Высшая математика для 1 курса

Курс лекций для студентов 1 курса по высшей математике любых форм обучения. Я собрала теорию и примеры с решениями к каждой теме, чтобы вы смогли подготовиться к экзамену или освежить память перед контрольной работой!

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Высшая математика

Высшая математика — это курс обучения в высших учебных заведениях, включающий высшую алгебру и математический анализ для 1 курса.

Высшая математика включает обычно аналитическую геометрию, элементы высшей и линейной алгебры, дифференциальное и интегральное исчисления, дифференциальные уравнения, теорию множеств, теорию вероятностей и элементы математической статистики.

Часто используется в экономике и технике. Является обязательным предметом в российских высших учебных заведениях, за исключением специальностей, в которых различные разделы математики разнесены по разным дисциплинам.

Линейная алгебра

Линейная алгебра — раздел алгебры, изучающий объекты линейной природы: векторные (или линейные) пространства, линейные отображения[⇨], системы линейных уравнений[⇨], среди основных инструментов, используемых в линейной алгебре — определители, матрицы[⇨], сопряжение. Теория инвариантов и тензорное исчисление обычно (в целом или частично) также считаются составными частями линейной алгебры. Такие объекты как квадратичные и билинейные формы[⇨], тензоры[⇨] и операции как тензорное произведение непосредственно вытекают из изучения линейных пространств, но как таковые относятся к полилинейной алгебре.

Курс лекций на темы:

  1. Матрицы, частные виды матриц: определение и примеры
  2. Операции с матрицами: определения и пример с решением
  3. Определители 2 и 3 порядков, вычисление, свойства
  4. Минор, алгебраическое дополнение, разложение определителя по элементам ряда
  5. Обратная матрица, её вычисление
  6. Решение определенных систем с помощью обратной матрицы
  7. Решение определенных систем с помощью правила Крамера
  8. Решение систем с помощью метода Гаусса
  9. Ранг матрицы. Критерий совместности систем линейных алгебраических уравнений

Векторная алгебра

Векторная алгебра в математике расположена по разделам:

  • раздел векторного исчисления, изучающий линейные операции с векторами и их геометрические свойства;
  • часть линейной алгебры, занимающаяся векторными пространствами;
  • различные векторные алгебры XIX века (например, кватернионов, бикватернионов, сплит-кватернионов).

Курс лекций на темы:

  1. Векторы. Линейные операции над векторами
  2. Разложение вектора по базису: определение и пример с решением
  3. Скалярное произведение векторов: определение и пример с решением
  4. Векторное произведение векторов: определение и пример с решением
  5. Смешанное произведение трёх векторов: определение и пример с решением

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия — раздел геометрии, в котором геометрические фигуры и их свойства исследуются средствами алгебры. В основе этого метода лежит так называемый метод координат, впервые применённый Декартом в 1637 году. Каждому геометрическому соотношению этот метод ставит в соответствие некоторое уравнение, связывающее координаты фигуры или тела. Такой метод «алгебраизации» геометрических свойств доказал свою универсальность и плодотворно применяется во многих естественных науках и в технике. В математике аналитическая геометрия является также основой для других разделов геометрии — например, дифференциальной, алгебраической, комбинаторной и вычислительной геометрии.

Курс лекций на темы:

  1. Уравнения прямой линии на плоскости
  2. Уравнения плоскости в пространстве
  3. Эллипс, гипербола, парабола

Пределы, непрерывность функций

Понятие предела бесконечной числовой последовательности и предела функции лежит в основе всей теории дифференциального и интегрального исчисления.

Непрерывность функции. Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если: 1)эта функция определена в некоторой окрестности точки a; 2)существует предел lim f(x) ; →ax.

Курс лекций на темы:

  1. Предел бесконечной числовой последовательности
  2. Предел функции при x>a
  3. Предел функции при x>∞
  4. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин
  5. Свойства пределов в высшей математике
  6. Кратко о двух замечательных пределов
  7. Сравнение бесконечно малых функций
  8. Эквивалентные бесконечно малые величины: теоремы и таблица
  9. Непрерывность функции

Производная функции

Производная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует.

Курс лекций на темы:

  1. Производная. Геометрический смысл производной
  2. Правила дифференцирования и таблица производных основных функций
  3. Дифференцирование логарифмических, параметрических и неявно заданных функций
  4. Производные высших порядков: определение и пример с решением
  5. Дифференциал функции, его свойства и применение
  6. Применение 1-й и 2-й производной для исследования функций

Неопределенный интеграл

Неопределённый интеграл для функции f(x) — это совокупность всех первообразных данной функции.

Курс лекций на темы:

  1. Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства
  2. Таблица интегралов и табличное интегрирование
  3. Интегрирование по частям
  4. Интегрирование подстановкой
  5. Интегрирование простейших рациональных дробей
  6. Разложение многочлена на множители
  7. Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей
  8. Интегралы от иррациональных функций
  9. Интегрирование тригонометрических функций
  10. Интегрирование иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок

Определенный интеграл

Определённый интеграл — одно из основных понятий математического анализа, один из видов интеграла. Определённый интеграл является числом, равным пределу сумм особого вида (интегральных сумм)[⇨]. Геометрически определённый интеграл выражает площадь «криволинейной трапеции», ограниченной графиком функции[⇨]. В терминах функционального анализа, определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Курс лекций на темы:

  1. Задача о площади криволинейной трапеции, определение определенного интеграла
  2. Все свойства определённого интеграла
  3. Формула Ньютона — Лейбница
  4. Способы вычисления определённого интеграла
  5. Несобственные интегралы: определение и пример с решением

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Курс лекций на темы:

  1. Функции нескольких переменных. Область определения, граница. Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность
  2. Частные приращения и частные производные. Теорема о равенстве частных смешанных производных
  3. Полное приращение и полный дифференциал
  4. Производная по направлению
  5. Градиент и его свойства
  6. Экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Курс лекций на темы:

  1. Основные определения о дифференциальных уравнениях
  2. Дифференциальные уравнения первого порядка
  3. Уравнения с разделяющимися переменными
  4. Линейные уравнения первого порядка
  5. Задача Коши для уравнения 1-го порядка
  6. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
  7. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

Двойные интегралы

Курс лекций на темы:

  1. Двойной интеграл. Объём цилиндрического тела
  2. Основные свойства и приложения двойного интеграла
  3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Возможно эти страницы вам будут полезны: