Прикладная механика задачи с решением

Оглавление:

Прикладная механика задачи с решением

Прежде чем изучать готовые решения задачи по прикладной механике, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила краткую теорию по предмету «прикладная механика», после которой подробно решены задачи.

Эта страница подготовлена для школьников и студентов.

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Прикладная механика

Прикладная механика – это наука, в которой изучаются общие законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел.

Прикладная механика относится к ряду естественных наук, т.е. наук о природе. Это наука об общих законах движения и равновесия материальных тел и возникающих при этом взаимодействиях между телами.

Основные положения статики. Плоская система сходящихся сил

Решение задач статики возможно лишь после того, как хорошо изучены аксиомы статики.

Аксиомы статики — это основные положения, на которых основана теория равновесия. Они устанавливают основные свойства сил, приложенных к телу.

Особое внимание следует обратить на аксиому о равенстве сил действия и противодействия. Эта аксиома рассматривает взаимодействие двух сил. Сила действия приложена к одному телу, а сила противодействия — к другому, поэтому они не могут уравновешиваться, так как эффект действия сил различен для каждого тела. На основании аксиомы о равенстве действия и противодействия опоры тел или, как говорят, их связи, можно заменить силами. Одной из важнейших задач при этом является умение правильно определить направление силы реакции опоры. Для этого нужно внимательно разобраться в устройстве той или иной опоры и схематически изобразить опорные поверхности.

Гибкая нерастяжимая нить (трос, канат, цепь, ремень). Реакции Решение задач по прикладной механике и Решение задач по прикладной механике направлены вдоль нити к точке подвеса (рис. 1.1).

Решение задач по прикладной механике

Невесомый жесткий стержень. Невесомым называется стержень, массой которого можно пренебречь. Связь осуществляется с помощью жесткого стержня, концы которого закреплены шарнирно, например, как стержни Решение задач по прикладной механике и Решение задач по прикладной механике на рис. 1.2. Реакции Решение задач по прикладной механике и направлены вдоль прямой, соединяющей центры шарниров.

Гладкая поверхность. Поверхности называют гладкими, если силами трения, возникающими в точках их контакта, можно пренебречь. Реакция Решение задач по прикладной механике гладкой поверхности или опоры направлена по общей нормали к поверхностям тел в точке их касания и приложена в той же точке (рис. 1.3, а).

Если одна из соприкасающихся поверхностей является точкой, имеет заострение или ребро, то реакция Решение задач по прикладной механике (Решение задач по прикладной механике или Решение задач по прикладной механике) направлена по нормали к другой поверхности (рис. 1.3, б).

Решение задач по прикладной механике

Шероховатая поверхность (рис. 1.4). Направление реакции Решение задач по прикладной механике такой связи заранее неизвестно, поэтому обычно определяют две ее составляющие: нормальную реакцию Решение задач по прикладной механике и касательную — силу трения Решение задач по прикладной механике

Решение задач по прикладной механике
Решение задач по прикладной механике

Сила трения действует в плоскости, касательной к соприкасающимся поверхностям в точке их контакта, и направлена в сторону, противоположную той, куда активные силы стремятся сдвинуть тело. Сила трения может принимать любые значения от нуля до максимального значения, которое достигается в момент выхода тела из положения равновесия:

Решение задач по прикладной механике

Максимальная сила трения скольжения равна произведению статического коэффициента трения Решение задач по прикладной механике на нормальную реакцию:

Решение задач по прикладной механике

При скольжении одного тела по поверхности другого сила трения направлена в сторону, противоположную направлению движения. и равна произведению динамического коэффициента трения Решение задач по прикладной механике на нормальную реакцию:

Решение задач по прикладной механике

Значения коэффициентов трения для различных материалов приводятся в справочниках.

При практических расчетах рассматривают предельное равновесие тела, когда сила трения равна Решение задач по прикладной механике. При этом уравнения равновесия дополняют равенством (1.1).

Определив реакции связей из уравнений равновесия тела, получают исходные данные, необходимые, например, для расчета элементов конструкции на прочность.

Заделки. Глухая заделка, или жесткое защемление (рис. 1.5, а), исключает любые перемещения тела. Примером такой связи является соединение двух стержней с гарантированным натягом. При действии па балку плоской системы сил в заделке возникают пара сил с реактивным моментом Решение задач по прикладной механике и произвольно направленная реакция Решение задач по прикладной механике с составляющими Решение задач по прикладной механике и Решение задач по прикладной механике.

Скользящая заделка (рис. 1.5, б) допускает осевое перемещение стержня, система реакций состоит из силы Решение задач по прикладной механике и пары сил с моментом Решение задач по прикладной механике.

Свободная заделка (рис. 1.5, в) не препятствует перемещениям стержней вдоль своих осей, но исключает возможность их поворота. Поэтому, если не учитывать массу балки, в такой заделке возникает только реактивный момент Решение задач по прикладной механике.

Решение задач по прикладной механике

Подвижный шарнир (шарнирно-подвижная опора). Нижняя обойма в опоре Решение задач по прикладной механике (рис. 1.6, а) установлена на цилиндрические катки. Поэтому балка Решение задач по прикладной механике имеет возможность поворачиваться относительно оси шарнира и перемещаться вдоль опорной плоскости катков. Реакция связи Решение задач по прикладной механике направлена перпендикулярно к опорной плоскости катков.

Условные изображения шарнирно-подвижной опоры показаны на рис. 1.6, б.

Решение задач по прикладной механике

Неподвижный шарнир (шарнирно-неподвижная опора). Такая опора состоит из двух обойм, между которыми расположен цилиндрический стержень. Одна обойма (рис. 1.7, а) закреплена на балке Решение задач по прикладной механике, а другая — на неподвижном основании. Кроме того, шарнирное соединение может выполняться с помощью пальца Решение задач по прикладной механике, вставленного в цилиндрические отверстия стержня Решение задач по прикладной механике и опоры Решение задач по прикладной механике (рис. 1.7, б). Балка Решение задач по прикладной механике и стержень Решение задач по прикладной механике могут только поворачиваться относительно оси шарнира. Другие перемещения исключены.

Направление реакции связи заранее неизвестно. Реакция связи действует в плоскости, перпендикулярной к оси шарнира. Для неподвижного шарнира она может быть представлена двумя составляющими по координатным осям:

Решение задач по прикладной механике

Условные изображения шарнирно-неподвижной опоры показаны на рис. 1.7, в.

Решение задач по прикладной механике

Решение задач на равновесие геометрическим методом — построением силовых многоугольников — целесообразно лишь в том случае, если к телу приложено не более трех сил. Более удобным и универсальным методом решения задач на равновесие является аналитический метод. Он основан на составлении и решении уравнений равновесия. Для равновесия плоской системы сходящихся сил достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций сил па каждую ось координат равнялась нулю:

Решение задач по прикладной механике

В различных учебниках можно встретить и другие формы записи этих же уравнений. Например:

Решение задач по прикладной механике

В Международной системе единиц силы измеряются в ныотопах (Н). В ряде учебников и другой технической литературе встречается и другая единица измерения — килограмм-сила (кгс). В этом случае, при необходимости, приходится делать перевод старых единиц измерения в единицы СИ, пользуясь следующими соотношениями:

Решение задач по прикладной механике

Напоминаем, что проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус ее острого угла с осью (рис. 1.8). Знак проекции определяется совпадением направлений проекции и оси (направление проекции — от Решение задач по прикладной механике к Решение задач по прикладной механике).

Решение задач по прикладной механике

Обращаем внимание на возможность упростить решение подобных задач путем рационального выбора направления координатных осей.

Решив задачу аналитическим методом, следует затем проверить правильность решения:

а) с помощью графоаналитического метода (если система состоит из трех сил);

б) с помощью графического метода (если в системе более трех сил).

Определение усилий в стержнях фермы по способу вырезания узлов

Этот способ состоит в том, что мысленно вырезают узлы фермы, прикладывают к ним соответствующие внешние силы и реакции стержней и составляют уравнения равновесия сил, приложенных к каждому узлу. Так как в начале расчета фермы неизвестно, какие стержни фермы растянуты и какие сжаты, то условно предполагают, что все стержни растянуты (реакции стержней направлены от узлов).

Если в результате вычислений получают ответ со знаком «минус», то соответствующий стержень сжат.

Найденные реакции стержней равны по модулю внутренним усилиям в стержнях.

Последовательность рассмотрения узлов обычно определяется условием, что число неизвестных сил, приложенных к узлу, не должно превышать числа уравнений равновесия сил (двух для плоской фермы и трех для пространственной). Тогда эти неизвестные определяются сразу из уравнений равновесия сил, действующих на этот узел.

Если ферма плоская, то можно проверить правильность вычислений, построив многоугольники сил, приложенных к ее узлам. Эти многоугольники должны быть замкнутыми.

Усилия в отдельных стержнях загруженной фермы могут оказаться равными нулю. Такие стержни принято называть нулевыми. Рассмотрим леммы, пользуясь которыми можно определить нулевые стержни плоской фермы, не производя ее расчета.

Лемма 1. Если в незагруженном узле плоской фермы сходятся и два стержня, то усилия в этих стержнях равны пулю (рис. 1.9):

Решение задач по прикладной механике
Решение задач по прикладной механике
Решение задач по прикладной механике

Лемма 2. Если в незагруженном узле плоской фермы сходятся три стержня, из которых два расположены на одной прямой, то усилие в третьем стержне равно нулю. Усилия в первых двух стержнях равны между собой (рис. 1.10).

Решение задач по прикладной механике
Решение задач по прикладной механике

Лемма 3. Если в узле плоской фермы сходятся два стержня и к узлу приложена внешняя сила, линия действия которой совпадает с осью одного из стержней, то усилие в этом стержне равно по модулю приложенной силе, а усилие в другом стержне равно нулю (рис. 1.11):

Решение задач по прикладной механике
Решение задач по прикладной механике

Задачи с решением №1:

Теория пар сил

Действие пары сил на тело (рис. 2.1) нужно знать хорошо, так как с эффектом действия на тело пары сил приходится встречаться довольно часто. Пары сил возникают не только при непосредственном приложении к телу двух равных по величине и противоположно направленных параллельных сил, но и как результат приведения произвольно расположенных сил к силе и паре сил. Такое преобразование сил приходится производить при решении многих задач.

Решение задач по прикладной механике

Пара сил производит на тело вращательное действие. Вращательный эффект пары определяется произведением модуля одной из сил па её плечо:

Решение задач по прикладной механике
Решение задач по прикладной механике

Знак «плюс» принимается (рис. 2.2), если пара стремится повернуть тело против хода часовой стрелки.

Из определения момента пары сил следует, что можно:

  • как угодно переносить и поворачивать пару сил в плоскости ее действия;
  • перемещать ее в любую параллельную плоскость;
  • не нарушая состояния тела, изменять одновременно силы и плечо пары так, чтобы момент пары оставался постоянным:
Решение задач по прикладной механике
  • несколько пар сил с моментами Решение задач по прикладной механике, произвольно

расположенных в пространстве, заменить одной парой, момент которой равен геометрической сумме моментов всех пар сил:

Решение задач по прикладной механике

Отметим, что пара сил может быть уравновешена только парой сил.

Для уравновешенности системы п пар, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов этих пар была равна нулю:

Решение задач по прикладной механике

Обозначения моментов следует уточнить, а именно: Решение задач по прикладной механике — момент изгибающий, Решение задач по прикладной механике — момент крутящий.

Задачи с решением №2:

Плоская система произвольно расположенных сил. Момент силы относительно точки

Моментом силы Решение задач по прикладной механике (рис. 3.1) относительно точки или некоторого центра Решение задач по прикладной механике называется величина, равная произведению радиуса-вектора Решение задач по прикладной механике, проведенного из данной точки в точку приложения силы, на эту силу:

Решение задач по прикладной механике
Решение задач по прикладной механике

Момент силы относительно заданной точки является мерой вращательного действия этой силы на тело.

Расстояние от точки Решение задач по прикладной механике до линии действия силы называется плечом силы и обозначается Решение задач по прикладной механике.

Если действующие силы находятся в одной плоскости, то моментом силы относительно точки называется произведение модуля силы на плечо, т. е. на длину перпендикуляра, восстановленного из точки, относительно которой берется момент, к линии действия силы. Момент принято считать положительным, если он стремится повернуть тело против часовой стрелки (рис. 3.2, а), и отрицательным (рис. 3.2, б), если вращение направлено в противоположную сторону.

Решение задач по прикладной механике

Необходимо отметить следующее:

  • момент силы не изменяется при переносе точки приложения силы вдоль линии ее действия;
  • момент силы относительно точки равен нулю только тогда, когда сила равна нулю или когда линия действия силы проходит через эту точку;
  • момент силы численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах Решение задач по прикладной механике и Решение задач по прикладной механике, или удвоенной площади треугольника Решение задач по прикладной механике (см. рис. 3.1).

Равновесие твёрдых тел под действием ПСПРС

До сих пор были рассмотрены частные случаи равновесия сил:

а) когда к телу приложены силы, направленные по одной прямой;

б) когда к телу приложено несколько сил, но линии их действия обязательно пересекались в одной точке;

в) когда к телу приложены пары силы.

В реальных условиях тело может находиться в равновесии под действием произвольно расположенной системы сил (рис. 3.3). Условием равновесия является равенство нулю главного момента и главного вектора. На основании этого условия можно составить три уравнения равновесия сил, расположенных в одной плоскости. В зависимости от конкретных условий задачи эти три уравнения могут быть составлены по-разному.

Решение задач по прикладной механике

Поясним это следующим примером. На рис. 3.4 показана балка, нагруженная силами Решение задач по прикладной механике. Требуется определить опорные реакции Решение задач по прикладной механике.

Решение задач по прикладной механике

Составим уравнения равновесия:

Решение задач по прикладной механике

Уравнения равновесия можно было бы составить следующим образом:

Решение задач по прикладной механике
Решение задач по прикладной механике

Первый вид уравнений (3.1) более выгодный для решения задач, так как в каждое уравнение входит только одна неизвестная сила, которая может быть определена независимо от других неизвестных сил. Существует третий вид уравнений (уравнения трёх моментов):

Решение задач по прикладной механике

здесь любые три точки Решение задач по прикладной механике не должны лежать на одной прямой.

При решении задач па равновесие рекомендуется соблюдать последовательность действий, указанную в табл. 3.1.

Решение задач по прикладной механике
Решение задач по прикладной механике

Плоская система параллельных сил (рис. 3.5). Пусть линии действия всех сил параллельны оси Решение задач по прикладной механике. Тогда уравнения равновесия записываются в виде

Решение задач по прикладной механике

или

Решение задач по прикладной механике

причём точки Решение задач по прикладной механике и Решение задач по прикладной механике не должны лежать на прямой, параллельной векторам сил.

Решение задач по прикладной механике

Статически определимые и статически неопределимые задачи

Статически определимыми называют задачи, которые можно решать методами статики твёрдого тела, т. е. задачи, в которых число неизвестных не превышает числа уравнений равновесия сил.

Статически неопределимыми называют задачи с числом неизвестных, превышающим число уравнений равновесия сил, т. е. задачи, которые нельзя решать методами статики твёрдого тела и для решения которых нужно учитывать деформации тела, обусловленные внешними нагрузками.

К статически неопределимым задачам относятся задачи по определению реакций опор составных конструкций (рис. 3.6).

Решение задач по прикладной механике

План решения задачи на определение реакций опор составной конструкции:

  • К конструкции прикладывают все задаваемые силы.
  • Отбрасывают внешние связи, заменяя их соответствующими реакциями.
  • Заметив, что число неизвестных реакций связей больше числа уравнений равновесия, которые можно составить для полученной системы сил, конструкцию расчленяют, заменяя внутренние связи соответствующими реакциями (рис. 3.7).
  • Каждое из тел, входящих в состав конструкции, рассматривают как свободное, находящееся под действием задаваемых сил и реакций внешних и внутренних связей.
  • Сопоставляя общее число неизвестных величин и число всех уравнений равновесия сил, которые могут быть составлены после расчленения конструкции, устанавливают, является ли задача статически определимой.
  • Составляют уравнения равновесия сил, приложенных к каждому телу
Решение задач по прикладной механике
  • Если задача статически определима, то, решая полученную систему уравнений, определяют все неизвестные величины.

Определение усилий в стержнях по способу Риттера

Используем метод сечений для нахождения усилий в стержнях плоских ферм. Рассмотрим ферму, изображённую на рис. 3.8. На ферму действуют вертикальные внешние силы: реакции опор Решение задач по прикладной механике = 40 кН и Решение задач по прикладной механике = 20 кН и нагрузка Решение задач по прикладной механике = 60 кН.

Решение задач по прикладной механике

При определении усилий все стержни фермы условимся считать растянутыми, знак «минус» в ответе будет означать, что стержень сжат. Допустим, требуется определить усилие в стержне 6 фермы. Для этого проводим сечение I-I, рассекая не более трех стержней, в том числе стержень 6, усилие в котором определяется. Мысленно отбрасываем левую часть фермы, заменяя ее действие на оставшуюся правую часть усилиями Решение задач по прикладной механике и Решение задач по прикладной механике, приложенными в соответствующих сечениях стержней и направленными в сторону отброшенной части (рис. 3.9).

Решение задач по прикладной механике

Чтобы определить усилие Решение задач по прикладной механике независимо от усилий Решение задач по прикладной механике и Решение задач по прикладной механике, составляем уравнение моментов сил, действующих на правую часть фермы, относительно точки Решение задач по прикладной механике, в которой пересекаются линии действия сил Решение задач по прикладной механике и Решение задач по прикладной механике. Эту точку называют точкой Риттера:

Решение задач по прикладной механике

Так как

Решение задач по прикладной механике

то

Решение задач по прикладной механике

Воспользуемся тем же сечением для определения усилия Решение задач по прикладной механике независимо от усилий Решение задач по прикладной механике и Решение задач по прикладной механике. Спроецируем все силы, действующие на правую часть фермы, на вертикальную ось Решение задач по прикладной механике, так как проекции сил Решение задач по прикладной механике и Решение задач по прикладной механике на эту ось равны нулю:

Решение задач по прикладной механике

Для определения усилия Решение задач по прикладной механике составим уравнение моментов этих же сил относительно точки Риттера Решение задач по прикладной механике, в которой пересекаются линии действия сил Решение задач по прикладной механике и Решение задач по прикладной механике:

Решение задач по прикладной механике

Знаки полученных ответов показывают, что стержень 6 растянут, а стержни 7 и 8 сжаты.

Такой способ определения усилий в стержнях фермы предложен Риттером и носит название способа Риттера.

Задачи с решением №3:

Пространственная система сил. Момент силы относительно оси

Величина, равная проекции на ось вектора момента силы (рис. 4.1) относительно любой точки, принадлежащей данной оси, называется моментом силы относительно оси.

Решение задач по прикладной механике

Моменты сил относительно координатных осей вычисляются по формулам

Решение задач по прикладной механике

При решении задач необходимо помнить, что моментом силы относительно оси называется произведение проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, на плечо. Плечом проекции силы называется перпендикуляр, проведённый из точки пересечения оси с плоскостью на проекцию силы или её продолжение. Момент силы относительно оси считается положительным, если плоскость под действием проекции силы стремится повернуться в направлении против хода часовой стрелки (если смотреть на плоскость со стороны стрелки оси), и отрицательным, если — в направлении часовой стрелки.

Момент силы относительно оси равен нулю в двух случаях:

  1. Если линия действия силы параллельна оси (проекция силы на плоскость обращается в нуль);
  2. Если сила или линия действия силы пересекает ось (плечо проекции силы равно пулю).

Для вычисления момента силы, например, относительно оси Решение задач по прикладной механике, необходимо:

  1. Провести в любом месте плоскость Решение задач по прикладной механике, перпендикулярную к оси Решение задач по прикладной механике, и найти точку пересечения этой плоскости с осью;
  2. Спроецировать силу Решение задач по прикладной механике на эту плоскость и определить вектор Решение задач по прикладной механике,
  3. Опустить из точки пересечения оси с плоскостью перпендикуляр на линию действия Решение задач по прикладной механике и найти его длину Решение задач по прикладной механике;
  4. Вычислить произведение Решение задач по прикладной механике;
  5. Определить знак момента Решение задач по прикладной механике

Приведение силы к центру

Всякую силу Решение задач по прикладной механике, приложенную к твёрдому телу в точке Решение задач по прикладной механике, можно переносить параллельно линии её действия в любую точку Решение задач по прикладной механике, присоединив пару сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки её приложения.

Докажем эту теорему. Пусть в точке Решение задач по прикладной механике твёрдого тела приложена сила Решение задач по прикладной механике (рис. 4.2, а). Выберем произвольную точку Решение задач по прикладной механике (точку приведения), не лежащую па линии действия силы Решение задач по прикладной механике. Приложим в точке Решение задач по прикладной механике параллельно данной силе Решение задач по прикладной механике две равные по модулю, по противоположные по направлению силы Решение задач по прикладной механике и Решение задач по прикладной механике (рис. 4.2, б). Полученная система сил Решение задач по прикладной механике эквивалентна одной силе Решение задач по прикладной механике.

Силы Решение задач по прикладной механике и Решение задач по прикладной механике образуют пару Решение задач по прикладной механике. Следовательно, система сил Решение задач по прикладной механике эквивалентна силе Решение задач по прикладной механике, приложенной в точке Решение задач по прикладной механике и равной по модулю силе Решение задач по прикладной механике, и паре сил Решение задач по прикладной механике с моментом Решение задач по прикладной механике (рис. 4.2, в).

Решение задач по прикладной механике

Равновесие твёрдых тел под действием пространственной системы сил

Для равновесия тела при действии на него любой пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы сил были равны нулю:

Решение задач по прикладной механике

В проекциях на координатные оси уравнения равновесия (4.1) твёрдого тела можно записать в виде следующих шести уравнений:

Решение задач по прикладной механике

Для равновесия тела, в случае действия на него произвольной пространственной системы сил, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из осей и суммы моментов этих сил относительно координатных осей были равны пулю.

Пространственная система параллельных сил. Если Решение задач по прикладной механике параллельна линиям действия сил (рис. 4.3), то проекции сил Решение задач по прикладной механике на оси Решение задач по прикладной механике и Решение задач по прикладной механике, а также моменты Решение задач по прикладной механике относительно оси Решение задач по прикладной механике равны нулю.

Решение задач по прикладной механике

Значит, уравнения равновесия принимают вид

Решение задач по прикладной механике

Пространственная система сходящихся сил. Для равновесия тела в случае действия на него пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил па каждую из осей были равны нулю:

Решение задач по прикладной механике

Задачи с решением №4:

Основы построения и исследования механизмов

Механизмом называется система тел, предназначенная для преобразования движения одного или нескольких твердых тел в требуемые движения других твердых тел.

Машиной называется устройство, выполняющее механические движения для преобразования энергии, материалов и информации с целыо замены или облегчения физического и умственного труда человека. В зависимости от основного назначения различают энергетические, технологические, транспортные и информационные машины. Энергетические машины предназначены для преобразования энергии. К ним относятся, например, электродвигатели, двигатели внутреннего сгорания, турбины, электрогенераторы. Технологические машины предназначены для преобразования обрабатываемого предмета, которое состоит в изменении его размеров, формы, свойств или состояния. Транспортные машины предназначены для перемещения людей и грузов. Информационные машины предназначены для получения и преобразования информации.

В состав машины обычно входят различные механизмы, которые составляют основу большинства машин. Кроме того, механизмы используются в приборах, аппаратах и других технологических устройствах.

Всякий механизм состоит из отдельных твердых тел, называемых деталями. Деталь является такой частью машины, которую изготовляют без сборочных операций. Детали могут быть простыми (гайка, шпонка и т. п.) и сложными (коленчатый вал, корпус редуктора, станина станка и т. п.). Детали частично или полностью объединяют в узлы. Узел представляет собой законченную сборочную единицу, состоящую из ряда деталей, имеющих общее функциональное назначение (подшипник, муфта, редуктор и т. п.). Сложные узлы могут включать несколько узлов (подузлов), например, редуктор включает подшипники, валы с насаженными па них зубчатыми колесами и т. п. Одно или несколько жестко соединенных твердых тел, входящих в состав механизма, называется звеном.

В каждом механизме имеется стойка, т. е. звено неподвижное или принимаемое за неподвижное. Из подвижных звеньев выделяют входные и выходные. Входным звеном называется звено, которому сообщается движение, преобразуемое механизмом в требуемые движения других звеньев. Выходным звеном называется звено, совершающее движение, для выполнения которого предназначен механизм.

Кинематической парой называется соединение двух соприкасающихся звеньев, допускающее их относительное движение.

Классификация кинематических пар

По числу связей, наложенных кинематической парой на относительное движение ее звеньев, все кинематические пары делятся на пять классов. Свободное тело (звено) в пространстве обладает шестью степенями свободы, так как оно может совершать три независимых поступательных движения вдоль взаимно перпендикулярных координатных осей и три вращательных движения вокруг тех же осей. После того как звено соединяется с другим звеном посредством кинематической пары, на его относительное движение накладываются некоторые ограничения (связи), причем номер класса кинематической пары определяется числом наложенных связей.

Основные кинематические пары представлены в табл. 5.1.

Решение задач по прикладной механике
Решение задач по прикладной механике
Решение задач по прикладной механике

По характеру относительного движения звеньев кинематические пары делятся на плоские и пространственные. Если относительное движение одного звена пары по отношению к другому является плоским, то пара является плоской; в противном случае пара будет пространственной. Из кинематических пар, изображенных в табл. 5.1, к плоским относятся вращательная и поступательная.

Поверхности, линии и точки, по которым соприкасаются звенья, называются элементами кинематической пары. Различают низшие пары, элементами которых являются поверхности, и высшие пары, элементами которых могут быть только линии или точки. Из кинематических пар, изображенных в табл. 5.1, к высшим парам относятся пары «цилиндр — плоскость» и «шар — плоскость», остальные пары являются низшими. Высшие пары обладают меньшей долговечностью и большей изнашиваемостью, так как удельные давления в этих парах выше, чем в низших парах.

Кинематические цепи

Кинематической цепыо называется система звеньев, связанных между собой кинематическими парами.

Кинематические цепи могут быть плоскими и пространственными, замкнутыми и незамкнутыми. В плоской цепи при закреплении одного из звеньев все остальные совершают плоское движение, параллельное одной и той же неподвижной плоскости (рис. 5.1). В остальных случаях кинематическая цепь является пространственной (рис. 5.2). В замкнутой кинематической цепи (см. рис. 5.1) звенья образуют один или несколько замкнутых контуров, а в незамкнутой цепи (см. рис. 5.2) звенья не образуют замкнутых контуров.

Решение задач по прикладной механике

Кинематическая цепь входит в состав каждого механизма, образованного только из твердых тел.

Число степеней свободы механизма

При работе механизма все его звенья, за исключением неподвижного звена (стойки), перемещаются и в каждый момент времени занимают определенные положения. Чтобы определить положения всех звеньев, необходимо знать (задать) положения некоторых звеньев. Положения последних зависят от заданных параметров. Такими параметрами могут быть углы поворота звеньев (угловые координаты) или линейные перемещения звеньев (линейные координаты). Указанные угловые и линейные координаты иногда объединяют под общим названием «обобщенные координаты механизма».

Обобщенными координатами механизма называются независимые между собой координаты, определяющие положение всех звеньев механизма относительно стойки. Например, в механизме, изображенном на рис. 5.3, за обобщенную координату можно принимать угол поворота кривошипа Решение задач по прикладной механике. Звено, которому приписываются одна или несколько обобщенных координат механизма, называется начальным.

Решение задач по прикладной механике

Число обобщенных координат механизма называется также числом степеней свободы механизма, так как оно показывает, сколько обобщенных координат (независимых параметров) может быть задано произвольно.

Получим формулу для определения числа степеней свободы механизма. Общее число координат, определяющих положение Решение задач по прикладной механике подвижных звеньев механизма, равно 6Решение задач по прикладной механике. Так как каждая пара Решение задач по прикладной механике-го класса дает Решение задач по прикладной механике уравнений связи, то общее число этих уравнений

Решение задач по прикладной механике

где Решение задач по прикладной механике — число пар Решение задач по прикладной механике-го класса (Решение задач по прикладной механике от 1 до 5).

Если все уравнения связи независимы, то разность между общим числом координат и числом уравнений, связывающих эти координаты, дает число независимых координат, т. е. число степеней свободы механизма:

Решение задач по прикладной механике

Формула (5.1) используется для общего случая, т. е. для пространственного механизма. В плоских механизмах реализуются только пары пятого и четвертого классов (одно- и двухподвижные), хотя в действительности они могут быть и большей подвижности. При этом в роли одноподвижных пар обычно выступают низшие пары Решение задач по прикладной механике, а в роли двухподвижных — высшие пары Решение задач по прикладной механике. Поэтому для плоских механизмов

Решение задач по прикладной механике

Формула (5.2) называется формулой ПЛ. Чебышева. Определим Решение задач по прикладной механике для плоского механизма, изображенного на рис. 5.3. Имеем Решение задач по прикладной механике 5, Решение задач по прикладной механике = 7 (вращательные пары: 1-0, 1-2, 1-4, 2-3, 4-5; поступательные пары: 3-0, 5-0), Решение задач по прикладной механике = 0 и

Решение задач по прикладной механике

Шарнир Решение задач по прикладной механике является двукратным, т. к. он соединяет три звена (1,2 и 4) и при подсчете дает две кинематические пары. В общем случае кратность шарнира на единицу меньше числа сходящихся звеньев.

Определим Решение задач по прикладной механике для плоского кулачкового механизма (рис. 5.4). Звенья механизма: 1 — кулачок, 2 — толкатель, 3 — ролик, 0 — стойка. Имеем Решение задач по прикладной механике (вращательные пары: 1-0, 2-3; поступательная пара: 2-0), Решение задач по прикладной механике = 1 (высшая пара: 1-3) и

Решение задач по прикладной механике
Решение задач по прикладной механике

Из двух степеней свободы одна является местной (за счет возможности проскальзывания ролика) и не влияет на характер движения механизма в целом. Если условно удалить ролик, а действительный профиль Решение задач по прикладной механике кулачка заменить эквидистантным (равноотстоящим) центровым профилем Решение задач по прикладной механике, то получим механизм с остроконечным толкателем, для которого Решение задач по прикладной механике и

Решение задач по прикладной механике

т. е. местной подвижности нет.

Рассмотрим пространственный механизм манипулятора «рука» (рис. 5.5). Звенья механизма: 1 — плечо, 2 — предплечье, 3 — кисть, 0 — стойка. Имеем

Решение задач по прикладной механике

(вращательная пара: 1-2), Решение задач по прикладной механике (сферические пары: 1-0, 2-3) и

Решение задач по прикладной механике

Избыточные (пассивные) связи в механизмах
При выводе формул (5.1) и (5.2) предполагалось, что все наложенные связи независимы. Однако в некоторых механизмах имеются повторяющиеся связи, которые дублируют другие связи, не уменьшая степеней свободы механизма. Такие связи называются избыточными или пассивными. Они требуют повышенной точности изготовления звеньев во избежание дополнительных нагрузок на звенья из-за их деформации.

Иногда избыточные связи специально вводят в механизм для повышения его жесткости или для устранения неопределенности движения звеньев в особых положениях. Например, в механизме двойного параллелограмма (рис. 5.6), используемого в качестве спарника тепловоза,

Решение задач по прикладной механике

При этих условиях введение дополнительного звена 4 не вносит новых геометрических связей. Однако по формуле (5.2)

Решение задач по прикладной механике

хотя в действительности Решение задач по прикладной механике = 1, так как механизм обладает определенностью в движении звеньев. Если условно удалить звено 4, то при подсчете получим

Решение задач по прикладной механике

Формально избыточные связи проявляются в том, что число степеней свободы механизма получается равным нулю или отрицательным.

Структурный синтез и анализ механизмов

Структурный синтез механизма состоит в проектировании его структурной схемы, под которой понимается схема механизма, указывающая стойку, подвижные звенья, виды кинематических пар и их взаимное расположение.

Метод структурного синтеза механизмов, предложенный в 1914 г. русским ученым А.B. Ассуром, состоит в следующем: механизм может быть образован путем наслоения структурных групп к одному или нескольким начальным звеньям и стойке.

Структурной группой (группой Ассура) называется кинематическая цепь, число степеней свободы которой после присоединения ее внешними кинематическими парами к стойке равно нулю и которая не распадается на более простые цепи, удовлетворяющие этому условию.

Принцип наслоения иллюстрируется па примере образования 6-звенного рычажного механизма (рис. 5.7).

Решение задач по прикладной механике

Для структурных групп плоских механизмов с низшими парами

Решение задач по прикладной механике

откуда

Прикладная механика задачи с решением

Этому соотношению удовлетворяют следующие сочетания (табл. 5.2).

Прикладная механика задачи с решением

Простейшей является структурная группа, у которой Прикладная механика задачи с решением Она называется структурной группой второго класса. Существует пять видов групп второго класса (в зависимости от сочетания вращательных и поступательных пар) (рис. 5.8).

Прикладная механика задачи с решением

Порядок структурной группы определяется числом элементов ее внешних кинематических пар, которыми она может присоединяться к механизму. Все группы второго класса имеют второй порядок.

Структурные группы, у которых Прикладная механика задачи с решением могут быть третьего или четвертого класса (рис. 5.9).

Прикладная механика задачи с решением

Класс структурной группы в общем случае определяется числом кинематических пар в замкнутом контуре, образованном внутренними кинематическими парами.

Класс механизма определяется высшим классом структурной труппы, входящей в его состав.

Порядок образования механизма записывается в виде формулы его строения. Для рассмотренного примера (см. рис. 5.7) (0, 1) Прикладная механика задачи с решением II (2, 3) Прикладная механика задачи с решением II (4, 6) — механизм второго класса. Римскими цифрами указывается класс структурных групп, а арабскими — номера звеньев, из которых они образованы. Здесь обе структурные группы относятся ко второму классу, второму порядку, первому виду.

Строение механизма и его класс зависят от выбора начальных звеньев. Если в рассмотренном механизме в качестве начального звена выбрать звено 5. то формула строения будет иметь следующий вид: (0, 5) Прикладная механика задачи с решением III (1, 2, 3, 4) — механизм третьего класса. Структурный анализ механизма позволяет установить последовательность и методы его кинематического и силового анализа, поскольку структурные группы каждого класса и вида обладают единством методов их исследования.

Для структурного анализа механизмов с высшими парами используется метод построения заменяющих механизмов. Сопоставим два механизма: первый — с высшей парой, а второй — заменяющий (без высших пар), причем оба имеют одно и то же число степеней свободы (структурная эквивалентность), т. е.

Прикладная механика задачи с решением

Если Прикладная механика задачи с решением то Прикладная механика задачи с решением и Прикладная механика задачи с решением. Таким образом, одна высшая пара эквивалентна одному добавочному звену, входящему в две низшие пары.

Рассмотрим простейший механизм с высшей парой (рис. 5.10). В точке касания элементов высшей пары проводится общая нормаль, на ней находятся центры кривизны Прикладная механика задачи с решением и Прикладная механика задачи с решением, в которых помещаются шарниры, связанные добавочным звеном Прикладная механика задачи с решением. В результате получается мгновенный заменяющий механизм Прикладная механика задачи с решением. Для заданного механизма

Прикладная механика задачи с решением

для заменяющего механизма

Прикладная механика задачи с решением

Конструктивно-функциональная классификация механизмов

Кроме структурной классификации механизмов, рассмотренной в предыдущем параграфе, существует конструктивно-функциональная классификация. Согласно этой классификации механизмы можно разделить на пять основных видов: рычажные, кулачковые, фрикционные, зубчатые механизмы и механизмы с гибкими звеньями. Имеется также много комбинированных механизмов, представляющих собой различные сочетания механизмов указанных выше основных видов.

К рычажным механизмам относятся механизмы, звенья которых образуют только вращательные, поступательные, цилиндрические и сферические пары. На рис. 5.11 показаны схемы наиболее распространенных плоских рычажных механизмов — кривошипно-ползунного (рис. 5.11, а), шарнирного четырехзвенного (рис. 5.11,6), кулисного (рис. 5.11, в).

Прикладная механика задачи с решением

Кривошипом называется вращающееся звено, которое может совершать полный оборот вокруг неподвижной оси (звено 1 на всех трех схемах). Шатуном называется звено, которое образует кинематические пары только с подвижными звеньями (звено 2 на рис. 5.11, а и 5.11,6). Ползуном называется звено, образующее поступательную пару со стойкой (звено 3 на рис. 5.11, а). Коромыслом называется вращающееся звено, которое может совершать только неполный оборот вокруг неподвижной оси (звено 3 на рис. 5.11,6). Кулисой называется звено, вращающееся вокруг неподвижной оси и образующее с другим подвижным звеном поступательную пару (звено 3 на рис. 5.11, в).

Кривошипно-ползунный механизм может быть центральным (аксиальным), если эксцентриситет (дезаксиал) Прикладная механика задачи с решением; в противном случае (при Прикладная механика задачи с решением) он является нецентральным (дезаксиальным). В шарнирном четырёхзвениике наименьшее звено 1 будет кривошипом, если сумма длин наименьшего и наибольшего звеньев меньше или равна сумме длин двух других звеньев (теорема Ф. Грасгофа). Кулисный механизм может быть с качающейся кулисой, если Прикладная механика задачи с решением, и с вращающейся кулисой (на полный оборот), если Прикладная механика задачи с решением.

К кулачковым механизмам относятся механизмы, в состав которых входит кулачок, а кулачком называется звено, имеющее элемент высшей пары, выполненный в виде поверхности переменной кривизны. Кулачковые механизмы (рис. 5.12) предназначены для преобразования вращательного или возвратно-поступательного движения входного звена, которым, как правило, является кулачок 1, в возвратно-поступательное или возвратно-вращательное движение выходного звена — толкателя 2, причем движение толкателя может происходить с остановками заданной продолжительности. Для уменьшения потерь мощности на трение толкатель часто снабжается роликом. Механизмы на рис. 5.12, а, б, в являются плоскими, а механизм па рис. 5.12, г относится к пространственным. Основное достоинство кулачковых механизмов заключается в возможности получения практически любого закона движения толкателя за счет соответствующего выбора профиля кулачка.

Прикладная механика задачи с решением

Во фрикционных механизмах движение от входного звена к выходному передается за счет сил трения, возникающих в местах контакта звеньев (высшая пара). Простейшим фрикционным механизмом является фрикционная передача с параллельными (рис. 5.13, а, б) или пересекающимися осями (рис. 5.13, в).

Для плавного бесступенчатого изменения угловой скорости выходного звена при равномерном вращении входного звена используются фрикционные вариаторы. Например, на схеме, показанной на рис. 5.14, изменение угловой скорости выходного звена 2 осуществляется за счет перемещения ролика 3 вдоль его оси.

Прикладная механика задачи с решением

К зубчатым механизмам относятся механизмы, в состав которых входят зубчатые звенья. Зубчатое звено — это звено, имеющее выступы (зубья) для передачи движения посредством взаимодействия с выступами другого звена (тоже зубчатого). Вращающееся зубчатое звено называется зубчатым колесом. Зубчатое зацепление представляет собой высшую кинематическую пару.

На схемах механизмов цилиндрические зубчатые колёса изображаются окружностями (начальными), которые перекатываются одна по другой без скольжения (аналогично каткам фрикционной передачи).

Механизмы с гибкими связями применяют для передачи вращательного движения между валами при больших межосевых расстояниях. На рис.5.15 показан простейший механизм с гибкими связями. В зависимости от типа гибкой связи этот механизм может быть ременной, канатной или цепной передачей.

Прикладная механика задачи с решением

Основы кинематического анализа механизмов

Задачи и методы кинематического анализа механизмов

Кинематический анализ механизма состоит в определении движения его звеньев по заданному движению начальных звеньев. При этом считается известной кинематическая схема механизма, т. е. его структурная схема с указанием размеров звеньев, необходимых для кинематического анализа.

Основные задачи кинематического анализа:

1) определение положений звеньев и траекторий отдельных точек звеньев;

2) определение линейных скоростей и ускорений точек и угловых скоростей и ускорений звеньев;

3) определение передаточных отношений между звеньями.

Масштабные коэффициенты

Масштабным коэффициентом называется отношение численного значения физической величины к длине отрезка (в миллиметрах), изображающего эту величину.

Например, если длина звена равна Прикладная механика задачи с решением = 0,05 м, а отрезок, изображающий это звено, равен Прикладная механика задачи с решением = 50 мм, то масштабный коэффициент длин Прикладная механика задачи с решением = 0,05/50 = 0,001 м/мм, что соответствует чертежному масштабу 1:1; если же Прикладная механика задачи с решением = 25 мм, то Прикладная механика задачи с решением = 0,05/25 = 0,002 м/мм (1:2).

Масштабный коэффициент скоростей Прикладная механика задачи с решением. Если скорость некоторой точки Прикладная механика задачи с решением, а отрезок, изображающий Прикладная механика задачи с решением, равен Прикладная механика задачи с решением мм, то Прикладная механика задачи с решением. Масштабный коэффициент ускорений Прикладная механика задачи с решением.

Построение положений рычажных механизмов

Кинематический расчет механизмов выполняется в порядке присоединения структурных групп.

Построение положений плоских механизмов второго класса обычно выполняется методом засечек. В качестве примера рассмотрим кривошипно-ползунный механизм (рис. 6.1).

Вначале находим крайние положения механизма (0 и 3), в которых кривошип 1 и шатун 2 располагаются на одной прямой. Для этого из центра Прикладная механика задачи с решением делаем засечки радиусами Прикладная механика задачи с решением и Прикладная механика задачи с решением на линии движения ползуна 3. Далее делим окружность, описываемую точкой Прикладная механика задачи с решением, на равные части (например, па шесть) и отмечаем последовательные положения точки Прикладная механика задачи с решением — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, а затем методом засечек на линии движения ползуна получаем последовательные положения точки Прикладная механика задачи с решением — 0, 1, 2, 3 (движение справа налево), 4, 5, 6 (движение слева направо). Прикладная механика задачи с решением — ход ползуна. В результате получаем последовательные положения всех звеньев механизма.

Траектория некоторой точки Прикладная механика задачи с решением шатуна получается, если все последовательные положения точки соединить плавной кривой.

Кинематический анализ рычажных механизмов аналитическим методом

Используем метод замкнутого векторного контура, разработанный В.А. Зиновьевым. В качестве примера рассмотрим плоский кривошипно-ползунный механизм (рис. 6.2).

Прикладная механика задачи с решением

Составляем векторное уравнение замкнутости контура Прикладная механика задачи с решением, образованного звеньями механизма:

Прикладная механика задачи с решением

Проецируем это уравнение на оси координат, причем за положительное направление отсчета углов принимаем направление против часовой стрелки (в соответствии с этим угол Прикладная механика задачи с решением на рис. 6.2 показан со знаком «минус»):

Прикладная механика задачи с решением

Из уравнения (6.2) находим угол Прикладная механика задачи с решением:

Прикладная механика задачи с решением

где

Прикладная механика задачи с решением

Для определения Прикладная механика задачи с решением и Прикладная механика задачи с решением дифференцируем уравнения (6.1) и (6.2) по времени Прикладная механика задачи с решением, учитывая, что

Прикладная механика задачи с решением

Из уравнения (6.4) находим

Прикладная механика задачи с решением

а затем из уравнения (6.3) — Прикладная механика задачи с решением.

Для определения Прикладная механика задачи с решением и Прикладная механика задачи с решением дифференцируем уравнения (6.3) и (6.4) по времени Прикладная механика задачи с решением, учитывая, что

Прикладная механика задачи с решением

Из уравнения (6.6) находим

Прикладная механика задачи с решением

а затем из уравнения (6.5) — Прикладная механика задачи с решением. Если Прикладная механика задачи с решением то Прикладная механика задачи с решением. Для некоторой точки Прикладная механика задачи с решением на звене 2 имеем

Прикладная механика задачи с решением

Путем дифференцирования уравнений (6.7) и (6.8) можно найти проекции скоростей и ускорений

Прикладная механика задачи с решением

затем

Прикладная механика задачи с решением

Передаточное отношение

В механизмах, предназначенных для передачи вращательного движения (фрикционных, зубчатых и др.), основным кинематическим параметром является передаточное отношение, представляющее собой отношение угловых скоростей звеньев:

Прикладная механика задачи с решением

Очевидно, что

Прикладная механика задачи с решением

При параллельных осях вращения звеньев передаточное отношение считается положительным, если направления угловых скоростей звеньев одинаковые (см. рис. 5.13,6), и отрицательным, если эти направления противоположные (см. рис. 5.13,а).

Передаточное отношение может быть выражено через параметры механизма: в случае фрикционной передачи — через радиусы фрикционных катков Прикладная механика задачи с решением и Прикладная механика задачи с решением, а в случае зубчатой передачи — через числа зубьев колес Прикладная механика задачи с решением и Прикладная механика задачи с решением:

Прикладная механика задачи с решением

Задачи с решением №5:

Основы расчета и проектирования механизмов

Передачами в машинах называют устройства, предназначенные для передачи энергии механического движения на расстояние и преобразования его параметров. Необходимость применения передач между приводными двигателями и исполнительными (рабочими) органами машины обусловлена в основном несовпадением требуемых скоростей движения исполнительных органов с оптимальными скоростями двигателей. Кроме того, в ряде случаев передачи выполняют и некоторые частные функции, например преобразование видов движения (вращательное в поступательное), регулирование скорости, распределение потоков мощности между различными исполнительными органами машины, реверсирование движения. По принципу работы механические передачи делятся на передачи с непосредственным соприкосновением звеньев (фрикционные, зубчатые, червячные, волновые, винт — гайка, шарнирно-рычажные) и передачи с гибкой связью (ременные, канатные, цепные).

Передачи выполняются с постоянным или переменным (регулируемым) передаточным отношением. В последнем случае регулирование может быть ступенчатое или бесступенчатое.

Наряду с механическими передачами широко применяются гидравлические, пневматические и электрические передачи.

Основные виды зубчатых передач

Зубчатая передача — это трехзвенный механизм, в котором два подвижных звена являются зубчатыми колесами, образующими между собой высшую пару. Зубчатые передачи — самый распространенный вид механических передач.

Основные их достоинства — высокая надежность работы в широком диапазоне скоростей и нагрузок, малые габариты, большая долговечность, высокий КПД. сравнительно малые нагрузки на валы и подшипники, постоянство передаточного отношения, простота обслуживания. Недостатки — высокие требования к точности изготовления и монтажа, повышенный шум при больших скоростях.

В зависимости от расположения осей вращения колес различают следующие виды зубчатых передач: 1) с параллельными осями (цилиндрические); 2) с пересекающимися осями (конические); 3) со скрещивающимися осями (гипоидные). Цилиндрические передачи относятся к плоским механизмам, а конические и гипоидные — к пространственным.

Цилиндрические передачи могут быть с внешним (рис. 8.1, а) и внутренним зацеплением (рис. 8.1, б); частным случаем является реечная передача (рис. 8.1, в), осуществляющая преобразование вращательного движения в поступательное.

Прикладная механика задачи с решением

Цилиндрические колеса могут быть с прямыми (рис. 8.2. а), косыми или винтовыми (рис. 8.2, б) и шевронными зубьями (рис. 8.2, в).

Прикладная механика задачи с решением

Цилиндрические колеса Конические передачи чаще выполняются ортогональными, у которых межосевой угол Прикладная механика задачи с решением = 90°(рис. 8.3).

Прикладная механика задачи с решением

Конические колесо могут быть с прямыми (рис. 8.4, а), тангенциальными (рис. 8.4. б) и криволинейными (чаще всего круговыми) зубьями (рис. 8.4, в).

Прикладная механика задачи с решением

Основные виды гиперболоидных передач — червячная, винтовая зубчатая, гипоидная. Червячная передача (рис. 8.5) состоит из червяка 1, представляющего собой однозаходный или многозаходный винт, и червячного колеса 2. Винтовая зубчатая передача состоит из двух цилиндрических косозубых колес со скрещивающимися осями, а гипоидная передача — из двух конических колес также со скрещивающимися осями.

Прикладная механика задачи с решением

Зубчатое колесо передачи с меньшим числом зубьев называется шестерней, а с большим числом зубьев — колесом. Отношение числа зубьев колеса Прикладная механика задачи с решением к числу зубьев шестерни Прикладная механика задачи с решением называется передаточным числом:

Прикладная механика задачи с решением

По соотношению угловых скоростей ведущего и ведомого звеньев зубчатые передачи делятся на: а) понижающие (редукторы) и б) повышающие (мультипликаторы). У понижающих передач ведомое звено вращается с меньшей скоростью, чем ведущее, а у повышающих — наоборот.

Кинематика зубчатых механизмов с неподвижными осями вращения

Основным кинематическим параметром зубчатого механизма является передаточное отношение.

Передаточным отношением Прикладная механика задачи с решением называется отношение угловой скорости звена Прикладная механика задачи с решением к угловой скорости звена Прикладная механика задачи с решением (рис. 8.6).

Прикладная механика задачи с решением

Если

Прикладная механика задачи с решением

Если

Прикладная механика задачи с решением
Прикладная механика задачи с решением

где Прикладная механика задачи с решением и Прикладная механика задачи с решением — частота вращения, Прикладная механика задачи с решением, звена 1 и звена 2.

Для механизмов с параллельными осями передаточное отношение считается положительным при одинаковом направлении угловых скоростей и отрицательным — при противоположном.

Для цилиндрической передачи знак «плюс» соответствует внутреннему зацеплению (см. рис. 8.6, б), а «минус» — внешнему (см. рис. 8.6, а).

Передаточное отношение можно представить в виде

Прикладная механика задачи с решением

Для получения больших передаточных отношений применяются многоступенчатые передачи, составленные из нескольких простых зубчатых передач. В качестве примера рассмотрим трехступенчатую передачу (рис. 8.7).

Прикладная механика задачи с решением

На ведущем Прикладная механика задачи с решением и ведомом Прикладная механика задачи с решением валах посажено по одному колесу, а на промежуточных валах — по два колеса, причем каждое колесо входит только в одно зацепление с парным колесом. Передаточное отношение всего механизма

Прикладная механика задачи с решением

а передаточное отношение отдельных ступеней

Прикладная механика задачи с решением

Перемножим эти отношения:

Прикладная механика задачи с решением

Сравнивая выражения (8.1) и (8.2), получим

Прикладная механика задачи с решением

т. е. передаточное отношение многоступенчатой передачи равно произведению передаточных отношений отдельных ступеней.

Направление вращения колес можно определить с помощью стрелок, поставленных на схеме механизма. Указав произвольное направление вращения колеса 1, последовательно переходим к следующим колесам и ставим стрелки в соответствии с направлением вращения колес каждой ступени. В рассматриваемой передаче, как видно из рис. 8.7, колеса 1 и 4 вращаются в одну сторону. Таким образом,

Прикладная механика задачи с решением

Многоступенчатый зубчатый механизм можно образовать последовательным соединением колес (рис. 8.8), при котором вращение от ведущего вала Прикладная механика задачи с решением передается ведомому валу Прикладная механика задачи с решением через промежуточные валы Прикладная механика задачи с решением и Прикладная механика задачи с решением на каждом из которых помещено по два колеса: 2 и 2′, 3 и 3′.

Прикладная механика задачи с решением

Колеса 2 и 2′ жестко соединены с валом Прикладная механика задачи с решением и имеют общую угловую скорость Прикладная механика задачи с решением; аналогично колеса 3 и 3′ жестко соединены с валом Прикладная механика задачи с решением и имеют общую угловую скорость Прикладная механика задачи с решением.

На одной проекции (см. рис. 8.8) направление угловых скоростей показано круговыми стрелками, а па второй — прямыми.

При последовательном ступенчатом соединении колес передаточное отношение равно произведению передаточных отношений промежуточных зацеплений (см. рис. 8.8):

Прикладная механика задачи с решением

В данном случае имеем трехступенчатую передачу. В общем случае передаточное отношение

Прикладная механика задачи с решением

где Прикладная механика задачи с решением — число внешних зацеплений.

Частным случаем многоступенчатой передачи является ступенчатый ряд с промежуточными (паразитными) колесами.

При простом последовательном соединении зубчатых колес (рис. 8.9, а) величина общего передаточного отношения не зависит от количества промежуточных (паразитных) колес:

Прикладная механика задачи с решением

В общем случае

Прикладная механика задачи с решением

где Прикладная механика задачи с решением — число внешних зацеплений.

Знак «минус» указывает на то, что колеса 1 и 4 вращаются в противоположные стороны. Как видно из полученного выражения, промежуточные колеса не влияют на величину общего передаточного отношения, но могут изменять его знак. Такие передачи применяются для изменения направления вращения ведомого звена, а также в случае передачи вращения между удаленными валами,

Прикладная механика задачи с решением

«Паразитные» колеса могут изменять знак передаточного отношения; например, при внешнем зацеплении (см. рис. 8.9, а) каждое четное колесо 2 и 4 вращается в сторону, противоположную вращению входного колеса 1, а каждое нечетное колесо 3 — в сторону вращения входного колеса 1.

На рис. 8.9, б показано последовательное соединение, состоящее из трех колес: 1, «паразитное» 2 и выходное 3 с внутренним зацеплением. Передаточное отношение

Прикладная механика задачи с решением

Передаточное отношение червячной передачи равно отношению числа зубьев колеса к числу витков червяка:

Прикладная механика задачи с решением

где Прикладная механика задачи с решением — число зубьев червячного колеса; Прикладная механика задачи с решением — число витков червяка;

Прикладная механика задачи с решением и Прикладная механика задачи с решением — частота вращения червяка и колеса, Прикладная механика задачи с решением. Механизм, изображенный на рис. 8.10, состоит из пары цилиндрических колес 1 и 2, пары комических колес 2′ и 3 и червячной пары 3′ и 4, где звено 3′ — червяк, а 4 — червячное колесо. Общее передаточное отношение для этого механизма

Прикладная механика задачи с решением

где Прикладная механика задачи с решением — число зубьев червячного колеса; Прикладная механика задачи с решением — число витков червяка.

Прикладная механика задачи с решением

Знак для общего передаточного отношения ставят лишь в том случае, когда входной и выходной валы вращаются относительно осей, параллельных друг другу.

Кинематика зубчатых механизмов с подвижными осями вращения

К механизмам с подвижными осями относятся механизмы, в составе которых имеется хотя бы одно колесо с перемещающейся в пространстве осыо вращения (сателлит). Различают три вида таких механизмов: 1) дифференциальные; 2) планетарные; 3) замкнутые дифференциальные.

  • Простые планетарные передачи, обладающие одной степенью подвижности, — передачи, у которых одно из основных звеньев закреплено неподвижно (рис. 8.12, закреплено звено 3). Такие механизмы служат для последовательной передачи потока мощности.
  • Дифференциальные передачи, обладающие двумя степенями подвижности, — передачи, у которых основные звенья подвижны (рис. 8.11). Эти передачи позволяют суммировать несколько потоков мощности, поступающих от независимых источников, либо распределять их по независимым потребителям.
  • Замкнутые дифференциальные передачи — передачи, получаемые из дифференциальных передач путем замыкания двух основных звеньев (центрального колеса и водила) простой передачей, состоящей из колес 1, 2, 3 (рис. 8.13). Такие передачи позволяют получить большие передаточные отношения при малых габаритах.

Рассмотрим механизм, изображенный на рис. 8.11. Определим число степеней подвижности, если Прикладная механика задачи с решением = 4 — число звеньев, Прикладная механика задачи с решением = 4 и Прикладная механика задачи с решением = 2 — число кинематических пар V и IV класса.

Прикладная механика задачи с решением

Определенность в движении звеньев у этого механизма будет в том случае, если законы движения будут заданы двум звеньям.

Основными звеньями механизмов с подвижными осями являются водило Прикладная механика задачи с решением и соосные с ним колеса (1 и 3). В данном случае все основные звенья подвижны. Оба эти признака (Прикладная механика задачи с решением > 1, подвижные основные звенья) определяют дифференциальный механизм.

Определим степень подвижности для механизма, изображенного на рис. 8.12:

Прикладная механика задачи с решением

У этого механизма колесо 3 (основное звено) неподвижно и Прикладная механика задачи с решением = 1. Оба признака определяют планетарный механизм. В механизмах замкнутых дифференциалов все основные звенья подвижны, но число степеней подвижности равно единице (Прикладная механика задачи с решением = 1). Таким образом, только по совокупности двух признаков механизмы с подвижными осями можно отнести к тому или иному типу.

Формулы (8.3), (8.4) для определения передаточного отношения планетарных и дифференциальных механизмов использовать нельзя, так как сателлит участвует в сложном движении, состоящем из вращения вокруг оси Прикладная механика задачи с решением и вращения вместе с водилом Прикладная механика задачи с решением вокруг оси Прикладная механика задачи с решением (рис. 8.11, 8.12).

Прикладная механика задачи с решением

Для вывода зависимостей, связывающих угловые скорости механизмов, имеющих подвижные оси, воспользуемся методом обращения движения.

Допустим, что в действительном движении звенья механизма (см. рис. 8.11) имеют угловые скорости Прикладная механика задачи с решением и Прикладная механика задачи с решением. Сообщим всем звеньям скорость, равную угловой скорости водила, но противоположно ей направленную, т. е. Прикладная механика задачи с решением. В этом случае угловые скорости звеньев соответственно будут

Прикладная механика задачи с решением

Так как водила Прикладная механика задачи с решением стало неподвижным (Прикладная механика задачи с решением = 0), то мы получили «обращенный механизм» с неподвижными осями. Для этого механизма справедлива зависимость

Прикладная механика задачи с решением

где Прикладная механика задачи с решением — передаточное отношение «обращенного механизма», которое можно определить через число зубьев колес:

Прикладная механика задачи с решением

В правую часть предыдущей зависимости подставим значение относительных скоростей:

Прикладная механика задачи с решением

Полученное выражение называется формулой Виллиса для дифференциальных механизмов. Левая часть, как показано выше, может быть выражена через число зубьев колес. Определенность в решении правой части будет иметь место, когда будут известны скорости двух ведущих звеньев. Установим, какой вид примет формула Виллиса для планетарного механизма, изображенного па рис. 8.12. У этого механизма колесо 3 жестко соединено со стойкой (заторможено), т. е. Прикладная механика задачи с решением.

Таким образом, имеем

Прикладная механика задачи с решением

Откуда

Прикладная механика задачи с решением

Полученная зависимость называется формулой Виллиса для планетарных механизмов, а передаточное отношение Прикладная механика задачи с решением — планетарным передаточным отношением.

Как и для дифференциальных механизмов, Прикладная механика задачи с решением — определяется через число зубьев колес.

В общем случае

Прикладная механика задачи с решением

где Прикладная механика задачи с решением — передаточное отношение от звена Прикладная механика задачи с решением к звену Прикладная механика задачи с решением (Прикладная механика задачи с решением — соответствует неподвижному центральному колесу).

Достоинством планетарных механизмов является возможность получения больших передаточных отношений при малых габаритах.

Задачи с решением №6:

Основы расчетов элементов конструкций

Основные понятия прочностной надежности типовых элементов конструкций

Основами расчета элементов конструкций называется наука о прочности, жесткости и устойчивости элементов машин и сооружений. Основной целыо является создание практически приемлемых и простых приемов расчета типовых, наиболее часто встречающихся элементов конструкций.

Общие понятия

Реальные объекты часто имеют весьма сложную форму и изготовлены из материалов с различными физико-механическими свойствами. Поэтому приходится в допустимых пределах отступать от реальных условий их работы.

Реальный объект, освобожденный от несущественных особенностей, называют расчетной схемой объекта. Как для одной и той же конструкции может быть предложено несколько расчетных схем, так и одна расчетная схема может быть поставлена в соответствие различным конструкциям.

Все многообразие деталей может быть сведено к следующим типам: брус, оболочка и массив.

Брусом (стержнем или балкой) называют тело, размеры поперечного сечения которого малы по сравнению с длиной. Ось бруса — линия, соединяющая центры тяжести его поперечных сечений.

Оболочка — тело, один из размеров которого намного меньше остальных (толщина).

Массив — тело, все размеры которого одного порядка.

Сила — мера механического взаимодействия тел. Если конструкция рассматривается изолированно от окружающих тел, то действия последних на конструкцию заменяется силами, которые называют внешними. Внешние силы по способу приложения могут быть сосредоточенными и распределенными. Распределенные нагрузки характеризуются интенсивностью, т.е. значением нагрузки, приходящейся на единичную длину или площадь. По характеру воздействия нагрузки бывают:

статическими (которые при возрастании от нуля до конечного значения вызывают несущественные ускорения элементов конструкции);

динамическими (вызывают в конструкции такие ускорения, которыми пренебрегать нельзя). Все твердые тела состоят из мельчайших частиц, удерживаемых на некотором расстоянии друг от друга силами взаимодействия. При нагружении в материале возникают внутренние силы, сопротивляющиеся этому нагружению.

Для бруса, к которому приложена система внешних сил, удовлетворяющая условиям равновесия, можно выявить внутренние силы, если рассечь мысленно брус плоскостью А и рассмотреть равновесие одной из частей.

Прикладная механика задачи с решением

Взаимодействие левой и правой частей заменить системой внутренних сил, распределенных по сечению. Таким образом, силы, являющиеся внутренними для тела в целом, становятся внешними для одной из его частей.

Система внутренних сил приводится к центру тяжести сечения. В результате получим главный вектор и главный момент. Спроецировав их на оси координат, получим в общем случае нагружения тела в его поперечном сечении шесть внутренних силовых факторов: продольная сила Прикладная механика задачи с решением, две поперечные силы Прикладная механика задачи с решением и Прикладная механика задачи с решением, два изгибающих момента Прикладная механика задачи с решением и Прикладная механика задачи с решением и крутящий момент Прикладная механика задачи с решением. Каждый из внутренних силовых факторов связан с определенным видом деформации.

Внутренние силовые факторы в произвольном сечении находятся с помощью метода сечений, который заключается в следующем:

  1. Мысленно рассекаем плоскостью тело в том месте, где нужно определить внутренние силы.
  2. Отбрасываем одну из частей (удобнее отбрасывать ту часть, на которую действует большее число внешних сил).
  3. Чтобы равновесие не нарушилось, заменяем действие отброшенной части на оставшуюся внутренними силами.
  4. Составляя уравнения равновесия всех сил, действующих на оставленную часть тела, и решая их, находим неизвестные внутренние силы через внешние силы.

Напряжения

Чтобы характеризовать закон распределения внутренних сил по сечению, необходимо ввести для них числовую меру. За такую меру принимается напряжение. За среднее напряжение на площадке Прикладная механика задачи с решением принимаем отношение внутренней силы Прикладная механика задачи с решением к Прикладная механика задачи с решением, т.е.

Прикладная механика задачи с решением

при

Прикладная механика задачи с решением

Векторная величина Прикладная механика задачи с решением представляет собой полное напряжение в точке сечения Прикладная механика задачи с решением (Прикладная механика задачи с решением измеряют в Прикладная механика задачи с решением).

Полное напряжение Прикладная механика задачи с решением раскладывают на три составляющие: по нормали к плоскости сечения (обозначают Прикладная механика задачи с решением и называют нормальным напряжением) и по двум осям в плоскости сечения (Прикладная механика задачи с решением — касательные напряжения).

Совокупность напряжений образует напряженное состояние в точке. Элемент считается достаточно прочным, если максимальное расчетное напряжение в опасной точке меньше предельного напряжения в определенное число раз. Число, показывающее во сколько раз максимальное расчетное напряжение меньше предельного для материала рассчитываемой детали, называется коэффициентом запаса прочности детали или просто запасом прочности и обозначается Прикладная механика задачи с решением.

Деталь, прочна в том случае, если запас прочности не меньше требуемого (нормативного) запаса, который обозначается Прикладная механика задачи с решением и зависит от ответственности детали, срока службы, точности расчёта и других факторов. Таким образом, условие прочности запишется: Прикладная механика задачи с решением. Часто условие прочности записывают через допускаемые напряжения Прикладная механика задачи с решением. Допускаемым напряжением называется максимальное значение напряжения, которое можно допустить при работе конструкции и при котором будет гарантироваться прочность детали: Прикладная механика задачи с решением. Условие прочности через допускаемое напряжение будет иметь вид: Прикладная механика задачи с решением. Незначительное превышение расчетного напряжения (в пределах 5 — 6%) считается неопасным.

Перемещения и деформации

Под действием внешних сил реальное тело деформируется. Изменяется первоначальное положение его сечений. Линейным называется перемещение, если сечение сдвинулось вдоль прямой, угловым — перемещение, вызывающее поворот линий и плоскостей.

Понятие деформация введено для характеристики интенсивности изменения линейных и угловых перемещений.

После снятия нагрузки деформации исчезают, они называются упругими, неисчезающие — «статочными.

Прикладная механика задачи с решением

Предел отношения приращения длины отрезка к первоначальной длине называют относительной линейной деформацией:

Прикладная механика задачи с решением

Деформации в направлении координатных осей обозначают

Прикладная механика задачи с решением

Угловой деформацией или углом сдвига называют:

Прикладная механика задачи с решением

В координатных плоскостях углы сдвига имеют обозначения

Прикладная механика задачи с решением

Деформированное состояние тела в точке характеризует совокупность линейных и угловых деформаций.

В расчетах на жесткость определяются максимальные перемещения, соответствующие данному виду деформации, и сравниваются с допускаемым значением перемещения. Жесткость элемента считается обеспеченной, если максимальное перемещение не превышает допускаемого.

Общие принципы расчета

В зависимости от постановки задачи, ее исходных данных существует три вида расчетов на прочность, жесткость и устойчивость: проверочный, проектный и определение допускаемой нагрузки. Определяя из условия прочности и жесткости необходимые размеры рассчитываемой детали, можно получить два значения размера. В качестве окончательного следует выбрать больший.

Независимо от вида деформации расчет на прочность можно схематично представить в виде следующих этапов:

  • Отыскивается опасное сечение рассчитываемого элемента, для чего с помощью метода сечений строятся эпюры внутренних силовых факторов, соответствующих данному виду деформации.
  • Зная закон распределения напряжений по площади поперечного сечения при данном виде деформация, определяется напряжение в опасной точке.
  • Для опасной точки записывается условие прочности, а затем, в зависимости от исходных данных задачи производится один из указанных выше расчетов на прочность.

Продольные силы и напряжения в поперечных сечениях стержней. Упругие деформации

Осевое центральное растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которой совпадает с осью бруса. Эту равнодействующую называют продольной силой и обозначают буквой Прикладная механика задачи с решением.

В частном случае , когда стержень растягивается или сжимается двумя равными силами Прикладная механика задачи с решением, приложенными вдоль оси стержня , продольная сила во всех поперечных сечениях равна Прикладная механика задачи с решением.

Величина продольной силы не зависит от площади поперечного сечения стержня. При сжатии поперечную силу считают отрицательной, при растяжении — положительной.

Чтобы выявить участки бруса или его сечения, где его продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил на базисной линии параллельно оси бруса.

Нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня, достаточно отдаленных от точек приложения действующих сил, при растяжении или сжатии распределяются равномерно по сечению:

Прикладная механика задачи с решением

где Прикладная механика задачи с решением — площадь поперечного сечения стержня, Прикладная механика задачи с решением.

Эпюрой нормальных напряжений называют график, показывающий закон изменения напряжения в поперечном сечении по длине бруса.

Продольные и поперечные упругие деформации, возникающие при растяжении или сжатии, связаны друг с другом зависимостью

Прикладная механика задачи с решением

где Прикладная механика задачи с решением и Прикладная механика задачи с решением — соответственно поперечная и продольная деформация; Прикладная механика задачи с решением — коэффициент Пуассона.

Зависимость между напряжением и продольной деформацией выражается законом Гука:

Прикладная механика задачи с решением

где Прикладная механика задачи с решением — модуль продольной упругости материала стержня, Прикладная механика задачи с решением. Удлинение или укорочение (изменение длины) участка бруса определяется по формуле:

Прикладная механика задачи с решением

где Прикладная механика задачи с решением — жесткость стержня при растяжении или сжатии; Прикладная механика задачи с решением — длина участка бруса, м.

Приведенная формула для определения изменения длины Прикладная механика задачи с решением справедлива, если продольная сила Прикладная механика задачи с решением и жесткость Прикладная механика задачи с решением постоянны по всей длине стержня. В ином случае стержень разбивают на участки, для каждого из которых указанное требование соблюдается, и изменение длины стержня определяют, как сумму изменений длин участков:

Прикладная механика задачи с решением

Напряжения и деформации при растяжении и сжатии возникают как от действия внешних сил, так и от действия силы тяжести стержня. В подавляющем большинстве элементов машиностроительных конструкций напряжения и перемещения, возникающие под действием силы тяжести, очень малы по сравнению с напряжениями и перемещениями, возникающими от действия внешних сил, и их, как правило, в расчет не принимают.

Расчет на прочность

Условие прочности при осевом растяжении или сжатии имеет вид:

Прикладная механика задачи с решением

где Прикладная механика задачи с решением — наибольшее напряжение в некоторой точке детали от наибольшей ожидаемой нагрузки;

Прикладная механика задачи с решением — допускаемое напряжение при растяжении или сжатии. Величину допускаемых напряжений при растяжении или сжатии принимают как некоторую часть от предельных напряжений материала. Для пластичных материалов за предельное напряжение принимают предел текучести Прикладная механика задачи с решением, а для хрупких материалов — предел прочности Прикладная механика задачи с решением, то есть для пластичных материалов

Прикладная механика задачи с решением

для хрупких:

Прикладная механика задачи с решением

где Прикладная механика задачи с решением и Прикладная механика задачи с решением — нормативные коэффициенты запаса прочности.

Различают три вида расчета на прочность: проверочный — проверка прочности, проектный- подбор сечения и определение допускаемой нагрузки.

Проверка прочности. При проверочном расчете определяют наибольшее напряжение в опасном сечении и сравнивают с допускаемым:

Прикладная механика задачи с решением

Наибольшее рабочее напряжение не должно превышать допускаемое напряжение больше чем на 3 — 5%.

При проверочном расчете часто сравнивают фактический запас прочности с нормальным коэффициентом запаса прочности:

Прикладная механика задачи с решением

где Прикладная механика задачи с решением — предельное напряжение для данного материала.

Проектный расчет. Определяют требуемую площадь поперечного сечения элемента конструкции при заданных материале и нагрузках:

Прикладная механика задачи с решением

Определение допускаемой нагрузки. По известной площади поперечного сечения и материалу определяют допускаемое значение продольных сил:

Прикладная механика задачи с решением

Найдя допускаемое значение продольной силы, определяют допускаемое значение внешней нагрузки.

Статически неопределимые системы

Система статически неопределима, если число реакций ее связей и внутренних сил превышает число независимых уравнений равновесия, которые могут быть составлены для этой системы. Каждая статически неопределимая система может рассматриваться как некоторая статически определимая система, на которую наложены дополнительные связи.

Изменение длин стержней, образующих систему, не могут быть независимыми, а должны удовлетворять некоторым условиям, следующим из особенностей конструкции. Аналитическая запись этих уравнений дает уравнения перемещения, решая которые вместе с уравнениями равновесия можно определить неизвестные усилия.

Этапы решения статически неопределимых задач:

1) брус, равновесие которого рассматривается, освободить от связей и заменить действие связей реакциями;

2) составить уравнение равновесия, в него войдут неизвестные реакции связей, без которых невозможно определить продольные силы, возникшие в стержне (уравнение проекций всех внешних сил на ось и уравнение моментов относительно неподвижного шарнира, которым жесткий брус прикреплен к стене);

3) рассмотреть картину деформации системы, изобразив ее на рисунке;

4) рассматривая с геометрической точки зрения картину деформации, составить уравнение перемещений, в которое войдут те же неизвестные реакции, что и в уравнение статики;

5) в уравнении перемещений произвести необходимые упрощения;

6) уравнение статики и уравнение перемещений решить совместно, определить искомые реакции связей;

7) определить внутренние силовые факторы (продольные силы) в частях деформируемого стержня (если в задаче требуется определить допускаемую нагрузку), выразить продольные силы через искомую нагрузку;

8) завершить решение задачи, производя заданный в ее условии расчет.

Исходя из условия прочности, можно производить три вида расчетов:

а)проверочный;

б) определение допускаемой нагрузки;

в) проектный.

В ходе решения очень важно правильно представить себе картину деформации. В задачах 73, 76 и 79 сечение, в котором приложена нагрузка Прикладная механика задачи с решением, перемещается вниз на величину Прикладная механика задачи с решением (рис. 10.1), следовательно, участок бруса выше сечения удлинится на величину Прикладная механика задачи с решением, а участок ниже этого сечения укоротится па величину Прикладная механика задачи с решением. Значит, уравнение перемещений для этих задач примет вид

Прикладная механика задачи с решением

Величины Прикладная механика задачи с решением определяются по формуле Гука (10.1).

Прикладная механика задачи с решением

В некоторых задачах стальные и алюминиевые стержни (трубки) укорачиваются или удлиняются под действием силы Прикладная механика задачи с решением на одинаковые величины. Следовательно, уравнение перемещения будет иметь вид:

Прикладная механика задачи с решением

Картина деформации других задач имеет вид, показанный на рис. 10.2, из которого легко найти геометрическую зависимость между удлинениями Прикладная механика задачи с решением и Прикладная механика задачи с решением стержней, удерживающих жесткий брус в равновесии, и длинами Прикладная механика задачи с решением и Прикладная механика задачи с решением частей бруса. Действительно, из подобия образовавшихся треугольников следует, что

Прикладная механика задачи с решением
Прикладная механика задачи с решением

При подстановке значений Прикладная механика задачи с решением и Прикладная механика задачи с решением в формулу для Прикладная механика задачи с решением необходимо соблюдать соответствие между наименованиями величин. Например, если величина Прикладная механика задачи с решением выражена в Прикладная механика задачи с решением, то площадь Прикладная механика задачи с решением необходимо выразить в Прикладная механика задачи с решением, а длину Прикладная механика задачи с решением в мм.

Кстати более подробно рассмотрено это в учебниках вот теория из учебников тут.

Расчет проводов на прочность

Расчет проводов основывается на следующих соображениях.

При подвеске любого провода между двумя изоляторами Прикладная механика задачи с решением и Прикладная механика задачи с решением, расположенными на одном горизонтальном уровне (рис. 10.3), он никогда не будет прямолинейным, а примет вид дуги «цепной линии», которую приближенно можно считать параболой. Причиной кривизны являются два фактора: удлинение от изменения температуры и упругое удлинение под действием внешних нагрузок, состоящих из силы тяжести самого провода, веса гололеда и давления ветра.

Прикладная механика задачи с решением

Температурное удлинение определяется формулой Гей-Люссака

Прикладная механика задачи с решением

где Прикладная механика задачи с решением — длина пролета (хорда параболы);

Прикладная механика задачи с решением — коэффициент линейного расширения;

Прикладная механика задачи с решением — изменение температуры.

Упругое удлинение определяется формулой Гука:

Прикладная механика задачи с решением

где Прикладная механика задачи с решением — продольное усилие (так называемое «тяжение» провода, рис. 10.4)

Прикладная механика задачи с решением — модуль продольной упругости (модуль Юнга); Прикладная механика задачи с решением — площадь поперечного сечения провода.

Прикладная механика задачи с решением

Кроме того, из курса математики известно, что длина дуги параболы превышает длину хорды на величину Прикладная механика задачи с решением, где Прикладная механика задачи с решением — стрела провисания.

Объедение предыдущие выражения в одно уравнение, получим:

Прикладная механика задачи с решением

Поскольку отношение продольной силы Прикладная механика задачи с решением к площади поперечного сечения Прикладная механика задачи с решением определяет растягивающее напряжение Прикладная механика задачи с решением, предыдущее уравнение можно записать так:

Прикладная механика задачи с решением

а после ряда преобразовании можно получить наиболее простую формулу, называемую «уравнением состояния провода»:

Прикладная механика задачи с решением

где Прикладная механика задачи с решением — неизвестное растягивающее напряжение в проводе в летних условиях (точнее — в условиях температуры и нагрузки в момент подвешивания проводов), Прикладная механика задачи с решением и Прикладная механика задачи с решением — вспомогательные коэффициенты;

Прикладная механика задачи с решением

где, в свою очередь, вспомогательный коэффициент Прикладная механика задачи с решением:

Прикладная механика задачи с решением

(коэффициент Прикладная механика задачи с решением — коэффициент перегрузки в зимних условиях, задается в условии задачи);

Прикладная механика задачи с решением

где Прикладная механика задачи с решением и Прикладная механика задачи с решением — единичные нагрузки в сечениях раздельно взятых алюминиевого и стального проводов. Они выражаются в единицах Прикладная механика задачи с решением (то же самое, что Прикладная механика задачи с решением). Тем самым Прикладная механика задачи с решением и Прикладная механика задачи с решением совпадают с величиной удельного веса материалов проводов. Величина Прикладная механика задачи с решением представляет собой «приведенную» единичную нагрузку биметаллического провода, а Прикладная механика задачи с решением — больше этой величины за счет гололедной и ветровой нагрузок.

Величина Прикладная механика задачи с решением есть «приведенное» допускаемое напряжение в зимних условиях, вычисляемое по формуле

Прикладная механика задачи с решением

где Прикладная механика задачи с решением — заданный коэффициент запаса прочности;

Прикладная механика задачи с решением и Прикладная механика задачи с решением — пределы прочности материалов провода;

Прикладная механика задачи с решением — «приведенный» модуль упругости, определяемый формулой

Прикладная механика задачи с решением

Прикладная механика задачи с решением — «приведенный» коэффициент линейного расширения, определяемый формулой

Прикладная механика задачи с решением

Механические характеристики алюминия и стали приведены в табл. 10.1.

Прикладная механика задачи с решением

Задачи с решением №7:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

«