Решение задач по ТАУ

Оглавление:

На этой странице я собрала теорию и практику, готовые задачи и подробные решения по предмету теория автоматического управления, чтобы вы смогли освежить знания.

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Математическое описание систем управления. Уравнения и передаточные функции

К оглавлению…

Система или звено с одним выходом Решение задач по ТАУ и двумя входами Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ в общем случае описывается уравнением

Решение задач по ТАУ

или

Решение задач по ТАУ

где Решение задач по ТАУ обозначает оператор дифференцирования Решение задач по ТАУ,

Решение задач по ТАУ

Дифференциальный оператор Решение задач по ТАУ при выходной переменной называется собственным оператором, а дифференциальные операторы Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ при входных переменных Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ — операторами воздействия. Отношение оператора воздействия к собственному оператору называется передаточной функцией в операторной форме.

Степень полинома знаменателя передаточной функции называют порядком, а разность между ее степенями знаменателя и числителя — относительным порядком или относительной степенью передаточной функции и соответствующей ей системы.

Нулями и полюсами передаточной функции

Решение задач по ТАУ

называют нули ее числителя и знаменателя соответственно, т. е. корни уравнений Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ, где Решение задач по ТАУ рассматривается как переменная, а не как оператор.

Система (1.1) определяется двумя передаточными функциями: передаточной функцией

Решение задач по ТАУ

относительно входа Решение задач по ТАУ и передаточной функцией

Решение задач по ТАУ

относительно входа Решение задач по ТАУ. Порядок этих передаточных функций равен Решение задач по ТАУ, а относительный порядок — Решение задач по ТАУ для передаточной функции Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ для передаточной функции Решение задач по ТАУ.

С помощью передаточной функции уравнение рассматриваемой системы управления можно записать в виде

Решение задач по ТАУ

Имеющее наименьший порядок отношение изображений Лапласа выходной и входной переменных, вычисленных при нулевых начальных условиях, называется передаточной функцией в изображениях Лапласа. В соответствии с определением передаточная функция в изображениях Лапласа не может иметь равные между собой нули и полюса, так как в этом случае ее порядок может быть понижен путем сокращения числителя и знаменателя на общий множитель.

Передаточная функция системы управления в изображениях Лапласа Решение задач по ТАУ может быть определена по ее передаточной функции в операторной форме Решение задач по ТАУ следующим образом:

Решение задач по ТАУ

Если передаточная функция Решение задач по ТАУ содержит одинаковые нули и полюса, то элементарные множители, соответствующие этим корням в числителе и знаменателе, после подстановки Решение задач по ТАУ должны быть сокращены.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет теория автоматического управления

Задача №1.1.

Определить передаточные функции звеньев, описываемых уравнениями:

Решение задач по ТАУ

Решение:

В символической форме эти уравнения записываются в виде

Решение задач по ТАУ

а их передаточные функции в операторной форме соответственно равны

Решение задач по ТАУ

Передаточные функции в изображениях Лапласа имеют вид

Решение задач по ТАУ

Как видим, передаточные функции в изображениях Лапласа рассматриваемых звеньев совпадают, хотя они описываются разными дифференциальными уравнениями и общие решения однородных уравнений, описывающие свободные движения систем, отличаются между собой.

Временные функции

К оглавлению…

Переходной функцией системы (звена) называют функцию, описывающую реакцию системы на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях. Переходную функцию обозначают Решение задач по ТАУ. График переходной функции — кривую зависимости Решение задач по ТАУ от времени Решение задач по ТАУ — называют переходной или разгонной характеристикой.

Импульсной переходной или весовой функцией (функцией веса) называют функцию, описывающую реакцию системы (звена) на единичное импульсное воздействие при нулевых начальных условиях. Весовую функцию обозначают Решение задач по ТАУ. График импульсной переходной функции называют импульсной переходной характеристикой. Переходную и импульсную переходную функции называют временными функциями, а их графики — временными характеристиками.

Передаточная функция в изображениях Лапласа есть преобразование Лапласа от весовой функции:

Решение задач по ТАУ

Весовая функция равна производной от переходной функции:

Решение задач по ТАУ

Если изображение временной функции Решение задач по ТАУ имеет вид Решение задач по ТАУРешение задач по ТАУ, где Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ — полиномы, и степень Решение задач по ТАУ полинома Решение задач по ТАУ больше степени m полинома Решение задач по ТАУ, то

Решение задач по ТАУ

если нули Решение задач по ТАУ полинома Решение задач по ТАУ — простые. Если какой-либо полюс Решение задач по ТАУ имеет кратность Решение задач по ТАУ, то ему соответствует слагаемое

Решение задач по ТАУ

Задача №1.2.

Определить переходную и весовую функции колебательного звена, т. е. звена с передаточной функцией

Решение задач по ТАУ

Решение:

Дифференциальное уравнение имеет вид

Решение задач по ТАУ

Для определения переходной функции нужно решить это уравнение при входном воздействии Решение задач по ТАУ и нулевых начальных условиях:

Решение задач по ТАУ

Характеристическое уравнение имеет вид

Решение задач по ТАУ

и его корнями являются

Решение задач по ТАУ

или

Решение задач по ТАУ

Положив

Решение задач по ТАУ

общее решение однородного дифференциального уравнения можно записать в виде

Решение задач по ТАУ

Частное решение неоднородного уравнения Решение задач по ТАУ. Поэтому общее решение неоднородного уравнения

Решение задач по ТАУ

Производная от этого решения

Решение задач по ТАУ

Начальные условия принимают вид

Решение задач по ТАУ

Отсюда

Решение задач по ТАУ

Поэтому для переходной и весовой функций имеем

Решение задач по ТАУ

или, после элементарных преобразований

Решение задач по ТАУ

где

Решение задач по ТАУ

Задача №1.3.

Определить переходную и весовую функции звена с передаточной функцией

Решение задач по ТАУ

Решение:

Передаточная функция Решение задач по ТАУ является изображением Лапласа весовой функции Решение задач по ТАУ. Полюса передаточной функции Решение задач по ТАУ являются простыми, и весовую функцию Решение задач по ТАУ можно определить по формуле (1.2). В данном случае Решение задач по ТАУРешение задач по ТАУ и для весовой функции в соответствии с формулой (1.2) получаем

Решение задач по ТАУ

Так как Решение задач по ТАУ то для изображения переходной функции имеем

Решение задач по ТАУ

В этом случае полюс Решение задач по ТАУ имеет кратность Решение задач по ТАУ, а полюс Решение задач по ТАУ — простой. Поэтому слагаемое, соответствующее полюсу Решение задач по ТАУ, найдем по формуле (1.3), а слагаемое, соответствующее полюсу Решение задач по ТАУ, — по формуле (1.2). Согласно формуле (1.3) имеем

Решение задач по ТАУ

Так как

Решение задач по ТАУ

для слагаемого, соответствующего полюсу Решение задач по ТАУ, имеем (см. (1.2))

Решение задач по ТАУ

Таким образом, переходная функция имеет вид

Решение задач по ТАУ

Частотные функции и характеристики

К оглавлению…

Функцию Решение задач по ТАУ, которая получается из передаточной функции в изображениях Лапласа Решение задач по ТАУ при подстановке Решение задач по ТАУ, называют частотной передаточной функцией. Она является комплекснозначной функцией от действительной переменной Решение задач по ТАУ называемой частотой. Частотную передаточную функцию можно представить в виде

Решение задач по ТАУ

Если

Решение задач по ТАУ

Ha комплексной плоскости частотная передаточная функция Решение задач по ТАУ определяет вектор Решение задач по ТАУ (рис. 1.1), длина которого равна Решение задач по ТАУ, а аргумент — углу Решение задач по ТАУ, образованному этим вектором с положительной действительной полуосью. Кривую, описываемую концом вектора Решение задач по ТАУ при изменении частоты от 0 до Решение задач по ТАУ или от —Решение задач по ТАУ до Решение задач по ТАУ, называют амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ).

Решение задач по ТАУ

АФЧХ, получаемую при изменении частоты от —Решение задач по ТАУ до Решение задач по ТАУ, называют также диаграммой Найквиста. Модуль Решение задач по ТАУназывают амплитудной частотной функцией, ее график — амплитудной частотной характеристикой. Аргумент Решение задач по ТАУ называют фазовой частотной функцией, а его график (при изменении Решение задач по ТАУ от 0 до Решение задач по ТАУ) — фазовой частотной характеристикой.

Частотную передаточную функцию Решение задач по ТАУ называют также амплитудно-фазовой частотной функцией. Ее действительную Решение задач по ТАУ и мнимую Решение задач по ТАУ части называют соответственно вещественной и мнимой частотной функцией, а их графики — кривые зависимостей Решение задач по ТАУ — вещественной и мнимой частотной характеристикой соответственно.

Кроме перечисленных частотных характеристик имеются логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ): логарифмические амплитудные частотные характеристики (ЛАЧX) и логарифмические фазовые частотные характеристики (ЛФЧХ).

Функцию

Решение задач по ТАУ

называют логарифмической амплитудной частотной функцией, а график зависимости функции Решение задач по ТАУ от логарифма частоты Решение задач по ТАУ — логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ).

При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают значение частоты в логарифмическом масштабе и при этом на отметке, соответствующей значению Решение задач по ТАУ, записывают значение Решение задач по ТАУ; по оси ординат откладывают и записывают значение Решение задач по ТАУ.

Логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ) называют график зависимости функции Решение задач по ТАУ от логарифма частоты Решение задач по ТАУ. При ее построении по оси абсцисс, как и при построении ЛАЧХ, на отметке, соответствующей значению Решение задач по ТАУ, записывают значение Решение задач по ТАУ.

В ЛЧХ единицей функции Решение задач по ТАУ является децибел, а единицей Решение задач по ТАУ — декада. Декадой называют интервал, на котором частота изменяется в 10 раз. При изменении частоты в 10 раз говорят, что частота изменилась на одну декаду.

Определенные трудности представляет вычисление фазовой частотной функции. Если эта функция по модулю не превышает Решение задач по ТАУ, то она определяется по формуле

Решение задач по ТАУ

В общем случае нужно разложить числитель и знаменатель передаточной функции на элементарные множители и определять фазовую частотную функцию по правилу вычисления аргумента произведения и частного комплексных чисел.

Правило вычисления модуля и аргумента. При вычислении амплитудной и фазовой частотной функций полезно следующее правило вычисления модуля и аргумента произведения и частного комплексных чисел (функций).

1) Модуль произведения Решение задач по ТАУ комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей:

Решение задач по ТАУ

а аргумент — сумме аргументов сомножителей:

Решение задач по ТАУ

2) Модуль частного комплексных чисел (функций) Решение задач по ТАУ равен отношению модулей

Решение задач по ТАУ

а аргумент — разности аргументов числителя и знаменателя:

Решение задач по ТАУ

Элементарные звенья и их характеристики. Так как произвольный полином можно разложить на простые множители, то передаточную функцию системы (звена)

Решение задач по ТАУ

всегда можно представить в виде произведения простых множителей и дробей вида

Решение задач по ТАУ

Здесь Решение задач по ТАУ называется передаточным коэффициентом, Решение задач по ТАУ — постоянной времени и Решение задач по ТАУ — коэффициентом демпфирования.

Звенья, передаточные функции которых имеют вид простых множителей или дробей, называют элементарными звеньями. Их также называют типовыми.

Системы и звенья и их передаточные функции делятся на минимально-фазовые и неминимально-фазовые. Передаточная функция Решение задач по ТАУ называется минимально-фазовой, если все ее нули (корни уравнения Решение задач по ТАУ) и полюса (корни уравнения Решение задач по ТАУ) располагаются в левой полуплоскости, и неминимально-фазовой, если хотя бы один нуль или полюс располагается в правой полуплоскости.

Система и звено называются минимально-фазовыми, если их передаточные функции являются минимально-фазовыми, и неминимально-фазовыми, если их передаточные функции являются неминимально-фазовыми.

Передаточные функции системы, не являющиеся ни минимально-фазовыми и ни неминимально-фазовыми, иногда называют нейтральными или маргинальными. Иначе говоря, передаточная функция называется маргинальной, если она имеет нуль или полюс на мнимой оси, но не имеет их в правой полуплоскости.

Тип звена определяется видом его передаточной функции. При этом если передаточные функции звеньев отличаются только на постоянный множитель, то их относят к одному и тому же типу. Поэтому при определении типа элементарных звеньев будем исходить из передаточных функций, получаемых из (1.4) умножением на константу Решение задач по ТАУ (кроме первой).

Звено с передаточной функцией Решение задач по ТАУ называется пропорциональным звеном, звено с передаточной функцией Решение задач по ТАУ — дифференцирующим звеном, звено с передаточной функцией Решение задач по ТАУРешение задач по ТАУ — интегрирующим звеном, звено с передаточной функцией Решение задач по ТАУ — форсирующим звеном (первого порядка), звено с передаточной функцией Решение задач по ТАУ — апериодическим звеном, звено с передаточной функцией — Решение задач по ТАУРешение задач по ТАУ — форсирующим звеном второго порядка, звено с передаточной функцией Решение задач по ТАУ — колебательным звеном.

Фазовые частотные функции минимально-фазовых и нейтральных звеньев с передаточными функциями, представляющими элементарный множитель первого порядка, по модулю не превышают Решение задач по ТАУ и определяются по формуле Решение задач по ТАУ. В случае форсирующего звена второго порядка фазовая функция определяется по формуле Решение задач по ТАУ при частотах Решение задач по ТАУ, а при Решение задач по ТАУ — по формуле

Решение задач по ТАУ

Физический смысл частотных характеристик. При гармоническом входном воздействии в устойчивых системах после окончания переходного процесса выходная переменная также изменяется по гармоническому закону с той же частотой, но с другими амплитудой и фазой; амплитуда равна амплитуде входного сигнала, умноженной на модуль частотной передаточной функции, а сдвиг фазы — ее аргументу. Поэтому если система с передаточной функцией Решение задач по ТАУ устойчива, то при входном воздействии

Решение задач по ТАУ

после окончания переходного процесса выходной сигнал

Решение задач по ТАУ

Здесь Решение задач по ТАУ — постоянная амплитуда входного сигнала, Решение задач по ТАУ — начальный сдвиг фазы, Решение задач по ТАУ — частотная передаточная функция рассматриваемой системы,

Решение задач по ТАУ

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по теории автоматического управления

Задача №1.4.

На вход системы подается сигнал Решение задач по ТАУ Определить в установившемся режиме реакцию системы с передаточной функцией

Решение задач по ТАУ

Решение:

В данном случае частотная передаточная функция имеет вид

Решение задач по ТАУ

и

Решение задач по ТАУ

Поэтому

Решение задач по ТАУ

и соответственно

Решение задач по ТАУ

Задача №1.15.

На вход системы подается сигнал Решение задач по ТАУ. Определить в установившемся режиме реакцию систем при передаточных функциях, приведенных в задании 1.14.

Асимптотические логарифмические амплитудные частотные характеристики. Логарифмические амплитудные частотные характеристики (ЛАЧХ) пропорционального, дифференцирующего и интегрирующего звеньев являются прямыми и их легко построить. Построение ЛАЧХ других элементарных звеньев требует трудоемких вычислений. Поэтому на практике часто ограничиваются построением приближенных асимптотических ЛАЧХ.

При построении асимптотической ЛАЧХ апериодического звена в выражении

Решение задач по ТАУ

при Решение задач по ТАУ под корнем пренебрегают слагаемым Решение задач по ТАУ, меньшим единицы, а при Решение задач по ТАУ — единицей. Поэтому уравнение асимптотической ЛАЧХ имеет вид

Решение задач по ТАУ

При построении асимптотической ЛАЧХ колебательного звена в выражении

Решение задач по ТАУ

при Решение задач по ТАУ под корнем оставляют только единицу, а при Решение задач по ТАУ — только наибольшее слагаемое Решение задач по ТАУ. Поэтому уравнение асимптотической ЛАЧХ имеет вид

Решение задач по ТАУ

Аналогично поступают при построении асимптотических ЛАЧХ форсирующих звеньев. Частоты, на которых асимптотические ЛАЧХ претерпевают излом, называются сопрягающими частотами.

Для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ звена с произвольной дробно-рациональной передаточной функцией Решение задач по ТАУ нужно ее числитель и знаменатель разложить на элементарные множители и представить Решение задач по ТАУ в виде произведения передаточных функций элементарных звеньев

Решение задач по ТАУ

или в виде

Решение задач по ТАУ

где Решение задач по ТАУ представляет собой отношение произведений элементарных множителей 1-го и 2-го порядка с единичным передаточным коэффициентом, т. е. множителей вида

Решение задач по ТАУ

Из (1.5) имеем:

Решение задач по ТАУ

Из (1.7) следует, что для построения ЛАЧХ произвольного звена достаточно построить ЛАЧХ элементарных звеньев, на которые оно разлагается, а затем их геометрически сложить. Однако для построения асимптотических ЛАЧХ можно использовать несколько иное, более простое правило. Проиллюстрируем это сначала на частном примере.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Задача №1.5.

Построить асимптотическую ЛАЧХ для звена с передаточной функцией

Решение задач по ТАУ

Решение:

Преобразуем передаточную функцию к виду

Решение задач по ТАУ

Логарифмическая амплитудная частотная функция

Решение задач по ТАУ

Вычислим сопрягающие частоты и пронумеруем их в порядке возрастания:

Решение задач по ТАУ

Здесь Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ — сопрягающие частоты апериодического, форсирующего и колебательного звеньев соответственно.

Напомним, что при построении асимптотических ЛАЧХ при частотах, меньших сопрягающей частоты, под корнем оставляют только единицу (остальными членами пренебрегают), при частотах, больших сопрягающей частоты, — член с наивысшей степенью Решение задач по ТАУ. Поэтому в рассматриваемом примере при Решение задач по ТАУ имеем

Решение задач по ТАУ

Это уравнение прямой, которая проходит через точку с координатами Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ с наклоном —20 дб/дек. Прямая имеет наклон -20 дб/дек (20 дб/дек) — это означает, что при увеличении частоты на декаду (т. е. в 10 раз) Решение задач по ТАУ уменьшается (увеличивается) на 20 дБ (рис. 1.2, а). Первая асимптота заканчивается на первой сопрягающей частоте (рис. 1.2, б).

При Решение задач по ТАУ аналогично имеем

Решение задач по ТАУ

Это уравнение второй асимптоты. Ее наклон по отношению к первой асимптоте изменяется на —20 дб/дек и обусловливается апериодическим звеном, т. е. множителем первого порядка в знаменателе рассматриваемой передаточной функции. Вторую асимптоту проводят от конца первой асимптоты до второй сопрягающей частоты под наклоном -40 дб/дек.

При

Решение задач по ТАУ
Решение задач по ТАУ

Это уравнение третьей асимптоты. Ее наклон по отношению ко второй асимптоте изменяется на 20 дб/дек и обусловливается форсирующим звеном, т. е. множителем первого порядка в числителе. Третью асимп-

Решение задач по ТАУ

тоту проводят от конца второй асимптоты до третьей сопрягающей частоты под наклоном —20 дб/дек. При

Решение задач по ТАУ
Решение задач по ТАУ

Это уравнение последней, четвертой, асимптоты. Ее наклон изменяется по отношению к третьей асимптоте на -40 дб/дек и обусловливается множителем второго порядка в знаменателе.

Правило построения асимптотических ЛАЧХ

1) Пользуясь представлением (1.6), вычислить 20 Решение задач по ТАУ: и сопрягающие частоты Решение задач по ТАУ, которые следует пронумеровать в порядке возрастания: Решение задач по ТАУ

2) На оси абсцисс отметить сопрягающие частоты, а на координатной плоскости — точку (1,20Решение задач по ТАУ). Построить первую асимптоту — прямую под наклоном — Решение задач по ТАУ20 дБ/дек, проходящую через отмеченную точку на координатной плоскости. Первая асимптота заканчивается на первой сопрягающей частоте Решение задач по ТАУ.

3) Построить вторую асимптоту, которая начинается с конца первой асимптоты и проводится до второй сопрягающей частоты Его наклон изменяется на ±20 дБ/дек или ±40 дБ/дек в зависимости от того, обусловливается ли Решение задач по ТАУэлементарным множителем первого или второго прядка соответственно. Принимается положительный знак, если указанный множитель находится в числителе, и отрицательный знак, если этот множитель находится в знаменателе.

4) Построить остальные асимптоты, которые строятся аналогично второй асимптоте: Решение задач по ТАУ-я асимптота начинается с конца предыдущей (Решение задач по ТАУ — 1)-й асимптоты и проводится до сопрягающей частоты Решение задач по ТАУ. Ее наклон определяется сопрягающей частотой Решение задач по ТАУ.

Последняя асимптота представляет собой прямую, которая начинается в конце асимптоты, соответствующей последней сопрягающей частоте, и уходит в бесконечность.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения задач по ТАУ

Задача №1.6.

Построить асимптотическую ЛАЧХ звена с передаточной функцией

Решение задач по ТАУ

Решение:

Преобразуем передаточную функцию к виду

Решение задач по ТАУ

1) Решение задач по ТАУ = 0. Вычислим 20 Решение задач по ТАУ и сопрягающие частоты:

Решение задач по ТАУ

Проводим через точку с координатами (1, 20) первую асимптоту под наклоном 0 дБ/дек (т. е. параллельно оси абсцисс) до первой сопрягающей частоты Решение задач по ТАУ = 0,1 (рис. 1.3, а).

Решение задач по ТАУ

Так как первая сопрягающая частота Решение задач по ТАУ обусловлена множителем первого порядка Решение задач по ТАУ, расположенным в знаменателе, наклон второй асимптоты изменяется на -20 дБ/дек. Поэтому вторую асимптоту проводим от конца первой асимптоты до сопрягающей частоты Решение задач по ТАУ = 1 под наклоном -20 дБ/дек.

Сопрягающая частота Решение задач по ТАУ обусловлена элементарным множителем Решение задач по ТАУ, расположенным в числителе. Поэтому наклон третьей асимптоты отличается от наклона второй на 20 дБ/дек и составляет 0 дБ/дек. Третью асимптоту проводим от конца второй асимптоты до сопрягающей частоты Решение задач по ТАУ = 10.

Сопрягающая частота Решение задач по ТАУ обусловлена элементарным множителем Решение задач по ТАУ. расположенным в знаменателе. Поэтому наклон четвертой асимптоты отличается от наклона третьей асимптоты на -40 дБ/дек. Последнюю асимптоту проводим от конца третьей асимптоты до бесконечности.

2) Решение задач по ТАУ = — 1. Значения 20Решение задач по ТАУ и сопрягающих частот те же, что и в предыдущем случае. Первую асимптоту проводим через точку с координатами (1, 20) с наклоном —Решение задач по ТАУ20 дБ/дек = 20 дБ/дек до первой сопрягающей частоты (рис. 1.3, б). Все последующие асимптоты строятся так же, как и в предыдущем случае.

Структурные схемы

К оглавлению…

Структурной схемой системы управления называют графическое представление ее математической модели в виде соединений звеньев, изображаемых в виде прямоугольников или круга (для сумматора), с указанием входных и выходных переменных.

Обычно внутри прямоугольника указывается условное обозначение оператора изображаемого им звена, а сам оператор в виде передаточной функции или дифференциального уравнения задается вне структурной схемы.

Преобразование структурных схем.

Последовательное соединение. Так называется соединение, при котором выход предыдущего звена является входом последующего (рис. 1.4, а). При последовательном соединении передаточные функции отдельных звеньев перемножаются и при преобразовании структурных схем цепочку из последовательно соединенных звеньев можно заме-

Решение задач по ТАУ

нить одним звеном с передаточной функцией Решение задач по ТАУРешение задач по ТАУ (рис. 1.4, б).

Параллельное соединение. Так называется соединение, при котором на вход всех звеньев подается одно и то.же воздействие, а их выходные переменные складываются (рис. 1.5, а). При параллельном

Решение задач по ТАУ

соединении звеньев передаточные функции складываются и при преобразовании их можно заменить одним звеном с передаточной функцией

Решение задач по ТАУ

Если выход какого-либо звена поступает на сумматор с отрицательным знаком, то передаточная функция этого звена складывается с отрицательным знаком, т. е. вычитается.

Обратное соединение или звено, охваченное обратной связью. Так называется соединение двух звеньев, при котором выход звена прямой цепи подается на вход звена обратной связи, выход которого складывается с входом первого звена (рис. 1.6, а). Если сигнал обратной

Решение задач по ТАУ

связи (выход звена обратной связи) вычитается (т. е. складывается с отрицательным знаком), то обратная связь называется отрицательной; в противном случае — положительной. Когда передаточная функция звена обратной связи равна единице Решение задач по ТАУ обратное соединение изображается так, как показано на рис. 1.6, б.

При размыкании обратной связи перед сумматором получаем последовательное соединение, передаточная функция которого равна

Решение задач по ТАУ

Эта передаточная функция называется передаточной функцией разомкнутой цепи.

Передаточную функцию

Решение задач по ТАУ

в которой учитывается передаточная функция сумматора по входу обратной связи, будем называть передаточной функцией контура. Здесь Решение задач по ТАУ — передаточная функция сумматора по входу обратной связи, она равна -1 (минус единице) при отрицательной обратной связи (перед соответствующим входом стоит знак минус) и 1 (плюс единице) при положительной обратной связи.

Передаточная функция при обратном соединении равна Решение задач по ТАУРешение задач по ТАУРешение задач по ТАУ и при преобразовании обратное соединение заменяется одним звеном с указанной передаточной функцией (рис. 1.6, в).

Перенос сумматора. При переносе сумматора по ходу сигнала добавляется звено с передаточной функцией, равной передаточной функции звена, через которое переносится сумматор (рис. 1.7, а).

Решение задач по ТАУ

При переносе сумматора против хода сигнала добавляется звено с передаточной функцией, равной обратной передаточной функции звена, через которое переносится сумматор (рис. 1.7, б).

При переносе сумматора участок цепи, через который он переносится, становится неэквивалентным. Поэтому при преобразовании структурных схем нельзя переносить сумматор через точку съема сигнала.

Перенос узла. При переносе узла по ходу сигнала добавляется звено с передаточной функцией, равной обратной передаточной функции звена, через которое переносится узел (рис. 1.8, а).

Решение задач по ТАУ

При переносе узла против хода сигнала добавляется звено с передаточной функцией, равной передаточной функции звена, через которое переносится узел (рис. 1.8, б).

Перестановка сумматоров. Сумматоры можно переставлять местами и объединять. Перестановка двух сумматоров соответствует переносу одного сумматора через другой и подчиняется правилу переноса сумматора через звено.

Сумматор 1 (рис. 1.9) переносится через сумматор 2 по направлению распространения сигнала, а сумматор 2 через сумматор 1 против направления распространения сигнала.

Решение задач по ТАУ

Но так как передаточная функция сумматора по каждому входу равна 1 или -1, то и передаточная функция звена, которое добавляется при переносе сумматора, независимо от направления переноса равна 1 или -1. Поэтому если сумматор переносится через другой сумматор вдоль входа со знаком плюс, добавляется звено с передаточной функцией 1, т. е. в действительности ничего не добавляется (рис. 1.9, а); если сумматор переносится вдоль входа со знаком минус, то добавляется звено с передаточной функцией -1, т.е. знак по входу, куда должно быть добавлено звено, меняется на обратный (рис. 1.9, б).

Перестановка узлов. Узлы можно переставлять местами и объединять.

Вычисление передаточной функции одноконтурной системы.

Замкнутая система называется одноконтурной, если при ее размыкании в какой-либо точке замкнутого контура получается система без параллельных и обратных соединений (рис. 1.10).

Решение задач по ТАУ

Цепь по ходу сигнала от точки приложения входной переменной до точки съема выходной переменной называется прямой цепью. Передаточная функция прямой цепи Решение задач по ТАУ равна произведению передаточных функций звеньев, входящих в эту цепь, включая и сумматоры. Передаточная функция контура Решение задач по ТАУ равна произведению передаточных функций всех звеньев, входящих в замкнутый контур, включая сумматоры. Передаточная функция сумматора по входу со знаком плюс равна плюс единице, а по входу со знаком минус — минус единице.

Правило вычисления передаточной функции замкнутой одноконтурной системы: передаточная функция одноконтурной системы относительно внешнего воздействия (входа) Решение задач по ТАУ и выхода Решение задач по ТАУ равна передаточной функции прямой цепи, деленной на единицу минус передаточная функция контура:

Решение задач по ТАУ

Возможно эта страница вам будет полезна:

Контрольная работа по теории автоматического управления

Задача №1.7.

Определить передаточные функции системы (рис. 1.10) Решение задач по ТАУ относительно входа Решение задач по ТАУ и выхода Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ относительно входа Решение задач по ТАУ и выхода Решение задач по ТАУ.

Решение:

Прямая цепь системы (см. рис. 1.10) относительно входа Решение задач по ТАУ и выхода Решение задач по ТАУ представляет последовательное соединение двух сумматоров и звеньев с передаточными функциями Решение задач по ТАУи Решение задач по ТАУ. Входы сумматоров в этой цепи имеют знак плюс и их передаточные функции равны единице. Поэтому передаточная функция прямой цепи

Решение задач по ТАУ

Прямая цепь относительно входа Решение задач по ТАУ и выхода Решение задач по ТАУ представляет последовательное соединение двух сумматоров и звеньев с передаточными функциями Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ. Вход первого сумматора имеет знак плюс, вход второго сумматора — знак минус и их передаточные функции равны 1 и —1 соответственно. Поэтому в этом случае передаточная функция прямой цепи

Решение задач по ТАУ

Искомые передаточные функции имеют вид

Решение задач по ТАУ

Вычисление передаточной функции многоконтурной системы.

Замкнутая система называется многоконтурной, если при ее размыкании в какой-либо точке замкнутого контура получается система, содержащая параллельное и/или обратное соединение.

Многоконтурная система не имеет перекрестных связей, если любые два контура, образованные параллельными или обратными соединениями, не имеют общих участков (рис. 1.11, а) или, если какие-либо два контура имеют общий участок, то один из них вложен внутрь другого (рис. 1.11, б).

Многоконтурная система имеет перекрестные связи, если она содержит два контура, которые имеют общий участок, и при этом ни один из них не вложен внутрь другого (рис. 1.11, в).

Порядок вычисления передаточной функции многоконтурной системы следующий:

1) путем переноса узлов и сумматоров нужно освободиться от перекрестных связей;

2) используя правила преобразования параллельных и обратных соединений, нужно преобразовать многоконтурную систему в одноконтурную;

3) по правилу вычисления передаточной функции одноконтурной системы определить искомую передаточную функцию.

При преобразовании структурной схемы нужно позаботится о том, чтобы не исчезли точки съема переменных, относительно которых ищутся передаточные функции, или чтобы эти точки не оказались на неэквивалентном участке (т. е. не следует переносить сумматор через эти точки).

Задача №1.8.

Определить передаточные функции Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ системы управления, представленной на рис 1.12, а.

Решение:

Сначала освободимся от перекрестных связей. Для этого перенесем сумматор 3 против хода сигнала через звено Решение задач по ТАУ и сум-

Решение задач по ТАУ

матор 2. То же самое проделаем с сумматором 4 (рис. 1.12, б). Далее, заменив параллельное соединение звеном с передаточной функцией

Решение задач по ТАУ

и обратное соединение звеном с передаточной функцией

Решение задач по ТАУ

получим одноконтурную систему (рис. 1.12, в). Из последней схемы по правилу вычисления передаточной функции одноконтурной системы находим

Решение задач по ТАУ

При вычислении передаточных функций многоконтурных систем с перекрестными связями во многих случаях целесообразно, а иногда

Решение задач по ТАУ

и необходимо сначала предварительно упростить схему, используя правила преобразования параллельных и обратных соединений, затем освободиться от перекрестных связей.

Граф системы управления

К оглавлению…

Граф системы управления состоит из дуг и вершин. Дуга соответствует звену и на схеме изображается отрезком линии со стрелкой, указывающей направление распространения сигнала. Дуга начинается и кончается в вершине.

Вершина на схеме изображается кружком и определяет переменную. Если к вершине подходит одна дуга, то она определяет выходную величину дуги (рис. 1.17, а), если же в вершину входят несколько дуг, то она соответствует сумме выходных переменных этих дуг (рис. 1.17, б).

Решение задач по ТАУ

Начальная вершина дуги определяет ее входную переменную (рис. 1.17, в). Вершина графа, имеющая только выходящие из нее дуги, определяет внешнее воздействие и называется входной вершиной графа.

Последовательность дуг Решение задач по ТАУ (не обязательно разных), для которых конечная вершина Решение задач по ТАУ дуги Решение задач по ТАУ является начальной вершиной дуги Решение задач по ТАУ называется ориентированным маршрутом или ормаршрутом. Ормаршрут называется замкнутым, если конечная вершина дуги Решение задач по ТАУ совпадает с начальной вершиной дуги Решение задач по ТАУ, и незамкнутым в противном случае.

Ормаршрут, в котором все дуги разные, называется путем от начальной вершины Решение задач по ТАУ к конечной вершине Решение задач по ТАУ, если он не замкнут, и контуром, если он замкнут (Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ совпадают). Путь и контур называют простыми, если все вершины Решение задач по ТАУ различны. Простой путь также называют прямым путем.

Два контура называются несоприкасающимися, если они не имеют общих вершин. Три, четыре и т.д. контура называются несоприкасающимися, если любая пара из этих контуров является несоприкасающейся.

Граф системы управления можно построить по структурной схеме. Для этого нужно произвести следующее (рис. 1.18):

1) сумматор с выходной переменной Решение задач по ТАУ заменить вершиной Решение задач по ТАУ;

2) звено с передаточной функцией Решение задач по ТАУ заменить дугой Решение задач по ТАУ если выходная переменная подается на сумматор по отрицательному входу, то указанное звено заменить дугой — Решение задач по ТАУ;

3) каждой переменной, в том числе переменной, соответствующей внешнему воздействию, сопоставить свою вершину.

Решение задач по ТАУ

Формула Мейсона. Определителем графа (подграфа) называется передаточная функция Решение задач по ТАУ, равная

Решение задач по ТАУ

Здесь в первой сумме Решение задач по ТАУ — передаточная функция Решение задач по ТАУ-го простого контура, равная произведению передаточных функций дуг, входящих в этот контур, и суммирование производится по всем простым контурам; во второй сумме Решение задач по ТАУ — произведение передаточных функций Решение задач по ТАУ-го и Решение задач по ТАУ-го простых контуров и суммирование производится по всем несоприкасающимся парам контуров; в третьей сумме Решение задач по ТАУ — произведение передаточных функций Решение задач по ТАУ-го, Решение задач по ТАУ-го и Решение задач по ТАУ-го простых контуров и суммирование производится по всем несоприкасающимся тройкам контуров и т. д.

Подграфом Решение задач по ТАУ-го прямого пути называется подграф, который получается из исходного графа отбрасыванием всех дуг и вершин Решение задач по ТАУ-го пути, а также всех дуг, начинающихся или кончающихся на вершинах этого пути.

Передаточная функция системы управления относительно входа Решение задач по ТАУ и выхода Решение задач по ТАУ определяется следующим образом:

Решение задач по ТАУ

где Решение задач по ТАУ — определитель графа системы управления;

Решение задач по ТАУ — передаточная функция Решение задач по ТАУ-го прямого пути от начальной вершины Решение задач по ТАУ к конечной вершине Решение задач по ТАУ;

Решение задач по ТАУ — общее число таких прямых путей;

Решение задач по ТАУ — определитель подграфа Решение задач по ТАУ-го прямого пути.

Задача №1.9.

Построить граф и по теореме Мейсона определить передаточную функцию Решение задач по ТАУ системы (рис. 1.19, а).

Решение:

Граф системы управления представлен на рис. 1.19, б. От вершины Решение задач по ТАУ до вершины Решение задач по ТАУ имеются четыре прямых пути. Передаточные функции этих путей равны

Решение задач по ТАУ

Подграф 1-го пути состоит из вершин Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ, 2-го пути — из вершин Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ; подграф 3-го пути есть пустой граф, подграф 4-го пути состоит из вершины Решение задач по ТАУ. И так как все они не имеют контуров, их определители равны единице:

Решение задач по ТАУ
Решение задач по ТАУ

Граф системы управления имеет четыре простых контура. Их передаточные функции имеют вид

Решение задач по ТАУ

Несоприкасающихся пар контуров нет. Поэтому определитель графа имеет вид

Решение задач по ТАУ

Для искомой передаточной функции получаем

Решение задач по ТАУ

Математическое описание некоторых технических устройств

К оглавлению…

В общем случае функциональная схема системы автоматического управления имеет вид, представленный на рис. 2.1, где приняты следующие обозначения: УУ — управляющее устройство, включающее

Решение задач по ТАУ

в себя ЗУ — задающее устройство, вырабатывающее задающий сигнал Решение задач по ТАУ; СУ — сравнивающее устройство, вырабатывающее сигнал ошибки

Решение задач по ТАУ

УПУ — усилительно-преобразовательное устройство, включающее в себя помимо усилителя и преобразователь или корректирующее устройство, которое на основе сигнала ошибки Решение задач по ТАУ и измеренного возмущения Решение задач по ТАУ вырабатывает управляющее воздействие Решение задач по ТАУ; ИУ — исполнительное устройство, непосредственно воздействующее на объект управления ОУ; ЧЭ1 и ЧЭ2 — чувствительные элементы (датчики), измеряющие управляемую переменную Решение задач по ТАУ и возмущение Решение задач по ТАУ и при необходимости преобразующие их в иную физическую переменную (например, механическую или тепловую в электрическую); ОУ — объект управления.

В данной главе рассматриваются задачи, связанные с математическим описанием (дифференциальными уравнениями и передаточными функциями) некоторых технических устройств, используемых в системах автоматического управления (САУ) в качестве упомянутых выше элементов.

Чувствительные элементы — датчики

К оглавлению…

Датчики линейных и угловых перемещений. В САУ для измерения линейных и угловых перемещений используются линейные и вращающиеся потенциометрические датчики (ПД). Для измерения угловых перемещений используются вращающиеся трансформаторы (ВТ) и сельсины (С). На этих элементах выполняют также и сравнивающие устройства (СУ). Принцип действия этих устройств, их схемы и основные характеристики рассматриваются в довольно обширной литературе [1, 2, 5-8, 10]. Упомянутые выше потенциометрические датчики, вращающиеся трансформаторы и сельсины при исследовании динамики считаются безынерционными звеньями с передаточной функцией

Решение задач по ТАУ

где Решение задач по ТАУ — передаточный коэффициент датчика.

Для потенциометрических датчиков и вращающихся трансформаторов коэффициент Решение задач по ТАУ определяется крутизной статической характеристики, но следует иметь в виду, что для вращающихся трансформаторов это верно при малых углах, иначе необходимо учитывать нелинейность характеристики. Передаточный коэффициент сельсина, работающего в трансформаторном режиме, также рассчитывается по крутизне характеристики, определяемой по следующей формуле:

Решение задач по ТАУ

Так, например, передаточная функция ПД типа ПП

Решение задач по ТАУ

передаточная функция ВТ типа ВТ-5

Решение задач по ТАУ

передаточная функция сельсина типа СГСМ-1

Решение задач по ТАУ

Для измерения угловой скорости используют тахогенераторы (ТГ) постоянного и переменного тока. Строго говоря, по динамическим свойствам их можно отнести к апериодическому звену второго порядка с передаточной функцией

Решение задач по ТАУ

где Решение задач по ТАУ — напряжение на выходе ТГ, Решение задач по ТАУ — электрическая постоянная времени, Решение задач по ТАУ — индуктивность обмотки якоря, Решение задач по ТАУ — активное сопротивление обмотки якоря, Решение задач по ТАУ — электромеханическая постоянная времени. Но поскольку якорь ТГ соединен с валом двигателя, скорость которого он измеряет, его момент инерции учитывается при расчете электромеханической постоянной времени двигателя в суммарном моменте инерции. Учитывая, что Решение задач по ТАУ, ТГ можно считать безынерционным звеном с передаточной функцией Решение задач по ТАУ. где Решение задач по ТАУ — передаточный коэффициент ТГ, определяемый крутизной статической характеристики Решение задач по ТАУ.

Например, передаточная функция ТГ типа ТП-75

Решение задач по ТАУ

а для ТГ типа ДГ-3ТА

Решение задач по ТАУ

Основные характеристики некоторых типов ТГ приведены в [2, 10].

Датчики температуры. Для измерения температуры в системах автоматического управления используются электротепловые датчики: термопары (ТП) и термосопротивления (ТС) [5, 6, 8, 10]. Датчики этого типа с точки зрения динамики являются апериодическим (инерционным) звеном первого порядка с передаточной функцией

Решение задач по ТАУ

где Решение задач по ТАУ — постоянная времени термодатчика, которая колеблется для некоторых типов датчиков от долей секунды до нескольких минут, Решение задач по ТАУ — передаточный коэффициент термодатчика, который определяется крутизной статической характеристики.

Усилители

К оглавлению…

В САУ используются все известные типы усилителей: электрические, гидравлические и пневматические. В качестве электрических используются электронные (ЭУ) (полупроводниковые, тиристорные), магнитные (МУ) и электромашинные (ЭМУ).

Электронные усилители. Электронные усилители можно считать безынерционным звеном с передаточной функцией

Решение задач по ТАУ

так как их постоянная времени мала по сравнению с постоянными времени электромеханических элементов системы. Коэффициент усиления по напряжению Решение задач по ТАУ рассчитывается как отношение выходного напряжения усилителя Решение задач по ТАУ ко входному напряжению Решение задач по ТАУ.

Магнитные усилители. Наибольшее распространение в САУ получила схема двухтактного реверсивного МУ [5, 8-10]. По динамическим свойствам МУ этого типа эквивалентен апериодическому звену с передаточной функцией

Решение задач по ТАУ

Для увеличения коэффициента усиления используют внутреннюю обратную связь. Постоянная времени Тму для МУ с положительной обратной связью рассчитывается по следующей формуле:

Решение задач по ТАУ

где Решение задач по ТАУ — частота напряжения питания в Гц, Решение задач по ТАУ — активное сопротивление нагрузки, Решение задач по ТАУ — общее активное сопротивление цепи управления усилителя с учетом сопротивления источника управляющего сигнала в Ом, Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ — число витков рабочей обмотки и обмотки управления соответственно, Решение задач по ТАУ — коэффициент положительной обратной связи. Коэффициент усиления по напряжению Решение задач по ТАУ вычисляется по формуле

Решение задач по ТАУ

где Решение задач по ТАУ — ток в нагрузке, Решение задач по ТАУ — ток в обмотке управления.

Магнитные усилители рассчитываются для каждого отдельного случая, серийно промышленностью не выпускаются.

Электромашинные усилители. ЭМУ используются в САУ в случае наличия источника механической энергии (например, дизель и т.п.). Их применяют для управления двигателем постоянного тока, когда требуется высокий коэффициент усиления по мощности. Известны различные конструкции ЭМУ [3, 5, 6, 8, 10]. ЭМУ с поперечным полем описывается передаточной функцией апериодического звена второго порядка

Решение задач по ТАУ

где Решение задач по ТАУ — коэффициент усиления ЭМУ, равный

Решение задач по ТАУ

Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ — активные сопротивления обмотки управления и поперечной короткозамкнутой обмотки соответственно, Решение задач по ТАУ — коэффициент пропорциональности между ЭДС в поперечной обмотке и током управления, Решение задач по ТАУ —коэффициент пропорциональности между выходной ЭДС и током в поперечной обмотке, Решение задач по ТАУ — постоянная времени цепи управления, Решение задач по ТАУ — индуктивность обмотки управления, Решение задач по ТАУ — постоянная времени поперечной цепи, Решение задач по ТАУ — индуктивность поперечной обмотки. Обычно Решение задач по ТАУ, их значения колеблются от сотых до десятых долей секунды. Коэффициент усиления по мощности для этого типа ЭМУ достигает Решение задач по ТАУ.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Курсовая работа по теории автоматического управления

Исполнительные устройства и объекты управления

К оглавлению…

Двигатели постоянного тока. Двигатель постоянного тока с независимым возбуждением может быть представлен структурной схемой, приведенной на рис. 2.2, где Решение задач по ТАУ —передаточная функция относительно управляющего воздействия Решение задач по ТАУ — передаточная функция относительно возмущения — момента нагрузки Решение задач по ТАУ.

Когда выходом является угловая скорость, передаточная функция двигателя по управляющему воздействию Решение задач по ТАУ

Решение задач по ТАУ

и по возмущению Решение задач по ТАУ

Решение задач по ТАУ

Здесь

Решение задач по ТАУ

передаточный коэффициент двигателя по управлению, Решение задач по ТАУ — постоянная, зависящая от потока возбуждения и конструкции двигателя, Решение задач по ТАУ — скорость холостого хода, Решение задач по ТАУ — номинальная скорость, Решение задач по ТАУ — электрическая постоянная времени якоря, Решение задач по ТАУ — индуктивность обмотки якоря, Решение задач по ТАУ — активное сопротивление обмотки якоря, Решение задач по ТАУ — электромеханическая постоянная времени, Решение задач по ТАУ — приведенный к валу двигателя суммарный момент инерции вращающихся частей,

Решение задач по ТАУ

передаточный коэффициент двигателя по возмущению (моменту нагрузки) Решение задач по ТАУ — постоянная, зависящая, как и Решение задач по ТАУ, от потока возбуждения и конструкции двигателя, Решение задач по ТАУ — номинальное напряжение управления. Решение задач по ТАУ — пусковой момент.

Решение задач по ТАУ

Для большинства двигателей выполняется неравенство Решение задач по ТАУ. Поэтому при расчете динамики САУ часто полагают Решение задач по ТАУ. При этом передаточные функции двигателя по управляющему воздействию Решение задач по ТАУ и по возмущению Решение задач по ТАУ соответственно принимают вид

Решение задач по ТАУ

Если за выходную величину двигателя принять угол поворота вала Решение задач по ТАУ, то передаточные функции по управляющему воздействию Решение задач по ТАУ и по возмущению Решение задач по ТАУ имеют вид

Решение задач по ТАУ

Задача №2.1.

Определить передаточные функции двигателя типа ДПМ-20-Н1/Н2-01.

Решение:

Для двигателя данного типа

Решение задач по ТАУ
Решение задач по ТАУ

Приведем единицы измерения параметров двигателя к системе СИ:

Решение задач по ТАУ

Скорость холостого хода двигателя

Решение задач по ТАУ

Рассчитаем передаточные коэффициенты двигателя по управлению и по возмущению:

Решение задач по ТАУ

Тогда получим передаточные функции двигателя

Решение задач по ТАУ

Асинхронные двигатели. Наиболее распространен индукционный двухфазный двигатель [1, 3, 8-10]. В динамическом отношении асинхронный двигатель рассматривается относительно угловой скорости как апериодическое звено и по управляющему воздействию Решение задач по ТАУ и по возмущению Решение задач по ТАУ:

Решение задач по ТАУ

где параметры двигателя вычисляются по следующим формулам:

Решение задач по ТАУ

где Решение задач по ТАУ — пусковой ток ротора, равный току, потребляемому от сети, Решение задач по ТАУ — момент инерции ротора.

Задача №2.2.

Определить передаточные функции асинхронного двигателя типа АД-32Б. Технические характеристики двигателя этого типа:

Решение задач по ТАУ
Решение задач по ТАУ

Решение:

Угловая скорость двигателя при холостом ходе

Решение задач по ТАУ

Рассчитаем передаточные коэффициенты двигателя:

Решение задач по ТАУ

Тогда передаточные функции двигателя

Решение задач по ТАУ

Генератор постоянного тока. Генератор постоянного тока описывается дифференциальным уравнением первого порядка и он эквивалентен апериодическому звену [6]:

Решение задач по ТАУ

где Решение задач по ТАУ — выходное и входное напряжения генератора, Решение задач по ТАУРешение задач по ТАУ — передаточный коэффициент по управляющему воздействию, Решение задач по ТАУ — активное сопротивление обмотки возбуждения, тор — константа, определяющая зависимость между ЭДС генератора Решение задач по ТАУ и током возбуждения Решение задач по ТАУ — постоянная времени генератора, Решение задач по ТАУ — индуктивность обмотки возбуждения.

Передаточная функция генератора относительно возмущения (Решение задач по ТАУ — тока якоря)

Решение задач по ТАУ

где Решение задач по ТАУ — активное сопротивление цепи якоря.

Корректирующие элементы

К оглавлению…

При синтезе САУ для обеспечения ее устойчивости и требуемых показателей качества используют корректирующие элементы, в качестве которых применяют пассивные и активные четырехполюсники.

Пассивные четырехполюсники. Пассивные четырехполюсники представляют собой схемы из резисторов, конденсаторов и индуктив-ностей [5-7].

При вычислении передаточных функций четырехполюсников удобно воспользоваться операторными сопротивлениями: омическим Решение задач по ТАУ индуктивным Решение задач по ТАУ и емкостным Решение задач по ТАУ. При этом пассивные четырехполюсники можно рассчитывать как схемы, составленные из одних омических сопротивлений. Общая схема пассивного четырехполюсника показана на рис. 2.3, где Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ — операторные сопротивления.

Передаточную функцию такого четырехполюсника можно записать следующим образом:

Решение задач по ТАУ

Задача № 2.3.

Рассчитать передаточную функцию четырехполюсника, показанного на рис. 2.4.

Решение задач по ТАУ

Решение:

В данном случае

Решение задач по ТАУ

Поэтому

Решение задач по ТАУ

Если соединить последовательно два пассивных четырехполюсника через разделительный усилитель (рис. 2.5), то передаточная функция этой цепи

Решение задач по ТАУ

где Решение задач по ТАУ — коэффициент усиления усилителя, Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ — передаточные функции четырехполюсников, включенных на входе и выходе усилителя.

Эта формула справедлива при условии, что входное сопротивление усилителя достаточно велико.

Активные четырехполюсники постоянного тока. В таких четырехполюсниках используются операционные усилители (УПТ) с высоким коэффициентом усиления Решение задач по ТАУ [4. 6, 7, 9]. Общая схема активного четырехполюсника показана на рис. 2.6. Передаточная функция такого элемента

Задача №2.4.

Рассчитать передаточную функцию активного четырехполюсника, показанного на рис. 2.7.

Решение:

В данном случае

Решение задач по ТАУ

Поэтому

Решение задач по ТАУ
Решение задач по ТАУ
Решение задач по ТАУ

Сравнивающие устройства (СУ)

К оглавлению…

На рис. 2.8, а показана схема СУ, выполненная на линейных потенциометрах Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ, а на рис. 2.8, б — на кольцевых потенциометрах Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ.

Решение задач по ТАУ

В обеих схемах сигнал ошибки Решение задач по ТАУ при равенстве задающего сигнала Решение задач по ТАУ и сигнала обратной связи Решение задач по ТАУ.

На рис. 2.9 показана мостовая схема СУ.

Решение задач по ТАУ

В частном случае в плечи моста могут быть включены активные сопротивления Решение задач по ТАУРешение задач по ТАУ и термосопротивление Решение задач по ТАУ. Если выполняется условие равновесия моста Решение задач по ТАУ, то сигнал ошибки Решение задач по ТАУ. В общем случае в плечи моста могут быть включены, помимо активных сопротивлений, индуктивности и емкости.

Схема СУ может быть выполнена и на сельсинах, и на вращающихся трансформаторах. Принципиальная схема таких устройств может быть показана так, как на рис. 2.10.

Решение задач по ТАУ

В качестве задающего (ЗУ) и приемного (ПУ) устройств могут использоваться и сельсины (СД-сельсин-датчик, СП-сельсин-приемник) и вращающиеся трансформаторы (ВТ-1 и ВТ-2). Сигнал ошибки Решение задач по ТАУ при равенстве углов поворота задающей оси Решение задач по ТАУ и приемной оси Решение задач по ТАУ.

На рис. 2.11 показана схема СУ, выполненная на операционном усилителе (активном четырехполюснике). Сигнал ошибки Решение задач по ТАУ при равенстве напряжений Решение задач по ТАУ.

Решение задач по ТАУ

Для всех приведенных выше схем СУ (рис. 2.8-2.11) структурная схема показана на рис. 2.12, где Решение задач по ТАУ — входной сигнал, Решение задач по ТАУ — сигнал обратной связи, Решение задач по ТАУ — сигнал ошибки, Решение задач по ТАУ — передаточный коэффициент СУ.

Решение задач по ТАУ

Устойчивость непрерывных систем управления

К оглавлению…

Основное условие устойчивости: для того чтобы непрерывная система управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения имели отрицательную вещественную часть.

На комплексной плоскости корни, имеющие отрицательную вещественную часть, располагаются в левой полуплоскости и поэтому называются левыми, корни, имеющие положительную вещественную часть, располагаются в правой полуплоскости и называются правыми, а корни, расположенные на мнимой оси, — нейтральными. Поэтому основное условие устойчивости можно также сформулировать еще так: для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения были левыми.

Необходимое условие устойчивости. Для того чтобы система была устойчива, необходимо, чтобы все коэффициенты ее характеристического уравнения

Решение задач по ТАУ

были строго одного знака:

Решение задач по ТАУ

Характеристическое уравнение. Характеристический полином Решение задач по ТАУ (левая часть характеристического уравнения Решение задач по ТАУ = 0) получается из собственного оператора Решение задач по ТАУ простой заменой оператора Решение задач по ТАУ на комплексную переменную Решение задач по ТАУ. Если дано уравнение системы управления в символической форме, то дифференциальный оператор при выходной переменной и будет собственным оператором. Если дана передаточная функция, то собственный оператор (с точностью до обозначения переменной) совпадает с ее знаменателем.

При исследовании замкнутой системы (рис. 3.1, а) нет необходимости находить ее передаточную функцию, если известна передаточная функция Решение задач по ТАУ разомкнутой системы (рис. 3.1, б).

Решение задач по ТАУ

Ее собственный оператор Решение задач по ТАУ равен сумме операторов числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой системы: Решение задач по ТАУРешение задач по ТАУ

Алгебраические критерии устойчивости

К оглавлению…

При проведении исследования устойчивости с помощью алгебраических критериев следует, прежде всего, записав характеристическое уравнение, проверить выполнение необходимого условия устойчивости, так как его проверка не требует никаких вычислений и в то же время при его невыполнении не надо проводить дальнейших исследований.

Определители Гурвица. Из коэффициентов характеристического полинома

Решение задач по ТАУ

составим определитель Решение задач по ТАУ-го порядка

Решение задач по ТАУ

который строится следующим образом. На главной диагонали выписываются элементы Решение задач по ТАУ. Затем, двигаясь от этих элементов вверх, помещаются коэффициенты в порядке возрастания индексов, вниз — в порядке их убывания. Например, при построении Решение задач по ТАУ-го столбца, двигаясь от элемента Решение задач по ТАУ вверх, записываются коэффициенты Решение задач по ТАУ вниз — коэффициенты Решение задач по ТАУ При этом, если индекс превышает Решение задач по ТАУ или принимает отрицательное значение, то вместо соответствующего коэффициента записывают нуль. Определитель Решение задач по ТАУ и его главные миноры

Решение задач по ТАУ

называют определителями Гурвица.

Критерий Гурвица (Hurwitz, 1895). Для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица, составленные из коэффициентов ее характеристического уравнения, при Решение задач по ТАУ были больше нуля:

Решение задач по ТАУ

Критерий Льенара—Шипара (Lienard, Chipard, 1914). При выполнении необходимого условия Решение задач по ТАУ0, для устойчивости системы управления необходимо и достаточно, чтобы все ее определители Гурвица с четными индексами или все ее определители Гурвица с нечетными индексами Решение задач по ТАУ были положительными’.

Решение задач по ТАУ

Для уменьшения вычислений целесообразно при нечетном Решение задач по ТАУ использовать условие (3.1а), а при четном Решение задач по ТАУ — условие (3.16).

Выпишем необходимые и достаточные условия устойчивости для Решение задач по ТАУ= 1.2,3:

Решение задач по ТАУ

Задача №3.1.

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

Решение задач по ТАУ

Исследовать устойчивость разомкнутой и замкнутой систем.

Решение:

Характеристический полином разомкнутой системы имеет вид

Решение задач по ТАУ

Все коэффициенты больше нуля и определитель Решение задач по ТАУ = 0,5 -4 — 1 — I — = 1 > 0. Поэтому по критерию Льенара—Шипара разомкнутая система устойчива.

Характеристический полином замкнутой системы

Решение задач по ТАУ

Все коэффициенты этого полинома при обоих значениях Решение задач по ТАУ положительны, а определитель Решение задач по ТАУ при Решение задач по ТАУ = 0,5

Решение задач по ТАУ

а при Решение задач по ТАУ = 2

Решение задач по ТАУ

Следовательно, замкнутая система при Решение задач по ТАУ = 0,5 устойчива, а при Решение задач по ТАУ = 2 неустойчива.

Частотные критерии устойчивости

К оглавлению…

Критерий Найквиста (Nyqvist, 1932). Для того чтобы замкнутая система (с отрицательной обратной связью) была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) разомкнутой системы охватывала Решение задач по ТАУ раз в положительном направлении точку Решение задач по ТАУ, где Решение задач по ТАУ — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Если разомкнутая система устойчива Решение задач по ТАУ, для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы не охватывала точку Решение задач по ТАУ.

Задача №3.2.

Исследовать устойчивость замкнутой системы, если передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

Решение задач по ТАУ

Решение:

Частотные передаточные функции и вещественные и мнимые частотные функции имеют вид:

Решение задач по ТАУ

Для построения АФЧХ нужно определить координаты точек ее пересечения с осями координат и соединить эти точки плавной кривой. Необходимые расчетные данные приведены в таблице 3.1. На основе этих данных построены АФЧХ (рис. 3.2).

Решение задач по ТАУ

Расчетные данные к примеру 3.4

Решение задач по ТАУ

Расчетные данные к примеру 3.2. б)

Решение задач по ТАУ

В случае а) замкнутая система устойчива, так как Решение задач по ТАУ = 1 и АФ-ЧХ охватывает точку Решение задач по ТАУ 1/2 раз в положительном направлении (рис. 3.2, а). В случае б) замкнутая система неустойчива, так как разомкнутая система устойчива (Решение задач по ТАУ = 0), а АФЧХ охватывает точку Решение задач по ТАУ(рис.3.2, б).

Случай наличия нулевых корней. Если характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет нулевые корни, т. е. ее передаточная функция может быть представлена в виде

Решение задач по ТАУ

то АФЧХ при Решение задач по ТАУ уходит в бесконечность (рис. 3.3). В этом случае АФЧХ дополняются дугой —Решение задач по ТАУ окружности большого радиуса (на рис. 3.3 — пунктирная линия). И для устойчивости замкнутой системы должна охватывать Решение задач по ТАУ раз или при Решение задач по ТАУ = 0 не охватывать точку Решение задач по ТАУ дополненная АФЧХ.

Решение задач по ТАУ

Устойчивость систем с чистым запаздыванием

К оглавлению…

Рассмотрим замкнутую систему управления, передаточная функция разомкнутой системы которой имеет вид

Решение задач по ТАУ

где Решение задач по ТАУ — полиномы степени Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ соответственно Решение задач по ТАУ. Для исследования устойчивости такой системы может быть использован критерий Найквиста.

Для того чтобы замкнутая система, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии имеет вид (3.2), была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку Решение задач по ТАУ в положительном направлении Решение задач по ТАУ/2 раз, где Решение задач по ТАУ — число правых нулей характеристического полинома разомкнутой системы Решение задач по ТАУ.

Замкнутая система со звеном чистого запаздывания, будучи устойчивой при малом Решение задач по ТАУ, с ростом Решение задач по ТАУ ее АФЧХ в разомкнутом состоянии может приближаться к точке Решение задач по ТАУ и при некотором значении Решение задач по ТАУ пересечь ее, и замкнутая система окажется на границе устойчивости. Запаздывание Решение задач по ТАУ называют критическим.

Частотная передаточная функция и амплитудная и фазовая частотные функции разомкнутой системы имеют вид

Решение задач по ТАУ

где

Решение задач по ТАУ

Отсюда видно, что появление чистого запаздывания не меняет модуль, а только вносит дополнительный отрицательный фазовый сдвиг Решение задач по ТАУ, что приводит к закручиванию АФЧХ (рис. 3.4).

Решение задач по ТАУ

Критическое запаздывание находится из условий

Решение задач по ТАУ

Решив эту систему, найдем критическое запаздывание и частоту Решение задач по ТАУ, которая называется критической частотой.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Задачи теории автоматического управления

Задача №3.3.

Определить критическое запаздывание и критическую частоту для системы, у которой передаточная функция в разомкнутом состоянии

Решение задач по ТАУ

Решение:

Без запаздывания замкнутая система устойчива. Условие (3.3) принимает вид

Решение задач по ТАУ

Отсюда получаем

Решение задач по ТАУ

Определение области устойчивости

К оглавлению…

Структура системы определяется составом элементов (звеньев) и связями между ними. При заданной структуре какие-либо параметры могут быть не фиксированными, т. е. их можно изменять. Такие параметры называют варьируемыми. Областью устойчивости в пространстве параметров называют множество всех значений варьируемых параметров, при которых система устойчива.

Если существует область устойчивости в пространстве параметров, то система называется структурно устойчивой (относительно заданных варьируемых параметров). В противном случае система называется структурно неустойчивой (относительно заданных варьируемых параметров).

Область устойчивости можно определить с помощью алгебраических критериев устойчивости. Рассмотрим это на примере.

Задача №3.4.

Передаточная функция разомкнутой системы Решение задач по ТАУ. Определить область устойчивости замкнутой системы на плоскости параметров Решение задач по ТАУ.

Решение:

Характеристический полином замкнутой системы имеет вид

Решение задач по ТАУ

По критерию Льенара—Шипара имеем

Решение задач по ТАУ

Очевидно, эти неравенства будут выполнены, если

Решение задач по ТАУ

Эта система неравенств определяет область устойчивости.

Робастная устойчивость

К оглавлению…

Рассмотрим характеристический полином

Решение задач по ТАУ

Введем в рассмотрение Решение задач по ТАУ-мерный вектор Решение задач по ТАУ. Пусть в Решение задач по ТАУ-мерном пространстве коэффициентов задано множество Решение задач по ТАУ. Полином Решение задач по ТАУ называется робастно устойчивым или робастно устойчивым в Решение задач по ТАУ, если он является устойчивым (т. е. все его нули являются левыми) при любых значениях коэффициентов Решение задач по ТАУ из множества Решение задач по ТАУ. Система называется робастно устойчивой или робастно устойчивой на множестве Решение задач по ТАУ, если ее характеристический полином является робастно устойчивым полиномом на множестве Решение задач по ТАУ.

Полиномы Харитонова. Пусть множество А является (гиперпараллелепипедом:

Решение задач по ТАУ

Здесь Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ — минимальное и максимальное значения коэффициента

Решение задач по ТАУ

Полиномы

Решение задач по ТАУ

со следующими коэффициентами (коэффициенты выписаны в порядке убывания индексов)

Решение задач по ТАУ

называются полиномами Харитонова.

Необходимое условие робастной устойчивости. Так как при робастной устойчивости в параллелепипеде (3.4) должны быть устойчивыми характеристические полиномы при всех значениях коэффициентов из этого параллелепипеда, необходимо, чтобы был устойчивым характеристический полином при значениях коэффициентов Решение задач по ТАУ Решение задач по ТАУ. Поэтому для робастной устойчивости на множестве (3.4) необходимо, чтобы при Решение задач по ТАУ выполнялось условие

Решение задач по ТАУ

Теорема Харитонова (1978). Для того чтобы система с характеристическим полиномом

Решение задач по ТАУ

была робастно устойчива на множестве (3.4), необходимо и достаточно, чтобы все полиномы Харитонова были устойчивыми.

В случае, когда Решение задач по ТАУ = 1,2,3,4,5, нет необходимости проверять устойчивость всех четырех полиномов Харитонова. При Решение задач по ТАУ = 1,2 необходимое условие (3.6) является и достаточным. В случае выполнения необходимого условия робастной устойчивости для того, чтобы система была робастно устойчива на множестве (3.4), необходимо и достаточно:

а) при Решение задач по ТАУ = 3 был устойчивым полином Харитонова Решение задач по ТАУ;

б) при Решение задач по ТАУ = 4 были устойчивыми полиномы Харитонова Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ;

в) при Решение задач по ТАУ = 5 — полиномы Харитонова Решение задач по ТАУ.

Задача №3.5.

Исследовать робастную устойчивость системы, характеристический полином которой имеет вид

Решение задач по ТАУ

Решение:

В данном случае

Решение задач по ТАУ

Так как Решение задач по ТАУ = 4 и выполняется необходимое условие робастной устойчивости, достаточно рассмотреть полиномы Харитонова Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ.

Из (3.5а) и (3.56) имеем

Решение задач по ТАУ

или

Решение задач по ТАУ

Необходимое условие устойчивости для обоих полиномов выполняется. Для полинома Решение задач по ТАУ определитель Гурвица

Решение задач по ТАУ

а для полинома Решение задач по ТАУ

Решение задач по ТАУ

На основе критерия Льенара—Шипара Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ являются устойчивыми полиномами. Следовательно, система робастно устойчива.

Задача №3.6.

Исследовать устойчивость замкнутой системы, если передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

Решение задач по ТАУ

Решение:

Характеристический полином замкнутой системы имеет вид

Решение задач по ТАУ

где

Решение задач по ТАУ

Коэффициенты характеристического полинома удовлетворяют следующим условиям:

Решение задач по ТАУ

Следовательно, в принятых выше обозначениях имеем

Решение задач по ТАУ

Необходимое условие робастной устойчивости выполняется. Так как Решение задач по ТАУ = 3, для робастной устойчивости необходимо и достаточно, чтобы полином Решение задач по ТАУ был устойчивым. Из (3.5а)

Решение задач по ТАУ

Определитель Гурвица

Решение задач по ТАУ

Поэтому замкнутая система не будет робастно устойчива. Теорема Харитонова справедлива при условии, что коэффициенты характеристического полинома изменяются на заданных интервалах независимо друг от друга. В противном случае устойчивость полиномов Харитонова является только достаточным условием робастной устойчивости.

Задача №3.7.

Исследовать устойчивость замкнутой системы при всевозможных заданных значениях параметров при условии, что передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

Решение задач по ТАУ

Решение:

Характеристический полином замкнутой системы имеет вид

Решение задач по ТАУ

где

Решение задач по ТАУ

Для граничных значений коэффициентов характеристического полинома имеем

Решение задач по ТАУ

Необходимое условие робастной устойчивости выполняется. И так как Решение задач по ТАУ = 3, достаточно рассмотреть полином Решение задач по ТАУ (3.5а):

Решение задач по ТАУ

Все коэффициенты больше нуля, но определитель Гурвица

Решение задач по ТАУ

Следовательно, полином Решение задач по ТАУ не является устойчивым, т.е. условие робастной устойчивости не выполняется. Однако, в данном случае коэффициенты характеристического полинома не являются независимыми и теорема Харитонова определяет только достаточное условие робастной устойчивости. В действительности, как покажем, замкнутая система устойчива при всевозможных заданных значениях параметров.

При положительных значениях параметров необходимое условие устойчивости выполняется и определитель Гурвица

Решение задач по ТАУ

будет положительным при Решение задач по ТАУ.

Следовательно, система устойчива при любых значениях параметров из области, определяемой неравенствами Решение задач по ТАУ. Очевидно, заданные значения параметров принадлежат этой области.

Качество систем управления. Показатели качества в переходном режиме

К оглавлению…

Показатели качества делятся на показатели качества в переходном режиме и показатели качества в установившемся режиме.

Показатели качества в переходном режиме делятся на прямые и косвенные. Последние делятся на корневые, частотные и интегральные.

Прямыми показателями качества называются показатели, которые получаются непосредственно по переходной характеристике. Из прямых показателей качества наиболее часто используют время регулирования и перерегулирование.

Временем регулирования Решение задач по ТАУ называют минимальное время, по истечении которого отклонение выходной величины от установившегося значения Решение задач по ТАУ не превышает некоторой заданной величины Решение задач по ТАУ (обычно принимают Решение задач по ТАУ, перерегулированием Решение задач по ТАУ — максимальное отклонение переходной функции от установившегося значения Решение задач по ТАУ, выраженное в процентах по отношению к Решение задач по ТАУ:

Решение задач по ТАУ

где Решение задач по ТАУ — максимальное значение переходной функции.

Корневые показатели качества. В качестве корневых показателей используют степень устойчивости и колебательность (степень колебательности). Степенью устойчивости Решение задач по ТАУ системы управления (или характеристического полинома) называют расстояние от мнимой оси до ближайшего корня ее характеристического уравнения на комплексной плоскости, или

Решение задач по ТАУ

степень колебательности системы (или ее характеристического полинома) можно определить следующим образом:

Решение задач по ТАУ

Здесь Решение задач по ТАУ — корни характеристического уравнения.

При исследовании степени устойчивости удобно воспользоваться следующим преобразованием. Полином

Решение задач по ТАУ

преобразуем, сделав подстановку Решение задач по ТАУ. Тогда получим:

Решение задач по ТАУ

Преобразование Решение задач по ТАУ соответствует сдвигу мнимой оси влево и преобразованный полином Решение задач по ТАУ будет устойчивым полиномом, если Решение задач по ТАУ — степень устойчивости исходного полинома), и неустойчивым полином, если Решение задач по ТАУ. Поэтому исследование степени устойчивости полинома Решение задач по ТАУсводится к исследованию устойчивости преобразованного полинома Решение задач по ТАУ.

Задача №4.1.

Задан характеристический полином

Решение задач по ТАУ

Исследовать, превышает ли степень устойчивости заданного полинома единицу.

Решение:

Убедимся сначала, что рассматриваемый полином является устойчивым полиномом, для чего вычислим определитель Гурвица 3-го порядка, составленный из его коэффициентов.

Решение задач по ТАУ

Полином Решение задач по ТАУ является устойчивым. Сделаем подстановку Решение задач по ТАУ и вычислим коэффициенты преобразованного полинома. В данном случае Решение задач по ТАУ = 4 и Решение задач по ТАУ = 1. Поэтому из (4.1) имеем:

Решение задач по ТАУ

Без дальнейших вычислений ясно, что необходимое условие устойчивости преобразованного полинома не выполняется, и он является неустойчивым полиномом. Следовательно, степень устойчивости Решение задач по ТАУ < 1.

Задача №4.2.

Определить, превышает ли единицу степень устойчивости характеристического полинома

Решение задач по ТАУ

Решение:

Сначала проверим устойчивость заданного полинома. Для этого достаточно проверить знак определителя Гурвица 2-го порядка:

Решение задач по ТАУ

Полином Решение задач по ТАУ устойчив. Произведем подставку Решение задач по ТАУ и найдем коэффициенты преобразованного полинома. В данном случае Решение задач по ТАУ = 3 и Решение задач по ТАУ = 1. Поэтому из (4.1) имеем

Решение задач по ТАУ

Преобразованное характеристическое уравнение имеет вид

Решение задач по ТАУ

Все корни этого уравнения Решение задач по ТАУ располагаются на мнимой оси. Следовательно, степень устойчивости рассматриваемой системы Решение задач по ТАУ = 1.

Интегральные показатели качества. В качестве интегральных оценок наиболее часто используют интегральную квадратическую ошибку (оценку)

Решение задач по ТАУ

и обобщенные интегральные квадратические оценки

Решение задач по ТАУ

Здесь Решение задач по ТАУ — переходная составляющая ошибки: Решение задач по ТАУ, Решение задач по ТАУ — установившаяся ошибка; Решение задач по ТАУ — весовые константы.

Вычисление интегральных квадратических оценок. Из равенства Парсеваля

Решение задач по ТАУ

где

Решение задач по ТАУ

имеем

Решение задач по ТАУ

где

Решение задач по ТАУ

Так как

Решение задач по ТАУ

формулу для Решение задач по ТАУ можно записать в виде

Решение задач по ТАУ

Определение интегральных квадратических показателей сводится к вычислению интеграла вида

Решение задач по ТАУ

Этот интеграл вычисляется с помощью теории вычетов и для Решение задач по ТАУ = 1,2,3 имеет следующий вид

Решение задач по ТАУ

Задача №4.3.

Вычислить интегральные показатели Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ системы (рис. 4.1, а), когда передаточная функция

Решение задач по ТАУ
Решение задач по ТАУ

Решение:

Вычислим Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ, необходимые для нахождения указанных показателей. Но, прежде всего, найдем Решение задач по ТАУ. Учитывая, что

Решение задач по ТАУ

можно записать

Решение задач по ТАУ

Установившееся значение

Решение задач по ТАУ

Так как

Решение задач по ТАУ

то

Решение задач по ТАУ

На основании свойства преобразования Лапласа

Решение задач по ТАУ

Интегральная квадратическая оценка имеет вид

Решение задач по ТАУ

В данном случае (4.2)

Решение задач по ТАУ

Поэтому согласно (4.3а)

Решение задач по ТАУ

Теперь найдем Решение задач по ТАУ:

Решение задач по ТАУ

Так как

Решение задач по ТАУ

имеем

Решение задач по ТАУ

Показатели качества в установившемся режиме

К оглавлению…

Наиболее полной характеристикой качества системы в установившемся режиме является установившаяся ошибка. Если на систему действуют два внешних воздействия — задающее воздействие Решение задач по ТАУ и возмущение Решение задач по ТАУ — установившуюся ошибку можно представить в виде суммы:

Решение задач по ТАУ

где Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ — установившиеся ошибки от задающего воздействия Решение задач по ТАУ и возмущения Решение задач по ТАУ соответственно.

Установившиеся ошибки Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ можно представить в виде ряда

Решение задач по ТАУ

где

Решение задач по ТАУ

Здесь Решение задач по ТАУ — передаточная функция относительно входа Решение задач по ТАУ и выхода Решение задач по ТАУ — передаточная функция относительно входа Решение задач по ТАУ и выхода Решение задач по ТАУ. Предполагается, что возмущение не приложено в одной точке с задающим устройством. Коэффициенты Решение задач по ТАУ называются коэффициентами ошибки по задающему воздействию, коэффициенты Решение задач по ТАУ — коэффициентами ошибки по возмущению.Коэффициенты Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ называют коэффициентами позиционной ошибки, Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ — коэффициентами скоростной ошибки, Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ — коэффициентами ошибки по ускорению.

Статические и астатические системы. Установившаяся ошибка при постоянном внешнем воздействии называется статической ошибкой. Система называется статической, если статическая ошибка отлична от нуля, и астатической, если статическая ошибка равна нулю.

Система называется статической относительно задающего воздействия (возмущения), если статическая ошибка от задающего воздействия (возмущения) отлична от нуля, и астатической относительно задающего воздействия (возмущения), если статическая ошибка от задающего воздействия (возмущения) равна нулю.

Формулы (4.4) и (4.5) при постоянных Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ принимают вид

Решение задач по ТАУ

Отсюда следует, что система будет статической относительно воздействия Решение задач по ТАУ (возмущения Решение задач по ТАУ), если Решение задач по ТАУ, и астатической относительно задающего воздействия Решение задач по ТАУ (возмущения Решение задач по ТАУ), если Решение задач по ТАУ Решение задач по ТАУ.

Говорят, что астатическая система обладает астатизмом Решение задач по ТАУ-го порядка относительно задающего воздействия, если

Решение задач по ТАУ

Аналогично определяется астатическая система с астатизмом Решение задач по ТАУ-го порядка относительно возмущения.

Если система обладает астатизмом Решение задач по ТАУ-го порядка, то коэффициенты ошибок Решение задач по ТАУ при Решение задач по ТАУ можно определить следующим образом:

Решение задач по ТАУ

Иначе говоря, этими формулами можно пользоваться при вычислении до первого отличного от нуля коэффициента.

Задача №4.4.

Определить установившуюся ошибку системы (рис. 4.1, б) при

Решение задач по ТАУ

Решение:

Так как все производные от Решение задач по ТАУ и производные выше 1-го порядка от Решение задач по ТАУ равны нулю, то в данном случае

Решение задач по ТАУ

Поэтому для определения искомой ошибки достаточно вычислить коэффициенты ошибок

Решение задач по ТАУ

Передаточные функции ошибки имеют вид

Решение задач по ТАУ

Отсюда

Решение задач по ТАУ

Так как

Решение задач по ТАУ

можно вычислить по формуле (4.6).

Решение задач по ТАУ

Таким образом, для ошибок имеем:

Решение задач по ТАУ

Структура астатической системы управления. Для того чтобы система управления была астатической с астатизмом Решение задач по ТАУ-го порядка относительно задающего воздействия, нужно, чтобы она содержала Решение задач по ТАУ последовательно соединенных интегрирующих звеньев во всем замкнутом контуре.

Для того чтобы система управления была астатической с астатизмом Решение задач по ТАУ-го порядка относительно возмущения, нужно, чтобы она содержала Решение задач по ТАУ последовательно соединенных интегрирующих звеньев, включенных между точкой съема ошибки Решение задач по ТАУ и точкой приложения возмущения .

Синтез систем управления

К оглавлению…

При выборе законов управления следует иметь в виду:

1) введение в закон управления интегрирующего члена делает систему астатической и улучшает качество системы в установившемся режиме, но оказывает дестабилизирующее влияние (т. е. может сделать систему неустойчивой) и ухудшает качество системы в переходном режиме;

2) введение в закон управления дифференцирующего члена оказывает стабилизирующее влияние (может сделать неустойчивую систему устойчивой) и улучшает качество системы в переходном режиме, не оказывая влияние на качество системы в установившемся режиме.

Задача №5.1.

Определить, при каких типовых законах управления статическая ошибка системы (рис. 5.1) будет равна нулю, когда передаточная функция объекта имеет вид

Решение задач по ТАУ
Решение задач по ТАУ

Решение:

Статическая ошибка будет равна нулю, если система будет астатической относительно задающего воздействия и возмущения. А для этого нужно, чтобы регулятор содержал интегрирующее звено. Поэтому искомыми законами управления будут пропорциональ-но-интегральный (ПИ) закон и пропорционально интегро-дифференци-альный (ПИД) закон.

Задача №5.2.

Определить, при каких типовых законах управления установившаяся ошибка системы (рис. 5.1) будет равна нулю при условии, что

Решение задач по ТАУ

Решение:

Так как установившаяся ошибка от задающего воздействия и возмущения имеют вид

Решение задач по ТАУ

установившаяся ошибка будет равна нулю, если Решение задач по ТАУ0. Следовательно, система должна быть астатической с астатизмом 2-го порядка относительно задающего воздействия и с астатизмом 1-го порядка относительно возмущения. Так как объект включает два последовательно соединенных интегрирующих звена, система будет астатической с астатизмом не менее 2-го порядка относительно задающего воздействия при любом типовом законе управления. Однако она будет астатической относительно возмущения только при ПИ-законе и ПИД-законе. При ПИ-законе передаточная функция разомкнутой системы

Решение задач по ТАУ

и характеристическое уравнение имеет вид

Решение задач по ТАУ

В этом уравнении коэффициент при Решение задач по ТАУ равен нулю и необходимое условие устойчивости не выполняется. Поэтому система при ПИ-законе структурно неустойчива. При ПИД-законе передаточная функция разомкнутой системы

Решение задач по ТАУ

и характеристическое уравнение имеет вид

Решение задач по ТАУ

Определитель Гурвица 3-го порядка

Решение задач по ТАУ

соответствующим выбором параметров регулятора можно сделать Следовательно, при ПИД-законе система структурно устойчива и искомым законом устойчива и искомым законом управления является ПИД-закон.

Синтез параметров регулятора по минимуму интегральных оценок

К оглавлению…

Постановку и решение задачи синтеза параметров регулятора по минимуму интегральной оценки рассмотрим на примерах.

Задача №5.3.

При условии, что

Решение задач по ТАУ

и

Решение задач по ТАУ

определить параметр Решение задач по ТАУ, при котором переходный процесс системы (рис. 5.1) является апериодическим и интегральная квадратическая ошибка Решение задач по ТАУ принимает минимальное значение.

Решение:

Переходный процесс будет апериодическим, если корни характеристического уравнения рассматриваемой системы

Решение задач по ТАУ

будут вещественными, т. е. если детерминант этого уравнения

Решение задач по ТАУ

Так как Решение задач по ТАУ, то ошибка Решение задач по ТАУ. Объект включает интегрирующее звено. Поэтому система является астатической задающего воздействия и статическая ошибка Решение задач по ТАУ. Переменная составляющая ошибки

Решение задач по ТАУ

Переходя к изображениям Лапласа, получим:

Решение задач по ТАУ

Следовательно,

Решение задач по ТАУ

В данном случае (4.2)

Решение задач по ТАУ

Поэтому (4.36)

Решение задач по ТАУ

Очевидно, что Решение задач по ТАУ принимает минимальное значение при условии Решение задач по ТАУ2,5; когда Решение задач по ТАУ.

Задача №5.4.

При условии, что

Решение задач по ТАУ

и

Решение задач по ТАУ

(рис. 5.1), определить значение параметра Решение задач по ТАУ при котором обобщенная интегральная квадратическая оценка Решение задач по ТАУ при Решение задач по ТАУ принимает минимальное значение.

Решение:

Согласно формуле Парсеваля

Решение задач по ТАУ

Как было вычислено (см. пример 5.3),

Решение задач по ТАУ

Для Решение задач по ТАУ имеем:

Решение задач по ТАУ

Поэтому

Решение задач по ТАУ

В данном случае

Решение задач по ТАУ
Решение задач по ТАУ

Подставив это выражение и выражение для Решение задач по ТАУ в полученную выше формулу для Решение задач по ТАУ, найдем

Решение задач по ТАУ

Из условия

Решение задач по ТАУ

следует, что Решение задач по ТАУ достигает экстремума при Решение задач по ТАУ установить, чему (минимуму или максимуму) соответствует это значение, найдем вторую производную

Решение задач по ТАУ

В точке экстремума эта производная положительна. Следовательно, в ней достигается минимум и соответственно решением будет Решение задач по ТАУ = 2.

Синтез систем управления максимальной степени устойчивости

К оглавлению…

Задача синтеза систем управления максимальной степени устойчивости ставится следующим образом. Задана структура системы управления и требуется определить Решение задач по ТАУ (Решение задач по ТАУ — вектор параметров регулятора) из условия

Решение задач по ТАУ

Здесь Решение задач по ТАУ называется оптимальной степенью устойчивости и Решение задач по ТАУ — оптимальным (векторным) параметром. Число параметров регулятора (размерность вектора Решение задач по ТАУ) Решение задач по ТАУ не должно превышать Решение задач по ТАУ — 1 (Решение задач по ТАУ — степень характеристического уравнения). Метод решения сформулированной задачи основан на условиях граничной устойчивости.

Условия граничной (маргинальной) устойчивости. Система находится на границе устойчивости или имеет место граничная (маргинальная) устойчивость, если ее характеристический полином имеет нейтральные (т. е. расположенные на мнимой оси) нули и не имеет правых нулей. Такой полином называют маргинально устойчивым.

Рассмотрим полином с вещественными коэффициентами

Решение задач по ТАУ

Утверждение. 5.1 (необходимое условие маргинальной устойчивости). Если полином (5.1) маргинально устойчив, то все его коэффициенты неотрицательны:

Решение задач по ТАУ

Нуль Решение задач по ТАУ полинома (5.1) называют особым, если — Решение задач по ТАУ также является нулем этого полинома. В частности, все нули, расположенные на мнимой оси, являются особыми.

Утверждение. 5.2 Полином (5.1) маргинально устойчив и Решение задач по ТАУ нулей располагаются на мнимой оси в том и только в том случае, если выполняются следующие два условия:

1) Решение задач по ТАУ старших определителей Гурвица равны нулю, а остальные Решение задач по ТАУ определителей положительны:

Решение задач по ТАУ

2) Полином (5.1) не имеет особых нулей, расположенных не на мнимой оси.

Утверждение. 5.3 При выполнении необходимого условия (5.2) особый нуль не может быть вещественным числом, и если имеются особые нули, расположенные не на мнимой оси, то их количество равно числу, кратному четырем.

Нейтральные нули полинома Решение задач по ТАУ имеют вид Решение задач по ТАУ и их число совпадает с числом действительных корней уравнения Решение задач по ТАУ, или системы уравнений

Решение задач по ТАУ

Утверждение. 5.4 Для того чтобы все определители Гурвица полинома были равны нулю, необходимо и достаточно, чтобы все его коэффициенты с нечетными индексами были равны нулю.

Метод синтеза систем управления максимальной степени устойчивости. Метод решения задачи основан на преобразовании характеристического полинома

Решение задач по ТАУ

путем постановки Решение задач по ТАУ. При этой постановке преобразованный полином

Решение задач по ТАУ

становится маргинально устойчивым полиномом. И для Решение задач по ТАУ выписываются условия маргинальной устойчивости, включающие условия (5.2), (5.3) и (5.4):

Решение задач по ТАУ

Здесь Решение задач по ТАУ — определители Гурвица преобразованного полинома Решение задач по ТАУ — Следует иметь в виду, что не все соотношения в (5.76) и (5.7в) являются независимыми.

Рассматриваемый метод состоит в следующем: решается система (5.7) относительно неизвестных параметров регулятора и степени устойчивости Решение задач по ТАУ и находятся решения, у которых Решение задач по ТАУ имеет наибольшее значение.

Утверждение. 5.5 Максимально возможная или граничная степень устойчивости Решение задач по ТАУ устойчивого полинома Решение задач по ТАУ равна

Решение задач по ТАУ

и она достигается, когда вещественные части всех нулей полинома Решение задач по ТАУ равны между собой.

Поиск решения задачи синтеза максимальной степени устойчивости следует начинать со случая, когда степень устойчивости принимает граничное (максимально возможное) значение. Так как это возможно, когда все нули исходного полинома имеют одинаковые вещественные части или все нули преобразованного полинома Решение задач по ТАУ располагаются на мнимой оси, условие маргинальной устойчивости (5.7) можно представить в виде

Решение задач по ТАУ

Если эта система не имеет решения, то нужно перейти к системе (5.7) и решить ее при Решение задач по ТАУ.

А) Синтез оптимальных по степени устойчивости параметров типовых регуляторов для объекта 2-го порядка

Рассмотрим синтез оптимальных по степени устойчивости параметров П- и ПИ-регуляторов для объекта 2-го порядка. Пусть передаточная функция объекта имеет вид

Решение задач по ТАУ

П-регулятор. Передаточная функция регулятора Решение задач по ТАУ и передаточная функция разомкнутой системы равна

Решение задач по ТАУ

Характеристический полином принимает вид

Решение задач по ТАУ

Для коэффициентов преобразованного полинома

Решение задач по ТАУ

в соответствии с (5.6) имеем

Решение задач по ТАУ

В данном случае условия граничной устойчивости (5.9) принимают следующий вид:

Решение задач по ТАУ

Решив эту систему, получим

Решение задач по ТАУ

Так как степень устойчивости принимает граничное значение, найденное решение является искомым. Здесь Решение задач по ТАУ — свободный параметр, пропорциональный степени колебательности.

ПИ-регулятор. Передаточная функция регулятора Решение задач по ТАУРешение задач по ТАУ и передаточная функция разомкнутой системы равна

Решение задач по ТАУ

Характеристический полином имеет вид

Решение задач по ТАУ

Коэффициенты преобразованного полинома

Решение задач по ТАУ

определяются следующим образом (5.6):

Решение задач по ТАУ

Условия граничной устойчивости (5.9) принимают вид

Решение задач по ТАУ

Из последнего уравнения (5.10) имеем Решение задач по ТАУ. Следовательно, неравенство в этом условии выполняется. Поэтому исключив его и подставив выражения для коэффициентов, условие (5.10) можно представить в виде

Решение задач по ТАУ

Решив эту систему, получим

Решение задач по ТАУ

Здесь Решение задач по ТАУ — свободный параметр, представляющий собой мнимую часть комплексных корней характеристического уравнения синтезированной системы.

Б) Синтез оптимальных по степени устойчивости параметров ПД- и ПИД-регуляторов для объекта 3-го порядка

Рассмотрим синтез оптимальных по степени устойчивости параметров типовых регуляторов для объекта 3-го порядка. Пусть передаточная функция объекта имеет вид

Решение задач по ТАУ

ПД-регулятор. Передаточная функция регулятора Решение задач по ТАУРешение задач по ТАУ и передаточная функция разомкнутой системы

Решение задач по ТАУ

Характеристический полином замкнутой системы имеет вид

Решение задач по ТАУ

Для коэффициентов преобразованного полинома

Решение задач по ТАУ

имеем

Решение задач по ТАУ
Решение задач по ТАУ

Условия граничной устойчивости (5.9) для преобразованного полинома принимают вид

Решение задач по ТАУ

Из последнего равенства этого условия имеем Решение задач по ТАУ. Подставив в это и другие равенства условия маргинальной устойчивости выражения для Решение задач по ТАУ, получим

Решение задач по ТАУ

Решив эту систему, найдем

Решение задач по ТАУ

Здесь Решение задач по ТАУ — свободный параметр, представляющий собой мнимую часть комплексных корней характеристического уравнения синтезированной системы.

ПИД-регулятор. Передаточная функция регулятора Решение задач по ТАУРешение задач по ТАУ и передаточная функция разомкнутой системы

Решение задач по ТАУ

Характеристический полином синтезируемой системы и преобразованный полином имеют соответственно вид

Решение задач по ТАУ

где

Решение задач по ТАУ

Условие маргинальной устойчивости (5.9) принимает вид

Решение задач по ТАУ

Неравенства Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ будут выполнены, если Решение задач по ТАУ. Введя дополнительный параметр Решение задач по ТАУ, последнее неравенство преобразуем в равенство

Решение задач по ТАУ

и условие маргинальной устойчивости можно записать в виде

Решение задач по ТАУ

Решив эту систему уравнений, получим

Решение задач по ТАУ

где свободные параметры Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ являются мнимыми частями корней характеристического уравнения синтезированной системыРешение задач по ТАУРешение задач по ТАУ

Синтез систем управления по желаемой передаточной функции или метод полиномиальных уравнений

К оглавлению…

При задании желаемой передаточной функции Решение задач по ТАУи определении передаточной функции регулятора Решение задач по ТАУ необходимо учитывать физическую осуществимость определяемого регулятора и грубость синтезируемой системы.

Физическая осуществимость. Под физической осуществимостью или реализуемостью передаточной функции или системы, заданной этой передаточной функцией, понимают принципиальную возможность построения такой системы.

Передаточная функция физически осуществима, если степень числителя не больше степени ее знаменателя. Условие физической осуществимости передаточной функции

Решение задач по ТАУ

имеет вид

Решение задач по ТАУ

Грубость. Система называется грубой или робастной, если при малом изменении ее параметров свойство системы качественно не меняется. В случае линейной системы негрубость означает, что устойчивая система при малом изменении параметров становится неустойчивой.

При синтезе систем по желаемой передаточной функции грубость может быть нарушена, если правый полюс передаточной функции объекта компенсируется правым нулем передаточной функции регулятора и правый нуль объекта — правым полюсом регулятора.

Представим передаточную функцию объекта в виде

Решение задач по ТАУ

где Решение задач по ТАУ — полиномы с левыми нулями, Решение задач по ТАУ — полиномы с правыми и нейтральными нулями. Если полиномы Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ не содержат левых нулей, то Решение задач по ТАУ равны константе; если они не содержат правых нулей, то Решение задач по ТАУ следует принять равными единице.

Передаточная функция регулятора синтезируемой системы имеет вид

Решение задач по ТАУ

где полиномы Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ определяются из полиномиального уравнения

Решение задач по ТАУ

Здесь Решение задач по ТАУ — характеристический полином синтезируемой системы.

Условимся степень полинома обозначать буквой Решение задач по ТАУ с индексом, обозначающим сам полином. Например, Решение задач по ТАУ будет обозначать степень полинома Решение задач по ТАУ. Коэффициенты полиномов Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ определяются из системы уравнений, которые получаются путем приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях обеих частей полиномиального уравнения (5.12). Эта система разрешима при выполнении условия разрешимости

Решение задач по ТАУ

Условие физической осуществимости регулятора (5.11):

Решение задач по ТАУ

При определении степеней неопределенных полиномов необходимо учитывать условие, получаемое из условия грубости:

Решение задач по ТАУ

Чтобы система (5.13)-(5.15) была разрешима, необходимо, чтобы порядок Решение задач по ТАУ характеристического полинома синтезируемой системы Решение задач по ТАУ удовлетворял соотношению

Решение задач по ТАУ

Метод синтеза регулятора по желаемой передаточной функции состоит в следующем. Исходя из заданных требований к качеству синтезируемой системы задается характеристический полином Решение задач по ТАУ с учетом условия (5.16). Из (5.13)—(5.15) определяют степени неопределенных полиномов Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ. Чтобы не усложнять регулятор, находят наименьшие возможные значения. Затем составляют полиномы Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ с неопределенными коэффициентами, подставляют их в полиномиальное уравнение и определяют неизвестные коэффициенты. Найденные полиномы Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ подставляют в (5.11) и получают искомую передаточную функцию регулятора.

Задача №5.5.

Передаточная функция объекта имеет вид Решение задач по ТАУРешение задач по ТАУ. Определить передаточную функцию регулятора, при которой переходная составляющая ошибки Решение задач по ТАУ изменяется в соответствии с функцией

Решение задач по ТАУ

и установившаяся ошибка равна нулю (рис. 5.1) при постоянном задающем воздействии Решение задач по ТАУ и отсутствии возмущения Решение задач по ТАУ.

Решение:

Переходная составляющая ошибки будет изменяться в соответствии с заданной функцией, если характеристический полином синтезируемой системы имеет трехкратный корень, равный — 1 Решение задач по ТАУ. Поэтому знаменатель желаемой передаточной функции Решение задач по ТАУ имеет вид

Решение задач по ТАУ

Числитель и знаменатель передаточной функции объекта раскладываются на множители

Решение задач по ТАУ

Степени полиномов равны

Решение задач по ТАУ

Статическая ошибка Решение задач по ТАУ, если система обладает астатизмом 1-го порядка Решение задач по ТАУ относительно задающего воздействия. Так как объект содержит одно интегрирующее звено, можно принять Решение задач по ТАУ. Условия (5.13)—(5.15) принимают вид

Решение задач по ТАУ

Из последнего равенства Решение задач по ТАУ = 2. Наименьшим Решение задач по ТАУ удовлетворяющим приведенным условиям, является Решение задач по ТАУ = 0. Поэтому

Решение задач по ТАУ

и

Решение задач по ТАУ

Подставив эти полиномы в полиномиальное уравнение (5.12), получим

Решение задач по ТАУ

Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, найдем

Решение задач по ТАУ

Подставляя эти полиномы, а также выражения для Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ в (5.11), получим искомую передаточную функцию регулятора Решение задач по ТАУРешение задач по ТАУ.

Определение желаемой передаточной функции

К оглавлению…

Желаемая передаточная функция должна быть определена исходя из заданных требований к качеству синтезируемой системы. На ее выбор определенные ограничения накладывают условия грубости и физической осуществимости. В силу этих ограничений желаемая передаточная функция имеет вид

Решение задач по ТАУ

где Решение задач по ТАУ — множитель полинома числителя передаточной функции объекта с правыми нулями; Решение задач по ТАУ — полином, определяемый в процессе синтеза. Поэтому определение желаемой передаточной функции практически сводится к выбору полинома Решение задач по ТАУ.

Передаточная функция вида

Решение задач по ТАУ

называется нормированной передаточной функцией или передаточной функцией в форме Вышнеградского. Нормированная передаточная характеризуется тем, что в знаменателе коэффициент при старшей степени и свободный член равны единице.

Желаемая передаточная функция, когда наряду с другими требованиями нужно обеспечить заданное время регулирования Решение задач по ТАУ, определяется следующим образом. По заданным требованиям к качеству синтезируемой системы, кроме требования к времени регулирования, находится стандартная нормированная передаточная функция вида (5.17) и для нее определяется время регулирования Решение задач по ТАУ. По полученному Решение задач по ТАУ и заданному tp находится отношение Решение задач по ТАУ. Коэффициенты желаемой передаточной функции

Решение задач по ТАУ

определяются так:

Решение задач по ТАУ

Стандартные нормированные передаточные функции

Рассмотрим стандартные передаточные функции, которые не имеют нулей: числители являются константами. Так как значения этих констант не влияют на характер переходного процесса, примем их равными единице.

Передаточная функция с одинаковыми полюсами

Решение задач по ТАУ

обладает монотонной переходной характеристикой, неплохим быстродействием и среди передаточных функций Решение задач по ТАУ—го порядка с одинаковыми коэффициентами при Решение задач по ТАУ имеет наибольшую степень устойчивости. Ее знаменатель при Решение задач по ТАУ = 4, 5, 6 принимает следующий вид:

Решение задач по ТАУ

Оптимальная по быстродействию передаточная функция передаточная функция с полюсами, имеющими одинаковые действительные части Решение задач по ТАУ и мнимые части, образующие арифметические прогрессии с разностью и первым членом, равными Решение задач по ТАУ, и отношением Решение задач по ТАУ которому соответствует наименьшее время регулирования:

Решение задач по ТАУ

В таблице 5.1 представлены время регулирования при Решение задач по ТАУ и перерегулирование для приведенных стандартных нормированных передаточных функций.

Задача №5.6.

Передаточная функция объекта имеет вид

Решение задач по ТАУ

Синтезировать регулятор, при котором переходный процесс является монотонным, время регулирования Решение задач по ТАУ и статическая ошибка равна нулю.

Решение задач по ТАУ

Решение:

Статическая ошибка будет равна нулю, если система будет астатической. Примем порядок астатизма Решение задач по ТАУ.

В качестве стандартной передаточной функции выберем нормированную передаточную функцию с одинаковыми полюсами

Решение задач по ТАУ

Для этой передаточной функции из табл. 5.1, а имеем Решение задач по ТАУ и поэтому

Решение задач по ТАУ

Учитывая формулы (5.186), для коэффициентов полинома знаменателя Решение задач по ТАУ желаемой передаточной функции получаем

Решение задач по ТАУ

и соответственно,

Решение задач по ТАУ

Числитель и знаменатель передаточной функции объекта раскладываются на множители

Решение задач по ТАУ

Степени полиномов равны

Решение задач по ТАУ

Условия (5.13), (5.14) и (5.15) принимают вид

Решение задач по ТАУ

Этим условиям удовлетворяют Решение задач по ТАУ и, соответственно,

Решение задач по ТАУ

При подстановке этих полиномов уравнение (5.12) принимает вид

Решение задач по ТАУ

Отсюда

Решение задач по ТАУ

и, соответственно

Решение задач по ТАУ

Подставляя их и выражения для Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ в (5.11), найдем искомую передаточную функцию

Решение задач по ТАУ

Метод обратной задачи динамики

К оглавлению…

Методом обратной задачи динамики называют метод синтеза систем, когда по заданным уравнению объекта и требованиям к качеству системы управления определяется дифференциальное уравнение, решение которого удовлетворяет заданным требованиям, а затем из найденного уравнения выражается старшая производная и, после подстановки ее вместо старшей производной в уравнение объекта, находится требуемый закон управления.

Задача №5.7.

Пусть задана передаточная функция объекта

Решение задач по ТАУ

Задан требуемый закон изменения Решение задач по ТАУ выходной переменной Решение задач по ТАУ. Требуется найти алгоритм управления, при котором ошибка Решение задач по ТАУРешение задач по ТАУ изменяется следующим образом:

Решение задач по ТАУ

Здесь Решение задач по ТАУ — произвольные постоянные; Решение задач по ТАУ — заданные положительные постоянные.

Решение:

Уравнение объекта имеет вид

Решение задач по ТАУ

Числа Решение задач по ТАУ являются корнями уравнения

Решение задач по ТАУ

Следовательно, заданная функция Решение задач по ТАУ является общим решением дифференциального уравнения

Решение задач по ТАУ

Так как

Решение задач по ТАУ

подставив эти выражения в уравнение объекта, получим

Решение задач по ТАУ

Математическое описание дискретных систем

К оглавлению…

Определение Решение задач по ТАУ-преобразования, Решение задач по ТАУ-преобразованием или преобразованием Лорана называется соотношение

Решение задач по ТАУ

ставящее дискретной функции Решение задач по ТАУ в соответствие функцию комплексного переменного Решение задач по ТАУ. При этом Решение задач по ТАУ называют оригиналом, a Решение задач по ТАУ — изображением или Решение задач по ТАУ-изображением. Сумма в правой части называется рядом Лорана.

Оригинал и его изображение обозначают одноименными буквами: оригинал — строчной буквой, а изображение — прописной буквой со звездочкой. Решение задач по ТАУ-преобразование также условно записывают в виде

Решение задач по ТАУ

а обратное Решение задач по ТАУ-преобразование — в виде

Решение задач по ТАУ

Решение задач по ТАУ-преобразование от смещенной решетчатой функции

Решение задач по ТАУ
Решение задач по ТАУ

называют модифицированным Решение задач по ТАУ-преобразованием. Модифицированное Решение задач по ТАУ-преобразование также записывают в виде

Решение задач по ТАУ

Функцию Решение задач по ТАУ называют Решение задач по ТАУ-изображением смещенной решетчатой функции Решение задач по ТАУ или модифицированным Решение задач по ТАУ-изображением решетчатой функции Решение задач по ТАУ.

Уравнения и передаточные функции дискретных систем

К оглавлению…

Пусть модель дискретной системы управления описывается разностным уравнением

Решение задач по ТАУ

где Решение задач по ТАУ — выходная переменная, Решение задач по ТАУ — входная переменная, Решение задач по ТАУРешение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ — константы. Используя оператор смещения

Решение задач по ТАУ

это уравнение можно записать в операторной форме

Решение задач по ТАУ

Разностный оператор при выходной переменной

Решение задач по ТАУ

называется собственным (разностным) оператором, а разностный оператор при входной переменной

Решение задач по ТАУ

(разностным) оператором воздействия.

Решение задач по ТАУ
Решение задач по ТАУ

Отношение оператора воздействия к собственному оператору называется передаточной функцией в операторной форме. В соответствии с этим определением передаточная функция (в операторной форме) системы управления (6.1) имеет вид

Решение задач по ТАУ

Имеющее наименьший порядок отношение Решение задач по ТАУ-изображений выходной и входной переменных, вычисленных при нулевых начальных условиях, называется передаточной функцией в Решение задач по ТАУ-изображениях.

Передаточные функции в Решение задач по ТАУ-преобразованиях Решение задач по ТАУ и в операторной форме Решение задач по ТАУ связаны соотношением

Решение задач по ТАУ

Однако если полиномы числителя и знаменателя Решение задач по ТАУ имеют общие нули, то они должны быть сокращены.

Вычисление передаточных функций АИМ-системы

К оглавлению…

Как правило, приходится вычислять передаточные функции, когда известны характеристики дискретных элементов и передаточная функция непрерывной части. И в этом случае возникают особенности, которые делают вычисление передаточных функций дискретных систем более сложным.

АИМ-система включает АИМ-элемент (импульсный элемент с амплитудно-импульсной модуляцией) и непрерывную часть (рис. 6.2). Для получения математического описания АИМ-системы управления

Решение задач по ТАУ

ее представляют в виде эквивалентной схемы, состоящей из простейшего импульсного звена 1 и приведенной непрерывной части (ПНЧ) (рис. 6.3, а). Простейшее импульсное звено представляет собой звено, которое преобразует входную функцию Решение задач по ТАУ в обобщенную решетчатую функцию

Решение задач по ТАУ
Решение задач по ТАУ

где Решение задач по ТАУ — период выходного сигнала АИМ-элемента. Передаточная функция ПНЧ равна произведению передаточных функций непрерывной части и формирующего звена. Формирующее звено (ФЗ) формирует из обобщенной решетчатой функции Решение задач по ТАУ сигнал, тождественно равный выходному сигналу АИМ-элемента, и его передаточная функция равна изображению функции, описывающей немодулированный импульс.

Если ограничиться изучением АИМ-системы только в дискретные моменты времени Решение задач по ТАУ, то получим дискретную модель (рис. 6.3, б), в которой передаточная функция Решение задач по ТАУ равна Решение задач по ТАУ-изображению решетчатой весовой функции ПНЧ:

Решение задач по ТАУ

Зная связь между изображением Лапласа непрерывной функции и Решение задач по ТАУ-изображением соответствующей решетчатой функции (см. табл. 6.1), можно непосредственно по передаточной функции ПНЧ Решение задач по ТАУ определить Решение задач по ТАУ. Для этого введем в рассмотрение оператор Решение задач по ТАУ, который каждой функции Решение задач по ТАУ ставит в соответствие функцию Решение задач по ТАУ:

Решение задач по ТАУ

Оператор Решение задач по ТАУ соответствует трем последовательным операциям: обратному преобразованию Лапласа, квантованию по времени и Решение задач по ТАУ-преобразованию. Так как все три указанные операции являются линейными, то оператор Решение задач по ТАУ является линейным. Используя этот оператор, передаточную функцию Решение задач по ТАУ можно определить следующим образом:

Решение задач по ТАУ

Дальше также используется оператор Решение задач по ТАУ который функции Решение задач по ТАУ ставит в соответствие модифицированное Решение задач по ТАУ-изображение

Решение задач по ТАУ
Решение задач по ТАУ

По аналогии с Решение задач по ТАУ-преобразованием в Решение задач по ТАУ-преобразовании

Решение задач по ТАУ

и в Решение задач по ТАУ-преобразовании

Решение задач по ТАУ

Решение задач по ТАУ называют оригиналом, а Решение задач по ТАУ-изображением и Решение задач по ТАУРешение задач по ТАУ-изображением или модифицированным Решение задач по ТАУ-изображением. Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ-изображения от основных функций можно найти в табл. 6.1 и 6.2 соответственно.

Вычисление Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ-изображений. Пусть оригинал имеет вид

Решение задач по ТАУ

где Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ — полиномы от Решение задач по ТАУ степени Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ соответственно, причем Решение задач по ТАУ. Если все полюса Решение задач по ТАУ данной функции (т. е. корни уравнения Решение задач по ТАУ = 0) различны, то

Решение задач по ТАУ

Задача №6.1.

Передаточная функция ПНЧ имеет вид Решение задач по ТАУРешение задач по ТАУ

Требуется найти дискретную передаточную функцию Решение задач по ТАУ

Решение:

Полюсами данной передаточной функции (т. е. корнями уравнения Решение задач по ТАУ) являются Решение задач по ТАУ. Производная Решение задач по ТАУ. Поэтому по формуле (6.2)

Решение задач по ТАУ

Если

Решение задач по ТАУ

содержит кратные полюса, то изображения Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ можно получить, разложив Решение задач по ТАУ на элементарные дроби. В простых случаях можно введением малых параметров видоизменить функцию Решение задач по ТАУ так, чтобы она не содержала кратных полюсов, и воспользоваться формулами (6.2) и (6.3), а затем произвести предельный переход, устремив малые параметры к нулю.

Задача №6.2.

Передаточная функция ПНЧ имеет вид Решение задач по ТАУРешение задач по ТАУ Требуется определить дискретную передаточную функцию Решение задач по ТАУ.

Решение:

Данная передаточная функция ПНЧ имеет двукратный полюс Решение задач по ТАУ. Введя малый параметр Решение задач по ТАУ, преобразуем ее к виду

Решение задач по ТАУ

Преобразованная передаточная функция имеет простые полюса Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ. Производная Решение задач по ТАУ. По формуле (6.2)

Решение задач по ТАУ

Используя разложение

Решение задач по ТАУ

где Решение задач по ТАУ — бесконечно малая величина более высокого порядка, чем Решение задач по ТАУ, получаем

Решение задач по ТАУ

Отсюда, устремив Решение задач по ТАУ к нулю, находим

Решение задач по ТАУ

Если среди простых полюсов функции Решение задач по ТАУ имеются комплексные корни, то может оказаться нецелесообразным использование формул (6.2) и (6.3). Это связано с необходимостью преобразования полученного результата для исключения мнимого числа. Во всех случаях, когда использование формул (6.2) и (6.3) невозможно или нецелесообразно, можно определить Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ, разложив Решение задач по ТАУ на элементарные дроби.

Задача №6.3.

Определить Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ изображение функции

Решение задач по ТАУ

Решение:

Данная функция имеет кратный полюс Решение задач по ТАУ и два комплексных полюса. Найдем Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ, разложив Решение задач по ТАУ на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов:

Решение задач по ТАУ

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа и решив полученную систему уравнений, найдем

Решение задач по ТАУ
Решение задач по ТАУ

Следовательно,

Решение задач по ТАУ

Преобразуем правую часть к табличному виду:

Решение задач по ТАУ

Подставив это выражение в предыдущее равенство, произведем Решение задач по ТАУ-преобразование:

Решение задач по ТАУ

После подстановки соответствующих изображений из табл. 6.2 и преобразований получим

Решение задач по ТАУ

Положив Решение задач по ТАУ, находим

Решение задач по ТАУ

Вычисление Решение задач по ТАУ— и Решение задач по ТАУ-изображений от оригинала, включающего множитель Решение задач по ТАУ. Пусть оригинал имеет вид

Решение задач по ТАУ

где Решение задач по ТАУ — дробно-рациональная функция:

Решение задач по ТАУ

В этом случае в зависимости от величины Решение задач по ТАУ для Решение задач по ТАУ имеем

а) при

Решение задач по ТАУ
Решение задач по ТАУ

где

Решение задач по ТАУ

б) при

Решение задач по ТАУ
Решение задач по ТАУ

Решение задач по ТАУ-преобразование обладает следующим свойством: если оригинал в Решение задач по ТАУ-преобразовании содержит множитель, представляющий полином или дробно-рациональную функцию от Решение задач по ТАУ, то этот множитель можно вынести за знак оператора Решение задач по ТАУ, произведя подстановку Решение задач по ТАУ. Например,

Решение задач по ТАУ

Задача №6.4.

АИМ-элемент вырабатывает прямоугольные импульсы длительности Решение задач по ТАУ с периодом Решение задач по ТАУ и амплитудой (высотой) Решение задач по ТАУ. Передаточная функция непрерывной части Решение задач по ТАУ Решение задач по ТАУ. Требуется определить дискретную передаточную функцию Решение задач по ТАУ.

Решение:

Найдем сначала передаточную функцию приведенной непрерывной части. Так как передаточная функция формирующего звена

Решение задач по ТАУ

передаточная функция ПНЧ

Решение задач по ТАУ

где

Решение задач по ТАУ

Дискретная передаточная функция

Решение задач по ТАУ

В данном случае

Решение задач по ТАУ

Согласно (6.4)

Решение задач по ТАУ

Полюсами Решение задач по ТАУ являются Решение задач по ТАУ, производная Решение задач по ТАУРешение задач по ТАУ. В соответствии с (6.2) и (6.3)

Решение задач по ТАУ

Следовательно,

Решение задач по ТАУ

Цифровые системы управления

К оглавлению…

Если цифровое устройство оперирует числовыми представлениями со значительным количеством разрядов, то- квантованием по уровню можно пренебречь. И системы управления с такими цифровыми устройствами можно рассматривать как АИМ-системы.

Цифровая система управления (ЦСУ) включает объект управления (ОУ), чувствительные элементы (ЧЭ), аналого-цифровой преобразователь (АЦП), цифровое вычислительное устройство (ЦВУ) и цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП) (рис. 6.4). АЦП преобразует аналоговый сигнал в цифрой, а ЦАП — цифровой сигнал в аналоговый. ЦВУ выполняет все необходимые вычисления в соответствии с заданным алгоритмом управления, т. е. представляет собой регулятор.

Решение задач по ТАУ

Если пренебречь квантованием по уровню, цифровую систему управления можно представить в виде блок-схемы (рис. 6.5), состоящей из прерывателя, дискретного фильтра (ДФ), фиксатора нулевого порядка (ФНП) и непрерывной части (НЧ).

Решение задач по ТАУ

Прерыватель является моделью АЦП и преобразует непрерывный сигнал Решение задач по ТАУ в дискретный сигнал Решение задач по ТАУ. В дальнейшем прерыватель в явном виде на схеме не будем указывать, принимая, что он входит в состав ДФ. Дискретный фильтр представляет собой модель ЦВУ и характеризуется дискретной передаточной функцией — передаточной функцией регулятора. В качестве ЦАП чаще всего используется фиксатор нулевого порядка — элемент, который запоминает входной дискретный сигнал на один период — до прихода следующего дискретного сигнала. Фиксатор нулевого порядка можно рассматривать как АИМ-элемент, вырабатывающий прямоугольные импульсы длительности Решение задач по ТАУ (относительная длительность Решение задач по ТАУ) и с амплитудой Решение задач по ТАУ. Представив ФНП в виде эквивалентной схемы, состоящей из простейшего импульсного элемента и формирующего звена, получим эквивалентную схему цифровой системы управления (рис. 6.6).

Решение задач по ТАУ

На этой схеме Решение задач по ТАУ — передаточная функция (в операторной форме) дискретного фильтра (регулятора), Решение задач по ТАУ — передаточная функция ПНЧ. Передаточная функция (в изображениях Лапласа) формирующего звена

Решение задач по ТАУ

Передаточная функция (в изображениях Лапласа) ПНЧ

Решение задач по ТАУ

Дискретная передаточная функция ПНЧ

Решение задач по ТАУ

или

Решение задач по ТАУ

Используя эту передаточную функцию, можно построить структурную схему дискретной модели цифровой системы управления (рис. 6.7).

Решение задач по ТАУ

Задача №6.5.

Дана цифровая система управления, у которой передаточная функция непрерывной части

Решение задач по ТАУ

и цифровое вычислительное устройство реализует алгоритм управления, определяемый разностным уравнением

Решение задач по ТАУ

Требуется определить передаточную функцию данной системы относительно входа Решение задач по ТАУ и выхода Решение задач по ТАУ (рис. 6.6).

Решение:

Запишем уравнение регулятора в операторной форме:

Решение задач по ТАУ

Отсюда передаточная функция регулятора в операторной форме

Решение задач по ТАУ

и в Решение задач по ТАУ-изображениях

Решение задач по ТАУ

Передаточная функция приведенной непрерывной части

Решение задач по ТАУ

Дискретная передаточная функция ПНЧ

Решение задач по ТАУ

Корнями полинома

Решение задач по ТАУ

являются

Решение задач по ТАУ
Решение задач по ТАУ

и производная

Решение задач по ТАУ

По формуле (6.2)

Решение задач по ТАУ

Следовательно,

Решение задач по ТАУ

Искомая передаточная функция замкнутой системы

Решение задач по ТАУ

ШИМ-системы управления

К оглавлению…

Блок-схема ШИМ-системы управления включает ШИМ-элемент (импульсный элемент с широтно-импульсной модуляцией) и НЧ (рис. 6.8). Пусть ШИМ-элемент вырабатывает прямоугольные импульсы с амплитудой Решение задач по ТАУ и периодом Решение задач по ТАУ. На выходе ШИМ-элемента ширина модулированного импульса пропорциональна модулю Решение задач по ТАУ, а ее знак совпадает со знаком входного сигнала в момент съема. Модулированный импульс на выходе ШИМ-элемента можно представить как разность двух ступенчатых функций:

Решение задач по ТАУ

где Решение задач по ТАУ Здесь Решение задач по ТАУ является константой, удовлетворяющей неравенству

Решение задач по ТАУ

и называется коэффициентом модуляции.

Решение задач по ТАУ

Линеаризация. Уравнения ШИМ-элемента являются нелинейными. Если выполняется условие Решение задач по ТАУ или Решение задач по ТАУ, то можно произвести линеаризацию и получить дискретно-непрерывную модель (рис. 6.9 а), а после дискретизации — дискретную модель (рис. 6.9 б). Здесь

Решение задач по ТАУ
Решение задач по ТАУ

Задача №6.6.

Дана ШИМ-система управления (рис. 6.8). Амплитуда Решение задач по ТАУ = 1, коэффициент модуляции Решение задач по ТАУ = 0,05, период следования импульсов Решение задач по ТАУ = 0,1 и передаточная функция непрерывной части

Решение задач по ТАУ

Требуется определить дискретную передаточную функцию замкнутой системы Решение задач по ТАУ

Решение:

Так как

Решение задач по ТАУ

Искомая передаточная функция

Решение задач по ТАУ

Вычисление передаточных функций дискретных систем в общем случае

К оглавлению…

Выше мы рассмотрели вычисление передаточных функций дискретных систем, когда их эквивалентная схема за простейшим импульсным звеном содержит одно непрерывное звено — приведенную НЧ. Однако может потребоваться вычисление передаточных функций, эквивалентная схема которых имеет более общий вид (рис. 6.10). И в этом

Решение задач по ТАУ

случае справедливо правило, которое совпадает с правилом вычисления передаточных функций одноконтурной непрерывной системы: передаточная функция относительно входа Решение задач по ТАУ и какого-либо выхода равна передаточной функции прямой цепи, деленной на единицу плюс (а при положительной обратной связи минус) передаточная функция разомкнутой системы. Согласно этому правилу имеем

Решение задач по ТАУ

Следует иметь в виду, что при вычислении передаточной функции прямой цепи и передаточной функции разомкнутой системы непрерывные звенья, расположенные за простейшим импульсным звеном, нужно рассматривать как одну НЧ.

Теперь рассмотрим схему с дискретным фильтром, включенным перед простейшим импульсным звеном (рис. 6.11). Установленное выше правило вычисления дискретной передаточной функции замкнутой системы остается в силе и в данном случае:

Решение задач по ТАУ

Задача №6.7.

Пусть в дискретной системе, представленной на рис. 6.11,

Решение задач по ТАУ
Решение задач по ТАУ

и период следования импульсов Решение задач по ТАУ = 0,1. Требуется определить передаточные функции Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ.

Решение:

Найдем необходимые для определения требуемых передаточных функций Решение задач по ТАУ-изображения. Учитывая, что полином Решение задач по ТАУ, как частный случай дробно-рациональной функции от Решение задач по ТАУ, можно вынести за знак оператора Решение задач по ТАУ, сделав подстановку Решение задач по ТАУ, получим

Решение задач по ТАУ

Подставив полученные выражения и выражения для Решение задач по ТАУ в выше-приведенные формулы, получим

Решение задач по ТАУ

Устойчивость дискретных систем. Характеристическое уравнение и основное условие устойчивости

К оглавлению…

Если внешние воздействия заданы, уравнения дискретной системы управления можно записать в виде

Решение задач по ТАУ

или в операторной форме

Решение задач по ТАУ

Характеристическое уравнение имеет вид

Решение задач по ТАУ

который получается при подстановке в собственный оператор

Решение задач по ТАУ

вместо оператора смещения Решение задач по ТАУ переменной Решение задач по ТАУ.

Если задана передаточная функция системы управления, то при определении характеристического полинома нужно исходить из следующих положений: по определению передаточной функции в операторной форме ее знаменатель есть собственный оператор, а знаменатель передаточной функции в Решение задач по ТАУ-изображениях совпадает с характеристическим полиномом (при условии, что передаточная функция в операторной форме не содержит одинаковые нули и полюса).

Общее решение неоднородного разностного уравнения имеет вид

Решение задач по ТАУ

где Решение задач по ТАУ — частное решение этого уравнения и Решение задач по ТАУ — общее решение соответствующего однородного уравнения.

Линейная дискретная система управления называется устойчивой, если общее решение однородного разностного уравнения при Решение задач по ТАУ стремится к нулю: Решение задач по ТАУ.

Основное условие устойчивости: для того чтобы линейная дискретная система управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были по модулю меньше единицы или, что то же, находились внутри единичного круга на Решение задач по ТАУ-плоскости корней.

Задача №7.1.

Передаточная функция системы

Решение задач по ТАУ

Требуется исследовать ее устойчивость.

Решение:

Характеристическое уравнение имеет вид

Решение задач по ТАУ

Его корнями являются

Решение задач по ТАУ

Их модули

Решение задач по ТАУ

Система устойчива.

Алгебраические критерии устойчивости

К оглавлению…

Необходимое условие устойчивости: для того чтобы все нули (корни) характеристического полинома

Решение задач по ТАУ

были по модулю меньше единицы Решение задач по ТАУ необходимо, чтобы при Решение задач по ТАУ выполнялись неравенства

Решение задач по ТАУ

Задача №7.2.

Характеристический полином дискретной системы имеет вид

Решение задач по ТАУ

Требуется определить устойчивость системы.

Решение:

Проверим необходимое условие устойчивости. В данном случае Решение задач по ТАУ и

Решение задач по ТАУ

Необходимое условие устойчивости не выполняется. Следовательно, система неустойчива.

Исследование устойчивости, основанное на преобразовании единичного круга в левую полуплоскость. При преобразовании

Решение задач по ТАУ

внутренность единичного круга на Решение задач по ТАУ-плоскости преобразуется в левую полуплоскость, его внешность — в правую полуплоскость и окружность (единичного радиуса) — в мнимую ось на ^-плоскости. При таком преобразовании переменной характеристического уравнения для исследования устойчивости дискретных систем можно воспользоваться критериями устойчивости непрерывных систем (критерий Гурвица и др.).

Представим преобразованное характеристическое уравнение в стандартной форме:

Решение задач по ТАУ

При Решение задач по ТАУ = 1,2,3 коэффициенты преобразованного уравнения выражаются через коэффициенты исходного уравнения следующим образом:

Решение задач по ТАУ

Для того чтобы дискретная система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни преобразованного характеристического уравнения располагались в левой полуплоскости (имели отрицательную вещественную часть).

Задача № 7.3.

Характеристический полином дискретной системы управления имеет вид

Решение задач по ТАУ

Определить ее устойчивость.

Решение:

В данном случае

Решение задач по ТАУ

и в соответствии с (7.2в) коэффициенты преобразованного уравнения

Решение задач по ТАУ

Необходимое условие устойчивости выполняется: все коэффициенты преобразованного характеристического уравнения больше нуля. Определитель Гурвица 2-го порядка

Решение задач по ТАУ

Следовательно, система устойчива.

Критерий устойчивости Джури. Составим таблицу Джури, которая содержит (Решение задач по ТАУ+ 1) строку и столько же столбцов. При этом заполненные клетки имеют треугольную форму: нулевая строка содержит (Решение задач по ТАУ + 1) заполненных клеток, а все последующие строки имеют на единицу меньше заполненных клеток, чем предыдущая строка (табл. 7.1).

Решение задач по ТАУ

Клетки нулевой строки заполняются коэффициентами характеристического уравнения в порядке возрастания нижних индексов:

Решение задач по ТАУ
Решение задач по ТАУ

Элементы первой строки

Решение задач по ТАУ

вычисляются следующим образом. Выписываются элементы нулевой строки и под ними те же элементы в обратном порядке. Из элементов верхней строки вычитаются соответствующие элементы нижней строки, умноженные на отношение последних элементов двух выписанных строк:

Решение задач по ТАУ
Решение задач по ТАУ

Последняя разность обращается в нуль, и она отбрасывается. Поэтому 1-я строка содержит Решение задач по ТАУ элементов — на один элемент меньше, чем нулевая строка. Элементы всех последующих строк определяются аналогично элементам 1-й строки. Так, например, для вычисления Решение задач по ТАУ-й строки выписываются элементы (Решение задач по ТАУ — 1)-й строки и под ними те же элементы в обратном порядке. Из элементов верхней строки вычитаются соответствующие элементы нижней строки, умноженные на отношение последних элементов выписанных двух строк

Решение задач по ТАУ

Последняя разность, обращающаяся в нуль, отбрасывается. Формула для вычисления Решение задач по ТАУ-го элемента Решение задач по ТАУ-й строки Решение задач по ТАУ имеет вид

Решение задач по ТАУ

Критерий Джури (E.I. Jury). Для того чтобы все нули (корни) характеристического полинома

Решение задач по ТАУ

находились внутри единичного круга, необходимо и достаточно, чтобы при Решение задач по ТАУ все элементы нулевого столбца таблицы Джури были положительны:

Решение задач по ТАУ

Если все элементы нулевого столбца, кроме последнего, положительны:

Решение задач по ТАУ

то положительность последнего элемента, т. е. условие Решение задач по ТАУ > 0 эквивалентно необходимому условию устойчивости (7.1). Поэтому если необходимое условие выполняется, то последний элемент Решение задач по ТАУ можно не вычислять.

Задача №7.4.

Характеристический полином дискретной системы управления имеет вид

Решение задач по ТАУ

Исследовать устойчивость данной системы.

Решение:

Сначала проверим необходимое условие устойчивости:

Решение задач по ТАУ

Необходимое условие устойчивости выполняется. Вычислим элементы таблицы Джури. Для нулевой строки имеем

Решение задач по ТАУ

Ниже приводится вычисление элементов таблицы Джури для остальных строк, кроме последней.

Решение задач по ТАУ

Элементы нулевого столбца (кроме последнего) равны

Решение задач по ТАУ

и они положительны. Так как выполняется необходимое условие устойчивости, последний элемент нулевого столбца также будет положительным. Следовательно, система устойчива.

Оценка качества дискретных систем. Показатели качества в переходном режиме

К оглавлению…

Качество дискретных систем управления определяется так же, как и качество непрерывных систем, и для его оценки можно использовать все ранее введенные при рассмотрении непрерывных систем показатели качества в переходном и установившемся режимах или их аналоги.

Прямые показатели качества — время регулирования и перерегулирование — определяются по переходной характеристике. Ее можно построить по дискретной переходной функции Решение задач по ТАУ, соединяя дискретные точки плавной кривой (рис. 8.1).

Решение задач по ТАУ

Рассмотрим вычисление переходной функции. Так как Решение задач по ТАУ-изображение от единичной решетчатой функции

Решение задач по ТАУ

то Решение задач по ТАУ-изображение переходной функции

Решение задач по ТАУ

где Решение задач по ТАУ — передаточная функция относительно входа Решение задач по ТАУ и выхода Решение задач по ТАУ.

Пусть изображение переходной функции имеет вид

Решение задач по ТАУ

По определению Решение задач по ТАУ-преобразования

Решение задач по ТАУ

Поэтому значения переходной функции Решение задач по ТАУ можно найти, разложив Решение задач по ТАУ в ряд Лорана путем деления числителя Решение задач по ТАУ на знаменатель Решение задач по ТАУ по правилу деления многочленов. При этом в многочленах Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ слагаемые должны располагаться в порядке убывания степени Решение задач по ТАУ.

Задача №8.1.

Определить значения переходной функции Решение задач по ТАУРешение задач по ТАУ дискретной системы с передаточной функцией

Решение задач по ТАУ

Решение:

Решение задач по ТАУ-изображение переходной функции

Решение задач по ТАУ

Произведя деление числителя на знаменатель по правилу деления многочленов, для первых пяти слагаемых получим

Решение задач по ТАУ

Отсюда имеем:

Решение задач по ТАУ
Решение задач по ТАУ

Если разность между степенями знаменателя и числителя равна Решение задач по ТАУ, то первый член разложения Решение задач по ТАУ в ряд Лорана будет иметь степень Решение задач по ТАУ. Поэтому первые Решение задач по ТАУ значений Решение задач по ТАУ будут равны нулю:

Решение задач по ТАУ

Другой способ вычисления переходной функции основан на формуле разложения, которая определяется следующим образом: если все полюса Решение задач по ТАУ функции Решение задач по ТАУ (т.е. корни уравнения Решение задач по ТАУ = 0) простые и не равны нулю, то

Решение задач по ТАУ

где

Решение задач по ТАУ

Начальные значения Решение задач по ТАУ при Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ при Решение задач по ТАУ.

Задача №8.2.

Определить переходную функцию Решение задач по ТАУ, если Решение задач по ТАУ-изображение имеет вид

Решение задач по ТАУ

Решение:

В данном случае

Решение задач по ТАУ

Производная

Решение задач по ТАУ

полюсами являются

Решение задач по ТАУ

И в соответствии с формулой (8.1)

Решение задач по ТАУ

Начальное значение Решение задач по ТАУ, так как степень числителя меньше степени знаменателя. Если Решение задач по ТАУ имеет кратные полюса, то полюсу Решение задач по ТАУ кратности Решение задач по ТАУ в формуле разложения соответствует слагаемое, определяемое предельным соотношением

Решение задач по ТАУ

Если среди полюсов Решение задач по ТАУ имеется нулевой (Решение задач по ТАУ = 0), то при вычислении соответствующего этому полюсу слагаемого следует пользоваться формулой (8.2) и в том случае, когда этот полюс является простым.

Задача №8.3.

Определить переходную функцию Решение задач по ТАУ, если ее Решение задач по ТАУ-изображение имеет вид

Решение задач по ТАУ

Решение:

В данном случае

Решение задач по ТАУ
Решение задач по ТАУ

Производная

Решение задач по ТАУ

полюсами являются

Решение задач по ТАУ

Слагаемое, соответствующее нулевому полюсу (Решение задач по ТАУ = 0), в соответствии с формулой (8.2) определяется следующим образом:

Решение задач по ТАУ

Полюс Решение задач по ТАУ=1 имеет кратность 2 и ему соответствует слагаемое

Решение задач по ТАУ

Полюс Решение задач по ТАУ = —1 является простым и ему соответствует слагаемое (8.1)

Решение задач по ТАУ

Таким образом, имеем

Решение задач по ТАУ

Начальное значение Решение задач по ТАУ.

Вычисление переходной функции между точками съема сигналов . Функция Решение задач по ТАУ определяет значения переходной функции в моменты съема сигнала Решение задач по ТАУ. Значения переходной функции Решение задач по ТАУ в промежуточные моменты времени можно определить по структурной схеме (рис. 8.2 б), которая получается из исходной (рис. 8.2 а) подключением на выходе звена чистого запаздывания. Из этих схем имеем

Решение задач по ТАУ
Решение задач по ТАУ

Так как

Решение задач по ТАУ

и при единичном входном воздействии и нулевых начальных условиях

Решение задач по ТАУ

Соответственно для Решение задач по ТАУ-изображений переходных функций Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ имеем:

Решение задач по ТАУ
Решение задач по ТАУ

где

Решение задач по ТАУ

Задача №8.4.

Пусть в дискретной системе (рис. 8.2, a) Решение задач по ТАУРешение задач по ТАУ и период- следования импульсов Решение задач по ТАУ = 0,2. Требуется определить решетчатую функцию, которая принимает значения переходной функции Решение задач по ТАУ в моменты

Решение задач по ТАУ
Решение задач по ТАУ

Решение:

Искомой функцией будет Решение задач по ТАУ, где

Решение задач по ТАУ

В данном случае

Решение задач по ТАУ
Решение задач по ТАУ

Подставив эти выражения в (8.3), получим

Решение задач по ТАУ

Отсюда в соответствии с формулой (8.1)

Решение задач по ТАУ

Особенности переходного процесса дискретных систем.

В непрерывных линейных системах переходная функция всегда принимает установившееся значение при Решение задач по ТАУ. Однако возможны линейные дискретные системы, в которых переходный процесс полностью заканчивается за конечное число шагов, т. е. существует такое положительное число Решение задач по ТАУ, что

Решение задач по ТАУ

Если выполняется это условие, то переходный процесс называется оптимальным, а система, в которой происходит такой процесс, — оптимальной (по переходному процессу) системой.

Условие оптимальности системы (по переходному процессу). В системе с передаточной функцией вида

Решение задач по ТАУ

переходный процесс заканчивается за конечное число шагов, если

Решение задач по ТАУ

Задача №8.5.

Замкнутая дискретная система состоит из фиксатора нулевого порядка и НЧ с передаточной функцией Решение задач по ТАУРешение задач по ТАУ период Решение задач по ТАУ = 0,1. Определить параметр Решение задач по ТАУ, при котором переходный процесс будет оптимальным.

Решение:

При фиксаторе нулевого порядка передаточная функция формирующего звена

Решение задач по ТАУ

Поэтому передаточная функция приведенной НЧ

Решение задач по ТАУ

и передаточная функция разомкнутой дискретной модели

Решение задач по ТАУ

Передаточная функция замкнутой системы

Решение задач по ТАУ

Отсюда в соответствии с формулой (8.4) для оптимального Решение задач по ТАУ получаем

Решение задач по ТАУ

Показатели качества в установившемся режиме

К оглавлению…

Наиболее полной характеристикой качества в установившемся режиме является установившаяся ошибка Решение задач по ТАУ. Ее можно найти по Решение задач по ТАУ-изображению Решение задач по ТАУ по формуле

Решение задач по ТАУ

Здесь Решение задач по ТАУ определяется по рекуррентной формуле

Решение задач по ТАУ

Коэффициенты Решение задач по ТАУ называются коэффициентами ошибки и являются числовыми показателями качества в установившемся режиме.

Статические и астатические системы. Система называется статической, если статическая ошибка отлична от нуля, и астатической, если статическая ошибка равна нулю. Статическая ошибка — это установившаяся ошибка при постоянных внешних воздействиях. Система является астатической и обладает астатизмом Решение задач по ТАУ-го порядка, если первые Решение задач по ТАУ коэффициентов равны нулю, а (Решение задач по ТАУ + 1)-й коэффициент ошибки отличен от нуля:

Решение задач по ТАУ

Из формул (8.56) и (8.5в) следует, что коэффициент позиционной ошибки Решение задач по ТАУ и для нахождения остальных коэффициентов необходимо вычислять производные от передаточной функции Решение задач по ТАУ.

Однако для астатической системы коэффициенты до первого отличного от нуля можно определить по формуле

Решение задач по ТАУ

Задача №8.6.

Задающее воздействие Решение задач по ТАУ, передаточная функция ошибки относительно задающего воздействия

Решение задач по ТАУ

период Решение задач по ТАУ = 0,05. Определить установившуюся ошибку.

Решение:

Так как

Решение задач по ТАУ
Решение задач по ТАУ

и установившаяся ошибка

Решение задач по ТАУ

Найдем коэффициенты ошибки Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ. В соответствии с формулами (8.56) и (8.5в)

Решение задач по ТАУ

Так как Решение задач по ТАУ = 0, то Решение задач по ТАУ можно определить по формуле (8.6):

Решение задач по ТАУ

Установившаяся ошибка

Решение задач по ТАУ

Структура астатических систем. Дискретная система (рис. 8.6) будет астатической, если передаточная функция ДФ (регулятора) включает множитель 1/(Решение задач по ТАУ — 1) или НЧ (а не ПНЧ) содержит интегрирующее звено. Порядок астатизма системы равен сумме числа последовательно соединенных интегрирующих звеньев в НЧ и показателю степени Решение задач по ТАУ — 1 в знаменателе ДФ.

Решение задач по ТАУ

Задача №8.7.

Пусть в дискретной системе (рис. 8.6)

Решение задач по ТАУ

Задающее воздействие

Решение задач по ТАУ

Определить установившуюся ошибку.

Решение:

В данном случае установившаяся ошибка

Решение задач по ТАУ

Передаточная функция регулятора содержит в знаменателе множитель Решение задач по ТАУ — 1 в первой степени, и НЧ содержит одно интегрирующее звено. Поэтому система обладает астатизмом второго порядка и

Решение задач по ТАУ

Следовательно,

Решение задач по ТАУ

Кстати готовые задачи на продажу по тау тут.

Синтез дискретных систем

К оглавлению…

Метод полиномиальных уравнений. Пусть задана передаточная функция приведенной НЧ Решение задач по ТАУ и соответственно известна дискретная передаточная функция неизменяемой части

Решение задач по ТАУ

Из заданных требований к качеству синтезируемой системы получена желаемая передаточная функция Решение задач по ТАУ. Требуется синтезировать регулятор, при котором передаточная функция Решение задач по ТАУ синтезированной системы (рис. 9.1) равна желаемой:

Решение задач по ТАУ

При синтезе регулятора нужно позаботится о том, чтобы он был физически осуществим и синтезированная система была грубой. Условие физической осуществимости регулятора, состоящее в том, что следствие не может предшествовать причине, будет выполнено, если степень числителя его передаточной функции не превышает степень ее знаменателя.

Условие грубости будет нарушено, если передаточная функция неизменяемой части содержит нули или полюса вне единичного круга, и они входят в передаточную функцию регулятора. И это условие накладывает определенные ограничения на выбор желаемой передаточной функции, что в общем случае исключает возможность задания желаемой передаточной функции произвольно. Поэтому обычно задаются желаемым характеристическим полиномом синтезируемой системы.

Разложим числитель и знаменатель передаточной функции неизменяемой части на два множителя, один из которых содержит нули внутри единичной окружности, другой — на и вне единичной окружности:

Решение задач по ТАУ

Здесь Решение задач по ТАУ — полиномы, нули которых расположены внутри единичной окружности; Решение задач по ТАУ — полиномы, нули которых расположены на и вне единичной окружности. Искомая передаточная функция регулятора имеет вид

Решение задач по ТАУ

где показатель степени Решение задач по ТАУ множителя Решение задач по ТАУ определяется требуемым порядком астатизма, Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ — неопределенные полиномы, которые определяются из полиномиального уравнения

Решение задач по ТАУ

Здесь Решение задач по ТАУ — желаемый характеристический полином (знаменатель желаемой передаточной функции).

Обозначим степень произвольного полинома Решение задач по ТАУ через Решение задач по ТАУ. Тогда условие физической осуществимости можно записать в виде (9.2)

Решение задач по ТАУ

Полиномиальное уравнение (9.3) разрешимо, если число неизвестных (коэффициентов полиномов Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ не меньше числа уравнений, получаемых приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях в уравнении (9.3). И так как число неизвестных равно Решение задач по ТАУ, а число уравнений Решение задач по ТАУ условие разрешимости полиномиального уравнения принимает вид

Решение задач по ТАУ

Степень желаемого характеристического полинома Решение задач по ТАУ должна удовлетворять соотношению

Решение задач по ТАУ

а также неравенству

Решение задач по ТАУ

где Решение задач по ТАУ — степень знаменателя передаточной функции неизменяемой части.

Порядок синтеза системы управления методом полиномиальных уравнений можно сформулировать следующим образом.

  1. Разложить полиномы числителя и знаменателя передаточной функции неизменяемой части на два множителя, один из которых имеет нули внутри единичной окружности, другой — на и вне единичной окружности. Если указанные полиномы не имеют нулей на и вне единичной окружности, то положить Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ; если они не имеют нулей внутри единичной окружности, то приравнять Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ постоянному множителю этих полиномов.
  2. Исходя из требований к качеству синтезируемой системы в переходном режиме и порядку астатизма выбрать характеристический полином синтезируемой системы Решение задач по ТАУ и число Решение задач по ТАУ. Степень полинома Решение задач по ТАУ должна удовлетворять условию (9.7).
  3. Из соотношений (9.4)-(9.6) определить степени неопределенных полиномов Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ и записать их с неизвестными коэффициентами.
  4. Подставить полученные неопределенные полиномы в полиномиальное уравнение (9.3) и определить их коэффициенты.
  5. Подставить найденные полиномы Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ в формулу для передаточной функции регулятора (9.2).

Для того чтобы синтезируемый регулятор был более простым, степени полиномов Решение задач по ТАУ, Решение задач по ТАУи Решение задач по ТАУ должны быть как можно меньшими.

Задача №9.1.

Передаточная функция неизменяемой части

Решение задач по ТАУ

Требуется синтезировать регулятор, при котором статическая ошибка равна нулю и переходный процесс заканчивается за конечное число шагов.

Решение:

В данном случае

Решение задач по ТАУ
Решение задач по ТАУ

и соответственно

Решение задач по ТАУ
Решение задач по ТАУ

Степени

Решение задач по ТАУ

Так как статическая ошибка должна быть равна нулю, положим Решение задач по ТАУ = 1. Условие (9.7) принимает вид

Решение задач по ТАУ

Минимально допустимой является степень Решение задач по ТАУ, и для того чтобы переходный процесс закончился за конечное число шагов, полагаем характеристический полином Решение задач по ТАУ. Из условия (9.6) Решение задач по ТАУ, а из условий (9.4) и (9.5) Решение задач по ТАУ. Поэтому полагаем

Решение задач по ТАУ

Подставив их в полиномиальное уравнение (9.3), получим

Решение задач по ТАУ

или, после раскрытия скобок и приведения подобных членов,

Решение задач по ТАУ

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях, находим

Решение задач по ТАУ

Решив эту систему, получим

Решение задач по ТАУ

Следовательно,

Решение задач по ТАУ

Подставив эти выражения для Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ, а также выражения для Решение задач по ТАУ и Решение задач по ТАУ в (9.2), получим искомое решение

Решение задач по ТАУ