Готовые задачи по теоретической механике

Оглавление:

Задачи по теоретической механике

На этой странице я собрала очень краткую теорию и задачи с решением по всем темам теоретической механики, надеюсь они вам помогут.

Более подробно теория рассмотрена на странице:

Предмет теоретическая механика
Если что-то непонятно, Вы всегда можете написать мне в воцап и я помогу!

Статика

К оглавлению…

В статике рассматривается а) теория сил, б) равновесие тел под действием различных систем сил. Все задачи контрольного задания (С1-СЗ) относятся к теме о равновесии. Это позволяет привести общие для всех задач сведения справочного характера из теории и сформулировать алгоритм решения задач.

Виды связей

К оглавлению…

Связь — тело, препятствующее перемещению данного объекта (тела, узла) в пространстве. Реакция связи — сила, с которой связь действует на объект.
Реакция гладкой поверхности в точке А направлена по нормали к поверхности опоры.
Острие, угол, линия (гладкие).

задачи по теоретической механике

Реакция задачи по теоретической механике направлена по нормали к поверхности объекта.
объекта

задачи по теоретической механике

Реакция гибкой связи направлена вдоль связи от объекта (нить растянута).
Гибкая связь (трос, цепь, нить).

задачи по теоретической механике


Реакция цилиндрического шарнира в точке А расположена в плоскости, перпендикулярной оси шарнира; направление в плоскости не определено, указываем составляющие реакции шарнира по координатным осям: задачи по теоретической механике
Цилиндрический неподвижный шарнир.


задачи по теоретической механике

Катки (подвижный шарнир) без трения.

задачи по теоретической механике

Реакция связи задачи по теоретической механике направлена по нормали к поверхности опоры катков.

Невесомый стержень, концы которого закреплены шарнирами.

задачи по теоретической механике

Реакция связи направлена вдоль прямой, проходящей через концы стержня. Указываем от объекта, предполагая, что стержень растянут; минус в ответе означает, что стержень сжат.

Реакция подшипника В расположена в плоскости, перпендикулярной оси подшипника (ocbz); указываем в плоскости две составляющие этой реакции по коорд. осям: задачи по теоретической механике Направление реакции подпятника А в пространстве не определено; указываем в пространстве три составляющие этой реакции по коорд. осям: задачи по теоретической механике

задачи по теоретической механике

В случае плоской системы сил на объект действует сила, направление которой в плоскости действия сил не определено, и пара сил в этой плоскости.

В случае пространственной системы сил на объект действует сила, направление которой в пространстве не определено, и пара сил, направление вектора момента которой в пространстве не определено (см. рис.).

задачи по теоретической механике

Основные понятия

задачи по теоретической механике
задачи по теоретической механике

Виды систем сил, действующих на твердое тело, и уравнений равновесия

К оглавлению…

задачи по теоретической механике
задачи по теоретической механике
задачи по теоретической механике
задачи по теоретической механике

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по теоретической механике

Задача №С1

К оглавлению…

Жесткая пластина ABCD (рис. С1) имеет в точке А неподвижную шарнирную опору, а в точке В — подвижную шарнирную опору на катках. Все действующие нагрузки и размеры показаны на рисунке.

задачи по теоретической механике

Определить: реакции в точках А и В, вызываемые действующими нагрузками.

задачи по теоретической механике

Решение:

Рассмотрим равновесие пластины. Проведем координатные оси ху и изобразим действующие на пластину силы (рис. С1):

а) активные силы (нагрузки): силу задачи по теоретической механике и пару сил с моментом М

б) реакции связей:

в точке А связью является неподвижная шарнирная опора, се реакцию изображаем двумя составляющими задачи по теоретической механике параллельными координатным осям;

в точке В связью является подвижная шарнирная опора на катках, се реакция направлена перпендикулярно плоскости опоры катков;

в точке D связью является трос, реакция троса задачи по теоретической механике направлена вдоль троса от пластины (по модулю задачи по теоретической механике

Получилась плоская система сил; составим три уравнения равновесия. При вычислении момента силы задачи по теоретической механике относительно точки А разложим силу задачи по теоретической механике на составляющие задачи по теоретической механике и воспользуемся теоремой Вариньона в алгебраической форме: задачи по теоретической механике Получим

задачи по теоретической механике

Решение системы уравнений начинаем с уравнения (3), так как оно содержит одну неизвестную задачи по теоретической механике

задачи по теоретической механике

Подставляя задачи по теоретической механике уравнение (1)

задачи по теоретической механике

Подставляя задачи по теоретической механике уравнение (2)

задачи по теоретической механике

Проверка. Составим, например, уравнение задачи по теоретической механике (или уравнение моментов относительно любой другой точки (кроме А). Если задача решена
верно, то эта сумма моментов должна получиться равной нулю.
задачи по теоретической механике
Ответ: задачи по теоретической механике Знаки указывают, что составляющие реакции шарнира задачи по теоретической механике направлены противоположно показанным на рис. C1.

Задача №С2

К оглавлению…

Конструкция состоит из невесомых стержней 1, 2… 6, соединенных друг с другом (в узлах К и М) и с неподвижными опорами А, В, С, D шарнирами (рис. С2). В узлах К и М приложены силы задачи по теоретической механике образующие с координатными осями углы задачи по теоретической механикесоответственно (на рисунке показаны только углы задачи по теоретической механике

задачи по теоретической механике

Определить: усилия в стержнях 1-6.

Решение:

Рассмотрим равновесие узла К, в котором сходятся стержни 1, 2, 3. На узел действуют:

а) активная сила задачи по теоретической механике

б) реакции связей (стержней): задачи по теоретической механикезадачи по теоретической механике которые направим по стержням от узла, считая стержни растянутыми. Получилась пространственная система сходящихся сил. Составим се уравнения равновесия:

задачи по теоретической механике
задачи по теоретической механике

Решив уравнения (1), (2), (3) при заданных числовых значениях силы Р и углов, получим задачи по теоретической механике

  1. Рассмотрим равновесие узла М. На узел действуют:

а) активная сила задачи по теоретической механике

б) реакции связей (стержней): задачи по теоретической механике При этом по закону о равенстве действия и противодействия реакция задачи по теоретической механике направлена противоположно задачи по теоретической механике численно же задачи по теоретической механике Получилась пространственная система сходящихся сил. Составим се уравнения равновесия:

задачи по теоретической механике

При определении проекций силы задачи по теоретической механике на оси Ох и Оy в уравнениях (4) и (5) удобнее сначала найти проекцию задачи по теоретической механике этой силы на плоскость хОу (по числовой величине задачи по теоретической механике а затем найденную проекцию на плоскость спроектировать на оси Ох, Оу.

Решив систему уравнений (4), (5), (6) и учитывая, что задачи по теоретической механикенайдем, чему равны задачи по теоретической механике Напоминаем, что в своей задаче решение систем уравнений (1)-(3) и (4)-(6) следует выполнить подробно и с пояснениями.

После решения сделайте проверку, составив для любого узла уравнение задачи по теоретической механике , где ось задачи по теоретической механике направьте, например, по диагонали квадрата, расположенного в плоскости хОу. Эта сумма должна получиться равной нулю.

Ответ: задачи по теоретической механикеЗнаки показывают, что стержни 2 и 6 сжаты, остальные — растянуты.

Задача №СЗ

К оглавлению…

Вертикальная прямоугольная плита весом Р (рис. С2) закреплена сферическим шарниром в точке А, цилиндрическим (подшипником) в точке В и невесомым стержнем задачи по теоретической механике лежащим в плоскости, параллельной плоскости yz. На плиту действуют сила задачи по теоретической механике (в плоскости xz), сила задачи по теоретической механике (параллельная оси у) и пара сил с моментом М (в плоскости плиты).

задачи по теоретической механике
задачи по теоретической механике

Определить: реакции опор А, В и стержня задачи по теоретической механике

Решение:

Рассмотрим равновесие плиты. На нее действуют:

а) активные силы задачи по теоретической механике и пара сил, момент которой М

б) реакции связей: реакцию сферического шарнира А разложим на три составляющие задачи по теоретической механике цилиндрического шарнира (подшипника) В — на две составляющие задачи по теоретической механике (в плоскости, перпендикулярной оси подшипника), реакциюзадачи по теоретической механике стержня направим вдоль стержня, предполагая, что он растянут.

Силы, приложенные к плите, образуют пространственную систему сил. Составляем уравнения ее равновесия:

задачи по теоретической механике

Для определения момента силы задачи по теоретической механике относительно оси у раскладываем задачи по теоретической механике на составляющие задачи по теоретической механике параллельные осям задачи по теоретической механике и применяем теорему Вариньона (относительно оси). Аналогично можно поступить при определении моментов реакции задачи по теоретической механике

Подставив в уравнения (1)-(6) числовые значения заданных величин и решив эти уравнения, найдем величины реакций связей.

В своей задаче систему уравнений (1)-(6) следует решить полностью и с пояснениями. Сделайте проверку, например, составив уравнение моментов относительно оси хи проведенной параллельно оси x

Ответ: задачи по теоретической механике задачи по теоретической механикеЗнаки указывают, что силы задачи по теоретической механике направлены противоположно показанным на рис. С2.

Кинематика

К оглавлению…

Кинематика точки

К оглавлению…

Кинематика точки (краткие сведения из теории)
Задать движение точки — это значит указать способ, позволяющий определить положение точки в любой момент времени относительно выбранной системы отсчета.
Три основных способа задания движения точки: векторный, координатный, естественный.

задачи по теоретической механике
задачи по теоретической механике
задачи по теоретической механике

Задача №К1а

К оглавлению…

Уравнения движения точки в плоскости заданы координатным способом и имеют вид:

задачи по теоретической механике

где время t задано в секундах, координаты х, у — в метрах.

Найти: уравнение траектории точки; положение точки на траектории при задачи по теоретической механике (начальное положение) и при задачи по теоретической механике скорость задачи по теоретической механике точки; ускорение задачи по теоретической механике точки; касательное задачи по теоретической механике нормальное задачи по теоретической механике ускорения точки и радиус кривизны траектории р при задачи по теоретической механике. В каждом пункте выполнить соответствующие построения на рисунке.

Решение:

Найдем уравнение траектории, исключив из (1) и (2)

параметр t — время. Способ исключения t зависит от вида функций в правых частях (1), (2). В данном случае найдем из (1), (2) соответственно

задачи по теоретической механике

Возводя полученные соотношения в квадрат, после этого складывая их и учитывая, что задачи по теоретической механике найдем:

задачи по теоретической механике

Из этого уравнения следует, что траекторией точки является эллипс, полуоси которого равны 4 м и 6 м, а центр имеет координаты (0, 0).

Выберем масштаб координат и выполним рисунок. Следует заметить, что приведенный рисунок (Рис. К 1а) имеет вид, соответствующий уже окончанию решения; свой рисунок рекомендуется делать по мере продвижения решения. Это позволяет контролировать получаемые результаты и делает их более наглядными.

Находим положение точки при задачи по теоретической механике подставляя это значение t в (1) и (2):

задачи по теоретической механике

Находим положение точки при задачи по теоретической механике подставляя это значение t в (1) и (2):

задачи по теоретической механике

Указываем на рисунке точки задачи по теоретической механике учитывая масштаб координат.

Найдем скорость точки. Из теории следует, что при координатном способе задания движения определяются сначала проекции скорости на оси координат. Используя (1) и (2) — уравнения движения точки — находим

задачи по теоретической механике

Модуль скорости задачи по теоретической механике Подставляя сюда (3), (4), получим

задачи по теоретической механике

задачи по теоретической механике

Выберем масштаб для скоростей (рис. К 1а), проведем в точке задачи по теоретической механике линии параллельные осям x и у, на этих линиях в масштабе скоростей отложим отрезки: 5,44 по оси x — 4,71 по оси у, что соответствует величинам и знакам найденных проекций вектора скорости. На этих составляющих строим параллелограмм (прямоугольник), диагональ которого по величине и направлению соответствует вектору задачи по теоретической механике Проверьте следующее: длина построенного вектора должна получиться равной найденному значению задачи по теоретической механике (с учетом масштаба скоростей). Вектор задачи по теоретической механике направлен по касательной к траектории в точке задачи по теоретической механике и показывает направление движения точки по траектории.

В точке задачи по теоретической механике именно сейчас построим естественные оси: касательную задачи по теоретической механике и главную нормаль (эти оси потребуются позже). Касательную задачи по теоретической механикепроводим вдоль задачи по теоретической механике главную нормаль проводим перпендикулярно задачи по теоретической механике в плоскости рисунка и направляем к центру кривизны траектории в точке задачи по теоретической механике (в сторону вогнутости траектории).

задачи по теоретической механике

Находим ускорение точки, используя (3), (4):

задачи по теоретической механике

Модуль ускорения задачи по теоретической механике Из (7), (8) получим

задачи по теоретической механике

Подставляя в (7) — (9) задачи по теоретической механике найдем

задачи по теоретической механике

В точке задачи по теоретической механике строим в масштабе проекции ускорений задачи по теоретической механике учитывая их величины и знаки, а затем строим вектор ускорения задачи по теоретической механике Построив задачи по теоретической механике следует проверить, получилось ли на рисунке задачи по теоретической механике (с учетом масштаба ускорений), и направлен ли вектор задачи по теоретической механике в сторону вогнутости траектории (вектор задачи по теоретической механике проходит через центр эллипса, но это есть особенность данной задачи, связанная с конкретным видом функций (1) и (2)).

Находим касательное ускорение задачи по теоретической механике характеризующее изменение модуля задачи по теоретической механике

Учитывая (5), получим задачи по теоретической механике

При задачи по теоретической механике

задачи по теоретической механике

Касательное ускорение можно также найти, дифференцируя по времени равенство задачи по теоретической механике Получим

задачи по теоретической механике откуда следует

задачи по теоретической механике

Нормальную составляющую задачи по теоретической механике ускорения, характеризующую изменение направления задачи по теоретической механике можно найти по формуле

задачи по теоретической механике

если р — радиус кривизны траектории заранее известен, или (учитывая, что, задачи по теоретической механике и, следовательно, задачи по теоретической механике по формуле

задачи по теоретической механике

Так как в данной задаче радиус р заранее неизвестен, то используем (13). Подставляя (10), (11) в (13), получим

задачи по теоретической механике

Вернемся к рис. К 1а. Ранее на этом рисунке вектор задачи по теоретической механике был построен по составляющим задачи по теоретической механике С другой стороны, этот вектор можно разложить на составляющие по естественным осям задачи по теоретической механике (пользуясь правилом параллелограмма). Выполним это разложение и построим на рисунке векторы задачи по теоретической механике Далее следует провести проверку: с учетом масштаба ускорений определить по рисунку величины задачи по теоретической механике и убедиться, что они совпадают с (11),(14).

Заметим, что движение точки ускоренное, т.к. направления векторов задачи по теоретической механике и совпадают (рис. К 1а).

Найдем радиус кривизны р, используя (12), откуда следует, что задачи по теоретической механике Подставляя в последнее соотношение задачи по теоретической механике из (6) и (14), получим радиус кривизны траектории в точке задачи по теоретической механикеОтложим на рисунке от точки задачи по теоретической механике по оси задачи по теоретической механике отрезок задачи по теоретической механике длины задачи по теоретической механике (в масштабе длин); полученная точка задачи по теоретической механике сеть центр кривизны траектории в точке задачи по теоретической механике

Объединяя полученные результаты, запишем

Ответ:

траектория точки — эллипс, имеющий уравнение задачи по теоретической механике

задачи по теоретической механике

Обсудим некоторые особенности и частные случаи, которые могут встретиться в задачах.

Если траектория точки — прямая линия, то задачи по теоретической механике и, следовательно, задачи по теоретической механике Найденное по величине и направлению ускорение задачи по теоретической механике равно ускорению задачи по теоретической механике

Если траектория точки — окружность, то задачи по теоретической механике где R — радиус окружности (определяется из уравнения траектории). Если скорость V точки найдена, то задачи по теоретической механике Вектор задачи по теоретической механике направлен к центру окружности.

Касательное ускорение задачи по теоретической механике полное ускорение задачи по теоретической механике

Задача №К1б

К оглавлению…

Точка движется по дуге окружности радиуса задачи по теоретической механике по закону задачи по теоретической механике — в метрах, t — в секундах), где задачи по теоретической механике (рис. К16).

Определить: скорость и ускорение точки в момент времени задачи по теоретической механике характер движения точки по траектории (ускоренное или замедленное).

Решение:

Определяем скорость точки:

задачи по теоретической механике

При задачи по теоретической механике получим задачи по теоретической механике

Ускорение находим по его касательной и нормальной составляющим:

задачи по теоретической механике

При задачи по теоретической механике получим, учитывая, что задачи по теоретической механике

задачи по теоретической механике

Тогда ускорение точки при задачи по теоретической механике будет

задачи по теоретической механике

Изобразим на рис. К1б векторы задачи по теоретической механике считая положительным направление от А к М. Так как задачи по теоретической механике то движение точки замедленное.

Ответ: задачи по теоретической механикезадачи по теоретической механике движение точки замедленное.

Простые движения твердых тел

К оглавлению…

Простых движений два:

  • Поступательное движение тела,
  • Вращение тела вокруг неподвижной оси.

Поступательное движение тела

Признак движения: при движении тела любая прямая, жестко связанная с телом, остается параллельной своему начальному положению.

Основная теорема: при поступательном движении тела все точки описывают одинаковые траектории и в один и тот же момент времени имеют одинаковые по величине и направлению скорости, а также одинаковые по величине и

направлению ускорения. Из теоремы следует, что это вид движения, когда скорость задачи по теоретической механике и ускорение задачи по теоретической механике одной точки являются скоростью и ускорением тела в целом (это верно только для поступательного движения).

Задание движения тела. Из теоремы следует: для того, чтобы задать движение тела, надо задать движение одной его точки, что можно сделать векторным, координатным и естественным способом (см. задачу К1). Заметим, что траектории точек — любые линии (не обязательно прямые).


Кабина «колеса обозрения» и стержень АВ механизма совершают поступательное движение (см. признак), но точки этих тел описывают, соответственно, окружности и циклоиды.

задачи по теоретической механикезадачи по теоретической механике

Вращение тела вокруг неподвижной оси (вращательное движение).
Признак движения: при движении тела две точки тела (или жестко с ним связанные) остаются неподвижными.
Через эти точки проходит неподвижная ось вращения.
Движение тела в целом характеризуют три параметра: угол поворота тела задачи по теоретической механике, угловая скорость тела задачи по теоретической механике угловое ускорение тела задачи по теоретической механике

задачи по теоретической механике

Определение скорости и ускорения точки вращающегося тела

задачи по теоретической механике

Скорости задачи по теоретической механике точек вращающегося тела в данный момент времени различны по величине и направлению; ускорения a
точек тела также различны по величине и направлению.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения задач по теоретической механике

Задача №К2

К оглавлению…

Уравнение движения груза 1 (рис. К2): задачи по теоретической механике он приводит в движение звено 2; движение затем передастся звеньям 3 и 4. Проскальзывание между телами отсутствует. Известно, что задачи по теоретической механикезадачи по теоретической механике Время t задано в секундах, длины в метрах.

При задачи по теоретической механике определить угловые скорости задачи по теоретической механике тел 2 и 3 соответственно; угловое ускорение задачи по теоретической механике тела 3, скорость задачи по теоретической механике движения рейки 4, скорость задачи по теоретической механике и ускорения задачи по теоретической механике точки А. Векторы задачи по теоретической механике построить на рисунке.

задачи по теоретической механике

Решение:

Поступательное движение груза 1 преобразуется во вращательное движение звена 2 (ось вращения задачи по теоретической механике перпендикулярна рисунку), затем во вращательное движение звена 3, которое преобразуется в поступательное движение рейки 4 (рис. К2). Отметим на рис. К2 точки контакта одного тела с другим: точка К (груз — трос), точка В (трос — звено 2), точка D (звено 2 — звено 3), точка М (звено 3 — звено 4).

Проскальзывание в точках контакта отсутствует, следовательно, скорости соприкасающихся точек равны. Это равенство скоростей является основным при решении данной и следующей задач.

Будем называть ведущим звеном то звено, движение которого задано. С рассмотрения ведущего звена начинаем решение задачи. В данной задаче это груз 1. Ведущим могло бы быть и любое другое звено — в кинематике это существенного значения не имеет.

Но условию, уравнение движения груза 1

задачи по теоретической механике

Из (1) находим скорость задачи по теоретической механике этого груза

задачи по теоретической механике

При задачи по теоретической механике и вектор задачи по теоретической механике направлен по вертикали вниз.

Рассмотрим точку В. Так как эта точка принадлежит вертикальной части троса ВК, то

задачи по теоретической механике

с другой стороны, точка В принадлежит вращающемуся телу 2; следовательно,

задачи по теоретической механике

Для задачи по теоретической механике получено два соотношения

задачи по теоретической механике

Сравнивая эти соотношения, находим

задачи по теоретической механике

при задачи по теоретической механике для задачи по теоретической механике использована формула (2).

Укажем на рис. К2 вектор задачи по теоретической механике он направлен так же, как вектор задачи по теоретической механике в то же время вектор задачи по теоретической механике и направлен в сторону поворота тела 2. Тело 2, следовательно, вращается по ходу часовой стрелки. Рассмотрим точку D.

задачи по теоретической механике

Сравнив эти соотношения, найдем

задачи по теоретической механике

Подставляя в последнее выражение данные задачи и используя (3), получим

задачи по теоретической механике

Установим направление поворота тела 3. Скорость точки D перпендикулярна задачи по теоретической механике и направлена в сторону поворота тела 2. Этот вектор задачи по теоретической механике и покажет направление поворота тела 3 — против хода часовой стрелки. Изобразим вектор задачи по теоретической механике на рис. К2 и заметим, что согласно теории задачи по теоретической механике

Рассмотрим точку М.

задачи по теоретической механике

Сравнив эти соотношения, найдем

задачи по теоретической механике

Подставляя в последнее уравнение данные из (4), получим

задачи по теоретической механике

при задачи по теоретической механике

Вектор задачи по теоретической механике направлен перпендикулярно задачи по теоретической механике в сторону поворота тела 3, следовательно, вектор задачи по теоретической механике направлен вниз.

Рассмотрим точку А. Точка А принадлежит звену 3, которое вращается вокруг оси задачи по теоретической механике следовательно,

для нахождения задачи по теоретической механике надо определить угловую скорость задачи по теоретической механике тела и угловое ускорение задачи по теоретической механике тела. Зависимость угловой скорости задачи по теоретической механикеот времени найдена выше (4). Определяем угловое ускорение:

задачи по теоретической механике

В момент времени задачи по теоретической механике Знаки задачи по теоретической механикеразные, следовательно, вращение тела 3 замедленное.

Определим расстояние задачи по теоретической механике от точки до оси задачи по теоретической механике :

задачи по теоретической механике

после чего находим:

задачи по теоретической механике вектор задачи по теоретической механике и направлен в сторону поворота тела 3; задачи по теоретической механике вектор задачи по теоретической механике направлен вдоль задачи по теоретической механике к центру задачи по теоретической механике

задачи по теоретической механике вектор задачи по теоретической механике и направлен в сторону, противоположную повороту тела 3 (замедленное вращение тела).

Векторы задачи по теоретической механике а строим на рис. К2 в точке A Можно вычислить задачи по теоретической механике и построить на рис. К2 вектор задачи по теоретической механике Это рекомендуется сделать самостоятельно. Так как задачи по теоретической механике то

задачи по теоретической механике

Ответ: при задачи по теоретической механике

задачи по теоретической механике — вращение по ходу часовой стрелки;

задачи по теоретической механике замедленное вращение против хода часовой стрелки;

задачи по теоретической механике — движение по вертикали вниз;

задачи по теоретической механике вектор задачи по теоретической механике и направлен в сторону поворота тела 3;

задачи по теоретической механике вектор задачи по теоретической механике направлен по задачи по теоретической механике к центру задачи по теоретической механике

задачи по теоретической механике вектор задачи по теоретической механике и направлен в сторону, противоположную вектору задачи по теоретической механике так как вращение тела замедленное.

Рассмотрим теперь ременную передачу движения. Методика решения задачи при этом не меняется, но необходимо отразить дополнительным кинематическим уравнением тот факт, что в передаче движения от тела 1 к телу 2 участвует ремень.

Задача №К2с

К оглавлению…

Колесо 1 вращается вокруг неподвижной оси задачи по теоретической механике с угловой скоростью

задачи по теоретической механике

направление поворота указано на рис. задачи по теоретической механике

задачи по теоретической механике

Определить угловую скорость задачи по теоретической механике колеса 2 и скорость задачи по теоретической механике груза 3 в произвольный момент времени t. Радиусы колес задачи по теоретической механике известны. Проскальзывание ремня отсутствует.

Решение:

Вращательное движение ведущего звена 1 преобразуется во вращательное движение звена 2, а затем в поступательное движение груза 3. Точки контакта (рис. задачи по теоретической механике): А (звено 1 — ремень), В (ремень — звено 2), D (звено 2 -трос DK), К (трос — звено 3).

Рассмотрим точки А и В.

задачи по теоретической механике

Сравнив эти соотношения, найдем:

задачи по теоретической механике

Направление поворота тела 2 покажет вектор задачи по теоретической механике который совпадает с вектором задачи по теоретической механике Тело 2 вращается против хода часовой стрелки. Рассмотрим точки D и К.

задачи по теоретической механике

Сравнив эти соотношения, найдем

задачи по теоретической механике

Подставляя в последнее выражение значение задачи по теоретической механике (формула (7)), получим

задачи по теоретической механике

Вектор задачи по теоретической механике совпадает по направлению с вектором задачи по теоретической механике Последний перпендикулярен задачи по теоретической механике и направлен в сторону поворота тела 2. Следовательно, груз 3 поднимается.
Ответ: задачи по теоретической механике

Задача решена в общем виде, но даже в этом случае при построении векторов на рисунке следует соблюдать соотношения «больше-меньше-равно». Например, на рис. задачи по теоретической механике

Число вопросов в задаче может быть больше, по если освоена методика решения, то это не вызовет затруднений. Найдите самостоятельно, например, задачи по теоретической механике

Примечание: теория вращательного движения твердого тела будет применена также в задачах КЗ и К4 (см. ниже).

Составное (сложное) движение точки

К оглавлению…

Движение точки называется составным, если точка участвует в двух или более движениях относительно выбранной системы отсчета. Чаще всего составным является движение точки относительно неподвижной (условно) системы отсчета. Это движение точки называется абсолютным движением, и скорость (ускорение) точки в неподвижной системе отсчета называется абсолютной скоростью V (ускорением задачи по теоретической механике ) точки.

Дополнительно выбирается подвижная система отсчета (в каждой задаче есть конкретное движущееся тело, с которым ее связывают). Движение подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы называется переносным движением точки. Абсолютная скорость (ускорение) той точки подвижного тела (с ним связана подвижная система отсчета), с которой в данный момент совпадает движущаяся по телу точка (мысленно остановили точку на теле), называется переносной скоростью задачи по теоретической механике (ускорением задачи по теоретической механике точки.

Скорость (ускорение) точки в движении относительно подвижной системы отсчета называется относительной скоростью задачи по теоретической механике (ускорением задачи по теоретической механике точки (мысленно останавливаем движение тела).

Возможно эта страница вам будет полезна:

Помощь по теоретической механике

Задача №К5

К оглавлению…

Капля воды стекает по лопатке рабочего колеса вращающейся турбины. Неподвижную систему отсчета свяжем со стенами машинного зала. Подвижную — с лопаткой турбины. Движение турбины (вращательное) — переносное движение капли. Движение капли по лопатке — относительное движение капли. Движение капли относительно стен — абсолютное, оно и является составным.

При вычислениях, связанных с относительным движением точки, применяется теория кинематики точки (см. задачу К1). Вычисления, связанные с переносным движением, зависят от вида движения тела, с которым перемещается подвижная система отсчета. Если движение тела поступательное или вращательное, то применяется рассмотренная выше теория (см. задачу К2). Если тело совершает составное движение, то используется теория, относящаяся к соответствующему движению тела. После выполнения упомянутых вычислений, применяется теория сложения скоростей и ускорений точки при ее сложном движении.

Теорема сложения скоростей при составном движении точки

задачи по теоретической механике

Теорема сложения ускорений при составном движении точки (теорема Кориолиса)

задачи по теоретической механике

Рассмотрим две здачи (в задаче КЗа ось переносного вращения перпендикулярна пластине, в задаче КЗб — лежит в ее плоскости).

Задача №КЗа

К оглавлению…

Пластина задачи по теоретической механикерис. КЗа) вращается вокруг оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости пластины, по закону задачи по теоретической механике (положительное направление отсчета угла задачи по теоретической механике показано на рис. КЗа дуговой стрелкой). Но дуге окружности радиуса R движется точка В по закону задачи по теоретической механике (положительное направление отсчета координаты s на траектории — от А к В).

задачи по теоретической механике

задачи по теоретической механике

Определить: абсолютную скорость задачи по теоретической механике и абсолютное ускорение задачи по теоретической механике в момент времени задачи по теоретической механике

Решение:

Рассмотрим абсолютное движение точки В как сложное, считая се движение по дуге окружности относительным, а вращение пластины переносным движением (подвижные оси задачи по теоретической механике связаны с пластиной). Тогда абсолютная скорость задачи по теоретической механике и абсолютное ускорение задачи по теоретической механике точки найдутся по формулам:

задачи по теоретической механике

где учтено, что

задачи по теоретической механике

Определим все, входящие в равенства (1) величины.

Относительное движение (мысленно остановим пластину). Это движение задано естественным способом (см. задачу К16). Закон движения точки по траектории:

задачи по теоретической механике

Сначала установим, где будет находиться точка В на дуге окружности в момент времени задачи по теоретической механике Полагая в уравнении (2) задачи по теоретической механике получим

задачи по теоретической механике

Тогда задачи по теоретической механике

Знак минус свидетельствует о том, что точка В в момент задачи по теоретической механике находится справа от точки А. Изображаем ее на рис. КЗа в этом положении (точка задачи по теоретической механике

Теперь находим числовые значения задачи по теоретической механике
задачи по теоретической механике

где задачи по теоретической механике — радиус кривизны относительной траектории, равный радиусу окружности R. Для момента времени задачи по теоретической механике учитывая, что задачи по теоретической механике получим

задачи по теоретической механике

Знаки показывают, что вектор задачи по теоретической механике направлен в сторону положительного отсчета координаты задачи по теоретической механике вектор задачи по теоретической механике в противоположную сторону; вектор задачи по теоретической механике направлен к центру С окружности. Изображаем все эти векторы на рис. КЗа.

Переносное движение (мысленно остановим точку на пластине). Это движение (вращение) происходит по закону задачи по теоретической механике (см. задачу К2). Найдем угловую скорость задачи по теоретической механике и угловое ускорение с переносного вращения:

задачи по теоретической механике

и при задачи по теоретической механике

задачи по теоретической механике

Знаки указывают, что в момент задачи по теоретической механике с направления задачи по теоретической механикепротивоположны направлению положительного отсчета угла задачи по теоретической механикеотмстим это на рис. КЗа соответствующими стрелками.

Для определения задачи по теоретической механике найдем сначала расстояние задачи по теоретической механике точки задачи по теоретической механике

от оси вращения О. Из рисунка видно, что задачи по теоретической механике Тогда в момент времени задачи по теоретической механике учитывая равенства (4), получим

задачи по теоретической механике

Изображаем на рис. КЗа векторы задачи по теоретической механике учетом направления задачи по теоретической механике и вектор задачи по теоретической механике (направлен к оси вращения).

Ускорение Кориолиса. Модуль ускорения Кориолиса определяем по формуле задачи по теоретической механике где а — угол между вектором задачи по теоретической механике и осью вращения (вектором задачи по теоретической механике В нашем случае этот угол равен 90°, так как ось

вращения перпендикулярна плоскости пластины, в которой расположен вектор задачи по теоретической механике В момент времени задачи по теоретической механике учитывая, что в этот момент задачи по теоретической механике и задачи по теоретической механике получим

задачи по теоретической механике

Направление задачи по теоретической механике найдем по правилу Н.Е.Жуковского: так как вектор

задачи по теоретической механике лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то повернем его на 90° в направлении задачи по теоретической механике т.е. по ходу часовой стрелки. Изображаем задачи по теоретической механикена рис. КЗа. (Иначе направление задачи по теоретической механике можно найти, учитывая, что задачи по теоретической механике Изображаем вектор задачи по теоретической механике на рис. КЗа.

Таким образом, значения всех входящих в правые части равенств (1) векторов найдены и для определения задачи по теоретической механике остается только сложить эти векторы. Произведем это сложение аналитически.

Определение задачи по теоретической механике Проведем координатные оси задачи по теоретической механике (см. рис. КЗа) и спроектируем почленно обе части равенства задачи по теоретической механике на эти оси. Получим для момента времени задачи по теоретической механике

задачи по теоретической механике

После этого находим

задачи по теоретической механике

Учитывая, что в данном случае угол между задачи по теоретической механике равен 45°, значение задачи по теоретической механике можно еще определить по формуле

задачи по теоретической механике

Определение задачи по теоретической механике По теореме о сложении ускорений

задачи по теоретической механике

Для определения задачи по теоретической механике спроектируем обе части равенства (7) на проведенные оси задачи по теоретической механике Получим

задачи по теоретической механике

Подставив сюда значения, которые все величины имеют в момент времени задачи по теоретической механике найдем, что в этот момент задачи по теоретической механике

Тогда

задачи по теоретической механике

Ответ: задачи по теоретической механике
Рис. КЗб.

Задача №КЗб

К оглавлению…

Треугольная пластина ADE вращается вокруг оси z, совпадающей со стороной АЕ, по закону задачи по теоретической механике (положительное направление отсчета угла задачи по теоретической механике показано на рис. КЗб дуговой стрелкой). По гипотенузе AD движется точка В по закону задачи по теоретической механикеположительное направление отсчета задачи по теоретической механике

Дано: задачи по теоретической механикезадачи по теоретической механике — в радианах, s -в сантиметрах, t — в секундах). Определить: абсолютную скорость задачи по теоретической механике и абсолютное ускорение задачи по теоретической механике в момент времени задачи по теоретической механике

Решение:

Рассмотрим абсолютное движение точки В как сложное, считая се движение по прямой AD относительным, а вращение пластины — переносным (подвижные оси задачи по теоретической механике связаны с пластиной). Тогда абсолютная скорость задачи по теоретической механике и абсолютное ускорение задачи по теоретической механике найдутся по формулам:

задачи по теоретической механике

где учтено, что задачи по теоретической механике

Определим всс входящие в равенство (1) величины.

Относительное движение (мысленно остановим пластину). Это движение задано естественным способом (см. задачу К16). Закон движения точки по прямолинейной траектории:

задачи по теоретической механике

поэтому задачи по теоретической механике так как для прямой линии задачи по теоретической механике

В момент времени задачи по теоретической механике имеем

задачи по теоретической механике

Знаки показывают, что вектор задачи по теоретической механике направлен в сторону положительного отсчета координаты s, а вектор задачи по теоретической механике — в противоположную сторону. Изображаем эти векторы на рис. КЗб.

Переносное движение (мысленно остановим движение точки по пластине). Это движение (вращение) происходит по закону задачи по теоретической механике

Найдем угловую скорость задачи по теоретической механике и угловое ускорение задачи по теоретической механике переносного вращения (см. задачу К2): задачи по теоретической механике

задачи по теоретической механике

Знаки указывают, что в момент задачи по теоретической механике направление задачи по теоретической механике совпадает с направлением положительного отсчета угла задачи по теоретической механике, а направление задачи по теоретической механике ему противоположно; отмстим это на рис. КЗб соответствующими дуговыми стрелками.

Из рисунка находим расстояние задачи по теоретической механике от точки задачи по теоретической механике до оси вращения z: задачи по теоретической механике Тогда в момент задачи по теоретической механике учитывая равенства (4), получим

задачи по теоретической механике

Изобразим на рис. КЗб векторы задачи по теоретической механике (с учетом знаков задачи по теоретической механике направлены векторы задачи по теоретической механике перпендикулярно плоскости ADE, а вектор задачи по теоретической механике по линии задачи по теоретической механике к оси вращения.

Ускорение Кориолиса. Так как угол между вектором задачи по теоретической механике и осью вращения (вектором задачи по теоретической механике равен 30°, то в момент времени задачи по теоретической механике

задачи по теоретической механике

Направление задачи по теоретической механике найдем по правилу Н.Е. Жуковского. Для этого вектор задачи по теоретической механике спроектируем на плоскость, перпендикулярную оси вращения (проекция

направлена противоположно вектору задачи по теоретической механике и затем эту проекцию повернем на 90° в сторону со , т. с. по ходу часовой стрелки; получим направление вектора задачи по теоретической механике Он направлен перпендикулярно плоскости пластины так же, как вектор задачи по теоретической механике (см. рис. КЗб).

Определение задачи по теоретической механике Так как задачи по теоретической механике а векторы задачи по теоретической механике взаимно перпендикулярны, то задачи по теоретической механике в момент времени задачи по теоретической механике

задачи по теоретической механике

Определение задачи по теоретической механике Но теореме о сложении ускорений

задачи по теоретической механике

Для определения задачи по теоретической механике проведем координатные оси задачи по теоретической механике и вычислим проекции задачи по теоретической механике на эти оси. Учтем при этом, что векторы задачи по теоретической механике лежат на оси x а векторы задачи по теоретической механике расположены в плоскости задачи по теоретической механикет.е. в плоскости пластины. Тогда, проектируя обе части равенства (7) на координатные оси задачи по теоретической механике и учитывая одновременно равенства (3), (5), (6), получим для момента времени задачи по теоретической механике

задачи по теоретической механике

Отсюда находим значение задачи по теоретической механике
Ответ: задачи по теоретической механике

Возможно эта страница вам будет полезна:

Заказать работу по теоретической механике

Многозвенный механизм. Плоское движение тела

К оглавлению…

Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела (краткие сведения из теории).

Признак движения: при движении тела каждая его точка остается на неизменном расстоянии от некоторой неподвижной плоскости, или иначе: точки тела остаются в плоскостях, параллельных неподвижной плоскости. Примером такого движения является качение колеса по неподвижной поверхности без проскальзывания.

Плоскопараллсльнос движение является сложным движением и может быть разложено на два простых движения:

Переносное поступательное, при котором все точки перемещаются как полюс (произвольно выбранная точка тела);

Относительное движение — вращение тела вокруг полюса.

задачи по теоретической механике

Определение абсолютной скорости задачи по теоретической механике и абсолютного ускорения задачи по теоретической механике точки тела, совершающего плоскопараллельное движение.

Абсолютное движение каждой точки тела — составное, следовательно, для определения абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки применимы теорема сложения скоростей и теорема сложения ускорений при сложном движении точки (см. задачу КЗ). При записи этих теорем следует учесть конкретный вид переносного и относительного движений. За полюс удобно выбрать точку, скорость (ускорение) которой известна или легко может быть определена.

задачи по теоретической механике

Определение абсолютного ускорения точки

К оглавлению…

задачи по теоретической механике

Задача №К4

К оглавлению…

Механизм (рис. К4а) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами задачи по теоретической механике шарнирами.

Дано: задачи по теоретической механикезадачи по теоретической механике (направления задачи по теоретической механике — против хода часовой стрелки).

Определить: задачи по теоретической механике

задачи по теоретической механике

Решение:

1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами и длинами стержней (рис. К4б; на этом рисунке в процессе решения задачи изображаем всс векторы скоростей).

Определяем задачи по теоретической механике Точка В принадлежит стержню 3, совершающему плоскопараллельное движение. Чтобы найти задачи по теоретической механике нужно знать направление задачи по теоретической механике и скорость другой точки звена 3. Такой точкой является точка Л, принадлежащая еще звену 1 (звено вращается, см. задачу К2).

задачи по теоретической механике

Направление задачи по теоретической механике найдем, учитывая, что точка В принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно. Теперь, зная задачи по теоретической механике и направление задачи по теоретической механике воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня 3) на прямую, соединяющую эти точки (прямая АВ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор задачи по теоретической механике(проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

задачи по теоретической механике

Определяем задачи по теоретической механике Точка Е принадлежит стержню 2, совершающему плоскопаралельное движение. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить задачи по теоретической механике надо сначала найти скорость точки D принадлежащей одновременно стержню 3. Для этого, зная задачи по теоретической механике строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня АВ\ это точка задачи по теоретической механике лежащая на пересечении перпендикуляров к задачи по теоретической механикевосставленных из точек А и В. Но направлению вектора задачи по теоретической механикеопределяем направление мгновенного поворота стержня 3 вокруг МЦС задачи по теоретической механике Вектор задачи по теоретической механике перпендикулярен отрезку задачи по теоретической механике соединяющему точки D и задачи по теоретической механике и направлен в сторону мгновенного поворота тела. Величину задачи по теоретической механике найдем из пропорции

задачи по теоретической механике

Чтобы вычислить задачи по теоретической механике заметим, что задачи по теоретической механике — прямоугольный, так как острые углы в нем равны 30° и 60°, и что задачи по теоретической механике

Тогда задачи по теоретической механике является равносторонним и задачи по теоретической механике В результате равенство (3) даст

задачи по теоретической механике

Так как точка Е принадлежит одновременно стержню 4, вращающемуся вокруг задачи по теоретической механике В точках Е и D построим перпендикуляры к скоростям задачи по теоретической механике получим точку задачи по теоретической механике — МЦС стержня 2. По направлению вектора задачи по теоретической механике определяем направление мгновенного поворота стержня 2 вокруг центра задачи по теоретической механике. Вектор задачи по теоретической механике направлен в сторону поворота этого стержня. Из рис. К4б видно, что задачи по теоретической механике откуда задачи по теоретической механике Составив теперь пропорцию, найдем,

задачи по теоретической механике

Определяем задачи по теоретической механике Так как МЦС стержня 2 известен (точка задачи по теоретической механике) и задачи по теоретической механике то

задачи по теоретической механике

Определяем задачи по теоретической механике (рис. К4в, на котором изображаем все векторы ускорений). Точка В принадлежит стержню 3. Чтобы найти задачи по теоретической механике, надо знать траекторию точки В и ускорение какой-нибудь другой точки стержня 3. Такой точкой является точка А, принадлежащая еще звену 1. Следовательно, задачи по теоретической механике где численно

задачи по теоретической механике

Вектор задачи по теоретической механике направлен вдоль задачи по теоретической механике а задачи по теоретической механике — перпендикулярно задачи по теоретической механикеизображаем эти векторы на чертеже (см. рис. К4в). Так как точка В одновременно принадлежит ползуну, то вектор задачи по теоретической механике параллелен направляющим ползуна. Изображаем вектор задачи по теоретической механике на чертеже, полагая, что он направлен в ту же сторону, что и задачи по теоретической механике Для определения задачи по теоретической механикевоспользуемся равенством (А — полюс):

задачи по теоретической механике

Изображаем на чертеже в точке В векторы: задачи по теоретической механике (переносное ускорение точки В), задачи по теоретической механике (вдоль ВА от В к А)

задачи по теоретической механике

и задачи по теоретической механике (в любую сторону перпендикулярно ВА); численно задачи по теоретической механике Найдя задачи по теоретической механике с помощью построенного МЦС задачи по теоретической механике стержня 3, получим

задачи по теоретической механике

Таким образом, у величин, входящих в равенство (8), неизвестны только числовые значения задачи по теоретической механике их можно найти, спроектировав обе части равенства (8) на какие-нибудь две оси.

Чтобы определить задачи по теоретической механике спроектируем обе части равенства (8) на направление ВА (ось .x), перпендикулярное неизвестному вектору задачи по теоретической механике. Тогда получим

задачи по теоретической механике

Подставив в равенство (10) числовые значения всех величин из (7) и (9), найдем, что

задачи по теоретической механике

Так как задачи по теоретической механике то вектор задачи по теоретической механике направлен, как показано на рис. К4в. 6.

Определяем задачи по теоретической механике Чтобы найти задачи по теоретической механике сначала определим задачи по теоретической механике Для этого обе части равенства (8) спроектируем на направление, перпендикулярное АВ (ось у). Тогда получим

задачи по теоретической механике

Подставив в равенство (12) числовые значения всех величин из (11) и (7), найдем, что задачи по теоретической механике Знак указывает, что направление задачи по теоретической механикепротивоположно направлению, показанному на рис. К4в.

Из равенства задачи по теоретической механике получим задачи по теоретической механике

Ответ: задачи по теоретической механике

Примечание. Если точка В, ускорение которой определяется, движется не прямолинейно (например, как на рис. К4.0-К4.4, где В принадлежит вращающемуся звену 4 и движется по окружности радиуса задачи по теоретической механике то направление задачи по теоретической механике заранее неизвестно. В этом случае задачи по теоретической механике также следует представить двумя составляющими задачи по теоретической механике и исходное уравнение (8) примет вид

задачи по теоретической механике

При этом вектор задачи по теоретической механике(см., например, рис. К4.0) будет направлен вдоль задачи по теоретической механике а вектор задачи по теоретической механике — перпендикулярно задачи по теоретической механике в любую сторону. Числовые значения задачи по теоретической механике и задачи по теоретической механике определяются так же, как в рассмотренной задаче (в частности, по условиям задачи может быть задачи по теоретической механике если точка А движется прямолинейно).

Значение задачи по теоретической механике также вычисляется по формуле задачи по теоретической механике где l

радиус окружности задачи по теоретической механике определяется так же, как скорость любой другой точки механизма.

После этого в равенстве (13) остаются неизвестными только значения задачи по теоретической механике и задачи по теоретической механике они, как и в рассмотренной задачи, находятся проектированием обеих частей равенства (13) на две оси.

Найдя задачи по теоретической механике, можем вычислить искомое ускорение задачи по теоретической механике

Величина задачи по теоретической механике служит для нахождения задачи по теоретической механике (как в рассмотренной задаче).

Возможно эта страница вам будет полезна:

Контрольная работа по теоретической механике

Динамика

К оглавлению…

Динамика изучает движение материальных точек и механических систем с учетом сил, которые влияют на это движение.

Динамика точки

К оглавлению…

Второй закон динамики точки в инерциальной системе отсчета:

задачи по теоретической механике

где m — масса точки, задачи по теоретической механике абсолютное ускорение точки, задачи по теоретической механике векторная сумма сил, действующих на точку (равнодействующая). Уравнение (1) — это дифференциальное уравнение движения точки в векторной форме. Спроектировав (1) на оси декартовой системы координат, получаем систему дифференциальных уравнений движения точки в координатной форме:

задачи по теоретической механике

где задачи по теоретической механике и т.д.

Первая задача динамики точки: заданы уравнения движения точки в координатной форме (см. задачу К1)

задачи по теоретической механике

найти силу задачи по теоретической механике действующую на точку. Решение: получив дифференциальные уравнения (2), дифференцируем заданные функции (3), подставляем в (2), находим задачи по теоретической механике

Вторая задача динамики точки (основная): задана сила задачи по теоретической механикедействующая на точку; найти кинематические уравнения движения (3) точки. Решение: составив уравнение (1) и спроектировав его на оси, получим уравнения (2). Добавив начальные условия (при задачи по теоретической механике проинтегрируем (2) и найдем (3).

Задача №Д1

К оглавлению…

На вертикальном участке AВ трубы (рис. Д1) на груз D массой m действуют сила тяжести и сила сопротивления задачи по теоретической механикерасстояние от точки А, где задачи по теоретической механике до точки В равно l На наклонном участке ВС на груз действуют сила тяжести и переменная сила задачи по теоретической механике заданная в ньютонах.

Дано: задачи по теоретической механикезадачи по теоретической механике

Определить: задачи по теоретической механике— закон движения груза на участке ВС.

Решение:

1. Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Изображаем груз (в произвольном положении) и приложенные к нему силы задачи по теоретической механике Запишем дифференциальное уравнение движения груза в векторной форме:

задачи по теоретической механике

Проводим ось Az в сторону движения точки и проектируем (1) на эту ось:

задачи по теоретической механике

где учтено, что задачи по теоретической механике Подчеркнем, что в уравнении (2) все

переменные силы надо обязательно выразить через величины, от которых они зависят. Учитывая, что задачи по теоретической механике делая замену задачи по теоретической механике получим уравнение

задачи по теоретической механике

Разделим обе части (3) на m и введем обозначение

задачи по теоретической механике

Тогда уравнение (3) приобретает вид

задачи по теоретической механике

Решим уравнение (4). Разделим переменные V и z, выполнив два действия: обе части (4) умножим на dz и разделим на задачи по теоретической механике получим:

задачи по теоретической механике

Интегрируя это уравнение, найдем:

задачи по теоретической механике

Находим задачи по теоретической механике Подставим в (5) начальные условия: задачи по теоретической механике

задачи по теоретической механике

Найденное выражение для задачи по теоретической механике подставляем в (5):

задачи по теоретической механике

ИЛИ

задачи по теоретической механике

Отсюда

задачи по теоретической механике

Полагая в равенстве (6) задачи по теоретической механике и подставляя ранее найденное задачи по теоретической механике определим скорость задачи по теоретической механике груза в точке В:

задачи по теоретической механике

Рассмотрим движение груза на участке ВС: найденная скорость задачи по теоретической механике будет для движения на этом участке начальной скоростью задачи по теоретической механикеИзображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы (активные и реакции связей): задачи по теоретической механике Запишем дифференциальное уравнение движения груза в векторной форме:

задачи по теоретической механике

Проведем из точки В оси Вх (в сторону движения точки) и By и проектируем (8) на ось Вх:

задачи по теоретической механике

где учтено, что задачи по теоретической механике Сила N неизвестна; следовательно, прежде чем интегрировать (9), найдем N, решив первую задачу динамики точки. Для этого спроектируем векторное уравнение (8) на ось By:

задачи по теоретической механике

Учтем, что движение точки происходит по прямой, задачи по теоретической механике и, следовательно, задачи по теоретической механике Тогда из (10) получаем задачи по теоретической механике Подставим этот результат в (9):

задачи по теоретической механике

Подставим в это уравнение заданные численные значения (чтобы избежать громоздкой записи). Тогда получим

задачи по теоретической механике

Решим уравнение (11). Разделим переменные задачи по теоретической механике Умножим обе части (11) на dt:

задачи по теоретической механике

интегрируя, найдем

задачи по теоретической механике

Находим задачи по теоретической механике Подставим в (12) начальные условия: задачи по теоретической механике дастся равенством (7). Найденное значение задачи по теоретической механике подставляем в (12):

задачи по теоретической механике

Так как задачи по теоретической механике то

задачи по теоретической механике

Решим уравнение (13). Разделим переменные x и t. Умножим обе части (13) на dt:

задачи по теоретической механике

интегрируя, найдем

задачи по теоретической механике

Находим задачи по теоретической механике Подставим в (14) начальные условия: задачи по теоретической механикеНайденное значение задачи по теоретической механике подставляем в (14):

задачи по теоретической механике

Ответ: задачи по теоретической механике

Теорема о движении центра масс системы

К оглавлению…

Основные понятия

Механической системой называется множество взаимодействующих точек и тел. Центром масс системы называется геометрическая точка С, декартовы координаты которой равны задачи по теоретической механике задачи по теоретической механике — координаты точки системы, задачи по теоретической механике — масса точки, задачи по теоретической механике масса системы. Силы взаимодействия точек системы называются

внутренними силами; они обозначаются задачи по теоретической механике Силы, действующие на точки системы со стороны точек и тел, не входящих в систему, называются внешними илами; они обозначаются задачи по теоретической механикеСвойства внутренних сил: главный вектор задачи по теоретической механикеглавный момент задачи по теоретической механике

Дифференциальное уравнение движения центра масс системы в векторной форме

К оглавлению…

где М — масса системы, задачи по теоретической механике — абсолютное ускорение центра масс системы, задачи по теоретической механике — векторная сумма внешних сил, действующих на точки системы. По форме уравнение (1) совпадает с дифференциальным уравнением движения материальной точки задачи по теоретической механике и теорема о движении центра масс системы формулируется следующим образом:

Центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массс всей системы и на которую действуют силы, приложенные к точкам системы.

Следовательно, применяя эту теорему, можно решать две задачи динамики, аналогично задаче Д1.

Частные случаи (законы сохранения движения центра масс)

К оглавлению…

а) Из уравнения (1) следует: если внешние силы таковы, что задачи по теоретической механике то

задачи по теоретической механике и, следовательно, задачи по теоретической механикеэто означает, что центр масс системы движется прямолинейно и равномерно.

б) Записав уравнение (1) в проекции на ось, получим

задачи по теоретической механике

Частный случай: если выполнены одновременно два условия

задачи по теоретической механике

то задачи по теоретической механике — координата задачи по теоретической механике центра масс системы остается постоянной и равной своему начальному значению

задачи по теоретической механике

где задачи по теоретической механике — координата центра масс в произвольный момент времени, задачи по теоретической механике координата центра масс в начальный момент времени.

Задача №Д2

К оглавлению…

Механическая система состоит из грузов задачи по теоретической механике массой задачи по теоретической механике массой задачи по теоретической механике и из прямоугольной вертикальной плиты массой задачи по теоретической механике движущейся вдоль горизонтальных направляющих (рис. Д2). В момент времени задачи по теоретической механике когда система находилась в покос, под действием внутренних сил грузы начинают двигаться по желобам, представляющим собой окружности радиусов r и R, по законам задачи по теоретической механике

Дано: задачи по теоретической механикезадачи по теоретической механике

Определить: задачи по теоретической механике — закон движения плиты, задачи по теоретической механике — закон изменения со временем полной нормальной реакции направляющих.

Решение:

Рассмотрим механическую систему, состоящую из плиты и грузов задачи по теоретической механике в произвольном положении (рис. Д2). Изобразим на рисунке действующие на систему внешние силы: силы тяжести задачи по теоретической механике и реакцию направляющих задачи по теоретической механике Запишем уравнение движения центра масс системы в векторной форме:

задачи по теоретической механике

Проведем координатные оси Оху так, чтобы ось у проходила через точку задачи по теоретической механике где находился центр масс плиты в момент времени задачи по теоретической механике

а) Определение перемещения задачи по теоретической механике (вторая задача динамики). Для определения задачи по теоретической механике спроектируем уравнение (1) на ось .x Получим

задачи по теоретической механике

так как все внешние силы перпендикулярны оси x и поэтому задачи по теоретической механике

Отметим также, что задачи по теоретической механике Поэтому, интегрируя дважды уравнение (2), получим:

задачи по теоретической механике

(закон сохранения координаты центра масс системы). Из (3) следует, что

задачи по теоретической механике

Определим значение задачи по теоретической механике Координата задачи по теоретической механике центра масс системы определяется по формуле

задачи по теоретической механике

Из рис. Д2 видно, что в произвольный момент времени абсциссы грузов равны соответственно задачи по теоретической механике Подставляя эти выражения в формулу (5) и учитывая заданные зависимости задачи по теоретической механике получим

задачи по теоретической механике

Определим значение задачи по теоретической механике Подставляя в (6) задачи по теоретической механике получим

задачи по теоретической механике

В соответствии с уравнением (4), приравниваем правые части (6) и (7):

задачи по теоретической механике

Отсюда получаем зависимость от времени координаты задачи по теоретической механике

Ответ: задачи по теоретической механике

б) Определение реакции N (первая задача динамики). Для определения задачи по теоретической механике спроектируем векторное уравнение (1) на вертикальную ось у (см. рис. Д2):

задачи по теоретической механике

Отсюда получим, учитывая, что задачи по теоретической механике и т.д.:

задачи по теоретической механике

где задачи по теоретической механике пока неизвестно. Для нахождения задачи по теоретической механике определим сначала Координата задачи по теоретической механике центра масс системы определяется по формуле

задачи по теоретической механике

Из рис. Д2 видно, что в произвольный момент времени ординаты грузов равны соответственно

задачи по теоретической механике

Подставляя эти выражения в формулу (10) и учитывая заданные зависимости задачи по теоретической механике получим

задачи по теоретической механике

Продифференцировав обе части этого равенства два раза по времени, найдем задачи по теоретической механике

Подставив это значение задачи по теоретической механике в уравнение (9), определим искомую зависимость задачи по теоретической механике

Ответ: задачи по теоретической механике ньютонах.

Теорема об изменении кинетического момента системы относительно оси

К оглавлению…

Основные понятия

Количество движения (импульс) точки — это вектор, равный задачи по теоретической механике где m масса точки, задачи по теоретической механике абсолютная скорость точки.

Момент количества движения точки относительно какой-либо оси z задачи по теоретической механике определяется так же, как момент силы относительно оси z задачи по теоретической механике в частности, задачи по теоретической механике если вектор задачи по теоретической механике параллелей z или прямая, на которой расположен вектор задачи по теоретической механике, пересекает ось z.

Кинетический момент системы задачи по теоретической механике относительно какой-либо оси z равен (алгебраической) сумме моментов количеств движения точек относительно этой оси:

задачи по теоретической механике

Кинетический момент вращающегося твердого тела относительно (неподвижной) оси вращения z равен

задачи по теоретической механике

где задачи по теоретической механике — угловая скорость тела,

задачи по теоретической механике

момент инерции тела относительно оси z; здесь задачи по теоретической механике — масса точки тела, задачи по теоретической механике расстояние от этой точки до оси z.

Момент инерции тела зависит от формы тела и положения оси z. Значения задачи по теоретической механике для однородных тел простой формы (кольцо, стержень, диск, прямоугольник, цилиндр и т. д.) приводятся в справочниках по механике; значения задачи по теоретической механике необходимые для решения данной задачи, приведены ниже в указаниях к решению.

Если задан радиус инерции р тела, то задачи по теоретической механике где М — масса тела.

Теорема Гюйгенса (теорема о моментах инерции относительно параллельных осей): задачи по теоретической механике где задачи по теоретической механике — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, задачи по теоретической механике— момент инерции тела относительно оси Az, параллельной оси Cz, М — масса тела, d — расстояние между осями Az и Cz.

Теорема об изменении кинетического момента системы относительно неподвижной оси

К оглавлению…

Формулировка: производная по времени от кинетического момента системы относительно неподвижной оси z равна (алгебраической) сумме моментов внешних сил относительно этой оси; математическая запись:

задачи по теоретической механике

Частный случай (закон сохранения задачи по теоретической механике

Если внешние силы таковы, что задачи по теоретической механике то есть

задачи по теоретической механике

Дифференциальное уравнение вращательною движения твердою тела

К оглавлению…

Для вращающегося твердого тела, подставляя (1) в (2) и учитывая, что задачи по теоретической механике найдем

задачи по теоретической механике

дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела; здесь задачи по теоретической механике угловое ускорение тела.

Задача №ДЗ

Однородная горизонтальная платформа (прямоугольная со сторонами задачи по теоретической механике имеющая массу задачи по теоретической механике жестко скреплена с вертикальным валом и вращается вместе с ним вокруг оси z с угловой скоростью задачи по теоретической механике (рис. ДЗа). В момент времени задачи по теоретической механике на вал начинает действовать пара сил с вращающим моментом задачи по теоретической механике (на рис. ДЗ отрицательный знак М уже учтен в показанных противоположных направлениях задачи по теоретической механике одновременно груз D массой задачи по теоретической механике находящийся в желобе АВ в точке С, начинает двигаться по желобу (под действием внутренних сил) по закону задачи по теоретической механике

Дано: задачи по теоретической механике ( s — в метрах, t — в секундах), задачи по теоретической механике

Определить: задачи по теоретической механике закон изменения угловой скорости платформы.

задачи по теоретической механике

Решение:

Рассмотрим механическую систему, состоящую из платформы и груза D. Для определения угловой скорости задачи по теоретической механике применим теорему об изменении кинетического момента системы относительно оси z:

задачи по теоретической механике

Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести задачи по теоретической механикереакции подпятника задачи по теоретической механике подшипника задачи по теоретической механике и вращающий момент М. Так как силы задачи по теоретической механике параллельны оси z, а реакции задачи по теоретической механике эту ось пересекают, то их моменты относительно оси z равны нулю. Тогда, считая для момента положительным направление задачи по теоретической механике (т.е. против хода часовой стрелки), получаем

задачи по теоретической механике

и уравнение (1) принимает вид:

задачи по теоретической механике

Умножая обе части этого уравнения на dt и интегрируя, получим

задачи по теоретической механике

Для рассматриваемой механической системы

задачи по теоретической механике

где задачи по теоретической механике— кинетические моменты относительно оси z платформы и груза D соответственно.

Поскольку платформа вращается вокруг оси z, то ее кинетический момент равен произведению момента инерции относительно оси z на угловую скорость:

задачи по теоретической механике

Значение момента инерции платформы относительно оси z найдем по теореме Гюйгенса:

задачи по теоретической механике

где задачи по теоретической механике — момент инерции платформы относительно оси Cz, параллельной оси z и проходящей через центр масс платформы С. Момент

инерции задачи по теоретической механике относительно оси, проходящей через центр масс платформы перпендикулярно се плоскости, равен:

задачи по теоретической механике

Тогда

задачи по теоретической механике

Следовательно,

задачи по теоретической механике

Для определения задачи по теоретической механике обратимся к рис. ДЗб и рассмотрим движение груза D как сложное, считая его движение по платформе относительным движением, а вращение самой платформы вокруг оси z — переносным движением. Тогда абсолютная скорость груза задачи по теоретической механике и по теореме Вариньона,

задачи по теоретической механике

Так как груз D движется по закону задачи по теоретической механике то

задачи по теоретической механике

Изображаем вектор задачи по теоретической механике на рис. ДЗб с учетом знака задачи по теоретической механике (при задачи по теоретической механикенаправление задачи по теоретической механике было бы противоположным).

Затем, учитывая направление угловой скорости задачи по теоретической механике изображаем вектор переносной скорости задачи по теоретической механике Модуль переносной скорости равен

задачи по теоретической механике

Тогда равенство (8) примет вид:

задачи по теоретической механике

Но на рис. ДЗб видно, что

задачи по теоретической механике

тогда

задачи по теоретической механике

Подставляя задачи по теоретической механике из (7) и (10) в равенство (4), получим с учетом данных задачи:

задачи по теоретической механике

Тогда уравнение (3), где задачи по теоретической механике принимает вид

задачи по теоретической механике

Постоянную интегрирования определяем из начального условия: при задачи по теоретической механикезадачи по теоретической механике откуда получаем

задачи по теоретической механике

При этом значении задачи по теоретической механике из уравнения (12) находим искомую зависимость задачи по теоретической механике от t

Ответ: задачи по теоретической механике

где t — в секундах, со задачи по теоретической механике

Теорема об изменении кинетической энергии системы

К оглавлению…

Кинетическая энергия. Кинетической энергией точки называется величина задачи по теоретической механике, где m — масса точки, задачи по теоретической механике — абсолютная скорость точки.

Кинетическая энергия механической системы

задачи по теоретической механике

где задачи по теоретической механике — масса точки системы, задачи по теоретической механике — абсолютная скорость этой точки. Для твердого тела из (1) следует, что при поступательном движении твердого тела

задачи по теоретической механике

где М — масса тела, задачи по теоретической механике — скорость тела;

при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси

задачи по теоретической механике

где задачи по теоретической механике — момент инерции тела относительно оси вращения, задачи по теоретической механике — угловая скорость тела;

при плоском движении тела

задачи по теоретической механике

где М — масса тела, задачи по теоретической механике — скорость центра масс тела, задачи по теоретической механике — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс С тела, перпендикулярно плоскости сечения, задачи по теоретической механике — угловая скорость тела.

Момент инерции тела относительно оси z — это величина

задачи по теоретической механике

где задачи по теоретической механике — масса точки тела, задачи по теоретической механике — расстояние от этой точки до оси z.

Момент инерции тела зависит от формы тела и положения оси z. Значения задачи по теоретической механике для однородных тел простой формы (кольцо, стержень, диск, прямоугольник, цилиндр и т. д.) приводятся в справочниках по механике; значения задачи по теоретической механике необходимые для решения данной задачи, приведены ниже в указаниях к решению.

Если задан радиус инерции р тела, то задачи по теоретической механике где М — масса тела.

Элементарная работа силы dA на бесконечно малом перемещении ds точки, в которой приложена сила, равна

задачи по теоретической механике

где задачи по теоретической механике — сила, ds — модуль бесконечно малого перемещения точки, задачи по теоретической механике скорость точки, в которой приложена сила (направление ds совпадает с направлением задачи по теоретической механике ). Выражение (2) — одна из возможных форм записи dA. Например, если учесть, что задачи по теоретической механике то из (2) следует еще одна форма записи:

задачи по теоретической механике

где dt — время бесконечно малого перемещения. Из (2) (или (3)) следует, что

задачи по теоретической механике

Если сила приложена к точке вращающегося тела, то, применяя (2), получим

задачи по теоретической механике

где задачи по теоретической механике — момент силы относительно оси вращения тела, задачи по теоретической механике бесконечно малый угол поворота тела. Если на тело действует пара сил, то (4) даст элементарную работу пары сил, где задачи по теоретической механике — момент пары сил относительно оси z.

Работа силы на конечном перемещении точки из задачи по теоретической механике

задачи по теоретической механике

Из (5) следуют выражения для работы силы в частных случаях.

Работа силы тяжести (постоянной):

задачи по теоретической механике

где задачи по теоретической механике — сила тяжести, задачи по теоретической механике — перемещение центра масс тела по вертикали. Знак соответствует движению центра масс вверх.

Работа упругой силы пружины:

задачи по теоретической механике

где с — жесткость пружины, задачи по теоретической механике — начальное и конечное удлинение (или сжатие) пружины.

Работа пары сил, приложенной к вращающемуся телу, при повороте тела на угол задачи по теоретической механике, равна

задачи по теоретической механике

где задачи по теоретической механике — момент пары сил относительно оси вращения. Если задачи по теоретической механике то

задачи по теоретической механике

Если пара сил препятствует вращению тела, то задачи по теоретической механике

Теорема об изменении кинетической энергии системы

К оглавлению…

Формулировка (в интегральной (конечной) форме): изменение кинетической энергии системы на некотором конечном перемещении системы из одного положения в другое равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, приложенных к точкам системы на соответствующих конечных перемещениях точек приложения этих сил.

Математическая запись:

задачи по теоретической механике

Если система состоит из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями или стержнями {неизменяемая система), то задачи по теоретической механике

Возможно эта страница вам будет полезна:

Курсовая работа по теоретической механике

Задача №Д4

К оглавлению…

Механическая система (рис. Д4а) состоит из сплошного однородного цилиндрического катка 1, подвижного блока 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней задачи по теоретической механике и радиусом инерции относительно оси вращения задачи по теоретической механике блока 4 и груза 5 (коэффициент трения груза о плоскость равен задачи по теоретической механике Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкив 3. К центру Е блока 2 прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с, ее начальная деформация равна нулю; массами нити и пружины пренебречь.

Система приходит в движение из состояния покоя под действием силы задачи по теоретической механике зависящей от перемещения s точки ее приложения. На шкив 3 при движении действует постоянный момент М сил сопротивления.

Дано: задачи по теоретической механике= задачи по теоретической механике

Определить: угловую скорость задачи по теоретической механике в тот момент времени, когда задачи по теоретической механикегде задачи по теоретической механике — перемещение центра масс катка 1.

задачи по теоретической механике

Решение:

1. Рассмотрим движение механической системы, состоящей из весомых тел 1, 3, 5 и невесомых тел 2, 4, соединенных нитями (рис. Д4а).

Для определения искомой угловой скорости задачи по теоретической механике воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы в интегральной (конечной) форме:

задачи по теоретической механике

где задачи по теоретической механике — кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях, задачи по теоретической механике — алгебраические суммы работ действующих на систему внешних и внутренних сил при перемещении системы из начального положения в конечное.

Сразу отмстим в (1) равные нулю слагаемые. В начальный момент система находилась в покос, поэтому начальная кинетическая энергия равна нулю задачи по теоретической механике Далее, так как система является неизменяемой, то задачи по теоретической механике Поэтому на рисунке изображены только внешние силы, действующие на тела системы, а внутренние силы не показаны.

Определяем кинетическую энергию системы T в конечном положении (левая часть уравнения (1)). Величина T равна сумме кинетических энергий всех тел системы:

задачи по теоретической механике

Так как по условию задачи массы тел 2 и 4 равны нулю, эти тела не обладают кинетической энергией, однако для общности изложения мы проведем здесь вычисление кинетической энергии этих тел (но при решении своей задачи следует сразу полагать кинетическую энергию тел, массами которых пренебрегаем, равной нулю).

Кинетическая энергия катка 1, совершающего плоское (сложное) движение, равна

задачи по теоретической механике

где задачи по теоретической механике— масса катка 1,

задачи по теоретической механике — скорость его центра масс задачи по теоретической механике

задачи по теоретической механике — угловая скорость катка 1,

задачи по теоретической механике — момент инерции катка относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно плоскости катка. Так как каток 1 является однородным цилиндром,то

задачи по теоретической механике

Кинетическая энергия блока 4, совершающего вращательное движение, равна

задачи по теоретической механике

где задачи по теоретической механике — угловая скорость блока 4,

задачи по теоретической механике — момент инерции блока относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно плоскости блока. Если блок 4 является однородным диском, то задачи по теоретической механике Так как задачи по теоретической механике и, следовательно, задачи по теоретической механике

Кинетическая энергия груза 5, совершающего поступательное движение,равна

задачи по теоретической механике

где задачи по теоретической механике — масса груза 5, задачи по теоретической механике — его скорость.

Кинетическая энергия блока 3, совершающего вращательное движение,равна

задачи по теоретической механике

где задачи по теоретической механике — угловая скорость блока 3,

задачи по теоретической механике — момент инерции блока относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно плоскости блока. Так как блок 3 является ступенчатым, и для него заданы масса задачи по теоретической механике и радиус инерции задачи по теоретической механике то его момент инерции задачи по теоретической механике вычисляется по формуле:

задачи по теоретической механике

Кинетическая энергия подвижного блока 2, совершающего плоское (сложное) движение, равна

задачи по теоретической механике

где задачи по теоретической механике — масса подвижного блока 2,

задачи по теоретической механике — скорость его центра масс E,

задачи по теоретической механике — угловая скорость подвижного блока 2,

задачи по теоретической механике — момент инерции блока относительно оси, проходящей через его центр масс Е перпендикулярно плоскости блока. Если блок 2 является однородным диском, то задачи по теоретической механике Так как задачи по теоретической механике и, следовательно, задачи по теоретической механике

Таким образом, с учетом выражений (3)-(9) кинетическую энергию системы можно записать в виде:

задачи по теоретической механике

Выполняем кинематический расчет системы, т.е. выражаем все входящие в (10) линейные и угловые скорости задачи по теоретической механике через искомую угловую скорость задачи по теоретической механике

Каток 1 катится без скольжения по наклонной неподвижной плоскости, следовательно, абсолютная скорость точки задачи по теоретической механике касания катка с плоскостью равна нулю. Поэтому точка задачи по теоретической механике является мгновенным центром скоростей катка 1, откуда следует:

задачи по теоретической механике

Первая нить, перекинутая через блок 4, соединяет центр катка задачи по теоретической механике с грузом 5. Принимая во внимание, что нить нерастяжима и не скользит по блоку 4, получим

задачи по теоретической механике

Вторая нить одним концом привязана к грузу 5, а другой ее конец намотан на малый барабан радиуса задачи по теоретической механике ступенчатого блока 3, поэтому

задачи по теоретической механике

Из сравнения выражений (11)-(13) получаем:

задачи по теоретической механике

Третья нить одним концом привязана к неподвижной точке L, а другой се конец, огибая подвижный блок 2, намотан на большой барабан радиуса задачи по теоретической механике ступенчатого блока 3 (см. рис. Д4б). Участок нити BD не скользит по блокам 2 и 3, поэтому

задачи по теоретической механике

Подвижный блок 2 совершает плоское движение. Точка задачи по теоретической механике в которой с блока 2 сходит неподвижный участок нити задачи по теоретической механике является мгновенным центром скоростей для блока 2 (он как бы катится по участку нити задачи по теоретической механике). Отсюда следует:

задачи по теоретической механике

Из сравнения выражений (15) и (16) получаем:

задачи по теоретической механике

Подставив результаты кинематического расчета (14) и (17) в выражение для кинетической энергии (10), с учетом невесомости блоков 2 и 4 получаем окончательно:

задачи по теоретической механике

Вычисление работ сил. Укажем на рисунке все внешние силы (активные и реакции связей), действующие на точки системы (последовательно по рисунку рассматривая тела системы, начиная с катка 1): задачи по теоретической механике задачи по теоретической механике Здесь учтено, что задачи по теоретической механике Теперь найдем сумму работ всех действующих внешних сил при том перемещении, которое будет иметь система, когда центр задачи по теоретической механике катка 1 пройдет путь. задачи по теоретической механике

задачи по теоретической механике

Отметим в этом выражении равные нулю слагаемые (последовательно по рисунку рассматривая тела системы, начиная с катка 1).

Каток 1.

задачи по теоретической механике так как скорость точки задачи по теоретической механике приложения этих сил равна нулю (качение без скольжения). Следует отмстить, что модуль силы трения задачи по теоретической механикене равен произведению коэффициента трения на нормальную реакцию. При качении без скольжения сила трения должна лишь удовлетворять неравенству задачи по теоретической механике (определение силы трения при качении рассмотрено в задаче Д5). Работы задачи по теоретической механике будут вычислены ниже.

Блок 4.

задачи по теоретической механике так как реакция задачи по теоретической механике приложена к точке, лежащей на неподвижной оси блока 4.

Груз 5.

задачи по теоретической механике так как силы перпендикулярны скоростям точек, в которых они приложены. Работа задачи по теоретической механике будет вычислена ниже.

Шкив 3.

задачи по теоретической механике так как силы приложены к точке, лежащей на неподвижной оси блока 3. Работа А(М) будет вычислена ниже.

Подвижный блок 2.

задачи по теоретической механике так как скорость точки задачи по теоретической механике приложения реакция задачи по теоретической механике равна нулю (блок 2 катится без скольжения по неподвижной части нити, подобно тому, как каток 1 катится по неподвижной плоскости). Работа задачи по теоретической механике будет вычислена ниже.

Таким образом, сумма работ всех действующих внешних сил

задачи по теоретической механике

Вычислим каждое из этих слагаемых (последовательно по рисунку рассматривая тела системы, начиная с катка 1). Каток 1.

Вычислим задачи по теоретической механике Так как сила задачи по теоретической механике зависит от переменной s, то работа силы задачи по теоретической механике на конечном перемещении определяется выражением:

задачи по теоретической механике

Сила задачи по теоретической механике совпадает по направлению со скоростью задачи по теоретической механике центра катка 1,

задачи по теоретической механике тогда

задачи по теоретической механике

Вычислим задачи по теоретической механике Сила тяжести задачи по теоретической механике постоянна и образует со скоростью задачи по теоретической механике угол 30 . Работа силы задачи по теоретической механике

задачи по теоретической механике

Груз 5.

Вычислим работу задачи по теоретической механике Сначала найдем величину задачи по теоретической механике силы трения. Она определяется аналогично тому, как это было сделано в задаче Д1. Выделим из системы груз 5. На него действуют силы: задачи по теоретической механике суммарная реакция левой и правой частей нити. Уравнение движения груза 5 имеет вид:

задачи по теоретической механике

где задачи по теоретической механике — ускорение груза 5, совпадающее по направлению с его скоростью задачи по теоретической механике Спроектируем это уравнение на ось у, перпендикулярную направлению движения груза 5 (см. рис. Д1 и решения задачи Д1):

задачи по теоретической механике

Так как задачи по теоретической механике В случае движения груза по наклонной плоскости следует ось у выбрать перпендикулярно плоскости движения груза. Сила трения задачи по теоретической механике направлена противоположно скорости груза

задачи по теоретической механике поэтому работа силы трения отрицательна:

задачи по теоретической механике

Шкив 3.

Вычислим работу А(М). Момент сопротивления М направлен

противоположно направлению вращения блока, поэтому его работа отрицательна:

задачи по теоретической механике

Подвижный блок 2.

Вычислим работу задачи по теоретической механике Работа силы упругости пружины задачи по теоретической механике равна:

задачи по теоретической механике

где с — жесткость пружины, задачи по теоретической механике— начальное и конечное удлинения пружины.

Но условию задачи начальная деформация пружины отсутствует, задачи по теоретической механике Конечное удлинение пружины равно перемещению задачи по теоретической механике конца пружины Е, совпадающего с центром блока 2, тогда:

задачи по теоретической механике

Таким образом, сумма работ внешних сил, действующих па точки системы, равна:

задачи по теоретической механике

Так как зависимость между линейными и угловыми перемещениями такая же, как между соответствующими скоростями, с помощью результатов кинематического расчета (14) и (17) выразим входящие в выражение (24) перемещения задачи по теоретической механике и угол поворота задачи по теоретической механике через перемещение задачи по теоретической механике

задачи по теоретической механике

Подставляя эти соотношения в (24), выразим сумму работ внешних сил через заданное перемещение задачи по теоретической механике тела 1:

задачи по теоретической механике

Подставив выражения кинетической энергии (18) и и суммы работ внешних сил (25) в уравнение (1) и учитывая, что задачи по теоретической механикеприходим к равенству:

задачи по теоретической механике

Подставляя в это равенство числовые значения, которые имеют заданные величины, находим искомую угловую скорость задачи по теоретической механике

Ответ: задачи по теоретической механике

Динамика плоскопараллельного движении твердого тела (краткие сведении из теории)

К оглавлению…

Плоскопараллельное движение твердого тела — это составное движение. Выбирая за полюс центр масс задачи по теоретической механике тела, раскладываем плоскопараллельное движение на переносное поступательное, при котором все точки движутся как полюс задачи по теоретической механике, и относительное вращательное вокруг оси задачи по теоретической механике, проходящей через задачи по теоретической механике перпендикулярно плоскости сечения тела.

Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела представляют собой систему уравнений: уравнение (1) движения центра масс и уравнение (2) вращательного движения твердого тела вокруг оси задачи по теоретической механике, проходящей через центр масс тела и движущейся поступательно вместе с центром масс. Поэтому второе уравнение совпадает с уравнением вращательного движения тела вокруг неподвижной оси.

задачи по теоретической механике

Проектируя векторное уравнение (1) на взаимно перпендикулярные оси задачи по теоретической механике и задачи по теоретической механике, параллельные плоскости сечения тела, получим уравнения движения тела в координатной (алгебраической форме):

задачи по теоретической механике

Эти уравнения обычно дополняются кинематическими уравнениями, дающими, в частности, соотношение между угловым ускорением с тела и ускорением задачи по теоретической механике центра масс тела. Решая эту полученную систему динамических и кинематических уравнений, можно находить как ускорения, так и силы, в зависимости от условий и вопросов задачи (первая и вторая задачи динамики).

Задача №Д5

К оглавлению…

Барабан (сплошной однородный цилиндр) радиуса задачи по теоретической механике и весом задачи по теоретической механике начинает катиться без скольжения из состояния покоя по наклонной плоскости с углом наклона задачи по теоретической механике, на барабан действуют сила задачи по теоретической механике, направление которой определяется углом задачи по теоретической механике, и пара сил с моментом задачи по теоретической механике (рис. Д5).

задачи по теоретической механике

Дано:

задачи по теоретической механике
задачи по теоретической механике

Определить:

  1. задачи по теоретической механике — закон движения центра масс барабана;
  2. задачи по теоретической механике — наименьший коэффициент трения, при котором возможно качение без скольжения.

Решение:

Барабан совершает плоскопараллельное движение под действием сил задачи по теоретической механике и пары сил, момент которой равен задачи по теоретической механике. Так как направление силы трения задачи по теоретической механике заранее неизвестно, выбираем его произвольно. Ось задачи по теоретической механике проводим вдоль наклонной плоскости вниз, ось задачи по теоретической механике проводим перпендикулярно наклонной плоскости так, чтобы начальное положение центра масс находилось на оси задачи по теоретической механике.

Составляем дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения барабана:

дифференциальное уравнение движения центра масс в векторной форме:

задачи по теоретической механике

дифференциальные уравнения движения центра масс в проекциях на оси:

задачи по теоретической механике

дифференциальное уравнение вращательного движения барабана относительно подвижной оси задачи по теоретической механике, проходящей через центр масс и движущейся поступательно вместе с центром масс барабана:

задачи по теоретической механике

За положительное направление для моментов сил принято направление в ту сторону, куда будет вращаться барабан при движении центра от оси задачи по теоретической механике.

В систему уравнений (1)-(3) входят пять неизвестных: задачи по теоретической механике.

Дополним эту систему двумя кинематическими уравнениями; для этого выполним кинематические расчеты. Так как в задаче задачи по теоретической механике, то

задачи по теоретической механике

Далее установим соотношение между задачи по теоретической механике и задачи по теоретической механике. Барабан катится без скольжения по неподвижной плоскости, поэтому задачи по теоретической механике (см. рис. Д5), следовательно, точка задачи по теоретической механике является мгновенным центром скоростей барабана. Тогда

задачи по теоретической механике

Подставляя кинематические уравнения (4), (5) в систему (1)-(3) и разделив уравнение (3) на задачи по теоретической механике получим

задачи по теоретической механике

В уравнениях (6)-(8) остались три неизвестные задачи по теоретической механике.

1) Определяем закона движения центра масс задачи по теоретической механике.

Сначала найдем задачи по теоретической механике. Для этого сложим почленно равенства (6) и (8), тем самым исключив неизвестную задачи по теоретической механике:

задачи по теоретической механике

Подставляя численные значения, найдем

задачи по теоретической механике

Интегрируя уравнение (9), получим

задачи по теоретической механике

Начальные условия: задачи по теоретической механике (так как движение начинается из состояния покоя), задачи по теоретической механике (так как ось задачи по теоретической механике проходит через начальное положение точки задачи по теоретической механике). Подставляя эти начальные условия в (10) и (11), получим: задачи по теоретической механике, задачи по теоретической механике. Окончательно находим следующий закон движения центра масс задачи по теоретической механике:

задачи по теоретической механике

2) Определение минимального коэффициента трения задачи по теоретической механике, при котором возможно качение барабана без скольжения.

Сила трения должна удовлетворять условию

задачи по теоретической механике

Найдем нормальную реакцию задачи по теоретической механике из уравнения (7):

задачи по теоретической механике

Значение задачи по теоретической механике проще всего найти из уравнения (8), заменив в нем задачи по теоретической механике его значением (9). Получим

задачи по теоретической механике

Отсюда

задачи по теоретической механике

Знак указывает, что направление силы задачи по теоретической механике противоположно показанному на рисунке. Подставляя модуль значения задачи по теоретической механике из (14) и значение задачи по теоретической механике из (13) в неравенство (12), получим

задачи по теоретической механике

откуда находим, что

задачи по теоретической механике

Следовательно, наименьший коэффициент трения, при котором возможно качение барабана без скольжения, равен задачи по теоретической механике

Ответ: задачи по теоретической механике

Принцип Даламбера для точки и системы (краткие сведения из теории)

К оглавлению…

Принцип Даламбера для точки. Рассмотрим дифференциальное уравнение движения точки в инерциальной системе отсчета в векторной форме:

задачи по теоретической механике

где задачи по теоретической механике — векторная сумма всех сил, действующих на точку (активных и реакций связей). Перенесем вектор задачи по теоретической механике в правую часть уравнения (1): задачи по теоретической механике; обозначим задачи по теоретической механике; тогда получим уравнение

задачи по теоретической механике

где

задачи по теоретической механике

эта величина называется силой инерции точки.

Уравнение (2) по форме соответствует уравнению равновесия сил в векторной форме. В этом и состоит принцип Даламбера для точки: если к приложенным к точке силам добавить силу инерции (3), то полученная система сил (активных, реакций связей и сил инерции) будет уравновешенной и задачу динамики можно решать, применив методы статики.

Такой метод решения задач динамики называется методом кинетостатики.

Сила инерции точки задачи по теоретической механике (см. (3)). Модуль силы инерции точки равен задачи по теоретической механике; направлена сила инерции задачи по теоретической механике в сторону, противоположную абсолютному ускорению точки задачи по теоретической механике. Поэтому для построения задачи по теоретической механике на рисунке следует сначала построить вектор задачи по теоретической механике (или его составляющие, например, задачи по теоретической механике и задачи по теоретической механике), и затем построить задачи по теоретической механике в сторону, противоположную вектору задачи по теоретической механике (или задачи по теоретической механике и задачи по теоретической механике в стороны, противоположные задачи по теоретической механике и задачи по теоретической механике, соответственно).

Принцип Даламбера для системы. Применим описанный выше принцип Даламбера к каждой точке системы. К силам, действующим на каждую точку (внешним и внутренним), добавляется сила инерции (3). Получаем систему сил (внешних, внутренних и сил инерции) для всех точек системы.

Из раздела «Статика» известно, что система сил в общем случае приводится к главному вектору, приложенному в центре приведения и к паре сил, момент которой равен главному моменту системы сил относительно центра приведения. Можно разбить все силы на группы — внешние, внутренние, и силы инерции — и найти главный вектор и главный момент для каждой группы сил отдельно. Так как главный вектор и главный момент внутренних сил равны нулю, то в уравнениях равновесия сил останутся только внешние силы (активные и реакции связей) и силы инерции.

Принцип Даламбера для системы формулируется следующим образом: если к внешним силам (активным и реакциям связей), действующим на каждую точку системы, добавить силу инерции (3), то полученная система сил будет уравновешенной и для псе справедливы уравнения статики.

Уравнения равновесия сил (внешних (активных и реакций связей) и сил инерции) в векторной форме:

задачи по теоретической механике

где задачи по теоретической механике — главный вектор и главный момент относительно произвольного центра задачи по теоретической механике внешних сил (активных и реакций связей); задачи по теоретической механике — главный вектор и главный момент относительно произвольного центра задачи по теоретической механике сил инерции. В алгебраической (координатной) форме уравнения равновесия записываются различным образом, в зависимости от типа получившейся системы сил (произвольная система сил, плоская система сил и т. д., см. раздел «Статика»).

Главный вектор сил инерции не зависит от центра приведения и может быть вычислен заранее:

задачи по теоретической механике

где задачи по теоретической механике — масса тела (системы), задачи по теоретической механике — абсолютное ускорение центра масс тела (системы). Главный вектор не обязательно приложен в центре масс (так как центр приведения — произвольная точка).

Главный момент сил инерции относительно центра приведения задачи по теоретической механике:

задачи по теоретической механике

Главный момент зависит от центра приведения задачи по теоретической механике и заранее может быть вычислен только в некоторых частных случаях (для некоторых видов движения тела и различных центров приведения).

Задача №Д6

К оглавлению…

С невесомым валом задачи по теоретической механике, вращающимся с постоянной угловой скоростью задачи по теоретической механике, жестко скреплен однородный стержень задачи по теоретической механике длиной задачи по теоретической механике и массой задачи по теоретической механике имеющий на конце груз массой задачи по теоретической механике (рис. Д6).

задачи по теоретической механике

Дано:

задачи по теоретической механике
задачи по теоретической механике

Определить: реакции подпятника задачи по теоретической механике и подшипника задачи по теоретической механике.

Решение:

Для определения искомых реакций рассмотрим движение механической системы, состоящей из вала задачи по теоретической механике, стержня задачи по теоретической механике и груза, и применим принцип Даламбера. Проведем неподвижные оси задачи по теоретической механике, лежащие в данный момент времени в плоскости, образуемой валом и стержнем, и изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести задачи по теоретической механике, составляющие задачи по теоретической механике реакции подпятника и реакцию задачи по теоретической механике подшипника (задачи по теоретической механикезадачи по теоретической механике надо определить).

Согласно принципу Даламбера, присоединим к этим силам силы инерции точек стержня и груза, считая груз материальной точкой. Так как вал вращается равномерно задачи по теоретической механике, то точки стержня имеют только нормальные ускорения задачи по теоретической механике направленные к оси вращения; численно задачи по теоретической механике где задачи по теоретической механике — расстояние от точки от оси. Тогда силы инерции задачи по теоретической механике будут направлены от оси вращения; численно задачи по теоретической механике, где задачи по теоретической механике — масса точки. Поскольку задачи по теоретической механике пропорциональны задачи по теоретической механике, то эпюра этих параллельных сил образует треугольник и их можно заменить равнодействующей задачи по теоретической механике, линия действия которой проходит через центр тяжести этого треугольника (точку пересечения медиан), т.е. на расстоянии задачи по теоретической механике, от вершины задачи по теоретической механике, где задачи по теоретической механике (см. рис. Д6).

Известно, что равнодействующая любой системы сил равна се главному вектору; численно главный вектор сил инерции стержня задачи по теоретической механике, где задачи по теоретической механике ускорение центра масс стержня. Так как стержень вращается с постоянной угловой скоростью, то ускорение задачи по теоретической механике центра масс стержня имеет только нормальную составляющую: задачи по теоретической механике. В результате получим задачи по теоретической механике.

Аналогично для силы инерции задачи по теоретической механике груза найдем, что она направлена от оси вращения; численно задачи по теоретической механике.

Так как все действующие силы и силы инерции лежат в плоскости задачи по теоретической механике, то и реакции подпятника задачи по теоретической механике и подшипника задачи по теоретической механике тоже лежат в этой плоскости, что было учтено при их изображении на рисунке.

По принципу Даламбера, приложенные внешние силы и силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Составляя для этой плоской системы сил три уравнения равновесия, получим:

задачи по теоретической механике

Подставив сюда числовые значения всех заданных и вычисленных величин и решив эту систему уравнений, найдем искомые реакции (в своей задаче решение уравнений равновесия должно быть выполнено подробно).

Ответ: задачи по теоретической механике

Знаки указывают, что силы задачи по теоретической механике и задачи по теоретической механике направлены противоположно показанным на рис. Д6.

Принцип возможных перемещений

К оглавлению…

(краткие сведении из теории)

Возможным перемещением механической системы называется совокупность

а) бесконечно малых

б) мысленных перемещений точек системы, при которых

в) не нарушаются связи, наложенные на систему.

Возможное перемещение любой точки системы будем изображать элементарным вектором задачи по теоретической механике, направленным в сторону перемещения.

Число степеней свободы. Число независимых перемещений точек системы называется числом степеней свободы системы. Если система состоит из задачи по теоретической механике точек, на которые наложены задачи по теоретической механике геометрических (не накладывающих ограничений на скорости точек) связей, то она имеет задачи по теоретической механике степеней свободы. В дальнейшем связи считаются геометрическими. Следовательно, чтобы задать положение такой системы в любой момент времени, не нужно задавать все координаты всех точек, а надо задать только независимые параметры.

Независимые параметры, число которых равно числу степеней свободы, и которые однозначно определяют положение всей системы в любой момент времени, называются обобщенными координатами и обозначаются

задачи по теоретической механике

где задачи по теоретической механике — число степеней свободы. В качестве обобщенных координат можно выбрать декартовы координаты точек, углы поворота тел и т.д.

Идеальные связи. Связи называются идеальными, если сумма элементарных работ реакций связей, наложенных на систему, равна нулю на любом возможном перемещении системы:

задачи по теоретической механике

(Элементарная работа на возможном перемещении обозначается задачи по теоретической механике). Все встречавшиеся ранее связи (шарниры, поверхности, нити, подшипники и т.д.) идеальные при отсутствии трения. Если трение имеется и работа силы трения отлична от нуля, то сила трения включается в число активных сил.

Принцип возможных перемещений. Формулировка: для равновесия системы с геометрическими идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил, действующих на точки системы, на любом возможном перемещении системы из данного положения была равна нулю:

задачи по теоретической механике

или (с учетом выражений для элементарной работы силы, см. задачу Д4)

задачи по теоретической механике

а также

задачи по теоретической механике

В (2) выполнено деление на задачи по теоретической механике и поэтому суммируются мощности сил.

Задача №Д7

К оглавлению…

Механизм (рис. Д7а), расположенный в горизонтальной плоскости, состоит из стержней 1, 2, 3 и ползунов задачи по теоретической механике соединенных друг с другом и с неподвижной опорой задачи по теоретической механике шарнирами. К ползуну задачи по теоретической механике прикреплена пружина с коэффициентом жесткости задачи по теоретической механике, к ползуну задачи по теоретической механике приложена сила задачи по теоретической механике, а к стержню 1 (кривошипу) — пара сил с моментом задачи по теоретической механике.

Дано:

задачи по теоретической механике
задачи по теоретической механике

Определить: деформацию задачи по теоретической механике пружины при равновесии механизма.

задачи по теоретической механике

Решение:

  • Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис. Д7б); при этом, согласно указанию к задаче Д7, прикрепляем пружину к ползуну с другой стороны (так, как если бы было задачи по теоретической механике).

Система состоит из стержней 1, 2, 3 и ползунов задачи по теоретической механике система имеет одну степень свободы.

Применим принцип возможных перемещений:

задачи по теоретической механике

или

задачи по теоретической механике

(так как в задаче К4 мы уже встречались с определением скоростей точек плоского механизма).

  • Покажем на рисунке действующие на точки механизма активные силы: силу задачи по теоретической механике, силу упругости задачи по теоретической механике пружины (предполагая, что пружина растянута) и пару с моментом задачи по теоретической механике.

Неизвестную силу задачи по теоретической механике найдем с помощью уравнения (1), а зная задачи по теоретической механике и учитывая, что задачи по теоретической механике, определим задачи по теоретической механике.

  • Сообщим системе возможное перемещение. При этом стержень 1 приобретет угловую скорость задачи по теоретической механике, ползун задачи по теоретической механике — скорость задачи по теоретической механике, ползун задачи по теоретической механике — скорость задачи по теоретической механике; эти скорости потребуются при вычислении слагаемых в (1). Так как система имеет одну степень свободы, то задачи по теоретической механике и задачи по теоретической механике можно выразить через задачи по теоретической механике. Ход расчетов такой же, как в задаче К4.
  • Кинематическая часть задачи. Все вычисления и построения векторов проводятся для заданного положения механизма (механизм не перемещается в новое положение), так как возможные перемещения — бесконечно малые.

Сначала найдем и изобразим на рисунке скорость точки задачи по теоретической механике (направление вектора скорости задачи по теоретической механике определяется направлением угловой скорости задачи по теоретической механике):

задачи по теоретической механике

Определим и изобразим на рисунке скорость точки задачи по теоретической механике. Скорость задачи по теоретической механике вдоль направляющих ползуна задачи по теоретической механике. Но теореме о проекциях скоростей точек абсолютно твердого тела, проекции скоростей задачи по теоретической механике и задачи по теоретической механике на прямую задачи по теоретической механике алгебраически равны (имеют одинаковые модули и знаки):

задачи по теоретической механике

Чтобы определить скорость точки задачи по теоретической механике, найдем сначала скорость точки задачи по теоретической механике. Для этого построим мгновенный центр скоростей задачи по теоретической механике стержня 2. Он находится на пересечении перпендикуляров к векторам задачи по теоретической механике и задачи по теоретической механике, восставленных из точек задачи по теоретической механике и задачи по теоретической механике. Покажем направление мгновенного поворота стержня 2 (вокруг задачи по теоретической механике), учитывая направление задачи по теоретической механике или задачи по теоретической механике. Так как задачи по теоретической механике, то задачи по теоретической механике равносторонний и задачи по теоретической механике в нем высота, поскольку задачи по теоретической механике. Тогда скорость задачи по теоретической механике, перпендикулярная задачи по теоретической механике, будет направлена по прямой задачи по теоретической механике (при изображении задачи по теоретической механике учитываем направление мгновенного поворота стержня 2).

Воспользовавшись опять теоремой о проекциях скоростей точек задачи по теоретической механике и задачи по теоретической механике на прямую задачи по теоретической механике, получим

задачи по теоретической механике

Значение скорости задачи по теоретической механике можно найти и другим способом, составив пропорцию

задачи по теоретической механике

Находим задачи по теоретической механике, применив еще раз теорему о проекциях скоростей задачи по теоретической механике и задачи по теоретической механике на прямую задачи по теоретической механике и учитывая, что задачи по теоретической механике параллельна направляющим ползуна задачи по теоретической механике.

задачи по теоретической механике

Изображаем задачи по теоретической механике на рисунке.

Составим уравнение (1) для показанных на рисунке сил и скоростей. Мощность силы задачи по теоретической механике

Мощность силы задачи по теоретической механике

Мощность пары сил: задачи по теоретической механике так как элементарная работа пары (см. задачу Д4) задачи по теоретической механике, а мощность равна задачи по теоретической механике. В итоге, уравнение (1) принимает вид

задачи по теоретической механике

Заменяя здесь задачи по теоретической механике и задачи по теоретической механике их значениями (2) и (3) и вынося задачи по теоретической механике за скобки, получаем

задачи по теоретической механике

Так как равенство (4) выполняется при любой возможной угловой скорости задачи по теоретической механике, то

задачи по теоретической механике

Из уравнения (5) находим значение силы упругости задачи по теоретической механике и определяем деформацию пружины задачи по теоретической механике.

Ответ: задачи по теоретической механике. Знак указывает, что пружина, как и предполагалось, растянута.

Уравнения Лагранжа

К оглавлению…

(краткие сведении из теории)

Механические системы могут иметь различное число степеней свободы (числом задачи по теоретической механике степеней свободы называется число независимых перемещений точек системы). Независимые параметры задачи по теоретической механике однозначно определяющие положение механической системы в пространстве, называются обобщенными координатами механической системы (см. задачу Д7). Производные по времени от обобщенных координат задачи по теоретической механике называются обобщенными скоростями. В качестве обобщенной координаты обычно выбирается либо координата тела, движущегося поступательно (тогда обобщенной скоростью будет скорость задачи по теоретической механике этого тела), либо угол поворота вращающегося тела (тогда обобщенной скоростью будет угловая скорость со этого тела).

Таким образом, размерности обобщенных координат могут быть различными.

Кинетическая энергия задачи по теоретической механике системы может быть выражена через обобщенные скорости и обобщенные координаты:

задачи по теоретической механике

Бесконечно малые изменения задачи по теоретической механике обобщенных координат на (бесконечно малом) возможном перемещении системы называются вариациями обобщенных координат. Обычно системе сообщают возможные перемещения в сторону возрастания задачи по теоретической механике, так что задачи по теоретической механике.

Обобщенные силы. Пусть на систему действуют различные активные силы. Придадим системе такое возможное перемещение, при котором меняется только задачи по теоретической механике то есть задачи по теоретической механике a задачи по теоретической механике. Вычислим сумму элементарных работ всех активных сил задачи по теоретической механике на этом возможном перемещении. Далее выразим возможные перемещения задачи по теоретической механике точек приложения сил через задачи по теоретической механике. Тогда в задачи по теоретической механике появится общий множитель задачи по теоретической механике: вынесем его за скобки, обозначив оставшееся в скобках выражение через задачи по теоретической механике:

задачи по теоретической механике

Величина задачи по теоретической механике называется обобщенной силой, соответствующей обобщенной координате задачи по теоретической механике. Аналогично определяются обобщенные силы, соответствующие остальным обобщенным координатам. Размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты.

Уравнения Лагранжа справедливы для системы с геометрическими идеальными связями и имеют вид

задачи по теоретической механике

Число уравнений равно числу степеней свободы. Чтобы составить уравнение Лагранжа для механической системы с одной степенью свободы, следует а) найти кинетическую энергию задачи по теоретической механике системы и выразить ее через обобщенную скорость и обобщенную координату: задачи по теоретической механике; б) последовательно вычислить производные задачи по теоретической механике в) вычислить задачи по теоретической механике и, представив эту сумму в виде задачи по теоретической механике, найти обобщенную силу задачи по теоретической механике; г) подставить производные в левую часть уравнения (1), а обобщенную силу — в правую часть. В итоге получится дифференциальное уравнение движения системы (относительно функции задачи по теоретической механике). Аналогично составляется каждое из уравнений (1) для механической системы с произвольным числом степеней свободы.

Задача №Д8

К оглавлению…

Механическая система состоит из ступенчатого шкива 2 (радиусы ступеней задачи по теоретической механике и задачи по теоретической механике), груза 1 и сплошного катка 3, прикрепленных к концам нитей, намотанных на ступени шкива (рис. Д8). На шкив при его вращении действует момент сил сопротивления задачи по теоретической механике. Массу шкива считать равномерно распределенной по внешнему ободу; шкив катится по плоскости без скольжения. Массами нитей пренебречь.

задачи по теоретической механике

Дано:

задачи по теоретической механике

Определить: задачи по теоретической механике — ускорение груза 1.

Решение:

1. Система состоит из груза 1, шкива 2, катка 3 и нитей; система имеет одну степень свободы. Выберем в качестве обобщенной координаты координату задачи по теоретической механике груза 1, полагая, что груз движется вниз, и отсчитывая задачи по теоретической механике в сторону движения; задачи по теоретической механике; обобщенная скорость задачи по теоретической механике или задачи по теоретической механике. Уравнение Лагранжа, с учетом выбранной обобщенной координаты и соответствующей обобщенной скорости, имеет вид

задачи по теоретической механике

Определим кинетическую энергию задачи по теоретической механике системы, равную сумме кинетических энергий всех тел (вычисления здесь аналогичны вычислениям, проводившимся в задаче Д4):

задачи по теоретической механике

Так как груз 1 движется поступательно, шкив 2 вращается вокруг неподвижной оси, а каток 3 совершает плоскопараллельное движение, то

задачи по теоретической механике

Поскольку масса шкива считается распределенной по внешнему ободу, а каток — сплошной (его радиус обозначим задачи по теоретической механике), то

задачи по теоретической механике

Все скорости, входящие в задачи по теоретической механике и задачи по теоретической механике задачи по теоретической механике, выразим через обобщенную скорость задачи по теоретической механике. Из рис. Д8 следует, что задачи по теоретической механике то сеть

задачи по теоретической механике

а также

задачи по теоретической механике

откуда, с учетом (5), получаем

задачи по теоретической механике

Точка задачи по теоретической механике — мгновенный центр скоростей катка, следовательно, задачи по теоретической механике; подставляя (6), находим

задачи по теоретической механике

Подставляя (4)-(7) в (3), а затем значения задачи по теоретической механике в (2), получаем

задачи по теоретической механике

или

задачи по теоретической механике

Вычислим производные, входящие в (1), учитывая (8):

задачи по теоретической механике

так как задачи по теоретической механике не зависит от задачи по теоретической механике:

задачи по теоретической механике

Найдем обобщенную силу задачи по теоретической механике. Активные силы, действующие на систему: задачи по теоретической механике и момент сил сопротивления задачи по теоретической механике, направленный против вращения шкива. Сообщим системе возможное перемещение, при котором обобщенная координата задачи по теоретической механике получает положительное приращение задачи по теоретической механике, и покажем перемещения каждого из тел; для груза 1 это будет задачи по теоретической механике, для шкива 2 поворот на угол задачи по теоретической механике, для катка 3 — перемещение задачи по теоретической механике его центра. Эти перемещения указаны на рис. Д8. После этого вычислим сумму элементарных работ сил и момента на данных перемещениях; получим

задачи по теоретической механике

Сила задачи по теоретической механике работы не совершает, так как приложена к точке неподвижной оси.

Все входящие в (11) перемещения надо выразить через задачи по теоретической механике. Учитывая, что зависимости между элементарными перемещениями аналогичны зависимостям (5), (6) между соответствующими скоростями, получим

задачи по теоретической механике

Подставляя (12), (13) в (11) и вынося задачи по теоретической механике за скобки, найдем

задачи по теоретической механике

Коэффициент при задачи по теоретической механике в полученном выражении и будет обобщенной силой задачи по теоретической механике. Следовательно,

задачи по теоретической механике

или

задачи по теоретической механике

Подставляя найденные величины (9), (10) и (15) в уравнение (1), получим

задачи по теоретической механике

Отсюда находим искомое ускорение задачи по теоретической механике.

Ответ: задачи по теоретической механике

Примечание 1. Если в ответе получится задачи по теоретической механике (или задачи по теоретической механике), то это означает, что система движется не в ту сторону, куда было предположено. Тогда у момента задачи по теоретической механике, направленного против вращения шкива, изменится направление и, следовательно, как видно из равенства (14), изменится величина задачи по теоретической механике, для которой надо найти новое верное значение.

Примечание 2. Если требуется найти закон изменения обобщенной координаты (закон движения груза 1), то, учитывая, что задачи по теоретической механике, интегрируем это уравнение и находим задачи по теоретической механике.

Малые линейные колебания консервативной системы с одной степенью свободы (краткие сведения из теории)

К оглавлению…

Рассмотрим консервативную механическую систему с одной степенью свободы. Обобщенную координату обозначим через задачи по теоретической механике. Кинетическая и потенциальная энергии системы:

задачи по теоретической механике

Пусть заранее известно некоторое положение равновесия системы. Будем считать, что в этом положении задачи по теоретической механике (то сеть будем отсчитывать обобщенную координату от положения равновесия); тогда задачи по теоретической механике. Если задачи по теоретической механике, то рассматриваемое положение равновесия устойчиво и около него система может совершать малые линейные колебания. Дифференциальное (линейное) уравнение этих колебаний: задачи по теоретической механике, где задачи по теоретической механике — круговая частота, задачи по теоретической механике — коэффициент жесткости, задачи по теоретической механике — коэффициент инерции. Величина задачи по теоретической механике (всегда положительная) находится после приведения кинетической энергии системы к виду задачи по теоретической механике, при этом для выражения скоростей точек и угловых скоростей тел системы через задачи по теоретической механике следует использовать кинематические соотношения, отвечающие равновесной конфигурации. Величина задачи по теоретической механике находится после приведения потенциальной энергии системы к виду

задачи по теоретической механике

где const — постоянная (не зависящая от задачи по теоретической механике), через (…) обозначены слагаемые третьего и выше порядков малости по задачи по теоретической механике (если задачи по теоретической механике, то малые линейные колебания около рассматриваемого положения равновесия невозможны). Так как задачи по теоретической механике, то задачи по теоретической механике; из этого равенства можно найти какую-либо величину, характеризующую положение равновесия, например, статическую деформацию задачи по теоретической механике одной из пружин.

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Задача №Д9а

К оглавлению…

Находящаяся в равновесии механическая система состоит из колеса 1 радиуса задачи по теоретической механике, ступенчатого колеса 2 с радиусами задачи по теоретической механике и задачи по теоретической механике (колеса 1 и 2 считать однородными цилиндрами) и груза 3, подвешенного на нити, намотанной на колесо 2; колеса соединены невесомым стержнем задачи по теоретической механике (рис. Д9а). К колесу 1 прикреплена вертикальная пружина жесткостью задачи по теоретической механике.

задачи по теоретической механике

Дано:

задачи по теоретической механике

Определить: круговую частоту задачи по теоретической механике малых колебаний системы около положения равновесия и значение задачи по теоретической механике.

Решение:

1. Система имеет одну степень свободы. Выберем в качестве обобщенной координаты угол задачи по теоретической механике поворота колеса 1 от равновесного положения (при равновесии задачи по теоретической механике и задачи по теоретической механике); при движении системы, рассматривая малые колебания, считаем угол задачи по теоретической механике малым.

Определим кинетическую энергию задачи по теоретической механике системы, равную сумме кинетических энергий всех тел:

задачи по теоретической механике

Так как колеса 1 и 2 вращаются вокруг осей задачи по теоретической механике и задачи по теоретической механике, а груз 3 движется поступательно, то

задачи по теоретической механике

где

задачи по теоретической механике

Все скорости, входящие в задачи по теоретической механике и задачи по теоретической механике, выразим через обобщенную скорость задачи по теоретической механике. Прежде всего, задачи по теоретической механике. Далее, в равновесной конфигурации задачи по теоретической механике то есть задачи по теоретической механике, откуда задачи по теоретической механике и задачи по теоретической механике. Окончательно, учитывая, что задачи по теоретической механике, получим

задачи по теоретической механике

Подставляя величины (3), где задачи по теоретической механике и (4) в равенства (2), получим из равенства (1) задачи по теоретической механике, где

задачи по теоретической механике

Определим потенциальную энергию задачи по теоретической механике системы.

задачи по теоретической механике

При повороте колеса 1 на угол задачи по теоретической механике пружина получит дополнительную (к задачи по теоретической механике) деформацию задачи по теоретической механике. Следовательно, задачи по теоретической механике. За нулевой уровень задачи по теоретической механике выберем уровень, отвечающий равновесной конфигурации. Тогда задачи по теоретической механике. Чтобы выразить задачи по теоретической механике через задачи по теоретической механике, заметим, что зависимость между малыми перемещениями здесь будет такой же, как между соответствующими скоростями; из последнего из равенств (4) тогда находим задачи по теоретической механике. Подставляя все найденные величины в равенство (6), получим

задачи по теоретической механике

Из равенства (7) следует, что задачи по теоретической механике; учитывая (5), найдем

задачи по теоретической механике

Из равенства (7) также следует, что

задачи по теоретической механике

откуда

задачи по теоретической механике

Ответ: задачи по теоретической механике

Задача №Д9б

К оглавлению…

Находящаяся в равновесии механическая система состоит из однородного стержня 1, ступенчатого колеса 2 с радиусами задачи по теоретической механике и задачи по теоретической механике (колесо 2 считать однородным цилиндром), груза 3, подвешенного на нити, перекинутой через невесомый блок 4 и намотанной на колесо 2, и невесомого стержня 5, соединяющего тела 1 и 2 (рис. Д9б). В точке задачи по теоретической механике — шарнир; в точке задачи по теоретической механике прикреплена горизонтальная пружина жесткостью задачи по теоретической механике.

задачи по теоретической механике

Дано:

задачи по теоретической механике
задачи по теоретической механике

Определить: круговую частоту задачи по теоретической механике малых колебаний системы около положения равновесия и значение задачи по теоретической механике.

Решение:

1. Система имеет одну степень свободы. Выберем в качестве обобщенной координаты угол задачи по теоретической механике отклонения стержня от вертикали; при движении системы, рассматривая малые колебания, считаем угол задачи по теоретической механике малым.

Определим кинетическую энергию задачи по теоретической механике системы, равную сумме кинетических энергий всех тел:

задачи по теоретической механике

Так как стержень 1 и колесо 2 вращаются вокруг осей задачи по теоретической механике и задачи по теоретической механике соответственно, а груз 3 движется поступательно, то

задачи по теоретической механике

где

задачи по теоретической механике

Все скорости, входящие в задачи по теоретической механике и задачи по теоретической механике, выразим через обобщенную скорость задачи по теоретической механике. Прежде всего, задачи по теоретической механике. Далее, в равновесной конфигурации задачи по теоретической механике. Учитывая это, находим задачи по теоретической механике и задачи по теоретической механике. Таким образом, окончательно,

задачи по теоретической механике

Подставляя величины (3) и (4) в равенства (2), получим из (1) задачи по теоретической механике, где

задачи по теоретической механике

Определим потенциальную энергию задачи по теоретической механике системы.

задачи по теоретической механике

Величины задачи по теоретической механике следует выразить через задачи по теоретической механике. В произвольном положении системы (см. рис. Д9в) пружина получит дополнительную деформацию, равную задачи по теоретической механике, причем, ввиду малости задачи по теоретической механике, можно считать, что задачи по теоретической механике. Следовательно, задачи по теоретической механике. За нулевой уровень задачи по теоретической механике, выберем уровень шарнира задачи по теоретической механике. Тогда задачи по теоретической механике. Раскладывая задачи по теоретической механике в ряд и сохраняя величины до второго порядка малости включительно, получим

задачи по теоретической механике

(В случае, когда стержень задачи по теоретической механике горизонтален (поверните рис. Д9в на 90 ), будет задачи по теоретической механике, и нужная точность получится, если считать задачи по теоретической механике.) За нулевой уровень задачи по теоретической механике выберем уровень шарнира задачи по теоретической механике. Тогда задачи по теоретической механике. За нулевой уровень задачи по теоретической механике выберем уровень, отвечающий равновесной конфигурации. Тогда задачи по теоретической механике. Чтобы выразить задачи по теоретической механике через задачи по теоретической механике, заметим, что зависимость между малыми перемещениями здесь будет такой же, как между соответствующими скоростями; из последнего из равенств (4) тогда находим задачи по теоретической механике и задачи по теоретической механике. Подставляя все найденные величины в равенство (6), получим

задачи по теоретической механике

Из равенства (7) следует, что задачи по теоретической механике учитывая (5), найдем

задачи по теоретической механике

Из равенства (7) также следует, что

задачи по теоретической механике

откуда

задачи по теоретической механике

Ответ: задачи по теоретической механике