Задачи по сопротивлению материалов

На этой странице я собрала задачи с решением по всем темам сопротивления материалов, надеюсь они вам помогут.

Если что-то непонятно, Вы всегда можете написать мне в воцап и я помогу!

Растяжение и сжатие

К оглавлению…

Задача №1.2

Бетонная колонна квадратного поперечного сечения нагружена расчетной системой сил: сосредоточенных F и равномерно распределенных q (рис. 1.4)

Определить размеры поперечных сечений, постоянных для каждого расчетного участка колонны, и перемещение ее свободного сечения.

Для материала колонны: расчетное сопротивление на сжатие = 4 МПа, модуль продольной упругости Е = 15 ГПа.

Решение:

Поскольку нагрузка действует по продольной оси Z колонны, последняя подвергается деформации сжатия.

На рассматриваемой колонне исходя из характера нагрузки выделяются три расчетных участка, в пределах которых намечаются сечения I-III.

Длинам участков l придается индекс номера участка.

Колонна в своем основании имеет опору, в которой возникает только одна реакция . Уравнение равновесия можно составить также одно: , из которого определится реакция :

откуда = 984 кН.

Рассматриваемая система является статически определимой.

Для определения продольной силы на участках колонны воспользуемся вторым приемом, без показа «отсеченных» частей, используя правило

Участок I :

при

Участок II:

Участок III:

при

Контроль правильности вычислений N таков: при z = 3,7 м по модулю

Для вычисления N сечения можно было назначать со стороны опоры.

По полученным значениям N строится эпюра продольных сил -эп. N (рис. 1.4, б). Отрицательные значения N обычно откладываются влево от оси эпюры.

На участке колонны, где распределенная нагрузка q = 0, N = const, а на участке, где (прямая наклонная).

В сечениях, где приложена сосредоточенная сила F, на эпюре N имеется «скачок» на величину этой силы (480 -160 = 320 кН).

Размеры поперечных сечений на каждом участке колонны определим из условия прочности по нормальным напряжениям (1.2):

На участке I

сторона сечения

На участке II

сторона сечения . Принимаем

На участке III

сторона сечения Принимаем

На рис. 1.4, в показана схема спроектированной колонны. Для построения эпюры напряжений необходимо вычислить значения ст в характерных сечениях колонны. В сечении А

В сечении С

В сечении D

В сечении В

По полученным значениям строится эпюра напряжений (эпюра ), показанная на рис. 1.4, г.

Значения абсолютных продольных деформаций на участках колонны вычислим, используя формулы (1.3) и (1.4).

Следует обратить внимание, что на первом участке колонны продольная сила N складывается из сосредоточенной и равномерно распределенной q. Поэтому на первом участке

Распределенная нагрузка для второго участка колонны действует как сосредоточенная. Поэтому на втором участке

На третьем участке

Для определения деформации участков колонны можно использовать эпюру напряжений. Особенно это удобно на участках с распределенной нагрузкой. Деформация

где — площадь эпюры напряжений.

Так, для участка l (где эпюра напряжений является трапецией)

что соответствует первому вычислению.

Перемещения граничных сечений колонны определяются исходя из значений деформаций его участков.

Для проведения расчета на колонне выбирается сечение, перемещение которого известно, — это опора, где перемещение равно нулю

Перемещения остальных граничных сечений вычисляются последовательным добавлением к начальному перемещению деформаций последующих участков колонны:

По вычисленным значениям строится эпюра перемещений (эпюра ), приведенная на рис. 1.4, д.

На участке колонны, где перемещение наращивается по закону параболы.

Из эпюры перемещений следует, что перемещение свободного сечения составляет = 0,810 мм. Это же число определяет и полную деформацию колонны.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет сопротивление материалов

Статически неопределимые системы

К оглавлению…

Задача №1.6

Абсолютно жесткий элемент Р закреплен в шарнирно-неподвижной опоре и поддерживается двумя стальными стержнями, выполненными из сдвоенных равнополочных уголков (рис. 1.8, а).

Определить наибольшую допустимую нагрузку на систему. Стержень 1: длина уголок 50 х 50 х 5 мм; стержень 2: длина ,уголок 70 х 70 х 6 мм. Для стали R = 210 МПа, Е = 200 ГПа.

Решение:

Из таблицы сортамента прокатных уголков выписываем значения площадей сечения стержней:

Система имеет четыре опорные реакции. Для нее можно составить три уравнения равновесия. Следовательно, она является один раз статически неопределимой (4 — 3 = 1).

Поскольку стержни 1 и 2 соединяются с элементом Р при помощи шарниров, в них образуются только продольные силы N.

Исходя из характера закрепления элемента Р, направления нагрузки и расположения стержней, можно предположить, что элемент Р повернется вокруг шарнира А на некоторый угол. При этом стержень 1 удлинится, а стрежень 2 укоротится. Соответственно этому показываются направления продольных сил в стержнях: от сечения, — к сечению.

Рациональным уравнением равновесия является

или

Чтобы построить диаграмму перемещений, стержни 1 и 2 следует мысленно отсоединить от элемента Р и по направлению этих стержней отложить отрезки, изображающие их деформации: — удлинение, — укорочение. Получим точки и .

Из точки проведем перпендикуляр к продольной оси стержня 1. Поскольку элементы системы должны перемещаться совместно, конец деформированного стержня 1 нужно свести с узлом К элемента Р. Для этого из точки К проводим перпендикуляр к продольной оси элемента Р. Пересечение двух названных перпендикуляров даст точку — новое положение узла К.

Так как элемент Р абсолютно жесткий, его ось, повернувшись вокруг шарнира А, пройдет через точку и на оси стержня 2 отсечет отрезок (рис. 1.8, б).

Чтобы составить дополнительное уравнение, нужно из подобия треугольников и связать между собой деформации стержней и :

Выразив деформации через продольные силы, получим

Из уравнений (1.9) и (1.10) получим

Допустимую нагрузку q найдем из условия прочности стержней. Из условия прочности стержня 1

а нагрузка

Из условия прочности стержня 2

За максимально допустимую нагрузку на систему принимаем меньшее значение q: = 168 кН/м. При этой нагрузке продольные силы в стержнях будут

а напряжения = 36,0 МПа, = 210 МПа.

Как видно из расчета, стержень 1 недонапряжен, что является особенностью статически неопределимых систем, в которых достичь равной прочности всех стержней довольно сложно.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по сопротивлению материалов

Сдвиг

К оглавлению…

Задача №2.2

Нижний пояс фермы, выполненный из неравнополочных уголков, соединяется при помощи накладки и заклепок диаметром d = 14 мм, рис. 2.4.

Расчетная продольная сила (выявленная в процессе расчета фермы) N = 500 кН. Подобрать номер уголков и размеры поперечного сечения накладки, а также определить необходимое количество заклепок, если R = 210 МПа, Высоту накладки принять на 15 мм больше высоты полки уголка.

Решение:

Соединяемые элементы (уголки) пояса фермы и соединительная накладка подвергаются растяжению и смятию, а заклепки — срезу.

Площадь поперечного сечения нижнего пояса фермы определим из условия прочности по нормальным напряжениям (2.3):


Для одного уголка

По сортаменту для неравнополочных уголков принимаем два уголка 125 х 80 х 7 мм с площадью

Толщину накладки можно определить из формулы (2.3) или воспользоваться значением для уголков: . По условию задачи

Тогда

откуда = 2 см.

Определим количество заклепок из условия прочности на срез (2.1):


В рассматриваемом примере заклепки двухсрезные

Определим количество заклепок из условия прочности на смятие (2.2):

Заметим, что в одном направлении сминаются уголки, для которых

а в другом — накладка, для которой

В расчет идет меньшее значение (как более слабое).

Из двух вычисленных значений п выбираем большее. Округлив число n до большего целого, получим п = 9.

Таким образом, на каждой половине накладки необходимо разместить по девять заклепок.

Уточним несущую способность N рассмотренного заклепочного соединения. Из условия прочности нижнего пояса фермы по формуле (2.3)

Из условия прочности накладки по (2.3)

Из условия прочности заклепок на срез по (2.1)

Из условия прочности заклепок на смятие по формуле (2.2)

Анализ полученных значений N показывает, что безопасная продольная сила, которую может воспринять заклепочное соединение, N = 526 кН, т. е. пояс фермы имеет повышенный на 5,2 % запас прочности.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения задач по сопротивлению материалов

Расчет сварных соединений

К оглавлению…

Задача №2.4

Стык двух неравнополочных уголков, перекрытый накладкой, растягивается силой F = 245 кН (рис. 2.7).

Из условия равнопрочности соединения определить номер уголков, размеры поперечного сечения накладки и длину фланговых швов для соединения уголков с накладкой, если R = 210 МПа, = 180 МПа. Сварка ручная.

Решение:

Номер неравнополочных уголков определим из условия прочности по нормальным напряжениям:

откуда

Для одного уголка

Из таблицы сортамента принимаем два уголка 63 х 40 х 6 мм с площадью сечения

Для принятого уголка В = 63 мм, = 2,12 см. Толщину накладки определим из условия ее равнопрочности с уголками, приняв во внимание, что ее сторона

откуда

Принимаем

Приняв толщину шва = 6 мм (равную толщине уголка) и учитывая, что Q = F, длину сварных швов определим из условия прочности их на срез (2.4):

Вычисленная длина швов должна быть расположена по одну сторону от стыка.

Так как в соединении два уголка, на один уголок длина шва будет

причем

Поскольку линия действия силы F, проходящая по продольной оси уголка, находится на разных расстояниях от верхнего 1 и нижнего 2 швов, длина их должна быть обратно пропорциональна расстоянию от продольной оси до швов, т. е.


Решив совместно уравнения (2.5) и (2.6), получим

Проектную длину швов с учетом неполного провара их концов примем

Возможно эта страница вам будет полезна:

Сопромат для чайников

Расчет врубок

К оглавлению…

Задача №2.6

Стык двух сосновых брусьев сечением h = 18 см и b = 6 см осуществлен при помощи зуба (рис. 2.10).

Определить необходимые размеры зуба (длину l и высоту а). Расчетные сопротивления брусьев: на растяжение R = 10 МПа, на срез а, на смятие

Решение:

Зуб рассчитывается на скалывание и смятие вдоль волокон (зоны деформации показаны на рис. 2.10). Высота ослабленного сечения бруса

и высота зуба а связаны между собой. Выразив F из условия прочности на растяжение и смятие, найдем значение высоты зуба а, а следовательно, и значение высоты ослабленного сечения бруса .

Из условия прочности на растяжение

Из условия прочности на смятие

Из уравнений (2.10) и (2.11) а = 4,74 см, принимаем а = 5 см. Высота ослабленного сечения бруса

Наибольшая допустимая нагрузка на соединение брусьев

Длину зуба I определим из условия прочности на скалывание (2.7):


принимаем l= 28 см.

Геометрические характеристики плоских сечений

К оглавлению…

Задача №3.2

Для заданного сечения определить положение центра тяжести и значения главных центральных моментов инерции (рис. 3.4).

Данные к примеру: h = = 15 см, b = 18 см, d= 8 см.

Решение:

Данное сложное сечение можно представить как сочетание прямоугольника (1), двух треугольников (3 и 4) и выемки в виде полукруга (2).

На сечении отмечаются центры тяжести простых фигур и проводятся их центральные оси и

Поскольку ось сечения является осью симметрии — центр тяжести его лежит на этой оси. Для определения положения центра тяжести по оси выбирается вспомогательная ось совпадающая с нижней стороной сечения.

Вычисляем расстояние от центральных осей простых фигур до вспомогательной оси:

Площадь рассматриваемого сечения

По формуле (3.2) статический момент площади сечения относительно вспомогательной оси

Ордината центра тяжести сечения (по формуле (3.1))

На сечении отмечается центр тяжести (точка О) и проводится центральная ось . Напомним, что другой центральной осью является ось .

Вычисляем расстояния m, п между центральными осями простых фигур и всего сечения:

Предварительно для каждой простой фигуры вычисляем значения осевых моментов инерции относительно собственных центральных осей

Для первой фигуры (прямоугольник)

Для второй фигуры (полукруг)

Для третьей и четвертой фигур (треугольники)

Определяем значения осевых моментов инерции заданного сечения относительно центральных осей (по формуле (3.3)):

Рассматриваемое сечение имеет ось симметрии — ось — Значит, эта ось является одной из главных осей. Другая главная ось — -проходит через центр тяжести сечения и перпендикулярна первой. Исходя из значений и следует, что а а

Возможно эта страница вам будет полезна:

Онлайн помощь по сопромату

Кручение

К оглавлению…

Задача №4.2

Проверить прочность и жесткость стального стержня круглого поперечного сечения, защемленного левым концом (рис. 4.8).

Диаметры участков: = 5,2 см, = 4,5 см.

Для материала стержня

Решение:

Действующие на стержень скручивающие моменты вызывают в опоре реактивный момент для определения которого имеется одно уравнение равновесия YMz = 0 (система статически определима). Искомый момент направляется произвольно.

откуда

Полученный знак «минус» при означает, что действительное направление момента противоположное. Стержень имеет два расчетных участка.

Крутящие моменты на участках стержня (рассматриваются части стержня слева от сечения)

Касательные напряжения на участках стержня (по формуле (4.2))

Относительные деформации на участках стержня (по формуле (4.4))

Прочность и жесткость стержня при данных диаметрах обеспечены

Возможно эта страница вам будет полезна:

Сборник задач по сопротивлению материалов

Прямой изгиб

К оглавлению…

Задача №5.2

Для двухопорной балки построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 5.7).

Решение:


Координатная ось Z совпадает с продольной осью балки, ось Y ей перпендикулярна.

Действующая на балку нагрузка передается на опоры, где возникают опорные реакции и , которые определяются из уравнений равновесия.

Составим два уравнения моментов относительно опорных сечений, чтобы реакции можно было найти независимо друг от друга:

откуда = 2,556 кН;

откуда = 5,444 кН.

Знаки «плюс» у реакций и указывают на то, что их действительное направление совпадает с предполагаемым. Проверим правильность вычисления реакций:

— реакции определены верно.

На балке выделяются три расчетных участка. С целью сокращения объема вычислений для составления выражений для Q и М будем рассматривать часть сечений с левого, а часть — с правого конца балки (рис. 5.7, а).

Участок 1 — ход слева:

— линейная зависимость.

  • При
  • при

Участок 2 — ход слева:

— линейная зависимость.

При

при

Участок 3 — ход справа:

— линейная зависимость.

  • При
  • при

По полученным значениям Q и М строятся соответствующие эпюры (рис. 5.7, б, в).

Анализ эпюры изгибающих моментов показывает, что в том сечении балки, где приложен сосредоточенный момент М, на эпюре образуется скачок на величину этого момента. Скачок направлен вверх, так как М направлен против хода часовой стрелки.

На участке АС балки поперечная сила Q > 0 — изгибающий момент возрастает, а на участке CD, где Q < 0 — изгибающий момент убывает.

В концевых шарнирных опорах балки (А, D) изгибающие моменты равны нулю.

Характер деформации волокон балки на ее участках предлагается установить самостоятельно.

Из построенных эпюр следует, что

Возможно эта страница вам будет полезна:

Учебники по сопротивлению материалов

Напряжения при изгибе. Условия прочности

К оглавлению…

Задача №5.6

Определить значения нормальных и касательных напряжений в точке К деревянной балки (рис. 5.14). Проверить прочность балки по этим напряжениям и построить их эпюры.

Расчетные сопротивления материала балки R = 15 МПа, = 2 МПа.

Решение:

Определяем опорные реакции:

Вычислим значения Q и М для характерных сечений балки и построим их эпюры (рис. 5 Л 4, б и в).

Сечение А :

Сечение С:

Сечение В:

Определим напряжения в точке К. В сечении балки, где расположена эта точка, Q = 6,8 кН,

Для определения нормального напряжения воспользуемся формулой (5.5). По модулю

Для прямоугольного сечения балки момент инерции относительно нейтральной оси

Для установления знака вычисленного напряжения нужно обратиться к эпюре , В сечении, где расположена точка К, ординаты эпюры лежат снизу от оси эпюры. Это значит, что волокна балки, лежащие ниже продольной оси, растянуты, а выше — сжаты. Так как точка К расположена в сжатой зоне сечения балки, напряжению в ней присваивается знак «минус»

Значение касательного напряжения в заданной точке вычислим по формуле (5.2):

Статический момент части площади сечения, расположенной выше точка К:

Касательному напряжению присваивается знак поперечной силы

Проверка прочности балки производится по максимальным значениям и . В данном примере

Заметим, что максимальные значения внутренних сил могут быть в одном или в разных сечениях.

Проверку прочности по нормальным напряжениям проведем по формуле (5.3):

Эти напряжения появляются в крайних точках сечения. На нейтральной оси, где у = 0, нормальные напряжения равны нулю:

Проверку прочности по касательным напряжениям проведем по формуле (5.5):

Статический момент на уровне нейтральной оси

Максимальные касательные напряжения появляются в точках на нейтральной оси сечения балки. В крайних точках сечения, где , касательные напряжения равны нулю: .

Таким образом, условия прочности балки по нормальным и касательным напряжениям выполняются.

Закономерность распределения нормальных и касательных напряжений по высоте сечения, т. е. их эпюры, показана на рис. 5.14, г.

Задача №5.10

Провести полную проверку прочности балки, состоящей из двух швеллеров № 22, если R = 210 МПа, = 130 МПа (рис. 5.18).

Решение:

  • Из таблицы сортамента для швеллера № 22:
  • h = 220 мм, b = 82 мм, d = 5,4 мм, t = 9,5 мм,

Вследствие симметрии нагрузки опорные реакции Значения Q и М в характерных сечениях:

в сечении А

в сечении С

в сечении Д


В других сечениях Q и М определить самостоятельно. Эпюры Q и М показаны на рис. 5.18, б, в.

Проверка прочности балки по нормальным напряжениям производится для сечения Д, где максимален:


Проверка прочности по касательным напряжениям производится для сечения А, где Q максимально:

Условия прочности балки и выполняются.

Полная проверка прочности производится в сечении балки, где Q и М одновременно большие. В рассматриваемом примере опасное сечение С, где Q= 108 кН, М = 68,4 кН-м.

Опасной точкой, где проводится полная проверка прочности, для сечений типа двутавр, швеллер является точка сопряжения полки со стенкой (точка К). В этой точке — самое неблагоприятное сочетание напряжений и .

При вычислении статического момента на уровне точки К полку швеллера можно рассматривать как прямоугольник шириной b и высотой t (без учета скруглений и скоса):


Определяем нормальные и касательные напряжения в опасной точке К:

По формуле (5.6) главные напряжения

Следовательно,

В точке К материал испытывает плоское напряженное состояние, поэтому проверка прочности производится по гипотезам прочности.

Для стальной балки (пластичный материал) применима четвертая (энергетическая) теория прочности (формула (5.6)):

Условие прочности по четвертой теории выполняется.

Деформации при изгибе. Проверка на жесткость

К оглавлению…

Задача №5.12

Для двухопорной деревянной балки прямоугольного поперечного сечения (h = 18 см, b = 14 см) построить эпюру прогибов и определить наибольший относительный прогиб, если модуль продольной упругости материала Е=10 ГПа (рис. 5.23).

Решение:

Начало координатных осей помещаем в сечении А — шарнирной опоре балки.

Значения опорных реакций приведены на рис. 5.23, а, а эпюры Q и — на рис. 5.23, б и в.

Момент инерции сечения балки относительно нейтральной оси

Балка имеет два расчетных участка. Составим уравнения оси изогнутой балки:

Вертикальными линиями отмечены границы уравнений для участков балки и область их применения.

В уравнения для первого участка вошли только те силовые факторы, которые лежат левее конца этого участка, т. е. только . На втором участке добавилась нагрузка q.

Для определения начальных параметров в составленных уравнениях нужно рассмотреть условия перемещений в начале координат, т. е. на шарнирной опоре А. В шарнирной опоре вертикальное перемещение отсутствует, т. е. , следовательно, . Угловое же перемещение на шарнирной опоре возможно, т. е. , значит, и .

Для определения параметра нужно составить уравнение прогибов для сечения В, где на шарнирной опоре вертикальное перемещение отсутствует, т. е.

При z = 3 м (сечение В)

откуда .

После определения всех начальных параметров уравнения оси изогнутой балки примут вид

Известно, что максимальный прогиб балки будет в том сечении, угол поворота которого равен нулю. Отыщем это сечение. Уравнение углов поворота сечений: для первого участка

откуда (сечение за пределами участка);

второго участка

откуда

Для построения эпюры прогибов вычислим их значения для нескольких характерных сечений балки, а также вычислим углы поворота сечений А и В.

При z = 0 (сечение А, 1-й участок)

При z = 1 м (сечение С, 1-й участок)

При z = 1,5 м (сечение Д, 2-й участок, середина пролета)

При z = 1,555 м (сечение, где )

При z = 1,667 м (сечение И, где )

При z = 3 м (сечение В, 2-й участок)

По полученным значениям построена эпюра прогибов (рис. 5.23, г).

Выпуклость изогнутой оси балки (эпюра ) направлена в сторону ординат эпюры .

Анализ полученных значений прогибов показывает, что абсолютный прогиб в середине пролета балки () и максимальный () практически совпадают.

Относительный прогиб балки

Сечение с наибольшим прогибом не обязательно должно совпадать с сечением, где изгибающий момент наибольший (). Это возможно лишь в частных случаях.

Метод Мора и Верещагина

К оглавлению…

Задача №5.16

Определить прогиб посередине пролета двухопорной балки (в долях от ), рис. 5.29.

Грузовая эпюра изгибающих моментов (от заданной нагрузки) показана на рис. 5.29, а.

Посередине пролета, где требуется определить прогиб, к балке вспомогательного состояния прикладывается единичная сосредоточенная сила F = 1 (рис. 5.29, б), определяются опорные реакции и строится эпюра .

В данном примере грузовая эпюра балки пересекает ось,а единичная эпюра имеет два расчетных участка, поэтому площадь со берется с единичной эпюры, а ордината у — с грузовой.

Ординаты у берутся из грузовой эпюры , как моменты в соответствующем сечении:

Прогиб посередине пролета балки

Найденный прогиб направлен вниз, по направлению единичной силы F = 1.

Вид эпюры прогибов показан на рис. 5.29, в.

Статически неопределимые балки

К оглавлению…

Задача №6.2

Для двухпролетной балки (рис. 6.4, а) построить эпюры Q и М, подобрать номер прокатного двутавра, определить прогиб в сечении D, изобразить ось изогнутой балки. Для стали R = 210 МПа, Е = 200 ГПа.

Решение:


Неизвестных опорных реакций четыре: Незави-симых уравнений равновесия три:

Следовательно, балка один раз статически неопределима. Уравнения равновесия

Независимое уравнение = 0 можно составить только одно относительно любой точки балки. В примере рационально использовать точку С:

или

Раскрытие статической неопределимости проведем двумя методами: с использованием метода начальных параметров и метода сил.

1.Расчет по методу начальных параметров.

Составим дополнительное уравнение, исходя из деформативных условий на опорах балки: =0, = 0.

Напомним, что начало координатных осей помещается в крайнем левом сечении балки — сечении А.

Составим выражения для названных прогибов.

При z = 6 м

При z = 11 м

Начальный параметр , так как прогиб на опоре А

Решая совместно уравнения (6.7) и (6.8), после исключения , получим

Из совместного решения уравнений (6.6) и (6.9) найдем, что

Осталась неизвестной реакция . Для ее определения нужно составить уравнение относительно точки А или В:

откуда

Контроль правильности определения реакций выполним по уравнению (6.5):

— раскрытие статической неопределимости выполнено верно.

Дальнейший расчет балки обычный. Ординаты эпюры М в характерных сечениях:

  • сечение А: М = 0;
  • сечение К:
  • сечение В:
  • сечение С:
  • сечение D.

При z = 2,3 м (ход справа)

  • Эпюры Q и М показаны на рис. 6.4, б, в.
  • Из эпюры М следует, что

Требуемый момент сопротивления для подбора номера двутавра

Принимаем двутавр

Для определения прогибов в сечениях балки составим соответствующее выражение (по методу начальных параметров), учтя, что :

Начальный параметр определим из условия, что прогиб на опоре В (z = 6 м) равен нулю ():

откуда

Прогиб в заданном сечении D (при z = 8,5 м)

Ось изогнутой балки изображена на рис. 6.4, г. Напомним, что очертание эпюры прогибов необходимо согласовывать с эпюрой М: ординаты М должны находиться на выпуклой стороне балки. В сечениях, где М = 0, на эпюре прогибов находятся точки перегиба.

2.Расчет по методу сил.

Необходимую для расчета основную систему получим путем постановки шарнира на промежуточной опоре В (рис. 6.5,а)

Образуются две статически определимые балки, связанные между собой шарниром В (на рис. 6.5, а для удобства пояснения балки раздвинуты).

Обозначим неизвестный опорный момент через и для его определения запишем каноническое уравнение метода сил (6.1):

Параметры уравнения определим по способу Верещагина. Сначала загружаем основную систему заданной нагрузкой, определяем опорные реакции и обычным способом строим эпюры изгибающих моментов (грузовые эпюры) для каждого пролета (рис. 6.5, б).

Затем нагружаем основную систему единичным опорным моментом , определяем опорные реакции и строим эпюру изгибающих моментов (единичную эпюру) также для каждого пролета (рис. 6.5, в).

Грузовая эпюра расчленяется на простые фигуры и отмечаются их центры тяжести. На единичных эпюрах под центром тяжести простых фигур вычисляются значения ординат и отмечаются собственные центры тяжести .

Вычислим сначала значения всех площадей (треугольники и парабола) и ординат y.

Площади:

Ординаты:

Напомним, что

Приступаем к определению параметров уравнения метода сил (6.5).

Умножив единичную эпюру саму на себя, получим значение коэффициента уравнения:

Умножив грузовую эпюру на единичную, получим значение свободного члена уравнения:

Заметим, что произведение будет положительным, если площадь и ордината у лежат по одну сторону от оси эпюры, отрицательным — если по разные (в примере и лежат по разные стороны оси).

Полученные значения подставим в каноническое уравнение:

откуда

Знак «минус» при означает, что направление изгибающего момента на опоре В противоположно предполагаемому.

Таким образом, определением изгибающего момента на опоре В балки заканчивается раскрытие ее статической неопределимости.

Для построения эпюр Q и М нужно рассматривать отдельно балку каждого пролета, нагруженную заданной нагрузкой и найденным опорным моментом (рис. 6.5, г).

Построив эпюры Q и М, можно убедиться, что они совпадают с показанными на рис. 6.4, б, в.

Для определения прогибов по способу Верещагина в заданном сечении D основной системы следует приложить единичную силу (рис. 6.6, б), построить от нее единичную эпюру и перемножить эту эпюру с окончательной эпюрой изгибающих моментов М в этом пролете балки (рис. 6.6, а).

При разделении сложной эпюры М на простые фигуры следует иметь в виду, что единичная сила разделила пролет балки на два расчетных участка и на каждом из них выделяются парабола и два треугольника (см. рис. 6.6, а).

Площади фигур

Ординаты у

Заметим, что обе параболы лежат ниже оси эпюры М. Это станет очевидным, если представить эпюру М только от распределенной нагрузки q.

Прогиб в сечении D:

Знак «плюс» при означает, что прогиб происходит в направлении единичной силы , т. е. вниз.

Таким образом, результаты расчета двухпролетной балки методом начальных параметров и методом сил совпадают.

Анализируя трудоемкость расчета, можно сделать вывод, что для балки один раз статически неопределимой оба метода примерно равноценны. При большей степени статической неопределимости метод сил эффективнее.

Заметим, что при сложной нагрузке (особенно распределенной q) вычисление прогибов по способу Верещагина может оказаться сложнее, чем по методу начальных параметров.

Анализ напряженного состояния в точке

К оглавлению…

Задача №7.2

Как велики должны быть нормальные напряжения, действующие по граням параллелепипеда (рис. 7.5) в направлении оси X, чтобы в наклонной площадке под углом нормальное напряжение было сжимающим и не превышало 30 МПа? Касательное напряжение не должно превышать 40 МП

Решение:

Рассматриваемый параллелепипед находится в условиях линейного напряженного состояния. Для того чтобы в наклонной площадке появилось сжимающее напряжение, по исходной площадке должно действовать также сжимающее напряжение: .

По формулам (7.1), исходя из требования по и по при :

Принимаем

Задача №7.3

Элементарный параллелепипед находится в условиях линейного напряженного состояния. При условии определить положение наклонной площадки, в которой нормальное напряжение будет равно 0,8R.

Решение:

Напряжение на наклонной площадке

Из формулы (7.1)

откуда

Плоское напряженное состояние

К оглавлению…

Задача №7.5

По граням элемента, выделенного из нагруженного тела, действуют напряжения, как показано на рис. 7.11, а.

Определить положение главных площадок, значения главных напряжений и наибольших касательных напряжений. Установить вид напряженного состояния элемента.

Решение:

Значение главных нормальных напряжений определим по формуле (7.6):

Закономерность выполняется:

Наибольшее касательное напряжение найдем по формуле (7.8):

Положение одной из главных площадок (угол между осью X и направлением ) определим по формуле (7.7):

Вторая главная площадка, с напряжением , располагается перпендикулярно к первой.

Угол откладывается от оси с алгебраически большим не главным напряжением, т. е. от оси X по ходу часовой стрелки, так как угол отрицательный.

На рис. 7.11, б показаны исходные, а также и найденные главные напряжения.

Анализ полученных значений главных нормальных напряжений показывает, что элемент находится в условиях плоского напряженного состояния, так как два главных напряжения и (действуют в двух направлениях) отличны от нуля.

Сложное сопротивление

К оглавлению…

Задача №8.2

Определить значение наибольшей допустимой нагрузки q на стальную консольную балку (рис. 8.6, а), выполненную из двутавра № 24, расположив его сечение рационально по отношению к этой нагрузке.

Расчетное сопротивление для стали R = 210 МПа.

Решение:

Нагрузка на балку действует в двух плоскостях, совпадающих с главными центральными осями сечения X и У, т. е. в двух главных плоскостях. Значит, эта балка подвергается косому изгибу.

Выпишем из таблицы сортамента геометрические характеристики для двутавра № 24, соответствующие положению 1:

Во втором положении двутавра его характеристики

Эпюры изгибающих моментов строятся в вертикальной и горизонтальной плоскостях (рис. 8.6, б).

В сечении А

Анализ эпюр изгибающих моментов показывает, что в опасном сечении А балки наибольший изгибающий момент действует в горизонтальной плоскости . Следовательно, рациональным будет второе положение сечения балки, так как большему изгибающему моменту будет соответствовать больший момент сопротивления.

Исходя из формы поперечного сечения балки, условие прочности следует использовать в виде (8.2):

Из этого условия наибольшая допустимая нагрузка на балку

откуда

В завершение примера определим положение нейтральной оси и построим суммарную эпюру нормальных напряжений.

Угол наклона нейтральной оси к главной центральной оси X определяется по формуле (8.1):

Положительное значение угла отсчитывается от оси X против хода часовой стрелки (рис. 8.6, в).

На нейтральной оси нормальные напряжения равны нулю. Наибольшие напряжения будут в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси, и равны расчетному сопротивлению R. Это точки Д и К сечения.

В точке Д нормальные напряжения будут положительными как от момента , так и от момента В точке К оба значения отрицательны (см. рис. 8.6, в).

Внецентренное растяжение-сжатие

К оглавлению…

Задача №8.5

Короткая бетонная колонна сжимается продольной силой F, приложенной в точке К (рис. 8.12, а).

Определить наибольшее допустимое значение этой силы, если положение нейтральной оси. Построить эпюру нормальных напряжений и ядро сечения.

Решение:

Внешняя сила F действует на колонну параллельно ее продольной оси Z, но с эксцентриситетом:

Вследствие этого колонна подвергается внецентренному сжатию.

Исходя из формы сечения (две оси симметрии и выступающие углы) условие прочности используем в виде (8.6):

Определим необходимые геометрические характеристики сечения колонны.

Площадь сечения

Моменты инерции сечения относительно главных центральных осей

Моменты сопротивления сечения

Определим внутренние силы (усилия), образующиеся в колонне:продольная сила N = -F,

изгибающие моменты

Расчетная схема колонны показана на рис. 8.12, б. Изгибающие моменты и направлены согласно с точкой приложения силы F.

Заметим, что в данном случае все сечения колонны равноопасны, так как внутренние силы во всех сечениях одинаковы.

Положение нейтральной оси определим, исходя из формулы (8.5). Отрезки, отсекаемые нейтральной осью на главных центральных осях сечения:

Положение нейтральной оси показано на рис. 8.12, а, из которого видно, что нейтральная ось не проходит через центр тяжести сечения. Она, пересекая главные центральные оси X и Y, делит сечение на две зоны: сжатую (нижнелевую) и растянутую (верхнеправую), и лежит по другую сторону от центра тяжести сечения, чем точка приложения силы F.

Для хрупких материалов наиболее опасными являются растягивающие напряжения. Максимальные растягивающие напряжения будут в т. В сечения, как наиболее удаленной от нейтральной оси в растянутой зоне. Cоставим выражение для определения напряжения в т. В:

Проследим знаки слагаемых в составленном выражении. Первое слагаемое имеет знак «минус», так как действующая сила F сжимает колонну. Это относится к любой точке сечения. Второе и третье слагаемые имеют знак «плюс», так как в т .В оба изгибающих момента создают растягивающие напряжения (см. расчетную схему).

Условие прочности для т. В будет

откуда наибольшая допустимая нагрузка на колонну, исходя из растягивающих напряжений:

Вычислим наибольшие сжимающие напряжения, которые будут в т. С, как наиболее удаленной от нейтральной оси в сжатой зоне:

Таким образом, наибольшая допустимая нагрузка на колонну составит F = 127,0 кН, при которой будет обеспечена прочность как по растягивающим, так и по сжимающим напряжениям.

Эпюра нормальных напряжений показана на рис. 8.12, а, из которого видно, что при внецентренной нагрузке нормальные напряжения распределяются по сечению неравномерно.

Заметим, что полюс нагрузки F (точка К) лежит в большей по площади зоне напряжений (сжатой). Это постоянная закономерность.

Координаты ядра сечения определим из (8.7), задавшись положениями нейтральной оси, совпадающими со сторонами сечения колонны (рис. 8.12, в).

Нейтральная ось в положении 1-1.

Отрезки, отсекаемые нейтральной осью в системе главных центральных осей, будут

Координаты ядра сечения

Нейтральная ось в положении 2-2.

Вследствие симметрии сечения:

  • для положения нейтральной оси 3-3
  • для положения 4-4

Ядро сечения показано на рис. 8.12, в.

Обратите внимание, что точка К (полюс силы F) лежит за пределами ядра сечения, отчего нейтральная ось проходит по сечению, разделяя его на две зоны: сжатую и растянутую.

Если т. К будет приближаться к центру тяжести сечения, то нейтральная ось будет удаляться от него. При положении т. К в пределах ядра сечения нейтральная ось уйдет за пределы сечения и напряжения по всему сечению будут одного знака.

Изгиб с кручением

К оглавлению…

Задача №8.8

Консольный стальной брус (рис. 8.16, а) круглого поперечного сечения нагружен внешними силами на перпендикулярно присоединенных к нему поперечинах.

Определить диаметр бруса, если

Решение:

Внешние силы не приложены непосредственно к рассматриваемому брусу, поэтому для него нужно составить расчетную схему, перенося внешние силы к продольной оси Z по правилу механики. Образуются вертикально действующие, перпендикулярные оси сосредоточенные силы

изгибающие брус, и моменты относительно оси Z

скручивающие брус (рис. 8.16, б).

Определим значения изгибающих и крутящих моментов в характерных сечениях бруса:

  • сечение С:
  • сечение В:
  • сечение А:

Эпюры и T показаны на рис. 8.16, в г.

В данном примере опасное сечение не явно. Это сечение А или B. Приведенные моменты для этих сечений

сечение А:

сечение В:


Таким образом, опасным является сечение А, где наибольший. Из условия прочности (8.9) требуемый момент сопротивления сечения

Из выражения

определяем диаметр бруса:

Принимаем диаметр бруса d = 40 мм (перенапряжение при этом не превышает 5 %).

Общий случай сложного сопротивления

К оглавлению…

Задача №8.9

Пространственная система (рис. 8.18, а), состоящая из трех стальных стержней круглого поперечного сечения диаметром d= 4 см и жестко соединенных между собой под прямым углом, нагружена расчетной нагрузкой.

Расчетные сопротивления для стали R = 210 МПа, .

Проверить прочность стержней системы.

Решение:

Стержни системы находятся под действием различных видов и направлений нагрузки. Чтобы установить вид сопротивления на каждом стержне системы, необходимо построить эпюры внутренних силовых факторов. Для этого целесообразно рассматривать систему со свободного конца. В таком случае не потребуется определять опорные реакции в защемлении системы и сложность эпюр будет нарастать постепенно.

Для каждого стержня системы, начиная с первого, составляется расчетная схема с использованием локальной системы координат (см. рис. 8.18, а). Переходя к последующему стержню, необходимо по правилу механики перенести к нему все силы, действующие на предыдущий стержень.

При переносе сосредоточенной силы F параллельно самой себе образуются сосредоточенная сила F той же величины и направления и момент М, равный произведению силы F на плечо а (расстояние переноса):

М = Fa.

Сосредоточенный момент М параллельно самому себе «перемещается» по оси, относительно которой он действует.

Приступим к составлению расчетных схем, определению внутренних сил в характерных сечениях каждого стержня системы, начиная с первого, и построению их эпюр.

Поперечные силы от изгиба во внимание не принимаются.

Стержень 1 (А В).

Расчетная схема стержня — защемление в точке В (рис. 8.18, д).

Нагрузкой на стержень является сосредоточенная сила F = 0,6 кН, действующая по направлению оси X Она вызывает изгиб стержня относительно оси Y.

Изгибающие моменты:

Ординаты момента откладываются по направлению оси X со стороны растянутых волокон стержня, т. е. справа от оси Z (АВ) (рис. 8.18, и).

Другие силовые факторы

Общее правило: в системе взаимно перпендикулярных осей m, п сила F, действующая по направлению оси п, создает изгиб относительно оси m и ордината изгибающего момента откладывается по направлению силы F.

Стержень 2 (ВС).

Расчетная схема стержня — защемление в точке С (рис. 8.18, в). Непосредственно на стержень действует распределенная нагрузка q. Нагрузка F, действующая на первый стержень в т. А, будучи приведенной к т. В второго стержня, образует сосредоточенную силу F, направленную параллельно оси X, и момент относительно оси Z, направленный по часовой стрелке, если смотреть со стороны сечения стержня.

Распределенная нагрузка q создает изгиб стержня относительно оси Х , а сосредоточенная F — изгиб относительно оси Y. Момент создает кручение относительно оси Z.

Таким образом, второй стержень подвергается изгибу (в двух плоскостях) и кручению.

Определим значения внутренних сил в характерных сечениях.

Крутящий момент

  • Изгибающие моменты: в т. В = 0, = 0,
  • в т. С

Ординаты эпюры (параболический треугольник) отложены по оси Y сверху продольной оси Z стержня, a — по оси X справа оси Z, в обоих случаях — со стороны растянутых волокон. Продольная сила во втором стержне

N = 0.

Эпюры внутренних сил показаны на рис. 8.18, ж-и.

Стержень 3 (СД).

Расчетная схема — защемление в т. Д (см. рис. 8.18, б). Непосредственно действующих на стержень внешних сил нет. Силы, действующие на предыдущие участки, будучи приведенными к третьему, образуют в т. С сосредоточенные силы F и и моменты

а также момент (на предыдущем стержне это ).Сосредоточенная сила F создает в стержне деформацию сжатия. Сосредоточенная сила и момент создают деформацию изгиба относительно оси X (т. е. в вертикальной плоскости), а момент -изгиб относительно оси Y (т. е. в горизонтальной плоскости). Момент создает деформацию кручения.

Внутренние силы в стержне.

Изгибающие моменты:

в т. С

в т. Д

Крутящий момент

Продольная сила

Эпюры внутренних сил показаны на рис. 7.18, еи. Ординаты эпюр и отложены со стороны растянутых волокон стержня. Как изгибается стержень, нетрудно представить по расчетной схеме.

Анализ эпюр внутренних сил позволяет установить вид сопротивления каждого стержня системы, выявить опасное сечение и проверить его прочность.

Сначала вычислим необходимые геометрические характеристики сечения (сечение круглое, диаметром d = 4 см). Площадь сечения

Осевой момент сопротивления

Полярный момент сопротивления:

В стержне АВ возникает лишь изгибающий момент . Значит, он подвергается плоскому изгибу. Опасное сечение В, где

Максимальное нормальное напряжение в стержне

Условие прочности удовлетворяется.

Стержень ВС подвергается изгибу в двух плоскостях и кручению. Опасное сечение С, где , ,

Поскольку изгиб происходит в двух плоскостях, необходимо вычислить суммарный изгибающий момент:

Максимальное касательное напряжение от крутящего момента

Максимальное нормальное напряжение от суммарного изгибающего момента

Так как стержень подвергается изгибу с кручением, проверку прочности следует выполнить по теории прочности (формула (8.10)). Максимальное расчетное напряжение

Условие прочности удовлетворяется.

Стержень СД подвергается сжатию, изгибу в двух плоскостях и кручению.

Опасное сечение Д, где N = 0,6 кН, , , .

Суммарный изгибающий момент

Максимальное касательное напряжение от крутящего момента

Максимальное нормальное напряжение от суммарного момента

Максимальное нормальное напряжение от сжимающей продольной силы

Максимальное расчетное напряжение

Условие прочности удовлетворяется.

В завершение примера установим положение наиболее напряженной точки в опасном сечении Д.

Нормальные напряжения от продольной силы N распределяются по сечению равномерно. Касательные напряжения от крутящего момента Т максимальны по контуру сечения. Максимальные нормальные напряжения от изгибающих моментов и будут также на контуре сечения по линии действия суммарного момента . Таким образом, наиболее напряженной является точка К, лежащая на контуре сечения по линии действия (рис. 8.18, г). Расчетное напряжение в этой точке

Координаты точки К легко определить, вычислив значение угла

Продольный и продольно-поперечный изгибы

К оглавлению…

Задача №9.2

Стальная стойка длиной l = 5 м, составленная из двух швеллеров 12, центрально нагружена сжимающей силой F = 190 кН (рис. 9.5).

Определить, каким запасом на устойчивость обладает стойка при условии равноустойчивости.

Решение:

Необходимые геометрические характеристики для швеллера 12

Для сечения стойки: площадь

момент инерции относительно оси X

условие равноустоичивости

момент инерции сечения относительно оси Y с учетом равноустойчивости


откуда расстояние между осями швеллеров а = 9,06 см; радиусы инерции стойки

При шарнирном закреплении концов стойки коэффициент приведения длины

Гибкость стойки

Так как гибкость стойки больше предельного значения для стали , то для определения критической силы используется формула Эйлера (9.2):


Коэффициент запаса устойчивости по формуле (9.1)

Продольно-поперечный изгиб

К оглавлению…

Задача №9.5

Стальная стойка из двутавра № 22 нагружена сосредоточенной продольной силой F и равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 9.9, а)

Проверить прочность и устойчивость стойки, если R = 210 МПа.

Решение:

Проанализируем характер действия нагрузок. Продольная сила F создает центральное сжатие стойки, а распределенная q — изгиб. Значит, стержень подвергается продольно-поперечному изгибу.

Геометрические характеристики сечения двутавра № 22

Проверим устойчивость стойки от действия сосредоточенной силы F. По условию закрепления концов стойки коэффициент приведения длины

Гибкость стойки относительно главных центральных осей

Проверку устойчивости следует проводить в плоскости гибкости, т. е. относительно оси Y.

Для max Xv = 194 по таблице ф = /{Х) коэффициент продольного изгиба ф = 0,186.

Наибольшая допустимая нагрузка F по условию устойчивости (9.8)

что превышает действующую нагрузку в 119,5/80 = 1,49 раза — устойчивость стойки обеспечена.

Для проведения расчета стойки на прочность необходимо рассмотреть ее деформированное состояние (рис. 9.9, б).

Прогиб от поперечной нагрузки q (консольная балка с равномерно распределенной нагрузкой) происходит относительно оси X, в направлении оси Y


Полный прогиб стойки определяется по формуле (9.11):

в которой эйлерова сила

Заметим, что при вычислении эйлеровой силы момент инерции берется относительно главной центральной оси сечения, перпендикулярной действию нагрузки q, т. е. относительно оси X.

Полный прогиб конца стойки

В сечениях стойки возникает изгибающий момент как от поперечной нагрузки , так и от продольной (рис. 9.9, в).

В опасном сечении (защемлении) полный изгибающий момент

Проверка прочности осуществляется по формуле (9.13):

Следовательно, прочность и устойчивость стойки обеспечены.

Расчеты при действии динамических нагрузок

К оглавлению…

Задача №10.2

Швеллер № 20 при помощи тросов, каждый сечением , поднимается вверх с ускорением (рис. 10.3, а).

Определить нормальные напряжения в тросе и швеллере.

Собственный вес тросов не учитывать.

Решение:

Геометрические характеристики для швеллера № 20, уложенного плашмя, , Линейная плотность Вес погонной длины 1 м швеллера в системе СИ

Сначала определим напряжения в швеллере. Его собственный вес является равномерно распределенной нагрузкой q = 181 Н/м. Расчетная схема поднимаемого швеллера показана на рис. 10.3, б.

Определение опорных реакций и построение эпюры изгибающих моментов (рис. 10.3, в) выполняются обычными методами.

Напряжение в швеллере от статического действия собственного веса

Динамический коэффициент

Динамическое напряжение в швеллере

Вес швеллера является нагрузкой на тросы.

Продольная сила в тросах

Напряжение в тросах от статического действия веса швеллера

Динамическое напряжение в тросе

При подъеме элементов строительных конструкций, особенно длинных и большого веса, а иногда в непроектном положении, важно, чтобы монтажные напряжения были возможно меньшими. Это достигается по крайней мере двумя методами: малым ускорением в начале и окончании подъема (определяется характеристикой двигателя подъемного устройства) и рациональным местом строповки (закрепление подъемных канатов).

Анализ эпюры М (см. рис. 10.3, в) показывает, что места строповки выбраны недостаточно рационально, так как в середине длины швеллера изгибающий момент равен нулю.

Нетрудно понять, что изменение расстояния а приведет к появлению изгибающего момента в сечении 3 швеллера. Причем увеличение расстояния а приведет к повышению , а уменьшение его -к уменьшению . Рациональным будет следующее соотношение изгибающих моментов (рис. 10.3, г):

Определим оптимальное значение расстояния а. По расчетной схеме

Условие рациональности

Решив квадратное уравнение, получим а = 1,243 м.

При а = 1,243 м

что на 45,9 % меньше, чем при а = 1,5 м. На столько же процентов уменьшится и напряжение в швеллере. Напряжение в тросе не изменится.

Расчет на ударную нагрузку

К оглавлению…

Задача №10.5

На стальную балку, состоящую из двух двутавров № 22 длиной l = 5 м с абсолютно жесткими опорами (рис. 10.8, а), посередине пролета падает с высоты H = 1 см груз массой m = 510 кг.

В опасном сечении балки определить максимальное нормальное напряжение и прогиб.

Как изменятся искомые величины, если одна из опор балки будет упругой (цилиндрическая пружина с податливостью Рис.10.8,б?

Решение:

Для двутавра № 22 , Нагрузка на балку

Расчет при жестких опорах без учета массы балки. Опасным будет сечение посередине пролета балки, поскольку здесь изгибающий момент наибольший:

Напряжение и прогиб от статического действия груза весом Q

Динамический коэффициент, напряжение и прогиб

Рекомендуется самостоятельно провести расчет с учетом массы балки

Результаты будут несколько меньшими

Расчет при одной упругой (податливой) опоре.

Осадка пружины на опоре В от статического действия груза

Статический прогиб в точке удара

Динамические параметры

Заметим, что при наличии амортизатора на опоре балки динамическое напряжение в ней уменьшается.

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Расчет на колебательную (вибрационную) нагрузку

К оглавлению…

Задача №10.8

Электродвигатель весом Q = 4 кН установлен в середине пролета двухопорной балки, выполненной из двух прокатных швеллеров №20 (рис. 10.13).

Электродвигатель делает п = 800 об/мин. Вертикальная амплитуда возмущающей силы Р = 1 кН.

Проверить прочность балки, если R = 210 МПа. Собственным весом швеллеров пренебречь.

Решение:

Из таблицы сортамента прокатных швеллеров для № 20 следует

Прогиб балки в середине пролета от статического действия груза Q


Частота собственных колебаний балки


Частота вынужденных колебаний балки

Заметим, что отношение

т е. эксплуатация конструкции будет происходить вне опасной резонансной зоны.

Напряжение от веса двигателя (опасное сечение посредине пролета балки)


Динамический коэффициент

Напряжение от возмущающей силы

Максимальное напряжение в балке

Условие прочности удовлетворяется.

Амплитуда вынужденных колебаний от возмущающей силы Р

Максимальный прогиб в середине пролета балки

Максимальный относительный прогиб

что соответствует большой жесткости балки.