Термодинамика задачи с решением

Термодинамика задачи с решением

Прежде чем изучать готовые решения задач, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила теорию по предмету «термодинамика», после которого, чуть ниже размещены подробные решения задач.

Эта страница подготовлена для студентов любых специальностей предмета «термодинамика».

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Основные понятия и законы термодинамики

Термодинамика представляет собой науку о взаимных превращениях различных видов энергии. Она не рассматривает вопросов, связанных с микрофизическим механизмом изучаемых явлений, а потому относится к так называемым феноменологическим наукам. Основу термодинамики составляют фундаментальные законы природы.

Сформулированные в термодинамических понятиях, они называются законами или началами термодинамики. Благодаря высокой достоверности и независимости этих законов от свойств конкретных тел термодинамика успешно решает разнообразные задачи технического характера.

На основе термодинамики разрабатывают новые и совершенствуют существующие тепловые машины и установки и создают высокоэффективные технологии, обеспечивающие экономное расходование энергетических и материальных ресурсов.

Совокупность инженерных приложений термодинамики образует ее раздел, называемый технической термодинамикой.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет термодинамика 

Термодинамическая система и рабочее тело, параметры и уравнения состояния

Объект термодинамического исследования называют системой. Система (целое, составленное из частей) формируется в соответствии с решаемой задачей. Все, что не включено в систему, но может взаимодействовать с ней, называют окружающей средой. Во многих случаях в качестве системы берут макроскопическое тело, состоящее из большого числа частиц.

При решении термодинамических задач такую систему называют рабочим телом. Рабочее тело является необходимым посредником (агентом), с помощью которого в тепловых машинах и установках получают работу, теплоту или холод. Оно может состоять как из одного, так и из нескольких индивидуальных веществ, называемых его компонентами.

В большинстве случаев речь идет о газообразном теле, которое способно существенно изменять свой объем при взаимодействии с окружающей средой. Реальное рабочее тело может представлять собой гомогенную или гетерогенную систему.

Гомогенной (однородной) называют систему, состоящую из одной фазы вещества и имеющую одинаковые физические свойства во всех своих частях. Систему, не отвечающую этому требованию, называют гетерогенной (неоднородной).

Под фазой понимают совокупность всех гомогенных частей системы, которые при отсутствии взаимодействий с окружающей средой являются физически однородными. Понятие фазы не полностью совпадает с понятием агрегатного состояния вещества (твердое, жидкое, газообразное, плазменное). В пределах одного и того же агрегатного состояния вещество может иметь несколько фаз. Так, для воды известно несколько модификаций твердого состояния (льда), являющихся ее различными твердыми фазами.

В общем случае взаимодействие системы и окружающей среды может состоять в обмене веществом и передаче энергии теплотой (теплообмен) и работой, под которой понимают как механическую, так и немеханические виды работ, например, электрическую, магнитную, работу сил поверхностного натяжения и т. д.

В соответствии с этим окружающая среда может рассматриваться как набор аккумуляторов (резервуаров) работы, теплоты и вещества.

Система отделяется от окружающей среды реальной или мысленной границей — контрольной поверхностью, которой могут быть приписаны определенные свойства.

Так, система, заключенная в недеформируемую и непроницаемую для потоков теплоты и массы оболочку, абсолютно не взаимодействует с окружающей средой и называется изолированной.

Если система не обменивается с окружающей средой веществом, то ее называют закрытой или замкнутой. В противном случае систему называют открытой. Систему, не обменивающуюся с окружающей средой теплотой, называют термически изолированной или адиабатной.

Если система способна к энергообмену только в формах теплоты Решение задач по термодинамике и механической работы Решение задач по термодинамике, то ее называют термодеформационной или термомеханической. Количество возможных форм взаимодействия системы с окружающей средой называют числом степеней свободы системы.

Примером закрытой термомеханической системы, имеющей две степени свободы, может служить газообразное рабочее тело, находящееся в надпоршневом пространстве теплового двигателя. Взаимодействие этой системы с окружающей средой в форме работы осуществляется благодаря перемещению поршня, а тепловое — путем теплообмена между рабочим телом и внешними источниками теплоты через теплопроводную стенку цилиндра.

Источником теплоты в термодинамике, как правило, является элемент окружающей среды, приведенный в контакт с системой и обладающий температурой, отличающейся от температуры системы на бесконечно малую величину. Обычно принимают, что теплоемкость источника столь велика, что его температура не изменяется независимо от того, какое влияние он оказывает на систему. Если температура источника выше температуры системы, то его называют горячим, если ниже — холодным.

При решении ряда задач рабочее тело рассматривается как часть системы, включающей в себя и аккумуляторы: По отношению к такой расширенной системе, в свою очередь, могут существовать другие аккумуляторы и т.д.

При взаимодействии с окружающей средой рабочее тело переходит из одного состояния в другое, о чем можно судить по изменению его макропараметров, поддающихся прямому измерению.

Физические величины, свойственные конкретному состоянию рабочего тела, подразделяют на интенсивные и экстенсивные (аддитивные). Первые, например, температура и давление, не зависят от количества вещества в системе, а вторые, например, объем, энергия системы, массы составляющих ее компонентов, изменяются пропорционально величине системы.

Все удельные, т.е. отнесенные к единице количества вещества, макропараметры являются интенсивными. Однако не все интенсивные величины характеризуют состояние системы. Так, удельные теплота Решение задач по термодинамике и работа Решение задач по термодинамике не являются макропараметрами системы. Как будет видно из дальнейшего, эти величины зависят от пути перехода системы из одного состояния в другое.

Состояние рабочего тела называют стационарным, если оно не изменяется во времени. Стационарное состояние рабочего тела называют равновесным, если его одноименные интенсивные макропараметры имеют одно и то же значение во всех точках занимаемого им пространства. В противном случае состояние рабочего тела называют неравновесным.

Равновесные состояния свойственны только изолированным системам. Если к моменту наложения изоляции внутри системы интенсивные макропараметры, например, температура, концентрация компонентов. давление и т.п., были распределены неравномерно, то по истечении характерного времени, называемого временем релаксации, система перейдет в состояние внутреннего равновесия и будет находиться в этом состоянии до тех пор, пока она будет оставаться изолированной.

С точки зрения статистической физики переход изолированной системы из неравновесного состояния в равновесное означает переход от менее вероятного ее состояния к более вероятному. Так как для систем, состоящих из бесконечно большого числа частиц, все состояния равновероятны, то термодинамическая система должна представлять собой макроскопическое тело, состоящее из большого, но конечного числа частиц.

При этом между ними должно быть пространство для перемещений. Дело в том, что процессы выравнивания значений интенсивных макропараметров обусловлены непрерывным хаотическим движением частиц, из которых состоит система. Так как время выравнивания каждого из параметров различно, то время установления состояния внутреннего равновесия системы, очевидно, определяется наибольшим из этих характерных времен.

Макроскопические физические величины, характеризующие систему в состоянии равновесия, называют термодинамическими параметрами состояния системы или просто параметрами состояния. Они относятся к системе в целом, не зависят от ее истории и изменяются только в результате взаимодействия системы с окружающей средой.

Параметрами состояния однородной газообразной закрытой термомеханической системы являются: абсолютное давление Решение задач по термодинамике; абсолютная температура Решение задач по термодинамике; удельный объем Решение задач по термодинамике.

Абсолютное давление — интенсивная величина, характеризующая среднюю по времени силу, с которой частицы системы действуют на единицу площади стенки сосуда, в котором заключена система. В общем случае абсолютное давление определяют по показаниям двух приборов — барометра и манометра (или вакуумметра). Если абсолютное давление в сосуде больше барометрического Решение задач по термодинамике, то Решение задач по термодинамике. Если же в сосуде разрежение, то Решение задач по термодинамике. Пересчет показаний приборов, используемых на практике, в паскали производится по следующим соотношениям:

Решение задач по термодинамике

Абсолютная температура — интенсивная величина, пропорциональная средней кинетической энергии частиц (молекул газа), из которых состоит система. Переводной коэффициент от энергетических единиц к градусу Кельвина называют постоянной Больцмана (1844-1906) Решение задач по термодинамике.

Решение задач по термодинамике

Термодинамическая температурная шкала установлена по температуре, при которой лед, вода и пар находятся в равновесии друг с другом (так называемая тройная точка).

Температуре тройной точки химической чистой воды присвоено значение абсолютной температуры Решение задач по термодинамике (рис. 1.1). Так как эта температура одновременно составляет Решение задач по термодинамике, а один Кельвин
равен градусу Цельсия, то начало отсчета по термодинамической температурной шкале соответствует Решение задач по термодинамике. Таким образом температура Решение задач по термодинамике, выраженная в Кельвинах, связана с Решение задач по термодинамике, соотношением Решение задач по термодинамике.

В ряде стран используют температурные шкалы Фаренгейта и Рен-кина. Пересчет температуры, заданной в градусах Фаренгейта (Решение задач по термодинамике), в градусы Цельсия производят по соотношению Решение задач по термодинамике.

Шкала Ренкина (Решение задач по термодинамике) имеет началом отсчета абсолютный нуль температур, а цена ее деления одинакова со шкалой Фаренгейта, поэтому Решение задач по термодинамике.

Температура тела характеризует его способность к теплообмену с окружающей средой или другими телами, включенными в рассматриваемую систему. Теплообмен между телами возможен только при наличии хотя бы бесконечно малой разности их температур. Это означает, что температура является параметром, позволяющим судить о наличии или отсутствии теплового равновесия между телами, находящимися в тепловом контакте друг с другом.

Удельный объем — интенсивная величина, представляющая собой отношение объема системы Решение задач по термодинамике, к заключенной в нем массе Решение задач по термодинамике,

Решение задач по термодинамике

В случае замкнутой системы изменение удельного объема обусловлено только изменением ее объема. При этом если удельный объем уменьшается, то система подвергается сжатию (давление при этом может оставаться неизменным). Если удельный объем увеличивается, то система расширяется (даже если при этом давление увеличивается).

Величину, обратную удельному объему, называют плотностью

Решение задач по термодинамике

Плотность, как и удельный объем, является интенсивной величиной, т. е. если находящуюся в состоянии термодинамического равновесия систему разделить на несколько подсистем, то плотность (и удельный объем) каждой из подсистем будет такой же, как плотность (удельный объем) всей системы в целом.

Параметры состояния равновесной термодинамической системы связаны между собой зависимостью, называемой уравнением состояния. В термодинамике пользуются уравнениями состояния, полученными из опыта или найденными методами статистической физики. Применительно к газообразным термомеханическим системам уравнение состояния можно представить в виде функциональной зависимости

Решение задач по термодинамике

Уравнение (1.1) дает возможность выразить каждый из параметров состояния как функцию двух других

Решение задач по термодинамике

Независимость параметров состояния от истории системы в математическом смысле означает, что они являются функциями точки. Дифференциал такой функции есть полный дифференциал. Иначе говоря, если Решение задач по термодинамике — функция точки, то

Решение задач по термодинамике

где индексы у частных производных указывают, какие переменные при дифференцировании сохраняются постоянными.

Если Решение задач по термодинамике, то отношение Решение задач по термодинамике имеет вид

Решение задач по термодинамике

или

Решение задач по термодинамике

Таким образом, для функциональной зависимости Решение задач по термодинамике, запишем

Решение задач по термодинамике

Это дифференциальное уравнение состояния представляет собой связь между частными производными, имеющими физический смысл термодинамических характеристик рабочего тела.

Перепишем (1.2) в виде

Решение задач по термодинамике

и обозначим

Решение задач по термодинамике — коэффициент термического расширения;

Решение задач по термодинамике — коэффициент изотермной сжимаемости;

Решение задач по термодинамике — коэффициент термической упругости.

С учетом введенных обозначений (1.3) принимает вид

Решение задач по термодинамике

Полученный результат не зависит от конкретной связи между параметрами состояния и следовательно имеет общий характер.

В устойчивом состоянии системы частная производная Решение задач по термодинамике не может быть больше нуля и коэффициент изотермной сжимаемости Решение задач по термодинамике положителен или равен нулю. Последнее имеет место в случае гетерогенных систем.

Частная производная Решение задач по термодинамике является критерием устойчивости равновесного состояния системы. Для всех устойчивых состояний Решение задач по термодинамике.

Согласно современным представлениям для 1 кг рабочего тела уравнение состояния имеет вид

Решение задач по термодинамике

где Решение задач по термодинамике — удельная (индивидуальная) газовая постоянная, Решение задач по термодинамике; Решение задач по термодинамике — безразмерный коэффициент, называемый коэффициентом сжимаемости.

В общем случае коэффициент сжимаемости является сложной функцией температуры и плотности (или давления) и может быть представлен в форме разложения в бесконечный ряд по степеням плотности

Решение задач по термодинамике

где Решение задач по термодинамике — так называемые вириальные коэффициенты, которые для данного газа являются функциями одной лишь температуры.

Вириальные коэффициенты учитывают взаимодействия между двумя, тремя и т.д. молекулами, обусловленные силами их взаимного притяжения и отталкивания.

Несмотря на принципиальную возможность теоретического расчета, вириальные коэффициенты определяют экспериментально.

На рис. 1.2 в качестве примера показано, как изменяются значения коэффициента сжимаемости в зависимости от давления для трех веществ: азота, метана и диоксида углерода. Эти экспериментальные кривые получены при одинаковой температуре Решение задач по термодинамике. Видно, что при Решение задач по термодинамике. Стремление коэффициента сжимаемости к единице при приближении давления к нулю свойственно всем веществам.

Решение задач по термодинамике

Газ, для которого Решение задач по термодинамике при любых давлениях и температурах, называется идеальным. С физической точки зрения идеальный газ состоит из молекул, которые не испытывают взаимного притяжения и отталкивания и размерами которых можно пренебречь по сравнению с размерами межмолекулярного пространства. Понятие идеального газа позволяет получать термодинамические соотношения в наиболее простой форме. Для 1 кг идеального газа уравнение состояния (1.5) переходит в уравнение Клапейрона (1799-1864)

Решение задач по термодинамике, или Решение задач по термодинамике. Решение задач по термодинамике

Величина удельной газовой постоянной, входящей в (1.7), зависит от молярной массы газа Решение задач по термодинамике, кг/кмоль, и определяется по формуле

Решение задач по термодинамике

где Решение задач по термодинамике — универсальная газовая постоянная; Решение задач по термодинамике — число Авогадро.

Если молярная масса газа не известна, то удельная газовая постоянная может быть найдена по тангенсу угла наклона экспериментальной прямой Решение задач по термодинамике.

При расчетах с произвольной массой газа Решение задач по термодинамике пользуются уравнением состояния идеального газа в виде

Решение задач по термодинамике

Для 1 кмоля газа из (1.7) получают уравнение Клапейрона — Менделеева (1875)

Решение задач по термодинамике

где Решение задач по термодинамике — молярный объем газа, Решение задач по термодинамике.

При нормальных физических условиях (Решение задач по термодинамике и Решение задач по термодинамике) по закону Авогадро Решение задач по термодинамике. Плотность газа при этих условиях

Решение задач по термодинамике

Совместное решение (1.7) и (1.10) позволяет записать

Решение задач по термодинамике

Возможно эта страница вам будет полезна:

Задачи по термодинамике

Задача №1.1.

Получить выражение для коэффициента термического расширения идеального газа.

Решение: Коэффициент термического расширения определяется по выражению

Решение задач по термодинамике

Для идеального газа Решение задач по термодинамике и Решение задач по термодинамике, т. е. Решение задач по термодинамике или окончательно Решение задач по термодинамике.

Задача №1.2.

Показать, что коэффициент изотермной сжимаемости идеального газа не зависит от температуры и обратно пропорционален давлению.

Решение: Так как Решение задач по термодинамике, то Решение задач по термодинамике. Следовательно, Решение задач по термодинамике

Уравнение состояния идеального газа применимо для описания поведения реальных газов при их сравнительно малых плотностях. Если это условие не соблюдается, то возникает проблема учета конечного объема молекул и межмолекулярных сил.

Простое уравнение состояния для неидеальных газов было предложено в 1873 г. Ван-дер-Ваальсом (Лауреат Нобелевской премии 1910 г.)

Решение задач по термодинамике

или

Решение задач по термодинамике

Уравнение (1.12) отличается от (1.7) наличием двух поправок. Поправка Решение задач по термодинамике учитывает уменьшение давления, обусловленное взаимным притяжением молекул. Дело в том, что силы взаимного притяжения создают в тонком слое вблизи стенки сосуда равнодействующую, направленную внутрь газового объема. Поправка Решение задач по термодинамике учитывает конечный объем молекул и силы отталкивания, возникающие между ними.

При расчете на взаимодействие двух молекул ее численное значение равно учетверенному собственному объему молекул. Это связано с предположением о том, что каждая из взаимодействующих молекул окружена «запретной» сферической зоной, недоступной для центра другой молекулы, причем радиус “запретной” зоны в два раза больше, чем радиус молекулы, которая тоже предполагается сферической.

Численные значения постоянных Решение задач по термодинамике и Решение задач по термодинамике уравнения Ван-дер-Ваальса подсчитывают по критическим параметрам вещества: критической температуре Решение задач по термодинамике, критическому давлению Решение задач по термодинамике и критическому удельному объему Решение задач по термодинамике, которые определяются экспериментально.

Точность экспериментального определения критических параметров неодинакова. Критические температура и давление определяются более точно, чем критический удельный объем.

Значения критических параметров для некоторых веществ приведены в табл. 1.1. Там же даны значения Решение задач по термодинамике, которые показывают, насколько свойства реальных веществ в критическом состоянии отличаются от свойств идеального газа.

Таблица 1.1

Критические параметры веществ

Решение задач по термодинамике

Уравнение (1.12) является уравнением третьей степени относительно Решение задач по термодинамике и при различных Решение задач по термодинамике и Решение задач по термодинамике может иметь либо один, либо три вещественных корня.

В соответствии с этим, представленные на рис. 1.3 так называемые изотермы Ван-дер-Ваальса, качественно различны. При Решение задач по термодинамике, уравнение (1.12) имеет всегда один вещественный корень и изотермы имеют вид гипербол. При Решение задач по термодинамике на изотермах появляются волнообразные участки, имеющие минимум (точка Решение задач по термодинамике) и максимум (точка Решение задач по термодинамике), и уравнение (1.12) имеет три вещественных и различных корня. В критической точке Решение задач по термодинамике, являющейся точкой перегиба изотермы Решение задач по термодинамике, все три вещественных корня равны друг другу.

Решение задач по термодинамике

Между минимумом и максимумом любой из изотерм, проведенных при Задачи по термодинамике с решением, критерий устойчивости Задачи по термодинамике с решением. Физически это означает, что при постепенном изменении объема вещество не может оставаться в виде гомогенной среды.

В некоторый момент должен наступить скачкообразный распад вещества на жидкую и газообразную фазы. Эксперимент показывает, что волнообразные участки докритических изотерм Ван-дер-Ваальса действительно находятся в области двухфазного состояния вещества и реальные изотермы в этой области являются прямыми, параллельными оси Задачи по термодинамике с решением (например, прямая Задачи по термодинамике с решением).

Положение этой прямой (изотермы-изобары) определяется правилом Максвелла, согласно которому площади Задачи по термодинамике с решением и Задачи по термодинамике с решением должны быть равны друг другу.

Состояние вещества на отрезках Задачи по термодинамике с решением и Задачи по термодинамике с решением, где зависимость между давлением и объемом имеет нормальный характер, обладает ограниченной устойчивостью. Они называются метастабильными (от греч. Задачи по термодинамике с решением — после) и соответствуют перегретой жидкости Задачи по термодинамике с решением и переохлажденному пару Задачи по термодинамике с решением.

Метастабильные состояния возможны только для тщательно очищенных веществ. Так, при попадании в переохлажденный пар посторонних частиц, например, пылинок, он конденсируется в жидкость.

Таким образом, реальная изотерма имеет вид ломаной линии Задачи по термодинамике с решением Левая круто спадающая ветвь Задачи по термодинамике с решением соответствует жидкому состоянию вещества, а правая пологая ветвь Задачи по термодинамике с решением — газообразному. Переход из жидкого состояния в газообразное и обратно происходит по прямой Задачи по термодинамике с решением. Границы двухфазной области на рис. 1.3 показаны пунктирными линиями 1 и 2, которые называются соответственно верхней и нижней пограничными кривыми.

Нижняя пограничная кривая является геометрическим местом состояний начал кипения жидкости, а верхняя — сухого насыщенного пара. Между пограничными кривыми система гетерогенна и представляет собой влажный насыщенный пар, т.е. смесь кипящей жидкости с сухим насыщенным паром.

Линия, соединяющая точки Задачи по термодинамике с решением и Задачи по термодинамике с решением с критической, ограничивает зону, внутри которой вещество не может существовать в виде однофазной среды даже в метастабильном состоянии. На рис. 1.3 эта зона заштрихована.

Верхней границей двухфазной области является критическая точка Задачи по термодинамике с решением, которая является общей для обеих пограничных кривых. Это означает, что взаимные превращения жидкой и газообразной фаз возможны лишь при температурах и давлениях меньших, чем критические.

В критической точке выполняются условия

Задачи по термодинамике с решением и Задачи по термодинамике с решением

С учетом этих условий из (1.13) получаем

Задачи по термодинамике с решением

Совместное решение этих уравнений с (1.13) дает

Задачи по термодинамике с решением

Из полученных выражений находим

Задачи по термодинамике с решением

Сравнивая величину Задачи по термодинамике с решением, найденную по уравнению Ван-дер-Ваальса, с экспериментальными значениями этого коэффициента для реальных газов (см. табл. 1.1), замечаем их существенное различие. Это говорит о том, что уравнение Ван-дер-Ваальса описывает поведение реальных веществ лишь качественно и для точных расчетов в широком диапазоне изменения параметров не пригодно.

Подстановка соотношений (1.14) в уравнение (1.12) приводит последнее к безразмерному виду

Задачи по термодинамике с решением

где Задачи по термодинамике с решением — приведенное давление; Задачи по термодинамике с решением — приведенный удельный объем; Задачи по термодинамике с решением — приведенная температура.

Уравнение (1.15) не содержит констант, зависящих от природы конкретного вещества, и, следовательно, в принципе может быть использовано для обобщения экспериментальных данных и исследования свойств малоизученных веществ.

Согласно сформулированному Ван-дер-Ваальсом закону соответственных состояний, если два сравниваемых газа имеют два одинаковых приведенных параметра, то у них одинаков и третий. Газы, следующие этому закону, называют термодинамически подобными.

Для таких газов по уравнению (1.15) можно построить единую Задачи по термодинамике с решением-диаграмму и с ее помощью определять недостающие параметры малоизученных газов, если для них опытным путем найдены параметры критической точки.

Так как теоретический закон соответственных состояний Ван-дер-Ваальса выполняется лишь приближенно, то для повышения точности определения недостающего параметра методом термодинамического подобия было предложено строить общие Задачи по термодинамике с решением-диаграммы для групп веществ, имеющих близкие значения Задачи по термодинамике с решением. Практически оказалось, что метод термодинамического подобия дает более хорошие результаты при использование Задачи по термодинамике с решением — диаграммы, построенной на основе экспериментальных данных (рис. 1.4).

Она представляет собой серию безразмерных изотерм (линий Задачи по термодинамике с решением), пересекаемых так называемыми изохорами идеального приведенного объема, который подсчитывается по выражению

Задачи по термодинамике с решением

Этот параметр позволяет отказаться от использования величины Задачи по термодинамике с решением, которая экспериментально определяется наименее точно.

Пользоваться диаграммой просто. Допустим, что для некоторого малоизученного вещества известны критические параметры Задачи по термодинамике с решением и Задачи по термодинамике с решением и требуется найти его удельный объем при заданных Задачи по термодинамике с решением и Задачи по термодинамике с решением. В этом случае после подсчета Задачи по термодинамике с решением и Задачи по термодинамике с решением на линии Задачи по термодинамике с решением находят соответствующую точку и на оси ординат читают отвечающее ей значение Задачи по термодинамике с решением. Удельный объем теперь можно найти по уравнению (1.5). Если вместо Задачи по термодинамике с решением и Задачи по термодинамике с решением заданы Задачи по термодинамике с решением и Задачи по термодинамике с решением или Задачи по термодинамике с решением и Задачи по термодинамике с решением, то при поиске недостающего параметра после подсчета величины Задачи по термодинамике с решением пользуются изохорами идеального приведенного объема.

Очевидно, что Задачи по термодинамике с решением — диаграмма может быть использована и для оценочных расчетов с веществами, для которых существуют подробные таблицы термодинамических свойств.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения задач по термодинамике

Задача №1.3.

В сосуде вместимостью Задачи по термодинамике с решением при Задачи по термодинамике с решением содержится Задачи по термодинамике с решением (Задачи по термодинамике с решением). В этих условиях эксперимент дает Задачи по термодинамике с решением Определить абсолютное давление по уравнению состояния идеального газа и с помощью Задачи по термодинамике с решением -диаграммы.

Задачи по термодинамике с решением

Решение: По уравнению состояния идеального газа Задачи по термодинамике с решением, где Задачи по термодинамике с решением и Задачи по термодинамике с решением. Подставляя исходные данные, получим: Задачи по термодинамике с решением Задачи по термодинамике с решением Задачи по термодинамике с решением что почти на 30% больше, чем дает эксперимент.

Для определения давления с помощью Задачи по термодинамике с решением — диаграммы предварительно подсчитаем значения идеального приведенного объема Задачи по термодинамике с решением и приведенной температуры Задачи по термодинамике с решением

Задачи по термодинамике с решением Принимаем Задачи по термодинамике с решением

Задачи по термодинамике с решением Принимаем Задачи по термодинамике с решением

Находим на Задачи по термодинамике с решением — диаграмме точку пересечения изохоры Задачи по термодинамике с решением и безразмерной изотермы Задачи по термодинамике с решением Этой точке соответствует Задачи по термодинамике с решением Следовательно, Задачи по термодинамике с решением Полученный результат отличается от экспериментального на 1.4%.

Задача №1.4.

Представить уравнение Ван-дер-Ваальса в форме разложения коэффициента сжимаемости в бесконечный ряд по степеням плотности Определить приведенную температуру, при которой вириальный коэффициент этого разложения Задачи по термодинамике с решением становится равным нулю.

Решение: Разделив уравнение (1.13) на Задачи по термодинамике с решением с учетом равенства Задачи по термодинамике с решением после преобразований получаем

Задачи по термодинамике с решением

Первое слагаемое правой части этого уравнения разложим в ряд Тейлора по степеням Задачи по термодинамике с решением и приведем подобные члены, тогда

Задачи по термодинамике с решением

Сопоставив с (16), заключаем, что Задачи по термодинамике с решением. С помощью (1.14) из условия Задачи по термодинамике с решением находим

Задачи по термодинамике с решением

Смеси идеальных газов

Рабочими телами тепловых машин часто являются смеси различных газов. Если компоненты смеси не вступают в химические реакции друг с другом и каждый компонент подчиняется уравнению состояния (1.7), то такая смесь может рассматриваться как некоторый «новый» идеальный газ, для расчетов с которыми необходимо знать его среднюю (кажущуюся) молярную массу Задачи по термодинамике с решением или удельную газовую постоянную смеси Задачи по термодинамике с решением. Любая из этих величин играет роль «идентификатора» смеси, так как позволяет отличить ее от других.

Расчетное определение термодинамика задачи с решениями и термодинамика задачи с решениями возможно, если задан состав смеси, т.е. известно, какие компоненты и в каких количествах образуют данную смесь.

Каждый компонент смеси ведет себя независимо от других, т.е. занимает весь располагаемый объем, в котором заключена смесь, и оказывает на стенки сосуда свое так называемое парциальное давление термодинамика задачи с решениями. Температура всех компонентов смеси одинакова и равна температуре смеси.

По закону Дальтона (1766-1844) давление смеси термодинамика задачи с решениями равно сумме парциальных давлений ее компонентов

термодинамика задачи с решениями

где термодинамика задачи с решениями — число компонентов смеси.

При расчетах газовых смесей пользуются также законом Амага (1841-1915)

термодинамика задачи с решениями

где термодинамика задачи с решениями — парциальный объем, термодинамика задачи с решениями, термодинамика задачи с решениями — объем смеси, термодинамика задачи с решениями.

Парциальным объемом называют объем, который занимал бы компонент, если бы он один находился при температуре и под давлением смеси. Парциальный объем называют также приведенным.

Состав смеси задают объемными (молярными) или массовыми долями.

Объемной долей термодинамика задачи с решениями называют отношение парциального объема компонента к объему смеси

термодинамика задачи с решениями

Учитывая (1.17), заключаем, что сумма объемных долей компонентов равна 1

термодинамика задачи с решениями

Если значения термодинамика задачи с решениями — выражены в %, то сумма объемных долей компонентов составит 100%.

Молярной долей термодинамика задачи с решениями называют отношение числа киломолей компонента термодинамика задачи с решениями к числу киломолей смеси термодинамика задачи с решениями

термодинамика задачи с решениями

Число киломолей каждого компонента и смеси в целом может быть подсчитано путем деления соответствующего объема на объем, занимаемый одним киломолем. Обозначив молярный объем компонента термодинамика задачи с решениями, а смеси термодинамика задачи с решениями, имеем

термодинамика задачи с решениями

Для всех идеальных газов, взятых при одинаковых условиях, объем киломоля одинаков, следовательно, при подстановке (1.21) в (1.20) он сокращается.

В результате получаем

термодинамика задачи с решениями

Следовательно, для идеальных газов молярные и объемные доли численно равны друг другу.

Массовой долей термодинамика задачи с решениями, называют отношение массы компонента термодинамика задачи с решениями к массе смеси термодинамика задачи с решениями

термодинамика задачи с решениями

Масса смеси, очевидно, является суммой масс ее компонентов

термодинамика задачи с решениями

следовательно, сумма массовых долей компонентов также равна 1 (или 100%)

термодинамика задачи с решениями

Пересчет объемных долей в массовые и обратно производится на основе следующих соотношений, справедливых как для смеси в целом, так и для каждого компонента,

термодинамика задачи с решениями

Из (1.26) следует

термодинамика задачи с решениями

где термодинамика задачи с решениями — плотность смеси, термодинамика задачи с решениями.

Получим основные расчетные соотношения для смеси, заданной объемными долями.

Используя (1.26), запишем уравнение (1.24) в виде

термодинамика задачи с решениями

Разделив это уравнение на термодинамика задачи с решениями, получаем

термодинамика задачи с решениями

откуда с учетом (1.7а)

термодинамика задачи с решениями

Для определения плотности смеси выразим ее массу и массы компонентов через соответствующие плотность и объем. Тогда (1.24) примет вид

термодинамика задачи с решениями

После деления на термодинамика задачи с решениями имеем

термодинамика задачи с решениями

и далее

термодинамика задачи с решениями

Формула для расчета парциальных давлений следует непосредственно из определений парциального давления и парциального объема

термодинамика задачи с решениями

т. е.

термодинамика задачи с решениями

При задании смеси массовыми долями для вычисления термодинамика задачи с решениями пользуемся законом Дальтона.

Предварительно запишем уравнения состояния компонента (1.32) и смеси в целом (1.33)

термодинамика задачи с решениями

Подстановка в (1.16) после преобразований дает

термодинамика задачи с решениями

и, следовательно,

термодинамика задачи с решениями

Для определения термодинамика задачи с решениями виде на основании (1.26) перепишем (1.17) в виде

термодинамика задачи с решениями

откуда

термодинамика задачи с решениями

а значит

термодинамика задачи с решениями

Уравнение для расчета парциальных давлений получаем путем замены в (1.31) термодинамика задачи с решениями на термодинамика задачи с решениями, что следует из (1.27) и (1.34),

термодинамика задачи с решениями

Из (1.27) и (1.36) вытекают удобные соотношения для пересчета массовых долей в объемные

термодинамика задачи с решениями

Полученные результаты сведены в табл. 1.2.

Соотношения для расчета смесей идеальных газов

термодинамика задачи с решениями

Особо подчеркнем, что все полученные выше соотношения относятся только к смесям идеальных газов. Их использование в условиях, когда гипотеза об идеальности газов не справедлива, может привести к значительным ошибкам.

Задача №1.5.

Сухой воздух по массе состоит из 23,3% кислорода и 76,7% азота. Найти состав воздуха по объему и ею газовую постоянную ( термодинамика задачи с решениями термодинамика задачи с решениями).

Решение: Определим сначала объемные доли кислорода и азота в воздухе:

термодинамика задачи с решениями

Газовую постоянную воздуха подсчитаем по выражению

термодинамика задачи с решениями

Теплоемкость идеальных газов и их смесей

Теплоемкостью тела называют количество теплоты, необходимое для изменения ее температуры на 1 термодинамика задачи с решениями.

В зависимости от того, в каких единицах задано количество вещества, в расчетах используют следующие удельные теплоемкости:

  • массовую теплоемкость термодинамика задачи с решениями, отнесенную к 1 кг массы, термодинамика задачи с решениями;
  • молярную теплоемкость термодинамика задачи с решениями, отнесенную к 1 кмоль вещества, термодинамика задачи с решениями;
  • объемную теплоемкость термодинамика задачи с решениями, отнесенную к количеству вещества, содержащемуся в 1 термодинамика задачи с решениями при нормальных физических условиях, термодинамика задачи с решениями.

Удельные теплоемкости связаны между собой соотношением

термодинамика задачи с решениями

Часто удельную теплоемкость для краткости называют просто теплоемкостью.

Теплоемкость идеального газа зависит от характера процесса подвода (или отвода) теплоты, от атомности газа и температуры (теплоемкость реальных газов зависит также от давления).

Массовая теплоемкость в процессе при постоянном давлении обозначается термодинамика задачи с решениями и называется изобарной, а в процессе при постоянном объеме Задачи по термодинамике с решением-изохорной. Соответствующие индексы присваивают также молярной и объемной теплоемкостям. Связь между теплоемкостями термодинамика задачи с решениями и термодинамика задачи с решениями дается уравнением Майера (1814-1878)

термодинамика задачи с решениями

Величина термодинамика задачи с решениями меньше термодинамика задачи с решениями, так как в случае нагревания идеального газа в замкнутом сосуде постоянного объема, теплота расходуется только на изменение энергии движения его молекул, а при нагревании при постоянном давлении, благодаря расширению газа, одновременно совершается работа против внешних сил.

Удельная газовая постоянная Задачи по термодинамике с решением, таким образом, представляет собой работу расширения 1 кг газа при его нагревании на 1 Задачи по термодинамике с решением при постоянном давлении, т.е.

Задачи по термодинамике с решением

где Задачи по термодинамике с решением — элементарная удельная работа расширения газа при постоянном давлении, Дж/кг.

Уравнение (1.42) следует непосредственно из уравнения Клапейрона, дифференцируя которое при Задачи по термодинамике с решением получаем Задачи по термодинамике с решением.

Для молярных теплоемкостей уравнение Майера имеет вид

Задачи по термодинамике с решением

где 8,314 — универсальная газовая постоянная, Задачи по термодинамике с решением

Отношение изобарной теплоемкости к изохорной обозначают Задачи по термодинамике с решением и называют показателем адиабаты

Задачи по термодинамике с решением

Из (1.41) с учетом (1.44) получаем

Задачи по термодинамике с решением

Аналогичные соотношения могут быть записаны для молярных теплоемкостей

Задачи по термодинамике с решением

откуда

Задачи по термодинамике с решением

Из приведенных выше соотношений следует, что если для данного газа известна величина Задачи по термодинамике с решением, то тем самым определены все остальные его удельные теплоемкости и показатель адиабаты.

Характер зависимости молярной теплоемкости от температуры обусловлен степенями свободы молекулы, общее количество которых Задачи по термодинамике с решением равно утроенному числу образующих ее атомов.

При этом

Задачи по термодинамике с решением

где Задачи по термодинамике с решением — числа степеней свободы соответственно поступательного и вращательного движений молекул как целого: Задачи по термодинамике с решением — число степеней свободы внутримолекулярных колебаний атомов.

Все указанные движения квантованы, причем характеристические температуры для поступательного Задачи по термодинамике с решением, вращательного Задачи по термодинамике с решением и колебательного Задачи по термодинамике с решением движений удовлетворяют неравенству

Задачи по термодинамике с решением
Задачи по термодинамике с решением

Характеристическая температура Задачи по термодинамике с решением, чрезвычайно низка, поэтому начиная с любых практически достижимых низких температур, Задачи по термодинамике с решением, степени свободы поступательного движения реализуются полностью.

Энергетический вклад остальных движений увеличивается с повышением температуры. В соответствии с (1.48) вращательные степени свободы “размораживаются» при более низких температурах, чем колебательные.

Для одноатомного газа Задачи по термодинамике с решением и, как следствие, его теплоемкости и показатель адиабаты не зависят от температуры. Теплоемкости двухатомных и многоатомных газов с ростом температуры увеличиваются, а показатели адиабаты уменьшаются.

При экспериментальном определении теплоемкости опыты нередко проводят в проточном калориметре, через который непрерывно движется исследуемый газ (рис. 1.5). Внутри калориметра помещен электронагреватель 3 и два термометра 1 и 2.

При течении газа через калориметр его давление остается постоянным, поэтому, измерив температуру газа Задачи по термодинамике с решением до контакта с нагревателем и Задачи по термодинамике с решением после, подсчитывают среднюю массовую изобарную теплоемкость в интервале температур Задачи по термодинамике с решением

Задачи по термодинамике с решением

где Задачи по термодинамике с решением — удельное количество теплоты, сообщенное газу при постоянном давлении, Дж/кг; Задачи по термодинамике с решением — разность температур газа до и после подвода к нему теплоты Задачи по термодинамике с решением, Задачи по термодинамике с решением.

Очевидно, что для другого характерного случая нагревания, по аналогии можно записать

Задачи по термодинамике с решением

где Задачи по термодинамике с решением — средняя массовая изохорная теплоемкость в интервале температур Задачи по термодинамике с решением; Задачи по термодинамике с решением — удельное количество теплоты, сообщенное газу при постоянном объеме для изменения его температуры на Задачи по термодинамике с решением, Задачи по термодинамике с решением.

Выражения вида (1.48) и (1.49) могут быть записаны также для молярных и объемных теплоемкостей. Таким образом, в общем случае средняя теплоемкость определяется отношением

Задачи по термодинамике с решением

Предел этого отношения при Задачи по термодинамике с решением называется истинной теплоемкостью

Задачи по термодинамике с решением

Средняя теплоемкость относится к интервалу температур, а истинная к конкретной температуре.

Задачи по термодинамике с решением

Геометрически средняя теплоемкость представляет собой высоту прямоугольника 1’342′, площадь которого равна площади 1’122′ под кривой Задачи по термодинамике с решением (рис. 1.6). Каждая из этих площадей численно равна удельной теплоте, подведенной к рабочему телу в интервале температур Задачи по термодинамике с решением

Задачи по термодинамике с решением

Опытные данные по теплоемкостям систематизируют и для определенных интервалов температур представляют в форме так называемых температурных рядов, например,

Задачи по термодинамике с решением — для простых веществ и неорганических соединений,

Задачи по термодинамике с решением— для органических веществ.

Постоянные Задачи по термодинамике с решением можно найти в справочных таблицах.

Для практических расчетов удобно пользоваться средними теплоемкостями Задачи по термодинамике с решением или Задачи по термодинамике с решением, значения которых даются в справочных таблицах или подсчитываются по эмпирическим формулам.

При пользовании такими теплоемкостями, например Задачи по термодинамике с решением, удельную теплоту подсчитывают по выражению

Задачи по термодинамике с решением

где произведения Задачи по термодинамике с решением и Задачи по термодинамике с решением представляют собой удельную теплоту, необходимую для нагревания газа соответственно от Задачи по термодинамике с решением до Задачи по термодинамике с решением и Задачи по термодинамике с решением.

Согласно (1.52) и (1.53)

Задачи по термодинамике с решением

При известных значениях средней теплоемкости общее количество теплоты Задачи по термодинамике с решением, Дж, подведенное к телу (или отведенное от него), подсчитывают по одному из равенств цепочки

Задачи по термодинамике с решением

где Задачи по термодинамике с решением — объем газа, приведенный к нормальным физическим условиям. Очевидно, что в соответствии с условиями подвода (отвода) теплоты в (1.54) следует пользоваться либо изобарными, либо изохорными теплоемкостями.

При расчетах, не требующих высокой точности, теплоемкость считают постоянной.

Молярные теплоемкости (при Задачи по термодинамике с решением и Задачи по термодинамике с решением) некоторых газов приведены в табл. 1.3. Там же даны значения показателей адиабаты.

Таблица 1.3

Молярные теплоемкости газов в идеальном состоянии

Задачи по термодинамике с решением

Данные табл. 1.3 удовлетворительно согласуются с выводами известной из курса физики кинетической теории теплоемкости, основанной на теореме о равнораспределении энергии по степеням свободы молекулы.

Напомним, что в классической теории теплоемкости:

  • учитывают только степени свободы поступательного Задачи по термодинамике с решением и вращательного Задачи по термодинамике с решением движений молекул, причем Задачи по термодинамике с решением, а Задачи по термодинамике с решением зависит от атомности молекулы;
  • энергия этих движений не квантована. На каждую степень свободы (при любой температуре Задачи по термодинамике с решением) приходится одна и та же энергия, равная Задачи по термодинамике с решением, т.е. Задачи по термодинамике с решением В результате для показателя адиабаты получают Задачи по термодинамике с решением

Для одноатомных газов Задачи по термодинамике с решением и показатель адиабаты Задачи по термодинамике с решением для двух- и трехатомных газов с линейным расположением атомов Задачи по термодинамике с решением Задачи по термодинамике с решением для трехатомных(многоатомных) газов Задачи по термодинамике с решением

В действительности, как указывалось выше, показатель адиабаты зависит не только от атомности газа, но и от температуры.

При расчетном определении теплоемкости смеси газов исходят из положения о том, что для нагрева (охлаждения) газовой смеси необходимо нагреть (охладить) каждый из ее компонентов

Задачи по термодинамике с решением

где Задачи по термодинамике с решением — теплота, затрачиваемая на изменение температуры компонента; Задачи по термодинамике с решением — массовая теплоемкость смеси; Задачи по термодинамике с решением — массовая теплоемкость компонента.

Разделив второе равенство (1.55) на Задачи по термодинамике с решением, получаем

Задачи по термодинамике с решением

Аналогично для молярных и объемных теплоемкостей

Задачи по термодинамике с решением

Если теплоемкости компонентов даны в функции от температуры, например, Задачи по термодинамике с решением, то

Задачи по термодинамике с решением

где Задачи по термодинамике с решением — для массовых теплоемкостей и Задачи по термодинамике с решением — для молярных и объемных.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Методические указания по термодинамике

Задача №1.6.

Имеется эмпирическая зависимость истиной молярной теплоемкости кислорода от температуры

Задачи по термодинамике с решением

применимая в температурном диапазоне Задачи по термодинамике с решением Определить показатель адиабаты кислорода при Задачи по термодинамике с решением

Решение: На основании уравнения Майера Задачи по термодинамике с решением, следовательно,

Задачи по термодинамике с решением

Показатель адиабаты кислорода при заданной температуре находим по (1.47)

Задачи по термодинамике с решением

Задача №1.7.

Найти количество теплоты, необходимое для нагревания 2 кмоль, азота от 400 до 500 Задачи по термодинамике с решением при постоянном давлении, используя зависимость Задачи по термодинамике с решением, справедливую до 1000 Задачи по термодинамике с решением.

Решение: Подсчитаем среднюю теплоемкость азота в заданном интервале температур:

Задачи по термодинамике с решением

Необходимое количество теплоты находим по (1.54):

Задачи по термодинамике с решением

Понятие о термодинамическом процессе, основные термодинамические функции

Термодинамическим процессом или просто процессом называют переход системы из одного состояния в другое в результате ее взаимодействия с окружающей средой. Если процесс происходит со скоростью значительно меньшей скорости релаксации, то на любом его этапе значения всех интенсивных макропараметров системы будут успевать выравниваться.

Полученный процесс представит собой непрерывную последовательность бесконечно близких друг к другу равновесных состояний. Такие процессы называют квазистатическими (Каратеодори, 1955) или равновесными.

Равновесные процессы допускают графическое изображение в пространстве и на плоскостях параметров состояния.

Равновесный процесс может идти как в направлении возрастания, так и убывания любого из параметров состояния, т.е. как в одном, так и в противоположном направлениях. При этом система каждый раз будет проходить через те же состояния, но в обратном порядке. Поэтому равновесные процессы являются обратимыми.

Рассмотрим обратимый процесс с закрытой термомеханической системой. Мы знаем, что взаимодействие такой системы с окружающей средой состоит в обмене теплотой и работой.

Элементарное количество энергетического воздействия Задачи по термодинамике с решением, приходящееся на каждую степень свободы, в механике выражают в виде произведения соответствующей обобщенной силы у на элементарное приращение сопряженной с ней обобщенной координаты Задачи по термодинамике с решением

Задачи по термодинамике с решением

Под обобщенной силой понимают параметр, который по физическому смыслу является движущей силой рассматриваемого воздействия, т.е. воздействие имеет место, если по обе стороны контрольной поверхности численные значения этого параметра различны. Для квазистатических процессов это различие должно быть бесконечно мало.

Например, для того чтобы квазистически сжать газ, находящийся в цилиндре под поршнем, внешнее давление на поршень должно быть на бесконечно малую величину больше давления газа в цилиндре, а чтобы расширить — наоборот.

Столь малое различие давлений по обе стороны поршня и обуславливает предельно малую скорость его перемещения, а следовательно, квазистатичность процесса.

Обобщенная координата — параметр, который изменяется только при воздействии данного вида. Если рассматриваемое воздействие отсутствует, то изменение соответствующей обобщенной координаты равно нулю. Таким образом, изменение обобщенной координаты отражает меру воздействия рассматриваемого вида.

В случае деформационного воздействия (работа) роль обобщенной силы играет абсолютное давление, а сопряженной обобщенной координаты — объем.

Для 1 кг газа уравнение (1.56) имеет вид

Задачи по термодинамике с решением

где Задачи по термодинамике с решением — удельная работа, Дж/кг.

При обмене энергией в форме теплоты (теплообмен) обобщенной силой является абсолютная температура, а обобщенной координатой — физическая величина, называемая энтропией Задачи по термодинамике с решением. Таким образом, для элементарной удельной теплоты имеем выражение

Задачи по термодинамике с решением

где Задачи по термодинамике с решением — удельная энтропия, Задачи по термодинамике с решением.

Из (1.57) и (1.58) соответственно следует

Задачи по термодинамике с решением

Согласно этим выражениям работа Задачи по термодинамике с решением и теплота Задачи по термодинамике с решением конечного обратимого процесса 1-2 пропорциональны площадям под его изображениями соответственно в Задачи по термодинамике с решением— и Задачи по термодинамике с решением— координатах (рис. 1.7).

Задачи по термодинамике с решением

Положительная работа совершается при расширении системы Задачи по термодинамике с решением. При сжатии системы Задачи по термодинамике с решением работа отрицательна.

При Задачи по термодинамике с решением теплота к системе подводится, а при Задачи по термодинамике с решением отводится.

Из рис. 1.7 понятно, что работа и теплота процесса зависят от его пути.

Действительно, площадь Задачи по термодинамике с решением площади Задачи по термодинамике с решением а значит Задачи по термодинамике с решением. Аналогично площадь Задачи по термодинамике с решением площади Задачи по термодинамике с решением следовательно Задачи по термодинамике с решением

Возьмем для примера обратимый процесс Задачи по термодинамике с решением При его осуществлении система получает от окружающей среды теплоту Задачи по термодинамике с решениеми совершает положительною работу Задачи по термодинамике с решением, которая может накапливаться в аккумуляторе работы. Величина этой работы достаточна для возврата системы в исходное состояние по тому же пути (процесс Задачи по термодинамике с решением).

Так как работы процессов Задачи по термодинамике с решением и Задачи по термодинамике с решением численно равны друг другу, но противоположны по знаку, то

Задачи по термодинамике с решением

При возвращении системы в исходное состояние окружающей среды полностью возвращается и ранее полученная от нее теплота

Задачи по термодинамике с решением

Таким образом при течении в обратном направлении первоначальный процесс как бы “стирается» и никаких “следов» его не остается.

Отсутствие каких-либо остаточных изменений в системе и в окружающей среде при возвращении системы в исходное состояние является отличительным свойством обратимого процесса.

Процесс, не обладающий этим свойством, называется необратимым. Если система совершила необратимый процесс, то ее возвращение в исходное состояние требует дополнительных энергозатрат со стороны окружающей среды.

Так, работа, совершенная системой в необратимом процессе, недостаточна для обратного ее перехода в начальное состояние. Согласно Планку (1858-1947) “с каждым необратимым процессом система делает некоторый такой шаг вперед, следы которого ни при каких обстоятельствах не могут быть уничтожены”.

Все реальные процессы вследствие трения, теплообмена при конечной разности температур и ограниченности времени их протекания необратимы. Понятие обратимого процесса возникло как результат идеализации реальных необратимых процессов.

Фундаментальными процессами, изучаемыми классической равновесной термодинамикой, являются:

  • изотермный (Задачи по термодинамике с решением), когда система находится в контакте с источником теплоты постоянной температурой;
  • изоэнтропный (Задачи по термодинамике с решением) или адиабатный, при котором система абсолютно не имеет теплового контакта с окружающей средой.

Как будет показано ниже (см. 1.5.1), любой другой обратимый процесс можно рассматривать как последовательность большого числа чередующихся друг с другом бесконечно малых изоэнтропных и изотермных процессов.

Задачи по термодинамике с решением

Представим себе газ, находящийся в цилиндре с идеальной тепловой изоляцией (рис. 1.8). На поршне размещен груз, состоящий из большого числа грузиков (песчинок). В начальном состоянии давление, создаваемое грузом, в точности равно давлению газа и поршень неподвижен. Снимем один грузик и положим его на полку. Внешнее давление уменьшится на незначительную величину и поршень начнет очень медленно перемещаться вверх.

Его движение прекратится при достижении нового равенства внутреннего и внешнего давлений. Последовательно снимая с поршня по одному грузику — песчинке можно осуществить квазистатическое расширение газа без теплообмена с окружающей средой, т.е. обратимый адиабатный (изоэнтропный) процесс.

Этот процесс является равновесным, так как в силу медленности на каждом его микроэтапе параметры состояния будут иметь вполне определенные значения. При осуществлении этого процесса грузики будут постепенно накапливаться на полке.

Поочередно возвращая их на поршень можно вернуть газ в исходное состояние. Когда последняя “песчинка» окажется на поршне, никаких следов проведения первоначального процесса расширения ни в системе (газ под поршнем), ни в окружающей среде не останется.

Если снять со стенок цилиндра и поршня тепловую изоляцию, то, повторив опыт, можно получить обратимый изотермный процесс при температуре окружающей природной среды или любой другой температуре термостата или источника теплоты, находящегося в тепловом контакте с системой.

Для осуществления произвольного обратимого процесса расширения необходимо при каждом уменьшении груза, действующего на поршень, приводить систему в контакт с новым источником теплоты, причем температура каждого последующего источника теплоты должна отличатся от температуры предыдущего на бесконечно малую величину.

Для возврата системы в исходное состояние все манипуляции проводятся в обратном порядке.

Мы видели, что количество теплоты и совершенная работа зависят от пути процесса. Такие величины называют функциями линии или функциями процесса. Для этих функций, введенных нами по уравнению (1.56), интеграл по замкнутому контуру не равен нулю

Задачи по термодинамике с решением

В отличие от них существуют величины Задачи по термодинамике с решением, обладающие полным дифференциалом, для которых

Задачи по термодинамике с решением
Задачи по термодинамике с решением

К их числу относятся, например, уже известные нам параметры состояния. В термодинамическом смысле такие величины являются функциями состояния. Их изменение зависит только от начального и конечного состояний системы и совершенно не зависит от пути перехода из первого во второе.

Покажем, что это свойство вытекает из (1.62). Рассмотрим замкнутый круговой процесс Задачи по термодинамике с решением (рис. 1.9), состоящий из обратимых процессов Задачи по термодинамике с решением и Задачи по термодинамике с решением. На основании (1.62) имеем Задачи по термодинамике с решением, но Задачи по термодинамике с решением, следовательно, Задачи по термодинамике с решением , т. е. интеграл функции состояния не зависит от пути процесса, а определяется только начальными и конечными значениями Задачи по термодинамике с решением и Задачи по термодинамике с решением функциональной зависимости Задачи по термодинамике с решением

Задачи по термодинамике с решением

Из последнего выражения следует, что функцию состояния можно отсчитывать от любого условного уровня, называемого стандартным состоянием.

Основными функциями состояния являются: внутренняя энергия Задачи по термодинамике с решением, Дж; энтальпия Задачи по термодинамике с решением, Дж; энтропия Задачи по термодинамике с решением, Дж/Задачи по термодинамике с решением.

Все перечисленные функции являются аддитивными величинами, т.е. функция состояния системы равна сумме соответствующих функций составляющих ее подсистем

Задачи по термодинамике с решением

Из аддитивности этих функций следует также

Задачи по термодинамике с решением

где Задачи по термодинамике с решением — соответственно удельные внутренняя энергия, энтальпия и энтропия.

Таким образом, выражения (1.62) и (1.63) примут вид

Задачи по термодинамике с решением
Задачи по термодинамике с решением

Рассмотрим каждую из функций состояния в отдельности.

Внутренняя энергия системы включает в себя энергию теплового движения составляющих ее молекул и потенциальную энергию их взаимодействия.

В случае идеального газа энергия взаимодействия молекул равна нулю, а энергия их теплового движения изменяется только в зависимости от температуры, следовательно,

Задачи по термодинамике с решением

откуда при Задачи по термодинамике с решением (в дальнейшем это условие будет соблюдаться по умолчанию) получаем

Задачи по термодинамике с решением

Для практических расчетов, требующих учета зависимости Задачи по термодинамике с решением от температуры, имеются эмпирические формулы и таблицы удельной (часто молярной) внутренней энергии, отсчитанной от состояния, которое указывается в заголовке таблицы.

Это позволяет определять изменение внутренней энергии в любом процессе. При расчетах с идеальными газами молярная внутренняя энергия смеси Задачи по термодинамике с решением определяется по выражению

Задачи по термодинамике с решением

где Задачи по термодинамике с решением — молярная внутренняя энергия Задачи по термодинамике с решением-го компонента, Дж/кмоль, определяемая по формулам или таблицам при температуре смеси.

Если смесь задана массовыми долями, то соответственно

Задачи по термодинамике с решением

Энтальпия — тепловая функция, введенная Камерлинг-Оннесом (Лауреат Нобелевской премии 1913 г.), по выражению

Задачи по термодинамике с решением

Для удельной энтальпии можно записать

термодинамика

В случае идеального газа это выражение принимает вид

термодинамика

откуда с учетом (1.65) следует

термодинамика

Так как по уравнению Майера термодинамика, то

термодинамика

и, следовательно,

термодинамика

Разделив (1.76) на (1.70), получаем

термодинамика

т.е. независимо от характера термодинамического процесса изменение энтальпии в нем в термодинамика раз больше изменения внутренней энергии.

Если необходимо учесть зависимость теплоемкости от температуры, то изменение энтальпии определяют по эмпирическим формулам или с помощью таблиц удельной (молярной) энтальпии, отсчитанной от стандартного состояния.

Для расчетов смесей идеальных газов применяют соотношения, аналогичные (1.71) и (1.72), т.е.

термодинамика

Энтропия. Эта функция возникла в ходе теоретического поиска наиболее благоприятных условий превращения теплоты в работу в тепловых двигателях, т.е. при решении сугубо прикладной задачи (Клазиус, 1822-1888).

Согласно (1.58) дифференциал этой функции для элементарного обратимого процесса с 1 кг газа определяется по выражению

термодинамика

Учитывая, что термодинамика это выражение можно переписать в виде

термодинамика

откуда при термодинамика

термодинамика

Как внутренняя энергия и энтальпия, энтропия определяется с точностью до аддитивной постоянной.

Основные законы (начала) термодинамики

Первый закон термодинамики

Первый закон термодинамики представляют собой закон сохранения и превращения энергии для термодинамических систем. Он устанавливает количественную связь между изменением внутренней энергии системы и внешними воздействиями на нее. Применительно к закрытой термомеханической системе его записывают в виде

термодинамика

Возьмем уравнение (1.73) в дифференциальной форме

термодинамика

Подстановка (1.84) в (1.85) дает

термодинамика

где термодинамика — элементарная работа, Дж, изменения давления, которая в зависимости от решаемой задачи называется полезной внешней, располагаемой или технической.

Соотношения (1.84) и (1.86) называют соответственно первой и второй формой записи первого закона термодинамики.

Согласно первому закону внутренняя энергия системы изменяется только при ее взаимодействии с окружающей средой. Это означает, что величина внутренней энергии не зависит от того, установилось ли в системе внутреннее равновесие. Поэтому изменение внутренней энергии системы будет одинаковым независимо от того, оказано ли внешнее воздействие равномерно на всю систему в целом или только на ее часть. Это же относится к энтальпии.

По свойству полного дифференциала термодинамика и термодинамика, поэтому из первого закона термодинамики следует

термодинамика

т.е. при осуществлении кругового процесса в тепловом двигателе нельзя получить работы “из ничего”. Такой гипотетический двигатель называют вечным двигателем (perpetuum mobile) первого рода. В связи с этим первый закон термодинамики нередко называют принципом невозможности перпетуум мобиле первого рода.

В соответствии с первым законом термодинамики нельзя построить тепловой двигатель, производящий работу против внешних сил (внешнюю работу) без затраты теплоты.

Покажем, что с помощью первого закона термодинамики можно получить связь между термодинамика и термодинамика в общем виде. Перепишем (1.84) и (1.86) в виде

термодинамика

Возьмем полный дифференциал функции термодинамика

термодинамика

и подставим его в (1.88), тогда

термодинамика

При термодинамика из этого выражения следует

термодинамика

но термодинамика, следовательно,

термодинамика

Возьмем теперь полный дифференциал функции термодинамика

термодинамика

Подставив его в (1.89), получим

термодинамика

При постоянном давлении термодинамика, следовательно,

термодинамика

но термодинамика, а значит

термодинамика

Подставим (1.92) в (1.91), тогда

термодинамика

Будем считать термодинамика функцией от термодинамика и термодинамика и запишем полный дифференциал

термодинамика

При термодинамика из (1.97) следует, что термодинамика, а из (1.95), что термодинамика. С учетом этого уравнение (1.96) приводится к виду

термодинамика

Для идеальных газов термодинамика, следовательно,

термодинамика

Полученное уравнение является уже известным нам уравнением Майера.

Для реальных газов термодинамика, причем разность теплоемкостей оказывается зависящей от давления. Чем выше давление газа, тем больше она отличается от термодинамика.

Приложим первый закон термодинамики к произвольному конечному обратимому процессу термодинамика (рис. 1.10). Для этого процесса на основании (1.58) и (1.88) запишем первый закон в интегральной форме

термодинамика
термодинамика

Разбив отрезок термодинамика на термодинамика конечных интервалов термодинамика и определив значения термодинамика для каждого интервала, получим ступенчатую линию, показанную на рис. 1.10 стрелками. Эта линия представляет собой последовательность чередующихся друг с другом элементарных изотермных и адиабатных процессов. Сумма площадей под ступеньками дает приближенное значение термодинамика

термодинамика

Что касается изменения внутренней энергии термодинамика, то оно зависит только от начального и конечного состояний, поэтому при замене кривой процесса термодинамика ступенчатой линией не изменяется. Очевидно, что при увеличении числа промежутков термодинамика и уменьшении соответствующих им отрезков термодинамика ступенчатая линия будет все больше приближаться к кривой процесса термодинамика, а соответственно, все точнее будет вычисляться термодинамика. Согласно (1.100) при этом все более точно будет определяться и термодинамика

Сказанное позволяет рассматривать всякий конечный обратимый процесс как последовательность большого числа чередующихся друг с другом бесконечно малых обратимых изотермных и адиабатных процессов.

Второй закон термодинамики

Второй закон термодинамики связан с необратимостью (односторонней направленностью) всех естественных процессов, происходящих в макромире. Его наиболее общая формулировка, состоящая в утверждении о том, что природа стремится к переходу от менее вероятных состояний к более вероятным, принадлежит Больцману.

Являясь статистическим законом, второй закон термодинамики отражает поведение большого числа частиц, входящих в состав изолированной системы. В системах, состоящих из небольшого числа частиц, могут иметь место значительные флуктуации, представляющие собой отклонения от второго закона.

Самым вероятным состоянием изолированной термодинамической системы, состоящей из большого, но конечного числа частиц, является состояние ее внутреннего равновесия, которому, как показано ниже, соответствует достижение максимального значения энтропии. Поэтому второй закон нередко называют законом возрастания энтропии. В этой связи его можно сформулировать в виде следующего принципа: энтропия изолированной системы не может убывать.

Отправным моментом к установлению второго закона явилось положение Карно (1796-1832) о том, что необходимым условием получения работы с помощью тепловых машин является наличие как минимум двух источников теплоты: горячего (верхнего) и холодного (нижнего). Это связано с тем, что теплота, полученная рабочим телом от верхнего источника, не может быть полностью превращена в механическую работу. Часть ее должна быть обязательно отдана нижнему источнику теплоты.

Позже выяснилось, что наличие двух источников теплоты обязательно и для работы так называемых тепловых насосов (см. 4.1).

Приведем несколько формулировок второго закона, относящихся к тепловым машинам:

перпетуум мобиле второго рода невозможен (постулат Оствальда). Перпетуум мобиле второго рода — воображаемый тепловой двигатель, в котором возможно стопроцентное превращение теплоты в работу;

невозможно создать периодически действующую машину, совершающую механическую работу только за счет охлаждения и теплового резервуара (постулат Кельвина);

самопроизвольный переход теплоты от более холодных тел к более горячим невозможен (постулат Клаузиса).

Все эти формулировки, различающиеся по форме, эквивалентны друг другу по существу, так как напрямую связаны с принципом невозможности убывания энтропии изолированной системы.

Для получения аналитической формулировки второго закона термодинамики будем исходить из того, что в общем случае бесконечно малое изменение энтропии системы определяется выражением

термодинамика

где термодинамика — изменение энтропии системы, связанное с ее взаимодействием с окружающей средой; термодинамика — изменение энтропии системы, обусловленное возможным протеканием внутри нее необратимых процессов, например, в ходе установления в ней внутреннего равновесия. Если рассматривать простые однородные системы с двумя степенями свободы, то речь идет об установлении механического (выравнивание давления) и теплового (выравнивание температуры) равновесия.

Возьмем неравновесную изолированную (термодинамика) систему и поставим задачу исследования изменения ее энтропии в ходе установления внутреннего равновесия. Учитывая, что давление выравнивается гораздо быстрее, чем температура , будем считать, что неравновесность системы конкретно состоит в том, что две ее части (подсистемы 1 и 2) имеют различные температуры термодинамика и термодинамика, причем термодинамика.

Аддитивность термодинамика и термодинамика позволяет записать

термодинамика

Так как рассматриваемая система изолирована, то термодинамика и, следовательно,

термодинамика

или

термодинамика

В соответствии с (1.103)

термодинамика

или

термодинамика

Из уравнений (1.81) и (1.84) при термодинамика

термодинамика

С учетом этого окончательно

термодинамика

Проанализируем полученный результат. Так как по заданию термодинамика, то знак термодинамика будет совпадать со знаком термодинамика. Имея в виду, что при термодинамика термодинамика, укажем, что случай термодинамика, а значит термодинамика, физически соответствует подводу теплоты к менее нагретой системе 1 от более нагретой системы 2. Именно такое направление имеют естественные процессы теплообмена, наблюдаемые в природе. Таким образом, в силу односторонней направленности самопроизвольного теплообмена

термодинамика

Результат не изменяется, если положить термодинамика. Действительно, в этом случае термодинамика и термодинамика, а значит опять термодинамика.

Увеличение энтропии системы при протекании в ней необратимых процессов иногда называют производством энтропии.

По мере приближения изолированной системы к состоянию равновесия производство энтропии будет замедляться, а при установлении равновесия вовсе прекратится. Условие термодинамика будет, таким образом, означать, что энтропия системы максимальна. Обобщая сказанное, можно записать

термодинамика

Состояние равновесия, соответствующее максимуму термодинамика при заданных значениях термодинамика и термодинамика, называют истинным или устойчивым равновесием.

Рассмотрим теперь изменение энтропии системы за счет ее теплообмена с окружающей средой. Будем считать, что он происходит обратимо. Для этого случая изменение энтропии системы дается выражением термодинамика, в котором следует только заменить термодинамика на термодинамика.

В случае, если теплообмен происходит при конечной разности температур, т.е. необратимо, путем переноса границ системы (переход к расширенной системе) задача может быть сведена к только что рассмотренной.

С учетом сказанного можно записать термодинамика. Так как термодинамика, то окончательно

термодинамика

Полученное уравнение является аналитическим выражением второго начала термодинамики. При термодинамика из (1.110) следует

термодинамика

В обеих последних формулах знак > относится к необратимым процессам, а знак равенства — к обратимым.

Так как в случае обратимых процессов термодинамика, a термодинамика, то с учетом (1.84) имеем:

термодинамика

Это уравнение называют объединенным уравнением первого и второго законов термодинамики для обратимых процессов.

Для 1 кг идеального газа оно может быть записано в виде

термодинамика

Возьмем уравнение состояния в дифференциальной форме

термодинамика

и подставим его в (1.113). Тогда

термодинамика

Учитывая, что термодинамика, записываем

термодинамика

и далее

термодинамика

Это уравнение удобно использовать при исследовании процессов в тепловых машинах, где изменение удельного объема термодинамика имеет аналитическое описание, не зависящее от рабочего процесса, а давление термодинамика сравнительно просто измерить. Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Интегрируя (1.117), имеем

термодинамика

Из этого выражения с помощью уравнения Клапейрона и учитывая, что термодинамика, можно получить:

при термодинамика

термодинамика

при термодинамика

термодинамика

при термодинамика

термодинамика

Третий закон термодинамики

Третий закон термодинамики был установлен Нернстом (Лауреат Нобелевской премии 1920 г.) на основе обобщения экспериментальных исследований различных веществ при сверхнизких температурах. Он известен как тепловая теорема или принцип Нернста: в любом изотермическом процессе, проведенном при абсолютном нуле температуры, изменение энтропии системы равно нулю, т.е. термодинамика, термодинамика Иначе говоря при абсолютном нуле температуры изотермический процесс одновременно является изоэнтропийным. Принцип Нернста был развит Планком, который предположил, что при абсолютном нуле температуры энтропия равна нулю.

В соответствии с третьим законом изотерма-изоэнтропа термодинамика в термодинамика-координатах вырождается в точку (начало координат). В результате этого замкнутый круговой процесс, состоящий, например, из двух изотерм и двух адиабат, в случае теплоотвода при термодинамика изобразился бы в термодинамика-координатах отрезком прямой на оси термодинамика, т.е. его площадь была бы равна нулю. В этой связи третий закон термодинамики нередко формируют как принцип невозможности вечного двигателя третьего рода-воображаемого двигателя, в котором осуществлялся бы замкнутый круговой процесс с отводом теплоты от рабочего тела при абсолютном нуле температуры.

Следствием третьего закона термодинамики является положение о недостижимости абсолютного нуля температуры. Данное следствие, конечно, не запрещает приближаться к нему сколь угодно близко. Равенство нулю энтропии при абсолютном нуле температуры имеет своей причиной квантовый характер процессов, происходящих при низких температурах, и выполняется для обычных систем, которые могут находиться при сверхнизких температурах в состоянии истинного равновесия.

Так называемые необычные системы (например, кристаллы термодинамика) могут находиться в состояниях как с положительной, так и отрицательной температурой.