Сущность метода интегрирования подстановкой

Сущность метода интегрирования подстановкой заключается в том, что путем введения новой переменной удаётся свести заданный интеграл к новому интегралу, который является табличным.

В основе метода подстановки лежит формула замены переменной в неопределенном интеграле:

Для нахождения неопределенного интеграла методом подстановки (замены переменной) целесообразно использовать следующий алгоритм:

  1. Введите новую переменную таким образом, чтобы под знаком интеграла стояла функция, содержащая (от этой функции должен существовать табличный интеграл), и производная .
  2. Найдите по формуле: .
  3. Выразите через (при этом помните, что если множитель в одной части формулы находился в числителе, то в другую часть он перейдет в знаменатель и наоборот: если множитель находился в знаменателе, то в другую часть он «перейдёт» в числитель).
  4. Подставьте и в исходный интеграл. Если подстановка выполнена верно, то произойдет сокращение одинаковых множителей и интеграл сведется к табличному относительно переменной .
  5. Пользуясь таблицей неопределённых интегралов, возьмите полученный интеграл с переменной .
  6. Перейдите от переменной интегрирования и к исходной переменной .

Рассмотрим применение метода подстановки на конкретных примерах.

Пример решения заказа контрольной работы №65.

Найдите

Решение:

1. Выполним подстановку с целью прийти к интегралу от функции .

Найдем по формуле

Выразим из выражения пункта 2

Подставим и в исходный интеграл:

Видим, что переменную можно сократить и прийти к интегралу относительно переменной и:

Для нахождения полученного интеграла константу вынесем за знак интеграла: По таблице неопределенных интегралов находим, что .

Поскольку

Ответ:

На этой странице вы сможете заказать контрольную работу и познакомиться с теорией и другими примерами решения:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Другие похожие примеры возможно вам будут полезны:

Нахождение полного дифференциала функции
Метод интегрирования некоторых сложных функций
Предел функции на бесконечности. Вычисление пределов путем раскрытии неопределенности вида бесконечности
Контрольная работа: Полное исследование функции и построение графика