Взаимное положение двух прямых

Взаимное положение двух прямых

Две прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекаться или скрещиваться. Запомните характерные признаки расположения на чертеже проекций двух различно расположенных прямых.

Параллельные прямые. Если прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции на чертеже также параллельны. На рис. 2.11 изображены параллельные прямые и . На чертеже фронтальные и горизонтальные проекции прямых параллельны: и

Пересекающиеся прямые. Если прямые в пространстве пересекаются, то на чертеже проекции точки пересечения прямых лежат на одной линии связи. На рис. 2.12 изображены проекции пересекающихся прямых и .

Проекции точки их пересечения лежат на пересечении одноименных проекций прямых и на одной линии связи.

Скрещивающиеся прямые. Если две прямые не параллельны и не пересекаются, то они в пространстве скрещиваются. На чертеже их проекции могут накладываться, образуя конкурирующие точки, лежащие на одном проецирующем луче. На рис. 2.13 изображены проекции двух скрещивающихся прямых и

Их одноименные проекции накладываются и образуют четыре конкурирующие точки (2 пары):

  • конкурирующие точки 1 и 2 лежат на одном проецирующем луче, перпендикулярном плоскости проекций , но принадлежат разным прямым: точка 1 принадлежит прямой , а точка 2 — прямой ; горизонтальные проекции точек 1 и 2 совпадают;
  • конкурирующие точки 3 и 4 лежат на проецирующем луче, перпендикулярном плоскости проекций , но принадлежат разным прямым: точка 3 принадлежит прямой , а точка 4 — прямой ; фронтальные проекции точек 3 и 4 совпадают.

!!! Конкурирующие точки, как было сказано выше, позволяют наблюдателю определить по чертежу относительное расположение прямых по их удаленности от плоскостей проекций и :

  • по конкурирующим точкам 1 и 2 при взгляде на них сверху вниз на плоскость (по стрелке) видно, что точка 1 расположена выше точки 2 (координата больше координаты ), т. е. на горизонтальной проекции прямая расположена над прямой ;
  • по конкурирующим точкам 3 и 4 при взгляде на них снизу вверх на плоскость (по стрелке) видно, что точка 3 расположена ближе к наблюдателю (координата больше координаты ), т. е. на фронтальной проекции прямая расположена перед прямой .

Теорема о проекции прямого угла. Частное положение прямых — перпендикулярные прямые

Пересекающиеся прямые в пространстве могут быть расположены под прямым углом, т. е. взаимно перпендикулярно. Прямой угол между перпендикулярными прямыми может проецироваться на чертеж в натуральную величину при определенном условии.

Теорема о проекции прямого угла:

  • если одна сторона прямого угла параллельна какой-либо плоскости проекций, а вторая сторона ей не перпендикулярна, то на эту плоскость проекций угол проецируется в натуральную величину, т. е. прямым

На рис. 2.14 дано изображение, поясняющее теорему о проекции

прямого угла. Две перпендикулярные прямые и , образующие плоскость , проецируются на некоторую плоскость проекций . Прямая по условию параллельна этой плоскости проекций. Доказательство теоремы основано на известной из геометрии теореме о трех перпендикулярах (обратная теорема): прямая , проведенная в плоскости перпендикулярно наклонной прямой перпендикулярна и ее проекции; следовательно, угол — прямой.

!!! Для решения многих задач начертательной геометрии требуется по условию строить проекции прямого угла.

На рис. 2.15, а, б показано построение на чертеже недостающей фронтальной проекции прямого угла .

На рис. 2.15, а изображено графическое условие задачи: дана горизонтальная проекция прямого угла и фронтальная проекции одной стороны этого угла.

На рис. 2.15, б показано решение задачи: так как одна сторона прямого угла по условию является фронтальной прямой, т. е. параллельна фронтальной плоскости проекций , то по теореме о проекции прямого угла на плоскость заданный прямой угол должен проецироваться прямым; следовательно, фронтальную проекцию стороны прямого угла проводим перпендикулярно заданной фронтальной проекции стороны .

На рис. 2.16, а, б показано построение на чертеже недостающей горизонтальной проекции прямого угла .

На рис. 2.16, а изображено графическое условие задачи: дана фронтальная проекция прямого угла и горизонтальная проекция одной стороны этого угла.

На рис. 2.16, б показано решение задачи: так как одна сторона прямого угла по условию является горизонтальной прямой, т. е. параллельна горизонтальной плоскости Рис. 2.16 проекций , то по теореме о проекции прямого угла на плоскость заданный прямой угол ECD должен проецироваться прямым; следовательно, горизонтальную проекцию стороны угла проводим перпендикулярно заданной горизонтальной проекции стороны .

Структуризация материала второй лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 2.17 (лист 1). На последующих листах 2-4 компактно приведены иллюстрации к этой схеме, способствующие закреплению изученного материала и его быстрому визуальному повторению (рис. 2.18-2.20).

Эта теория взята со страницы лекций для 1 курса по предмету «начертательная геометрия»:

 Начертательная геометрия для 1 курса

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Понятие о следах прямой
Прямые особого (частного) положения
Точка и прямая в плоскости
Проекции плоскости