Сопромат задачи с решением

Прежде чем изучать готовые решения задач по сопромату, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила полный курс лекций по предмету «сопротивление материалов», после которого, чуть ниже размещены подробные решения задач по сопромату.

Эта страница подготовлена для студентов любых специальностей и охватывает полный курс предмета «сопротивление материалов».

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Общие понятия, законы, формулы и определения «сопротивления материалов»

  1. Изгиб прямых стержней
  2. Типы опор и типы балок
  3. Вычисление внутренних сил при поперечном изгибе балки
  4. Дифференциальная зависимость между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью нагрузки
  5. Построение эпюр внутренних сил способом составления аналитических выражений
  6. Построение эпюр внутренних сил в балках способом характерных сечений
  7. Построение эпюр внутренних сил в плоских рамах
  8. Определение нормальных напряжений в произвольной точке поперечного сечения балки при чистом изгибе
  9. Закон парности касательных напряжений
  10. Касательные напряжения при поперечном изгибе
  11. Проверка прочности балки при поперечном изгибе
  12. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
  13. Метод непосредственного интегрирования
  14. Определение прогибов и углов поворота в балках методом начальных параметров
  15. Напряженное и деформирование состояние в точке
  16. Правила расстановки индексов и знаков
  17. Напряжения на наклонной площадке при плоском напряженном состоянии
  18. Главные площадки и главные напряжения
  19. Графическое представление плоского напряженного состояния
  20. Понятие о траекториях главных напряжений
  21. Главные деформации и главные оси деформации
  22. Закон Гука при плоском и объемном напряженных состояниях
  23. Понятие о чистом сдвиге
  24. Анализ напряженного состояния при чистом сдвиге
  25. Закон Гука при чистом сдвиге
  26. Зависимость между модулем упругости при растяжении (сжатии) и модулем сдвига
  27. Расчет болтовых (заклепочных) соединений на срез
  28. Расчет болтовых (заклепочных) соединений на смятие
  29. Расчет сварных соединений — угловых фланговых швов

Кручение

Основные понятия. Вычисление крутящих моментов

На кручение работают многие детали машин и механизмов, некоторые элементы строительных конструкций. Для вычисления крутящих моментов используется метод сечений.

Правило знаков:

Внешний момент вызывает положительный крутящий момент, если со стороны внешней нормали сечения он виден направленным по ходу часовой стрелки.

  1. Особенности деформирования стержня круглого сечения при кручении
  2. Определение касательных напряжений при кручении сечений круглого сечений
  3. Деформации при кручении стержней круглого сечений
  4. Анализ напряженного состояния и вид разрушения стержней при их кручении в зависимости от материала
  5. Расчет на прочность и жесткость стержни круглого или кольцевого сечений при кручении

Теории прочности

Основные понятия

Многие элементы строительных конструкций испытывают сложное напряженное состояние. Проведение испытаний материалов при сложном напряженном состоянии затруднительно или невозможно. Поэтому требуется создать такую методику расчета, которая позволила бы оценить степень опасности любого напряженного состояния, основываясь на результатах испытания при простом растяжении, сжатии, кручении и сдвиге. Такими методиками являются теории прочности. Для суждения о наступлении предельного состояния необходимо знать причину разрушения материала. Этот вопрос является сложным и до конца еще не решенным.

В каждой теории прочности выдвигается своя причина (критерий) разрушения. Поэтому и существуют десятки теорий прочности, а в идеале должна быть только одна.

  1. Теория прочности Галилея-Лейбница, Клебша-Ренкина. Первая теория прочности
  2. Теория прочности Мариотта-Грасгофа, Сен-Венана. Вторая теория прочности
  3. Теория прочности Кулона. Третья теория прочности

Статически неопределимые системы

Основные понятия

Статически неопределимая система в сопромате — это геометрически неизмененная система, в которой реакции связи (силы в опорных скобах, стержнях и т. д.) не могут быть определены с использованием только статических уравнений, так как требуется совместное рассмотрение последних с дополнительными уравнениями, характеризующими деформации этой системы.

Статически неопределимая система характеризуется наличием дополнительных связей, которые могут быть удалены без нарушения геометрической неизменности системы. Число дополнительных уравнений, равное количеству дополнительных связей (дополнительных неизвестных), называется степенью статической неопределенности системы. Для расчета используются метод сил и метод перемещений.

  1. Статически неопределимые системы
  2. Порядок расчета статически неопределимого ступенчатого стержня
  3. Температурные напряжения в статически неопределимом ступенчатом стержне
  4. Расчет статически неопределимого стержни круглого или кольцевого сечения при кручении
  5. Расчет статически неопределимых стержневых систем
  6. Теорема о взаимности работ внешних сил
  7. Теорема о взаимности работ внутренних сил
  8. Теорема о взаимности перемещений
  9. Определение перемещений методом Максвелла-Мора
  10. Вычисление интеграла Мора способом Верещагина
  11. Разложение эпюр на составляющие треугольной и параболической форм
  12. Статически неопределимые системы
  13. Понятие об основной системе метода сил
  14. Определение перемещений в статически неопределимых балках
  15. Учет осадок опор при расчете неразрезных балок

Сложное сопротивление

Основные понятия

Сложное сопротивление в сопромате— это одновременное воздействие на балку нескольких простых типов деформаций: растяжение-сжатие, сдвиг, кручение и изгиб. Например, совместное действие напряжения и кручения.

  1. Сложное сопротивление
  2. Косой изгиб. Общие понятия
  3. Определение напряжений при косом изгибе
  4. Определение положения нейтральной оси при косом изгибе
  5. Определение прогибов балки при плоском и пространственном косых изгибах
  6. Построение эпюр внутренних сил при косом изгибе балки
  7. Порядок расчета на прочность балки при косом изгибе
  8. Внецентренное растяжение (сжатие)
  9. Определение нормальных напряжений при внецентренном растяжении (сжатии)
  10. Определение положения нулевой линии (нейтральной оси) при внецентренном растяжении (сжатии)
  11. Свойства нулевой линии
  12. Ядро сечения
  13. Свойства ядра сечения
  14. Примеры построения ядра сечения
  15. Порядок расчета внецентренно сжатой колонны
  16. Изгиб с растяжением или сжатием
  17. Изгиб с кручением
  18. Расчет пространственного ломаного стержни
  19. Устойчивость сжатых стержней
  20. Основные понятия об устойчивости
  21. Метод Эйлера определения критической сжимающей силы для стержня
  22. Влияние способов закрепления сжатого стержня на величину критической силы
  23. Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ясинского
  24. Расчет сжатого стержни любой гибкости
  25. Практический расчет сжатых стержней
  26. Динамический расчет строительных конструкций
  27. Учет сил инерции при расчете троса
  28. Расчет на удар
  29. Прочность при переменных напряжениях
  30. Виды циклов напряжений
  31. Понятие о пределе выносливости
  32. Диаграмма предельных амплитуд
  33. Факторы, влияющие на величину предела выносливости
  34. Учет пластических деформаций при расчете элементов
  35. Пластический изгиб статически определимой балки

Задачи с решением по сопромату

Расчет стержня переменной жесткости на статические нагрузки

К оглавлению…

Задача №1:

Стержень переменной жесткости, закрепленный верхним концом и загруженный двумя центрально приложенными силами — сила = 72 кН, направленная вверх, и = 48 кН, направленная вниз. Стержень состоит из двух ступеней. Площадь поперечного сечения верхней ступени равна = 6 а площадь поперечного сечения нижней ступени — =8. Модуль упругости материала стержня Е = 200ГПа. Размеры и место приложения сил показаны на рисунке 151.

Решение:

Рис. 151. Стержень переменной жесткости, загруженный двумя сосредоточенными силами, и эпюры внутренних сил

Продольную ось стержня Z направим от опоры в сторону стержня — в данном случае это вниз. Пронумеруем особенные сечения, начиная от опоры. Направим неизвестную реакцию опоры в любую сторону, например, вверх.

Составим уравнение статического равновесия и решим его

Знак «минус» означает, что направление реакции выбрано ошибочно. В действительности реакция направлена вниз. Внесем исправления на рисунке 151, и значение реакции будем считать положительным.

Используя метод сечений, определим продольную силу на участке 1-2. Для этого проведем сечение , в произвольном месте участка 1-2. Это сечение разделит стержень на две части и . Рассмотрим часть 1-. Будем полагать, что в сечении действует растягивающая сила (рис. 152, а). Составим уравнение статического равновесия выбранной части стержня и решим его

Знак «минус» означает, что мы ошиблись, предполагая продольную силу растягивающей. В действительности продольная сила на участке 1-2 вызывает сжатие материала. В отличие от внешних сил, для внутренней силы знак «минус» сохраняется.

Рис. 152. Отсеченные части стержня сечениями, проведенными на разных ею участках: а) на участке 1-2; б) на участке 2-3; в) на участке 3-4

Затем, в произвольном месте участка 2-3 проведем сечение и рассмотрим верхнюю от сечения часть стержня (рис. 152, б). Составим уравнение статического равновесия для рассматриваемой части стержня и решим его.

Знак «плюс» означает, что продольная сила , как и предполагалось, растягивает материал участка 2-3.

Проведем сечение в произвольном месте участка 3-4 (рис.152, в) и рассмотрим верхнюю часть стержня. Составим уравнение равновесия и решим его.

Очевидно, что материал участка 3-4 также испытывает растяжения.

На участке 4-5 стержня нет приложенных сил, поэтому продольная сила на этом участке равна нулю и материал его и не растягивается и не сжимается.

По результатам расчета построим эпюру продольных сил (рис. 151). Вычислим значения нормальных напряжений на участках стержня.

Построим эпюру нормальных напряжений (рис. 151). Используя закон Гука, вычислим деформации (изменения длины) участков стержня.

Вычислим перемещения отмеченных сечений стержня, используя реккурентную формулы .

Построим эпюру перемещений (рис. 151). Отметим, перемещения со знаком плюс совпадают с направлением продольной оси Z. Направление перемещений можно указывать и стрелками.

Расчет плоской стержневой системы

К оглавлению…

Задача №2:

Плоская стержневая система, состоящая из двух деформируемых стержней 1 и 2, а также двух абсолютно жестких элементов, соединенных друг с другом и с опорами шарнирами. Модуль упругости и расчетное сопротивление принято равными Е = 200ГПа, R=210МПа . Исходные данные приведены на рисунке 153.

Рис. 153. Схема плоской стержневой системы (а) и обозначение неизвестных
реакций и продольных сил (
б)

Решение:

Разрежем стержень 1 и стержень 2 одним сечением, разделив систему на две части — верхнюю и нижнюю. Будем полагать, что оба деформируемые стержни растянуты продольными силами и . То есть эти продольные силы считаем положительными. В результате имеем восемь неизвестных

Вычислим угол наклона второго стержня.


Из уравнения статического равновесия верхней части стержневой системы определим реакции и продольную силу .

Из уравнений равновесия нижней части стержневой системы вычислим реакции и продольную силу .

Реакции на опоре К определим из уравнениями равновесия узла К на горизонтальную и на вертикальную оси.

В результате расчета установлено, что оба деформированные стержни сжаты. Значения реакций положительные, значит их направление выбрано правильно. Если значения какой-либо реакции оказалась бы отрицательной, то следует изменить ее направление на противоположное и считать ее положительной. В данном примере все реакции оказались положительными. Поэтому ничего менять не следует.

Проверим соблюдение условий равновесия всей стержневой системы.

Условие равновесия выполняется. Из условия прочности

определим требуемую площадь поперечного сечения для первого деформируемого стержня.

Из таблицы прокатных равнополочных уголков подберем два уголка так, чтобы их суммарная площадь была бы не меньше требуемой. Принимаем два уголка 2L56x4. Тогда площадь поперечного сечения первого стержня равна = 2 • 4,38 = 8,76

Проверим по условию прочности первый стержень

Недогрузка первого стержня составляет

Из условия прочности

определим требуемую площадь поперечного сечения для второго деформируемого стержня.

Из таблицы прокатных равнополочных уголков подберем два уголка так, чтобы их суммарная площадь была бы не меньше требуемой. Принимаем два уголка 2L60x6. Тогда площадь поперечного сечения второго стержня равна = 2 • 6,92 = 13,84

Проверим по условию прочности второй стержень

Недогрузка второго стержня составляет

Определим длину первого и второго деформируемых стержней

Используя закон Гука, вычислим деформации первого и второго стержней.

Вычислим радиусы окружностей, по которым движутся точки В и G, и их углы наклона и (рис. 185).


Используя деформируемую схему с учетом упрощений, установим связь между перемещениями точек В и G и деформациями первого и второго стержней (рис. 154).

Вычислим перемещение точки В

Из соотношения перемещений точек В и G

найдем перемещение точки G

Вычислим перемещения точки А.

Рис. 154. Деформированная схема плоской стержневой

Определение геометрических характеристик сечения сложной геометрической формы

К оглавлению…

Задача №3:

Сечение сложной геометрической формы (рис. 155). Требуется определить главные центральные моменты инерции.

Решение:

Разделим сечение на части с простыми геометрическими формами — прямоугольники, треугольники и круги (рис. 155). Выберем вспомогательные оси координат и обозначим их буквами X, Y.

Вычислим площади, определим координаты центров тяжестей частей сечения, их осевые и центробежные моменты инерции: — первая часть сечения — треугольник

Рис. 155. Сечение сложной геометрической формы. Размеры в см.
  • вторая часть сечения — круг

третья часть сечения — прямоугольник

Вычислим площадь всего сечения

Вычислим статические моменты всего сечения относительно вспомогательных осей X и Y

Вычислим координаты центра тяжести всего сечения

Покажем на рисунке центр тяжести и проведем центральные оси и параллельно вспомогательным осям X и Y.

Вычислим координаты центров тяжестей частей сечения в центральной системе координатных осей и

Проверим положение центра тяжести сечения. Для этого используем утверждение, что статический момент любого сечения относительно любой центральной оси равен нулю.

Вычислим моменты инерции всего сечения относительно центральных осей и , параллельных вспомогательным осям X и У.

Вычислим главные центральные моменты инерции и всего сечения

Вычислим угол поворота главных осей инерции относительно центральных осей и

Ось V откладываем от оси на угол , так как так, чтобы она проходила через отрицательные квадранты, так как .

Определение геометрических характеристик сечения, составленного из прокатных профилей

К оглавлению…

Задача №4:

Сечение, составленное из двутавра №22, листа 1,6×22 см и неравнополочного уголка L 125x80x12 (рис. 159).

Требуется определить геометрические характеристики сечения -положение центра тяжести, главные центральные моменты инерции и положение главных центральных осей инерции.

Решение:

Вычертим сечение в масштабе и укажем положение центров тяжестей частей сечения. Пронумеруем части сечения и выпишем их геометрические характеристики из таблиц прокатных профилей.

Рис. 156. Эскиз сечении двутавра и ею геометрические характеристики
Рис. 158. Эскиз сечения неравнополочного уголка и его геометрические характеристики
Рис. 159. Составное сечение

Выберем вспомогательные оси координат X и У.

Используя проставленные на рисунке размеры (рис.159), определим координаты центров тяжестей частей сечения во вспомогательной системе координатных осей Х и У.

В соответствии с проставленными номерами частей сечения, пронумеруем и обозначим их площади следующим образом.

Вычислим площадь всего сечения.

Вычислим статические моменты сечения относительно вспомогательных осей координат X и У.

Найдем координаты центра тяжести всего сечения.

Проведем центральные оси координат и , параллельные вспомогательным осям (рис. 159).

Вычислим координаты центров тяжестей частей сечения относительно центральныз осей.

Проверим найденные координаты, используя доказанное утверждение, что статический момент относительно центральных осей сечения равен нулю.

Условие равенства нулю подтверждается. Следовательно, координаты центра тяжести сечения найдены правильно.

Внесем коррективы в обозначения моментов инерции частей сечения в соответствии с их положением. В сечении (рис.159) ось двутавра направлена вдоль его стенки, а на эскизе (рис. 156) эта ось обозначена как Y. Поэтому следует принимать равным . Аналогично для оси -следует принимать , равным . Так же рассуждая, внесем следующие коррективы для первой, второй и третьей частей сечения. В итоге получим:

Вычислим моменты инерции сечения относительно центральных осей и .

Определим главные центральные моменты инерции сечения и

Найдем угол наклона главных центральных осей инерции относительно центральных осей с и .

Покажем на рисунке (рис.159) положение главных центральных осей инерции. Ось V, относительно которой главный момент инерции меньший, отложим от оси на угол так как . При этом она должна проходить через отрицательные квадранты, потому что центробежный момент инерции сечения меньше нуля . Ось U с большим главным центральным моментом инерции проведем через центр тяжести сечения перпендикулярно оси V.

Построение эпюр внутренних сил и расчет на прочность шарнирно опертой балок

К оглавлению…

Задача №5:

Приняты следующие исходные данные. Деревянная шарнирно закрепленная балка прямоугольного сечения. Расчетные сопротивления на сжатие (растяжение) и сдвиг соответственно равны R=13 МПа и =2 МПа. Модуль упругости материала балки E=10 ГПа. Балка загружена сосредоточенными силой и моментом, а также равномерно распределенной нагрузкой (рис. 160).

Требуется построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, из условия прочности подобрать размеры сечения балки, приняв отношение высоты к ширине сечения равным трем.

Рис. 160. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов в шарнирно опертой балке

Решение:

Вначале определим все внешние силы — реакции опор. Будем предполагать, что реакции опори направлены вверх. Отметим, что горизонтальная реакция равна нулю, так как все нагрузки, приложенные к балке, вертикальные.

Составим уравнения статического равновесия и определим значения реакций опор и .

Обе реакции получились положительными. Следовательно, предположение о том, что они направлены вверх правильное.

Определеим поперечные силы и изгибающие моменты в отмеченных сечениях на балке. Для этого используем метод сечений.

На всех рисунка (рис.161) выбраны направления поперечных сил и изгибающих моментов такими, которые соответствуют их положительным значениям.

Рис. 161. Рассмотренные чисти балки
при
использовании метода сечений:
а) правее точки 1; б) левее точки 2; в) правее

сечение в точке К, расположенной в том месте балки, где поперечная сила равна нулю, а изгибающий момент принимает экстремальное значение (рис. 161, и). Удаленность этой точки от левого края участка определяется отношением значения поперечной силы на этом конце участка к интенсивности распределенной нагрузки Найдем значение изгибающего момента в сечении, проведенном через точку К.

По найденным значениям поперечных сил и изгибающих моментов строим их эпюры (рис. 160).

Момент сопротивления прямоугольного сечения (рис. 160) с учетом отношения высоты к его ширине выражается формулой

Из условия прочности при изгибе

выразим требуемую ширину сечения, принимая расчетное значение изгибающего момента

В соответствии с заданным отношением высоте сечения к его ширине вычислим требуемую высоту сечения.

Вычислим момент инерции, момент сопротивления и статический момент отсеченной части сечения.

Проверим выполнение условия прочности по нормальным и по касательным напряжениям, принимая в качестве расчетных значений поперечной силы и значение изгибающего момента .

По нормальным напряжениям

Недогрузка составляет

По касательным напряжениям (по формуле Журавского)

Для изготовления использовать клееную деревянную балку.

Построение эпюр внутренних сил и расчет на прочность защемленной балки

К оглавлению…

Задача №6:

Деревянная защемленная одним концом деревянная балка круглого сечения. Расчетные сопротивления на сжатие (растяжение) и сдвиг соответственно равны R= 13 МПа и =2 МПа. Балка загружена сосредоточенными силой и моментом, а также равномерно распределенной нагрузкой (рис. 162).

Требуется построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, из условия прочности подобрать диаметр сечения балки, соблюдая условие если для одной балки это условие не соблюдается, то принять две или три или большее количество балок.

(Рис.162) Схема балки и эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Решение:

Из условия равновесия определим реакции опор и .

Используя метод сечений (см. предыдущий пример), вычислим поперечные силы и изгибающие моменты в помеченных буквами сечениях балки и построим их эпюры (рис. 162).

Расчетные поперечная сила и изгибающий момент, соответственно, равны и .

Из условия прочности

определим диаметр сечения балки, если использована она одна n=1

Ограничение по размеру сечения не выполняется. Поэтому примем две балки n=2.

Условие выполняется. Поэтому принимаем две балки диаметром D=30 см. Вычислим момент сопротивления, статический момент отсеченной части и момент инерции сечения одной балки.

Проверим выполнение условия прочности по нормальным напряжениям.

Недогрузка составляет

Проверим выполнение условия прочности по касательным напряжениям.

Расчет двутавровой балки на прочность и жесткость

К оглавлению…

Задача №7:

Подобрать прокатный двутавр для балки (рис. 163), вычислить прогибы и проверить по условию жесткости. Балка и исходные данные приведены на рисунке 163.

Рис. 163. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов в шарнирно опертой двутавровой балке

Решение:

Составим уравнения равновесия и вычислим реакции опор. Будем полагать, что реакция на левой опоре направлена вверх, а на правой — вниз.

Используя метод сечений, определим поперечные силы и изгибающие моменты в отмеченных сечениях балки (рис. 164).

Рис. 164. Рассмотренные части балки при использовании метода сечений: а) правее точки 1; б) левее точки 2; в) правее точки 2; г) левее точки 3;
д) левее точки 4; е) в точке К
  • сечение правее точки 1 (рис. 164, а)
  • сечение слева от точки 2 (рис. 195, б)

— сечение справа от точки 2 (рис. 164, в)

— сечение слева от точки 3 (рис. 164, г)

сечение справа от точки 3 — значение поперечной силы такое же, как и в сечении, расположенной в точке 4 слева (рис. 164, д), а изгибающего момента такое же, как и в сечении 3 слева (рис. 164, г)

-сечение слева от точки 4 (рис. 164, д)

-сечение в точке К (рис. 164, е) — расстояние от точки А до точки К равно отношению поперечной силы на рассматриваемом участке к интенсивности равномерно распределенной нагрузки .

Найденные значения поперечных сил и изгибающих моментов откладываем на графике и соединяем эти точки по правилам построения эпюр (рис. 163).

Расчетными значениями поперечных сил и изгибающих моментов, согласно построенным эпюрам, назначаем

Из условия прочности

найдем требуемый момент сопротивления

Из таблицы прокатных профилей выберем двутавр, у которого момент сопротивления равен или больше требуемого и выпишем необходимые для дальнейшего расчета геометрические характеристики его поперечного сечения.

Двутавр №20: осевой момент сопротивления ; осевой момент инерции ; статический момент отсеченной части ; толшина стенки .

Проверим выполнение условия прочности по нормальным напряжениям

Недогрузка составляет

Проверим выполнение условия прочности по касательным напряжениям

Подготовим балку для вычисления прогибов согласно требованиям метода начальных параметров:

  • пронумеруем участки балки слева направо;
  • дополним распределенную нагрузку до конца балки;
  • приложим компенсирующую нагрузку.
Рис. 165. Балка, подготовленная для определения прогибов методом
начальных параметров

Составим универсальное уравнение упругой оси балки

Начальные параметры определим по условию закрепления балки 1) при z = а = 2 м V= 0, участок I

2) при z = а+Ь+с = 2+4+2=8 м V= 0, участок III

Решим полученную систему уравнений и найдем начальные параметры

Вычислим прогиб балки в точке С ( z = 0 )

Вычислим прогиб балки в точке D ( z = 6м)

Проверим по условию жесткости

Условие жесткости выполняется.

Используя полученные значения прогибов в точках С и D учитывая, что на опорах прогибы равны нулю и в соответствии с эпюрой изгибающих моментов построим упругую ось балки.

Построение эпюр внутренних сил в плоских рамах

К оглавлению…

Задача №8:

Дана плоская рама, загруженная сосредоточенным моментом, сосредоточенной силой и равномерно распределенной нагрузкой (рис. 166).

Требуется построить эпюры продольных и поперечных сил, а также эпюру изгибающих моментов.

Решение:

Вначале определим все внешние силы, то есть реакции опор. Для этого составим уравнения статического равновесия и решим их.

Рис. 166. Плоская рама и эпюра внутренних сил в ней

Для удобства пронумеруем сечения, в которых следует определить внутренние силы (рис. 166). Внутренние силы в раме определим, используя метод сечений (рис. 167):

сечение 1 (рис. 167, а)

Рис. 167. Рассмотренные части рамы при использовании метода сечений

сечение 2 (рис. 167,б)

сечение 3 (рис. 198, в)

сечения 4 (рис. 198, г)

сечение 5 (рис. 198, д)

сечение 6 (рис. 198, е)

сечение 7 (рис. 198, .ж)

сечение 8 (рис. 198, з)

Найденные значения внутренних сил в отмеченных номерами сечениях откладываем на графике и строим эпюры продольных сил,

поперечных сил и изгибающих моментов согласно правилам. На рисунке 166 показан узел С и все силы, приложенные к нему. Очевидно, что равновесие узла выполняется.

Исследование напряженного состояния в точке

Рис. 168. Условие задачи

1) Обозначим напряжения, укажем их знаки и дополним недостающие напряжения.

2) Вычислим главные напряжения.

3) Вычислим угол поворота главных площадок.

4) Покажем положение главных площадок и главные напряжения.

Рис. 169. Действие главных напряжений и положение главных площадок

Направление напряжения откладываем от направления большего напряжения в сторону, куда показывает напряжение на площадке с нормалью У.

Пример расчета заклепочного соединения

К оглавлению…

Задача №9:

  • Уголок №75×8;
  • Размеры листа 95×20 мм; 6 = 95 мм; t = 20 мм.
  • Схема узла приведена на рисунке 170
Рис. 170. Заклепочное соединение уголков и листа

Решение:

Проверим на срез

Количество площадок среза в одной залепке

Проверим на смятие

Проверим лист на растяжение

Проверим уголок на растяжение

Условие прочности выполняется.

Пример расчета сварного соединения

К оглавлению…

Задача №10:

Пусть неравнополочный уголок(рис. 171) соединен с листом по своей широкой полки электросваркой (угловым фланговым швом); (электрод с тонкой обмазкой). К соединению приложена сила N=35 кН. Принять коэффициент

Рассчитать длину швов.

Рис. 171. Соединение угловыми фланговыми швами уголка и листа

Решение:

Из условия прочности для углового флангового сварного шва на срез

определим расчетную длину шва

Распределим шов на обушок и на перо

Принимаем проектные длины швов

Пример расчета стержня круглого сечения на кручение

К оглавлению…

Задача №11:

Стержень кольцевого сечения подвергнут кручению двумя моментами Наружный и внутренний диаметры кольцевого сечения соответственно равны мм, и Модуль сдвига и расчетное сопротивление материала стержня, соответственно, равны

Рис. 172 Эпюры крутящих моментов и углов закручивания

Решение:

Полярный момент инерции сечения стержня

Угол закручивания участка 1-2

Угол закручивания участка 2-3

Углы поворота сечений стержня

Полярный момент сопротивления кольцевого сечения

Проверим по прочности

Условие прочности выполняется.

Пример расчета статически неопределимого ступенчатого стержня

К оглавлению…

Задача №12:

Стержень переменного сечения, загруженный осевыми сосредоточенными силами (рис.204). Расстояние между опорами больше чем общая длина стержня на 1 мм. Числовые данные приведены на рисунке 173. Стержень изготовлен из стали. Модуль упругости материала стержня равен Е=200 ГПа

Рис. 173. Схема стержня (а), деформация стержня от нагрузки (б), деформация стержня от реакции нижней опоры (в)

Решение:

Определим степень статической неопределимости системы:

  • если предположить, что деформация стержня будет больше расстояния между опорами А и В, а это означает, что нижний конец стержня достигнет нижней опоры и появится реакция , то количество неизвестны равно 2-м (реакции опор и );
  • количество уравнений статического равновесия равно 1-му ;
  • степень статической неопределимости n=2-1 = 1.

То есть система один раз (однажды) статически неопределимая. Обозначим особенные сечения стержня цифрами, начиная со стороны защемления А.

Составим уравнение статического равновесия

Составим уравнение совместности деформаций

Используя закон Гука, вычислим деформацию стержня от нагрузки, отбросив нижнюю опору и считая неподвижной верхнюю опору.

Следовательно, в результате деформации стержня от нагрузки зазор закрывается и на нижней опоре появляется дополнительная реакция.

Используя закон Гука, выразим деформацию стержня от неизвестной реакции. Выразим потому, что еще не знаем величину самой реакции .

Подставим полученные выражения в уравнение совместности деформаций и получим дополнительное уравнение

Объединим уравнение статического равновесия и дополнительное уравнение в систему

Решим полученную систему уравнений. Учитывая, что система содержит неполное уравнение, из второго уравнения найдем значение реакции

Из первого уравнения определим реакцию

Используя метод сечений, вычислим значения продольных сил на участках стержня (рис. 174).

На участке 1-2

На участке 2-3

Рис.174. Рассмотренные части стержни при использовании метода сечений: а) на участке 1-2; б) на участке 2-3 2; в) на участке 3-4; г) на участке 4-5

На участке 3-4

На участке 4-5

Построим эпюру продольных сил (рис.175).

Вычислим значения напряжений в поперечных сечениях стержня

Построим эпюру нормальных напряжений (рис.175). Пусть материал стержня деформируется по закону Гука. Вычислим относительные линейные деформации на участках стержня

Вычислим абсолютные линейные деформации участков стержня

Вычислим перемещения отмеченных сечений стержня и построим эпюру перемещения (рис.175)

Построим эпюру перемещений сечений стержня (рис. 175).

Рис. 175. Эпюры продольных сил (а), нормальных напряжений (б), перемещений )

Пример расчета статически неопределимого стержня на температурные воздействия

К оглавлению…

Задача №13:

Стальной стержень кольцевого сечения состоит из двух участков с разной площадью поперечных сечений, подвергнут температурному воздействию. Расстояние между опорами больше на 3 мм длины стержня. Температура стержня увеличилась на 90°. Требуется определить продольные силы, температурные напряжения и перемещения сечений стержня. Исходные данные приведены на рисунке (рис.176).

Рис. 176. Схема стержня (а), деформация стержня от нагрузки ), деформация стержня or реакции нижней опоры (в)

Решение:

Предположим, что в результате температурных деформаций стержень удлинница на величину большую, чем зазор между нижним концом стержня и нижней опорой. Тогда кроме реакции на верхней опоре появится реакция и на нижней опоре.

Определим степень статической неопределимости:

  • количество неизвестных равно двум (реакции и );
  • линейно независимых уравнений статического равновесия всего одно;
  • степень статической неопределимости равно n = 2-1 = 1.

Отсюда следует, что стержень один раз (однажды) статически неопределимый.

Составим уравнение статического равновесия

Отсюда следует, что реакции опор равны по величине, но направлены в разные стороны.

Составим уравнение совместности деформаций

По закону температурных деформаций вычислим деформацию стержня от повышения температуры при условии отсутствия нижней опоры. Коэффициент линейного температурного расширения принимаем равным .

Отсюда следует, что в результате деформации стержня от температуры зазор закрывается и на нижней опоре действительно появляется реакция.

Используя закон Гука, выразим (выразим, потому что еще не знаем значение самой реакции ) деформацию стержня от неизвестной реакции.

Подставим выражения для и в уравнение совместности деформаций и получим дополнительное уравнение.

Уравнение статического равновесия и дополнительное уравнение имеют одинаковые неизвестные, поэтому они образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Из второго уравнения определим значение реакции .

Из первого уравнения (уравнения равновесия) определим реакцию верхней опоры

Рис. 177. Рассмотренные части стержня при использовании метода сечений:
а) на участке А-С; б) на участке С-В

Определим продольные силы на участках стержня:

  • на участке А-С (рис.208, а)
  • на участке С-В (рис.208, б)

Вычислим температурные напряжения на участках стержня

Вычислим деформации участков стержня. При этом следует учитывать деформацию от реакции и деформацию от изменения температуры:

Определим перемещения помеченных сечений стержня: WA — 0; (по условию закрепления)

Построим эпюры продольных сил, напряжений и перемещений (рис.178).

Рис. 178. Эпюры нормальных напряжений и перемещений в стержне при температурном воздействии на нею

Расчет статически неопределимого стержня круглого (кольцевого) сечения на кручение

К оглавлению…

Задача №14:

Стальной стержень переменной жесткости круглого поперечного сечения, защемленный обоими концами. Схема стержня приведена на рисунке (рис. 179)

Рис. 179. Схема стержня (а), деформация стержня при кручении от заданною момента (б), деформация стержня от реактивного момента (в)

Приняты следующие исходные данные:

Решение:

Определим степень статической неопределимости:

  • количество неизвестных равно двум (и );
  • уравнений статического равновесия только одно ;
  • степень статической неопределимости n=2-1 = 1.

Следовательно, стержень один раз статически неопределимый. Составим уравнение статического равновесия

Вычислим модуль сдвига материала стержня

Вычислим полярные моменты инерции поперечных сечений стержня на участках А-С и С-В

Освободим правый конец балки от опоры и определим угол поворота правого сечения B, вызванного заданным крутящим моментов Т.

Выразим угол закручивания правового торца стержня, вызванного неизвестным реактивным моментом

Составим уравнение совместности деформаций — дополнительное уравнение

Уравнение статического равновесия и дополнительное уравнение образуют систему уравнений

Решим систему уравнений и найдем значения неизвестных реактивных моментов и .

Определим крутящие моменты на участках стержня

Рис. 180. Равновесие части стержня, расположенной слева от сечении на участке А-С (а), равновесие части стержня, расположенной справа
от сечения.

Участок АС

Участок СВ

Вычислим полярные моменты сопротивления сечений стержня на его участках АС и СВ

Определим максимальные касательные напряжения в сечениях стержня

Вычислим деформации (углы закручивания) участков стержня

Определим углы поворота сечений стержня

Очевидно, что кинематические условия задачи выполняются. Построим эпюры крутящих моментов и углов закручивания сечений стержня (рис.181).

Рис. 181. Эпюры крутящих моментов и углов закручивании сечений стержни

Расчет статически неопределимой плоской стержневой системы

К оглавлению…

Задача №15:

Плоская стержневая система, состоящая из двух деформируемых стальных стержней и одного абсолютно жесткого элемента (диска), прикрепленного к опоре неподвижным шарниром. Модуль упругости материала деформируемых стержней принят равным Е=200 ГПа. Стержневая система загружена равномерно распределенной нагрузкой q = 120 кН/м и сосредоточенной силой F = 240 кН. Площади поперечных сечений первого и второго стержней приняты соответственно равными и . Размеры и положение элементов системы приведены на рисунке (рис.182).

Требуется найти продольные силы в деформируемых стержнях, вычислить их деформации и определить перемещения точек А и В.

Решение:

Вычислим длинны деформируемых стержней

Вычислим радиусы окружностей, по которым движутся точки А и В

Вычислим угол наклона первого стержня к горизонтальному направлению

Составим уравнение статического равновесия

Рис. 182. Схема плоской стержневой системы, ее размеры и
деформации

Вычислим углы наклона радиусов окружностей, по которым движутся точки А и В, к горизонтальному направлению

Установим связь между перемещениями шарниров А и В

Установим связь между перемещениями точек А, В и деформациями первого и второго деформируемых стержней системы.

Принимаем, что материал первого и второго стержней деформируется по закону Гука.

Объединим уравнения и получим дополнительное уравнение

Уравнение статического равновесия и полученное нами дополнительное уравнение образуют систему, решением которой являются продольные силы в первом и во втором стержнях

В результате решения получим значения продольных сил

Очевидно, что первый стержень растянут, а второй сжат. Определим реакции на опоре С. Для этого составим уравнения статического равновесия Из первого уравнения найдем реакцию

Из второго уравнения

найдем реакцию

Вычислим напряжения в первом и во втором стержнях.

Вычислим деформации первого и второго стержней системы

Определим перемещения точек А и В

Расчет статически неопределимой балки методом начальных параметров

К оглавлению…

Задача №16:

Статически неопределимая консольная балка (рис. 183), защемленная левым концом и шарнирно опирающаяся правым. Пролет балки равен 6 м, длина консоли 2 м. Балка загружена равномерно распределенной нагрузкой и сосредоточенным моментом Приняты расчетное сопротивление материала балки на растяжение (сжатие) R = 210МПа, расчетное сопротивление на срез , допускаемый относительный прогиб

Требуется раскрыть статическую неопределимость, построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, подобрать прокатный двутавр и определить прогибы балки в точках С и D а также проверить условие жесткости.

Решение:

Количество неизвестных равно четырем — . Количество линейно независимых уравнений равновесия равно трем. Степень статической неопределимости равна n = 4 -3 = 1. То есть балка один раз (однажды) статически неопределимая.

Составим универсальное уравнение упругой оси балки.

Отметим, что левый конец балки защемлен. Поэтому прогиб и угол поворота сечения расположенного на опоре А равны нулю по условию защемления, а значит, равны нулю. Равны нулю и начальные параметры и .

Рис.183. Статически неопределимая балка, эпюры поперечных сил, изгибающих моментов и упругая ось балки

По условию закрепления балки прогиб балки в точке В равен нулю, так как эта точка располагается на шарнирно подвижной опоре. Используем это условие для составления дополнительного уравнения.

Составим уравнение статического равновесия балки

Оба полученные уравнения содержат одни и те же неизвестны — и . Поэтому они образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными

Решим эту систему и получим значения реакций

Чтобы получить значение реакции , используем еще одно уравнение статического равновесия

Решим его и получим значение реакции опоры В, =62,83 кН. Используя метод сечений и правила построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис.183).

Из условия прочности

определим требуемый момент сопротивления

По таблице прокатных профилей подберем двутавр с уклоном полок №30а. Выпишем его геометрические характеристики:

Проверим на прочность по нормальным напряжениям

Недогрузка составляет

Проверим на прочность по касательным напряжениям

7780-10″8 • 6,5 -10 Найдем прогиб балки в точке С при z = а = 4 м (уча-сток I)

3


Найдем прогиб балки в точке D при z = a+b+c = 4+2+2=8 м (участок III)

Проверим по жесткости

Условие жесткости выполняется.

Используя полученные значения прогибов балки в точках С и D, а также учитывая, что угол поворота сечения в точке А и прогибы балки на опорах А и В равны нулю, построим упругую ось балки (рис. 183). Отметим, что упругая ось балки должна быть согласована с эпюрой изгибающих моментов. Растянутые волокна балки на ее упругой оси должны быть с той стороны, в которую отложены ординаты на эпюре изгибающих моментов.

Определение деформаций статически определимой балки методом Максвелла-Мора (способ Верещагина)

К оглавлению…

Задача №17:

Статически определимая шарнирно опертая балка, загруженная сосредоточенным моментом М=24кНм, сосредоточенной силой F = 18kHh равномерно распределенной нагрузкой q = 12кН/м. Требуется построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, подобрать прокатный двутавр, определить прогибы в точках С, D и H, проверить по условию жесткости, приняв, расчетные сопротивления на растяжение (сжатие) R = 210МПа, на сдвиг и модуль упругости стали Е = 200ГПа. Размеры балки приведены на рисунке (рис.184).

Решение:

Составим уравнения статического равновесия и вычислим реакции опор и , Учитываем, что горизонтальная реакция на шарнирно неподвижной опоре А равна нулю =0.

Рис. 184. Схема статически определимая балка, эпюры поперечных сил, изгибающих моментов от нагрузки, единичные эпюры и упругая ось

Используя метод сечений, вычислим значения поперечных сил и изгибающих моментов и по правилам построим их эпюры (рис.184). Из условия прочности

определим требуемый момент сопротивления

и подберем прокатный двутавр № 18а. Выпишем его геометрические характеристики Проверим балку на прочность по нормальным напряжениям

Недогрузка составляет

Проверим на прочность по касательным напряжениям

Построим эпюры изгибающих моментов от единичных сил, приложенных в точках С, D и G, где следует найти прогибы балки (рис.184).

Перемножим эпюру и ,и найдем прогиб балки в точке D. Для этого разложим эпюры на части треугольной и параболической форм (рис.185).

Знак минус означает, что прогиб балки в точке D направлен против направления силы то есть вверх. Аналогично найдем прогиб балки в точках G и С

Знак плюс означает, что направление прогиба балки в точке G совпадает с направлением единичной силы то есть вниз.

Рис. 185. Эпюры изгибающих моментов, представленные в виде треугольников и квадратных парабол, эпюры от единичных сил

Знак минус означает, что направление прогиба балки в точке С противоположно направлению единичной силы , то есть вверх.

По найденным значениям прогибов балки в точках D, G и С, а также учитывая эпюру изгибающих моментов, построим упругую ось балки (рис.184).

Расчет статически неопределимой балки методом сил (Максвелла-Мора)

К оглавлению…

Задача №18:

Двух пролетная статически неопределимая балка (рис. 186), опирающаяся на шарнирные опоры и загруженная равномерно распределенной нагрузкой q = 12 кН/м и сосредоточенной силой F = 48 кН. Размеры балки и схема нагружения показаны на рисунке (рис.186). Требуется раскрыть статическую неопределимость, построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, подобрать прокатный двутавр, вычислить прогибы в точках К и D а также построить упругую ось, принимая модуль упругости Е = 200 МПа, расчетные сопротивления на растяжение (сжатие) R = 210 МПа, расчетное сопротивление на сдвиг .

Решение:

Определим степень статической неопределимости:

  • количество неизвестных равно четырем
  • количество линейно независимых уравнений статического равновесия равно трем
  • степень статической неопределимости равна n = 4-3 = 1.

Составим каноническое уравнение

Вычислим коэффициент канонического уравнения

Рис.186. Схема статически неопределимая балка, эпюры поперечных сил, изгибающих моментов от нагрузки, единичные эпюры и упругая ось

Подставим значения коэффициента и свободного члена в каноническое уравнение

Решим его и получим значение неизвестного

Приложим к основной системе нагрузку и найденный опорный момент Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис.186).

Из условия прочности

определим требуемый момент сопротивления

По таблицам прокатных профилей подберем двутавр с уклонами полок Проверим по условию прочности

Недогрузка составляет

Проверим на прочность по касательным напряжениям

Вычислим прогиб балки в точке D. Для этого перемножим единичную эпюру на окончательную эпюру изгибающих моментов и разделить на жесткость (рис.217).

Вычислим прогиб балки в точке К. Для этого перемножим единичную эпюру на окончательную эпюру изгибающих моментов и разделим на жесткость (рис.186).
Недогрузка составляет

Проверим балку по жесткости

Условие жесткости балки выполняется.

По найденным значениям прогибов и учитывая, что на опорах прогибы равны нулю, построим упругую ось балки (рис.186). Отметим, что упругая ось балки должна соответствовать эпюре изгибающих моментов.

Расчет балки на прочность и жесткость при плоском косом изгибе

К оглавлению…

Задача №19:

Двутавровая балка №24, защемленная одним концом и загруженная на свободном конце сосредоточенной силой F= 3,6 кН, направленной под углом = 12° к вертикальному направлению (рис.187). Длина балки l= 2м. Требуется построить эпюры изгибающих моментов в двух главных плоскостях, установить опасное сечение, найти положение нейтральной оси, проверить по условию прочности, найти прогиб и его направление на свободном конце балки.

Решение:

Выпишем геомертические характеристики сечения двутавра №24:

  • высота сечения h = 240 мм;
  • ширина полки сечения b=115 мм;
  • момент инерции сечения относительно оси перпендикулярной стенке двутавра ;
  • момент инерции сечения относительно оси параллельной стенке двутавра .

Определим проекции силы F на главные оси инерции сечения двутавра

Рис.187. Схема двутавровой консоли и совмещенная эпюра изгибающих моментов в двух главных плоскостях

Вычислим изгибающие моменты от составляющих силы и в сечении, расположенном у защемления балки

Построим эпюры изгибающих моментов, выберем опасное сечение у защемления и направим главные центральные оси в сторону растянутых волокон балки.

Так как отношение изгибающих моментов во всех поперечных сечениях балки одинаковое, то это значит, что плоскость суммарного изгибающего момента так же занимает одинаковое положение во всех сечениях. То есть, имеет место плоский косой изгиб.

Определим положение нейтральной оси. Для этого найдем угол наклона нейтральной оси к главной центральной оси инерции X.

Угол откладываем от оси X так, чтобы нейтральная ось проходила через отрицательные квадранты координатной плоскости (рис.188).Определим координаты опасной точки t в растянутой части сечения

Определим координаты опасной точки s в сжатой части сечения

Рис.188. Эпюры нормальных напряжений в сечении балки, испытывающей
плоский косой изгиб

Определим напряжения в опасных точках поперечного сечения балки при косом изгибе.

Вычислим прогиб балки в горизонтальном и вертикальном

направлениях, используя ранее полученную формулу

Определим полный прогиб на свободном конце балки

Найдем направление полного прогиба

Положение нейтральной оси показано на рисунке 188.

Расчет балки на прочность и жесткость при пространственном косом изгибе

К оглавлению…

Задача №20:

Деревянная балка прямоугольного сечения, опирающаяся своими концами на шарнирные опоры (рис.189). Балка загружена вертикальной равномерно распределенной нагрузкой q = 24 кН/м и горизонтальной сосредоточенной силой F = 6 кН, приложенной в ее середине. Размеры сечения балки bxh = 18х56см, ее длина (пролет) l = 6 м. Модуль упругости материала балки Е = 10 ГПа.

Требуется построить эпюры изгибающих моментов, построить нейтральную ось, найти максимальные нормальные напряжения, найти прогиб и его направление в середине пролета балки.

Решение:

Определим главные центральные моменты поперечного сечения балки. При этом учитываем, что сечение имеет оси симметрии, поэтому положение главных осей инерции заранее известно — это оси симметрии.

Рассмотрим балку только в вертикальной плоскости ZY (рис.189). Вычислим вертикальные реакции опор балки.

Рассмотрим балку только в горизонтальной плоскости ZX (рис.189). Вычислим вертикальные реакции опор балки.

Пользуясь методом сечений и правилами, построим эпюр изгибающих моментов и построим эпюру изгибающих моментов в плоскости ZX и ZY (рис. 189). В точке С расчетные моменты равны кНм.

Определим угол наклона нейтральной оси к координатной оси X.

Рис. 189. Схема балки, испытывающей пространственный косой изгиб и эпюры и изгибающих моментов в плоскости и

Определим опасные точки в растянутой и в сжатой частях сечения С. Их координаты

Вычислим нормальные напряжения в опасных точках сечения С.

Прогиб балки в точке С по горизонтальному направлению вычислим по формуле

Прогиб балки в точке С по вертикальному направлению вычислим по формуле

Рис. 190. Поперечное сечение балки в точке С, эпюры нормальных напряжений и направления прогибов (вид справа)

Определим направление полного прогиба балки в точке С

Полный прогиб балки с точке С.

Построим эпюры напряжений и покажем прогибы (рис. 190).

Расчет стержня на внецентренное растяжение (сжатие)

К оглавлению…

Задача №21:

Дано сечение внецентренно сжатого стержня (рис.191). Равнодействующая сжимающей силы равна F=108 кН. Требуется найти положение центра тяжести сечения, положение нулевой линии, определить опасные точки и напряжения в них, построить эпюру нормальных напряжений и ядро сечения.

Рис. 191. Сечение внецентренно сжатого стержня, эпюра напряжений и ядро сечения

Решение:

Разделим сечение на части, имеющие простые геометрические формы прямоугольник верхний, прямоугольник нижний и круг. Выберем вспомогательные оси координат — ось X по нижнему краю сечения, а ось Y — по оси симметрии. Отметим положения центров тяжестей отдельных частей сечения и определим их координаты, вычислим площади и осевые моменты инерции относительно их собственных центральных осей, параллельных выбранным вспомогательным осям (рис.191).

Для первой части сечения — верхний прямоугольник

Для второй части сечения — нижний прямоугольник

Для третьей части сечения

Координаты точки приложения равнодействующей силы в базовых осях

Площадь всего сечения

Статический момент всего сечения относительно вспомогательной оси X

Вычислим координату центра тяжести всего сечения

Покажем центр тяжести всего сечения и проведем центральные оси, параллельно соответствующим базовым осям (рис.191).

Вычислим координаты центров тяжестей частей сечения относительно центральных осей Хс и Yc.

Найдем координаты точки приложения силы в центральных осях Хс и Yc

Проверим координаты центра тяжести всего сечения, используя утверждение, что статический момент относительно любой центральной оси должен быть равным нулю. Вычислим статические моменты всего сечения относительно центральных осей Хс и Yc .

Погрешность координаты центра тяжести не превышает

так как ось Yc является осью симметрии сечения.

Вычислим главные центральные моменты инерции всего сечения.

Вычислим квадраты радиусов инерции сечения

Найдем отсеченные отрезки нулевой линии

Построим нулевую линию на сечении стержня и определим координаты опасных точек в растянутой и в сжатой частях сечения в базовых осях координат. Обозначим опасную точку в сжатой части сечения буквой s, а в сжатой —t.

Определим координаты опасных точек в растянутой и в сжатой частях сечения в центральных осях координат Хс и Yc.

Найдем напряжения в опасных точках сечения колонны

Построим эпюру нормальных напряжений (рис.191).

Построим ядро сечения. Для этого найдем отсеченные отрезки касательных к сечению колонны и соответствубщие им точки приложения силы.

1-я касательная (нулевая линия)

2-я касательная (нулевая линия).

Из рисунка видно, что вторая касательная проходит через две точки сечения с координатами

Отсеченные отрезки этой (второй) касательной определим из выражений

3-я касательная (нулевая линия)

4-я касательная (нулевая линия)

Отметим точки, координаты которых найдены, и соединим их согласно свойствам ядра сечения и нулевой линии (рис.191).

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Расчет стержня круглого сечения, испытывающего кручение с изгибом

К оглавлению…

Задача №22:

Вал круглого поперечного сечения (рис.192) закреплен на опорах с подшипниками и загружен двумя вертикальными силами =120 кН, одной горизонтальной силой =40 кН передает крутящий момент =30 кНм. Материал вала — сталь с расчетным сопротивлением R=180 МПа. Размеры вала приведены на рисунке (рис.193). Требуется проверить прочность вала по третьей и по четвертой теориям прочности.

Решение:

Построим эпюры изгибающих и крутящегл моментов (рис.193).

Вычислим осевой момент сопротивления поперечного сечения стержня

Из эпюр (рис. 192) назначим расчетные моменты

Рис. 192. Схема вала, эпюры изгибающих и крутящих моментов при
изгибе с кручением

Вычислим суммарный изгибающий момент

Определим приведенный момент по третьей теории прочности

Проверим на прочность по третьей теории прочности

Определим приведенный момент по четвертой теории прочности

Проверим на прочность по четвертой теории прочности

Прочность выполняется по обеим теориям.

Построение эпюр внутренних сил в пространственном стержне

К оглавлению…

Задача №23:

Элемент, входящий в пространственную конструкцию. Поперечные сечения на всех трех участках стержня имеет форму круга диаметров D. Участки элемента ортогональны. Длина всех участков одинаковая и равная а = 2 м. Форма элемента показаны на рисунке (рис.193). Требуется построить эпюры внутренних сил на участках пространственного элемента, установить виды сопротивления и привести расчетные формулы для напряжений.

Решение:

Будем отмечать расположение растянутых волокон словами — верхние или нижние, левые или правые, дальние или ближние. Знаки на эпюре изгибающих моментов не ставятся, а направление действия изгибающих моментов определяем положением волокон, которые они растягивают.

Знак продольной силы определяется тем, какое действие она совершает — растягивает или сжимает. Если продольная сила растягивает материал, то она принимается положительной, если сжатие, то она принимается отрицательной.

Знак поперечной силы принимается по правилу буравчика — если направление сдвига соответствует буравчику, вкручивающемуся в соответствующую поперечную ось, то поперечная сила, вызывающая этот сдвиг, принимается положительной. Если буравчик выкручивается из соответствующей оси координат, то поперечная сила считается отрицательной.

Знак на эпюре крутящих моментов не выставляется.

Определение внутренних сил выполняется по методу сечения. При этом продольную силу и поперечные силы предварительно направляем так, чтобы они были положительными.

Используя уравнения статического равновесия найдем внутренние силы в отмеченных сечениях стержня.

На участке 1-2 в сечении 1 (рис.224, а, б)

На участке 1-2 в сечении 2 (рис.224, в, г)

На участке 2-3 в сечении 2 (рис.224, д,е)

На участке 2-3 в сечении 3 (рис.225 ж, з)

На участке 3-4 в сечении 3 (рис.194 и, к)

Ha участке 3-4 в сечении 4 (рис. 194 л, м)

Рис.193. Определение внутренних сил в сечениях пространственною стержня: а) и б) в точке 1 на участке 1-2; в) и г) в точке 2 на участке 1-2; д) и е) в точке
2 на участке 2-3
Рис. 194. Определение внутренних сил в сечениях пространственною стержня: ж) и з) в точке 3 на участке 2-3; и) и к) в точке 3 на участке 3-4; л) и
м) в точке 4 на участке 3-4
Рис. 195. Эпюры внутренних сил в пространственном элементе

По найденным значениям и используя правила, построим эпюры внутренних сил в пространственном элементе (рис. 195).

Подбор сечения сжатого стержня с учетом продольного изгиба

К оглавлению…

Задача №24:

Стержень длинной l = 4 м защемлен обеими концами сжат силой F = 240 кН. Подберем двутавровое сечение. Расчетное сопротивление и модуль упругости материала двутавра приняты равными R=210МПа и Е=200ГПа

Рис.196. Схема сжатою двутаврового стержня

Решение:

В первом приближении принимаем коэффициент продольного изгиба равным . Из условия прочности при продольном изгибе

определим требуемую площадь сечения стержня

По требуемой площади поперечного сечения стержня подберем из таблицы прокатов двутавр №18 и выпишем его площадь и радиус инерции

Определим гибкость стержня

Найдем коэффициент продольного изгиба, используя линейную интерполяцию

Проверим сжатый стержень по условию прочности при продольном изгибе

Условие прочности выполняется. Определим критическое напряжение по формуле Эйлера, так как

Вычислим критическую силу

Найдем коэффициент запаса устойчивости

Определение несущей способности сжатого стержня кольцевого поперечного сечения с учетом продольного изгиба

К оглавлению…

Задача №25:

Стержень кольцевого сечения, шарнирно закрепленный верхним концом и защемленный нижним концом, сжат силой F = 240 кН. Все числовые данные приведены на рисунке (рис. 197).

Рис. 197. Схема сжатою стержни кольцевого сечения

Решение:

Вычислим площадь сечения

Вычислим момент инерции сечения стержня

Определим радиус инерции сечения

Найдем гибкость стержня

Вычислим предельную гибкость для материала стержня (стали)

Определим критическую силу. Так как воспользуемся формулой Эйлера.

Найдем коэффициент продольного изгиба, используя таблицу и линейную интерполяцию

По интерполяции получим

Проверим по условию прочности

Условие прочности выполняется.

Найдем несущую способность сжатой стойки — допускаемую сжимающую силу из условия прочности.

Определим коэффициент запаса устойчивости.

Определение несущей способности сжатого стержня, составленного из двух уголков, с учетом продольного изгиба

К оглавлению…

Задача №26:

Сжатый стержень защемлен нижним концом и свободен на верхнем конце. Стержень состоит их двух равнополочных прокатных уголков L№ 120×8, образующих крестообразное сечение. Из таблицы прокатных профилей выпишем площадь сечения одного уголка радиус инерции Расчетное сопротивление и модуль упругости равны R = 210 МПа и Е=200 ГПа. По условию закрепления коэффициент приведения длины равен

Рис. 198. Схема сжатою стержня, состоящею из двух равнополочных уголков

Решение:

Вычислим гибкость стержня из плоскости, содержащей ось V (рис. 198).

Используя таблицу коэффициентов продольного изгиба и линейную интерполяцию, вычислим коэффициент продольного изгиба при гибкости

Из условия прочности найдем допускаемую сжимающую силу

Вычислим критическое напряжение, используя формулу Ясинского, так как

Определим критическую сжимающую силу

Найдем коэффициент запаса устойчивости

Расчет балки на поперечный удар

К оглавлению…

Задача №27:

Балка пролетом 3 м, опирающаяся своими концами на шарнирные опоры (рис.199). На балку падает тело массой m=2000 кг с выcоты 11 см. Балка изготовлена из двутавра №20а с моментом инерции

и моментом сопротивления Модуль упругости материала двутавра принят равным Е = 200 ГПа. Требуется найти динамический коэффициент, динамическое напряжение и динамический прогиб балки. Собственная масса не учитывается.

Рис.199. Схема поперечною удара но двутавровой балке

Решение:

Вес падающего тела на поверхности Земли равен

Определим прогиб балки от статически приложенной нагрузки, то есть веса падающего тела.

Вычислим динамический коэффициент

Найдем максимальный изгибающий момент от статически приложенной нагрузки.

Определим максимальное нормальное напряжение от статически приложенной нагрузки, то есть от веса падающего тела.

Вычислим максимальное нормальное напряжение при ударе падающего тела.

Определим прогиб балки от динамического приложения нагрузки (ударе)

Эти страницы вам могут быть полезны: