Сопромат для чайников

Для того чтобы научиться решать задачи по сопромату, нужно знать теорию. На этой странице я собрала краткий и полный курс лекций с формулами и определениями и со множеством примеров решения задач.

Если что-то непонятно, Вы всегда можете написать мне в воцап и я помогу!

На этой странице всё о предмете «сопротивление материалов»:

На этой странице полный курс лекций с решением задач по предмету «сопротивление материалов»:

На этой странице краткий курс лекций с примерами решения задач по предмету «сопротивление материалов»:

Ниже предоставлены задачи с подробным решением по всем темам:

Задача №1.3

Определить размеры поперечных сечений стержней металло-деревянной фермы. Материал стержней 1 и 2 — древесина с равным квадратным поперечным сечением; стержень 3 стальной, из двух равнополочных уголков (рис. 1.5, а).

Расчетные сопротивления: для стали R = 210 МПа, для древесины

сопромат для всех

Решение:

Нагрузка F через стержни 1 и 2 передается на опоры А и В, где возникают три реакции , которые могут быть определены из уравнений равновесия

Значит, эта система является статически определимой.

Поскольку стержни фермы соединяются между собой при помощи шарниров, действующая нагрузка может вызвать в них только продольные силы N, т. е. они подвергаются деформации растяжения-сжатия.

Рассматриваемая система относится к случаю, когда внутренние силы в ее стержнях можно определить без нахождения опорных реакций.

Для определения усилий в стержнях фермы используется метод сечений, по которому ферма «рассекается» на две части так, чтобы одновременно рассекались не более трех стержней.

Первое сечение проведем, как показано на рис. 1.5, б, и составим уравнения равновесия для узла С.

Искомые усилия , направим от сечения (считаем растягивающими):

Решив уравнения, получим стержни 1 и 2 сжаты. Второе сечение проведем, как показано на рис. 15, в. Искомое усилие направим от сечения, а найденное — к сечению, так как стержень 2 сжат.

Уравнение равновесия узла В

откуда

Стержень 3 испытывает деформацию растяжения. Из условия прочности (1.2) определим значения площадей поперечных сечений стержней фермы. Для первого стержня

сторона сечения

Для второго стержня

сторона сечения

Конструктивно принимаем Для третьего стержня

Для одного уголка

Из таблицы сортамента равнополочных уголков принимаем два уголка 40 х 40 х 5 мм с площадью поперечного сечения

Задача №1.7

Стальной стержень круглого поперечного сечения, жестко защемленный обоими концами в неподвижных опорах, нагружен системой расчетных сил F (рис. 1.9, а).

сопромат для всех

Определить минимально необходимый диаметр стержня, если R = 210 МПа, Е = 200 ГПа.

Решение:

Нагрузка F, действующая по продольной оси стержня, вызывает в опорах только по одной реакции по линии действия сил.

Сам стержень подвергается деформации растяжения-сжатия с образованием в его сечениях продольных сил N.

Неизвестные реакции направляются произвольно. Для данного стержня можно составить только одно уравнение равновесия:

из которого две неизвестные величины не могут быть определены. Значит, рассматриваемый стержень является статически неопределимым.

Для проведения расчета стержень делится на расчетные участки с граничными сечениями, в которых приложены внешние силы (активные и реактивные). В задании — четыре расчетных участка, в пределах которых намечаются сечения I—IV. Заданным длинам l участков придается номер расчетного участка.

Для раскрытия статической неопределимости к уравнению равновесия необходимо составить одно дополнительное уравнение, исходя из принципа совместности перемещений его участков.

Для проведения расчета выбирается так называемая основная (статически определимая) система, которая получается из статически неопределимой путем удаления одной связи (здесь — опоры). Основная система загружается заданной нагрузкой и неизвестной реакцией удаленной опоры. Один из вариантов основной системы показан на рис. 1.9, б, где удалена верхняя опора.

Смысл совместности перемещений в этом задании заключается в том, что в основной системе, вследствие деформации расчетных участков стержня от действия нагрузки (сил F) и неизвестной реакции перемещение сечения должно быть равно нулю. Уравнение перемещений в общем виде

Выразив деформации на участках стержня через продольные силы N по закону Гука и учтя, что на участках стержня получим

или

откуда

Полученный в результате вычислений знак «минус» при означает, что эта реакция имеет противоположное направление. Направление (см. рис. 1.9, б) исправлено на действительное.

Для определения реакции рассмотрим основную систему, изображенную на рис. 1.9, в:

откуда

Направление реакции на рис. 1.9, в показано правильно. По уравнению равновесия проверим правильность определения опорных реакций:

реакции определены правильно.

Определим продольные силы N на участках стержня, используя второй прием, по которому

и правило знаков, описанное выше (от сечения — «плюс», к сечению -«минус»).

Рассматриваем «отсеченную» верхнюю часть стержня:

По этим данным строится эпюра продольных сил (рис. 1.9, г). Диаметр стержня определяем из условия прочности по нормальным напряжениям.

Площадь поперечного сечения стержня

а его диаметр

л V 3,14

По стандарту принимаем диаметр стержня d = 3,2 см с площадью сечения

Нормальные напряжения на участках стержня

Эпюра нормальных напряжений показана на рис. 1.9, д. Для построения эпюры перемещений необходимо вычислить деформации на каждом расчетном участке стержня:

Перемещения граничных сечений

Эпюры перемещений показаны на рис. 1.9, е.

Задача №3.3

Для сечения, составленного из двух швеллеров и листа, определить значения главных центральных моментов инерции (рис. 3.5).

сопромат для всех

Данные к заданию: швеллер № 20, лист сечением 15,2 х 2 см. Из таблиц сортамента для швеллера № 20: h = 20 см, b = 7,6 см,

Решение:

На сечении отмечаются центры тяжести швеллеров листа проводятся их центральные оси и

Центр тяжести сечения лежит на оси так как последняя является осью симметрии. Вспомогательная ось проводится по нижней стороне сечения.

Координаты центров тяжести отдельных фигур относительно осей

Ордината центра тяжести

На сечении отмечается центр тяжести О и проводится центральная ось

Вычисляем расстояния между осями п и т:

Значения осевых моментов инерции относительно центральных осей

Так как оси являются главными цен тральными осями сечения, значения и являются главными центральными моментами инерции. Из значенийи. следует, что a Данное сечение имеет наибольшую сопротивляемость изгибу относительно оси и наименьшую относительно оси .

Задача №4.3

Стержень круглого поперечного сечения d = Зсм с защемленными концами подвергается действию двух скручивающих моментов, соотношение которых .

Определить наибольшие допустимые значения скручивающих моментов и угол поворота сечения (т. К) стержня, если , G = 80 ГПа (рис. 4.9).

сопромат для всех

Решение:

Исходя из характера нагрузки на стержень, в его опорах возникнет по одной реакции — реактивному моменту Т (предварительно направляются произвольно), рис. 4.9, а.

Уравнение равновесия можно составить только одно:

в котором две неизвестные величины. Значит, рассматриваемый стержень является один раз статически неопределимым (2-1 = 1).

Для раскрытия статической неопределимости необходимо составить дополнительное уравнение исходя из принципа совместности перемещений.

За основную (статически определимую) систему выбираем стержень с удаленной, вот, левой опорой (рис. 4.9, б), загруженный заданными моментами и и неизвестным реактивным опорным моментом .

На опоре А (заделке) угол поворота в заданной системе (см. рис. 4.9, а) Чтобы основная система (см. рис. 4.9, б) была эквивалентна заданной, необходимо выдержать это условие и в основной системе: Это и есть дополнительное уравнение, выраженное в общем виде.

Применив метод независимости (сложения) действия сил и исходя из принципа совместности деформации (углов поворота) участков стержня, раскроем дополнительное уравнение, используя формулу (4.3) и соотношение скручивающих моментов:

или

Учитывая, что , получим

Направление было выбрано правильно (значение положительное). Определением момента статическая неопределимость раскрыта. Аналогичным образом можно определить реактивный момент .

Определяем значения крутящих моментов на трех расчетных участках стержня:

По значениям крутящих моментов, выраженных в долях от строим эпюру крутящих моментов (рис. 4.9, в). Из эпюры следует, что

Из условия прочности (4.2) максимальный допустимый крутящий момент, который может воспринять стержень:

Нагрузочные (скручивающие) моменты на стержень и реактивный момент

откуда

На эпюре крутящих моментов (рис. 4.9, в) проставлены значения крутящих моментов на участках стержня.

Угол поворота среднего сечения (т. К) стержня определим, используя формулу (4.3):

или

Эпюра касательных напряжений и угол поворота сечения К показаны на рис. 4.9, г.

Задача №5.3

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для двухопорной балки с консолью (рис. 5.8).

сопромат для всех

Определяем опорные реакции.

откуда

откуда

— реакции определены верно (по направлению и значениям). Балка имеет три расчетных участка.

Участок 1 — ход слева:

При

при

Участок 2 — ход слева:

— линейная зависимость;— параболическая зависимость.

При

при

Участок 3 — ход справа:

  • — линейная зависимость;
  • — параболическая зависимость.

При

при

На участке ВС балки эпюра Q переходит через нуль (Q = 0). В этом сечении, определяемом абсциссой , изгибающий момент М имеет экстремальное значение.

Определим расстояние из выражения

откуда

При

Заметим, что на участках балки, где действует распределенная нагрузка q, изгибающий момент изменяется по закону параболы. Линия эпюры изогнута в сторону направления нагрузки q.

Из построенных эпюр следует, что

Задача5.4

Построить эпюры Q и М для двухпролетной балки с промежуточным шарниром (рис. 5.9).

сопромат для всех

Решение:

Сложная (составная) балка АК состоит из двух частей: основной А С, покоящейся на шарнирных опорах А и В, и дополнительной, опирающейся левым концом на основную балку, а правым — на опору К.

Нагрузка q, действующая на основную балку, передается только на опоры А и В. Нагрузка F, действующая на дополнительную часть балки, передается на опору К и через шарнир С — на основную часть балки, а затем на опоры А и В.

Для ведения расчета сложную балку следует расчленить на основную и дополнительную части, проведя сечение через шарнир С (рис. 5.9, б).

Реакции в опорах балки определяют обычным образом, рассматривая отдельно каждую часть сложной балки, начиная с дополнительной.

Составляем уравнения равновесия для дополнительной части балки (СК):

Составляем уравнения равновесия для основной части балки (АС). В сечении С основной части балки нужно приложить ту часть нагрузки F, которая с дополнительной части передается на основную. Эта часть нагрузки равна реакции дополнительной части, т. е. Направлять следует противоположно направлению .

Для определения опорных реакций можно поступить иначе. Так как изгибающий момент в шарнире равен нулю (через шарнир мо-

мент не передается), то к обычным уравнениям равновесия можно добавить еще одно — сумма моментов относительно шарнира С от сил слева или справа от него равна нулю Тогда рис. 5.9, б не нужен.

В данном задании целесообразно составить следующие уравнения равновесия:

— определяется реакция ;

— войдут неизвестная реакция и известная реакция . Совместное решение уравнений дает значение реакции ;

— определяется реакция

Возможно применение других вариантов уравнений равновесия. Эпюры Q и М строятся обычным путем, отдельно для каждой части балки, а затем их нужно соединить.

После того как изучены закономерности изменения Q и М на участках балки в зависимости от вида нагрузки, процедуру их определения можно несколько упростить. Выражения для Q и М на каждом участке балки в зависимости от z не составляются, а сразу вычисляются их значения для конкретных сечений (обычно это границы расчетных участков балки).

Как выявлено ранее, в сечении, где приложена сосредоточенная сила F, на эпюре Q образуется скачок на величину этой силы. Поэтому в таких сечениях вычисляются два значения Q на бесконечно малых расстояниях слева (л) и справа (п) от него.

То же относится и к сосредоточенному моменту М.

Определяем внутренние силы (усилия) в характерных сечениях балки.

Ход слева.

Сечение А:

Сечение В:

Сечение С:

Для остальной части балки целесообразен ход справа.

Сечение К:

Сечение D:

Сечение С

Заметим, что последние значения Q и М можно было не определять (уже найдены).

По вычисленным значениям Q и М строятся их эпюры (рис. 5.9, в, г). На участке АВ балки эпюра Q переходит через нуль. Определим это сечение N, в котором изгибающий момент имеет максимальное значение:

откуда

При

Из построенных эпюр следует, что

Процедуру построения эпюры Q можно еще более упростить, применив графоаналитический прием, помня о закономерности изменения Q в зависимости от вида нагрузки.

Начинать построение удобно с крайнего левого сечения балки.

В сечении А — скачок на величину и направление реакции, т. е. вверх на 9 кН. На участке АВ — прямая, наклонная по направлению нагрузки q, т. е. вниз на

Получим точку с ординатой

9-20 = -11 кН.

От этой точки вверх на значение реакции получим точку с ординатой 4 кН. На участке ВС и CD изменений нет — эпюра прямая, параллельная оси. В сечении D — скачок вниз на F = 8 кН -получим ординату 4 кН. На участке DK изменений нет. В сечении К -скачок вверх на значение реакции = 4 кН. Построение всегда должно «замкнуться» на нуле.

Задача №5.7

Подобрать размеры нижеобозначенных форм сечений балки и сопоставить коэффициенты их экономичности. Для прямоугольного сечения принять h/b = 1,4.

Расчетные сопротивления материала балки R = 210 МПа, (рис. 5.15).

сопромат для всех

Решение:


Определяем опорные реакции

— реакции определены верно.

Вычислим значения Q и М в характерных сечениях балки и построим их эпюры (рис. 5.15, а, б).

Сечение С:

Сечение А :

Сечение В:

Абсцисса , где Q = 0, будет

При z = 3,4 м

Подбор сечений ведется по формуле (5.4), исходя из

Требуемый момент сопротивления

Для круглого поперечного сечения

откуда принимаем d= 8,5 см.

Для прямоугольного сечения

откуда b = 5,49 см, h = 7,68 см.

Конструктивно принимаем h = 8 см, b = 5,5 см.

Для прокатного профиля из сортамента по принимаем двутавр

Вычислим коэффициенты экономичности для принятых размеров сечений балки по выражению

Для круглого сечения

Для прямоугольного сечения

Для двутавра

Из рассмотренных форм сечений балки наиболее экономичным является двутавр.

Вычислим максимальные значения нормальных и касательных напряжений для принятых размеров сечений балки.

Нормальные напряжения (максимальны в крайних точках сечений): а)круглое сечение

б) прямоугольное сечение

в) для двутавра

Касательные напряжения (максимальны на уровне нейтральной оси):

а) круглое сечение

Для круглого сечения где половина площади сечения а расстояние от центра тяжести до ее нейтральной оси

б) прямоугольное сечение

в) для двутавра (толщина стенки)

По полученным значениям и для двутавра построены соответствующие эпюры (рис. 5.15, в) с учетом того, что на нейтральной оси сечения , а в крайних точках сечения .

Проанализировав значения для рассмотренных форм сечений (а это наиболее распространенные), заметим: если размеры сечений определены из условия прочности по нормальным напряжениям, то максимальные касательные напряжения значительно меньше не достигают предельно допустимых значений.

Задача №5.13

Для двухопорной балки с консолью (рис. 5.24), выполненной из двух стальных швеллеров, подобрать их номер и проверить жест кость, если R = 210 МПа,

Построить эпюру прогибов.

Решение:

Начало координатных осей помещено в сечении А. Значения опорных реакций приведены на рис. 5.24, а (нагрузку q, показанную пунктиром, при вычислении реакций можно не учитывать).

Построим эпюры Q и М.

В сечении А

В сечении С

В сечении В

Для сечения, в котором Q = 0, ордината

и

Из условия прочности по нормальным напряжениям требуемый момент сопротивления

По таблицам сортамента принимаем два швеллера № 14

Рассматриваемая балка имеет два расчетных участка (участка нагружения).

Заметим, что распределенная нагрузка q не доходит до конца балки. Поэтому ее необходимо продлить по консоли до конца балки и на этом участке приложить компенсирующую нагрузку q’ = q.

Составим уравнения перемещений оси изогнутой балки:

Начальные параметры и определим, исходя из деформационных условий на опорах балки. При z = 0 (опора А) прогиб а значит, и

При z = 4 м (опора В) прогиб

Запишем уравнение прогибов для сечения В (первый участок, z = 4 м):

откуда

Определим значение прогибов посредине пролета балки и на конце консоли. При z = 2 м

откуда

При z = 5 м

Эпюра прогибов показана на рис. 5.24, г. При построении эпюры прогибов ее очертание согласуется с эпюрой изгибающих моментов.

Максимальный абсолютный прогиб в пролете балки достигает значения , относительный прогиб

Условие жесткости по формуле (5.8)

— выполняется

Задача5.17

Для двухопорной балки с консолью определить прогибы в сечениях С и Д и построить эпюру прогибов (в долях ), рис. 5.30.

Решение:

Значения опорных реакций определяются из условий равновесия:

Определим значения ординат для построения эпюр Q и М.

При

При

При

При

Эпюры Q и М даны на рис. 5.30, б и в. Единичные эпюры и от сил F= 1, приложенных в сечениях, где нужно определить прогибы, показаны на рис. 5.30, г и д. Грузовую эпюру сложного очертания, разделим на простые фигуры. Выделим параболу и два треугольника и . Площадь параболы

  • где l — длина параболы;
  • h — высота параболы в центре тяжести ее (от нижней точки до пунктирной линии).

Высоту параболы можно вычислить геометрически по эпюре М, но удобнее пользоваться выражением

Определим ординаты на единичной эпюре (см. рис. 5.30, г) под центрами тяжести выделенных простых фигур:

Необходимо обратить внимание на расположение грузовой и единичных эпюр относительно их осей. Прогиб на конце консоли (сечение Д):

(направлен в противоположную сторону по отношению F = 1, т. е. вверх).

Определим ординаты под центрами тяжести простых фигур на второй единичной эпюре:

Прогиб в пролете балки (сечение С)

(направлен по направлению силы F = 1, т. е. вниз).

По полученным значениям прогибов строится соответствующая эпюра (рис. 5.30, е).

Очерчивая эпюру прогибов, следует обратить внимание, что консоль балки (участок ) не нагружена и, следовательно, этот участок не деформируется, но перемещается вследствие деформации пролетной части.

В случае необходимости определения прогиба не на границе расчетных участков балки, а в произвольном сечении расчет по способу Верещагина значительно усложняется, особенно на участках с распределенной нагрузкой q.

В таких случаях лучше воспользоваться методом начальных параметров.

Задача6.3

Для многопролетной балки (рис. 6.7, а) построить эпюры Q и М, подобрать номер прокатного двутавра, если R = 210 МПа.

Определить прогиб посередине ненагруженного пролета, изобразить ось изогнутой балки.

Решение:

Рассматриваемая балка состоит из трех пролетов и проходит не прерываясь над двумя промежуточными опорами, т. е. является неразрезной и дважды статически неопределимой (по числу промежуточных опор). Для ее решения воспользуемся методом сил.

Основную систему получим путем постановки шарниров на промежуточных опорах В и С (рис. 6.7, б). Обозначив неизвестные изгибающие моменты на этих опорах через и , запишем систему канонических уравнений по выражению (6.1):

Загрузив основную систему заданной нагрузкой (рис. 6.7, б), вычислив опорные реакции и значения М в характерных сечениях, построим грузовую эпюру изгибающих моментов для каждого пролета балки (рис. 6.7, в).

Затем нагружаем основную систему единичными опорными моментами на опоре В и — на опоре С. Для каждого

пролета основной системы определяем опорные реакции и строим единичные эпюры (рис. 6.7, г, д).

Грузовая эпюра расчленяется на простые фигуры и отмечаются их центры тяжести (см. рис. 6.7, в). На единичных эпюрах под центрами тяжести вычисляются значения ординат (см. рис. 6.7, г, д). Отмечаются также центры тяжести единичных эпюр и ординаты в их расположении.

Вычисляем значения площадей фигур, составляющих эпюры и :

Вычисляем значения ординат у на единичных эпюрах:

Перемножив единичные эпюры (сами на себя и между собой), получим значения коэффициентов канонических уравнений:

Перемножив грузовые эпюры на единичные, получим значения свободных членов канонических уравнений:

С учетом значений коэффициентов и свободных членов канонические уравнения примут вид

Решив систему уравнений (6.10), получим значения изгибающих моментов на промежуточных опорах неразрезной балки:

Решая задачи самостоятельно, не забудьте проверить правильность решения системы уравнений (6.10).

Заметим и учтем, что направление опорного момента противоположно направлению (знак «минус»), а направления и совпадают.

Определением значений и заканчивается раскрытие статической неопределимости балки.

Окончательные эпюры Q и М построим, рассматривая отдельно каждый пролет неразрезной балки как самостоятельную балку, нагруженную заданной нагрузкой и найденными опорными моментами (рис. 6.8, а). Сначала определяются опорные реакции, а затем значения Q и М в характерных сечениях.

Эпюры Q и М для рассмотренной неразрезной балки показаны на рис. 6.8, б, в.

Для проверки правильности выполнения расчетов надо перемножить окончательную эпюру изгибающих моментов на единичные. Решение будет верным, если результат перемножения будет равен нулю.

Ограничимся перемножением окончательной эпюры М на единичную (рис. 6.9, а, б):

Определим номер двутавра. Из окончательной эпюры М следует, что

Требуемый момент сопротивления сечения

Принимаем двутавр № 20, для которого

Для определения прогиба посередине пролета ВС (сечение К) следует в названном сечении основной системы приложить единичную силу и построить единичную эпюру (рис. 6.10,а)

Напомним, что:

  • единичная эпюра всегда прямолинейна;
  • площадь берется обязательно с криволинейной эпюры;
  • если обе эпюры (грузовая и единичная) прямолинейны, без перелома, площадь можно взять от любой из них;
  • если одна из эпюр изображается ломаной линией, она разбивается на ряд участков и площадь to берется именно с этой эпюры.

В настоящем задании на грузовой эпюре М — один расчетный участок, на единичной (ломаная прямая) — два. Площадь берут с каждого участка единичной эпюры, а ординаты у — с грузовой, расчленив ее, как показано на рис. 6.10, б.

Значения площадей и ординат:

м (из подобных треугольников);

Перемножив эпюры, получим

откуда прогиб

Знак «минус» при означает, что прогиб происходит в направлении, противоположном единичной силе, т. е. вверх (рис. 6.8, д).

Ось изогнутой неразрезной балки (эпюра прогибов) изображена на рис. 6.8, д.

Обратите внимание на точки перегиба на эпюре и проследите согласование расположения ординат эпюры М с выпуклостью балки.

Задача №7.6

По граням элемента, выделенного из нагруженного тела, действуют напряжения, показанные на рис. 7.12, а.

Определить положение главных площадок, значения главных напряжений и установить вид напряженного состояния.

Решение:

Определим значения главных напряжений:

Положение главной площадки с напряжением

Угол отсчитывается от оси X против хода часовой стрелки, так как угол положительный.

На рис. 7.12, б по вычисленным значениям показаны положения главных площадок и направления главных напряжений.

Анализ полученных значений главных напряжений показывает, что рассмотренный элемент находится в условиях линейного напряженного состояния, так как отличным от нуля оказалось только одно главное напряжение (действует только в одном направлении)

Задача №8.3

Определить размеры поперечного прямоугольного сечения деревянной двухопорной балки (рис. 8.7, а), подвергающейся изгибу в двух главных плоскостях, при заданном отношении сторон h/b = 1,4.

Расчетное сопротивление материала балки R = 12 МПа.

Виды опор балки в вертикальной и горизонтальной плоскостях однотипны.

Решение:

Рассматриваемая балка подвергается косому изгибу.

Определим реакции опор и построим эпюры изгибающих моментов в плоскостях действующей нагрузки.

Вертикальная плоскость (рис. 8.7, б):

откуда Аналогично

При z = 1,5 м

при z = 2,5 м

Горизонтальная плоскость (рис. 8.7, в):

откуда аналогично

При z = 1,5 м

при z = 2,5 м

Эпюры изгибающих моментов показаны на рис. 8.7, б и в. Подбор размеров сечения балки проведем из условия прочности в виде (8.3):

В данном задании коэффициент

Расчет должен производиться по наибольшему расчетному моменту .

Анализ эпюр изгибающих моментов показывает, что опасное сечение балки, где сочетание этих моментов самое неблагоприятное, неявно.

Исследуем сечение С и К:

в сечении С

в сечении К

Таким образом, опасным является сечение С, где

Требуемый момент сопротивления сечения балки из условия прочности будет

Для прямоугольного поперечного сечения с учетом того, что h /b =1,4:

откуда получим b = 17,9 см, h = 25,06 см.

Приняв конструктивно b = 18 см, k = 25 см вычислим значение максимального нормального напряжения по формуле (8.2):

Размеры сечения определены верно. Моменты инерции принятого сечения

Положение нейтральной оси в сечении С

Положительное значение откладываем от оси X против хода часовой стрелки.

Эпюры нормальных напряжений от каждого изгибающего и суммарного момента приведены на рис. 8.7, г.

Задача №8.6

На поперечном сечении колонны (рис. 8.13, а) определить точку приложения сжимающей силы F, наиболее удаленной от центра тяжести по оси Y, при которой в колонне не будет растягивающих напряжений.

Построить ядро сечения и эпюру напряжений (в долях от F).

Решение:

Поскольку сила F должна быть приложена к колонне вне ее центра тяжести сечения, колонна будет подвергаться внецентренному сжатию.

Для отыскания точки приложения силы F воспользуемся формулами (8.8):

Для определения необходимых геометрических характеристик рассматриваемое сложное сечение разделим на четыре простые фигуры: два прямоугольника и два треугольника (см. рис. 8.13, а). Площадь сечения

Ордината центра тяжести сечения (относительно вспомогательной оси )

Оси и являются главными центральными осями сечения, так как — ось симметрии.

Моменты инерции относительно главных центральных осей сечения

Радиусы инерции сечения относительно главных центральных осей

Точка приложения силы F связана с положением нейтральной оси. Поскольку сила F находится на оси , нейтральная ось должна быть ей перпендикулярна.

Для выполнения условия задачи (в сечении не должно возникать растягивающих напряжений) нужно задаться двумя положениями нейтральной оси, совпадающими с верхней и нижней гранями сечения, и определить ординату точки приложения силы F.

В положении нейтральной оси по верхней грани сечения (рис. 8.13, б) ее ордината

а ордината точки приложения силы F будет

При положении и.о. по нижней грани сечения

По условию задачи принимаем положение точки приложения силы F (точка К) выше центральной оси на расстоянии (см. рис. 8.13, а).

Для построения эпюры напряжений вычислим их значения (в долях от F) для крайних точек сечения:

Условие задачи выполнено — в сечении нет растягивающих напряжений. Эпюра напряжений показана на рис. 8.13, б.

Для построения ядра сечения задаемся рядом последовательных положений нейтральной оси, касающихся контуров сечения и не пересекающих его. Для каждого ее положения вычисляются координаты а затем соответствующие данному положению нейтральной оси координаты точки приложения силы F, которые являются координатами точек ядра сечения

Для вычисления координат точек ядра сечения воспользуемся формулами (8.8).

Нейтральная ось в положении

Нейтральная ось в положении 2-2 на главных центральных осях , отсекает отрезки, координаты которых необходимо определить используя подобие образовавшихся треугольников: ДВЕ, ДИЛ, ДОП (см. рис. 8.13, б):

откуда а = 17,78 см;

откуда

Координаты ядра сечения

Нейтральная ось в положении 3-3:


Нейтральная ось в положении 4-4:

Положение нейтральной оси 5-5 симметрично положению 3-3, а положение 6-6 симметрично 2-2.

По полученным значениям построено ядро сечения (см. рис. 8.13, б).

Как видно по ядру сечения, наиболее удаленной от центра является точка 4. Приложив в этой точке силу F, получим наиболее допустимый ее эксцентриситет при котором в сечении будут напряжения одного знака. Это подтверждает ранее сделанный расчет.

В заключение заметим, что, прикладывая нагрузку F в пределах ядра сечения, по всему сечению получим напряжения одного знака.

Задача9.3

Стальная колонна длиной l = 6 м, составленная из четырех равно-полочных уголков, загружена сжимающей силой F= 500 кН (рис. 9.6)

Условия закрепления концов колонны в главных плоскостях сечения одинаковы. Жесткая решетка, соединяющая ветви колонны (показана пунктиром), обеспечивает их совместную работу.

Определить номер уголков и коэффициент запаса устойчивости, если R= 210 МПа.

Решение:

По условию закрепления концов колонны (шарниры) коэффициент приведения длины

Положение центра тяжести сечения очевидно. Оси XY являются главными центральными осями сечения колонны.

Подбор уголков сечения проведем по формуле (9.8):

Поскольку площадь сечения неизвестна, расчет ведется путем предварительного выбора коэффициента с последующим его уточнением.

В первом приближении задаемся (середина интервала значений ). Тогда из (9.8) площадь сечения колонны

Площадь сечения одного уголка

По этому значению выбираем ближайший номер уголка. Проверим сечение из уголков 80 х 80 х 8 мм. Из таблицы сортамента

Для всего сечения: площадь сечения

моменты инерции относительно главных центральных осей

радиус инерции

гибкость колонны

Для данного значения гибкости по табл. 9.1 путем интерполяции вычислим табличное значение , соответствующее

для

для

для

Вычислим напряжение в колонне:

Расчетное (допустимое) сопротивление в колонне с учетом устойчивости

При этом сечении колонны недонапряжение составляет

Устойчивость колонны будет обеспечена, однако возможности материала полностью не используются. Размеры сечения можно уменьшить.

Рекомендуется последовательное приближение к правильному выбору уголков.

Во второй попытке задаемся значением :

Из условия устойчивости для сечения колонны необходима площадь

Для одного уголка

Проверим сечение из уголков 70 х 70 х 7 мм, для которых

Для всего сечения

Напряжение в колонне

Расчетное сопротивление

Недонапряжение составляет 16,2 %.

Поскольку площадь сечения уголков от номера к номеру изменяется непоследовательно (см. таблицу сортамента), после нескольких попыток выбора коэффициента целесообразно перейти к логическому выбору номера уголка.

После второго приближения действующее напряжение в колонне ниже допустимого. Следовательно, площадь сечения можно уменьшить.

Проверим сечение из уголков 70 х 70 х 6 мм, для которых

Для всего сечения:

Напряжение в колонне расчетное сопротивление — недонапряжение составляет 3,5 %, что приемлемо.

Проверка сечения из уголков 75 х 75 х 5 мм с ближайшей меньшей площадью показала перенапряжение 5,8 %, что недопустимо.

Итак, принимаем сечение колонны из уголков 70 х 70 х 6 мм с приемлемым недонапряжением.

В завершение задания вычислим коэффициент запаса устойчивости принятого сечения колонны.

Так как гибкость колонны воспользуемся формулами Ясинского.

Критическое напряжение

Критическая сила

Коэффициент запаса устойчивости

Задача №9.6

Стальная балка, шарнирно опертая на концах, нагружена поперечной и продольной нагрузками (рис. 9.10, а).

Определить номер двутавра, если R = 210 МПа.

Решение:

Рассматриваемая балка подвергается продольно-поперечному изгибу. Сначала надо учесть воздействие поперечной нагрузки, а затем — дополнительно от продольной.

Определим номер двутавра от воздействия поперечной силы F = 50 кН, вызывающей плоский изгиб балки. Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 9.10, б.

Максимальный изгибающий момент в середине пролета

Из условия прочности по нормальным напряжениям требуемый момент сопротивления сечения

Наметим предварительно двутавр № 22, для которого

Прогиб в середине пролета балки Do от поперечной нагрузки F в плоскости ее действия определяется по формуле (см. справочник)

Проверим намеченный номер двутавра на воздействие продольной нагрузки , создающей дополнительный прогиб и дополнительный изгибающий момент.

Вычислим полный прогиб и от поперечной и продольной сил по формуле (9.11) в плоскости действия поперечной силы, т. е. в вертикальной плоскости:

где эйлерова сила

Еще раз заметим, что при вычислении F, использовалось значение момента инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости действия поперечной нагрузки, т. е. значение .

Максимальный изгибающий момент в опасном сечении балки по (9.12)

Проверку прочности предварительно намеченного двутавра проведем по формуле (9.13):

Перенапряжение составляет 20,8 %.

Проверим пригодность ближайшего номера двутавра с большими геометрическими характеристиками — это № 24. Его характеристики

Повторим вычисления расчетных параметров в установленном ранее порядке. Прогиб от поперечной нагрузки

Эйлерова сила

Полный прогиб балки

Максимальный изгибающий момент

Максимальное нормальное напряжение

Условию прочности двутавр № 24 удовлетворяет. Проверим устойчивость балки из двутавра № 24 в горизонтальной плоскости (плоскости наибольшей гибкости, так как

Гибкость балки

коэффициент

Допускаемая продольная сила

Принимаем окончательно двутавр № 24.

Задача №10.3

На балке, состоящей из двух двутавров № 20, установлена лебедка массой для подъема груза массой на тросе сечением (рис. 10.4, а).

Для данной конструкции определить максимально допустимое ускорение подъема, если расчетное сопротивление для двутавра R = 210 МПа, для троса R = 150 МПа.

Собственный вес балки и троса не учитывать.

Решение:

Момент сопротивления двутавра № 20

Нагрузкой на трос является вес поднимаемого груза:

Напряжение в тросе от статического действия груза весом

Максимальное допускаемое напряжение в тросе

Максимальный допускаемый коэффициент динамичности для троса

По формуле (10.1)

откуда максимальное допустимое ускорение подъема груза

Нагрузкой для балки являются: вес лебедки

вес поднимаемого груза

Расчетная схема балки и эпюра изгибающих моментов показаны на рис. 10.4, б.

Напряжение в балке от статического действия нагрузки

Для балки максимальный допустимый коэффициент динамичности

Из формулы (10.1) максимальное допустимое ускорение подъема груза

Для конструкции, исходя из прочности троса, принимаем наи-большее допустимое ускорение подъема груза

Задача10.6

К деревянной консольной балке прямоугольного поперечного сечения (h = 20 см, b = 10 см), рис. 10.9, на свободном конце внезапно приложен груз массой т = 200 кг.

Определить предельную длину балки, если R = 11 МПа. Массу балки не учитывать.

Решение:

Вес груза

Момент сопротивления сечения балки

При внезапном приложении груза принимается Н = 0. Тогда из формулы (10.2) динамический коэффициент

Из условия прочности балки максимально допустимое статическое напряжение

Исходя из схемы балки и вида нагрузки, максимальный изгибающий момент будет в защемлении и определится выражением

Максимальное нормальное напряжение в защемлении

откуда наибольшая допустимая длина балки

При этой длине прочность балки обеспечена. Возникает вопрос задачи: как взаимосвязаны динамические напряжения с длиной балки при внезапном приложении груза и почему? (Пропорционально, так как

Возможно эти страницы вам будут полезны: