Взаимное положение двух плоскостей, прямой линии и плоскости

Взаимное положение двух плоскостей, прямой линии и плоскости

Плоскости в пространстве могут быть параллельными или пересекающимися.

Плоскости параллельные

Из геометрии известно: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Следовательно, на чертеже у параллельных плоскостей должны быть соответственно параллельны одноименные проекции двух пересекающихся прямых, лежащих в каждой из плоскостей. Этот признак параллельных плоскостей используется для определения на чертеже параллельности двух заданных плоскостей и построения параллельных плоскостей.

На рис. 4.1 показано построение плоскости , проведенной через заданную точку , параллельно заданной плоскости .

Для решения задачи следует выполнить следующие графические действия:

1-е действие. В заданной плоскости , построить вспомогательную прямую, например, горизонталь , то есть создать в плоскости пересекающиеся прямые.

2-е действие. Через заданную точку провести две пересекающиеся прямые и ,

параллельные двум пересекающимся прямым и заданной плоскости :

-прямую параллельно прямой (или ;

-прямую параллельно вспомогательной прямой .

Построенная плоскость будет параллельна заданной плоскости , так как две пресекающиеся прямые и плоскости а соответственно параллельны двум пересекающимся прямым и построенной плоскости .

Параллельность прямой и плоскости Из геометрии известно: прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, на чертеже (рис. 4.1) прямая, например, параллельна плоскости , так как проекции прямой проведены параллельно одноименным проекциям прямой , лежащей в этой плоскости.

Плоскости пересекающиеся

Общим элементом пересечения двух плоскостей является прямая линия, принадлежащая обеим плоскостям.

Плоскости, как известно, могут занимать частные и общее положения относительно плоскостей проекций, и поэтому при пересечении двух плоскостей возможны три случая:

1-й случай — обе плоскости занимают частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае искомой линией пересечения является проецирующая прямая, проекция которой, вырожденная в точку, лежит на пересечении вырожденных в прямые проекциях плоскостей.

На рис. 4.2 изображены две пересекающиеся фронтально-проецирующие плоскости и , элементом пересечения которых является фронтально-проецирующая прямая (соответственно, горизонтально-проецирующие плоскости пересекаются по горизонтально-проецирующей прямой). Фронтальная и вырожденная в точку проекция линии пересечения лежит на пересечении фронтальных, вырожденных в прямые, проекциях (следах) плоскостей, а горизонтальная проекция линии пересечения — прямая, перпендикулярная оси .

2-й случай — только одна из плоскостей занимает частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае одна из проекций искомой линии пересечения совпадает с вырожденной проекцией плоскости частного положения, а другую проекцию линии пересечения требуется построить.

На рис. 4.3 изображены две пересекающиеся плоскости, из которых плоскость , заданная своим горизонтальным следом , является горизонтально-проецирующей, а другая плоскость, заданная треугольником , — плоскость общего положения. Горизонтальная проекция искомой линии пересечения плоскостей в этом случае совпадает со следом плоскости , а фронтальная проекция линии пересечения построена по принадлежности точек и сторонам треугольника .

3-й случай — пересечение двух плоскостей общего положения, проекции которых в пределах чертежа накладываются, рассмотрим ниже.

!!! Если пересекаются три плоскости, то элементом их пересечения является точка!

Эта теория взята со страницы лекций для 1 курса по предмету «начертательная геометрия»:

 Начертательная геометрия для 1 курса

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Точка и прямая в плоскости
Понятие о следах плоскости
Перпендикулярность
Пересечение прямой с плоскостью