Прикладная механика: задачи с решением

Прежде чем изучать готовые решения задачи по прикладной механике, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила краткую теорию по предмету «прикладная механика», после которой подробно решены задачи.

Эта страница подготовлена для школьников и студентов.

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Основные положения статики. Плоская система сходящихся сил

К оглавлению…

Решение задач статики возможно лишь после того, как хорошо изучены аксиомы статики.

Аксиомы статики — это основные положения, на которых основана теория равновесия. Они устанавливают основные свойства сил, приложенных к телу.

Особое внимание следует обратить на аксиому о равенстве сил действия и противодействия. Эта аксиома рассматривает взаимодействие двух сил. Сила действия приложена к одному телу, а сила противодействия — к другому, поэтому они не могут уравновешиваться, так как эффект действия сил различен для каждого тела. На основании аксиомы о равенстве действия и противодействия опоры тел или, как говорят, их связи, можно заменить силами. Одной из важнейших задач при этом является умение правильно определить направление силы реакции опоры. Для этого нужно внимательно разобраться в устройстве той или иной опоры и схематически изобразить опорные поверхности.

Гибкая нерастяжимая нить (трос, канат, цепь, ремень). Реакции и направлены вдоль нити к точке подвеса (рис. 1.1).

Невесомый жесткий стержень. Невесомым называется стержень, массой которого можно пренебречь. Связь осуществляется с помощью жесткого стержня, концы которого закреплены шарнирно, например, как стержни и на рис. 1.2. Реакции и направлены вдоль прямой, соединяющей центры шарниров.

Гладкая поверхность. Поверхности называют гладкими, если силами трения, возникающими в точках их контакта, можно пренебречь. Реакция гладкой поверхности или опоры направлена по общей нормали к поверхностям тел в точке их касания и приложена в той же точке (рис. 1.3, а).

Если одна из соприкасающихся поверхностей является точкой, имеет заострение или ребро, то реакция ( или ) направлена по нормали к другой поверхности (рис. 1.3, б).

Шероховатая поверхность (рис. 1.4). Направление реакции такой связи заранее неизвестно, поэтому обычно определяют две ее составляющие: нормальную реакцию и касательную — силу трения

Сила трения действует в плоскости, касательной к соприкасающимся поверхностям в точке их контакта, и направлена в сторону, противоположную той, куда активные силы стремятся сдвинуть тело. Сила трения может принимать любые значения от нуля до максимального значения, которое достигается в момент выхода тела из положения равновесия:

Максимальная сила трения скольжения равна произведению статического коэффициента трения на нормальную реакцию:

При скольжении одного тела по поверхности другого сила трения направлена в сторону, противоположную направлению движения. и равна произведению динамического коэффициента трения на нормальную реакцию:

Значения коэффициентов трения для различных материалов приводятся в справочниках.

При практических расчетах рассматривают предельное равновесие тела, когда сила трения равна . При этом уравнения равновесия дополняют равенством (1.1).

Определив реакции связей из уравнений равновесия тела, получают исходные данные, необходимые, например, для расчета элементов конструкции на прочность.

Заделки. Глухая заделка, или жесткое защемление (рис. 1.5, а), исключает любые перемещения тела. Примером такой связи является соединение двух стержней с гарантированным натягом. При действии па балку плоской системы сил в заделке возникают пара сил с реактивным моментом и произвольно направленная реакция с составляющими и .

Скользящая заделка (рис. 1.5, б) допускает осевое перемещение стержня, система реакций состоит из силы и пары сил с моментом .

Свободная заделка (рис. 1.5, в) не препятствует перемещениям стержней вдоль своих осей, но исключает возможность их поворота. Поэтому, если не учитывать массу балки, в такой заделке возникает только реактивный момент .

Подвижный шарнир (шарнирно-подвижная опора). Нижняя обойма в опоре (рис. 1.6, а) установлена на цилиндрические катки. Поэтому балка имеет возможность поворачиваться относительно оси шарнира и перемещаться вдоль опорной плоскости катков. Реакция связи направлена перпендикулярно к опорной плоскости катков.

Условные изображения шарнирно-подвижной опоры показаны на рис. 1.6, б.

Неподвижный шарнир (шарнирно-неподвижная опора). Такая опора состоит из двух обойм, между которыми расположен цилиндрический стержень. Одна обойма (рис. 1.7, а) закреплена на балке , а другая — на неподвижном основании. Кроме того, шарнирное соединение может выполняться с помощью пальца , вставленного в цилиндрические отверстия стержня и опоры (рис. 1.7, б). Балка и стержень могут только поворачиваться относительно оси шарнира. Другие перемещения исключены.

Направление реакции связи заранее неизвестно. Реакция связи действует в плоскости, перпендикулярной к оси шарнира. Для неподвижного шарнира она может быть представлена двумя составляющими по координатным осям:

Условные изображения шарнирно-неподвижной опоры показаны на рис. 1.7, в.

Решение задач на равновесие геометрическим методом — построением силовых многоугольников — целесообразно лишь в том случае, если к телу приложено не более трех сил. Более удобным и универсальным методом решения задач на равновесие является аналитический метод. Он основан на составлении и решении уравнений равновесия. Для равновесия плоской системы сходящихся сил достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций сил па каждую ось координат равнялась нулю:

В различных учебниках можно встретить и другие формы записи этих же уравнений. Например:

В Международной системе единиц силы измеряются в ныотопах (Н). В ряде учебников и другой технической литературе встречается и другая единица измерения — килограмм-сила (кгс). В этом случае, при необходимости, приходится делать перевод старых единиц измерения в единицы СИ, пользуясь следующими соотношениями:

Напоминаем, что проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус ее острого угла с осью (рис. 1.8). Знак проекции определяется совпадением направлений проекции и оси (направление проекции — от к ).

Обращаем внимание на возможность упростить решение подобных задач путем рационального выбора направления координатных осей.

Решив задачу аналитическим методом, следует затем проверить правильность решения:

а) с помощью графоаналитического метода (если система состоит из трех сил);

б) с помощью графического метода (если в системе более трех сил).

Определение усилий в стержнях фермы по способу вырезания узлов

Этот способ состоит в том, что мысленно вырезают узлы фермы, прикладывают к ним соответствующие внешние силы и реакции стержней и составляют уравнения равновесия сил, приложенных к каждому узлу. Так как в начале расчета фермы неизвестно, какие стержни фермы растянуты и какие сжаты, то условно предполагают, что все стержни растянуты (реакции стержней направлены от узлов).

Если в результате вычислений получают ответ со знаком «минус», то соответствующий стержень сжат.

Найденные реакции стержней равны по модулю внутренним усилиям в стержнях.

Последовательность рассмотрения узлов обычно определяется условием, что число неизвестных сил, приложенных к узлу, не должно превышать числа уравнений равновесия сил (двух для плоской фермы и трех для пространственной). Тогда эти неизвестные определяются сразу из уравнений равновесия сил, действующих на этот узел.

Если ферма плоская, то можно проверить правильность вычислений, построив многоугольники сил, приложенных к ее узлам. Эти многоугольники должны быть замкнутыми.

Усилия в отдельных стержнях загруженной фермы могут оказаться равными нулю. Такие стержни принято называть нулевыми. Рассмотрим леммы, пользуясь которыми можно определить нулевые стержни плоской фермы, не производя ее расчета.

Лемма 1. Если в незагруженном узле плоской фермы сходятся и два стержня, то усилия в этих стержнях равны пулю (рис. 1.9):

Лемма 2. Если в незагруженном узле плоской фермы сходятся три стержня, из которых два расположены на одной прямой, то усилие в третьем стержне равно нулю. Усилия в первых двух стержнях равны между собой (рис. 1.10).

Лемма 3. Если в узле плоской фермы сходятся два стержня и к узлу приложена внешняя сила, линия действия которой совпадает с осью одного из стержней, то усилие в этом стержне равно по модулю приложенной силе, а усилие в другом стержне равно нулю (рис. 1.11):

Задачи с решением:

К оглавлению…

Теория пар сил

К оглавлению…

Действие пары сил на тело (рис. 2.1) нужно знать хорошо, так как с эффектом действия на тело пары сил приходится встречаться довольно часто. Пары сил возникают не только при непосредственном приложении к телу двух равных по величине и противоположно направленных параллельных сил, но и как результат приведения произвольно расположенных сил к силе и паре сил. Такое преобразование сил приходится производить при решении многих задач.

Пара сил производит на тело вращательное действие. Вращательный эффект пары определяется произведением модуля одной из сил па её плечо:

Знак «плюс» принимается (рис. 2.2), если пара стремится повернуть тело против хода часовой стрелки.

Из определения момента пары сил следует, что можно:

  • как угодно переносить и поворачивать пару сил в плоскости ее действия;
  • перемещать ее в любую параллельную плоскость;
  • не нарушая состояния тела, изменять одновременно силы и плечо пары так, чтобы момент пары оставался постоянным:
  • несколько пар сил с моментами , произвольно

расположенных в пространстве, заменить одной парой, момент которой равен геометрической сумме моментов всех пар сил:

Отметим, что пара сил может быть уравновешена только парой сил.

Для уравновешенности системы п пар, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов этих пар была равна нулю:

Обозначения моментов следует уточнить, а именно: — момент изгибающий, — момент крутящий.

Задачи с решением:

К оглавлению…

Плоская система произвольно расположенных сил. Момент силы относительно точки

Моментом силы (рис. 3.1) относительно точки или некоторого центра называется величина, равная произведению радиуса-вектора , проведенного из данной точки в точку приложения силы, на эту силу:

Момент силы относительно заданной точки является мерой вращательного действия этой силы на тело.

Расстояние от точки до линии действия силы называется плечом силы и обозначается .

Если действующие силы находятся в одной плоскости, то моментом силы относительно точки называется произведение модуля силы на плечо, т. е. на длину перпендикуляра, восстановленного из точки, относительно которой берется момент, к линии действия силы. Момент принято считать положительным, если он стремится повернуть тело против часовой стрелки (рис. 3.2, а), и отрицательным (рис. 3.2, б), если вращение направлено в противоположную сторону.

Необходимо отметить следующее:

  • момент силы не изменяется при переносе точки приложения силы вдоль линии ее действия;
  • момент силы относительно точки равен нулю только тогда, когда сила равна нулю или когда линия действия силы проходит через эту точку;
  • момент силы численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и , или удвоенной площади треугольника (см. рис. 3.1).

Равновесие твёрдых тел под действием ПСПРС

До сих пор были рассмотрены частные случаи равновесия сил:

а) когда к телу приложены силы, направленные по одной прямой;

б) когда к телу приложено несколько сил, но линии их действия обязательно пересекались в одной точке;

в) когда к телу приложены пары силы.

В реальных условиях тело может находиться в равновесии под действием произвольно расположенной системы сил (рис. 3.3). Условием равновесия является равенство нулю главного момента и главного вектора. На основании этого условия можно составить три уравнения равновесия сил, расположенных в одной плоскости. В зависимости от конкретных условий задачи эти три уравнения могут быть составлены по-разному.

Поясним это следующим примером. На рис. 3.4 показана балка, нагруженная силами . Требуется определить опорные реакции .

Составим уравнения равновесия:

Уравнения равновесия можно было бы составить следующим образом:

Первый вид уравнений (3.1) более выгодный для решения задач, так как в каждое уравнение входит только одна неизвестная сила, которая может быть определена независимо от других неизвестных сил. Существует третий вид уравнений (уравнения трёх моментов):

здесь любые три точки не должны лежать на одной прямой.

При решении задач па равновесие рекомендуется соблюдать последовательность действий, указанную в табл. 3.1.

Плоская система параллельных сил (рис. 3.5). Пусть линии действия всех сил параллельны оси . Тогда уравнения равновесия записываются в виде

или

причём точки и не должны лежать на прямой, параллельной векторам сил.

Статически определимые и статически неопределимые задачи

К оглавлению…

Статически определимыми называют задачи, которые можно решать методами статики твёрдого тела, т. е. задачи, в которых число неизвестных не превышает числа уравнений равновесия сил.

Статически неопределимыми называют задачи с числом неизвестных, превышающим число уравнений равновесия сил, т. е. задачи, которые нельзя решать методами статики твёрдого тела и для решения которых нужно учитывать деформации тела, обусловленные внешними нагрузками.

К статически неопределимым задачам относятся задачи по определению реакций опор составных конструкций (рис. 3.6).

План решения задачи на определение реакций опор составной конструкции:

  • К конструкции прикладывают все задаваемые силы.
  • Отбрасывают внешние связи, заменяя их соответствующими реакциями.
  • Заметив, что число неизвестных реакций связей больше числа уравнений равновесия, которые можно составить для полученной системы сил, конструкцию расчленяют, заменяя внутренние связи соответствующими реакциями (рис. 3.7).
  • Каждое из тел, входящих в состав конструкции, рассматривают как свободное, находящееся под действием задаваемых сил и реакций внешних и внутренних связей.
  • Сопоставляя общее число неизвестных величин и число всех уравнений равновесия сил, которые могут быть составлены после расчленения конструкции, устанавливают, является ли задача статически определимой.
  • Составляют уравнения равновесия сил, приложенных к каждому телу
  • Если задача статически определима, то, решая полученную систему уравнений, определяют все неизвестные величины.

Определение усилий в стержнях по способу Риттера

Используем метод сечений для нахождения усилий в стержнях плоских ферм. Рассмотрим ферму, изображённую на рис. 3.8. На ферму действуют вертикальные внешние силы: реакции опор = 40 кН и = 20 кН и нагрузка = 60 кН.

При определении усилий все стержни фермы условимся считать растянутыми, знак «минус» в ответе будет означать, что стержень сжат. Допустим, требуется определить усилие в стержне 6 фермы. Для этого проводим сечение I-I, рассекая не более трех стержней, в том числе стержень 6, усилие в котором определяется. Мысленно отбрасываем левую часть фермы, заменяя ее действие на оставшуюся правую часть усилиями и , приложенными в соответствующих сечениях стержней и направленными в сторону отброшенной части (рис. 3.9).

Чтобы определить усилие независимо от усилий и , составляем уравнение моментов сил, действующих на правую часть фермы, относительно точки , в которой пересекаются линии действия сил и . Эту точку называют точкой Риттера:

Так как

то

Воспользуемся тем же сечением для определения усилия независимо от усилий и . Спроецируем все силы, действующие на правую часть фермы, на вертикальную ось , так как проекции сил и на эту ось равны нулю:

Для определения усилия составим уравнение моментов этих же сил относительно точки Риттера , в которой пересекаются линии действия сил и :

Знаки полученных ответов показывают, что стержень 6 растянут, а стержни 7 и 8 сжаты.

Такой способ определения усилий в стержнях фермы предложен Риттером и носит название способа Риттера.

Задачи с решением:

К оглавлению…

Пространственная система сил. Момент силы относительно оси

К оглавлению…

Величина, равная проекции на ось вектора момента силы (рис. 4.1) относительно любой точки, принадлежащей данной оси, называется моментом силы относительно оси.

Моменты сил относительно координатных осей вычисляются по формулам

При решении задач необходимо помнить, что моментом силы относительно оси называется произведение проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, на плечо. Плечом проекции силы называется перпендикуляр, проведённый из точки пересечения оси с плоскостью на проекцию силы или её продолжение. Момент силы относительно оси считается положительным, если плоскость под действием проекции силы стремится повернуться в направлении против хода часовой стрелки (если смотреть на плоскость со стороны стрелки оси), и отрицательным, если — в направлении часовой стрелки.

Момент силы относительно оси равен нулю в двух случаях:

  1. Если линия действия силы параллельна оси (проекция силы на плоскость обращается в нуль);
  2. Если сила или линия действия силы пересекает ось (плечо проекции силы равно пулю).

Для вычисления момента силы, например, относительно оси , необходимо:

  1. Провести в любом месте плоскость , перпендикулярную к оси , и найти точку пересечения этой плоскости с осью;
  2. Спроецировать силу на эту плоскость и определить вектор ,
  3. Опустить из точки пересечения оси с плоскостью перпендикуляр на линию действия и найти его длину ;
  4. Вычислить произведение ;
  5. Определить знак момента

Приведение силы к центру

Всякую силу , приложенную к твёрдому телу в точке , можно переносить параллельно линии её действия в любую точку , присоединив пару сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки её приложения.

Докажем эту теорему. Пусть в точке твёрдого тела приложена сила (рис. 4.2, а). Выберем произвольную точку (точку приведения), не лежащую па линии действия силы . Приложим в точке параллельно данной силе две равные по модулю, по противоположные по направлению силы и (рис. 4.2, б). Полученная система сил эквивалентна одной силе .

Силы и образуют пару . Следовательно, система сил эквивалентна силе , приложенной в точке и равной по модулю силе , и паре сил с моментом (рис. 4.2, в).

Равновесие твёрдых тел под действием пространственной системы сил

Для равновесия тела при действии на него любой пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы сил были равны нулю:

В проекциях на координатные оси уравнения равновесия (4.1) твёрдого тела можно записать в виде следующих шести уравнений:

Для равновесия тела, в случае действия на него произвольной пространственной системы сил, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из осей и суммы моментов этих сил относительно координатных осей были равны пулю.

Пространственная система параллельных сил. Если параллельна линиям действия сил (рис. 4.3), то проекции сил на оси и , а также моменты относительно оси равны нулю.

Значит, уравнения равновесия принимают вид

Пространственная система сходящихся сил. Для равновесия тела в случае действия на него пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил па каждую из осей были равны нулю:

Задачи с решением:

К оглавлению…

Основы построения и исследования механизмов

К оглавлению…

Механизмом называется система тел, предназначенная для преобразования движения одного или нескольких твердых тел в требуемые движения других твердых тел.

Машиной называется устройство, выполняющее механические движения для преобразования энергии, материалов и информации с целыо замены или облегчения физического и умственного труда человека. В зависимости от основного назначения различают энергетические, технологические, транспортные и информационные машины. Энергетические машины предназначены для преобразования энергии. К ним относятся, например, электродвигатели, двигатели внутреннего сгорания, турбины, электрогенераторы. Технологические машины предназначены для преобразования обрабатываемого предмета, которое состоит в изменении его размеров, формы, свойств или состояния. Транспортные машины предназначены для перемещения людей и грузов. Информационные машины предназначены для получения и преобразования информации.

В состав машины обычно входят различные механизмы, которые составляют основу большинства машин. Кроме того, механизмы используются в приборах, аппаратах и других технологических устройствах.

Всякий механизм состоит из отдельных твердых тел, называемых деталями. Деталь является такой частью машины, которую изготовляют без сборочных операций. Детали могут быть простыми (гайка, шпонка и т. п.) и сложными (коленчатый вал, корпус редуктора, станина станка и т. п.). Детали частично или полностью объединяют в узлы. Узел представляет собой законченную сборочную единицу, состоящую из ряда деталей, имеющих общее функциональное назначение (подшипник, муфта, редуктор и т. п.). Сложные узлы могут включать несколько узлов (подузлов), например, редуктор включает подшипники, валы с насаженными па них зубчатыми колесами и т. п. Одно или несколько жестко соединенных твердых тел, входящих в состав механизма, называется звеном.

В каждом механизме имеется стойка, т. е. звено неподвижное или принимаемое за неподвижное. Из подвижных звеньев выделяют входные и выходные. Входным звеном называется звено, которому сообщается движение, преобразуемое механизмом в требуемые движения других звеньев. Выходным звеном называется звено, совершающее движение, для выполнения которого предназначен механизм.

Кинематической парой называется соединение двух соприкасающихся звеньев, допускающее их относительное движение.

Классификация кинематических пар

По числу связей, наложенных кинематической парой на относительное движение ее звеньев, все кинематические пары делятся на пять классов. Свободное тело (звено) в пространстве обладает шестью степенями свободы, так как оно может совершать три независимых поступательных движения вдоль взаимно перпендикулярных координатных осей и три вращательных движения вокруг тех же осей. После того как звено соединяется с другим звеном посредством кинематической пары, на его относительное движение накладываются некоторые ограничения (связи), причем номер класса кинематической пары определяется числом наложенных связей.

Основные кинематические пары представлены в табл. 5.1.

По характеру относительного движения звеньев кинематические пары делятся на плоские и пространственные. Если относительное движение одного звена пары по отношению к другому является плоским, то пара является плоской; в противном случае пара будет пространственной. Из кинематических пар, изображенных в табл. 5.1, к плоским относятся вращательная и поступательная.

Поверхности, линии и точки, по которым соприкасаются звенья, называются элементами кинематической пары. Различают низшие пары, элементами которых являются поверхности, и высшие пары, элементами которых могут быть только линии или точки. Из кинематических пар, изображенных в табл. 5.1, к высшим парам относятся пары «цилиндр — плоскость» и «шар — плоскость», остальные пары являются низшими. Высшие пары обладают меньшей долговечностью и большей изнашиваемостью, так как удельные давления в этих парах выше, чем в низших парах.

Кинематические цепи

Кинематической цепыо называется система звеньев, связанных между собой кинематическими парами.

Кинематические цепи могут быть плоскими и пространственными, замкнутыми и незамкнутыми. В плоской цепи при закреплении одного из звеньев все остальные совершают плоское движение, параллельное одной и той же неподвижной плоскости (рис. 5.1). В остальных случаях кинематическая цепь является пространственной (рис. 5.2). В замкнутой кинематической цепи (см. рис. 5.1) звенья образуют один или несколько замкнутых контуров, а в незамкнутой цепи (см. рис. 5.2) звенья не образуют замкнутых контуров.

Кинематическая цепь входит в состав каждого механизма, образованного только из твердых тел.

Число степеней свободы механизма

При работе механизма все его звенья, за исключением неподвижного звена (стойки), перемещаются и в каждый момент времени занимают определенные положения. Чтобы определить положения всех звеньев, необходимо знать (задать) положения некоторых звеньев. Положения последних зависят от заданных параметров. Такими параметрами могут быть углы поворота звеньев (угловые координаты) или линейные перемещения звеньев (линейные координаты). Указанные угловые и линейные координаты иногда объединяют под общим названием «обобщенные координаты механизма».

Обобщенными координатами механизма называются независимые между собой координаты, определяющие положение всех звеньев механизма относительно стойки. Например, в механизме, изображенном на рис. 5.3, за обобщенную координату можно принимать угол поворота кривошипа . Звено, которому приписываются одна или несколько обобщенных координат механизма, называется начальным.

Число обобщенных координат механизма называется также числом степеней свободы механизма, так как оно показывает, сколько обобщенных координат (независимых параметров) может быть задано произвольно.

Получим формулу для определения числа степеней свободы механизма. Общее число координат, определяющих положение подвижных звеньев механизма, равно 6. Так как каждая пара -го класса дает уравнений связи, то общее число этих уравнений

где — число пар -го класса ( от 1 до 5).

Если все уравнения связи независимы, то разность между общим числом координат и числом уравнений, связывающих эти координаты, дает число независимых координат, т. е. число степеней свободы механизма:

Формула (5.1) используется для общего случая, т. е. для пространственного механизма. В плоских механизмах реализуются только пары пятого и четвертого классов (одно- и двухподвижные), хотя в действительности они могут быть и большей подвижности. При этом в роли одноподвижных пар обычно выступают низшие пары , а в роли двухподвижных — высшие пары . Поэтому для плоских механизмов

Формула (5.2) называется формулой ПЛ. Чебышева. Определим для плоского механизма, изображенного на рис. 5.3. Имеем 5, = 7 (вращательные пары: 1-0, 1-2, 1-4, 2-3, 4-5; поступательные пары: 3-0, 5-0), = 0 и

Шарнир является двукратным, т. к. он соединяет три звена (1,2 и 4) и при подсчете дает две кинематические пары. В общем случае кратность шарнира на единицу меньше числа сходящихся звеньев.

Определим для плоского кулачкового механизма (рис. 5.4). Звенья механизма: 1 — кулачок, 2 — толкатель, 3 — ролик, 0 — стойка. Имеем (вращательные пары: 1-0, 2-3; поступательная пара: 2-0), = 1 (высшая пара: 1-3) и

Из двух степеней свободы одна является местной (за счет возможности проскальзывания ролика) и не влияет на характер движения механизма в целом. Если условно удалить ролик, а действительный профиль кулачка заменить эквидистантным (равноотстоящим) центровым профилем , то получим механизм с остроконечным толкателем, для которого и

т. е. местной подвижности нет.

Рассмотрим пространственный механизм манипулятора «рука» (рис. 5.5). Звенья механизма: 1 — плечо, 2 — предплечье, 3 — кисть, 0 — стойка. Имеем

(вращательная пара: 1-2), (сферические пары: 1-0, 2-3) и

Избыточные (пассивные) связи в механизмах
При выводе формул (5.1) и (5.2) предполагалось, что все наложенные связи независимы. Однако в некоторых механизмах имеются повторяющиеся связи, которые дублируют другие связи, не уменьшая степеней свободы механизма. Такие связи называются избыточными или пассивными. Они требуют повышенной точности изготовления звеньев во избежание дополнительных нагрузок на звенья из-за их деформации.

Иногда избыточные связи специально вводят в механизм для повышения его жесткости или для устранения неопределенности движения звеньев в особых положениях. Например, в механизме двойного параллелограмма (рис. 5.6), используемого в качестве спарника тепловоза,

При этих условиях введение дополнительного звена 4 не вносит новых геометрических связей. Однако по формуле (5.2)

хотя в действительности = 1, так как механизм обладает определенностью в движении звеньев. Если условно удалить звено 4, то при подсчете получим

Формально избыточные связи проявляются в том, что число степеней свободы механизма получается равным нулю или отрицательным.

Структурный синтез и анализ механизмов

Структурный синтез механизма состоит в проектировании его структурной схемы, под которой понимается схема механизма, указывающая стойку, подвижные звенья, виды кинематических пар и их взаимное расположение.

Метод структурного синтеза механизмов, предложенный в 1914 г. русским ученым А.B. Ассуром, состоит в следующем: механизм может быть образован путем наслоения структурных групп к одному или нескольким начальным звеньям и стойке.

Структурной группой (группой Ассура) называется кинематическая цепь, число степеней свободы которой после присоединения ее внешними кинематическими парами к стойке равно нулю и которая не распадается на более простые цепи, удовлетворяющие этому условию.

Принцип наслоения иллюстрируется па примере образования 6-звенного рычажного механизма (рис. 5.7).

Для структурных групп плоских механизмов с низшими парами

откуда

Этому соотношению удовлетворяют следующие сочетания (табл. 5.2).

Простейшей является структурная группа, у которой Она называется структурной группой второго класса. Существует пять видов групп второго класса (в зависимости от сочетания вращательных и поступательных пар) (рис. 5.8).

Порядок структурной группы определяется числом элементов ее внешних кинематических пар, которыми она может присоединяться к механизму. Все группы второго класса имеют второй порядок.

Структурные группы, у которых могут быть третьего или четвертого класса (рис. 5.9).

Класс структурной группы в общем случае определяется числом кинематических пар в замкнутом контуре, образованном внутренними кинематическими парами.

Класс механизма определяется высшим классом структурной труппы, входящей в его состав.

Порядок образования механизма записывается в виде формулы его строения. Для рассмотренного примера (см. рис. 5.7) (0, 1) II (2, 3) II (4, 6) — механизм второго класса. Римскими цифрами указывается класс структурных групп, а арабскими — номера звеньев, из которых они образованы. Здесь обе структурные группы относятся ко второму классу, второму порядку, первому виду.

Строение механизма и его класс зависят от выбора начальных звеньев. Если в рассмотренном механизме в качестве начального звена выбрать звено 5. то формула строения будет иметь следующий вид: (0, 5) III (1, 2, 3, 4) — механизм третьего класса. Структурный анализ механизма позволяет установить последовательность и методы его кинематического и силового анализа, поскольку структурные группы каждого класса и вида обладают единством методов их исследования.

Для структурного анализа механизмов с высшими парами используется метод построения заменяющих механизмов. Сопоставим два механизма: первый — с высшей парой, а второй — заменяющий (без высших пар), причем оба имеют одно и то же число степеней свободы (структурная эквивалентность), т. е.

Если то и . Таким образом, одна высшая пара эквивалентна одному добавочному звену, входящему в две низшие пары.

Рассмотрим простейший механизм с высшей парой (рис. 5.10). В точке касания элементов высшей пары проводится общая нормаль, на ней находятся центры кривизны и , в которых помещаются шарниры, связанные добавочным звеном . В результате получается мгновенный заменяющий механизм . Для заданного механизма

для заменяющего механизма

Конструктивно-функциональная классификация механизмов

Кроме структурной классификации механизмов, рассмотренной в предыдущем параграфе, существует конструктивно-функциональная классификация. Согласно этой классификации механизмы можно разделить на пять основных видов: рычажные, кулачковые, фрикционные, зубчатые механизмы и механизмы с гибкими звеньями. Имеется также много комбинированных механизмов, представляющих собой различные сочетания механизмов указанных выше основных видов.

К рычажным механизмам относятся механизмы, звенья которых образуют только вращательные, поступательные, цилиндрические и сферические пары. На рис. 5.11 показаны схемы наиболее распространенных плоских рычажных механизмов — кривошипно-ползунного (рис. 5.11, а), шарнирного четырехзвенного (рис. 5.11,6), кулисного (рис. 5.11, в).

Кривошипом называется вращающееся звено, которое может совершать полный оборот вокруг неподвижной оси (звено 1 на всех трех схемах). Шатуном называется звено, которое образует кинематические пары только с подвижными звеньями (звено 2 на рис. 5.11, а и 5.11,6). Ползуном называется звено, образующее поступательную пару со стойкой (звено 3 на рис. 5.11, а). Коромыслом называется вращающееся звено, которое может совершать только неполный оборот вокруг неподвижной оси (звено 3 на рис. 5.11,6). Кулисой называется звено, вращающееся вокруг неподвижной оси и образующее с другим подвижным звеном поступательную пару (звено 3 на рис. 5.11, в).

Кривошипно-ползунный механизм может быть центральным (аксиальным), если эксцентриситет (дезаксиал) ; в противном случае (при ) он является нецентральным (дезаксиальным). В шарнирном четырёхзвениике наименьшее звено 1 будет кривошипом, если сумма длин наименьшего и наибольшего звеньев меньше или равна сумме длин двух других звеньев (теорема Ф. Грасгофа). Кулисный механизм может быть с качающейся кулисой, если , и с вращающейся кулисой (на полный оборот), если .

К кулачковым механизмам относятся механизмы, в состав которых входит кулачок, а кулачком называется звено, имеющее элемент высшей пары, выполненный в виде поверхности переменной кривизны. Кулачковые механизмы (рис. 5.12) предназначены для преобразования вращательного или возвратно-поступательного движения входного звена, которым, как правило, является кулачок 1, в возвратно-поступательное или возвратно-вращательное движение выходного звена — толкателя 2, причем движение толкателя может происходить с остановками заданной продолжительности. Для уменьшения потерь мощности на трение толкатель часто снабжается роликом. Механизмы на рис. 5.12, а, б, в являются плоскими, а механизм па рис. 5.12, г относится к пространственным. Основное достоинство кулачковых механизмов заключается в возможности получения практически любого закона движения толкателя за счет соответствующего выбора профиля кулачка.

Во фрикционных механизмах движение от входного звена к выходному передается за счет сил трения, возникающих в местах контакта звеньев (высшая пара). Простейшим фрикционным механизмом является фрикционная передача с параллельными (рис. 5.13, а, б) или пересекающимися осями (рис. 5.13, в).

Для плавного бесступенчатого изменения угловой скорости выходного звена при равномерном вращении входного звена используются фрикционные вариаторы. Например, на схеме, показанной на рис. 5.14, изменение угловой скорости выходного звена 2 осуществляется за счет перемещения ролика 3 вдоль его оси.

К зубчатым механизмам относятся механизмы, в состав которых входят зубчатые звенья. Зубчатое звено — это звено, имеющее выступы (зубья) для передачи движения посредством взаимодействия с выступами другого звена (тоже зубчатого). Вращающееся зубчатое звено называется зубчатым колесом. Зубчатое зацепление представляет собой высшую кинематическую пару.

На схемах механизмов цилиндрические зубчатые колёса изображаются окружностями (начальными), которые перекатываются одна по другой без скольжения (аналогично каткам фрикционной передачи).

Механизмы с гибкими связями применяют для передачи вращательного движения между валами при больших межосевых расстояниях. На рис.5.15 показан простейший механизм с гибкими связями. В зависимости от типа гибкой связи этот механизм может быть ременной, канатной или цепной передачей.

Основы кинематического анализа механизмов

К оглавлению…

Задачи и методы кинематического анализа механизмов

Кинематический анализ механизма состоит в определении движения его звеньев по заданному движению начальных звеньев. При этом считается известной кинематическая схема механизма, т. е. его структурная схема с указанием размеров звеньев, необходимых для кинематического анализа.

Основные задачи кинематического анализа:

1) определение положений звеньев и траекторий отдельных точек звеньев;

2) определение линейных скоростей и ускорений точек и угловых скоростей и ускорений звеньев;

3) определение передаточных отношений между звеньями.

Масштабные коэффициенты

Масштабным коэффициентом называется отношение численного значения физической величины к длине отрезка (в миллиметрах), изображающего эту величину.

Например, если длина звена равна = 0,05 м, а отрезок, изображающий это звено, равен = 50 мм, то масштабный коэффициент длин = 0,05/50 = 0,001 м/мм, что соответствует чертежному масштабу 1:1; если же = 25 мм, то = 0,05/25 = 0,002 м/мм (1:2).

Масштабный коэффициент скоростей . Если скорость некоторой точки , а отрезок, изображающий , равен мм, то . Масштабный коэффициент ускорений .

Построение положений рычажных механизмов

Кинематический расчет механизмов выполняется в порядке присоединения структурных групп.

Построение положений плоских механизмов второго класса обычно выполняется методом засечек. В качестве примера рассмотрим кривошипно-ползунный механизм (рис. 6.1).

Вначале находим крайние положения механизма (0 и 3), в которых кривошип 1 и шатун 2 располагаются на одной прямой. Для этого из центра делаем засечки радиусами и на линии движения ползуна 3. Далее делим окружность, описываемую точкой , на равные части (например, па шесть) и отмечаем последовательные положения точки — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, а затем методом засечек на линии движения ползуна получаем последовательные положения точки — 0, 1, 2, 3 (движение справа налево), 4, 5, 6 (движение слева направо). — ход ползуна. В результате получаем последовательные положения всех звеньев механизма.

Траектория некоторой точки шатуна получается, если все последовательные положения точки соединить плавной кривой.

Кинематический анализ рычажных механизмов аналитическим методом

Используем метод замкнутого векторного контура, разработанный В.А. Зиновьевым. В качестве примера рассмотрим плоский кривошипно-ползунный механизм (рис. 6.2).

Составляем векторное уравнение замкнутости контура , образованного звеньями механизма:

Проецируем это уравнение на оси координат, причем за положительное направление отсчета углов принимаем направление против часовой стрелки (в соответствии с этим угол на рис. 6.2 показан со знаком «минус»):

Из уравнения (6.2) находим угол :

где

Для определения и дифференцируем уравнения (6.1) и (6.2) по времени , учитывая, что

Из уравнения (6.4) находим

а затем из уравнения (6.3) — .

Для определения и дифференцируем уравнения (6.3) и (6.4) по времени , учитывая, что

Из уравнения (6.6) находим

а затем из уравнения (6.5) — . Если то . Для некоторой точки на звене 2 имеем

Путем дифференцирования уравнений (6.7) и (6.8) можно найти проекции скоростей и ускорений

затем

Передаточное отношение

В механизмах, предназначенных для передачи вращательного движения (фрикционных, зубчатых и др.), основным кинематическим параметром является передаточное отношение, представляющее собой отношение угловых скоростей звеньев:

Очевидно, что

При параллельных осях вращения звеньев передаточное отношение считается положительным, если направления угловых скоростей звеньев одинаковые (см. рис. 5.13,6), и отрицательным, если эти направления противоположные (см. рис. 5.13,а).

Передаточное отношение может быть выражено через параметры механизма: в случае фрикционной передачи — через радиусы фрикционных катков и , а в случае зубчатой передачи — через числа зубьев колес и :

Задачи с решением:

К оглавлению…

Основы расчета и проектирования механизмов

Передачами в машинах называют устройства, предназначенные для передачи энергии механического движения на расстояние и преобразования его параметров. Необходимость применения передач между приводными двигателями и исполнительными (рабочими) органами машины обусловлена в основном несовпадением требуемых скоростей движения исполнительных органов с оптимальными скоростями двигателей. Кроме того, в ряде случаев передачи выполняют и некоторые частные функции, например преобразование видов движения (вращательное в поступательное), регулирование скорости, распределение потоков мощности между различными исполнительными органами машины, реверсирование движения. По принципу работы механические передачи делятся на передачи с непосредственным соприкосновением звеньев (фрикционные, зубчатые, червячные, волновые, винт — гайка, шарнирно-рычажные) и передачи с гибкой связью (ременные, канатные, цепные).

Передачи выполняются с постоянным или переменным (регулируемым) передаточным отношением. В последнем случае регулирование может быть ступенчатое или бесступенчатое.

Наряду с механическими передачами широко применяются гидравлические, пневматические и электрические передачи.

Основные виды зубчатых передач

Зубчатая передача — это трехзвенный механизм, в котором два подвижных звена являются зубчатыми колесами, образующими между собой высшую пару. Зубчатые передачи — самый распространенный вид механических передач.

Основные их достоинства — высокая надежность работы в широком диапазоне скоростей и нагрузок, малые габариты, большая долговечность, высокий КПД. сравнительно малые нагрузки на валы и подшипники, постоянство передаточного отношения, простота обслуживания. Недостатки — высокие требования к точности изготовления и монтажа, повышенный шум при больших скоростях.

В зависимости от расположения осей вращения колес различают следующие виды зубчатых передач: 1) с параллельными осями (цилиндрические); 2) с пересекающимися осями (конические); 3) со скрещивающимися осями (гипоидные). Цилиндрические передачи относятся к плоским механизмам, а конические и гипоидные — к пространственным.

Цилиндрические передачи могут быть с внешним (рис. 8.1, а) и внутренним зацеплением (рис. 8.1, б); частным случаем является реечная передача (рис. 8.1, в), осуществляющая преобразование вращательного движения в поступательное.

Цилиндрические колеса могут быть с прямыми (рис. 8.2. а), косыми или винтовыми (рис. 8.2, б) и шевронными зубьями (рис. 8.2, в).

Цилиндрические колеса Конические передачи чаще выполняются ортогональными, у которых межосевой угол = 90°(рис. 8.3).

Конические колесо могут быть с прямыми (рис. 8.4, а), тангенциальными (рис. 8.4. б) и криволинейными (чаще всего круговыми) зубьями (рис. 8.4, в).

Основные виды гиперболоидных передач — червячная, винтовая зубчатая, гипоидная. Червячная передача (рис. 8.5) состоит из червяка 1, представляющего собой однозаходный или многозаходный винт, и червячного колеса 2. Винтовая зубчатая передача состоит из двух цилиндрических косозубых колес со скрещивающимися осями, а гипоидная передача — из двух конических колес также со скрещивающимися осями.

Зубчатое колесо передачи с меньшим числом зубьев называется шестерней, а с большим числом зубьев — колесом. Отношение числа зубьев колеса к числу зубьев шестерни называется передаточным числом:

По соотношению угловых скоростей ведущего и ведомого звеньев зубчатые передачи делятся на: а) понижающие (редукторы) и б) повышающие (мультипликаторы). У понижающих передач ведомое звено вращается с меньшей скоростью, чем ведущее, а у повышающих — наоборот.

Кинематика зубчатых механизмов с неподвижными осями вращения

Основным кинематическим параметром зубчатого механизма является передаточное отношение.

Передаточным отношением называется отношение угловой скорости звена к угловой скорости звена (рис. 8.6).

Если

Если

где и — частота вращения, , звена 1 и звена 2.

Для механизмов с параллельными осями передаточное отношение считается положительным при одинаковом направлении угловых скоростей и отрицательным — при противоположном.

Для цилиндрической передачи знак «плюс» соответствует внутреннему зацеплению (см. рис. 8.6, б), а «минус» — внешнему (см. рис. 8.6, а).

Передаточное отношение можно представить в виде

Для получения больших передаточных отношений применяются многоступенчатые передачи, составленные из нескольких простых зубчатых передач. В качестве примера рассмотрим трехступенчатую передачу (рис. 8.7).

На ведущем и ведомом валах посажено по одному колесу, а на промежуточных валах — по два колеса, причем каждое колесо входит только в одно зацепление с парным колесом. Передаточное отношение всего механизма

а передаточное отношение отдельных ступеней

Перемножим эти отношения:

Сравнивая выражения (8.1) и (8.2), получим

т. е. передаточное отношение многоступенчатой передачи равно произведению передаточных отношений отдельных ступеней.

Направление вращения колес можно определить с помощью стрелок, поставленных на схеме механизма. Указав произвольное направление вращения колеса 1, последовательно переходим к следующим колесам и ставим стрелки в соответствии с направлением вращения колес каждой ступени. В рассматриваемой передаче, как видно из рис. 8.7, колеса 1 и 4 вращаются в одну сторону. Таким образом,

Многоступенчатый зубчатый механизм можно образовать последовательным соединением колес (рис. 8.8), при котором вращение от ведущего вала передается ведомому валу через промежуточные валы и на каждом из которых помещено по два колеса: 2 и 2′, 3 и 3′.

Колеса 2 и 2′ жестко соединены с валом и имеют общую угловую скорость ; аналогично колеса 3 и 3′ жестко соединены с валом и имеют общую угловую скорость .

На одной проекции (см. рис. 8.8) направление угловых скоростей показано круговыми стрелками, а па второй — прямыми.

При последовательном ступенчатом соединении колес передаточное отношение равно произведению передаточных отношений промежуточных зацеплений (см. рис. 8.8):

В данном случае имеем трехступенчатую передачу. В общем случае передаточное отношение

где — число внешних зацеплений.

Частным случаем многоступенчатой передачи является ступенчатый ряд с промежуточными (паразитными) колесами.

При простом последовательном соединении зубчатых колес (рис. 8.9, а) величина общего передаточного отношения не зависит от количества промежуточных (паразитных) колес:

В общем случае

где — число внешних зацеплений.

Знак «минус» указывает на то, что колеса 1 и 4 вращаются в противоположные стороны. Как видно из полученного выражения, промежуточные колеса не влияют на величину общего передаточного отношения, но могут изменять его знак. Такие передачи применяются для изменения направления вращения ведомого звена, а также в случае передачи вращения между удаленными валами,

«Паразитные» колеса могут изменять знак передаточного отношения; например, при внешнем зацеплении (см. рис. 8.9, а) каждое четное колесо 2 и 4 вращается в сторону, противоположную вращению входного колеса 1, а каждое нечетное колесо 3 — в сторону вращения входного колеса 1.

На рис. 8.9, б показано последовательное соединение, состоящее из трех колес: 1, «паразитное» 2 и выходное 3 с внутренним зацеплением. Передаточное отношение

Передаточное отношение червячной передачи равно отношению числа зубьев колеса к числу витков червяка:

где — число зубьев червячного колеса; — число витков червяка;

и — частота вращения червяка и колеса, . Механизм, изображенный на рис. 8.10, состоит из пары цилиндрических колес 1 и 2, пары комических колес 2′ и 3 и червячной пары 3′ и 4, где звено 3′ — червяк, а 4 — червячное колесо. Общее передаточное отношение для этого механизма

где — число зубьев червячного колеса; — число витков червяка.

Знак для общего передаточного отношения ставят лишь в том случае, когда входной и выходной валы вращаются относительно осей, параллельных друг другу.

Кинематика зубчатых механизмов с подвижными осями вращения

К механизмам с подвижными осями относятся механизмы, в составе которых имеется хотя бы одно колесо с перемещающейся в пространстве осыо вращения (сателлит). Различают три вида таких механизмов: 1) дифференциальные; 2) планетарные; 3) замкнутые дифференциальные.

  • Простые планетарные передачи, обладающие одной степенью подвижности, — передачи, у которых одно из основных звеньев закреплено неподвижно (рис. 8.12, закреплено звено 3). Такие механизмы служат для последовательной передачи потока мощности.
  • Дифференциальные передачи, обладающие двумя степенями подвижности, — передачи, у которых основные звенья подвижны (рис. 8.11). Эти передачи позволяют суммировать несколько потоков мощности, поступающих от независимых источников, либо распределять их по независимым потребителям.
  • Замкнутые дифференциальные передачи — передачи, получаемые из дифференциальных передач путем замыкания двух основных звеньев (центрального колеса и водила) простой передачей, состоящей из колес 1, 2, 3 (рис. 8.13). Такие передачи позволяют получить большие передаточные отношения при малых габаритах.

Рассмотрим механизм, изображенный на рис. 8.11. Определим число степеней подвижности, если = 4 — число звеньев, = 4 и = 2 — число кинематических пар V и IV класса.

Определенность в движении звеньев у этого механизма будет в том случае, если законы движения будут заданы двум звеньям.

Основными звеньями механизмов с подвижными осями являются водило и соосные с ним колеса (1 и 3). В данном случае все основные звенья подвижны. Оба эти признака ( > 1, подвижные основные звенья) определяют дифференциальный механизм.

Определим степень подвижности для механизма, изображенного на рис. 8.12:

У этого механизма колесо 3 (основное звено) неподвижно и = 1. Оба признака определяют планетарный механизм. В механизмах замкнутых дифференциалов все основные звенья подвижны, но число степеней подвижности равно единице ( = 1). Таким образом, только по совокупности двух признаков механизмы с подвижными осями можно отнести к тому или иному типу.

Формулы (8.3), (8.4) для определения передаточного отношения планетарных и дифференциальных механизмов использовать нельзя, так как сателлит участвует в сложном движении, состоящем из вращения вокруг оси и вращения вместе с водилом вокруг оси (рис. 8.11, 8.12).

Для вывода зависимостей, связывающих угловые скорости механизмов, имеющих подвижные оси, воспользуемся методом обращения движения.

Допустим, что в действительном движении звенья механизма (см. рис. 8.11) имеют угловые скорости и . Сообщим всем звеньям скорость, равную угловой скорости водила, но противоположно ей направленную, т. е. . В этом случае угловые скорости звеньев соответственно будут

Так как водила стало неподвижным ( = 0), то мы получили «обращенный механизм» с неподвижными осями. Для этого механизма справедлива зависимость

где — передаточное отношение «обращенного механизма», которое можно определить через число зубьев колес:

В правую часть предыдущей зависимости подставим значение относительных скоростей:

Полученное выражение называется формулой Виллиса для дифференциальных механизмов. Левая часть, как показано выше, может быть выражена через число зубьев колес. Определенность в решении правой части будет иметь место, когда будут известны скорости двух ведущих звеньев. Установим, какой вид примет формула Виллиса для планетарного механизма, изображенного па рис. 8.12. У этого механизма колесо 3 жестко соединено со стойкой (заторможено), т. е. .

Таким образом, имеем

Откуда

Полученная зависимость называется формулой Виллиса для планетарных механизмов, а передаточное отношение — планетарным передаточным отношением.

Как и для дифференциальных механизмов, — определяется через число зубьев колес.

В общем случае

где — передаточное отношение от звена к звену ( — соответствует неподвижному центральному колесу).

Достоинством планетарных механизмов является возможность получения больших передаточных отношений при малых габаритах.

Задачи с решением:

Основы расчетов элементов конструкций

К оглавлению…

Основные понятия прочностной надежности типовых элементов конструкций

Основами расчета элементов конструкций называется наука о прочности, жесткости и устойчивости элементов машин и сооружений. Основной целыо является создание практически приемлемых и простых приемов расчета типовых, наиболее часто встречающихся элементов конструкций.

Общие понятия

Реальные объекты часто имеют весьма сложную форму и изготовлены из материалов с различными физико-механическими свойствами. Поэтому приходится в допустимых пределах отступать от реальных условий их работы.

Реальный объект, освобожденный от несущественных особенностей, называют расчетной схемой объекта. Как для одной и той же конструкции может быть предложено несколько расчетных схем, так и одна расчетная схема может быть поставлена в соответствие различным конструкциям.

Все многообразие деталей может быть сведено к следующим типам: брус, оболочка и массив.

Брусом (стержнем или балкой) называют тело, размеры поперечного сечения которого малы по сравнению с длиной. Ось бруса — линия, соединяющая центры тяжести его поперечных сечений.

Оболочка — тело, один из размеров которого намного меньше остальных (толщина).

Массив — тело, все размеры которого одного порядка.

Сила — мера механического взаимодействия тел. Если конструкция рассматривается изолированно от окружающих тел, то действия последних на конструкцию заменяется силами, которые называют внешними. Внешние силы по способу приложения могут быть сосредоточенными и распределенными. Распределенные нагрузки характеризуются интенсивностью, т.е. значением нагрузки, приходящейся на единичную длину или площадь. По характеру воздействия нагрузки бывают:

статическими (которые при возрастании от нуля до конечного значения вызывают несущественные ускорения элементов конструкции);

динамическими (вызывают в конструкции такие ускорения, которыми пренебрегать нельзя). Все твердые тела состоят из мельчайших частиц, удерживаемых на некотором расстоянии друг от друга силами взаимодействия. При нагружении в материале возникают внутренние силы, сопротивляющиеся этому нагружению.

Для бруса, к которому приложена система внешних сил, удовлетворяющая условиям равновесия, можно выявить внутренние силы, если рассечь мысленно брус плоскостью А и рассмотреть равновесие одной из частей.

Взаимодействие левой и правой частей заменить системой внутренних сил, распределенных по сечению. Таким образом, силы, являющиеся внутренними для тела в целом, становятся внешними для одной из его частей.

Система внутренних сил приводится к центру тяжести сечения. В результате получим главный вектор и главный момент. Спроецировав их на оси координат, получим в общем случае нагружения тела в его поперечном сечении шесть внутренних силовых факторов: продольная сила , две поперечные силы и , два изгибающих момента и и крутящий момент . Каждый из внутренних силовых факторов связан с определенным видом деформации.

Внутренние силовые факторы в произвольном сечении находятся с помощью метода сечений, который заключается в следующем:

  1. Мысленно рассекаем плоскостью тело в том месте, где нужно определить внутренние силы.
  2. Отбрасываем одну из частей (удобнее отбрасывать ту часть, на которую действует большее число внешних сил).
  3. Чтобы равновесие не нарушилось, заменяем действие отброшенной части на оставшуюся внутренними силами.
  4. Составляя уравнения равновесия всех сил, действующих на оставленную часть тела, и решая их, находим неизвестные внутренние силы через внешние силы.

Напряжения

Чтобы характеризовать закон распределения внутренних сил по сечению, необходимо ввести для них числовую меру. За такую меру принимается напряжение. За среднее напряжение на площадке принимаем отношение внутренней силы к , т.е.

при

Векторная величина представляет собой полное напряжение в точке сечения ( измеряют в ).

Полное напряжение раскладывают на три составляющие: по нормали к плоскости сечения (обозначают и называют нормальным напряжением) и по двум осям в плоскости сечения ( — касательные напряжения).

Совокупность напряжений образует напряженное состояние в точке. Элемент считается достаточно прочным, если максимальное расчетное напряжение в опасной точке меньше предельного напряжения в определенное число раз. Число, показывающее во сколько раз максимальное расчетное напряжение меньше предельного для материала рассчитываемой детали, называется коэффициентом запаса прочности детали или просто запасом прочности и обозначается .

Деталь, прочна в том случае, если запас прочности не меньше требуемого (нормативного) запаса, который обозначается и зависит от ответственности детали, срока службы, точности расчёта и других факторов. Таким образом, условие прочности запишется: . Часто условие прочности записывают через допускаемые напряжения . Допускаемым напряжением называется максимальное значение напряжения, которое можно допустить при работе конструкции и при котором будет гарантироваться прочность детали: . Условие прочности через допускаемое напряжение будет иметь вид: . Незначительное превышение расчетного напряжения (в пределах 5 — 6%) считается неопасным.

Перемещения и деформации

Под действием внешних сил реальное тело деформируется. Изменяется первоначальное положение его сечений. Линейным называется перемещение, если сечение сдвинулось вдоль прямой, угловым — перемещение, вызывающее поворот линий и плоскостей.

Понятие деформация введено для характеристики интенсивности изменения линейных и угловых перемещений.

После снятия нагрузки деформации исчезают, они называются упругими, неисчезающие — «статочными.

Предел отношения приращения длины отрезка к первоначальной длине называют относительной линейной деформацией:

Деформации в направлении координатных осей обозначают

Угловой деформацией или углом сдвига называют:

В координатных плоскостях углы сдвига имеют обозначения

Деформированное состояние тела в точке характеризует совокупность линейных и угловых деформаций.

В расчетах на жесткость определяются максимальные перемещения, соответствующие данному виду деформации, и сравниваются с допускаемым значением перемещения. Жесткость элемента считается обеспеченной, если максимальное перемещение не превышает допускаемого.

Общие принципы расчета

В зависимости от постановки задачи, ее исходных данных существует три вида расчетов на прочность, жесткость и устойчивость: проверочный, проектный и определение допускаемой нагрузки. Определяя из условия прочности и жесткости необходимые размеры рассчитываемой детали, можно получить два значения размера. В качестве окончательного следует выбрать больший.

Независимо от вида деформации расчет на прочность можно схематично представить в виде следующих этапов:

  • Отыскивается опасное сечение рассчитываемого элемента, для чего с помощью метода сечений строятся эпюры внутренних силовых факторов, соответствующих данному виду деформации.
  • Зная закон распределения напряжений по площади поперечного сечения при данном виде деформация, определяется напряжение в опасной точке.
  • Для опасной точки записывается условие прочности, а затем, в зависимости от исходных данных задачи производится один из указанных выше расчетов на прочность.

Продольные силы и напряжения в поперечных сечениях стержней. Упругие деформации

Осевое центральное растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которой совпадает с осью бруса. Эту равнодействующую называют продольной силой и обозначают буквой .

В частном случае , когда стержень растягивается или сжимается двумя равными силами , приложенными вдоль оси стержня , продольная сила во всех поперечных сечениях равна .

Величина продольной силы не зависит от площади поперечного сечения стержня. При сжатии поперечную силу считают отрицательной, при растяжении — положительной.

Чтобы выявить участки бруса или его сечения, где его продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил на базисной линии параллельно оси бруса.

Нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня, достаточно отдаленных от точек приложения действующих сил, при растяжении или сжатии распределяются равномерно по сечению:

где — площадь поперечного сечения стержня, .

Эпюрой нормальных напряжений называют график, показывающий закон изменения напряжения в поперечном сечении по длине бруса.

Продольные и поперечные упругие деформации, возникающие при растяжении или сжатии, связаны друг с другом зависимостью

где и — соответственно поперечная и продольная деформация; — коэффициент Пуассона.

Зависимость между напряжением и продольной деформацией выражается законом Гука:

где — модуль продольной упругости материала стержня, . Удлинение или укорочение (изменение длины) участка бруса определяется по формуле:

где — жесткость стержня при растяжении или сжатии; — длина участка бруса, м.

Приведенная формула для определения изменения длины справедлива, если продольная сила и жесткость постоянны по всей длине стержня. В ином случае стержень разбивают на участки, для каждого из которых указанное требование соблюдается, и изменение длины стержня определяют, как сумму изменений длин участков:

Напряжения и деформации при растяжении и сжатии возникают как от действия внешних сил, так и от действия силы тяжести стержня. В подавляющем большинстве элементов машиностроительных конструкций напряжения и перемещения, возникающие под действием силы тяжести, очень малы по сравнению с напряжениями и перемещениями, возникающими от действия внешних сил, и их, как правило, в расчет не принимают.

Расчет на прочность

Условие прочности при осевом растяжении или сжатии имеет вид:

где — наибольшее напряжение в некоторой точке детали от наибольшей ожидаемой нагрузки;

— допускаемое напряжение при растяжении или сжатии. Величину допускаемых напряжений при растяжении или сжатии принимают как некоторую часть от предельных напряжений материала. Для пластичных материалов за предельное напряжение принимают предел текучести , а для хрупких материалов — предел прочности , то есть для пластичных материалов

для хрупких:

где и — нормативные коэффициенты запаса прочности.

Различают три вида расчета на прочность: проверочный — проверка прочности, проектный- подбор сечения и определение допускаемой нагрузки.

Проверка прочности. При проверочном расчете определяют наибольшее напряжение в опасном сечении и сравнивают с допускаемым:

Наибольшее рабочее напряжение не должно превышать допускаемое напряжение больше чем на 3 — 5%.

При проверочном расчете часто сравнивают фактический запас прочности с нормальным коэффициентом запаса прочности:

где — предельное напряжение для данного материала.

Проектный расчет. Определяют требуемую площадь поперечного сечения элемента конструкции при заданных материале и нагрузках:

Определение допускаемой нагрузки. По известной площади поперечного сечения и материалу определяют допускаемое значение продольных сил:

Найдя допускаемое значение продольной силы, определяют допускаемое значение внешней нагрузки.

Статически неопределимые системы

К оглавлению…

Система статически неопределима, если число реакций ее связей и внутренних сил превышает число независимых уравнений равновесия, которые могут быть составлены для этой системы. Каждая статически неопределимая система может рассматриваться как некоторая статически определимая система, на которую наложены дополнительные связи.

Изменение длин стержней, образующих систему, не могут быть независимыми, а должны удовлетворять некоторым условиям, следующим из особенностей конструкции. Аналитическая запись этих уравнений дает уравнения перемещения, решая которые вместе с уравнениями равновесия можно определить неизвестные усилия.

Этапы решения статически неопределимых задач:

1) брус, равновесие которого рассматривается, освободить от связей и заменить действие связей реакциями;

2) составить уравнение равновесия, в него войдут неизвестные реакции связей, без которых невозможно определить продольные силы, возникшие в стержне (уравнение проекций всех внешних сил на ось и уравнение моментов относительно неподвижного шарнира, которым жесткий брус прикреплен к стене);

3) рассмотреть картину деформации системы, изобразив ее на рисунке;

4) рассматривая с геометрической точки зрения картину деформации, составить уравнение перемещений, в которое войдут те же неизвестные реакции, что и в уравнение статики;

5) в уравнении перемещений произвести необходимые упрощения;

6) уравнение статики и уравнение перемещений решить совместно, определить искомые реакции связей;

7) определить внутренние силовые факторы (продольные силы) в частях деформируемого стержня (если в задаче требуется определить допускаемую нагрузку), выразить продольные силы через искомую нагрузку;

8) завершить решение задачи, производя заданный в ее условии расчет.

Исходя из условия прочности, можно производить три вида расчетов:

а)проверочный;

б) определение допускаемой нагрузки;

в) проектный.

В ходе решения очень важно правильно представить себе картину деформации. В задачах 73, 76 и 79 сечение, в котором приложена нагрузка , перемещается вниз на величину (рис. 10.1), следовательно, участок бруса выше сечения удлинится на величину , а участок ниже этого сечения укоротится па величину . Значит, уравнение перемещений для этих задач примет вид

Величины определяются по формуле Гука (10.1).

В некоторых задачах стальные и алюминиевые стержни (трубки) укорачиваются или удлиняются под действием силы на одинаковые величины. Следовательно, уравнение перемещения будет иметь вид:

Картина деформации других задач имеет вид, показанный на рис. 10.2, из которого легко найти геометрическую зависимость между удлинениями и стержней, удерживающих жесткий брус в равновесии, и длинами и частей бруса. Действительно, из подобия образовавшихся треугольников следует, что

При подстановке значений и в формулу для необходимо соблюдать соответствие между наименованиями величин. Например, если величина выражена в , то площадь необходимо выразить в , а длину в мм.

Кстати более подробно рассмотрено это в учебниках вот теория из учебников тут.

Расчет проводов на прочность

Расчет проводов основывается на следующих соображениях.

При подвеске любого провода между двумя изоляторами и , расположенными на одном горизонтальном уровне (рис. 10.3), он никогда не будет прямолинейным, а примет вид дуги «цепной линии», которую приближенно можно считать параболой. Причиной кривизны являются два фактора: удлинение от изменения температуры и упругое удлинение под действием внешних нагрузок, состоящих из силы тяжести самого провода, веса гололеда и давления ветра.

Температурное удлинение определяется формулой Гей-Люссака

где — длина пролета (хорда параболы);

— коэффициент линейного расширения;

— изменение температуры.

Упругое удлинение определяется формулой Гука:

где — продольное усилие (так называемое «тяжение» провода, рис. 10.4)

— модуль продольной упругости (модуль Юнга); — площадь поперечного сечения провода.

Кроме того, из курса математики известно, что длина дуги параболы превышает длину хорды на величину , где — стрела провисания.

Объедение предыдущие выражения в одно уравнение, получим:

Поскольку отношение продольной силы к площади поперечного сечения определяет растягивающее напряжение , предыдущее уравнение можно записать так:

а после ряда преобразовании можно получить наиболее простую формулу, называемую «уравнением состояния провода»:

где — неизвестное растягивающее напряжение в проводе в летних условиях (точнее — в условиях температуры и нагрузки в момент подвешивания проводов), и — вспомогательные коэффициенты;

где, в свою очередь, вспомогательный коэффициент :

(коэффициент — коэффициент перегрузки в зимних условиях, задается в условии задачи);

где и — единичные нагрузки в сечениях раздельно взятых алюминиевого и стального проводов. Они выражаются в единицах (то же самое, что ). Тем самым и совпадают с величиной удельного веса материалов проводов. Величина представляет собой «приведенную» единичную нагрузку биметаллического провода, а — больше этой величины за счет гололедной и ветровой нагрузок.

Величина есть «приведенное» допускаемое напряжение в зимних условиях, вычисляемое по формуле

где — заданный коэффициент запаса прочности;

и — пределы прочности материалов провода;

— «приведенный» модуль упругости, определяемый формулой

— «приведенный» коэффициент линейного расширения, определяемый формулой

Механические характеристики алюминия и стали приведены в табл. 10.1.

Задачи с решением:

К оглавлению…

Возможно эти страницы вам будут полезны: