Решение задач по теории вероятности с примерами

Прежде чем изучать готовые решения задач по теории вероятности, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила краткую теорию по предмету «теория вероятностей», после которой подробно решены задачи.

Эта страница подготовлена для школьников и студентов.

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Элементы комбинаторики

К оглавлению…

Пусть дано множество , состоящее из элементов

Перестановками на множестве из элементов называются всякие упорядоченные множества, состоящие из этих элементов. Количество всех перестановок на множестве из элементов обозначается и определяется по формуле

Таким образом, перестановки одинаковы по составу элементов, но различаются порядком их перечисления.

Размещениями на множестве из элементов по элементов называются всякие упорядоченные подмножества, состоящие из элементов. Два различных размещения отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число размещений на множестве из элементов по элементов обозначается и определяется формулой

Сочетаниями из различных элементов но элементов называется подмножество, состоящее из элементов, каждый из которых встречается один раз. Два различных сочетания отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний па множестве из элементов по элементов обозначается и определяется формулой

Если среди элементов одного вида есть , второго вида — и т.д., то, поменяв местами элементы одного вида, получим ту же перестановку. Поэтому число перестановок с повторениями определяется формулой

где

Число размещений на множестве из элементов по элементов с повторениями определяется формулой

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет теория вероятностей и математическая статистика

Задача №1

Имеется множество, состоящее из 5 цифр . Сколько различных пятизначных чисел можно составить из этих цифр?

Решение:

Так как пятизначные числа отличаются только порядком следованием цифр в числе, то количество различных пятизначных чисел будет равно количеству перестановок на множестве из 5 элементов

Задача №2

Студентам нужно сдать пять экзаменов за 20 дней. Сколькими способами можно составит ь расписание экзаменов.

Решение:

Расписание определяется датами (пять дат) проведения экзаменов и последовательностью дисциплин, по которым они проводятся. Поэтому число различных вариантов расписаний экзаменов будет равно количеству размещений па множестве из 20 элементов по 5 элементов

Задача №3

Из команды, состоящей из 10 человек, выбирают 4 кандидатов для эстафеты 4×100 м. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Число различных комбинаций из 10 членов команды для участия в эстафете

4 кандидатов будет равно количеству сочетаний на множестве из 10 элементов по 4 элемента

Задача №4

Имеется слово КОЛОКОЛ. Сколько различных слов можно составить из букв этого слова?

Решение:

В слово буквы входят с повторениями. Поэтому количество различных перестановок определяется по формуле (1.4)

Определении вероятности

К оглавлению…

Пусть проводится случайный эксперимент. Элементарным событием или исходом в случайном эксперименте называется всякая конкретная реализация этого эксперимента. Множество всех исходов эксперимента образует пространство элементарных исходов. Случайным событием называется всякое подмножество пространства элементарных исходов.

Исход называется благоприятствующим событию , если появление исхода влечет появление события .

Пусть случайный эксперимент имеет равновозможных элементарных исходов.

Классическое определение вероятности. Вероятностью события называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию к общему числу всех единственно возможных и равновозможных элементарных исходов опыта

где число исходов, благоприятствующих событию ; число всех равновозможных исходов.

Относительной частотой события называется отношение числа испытаний, в которых наступило событие , к общему числу проведенных испытаний

где — общее число проведенных испытаний; — число испытаний, в которых наступило событие .

При неограниченном увеличении числа испытаний относительная частота события стремится к вероятности наступления события в отдельном испытании. На этом факте основано статистическое определение вероятности, когда вероятности полагаются равными относительным частотам событий при большом .

Пусть имеется некоторая область на плоскости или в пространстве и другая область . В область случайным образом ставится точка. Нужно найти вероятность того, что она попадет в область . Все отборы положения точки в области считаются равновозможными. Геометрической вероятностью называется отношение меры области к мере области

Свойства вероятности

Вероятность невозможного события равна О

Вероятность достоверного события равна 1

Для любого случайного события

Вероятность события противоположного событию определяется по формуле

Задача №5

Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и. помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение:

Обозначим через событие — {набраны две нужные цифры]. Для определения вероятности события будем использовать классическое определение вероятности . Всего можно набрать столько различных цифр по две цифры, сколько может быть составлено размещений из десяти цифр по две . Благоприятствует событию В только одна пара цифр: . Тогда .

Задача №6

На девять вакантных мест претендуют 15 кандидатов, из них 7 женщин, остальные мужчины. Какова вероятность того, что из девяти случайно отобранных кандидатов ровно пять женщин.

Решение:

Пусть событие состоит в том, что из 9 отобранных кандидатов 5 женщин. Для решения используем классическое определение вероятности. Общее число исходов будет равно числу способов, которыми можно выбрать 9 человек из 15 кандидатов

Число благоприятствующих исходов

Задача №7

В квадрат со стороной случайным образом ставится точка. Какова вероятность того, что эта точка попадет в круг, вписанный в этот квадрат.

Решение:

Пусть событие состоит в том, что {точка попадет в круг}. Для определения вероятности события используем геометрическую вероятность

Теоремы сложения и умножения вероятностей

К оглавлению…

Теорема сложения. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

Если события и несовместные, то вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

Суммой двух событий называется событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих либо первому событию, либо второму, либо обоим событиям.

Два события называются несовместными, если они не имеют общих исходов.

Произведением двух событий называется событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих и первому, и второму событиям.

Два события называются независимыми, если вероятность появления одного события не зависит от того, произошло или не произошло второе событие.

Условной вероятностью называют вероятность события , вычисленную в предположении, что событие произошло.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного события на условную вероятность второго события при условии, что произошло первое событие

Если события и независимые, то вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей этих событий

Задача №8

Найти вероятность того, что случайно взятое двузначное число будет кратным двум или пяти.

Решение:

Пусть событие состоит в том, что {случайно взятое число будет кратным двум или пяти}; — событие, состоящее в том, что {число, кратное двум}; — событие, состоящее в том, что {число, кратное пяти}. События и являются совместными, так как есть числа, которые одновременно делятся на два и пять. Так как , то . Вычислим вероятности этих событий, воспользовавшись классическим определением вероятности

Тогда

Задача №9

Для подготовки к экзамену студентам дано 60 вопросов. Студент, идя на экзамен, выучил 50 вопросов. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для сдачи экзамена студенту нужно ответить на два вопроса из двух заданных.

Решение:

Пусть событие состоит в том, что студент сдаст экзамен. Событие = {студент ответил на первый вопрос}, = {студент ответил на второй вопрос}. Тогда . События и — зависимые. Применяя теорему умножения вероятностей, мы получаем

Найдем вероятности событий, воспользовавшись классическим определением вероятности

Задача №10

Стрелок делает независимо друг от друга два выстрела по мишеням. Вероятность попадания в мишень при первом выстреле равна 0,7, при втором — 0.9. Найти вероятность того, что при двух выстрелах будет только одно попадание в мишень.

Решение:

Пусть событие состоит в том, что {будет только одно попадание при двух выстрелах}, событие состоит в том, что {будет попадание при первом выстреле}, событие = {попадание при втором выстреле}.

Тогда

Формула полной вероятности. Формулы Баиеса

К оглавлению…

Пусть событие может произойти вместе с одним из событий . События образуют полную группу попарно несовместных событий, если они: 1) попарно несовместны; ; 2) сумма событий является достоверным событием, то есть .

Теорема 4.1. Пусть событие может произойти совместно с одним из событий которые образуют полную группу попарно несовместных событий. Тогда вероятность события определяется по формуле полной вероятности

События называются гипотезами.

Теорема 4.2. Пусть событие может произойти совместно с одной из гипотез Если событие произошло, то вероятности появления гипотез вычисляются по формулам Байеса

Задача №11

Электролампы изготавливаются на трех заводах. Первый завод изготавливает 45% общего количества электроламп, второй — 40%, третий — 15%. Продукция первого завода содержит 70% стандартных электроламп, второго — 80%, третьего — 81%. Найти вероятность того, что случайно взятая электролампа будет стандартной.

Решение:

Пусть событие состоит в том. что {случайно взятая лампа стандартна). Введем гипотезы [лампа произведена на заводе]. Вероятность события определяется по формуле полной вероятности

Найдем вероятности гипотез:

Условные вероятности будут равны:

Подставив в формулу полной вероятности, получим

Задача №12

В пирамиде 10 винтовок, из них 6 снабжены оптическим прицелом, а остальные винговки — с обыкновенным прицелом. Вероятность попадания в цель из винтовки с оптическим прицелом равна 0,9; из обыкновенной винтовки — 0,7. Стрелок поразил цель из случайно взятой винтовки. Какова вероятность того, что он стрелял из обычной винтовки.

Решение:

Пусть событие состоит в том, что стрелок поразил цель, событие = {стрелял из обыкновенной винтовки}, событие = {из винтовки с оптическим прицелом}.

Из условия задачи

Схема повторных независимых испытаний (схема Бернулли)

К оглавлению…

Схемой Бернулли называется последовательность из независимых испытаний, в каждом из которых возможны только два исхода: событие может наступить или не наступить, и вероятность появления события в каждом испытании постоянна.

Формула Бернулли. Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , событие наступит ровно к раз, равна

где

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , событие наступит ровно раз, приближенно равна 1

где

Значения функции находятся по таблице по вычисленным значениям . Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна событие наступит от до раз, приближенно равна

где

Значения функции находят по таблице по вычисленным значениям . Формула Пуассона. Если в схеме Бернулли число испытаний велико, а вероятность появления события мала, то вероятность того, что в независимых испытаниях событие наступит ровно раз приближенно равна

Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности.

Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , абсолютная величина отклонения относительной частоты от вероятности появления события не превосходит положительного числа , приближенно равна

Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях

К оглавлению…

Число называют наивероятнейшим, если вероятность того, что в независимых испытаниях событие наступит ровно раз не меньше вероятностей остальных возможных значений .

Наивероятнейшее число определяется из неравенства

причем:

а) если число дробное, то существует одно наивероятнейшее число; , где — целая часть числа ,

б) сели число — целое, то существуют два наивероятнейших числа и ;

в) если — целое, то .

Задача №13

Прибор состоит из четырех узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла равна 0,8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что выйдут из строя росно два узла.

Решение:

Для решения задачи используем формулу Бернулли.

Задача №14

Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена 75 раз.

Решение:

Решаем задачу с использованием локальной теоремы Лапласа.

Задача №15

В гараже имеется 100 автомашин. Вероятность того, что в течение рабочего дня машина находится вне гаража, равна 0,8. Найти вероятность того, что вне гаража будут находиться от 70 до 85 машин.

Решение:

Для решения используем интегральную теорему Муавра-Лапласа. По условию задачи

тогда

Функция распределения и плотность распределения случайных величин

К оглавлению…

Краткие теоретические сведения

Случайной величиной называется действительная функция , определенная на пространстве элементарных исходов и такая, что при любых действительных .v определена вероятность события .

Функцией распределения вероятностей называется функция , равная вероятности того, что

Функция распределения обладает следующими свойствами:

— неубывающая функция.
— непрерывная слева, т.е. .
Вероятность попадания в интервал определяется формулой

называется дискретной, если она принимает конечное или счетное количество значений.

называется непрерывной на , если она принимает все значения из этого интервала.

Законом распределения дискретной называется соответствие, но которому каждому возможному значению ставится в соответствие вероятность его появления . Закон распределения дискретной записывается в виде таблицы.

Плотностью распределения называется функция , удовлетворяющая условию

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

Чтобы задать закон распределения непрерывной , нужно задать либо плотность распределения, либо функцию распределения.

Задача №16

Закон распределения дискретной имеет вид

Найти функцию распределения.

Решение:

По определению . Тогда

Задача №17

Непрерывная задана плотностью распределения

Нужно определить значение параметра и найти .

Решение:

Для определения параметра воспользуемся свойством плотности распределения

Функцию распределения определим из соотношения .

Если , то .
Если . то
Если , то

Таким образом,

Задача №18

Дана функция распределения

Требуется найти плотность распределения и вероятность попадания в интервал

Решение:

Вероятность попадания в интервал определяется по формуле

Если известна функция распределения, то

Числовые характеристики случайных величин

К оглавлению…

Пусть дискретная имеет следующий закон распределения

Математическим ожиданием называется сумма произведений всех возможных значений на соответствующие вероятности

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

Математическое ожидание характеризует среднее значение .

Для непрерывной математическое ожидание вычисляется по формуле

Начальным моментом -го порядка называется математическое ожидание , т.е. . Начальные моменты -го порядка для дискретных и непрерывных вычисляются соответственно по формулам

Центральным моментом -го порядка называется математическое ожидание

Для дискретных и непрерывных центральный момент -го порядка вычисляется по формулам:

Дисперсией называется центральный момент второго порядка

Дисперсия характеризует степень разброса значений относительно математического ожидания. Дисперсия обладает следующими свойствами:

Дисперсия равна разности математического ожидания квадрата и квадрата математического ожидания

Средним квадратическим ожиданием называется корень квадратный из дисперсии

Задача №19

Дискретная задана законом распределения

Вычислить

Решение:

Дисперсию вычислим по формуле

Задача №20

Непрерывная задана функцией распределения

Вычислить

Решение:

Найдем плотность распределения

Вычислим математическое ожидание

Дисперсия определяется по формуле

Законы распределения дискретных случайных величин

К оглавлению…

Дискретная называется распределенной по биномиальному закону, если она принимает конечное число значений с вероятностями, которые определяются по формуле Бернулли

Для дискретной , распределенной по биномиальному закону, справедливы следующие соотношения

Дискретная называется распределенной по закону Пуассона, если она принимает счетное число значений с вероятностями, которые определяются по формуле Пуассона

Для дискретной , распределенной по закону Пуассона справедливы соотношения

Задача №21

О сигнализации о пожаре установлено три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при пожаре сработает каждое устройство постоянна и равна 0,9. равна количеству срабатывающих устройств при пожаре. Требуется составить закон распределения и вычислить .

Решение:

принимает значение 0; 1; 2; 3. Определим вероятности по формуле (8.1).

Проверка:

Закон распределения имеет вид

Вычислим

Законы распределения непрерывных случайных величин

К оглавлению…

Непрерывная называется равномерно распределенной на , если плотность распределения вероятностей имеет вид

Для . равномерно распределенной на , справедливы следующие соотношения:

Непрерывная называется распределенной но показательному закону, если плотность распределения вероятностей имеет вид

Для , распределенной по показательному закону, справедливы следующие соотношения

Функция

определяет вероятность отказа за время .

Вероятность безотказной работы за это время будет равна

Функцию называют функцией надежности.

Непрерывная называется распределенной по нормальному закону, если плотность распределения вероятностей имеет вид

Для нормально распределенной справедливы следующие соотношения:

Задача №22

распределена равномерно на (3;5). Требуется найти:

Решение:

На основании формул (9.1) и (9.2) имеем

Задача №23

распределенная по показательному закону, имеет функцию распределения вида

Вычислить

Решение:

Согласно формуле (9.4) . Тогда

Задача №24

распределена по нормальному закону с параметрами

Требуется: 1) записать и ; 2) вычислить

Решение:

Согласно формулам (9.5) и (9.6) имеем

Предельные теоремы теории вероятностей

К оглавлению…

Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение от ее математического ожидания по модулю меньше данного числа не менее, чем

Теорема Чебышева. Пусть даны , которые попарно независимы, имеют математические ожидания и дисперсии, ограниченные одним и тем же числом . Тогда для любого числа выполняется неравенство

Если имеют одно и то же математическое ожидание , то неравенство (10.2) примет вид

Переходя в неравенство (10.3) к пределу при , получим

В этом случае говорят, что при последовательность сходится по вероятности к своему математическому ожиданию .

Теорема Бернулли. Если в каждом из независимых испытаний вероятность появления события постоянна, то вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности по модулю не превзойдет положительного числа больше чем разность

Переходя в неравенство (10.5) к пределу при , получим

При большом числе испытаний относительная частота события сходится по вероятности к вероятности появления события в отдельном испытании.

Центральная предельная теорема Ляпунова. Пусть последовательность независимых для каждой из которых существует математическое ожидание и дисперсия , центральный момент третьего порядка

и выполняется условие Ляпунова

Тогда при распределение стремится к нормальному закону с функцией распределения

Задача №25

Средняя длина детали равна 50 см, а дисперсия длины равна 0,1. Оценить вероятность того, что изготовленная деталь окажется по своей длине не менее 49,5 см. и не более 50,5 см.

Решение:

По условию задачи

Так как непрерывна, то

Применяя неравенство (10.1), получим

Задача №26

При штамповке деталей брак составляет 3%. Найти вероятность того, что при проверке партии из 1000 деталей выявится отклонение от установленного процента брака меньше, чем на 1%.

Решение:

По условию задачи

Воспользуемся неравенством (10.5)

Задача №27

Складываются 48 попарно независимых , распределенных по равномерному закону на интервале (0; 1). Записать приближенно функцию распределения суммы этих . Найти вероятность того, что эта сумма будет заключена в пределах от 26 до 28.

Решение:

Обозначим

Тогда

и функция распределения имеет вид

Найдем вероятность попадания в интервал (26; 28).

Двумерные случайные величины. Законы распределения. Условные законы распределения

К оглавлению…

Двумерной называется совокупность двух случайных величин , описывающих тот или иной случайный эксперимент. и называются составляющими.

Если составляющие двумерной являются дискретными . то двумерная называется дискретной, если составляющие являются непрерывными . то двумерная называется непрерывной. Если одна из составляющих является дискретной, а вторая — непрерывной, то двумерная величина называется сметанной.

Законом распределения дискретной двумерной называется соответствие между всевозможными парами и вероятностями их появления . Закон распределения дискретных двумерных задается в виде таблицы

Если известен закон распределения двумерной дискретной , то законы распределения составляющих находятся следующим образом

Функцией распределения двумерной называется вероятность события

Функция распределения вероятностей двумерной обладает следующими свойствами:

, где — функции распределения составляющих и .
Функция распределения является не убывающей функцией по каждому из своих аргументов.

Функция называется плотностью распределения вероятностей двумерной , если она удовлетворяет соотношению

Плотность распределения вероятностей двумерной обладает следующими свойствами:

Чтобы задать закон распределения непрерывной двумерной , достаточно задать либо функцию распределения, либо плотность распределения.

Условным законом распределения называется закон распределения одной из составляющих при условии, что вторая составляющая приняла определенное значение. Для дискретных двумерных условные вероятности определяются по формулам:

Условные плотности распределения находятся по формулам:

где — плотности распределения составляющих .

Составляющие и двумерной называются независимыми, если

Задача №28

Двумерная дискретная задана законом распределения

Требуется найти законы распределения составляющих и условный закон распределения составляющей при условии, что = 1.

Решение:

Законы распределения составляющих и найдем с использованием формул (11.1).

Тогда закон распределения составляющих имеет вид

Аналогично находится закон распределения составляющей .

Условный закон распределения составляющей при условии, что = 1, найдем с использованием формул (11.3).

Задача №29

Дана функция распределении двумерной

Требуется найти плотность распределения и условные плотности распределения

Решение:

Плотность распределения найдем, используя свойство 3 плотности распределения

Плотности распределения составляющих найдем, используя свойство 5 плотности распределения

Условные плотности распределения составляющих найдем с использованием формул (11.4)

Так как условные плотности распределения вероятностей совпадают с плотностями распределения составляющих, то составляющие являются независимыми .

Числовые характеристики двумерных случайных величин. Коэффициент корреляции

К оглавлению…

Начальным моментом порядка двумерной называется математическое ожидание произведения

Для непрерывных

для дискретных

Центральным моментом порядка двумерной называется математическое ожидание произведения

Для непрерывной двумерной центральный момент порядка вычисляется по формуле

для дискретных

Корреляционным моментом двумерной называется центральный момент . Для непрерывной корреляционный момент вычисляется по формуле

для дискретных

Корреляционный момент характеризует тесноту связи между составляющими и . Коэффициентом корреляции и называется отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений составляющих

Коэффициент корреляции обладает следующими свойствами:

Если зависимость между и отсутствует, то . Если , то зависимость между и линейная. и , для которых называются некоррелированными. Очевидно, что независимые не коррелированы. Обратное утверждение верно лишь при условии нормального распределения двумерной . Коэффициент корреляции вычисляется по формуле

Задача №30

Двумерная задана таблицей

Вычислить коэффициент корреляции.

Решение:

Составим законы распределения составляющих

Вычислим математические ожидания и средние квадратические отклонения составляющих

Вычислим коэффициент корреляции по формуле (12.9)

Составляющие и являются некоррелированными . Очевидно, что независимые не коррелированы. Обратное утверждение верно лишь при условии нормального распределения двумерной .

Задача №31

Непрерывная двумерная задана плотностью распределения

Найти коэффициент корреляции.

Решение:

Найдем математические ожидания составляющих

Найдем дисперсии

Вычислим корреляционный момент

Коэффициент корреляции вычислим по формуле (12.8)

Статистическое распределение. Эмпирическая функция распределения и ее свойства. Полигон и гистограмма. Числовые характеристики выборки

К оглавлению…

Генеральной совокупностью называется совокупность элементов, объединенных по некоторому признаку, из которых производится выборка.

Выборочной совокупностью или выборкой называется совокупность объектов, случайно выбранных для исследования.

Объемом выборки называется количество объектов, входящих в выборку.

Пусть из совокупности извлечена выборка объемом п.

Выборочная совокупность, расположенная по возрастанию или убыванию значения признака, называется вариационным рядом, а сс объекты — вариантами.

Если значения вариант совпадают или отличаются незначительно, то их можно сгруппировать, придав частоту каждой варианте.

В результате получим сгруппированный вариационный ряд.

Частостью или относительной частотой варианты называется отношение частоты варианты к объему выборки

Статистическим распределением называется соответствие, по которому каждому возможному значению варианты ставится в соответствие частота (относительная частота) се появления. Статистическое распределение записывается в виде таблицы, в которой в первой строке перечислены все значения вариант, а во второй частоты или частости, которые соответствуют вариантам

Для построения интервального статистического ряда разбивают множество вариант на полуинтервалы . т.е. производят группировку. Рекомендуется число интервалов определять по формуле

Длина интервала равна

Для наглядности используются графические изображения вариционных рядов в виде полигона и гистограммы.

Полигоном частот или частостей называется ломаная линия, соединяющая точки с координатами

Гистограммой частот или частостей называют ступенчатую фигуру, составленную из прямоугольников с основанием и высотой

Эмпирической функцией распределения называют функцию , определяющую для каждого значения относительную частоту события :

где — число вариант (с учетом их кратностей) меньших — объем выборки. Эмпирическая функция распределения обладает следующими свойствами:

Значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0; l],
Эмпирическая функция является неубывающей функцией.
Если наименьшее значение варианты, а наибольшее значение варианты, то

Для описания выборки применяются такие числовые характеристики, как выборочная средняя, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение.

Выборочной средней называется среднее значение варианты, вычисленное по данным выборки

где — частота варианты .

Выборочной дисперсией называется дисперсия, вычисленная по данным выборки

Выборочная дисперсия равна разности между средним значением квадрата вариант и квадратом выборочного среднего

Выборочным средним квадратическим отклонением называется корень квадратный из выборочной дисперсии

Задача №32

По данному распределению выборки найти эмпирическую функцию распределения и построить полигон частот

Решение:

Определим объем выборки

Определим относительные частоты вариант

Запишем эмпирическую функцию распределения

Построим полигон частот

Задача №33

Построить гистограмму частостей по данным выборки объема 100 и вычислить числовые характеристики выборки.

Решение:

Вычислим относительные частоты по формуле

и найдем высоты прямоугольников по формуле

Вычисления сведем в таблицу

Построим гистограмму частостей

Вычислим числовые характеристики выборки

Вычислим

Точенные оценки неизвестных параметров распределения

К оглавлению…

Пусть изучается с законом распределения, зависящим от одного или нескольких параметров. Требуется по выборке, полученной в результате испытаний оценить неизвестный параметр .

Точечной оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называется его приближенное значение, зависящее от данных выборки

Точечная оценка должна удовлетворять следующим требованиям:

оценка должна быть несмещенной, т.е.

оценка должна быть состоятельной, т.е. она должна сходиться по вероятности к оцениваемому параметру: для

оценка должна быть эффективной: если неизвестный параметр имеет несколько оценок, то в качестве оценки нужно брать оценку с наименьшей дисперсией.

Выборочная средняя является несмещенной и состоятельной оценкой для математического ожидания генеральной совокупности.

Несмещенной и состоятельной оценкой для дисперсии генеральной совокупности является исправленная выборочная дисперсия

Исправленным средним квадратическим отклонением называется корень квадратный из исправленной дисперсии

Для вычисления и разработано много методов. Одним из наиболее распространенных методов является метод произведений. При вычислении выборочного среднего и выборочной дисперсии поступают следующим образом: выбираем «ложный нуль» . В качестве «ложного нуля» берется варианта стоящая посредине вариационного ряда или варианта, имеющая максимальную частоту;

переходим к условным вариантам по формулам , где — шаг разбиения;

вычисляем условные моменты 1 -ого и 2-ого порядков

вычисляем выборочное среднее и выборочную дисперсию

Задача №34

Методом произведений вычислить выборочную среднюю и выборочную дисперсию по данным выборки

Решение:

В качестве «ложного нуля» возьмем варианту 75, = 75. Перейдем к условным вариантам по формуле . Результаты вычислений сведем в таблицу.

Результаты вычислений можно проверить равенством

Равенство выполняется, следовательно, таблица заполнена верно. Вычислим условные моменты

Вычислим выборочную среднюю и выборочную дисперсию

Интервальные оценки

К оглавлению…

Пусть — функция выборки. Это есть случайная величина, называемая статистикой.

Интервальной называют оценку, которая определяется случайным интервалом

В качестве интервальной оценки используются доверительные интервалы.

Доверительным интервалом для неизвестного параметра , называется случайный интервал , который с заданной вероятностью (надежностью) накрывает неизвестный параметр, .

Если исследуемая распределена по нормальному закону с известным средним квадратическим отклонением , то доверительный интервал для математического ожидания определяется неравенством

где — точность оценки, — объем выборки, — значение аргумента функции Лапласа, при котором

Если среднее квадратическое отклонение неизвестно, то доверительный интервал для математического ожидания исследуемой определяется неравенством

Значения находят по таблице приложения 5 по заданным и . Число

называют точностью оценки математического ожидания.

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения исследуемой определяется неравенством

Значения и находятся по таблице приложения 6 по заданным и .

Задача №35

Найти доверительный интервал для оценки с надежностью неизвестного математического ожидания нормально распределенного признака , если известно , а по данным выборки объемом 100 вычислено .

Решение:

Так как известно среднее квадратическое отклонение то для определения доверительного интервала для математического ожидания воспользуемся неравенством (3.1). Определим значение

Подставим в неравенство (3.1)

Задача №36

Для исследования нормально распределенной извлечена выборка объемом 25.

Найти с надежностью доверительные интервалы для математического ожидания и среднего кадратического отклонения исследуемой .

Решение:

По данным выборки методом произведений определим и

Проверка:

Для определения доверительного интервала для математического ожидания воспользуемся неравенством (3.2);

Для определения доверительного интервала для среднего квадратического отклонения воспользуемся неравенством (3.3):

Статистическая проверка гипотез. Критерии согласия Пирсона и Колмогорова

К оглавлению…

Статистической называется гипотеза о предполагаемом виде неизвестного распределения или о значениях параметров известного вида распределения. Пулевой гипотезой называется выдвинутая гипотеза. Конкурирующей (альтернативной) называется гипотеза, которая противоречит нулевой гипотезе. При проверке статистической гипотезы могут быть допущены ошибки двух родов. Ошибка первого рода — будет отклонена верная гипотеза. Ошибка второго рода — будет принята неверная гипотеза.

Вероятность допустить ошибку первого рода называется уровнем значимости. Для проверки статистической гипотезы используют специальную статистику, которая называется критерием.

По рассчитанному значению критерия определяют принимать или отвергать нулевую гипотезу.

Критерий согласия — это проверка гипотезы о виде распределения .

Основными критериями согласия являются критерии Пирсона и Колмохорова. При проверке гипотезы с помощью критерия Пирсона поступают следующим образом:

из генеральной совокупности извлекают выборку объемом ; по выборке вычисляют и :

переходят к нормированной по формуле

находят вероятности попадания в интервал

вычисляют теоретические частоты

вычисляют статистику Пирсона

из таблицы критических точек распределения Пирсона (приложение 3) по уровню значимости и числу степеней свободы

определяют , где — число интервалов в вариационном ряде, — количество параметров закона распределения, которые оцениваются по выборке (для нормального закона =2);

• если то нет необходимости отвергать нулевую гипотезу, т.е. эмпирические и теоретические частоты согласуются;

• если то гипотеза отвергается, т.е. расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами существенно;

• если исследуется дискретная , распределенная по нормальному закону, то теоретические вероятности определяются по формуле

где — шаг,

Задача №37

Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки

Решение:

По данным выборки методом произведений вычислим и .

Проверка:

Вычислим вероятности попадания в интервалы

Вычислим

Определим число степеней свободы

По уровню значимости и числу степеней свободы найдем критическую точку правосторонней критической области распределения Пирсона (приложение 3)

Так как , гипотеза о нормальном распределении совокупности отвергается.

Критерий согласия Колмогорова применяется для проверки гипотезы о законе распределения непрерывной . Для статистической проверки гипотезы с помощью критерия согласия Колмогорова поступают следующим образом:

выбирают из генеральной совокупности выборку;
по выборке составляют эмпирическую функцию распределения ;
записывают теоретическую функцию распределения ;
вычисляют величину

вычисляют статистику Колмогорова

где объем выборки. имеет функцию распределения

которая называется функцией Колмогорова;

находим по уровню значимости (приложение 7);

если , то гипотеза о законе распределения отклоняется, если , то нет оснований отклонять нулевую гипотезу.

Рассмотрим применение критерия Колмогорова на примере.

Задача №38

Проверить по критерию Колмогорова гипотезу о нормальном распределении но данным выборки при уровне значимости .

Решение:

Вычислим выборочную среднюю и исправленное среднее квадратическое отклонение .

Тогда теоретическая функция распределения в предположении, что распределена по нормальному закону, имеет вид

где — функция Лапласа.

Эмпирическую функцию распределения определим по формуле

где сумма частот вариант меньших .

Вычислим величину

Вычислим статистику Колмогорова

По уровню значимости найдем по таблице (приложение 7) . Т.к. , то нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении.

Выборочный коэффициент корреляции и его свойства

К оглавлению…

Проверка гипотезы о равенстве нулю коэффициента корреляции Краткие теоретические сведения

Для вычисления выборочного коэффициента корреляции данные представляются в виде корреляционной таблицы. Корреляционная таблица представляет собой таблицу следующего вида: в первой строке записаны наблюдаемые значения , в первом столбце записаны наблюдаемые значения , на пересечении -той строки и -го столбца записывается частота появления пары . В последнем столбце записывается частота появления варианты , в последней строке — частота появления варианты на пересечении последней строки и последнего столбца записывается суммарное количество наблюдений. Корреляционная таблица имеет вид

Основной оценкой тесноты связи между случайными величинами и служит выборочный коэффициент корреляции который определяется так

где — среднее арифметическое произведений значений .

Свойства выборочного коэффициента корреляции аналогичны свойствам коэффициента корреляции между :

;
если переменные и умножить на одно и то же число, то коэффициент корреляции не изменится;
если , то корреляционная связь между значениями и представляет собой линейную функциональную зависимость.

Для вычисления выборочного коэффициента корреляции применяется формула

Если , то между наблюдаемыми значениями и корреляционная зависимость отсутствует, чем ближе к единице приближается модуль коэффициента корреляции, тем теснее связь между переменными и . Т.к. выборочный коэффициент корреляции вычисляется по данным выборки, то в отличие от коэффициента корреляции генеральной совокупности является случайной величиной. Если то возникает вопрос, объясняется ли это действительно существующей связью между и или вызвано случайными факторами. Для выяснения этого вопроса проверяется гипотеза о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности.

Для того, чтобы при уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной двумерной нормальной совокупности, вычисляют статистику

и по таблице критических точек распределения Стьюдента (приложение 4) по уровню значимости а и числу степеней свободы находят

критическую точку двусторонней критической области. Если

нет оснований отвергать нулевую гипотезу, т.е. ; если

нулевую гипотезу отвергают, т.е. . Рассмотрим вычисление выборочною коэффициента корреляции и проверку гипотезы о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности на примере.

Задача №39

По данной корреляционной таблице вычислить выборочный коэффициент корреляции и при уровне значимости проверить гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности.

Решение:

Вычислим компоненты, входящие в формулу (5.1), для вычисления

Вычислим выборочный коэффициент корреляции

Проверим гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности. Вычислим

По таблице критических точек распределения Стыодента (приложение 4) по уровню значимости и числу степеней свободы найдем

Так

то гипотеза о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности отвергается, т.е. выбранный коэффициент корреляции значим.

Кстати готовые задачи на продажу по предмету теория вероятности тут.

Линейная регрессия. Определение параметров линейной регрессии

К оглавлению…

Если обе линии регрессии на и на являются прямыми, то в этом случае корреляцию называют линейной. Выборочное уравнение прямой линии регрессии на имеет вид

Уравнение прямой регрессии на имеет вид

Здесь — значения — их выборочные средние.

Коэффициент уравнений (6.1)-(6.2) можно также определить по формулам, полученным методом наименьших квадратов. Например, если уравнение (6.1) взять в виде , то параметры и линейной регрессии имеют вид: