Задачи по гидромеханике

Кинематика жидкости

Основные сведения из теории, расчетные формулы и методические указания

В данном разделе рассматривается в основном плоское течение, т.е. одинаковое во всех плоскостях, перпендикулярных некоторой оси (поперечное обтекание цилиндрических тел и т.д.). Выбрав эту ось за одну из осей координат (например, за ось ), получаем, что для всего поля течения соответствующая проекция скорости равна нулю

Движение жидкости можно изучать с помощью метода Эйлера, в котором рассматривается изменение совокупности характеристик течения и свойств жидкости в функции от координат точек пространства и времени. Например, поле скорости может быть задано в виде скалярных функций:

По теореме Коши-Гельмгольца движение жидкой частицы можно представить состоящим из трех составляющих: поступательного движения вместе с полюсом, вращения вокруг полюса и деформационного движения. Характеристикой вращательного движения служит угловая скорость

Деформационное движение характеризуется относительными скоростями линейной деформации:

и относительной скоростью деформации сдвига (угловой деформации)

Ускорение частицы в эйлеровых переменных:

Первое слагаемое представляет собой локальное, или местное, ускорение, вызываемое нестационарностью поля скорости. Остальные слагаемые — конвективное или переносное ускорение, вызываемое неоднородностью поля скорости. По формулам (3.2) — (3.5) при известном поле скорости (3.1) можно определить все характеристики движения жидкой частицы, а также найти семейства линий тока и траекторий.

Линией тока называется линия, в каждой точке которой вектор скорости в рассматриваемый момент направлен по касательной. Дифференциальное уравнение семейства линий тока имеет вид

Траекторией частицы называется след ее движения в пространстве (в случае плоских течений в плоскости). В случае установившегося течения, характеристики которого во всех точках пространства не зависят от времени, локальная составляющая ускорения равна нулю а линии тока и траектории совпадают.

Течение жидкости (без разрывов) удовлетворяет уравнению неразрывности, выражающему закон сохранения массы. Это уравнение в дифференциальной форме для несжимаемой жидкости имеет вид

или в важной для практических приложений полярной системе координат

для элементарной трубки тока

где — объемный расход через сечение; — площадь сечения, нормального линиям тока (в случае плоских течений площадь сечения — элемент в плоскости 1- высота сечения вдоль ).

Кинематический анализ потока жидкости с заданным полем скорости (3.1) включает: 1) проверку удовлетворения уравнению неразрывности (3.7) или (3.8);

2) определение характеристик движения жидкой частицы по формулам (3.2) — (3.5);

3) нахождение характерных линий течения (3.6) и их построение.

В случае плоского течения существует функция тока , связанная с проекциями скорости зависимостями:

  • в прямоугольных координатах
  • в полярных координатах

Знание функции тока упрощает и нахождение линий тока, так как уравнение их семейства принимает вид

Функция тока по проекциям скорости может быть определена? согласно (3.10), по формуле

где — координаты точки начала интегрирования. Эта точка выбирается из удобства интегрирования, обычно начало координат (0; 0).

Функцию тока можно определить и следующим образом:

где — постоянная интегрирования, но зависящая от . Для определения следует продифференцировать выражение (3.14) по и использовать второе соотношение (3.10):

Разность значений функции тока в двух точках равна расходу жидкости сквозь цилиндрическую поверхность единичной высоты, проходящую через кривую, соединяющую эти точки:

Если во всех точках течения отсутствует угловая скорость вращения частиц жидкости , то такое течение называется безвихревым или потенциальным. При этом существует потенциал скорости — скалярная функция, связанная с вектором скорости зависимостью . Проекции скорости:

• в декартовых координатах —

• в полярных координатах —

Циркуляция скорости по замкнутому контуру

где — проекция скорости на касательную к контуру; — элемент контура.

При потенциальном течении, в котором потенциал скорости — однозначная функция координат, циркуляция скорости по замкнутому контуру равна нулю.

Во многих реальных вихревых течениях лишь в небольших областях, имеющих вид вихревых шнуров. Вне этих областей поток можно считать потенциальным. Вихревой шнур малых по сравнению с потоком поперечных размеров можно заменить бесконечно тонкой вихревой нитью с интенсивностью I шнура. Согласно теореме Стокса, циркуляция скорости Г по любому контуру, охватывающему вихрь, равна интенсивности вихря:

Элемент вихря интенсивности индуцирует в любой актуальной точке жидкости скорость . Согласно формуле Био-Савара,

где — орт-вектор угловой скорости, определяющий направление касательной элемента вихревой нити; — орт радиус-вектора , проведенного от в актуальную точку.

Для плоской вихревой нити величина индуцированной скорости v для точки в плоскости вихря определяется интегралом по длине вихря:

очевидно, что есть модуль векторного произведения .

Прямой отрезок вихря, направленный по угловой скорости , согласно (3.20) индуцирует скорость

Здесь — расстояние от точки до отрезка; — углы от отрезка до направлений на точку из начала и конца отрезка.

Для исследования плоских потенциальных потоков наиболее эффективен метод, основанный на использовании функций комплексного переменного:

Здесь

Плоское течение полностью описывается характеристической функцией течения (комплексным потенциалом):

действительная часть которой представляет собой потенциал скорости, а коэффициент мнимой части — функцию тока. Если течение неустановившееся то время входит в характеристическую функцию как параметр.

Производная комплексного потенциала по представляет собой комплексную скорость Действительная же скорость в комплексной форме записывается как

Если течение получено сложением нескольких потенциальных потоков, то может быть использован метод наложения: функция тока, и потенциал скорости результирующего течения определяются как сумма функций тока и потенциалов скорости простейших потоков соответственно:

Картину линий тока суммарного течения можно получить графически. Для этого нужно наложить одна на другую сетки линий тока двух составляющих потоков, построенных с одинаковым шагом по расходам:

(рис. 3.1). Линии тока суммарного течения будут диагоналями криволинейных параллелограммов, образованных пересечением этих двух сеток.

При использовании метода наложения большое значение имеют так называемые простейшие плоские потоки, для которых ниже приведены комплексный потенциал потенциал скорости и функция тока — поступательный поток, текущий со скоростью под углом к оси ,

  • источник с расходом , расположенный в начале координат (для стока заменяется на —),
  • источник с расходом , расположенный в точке ,
  • плоский циркуляционный поток — плоский вихрь с циркуляцией Г, расположенный в начале координат,
  • плоский вихрь с циркуляцией Г, расположенный в точке

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет гидромеханика

Задача №1.

Исследовать плоский поток, заданный полем скоростей:

Построить семейство линий тока, найти расход жидкости через отрезок прямой и вычислить циркуляцию скорости по окружности радиусом с центром в точке .

Решение:

1. Убедимся в возможности существования заданного потока, для чего рассмотрим уравнение неразрывности (3.7):

Уравнение неразрывности удовлетворяется, следовательно, существование заданного течения возможно. Поскольку поток плоский , по формулам найдем следующие характеристики:

  • частицы движутся, растягиваясь по оси и сжимаясь по оси с угловыми деформациями;

(течение вихревое);

Локальное ускорение равно нулю, ибо течение установившееся.

  • Уравнение семейства линий тока (3.6) принимает вид

После интегрирования и потенцирования

Уравнение семейства линий тока может быть найдено и с помощью функции тока, так как течение плоское. Используем формулу (3.13), выбирая в качестве начала интегрирования точку (0; 0):

Таким образом, уравнение семейства линий тока (3.12) примет вид

Линии тока представлены на рис. 3.2. Так как течение установившееся, то траектории совпадают с линиями тока.

  • Расход жидкости через отрезок прямой согласно (3.15),

Циркуляция скорости (3.18) по окружности радиусом с центром в точке :

Динамика невязкой жидкости

Основные сведения из теории, расчетные формулы и методические указания

Любая реальная жидкость в той или иной мере обладает свойством вязкости. Однако решение многих важных задач для таких маловязких жидкостей, как вода и воздух, можно получить, считая их невязкими. Причем эти решения во многих случаях подтверждаются экспериментальными данными.

Для решения задачи о движении невязкой жидкости используют уравнение в форме Громеки:

где — линейная и угловая скорости жидкой частицы; — давление и плотность в рассматриваемой точке; — потенциал массовых сил (в случае только силы тяжести ).

Хотя в общем случае уравнение движения не интегрируется, но для частных случаев их интегрирование при некоторых допущениях возможно. Интегралы уравнений движения устанавливают связь между скоростями и давлениями в потоке жидкости.

Для установившегося движения невязкой (идеальной) жидкости (в общем случае вихревого) вдоль линии тока (или вдоль вихревой линии) имеем интеграл (уравнение) Бернулли:

где константа постоянна вдоль линии тока.

Уравнение Бернулли является одним из основных в гидрогазодинамике, так как определяет изменение основных параметров течения — давления , плотности , скорости и высоты положения .

Для безвихревого (потенциального) установившегося течения жидкости в поле только силы тяжести существует интеграл Эйлера:

где постоянная одинакова для всех точек в потоке и определяется из граничных условий (обычно из условия на бесконечности).

Интегралы уравнений движения (4.1) и (4.2) выражают закон сохранения удельной механической энергии. Член характеризует кинетическую энергию; — потенциальную энергию давления, a — потенциальную энергию положения.

Интегралы Бернулли и Эйлера используют еще в следующих формах:

На основании анализа размерностей следует, что члены уравнения (4.1) характеризуют удельную энергию, отнесенную к единице массы, а (4.3) -удельную энергию, отнесенную соответственно к единице объема и веса.

Составляющие полной энергии или полного напора (4.3) могут взаимо-превращаться. Следует иметь в виду, что изменение кинетической энергии несжимаемой жидкости вдоль струйки (потока) не может задаваться произвольно: в соответствии с уравнением неразрывности оно однозначно определяется изменением площади поперечного сечения канала:

Схема использования интеграла Бернулли следующая. На линии тока выбирают точки 1 и 2, при этом линия тока условно может быть продолжена до точек, где движения жидкости нет. Применив уравнение (4.3) к двум этим точкам, получим

Для невязкой жидкости характерно постоянство скорости и давления в поперечном сечении потока, поэтому вместо расчетных точек можно рассматривать сечения.

При применении уравнения Бернулли в виде (4.5) в конкретном расчете очень полезны приведенные ниже рекомендации. Сначала следует задать на рисунке два расчетных сечения и плоскость сравнения. В качестве сечений рекомендуется брать:

• свободную поверхность жидкости в резервуаре, где скорость равна нулю, т.е.

• выход потока в атмосферу, где давление в сечении струи равно давлению окружающей среды, т.е. или

• сечение, в котором задано или необходимо определить давление (показания манометра или вакуумметра);

• сечение под поршнем, где избыточное давление определяется внешней нагрузкой.

Плоскость сравнения удобно проводить через центр тяжести одного из расчетных сечений, обычно расположенного ниже, тогда геометрические высоты сечений .

Далее рекомендуется записать уравнение Бернулли в общем виде (4.5), а затем переписать его, выразив каждый член уравнения через заданные величины и исключив члены, равные нулю. При этом необходимо помнить следующее:

  • положительные значения геометрических высот , входящих в правую и левую часть уравнения, всегда отсчитываются от плоскости сравнения вверх;
  • давления должны быть заданы в одной системе отсчета (абсолютной или избыточной); если какое-либо из них задано как вакуумметрическое давление, то его следует выразить через абсолютное давление.

При решении задач по обтеканию тел учитывают граничное условие непротекания жидкости на твердой непроницаемой поверхности, и в первую очередь критические точки, где скорость равна нулю. При этом может быть использован коэффициент давления (в данной точке), представляющий отношение избыточного (по сравнению с давлением в невозмущенном потоке) давления к скоростному напору невозмущенного потока ,

В невязкой жидкости коэффициент давления не зависит от рода жидкости (плотности ) и скорости набегающего потока , являясь функцией лишь безразмерных координат.

Задача №2.

У фонтана (рис. 4.1) вода вытекает из сопла, имеющего форму конического конфузора длиной м и диаметрами мм и . Считая воду невязкой жидкостью, вычислить необходимое давление перед соплом для обеспечения заданной высоты струи. Дано:

Определить: .

Решение:

В соответствии с указаниями в п. 4.1 проведем расчетные сечения 1-1 перед соплом и 2-2 на выходе струи в атмосферу, а также плоскость сравнения 1-1 по сечению 1-1. Составим уравнение Бернулли

Имеем:

Из условия неразрывности (4.4) найдем

Перепишем уравнение Бернулли, выразив входящие в него величины

откуда получим

Для определения скорости напишем уравнение Бернулли вдоль линии тока :

Имеем:

Подставив эти величины в предыдущее уравнение, получим

Из (4.6) найдем искомое давление

Возможно эта страница вам будет полезна:

Курсовая работа по гидромеханике

Истечение жидкости через отверстия, насадки и гидроаппараты

Основные сведения из теории, расчетные формулы и методические указания

Истечение через малые отверстия в тонкой стенке. Отверстие принято считать малым, если его диаметр весьма мал по сравнению с напором . Под термином «тонкая» стенка следует понимать такую, толщина которой не превышает диаметра отверстия.

На расстоянии от плоскости отверстия образуется так называемое сжатое сечение струи (рис.5.1). Площадь сжатого сечения ,

где — площадь отверстия; — коэффициент сжатия.

Скорость в сжатом сечении и расход жидкости определяются формулами:

где — коэффициент скорости, характеризующий уменьшение действительной скорости по сравнению со скоростью невязкой (идеальной жидкости); -коэффициент расхода; — расчетный напор, который в общем случае равен сумме геометрического и пьезометрического напоров, т.е.

Если истечение происходит из закрытого резервуара в атмосферу, числитель второго слагаемого (5.3) представляет избыточное давление на поверхности жидкости в резервуаре; при истечении в атмосферу из открытого резервуара второе слагаемое обращается в нуль.

Численные значения и зависят от числа Рейнольдса. Для маловязких жидкостей (вода, бензин, керосин), истечение которых обычно происходит при достаточно больших числах Рейнольдса , коэффициенты истечения меняются в сравнительно небольших пределах, поэтому в расчетах можно пользоваться их средними для отверстия значениями

Если боковые стенки резервуара или трубы находятся на расстоянии менее трех диаметров от оси отверстия (рис.5.2), то их направляющее действие уменьшает степень сжатия струи ( увеличивается). Для круглого отверстия

площадью при истечении из цилиндрического резервуара или трубы площадью , коэффициент сжатия струи можно определять по формуле

При истечении жидкости в жидкую среду, например, в сообщающихся сосудах (истечение под уровень или через затопленное отверстие), скорость истечения и расход жидкости рассчитываются по тем же формулам (5.1) и (5.2), но в этом случае для расчетного напора величина представляет собой разность уровней в сосудах. Значения коэффициентов истечения для затопленных отверстий можно принимать такими же, как и в случае истечения в газовую среду.

Истечение через насадки. Насадком называют короткие трубки (патрубки) длиной (2-6) , применяемые для улучшения процесса истечения жидкости. При этом скорость и расход определяются по формулам (5.1) и (5.2), но со своими коэффициентами и .

Заметим, что для вертикально расположенных насадков при определении расчетного напора необходимо учитывать их длину. Так, для случая на рис. 5.1 имеем

Одним из наиболее распространенных является внешний цилиндрический насадок (рис. 5.3), для которого в приближенных расчетах, обычно, принимают

Благодаря наличию сжатого сечения, внутри насадка образуется вакуум,величина которого характеризуется вакуумметрической высотой

Предельная величина вакуума в сжатом сечении ограничена значениями атмосферного давления и давления насыщенных паров которое зависит от рода жидкости и температуры. При значениях , близких

пренарушается сплошность движения, внутри насадка возникает кавитация. При происходит срыв потока — струя отрывается от внутренней поверхности насадка, истечение будет происходить так же, как и через отверстие в тонкой стенке.

Истечение при переменном напоре. Расчет опорожнения и заполнения емкостей, судовых отсеков и цистерн, площадь горизонтальных сечений которых велика по сравнению с площадью перепускных отверстий, арматуры производится без учета сил инерции в резервуарах и перепускных устройствах. Процесс истечения за бесконечно малый промежуток времени рассматривается как установившийся. Мгновенный расход определяется при этом по формуле

где — коэффициент расхода выпускного устройства, отнесенный к площади выходного отверстия. Вместо может быть использован коэффициент потерь напора на выпускном устройстве — давление в резервуаре и в пространстве, куда происходит истечение жидкости (рис. 5.4).

Для маловязких жидкостей коэффициенты и можно принимать постоянными в течение всего процесса. Тогда время частичного опорожнения сосуда от начального условия до уровня определится по формуле

где — площадь поверхности жидкости в резервуаре.

Для призматического резервуара, у которого при постоянстве будем иметь

Время полного опорожнения резервуара в этом случае получим, приняв = 0.

Истечение через гидроаппараты. В этом случае истечение всегда происходит в среду, заполненную той же самой жидкостью (истечение под уровень). При этом энергия, теряемая на вихреобразования, может быть учтена коэффициентом расхода . Поэтому расход жидкости через гидроаппараты (дроссели и клапаны) рассчитывают по формуле

где — площадь проходного сечения; — перепад давления на рассматриваемом элементе; — плотность жидкости.

Указания к решению задач:

  • при решении задач, рассматривающих работу гидроцилиндра, необходимо использовать уравнение равновесия поршня: сумма всех сил, приложенных к нему, равна нулю;
  • жидкость считать несжимаемой, а движение поршня — равномерным;
  • утечками и трением в цилиндре, а также весом поршней и штоков пренебречь;
  • расход через последовательно соединенные элементы один и тот же, а при разделении потока его расход равен сумме расходов в ответвлениях.

Следует иметь в виду, что в гидроцилиндре с односторонним штоком из-за наличия штока расход жидкости по разные стороны поршня будет различным:

Здесь — скорость движения поршня; и — диаметры поршня и штока.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по гидромеханике

Задача №3.

Бак разделен на две секции переборкой, в которой имеется отверстие с острой кромкой (рис. 5.5). В левую секцию поступает вода в количестве . Из каждой секции вода вытекает через внешний цилиндрический насадок. Диаметры насадок и отверстия в переборке одинаковы и равны 60 мм.

Определить расход воды через каждый насадок , полагая отверстие в переборке затопленным, а уровни воды в обоих секциях постоянными.

Дано:

Определить:

Решение:

1. Из условия постоянства уровня имеем: расход через правый насадок должен равняться расходу через отверстие, т.е. или

где коэффициенты расхода через отверстие и внешний цилиндрический насадок.

  • Из условия постоянства уровней воды следует, что
  • Из (5.4) имеем Подставим в (5.5):

Отсюда находим выражение для напора :

Полагая

получим

  • Используя выражения для расхода через левый и правый насадки, будем иметь

Возможно эта страница вам будет полезна:

Методические указания по гидромеханике

Гидравлический расчет трубопроводов

Основные сведения из теории, расчетные формулы и методические указания

По способам гидравлического расчета трубопроводы делятся на простые и сложные. Простым называется трубопровод, состоящий из одной линии труб постоянного или переменного сечения без ответвлений. Отличительной особенностью простого трубопровода является постоянство расхода в любом сечении по всей его длине. Сложным называется трубопровод, содержащий какое-либо ответвление (параллельное соединение труб или разветвление). Всякий сложный трубопровод можно рассматривать как совокупность нескольких простых трубопроводов, соединенных между собой параллельно или последовательно. Поэтому в основе расчета любого трубопровода лежит задача о расчете простого трубопровода.

Движение жидкости в напорных трубопроводах происходит благодаря тому, что ее энергия (напор) в начале трубопровода больше, чем в конце. Этот перепад уровней энергии создается различными способами: работой насоса, за счет разности уровней жидкости, давлением газа и пр.

Основными расчетными соотношениями для простого трубопровода являются:

  • уравнение Бернулли, устанавливающее соотношение между удельными (отнесенными к единице веса) энергиями жидкости в двух сечениях потока:
  • уравнение расхода:
  • формулы для расчета потерь напора на трение по длине трубы и в местных сопротивлениях:

которые после выражения скорости через расход принимают вид

В формулах (6.1) — (6.4): и — геометрические высоты центров тяжести сечений над произвольной горизонтальной плоскостью сравнения; и — давления в центрах тяжести сечений; и — средние скорости в сечениях; и — коэффициенты кинетической энергии в сечениях (расчетные значения для потока в круглой трубе: — при ламинарном режиме, — при турбулентном); и — площади сечений; — плотность жидкости; — суммарная потеря полного напора на пути от первого до второго сечения; и — длина и диаметр трубы; — коэффициент гидравлического трения; — коэффициент местного сопротивления.

Использование формул (6.3) связано с выбором коэффициентов гидравлического трения и местных сопротивлений . Расчетные значения этих величин, а также коэффициенты кинетической энергии , зависят от режима течения жидкости.

Для определения режима необходимо найти число Рейнольдса:

(здесь — кинематический коэффициент вязкости жидкости) и сравнить его с критическим значением . Если , то режим течения ламинарный; при — режим турбулентный.

Ниже приведены расчетные формулы для коэффициента гидравлического трения при различных режимах течения.

При ламинарном режиме однозначно зависит от числа Рейнольдса:

При турбулентном режиме в общем случае зависит от числа Рейнольдса и относительной шероховатости . Здесь -эквивалентная абсолютная шероховатость стенок трубы. Универсальной формулой, учитывающей одновременно оба фактора, является формула Альтшуля:

При малых значениях

(6.7) обращается в формулу Блазиуса для так называемых гидравлически гладких труб:

Наоборот, при больших и (6.7) принимает вид формулы Шифринсона для зоны квадратичного сопротивления:

Для удобства пользования формулой Альтшуля в прил. 5 приведен график

Значения коэффициентов местных сопротивлений в общем случае определяются геометрической формой сопротивления и величиной числа Рейнольдса. При ламинарном режиме коэффициент зависит от обоих этих факторов, а при турбулентном режиме — только от формы местного сопротивления. Численные значения коэффициентов находят в справочной литературе. При подсчете местных потерь по формуле (6.3) следует обращать внимание на указания, к какой скорости (до или после сопротивления) отнесены коэффициенты . В задачах данного сборника коэффициенты обычно заданы или приведены в приложении и отнесены к скорости после местного сопротивления. Исключение составляет коэффициент (выход из трубы в резервуар), который отнесен к скорости перед местным сопротивлением.

Как указано ранее, решение задач данного раздела связано с использованием уравнения Бернулли (6.1). При его применении в конкретном расчете необходимо учитывать приведенные в п. 4.1 рекомендации.

К ним необходимо добавить следующее:

  • суммарную потерю напора следует представить подробно в виде суммы потерь на трение по длине и местных потерь, определяемых формулами (6.3) или (6.4).

Для удобства расчетов введем понятие расчетного напора:

Расчеты простых трубопроводов сводятся к трем типовым задачам: определению напора (или давления), расхода и диаметра трубопровода. Далее рассмотрена методика решения этих задач для простого трубопровода постоянного сечения.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения по гидромеханике

Задача №4.

Дано: размеры трубопровода и , шероховатость его стенок , свойства жидкости , расход жидкости .

Определить: требуемый напор (одну из величин, определяющих напор).

Решение:

  1. Составляется уравнение Бернулли с учетом приведенных рекомендаций.
  2. Уравнение решается относительно

Полученная расчетная формула содержит неизвестный коэффициент .

  1. По формуле (6.5) определяется и устанавливается режим движения.
  2. Находится значение по формуле (6.6) или (6.7) в зависимости от режима движения.
  3. По формуле, полученной в пункте 2, определяется и по (6.10) искомая величина.

Применение законов количества движения и момента количества движения к жидкостям

Основные сведения из теории, расчетные формулы и методические указания

Теоремы об изменении количества движения и момента количества движения применяют для решения гидромеханических задач, в которых требуется определить главный вектор или главный момент сил взаимодействия между жидкостью и движущимися в ней телами (внешняя задача гидромеханики) или потоком жидкости и ограничивающими его твердыми стенками (внутренняя задача). Эти теоремы являются общими теоремами механики, поэтому они применимы как к невязкой, так и к реальной вязкой жидкости.

Для установившегося течения теорема об изменении количества движения в векторной форме записывается в виде

или в проекциях на оси прямоугольных координат

где — замкнутая контрольная поверхность, охватывающая выделенный объем жидкости (в плоских задачах — замкнутый контур); — плотность жидкости; — проекция скорости на внешнюю нормаль к поверхности по отношению к выделенному объему; — скорость в центре площадки и ее проекции; — главный вектор сил, действующих на выделенный объем жидкости, и его проекции.

Главный вектор в общем случае состоит из главного вектора массовых и поверхностных сил. В обычных условиях массовой силой является сила тяжести, равнодействующая которой — вес жидкости внутри контрольной поверхности.

Главный вектор поверхностных сил представляет собой результат воздействия нормальных (давления) и касательных напряжений.

При решении задач с помощью теорем об изменении количества движения контрольную поверхность подразделяют на две части. По первой части , известно распределение и могут быть вычислены как поток количества движения, так и интеграл давлений. Заметим, что в невязкой жидкости касательные напряжения равны нулю, а в реальной вязкой жидкости на поверхности . они невелики (в отличие от поверхности тела), поэтому при вычислении главного вектора поверхностных сил рассматривают только давления для невязкой жидкости.

Вторая часть контрольной поверхности представляет собой поверхность, на которую по условиям задачи необходимо вычислить равнодействующую гидродинамических сил.

На рис. 7.1 приведены примеры выделения расчетного объема жидкости контрольной поверхностью. Первая схема (рис. 7.1, а) применяется для определения главного вектора гидродинамических сил, приложенных к твердому телу со стороны окружающего его потока. Контрольная поверхность представляет собой

где — замкнутая поверхность вдали от тела; — непроницаемая поверхность тела.

Вторая схема (рис. 7.1, б) используется для вычисления главного вектора и главного момента гидродинамических сил, приложенных к стенкам канала, ограничивающего поток. Объем жидкости внутри канала выделяется контрольной поверхностью

где и — сечения канала на входе и выходе; поверхность стенок канала.

Схема рис.7.1, в может быть использована в задаче определения силы воздействия свободной струи на преграду. Контрольная поверхность образована боковой поверхностью струи, тремя поперечными сечениями

и поверхностью преграды

Воздействие жидкости при установившемся течении на твердое тело, находящееся в выделенном объеме, или на твердые стенки, ограничивающие часть этого объема, в случае, когда массовыми силами можно пренебречь, определяется по формуле

или в проекциях на оси координат и :

Здесь — избыточное гидродинамическое давление.

Момент гидродинамической реакции воздействия жидкости на тело относительно выбранного полюса определяют по формуле

где — радиус-вектор из полюса в центр площадки .

При решении задач с помощью теорем об изменении количества движения и момента количества движения может возникнуть необходимость в одновременном использовании уравнений неразрывности (4.4), Бернулли (4.5) и Эйлера (4.2) для невязкой жидкости, Бернулли (6.1) для потока реальной жидкости.

Поток количества движения и поток момента количества движения — величины векторные и могут для замкнутой поверхности отличаться от нуля за счет изменения только величины скорости или ее направления, а в более общем случае — в результате одновременного изменения величины скорости и ее направления.

При вычислении потока количества движения и его момента для плоских участков контрольной поверхности, на которых угол между направлением скорости и внешней нормалью остается постоянным, вводится понятие о коэффициенте неравномерности количества движения , позволяющем вычисления интегралов для несжимаемой жидкости производить с помощью средней по сечению скорости:

где — средняя по сечению скорость. Для сечения, нормального к линям тока,

Для результирующей силы воздействия потока на стенки неподвижного канала (рис. 7.2) при установившемся движении жидкости в случае достаточно равномерного распределения скоростей в сечениях канала уравнение (7.2) может быть приведено к виду:

где и — векторы секундных количеств движения потока, т.е. количеств движения массы жидкости, протекающей в единицу времени через входное и выходное сечения канала; — расход; — вес жидкости, заполняющей канал. Вектор — статическая составляющая реакции потока, вектор — динамическая составляющая реакции потока на стенки канала. При вычислении статической составляющей обычно используют избыточные давления. Силу удобно определять через ее проекции на координатные оси, при этом на оси проецируются

Если рассматривается установившееся движение жидкости в канале, перемещающемся прямолинейно и поступательно с постоянной скоростью , то сила определяется из уравнения (7.6), в котором динамическая реакция потока равна изменению его секундного количества движения, вычисляемого по отношению к подвижным стенкам:

где и — векторы относительных скоростей во входном и выходном сечениях канала.

При решении задачи со свободной струей (см. рис. 7.1, в) следует учитывать, что давление на всей контрольной поверхности, кроме поверхности преграды, равно атмосферному. Сила давления струи на преграду определяется по избыточному давлению, поэтому второй интеграл в (7.2) оказывается равным нулю. Для определения точки приложения результирующей силы воздействия струи используют допущение, что вектор приложен посередине рассматриваемого сечения.

Величина реактивной силы струи, приложенной к соплу, определяется формулой

где относительная скорость истечения жидкости из сопла, ось которого не поворачивается. Если сопло является частью канала, то используется схема рис. 7.1, б или рис. 7.3.

Рассмотрим установившееся движение жидкости по каналу, который вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью (рис. 7.3). Распределение относительных скоростей частиц жидкости по сечениям и примем равномерным. В этом случае динамический реактивный момент действия потока на стенки канала относительно оси его вращения может быть получен из (7.4) как изменение секундного момента количества движения потока

где и — радиусы вращения центров входного и выходного сечений канала;

окружные составляющие абсолютных скоростей потока и в указанных точках входа и выхода из канала.

Величина переносной скорости в этих же точках канала находится, как

Для определения относительных скоростей используют уравнение расхода

и уравнение Бернулли для относительного движения жидкости во вращающемся канале:

где потеря напора может быть выражена через суммарный коэффициент потерь

Задача №5.

Найти усилие, вызываемое течением воды в схематизированной системе охлаждения судовой энергетической установки (рис. 7.4). Расход охлаждающей воды . Площадь сечения водозаборника , площадь выходного сечения, которое можно считать плоским, . Угол между нормалью выходного сечения и диаметральной плоскостью . Истечение воды происходит под углом . Закон распределения скорости во входном сечении соответствует коэффициенту кинетической энергии и неравномерности количества движения в выходном сечении — Избыточное давление во входном сечении , коэффициент суммарного сопротивления канала, отнесенный к средней скорости на входе, Течение можно считать происходящим в горизонтальной плоскости.

Дано:

Определить: .

Решение:

Так как в задаче требуется определить равнодействующую гидродинамических сил, а не закон распределения давления по внутренней поверхности канала, решение ищем с помощью теоремы об изменении количества движения.

Прежде всего следует выбрать замкнутую контрольную поверхность. Общее правило для ее проведения следующее: часть контрольной поверхности должна соприкасаться с той поверхностью, на которую определяется равнодействующая гидродинамических сил. Остальная часть контрольной поверхности должна проходить там, где по условиям задачи можно вычислить поток количества движения и равнодействующую поверхностных сил.

В рассматриваемой задаче такой поверхностью является 1-1-2-2-1, показанная на рис. 7.4 штрихпунктирной линией. Поверхность в этом случае представляет собой поверхность канала, a — сумму площадей сечений 1-1 и 2-2, т.е.

Проекции искомой равнодействующей гидродинамических сил, приложенных к стенкам канала, на основании выражений (7.3) можно записать

Учитывая, что на участке 1-1:

и

на участке 2-2:

получим

Используя (7.5), выразим проекции потока количества движения через средние по сечениям скорости и и коэффициенты и . Тогда выражения (7.10) могут быть преобразованы к виду

Формулы (7.11) для и , имеют наиболее общий характер для такого типа задач и в частных случаях: при равномерном поле скоростей на входе и выходе при рассмотрении течения невязкой жидкости, при углах или , для которых или ; для каналов постоянного сечения — упрощаются.

Для вычисления по (7.11) неизвестным является давление во втором сечении. Не рассматривая наружное обтекание корпуса судна, давление будем искать по уравнению Бернулли:

где принято по условию задачи.

Из (7.12) получим

Вычислим значения необходимых тригонометрических функций:

Подстановка числовых значений в полученные формулы приводит к виду:

Полное усилие, испытываемое стенками канала,

Гидродинамическое подобие

Основные сведения из теории, расчетные формулы и методические указания

Несмотря на высокий уровень развития гидродинамической теории не все задачи в настоящее время могут быть решены с достаточной для практики точностью и надежностью. При создании современных аппаратов (объектов), движущихся в воде или в воздухе, гидравлических и гидродинамических машин, сооружений и приборов гидродинамический расчет является важнейшим и обязательным этапом проектирования, но все же результирующая оценка качеств и характеристик создаваемых объектов производится на основе экспериментальных испытаний.

Экспериментальные исследования обычно связаны с большими материальными затратами, трудоемки и на натурных объектах иногда невыполнимы. Поэтому в научно-технической практике, как правило, эксперименты проводят с моделями. При этом возникают вопросы: как правильно смоделировать данное гидродинамическое явление и как пересчитать данные эксперимента, чтобы получить достоверную картину для натурного объекта.

Прежде всего, натура и модель должны быть геометрически подобны. Для соблюдения геометрического подобия необходимо, чтобы все сходственные размеры модели и натуры были пропорциональны. Кроме того, должны соблюдаться условия кинематического и динамического подобия. Кинематическое подобие состоит в том, что скорости жидкости в сходственных точках натуры и модели в сходственные моменты времени пропорциональны. Динамическое подобие включает в себя пропорциональность сил, действующих на сходственные частицы жидкости, и пропорциональность масс этих частиц.

Заметим, что два физических явления называют подобными, если величины одного явления могут быть получены из соответствующих величин другого, взятых в сходственных пространственно-временных точках, простым умножением на одинаковые для всех точек множители, называемые коэффициентами подобия.

Выделяют три основных коэффициента подобия, согласно принятым в Международной системе единиц основным физическим величинам (длина , время и масса ): линейный масштаб , масштаб времени и масштаб масс . Масштабы всех остальных (производных) физических величин выражаются через основные в соответствии с формулами размерности этих величин. Так, масштаб площадей скоростей плотностей , сил одинаковой физической природы и т.д.

Используя выражения масштабов и , можно получить для масштаба сил зависимость , которая дает общий закон динамического подобия Ньютона:

Этот закон можно представить в форме

согласно которой безразмерная величина (число Ньютона), пропорциональная отношению действующих на подобные частицы сил к силам инерции этих частиц, имеет одинаковое значение в сходственных точках подобных потоков.

Для существования гидродинамического подобия необходимыми и достаточными условиями являются: геометрическое подобие граничных поверхностей, омываемых потоками; подобие кинематических краевых (начальных и граничных) условий; одинаковые значения критериев динамического подобия -безразмерных величин, пропорциональных отношениям сил инерции частиц жидкости к действующим на них силам вязкости, тяжести, упругости и т.д.

Критерии эти следующие:

• критерий подобия (число) Рейнольдса , где — характерная скорость; — характерный размер; — кинематический коэффициент вязкости. Число Рейнольдса характеризует отношение сил инерции и вязкости и служит основным критерием моделирования течений, в которых определяющую роль играет вязкость, например, установившееся течение в напорных трубопроводах и каналах;

• критерий подобия (число) Фруда характеризует отношение сил инерции и сил тяжести. Он используется при моделировании течений, в которых эти силы играют решающую роль, например, при моделировании поверхностных волн, при испытаниях моделей надводных судов, сопровождающихся волнообразованием, моделировании водосливов и т.д.;

• критерий подобия (число) Эйлера характеризует отношение сил давления и инерции и применяется в тех случаях, когда интересуют только силы давления, или при исследовании гидравлических сопротивлений в трубах и каналах. В последнем случае критерий имеет вид , где — разность давлений в разных точках течения.

Заметим, что в однородной несжимаемой жидкости равенство чисел Ей для натурного и модельного потоков обеспечивается, если для них равны числа или .

Критерий Эйлера играет главную роль при моделировании течений с кавитацией. В этом случае в качестве характерной разности давлений принимают разность между давлением в потоке и давлением насыщенных паров , и критерий Эйлера записывается в форме числа кавитации

• критерий подобия (число) Струхаля характеризует отношение сил инерции, вызываемых локальными и конвективными ускорениями, и применяется при моделировании нестационарных, в том числе периодически повторяющихся, течений. При испытании моделей гребных винтов и лопастных гидравлических машин он используется в несколько измененном виде, именуемом относительной поступью,

где — частота вращения, — диаметр.

Согласно теории подобия, гидродинамическая сила и ее момент могут быть представлены с использованием безразмерных коэффициентов в виде:

где — коэффициент силы; — коэффициент момента.

Для гребных винтов их осевую силу-упор и момент относительно оси винта представляют через безразмерные коэффициенты упора и момента следующими формулами:

В потоках жидкостей одновременно действуют разные силы: вязкости, тяжести, упругости и другие. Соблюдение пропорциональности всех этих разнородных сил означает так называемое полное динамическое подобие. При этом все безразмерные характеристики потока (например, коэффициенты сопротивления скорости , расхода и т.д.) и безразмерные коэффициенты сил и моментов имеют для натуры и модели одинаковое численное значение.

В большинстве случаев реализация полного гидродинамического подобия технически весьма затруднительна или невозможна. Так, одновременное выполнение условий подобия по и приводит к тому, что в модели жидкость должна обладать вязкостью . Поэтому в практике моделирования обычно осуществляют частичное подобие потоков, при котором выполняется условие подобия главных сил, наиболее существенных для рассматриваемого гидромеханического явления. В этом случае равными оказываются не коэффициенты суммарных сил, а только те их составляющие, которые связаны с соответствующим критерием подобия. Например, при равенстве только чисел Фруда равны коэффициенты волнового сопротивления судна и его модели, но не полного сопротивления.

Задачи моделирования несколько облегчаются в случае автомодельности, которая заключается в том, что при очень больших значениях какого-нибудь критерия подобия безразмерные характеристики течения перестают от него зависеть. Наибольший практический интерес представляет собой автомодель-ность, связанная с числом Рейнольдса. В зоне турбулентной автомодельности, наблюдаемой при достаточно больших значениях , силы вязкостного трения, действующие в потоке, малы по сравнению с силами инерции частиц жидкости. Безразмерные коэффициенты потерь, сопротивлений, сил вязкостной природы в этой зоне не зависят от числа . Для таких потоков линейный масштаб , масштабы вязкости и скорости независимы. Они должны выбираться с таким расчетом, чтобы значение числа в модели соответствовало зоне турбулентной автомодельности.

Следует отметить, что для судостроительных задач полное гидродинамическое подобие осуществить нельзя, и возможно лишь частичное подобие потоков. Поэтому коэффициенты сил для натуры и модели, строго говоря, всегда неравны. Для их приближенного определения в процессе модельных испытаний используют рабочую гипотезу, согласно которой гидродинамические коэффициенты, в частности коэффициенты сопротивления, представляются в виде

Это позволяет порознь определять коэффициенты, связанные с вязкостью (первое слагаемое) и с волнообразованием (второе слагаемое). При движении тела в вязкой жидкости, когда влияние волнообразования на гидродинамику процесса невелико, полагают , добиваются равенства у модели и натуры. При движении тела вблизи или по свободной поверхности жидкости, когда влияние волнообразования значительно, полагают , добиваются равенства у модели и натуры.

Таким же образом поступают в том случае, когда по одному из критериев наблюдается автомодельность. Например, в случае проведения модельных испытаний в зоне турбулентной автомодельности считается, что коэффициенты сопротивления , связанные с вязкостью, для модели и натуры равны, и достаточно выполнить условие .

Методическое указание по выполнению контрольных заданий: решение задачи по данному разделу необходимо начинать с обоснования выбора критерия подобия, которое должно быть приведено в работе.

Задача №6.

Модель надводного судна с работающими гребными винтами, выполненная в масштабе 1:25, испытывается в бассейне. Предполагая, что при испытаниях обеспечено гидродинамическое подобие в зоне турбулентной автомодельности, определить:

1) скорость буксировки модели, если скорость движения натурного судна

2) число оборотов модели гребного винта , если

3) масштаб мощности на валу гребного винта в, считая плотность в натурных и модельных испытаниях одинаковой.

Дано:

Определить:

Решение:

1. При проведении буксировочных испытаний моделей надводных судов необходимо учитывать силы, связанные и с вязкостью (критерий ), и с волнообразованием (критерий ). По условию задачи испытания проводятся в зоне турбулентной автомодельности, где безразмерные параметры потока, обусловленные вязкостью жидкости, постоянны. Следовательно, моделировать рассматриваемый процесс достаточно с точки зрения волнообразования, т.е. по критерию . Приравняв числа Фруда модели и натуры

находим скорость буксировки модели

  • Для определения числа оборотов гребного винта модели приравняем относительные поступи модели и натуры

Отсюда

так как

Следовательно, гребной винт должен вращаться в пять раз быстрее натурного

  • Мощность на валу гребного винта может быть найдена с помощью известной из механики формулы:

где — момент относительно оси; — угловая скорость.

Используя вторую формулу (8.1), выразим масштаб мощности для гребного винта

Так как по условиям задачи (зона турбулентной автомодельности),

то получим

Кстати готовые задачи на продажу тут.

Работа насосов на сеть

Основные сведения из теории, расчетные формулы и методические указания

В данной главе насосы рассматриваются как элементы гидросистем, сообщающие жидкости энергию. Приведем определения основных технических показателей насосов, хотя сам рабочий процесс здесь не рассматривается.

Объемная подача насоса — расход жидкости через напорный (выходной) патрубок насоса.

Напор насоса (м столба жидкости) — приращение удельной механической энергии (энергии, отнесенной к единице веса) жидкости при прохождении ее через насос. Он равен разности удельных энергий жидкости при выходе из насоса и на входе в него :

где и — высоты центров тяжести сечений на выходе и входе в насос; и — давления на выходе и входе; и — средние скорости жидкости в соответствующих сечениях; — плотность жидкости.

Если разность уровней входного и выходного сечений патрубков насоса невелика , а диаметр всасывающего и напорного патрубков близки по величине , и, следовательно, , что обычно имеет место, то выражение для напора насоса упрощается .

Давление насоса — величина, определяемая зависимостью

Полезная мощность насоса — мощность, сообщаемая насосом подаваемой жидкости

Мощность насоса — мощность, потребляемая насосом. Она может быть определена по формуле

где — коэффициент полезного действия (КПД) насоса.

При установившемся режиме работы насосной установки, когда расход в системе трубопроводов не изменяется со временем, развиваемый насосом напор равен потребному напору установки:

Потребным напором установки называют энергию, которую необходимо сообщить единице веса жидкости для ее перемещения из расходного резервуара в приемник по трубопроводу установки при заданном расходе (рис. 9.1 и рис. 9.2). Пренебрегая малыми скоростными напорами в расходном резервуаре и приемнике, имеем

где — статический напор установки, представляющий собой разность гидростатических напоров жидкости в приемнике и расходном резервуаре, т.е.

— сумма потерь напора во всасывающем и напорном трубопроводах.

При вытекании жидкости из атмосферу в правой части выражения (9.4) прибавляется член — скоростной напор на выходе из трубы.

Сумма потерь напора в (9.4) может быть выражена формулой

где индексами «вс» и «н» обозначены соответствующие величины всасывающего и напорного трубопроводов насосной установки; и — диаметр и длина трубопровода; — коэффициент гидравлического трения, определяемый по соответствующей формуле в зависимости от числа Рейнольдса (Re) и относительной шероховатости (см. п. 6.1) или по графику , приведенному в прил. 5; — коэффициент местного сопротивления. Значения эквивалентной шероховатости стенок трубы для некоторых видов труб приведены в прил. 6. Если диаметры всасывающего и напорного трубопроводов равны, то формула (9.5) упрощается:

При вычислении потерь напора может быть использована приведенная длина трубопровода вместо фактической , равная , где — длина, эквивалентная всем местным гидравлическим сопротивлениям в трубопроводе.

Если движение в трубопроводе является ламинарным, то потери напора удобнее выразить в виде

В задачах, связанных с подбором насоса для данной установки при заданной подаче , напор насоса определяют по (9.1) или (9.3). При решении задач о работе насоса на сложный трубопровод (с параллельными ветвями или разветвленный с концевой раздачей в тех случаях, когда перепады статических напоров в ветвях, расходящихся из одного узла, равны) следует использовать соотношения:

где — расход в точке разветвления; и потери напора на параллельных (разветвленных) ветвях трубопровода. О более сложных случаях изложено в гл. 11.

Определение режима работы насоса с заданной характеристикой основано на совместном построении в координатах для центробежных насосов и в координатах для объемных насосов характеристики насосной установки (кривой потребного напора или давления ) и характеристики насоса (см. рис. 9.1, б и рис. 9.2, 6).

Для построения кривой потребного напора задаются рядом значений расхода . В общем случае для каждого значения вычисляют:

1)числа Рейнольдса и ;

2) и по соответствующей формуле в зависимости от режима течения, (см. формулы (6.6) (6.9));

3)сумму потерь по (9.5);

4)величину потребного напора по (9.4).

При использовании других выражений для порядок расчета остается та-При использовании других выражений для порядок расчета остается таким же.

Затем на одном и том же графике в одном и том же масштабе строят характеристики насоса

и кривую потребного напора

Точка их пересечения и определяет режим работы (рабочие параметры) насоса на заданный трубопровод (см. рис. 9.1, 6).

Так как для объемных насосов их характеристику приводят в координатах , то при решении задач, в которых рассматриваются объемные гидромашины, следует пользоваться величиной

и строить кривую потребного давления (см. рис. 9.2, 6).

По рабочей точке определяют подачу , напор (давление ), КПД , а затем вычисляют мощность насоса.

Чтобы изменить режим работы центробежного насоса, необходимо изменить характеристику насосной установки (кривую ) или характеристику насоса (кривую ). Для объемного насоса соответственно кривые

Первую характеристику можно изменять с помощью регулирующей задвижки: например, если задвижку прикрыть, то сопротивление увеличится, и рабочая точка сместится влево. Изменение характеристики насоса может быть достигнуто изменением частоты вращения или обточкой рабочего колеса центробежного насоса.

Пересчет рабочих характеристик центробежного насоса на другую частоту вращения можно производить по формулам закона подобия:

При этом предполагается: подобные режимы находятся в зоне турбулентной автомодельности; значения КПД насоса можно приближенно принимать одинаковыми ; насос работает на одной и той же жидкости . В этом случае точки и лежат на одной линии — параболе подобных режимов (рис. 9.3).

Для увеличения напора применяют последовательное соединение насосов. Суммарная характеристика двух насосов в этом случае строится путем сложения ординат кривых и при одинаковых значениях подачи насосов, т. е.

Для увеличения расхода в сети применяют параллельное соединение насосов. Если длинами ветвей трубопровода от насосов до узла соединения этих ветвей можно пренебречь, то суммарная характеристика двух насосов строится сложением абсцисс кривых и при одинаковых значениях напора насосов, т. е.

(в узле соединения и далее в сеть).

Задача №7.

Центробежный насос, расположенный на уровне с отметкой , перекачивает воду из открытого резервуара с уровнем в резервуар с уровнем и избыточным давлением на поверхности (рис.9.4). Всасывающий и напорный трубопроводы имеют длины и и диаметры и .

Определить подачу, напор и мощность насоса, если манометр, установленный на выходе из него, показывает 250 кПа. При расчетах принять коэффициенты сопротивления трения трубопроводов и Коэффициент сопротивления всасывающей коробки с обратным клапаном и частично закрытой задвижки

Сопротивление отводов не учитывать, КПД насоса

Дано:

Определить:

Решение:

В основе решения задачи лежит использование уравнения Бер-нулли отдельно для всасывающего и напорного трубопроводов.

  • Уравнение Бернулли для всасывающего трубопровода применительно к свободной поверхности 0-0 в открытом резервуаре и к сечению 1-1 трубопровода перед насосом относительно плоскости сравнения, лежащей на свободной поверхности 0-0, запишется в виде

где — высота всасывания; — сумма потерь напора в трубопроводе между сечениями 0 и 1

Уравнение Бернуллн для напорного трубопровода применительно к сечению 2-2 трубопровода после насоса и к свободной поверхности 3-3 в резервуаре

где — геометрическая высота нагнетания; — сумма потерь напора в трубопроводе между сечениями 2-3.

  • Подача насоса или расход жидкости по трубопроводу равна

Потери в трубопроводе выразим в виде суммы потерь на трение и потерь на местные сопротивления

Подставив выражение в (9.8), будем иметь

откуда находим

Местные потери в напорном трубопроводе состоят из потерь в частично открытой задвижке и потерь при выходе жидкости из трубопровода в резервуар. Предполагая режим движения турбулентным, будем иметь . Таким образом, подача насоса равна

Проверим предположение о режиме движения

где

кинематический коэффициент вязкости воды при

Так как

то режим турбулентный.

  • Напор насоса, т.е. энергия, сообщаемая насосом единице веса перекачиваемой им жидкости, может быть определена как разность энергий жидкости в трубопроводе после насоса и перед ним:

Используя соотношение (9.7), имеем

где избыточное давление на выходе из насоса ( манометра). Потери во всасывающем трубопроводе также представим в виде потерь на трение и потерь во всасывающей коробке с клапаном . Принимая во внимание уравнение расходов

получим

  • Мощность насоса определяется по формуле

Кстати у меня есть готовые задачи на продажу:

Задачи часть №1:

задача 1 задача 2
задача 3 задача 4

Задачи часть №2:

задача 5 задача 6
задача 7 задача 8

Задачи часть №3:

задача 9 задача 10
задача 11 задача 12