные величины, находим искомую угловую скорость

Ответ:

Динамика плоскопараллельного движении твердого тела (краткие сведении из теории)

К оглавлению…

Плоскопараллельное движение твердого тела — это составное движение. Выбирая за полюс центр масс тела, раскладываем плоскопараллельное движение на переносное поступательное, при котором все точки движутся как полюс , и относительное вращательное вокруг оси , проходящей через перпендикулярно плоскости сечения тела.

Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела представляют собой систему уравнений: уравнение (1) движения центра масс и уравнение (2) вращательного движения твердого тела вокруг оси , проходящей через центр масс тела и движущейся поступательно вместе с центром масс. Поэтому второе уравнение совпадает с уравнением вращательного движения тела вокруг неподвижной оси.

Проектируя векторное уравнение (1) на взаимно перпендикулярные оси и , параллельные плоскости сечения тела, получим уравнения движения тела в координатной (алгебраической форме):

Эти уравнения обычно дополняются кинематическими уравнениями, дающими, в частности, соотношение между угловым ускорением с тела и ускорением центра масс тела. Решая эту полученную систему динамических и кинематических уравнений, можно находить как ускорения, так и силы, в зависимости от условий и вопросов задачи (первая и вторая задачи динамики).

Задача №Д5

К оглавлению…

Барабан (сплошной однородный цилиндр) радиуса и весом начинает катиться без скольжения из состояния покоя по наклонной плоскости с углом наклона , на барабан действуют сила , направление которой определяется углом , и пара сил с моментом (рис. Д5).

Дано:

Определить:

  1. — закон движения центра масс барабана;
  2. — наименьший коэффициент трения, при котором возможно качение без скольжения.

Решение:

Барабан совершает плоскопараллельное движение под действием сил и пары сил, момент которой равен . Так как направление силы трения заранее неизвестно, выбираем его произвольно. Ось проводим вдоль наклонной плоскости вниз, ось проводим перпендикулярно наклонной плоскости так, чтобы начальное положение центра масс находилось на оси .

Составляем дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения барабана:

дифференциальное уравнение движения центра масс в векторной форме:

дифференциальные уравнения движения центра масс в проекциях на оси:

дифференциальное уравнение вращательного движения барабана относительно подвижной оси , проходящей через центр масс и движущейся поступательно вместе с центром масс барабана:

За положительное направление для моментов сил принято направление в ту сторону, куда будет вращаться барабан при движении центра от оси .

В систему уравнений (1)-(3) входят пять неизвестных: .

Дополним эту систему двумя кинематическими уравнениями; для этого выполним кинематические расчеты. Так как в задаче , то

Далее установим соотношение между и . Барабан катится без скольжения по неподвижной плоскости, поэтому (см. рис. Д5), следовательно, точка является мгновенным центром скоростей барабана. Тогда

Подставляя кинематические уравнения (4), (5) в систему (1)-(3) и разделив уравнение (3) на получим

В уравнениях (6)-(8) остались три неизвестные .

1) Определяем закона движения центра масс .

Сначала найдем . Для этого сложим почленно равенства (6) и (8), тем самым исключив неизвестную :

Подставляя численные значения, найдем

Интегрируя уравнение (9), получим

Начальные условия: (так как движение начинается из состояния покоя), (так как ось проходит через начальное положение точки ). Подставляя эти начальные условия в (10) и (11), получим: , . Окончательно находим следующий закон движения центра масс :

2) Определение минимального коэффициента трения , при котором возможно качение барабана без скольжения.

Сила трения должна удовлетворять условию

Найдем нормальную реакцию из уравнения (7):

Значение проще всего найти из уравнения (8), заменив в нем его значением (9). Получим

Отсюда

Знак указывает, что направление силы противоположно показанному на рисунке. Подставляя модуль значения из (14) и значение из (13) в неравенство (12), получим

откуда находим, что

Следовательно, наименьший коэффициент трения, при котором возможно качение барабана без скольжения, равен

Ответ:

Принцип Даламбера для точки и системы (краткие сведения из теории)

К оглавлению…

Принцип Даламбера для точки. Рассмотрим дифференциальное уравнение движения точки в инерциальной системе отсчета в векторной форме:

где — векторная сумма всех сил, действующих на точку (активных и реакций связей). Перенесем вектор в правую часть уравнения (1): ; обозначим ; тогда получим уравнение

где

эта величина называется силой инерции точки.

Уравнение (2) по форме соответствует уравнению равновесия сил в векторной форме. В этом и состоит принцип Даламбера для точки: если к приложенным к точке силам добавить силу инерции (3), то полученная система сил (активных, реакций связей и сил инерции) будет уравновешенной и задачу динамики можно решать, применив методы статики.

Такой метод решения задач динамики называется методом кинетостатики.

Сила инерции точки (см. (3)). Модуль силы инерции точки равен ; направлена сила инерции в сторону, противоположную абсолютному ускорению точки . Поэтому для построения на рисунке следует сначала построить вектор (или его составляющие, например, и ), и затем построить в сторону, противоположную вектору (или и в стороны, противоположные и , соответственно).

Принцип Даламбера для системы. Применим описанный выше принцип Даламбера к каждой точке системы. К силам, действующим на каждую точку (внешним и внутренним), добавляется сила инерции (3). Получаем систему сил (внешних, внутренних и сил инерции) для всех точек системы.

Из раздела «Статика» известно, что система сил в общем случае приводится к главному вектору, приложенному в центре приведения и к паре сил, момент которой равен главному моменту системы сил относительно центра приведения. Можно разбить все силы на группы — внешние, внутренние, и силы инерции — и найти главный вектор и главный момент для каждой группы сил отдельно. Так как главный вектор и главный момент внутренних сил равны нулю, то в уравнениях равновесия сил останутся только внешние силы (активные и реакции связей) и силы инерции.

Принцип Даламбера для системы формулируется следующим образом: если к внешним силам (активным и реакциям связей), действующим на каждую точку системы, добавить силу инерции (3), то полученная система сил будет уравновешенной и для псе справедливы уравнения статики.

Уравнения равновесия сил (внешних (активных и реакций связей) и сил инерции) в векторной форме:

где — главный вектор и главный момент относительно произвольного центра внешних сил (активных и реакций связей); — главный вектор и главный момент относительно произвольного центра сил инерции. В алгебраической (координатной) форме уравнения равновесия записываются различным образом, в зависимости от типа получившейся системы сил (произвольная система сил, плоская система сил и т. д., см. раздел «Статика»).

Главный вектор сил инерции не зависит от центра приведения и может быть вычислен заранее:

где — масса тела (системы), — абсолютное ускорение центра масс тела (системы). Главный вектор не обязательно приложен в центре масс (так как центр приведения — произвольная точка).

Главный момент сил инерции относительно центра приведения :

Главный момент зависит от центра приведения и заранее может быть вычислен только в некоторых частных случаях (для некоторых видов движения тела и различных центров приведения).

Задача №Д6

К оглавлению…

С невесомым валом , вращающимся с постоянной угловой скоростью , жестко скреплен однородный стержень длиной и массой имеющий на конце груз массой (рис. Д6).

Дано:

Определить: реакции подпятника и подшипника .

Решение:

Для определения искомых реакций рассмотрим движение механической системы, состоящей из вала , стержня и груза, и применим принцип Даламбера. Проведем неподвижные оси , лежащие в данный момент времени в плоскости, образуемой валом и стержнем, и изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести , составляющие реакции подпятника и реакцию подшипника ( надо определить).

Согласно принципу Даламбера, присоединим к этим силам силы инерции точек стержня и груза, считая груз материальной точкой. Так как вал вращается равномерно , то точки стержня имеют только нормальные ускорения направленные к оси вращения; численно где — расстояние от точки от оси. Тогда силы инерции будут направлены от оси вращения; численно , где — масса точки. Поскольку пропорциональны , то эпюра этих параллельных сил образует треугольник и их можно заменить равнодействующей , линия действия которой проходит через центр тяжести этого треугольника (точку пересечения медиан), т.е. на расстоянии , от вершины , где (см. рис. Д6).

Известно, что равнодействующая любой системы сил равна се главному вектору; численно главный вектор сил инерции стержня , где ускорение центра масс стержня. Так как стержень вращается с постоянной угловой скоростью, то ускорение центра масс стержня имеет только нормальную составляющую: . В результате получим .

Аналогично для силы инерции груза найдем, что она направлена от оси вращения; численно .

Так как все действующие силы и силы инерции лежат в плоскости , то и реакции подпятника и подшипника тоже лежат в этой плоскости, что было учтено при их изображении на рисунке.

По принципу Даламбера, приложенные внешние силы и силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Составляя для этой плоской системы сил три уравнения равновесия, получим:

Подставив сюда числовые значения всех заданных и вычисленных величин и решив эту систему уравнений, найдем искомые реакции (в своей задаче решение уравнений равновесия должно быть выполнено подробно).

Ответ:

Знаки указывают, что силы и направлены противоположно показанным на рис. Д6.

Принцип возможных перемещений

К оглавлению…

(краткие сведении из теории)

Возможным перемещением механической системы называется совокупность

а) бесконечно малых

б) мысленных перемещений точек системы, при которых

в) не нарушаются связи, наложенные на систему.

Возможное перемещение любой точки системы будем изображать элементарным вектором , направленным в сторону перемещения.

Число степеней свободы. Число независимых перемещений точек системы называется числом степеней свободы системы. Если система состоит из точек, на которые наложены геометрических (не накладывающих ограничений на скорости точек) связей, то она имеет степеней свободы. В дальнейшем связи считаются геометрическими. Следовательно, чтобы задать положение такой системы в любой момент времени, не нужно задавать все координаты всех точек, а надо задать только независимые параметры.

Независимые параметры, число которых равно числу степеней свободы, и которые однозначно определяют положение всей системы в любой момент времени, называются обобщенными координатами и обозначаются

где — число степеней свободы. В качестве обобщенных координат можно выбрать декартовы координаты точек, углы поворота тел и т.д.

Идеальные связи. Связи называются идеальными, если сумма элементарных работ реакций связей, наложенных на систему, равна нулю на любом возможном перемещении системы:

(Элементарная работа на возможном перемещении обозначается ). Все встречавшиеся ранее связи (шарниры, поверхности, нити, подшипники и т.д.) идеальные при отсутствии трения. Если трение имеется и работа силы трения отлична от нуля, то сила трения включается в число активных сил.

Принцип возможных перемещений. Формулировка: для равновесия системы с геометрическими идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил, действующих на точки системы, на любом возможном перемещении системы из данного положения была равна нулю:

или (с учетом выражений для элементарной работы силы, см. задачу Д4)

а также

В (2) выполнено деление на и поэтому суммируются мощности сил.

Задача №Д7

К оглавлению…

Механизм (рис. Д7а), расположенный в горизонтальной плоскости, состоит из стержней 1, 2, 3 и ползунов соединенных друг с другом и с неподвижной опорой шарнирами. К ползуну прикреплена пружина с коэффициентом жесткости , к ползуну приложена сила , а к стержню 1 (кривошипу) — пара сил с моментом .

Дано:

Определить: деформацию пружины при равновесии механизма.

Решение:

  • Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис. Д7б); при этом, согласно указанию к задаче Д7, прикрепляем пружину к ползуну с другой стороны (так, как если бы было ).

Система состоит из стержней 1, 2, 3 и ползунов система имеет одну степень свободы.

Применим принцип возможных перемещений:

или

(так как в задаче К4 мы уже встречались с определением скоростей точек плоского механизма).

  • Покажем на рисунке действующие на точки механизма активные силы: силу , силу упругости пружины (предполагая, что пружина растянута) и пару с моментом .

Неизвестную силу найдем с помощью уравнения (1), а зная и учитывая, что , определим .

  • Сообщим системе возможное перемещение. При этом стержень 1 приобретет угловую скорость , ползун — скорость , ползун — скорость ; эти скорости потребуются при вычислении слагаемых в (1). Так как система имеет одну степень свободы, то и можно выразить через . Ход расчетов такой же, как в задаче К4.
  • Кинематическая часть задачи. Все вычисления и построения векторов проводятся для заданного положения механизма (механизм не перемещается в новое положение), так как возможные перемещения — бесконечно малые.

Сначала найдем и изобразим на рисунке скорость точки (направление вектора скорости определяется направлением угловой скорости ):

Определим и изобразим на рисунке скорость точки . Скорость вдоль направляющих ползуна . Но теореме о проекциях скоростей точек абсолютно твердого тела, проекции скоростей и на прямую алгебраически равны (имеют одинаковые модули и знаки):

Чтобы определить скорость точки , найдем сначала скорость точки . Для этого построим мгновенный центр скоростей стержня 2. Он находится на пересечении перпендикуляров к векторам и , восставленных из точек и . Покажем направление мгновенного поворота стержня 2 (вокруг ), учитывая направление или . Так как , то равносторонний и в нем высота, поскольку . Тогда скорость , перпендикулярная , будет направлена по прямой (при изображении учитываем направление мгновенного поворота стержня 2).

Воспользовавшись опять теоремой о проекциях скоростей точек и на прямую , получим

Значение скорости можно найти и другим способом, составив пропорцию

Находим , применив еще раз теорему о проекциях скоростей и на прямую и учитывая, что параллельна направляющим ползуна .

Изображаем на рисунке.

Составим уравнение (1) для показанных на рисунке сил и скоростей. Мощность силы

Мощность силы

Мощность пары сил: так как элементарная работа пары (см. задачу Д4) , а мощность равна . В итоге, уравнение (1) принимает вид

Заменяя здесь и их значениями (2) и (3) и вынося за скобки, получаем

Так как равенство (4) выполняется при любой возможной угловой скорости , то

Из уравнения (5) находим значение силы упругости и определяем деформацию пружины .

Ответ: . Знак указывает, что пружина, как и предполагалось, растянута.

Уравнения Лагранжа

К оглавлению…

(краткие сведении из теории)

Механические системы могут иметь различное число степеней свободы (числом степеней свободы называется число независимых перемещений точек системы). Независимые параметры однозначно определяющие положение механической системы в пространстве, называются обобщенными координатами механической системы (см. задачу Д7). Производные по времени от обобщенных координат называются обобщенными скоростями. В качестве обобщенной координаты обычно выбирается либо координата тела, движущегося поступательно (тогда обобщенной скоростью будет скорость этого тела), либо угол поворота вращающегося тела (тогда обобщенной скоростью будет угловая скорость со этого тела).

Таким образом, размерности обобщенных координат могут быть различными.

Кинетическая энергия системы может быть выражена через обобщенные скорости и обобщенные координаты:

Бесконечно малые изменения обобщенных координат на (бесконечно малом) возможном перемещении системы называются вариациями обобщенных координат. Обычно системе сообщают возможные перемещения в сторону возрастания , так что .

Обобщенные силы. Пусть на систему действуют различные активные силы. Придадим системе такое возможное перемещение, при котором меняется только то есть a . Вычислим сумму элементарных работ всех активных сил на этом возможном перемещении. Далее выразим возможные перемещения точек приложения сил через . Тогда в появится общий множитель : вынесем его за скобки, обозначив оставшееся в скобках выражение через :

Величина называется обобщенной силой, соответствующей обобщенной координате . Аналогично определяются обобщенные силы, соответствующие остальным обобщенным координатам. Размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты.

Уравнения Лагранжа справедливы для системы с геометрическими идеальными связями и имеют вид

Число уравнений равно числу степеней свободы. Чтобы составить уравнение Лагранжа для механической системы с одной степенью свободы, следует а) найти кинетическую энергию системы и выразить ее через обобщенную скорость и обобщенную координату: ; б) последовательно вычислить производные в) вычислить и, представив эту сумму в виде , найти обобщенную силу ; г) подставить производные в левую часть уравнения (1), а обобщенную силу — в правую часть. В итоге получится дифференциальное уравнение движения системы (относительно функции ). Аналогично составляется каждое из уравнений (1) для механической системы с произвольным числом степеней свободы.

Задача №Д8

К оглавлению…

Механическая система состоит из ступенчатого шкива 2 (радиусы ступеней и ), груза 1 и сплошного катка 3, прикрепленных к концам нитей, намотанных на ступени шкива (рис. Д8). На шкив при его вращении действует момент сил сопротивления . Массу шкива считать равномерно распределенной по внешнему ободу; шкив катится по плоскости без скольжения. Массами нитей пренебречь.

Дано:

Определить: — ускорение груза 1.

Решение:

1. Система состоит из груза 1, шкива 2, катка 3 и нитей; система имеет одну степень свободы. Выберем в качестве обобщенной координаты координату груза 1, полагая, что груз движется вниз, и отсчитывая в сторону движения; ; обобщенная скорость или . Уравнение Лагранжа, с учетом выбранной обобщенной координаты и соответствующей обобщенной скорости, имеет вид

Определим кинетическую энергию системы, равную сумме кинетических энергий всех тел (вычисления здесь аналогичны вычислениям, проводившимся в задаче Д4):

Так как груз 1 движется поступательно, шкив 2 вращается вокруг неподвижной оси, а каток 3 совершает плоскопараллельное движение, то

Поскольку масса шкива считается распределенной по внешнему ободу, а каток — сплошной (его радиус обозначим ), то

Все скорости, входящие в и , выразим через обобщенную скорость . Из рис. Д8 следует, что то сеть

а также

откуда, с учетом (5), получаем

Точка — мгновенный центр скоростей катка, следовательно, ; подставляя (6), находим

Подставляя (4)-(7) в (3), а затем значения в (2), получаем

или

Вычислим производные, входящие в (1), учитывая (8):

так как не зависит от :

Найдем обобщенную силу . Активные силы, действующие на систему: и момент сил сопротивления , направленный против вращения шкива. Сообщим системе возможное перемещение, при котором обобщенная координата получает положительное приращение , и покажем перемещения каждого из тел; для груза 1 это будет , для шкива 2 поворот на угол , для катка 3 — перемещение его центра. Эти перемещения указаны на рис. Д8. После этого вычислим сумму элементарных работ сил и момента на данных перемещениях; получим

Сила работы не совершает, так как приложена к точке неподвижной оси.

Все входящие в (11) перемещения надо выразить через . Учитывая, что зависимости между элементарными перемещениями аналогичны зависимостям (5), (6) между соответствующими скоростями, получим

Подставляя (12), (13) в (11) и вынося за скобки, найдем

Коэффициент при в полученном выражении и будет обобщенной силой . Следовательно,

или

Подставляя найденные величины (9), (10) и (15) в уравнение (1), получим

Отсюда находим искомое ускорение .

Ответ:

Примечание 1. Если в ответе получится (или ), то это означает, что система движется не в ту сторону, куда было предположено. Тогда у момента , направленного против вращения шкива, изменится направление и, следовательно, как видно из равенства (14), изменится величина , для которой надо найти новое верное значение.

Примечание 2. Если требуется найти закон изменения обобщенной координаты (закон движения груза 1), то, учитывая, что , интегрируем это уравнение и находим .

Малые линейные колебания консервативной системы с одной степенью свободы (краткие сведения из теории)

К оглавлению…

Рассмотрим консервативную механическую систему с одной степенью свободы. Обобщенную координату обозначим через . Кинетическая и потенциальная энергии системы:

Пусть заранее известно некоторое положение равновесия системы. Будем считать, что в этом положении (то сеть будем отсчитывать обобщенную координату от положения равновесия); тогда . Если , то рассматриваемое положение равновесия устойчиво и около него система может совершать малые линейные колебания. Дифференциальное (линейное) уравнение этих колебаний: , где — круговая частота, — коэффициент жесткости, — коэффициент инерции. Величина (всегда положительная) находится после приведения кинетической энергии системы к виду , при этом для выражения скоростей точек и угловых скоростей тел системы через следует использовать кинематические соотношения, отвечающие равновесной конфигурации. Величина находится после приведения потенциальной энергии системы к виду

где const — постоянная (не зависящая от ), через (…) обозначены слагаемые третьего и выше порядков малости по (если , то малые линейные колебания около рассматриваемого положения равновесия невозможны). Так как , то ; из этого равенства можно найти какую-либо величину, характеризующую положение равновесия, например, статическую деформацию одной из пружин.

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Задача №Д9а

К оглавлению…

Находящаяся в равновесии механическая система состоит из колеса 1 радиуса , ступенчатого колеса 2 с радиусами и (колеса 1 и 2 считать однородными цилиндрами) и груза 3, подвешенного на нити, намотанной на колесо 2; колеса соединены невесомым стержнем (рис. Д9а). К колесу 1 прикреплена вертикальная пружина жесткостью .

Дано:

Определить: круговую частоту малых колебаний системы около положения равновесия и значение .

Решение:

1. Система имеет одну степень свободы. Выберем в качестве обобщенной координаты угол поворота колеса 1 от равновесного положения (при равновесии и ); при движении системы, рассматривая малые колебания, считаем угол малым.

Определим кинетическую энергию системы, равную сумме кинетических энергий всех тел:

Так как колеса 1 и 2 вращаются вокруг осей и , а груз 3 движется поступательно, то

где

Все скорости, входящие в и , выразим через обобщенную скорость . Прежде всего, . Далее, в равновесной конфигурации то есть , откуда и . Окончательно, учитывая, что , получим

Подставляя величины (3), где и (4) в равенства (2), получим из равенства (1) , где

Определим потенциальную энергию системы.

При повороте колеса 1 на угол пружина получит дополнительную (к ) деформацию . Следовательно, . За нулевой уровень выберем уровень, отвечающий равновесной конфигурации. Тогда . Чтобы выразить через , заметим, что зависимость между малыми перемещениями здесь будет такой же, как между соответствующими скоростями; из последнего из равенств (4) тогда находим . Подставляя все найденные величины в равенство (6), получим

Из равенства (7) следует, что ; учитывая (5), найдем

Из равенства (7) также следует, что

откуда

Ответ:

Задача №Д9б

К оглавлению…

Находящаяся в равновесии механическая система состоит из однородного стержня 1, ступенчатого колеса 2 с радиусами и (колесо 2 считать однородным цилиндром), груза 3, подвешенного на нити, перекинутой через невесомый блок 4 и намотанной на колесо 2, и невесомого стержня 5, соединяющего тела 1 и 2 (рис. Д9б). В точке — шарнир; в точке прикреплена горизонтальная пружина жесткостью .

Дано:

Определить: круговую частоту малых колебаний системы около положения равновесия и значение .

Решение:

1. Система имеет одну степень свободы. Выберем в качестве обобщенной координаты угол отклонения стержня от вертикали; при движении системы, рассматривая малые колебания, считаем угол малым.

Определим кинетическую энергию системы, равную сумме кинетических энергий всех тел:

Так как стержень 1 и колесо 2 вращаются вокруг осей и соответственно, а груз 3 движется поступательно, то

где

Все скорости, входящие в и , выразим через обобщенную скорость . Прежде всего, . Далее, в равновесной конфигурации . Учитывая это, находим и . Таким образом, окончательно,

Подставляя величины (3) и (4) в равенства (2), получим из (1) , где

Определим потенциальную энергию системы.

Величины следует выразить через . В произвольном положении системы (см. рис. Д9в) пружина получит дополнительную деформацию, равную , причем, ввиду малости , можно считать, что . Следовательно, . За нулевой уровень , выберем уровень шарнира . Тогда . Раскладывая в ряд и сохраняя величины до второго порядка малости включительно, получим

(В случае, когда стержень горизонтален (поверните рис. Д9в на 90 ), будет , и нужная точность получится, если считать .) За нулевой уровень выберем уровень шарнира . Тогда . За нулевой уровень выберем уровень, отвечающий равновесной конфигурации. Тогда . Чтобы выразить через , заметим, что зависимость между малыми перемещениями здесь будет такой же, как между соответствующими скоростями; из последнего из равенств (4) тогда находим и . Подставляя все найденные величины в равенство (6), получим

Из равенства (7) следует, что учитывая (5), найдем

Из равенства (7) также следует, что

откуда

Ответ: