Сопромат для чайников

Оглавление:

Для того чтобы научиться решать задачи по сопромату, нужно знать теорию. На этой странице я собрала краткий и полный курс лекций с формулами и определениями и со множеством примеров решения задач.

Если что-то непонятно, Вы всегда можете написать мне в воцап и я помогу!

На этой странице всё о предмете «сопротивление материалов»:

На этой странице полный курс лекций с решением задач по предмету «сопротивление материалов»:

На этой странице краткий курс лекций с примерами решения задач по предмету «сопротивление материалов»:

Ниже предоставлены задачи с подробным решением по всем темам сопротивления материалов.

Сопротивление материалов

Сопротивление материалов — это наука о прочности, жесткости и надежности инженерных конструктивных элементов. Методы сопротивления материалов используются для проведения практических расчетов и определения необходимых, как говорится, достоверных размеров деталей машин, различных конструкций и сооружений.

Основные понятия сопротивления материалов основаны на законах и теоремах общей механики и, прежде всего, на законах статики, без знания которых изучение этого предмета становится практически невозможным.

В отличие от теоретической механики, сопротивление материала рассматривает проблемы, где наиболее существенными являются свойства деформированных тел, а законы движения тел, как жесткое целое, не только отступают на задний план, но в некоторых случаях просто несущественны.

Целью сопротивления материалов является создание практически приемлемых простых методов расчета типичных, наиболее часто встречающихся элементов конструкций. Необходимость доводить каждую практическую задачу до определенного численного результата заставляет в некоторых случаях прибегать к упрощающим гипотезам — предположениям, которые впоследствии оправдываются сравнением расчетных данных с экспериментом.

Растяжение и сжатие. Статически определенная задача

Статически определимыми называют задачи, которые можно решать методами статики твердого тела, т. е. задачи, в которых число неизвестных не превышает числа уравнений равновесия.

Задача №1.3

Определить размеры поперечных сечений стержней металло-деревянной фермы. Материал стержней 1 и 2 — древесина с равным квадратным поперечным сечением; стержень 3 стальной, из двух равнополочных уголков (рис. 1.5, а).

Расчетные сопротивления: для стали R = 210 МПа, для древесины сопромат

сопромат для всех

Решение:

Нагрузка F через стержни 1 и 2 передается на опоры А и В, где возникают три реакции сопромат, которые могут быть определены из уравнений равновесия сопромат

Значит, эта система является статически определимой.

Поскольку стержни фермы соединяются между собой при помощи шарниров, действующая нагрузка может вызвать в них только продольные силы N, т. е. они подвергаются деформации растяжения-сжатия.

Рассматриваемая система относится к случаю, когда внутренние силы в ее стержнях можно определить без нахождения опорных реакций.

Для определения усилий в стержнях фермы используется метод сечений, по которому ферма «рассекается» на две части так, чтобы одновременно рассекались не более трех стержней.

Первое сечение проведем, как показано на рис. 1.5, б, и составим уравнения равновесия для узла С.

Искомые усилия сопромат,сопромат направим от сечения (считаем растягивающими):

сопромат

Решив уравнения, получим сопроматстержни 1 и 2 сжаты. Второе сечение проведем, как показано на рис. 15, в. Искомое усилие сопромат направим от сечения, а найденное сопромат— к сечению, так как стержень 2 сжат.

Уравнение равновесия узла В

сопромат

откуда

сопромат

Стержень 3 испытывает деформацию растяжения. Из условия прочности (1.2) определим значения площадей поперечных сечений стержней фермы. Для первого стержня

сопромат

сторона сечения сопромат

Для второго стержня

сопромат

сторона сечения сопромат

Конструктивно принимаем сопромат Для третьего стержня

сопромат

Для одного уголка

сопромат

Из таблицы сортамента равнополочных уголков принимаем два уголка 40 х 40 х 5 мм с площадью поперечного сечения

сопромат

Растяжение и сжатие. Статически неопределенная задача

Статически неопределёнными называют задачи с числом неизвестных, превышающим число уравнений равновесия сил, т. е. задачи, которые нельзя решать методами статики твёрдого тела и для решения которых нужно учитывать деформации тела, обусловленные внешними нагрузками.

Задача №1.7

Стальной стержень круглого поперечного сечения, жестко защемленный обоими концами в неподвижных опорах, нагружен системой расчетных сил F (рис. 1.9, а).

сопромат для всех

Определить минимально необходимый диаметр стержня, если R = 210 МПа, Е = 200 ГПа.

Решение:

Нагрузка F, действующая по продольной оси стержня, вызывает в опорах только по одной реакции сопромат по линии действия сил.

Сам стержень подвергается деформации растяжения-сжатия с образованием в его сечениях продольных сил N.

Неизвестные реакции направляются произвольно. Для данного стержня можно составить только одно уравнение равновесия:

сопромат

из которого две неизвестные величины не могут быть определены. Значит, рассматриваемый стержень является статически неопределимым.

Для проведения расчета стержень делится на расчетные участки с граничными сечениями, в которых приложены внешние силы (активные и реактивные). В задании — четыре расчетных участка, в пределах которых намечаются сечения I—IV. Заданным длинам l участков придается номер расчетного участкасопромат.

Для раскрытия статической неопределимости к уравнению равновесия необходимо составить одно дополнительное уравнение, исходя из принципа совместности перемещений его участков.

Для проведения расчета выбирается так называемая основная (статически определимая) система, которая получается из статически неопределимой путем удаления одной связи (здесь — опоры). Основная система загружается заданной нагрузкой и неизвестной реакцией удаленной опоры. Один из вариантов основной системы показан на рис. 1.9, б, где удалена верхняя опора.

Смысл совместности перемещений в этом задании заключается в том, что в основной системе, вследствие деформации расчетных участков стержня от действия нагрузки (сил F) и неизвестной реакции сопромат перемещение сечения сопромат должно быть равно нулю. Уравнение перемещений в общем виде

сопромат

Выразив деформации сопромат на участках стержня через продольные силы N по закону Гука сопромат и учтя, что на участках стержня сопромат получим

сопромат

или

сопромат

откуда сопромат

Полученный в результате вычислений знак «минус» при сопромат означает, что эта реакция имеет противоположное направление. Направлениесопромат (см. рис. 1.9, б) исправлено на действительное.

Для определения реакции сопромат рассмотрим основную систему, изображенную на рис. 1.9, в:

сопромат

откуда сопромат

Направление реакции сопромат на рис. 1.9, в показано правильно. По уравнению равновесия проверим правильность определения опорных реакций:

сопромат

реакции определены правильно.

Определим продольные силы N на участках стержня, используя второй прием, по которому

сопромат

и правило знаков, описанное выше (от сечения — «плюс», к сечению -«минус»).

Рассматриваем «отсеченную» верхнюю часть стержня:

сопромат

По этим данным строится эпюра продольных сил (рис. 1.9, г). Диаметр стержня определяем из условия прочности по нормальным напряжениям.

Площадь поперечного сечения стержня

сопромат

а его диаметр

сопромат

л V 3,14

По стандарту принимаем диаметр стержня d = 3,2 см с площадью сечения сопромат

Нормальные напряжения на участках стержня

сопромат

Эпюра нормальных напряжений показана на рис. 1.9, д. Для построения эпюры перемещений необходимо вычислить деформации на каждом расчетном участке стержня:

сопромат

Перемещения граничных сечений

сопромат

Эпюры перемещений показаны на рис. 1.9, е.

Геометрические характеристики плоских сечений. Расчет составного сечения

Геометрические характеристики – числовые величины (параметры), определяющие размеры, форму, расположение поперечного сечения однородного по упругим свойствам деформируемого элемента конструкции (и, как следствие, характеризующие сопротивление элемента различным видам деформации).

Задача №3.3

Для сечения, составленного из двух швеллеров и листа, определить значения главных центральных моментов инерции (рис. 3.5).

сопромат для всех

Данные к заданию: швеллер № 20, лист сечением 15,2 х 2 см. Из таблиц сортамента для швеллера № 20: h = 20 см, b = 7,6 см, сопромат

Решение:

На сечении отмечаются центры тяжести швеллеров сопромат листа сопромат проводятся их центральные оси сопромат и сопромат

Центр тяжести сечения лежит на оси сопромат так как последняя является осью симметрии. Вспомогательная ось сопромат проводится по нижней стороне сечения.

Координаты центров тяжести отдельных фигур относительно осей сопромат

сопромат

Ордината центра тяжести

сопромат

На сечении отмечается центр тяжести О и проводится центральная ось сопромат

Вычисляем расстояния между осями п и т:

сопромат

Значения осевых моментов инерции относительно центральных осей сопромат

сопромат

Так как оси сопромат являются главными цен тральными осями сечения, значения сопромат и сопромат являются главными центральными моментами инерции. Из значенийсопроматисопромат. следует, что сопроматa сопромат Данное сечение имеет наибольшую сопротивляемость изгибу относительно оси сопромат и наименьшую относительно оси сопромат.

Кручение. Статически неопределенная задача. Расчет вала

Кручение — один из видов деформации тела. Возникает в том случае, если нагрузка прикладывается к телу в виде пары сил в его поперечной плоскости. При этом в поперечных сечениях тела возникает только один внутренний силовой фактор — крутящий момент.

Как известно, статически неопределимыми называют задачи, в которых число неизвестных опорных реакций или число внутренних усилий превышает число возможных уравнений статики. Один из методов решения статически неопределимых задач сводится к следующему: а) составляются все возможные в данной задаче уравнения статики; б) представляется картина деформации, происходящей в данной конструкции, и записываются деформационные уравнения, число которых должно быть равно степени статической неопределимости задачи; в) решается совместная система уравнений статики и деформационных уравнений.

Задача №4.3

Стержень круглого поперечного сечения d = Зсм с защемленными концами подвергается действию двух скручивающих моментов, соотношение которых сопромат.

Определить наибольшие допустимые значения скручивающих моментов и угол поворота сечения (т. К) стержня, если сопромат, G = 80 ГПа (рис. 4.9).

сопромат для всех

Решение:

Исходя из характера нагрузки на стержень, в его опорах возникнет по одной реакции — реактивному моменту Т (предварительно направляются произвольно), рис. 4.9, а.

Уравнение равновесия можно составить только одно:

сопромат

в котором две неизвестные величины. Значит, рассматриваемый стержень является один раз статически неопределимым (2-1 = 1).

Для раскрытия статической неопределимости необходимо составить дополнительное уравнение исходя из принципа совместности перемещений.

За основную (статически определимую) систему выбираем стержень с удаленной, вот, левой опорой (рис. 4.9, б), загруженный заданными моментами сопромат и сопромат и неизвестным реактивным опорным моментом сопромат.

На опоре А (заделке) угол поворота в заданной системе (см. рис. 4.9, а) сопромат Чтобы основная система (см. рис. 4.9, б) была эквивалентна заданной, необходимо выдержать это условие и в основной системе: сопромат Это и есть дополнительное уравнение, выраженное в общем виде.

Применив метод независимости (сложения) действия сил и исходя из принципа совместности деформации (углов поворота) участков стержня, раскроем дополнительное уравнение, используя формулу (4.3) и соотношение скручивающих моментов:

сопромат

или

сопромат

Учитывая, что сопромат, получим

сопромат

Направление сопромат было выбрано правильно (значение сопромат положительное). Определением момента сопроматстатическая неопределимость раскрыта. Аналогичным образом можно определить реактивный момент сопромат.

Определяем значения крутящих моментов на трех расчетных участках стержня:

сопромат

По значениям крутящих моментов, выраженных в долях от сопромат строим эпюру крутящих моментов (рис. 4.9, в). Из эпюры следует, что сопромат

Из условия прочности (4.2) максимальный допустимый крутящий момент, который может воспринять стержень:

сопромат

Нагрузочные (скручивающие) моменты на стержень и реактивный момент

сопромат

откуда

сопромат

На эпюре крутящих моментов (рис. 4.9, в) проставлены значения крутящих моментов на участках стержня.

Угол поворота среднего сечения (т. К) стержня определим, используя формулу (4.3):

сопромат

или

сопромат

Эпюра касательных напряжений и угол поворота сечения К показаны на рис. 4.9, г.

Прямой изгиб. Построение эпюр внутренних силовых факторов для балки

Прямой изгиб — это вид деформации, при котором первоначально прямолинейная ось стержня искривляется. Если балка изгибается по направлению действия внешней нагрузки, то это прямой изгиб.

Для построения эпюр балка разбивается на участки, в пределах которых функция внутренней силы не меняет своего аналитического выражения. За границы участков принимаются сечения, в которых приложены внешние нагрузки: сосредоточенные силы, сосредоточенные моменты, начинается или заканчивается распределенная нагрузка одного направления и изменяющаяся по одному закону, а также начало и конец балки.

Задача №5.3

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для двухопорной балки с консолью (рис. 5.8).

сопромат для всех

Определяем опорные реакции.

сопромат

откуда сопромат

сопромат

откуда сопромат

сопромат — реакции определены верно (по направлению и значениям). Балка имеет три расчетных участка.

Участок 1 — ход слева: сопромат

сопромат

При сопромат

при сопромат

сопромат

Участок 2 — ход слева: сопромат

сопромат — линейная зависимость;сопромат— параболическая зависимость.

При сопромат

при сопромат

Участок 3 — ход справа: сопромат

  • сопромат— линейная зависимость;
  • сопромат — параболическая зависимость.

При сопромат

при сопромат

На участке ВС балки эпюра Q переходит через нуль (Q = 0). В этом сечении, определяемом абсциссой сопромат, изгибающий момент М имеет экстремальное значение.

Определим расстояние сопромат из выражения

сопромат

откуда сопромат

При сопромат

сопромат

Заметим, что на участках балки, где действует распределенная нагрузка q, изгибающий момент изменяется по закону параболы. Линия эпюры изогнута в сторону направления нагрузки q.

Из построенных эпюр следует, что сопромат

Прямой изгиб. Построение эпюр внутренних силовых факторов для балки с шарниром

Первый вопрос, на который должен получить ответ конструктор, – какие по величине и направлению внутренние силовые факторы (ВСФ) действуют в различных сечениях вдоль оси бруса. Это необходимо для определения вида нагружения (по действующим ВСФ) и выбора так называемого опасного сечения (определяется величиной ВСФ). С этой целью строят графики, которые носят название эпюры.

Графики, показывающие изменение внутренних усилий и моментов в сечениях по длине бруса, называются эпюрами усилий и моментов (эпюрами ВСФ).

В каждом сечении тела, естественно, внутренние усилия и моменты различны по величине и направлению. Таким образом, эпюры дают картину распределения ВСФ по длине бруса.

Задача5.4

Построить эпюры Q и М для двухпролетной балки с промежуточным шарниром (рис. 5.9).

сопромат для всех

Решение:

Сложная (составная) балка АК состоит из двух частей: основной А С, покоящейся на шарнирных опорах А и В, и дополнительной, опирающейся левым концом на основную балку, а правым — на опору К.

Нагрузка q, действующая на основную балку, передается только на опоры А и В. Нагрузка F, действующая на дополнительную часть балки, передается на опору К и через шарнир С — на основную часть балки, а затем на опоры А и В.

Для ведения расчета сложную балку следует расчленить на основную и дополнительную части, проведя сечение через шарнир С (рис. 5.9, б).

Реакции в опорах балки определяют обычным образом, рассматривая отдельно каждую часть сложной балки, начиная с дополнительной.

Составляем уравнения равновесия для дополнительной части балки (СК):

сопромат

Составляем уравнения равновесия для основной части балки (АС). В сечении С основной части балки нужно приложить ту часть нагрузки F, которая с дополнительной части передается на основную. Эта часть нагрузки сопромат равна реакции сопромат дополнительной части, т. е. сопромат Направлять сопромат следует противоположно направлению сопромат.

сопромат

Для определения опорных реакций можно поступить иначе. Так как изгибающий момент в шарнире равен нулю (через шарнир мо-

мент не передается), то к обычным уравнениям равновесия можно добавить еще одно — сумма моментов относительно шарнира С от сил слева или справа от него равна нулю сопроматТогда рис. 5.9, б не нужен.

В данном задании целесообразно составить следующие уравнения равновесия:

сопромат— определяется реакция сопромат;

сопромат — войдут неизвестная реакция сопромат и известная реакция сопромат. Совместное решение уравнений сопромат дает значение реакции сопромат;

сопромат — определяется реакция сопромат

Возможно применение других вариантов уравнений равновесия. Эпюры Q и М строятся обычным путем, отдельно для каждой части балки, а затем их нужно соединить.

После того как изучены закономерности изменения Q и М на участках балки в зависимости от вида нагрузки, процедуру их определения можно несколько упростить. Выражения для Q и М на каждом участке балки в зависимости от z не составляются, а сразу вычисляются их значения для конкретных сечений (обычно это границы расчетных участков балки).

Как выявлено ранее, в сечении, где приложена сосредоточенная сила F, на эпюре Q образуется скачок на величину этой силы. Поэтому в таких сечениях вычисляются два значения Q на бесконечно малых расстояниях слева (л) и справа (п) от него.

То же относится и к сосредоточенному моменту М.

Определяем внутренние силы (усилия) в характерных сечениях балки.

Ход слева.

Сечение А:

сопромат

Сечение В:

сопромат

Сечение С:

сопромат задачи с решением

Для остальной части балки целесообразен ход справа.

Сечение К:

сопромат задачи с решением

Сечение D:

сопромат задачи с решением

Сечение С

сопромат задачи с решением

Заметим, что последние значения Q и М можно было не определять (уже найдены).

По вычисленным значениям Q и М строятся их эпюры (рис. 5.9, в, г). На участке АВ балки эпюра Q переходит через нуль. Определим это сечение N, в котором изгибающий момент имеет максимальное значение:

сопромат задачи с решением

откуда сопромат задачи с решением

При сопромат задачи с решением

сопромат задачи с решением

Из построенных эпюр следует, что сопромат задачи с решением

Процедуру построения эпюры Q можно еще более упростить, применив графоаналитический прием, помня о закономерности изменения Q в зависимости от вида нагрузки.

Начинать построение удобно с крайнего левого сечения балки.

В сечении А — скачок на величину и направление реакции, т. е. вверх на 9 кН. На участке АВ — прямая, наклонная по направлению нагрузки q, т. е. вниз на

сопромат задачи с решением

Получим точку с ординатой

9-20 = -11 кН.

От этой точки вверх на значение реакции сопромат задачи с решением получим точку с ординатой 4 кН. На участке ВС и CD изменений нет — эпюра прямая, параллельная оси. В сечении D — скачок вниз на F = 8 кН -получим ординату 4 кН. На участке DK изменений нет. В сечении К -скачок вверх на значение реакции сопромат задачи с решением= 4 кН. Построение всегда должно «замкнуться» на нуле.

Прямой изгиб. Расчет балки на прочность

Элементы перекрытий зданий и сооружений, пролетных строений мостов, эстакад, оси машин и механизмов и т.д., представляющие собой установленные на опоры и сопротивляющиеся изгибу стержни, называются балками.

Задача №5.7

Подобрать размеры нижеобозначенных форм сечений балки и сопоставить коэффициенты их экономичности. Для прямоугольного сечения принять h/b = 1,4.

Расчетные сопротивления материала балки R = 210 МПа, сопромат задачи с решениемсопромат задачи с решением (рис. 5.15).

сопромат для всех

Решение:


Определяем опорные реакции

сопромат задачи с решением

сопромат задачи с решением — реакции определены верно.

Вычислим значения Q и М в характерных сечениях балки и построим их эпюры (рис. 5.15, а, б).

Сечение С:

сопромат задачи с решением

Сечение А :

сопромат задачи с решением

Сечение В:

сопромат задачи с решением

Абсцисса сопромат задачи с решением, где Q = 0, будет

сопромат задачи с решением

При z = 3,4 м

сопромат задачи с решением

Подбор сечений ведется по формуле (5.4), исходя из сопромат задачи с решениемсопромат задачи с решением

Требуемый момент сопротивления

сопромат задачи с решением

Для круглого поперечного сечения

сопромат задачи с решением

откуда сопромат задачи с решением принимаем d= 8,5 см.

Для прямоугольного сечения

сопромат задачи с решением

откуда b = 5,49 см, h = 7,68 см.

Конструктивно принимаем h = 8 см, b = 5,5 см.

Для прокатного профиля из сортамента по сопромат задачи с решением принимаем двутавр сопромат задачи с решением

Вычислим коэффициенты экономичности для принятых размеров сечений балки по выражению

сопромат задачи с решением

Для круглого сечения

сопромат задачи с решением

Для прямоугольного сечения

сопромат задачи с решением

Для двутавра сопромат задачи с решением

Из рассмотренных форм сечений балки наиболее экономичным является двутавр.

Вычислим максимальные значения нормальных и касательных напряжений для принятых размеров сечений балки.

Нормальные напряжения (максимальны в крайних точках сечений): а)круглое сечение

сопромат задачи с решением

б) прямоугольное сечение

сопромат задачи с решением

в) для двутавра

сопромат задачи с решением

Касательные напряжения (максимальны на уровне нейтральной оси):

а) круглое сечение

сопромат задачи с решением

Для круглого сечения сопромат задачи с решением где половина площади сечения сопромат задачи с решением а расстояние от центра тяжести до ее нейтральной оси сопромат задачи с решением

б) прямоугольное сечение

сопромат задачи с решением

в) для двутавра сопромат задачи с решением (толщина стенки)

сопромат задачи с решением

По полученным значениям сопромат задачи с решением и сопромат задачи с решениемдля двутавра построены соответствующие эпюры (рис. 5.15, в) с учетом того, что на нейтральной оси сечения сопромат задачи с решением, а в крайних точках сечения сопромат задачи с решением.

Проанализировав значения сопромат задачи с решением для рассмотренных форм сечений (а это наиболее распространенные), заметим: если размеры сечений определены из условия прочности по нормальным напряжениям, то максимальные касательные напряжения значительно меньше не достигают предельно допустимых значений.

Прямой изгиб. Расчет балки на прочность и на жесткость методом начальных параметров

В инженерной практике часто применяются балки с поперечным сечением, имеющим вертикальную ось симметрии. Если внешняя нагрузка и реактивные усилия лежат в одной плоскости, которая совпадает с осью симметрии сечения, то балка будет изгибаться в той же плоскости.

Задача №5.13

Для двухопорной балки с консолью (рис. 5.24), выполненной из двух стальных швеллеров, подобрать их номер и проверить жест кость, если R = 210 МПа, сопромат задачи с решением

Построить эпюру прогибов.

сопромат задачи с решением

Решение:

Начало координатных осей помещено в сечении А. Значения опорных реакций приведены на рис. 5.24, а (нагрузку q, показанную пунктиром, при вычислении реакций можно не учитывать).

Построим эпюры Q и М.

В сечении А

сопромат задачи с решением

В сечении С

сопромат задачи с решением

В сечении В

сопромат задачи с решением

Для сечения, в котором Q = 0, ордината

сопромат задачи с решением

и сопромат задачи с решением

Из условия прочности по нормальным напряжениям требуемый момент сопротивления

сопромат задачи с решением

По таблицам сортамента принимаем два швеллера № 14 сопромат задачи с решением

Рассматриваемая балка имеет два расчетных участка (участка нагружения).

Заметим, что распределенная нагрузка q не доходит до конца балки. Поэтому ее необходимо продлить по консоли до конца балки и на этом участке приложить компенсирующую нагрузку q’ = q.

Составим уравнения перемещений оси изогнутой балки:

сопромат задачи с решением

Начальные параметры сопромат задачи с решениеми сопромат задачи с решением определим, исходя из деформационных условий на опорах балки. При z = 0 (опора А) прогиб сопромат задачи с решением а значит, и сопромат задачи с решением

При z = 4 м (опора В) прогиб сопромат задачи с решением

Запишем уравнение прогибов для сечения В (первый участок, z = 4 м):

сопромат задачи с решением

откуда

сопромат задачи с решением

Определим значение прогибов посредине пролета балки и на конце консоли. При z = 2 м

сопромат задачи с решением

откуда

сопромат задачи с решением

При z = 5 м

сопромат задачи с решением

Эпюра прогибов показана на рис. 5.24, г. При построении эпюры прогибов ее очертание согласуется с эпюрой изгибающих моментов.

Максимальный абсолютный прогиб в пролете балки достигает значения сопромат задачи с решением , относительный прогиб

сопромат задачи с решением

Условие жесткости по формуле (5.8)

сопромат задачи с решением — выполняется

Прямой изгиб. Расчет балки на жесткость энергетическим методом (с помощью интеграла Мора)

Для того, чтобы судить о работе балки, знания одних напряжений в ее сечениях недостаточно. Имеющие запас прочности балки могут оказаться непригодными к эксплуатации из-за недостаточной жесткости.

Интеграл Мора позволяет определять прогибы и углы поворота заданного сечения балки, используя интегральное исчисление. Хотя данный метод предпочтительнее метода начальных параметров, он неудобен из-за необходимости вычисления интеграла. Из интеграла Мора был получен удобное для практического применения правило Верещагина, при котором не нужно вычислять интегралы, а только нужно находить площадь и центр тяжести эпюр.

Задача5.17

Для двухопорной балки с консолью определить прогибы в сечениях С и Д и построить эпюру прогибов (в долях сопромат задачи с решением ), рис. 5.30.

Решение:

Значения опорных реакций определяются из условий равновесия:

сопромат задачи с решением
сопромат задачи с решением

Определим значения ординат для построения эпюр Q и М.

При сопромат задачи с решением

При сопромат задачи с решением

При сопромат задачи с решением

сопромат задачи с решением

При сопромат задачи с решением

сопромат задачи с решением

Эпюры Q и М даны на рис. 5.30, б и в. Единичные эпюры сопромат задачи с решением и сопромат задачи с решением от сил F= 1, приложенных в сечениях, где нужно определить прогибы, показаны на рис. 5.30, г и д. Грузовую эпюру сопромат задачи с решением сложного очертания, разделим на простые фигуры. Выделим параболу сопромат задачи с решением и два треугольника сопромат задачи с решением и сопромат задачи с решением. Площадь параболы

сопромат задачи с решением
  • где l — длина параболы;
  • h — высота параболы в центре тяжести ее (от нижней точки до пунктирной линии).

Высоту параболы можно вычислить геометрически по эпюре М, но удобнее пользоваться выражением сопромат задачи с решением

сопромат задачи с решением

Определим ординаты на единичной эпюре (см. рис. 5.30, г) под центрами тяжести выделенных простых фигур:

сопромат задачи с решением

Необходимо обратить внимание на расположение грузовой и единичных эпюр относительно их осей. Прогиб на конце консоли (сечение Д):

сопромат задачи с решением

(направлен в противоположную сторону по отношению F = 1, т. е. вверх).

Определим ординаты под центрами тяжести простых фигур на второй единичной эпюре:

сопромат задачи с решением

Прогиб в пролете балки (сечение С)

сопромат задачи с решением

(направлен по направлению силы F = 1, т. е. вниз).

По полученным значениям прогибов строится соответствующая эпюра (рис. 5.30, е).

Очерчивая эпюру прогибов, следует обратить внимание, что консоль балки (участок ) не нагружена и, следовательно, этот участок не деформируется, но перемещается вследствие деформации пролетной части.

В случае необходимости определения прогиба не на границе расчетных участков балки, а в произвольном сечении расчет по способу Верещагина значительно усложняется, особенно на участках с распределенной нагрузкой q.

В таких случаях лучше воспользоваться методом начальных параметров.

Расчет статически неопределимых систем. Статически неопределимая балка

Для того чтобы стержневые системы (балки, рамы и т. п.) могли служить сооружениями и выдерживать внешние нагрузки, необходимо наложить на них определенные связи, которые делят на связи внешние и связи внутренние.

Наиболее широко применяемым методом раскрытия статической неопределимости стержневых систем является метод сил. Он заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных (лишних) связей как внешних, так и внутренних, а их действие заменяется силами и моментами.

