Сферическая поверхность — шар

Сферическая поверхность — шар

При вращении окружности вокруг ее диаметра образуется поверхность вращения, называемая сферой. Сферическая поверхность — геометрическое место точек, равноудаленных от ее центра. Сфера — единственная геометрическая поверхность, которая имеет бесконечное число осей, проходящих через ее центр, что удобно использовать при построении проекций точек на ее поверхности и при решении различных позиционных задач с геометрическими формами, в образование которых входит сфера.

Геометрическое тело, ограниченное сферой, называют шаром.

Проекции шара и проекции его очерковых окружностей

Все три очерка шара — фронтальный, горизонтальный и профильный -представляют собой окружности одного диаметра с центром в точке — это характерный признак проекций шара на чертеже (рис. 7.16).

Каждая точка на поверхности шара описывает вокруг соответствующей оси окружности, называемые параллелями.

Фронтальный очерк шара — окружность — называется главным фронтальным меридианом, который лежит во фронтальной плоскости уровня , и его горизонтальная проекция -это горизонтальная прямая, а профильная проекция — вертикальная прямая, проходящие через центр шара.

Горизонтальный очерк шара — это окружность , то есть экватор шара, лежащий в горизонтальной плоскости уровня , и его фронтальная и профильная проекции — горизонтальные прямые, проходящие через центр шара.

Профильный очерк шара — это окружность главного профильного меридиана, лежащего в профильной плоскости , и его фронтальная и горизонтальная проекции — вертикальные прямые, проходящие через центр шара.

!!! Запомните характерные признаки шара на чертеже — три очерковые окружности одного диаметра.

Построение проекций точек на поверхности шара

На рис. 7.16 показаны примеры построения проекций точек, лежащих на характерных очерковых окружностях шара.

Точка , заданная своей фронтальной проекцией, лежит на главном фронтальном меридиане ; ее горизонтальная проекция и профильная проекция определяются на соответствующих проекциях этого меридиана по линиям связи.

Точки и , заданные своими горизонтальными проекциями, лежат на экваторе шара ; фронтальные проекции точек совпадают и определяются на фронтальной проекции экватора по линии связи ( — невидимая), а профильные проекции и построены по координатам и лежат на профильной проекции экватора.

Точка , заданная своей профильной проекцией, лежит на главном профильном меридиане -, ее фронтальная проекция определяется по линии связи на фронтальной проекции профильного меридиана, а горизонтальная невидимая проекция построена по координате и лежит на горизонтальной проекции профильного меридиана .

!!! Видимость проекций точки на проекциях шара определяется видимостью той части поверхности шара, на которой лежит точка, и определяется указанными границами видимости при взгляде на каждую плоскость проекций.

На рис. 7.17 показаны примеры построения проекций точек и , лежащих на поверхности шара, недостающие проекции которых построены с использованием различных осей вращения (без координат ).

Точка задана видимой фронтальной проекции .

Для построения ее горизонтальной проекции нужно использовать горизонтально-проецирующую ось вращения и выполнить следующие графические действия (алгоритм I):

1-е действие. Провести через фронтальную проекцию точки прямую, перпендикулярную оси — это проекция круговой параллели радиусом , по которой точка вращается вокруг оси

2-е действие. Провести горизонтальную проекцию этой параллели: окружность радиусом с центром в точке .

3-е действие. Построить по линии связи горизонтальную (видимую) проекцию точки на этой параллели.

Точка задана невидимой горизонтальной проекцией .

Для построения ее фронтальной проекции нужно использовать фронтально-проецирующую ось и выполнить следующие графические действия (алгоритм II):

1-е действие. Провести через горизонтальную проекцию точки прямую, перпендикулярную оси — это проекция круговой параллели радиусом , по которой точка вращается вокруг оси .

2-е действие. Провести фронтальную проекцию этой параллели: окружность радиусом с центром в точке .

3-е действие. Построить по вертикальной линии связи фронтальную видимую проекцию точки на этой параллели.

Для построения профильных проекций заданных точек и нужно использовать профильно-проецирующую ось и выполнить следующие графические действия (алгоритм III):

1-е действие. Провести через фронтальную проекцию точки и горизонтальную проекцию точки прямые, перпендикулярные оси , — это проекции круговых параллелей с радиусами и (расположены вертикально), по которым точки и вращаются вокруг оси .

2-е действие. Провести профильные проекции этих параллелей: окружности радиусами и с центром в точке .

3-е действие. Построить по горизонтальным линиям связи профильные проекции точек и на соответствующих параллелях (профильная проекция точки невидимая).

Построение проекций шара со срезами плоскостями частного положения

Всякая плоскость пересекает поверхность шара по окружностям (круговым параллелям). В зависимости от расположения секущих плоскостей относительно плоскостей проекций и окружности сечений могут проецироваться либо в окружности, либо в эллипсы.

На рис. 7.18 показан пример построения проекций шара со срезами горизонтальной плоскостью и профильной плоскостью .

Окружность сечения шара горизонтальной плоскостью проецируется в окружность (круговую параллель) радиусом на горизонтальную проекцию шара, а профильная проекции этой окружности — горизонтальная прямая. В качестве оси вращения для построения горизонтальной проекции окружности сечения взята горизонтально-проецирующая ось .

Окружность сечения шара профильной плоскостью проецируется в окружность (круговую параллель) радиусом на профильную проекцию шара (невидимая окружность), а горизонтальная проекция этой окружности — вертикальная прямая. В качестве оси вращения для построения параллели взята профильно-проецирующая ось .

На этом же рисунке показано расположение проекции характерных точек 1,2, 3, 4, 5 и б, лежащих в плоскостях сечений на характерных очерковых окружностях шара:

  • точки 1, 3, 4 и 6 лежат на главном фронтальном меридиане шара и их проекции определяются на проекциях этого меридиана;
  • точки 5 лежат на экваторе шара и их проекции определяются на проекциях экватора;
  • точки 2 лежат на профильном меридиане и их проекции определяются на проекциях этого меридиана.

Оформление очерков проекций ясно из чертежа.

На рис. 7.19 показан пример построения проекций шара со срезом фронтально-проецирующей плоскостью . Фронтальная проекция окружности сечения шара плоскостью совпадает с вырожденной в линию фронтальной проекцией плоскости , а на горизонтальную и профильную проекции шара эта окружность сечения проецируется в эллипсы.

Проекции шара со срезом построены по проекциям точек, обозначенных на фронтальной проекции сечения

Горизонтальная проекция шара со срезом в виде эллипса построена по горизонтальным проекциям обозначенных точек:

-точки и — лежат на проекции главного фронтального меридиана;

-точки — лежат на проекции профильного меридиана и построены на параллели радиусом (ось вращения ), алгоритм I);

  • точка — лежит на проекции экватора;
  • точки 3 — отмечены на перпендикуляре к плоскости сечения и определяют положение большой оси эллипса 3-3; точки построены по принадлежности своей параллели (алгоритм I); малая ось эллипса -линия .

Построенные видимые горизонтальные проекции точек соединить плавной кривой эллипса с помощью лекала.

Очерк горизонтальной проекции определяет его экватор вправо от точек .

Профильная проекция шара со срезом в виде эллипса построена по профильным проекциям обозначенных точек:

  • точки и — лежат на главного меридиана;
  • точки — лежат на проекции профильного меридиана;
  • точки и — построены или по принадлежности соответствующим относительно оси вращения параллелям (алгоритм III, отмечена параллель ).

Построенные видимые проекции точек соединить плавной кривой эллипса.

Очерк профильной проекции определяет профильный меридиан от точек вниз.

Эта теория взята со страницы лекций для 1 курса по предмету «начертательная геометрия»:

 Начертательная геометрия для 1 курса

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Коническая поверхность вращения — прямой круговой конус
Конические сечения
Пересечение поверхностей и способы построения линий пресечения
Торовая поверхность — тор