Задачи финансовой математики

Готовые задачи по финансовой математике.

Простые проценты

К оглавлению…

Рассмотрим простейшую кредитную операцию — выдачу займа. Эта операция характеризуется следующими параметрами:

— сумма предоставляемых денежных средств,

— срок, на который предоставляется сумма , (он измеряется в заранее заданных единицах времени),

— процент — сумма платы за кредит,

— полная стоимость кредита.

Параметры измеряются в денежных единицах (доллар, рубль, марка, тысяча рублей и т.д.) и связаны следующим соотношением:

Процентное соотношение

называется процентной ставкой за период и измеряется в процентах (%). Если процентная ставка задана не в процентах, а в единицах, например, , то чтобы найти процентную ставку в процентах (%) необходимо имеющуюся величину умножить на 100%. В данном случае имеем .

Хотелось бы обратить внимание на то, что во всех приведенных ниже формулах предполагается, что процентная ставка задана в единицах. Поэтому при решении задач, где процентная ставка задана в %, не забывайте сделать необходимые преобразования.

Если — годовая процентная ставка (процентная ставка за период — 1 год), то

где — срок времени, измеряемый в годах.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет финансовая математика

Задача №1

Некоторое частное лицо взяло заем у Первого Национального Банка в размере $150. За эту услугу банк потребовал плату в размере $3,75. Заем взят на 6 месяцев. Найти процентную ставку за этот период.

Решение:

Обозначим процентную ставку за 6 месяцев , тогда согласно формуле (1.2)

Ответ: Процентная ставка за 6 месяцев = 2,5%.

Пусть заданы: некоторая денежная сумма — процентная ставка за 1 год (годовая процентная ставка), — срок времени, измеряемый в годах. Величина, задаваемая формулой

называется простым процентом (^измеряется в денежных единицах). Величина

называется накопленным значением суммы по ставке простых процентов за время при годовой процентной ставке (формула (1.5) часто называется формулой простых процентов).

Заметим, что срок может быть задан в любых временных единицах (месяцах или днях).

Предположим, что срок задан в месяцах. Например, он равен 6 месяцам. Так как 6 месяцев это 6/12 года = 0,5 года, то = 0,5.

Если срок задан в днях, то его перевод в годовые единицы измерения может быть произведен двумя способами:

Первый — берется отношение числа дней к 360, а второй -отношение числа дней к полному числу дней в году, т.е. к 365 или, если год високосный, к 366. В первом случае говорят об обычных простых процентах, во втором случае — о точных простых процентах. Если год в задаче не указан, считается, что он не високосный, если не указано, что проценты точные, предполагается, что они обычные.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Помощь по финансовой математике

Задача №2

Найти точные простые проценты и накопленную сумму для суммы $500 вложенной на 100 дней под 4% годовых.

Решение:

В нашем случае

Считаем, что год не високосный, следовательно, . Таким образом, . Согласно формуле (1.5) .

Ответ: Точные простые проценты — $5,48, накопленная сумма — $505,48.

На практике возможна следующая ситуация: инвестор желает через определенный срок , положив деньги в банк, получить некоторую сумму . Предположим, что годовая процентная ставка в банке известна и равна . Спрашивается, какую сумму инвестор должен положить в банк сегодня, чтобы спустя срок накопить сумму ? Согласно формуле (1.5)

Задача №3

Спустя 90 дней после займа заемщик возвращает сумму в размере $100. Найти сумму займа, считая, что при обычных простых процентах годовая процентная ставка равна 8%.

Решение:

По условию задачи

Поэтому, согласно формуле (1.6), .

Ответ: Сумма займа равна $98,04.

Из формулы (1.4) выведем соотношения

для вычисления годовой процентной ставки и срока.

Задача №4

В некоторый момент времени инвестируется сумма в размере $1000. Спустя 45 дней инвестор получает $1010. Найти годовую процентную ставку, соответствующую обычным простым процентам.

Решение:

В нашем случае

S — Р

Согласно формуле (1.7)

Ответ: Годовая процентная ставка 8%.

Задача №5

На сколько дней нужно положить $6, чтобы при инвестировании при 5% обычной простой процентной ставке получить $900.

Решение:

Пусть — число дней, которое нам нужно найти. Тогда с одной стороны

С другой стороны, из (1.8)

Отсюда следует, что

Подставляя данные нашей задачи, получим = 1072800.

Ответ: На 1072800 дней.

В общем виде, формула (1.5) записывается следующим образом:

где

— основная сумма инвестиций,

— накопленная сумма исходной суммы ,

— процентная ставка за период,

— срок в периодах.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по финансовой математике

Задача №6

Найти накопленную сумму, если инвестор вложил $500 на 6 месяцев при месячной процентной ставке 10%.

Решение:

В данном случае период — месяц. Значит

Ответ: Накопленное значение $800.

Рассмотренные выше методы финансовых вычислений используются в условиях, когда процентные ставки постоянны. Между тем, в заключаемых сделках (особенно в условиях инфляции) используются дискретно меняющиеся во времени процентные ставки. А именно: за период берется ставка . В таких ситуациях накопленная сумма денег определяется по формуле

где

— ставка простых процентов за период,

— продолжительность срока исчисления данной ставки в периодах,

— число периодов в течение которых ставка постоянна.

Такой порядок, используемый коммерческими банками, позволяет учесть изменения в конъюнктуре рынка и, в частности, компенсировать в определенной мере инфляцию.

Задача №7

Соглашение промышленного предприятия с байком предусматривает, что за первый год предприятие уплачивает 20% годовых. В каждом последующем полугодии ставка повышается на 1 процентный пункт, т.е. на 1%. Срок сделки 2,5 года. Сумма кредита 5 млн. руб. Проценты обычные. Определить сумму возврата долга через 2,5 года и доход банка.

Решение:

По условию задачи имеем:

При этих условиях формула (1.10) запишется в виде

Доход банка равен

Ответ: Сумма возврата — 6,75 млн. руб., доход равен 1,75 млн. руб.

Усложним ситуацию. За первый год предприятие уплачивает проценты в следующем порядке: первое полугодие — 20%, второе -ставка увеличивается на среднюю полугодовую иидексационную надбавку, исходя из индекса инфляции за второе полугодие. За оставшиеся полтора года ставка возрастает за каждый квартал на 6 пунктов к ставке второго полугодия.

Определим ставку второго полугодия. Для этого будем использовать индексы инфляции. По Закону РФ они публикуются ежеквартально. Пусть иидексационные надбавки, принятые банком с учетом индексов инфляции, составили за 3 квартал 46%, за 4 квартал 54%. Средняя индексационная надбавка за второе полугодие равняется 50%.

На практике квартальная индексационная надбавка может определяться как средняя из месячных индексационных надбавок. В результате имеем следующие процентные ставки, «привязанные» к инфляции:

За первый год ссуды:

1 полугодие -20%

2 полугодие — 70% (20+50)

За второй год ссуды:

1 квартал — 76% (70+6)

2 квартал — 82% (76+6)

3 квартал — 88% (82+6)

4 квартал — 94% (88+8)

За третий год ссуды:

1 квартал — 100% (94+6)

2 квартал — 106% (100+6)

Реинвестирование процентных денег

К оглавлению…

Особенностью финансовых вычислений по простым процентам является то, что ставка начисляется только с исходной величины ссуды или депозита. В условиях рынка с целью повышения заинтересованности клиентов и привлечения дополнительных денежных средств банки используют реинвестирование, т.е. после начисления процентов присоединяют сумму к исходной величине и далее вновь начисляют проценты. В таких сделках накопленное значение

где — продолжительности периодов наращения денег. к

При этом — общий срок сделки, — ставки, по которым производится реинвестирование. Если периоды начисления и ставки процентов равны, то (1.11) принимает вид:

где

— число операций реинвестирования.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения задач по финансовой математике

Задача №8

На сумму $100000 начисляется 10% годовых. Проценты простые точные. Какова накопленная сумма, если операция реинвестирования проводится ежемесячно в течение первого квартала?

Решение:

По формуле (1.11)

Ответ: Накопленная сумма $102486.

Если бы операция реинвестирования ие проводилась, и проценты начислялись бы за 1 квартал ежемесячно, то

Получили меньшую сумму, чем при реинвестировании. Вывод: операция реинвестирования всегда выгодна вкладчику.

Срок между датами при описании кредитных операций

К оглавлению…

Часто при описании кредитных операций задается их срок, на который предоставляется заем, а дата взятия кредита и дата его погашения. В этом случае для определения срока займа используют специальные таблицы (см. Приложение). Покажем на примере, как это делается.

Задача №9

Дата взятия кредита 15 июня, погашения 20 октября того же года. Найти срок погашения. Год ие високосный.

Решение:

Согласно таблице П1. 15 июня — 166 день в году, а 20 октября — 293 день. Тогда срок погашения

293 — 166 = 127.

Ответ: Точный срок 127 дней.

Мы нашли точный срок погашения.

Существует еще один метод определения срока погашения -приближенный. Покажем, как его находить на примере 1.9. Составим таблицу:

Разница между этими датами 4 месяца и 5 дней. Считая, что в любом месяце 30 дней, вычисляем приближенный срок между нашими датами

30*4 + 5 = 125.

Ответ: Приближенный срок 125 дней.

Задача №10

Заем сделан 16 ноября 1965 г. и возвращен 9 февраля 1966 г. Найти точный и приближенный сроки.

Решение:

Согласно таблице П1, 16 ноября — 320-й день, а 9 февраля — 40-й день. В промежутке между этими датами в 1965 году было

365 -320 = 45 и 40 дней было в 1966 году. Точный срок

40 + 45 = 85.

Для определения приближенного срока составляем таблицу

В году 12 месяцев и значит 1966 = 1965 + 12 мес.; в месяце 30 дней, т.е. 14 месяцев — это 13 месяцев + 30 дней. Итого -приближенный срок равен 2 месяцем и 23 дням.Полагая, что в любом месяце 30 дней, получаем, что приближенный срок равен 2-30 + 23 = 83.

Ответ: Точный срок 85 дней, приближенный срок — 83 дня.

Обобщая полученные методы, заключаем, что для вычисления накопленного значения можно использовать:

  1. Точный срок и обычные простые проценты.
  2. Точный срок и точные простые проценты.
  3. Приближенный срок и точные простые проценты.
  4. Приближенный срок и обычные простые проценты. Первое правило называется банковским.

Простой дисконт

К оглавлению…

Дисконтом называется скидка с цены товара при различных сделках. Пусть владелец векселя на 100 тыс. руб. и сроком погашения 6 месяцев, спустя 2 месяца с момента получения векселя, продает его за 95 тыс. руб. Тогда дисконт составит

100-95 = 5.

или 5% от стоимости векселя. В этом случае говорят, что учетная ставка за 4 месяца (6-2 = 4) составляет 5%.

Введем обозначения: — поминальная (учетная) стоимость, — сумма долга при погашении, где — срок оставшийся до погашения долга. Тогда величина

есть дисконт.

Отношение разницы между полной и выкупной ценами векселя к его полной стоимости, т.е. дисконта к полной стоимости

называется учетной ставкой за период .

Еще раз подчеркнем, что величины зависят от длительности периода оставшегося до погашения.

Из определения учетной ставки следует, что

В банках обычно указывают учетную ставку за год. Она называется годовой учетной ставкой. Существует связь между годовой учетной ставкой и ставкой за период

где

— учетная ставка за период ,

— годовая учетная ставка,

— остаток срока до погашения в годах.

С учетом этой формулы из (1.13) получаем

Величина называется простым или банковским дисконтом, а выражение

называется дисконтным множителем за период по учетной ставке .

Возможно эта страница вам будет полезна:

Курсовая работа по финансовой математике

Задача №11

Владелец векселя, номинальная стоимость которого равна 220 тыс. руб., а срок погашения — год, обратился в байк, когда до срока погашения векселя осталось 270 дней с просьбой о его учете. Банк согласился на учет векселя по ставке 21,05% годовых. Найти размер дисконта.

Решение:

По условию В этом случае владелец векселя получит сумму

Отсюда получаем, что дисконт в нашем примере

Ответ: Банк получил дисконт в размере 29997 руб.

Задача №12

Владелец векселя с номиналом 100 тыс. руб. и периодом обращения 105 дней за 15 дней до наступления срока платежа учитывает его в банке по учетной ставке 20% годовых. Найти величину дисконта.

Решение:

По условию задачи имеем:

Согласно (1.14) сумма, полученная владельцем векселя, составит

Величина дисконта, полученного банком, равна

100-99,166 = 0,834.

Ответ: Дисконт равен 834 руб.

Учетные ставки широко используются в различных финансовых сделках. Однако дисконтирование по годовой процентной ставке и годовой учетной ставке приводит к различным финансовым результатам. Например, если по данным предыдущего примера произвести дисконтирование с использованием процентной ставки , то величина дисконта составит

То есть при банковском дисконтировании владелец векселя получит меньшую сумму, чем при использовании математического дисконтирования.

Бывает ситуация, когда совмещается начисление процентов по ставке z и дисконтирование по ставке . В этом случае наращенная величина ссуды будет определяться по формуле:

где Р — первоначальная сумма ссуды, — общий срок платежного обязательства, — срок от момента учета обязательства до даты погашения долга, — сумма, полученная при учете обязательства.

Задача №13

Долговое обязательство, предусматривающее уплату 400 тыс. руб. с начисленными на них 120% годовых, подлежит погашению через 90 дней. Владелец обязательства учел его в банке за 15 дней до наступления срока по учетной ставке 135% годовых. Найти дисконт.

Решение:

По условию задачи

С учетом (1.15)

Ответ: Дисконт равен 29,06 тыс. руб.

Задача №14

Банк выдал фирме кредит сроком на полгода в размере $10000 под 80% годовых. Проценты простые обычные. Если возврат долга просрочен более чем на 30 дней, то процентная ставка возрастает на 5 пунктов и взимается по фактическому сроку неплатежей. 7 января банк списал со своего счета S10000 и направил в соответствии с договором на счет фирмы. 7 июля на счет банка поступила сумма $12000. Найти долг фирмы байку на 16 августа.

Решение:

Найдем сумму возврата долга по договору (в тыс. долл.)

Доход банка равен $4000. Сумма недоплаты долга на конец сделки, т.е. 7 июля равна (в тыс. долл.)

14-12 = 2.

Сумма невозвращенного долга в течение 30 дней, т.е. 7 августа составила $2000. На нее начисляются уже проценты по ставке 80 + 5% = 85% годовых. На 7 августа сумма долга составила (в тыс. дол.)

Сумма не возвращенного долга с 7 августа по 16 августа (9 дней) составила $2000. На эту сумму начисляются 90% годовых

Отсюда получаем, что общая сумма долга (в тыс. долл.)

2,141667 + 0,045 = 2,186667.

Ответ: Долг фирмы $2186,667.

Сложные проценты. Формула сложных процентов

К оглавлению…

Основной суммой мы будем называть величину инвестированного под проценты капитала. Пусть срок инвестирования задан в периодах, например, 1 период — 1 год. Пусть также дана процентная ставка за период, например, годовая процентная ставка. Если проценты в конце каждого периода (года) инвестиционного срока прибавляются к основной сумме, и полученная сумма является исходной для начисления процентов в следующем периоде (году), то начисленные к концу срока проценты называются сложными.

Наращенной суммой по ставке сложных процентов будем называть величину основной суммы капитала плюс сложные проценты.

Задача №15

Сумма в размере $200 положена на банковский счет на 3 месяца по ставке 10% в месяц. Найти наращенную сумму в конце каждого месяца.

а) по ставке простых процентов,

б) по ставке сложных процентов.

Решение:

а) Проценты за один месяц составят 200 • 0,1 • 1 = 20. Наращенная сумма в конце первого месяца будет равна

200 + 20 = 220; в конце второго месяца будет равна

200 + 20 + 20 = 240; в конце третьего месяца будет равна

200 + 20 + 20 +20 = 260.

б) Проценты за первый месяц

200 • 0,1 • 1 = 20;

наращенная сумма в конце первого месяца

200 + 20 = 220;

проценты за второй месяц

220 • 0,1 • 1 =22;

наращенная сумма в конце второго месяца

220 + 22 = 242;

проценты за третий месяц

242-0,1-1 =24,2;

Наращенная сумма в конце третьего месяца

242 + 24,2 = 266,2.

Ответ: а) $220, $240, $260; б) $220, $242, $266,2.

Заметим, что при фиксированной процентной ставке инвестирование на один период, соответствующей процентной ставке по сложным и простым процентам, приводит к одному и тому же наращенному значению.

В общем случае справедлива формула сложных процентов:

где

— наращенная по сложным процентам сумма,

— основной капитал,

— процентная ставка за период,

— срок в периодах.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Контрольная работа по финансовой математике

Задача №16

Сумма в размере $127 инвестирована под 125% годовых на 2 года. Вычислить сложные проценты, начисленные к концу срока.

Решение:

По формуле сложных процентов наращенная сумма

Сложные проценты

Ответ: Сложные проценты — $515,94.

Задача №17

Кредит в размере 300 тыс. руб. выдан под сложные проценты по ставке 2% в месяц на 2 года. Найти полную сумму долга к концу срока.

Решение:

Процентная ставка месячная, значит необходимо найти срок в месяцах. В году 12 месяцев. Значит полный срок в месяцах

2 * 12 = 24.

По формуле сложных процентов получаем

Ответ: Полная сумма долга 5482,53.

Номинальная и эффективная процентные ставки

К оглавлению…

Пусть задана годовая процентная ставка и проценты начисляются чаще чем раз в год. Например, по полугодиям, кварталам, месяцам и т.д. В этом случае годовая ставка называется номинальной, а процентная ставка за один период начисления считается равной отношению номинальной ставки к числу периодов начисления в году , где

— номинальная процентная ставка,

— число периодов начисления в году.

Если начисления происходят раз в полгода, то .

Если начисления происходят раз в квартал, то .

Если начисления происходят ежемесячно, то .

Наращенная сумма при заданной номинальной процентной ставке вычисляется по формуле

где — основная сумма,

— номинальная процентная ставка,

— число периодов начисления в году,

— срок в годах.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Заказать работу по финансовой математике

Задача №18

Найти наращенную сумму, если $300 инвестированы на два года по номинальной ставке 12% годовых, при начислении процентов

а) по кварталам,

б) по месяцам.

Решение:

В случае а) с учетом, что в году 4 квартала получаем

В случае б) с учетом, что в году 12 месяцев получаем

Ответ: наращенная сумма — а) $380,03; б) $380,92.

На практике наращение денег может производиться 1 раз в год по ставке или раз в год по ставке . Годовая ставка , при которой наращенное значение при начислении процентов по ставке , не будет отличаться от наращенного значения при начислении процентов раз в году по ставке j/m, называется эффективной или действительной ставкой. Эффективная ставка характеризует тот реальный относительный доход, который получает кредитор за год при начислении процентов раз в год по ставке .

Эффективная и номинальная ставки связаны следующим соотношением:

где

— эффективная годовая ставка,

— номинальная процентная ставка,

— число начислений процентов за год.

Задача №19

Дана эффективная годовая процентная ставка 30%. Найти эквивалентную ей номинальную ставку при начислении процентов раз в полгода.

Решение:

По условию задачи имеем . Из формулы (2.3) можно найти :

Тогда подставляя данные задачи, получаем:

Ответ: Номинальная ставка — 28%.

2.3. Проценты за дробное число лет

В различных сделках срок не всегда есть целое число лет, он может быть равен и дробному числу лет. Пусть

где

— период сделки в годах,

— целая часть ,

— дробная часть .

В таких случаях проценты могут начисляться двумя способами:

по формуле сложных процентов

на основе смешанного метода

Заметим, что если общий срок менее года, наращенная сумма вычисляемая по смешанному методу больше, чем наращенная сумма вычисляемая по формуле сложных процентов, т. к.

Задача №20

Клиент банка вносит депозит $3000 на 3,5 года под 40% годовых. Определить величину депозита в конце периода используя два приведенных выше метода.

Решение:

По формуле сложных процентов

На основе смешанного метода

Ответ: $9740 и $9878,4.

Задача №21

Размер депозита 10 млн. руб. Номинальная годовая ставка 50%. Проценты начисляются по полугодиям. Найти наращенную сумму по смешанному методу, если срок депозита 27 месяцев.

Решение:

Используя смешанный метод, находим:

Ответ: Наращенная сумма 25939941 руб.

Дисконтирование (учет) по сложной ставке процентов

К оглавлению…

Рассмотрим применение математического дисконтирования по ставке сложных процентов. Дадим сначала определение дисконтного множителя.

Величину

называют учетным или дисконтным множителем по ставке сложных процентов за период . Тогда формулу (2.1) можно переписать в виде

Если проценты начисляются раз в году, то величина Р вычисляется по формуле

где

— годовая номинальная ставка процентов,

— срок ссуды в годах.

Дисконтный множитель в этом случае есть

Разность между S и Р называется дисконтом по сложной ставке процентов, и определяется по формуле

Задача №22

Какую сумму Р должен положить в банк, чтобы через 10 лет получить 2 млн. руб? Банк производит начисление процентов ежеквартально по сложной ставке 20% годовых.

Решение:

Если бы начисления производились ежегодно, то учитывая (2.4), получили бы

Но начисление процентов производится ежеквартально, и значит первоначальная сумма вклада значительно меньше. Согласно (2.5) имеем:

Ответ: Р = 284091 руб.

Являясь одной из основных характеристик в финансовом анализе, величина Р обладает следующими свойствами:

1. Чем выше ставка процентов, тем более интенсивно происходит дисконтирование и, как следствие, в большей степени уменьшается первоначальная величина Р при прочих равных условиях.

2. С увеличением срока платежа современная величина будет становиться все меньше.

3. С ростом величины (сколько раз в году начисляются проценты) дисконтный множитель уменьшается, следовательно, уменьшается и современная величина.

Если — соответственно простая и сложная ставки., то в случае равенства , для срока менее года имеем , т.е. дисконтный множитель по ставке простых процентов меньше, чем по ставке сложных процентов.

Для срока более года

т.е. дисконтный множитель по ставке простых процентов больше, чем по ставке сложных процентов.

Сложная учетная ставка

К оглавлению…

В учетных операциях наряду с использованием простых и сложных процентных ставок используются также сложные годовые учетные ставки.

Для дисконтирования по сложной учетной ставке используется формула

где

— сложная годовая учетная ставка,

— срок, оставшийся до наступления платежа по долговому обязательству.

Отсюда следует, что . В этом случае дисконт по сложной учетной ставке определяется по формуле

Задача №23

Владелец векселя номиналом в 200 тыс. руб. с периодом обращения 1,5 года предложил его банку для учета. Банк произвел учет векселя по сложной учетной ставке (по ставке простых процентов), равной 12% годовых. Определить дисконт, полученный банком и сумму, полученную владельцем векселя.

Решение:

Для ставки сложных процентов согласно (2.6) и (2.7) имеем:

Для ставки простых процентов

Ответ: Для ставки сложных процентов — дисконт -34,898тыс. руб., сумма полученная владельцем — 165,102 тыс. руб.

Для ставки простых процентов — 36 тыс. руб. и 164 тыс. руб. соответственно.

Таким образом, дисконтирование по сложной учетной ставке для владельца векселя выгоднее, чем по простой учетной ставке.

Уравнение эквивалентности. Временное значение денег

К оглавлению…

С экономической точки зрения бессмысленно говорить о величине денежной суммы без указания даты ее рассмотрения. $1000 сегодня и через год это две разные суммы, т.к. если бы Вы положили эту сумму в байк под 20% годовых, то через год получили бы сумму в размере $1000 + 20% от $1000, т.е. сумму большую чем $1000. Таким образом, у Вас есть две возможности: либо получить $1000 сегодня, либо $1000 плюс проценты на эту сумму за год через год. Из приведенного примера видно, что чем больше годовая процентная ставка, тем больше проценты за год и, значит, больше сумма, которую Вы через год получите.

Итак, мы имели две одинаковые суммы ($1000) в разные моменты времени (сегодня и через год), затем привели эти суммы к одному моменту (через год) и сравнили их. Обнаружилось, что стоимости одной и той же суммы в разные моменты времени будут отличные друг от друга величины.

Для сравнения денежных сумм, относящихся к разным моментам времени, необходимо фиксировать процентную ставку. Фиксируя ее, мы можем сравнивать любые две денежные суммы, относящиеся к разным моментам времени. Введем следующее определение эквивалентности двух денежных сумм.

Пусть задан некоторый срок, состоящий из н периодов. Рассмотрим денежную сумму Р, относящуюся к началу заданного срока, и денежную сумму 5 относящуюся к концу этого срока.

Тогда говорят, что денежная сумма Р эквивалентна денежной сумме по ставке сложных процентов z за период, если выполнено равенство

где — фиксированная ставка сложных процентов за один период, — срок между моментами рассмотрения данных сумм измеряемый в периодах.

Обратим Ваше внимание, что понятие эквивалентности для денежных сумм, рассматриваемых в разные моменты времени, вводится только для ставки сложных процентов.

Свойство эквивалентности денежных сумм

Пусть А, В, С — денежные суммы, относящиеся к разным моментам времени.

При фиксированной ставке сложных процентов из эквивалентности сумм А и В и эквивалентности сумм В и С по ставке сложных процентов i следует эквивалентность сумм А и С по этой же ставке сложных процентов.

Задача №24

Эквивалентна ли сумма в размере 10000 руб. сегодня сумме 20000 руб. через два года, если годовая процентная ставка 20%?

Решение:

По условию задачи , . Найдем эквивалентное значение для Р через два года по ставке сложных процентов 0,2.

Получили величину, не совпадающую с S, т.е. условие эквивалентности не выполнено и, значит, эти суммы не эквивалентны по ставке сложных процентов 20%.

Ответ: Суммы не эквивалентны.

Задача №25

Рассмотрим сумму $1000 сегодня (в момент времени 0). В какой момент времени эта сумма будет эквивалентна $1010 по ставке 1% годовых?

Решение:

По условию задачи период для срока — год (так как. ставка годовая). Значит полученный ответ тоже будет измеряться в годах. Запишем данные нашей задачи

Подставим их в уравнение эквивалентности

Ответ: Через год (в момент времени 1) эти суммы будут эквивалентны.

Рассмотрим теперь другой пример.

Задача №26

Пусть долг в размере $100 Вы должны отдать через 2 года. Через год у Вас появились денежные средства, и Вы хотите вернуть долг раньше на 1 год. Какую сумму Вы должны отдать, если проценты начисляются по ставке сложных процентов 20% годовых.

Решение:

По условию задачи имеем:

Итак, нам необходимо найти эквивалентное значение для суммы $100 в момент времени 1 при ставке сложных процентов 0, 2. По условию Р эквивалентна S, если ; отсюда находим

Ответ: $83,333.

Сравнение двух денежных сумм относящихся к разным моментам времени

К оглавлению…

Для того чтобы сравнить две суммы, относящиеся к разным моментам времени, необходимо зафиксировать произвольный момент времени, вычислить эквивалентное значение для каждой суммы в этот момент времени и сравнить полученные значения.

Для нахождения эквивалентного значения в некоторый фиксированный момент времени t0 для двух сумм, относящихся к двум разным моментам времени (потока платежей, состоящего из двух денежных сумм), необходимо найти эквивалентные суммы для каждой из этих сумм в момент времени t0, а затем полученные результаты сложить.

Задача №27

Некоторой компании Вы должны будете выплатить $100 через год и $200 через три года. Сколько вы должны заплатить сегодня Компании, если Вы хотите выплатить весь свой долг полностью. Годовая процентная ставка по которой начисляются проценты 30%.

Решение:

Мы имеем две денежные суммы в разные моменты времени 1 и 3.

По правилу, описанному выше, мы должны заменить эти две суммы на одну эквивалентную сумму в моменты времени 0. Каждую сумму долга — (индекс показывает к какому моменту относится сумма) — мы заменяем на эквивалентные суммы в момент времени 0.

(Между 0-м и 1-м моментами срок — период, т.е. 1 год. Между 0-м и 3-м срок — 3 периода, т.е. 3 года). Складывая, получаем сумму долга иа 0-й момент времени:

Ответ: $167, 95.

Задача №28

Дан поток платежей см. рисунок ниже и ставка сложных процентов 20% годовых.

Найти эквивалентные значения для этого потока платежей в моменты времени 0, 2, 3.

Решение:

Эквивалентное значение в момент времени 0

В момент времени 2

В момент времени 3

Ответ: .

Пусть имеется поток платежей, состоящий из выплат с интервалом один год. Временная шкала приведенного потока платежей имеет единицу измерения — год. Тогда произвольный поток платежей, состоящий из выплаты с интервалом один год можно изобразить следующим образом

— величина выплаты в момент времени . И пусть фиксированы годовая процентная ставка и некоторый момент времени . Тогда эквивалентным значение по ставке в момент для заданного потока платежей является величина , равная

Покажем на примере как пользоваться этой формулой.

Задача №29

Дан поток платежей см. рисунок ниже и ставка сложных процентов 40% годовых.

Найти эквивалентные значения для этого потока платежей в моменты времени 1,4, 5.

Решение:

По условию задачи имеем

Рассмотрим момент времени 1 ( = 1). В этом случае формула (*) принимает вид

2. Рассмотрим момент времени 4 ( = 4 ). В этом случае имеем

Рассмотрим момент времени 5 ( = 5), тогда

Ответ:

Потоки платежей. Понятие текущего и наращенного значений потока платежей

К оглавлению…

Пусть имеется поток платежей, состоящий из выплаты с интервалом один год.

Временная шкала приведенного потока платежей имеет единицу измерения — год. Тогда произвольный поток платежей, состоящий из выплаты с интервалом один год можно изобразить следующим образом

где — величина выплаты в момент времени

Пусть фиксированы годовая процентная ставка и некоторый момент времени . Тогда эквивалентным значение по ставке в момент для заданного потока платежей является величина равная

Напомним, что — годовая процентная ставка сложных процентов.

Значение называется текущим значением потока платежей по ставке сложных процентов , а значение — наращенным значением потока платежей на момент времени n по ставке сложных процентов .

Задача №30

Найти текущее и наращенное потока платежей, если . Годовая процентная ставка 25%. Срок между выплатами последовательных платежей — год. Срок платежей .

Решение:

Текущее значение по ставке сложных процентов

Наращенное значение по ставке сложных процентов

Ответ: Текущее значение — 182,4; наращенное значение — 445,31.

Кстати тут готовые задачи на продажу, может подберёте для себя там чтонить.

Ренты. Текущее и наращенное значения ренты

К оглавлению…

Рассмотрим поток платежей, состоящий из выплаты с интервалом один год.

Если для любого , то такой поток платежей называется обычной рентой. А значит текущее значение обычной ренты

а наращенное значение обычной ренты

Если для любого , то такой поток платежей называется приведенной рентой. Текущее значение приведенной ренты

а наращенное значение приведенной ренты

Значение задает срок ренты и измеряется в годах.

Задача №31

Найти текущее и наращенное значение обычной ренты, если Годовая процентная ставка 20%. Срок ренты 10 лет.

Решение:

Текущее значение

Наращенное значение

Ответ: Текущее значение — 419,247, наращенное значение -2595,86

Задача №32

Найти текущее и наращенное значение приведенной ренты, если . Годовая процентная ставка 30%. Срок ренты 5 лет.

Решение:

Текущее значение

Наращенное значение

Ответ: Текущее значение — 633,248;

наращенное значение — 2351,206.