Теория автоматического управления: задачи с решением

На этой странице я собрала теорию и практику, готовые задачи и подробные решения по предмету теория автоматического управления, чтобы вы смогли освежить знания.

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Предмет теории автоматического управления

К оглавлению…

Теория автоматического управления — это научная дисциплина, которая возникла сравнительно недавно, хотя отдельные устройства, работавшие без участия человека, известны с глубокой древности.

Появившиеся в результате первого промышленного переворота в Европе в конце XVIII века регуляторы (1765 г. — регулятор уровня И.И. Ползунова, а в 1784 г.-регулятор скорости паровой машины Д. Уатта) были предназначены стабилизировать работу технических устройств, на которые действуют внешние факторы из окружающей среды. Очень эффективным способом оказалось использование отрицательной обратной связи, которую в XIX веке которую в XIX веке вводили еще полуинтуитивно, и без соответствующих расчетов это не всегда давало нужный эффект. Часто вместо предполагаемого улучшения работы применение регуляторов с отрицательной обратной связью приводило к неожиданным техническим явлениям: неустойчивости, генерации новых движений.

Для изучения этих явлений потребовались соответствующие методы, которые не только могли бы объяснить необычные свойства, но и позволили усмотреть общие закономерности поведения регуляторов. Их основы были изложены в появившихся в конце XIX века первых работах «о регуляторах» английского математика-механика Д. Максвелла (1866 г.) и русского механика И.А. Вышнеградского (1876, 1877 гг.).

Активное развитие новой теории началось с появлением электротехнических систем, в частности электромашинных, и систем радиоавтоматики. До сих пор классическим примером систем автоматического управления является система регулирования скорости электрической машины. Впоследствии оказалось, что методы теории автоматического управления позволяют объяснить работу объектов различной физической природы: в механике, энергетике, радио- и электротехнике, т. е. везде, где можно усмотреть обратную связь. Все методы объединяет одна общая задача: обеспечить необходимую точность и удовлетворительное качество переходных процессов. Таким образом, теория автоматического управления является по существу теорией процессов в системах с отрицательной обратной связью.

К настоящему времени теория автоматического управления является сложившейся научной дисциплиной со своим аналитическим аппаратом, в развитие которого большой вклад внесли известные русские ученые-математики A.M. Ляпунов, Е.А. Барбашин, Н.Н. Красовский и др.

Предметом изучения теории автоматического управления являются свойства, методы расчета и конструирования систем автоматики с обратными связями. Как и любая теория, она имеет дело не с реальными инженерными конструкциями, а с их моделями. Они выражаются, как правило, математическим языком, т.е. имеют вид определенных уравнений. Понятно после этого, что все выводы и рекомендации теории автоматического управления справедливы только при полном соответствии моделей и реальных устройств, но этого никогда не бывает на практике.

Результатом неполноты модели является различие в поведении теоретической и реальной систем, что обычно обнаруживается при наладке последней. Таким образом, этап настройки есть неизбежный шаг к получению работоспособной системы автоматического управления. Иногда при большом несоответствии математической модели свойствам реального технического устройства инженеру-проектировщику приходится ее снова уточнять и пересчитывать результат конструирования.

При нынешнем уровне развития науки и техники для составления моделей обычно используется аппарат дифференциальных уравнений, на языке которых сформулированы основные законы механики и физики макромира.

Итак, предметом теории автоматического управления являются свойства моделей систем автоматики, которые представлены дифференциальными уравнениями, а также их различными преобразованиями и интерпретациями.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет теория автоматического управления

Основные понятия и определения

К оглавлению…

Объект управления — техническое устройство (часть окружающего мира) или процесс, поведение которого нас не устраива» по каким-либо причинам.

Управление — процесс воздействия на объект управления с целью изменения его поведения нужным образом.

Регулирование — частный случай управления, целью которого является приведение объекта к заданному состоянию. Автоматический процесс — процесс, который совершается безучастия человека. Система — совокупность элементов, объединенных общим режимом функционирования. При этом элементом можно называть любое техническое устройство.

Динамическая система — система, процессы в которой изменяются с течением времени в силу собственных свойств.

Система автоматического управления (САУ) — динамическая система, которая работает без участия человека.

Теория автоматического управления (ТАУ) — научно-техническая дисциплина, в рамках которой изучаются свойства систем автоматического управления, разрабатываются принципы расчета и построения таких систем. Основными элементами САУ (рис. 1.1) являются: — объект управления (ОУ);

-управляющее устройство или регулятор (Р), который сравнивает выход управляемого объекта с желаемым и в зависимости от результата вырабатывает управляющий сигнал на объект.

Рассмотрим подробнее объект управления (рис. 1.2) и выделим характеризующие его переменные. К таким переменным относятся:

  • управляющие воздействия — это такие переменные, с помощью которых можно влиять на поведение объекта;
  • выходные переменные -доступные измерению величины, которые отражают реакцию объекта на управляющие воздействия;
  • переменные состояния — внутренние и часто недоступные измерению переменно, которые определяют в каждый момент времени схема объекта управления, причем — возмущающие воздействия — отражают случайные воздействия окружающей среды на объект управления и обычно недоступны измерению.

Требование парирования их влияния приводит к необходимости создания систем автоматического управления. Все переменные, которые характеризуют объект, удобно представить в векторной форме:

Входные воздействия на систему (или задание на регулятор) будем обозначать буквой . Их число обычно совпадает с числом выходных переменных и изображается следующим вектором:

В дальнейшем для указания соответствующих векторных величин будем использовать обозначения:

-мерное вещественное линейное пространство.

В зависимости от числа входных и выходных переменных выделяют:

• одноканальные объекты (или системы) — объекты, в которых есть только одна выходная переменная ( -1);

• многоканальные (многосвязные, многомерные, взаимосвязанные) объекты (или системы) — объекты, в которых число выходных переменных больше единицы ( > 1).

Примеры систем управления

К оглавлению…

При обсуждении свойств автоматических устройств очень полезно обращаться к реальным примерам, которые достаточно распространены, и по ним можно представить себе поведение технической системы.

Рассмотрим несколько характерных примеров систем автоматического управления.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Задача 1.1

Одна из самых распространенных систем автоматики — система стабилизации скорости вращения двигателя постоянного тока с независимым возбуждением. Цель ее работы заключается в поддержании заданной скорости вращения двигателя при действии «нагрузки» на валу. Системы подобного типа используют, например, в металлорежущих станках, где независимо от глубины резания металла нужно выдерживать заданную скорость вращения. На рис. 1.3 представлена упрощенная схема реализации такой системы.

Здесь введены следующие обозначения:

— задающее воздействие на систему (напряжение задания);

ОУ — операционные усилители для согласования электрических цепей на входе и выходе;

— разница между напряжением задания и напряжением тахогенератора (сигнал рассогласования);

УМ — усилитель мощности для преобразования маломощного сигнала в силовое напряжение (напряжение на якоре двигателя);

Д — электродвигатель;

— ток в цепи электродвигателя;

— сопротивление и индуктивность в якорной цепи;

— напряжение на обмотке якоря электродвигателя;

— напряжение возбуждения;

ТГ — тахогенератор (маломощный генератор электрического напряжения), используется в качестве датчика скорости вращения двигателя;

— напряжение тахогенератора;

— момент нагрузки.

В этой системе организована отрицательная обратная связь, при которой

Если нагрузка возрастает, то падает и, как следствие, возрастает , что позволяет «удержать» обороты двигателя при увеличенной нагрузке на двигатель. Если уменьшается, происходит обратный процесс, который не дает возможности двигателю слишком увеличить скорость вращения.

При описании этого классического примера введены переменные, которые используются для описания динамических систем: вход — , выход — , возмущение — , состояние — , параметры — .

Рассмотрим теперь общеизвестный пример из области бытовой техники -систему стабилизации температуры в холодильнике. В каждом холодильнике применяется достаточно простая система автоматического регулирования, цель функционирования которой состоит в стабилизации температуры в камере холодильника при изменении массы и температуры закладываемых продуктов или при открывании дверей. На рис. 1.4 приведена упрощенная схема системы стабилизации температуры.

Здесь — сигнал, соответствующий заданной температуре; УМ -усилитель мощности с релейной характеристикой, который используется в качестве управляющего устройства, он включает или отключает холодильный агрегат (ХА), «прокачивающий» хладоагент через трубки камеры; ДТ — датчик температуры, выходной сигнал которого пропорционален температуре камеры.

Как правило, в холодильнике не применяются операционные усилители; сравнение заданной и действительной температур происходит непосредственно. На схеме это показано соответствующим элементом.

Система работает следующим образом: если открыть камеру и положить некоторую массу теплых продуктов, то сразу повышается температура в камере и возрастает разница между заданной (низкой) и повышенной действительной температурами, включается УМ с релейной характеристикой и работает холодильный агрегат. Через некоторое время разница становится меньше порогового значения и реле отключается. Такая система работает только в «одну сторону» — на охлаждение. Ее поведение характеризуют величины: вход — , выход — напряжение с датчика температуры; состояние — температура внутри камеры, возмущение — количество тепла в закладываемом продукте.

Динамические характеристики линейных систем

К оглавлению…

Прежде чем изучать поведение реальных систем и их моделей, необходимо определить формальный язык, на котором будут обсуждаться их свойства. Основным элементом такого формального языка является понятие динамических характеристик, под которыми интуитивно понимают какие-либо соотношения, характеризующие свойства систем в статике и динамике (при изменении состояния).

Дадим следующее определение. Динамической характеристикой (математической моделью) системы будем называть любое соотношение, заданное аналитически, графически или в виде таблицы, которое позволяет оценить ее поведение во времени.

В этом разделе мы будем рассматривать различные способы описания линейных динамических систем, их взаимосвязь и приведение к принятой в теории автоматического управления форме записи математической модели.

Отметим, что динамическая характеристика дает возможность исследовать поведение системы, т. е. рассчитать для нее переходные процессы.

Дифференциальные уравнения

К оглавлению…

Наиболее часто в качестве математической модели объекта управления используются обыкновенные дифференциальные уравнения, которые могут быть записаны в различной форме.

Линейные многоканальные объекты обычно описывают системой дифференциальных уравнений первого порядка, представленной в векторно-матричном виде:

Здесь — вектор состояния, — порядок объекта; -вектор управляющих воздействий, — квадратная матрица действительных коэффициентов; — прямоугольная матрица действительных коэффициентов. Уравнения (2.1) называют дифференциальными уравнениями состояния.

Выходные переменные объекта изменяются в соответствии с уравнением выхода

где — вектор выхода; — прямоугольная матрица действительных коэффициентов. Уравнения (2.1) и (2.2) описывают линейный многоканальный объект.

Для описания одноканального объекта обычно используется скалярное дифференциальное уравнение:

которое также может быть приведено к виду (2.1) и (2.2) после соответствующего выбора линейно-независимых переменных состояния. Их число всегда равно порядку объекта (), a и .

Наиболее простое каноническое описание получается в случае, когда в качестве переменных состояния выбираются выходная переменная у и ее производные до ( -1) включительно

При этом вместо (2.3) имеем систему уравнений

которая соответствует векторно-матричным уравнениям (2.1) и (2.2). Здесь матрицы и имеют вид

причем их размерности следующие:

Следует отметить, что переход к описанию (2.1), (2.2) не является однозначным: для одного объекта можно выбрать бесконечное множество наборов переменных состояния; важно, чтобы они были линейно-независимыми.

При этом каждой совокупности переменных состояния будут соответствовать свои матрицы объекта и .

Задача №2.1

Записать уравнения состояния одноканального объекта, модель которого имеет вид

Решение:

Рассмотрим два варианта переменных состояния. 1. Если в качестве переменных состояния выбрать выходную величину и ее произвольную , то получим канонические уравнения состояния и матрицы объекта типа (2.4):

2. Выбирая новые переменные получим уравнения состояния и матрицы объекта

В общем случае одноканальный объект может описываться дифференциальным уравнением вида

Выбрав соответствующие переменные состояния, от описания (2.5) также можно перейти к векторно-матричным уравнениям типа (2.1), (2.2). Рассмотрим этот переход на примере.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по ТАУ

Задача №2.2

Записать уравнения состояния объекта с математической моделью вида

Решение:

Разрешим ото уравнение относительно разности

выберем в качестве переменных состояния и получим следующие уравнения состояния и матрицы объекта:

Таким образом, в качестве основной динамической характеристики линейных объектов управления используются дифференциальные уравнения, которые могут быть представлены в форме (2.1), (2.2).

В теории автоматического управления рассматриваются не физические системы управления, а их математические модели, поэтому необходимо стремиться к тому, чтобы эта модель достаточно адекватно отражала свойства реального устройства. Процедуру получения математической модели объекта можно разбить на следующие этапы:

Составление гносеологической (мысленной) модели объекта. Исходя из технического задания и изучения режимов работы объекта инженер создает приближенную мысленную модель, которая в дальнейшем уточняется и приобретает вид математической модели.

Определение независимых переменных, которые характеризуют объект, и уточнение их размерностей. При этом число управляющих воздействий не может быть меньше числа выходных переменных . Размерность вектора переменных состояния не может быть меньше размерности вектора выходных переменных . Размерность возмущающих воздействий может быть произвольной и никак не связана с размерностью .

Запись физических законов, в силу которых развиваются процессы в объекте.

Приведение уравнений объекта к удобному с точки зрения теории автоматического управления виду.

Математическая модель никогда не бывает, тождественна рассматриваемому объекту, так как при ее составлении всегда делают какие-либо допущения и упрощения. Поэтому для одной и той же системы в зависимости от целей управления модели могут быть различными.

При составлении математической модели приходится искать компромиссный вариант между двумя противоречивыми требованиями: с одной стороны, модель должна наиболее полно отражать свойства реальной системы, с другой — быть простой, чтобы не затруднять исследований.

Задача №2.3

Определить математическую модель электрической цепи (рис. 2.1), записать для нее уравнения состояния.

Физическими законами, в силу которых развиваются процессы в объекте, являются законы Кирхгофа

Решение:

Перейдем к удобному с точки зрения теории управления описанию объекта. При этом выходной величиной будем считать напряжение на выходе цепи, т. е. , управляющим воздействием -напряжение на ее входе , а переменной состояния- ток, протекающий по цепи . С учетом

a затем перейдем к принятому описанию в переменных состояния

где

Задача №2.4

Рассмотрим в качестве еще одного примера составление математической модели двигателя постоянного тока с независимым возбуждением (рис. 2.2), который часто используется в системах автоматического управления.

Решение:

Здесь — напряжение, подаваемое на якорь ОВД двигателя, которое будем считать входным воздействием; — ток в не пи якоря, представляющий собой внутреннюю переменную объекта; — сопротивление и индуктивность цепи, якоря; — противоЭДС, т. е. напряжение, возникающее в обмотке якоря в результате его вращения в магнитном поле; — скорость вращения двигателя, которую будем считать выходной переменной; ОВД — обмотка возбуждения двигателя.

Запишем основные уравнения, характеризующие процессы в двигателе. Уравнение электрического равновесия якорной цепи имеет вид

Уравнение равновесия моментов на валу двигателя следующее:

где — приведенный момент инерции; — вращающий момент; — момент сопротивления на валу двигателя, который является возмущающим воздействием.

С достаточной степенью точности во многих случаях можно считать, что

где

В результате уравнения двигателя принимают вид

Введем следующие обозначения: — управление; — переменные состояния; — возмущение. Запишем уравнения двигателя в переменных состояния

где

Часто модель двигателя представляют в виде одного дифференциального уравнения

Здесь — электромеханическая постоянная времени двигателя; — электромагнитная постоянная времени якорной цепи; — коэффициент усиления; .

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения задач по ТАУ

Задача №2.5

Рассмотрим перевернутый маятник, ось которого монтируется на тележке (каретке); перемещающейся в горизонтальном направлении [9]. В совокупности такое устройство представляет собой объект управления, называемый «кареткой — маятником». Его схематичная модель изображена на рис. 2.3.

Решение:

Здесь — угол отклонения маятника (выходная переменная); — прикладываемая управляющим двигателем сила (входная переменная); — перемещение каретки; -масса каретки; — расстояние между осью и центром тяжести маятника; — масса маятника; — момент инерции относительно центра тяжести; — ускорение силы тяжести; и — горизонтальная и вертикальная силы реакции у оси маятника.

Упрощенная модель объекта «каретка — маятник» может быть представлена системой дифференциальных уравнений [9]

где

эффективная длина маятника.

Перейдем к описанию модели объекта в переменных состояния вида (2.1). В качестве компонент вектора состояния выберем следующие величины:

а выходной переменной объекта является угол отклонения маятника . В результате уравнения состояния принимают вид

Теперь определим матрицы объекта:

Переходная характеристика

К оглавлению…

Эта динамическая характеристика используется для описания одноканальных объектов (2.5)

с нулевыми начальным!! условиями

Переходной характеристикой (переходной функцией) называется реакция системы на единичное ступенчатое входное воздействие при нулевых начальных условиях.

Отметим, что единичная ступенчатая функция — это функция, которая обладает свойством

На рис. 2.4 приведен пример переходной характеристики системы.

Для аналитического определения переходной функции следует решить дифференциальное уравнение при нулевых начальных условиях и единичном входном воздействии.

При исследовании реального объекта переходную характеристику можно получить экспериментальным путем, подавая на его вход ступенчатое воздействие и фиксируя реакцию на выходе. Если входное воздействие представляет собой неединичную ступенчатую функцию то выходная величина будет равна , т. е. представляет собой переходную характеристику с коэффициентом пропорциональности .

Зная переходную характеристику, можно вычислить реакцию системы на произвольное входное воздействие с помощью интеграла свертки

( — переменная интегрирования).

Импульсная переходная функция

К оглавлению…

Эта характеристика также используется для описания одноканальных объектов вида (2.5).

Импульсная переходная функция (характеристика) представляет собой реакцию на входное воздействие типа единичной импульсной функции при нулевых начальных условиях (рис. 2.5).

Такое входное воздействие математически отражает дельта-функция, которая обладает следующими свойствами:

С помощью дельта-функции можно описать реальное входное воздействие типа удара. В действительности импульсные входные воздействия на объект всегда конечны по уровню и продолжительности. Однако если их длительность намного меньше длительности переходных процессов, то с определенной точностью реальный импульс может быть заменен дельта-функцией с некоторым коэффициентом.

Импульсная переходная функция позволяет вычислить реакцию системы на произвольное входное воздействие при нулевых начальных условиях по выражению

Переходная характеристика и импульсная переходная функция однозначно связаны между собой соотношениями

Уравнения (2,9) позволяют при одной известной характеристике оп реле лить вторую.

Переходная матрица

К оглавлению…

Данная динамическая характеристика применяется для описания многоканальных систем вида (2.1), (2.2) при нулевых входных воздействиях, т. е. для автономных систем

Переходная матрица представляет собой решение матричного дифференциального уравнения

при единичных начальных условиях

Она обладает следующими свойствами:

Зная переходную матрицу, можно вычислить реакцию системы

на произвольное входное воздействие при любых начальных условиях по выражению

Здесь первое слагаемое описывает свободную составляющую движения. второе — вынужденную. Соотношение для выходных переменных следующее:

Если система имеет нулевые начальные условия , то выражение (2.14) принимает вид:

Матрица называется матричной импульсной переходной функцией. Каждая ее компонента представляет собой импульсную переходную функцию , которая является реакцией -го выхода системы на -e импульсное входное воздействие при нулевых начальных условиях и отсутствии остальных входных воздействий

Дли многоканальных систем может быть определена также матричная переходная характеристика в виде

Для линейных систем с постоянными параметрами переходная матрица представляет- собой матричную экспоненту

где

С учетом (2.18) выражения (2.13) и- (2,14) принимают вид

В этом случае матричная импульсная переходная функция линейной системы с постоянными коэффициентами может быть найдена по соотношению

При небольших размерах или простой структуре матрицы объекта выражение (2.18) может быть использовано для точного представления переходной матрицы с помощью элементарных функций. В случае большой размерности матрицы следует использовать существующие программы для вычисления матричного экспоненциала.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Контрольная работа по теории автоматического управления

Передаточная функция

К оглавлению…

Наряду с обыкновенными дифференциальными уравнениями в теории автоматического управления используются различные их преобразования. Для линейных систем эти уравнения удобнее представлять в символической форме с применением так называемого оператора дифференцирования

что позволяет записывать дифференциальные уравнения как алгебраические и вводить новую динамическую характеристику -передаточную функцию. Этот способ был предложен английским ученым Хевисайдом в 1895 г., позднее он был строго обоснован аппаратом интегральных преобразований Лапласа и Карсона [4] в предположении нулевых начальных условий.

Рассмотрим этот переход для многоканальных систем общего вида

Запишем уравнение состояния в операторной форме

что позволяет определить вектор состояния

и выходные переменные системы

Матрица взаимосвязи между выходными переменными и управляющими воздействиями в выражении (2.23) называется матричной передаточной функцией и обозначается

Она имеет размерность :

где — скалярные передаточные функции, которые представляют собой отношение выходной величины к входной в символической форме при нулевых начальных условиях

Собственными передаточными функциями -го канала называются компоненты передаточной матрицы которые находятся на главной диагонали (2.25). Составляющие, расположенные выше или ниже главной диагонали (2.25), называются передаточными функциями перекрестных связей между каналами.

Как известно, обратная матрица может быть найдена по выражению

где — присоединенная матрица. Как следует № (2,26), все скалярные передаточные функции в (2.25) содержат одинаковый знаменатель

который называется характеристическим полиномом и имеет -й порядок.

Если теперь характеристический полином приравнять нулю, то получим характеристическое уравнение системы

Уравнение (2.27) имеет корней, которые называются полюсами системы

Задача №2.6

Определить передаточную матрицу для объекта

где

Решение:

Воспользуемся выражением для передаточной матрицы (2.24) и найдем предварительно обратную матрицу (2.26). Здесь

Присоединенная матрица имеет вид

В результате получим обратную матрицу

и передаточную матрицу объекта

Как видим, все скалярные передаточные функции из этой матрицы имеют одинаковый знаменатель, который представляет собой характеристический полином объекта.

Чаще всего передаточные функции применяются для описания одноканальных систем вида (2.5)

С использованием оператора дифференцирования р запишем уравнение (2.28) в символической форме и найдем передаточную функцию как отношение выходной величины к входной:

где — характеристический полином. Его корни,

называются полюсами, а корни полинома числителя передаточной функции,

называются нулями системы.

Передаточные функции динамических систем принято записывать в следующей стандартной форме:

где — коэффициент усиления;

Передаточную матрицу (передаточную функцию) можно также определить с помощью изображений Лапласа или Карсона — Хеви-сайда. Если подвергнуть одному из этих преобразований обе части дифференциального уравнения и найти соотношения между входными и выходными величинами при нулевых начальных условиях, то получим ту же самую передаточную матрицу (2.24) или функцию (2.29).

Все динамические характеристики объекта взаимосвязаны: получив одну из них, можно определить все остальные. Мы рассмотрели переход от дифференциальных уравнений к передаточным функциям с помощью оператора дифференцирования . Используя этот оператор, несложно перейти от передаточной функции к символической форме записи дифференциального уравнения, а затем к стандартному описанию объекта в форме (2.3) или (2.5).

Обсудим теперь взаимосвязь между переходными характеристиками и передаточной функцией. С этой целью запишем выражение для выходной переменной объекта через импульсную переходную функцию в соответствии с (2.8)

Подвергнем его преобразованиям Лапласа [2,9,12]

и получим соотношение из которого определим в виде

Таким образом, передаточная функция представляет собой преобразование по Лапласу импульсной переходной функции.

Задача №2.7

Определять передаточную функцию, нули и полюса для объекта, модель которого задана уравнением

Решение:

Запишем исходное уравнение объекта в операторной форме с помощью оператора дифференцирования

Определим теперь передаточную функцию

Характеристическое уравнение объекта имеет яид

Передаточная функция содержит два полюса и один нуль

Определить передаточную функцию двигателя постоянного тока с независимым возбуждением (см. рис. 2.2).

Дифференциальное уравнение двигателя получено в примере 2.4 и имеет вид

Будем полагать, что возмущающее воздействие отсутствует, т. е. . Запишем это уравнение в символической форме с помощью оператора дифференцирования

или, рассматривая его как алгебраическое,

Определим теперь передаточную функцию двигателя постоянного тока с независимым возбуждением

Как видим, она не содержит нулей и имеет два полюса, которые в зависимости от численных значений параметров и могут быть вещественными или комплексно-сопряженными.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Курсовая работа по теории автоматического управления

Модальные характеристики

К оглавлению…

Модальные характеристики соответствуют свободной составляющей движения системы (2.1) или, другими словами, отражают свойства автономной системы (2.10)

Будем искать ее решение в виде экспоненты

где — скалярная экспонента, — вектор начальных условий.

Подставляя решение (2.33) в исходное уравнение (2.32), после преобразований получим

Система уравнений (2.34) будет иметь ненулевое решение относительно , если

Уравнение (2.35) есть характеристическое уравнение системы и имеет корней , которые называются собственными значениями матрицы . При подстановке собственных значений в (2.35) получим

( — собственные векторы, ),

Совокупность собственных значений и собственных векторов представляет собой модальные характеристики системы.

Для (2.32) могут существовать лишь экспоненциальные решения

которые называют модами. Полное решение системы (2.32) представляет собой линейную комбинацию мод:

Для получения характеристического уравнения системы можно использовать выражение (2.27), т. е. приравнять нулю общий знаменатель передаточной матрицы (передаточной функции).

При исследовании свойств системы ее собственные значения (полюса) удобно изображать в виде точек на комплексной плоскости (рис. 2.6). Такое графическое представление корней характеристического уравнения называют корневым портретом системы. С его помощью в ряде случаев можно практически без вычислений оценить Рис. 2 6. Пример корневого качественные свойства процессов, портрета системы протекающих в линейных системах.

Задача №2.9.

Изобразить корневой портрет объекта, поведение которого описывают следующие уравнения:

Решение:

Определим матрицу объекта

и запишем характеристическое уравнение

Собственные значения матрицы следующие:

Они изображены на комплексной плоскости корней в виде точек (рис. 2.7).

Частотные характеристики

К оглавлению…

Важными динамическими характеристиками объекта являются его частотные характеристики, которые определяют взаимосвязь между параметрами периодических сигналов на входе и выходе. Чаще всего их используют для описания одноканальных объектов:

Если на его вход подавать гармонический сигнал заданной амплитуды и частоты ,

то на выходе в установившемся режиме у устойчивого объекта (гл. 4) будет также гармонический сигнал той же частоты, но в общем случае другой амплитуды со сдвигом по фазе

Для нахождения соотношения между входным и выходным гармоническими сигналами можно воспользоваться передаточной функцией (2.38), из которой формальной заменой на получим обобщенную частотную характеристику

Ее можно представить в виде

Составляющие обобщенной частотной характеристики имеют самостоятельное значение и следующие названия:

— вещественная частотная характеристика (ВЧХ), — мнимая частотная характеристика (МЧХ),

— амплитудная частотная характеристика (АЧХ), — фазовая частотная характеристика (ФЧХ).

Для исследования частотных свойств объекта или системы удобно использовать графическое представление частотных характеристик. В этом случае обобщенная частотная характеристика может быть построена на комплексной плоскости в соответствии с выражением (2.40), когда каждому значению частоты , соответствует вектор .

При изменении от 0 до конец этого вектора «прочерчивает» на комплексной плоскости кривую, которая называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ).

Наряду с амплитудно-фазовой характеристикой (рис. 2.8) можно также построить все остальные частотные характеристики. Так, амплитудная частотная показывает, как звено пропускает

Сигналы различной частоты; причем оценкой пропускания является отношение амплитуд выходного и входного сигналов . Фазовая частотная характеристика отражает фазовые сдвиги, вносимые системой на различных частотах.

Наряду с рассмотренными частотными характеристиками в теории автоматического управления используются логарифмические частотные характеристики. Удобство работы с ними объясняется тем, что операции умножения и деления заменяются на операции сложения и вычитания, а это позволяет во многих случаях строить их практически без вычислений.

Амплитудная частотная характеристика, построенная в логарифмическом масштабе,

называется логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ). При этом амплитуда измеряется в децибелах (дБ). При изображении ЛАЧХ (рис. 2.9) удобнее по оси абсцисс откладывать частоту также в логарифмическом масштабе, т. е. , выраженную в декадах (дек.).

На практике применяется также и логарифмическая фазовая частотная характеристика. При ее изображении используется ось абсцисс, на которой указывают частоту в логарифмическом масштабе, а по оси ординат откладывают фазу в дуговых градусах в линейном масштабе (рис. 2.10).

Возможно эта страница вам будет полезна:

Задачи теории автоматического управления

Задача №2.10

Для объекта с заданной передаточной функцией

построить амплитудно-фазовую (АФХ), вещественную частотную и фазовую частотную характеристики (ВЧХ, ФЧХ).

Решение:

Запишем выражение для обобщенной частотной характеристики, сделав замену в передаточной функции :

Выражения для ВЧХ и ФЧХ имеют вид

Соответствующие частотные характеристики, построенные при изменении частоты от 0 до , представлены на рис. 2.11.

Структурный метод

К оглавлению…

Для расчета различных систем автоматического управления их обычно разбивают на отдельные элементы, динамическими характеристиками которых являются дифференциальные уравнения не выше второго порядка. Причем различные по своей физической природе элементы могут описываться одинаковыми дифференциальными уравнениями, поэтому их относят к определенным классам, называемым типовыми звеньями.

Изображение системы в виде совокупности типовых звеньев с указанием связей между ними называется структурной схемой. Она может быть получена на основе как дифференциальных уравнений, так и передаточных функций. Данный способ и составляет суть структурного метода, т. е. метода представления систем автоматического управления различной физической природы.

Хотя структурный метод не предлагает новых способов расчета, он позволяет наглядно представить взаимосвязь элементов системы и оценить при наличии соответствующего опыта отдельные свойства переходных и статических процессов.

Он настолько широко используется в практике проектирования, что, по существу, может считаться одним из «языков», на котором обсуждаются свойства систем автоматического управления.

Рассмотрим подробнее отдельные типовые звенья и их различные динамические характеристики.

Типовые динамические звенья, пропорциональное (усилительное) звено

К оглавлению…

Пропорциональным называется звено, поведение которого описывает алгебраическое уравнение

где — коэффициент усиления. Строго говоря, это звено не является динамическим, но относится к типовым.

Примерами таких звеньев могут служить безынерционные усилители, механические редукторы, многие датчики сигналов и т. д. передаточная функция звена следующая:

Переходная характеристика (реакция звена на скачкообразное входное воздействие ) имеет вид

Импульсная переходная функция пропорционального звена определяется выражением

Модальные характеристики (собственные значения и собственные векторы) для него отсутствуют.

Заменив в передаточной функции на , получим выражения для частотных характеристик. Амплитудно-фазовая характеристика представляет собой точку на комплексной плоскости в соответствии с формулой

Вещественная частотная характеристика определяется соотношением (рис. 3.1).

а мнимая частотная характеристика отсутствует .

Амплитудная частотная характеристика может быть построена по соотношению

и имеет тот же вид, что и ВЧХ. Выражение для ФЧХ следующее:

Таким образом, при прохождении через пропорциональное звено амплитуда периодического входного сигнала изменяется в раз, а базовый сдвиг отсутствует.

Амплитудно-фазовая характеристика звена имеет вид точки на комплексной плоскости (рис. 3.2).

Логарифмическая АЧХ звена представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс:

Как следует из выражений (3.3, 3.4) и рис. 3.3, пропорциональное звено пропускает входные сигналы без искажений.

Дифференцирующее звено

К оглавлению…

Дифференцирующим называется звено, которое описывается дифференциальным уравнением

Его передаточная функция имеет вид

Примером дифференцирующего звена часто может служить тахогенератор постоянного тока. Переходная характеристика дифференцирующего звена определяется выражением

и имеет вид 5 -функции (рис. 3.4).

Импульсная переходная функция (рис. 3.5) представляет собой «дуплет» -функций

Рассмотрим теперь частотные характеристики звена. Амплитудно-фазовая характеристика

совпадает с положительной мнимой полуосью комплексной плоскости; вещественная частотная характеристика равна нулю, Л(ц>) = 0; мнимая частотная характеристика соответствует выражжению

т. е. представляет собой линейно нарастающую функцию. С ней совпадает амплитудная частотная характеристика, которая имеет вид

Фазовую частотную характеристику можно определить по соотношению

Следовательно, на всех частотах имеется постоянный фазовый сдвиг.

Интегрирующее звено

К оглавлению…

Интегрирующим называется звено, поведение которого описывает уравнение

Примером интегрирующего звена является операционный усилитель в режиме интегрирования.

Основной динамической характеристикой звена является его дифференциальное уравнение

на основе которого можно получить передаточную функцию

Характеритическое уравнение

имеет единственный корень (полюс), , который представляет собой модальную характеристику интегрирующего звена.

Переходная характеристика звена имеет вид линейно возрастающей функции

а импульсная переходная функция — ступенчатой функции

Выражение для амплитудно-фазовой частотной характеристики (рис. 3.7) получим, заменив в (3.12) на :

Вещественная частотная характеристика отсутствует, . Мнимая частотная характеристика имеет вид

а амплитудная частотная характеристика

При этом фазовая частотная характеристика следующая:

т. е. звено имеет постоянный фазовый сдвиг, который не зависит от частоты.

Амплитудно-фазовая характеристика интегрирующего звена имеет вид прямой, совпадающей с отрицательной мнимой полуосью комплексной плоскости (рис. 3.7). Запишем выражение для логарифмической амплитудно-частотной характеристики

и изобразим ее график (рис.3.8) Как видим, логарифмическая амплитудная частотная характеристика интегратора представляет собой прямую с наклоном — 20 дБ/дек. и пересекает ось ординат в точке 20 . Она показывает, что звено усиливает низкочастотные сигналы и ослабляет высокочастотные.

Апериодическое звено

К оглавлению…

Апериодическим называется звено, дифференциальное уравнение которого имеет вид

Различного типа двигатели являются примерами такого звена. Дифференциальное уравнение апериодического звена принято записывать в стандартном виде:

где — постоянная времени; — коэффициент усиления звена.

Заменив в (3.18) на перейдем к символической записи дифференциального уравнения

и найдем передаточную функцию апериодического звена:

Для определения модальных характеристик по передаточной функции (3.20) запишем характеристическое уравнение

Оно имеет единственный корень (полюс), .

Переходную характеристику звена (рис. 3.9) можно найти как решение уравнения (3.18) при

Импульсную переходную функцию (рис. 3.10) вычислим по соотношению

Выражение, соответствующее амплитудно-фазовой характеристике апериодического звена, имеет вид

По выражению

можно построить его вещественную частотную характеристику (рис. 3.11).

Мнимая частотная характеристика (рис. 3.12) апериодического звена соответствует уравнению

Амплитудную частотную характеристику (рис. 3.13) описывает выражение

Фазовая частотная характеристика звена определяется соотношением

Она представляет собой кривую (рис. 3.14) с пределом

На комплексной плоскости по выражению (3.24) можно построить амплитудно-фазовую характеристику апериодического звена, которая имеет вид полуокружности (рис. 3.15).

Запишем выражение для логарифмической амплитудной частотной характеристики

Наиболее просто для звена можно построить асимптотическую логарифмическую амплитудную частотную характеристику. В этом случае следует рассмотреть отдельно области высоких и низких частот и для каждой определить свою асимптоту:

1) в области низких частот, когда вместо точной ЛАЧХ (3.29) можно рассмотреть приближенную

2) в области высоких частот при вторая асимптота имеет вид

На частоте которая называется собственной частотой апериодического звена, справедливо условие

Точная характеристика звена на рис. 3.16 показана пунктирной линией и несколько отличается от асимптотической ЛАЧХ, причем наибольшая погрешность будет на собственной частоте .

Форсирующее звено

К оглавлению…

Форсирующим называется звено, дифференциальное уравнение которого имеет вид

Нетрудно убедиться в том, что (3.32) можно представить как сумму уравнений пропорционального и дифференцирующего звеньев. Передаточную функцию форсирующего звена

принято записывать в стандартной форме

где — коэффициент усиления, а — постоянная времени звена.

Передаточная функция (3.33) содержит полином в числителе, корень которого называется «нулем» форсирующего звена. Его переходная характеристика определяется соотношением

Качественный вид ее приведен на рис. 3.17.

Импульсная переходная функция звена следующая:

Обобщенная частотная характе-стика находится по пе функции (3.33) и имеет вид

Соответствующая амплитудно-фазовая характеристика изображена на рис. 3.18.

Вещественная частотная характеристика звена не зависит от частоты и равна

мнимая частотная характеристика представляет собой прямую фазовая характеристика форсирующего звена

Амплитудная частотная характеристика может быть построена по выражению

а фазовая частотная характеристика

причем в пределе

На основании выражения для определим логарифмическую амплитудную частотную характеристику

Как и в предыдущем случае, для форсирующего звена удобнее строить не точную, а асимптотическую ЛАЧХ (рис. 3.19). Здесь — собственная частота звена.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика форсирующего звена

Причем се можно получить, исследуя отдельно области низких „ высоких частот или суммируя ЛАЧХ пропорционального и дифференцирующего звеньев.

Нетрудно убедиться, сравнивая выражения (3.28) и (3.29) с выражениями (3.37) и (3.38), в том, что логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики форсирующего звена представляют собой зеркальное отображение относительно оси абсцисс соответствующих логарифмических характеристик апериодического звена.

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Звено второго порядка

К оглавлению…

Дифференциальное уравнение звена второго порядка

принято записывать в стандартном виде

где — постоянная времени звена; — коэффициент демпфирования, который определяет склонность переходных процессов к колебаниям, — коэффициент усиления.

Передаточную функцию звена получим на основе символической записи дифференциального уравнения

в виде

Для определения модальных характеристик запишем характеристическое уравнение звена

Оно имеет два корня (полюса), которые в зависимости от коэффициента демпфирования могут быть вещественными или комплексно-сопряженными, что приводит к различным переходным процессам. Рассмотрим варианты корней.

  • Если , то корни уравнения (3.42) вещественные и положительные. Обозначим их через и получим переходную функцию (рис. 3.20) в виде
  • Если , то корни уравнения (3.42) будут комплексно-сопряженными, т.е. При получаем

В случае, когда коэффициент демпфирования изменяется в диапазоне , звено второго порядка называют колебательным. Выражение для его переходной характеристики следующее:

Причем колебательность переходного процесса будет тем больше, чем меньше коэффициент демпфирования . В пределе при = О будут иметь место незатухающие колебания. В этом случае звено называется консервативным. Соответствующие графики переходных процессов представлены на рис. 3.21.

Определим выражение для общей частотной характеристики колебательного звена, заменив на в передаточной функции (3.41):

Запишем выражения для вещественной частотной характеристики

и мнимой частотной характеристики:

На основе (3.46) и (3.47) построим АЧХ на комплексной плоскости, рассматривая характерные точки:

Ее вид существенно зависит от коэффициента демпфирования (рис. 3.22).

Амплитудно-фазовая характеристика консервативного звена ( =0) начинается в точке к на вещественной оси и при увеличении со стремится , а затем из -к началу координат.

Амплитудная частотная характеристика строится на основе выражения

и может иметь резонансный пик, высота которого будет тем больше, чем меньше коэффициент демпфирования .

Формула для фазовой частотной характеристики имеет вид

Построение ЛAЧX колебательного звена (при 0 < < 1) осуществляется по соотношению, полученному из (3.48):

При значениях коэффициента демпфирования в интервале 0,3<d<l можно строить упрощенную асимптотическую ЛAЧX. рассматривая отдельно области высоких и низких частот.

В области низких частот асимптота имеет вид

В области высоких частот, когда получим вторую асимптоту (рис. 3.23)

На собственной чистоте колебательного звена справедливо соотношение

Наибольшее отличие асимптотической ЛАЧХ от действительной характеристики наблюдается на частоте (рис. 3.24) и зависит от величины коэффициента демпфирования.

При значениях <0,3 не следует пользоваться асимптотической ЛАЧХ, а нужно строить точную логарифмическую характеристику.

При > 1 корни характеристического уравнения (3.42) будут вещественными и передаточную функцию звена второго порядка (3.41) можно представить в виде произведения двух передаточных функций апериодических звеньев:

где — постоянные времени апериодических звеньев. В этом случае асимптотическая ЛАЧХ звена второго порядка имеет два «излома» на частотах .

Она может быть получена суммированием асимптотических ЛАЧХ двух апериодических звеньев.