Техническая механика: готовые задачи

Задачи на тему: «Связи и их реакции»

К оглавлению…

Задача №1.

Груз подвешен на стержнях и канатах и находится в равновесии (рис. 1.13). Изобразить систему сил, действующих на шарнир .

Решение:

  1. Реакции стержней направлены вдоль стержней, реакции гибких связей направлены вдоль нитей в сторону натяжения (рис. 1.13а).
  2. Для определения точного направления усилий в стержнях мысленно убираем последовательно стержни 1 и 2. Анализируем возможные перемещения точки . Неподвижный блок с действующими на него силами не рассматриваем.
  3. Убираем стержень 1, точка поднимается и отходит от стены, следовательно, реакция стержня 1 направлена к стене.
  4. Убираем стержень 2, точка поднимается и приближается к стене, следовательно, реакция стержня 2 направлена от стены вниз.
  5. Канат тянет вправо.
  6. Освобождаемся от связей (рис. 1.136).

Задача №2.

Шар подвешен на нити и опирается на стену (рис. 1.14а). Определить реакции нити и гладкой опоры (стенки).

Решение:

  1. Реакция нити — вдоль нити к точке вверх (рис. 1.146).
  2. Реакция гладкой опоры (стенки) — по нормали от поверхности опоры.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет техническая механика

Задачи на тему: «Плоская система сходящихся сил»

К оглавлению…

Задача №3.

Груз подвешен на стержнях и находится в равновесии. Определить усилия в стержнях (рис. 2.5а).

Решение:

  1. Усилия, возникающие в стержнях крепления, по величине равны силам, с которыми стержни поддерживают груз (5-я аксиома статики) (рис. 2.5а). Определяем возможные направления реакций связей «жесткие стержни».

Усилия направлены вдоль стержней.

  1. Освободим точку от связей, заменив действие связей их реакциями (рис. 2.56).
  2. Система находится в равновесии. Построим треугольник сил. Построение начнем с известной силы, вычертив вектор в некотором масштабе.

Из концов вектора проводим линии, параллельные реакциям и . Пересекаясь, линии создадут треугольник (рис. 2.5в). Зная масштаб построений и измерив длину сторон треугольника, можно определить величину реакций в стержнях.

  1. Для более точных расчетов можно воспользоваться геометрическими соотношениями, в частности теоремой синусов: отношение стороны треугольника к синусу противоположного угла — величина постоянная

Для данного случая:

Замечание. Если направление вектора (реакции связи) на заданной схеме и в треугольнике сил не совпало, значит, реакция на схеме должна быть направлена в противоположную сторону.

Задача №4.

Груз подвешен на стержнях и канатах и находится в равновесии.

Определить усилия в стержнях (рис. 2.6а).

Решение:

  1. Нанесем на схему возможные направления усилий, приложенных в точке . Реакции стержней — вдоль стержней, усилие от каната — вдоль каната от точки к точке .
  2. Груз находится в равновесии, следовательно, в равновесии находится точка , в которой пересекаются три силы. Освободим точку А от связей и рассмотрим ее равновесие (рис. 2.66). Замечание. Рассмотрим только силы, приложенные к точке . Груз растягивает канат силой 45 кН по всей длине, поэтому усилие от каната известно: .
  3. Строим треугольник для сил, приложенных в точке , начиная с известной силы . Стороны треугольника параллельны предполагаемым направлениям сил, приложенных в точке . Образовался прямоугольный треугольник (рис. 2.6в).
  4. Неизвестные реакции стержней можно определить из соотношений в прямоугольном треугольнике:

Замечание. При равновесии векторы сил в треугольнике направлены один за другим (обходим треугольник по часовой стрелке). Сравним направления сил в треугольнике с принятыми в чале расчета на рис. 1.26а. Направления совпали, следовательно, направления реакций определены верно.

Задача №5.

Определить величины и знаки проекций представленных на рис. 3.6 сил.

Задача №6.

Определить величину и направление равнодействующей плоской системы сходящихся сил аналитическим способом.

Решение:

  1. Определяем проекции всех сил системы на (рис. 3.7а):

Сложив алгебраически проекции, получим проекцию равнодействующей на ось .

Знак говорит о том, что равнодействующая направлена влево. 2. Определяем проекции всех сил на ось значения проекций, получим величину проекции .

Сложив алгебраически значения проекций, получим величину проекции равнодействующей на ось .

Знак проекции соответствует направлению вниз. Следовательно, равнодействующая направлена влево и вниз (рис. 3.76).

Определяем модуль равнодействующей по величинам проекций:

Определяем значение угла равнодействующей с осью :

И значение угла с осью .

Задача №7.

Система трех сил находится в равновесии. Известны проекции двух сил системы на взаимно перпендикулярные оси и :

Определить, чему равна и как направлена третья сила системы.

Решение:

  • Из уравнений равновесия системы определяем:
  • По полученным величинам проекций определяем модуль силы:
  • Направление вектора силы относительно оси (рис. 3.8):

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по технической механике

Задачи на тему: «Пара сил. Момент нары сил»

К оглавлению…

Задача №8.

Дана пара сил ; плечо 2 м. Заменить заданную пару сил эквивалентной парой с плечом 0,7 м (рис. 4.5).

Решение:

Пары сил эквивалентны, если моменты этих пар численно равны:

Задача №9.

Дана система пар сил (рис. 4.6). Определить момент результирующей пары.

Решение:

Момент результирующей пары равен алгебраической сумме моментов пар системы:

Подставив численные значения, получим:

Знак свидетельствует о том, что момент вызывает вращение по часовой стрелке. Величину силы и плеча определить не удается.

Примечание. Чтобы уравновесить данную систему пар, необходимо приложить пару сил, равную по модулю и направленную в обратную сторону. Такую пару сил называют уравновешивающей.

Задача №10.

Рассчитать сумму моментов сил относительно точки 0 (рис. 4.7).

Решение:

  1. Момент силы относительно точки численно равен произведению модуля силы на плечо силы.
  2. Момент силы равен нулю, если линия действия силы проходит через точку.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения задач технической механике

Задачи на тему: «Плоская система произвольно расположенных сил»

К оглавлению…

Задача №11.

Найти момент присоединенной пары при переносе силы в точку (рис. 5.3).

Решение:

Используем теорему Пуансо.

Задача №12.

Найти главный вектор системы (рис. 5.4).

Решение:

Главный вектор равен геометрической сумме сил:

Задача №13.

Найти главный момент системы относительно точки (использовать данные примера 2).

Решение:

Главный момент равен алгебраической сумме моментов сил относительно точки приведения:

Задача №14.

К телу приложена уравновешенная система сил (рис. 5.5). Две из них неизвестны. Определить неизвестные силы. . Наносим оси координат и используем уравнения равновесия:

Задача №15.

Консольная (защемленная) балка нагружена сосредоточенными силами и парой сил (рис. 6.7). Определить реакции заделки.

Решение:

  • В заделке может возникнуть реакция, представляемая двумя составляющими , и реактивный момент . Наносим на схему балки возможные направления реакций.

Замечание. Если направления выбраны неверно, при расчётах получим отрицательные значения реакций.

В силу малой ширины балки считают, что все точки балки находятся на одной прямой; все три неизвестные реакции приложены в одной точке. Для решения удобно использовать систему уравнений равновесия в первой форме. Каждое уравнение будет содержать одну неизвестную.

  • Используем систему уравнений:

Знаки полученных реакций (+), следовательно, направления реакций выбраны верно.

  1. Для проверки правильности решения составляем уравнение моментов относительно точки .

Проверка:

Подставляем значения полученных реакций:

Решение выполнено верно.

Задача №16.

Двухопорная балка с шарнирными опорами и нагружена сосредоточенной силой , распределенной нагрузкой с интенсивностью и парой сил с моментом (рис. 6.8а). Определить реакции опор.

Решение:

  1. Левая опора (точка ) — подвижный шарнир, здесь реакция направлена перпендикулярно опорной поверхности. Правая опора (точка ) — неподвижный шарнир, здесь наносим две составляющие реакции вдоль осей координат. Ось совмещаем продольной осью балки.
  2. Поскольку на схеме возникнут две неизвестные вертикальные реакции, использовать первую форму уравнений равновесия нецелесообразно.
  3. Заменяем распределенную нагрузку сосредоточенной: Сосредоточенную силу помещаем в середине пролета(рис. 6.86).
  4. Наносим возможные реакции в опорах (направление произвольное).
  5. Для решения выбираем уравнение равновесия в виде

Составляем уравнения моментов относительно точек крепления:

Проверка:

Следовательно, реакции определены верно.

Знак «минус» у реакций и указывает на то, что они направлены в противоположную сторону.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Курсовая работа по технической механике

Задачи на тему: «Пространственная система сил»

К оглавлению…

Задача №17.

На тело в форме куба с ребром — 10 см действуют три силы (рис. 7.6). Определить моменты сил относительно осей координат, совпадающих с ребрами куба.

Решение:

  • Моменты сил относительно оси :
  • Моменты сил относительно оси :
  • Моменты сил относительно оси :

Задача №18.

На горизонтальном валу закреплены два колеса,), ; . Остальные размеры — на рис. 7.7. К колесу 1 приложена сила , к колесу 2 — силы . Определить силу и реакции в шарнирах и в состоянии равновесия.

Напомним:

  1. При равновесии выполняются шесть уравнений равновесия. Уравнения моментов следует составлять относительно опор и .
  2. Силы

Моменты этих сил относительно соответствующих осей равны нулю.

Расчёт следует завершить проверкой, использовав дополнительные уравнения равновесия.

Решение:

Определяем силу , составив уравнение моментов сил относительно оси :

Определяем реакции в опоре . На опоре действуют две составляющие реакции .

Составляем уравнение моментов сил относительно оси (в опоре ). Поворот вокруг оси не происходит:

Знак «минус» означает, что реакция направлена в противоположную сторону. Поворот вокруг оси не происходит, составляем уравнение моментов сил относительно оси (в опоре ):

Определяем реакции в опоре . На опоре действуют две составляющие реакции . Составляем уравнение моментов сил относительно оси (опора ):

Составляем уравнение моментов относительно оси (опора ):

Проверка. Используем уравнения проекций:

Следовательно, реакции определены верно.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Контрольная работа по технической механике

Задачи на тему: «Центр тяжести»

К оглавлению…

Задача №19.

Определить положение центра тяжести фигуры, представленной на рис. 8.4.

Решение:

Аналогично определяется

Задача №20.

Определить координаты центра тяжести составного сечения. Сечение состоит из листа и прокатных профилей (рис. 8.5). Примечание. Часто рамы сваривают из разных профилей, получая необходимую конструкцию. Таким образом, уменьшается расход металла и образуется конструкция высокой прочности.

Для стандартных прокатных профилей собственные геометрические характеристики известны. Они приводятся в соответствующих таблицах прокатного профиля.

Решение:

  • Обозначим фигуры номерами и выпишем из таблиц необходимые данные:

1 — швеллер № 10 (ГОСТ 8240-89); высота ; ширина полки ; площадь сечения ;

2 — двутавр № 16 (ГОСТ 8239-89); высота 160 мм; ширина полки 81мм; площадь сечения ;

3 — лист 5×100; толщина 5 мм; ширина 100 мм; площадь сечения

  • Координаты центров тяжести каждой фигуры можно определить по чертежу.

Составное сечение симметрично, поэтому центр тяжести находится на оси симметрии и координата .

Лист 3:

  • Определение центра тяжести составного сечения:

Возможно эта страница вам будет полезна:

Помощь по технической механике

Задачи на тему: «Кинематика точки»

К оглавлению…

Задача №21.

По заданному закону движения определить вид движения, начальную скорость и касательное ускорение точки, время до остановки.

(Рекомендуется обойтись без расчетов, использовать метод сравнения заданного уравнения с уравнениями различных видов движений в общем виде.)

Решение:

  1. Вид движения: равнопеременное
  2. При сравнении уравнений очевидно, что

— начальный путь, пройденный до начала отсчета 10 м;

— начальная скорость 20 м/с;

— постоянное касательное ускорение

— ускорение отрицательное, следовательно, движение равнозамедленное, ускорение направлено в сторону, противоположную направлению скорости движения.

  1. Определяем время, при котором скорость точки будет равна нулю:

Примечание: Если при равнопеременном движении скорость растет, значит, ускорение — положительная величина, график пути — вогнутая парабола. При торможении скорость падает, ускорение (замедление) — отрицательная величина, график пути — выпуклая парабола.

Задача №22.

Точка движется по желобу из точки в точку . Как изменятся касательное и нормальное ускорения при прохождении точки через и ?

Скорость движения считать постоянной. Радиус участка , радиус участка .

Решение:

  1. Рассмотрим участок . Касательное ускорение равно нулю . Нормальное ускорение при переходе через точку увеличивается в 2 раза, оно меняет направление, т. к. центр дуги не совпадает с центром дуги .
  2. На участке :

— касательное ускорение равно нулю: ;
— нормальное ускорение при переходе через точку меняется: до точки движение вращательное, после точки движение становится прямолинейным, нормальное напряжение на прямолинейном участке равно нулю. 3. На участке полное ускорение равно нулю.

Задача №23.

По заданному графику скорости найти путь, пройденный за время движения.

Решение:

  1. По графику следует рассмотреть три участка движения. Первый участок — разгон из состояния покоя (равноускоренное движение).

Уравнение скорости .

Ускорение

Второй участок — равномерное движение:

Третий участок — торможение до остановки (равнозамедленное движение)

Уравнение скорости

  • Путь, пройденный за время движения, будет равен:

Задача №24.

Тело, имевшее начальную скорость 36 км/ч, прошло 50 м до остановки. Считая движение равнозамедленным, определить время торможения.

Решение:

  1. Записываем уравнение скорости для равнозамедленного движения:
  • Определяем начальную скорость в м/с:
  • Выразим ускорение (замедление) из уравнения скорости:
  • Записываем уравнение пути:

После подстановки получим:

  • Определяем время до полной остановки (время торможения):

Задача №25.

По заданному графику угловой скорости определить вид вращательного движения,

Решение:

  1. Участок 1 — неравномерное ускоренное движение, .
  2. Участок 2 — скорость постоянна — движение равномерное .
  3. Участок 3 — скорость убывает равномерно — равнозамедленное движение, .

Задача №26.

Ротор электродвигателя вращается со скоростью, описываемой уравнением Определить вид движения.

Решение

  1. Анализируем выражение для скорости: скорость меняется и зависит от времени линейно. Следовательно, угловое ускорение — постоянно, .
  2. Движение равнопеременное (равноускоренное, т. к. ускорение положительно).

Задача №27.

Тело вращалось равноускоренно из состояния покоя сделало 360 оборотов за 2 мин. Определить угловое ускорение.

Решение:

  • Один оборот равен радиан. Следовательно:
  • Закон равпопеременного вращательного движения

В данном случае

Следовательно,

Откуда

  • Угловое ускорение равно

Задача №28.

Тело вращалось с угловой частотой 1200 об/мин. Затем движение стало равнозамедленным, и за 30 секунд скорость упала до 900 об/мин. Определить число оборотов тела за это время и время до полной остановки.

Решение:

Построить график изменения скорости за 30 с (рис. 11.9). Определяем угловую скорость вращения тела:

Определяем угловое ускорение:

Определяем угол поворота за прошедшее время:

Число оборотов за 30 с:

Определяем время до полной остановки. Скорость при остановке равна нулю, Таким образом, Тогда

Задача №29.

Маховое колесо вращается равномерно со скоростью 120 об/мин (рис. 11.10). Радиус колеса 0,3 м. Определить скорость и полное ускорение точек на ободе колеса, а также скорость точки, находящейся на расстоянии 0,15 м от центра.

Решение:

Угловая скорость

Линейная скорость на ободе колеса

Скорость в точке (рис. 11.10)

Угловое ускорение

Касательное ускорение точки нормальное ускорение точки

Полное ускорение точек на ободе колеса

Возможно эта страница вам будет полезна:

Заказать работу по технической механике

Задачи на тему: «Сложное движение точки»

К оглавлению…

Задача №30.

Рассмотрим механизм, в котором стержень вращается вокруг точки со скоростью . Вдоль стержня перемещается ползун со скоростью . Определить абсолютную скорость точки .

Решение:

  1. Относительное движение — вдоль стержня; скорость
  2. Переносное движение — вращение стержня; скорость .
  3. Скорость абсолютного движения

Задача №31.

Стержень соскальзывает вниз, опираясь концами о стену и пол

Длина стержня 1,5 м; в момент, изображенный на чертеже, скорость точки .

Найти скорость точки .

Решение:

  • Найдем положение МЦС. Скорости точек и направлены вдоль стены и вдоль пола. Восстанавливая перпендикуляры к векторам скоростей, находим МЦС.
  • По известной скорости vbопределяем угловую скорость стержня:
  • Скорость точки :

Задачи на тему: «Основные понятия и аксиомы динамики»

К оглавлению…

Задача №32.

Свободная материальная точка, масса которой 5 кг, движется согласно уравнению . Определить величину движущей силы.

Решение:

  1. Ускорение точки: .
  2. Действующая сила согласно основному закону динамики

Задача №33.

К двум материальным точкам массой и приложены одинаковые силы. Сравнить величины ускорений.

Решение:

Согласно третьей аксиоме динамики ускорения обратно пропорциональны массам:

Задача №34.

На материальную точку действует система сил (рис. 13.5). Определить числовое значение ускорения, полученного материальной точкой =7 кг. Остальные данные представлены на чертеже.

Решение:

1-й вариант.

Определяем суммарную силу, действующую на точки:

Определяем ускорение, сообщенное точке:

2-й вариант.

Определяем ускорение от каждой из сил системы (рис. 13.5 б):

Определяем суммарное ускорение:

Возможно эта страница вам будет полезна:

Яблонский решебник

Задачи на тему: «Метод кинетостатики»

К оглавлению…

Задача №35.

Рассмотрим движение платформы по шероховатой поверхности с ускорением (рис. 14.4).

Решение:

Активные силы: движущая сила, сила трения, сила тяжести. Реакция в опоре . Прикладываем силу инерции в обратную от ускорения сторону. По принципу Даламбера, система сил, действующих на платформу, становится уравновешенной, и можно составить уравнения равновесия. Наносим систему координат и составляем уравнения проекций сил.

Задача №36.

Тело весом 3500 Н движется вверх по наклонной плоскости согласно уравнению . Определить величину движущей силы, если коэффициент трения тела о плоскость .

Решение:

  • Составим расчетную схему, берем систему координат с осью вдоль наклонной плоскости. Активные силы: движущая, сила трения, сила тяжести. Наносим акцию в опоре перпендикулярно плоскости. Чтобы верно направить луч инерции, необходимо знать направление ускорения, определить это можно по уравнению движения. При движение равноускоренное.
  • Определяем ускорение движения:

Силу направим в обратную от ускорения сторону.

  • По принципу Даламбера составим уравнения равновесия:

Выразим неизвестную силу и решим уравнение:

Задача №37.

График изменения скорости лифта при подъеме известен. Масса лифта с грузом 2800 кг. Определить натяжение каната, на котором подвешен лифт на всех участках подъема.

Решение:

  1. Рассмотрим участок 1 — подъем с ускорением. Составим схему сил. Уравнение равновесия кабины лифта:

где — натяжение каната; — сила тяжести; — сила инерции, растягивающая канат.

Для определения ускорения на участке 1 учтем, что движение на этом участке равнопеременное, скорость

Следовательно, ускорение:

Определяем усилие натяжения каната при подъеме с ускорением

Рассмотрим участок 2 — равномерный подъем. Ускорение и сила инерции равны нулю.

Натяжение каната равно силе тяжести.

  1. Участок 3 — подъем с замедлением. Ускорение направлено в сторону, обратную направлению подъема. Составим схему сил (рис. 14.8).

Уравнение равновесия:

Отсюда

Ускорение (замедление) на этом участке определяется с учетом го, что .

Натяжение каната при замедлении до остановки:

Таким образом, натяжение каната меняется при каждом подъеме и опускании, канат выходит из строя в результате усталости материала, работоспособность зависит от времени.

Задача №38.

Самолет выполняет «мертвую петлю» при скорости 160 , радиус петли 1000 м, масса летчика 75 кг. Определить величину давления тела на кресло в верхней точке «мертвой петли».

Решение:

  1. Схема сил, действующих на летчика:

где — сила тяжести, — реакция в опоре, — сила инерции.

Сила давления летчика на кресло равна силе давления опоры на летчика.

  1. Уравнение равновесия (движение равномерное по дуге, действует только нормальное ускорение):

Задачи на тему: «Работа и мощность»

К оглавлению…

Задача №39.

Тело массой 200 кг поднимают по наклонной плоскости.

Определите работу при перемещении на 10 м с постоянной скоростью. Коэффициент трения тела о плоскость .

Решение:

  • При равномерном подъеме движущая сила равна сумме сил сопротивления движению. Наносим на схему силы, действующие на тело:
  • Используем теорему о работе равнодействующей:

Подставляем входящие величины и определяем работу по подъему:

Задача №40.

Определите работу силы тяжести при перемещении груза из точки в точку по наклонной плоскости. Сила тяжести тела 1500 Н. .

Решение:

  1. Работа силы тяжести зависит только от изменения высоты груза. Изменение высоты при перемещении из точки в :

Работа силы тяжести:

Задача №41.

Определите работу силы резания за 3 мин. Скорость вращения детали 120 об/мин, диаметр обрабатываемой детали 40 мм, сила резания 1 кН

Решение:

Работа при вращательном движении

где — сила резания.Угловая частота вращения 120 об/мин.

Число оборотов за заданное время составляет .

Угол поворота за это время . Работа за 3 мин .

Задача №42.

Определить потребную мощность мотора лебедки для подъема груза весом 3 кН на высоту 10 м за 2,5 с. КПД механизма лебедки 0,75.

Решение:

  1. Мощность мотора используется на подъем груза с заданной скоростью и преодоление вредных сопротивлений механизма лебедки. Полезная мощность определяется по формуле . В данном случае ; груз движется поступательно.
  2. Скорость подъема груза
  3. Необходимое усилие равно весу груза (равномерный подъем).
  4. Полезная мощность .
  5. Полная мощность, затрачиваемая мотором,

Задача №43.

Судно движется со скоростью 56 км/ч (рис. 16.4). Двигатель развивает мощность 1200 кВт. Определить силу сопротивления воды движению судна. КПД машины

Решение:

  • Определяем полезную мощность, используемую на движение с заданной скоростью:
  • По формуле для полезной мощности можно определить движущую силу судна с учетом условия . При равномерном движении движущая сила равна силе сопротивления воды:
  • Скорость движения судна
  • Сила сопротивления воды
  • Сила сопротивления воды движению судна

Задача №44.

Точильный камень прижимается к обрабатываемой детали с силой 1,5 кН. Какая мощность затрачивается на обработку детали, если коэффициент трения материала камня о деталь 0,28; деталь вращается со скоростью 100 об/мин, диаметр детали 60 мм.

Решение:

  • Резание осуществляется за счет трения между точильным камнем и обрабатываемой деталью:
  • Момент силы резания
  • Угловая скорость вращения детали
  • Мощность, необходимая для обработки детали: