Теория автоматического управления задачи с решением

Теория автоматического управления задачи с решением

На этой странице я собрала теорию и практику, готовые задачи и подробные решения по предмету теория автоматического управления, чтобы вы смогли освежить знания.

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Теория автоматического управления

Теория автоматического управления — это научная дисциплина, которая возникла сравнительно недавно, хотя отдельные устройства, работавшие без участия человека, известны с глубокой древности.

Появившиеся в результате первого промышленного переворота в Европе в конце XVIII века регуляторы (1765 г. — регулятор уровня И.И. Ползунова, а в 1784 г.-регулятор скорости паровой машины Д. Уатта) были предназначены стабилизировать работу технических устройств, на которые действуют внешние факторы из окружающей среды. Очень эффективным способом оказалось использование отрицательной обратной связи, которую в XIX веке которую в XIX веке вводили еще полуинтуитивно, и без соответствующих расчетов это не всегда давало нужный эффект. Часто вместо предполагаемого улучшения работы применение регуляторов с отрицательной обратной связью приводило к неожиданным техническим явлениям: неустойчивости, генерации новых движений.

Для изучения этих явлений потребовались соответствующие методы, которые не только могли бы объяснить необычные свойства, но и позволили усмотреть общие закономерности поведения регуляторов. Их основы были изложены в появившихся в конце XIX века первых работах «о регуляторах» английского математика-механика Д. Максвелла (1866 г.) и русского механика И.А. Вышнеградского (1876, 1877 гг.).

Активное развитие новой теории началось с появлением электротехнических систем, в частности электромашинных, и систем радиоавтоматики. До сих пор классическим примером систем автоматического управления является система регулирования скорости электрической машины. Впоследствии оказалось, что методы теории автоматического управления позволяют объяснить работу объектов различной физической природы: в механике, энергетике, радио- и электротехнике, т. е. везде, где можно усмотреть обратную связь. Все методы объединяет одна общая задача: обеспечить необходимую точность и удовлетворительное качество переходных процессов. Таким образом, теория автоматического управления является по существу теорией процессов в системах с отрицательной обратной связью.

К настоящему времени теория автоматического управления является сложившейся научной дисциплиной со своим аналитическим аппаратом, в развитие которого большой вклад внесли известные русские ученые-математики A.M. Ляпунов, Е.А. Барбашин, Н.Н. Красовский и др.

Предметом изучения теории автоматического управления являются свойства, методы расчета и конструирования систем автоматики с обратными связями. Как и любая теория, она имеет дело не с реальными инженерными конструкциями, а с их моделями. Они выражаются, как правило, математическим языком, т.е. имеют вид определенных уравнений. Понятно после этого, что все выводы и рекомендации теории автоматического управления справедливы только при полном соответствии моделей и реальных устройств, но этого никогда не бывает на практике.

Результатом неполноты модели является различие в поведении теоретической и реальной систем, что обычно обнаруживается при наладке последней. Таким образом, этап настройки есть неизбежный шаг к получению работоспособной системы автоматического управления. Иногда при большом несоответствии математической модели свойствам реального технического устройства инженеру-проектировщику приходится ее снова уточнять и пересчитывать результат конструирования.

При нынешнем уровне развития науки и техники для составления моделей обычно используется аппарат дифференциальных уравнений, на языке которых сформулированы основные законы механики и физики макромира.

Итак, предметом теории автоматического управления являются свойства моделей систем автоматики, которые представлены дифференциальными уравнениями, а также их различными преобразованиями и интерпретациями.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет теория автоматического управления

Основные понятия и определения

Объект управления — техническое устройство (часть окружающего мира) или процесс, поведение которого нас не устраива» по каким-либо причинам.

Управление — процесс воздействия на объект управления с целью изменения его поведения нужным образом.

Регулирование — частный случай управления, целью которого является приведение объекта к заданному состоянию. Автоматический процесс — процесс, который совершается безучастия человека. Система — совокупность элементов, объединенных общим режимом функционирования. При этом элементом можно называть любое техническое устройство.

Динамическая система — система, процессы в которой изменяются с течением времени в силу собственных свойств.

Система автоматического управления (САУ) — динамическая система, которая работает без участия человека.

Теория автоматического управления (ТАУ) — научно-техническая дисциплина, в рамках которой изучаются свойства систем автоматического управления, разрабатываются принципы расчета и построения таких систем. Основными элементами САУ (рис. 1.1) являются: — объект управления (ОУ);

Решение задач по теории автоматического управления

-управляющее устройство или регулятор (Р), который сравнивает выход управляемого объекта с желаемым и в зависимости от результата вырабатывает управляющий сигнал на объект.

Рассмотрим подробнее объект управления (рис. 1.2) и выделим характеризующие его переменные. К таким переменным относятся:

  • управляющие воздействия Решение задач по теории автоматического управления — это такие переменные, с помощью которых можно влиять на поведение объекта;
  • выходные переменные Решение задач по теории автоматического управления-доступные измерению величины, которые отражают реакцию объекта на управляющие воздействия;
  • переменные состояния Решение задач по теории автоматического управления — внутренние и часто недоступные измерению переменно, которые определяют в каждый момент времени схема объекта управления, причем Решение задач по теории автоматического управления — возмущающие воздействия Решение задач по теории автоматического управления — отражают случайные воздействия окружающей среды на объект управления и обычно недоступны измерению.
Решение задач по теории автоматического управления

Требование парирования их влияния приводит к необходимости создания систем автоматического управления. Все переменные, которые характеризуют объект, удобно представить в векторной форме:

Решение задач по теории автоматического управления

Входные воздействия на систему (или задание на регулятор) будем обозначать буквой Решение задач по теории автоматического управления. Их число обычно совпадает с числом выходных переменных и изображается следующим вектором:

Решение задач по теории автоматического управления

В дальнейшем для указания соответствующих векторных величин будем использовать обозначения:

Решение задач по теории автоматического управления

Решение задач по теории автоматического управления-мерное вещественное линейное пространство.

В зависимости от числа входных и выходных переменных выделяют:

  • одноканальные объекты (или системы) — объекты, в которых есть только одна выходная переменная (Решение задач по теории автоматического управления -1);
  • многоканальные (многосвязные, многомерные, взаимосвязанные) объекты (или системы) — объекты, в которых число выходных переменных больше единицы (Решение задач по теории автоматического управления > 1).

Примеры систем управления

При обсуждении свойств автоматических устройств очень полезно обращаться к реальным примерам, которые достаточно распространены, и по ним можно представить себе поведение технической системы.

Рассмотрим несколько характерных примеров систем автоматического управления.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Задача 1.1

Одна из самых распространенных систем автоматики — система стабилизации скорости вращения двигателя постоянного тока с независимым возбуждением. Цель ее работы заключается в поддержании заданной скорости вращения двигателя при действии «нагрузки» на валу. Системы подобного типа используют, например, в металлорежущих станках, где независимо от глубины резания металла нужно выдерживать заданную скорость вращения. На рис. 1.3 представлена упрощенная схема реализации такой системы.

Решение задач по теории автоматического управления

Здесь введены следующие обозначения:

Решение задач по теории автоматического управления — задающее воздействие на систему (напряжение задания);

ОУ — операционные усилители для согласования электрических цепей на входе и выходе;

Решение задач по теории автоматического управления — разница между напряжением задания и напряжением тахогенератора (сигнал рассогласования);

УМ — усилитель мощности для преобразования маломощного сигнала Решение задач по теории автоматического управления в силовое напряжение (напряжение на якоре двигателя);

Д — электродвигатель;

Решение задач по теории автоматического управления — ток в цепи электродвигателя;

Решение задач по теории автоматического управления — сопротивление и индуктивность в якорной цепи;

Решение задач по теории автоматического управления — напряжение на обмотке якоря электродвигателя;

Решение задач по теории автоматического управления — напряжение возбуждения;

ТГ — тахогенератор (маломощный генератор электрического напряжения), используется в качестве датчика скорости вращения двигателя;

Решение задач по теории автоматического управления— напряжение тахогенератора;

Решение задач по теории автоматического управления — момент нагрузки.

В этой системе организована отрицательная обратная связь, при которой

Решение задач по теории автоматического управления

Если нагрузка Решение задач по теории автоматического управления возрастает, то падает Решение задач по теории автоматического управления и, как следствие, возрастает Решение задач по теории автоматического управления, что позволяет «удержать» обороты двигателя при увеличенной нагрузке на двигатель. Если Решение задач по теории автоматического управления уменьшается, происходит обратный процесс, который не дает возможности двигателю слишком увеличить скорость вращения.

При описании этого классического примера введены переменные, которые используются для описания динамических систем: вход — Решение задач по теории автоматического управления, выход — Решение задач по теории автоматического управления, возмущение — Решение задач по теории автоматического управления, состояние — Решение задач по теории автоматического управления, параметры — Решение задач по теории автоматического управления.

Рассмотрим теперь общеизвестный пример из области бытовой техники -систему стабилизации температуры в холодильнике. В каждом холодильнике применяется достаточно простая система автоматического регулирования, цель функционирования которой состоит в стабилизации температуры в камере холодильника при изменении массы и температуры закладываемых продуктов или при открывании дверей. На рис. 1.4 приведена упрощенная схема системы стабилизации температуры.

Решение задач по теории автоматического управления

Здесь Решение задач по теории автоматического управления — сигнал, соответствующий заданной температуре; УМ -усилитель мощности с релейной характеристикой, который используется в качестве управляющего устройства, он включает или отключает холодильный агрегат (ХА), «прокачивающий» хладоагент через трубки камеры; ДТ — датчик температуры, выходной сигнал Решение задач по теории автоматического управления которого пропорционален температуре камеры.

Как правило, в холодильнике не применяются операционные усилители; сравнение заданной и действительной температур происходит непосредственно. На схеме это показано соответствующим элементом.

Система работает следующим образом: если открыть камеру и положить некоторую массу теплых продуктов, то сразу повышается температура в камере и возрастает разница Решение задач по теории автоматического управления между заданной (низкой) и повышенной действительной температурами, включается УМ с релейной характеристикой и работает холодильный агрегат. Через некоторое время разница Решение задач по теории автоматического управления становится меньше порогового значения и реле отключается. Такая система работает только в «одну сторону» — на охлаждение. Ее поведение характеризуют величины: вход — Решение задач по теории автоматического управления, выход — напряжение с датчика температуры; состояние — температура внутри камеры, возмущение — количество тепла в закладываемом продукте.

Динамические характеристики линейных систем

Прежде чем изучать поведение реальных систем и их моделей, необходимо определить формальный язык, на котором будут обсуждаться их свойства. Основным элементом такого формального языка является понятие динамических характеристик, под которыми интуитивно понимают какие-либо соотношения, характеризующие свойства систем в статике и динамике (при изменении состояния).

Дадим следующее определение. Динамической характеристикой (математической моделью) системы будем называть любое соотношение, заданное аналитически, графически или в виде таблицы, которое позволяет оценить ее поведение во времени.

В этом разделе мы будем рассматривать различные способы описания линейных динамических систем, их взаимосвязь и приведение к принятой в теории автоматического управления форме записи математической модели.

Отметим, что динамическая характеристика дает возможность исследовать поведение системы, т. е. рассчитать для нее переходные процессы.

Дифференциальные уравнения

Наиболее часто в качестве математической модели объекта управления используются обыкновенные дифференциальные уравнения, которые могут быть записаны в различной форме.

Линейные многоканальные объекты обычно описывают системой дифференциальных уравнений первого порядка, представленной в векторно-матричном виде:

Решение задач по теории автоматического управления

Здесь Решение задач по теории автоматического управления — вектор состояния, Решение задач по теории автоматического управления — порядок объекта; Решение задач по теории автоматического управления -вектор управляющих воздействий, Решение задач по теории автоматического управления — квадратная матрица действительных коэффициентов; Решение задач по теории автоматического управления — прямоугольная матрица действительных коэффициентов. Уравнения (2.1) называют дифференциальными уравнениями состояния.

Выходные переменные объекта изменяются в соответствии с уравнением выхода

Решение задач по теории автоматического управления

где Решение задач по теории автоматического управления — вектор выхода; Решение задач по теории автоматического управления — прямоугольная матрица действительных коэффициентов. Уравнения (2.1) и (2.2) описывают линейный многоканальный объект.

Для описания одноканального объекта обычно используется скалярное дифференциальное уравнение:

Решение задач по теории автоматического управления

которое также может быть приведено к виду (2.1) и (2.2) после соответствующего выбора линейно-независимых переменных состояния. Их число всегда равно порядку объекта (Решение задач по теории автоматического управления), a Решение задач по теории автоматического управления и Решение задач по теории автоматического управления.

Наиболее простое каноническое описание получается в случае, когда в качестве переменных состояния выбираются выходная переменная у и ее производные до (Решение задач по теории автоматического управления -1) включительно

Решение задач по теории автоматического управления

При этом вместо (2.3) имеем систему уравнений

Решение задач по теории автоматического управления

которая соответствует векторно-матричным уравнениям (2.1) и (2.2). Здесь матрицы Решение задач по теории автоматического управления и Решение задач по теории автоматического управления имеют вид

Решение задач по теории автоматического управления

причем их размерности следующие:

Решение задач по теории автоматического управления
Решение задач по теории автоматического управления

Следует отметить, что переход к описанию (2.1), (2.2) не является однозначным: для одного объекта можно выбрать бесконечное множество наборов переменных состояния; важно, чтобы они были линейно-независимыми.

При этом каждой совокупности переменных состояния будут соответствовать свои матрицы объекта Решение задач по теории автоматического управления и Решение задач по теории автоматического управления.

Задача №2.1

Записать уравнения состояния одноканального объекта, модель которого имеет вид

Решение задач по теории автоматического управления

Решение:

Рассмотрим два варианта переменных состояния. 1. Если в качестве переменных состояния выбрать выходную величину и ее произвольную Решение задач по теории автоматического управления, то получим канонические уравнения состояния и матрицы объекта типа (2.4):

Решение задач по теории автоматического управления

2. Выбирая новые переменные Решение задач по теории автоматического управления получим уравнения состояния и матрицы объекта

Решение задач по теории автоматического управления

В общем случае одноканальный объект может описываться дифференциальным уравнением вида

Решение задач по теории автоматического управления

Выбрав соответствующие переменные состояния, от описания (2.5) также можно перейти к векторно-матричным уравнениям типа (2.1), (2.2). Рассмотрим этот переход на примере.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по ТАУ

Задача №2.2

Записать уравнения состояния объекта с математической моделью вида

Решение задач по теории автоматического управления

Решение:

Разрешим ото уравнение относительно разности

Решение задач по теории автоматического управления

выберем в качестве переменных состояния Решение задач по теории автоматического управления и получим следующие уравнения состояния и матрицы объекта:

Решение задач по теории автоматического управления

Таким образом, в качестве основной динамической характеристики линейных объектов управления используются дифференциальные уравнения, которые могут быть представлены в форме (2.1), (2.2).

В теории автоматического управления рассматриваются не физические системы управления, а их математические модели, поэтому необходимо стремиться к тому, чтобы эта модель достаточно адекватно отражала свойства реального устройства. Процедуру получения математической модели объекта можно разбить на следующие этапы:

Составление гносеологической (мысленной) модели объекта. Исходя из технического задания и изучения режимов работы объекта инженер создает приближенную мысленную модель, которая в дальнейшем уточняется и приобретает вид математической модели.

Определение независимых переменных, которые характеризуют объект, и уточнение их размерностей. При этом число управляющих воздействий не может быть меньше числа выходных переменных Решение задач по теории автоматического управления. Размерность вектора переменных состояния не может быть меньше размерности вектора выходных переменных Решение задач по теории автоматического управления. Размерность возмущающих воздействий Решение задач по теории автоматического управления может быть произвольной и никак не связана с размерностью Решение задач по теории автоматического управления.

Запись физических законов, в силу которых развиваются процессы в объекте.

Приведение уравнений объекта к удобному с точки зрения теории автоматического управления виду.

Математическая модель никогда не бывает, тождественна рассматриваемому объекту, так как при ее составлении всегда делают какие-либо допущения и упрощения. Поэтому для одной и той же системы в зависимости от целей управления модели могут быть различными.

При составлении математической модели приходится искать компромиссный вариант между двумя противоречивыми требованиями: с одной стороны, модель должна наиболее полно отражать свойства реальной системы, с другой — быть простой, чтобы не затруднять исследований.

Задача №2.3

Определить математическую модель электрической цепи (рис. 2.1), записать для нее уравнения состояния.

Физическими законами, в силу которых развиваются процессы в объекте, являются законы Кирхгофа

Решение задач по теории автоматического управления

Решение:

Перейдем к удобному с точки зрения теории управления описанию объекта. При этом выходной величиной будем считать напряжение на выходе цепи, т. е. Решение задач по теории автоматического управления, управляющим воздействием -напряжение на ее входе Решение задач по теории автоматического управления, а переменной состояния- ток, протекающий по цепи Решение задач по теории автоматического управления. С учетом

Решение задач по теории автоматического управления

a затем перейдем к принятому описанию в переменных состояния

Решение задач по теории автоматического управления

где

Решение задач по теории автоматического управления

Задача №2.4

Рассмотрим в качестве еще одного примера составление математической модели двигателя постоянного тока с независимым возбуждением (рис. 2.2), который часто используется в системах автоматического управления.

Решение задач по теории автоматического управления

Решение:

Здесь Решение задач по теории автоматического управления — напряжение, подаваемое на якорь ОВД двигателя, которое будем считать входным воздействием; Решение задач по теории автоматического управления — ток в не пи якоря, представляющий собой внутреннюю переменную объекта; Решение задач по теории автоматического управления — сопротивление и индуктивность цепи, якоря; Решение задач по теории автоматического управления — противоЭДС, т. е. напряжение, возникающее в обмотке якоря в результате его вращения в магнитном поле; Решение задач по теории автоматического управления — скорость вращения двигателя, которую будем считать выходной переменной; ОВД — обмотка возбуждения двигателя.

Запишем основные уравнения, характеризующие процессы в двигателе. Уравнение электрического равновесия якорной цепи имеет вид

Решение задач по теории автоматического управления

Уравнение равновесия моментов на валу двигателя следующее:

Решение задач по теории автоматического управления

где Решение задач по теории автоматического управления — приведенный момент инерции; Решение задач по теории автоматического управления — вращающий момент; Решение задач по теории автоматического управления — момент сопротивления на валу двигателя, который является возмущающим воздействием.

С достаточной степенью точности во многих случаях можно считать, что

Решение задач по теории автоматического управления

где

Решение задач по теории автоматического управления

В результате уравнения двигателя принимают вид

Решение задач по теории автоматического управления

Введем следующие обозначения: Решение задач по теории автоматического управления — управление; Решение задач по теории автоматического управления Решение задач по теории автоматического управления — переменные состояния; Решение задач по теории автоматического управления — возмущение. Запишем уравнения двигателя в переменных состояния

Решение задач по теории автоматического управления

где

Решение задач по теории автоматического управления

Часто модель двигателя представляют в виде одного дифференциального уравнения

Решение задач по теории автоматического управления

Здесь Решение задач по теории автоматического управления — электромеханическая постоянная времени двигателя; Решение задач по теории автоматического управления — электромагнитная постоянная времени якорной цепи; Решение задач по теории автоматического управления — коэффициент усиления; Решение задач по теории автоматического управления.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения задач по ТАУ

Задача №2.5

Рассмотрим перевернутый маятник, ось которого монтируется на тележке (каретке); перемещающейся в горизонтальном направлении [9]. В совокупности такое устройство представляет собой объект управления, называемый «кареткой — маятником». Его схематичная модель изображена на рис. 2.3.

Решение задач по теории автоматического управления

Решение:

Здесь Решение задач по теории автоматического управления — угол отклонения маятника (выходная переменная); Решение задач по теории автоматического управления — прикладываемая управляющим двигателем сила (входная переменная); Решение задач по теории автоматического управления — перемещение каретки; Решение задач по теории автоматического управления -масса каретки; Решение задач по теории автоматического управления — расстояние между осью и центром тяжести маятника; Решение задач по теории автоматического управления — масса маятника; Решение задач по теории автоматического управления — момент инерции относительно центра тяжести; Решение задач по теории автоматического управления — ускорение силы тяжести; Решение задач по теории автоматического управления и Решение задач по теории автоматического управления — горизонтальная и вертикальная силы реакции у оси маятника.

Упрощенная модель объекта «каретка — маятник» может быть представлена системой дифференциальных уравнений [9]

Решение задач по теории автоматического управления

где

Решение задач по теории автоматического управления

эффективная длина маятника.

Перейдем к описанию модели объекта в переменных состояния вида (2.1). В качестве компонент вектора состояния выберем следующие величины:

Решение задач по теории автоматического управления

а выходной переменной объекта является угол отклонения маятника Решение задач по теории автоматического управления. В результате уравнения состояния принимают вид

Решение задач по теории автоматического управления

Теперь определим матрицы объекта:

Решение задач по теории автоматического управления

Переходная характеристика

Эта динамическая характеристика используется для описания одноканальных объектов (2.5)

Решение задач по теории автоматического управления

с нулевыми начальным!! условиями

Решение задач по теории автоматического управления

Переходной характеристикой (переходной функцией) Решение задач по теории автоматического управления называется реакция системы на единичное ступенчатое входное воздействие Решение задач по теории автоматического управления при нулевых начальных условиях.

Отметим, что единичная ступенчатая функция — это функция, которая обладает свойством

Решение задач по теории автоматического управления

На рис. 2.4 приведен пример переходной характеристики системы.

Решение задач по теории автоматического управления

Для аналитического определения переходной функции следует решить дифференциальное уравнение при нулевых начальных условиях и единичном входном воздействии.

При исследовании реального объекта переходную характеристику можно получить экспериментальным путем, подавая на его вход ступенчатое воздействие и фиксируя реакцию на выходе. Если входное воздействие представляет собой неединичную ступенчатую функцию Решение задач по теории автоматического управления то выходная величина будет равна Решение задач по теории автоматического управления, т. е. представляет собой переходную характеристику с коэффициентом пропорциональности Решение задач по теории автоматического управления.

Зная переходную характеристику, можно вычислить реакцию системы на произвольное входное воздействие с помощью интеграла свертки

Решение задач по теории автоматического управления

(Решение задач по теории автоматического управления — переменная интегрирования).

Импульсная переходная функция

Эта характеристика также используется для описания одноканальных объектов вида (2.5).

Импульсная переходная функция (характеристика) Решение задач по теории автоматического управления представляет собой реакцию на входное воздействие типа единичной импульсной функции при нулевых начальных условиях (рис. 2.5).

Такое входное воздействие математически отражает дельта-функция, которая обладает следующими свойствами:

Решение задач по теории автоматического управления

С помощью дельта-функции можно описать реальное входное воздействие типа удара. В действительности импульсные входные воздействия на объект всегда конечны по уровню и продолжительности. Однако если их длительность намного меньше длительности переходных процессов, то с определенной точностью реальный импульс может быть заменен дельта-функцией с некоторым коэффициентом.

Импульсная переходная функция позволяет вычислить реакцию системы на произвольное входное воздействие при нулевых начальных условиях по выражению

Решение задач по теории автоматического управления

Переходная характеристика и импульсная переходная функция однозначно связаны между собой соотношениями

Решение задач по теории автоматического управления

Уравнения (2,9) позволяют при одной известной характеристике оп реле лить вторую.

Переходная матрица

Данная динамическая характеристика применяется для описания многоканальных систем вида (2.1), (2.2) при нулевых входных воздействиях, т. е. для автономных систем

Решение задач по теории автоматического управления

Переходная матрица представляет собой решение матричного дифференциального уравнения

Решение задач по теории автоматического управления

при единичных начальных условиях

Решение задач по теории автоматического управления

Она обладает следующими свойствами:

Решение задач по теории автоматического управления

Зная переходную матрицу, можно вычислить реакцию системы

Решение задач по теории автоматического управления

на произвольное входное воздействие при любых начальных условиях Решение задач по теории автоматического управления по выражению

Решение задач по теории автоматического управления

Здесь первое слагаемое описывает свободную составляющую движения. второе — вынужденную. Соотношение для выходных переменных следующее:

Решение задач по теории автоматического управления

Если система имеет нулевые начальные условия Решение задач по теории автоматического управления, то выражение (2.14) принимает вид:

Решение задач по теории автоматического управления

Матрица Решение задач по теории автоматического управления называется матричной импульсной переходной функцией. Каждая ее компонента представляет собой импульсную переходную функцию Решение задач по теории автоматического управления, которая является реакцией Решение задач по теории автоматического управления-го выхода системы на Решение задач по теории автоматического управления-e импульсное входное воздействие при нулевых начальных условиях и отсутствии остальных входных воздействий

Решение задач по теории автоматического управления

Дли многоканальных систем может быть определена также матричная переходная характеристика в виде

Решение задач по теории автоматического управления

Для линейных систем с постоянными параметрами переходная матрица Решение задач по теории автоматического управления представляет- собой матричную экспоненту

Решение задач по теории автоматического управления

где

Решение задач по теории автоматического управления

С учетом (2.18) выражения (2.13) и- (2,14) принимают вид

Решение задач по теории автоматического управления

В этом случае матричная импульсная переходная функция линейной системы с постоянными коэффициентами может быть найдена по соотношению

Решение задач по теории автоматического управления

При небольших размерах или простой структуре матрицы объекта Решение задач по теории автоматического управления выражение (2.18) может быть использовано для точного представления переходной матрицы с помощью элементарных функций. В случае большой размерности матрицы Решение задач по теории автоматического управления следует использовать существующие программы для вычисления матричного экспоненциала.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Контрольная работа по теории автоматического управления

Передаточная функция

Наряду с обыкновенными дифференциальными уравнениями в теории автоматического управления используются различные их преобразования. Для линейных систем эти уравнения удобнее представлять в символической форме с применением так называемого оператора дифференцирования

Решение задач по теории автоматического управления

что позволяет записывать дифференциальные уравнения как алгебраические и вводить новую динамическую характеристику -передаточную функцию. Этот способ был предложен английским ученым Хевисайдом в 1895 г., позднее он был строго обоснован аппаратом интегральных преобразований Лапласа и Карсона [4] в предположении нулевых начальных условий.

Рассмотрим этот переход для многоканальных систем общего вида

Решение задач по теории автоматического управления

Запишем уравнение состояния в операторной форме

Решение задач по теории автоматического управления

что позволяет определить вектор состояния

Решение задач по теории автоматического управления

и выходные переменные системы

Решение задач по теории автоматического управления

Матрица взаимосвязи между выходными переменными и управляющими воздействиями в выражении (2.23) называется матричной передаточной функцией и обозначается

Решение задач по теории автоматического управления

Она имеет размерность Решение задач по теории автоматического управления:

Решение задач по теории автоматического управления

где Решение задач по теории автоматического управления — скалярные передаточные функции, которые представляют собой отношение выходной величины к входной в символической форме при нулевых начальных условиях Решение задач по теории автоматического управления

Собственными передаточными функциями Решение задач по теории автоматического управления-го канала называются компоненты передаточной матрицы Решение задач по теории автоматического управления которые находятся на главной диагонали (2.25). Составляющие, расположенные выше или ниже главной диагонали (2.25), называются передаточными функциями перекрестных связей между каналами.

Как известно, обратная матрицаРешение задач по теории автоматического управления может быть найдена по выражению

Решение задач по теории автоматического управления

где Решение задач по теории автоматического управления — присоединенная матрица. Как следует № (2,26), все скалярные передаточные функции в (2.25) содержат одинаковый знаменатель

Решение задач по теории автоматического управления

который называется характеристическим полиномом и имеет Решение задач по теории автоматического управления-й порядок.

Если теперь характеристический полином приравнять нулю, то получим характеристическое уравнение системы

Решение задач по теории автоматического управления

Уравнение (2.27) имеет Решение задач по теории автоматического управления корней, которые называются полюсами системы Решение задач по теории автоматического управления

Задача №2.6

Определить передаточную матрицу для объекта

Теория автоматического управления задачи с решением

где

Теория автоматического управления задачи с решением

Решение:

Воспользуемся выражением для передаточной матрицы (2.24) и найдем предварительно обратную матрицу (2.26). Здесь

Теория автоматического управления задачи с решением

Присоединенная матрица имеет вид

Теория автоматического управления задачи с решением

В результате получим обратную матрицу

Теория автоматического управления задачи с решением

и передаточную матрицу объекта

Теория автоматического управления задачи с решением

Как видим, все скалярные передаточные функции из этой матрицы имеют одинаковый знаменатель, который представляет собой характеристический полином объекта.

Чаще всего передаточные функции применяются для описания одноканальных систем вида (2.5)

Теория автоматического управления задачи с решением

С использованием оператора дифференцирования р запишем уравнение (2.28) в символической форме и найдем передаточную функцию как отношение выходной величины к входной:

Теория автоматического управления задачи с решением

где Теория автоматического управления задачи с решением — характеристический полином. Его корни,

Теория автоматического управления задачи с решением

называются полюсами, а корни полинома числителя передаточной функции,

Теория автоматического управления задачи с решением

называются нулями системы.

Передаточные функции динамических систем принято записывать в следующей стандартной форме:

Теория автоматического управления задачи с решением

где Теория автоматического управления задачи с решением — коэффициент усиления;

Теория автоматического управления задачи с решением
Теория автоматического управления задачи с решением

Передаточную матрицу (передаточную функцию) можно также определить с помощью изображений Лапласа или Карсона — Хеви-сайда. Если подвергнуть одному из этих преобразований обе части дифференциального уравнения и найти соотношения между входными и выходными величинами при нулевых начальных условиях, то получим ту же самую передаточную матрицу (2.24) или функцию (2.29).

Все динамические характеристики объекта взаимосвязаны: получив одну из них, можно определить все остальные. Мы рассмотрели переход от дифференциальных уравнений к передаточным функциям с помощью оператора дифференцирования Теория автоматического управления задачи с решением. Используя этот оператор, несложно перейти от передаточной функции к символической форме записи дифференциального уравнения, а затем к стандартному описанию объекта в форме (2.3) или (2.5).

Обсудим теперь взаимосвязь между переходными характеристиками и передаточной функцией. С этой целью запишем выражение для выходной переменной объекта через импульсную переходную функцию в соответствии с (2.8)

Теория автоматического управления задачи с решением

Подвергнем его преобразованиям Лапласа [2,9,12]

Теория автоматического управления задачи с решением

и получим соотношение Теория автоматического управления задачи с решением из которого определим Теория автоматического управления задачи с решением в виде

Теория автоматического управления задачи с решением

Таким образом, передаточная функция представляет собой преобразование по Лапласу импульсной переходной функции.

Задача №2.7

Определять передаточную функцию, нули и полюса для объекта, модель которого задана уравнением

Теория автоматического управления задачи с решением

Решение:

Запишем исходное уравнение объекта в операторной форме с помощью оператора дифференцирования Теория автоматического управления задачи с решением

Теория автоматического управления задачи с решением

Определим теперь передаточную функцию

Теория автоматического управления задачи с решением

Характеристическое уравнение объекта имеет яид

Теория автоматического управления задачи с решением

Передаточная функция содержит два полюса Теория автоматического управления задачи с решением и один нуль Теория автоматического управления задачи с решением

Определить передаточную функцию двигателя постоянного тока с независимым возбуждением (см. рис. 2.2).

Дифференциальное уравнение двигателя получено в примере 2.4 и имеет вид

Теория автоматического управления задачи с решением

Будем полагать, что возмущающее воздействие отсутствует, т. е. Теория автоматического управления задачи с решением. Запишем это уравнение в символической форме с помощью оператора дифференцирования Теория автоматического управления задачи с решением

Теория автоматического управления задачи с решением

или, рассматривая его как алгебраическое,

Теория автоматического управления задачи с решением

Определим теперь передаточную функцию двигателя постоянного тока с независимым возбуждением

Теория автоматического управления задачи с решением

Как видим, она не содержит нулей и имеет два полюса, которые в зависимости от численных значений параметров Теория автоматического управления задачи с решением и Теория автоматического управления задачи с решением могут быть вещественными или комплексно-сопряженными.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Курсовая работа по теории автоматического управления

Модальные характеристики

Модальные характеристики соответствуют свободной составляющей движения системы (2.1) или, другими словами, отражают свойства автономной системы (2.10)

Теория автоматического управления задачи с решением

Будем искать ее решение в виде экспоненты

Теория автоматического управления задачи с решением

где Теория автоматического управления задачи с решением — скалярная экспонента, Теория автоматического управления задачи с решением — вектор начальных условий.

Подставляя решение (2.33) в исходное уравнение (2.32), после преобразований получим

Теория автоматического управления задачи с решением

Система уравнений (2.34) будет иметь ненулевое решение относительно Теория автоматического управления задачи с решением, если

Теория автоматического управления задачи с решением

Уравнение (2.35) есть характеристическое уравнение системы и имеет Теория автоматического управления задачи с решением корней Теория автоматического управления задачи с решением, которые называются собственными значениями матрицы Теория автоматического управления задачи с решением. При подстановке собственных значений в (2.35) получим

Теория автоматического управления задачи с решением

(Теория автоматического управления задачи с решением — собственные векторы, Теория автоматического управления задачи с решением ),

Совокупность собственных значений и собственных векторов представляет собой модальные характеристики системы.

Для (2.32) могут существовать лишь экспоненциальные решения

Теория автоматического управления задачи с решением

которые называют модами. Полное решение системы (2.32) представляет собой линейную комбинацию мод:

Теория автоматического управления задачи с решением

Для получения характеристического уравнения системы можно использовать выражение (2.27), т. е. приравнять нулю общий знаменатель передаточной матрицы (передаточной функции).

При исследовании свойств системы ее собственные значения (полюса) удобно изображать в виде точек на комплексной плоскости (рис. 2.6). Такое графическое представление корней характеристического уравнения называют корневым портретом системы. С его помощью в ряде случаев можно практически без вычислений оценить Рис. 2 6. Пример корневого качественные свойства процессов, портрета системы протекающих в линейных системах.

Теория автоматического управления задачи с решением

Задача №2.9.

Изобразить корневой портрет объекта, поведение которого описывают следующие уравнения:

Теория автоматического управления задачи с решением

Решение:

Определим матрицу объекта

Теория автоматического управления задачи с решением

и запишем характеристическое уравнение

Теория автоматического управления задачи с решением

Собственные значения матрицы Теория автоматического управления задачи с решением следующие:

Теория автоматического управления задачи с решением

Они изображены на комплексной плоскости корней в виде точек (рис. 2.7).

Теория автоматического управления задачи с решением

Частотные характеристики

Важными динамическими характеристиками объекта являются его частотные характеристики, которые определяют взаимосвязь между параметрами периодических сигналов на входе и выходе. Чаще всего их используют для описания одноканальных объектов:

Теория автоматического управления задачи с решением

Если на его вход подавать гармонический сигнал заданной амплитуды Теория автоматического управления задачи с решением и частоты Теория автоматического управления задачи с решением,

Теория автоматического управления задачи с решением

то на выходе в установившемся режиме у устойчивого объекта (гл. 4) будет также гармонический сигнал той же частоты, но в общем случае другой амплитуды со сдвигом по фазе

Теория автоматического управления задачи с решением

Для нахождения соотношения между входным и выходным гармоническими сигналами можно воспользоваться передаточной функцией (2.38), из которой формальной заменой Теория автоматического управления задачи с решением на Теория автоматического управления задачи с решением получим обобщенную частотную характеристику

Теория автоматического управления задачи с решением

Ее можно представить в виде

Теория автоматического управления задачи с решением

Составляющие обобщенной частотной характеристики Теория автоматического управления задачи с решением имеют самостоятельное значение и следующие названия:

Теория автоматического управления задачи с решением — вещественная частотная характеристика (ВЧХ), Теория автоматического управления задачи с решением — мнимая частотная характеристика (МЧХ),

Теория автоматического управления задачи с решением — амплитудная частотная характеристика (АЧХ), Теория автоматического управления задачи с решением — фазовая частотная характеристика (ФЧХ).

Для исследования частотных свойств объекта или системы удобно использовать графическое представление частотных характеристик. В этом случае обобщенная частотная характеристика Теория автоматического управления задачи с решением может быть построена на комплексной плоскости в соответствии с выражением (2.40), когда каждому значению частоты Теория автоматического управления задачи с решением, соответствует вектор Теория автоматического управления задачи с решением.

При изменении Теория автоматического управления задачи с решением от 0 до Теория автоматического управления задачи с решением конец этого вектора «прочерчивает» на комплексной плоскости кривую, которая называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ).

Наряду с амплитудно-фазовой характеристикой (рис. 2.8) можно также построить все остальные частотные характеристики. Так, амплитудная частотная показывает, как звено пропускает

Теория автоматического управления задачи с решением

Сигналы различной частоты; причем оценкой пропускания является отношение амплитуд выходного Теория автоматического управления задачи с решением и входного сигналов Теория автоматического управления задачи с решением. Фазовая частотная характеристика отражает фазовые сдвиги, вносимые системой на различных частотах.

Наряду с рассмотренными частотными характеристиками в теории автоматического управления используются логарифмические частотные характеристики. Удобство работы с ними объясняется тем, что операции умножения и деления заменяются на операции сложения и вычитания, а это позволяет во многих случаях строить их практически без вычислений.

Амплитудная частотная характеристика, построенная в логарифмическом масштабе,

Теория автоматического управления задачи с решением

называется логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ). При этом амплитуда измеряется в децибелах (дБ). При изображении ЛАЧХ (рис. 2.9) удобнее по оси абсцисс откладывать частоту также в логарифмическом масштабе, т. е. Теория автоматического управления задачи с решением, выраженную в декадах (дек.).

Теория автоматического управления задачи с решением

На практике применяется также и логарифмическая фазовая частотная характеристика. При ее изображении используется ось абсцисс, на которой указывают частоту в логарифмическом масштабе, а по оси ординат откладывают фазу в дуговых градусах в линейном масштабе (рис. 2.10).

Возможно эта страница вам будет полезна:

Задачи теории автоматического управления

Задача №2.10

Для объекта с заданной передаточной функцией

Теория автоматического управления задачи с решением

построить амплитудно-фазовую (АФХ), вещественную частотную и фазовую частотную характеристики (ВЧХ, ФЧХ).

Решение:

Запишем выражение для обобщенной частотной характеристики, сделав замену в передаточной функции Теория автоматического управления задачи с решением:

Теория автоматического управления задачи с решением

Выражения для ВЧХ и ФЧХ имеют вид

Теория автоматического управления задачи с решением

Соответствующие частотные характеристики, построенные при изменении частоты от 0 до Теория автоматического управления задачи с решением, представлены на рис. 2.11.

Структурный метод

Для расчета различных систем автоматического управления их обычно разбивают на отдельные элементы, динамическими характеристиками которых являются дифференциальные уравнения не выше второго порядка. Причем различные по своей физической природе элементы могут описываться одинаковыми дифференциальными уравнениями, поэтому их относят к определенным классам, называемым типовыми звеньями.

Изображение системы в виде совокупности типовых звеньев с указанием связей между ними называется структурной схемой. Она может быть получена на основе как дифференциальных уравнений, так и передаточных функций. Данный способ и составляет суть структурного метода, т. е. метода представления систем автоматического управления различной физической природы.

Хотя структурный метод не предлагает новых способов расчета, он позволяет наглядно представить взаимосвязь элементов системы и оценить при наличии соответствующего опыта отдельные свойства переходных и статических процессов.

Он настолько широко используется в практике проектирования, что, по существу, может считаться одним из «языков», на котором обсуждаются свойства систем автоматического управления.

Рассмотрим подробнее отдельные типовые звенья и их различные динамические характеристики.

Типовые динамические звенья, пропорциональное (усилительное) звено

Пропорциональным называется звено, поведение которого описывает алгебраическое уравнение

Теория автоматического управления задачи с решением

где Теория автоматического управления задачи с решением — коэффициент усиления. Строго говоря, это звено не является динамическим, но относится к типовым.

Примерами таких звеньев могут служить безынерционные усилители, механические редукторы, многие датчики сигналов и т. д. передаточная функция звена следующая:

Теория автоматического управления задачи с решением

Переходная характеристика (реакция звена на скачкообразное входное воздействие Теория автоматического управления задачи с решением) имеет вид

Теория автоматического управления задачи с решением

Импульсная переходная функция пропорционального звена определяется выражением

Теория автоматического управления задачи с решением

Модальные характеристики (собственные значения и собственные векторы) для него отсутствуют.

Заменив в передаточной функции Теория автоматического управления задачи с решением на Теория автоматического управления задачи с решением, получим выражения для частотных характеристик. Амплитудно-фазовая характеристика представляет собой точку на комплексной плоскости в соответствии с формулой

Теория автоматического управления задачи с решением

Вещественная частотная характеристика определяется соотношением (рис. 3.1).

Теория автоматического управления задачи с решением

а мнимая частотная характеристика отсутствует Теория автоматического управления задачи с решением.

Амплитудная частотная характеристика может быть построена по соотношению

Теория автоматического управления задачи с решением

и имеет тот же вид, что и ВЧХ. Выражение для ФЧХ следующее:

Теория автоматического управления задачи с решением

Таким образом, при прохождении через пропорциональное звено амплитуда периодического входного сигнала изменяется в Теория автоматического управления задачи с решением раз, а базовый сдвиг отсутствует.

Амплитудно-фазовая характеристика звена имеет вид точки на комплексной плоскости (рис. 3.2).

Теория автоматического управления задачи с решением

Логарифмическая АЧХ звена представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс:

Теория автоматического управления задачи с решением

Как следует из выражений (3.3, 3.4) и рис. 3.3, пропорциональное звено пропускает входные сигналы без искажений.

Дифференцирующее звено

Дифференцирующим называется звено, которое описывается дифференциальным уравнением

Теория автоматического управления задачи с решением

Его передаточная функция имеет вид

Теория автоматического управления задачи с решением

Примером дифференцирующего звена часто может служить тахогенератор постоянного тока. Переходная характеристика дифференцирующего звена определяется выражением

Теория автоматического управления задачи с решением

и имеет вид 5 -функции (рис. 3.4).

Импульсная переходная функция (рис. 3.5) представляет собой «дуплет» Теория автоматического управления задачи с решением -функций

Теория автоматического управления задачи с решением

Рассмотрим теперь частотные характеристики звена. Амплитудно-фазовая характеристика

Теория автоматического управления задачи с решением

совпадает с положительной мнимой полуосью комплексной плоскости; вещественная частотная характеристика равна нулю, Л(ц>) = 0; мнимая частотная характеристика соответствует выражжению

Теория автоматического управления задачи с решением

т. е. представляет собой линейно нарастающую функцию. С ней совпадает амплитудная частотная характеристика, которая имеет вид

Теория автоматического управления задачи с решением

Фазовую частотную характеристику можно определить по соотношению

Теория автоматического управления задачи с решением

Следовательно, на всех частотах имеется постоянный фазовый сдвиг.

Теория автоматического управления задачи с решением

Интегрирующее звено

Интегрирующим называется звено, поведение которого описывает уравнение

Теория автоматического управления задачи с решением

Примером интегрирующего звена является операционный усилитель в режиме интегрирования.

Основной динамической характеристикой звена является его дифференциальное уравнение

Теория автоматического управления задачи с решением

на основе которого можно получить передаточную функцию

Теория автоматического управления задачи с решением

Характеритическое уравнение

Теория автоматического управления задачи с решением

имеет единственный корень (полюс), Теория автоматического управления задачи с решением, который представляет собой модальную характеристику интегрирующего звена.

Переходная характеристика звена имеет вид линейно возрастающей функции

Теория автоматического управления задачи с решением

а импульсная переходная функция — ступенчатой функции

Теория автоматического управления задачи с решением

Выражение для амплитудно-фазовой частотной характеристики (рис. 3.7) получим, заменив в (3.12) Теория автоматического управления задачи с решением на Теория автоматического управления задачи с решением:

Теория автоматического управления задачи с решением

Вещественная частотная характеристика отсутствует, Теория автоматического управления задачи с решением. Мнимая частотная характеристика имеет вид

Теория автоматического управления задачи с решением

а амплитудная частотная характеристика

Теория автоматического управления задачи с решением

При этом фазовая частотная характеристика следующая:

Теория автоматического управления задачи с решением

т. е. звено имеет постоянный фазовый сдвиг, который не зависит от частоты.

Теория автоматического управления задачи с решением

Амплитудно-фазовая характеристика интегрирующего звена имеет вид прямой, совпадающей с отрицательной мнимой полуосью комплексной плоскости (рис. 3.7). Запишем выражение для логарифмической амплитудно-частотной характеристики

Теория автоматического управления задачи с решением
Теория автоматического управления задачи с решением

и изобразим ее график (рис.3.8) Как видим, логарифмическая амплитудная частотная характеристика интегратора представляет собой прямую с наклоном — 20 дБ/дек. и пересекает ось ординат в точке 20 Теория автоматического управления задачи с решением. Она показывает, что звено усиливает низкочастотные сигналы и ослабляет высокочастотные.

Апериодическое звено

Апериодическим называется звено, дифференциальное уравнение которого имеет вид

Теория автоматического управления задачи с решением

Различного типа двигатели являются примерами такого звена. Дифференциальное уравнение апериодического звена принято записывать в стандартном виде:

Теория автоматического управления задачи с решением

где Теория автоматического управления задачи с решением — постоянная времени; Теория автоматического управления задачи с решением — коэффициент усиления звена.

Заменив в (3.18) Теория автоматического управления задачи с решением на Теория автоматического управления задачи с решением перейдем к символической записи дифференциального уравнения

Теория автоматического управления задачи с решением

и найдем передаточную функцию апериодического звена:

Теория автоматического управления задачи с решением

Для определения модальных характеристик по передаточной функции (3.20) запишем характеристическое уравнение

Теория автоматического управления задачи с решением

Оно имеет единственный корень (полюс), Теория автоматического управления задачи с решением.

Переходную характеристику звена (рис. 3.9) можно найти как решение уравнения (3.18) при

Теория автоматического управления задачи с решением
Теория автоматического управления задачи с решением

Импульсную переходную функцию (рис. 3.10) вычислим по соотношению

Теория автоматического управления задачи с решением

Выражение, соответствующее амплитудно-фазовой характеристике апериодического звена, имеет вид

Теория автоматического управления задачи с решением

По выражению

Теория автоматического управления задачи с решением

можно построить его вещественную частотную характеристику (рис. 3.11).

Теория автоматического управления задачи с решением

Мнимая частотная характеристика (рис. 3.12) апериодического звена соответствует уравнению

Теория автоматического управления задачи с решением

Амплитудную частотную характеристику (рис. 3.13) описывает выражение

Теория автоматического управления задачи с решением

Фазовая частотная характеристика звена определяется соотношением

Теория автоматического управления задачи с решением

Она представляет собой кривую (рис. 3.14) с пределом

Теория автоматического управления задачи с решением

На комплексной плоскости по выражению (3.24) можно построить амплитудно-фазовую характеристику апериодического звена, которая имеет вид полуокружности (рис. 3.15).

Теория автоматического управления задачи с решением
Теория автоматического управления задачи с решением

Запишем выражение для логарифмической амплитудной частотной характеристики

Теория автоматического управления задачи с решением

Наиболее просто для звена можно построить асимптотическую логарифмическую амплитудную частотную характеристику. В этом случае следует рассмотреть отдельно области высоких и низких частот и для каждой определить свою асимптоту:

1) в области низких частот, когда Теория автоматического управления задачи с решением вместо точной ЛАЧХ (3.29) можно рассмотреть приближенную

Теория автоматического управления задачи с решением

2) в области высоких частот при Теория автоматического управления задачи с решением вторая асимптота имеет вид

Теория автоматического управления задачи с решением

На частоте Теория автоматического управления задачи с решением которая называется собственной частотой апериодического звена, справедливо условие

Теория автоматического управления задачи с решением

Точная характеристика звена на рис. 3.16 показана пунктирной линией и несколько отличается от асимптотической ЛАЧХ, причем наибольшая погрешность будет на собственной частоте Теория автоматического управления задачи с решением.

Теория автоматического управления задачи с решением

Форсирующее звено

Форсирующим называется звено, дифференциальное уравнение которого имеет вид

Теория автоматического управления задачи с решением

Нетрудно убедиться в том, что (3.32) можно представить как сумму уравнений пропорционального и дифференцирующего звеньев. Передаточную функцию форсирующего звена

Теория автоматического управления задачи с решением

принято записывать в стандартной форме

Теория автоматического управления задачи с решением

где Теория автоматического управления задачи с решением — коэффициент усиления, а Теория автоматического управления задачи с решением — постоянная времени звена.

Передаточная функция (3.33) содержит полином в числителе, корень которого Теория автоматического управления задачи с решением называется «нулем» форсирующего звена. Его переходная характеристика определяется соотношением

Теория автоматического управления задачи с решением

Качественный вид ее приведен на рис. 3.17.

Теория автоматического управления задачи с решением

Импульсная переходная функция звена следующая:

Теория автоматического управления задачи с решением

Обобщенная частотная характе-стика находится по пе функции (3.33) и имеет вид

Теория автоматического управления задачи с решением

Соответствующая амплитудно-фазовая характеристика изображена на рис. 3.18.

Теория автоматического управления задачи с решением

Вещественная частотная характеристика звена не зависит от частоты и равна

Теория автоматического управления задачи с решением

мнимая частотная характеристика представляет собой прямую фазовая характеристика форсирующего звена

Теория автоматического управления задачи с решением

Амплитудная частотная характеристика может быть построена по выражению

Теория автоматического управления задачи с решением

а фазовая частотная характеристика

Теория автоматического управления задачи с решением

причем в пределе

Теория автоматического управления задачи с решением

На основании выражения для Теория автоматического управления задачи с решением определим логарифмическую амплитудную частотную характеристику

Теория автоматического управления задачи с решением

Как и в предыдущем случае, для форсирующего звена удобнее строить не точную, а асимптотическую ЛАЧХ (рис. 3.19). Здесь Теория автоматического управления задачи с решением— собственная частота звена.

Теория автоматического управления задачи с решением

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика форсирующего звена

Причем се можно получить, исследуя отдельно области низких „ высоких частот или суммируя ЛАЧХ пропорционального и дифференцирующего звеньев.

Нетрудно убедиться, сравнивая выражения (3.28) и (3.29) с выражениями (3.37) и (3.38), в том, что логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики форсирующего звена представляют собой зеркальное отображение относительно оси абсцисс соответствующих логарифмических характеристик апериодического звена.

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Звено второго порядка

Дифференциальное уравнение звена второго порядка

Теория автоматического управления задачи с решением

принято записывать в стандартном виде

Теория автоматического управления задачи с решением

где Теория автоматического управления задачи с решением — постоянная времени звена; Теория автоматического управления задачи с решением — коэффициент демпфирования, который определяет склонность переходных процессов к колебаниям, Теория автоматического управления задачи с решением — коэффициент усиления.

Передаточную функцию звена получим на основе символической записи дифференциального уравнения

Теория автоматического управления задачи с решением

в виде

Теория автоматического управления задачи с решением

Для определения модальных характеристик запишем характеристическое уравнение звена

Теория автоматического управления задачи с решением

Оно имеет два корня (полюса), которые в зависимости от коэффициента демпфирования Теория автоматического управления задачи с решением могут быть вещественными или комплексно-сопряженными, что приводит к различным переходным процессам. Рассмотрим варианты корней.

  • Если Теория автоматического управления задачи с решением, то корни уравнения (3.42) вещественные и положительные. Обозначим их через Теория автоматического управления задачи с решением и получим переходную функцию (рис. 3.20) в виде
Теория автоматического управления задачи с решением
  • Если Теория автоматического управления задачи с решением, то корни уравнения (3.42) будут комплексно-сопряженными, т.е. Теория автоматического управления задачи с решением При Теория автоматического управления задачи с решением получаем Теория автоматического управления задачи с решением

В случае, когда коэффициент демпфирования изменяется в диапазоне Теория автоматического управления задачи с решением, звено второго порядка называют колебательным. Выражение для его переходной характеристики следующее:

Теория автоматического управления задачи с решением

Причем колебательность переходного процесса будет тем больше, чем меньше коэффициент демпфирования Теория автоматического управления задачи с решением. В пределе при Теория автоматического управления задачи с решением = О будут иметь место незатухающие колебания. В этом случае звено называется консервативным. Соответствующие графики переходных процессов представлены на рис. 3.21.

Теория автоматического управления задачи с решением

Определим выражение для общей частотной характеристики колебательного звена, заменив Теория автоматического управления задачи с решением на Теория автоматического управления задачи с решением в передаточной функции (3.41):

Теория автоматического управления задачи с решением

Запишем выражения для вещественной частотной характеристики

Теория автоматического управления задачи с решением

и мнимой частотной характеристики:

Теория автоматического управления задачи с решением
Теория автоматического управления задачи с решением

На основе (3.46) и (3.47) построим АЧХ на комплексной плоскости, рассматривая характерные точки:

Теория автоматического управления задачи с решением

Ее вид существенно зависит от коэффициента демпфирования Теория автоматического управления задачи с решением (рис. 3.22).

Амплитудно-фазовая характеристика консервативного звена (Теория автоматического управления задачи с решением =0) начинается в точке к на вещественной оси и при увеличении со стремится Теория автоматического управления задачи с решением, а затем из Теория автоматического управления задачи с решением -к началу координат.

Амплитудная частотная характеристика строится на основе выражения

Теория автоматического управления задачи с решением

и может иметь резонансный пик, высота которого будет тем больше, чем меньше коэффициент демпфирования Теория автоматического управления задачи с решением.

Формула для фазовой частотной характеристики имеет вид

Теория автоматического управления задачи с решением

Построение ЛAЧX колебательного звена (при 0 < Теория автоматического управления задачи с решением < 1) осуществляется по соотношению, полученному из (3.48):

Теория автоматического управления задачи с решением

При значениях коэффициента демпфирования в интервале 0,3<d<l можно строить упрощенную асимптотическую ЛAЧX. рассматривая отдельно области высоких и низких частот.

В области низких частот Теория автоматического управления задачи с решением асимптота имеет вид

Теория автоматического управления задачи с решением

В области высоких частот, когда Теория автоматического управления задачи с решением получим вторую асимптоту (рис. 3.23)

Теория автоматического управления задачи с решением
Теория автоматического управления задачи с решением

На собственной чистоте колебательного звена Теория автоматического управления задачи с решением справедливо соотношение

Теория автоматического управления задачи с решением

Наибольшее отличие асимптотической ЛАЧХ от действительной характеристики наблюдается на частоте Теория автоматического управления задачи с решением (рис. 3.24) и зависит от величины коэффициента демпфирования.

Теория автоматического управления задачи с решением

При значениях Теория автоматического управления задачи с решением<0,3 не следует пользоваться асимптотической ЛАЧХ, а нужно строить точную логарифмическую характеристику.

При Теория автоматического управления задачи с решением> 1 корни характеристического уравнения (3.42) будут вещественными и передаточную функцию звена второго порядка (3.41) можно представить в виде произведения двух передаточных функций апериодических звеньев:

Теория автоматического управления задачи с решением

где Теория автоматического управления задачи с решением — постоянные времени апериодических звеньев. В этом случае асимптотическая ЛАЧХ звена второго порядка имеет два «излома» на частотах Теория автоматического управления задачи с решением.

Она может быть получена суммированием асимптотических ЛАЧХ двух апериодических звеньев.