Готовые задачи по начертательной геометрии

Оглавление:

Задачи по начертательной геометрии

На этой странице я собрала готовые задачи с решением по всем темам начертательной геометрии с подробным алгоритмом решения и теорией, надеюсь они вам помогут.

Начертательная геометрия

Начертательная геометрия представляет собой раздел геометрии, занимающийся изучением форм предметов реального мира и абстрактных закономерностей с использованием «плоских эквивалентов многомерного пространства»- чертежей.

Начертательная геометрия является одной из базовых учебных дисциплин в вузах и колледжах России. Однако методы ее преподавания и изучения до сих пор практически не претерпели изменений: те же лекции с традиционной линейкой, те же практические занятия с заготовками для задач в рабочих тетрадях, все те же ветшающие в библиотеках старые учебники, которых все более и более не хватает.

В этой связи содержание начертательной геометрии можно свести к следующим двум основным вопросам:

  • разработке способов построения изображений (чертежей) пространственных фигур на двумерной плоскости;
  • изучению способов решения и исследования пространственных задач при помощи «плоских эквивалентов» (чертежей).

Начертательная геометрия является одной из базовых учебных дисциплин в вузах и колледжах России. Однако методы ее преподавания и изучения до сих пор практически не претерпели изменений: те же лекции с традиционной линейкой, те же практические занятия с заготовками для задач в рабочих тетрадях, все те же ветшающие в библиотеках старые учебники, которых все более и более не хватает.

Построение проекции плоского контура по заданному условию

Задача №1.

Построить проекции плоского контура по заданному условию. Задача имеет два варианта условий.

Варианты 1-15: построить фронтальную и горизонтальную проекции ромба Задачи по начертательной геометрии с диагоналями Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии по заданному условию: вершина ромба, точка Задачи по начертательной геометрии, дана, а диагональ Задачи по начертательной геометрии лежит на заданной прямой уровня Задачи по начертательной геометрии вторая диагональ ромба Задачи по начертательной геометрии равна 130 мм и проходит через заданную точку Задачи по начертательной геометрии. Диагональ ромба Задачи по начертательной геометрии определяется построениями. Определить углы наклона диагонали ромба Задачи по начертательной геометрии к плоскостям проекций Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии.

Варианты 16-30: построить проекции квадрата Задачи по начертательной геометрии с диагоналями Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии но заданному условию: вершина квадрата, точка Задачи по начертательной геометрии, дана, а диагональ Задачи по начертательной геометрии лежит на заданной прямой Задачи по начертательной геометрии; вторая диагональ квадрата проходит через заданную точку Задачи по начертательной геометрии. Диагонали квадрата определяются построениями. Определить углы наклона диагонали квадрата Задачи по начертательной геометрии к плоскостям проекций Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии.

Данные всех вариантов представлены координатами Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии точек Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии в табл. 4.1.

На образце показан пример решения задачи 1 по условию вариантов 1-15, т.е. построены проекции ромба Задачи по начертательной геометрии.

Для решения задачи рассмотрим ромб как геометрическую фигуру: диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения (точка Задачи по начертательной геометрии) делятся пополам.

Задачи по начертательной геометрии

По заданным в табл. 4.1 координатам точек построить на левой половине листа 1 графическое условие задачи: проекции фронтальной прямой уровня Задачи по начертательной геометрии и проекции точки Задачи по начертательной геометрии. В левом верхнем углу выполнить таблицу с координатами точек своего варианта.

План графических действий для решения задачи 1 :

1-е действие. Построить фронтальную и горизонтальную проекции прямой общего положения Задачи по начертательной геометрии, проходящей через точку Задачи по начертательной геометрии, на которой будет лежать диагональ ромба Задачи по начертательной геометрии:

  • фронтальная проекция Задачи по начертательной геометрии этой прямой перпендикулярна фронтальной проекции Задачи по начертательной геометрии прямой уровня Задачи по начертательной геометрии (в соответствии с теоремой о проекции прямого угла) и проходит через фронтальную проекцию Задачи по начертательной геометрии точки Задачи по начертательной геометрии;

-фронтальная проекция Задачи по начертательной геометрии точки пересечения диагоналей ромба определяется на пересечении фронтальных проекций заданной прямой уровня Задачи по начертательной геометрии и построенной прямой Задачи по начертательной геометрии, а ее горизонтальная Задачи по начертательной геометрии проекция построена по линии связи на проекции Задачи по начертательной геометрии прямой Задачи по начертательной геометрии;

горизонтальная проекция прямой Задачи по начертательной геометрии проходит через горизонтальные проекции точек Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии.

2-е действие. Построить на прямой общего положения Задачи по начертательной геометрии проекции отрезка Задачи по начертательной геометрии (половина второй диагонали ромба Задачи по начертательной геометрии, построение см. на рис. 4.11 и 4.12), т.е. построить проекции вершины Задачи по начертательной геометрии ромба.

3-е действие. Построить проекции вершин ромба Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии. отложив на диагоналях от точки Задачи по начертательной геометрии отрезки, равные построенным проекциям половин диагоналей Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии.

4-е действие. Достроить проекции ромба Задачи по начертательной геометрии, соединив прямыми линиями построенные проекции его вершин.

5-е действие. Определить углы наклона половины диагонали ромба — отрезка Задачи по начертательной геометрии к плоскостям проекций Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии: построить натуральную величину отрезка Задачи по начертательной геометрии способом прямоугольного треугольника относительно горизонтальной Задачи по начертательной геометрии проекции этого отрезка и определить искомые углы:

-угол Задачи по начертательной геометрии наклона отрезка Задачи по начертательной геометрии к плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии определяется между проекцией Задачи по начертательной геометрии половины диагонали и гипотенузой Задачи по начертательной геометрии построенного прямоугольного треугольника Задачи по начертательной геометрии;

  • угол Задачи по начертательной геометрии наклона отрезка Задачи по начертательной геометрии к плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии определяется между проекцией Задачи по начертательной геометрии половины диагонали и гипотенузой Задачи по начертательной геометрии построенного относительно горизонтальной проекции Задачи по начертательной геометрии прямоугольного треугольника Задачи по начертательной геометрии.

Построение фронтальной и горизонтальной проекции линии пересечения двух плоскостей общего положения

Задача №2.

Построить фронтальную и горизонтальную проекции линии пересечения двух плоскостей общего положения. Задача имеет два варианта графических условий.

Варианты 1-15: построить проекции линии пересечения двух плоскостей общего положения Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии, заданных треугольными отсеками.

Варианты 16-30: построить проекции линии пересечения треугольника Задачи по начертательной геометрии и параллелограмма Задачи по начертательной геометрии, предварительно достроив проекции вершины Задачи по начертательной геометрии параллелограмма.

Данные всех вариантов представлены координатами Задачи по начертательной геометрии, точек Задачи по начертательной геометрии Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии в табл. 4.2.

На образце дан пример решении задачи 2 но графическому условию вариантов 1-15.

Поскольку проекции заданных плоскостей общего положения Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии на чертеже накладываются, то для построения линии их пересечения используем графический алгоритм построения точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общею положения, изложенный выше (см. описания к рис. 4.37 и 4.38). Графические действия алгоритма следует выполнить дважды, гак как прямая пересечения плоскостей проходит через две общие точки.

План графических действий для решения задачи 2:

Построить точку Задачи по начертательной геометрии пересечения прямой Задачи по начертательной геометрии с плоскостью Задачи по начертательной геометрии:

1-е действие. Заключить прямую Задачи по начертательной геометрии (сторону треугольника Задачи по начертательной геометрии) во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость Задачи по начертательной геометрии и обозначить ее фронтальный след Задачи по начертательной геометрии.

2-е действие. Построить проекции линии пересечения Задачи по начертательной геометрии вспомогательной плоскости Задачи по начертательной геометрии с другим треугольником Задачи по начертательной геометрии.

3-е действие. Определить проекции точки пересечения Задачи по начертательной геометрии стороны Задачи по начертательной геометрии с плоскостью Задачи по начертательной геометрии, продлив горизонтальную проекцию построенной вспомогательной линии Задачи по начертательной геометрии до пересечения с горизонтальной Задачи по начертательной геометрии проекцией стороны Задачи по начертательной геометрии.

II. Повторить графические действия алгоритма и построить проекции второй точки Задачи по начертательной геометрии пересечения прямой Задачи по начертательной геометрии с плоскостью Задачи по начертательной геометрии, заключив ее во вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость Задачи по начертательной геометрии. и обозначить ее горизонтальный след Задачи по начертательной геометрии; соединить прямыми одноименные проекции построенных точек (в пределах треугольников можно рассматривать линию Задачи по начертательной геометрии).

4-е действие. Определить относительную видимость плоскостей Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии. рассмотрев две пары конкурирующих точек: точки 1-5 для определения видимости на фронтальной проекции и точки 3-6 для определения видимости на горизонтальной проекции.

!!! Внимание! К листу 1 выполнить приложение, изложив на листах писчей бумаги планы решения задач 1 и 2.

Для решения задач 3 и 4 следует усвоить материал начертательной геометрии по теме.

Тема 2:

  • перпендикулярность прямой и плоскости;
  • теорема о проекции прямого угла (см. рис. 4.17, 4.18. 4.19 — повторить);
  • перпендикулярность плоскостей.

Перпендикулярности прямой и плоскости

Решение задач на тему перпендикулярности прямой и плоскости основано на двух теоремах геометрии:

1-я теорема: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

2-я теорема: о проекции прямого угла (изложена выше — см. рис. 4.17, 4.18 и 4.19 к листу 1) — если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то на эту плоскость проекций угол проецируется прямым.

Из этих двух теорем следует, что на чертеже проекции перпендикуляра к плоскости можно провести только к проекциям фронтали и горизонтали, то есть к двум пересекающимся прямым уровня, которые можно провести в плоскости.

!!! Запомните:

  • фронтальная проекция Задачи по начертательной геометрии перпендикулярной прямой к плоскости перпендикулярна к фронтальной проекции Задачи по начертательной геометрии фронтали этой плоскости — Задачи по начертательной геометрии;
  • горизонтальная проекция Задачи по начертательной геометрии перпендикулярной прямой к плоскости перпендикулярна к горизонтальной проекции Задачи по начертательной геометриигоризонтали этой плоскости — Задачи по начертательной геометрии

Задачи на тему перпендикулярности прямой и плоскости можно разделить натри группы:

1-я группа. Провести от точки, лежащей в плоскости, перпендикуляр в пространство.

2-я группа. Провести из точки, не лежащей в плоскости, перпендикуляр к этой плоскости.

3-я группа. Построить плоскость, перпендикулярную к прямой общего положения (построить геометрическое место точек — ГМТ).

Задачи по начертательной геометрии

Первая группа задач требует по условию проведения перпендикуляра от плоскости (восстановить перпендикуляр) в пространство (рис. 4.39).

В этой группе задач требуется, как правило, построить на проведенном перпендикуляре проекции отрезка заданной величины Графические действия по построению проекций отрезка заданной величины на проекциях прямой общего положения изложены ранее (см. рис. 4.12 к листу 1).

На рис. 4.39 показано решение примерной задачи первой группы: построить плоскость Задачи по начертательной геометрии параллельную заданной плоскости Задачи по начертательной геометрии, на расстоянии 15 мм.

Эта задача относится к первой группе, поскольку для построения параллельной плоскости Задачи по начертательной геометрии нужно предварительно построить произвольную точку на расстоянии 15 мм от заданной плоскости Задачи по начертательной геометрии, то есть из произвольной точки плоскости провести перпендикуляр в пространство.

Для решения задачи требуется выполнить следующий графический алгоритм :

1-е действие. Провести в заданной плоскости общего положения Задачи по начертательной геометрии проекции фронтали Задачи по начертательной геометрии и горизонтали Задачи по начертательной геометрии:

  • Задачи по начертательной геометрии — построить по вспомогательной точке 1;
  • Задачи по начертательной геометрии — построить по вспомогательной точке 2.

2-е действие. Провести от точки плоскости, например, от вершины Задачи по начертательной геометрии в пространство проекции перпендикуляра Задачи по начертательной геометрии:

  • фронтальную проекцию Задачи по начертательной геометрии перпендикулярно Задачи по начертательной геометрии;
  • горизонтальную проекцию Задачи по начертательной геометрии перпендикулярно Задачи по начертательной геометрии.

3-е действие. На проекциях перпендикуляра Задачи по начертательной геометрии построить проекции отрезка заданной величины 15 мм. для чего выполнить следующие графические действия:

  1. Ограничить построенную прямую Задачи по начертательной геометрии произвольным отрезком Задачи по начертательной геометрии.
  2. Построить натуральную величину этого отрезка (см. рис. 4.11) способом прямоугольного треугольника — это гипотенуза Задачи по начертательной геометрии.
  3. На построенной гипотенузе отложить заданную величину Задачи по начертательной геометрии и построить проекции отрезка Задачи по начертательной геометрии заданной величины (см. построения), т.е. проекции точки Задачи по начертательной геометрии, находящейся на расстоянии 15 мм от плоскости Задачи по начертательной геометрии.

4-е действие. Построить плоскость Задачи по начертательной геометрии, параллельную заданной плоскости Задачи по начертательной геометрии, проведя через проекции точку Задачи по начертательной геометрии две пересекающиеся прямые Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии, соответственно параллельные двум пересекающимся прямым Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии плоскости Задачи по начертательной геометрии:

  • Задачи по начертательной геометрии;
  • Задачи по начертательной геометрии, то есть Задачи по начертательной геометрии.

К первой группе относится задача 3 графической работы № 2.

Вторая группа задач требует по условию проведения перпендикуляра из точки в пространстве к плоскости (опустить перпендикуляр). В этой группе задач, как правило, требуется построить точку пересечения построенного перпендикуляра с заданной плоскостью.

Построение точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения было рассмотрено выше (см. рис. 4.37).

На рис. 4.40 показано решение примерной задачи второй группы: определить расстояние от точки Задачи по начертательной геометрии до заданной плоскости Задачи по начертательной геометрии.

Эта задача относится ко второй группе, так как расстояние от точки Задачи по начертательной геометрии до заданной плоскости Задачи по начертательной геометрии определяется величиной перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости.

Для решения задачи требуется выполнить следующий графический алгоритм:

1-е действие. Провести в плоскости фронталь Задачи по начертательной геометрии и горизонталь Задачи по начертательной геометрии.

2-е действие. Провести через заданную точку Задачи по начертательной геометрии проекции перпендикуляра Задачи по начертательной геометрии к плоскости Задачи по начертательной геометрии:

Задачи по начертательной геометрии перпендикулярноЗадачи по начертательной геометрии;

Задачи по начертательной геометрии перпендикулярно Задачи по начертательной геометрии.

Задачи по начертательной геометрии

3-е действие. Построить точку пересечения Задачи по начертательной геометрии перпендикуляра Задачи по начертательной геометрии с заданной плоскостью общего положения Задачи по начертательной геометрии. выполнив промежуточный графический алгоритм:

  1. Заключить прямую Задачи по начертательной геометрии во вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость Задачи по начертательной геометрии
  2. Построить вспомогательную линию пересечения 3-4 заданной плоскости Задачи по начертательной геометрии со вспомогательной плоскостью Задачи по начертательной геометрии:
  • Задачи по начертательной геометрии — определяется на следе Задачи по начертательной геометрии;
  • Задачи по начертательной геометрии — строится по принадлежности точек 3 и 4 сторонам Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии треугольника Задачи по начертательной геометрии.
  1. Определить проекции искомой точки пересечения Задачи по начертательной геометрии на пересечении проекций построенной вспомогательной линии пересечения 3-4 с проекциями перпендикуляра Задачи по начертательной геометрии.

4-е действие. Построить натуральную величину отрезка Задачи по начертательной геометрии способом прямоугольного треугольника, то есть определить расстояние от точки Задачи по начертательной геометрии до плоскости Задачи по начертательной геометрии.

Ко второй группе относится задача 4 графической работы № 2.

Третья группа задач требует по условию построения некоторой вспомогательной плоскости (геометрического места точек), перпендикулярной к прямой общего положения. Эту перпендикулярную плоскость можно задать двумя пересекающимися прямыми, каждая из которых должна быть перпендикулярна прямой общего положения (теорема о перпендикулярности прямой и плоскости, т.е. признак перпендикулярности прямой и плоскости). На чертеже плоскость, перпендикулярную к прямой общего положения, можно задать только проекциями пересекающихся прямых уровня — фронтальной (параллельной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии и горизонтальной (параллельной плоскости Задачи по начертательной геометрии), что соответствует теореме о проекции прямого угла. В задачах этой группы, как правило, требуется по условию определить точку пересечения заданной прямой со вспомогательной перпендикулярной плоскостью.

Па рис. 4.41 показано решение примерной задачи третьей группы: определить расстояние от точки Задачи по начертательной геометрии до прямой общего положения Задачи по начертательной геометрии.

Эта задача относится к третьей группе, поскольку на чертеже провести перпендикуляр к прямой общего положения, но которому определяется расстояние от точки Задачи по начертательной геометрии до заданной прямой Задачи по начертательной геометрии. нельзя (прямой угол в этом случае не проецируется

Задачи по начертательной геометрии

прямым). Следовательно, для решения нужно построить вспомогательную плоскость Задачи по начертательной геометрии, перпендикулярную к заданной прямой, которая будет геометрическим местом всех перпендикуляров к этой прямой.

Для решения задачи требуется выполнить следующий графический алгоритм:

1-е действие. Построить вспомогательную плоскость Задачи по начертательной геометрии, перпендикулярную заданной прямой Задачи по начертательной геометрии, задав ее двумя пересекающимися прямыми уровня Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии:

  • горизонтальной прямой Задачи по начертательной геометрии;
  • фронтальной прямой Задачи по начертательной геометрии.

2-е действие. Построить точкуЗадачи по начертательной геометриипересечения заданной прямой Задачи по начертательной геометрии со вспомогательной плоскостью Задачи по начертательной геометрии по алгоритму построения точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения (см. рис. 4.40).

3-е действие. Соединить одноименные проекции точек Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии: полученный отрезок общего положения Задачи по начертательной геометрии и есть расстояние от точки до прямой, искаженное на проекциях по величине.

4-е действие. Построить натуральную величину построенного отрезка Задачи по начертательной геометрии способом прямоугольного треугольника (см. рис. 4.40).

Образец выполнения листа 2 с задачами 3 и 4 показан на рис. 4 42, а и б. Задачи выполнить на формате A3 чертежной бумаги

Задача №3. выполняется на левой половине поля чертежа.

По заданному условию своего варианта построить графическое условие задачи: фронтальную и горизонтальную проекции плоскости общего положения Задачи по начертательной геометрии — основания прямой призмы (рассматривается решение задачи по условию вариантов 1-15).

Рассмотрим прямую правильную призму. Из геометрии известно: ребра и основания у любой призмы равны и параллельны, ау прямой призмы -ребра перпендикулярны основанию.

План графических действий решения задачи:

1-е действие. Провести в плоскости Задачи по начертательной геометрии проекции фронтали Задачи по начертательной геометрии и горизонтали Задачи по начертательной геометрии.

2-е действие. Провести проекции перпендикуляраЗадачи по начертательной геометрии из вершины Задачи по начертательной геометрии плоскости основания в пространство, т.е. построить направление ребер призмы.

3-е действие. Построить на перпендикуляре Задачи по начертательной геометрии проекции отрезка Задачи по начертательной геометрии заданной величины 65 мм, т.е. проекции ребра призмы.

4-е действие. Провести из вершин основания Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии прямые, параллельные и равные построенному отрезку Задачи по начертательной геометрии. и достроить второе основание призмы.

5-е действие. Определить относительную видимость граней призмы на ее проекциях по конкурирующим точкам.

Задача №4. выполняется на правой половине поля чертежа.

По заданному условию своего варианта построить графическое условие задачи: фронтальные и горизонтальные проекции плоскости общего положения Задачи по начертательной геометрии и отрезка общего положения Задачи по начертательной геометрии (рассматривается решение задачи по условию вариантов 16-30).

Задачи по начертательной геометрии

Заданная плоскость общего положения Задачи по начертательной геометрии по условию задачи является плоскостью проекций, и проецирующие лучи из концов отрезка Задачи по начертательной геометрии должны быть перпендикулярны этой плоскости.

План графических действий для решения задачи:

1-е действие. Провести в заданной плоскости Задачи по начертательной геометрии фронталь Задачи по начертательной геометрии и горизонталь Задачи по начертательной геометрии.

2-е действие. Провести проекции перпендикуляров (проецирующих лучей) из конечных точек Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии отрезка к плоскости Задачи по начертательной геометрии.

3-е действие. Построить точки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии пересечения перпендикуляров-лучей с плоскостью проекций Задачи по начертательной геометрии, полученные проекции отрезка Задачи по начертательной геометрии, лежащего в плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии, и есть прямоугольная проекция отрезка Задачи по начертательной геометрии на эту его плоскость.

!!! Внимание. К листу 2 выполнить приложение, изложив на листах писчей бумаги планы решения задач 3 и 4.

Задача №5. Задача имеет два варианта графических условий.

Варианты 1-15. Построить проекции центра окружности, описанной вокруг плоскости общего положения, заданной треугольником Задачи по начертательной геометрии, способом замены плоскостей проекций.

Варианты 16-30. Построить проекции центра сферы, вписанной в плоский угол Задачи по начертательной геометрии, способом -замены плоскостей проекций.

Задача №6. Задача имеет два варианта графических условий.

Варианты 1-15. Построить натуральную величину заданного треугольника Задачи по начертательной геометрии (из задачи 5) способом вращения вокруг линии уровня — фронтали или горизонтали (линия уровня указана для каждого варианта в табл. 4.4).

Варианты 16-30. Построить натуральную величину заданного угла Задачи по начертательной геометрии (из задачи 5) способом вращения вокруг линии уровня (указана для каждого варианта в табл. 4.4).

Данные всех вариантов представлены координатами Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии точек Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии в табл. 4.4.

Задачи по начертательной геометрии
Задачи по начертательной геометрии

Задание прямых линий и плоскостей в частных положениях относительно плоскостей проекций

Задание прямых линии и плоскостей в частных положениях относительно плоскостей проекций значительно упрощает построения и решение различных задач. Существует несколько способов преобразования чертежа, которые позволяют переходить от общих положений геометрических элементов в условиях задач к частным. Рассмотрим эти способы.

I. Способ замены (перемены) плоскостей проекции:

Способ замены плоскостей проекций даст возможность изменить общие положения прямых и плоскостей относительно плоскостей проекций Н или V на частные положения введением дополнительных плоскостей проекций.

Сущность способа:

  • положение предмета в пространстве не меняется, а изменяется положение плоскостей проекций относительно этого предмета так. чтобы в дополнительной системе плоскостей проекций предмет занял частное положение (проецирующее или положение уровня), удобное для решения задачи;
  • проецирование предмета на дополнительные плоскости проекций выполняется по методу Г. Монжа — методу параллельного прямоугольного проецирования на взаимно перпендикулярные плоскости, то есть сохраняется взаимная перпендикулярность основных и дополнительных плоскостей проекций.

На рис. 4.43 изображена наглядная картина построения фронтальной проекции отрезка Задачи по начертательной геометрии на дополнительную плоскость проекций Задачи по начертательной геометрии.

Образована дополнительная система перпендикулярных плоскостей проекций Задачи по начертательной геометрии с новой осью проекции Задачи по начертательной геометрии. Обратите внимание, что координаты Задачи по начертательной геометрии фронтальных проекций Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии конечных точек отрезка на дополнительной плоскости Задачи по начертательной геометрии равны координатам Задачи по начертательной геометрии фронтальных проекций Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии точек в заданной системе Задачи по начертательной геометрии. Для получения чертежа дополнительную плоскость Задачи по начертательной геометрии поворачивают вокруг новой оси проекций Задачи по начертательной геометрии до совмещения с плоскостью проекций Задачи по начертательной геометрии.

Задачи по начертательной геометрии

На рис. 4.44 показан чертеж (эпюр) произвольного преобразования отрезка Задачи по начертательной геометрии общего положения двумя последовательными заменами плоскостей проекций, для чего выполнены следующие графические действия:

I замена.

1-е действие. Введена первая дополнительная система Задачи по начертательной геометрии, ось проекций Задачи по начертательной геометрии которой расположена произвольно на поле чертежа.

2-е действие. Построена в дополнительной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии фронтальная проекция Задачи по начертательной геометрии отрезка Задачи по начертательной геометрии:

  • проведены линии связи от горизонтальных Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии проекций конечных точек отрезка, перпендикулярные оси проекций Задачи по начертательной геометрии
  • от оси проекций Задачи по начертательной геометрии отложены координаты Задачи по начертательной геометрии, равные координатам Задачи по начертательной геометрии фронтальных Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии проекций точек Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии в заданной системе Задачи по начертательной геометрии.

II замена.

3-е действие. Введена вторая дополнительная система Задачи по начертательной геометрии, ось проекций Задачи по начертательной геометрии которой расположена произвольно на поле чертежа.

4-е действие. В дополнительной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии построена горизонтальная проекция Задачи по начертательной геометрии отрезка Задачи по начертательной геометрии:

  • от построенных в первой дополнительной системе фронтальных проекций точек Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии проведены линии связи, перпендикулярные оси проекций
  • от оси проекций Задачи по начертательной геометрии отложены координаты Задачи по начертательной геометрии, взятые из предыдущей системы Задачи по начертательной геометрии: от оси Задачи по начертательной геометрии до горизонтальных Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии проекций точек Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии.

Поскольку на рис. 4.44 рассмотрен пример произвольного, без всяких условий, двойного преобразования прямой общего положения, то и в первой, и во второй дополнительных системах этот отрезок преобразовался также в прямую общего положения.

Для преобразования прямой или плоскости общего положения в прямую или плоскость частного положения рассмотрим четыре основные задачи преобразования способом замены плоскостей проекций, применяемые как отдельные графические действия для решения различных задач.

Задачи по начертательной геометрии

Задача №1. Преобразовать прямую общего положения в прямую уровня.

На рис. 4.45 показано преобразование прямой общего положения Задачи по начертательной геометрии во фронтальную прямую уровня. Для решения задачи выполнен следующий графический алгоритм:

1-е действие. Ввести дополнительную систему плоскостей проекций Задачи по начертательной геометрии расположив ось проекций Задачи по начертательной геометрии параллельно горизонтальной проекции Задачи по начертательной геометрииЗадачи по начертательной геометрии отрезка Задачи по начертательной геометрии.

2-е действие. Построить фронтальную проекцию Задачи по начертательной геометрии отрезка в дополнительной плоскости Задачи по начертательной геометрии по координатам Задачи по начертательной геометрии, взятым из предыдущей системы Задачи по начертательной геометрии.

В результате преобразования отрезок Задачи по начертательной геометрии в дополнительной системе занял положение, параллельное дополнительной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии, т.е. преобразовался во фронтальную прямую уровня. Следовательно, построены также натуральная величина отрезка и угол его наклона Задачи по начертательной геометрии к плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии.

Задачи по начертательной геометрии

Па рис 4.46 показано преобразование прямой общего положения Задачи по начертательной геометрии в горизонтальную прямую уровня. Для решения задачи введена дополнительная система плоскостей проекций Задачи по начертательной геометрии Задачи по начертательной геометрииЗадачи по начертательной геометрии и выполнены аналогичные графические действия.

Задача №2. Преобразовать прямую уровня в проецирующую прямую.

На рис. 4.47 показано преобразование фронтальной прямой Задачи по начертательной геометрии в горизонтально-проецирующую прямую. Для решения задачи выполнен следующий графический алгоритм:

1-е действие. Ввести дополнительную систему плоскостей проекций Задачи по начертательной геометрии расположив ось проекций Задачи по начертательной геометрии перпендикулярно фронтальной проекции Задачи по начертательной геометрии отрезка Задачи по начертательной геометрии.

2-е действие. Построить горизонтальные совпадающие проекции Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии точек Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии отрезка в дополнительной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии по координатам Задачи по начертательной геометрии взятым из предыдущей системы Задачи по начертательной геометрии.

В результате преобразования горизонтальный отрезок Задачи по начертательной геометрии в дополнительной системе занял положение, перпендикулярное

дополнительной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии, т.е. преобразовался в горизонтально-проецирующую прямую.

На рис. 4 48 показано преобразование горизонтальной прямой уровня Задачи по начертательной геометрии во фронтально-проецирующую прямую. Для решения задачи введена дополнительная система плоскостей проекций Задачи по начертательной геометрии и выполнены аналогичные графические действия.

Задачи по начертательной геометрии

Задачи №3. Преобразование плоскости общею положения в проецирующую плоскость.

Чтобы понять сущность графических действий этого преобразования, напомним, что у проецирующих плоскостей, перпендикулярных Задачи по начертательной геометрии или Задачи по начертательной геометрии, одна из линий уровня -или фронталь, или горизонталь — является проецирующей прямой.

На рис. 4.49 показано, что у горизонтально-проецирующей плоскости Задачи по начертательной геометрии, горизонтальная проекция которой вырождается в линию, фронталь плоскости Задачи по начертательной геометрии занимает положение горизонтально-проецирующей прямой, т.е. она перпендикулярна плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии (горизонтальная проекция Задачи по начертательной геометрии вырождается в точку).

На рис 4.50 показано, что у фронтально-проецирующей плоскости Задачи по начертательной геометрии, фронтальная проекция которой вырождается в линию, горизонталь плоскости Задачи по начертательной геометрии занимает положение фронтально-проецирующей прямой, т.е. она перпендикулярна фронтальной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии (ее фронтальная проекция Задачи по начертательной геометрии вырождается в точку).

Задачи по начертательной геометрии
Задачи по начертательной геометрии
Задачи по начертательной геометрии

На рис. 4.51 преобразование плоскости положения во фронтально-проецирующую плоскость Для решения задачи выполнен следующий графический алгоритм:

1-е действие. Провести в плоскости Задачи по начертательной геометрии проекции горизонтали Задачи по начертательной геометрии.

2-е действие. Ввести дополнительную систему плоскостей Задачи по начертательной геометрии расположив ось проекций Задачи по начертательной геометрии перпендикулярно горизонтальной проекции Задачи по начертательной геометрии горизонтали плоскости.

3-е действие. Построить в дополнительной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии фронтальную проекцию Задачи по начертательной геометрии плоскости Задачи по начертательной геометрии по координатам Задачи по начертательной геометрии, взятым (проекция плоскости выродилась в прямую).

В результате преобразования плоскость общего положения Задачи по начертательной геометрии в дополнительной системе заняла положение, перпендикулярное дополнительной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии, т.е. преобразовалась во фронтально-проецирующую. Следовательно, построен также угол наклона Задачи по начертательной геометрии плоскости Задачи по начертательной геометрии к плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии.

На рис. 4.52 показано преобразование плоскости общего положения Задачи по начертательной геометрии в горизонтально-проецирующую плоскость. Для решения задачи в плоскости проведены проекции фронтали Задачи по начертательной геометрии. Введена дополнительная система плоскостей Задачи по начертательной геометрии ось Задачи по начертательной геометрии которой перпендикулярна фронтальной проекции Задачи по начертательной геометрии фронтали плоскости, и выполнены аналогичные графические действия.

Задача №4. Преобразовать проецирующую плоскость в плоскость уровня.

На рис. 4.53 показано преобразование фронтально-проецирующей плоскости Задачи по начертательной геометрии в горизонтальную плоскость уровня. Для решения задачи выполнен следующий графический алгоритм.

Задачи по начертательной геометрии

1-е действие. Ввести дополнительную систему плоскостей проекций Задачи по начертательной геометрии расположив ось проекций Задачи по начертательной геометрии параллельно вырожденной фронтальной проекции Задачи по начертательной геометрии плоскости Задачи по начертательной геометрии.

2-е. действие. Построить горизонтальную проекцию Задачи по начертательной геометрии в дополнительной плоскости Задачи по начертательной геометрии по координатам Задачи по начертательной геометрии, взятым из предыдущей системы Задачи по начертательной геометрии.

В результате преобразования фронтально-проецирующая плоскость Задачи по начертательной геометрии в дополнительной системе заняла положение, параллельное дополнительной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии т.е. преобразовалась в горизонтальную плоскостью уровня. Следовательно, построена натуральная величина этой плоскости.

На рис. 4.54 показано преобразование горизонтально-проецирующей плоскости Задачи по начертательной геометрии во фронтальную плоскость уровня. Для решения задачи введена дополнительная система Задачи по начертательной геометрии и выполнены аналогичные графические действия.

II. Способ вращения вокруг проецирующей оси (фронтально-проецирующей или горизонтально-проецирующей прямой):

Сущность способа в том, что предмет, занимающий общее положение относительно плоскостей проекций, вращают вокруг проецирующей оси, изменяя его положение в пространстве так, чтобы предмет занял частное положение относительно тех же плоскостей проекций, т.е. стал перпендикулярным (проецирующим) либо параллельным (уровня) плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии или Задачи по начертательной геометрии.

На рис. 4.55 показана наглядная картина способа на примере вращения точки Задачи по начертательной геометрии вокруг фронтально-проецирующей оси Задачи по начертательной геометрии.

Точка Задачи по начертательной геометрии перемещается в положение вращаясь по окружности Задачи по начертательной геометрии вокруг фронтально-проецирующей оси Задачи по начертательной геометрии в некоторой плоскости Задачи по начертательной геометрии, перпендикулярной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии.

На плоскость проекций Задачи по начертательной геометрии эта окружность проецируется в прямую вращения Задачи по начертательной геометрии.

Па плоскость проекций Задачи по начертательной геометрии окружность Задачи по начертательной геометрии вращения точки Задачи по начертательной геометрии проецируется в окружность Задачи по начертательной геометрии с центром в точке Задачи по начертательной геометрии, которая является вырожденной проекцией фронтально-проецирующей оси вращения Задачи по начертательной геометрии.

Задачи по начертательной геометрии

Па рис. 4.56 и 4.57 показаны примеры применения способа вращения вокруг проецирующей оси для построения натуральной величины отрезка Задачи по начертательной геометрии общего положения

На чертеже натуральную величину имеют прямые уровня, параллельные плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии или Задачи по начертательной геометрии (профильную прямую не рассматриваем). Характерный признак прямых уровня на чертеже — одна из проекций параллельна оси проекций Задачи по начертательной геометрии: горизонтальная проекция для фронтальной прямой и фронтальная проекция для горизонтальной прямой.

Следовательно, для решения задачи отрезок Задачи по начертательной геометрии общего положения нужно повернуть (вращать) вокруг проецирующей оси так. чтобы он занял положение, параллельное плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии или Задачи по начертательной геометрии.

Для решения задачи выполнен следующий графический алгоритм:

1-е действие. Выбрать ось вращения Задачи по начертательной геометрии, проходящую через любую конечную точку отрезка (на рис 4.56 фронтально-проецирующая ось вращения проведена через точку Задачи по начертательной геометрии, и обозначить се проекции Задачи по начертательной геометрии на чертеже.

2-е действие. Повернуть фронтальную проекцию точки Задачи по начертательной геометрии вокруг оси Задачи по начертательной геометрии по часовой стрелке (можно против) так, чтобы фронтальная проекция отрезка Задачи по начертательной геометрии заняла горизонтальное положение Задачи по начертательной геометрии параллельное оси проекций Задачи по начертательной геометрии.

3-е действие. Построить натуральную проекцию Задачи по начертательной геометрии отрезка Задачи по начертательной геометрии, переместив горизонтальную проекцию точки Задачи по начертательной геометрии перпендикулярно горизонтальной проекции оси вращения Задачи по начертательной геометрии (параллельно оси проекций Задачи по начертательной геометрии) до пересечения с вертикальной линией связи от точки Задачи по начертательной геометрии.

Задачи по начертательной геометрии

В результате преобразования отрезок Задачи по начертательной геометрии занял положение горизонтальной прямой уровня.

!!! Конечная точка отрезка Задачи по начертательной геометрии при вращении остается неподвижной, так как лежит на оси вращения Задачи по начертательной геометрии.

Задачи по начертательной геометрии

На рис. 4.57 показано построение натуральной величины отрезка общего положения Задачи по начертательной геометрии вращением вокруг горизонтально-проецирующей оси аналогичными графическими действиями (отрезок Задачи по начертательной геометрии занял положение фронтальной прямой уровня).

Плоскопараллельное перемещение

Частный случай способа крашения вокруг проецирующей оси — вращение предмета без указания на чертеже осей вращения, который называют способом плоскопараллельного перемещения. Способ удобен тем, что повернутые вокруг предполагаемой проецирующей оси проекции предмета перемещают и располагают на свободном поле чертежа без взаимного их наложения.

На рис. 4.58 показано построение натуральной величины плоскости общего положения, заданной треугольником ABC, способом плоскопараллельного перемещения.

Для решения задачи плоскость Задачи по начертательной геометрии должна занять положение плоскости уровня — или фронтальной Задачи по начертательной геометрии, или горизонтальной Задачи по начертательной геометрии. Следовательно, плоскость нужно вращать и одновременно перемешать по полю чертежа, чтобы она последовательно заняла сначала проецирующее положение, а затем положение плоскости уровня.

Для двух последовательных преобразований нужно выполнить следующий графический алгоритм.

Задачи по начертательной геометрии

Первое перемещение. Плоскость общего положения Задачи по начертательной геометрии вращением вокруг предполагаемой, например, горизонтально-проецирующей, оси преобразовать во фронтально-проецирующую плоскость, выполнив следующие графические действия:

1-е действие. Провести в плоскости горизонталь Задачи по начертательной геометрии.

2-е действие. Повернуть горизонтальную проекцию Задачи по начертательной геометрии треугольника, вращая вокруг предполагаемой горизонтально-проецирующей оси (например, проходящей через точку Задачи по начертательной геометрии) и одновременно перемещая вправо на свободное поле чертежа так, чтобы горизонталь Задачи по начертательной геометрии плоскости заняла положение фронтально-проецирующей прямой, т.е. Задачи по начертательной геометрии должна расположиться перпендикулярно оси Задачи по начертательной геометрии. Повернутую проекцию треугольника Задачи по начертательной геометрии относительно проекции горизонтали /Задачи по начертательной геометрии построить с помощью дуговых засечек, на пересечении которых определяются вершины.

3-е действие. Построить фронтальную проекцию Задачи по начертательной геометрии треугольника, переместив заданные фронтальные Задачи по начертательной геометрии проекции вершин треугольника параллельно оси проекций Задачи по начертательной геометрии до пересечения с вертикальными линиями связи от точек Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии повернутой проекции: фронтальная проекция выродилась в линию, т.е. треугольник преобразовался во фронтально-проецирующую плоскость.

Второе перемещение. Плоскость фронтально-проецирующую вращением вокруг предполагаемой фронтально-проецирующей оси преобразовать в горизонтальную плоскость уровня, продолжая графические действия.

4-е действие. Повернуть построенную вырожденную проекцию Задачи по начертательной геометрии треугольника, вращая вокруг предполагаемой фронтально-проецирующей оси, проходящей через точку Задачи по начертательной геометрии, и одновременно перемещая вправо на свободное ноле чертежа так, чтобы эта проекция расположилась параллельно оси проекций Задачи по начертательной геометрии: проекция Задачи по начертательной геометрии оси Задачи по начертательной геометрии.

5-е Действие. Построить новую горизонтальную проекцию Задачи по начертательной геометрии треугольника, переместив горизонтальные проекции Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии вершин треугольника параллельно оси проекций Задачи по начертательной геометрии до пересечения вертикальными линиями связи от фронтальных проекций Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии вершин; построенная горизонтальная проекция Задачи по начертательной геометрии треугольника и есть его натуральная величина, так как после второго перемещения треугольник преобразовался в горизонтальную плоскость уровня.

III. Способ вращения вокруг прямой уровня — горизонтальной или фронтальной прямой.

Сущность способа в том, что плоскость общего положения изменяет свое положение в пространстве относительно плоскостей проекций вращением вокруг линии уровня до положения, параллельного плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии (или Задачи по начертательной геометрии).

На рис. 4.59 показана наглядная картина вращения плоскости общего положения Задачи по начертательной геометрии вокруг горизонтальной прямой. Пусть сторона Задачи по начертательной геометрии, треугольника Задачи по начертательной геометрии, лежит в плоскости Задачи по начертательной геометрии, параллельной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии. и является горизонтальной прямой Задачи по начертательной геометрии, вокруг которой и будет повернута плоскость Задачи по начертательной геометрии.

Задачи по начертательной геометрии

Поскольку вершины Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии треугольника лежат на оси вращения Задачи по начертательной геометрии и, следовательно, неподвижны, то требуется повернуть вокруг прямой уровня Задачи по начертательной геометрии только вершину Задачи по начертательной геометрии так, чтобы она совместилась с плоскостью Задачи по начертательной геометрии. Вершина Задачи по начертательной геометрии вращается вокруг горизонтальной прямой Задачи по начертательной геометрии (стороны Задачи по начертательной геометрии) в плоскости Задачи по начертательной геометрии перпендикулярной оси вращения Задачи по начертательной геометрии.

После поворота треугольник Задачи по начертательной геометрии лежит в плоскости Задачи по начертательной геометрии и, следовательно. параллелен плоскости Задачи по начертательной геометрии. Точка Задачи по начертательной геометрии имеет радиус вращения Задачи по начертательной геометрии и на плоскость у этот радиус проецируется в натуральную величину.

Рассмотрим проекцию этой картины на плоскость проекций Задачи по начертательной геометрии. На горизонтальной проекции видно, что натуральную величину Задачи по начертательной геометрии треугольника Задачи по начертательной геометрии определяет натуральная величина радиуса вращения Задачи по начертательной геометрии точки Задачи по начертательной геометрии.

На рис. 4.60 показано построение на чертеже натуральной величины плоскости Задачи по начертательной геометрии способом вращения вокруг-горизонтальной прямой уровня Задачи по начертательной геометрии. В ком случае выполняется вращение горизонтальной проекции Задачи по начертательной геометрии треугольника, т.е. вращение выполняется относительно плоскости проекций, которой параллельна ось вращения.

Для решения задачи выполнен следующий графический алгоритм:

1-е действие. К заданной плоскости Задачи по начертательной геометрии провести проекции горизонтали Задачи по начертательной геометрии, которая является осью вращения.

2-е действие. Провести следы плоскостей Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии перпендикулярно Задачи по начертательной геометрии в которых будут вращаться вершины Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии вокруг оси вращения Задачи по начертательной геометрии точка Задачи по начертательной геометрии будет неподвижна, так как лежит на оси вращения.

3-е действие. Определить проекции отрезка Задачи по начертательной геометрии, т.е. радиуса Задачи по начертательной геометрии вращения точки Задачи по начертательной геометрии вокруг горизонтали Задачи по начертательной геометрии, и построить любым рассмотренным графическим способом натуральную величину радиуса вращения Задачи по начертательной геометрии. В примере натуральная величина Задачи по начертательной геометрии построена способом вращения отрезка общего положения Задачи по начертательной геометрии вокруг фронтально-проецирующей оси, вырожденная проекция которой совпадает с проекцией точки Задачи по начертательной геометрии (см. рис. 4.56).

Задачи по начертательной геометрии

4-е действие. Построенную натуральную величину радиуса вращения Задачи по начертательной геометрии повернуть и расположить на следе плоскости Задачи по начертательной геометрии в которой вращается точка Задачи по начертательной геометрии треугольника, построив вершину Задачи по начертательной геометрии в повернутом положении.

5-е действие. Достроить повернутую проекцию треугольника Задачи по начертательной геометрии, определив повернутую проекцию Задачи по начертательной геометрии вершины Задачи по начертательной геометрии на пересечении следа плоскости вращения Задачи по начертательной геометрии с прямой, проходящей через точки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии, т.е. натуральную величину радиуса вращения для точки Задачи по начертательной геометрии определять нет необходимости: ее повернутое положение Задачи по начертательной геометрии определяется графическим построением.

В результате преобразования проекция Задачи по начертательной геометрии треугольника заняла положение, параллельное горизонтальной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии, и, следовательно, определяет его натуральную величину

!!! Построение на чертеже натуральной величины плоскости Задачи по начертательной геометрии вращением вокруг фронтальной прямой уровня Задачи по начертательной геометрии выполняется аналогичными графическими действиями, только вращать следует фронтальную проекцию Задачи по начертательной геометрии треугольника, так как ось вращения Задачи по начертательной геометрии параллельна фронтальной плоскости проекций. Треугольник после вращения занимает положение фронтальной плоскости уровня, которая определяет его натуральную величину.

Образец выполнения листа 3 с задачами 5 и 6 показан на рис. 4 61, а и Г). Задачи выполнить на одном листе формата A3 чертежной бумаги

Задача №5 имеет два варианта графических условий:

Варианты 1-15. Построить проекции центра окружное!и, описанной вокруг плоскости общего положения Задачи по начертательной геометрии, способом замены плоскостей проекций.

Bарианты 16-30. Построить проекции центра сферы радиусом 20 мм, вписанной в плоский угол Задачи по начертательной геометрии, способом замены плоскостей проекций.

Задача №6 имеет два варианта графических условий:

Варианты 1-15. Построить натуральную величину заданной плоскости общего положения Задачи по начертательной геометрии , способом вращения вокруг линии уровня — фронтали или горизонтали (линия уровня указана для каждого варианта в табл. 4.4).

Варианты 1 6-30. Построить натуральную величину заданного угла Задачи по начертательной геометрии способом вращения вокруг линии уровня (указана для каждого варианта в табл. 4.4).

Данные для своего варианта взять из табл. 4.4. Условия всех вариантов представлены координатами Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии точек Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии.

По заданным координатам точек построить на левой и правой половине поля чертежа графическое условие задач — проекции плоскости общего положения, заданной треугольником Задачи по начертательной геометрии. В таблице для каждого варианта указаны линии, относительно которых нужно выполнять преобразование чертежа для 5-й и 6-й задач.

План графических действий для решения задачи 5 (по вариантам 1-15).

Для определения центра окружности, описанной вокруг заданного треугольника Задачи по начертательной геометрии, плоскость треугольника должна занять положение плоскости уровня -горизонтальной или фронтальной. Преобразовать плоскость общего положения в плоскость уровня можно двумя последовательными заменами плоскостей проекций (см. задачи 3 и 4 преобразования способом замены, рис. 4.51-4.54). Для решения задачи выполнены следующие графические действия:

Задачи по начертательной геометрии

Вторая замена.

2-е действие Ввести первую дополнительную систему плоскостей проекций Задачи по начертательной геометрии, расположив ось проекций Задачи по начертательной геометрии перпендикулярно фронтальной проекции фронтали Задачи по начертательной геометрии.

3-е действие. Построить горизонтальную проекцию Задачи по начертательной геометрии на дополнительной плоскости Задачи по начертательной геометрии по координатам у из системы Задачи по начертательной геометрии. Плоскость Задачи по начертательной геометрии спроецировалась в прямую (выродилась в линию), т.е. преобразовалась в горизонтально-проецирующую плоскость, перпендикулярную дополнительной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии.

4-е действие. Ввести вторую дополнительную систему плоскостей проекций Задачи по начертательной геометрии и расположив ось проекций Задачи по начертательной геометриипараллельно построенной (вырожденной) проекции треугольника Задачи по начертательной геометрии.

5-е действие. Построить фронтальную проекцию плоскости Задачи по начертательной геометрии на дополнительной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии по координатам Задачи по начертательной геометрии из предыдущей системы Задачи по начертательной геометрии: построенная проекция Задачи по начертательной геометрии является натуральной величиной треугольника Задачи по начертательной геометрии, так как плоскость преобразовалась во фронтальную плоскость уровня, параллельную дополнительной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии.

6-е действие. Определить центр окружности (точку Задачи по начертательной геометрии), описанной вокруг треугольника Задачи по начертательной геометрии, который находится на пересечении перпендикуляров, проведенных через середины сторон треугольника,

7-е действие. Обратным проецированием определить проекции построенного центра описанной окружности Задачи по начертательной геометрии на заданных проекциях треугольника, используя вспомогательную линию Задачи по начертательной геометрии, на которой лежит точка Задачи по начертательной геометрии.

План графических действий для решения задачи 6 (по вариантам I 15).

Натуральную величину определяет только плоскость уровня. Следовательно, заданную плоскость общего положения Задачи по начертательной геометрии нужно преобразовать вращением вокруг линии уровня в плоскость уровня, например, в горизонтальную. Для решения задачи на чертеже выполнены следующие графические действия

1-е действие. Провести в заданной плоскости Задачи по начертательной геометрии проекции горизонтали Задачи по начертательной геометрии следовательно, вращать следует горизонтальную проекцию Задачи по начертательной геометрии треугольника.

2-е действие. Провести следы плоскостей Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии, в которых будут вращаться точки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали Задачи по начертательной геометрии.

3-е действие. Определить проекции отрезка Задачи по начертательной геометрии, т.е. проекции радиуса вращения Задачи по начертательной геометрии точки Задачи по начертательной геометрии вокруг горизонтали Задачи по начертательной геометрии, и построить способом вращения вокруг фронтально проецирующей оси Задачи по начертательной геометрии натуральную величину отрезка Задачи по начертательной геометрии.

4-е действие. Построенную натуральную величину радиуса Задачи по начертательной геометрии повернуть и расположить на следе плоскости Задачи по начертательной геометрии, в которой вращается точка Задачи по начертательной геометрии построив вершину Задачи по начертательной геометрии.

5-е действие. Достроить повернутую проекцию Задачи по начертательной геометрии треугольника Задачи по начертательной геометрии, которая определяет его натуральную величину. Вершина Задачи по начертательной геометрии определяется на пересечении следа плоскости Задачи по начертательной геометрии и прямой, проходящей через точки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии (без построения натуральной величины Задачи по начертательной геометрии).

!!! Внимание. К листу 3 выполнить приложение, изложив на листах писчей бумаги планы решения задач 5 и 6.

Многогранники, призма и пирамиды

Многогранником называют геометрическое тело, поверхность которого ограничена плоскостями (гранями). Многогранник называют четырех-, пяти-, шестигранником и т.д. по количеству граней (включая основания), образующих его поверхность На чертеже многогранник задают проекциями его граней и ребер (ребро — линия пересечения граней).

Рассмотрим призму и пирамиду — геометрические многогранники (тела), которые часто применяются при формообразовании различных деталей. Основанием призмы и пирамиды может быть любой многоугольник, по количеству сторон которого призму и пирамиду называют треугольной, четыреч-угольной и т.д. Такое название более соответствует изображению этих много-гранников на чертеже, по которому определяется многоугольник основания, что позволяет создать в воображении соответствующий пространственный образ.

Призма как геометрическое тело имеет два параллельных основания, боко-вые грани и параллельные ребра. Призму называют правильной, если ее основаниями являются правильные многоугольники, вписанные в окружность. Призму называю! прямой, если ее ребра перпендикулярны основанию, и наклонной, если ребра не перпендикулярны основанию

Пирамида как геометрическое тело имеет одно основание и вершину, обьединяющую все ее ребра. Пирамиду называю! правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, вписанный в окружность, а высота пирамиды проходит через центр этой окружности (т.е. пирамида прямая).

Пирамида может быть наклонной, если основание высоты не лежит в центре окружности, в которую вписан многоугольник основания пирамиды. Пирамида со срезанной вершиной имеет два основания и называется усеченной.

Задача №7.

Построить фронтальную, горизонтальную и профильную проекции прямой правильной призмы со срезами плоскостями частного положения по заданному условию.

Задача №8.

Построить фронтальную, горизонтальную и профильную проекции правильной пирамиды со срезами плоскостями частного положения по заданному условию.

Задачи 7 и 8 выполнить на одном листе формата A3 чертежной бумаги.

Графические условия вариантов задач 7 и 8 взять из табл. 4.5.

План графических действий для решения задачи 7 (рис. 4.66, а) соответствует предложенному графическому алгоритму (к рис. 4.64).

1-е действие. На левой половине чертежа построить тонкими сплошными линиями фронтальную, горизонтальную и профильную проекции прямой правильной призмы без срезов по графическому условию и размерам шестиугольную призму заданной высоты Задачи по начертательной геометрии. Затем выполнить на ее фронтальной проекции заданные срезы плоскостями частного положения: срезы фронтально-проецирующей плоскостью Задачи по начертательной геометрии и профильной плоскостью Задачи по начертательной геометрии и сквозной паз. образованный двумя симметричными фронтально-проецирующими плоскостями Задачи по начертательной геометрии.

Задачи по начертательной геометрии

Базовую ось (б.о.) на горизонтальной проекции и базовую ось Задачи по начертательной геометрии для профильной проекции взять на осях симметрии горизонтальной и профильной проекций. Обозначить ребра буквами Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии (на нижнем основании призмы).

2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции характерные точки пересечения плоскостей срезов с ребрами и гранями призмы:

  • совпадающие точки Задачи по начертательной геометрии лежат на ребрах Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии;
  • совпадающие точки Задачи по начертательной геометрии лежат на ребрах Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии;
  • совпадающие точки Задачи по начертательной геометрии лежат на гранях Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии и определяют вырожденную в точку проекцию фронтально-проецирующей линии пересечения плоскостей среза Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии,
  • совпадающие точки Задачи по начертательной геометрии лежат на верхнем основании и определяют вырожденную в точку проекцию фронтально-проецирующей линии пересечения плоскости среза Задачи по начертательной геометрии с плоскостью верхнего основания призмы;

совпадающие точки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии лежат па сторонах нижнего основания призмы и определяют вырожденные в точки проекции фронтально-проецирующих линий пересечения боковых плоскостей паза Задачи по начертательной геометриич с плоскостью нижнего основания призмы;

совпадающие точки Задачи по начертательной геометрии лежат на ребрах Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии и определяют вырожденную в точку проекцию фронтально-проецирующей линии пересечения плоскостей паза Задачи по начертательной геометрии.

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию призмы со срезами, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов:

  1. Плоскость среза Задачи по начертательной геометрии определяет шестиугольник Задачи по начертательной геометрии — искаженная по величине видимая проекция фронтально-проецирующей плоскости среза Задачи по начертательной геометрии, обозначенные точки которой лежат на рёбрах и гранях призмы:
  • отрезок Задачи по начертательной геометрии — видимая проекция линии пересечения плоскостей срезов, обозначенные точки которой лежат на гранях призмы.
  1. Плоскость среза Задачи по начертательной геометрии определяет видимый отрезок Задачи по начертательной геометрии — вырожденная в линию проекция профильной плоскости среза Задачи по начертательной геометрии обозначенные точки которой лежат на гранях призмы.
  2. Плоскости паза Задачи по начертательной геометрии определяют искаженные но величине невидимые четырехугольники Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии, обозначенные точки которых лежат на ребрах и сторонах нижнего основания призмы.

!!! Поскольку горизонтальная проекция призмы относительно базовой линии (б.о.) имеет вертикальную симметрию, указанные точки обозначены на одной ее половине (верхней).

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции для определения се очерка и внутреннего контура:

1. Горизонтальный очерк определяет шестиугольник основания Задачи по начертательной геометрии

  1. Внутренний контур определяют видимый Задачи по начертательной геометрии и невидимые отрезки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии.

5-е действие. Достроить профильную проекцию призмы со срезами, построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов:

  1. Плоскость среза Задачи по начертательной геометрии определяет шестиугольник Задачи по начертательной геометрии — искаженная по величине видимая проекция фронтально-проецирующей плоскости среза Задачи по начертательной геометрии:
  • точки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии лежат соответственно на ребрах Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии;
  • точки Задачи по начертательной геометрии построены но координате Задачи по начертательной геометрии.
  1. Плоскость среза Задачи по начертательной геометрии определяет прямоугольник Задачи по начертательной геометрии — видимая натуральная величина профильной плоскости среза Задачи по начертательной геометрии.
  • точки Задачи по начертательной геометрии построены;
  • точки Задачи по начертательной геометрии построены на верхнем основании призмы по координате Задачи по начертательной геометрии.
  1. Плоскости паза Задачи по начертательной геометрии определяют невидимые совпадающие четырехугольники Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии — искаженные по величине проекции двух фронтально-проецирующих плоскостей паза Задачи по начертательной геометрии:
  • точки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии построены на нижнем основании призмы по координатам Задачи по начертательной геометрии
  • точки Задачи по начертательной геометрии — лежат на ребрах Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии.

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции призмы для определения ее очерка и внутреннего контура:

  1. Профильный очерк определяют:
  • справа и слева — участки Задачи по начертательной геометрии ребер Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии, ломаные линии Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии;
  • сверху — отрезок Задачи по начертательной геометрии — участок верхнего основания призмы;
  • снизу — совпадающие отрезки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии — участки нижнего основания призмы.
  1. Внутренний контур определяю!;
  • невидимые линии продолжений невидимых ребер Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии,
  • невидимые линия Задачи по начертательной геометрии пересечения плоскостей паза Задачи по начертательной геометрии,
  • видимый отрезок Задачи по начертательной геометрии (линия пересечения плоскости среза Задачи по начертательной геометрии с гранью Задачи по начертательной геометрии);
  • видимый отрезок Задачи по начертательной геометрии — линия пересечения плоскостей среза Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии видимые отрезки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии ребер Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии.

7-е действие. Оформить чертеж призмы, выполнив сплошными толстыми линиями очерки и видимые линии внутреннего контура каждой ее проекции (оставить тонкими сплошными линиями контуры проекций призмы без срезов и линии построения).

План графических действий решения задачи 8 (рис. 4.66, Г)) соответствует предложенному алгоритму (к рис. 4.65).

1-е действие. Построить на правой половине чертежа тонкими линиями фронтальную, горизонтальную и профильную проекции правильной пирамиды без срезов по заданному графическому условию — треугольную пирамиду заданной высоты. Затем выполнить на ее фронтальной проекции заданный срез фронтально-проецирующей плоскостью Задачи по начертательной геометрии и сквозной паз, образованный горизонтальной плоскостью Задачи по начертательной геометрии, фронтально-проецирующей плоскостью Задачи по начертательной геометрии и профильной плоскостью Задачи по начертательной геометрии.

Базовую ось (6.0.) на горизонтальной и базовую ось Задачи по начертательной геометрии на профильной проекции взять на осях симметрии горизонтальной и профильной проекции пирамиды. Обозначить буквами Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии вершины основания пирамида.

2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции точки пересечения плоскостей срезов с ребрами, гранями пирамиды и основанием:

  • точка Задачи по начертательной геометрии лежит на ребре Задачи по начертательной геометрии;
  • совпадающие точки Задачи по начертательной геометрии лежат на ребрах Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии и определяют вырожденную в точку фронтально-проецирующую линию пересечения плоскостей среза Задачи по начертательной геометрии с гранью Задачи по начертательной геометрии;
  • совпадающие точки Задачи по начертательной геометрии лежат на сторонах Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии основания и определяют вырожденную в точку фронтально-проецирующую линию пересечения основания с плоскостью паза Задачи по начертательной геометрии;
  • совпадающие точки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии лежат на боковых гранях Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии и определяют вырожденные в точки фронталью-проецирующие линии пересечения плоскостей паза Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии;
  • совпадающие точки Задачи по начертательной геометрии лежат на сторонах основания Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии и определяют вырожденную в точку фронтально-проецирующую линию пересечения основания с профильной плоскостью паза Задачи по начертательной геометрии.

!!! Поскольку горизонтальная проекция пирамиды имеет вертикальную симметрию, точки обозначены на одной сс верхней половине.

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию пирамиды со срезами, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов:

  1. Плоскость среза Задачи по начертательной геометрии определяет треугольник Задачи по начертательной геометрии — искаженная по величине видимая проекция фронтально-проецирующей плоскости Задачи по начертательной геометрии.

точки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии лежат соответственно на ребрах Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии.

  1. Плоскость паза Задачи по начертательной геометрии определяет четырехугольник Задачи по начертательной геометрии — натуральная величина невидимой горизонтальной плоскости Задачи по начертательной геометрии.
  • точки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии лежат на гранях пирамиды Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии и построены с помощью вспомогательной линии Задачи по начертательной геометрии параллельной основанию.
  1. Плоскость паза Задачи по начертательной геометрии определяет четырехугольник Задачи по начертательной геометрии — искаженная по величине невидимая проекция фронтально-проецирующей плоскости Задачи по начертательной геометрии:
  • точки Задачи по начертательной геометрии построены;
  • точки Задачи по начертательной геометрии лежат на сторонах основания Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии.
  1. Плоскость паза Задачи по начертательной геометрии определяют совпадающие невидимые отрезки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии — вырожденная в прямую невидимая проекция профильной плоскости Задачи по начертательной геометрии (участки 6-5′- видимые):
  • точки Задачи по начертательной геометрии построены;
  • точки Задачи по начертательной геометрии лежат на сторонах основания Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии.

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции пирамиды со срезами для определения ее очерка и внутреннего контура:

  1. Горизонтальный очерк определяют:
  • участки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии стороны основания Задачи по начертательной геометрии:
  • сторона Задачи по начертательной геометрии основания Задачи по начертательной геометрии:
  • участки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии стороны основания Задачи по начертательной геометрии:
  • ломаные линии Задачи по начертательной геометрии пересечения плоскостей паза с гранями пирамиды Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии.
  1. Внутренний контур определяют:
  • видимый участок Задачи по начертательной геометрии ребра Задачи по начертательной геометрии;
  • видимые участки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии ребер Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии,
  • невидимые отрезки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии пересечения плоскостей паза Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии:
  • невидимые отрезки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии пересечения плоскостей паза Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии с основанием пирамиды.

5-е действие. Достроить профильную проекцию пирамиды, построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов:

  1. Плоскость среза Задачи по начертательной геометрии определяет треугольник Задачи по начертательной геометрии искаженная по величине видимая проекция плоскости среза Задачи по начертательной геометрии:

-точки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии лежат на соответствующих профильных проекциях ребер Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии

  1. Плоскость среза Задачи по начертательной геометрии определяет частично невидимый горизонтальный отрезок Задачи по начертательной геометрии точки которой построены по координатам Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии и который является вырожденной проекцией профильной плоскости паза Задачи по начертательной геометрии (участки Задачи по начертательной геометрии — видимые).
  2. Плоскость среза Задачи по начертательной геометрии определяет четырехугольник Задачи по начертательной геометрии — искаженная по величине невидимая проекция фронтально-проецирующей плоскости Задачи по начертательной геометрии:
  • точки Задачи по начертательной геометрии построены;
  • точки Задачи по начертательной геометрии построены но координате Задачи по начертательной геометрии (отрезки Задачи по начертательной геометрии ребру Задачи по начертательной геометрии)).
  1. Плоскость среза Задачи по начертательной геометрии определяет четырехугольник Задачи по начертательной геометрии — натуральная величина частично невидимой проекции профильной плоскости паза Задачи по начертательной геометрии (участки Задачи по начертательной геометрии видимые):

-точки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии построены;

  • точки Задачи по начертательной геометрии построены по координатам Задачи по начертательной геометрии.

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции пирамиды со срезами для определения ее очерка и внутреннего контура:

Профильный очерк определяют:

  • справа — участок Задачи по начертательной геометрии ребра Задачи по начертательной геометрии;
  • слева — участок Задачи по начертательной геометрии ребра Задачи по начертательной геометрии:
  • снизу — сторона основания Задачи по начертательной геометрии;
  • сверху — отрезок Задачи по начертательной геометрии (линия пересечения плоскости среза Задачи по начертательной геометрии с гранью пирамиды Задачи по начертательной геометрии).
  1. Внутренний контур определяют:
  • видимые отрезки Задачи по начертательной геометрии;
  • видимые ломаные линии Задачи по начертательной геометрии (на гранях пирамиды);
  • невидимый отрезок Задачи по начертательной геометрии:
  • видимый участок Задачи по начертательной геометрии ребра Задачи по начертательной геометрии.

7-е действие. Оформить чертеж пирамиды, выполнив толстыми линиями очерки и видимые линии внутреннего контура каждой проекции (тонкими линиями оставить на чертеже полные контуры проекций пирамиды без срезов и вспомогательные линии построения).

Поверхности вращения

Поверхностью вращения называют поверхность, образованную вращением некоторой линии (образующей поверхности) вокруг неподвижной прямой, называемой осью вращения. При этом образующая, вращаясь вокруг оси вращения, может пересекать окружность, называемую направляющей поверхности Образующей поверхности вращения может быть кривая или прямая линия. Поверхность вращения называют линейчатой, если ее образующей является прямая линия, и криволинейной, если образующая — кривая линия.

На рис. 4.67 показана поверхность вращения общего вида, образующая которой (кривая линия) вращается вокруг горизонтально-проецирующей оси Задачи по начертательной геометрии. Все точки образующей вращаются вокруг оси Задачи по начертательной геометрии по окружностям соответствующего радиуса, которые называют параллелями поверхности. На фронтальную и профильную проекции поверхности эти параллели проецируются в прямые линии, перпендикулярные оси вращения. На горизонтальную проекцию параллели проецируются в виде окружностей. Некоторые параллели имеют определенные общепринятые наименования:

горло поверхности — параллель наименьшею (минимального) радиуса; -экватор — параллель наибольшего (максимального) радиуса.

Задачи по начертательной геометрии
Задачи по начертательной геометрии
Задачи по начертательной геометрии

Проекции поверхности вращения:

  • горизонтальная проекция, т.е. ее горизонтальный очерк, определяется окружностью экватора Задачи по начертательной геометрии;
  • фронтальная проекция, т.е. ее фронтальный очерк, образуется замкнутой линией главного фронтального меридиана Задачи по начертательной геометрии. полученного при пересечении этой поверхности фронтальной плоскостью уровня Задачи по начертательной геометрии, проходящей через ось вращения Задачи по начертательной геометрии;
  • профильная проекция, т.е. ее профильный очерк, образуется замкнутой линией главного профильного меридиана Задачи по начертательной геометрии полученною при пересечении этой поверхности профильной плоскостью уровня Задачи по начертательной геометрии, проходящей через ось вращении /.

Построение проекций точек но поверхности вращения

Принадлежность точки поверхности вращения определяется ее принадлежностью параллели, по которой точка вращается вокруг оси вращения.

Проекции точек, лежащих на экваторе или на главных фронтальном и профильном меридианах поверхности, строятся по их принадлежности этим характерным линиям.

На рис. 4.67 показан пример построения невидимой фронтальной проекции характерной точки Задачи по начертательной геометрии, лежащей на экваторе Задачи по начертательной геометрии, по ее заданной горизонтальной проекции Задачи по начертательной геометрии и построение профильной проекции характерной точки Задачи по начертательной геометрии, лежащей на главном профильном меридиане Задачи по начертательной геометрии, по ее заданной фронтальной проекции.

Для построения проекций точки Задачи по начертательной геометрии, заданной своей фронтальной проекцией и не лежащей на характерных линиях поверхности, требуется выполнить следующий графический алгоритм:

1-е действие. Провести через заданную фронтальную проекцию точки Задачи по начертательной геометрии параллель, которая имеет радиус Задачи по начертательной геометрии.

2-е действие. Провести на горизонтальной проекции поверхности окружность-параллель радиусом Задачи по начертательной геометрии.

3-е действие. Построить по вертикальной линии связи горизонтальную видимую проекцию точки Задачи по начертательной геометрии по ее принадлежности построенной параллели радиусом Задачи по начертательной геометрии.

4-е действие. Построить профильную проекцию точки Задачи по начертательной геометрии на горизонтальной линии связи по координате Задачи по начертательной геометрии (лежит на невидимой части поверхности, проекция взята в скобки).

Видимость точек на проекциях поверхности вращения

На рис. 4.67 показаны границы видимое!и поверхности для каждой проекции по направлению взгляда на плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии

Видимость точек на проекциях поверхности определяется этими границами, т.е. видимостью части поверхности на каждой проекции: если часть поверхности является по направлению взгляда на соответствующую плоскость проекций видимой, то точка на этой проекции будет также видимой.

На рис 4.67 видно, что горизонтальная проекция Задачи по начертательной геометрии заданной точки Задачи по начертательной геометрии, лежащей на экваторе, расположена на невидимой части поверхности при взгляде на фронтальную плоскость проекций Задачи по начертательной геометрии Следовательно, ее фронтальная проекция Задачи по начертательной геометрии лежит на экваторе, но будет невидимой (проекция взята в скобки). Профильная проекция Задачи по начертательной геометрии точки будет видимой, так как точка лежит на видимой для профильной проекции части поверхности (см. взгляд по стрелке на плоскость Задачи по начертательной геометрии). Поскольку заданная фронтальная проекция точки Задачи по начертательной геометрии, лежащей на фронтальной проекции Задачи по начертательной геометрии главною профильною меридиана, не взята в скобки, значит, она лежит на видимой для фронтальной проекции части поверхности и профильная проекция точки Задачи по начертательной геометрии должна лежать на профильной проекции главного меридиана Задачи по начертательной геометрии справа от оси вращения. Горизонтальная же проекция точки Задачи по начертательной геометрии (на рисунке не построена) по направлению взгляда на горизонтальную плоскость проекций Задачи по начертательной геометрии будет невидима, так как расположена под экватором. Соответственно, профильная проекция точки Задачи по начертательной геометрии будет невидимой, так как лежит на невидимой для профильной проекции части поверхности.

!!! К поверхностям вращения относятся две линейчатые поверхности с прямолинейными образующими цилиндр и конус, а также поверхности с криволинейными образующими — сфера (образующая — окружность), эллипсоид (образующая — эллипс), одно- и двуполостные гиперболоиды (гипербола), параболоид (парабола), торовыс (окружность) Все перечисленные виды поверхностей вращения, кроме торовых, являются поверхностями второго порядка (по порядку образующей или направляющей).

Торовыс поверхности вращения относятся к поверхностям четвертого порядка (по произведению порядков двух окружностей — образующей и направляющей).

Цилиндрическая поверхность вращения. Прямой круговой цилиндр

Цилиндрическая поверхность вращения — это линейчатая поверхность, образованная параллельным перемещением прямолинейной образующей вокруг оси вращения, которая пересекает криволинейную направляющую окружность. Геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью вращения (боковой поверхностью) и двумя параллельными секущими плоскостями (основаниями), перпендикулярными оси вращения, называют цилиндром.

Цилиндр называют круговым, поскольку направляющей является окружность, перпендикулярная оси цилиндра.

Цилиндр называют прямым, если ось вращения цилиндра перпендикулярна его основаниям.

Прямой круговой цилиндр по положению относительно плоскостей проекций называют проецирую щ и м , если его боковая поверхность (или ось вращения) перпендикулярна какой-либо плоскости проекций:

  • горизонтально-проецирующим, если боковая поверхность перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии,
  • фронтально -проецирующим, если боковая поверхность перпендикулярна фронтальной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии,
  • профильно-проецирующим, если боковая поверхность перпендикулярна профильной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии

Построение проекции прямого кругового цилиндра

На рис. 4.68 показан пример построения проекций прямого кругового горизонтально-проецирующего цилиндра заданной высоты Задачи по начертательной геометрии с горизонтальными основаниями заданного радиуса Задачи по начертательной геометрии

Для построения проекций цилиндра требуется выполнить графо-аналитические действия в следующем порядке.

1-е действие. По заданному условию построить горизонтальную проекцию (очерк) цилиндра, которая представляет собой окружность заданного радиуса Задачи по начертательной геометрии.

2-е действие. Выпол-нить графический анализ построенной горизонталь-ной проекции цилиндра:

1. Окружность является горизонтальной проекцией боковой поверхности, так как образующие этого цилиндра — горизонтально-проецирующие прямые.

  1. Круг заданного радиуса Задачи по начертательной геометрии совпадающие горизонтальные проекции оснований цилиндра, лежащих в горизонтальных плоскостях уровня
  2. Обозначить вырожденные в точки проекции характерных образующих цилиндра Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии, которые будут определять очерки фронтальной и профильной проекций цилиндра

3-е действие. Построить фронтальную проекцию (очерк) цилиндра, которая представляет собой прямоугольник, ограниченный:

  • слева и справа — вертикальными отрезками — характерными очерковыми образующими Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии:
  • по заданной высоте Задачи по начертательной геометрии — горизонтальными отрезками, которые являются проекциями оснований цилиндра, лежащих в горизонтальных плоскостях уровня;
  • фронтальными проекциями характерных образующих Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии, которые совпадаю! с осью вращения цилиндра Задачи по начертательной геометрии.
Задачи по начертательной геометрии

4-е действие. Построить профильную проекцию (очерк) цилиндра:

  1. Задать на окружности горизонтальной проекции цилиндра положение базовой линии (б.о ), совпадающей с горизонтальной линией оси этой окружности, т.е. проходящей через ось вращения Задачи по начертательной геометрии.
  2. Выбрать положение базовой оси Задачи по начертательной геометрии (6.0.), которая будет совпадать с вертикальной осью Задачи по начертательной геометрии вращения на профильной проекции цилиндра.
  3. Профильная проекция цилиндра представляет собой прямоугольник, ограниченный:
  • слева и справа вертикальными отрезками — характерными очерковыми образующими Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии. построенными по координате Задачи по начертательной геометрии
  • по заданной высоте Задачи по начертательной геометрии горизонтальными отрезками, которые являются проекциями оснований,
  • профильными проекциями характерных образующих Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии, которые совпадают с осью вращения цилиндра Задачи по начертательной геометрии.

!!!Запомните характерные признаки очерков прямого кругового цилиндра на чертеже окружность и два прямоугольника.

Построение проекции точек, лежащих на поверхности цилиндра

Принадлежность точки поверхности цилиндра определяется ее принадлежностью образующей этого цилиндра

На рис. 4.68 показан пример построения горизонтальных и профильных проекций точек Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии, лежащих на образующих боковой поверхности цилиндра по их заданным фронтальным проекциям.

Горизонтальные проекции Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии заданных точек лежат на окружности радиуса Задачи по начертательной геометрии, которая является проекцией боковой поверхности цилиндра.

Профильные проекции точек строятся по их принадлежности образующим цилиндра:

  • точка Задачи по начертательной геометрии лежит на характерной образующей Задачи по начертательной геометрии — видимая;
  • две точки Задачи по начертательной геометрии лежат на характерных образующих Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии;
  • точка Задачи по начертательной геометрии построена по координате Задачи по начертательной геометрии, так как лежит не на характерной образующей (видимая)!
  • точка Задачи по начертательной геометрии построена по координате Задачи по начертательной геометрии (невидимая).

Цилиндрические сечения

  1. Плоскость пересекает поверхность цилиндра по образующим, если она расположена параллельно оси вращения цилиндра (см. плоскость Задачи по начертательной геометрии на рис 4.69).
  2. Плоскость пересекает поверхность цилиндра по эллипсу, если она расположена к оси вращения цилиндра под углом Задачи по начертательной геометрии. отличным от прямого (см. на рис. 4.69 плоскость Задачи по начертательной геометрии)
  3. Плоскость пересекает поверхность цилиндра по окружности, если она перпендикулярна оси вращения цилиндра (окружности основании).

Задача №9.

Построить проекции прямого кругового цилиндра со срезами плоскостями частного положения

Задача №10.

Построить проекции прямого кругового конуса со срезами плоскостями частного положения.

Графические условия задач но вариантам даны втабл 4.6

Задачи выполнить на одном листе формата A3 чертежной бумаги.

На рис. 4.78, а приведен пример построения проекций прямого кругового цилиндра со срезами плоскостями частного положения

План графических действий для решения задачи 9 соответствует предложенному графическому алгоритму (см. описание к рис. 4 69):

1-е действие. На левой половине поля чертежа тонкими сплошными линиями построить по заданному диаметру и высоте горизонтальную, фронтальную и профильную проекции прямого кругового цилиндра без срезов, а затем выполнить на его фронтальной проекции заданные по условию срезы плоскостями частного положения.

2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции характерные точки и выполнить графический анализ сечений:

1. Профильная плоскость Задачи по начертательной геометрии пересекает поверхность цилиндра по прямоугольнику 1-2-2-1.

  1. Фронтально-проецирующая плоскость Задачи по начертательной геометрии пересекает поверхность цилиндра но участкам эллипса 2-3-4.
  2. Профильная плоскость Задачи по начертательной геометрии пересекает поверхность цилиндра по прямоугольнику 4-5-5-4.
  3. Горизонтальная плоскость Задачи по начертательной геометрии пересекает поверхность цилиндра по участку окружности 6-7-8.
  4. Профильная плоскость Задачи по начертательной геометрии пересекает поверхность цилиндра по прямоугольник) 8-9-9-8.

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию цилиндра, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям отмеченных точек, и определить видимости плоскостей срезов:

1. Плоскости срезов Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии определяют видимые отрезки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии -вырожденные в прямые проекции профильных плоскостей Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии.

  1. Плоскость среза Задачи по начертательной геометрии определяет невидимый отрезок Задачи по начертательной геометрии, совпадающий с видимым отрезком Задачи по начертательной геометрии.

2. Плоскость среза Задачи по начертательной геометрии определяют участки Задачи по начертательной геометрии эллипса, совпадающие с окружностью вырожденной боковой поверхности цилиндра;

  1. Плоскость среза Задачи по начертательной геометрии определяет участок окружности Задачи по начертательной геометрии, совпадающий с окружностью вырожденной боковой поверхности.

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции для определения ее очерка и внутреннею контура:

  1. Горизонтальный очерк определяет окружность горизонтальной проекции.
  2. Внутренний контур определяют видимые отрезки проекций плоскостей срезов Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии.
Задачи по начертательной геометрии

!!! Поскольку горизонтальная проекция цилиндра имеет вертикальную симметрию относительно базовой оси, точки отмечены на одной ее половине (верхней).

5-е действие. Достроить профильную проекцию цилиндра, построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям отмеченных точек, и определить видимость плоскостей срезов:

Плоскости срезов Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии определяю профильные проекции прямоугольников Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии:

видимые образующие Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии построены по равной для всех точек координате Задачи по начертательной геометрии

  1. Плоскость среза Задачи по начертательной геометрии определяют видимые участки Задачи по начертательной геометрииэллипса
  • точки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии построены;
  • точки Задачи по начертательной геометрии лежат на очерковых образующих;
  • промежуточные точки построены но координате Задачи по начертательной геометрии.
  1. Плоскость среза Задачи по начертательной геометрии определяет видимый горизонтальный отрезок Задачи по начертательной геометрии: точка Задачи по начертательной геометрии лежит на образующей, совпадающей с осью;

точки Задачи по начертательной геометрии лежат на очерковых образующих;

  • точки Задачи по начертательной геометрии построены.

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции для определения ее очерка и внутреннего контура.

1. Профильный очерк определяют:

  • горизонтальный отрезок Задачи по начертательной геометрии верхнего основания цилиндра;
  • отрезок Задачи по начертательной геометрии нижнего основания;
  • участки Задачи по начертательной геометрии очерковых образующих цилиндра;

-участки образующих Задачи по начертательной геометрии;

  • горизонтальные участки Задачи по начертательной геометрии (проекция плоскости среза Задачи по начертательной геометрии);
  • участки Задачи по начертательной геометрии эллипса.
  1. Внутренний контур определяют:
  • невидимые горизонтальные отрезки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии пересечения плоскостей срезов Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии;
  • видимый горизонтальный отрезок Задачи по начертательной геометрии — проекция плоскости среза Задачи по начертательной геометрии

7-е действие. Оформить чертеж цилиндра, выполнив толстыми сплошными линиями очерки и видимее линии ее внутреннего контура каждой проекции (оставить топкими линиями полные очерки проекций и линии построения).

На рис. 4.78, и показан пример построения проекций прямого кругового конуса со срезами плоскостями частного положения.

План графических действий для решения задачи 10 соответствует предложенному графическому алгоритму (см. описание к рис. 4 77).

1-е действие. Построить на правой половине чертежа тонкими сплошными линиями по заданному диаметру основания и высоте горизонтальную, фронтальную и профильную проекции прямого кругового конуса без срезов, а затем выполнить на его фронтальной проекции заданные по условию срезы и сквозной паз плоскостями частного положения.

2-е действие Обозначить на фронтальной проекции характерные точки и выполнить графический анализ сечений.

Фронтально-проецирующая плоскость Задачи по начертательной геометрии проходит через вершину конуса и пересекает его поверхность по треугольнику Задачи по начертательной геометрии (по образующим Задачи по начертательной геометрии, случай I).

  1. Фронтально-проецирующая плоскость Задачи по начертательной геометрии пересекает все образующие конуса под углом, отличным от прямого, и образует на его поверхности неполный эллипс 1-2-0-3 (случаи 5).
  2. Горизонтальная плоскость паза Задачи по начертательной геометрии расположена к оси конуса под прямым углом и пересекает его поверхность по участкам окружности 5-6-5 (случай 2).
  3. Две симметричные боковые профильные плоскости паза Задачи по начертательной геометрии расположены параллельно двум образующим конуса Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии и пересекают его поверхность по участкам гипербол 4-5 (случаи 4);

Горизонтальная плоскость Задачи по начертательной геометрии и две профильные плоскости Задачи по начертательной геометрииобразуют в конусе сквозной прямоугольный паз.

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию конуса со срезами, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям отмеченных точек, и определить видимость плоскостей срезов

Плоскость а определяет треугольник Задачи по начертательной геометрии, построенный по образующим Задачи по начертательной геометрии которым принадлежат точки Задачи по начертательной геометрии и ограничен видимыми участками Задачи по начертательной геометрии этих образующих и невидимой линией Задачи по начертательной геометрии пересечения плоскостей срезов Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии.

  1. Плоскость Задачи по начертательной геометрии определяет видимый участок эллипса Задачи по начертательной геометрии построенный по принадлежности обозначенных точек вспомогательным параллелям (точка Задачи по начертательной геометрии построена по принадлежности образующей Задачи по начертательной геометрии).
  2. Плоскость Задачи по начертательной геометрии определяют видимые участки окружности Задачи по начертательной геометрии, по которой плоскость Задачи по начертательной геометрии пересекает поверхность конуса.
  3. Плоскости Задачи по начертательной геометрии определяют видимые вертикальные отрезки Задачи по начертательной геометрии вырожденные проекции профильных плоскостей Задачи по начертательной геометрии (отрезки Задачи по начертательной геометрии — невидимые):

точки Задачи по начертательной геометрии построены по принадлежности окружности основания конуса.

  • точки Задачи по начертательной геометрии — построены.

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции для определения ее очерка и внутреннего контура:

Горизонтальный очерк определяют два участка очерковой окружности слева и справа от точек Задачи по начертательной геометрии.

  1. Внутренний очерк определяют:

-видимые участки Задачи по начертательной геометрии образующих Задачи по начертательной геометрии,

  • видимый участок Задачи по начертательной геометрии эллипса;
  • видимые отрезки Задачи по начертательной геометрии проекций гипербол в плоскостях Задачи по начертательной геометрии.
  • невидимый отрезок Задачи по начертательной геометрии пересечения плоскостей Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии;
  • невидимые отрезки Задачи по начертательной геометрии пересечения плоскостей паза Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии.

5-е действие. Достроить профильную проекцию конуса, построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям отмеченных точек, и определить видимость плоскостей срезов:

Плоскость среза Задачи по начертательной геометрии определяет видимый треугольник Задачи по начертательной геометрии, точки Задачи по начертательной геометрии которого построены по принадлежности образующим Задачи по начертательной геометрии.

  1. Плоскость среза Задачи по начертательной геометрии определяет видимый участок эллипса Задачи по начертательной геометрии:

-точки Задачи по начертательной геометрии построены;

-точки Задачи по начертательной геометрии лежат на характерных образующих Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии;

  • точки Задачи по начертательной геометрии построены по координатам Задачи по начертательной геометрии;
  • точка 3 лежит на характерной образующей Задачи по начертательной геометрии.
  1. Плоскость паза Задачи по начертательной геометрии определяет проекция невидимою горизонтального отрезка Задачи по начертательной геометрии (участки Задачи по начертательной геометрии — видимые), точки Задачи по начертательной геометрии которою лежат на очерковых образующих Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии;
  2. Плоскость паза Задачи по начертательной геометрии определяют видимые участки гипербол Задачи по начертательной геометрии, точки Задачи по начертательной геометрии которых построены но координате Задачи по начертательной геометрии.

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции для определения ее очерка и внутреннего контура.

Профильный очерк определяют:

  • слева и справа — участки Задачи по начертательной геометрии образующих Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии;
  • снизу — участок Задачи по начертательной геометрии основания конуса;

-участки Задачи по начертательной геометрии образующих Задачи по начертательной геометрии;

-участки Задачи по начертательной геометрииэллипса.

  1. Внутренний контур определяют:
  • видимый отрезок Задачи по начертательной геометрии пересечения плоскостей среза Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии;
  • видимый участок Задачи по начертательной геометрии эллипса;
  • невидимый отрезок Задачи по начертательной геометрии— проекция плоскости паза Задачи по начертательной геометрии.

7-е деиетвие. Оформить чертеж конуса, выполнив толстыми сплошными линиями очерки и видимые линии внутреннею контура каждой проекции (оаавить тонкими линиями полные очерки проекций и линии построения).

Поверхности вращении. Сферический поверхность

При вращении окружности вокруг ее диаметра образуется поверхность вращения, называемая сферой. Сферическая поверхность — геометрическое место точек, равноудаленных от ее центра. Сфера — единственная геометрическая поверхность, которая имеет бесконечное число осей, проходящих через ее центр, что удобно использовать при построении проекций точек на ее поверхности и при решении различных позиционных задач с геометрическими формами, в образование которых входит сфера.

Геометрическое тело, ограниченное сферой, называют шаром.

Проекции шара и проекции его очерковых окружностей

Все три очерка шара — фронтальный, горизонтальный и профильный -представляю! собой окружности одного диаметра с центром в точке Задачи по начертательной геометрии это характерный признак проекций шара на чертеже (рис. 4.79). Каждая точка на поверхности шара описывает вокруг соответствующей оси окружности, называемые параллелями.

Фронтальный очерк шара — окружность Задачи по начертательной геометрии — называется главным фронтальным меридианом, который лежит во фронтальной плоскости уровня Задачи по начертательной геометрии его горизонтальная проекция Задачи по начертательной геометрии это горизонтальная прямая, а профильная проекция Задачи по начертательной геометрии вертикальная прямая, проходящие через центр шара.

Горизонтальный очерк шара — это окружность Задачи по начертательной геометрии, то есть экватор шара, лежащий в горизонтальной плоскости уровня Задачи по начертательной геометрии и его фронтальная Задачи по начертательной геометрии и профильная Задачи по начертательной геометрии проекции горизонтальные прямые, проходящие через центр шара

Профильный очерк шара — это окружность Задачи по начертательной геометрии главного профильного меридиана, лежащего в профильной плоскости Задачи по начертательной геометрии, его фронтальная Задачи по начертательной геометрии и горизонтальная Задачи по начертательной геометрии проекции — вертикальные прямые, проходящие через центр шара.

!!! ‘Запомните характерные признаки шара на чертеже — три очерковые окружности одного диаметра.

Задачи по начертательной геометрии
  1. Построение проекции точек па поверхности шара
  2. Построение проекции тара со срезами плоскостями частного положения
  3. Поверхности вращения. Тор поверхность
  4. Построение проекции открытого тора
  5. Построение проекции точек, лежащих на поверхности тора
  6. Сечения тор с плоскостями частного положения

Задача №11.

Построить фронтальную, горизонтальную и профильную проекции шара со срезами заданными плоскостями частного положения.

Задача №12.

Построить фронтальную, горизонтальную и профильную проекции половины открытого тора со срезами плоскостями частного положения.

Графические условия задач по вариантам даны в табл. 4.7.

Задачи выполнять на одном листе формата A3 чертежной бумаги.

На рис. 4.87, а показан пример построения проекций шара со срезами плоскостями частного положения.

План действий для решения задачи 11 соответствует предлагаемому графическому алгоритму:

1-е действие. По заданному диаметру построить на левой половине чертежа тонкими линиями фронтальную, горизонтальную и профильную проекции шара без срезов, а затем выпилить на ею фронтальной проекции заданные срезы горизонтальной плоскостью Задачи по начертательной геометрии профильной плоскостью Задачи по начертательной геометрии и фронтально-проецирующей плоскостью Задачи по начертательной геометрии.

2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции характерные точки и выполнить графический анализ сечений:

  1. Горизонтальная плоскость Задачи по начертательной геометрии пересекает поверхность шара по участку окружности 1-2-3 радиусом Задачи по начертательной геометрии, которая проецируется в окружность па горизонтальную проекцию шара, и ограничена вырожденной в точку Задачи по начертательной геометрии фронтально-проецирующей линией 3-3 пересечения плоскостей срезов Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии.
  2. Профильная плоскость Задачи по начертательной геометрии пересекает поверхность шара по участкам окружности 3-4 радиусом Задачи по начертательной геометрии, которая проецируется в окружность на профильную проекцию шара, и ограничена вырожденными в точки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии двумя фронтально-проецирующими линиями пересечения плоскостей паза:
  • линия 3-3 — пересечение плоскостей срезов Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии
  • линия 4-4 — пересечение плоскостей срезов и Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии.
Задачи по начертательной геометрии
  1. Фронтально-проецирующая плоскость Задачи по начертательной геометрии пересекает поверхность шара по участку окружности 4-5-6-7, которая проецируется в участок эллипса на горизонтальную и профильную проекции шара и ограничена вырожденной в точку Задачи по начертательной геометрии фронтально-проецирующей линией пересечения плоскостей срезов Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии.

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию шара, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям обозначенных точек, и определить видимости плоскостей срезов.

Плоскость среза Задачи по начертательной геометрии определяет видимый участок окружности Задачи по начертательной геометрии (ее точки лежат на круговой параллели радиусом Задачи по начертательной геометрии), который ограничен вертикальным невидимым отрезком Задачи по начертательной геометрии — проекцией линии пересечения плоскостей срезов Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии.

  1. Плоскость среза Задачи по начертательной геометрии определяет частично невидимый отрезок Задачи по начертательной геометрии в который проецируется профильная плоскость:

точки Задачи по начертательной геометрии построены;

  • точки Задачи по начертательной геометрии лежат на проекции экватора; участки Задачи по начертательной геометрии отрезка над экватором видимые.
  1. Плоскость среза Задачи по начертательной геометрии определяет частично видимый эллипс Задачи по начертательной геометрии в который проецируется плоскость у. он ограничен отрезком Задачи по начертательной геометрии — проекцией линии пересечения плоскостей среза Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии:
  • точки Задачи по начертательной геометрии построены;

точки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии построены по принадлежности соответствующим горизонтальным параллелям;

  • точка Задачи по начертательной геометрии лежит на проекции главного фронтального меридиана.

!!! Поскольку горизонтальная проекция шара имеет вертикальную симметрию, точки обозначены на одной ее половине.

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции шара дня определения ее очерка и внутреннего контура:

  1. Горизонтальный очерк определяют:
  • участок экватора Задачи по начертательной геометрии;
  • участок окружности в плоскости а и участок эллипса в плоскости у.
  1. Внутренний контур определяют :
  • невидимый участок эллипса;
  • невидимый отрезок Задачи по начертательной геометрии.

5-е действие. Достроить профильную проекцию шара, построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов.

Плоскость среза Задачи по начертательной геометрии определяет видимый отрезок Задачи по начертательной геометрии в который проецируется горизонтальная плоскость, точки Задачи по начертательной геометрии которого лежат на главном профильном меридиане.

  1. Плоскость среза Задачи по начертательной геометрии определяют видимые участки Задачи по начертательной геометрии окружности, построенной по профильной параллели радиусом Задачи по начертательной геометрии (ось вращения Задачи по начертательной геометрии): плоскость ограничена двумя видимыми отрезками Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии — проекциями линий пересечения плоскостей срезов Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии, Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии.
  1. Плоскость среза у определяет видимый участок эллипса Задачи по начертательной геометрии точки которого построены по принадлежности соответствующим параллелям:
  • точки Задачи по начертательной геометрии построены;
  • точки Задачи по начертательной геометрии построены по принадлежности профильной параллели;
  • точки Задачи по начертательной геометрии лежат на главном профильном меридиане;
  • точка Задачи по начертательной геометрии лежит на проекции главного фронтального меридиана.

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции для определения ее очерка и внутреннего контура.

Профильный очерк шара определяют: -участок главного профильного меридиана Задачи по начертательной геометрии -участок главного профильного меридиана Задачи по начертательной геометрии -участки окружности Задачи по начертательной геометрии

  • участки эллипса Задачи по начертательной геометрии
  1. Внутренний контур определяют:
  • видимые отрезки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии пересечения плоскостей срезов Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии, Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии: видимый участок эллипса Задачи по начертательной геометрии.

7-е действие. Оформить чертеж шара, выполнив толстыми сплошными линиями очерки и видимые линии внутреннего контура каждой проекции (оставить тонкими линиями полные очерки проекций и линии построения).

На рис. 4.87, б показан пример построения проекций открытого тора со срезами плоскостями частного положения

План графических действий для решения задачи соответствует предложенному графическому алгоритму (к рис. 4.86):

1-е действие. По заданным размерам построить на правой половине чертежа тонкими линиями фронтальную, горизонтальную и профильную проекции половины открытого тора без срезов, а затем выполнить на его фронтальной и горизонтальной проекциях заданные по условию срезы фронтально-проецирую-щей плоскостью Задачи по начертательной геометрии и горизонтально-проецирующей плоскостью Задачи по начертательной геометрии

2-е действие. Обозначить на фронтальной и горизонтальной проекциях тора характерные и промежуточные точки и выполнить графический анализ плоскостей срезов:

  1. Фронтально-проецирующая плоскость Задачи по начертательной геометрии пересекает поверхность тора по участку волнообразной кривой Задачи по начертательной геометрии (соответствует сечению 2).
  2. Горизонтально-проецирующая плоскость Задачи по начертательной геометрии пересекает поверхность тора по кривой 4-го порядка Задачи по начертательной геометрии.

3-е действие. Достроить горизонтальную и фронтальную проекции тора и определить видимость плоскостей срезов:

  1. Достроить горизонтальную проекцию тора, построив участок видимой волнообразной кривой но проекциям обозначенных точек Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии, принадлежащих параллелям и основанию тора (алгоритм I, см. рис. 4.84); кривая ограничена линией Задачи по начертательной геометрии пересечения плоскости среза Задачи по начертательной геометрии с окружностью основания Задачи по начертательной геометрии
  2. Достроить фронтальную проекцию тора, построив участок видимой кривой среза горизонтально-проецирующей плоскостью Задачи по начертательной геометрии по проекциям обозначенных точек Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии по их принадлежности параллелям и основанию (алгоритм И , рис. 4 84).

4-е действие. Выполнить графический анализ достроенных проекций и определить их очерки и внутренний контур.

Фронтальный очерк определяют:

  • отрезок Задачи по начертательной геометрии— проекция плоскости среза Задачи по начертательной геометрии,

-участок Задачи по начертательной геометрии очерковой окружности Задачи по начертательной геометрии,

  • внутренняя очерковая окружность Задачи по начертательной геометрии;
  • проекции (прямые) окружностей основания Задачи по начертательной геометрии,

-участок Задачи по начертательной геометрии проекции достроенной кривой в плоскости Задачи по начертательной геометрии.

  1. Внутренний контур фронтальной проекции определяет видимый участок кривой Задачи по начертательной геометрии пересечения поверхности тора с плоскостью среза Задачи по начертательной геометрии
  2. Горизонтальный очерк определяют:
  • отрезок Задачи по начертательной геометрии — проекция плоскости среза Задачи по начертательной геометрии,
  • сверху — участок очерковой параллели Задачи по начертательной геометрии (с частью окружности) и участок Задачи по начертательной геометрии волнообразной кривой;
  • снизу — участок Задачи по начертательной геометрии очерковой параллели Задачи по начертательной геометрии и участок Задачи по начертательной геометрииволнообразной кривой.
  1. Внутренний контур горизонтальной проекции определяют: видимый участок волнообразной кривой Задачи по начертательной геометрии;
  • невидимые участки окружностей оснований Задачи по начертательной геометрии.

5-е действие. Достроить профильную проекцию тора, построив проекции плоскостей срезов по проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов.

Плоскость среза or определяет видимый участок волнообразной кривой Задачи по начертательной геометрии построенной по принадлежности точек Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии характерным линиям тора, а точка построена по координате Задачи по начертательной геометрии.

  1. Плоскость среза Задачи по начертательной геометрии определяет невидимый участок кривой среза Задачи по начертательной геометрии построенный по принадлежности точек Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии соответствующим характерным линиям тора, а точки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии построены по координатам Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии.

6-е действие. Выполнить фактический анализ построенной профильной проекции для определения ее очерка и внутреннего контура.

  1. Профильный очерк определяют:
  • видимый участок волнообразной кривой Задачи по начертательной геометрии
  • справа — участок Задачи по начертательной геометрии очерковой линии Задачи по начертательной геометрии
  • слева — участок Задачи по начертательной геометрии очерковой линии Задачи по начертательной геометрии
  • совпадающие проекции (горизонтальная прямая) окружностей основания тора Задачи по начертательной геометрии.
  1. Внутренний контур определяют: невидимый участок кривой Задачи по начертательной геометрии
  • невидимый участок образующей окружности Задачи по начертательной геометрии

7-е действие. Оформить чертеж тора, выполнив толстыми сплошными линиями очерки и видимые линии внутреннею контура каждой проекции (оставить тонкими линиями полные очерки проекций и линии построения).

Задача №13.

По заданным фронтальной и горизонтальной проекциям комбинированного тела с отверстиями и срезами плоскостями частного положения построить его профильную проекцию. Нсли требуется по условию задачи -достроить з&танные проекции.

Графические условия вариантов задачи 13 даны в табл 4.8.

Решение задач со сложными геометрическими формами, наружную и внутреннюю поверхность которых образуют комбинации нескольких простых геометрических тел со срезами, вырезами и отверстиями, учит читать чертежи пространственных форм любой сложности и оперировать этими формами в воображении, развивает пространственное мышление и является основой для изучения последующих разделов инженерной графики — проекционного и маши ноет роительного черчения.

Для успешного решения задач с комбинированными телами следует научиться выполнять последовательный графический анализ заданного условия, основанный на знании проаых геометрических тел, коюрый позволит не только решит ь задачу, но и созда ть в воображении и рост ране i венный образ комбинированною т ела

Последовательный графический анализ условия задачи определяет логический порядок графических действий для решения задачи, т.е. графический алгоритм.

На рис. 4.88, а, 6, в показан пример поэтапного решения задачи, форма которой задана комбинированным телом, по предлагаемому графическому алгоритму:

1-е действие. Построить на чертеже по заданным размерам фронтальную и горизонтальную проекции комбинированного тела и определить положение базовой оси (б.о.) на горизонтальной проекции и положение базовой оси Задачи по начертательной геометрии для построения его профильной проекции.

2-е действие. Выполнить графический анализ заданных проекций комбинированного тела:

  1. Определить по характерным признакам на заданных проекциях геометрические тела, образующие форму комбинированного тела (см. рис. 4.88, а):

прямой круговой горизонтально-проецирующий цилиндр Задачи по начертательной геометрии определяется по прямоугольнику на фронтальной проекции и окружности на горизонтальной проекции;

  • в цилиндре Задачи по начертательной геометрии выполнено соосное горизонтально-проецирующее отверстие Задачи по начертательной геометрии определяется по тем же характерным признакам (образующие выполнены штриховыми линиями);

прямая правильная горизонтально-проецирующая шестиугольная призма Задачи по начертательной геометрии определяется по прямоугольнику на фронтальной проекции и шестиугольнику, вписанному в окружность, на горизонтальной проекции.

Задачи по начертательной геометрии
  1. Определить формы линий пересечения, по которым плоскости срезов и вырезов пересекают поверхности формообразующих геометрических тел, и обозначить характерные точки, принадлежащие этим линиям (см. рис. 4.88, а):
  • поверхности цилиндра Задачи по начертательной геометрии и цилиндрического отверстия Задачи по начертательной геометриисрезаны двумя симметричными профильными плоскостями Задачи по начертательной геометрии пересекающими эти поверхности по образующим 1-2 и Задачи по начертательной геометрии (точки внутреннего контура отмечены знаком «<>»);

поверхности цилиндра Задачи по начертательной геометрии и отверстия Задачи по начертательной геометрии срезаны симметричными и горизонтальными плоскостями Задачи по начертательной геометрии, пересекающими эти поверхности по участкам окружностей 2-3-2 и Задачи по начертательной геометрии

в цилиндре Задачи по начертательной геометрии выполнено призматическое сквозное отверстие двумя симметричными фронтально-проецирующими плоскостями Задачи по начертательной геометрии, пересекающими поверхность цилиндра Задачи по начертательной геометрии по участкам эллипсов Задачи по начертательной геометрии, отверстие Задачи по начертательной геометрии — по участкам эллипсов Задачи по начертательной геометрии;

  • в шестиугольной призме Задачи по начертательной геометрии выполнено полуцилиндрическое фронтально-проецирующее сквозное отверстие Задачи по начертательной геометрии, пересекающее грани призмы по участкам эллипсов 6-7 (грани Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии) и по участкам окружностей 7-8 (грани Задачи по начертательной геометрии).

!!! Поскольку заданные проекции комбинированного тела симметричны, точки обозначены на одной какой-либо половине каждой проекции.

  1. Построить горизонтальные проекции отмеченных точек: точки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии лежат на окружности радиусом Задачи по начертательной геометрии, (проекция боковой поверхности Задачи по начертательной геометрии):

точки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии лежат на сторонах шестиугольника (проекция боковой поверхности призмы Задачи по начертательной геометрии);

-точки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии лежат на окружности радиусом Задачи по начертательной геометрии (проекция боковой поверхности цилиндрического отверстия Задачи по начертательной геометрии).

3-е действие. Если по условию задачи в формообразовании комбинированного тела участвуют геометрические тела с непроецирующей боковой поверхностью (пирамида, конус, шар, тор или тороид), требуется в соответствии с выполненным графическим анализом по проекциям обозначенных точек достроить на заданных проекциях (одной или обеих) линии пересечения поверхностей этих геометрических тел с плоскостями заданных срезов и вырезов (рис, 4 89, образец) и оформить очерки достроенных проекций.

В рассматриваемом примере формообразующими геометрическими телами являются горизонтально-проецирующие цилиндры и призма и, следовательно, 3-е действие выполнять не нужно.

4-е действие. Построить тонкими линиями (без заданных срезов и вырезов) профильные проекции формообразующих геометрических тел и внутренних элементов (рис. 4.88, а).

  1. Профильную проекцию определяют:
  • проекция цилиндра Задачи по начертательной геометрии — прямоугольник, ограниченный двумя очерковыми образующими с координатами Задачи по начертательной геометрии, равными ею радиусу Задачи по начертательной геометрии, а по высоте Задачи по начертательной геометрии — горизонтальными отрезками проекций верхнею и нижнею оснований,

проекция призмы Задачи по начертательной геометрии прямоугольник, ограниченный двумя вырожденными в линии боковыми гранями Задачи по начертательной геометрии с координатами Задачи по начертательной геометрии, а по высоте Задачи по начертательной геометрии горизонтальными отрезками проекций оснований (ребра Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии совпадают с осью симметрии проекции и базовой осью Задачи по начертательной геометрии).

  1. Внутренний контур профильной проекции, предварительно выполненный тонкими штриховыми линиями, определяют:

проекция цилиндрического отверстия Задачи по начертательной геометрии — прямоугольник, ограниченный двумя очерковыми образующими с координатами Задачи по начертательной геометрии, равными его радиусу Задачи по начертательной геометрии, с условной высотой Задачи по начертательной геометрии;

  • горизонтальные отрезки: проекция горизонтальной плоскости среза Задачи по начертательной геометрии; линия Задачи по начертательной геометрии пересечения фронтально-проецирующих плоскостей выреза Задачи по начертательной геометрии:

профильно-проецирующая невидимая очерковая образующая Задачи по начертательной геометрии фронтально-проецирующего отверстия Задачи по начертательной геометрии; образующая Задачи по начертательной геометрии отверстия Задачи по начертательной геометрии совпадает с проекцией верхнего основания призмы Задачи по начертательной геометрии.

5-е действие. Достроить профильную проекцию комбинированного тела, построив на его наружной и внутренней поверхностях линии пересечения с заданными плоскостями срезов и выреза:

  1. Достроить линии пересечения на наружных поверхностях формообразующих геометрических тел — цилиндра Задачи по начертательной геометрии и призмы Задачи по начертательной геометрии — но профильным проекциям обозначенных точек (см. рис. 4.88, б):
  • построить видимые проекции образующих Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии по координатам Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии и горизонтальную видимую линию Задачи по начертательной геометрии, в которую проецируются участки окружности в плоскостях срезов Задачи по начертательной геометрии
  • построить видимые участки эллипсов Задачи по начертательной геометрии по проекциям точек: точки Задачи по начертательной геометрии на очерковых образующих цилиндра Задачи по начертательной геометрии, точки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии — по координатам Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии

построить видимые участки эллипсов 6-7 па гранях Задачи по начертательной геометрии призмы по проекциям точек: точки Задачи по начертательной геометрии по координатам Задачи по начертательной геометрии; точки Задачи по начертательной геометрии по принадлежности совпадающим проекциям ребер Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии;

  • проекции участков окружностей Задачи по начертательной геометрии совпадают с проекциями граней Задачи по начертательной геометрии.
  1. Достроить линии пересечения на внутренней поверхности комбинированного тела по профильным проекциям обозначенных точек (рис. 4.88, в):
  • построить невидимые участки эллипсов Задачи по начертательной геометрии по проекциям точек: точки Задачи по начертательной геометрии по принадлежности очерковым образующим Задачи по начертательной геометрии отверстия Задачи по начертательной геометрии и точки Задачи по начертательной геометрии — на образующих, совпадающих с осью этого отверстия.

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной проекции ятя определения ее очерка и внутреннего контура

  1. Профильный очерк определяют:
  • слева и справа — отрезки Задачи по начертательной геометрии — участки очерковых образующих цилиндра Задачи по начертательной геометрии; отрезки Задачи по начертательной геометрии, совпадающие с вырожденными боковыми гранями Задачи по начертательной геометрии призмы; участки эллипсов Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии:

сверху — горизонтальные отрезки до точек Задачи по начертательной геометрии — участки верхнего основания цилиндра Задачи по начертательной геометрии;

снизу горизонтальная линия нижнего основания призмы.

  1. Внутренний видимый контур определяют:

-видимая горизонтальная линия Задачи по начертательной геометрии — участок верхнего основания призмы;

  • видимая вертикальная линия Задачи по начертательной геометрии — ребра призмы, совпадающие с осью симметрии проекции;
  • видимые образующие Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии.

Внутренний невидимый контур проекции определяют

  • слева и справа — невидимые отрезки Задачи по начертательной геометрии — существующие участки очерковых образующих отверстия Задачи по начертательной геометрии;
  • горизонтальные отрезки Задачи по начертательной геометрии — существующие участки невидимой линии пересечения двух плоскостей выреза Задачи по начертательной геометрии;
  • невидимый участок эллипса Задачи по начертательной геометрии;
  • горизонтальная невидимая линия Задачи по начертательной геометрии — очерковая образующая отверстия Задачи по начертательной геометрии.

7-е действие. Оформить чертеж комбинированного тела, выполнив толстыми линиями очерки и внутренний контур каждой проекции и штриховыми линиями невидимые контуры проекций (оставить тонкими линиями полные очер-ки геометрических тел и линии построения).

Образец выполнения листа 7 с задачей 13 показан на рис. 4.89.

Задача №13.

По заданным фронтальной и горизонтальной проекциям комбинированного тела построить его профильную проекцию, достроив, если требуется по условию, заданные проекции.

1 рафические условия вариантов задачи 13 даны в табл. 4.8.

Задачу выполнить на формате A3 чертежной бумаги.

План графических действий для решения задачи 13 соответствует предложенному алгоритму.

1-е действие. Построить на чертеже по заданным размерам фронтальную и горизонтальную проекции комбинированного тела и определить положение базовой оси (б.о.) на его горизонтальной проекции и базовой оси z для построения профильной проекции.

2-е действие. Выполнить графический анализ заданных проекций комбинированного тела.

/. Определить по характерным признакам на заданных проекциях геометрические тела, образующие форму комбинированного тела:

полушар в основании определяется по полуокружности на фронтальной проекции и окружности на горизонтальной проекции;

прямая правильная четырехугольная горизонтально-проецирующая призма определяется по прямоугольнику на фронтальной проекции и четырехугольнику, вписанному в окружность, на горизонтальной проекции;

цилиндрическое сквозное горизонтатьно-проецируюшее отверстие определяется по прямоугольнику на фронтальной проекции (образующие выполнены штриховыми линиями) и окружности на горизонтальной проекции;

  1. Определить формы линий пересечения, по которым плоскости вырезов пересекаюг поверхности формообразующих геометрических тел, и обозначить характерные точки, принадлежащие этим линиям:
  • поверхность призмы пересекает сквозной призматический наз, образованный двумя симметричными фронтально-проецирующими плоскостями и горизонтальной плоскостью, по отрезкам 1-2 и 2-3 ломаной, а цилиндрическое отверстие — по участкам эллипса Задачи по начертательной геометрии и участкам окружности Задачи по начертательной геометрии:
  • поверхность шара пересекают две симметричные профильные плоскости по участкам окружностей 6-7 радиусом Задачи по начертательной геометрии, а горизонтальная плоскость — по участкам окружности 7-8-7 радиусом Задачи по начертательной геометрии плоскости образуют в основании шара сквозной прямоугольный паз

!!! Поскольку заданные проекции комбинированного тела симметричны, точки обозначены на одной половине проекции.

Задачи по начертательной геометрии
  1. Построить горизонтальные проекции обозначенных точек
  • точки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии лежат на четырехугольнике боковой поверхности призмы;
  • точки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии лежат на окружности боковой поверхности цилиндрического отверстия.

3-е действие. Поскольку в формообразовании комбинированного тела участвует полушар, не имеющий боковой проецирующей поверхности, заданные фронтальную и горизонтальную проекции нужно досгроть и оформиib очерки этих проекций.

  1. Достроить на фронтальной проекции линии пересечения боковых граней призмы с поверхностью шара;
  • Грани призмы пересекают поверхность шара но участкам окружностей Задачи по начертательной геометрии, горизонтальные проекции которых совпадают со сторонами четырехугольника (проекцией боковой поверхности призмы), а на фронтальную и профильную проецируются в виде участков эллипсов;

построить видимые фронтальные проекции участков эллипсов Задачи по начертательной геометрии построив фронтальные проекции этих точек;

внутренний контур фронтальной проекции определяют два участка эллипсов Задачи по начертательной геометрии (главный фронтальный меридиан шара не существует между точками Задачи по начертательной геометрии и выполнен тонкой линией).

  1. Достроить на горизонтальной проекции линии пересечения 6-7-8 плоскостей паза с поверхностью шара:
  • горизонтальная плоскость паза пересекает поверхность шара по окружности радиусом Задачи по начертательной геометрии а, на которой определяются точки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии видимых участков этой окружности;
  • боковые профильные плоскости паза пересекают поверхность шара по участкам окружностей радиусом Задачи по начертательной геометрии которые проецируются в видимые участки Задачи по начертательной геометрииЗадачи по начертательной геометрии вертикальных прямых и невидимые отрезки Задачи по начертательной геометрии (выполнены штриховыми линиями);
  • горизонтальный очерк определяют видимые участки линий Задачи по начертательной геометрии (экватор шара не существует между точками Задачи по начертательной геометрии и выполнен тонкими линиями).

4-е действие. Построить тонкими линиями (без срезов и вырезов) профильные проекции формообразующих геометрических тел и внутренних элементов.

  1. Профильную проекцию определяют
  • проекция шара — полуокружность заданным радиусом шара;
  • проекция призмы — прямоугольник, ограниченный боковыми ребрами и линией верхнего основания.

Внутренний контур профильной проекции определяют: очерковые невидимые линии цилиндрического отверстия: горизонтальные отрезки: невидимая линия Задачи по начертательной геометрии и видимые участки Задачи по начертательной геометрии (проекция горизонтальной плоскости выреза в призме); невидимая линия Задачи по начертательной геометрии(проекция горизонтальной плоскости паза).

5-е действие. Достроить профильную проекцию комбинированного тела, построив на его наружной и внутренней поверхностях линии пересечения с заданными плоскостями вырезов:

У. Достроить линии пересечения на наружной поверхности полушара и призмы по профильным проекциям обозначенных точек:

  • построить видимые участки ломаных Задачи по начертательной геометрии на поверхности призмы,
  • построить видимые участки эллипсов Задачи по начертательной геометрии — линии пересечения полушара и призмы;
  • построить видимые участки линии Задачи по начертательной геометрии на поверхности полушара.
  1. Досгрошь линии пересечения на внуфенней поверхности комбинированного тела но профильным проекциям обозначенных точек:

построить невидимый участок эллипса Задачи по начертательной геометрии: по принадлежности точек Задачи по начертательной геометрии характерным образующим цилиндрическою отверстия, а точки Задачи по начертательной геометрии — по координате Задачи по начертательной геометрии.

построить невидимые отрезки Задачи по начертательной геометрии проекции горизонтальной плоскости выреза в призме.

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции для определения ее очерка и внутреннего контура.

  1. Профильный очерк определяют:
  • слева и справа — участки Задачи по начертательной геометрии очерковых ребер призмы; ломаные линии Задачи по начертательной геометрииЗадачи по начертательной геометрии выреза в призме; участки Задачи по начертательной геометриипрофильного меридиана шара; линии Задачи по начертательной геометрииЗадачи по начертательной геометрии призматического паза в шаре,
  • сверху — отрезок Задачи по начертательной геометрии верхнего основания призмы;
  • снизу — отрезок Задачи по начертательной геометрии основания (экватора) шара
  1. Внутренний видимый контур проекции определяют:
  • участок ребра, совпадающий с осью симметрии профильной проекции;
  • участки эллипсов Задачи по начертательной геометрии‘.
  1. Внутренний невидимый контур проекции определяют:
  • слева и справа — невидимые отрезки очерковых образующих цилиндрического отверстия от точек Задачи по начертательной геометрии до горизонтальной невидимой линии Задачи по начертательной геометрии (паз в шаре);
  • невидимый участок эллипса Задачи по начертательной геометрии;
  • невидимые горизонтальные отрезки Задачи по начертательной геометрии.

7-е действие. Оформить чертеж комбинированного тела, выполнив толстыми линиями видимые очерки и внутренние контуры каждой проекции и штриховыми линиями невидимые контуры проекций (оставить тонкими линиями полные очерки геометрических тел и линии построений).

Задачи по начертательной геометрии
Задачи по начертательной геометрии

Графическая работа № 8

Сечение поверхности плоскостью общею положения

Для решения задачи 14 следует повторить изложенные выше темы начертательной геометрии.

Плоскость:

  • плоскости общею и частного положения (плоскости проецирующие и плоскости уровня);

прямые особою положения в плоскости: фронтапь и горизонталь плоскости;

Поверхности — геометрические тела: проекции геометрических тел (призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, ша-ра, тора и тороида);

  • построение проекций точек на поверхности геометрических тел; сечение геометрических тел плоскостями частного положения.

Преобразование чертежа: способ замены плоскостей проекций (задачи 1,2, 3 и 4).

Тема 8. Сечение поверхности плоскостью общего положения

Задача №14.

Построить натуральную величину сечения геометрического тела плоскостью общего положения способом замены плоскостей проекций и достроить горизонтальную и фронтальную проекции линии пересечения геометрическою тела с плоскостью с учетом видимости этой линии на проекциях геометрического тела. Преобразование плоскости выполнять относительно горизон тали плоскости.

Графические условия вариантов задачи 14 даны в табл. 4.9.

Задачи по начертательной геометрии
Задачи по начертательной геометрии

Поверхности геометрических тел могут пересекаться плоскостями, занимающими относительно плоскостей проекций частные (проецирующие или уровня ) или общие положения:

Первый случай, когда сечения геометрических тел выполнены плоскостями частного положения, был подробно рассмотрен в темах 4, 5 и 6: «Поверх-ности. Поверхности гранные. Поверхности вращения». Построение проекций линии пересечения выполнялось в этих частных случаях по принадлежности точек их линий поверхностям геометрических тел по определенным графичс-ским алгоритмам, приведенным в рассмотренных темах.

На рис 4.90 показан еще один пример построения горизонтальной проекции линии пересечения поверхности тороида (самопересекающийся тор) фронтально-проецирующей плоскостью Задачи по начертательной геометрии.

Графические действия для построения горизонтальной проекции линии пересечения в этом случае выполняется в следующем порядке:

1-е действие. Обозначить характерные 1, 4 и 6 и промежуточные 2, 3 и 5 точки на заданной фронтальной проекции линии пересечения, совпадающей с вырожденной проекцией плоскости сечения Задачи по начертательной геометрии.

2-е действие. Построить горизонтальные проекции обозначенных точек по их принадлежности параллелям тороида.

3-е действие. Соединить построенные горизонтальные проекции точек плав-ной кривой, имеющей форму овала (видимая кривая).

Во втором случае, когда сечения геометрических тел выполнены плоскостями общего положения, для более удобного решения задачи следует изменить заданное графическое условие таким образом, чтобы один из графических образов занял относительно плоскостей проекций частное положение, т.е. привести условие к первому частному случаю.

По условию задачи преобразовать в частное положение из двух заданных образов (геометрического тела и плоскости) возможно только плоскость общего положения.

Напоминаем, что для преобразования плоскости общего положения в плоскость проецирующую следует вы-полнить задачу 3 преобразования способом замены плоскостей проекций (см. рис. 4.51). Это возможно только в том случае, если прямая уровня заданной плоскости горизонталь или фронталь преобразуется в проецирующую прямую (задача 2, см. рис. 4.47 и 4.48): для преобразования в горизонтально-проецирующую плоскость используется фронталь, для преобразования во фронтально-проецирующую плоскость горизонталь.

Задачи по начертательной геометрии

Для определения натуральной плоскостью следует далее преобразовать построенную после 1-го преобразова-ния проецирующую плоскость в плоскость уровня, т.е. решить задачу 4 замены плоскостей проекций (см. рис 4.54).

На рис. 4.91 показано последовательное двойное преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня способом замены плоскостей проекций.

Задачи по начертательной геометрии

Графический алгоритм последовательного преобразования заданной плоскости общего положения Задачи по начертательной геометрии в плоскость уровня выполняется двумя заменами плоскостей проекций в следующем порядке:

1-е действие. Задать на чертеже ось исходной системы плоскостей проекций Задачи по начертательной геометрии (через точку Задачи по начертательной геометрии).

2-е действие. Провести в плоскости линию уровня. В данной задаче провести горизонталь Задачи по начертательной геометрии.

I. Первая замена плоскостей проекций — преобразовать плоскость общею положения Задачи по начертательной геометрии в плоскость проецирующую (задача 3):

3-е действие. Ввести первую дополнительную систему плоскостей проекций Задачи по начертательной геометрии с осью проекций Задачи по начертательной геометрии перпендикулярной горизонтальной проекции горизонтали Задачи по начертательной геометрии плоскости.

4-е действие. Построить в первой дополнительной системе фронтальную проекцию Задачи по начертательной геометрии плоскости Задачи по начертательной геометрии по координатам Задачи по начертательной геометрии взятым из заданной исходной системы Задачи по начертательной геометрии плоскость спроецировалась в линию, т.е. преобразовалась во фронтально-проецирующую плоскость (перпендикулярна Задачи по начертательной геометрии).

II. Вторая замена плоскостей проекций преобразовать плоскость проецирующую в плоскость уровня (задача 4):

5-е действие. Ввести вторую дополнительную систему плоскостей проекций Задачи по начертательной геометрии с осью проекций Задачи по начертательной геометрии параллельной вырожденной в линию проекции плоскости Задачи по начертательной геометрии, построенной в результате первого преобразования.

6-е действие. Построить во второй дополнительной системе горизонтальную проекцию Задачи по начертательной геометрии плоскости Задачи по начертательной геометрии по координатам y(yj, взятым из предыдущей системы Задачи по начертательной геометрии до предыдущей оси проекций Задачи по начертательной геометрии: плоскость спроецировалась в треугольник Задачи по начертательной геометрии, имеющий натуральную величину как плоскость уровня (параллельна Задачи по начертательной геометрии).

На рис. 4.92 показан пример построения натуральной величины сечения прямой правильной четырехугольной призмы плоскостью общею положения Задачи по начертательной геометрии, заданной треугольником, и построение проекций линии пересечения поверхности призмы этой плоскостью на заданных проекциях призмы.

Задача решена двумя заменами плоскостей проекции, т.е. двумя последовательными преобразованиями по следующему графическому алгоритму:

1-е действие. Построить проекции геометрического тела и секущей плоскости Задачи по начертательной геометрии и задать на чертеже систему плоскостей проекций Задачи по начертательной геометрии гак, чтобы ось проекций Задачи по начертательной геометрии совпала с фронтальной проекцией нижнего основания заданной призмы.

2-е действие. Провести в плоскости горизонтальЗадачи по начертательной геометрии по заданному графическому условию, горизонталью Задачи по начертательной геометрии плоскости является ее сторона Задачи по начертательной геометрии.

I. Первая замена плоскостей проекций — преобразовать плоскость общего положения Задачи по начертательной геометрии в проецирующую.

3-е действие. Ввести первую дополнительную систему плоскостей проекций Задачи по начертательной геометрии с осью Задачи по начертательной геометрии, перпендикулярной горизонтальной Задачи по начертательной геометриипроекции горизонтали (стороне Задачи по начертательной геометрии).

Задачи по начертательной геометрии

4-е действие. Построить тонкими линиями в первой дополнительной системе фронтальные проекции плоскости Задачи по начертательной геометрии и призмы Задачи по начертательной геометрии (точки отмечены на верхнем основании призмы) по координатам Задачи по начертательной геометрии, взятым из заданной системы Задачи по начертательной геометрии; в результате преобразования плоскость спроецировалась в прямую линию и заняла положение фронтально-проецирующей, а призма спроецировалась в прямоугольник высотой Задачи по начертательной геометрии.

I. Обозначить на преобразованной проекции характерные точки Задачи по начертательной геометрииЗадачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии на ребрах призмы, по которым плоскость сечения пересекает ее поверхность (плоская ломаная линия Задачи по начертательной геометрии пересечения совпадает с вырожденной проекцией плоскости сечения).

!!! В результате выполнения первой замены плоскостей проекций графическое условие задачи преобразовано в частный случай сечения геометрического тела фронтально-проецирующей плоскостью.

И. Вторая замена плоскостей проекций — преобразовать плоскость сечения в плоскость уровня.

5-е действие. Ввести вторую дополнительную систему плоскостей проекций Задачи по начертательной геометрии с осью проекций Задачи по начертательной геометрии, параллельной вырожденной проекции плоскости сечения, полученной в результате первою преобразования.

6-е действие. Построить во второй дополнительной системе горизонтальную Задачи по начертательной геометрии проекцию ломаной линии сечения по координатам Задачи по начертательной геометрии, взятым из предыдущей дополнительной системы Задачи по начертательной геометрии до оси проекций Задачи по начертательной геометрии; полученная в результате второго преобразования проекция плоскости сечения параллельна дополнительной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии, те является плоскостью уровня и определяет натуральную величину сечения

III. Достроить на заданных проекциях призмы горизонтальную и фронтальную проекции ломаной линии пересечения секущей плоскости Задачи по начертательной геометрии с поверхностью призмы и определить видимость этой линии на проекциях.

7-е действие. Построить по линиям обратной связи горизонтальную проекцию ломаной линии сечения Задачи по начертательной геометрии на заданной горизонтальной проекции призмы по принадлежности обозначенных точек ребрам призмы (обратным проецированием) и определить ее видимость (линия совпадает с проекцией боковой поверхности призмы).

8-е действие. Построить по линиям обратной связи фронтальную проекцию Задачи по начертательной геометрии ломаной линии сечения на заданной фронтальной проекции призмы по принадлежности обозначенных точек ребрам призмы, используя координаты Задачи по начертательной геометрии из первой дополнительно системы Задачи по начертательной геометрии; определить видимость ломаной линии пересечения на поверхности призмы: невидимый участок Задачи по начертательной геометрии — на невидимых гранях призмы; видимый участок Задачи по начертательной геометрии на видимых гранях призмы.

Образец выполнения листа 8 с задачей 14 показан на рис. 4.93.

Задача №14.

Построить натуральную величину сечения наклонной четырехугольной пирамиды плоскостью общею положения Задачи по начертательной геометрии, заданной двумя пересекающимися прямыми Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии, и построить проекции ломаной линии пересечения плоскости Задачи по начертательной геометрии с поверхностью пирамиды на заданных проекциях.

Задачу выполнить на формате АЗ чертежной бумаги.

Графические условия вариантов задачи 14 даны в табл. 4.9.

План графических действий для решения задачи соответствует предложенному графическому алгоритму:

1-е действие. Построить на чертеже по заданным координатам фронтальную и горизонтальную проекции наклонной пирамиды и плоскости сечения Задачи по начертательной геометрии и задать на чертеже систему плоскостей проекций Задачи по начертательной геометрии с осью проекций Задачи по начертательной геометрии, совпадающей на фронтальной проекции пирамиды с ее основанием

2-е действие. Провести в плоскости горизонталь Задачи по начертательной геометрии) — использовать прямую Задачи по начертательной геометрии заданной плоскости сечения.

I. Первая замена плоскостей проекций — преобразовать плоскость общего положения Задачи по начертательной геометрии во фронтально-проецирующую плоскость.

3-е действие. Ввести первую дополнительную систему плоскостей проекций Задачи по начертательной геометрии с осью проекций перпендикулярной горизонтальной проекции Задачи по начертательной геометрии горизонтали Задачи по начертательной геометрии.

4-е действие. Построить в первой дополнительной системе фронтальные проекции плоскости Задачи по начертательной геометрии и наклонной пирамиды по координатам Задачи по начертательной геометрии (отмечены двумя черточками для точек Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии и тремя черточками для точки Задачи по начертательной геометрии), взятым в заданной системе Задачи по начертательной геометрии. в результате преобразования секущая плоскость спроецировалась в прямую и заняла положение фронтально-проецирующей, а пирамида спроецировалась в треугольник.

Задачи по начертательной геометрии

Обозначить характерные точки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии ломаной линии, по которой плоскость сечения пересекает ребра и основание пирамиды (проекции точек Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии совпадают).

II. Вторая замена плоскостей проекций — преобразовать плоскость сечения пирамиды в плоскость уровня.

5-е действие. Ввести вторую дополнительную систему плоскостей проекций Задачи по начертательной геометрии с осью проекций Задачи по начертательной геометрии, параллельной плоскости сечения, полученной в результате первою преобразования.

6-е действие. Построить во второй дополнительной системе горизонтальную проекцию сечения Задачи по начертательной геометрии по координатам Задачи по начертательной геометрии (отмечена знаком «~» для точки 3Д взятым из предыдущей дополнительной системы Задачи по начертательной геометрии до оси проекций Задачи по начертательной геометрии полученная в результате второго преобразования проекция плоскости сечения параллельна дополнительной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии т.е. является плоскостью уровня и определяет натуральную величину сечения.

III. Достроить на заданных проекциях пирамиды горизонтальную и фронтальную проекции ломаной линии пересечения секущей плоскости с поверхностью пирамиды и определить видимость этой линии на проекциях.

7-е действие. Построить полициям обратной связи горизонтальную проекцию Задачи по начертательной геометрии ломаной линии пересечения на заданной горизонтальной проекции пирамиды по принадлежности обозначенных точек ребрам и основанию пирамиды; определить видимость ломаной: участок Задачи по начертательной геометрии — видимый (лежит на видимых гранях), участок Задачи по начертательной геометрии — невидимый.

8-е действие. Построить по линиям связи фронтальную проекцию ломаной линии Задачи по начертательной геометрии пересечения на заданной фронтальной проекции пирамиды по принадлежности обозначенных точек ребрам и основанию пирамиды; определить видимость ломаной: участок Задачи по начертательной геометрии — видимый на видимых гранях, а участки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии — невидимые, участок Задачи по начертательной геометрии лежит на основании пирамиды.

Пересечение поверхностей и способы построения линий пресечении

Линия пересечения принадлежит обеим пересекающимся поверхностям и образуется множеством их общих точек. Следовательно, построение линии пересечения поверхностей сводится к построению этих общих точек.

При пересечении поверхностен вращения порядок линии пересечения определяется умножением порядков пересекающихся поверхностей. Например, если пересекаются круговой конус (поверхность 2-го порядка) и сфера (поверхность 2-ю порядка), то линия пересечения является кривой 4-ю порядка.

Определение способа построения линии пересечения зависит от взаимною расположения пересекающихся поверхностей, а также от их расположения относительно плоскостей проекций.

Из всех возможных вариантов пересечения

поверхностей геометрических тел в зависимости от их взаимного рас-положения можно выделить четыре случая, которые позволяют определить и представить форму линии пересечения поверхностей:

I случай. Частичное врезание (рис. 4.94). В этом случае линией пересечения -одна замкнутая пространственная линия.

II случай. Полное проницание (рис. 4.95). В этом случае линией пересечения являются две замкнутые пространственные линии.

Задачи по начертательной геометрии
Задачи по начертательной геометрии

III случай. Одностороннее соприкосновение (рис. 4.96). В этом случае поверхности соприкасаются водной общей точке Задачи по начертательной геометрии и линия их пересечения, про-ходя через эту точку, распадается на две замкнутые пространственные линии (поверхности имеют одну общую касательную плоскость).

IV случай. Двойное соприкосновение (рис. 4.97).

В этом случае поверхности имеют две точки соприкосновения Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии и линия их пересечения распадается на две плоские кривые в соответствии с теоремой 2 (С.А Фролов «Начертательная геометрия»): если две поверхности вращения второго порядка имеют касание в двух точках, то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую Задачи по начертательной геометрии, соединяющую точки касания (поверхности имеют две общие касательные плоскости).

Задачи по начертательной геометрии

В зависимости от расположения пересекающихся геометрических тел относительно плоскостей проекций и участия в пересечении геометрических тел, имеющих проецирующую поверхность (как призма или цилиндр) или не имеющих проецирующей поверхности (пирамида, конус, шар, тор, тороид, наклонная призма или наклонный цилиндр, глобоид и др.), следует выбрать оптимальный способ построения проекций линии пересечения поверхностей на чертеже.

По этим признакам способы построения линий пересечения поверхностей можно объединить в две группы:

Первая группа: частные случаи пересечения поверхностей, когда для построения линий пересечения не требуется применения специальных способов, а используется частное положение пересекающихся геометрических тел относительно плоскостей проекций.

Задачи по начертательной геометрии

Вторая группа: общие случаи пересечения поверхностей, когда для построения линий пересечения требуется применить специальные способы посредников. Частные случаи пересечения поверхностей

К первой группе частных случаев пересечения поверхностен относятся следующие четыре случая:

1 случаи: пересечение геометрических тел, боковые поверхности которых являются проецирую щ ими, т.е. перпендикулярны какой-либо плоскости проекций.

2 случаи: пересечение геометрических тел, у одного из которых боковая поверхность является проецирующей.

3 случаи: пересечение соосных поверхностей вращения, т.е. имеющих общую ось вращения

4 случаи: пересечение поверхностей вращения второго порядка, описанных вокруг сферы (по теореме Г. Монжа).

Рассмотрим на примерах построение проекций линий пересечения поверхностей геометрических тел в четырех частных случаях первой группы .

Следует отметить, что перечисленные частные случаи пересечения поверхностей наиболее часто встречаются при формообразовании различных реальных деталей.

Задачи по начертательной геометрии
Задачи по начертательной геометрии

1-й частный случай.

На рис. 4.98 показан пример построения проекций линии пересечения поверхностей горизонтально-проецирующего цилиндра и фронтально-проецирую-щей прямой правильной треугольной призмы, т.е. пересекаются два геометрических тела, боковые поверхности которых занимают относительно плоское гей проекций проецирующее положение.

Характерный признак 1-го частного случая: на заданных проекциях тел определяются две проекции нс-комой линии пересечения:

фронтальная проекция Задачи по начертательной геометрии линии пересечения Задачи по начертательной геометрии совпадает с вырожденной в ломаную линию боковой поверхностью призмы;

горизонтальная проекция Задачи по начертательной геометрии линии пересечения Задачи по начертательной геометрии совпадает с участком окружности которая является вырожденной проекцией боковой поверхности цилиндра

Следовательно, требуется достроить только профильную проекцию Задачи по начертательной геометрии линии пересечения, построив профильные проекции обозначенных точек по их принадлежности одному из тел (в данной задаче — цилиндру), и соединить их плавной кривой с учетом ее видимости на поверхностях.

Задачи по начертательной геометрии
Задачи по начертательной геометрии

2-й частный случай

На рис. 4.показан пример построения проекций линии пересечения поверхностей прямого кругового конуса и фронтально-проецирующего цилиндра, т.е. пересекающихся геометрических тел, у одного из которых боковая поверхность проецирующая.

Характерный признак 2-го частного случая: на заданных проекциях тел определяется одна проекция линии пересечения:

фронтальная проекция Задачи по начертательной геометрии линии пересечения Задачи по начертательной геометрии совпадает с окружностью, которая является вырожденной проекцией боковой поверхности цилиндра.

Следовательно, требуется достроить горизонтальную Задачи по начертательной геометрии и профильную Задачи по начертательной геометрии проекции линии пересечения, построив горизонтальные и профильные проекции обозначенных то-чек по их принадлежности конусу, и соединить построенные на проекциях точки плавными кривыми линиями с учетом их видимости на поверхностях.

!!! На профильную проекцию предмета пространственная кривая линия пересечения 4-го порядка проецируется в виде участка гиперболы.

3-й частный случай.

Пересечение соосных геометрических тел.

Соосными называются геометрические тела вращения, имеющие общую ось вращения Задачи по начертательной геометрии. Поверхности соосных тел пересекаются по окружностям, перпендикулярным их общей оси. Если общая ось Задачи по начертательной геометрии соосных геометрических тел является прямой проецирующей (т.е. она перпендикулярна какой-либо одной плоскости проекций, а двум другим параллельна), то окружность пересечения проецируется дважды в прямую линию, перпендикулярную их общей оси, на те плоскости проекций, которым эта общая ось параллельна.

На рис. 4.100 показан пример построения линии пересечения соосных геометрических тел — конуса и горизонтально-проецирующего цилиндра, имеющих общую горизонтально-проецирующую ось Задачи по начертательной геометрии (ось перпендикулярна Задачи по начертательной геометрии и параллельна Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии). Линией пересечения является окружность, фронтальная Задачи по начертательной геометрии и профильная Задачи по начертательной геометрии проекции которой представляют собой прямые линии, перпендикулярные их общей оси Задачи по начертательной геометрии и проходящие через точки пересечения фронтальных и профильных очерков поверхностей Горизонтальная проекция этой

Задачи по начертательной геометрии

окружности пересечения Задачи по начертательной геометрии) совпадает с вырожденной горизонтальной проекцией боковой поверхности цилиндра.

На рис. 4.101 показан пример построения линий пересечения двух пар соосных поверхностей:

  • поверхности шара и горизонтально-проецирующего цилиндра, соосных относительно горизонтально-проецирующей оси Задачи по начертательной геометрии, окружности пересечения которых проецируются в прямые линии на фронтальную и профильную проекции;

поверхности шара и сквозного профильно-проецирующего цилиндрического отверстия Задачи по начертательной геометрии в шаре, соосных относительно профильно-проецирующей оси Задачи по начертательной геометрии, окружности пересечения которых проецируются в прямые линии на фронтальную и горизонтальную проекции.

4-и частный случай.

Пересечение поверхностей вращения второго порядка, описанных вокруг сферы (по теореме Г. Монжа).

Напоминаем, к поверхностям вращения второго порядка относятся круговые цилиндр и конус, шар, эллипсоиды, параболоид, одно-и двуполостные гиперболоиды.

Эллиптические цилиндры и конусы, а также наклонный круговой конус — это не поверхности вращения!

Все горы (открытый, закрытый и самопересекающийся), глобоиды и торо-иды относятся к поверхностям вращения четвертого порядка!

В 4-м частном случае имеет место двойное соприкосновение пересекающихся поверхностей вращения второго порядка, описанных вокруг сферы, и построение линии пересечения основано на теореме 2 (С.Д. Фролов «Начертательная геометрия»):

Задачи по начертательной геометрии

Теорема 3 , известная как теорема Г. Монжа, вытекает из теоремы 2: если две поверхности вращения второго порядка описаны вокруг третьей поверхности второго порядка или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания

Практическое применение теоремы возможно в том случае, когда две поверхности вращения второго порядка описаны вокруг сферы или вписаны в нее.

Использовать теорему Г. Монжа для построения на чертеже линии пересечения поверхностей можно при наличии в задаче четырех обязательных графических условий:

  1. Пересекаются поверхности вращения второго порядка.
  2. Оси поверхностей вращения должны пересекаться (точка пересечения центр вписанной сферы).
  3. Поверхности описаны вокруг общей сферы или вписаны в нее.
  4. Общая плоскость симметрии, проходящая через оси поверхностей, является плоскостью уровня.

При соблюдении этих четырех условий на одной из заданных проекций можно построить проекции двух плоских кривых, на которые распадается ис-комая линия пересечения:

плоские кривые проецируются в отрезки прямых линий на ту проекцию предмета, которая расположена па плоскости проекций, параллельной обшей плоскости симметрии поверхностей;

-точки пересечения очерков поверхностей на этой проекции принадлежат искомой линии пересечения и через эти точки проходят прямые, в которые проецируются плоские кривые пресечения;

прямые, как проекции плоских кривых, пересекаются в точке, с которой совпадают проекции двух точек Задачи по начертательной геометрии соприкосновения поверхностей и соответственно проекция прямой Задачи по начертательной геометрии соединяющей эти точки соприкосновения (точки касания).

!!! Точки касания (соприкосновения) поверхностей Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии определяются на пересечении проекций окружностей касания вписанной сферы с каждой из поверхностей.

На рис. 4.102 показан пример построения проекций линии пересечения поверхностей вращения второго порядка — прямого кругового конуса и наклонного круговою цилиндра, описанных вокруг обшей сферы. Для решения задачи использована теорема Г. Монжа, поскольку здесь соблюдены все четыре обязательные ус