Величина их в дальнейшем определяется так, чтобы перемещения соответствовали тем ограничениям, которые накладываются на систему отброшенными связями. Таким образом при указанном способе решения неизвестными оказываются силы или моменты, действующие в местах отброшенных или рассеченных связей. Отсюда и название «метод сил».

Балки могут выполнять функции элемента конструкции лишь в тех случаях, если они неподвижны, т.е. когда их точки перемещаются только в результате деформирования. В случае действия нагрузки только в одной плоскости неподвижность обеспечивается тремя связями (опорами). Эти связи являются необходимыми. Поскольку для плоской системы сил можно составить три уравнения равновесия, то реакции необходимых связей могут быть найдены с помощью лишь одних уравнений статики. Такие балки называются статически определимыми.

Однако в балке из конструкционных соображений, для увеличения её прочности и жёсткости, может быть больше трех связей (реакций). В этом смысле некоторые связи являются лишними. Балки с лишними связями называются статически неопределимыми, поскольку реакции таких балок невозможно определить только при помощи уравнений статики. Степень статической неопределимости балки определяется разностью между числом неизвестных реакций и числом независимых уравнений статики.

Задача6.3

Для многопролетной балки (рис. 6.7, а) построить эпюры Q и М, подобрать номер прокатного двутавра, если R = 210 МПа.

Определить прогиб посередине ненагруженного пролета, изобразить ось изогнутой балки.

Решение:

Рассматриваемая балка состоит из трех пролетов и проходит не прерываясь над двумя промежуточными опорами, т. е. является неразрезной и дважды статически неопределимой (по числу промежуточных опор). Для ее решения воспользуемся методом сил.

Основную систему получим путем постановки шарниров на промежуточных опорах В и С (рис. 6.7, б). Обозначив неизвестные изгибающие моменты на этих опорах через сопромат задачи с решением и сопромат задачи с решением, запишем систему канонических уравнений по выражению (6.1):

сопромат задачи с решением

Загрузив основную систему заданной нагрузкой (рис. 6.7, б), вычислив опорные реакции и значения М в характерных сечениях, построим грузовую эпюру изгибающих моментов сопромат задачи с решением для каждого пролета балки (рис. 6.7, в).

сопромат задачи с решением

Затем нагружаем основную систему единичными опорными моментами сопромат задачи с решением на опоре В и сопромат задачи с решением — на опоре С. Для каждого

пролета основной системы определяем опорные реакции и строим единичные эпюры сопромат задачи с решением(рис. 6.7, г, д).

Грузовая эпюра сопромат задачи с решением расчленяется на простые фигуры сопромат задачи с решением и отмечаются их центры тяжести (см. рис. 6.7, в). На единичных эпюрахсопромат задачи с решением под центрами тяжести сопромат задачи с решением вычисляются значения ординат сопромат задачи с решениемсопромат задачи с решением (см. рис. 6.7, г, д). Отмечаются также центры тяжести единичных эпюр сопромат задачи с решением и ординаты сопромат задачи с решением в их расположении.

Вычисляем значения площадей фигур, составляющих эпюры сопромат задачи с решениеми сопромат задачи с решением :

сопромат задачи с решением

Вычисляем значения ординат у на единичных эпюрах:

сопромат задачи с решением

Перемножив единичные эпюры (сами на себя и между собой), получим значения коэффициентов канонических уравнений:

сопромат задачи с решением

Перемножив грузовые эпюры на единичные, получим значения свободных членов канонических уравнений:

сопромат задачи с решением

С учетом значений коэффициентов и свободных членов канонические уравнения примут вид

сопромат задачи с решением

Решив систему уравнений (6.10), получим значения изгибающих моментов на промежуточных опорах неразрезной балки:

сопромат задачи с решением

Решая задачи самостоятельно, не забудьте проверить правильность решения системы уравнений (6.10).

Заметим и учтем, что направление опорного момента сопромат задачи с решением противоположно направлению сопромат задачи с решением (знак «минус»), а направления сопромат задачи с решениеми сопромат задачи с решением совпадают.

Определением значений сопромат задачи с решением и сопромат задачи с решением заканчивается раскрытие статической неопределимости балки.

Окончательные эпюры Q и М построим, рассматривая отдельно каждый пролет неразрезной балки как самостоятельную балку, нагруженную заданной нагрузкой и найденными опорными моментами (рис. 6.8, а). Сначала определяются опорные реакции, а затем значения Q и М в характерных сечениях.

сопромат задачи с решением

Эпюры Q и М для рассмотренной неразрезной балки показаны на рис. 6.8, б, в.

Для проверки правильности выполнения расчетов надо перемножить окончательную эпюру изгибающих моментов на единичные. Решение будет верным, если результат перемножения будет равен нулю.

Ограничимся перемножением окончательной эпюры М на единичную сопромат задачи с решением (рис. 6.9, а, б):

сопромат задачи с решением
сопромат задачи с решением

Определим номер двутавра. Из окончательной эпюры М следует, что сопромат задачи с решением

Требуемый момент сопротивления сечения

сопротивление материалов

Принимаем двутавр № 20, для которого сопротивление материалов

Для определения прогиба посередине пролета ВС (сечение К) следует в названном сечении основной системы приложить единичную силусопротивление материалов и построить единичную эпюру сопротивление материалов (рис. 6.10,а)

сопротивление материалов

Напомним, что:

  • единичная эпюра всегда прямолинейна;
  • площадь сопротивление материалов берется обязательно с криволинейной эпюры;
  • если обе эпюры (грузовая и единичная) прямолинейны, без перелома, площадь сопротивление материалов можно взять от любой из них;
  • если одна из эпюр изображается ломаной линией, она разбивается на ряд участков и площадь to берется именно с этой эпюры.

В настоящем задании на грузовой эпюре М — один расчетный участок, на единичной (ломаная прямая) — два. Площадьсопротивление материалов берут с каждого участка единичной эпюры, а ординаты у — с грузовой, расчленив ее, как показано на рис. 6.10, б.

Значения площадей и ординат:

сопротивление материалов

сопротивление материалов м (из подобных треугольников);

сопротивление материалов

Перемножив эпюры, получим

сопротивление материалов

откуда прогиб

сопротивление материалов

Знак «минус» при сопротивление материалов означает, что прогиб происходит в направлении, противоположном единичной силесопротивление материалов, т. е. вверх (рис. 6.8, д).

Ось изогнутой неразрезной балки (эпюра прогибов) изображена на рис. 6.8, д.

Обратите внимание на точки перегиба на эпюре сопротивление материалов и проследите согласование расположения ординат эпюры М с выпуклостью балки.

Теория напряженного и деформированного состояния. Исследование плоского напряженного состояния

Теория напряженного состояния ставит своей целью определить напряженное состояние исследуемого твердого тела. Напряженное состояние деформируемого твердого тела считается определенным, если определено напряженное состояние в каждой его точке. Напряженное состояние в некоторой точке считается определенным, если определены все напряжения по всем площадкам, образующим данную точку. При этом точка представляется как элементарный объем, ограниченный со всех сторон элементарными площадками.

Когда говорят об исследовании напряженного состояния, понимают вычисление по заданным на взаимно перпендикулярных площадках напряжениям напряжений на площадках произвольной ориентации, определение главных площадок и главных напряжений, площадок, по которым действуют экстремальные касательные напряжения.

Задача №7.6

По граням элемента, выделенного из нагруженного тела, действуют напряжения, показанные на рис. 7.12, а.

Определить положение главных площадок, значения главных напряжений и установить вид напряженного состояния.

сопротивление материалов

Решение:

Определим значения главных напряжений:

сопротивление материалов

Положение главной площадки с напряжением сопротивление материалов

сопротивление материалов

Угол сопротивление материалов отсчитывается от оси X против хода часовой стрелки, так как угол положительный.

На рис. 7.12, б по вычисленным значениям показаны положения главных площадок и направления главных напряжений.

Анализ полученных значений главных напряжений показывает, что рассмотренный элемент находится в условиях линейного напряженного состояния, так как отличным от нуля оказалось только одно главное напряжение сопротивление материалов (действует только в одном направлении)

Косой изгиб. Расчет двух опорной балки

Косым изгибом называется такой изгиб, при котором плоскость действия суммарного изгибающего момента в сечении балки не совпадает с главными плоскостями инерции Оху или Oxz. Различают два вида косого изгиба: плоский и пространственный. При плоском косом изгибе нагрузки действуют в одной плоскости, не совпадающей с главными плоскостями инерции. Эта плоскость называется силовой плоскостью, а линия ее пересечения с плоскостью поперечного сечения балки — силовой линией. При пространственном косом изгибе нагрузки действуют в различных плоскостях.

Двухопорной называют балку, удерживаемую в равновесии двумя шарнирными опорами. При этом одна из опор должна быть шарнирно-неподвижной другая шарнирно-подвижной. Часть балки расположенная между смежными опорами называется пролетом.

Задача №8.3

Определить размеры поперечного прямоугольного сечения деревянной двухопорной балки (рис. 8.7, а), подвергающейся изгибу в двух главных плоскостях, при заданном отношении сторон h/b = 1,4.

Расчетное сопротивление материала балки R = 12 МПа.

Виды опор балки в вертикальной и горизонтальной плоскостях однотипны.

Решение:

Рассматриваемая балка подвергается косому изгибу.

Определим реакции опор и построим эпюры изгибающих моментов в плоскостях действующей нагрузки.

Вертикальная плоскость (рис. 8.7, б):

сопротивление материалов

откуда сопротивление материалов Аналогично сопротивление материалов

сопротивление материалов

При z = 1,5 м

сопротивление материалов

при z = 2,5 м

сопротивление материалов

Горизонтальная плоскость (рис. 8.7, в):

сопротивление материалов

откуда сопротивление материалов аналогично сопротивление материалов

При z = 1,5 м

сопротивление материалов

при z = 2,5 м

сопротивление материалов

Эпюры изгибающих моментов показаны на рис. 8.7, б и в. Подбор размеров сечения балки проведем из условия прочности в виде (8.3):

сопротивление материалов

В данном задании коэффициент

сопротивление материалов

Расчет должен производиться по наибольшему расчетному моменту сопротивление материалов.

Анализ эпюр изгибающих моментов показывает, что опасное сечение балки, где сочетание этих моментов самое неблагоприятное, неявно.

Исследуем сечение С и К:

в сечении С

сопротивление материалов

в сечении К

сопротивление материалов

Таким образом, опасным является сечение С, где сопротивление материалов сопротивление материалов

Требуемый момент сопротивления сечения балки из условия прочности будет

сопротивление материалов

Для прямоугольного поперечного сечения с учетом того, что h /b =1,4:

сопротивление материалов

откуда получим b = 17,9 см, h = 25,06 см.

Приняв конструктивно b = 18 см, k = 25 см вычислим значение максимального нормального напряжения по формуле (8.2):

сопротивление материалов

Размеры сечения определены верно. Моменты инерции принятого сечения

сопротивление материалов

Положение нейтральной оси в сечении С

сопротивление материалов

Положительное значение сопротивление материалов откладываем от оси X против хода часовой стрелки.

Эпюры нормальных напряжений сопротивление материалов от каждого изгибающего и суммарного момента приведены на рис. 8.7, г.

Совместное действие изгиба и растяжения (сжатия). Внецентренное растяжение (сжатие) бруса

Изгиб с растяжением – частный случай сложного сопротивления, при котором на брус действуют продольные и поперечные нагрузки, пересекающие ось бруса.

Внецентренным растяжением (сжатием) называется такой вид нагружения, при котором равнодействующая внешних сил не совпадает с осью стержня, как при обычном растяжении (сжатии), а смещена относительно продольной оси и остается ей параллельной.

Задача №8.6

На поперечном сечении колонны (рис. 8.13, а) определить точку приложения сжимающей силы F, наиболее удаленной от центра тяжести по оси Y, при которой в колонне не будет растягивающих напряжений.

сопротивление материалов

Построить ядро сечения и эпюру напряжений (в долях от F).

Решение:

Поскольку сила F должна быть приложена к колонне вне ее центра тяжести сечения, колонна будет подвергаться внецентренному сжатию.

Для отыскания точки приложения силы F воспользуемся формулами (8.8):

сопротивление материалов

Для определения необходимых геометрических характеристик рассматриваемое сложное сечение разделим на четыре простые фигуры: два прямоугольника и два треугольника (см. рис. 8.13, а). Площадь сечения

сопротивление материалов

Ордината центра тяжести сечения (относительно вспомогательной оси сопротивление материалов)

сопротивление материалов

Оси сопротивление материалови сопротивление материалов являются главными центральными осями сечения, так как сопротивление материалов — ось симметрии.

Моменты инерции относительно главных центральных осей сечения

сопротивление материалов

Радиусы инерции сечения относительно главных центральных осей

сопротивление материалов

Точка приложения силы F связана с положением нейтральной оси. Поскольку сила F находится на оси сопротивление материалов, нейтральная ось должна быть ей перпендикулярна.

Для выполнения условия задачи (в сечении не должно возникать растягивающих напряжений) нужно задаться двумя положениями нейтральной оси, совпадающими с верхней и нижней гранями сечения, и определить ординату точки приложения силы F.

В положении нейтральной оси по верхней грани сечения (рис. 8.13, б) ее ордината

сопротивление материалов

а ордината точки приложения силы F будет

сопротивление материалов

При положении и.о. по нижней грани сечения

сопротивление материалов

По условию задачи принимаем положение точки приложения силы F (точка К) выше центральной оси сопротивление материалов на расстоянии сопротивление материалов(см. рис. 8.13, а).

Для построения эпюры напряжений вычислим их значения (в долях от F) для крайних точек сечения:

сопротивление материалов

Условие задачи выполнено — в сечении нет растягивающих напряжений. Эпюра напряжений показана на рис. 8.13, б.

Для построения ядра сечения задаемся рядом последовательных положений нейтральной оси, касающихся контуров сечения и не пересекающих его. Для каждого ее положения вычисляются координаты сопротивление материалов а затем соответствующие данному положению нейтральной оси координаты точки приложения силы F, которые являются координатами точек ядра сечения сопротивление материалов

Для вычисления координат точек ядра сечения воспользуемся формулами (8.8).

Нейтральная ось в положении сопротивление материалов

сопротивление материалов

Нейтральная ось в положении 2-2 на главных центральных осях сопротивление материалов, сопротивление материалов отсекает отрезки, координаты которых сопротивление материалов необходимо определить используя подобие образовавшихся треугольников: ДВЕ, ДИЛ, ДОП (см. рис. 8.13, б):

сопротивление материалов

откуда а = 17,78 см;

сопротивление материалов

откуда

сопротивление материалов

Координаты ядра сечения

сопротивление материалов

Нейтральная ось в положении 3-3:

сопротивление материалов


Нейтральная ось в положении 4-4:

сопротивление материалов

Положение нейтральной оси 5-5 симметрично положению 3-3, а положение 6-6 симметрично 2-2.

По полученным значениям сопротивление материалов построено ядро сечения (см. рис. 8.13, б).

Как видно по ядру сечения, наиболее удаленной от центра является точка 4. Приложив в этой точке силу F, получим наиболее допустимый ее эксцентриситет сопротивление материалов при котором в сечении будут напряжения одного знака. Это подтверждает ранее сделанный расчет.

В заключение заметим, что, прикладывая нагрузку F в пределах ядра сечения, по всему сечению получим напряжения одного знака.

Продольный и продольно — поперечный изгиб. Расчет сжатого стержня на устойчивость

Продольно-поперечным называют изгиб при котором к брусу приложены одновременно изгибающие (поперечные) и сжимающие (продольные) нагрузки.

Расчет на устойчивость сжатых стержней является одной из наиболее актуальных и значимых задач в рамках курса «Сопротивление материалов».

Термин «устойчивость» охватывает очень широкий круг вопросов: от движения планет и течения жидкостей, до строительных конструкций и энергетических систем. В сопротивлении материалов рассматривается устойчивость формы и устойчивость положения.

Под устойчивостью будем понимать способность элемента (конструкции) при воздействии на него (нее) сжимающих внешних нагрузок сохранять первоначально заданную форму равновесия, т.е. деформироваться таким образом, чтобы гарантировать его (ее) заданные эксплуатационные качества.

Задача9.3

Стальная колонна длиной l = 6 м, составленная из четырех равно-полочных уголков, загружена сжимающей силой F= 500 кН (рис. 9.6)

сопротивление материалов

Условия закрепления концов колонны в главных плоскостях сечения одинаковы. Жесткая решетка, соединяющая ветви колонны (показана пунктиром), обеспечивает их совместную работу.

Определить номер уголков и коэффициент запаса устойчивости, если R= 210 МПа.

Решение:

По условию закрепления концов колонны (шарниры) коэффициент приведения длины сопротивление материалов

Положение центра тяжести сечения очевидно. Оси XY являются главными центральными осями сечения колонны.

Подбор уголков сечения проведем по формуле (9.8):

сопротивление материалов

Поскольку площадь сечения неизвестна, расчет ведется путем предварительного выбора коэффициента сопротивление материалов с последующим его уточнением.

В первом приближении задаемся сопротивление материалов (середина интервала значений сопротивление материалов). Тогда из (9.8) площадь сечения колонны

сопротивление материалов

Площадь сечения одного уголка

сопротивление материалов

По этому значению выбираем ближайший номер уголка. Проверим сечение из уголков 80 х 80 х 8 мм. Из таблицы сортамента

сопротивление материалов

Для всего сечения: площадь сечения

сопротивление материалов

моменты инерции относительно главных центральных осей

сопротивление материалов

радиус инерции

сопротивление материалов

гибкость колонны

сопротивление материалов

Для данного значения гибкости по табл. 9.1 сопротивление материалов путем интерполяции вычислим табличное значение сопротивление материалов, соответствующеесопротивление материалов

для сопротивление материалов

для сопротивление материалов

для сопротивление материалов

сопротивление материалов

Вычислим напряжение в колонне:

сопротивление материалов

Расчетное (допустимое) сопротивление в колонне с учетом устойчивости

сопротивление материалов

При этом сечении колонны недонапряжение составляет

сопротивление материалов

Устойчивость колонны будет обеспечена, однако возможности материала полностью не используются. Размеры сечения можно уменьшить.

Рекомендуется последовательное приближение к правильному выбору уголков.

Во второй попытке задаемся значением сопротивление материалов:

сопротивление материалов

Из условия устойчивости для сечения колонны необходима площадь

сопротивление материалов

Для одного уголка

сопротивление материалов

Проверим сечение из уголков 70 х 70 х 7 мм, для которых

сопротивление материалов

Для всего сечения

сопротивление материалов

Напряжение в колонне

сопротивление материалов

Расчетное сопротивление

сопротивление материалов

Недонапряжение составляет 16,2 %.

Поскольку площадь сечения уголков от номера к номеру изменяется непоследовательно (см. таблицу сортамента), после нескольких попыток выбора коэффициента сопротивление материалов целесообразно перейти к логическому выбору номера уголка.

После второго приближения действующее напряжение в колонне ниже допустимого. Следовательно, площадь сечения можно уменьшить.

Проверим сечение из уголков 70 х 70 х 6 мм, для которых

сопротивление материалов

Для всего сечения:

сопротивление материалов

Напряжение в колонне сопротивление материалов расчетное сопротивление сопротивление материалов— недонапряжение составляет 3,5 %, что приемлемо.

Проверка сечения из уголков 75 х 75 х 5 мм с ближайшей меньшей площадью показала перенапряжение 5,8 %, что недопустимо.

Итак, принимаем сечение колонны из уголков 70 х 70 х 6 мм с приемлемым недонапряжением.

В завершение задания вычислим коэффициент запаса устойчивости принятого сечения колонны.

Так как гибкость колонны сопротивление материаловвоспользуемся формулами Ясинского.

Критическое напряжение

сопротивление материалов

Критическая сила

сопротивление материалов

Коэффициент запаса устойчивости

сопротивление материалов

Продольный и продольно — поперечный изгиб. Расчет на прочность балки при продольно – поперечном изгибе

Продольно-поперечным называют изгиб при котором к брусу приложены одновременно изгибающие (поперечные) и сжимающие (продольные) нагрузки.

Продольно-поперечным изгибом называется сочетание поперечного изгиба со сжатием или растяжением бруса. При расчете на продольно-поперечный изгиб вычисление изгибающих моментов в поперечных сечениях бруса производится с учетом прогибов его оси.

Задача №9.6

Стальная балка, шарнирно опертая на концах, нагружена поперечной и продольной нагрузками (рис. 9.10, а).

сопротивление материалов

Определить номер двутавра, если R = 210 МПа.

Решение:

Рассматриваемая балка подвергается продольно-поперечному изгибу. Сначала надо учесть воздействие поперечной нагрузки, а затем — дополнительно от продольной.

Определим номер двутавра от воздействия поперечной силы F = 50 кН, вызывающей плоский изгиб балки. Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 9.10, б.

Максимальный изгибающий момент в середине пролета

сопротивление материалов

Из условия прочности по нормальным напряжениям требуемый момент сопротивления сечения

сопротивление материалов

Наметим предварительно двутавр № 22, для которого

сопротивление материалов

Прогиб в середине пролета балки Do от поперечной нагрузки F в плоскости ее действия определяется по формуле (см. справочник)

сопротивление материалов

Проверим намеченный номер двутавра на воздействие продольной нагрузки сопротивление материалов, создающей дополнительный прогиб и дополнительный изгибающий момент.

Вычислим полный прогиб и от поперечной и продольной сил по формуле (9.11) в плоскости действия поперечной силы, т. е. в вертикальной плоскости:

сопротивление материалов

где эйлерова сила

сопротивление материалов

Еще раз заметим, что при вычислении F, использовалось значение момента инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости действия поперечной нагрузки, т. е. значение сопротивление материалов.

Максимальный изгибающий момент в опасном сечении балки по (9.12)

сопротивление материалов

Проверку прочности предварительно намеченного двутавра проведем по формуле (9.13):

сопротивление материалов

Перенапряжение составляет 20,8 %.

Проверим пригодность ближайшего номера двутавра с большими геометрическими характеристиками — это № 24. Его характеристики

сопротивление материалов

Повторим вычисления расчетных параметров в установленном ранее порядке. Прогиб от поперечной нагрузки

сопротивление материалов

Эйлерова сила

сопротивление материалов

Полный прогиб балки

сопротивление материалов

Максимальный изгибающий момент

сопротивление материалов

Максимальное нормальное напряжение

сопротивление материалов

Условию прочности двутавр № 24 удовлетворяет. Проверим устойчивость балки из двутавра № 24 в горизонтальной плоскости (плоскости наибольшей гибкости, так как сопротивление материалов

Гибкость балки

сопротивление материалов

коэффициент сопротивление материалов

Допускаемая продольная сила

сопротивление материалов

Принимаем окончательно двутавр № 24.

Задачи динамики. Учет сил инерции. Расчет балки на прочность при изгибе

Задачи динамики являются важной темой курса сопротивление материалов. При статическом действии нагрузки возрастают от нуля до конечного значения настолько медленно, что ускорениями частиц тела при деформировании можно пренебрегать. Поэтому в статике считается, что внешние и внутренние силы взаимно уравновешены. В процессе эксплуатации конструкция имеет дело с динамической нагрузкой, достаточно быстро меняющей свое значение или положение. Динамические нагрузки вызывают большие ускорения частиц тела при деформировании, и поэтому задачи динамики учитывают силы инерции помимо внешних и внутренних сил.

Сила инерции, как известно, равна произведению массы материальной точки (или системы) на ее ускорение и направлена в сторону, противоположную ускорению. Силы инерции, так же как и собственный вес, представляют собой объемные силы, так как приложены к каждой точке тела.

При расчете изгибаемых элементов строительных конструкций на прочность применяется метод расчета по предельным состояниям. В большинстве случаев основное значение при оценке прочности балок и рам имеют нормальные напряжения в поперечных сечениях. При этом наибольшие нормальные напряжения, действующие в крайних волокнах балки, не должны превышать некоторой допустимой для данного материала величины.

Задача №10.3

На балке, состоящей из двух двутавров № 20, установлена лебедка массой сопротивление материаловдля подъема груза массой сопротивление материалов на тросе сечением сопротивление материалов (рис. 10.4, а).

Для данной конструкции определить максимально допустимое ускорение подъема, если расчетное сопротивление для двутавра R = 210 МПа, для троса R = 150 МПа.

Собственный вес балки и троса не учитывать.

Решение:

Момент сопротивления двутавра № 20 сопротивление материалов

Нагрузкой на трос является вес поднимаемого груза:

сопротивление материалов
сопротивление материалов

Напряжение в тросе от статического действия груза весом сопротивление материалов

сопротивление материалов

Максимальное допускаемое напряжение в тросе сопротивление материалов

Максимальный допускаемый коэффициент динамичности для троса

сопротивление материалов

По формуле (10.1)

сопротивление материалов

откуда максимальное допустимое ускорение подъема груза

сопротивление материалов

Нагрузкой для балки являются: вес лебедки

сопротивление материалов

вес поднимаемого груза

сопротивление материалов

Расчетная схема балки и эпюра изгибающих моментов показаны на рис. 10.4, б.

Напряжение в балке от статического действия нагрузки

сопротивление материалов

Для балки максимальный допустимый коэффициент динамичности

сопротивление материалов

Из формулы (10.1) максимальное допустимое ускорение подъема груза

сопротивление материалов

Для конструкции, исходя из прочности троса, принимаем наи-большее допустимое ускорение подъема груза сопротивление материалов

Задачи динамики. Удар. Расчет на прочность и жесткость консольной балки при ударной нагрузке

Удар — это происходящее в результате соприкосновения взаимодействие движущихся тел. Удар характеризуется резким изменением скоростей частиц взаимодействующих тел за малый промежуток времени, при этом сила удара достигает очень большого значения. В качестве примера можно привести действие кузнечного молота на кусок металла, удар падающего груза при забивке свай, воздействие колеса вагона на рельс при перекатывании через стык.

Динамические явления характеризуются прежде всего наличием инерционных сил при движении элементов конструкций, сравнимых по значению с вешними нагрузками на систему, а так же переменных во времени таких характеристик как скорость, ускорение, нагрузки и деформации.

Во время удара происходит резкое изменение скоростей точек системы, а так же кратковременно возникают большие усилия. С точки зрения механики энергия удара обеспечивает возможность многократного увеличения нагрузки, действующей на конструкцию при малых перемещениях.

Условием возникновения удара является наличие относительной скорости взаимодействующих тел, в результате чего происходит обмен импульсами и энергией. При этом возникают местные деформации и напряжения, распространяющиеся волной со звуковой или сверхзвуковой скоростью. В настоящее время задачи динамики решаются преимущественно методом конечных элементов. Воспользовавшись нашим онлайн расчетом можно рассчитать ударные нагрузки, перемещения и время соударения стержней, балок и наиболее распространенной общей вязко-упругой модели.

Задача10.6

К деревянной консольной балке прямоугольного поперечного сечения (h = 20 см, b = 10 см), рис. 10.9, на свободном конце внезапно приложен груз массой т = 200 кг.

сопротивление материалов

Определить предельную длину балки, если R = 11 МПа. Массу балки не учитывать.

Решение:

Вес груза

сопротивление материалов

Момент сопротивления сечения балки

сопротивление материалов

При внезапном приложении груза принимается Н = 0. Тогда из формулы (10.2) динамический коэффициент сопротивление материалов

Из условия прочности балки сопротивление материалов максимально допустимое статическое напряжение

сопротивление материалов

Исходя из схемы балки и вида нагрузки, максимальный изгибающий момент будет в защемлении и определится выражением

сопротивление материалов

Максимальное нормальное напряжение в защемлении

сопротивление материалов

откуда наибольшая допустимая длина балки

сопротивление материалов

При этой длине прочность балки обеспечена. Возникает вопрос задачи: как взаимосвязаны динамические напряжения с длиной балки при внезапном приложении груза и почему? (Пропорционально, так как сопротивление материалов

Возможно эти страницы вам будут полезны: