Системы эконометрических уравнений

Виды систем эконометрических уравнений

Сложные экономические процессы описывают с помощью системы взаимосвязанных (одновременных) уравнений.

Различают несколько видов систем уравнений, применяемых в эконометрике:

• система независимых уравнений — когда каждая зависимая переменная Системы эконометрических уравнений рассматривается как функция одного и того же набора факторов Системы эконометрических уравнений:

Системы эконометрических уравнений

Для построения такой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов, применяемый к каждому уравнению в отдельности;

• система рекурсивных уравнений — когда зависимая переменная Системы эконометрических уравнений одного уравнения выступает в виде фактора в другом уравнении:

Системы эконометрических уравнений

Для построения такой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов, применяемый последовательно к каждому уравнению в отдельности;

• система взаимосвязанных (совместных) уравнений — когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а другие в правую:

Системы эконометрических уравнений

Такая система уравнений называется структурной формой модели. Для построения таких систем и нахождения их параметров используются косвенный и двухшаговый методы наименьших квадратов.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет эконометрика

Введем следующие определения:

  • Эндогенные переменные — взаимозависимые переменные, которые определяются внутри системы (модели) Системы эконометрических уравнений.
  • Экзогенные переменные — независимые переменные, которые определяются вне системы Системы эконометрических уравнений.
  • Лаговые эндогенные переменные — эндогенные переменные за предыдущие моменты времени.
  • Предопределенные переменные — экзогенные и лаговые эндогенные переменные системы.
  • Коэффициенты Системы эконометрических уравнений и Системы эконометрических уравнений при переменных — структурные коэффициенты модели.

Система линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенных переменных системы — приведенная форма модели:

Системы эконометрических уравнений

где Системы эконометрических уравнений — коэффициенты приведенной формы модели.

Проблема идентификации

При переходе от приведенной формы модели к структурной исследователь сталкивается с проблемой идентификации. Идентификация -это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:

  • идентифицируемые;
  • неидентифицируемые;
  • сверхидентифицируемые.

Модель идентифицируема, если все структурные ее коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, т. е. если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели. В этом случае структурные коэффициенты модели оцениваются через параметры приведенной формы модели и модель идентифицируема.

Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.

Модель еверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два или более значений одного структурного коэффициента. В этой модели число структурных коэффициентов меньше числа коэффициентов приведенной формы.

Сверхидентифицируемая модель, в отличие от неидентифицируемой, модели практически решаема, но требует для этого специальных методов исчисления параметров.

Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравнений, каждое из которых требуется проверять на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой.

Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.

Выполнение условия идентифицируемости модели проверяется для каждого уравнения системы. Чтобы уравнение было идентифицируемо, необходимо, чтобы число предопределенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного.

Обозначим через Системы эконометрических уравнений — число эндогенных переменных в уравнении, а через Системы эконометрических уравнений — число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе. Тогда необходимое условие идентификации отдельного уравнения принимает вид:

  • уравнение идентифицируемо, если Системы эконометрических уравнений;
  • уравнение сверхидентифицируемо, если Системы эконометрических уравнений;
  • уравнение неидентифицируемо, если Системы эконометрических уравнений.

Если необходимое условие выполнено, то далее проверяется достаточное условие идентификации.

Достаточное условие идентификации — определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы.

Для решения идентифицируемого уравнения применяется косвенный метод наименьших квадратов, для решения сверхидентифицированных -двухшаговый метод наименьших квадратов.

Косвенный МНК состоит в следующем:

• составляют приведенную форму модели и определяют численные значения ее параметров обычным МНК;

• путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, получая тем самым численные оценки структурных параметров.

Двухшаговый МНК заключается в следующем:

• составляют приведенную форму модели и определяют численные значения ее параметров обычным МНК;

• выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяются двухшаговым МНК, и находят расчетные значения этих эндогенных переменных по соответствующим уравнениям приведенной системы;

• обычным МНК определяют параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части уравнения.

Решение типовых уравнений

Пример задачи на уравнения №4.2.1.

Рассматривается модель протекционизма Сальватора (упрощенная версия):

Системы эконометрических уравнений

где

Системы эконометрических уравнений — доля импорта в ВВП;
Системы эконометрических уравнений — общее число прошений об освобождении от таможенных пошлин; Системы эконометрических уравнений — число удовлетворенных прошений об освобождении от таможенных пошлин;

Системы эконометрических уравнений — фиктивная переменная, равная 1 для тех лет, в которые курс доллара на международных валютных рынках был искусственно завышен, и 0-для всех остальных лет;

Системы эконометрических уравнений — реальный ВВП;

Системы эконометрических уравнений — реальный объем чистого экспорта; Системы эконометрических уравнений — текущий период; Системы эконометрических уравнений — предыдущий период; Системы эконометрических уравнений и Системы эконометрических уравнений — случайные ошибки. Задание.

  1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации определить, идентифицировано ли каждое из уравнений модели.
  2. Определить метод оценки параметров модели.
  3. Записать приведенную форму модели в общем виде.

Решение:

  1. Модель представляет с собой систему взаимосвязанных (одновременных) уравнений. Для ответа на вопрос о способе оценки параметров модели проверим каждое ее уравнение на идентификацию.

Модель включает три эндогенные переменные Системы эконометрических уравнений и четыре предопределенные переменные (три экзогенные Системы эконометрических уравнений и одну лаговую эндогенную Системы эконометрических уравнений).

Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.

1 уравнение.

Это уравнение включает три эндогенные переменные Системы эконометрических уравнений и две предопределенные (Системы эконометрических уравнений и Системы эконометрических уравнений). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, равно числу эндогенных переменных, входящих в уравнение: 2+1=3. Уравнение идентифицировано.

2 уравнение.

Это уравнение включает три эндогенные переменные Системы эконометрических уравнений и одну предопределенную Системы эконометрических уравнений. Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение: 3+1>3. Уравнение сверхидентифицировано.

3 уравнение.

Это уравнение включает три эндогенные переменные Системы эконометрических уравнений и одну предопределенную Системы эконометрических уравнений. Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение: 3+1>3. Уравнение сверхидентифицировано.

Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели:

Системы эконометрических уравнений

В соответствии с достаточным условием идентификации определитель матрицы коэффициентов, не входящих в исследуемое уравнение, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть не менее, чем число эндогенных переменных модели минус 1, т.е. в данной задаче больше или равен 3-1=2.

1 уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

Системы эконометрических уравнений

Ее определитель

Системы эконометрических уравнений

Ранг этой матрицы

Системы эконометрических уравнений

Следовательно, для 1 уравнения достаточное условие выполняется, это уравнение точно идентифицируемо. 2 уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

Системы эконометрических уравнений

Ранг этой матрицы

Системы эконометрических уравнений

так как она содержит отличный от нуля минор второго порядка

Системы эконометрических уравнений

Следовательно, для 2 уравнения достаточное условие выполняется, это уравнение сверхидентифицируемо. 3 уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

Системы эконометрических уравнений

Ранг этой матрицы Системы эконометрических уравнений, так как она содержит отличный от нуля минор второго порядка

Системы эконометрических уравнений

Следовательно, для 3 уравнения достаточное условие выполняется, это уравнение сверхидентифицируемо.

  • Таким образом, система в целом сверхидентифицируема, для оценки ее параметров можно применить двухшаговый метод наименьших квадратов.
  • Запишем приведенную форму модели в общем виде:
Системы эконометрических уравнений

Пример задачи на уравнения №4.2.2.

Рассматривается структурная модель вида:

Системы эконометрических уравнений

Задание.

  1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации определить, идентифицировано ли каждое из уравнений модели.
  2. Определить метод оценки параметров модели.
  3. Записать приведенную форму модели в общем виде.
  4. Исходя из приведенной формы модели уравнений
Системы эконометрических уравнений

найти структурные коэффициенты модели.

Решение:

  • Модель представляет с собой систему взаимосвязанных (одновременных) уравнений. Для ответа на вопрос о способе оценки параметров модели проверим каждое ее уравнение на идентификацию.

Модель включает три эндогенные переменные Системы эконометрических уравнений и три предопределенные переменные (экзогенные Системы эконометрических уравнений).

Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.

1 уравнение.

Это уравнение включает две эндогенные переменные (Системы эконометрических уравнений и Системы эконометрических уравнений) и две предопределенные (Системы эконометрических уравнений и Системы эконометрических уравнений). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, равно числу эндогенных переменных, входящих в уравнение: 1 + 1=2. Уравнение идентифицировано.

2 уравнение.

Это уравнение включает три эндогенные переменные Системы эконометрических уравнений и одну предопределенную Системы эконометрических уравнений. Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, равно числу эндогенных переменных, входящих в уравнение: 2+1=3. Уравнение идентифицировано.

3 уравнение.

Это уравнение включает две эндогенные переменные (Системы эконометрических уравненийи Системы эконометрических уравнений) и две предопределенные (Системы эконометрических уравнений и Системы эконометрических уравнений). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, равно числу эндогенных переменных, входящих в уравнение: 1 + 1=2. Уравнение идентифицировано. Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации.

Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели:

Системы эконометрических уравнений

1 уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

Системы эконометрических уравнений

Определитель матрицы

Системы эконометрических уравнений

а ранг матрицы

Системы эконометрических уравнений

что не менее чем число эндогенных переменных системы минус один. Следовательно, для первого уравнения достаточное условие идентификации выполнено, уравнение точно идентифицируемо.

2 уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

Системы эконометрических уравнений

Определитель матрицы

Системы эконометрических уравнений

а ранг матрицы

Системы эконометрических уравнений

что не менее чем число эндогенных переменных системы минус один. Следовательно, для второго уравнения достаточное условие идентификации выполнено, уравнение точно идентифицируемо.

3 уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

Системы эконометрических уравнений

Определитель матрицы

Системы эконометрических уравнений

а ранг матрицы

Системы эконометрических уравнений

что не менее чем число эндогенных переменных системы минус один. Следовательно, для третьего уравнения достаточное условие идентификации выполнено, уравнение точно идентифицируемо.

  • Все уравнения системы точно идентифицируемы, следовательно, система в целом точно идентифицируема, для оценки ее параметров может быть применен косвенный метод наименьших квадратов.
  • Запишем приведенную форму модели в общем виде:
Системы эконометрических уравнений
  • Вычисление структурных коэффициентов модели:

1) из третьего уравнения приведенной формы выразим Системы эконометрических уравнений (так как его нет в первом уравнении структурной формы)

Системы эконометрических уравнений

Данное выражение содержит переменные Системы эконометрических уравнений и Системы эконометрических уравнений которые входят в правую часть первого уравнения структурной формы модели (СФМ). Подставим полученное выражение Системы эконометрических уравнений в первое уравнение приведенной формы модели (ПФМ)

Системы эконометрических уравнений

Откуда получим первое уравнение СФМ в виде

Системы эконометрических уравнений

2) во втором уравнении СФМ нет переменных Системы эконометрических уравнений и Системы эконометрических уравнений. Структурные параметры второго уравнения СФМ можно будет определить в два этапа.

Первый этап: выразим Системы эконометрических уравнений в данном случае из первого или третьегоуравнения ПФМ. Например, из первого уравнения

Системы эконометрических уравнений

Подстановка данного выражения во второе уравнение ПФМ не решило бы задачу до конца, так как в выражении присутствует Системы эконометрических уравнений, которого нет в СФМ. Выразим Системы эконометрических уравнений из третьего уравнения ПФМ

Системы эконометрических уравнений

Подставим его в выражение для Системы эконометрических уравнений

Системы эконометрических уравнений

Второй этап: аналогично, чтобы выразить Системы эконометрических уравнений через искомые Системы эконометрических уравнений и Системы эконометрических уравнений, заменим в выражении Системы эконометрических уравнений значение Системы эконометрических уравнений на полученное из первого уравнения ПФМ

Системы эконометрических уравнений

Следовательно,

Системы эконометрических уравнений

Подставим полученные Системы эконометрических уравнений и Системы эконометрических уравнений во второе уравнение ПФМ

Системы эконометрических уравнений

В результате получаем второе уравнение СФМ

Системы эконометрических уравнений

3) из второго уравнения ПФМ выразим Системы эконометрических уравнений, так как его нет в третьем уравнении СФМ

Системы эконометрических уравнений

Подставим полученное выражение в третье уравнение ПФМ

Системы эконометрических уравнений

В результате получаем третье уравнение СФМ

Системы эконометрических уравнений

Таким образом, СФМ примет вид

Системы эконометрических уравнений

Пример задачи на уравнения №4.2.3.

Изучается модель вида

Системы эконометрических уравнений

где Системы эконометрических уравнений — валовый национальный доход;

Системы эконометрических уравнений — валовый национальный доход предшествующего года;

Системы эконометрических уравнений — личное потребление;

Системы эконометрических уравнений — конечный спрос (помимо личного потребления); Системы эконометрических уравнений и Системы эконометрических уравнений — случайные составляющие.

Информация за девять лет о приросте всех показателей дана в таблице 4.2.1.

Системы эконометрических уравнений

Для данной модели была получена система приведенных уравнений

Системы эконометрических уравнений

Задание.

  1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определить, идентифицировано ли каждое из уравнений модели.
  2. Рассчитать параметры первого уравнения структурной модели.

Решение:

  1. В данной модели две эндогенные переменные (Системы эконометрических уравнений и Системы эконометрических уравнений) и две экзогенные переменные (Системы эконометрических уравнений и Системы эконометрических уравнений). Второе уравнение точно идентифицировано, так как содержит две эндогенные переменные и не содержит одну экзогенную переменную из системы. Иными словами, для второго уравнения имеем по счетному правилу идентификации равенство: 2=1 + 1.

Первое уравнение сверхидентифицировано, так как в нем на параметры при Системы эконометрических уравнений и Системы эконометрических уравнений наложено ограничение: они должны быть равны. В этом уравнении содержится одна эндогенная переменная Системы эконометрических уравнений. Переменная Системы эконометрических уравнений в данном уравнении не рассматривается как эндогенная, так как она участвует в уравнении не самостоятельно, а вместе с переменной Системы эконометрических уравнений. В данном уравнении отсутствует одна экзогенная переменная, имеющаяся в системе. По счетному правилу идентификации получаем: 1 + 1 = 2: Системы эконометрических уравнений. Это больше, чем число эндогенных переменных в данном уравнении, следовательно, система сверхидентифицирована.

  • Для определения параметров сверхидентифицированной модели используется двухшаговый метод наименьших квадратов.

Шаг 1. На основе системы приведенных уравнений по точно идентифицированному второму уравнению определим теоретические значения эндогенной переменной Системы эконометрических уравнений. Для этого в приведенное уравнение

Системы эконометрических уравнений

подставим значения Системы эконометрических уравнений и Системы эконометрических уравнений имеющиеся в условии задачи. Полученные значения обозначим Системы эконометрических уравнений (табл. 4.2.2).

Шаг 2. По сверхидентифицированному уравнению структурной формы модели заменяем фактические значения Системы эконометрических уравнений, на теоретические Системы эконометрических уравнений и рассчитываем новую переменную Системы эконометрических уравнений (табл. 4.2.2).

Системы эконометрических уравнений

Далее к сверхидентифицированному уравнению применяется метод наименьших квадратов. Обозначим новую переменную Системы эконометрических уравнений через Системы эконометрических уравнений. Решаем уравнение Системы эконометрических уравнений. С помощью МНК получим Системы эконометрических уравнений. Запишем первое уравнение структурной модели

Системы эконометрических уравнений

Пример задачи на уравнения №4.2.4.

Рассматривается следующая модель:

Системы эконометрических уравнений

где

  • Системы эконометрических уравнений — расходы на потребление в период Системы эконометрических уравнений;
  • Системы эконометрических уравнений — совокупный доход период Системы эконометрических уравнений:
  • Системы эконометрических уравнений — инвестиции в период Системы эконометрических уравнений;
  • Системы эконометрических уравнений — процентная ставка в период Системы эконометрических уравнений;
  • Системы эконометрических уравнений — денежная масса в период Системы эконометрических уравнений;
  • Системы эконометрических уравнений — государственные расходы в период Системы эконометрических уравнений;
  • Системы эконометрических уравнений — расходы на потребление в период Системы эконометрических уравнений;
  • Системы эконометрических уравнений — инвестиции в период Системы эконометрических уравнений;
  • Системы эконометрических уравнений — текущий период;
  • Системы эконометрических уравнений — предыдущий период;

Системы эконометрических уравнений и Системы эконометрических уравнений — случайные ошибки.

Задание.

В предположении, что имеются временные ряды данных по всем переменным модели, предложить способ оценки ее параметров.

Как изменится ваш ответ на вопрос п. 1, если из модели исключить тождество дохода?

Решение:

  1. Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Для ответа на вопрос о способе оценки параметров модели проверим каждое ее уравнение на идентификацию.

Модель включает четыре эндогенные переменные Системы эконометрических уравнений и четыре предопределенные переменные (две экзогенные переменные — Системы эконометрических уравнений и Системы эконометрических уравнений ( и две лаговые эндогенные переменные — Системы эконометрических уравнений и Системы эконометрических уравнений).

Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.

1 уравнение.

Это уравнение включает две эндогенные переменные (Системы эконометрических уравнений и Системы эконометрических уравнений) и одну предопределенную переменную (Системы эконометрических уравнений). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение: 3 + 1 > 2. Уравнение сверхидентифицировано.

2 уравнение.

Это уравнение включает две эндогенные переменные Системы эконометрических уравнений и не включает три предопределенные переменные. Как и 1-е уравнение, оно сверхидентифицировано.

3 уравнение.

3-е уравнение тоже включает две эндогенные переменные Системы эконометрических уравнений и не включает три предопределенные переменные. Это уравнение сверхидентифицировано.

4 уравнение.

Это уравнение представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в его идентификации нет.

Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели

Системы эконометрических уравнений

В соответствии с достаточным условием идентификации определитель матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть не менее числа эндогенных переменных модели минус 1, т. е. 4-1=3.

I уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

Системы эконометрических уравнений

Ее ранг равен 3, так как определитель квадратной подматрицы 3×3 этой матрицы не равен нулю

Системы эконометрических уравнений

Достаточное условие идентификации для 1-го уравнения выполняется.

2 уравнение.

Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение

Системы эконометрических уравнений

Ее ранг равен 3, так как определитель квадратной подматрицы 3×3 этой матрицы не равен нулю

Системы эконометрических уравнений

Достаточное условие идентификации для 2-го уравнения выполняется.

3 уравнение.

Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение

Системы эконометрических уравнений

Ее ранг равен трем, так как имеется квадратная подматрица 3×3 этой матрицы, определитель которой не равен нулю.

Достаточное условие идентификации для 3-го уравнения выполняется.

Таким образом, все уравнения модели сверхидентифицированы. Для оценки параметров каждого из уравнений будем применять двухшаговый МНК.

Шаг 1. Запишем приведенную форму модели в общем виде

Системы эконометрических уравнений

где Системы эконометрических уравнений — случайные ошибки.

Определим параметры каждого из приведенных выше уравнений в отдельности обычным МНК. Затем найдем расчётные значения эндогенных переменных Системы эконометрических уравнений используемых в правой части структурной модели, подставляя в каждое равнение приведенной формы соответствующее значение предопределенных переменных.

Шаг 2. В исходных структурных уравнениях заменим эндогенные переменные, выступающие в качестве факторных признаков, их расчетными значениями

Системы эконометрических уравнений

Применяя к каждому из полученных уравнений в отдельности обычный МНК, определим структурные параметры

Системы эконометрических уравнений

Если из модели исключить тождество дохода, число предопределенных переменных модели уменьшится на 1 (из модели будет исключена переменная Системы эконометрических уравнений). Число эндогенных переменных модели также снизится на единицу — переменная Системы эконометрических уравнений, станет экзогенной. В правых частях функции потребления и функции денежного рынка будут находиться только предопределенные переменные. Функция инвестиций постулирует зависимость эндогенной переменной Системы эконометрических уравнений, от эндогенной переменной Системы эконометрических уравнений (которая зависит только от предопределенных переменных) и предопределенной переменной Системы эконометрических уравнений. Таким образом, мы получим рекурсивную систему. Ее параметры можно оценивать обычным МНК, и нет необходимости исследования системы уравнений на идентификацию.

Возможно эти страницы вам будут полезны: