Техническая механика: задачи с решением

Оглавление:

Прежде чем изучать готовые решения задачи по технической механике, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила краткую теорию по предмету «техническая механика», после которой подробно решены задачи.

Эта страница подготовлена для студентов любых специальностей.

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Основные понятия

К оглавлению…

В технической механике рассматриваются вопросы расчета отдельных элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость.

Прочность — это способность сооружений сопротивляться разрушению под действием приложенных к ним внешних нагрузок.

Жесткость — способность элемента конструкции сопротивляться деформации. Изменение формы или размеров тела называется деформацией.

Устойчивость — способность элемента конструкции сохранять одну форму равновесия под действием внешней нагрузки. Признаком потери устойчивости является внезапная смена одной формы равновесия другой.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет техническая механика

Простейшие типы конструкций

К оглавлению…

Брус — тело, у которого два размера малы по сравнению с третьим. Брус с прямолинейной осью называют стержнем. Ось бруса — это линия, которая соединяет центры тяжести его поперечных сечений. Горизонтальный брус, работающий на изгиб, обычно называют балкой.

Пластинка (пластина) — конструкция, ограниченная двумя плоскостями, расстояние между которыми мало по сравнению с другими размерами.

Оболочка — конструкция, ограниченная двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с другими размерами. Геометрическое место точек, равноудаленных от наружной и внутренней поверхностей оболочки, называется срединной поверхностью. Оболочка, срединная поверхность которой представляет собой плоскость, является пластинкой.

Массив — тело, у которого все три размера одного порядка.

Нагрузки

К оглавлению…

Нагрузки, действующие на конструкцию, являются по отношению к ней внешними силами.

Нагрузки могут рассматриваться как сосредоточенные (Н или кг) или распределенные по поверхности (Решение задач по технической механике или Решение задач по технической механике) или вдоль линии (Н/м или кг/м). Нагрузки, распределенные по объему тела (собственных вес конструкции, силы инерции) называются объемными силами (Решение задач по технической механике или Решение задач по технической механике).

Кроме силовых имеются и моментные нагрузки в виде сосредоточенных моментов (Решение задач по технической механике или Решение задач по технической механике) и моментов, распределенных по линии (Решение задач по технической механике или Решение задач по технической механике).

Статическая нагрузка не изменяет своей величины или точку приложения во времени и пространстве. Динамическими называются нагрузки, изменяющиеся во времени (например, удар).

Гипотезы, принимаемые в сопротивлении материалов:

  1. Материал конструкции имеет сплошное строение.
  2. Материал конструкции — однороден, т.е. обладает одинаковыми свойствами во всех точках.
  3. Материал конструкции — изотропен, т.е. обладает одинаковыми свойствами во всех направлениях.
  4. В теле до приложения внешней нагрузки нет внутренних усилий.
  5. Принцип независимости действия сил: результат воздействия на конструкцию системы сил равен сумме результатов воздействия тех же сил, прилагаемых к конструкции последовательно и в любом порядке.
  6. В точках тела, удаленных от мест приложения нагрузок, внутренние силы мало зависят от конкретного способа приложения этих нагрузок.
  7. Гипотеза плоских сечений Бсрнулли: поперечные сечения бруса, плоские до приложения к нему нагрузки, остаются плоскими и при действии нагрузки.

Деформации и перемещения

К оглавлению…

Под действием приложенных сил тело деформируется. Изменение линейных размеров называется линейной деформацией, а изменение угловых размеров — угловой деформацией.

Удлинение — увеличение линейных размеров тела, укорочение — уменьшение линейных размеров тела.

Решение задач по технической механике

Рассмотрим прямой брус (стержень) постоянного сечения длиной Решение задач по технической механике, заделанный одним концом и нагруженный на другом конце растягивающей силой Решение задач по технической механике. Под действием этой силы брус удлиняется на величину Решение задач по технической механике (рис. 1.1), которая называется полным (абсолютным)удлинением, тогда

Решение задач по технической механике

где Решение задач по технической механике — относительная продольная деформация.

Решение задач по технической механике

Пусть в результате деформации прямоугольник 1-2-3-4 (рис. 1.2, а) примет вид параллелограмма Решение задач по технической механике (рис. 1.2, б). В этом случае изменение первоначального прямого угла между сторонами рассматриваемого прямоугольника будет:

Решение задач по технической механике

Угол сдвига Решение задач по технической механике характеризует угловую деформацию в данной точке.

Деформации, исчезающие после разгрузки тела, называются упругими.

Перемещение точки — расстояние между первоначальным положением точки (до приложения внешних нагрузок) и ее положением после деформации, взятое в определенном направлении (например, вдоль оси стержня). На рис. 1.1: Решение задач по технической механике — продольное перемещение точки Решение задач по технической механике.

Метод сечений

К оглавлению…

Для определения внутренних усилий применяется метод сечений, который заключается в следующем.

  1. Мысленно делается разрез через исследуемую точку конструкции.
  2. Отбрасывается одна из частей, а ее действие заменяется внутренними усилиями, которые уравновешивают внешние силы, действующие на отсеченную часть. Внутренние силы, возникающие в теле под действием нагрузки — непрерывно распределенные, но они приводятся в сечении к главному вектору и главному моменту внутренних сил.
  3. Составляются уравнения равновесия для отсеченной части тела, из которых определяются внутренние усилия.

Рассмотрим порядок расчета для случая, когда внешние силы лежат в одной плоскости (рис. 1.3).

Решение задач по технической механике

После проведения сечения Решение задач по технической механике отбросим левую часть (I), а для уравновешивания оставшейся части (II) в общем случае необходимо в сечении Решение задач по технической механике приложить силу Решение задач по технической механике — нормальную силу, действующую вдоль оси стержня; Решение задач по технической механике — поперечную силу, действующую в плоскости поперечного сечения Решение задач по технической механике; и момент Решение задач по технической механике — изгибающий момент. После этого составляем уравнения равновесия для отсеченной части (II):

Решение задач по технической механике

из которых и определяем Решение задач по технической механике

Если же рассматривается пространственная задача, то в поперечном сечении в общем случае будут возникать шесть внутренних усилий, являющихся компонентами главного вектора и главного момента системы внутренних сил (рис. 1.4), где Решение задач по технической механике — нормальная сила (продольная); Решение задач по технической механике -поперечные силы, Решение задач по технической механике — крутящий момент; Решение задач по технической механике — изгибающие моменты.

Решение задач по технической механике

Для определения этих шести усилий необходимо составить шесть уравнений равновесия: приравнять нулю суммы проекций сил на оси координат и суммы моментов сил относительно этих же осей координат. Будем считать, что ось х проходит через центры тяжести поперечных сечений конструкции.

Частные случаи нагружения

К оглавлению…

  1. Растяжение (сжатие) — в поперечном сечении стержня возникает только нормальная сила Решение задач по технической механике.
  2. Сдвиг — в поперечном сечении стержня возникают только поперечные силы.
  3. Кручение — в поперечном сечении стержня возникает только крутящий момент.
  4. Чистый изгиб — в поперечном сечении стержня возникает только изгибающий момент.
  5. Случай сложных деформаций.

Напряжения

К оглавлению…

Сосредоточенные внутренние силы и моменты являются статическим эквивалентом внутренних сил, распределенных по площади сечения. Пусть Решение задач по технической механике — равнодействующая внутренних сил на бесконечно малой площади Решение задач по технической механике поперечного сечения стержня, тогда

Решение задач по технической механике

Упрощенно можно сказать, что напряжение — это внутренняя сила, приходящаяся на единицу площади. Разложим силу Решение задач по технической механике на две составляющие: касательную Решение задач по технической механике и нормальную Решение задач по технической механике к поперечному сечению. В этом случае можно получить

Решение задач по технической механике

где Решение задач по технической механике — касательное напряжения, Решение задач по технической механике — нормальное напряжение. Напряжения имеют размерность Решение задач по технической механике, МПа и т.д. Нормальное и касательное напряжения являются составляющими полного напряжения Решение задач по технической механике в точке:

Решение задач по технической механике

Диаграмма растяжения малоуглеродистой стали

К оглавлению…

Решение задач по технической механике

На рис. 2.1 введены условные обозначения:

Решение задач по технической механике — предел пропорциональности; Решение задач по технической механике — предел текучести; Решение задач по технической механике — предел прочности при растяжении; Решение задач по технической механике — остаточная (пластическая) относительная деформация; Решение задач по технической механике — упругая относительная деформация.

После зоны упрочнения появляется шейка — резкое сужение поперечного сечения бруса.

Условное напряжение в образце определяется делением растягивающей силы на первоначальную площадь поперечного сечения образца. Истинное напряжение определяется делением растягивающей силы на площадь поперечного сечения шейки.

Остаточным относительным удлинением Решение задач по технической механике называется отношение остаточной линейной деформации Решение задач по технической механике образца к первоначальной его длине Решение задач по технической механике:

Решение задач по технической механике

где Решение задач по технической механике — длина образца после разрыва.

Механические характеристики материала включает в себя:

Решение задач по технической механике

или

Решение задач по технической механике

Диаграммы сжатия

К оглавлению…

Диаграмма сжатия пластической стали имеет вид, представленный на рис. 2.3.

Решение задач по технической механике

Пределы текучести при растяжении и сжатии для одной и той же пластической стали практически одинаковы. Понятие предела прочности при сжатии пластической стали лишено физического смысла, так как при сжатии образец расплющивается и площадь его сечения увеличивается. Поэтому увеличивается также величины сжимающей силы и условных напряжений, отнесенных к первоначальной площади поперечного сечения образца.

Хрупкие материалы, например, чугун, имеют иную диаграмму сжатия (рис. 2.4). Деформации чугуна с самого начала не следует закону Гука. Они очень малы. Этот материал значительно хуже работает на растяжение (Решение задач по технической механике), чем на сжатие (Решение задач по технической механике).

Пластичность, хрупкость

К оглавлению…

Пластичность — свойство материала получать значительные остаточные деформации (Решение задач по технической механике) не разрушаясь (медь, латунь, малоуглеродистая сталь).

Хрупкость — свойство материала разрушаться при незначительных остаточных деформациях (чугун, камень, бетон, стекло). Величина остаточного удлинения при разрыве составляет 2-5%.

Допускаемые нормальные напряжения

К оглавлению…

Фактические напряжения в конструкции, предел прочности, предел текучести установить точно трудно из-за приближенных методов расчета, разнородности материалов и других причин, поэтому вводится понятие -допускаемые напряжения.

Условие прочности для хрупких материалов:

Решение задач по технической механике при растяжении, где Решение задач по технической механике,

Решение задач по технической механике при сжатии, где Решение задач по технической механике

Решение задач по технической механике — наибольшие расчетные нормальные растягивающие и сжимающие напряжения; Решение задач по технической механике — допускаемые напряжения при растяжении и сжатии; Решение задач по технической механике — нормативные коэффициенты запаса прочности по отношению к пределу прочности Решение задач по технической механике.

Условие прочности для пластических материалов:

Решение задач по технической механике

где Решение задач по технической механике — наибольшее по абсолютной величине нормальное сжимающее или растягивающее напряжение, Решение задач по технической механике — допускаемое напряжение, Решение задач по технической механике — нормативный коэффициент запаса прочности по отношению к пределу текучести Решение задач по технической механике.

Центральное растяжение (сжатие)

К оглавлению…

Рассмотрим случай осевого (центрального) растяжения или сжатия на конкретном примере (рис. 2.5). Для определения внутренних усилий в стержне применим 2 раза метод сечений. Для этого сначала проведем сечение 1-1 и мысленно отбросим верхнюю часть бруса (рис. 2.5, а). Действие отброшенной части заменим нормальной силой Решение задач по технической механике (рис. 2.5, б), для определения которой составим условие:

Решение задач по технической механике

тогда

Решение задач по технической механике

Полученное значение Решение задач по технической механике откладываем в масштабе на эпюре нормальных сил (рис. 2.5, г). Затем проводим сечение II-II (рис. 2.5, в) и получаем,что

Решение задач по технической механике

тогда

Решение задач по технической механике

Построенный график (рис. 2.5, г) показывает изменение нормальных

Решение задач по технической механике

сил по длине бруса без учета его собственного веса и называется эпюрой нормальных сил.

Нормальная сила Решение задач по технической механике представляет собой равнодействующую внутренних нормальных напряжений, распределенных по площади Решение задач по технической механике поперечного сечения, то есть

Решение задач по технической механике

Для наглядного изображения изменения нормальных напряжений о в поперечных сечениях стержня по его длине строится эпюра нормальных напряжений (рис. 2.5, д).

Растягивающие нормальные силы принято считать положительными, а сжимающие — отрицательными (рис. 2.5, д).

Определение перемещений

К оглавлению…

Зависимость между нормальным напряжением ст и относительной деформацией Решение задач по технической механике в пределах упругости при растяжении и сжатии имеет вид (закон Гука):

Решение задач по технической механике

где Решение задач по технической механике — модуль продольной упругости (модуль Юнга). Величина Решение задач по технической механике — физическая постоянная материала, например, для стали Решение задач по технической механике, для дерева Решение задач по технической механике. Формулу (2.3) представим в виде

Решение задач по технической механике

откуда находим абсолютное удлинение стержня Решение задач по технической механике (рис. 2.6, а):

Решение задач по технической механике
Решение задач по технической механике

Формулы (2.3), (2.4) являются математическими выражениями закона Гука при растяжении и сжатии бруса, который сформулировал Р. Гук в 1660 г. Произведение Решение задач по технической механике называется жесткостью поперечного сечения бруса при растяжении (сжатии).

Для бруса переменного поперечного сечения (рис. 2.6, б) получаем

Решение задач по технической механике

Рассмотрим удлинение от собственного веса стержня постоянного сечения (рис. 2.6, в):

Решение задач по технической механике

где Решение задач по технической механике — объемный вес материала конструкции. Перемещение сечения Решение задач по технической механике находим по формуле:

Решение задач по технической механике

Для стержня со ступенчатым изменением площади Решение задач по технической механике (рис. 2.6, г) и нормальной силы Решение задач по технической механике удлинения Решение задач по технической механике вычисляются на каждом участке с постоянными Решение задач по технической механике и Решение задач по технической механике а результаты алгебраически суммируются:

Решение задач по технической механике

где Решение задач по технической механике — число участков; Решение задач по технической механике — номер участка Решение задач по технической механике.

Поперечная деформация

К оглавлению…

Существует экспериментально установленная зависимость:

Решение задач по технической механике

где Решение задач по технической механике — относительная поперечная деформация, Решение задач по технической механике — ширина стержня, Решение задач по технической механике — абсолютная поперечная деформация (рис. 1.1), Решение задач по технической механике — коэффициент Пуассона (коэффициент поперечной деформации), характеризующий способность материала к поперечным деформациям.

Коэффициент Пуассона Решение задач по технической механике вместе с модулем продольной упругости Решение задач по технической механике характеризует упругие свойства материалов.

Например, для стали Решение задач по технической механике; для бетона Решение задач по технической механике; для пробки Решение задач по технической механике.

Теперь мы можем записать все параметры, характеризующие механические свойства материала:

Решение задач по технической механике

или

Решение задач по технической механике

Плоское напряженное состояние

К оглавлению…

Выделим из тела в окрестности произвольной точки бесконечно малую треугольную призму, боковые грани которой перпендикулярны к плоскости чертежа, а высота их равна Решение задач по технической механике (рис. 3.1). Приложим к призме те же напряжения, которые действовали на нее до выделения ее из тела.

Для определения напряжений Решение задач по технической механике и Решение задач по технической механике, действующих по наклонной площадке, составим три уравнения равновесия. Вначале составим условие равенства нулю моментов относительно точки Решение задач по технической механике:

Решение задач по технической механике
Решение задач по технической механике

откуда получаем закон парности касательных напряжений:

Решение задач по технической механике

Запишем условия равенства нулю суммы проекций сил на направления напряжений Решение задач по технической механике и Решение задач по технической механике:

Решение задач по технической механике

Из рис. 3.1 очевидно, что

Решение задач по технической механике

Подставим значения Решение задач по технической механике и Решение задач по технической механике в выражения Решение задач по технической механике и Решение задач по технической механике а затем сократим полученные уравнения на Решение задач по технической механике

В результате будем иметь:

Решение задач по технической механике

С учетом равенства (3.1) последние две формулы для определения напряжений на наклонных площадках примут вид:

Решение задач по технической механике

Из формулы (3.2) можно получить, что

Решение задач по технической механике

т.е. сумма величин нормальных напряжений в двух взаимно перпендикулярных площадках есть величина постоянная.

Напряжения в наклонных площадках стержня при одноосном растяжении

К оглавлению…

Сравнивая рис. 3.1 и 3.2, отметим, что Решение задач по технической механике. Подставим эти значения напряжений в формулы (3.2) и (3.3):

Решение задач по технической механике
Решение задач по технической механике

Формулы (3.4) дают возможность вычислять нормальные Решение задач по технической механике и касательные Решение задач по технической механике напряжения на наклонных сечениях бруса при одноосном растяжении (сжатии).

Пусть Решение задач по технической механике, тогда из формул (3.4) находим Решение задач по технической механике при Решение задач по технической механикеимеем

Решение задач по технической механике

Примем Решение задач по технической механике, в этом случае Решение задач по технической механике.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Техническая механика задачи

Главные напряжения. Главные площадки

К оглавлению…

Максимальные и минимальные нормальные напряжения называются главными напряжениями, а площадки, по которым они действуют — главными площадками.

Для определения величин главных напряжений используем формулу (3.2):

Решение задач по технической механике

откуда находим

Решение задач по технической механике

где Решение задач по технической механике — углы наклона главных площадок к площадке, в которой действует напряжение Решение задач по технической механике. По главным площадкам касательные напряжения равны нулю.

Подставим выражение (3.5) в формулу (3.2) и найдем

Решение задач по технической механике

Площадки, по которым действуют Решение задач по технической механике и Решение задач по технической механике, называются площадками сдвига. Их находим, используя формулу (3.3):

Решение задач по технической механике

где Решение задач по технической механике — угол наклона площадки сдвига к площадке, по которой действует напряжение Решение задач по технической механике (рис. 3.1).

Сравним формулы (3.5) и (3.7), очевидно, что

Решение задач по технической механике

то есть

Решение задач по технической механике

Таким образом, площадки сдвига наклонены к главным площадкам под углами, равными 45°.

Для определения величин Решение задач по технической механике и Решение задач по технической механике примем, что в формуле (3.3) Решение задач по технической механике, Решение задач по технической механике. Кроме того возьмем Решение задач по технической механике. В этом случае

Решение задач по технической механике
Решение задач по технической механике

Пример 1. Пусть Решение задач по технической механике (рис. 3.3), тогда по формулам (3.2), (3.3) определяем: Решение задач по технической механике.

Решение задач по технической механике

Пример 2. (рис. 3.4) Имеем, что Решение задач по технической механике. Требуется определить Решение задач по технической механике и Решение задач по технической механике на площадках, наклоненных под углом Решение задач по технической механике. В этом случае по формулам (3.2), (3.3) определяем:

Решение задач по технической механике

Пространственное напряженное состояние

К оглавлению…

Выделим в окрестности точки элементарный кубик с взаимно перпендикулярными гранями (рис. 4.1).

При пространственном напряженном состоянии через каждую точку всегда можно провести три площадки, по которым касательные напряжения равны нулю. Такие площадки называются главными площадками, а нормальные напряжения, действующие по этим площадкам — главными напряжениями. Главные напряжения при трехосном напряженном состоянии принято обозначать через Решение задач по технической механике, причем Решение задач по технической механике. Все три главные площадки — взаимно перпендикулярны.

Решение задач по технической механике

Сумма нормальных напряжений, действующих по любым трем взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через рассматриваемую точку, есть величина постоянная:

Решение задач по технической механике

Обобщенный закон Гука

К оглавлению…

Выделим из тела элементарный параллелепипед (рис.4.2), грани которого совпадают с главными площадками. Обозначим через Решение задач по технической механике относительные деформации ребер параллелепипеда в направлении главных напряжений Решение задач по технической механике.

Пусть Решение задач по технической механике — относительная деформация в направлении Решение задач по технической механике от напряжения Решение задач по технической механике — относительная деформация в направлении Решение задач по технической механике от напряжения Решение задач по технической механике; Решение задач по технической механике — относительная деформация в направлении Решение задач по технической механике от напряжения Решение задач по технической механике. Тогда на основании принципа независимости действия сил получаем:

Решение задач по технической механике

По аналогии находим:

Решение задач по технической механике
Решение задач по технической механике
Решение задач по технической механике

Аналогичные формулы можно записать и для случая, когда грани элементарного параллелепипеда не совпадают с главными площадками:

Решение задач по технической механике
Решение задач по технической механике

В общем случае кроме нормальных напряжений Решение задач по технической механике — действуют также и касательные напряжения (рис. 4.1). Но касательные напряжения не вызывают удлинений ребер параллелепипеда, а вызывают лишь изменения прямых углов между его гранями.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения задач технической механике

Объемная деформация

К оглавлению…

Под действием внешней нагрузки упругое тело деформируется, его объем изменяется. Пусть до деформации объем параллелепипеда был

Решение задач по технической механике

а после приложения внешней нагрузки его объем можно вычислить по формуле (рис. 4.2):

Решение задач по технической механике

Из-за малости Решение задач по технической механике по сравнению с единицей в формуле (4.2) пренебрегаем их произведениями. Окончательно получаем:

Решение задач по технической механике

где Решение задач по технической механике — относительное изменение объема.

Подставим формулы для вычисления Решение задач по технической механике в выражение (4.3):

Решение задач по технической механике

откуда определяем, что

Решение задач по технической механике

Рассмотрим случай трехосного равномерного растяжения, т.е. Решение задач по технической механике тогда из формулы (4.4) находим:

Решение задач по технической механике

То есть мы приняли, что если имеется трехосное растяжение, то обязательно должно быть Решение задач по технической механике . В этом случае, согласно последней формулы Решение задач по технической механике откуда Решение задач по технической механике или Решение задач по технической механике

Работа внешних и внутренних сил при растяжении

К оглавлению…

Решение задач по технической механике

При растяжении (сжатии) внешние силы совершают работу вследствие перемещения точек их приложения:

Решение задач по технической механике

где Решение задач по технической механике — элементарная работа. Полагаем, что сила Решение задач по технической механике растет от нулевого значения до своей конечной величины Решение задач по технической механике. Но с другой стороны (рис. 4.3)

Решение задач по технической механике

откуда

Решение задач по технической механике

Полученный результат подставим в формулу (4.6):

Решение задач по технической механике
Решение задач по технической механике

Работа Решение задач по технической механике внешней статически приложенной силы равна половине произведения окончательного значения силы Решение задач по технической механике на окончательную величину соответствующего перемещения Решение задач по технической механике.

При деформации внутренние силы также совершают работу (рис. 4.4):

Решение задач по технической механике

Величина, равная работе внутренних сил, но имеющая противоположный знак, называется потенциальной энергией деформации.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Курсовая работа по технической механике

Сдвиг

К оглавлению…

Чистым сдвигом называется такой случай плоского напряженного состояния, при котором по боковым граням параллелепипеда действуют только касательные напряжения Решение задач по технической механике (рис. 5.1). Из формул (3.2, 3.3), полученных ранее, находим

Решение задач по технической механике

Указанные на рис. 5.1 касательные напряжения будут Решение задач по технической механике и Решение задач по технической механике.

При Решение задач по технической механике получаем Решение задач по технической механике и Решение задач по технической механике.

Опытным путем установлена линейная зависимость

Решение задач по технической механике
Решение задач по технической механике

которая устанавливает закон Гука при сдвиге, где Решение задач по технической механике — угол сдвига,

Решение задач по технической механике

Решение задач по технической механике — модуль сдвига (модуль упругости второго рода). Он характеризует способность материала сопротивляться деформации сдвига.

Объемная деформация при сдвиге

Решение задач по технической механике

Условие прочности при расчете на сдвиг (срез) имеет вид:

Решение задач по технической механике

где Решение задач по технической механике — допускаемое касательное напряжение (допускаемое напряжение на срез). Например, при расчете заклепок принимают Решение задач по технической механике, а при расчете деревянных конструкций на срез принимают Решение задач по технической механике (для сосны).

Потенциальная энергия при сдвиге

К оглавлению…

Из рис. 5.2 находим:

Решение задач по технической механике
Решение задач по технической механике

где Решение задач по технической механике — поправочный коэффициент, учитывающий неравномерное распределение касательных напряжений по поперечному сечению. Учитывая полученные результаты, по формуле (4.7) определяем

Решение задач по технической механике

где Решение задач по технической механике — потенциальная энергия при сдвиге.

Практические расчеты на сдвиг

К оглавлению…

Рассмотрим основы практических методов расчета на сдвиг (срез) заклепочных соединений.

Задача с решением №1.

Определить необходимое число Решение задач по технической механике односрезных заклепок диаметром Решение задач по технической механике при действии растягивающей силы Решение задач по технической механике (рис. 5.3, а).

При действии статической нагрузки Решение задач по технической механике можно принимать, что поперечная сила Решение задач по технической механике в каждой заклепке равна

Решение задач по технической механике
Решение задач по технической механике

Будем считать, что касательные напряжения Решение задач по технической механике по плоскости среза распределяются равномерно (рис. 5.3, б), тогда

Решение задач по технической механике

где Решение задач по технической механике — площадь поперечного сечения одной заклепки.

Решение задач по технической механике

Составим уравнение равновесия для отсеченной части (рис. 5.3, б):

Решение задач по технической механике

Из условия прочности на срез (5.3) получаем:

Решение задач по технической механике

Задача с решением №2.

Определить необходимое число п заклепок в двухсрезном соединении (рис. 5.4).

Составим уравнение равновесия отсеченной части (рис. 5.4, б):

Решение задач по технической механике

откуда

Решение задач по технической механике

Возможно эта страница вам будет полезна:

Контрольная работа по технической механике

Геометрические характеристики плоских сечении

К оглавлению…

При изучении вопросов прочности, жесткости и устойчивости приходится иметь дело с некоторыми геометрическими характеристиками поперечных сечений конструкций.

Площадь является простейшей геометрической характеристикой поперечного сечения:

Решение задач по технической механике

Статическим моментом плоского сечения относительно некоторой оси называется, взятая по всей его площади Решение задач по технической механике, сумма произведений площадей элементарных площадок Решение задач по технической механике на их расстояния от этой оси (рис. 6.1):

Решение задач по технической механике
Решение задач по технической механике

где Решение задач по технической механике — расстояние от центра тяжести всего плоского сечения до оси Решение задач по технической механике — расстояние от центра тяжести всего сечения до оси Решение задач по технической механике.

Статический момент сложного сечения относительно некоторой оси равен сумме статических моментов всех частей этого сечения относительно той же оси:

Решение задач по технической механике
Решение задач по технической механике

В формулах (6.5) введены обозначения: Решение задач по технической механике — площади простых элементов, составляющих плоское сложное сечение; Решение задач по технической механикеРешение задач по технической механике — координаты центров тяжести простых составляющих сложного плоского сечения относительно выбранных осей Решение задач по технической механике и Решение задач по технической механике.

Из выражений (6.4) можно определить координаты центра тяжести плоского сечения:

Решение задач по технической механике

Для сложного поперечного сечения формулы (6.6) можно представить в следующем виде

Решение задач по технической механике

Выводы

  1. Изменение положительного направления оси у вызывает изменение знака статического момента Аналогично, изменение положительного направления оси Решение задач по технической механике вызывает изменение знака статического момента Решение задач по технической механике.
  2. Статический момент сечения равен нулю относительно любой оси, проходящей через центр тяжести этого сечения.
  3. Если плоское сечение имеет ось симметрии, то эта ось всегда проходит через центр тяжести плоского сечения, а поэтому, согласно п.2, статический момент сечения относительно оси симметрии всегда равен нулю.
  4. Если плоское сечение имеет две оси симметрии, то центр тяжести сечения лежит на пересечении этих осей симметрии.

Осевым моментом инерции плоского сечения относительно некоторой оси называется взятая по всей его площади Решение задач по технической механике сумма произведений элементарных площадок Решение задач по технической механике на квадраты их расстояний от этой оси, т.е.

Решение задач по технической механике

Полярным моментом инерции плоского сечения относительно некоторой точки (полюса) Решение задач по технической механике называется взятая по всей его площади Решение задач по технической механике сумма произведений элементарных площадок Решение задач по технической механике на квадраты их расстояний от этой точки, т.е.

Решение задач по технической механике

Сумма осевых моментов инерции плоского сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции этого сечения относительно точки пересечения указанных осей:

Решение задач по технической механике

Центробежным моментом инерции плоского сечения относительно некоторых двух взаимно перпендикулярных осей Решение задач по технической механике и Решение задач по технической механике называется взятая по всей его площади Решение задач по технической механике сумма произведений элементарных площадок Решение задач по технической механике на их расстояния от этих осей, т.е.

Решение задач по технической механике
Решение задач по технической механике

Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей

Из рис. 6.2 следует:

Решение задач по технической механике

Если предположить, что ось Решение задач по технической механике проходит через центр тяжести поперечного сечения, то Решение задач по технической механике, и полученное выражение примет вид:

Решение задач по технической механике

По аналогии можно получить формулу для определения Решение задач по технической механике:

Решение задач по технической механике

Центробежный момент инерции относительно новых осей Решение задач по технической механике будет:

Решение задач по технической механике
Решение задач по технической механике
Решение задач по технической механике

Если предположить, что оси Решение задач по технической механике проходят через центр тяжести сечения, то Решение задач по технической механике и

Решение задач по технической механике

Задача с решением №3.

Рассмотрим прямоугольное сечение (рис. 6.3): Решение задач по технической механике

Решение задач по технической механике

Но Решение задач по технической механике можно получить используя формулу (6.8):

Решение задач по технической механике

Аналогично находим:

Решение задач по технической механике

Принимая Решение задач по технической механике (рис. 6.3), определяем центробежный момент инерции поперечного сечения:

Решение задач по технической механике

Полученная формула показывает, что центробежный момент инерции плоского поперечного сечения относительно осей, из которых одна или обе совпадают с его осями симметрии, равен нулю.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Помощь по технической механике

Изменение моментов инерции при повороте осей

К оглавлению…

Решение задач по технической механике

Найдем зависимость между моментами инерции относительно осей Решение задач по технической механике и моментами инерции относительно осей Решение задач по технической механике повернутых на угол Решение задач по технической механике. Из рис. 7.1 находим

Решение задач по технической механике

тогда

Решение задач по технической механике
Решение задач по технической механике

Определим экстремальные значения осевых моментов инерции для рассматриваемого поперечного сечения (рис. 7.1), для чего приравняем нулю первые производные:

Решение задач по технической механике
Решение задач по технической механике

Следовательно, экстремальные значения осевых моментов инерции будут относительно осей, для которых Решение задач по технической механике. Максимальные и минимальные значения осевых моментов инерции называются главными моментами инерции. Из любой формулы (7.2) определяем:

Решение задач по технической механике

где Решение задач по технической механике — угол наклона главных осей, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю. Центральные оси — оси, проходящие через центр тяжести поперечного сечения.

Подставляя формулу (7.3) в выражения (7.1), можно найти значения главных моментов инерции:

Решение задач по технической механике

По структуре формула (7.4) аналогична формуле для определения главных напряжений (3.6).

Из формулы (7.4) очевидно, что Решение задач по технической механике

Задача с решением №4.

Пусть Решение задач по технической механике то есть осевые моменты инерции Решение задач по технической механике — главные моменты инерции относительно главных осей Решение задач по технической механике. Тогда имеем, что Решение задач по технической механике (рис. 7.2). В этом случае формулы (7.1) дают:

Решение задач по технической механике
Решение задач по технической механике

Задача с решением №5.

Рассмотрим поперечное сечение в виде неравнобокого уголка № 11/7, Решение задач по технической механике и остальные геометрические размеры (рис. 7.3). Из таблицы (ГОСТ) выписываем все необходимые данные:

Решение задач по технической механике

следовательно, Решение задач по технической механике (рис. 7.3);

Решение задач по технической механике

Тогда

Решение задач по технической механике

откуда

Решение задач по технической механике

Применяя формулы (7.5), определяем:

Решение задач по технической механике
Решение задач по технической механике
Решение задач по технической механике

Круг мора

К оглавлению…

Решение задач по технической механике

Кручение стержней круглого поперечного сечения

К оглавлению…

При малом угле закручивания Решение задач по технической механике (рис. 8.1) принимаются следующие допущения:

  • Круговые сечения вала остаются круговыми и диаметр их не меняется.
  • Расстояния между круговыми сечениями остаются постоянными.
Решение задач по технической механике
  • Поперечные сечения вала, плоские и нормальные к оси до приложения внешней нагрузки, остаются плоскими и нормальными к оси и после деформации. Рассмотрим элементарный цилиндрик (рис. 8.1, б):
Решение задач по технической механике

где Решение задач по технической механике — сдвиг (угол сдвига), Решение задач по технической механике — относительный угол закручивания. Тогда

Решение задач по технической механике

Применим закон Гука при сдвиге:

Решение задач по технической механике — на внешней поверхности, Решение задач по технической механике — на любой цилиндрической внутренней поверхности радиусом Решение задач по технической механике.

В рассматриваемом случае отсутствуют нормальные напряжения, следовательно, это — чистый сдвиг.

Как отмечалось ранее, модуль поперечной упругости можно определить по формуле

Решение задач по технической механике

Составим уравнение равновесия (рис. 8.2):

Решение задач по технической механике

где Решение задач по технической механике — полярный момент инерции круглого поперечного сечения,

Решение задач по технической механике
Решение задач по технической механике

Подставляем формулу (8.4) в закон Гука при сдвиге:

Решение задач по технической механике

Из последней формулы очевидно, что

Решение задач по технической механике

где Решение задач по технической механике — полярный момент сопротивления.

Таким образом, условие прочности при сдвиге (5.3) можно записать

Решение задач по технической механике

Подбор сечения круглого вала

К оглавлению…

Из условия прочности (8.6) определяем:

Решение задач по технической механике

откуда находим

Решение задач по технической механике

Эпюры крутящих моментов

К оглавлению…

Решение задач по технической механике

Кручение полого вала

К оглавлению…

Для полого вала имеем:

Решение задач по технической механике

тогда из формулы (8.6) получаем:

Решение задач по технической механике

Если толщина стенки Решение задач по технической механике полого вала мала, то можно предположить, что касательные напряжения распределяются равномерно по толщине и равны Решение задач по технической механике, в этом случае согласно рис. 8.4 запишем

Решение задач по технической механике

где Решение задач по технической механике — площадь, ограниченная контуром средней линии стенки полого вала. И, наконец,

Решение задач по технической механике
Решение задач по технической механике

Кручение прямого бруса не круглого поперечного сечения

К оглавлению…

Задачи на кручение прямых брусьев некруглого поперечного сечения решаются методами теории упругости. В отличие от круглых брусьев, при кручении которых поперечные сечения остаются плоскими и круглыми, сечения стержней любой другой формы искривляются. Происходит депланация поперечного сечения. При этом диагонали и оси симметрии прямоугольного сечения не искривляются и остаются в одной плоскости.

Брус прямоугольного поперечного сечения

К оглавлению…

Для удобства пользования формулам, применяемым при расчете брусьев прямоугольного сечения, придается такой же вид, как и в случае круглого сечения. В соответствии с этим наибольшие касательные напряжения в поперечном сечении бруса и углы закручивания Решение задач по технической механике определяются по формулам:

Решение задач по технической механике

где

Решение задач по технической механике

Решение задач по технической механике — геометрическая характеристика крутильной жесткости, Решение задач по технической механике — момент сопротивления при кручении; коэффициенты Решение задач по технической механике — определяются по таблице 9.1; Решение задач по технической механике — размеры сторон прямоугольного сечения.

При Решение задач по технической механике можно пользоваться упрощенными формулами:

Решение задач по технической механике
Решение задач по технической механике

Касательные напряжения Решение задач по технической механике в серединах коротких сторон прямоугольного сечения определяют по формуле:

Решение задач по технической механике

а Решение задач по технической механике возникают в серединах длинных сторон.

При Решение задач по технической механике можно принимать Решение задач по технической механике.

Из приведенных формул видно, что напряжения при кручении не зависят от физических свойств материала конструкции, так как модуль сдвига Решение задач по технической механике не входит в формулы напряжений (9.1), (9.4).

Задача с решением №6.

Дан брус прямоугольного сечения с Решение задач по технической механике и длиной Решение задач по технической механике, на который действует крутящий момент Решение задач по технической механике. Материал бруса — сталь с Решение задач по технической механике.

Решение. Имеем Решение задач по технической механике (рис. 9.1), тогда из табл. 9.1 выбираем

Решение задач по технической механике

По формулам (9.2) находим

Решение задач по технической механике

Максимальное касательное напряжение в точках Техническая механика задачи с решением поперечного сечения (рис. 9.1) определяем по первой формуле (9.1):

Техническая механика задачи с решением
Техническая механика задачи с решением

Касательные напряжения в точках Техническая механика задачи с решениемвычисляем по формуле (9.4):

Техническая механика задачи с решением

Полный угол закручивания находим по второй формуле (9.1):

Техническая механика задачи с решением

Тонкостенный стержень открытого профиля

К оглавлению…

Задача с решением №7.

Рассмотрим тонкостенный стержень открытого профиля в виде двутавра (рис. 9.2).

Сечение разбиваем на 3 прямоугольника и для каждого из них определяем: 1 и 2:

Техническая механика задачи с решением

3:

Техническая механика задачи с решением
Техническая механика задачи с решением

Для всего сечения в целом имеем:

Техническая механика задачи с решением

где за Техническая механика задачи с решением необходимо принять размер меньшей стороны прямоугольного сечения, входящего в общее сечение, и имеющего наибольшую толщину (в нашем случае — это элементы 1 и 2; Техническая механика задачи с решением).

Наибольшее касательное напряжение возникает в серединах длинных сторон прямоугольников 1 и 2 (точки Техническая механика задачи с решением):

Техническая механика задачи с решением

где для примера взято Техническая механика задачи с решением — длина двутавра;

Техническая механика задачи с решением

Возможно эта страница вам будет полезна:

Заказать работу по технической механике

Кручение тонкостенных стержней с замкнутым профилем

К оглавлению…

Если поперечное сечение имеет замкнутый контур, то необходимо применять формулы (8.7):

Техническая механика задачи с решением

где Техническая механика задачи с решением — площадь поперечного сечения, ограниченного средней линией контура, Техническая механика задачи с решением — длина средней линии.

Задача с решением №8.

Определить наибольшее касательное напряжение и угол закручивания Техническая механика задачи с решениемтрубчатого сечения (рис. 9.3), если внешний крутящий момент Техническая механика задачи с решением действует на участке длиной Техническая механика задачи с решением, а модуль сдвига материала стержня Техническая механика задачи с решением.

Техническая механика задачи с решением

Решение: По рис. 9.3 находим Техническая механика задачи с решением,Техническая механика задачи с решением, тогда формула (9.5) дает

Техническая механика задачи с решением

Максимальное касательное напряжение будет в середине длинной стороны (точка Техническая механика задачи с решением) поперечного сечения, имеющей минимальную толщину Техническая механика задачи с решением.

По второй формуле (9.5) определяем угол закручивания сечения на длине стержня в 1 м:

Техническая механика задачи с решением

Значительно более жесткими и поэтому более целесообразными при кручении являются тонкостенные стержни замкнутого профиля.

Изгиб

К оглавлению…

Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса изгибающих моментов. Они возникают, если стержень подвергается действию поперечной нагрузки или сосредоточенных моментов. При действии такой нагрузки ось стержня искривляется. Указанный вид нагружения называют изгибом, а стержни, работающие в основном на изгиб — балками.

Чаще встречается поперечный изгиб, когда в поперечных сечениях балки наряду с изгибающими моментами возникают также и поперечные силы. Если плоскость действия изгибающего момента проходит через одну из главных осей поперечного сечения, изгиб балки носит название плоского (простого) изгиба.

Типы опор балок

К оглавлению…

Техническая механика задачи с решением

Балка с одним заделанным концом называется консольной балкой (консолью).

Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил

К оглавлению…

Поперечная сила в сечении балки Техническая механика задачи с решением считается положительной, если равнодействующая внешних сил слева от рассматриваемого сечения направлена снизу вверх, а справа — сверху вниз (рис. 10.1, а), и отрицательной — в противоположном случае (рис. 10.1, б). Иногда пользуются следующим правилом: положительная поперечная сила стремится повернуть балку вокруг рассматриваемого сечения по часовой стрелке, а отрицательная — против часовой стрелки.

Техническая механика задачи с решением

Ординаты эпюр поперечных сил, соответствующие положительным значениям, будем откладывать вверх от осей эпюр, а отрицательным -вниз (ось эпюры должна быть направлена параллельно оси балки).

Изгибающий момент в сечении балки Техническая механика задачи с решением считается положительным, если равнодействующий момент внешних сил слева от сечения направлен по часовой стрелке, а справа — против часовой стрелки (рис. 10.2, а), и отрицательным — в противоположном случае (рис. 10.2, б).

Ординаты эпюр изгибающих моментов, соответствующие положительным значениям, будем откладывать вниз от осей этих эпюр, а отрицательным — вверх (ось эпюры должна быть направлена параллельно оси балки). Таким образом, устанавливаясь откладывать положительные ординаты эпюры изгибающих моментов вниз от оси балки, мы получим, что эпюра оказывается построенной со стороны растянутых волокон балки.

Задача с решением №9.

Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для балки, изображенной на рис. 10.3.

Решение: Определим вертикальные опорные реакции Техническая механика задачи с решением и Техническая механика задачи с решением балки. Отметим, что левая опора — шарнирно неподвижная опора, поэтому в ней возникает вертикальная опорная реакция Техническая механика задачи с решением, препятствующая вертикальному смещению, и горизонтальная опорная реакция Техническая механика задачи с решением, исключающая горизонтальное смещение закрепленного сечения балки. Однако при заданной вертикальной нагрузке имеем: Техническая механика задачи с решением, следовательно, Техническая механика задачи с решением.

Для определения реакций Техническая механика задачи с решением и Техническая механика задачи с решением составим уравнения равновесия в

Техническая механика задачи с решением

виде сумм моментов всех сил относительно точек Техническая механика задачи с решением и Техническая механика задачи с решением:

Техническая механика задачи с решением, откуда находим Техническая механика задачи с решением;

Техническая механика задачи с решением, откуда определяем Техническая механика задачи с решением. Для проверки найденных значений Техническая механика задачи с решением и Техническая механика задачи с решением составим условие равенства нулю суммы всех сил на вертикальную ось Техническая механика задачи с решением:

Техническая механика задачи с решением

Следовательно, реакции Техническая механика задачи с решением и Техническая механика задачи с решением определены правильно.

Для построения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил балку необходимо разбить на три участка. Назовем участком балки каждую ее часть, в пределах которой законы изменения внешней нагрузки остаются постоянными. Границами участков являются поперечные сечения балки, в которых к ней приложены сосредоточенные нагрузки (в том числе опорные реакции) или, в которых начинается или заканчивается распределенная нагрузка. За границу участка необходимо также считать поперечное сечение балки, в котором интенсивность распределенной нагрузки начинает изменяться по новому закону. В рассматриваемом примере это явление не встречается.

Учитывая это, устанавливаем, что участок Техническая механика задачи с решением расположен в пределах Техническая механика задачи с решением, участок Техническая механика задачи с решением расположен в границах Техническая механика задачи с решением, а участок Техническая механика задачи с решением имеет пределы Техническая механика задачи с решением.

Участок Техническая механика задачи с решением. Проведем на этом участке сечение Техническая механика задачи с решением на расстоянии Техническая механика задачи с решением от левого конца балки. Отбросив правую часть балки, составим уравнения равновесия для оставшейся левой части балки (рис. 10.3, б). Действие отброшенной части балки заменяем положительной поперечной силой Техническая механика задачи с решением и положительным изгибающим моментом Техническая механика задачи с решением (метод сечений). В этом случае

Техническая механика задачи с решением

тогда

Техническая механика задачи с решением
Техническая механика задачи с решением

тогда

Техническая механика задачи с решением

Здесь Техническая механика задачи с решением — равнодействующая равномерно распределенной нагрузки в пределах отрезка длиной Техническая механика задачи с решением участка Техническая механика задачи с решением. Эта равнодействующая приложена посередине участка длиной Техническая механика задачи с решением, а поэтому ее момент относительно точки Техническая механика задачи с решением будет равен

Техническая механика задачи с решением

Полученные значения Техническая механика задачи с решением и Техническая механика задачи с решением действительны только в пределах участка Техническая механика задачи с решением.

Зависимость Техническая механика задачи с решением от Техническая механика задачи с решением — линейная, следовательно, для построения эпюры Техническая механика задачи с решением в пределах участка Техническая механика задачи с решением достаточно определить величины Техническая механика задачи с решением в начале участка Техническая механика задачи с решением при Техническая механика задачи с решением и в конце участка Техническая механика задачи с решением:

Техническая механика задачи с решением

при

Техническая механика задачи с решением

Зависимость Техническая механика задачи с решением от Техническая механика задачи с решением — квадратичная, т.е. эпюра Техническая механика задачи с решением на участке Техническая механика задачи с решением представляет собой параболу. Для построения эпюры Техническая механика задачи с решением вычисляем значения Техническая механика задачи с решением в начале и в конце участка Техническая механика задачи с решением:

Техническая механика задачи с решением

Для определения максимального или минимального значения изгибающего момента Техническая механика задачи с решением в пределах участка Техническая механика задачи с решением воспользуемся положением, что функция достигает своего экстремума, когда первая производная ее по аргументу равна нулю.

Принимая Техническая механика задачи с решением, находим Техническая механика задачи с решением — абсцисса поперечного сечения балки, где Техническая механика задачи с решением принимает экстремальное значение. И наконец, определяем Техническая механика задачи с решением.

Участок Техническая механика задачи с решением. Проведем сечение Техническая механика задачи с решением и, отбросив правую часть балки, составим уравнения равновесия для оставшейся левой части балки (рис. 10.3, в). В этом случае:

Техническая механика задачи с решением

тогда

Техническая механика задачи с решением
Техническая механика задачи с решением

тогда

Техническая механика задачи с решением

Величина поперечной силы Техническая механика задачи с решением на втором участке имеет постоянное значение Техническая механика задачи с решением а зависимость изгибающего момента Техническая механика задачи с решением от Техническая механика задачи с решением — линейная, следовательно, для построения эпюры Техническая механика задачи с решением на участке Техническая механика задачи с решением достаточно определить величины Техническая механика задачи с решением при двух значениях абсциссы Техническая механика задачи с решением:

при

Техническая механика задачи с решением

имеем

Техническая механика задачи с решением

а если

Техническая механика задачи с решением

тогда

Техническая механика задачи с решением

Участок Техническая механика задачи с решением. Проведем сечение Техническая механика задачи с решением. Сейчас удобнее отбросить левую часть балки и рассмотреть оставшуюся правую часть балки (рис. 10.3, г). В сечении Техническая механика задачи с решением показываем положительную поперечную силу Техническая механика задачи с решением и положительный изгибающий момент Техническая механика задачи с решением (см. рис. 10.1 и 10.2). Для оставшейся части составим уравнения равновесия:

Техническая механика задачи с решением

следовательно,

Техническая механика задачи с решением
Техническая механика задачи с решением

откуда находим

Техническая механика задачи с решением

По полученным значениям Техническая механика задачи с решением и Техническая механика задачи с решением на рис. 10.3, а построены эпюры Техническая механика задачи с решением и Техническая механика задачи с решением для участка Техническая механика задачи с решением балки.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Яблонский решебник

Дифференциальные зависимости между изгибающим моментом, поперечной силой и распределенной нагрузкой

К оглавлению…

Выделим двумя сечениями элемент балки (рис. 10.4):

Техническая механика задачи с решением
Техническая механика задачи с решением

откуда Техническая механика задачи с решением. Бесконечно малыми величинами второго порядка пренебрегаем и окончательно получаем:

Техническая механика задачи с решением

Составим еще одно уравнение равновесия:

Техническая механика задачи с решением

В уравнении (10.2) оставляем только бесконечно малые первого порядка, в результате получаем:

Техническая механика задачи с решением

Таким образом, первая производная от изгибающего момента по абсциссе сечения равна поперечной силе. Эта зависимость называется теоремой Журавского.

Используя полученные зависимости (10.1), (10.3), можно сделать несколько важных выводов:

  1. Тангенс угла между касательной к линии, ограничивающей эпюру Техническая механика задачи с решением, и осью эпюры Техническая механика задачи с решением равен поперечной силе Техническая механика задачи с решением.
  2. На участках балки, где поперечная сила положительна, изгибающий момент возрастает (слева направо), а на участках, где она отрицательна — убывает.
  3. Чем больше по абсолютной величине значение поперечной силы Техническая механика задачи с решением, тем круче линия, ограничивающая эпюру Техническая механика задачи с решением.
  4. Если эпюра Техническая механика задачи с решением имеет постоянное значение, то на этом участке эпюра Техническая механика задачи с решением ограничена прямой линией.
  5. Если на границе соседних участков балки в эпюре Техническая механика задачи с решением имеется скачок, то линии, ограничивающие эпюру Техническая механика задачи с решением на этих участках, сопрягаются с изломом, то есть не имеют в точке сопряжения общей касательной.
  6. Изгибающий момент достигает максимума или минимума в сечениях балки, в которых поперечная сила равна нулю.
  7. На участках балки, где распределенная нагрузка Техническая механика задачи с решением отсутствует, поперечные силы постоянны, а изгибающие моменты меняются по линейному закону.

Определение нормальных напряжений при изгибе

К оглавлению…

Помимо уже известных гипотез (лекция 1) будем считать, что продольные волокна не давят друг на друга.

Слой балки, не испытывающий при изгибе ни растяжения, ни сжатия, называется нейтральным слоем.

Рассмотрим случай чистого изгиба. На рис. 11.1, а показан изогнутый участок балки, где Техническая механика задачи с решением — кривизна нейтрального слоя,

Техническая механика задачи с решением

но по закону Гука имеем

Техническая механика задачи с решением

откуда

Техническая механика задачи с решением
Техническая механика задачи с решением

Составим уравнение равновесия (рис. 11.1,6):

Техническая механика задачи с решением

откуда находим Техническая механика задачи с решением, следовательно, нейтральная ось проходит через центр тяжести поперечного сечения.

Из другого уравнения равновесия определяем (рис. 11.1,6)

Техническая механика задачи с решением

или

Техническая механика задачи с решением

Приравняем соответствующие члены уравнений (11.1) и (11.2):

Техническая механика задачи с решением

откуда

Техническая механика задачи с решением

В результате получили уравнение, позволяющее определить нормальное напряжение в любой точке поперечного сечения балки, если известен изгибающий момент и момент инерции сечения. Опуская индекс Техническая механика задачи с решением в обозначениях, запишем формулу (11.3) в виде:

Техническая механика задачи с решением

Обозначим

Техническая механика задачи с решением

где Техническая механика задачи с решением — момент сопротивления поперечного сечения. Следовательно

Техническая механика задачи с решением

-условие прочности при изгибе по нормальным напряжениям.

Для сечений, не симметричных относительно нейтральной оси, например, для треугольного, расстояние от нейтральной оси до наиболее удаленных растянутых и сжатых волокон Техническая механика задачи с решением различны, поэтому для таких сечений имеются два момента сопротивления:

Техническая механика задачи с решением

где Техническая механика задачи с решением — расстояния от нейтральной оси до наиболее удаленных сжатых и растянутых волокон соответственно.

Определение касательных напряжений при поперечном изгибе

К оглавлению…

При поперечном изгибе в поперечных сечениях возникают, помимо изгибающих моментов, и поперечные силы. Наличие поперечной силы связано с возникновением касательных напряжений в поперечных сечениях балки, а по закону парности касательных напряжений и в ее продольных сечениях (рис. 11.2).

Техническая механика задачи с решением

Тремя сечениями выделим элемент балки (рис. 11.2) и составим уравнения равновесия:

Техническая механика задачи с решением

где Техническая механика задачи с решением — статический момент отсеченной площади поперечного сечения относительно оси Техническая механика задачи с решением, проходящей через его центр тяжести.

Зависимость (11.7) впервые была установлена Д.И. Журавским и называется его именем.

Задача с решением №10.

Построим эпюру касательных напряжений для прямоугольного поперечного сечения (рис. 11.3). Для прямоугольного поперечного сечения имеем:

Техническая механика задачи с решением

По формуле (11.7) определяем:

Техническая механика задачи с решением

Построим эпюру Техническая механика задачи с решением по трем точкам:

Техническая механика задачи с решением
Техническая механика задачи с решением

Эпюра Техническая механика задачи с решением показана на рис. 11.3. Она представляет собой параболу (см. формулу (11.8)). Наибольшее касательное напряжение для балки прямоугольного поперечного сечения имеет место на уровне нейтральной оси Техническая механика задачи с решением, там где нормальное напряжение равно нулю (см. формулу (11.4)).

Напряжения в наклонных сечениях балки. главные напряжения

К оглавлению…

Сравнивая рис. 12.1 и рис. 3.1, делаем вывод, что необходимо положить Техническая механика задачи с решением, тогда из формулы (3.2) получаем

Техническая механика задачи с решением
Техническая механика задачи с решением

а из формулы (3.3) находим

Техническая механика задачи с решением

Главные напряжения получаем из формулы (3.6):

Техническая механика задачи с решением

а формула (3.5) дает:

Техническая механика задачи с решением

Максимальные касательные напряжения находим из выражения (3.8):

Техническая механика задачи с решением

Задача с решением №11.

Построить эпюры главных напряжений и Техническая механика задачи с решением для прямоугольного поперечного сечения (рис. 12.2).

Техническая механика задачи с решением

Касательные напряжения при изгибе тонкостенного бруса. Центр изгиба

К оглавлению…

Теория определения касательных напряжений, изложенная на лекции 11, справедлива лишь для сплошных сечений. В тонкостенных стержнях, даже при совпадении силовой плоскости с одной из главных осей сечения, может наблюдаться явление закручивания. Рассмотрим балку открытого профиля (рис. 12.3).

В вертикальной стенке касательные напряжения Техническая механика задачи с решением определяются по формуле Журавского (11.7):

Техническая механика задачи с решением

Равнодействующая касательных напряжений Техническая механика задачи с решением в стенке дает силу, равную Техническая механика задачи с решением (рис. 12.3,6).

Примем, что касательные напряжения Техническая механика задачи с решением в горизонтальных полках распределены по толщине стенки равномерно. Рассмотрим равновесие элемента полки, изображенного на рис. 12.3, в:

Техническая механика задачи с решением

откуда

Техническая механика задачи с решением
Техническая механика задачи с решением

Таким образом, формула для вычисления касательного напряжения Техническая механика задачи с решением

Техническая механика задачи с решением

по структуре похожа на формулу (11.7) для вычисления Техническая механика задачи с решением.

Наибольшее касательное напряжение г. будет в месте соединения полки со стенкой, там где Техническая механика задачи с решением, то есть

Техническая механика задачи с решением

Равнодействующая касательных напряжений Техническая механика задачи с решением вычисляется следующим образом:

Техническая механика задачи с решением

Существует такая точка Техническая механика задачи с решением сечения, относительно которой момент равнодействующих касательных напряжений равен нулю. Эта точка называется центром изгиба. Положение этой точки находим из уравнения:

Техническая механика задачи с решением, или окончательно

Техническая механика задачи с решением

Чтобы при изгибе не возникало кручения, необходимо внешнюю силу прикладывать в центре изгиба. Если сечение имеет две оси симметрии, центр изгиба совпадает с центром тяжести сечения.

Расчет на статическую прочность при изгибе по допускаемым напряжениям

Расчет балок на прочность обычно ведется по наибольшим нормальным напряжениям, возникающим в их поперечных сечениях, то есть необходимо рассматривать сечение, где Техническая механика задачи с решением имеет наибольшее значение.

При расчете на прочность элементов конструкций, работающих на изгиб, возможны три следующих вида задач:

  1. Проверка напряжений (проверочный расчет).
  2. Подбор сечения.
  3. Определение допускаемой нагрузки.

Рассмотрим основные случаи расчетов на прочность при изгибе на примерах.

Задача с решением №12.

Подобрать сечение стальной балки из двутавра (рис. 13.1). Из СНИПа принимаем Техническая механика задачи с решением где Техническая механика задачи с решением — расчетные сопротивления проката для стальных конструкций.

Техническая механика задачи с решением

Расчет на прочность стальных элементов, изгибаемых в одной из главных плоскостей, следует выполнять по формуле:

Техническая механика задачи с решением

где Техническая механика задачи с решением — коэффициент условий работы, принимаемый по таблице; Техническая механика задачи с решением — момент сопротивления нетто относительно оси Техническая механика задачи с решением, определяемый по одной из формул

Техническая механика задачи с решением

Для двутавра Техническая механика задачи с решением. Пусть в нашем случае Техническая механика задачи с решением. По эпюре изгибающих моментов принимаем Техническая механика задачи с решением (рис. 13.1). Из формулы (13.1) находим:

Техническая механика задачи с решением

По сортаменту стальных прокатных профилей «Двутавры стальные» находим соответствующий номер двутаврового профиля: 2 № 16 с моментом сопротивления одного двутавра Техническая механика задачи с решением или для двух двутавров Техническая механика задачи с решением

Прочность назначенного сечения будет:

Техническая механика задачи с решением

Недонапряжение составляет:

Техническая механика задачи с решением

Сечение считается подобранным удовлетворительно, если недонапряжение составляет до 5-7%.

Проверяем подобранное сечение по максимальному касательному напряжению. Имеем Техническая механика задачи с решением, статический момент половины сечения одного двутавра № 16 берем из сортамента стальных прокатных профилей «Двутавры стальные» Техническая механика задачи с решением, толщина стенки двутавра Техническая механика задачи с решением, осевой момент инерции Техническая механика задачи с решением. В этом случае по формуле (11.7) определяем:

Техническая механика задачи с решением

Задача с решением №13.

Подобрать прямоугольное поперечное сечение однопролетной шарнирно опертой балки, нагруженной распределенной по всей длине балки нагрузкой Техническая механика задачи с решением, причем Техническая механика задачи с решением, длина балки Техническая механика задачи с решениемТехническая механика задачи с решением. Из формулы (13.1) находим

Техническая механика задачи с решением

Положим, что задано отношение высоты балки Техническая механика задачи с решением к ее ширине Техническая механика задачи с решением В этом случае, согласно последней формулы

Техническая механика задачи с решением

откуда находим

Техническая механика задачи с решением

Окончательно принимаем

Техническая механика задачи с решением

Задача с решением №14.

Запроектируем балку, во всех поперечных сечениях которой нормальные напряжения, возникающие от заданной нагрузки, будут одинаковыми. Такая балка называется балкой равного сопротивления при изгибе.

Рассмотрим балку прямоугольного сечения, заделанную одним концом и нагруженную на другом конце силой Техническая механика задачи с решением. Наибольший изгибающий момент возникает на опоре Техническая механика задачи с решением, а в других сечениях будет Техническая механика задачи с решением, где Техническая механика задачи с решением — расстояние от свободного конца балки до рассматриваемого сечения. Установим размеры поперечных сечений балки при условии, что Техническая механика задачи с решениемТехническая механика задачи с решением. Тогда

Техническая механика задачи с решением

то есть высота поперечного сечения Техническая механика задачи с решением балки изменяется вдоль балки по закону параболы.

Если принять, что балка имеет постоянную высоту Техническая механика задачи с решением, то

Техническая механика задачи с решением

Следовательно, ширина поперечного сечения балки прямо пропорционально абсциссе Техническая механика задачи с решением этого сечения.

Пластический изгиб статически определимых балок

К оглавлению…

При упругом изгибе за опасное принималось такое состояние, когда нормальные напряжения в крайних точках сечения балки достигали предела текучести Техническая механика задачи с решением (рис. 13.2, а). Однако такое состояние не является предельным. Возможен дальнейший рост нагрузки вследствие распространения текучести на внутренние волокна балки (рис. 13.2, б). В опасном сечении образуется так называемый пластический шарнир. В этом сечении изгибающий момент достигает предельного значения Техническая механика задачи с решением:

Техническая механика задачи с решением

где Техническая механика задачи с решением — статические моменты верхней и нижней частей площади сечения относительно нейтральной оси.

Техническая механика задачи с решением

Для прямоугольного поперечного сечения имеем (рис. 13.2, г):

Техническая механика задачи с решением

где

Техническая механика задачи с решением

пластический момент сопротивления при изгибе.

Составим соотношение:

Техническая механика задачи с решением

то есть предельный момент при учете пластических деформаций увеличивается в 1,5 раза, если поперечное сечение балки — прямоугольное (рис. 13.2, г).

Рассмотрим случай чистого плоского изгиба и составим уравнение равновесия (рис. 13.2, в):

Техническая механика задачи с решением

то есть

Техническая механика задачи с решением

где Техническая механика задачи с решением — площади растянутой и сжатой частей сечения, следовательно, при пластическом изгибе нейтральная ось делит сечение на две равновеликие части.

Задача с решением №15.

Определить допускаемую нагрузку Fujm для консольной балки (рис 13.3) прямоугольного поперечного сечения, Техническая механика задачи с решением (рис. 13.2). Балка изготовлена из стали Техническая механика задачи с решением, коэффициент запаса прочности при расчете по пределу текучести Техническая механика задачи с решением.

Техническая механика задачи с решением

Решение: Расчет начинаем с определения пластического момента сопротивления:

Техническая механика задачи с решением

затем определяем

Техническая механика задачи с решением

Но с другой стороны

Техническая механика задачи с решением

откуда

Техническая механика задачи с решением

И, наконец,

Техническая механика задачи с решением

В примере использован метод расчета конструкций по расчетным предельным состояниям.

Определим нормальное напряжение в наиболее опасном сечении:

Техническая механика задачи с решением

Потенциальная энергия деформации при изгибе

К оглавлению…

Подобно тому как это было сделано для сосредоточенной внешней силы (лекция 4), можно показать, что работа внешнего момента может быть вычислена по формуле: Техническая механика задачи с решением, где Техническая механика задачи с решением — угол поворота сечения в точке приложения момента. Тогда элементарная работа изгибающего момента Техническая механика задачи с решением может быть найдена по формуле (рис. 11.1):

Техническая механика задачи с решением

но при изгибе имеем:

Техническая механика задачи с решением

где

Техническая механика задачи с решением

и тогда

Техническая механика задачи с решением

где Техническая механика задачи с решением — потенциальная энергия изгиба, Техническая механика задачи с решением — жесткость балки при изгибе.

В общем случае изгиба в поперечных сечениях балки кроме изгибающих моментов возникают еще и поперечные силы. Потенциальная энергия сдвига, определяемая по формуле (5.4) и соответствующая работе поперечной силы, как показывают исследования, невелика и ею обычно пренебрегают.

Дифференциальное уравнение изогнутой оси прямого бруса и его интегрирование

К оглавлению…

Под действием внешних сил ось балки искривляется. Изогнутая ось балки называется упругой линией балки, а перемещения точек оси балки по нормали к ее недеформированной оси называются прогибами (рис. 14.1).

Будем искать прогибы балки у в виде

Техническая механика задачи с решением

Нам уже известна формула (14.1), но из курса высшей математики также известно, что кривизна кривой (14.2) вычисляется по формуле

Техническая механика задачи с решением

Первая производная Техническая механика задачи с решением, входящая в знаменатель формулы (14.3), представляет собой тангенс угла Техническая механика задачи с решением между осью Техническая механика задачи с решением и касательной к упругой линии балки. Практически углы Техническая механика задачи с решением очень малы и их квадратами, по сравнению с единицей, можно пренебречь.

Приравниваем соответствующие части уравнений (14.1) и (14.3):

Техническая механика задачи с решением

Полученное уравнение называется основным дифференциальным уравнением изогнутой оси балки. Оно — приближенное, так как при его выводе точное выражение кривизны оси заменено приближенным и не учтены деформации балки, связанные с наличием поперечных сил. В подавляющем большинстве случаев это влияние несущественно и им можно пренебречь.

Проинтегрируем выражение (14.4):

Техническая механика задачи с решением

а затем и выражение (14.5):

Техническая механика задачи с решением

где Техническая механика задачи с решением — произвольные постоянные интегрирования, которые находятся из граничных условий.

Порядок вычисления линейных и угловых перемещений поперечных сечений балки рассмотрим на конкретных примерах.

Задача с решением №16.

Определим прогибы Техническая механика задачи с решением и углы поворота Техническая механика задачи с решением балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой Техническая механика задачи с решением (рис. 14.1). Для рассматриваемого случая однопролетной балки уравнение (14.4) примет вид:

Техническая механика задачи с решением
Техническая механика задачи с решением

Проинтегрируем это уравнение дважды, имея в виду, что Техническая механика задачи с решением:

Техническая механика задачи с решением

Для определения постоянных интегрирования Техническая механика задачи с решением и Техническая механика задачи с решением запишем граничные условия:

при Техническая механика задачи с решением имеем Техническая механика задачи с решением и получаем Техническая механика задачи с решением

при Техническая механика задачи с решением имеем Техническая механика задачи с решением, то есть

Техническая механика задачи с решением

и

Техническая механика задачи с решением

Поставленные граничные условия означают, что на концах балки перемещения равны нулю (рис. 14.1). Полученные значения Техническая механика задачи с решением и Техническая механика задачи с решением подставим в выражения для Техническая механика задачи с решением и Техническая механика задачи с решением:

Техническая механика задачи с решением

По этим уравнениям можно определить прогиб и угол поворота в любом сечении балки. Рассмотрим, например, середину балки, то есть примем Техническая механика задачи с решением, тогда формулы (14.7) дадут

Техническая механика задачи с решением

Практическое значение имеет наибольший прогиб. Для определения абсциссы Техническая механика задачи с решением сечения, где возникает максимальный прогиб, следует приравнять нулю первую производную Техническая механика задачи с решением. Полученное значение абсциссы затем необходимо подставить в формулу (14.6) и найти Техническая механика задачи с решением.

В рассматриваемом примере Техническая механика задачи с решением при Техническая механика задачи с решением и, следовательно, полученное значение Техническая механика задачи с решением в виде (14.8) есть Техническая механика задачи с решением.

Задача с решением №17.

Определить прогибы и углы поворота балки на двух опорах, нагруженной посередине сосредоточенной силой Техническая механика задачи с решением (рис. 14.2). Балка имеет постоянную жесткость на изгиб Техническая механика задачи с решением.

В этом случае уравнение упругой линии балки будем записывать для двух участков отдельно.

Рассмотрим сначала первый участок Техническая механика задачи с решением:

Техническая механика задачи с решением

а затем второй участок Техническая механика задачи с решением:

Техническая механика задачи с решением
Техническая механика задачи с решением

Поставим граничные условия. Левый конец балки Техническая механика задачи с решением принадлежит первому участку, поэтому граничное условие ставим для первого участка: Техническая механика задачи с решением, откуда Техническая механика задачи с решением. Правый же конец балки относится ко второму участку, поэтому для второго участка граничное условие примет вид:

Техническая механика задачи с решением

откуда находим

Техническая механика задачи с решением

Подставляя полученные значения Техническая механика задачи с решением и Техническая механика задачи с решением в выражения (14.9) и (14.10), запишем окончательно

Техническая механика задачи с решением

Правила интегрирования дифференциального уравнения упругой линии прямого бруса

К оглавлению…

Если число участков балки по характеру изменения моментов равно Техническая механика задачи с решением, то число произвольных постоянных по участкам будет равно Техническая механика задачи с решениемТехническая механика задачи с решением

Сформулируем правила, при выполнении которых число произвольных постоянных независимо от числа участков будет равно двум. Этих правил три:

  1. Каждая нагрузка должна давать непрерывную функцию изгибающего момента до конца балки. Если этого нет, то нагрузку надо преобразовывать путем добавления уравновешенных нагрузок.
  2. В выражении изгибающего момента сосредоточенный момент надо писать с множителем Техническая механика задачи с решением, где Техническая механика задачи с решением — абсцисса точки приложения момента (рис. 15.1).
  3. Интегрирование биномов производить со сложным дифференциалом, не открывая скобок.
Техническая механика задачи с решением

Рассмотрим пример. В однопролетной балке выделяем 5 участков, причем распределенную нагрузку продолжаем до конца балки и одновременно на участке V прикладываем равномерно распределенную нагрузку, равную по величине, но противоположно направленную заданной.

Запишем уравнения для каждого участка (рис. 15.1):

Техническая механика задачи с решением

Интегрируя полученные уравнения со сложным дифференциалом, получим

Техническая механика задачи с решением

Интегрируя последние пять уравнений, получим формулы для вычисления прогибов балки на каждом из 5 участков:

Техническая механика задачи с решением

В итоге получили уравнения для каждого участка балки, которые содержат только две произвольные функции интегрирования Техническая механика задачи с решением и Техническая механика задачи с решением. Эти постоянные определяются из граничных условий. Например, в рассматриваемом примере граничные условия имеют вид (рис. 15.1): при Техническая механика задачи с решением должно быть Техническая механика задачи с решением, откуда Техническая механика задачи с решением;

при Техническая механика задачи с решением должно быть Техническая механика задачи с решением, откуда можно найти постоянную Техническая механика задачи с решением.

Определение перемещений в балках постоянного сечения методом начальных параметров

К оглавлению…

Рассмотрим прямой брус Техническая механика задачи с решением, который после приложения внешней нагрузки искривился и занял положение кривой Техническая механика задачи с решением (рис. 15.2).

Техническая механика задачи с решением

Запишем выражения, характеризующие упругую линию прямого бруса для сечения Техническая механика задачи с решением:

Техническая механика задачи с решением
Техническая механика задачи с решением

где величины Техническая механика задачи с решением показаны на рис. 15.2. Величины Техническая механика задачи с решением называются начальными параметрами, а уравнения (15.1) — уравнениями упругой линии в начальных параметрах.

Если известны все начальные параметры , то уравнения (15.1) можно записать сразу.

Задача с решением №18.

Пусть дана консольная балка постоянной жесткостью Техническая механика задачи с решением (рис. 15.3). Для нее можно сразу записать:

Техническая механика задачи с решением
Техническая механика задачи с решением

Теории прочности

К оглавлению…

Вопрос о прочности гораздо проще решить экспериментальным путем, но это очень дорого и громоздко.

Составление условий прочности для одноосного напряженного состояния или для простейшего двухосного не вызывает затруднений. Для обеспечения прочности материала требуется, чтобы наибольшее нормальное или касательное напряжение не превосходило соответствующего допускаемого напряжения. Но есть и более сложные случаи напряженного состояния (рис. 4.1, рис. 4.2).

Считают, что элемент конструкции находится в опасном состоянии, если такое состояние имеется в какой-либо его точке. Эту точку называют опасной точкой.

Существуют различные взгляды на причины, вызывающие опасное состояние материала. Рассмотрим три теории прочности, которые называют классическими теориями прочности и энергетическую теорию. Теории прочности представляют собой гипотезы о критериях, определяющих условия перехода материала в опасное состояние.

Расчеты по различным теориям прочности часто дают противоречивые результаты, не соответствующие также и опытным данным.

Первая теория прочности (Галилей, XVII век)

Сформулирована она может быть следующим образом: предельное состояние материала наступает тогда, когда наибольшее нормальное напряжение достигает значения предельного напряжения.

Условия прочности по первой теории прочности имеют вид:

Техническая механика задачи с решением — для пластичных материалов, Техническая механика задачи с решением — для хрупких материалов.

В практических расчетах первая теория прочности в настоящее время почти не применяется. Первая теория прочности дает совпадение экспериментальных и теоретических данных для случая растяжения хрупких материалов, когда Техническая механика задачи с решением по абсолютной величине значительно больше других. Но эта теория не может объяснить, почему материал сопротивляется огромным давлениям при всестороннем сжатии.

Вторая теория прочности (Мариотт, 1692 г.)

Вторая теория прочности представляет собой гипотезу, согласно которой опасное состояние материала наступает в результате того, что наибольшее относительное удлинение достигает опасного значения.

Для пластичного материала условие прочности по второй теории прочности имеет вид:

Техническая механика задачи с решением

Для хрупкого материала условие прочности записывается в виде:

Техническая механика задачи с решением

Эта теория находится в противоречии с экспериментальными данными для пластических материалов. В настоящее время в практических расчетах практически не применяется.

Третья теория прочности (Кулон, 1773 г.)

Третья теория прочности утверждает, что касательные напряжения -фактор, вызывающий разрушение материала.

Условие прочности по этой теории имеет вид:

Техническая механика задачи с решением

или

Техническая механика задачи с решением

Третья теория прочности объясняет, почему в случае всестороннего равномерного сжатия материал может, не разрушаясь, выдерживать большие напряжения. Однако она не объясняет разрушение материала при всестороннем равномерном растяжении. Недостатком третьей теории является также то, что она не учитывает главное напряжение Техническая механика задачи с решением. Расхождение результатов теоретических расчетов и опытных данных достигает 10-15%.

Во многих практических случаях третья теория прочности дает удовлетворительное совпадение результатов теоретического расчета с опытными данными для пластических материалов. Она широко используется при расчетах конструкций из пластических материалов.

Для хрупких материалов эта теория не применима.

Четвертая (энергетическая) теория прочности (Бельтрами 1885 г.)

Энергетическая теория прочности утверждает, что причиной возникновения опасного состояния является величина удельной потенциальной энергии изменения формы.

Запишем значение удельной потенциальной энергии деформации:

Техническая механика задачи с решением
Техническая механика задачи с решением

Подставим формулы для вычисления Техническая механика задачи с решением (см. лекцию 4) в выражение (16.4):

Техническая механика задачи с решением

Напряженное состояние бесконечно малого элемента конструкции (рис. 16.1, а) можно расчленить на два состояние (рис. 16, б, в).

Следуя изложенной выше методике можно определить, что удельная потенциальная энергия изменения формы Техническая механика задачи с решением будет:

Техническая механика задачи с решением

Условие прочности по четвертой теории прочности имеет вид:

Техническая механика задачи с решением

Рассматривая совместно два выражения (16.6) и (16.7), окончательно получаем:

Техническая механика задачи с решением

Достоинством энергетической теории является то, что она учитывает все три главных напряжения, но не может объяснить причины разрушения материала при всестороннем равномерном растяжении.

Эта теория широко используется при расчете конструкций из пластичных материалов. Для хрупких материалов она непригодна.

Теория прочности Мора

К оглавлению…

Главное напряжение Техническая механика задачи с решением влияет незначительно на прочность материалов, в пределах 15%. Поэтому можно считать, что прочность материала определяется лишь напряжениями Техническая механика задачи с решением и Техническая механика задачи с решением. Таким образом, расчет прочности в общем случае трехосного напряженного состояния сводится к расчету прочности при двухосном напряженном состоянии.

Для анализа прочности материала в этом случае удобно пользоваться кругами Мора (рис. 16.2)

Техническая механика задачи с решением
Техническая механика задачи с решением

Получение достаточного количества опытных данных для точного построения огибающей затруднительно. Поэтому практически огибающую, соответствующую допускаемым напряжениям, заменяют прямыми Техническая механика задачи с решением и Техническая механика задачи с решением, которые являются касательными к кругам Мора (рис. 16.3).

Условие прочности проверяется следующим образом. По значениям Техническая механика задачи с решением и Техническая механика задачи с решением строят круг (рис. 16.3). Если этот круг (круг 1) будет расположен между прямыми Техническая механика задачи с решением и Техническая механика задачи с решением, то считается, что материал в окрестности рассматриваемой точки имеет избыточную прочность, а если круг будет пересекать эти прямые (круг 2), то считается, что этот материал имеет недостаточную прочность.

Рассматривая подобие треугольников Техническая механика задачи с решением и Техническая механика задачи с решением, можно получить условие прочности в виде:

Техническая механика задачи с решением

Условие (16.9) выражает упрощенную теорию прочности Мора. Теория прочности Мора широко используется при расчетах конструкций из хрупких материалов. Для пластичных материалов теория прочности Мора совпадает с третьей теорией прочности, так как в этом случае

Техническая механика задачи с решением

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Применение теоретических положений сопротивления материалов для решения практических задач

К оглавлению…

Задача с решением №19.

Определить нормальное напряжение в бетоне и арматуре железобетонной колонны, квадратное поперечное сечение которой показано на рис. 17.1, причем Техническая механика задачи с решением, модуль продольной упругости стали Техническая механика задачи с решением, а бетона тяжелого класса Техническая механика задачи с решением.

В поперечном сечении колонны установлены четыре стержня диаметром 20 мм, следовательно, по справочнику принимаем, что общая их расчетная площадь поперечного сечения Техническая механика задачи с решением. Площадь поперечного сечения, занимаемого бетоном, определяется как

Техническая механика задачи с решением
Техническая механика задачи с решением

Пусть в поперечном сечении колонны действует сжимающая сила Техническая механика задачи с решением тогда уравнение равновесия примет вид:

Техническая механика задачи с решением

Для определения усилий в арматуре Техническая механика задачи с решением и в бетоне Техническая механика задачи с решением одного записанного выше уравнения равновесия недостаточно, так как задача один раз статически неопределима. Составим дополнительное уравнение возможных перемещений (уравнение совместности деформаций). Очевидно, что между арматурой и бетоном существует сцепление, так что абсолютное и относительное удлинения арматуры и бетона равны

Техническая механика задачи с решением

Учитывая, что Техническая механика задачи с решением, получаем равенство относительных удлинений: Техническая механика задачи с решением, или Техническая механика задачи с решением, или, что то же самое Техническая механика задачи с решением, откуда находим

Техническая механика задачи с решением

Подставляя полученное соотношение в уравнение равновесия при учете, что Техническая механика задачи с решением и полагая, что внешняя сосредоточенная сжимающая сила Техническая механика задачи с решением имеем

Техническая механика задачи с решением
Техническая механика задачи с решением

откуда находим

Техническая механика задачи с решением

Напряжения имеют знак «минус», так как колонна работает на сжатие.

Задача с решением №20.

Определить расстояние Техническая механика задачи с решением между элементами пакета, состоящего из трех досок размером Техническая механика задачи с решением , при условии равенства главных моментов инерции относительно осей Техническая механика задачи с решением и Техническая механика задачи с решением (рис. 17.2).

Решение: Момент инерции всего сечения относительно оси Техническая механика задачи с решением будет

Техническая механика задачи с решением
Техническая механика задачи с решением

При определении момента инерции сечения относительно оси Техническая механика задачи с решением для двух крайних прямоугольников следует воспользоваться формулой (6.13), так как ось Техническая механика задачи с решением не является для них центральной и, следовательно, для всего пакета из трех досок будем иметь

Техническая механика задачи с решением

По условию задачи Техническая механика задачи с решением, или Техническая механика задачи с решением. Решив полученное квадратное уравнение, найдем Техническая механика задачи с решением.

Задача с решением №21.

Построить эпюру крутящих моментов для вала постоянного по длине поперечного сечения, жестко защемленного обоими торцами и нагруженного скручивающим сосредоточенным моментом Техническая механика задачи с решением (рис. 17.3), расположенным на расстоянии Техническая механика задачи с решением от левого закрепления.

Решение: Так как вал защемлен с двух торцов, то в обоих защемлениях возникнут реактивные опорные моменты Техническая механика задачи с решением и Техническая механика задачи с решением. Для их определения используем вначале уравнения статики. В данном случае можно составить только одно уравнение равновесия:

Техническая механика задачи с решением

или

Техническая механика задачи с решением
Техническая механика задачи с решением

Уравнение содержит две неизвестные величины: Техническая механика задачи с решением и Техническая механика задачи с решением. Следовательно, данная задача является один раз статически неопределимой.

Рассматриваем картину деформации вала (рис. 17.3, б). Видно, что взаимный угол закручивания правого торца относительно левого равен нулю. Угол поворота правого торца относительно левого может быть представлен в виде суммы углов закручивания отдельных участков вала.

Углы закручивания по участкам определятся следующим образом: для участка длиной Техническая механика задачи с решением, для участка длиной Техническая механика задачи с решением

где Техническая механика задачи с решением и Техническая механика задачи с решением — крутящие моменты на соответствующих участках вала. Суммарный угол закручивания по условию закрепления концов равен нулю:

Техническая механика задачи с решением

Это и есть деформационное уравнение задачи. Преобразуем его. Применяя метод сечений, выразим крутящие моменты Техническая механика задачи с решением и Техническая механика задачи с решением:

Техническая механика задачи с решением

Подставив эти значения моментов в уравнение (17.2), и сократив полученное уравнение на постоянный множитель Техническая механика задачи с решением получим

Техническая механика задачи с решением

Решая совместно уравнения (17.1) и (17.3), найдем

Техническая механика задачи с решением

Знак «-» указывает на то, что истинное направление реактивных моментов противоположно выбранному первоначально. Вычислив реактивные моменты, строим эпюру крутящих моментов по известным правилам (рис. 17.3, <?).

Можно отметить следующую особенность эпюр крутящих моментов в статически неопределимых валах с Техническая механика задачи с решением суммарная площадь эпюры крутящих моментов равна нулю, что по существу предопределено уравнением (17.3). Если вал ступенчатый, то нулю должна быть равна сумма площадей эпюры крутящих моментов, отнесенных к полярным моментам инерции сечений на соответствующих участках.

Техническая механика задачи с решением

Задача с решением №22.

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки, показанной на рис. 17.4.

Решение: Определим опорные реакции балки Техническая механика задачи с решением и Техническая механика задачи с решением. Учитываем, что равнодействующая треугольной распределенной нагрузки численно будет равна площади занимаемой этой нагрузкой на рисунке, т.е. Техническая механика задачи с решением. Точка приложения равнодействующей нагрузки будет на расстоянии Техническая механика задачи с решением от левой опоры или, что то же самое, на расстоянии Техническая механика задачи с решением от правой опоры. В этом случае имеем:

Техническая механика задачи с решением

Проверим полученные результаты, для чего спроектируем все силы на ось Техническая механика задачи с решением

Техническая механика задачи с решением

Следовательно, опорные реакции Техническая механика задачи с решением и Техническая механика задачи с решением определены правильно. Проведем сечение Техническая механика задачи с решением и мысленно отбросим правую часть балки, заменив действие отброшенной части положительной поперечной силой Техническая механика задачи с решением и изгибающим моментом Техническая механика задачи с решением (рис. 17.4, б). Из подобия треугольников Техническая механика задачи с решением и Техническая механика задачи с решением получим Техническая механика задачи с решением, откуда Техническая механика задачи с решением.

Составим уравнения равновесия для оставшейся части балки:

Техническая механика задачи с решением

Определяем значение поперечной силы Техническая механика задачи с решением в начале и в конце балки:

при Техническая механика задачи с решением имеем Техническая механика задачи с решением, а при Техническая механика задачи с решением получаем Техническая механика задачи с решением. Найдем абсциссу поперечного сечения, в котором Техническая механика задачи с решением, для чего приравниваем к нулю выражение для определения поперечной силы:

Техническая механика задачи с решением

откуда находим

Техническая механика задачи с решением

Следовательно, максимальное значение изгибающего момента будет в поперечном сечении, для которого

Техническая механика задачи с решением

т. е.

Техническая механика задачи с решением

В начале (Техническая механика задачи с решением) и в конце (Техническая механика задачи с решением) балки получаем, что Техническая механика задачи с решением. По полученным данным строим эпюры Техническая механика задачи с решением и Техническая механика задачи с решением (рис. 17.4, а).

Задача с решением №23.

Определить прогиб балки, изображенной на рис. 17.5. Жесткость балки на изгиб — Техническая механика задачи с решением.

Решение: Определяем опорные реакции:

Техническая механика задачи с решением
Техническая механика задачи с решением

Балка состоит из одного участка. Составляем уравнение упругой оси балки:

Техническая механика задачи с решением

а затем его интегрируем:

Техническая механика задачи с решением

Для определения постоянных интегрирования Техническая механика задачи с решением и Техническая механика задачи с решением поставим граничные условия: при Техническая механика задачи с решением имеем Техническая механика задачи с решением и при Техническая механика задачи с решением также имеем Техническая механика задачи с решением, т.е. получаем Техническая механика задачи с решением, откуда Техническая механика задачи с решением, далее

Техническая механика задачи с решением

откуда находим

Техническая механика задачи с решением

Подставляя полученное значение Техническая механика задачи с решением в формулы (17.4), окончательно запишем результаты:

Техническая механика задачи с решением