Готовые задачи по начертательной геометрии по всем темам

На этой странице я собрала готовые задачи с решением по всем темам начертательной геометрии с подробным алгоритмом решения и теорией, надеюсь они вам помогут.

Краткое изложение материала начертательной геометрии к задаче 1:

Задача №1.

Построить проекции плоского контура по заданному условию. Задача имеет два варианта условий.

Варианты 1-15: построить фронтальную и горизонтальную проекции ромба с диагоналями и по заданному условию: вершина ромба, точка , дана, а диагональ лежит на заданной прямой уровня вторая диагональ ромба равна 130 мм и проходит через заданную точку . Диагональ ромба определяется построениями. Определить углы наклона диагонали ромба к плоскостям проекций и .

Варианты 16-30: построить проекции квадрата с диагоналями и но заданному условию: вершина квадрата, точка , дана, а диагональ лежит на заданной прямой ; вторая диагональ квадрата проходит через заданную точку . Диагонали квадрата определяются построениями. Определить углы наклона диагонали квадрата к плоскостям проекций и .

Данные всех вариантов представлены координатами и точек и в табл. 4.1.

На образце показан пример решения задачи 1 по условию вариантов 1-15, т.е. построены проекции ромба .

Для решения задачи рассмотрим ромб как геометрическую фигуру: диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения (точка ) делятся пополам.

По заданным в табл. 4.1 координатам точек построить на левой половине листа 1 графическое условие задачи: проекции фронтальной прямой уровня и проекции точки . В левом верхнем углу выполнить таблицу с координатами точек своего варианта.

План графических действий для решения задачи 1 :

1-е действие. Построить фронтальную и горизонтальную проекции прямой общего положения , проходящей через точку , на которой будет лежать диагональ ромба :

  • фронтальная проекция этой прямой перпендикулярна фронтальной проекции прямой уровня (в соответствии с теоремой о проекции прямого угла) и проходит через фронтальную проекцию точки ;

-фронтальная проекция точки пересечения диагоналей ромба определяется на пересечении фронтальных проекций заданной прямой уровня и построенной прямой , а ее горизонтальная проекция построена по линии связи на проекции прямой ;

горизонтальная проекция прямой проходит через горизонтальные проекции точек и .

2-е действие. Построить на прямой общего положения проекции отрезка (половина второй диагонали ромба , построение см. на рис. 4.11 и 4.12), т.е. построить проекции вершины ромба.

3-е действие. Построить проекции вершин ромба и . отложив на диагоналях от точки отрезки, равные построенным проекциям половин диагоналей и .

4-е действие. Достроить проекции ромба , соединив прямыми линиями построенные проекции его вершин.

5-е действие. Определить углы наклона половины диагонали ромба — отрезка к плоскостям проекций и : построить натуральную величину отрезка способом прямоугольного треугольника относительно горизонтальной проекции этого отрезка и определить искомые углы:

-угол наклона отрезка к плоскости проекций определяется между проекцией половины диагонали и гипотенузой построенного прямоугольного треугольника ;

  • угол наклона отрезка к плоскости проекций определяется между проекцией половины диагонали и гипотенузой построенного относительно горизонтальной проекции прямоугольного треугольника .

Краткое изложение материала начертательной геометрии к задаче 2:

Задача №2.

Построить фронтальную и горизонтальную проекции линии пересечения двух плоскостей общего положения. Задача имеет два варианта графических условий.

Варианты 1-15: построить проекции линии пересечения двух плоскостей общего положения и , заданных треугольными отсеками.

Варианты 16-30: построить проекции линии пересечения треугольника и параллелограмма , предварительно достроив проекции вершины параллелограмма.

Данные всех вариантов представлены координатами , точек и в табл. 4.2.

На образце дан пример решении задачи 2 но графическому условию вариантов 1-15.

Поскольку проекции заданных плоскостей общего положения и на чертеже накладываются, то для построения линии их пересечения используем графический алгоритм построения точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общею положения, изложенный выше (см. описания к рис. 4.37 и 4.38). Графические действия алгоритма следует выполнить дважды, гак как прямая пересечения плоскостей проходит через две общие точки.

План графических действий для решения задачи 2:

Построить точку пересечения прямой с плоскостью :

1-е действие. Заключить прямую (сторону треугольника ) во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость и обозначить ее фронтальный след .

2-е действие. Построить проекции линии пересечения вспомогательной плоскости с другим треугольником .

3-е действие. Определить проекции точки пересечения стороны с плоскостью , продлив горизонтальную проекцию построенной вспомогательной линии до пересечения с горизонтальной проекцией стороны .

II. Повторить графические действия алгоритма и построить проекции второй точки пересечения прямой с плоскостью , заключив ее во вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость . и обозначить ее горизонтальный след ; соединить прямыми одноименные проекции построенных точек (в пределах треугольников можно рассматривать линию ).

4-е действие. Определить относительную видимость плоскостей и . рассмотрев две пары конкурирующих точек: точки 1-5 для определения видимости на фронтальной проекции и точки 3-6 для определения видимости на горизонтальной проекции.

!!! Внимание! К листу 1 выполнить приложение, изложив на листах писчей бумаги планы решения задач 1 и 2.

Для решения задач 3 и 4 следует усвоить материал начертательной геометрии по теме.

Тема 2:

  • перпендикулярность прямой и плоскости;
  • теорема о проекции прямого угла (см. рис. 4.17, 4.18. 4.19 — повторить);
  • перпендикулярность плоскостей.

Краткое изложение темы к задачам 3 и 4:

Решение задач на тему перпендикулярности прямой и плоскости основано на двух теоремах геометрии:

1-я теорема: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

2-я теорема: о проекции прямого угла (изложена выше — см. рис. 4.17, 4.18 и 4.19 к листу 1) — если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то на эту плоскость проекций угол проецируется прямым.

Из этих двух теорем следует, что на чертеже проекции перпендикуляра к плоскости можно провести только к проекциям фронтали и горизонтали, то есть к двум пересекающимся прямым уровня, которые можно провести в плоскости.

!!! Запомните:

  • фронтальная проекция перпендикулярной прямой к плоскости перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали этой плоскости — ;
  • горизонтальная проекция перпендикулярной прямой к плоскости перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали этой плоскости —

Задачи на тему перпендикулярности прямой и плоскости можно разделить натри группы:

1-я группа. Провести от точки, лежащей в плоскости, перпендикуляр в пространство.

2-я группа. Провести из точки, не лежащей в плоскости, перпендикуляр к этой плоскости.

3-я группа. Построить плоскость, перпендикулярную к прямой общего положения (построить геометрическое место точек — ГМТ).

Первая группа задач требует по условию проведения перпендикуляра от плоскости (восстановить перпендикуляр) в пространство (рис. 4.39).

В этой группе задач требуется, как правило, построить на проведенном перпендикуляре проекции отрезка заданной величины Графические действия по построению проекций отрезка заданной величины на проекциях прямой общего положения изложены ранее (см. рис. 4.12 к листу 1).

На рис. 4.39 показано решение примерной задачи первой группы: построить плоскость параллельную заданной плоскости , на расстоянии 15 мм.

Эта задача относится к первой группе, поскольку для построения параллельной плоскости нужно предварительно построить произвольную точку на расстоянии 15 мм от заданной плоскости , то есть из произвольной точки плоскости провести перпендикуляр в пространство.

Для решения задачи требуется выполнить следующий графический алгоритм :

1-е действие. Провести в заданной плоскости общего положения проекции фронтали и горизонтали :

  • — построить по вспомогательной точке 1;
  • — построить по вспомогательной точке 2.

2-е действие. Провести от точки плоскости, например, от вершины в пространство проекции перпендикуляра :

  • фронтальную проекцию перпендикулярно ;
  • горизонтальную проекцию перпендикулярно .

3-е действие. На проекциях перпендикуляра построить проекции отрезка заданной величины 15 мм. для чего выполнить следующие графические действия:

  1. Ограничить построенную прямую произвольным отрезком .
  2. Построить натуральную величину этого отрезка (см. рис. 4.11) способом прямоугольного треугольника — это гипотенуза .
  3. На построенной гипотенузе отложить заданную величину и построить проекции отрезка заданной величины (см. построения), т.е. проекции точки , находящейся на расстоянии 15 мм от плоскости .

4-е действие. Построить плоскость , параллельную заданной плоскости , проведя через проекции точку две пересекающиеся прямые и , соответственно параллельные двум пересекающимся прямым и плоскости :

  • ;
  • , то есть .

К первой группе относится задача 3 графической работы № 2.

Вторая группа задач требует по условию проведения перпендикуляра из точки в пространстве к плоскости (опустить перпендикуляр). В этой группе задач, как правило, требуется построить точку пересечения построенного перпендикуляра с заданной плоскостью.

Построение точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения было рассмотрено выше (см. рис. 4.37).

На рис. 4.40 показано решение примерной задачи второй группы: определить расстояние от точки до заданной плоскости .

Эта задача относится ко второй группе, так как расстояние от точки до заданной плоскости определяется величиной перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости.

Для решения задачи требуется выполнить следующий графический алгоритм:

1-е действие. Провести в плоскости фронталь и горизонталь .

2-е действие. Провести через заданную точку проекции перпендикуляра к плоскости :

перпендикулярно;

перпендикулярно .

3-е действие. Построить точку пересечения перпендикуляра с заданной плоскостью общего положения . выполнив промежуточный графический алгоритм:

  1. Заключить прямую во вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость
  2. Построить вспомогательную линию пересечения 3-4 заданной плоскости со вспомогательной плоскостью :
  • — определяется на следе ;
  • — строится по принадлежности точек 3 и 4 сторонам и треугольника .
  1. Определить проекции искомой точки пересечения на пересечении проекций построенной вспомогательной линии пересечения 3-4 с проекциями перпендикуляра .

4-е действие. Построить натуральную величину отрезка способом прямоугольного треугольника, то есть определить расстояние от точки до плоскости .

Ко второй группе относится задача 4 графической работы № 2.

Третья группа задач требует по условию построения некоторой вспомогательной плоскости (геометрического места точек), перпендикулярной к прямой общего положения. Эту перпендикулярную плоскость можно задать двумя пересекающимися прямыми, каждая из которых должна быть перпендикулярна прямой общего положения (теорема о перпендикулярности прямой и плоскости, т.е. признак перпендикулярности прямой и плоскости). На чертеже плоскость, перпендикулярную к прямой общего положения, можно задать только проекциями пересекающихся прямых уровня — фронтальной (параллельной плоскости проекций и горизонтальной (параллельной плоскости ), что соответствует теореме о проекции прямого угла. В задачах этой группы, как правило, требуется по условию определить точку пересечения заданной прямой со вспомогательной перпендикулярной плоскостью.

Па рис. 4.41 показано решение примерной задачи третьей группы: определить расстояние от точки до прямой общего положения .

Эта задача относится к третьей группе, поскольку на чертеже провести перпендикуляр к прямой общего положения, но которому определяется расстояние от точки до заданной прямой . нельзя (прямой угол в этом случае не проецируется

прямым). Следовательно, для решения нужно построить вспомогательную плоскость , перпендикулярную к заданной прямой, которая будет геометрическим местом всех перпендикуляров к этой прямой.

Для решения задачи требуется выполнить следующий графический алгоритм:

1-е действие. Построить вспомогательную плоскость , перпендикулярную заданной прямой , задав ее двумя пересекающимися прямыми уровня и :

  • горизонтальной прямой ;
  • фронтальной прямой .

2-е действие. Построить точкупересечения заданной прямой со вспомогательной плоскостью по алгоритму построения точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения (см. рис. 4.40).

3-е действие. Соединить одноименные проекции точек и : полученный отрезок общего положения и есть расстояние от точки до прямой, искаженное на проекциях по величине.

4-е действие. Построить натуральную величину построенного отрезка способом прямоугольного треугольника (см. рис. 4.40).

Образец выполнения листа 2 с задачами 3 и 4 показан на рис. 4 42, а и б. Задачи выполнить на формате A3 чертежной бумаги

Задача №3. выполняется на левой половине поля чертежа.

По заданному условию своего варианта построить графическое условие задачи: фронтальную и горизонтальную проекции плоскости общего положения — основания прямой призмы (рассматривается решение задачи по условию вариантов 1-15).

Рассмотрим прямую правильную призму. Из геометрии известно: ребра и основания у любой призмы равны и параллельны, ау прямой призмы -ребра перпендикулярны основанию.

План графических действий решения задачи:

1-е действие. Провести в плоскости проекции фронтали и горизонтали .

2-е действие. Провести проекции перпендикуляра из вершины плоскости основания в пространство, т.е. построить направление ребер призмы.

3-е действие. Построить на перпендикуляре проекции отрезка заданной величины 65 мм, т.е. проекции ребра призмы.

4-е действие. Провести из вершин основания и прямые, параллельные и равные построенному отрезку . и достроить второе основание призмы.

5-е действие. Определить относительную видимость граней призмы на ее проекциях по конкурирующим точкам.

Задача №4. выполняется на правой половине поля чертежа.

По заданному условию своего варианта построить графическое условие задачи: фронтальные и горизонтальные проекции плоскости общего положения и отрезка общего положения (рассматривается решение задачи по условию вариантов 16-30).

Заданная плоскость общего положения по условию задачи является плоскостью проекций, и проецирующие лучи из концов отрезка должны быть перпендикулярны этой плоскости.

План графических действий для решения задачи:

1-е действие. Провести в заданной плоскости фронталь и горизонталь .

2-е действие. Провести проекции перпендикуляров (проецирующих лучей) из конечных точек и отрезка к плоскости .

3-е действие. Построить точки и пересечения перпендикуляров-лучей с плоскостью проекций , полученные проекции отрезка , лежащего в плоскости проекций , и есть прямоугольная проекция отрезка на эту его плоскость.

!!! Внимание. К листу 2 выполнить приложение, изложив на листах писчей бумаги планы решения задач 3 и 4.

Задача №5. Задача имеет два варианта графических условий.

Варианты 1-15. Построить проекции центра окружности, описанной вокруг плоскости общего положения, заданной треугольником , способом замены плоскостей проекций.

Варианты 16-30. Построить проекции центра сферы, вписанной в плоский угол , способом -замены плоскостей проекций.

Задача №6. Задача имеет два варианта графических условий.

Варианты 1-15. Построить натуральную величину заданного треугольника (из задачи 5) способом вращения вокруг линии уровня — фронтали или горизонтали (линия уровня указана для каждого варианта в табл. 4.4).

Варианты 16-30. Построить натуральную величину заданного угла (из задачи 5) способом вращения вокруг линии уровня (указана для каждого варианта в табл. 4.4).

Данные всех вариантов представлены координатами и точек и в табл. 4.4.

Краткое изложение материала начертательной геометрии к задачам 5 и 6:

Задание прямых линии и плоскостей в частных положениях относительно плоскостей проекций значительно упрощает построения и решение различных задач. Существует несколько способов преобразования чертежа, которые позволяют переходить от общих положений геометрических элементов в условиях задач к частным. Рассмотрим эти способы.

I. Способ замены (перемены) плоскостей проекции:

Способ замены плоскостей проекций даст возможность изменить общие положения прямых и плоскостей относительно плоскостей проекций Н или V на частные положения введением дополнительных плоскостей проекций.

Сущность способа:

  • положение предмета в пространстве не меняется, а изменяется положение плоскостей проекций относительно этого предмета так. чтобы в дополнительной системе плоскостей проекций предмет занял частное положение (проецирующее или положение уровня), удобное для решения задачи;
  • проецирование предмета на дополнительные плоскости проекций выполняется по методу Г. Монжа — методу параллельного прямоугольного проецирования на взаимно перпендикулярные плоскости, то есть сохраняется взаимная перпендикулярность основных и дополнительных плоскостей проекций.

На рис. 4.43 изображена наглядная картина построения фронтальной проекции отрезка на дополнительную плоскость проекций .

Образована дополнительная система перпендикулярных плоскостей проекций с новой осью проекции . Обратите внимание, что координаты фронтальных проекций и конечных точек отрезка на дополнительной плоскости равны координатам фронтальных проекций и точек в заданной системе . Для получения чертежа дополнительную плоскость поворачивают вокруг новой оси проекций до совмещения с плоскостью проекций .

На рис. 4.44 показан чертеж (эпюр) произвольного преобразования отрезка общего положения двумя последовательными заменами плоскостей проекций, для чего выполнены следующие графические действия:

I замена.

1-е действие. Введена первая дополнительная система , ось проекций которой расположена произвольно на поле чертежа.

2-е действие. Построена в дополнительной плоскости проекций фронтальная проекция отрезка :

  • проведены линии связи от горизонтальных и проекций конечных точек отрезка, перпендикулярные оси проекций
  • от оси проекций отложены координаты , равные координатам фронтальных и проекций точек и в заданной системе .

II замена.

3-е действие. Введена вторая дополнительная система , ось проекций которой расположена произвольно на поле чертежа.

4-е действие. В дополнительной плоскости проекций построена горизонтальная проекция отрезка :

  • от построенных в первой дополнительной системе фронтальных проекций точек и проведены линии связи, перпендикулярные оси проекций
  • от оси проекций отложены координаты , взятые из предыдущей системы : от оси до горизонтальных и проекций точек и .

Поскольку на рис. 4.44 рассмотрен пример произвольного, без всяких условий, двойного преобразования прямой общего положения, то и в первой, и во второй дополнительных системах этот отрезок преобразовался также в прямую общего положения.

Для преобразования прямой или плоскости общего положения в прямую или плоскость частного положения рассмотрим четыре основные задачи преобразования способом замены плоскостей проекций, применяемые как отдельные графические действия для решения различных задач.

Задача №1. Преобразовать прямую общего положения в прямую уровня.

На рис. 4.45 показано преобразование прямой общего положения во фронтальную прямую уровня. Для решения задачи выполнен следующий графический алгоритм:

1-е действие. Ввести дополнительную систему плоскостей проекций расположив ось проекций параллельно горизонтальной проекции отрезка .

2-е действие. Построить фронтальную проекцию отрезка в дополнительной плоскости по координатам , взятым из предыдущей системы .

В результате преобразования отрезок в дополнительной системе занял положение, параллельное дополнительной плоскости проекций , т.е. преобразовался во фронтальную прямую уровня. Следовательно, построены также натуральная величина отрезка и угол его наклона к плоскости проекций .

Па рис 4.46 показано преобразование прямой общего положения в горизонтальную прямую уровня. Для решения задачи введена дополнительная система плоскостей проекций и выполнены аналогичные графические действия.

Задача №2. Преобразовать прямую уровня в проецирующую прямую.

На рис. 4.47 показано преобразование фронтальной прямой в горизонтально-проецирующую прямую. Для решения задачи выполнен следующий графический алгоритм:

1-е действие. Ввести дополнительную систему плоскостей проекций расположив ось проекций перпендикулярно фронтальной проекции отрезка .

2-е действие. Построить горизонтальные совпадающие проекции и точек и отрезка в дополнительной плоскости проекций по координатам взятым из предыдущей системы .

В результате преобразования горизонтальный отрезок в дополнительной системе занял положение, перпендикулярное

дополнительной плоскости проекций , т.е. преобразовался в горизонтально-проецирующую прямую.

На рис. 4 48 показано преобразование горизонтальной прямой уровня во фронтально-проецирующую прямую. Для решения задачи введена дополнительная система плоскостей проекций и выполнены аналогичные графические действия.

Задачи №3. Преобразование плоскости общею положения в проецирующую плоскость.

Чтобы понять сущность графических действий этого преобразования, напомним, что у проецирующих плоскостей, перпендикулярных или , одна из линий уровня -или фронталь, или горизонталь — является проецирующей прямой.

На рис. 4.49 показано, что у горизонтально-проецирующей плоскости , горизонтальная проекция которой вырождается в линию, фронталь плоскости занимает положение горизонтально-проецирующей прямой, т.е. она перпендикулярна плоскости проекций (горизонтальная проекция вырождается в точку).

На рис 4.50 показано, что у фронтально-проецирующей плоскости , фронтальная проекция которой вырождается в линию, горизонталь плоскости занимает положение фронтально-проецирующей прямой, т.е. она перпендикулярна фронтальной плоскости проекций (ее фронтальная проекция вырождается в точку).

На рис. 4.51 преобразование плоскости положения во фронтально-проецирующую плоскость Для решения задачи выполнен следующий графический алгоритм:

1-е действие. Провести в плоскости проекции горизонтали .

2-е действие. Ввести дополнительную систему плоскостей расположив ось проекций перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали плоскости.

3-е действие. Построить в дополнительной плоскости проекций фронтальную проекцию плоскости по координатам , взятым (проекция плоскости выродилась в прямую).

В результате преобразования плоскость общего положения в дополнительной системе заняла положение, перпендикулярное дополнительной плоскости проекций , т.е. преобразовалась во фронтально-проецирующую. Следовательно, построен также угол наклона плоскости к плоскости проекций .

На рис. 4.52 показано преобразование плоскости общего положения в горизонтально-проецирующую плоскость. Для решения задачи в плоскости проведены проекции фронтали . Введена дополнительная система плоскостей ось которой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали плоскости, и выполнены аналогичные графические действия.

Задача №4. Преобразовать проецирующую плоскость в плоскость уровня.

На рис. 4.53 показано преобразование фронтально-проецирующей плоскости в горизонтальную плоскость уровня. Для решения задачи выполнен следующий графический алгоритм.

1-е действие. Ввести дополнительную систему плоскостей проекций расположив ось проекций параллельно вырожденной фронтальной проекции плоскости .

2-е. действие. Построить горизонтальную проекцию в дополнительной плоскости по координатам , взятым из предыдущей системы .

В результате преобразования фронтально-проецирующая плоскость в дополнительной системе заняла положение, параллельное дополнительной плоскости проекций т.е. преобразовалась в горизонтальную плоскостью уровня. Следовательно, построена натуральная величина этой плоскости.

На рис. 4.54 показано преобразование горизонтально-проецирующей плоскости во фронтальную плоскость уровня. Для решения задачи введена дополнительная система и выполнены аналогичные графические действия.

II. Способ вращения вокруг проецирующей оси (фронтально-проецирующей или горизонтально-проецирующей прямой):

Сущность способа в том, что предмет, занимающий общее положение относительно плоскостей проекций, вращают вокруг проецирующей оси, изменяя его положение в пространстве так, чтобы предмет занял частное положение относительно тех же плоскостей проекций, т.е. стал перпендикулярным (проецирующим) либо параллельным (уровня) плоскости проекций или .

На рис. 4.55 показана наглядная картина способа на примере вращения точки вокруг фронтально-проецирующей оси .

Точка перемещается в положение вращаясь по окружности вокруг фронтально-проецирующей оси в некоторой плоскости , перпендикулярной плоскости проекций .

На плоскость проекций эта окружность проецируется в прямую вращения .

Па плоскость проекций окружность вращения точки проецируется в окружность с центром в точке , которая является вырожденной проекцией фронтально-проецирующей оси вращения .

Па рис. 4.56 и 4.57 показаны примеры применения способа вращения вокруг проецирующей оси для построения натуральной величины отрезка общего положения

На чертеже натуральную величину имеют прямые уровня, параллельные плоскости проекций или (профильную прямую не рассматриваем). Характерный признак прямых уровня на чертеже — одна из проекций параллельна оси проекций : горизонтальная проекция для фронтальной прямой и фронтальная проекция для горизонтальной прямой.

Следовательно, для решения задачи отрезок общего положения нужно повернуть (вращать) вокруг проецирующей оси так. чтобы он занял положение, параллельное плоскости проекций или .

Для решения задачи выполнен следующий графический алгоритм:

1-е действие. Выбрать ось вращения , проходящую через любую конечную точку отрезка (на рис 4.56 фронтально-проецирующая ось вращения проведена через точку , и обозначить се проекции на чертеже.

2-е действие. Повернуть фронтальную проекцию точки вокруг оси по часовой стрелке (можно против) так, чтобы фронтальная проекция отрезка заняла горизонтальное положение параллельное оси проекций .

3-е действие. Построить натуральную проекцию отрезка , переместив горизонтальную проекцию точки перпендикулярно горизонтальной проекции оси вращения (параллельно оси проекций ) до пересечения с вертикальной линией связи от точки .

В результате преобразования отрезок занял положение горизонтальной прямой уровня.

!!! Конечная точка отрезка при вращении остается неподвижной, так как лежит на оси вращения .

На рис. 4.57 показано построение натуральной величины отрезка общего положения вращением вокруг горизонтально-проецирующей оси аналогичными графическими действиями (отрезок занял положение фронтальной прямой уровня).

Плоскопараллельное перемещение

Частный случай способа крашения вокруг проецирующей оси — вращение предмета без указания на чертеже осей вращения, который называют способом плоскопараллельного перемещения. Способ удобен тем, что повернутые вокруг предполагаемой проецирующей оси проекции предмета перемещают и располагают на свободном поле чертежа без взаимного их наложения.

На рис. 4.58 показано построение натуральной величины плоскости общего положения, заданной треугольником ABC, способом плоскопараллельного перемещения.

Для решения задачи плоскость должна занять положение плоскости уровня — или фронтальной , или горизонтальной . Следовательно, плоскость нужно вращать и одновременно перемешать по полю чертежа, чтобы она последовательно заняла сначала проецирующее положение, а затем положение плоскости уровня.

Для двух последовательных преобразований нужно выполнить следующий графический алгоритм.

Первое перемещение. Плоскость общего положения вращением вокруг предполагаемой, например, горизонтально-проецирующей, оси преобразовать во фронтально-проецирующую плоскость, выполнив следующие графические действия:

1-е действие. Провести в плоскости горизонталь .

2-е действие. Повернуть горизонтальную проекцию треугольника, вращая вокруг предполагаемой горизонтально-проецирующей оси (например, проходящей через точку ) и одновременно перемещая вправо на свободное поле чертежа так, чтобы горизонталь плоскости заняла положение фронтально-проецирующей прямой, т.е. должна расположиться перпендикулярно оси . Повернутую проекцию треугольника относительно проекции горизонтали / построить с помощью дуговых засечек, на пересечении которых определяются вершины.

3-е действие. Построить фронтальную проекцию треугольника, переместив заданные фронтальные проекции вершин треугольника параллельно оси проекций до пересечения с вертикальными линиями связи от точек и повернутой проекции: фронтальная проекция выродилась в линию, т.е. треугольник преобразовался во фронтально-проецирующую плоскость.

Второе перемещение. Плоскость фронтально-проецирующую вращением вокруг предполагаемой фронтально-проецирующей оси преобразовать в горизонтальную плоскость уровня, продолжая графические действия.

4-е действие. Повернуть построенную вырожденную проекцию треугольника, вращая вокруг предполагаемой фронтально-проецирующей оси, проходящей через точку , и одновременно перемещая вправо на свободное ноле чертежа так, чтобы эта проекция расположилась параллельно оси проекций : проекция оси .

5-е Действие. Построить новую горизонтальную проекцию треугольника, переместив горизонтальные проекции и вершин треугольника параллельно оси проекций до пересечения вертикальными линиями связи от фронтальных проекций и вершин; построенная горизонтальная проекция треугольника и есть его натуральная величина, так как после второго перемещения треугольник преобразовался в горизонтальную плоскость уровня.

III. Способ вращения вокруг прямой уровня — горизонтальной или фронтальной прямой.

Сущность способа в том, что плоскость общего положения изменяет свое положение в пространстве относительно плоскостей проекций вращением вокруг линии уровня до положения, параллельного плоскости проекций (или ).

На рис. 4.59 показана наглядная картина вращения плоскости общего положения вокруг горизонтальной прямой. Пусть сторона , треугольника , лежит в плоскости , параллельной плоскости проекций . и является горизонтальной прямой , вокруг которой и будет повернута плоскость .

Поскольку вершины и треугольника лежат на оси вращения и, следовательно, неподвижны, то требуется повернуть вокруг прямой уровня только вершину так, чтобы она совместилась с плоскостью . Вершина вращается вокруг горизонтальной прямой (стороны ) в плоскости перпендикулярной оси вращения .

После поворота треугольник лежит в плоскости и, следовательно. параллелен плоскости . Точка имеет радиус вращения и на плоскость у этот радиус проецируется в натуральную величину.

Рассмотрим проекцию этой картины на плоскость проекций . На горизонтальной проекции видно, что натуральную величину треугольника определяет натуральная величина радиуса вращения точки .

На рис. 4.60 показано построение на чертеже натуральной величины плоскости способом вращения вокруг-горизонтальной прямой уровня . В ком случае выполняется вращение горизонтальной проекции треугольника, т.е. вращение выполняется относительно плоскости проекций, которой параллельна ось вращения.

Для решения задачи выполнен следующий графический алгоритм:

1-е действие. К заданной плоскости провести проекции горизонтали , которая является осью вращения.

2-е действие. Провести следы плоскостей и перпендикулярно в которых будут вращаться вершины и вокруг оси вращения точка будет неподвижна, так как лежит на оси вращения.

3-е действие. Определить проекции отрезка , т.е. радиуса вращения точки вокруг горизонтали , и построить любым рассмотренным графическим способом натуральную величину радиуса вращения . В примере натуральная величина построена способом вращения отрезка общего положения вокруг фронтально-проецирующей оси, вырожденная проекция которой совпадает с проекцией точки (см. рис. 4.56).

4-е действие. Построенную натуральную величину радиуса вращения повернуть и расположить на следе плоскости в которой вращается точка треугольника, построив вершину в повернутом положении.

5-е действие. Достроить повернутую проекцию треугольника , определив повернутую проекцию вершины на пересечении следа плоскости вращения с прямой, проходящей через точки и , т.е. натуральную величину радиуса вращения для точки определять нет необходимости: ее повернутое положение определяется графическим построением.

В результате преобразования проекция треугольника заняла положение, параллельное горизонтальной плоскости проекций , и, следовательно, определяет его натуральную величину

!!! Построение на чертеже натуральной величины плоскости вращением вокруг фронтальной прямой уровня выполняется аналогичными графическими действиями, только вращать следует фронтальную проекцию треугольника, так как ось вращения параллельна фронтальной плоскости проекций. Треугольник после вращения занимает положение фронтальной плоскости уровня, которая определяет его натуральную величину.

Образец выполнения листа 3 с задачами 5 и 6 показан на рис. 4 61, а и Г). Задачи выполнить на одном листе формата A3 чертежной бумаги

Задача №5 имеет два варианта графических условий:

Варианты 1-15. Построить проекции центра окружное!и, описанной вокруг плоскости общего положения , способом замены плоскостей проекций.

Bарианты 16-30. Построить проекции центра сферы радиусом 20 мм, вписанной в плоский угол , способом замены плоскостей проекций.

Задача №6 имеет два варианта графических условий:

Варианты 1-15. Построить натуральную величину заданной плоскости общего положения , способом вращения вокруг линии уровня — фронтали или горизонтали (линия уровня указана для каждого варианта в табл. 4.4).

Варианты 1 6-30. Построить натуральную величину заданного угла способом вращения вокруг линии уровня (указана для каждого варианта в табл. 4.4).

Данные для своего варианта взять из табл. 4.4. Условия всех вариантов представлены координатами и точек и .

По заданным координатам точек построить на левой и правой половине поля чертежа графическое условие задач — проекции плоскости общего положения, заданной треугольником . В таблице для каждого варианта указаны линии, относительно которых нужно выполнять преобразование чертежа для 5-й и 6-й задач.

План графических действий для решения задачи 5 (по вариантам 1-15).

Для определения центра окружности, описанной вокруг заданного треугольника , плоскость треугольника должна занять положение плоскости уровня -горизонтальной или фронтальной. Преобразовать плоскость общего положения в плоскость уровня можно двумя последовательными заменами плоскостей проекций (см. задачи 3 и 4 преобразования способом замены, рис. 4.51-4.54). Для решения задачи выполнены следующие графические действия:

Вторая замена.

2-е действие Ввести первую дополнительную систему плоскостей проекций , расположив ось проекций перпендикулярно фронтальной проекции фронтали .

3-е действие. Построить горизонтальную проекцию на дополнительной плоскости по координатам у из системы . Плоскость спроецировалась в прямую (выродилась в линию), т.е. преобразовалась в горизонтально-проецирующую плоскость, перпендикулярную дополнительной плоскости проекций .

4-е действие. Ввести вторую дополнительную систему плоскостей проекций и расположив ось проекций параллельно построенной (вырожденной) проекции треугольника .

5-е действие. Построить фронтальную проекцию плоскости на дополнительной плоскости проекций по координатам из предыдущей системы : построенная проекция является натуральной величиной треугольника , так как плоскость преобразовалась во фронтальную плоскость уровня, параллельную дополнительной плоскости проекций .

6-е действие. Определить центр окружности (точку ), описанной вокруг треугольника , который находится на пересечении перпендикуляров, проведенных через середины сторон треугольника,

7-е действие. Обратным проецированием определить проекции построенного центра описанной окружности на заданных проекциях треугольника, используя вспомогательную линию , на которой лежит точка .

План графических действий для решения задачи 6 (по вариантам I 15).

Натуральную величину определяет только плоскость уровня. Следовательно, заданную плоскость общего положения нужно преобразовать вращением вокруг линии уровня в плоскость уровня, например, в горизонтальную. Для решения задачи на чертеже выполнены следующие графические действия

1-е действие. Провести в заданной плоскости проекции горизонтали следовательно, вращать следует горизонтальную проекцию треугольника.

2-е действие. Провести следы плоскостей и , в которых будут вращаться точки и перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали .

3-е действие. Определить проекции отрезка , т.е. проекции радиуса вращения точки вокруг горизонтали , и построить способом вращения вокруг фронтально проецирующей оси натуральную величину отрезка .

4-е действие. Построенную натуральную величину радиуса повернуть и расположить на следе плоскости , в которой вращается точка построив вершину .

5-е действие. Достроить повернутую проекцию треугольника , которая определяет его натуральную величину. Вершина определяется на пересечении следа плоскости и прямой, проходящей через точки и (без построения натуральной величины ).

!!! Внимание. К листу 3 выполнить приложение, изложив на листах писчей бумаги планы решения задач 5 и 6.

Краткое изложение материла начертательной геометрии к задачам 7 и 8:

Многогранники — приша и пирамиды

Многогранником называют геометрическое тело, поверхность которого ограничена плоскостями (гранями). Многогранник называют четырех-, пяти-, шестигранником и т.д. по количеству граней (включая основания), образующих его поверхность На чертеже многогранник задают проекциями его граней и ребер (ребро — линия пересечения граней).

Рассмотрим призму и пирамиду — геометрические многогранники (тела), которые часто применяются при формообразовании различных деталей. Основанием призмы и пирамиды может быть любой многоугольник, по количеству сторон которого призму и пирамиду называют треугольной, четыреч-угольной и т.д. Такое название более соответствует изображению этих много-гранников на чертеже, по которому определяется многоугольник основания, что позволяет создать в воображении соответствующий пространственный образ.

Призма как геометрическое тело имеет два параллельных основания, боко-вые грани и параллельные ребра. Призму называют правильной, если ее основаниями являются правильные многоугольники, вписанные в окружность. Призму называю! прямой, если ее ребра перпендикулярны основанию, и наклонной, если ребра не перпендикулярны основанию

Пирамида как геометрическое тело имеет одно основание и вершину, обьединяющую все ее ребра. Пирамиду называю! правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, вписанный в окружность, а высота пирамиды проходит через центр этой окружности (т.е. пирамида прямая).

Пирамида может быть наклонной, если основание высоты не лежит в центре окружности, в которую вписан многоугольник основания пирамиды. Пирамида со срезанной вершиной имеет два основания и называется усеченной.

Задача №7.

Построить фронтальную, горизонтальную и профильную проекции прямой правильной призмы со срезами плоскостями частного положения по заданному условию.

Задача №8.

Построить фронтальную, горизонтальную и профильную проекции правильной пирамиды со срезами плоскостями частного положения по заданному условию.

Задачи 7 и 8 выполнить на одном листе формата A3 чертежной бумаги.

Графические условия вариантов задач 7 и 8 взять из табл. 4.5.

План графических действий для решения задачи 7 (рис. 4.66, а) соответствует предложенному графическому алгоритму (к рис. 4.64).

1-е действие. На левой половине чертежа построить тонкими сплошными линиями фронтальную, горизонтальную и профильную проекции прямой правильной призмы без срезов по графическому условию и размерам шестиугольную призму заданной высоты . Затем выполнить на ее фронтальной проекции заданные срезы плоскостями частного положения: срезы фронтально-проецирующей плоскостью и профильной плоскостью и сквозной паз. образованный двумя симметричными фронтально-проецирующими плоскостями .

Базовую ось (б.о.) на горизонтальной проекции и базовую ось для профильной проекции взять на осях симметрии горизонтальной и профильной проекций. Обозначить ребра буквами и (на нижнем основании призмы).

2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции характерные точки пересечения плоскостей срезов с ребрами и гранями призмы:

  • совпадающие точки лежат на ребрах и ;
  • совпадающие точки лежат на ребрах и ;
  • совпадающие точки лежат на гранях и и определяют вырожденную в точку проекцию фронтально-проецирующей линии пересечения плоскостей среза и ,
  • совпадающие точки лежат на верхнем основании и определяют вырожденную в точку проекцию фронтально-проецирующей линии пересечения плоскости среза с плоскостью верхнего основания призмы;

совпадающие точки и лежат па сторонах нижнего основания призмы и определяют вырожденные в точки проекции фронтально-проецирующих линий пересечения боковых плоскостей паза ч с плоскостью нижнего основания призмы;

совпадающие точки лежат на ребрах и и определяют вырожденную в точку проекцию фронтально-проецирующей линии пересечения плоскостей паза .

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию призмы со срезами, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов:

  1. Плоскость среза определяет шестиугольник — искаженная по величине видимая проекция фронтально-проецирующей плоскости среза , обозначенные точки которой лежат на рёбрах и гранях призмы:
  • отрезок — видимая проекция линии пересечения плоскостей срезов, обозначенные точки которой лежат на гранях призмы.
  1. Плоскость среза определяет видимый отрезок — вырожденная в линию проекция профильной плоскости среза обозначенные точки которой лежат на гранях призмы.
  2. Плоскости паза определяют искаженные но величине невидимые четырехугольники и , обозначенные точки которых лежат на ребрах и сторонах нижнего основания призмы.

!!! Поскольку горизонтальная проекция призмы относительно базовой линии (б.о.) имеет вертикальную симметрию, указанные точки обозначены на одной ее половине (верхней).

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции для определения се очерка и внутреннего контура:

1. Горизонтальный очерк определяет шестиугольник основания

  1. Внутренний контур определяют видимый и невидимые отрезки и .

5-е действие. Достроить профильную проекцию призмы со срезами, построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов:

  1. Плоскость среза определяет шестиугольник — искаженная по величине видимая проекция фронтально-проецирующей плоскости среза :
  • точки и лежат соответственно на ребрах и ;
  • точки построены но координате .
  1. Плоскость среза определяет прямоугольник — видимая натуральная величина профильной плоскости среза .
  • точки построены;
  • точки построены на верхнем основании призмы по координате .
  1. Плоскости паза определяют невидимые совпадающие четырехугольники и — искаженные по величине проекции двух фронтально-проецирующих плоскостей паза :
  • точки и построены на нижнем основании призмы по координатам
  • точки — лежат на ребрах и .

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции призмы для определения ее очерка и внутреннего контура:

  1. Профильный очерк определяют:
  • справа и слева — участки ребер и , ломаные линии и ;
  • сверху — отрезок — участок верхнего основания призмы;
  • снизу — совпадающие отрезки и — участки нижнего основания призмы.
  1. Внутренний контур определяю!;
  • невидимые линии продолжений невидимых ребер и ,
  • невидимые линия пересечения плоскостей паза ,
  • видимый отрезок (линия пересечения плоскости среза с гранью );
  • видимый отрезок — линия пересечения плоскостей среза и видимые отрезки и ребер и .

7-е действие. Оформить чертеж призмы, выполнив сплошными толстыми линиями очерки и видимые линии внутреннего контура каждой ее проекции (оставить тонкими сплошными линиями контуры проекций призмы без срезов и линии построения).

План графических действий решения задачи 8 (рис. 4.66, Г)) соответствует предложенному алгоритму (к рис. 4.65).

1-е действие. Построить на правой половине чертежа тонкими линиями фронтальную, горизонтальную и профильную проекции правильной пирамиды без срезов по заданному графическому условию — треугольную пирамиду заданной высоты. Затем выполнить на ее фронтальной проекции заданный срез фронтально-проецирующей плоскостью и сквозной паз, образованный горизонтальной плоскостью , фронтально-проецирующей плоскостью и профильной плоскостью .

Базовую ось (6.0.) на горизонтальной и базовую ось на профильной проекции взять на осях симметрии горизонтальной и профильной проекции пирамиды. Обозначить буквами и вершины основания пирамида.

2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции точки пересечения плоскостей срезов с ребрами, гранями пирамиды и основанием:

  • точка лежит на ребре ;
  • совпадающие точки лежат на ребрах и и определяют вырожденную в точку фронтально-проецирующую линию пересечения плоскостей среза с гранью ;
  • совпадающие точки лежат на сторонах и основания и определяют вырожденную в точку фронтально-проецирующую линию пересечения основания с плоскостью паза ;
  • совпадающие точки и лежат на боковых гранях и и определяют вырожденные в точки фронталью-проецирующие линии пересечения плоскостей паза и и и ;
  • совпадающие точки лежат на сторонах основания и и определяют вырожденную в точку фронтально-проецирующую линию пересечения основания с профильной плоскостью паза .

!!! Поскольку горизонтальная проекция пирамиды имеет вертикальную симметрию, точки обозначены на одной сс верхней половине.

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию пирамиды со срезами, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов:

  1. Плоскость среза определяет треугольник — искаженная по величине видимая проекция фронтально-проецирующей плоскости .

точки и лежат соответственно на ребрах и .

  1. Плоскость паза определяет четырехугольник — натуральная величина невидимой горизонтальной плоскости .
  • точки и лежат на гранях пирамиды и и построены с помощью вспомогательной линии параллельной основанию.
  1. Плоскость паза определяет четырехугольник — искаженная по величине невидимая проекция фронтально-проецирующей плоскости :
  • точки построены;
  • точки лежат на сторонах основания и .
  1. Плоскость паза определяют совпадающие невидимые отрезки и — вырожденная в прямую невидимая проекция профильной плоскости (участки 6-5′- видимые):
  • точки построены;
  • точки лежат на сторонах основания и .

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции пирамиды со срезами для определения ее очерка и внутреннего контура:

  1. Горизонтальный очерк определяют:
  • участки и стороны основания :
  • сторона основания :
  • участки и стороны основания :
  • ломаные линии пересечения плоскостей паза с гранями пирамиды и .
  1. Внутренний контур определяют:
  • видимый участок ребра ;
  • видимые участки и ребер и ,
  • невидимые отрезки и пересечения плоскостей паза и и :
  • невидимые отрезки и пересечения плоскостей паза и с основанием пирамиды.

5-е действие. Достроить профильную проекцию пирамиды, построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов:

  1. Плоскость среза определяет треугольник искаженная по величине видимая проекция плоскости среза :

-точки и лежат на соответствующих профильных проекциях ребер и

  1. Плоскость среза определяет частично невидимый горизонтальный отрезок точки которой построены по координатам и и который является вырожденной проекцией профильной плоскости паза (участки — видимые).
  2. Плоскость среза определяет четырехугольник — искаженная по величине невидимая проекция фронтально-проецирующей плоскости :
  • точки построены;
  • точки построены но координате (отрезки ребру )).
  1. Плоскость среза определяет четырехугольник — натуральная величина частично невидимой проекции профильной плоскости паза (участки видимые):

-точки и построены;

  • точки построены по координатам .

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции пирамиды со срезами для определения ее очерка и внутреннего контура:

Профильный очерк определяют:

  • справа — участок ребра ;
  • слева — участок ребра :
  • снизу — сторона основания ;
  • сверху — отрезок (линия пересечения плоскости среза с гранью пирамиды ).
  1. Внутренний контур определяют:
  • видимые отрезки ;
  • видимые ломаные линии (на гранях пирамиды);
  • невидимый отрезок :
  • видимый участок ребра .

7-е действие. Оформить чертеж пирамиды, выполнив толстыми линиями очерки и видимые линии внутреннего контура каждой проекции (тонкими линиями оставить на чертеже полные контуры проекций пирамиды без срезов и вспомогательные линии построения).

Краткое изложение материала начертательной геометрии к задачам 9 и 10:

Поверхности вращения

Поверхностью вращения называют поверхность, образованную вращением некоторой линии (образующей поверхности) вокруг неподвижной прямой, называемой осью вращения. При этом образующая, вращаясь вокруг оси вращения, может пересекать окружность, называемую направляющей поверхности Образующей поверхности вращения может быть кривая или прямая линия. Поверхность вращения называют линейчатой, если ее образующей является прямая линия, и криволинейной, если образующая — кривая линия.

На рис. 4.67 показана поверхность вращения общего вида, образующая которой (кривая линия) вращается вокруг горизонтально-проецирующей оси . Все точки образующей вращаются вокруг оси по окружностям соответствующего радиуса, которые называют параллелями поверхности. На фронтальную и профильную проекции поверхности эти параллели проецируются в прямые линии, перпендикулярные оси вращения. На горизонтальную проекцию параллели проецируются в виде окружностей. Некоторые параллели имеют определенные общепринятые наименования:

горло поверхности — параллель наименьшею (минимального) радиуса; -экватор — параллель наибольшего (максимального) радиуса.

Проекции поверхности вращения:

  • горизонтальная проекция, т.е. ее горизонтальный очерк, определяется окружностью экватора ;
  • фронтальная проекция, т.е. ее фронтальный очерк, образуется замкнутой линией главного фронтального меридиана . полученного при пересечении этой поверхности фронтальной плоскостью уровня , проходящей через ось вращения ;
  • профильная проекция, т.е. ее профильный очерк, образуется замкнутой линией главного профильного меридиана полученною при пересечении этой поверхности профильной плоскостью уровня , проходящей через ось вращении /.

Построение проекций точек но поверхности вращения

Принадлежность точки поверхности вращения определяется ее принадлежностью параллели, по которой точка вращается вокруг оси вращения.

Проекции точек, лежащих на экваторе или на главных фронтальном и профильном меридианах поверхности, строятся по их принадлежности этим характерным линиям.

На рис. 4.67 показан пример построения невидимой фронтальной проекции характерной точки , лежащей на экваторе , по ее заданной горизонтальной проекции и построение профильной проекции характерной точки , лежащей на главном профильном меридиане , по ее заданной фронтальной проекции.

Для построения проекций точки , заданной своей фронтальной проекцией и не лежащей на характерных линиях поверхности, требуется выполнить следующий графический алгоритм:

1-е действие. Провести через заданную фронтальную проекцию точки параллель, которая имеет радиус .

2-е действие. Провести на горизонтальной проекции поверхности окружность-параллель радиусом .

3-е действие. Построить по вертикальной линии связи горизонтальную видимую проекцию точки по ее принадлежности построенной параллели радиусом .

4-е действие. Построить профильную проекцию точки на горизонтальной линии связи по координате (лежит на невидимой части поверхности, проекция взята в скобки).

Видимость точек на проекциях поверхности вращения

На рис. 4.67 показаны границы видимое!и поверхности для каждой проекции по направлению взгляда на плоскости проекций и

Видимость точек на проекциях поверхности определяется этими границами, т.е. видимостью части поверхности на каждой проекции: если часть поверхности является по направлению взгляда на соответствующую плоскость проекций видимой, то точка на этой проекции будет также видимой.

На рис 4.67 видно, что горизонтальная проекция заданной точки , лежащей на экваторе, расположена на невидимой части поверхности при взгляде на фронтальную плоскость проекций Следовательно, ее фронтальная проекция лежит на экваторе, но будет невидимой (проекция взята в скобки). Профильная проекция точки будет видимой, так как точка лежит на видимой для профильной проекции части поверхности (см. взгляд по стрелке на плоскость ). Поскольку заданная фронтальная проекция точки , лежащей на фронтальной проекции главною профильною меридиана, не взята в скобки, значит, она лежит на видимой для фронтальной проекции части поверхности и профильная проекция точки должна лежать на профильной проекции главного меридиана справа от оси вращения. Горизонтальная же проекция точки (на рисунке не построена) по направлению взгляда на горизонтальную плоскость проекций будет невидима, так как расположена под экватором. Соответственно, профильная проекция точки будет невидимой, так как лежит на невидимой для профильной проекции части поверхности.

!!! К поверхностям вращения относятся две линейчатые поверхности с прямолинейными образующими цилиндр и конус, а также поверхности с криволинейными образующими — сфера (образующая — окружность), эллипсоид (образующая — эллипс), одно- и двуполостные гиперболоиды (гипербола), параболоид (парабола), торовыс (окружность) Все перечисленные виды поверхностей вращения, кроме торовых, являются поверхностями второго порядка (по порядку образующей или направляющей).

Торовыс поверхности вращения относятся к поверхностям четвертого порядка (по произведению порядков двух окружностей — образующей и направляющей).

Цилиндрическая поверхность вращения. Прямой круговой цилиндр

Цилиндрическая поверхность вращения — это линейчатая поверхность, образованная параллельным перемещением прямолинейной образующей вокруг оси вращения, которая пересекает криволинейную направляющую окружность. Геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью вращения (боковой поверхностью) и двумя параллельными секущими плоскостями (основаниями), перпендикулярными оси вращения, называют цилиндром.

Цилиндр называют круговым, поскольку направляющей является окружность, перпендикулярная оси цилиндра.

Цилиндр называют прямым, если ось вращения цилиндра перпендикулярна его основаниям.

Прямой круговой цилиндр по положению относительно плоскостей проекций называют проецирую щ и м , если его боковая поверхность (или ось вращения) перпендикулярна какой-либо плоскости проекций:

  • горизонтально-проецирующим, если боковая поверхность перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций ,
  • фронтально -проецирующим, если боковая поверхность перпендикулярна фронтальной плоскости проекций ,
  • профильно-проецирующим, если боковая поверхность перпендикулярна профильной плоскости проекций

Построение проекции прямого кругового цилиндра

На рис. 4.68 показан пример построения проекций прямого кругового горизонтально-проецирующего цилиндра заданной высоты с горизонтальными основаниями заданного радиуса

Для построения проекций цилиндра требуется выполнить графо-аналитические действия в следующем порядке.

1-е действие. По заданному условию построить горизонтальную проекцию (очерк) цилиндра, которая представляет собой окружность заданного радиуса .

2-е действие. Выпол-нить графический анализ построенной горизонталь-ной проекции цилиндра:

1. Окружность является горизонтальной проекцией боковой поверхности, так как образующие этого цилиндра — горизонтально-проецирующие прямые.

  1. Круг заданного радиуса совпадающие горизонтальные проекции оснований цилиндра, лежащих в горизонтальных плоскостях уровня
  2. Обозначить вырожденные в точки проекции характерных образующих цилиндра и , которые будут определять очерки фронтальной и профильной проекций цилиндра

3-е действие. Построить фронтальную проекцию (очерк) цилиндра, которая представляет собой прямоугольник, ограниченный:

  • слева и справа — вертикальными отрезками — характерными очерковыми образующими и :
  • по заданной высоте — горизонтальными отрезками, которые являются проекциями оснований цилиндра, лежащих в горизонтальных плоскостях уровня;
  • фронтальными проекциями характерных образующих и , которые совпадаю! с осью вращения цилиндра .

4-е действие. Построить профильную проекцию (очерк) цилиндра:

  1. Задать на окружности горизонтальной проекции цилиндра положение базовой линии (б.о ), совпадающей с горизонтальной линией оси этой окружности, т.е. проходящей через ось вращения .
  2. Выбрать положение базовой оси (6.0.), которая будет совпадать с вертикальной осью вращения на профильной проекции цилиндра.
  3. Профильная проекция цилиндра представляет собой прямоугольник, ограниченный:
  • слева и справа вертикальными отрезками — характерными очерковыми образующими и . построенными по координате
  • по заданной высоте горизонтальными отрезками, которые являются проекциями оснований,
  • профильными проекциями характерных образующих и , которые совпадают с осью вращения цилиндра .

!!!Запомните характерные признаки очерков прямого кругового цилиндра на чертеже окружность и два прямоугольника.

Построение проекции точек, лежащих на поверхности цилиндра

Принадлежность точки поверхности цилиндра определяется ее принадлежностью образующей этого цилиндра

На рис. 4.68 показан пример построения горизонтальных и профильных проекций точек и , лежащих на образующих боковой поверхности цилиндра по их заданным фронтальным проекциям.

Горизонтальные проекции и заданных точек лежат на окружности радиуса , которая является проекцией боковой поверхности цилиндра.

Профильные проекции точек строятся по их принадлежности образующим цилиндра:

  • точка лежит на характерной образующей — видимая;
  • две точки лежат на характерных образующих и ;
  • точка построена по координате , так как лежит не на характерной образующей (видимая)!
  • точка построена по координате (невидимая).

Цилиндрические сечения

  1. Плоскость пересекает поверхность цилиндра по образующим, если она расположена параллельно оси вращения цилиндра (см. плоскость на рис 4.69).
  2. Плоскость пересекает поверхность цилиндра по эллипсу, если она расположена к оси вращения цилиндра под углом . отличным от прямого (см. на рис. 4.69 плоскость )
  3. Плоскость пересекает поверхность цилиндра по окружности, если она перпендикулярна оси вращения цилиндра (окружности основании).

Построение проекций цилиндра со срезами и плоскостями частного положения

Коническая поверхность вращения

Задача №9.

Построить проекции прямого кругового цилиндра со срезами плоскостями частного положения

Задача №10.

Построить проекции прямого кругового конуса со срезами плоскостями частного положения.

Графические условия задач но вариантам даны втабл 4.6

Задачи выполнить на одном листе формата A3 чертежной бумаги.

На рис. 4.78, а приведен пример построения проекций прямого кругового цилиндра со срезами плоскостями частного положения

План графических действий для решения задачи 9 соответствует предложенному графическому алгоритму (см. описание к рис. 4 69):

1-е действие. На левой половине поля чертежа тонкими сплошными линиями построить по заданному диаметру и высоте горизонтальную, фронтальную и профильную проекции прямого кругового цилиндра без срезов, а затем выполнить на его фронтальной проекции заданные по условию срезы плоскостями частного положения.

2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции характерные точки и выполнить графический анализ сечений:

1. Профильная плоскость пересекает поверхность цилиндра по прямоугольнику 1-2-2-1.

  1. Фронтально-проецирующая плоскость пересекает поверхность цилиндра но участкам эллипса 2-3-4.
  2. Профильная плоскость пересекает поверхность цилиндра по прямоугольнику 4-5-5-4.
  3. Горизонтальная плоскость пересекает поверхность цилиндра по участку окружности 6-7-8.
  4. Профильная плоскость пересекает поверхность цилиндра по прямоугольник) 8-9-9-8.

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию цилиндра, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям отмеченных точек, и определить видимости плоскостей срезов:

1. Плоскости срезов и определяют видимые отрезки и -вырожденные в прямые проекции профильных плоскостей и .

  1. Плоскость среза определяет невидимый отрезок , совпадающий с видимым отрезком .

2. Плоскость среза определяют участки эллипса, совпадающие с окружностью вырожденной боковой поверхности цилиндра;

  1. Плоскость среза определяет участок окружности , совпадающий с окружностью вырожденной боковой поверхности.

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции для определения ее очерка и внутреннею контура:

  1. Горизонтальный очерк определяет окружность горизонтальной проекции.
  2. Внутренний контур определяют видимые отрезки проекций плоскостей срезов и .

!!! Поскольку горизонтальная проекция цилиндра имеет вертикальную симметрию относительно базовой оси, точки отмечены на одной ее половине (верхней).

5-е действие. Достроить профильную проекцию цилиндра, построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям отмеченных точек, и определить видимость плоскостей срезов:

Плоскости срезов и определяю профильные проекции прямоугольников и :

видимые образующие и построены по равной для всех точек координате

  1. Плоскость среза определяют видимые участки эллипса
  • точки и построены;
  • точки лежат на очерковых образующих;
  • промежуточные точки построены но координате .
  1. Плоскость среза определяет видимый горизонтальный отрезок : точка лежит на образующей, совпадающей с осью;

точки лежат на очерковых образующих;

  • точки построены.

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции для определения ее очерка и внутреннего контура.

1. Профильный очерк определяют:

  • горизонтальный отрезок верхнего основания цилиндра;
  • отрезок нижнего основания;
  • участки очерковых образующих цилиндра;

-участки образующих ;

  • горизонтальные участки (проекция плоскости среза );
  • участки эллипса.
  1. Внутренний контур определяют:
  • невидимые горизонтальные отрезки и пересечения плоскостей срезов и и ;
  • видимый горизонтальный отрезок — проекция плоскости среза

7-е действие. Оформить чертеж цилиндра, выполнив толстыми сплошными линиями очерки и видимее линии ее внутреннего контура каждой проекции (оставить топкими линиями полные очерки проекций и линии построения).

На рис. 4.78, и показан пример построения проекций прямого кругового конуса со срезами плоскостями частного положения.

План графических действий для решения задачи 10 соответствует предложенному графическому алгоритму (см. описание к рис. 4 77).

1-е действие. Построить на правой половине чертежа тонкими сплошными линиями по заданному диаметру основания и высоте горизонтальную, фронтальную и профильную проекции прямого кругового конуса без срезов, а затем выполнить на его фронтальной проекции заданные по условию срезы и сквозной паз плоскостями частного положения.

2-е действие Обозначить на фронтальной проекции характерные точки и выполнить графический анализ сечений.

Фронтально-проецирующая плоскость проходит через вершину конуса и пересекает его поверхность по треугольнику (по образующим , случай I).

  1. Фронтально-проецирующая плоскость пересекает все образующие конуса под углом, отличным от прямого, и образует на его поверхности неполный эллипс 1-2-0-3 (случаи 5).
  2. Горизонтальная плоскость паза расположена к оси конуса под прямым углом и пересекает его поверхность по участкам окружности 5-6-5 (случай 2).
  3. Две симметричные боковые профильные плоскости паза расположены параллельно двум образующим конуса и и пересекают его поверхность по участкам гипербол 4-5 (случаи 4);

Горизонтальная плоскость и две профильные плоскости образуют в конусе сквозной прямоугольный паз.

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию конуса со срезами, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям отмеченных точек, и определить видимость плоскостей срезов

Плоскость а определяет треугольник , построенный по образующим которым принадлежат точки и ограничен видимыми участками этих образующих и невидимой линией пересечения плоскостей срезов и .

  1. Плоскость определяет видимый участок эллипса построенный по принадлежности обозначенных точек вспомогательным параллелям (точка построена по принадлежности образующей ).
  2. Плоскость определяют видимые участки окружности , по которой плоскость пересекает поверхность конуса.
  3. Плоскости определяют видимые вертикальные отрезки вырожденные проекции профильных плоскостей (отрезки — невидимые):

точки построены по принадлежности окружности основания конуса.

  • точки — построены.

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции для определения ее очерка и внутреннего контура:

Горизонтальный очерк определяют два участка очерковой окружности слева и справа от точек .

  1. Внутренний очерк определяют:

-видимые участки образующих ,

  • видимый участок эллипса;
  • видимые отрезки проекций гипербол в плоскостях .
  • невидимый отрезок пересечения плоскостей и ;
  • невидимые отрезки пересечения плоскостей паза и .

5-е действие. Достроить профильную проекцию конуса, построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям отмеченных точек, и определить видимость плоскостей срезов:

Плоскость среза определяет видимый треугольник , точки которого построены по принадлежности образующим .

  1. Плоскость среза определяет видимый участок эллипса :

-точки построены;

-точки лежат на характерных образующих и ;

  • точки построены по координатам ;
  • точка 3 лежит на характерной образующей .
  1. Плоскость паза определяет проекция невидимою горизонтального отрезка (участки — видимые), точки которою лежат на очерковых образующих и ;
  2. Плоскость паза определяют видимые участки гипербол , точки которых построены но координате .

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции для определения ее очерка и внутреннего контура.

Профильный очерк определяют:

  • слева и справа — участки образующих и ;
  • снизу — участок основания конуса;

-участки образующих ;

-участки эллипса.

  1. Внутренний контур определяют:
  • видимый отрезок пересечения плоскостей среза и ;
  • видимый участок эллипса;
  • невидимый отрезок — проекция плоскости паза .

7-е деиетвие. Оформить чертеж конуса, выполнив толстыми сплошными линиями очерки и видимые линии внутреннею контура каждой проекции (оаавить тонкими линиями полные очерки проекций и линии построения).

Краткое изложение материала начертательной геометрии к задачам 11 и 12:

Поверхности вращении. Сферический поверхность

При вращении окружности вокруг ее диаметра образуется поверхность вращения, называемая сферой. Сферическая поверхность — геометрическое место точек, равноудаленных от ее центра. Сфера — единственная геометрическая поверхность, которая имеет бесконечное число осей, проходящих через ее центр, что удобно использовать при построении проекций точек на ее поверхности и при решении различных позиционных задач с геометрическими формами, в образование которых входит сфера.

Геометрическое тело, ограниченное сферой, называют шаром.

Проекции шара и проекции его очерковых окружностей

Все три очерка шара — фронтальный, горизонтальный и профильный -представляю! собой окружности одного диаметра с центром в точке это характерный признак проекций шара на чертеже (рис. 4.79). Каждая точка на поверхности шара описывает вокруг соответствующей оси окружности, называемые параллелями.

Фронтальный очерк шара — окружность — называется главным фронтальным меридианом, который лежит во фронтальной плоскости уровня его горизонтальная проекция это горизонтальная прямая, а профильная проекция вертикальная прямая, проходящие через центр шара.

Горизонтальный очерк шара — это окружность , то есть экватор шара, лежащий в горизонтальной плоскости уровня и его фронтальная и профильная проекции горизонтальные прямые, проходящие через центр шара

Профильный очерк шара — это окружность главного профильного меридиана, лежащего в профильной плоскости , его фронтальная и горизонтальная проекции — вертикальные прямые, проходящие через центр шара.

!!! ‘Запомните характерные признаки шара на чертеже — три очерковые окружности одного диаметра.

  1. Построение проекции точек па поверхности шара
  2. Построение проекции тара со срезами плоскостями частного положения
  3. Поверхности вращения. Тор поверхность
  4. Построение проекции открытого тора
  5. Построение проекции точек, лежащих на поверхности тора
  6. Сечения тор с плоскостями частного положения

Задача №11.

Построить фронтальную, горизонтальную и профильную проекции шара со срезами заданными плоскостями частного положения.

Задача №12.

Построить фронтальную, горизонтальную и профильную проекции половины открытого тора со срезами плоскостями частного положения.

Графические условия задач по вариантам даны в табл. 4.7.

Задачи выполнять на одном листе формата A3 чертежной бумаги.

На рис. 4.87, а показан пример построения проекций шара со срезами плоскостями частного положения.

План действий для решения задачи 11 соответствует предлагаемому графическому алгоритму:

1-е действие. По заданному диаметру построить на левой половине чертежа тонкими линиями фронтальную, горизонтальную и профильную проекции шара без срезов, а затем выпилить на ею фронтальной проекции заданные срезы горизонтальной плоскостью профильной плоскостью и фронтально-проецирующей плоскостью .

2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции характерные точки и выполнить графический анализ сечений:

  1. Горизонтальная плоскость пересекает поверхность шара по участку окружности 1-2-3 радиусом , которая проецируется в окружность па горизонтальную проекцию шара, и ограничена вырожденной в точку фронтально-проецирующей линией 3-3 пересечения плоскостей срезов и .
  2. Профильная плоскость пересекает поверхность шара по участкам окружности 3-4 радиусом , которая проецируется в окружность на профильную проекцию шара, и ограничена вырожденными в точки и двумя фронтально-проецирующими линиями пересечения плоскостей паза:
  • линия 3-3 — пересечение плоскостей срезов и
  • линия 4-4 — пересечение плоскостей срезов и и .
  1. Фронтально-проецирующая плоскость пересекает поверхность шара по участку окружности 4-5-6-7, которая проецируется в участок эллипса на горизонтальную и профильную проекции шара и ограничена вырожденной в точку фронтально-проецирующей линией пересечения плоскостей срезов и .

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию шара, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям обозначенных точек, и определить видимости плоскостей срезов.

Плоскость среза определяет видимый участок окружности (ее точки лежат на круговой параллели радиусом ), который ограничен вертикальным невидимым отрезком — проекцией линии пересечения плоскостей срезов и .

  1. Плоскость среза определяет частично невидимый отрезок в который проецируется профильная плоскость:

точки построены;

  • точки лежат на проекции экватора; участки отрезка над экватором видимые.
  1. Плоскость среза определяет частично видимый эллипс в который проецируется плоскость у. он ограничен отрезком — проекцией линии пересечения плоскостей среза и :
  • точки построены;

точки и построены по принадлежности соответствующим горизонтальным параллелям;

  • точка лежит на проекции главного фронтального меридиана.

!!! Поскольку горизонтальная проекция шара имеет вертикальную симметрию, точки обозначены на одной ее половине.

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции шара дня определения ее очерка и внутреннего контура:

  1. Горизонтальный очерк определяют:
  • участок экватора ;
  • участок окружности в плоскости а и участок эллипса в плоскости у.
  1. Внутренний контур определяют :
  • невидимый участок эллипса;
  • невидимый отрезок .

5-е действие. Достроить профильную проекцию шара, построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов.

Плоскость среза определяет видимый отрезок в который проецируется горизонтальная плоскость, точки которого лежат на главном профильном меридиане.

  1. Плоскость среза определяют видимые участки окружности, построенной по профильной параллели радиусом (ось вращения ): плоскость ограничена двумя видимыми отрезками и — проекциями линий пересечения плоскостей срезов и , и .
  1. Плоскость среза у определяет видимый участок эллипса точки которого построены по принадлежности соответствующим параллелям:
  • точки построены;
  • точки построены по принадлежности профильной параллели;
  • точки лежат на главном профильном меридиане;
  • точка лежит на проекции главного фронтального меридиана.

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции для определения ее очерка и внутреннего контура.

Профильный очерк шара определяют: -участок главного профильного меридиана -участок главного профильного меридиана -участки окружности

  • участки эллипса
  1. Внутренний контур определяют:
  • видимые отрезки и пересечения плоскостей срезов и , и : видимый участок эллипса .

7-е действие. Оформить чертеж шара, выполнив толстыми сплошными линиями очерки и видимые линии внутреннего контура каждой проекции (оставить тонкими линиями полные очерки проекций и линии построения).

На рис. 4.87, б показан пример построения проекций открытого тора со срезами плоскостями частного положения

План графических действий для решения задачи соответствует предложенному графическому алгоритму (к рис. 4.86):

1-е действие. По заданным размерам построить на правой половине чертежа тонкими линиями фронтальную, горизонтальную и профильную проекции половины открытого тора без срезов, а затем выполнить на его фронтальной и горизонтальной проекциях заданные по условию срезы фронтально-проецирую-щей плоскостью и горизонтально-проецирующей плоскостью

2-е действие. Обозначить на фронтальной и горизонтальной проекциях тора характерные и промежуточные точки и выполнить графический анализ плоскостей срезов:

  1. Фронтально-проецирующая плоскость пересекает поверхность тора по участку волнообразной кривой (соответствует сечению 2).
  2. Горизонтально-проецирующая плоскость пересекает поверхность тора по кривой 4-го порядка .

3-е действие. Достроить горизонтальную и фронтальную проекции тора и определить видимость плоскостей срезов:

  1. Достроить горизонтальную проекцию тора, построив участок видимой волнообразной кривой но проекциям обозначенных точек и , принадлежащих параллелям и основанию тора (алгоритм I, см. рис. 4.84); кривая ограничена линией пересечения плоскости среза с окружностью основания
  2. Достроить фронтальную проекцию тора, построив участок видимой кривой среза горизонтально-проецирующей плоскостью по проекциям обозначенных точек и по их принадлежности параллелям и основанию (алгоритм И , рис. 4 84).

4-е действие. Выполнить графический анализ достроенных проекций и определить их очерки и внутренний контур.

Фронтальный очерк определяют:

  • отрезок — проекция плоскости среза ,

-участок очерковой окружности ,

  • внутренняя очерковая окружность ;
  • проекции (прямые) окружностей основания ,

-участок проекции достроенной кривой в плоскости .

  1. Внутренний контур фронтальной проекции определяет видимый участок кривой пересечения поверхности тора с плоскостью среза
  2. Горизонтальный очерк определяют:
  • отрезок — проекция плоскости среза ,
  • сверху — участок очерковой параллели (с частью окружности) и участок волнообразной кривой;
  • снизу — участок очерковой параллели и участок волнообразной кривой.
  1. Внутренний контур горизонтальной проекции определяют: видимый участок волнообразной кривой ;
  • невидимые участки окружностей оснований .

5-е действие. Достроить профильную проекцию тора, построив проекции плоскостей срезов по проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов.

Плоскость среза or определяет видимый участок волнообразной кривой построенной по принадлежности точек и характерным линиям тора, а точка построена по координате .

  1. Плоскость среза определяет невидимый участок кривой среза построенный по принадлежности точек и соответствующим характерным линиям тора, а точки и построены по координатам и .

6-е действие. Выполнить фактический анализ построенной профильной проекции для определения ее очерка и внутреннего контура.

  1. Профильный очерк определяют:
  • видимый участок волнообразной кривой
  • справа — участок очерковой линии
  • слева — участок очерковой линии
  • совпадающие проекции (горизонтальная прямая) окружностей основания тора .
  1. Внутренний контур определяют: невидимый участок кривой
  • невидимый участок образующей окружности

7-е действие. Оформить чертеж тора, выполнив толстыми сплошными линиями очерки и видимые линии внутреннею контура каждой проекции (оставить тонкими линиями полные очерки проекций и линии построения).

Задача №13.

По заданным фронтальной и горизонтальной проекциям комбинированного тела с отверстиями и срезами плоскостями частного положения построить его профильную проекцию. Нсли требуется по условию задачи -достроить з&танные проекции.

Графические условия вариантов задачи 13 даны в табл 4.8.

Решение задач со сложными геометрическими формами, наружную и внутреннюю поверхность которых образуют комбинации нескольких простых геометрических тел со срезами, вырезами и отверстиями, учит читать чертежи пространственных форм любой сложности и оперировать этими формами в воображении, развивает пространственное мышление и является основой для изучения последующих разделов инженерной графики — проекционного и маши ноет роительного черчения.

Для успешного решения задач с комбинированными телами следует научиться выполнять последовательный графический анализ заданного условия, основанный на знании проаых геометрических тел, коюрый позволит не только решит ь задачу, но и созда ть в воображении и рост ране i венный образ комбинированною т ела

Последовательный графический анализ условия задачи определяет логический порядок графических действий для решения задачи, т.е. графический алгоритм.

На рис. 4.88, а, 6, в показан пример поэтапного решения задачи, форма которой задана комбинированным телом, по предлагаемому графическому алгоритму:

1-е действие. Построить на чертеже по заданным размерам фронтальную и горизонтальную проекции комбинированного тела и определить положение базовой оси (б.о.) на горизонтальной проекции и положение базовой оси для построения его профильной проекции.

2-е действие. Выполнить графический анализ заданных проекций комбинированного тела:

  1. Определить по характерным признакам на заданных проекциях геометрические тела, образующие форму комбинированного тела (см. рис. 4.88, а):

прямой круговой горизонтально-проецирующий цилиндр определяется по прямоугольнику на фронтальной проекции и окружности на горизонтальной проекции;

  • в цилиндре выполнено соосное горизонтально-проецирующее отверстие определяется по тем же характерным признакам (образующие выполнены штриховыми линиями);

прямая правильная горизонтально-проецирующая шестиугольная призма определяется по прямоугольнику на фронтальной проекции и шестиугольнику, вписанному в окружность, на горизонтальной проекции.

  1. Определить формы линий пересечения, по которым плоскости срезов и вырезов пересекают поверхности формообразующих геометрических тел, и обозначить характерные точки, принадлежащие этим линиям (см. рис. 4.88, а):
  • поверхности цилиндра и цилиндрического отверстия срезаны двумя симметричными профильными плоскостями пересекающими эти поверхности по образующим 1-2 и (точки внутреннего контура отмечены знаком «<>»);

поверхности цилиндра и отверстия срезаны симметричными и горизонтальными плоскостями , пересекающими эти поверхности по участкам окружностей 2-3-2 и

в цилиндре выполнено призматическое сквозное отверстие двумя симметричными фронтально-проецирующими плоскостями , пересекающими поверхность цилиндра по участкам эллипсов , отверстие — по участкам эллипсов ;

  • в шестиугольной призме выполнено полуцилиндрическое фронтально-проецирующее сквозное отверстие , пересекающее грани призмы по участкам эллипсов 6-7 (грани и ) и по участкам окружностей 7-8 (грани ).

!!! Поскольку заданные проекции комбинированного тела симметричны, точки обозначены на одной какой-либо половине каждой проекции.

  1. Построить горизонтальные проекции отмеченных точек: точки и лежат на окружности радиусом , (проекция боковой поверхности ):

точки и лежат на сторонах шестиугольника (проекция боковой поверхности призмы );

-точки и лежат на окружности радиусом (проекция боковой поверхности цилиндрического отверстия ).

3-е действие. Если по условию задачи в формообразовании комбинированного тела участвуют геометрические тела с непроецирующей боковой поверхностью (пирамида, конус, шар, тор или тороид), требуется в соответствии с выполненным графическим анализом по проекциям обозначенных точек достроить на заданных проекциях (одной или обеих) линии пересечения поверхностей этих геометрических тел с плоскостями заданных срезов и вырезов (рис, 4 89, образец) и оформить очерки достроенных проекций.

В рассматриваемом примере формообразующими геометрическими телами являются горизонтально-проецирующие цилиндры и призма и, следовательно, 3-е действие выполнять не нужно.

4-е действие. Построить тонкими линиями (без заданных срезов и вырезов) профильные проекции формообразующих геометрических тел и внутренних элементов (рис. 4.88, а).

  1. Профильную проекцию определяют:
  • проекция цилиндра — прямоугольник, ограниченный двумя очерковыми образующими с координатами , равными ею радиусу , а по высоте — горизонтальными отрезками проекций верхнею и нижнею оснований,

проекция призмы прямоугольник, ограниченный двумя вырожденными в линии боковыми гранями с координатами , а по высоте горизонтальными отрезками проекций оснований (ребра и совпадают с осью симметрии проекции и базовой осью ).

  1. Внутренний контур профильной проекции, предварительно выполненный тонкими штриховыми линиями, определяют:

проекция цилиндрического отверстия — прямоугольник, ограниченный двумя очерковыми образующими с координатами , равными его радиусу , с условной высотой ;

  • горизонтальные отрезки: проекция горизонтальной плоскости среза ; линия пересечения фронтально-проецирующих плоскостей выреза :

профильно-проецирующая невидимая очерковая образующая фронтально-проецирующего отверстия ; образующая отверстия совпадает с проекцией верхнего основания призмы .

5-е действие. Достроить профильную проекцию комбинированного тела, построив на его наружной и внутренней поверхностях линии пересечения с заданными плоскостями срезов и выреза:

  1. Достроить линии пересечения на наружных поверхностях формообразующих геометрических тел — цилиндра и призмы — но профильным проекциям обозначенных точек (см. рис. 4.88, б):
  • построить видимые проекции образующих и по координатам и и горизонтальную видимую линию , в которую проецируются участки окружности в плоскостях срезов
  • построить видимые участки эллипсов по проекциям точек: точки на очерковых образующих цилиндра , точки и — по координатам и

построить видимые участки эллипсов 6-7 па гранях призмы по проекциям точек: точки по координатам ; точки по принадлежности совпадающим проекциям ребер и ;

  • проекции участков окружностей совпадают с проекциями граней .
  1. Достроить линии пересечения на внутренней поверхности комбинированного тела по профильным проекциям обозначенных точек (рис. 4.88, в):
  • построить невидимые участки эллипсов по проекциям точек: точки по принадлежности очерковым образующим отверстия и точки — на образующих, совпадающих с осью этого отверстия.

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной проекции ятя определения ее очерка и внутреннего контура

  1. Профильный очерк определяют:
  • слева и справа — отрезки — участки очерковых образующих цилиндра ; отрезки , совпадающие с вырожденными боковыми гранями призмы; участки эллипсов и :

сверху — горизонтальные отрезки до точек — участки верхнего основания цилиндра ;

снизу горизонтальная линия нижнего основания призмы.

  1. Внутренний видимый контур определяют:

-видимая горизонтальная линия — участок верхнего основания призмы;

  • видимая вертикальная линия — ребра призмы, совпадающие с осью симметрии проекции;
  • видимые образующие и .

Внутренний невидимый контур проекции определяют

  • слева и справа — невидимые отрезки — существующие участки очерковых образующих отверстия ;
  • горизонтальные отрезки — существующие участки невидимой линии пересечения двух плоскостей выреза ;
  • невидимый участок эллипса ;
  • горизонтальная невидимая линия — очерковая образующая отверстия .

7-е действие. Оформить чертеж комбинированного тела, выполнив толстыми линиями очерки и внутренний контур каждой проекции и штриховыми линиями невидимые контуры проекций (оставить тонкими линиями полные очер-ки геометрических тел и линии построения).

Образец выполнения листа 7 с задачей 13 показан на рис. 4.89.

Задача №13.

По заданным фронтальной и горизонтальной проекциям комбинированного тела построить его профильную проекцию, достроив, если требуется по условию, заданные проекции.

1 рафические условия вариантов задачи 13 даны в табл. 4.8.

Задачу выполнить на формате A3 чертежной бумаги.

План графических действий для решения задачи 13 соответствует предложенному алгоритму.

1-е действие. Построить на чертеже по заданным размерам фронтальную и горизонтальную проекции комбинированного тела и определить положение базовой оси (б.о.) на его горизонтальной проекции и базовой оси z для построения профильной проекции.

2-е действие. Выполнить графический анализ заданных проекций комбинированного тела.

/. Определить по характерным признакам на заданных проекциях геометрические тела, образующие форму комбинированного тела:

полушар в основании определяется по полуокружности на фронтальной проекции и окружности на горизонтальной проекции;

прямая правильная четырехугольная горизонтально-проецирующая призма определяется по прямоугольнику на фронтальной проекции и четырехугольнику, вписанному в окружность, на горизонтальной проекции;

цилиндрическое сквозное горизонтатьно-проецируюшее отверстие определяется по прямоугольнику на фронтальной проекции (образующие выполнены штриховыми линиями) и окружности на горизонтальной проекции;

  1. Определить формы линий пересечения, по которым плоскости вырезов пересекаюг поверхности формообразующих геометрических тел, и обозначить характерные точки, принадлежащие этим линиям:
  • поверхность призмы пересекает сквозной призматический наз, образованный двумя симметричными фронтально-проецирующими плоскостями и горизонтальной плоскостью, по отрезкам 1-2 и 2-3 ломаной, а цилиндрическое отверстие — по участкам эллипса и участкам окружности :
  • поверхность шара пересекают две симметричные профильные плоскости по участкам окружностей 6-7 радиусом , а горизонтальная плоскость — по участкам окружности 7-8-7 радиусом плоскости образуют в основании шара сквозной прямоугольный паз

!!! Поскольку заданные проекции комбинированного тела симметричны, точки обозначены на одной половине проекции.

  1. Построить горизонтальные проекции обозначенных точек
  • точки и лежат на четырехугольнике боковой поверхности призмы;
  • точки и лежат на окружности боковой поверхности цилиндрического отверстия.

3-е действие. Поскольку в формообразовании комбинированного тела участвует полушар, не имеющий боковой проецирующей поверхности, заданные фронтальную и горизонтальную проекции нужно досгроть и оформиib очерки этих проекций.

  1. Достроить на фронтальной проекции линии пересечения боковых граней призмы с поверхностью шара;
  • Грани призмы пересекают поверхность шара но участкам окружностей , горизонтальные проекции которых совпадают со сторонами четырехугольника (проекцией боковой поверхности призмы), а на фронтальную и профильную проецируются в виде участков эллипсов;

построить видимые фронтальные проекции участков эллипсов построив фронтальные проекции этих точек;

внутренний контур фронтальной проекции определяют два участка эллипсов (главный фронтальный меридиан шара не существует между точками и выполнен тонкой линией).

  1. Достроить на горизонтальной проекции линии пересечения 6-7-8 плоскостей паза с поверхностью шара:
  • горизонтальная плоскость паза пересекает поверхность шара по окружности радиусом а, на которой определяются точки и видимых участков этой окружности;
  • боковые профильные плоскости паза пересекают поверхность шара по участкам окружностей радиусом которые проецируются в видимые участки вертикальных прямых и невидимые отрезки (выполнены штриховыми линиями);
  • горизонтальный очерк определяют видимые участки линий (экватор шара не существует между точками и выполнен тонкими линиями).

4-е действие. Построить тонкими линиями (без срезов и вырезов) профильные проекции формообразующих геометрических тел и внутренних элементов.

  1. Профильную проекцию определяют
  • проекция шара — полуокружность заданным радиусом шара;
  • проекция призмы — прямоугольник, ограниченный боковыми ребрами и линией верхнего основания.

Внутренний контур профильной проекции определяют: очерковые невидимые линии цилиндрического отверстия: горизонтальные отрезки: невидимая линия и видимые участки (проекция горизонтальной плоскости выреза в призме); невидимая линия (проекция горизонтальной плоскости паза).

5-е действие. Достроить профильную проекцию комбинированного тела, построив на его наружной и внутренней поверхностях линии пересечения с заданными плоскостями вырезов:

У. Достроить линии пересечения на наружной поверхности полушара и призмы по профильным проекциям обозначенных точек:

  • построить видимые участки ломаных на поверхности призмы,
  • построить видимые участки эллипсов — линии пересечения полушара и призмы;
  • построить видимые участки линии на поверхности полушара.
  1. Досгрошь линии пересечения на внуфенней поверхности комбинированного тела но профильным проекциям обозначенных точек:

построить невидимый участок эллипса : по принадлежности точек характерным образующим цилиндрическою отверстия, а точки — по координате .

построить невидимые отрезки проекции горизонтальной плоскости выреза в призме.

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции для определения ее очерка и внутреннего контура.

  1. Профильный очерк определяют:
  • слева и справа — участки очерковых ребер призмы; ломаные линии выреза в призме; участки профильного меридиана шара; линии призматического паза в шаре,
  • сверху — отрезок верхнего основания призмы;
  • снизу — отрезок основания (экватора) шара
  1. Внутренний видимый контур проекции определяют:
  • участок ребра, совпадающий с осью симметрии профильной проекции;
  • участки эллипсов ‘.
  1. Внутренний невидимый контур проекции определяют:
  • слева и справа — невидимые отрезки очерковых образующих цилиндрического отверстия от точек до горизонтальной невидимой линии (паз в шаре);
  • невидимый участок эллипса ;
  • невидимые горизонтальные отрезки .

7-е действие. Оформить чертеж комбинированного тела, выполнив толстыми линиями видимые очерки и внутренние контуры каждой проекции и штриховыми линиями невидимые контуры проекций (оставить тонкими линиями полные очерки геометрических тел и линии построений).

Графическая работа № 8

Сечение поверхности плоскостью общею положения

Для решения задачи 14 следует повторить изложенные выше темы начертательной геометрии.

Плоскость:

  • плоскости общею и частного положения (плоскости проецирующие и плоскости уровня);

прямые особою положения в плоскости: фронтапь и горизонталь плоскости;

Поверхности — геометрические тела: проекции геометрических тел (призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, ша-ра, тора и тороида);

  • построение проекций точек на поверхности геометрических тел; сечение геометрических тел плоскостями частного положения.

Преобразование чертежа: способ замены плоскостей проекций (задачи 1,2, 3 и 4).

Тема 8. Сечение поверхности плоскостью общего положения

Задача №14.

Построить натуральную величину сечения геометрического тела плоскостью общего положения способом замены плоскостей проекций и достроить горизонтальную и фронтальную проекции линии пересечения геометрическою тела с плоскостью с учетом видимости этой линии на проекциях геометрического тела. Преобразование плоскости выполнять относительно горизон тали плоскости.

Графические условия вариантов задачи 14 даны в табл. 4.9.

Поверхности геометрических тел могут пересекаться плоскостями, занимающими относительно плоскостей проекций частные (проецирующие или уровня ) или общие положения:

Первый случай, когда сечения геометрических тел выполнены плоскостями частного положения, был подробно рассмотрен в темах 4, 5 и 6: «Поверх-ности. Поверхности гранные. Поверхности вращения». Построение проекций линии пересечения выполнялось в этих частных случаях по принадлежности точек их линий поверхностям геометрических тел по определенным графичс-ским алгоритмам, приведенным в рассмотренных темах.

На рис 4.90 показан еще один пример построения горизонтальной проекции линии пересечения поверхности тороида (самопересекающийся тор) фронтально-проецирующей плоскостью .

Графические действия для построения горизонтальной проекции линии пересечения в этом случае выполняется в следующем порядке:

1-е действие. Обозначить характерные 1, 4 и 6 и промежуточные 2, 3 и 5 точки на заданной фронтальной проекции линии пересечения, совпадающей с вырожденной проекцией плоскости сечения .

2-е действие. Построить горизонтальные проекции обозначенных точек по их принадлежности параллелям тороида.

3-е действие. Соединить построенные горизонтальные проекции точек плав-ной кривой, имеющей форму овала (видимая кривая).

Во втором случае, когда сечения геометрических тел выполнены плоскостями общего положения, для более удобного решения задачи следует изменить заданное графическое условие таким образом, чтобы один из графических образов занял относительно плоскостей проекций частное положение, т.е. привести условие к первому частному случаю.

По условию задачи преобразовать в частное положение из двух заданных образов (геометрического тела и плоскости) возможно только плоскость общего положения.

Напоминаем, что для преобразования плоскости общего положения в плоскость проецирующую следует вы-полнить задачу 3 преобразования способом замены плоскостей проекций (см. рис. 4.51). Это возможно только в том случае, если прямая уровня заданной плоскости горизонталь или фронталь преобразуется в проецирующую прямую (задача 2, см. рис. 4.47 и 4.48): для преобразования в горизонтально-проецирующую плоскость используется фронталь, для преобразования во фронтально-проецирующую плоскость горизонталь.

Для определения натуральной плоскостью следует далее преобразовать построенную после 1-го преобразова-ния проецирующую плоскость в плоскость уровня, т.е. решить задачу 4 замены плоскостей проекций (см. рис 4.54).

На рис. 4.91 показано последовательное двойное преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня способом замены плоскостей проекций.

Графический алгоритм последовательного преобразования заданной плоскости общего положения в плоскость уровня выполняется двумя заменами плоскостей проекций в следующем порядке:

1-е действие. Задать на чертеже ось исходной системы плоскостей проекций (через точку ).

2-е действие. Провести в плоскости линию уровня. В данной задаче провести горизонталь .

I. Первая замена плоскостей проекций — преобразовать плоскость общею положения в плоскость проецирующую (задача 3):

3-е действие. Ввести первую дополнительную систему плоскостей проекций с осью проекций перпендикулярной горизонтальной проекции горизонтали плоскости.

4-е действие. Построить в первой дополнительной системе фронтальную проекцию плоскости по координатам взятым из заданной исходной системы плоскость спроецировалась в линию, т.е. преобразовалась во фронтально-проецирующую плоскость (перпендикулярна ).

II. Вторая замена плоскостей проекций преобразовать плоскость проецирующую в плоскость уровня (задача 4):

5-е действие. Ввести вторую дополнительную систему плоскостей проекций с осью проекций параллельной вырожденной в линию проекции плоскости , построенной в результате первого преобразования.

6-е действие. Построить во второй дополнительной системе горизонтальную проекцию плоскости по координатам y(yj, взятым из предыдущей системы до предыдущей оси проекций : плоскость спроецировалась в треугольник , имеющий натуральную величину как плоскость уровня (параллельна ).

На рис. 4.92 показан пример построения натуральной величины сечения прямой правильной четырехугольной призмы плоскостью общею положения , заданной треугольником, и построение проекций линии пересечения поверхности призмы этой плоскостью на заданных проекциях призмы.

Задача решена двумя заменами плоскостей проекции, т.е. двумя последовательными преобразованиями по следующему графическому алгоритму:

1-е действие. Построить проекции геометрического тела и секущей плоскости и задать на чертеже систему плоскостей проекций гак, чтобы ось проекций совпала с фронтальной проекцией нижнего основания заданной призмы.

2-е действие. Провести в плоскости горизонталь по заданному графическому условию, горизонталью плоскости является ее сторона .

I. Первая замена плоскостей проекций — преобразовать плоскость общего положения в проецирующую.

3-е действие. Ввести первую дополнительную систему плоскостей проекций с осью , перпендикулярной горизонтальной проекции горизонтали (стороне ).

4-е действие. Построить тонкими линиями в первой дополнительной системе фронтальные проекции плоскости и призмы (точки отмечены на верхнем основании призмы) по координатам , взятым из заданной системы ; в результате преобразования плоскость спроецировалась в прямую линию и заняла положение фронтально-проецирующей, а призма спроецировалась в прямоугольник высотой .

I. Обозначить на преобразованной проекции характерные точки и на ребрах призмы, по которым плоскость сечения пересекает ее поверхность (плоская ломаная линия пересечения совпадает с вырожденной проекцией плоскости сечения).

!!! В результате выполнения первой замены плоскостей проекций графическое условие задачи преобразовано в частный случай сечения геометрического тела фронтально-проецирующей плоскостью.

И. Вторая замена плоскостей проекций — преобразовать плоскость сечения в плоскость уровня.

5-е действие. Ввести вторую дополнительную систему плоскостей проекций с осью проекций , параллельной вырожденной проекции плоскости сечения, полученной в результате первою преобразования.

6-е действие. Построить во второй дополнительной системе горизонтальную проекцию ломаной линии сечения по координатам , взятым из предыдущей дополнительной системы до оси проекций ; полученная в результате второго преобразования проекция плоскости сечения параллельна дополнительной плоскости проекций , те является плоскостью уровня и определяет натуральную величину сечения

III. Достроить на заданных проекциях призмы горизонтальную и фронтальную проекции ломаной линии пересечения секущей плоскости с поверхностью призмы и определить видимость этой линии на проекциях.

7-е действие. Построить по линиям обратной связи горизонтальную проекцию ломаной линии сечения на заданной горизонтальной проекции призмы по принадлежности обозначенных точек ребрам призмы (обратным проецированием) и определить ее видимость (линия совпадает с проекцией боковой поверхности призмы).

8-е действие. Построить по линиям обратной связи фронтальную проекцию ломаной линии сечения на заданной фронтальной проекции призмы по принадлежности обозначенных точек ребрам призмы, используя координаты из первой дополнительно системы ; определить видимость ломаной линии пересечения на поверхности призмы: невидимый участок — на невидимых гранях призмы; видимый участок на видимых гранях призмы.

Образец выполнения листа 8 с задачей 14 показан на рис. 4.93.

Задача №14.

Построить натуральную величину сечения наклонной четырехугольной пирамиды плоскостью общею положения , заданной двумя пересекающимися прямыми и , и построить проекции ломаной линии пересечения плоскости с поверхностью пирамиды на заданных проекциях.

Задачу выполнить на формате АЗ чертежной бумаги.

Графические условия вариантов задачи 14 даны в табл. 4.9.

План графических действий для решения задачи соответствует предложенному графическому алгоритму:

1-е действие. Построить на чертеже по заданным координатам фронтальную и горизонтальную проекции наклонной пирамиды и плоскости сечения и задать на чертеже систему плоскостей проекций с осью проекций , совпадающей на фронтальной проекции пирамиды с ее основанием

2-е действие. Провести в плоскости горизонталь ) — использовать прямую заданной плоскости сечения.

I. Первая замена плоскостей проекций — преобразовать плоскость общего положения во фронтально-проецирующую плоскость.

3-е действие. Ввести первую дополнительную систему плоскостей проекций с осью проекций перпендикулярной горизонтальной проекции горизонтали .

4-е действие. Построить в первой дополнительной системе фронтальные проекции плоскости и наклонной пирамиды по координатам (отмечены двумя черточками для точек и и тремя черточками для точки ), взятым в заданной системе . в результате преобразования секущая плоскость спроецировалась в прямую и заняла положение фронтально-проецирующей, а пирамида спроецировалась в треугольник.

Обозначить характерные точки и ломаной линии, по которой плоскость сечения пересекает ребра и основание пирамиды (проекции точек и совпадают).

II. Вторая замена плоскостей проекций — преобразовать плоскость сечения пирамиды в плоскость уровня.

5-е действие. Ввести вторую дополнительную систему плоскостей проекций с осью проекций , параллельной плоскости сечения, полученной в результате первою преобразования.

6-е действие. Построить во второй дополнительной системе горизонтальную проекцию сечения по координатам (отмечена знаком «~» для точки 3Д взятым из предыдущей дополнительной системы до оси проекций полученная в результате второго преобразования проекция плоскости сечения параллельна дополнительной плоскости проекций т.е. является плоскостью уровня и определяет натуральную величину сечения.

III. Достроить на заданных проекциях пирамиды горизонтальную и фронтальную проекции ломаной линии пересечения секущей плоскости с поверхностью пирамиды и определить видимость этой линии на проекциях.

7-е действие. Построить полициям обратной связи горизонтальную проекцию ломаной линии пересечения на заданной горизонтальной проекции пирамиды по принадлежности обозначенных точек ребрам и основанию пирамиды; определить видимость ломаной: участок — видимый (лежит на видимых гранях), участок — невидимый.

8-е действие. Построить по линиям связи фронтальную проекцию ломаной линии пересечения на заданной фронтальной проекции пирамиды по принадлежности обозначенных точек ребрам и основанию пирамиды; определить видимость ломаной: участок — видимый на видимых гранях, а участки и — невидимые, участок лежит на основании пирамиды.

Краткое изложение материала начертательной геометрии к задачам 15 и 16:

Пересечение поверхностей и способы построения линий пресечении

Линия пересечения принадлежит обеим пересекающимся поверхностям и образуется множеством их общих точек. Следовательно, построение линии пересечения поверхностей сводится к построению этих общих точек.

При пересечении поверхностен вращения порядок линии пересечения определяется умножением порядков пересекающихся поверхностей. Например, если пересекаются круговой конус (поверхность 2-го порядка) и сфера (поверхность 2-ю порядка), то линия пересечения является кривой 4-ю порядка.

Определение способа построения линии пересечения зависит от взаимною расположения пересекающихся поверхностей, а также от их расположения относительно плоскостей проекций.

Из всех возможных вариантов пересечения

поверхностей геометрических тел в зависимости от их взаимного рас-положения можно выделить четыре случая, которые позволяют определить и представить форму линии пересечения поверхностей:

I случай. Частичное врезание (рис. 4.94). В этом случае линией пересечения -одна замкнутая пространственная линия.

II случай. Полное проницание (рис. 4.95). В этом случае линией пересечения являются две замкнутые пространственные линии.

III случай. Одностороннее соприкосновение (рис. 4.96). В этом случае поверхности соприкасаются водной общей точке и линия их пересечения, про-ходя через эту точку, распадается на две замкнутые пространственные линии (поверхности имеют одну общую касательную плоскость).

IV случай. Двойное соприкосновение (рис. 4.97).

В этом случае поверхности имеют две точки соприкосновения и и линия их пересечения распадается на две плоские кривые в соответствии с теоремой 2 (С.А Фролов «Начертательная геометрия»): если две поверхности вращения второго порядка имеют касание в двух точках, то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую , соединяющую точки касания (поверхности имеют две общие касательные плоскости).

В зависимости от расположения пересекающихся геометрических тел относительно плоскостей проекций и участия в пересечении геометрических тел, имеющих проецирующую поверхность (как призма или цилиндр) или не имеющих проецирующей поверхности (пирамида, конус, шар, тор, тороид, наклонная призма или наклонный цилиндр, глобоид и др.), следует выбрать оптимальный способ построения проекций линии пересечения поверхностей на чертеже.

По этим признакам способы построения линий пересечения поверхностей можно объединить в две группы:

Первая группа: частные случаи пересечения поверхностей, когда для построения линий пересечения не требуется применения специальных способов, а используется частное положение пересекающихся геометрических тел относительно плоскостей проекций.

Вторая группа: общие случаи пересечения поверхностей, когда для построения линий пересечения требуется применить специальные способы посредников. Частные случаи пересечения поверхностей

К первой группе частных случаев пересечения поверхностен относятся следующие четыре случая:

1 случаи: пересечение геометрических тел, боковые поверхности которых являются проецирую щ ими, т.е. перпендикулярны какой-либо плоскости проекций.

2 случаи: пересечение геометрических тел, у одного из которых боковая поверхность является проецирующей.

3 случаи: пересечение соосных поверхностей вращения, т.е. имеющих общую ось вращения

4 случаи: пересечение поверхностей вращения второго порядка, описанных вокруг сферы (по теореме Г. Монжа).

Рассмотрим на примерах построение проекций линий пересечения поверхностей геометрических тел в четырех частных случаях первой группы .

Следует отметить, что перечисленные частные случаи пересечения поверхностей наиболее часто встречаются при формообразовании различных реальных деталей.

1-й частный случай.

На рис. 4.98 показан пример построения проекций линии пересечения поверхностей горизонтально-проецирующего цилиндра и фронтально-проецирую-щей прямой правильной треугольной призмы, т.е. пересекаются два геометрических тела, боковые поверхности которых занимают относительно плоское гей проекций проецирующее положение.

Характерный признак 1-го частного случая: на заданных проекциях тел определяются две проекции нс-комой линии пересечения:

фронтальная проекция линии пересечения совпадает с вырожденной в ломаную линию боковой поверхностью призмы;

горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с участком окружности которая является вырожденной проекцией боковой поверхности цилиндра

Следовательно, требуется достроить только профильную проекцию линии пересечения, построив профильные проекции обозначенных точек по их принадлежности одному из тел (в данной задаче — цилиндру), и соединить их плавной кривой с учетом ее видимости на поверхностях.

2-й частный случай

На рис. 4.показан пример построения проекций линии пересечения поверхностей прямого кругового конуса и фронтально-проецирующего цилиндра, т.е. пересекающихся геометрических тел, у одного из которых боковая поверхность проецирующая.

Характерный признак 2-го частного случая: на заданных проекциях тел определяется одна проекция линии пересечения:

фронтальная проекция линии пересечения совпадает с окружностью, которая является вырожденной проекцией боковой поверхности цилиндра.

Следовательно, требуется достроить горизонтальную и профильную проекции линии пересечения, построив горизонтальные и профильные проекции обозначенных то-чек по их принадлежности конусу, и соединить построенные на проекциях точки плавными кривыми линиями с учетом их видимости на поверхностях.

!!! На профильную проекцию предмета пространственная кривая линия пересечения 4-го порядка проецируется в виде участка гиперболы.

3-й частный случай.

Пересечение соосных геометрических тел.

Соосными называются геометрические тела вращения, имеющие общую ось вращения . Поверхности соосных тел пересекаются по окружностям, перпендикулярным их общей оси. Если общая ось соосных геометрических тел является прямой проецирующей (т.е. она перпендикулярна какой-либо одной плоскости проекций, а двум другим параллельна), то окружность пересечения проецируется дважды в прямую линию, перпендикулярную их общей оси, на те плоскости проекций, которым эта общая ось параллельна.

На рис. 4.100 показан пример построения линии пересечения соосных геометрических тел — конуса и горизонтально-проецирующего цилиндра, имеющих общую горизонтально-проецирующую ось (ось перпендикулярна и параллельна и ). Линией пересечения является окружность, фронтальная и профильная проекции которой представляют собой прямые линии, перпендикулярные их общей оси и проходящие через точки пересечения фронтальных и профильных очерков поверхностей Горизонтальная проекция этой

окружности пересечения ) совпадает с вырожденной горизонтальной проекцией боковой поверхности цилиндра.

На рис. 4.101 показан пример построения линий пересечения двух пар соосных поверхностей:

  • поверхности шара и горизонтально-проецирующего цилиндра, соосных относительно горизонтально-проецирующей оси , окружности пересечения которых проецируются в прямые линии на фронтальную и профильную проекции;

поверхности шара и сквозного профильно-проецирующего цилиндрического отверстия в шаре, соосных относительно профильно-проецирующей оси , окружности пересечения которых проецируются в прямые линии на фронтальную и горизонтальную проекции.

4-и частный случай.

Пересечение поверхностей вращения второго порядка, описанных вокруг сферы (по теореме Г. Монжа).

Напоминаем, к поверхностям вращения второго порядка относятся круговые цилиндр и конус, шар, эллипсоиды, параболоид, одно-и двуполостные гиперболоиды.

Эллиптические цилиндры и конусы, а также наклонный круговой конус — это не поверхности вращения!

Все горы (открытый, закрытый и самопересекающийся), глобоиды и торо-иды относятся к поверхностям вращения четвертого порядка!

В 4-м частном случае имеет место двойное соприкосновение пересекающихся поверхностей вращения второго порядка, описанных вокруг сферы, и построение линии пересечения основано на теореме 2 (С.Д. Фролов «Начертательная геометрия»):

Теорема 3 , известная как теорема Г. Монжа, вытекает из теоремы 2: если две поверхности вращения второго порядка описаны вокруг третьей поверхности второго порядка или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания

Практическое применение теоремы возможно в том случае, когда две поверхности вращения второго порядка описаны вокруг сферы или вписаны в нее.

Использовать теорему Г. Монжа для построения на чертеже линии пересечения поверхностей можно при наличии в задаче четырех обязательных графических условий:

  1. Пересекаются поверхности вращения второго порядка.
  2. Оси поверхностей вращения должны пересекаться (точка пересечения центр вписанной сферы).
  3. Поверхности описаны вокруг общей сферы или вписаны в нее.
  4. Общая плоскость симметрии, проходящая через оси поверхностей, является плоскостью уровня.

При соблюдении этих четырех условий на одной из заданных проекций можно построить проекции двух плоских кривых, на которые распадается ис-комая линия пересечения:

плоские кривые проецируются в отрезки прямых линий на ту проекцию предмета, которая расположена па плоскости проекций, параллельной обшей плоскости симметрии поверхностей;

-точки пересечения очерков поверхностей на этой проекции принадлежат искомой линии пересечения и через эти точки проходят прямые, в которые проецируются плоские кривые пресечения;

прямые, как проекции плоских кривых, пересекаются в точке, с которой совпадают проекции двух точек соприкосновения поверхностей и соответственно проекция прямой соединяющей эти точки соприкосновения (точки касания).

!!! Точки касания (соприкосновения) поверхностей и определяются на пересечении проекций окружностей касания вписанной сферы с каждой из поверхностей.

На рис. 4.102 показан пример построения проекций линии пересечения поверхностей вращения второго порядка — прямого кругового конуса и наклонного круговою цилиндра, описанных вокруг обшей сферы. Для решения задачи использована теорема Г. Монжа, поскольку здесь соблюдены все четыре обязательные условия ее применения:

  1. Пересекаются прямой круговой конус и круговой наклонный цилиндр, т.е. поверхности вращения второго порядка.
  2. Оси конуса и цилиндра пересекаются в точке .
  1. Обе поверхности описаны вокруг обшей для них сферы с центром в точке .
  2. Общая плоскость симметрии поверхностен является фронтальной плоскостью уровня .

Построение проекций линии пересечения поверхностей по теореме Г. Монжа выполняется по следующему графическому алгоритму:

1-е действие. Определить проекцию предмета, на которую плоские кривые проецируются в отрезки прямых линий: в данной задаче это фронтальная проекция, так как общая плоскость симметрии параллельна фронтальной плоскости проекций .

2-е действие. Построить фронтальные совпадающие проекции точек соприкосновения заданных поверхностей, лежащих на пересечении проекций окружностей касания вписанной сферы с каждой из поверхностей (прямые линии -проекций этих окружностей касания — строятся как линии пересечения соосных поверхностей, так как вписанная сфера образует две пары соосных поверхностей -конус/сфера с обшей осью и цилиндр/сфера с общей осью . Па чертеже проекции этих окружное!ей касания проходят через точки, полученные на пересечении перпендикуляров, проведенных из точки — центра вписанной сферы — к образующим конуса (окружность касания 1) и цилиндра (окружность касания 2).

3-е действие. Отметить на фронтальной проекции точки и пересечения очерков поверхностей и построить фронтальные проекции плоских кривых пересечения 2-го порядка, соединив прямыми линиями и противоположные точки пересечения очерков (обе прямые обязательно должны пройти через построенные проекции точек соприкосновения поверхностен ;

4-е действие Построить горизонтальные проекции двух плоских кривых пересечения — эллипсов, по горизонтальным проекциях обозначенных точек и построенных по принадлежности поверхности конуса; обозначить и построить точки и , которые лежат на очерковых образующих горизонтальной проекции цилиндра и определяют границу видимости кривых на горизонтальной проекции предмета, а также отметить и построить необходимое количество промежуточных точек (здесь не обозначены).

5-е действие. Оформить фронтальный и горизонтальный очерки пресекающихся поверхностей.

!!! Построение точек соприкосновения поверхностей особенно важно в задачах, где по условию нельзя определить одну из четырех точек пересечения очерков поверхностей. Совпадающие проекции точек соприкосновения в этом случае определят направление одной из двух прямых линий — проекций плоских кривых пересечения.

Общие случаи пересечения поверхностей и способы построения линий пересечения поверхностей

Ко второй рассматриваемой группе относятся общие случаи пересечения геометрических тел, боковые поверхности которых могут занимать относительно плоскостей проекций непроецирующее положение (это наклонные призмы и цилиндры), а также геометрические тела, поверхности которых непроецирующие — это конус, сфера, торы, глобоид, эллипсоид, параболоид и гиперболоиды. Сюда же относятся наклонный эллиптический цилиндр, имеющий круговые сечения, и наклонный круговой конус.

Для построения линий пересечения поверхностей в этом случае применяются специальные способы вспомогательных посредников — плоскостей уровня или поверхностей (сфер, цилиндров, конусов), из которых мы рассматриваем следующие:

1) способ вспомогательных секущих плоскостей уровня;

2) способ вспомогательных концентрических сфер;

3) способ вспомогательных эксцентрических сфер.

11рименение одного из указанных способов для построения линий пересечения поверхностей геометрических тел возможно при наличии некоторых обя-затсльных графических условий расположения геометрических тел относительно плоскостей проекций и зависит от того, какие именно геометрические тела пересекаются в конкретной задаче.

Линия пересечения поверхностей является общей для обеих поверхностей и образуется множеством общих точек, которые строятся с помощью вспомогательных посредников.

Предварительно требуется выполнить графический анализ условия задачи для выбора рационального способа ее решения, определить проекцию предмета, на которой следует начинать решение задачи, и фаницы введения посредников.

Для построения проекций точек, принадлежащих линии пересечения поверхностей. способом посредников следует применять общий для всех рассматриваемых способов графический алгоритм.

Графический алгоритм I:

1-е действие. Ввести вспомогательную плоскость- или поверхность-посредник.

2-е (к’жтвие. Построить вспомогательные линии пересечения плоскости- или поверхности-посредника с каждой из заданных поверхностей.

3-е действие. Определить точки пересечения построенных вспомогательных линий пересечения — эти точки принадлежат искомой линии пересечения.

Рассмотрим на примерах применение различных способов вспомогательных посредников для построения проекций линий пересечения поверхностей.

Способ вспомогательных секущих плоскостей уровня

Применение способа вспомогательных секущих плоскостей рационально при н&тичии двух графических условий:

  1. Общая плоскость симметрии пересекающихся геометрических тел является плоскостью уровня; при соблюдении этого условия точки пересечения очерков поверхностей принадлежат искомой линии пересечения и определяют верхнюю и нижнюю границу введения плоскостей-посредников на соответствующей проекции предмета.
  2. Сечениями геометрических тел в одной из плоскостей уровня должны быть простые в построении линии пересечения — прямые линии (образующие) или окружности; эту плоскость уровня и следует выбрать в качестве посредника.

На рис. 4.103 показан пример построения проекций линии пересечения прямого конуса и половины тара.

Для решения задачи требуется предварительно выполнить графический анализ заданных проекций предмета.

Выбираем для решения задачи способ вспомогательных секущих плоскостей, так как здесь соблюдены два графических условия его применения:

  • общая плоскость симметрии геометрических тел — конуса и полушара — является фронтальной плоскостью уровня (первое условие применения);
  • горизонтальные плоскости уровня, которые пересекают поверхности конуса и полушара но окружностям, выбираем в качестве вспомогательных плоскостей-посредников (второе условие применения).

Решение задачи, т.е. введение плоскостей-посредников, начинаем

на фронтальной проекции предмета, так как общая плоскость симметрии геометрических тел является фронтальной плоскостью уровня.

Определяем границы введения плоскостей-посредников — это точка пересечения фронтальных очерков и точки пересечения окружностей оснований конуса и полушара, лежащие в горизонтальной плоскости уровня

Построить проекции точек искомой линии пересечения, выполнив действия предложенного графического алгоритма 1:

1-е действие. Ввести на фронтальной проекции предмета первую вспомогательную секущую горизонтальную плоскость-посредник произвольно и ниже точки .

2-е действие. Построить на горизонтальной проекции предмета вспомогательные окружности радиусами и но которым секущая плоскость-посредник пересекает поверхности конуса и шара.

3-е действие. Определить на пересечении построенных вспомогательных окружностей горизонтальные проекции точек , принадлежащих линии пересечения; фронтальные совпадающие проекции этих точек определяются полиции связи на фронтальной проекции плоскости-посредника .

Повторить действия основного графического алгоритма, введя вторую плоскость-посредник , и построить проекции точек и т. д.

Дополнительные действия:

4-е действие Соединить проекции построенных точек на фронтальной и горизонтальной проекциях предмета плавными кривыми линиями с учетом их видимости на проекциях: на фронтальную проекцию предмета пространственная кривая пересечения проецируется в видимую плоскую кривую второго порядка (участок параболы), поскольку горизонтальная проекция предмета имеет фронтальную симметрию: на горизонтальную проекцию предмета — в участок видимой кривой 4-го порядка сложной формы.

5-е действие. Оформить очерки поверхностей на заданных проекциях предмета с учетом их относительной видимости:

  • на фронтальной проекции — очерк конуса существует влево от точки . а очерк шара — вправо от точки (несуществующие очерки конуса и шара оставить тонкими линиями),
  • на горизонтальной проекции — окружность основания конуса существует влево от точек а окружность основания шара существует вправо от точек (несуществующие части окружностей оснований конуса и шара оставить тонкими линиями).

!!! Способ вспомогательных секущих плоскостей позволяет строить одновременно две проекции искомой линии пересечения.

Основанием для применения сферы в качестве вспомогательной поверхности-посредника являются две ее характерные особенности:

  • в сфере можно провести через ее центр бесконечное количество осей;

сфера может быть соосна любой поверхности вращения (кроме открытого и закрытого тора); соосные поверхности пересекаются по окружностям, проекции которых легко построить (см. рис. 4.100 и 4.101).

Сфера-посредник образует две пары соосных поверхностей с каждой из заданных поверхностей. Каждая образованная пара соосных поверхностей пересекается по соответствующим окружностям, которые проецируются в прямые, перпендикулярные общей оси каждой пары, и проходят через точки пересечения очерков каждой пары соосных поверхностей.

Применение способа вспомогательных концентрических сфер для построе-ния линии пересечения поверхностей возможно при наличии трёх следующих графических условий:

  1. Пересекаются поверхности вращения (кроме открытого и закрытого тора).
  2. Общая плоскость симметрии пересекающихся поверхностей является плоскостью уровня; при этом условии точки пересечения очерков на проекции предмета, изображенного на параллельной общей плоскости симметрии плоскости проекций, принадлежат искомой линии пересечения.
  3. Оси поверхностей пересекаются; точка пересечения осей является центром всех вспомогательных сфер.

Па рис. 4.104 показан пример построения проекций линии пересечения усеченного конуса и тороида (самопсрссскающийся тор).

Рассмотренный способ вспомогательных секущих плоскостей здесь применять не следует, так как ни одна плоскость уровня не пересекает поверхности одновременно по окружностям (одно из условия применения).

Для решения задачи требуется предварительно выполнить графический анализ заданных проекций предмета.

Выбираем для решения задачи способ вспомогательных концентрических сфер, так как здесь соблюдены три графических условия его применения:

  • пересекаются поверхности вращения — прямой круговой конус и тороид (самопересекающийся тор);

-общая плоскость симметрии геометрических тел является фронтальной плоскостью уровня;

  • оси поверхностей пересекаются в точке — центр всех вспомогательных сфер.

Решение задачи, т.е. введение вспомогательных сфер-посредников, начинаем на фронтальной проекции предмета, гак как общая плоскость симметрии является фронтальной плоскостью уровня и точки и пересечения фронтальных очерков принадлежа! линии пересечения.

Определяем границы введения сфер — это точки и пересечения фронтальных очерков пересекающихся геометрических тел.

Построить проекции точек линии пересечения, выполнив действия предложенного графического алгоритма I.

1-е действие. Ввести на фронтальной проекции вспомогательную сферу-посредник минимального радиуса , с центром в точке , вписанную в тороид (минимальная сфера-посредник должна в одну из поверхностей вписываться, а с другой поверхностью — пересекаться).

2-е действие. Построить проекции вспомогательных окружностей пересечения двух пар соосных поверхностей, образованных сферой-посредником с каждой заданной поверхностью

  • первая пара соосных поверхностей — сфера-посредник и тороид имеют горизонтальную общую ось и пересекаются по окружности касания которая проецируется в прямую линию (совпадает с осью конуса);
  • вторая пара соосных поверхностей — сфера-посредник и конус имеют вертикальную общую ось вращения и пересекается по двум вспомогательным окружностям которые проецируются в прямые линии.

3-е действие. Определить точки пересечения построенных проекций вспомогательных окружностей и которые принадлежат искомым линиям пересечения (по две пары совпадающих точек).

!!! Здесь имеет место случай полною проницания (Н-й случай) и линия пересечения распадается на две замкнутые кривые.

Дополнительные действия:

4-е действие. Повторить действия основного графического алгоритма, введя вспомогательные сферы большего радиуса и с тем же центром в точке , и построить следующие пары точек и .

Достроить горизонтальные проекции построенных точек линии пересечения по принадлежности параллелям конуса.

  1. Соединить проекции построенных точек на фронтальной и горизонтальной проекциях предмета плавными кривыми линиями с учетом их видимости па проекциях (только линия пересечения будет невидимой на горизонтальной проекции предмета)

5-е действие. Оформить очерки поверхностей на заданных проекциях предмета с учетом их относительной видимости способ вспомогательных эксцентрических сфер

Наименование способа говорит о том, что вспомогательные сферы имеют разные центры, которые и нужно определять в процессе построения проекций линии пересечения поверхностей.

Способ вспомогательных эксцентрических сфер для построения линии пересечения поверхностей возможно применять при наличии трех следующих графических условий:

Пересекаются:

  • поверхности вращения 4-го порядка, т.е. торовые поверхности — открытый или закрытый тор;
  • поверхности эллиптических цилиндра и конуса, имеющие круговые сечения.
  1. Общая плоскость симметрии поверхностей является плоскостью уровня.
  2. Оси поверхностей пересекаются или скрещиваются.

Поскольку в этом способе центр каждой вспомогательной сферы нужно определять графическими построениями, первое действие графического алго-ритма для построения проекций точек линии пересечения дополняется пост-роением центра каждой вспомогательной сферы.

Порядок графических действий для построения линий пересечения спосо-бом вспомогательных эксцентрических сфер показан на двух примерах.

На рис. 4.105 показан пример построения проекции линии пересечения профильно-проецирующего цилиндра с поверхностью четвертой части открытого тора Задача решается способом вспомогательных эксцентрических сфер, так как здесь соблюдены три необходимых условия для применения этого способа:

  • одна из пересекающихся поверхностей открытый тор, имеющий круговые сечения во фронтально-проецирующих плоскостях, проходящих через его ось вращения
  • общая плоскость симметрии поверхностей — фронтальная плоскость уровня (подразумевается), поэтому точка пересечения фронтальных очерков принадлежит искомой линии пересечения; оси поверхностей и скрещиваются.

Построение проекций точек линии пересечения поверхностей выполняется на заданной фронтальной проекции предмета по предлагаемому графическому алгоритму II.

Графический алгоритм II:

1-е действие. Ввести вспомогательную сферу, выполнив предварительно следующие графические действия:

  1. Задать произвольное круговое сечение поверхности тора фронтально-проецирующей плоскостью проходящей через его ось окружность , (ее проекция — прямая линия ) это заданная ЛИНИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ТОРА С ИСКОМОЙ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ СФЕРОЙ, центр которой должен лежать на перпендикуляре к проекции этой окружности прямой (хорда окружности, в которую проецируется вспомогательная сфера).
  2. Провести к прямой через се середину перпендикуляр и на его пересечении с осью цилиндра определить центр первой вспомогательной сферы -точку .
  3. Провести окружность — проекцию вспомогательной сферы-посредника — с центром в точке , радиус которой определяется расстоянием от точки до одной из крайних точек или прямой .

2-е действие. Построить проекцию окружности пересечения построенной сферы-посредника с поверхностью соосного ей цилиндра — это прямая , проходящая через точки и пересечения очерков цилиндра и сферы-посредника.

3-е действие. Определить на пересечении построенных проекций заданной окружности и построенной окружности совпадающие точки , принадлежащие искомой линии пересечения заданных поверхностей.

Дополнительные действия:

4-е действие. Повторить действия графического алгоритма и построить достаточное количество точек линии пересечения. В данном примере дополнительными сечениями вспомогательных плоскостей и и вспомогательными сферами и с центрами и построены точки 2 и 3, принадлежащие линии пересечения. Причем в плоскости окружности сечений совпадают и совпадающие точки 3 делят существование этих окружностей на две половины — верхняя часть принадлежит цилиндру, а нижняя — тору.

5-е действие. На фронтальной проекции соединить плавной видимой кривой точки линии пересечения

6-е действие. Оформить очерки поверхностей на заданной проекции.

Па рис. 4.106 показан пример построения линии пересечения наклонного кругового цилиндра с осью и наклонного эллиптического цилиндра с осью , у которого есть круговые сечения в горизонтальных плоскостях уровня.

Выполнить графический анализ условия и исключить нерациональный способ решения задачи.

Рассмотренный способ вспомогательных секущих плоскостей применять не следует, так как на заданной фронтальной проекции ни одна плоскость уровня не

пересекает поверхности одновременно по окружностям или образующим (одно из условий применения).

Рассмотренный способ вспомогательных концентрических сфер применять нельзя, так как проведенные сферы с центром в точке пересечения осей образуют соосные нары только с одной заданной поверхностью (одно из условий применения).

Выбираем для решения задачи способ вспомогательных эксцентрических сфер, так как здесь соблюдены три условия его применения:

пересекаются наклонный круговой цилиндр и эллиптический цилиндр (поверхность не вращения);

  • общая плоскость симметрии поверхностей является фронтальной плоскостью уровня (подразумевается);
  • оси поверхностей и пересекаются

Решение задачи, т.е введение сечений цилиндра (параллельных заданному) горизонтальными плоскостями уровня а начинаем на фронтальной проекции предмета, так как общая плоскость симметрии является фронтальной плоскостью уровня и точки и пересечения фронтальных очерков принадлежат линии пересечения.

Определяем границы введения сечений цилиндра — это точки и пересечения фронтальных очерков пересекающихся геометрических тел.

Построить проекции точек линии пересечения поверхностей, выполнив действия предложенного графического алгоритма II.

Графический алгоритм II:

1-е действие. Ввести вспомогательную сферу, выполнив предварительные графические действия.

Задать произвольное круговое сечение эллиптического цилиндра горизонтальной плоскостью — прямую . Эта заданная линия — окружность пересечения эллиптического цилиндра с искомой вспомогательной сферой, центр которой лежит на перпендикуляре, проведенном из середины этой прямой

  1. Провести к прямой через се середину перпендикуляр и на пересечении с осью кругового цилиндра определить точку — центр первой вспомогательной сферы-посредника.
  1. Провести окружность сферы-посредника радиусом который определяется расстоянием от точки до одной из точек или прямой

2-е действие. Построить проекцию окружности пересечения сферы-посредника с соосной ей поверхностью кругового цилиндра — это прямая , проходящая через точки пересечения очерков сферы и цилиндра

3-е действие. Определить на пересечении заданной окружности и построенной окружности совпадающие точки принадлежащие искомой линии пересечения

.Дополнительные действия:

4-е действие. Повторить действия графического алгоритма II и построить проекции точек .

5-е действие. На фронтальной проекции соединить плавной видимой кривой точки линии пересечения.

6-е действие. Оформить очерки поверхностей на заданной проекции.

Образец выполнения листа 9 с задачами 15 и 16 показан па рис. 4.107, а и б.

Задачи выполнять на формате A3 белой чертежной бумаги. Графические условия вариантов задачи 15 и 16 даны соответственно в табл. 4.10 и 4.11.

Задача №15.

Построить проекции линии пересечения поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей на заданных проекциях. Задачу выполнить на левой половине поля чертежа.

В задаче 15 комбинированное тело образовано пересечением прямого кругового конуса и торой да.

Выбираем для решения задачи первый рассмотренный способ вспомогательных секущих плоское гей, гак как здесь соблюдены два условия ei о применения:

  • общая плоскость симметрии является фронтальной плоскостью уровня;
  • горизонтальные плоскости уровня , которые пересекают поверхность конуса и тороида но окружностям, выбираем в качестве вспомогательных плоскостей-посредников.

Решение задачи, т.е. введение плоскостей-посредников, начинаем на фронтальной проекции предмета, так как общая плоскость симметрии является фронтальной плоскостью уровня.

Определяем границы введения вспомогательных плоскостей-посредников — это точка пересечения фронтальных очерков и точки пересечения окружностей в горизонтальной плоскости уровня , проходящей через основание тороида.

План графических действий для решения задачи соответствует предложенному графическому алгоритму I (см. рис. 4.103):

1-е действие. Ввести на фронтальной проекции предмета первую горизонтальную плоскость-посредник (произвольно и ниже точки ).

2-е действие. Построить на горизонтальной проекции вспомогательные окружности радиусами , и пересечения первой вспомогательной плоскости-посредника с каждой заданной поверхностью.

3-е. действие. Определить на пересечении построенных вспомогательных окружностей две горизонтальные проекции точек (отмечены с одной стороны), принадлежащих искомой линии пересечения Фронтальные проекции точек строятся по линии связи на фронтальной проекции плоскости-посредника .

Дополнительные действия:

4-е действие. Повторить действия графического алгоритма и построить проекции точек 2 и 3 линии пересечения.

5-е действие. На заданных проекциях соединить плавными кривыми линиями построенные проекции точек линии пересечения с учетом их видимости на поверхностях геометрических гел.

6-е действие. Оформить на проекциях очерки поверхностей (оставить тонкими сплошными линиями несуществующие очерки поверхностей и линии построения).

Задача №16.

Построить проекции линии пересечения поверхностей способом вспомогательных концентрических или эксцентрических сфер на заданных проекциях. Задачу выполнить на правой половине поля чертежа.

В задаче 16 комбинированное тело образовано пересечением шара и кругового усеченного конуса с горизонтальной осью .

Выполнив графический анализ условия задачи, определяем, что рассмотренный способ вспомогательных секущих плоскостей применять не следует, так как на заданных проекциях нельзя провести плоскости уровня, пересекающие по окружностям обе заданные поверхности.

Выбираем для решения задачи второй рассмотренный способ вспомогательных секущих плоскостей, так как здесь соблюдены три условия его применения:

  • пересекаются поверхности вращения;
  • общая плоскость симметрии является фронтальной плоскостью уровня;

-оси поверхностей пересекаются и центр вспомогательных сфер — точка — лежит на пересечении горизонтальной оси конуса и вертикальной оси шара .

Решение задачи, т.е. введение сфер-посредников, начинаем на фронтальной проекции предмета, так как общая плоскость симметрии является плоскостью уровня.

Определяем границы введения сфер-посредников — это точки и пересечения фронтальных очерков.

План графических действий для решения задачи соответствует предложенному графическому алгоритму I (см. рис. 4.104):

1-е действие. Ввести первую вспомогательную минимальную сферу радиусом с центром в точке , вписанную в коническую поверхность.

2-е действие. Построить проекции окружностей (прямые), по которым сфера-посредник пересекается с конусом и шаром:

  • первая пара соосных поверхностей — конус и вписанная вспомогательная сфера пересекаются по окружности касания — окр. 1к касательная;
  • вторая пара соосных поверхностей — заданная сфера и вспомогательная сфера пересекаются по окружности — окр. 1ш.

3-е действие. Определить на пересечении построенных вспомогательных проекций окружностей совпадающие точки , принадлежащие искомой линии пересечения

Дополнительные действия:

4-е действие. Повторить действия основного графического алгоритма, введя вспомогательные концентрические сферы радиусами и с тем же центром . и построить точки и , принадлежащие линии пересечения.

При выборе радиусов ВТОРОЙ и ТРЕТЬЕЙ вспомогательных концентрических сфер нужно учесть графическое условие данной задачи:

  • радиус второй вспомогательной сферы выбран так, чтобы были построены точки искомой линии пересечения, лежащие на характерных для горизонтальной проекции образующих конуса , фронтальные проекции которых совпадают с осью конуса , т.е. радиус второй сферы должен быть равен расстоянию от точки до точки которая лежит на пересечении оси конуса с очерком заданного шара (главного фронтального меридиана).
  • радиус третьей вспомогательной сферы выбран гак, чтобы были построены точки искомой линии пересечения, лежащие на экваторе шара , фронтальная проекция которого совпадает с горизонтальной осью шара , т.е. радиус третьей сферы должен быть равен расстоянию от точки до точки , которая лежит на пересечении экватора шара с его фронтальным очерком.

Достроить горизонтальные проекции точек и линии пересечения:

  • точки — по принадлежности параллели шара (окр. 1 ш);
  • точки — но принадлежности очерковым образующим конуса ,
  • точки — по принадлежности экватору шара .
  1. Соединить плавными кривыми линиями фронтальные и горизонтальные проекции построенных точек линии пересечения с учетом их видимое!и на проекциях геометрических тел — невидимыми будут участки пространственной кривой 4-го порядка на горизонтальной проекции.

5-е действие: Оформи ть очерки поверхностей на заданных проекциях с уче-том их относительной видимое! и (оставить тонкими линиями несуществующие очерки геометрических тел и линии построения).

Краткое изложение материала начертательной геометрии к задаче 17:

Развертки поверхностей. Общие сведения

Разверткой называется плоская фшура, в которую преобразуется поверхность предмета при ее совмещении с плоскостью. При этом подразумевается, что поверхность — это гибкая, но нерастяжимая и несжимаемая пленка и при ее разверт ке не происходит разрывов и образования складок.

Поверхности, которые допускают такое преобразование, называклся развертывают и м и с я .

К развертывающимся поверхностям относятся mhoioi ранники, некоторые линейчатые поверхности — цилиндрические, конические и поверхности с ребром возврата (торсы — развертка торсов не рассматривается).

Развертки можно построить точные и приближенные.

Точные развертки можно строить для гранных поверхностей призмы и пирамиды (не считая графических погрешностей построения), для круговых цилиндров (развертка — прямоугольник с размерами и круговых конусов (круговой сектор с углом , где — радиус основания конуса; — длина его образующей).

Развертки, которые можно построить графически, заменяя (аппроксимируя) заданные поверхности участками развертывающихся призматических, пирамидальных или цилиндрических поверхностей, называются приближенными. К поверхностям, развертку которых можно построить приближенно, относятся круговые наклонные конуса, эллиптические цилиндры с круговыми сечениями, сферические, торовыс, а также комбинированные поверхности, участки которых состоят из развертывающихся поверхностей.

Каждой точке на поверхности соответствует единственная точка на развертке, т.е. между поверхностью и ее разверткой существует взаимно однозначное соответствие, которое обладает следующими основными свойствами:

а) длины соответствующих линий на поверхности и на развертке равны;

б) линии, параллельные на поверхности, сохраняют параллельность на развертке,

в) углы между соответствующими пересекающимися линиями на поверхности и на развертке равны.

г) площади соответствующих фигур на поверхности и на развертке, ограниченные замкнутыми линиями, равны.

Развертки многогранников

Построение развертки многогранников сводится к определению натуральных величин боковых граней или ребер этих поверхностей Натуральные величины граней (плоскостей) или ребер (прямых) могут быть определены любым из рассмотренных выше способов преобразования чертежа (см тему «I Треобразование чертежа»).

Развертки поверхности призмы

Построение развертки поверхности призмы можно выполнить несколькими способами:

1 Способ нормального сечения.

2 раскатки.

3 Способ треугольников (триангуляции) — здесь не рассматривается

Рассмотрим на примерах построение развертки поверхности призмы первыми двумя способами

1-й способ.

Способ нормального сечения (нормальное сечение перпендикулярно ребрам призмы).

Этот способ развертки боковой поверхности призмы можно применить, если на чертеже:

  • ребра призмы являются прямыми уровня, т.е. имеют на одной из заданных проекций натуральную величину,
  • на проекциях нет натуральных величин оснований призмы.

!!! Если на чертеже ребра призмы являются прямыми общею положения, то следует изменить положение призмы относительно плоскостей проекций, преобразовав ребра в прямые уровня, например, способом замены плоскостей проекций.

Построение развертки боковой поверхности призмы способом нормального сечения выполняется по следующему графическому алгоритму:

1-е действие. На проекции призмы, на которую ребра призмы проецируются в натуральную величину, провести плоскость НОРМАЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ, перпендикулярную ее ребрам (в произвольном месте по длине ребер).

2-е действие. Построить натуральную величину многоугольника нормального сечения (например, способом замены плоскостей проекций).

3-е действие. Развернуть на свободном поле чертежа натуральный многоугольник сечения в прямую и через точки его вершин провести перпендикулярные прямые — направления ребер.

4-е действие. Отложить на направлениях ребер в обе стороны от линии нормального сечения натуральные отрезки соответствующих ребер.

5-е действие Соединить построенные конечные точки ребер отрезками прямых и достроить плоскую фигуру развертки боковой поверхности призмы.

6-е действие Оформить чертеж развертки, проведя тонкими штрих пунктирными линиями с двумя короткими пунктирами линии сгиба в местах расположения ребер

На рис. 4.108 показан пример построения развертки поверхности треугольной призмы способом нормального сечения, так как на чертеже призмы ее ребра являются горизонтальными прямыми уровня, а основания — плоскостями общего положения, т.е. не имеют натуральной величины.

Поверхность призмы «разрезана» по ребру и развернута по часовой стрелке.

Для построения развертки выполнены фактические действия предложенною алгоритма.

1-е действие. Провести горизонтально-проецирующую плоскость нормального сечения перпендикулярно горизонтальным проекциям ребер призмы (произвольно по длине ребер).

2-е действие. Способом замены плоскостей проекций построить натуральную величину нормального сечения треугольник , стороны которого определяют ширину каждой грани призмы.

3-е действие. На свободном поле чертежа треугольник нормального сечения развернуть в горизонтальную линию и отметить натуральные величины его сторон; из отмеченных на линии сечения точек 1, 2, 3 и 1 провести перпендикулярные прямые — направления ребер.

4-е действие. Отложить на проведенных направлениях ребер вверх и вниз отрезки натуральных величин ребер (см. ребро ), взятых с заданной горизонтальной проекции призмы, где ребра имеют натуральную величину

5-е действие Соединить отрезками прямых построенные конечные точки ребер и достроить плоскую фигуру развертки.

6-е действие. Оформить чертеж развертки, выполнив тонкими штрихпунктирными линиями с двумя короткими штрихами линии сгиба по ребрам призмы.

На рис. 4.108 показано также построение на развертке точки лежащей на грани призмы.

2-й способ. Способ раскатки.

Этот способ разверни применяется, если на чертеже:

  • ребра призмы являются прямыми уровня;
  • основания призмы (или одно из оснований) лежат в плоскости уровня, т.е. имеют на чертеже натуральную величину.

Суть способа в том, что «разрезав» поверхность призмы по одному из ее ребер, вращением призмы (раскаткой) вокруг этого ребра ближайшая грань призмы совмещается с плоскостью развертки (за плоскость развертки принимается плоскость проекций, которой параллельны ребра призмы). Затем последовательным вращением призмы вокруг следующих ребер с плоскостью развертки совмещаются все прочие грани призмы, т.е. выполняется полная раскатка ее боковой поверхности.

На рис. 4.109 показан пример построения развертки способом раскатки, так как на чертеже ребра призмы являются фронтальными прямыми, а оба основания лежат в горизонтальных плоскостях уровня и на горизонтальной проекции призмы имеют натуральную величину. За плоскость развертки принята фронтальная плоскость проекций, так как ребра призмы фронтальные прямые.

Построение развертки способом раскатки выполняется по следующему графическому алгоритму:

1-е действие. «Разрезать» поверхность призмы по очерковому ребру и повернуть вокруг этого ребра грань призмы до совмещения с плоскостью развертки, построив ребро ; чтобы построить на развертке это ребро, нужно провести из вершин оснований и перпендикуляры к ребру и на пересечении этих перпендикуляров с дугой-засечкой, равной стороне основания построить точки и , определяющие положение ребра на развертке (ребро параллельно ребру ).

2-е действие. Повторись последовательное вращение каждой грани вокруг следующее ребра и совместить каждую грань с плоскостью развертки, построив конечные точки каждого ребра с помощью дуг-засечек, равных следующим сторонам основания и .

3-е действие. Соединить построенные конечные точки ребер отрезками прямых и достроить плоскую фигуру развертки (достроено также одно основание призмы).

4-е действие. Оформить чертеж развертки, выполнив гонкими

штрихпункт ирными линиями с двумя короткими пунктирами линии сгиба по ребрам.

На этом же рисунке показано построение па развертке точки , лежащей на грани призмы.

Развертка поверхности пирамиды

Построение развертки боковой поверхности пирамиды по натуральным величинам се ребер выполняется по следующему графическому алгоритму:

J-с действие. Построить на заданных проекциях пирамиды натуральные величины всех ее боковых ребер (например, способом вращения вокруг проецирующей прямой) и натуральные величины сторон многоугольника основания пирамиды (если основание лежит в плоскости уровня, то натуральные величины даны на одной из проекций).

2-е действие. Построить на свободном поле чертежа последовательно грани пирамиды по натуральным величинам ребер и натуральным величинам сторон основания (с помощью дуг-засечек) гак. чтобы они имели общую вершину и примыкали друг к другу.

3-е действие. Оформить чертеж разверти выполнив линии сгиба по ребрам пирамиды тонкими илрихиуиктирными линиями.

На рис. -1.110 показан пример построения развертки поверхности правильной треугольной пирамиды, основание которой треугольник , на горизонтальной проекции имеет натуральные величины сторон, так как лежит в горизонтальной плоскости уровня.

Для построения разверни выполнены графические действия предложенною алгоритма.

1-е действие. Построить на заданной фронтальной проекции натуральные величины ребер пирамиды способом вращения вокруг горизонтально-проецирующей оси . проходящей через вершину пирамиды, точку , и совпадающей с ее высотой. Напоминаем графические действия этого способа преобразования:

Повернуть горизонтальные проекции ребер и вокруг оси так, чтобы они расположились параллельно фронтальной плоскости проекций (все ребра правильной пирамиды равны по длине), и получить совмещенные проекции точек .

  1. Па фронтальной проекции пирамиды конечные точки и ребер перемещаются по горизонтальной линии, перпендикулярной оси , и на пересечении с линией связи от точек построить точки
  2. Соединить вершину пирамиды с совпадающими точками -полученный отрезок и есть натуральная величина всех ребер пирамиды.

2-е действие. На свободном ноле чертежа построил» последовательно (например, против часовой стрелки) от ребра . по которому «разрезается» поверхность, треугольники граней пирамиды с обшей вершиной следующим образом:

  1. Провести дугу радиусом , равным натуральной величине ребер пирамиды из произвольной точки плоскости чертежа
  1. На дуге отмстить (произвольно) вершину основания, точку , т.е. построить ребро пирамиды.
  2. На проведенной дуге засечками, равными длине сторон основания пирамиды отметить следующие точки вершин основания — — и точку .
  3. Построить треугольники граней пирамиды, соединив вершину с вершинами основания, и достроить основание пирамиды к стороне, например, грани

3-е действие. Оформить чертеж развертки, выполнив гонкими штрихпунктирными линиями с двумя короткими пунктирами линии сгиба по ребрам пирамиды.

Геодезическая линия

Геодезическая линия — это линия кратчайшего расстояния между двумя точками на поверхности. На развертке этой линии соответствует прямая. Геодезическая линия строится на развертке по двум ее конечным точкам, заданным на проекциях предмета, а затем достраивается на заданных проекциях по дополнительным промежуточным точкам, взятым на построенной развертке.

На рис. 4.110 показано построение проекций геодезической линии на поверхности пирамиды но двум заданным на проекциях конечным точкам и .

11орядок графических действий для построения геодезической линии:

1-е действие. Построить полную развертку поверхности (в данном примере развертка пирамиды уже построена).

2-е действие. 11остроить на развертке геодезическую линию.

Построить на развертке заданные точки и .

  • точка определяется на развертке на пересечении вспомогательной линии , проведенной параллельно стороне основания на расстоянии , равном отрезку , взятому на построенной натуральной величине ребер и отложенному по ребру развёртки, и линии, проведенной через точку и точку 1, построенную на стороне развертки по отрезку , взятому на горизонтальной проекции стороны основания;
  • точка определяется на пересечении аналогично построенных линий и .
  • Соединить построенные на развертке точки геодезической линией , которая пересекает ребро в точке .

3-е действие. Достроить фронтальную и горизонтальную проекции геодезической линии на проекциях пирамиды по промежуточной точке с учетом видимости линии на поверхности (на проекциях пирамиды проекции геодезической линии — ломаные линии):

Отрезок , взятый на развертке (отмечен скобкой), отложить на натуральной величине ребер, построенных на фронтальной проекции, и определить положение точки .

  1. Провести через точку линию, параллельную основанию пирамиды, и на пересечении с проекцией ребра построить фронтальную проекцию точки геодезической линии.
  2. Достроить горизонтальную проекцию точки по вспомогательной точке , лежащей на ребре .
  3. На проекциях пирамиды соединить заданные проекции точек и с построенной точкой , определив видимость участков ломаной геодезической линии.

На рис. 4.111 показан пример построения развертки неправильной треугольной пирамиды и геодезической линии на развертке и на проекциях пирамиды но заданным конечным точкам и . Основание пирамиды лежит в горизонтальной плоскости, и на горизонтальной проекции пирамиды стороны основания имеют натуральную величину.

Построение развертки поверхности пирамиды выполнено по приведенному выше алгоритму с дополнительными графическими действиями по построению геодезической линии:

1-е действие. На фронтальной проекции пирамиды способом вращения вокруг горизонтально-проецирующей оси , проходящей через вершину пирамиды , построить натуральные величины всех ребер пирамиды и вспомогательной линий . проведенной на грани пирамиды через заданную точку , и определить проекцию точки на натуральной величине вспомогательной линии : вспомогательная линия , проведенная через точку , является фронтальной , и проекция есть ее натуральная величина, которую можно использовать для построения точки на развертке.

2-е действие. Построить на свободном поле чертежа последовательно от ребра по часовой стрелке треугольники граней пирамиды с общей вершиной по натуральным величинам ее ребер и сторон основания дугами-засечками соответствующей величины и достроить основание пирамиды к стороне .

3-е действие. Оформить чертеж развертки, проведя линии сгиба.

4-е действие. Построить геодезическую линию на развертке и заданных проекциях пирамиды.

  1. Построить на развертке конечные точки и на вспомогательных линиях и но натуральным величинам отрезков и и соединить эти точки прямой геодезической линией , которая пересекает ребро в точке .
  2. Достроить фронтальную и горизонтальную проекции ломаной геодезической линии на проекциях пирамиды с учетом ее видимости, определив проекции точки на ребре по ее положению на развертке (по отрезку ).

Развертка цилиндрической и конической поверхностей

Развертки цилиндрических и конических поверхностей выполняются аналогично разверткам призматических и пирамидальных поверхностей При этом цилиндрическая поверхность заменяется (аппроксимируется) вписанной многоугольной призматической поверхностью (обычно 12-угольной), а коническая поверхность заменяется вписанной многоугольной пирамидальной поверхно-стью, т.е. строятся приближенные развертки.

Развертки прямого кругового цилиндра

Развертку поверхности прямого кругового цилиндра можно выполнять следующими способами:

  • способом нормального сечения на свободном ноле чертежа, если образую-щие являются прямыми уровня, а основания не перпендикулярны образующим;
  • способом раскатки при тех же условиях (развертка является при этом продолжением проекции).

Развертка эллиптического цилиндра (нормальное сечение — эллипс) выполняется способом раскатки, если образующие являются прямыми уровня и на проекциях есть круговое основание (не рассматривается).

Графические алгоритмы для построения разверток поверхности цилиндра этими способами аналогичны вышеприведенным графическим алгоритмам для построения разверток призмы такими же способами.

На рис. 4.112 показан пример построения развертки боковой поверхности прямого кругового цилиндра, наклоненного относительно горизонтальной плоскости проекций и срезанного по одному торцу профильной плоскостью.

Поскольку по условию задачи образующие являются фронтальными прямыми уровня, а нормальным сечением кругового цилиндра является окружность. то здесь для построения развертки можно объединить и способы построения и графические действия алгоритмов.

Развертка выполняется по предлагаемому графическому алгоритму.

1-е действие. Провести на фронтальной проекции цилиндра фронтально-проецирующую плоскость нормального сечения перпендикулярно фронтальным проекциям образующих (в произвольном месте по длине образующих) и построить окружность нормального сечения, повернув плоскость этой окружности вокруг линии сечения.

Окружность нормального сечения разделить на двенадцать частей и точки деления пронумеровать от точки на очерковой образующей т.е. цилиндр заменить (аппроксимировать) двенадцатиугольной вписанной призмой; из точек деления окружности сечения провести на фронтальной проекции образующие до их пересечения с проекциями оснований.

2-е действие. На продолжении линии нормального сечения отметить двенадцать отрезков — сторон двенадцатиугольника (хорды окружности), которым заменяется окружность сечения, и провести направления ребер (образующих), перпендикулярно линии сечения (линии пронумеровать), то есть выполнить от ребра Поспеловательную раскатку граней призмы, заменившей цилиндр.

3-е действие. Построить конечные точки каждой образующей (ребра) на пересечении образующих с линиями, проведенными перпендикулярно образующим из одноименных точек нижнего основания.

4-е действие. Оформить чертеж развертки боковой поверхности цилиндра, соединив построенные конечные точки образующих плавными кривыми линиями (в примере развертка оборвана из-за недостатка места).

Для построения более точной развертки следует по формуле (I) (см рис. 4 112) вычислить длину развертки и, разделив эту длину на 12 равных частей, провести образующие и далее выполнить 3-е и 4-е действия алгоритма.

Развертка прямого кругового конуса

На рис. 4.113 показан пример построения развертки боковой поверхности прямого кругового конуса со срезом фронтально-проецирующей плоскостью , которая пересекает его поверхность по эллипсу.

Построение развертки боковой поверхности конуса выполняется по вышеприведенному алгоритму, для построения развертки пирамиды с некоторыми дополнениями.

Развертка выполняется по предлагаемому алгоритму:

1-е действие. Заменить прямой круговой конус вписанной правильной 12-угольной пирамидой с ребрами-образующими.

2-е действие. Построить развертку боковой поверхности пирамиды по натуральным величинам ребер (образующих) и сторон основания, выполнив следующие графические действия:

  1. Отметить на свободном поле чертежа точку и провести дугу радиусом равным натуральной величине всех образующих конуса (ребер пирамиды).
  2. Отметить на дуге точку на вертикальной линии симметрии развертки и построить вправо и влево на дуге засечками, равными сторонам-хордам 12-угольника, точки, соответствующие вершинам этого многоугольника;

пронумеровать эти точки и соединить их с вершиной развертки, построив таким образом вспомогательные ребра-образующие (грани пирамиды)

3-е действие. Достроить на развертке линию среза конуса фронтально-проецирующей плоскостью , выполнив следующие графические действия:

  1. На фронтальной проекции конуса перенести горизонтально на натуральную величину образующей точки сечения, отмеченные на вспомогательных образующих, т.е. вращением вокруг оси построить натуральные величины отрезков образующих-ребер сечения.
  2. Отложить на соответствующих образующих развертки натуральные величины отрезков образующих-ребер до точек сечения (отмечены на фронтальной проекции и на развертке фигурными скобками отрезки образующей для точки и образующей для точки ) и соединить построенные точки сечения на развертке плавной кривой линией.

4-е действие. Оформить чертеж развертки, проведя сплошными толстыми линиями контур построенной развертки.

Для построения более точной развертки следует вычислить но формуле (2) (см. рис. 4.113) угол развертки и разделить дугу развертки на 12 равных частей, провести образующие и далее выполнить 3-е и 4-е действии алгоритма.

Образец выполнения листа 10 с задачей 17 показан на рис. 4 114.

Задача 17.

Построить развертку поверхности пирамиды, включая основание и плоскости сечений.

Задачу 17 выполнять на формате A3 белой чертежной бумаги по образцу.

Графическое условие задачи 17 — пирамида (задача 8 из табл. 4.5).

На поле чертежа слева выполнить фронтальную и горизонтальную проекции правильной треугольной пирамиды по заданному графическому условию.

План графических действий решения задачи соответствует ipa-фичееким действиям предложенного алгоритма для развертки пирамиды.

1-е действие. Построить на проекциях пирамиды натуральные величины ребер, плоскостей среза и паза:

  1. Натуральные величины всех ребер определяет фронтальная проекция ребра .
  2. Построить натуральные величины плоскостей среза и сквозного паза способом вращения вокруг проецирующих осей:

плоскость среза повернуть вокруг фронтально-проецирующей оси совпадающей с вырожденной в точку линией пересечения 2-2 плоскости с гранью ;

  • плоскость паза повернуть вокруг фронтально-проецирующей оси , совпадающей с вырожденной в точку линией пересечения плоскости с основанием пирамиды;
  • плоскость повернуть вокруг горизонтально-проецирующей оси , проходящей через точку на стороне основания пирамиды.

2-е действие. На поле чертежа справа построить полную развертку поверхности пирамиды, «разрезав» поверхность пирамиды по ребру

  1. Построить треугольники боковых граней пирамиды, отметив на луге засечками величины сторон основания, и соединить вершины основания и с вершиной (грани развернуты по часовой стрелке).
  2. Достроить на развертке боковой поверхности линии среза и паза, полученные на гранях пирамиды:
  • ломаные линии 3-4-5-6, по которым плоскости паза пересекают две грани и , по натуральным величинам отрезков этих линий, использовав параллельность отрезков:

прямые 1-2, 2-2 и 2-1, по которым плоскость среза пересекает все три грани, по натуральным величинам отрезков ребер и .

  1. К разверт