Сопромат задачи с решением

Оглавление:

Сопромат задачи с решением

Прежде чем изучать готовые решения задач по сопромату, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила полный курс лекций по предмету «сопротивление материалов», после которого, чуть ниже размещены подробные решения задач по сопромату.

Эта страница подготовлена для студентов любых специальностей и охватывает полный курс предмета «сопротивление материалов».

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Сопротивление материалово

Сопротивление материалов — это почти первая общая инженерная дисциплина, с которой сталкивается студент. Это наука о прочности и жесткости элементов и конструктивных деталей, которая ставит задачу разработки простых, практических методов расчета типичных, наиболее распространенных конструктивных элементов.

Сопротивление материалов относится к фундаментальным дисциплинам общей инженерной подготовки специалистов с высшим техническим образованием. Без фундаментальных знаний о сопротивлении материалов невозможно создать различные типы машин и механизмов, гражданские и промышленные конструкции, мосты, линии электропередач и антенны, ангары, корабли, самолеты и вертолеты, турбомашины и электрические машины, ядерные энергетические установки, ракетную и реактивную технику и т.д., а также разработать методики расчета наиболее распространенных элементов конструкций.

Общие понятия, законы, формулы и определения сопротивления материалов

  1. Изгиб прямых стержней
  2. Типы опор и типы балок
  3. Вычисление внутренних сил при поперечном изгибе балки
  4. Дифференциальная зависимость между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью нагрузки
  5. Построение эпюр внутренних сил способом составления аналитических выражений
  6. Построение эпюр внутренних сил в балках способом характерных сечений
  7. Построение эпюр внутренних сил в плоских рамах
  8. Определение нормальных напряжений в произвольной точке поперечного сечения балки при чистом изгибе
  9. Закон парности касательных напряжений
  10. Касательные напряжения при поперечном изгибе
  11. Проверка прочности балки при поперечном изгибе
  12. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
  13. Метод непосредственного интегрирования
  14. Определение прогибов и углов поворота в балках методом начальных параметров
  15. Напряженное и деформирование состояние в точке
  16. Правила расстановки индексов и знаков
  17. Напряжения на наклонной площадке при плоском напряженном состоянии
  18. Главные площадки и главные напряжения
  19. Графическое представление плоского напряженного состояния
  20. Понятие о траекториях главных напряжений
  21. Главные деформации и главные оси деформации
  22. Закон Гука при плоском и объемном напряженных состояниях
  23. Понятие о чистом сдвиге
  24. Анализ напряженного состояния при чистом сдвиге
  25. Закон Гука при чистом сдвиге
  26. Зависимость между модулем упругости при растяжении (сжатии) и модулем сдвига
  27. Расчет болтовых (заклепочных) соединений на срез
  28. Расчет болтовых (заклепочных) соединений на смятие
  29. Расчет сварных соединений — угловых фланговых швов

Кручение

Основные понятия. Вычисление крутящих моментов

На кручение работают многие детали машин и механизмов, некоторые элементы строительных конструкций. Для вычисления крутящих моментов используется метод сечений.

Правило знаков:

Внешний момент вызывает положительный крутящий момент, если со стороны внешней нормали сечения он виден направленным по ходу часовой стрелки.

  1. Особенности деформирования стержня круглого сечения при кручении
  2. Определение касательных напряжений при кручении сечений круглого сечений
  3. Деформации при кручении стержней круглого сечений
  4. Анализ напряженного состояния и вид разрушения стержней при их кручении в зависимости от материала
  5. Расчет на прочность и жесткость стержни круглого или кольцевого сечений при кручении

Теории прочности

Основные понятия

Многие элементы строительных конструкций испытывают сложное напряженное состояние. Проведение испытаний материалов при сложном напряженном состоянии затруднительно или невозможно. Поэтому требуется создать такую методику расчета, которая позволила бы оценить степень опасности любого напряженного состояния, основываясь на результатах испытания при простом растяжении, сжатии, кручении и сдвиге. Такими методиками являются теории прочности. Для суждения о наступлении предельного состояния необходимо знать причину разрушения материала. Этот вопрос является сложным и до конца еще не решенным.

В каждой теории прочности выдвигается своя причина (критерий) разрушения. Поэтому и существуют десятки теорий прочности, а в идеале должна быть только одна.

  1. Теория прочности Галилея-Лейбница, Клебша-Ренкина. Первая теория прочности
  2. Теория прочности Мариотта-Грасгофа, Сен-Венана. Вторая теория прочности
  3. Теория прочности Кулона. Третья теория прочности

Статически неопределимые системы

Основные понятия

Статически неопределимая система в сопромате — это геометрически неизмененная система, в которой реакции связи (силы в опорных скобах, стержнях и т. д.) не могут быть определены с использованием только статических уравнений, так как требуется совместное рассмотрение последних с дополнительными уравнениями, характеризующими деформации этой системы.

Статически неопределимая система характеризуется наличием дополнительных связей, которые могут быть удалены без нарушения геометрической неизменности системы. Число дополнительных уравнений, равное количеству дополнительных связей (дополнительных неизвестных), называется степенью статической неопределенности системы. Для расчета используются метод сил и метод перемещений.

  1. Статически неопределимые системы
  2. Порядок расчета статически неопределимого ступенчатого стержня
  3. Температурные напряжения в статически неопределимом ступенчатом стержне
  4. Расчет статически неопределимого стержни круглого или кольцевого сечения при кручении
  5. Расчет статически неопределимых стержневых систем
  6. Теорема о взаимности работ внешних сил
  7. Теорема о взаимности работ внутренних сил
  8. Теорема о взаимности перемещений
  9. Определение перемещений методом Максвелла-Мора
  10. Вычисление интеграла Мора способом Верещагина
  11. Разложение эпюр на составляющие треугольной и параболической форм
  12. Статически неопределимые системы
  13. Понятие об основной системе метода сил
  14. Определение перемещений в статически неопределимых балках
  15. Учет осадок опор при расчете неразрезных балок

Сложное сопротивление

Основные понятия

Сложное сопротивление в сопромате— это одновременное воздействие на балку нескольких простых типов деформаций: растяжение-сжатие, сдвиг, кручение и изгиб. Например, совместное действие напряжения и кручения.

  1. Сложное сопротивление
  2. Косой изгиб. Общие понятия
  3. Определение напряжений при косом изгибе
  4. Определение положения нейтральной оси при косом изгибе
  5. Определение прогибов балки при плоском и пространственном косых изгибах
  6. Построение эпюр внутренних сил при косом изгибе балки
  7. Порядок расчета на прочность балки при косом изгибе
  8. Внецентренное растяжение (сжатие)
  9. Определение нормальных напряжений при внецентренном растяжении (сжатии)
  10. Определение положения нулевой линии (нейтральной оси) при внецентренном растяжении (сжатии)
  11. Свойства нулевой линии
  12. Ядро сечения
  13. Свойства ядра сечения
  14. Примеры построения ядра сечения
  15. Порядок расчета внецентренно сжатой колонны
  16. Изгиб с растяжением или сжатием
  17. Изгиб с кручением
  18. Расчет пространственного ломаного стержни
  19. Устойчивость сжатых стержней
  20. Основные понятия об устойчивости
  21. Метод Эйлера определения критической сжимающей силы для стержня
  22. Влияние способов закрепления сжатого стержня на величину критической силы
  23. Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ясинского
  24. Расчет сжатого стержни любой гибкости
  25. Практический расчет сжатых стержней
  26. Динамический расчет строительных конструкций
  27. Учет сил инерции при расчете троса
  28. Расчет на удар
  29. Прочность при переменных напряжениях
  30. Виды циклов напряжений
  31. Понятие о пределе выносливости
  32. Диаграмма предельных амплитуд
  33. Факторы, влияющие на величину предела выносливости
  34. Учет пластических деформаций при расчете элементов
  35. Пластический изгиб статически определимой балки

Задачи с решением по сопромату

Расчет стержня переменной жесткости на статические нагрузки

Задача №1:

Стержень переменной жесткости, закрепленный верхним концом и загруженный двумя центрально приложенными силами — сила решение задач по сопротивлению материалов = 72 кН, направленная вверх, и решение задач по сопротивлению материалов = 48 кН, направленная вниз. Стержень состоит из двух ступеней. Площадь поперечного сечения верхней ступени равна решение задач по сопротивлению материалов = 6решение задач по сопротивлению материалов а площадь поперечного сечения нижней ступени — решение задач по сопротивлению материалов =8решение задач по сопротивлению материалов. Модуль упругости материала стержня Е = 200ГПа. Размеры и место приложения сил показаны на рисунке 151.

Решение:

решение задач по сопротивлению материалов
Рис. 151. Стержень переменной жесткости, загруженный двумя сосредоточенными силами, и эпюры внутренних сил

Продольную ось стержня Z направим от опоры в сторону стержня — в данном случае это вниз. Пронумеруем особенные сечения, начиная от опоры. Направим неизвестную реакцию опоры решение задач по сопротивлению материалов в любую сторону, например, вверх.

Составим уравнение статического равновесия и решим его

решение задач по сопротивлению материалов

Знак «минус» означает, что направление реакции решение задач по сопротивлению материалов выбрано ошибочно. В действительности реакция решение задач по сопротивлению материалов направлена вниз. Внесем исправления на рисунке 151, и значение реакции будем считать положительным.

Используя метод сечений, определим продольную силу на участке 1-2. Для этого проведем сечение решение задач по сопротивлению материалов, в произвольном месте участка 1-2. Это сечение разделит стержень на две части решение задач по сопротивлению материалов и решение задач по сопротивлению материалов. Рассмотрим часть 1-решение задач по сопротивлению материалов. Будем полагать, что в сечении решение задач по сопротивлению материалов действует растягивающая сила решение задач по сопротивлению материалов (рис. 152, а). Составим уравнение статического равновесия выбранной части стержня и решим его

решение задач по сопротивлению материалов

Знак «минус» означает, что мы ошиблись, предполагая продольную силу растягивающей. В действительности продольная сила на участке 1-2 вызывает сжатие материала. В отличие от внешних сил, для внутренней силы решение задач по сопротивлению материалов знак «минус» сохраняется.

решение задач по сопротивлению материалов
Рис. 152. Отсеченные части стержня сечениями, проведенными на разных ею участках: а) на участке 1-2; б) на участке 2-3; в) на участке 3-4

Затем, в произвольном месте участка 2-3 проведем сечение и рассмотрим верхнюю от сечения часть стержня (рис. 152, б). Составим уравнение статического равновесия для рассматриваемой части стержня и решим его.

решение задач по сопротивлению материалов

Знак «плюс» означает, что продольная сила решение задач по сопротивлению материалов, как и предполагалось, растягивает материал участка 2-3.

Проведем сечение в произвольном месте участка 3-4 (рис.152, в) и рассмотрим верхнюю часть стержня. Составим уравнение равновесия и решим его.

решение задач по сопротивлению материалов

Очевидно, что материал участка 3-4 также испытывает растяжения.

На участке 4-5 стержня нет приложенных сил, поэтому продольная сила на этом участке равна нулю и материал его и не растягивается и не сжимается.

По результатам расчета построим эпюру продольных сил (рис. 151). Вычислим значения нормальных напряжений на участках стержня.

решение задач по сопротивлению материалов

Построим эпюру нормальных напряжений (рис. 151). Используя закон Гука, вычислим деформации (изменения длины) участков стержня.

решение задач по сопротивлению материалов

Вычислим перемещения отмеченных сечений стержня, используя реккурентную формулы решение задач по сопротивлению материаловрешение задач по сопротивлению материалов.

решение задач по сопротивлению материалов

Построим эпюру перемещений (рис. 151). Отметим, перемещения со знаком плюс совпадают с направлением продольной оси Z. Направление перемещений можно указывать и стрелками.

Расчет плоской стержневой системы

Задача №2:

Плоская стержневая система, состоящая из двух деформируемых стержней 1 и 2, а также двух абсолютно жестких элементов, соединенных друг с другом и с опорами шарнирами. Модуль упругости и расчетное сопротивление принято равными Е = 200ГПа, R=210МПа . Исходные данные приведены на рисунке 153.

решение задач по сопротивлению материалов
Рис. 153. Схема плоской стержневой системы (а) и обозначение неизвестных
реакций и продольных сил (
б)

Решение:

Разрежем стержень 1 и стержень 2 одним сечением, разделив систему на две части — верхнюю и нижнюю. Будем полагать, что оба деформируемые стержни растянуты продольными силами решение задач по сопротивлению материалов и решение задач по сопротивлению материалов. То есть эти продольные силы считаем положительными. В результате имеем восемь неизвестных решение задач по сопротивлению материаловрешение задач по сопротивлению материаловрешение задач по сопротивлению материалов

Вычислим угол наклона второго стержня.

решение задач по сопротивлению материалов


Из уравнения статического равновесия верхней части стержневой системы определим реакции и продольную силу решение задач по сопротивлению материалов.

решение задач по сопротивлению материалов

Из уравнений равновесия нижней части стержневой системы вычислим реакции и продольную силу решение задач по сопротивлению материалов.

решение задач по сопротивлению материалов

Реакции на опоре К определим из уравнениями равновесия узла К на горизонтальную и на вертикальную оси.

решение задач по сопротивлению материалов

В результате расчета установлено, что оба деформированные стержни сжаты. Значения реакций положительные, значит их направление выбрано правильно. Если значения какой-либо реакции оказалась бы отрицательной, то следует изменить ее направление на противоположное и считать ее положительной. В данном примере все реакции оказались положительными. Поэтому ничего менять не следует.

Проверим соблюдение условий равновесия всей стержневой системы.

решение задач по сопротивлению материалов

Условие равновесия выполняется. Из условия прочности

решение задач по сопротивлению материалов

определим требуемую площадь поперечного сечения для первого деформируемого стержня.

решение задач по сопротивлению материалов

Из таблицы прокатных равнополочных уголков подберем два уголка так, чтобы их суммарная площадь была бы не меньше требуемой. Принимаем два уголка 2L56x4. Тогда площадь поперечного сечения первого стержня равна решение задач по сопротивлению материалов = 2 • 4,38 = 8,76решение задач по сопротивлению материалов

Проверим по условию прочности первый стержень

решение задач по сопротивлению материалов

Недогрузка первого стержня составляет

решение задач по сопротивлению материалов

Из условия прочности

решение задач по сопротивлению материалов

определим требуемую площадь поперечного сечения для второго деформируемого стержня.

решение задач по сопротивлению материалов

Из таблицы прокатных равнополочных уголков подберем два уголка так, чтобы их суммарная площадь была бы не меньше требуемой. Принимаем два уголка 2L60x6. Тогда площадь поперечного сечения второго стержня равна решение задач по сопротивлению материалов = 2 • 6,92 = 13,84решение задач по сопротивлению материалов

Проверим по условию прочности второй стержень

решение задач по сопротивлению материалов

Недогрузка второго стержня составляет

решение задач по сопротивлению материалов

Определим длину первого и второго деформируемых стержней

решение задач по сопротивлению материалов

Используя закон Гука, вычислим деформации первого и второго стержней.

решение задач по сопротивлению материалов

Вычислим радиусы окружностей, по которым движутся точки В и G, и их углы наклона решение задач по сопротивлению материалов и решение задач по сопротивлению материалов (рис. 185).

решение задач по сопротивлению материалов


Используя деформируемую схему с учетом упрощений, установим связь между перемещениями точек В и G и деформациями первого и второго стержней (рис. 154).

Вычислим перемещение точки В

решение задач по сопротивлению материалов

Из соотношения перемещений точек В и G

решение задач по сопротивлению материалов

найдем перемещение точки G

решение задач по сопротивлению материалов

Вычислим перемещения точки А.

решение задач по сопротивлению материалов
Рис. 154. Деформированная схема плоской стержневой

Определение геометрических характеристик сечения сложной геометрической формы

Задача №3:

Сечение сложной геометрической формы (рис. 155). Требуется определить главные центральные моменты инерции.

Решение:

Разделим сечение на части с простыми геометрическими формами — прямоугольники, треугольники и круги (рис. 155). Выберем вспомогательные оси координат и обозначим их буквами X, Y.

Вычислим площади, определим координаты центров тяжестей частей сечения, их осевые и центробежные моменты инерции: — первая часть сечения — треугольник

решение задач по сопротивлению материалов
решение задач по сопротивлению материалов
Рис. 155. Сечение сложной геометрической формы. Размеры в см.
  • вторая часть сечения — круг
решение задач по сопротивлению материалов

третья часть сечения — прямоугольник

решение задач по сопротивлению материалов

Вычислим площадь всего сечения

решение задач по сопротивлению материалов

Вычислим статические моменты всего сечения относительно вспомогательных осей X и Y

решение задач по сопротивлению материалов

Вычислим координаты центра тяжести всего сечения

решение задач по сопротивлению материалов

Покажем на рисунке центр тяжести и проведем центральные оси решение задач по сопротивлению материалов и решение задач по сопротивлению материалов параллельно вспомогательным осям X и Y.

Вычислим координаты центров тяжестей частей сечения в центральной системе координатных осейрешение задач по сопротивлению материалов и решение задач по сопротивлению материалов

решение задач по сопротивлению материалов

Проверим положение центра тяжести сечения. Для этого используем утверждение, что статический момент любого сечения относительно любой центральной оси равен нулю.

решение задач по сопротивлению материалов

Вычислим моменты инерции всего сечения относительно центральных осей решение задач по сопротивлению материалов и решение задач по сопротивлению материалов, параллельных вспомогательным осям X и У.

решение задач по сопротивлению материалов
решение задач по сопротивлению материалов
решение задач по сопротивлению материалов

Вычислим главные центральные моменты инерции решение задач по сопротивлению материалови решение задач по сопротивлению материалов всего сечения

решение задач по сопротивлению материалов

Вычислим угол поворота главных осей инерции относительно центральных осей решение задач по сопротивлению материалов и решение задач по сопротивлению материалов

решение задач по сопротивлению материалов

Ось V откладываем от оси решение задач по сопротивлению материалов на угол решение задач по сопротивлению материалов, так как решение задач по сопротивлению материалов так, чтобы она проходила через отрицательные квадранты, так как решение задач по сопротивлению материалов.

Определение геометрических характеристик сечения, составленного из прокатных профилей

Задача №4:

Сечение, составленное из двутавра №22, листа 1,6×22 см и неравнополочного уголка L 125x80x12 (рис. 159).

Требуется определить геометрические характеристики сечения -положение центра тяжести, главные центральные моменты инерции и положение главных центральных осей инерции.

Решение:

Вычертим сечение в масштабе и укажем положение центров тяжестей частей сечения. Пронумеруем части сечения и выпишем их геометрические характеристики из таблиц прокатных профилей.

решение задач по сопротивлению материалов
Рис. 156. Эскиз сечении двутавра и ею геометрические характеристики
решение задач по сопротивлению материалов
решение задач по сопротивлению материалов
Рис. 158. Эскиз сечения неравнополочного уголка и его геометрические характеристики
решение задач по сопротивлению материалов
Рис. 159. Составное сечение

Выберем вспомогательные оси координат X и У.

Используя проставленные на рисунке размеры (рис.159), определим координаты центров тяжестей частей сечения во вспомогательной системе координатных осей Х и У.

решение задач по сопротивлению материалов

В соответствии с проставленными номерами частей сечения, пронумеруем и обозначим их площади следующим образом.

решение задач по сопротивлению материалов

Вычислим площадь всего сечения.

решение задач по сопротивлению материалов

Вычислим статические моменты сечения относительно вспомогательных осей координат X и У.

решение задач по сопротивлению материалов

Найдем координаты центра тяжести всего сечения.

решение задач по сопротивлению материалов

Проведем центральные оси координат решение задач по сопротивлению материалов и решение задач по сопротивлению материалов, параллельные вспомогательным осям (рис. 159).

Вычислим координаты центров тяжестей частей сечения относительно центральныз осей.

решение задач по сопротивлению материалов

Проверим найденные координаты, используя доказанное утверждение, что статический момент относительно центральных осей сечения равен нулю.

решение задач по сопротивлению материалов

Условие равенства нулю подтверждается. Следовательно, координаты центра тяжести сечения найдены правильно.

Внесем коррективы в обозначения моментов инерции частей сечения в соответствии с их положением. В сечении (рис.159) ось решение задач по сопротивлению материалов двутавра направлена вдоль его стенки, а на эскизе (рис. 156) эта ось обозначена как Y. Поэтому следует принимать решение задач по сопротивлению материалов равным решение задач по сопротивлению материалов. Аналогично для оси решение задач по сопротивлению материалов -следует принимать решение задач по сопротивлению материалов, равным решение задач по сопротивлению материалов . Так же рассуждая, внесем следующие коррективы для первой, второй и третьей частей сечения. В итоге получим:

решение задач по сопротивлению материалов

Вычислим моменты инерции сечения относительно центральных осей решение задач по сопротивлению материалови решение задач по сопротивлению материалов.

решение задач по сопротивлению материалов

Определим главные центральные моменты инерции сечениярешение задач по сопротивлению материалов и решение задач по сопротивлению материалов

решение задач по сопротивлению материалов

Найдем угол наклона главных центральных осей инерции решение задач по сопротивлению материаловотносительно центральных осей решение задач по сопротивлению материаловс и решение задач по сопротивлению материалов.

решение задач по сопротивлению материалов

Покажем на рисунке (рис.159) положение главных центральных осей инерции. Ось V, относительно которой главный момент инерции меньший, отложим от осирешение задач по сопротивлению материалов на угол решение задач по сопротивлению материалов так как решение задач по сопротивлению материалов . При этом она должна проходить через отрицательные квадранты, потому что центробежный момент инерции сечения меньше нуля решение задач по сопротивлению материалов. Ось U с большим главным центральным моментом инерции проведем через центр тяжести сечения перпендикулярно оси V.

Построение эпюр внутренних сил и расчет на прочность шарнирно опертой балок

Задача №5:

Приняты следующие исходные данные. Деревянная шарнирно закрепленная балка прямоугольного сечения. Расчетные сопротивления на сжатие (растяжение) и сдвиг соответственно равны R=13 МПа и решение задач по сопромату=2 МПа. Модуль упругости материала балки E=10 ГПа. Балка загружена сосредоточенными силой и моментом, а также равномерно распределенной нагрузкой (рис. 160).

Требуется построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, из условия прочности подобрать размеры сечения балки, приняв отношение высоты к ширине сечения равным трем.

решение задач по сопромату
Рис. 160. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов в шарнирно опертой балке

Решение:

Вначале определим все внешние силы — реакции опор. Будем предполагать, что реакции опоррешение задач по сопроматуи решение задач по сопромату направлены вверх. Отметим, что горизонтальная реакция решение задач по сопромату равна нулю, так как все нагрузки, приложенные к балке, вертикальные.

Составим уравнения статического равновесия и определим значения реакций опоррешение задач по сопромату и решение задач по сопромату.

решение задач по сопромату

Обе реакции получились положительными. Следовательно, предположение о том, что они направлены вверх правильное.

Определеим поперечные силы и изгибающие моменты в отмеченных сечениях на балке. Для этого используем метод сечений.

На всех рисунка (рис.161) выбраны направления поперечных сил и изгибающих моментов такими, которые соответствуют их положительным значениям.

решение задач по сопромату
решение задач по сопромату
решение задач по сопромату
решение задач по сопромату
решение задач по сопромату
решение задач по сопромату
решение задач по сопромату
решение задач по сопромату
решение задач по сопромату
Рис. 161. Рассмотренные чисти балки
при
использовании метода сечений:
а) правее точки 1; б) левее точки 2; в) правее

сечение в точке К, расположенной в том месте балки, где поперечная сила равна нулю, а изгибающий момент принимает экстремальное значение (рис. 161, и). Удаленность этой точки от левого края участка определяется отношением значения поперечной силы на этом конце участка к интенсивности распределенной нагрузки решение задач по сопроматуНайдем значение изгибающего момента в сечении, проведенном через точку К.

решение задач по сопромату

По найденным значениям поперечных сил и изгибающих моментов строим их эпюры (рис. 160).

Момент сопротивления прямоугольного сечения (рис. 160) с учетом отношения высоты к его ширине выражается формулой

решение задач по сопромату

Из условия прочности при изгибе

решение задач по сопромату

выразим требуемую ширину сечения, принимая расчетное значение изгибающего момента решение задач по сопромату

решение задач по сопромату

В соответствии с заданным отношением высоте сечения к его ширине вычислим требуемую высоту сечения.

решение задач по сопромату

Вычислим момент инерции, момент сопротивления и статический момент отсеченной части сечения.

решение задач по сопромату

Проверим выполнение условия прочности по нормальным и по касательным напряжениям, принимая в качестве расчетных значений поперечной силырешение задач по сопромату и значение изгибающего момента решение задач по сопромату.

По нормальным напряжениям

решение задач по сопромату

Недогрузка составляет

решение задач по сопромату

По касательным напряжениям (по формуле Журавского)

решение задач по сопромату

Для изготовления использовать клееную деревянную балку.

Построение эпюр внутренних сил и расчет на прочность защемленной балки

Задача №6:

Деревянная защемленная одним концом деревянная балка круглого сечения. Расчетные сопротивления на сжатие (растяжение) и сдвиг соответственно равны R= 13 МПа и решение задач по сопромату=2 МПа. Балка загружена сосредоточенными силой и моментом, а также равномерно распределенной нагрузкой (рис. 162).

Требуется построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, из условия прочности подобрать диаметр сечения балки, соблюдая условие решение задач по сопроматуесли для одной балки это условие не соблюдается, то принять две или три или большее количество балок.

решение задач по сопромату
(Рис.162) Схема балки и эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Решение:

Из условия равновесия определим реакции опор решение задач по сопромату и решение задач по сопромату.

решение задач по сопромату

Используя метод сечений (см. предыдущий пример), вычислим поперечные силы и изгибающие моменты в помеченных буквами сечениях балки и построим их эпюры (рис. 162).

Расчетные поперечная сила и изгибающий момент, соответственно, равны решение задач по сопромату и решение задач по сопромату.

Из условия прочности

решение задач по сопромату

определим диаметр сечения балки, если использована она одна n=1

решение задач по сопромату

Ограничение по размеру сечения не выполняется. Поэтому примем две балки n=2.

решение задач по сопромату

Условие выполняется. Поэтому принимаем две балки диаметром D=30 см. Вычислим момент сопротивления, статический момент отсеченной части и момент инерции сечения одной балки.

решение задач по сопромату

Проверим выполнение условия прочности по нормальным напряжениям.

решение задач по сопромату

Недогрузка составляет

решение задач по сопромату

Проверим выполнение условия прочности по касательным напряжениям.

решение задач по сопромату

Расчет двутавровой балки на прочность и жесткость

Задача №7:

Подобрать прокатный двутавр для балки (рис. 163), вычислить прогибы и проверить по условию жесткости. Балка и исходные данные приведены на рисунке 163.

решение задач по сопромату
Рис. 163. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов в шарнирно опертой двутавровой балке

Решение:

Составим уравнения равновесия и вычислим реакции опор. Будем полагать, что реакция на левой опоре направлена вверх, а на правой — вниз.

решение задач по сопромату

Используя метод сечений, определим поперечные силы и изгибающие моменты в отмеченных сечениях балки (рис. 164).

решение задач по сопромату
Рис. 164. Рассмотренные части балки при использовании метода сечений: а) правее точки 1; б) левее точки 2; в) правее точки 2; г) левее точки 3;
д) левее точки 4; е) в точке К
  • сечение правее точки 1 (рис. 164, а)
решение задач по сопромату
  • сечение слева от точки 2 (рис. 195, б)
решение задач по сопромату
решение задач по сопромату

— сечение справа от точки 2 (рис. 164, в)

решение задач по сопромату

— сечение слева от точки 3 (рис. 164, г)

решение задач по сопромату

сечение справа от точки 3 — значение поперечной силы такое же, как и в сечении, расположенной в точке 4 слева (рис. 164, д), а изгибающего момента такое же, как и в сечении 3 слева (рис. 164, г)

решение задач по сопромату

-сечение слева от точки 4 (рис. 164, д)

решение задач по сопромату

-сечение в точке К (рис. 164, е) — расстояние от точки А до точки К равно отношению поперечной силы на рассматриваемом участке к интенсивности равномерно распределенной нагрузки решение задач по сопромату.

решение задач по сопромату

Найденные значения поперечных сил и изгибающих моментов откладываем на графике и соединяем эти точки по правилам построения эпюр (рис. 163).

Расчетными значениями поперечных сил и изгибающих моментов, согласно построенным эпюрам, назначаем решение задач по сопромату

Из условия прочности

решение задач по сопромату

найдем требуемый момент сопротивления

решение задач по сопромату

Из таблицы прокатных профилей выберем двутавр, у которого момент сопротивления равен или больше требуемого и выпишем необходимые для дальнейшего расчета геометрические характеристики его поперечного сечения.

Двутавр №20: осевой момент сопротивления решение задач по сопромату; осевой момент инерции решение задач по сопромату; статический момент отсеченной части решение задач по сопромату; толшина стенки решение задач по сопромату.

Проверим выполнение условия прочности по нормальным напряжениям

решение задач по сопромату

Недогрузка составляет

решение задач по сопромату

Проверим выполнение условия прочности по касательным напряжениям

решение задач по сопромату

Подготовим балку для вычисления прогибов согласно требованиям метода начальных параметров:

  • пронумеруем участки балки слева направо;
  • дополним распределенную нагрузку до конца балки;
  • приложим компенсирующую нагрузку.
решение задач по сопромату
Рис. 165. Балка, подготовленная для определения прогибов методом
начальных параметров

Составим универсальное уравнение упругой оси балки

решение задач по сопромату

Начальные параметры определим по условию закрепления балки 1) при z = а = 2 м V= 0, участок I

решение задач по сопромату

2) при z = а+Ь+с = 2+4+2=8 м V= 0, участок III

решение задач по сопромату

Решим полученную систему уравнений и найдем начальные параметры

решение задач по сопромату

Вычислим прогиб балки в точке С ( z = 0 )

решение задач по сопромату

Вычислим прогиб балки в точке D ( z = 6м)

решение задач по сопромату

Проверим по условию жесткости

решение задач по сопромату

Условие жесткости выполняется.

Используя полученные значения прогибов в точках С и D учитывая, что на опорах прогибы равны нулю и в соответствии с эпюрой изгибающих моментов построим упругую ось балки.

Построение эпюр внутренних сил в плоских рамах

Задача №8:

Дана плоская рама, загруженная сосредоточенным моментом, сосредоточенной силой и равномерно распределенной нагрузкой (рис. 166).

Требуется построить эпюры продольных и поперечных сил, а также эпюру изгибающих моментов.

Решение:

Вначале определим все внешние силы, то есть реакции опор. Для этого составим уравнения статического равновесия и решим их.

решение задач по сопромату
Рис. 166. Плоская рама и эпюра внутренних сил в ней
решение задач по сопромату
решение задач по сопромату

Для удобства пронумеруем сечения, в которых следует определить внутренние силы (рис. 166). Внутренние силы в раме определим, используя метод сечений (рис. 167):

сечение 1 (рис. 167, а)

решение задач по сопромату
решение задач по сопромату
Рис. 167. Рассмотренные части рамы при использовании метода сечений

сечение 2 (рис. 167,б)

решение задач по сопромату

сечение 3 (рис. 198, в)

решение задач по сопромату

сечения 4 (рис. 198, г)

решение задач по сопромату

сечение 5 (рис. 198, д)

решение задач по сопромату

сечение 6 (рис. 198, е)

решение задач по сопромату

сечение 7 (рис. 198, .ж)

решение задач по сопромату

сечение 8 (рис. 198, з)

решение задач по сопромату

Найденные значения внутренних сил в отмеченных номерами сечениях откладываем на графике и строим эпюры продольных сил,

поперечных сил и изгибающих моментов согласно правилам. На рисунке 166 показан узел С и все силы, приложенные к нему. Очевидно, что равновесие узла выполняется.

Исследование напряженного состояния в точке

решение задач по сопромату
Рис. 168. Условие задачи

1) Обозначим напряжения, укажем их знаки и дополним недостающие напряжения.

2) Вычислим главные напряжения.

решение задач по сопромату

3) Вычислим угол поворота главных площадок.

решение задач по сопромату

4) Покажем положение главных площадок и главные напряжения.

решение задач по сопромату
Рис. 169. Действие главных напряжений и положение главных площадок

Направление напряжения решение задач по сопромату откладываем от направления большего напряжения решение задач по сопромату в сторону, куда показывает напряжение решение задач по сопромату на площадке с нормалью У.

Пример расчета заклепочного соединения

Задача №9:

решение задач по сопромату
  • Уголок №75×8; решение задач по сопромату
  • Размеры листа 95×20 мм; 6 = 95 мм; t = 20 мм.
  • Схема узла приведена на рисунке 170
решение задач по сопромату
Рис. 170. Заклепочное соединение уголков и листа

Решение:

Проверим на срез

Количество площадок среза в одной залепке решение задач по сопромату

решение задач по сопромату

Проверим на смятие

решение задач по сопромату

Проверим лист на растяжение

решение задач по сопромату

Проверим уголок на растяжение

решение задач по сопромату

Условие прочности выполняется.

Пример расчета сварного соединения

Задача №10:

Пусть неравнополочный уголокрешение задач по сопромату(рис. 171) соединен с листом по своей широкой полки электросваркой (угловым фланговым швом);решение задач по сопромату (электрод с тонкой обмазкой). К соединению приложена сила N=35 кН. Принять коэффициент решение задач по сопромату

Рассчитать длину швов.

решение задач по сопромату
Рис. 171. Соединение угловыми фланговыми швами уголка и листа

Решение:

Из условия прочности для углового флангового сварного шва на срез

решение задач по сопромату

определим расчетную длину шва

решение задач по сопромату

Распределим шов на обушок и на перо

решение задач по сопромату

Принимаем проектные длины швов

решение задач по сопромату

Пример расчета стержня круглого сечения на кручение

Задача №11:

Стержень кольцевого сечения подвергнут кручению двумя моментами решение задач по сопромату Наружный и внутренний диаметры кольцевого сечения соответственно равны решение задач по сопроматумм, и решение задач по сопроматуМодуль сдвига и расчетное сопротивление материала стержня, соответственно, равны решение задач по сопромату

решение задач по сопромату
Рис. 172 Эпюры крутящих моментов и углов закручивания

Решение:

Полярный момент инерции сечения стержня

решение задач по сопромату

Угол закручивания участка 1-2

решение задач по сопромату

Угол закручивания участка 2-3

решение задач по сопромату

Углы поворота сечений стержня

решение задач по сопромату

Полярный момент сопротивления кольцевого сечения

решение задач по сопромату

Проверим по прочности

решение задач по сопромату

Условие прочности выполняется.

Пример расчета статически неопределимого ступенчатого стержня

Задача №12:

Стержень переменного сечения, загруженный осевыми сосредоточенными силами (рис.204). Расстояние между опорами больше чем общая длина стержня на 1 мм. Числовые данные приведены на рисунке 173. Стержень изготовлен из стали. Модуль упругости материала стержня равен Е=200 ГПа

решение задач по сопромату
Рис. 173. Схема стержня (а), деформация стержня от нагрузки (б), деформация стержня от реакции нижней опоры (в)

Решение:

Определим степень статической неопределимости системы:

  • если предположить, что деформация стержня будет больше расстояния между опорами А и В, а это означает, что нижний конец стержня достигнет нижней опоры и появится реакция решение задач по сопромату, то количество неизвестны равно 2-м (реакции опор решение задач по сопроматуи решение задач по сопромату);
  • количество уравнений статического равновесия равно 1-му решение задач по сопромату;
  • степень статической неопределимости n=2-1 = 1.

То есть система один раз (однажды) статически неопределимая. Обозначим особенные сечения стержня цифрами, начиная со стороны защемления А.

Составим уравнение статического равновесия

решение задач по сопромату

Составим уравнение совместности деформаций

решение задач по сопромату

Используя закон Гука, вычислим деформацию стержня от нагрузки, отбросив нижнюю опору и считая неподвижной верхнюю опору.

решение задач по сопромату

Следовательно, в результате деформации стержня от нагрузки зазор закрывается и на нижней опоре появляется дополнительная реакция.

Используя закон Гука, выразим деформацию стержня от неизвестной реакциирешение задач по сопромату. Выразим потому, что еще не знаем величину самой реакции решение задач по сопромату.

решение задач по сопромату

Подставим полученные выражения в уравнение совместности деформаций и получим дополнительное уравнение

решение задач по сопромату

Объединим уравнение статического равновесия и дополнительное уравнение в систему

решение задач по сопромату

Решим полученную систему уравнений. Учитывая, что система содержит неполное уравнение, из второго уравнения найдем значение реакции решение задач по сопромату

решение задач по сопромату

Из первого уравнения определим реакцию решение задач по сопромату

решение задач по сопромату

Используя метод сечений, вычислим значения продольных сил на участках стержня (рис. 174).

На участке 1-2

решение задач по сопромату

На участке 2-3

решение задач по сопромату
решение задач по сопромату
Рис.174. Рассмотренные части стержни при использовании метода сечений: а) на участке 1-2; б) на участке 2-3 2; в) на участке 3-4; г) на участке 4-5

На участке 3-4

решение задач по сопромату

На участке 4-5

решение задач по сопромату

Построим эпюру продольных сил (рис.175).

Вычислим значения напряжений в поперечных сечениях стержня

решение задач по сопромату

Построим эпюру нормальных напряжений (рис.175). Пусть материал стержня деформируется по закону Гука. Вычислим относительные линейные деформации на участках стержня

решение задач по сопромату

Вычислим абсолютные линейные деформации участков стержня

решение задач по сопромату

Вычислим перемещения отмеченных сечений стержня и построим эпюру перемещения (рис.175)

решение задач по сопромату

Построим эпюру перемещений сечений стержня (рис. 175).

решение задач по сопромату
Рис. 175. Эпюры продольных сил (а), нормальных напряжений (б), перемещений )

Пример расчета статически неопределимого стержня на температурные воздействия

Задача №13:

Стальной стержень кольцевого сечения состоит из двух участков с разной площадью поперечных сечений, подвергнут температурному воздействию. Расстояние между опорами больше на 3 мм длины стержня. Температура стержня увеличилась на 90°. Требуется определить продольные силы, температурные напряжения и перемещения сечений стержня. Исходные данные приведены на рисунке (рис.176).

решение задач по сопромату
Рис. 176. Схема стержня (а), деформация стержня от нагрузки ), деформация стержня or реакции нижней опоры (в)

Решение:

Предположим, что в результате температурных деформаций стержень удлинница на величину большую, чем зазор между нижним концом стержня и нижней опорой. Тогда кроме реакции на верхней опоре появится реакция и на нижней опоре.

Определим степень статической неопределимости:

  • количество неизвестных равно двум (реакции решение задач по сопромату и решение задач по сопромату);
  • линейно независимых уравнений статического равновесия всего одно;
  • степень статической неопределимости равно n = 2-1 = 1.

Отсюда следует, что стержень один раз (однажды) статически неопределимый.

Составим уравнение статического равновесия

решение задач по сопромату

Отсюда следует, что реакции опор равны по величине, но направлены в разные стороны.

Составим уравнение совместности деформаций

сопромат задачи с решением

По закону температурных деформаций вычислим деформацию стержня от повышения температуры при условии отсутствия нижней опоры. Коэффициент линейного температурного расширения принимаем равным сопромат задачи с решением.

Отсюда следует, что в результате деформации стержня от температуры зазор закрывается и на нижней опоре действительно появляется реакция.

Используя закон Гука, выразим (выразим, потому что еще не знаем значение самой реакции сопромат задачи с решением) деформацию стержня от неизвестной реакциисопромат задачи с решением.

сопромат задачи с решением

Подставим выражения для сопромат задачи с решениеми сопромат задачи с решением в уравнение совместности деформаций и получим дополнительное уравнение.

сопромат задачи с решением

Уравнение статического равновесия и дополнительное уравнение имеют одинаковые неизвестные, поэтому они образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными.

сопромат задачи с решением

Из второго уравнения определим значение реакции сопромат задачи с решением.

сопромат задачи с решением

Из первого уравнения (уравнения равновесия) определим реакцию верхней опоры

сопромат задачи с решением
сопромат задачи с решением
Рис. 177. Рассмотренные части стержня при использовании метода сечений:
а) на участке А-С; б) на участке С-В

Определим продольные силы на участках стержня:

  • на участке А-С (рис.208, а)
сопромат задачи с решением
  • на участке С-В (рис.208, б)
сопромат задачи с решением

Вычислим температурные напряжения на участках стержня

сопромат задачи с решением

Вычислим деформации участков стержня. При этом следует учитывать деформацию от реакции сопромат задачи с решениеми деформацию от изменения температуры:

сопромат задачи с решением

Определим перемещения помеченных сечений стержня: WA — 0; (по условию закрепления)

сопромат задачи с решением

Построим эпюры продольных сил, напряжений и перемещений (рис.178).

сопромат задачи с решением
Рис. 178. Эпюры нормальных напряжений и перемещений в стержне при температурном воздействии на нею

Расчет статически неопределимого стержня круглого (кольцевого) сечения на кручение

Задача №14:

Стальной стержень переменной жесткости круглого поперечного сечения, защемленный обоими концами. Схема стержня приведена на рисунке (рис. 179)

сопромат задачи с решением
Рис. 179. Схема стержня (а), деформация стержня при кручении от заданною момента (б), деформация стержня от реактивного момента (в)

Приняты следующие исходные данные:

сопромат задачи с решением

Решение:

Определим степень статической неопределимости:

  • количество неизвестных равно двум (сопромат задачи с решениеми сопромат задачи с решением);
  • уравнений статического равновесия только одно сопромат задачи с решением;
  • степень статической неопределимости n=2-1 = 1.

Следовательно, стержень один раз статически неопределимый. Составим уравнение статического равновесия

сопромат задачи с решением

Вычислим модуль сдвига материала стержня

сопромат задачи с решением

Вычислим полярные моменты инерции поперечных сечений стержня на участках А-С и С-В

сопромат задачи с решением

Освободим правый конец балки от опоры и определим угол поворота правого сечения B, вызванного заданным крутящим моментов Т.

сопромат задачи с решением

Выразим угол закручивания правового торца стержня, вызванного неизвестным реактивным моментом сопромат задачи с решением

сопромат задачи с решением

Составим уравнение совместности деформаций — дополнительное уравнение

сопромат задачи с решением

Уравнение статического равновесия и дополнительное уравнение образуют систему уравнений

сопромат задачи с решением

Решим систему уравнений и найдем значения неизвестных реактивных моментовсопромат задачи с решением и сопромат задачи с решением.

сопромат задачи с решением

Определим крутящие моменты на участках стержня

сопромат задачи с решением
Рис. 180. Равновесие части стержня, расположенной слева от сечении на участке А-С (а), равновесие части стержня, расположенной справа
от сечения.

Участок АС

сопромат задачи с решением

Участок СВ

сопромат задачи с решением

Вычислим полярные моменты сопротивления сечений стержня на его участках АС и СВ

сопромат задачи с решением

Определим максимальные касательные напряжения в сечениях стержня

сопромат задачи с решением

Вычислим деформации (углы закручивания) участков стержня

сопромат задачи с решением

Определим углы поворота сечений стержня

сопромат задачи с решением

Очевидно, что кинематические условия задачи выполняются. Построим эпюры крутящих моментов и углов закручивания сечений стержня (рис.181).

сопромат задачи с решением
Рис. 181. Эпюры крутящих моментов и углов закручивании сечений стержни

Расчет статически неопределимой плоской стержневой системы

Задача №15:

Плоская стержневая система, состоящая из двух деформируемых стальных стержней и одного абсолютно жесткого элемента (диска), прикрепленного к опоре неподвижным шарниром. Модуль упругости материала деформируемых стержней принят равным Е=200 ГПа. Стержневая система загружена равномерно распределенной нагрузкой q = 120 кН/м и сосредоточенной силой F = 240 кН. Площади поперечных сечений первого и второго стержней приняты соответственно равными сопромат задачи с решениеми сопромат задачи с решением. Размеры и положение элементов системы приведены на рисунке (рис.182).

Требуется найти продольные силы в деформируемых стержнях, вычислить их деформации и определить перемещения точек А и В.

Решение:

Вычислим длинны деформируемых стержней

сопромат задачи с решением

Вычислим радиусы окружностей, по которым движутся точки А и В

сопромат задачи с решением

Вычислим угол наклона первого стержня к горизонтальному направлению

сопромат задачи с решением

Составим уравнение статического равновесия сопромат задачи с решением

сопромат задачи с решением
сопромат задачи с решением
Рис. 182. Схема плоской стержневой системы, ее размеры и
деформации

Вычислим углы наклона радиусов окружностей, по которым движутся точки А и В, к горизонтальному направлению

сопромат задачи с решением

Установим связь между перемещениями шарниров А и В

сопромат задачи с решением

Установим связь между перемещениями точек А, В и деформациями первого и второго деформируемых стержней системы.

сопромат задачи с решением

Принимаем, что материал первого и второго стержней деформируется по закону Гука.

сопромат задачи с решением

Объединим уравнения и получим дополнительное уравнение

сопромат задачи с решением

Уравнение статического равновесия сопромат задачи с решением и полученное нами дополнительное уравнение образуют систему, решением которой являются продольные силы в первом и во втором стержнях

сопромат задачи с решением

В результате решения получим значения продольных сил

сопромат задачи с решением

Очевидно, что первый стержень растянут, а второй сжат. Определим реакции на опоре С. Для этого составим уравнения статического равновесия сопромат задачи с решением Из первого уравнения сопромат задачи с решением найдем реакциюсопромат задачи с решением

сопромат задачи с решением

Из второго уравнения

сопромат задачи с решением

найдем реакцию сопромат задачи с решением

сопромат задачи с решением

Вычислим напряжения в первом и во втором стержнях.

сопромат задачи с решением

Вычислим деформации первого и второго стержней системы

сопромат задачи с решением

Определим перемещения точек А и В

сопромат задачи с решением

Расчет статически неопределимой балки методом начальных параметров

Задача №16:

Статически неопределимая консольная балка (рис. 183), защемленная левым концом и шарнирно опирающаяся правым. Пролет балки равен 6 м, длина консоли 2 м. Балка загружена равномерно распределенной нагрузкой сопромат задачи с решениеми сосредоточенным моментом сопромат задачи с решением Приняты расчетное сопротивление материала балки на растяжение (сжатие) R = 210МПа, расчетное сопротивление на срез сопромат задачи с решением, допускаемый относительный прогиб сопромат задачи с решением

Требуется раскрыть статическую неопределимость, построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, подобрать прокатный двутавр и определить прогибы балки в точках С и D а также проверить условие жесткости.

Решение:

Количество неизвестных равно четырем — сопромат задачи с решением. Количество линейно независимых уравнений равновесия равно трем. Степень статической неопределимости равна n = 4 -3 = 1. То есть балка один раз (однажды) статически неопределимая.

Составим универсальное уравнение упругой оси балки.

сопромат задачи с решением

Отметим, что левый конец балки защемлен. Поэтому прогиб и угол поворота сечения расположенного на опоре А равны нулю по условию защемления, а значит, равны нулю. Равны нулю и начальные параметрысопромат задачи с решением и сопромат задачи с решением.

сопромат задачи с решением
Рис.183. Статически неопределимая балка, эпюры поперечных сил, изгибающих моментов и упругая ось балки

По условию закрепления балки прогиб балки в точке В равен нулю, так как эта точка располагается на шарнирно подвижной опоре. Используем это условие для составления дополнительного уравнения.

сопромат задачи с решением

Составим уравнение статического равновесия балки

сопромат задачи с решением

Оба полученные уравнения содержат одни и те же неизвестны — сопромат задачи с решением и сопромат задачи с решением. Поэтому они образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными

сопромат задачи с решением

Решим эту систему и получим значения реакций

сопромат задачи с решением

Чтобы получить значение реакции сопромат задачи с решением, используем еще одно уравнение статического равновесия сопромат задачи с решением

сопромат задачи с решением

Решим его и получим значение реакции опоры В, сопромат задачи с решением=62,83 кН. Используя метод сечений и правила построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис.183).

Из условия прочности

сопромат задачи с решением

определим требуемый момент сопротивления

сопромат задачи с решением

По таблице прокатных профилей подберем двутавр с уклоном полок №30а. Выпишем его геометрические характеристики:

сопромат задачи с решением

Проверим на прочность по нормальным напряжениям

сопромат задачи с решением

Недогрузка составляет

сопромат задачи с решением

Проверим на прочность по касательным напряжениям

сопромат задачи с решением

7780-10″8 • 6,5 -10 Найдем прогиб балки в точке С при z = а = 4 м (уча-сток I)

сопромат задачи с решением
3


Найдем прогиб балки в точке D при z = a+b+c = 4+2+2=8 м (участок III)

сопромат задачи с решением

Проверим по жесткости

сопромат задачи с решением

Условие жесткости выполняется.

Используя полученные значения прогибов балки в точках С и D, а также учитывая, что угол поворота сечения в точке А и прогибы балки на опорах А и В равны нулю, построим упругую ось балки (рис. 183). Отметим, что упругая ось балки должна быть согласована с эпюрой изгибающих моментов. Растянутые волокна балки на ее упругой оси должны быть с той стороны, в которую отложены ординаты на эпюре изгибающих моментов.

Определение деформаций статически определимой балки методом Максвелла-Мора (способ Верещагина)

Задача №17:

Статически определимая шарнирно опертая балка, загруженная сосредоточенным моментом М=24кНм, сосредоточенной силой F = 18kHh равномерно распределенной нагрузкой q = 12кН/м. Требуется построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, подобрать прокатный двутавр, определить прогибы в точках С, D и H, проверить по условию жесткости, приняв, расчетные сопротивления на растяжение (сжатие) R = 210МПа, на сдвиг сопромат задачи с решением и модуль упругости стали Е = 200ГПа. Размеры балки приведены на рисунке (рис.184).

Решение:

Составим уравнения статического равновесия и вычислим реакции опор сопромат задачи с решением и сопромат задачи с решением, Учитываем, что горизонтальная реакция на шарнирно неподвижной опоре А равна нулю сопромат задачи с решением=0.

сопромат задачи с решением
сопромат задачи с решением
Рис. 184. Схема статически определимая балка, эпюры поперечных сил, изгибающих моментов от нагрузки, единичные эпюры и упругая ось

Используя метод сечений, вычислим значения поперечных сил и изгибающих моментов и по правилам построим их эпюры (рис.184). Из условия прочности

сопромат задачи с решением

определим требуемый момент сопротивления

сопромат задачи с решением

и подберем прокатный двутавр № 18а. Выпишем его геометрические характеристики сопромат задачи с решением Проверим балку на прочность по нормальным напряжениям

сопромат задачи с решением

Недогрузка составляет

сопромат задачи с решением

Проверим на прочность по касательным напряжениям

сопромат задачи с решением

Построим эпюры изгибающих моментов от единичных сил, приложенных в точках С, D и G, где следует найти прогибы балки (рис.184).

Перемножим эпюру сопромат задачи с решением и сопромат задачи с решением,и найдем прогиб балки в точке D. Для этого разложим эпюры на части треугольной и параболической форм (рис.185).

сопромат задачи с решением

Знак минус означает, что прогиб балки в точке D направлен против направления силы сопромат задачи с решением то есть вверх. Аналогично найдем прогиб балки в точках G и С

сопромат задачи с решением

Знак плюс означает, что направление прогиба балки в точке G совпадает с направлением единичной силы сопромат задачи с решением то есть вниз.

сопромат задачи с решением
Рис. 185. Эпюры изгибающих моментов, представленные в виде треугольников и квадратных парабол, эпюры от единичных сил
сопромат задачи с решением

Знак минус означает, что направление прогиба балки в точке С противоположно направлению единичной силы сопромат задачи с решением, то есть вверх.

По найденным значениям прогибов балки в точках D, G и С, а также учитывая эпюру изгибающих моментов, построим упругую ось балки (рис.184).

Расчет статически неопределимой балки методом сил (Максвелла-Мора)

Задача №18:

Двух пролетная статически неопределимая балка (рис. 186), опирающаяся на шарнирные опоры и загруженная равномерно распределенной нагрузкой q = 12 кН/м и сосредоточенной силой F = 48 кН. Размеры балки и схема нагружения показаны на рисунке (рис.186). Требуется раскрыть статическую неопределимость, построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, подобрать прокатный двутавр, вычислить прогибы в точках К и D а также построить упругую ось, принимая модуль упругости Е = 200 МПа, расчетные сопротивления на растяжение (сжатие) R = 210 МПа, расчетное сопротивление на сдвиг сопромат задачи с решением.

Решение:

Определим степень статической неопределимости:

  • количество неизвестных равно четырем сопромат задачи с решением
  • количество линейно независимых уравнений статического равновесия равно трем сопромат задачи с решением
  • степень статической неопределимости равна n = 4-3 = 1.

Составим каноническое уравнение

сопромат задачи с решением

Вычислим коэффициент канонического уравнения

сопромат задачи с решением
сопромат задачи с решением
Рис.186. Схема статически неопределимая балка, эпюры поперечных сил, изгибающих моментов от нагрузки, единичные эпюры и упругая ось

Подставим значения коэффициента и свободного члена в каноническое уравнение

сопромат задачи с решением

Решим его и получим значение неизвестного

сопромат задачи с решением

Приложим к основной системе нагрузку и найденный опорный момент сопромат задачи с решением Построим эпюры поперечных сил сопромат задачи с решением и изгибающих моментов сопромат задачи с решением (рис.186).

Из условия прочности

сопромат задачи с решением

определим требуемый момент сопротивления

сопромат задачи с решением

По таблицам прокатных профилей подберем двутавр с уклонами полок сопромат задачи с решением Проверим по условию прочности

сопромат задачи с решением

Недогрузка составляет

сопромат задачи с решением

Проверим на прочность по касательным напряжениям

сопромат задачи с решением

Вычислим прогиб балки в точке D. Для этого перемножим единичную эпюру сопромат задачи с решениемна окончательную эпюру изгибающих моментов сопромат задачи с решением и разделить на жесткость сопромат задачи с решением(рис.217).

сопромат задачи с решением

Вычислим прогиб балки в точке К. Для этого перемножим единичную эпюру сопромат задачи с решением на окончательную эпюру изгибающих моментов сопромат задачи с решением и разделим на жесткость сопромат задачи с решением (рис.186).
Недогрузка составляет

сопромат задачи с решением

Проверим балку по жесткости

сопромат задачи с решением

Условие жесткости балки выполняется.

По найденным значениям прогибов и учитывая, что на опорах прогибы равны нулю, построим упругую ось балки (рис.186). Отметим, что упругая ось балки должна соответствовать эпюре изгибающих моментов.

Расчет балки на прочность и жесткость при плоском косом изгибе

Задача №19:

Двутавровая балка №24, защемленная одним концом и загруженная на свободном конце сосредоточенной силой F= 3,6 кН, направленной под углом сопромат задачи с решением = 12° к вертикальному направлению (рис.187). Длина балки l= 2м. Требуется построить эпюры изгибающих моментов в двух главных плоскостях, установить опасное сечение, найти положение нейтральной оси, проверить по условию прочности, найти прогиб и его направление на свободном конце балки.

Решение:

Выпишем геомертические характеристики сечения двутавра №24:

  • высота сечения h = 240 мм;
  • ширина полки сечения b=115 мм;
  • момент инерции сечения относительно оси перпендикулярной стенке двутавра сопромат задачи с решением;
  • момент инерции сечения относительно оси параллельной стенке двутавра сопромат задачи с решением.

Определим проекции силы F на главные оси инерции сечения двутавра

сопромат задачи с решением
сопромат задачи с решением
Рис.187. Схема двутавровой консоли и совмещенная эпюра изгибающих моментов в двух главных плоскостях

Вычислим изгибающие моменты от составляющих силы сопромат задачи с решением и сопромат задачи с решением в сечении, расположенном у защемления балки

сопромат задачи с решением

Построим эпюры изгибающих моментов, выберем опасное сечение у защемления и направим главные центральные оси в сторону растянутых волокон балки.

Так как отношение изгибающих моментов во всех поперечных сечениях балки одинаковое, то это значит, что плоскость суммарного изгибающего момента так же занимает одинаковое положение во всех сечениях. То есть, имеет место плоский косой изгиб.

сопромат задачи с решением

Определим положение нейтральной оси. Для этого найдем угол наклона нейтральной оси к главной центральной оси инерции X.

сопромат задачи с решением

Угол сопромат задачи с решением откладываем от оси X так, чтобы нейтральная ось проходила через отрицательные квадранты координатной плоскости (рис.188).Определим координаты опасной точки t в растянутой части сечения

сопромат задачи с решением

Определим координаты опасной точки s в сжатой части сечения

сопромат задачи с решением
сопромат задачи с решением
Рис.188. Эпюры нормальных напряжений в сечении балки, испытывающей
плоский косой изгиб

Определим напряжения в опасных точках поперечного сечения балки при косом изгибе.

сопромат задачи с решением

Вычислим прогиб балки в горизонтальном и вертикальном

направлениях, используя ранее полученную формулу сопромат задачи с решением

сопромат задачи с решением

Определим полный прогиб на свободном конце балки

сопромат задачи с решением

Найдем направление полного прогиба

сопромат задачи с решением

Положение нейтральной оси показано на рисунке 188.

Расчет балки на прочность и жесткость при пространственном косом изгибе

Задача №20:

Деревянная балка прямоугольного сечения, опирающаяся своими концами на шарнирные опоры (рис.189). Балка загружена вертикальной равномерно распределенной нагрузкой q = 24 кН/м и горизонтальной сосредоточенной силой F = 6 кН, приложенной в ее середине. Размеры сечения балки bxh = 18х56см, ее длина (пролет) l = 6 м. Модуль упругости материала балки Е = 10 ГПа.

Требуется построить эпюры изгибающих моментов, построить нейтральную ось, найти максимальные нормальные напряжения, найти прогиб и его направление в середине пролета балки.

Решение:

Определим главные центральные моменты поперечного сечения балки. При этом учитываем, что сечение имеет оси симметрии, поэтому положение главных осей инерции заранее известно — это оси симметрии.

сопромат задачи с решением

Рассмотрим балку только в вертикальной плоскости ZY (рис.189). Вычислим вертикальные реакции опор балки.

сопромат задачи с решением

Рассмотрим балку только в горизонтальной плоскости ZX (рис.189). Вычислим вертикальные реакции опор балки.

сопромат задачи с решением

Пользуясь методом сечений и правилами, построим эпюр изгибающих моментов сопромат задачи с решением и сопромат задачи с решением построим эпюру изгибающих моментов в плоскости ZX и ZY (рис. 189). В точке С расчетные моменты равны сопромат задачи с решением кНм.

Определим угол наклона нейтральной оси к координатной оси X.

сопромат задачи с решением
сопромат задачи с решением
Рис. 189. Схема балки, испытывающей пространственный косой изгиб и эпюры и изгибающих моментов в плоскости сопромат задачи с решением и сопромат задачи с решением

Определим опасные точки в растянутой и в сжатой частях сечения С. Их координаты

сопромат задачи с решением

Вычислим нормальные напряжения в опасных точках сечения С.

сопромат задачи с решением

Прогиб балки в точке С по горизонтальному направлению вычислим по формуле

сопромат задачи с решением

Прогиб балки в точке С по вертикальному направлению вычислим по формуле

сопромат задачи с решением
сопромат задачи с решением
Рис. 190. Поперечное сечение балки в точке С, эпюры нормальных напряжений и направления прогибов (вид справа)

Определим направление полного прогиба балки в точке С

сопромат задачи с решением

Полный прогиб балки с точке С.

сопромат задачи с решением

Построим эпюры напряжений и покажем прогибы (рис. 190).

Расчет стержня на внецентренное растяжение (сжатие)

Задача №21:

Дано сечение внецентренно сжатого стержня (рис.191). Равнодействующая сжимающей силы равна F=108 кН. Требуется найти положение центра тяжести сечения, положение нулевой линии, определить опасные точки и напряжения в них, построить эпюру нормальных напряжений и ядро сечения.

сопромат задачи с решением
Рис. 191. Сечение внецентренно сжатого стержня, эпюра напряжений и ядро сечения

Решение:

Разделим сечение на части, имеющие простые геометрические формы прямоугольник верхний, прямоугольник нижний и круг. Выберем вспомогательные оси координат — ось X по нижнему краю сечения, а ось Y — по оси симметрии. Отметим положения центров тяжестей отдельных частей сечения и определим их координаты, вычислим площади и осевые моменты инерции относительно их собственных центральных осей, параллельных выбранным вспомогательным осям (рис.191).

Для первой части сечения — верхний прямоугольник

сопромат задачи с решением

Для второй части сечения — нижний прямоугольник

сопромат задачи с решением

Для третьей части сечения

сопромат задачи с решением

Координаты точки приложения равнодействующей силы в базовых осях

сопромат задачи с решением

Площадь всего сечения

сопромат задачи с решением

Статический момент всего сечения относительно вспомогательной оси X

сопромат задачи с решением

Вычислим координату центра тяжести всего сечения

сопромат задачи с решением

Покажем центр тяжести всего сечения и проведем центральные оси, параллельно соответствующим базовым осям (рис.191).

Вычислим координаты центров тяжестей частей сечения относительно центральных осей Хс и Yc.

сопромат задачи с решением

Найдем координаты точки приложения силы в центральных осях Хс и Yc

сопромат задачи с решением

Проверим координаты центра тяжести всего сечения, используя утверждение, что статический момент относительно любой центральной оси должен быть равным нулю. Вычислим статические моменты всего сечения относительно центральных осей Хс и Yc .

сопромат задачи с решением

Погрешность координаты центра тяжести не превышает

сопромат задачи с решением

сопромат задачи с решениемтак как ось Yc является осью симметрии сечения.

Вычислим главные центральные моменты инерции всего сечения.

сопромат задачи с решением

Вычислим квадраты радиусов инерции сечения

сопромат задачи с решением

Найдем отсеченные отрезки нулевой линии

сопромат задачи с решением

Построим нулевую линию на сечении стержня и определим координаты опасных точек в растянутой и в сжатой частях сечения в базовых осях координат. Обозначим опасную точку в сжатой части сечения буквой s, а в сжатой —t.

сопромат задачи с решением

Определим координаты опасных точек в растянутой и в сжатой частях сечения в центральных осях координат Хс и Yc.

сопромат задачи с решением

Найдем напряжения в опасных точках сечения колонны

сопромат задачи с решением

Построим эпюру нормальных напряжений (рис.191).

Построим ядро сечения. Для этого найдем отсеченные отрезки касательных к сечению колонны и соответствубщие им точки приложения силы.

1-я касательная (нулевая линия)

сопромат задачи с решением

2-я касательная (нулевая линия).

Из рисунка видно, что вторая касательная проходит через две точки сечения с координатами

сопромат задачи с решением

Отсеченные отрезки этой (второй) касательной определим из выражений

сопромат задачи с решением

3-я касательная (нулевая линия)

сопромат задачи с решением

4-я касательная (нулевая линия)

сопромат задачи с решением

Отметим точки, координаты которых найдены, и соединим их согласно свойствам ядра сечения и нулевой линии (рис.191).

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Расчет стержня круглого сечения, испытывающего кручение с изгибом

Задача №22:

Вал круглого поперечного сечения (рис.192) закреплен на опорах с подшипниками и загружен двумя вертикальными силами сопромат задачи с решением=120 кН, одной горизонтальной силой сопромат задачи с решением=40 кН передает крутящий момент сопромат задачи с решением=30 кНм. Материал вала — сталь с расчетным сопротивлением R=180 МПа. Размеры вала приведены на рисунке (рис.193). Требуется проверить прочность вала по третьей и по четвертой теориям прочности.

Решение:

Построим эпюры изгибающих и крутящегл моментов (рис.193).

Вычислим осевой момент сопротивления поперечного сечения стержня

сопромат задачи с решением

Из эпюр (рис. 192) назначим расчетные моменты сопромат задачи с решениемсопромат задачи с решением

сопромат задачи с решением
Рис. 192. Схема вала, эпюры изгибающих и крутящих моментов при
изгибе с кручением

Вычислим суммарный изгибающий момент

сопромат задачи с решением

Определим приведенный момент по третьей теории прочности

сопромат задачи с решением

Проверим на прочность по третьей теории прочности

сопромат задачи с решением

Определим приведенный момент по четвертой теории прочности

сопромат задачи с решением

Проверим на прочность по четвертой теории прочности

сопромат задачи с решением

Прочность выполняется по обеим теориям.

Построение эпюр внутренних сил в пространственном стержне

Задача №23:

Элемент, входящий в пространственную конструкцию. Поперечные сечения на всех трех участках стержня имеет форму круга диаметров D. Участки элемента ортогональны. Длина всех участков одинаковая и равная а = 2 м. Форма элемента показаны на рисунке (рис.193). Требуется построить эпюры внутренних сил на участках пространственного элемента, установить виды сопротивления и привести расчетные формулы для напряжений.

Решение:

Будем отмечать расположение растянутых волокон словами — верхние или нижние, левые или правые, дальние или ближние. Знаки на эпюре изгибающих моментов не ставятся, а направление действия изгибающих моментов определяем положением волокон, которые они растягивают.

Знак продольной силы определяется тем, какое действие она совершает — растягивает или сжимает. Если продольная сила растягивает материал, то она принимается положительной, если сжатие, то она принимается отрицательной.

Знак поперечной силы принимается по правилу буравчика — если направление сдвига соответствует буравчику, вкручивающемуся в соответствующую поперечную ось, то поперечная сила, вызывающая этот сдвиг, принимается положительной. Если буравчик выкручивается из соответствующей оси координат, то поперечная сила считается отрицательной.

Знак на эпюре крутящих моментов не выставляется.

Определение внутренних сил выполняется по методу сечения. При этом продольную силу и поперечные силы предварительно направляем так, чтобы они были положительными.

Используя уравнения статического равновесия найдем внутренние силы в отмеченных сечениях стержня.

На участке 1-2 в сечении 1 (рис.224, а, б)

сопромат задачи с решением

На участке 1-2 в сечении 2 (рис.224, в, г)

сопромат задачи с решением

На участке 2-3 в сечении 2 (рис.224, д,е)

сопромат задачи с решением

На участке 2-3 в сечении 3 (рис.225 ж, з)

сопромат задачи с решением

На участке 3-4 в сечении 3 (рис.194 и, к)

сопромат задачи с решением

Ha участке 3-4 в сечении 4 (рис. 194 л, м)

сопромат задачи с решением
сопромат задачи с решением
Рис.193. Определение внутренних сил в сечениях пространственною стержня: а) и б) в точке 1 на участке 1-2; в) и г) в точке 2 на участке 1-2; д) и е) в точке
2 на участке 2-3
сопромат задачи с решением
Рис. 194. Определение внутренних сил в сечениях пространственною стержня: ж) и з) в точке 3 на участке 2-3; и) и к) в точке 3 на участке 3-4; л) и
м) в точке 4 на участке 3-4
сопромат задачи с решением
Рис. 195. Эпюры внутренних сил в пространственном элементе

По найденным значениям и используя правила, построим эпюры внутренних сил в пространственном элементе (рис. 195).

Подбор сечения сжатого стержня с учетом продольного изгиба

Задача №24:

Стержень длинной l = 4 м защемлен обеими концами сопромат задачи с решениемсжат силой F = 240 кН. Подберем двутавровое сечение. Расчетное сопротивление и модуль упругости материала двутавра приняты равными R=210МПа и Е=200ГПа

сопромат задачи с решением
Рис.196. Схема сжатою двутаврового стержня

Решение:

В первом приближении принимаем коэффициент продольного изгиба равным сопромат задачи с решением. Из условия прочности при продольном изгибе

сопромат задачи с решением

определим требуемую площадь сечения стержня

сопромат задачи с решением

По требуемой площади поперечного сечения стержня подберем из таблицы прокатов двутавр №18 и выпишем его площадь и радиус инерции сопромат задачи с решением

Определим гибкость стержня

сопромат задачи с решением

Найдем коэффициент продольного изгиба, используя линейную интерполяцию

сопромат задачи с решением

Проверим сжатый стержень по условию прочности при продольном изгибе

сопромат задачи с решением

Условие прочности выполняется. Определим критическое напряжение по формуле Эйлера, так как сопромат задачи с решением

сопромат задачи с решением

Вычислим критическую силу

сопромат задачи с решением

Найдем коэффициент запаса устойчивости

сопромат задачи с решением

Определение несущей способности сжатого стержня кольцевого поперечного сечения с учетом продольного изгиба

Задача №25:

Стержень кольцевого сечения, шарнирно закрепленный верхним концом и защемленный нижним концом, сжат силой F = 240 кН. Все числовые данные приведены на рисунке (рис. 197).

сопромат задачи с решением
Рис. 197. Схема сжатою стержни кольцевого сечения

Решение:

Вычислим площадь сечения

сопромат задачи с решением

Вычислим момент инерции сечения стержня

сопромат задачи с решением

Определим радиус инерции сечения

сопромат задачи с решением

Найдем гибкость стержня

сопромат задачи с решением

Вычислим предельную гибкость для материала стержня (стали)

сопромат задачи с решением

Определим критическую силу. Так как сопромат задачи с решением воспользуемся формулой Эйлера.

сопромат задачи с решением

Найдем коэффициент продольного изгиба, используя таблицу сопромат задачи с решением и линейную интерполяциюсопромат задачи с решением

По интерполяции получим

сопромат задачи с решением

Проверим по условию прочности

сопромат задачи с решением

Условие прочности выполняется.

Найдем несущую способность сжатой стойки — допускаемую сжимающую силу из условия прочности.

сопромат задачи с решением

Определим коэффициент запаса устойчивости.

сопромат задачи с решением

Определение несущей способности сжатого стержня, составленного из двух уголков, с учетом продольного изгиба

Задача №26:

Сжатый стержень защемлен нижним концом и свободен на верхнем конце. Стержень состоит их двух равнополочных прокатных уголков L№ 120×8, образующих крестообразное сечение. Из таблицы прокатных профилей выпишем площадь сечения одного уголка сопромат задачи с решениемсопромат задачи с решением радиус инерции сопромат задачи с решениемРасчетное сопротивление и модуль упругости равны R = 210 МПа и Е=200 ГПа. По условию закрепления коэффициент приведения длины равен сопромат задачи с решением

сопромат задачи с решением
Рис. 198. Схема сжатою стержня, состоящею из двух равнополочных уголков

Решение:

Вычислим гибкость стержня из плоскости, содержащей ось V (рис. 198).

сопромат задачи с решением

Используя таблицу коэффициентов продольного изгиба и линейную интерполяцию, вычислим коэффициент продольного изгиба при гибкости сопромат задачи с решением

сопромат задачи с решением

Из условия прочности найдем допускаемую сжимающую силу

сопромат задачи с решением

Вычислим критическое напряжение, используя формулу Ясинского, так как сопромат задачи с решением

сопромат задачи с решением

Определим критическую сжимающую силу

сопромат задачи с решением

Найдем коэффициент запаса устойчивости

сопромат задачи с решением

Расчет балки на поперечный удар

Задача №27:

Балка пролетом 3 м, опирающаяся своими концами на шарнирные опоры (рис.199). На балку падает тело массой m=2000 кг с выcоты 11 см. Балка изготовлена из двутавра №20а с моментом инерции

сопромат задачи с решениеми моментом сопротивления сопромат задачи с решением Модуль упругости материала двутавра принят равным Е = 200 ГПа. Требуется найти динамический коэффициент, динамическое напряжение и динамический прогиб балки. Собственная масса не учитывается.

сопромат задачи с решением
Рис.199. Схема поперечною удара но двутавровой балке

Решение:

Вес падающего тела на поверхности Земли равен

сопромат задачи с решением

Определим прогиб балки от статически приложенной нагрузки, то есть веса падающего тела.

сопромат задачи с решением

Вычислим динамический коэффициент

сопромат задачи с решением

Найдем максимальный изгибающий момент от статически приложенной нагрузки.

сопромат задачи с решением

Определим максимальное нормальное напряжение от статически приложенной нагрузки, то есть от веса падающего тела.

сопромат задачи с решением

Вычислим максимальное нормальное напряжение при ударе падающего тела.

сопромат задачи с решением

Определим прогиб балки от динамического приложения нагрузки (ударе)

сопромат задачи с решением

Эти страницы вам могут быть полезны: