Готовые задачи по сопротивлению материалов

Оглавление:

Задачи по сопротивлению материалов

На этой странице я собрала задачи с решением по всем темам сопротивления материалов, надеюсь они вам помогут.

Если что-то непонятно, Вы всегда можете написать мне в воцап и я помогу!

Сопротивление материалов

Сопротивление материалов — это наука о прочности, жесткости и стабильности элементов в инженерных конструкциях.

Сопротивление материала относится к механике деформируемого твердого тела, которая, как и теоретическая механика, является частью общей механики.

К механике деформируемого твердого тела, кроме сопротивления материала, относятся теория упругости, теория пластичности и ползучести, механика разрушения, механика композиционных материалов и другие.

Основные положения о сопротивлении материалов основаны на законах и теоремах теоретической механики и, прежде всего, на законах статики. Однако в отличие от теоретической механики, считающей тела абсолютно твердыми, сопротивление материала учитывает изменение формы и размеров тела под воздействием внешних сил, т.е. деформацию.

Задача сопротивления материалов заключается в разработке методов расчета конструкций и их элементов на прочность, жесткость и устойчивость при одновременном соблюдении требований надежности и экономичности.

Прочность — это способность тела противостоять внешним нагрузкам без разрушения.

Жесткость — это способность тела сопротивляться изменениям в размерах и форме при воздействии внешних нагрузок.

Устойчивость — способность кузова сохранять свою первоначальную форму под нагрузкой.

Растяжение и сжатие

Задача №1.2

Бетонная колонна квадратного поперечного сечения нагружена расчетной системой сил: сосредоточенных F и равномерно распределенных q (рис. 1.4)

задачи по сопротивлению материалов

Определить размеры поперечных сечений, постоянных для каждого расчетного участка колонны, и перемещение ее свободного сечения.

Для материала колонны: расчетное сопротивление на сжатие задачи по сопротивлению материалов = 4 МПа, модуль продольной упругости Е = 15 ГПа.

Решение:

Поскольку нагрузка действует по продольной оси Z колонны, последняя подвергается деформации сжатия.

На рассматриваемой колонне исходя из характера нагрузки выделяются три расчетных участка, в пределах которых намечаются сечения I-III.

Длинам участков l придается индекс номера участка.

Колонна в своем основании имеет опору, в которой возникает только одна реакция задачи по сопротивлению материалов. Уравнение равновесия можно составить также одно: задачи по сопротивлению материалов, из которого определится реакция задачи по сопротивлению материалов:

задачи по сопротивлению материалов

откуда задачи по сопротивлению материалов = 984 кН.

Рассматриваемая система является статически определимой.

Для определения продольной силы на участках колонны воспользуемся вторым приемом, без показа «отсеченных» частей, используя правило задачи по сопротивлению материалов

Участок I : задачи по сопротивлению материалов

задачи по сопротивлению материалов

при

задачи по сопротивлению материалов

задачи по сопротивлению материалов

Участок II: задачи по сопротивлению материалов

задачи по сопротивлению материалов

Участок III: задачи по сопротивлению материалов

задачи по сопротивлению материалов

при

задачи по сопротивлению материалов

Контроль правильности вычислений N таков: при z = 3,7 м по модулю задачи по сопротивлению материалов

Для вычисления N сечения можно было назначать со стороны опоры.

По полученным значениям N строится эпюра продольных сил -эп. N (рис. 1.4, б). Отрицательные значения N обычно откладываются влево от оси эпюры.

На участке колонны, где распределенная нагрузка q = 0, N = const, а на участке, где задачи по сопротивлению материалов (прямая наклонная).

В сечениях, где приложена сосредоточенная сила F, на эпюре N имеется «скачок» на величину этой силы (480 -160 = 320 кН).

Размеры поперечных сечений на каждом участке колонны определим из условия прочности по нормальным напряжениям (1.2):

задачи по сопротивлению материалов

На участке I

задачи по сопротивлению материалов

сторона сечения задачи по сопротивлению материалов

На участке II

задачи по сопротивлению материалов

сторона сечения задачи по сопротивлению материалов. Принимаем задачи по сопротивлению материалов

На участке III

задачи по сопротивлению материалов

сторона сечения задачи по сопротивлению материаловПринимаем задачи по сопротивлению материалов

На рис. 1.4, в показана схема спроектированной колонны. Для построения эпюры напряжений необходимо вычислить значения ст в характерных сечениях колонны. В сечении А

задачи по сопротивлению материалов

В сечении С

задачи по сопротивлению материалов

В сечении D

задачи по сопротивлению материалов

В сечении В

задачи по сопротивлению материалов

По полученным значениям задачи по сопротивлению материалов строится эпюра напряжений (эпюра задачи по сопротивлению материалов), показанная на рис. 1.4, г.

Значения абсолютных продольных деформаций на участках колонны вычислим, используя формулы (1.3) и (1.4).

Следует обратить внимание, что на первом участке колонны продольная сила N складывается из сосредоточенной задачи по сопротивлению материалови равномерно распределенной q. Поэтому на первом участке

задачи по сопротивлению материалов

Распределенная нагрузка задачи по сопротивлению материаловдля второго участка колонны действует как сосредоточенная. Поэтому на втором участке

задачи по сопротивлению материалов

На третьем участке

задачи по сопротивлению материалов

Для определения деформации участков колонны можно использовать эпюру напряжений. Особенно это удобно на участках с распределенной нагрузкой. Деформация

задачи по сопротивлению материалов

где задачи по сопротивлению материалов — площадь эпюры напряжений.

Так, для участка l (где эпюра напряжений является трапецией)

задачи по сопротивлению материалов

что соответствует первому вычислению.

Перемещения граничных сечений колонны определяются исходя из значений деформаций задачи по сопротивлению материалов его участков.

Для проведения расчета на колонне выбирается сечение, перемещение которого известно, — это опора, где перемещение равно нулю задачи по сопротивлению материалов

Перемещения остальных граничных сечений вычисляются последовательным добавлением к начальному перемещению деформаций последующих участков колонны:

задачи по сопротивлению материалов

По вычисленным значениям задачи по сопротивлению материалов строится эпюра перемещений (эпюра задачи по сопротивлению материалов), приведенная на рис. 1.4, д.

На участке колонны, где задачи по сопротивлению материалов перемещение наращивается по закону параболы.

Из эпюры перемещений следует, что перемещение свободного сечения составляет задачи по сопротивлению материалов= 0,810 мм. Это же число определяет и полную деформацию колонны.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет сопротивление материалов

Статически неопределимые системы

Задача №1.6

Абсолютно жесткий элемент Р закреплен в шарнирно-неподвижной опоре и поддерживается двумя стальными стержнями, выполненными из сдвоенных равнополочных уголков (рис. 1.8, а).

задачи по сопротивлению материалов

Определить наибольшую допустимую нагрузку на систему. Стержень 1: длина задачи по сопротивлению материаловуголок 50 х 50 х 5 мм; стержень 2: длина задачи по сопротивлению материалов,уголок 70 х 70 х 6 мм. Для стали R = 210 МПа, Е = 200 ГПа.

Решение:

Из таблицы сортамента прокатных уголков выписываем значения площадей сечения стержней:

задачи по сопротивлению материалов

Система имеет четыре опорные реакции. Для нее можно составить три уравнения равновесия. Следовательно, она является один раз статически неопределимой (4 — 3 = 1).

Поскольку стержни 1 и 2 соединяются с элементом Р при помощи шарниров, в них образуются только продольные силы N.

Исходя из характера закрепления элемента Р, направления нагрузки и расположения стержней, можно предположить, что элемент Р повернется вокруг шарнира А на некоторый угол. При этом стержень 1 удлинится, а стрежень 2 укоротится. Соответственно этому показываются направления продольных сил в стержнях: задачи по сопротивлению материаловот сечения, задачи по сопротивлению материалов— к сечению.

Рациональным уравнением равновесия является

задачи по сопротивлению материалов

или

задачи по сопротивлению материалов

Чтобы построить диаграмму перемещений, стержни 1 и 2 следует мысленно отсоединить от элемента Р и по направлению этих стержней отложить отрезки, изображающие их деформации: задачи по сопротивлению материалов — удлинение, задачи по сопротивлению материалов — укорочение. Получим точки задачи по сопротивлению материалови задачи по сопротивлению материалов.

Из точки задачи по сопротивлению материалов проведем перпендикуляр к продольной оси стержня 1. Поскольку элементы системы должны перемещаться совместно, конец деформированного стержня 1 нужно свести с узлом К элемента Р. Для этого из точки К проводим перпендикуляр к продольной оси элемента Р. Пересечение двух названных перпендикуляров даст точку задачи по сопротивлению материалов — новое положение узла К.

Так как элемент Р абсолютно жесткий, его ось, повернувшись вокруг шарнира А, пройдет через точку задачи по сопротивлению материалов и на оси стержня 2 отсечет отрезок задачи по сопротивлению материалов (рис. 1.8, б).

Чтобы составить дополнительное уравнение, нужно из подобия треугольников задачи по сопротивлению материалов и задачи по сопротивлению материалов связать между собой деформации стержней задачи по сопротивлению материалов и задачи по сопротивлению материалов:

задачи по сопротивлению материалов

Выразив деформации через продольные силы, получим

задачи по сопротивлению материалов

Из уравнений (1.9) и (1.10) получим

задачи по сопротивлению материалов

Допустимую нагрузку q найдем из условия прочности стержней. Из условия прочности стержня 1

задачи по сопротивлению материалов

а нагрузка

задачи по сопротивлению материалов

Из условия прочности стержня 2

задачи по сопротивлению материалов

За максимально допустимую нагрузку на систему принимаем меньшее значение q: задачи по сопротивлению материалов = 168 кН/м. При этой нагрузке продольные силы в стержнях будут

задачи по сопротивлению материалов

а напряжения задачи по сопротивлению материалов= 36,0 МПа, задачи по сопротивлению материалов = 210 МПа.

Как видно из расчета, стержень 1 недонапряжен, что является особенностью статически неопределимых систем, в которых достичь равной прочности всех стержней довольно сложно.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по сопротивлению материалов

Сдвиг

Задача №2.2

Нижний пояс фермы, выполненный из неравнополочных уголков, соединяется при помощи накладки и заклепок диаметром d = 14 мм, рис. 2.4.

задачи по сопротивлению материалов

Расчетная продольная сила (выявленная в процессе расчета фермы) N = 500 кН. Подобрать номер уголков и размеры поперечного сечения накладки, а также определить необходимое количество заклепок, если R = 210 МПа,задачи по сопротивлению материаловзадачи по сопротивлению материалов Высоту накладки принять на 15 мм больше высоты полки уголка.

Решение:

Соединяемые элементы (уголки) пояса фермы и соединительная накладка подвергаются растяжению и смятию, а заклепки — срезу.

Площадь поперечного сечения нижнего пояса фермы определим из условия прочности по нормальным напряжениям (2.3):

задачи по сопротивлению материалов


Для одного уголка задачи по сопротивлению материалов

По сортаменту для неравнополочных уголков принимаем два уголка 125 х 80 х 7 мм с площадью

задачи по сопротивлению материалов

Толщину накладки задачи по сопротивлению материалов можно определить из формулы (2.3) или воспользоваться значением задачи по сопротивлению материалов для уголков: задачи по сопротивлению материалов . По условию задачи

задачи по сопротивлению материалов

Тогда

задачи по сопротивлению материалов

откуда задачи по сопротивлению материалов= 2 см.

Определим количество заклепок из условия прочности на срез (2.1):

задачи по сопротивлению материалов


В рассматриваемом примере заклепки двухсрезные задачи по сопротивлению материалов

Определим количество заклепок из условия прочности на смятие (2.2):

задачи по сопротивлению материалов

Заметим, что в одном направлении сминаются уголки, для которых

задачи по сопротивлению материалов

а в другом — накладка, для которой

задачи по сопротивлению материалов

В расчет идет меньшее значение задачи по сопротивлению материалов (как более слабое).

Из двух вычисленных значений п выбираем большее. Округлив число n до большего целого, получим п = 9.

Таким образом, на каждой половине накладки необходимо разместить по девять заклепок.

Уточним несущую способность N рассмотренного заклепочного соединения. Из условия прочности нижнего пояса фермы по формуле (2.3)

задачи по сопротивлению материалов

Из условия прочности накладки по (2.3)

задачи по сопротивлению материалов

Из условия прочности заклепок на срез по (2.1)

задачи по сопротивлению материалов

Из условия прочности заклепок на смятие по формуле (2.2)

задачи по сопротивлению материалов

Анализ полученных значений N показывает, что безопасная продольная сила, которую может воспринять заклепочное соединение, N = 526 кН, т. е. пояс фермы имеет повышенный на 5,2 % запас прочности.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения задач по сопротивлению материалов

Расчет сварных соединений

Задача №2.4

Стык двух неравнополочных уголков, перекрытый накладкой, растягивается силой F = 245 кН (рис. 2.7).

задачи по сопротивлению материалов

Из условия равнопрочности соединения определить номер уголков, размеры поперечного сечения накладки и длину фланговых швов для соединения уголков с накладкой, если R = 210 МПа, задачи по сопротивлению материалов = 180 МПа. Сварка ручная.

Решение:

Номер неравнополочных уголков определим из условия прочности по нормальным напряжениям:

задачи по сопротивлению материалов

откуда

задачи по сопротивлению материалов

Для одного уголка

задачи по сопротивлению материалов

Из таблицы сортамента принимаем два уголка 63 х 40 х 6 мм с площадью сечения

задачи по сопротивлению материалов

Для принятого уголка В = 63 мм, задачи по сопротивлению материалов = 2,12 см. Толщину накладки определим из условия ее равнопрочности с уголками, приняв во внимание, что ее сторона

задачи по сопротивлению материалов

откуда

задачи по сопротивлению материалов

Принимаем задачи по сопротивлению материалов

Приняв толщину шва задачи по сопротивлению материалов = 6 мм (равную толщине уголка) и учитывая, что Q = F, длину сварных швов определим из условия прочности их на срез (2.4):

задачи по сопротивлению материалов

Вычисленная длина швов должна быть расположена по одну сторону от стыка.

Так как в соединении два уголка, на один уголок длина шва будет

задачи по сопротивлению материалов

причем

задачи по сопротивлению материалов

Поскольку линия действия силы F, проходящая по продольной оси уголка, находится на разных расстояниях от верхнего 1 и нижнего 2 швов, длина их должна быть обратно пропорциональна расстоянию от продольной оси до швов, т. е.

задачи по сопротивлению материалов


Решив совместно уравнения (2.5) и (2.6), получим задачи по сопротивлению материалов задачи по сопротивлению материалов

Проектную длину швов с учетом неполного провара их концов примемзадачи по сопротивлению материалов

Возможно эта страница вам будет полезна:

Сопромат для чайников

Расчет врубок

Задача №2.6

Стык двух сосновых брусьев сечением h = 18 см и b = 6 см осуществлен при помощи зуба (рис. 2.10).

задачи по сопротивлению материалов

Определить необходимые размеры зуба (длину l и высоту а). Расчетные сопротивления брусьев: на растяжение R = 10 МПа, на срез задачи по сопротивлению материалова, на смятие задачи по сопротивлению материалов

Решение:

Зуб рассчитывается на скалывание и смятие вдоль волокон (зоны деформации показаны на рис. 2.10). Высота ослабленного сечения бруса

задачи по сопротивлению материалов

и высота зуба а связаны между собой. Выразив F из условия прочности на растяжение и смятие, найдем значение высоты зуба а, а следовательно, и значение высоты ослабленного сечения бруса задачи по сопротивлению материалов.

Из условия прочности на растяжение

задачи по сопротивлению материалов

Из условия прочности на смятие

задачи по сопротивлению материалов

Из уравнений (2.10) и (2.11) а = 4,74 см, принимаем а = 5 см. Высота ослабленного сечения бруса

задачи по сопротивлению материалов

Наибольшая допустимая нагрузка на соединение брусьев

задачи по сопротивлению материалов

Длину зуба I определим из условия прочности на скалывание (2.7):

задачи по сопротивлению материалов


принимаем l= 28 см.

Геометрические характеристики плоских сечений

Задача №3.2

Для заданного сечения определить положение центра тяжести и значения главных центральных моментов инерции (рис. 3.4).

задачи по сопротивлению материалов

Данные к примеру: h = = 15 см, b = 18 см, d= 8 см.

Решение:

Данное сложное сечение можно представить как сочетание прямоугольника (1), двух треугольников (3 и 4) и выемки в виде полукруга (2).

На сечении отмечаются центры тяжести простых фигур задачи по сопротивлению материалов и проводятся их центральные оси задачи по сопротивлению материалов и задачи по сопротивлению материалов

Поскольку ось задачи по сопротивлению материалов сечения является осью симметрии — центр тяжести его лежит на этой оси. Для определения положения центра тяжести по оси задачи по сопротивлению материалов выбирается вспомогательная ось задачи по сопротивлению материалов совпадающая с нижней стороной сечения.

Вычисляем расстояние от центральных осей простых фигур до вспомогательной оси:

задачи по сопротивлению материалов

Площадь рассматриваемого сечения

задачи по сопротивлению материалов

По формуле (3.2) статический момент площади сечения относительно вспомогательной оси

задачи по сопротивлению материалов

Ордината центра тяжести сечения (по формуле (3.1))

задачи по сопротивлению материалов

На сечении отмечается центр тяжести (точка О) и проводится центральная ось задачи по сопротивлению материалов. Напомним, что другой центральной осью является ось задачи по сопротивлению материалов.

Вычисляем расстояния m, п между центральными осями простых фигур и всего сечения:

задачи по сопротивлению материалов

Предварительно для каждой простой фигуры вычисляем значения осевых моментов инерции относительно собственных центральных осей задачи по сопротивлению материалов

Для первой фигуры (прямоугольник)

задачи по сопротивлению материалов

Для второй фигуры (полукруг)

задачи по сопротивлению материалов

Для третьей и четвертой фигур (треугольники)

задачи по сопротивлению материалов

Определяем значения осевых моментов инерции заданного сечения относительно центральных осей задачи по сопротивлению материалов (по формуле (3.3)):

задачи по сопротивлению материалов

Рассматриваемое сечение имеет ось симметрии — ось задачи по сопротивлению материалов— Значит, эта ось является одной из главных осей. Другая главная ось — задачи по сопротивлению материалов -проходит через центр тяжести сечения и перпендикулярна первой. Исходя из значений задачи по сопротивлению материалов и задачи по сопротивлению материаловследует, что азадачи по сопротивлению материалов а задачи по сопротивлению материалов

Возможно эта страница вам будет полезна:

Онлайн помощь по сопромату

Кручение

Задача №4.2

Проверить прочность и жесткость стального стержня круглого поперечного сечения, защемленного левым концом (рис. 4.8).

задачи по сопротивлению материалов

Диаметры участков: задачи по сопротивлению материалов= 5,2 см, задачи по сопротивлению материалов= 4,5 см.

Для материала стержня задачи по сопротивлению материалов

Решение:

Действующие на стержень скручивающие моменты вызывают в опоре реактивный момент задачи по сопротивлению материалов для определения которого имеется одно уравнение равновесия YMz = 0 (система статически определима). Искомый момент задачи по сопротивлению материалов направляется произвольно.

задачи по сопротивлению материалов

откуда задачи по сопротивлению материалов

Полученный знак «минус» при задачи по сопротивлению материалов означает, что действительное направление момента противоположное. Стержень имеет два расчетных участка.

Крутящие моменты на участках стержня (рассматриваются части стержня слева от сечения)

задачи по сопротивлению материалов

Касательные напряжения на участках стержня (по формуле (4.2))

задачи по сопротивлению материалов

Относительные деформации на участках стержня (по формуле (4.4))

задачи по сопротивлению материалов

Прочность и жесткость стержня при данных диаметрах обеспечены

Возможно эта страница вам будет полезна:

Сборник задач по сопротивлению материалов

Прямой изгиб

Задача №5.2

Для двухопорной балки построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 5.7).

задачи по сопротивлению материалов

Решение:


Координатная ось Z совпадает с продольной осью балки, ось Y ей перпендикулярна.

Действующая на балку нагрузка передается на опоры, где возникают опорные реакции задачи по сопротивлению материалов и задачи по сопротивлению материалов, которые определяются из уравнений равновесия.

Составим два уравнения моментов относительно опорных сечений, чтобы реакции можно было найти независимо друг от друга:

задачи по сопротивлению материалов

откуда задачи по сопротивлению материалов= 2,556 кН;

задачи по сопротивлению материалов

откуда задачи по сопротивлению материалов= 5,444 кН.

Знаки «плюс» у реакций задачи по сопротивлению материалов изадачи по сопротивлению материалов указывают на то, что их действительное направление совпадает с предполагаемым. Проверим правильность вычисления реакций:

задачи по сопротивлению материалов — реакции определены верно.

На балке выделяются три расчетных участка. С целью сокращения объема вычислений для составления выражений для Q и М будем рассматривать часть сечений с левого, а часть — с правого конца балки (рис. 5.7, а).

Участок 1 — ход слева: задачи по сопротивлению материалов

задачи по сопротивлению материалов

задачи по сопротивлению материалов — линейная зависимость.

  • При задачи по сопротивлению материалов
  • при задачи по сопротивлению материалов
задачи по сопротивлению материалов

Участок 2 — ход слева: задачи по сопротивлению материалов

задачи по сопротивлению материалов

задачи по сопротивлению материалов— линейная зависимость.

При задачи по сопротивлению материалов

задачи по сопротивлению материалов

при задачи по сопротивлению материалов

задачи по сопротивлению материалов

Участок 3 — ход справа: задачи по сопротивлению материалов

задачи по сопротивлению материалов

задачи по сопротивлению материалов— линейная зависимость.

  • При задачи по сопротивлению материалов
  • при задачи по сопротивлению материалов
задачи по сопротивлению материалов

По полученным значениям Q и М строятся соответствующие эпюры (рис. 5.7, б, в).

Анализ эпюры изгибающих моментов показывает, что в том сечении балки, где приложен сосредоточенный момент М, на эпюре образуется скачок на величину этого момента. Скачок направлен вверх, так как М направлен против хода часовой стрелки.

На участке АС балки поперечная сила Q > 0 — изгибающий момент возрастает, а на участке CD, где Q < 0 — изгибающий момент убывает.

В концевых шарнирных опорах балки (А, D) изгибающие моменты равны нулю.

Характер деформации волокон балки на ее участках предлагается установить самостоятельно.

Из построенных эпюр следует, что задачи по сопротивлению материалов

Возможно эта страница вам будет полезна:

Учебники по сопротивлению материалов

Напряжения при изгибе. Условия прочности

Задача №5.6

Определить значения нормальных и касательных напряжений в точке К деревянной балки (рис. 5.14). Проверить прочность балки по этим напряжениям и построить их эпюры.

Расчетные сопротивления материала балки R = 15 МПа, задачи по сопротивлению материалов= 2 МПа.

Решение:

Определяем опорные реакции:

задачи по сопротивлению материалов
задачи по сопротивлению материалов

Вычислим значения Q и М для характерных сечений балки и построим их эпюры (рис. 5 Л 4, б и в).

Сечение А :

задачи по сопротивлению материалов

Сечение С:

задачи по сопротивлению материалов

Сечение В:

задачи по сопротивлению материалов

Определим напряжения в точке К. В сечении балки, где расположена эта точка, Q = 6,8 кН,

задачи по сопротивлению материалов

Для определения нормального напряжения воспользуемся формулой (5.5). По модулю

задачи по сопротивлению материалов

Для прямоугольного сечения балки момент инерции относительно нейтральной оси

задачи по сопротивлению материалов

Для установления знака вычисленного напряжения нужно обратиться к эпюре задачи по сопротивлению материалов, В сечении, где расположена точка К, ординаты эпюры лежат снизу от оси эпюры. Это значит, что волокна балки, лежащие ниже продольной оси, растянуты, а выше — сжаты. Так как точка К расположена в сжатой зоне сечения балки, напряжению в ней присваивается знак «минус»задачи по сопротивлению материалов

Значение касательного напряжения в заданной точке вычислим по формуле (5.2):

задачи по сопротивлению материалов

Статический момент части площади сечения, расположенной выше точка К:

задачи по сопротивлению материалов

Касательному напряжению присваивается знак поперечной силы задачи по сопротивлению материалов

Проверка прочности балки производится по максимальным значениям задачи по сопротивлению материалов и задачи по сопротивлению материалов. В данном примерезадачи по сопротивлению материалов

Заметим, что максимальные значения внутренних сил могут быть в одном или в разных сечениях.

Проверку прочности по нормальным напряжениям проведем по формуле (5.3):

задачи по сопротивлению материалов

Эти напряжения появляются в крайних точках сечения. На нейтральной оси, где у = 0, нормальные напряжения равны нулю: задачи по сопротивлению материалов

Проверку прочности по касательным напряжениям проведем по формуле (5.5):

задачи по сопротивлению материалов

Статический момент на уровне нейтральной оси

задачи по сопротивлению материалов

Максимальные касательные напряжения появляются в точках на нейтральной оси сечения балки. В крайних точках сечения, где задачи по сопротивлению материалов, касательные напряжения равны нулю: задачи по сопротивлению материалов.

Таким образом, условия прочности балки по нормальным и касательным напряжениям выполняются.

Закономерность распределения нормальных и касательных напряжений по высоте сечения, т. е. их эпюры, показана на рис. 5.14, г.

Задача №5.10

Провести полную проверку прочности балки, состоящей из двух швеллеров № 22, если R = 210 МПа,задачи по сопротивлению материалов = 130 МПа (рис. 5.18).

задачи по сопротивлению материалов

Решение:

  • Из таблицы сортамента для швеллера № 22:
  • h = 220 мм, b = 82 мм, d = 5,4 мм, t = 9,5 мм,
  • задачи по сопротивлению материалов

Вследствие симметрии нагрузки опорные реакции задачи по сопротивлению материалов Значения Q и М в характерных сечениях:

в сечении А

задачи по сопротивлению материалов

в сечении С

задачи по сопротивлению материалов

в сечении Д

задачи по сопротивлению материалов


В других сечениях Q и М определить самостоятельно. Эпюры Q и М показаны на рис. 5.18, б, в.

Проверка прочности балки по нормальным напряжениям производится для сечения Д, где задачи по сопротивлению материалов максимален:

задачи по сопротивлению материалов


Проверка прочности по касательным напряжениям производится для сечения А, где Q максимально:

задачи по сопротивлению материалов

Условия прочности балки задачи по сопротивлению материалов и задачи по сопротивлению материалов выполняются.

Полная проверка прочности производится в сечении балки, где Q и М одновременно большие. В рассматриваемом примере опасное сечение С, где Q= 108 кН, М = 68,4 кН-м.

Опасной точкой, где проводится полная проверка прочности, для сечений типа двутавр, швеллер является точка сопряжения полки со стенкой (точка К). В этой точке — самое неблагоприятное сочетание напряжений задачи по сопротивлению материалов и задачи по сопротивлению материалов.

При вычислении статического момента на уровне точки К полку швеллера можно рассматривать как прямоугольник шириной b и высотой t (без учета скруглений и скоса):

задачи по сопротивлению материалов


Определяем нормальные и касательные напряжения в опасной точке К:

задачи по сопротивлению материалов

По формуле (5.6) главные напряжения

задачи по сопротивлению материалов

Следовательно, задачи по сопротивлению материалов

В точке К материал испытывает плоское напряженное состояние, поэтому проверка прочности производится по гипотезам прочности.

Для стальной балки (пластичный материал) применима четвертая (энергетическая) теория прочности (формула (5.6)):

задачи по сопротивлению материалов

Условие прочности по четвертой теории выполняется.

Деформации при изгибе. Проверка на жесткость

Задача №5.12

Для двухопорной деревянной балки прямоугольного поперечного сечения (h = 18 см, b = 14 см) построить эпюру прогибов и определить наибольший относительный прогиб, если модуль продольной упругости материала Е=10 ГПа (рис. 5.23).

задачи по сопротивлению материалов

Решение:

Начало координатных осей помещаем в сечении А — шарнирной опоре балки.

Значения опорных реакций приведены на рис. 5.23, а, а эпюры Q и задачи по сопротивлению материалов — на рис. 5.23, б и в.

Момент инерции сечения балки относительно нейтральной оси

задачи по сопротивлению материалов

Балка имеет два расчетных участка. Составим уравнения оси изогнутой балки:

задачи по сопротивлению материалов

Вертикальными линиями отмечены границы уравнений для участков балки и область их применения.

В уравнения для первого участка вошли только те силовые факторы, которые лежат левее конца этого участка, т. е. только задачи по сопротивлению материалов. На втором участке добавилась нагрузка q.

Для определения начальных параметров в составленных уравнениях нужно рассмотреть условия перемещений в начале координат, т. е. на шарнирной опоре А. В шарнирной опоре вертикальное перемещение отсутствует, т. е. задачи по сопротивлению материалов, следовательно, задачи по сопротивлению материалов. Угловое же перемещение на шарнирной опоре возможно, т. е. задачи по сопротивлению материалов, значит, и задачи по сопротивлению материалов.

Для определения параметра задачи по сопротивлению материалов нужно составить уравнение прогибов для сечения В, где на шарнирной опоре вертикальное перемещение отсутствует, т. е. задачи по сопротивлению материалов

При z = 3 м (сечение В)

задачи по сопротивлению материалов

откуда задачи по сопротивлению материалов.

После определения всех начальных параметров уравнения оси изогнутой балки примут вид

задачи по сопромату

Известно, что максимальный прогиб балки будет в том сечении, угол поворота которого равен нулю. Отыщем это сечение. Уравнение углов поворота сечений: для первого участка

задачи по сопромату

откуда задачи по сопромату (сечение за пределами участка);

второго участка

задачи по сопромату

откуда задачи по сопромату

Для построения эпюры прогибов вычислим их значения для нескольких характерных сечений балки, а также вычислим углы поворота сечений А и В.

При z = 0 (сечение А, 1-й участок)

задачи по сопромату

При z = 1 м (сечение С, 1-й участок)

задачи по сопромату

При z = 1,5 м (сечение Д, 2-й участок, середина пролета)

задачи по сопромату

При z = 1,555 м (сечение, где задачи по сопромату)

задачи по сопромату

При z = 1,667 м (сечение И, где задачи по сопромату)

задачи по сопромату

При z = 3 м (сечение В, 2-й участок)

задачи по сопромату

По полученным значениям задачи по сопромату построена эпюра прогибов (рис. 5.23, г).

Выпуклость изогнутой оси балки (эпюра задачи по сопромату ) направлена в сторону ординат эпюры задачи по сопромату.

Анализ полученных значений прогибов показывает, что абсолютный прогиб в середине пролета балки (задачи по сопромату) и максимальный (задачи по сопромату) практически совпадают.

Относительный прогиб балки

задачи по сопромату

Сечение с наибольшим прогибом задачи по сопромату не обязательно должно совпадать с сечением, где изгибающий момент наибольший (задачи по сопромату). Это возможно лишь в частных случаях.

Метод Мора и Верещагина

Задача №5.16

Определить прогиб посередине пролета двухопорной балки (в долях от задачи по сопромату), рис. 5.29.

задачи по сопромату

Грузовая эпюра изгибающих моментов задачи по сопромату(от заданной нагрузки) показана на рис. 5.29, а.

Посередине пролета, где требуется определить прогиб, к балке вспомогательного состояния прикладывается единичная сосредоточенная сила F = 1 (рис. 5.29, б), определяются опорные реакции и строится эпюра задачи по сопромату.

В данном примере грузовая эпюра задачи по сопромату балки пересекает ось,а единичная эпюра имеет два расчетных участка, поэтому площадь со берется с единичной эпюры, а ордината у — с грузовой.

Ординаты у берутся из грузовой эпюры задачи по сопромату, как моменты в соответствующем сечении:

задачи по сопромату

Прогиб посередине пролета балки

задачи по сопромату

Найденный прогиб направлен вниз, по направлению единичной силы F = 1.

Вид эпюры прогибов показан на рис. 5.29, в.

Статически неопределимые балки

Задача №6.2

Для двухпролетной балки (рис. 6.4, а) построить эпюры Q и М, подобрать номер прокатного двутавра, определить прогиб в сечении D, изобразить ось изогнутой балки. Для стали R = 210 МПа, Е = 200 ГПа.

задачи по сопромату

Решение:


Неизвестных опорных реакций четыре: задачи по сопромату Незави-симых уравнений равновесия три:

задачи по сопромату

Следовательно, балка один раз статически неопределима. Уравнения равновесия

задачи по сопромату

Независимое уравнение задачи по сопромату = 0 можно составить только одно относительно любой точки балки. В примере рационально использовать точку С:

задачи по сопромату

или

задачи по сопромату

Раскрытие статической неопределимости проведем двумя методами: с использованием метода начальных параметров и метода сил.

1.Расчет по методу начальных параметров.

Составим дополнительное уравнение, исходя из деформативных условий на опорах балки: задачи по сопромату =0, задачи по сопромату = 0.

Напомним, что начало координатных осей помещается в крайнем левом сечении балки — сечении А.

Составим выражения для названных прогибов.

При z = 6 м

задачи по сопромату

При z = 11 м

задачи по сопромату

Начальный параметр задачи по сопромату, так как прогиб на опоре А задачи по сопромату

Решая совместно уравнения (6.7) и (6.8), после исключения задачи по сопромату, получим

задачи по сопромату

Из совместного решения уравнений (6.6) и (6.9) найдем, что задачи по сопромату

Осталась неизвестной реакция задачи по сопромату. Для ее определения нужно составить уравнение задачи по сопромату относительно точки А или В:

задачи по сопромату

откуда задачи по сопромату

Контроль правильности определения реакций выполним по уравнению (6.5):

задачи по сопромату— раскрытие статической неопределимости выполнено верно.

Дальнейший расчет балки обычный. Ординаты эпюры М в характерных сечениях:

  • сечение А: М = 0;
  • сечение К:
задачи по сопромату
  • сечение В:
задачи по сопромату
  • сечение С:
задачи по сопромату
  • сечение D.
задачи по сопромату

При z = 2,3 м (ход справа)

задачи по сопромату
  • Эпюры Q и М показаны на рис. 6.4, б, в.
  • Из эпюры М следует, что задачи по сопромату

Требуемый момент сопротивления для подбора номера двутавра

задачи по сопромату

Принимаем двутавр задачи по сопромату

Для определения прогибов в сечениях балки составим соответствующее выражение (по методу начальных параметров), учтя, что задачи по сопромату:

задачи по сопромату

Начальный параметр задачи по сопромату определим из условия, что прогиб на опоре В (z = 6 м) равен нулю (задачи по сопромату):

задачи по сопромату

откуда задачи по сопромату

Прогиб в заданном сечении D (при z = 8,5 м)

задачи по сопромату

Ось изогнутой балки изображена на рис. 6.4, г. Напомним, что очертание эпюры прогибов необходимо согласовывать с эпюрой М: ординаты М должны находиться на выпуклой стороне балки. В сечениях, где М = 0, на эпюре прогибов находятся точки перегиба.

2.Расчет по методу сил.

Необходимую для расчета основную систему получим путем постановки шарнира на промежуточной опоре В (рис. 6.5,а)

задачи по сопромату

Образуются две статически определимые балки, связанные между собой шарниром В (на рис. 6.5, а для удобства пояснения балки раздвинуты).

Обозначим неизвестный опорный момент через задачи по сопромату и для его определения запишем каноническое уравнение метода сил (6.1):

задачи по сопромату

Параметры уравнения определим по способу Верещагина. Сначала загружаем основную систему заданной нагрузкой, определяем опорные реакции и обычным способом строим эпюры изгибающих моментов задачи по сопромату (грузовые эпюры) для каждого пролета (рис. 6.5, б).

Затем нагружаем основную систему единичным опорным моментом задачи по сопромату , определяем опорные реакции и строим эпюру изгибающих моментов задачи по сопромату (единичную эпюру) также для каждого пролета (рис. 6.5, в).

Грузовая эпюра задачи по сопромату расчленяется на простые фигуры задачи по сопромату и отмечаются их центры тяжести. На единичных эпюрах задачи по сопромату под центром тяжести простых фигур вычисляются значения ординат задачи по сопромату и отмечаются собственные центры тяжести задачи по сопромату.

Вычислим сначала значения всех площадей задачи по сопромату (треугольники и парабола) и ординат y.

Площади:

задачи по сопромату

Ординаты:

задачи по сопромату

Напомним, что задачи по сопромату

Приступаем к определению параметров уравнения метода сил (6.5).

Умножив единичную эпюру задачи по сопромату саму на себя, получим значение коэффициента уравнения:

задачи по сопромату

Умножив грузовую эпюру задачи по сопромату на единичнуюзадачи по сопромату, получим значение свободного члена уравнения:

задачи по сопромату

Заметим, что произведение задачи по сопромату будет положительным, если площадь задачи по сопромату и ордината у лежат по одну сторону от оси эпюры, отрицательным — если по разные (в примере задачи по сопроматуизадачи по сопромату лежат по разные стороны оси).

Полученные значения подставим в каноническое уравнение:

задачи по сопромату

откуда задачи по сопромату

Знак «минус» при задачи по сопромату означает, что направление изгибающего момента на опоре В противоположно предполагаемому.

Таким образом, определением изгибающего момента на опоре В балки задачи по сопромату заканчивается раскрытие ее статической неопределимости.

Для построения эпюр Q и М нужно рассматривать отдельно балку каждого пролета, нагруженную заданной нагрузкой и найденным опорным моментом (рис. 6.5, г).

Построив эпюры Q и М, можно убедиться, что они совпадают с показанными на рис. 6.4, б, в.

Для определения прогибов по способу Верещагина в заданном сечении D основной системы следует приложить единичную силу задачи по сопромату(рис. 6.6, б), построить от нее единичную эпюру задачи по сопромату и перемножить эту эпюру с окончательной эпюрой изгибающих моментов М в этом пролете балки (рис. 6.6, а).

задачи по сопромату

При разделении сложной эпюры М на простые фигуры следует иметь в виду, что единичная сила задачи по сопромату разделила пролет балки на два расчетных участка и на каждом из них выделяются парабола и два треугольника (см. рис. 6.6, а).

Площади фигур

задачи по сопромату

Ординаты у

задачи по сопромату

Заметим, что обе параболы задачи по сопромату лежат ниже оси эпюры М. Это станет очевидным, если представить эпюру М только от распределенной нагрузки q.

Прогиб в сечении D:

задачи по сопромату

Знак «плюс» при задачи по сопромату означает, что прогиб происходит в направлении единичной силы задачи по сопромату, т. е. вниз.

Таким образом, результаты расчета двухпролетной балки методом начальных параметров и методом сил совпадают.

Анализируя трудоемкость расчета, можно сделать вывод, что для балки один раз статически неопределимой оба метода примерно равноценны. При большей степени статической неопределимости метод сил эффективнее.

Заметим, что при сложной нагрузке (особенно распределенной q) вычисление прогибов по способу Верещагина может оказаться сложнее, чем по методу начальных параметров.

Анализ напряженного состояния в точке

Задача №7.2

Как велики должны быть нормальные напряжения, действующие по граням параллелепипеда (рис. 7.5) в направлении оси X, чтобы в наклонной площадке под углом задачи по сопромату нормальное напряжение было сжимающим и не превышало 30 МПа? Касательное напряжение не должно превышать 40 МП

задачи по сопромату

Решение:

Рассматриваемый параллелепипед находится в условиях линейного напряженного состояния. Для того чтобы в наклонной площадке появилось сжимающее напряжение, по исходной площадке должно действовать также сжимающее напряжение: задачи по сопромату.

По формулам (7.1), исходя из требования по задачи по сопромату и по задачи по сопромату при задачи по сопромату:

задачи по сопромату

Принимаем задачи по сопромату

Задача №7.3

Элементарный параллелепипед находится в условиях линейного напряженного состояния. При условии задачи по сопроматуопределить положение наклонной площадки, в которой нормальное напряжение будет равно 0,8R.

Решение:

Напряжение на наклонной площадке

задачи по сопромату

Из формулы (7.1)

задачи по сопромату

откуда задачи по сопромату

Плоское напряженное состояние

Задача №7.5

По граням элемента, выделенного из нагруженного тела, действуют напряжения, как показано на рис. 7.11, а.

задачи по сопромату

Определить положение главных площадок, значения главных напряжений и наибольших касательных напряжений. Установить вид напряженного состояния элемента.

Решение:

Значение главных нормальных напряжений определим по формуле (7.6):

задачи по сопромату

Закономерность задачи по сопромату выполняется:

задачи по сопромату

Наибольшее касательное напряжение найдем по формуле (7.8):

задачи по сопромату

Положение одной из главных площадок (угол между осью X и направлением задачи по сопромату) определим по формуле (7.7):

задачи по сопромату

Вторая главная площадка, с напряжением задачи по сопромату, располагается перпендикулярно к первой.

Угол задачи по сопромату откладывается от оси с алгебраически большим не главным напряжением, т. е. от оси X по ходу часовой стрелки, так как угол отрицательный.

На рис. 7.11, б показаны исходные, а также и найденные главные напряжения.

Анализ полученных значений главных нормальных напряжений показывает, что элемент находится в условиях плоского напряженного состояния, так как два главных напряжения задачи по сопромату и задачи по сопромату(действуют в двух направлениях) отличны от нуля.

Сложное сопротивление

Задача №8.2

Определить значение наибольшей допустимой нагрузки q на стальную консольную балку (рис. 8.6, а), выполненную из двутавра № 24, расположив его сечение рационально по отношению к этой нагрузке.

задачи по сопромату

Расчетное сопротивление для стали R = 210 МПа.

Решение:

Нагрузка на балку действует в двух плоскостях, совпадающих с главными центральными осями сечения X и У, т. е. в двух главных плоскостях. Значит, эта балка подвергается косому изгибу.

Выпишем из таблицы сортамента геометрические характеристики для двутавра № 24, соответствующие положению 1:

задачи по сопромату

Во втором положении двутавра его характеристики

задачи по сопромату

Эпюры изгибающих моментов строятся в вертикальной и горизонтальной плоскостях (рис. 8.6, б).

В сечении А

задачи по сопромату

Анализ эпюр изгибающих моментов показывает, что в опасном сечении А балки наибольший изгибающий момент действует в горизонтальной плоскости задачи по сопромату. Следовательно, рациональным будет второе положение сечения балки, так как большему изгибающему моменту будет соответствовать больший момент сопротивления.

Исходя из формы поперечного сечения балки, условие прочности следует использовать в виде (8.2):

задачи по сопромату

Из этого условия наибольшая допустимая нагрузка на балку

задачи по сопромату

откуда

задачи по сопромату

В завершение примера определим положение нейтральной оси и построим суммарную эпюру нормальных напряжений.

Угол наклона нейтральной оси к главной центральной оси X определяется по формуле (8.1):

задачи по сопромату

Положительное значение угла задачи по сопромату отсчитывается от оси X против хода часовой стрелки (рис. 8.6, в).

На нейтральной оси нормальные напряжения равны нулю. Наибольшие напряжения будут в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси, и равны расчетному сопротивлению R. Это точки Д и К сечения.

В точке Д нормальные напряжения будут положительными как от момента задачи по сопромату, так и от момента задачи по сопромату В точке К оба значения отрицательны (см. рис. 8.6, в).

Внецентренное растяжение-сжатие

Задача №8.5

Короткая бетонная колонна сжимается продольной силой F, приложенной в точке К (рис. 8.12, а).

Определить наибольшее допустимое значение этой силы, если задачи по сопромату положение нейтральной оси. Построить эпюру нормальных напряжений и ядро сечения.

Решение:

Внешняя сила F действует на колонну параллельно ее продольной оси Z, но с эксцентриситетом:

задачи по сопромату

Вследствие этого колонна подвергается внецентренному сжатию.

задачи по сопромату

Исходя из формы сечения (две оси симметрии и выступающие углы) условие прочности используем в виде (8.6):

задачи по сопромату

Определим необходимые геометрические характеристики сечения колонны.

Площадь сечения

задачи по сопромату

Моменты инерции сечения относительно главных центральных осей

задачи по сопромату

Моменты сопротивления сечения

задачи по сопромату

Определим внутренние силы (усилия), образующиеся в колонне:продольная сила N = -F,

изгибающие моменты

задачи по сопромату

Расчетная схема колонны показана на рис. 8.12, б. Изгибающие моменты задачи по сопромату и задачи по сопроматунаправлены согласно с точкой приложения силы F.

Заметим, что в данном случае все сечения колонны равноопасны, так как внутренние силы во всех сечениях одинаковы.

Положение нейтральной оси определим, исходя из формулы (8.5). Отрезки, отсекаемые нейтральной осью на главных центральных осях сечения:

задачи по сопромату

Положение нейтральной оси показано на рис. 8.12, а, из которого видно, что нейтральная ось не проходит через центр тяжести сечения. Она, пересекая главные центральные оси X и Y, делит сечение на две зоны: сжатую (нижнелевую) и растянутую (верхнеправую), и лежит по другую сторону от центра тяжести сечения, чем точка приложения силы F.

Для хрупких материалов наиболее опасными являются растягивающие напряжения. Максимальные растягивающие напряжения будут в т. В сечения, как наиболее удаленной от нейтральной оси в растянутой зоне. Cоставим выражение для определения напряжения в т. В:

задачи по сопромату

Проследим знаки слагаемых в составленном выражении. Первое слагаемое имеет знак «минус», так как действующая сила F сжимает колонну. Это относится к любой точке сечения. Второе и третье слагаемые имеют знак «плюс», так как в т .В оба изгибающих момента создают растягивающие напряжения (см. расчетную схему).

Условие прочности для т. В будет

задачи по сопромату

откуда наибольшая допустимая нагрузка на колонну, исходя из растягивающих напряжений:

задачи по сопромату

Вычислим наибольшие сжимающие напряжения, которые будут в т. С, как наиболее удаленной от нейтральной оси в сжатой зоне:

задачи по сопромату

Таким образом, наибольшая допустимая нагрузка на колонну составит F = 127,0 кН, при которой будет обеспечена прочность как по растягивающим, так и по сжимающим напряжениям.

Эпюра нормальных напряжений показана на рис. 8.12, а, из которого видно, что при внецентренной нагрузке нормальные напряжения распределяются по сечению неравномерно.

Заметим, что полюс нагрузки F (точка К) лежит в большей по площади зоне напряжений (сжатой). Это постоянная закономерность.

Координаты ядра сечения определим из (8.7), задавшись положениями нейтральной оси, совпадающими со сторонами сечения колонны (рис. 8.12, в).

Нейтральная ось в положении 1-1.

Отрезки, отсекаемые нейтральной осью в системе главных центральных осей, будут

задачи по сопромату

Координаты ядра сечения

задачи по сопромату

Нейтральная ось в положении 2-2.

задачи по сопромату

Вследствие симметрии сечения:

  • для положения нейтральной оси 3-3 задачи по сопромату
  • для положения 4-4 задачи по сопромату

Ядро сечения показано на рис. 8.12, в.

Обратите внимание, что точка К (полюс силы F) лежит за пределами ядра сечения, отчего нейтральная ось проходит по сечению, разделяя его на две зоны: сжатую и растянутую.

Если т. К будет приближаться к центру тяжести сечения, то нейтральная ось будет удаляться от него. При положении т. К в пределах ядра сечения нейтральная ось уйдет за пределы сечения и напряжения по всему сечению будут одного знака.

Изгиб с кручением

Задача №8.8

Консольный стальной брус (рис. 8.16, а) круглого поперечного сечения нагружен внешними силами на перпендикулярно присоединенных к нему поперечинах.

Определить диаметр бруса, если задачи по сопромату

Решение:

Внешние силы не приложены непосредственно к рассматриваемому брусу, поэтому для него нужно составить расчетную схему, перенося внешние силы к продольной оси Z по правилу механики. Образуются вертикально действующие, перпендикулярные оси сосредоточенные силы

задачи по сопромату

изгибающие брус, и моменты относительно оси Z

задачи по сопромату

скручивающие брус (рис. 8.16, б).

задачи по сопромату

Определим значения изгибающих и крутящих моментов в характерных сечениях бруса:

  • сечение С: задачи по сопромату
  • сечение В: задачи по сопромату
    • задачи по сопромату
  • сечение А: задачи по сопромату

Эпюры задачи по сопромату и T показаны на рис. 8.16, в г.

В данном примере опасное сечение не явно. Это сечение А или B. Приведенные моменты для этих сечений

сечение А:

задачи по сопромату

сечение В:задачи по сопромату


Таким образом, опасным является сечение А, где задачи по сопромату наибольший. Из условия прочности (8.9) требуемый момент сопротивления сечения

задачи по сопромату

Из выражения

задачи по сопромату

определяем диаметр бруса:

задачи по сопромату

Принимаем диаметр бруса d = 40 мм (перенапряжение при этом не превышает 5 %).

Общий случай сложного сопротивления

Задача №8.9

Пространственная система (рис. 8.18, а), состоящая из трех стальных стержней круглого поперечного сечения диаметром d= 4 см и жестко соединенных между собой под прямым углом, нагружена расчетной нагрузкой.

Расчетные сопротивления для стали R = 210 МПа, задачи по сопромату.

Проверить прочность стержней системы.

Решение:

Стержни системы находятся под действием различных видов и направлений нагрузки. Чтобы установить вид сопротивления на каждом стержне системы, необходимо построить эпюры внутренних силовых факторов. Для этого целесообразно рассматривать систему со свободного конца. В таком случае не потребуется определять опорные реакции в защемлении системы и сложность эпюр будет нарастать постепенно.

Для каждого стержня системы, начиная с первого, составляется расчетная схема с использованием локальной системы координат (см. рис. 8.18, а). Переходя к последующему стержню, необходимо по правилу механики перенести к нему все силы, действующие на предыдущий стержень.

При переносе сосредоточенной силы F параллельно самой себе образуются сосредоточенная сила F той же величины и направления и момент М, равный произведению силы F на плечо а (расстояние переноса):

М = Fa.

Сосредоточенный момент М параллельно самому себе «перемещается» по оси, относительно которой он действует.

задачи по сопромату

Приступим к составлению расчетных схем, определению внутренних сил в характерных сечениях каждого стержня системы, начиная с первого, и построению их эпюр.

Поперечные силы от изгиба во внимание не принимаются.

Стержень 1 (А В).

Расчетная схема стержня — защемление в точке В (рис. 8.18, д).

Нагрузкой на стержень является сосредоточенная сила F = 0,6 кН, действующая по направлению оси X Она вызывает изгиб стержня относительно оси Y.

Изгибающие моменты:

задачи по сопромату

Ординаты момента задачи по сопромату откладываются по направлению оси X со стороны растянутых волокон стержня, т. е. справа от оси Z (АВ) (рис. 8.18, и).

Другие силовые факторы

задачи по сопромату

Общее правило: в системе взаимно перпендикулярных осей m, п сила F, действующая по направлению оси п, создает изгиб относительно оси m и ордината изгибающего момента задачи по сопромату откладывается по направлению силы F.

Стержень 2 (ВС).

Расчетная схема стержня — защемление в точке С (рис. 8.18, в). Непосредственно на стержень действует распределенная нагрузка q. Нагрузка F, действующая на первый стержень в т. А, будучи приведенной к т. В второго стержня, образует сосредоточенную силу F, направленную параллельно оси X, и момент задачи по сопроматуотносительно оси Z, направленный по часовой стрелке, если смотреть со стороны сечения стержня.

Распределенная нагрузка q создает изгиб стержня относительно оси Х , а сосредоточенная F — изгиб относительно оси Y. Момент задачи по сопромату создает кручение относительно оси Z.

Таким образом, второй стержень подвергается изгибу (в двух плоскостях) и кручению.

Определим значения внутренних сил в характерных сечениях.

Крутящий момент

задачи по сопромату
  • Изгибающие моменты: в т. В задачи по сопромату = 0, задачи по сопромату = 0,
  • в т. С
задачи по сопромату

Ординаты эпюры задачи по сопромату (параболический треугольник) отложены по оси Y сверху продольной оси Z стержня, a задачи по сопромату— по оси X справа оси Z, в обоих случаях — со стороны растянутых волокон. Продольная сила во втором стержне

N = 0.

Эпюры внутренних сил показаны на рис. 8.18, ж-и.

Стержень 3 (СД).

Расчетная схема — защемление в т. Д (см. рис. 8.18, б). Непосредственно действующих на стержень внешних сил нет. Силы, действующие на предыдущие участки, будучи приведенными к третьему, образуют в т. С сосредоточенные силы F и задачи по сопроматуи моменты

задачи по сопромату

а также момент задачи по сопромату (на предыдущем стержне это задачи по сопромату).Сосредоточенная сила F создает в стержне деформацию сжатия. Сосредоточенная сила задачи по сопромату и момент задачи по сопромату создают деформацию изгиба относительно оси X (т. е. в вертикальной плоскости), а момент задачи по сопромату-изгиб относительно оси Y (т. е. в горизонтальной плоскости). Момент задачи по сопромату создает деформацию кручения.

Внутренние силы в стержне.

Изгибающие моменты:

в т. С

задачи по сопромату

в т. Д

задачи по сопромату

Крутящий момент

задачи по сопромату

Продольная сила

задачи по сопромату

Эпюры внутренних сил показаны на рис. 7.18, еи. Ординаты эпюр задачи по сопромату и задачи по сопроматуотложены со стороны растянутых волокон стержня. Как изгибается стержень, нетрудно представить по расчетной схеме.

Анализ эпюр внутренних сил позволяет установить вид сопротивления каждого стержня системы, выявить опасное сечение и проверить его прочность.

Сначала вычислим необходимые геометрические характеристики сечения (сечение круглое, диаметром d = 4 см). Площадь сечения

задачи по сопромату

Осевой момент сопротивления

задачи по сопромату

Полярный момент сопротивления:

задачи по сопромату

В стержне АВ возникает лишь изгибающий момент задачи по сопромату. Значит, он подвергается плоскому изгибу. Опасное сечение В, где задачи по сопромату

Максимальное нормальное напряжение в стержне

задачи по сопромату

Условие прочности удовлетворяется.

Стержень ВС подвергается изгибу в двух плоскостях и кручению. Опасное сечение С, где задачи по сопромату, задачи по сопромату, задачи по сопромату

Поскольку изгиб происходит в двух плоскостях, необходимо вычислить суммарный изгибающий момент:

задачи по сопромату

Максимальное касательное напряжение от крутящего момента

задачи по сопромату

Максимальное нормальное напряжение от суммарного изгибающего момента

задачи по сопромату

Так как стержень подвергается изгибу с кручением, проверку прочности следует выполнить по теории прочности (формула (8.10)). Максимальное расчетное напряжение

задачи по сопромату

Условие прочности удовлетворяется.

Стержень СД подвергается сжатию, изгибу в двух плоскостях и кручению.

Опасное сечение Д, где N = 0,6 кН, задачи по сопромату, задачи по сопроматузадачи по сопромату, задачи по сопромату.

Суммарный изгибающий момент

задачи по сопромату

Максимальное касательное напряжение от крутящего момента

задачи по сопромату

Максимальное нормальное напряжение от суммарного момента

задачи по сопромату

Максимальное нормальное напряжение от сжимающей продольной силы

задачи по сопромату

Максимальное расчетное напряжение

задачи по сопромату

Условие прочности удовлетворяется.

В завершение примера установим положение наиболее напряженной точки в опасном сечении Д.

Нормальные напряжения от продольной силы N распределяются по сечению равномерно. Касательные напряжения от крутящего момента Т максимальны по контуру сечения. Максимальные нормальные напряжения от изгибающих моментов задачи по сопромату и задачи по сопроматубудут также на контуре сечения по линии действия суммарного момента задачи по сопромату. Таким образом, наиболее напряженной является точка К, лежащая на контуре сечения по линии действия задачи по сопромату (рис. 8.18, г). Расчетное напряжение в этой точке задачи по сопромату

Координаты точки К легко определить, вычислив значение угла задачи по сопроматузадачи по сопромату

Продольный и продольно-поперечный изгибы

Задача №9.2

Стальная стойка длиной l = 5 м, составленная из двух швеллеров 12, центрально нагружена сжимающей силой F = 190 кН (рис. 9.5).

задачи по сопромату

Определить, каким запасом на устойчивость обладает стойка при условии равноустойчивости.

Решение:

Необходимые геометрические характеристики для швеллера 12

задачи по сопромату

Для сечения стойки: площадь

задачи по сопромату

момент инерции относительно оси X

задачи по сопромату

условие равноустоичивости

задачи по сопромату

момент инерции сечения относительно оси Y с учетом равноустойчивости

задачи по сопромату


откуда расстояние между осями задачи по сопромату швеллеров а = 9,06 см; радиусы инерции стойки

задачи по сопромату

При шарнирном закреплении концов стойки коэффициент приведения длины задачи по сопромату

Гибкость стойки

задачи по сопромату

Так как гибкость стойки больше предельного значения для стали задачи по сопромату, то для определения критической силы используется формула Эйлера (9.2):

задачи по сопромату


Коэффициент запаса устойчивости по формуле (9.1)

задачи по сопромату

Продольно-поперечный изгиб

Задача №9.5

Стальная стойка из двутавра № 22 нагружена сосредоточенной продольной силой F и равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 9.9, а)

задачи по сопромату

Проверить прочность и устойчивость стойки, если R = 210 МПа.

Решение:

Проанализируем характер действия нагрузок. Продольная сила F создает центральное сжатие стойки, а распределенная q — изгиб. Значит, стержень подвергается продольно-поперечному изгибу.

Геометрические характеристики сечения двутавра № 22

задачи по сопромату

Проверим устойчивость стойки от действия сосредоточенной силы F. По условию закрепления концов стойки коэффициент приведения длины задачи по сопромату

Гибкость стойки относительно главных центральных осей

задачи по сопромату

Проверку устойчивости следует проводить в плоскости гибкости, т. е. относительно оси Y.

Для max Xv = 194 по таблице ф = /{Х) коэффициент продольного изгиба ф = 0,186.

Наибольшая допустимая нагрузка F по условию устойчивости (9.8)

задачи по сопромату

что превышает действующую нагрузку в 119,5/80 = 1,49 раза — устойчивость стойки обеспечена.

Для проведения расчета стойки на прочность необходимо рассмотреть ее деформированное состояние (рис. 9.9, б).

Прогиб от поперечной нагрузки q (консольная балка с равномерно распределенной нагрузкой) происходит относительно оси X, в направлении оси Y

задачи по сопромату


Полный прогиб стойки определяется по формуле (9.11):

задачи по сопромату

в которой эйлерова сила

задачи по сопромату

Заметим, что при вычислении эйлеровой силы момент инерции берется относительно главной центральной оси сечения, перпендикулярной действию нагрузки q, т. е. относительно оси X.

Полный прогиб конца стойки

задачи по сопромату

В сечениях стойки возникает изгибающий момент как от поперечной нагрузки задачи по сопромату, так и от продольной задачи по сопромату (рис. 9.9, в).

В опасном сечении (защемлении) полный изгибающий момент

задачи по сопромату

Проверка прочности осуществляется по формуле (9.13):

задачи по сопромату

Следовательно, прочность и устойчивость стойки обеспечены.

Расчеты при действии динамических нагрузок

Задача №10.2

Швеллер № 20 при помощи тросов, каждый сечением задачи по сопромату , поднимается вверх с ускорением задачи по сопромату (рис. 10.3, а).

Определить нормальные напряжения в тросе и швеллере.

Собственный вес тросов не учитывать.

Решение:

Геометрические характеристики для швеллера № 20, уложенного плашмя, задачи по сопромату, задачи по сопромату Линейная плотность задачи по сопромату Вес погонной длины 1 м швеллера в системе СИ

задачи по сопромату

Сначала определим напряжения в швеллере. Его собственный вес является равномерно распределенной нагрузкой q = 181 Н/м. Расчетная схема поднимаемого швеллера показана на рис. 10.3, б.

задачи по сопромату

Определение опорных реакций и построение эпюры изгибающих моментов (рис. 10.3, в) выполняются обычными методами.

Напряжение в швеллере от статического действия собственного веса

задачи по сопромату

Динамический коэффициент

задачи по сопромату

Динамическое напряжение в швеллере

задачи по сопромату

Вес швеллера задачи по сопромату является нагрузкой на тросы.

Продольная сила в тросах

задачи по сопромату

Напряжение в тросах от статического действия веса швеллера

задачи по сопромату

Динамическое напряжение в тросе

задачи по сопромату

При подъеме элементов строительных конструкций, особенно длинных и большого веса, а иногда в непроектном положении, важно, чтобы монтажные напряжения были возможно меньшими. Это достигается по крайней мере двумя методами: малым ускорением в начале и окончании подъема (определяется характеристикой двигателя подъемного устройства) и рациональным местом строповки (закрепление подъемных канатов).

Анализ эпюры М (см. рис. 10.3, в) показывает, что места строповки выбраны недостаточно рационально, так как в середине длины швеллера изгибающий момент равен нулю.

Нетрудно понять, что изменение расстояния а приведет к появлению изгибающего момента в сечении 3 швеллера. Причем увеличение расстояния а приведет к повышению задачи по сопромату, а уменьшение его -к уменьшению задачи по сопромату. Рациональным будет следующее соотношение изгибающих моментов (рис. 10.3, г):

задачи по сопромату

Определим оптимальное значение расстояния а. По расчетной схеме

задачи по сопромату

Условие рациональности

задачи по сопромату

Решив квадратное уравнение, получим а = 1,243 м.

При а = 1,243 м задачи по сопромату

что на 45,9 % меньше, чем при а = 1,5 м. На столько же процентов уменьшится и напряжение в швеллере. Напряжение в тросе не изменится.

Расчет на ударную нагрузку

Задача №10.5

На стальную балку, состоящую из двух двутавров № 22 длиной l = 5 м с абсолютно жесткими опорами (рис. 10.8, а), посередине пролета падает с высоты H = 1 см груз массой m = 510 кг.

задачи по сопромату

В опасном сечении балки определить максимальное нормальное напряжение и прогиб.

Как изменятся искомые величины, если одна из опор балки будет упругой (цилиндрическая пружина с податливостью задачи по сопромату Рис.10.8,б?

Решение:

Для двутавра № 22 задачи по сопромату, задачи по сопромату Нагрузка на балку

задачи по сопромату

Расчет при жестких опорах без учета массы балки. Опасным будет сечение посередине пролета балки, поскольку здесь изгибающий момент наибольший:

задачи по сопромату

Напряжение и прогиб от статического действия груза весом Q

задачи по сопромату

Динамический коэффициент, напряжение и прогиб

задачи по сопромату

Рекомендуется самостоятельно провести расчет с учетом массы балки задачи по сопромату

Результаты будут несколько меньшими задачи по сопроматузадачи по сопромату

Расчет при одной упругой (податливой) опоре.

Осадка пружины на опоре В от статического действия груза

задачи по сопромату

Статический прогиб в точке удара

задачи по сопромату

Динамические параметры

задачи по сопромату

Заметим, что при наличии амортизатора на опоре балки динамическое напряжение в ней уменьшается.

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Расчет на колебательную (вибрационную) нагрузку

Задача №10.8

Электродвигатель весом Q = 4 кН установлен в середине пролета двухопорной балки, выполненной из двух прокатных швеллеров №20 (рис. 10.13).

задачи по сопромату

Электродвигатель делает п = 800 об/мин. Вертикальная амплитуда возмущающей силы Р = 1 кН.

Проверить прочность балки, если R = 210 МПа. Собственным весом швеллеров пренебречь.

Решение:

Из таблицы сортамента прокатных швеллеров для № 20 следует

задачи по сопромату

Прогиб балки в середине пролета от статического действия груза Q

задачи по сопромату


Частота собственных колебаний балки

задачи по сопромату


Частота вынужденных колебаний балки

задачи по сопромату

Заметим, что отношение

задачи по сопромату

т е. эксплуатация конструкции будет происходить вне опасной резонансной зоны.

Напряжение от веса двигателя (опасное сечение посредине пролета балки)

задачи по сопромату


Динамический коэффициент

задачи по сопромату

Напряжение от возмущающей силы

задачи по сопромату

Максимальное напряжение в балке

задачи по сопромату

Условие прочности удовлетворяется.

Амплитуда вынужденных колебаний от возмущающей силы Р

задачи по сопромату

Максимальный прогиб в середине пролета балки

задачи по сопромату

Максимальный относительный прогиб

задачи по сопромату

что соответствует большой жесткости балки.