Теория вероятностей задачи с решением и примерами

Прежде чем изучать готовые решения задач по теории вероятности, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила краткую теорию по предмету «теория вероятностей», после которой подробно решены задачи.

Эта страница подготовлена для школьников и студентов.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Теория вероятностей

Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.

Теория вероятностей — раздел математики, в котором изучаются общие закономерности случайных явлений массового характера независимо от их конкретной природы. Она разрабатывает методы количественной оценки влияния случайных факторов на различные явления. Знание этих закономерностей позволяют предвидеть, как эти события будут протекать в реальном опыте.

Элементы комбинаторики

Пусть дано множество , состоящее из элементов

Перестановками на множестве из элементов называются всякие упорядоченные множества, состоящие из этих элементов. Количество всех перестановок на множестве из элементов обозначается и определяется по формуле

Таким образом, перестановки одинаковы по составу элементов, но различаются порядком их перечисления.

Размещениями на множестве из элементов по элементов называются всякие упорядоченные подмножества, состоящие из элементов. Два различных размещения отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число размещений на множестве из элементов по элементов обозначается и определяется формулой

Сочетаниями из различных элементов но элементов называется подмножество, состоящее из элементов, каждый из которых встречается один раз. Два различных сочетания отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний па множестве из элементов по элементов обозначается и определяется формулой

Если среди элементов одного вида есть , второго вида — и т.д., то, поменяв местами элементы одного вида, получим ту же перестановку. Поэтому число перестановок с повторениями определяется формулой

где

Число размещений на множестве из элементов по элементов с повторениями определяется формулой

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет теория вероятностей и математическая статистика

Задача №1

Имеется множество, состоящее из 5 цифр . Сколько различных пятизначных чисел можно составить из этих цифр?

Решение:

Так как пятизначные числа отличаются только порядком следованием цифр в числе, то количество различных пятизначных чисел будет равно количеству перестановок на множестве из 5 элементов

Задача №2

Студентам нужно сдать пять экзаменов за 20 дней. Сколькими способами можно составит ь расписание экзаменов.

Решение:

Расписание определяется датами (пять дат) проведения экзаменов и последовательностью дисциплин, по которым они проводятся. Поэтому число различных вариантов расписаний экзаменов будет равно количеству размещений па множестве из 20 элементов по 5 элементов

Задача №3

Из команды, состоящей из 10 человек, выбирают 4 кандидатов для эстафеты 4×100 м. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Число различных комбинаций из 10 членов команды для участия в эстафете

4 кандидатов будет равно количеству сочетаний на множестве из 10 элементов по 4 элемента

Задача №4

Имеется слово КОЛОКОЛ. Сколько различных слов можно составить из букв этого слова?

Решение:

В слово буквы входят с повторениями. Поэтому количество различных перестановок определяется по формуле (1.4)

Определении вероятности

Пусть проводится случайный эксперимент. Элементарным событием или исходом в случайном эксперименте называется всякая конкретная реализация этого эксперимента. Множество всех исходов эксперимента образует пространство элементарных исходов. Случайным событием называется всякое подмножество пространства элементарных исходов.

Исход называется благоприятствующим событию , если появление исхода влечет появление события .

Пусть случайный эксперимент имеет равновозможных элементарных исходов.

Классическое определение вероятности. Вероятностью события называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию к общему числу всех единственно возможных и равновозможных элементарных исходов опыта

где число исходов, благоприятствующих событию ; число всех равновозможных исходов.

Относительной частотой события называется отношение числа испытаний, в которых наступило событие , к общему числу проведенных испытаний

где — общее число проведенных испытаний; — число испытаний, в которых наступило событие .

При неограниченном увеличении числа испытаний относительная частота события стремится к вероятности наступления события в отдельном испытании. На этом факте основано статистическое определение вероятности, когда вероятности полагаются равными относительным частотам событий при большом .

Пусть имеется некоторая область на плоскости или в пространстве и другая область . В область случайным образом ставится точка. Нужно найти вероятность того, что она попадет в область . Все отборы положения точки в области считаются равновозможными. Геометрической вероятностью называется отношение меры области к мере области

Свойства вероятности

• Вероятность невозможного события равна О

• Вероятность достоверного события равна 1

• Для любого случайного события

• Вероятность события противоположного событию определяется по формуле

Задача №5

Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и. помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение:

Обозначим через событие — {набраны две нужные цифры]. Для определения вероятности события будем использовать классическое определение вероятности . Всего можно набрать столько различных цифр по две цифры, сколько может быть составлено размещений из десяти цифр по две . Благоприятствует событию В только одна пара цифр: . Тогда .

Задача №6

На девять вакантных мест претендуют 15 кандидатов, из них 7 женщин, остальные мужчины. Какова вероятность того, что из девяти случайно отобранных кандидатов ровно пять женщин.

Решение:

Пусть событие состоит в том, что из 9 отобранных кандидатов 5 женщин. Для решения используем классическое определение вероятности. Общее число исходов будет равно числу способов, которыми можно выбрать 9 человек из 15 кандидатов

Число благоприятствующих исходов

Задача №7

В квадрат со стороной случайным образом ставится точка. Какова вероятность того, что эта точка попадет в круг, вписанный в этот квадрат.

Решение:

Пусть событие состоит в том, что {точка попадет в круг}. Для определения вероятности события используем геометрическую вероятность

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема сложения. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

Если события и несовместные, то вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

Суммой двух событий называется событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих либо первому событию, либо второму, либо обоим событиям.

Два события называются несовместными, если они не имеют общих исходов.

Произведением двух событий называется событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих и первому, и второму событиям.

Два события называются независимыми, если вероятность появления одного события не зависит от того, произошло или не произошло второе событие.

Условной вероятностью называют вероятность события , вычисленную в предположении, что событие произошло.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного события на условную вероятность второго события при условии, что произошло первое событие

Если события и независимые, то вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей этих событий

Задача №8

Найти вероятность того, что случайно взятое двузначное число будет кратным двум или пяти.

Решение:

Пусть событие состоит в том, что {случайно взятое число будет кратным двум или пяти}; — событие, состоящее в том, что {число, кратное двум}; — событие, состоящее в том, что {число, кратное пяти}. События и являются совместными, так как есть числа, которые одновременно делятся на два и пять. Так как , то . Вычислим вероятности этих событий, воспользовавшись классическим определением вероятности

Тогда

Задача №9

Для подготовки к экзамену студентам дано 60 вопросов. Студент, идя на экзамен, выучил 50 вопросов. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для сдачи экзамена студенту нужно ответить на два вопроса из двух заданных.

Решение:

Пусть событие состоит в том, что студент сдаст экзамен. Событие = {студент ответил на первый вопрос}, = {студент ответил на второй вопрос}. Тогда . События и — зависимые. Применяя теорему умножения вероятностей, мы получаем

Найдем вероятности событий, воспользовавшись классическим определением вероятности

Задача №10

Стрелок делает независимо друг от друга два выстрела по мишеням. Вероятность попадания в мишень при первом выстреле равна 0,7, при втором — 0.9. Найти вероятность того, что при двух выстрелах будет только одно попадание в мишень.

Решение:

Пусть событие состоит в том, что {будет только одно попадание при двух выстрелах}, событие состоит в том, что {будет попадание при первом выстреле}, событие = {попадание при втором выстреле}.

Тогда

Формула полной вероятности. Формулы Баиеса

Пусть событие может произойти вместе с одним из событий . События образуют полную группу попарно несовместных событий, если они: 1) попарно несовместны; ; 2) сумма событий является достоверным событием, то есть .

Теорема 4.1. Пусть событие может произойти совместно с одним из событий которые образуют полную группу попарно несовместных событий. Тогда вероятность события определяется по формуле полной вероятности

События называются гипотезами.

Теорема 4.2. Пусть событие может произойти совместно с одной из гипотез Если событие произошло, то вероятности появления гипотез вычисляются по формулам Байеса

Задача №11

Электролампы изготавливаются на трех заводах. Первый завод изготавливает 45% общего количества электроламп, второй — 40%, третий — 15%. Продукция первого завода содержит 70% стандартных электроламп, второго — 80%, третьего — 81%. Найти вероятность того, что случайно взятая электролампа будет стандартной.

Решение:

Пусть событие состоит в том. что {случайно взятая лампа стандартна). Введем гипотезы [лампа произведена на заводе]. Вероятность события определяется по формуле полной вероятности

Найдем вероятности гипотез:

Условные вероятности будут равны:

Подставив в формулу полной вероятности, получим

Задача №12

В пирамиде 10 винтовок, из них 6 снабжены оптическим прицелом, а остальные винговки — с обыкновенным прицелом. Вероятность попадания в цель из винтовки с оптическим прицелом равна 0,9; из обыкновенной винтовки — 0,7. Стрелок поразил цель из случайно взятой винтовки. Какова вероятность того, что он стрелял из обычной винтовки.

Решение:

Пусть событие состоит в том, что стрелок поразил цель, событие = {стрелял из обыкновенной винтовки}, событие = {из винтовки с оптическим прицелом}.

Из условия задачи

Схема повторных независимых испытаний (схема Бернулли)

Схемой Бернулли называется последовательность из независимых испытаний, в каждом из которых возможны только два исхода: событие может наступить или не наступить, и вероятность появления события в каждом испытании постоянна.

Формула Бернулли. Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , событие наступит ровно к раз, равна

где

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , событие наступит ровно раз, приближенно равна 1

где

Значения функции находятся по таблице по вычисленным значениям . Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна событие наступит от до раз, приближенно равна

где

Значения функции находят по таблице по вычисленным значениям . Формула Пуассона. Если в схеме Бернулли число испытаний велико, а вероятность появления события мала, то вероятность того, что в независимых испытаниях событие наступит ровно раз приближенно равна

Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности.

Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , абсолютная величина отклонения относительной частоты от вероятности появления события не превосходит положительного числа , приближенно равна

Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях

Число называют наивероятнейшим, если вероятность того, что в независимых испытаниях событие наступит ровно раз не меньше вероятностей остальных возможных значений .

Наивероятнейшее число определяется из неравенства

причем:

а) если число дробное, то существует одно наивероятнейшее число; , где — целая часть числа ,

б) сели число — целое, то существуют два наивероятнейших числа и ;

в) если — целое, то .

Задача №13

Прибор состоит из четырех узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла равна 0,8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что выйдут из строя росно два узла.

Решение:

Для решения задачи используем формулу Бернулли.

Задача №14

Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена 75 раз.

Решение:

Решаем задачу с использованием локальной теоремы Лапласа.

Задача №15

В гараже имеется 100 автомашин. Вероятность того, что в течение рабочего дня машина находится вне гаража, равна 0,8. Найти вероятность того, что вне гаража будут находиться от 70 до 85 машин.

Решение:

Для решения используем интегральную теорему Муавра-Лапласа. По условию задачи

тогда

Функция распределения и плотность распределения случайных величин

Краткие теоретические сведения

Случайной величиной называется действительная функция , определенная на пространстве элементарных исходов и такая, что при любых действительных .v определена вероятность события .

Функцией распределения вероятностей называется функция , равная вероятности того, что

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. 
2. 
3. — неубывающая функция.
4. — непрерывная слева, т.е. .
5. Вероятность попадания в интервал определяется формулой

называется дискретной, если она принимает конечное или счетное количество значений.

называется непрерывной на , если она принимает все значения из этого интервала.

Законом распределения дискретной называется соответствие, но которому каждому возможному значению ставится в соответствие вероятность его появления . Закон распределения дискретной записывается в виде таблицы.

Плотностью распределения называется функция , удовлетворяющая условию

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

Чтобы задать закон распределения непрерывной , нужно задать либо плотность распределения, либо функцию распределения.

Задача №16

Закон распределения дискретной имеет вид

Найти функцию распределения.

Решение:

По определению . Тогда

Задача №17

Непрерывная задана плотностью распределения

Нужно определить значение параметра и найти .

Решение:

Для определения параметра воспользуемся свойством плотности распределения

Функцию распределения определим из соотношения .

1. Если , то .
2. Если . то
3. Если , то

Таким образом,

Задача №18

Дана функция распределения

Требуется найти плотность распределения и вероятность попадания в интервал

Решение:

Вероятность попадания в интервал определяется по формуле

Если известна функция распределения, то

Числовые характеристики случайных величин

Пусть дискретная имеет следующий закон распределения

Математическим ожиданием называется сумма произведений всех возможных значений на соответствующие вероятности

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

Математическое ожидание характеризует среднее значение .

Для непрерывной математическое ожидание вычисляется по формуле

Начальным моментом -го порядка называется математическое ожидание , т.е. . Начальные моменты -го порядка для дискретных и непрерывных вычисляются соответственно по формулам

Центральным моментом -го порядка называется математическое ожидание

Для дискретных и непрерывных центральный момент -го порядка вычисляется по формулам:

Дисперсией называется центральный момент второго порядка

Дисперсия характеризует степень разброса значений относительно математического ожидания. Дисперсия обладает следующими свойствами:

Дисперсия равна разности математического ожидания квадрата и квадрата математического ожидания

Средним квадратическим ожиданием называется корень квадратный из дисперсии

Задача №19

Дискретная задана законом распределения

Вычислить

Решение:

Дисперсию вычислим по формуле

Задача №20

Непрерывная задана функцией распределения

Вычислить

Решение:

Найдем плотность распределения

Вычислим математическое ожидание

Дисперсия определяется по формуле

Законы распределения дискретных случайных величин

Дискретная называется распределенной по биномиальному закону, если она принимает конечное число значений с вероятностями, которые определяются по формуле Бернулли

Для дискретной , распределенной по биномиальному закону, справедливы следующие соотношения

Дискретная называется распределенной по закону Пуассона, если она принимает счетное число значений с вероятностями, которые определяются по формуле Пуассона

Для дискретной , распределенной по закону Пуассона справедливы соотношения

Задача №21

О сигнализации о пожаре установлено три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при пожаре сработает каждое устройство постоянна и равна 0,9. равна количеству срабатывающих устройств при пожаре. Требуется составить закон распределения и вычислить .

Решение:

принимает значение 0; 1; 2; 3. Определим вероятности по формуле (8.1).

Проверка:

Закон распределения имеет вид

Вычислим

Законы распределения непрерывных случайных величин

Непрерывная называется равномерно распределенной на , если плотность распределения вероятностей имеет вид

Для . равномерно распределенной на , справедливы следующие соотношения:

Непрерывная называется распределенной но показательному закону, если плотность распределения вероятностей имеет вид

Для , распределенной по показательному закону, справедливы следующие соотношения

Функция

определяет вероятность отказа за время .

Вероятность безотказной работы за это время будет равна

Функцию называют функцией надежности.

Непрерывная называется распределенной по нормальному закону, если плотность распределения вероятностей имеет вид

Для нормально распределенной справедливы следующие соотношения:

Задача №22

распределена равномерно на (3;5). Требуется найти:

Решение:

На основании формул (9.1) и (9.2) имеем

Задача №23

распределенная по показательному закону, имеет функцию распределения вида

Вычислить

Решение:

Согласно формуле (9.4) . Тогда

Задача №24

распределена по нормальному закону с параметрами

Требуется: 1) записать и ; 2) вычислить

Решение:

Согласно формулам (9.5) и (9.6) имеем

Предельные теоремы теории вероятностей

Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение от ее математического ожидания по модулю меньше данного числа не менее, чем

Теорема Чебышева. Пусть даны , которые попарно независимы, имеют математические ожидания и дисперсии, ограниченные одним и тем же числом . Тогда для любого числа выполняется неравенство

Если имеют одно и то же математическое ожидание , то неравенство (10.2) примет вид

Переходя в неравенство (10.3) к пределу при , получим

В этом случае говорят, что при последовательность сходится по вероятности к своему математическому ожиданию .

Теорема Бернулли. Если в каждом из независимых испытаний вероятность появления события постоянна, то вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности по модулю не превзойдет положительного числа больше чем разность

Переходя в неравенство (10.5) к пределу при , получим

При большом числе испытаний относительная частота события сходится по вероятности к вероятности появления события в отдельном испытании.

Центральная предельная теорема Ляпунова. Пусть последовательность независимых для каждой из которых существует математическое ожидание и дисперсия , центральный момент третьего порядка

и выполняется условие Ляпунова

Тогда при распределение стремится к нормальному закону с функцией распределения

Задача №25

Средняя длина детали равна 50 см, а дисперсия длины равна 0,1. Оценить вероятность того, что изготовленная деталь окажется по своей длине не менее 49,5 см. и не более 50,5 см.

Решение:

По условию задачи

Так как непрерывна, то

Применяя неравенство (10.1), получим

Задача №26

При штамповке деталей брак составляет 3%. Найти вероятность того, что при проверке партии из 1000 деталей выявится отклонение от установленного процента брака меньше, чем на 1%.

Решение:

По условию задачи

Воспользуемся неравенством (10.5)

Задача №27

Складываются 48 попарно независимых , распределенных по равномерному закону на интервале (0; 1). Записать приближенно функцию распределения суммы этих . Найти вероятность того, что эта сумма будет заключена в пределах от 26 до 28.

Решение:

Обозначим

Тогда

и функция распределения имеет вид

Найдем вероятность попадания в интервал (26; 28).

Двумерные случайные величины. Законы распределения. Условные законы распределения

Двумерной называется совокупность двух случайных величин , описывающих тот или иной случайный эксперимент. и называются составляющими.

Если составляющие двумерной являются дискретными . то двумерная называется дискретной, если составляющие являются непрерывными . то двумерная называется непрерывной. Если одна из составляющих является дискретной, а вторая — непрерывной, то двумерная величина называется сметанной.

Законом распределения дискретной двумерной называется соответствие между всевозможными парами и вероятностями их появления . Закон распределения дискретных двумерных задается в виде таблицы

Если известен закон распределения двумерной дискретной , то законы распределения составляющих находятся следующим образом

Функцией распределения двумерной называется вероятность события

Функция распределения вероятностей двумерной обладает следующими свойствами:

1. 
2. 
3. 
4. , где — функции распределения составляющих и .
5. Функция распределения является не убывающей функцией по каждому из своих аргументов.

Функция называется плотностью распределения вероятностей двумерной , если она удовлетворяет соотношению

Плотность распределения вероятностей двумерной обладает следующими свойствами:

Чтобы задать закон распределения непрерывной двумерной , достаточно задать либо функцию распределения, либо плотность распределения.

Условным законом распределения называется закон распределения одной из составляющих при условии, что вторая составляющая приняла определенное значение. Для дискретных двумерных условные вероятности определяются по формулам:

Условные плотности распределения находятся по формулам:

где — плотности распределения составляющих .

Составляющие и двумерной называются независимыми, если

Задача №28

Двумерная дискретная задана законом распределения

Требуется найти законы распределения составляющих и условный закон распределения составляющей при условии, что = 1.

Решение:

Законы распределения составляющих и найдем с использованием формул (11.1).

Тогда закон распределения составляющих имеет вид

Аналогично находится закон распределения составляющей .

Условный закон распределения составляющей при условии, что = 1, найдем с использованием формул (11.3).

Задача №29

Дана функция распределении двумерной

Требуется найти плотность распределения и условные плотности распределения

Решение:

Плотность распределения найдем, используя свойство 3 плотности распределения

Плотности распределения составляющих найдем, используя свойство 5 плотности распределения

Условные плотности распределения составляющих найдем с использованием формул (11.4)

Так как условные плотности распределения вероятностей совпадают с плотностями распределения составляющих, то составляющие являются независимыми .

Числовые характеристики двумерных случайных величин. Коэффициент корреляции

Начальным моментом порядка двумерной называется математическое ожидание произведения

Для непрерывных

для дискретных

Центральным моментом порядка двумерной называется математическое ожидание произведения

Для непрерывной двумерной центральный момент порядка вычисляется по формуле

для дискретных

Корреляционным моментом двумерной называется центральный момент . Для непрерывной корреляционный момент вычисляется по формуле

для дискретных

Корреляционный момент характеризует тесноту связи между составляющими и . Коэффициентом корреляции и называется отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений составляющих

Коэффициент корреляции обладает следующими свойствами:

Если зависимость между и отсутствует, то . Если , то зависимость между и линейная. и , для которых называются некоррелированными. Очевидно, что независимые не коррелированы. Обратное утверждение верно лишь при условии нормального распределения двумерной . Коэффициент корреляции вычисляется по формуле

Задача №30

Двумерная задана таблицей

Вычислить коэффициент корреляции.

Решение:

Составим законы распределения составляющих

Вычислим математические ожидания и средние квадратические отклонения составляющих

Вычислим коэффициент корреляции по формуле (12.9)

Составляющие и являются некоррелированными . Очевидно, что независимые не коррелированы. Обратное утверждение верно лишь при условии нормального распределения двумерной .

Задача №31

Непрерывная двумерная задана плотностью распределения

Найти коэффициент корреляции.

Решение:

Найдем математические ожидания составляющих

Найдем дисперсии

Вычислим корреляционный момент

Коэффициент корреляции вычислим по формуле (12.8)

Статистическое распределение. Эмпирическая функция распределения и ее свойства. Полигон и гистограмма. Числовые характеристики выборки

Генеральной совокупностью называется совокупность элементов, объединенных по некоторому признаку, из которых производится выборка.

Выборочной совокупностью или выборкой называется совокупность объектов, случайно выбранных для исследования.

Объемом выборки называется количество объектов, входящих в выборку.

Пусть из совокупности извлечена выборка объемом п.

Выборочная совокупность, расположенная по возрастанию или убыванию значения признака, называется вариационным рядом, а сс объекты — вариантами.

Если значения вариант совпадают или отличаются незначительно, то их можно сгруппировать, придав частоту каждой варианте.

В результате получим сгруппированный вариационный ряд.

Частостью или относительной частотой варианты называется отношение частоты варианты к объему выборки

Статистическим распределением называется соответствие, по которому каждому возможному значению варианты ставится в соответствие частота (относительная частота) се появления. Статистическое распределение записывается в виде таблицы, в которой в первой строке перечислены все значения вариант, а во второй частоты или частости, которые соответствуют вариантам

Для построения интервального статистического ряда разбивают множество вариант на полуинтервалы . т.е. производят группировку. Рекомендуется число интервалов определять по формуле

Длина интервала равна

Для наглядности используются графические изображения вариционных рядов в виде полигона и гистограммы.

Полигоном частот или частостей называется ломаная линия, соединяющая точки с координатами

Гистограммой частот или частостей называют ступенчатую фигуру, составленную из прямоугольников с основанием и высотой

Эмпирической функцией распределения называют функцию , определяющую для каждого значения относительную частоту события :

где — число вариант (с учетом их кратностей) меньших — объем выборки. Эмпирическая функция распределения обладает следующими свойствами:

1. Значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0; l],
2. Эмпирическая функция является неубывающей функцией.
3. Если наименьшее значение варианты, а наибольшее значение варианты, то

Для описания выборки применяются такие числовые характеристики, как выборочная средняя, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение.

Выборочной средней называется среднее значение варианты, вычисленное по данным выборки

где — частота варианты .

Выборочной дисперсией называется дисперсия, вычисленная по данным выборки

Выборочная дисперсия равна разности между средним значением квадрата вариант и квадратом выборочного среднего

Выборочным средним квадратическим отклонением называется корень квадратный из выборочной дисперсии

Задача №32

По данному распределению выборки найти эмпирическую функцию распределения и построить полигон частот

.

Решение:

Определим объем выборки

Определим относительные частоты вариант

Запишем эмпирическую функцию распределения

Построим полигон частот

Задача №33

Построить гистограмму частостей по данным выборки объема 100 и вычислить числовые характеристики выборки.

Решение:

Вычислим относительные частоты по формуле

и найдем высоты прямоугольников по формуле

Вычисления сведем в таблицу

Построим гистограмму частостей

Вычислим числовые характеристики выборки

Вычислим

Точенные оценки неизвестных параметров распределения

Пусть изучается с законом распределения, зависящим от одного или нескольких параметров. Требуется по выборке, полученной в результате испытаний оценить неизвестный параметр .

Точечной оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называется его приближенное значение, зависящее от данных выборки

Точечная оценка должна удовлетворять следующим требованиям:

• оценка должна быть несмещенной, т.е.

оценка должна быть состоятельной, т.е. она должна сходиться по вероятности к оцениваемому параметру: для

• оценка должна быть эффективной: если неизвестный параметр имеет несколько оценок, то в качестве оценки нужно брать оценку с наименьшей дисперсией.

Выборочная средняя является несмещенной и состоятельной оценкой для математического ожидания генеральной совокупности.

Несмещенной и состоятельной оценкой для дисперсии генеральной совокупности является исправленная выборочная дисперсия

Исправленным средним квадратическим отклонением называется корень квадратный из исправленной дисперсии

Для вычисления и разработано много методов. Одним из наиболее распространенных методов является метод произведений. При вычислении выборочного среднего и выборочной дисперсии поступают следующим образом: выбираем «ложный нуль» . В качестве «ложного нуля» берется варианта стоящая посредине вариационного ряда или варианта, имеющая максимальную частоту;

• переходим к условным вариантам по формулам , где — шаг разбиения;

• вычисляем условные моменты 1 -ого и 2-ого порядков

• вычисляем выборочное среднее и выборочную дисперсию

Задача №34

Методом произведений вычислить выборочную среднюю и выборочную дисперсию по данным выборки

Решение:

В качестве «ложного нуля» возьмем варианту 75, = 75. Перейдем к условным вариантам по формуле . Результаты вычислений сведем в таблицу.

Результаты вычислений можно проверить равенством

Равенство выполняется, следовательно, таблица заполнена верно. Вычислим условные моменты

Вычислим выборочную среднюю и выборочную дисперсию

Интервальные оценки

Пусть — функция выборки. Это есть случайная величина, называемая статистикой.

Интервальной называют оценку, которая определяется случайным интервалом

В качестве интервальной оценки используются доверительные интервалы.

Доверительным интервалом для неизвестного параметра , называется случайный интервал , который с заданной вероятностью (надежностью) накрывает неизвестный параметр, .

Если исследуемая распределена по нормальному закону с известным средним квадратическим отклонением , то доверительный интервал для математического ожидания определяется неравенством

где — точность оценки, — объем выборки, — значение аргумента функции Лапласа, при котором

Если среднее квадратическое отклонение неизвестно, то доверительный интервал для математического ожидания исследуемой определяется неравенством

Значения находят по таблице приложения 5 по заданным и . Число

называют точностью оценки математического ожидания.

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения исследуемой определяется неравенством

Значения и находятся по таблице приложения 6 по заданным и .

Задача №35

Найти доверительный интервал для оценки с надежностью неизвестного математического ожидания нормально распределенного признака , если известно , а по данным выборки объемом 100 вычислено .

Решение:

Так как известно среднее квадратическое отклонение то для определения доверительного интервала для математического ожидания воспользуемся неравенством (3.1). Определим значение

Подставим в неравенство (3.1)

Задача №36

Для исследования нормально распределенной извлечена выборка объемом 25.

Найти с надежностью доверительные интервалы для математического ожидания и среднего кадратического отклонения исследуемой .

Решение:

По данным выборки методом произведений определим и

Проверка:

Для определения доверительного интервала для математического ожидания воспользуемся неравенством (3.2);

Для определения доверительного интервала для среднего квадратического отклонения воспользуемся неравенством (3.3):

Статистическая проверка гипотез. Критерии согласия Пирсона и Колмогорова

Статистической называется гипотеза о предполагаемом виде неизвестного распределения или о значениях параметров известного вида распределения. Пулевой гипотезой называется выдвинутая гипотеза. Конкурирующей (альтернативной) называется гипотеза, которая противоречит нулевой гипотезе. При проверке статистической гипотезы могут быть допущены ошибки двух родов. Ошибка первого рода — будет отклонена верная гипотеза. Ошибка второго рода — будет принята неверная гипотеза.

Вероятность допустить ошибку первого рода называется уровнем значимости. Для проверки статистической гипотезы используют специальную статистику, которая называется критерием.

По рассчитанному значению критерия определяют принимать или отвергать нулевую гипотезу.

Критерий согласия — это проверка гипотезы о виде распределения .

Основными критериями согласия являются критерии Пирсона и Колмохорова. При проверке гипотезы с помощью критерия Пирсона поступают следующим образом:

из генеральной совокупности извлекают выборку объемом ; по выборке вычисляют и :

переходят к нормированной по формуле

находят вероятности попадания в интервал

вычисляют теоретические частоты

вычисляют статистику Пирсона

из таблицы критических точек распределения Пирсона (приложение 3) по уровню значимости и числу степеней свободы

определяют , где — число интервалов в вариационном ряде, — количество параметров закона распределения, которые оцениваются по выборке (для нормального закона =2);

• если то нет необходимости отвергать нулевую гипотезу, т.е. эмпирические и теоретические частоты согласуются;

• если то гипотеза отвергается, т.е. расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами существенно;

• если исследуется дискретная , распределенная по нормальному закону, то теоретические вероятности определяются по формуле

где — шаг,

Задача №37

Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки

Решение:

По данным выборки методом произведений вычислим и .

Проверка:

Вычислим вероятности попадания в интервалы

Вычислим

Определим число степеней свободы

По уровню значимости и числу степеней свободы найдем критическую точку правосторонней критической области распределения Пирсона (приложение 3)

Так как , гипотеза о нормальном распределении совокупности отвергается.

Критерий согласия Колмогорова применяется для проверки гипотезы о законе распределения непрерывной . Для статистической проверки гипотезы с помощью критерия согласия Колмогорова поступают следующим образом:

• выбирают из генеральной совокупности выборку;
• по выборке составляют эмпирическую функцию распределения ;
• записывают теоретическую функцию распределения ;
• вычисляют величину

вычисляют статистику Колмогорова

где объем выборки. имеет функцию распределения

которая называется функцией Колмогорова;

находим по уровню значимости (приложение 7);

• если , то гипотеза о законе распределения отклоняется, если , то нет оснований отклонять нулевую гипотезу.

Рассмотрим применение критерия Колмогорова на примере.

Задача №38

Проверить по критерию Колмогорова гипотезу о нормальном распределении но данным выборки при уровне значимости .

Решение:

Вычислим выборочную среднюю и исправленное среднее квадратическое отклонение .

Тогда теоретическая функция распределения в предположении, что распределена по нормальному закону, имеет вид

где — функция Лапласа.

Эмпирическую функцию распределения определим по формуле

где сумма частот вариант меньших .

Вычислим величину

Вычислим статистику Колмогорова

По уровню значимости найдем по таблице (приложение 7) . Т.к. , то нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении.

Выборочный коэффициент корреляции и его свойства

Проверка гипотезы о равенстве нулю коэффициента корреляции Краткие теоретические сведения

Для вычисления выборочного коэффициента корреляции данные представляются в виде корреляционной таблицы. Корреляционная таблица представляет собой таблицу следующего вида: в первой строке записаны наблюдаемые значения , в первом столбце записаны наблюдаемые значения , на пересечении -той строки и -го столбца записывается частота появления пары . В последнем столбце записывается частота появления варианты , в последней строке — частота появления варианты на пересечении последней строки и последнего столбца записывается суммарное количество наблюдений. Корреляционная таблица имеет вид

Основной оценкой тесноты связи между случайными величинами и служит выборочный коэффициент корреляции который определяется так

где — среднее арифметическое произведений значений .

Свойства выборочного коэффициента корреляции аналогичны свойствам коэффициента корреляции между :

1. ;
2. если переменные и умножить на одно и то же число, то коэффициент корреляции не изменится;
3. если , то корреляционная связь между значениями и представляет собой линейную функциональную зависимость.

Для вычисления выборочного коэффициента корреляции применяется формула

Если , то между наблюдаемыми значениями и корреляционная зависимость отсутствует, чем ближе к единице приближается модуль коэффициента корреляции, тем теснее связь между переменными и . Т.к. выборочный коэффициент корреляции вычисляется по данным выборки, то в отличие от коэффициента корреляции генеральной совокупности является случайной величиной. Если то возникает вопрос, объясняется ли это действительно существующей связью между и или вызвано случайными факторами. Для выяснения этого вопроса проверяется гипотеза о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности.

Для того, чтобы при уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной двумерной нормальной совокупности, вычисляют статистику

и по таблице критических точек распределения Стьюдента (приложение 4) по уровню значимости а и числу степеней свободы находят

критическую точку двусторонней критической области. Если

нет оснований отвергать нулевую гипотезу, т.е. ; если

нулевую гипотезу отвергают, т.е. . Рассмотрим вычисление выборочною коэффициента корреляции и проверку гипотезы о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности на примере.

Задача №39

По данной корреляционной таблице вычислить выборочный коэффициент корреляции и при уровне значимости проверить гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности.

Решение:

Вычислим компоненты, входящие в формулу (5.1), для вычисления

Вычислим выборочный коэффициент корреляции

Проверим гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности. Вычислим

По таблице критических точек распределения Стыодента (приложение 4) по уровню значимости и числу степеней свободы найдем

Так

то гипотеза о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности отвергается, т.е. выбранный коэффициент корреляции значим.

Кстати готовые задачи на продажу по предмету теория вероятности тут.

Линейная регрессия. Определение параметров линейной регрессии

Если обе линии регрессии на и на являются прямыми, то в этом случае корреляцию называют линейной. Выборочное уравнение прямой линии регрессии на имеет вид

Уравнение прямой регрессии на имеет вид

Здесь — значения — их выборочные средние.

Коэффициент уравнений (6.1)-(6.2) можно также определить по формулам, полученным методом наименьших квадратов. Например, если уравнение (6.1) взять в виде , то параметры и линейной регрессии имеют вид:

Задача №41

Распределение 40 заводов отрасли по количеству слесарей и числу станкосмен задано корреляционной таблицей.

Составить уравнение прямой регрессии на .

Решение:

По корреляционной таблице вычислим

Подставим вычисленные значения в уравнение (6.1)

Задача №42

При эталонировании медного термометра изучалась зависимость электрического сопротивления от температуры . Были получены следующие результаты

Оценить параметры уравнения регрессии с помощью метода наименьших квадратов и записать уравнение регрессии на .

Решение:

Сведем результаты вычисления в таблицу.

Параметры линейной регрессии определим по формулам (6.3)

Эмпирическое уравнение регрессии на примет вид

Возможно эти страницы вам будут полезны:

• Помощь по теории вероятности
• Заказать работу по теории вероятности
• Контрольная работа по теории вероятности
• Курсовая работа по теории вероятности
• Решение задач по математической статистике
• Помощь по математической статистике
• Заказать работу по математической статистике
• Контрольная работа по математической статистике
• Курсовая работа по математической статистике
• Теория вероятностей краткий курс для школьников и студентов (заочников) 

Примеры решения задач по всем темам теории вероятностей

В различных разделах науки и техники нередко возникают ситуации, когда результат каждого из многих проводимых опытов заранее предугадать невозможно, однако можно исследовать закономерности, возникающие при проведении серии опытов. Нельзя, например, точно сказать, какая сторона монеты окажется сверху при данном броске: герб или цифра – но при большом количестве бросков число выпадений герба приближается к половине количества бросков; нельзя заранее предсказать результат одного выстрела из данного орудия по данной цели, но при большом числе выстрелов частота попадания приближается к некоторому постоянному числу. Исследование вероятностных закономерностей массовых однородных явлений составляет предмет теории вероятностей.

Основным интуитивным понятием классической теории вероятностей является случайное событие.

События, которые могут произойти в результате опыта, можно подразделить на три вида:

• а) достоверное событие – событие, которое всегда происходит при проведении опыта;
• б) невозможное событие – событие, которое в результате опыта произойти не может;
• в) случайное событие – событие, которое может либо произойти, либо не произойти.

Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах, раскрывает объективные закономерности, присущие массовым явлениям.

Развитие как науки теории вероятностей берет свое начало с переписки Паскаля и Ферма (1654 г.). Но и до этого многих ученых интересовали задачи, относящиеся к азартным играм, теоретико-вероятностные задачи, имеющие прикладное значение (Кардано, Галилей).

Кроме задач азартных игр появлялся интерес к построению таблиц смертности и вопросам страхования (Граунт, Ван Худде, Ван де Витт).

Факты устойчивости частот случайных событий в задачах обработки демографических данных были известны еще в Древнем Китае и Древнем Риме.

С течением времени объект изучения теории вероятностей менялся. Если вначале основной интерес вызывало исследование вероятностей случайных событий, то уже в XIX в. интерес вызывало исследование случайных величин.

Теория вероятностей тесно связана с прикладными исследованиями различной природы. Она применима как в задачах экономики, производства, так и задачах лингвистики и истории. Сейчас без применения понятия доверительного интервала, корреляции, уровня значимости, нормального закона распределения случайной величины сложно представить обширное исследование в педагогике, физике, механике и других науках.

В основе квантовой механики лежат принципы теории вероятностей. В случае радиоактивного распада нет закона природы, позволяющего определить точное время деления ядра. Существуют только законы, согласно которым можно говорить о вероятности рассада ядра за определенный промежуток времени.

Элементарная теория вероятностей

Во многих областях человеческой деятельности существуют ситуации, когда определенные явления могут повторяться неограниченное число раз в одинаковых условиях. Подбрасывание монеты, кости, выброс из колоды карт и т.д.

Заметим, что представляется возможным предсказать исход последующего эксперимента по результатам предыдущих, как бы ни было велико число проведенных испытаний.

Во-вторых, относительная частота определенных исходов по мере роста числа испытаний стабилизируется, приближаясь к определенному числу.

Рассмотрим эксперимент по подбрасыванию монеты. Его результат представлен в таблице 1.

— номер испытания, — количество подбрасываний, в таблице указывается количество выпадений герба.

Наблюдалась стабилизация частот

Обнаруженные закономерности, распространенные на испытания с произвольным числом исходов, позволяют построить простейшую математическую модель случайного эксперимента.

Под опытом, или экспериментом, или испытанием понимают осуществление конкретного комплекса условий. Опыт называется случайным, если его результат нельзя точно предсказать до его осуществления.

Например, если опыт заключается в подбрасывании монеты, то результат его -выпадение герба (Г) или решетки (Р) — нельзя предсказать заранее. Точно также при стрельбе по мишени нельзя заранее предсказать, будет ли точное попадание в цель или промах.

Построение математической модели эксперимента начинается с описания множества всевозможных исходов, которые могут произойти в результате каждого испытания.

Пространство называют пространством элементарных исходов, элемент этого пространства — элементарный исход (элементарное событие).

Событием является любое подмножество .

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в условиях данного опыта. Например, выбор одной годной детали из партии годных деталей есть событие достоверное. Так как достоверное событие является совокупностью всех элементарных событий из , то оно совпадает с пространством и также обозначается .

Невозможным называется событие, которое в условиях данного опыта не может произойти. Невозможное событие в пространстве не имеет точек в и обозначается . Например, невозможно поразить одну и ту же мишень три раза при двух выстрелах.

Если ограничиться рассмотрением пространства элементарных исходов, состоящих из не более, чем счетного числа элементов, то построение вероятностной модели по существу состоит в задании распределения вероятностей на пространстве в соответствие с которым каждому элементарному исходу ставится в соответствие число , называемое вероятностью элементарного события .

Различают элементарные и составные события. События, которые невозможно разложить на более простые, называются элементарными. Все остальные события называются составными. Например, пусть событие состоит в том, что сумма очков, выпавших при бросании двух игральных костей, равна шести. Это событие состоит из пяти возможных элементарных событий — выпадение на гранях костей следующих пар цифр: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) соответственно.

Вероятность любого составного события :

Число интерпретируется как относительная частота появления события в статистическом эксперименте.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в условиях одного и того же опыта.

Два или несколько событий называются равновозможными, если нет оснований утверждать, что одно из них имеет больше данных появиться в итоге опыта по сравнению с другими. Например, извлечение туза, валета, короля или дамы из колоды карт.

Событие , которое обязательно произойдет, если не произойдет событие , называется противоположным событию . Например, выигрыш и проигрыш в лотерее — противоположные события.

Если в задаче дана вероятность , тогда чтобы найти вероятность противоположного события, необходимо воспользоваться следующей формулой:

где — вероятность противоположного события.

Говорят, что несколько событий в условиях данного опыта образуют полную группу событий, если в результате опыта обязательно произойдет хотя бы одно из них. Например, события «извлечение белого шара», «извлечение красного шара», «извлечение голубого шара» образуют полную группу событий в опыте извлечения шара из урны, в которой находятся белые, красные и голубые шары.

Пример №1

• Подбрасывается монета и регистрируется сторона монеты, которая обращена к наблюдателю после падения. Найти пространство элементарных исходов.

Решение:

Пусть событие Г = {выпал герб}, Р = {выпала решка}.

Тогда .

Пример №2

• Бросается игральная кость и регистрируется число выпавших очков. Найти пространство элементарных исходов. Найти событие, состоящее в выпадении четного числа очков.

Решение:

Пример №3

• Бросаются две игральные кости. Описать событие, состоящее в том, что сумма очков больше 10.

Решение:

Вероятностное пространство

Пусть — множество элементарных исходов.

Подмножество пространства называется событием , если статистический эксперимент закончился элементарным исходом .

Рассмотрим теоретико-множественные операции в данном пространстве, которые представлены в следующей таблице.

Пусть и — обозначают события выпадения при бросании игральной кости соответственно нечетного числа очков и числа очков, кратного трем. Тогда

и,значит,

Булева алгебра и понятие вероятности

Булевой алгеброй называют такой класс подмножеств , что:

Вероятностью на булевой алгебре подмножеств называется отображение в отрезок [0, 1], обладающее следующими свойствами:

1) .

2) Если события несовместны, то .

3) Если — монотонно убывающая последовательность элементов из и , то . Это может быть записано, как .

Замечание. Вероятность на обладает свойствами:

Пара , состоящая из пространства элементарных исходов и булевой -алгебры его подмножеств, называется измеримым пространством. Только элементы называются событиями.

Тройка , где — вероятность на — алгебре , называется вероятностным пространством.

Элементы комбинаторики

Комбинаторика — раздел математики, изучающий комбинации конечных множеств элементов различной природы.

Пусть все элементы рассматриваемых множеств различны. Будем изучать комбинации этих элементов, различающихся количеством и/или порядком.

Дано конечное число объектов произвольной природы, которые назовем элементами.

Из них по определенному правилу можно образовать некоторые группы. Подсчетом числа таких возможных групп и занимается комбинаторика.

Будем рассматривать такие множества, в которых каждый элемент входит не более одного раза (соединения без повторений).

Перестановкой из элементов называется конечное множество элементов, в котором установлен порядок. Так, например, из букв можно составить следующие перестановки:

Число возможных перестановок из элементов равно:

Множество, для которого указан порядок расположения элементов, называется упорядоченным. Упорядоченные конечные подмножества некоторого множества называются размещениями.

Число всех возможных размещений, содержащих по элементов из множества, содержащего элементов , определяется по формуле:

Всякое конечное подмножество, состоящее из элементов данного множества из элементов, называется сочетанием элементов из , если каждое подмножества из элементов отличается одно от другого хотя бы одним элементом.

Число всех возможных сочетаний обозначается:

Пример №4

• В группе 10 юношей и 7 девушек. Из группы случайным образом отбирается 5 студентов. Найти вероятность того, что среди них окажется 4 девушки?

Решение:

Пусть событие состоит в том, что из 5 случайно отобранных студентов окажутся 4 девушки. Общее число исходов будет равно количеству способов, сколькими из 17 студентов можно отобрать по 5 студентов . Благоприятствовать событию будут те исходы, в которых будет 4 девушки и 1 юноша

Тогда

Пример №5

• Сколько способов существует для выбора команды участников субботника, если известно, что в команде должно быть 5 человек, а в студенческой группе 25 человек?

Решение:

Поскольку порядок следования элементов в подгруппе не имеет значения, значит речь идет о количестве сочетаний

Гипергеометрическое распределение

Большой класс задач, которые интерпретируются в рамках урновой схемы. Типовая задача: Пусть в эксперименте рассматриваются: — черных шаров, — белых шаров.

Отбирается шаров из урны. Какова вероятность, что выборка содержит черных шаров?

Нахождение вероятности в рамках данной схемы осуществляется по следующей формуле:

Пример №6

• Автомат с 30 мягкими игрушками, содержит фигурки зверей и супергероев в пропорции 2:1 соответственно. В случае победы автомат выдает случайным образом две игрушки. Какова вероятность, что это окажутся супергерои?

Решение:

Поскольку в эксперименте есть два ярко выделенных признака, по которым объект можно отнести либо к первому типу (мягкая игрушка), либо ко второму типу (супергерой), речь идет о гипергеометрическом распределении. (количество супергероев), (количество зверей). Тогда общее количество , выбирают игрушек, (среди тех, которые выбрали, оба оказались супергероями). Тогда по формуле гипергеометрического распределения:

Пример №7

• На складе обоев 10 трубок первой партии и 7 трубок второй партии. Продавец случайным образом выбирает 3 трубки, какова вероятность, что все трубки окажутся одной партии?

Решение:

По вопросу задачи можно сделать вывод, что исходами, благоприятствующими наступлению события = { все три трубки окажутся одной партии}, являются следующие: {три трубки первой партии}, {три трубки второй партии}. Тогда вероятность может быть найдена по следующей формуле:

Примеры вероятностных пространств

Рассмотрим в таблице примеры вероятностных пространств.

Разбиение на группы: перестановки, сочетания и размещения с повторениями

Пусть — целые неотрицательные числа, причем . Число способов, которыми можно представить множество из элементов в виде суммы множеств , число элементов которых составляет соответственно равно:

Сочетаниями из элементов по элементов с повторениями называются группы, содержащие элементов, причем каждый элемент принадлежит одному из типов.

Число различных сочетаний из типов по объектов с повторениями равно:

Отображение множества первых натуральных чисел 1, 2, 3, …, в данное множество называется размещением с повторением, составленным из данных элементов (количество типов) по . Количество размещений с повторениями находится по следующей формуле:

Пример №8

• Найдем число различных слов, которые можно получить, переставляя буквы в слове «Математика».

Решение:

Пример №9

• Найти число способов, которыми можно выбрать три буквы из АААТТТГГГЦЦЦ.

Решение:

Пример №10

• Найти количество всевозможных размещений с повторениями из букв по две буквы.

Решение:

Независимость. Условные вероятности

Зная распределения вероятностей, мы в состоянии оптимизировать свое поведение при игре, производя ставки на те события из , которые обладают наибольшей вероятностью.

Дальнейшая оптимизация такой игры обычно осуществляется за счет дополнительной информации, которой может располагать игрок, и учет такой информации осуществляется в терминах так называемой условной вероятности.

Рассмотрим два случайных события и . Пусть известно, что событие наступило, но неизвестно, какое конкретно из элементарных событий , составляющих событие , наступило. Что можно сказать в этом случае о вероятности наступления события ?

Пусть вероятность события — положительная величина. Условной вероятностью события при условии, что произошло событие , называют число:

Теорема умножения. Пусть

Тогда

Теорема.

Тогда

Задача. Студент знает 20 вопросов из 30. Экзаменатор задает три вопроса. Какова вероятность того, что студент ответит на все вопросы?

Два события называются независимыми, если вероятность появления одного из них не влияет на вероятность наступления другого. Говорят, что событие не зависит от события , если , т.к. его вероятность не зависит от того, произошло ли событие В или нет. Независимость двух событий — свойство симметричное.

События и называются независимыми, если

Случайные события называются попарно независимыми, если для любых

Случайные события называются независимыми в совокупности, если для любого подмножества индексов:

Задача (Пример Бернштейна). На плоскость бросают тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, зеленый и синий цвета, а на четвертой грани есть все цвета. Рассмотреть вероятности событий «выпала грань, которая содержит красный цвет», «выпала грань, которая содержит синий цвет», «выпала грань, которая содержит зеленый цвет». Будут ли эти события попарно независимыми и независимыми в совокупности?

Пример №11

• В тире девушке и юноше выдали по одному патрону для попадания в цель и получения плюшевого медведя. Вероятность того, что попадет в цель девушка, равна 0,01. Вероятность того, что попадет юноша, равна 0,95. Каждый сделал по одному выстрелу. Какова вероятность, что мишка будет выигран?

Решение:

Исходы, благоприятствующие наступлению этого события:

{юноша попал и девушка попала},{юноша не попал и девушка попала},{юноша попал и девушка не попала}.

Пример №12

• В вазе стоит 5 роз и 4 гвоздики. Случайным образом выбирается один цветок. После этого выбирается еще один. Какова вероятность того, что второй цветок — роза?

Решение:

Первым выбранным цветком могла оказаться роза, тогда после ее изъятия в вазе останется только 4 розы. Первой могла оказаться гвоздика, тогда после первого изъятия цветка останется 5 роз. Вероятность того, что второй выбранный цветок роза, вычисляется следующим образом:

Формула полной вероятности. Формулы Байеса

Конечное или счетное число случайных событий ,… образует полную группу событий (разбиение) если:

Теорема (Формула полной вероятности). Пусть случайные события образует полную группу событий. Тогда для произвольного события В, рассматриваемого на том же вероятностном пространстве выполняется следующее:

Пусть до опыта об исследуемом случайном явлении имеются гипотезы . После опыта становится известной информация о результатах этого

явления, но не полная. Результаты наблюдений показывают, не какой конкретно элементарный исход произошел, а что наступило некоторое событие . Считая, что до опыта были известны (априорные) вероятности и условные вероятности , необходимо определить апостериорные вероятности . Решение поставленной задачи дают формулы Байеса.

Теорема (Формулы Байеса). Пусть случайные события образуют полную группу событий. Пусть для произвольного события . Тогда для любых значений имеют место формулы:

Пример №13

• Студент выучил 20 билетов из 25 и идет отвечать вторым. Какова вероятность, что он вытянет «удачный билет»?

Решение:

Рассмотрим следующие события:

Тогда

Пример №14

• Соотношение грузовых автомобилей, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе, равно 2:3. Вероятность того, что будет заправляться грузовая автомашина равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,3. К бензоколонке подъехала для заправки автомашина. Найти вероятность того, что это грузовая автомашина.

Решение:

Пусть событие — к бензоколонке подъехала для заправки автомашина; — подъехала грузовая автомашина; — подъехала легковая автомашина. Тогда

Пример №15

• При лечении больному необходимо принять лекарства двух видов одинаковой дозировки. Вероятность того, что больному станет легче от первого лекарства равна 0,9; от второго — 0,97. Больному стало легче. Какова вероятность того, что на его состояние повлияло первое лекарство?

Решение:

Рассмотрим равновероятные гипотезы ={больной принимает первое лекарство}, = {больной принимает второе лекарство}.

Также рассмотрим событие = {больному стало легче}. Условные вероятности:

Поскольку известно событие, которое наступило, необходимо использовать формулы Байеса. Вероятность того, что на состояние больного повлияло первое лекарство, будет найдена по формуле:

Пример №16

• На огороде посажены семена гороха и перца в одинаковых пропорциях. Всхожесть гороха равна 0,06. Всхожесть перца составляет 0,15. Растение проросло, какова вероятность, что это взошел перец?

Решение:

Рассмотрим взаимоисключающие гипотезы ={посажено семя гороха}, ={посажено семя перца}.

Также рассмотрим событие = {всхожесть семени}.

Поскольку известно событие, которое наступило (растение проросло), необходимо использовать формулы Байеса. Вероятность того, что взошел перец, будет найдена по формуле:

Схема Бернулли

Под испытанием следует понимать эксперимент со случайным исходом.

Пусть производятся независимых испытаний. Известно, что в каждом испытании возможны два исхода: либо происходит событие (успех), либо событие не происходит (неудача). Данная схема называется схемой Бернулли. При том предполагается, что вероятность успеха и неудачи не изменяются при переходе от испытания к испытанию.

Задача. Известно, что левши составляют 1% от жителей Земли. Найти вероятность того, что среди 200 человек найдется хотя бы 3 левши.

Наивероятнейшее число появления события в независимых испытаниях — число испытаний, при котором достигается максимальная вероятность в независимых испытаниях:

Пример №17

• Прибор состоит из четырех узлов. Вероятность безотказной работы в течение смены для каждого узла равна 0,85. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что в течение смены откажут ровно два узла.

Решение:

Из условия задачи

Используя формулу Бернулли, получим:

Пример №18

• Определить вероятность того, что в семье, имеющей пять детей, будет три девочки и два мальчика. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

Решение:

Из условия задачи

Используя формулу Бернулли, получим:

Пример №19

• В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что среди детей будет не больше трех девочек.

Решение:

Пример №20

• Вероятность попадания в цель стрелком равна 0,75. Сделано 20 выстрелов. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель.

Решение:

Здесь

Следовательно, применим формулу

Получим:

т.е.

Наивероятнейшее число попаданий в цель равно 15.

Предельные теоремы в схеме Бернулли

Схема независимых испытаний служит вероятностной моделью многих реальных явлений, поэтому представляет значительный интерес задача подсчета вероятности . При больших значениях и есть трудности в получении численного значения этих вероятностей.

Естественным образом возникает задача нахождения асимптотических форм, позволяющих приближенно вычислять вероятности для достаточно больших и малых .

Теорема (Локальная предельная теорема Пуассона). Если , так что то

Теорема (Интегральная предельная теорема Пуассона). В схеме Бернулли для любого натурального числа , любого и для любого числового множества справедливо неравенство:

Теперь рассмотрим асимптотическую формулу для вероятности не близкой к нулю.

Теорема (Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа). Если в схеме Бернулли , то для любого положительного с равномерно по всем таких:

справедливо соотношение:

где — бесконечно малая величина при .

Теорема (Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа). При выполнении условий предыдущей теоремы равномерно выполнено предельное соотношение:

Заметим, что при использовании интегральной формулы Муавра-Лапласа формула обеспечивает достаточную точность уже при .

По полученным теоремам составим таблицу.

Пример №21

• В каждом из 5 опытов событие может появится с вероятностью . Найти вероятность того, что событие появится 3 раза.

Решение:

Применим формулу Бернулли:

Пример №22

• Найти вероятность того, что в 243 испытаниях событие наступит ровно 70 раз, если вероятность появления этого события в каждом испытании.

Решение:

Применим локальную теорему Муавра-Лапласа:

Пример №23

• Фабрика выпускает 70% продукции I сорта. Чему равна вероятность того, что в партии из 1000 изделий число изделий I сорта будет в диапазоне [652, 760]?

Решение:

Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа.

Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события не превысит положительного числа , приближенно равна удвоенной функции Лапласа при .

Относительная частота события определяется равенством , где — число испытаний, в которых наступило, — общее число произвольных испытаний.

Пример №24

• Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,5. Найти число испытаний , при котором с вероятностью 0,7698 можно ожидать, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.

Решение:

Их рассмотренной формулы:

получим, что

Пример №25

• Вероятность выигрыша на турнире по баскетболу равна 0,58. Найти количество турниров , при котором с вероятностью приблизительно равной 0,9 можно ожидать, что относительная частота побед отклонится от вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,1.

Решение:

Случайные величины и их распределения

В азартных играх интерес играющих вызывает не наступление случайного исхода, а связанный с ним выигрыш или проигрыш, т.е. определенная числовая величина, которая соответствует исходу.

Примером случайной величины может быть число очков, выпавших при подбрасывании кубика, число бракованных изделий среди общего числа изделий.

Случайная величина есть число, которое ставится в соответствие каждому возможному исходу эксперимента, т.е. ее можно рассматривать как функцию на пространстве элементарных событий .

Пусть — произвольное вероятностное пространство. Случайной величиной называется функция , такая что для любого выполняется следующее:

Определим функцию распределения случайной величины, которая несет всю информацию, заложенную в случайной величине.

Функцией распределения случайной величины называется функция

такая, что для любого действительного выполняется:

Любая функция распределения обладает следующими свойствами:

1)

2) существуют пределы .

3) функция непрерывна слева, т.е. .

4)

5)

Классификация дискретных случайных величин

Дискретная случайная величина — это случайная величина, которая принимает не более чем счетное число значений.

Пусть ее значения … такие, что ….

Тогда

Совокупность значений и соответствующих вероятностей называется распределением дискретной случайной величины.

Закон распределения такой величины может быть таблично следующим образом:

Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки , где — возможные значения — соответствующие вероятности; и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения (полигоном).

Пример №26

• Найти функцию распределения случайной величины, которая представлена таблицей:

Решение:

Запишем функцию распределения в виде сложной функции:

• Два шахматиста Миша и Коля делают по одному ходу. Вероятность удачного хода Мишей равна 0,7, а для Коли эта вероятность равна 0,76. Найти ряд распределения суммарного числа удачных ходов шахматистами.

Пример №26.7

• Партия изделий содержит 10% нестандартных. Пусть случайная величина — число стандартных изделий в партии из пяти изделий. Требуется составить закон распределения случайной величины и записать функцию распределения.

Решение:

Случайная величина может принимать значения .

Вероятность найдем по формуле Бернулли:

По условию задачи

Запишем закон распределения случайной величины:

Найдем функцию распределения. По определению:

Окончательно получим:

Классификация абсолютно непрерывных случайных величин

Если случайная величина принимает любые значения из некоторых интервалов или отрезков числовой оси, то она называется непрерывной случайной величиной. Примерами такой величины являются дальность полета снаряда, время безотказной работ прибора.

Плотностью распределения вероятностей случайной величины в точке называется предел:

Теорема. Для того, чтобы случайная величина была абсолютно непрерывной, необходимо и достаточно, чтобы:

Распределение случайной величины называется непрерывным, а сама случайная величина — абсолютно непрерывной случайной величиной, если

где — минимальная — алгебра.

Свойства плотности распределения:

Эти три свойства выполняются для любой точки непрерывности функции.

Пример №27

• Плотность вероятности случайных амплитуд боковой качки корабля подчиняется закону Рэлея с параметрами . Найти вероятность того, что значение случайной амплитуды будет находиться в диапазоне 0,1 до 0,6.

Решение:

Пример №28

• Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения:

Требуется найти значение параметра с и записать функцию распределения.

Решение:

Значение параметра с определим, используя свойство плотности распределения:

Функцию распределения определим из условия:

Пример №29

• Дана функция распределения случайной величины. Найти ее плотность распределения.

Решение:

Плотность распределения определим из свойства плотности распределения:

Некоторые законы распределения случайных величин

Пример №30

• Автобусы некоторого маршрута ходят строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 минут.

Решение:

Случайная величина — время прихода пассажира на остановку, распределена равномерно на [0; 5]. Плотность распределения вероятностей имеет вид:

Пассажир будет ожидать автобус менее 3 минут, если он подойдет к остановке в интервале времени от 2 до 5 минут после отправления автобуса.

Пример №31

• Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Вероятность того, что в течение часа абонент позвонит на станцию, равна 0,01 и постоянна для всех абонентов. Найти вероятность того, что на станцию в течение часа позвонят не более двух абонентов.

Решение:

Дискретная случайная величина распределена по закону Пуассона. Воспользуемся формулой Пуассона:

По условию задачи

Пример №32

• Время безотказной работы двигателя автомобиля распределено по показательному закону. Известно, что среднее время наработки двигателя на отказ между техническим обслуживанием — 100 ч. Определить вероятность безотказной работы двигателя в течение 80 ч.

Решение:

По условию задачи математическое ожидание случайной величины равно 100 ч. Следовательно,

Тогда плотность распределения времени безотказной работы двигателя имеет вид:

Функция распределения случайной величины принимает вид:

и определяет вероятность отказа двигателя за время продолжительностью . Тогда вероятность безотказной работы двигателя за это время будет равна:

Функцию называют функцией надежности. Для нашего случая

Основные числовые характеристики случайных величии

Свойства математического ожидания:
1) Математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности наступления этого испытания.

Заметим, что математическое ожидание случайной величины можно трактовать как вероятностное среднее этой величины.

Для любой случайной величины случайная величина называется центрированной случайной величиной или отклонением.

Пусть случайная величина определена на вероятностном пространстве . Для величина , если она определена, называется моментом -го порядка случайной величины

Величина называется абсолютным моментом -го порядка случайной величины

Моменты случайной величины называются центральными моментами случайной величины .

Центральные моменты четного порядка случайной величины характеризуют степень разброса значений относительно ее среднего значения.

Дисперсией случайной величины называется число , число называется среднеквадратическим отклонением случайной величины .

Свойства дисперсии случайной величины:

Формулы вычисления математического ожидания и дисперсии для некоторых случайных величин:

Ковариацией случайной величины и называется число:

Если математическое ожидание случайной величины является характеристикой ее положения, средним значением, около которого группируются значения случайной величины, то дисперсия и среднеквадратического отклонение являются характеристиками рассеяния случайной величины около математического ожидания.

Пример №33

• Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины

Решение:

Пример №34

• Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение непрерывной случайной величины , заданной плотностью распределения:

Решение:

Другие характеристики случайных величин

Кроме рассмотренных выше числовых характеристик случайной величины, в приложениях используются так называемые квантили.

Квантилью уровня случайной величины называется решение уравнения:

Квантили имеют названия нижняя квартиль, медиана, верхняя квартиль. Они делят числовую прямую на четыре части, вероятности попадания в которые равны 0,25.

Пример №35

• Найти моду случайной величины , заданной распределением:

Решение:

Поскольку для моды выполняется равенство:

Наибольшая вероятность достигается при

Пример №36

• Найти эксцесс случайной величины :

Решение:

Найдем начальные моменты случайной величины первых четырех порядков:

Найдем центральные моменты случайной величины первых четырех порядков:

Тогда среднеквадратическое отклонение случайной величины :

Эксцесс случайной величины найдем по формуле:

Свойства нормальной случайной величины:

1) , график функции расположен выше оси .

2) Ось служит асимптотой графика функции , т.к. .

3) Функция имеет один максимум при равный .

4) График функции симметричен относительно прямой .

5) Точки

являются точками перегиба графика функции .

Вероятность попадания случайной величины

на заданный участок :

Случайная величина принимает свое значения в промежутке с вероятностью 0,9973.

Вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине определяется по формуле:

Вероятность отклонения относительной частоты от вероятности наступления события в серии из независимых испытаний выражается формулой:

Пример №37

• Суточное потребление электроэнергии исправной печью является случайной величиной, распределенной по нормальному закону со средним 1000 кВт и среднеквадратичным отклонением 50. Если суточное потребление превысит 1100 кВт, то по инструкции печь отключают и ремонтируют. Найти вероятность ремонта печи.

Решение:

Случайная величина есть суточное потребление электроэнергии печью.

Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал (0; 1100). Для этого воспользуемся формулой:

Тогда вероятность ремонта печи равна 1-0,9544 = 0,0456.

Пример №38

• Рост мальчиков возрастной группы 15 лет есть нормально распределённая случайная величина с параметрами

Какую долю костюмов для мальчиков, имеющих рост от 152 до 158 см, нужно предусмотреть в объёме производства для данной возрастной группы.

Решение:

Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал (152; 158). Для этого воспользуемся формулой:

Пример №39

• Текущая оценка ценной бумаги представляет собой нормально распределенную случайную величину со средним значением 100 у. е. и дисперсией 9. Найти вероятность того, что цена актива (ценной бумаги) будет находиться в пределах от 91 до 109 у. е.

Решение:

Так как

тогда

Неравенство Чебышева

Необходимо рассмотреть условия, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли.

Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли — простейшим.

Теорема (Неравенство Чебышева). Вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа , не меньше чем

Теорема Чебышева. Если последовательность попарно независимых случайных величин … имеет конечное математическое ожидание и дисперсии этих величин равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то среднее арифметическое случайной величины сходится по вероятности к среднему арифметическому их математического ожидания, т.е. если — любое положительное число, то

В этом случае среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины.

Если проводится серия измерений какой-либо физической величины, причем:

1) результат каждого измерения не зависит от результатов остальных (измерения попарно независимы);

2) измерения производятся без систематических ошибок, (имеют одно и то же математическое ожидание);

3) обеспечена определенная точность измерений, (дисперсии их ограничены)

то при достаточно большом числе измерений их среднее арифметическое окажется сколь угодно близким к истинному значению измеряемой величины.

Теорема Бернулли. Если в каждом из независимых опытов вероятность появления события постоянна, то при достаточно большом числе испытаний вероятность того, что модуль отклонения относительной частоты появлений в опытах от будет сколь угодно малым, как угодно близка к 1.

Закон больших чисел не исследует вид предельного закона распределения суммы случайных величин. Этот вопрос рассмотрен в группе теорем, называемых центральной предельной теоремой. Они утверждают, что закон распределения суммы случайных величин, каждая из которых может иметь различные распределения, приближается к нормальному при достаточно большом числе слагаемых. Этим объясняется важность нормального закона для практических приложений.

Центральная предельная теорема. Если — независимые случайные величины с одинаковым законом распределения, математическим ожиданием и дисперсией , то при неограниченном увеличении закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному.

Пример №40

• Найти вероятность того, что для случайной величины :

Решение:

По неравенству Чебышева:

Найдем математическое ожидание случайной величины .

Пример №41

• Найти вероятность того, что для случайной величины :

Решение:

Математическое ожидание случайной величины принимает значение:

Дисперсия равна

Пример №42

• В ящике 20 деталей, из которых 4 бракованные.

Найти вероятность того, что наугад взятая из ящика деталь окажется бракованной.

Решение:

Так как каждая из имеющихся деталей может быть из ящика, то число всех равновозможных элементарных исходов . Число исходов, благоприятствующих появлению бракованной детали, . Если событие означает, что взятая деталь бракованная, то

Пример №43

• Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго.

Найти, вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

Решение:

Вероятности появления каждого из двух независимых событий и соответственно равны и .

— появилось только событие ;

— появилось только событие .

Появление события равносильно появлению события (появилось первое событие и не появилось второе), т.е. .

Появление события равносильно появлению события (появилось второе событие и не появилось первое). .

Таким образом, чтобы найти вероятность появления одного из событий и достаточно найти вероятность появления одного, безразлично какого, из событий и . События и несовместны, поэтому применима теорема сложения:

События и — независимы, следовательно, независимы события и , а также и , поэтому применима теорема умножения:

Подставив эти вероятности, найдем искомую вероятность появления только одного из событий и :

Пример №44

• В вычислительной лаборатории имеется 6 компьютеров одного типа и 4 другого. Вероятность того, что на время выполнения некоторого расчета компьютер I типа не выйдет из строя, равна 0,95; для компьютера другого типа — 0,8. Студент производит расчет на наудачу взятом компьютере.

Найти вероятность того, что до окончания расчета компьютер не выйдет из строя.

Решение:

Обозначим через — компьютер не выйдет из строя до окончания расчета. Возможны следующие предположения (гипотезы) о первоначальном качестве компьютеров; всего компьютеров в лаборатории — 10, из них:

В сумме гипотезы всегда равны 1, проверим:

Условная вероятность того, что студент воспользуется компьютером 1-го типа, равна ; 2-го типа — .

Искомая вероятность того, что до окончания расчета компьютер любого типа не выйдет из строя, равна:

Пример №45

• Два автомата производят одинаковые детали, которые сбрасываются на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 78% деталей отличного качества, а второй — 86%.

Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

Решение:

Обозначим событие — деталь отличного качества. Можно сделать два предположения (гипотезы): — деталь произведена первым автоматом;

— деталь произведена вторым автоматом; .

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым автоматом, равна

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена вторым автоматом, равна

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна

Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Байсса равна

Пример №46

• При измерении роста у 18 студентов установлено, что у трех рост — 188 см; у четверых — 182 см; у пятерых — 180 см; у шестерых 178 см. — рост студента.

Записать закон распределения . Вычислить математическое ожидание , дисперсию и среднеквадратическое отклонение .

Решение:

Вероятность обнаружения среди 18 студентов троих с ростом 188 см:

Аналогично вероятность обнаружения среди 18 студентов четверых с ростом 182 см:

Получаем закон распределения в виде следующей таблицы:

Далее находим:

Пример №47

• Устройство состоит из четырех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента равна 0,2.

Записать закон распределения числа отказавших элементов устройства, найти математическое ожидание и дисперсию.

Решение:

Дискретная случайная величина может принимать значения . Так как то по формуле Бернулли находим:

Математическое ожидание равно