Физическая механика: задачи с решением

Прежде чем изучать готовые решения задач по физической механике, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила краткую теорию по разделу «физическая механика», и примеры решения в которых подробно решены задачи.

Эта страница подготовлена для школьников и студентов.

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Механика. Определения, понятия и законы

К оглавлению…

Механическое движение. Относительность механического движения

В механике изучается наиболее простая форма движения — механическое движение. Механическим движением называется изменение положения данного тела (или его частей) относительно других тел, происходящее с течением времени. Любое механическое движение является относительным. В природе не существует абсолютного движения или абсолютного покоя. Поэтому для описания механического движения необходимо указать конкретное тело, относительно которого наблюдается движение других тел. Это тело называют телом отсчета. Таким образом, механическое движение — это изменение положения тел относительно выбранного тела отсчета.

Материальная точка

Для математического описания движения в кинематике используются различные модели физических тел. Материальная точка — простейшая модель тела, используемая для описания движения в тех случаях, когда размерами и формой тела можно пренебречь. Эта модель применима, когда 1) размеры тела малы по сравнению с характерными размерами области движения тела, или когда 2) твердое тело совершает поступательное движение (см. ниже). Положение материальной точки в пространстве определяется положением изображающей ее геометрической точки.

Системой отсчета называют тело отсчета, связанную с ним систему координат и прибор для измерения времени (часы). Положение материальной точки в пространстве определяется тремя координатами х, у, z (рис. 1.1.1). Оно может быть задано также радиус-вектором г, соединяющим начало координат с материальной точкой, причем

(1.1.1)
Рис. 1.1.1. Положение материальной точки Р в пространстве

Единица для измерения длины, установленная в Международной системе единиц (СИ), называется метром. Приближенно он равен 1 /40 000 000 части земного меридиана. По современному определению один метр — это расстояние, которое свет проходит в вакууме за 1/299 792 458 долю секунды. Таким образом, определение единицы расстояния связано с определением единицы измерения времени — секундой. Одна секунда приближенно равна 1 /86 400 доле земных суток. Для точных измерений времени используются атомные часы. Определенная в СИ секунда равна 9 192 631 770 периодам излучения атома цезия при переходе между двумя уровнями сверхтонкой структуры основного состояния.

Траектория

При движении материальной точки конец радиус-вектора описывает в пространстве некоторую непрерывную линию, называемую траекторией точки. Уравнение, описывающее зависимость радиус-вектора движущейся точки от времени

(1.1.2)

называется векторным кинематическим уравнением движения точки. Оно эквивалентно трем скалярным уравнениям движения:

(1.1.3)

Траектории одной и той же точки в разных системах отсчета имеют, вообще говоря, различную форму.

Кинематические уравнения движения точки в разных системах отсчета также различны.

Перемещение материальной точки из положения 1 в положение 2 это вектор

(1.1.4)

проведенный из начального положения точки в конечное (рис. 1.1.2). Проекции вектора перемещения на координатные оси могут быть выражены через разности координат его конца и начала:

(1.1.5)

Эти величины часто называют перемещениями точки вдоль соответствующих координатных осей.

Рис. 1.1.2. Перемещение материальной точки Р в пространстве

Путь точки равен сумме расстояний, пройденных ею вдоль траектории, и всегда является неотрицательной величиной. Пути, пройденные точкой за последовательные промежутки времени, складываются арифметически. Модуль перемещения точки в общем случае не равен пути, пройденному точкой за данный промежуток времени. Эти величины совпадают только при движении точки по прямой в одном направлении.

Скорость

Средняя скорость точки в данной системе отсчета на интервале времени есть вектор , равный отношению вектора перемещения к величине интервала времени (рис. 1.1.3):

(1.1.6)

Направление средней скорости совпадает с направлением вектора перемещения Средняя скорость характеризует движение точки в течение всего промежутка времени , для которого она определена.

Рис. 1.1.3. Средняя и мгновенная скорость точки

На практике часто используют понятие средней путевой скорости, которое определяют как отношение пути, пройденного точкой, ко времени его прохождения. Важно иметь в виду, что величина (модуль) средней скорости в общем случае не совпадает со средней путевой скоростью. Они различны, например, при возвратно-поступательном движении по прямой, при криволинейном движении и т.п.
Мгновенной скоростью (или просто скоростью) точки в данной системе отсчета в момент времени t называется предел средней скорости при неограниченном уменьшении интервала времени :

(1.1.7)

Компонентами вектора скорости являются производные по времени от компонент радиус-вектора точки:

(1.1.8)

Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки.

Сложение скоростей

Важной задачей кинематики является установление связи между характеристиками движения точки относительно разных систем отсчета. Пусть одна система отсчета, которую мы будем называть подвижной, движется поступательно со скоростью относительно другой системы, которую будем называть неподвижной. Пусть скорость точки относительно подвижной системы отсчета равна . Тогда скорость этой же точки относительно неподвижной системы находится из соотношения, называемого законом сложения скоростей:

(1.1.9)

Ускорение

Среднее ускорение точки в данной системе отсчета на интервале времени есть вектор , равный отношению вектора приращения скорости на этом интервале к величине интервала времени (рис. 1.1.4):

(1.1.10)

Мгновенным ускорением (или просто ускорением) точки в момент времени в данной системе отсчета называется предел среднего ускорения при стремлении интервала времени к нулю:

(1.1.11)
Рис. 1.1.4. Среднее и мгновенное ускорение материальной точки

Сложение ускорений

Рассмотрим две системы отсчета: неподвижную систему и систему, движущуюся поступательно относительно неподвижной с ускорением . Если ускорение точки относительно подвижной системы отсчета равно , то ускорение этой же точки относительно неподвижной системы находится из соотношения, называемого законом сложения ускорений:

(1.1.12)

Прямолинейное равномерное и равнопеременное движения

По форме траектории движения делятся на прямолинейные и криволинейные. В первом случае траекторией движения точки в данной системе отсчета является прямая линия, во втором — некоторая кривая. Для описания прямолинейного движения удобно совместить координатную ось (например, ось ) с направлением, вдоль которого происходит движение.
Равномерным называется движение с постоянной по модулю скоростью. При равномерном прямолинейном движении точки мгновенная скорость не зависит от времени и в каждой точке траектории направлена вдоль траектории. Средняя скорость за любой промежуток времени равна мгновенной скорости. Кинематическое уравнение движения принимает вид:

(1.1.13)

где — начальная координата точки, — проекция скорости точки на координатную ось .
Равнопеременное прямолинейное движение — это движение точки по прямой с постоянным по величине и по направлению ускорением. При этом среднее ускорение равно мгновенному ускорению. Если направление ускорения совпадает с направлением скорости точки, то движение называется равноускоренным, в противоположном случае — равнозамедленным.
При равнопеременном прямолинейном движении зависимость скорости и координат точки от времени выражается следующими кинематическими уравнениями:

(1.1.14)

Важно помнить, что величины, входящие в уравнения (1.1.13), (1.1.14), являются алгебраическими, т.е. могут иметь разные знаки в зависимости от того, сонаправлен или противонаправлен соответствующий вектор выбранному направлению координатной оси.

Зависимости скорости, координат и пути от времени

При решении задач и анализе результатов удобно представлять зависимости координаты и скорости тела от времени графически. Примеры таких представлений для прямолинейного равномерного и равнопеременного движений приведены на рис. 1.1.5 и 1.1.6 соответственно.
При построении графиков необходимо учитывать, что тангенс угла наклона касательной к кривой в какой-либо момент времени пропорционален скорости точки в этот момент времени, а тангенс угла наклона касательной к кривой пропорционален ускорению точки в данный момент. По графику зависимости можно найти изменение скорости за промежуток времени от до : оно равно площади под кривой в пределах от до . Аналогично, по графику зависимости можно найти изменение координаты точки за время .

Криволинейное движение. Равномерное движение по окружности

Простейшей моделью криволинейного движения является равномерное движение по окружности. В этом случае точка движется по окружности с постоянной по величине скоростью . Положение точки удобно описывать утлом , который составляет радиус-вектор точки с некоторой осью, например с осью (см. рис. 1.1.7).

Рис. 1.1.5. Равномерное движение
Рис. 1.1.6. Равнопеременное движение

Угловая скорость. Период и частота обращения. Величиной угловой скорости точки при движении по окружности называют отношение приращения угла поворота ее радиус-вектора ко времени , за которое этот поворот произошел. Периодом движения точки по окружности называют время, за которое точка совершает полный оборот. Частота обращения — это величина, обратная периоду. Угловая скорость, частота и период обращения при равномерном движении по окружности связаны между собой соотношениями:

(1.1.15)

Линейная скорость движения по окружности выражается через угловую скорость и радиус окружности по формуле

(1.1.16)

Ускорение тела при движении по окружности

При движении тела по окружности вектор скорости изменяется, поэтому у тела существует центростремительное ускорение, направленное по радиусу окружности к ее центру и по модулю равное

(1.1.17)
Рис. 1.1.7. Движение материальной точки по окружности

Тангенциальное и нормальное ускорения

При криволинейном движении точки часто бывает удобно разложить ее ускорение на две составляющие (рис. 1.1.8):

(1.1.18)

где — единичный вектор, направленный по касательной к траектории в данной точке, — единичный вектор по нормали к траектории, направленный к центру кривизны. Составляющая вектора ускорения, направленная по касательной к траектории, называется тангенциальным (касательным) ускорением. Тангенциальное ускорение характеризует изменение вектора скорости по модулю. Вектор направлен в сторону движения точки при возрастании ее скорости и в противоположную сторону — при убывании скорости. Составляющая вектора ускорения, направленная по нормали к траектории в данной точке, называется нормальным ускорением. Нормальное ускорение характеризует изменение вектора скорости по направлению при криволинейном движении. Величины тангенциального и нормального ускорения вычисляются по формулам:

(1.1.19)

где — радиус кривизны траектории в данной точке. При движении точки по окружности нормальное ускорение совпадает с центростремительным ускорением.

Рис. 1.1.8. Тангенциальная и нормальная составляющие вектора ускорения

Свободное падение тел. Ускорение свободно падающего тела

Свободным падением называется движение, которое совершает тело только под действием притяжения Земли, без учета сопротивления воздуха. Ускорение , с которым движется вблизи поверхности Земли материальная точка, на которую действует только сила тяжести, называется ускорением свободного падения.

Ускорение свободного падения не зависит от массы тела.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Дальность и высота полета

При описании движения тела у поверхности Земли удобно выбрать систему координат так, чтобы одна из координатных осей (обычно ось ) была направлена горизонтально, а другая (обычно ) — вертикально (рис. 1.1.9). Тогда движение по оси будет равномерным, а по оси — равнопеременным. В большинстве задач начало координат удобно совместить с точкой, откуда тело начинает движение.
Для тела, брошенного от поверхности Земли со скоростью под углом к горизонту, в системе координат, изображенной на рис. 1.1.9,

(1.1.20)
Рис. 1.1.9. Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Исключая из этих соотношений время , получаем уравнение траектории тела

(1.1.21)

которое является уравнением параболы. В точке с координатой

(1.1.22)

тело достигает наибольшей высоты

(1.1.23)

Величины и называются, соответственно, дальностью и высотой полета.

Поступательное и вращательное движения твердого тела

Твердое тело — это модель, применяемая в случаях, когда изменением формы и размеров тела при его движении можно пренебречь. Модель рассматривается как система материальных точек, расстояния между которыми остаются неизменными.

Рис. 1.1.10. Поступательное движение твердого тела
Рис. 1.1.11. Вращательное движение твердого тела

Простейшие модели движения твердого тела — это поступательное и вращательное движения. Поступательным движением твердого тела (рис. 1.1.10) называют такое движение, при котором траектории всех точек тела одинаковы.
При этом тело не поворачивается и каждая линия, соединяющая любые две точки тела, переносится параллельно самой себе. При поступательном движении все точки тела в данный момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения. Поэтому, зная движение какой-то одной точки тела, мы можем однозначно определить движение всех его остальных точек.

Вращательным движением называется такое движение твердого тела, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой — оси вращения (рис. 1.1.11). Траектории всех точек лежат в плоскостях, параллельных друг другу и перпендикулярных оси вращения.
При таком движении различные точки тела за один и тот же промежуток времени проходят разные по длине пути. Линейная скорость характеризует движение какой-либо одной точки тела, а не движение тела в целом. Поэтому для описания вращения тела используются такие величины, которые характеризуют движение всего тела, а не отдельных его точек. К этим величинам относятся: угол поворота , период вращения , частота вращения , угловая скорость .

Указания по решению задач

При решении задач кинематики нужно в первую очередь выбрать систему координат, задать ее начало и положительные направления координатных осей, а также выбрать начало отсчета времени.
В случае прямолинейного движения следует пользоваться системой координат, состоящей из одной координатной оси , вдоль которой происходит движение. В более сложных случаях нужно применять декартову прямоугольную систему координат с взаимно перпендикулярными осями и , пересекающимися в точке , являющейся началом отсчета.
Описания движения в различных системах координат эквивалентны между собой, поскольку при известном расположении двух систем координат относительно друг друга по величинам, найденным в одной системе, можно определить соответствующие величины в другой. При решении задач следует выбирать такую систему координат, в которой уравнения, описывающие движение, являются наиболее простыми.
При составлении кинематических уравнений очень важен вопрос о знаках перед модулями проекций и . Если координата отсчитывается в положительную сторону от начала , то ей приписывается знак плюс. Проекции скоростей и ускорений считаются положительными, если направление соответствующей составляющей совпадает с положительным направлением оси, в противном случае они пишутся со знаком минус.
При исследовании движения нескольких тел рекомендуется пользоваться одной системой координат. В некоторых случаях бывает удобно связать систему координат с одним из движущихся тел и рассматривать движение остальных тел относительно избранного.

Примеры решения задач

К оглавлению…

Задача1.1.1.

Пассажир метрополитена наблюдает отправление поезда. Находясь на платформе у головы поезда (у первого вагона), он замечает, что с момента отправления поезда этот вагон прошел мимо него за время . Считая движение поезда равноускоренным, найти, за какое время мимо пассажира пройдет второй вагон.

Решение:

Поместим начало координат в ту точку платформы, в которой находится наблюдатель, координатную ось направим в сторону движения поезда, отсчет времени будем вести с момента отправления поезда. Тогда координата головы поезда будет описываться следующим кинематическим уравнением:

где — ускорение поезда. Обозначив через длину одного вагона, можно записать:

Исключая из этих соотношений ускорение поезда, получаем квадратное уравнение относительно откуда . Отбрасывая не имеющий физического смысла отрицательный корень, получаем ответ:

Проведенное решение иллюстрируется графиком зависимости координаты начала первого вагона от времени, изображенным на рисунке. Построение подобных графиков при решении задач, посвященных кинематике прямолинейного движения, существенно облегчает их понимание.

Задача1.1.2.

В момент, когда опоздавший пассажир вышел на перрон вокзала, с ним поравнялось начало предпоследнего вагона уходящего поезда. Желая определить, на сколько он опоздал, пассажир измерил время , за которое мимо него прошел предпоследний вагон, и время , за которое мимо него прошел последний вагон. Оказалось, что Считая, что поезд двигался равноускоренно и длина вагонов одинакова, найти, на какое время пассажир опоздал к отходу поезда.

Решение:

Обозначим через длину вагона, а через — ускорение поезда. В момент, когда пассажир вышел на перрон, поезд уже двигался равноускоренно в течение времени и его перемещение составило величину За время поезд переместился на расстояние Поскольку перемещение поезда за время равно длине вагона, для предпоследнего вагона можно записать:
Аналогично, для последнего вагона:
Из этих соотношений вытекает равенство:

Выражая отсюда г, получаем ответ:

Задача1.1.3.

В кабине лифта высотой , движущейся с ускорением , направленным вниз, с высоты от пола вертикально вверх бросают маленький шарик. С какой начальной скоростью относительно лифта брошен шарик, если после броска он поднялся точно до потолка кабины?

Решение:

При решении задачи будем использовать неподвижную систему координат, начало которой совместим с полом кабины лифта в момент броска шарика, а ось направим вертикально вверх. Обозначим через и координату шарика и его скорость, через и координату потолка кабины и ее скорость. Пусть скорость кабины в момент броска равна и направлена вверх (ниже мы убедимся в том, что ни от величины, ни от направления скорости кабины в момент броска ответ не зависит, но для ясности рассуждений введем на данном этапе решения эту скорость). Для координат и скоростей шарика и потолка кабины справедливы кинематические уравнения:

первые два из которых записаны при стандартном предположении о том, что сопротивлением воздуха при движении шарика можно пренебречь. Начало отсчета времени совпадает с моментом броска шарика.
Согласно условию задачи, шарик после броска поднимается точно до потолка кабины. Обозначив этот момент времени через , можно записать следующие соотношения:

Второе соотношение дает Подставляя найденное в первое соотношение, после несложных преобразований находим ответ:

Дополнительные задачи с решением:

Динамика. Определения, понятия и законы

К оглавлению…

В динамике изучается влияние взаимодействия между телами на их механическое движение. Основная задача динамики состоит в определении положения тел и их скоростей в произвольный момент времени по известным начальным положениям тел, их начальным скоростям и силам, действующим на тела.

Взаимодействие тел

Механическое действие одного тела на другое возможно как при непосредственном соприкосновении тел, так и на расстоянии. Действие одного тела на другое в механике проявляется в деформации взаимодействующих тел и в возникновении у тел ускорений.
Свободным (изолированным) телом называется тело, на которое не действуют какие-либо другие тела или поля, или тело, внешние воздействия на которое уравновешены (скомпенсированы).

Первый закон Ньютона. Понятие об инерциальных и неинерциальных системах отсчета

Первый закон Ньютона постулирует существование особого класса систем отсчета. В этих системах отсчета свободное тело сохраняет состояние покоя или прямолинейного равномерного движения. Системы отсчета, в которых выполняется первый закон Ньютона, называются инерциальными.

Особое значение инерциальных систем отсчета состоит в том, что в этих системах механические явления описываются наиболее просто.

Если существует хотя бы одна инерциальная система отсчета, то существует и бесконечное множество таких систем. Действительно, если в одной системе свободное тело движется с постоянной скоростью, то в любой другой системе отсчета, движущейся относительно первой с постоянной скоростью, это тело также будет иметь постоянную скорость.
Свободным можно считать тело, достаточно удаленное от других тел. Для того, чтобы выяснить, в какой степени данную систему можно считать инерциальной, нужно из этой системы наблюдать за свободным телом (например, за уединенной звездой). Чем ближе к нулю ускорение этого тела, тем больше оснований считать данную систему отсчета инерциальной.

Из известных в настоящее время систем отсчета наиболее близка к инерциальной гелиоцентрическая система, связанная с центром Солнца. Для описания многих механических движений в земных условиях инерциальной можно считать систему отсчета, связанную либо с поверхностью Земли, либо с ее центром (геоцентрическая система отсчета). При этом пренебрегают ускорением этой системы, связанным с вращательным движением Земли вокруг собственной оси и вокруг Солнца.
Системы отсчета, в которых свободное тело не сохраняет скорость движения постоянной, называются неинерциальными. Неинерциальной является любая система отсчета, движущаяся с ускорением относительно инерциальной.

Принцип относительности Галилея гласит: любое механическое явление во всех инерциальных системах отсчета протекает одинаково при одинаковых начальных условиях. Следует подчеркнуть, что выполнение принципа относительности не означает полной тождественности движения одного и того же тела относительно разных инерциальных систем отсчета. Одинаковы лишь законы движения. Характер же движения тела определяется не только законами движения, но и начальными скоростями и начальными координатами.

Сила

В инерциальных системах отсчета ускорение тела, а также его деформация, могут быть вызваны только его взаимодействием с другими телами. Характеристикой действия одного тела на другое является сила. Силой называется векторная физическая величина, являющаяся мерой механического воздействия на материальную точку или тело со стороны других тел или полей. Сила полностью определена, если заданы ее модуль, направление и точка приложения.

Силы в механике

Различные взаимодействия, известные в современной физике, сводятся к четырем типам: гравитационные, электромагнитные, сильные и слабые взаимодействия. Сила как количественная характеристика позволяет оценивать лишь гравитационные и электромагнитные взаимодействия. В тех чрезвычайно малых областях пространства и в тех процессах, в которых проявляются сильные и слабые взаимодействия, такие понятия, как точка приложения, линия действия, а вместе с ними и само понятие силы теряют смысл.
Таким образом, в задачах механики основную роль играют гравитационные силы (силы тяготения), электромагнитные силы, действующие на заряженное тело, а также три их разновидности: силы упругости, силы трения и мускульные силы человека и животных. В механике важно знать, при каких условиях возникают силы, каковы их модули и направления, т.е. знать, как силы зависят от расстояний между телами и от скоростей их движения. В свою очередь, узнать значения сил, определить, как и когда они действуют, можно, располагая лишь способами их измерения.
Сравнение сил производится на основании следующего утверждения, являющегося определением равенства сил в механике: Две силы, независимо от их природы, считаются равными по модулю и противоположно направленными, если их одновременное действие на тело не меняет его состояния покоя или равномерного прямолинейного движения. Величина силы может быть измерена по степени деформации специального пробного тела — динамометра. Моделью динамометра обычно служит пружина.

Сложение сил, действующих на материальную точку

Если на материальную точку действует несколько сил в разных направлениях, то их действие можно заменить действием одной силы, называемой

Рис. 1.2.1. Сложение сил, действующих на материальную точку

равнодействующей, величина и направление которой определяется по правилу сложения векторов (рис. 1.2.1).

Инертность тел

Свойство свободного тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью.

Масса

Скалярная физическая величина, являющаяся мерой инертности тела, называется массойтела. Она служит количественной характеристикой отклика тела на воздействие на него других тел. Чем больше масса тела, тем меньшее ускорение приобретает это тело под действием одной и той же силы.
Измерение массы тела, т.е. сравнение его массы с эталоном массы основывается на следующем утверждении, являющемся обобщением многочисленных опытных данных: в инерциальной системе отсчета отношение масс взаимодействующих тел равно обратному отношению модулей их ускорений.
В механике Ньютона постулируется, что

  1. масса тела не зависит от скорости его движения;
  2. масса тела равна сумме масс всех частиц (или материальных точек), из которых оно состоит;
  3. при любых процессах, происходящих в замкнутой системе тел, ее полная масса остается неизменной.
    Эти постулаты справедливы для макроскопических тел в случае, когда скорости их движения намного меньше, чем скорость света.

Плотность

Средней плотностью тела называется величина, равная отношению массы тела т к его объему :

(1.2.1)

Плотность тела в точке равна пределу отношения массы элемента тела, выбранного в окрестности этой точки, к его объему при неограниченном уменьшении :

(1.2.2)

Второй закон Ньютона

Основой динамики является второй закон Ньютона, согласно которому в инерциальной системе отсчета произведение массы тела на его ускорение равно сумме действующих на тело сил:

(1.2.3)

Единицы измерения силы и массы

За единицу массы в системе СИ принят килограмм — 1 кг. Килограмм — это масса эталона, изготовленного из сплава платины и иридия. Международный эталон килограмма хранится в г. Севре во Франции. С достаточной для практики точностью можно считать, что массой 1 кг обладает 1 л химически чистой воды при температуре 15 °C.
За единицу силы в системе СИ принимается сила, которая телу массой 1 кг сообщает ускорение . Эта единица называется ньютон (Н). Приближенно 1 Н равен силе, с которой притягивается к Земле тело массой 0,102 кг.

Третий закон Ньютона: При любом взаимодействии двух тел сила, действующая со стороны одного тела на другое, равна по величине и противоположна по направлению силе, действующей со стороны второго тела на первое. Эти силы направлены вдоль прямой, соединяющей точки их приложения, и всегда имеют одну и ту же физическую природу.
Этот закон утверждает, что силы взаимодействия всегда появляются попарно. Если в инерциальной системе отсчета на какое-то тело действует сила, то обязательно есть какое-то другое тело, на которое первое действует с такой же по модулю силой, но направленной в противоположную сторону. Всегда следует помнить, что силы, появляющиеся при взаимодействии тел, приложены к разным телам и поэтому не могут уравновешивать друг друга. Уравновешиваться могут только силы, приложенные к одному телу.

Закон всемирного тяготения. Гравитационная постоянная

Две материальные точки массами и притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния г между ними:

(1.2.4)

где — гравитационная постоянная. Гравитационная постоянная относится к числу фундаментальных констант природы. Ее численное значение может быть определено только опытным путем.
Для протяженных тел произвольной формы задача нахождения силы тяготения является весьма сложной. Она имеет простое решение, описываемое формулой (1.2.4), в следующих случаях: 1) если оба тела являются однородными шарами, тогда и — их массы, — расстояние между центрами шаров; 2) одно из тел является однородным шаром, второе — материальной точкой; тогда и — их массы, — расстояние от материальной точки до центра шара.

Сила тяжести, действующая на тело со стороны Земли, равна произведению массы тела на ускорение свободного падения . Вблизи поверхности Земли

(1.2.5)

где — масса Земли, — ее радиус. Отсюда ускорение свободного падения у поверхности Земли

(1.2.6)

Зависимость силы тяжести от высоты

Для тела, находящегося на высоте над поверхностью Земли,

(1.2.7)

Формула (1.2.7) выражает зависимость силы тяжести от высоты. Из (1.2.7) видно, что ускорение свободного падения на высоте связано с ускорением свободного падения у поверхности Земли
соотношением

(1.2.8)

Силы упругости. Понятие о деформациях

Под деформацией твердого тела понимают изменение его размеров и формы. К деформациям относятся растяжение, сжатие, сдвиг, изгиб и кручение. Поскольку твердые тела сохраняют свой объем и форму, при любой попытке их деформировать в телах возникают силы, препятствующие этому.
Тела, которые полностью восстанавливают свои форму и объем после прекращения действия внешних сил, вызывающих деформации, называются упругими. Соответственно, упругими называются любые деформации упругого тела, а силы, возникающие в теле из-за упругих деформаций, носят название сил упругости. Наряду с упругими телами имеются пластичные тела, которые после прекращения действия внешних сил, вызвавших деформацию, не восстанавливают свою форму. Хотя при деформациях пластичных тел тоже возникают силы, они не являются силами упругости, поскольку их значение зависит не от деформации, а от других факторов. Пластичные деформации в элементарных курсах физики не рассматриваются.

Силы упругости действуют между соприкасающимися слоями деформируемого упругого тела, а также в месте контакта деформируемого тела с телом, вызывающим деформацию. В элементарной физике рассматриваются одномерные (линейные) деформации растяжения или сжатия. В этих случаях силы упругости направлены вдоль линии действия внешней (деформирующей) силы, т.е. вдоль осей продольно деформируемых нитей, витых пружин, стержней и т.п., или перпендикулярно поверхности соприкасающихся тел.

Закон Гука. Модуль Юнга

Закон Гука устанавливает прямую пропорциональную зависимость величины силы упругости, возникающей при деформации тела, от величины деформации. Для пружины он имеет вид

(1.2.9)

где — длина деформированной пружины, — длина свободной пружины, — коэффициент жесткости пружины. Жесткость пружины зависит как от формы пружины, так и от упругих свойств материала, из которого она изготовлена.
Аналогичные закономерности наблюдаются при растяжении и сжатии стержней из упругих материалов. Величина коэффициента жесткости для стержня зависит не только от материала стержня, но и от его первоначальной длины и площади поперечного сечения . Эта зависимость выражается формулой

(1.2.10)

где — модуль упругости материала, или модуль Юнга.

Силы трения возникают при соприкосновении твердых тел, а также при движении тел в вязкой среде (жидкости или газе). Главная особенность сил трения, отличающая их от гравитационных сил и сил упругости, состоит в том, что они зависят не от координат тел, а от скорости движения тел относительно друг друга, или от относительной скорости тела и вязкой среды.

Сухое трение: трение покоя и трение скольжения. Коэффициент трения

Трение между поверхностями соприкасающихся твердых тел при отсутствии между ними жидкой или газообразной прослойки называется сухим трением. Сухое трение подразделяется на трение покоя и трение скольжения. Силы трения, возникающие между поверхностями твердых тел, неподвижных относительно друг друга, называются силами трения покоя. Величина силы трения покоя изменяется от нуля до некоторого максимального значения. Силы трения скольжения возникают при движении одного твердого тела по поверхности другого.

Сила трения скольжения направлена против скорости относительного движения трущихся поверхностей.
Законы сухого трения имеют следующий вид:

  1. Величина силы трения скольжения пропорциональна величине нормальной составляющей силы реакции:
(1.2.11)

2. Коэффициент трения р не зависит от площади соприкасающихся поверхностей и от скорости их относительного движения.

3. Максимальная величина силы трения покоя равна величине силы трения скольжения.

График зависимости проекции силы трения на ось, параллельную трущимся поверхностям, от скорости их относительного движения для простейшей модели сухого трения изображен на рис. 1.2.2.

Рис. 1.2.2. Сухое трение
Рис. 1.2.3. Вязкое трение

Вязкое трение

При движении тел в жидкости или газе возникают силы, вязкого трения. Они зависят от размеров и формы тела, свойств среды и от скорости относительного движения. В простейшей модели вязкого трения, применимой при малых скоростях движения,

(1.2.12)

где — коэффициент вязкого трения (величина, практически не поддающаяся расчету и определяемая экспериментально). Сила вязкого трения всегда направлена против относительной скорости тела и среды (рис. 1.2.3). В отличие от трения между сухими поверхностями, при движении тел в вязкой среде трение покоя отсутствует.

Применение законов Ньютона к поступательному движению тел

Под действием произвольно приложенной силы твердое тело совершает в общем случае сложное движение, при котором различные его точки движутся с разными ускорениями. Поступательное движение твердого тела возможно только в том случае, когда линия действия силы, приложенной к телу, проходит через некоторую, вполне определенную точку, связанную с телом. Эта точка получила название центра масс. Положение центра масс зависит от того, как масса тела распределена по его объему. Для однородных тел простой формы центр масс совпадает с центром симметрии. В частности, центр масс тела в форме параллелепипеда лежит в точке пересечения его диагоналей. Центр масс может оказаться и в точке, в которой нет вещества, образующего тело (например, в случае однородного обруча).

Особая роль центра масс в механике заключается в том, что эта точка движется так, как будто в ней сосредоточена вся масса тела и к ней приложены все силы, действующие на тело. Если тело движется поступательно, то это означает, что равнодействующая всех сил, приложенных к телу, проходит через его центр масс.
Частным случаем поступательного движения является свободное падение тела, не приведенного предварительно во вращение, в однородном поле тяготения. Под действием элементарных сил тяжести, действующих на все точки тела параллельно, оно движется поступательно. Следовательно, равнодействующая всех сил тяжести при любом положении тела проходит через его центр масс.

Вес тела. Невесомость. Перегрузки

Тело, находящееся в поле сил тяготения, может быть неподвижным (или двигаться равномерно и прямолинейно), только если на него действуют другие тела, например, опора или подвес, которые уравновешивают силу тяжести. Сила, с которой тело в однородном поле тяготения действует на опору или подвес, удерживающие его от свободного падения, называется весом тела .
Вес неподвижного тела равен по величине и направлению силе тяжести: . В результате совместного действия силы тяжести и реакции подвеса (или опоры) тело, находящееся вблизи поверхности Земли, деформируется.
Если опора (подвес) движется с ускорением, направленным вверх или вниз, вес тела отличается от силы тяжести. В частности, при движении опоры (подвеса) с ускорением , направленным вниз, вес тела меньше силы тяжести: . Если , вес тела равен нулю: опора (подвес) на него не действует. В этом случае говорят, что тело находится в состоянии невесомости. При движении тела только под действием силы тяготения деформации тела отсутствуют.
При движении опоры (подвеса) с ускорением , направленным вверх, вес тела больше силы тяжести: . Такое состояние тела называется перегрузкой. При перегрузках деформации тела больше, чем в случае, когда тело покоится.

Применение законов Ньютона к движению материальной точки по окружности

Равномерное движение материальной точки по окружности происходит под действием одной или нескольких сил, векторная сумма (равнодействующая) которых в каждый момент времени перпендикулярна скорости точки и направлена к центру окружности. Эта равнодействующая сообщает точке центростремительное ускорение . Согласно второму закону Ньютона, для равномерного движения точки массой по окружности справедливо уравнение

(1.2.13)

Чтобы перейти к скалярному уравнению, нужно спроектировать все векторы на неподвижную ось , проходящую через материальную точку и направленную по радиусу к центру окружности (т.е. по направлению ускорения ). При указанном выборе оси , где — скорость точки, — радиус окружности. В итоге получаем уравнение

(1.2.14)

Если точка движется неравномерно, то ее скорость изменяется не только по направлению, но и по модулю. В этом случае центростремительное ускорение сообщают составляющие приложенных к точке сил, действующие вдоль радиуса, а составляющие, действующие вдоль касательной, сообщают точке касательное (тангенциальное) ускорение. Полное ускорение точки равно векторной сумме центростремительного и тангенциального ускорений.

Движение искусственных спутников. Первая космическая скорость

Чтобы тело стало искусственным спутником Земли, движущимся на расстоянии от ее поверхности, нужно поднять это тело на высоту и сообщить ему в направлении, перпендикулярном вертикали, такую скорость , чтобы, согласно второму закону Ньютона и закону всемирного тяготения, выполнялось условие:

(1.2.15)

Здесь — масса спутника, — масса Земли, — ее радиус.
Отсюда

(1.2.16)

Если спутник запускается вблизи поверхности Земли , ему
необходимо сообщить скорость

(1.2.17)

где — ускорение свободного падения у поверхности Земли. Скорость такого движения называют первой космической скоростью. При движении по орбите вокруг планеты тело находится в состоянии невесомости.

Указания по решению задач

При решении задач по динамике нужно прежде всего выяснить, какие силы действуют на тело, движением которого мы интересуемся. Необходимо изобразить эти силы на чертеже. При этом нужно ясно представлять, со стороны каких именно тел действуют рассматриваемые силы. Следует помнить, что силы «действия» и «противодействия», фигурирующие в третьем законе Ньютона, приложены к разным телам. Потому на данное тело может действовать только одна из этих сил, а не обе сразу.
Иногда возникают затруднения при определении направления силы трения покоя, особенно в сложных системах, состоящих из нескольких тел. В этом случае помогает следующий прием: нужно предположить, что трение исчезло, и найти направления относительных скоростей соприкасающихся тел. Направления сил трения будут противоположны направлениям относительных скоростей.

После того, как определены действующие на тело силы, следует записать уравнение движения (второй закон Ньютона). При движении по прямой , где — проекция ускорения, — проекции сил на прямую, вдоль которой происходит движение. Положительное направление отсчета удобно выбирать совпадающим с направлением ускорения тела. До того, как задача решена, определить направление ускорения не всегда удается. В этом случае оно может быть выбрано произвольно. Если полученное в ответе ускорение положительно, то его направление выбрано правильно, если отрицательно — то неправильно и его нужно заменить на противоположное.

В направлении, перпендикулярном к направлению прямолинейного движения, сумма проекций сил равна нулю. Соответствующими равенствами можно пользоваться например для того, чтобы найти силу реакции опоры, определяющую силу трения.
Если рассматривается движение системы тел, то уравнения движения нужно записать для каждого тела системы. Задача может быть решена лишь тогда, когда число независимых уравнений равно числу неизвестных. В число неизвестных, кроме величин, которые требуется найти по условию задачи, часто входят еще силы реакции опоры, натяжения подвеса и другие силы, возникающие при взаимодействии тел системы. Рассматривая уравнения движения совместно с кинематическими соотношениями, вытекающими из связей, накладываемых на перемещения тел, мы получаем систему уравнений, число которых совпадает с числом неизвестных.

Примеры решения задач

К оглавлению…

Задача1.2.1.

Воздушный шар опускается с ускорением , направленным вниз. Какой массы балласт надо сбросить, чтобы шар начал двигаться с тем же по модулю ускорением, направленным вверх? Начальная масса шара с балластом равна . Сопротивлением воздуха движению шара пренебречь.

Решение:

Воздушный шар движется под действием двух сил: силы тяжести, направленной вниз, и архимедовой силы, направленной вверх. Естественно предположить, что архимедова сила практически не изменяется после выбрасывания балласта, поскольку объем балласта наверняка намного меньше, чем объем шара и оставшегося груза. Записывая уравнения движения шара в проекции на направление его ускорения, для указанных в условии случаев имеем:

Исключая отсюда архимедову силу, получаем ответ:

Задача1.2.2.

Автомобиль трогается с места с ускорением . При скорости ускорение автомобиля стало равным . С какой установившейся скоростью будет двигаться автомобиль, если сила сопротивления пропорциональна скорости? Силу тяги двигателя при движении автомобиля считать постоянной.

Решение:

Поскольку при движении автомобиля по горизонтальной дороге приложенные к нему вертикальные силы уравновешены, исключим эти силы из рассмотрения. В горизонтальном направлении на автомобиль действуют две силы: сила трения покоя, приложенная к его ведущим колесам со стороны дорожного покрытия, и сила сопротивления воздуха. Первая из этих сил возникает при передаче крутящего момента от двигателя к ведущим колесам и обычно называется силой тяги двигателя. По условию задачи при движении автомобиля она постоянна. Вторая из перечисленных сил представляет собой силу вязкого трения, которая в рамках принятой модели пропорциональна скорости автомобиля.

Обозначим через силу тяги двигателя автомобиля, через — его массу, а через — коэффициент вязкого трения. Когда автомобиль трогается с места, его скорость равна нулю и в этот момент уравнение движения автомобиля записывается как

При скорости автомобиля уравнение движения принимает вид

а при установившейся скорости , когда ускорение автомобиля обращается в нуль,

Исключая из этих уравнений , и , находим ответ:

Задача1.2.3.

Начальный участок трассы скоростного спуска, расположенный вниз по склону горы с углом наклона к горизонту, горнолыжник прошел, не отталкиваясь палками. Какую максимальную скорость мог развить спортсмен на этом участке, если его масса ? Коэффициент трения лыж о снег , сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости: , где постоянный коэффициент . Ускорение свободного падения принять .

Решение:

Горнолыжник, движущийся по наклонному участку трассы, находится под действием сил, изображенных на рисунке, где — сила тяжести, — нормальная составляющая силы реакции склона, — сила трения лыж о снег, — сила сопротивления воздуха.

Поскольку по условию задачи лыжник движется поступательно, его можно принять за материальную точку и считать, что точки приложения всех перечисленных сил совпадают.
В проекции на координатную ось, направленную вниз по склону, уравнение движения лыжника имеет вид:

где — ускорение лыжника, . Ясно, что при движении под действием двух постоянных сил (проекции силы тяжести и силы сухого трения) и зависящей от скорости силы сопротивления воздуха, ускорение лыжника по мере разгона уменьшается и при некоторой скорости обращается в нуль. Это и есть максимальная скорость лыжника на данном отрезке трассы, поскольку его дальнейшее движение будет равномерным. Таким образом, при установившемся движении лыжника

Отсюда после элементарных преобразований получаем ответ:

Дополнительные задачи с решением:

Законы сохранения в механике. Определения, понятия и законы

К оглавлению…

Импульс материальной точки.

Импульсом материальной точки называют векторную величину, равную произведению массы точки на ее скорость

(1.3.1)

Импульс силы

Импульсом постоянной силы за время называют векторную величину

Связь между приращением импульса материальной точки и импульсом силы

Второй закон Ньютона точки может быть сформулирован в виде теоремы об изменении импульса материальной точки: в инерциальной системе отсчета изменение импульса точки за некоторое время равно импульсу действующей на нее силы за это же время

(1.3.2)

Импульс системы материальных точек. Центр масс системы материальных точек

Импульсом системы материальных точек называют векторную сумму импульсов всех точек, входящих в систему, то есть

(1.3.3)

Важные закономерности движения системы материальных точек можно установить, используя понятие центра масс системы. Центром масс системы материальных точек называется воображаемая точка, положение которой в заданной системе отсчета определяется радиус-вектором , вычисляемым по формуле

(1.3.4)

где — масса системы, — масса точки, — ее радиус-вектор. Скорость центра масс находится из выражения

(1.3.5)

где — скорость точки. Сравнение формул (1.3.3) и (1.3.5) показывает, что

(1.3.6)

Следовательно, импульс системы материальных точек равен произведению суммарной массы системы на скорость ее центра масс.

Закон сохранения импульса

Закон изменения импульса может быть обобщен на систему материальных точек. Для этого необходимо ввести понятие о внутренних и внешних силах. Внутренними силами называются силы взаимодействия между точками, входящими в систему. Внешними силами называются силы взаимодействия точек системы с телами, не входящими в систему (рис. 1.3.1).

Записывая для каждой точки системы закон изменения импульса под действием внутренних и внешних сил, получим:

(1.3.7)

Складывая уравнения системы (1.3.7) почленно и учитывая, что согласно третьему закону Ньютона , получаем закон изменения импульса системы точек:

(1.3.8)

где — сумма внешних сил.
Границы системы условно обозначены штриховой линией. — внешние силы, — внутренние силы
В инерциальной системе отсчета изменение импульса системы материальных точек равно импульсу внешних сил, приложенных к системе. Внутренние силы не изменяют импульс системы.

Рис. 1.3.1. Границы системы условно обозначены штриховой линией.

—внешние силы, — внутренние силы.

Закон сохранения импульса системы является следствием сформулированного выше закона изменения импульса и гласит: если импульс внешних сил, приложенных к системе материальных точек, равен нулю, то импульс системы сохраняется.

Важным частным случаем является равенство нулю суммы внешних сил, действующих на систему (такие системы называются замкнутыми): импульс замкнутой системы сохраняется. Скорость центра масс замкнутой системы постоянна.
Если внешние силы не равны нулю, но существует такое неизменное направление в пространстве, что проекция суммы внешних сил на это направление обращается в нуль, то проекция импульса системы на это направление сохраняется.

Реактивное движение

Большое значение имеет закон сохранения импульса для исследования реактивного движения. Под реактивным движением понимают движение тела, возникающее при отделении некоторой его части с определенной скоростью относительно тела, например при истечении продуктов сгорания из сопла реактивного летательного аппарата. При этом появляется так называемая реактивная сила, сообщающая телу ускорение. Главная особенность реактивной силы состоит в том, что она возникает без какого-либо взаимодействия с внешними телами. Происходит лишь взаимодействие между ракетой и вытекающей из нее струей вещества. Принцип реактивного движения основан на том, что истекающие из реактивного двигателя газы получают импульс. Такой же по модулю импульс приобретает ракета. Масса ракеты со временем убывает; ракета является телом переменной массы.
Из закона сохранения импульса для замкнутой системы «ракета+газ» можно получить уравнение Мещерского

(1.3.9)

где — масса ракеты в момент времени — ее ускорение, — расход топлива (масса сгоревшего топлива в единицу времени), — скорость истечения газов относительно ракеты. Векторная величина носит название реактивной силы. Она появляется вследствие истечения газов из ракеты, приложена к ракете и направлена противоположно скорости газов относительно ракеты. Если на ракету действуют внешние силы, то ее движение определяется реактивной силой и суммой внешних сил :

(1.3.10)

Механическая работа. Мощность

Работой силы на перемещении материальной точки называется скалярная величина

(1.3.11)

где — угол между направлениями силы и перемещения (рис. 1.3.2). В зависимости от взаимной ориентации векторов и работа может быть величиной положительной, отрицательной или равной нулю. Если на материальную точку действует система сил, то работа всех этих сил на перемещении точки равна

(1.3.12)

где — угол между силой и перемещением точки, — модуль равнодействующей всех сил, действующих на материальную точку, — угол между векторами и . При поступательном движении твердого тела работа силы (или равнодействующей нескольких сил) вычисляется по формуле (1.3.11), где под понимается перемещение любой точки тела, например, центра масс.
Мощностью называется отношение работы к величине интервала времени за который эта работа совершена:

(1.3.13)
Рис. 1.3.2.
К вычислению работы силы

Если сила действует на точку, движущуюся со скоростью , то мощность этой силы равна

(1.3.14)

где — угол между направлениями силы и скорости.

Единицы измерения работы и мощности

Единица работы в СИ называется джоулем (Дж). Джоуль равен работе, совершаемой силой 1 Н при перемещении точки ее приложения на 1 м в направлении действия силы: . Единица мощности в СИ называется ваттом (Вт). Ватт равен мощности, при которой за время 1 с совершается работа 1 Дж: 1 Вт = 1 Дж/с.

Энергия

Энергией называется скалярная физическая величина, являющаяся общей количественной мерой движения и взаимодействия всех видов материи. Энергия не возникает из ничего и не исчезает, она может только переходить из одной формы в другую. Понятие энергии связывает воедино все явления природы.
Для характеристики различных форм движения материи вводятся соответствующие виды энергии, например, механическая энергия, внутренняя энергия, энергия электромагнитных взаимодействий и др.
Механическая энергия Е характеризует движение и взаимодействие тел и является функцией их скоростей и взаимного расположения. Она равна сумме кинетической и потенциальной энергий.

Кинетическая энергия материальной точки является мерой ее механического движения, зависящей от скорости ее движения в данной инерциальной системе отсчета. Кинетической энергией материальной точки называется скалярная величина

(1.3.15)

При поступательном движении твердого тела его кинетическая энергия также определяется по формуле (1.3.15), где под т понимается масса тела, а под V — скорость любой из его точек (например, центра масс).
Для системы материальных точек

(1.3.16)

Связь между приращением кинетической энергии тела и работой приложенных к телу сил

Из второго закона Ньютона следует закон изменения кинетической энергии материальной точки

(1.3.17)

согласно которому изменение кинетической энергии точки на каком-либо отрезке траектории равно работе приложенных к точке сил на этом же отрезке. Это утверждение справедливо также для твердого тела, совершающего поступательное движение. Движущееся тело обладает кинетической энергией, которая равна работе, которую нужно совершить, чтобы увеличить скорость тела от нуля до текущего значения. Кинетическая энергия тела увеличивается, если работа приложенных к нему сил положительна, и уменьшается, если эта работа отрицательна.

Потенциальная энергия — это энергия взаимодействия тел, определяемая их взаимным расположением. Потенциальная энергия может быть введена для таких сил взаимодействия, которые зависят только от расстояний между телами системы (но не от их скоростей). Эти силы в механике выделяют в особый класс и называют потенциальными или консервативными. Потенциальными являются силы тяготения, силы упругости, кулоновские и архимедовы силы. Работа потенциальной силы не зависит от формы траектории тела и определяется только его начальным и конечным положением. Это эквивалентно утверждению, что работа потенциальной силы по любому замкнутому пути равна нулю.

Хотя потенциальная энергия — это энергия взаимодействия по крайней мере двух тел, часто бывает удобно при ее вычислении принять одно из взаимодействующих тел за неподвижное. В этом случае можно говорить о потенциальной энергии второго тела, находящегося под действием силы со стороны первого, и рассматривать эту силу как внешнюю. Так поступают, например, определяя потенциальную энергию тела в поле притяжения Земли (см. ниже).
Таким образом, потенциальной энергией тела в некоторой точке называют работу, которую нужно совершить против потенциальной силы, чтобы переместить тело из точки, где потенциальная энергия равна нулю, в точку .
Значение потенциальной энергии тела зависит от выбора точки отсчета потенциальной энергии, в которой ее полагают равной нулю.
Зная потенциальную энергию, можно найти работу силы по перемещению тела из точки 1 в точку 2:

(1.3.18)

Поскольку работа определяется лишь изменением потенциальной энергии, выбор нулевого уровня потенциальной энергии не играет никакой особой роли и диктуется исключительно соображениями удобства при решении конкретной задачи. Ни одно явление природы не зависит от самой потенциальной энергии. Важна лишь разность значений потенциальной энергии в конечном и начальном состояниях системы.

Потенциальная энергия тела вблизи поверхности Земли вычисляется по формуле:

(1.3.19)

где — высота центра тяжести тела над поверхностью Земли.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела

Простейшей моделью упругих деформаций является растяжение или сжатие пружины. Потенциальная энергия тел, взаимодействующих посредством пружины, равна

(1.3.20)

где — жесткость пружины, — удлинение пружины, т.е. разность ее длин в деформированном и недеформированном состояниях. Потенциальная энергия, определяемая выражением (1.3.20), не зависит от свойств тел, которые связывает пружина. Эта энергия сконцентрирована в пружине.

Закон сохранения механической энергии

Полной механической энергией Е материальной точки называется сумма ее кинетической и потенциальной энергий:

(1.3.21)

Аналогично вводится полная механическая энергия системы точек, причем полная кинетическая энергия рассчитывается по формуле (1.3.16), а полная потенциальная энергия системы равна сумме потенциальных энергий всех пар взаимодействующих точек, а также потенциальных энергий этих точек в поле внешних сил.
Кроме потенциальных сил, в системе и на систему могут действовать также непотенциальные силы, которые зависят от скоростей тел. Работа непотенциальной силы при перемещении точки или тела по замкнутой траектории отлична от нуля. Непотенциальными являются силы трения скольжения и силы вязкого трения.

Изменение полной механической энергии подчиняется следующему закону: в инерциальной системе отсчета изменение полной механической энергии материальной точки, или системы точек равно работе непотенциальных сил (как внешних, так и внутренних).
Следствием этого закона является закон сохранения полной механической энергии: если непотенциальные силы, действующие в системе и на систему, не совершают работу, полная механическая энергия системы сохраняется.

Указания по решению задач

Большое число задач из данного раздела связано с соударениями тел или разделением тела на составные части (столкновение шариков, выстрел из пушки, разрыв гранаты и т.п.). При решении задач такого типа нужно иметь в виду, что если конечное состояние системы отделено от начального малым интервалом времени (время соударения или время выстрела), то импульсом таких внешних сил, как тяготение или трение, можно пренебречь и рассматривать систему как замкнутую. Однако, импульсом сильно меняющейся за время соударения внешней силы в общем случае пренебрегать нельзя, так как произведение малого на большую может оказаться конечной величиной. Например, при столкновении шарика с неподвижной стенкой конечное изменение его импульса за очень короткое время соударения обусловлено импульсом весьма большой силы упругости, возникающей при деформациях шарика и стенки.

При записи закона сохранения импульса нужно следить за правильностью расстановки знаков. Некоторое направление выбирается за положительное. Проекция импульса тела записывается со знаком плюс, если направление составляющей совпадает с избранным направлением, и со знаком минус — в противоположном случае. Для тел, направления движения которых не заданы в условии задачи, знаки могут быть расставлены произвольно. Если в результате решения окажется, что проекция импульса положительна, то направление движения выбрано правильно, если отрицательна, то — неправильно.

Столкновения тел обычно описываются одной из двух простейших моделей: (абсолютно) упругое и (абсолютно) неупругое соударения. В первом случае при соударении сохраняется как импульс, так и суммарная кинетическая энергия взаимодействующих тел, во втором — тела после взаимодействия движутся с одной и той же скоростью, их импульс сохраняется, но суммарная кинетическая энергия уменьшается, т.к. часть ее переходит во внутреннюю энергию. Если соударение центральное, то и в том, и в другом случаях задача полностью описана математически и имеет решение. Теория нецентрального удара выходит за рамки простейших моделей, поэтому в условиях задач на эту тему обязательно должны содержаться некоторые дополнительные данные, позволяющие получить единственное решение.

Примеры решения задач

К оглавлению…

Задача1.3.1.

Клин массой с углом при основании покоится на гладкой горизонтальной плоскости.

На наклонную поверхность клина ставят заводной автомобиль массой и отпускают без начальной скорости, после чего автомобиль начинает движение вверх по клину в плоскости рисунка. Найти скорость автомобиля относительно клина в момент, когда клин приобретает относительно плоскости скорость .

Решение:

Поскольку трение между клином и горизонтальной плоскостью пренебрежимо мало, в системе двух тел «автомобиль + клин» сохраняется горизонтальная проекция суммарного импульса.

Следовательно, в неподвижной системе отсчета в каждый момент времени выполняется следующее соотношение:

где — модуль скорости клина, — горизонтальная проекция скорости автомобиля. По закону сложения скоростей (см. рисунок)

где — скорость автомобиля относительно клина. В проекции на горизонтальную ось это равенство имеет вид:

Объединяя последнее соотношение с первым, получаем ответ:

Задача1.3.2.

На прямолинейном горизонтальном участке пути стоят N = 5 одинаковых вагонов. Промежутки между соседними вагонами одинаковы и равны L = 30 м. К крайнему вагону подкатывается еще один такой же вагон, имеющий скорость . В результате N последовательных столкновений, в каждом из которых сталкивающиеся вагоны сцепляются вместе, все N + 1 вагонов соединяются в один состав. Найти время между первым и последним столкновениями. Силами сопротивления движению вагонов пренебречь.

Решение:

Поскольку силы сопротивления пренебрежимо малы, движущийся и покоящиеся вагоны представляют собой замкнутую механическую систему. Обозначив через массу отдельного вагона, рассмотрим ряд их последовательных столкновений, в каждом из которых выполняется закон сохранения импульса:

где — скорость состава после столкновения. Из этих соотношений следует, что . Поэтому время между и -м столкновениями равно:

Искомое время между первым и последним (т.е. (N — 1)-м) столкновениями:

Применяя формулу для суммы арифметической прогрессии, находим
ответ:

Задача1.3.3.

Кузнечик сидит на одном из концов соломинки длины см, покоящейся на гладком полу. С какой минимальной относительно пола скоростью он должен прыгнуть, чтобы при приземлении попасть точно на второй конец соломинки? Масса кузнечика в раза больше массы соломинки. Размерами кузнечика и трением между полом и соломинкой пренебречь.

Решение:

В системе двух тел «кузнечик + соломинка» сохраняется горизонтальная проекция суммарного импульса, откуда следует, что в неподвижной системе отсчета справедливо равенство:

: В системе двух тел «кузнечик + соломинка» сохраняется горизонтальная проекция суммарного импульса, откуда следует, что в неподвижной системе отсчета справедливо равенство:

где и — массы кузнечика и соломинки, — скорость соломинки. Отсюда . Время to, которое кузнечик проводит в полете, легко найти из уравнений кинематики как для тела, подброшенного вверх со скоростью . Элементарный расчет дает, что

За это время перемещение соломинки влево и горизонтальное перемещение кузнечика вправо примут следующие значения (см. рисунок):

Для того, чтобы кузнечик при приземлении попал точно на правый конец соломинки, эти величины должны быть связаны соотношением:

Объединяя записанные равенства и учитывая, что , находим величину начальной скорости кузнечика:

Эта величина минимальна при , т.е. при . Таким
образом, ответ имеет вид:

Дополнительные задачи с решением:

Статика твердого тела. Определения, понятия и законы

К оглавлению…

Статикой называется раздел механики, в котором изучаются условия равновесия твердых тел под действием приложенных к ним сил.

Сложение сил. Сила, действующая на твердое тело, характеризуется точкой приложения, и линией действия. В задачах статики выделяют два типа сил:

Контактные силы, возникающие при соприкосновении тел. К ним относятся силы упругости, силы трения и силы давления жидкости или газа.

Дальнодействующие силы, действующие на расстоянии между телами. К ним относятся гравитационные и электромагнитные силы.

Силы упругости и трения приложены к телу в точке или в плоскости соприкосновения с другим твердым телом. Силы давления жидкости (газа) приложены ко всем точкам поверхности тела, окруженной жидкостью (газом). Гравитационные силы действуют на каждую точку внутри тела. Их равнодействующая приложена к некоторой точке пространства, связанной с телом: к его центру тяжести (см. ниже).

Вектор силы определяет линию, вдоль которой действует сила — линию действия. Две силы, действующие на твердое тело, уравновешиваются тогда и только тогда, когда линии их действия лежат на одной прямой, силы равны по величине и действуют в противоположных направлениях. Перенос точки приложения силы, действующей на твердое тело, вдоль линии ее действия не влияет на изменение механического состояния тела. Таким образом, в задачах статики можно переносить точку приложения силы вдоль линии действия.

Под сложением сил, действующих на твердое тело, понимается нахождение их равнодействующей, т.е. силы, вызывающей такое же изменение механического состояния тела, как и данная система сил.

В зависимости от взаимного направления сил и соотношения между их величинами используются следующие способы определения равнодействующей.

Равнодействующая двух сил, линии действия которых пересекаются, равна геометрической сумме этих сил. Линия действия равнодействующей проходит через точку пересечения линий действия складываемых сил.
Равнодействующая двух параллельных сил (рис. 1.4.1 (а)) равна их геометрической сумме, а линия ее действия делит расстояние между точками приложения этих сил в отношении, обратном отношению модулей сил:

(1.4.1)
Рис. 1.4.1. Равнодействующая параллельных сил

сил (рис. 1.4.1 (б)) равна их геометрической сумме, направлена в сторону большей из них, а линия ее действия пересекает продолжение прямой, соединяющей точки приложения сил, в точке О, для которой также выполняется равенство (1.4.1).
Если на тело действуют несколько сил, то их равнодействующая находится попарным суммированием сил описанными выше способами.

Система двух равных по модулю антипараллельных сил, линии действия которых не лежат на одной прямой, называется парой сил. Пара сил сообщает телу угловое ускорение, но не вызывает ускорение его центра масс. Свести эту систему сил к одной силе, которая приводила бы к такому же изменению состояния твердого тела, невозможно. Поэтому говорят, что пара сил не имеет равнодействующей.

Момент силы относительно оси вращения

Для того, чтобы привести твердое тело во вращение вокруг некоторой оси, к нему нужно приложить силу, имеющую отличную от нуля составляющую в плоскости, перпендикулярной к оси. При этом линия действия этой составляющей не должна проходить через ось вращения. Составляющая внешней силы, параллельная оси, не вызывает вращения тела, а приводит лишь к деформации оси. Учитывая это, под силой, действующей на твердое тело, будем понимать составляющую этой силы в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
Плечом силы называют расстояние от оси вращения (в плоскости, перпендикулярной к оси) до линии действия силы (см. рис. 1.4.2).

Рис. 1.4.2. Плечо силы

Моментом силы относительно оси называют величину, равную произведению величины силы на плечо и взятую со знаком «+», если сила стремится вызвать поворот тела по часовой стрелке, и со знаком «-», если против часовой стрелки:

(1.4.2)

Правило моментов

Состояние твердого тела, в котором все его точки остаются сколь угодно долго неподвижными по отношению к выбранной инерциальной системе отсчета, называется равновесием. Условие равновесия твердого тела, имеющего ось вращения, может быть сформулировано в виде правила моментов: тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно этой оси равна нулю.

Условия равновесия тела

Если твердое тело может переметаться поступательно, а также совершать вращательное движение относительно некоторой оси, равновесие тела достигается при одновременном выполнении двух условий:

  1. Сумма всех сил, приложенных к телу, равна нулю.
  2. Алгебраическая сумма моментов всех сил, приложенных к телу относительно оси вращения (или любой другой оси, параллельной оси вращения) равна нулю.

Центр тяжести тела

Всякое тело, находящееся в гравитационном поле, можно представить в виде системы частиц, на каждую из которых действует сила тяжести, пропорциональная ее массе. Полная сила тяжести, действующая на тело, является равнодействующей всех этих сил. Вблизи поверхности Земли, где гравитационное поле можно считать однородным, элементарные силы тяжести, действующие на частицы, параллельны. Точка приложения равнодействующей всех элементарных сил тяжести называется центром тяжести тела. В однородном гравитационном поле центр тяжести тела совпадает с центром масс тела.
Относительно оси, проходящей через центр тяжести тела, сумма моментов всех элементарных сил тяжести равна нулю.

Устойчивое, неустойчивое и безразличное равновесие тел

На практике большую роль играет качественная характеристика равновесия, называемая устойчивостью. В связи с этим различают три типа равновесия тел: устойчивое, неустойчивое и безразличное.
Положение равновесия системы называется устойчивым, если при отклонении любого тела системы от этого положения возникают силы, направленные к этому положению. Положение равновесия называется неустойчивым, если при отклонении любого тела системы от этого положения возникают силы, удаляющие тела системы от равновесия. Равновесие системы называется безразличным, если существует область отклонений от положения равновесия, в которой смещение любого тела системы не вызывает сил, изменяющих состояние системы (см. рис. 1.4.3).

Рис. 1.4.3. Виды равновесия: (б) — устойчивое, (а) — неустойчивое, (в) — безразличное

Указания по решению задач

При решении задач по данной теме, как и при решении динамических задач, нужно прежде всего выяснить, какие силы действуют на рассматриваемые тела. Эти силы необходимо изобразить на чертеже.
В статике используются два типа уравнений, выражающих условия равновесия тела:

  1. сумма проекций действующих на тело сил на любое направление равна нулю,
  2. сумма моментов этих сил относительно любой неподвижной оси равна нулю.
    При решении задач на плоскости (именно такие задачи чаще всего встречаются) для проекций сил можно записать два независимых уравнения для взаимно перпендикулярных направлений, например для горизонтального и вертикального. Целесообразно выбирать направления таким образом, чтобы проекции сил выражались наиболее просто, т.е. чтобы соответствующие косинусы углов между силами и выбранным направлением равнялись нулю или единице, или были бы заранее известны.
    Если рассматриваемые в задаче силы лежат в одной плоскости, то можно записать только одно независимое уравнение для моментов сил относительно оси, перпендикулярной к этой плоскости. Решение задачи упрощается, если ось выбрать так, чтобы в уравнение моментов по возможности не входили моменты сил, знание которых не требуется по условию задачи. Для этого нужно, чтобы плечи этих сил были равны нулю.

Примеры решения задач

К оглавлению…

Задача1.4.1.

Однородный шар массы т = 7 кг привязан за веревку к гвоздю, вбитому в стену. Какую горизонтальную силу F нужно приложить к середине веревки, чтобы натяжения нижней и верхней ее половин относились как 1 : 2, а шар не касался стенки? Ускорение свободного падения принять .

Решение:

Положение веревки и силы, действующие в системе, изображены на рисунке, где через и обозначены величины сил натяжения верхней и нижней половин веревки. Из условия равновесия шара вытекает, что Записывая условие равновесия точки А (точки приложения силы F) в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления, имеем:

Из последнего соотношения, с учетом того, что по условию , находим:
т.е.
Следовательно, . Ответ:

Задача1.4.2.

На двух гвоздях, вбитых в стену в точках А и В (см. рисунок), повешена веревка. Расстояние между гвоздями по горизонтали , разность высот, на которых вбиты гвозди , длина веревки равна а + Ь. На веревке на расстоянии а от точки А подвешивают груз, который не касается стены. Найти отношение сил натяжения веревки слева и справа от груза. Ускорение свободного падения принять . Веревку считать невесомой и нерастяжимой.

Решение:

Груз находится в равновесии под действием трех сил: силы тяжести mg и сил натяжения левого и правого отрезков веревки (см. рисунок), причем векторная сумма этих сил равна нулю. Из условия равновесия груза в частности следует, что

где и — углы между вертикалью и левым и правым отрезками веревки соответственно. Из равенства треугольников АВС и АОВ вытекает, что . Следовательно,

С другой стороны, , или Из последнего уравнения находим Поэтому и

Задача1.4.3.

На внутренней поверхности гладкой сферы лежит невесомый стержень с маленькими шариками массами mi и на концах. Длина стержня равна радиусу сферы. Пренебрегая трением найти угол а между стержнем и горизонталью.

Решение:

Шарики, насаженные на стержень, находятся в равновесии под действием сил, изображенных на рисунке, где — силы реакции сферической поверхности, — силы реакции стержня, причем т.к. стержень невесом и также находится в покое.

В проекции на направление стержня условие равновесия шариков имеет вид:

Записывая правило моментов относительно осей, проходящих через точки и получаем:

откуда Подставляя найденные в первое соотношение, после несложных преобразований получаем ответ:

Дополнительные задачи с решением:

Механика жидкостей и газов. Определения, понятия и законы

К оглавлению…

В механике жидкостей и газов изучаются равновесие и движение жидкостей и газов, а также их взаимодействие с твердыми телами. В частности, в гидро- и аэростатике рассматриваются условия и закономерности равновесия жидкостей и газов под воздействием приложенных к ним сил, а также условия равновесия твердых тел, находящихся в жидкостях или газах.

Давление

Действие тел (твердых, жидких или газообразных) на мысленно выделенный объем жидкости (газа) можно отнести к одному из двух типов: действие на расстоянии и контактное воздействие.
Величина дальнодействующих сил (гравитационных и электромагнитных) пропорциональна выделенному объему жидкости (газа), поэтому эти силы называются объемными. Величина контактных сил пропорциональна площади выделенного участка поверхности, ограничивающей данный объем, поэтому эти силы получили название поверхностных.

Если любой выделенный объем жидкости или газа находится в равновесии, то поверхностные силы действуют лишь перпендикулярно элементарным поверхностям, ограничивающим этот объем. Существование касательных составляющих поверхностных сил при равновесии невозможно, так как из-за текучести любая сколь угодно малая касательная сила вызывает деформацию сдвига жидкости (газа), т.е. нарушает равновесие. Поэтому при описании взаимодействия элементов жидкости (газа) между собой и с другими телами рассматривают лишь нормальные компоненты поверхностных сил.

Давлением называют скалярную величину, равную отношению величины нормальной компоненты поверхностной силы, действующей на элементарную площадку, к площади этой площадки :

(1.5.1)

Если сила давления равномерно распределена по поверхности площадью S, то давление

(1.5.2)

Прибор для измерения давления называется манометром.

Единицы измерения давления: паскаль, мм. рт. ст.

Единица давления в Международной системе единиц называется паскалем (Па). Паскаль равен давлению, вызываемому силой 1 Н, равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площадью . На практике также широко применяется внесистемная единица давления — миллиметр ртутного столба (мм. рт. ст.). Это давление, оказываемое на дно сосуда столбиком ртути высотой в 1 мм: 1 мм. рт. ст. = 133 Па.

Закон Паскаля

Когда внешняя сила действует на твердое тело, то создаваемое ею давление передается телом в направлении действия силы. Жидкости и газы ведут себя принципиально иначе. Согласно закону Паскаля, давление, оказываемое на покоящуюся жидкость внешними силами, передается ею одинаково во всех направлениях без изменения. То же самое утверждение справедливо и для газа.
Это означает, что давление на элементарную площадку, помещенную в покоящуюся жидкость или газ, одинаково при любой ориентации площадки.

Давление жидкости на дно и стенки сосуда

Следствием закона Паскаля является уравнение, описывающее распределение давления внутри покоящейся несжимаемой жидкости, находящейся в поле тяготения. Записывая условия равновесия мысленно выделенного вертикального столба жидкости, можно получить для давления жидкости на глубине h следующее выражение:

(1.5.3)

где — плотность жидкости, которая вследствие ее несжимаемости одинакова на любой глубине, g — ускорение свободного падения. Давление, определяемое формулой (1.5.3), называется гидростатическим. Это давление создает жидкость, находящаяся в равновесии под действием силы тяжести.
Поскольку давление верхних слоев жидкости на нижележащие слои передается ими одинаково по всем направлениям, приложенное к поверхности жидкости внешнее давление увеличивает давление в каждой точке жидкости на одну и ту же величину. В этом случае

(1.5.4)

Таким образом, сила тяжести и внешнее давление на поверхности жидкости создают внутри покоящейся жидкости давление, которое, согласно закону Паскаля, передается на и дно, и на стенки сосуда. По третьему закону Ньютона дно и стенки сосуда оказывают на жидкость такое же по величине давление.

Если стенки сосуда вертикальные, то силы давления стенок сосуда на жидкость направлены горизонтально и не имеют вертикальной составляющей. В этом случае сила гидростатического давления жидкости на дно сосуда равна весу жидкости в сосуде. Если стенки сосуда наклонные, то сила давления стенок на жидкость имеет вертикальную составляющую. Поэтому в расширяющемся кверху сосуде сила давления жидкости на дно равна разности веса жидкости и вертикальной составляющей силы давления стенок. В этом случае сила гидростатического давления на дно меньше веса жидкости. В сужающемся кверху сосуде, наоборот, сила давления на дно равна сумме веса жидкости и вертикальной составляющей силы давления стенок на жидкость. В этом случае сила гидростатического давления на дно больше веса жидкости.

К гидростатическому давлению добавляется давление воздуха , которое он оказывает на свободную поверхность жидкости. Это не влияет на равновесие сосуда с жидкостью, поскольку такое же давление воздух оказывает на стенки и дно сосуда снаружи.

Гидравлический пресс

Закон Паскаля позволяет объяснить действие широко применяемого на практике устройства — гидравлического пресса. Гидравлический пресс состоит из двух цилиндров разного диаметра, снабженных поршнями и соединенных трубкой. Пространство под поршнями заполняется жидкостью (обычно минеральным маслом). Пусть на поршень площади действует нормальная сила , а на поршень площади — нормальная сила . Если поршни находятся на одном уровне, то согласно закону Паскаля давление под поршнями одинаково, т.е. . Отсюда

(1.5.5)

Если поршни находятся на разных уровнях, то давления под ними различаются на величину , где — плотность жидкости, а — разность высот поршней. В этом случае формула (1.5.5) вообще говоря неверна, однако указанной разницей давлений как правило можно пренебречь по сравнению с давлением жидкости в прессе, создаваемом поршнями.
Гидравлический пресс является механизмом, позволяющим развивать большое усилие на одном из поршней при небольшом усилии на другом. Положенный в его основу принцип используется и в других гидравлических машинах (гидравлические подъемники, гидроусилители и т.п.).

Сообщающиеся сосуды

Система сосудов, соединенных трубами, заполненными покоящейся жидкостью, называется сообщающимися сосудами. Равенство давлений жидкости на одном и том же уровне приводит к тому, что свободные поверхности однородной жидкости в сообщающихся сосудах любой формы находятся на одном уровне (если влияние сил поверхностного натяжения пренебрежимо мало). Если в сообщающихся сосудах находятся жидкости с различными плотностями, то при равенстве давлений высота столба жидкости с меньшей плотностью будет больше высоты столба жидкости с большей плотностью.

Атмосферное давление. Опыт Торричелли

Наша Земля окружена атмосферой — слоем воздуха, состоящего из смеси различных газов. Давление воздуха у поверхности Земли равно примерно . Однако человек в повседневной жизни не замечает действия атмосферного давления, поскольку все органы внутри его тела сжаты до такого же давления.

Одними из первых экспериментальных доказательств существования атмосферного давления явились опыты итальянского физика Е. Торричелли, проделанные им в 1643 — 1644 годах. Для этих опытов он использовал стеклянную трубку длиной в 1 м, запаянную с одного конца. Заполняя эту трубку ртутью и опуская ее открытым концом в чашку со ртутью, Торричелли убедился, что ртуть из трубки выливается в чашку не полностью. Каждый раз высота оставшегося столба ртути была примерно одинаковой и составляла около 760 мм.
Прибор, описанный Торричелли представляет собой ртутный барометр. Действие этого прибора, являющегося разновидностью сообщающихся сосудов — трубки со ртутью и атмосферы — основано на том, что давление в области над поверхностью ртути в трубке (в «торричеллевой пустоте») пренебрежимо мало. Из условий механического равновесия ртути следует связь между давлением атмосферы и высотой столба ртути .

(1.5.6)

Изменение атмосферного давления с высотой

Давление атмосферы зависит от погодных условий и высоты места наблюдения. В обычных условиях на уровне моря высота столба ртути составляет около 760 мм и уменьшается с подъемом барометра. Однако изменение атмосферного давления с высотой происходит не по линейному закону, как для жидкостей, а по более сложному. Это объясняется тем, что воздух (как и любой газ) является сжимаемой средой, его плотность зависит от давления и температуры (см. раздел 6 настоящего пособия). Расчет с учетом сжимаемости воздуха показывает, что при постоянной температуре атмосферы изменение давления с высотой h описывается барометрической формулой

(1.5.7)

где М — молярная масса воздуха (29 г/моль), g — ускорение свободного падения у поверхности Земли, Т — абсолютная температура, R — универсальная газовая постоянная .

Закон Архимеда

Зависимость давления в жидкости или газе от глубины приводит к возникновению выталкивающей силы, действующей на любое тело, погруженное в жидкость или газ. Выталкивающая (архимедова) сила представляет собой результирующую элементарных сил давления, действующих на поверхность тела со стороны окружающей жидкости (газа). В соответствии с законом Архимеда, выталкивающая сила направлена вертикально вверх; ее величина равна весу жидкости (газа) в объеме погруженной части тела, а точка приложения совпадает с центром тяжести объема вытесненной телом жидкости (газа).

Плавание тел

Пусть тело, погруженное в жидкость, предоставлено самому себе. Если сила тяжести, действующая на это тело, равна архимедовой силе, то тело плавает внутри жидкости, т.е. находится в безразличном равновесии на любой глубине. Если сила тяжести больше архимедовой силы, то тело опускается вниз (тонет). Если сила тяжести меньше архимедовой силы, то тело поднимается вверх (всплывает на поверхность жидкости) до тех пор, пока вес жидкости, вытесненной погруженной в нее части тела, не станет равным силе тяжести, действующей на тело.

Движение жидкостей

В гидро- и аэродинамике изучается движение жидкостей и газов. Несмотря на то, что жидкости и газы существенно отличаются друг от друга своей сжимаемостью, многие явления, наблюдающиеся в движущихся жидкостях и газах, аналогичны. В частности, опыты показывают, что при скоростях движения газа, много меньших, чем скорость звука, сжимаемость газа можно не учитывать. Это дает возможность применять к движущимся газам те же законы, что и к движущимся жидкостям. Поэтому в последующем будем понимать под термином «жидкость» как собственно жидкости, так и газы.

Если в какой-либо области жидкости создать избыточное давление, то ее равновесие нарушается и жидкость начинает перемещаться в область, где давление меньше. Кроме избыточного давления, вызванного внешними силами, на каждый элементарный объем жидкости действуют также силы тяжести и силы внутреннего трения (силы вязкости), возникающие при скольжении одного слоя жидкости по другому.

Скорость каждой частицы жидкости в потоке в каждый момент времени имеет определенную величину и направление. Для определения направления скоростей частиц используют линии тока, т.е. линии, касательные к которым дают направление течения в данной точке. Картина линий тока показывает не только направление скорости жидкости, но и величину скорости в разных точках пространства: там, где скорость жидкости больше, линии тока расположены гуще и, наоборот, там где скорость меньше, линии тока расположены реже (рис. 1.5.1).

Рис. 1.5.1. Ламинарное течение жидкости

Объем жидкости, ограниченный линиями тока, называется трубкой тока. Поскольку скорости частиц в каждой точке поверхности трубки тока направлены по касательной к этой поверхности, частицы в своем движении не пересекают стенки трубок тока. Таким образом, при изучении стационарного движения жидкости вместо реальных труб можно рассматривать трубки тока.
Для тонкой трубки тока, в каждом сечении которой скорости частиц несжимаемой жидкости можно считать одинаковыми, справедливо соотношение

(1.5.8)

которое называется уравнением неразрывности. Здесь и — площади двух произвольных поперечных сечений трубки тока, и — скорости жидкости в этих сечениях. Согласно уравнению неразрывности скорость жидкости в узких местах трубки тока больше, чем в широких.
Если скорость течения жидкости по всему поперечному сечению трубы меняется незначительно, то уравнение (1.5.8) можно приближенно применить и для течения всей жидкости. В этом случае под и нужно понимать величины средних по сечению трубы скоростей жидкости.

Уравнение Бернулли

Под давлением движущейся жидкости понимается давление, измеряемое манометром, движущимся вместе с жидкостью. Поэтому для измерения давления в движущейся жидкости неподвижным манометром нужно располагать его так, чтобы он по возможности не искажал течение жидкости. Опыт показывает, что при стационарном течении жидкости давление жидкости больше в тех местах, где скорость течения меньше, и, наоборот, меньше в тех местах, где скорость течения больше. Схема такого опыта изображена на рис. 1.5.2. В качестве измерителей давления там использованы

Рис. 1.5.2. Давление движущейся жидкости

открытые сверху стеклянные трубки, по высоте столба жидкости в которых можно судить о величине ее давления на стенки горизонтальной трубы.
Зависимость давления идеальной жидкости от скорости ее стационарного течения была установлена Д. Бернулли. Строгий вывод уравнения Бернулли проводится для достаточно узкой трубки тока. Но в идеальной жидкости, для которой вязкость пренебрежимо мала, можно приближенно считать скорости всех частиц жидкости в данном сечении всего потока одинаковыми.

Рис. 1.5.3. К выводу уравнения Бернулли

Рассмотрим расположенную наклонно трубу переменного сечения, в которой течет стационарный поток жидкости (рис. 1.5.3). Пусть в широкой части трубы давление жидкости, величина ее скорости и высота центра поперечного сечения над некоторой горизонтальной поверхностью соответственно равны , а в узкой части трубы — . На основе закона сохранения механической энергии для потока идеальной жидкости можно получить соотношение

(1.5.9)

которое называется уравнением Бернулли. В этом уравнении имеет смысл плотности кинетической энергии жидкости (т.е. кинетической энергии единицы объема жидкости), a — плотность потенциальной энергии. Согласно уравнению Бернулли сумма давления и плотностей кинетической и потенциальной энергий при стационарном течении идеальной жидкости постоянна для любого сечения потока.
Если труба горизонтальна , то уравнение Бернулли принимает вид:

(1.5.10)

С помощью уравнения Бернулли нетрудно найти скорость истечения идеальной жидкости из отверстия, расположенного на глубине относительно свободной поверхности жидкости. Если сосуд широкий, а отверстие мало, то скорость движения жидкости в сосуде пренебрежимо мала по сравнению со скоростью ее истечения из отверстия. Применяя ко всему потоку жидкости в целом уравнение Бернулли, получаем

откуда

(1.5.11)

Истечение идеальной жидкости происходит с той же скоростью, какую имело бы тело при свободном падении с высоты .

Примеры решения задач

К оглавлению…

Задача1.5.1.

Браслет массы М = 80 г сделан из сплава золота и серебра. Вычислить массу золота m, содержащегося в браслете, исходя из следующих данных. Плотность золота , плотность серебра . При погружении браслета в воду, находящуюся в сосуде с вертикальными стенками и площадью основания , уровень воды поднимается на h = 2 мм. Объем сплава принять равным суммарному объему исходных компонент.

Решение:

Объем браслета равен объему вытесненной им воды: V = Sh. Этот объем по условию задачи складывается из объема золота и объема серебра , причем

Следовательно, Отсюда после несложных преобразований получаем ответ:

Задача1.5.2.

На наклонном дне сосуда, наполненного водой, покоится на маленьких подставках алюминиевый кубик с ребром а = 10 см. Определить суммарную силу трения между кубиком и подставками.

Угол наклона дна сосуда к горизонту , плотности алюминия и воды, соответственно, Ускорение свободного падения принять

Решение:

Кубик находится в равновесии под действием трех сил: силы тяжести архимедовой силы и силы реакции со стороны подставок, которую, в свою очередь, удобно разложить на две составляющие: нормальную к наклонному дну составляющую силы реакции и силу трения о подставки (см. рисунок). Отметим, что наличие подставок, на которых покоится кубик, играет в задаче важную роль, т.к. именно благодаря им вода окружает кубик со всех сторон и для

определения силы, с которой вода действует на него, можно воспользоваться законом Архимеда. Если бы кубик лежал непосредственно на дне сосуда и вода под него не подтекала, то результирующая поверхностных сил давления воды на кубик не выталкивала бы его наверх, а наоборот еще сильнее прижимала ко дну.
В нашем случае на кубик действует выталкивающая сила , направленная вверх. Проектируя все силы на координатную ось, параллельную дну сосуда, запишем условие равновесия кубика в виде

Учитывая, что масса кубика , получаем ответ:

Задача1.5.3.

В сосуде, вертикальное сечение которого изображено на рисунке, находятся в равновесии два невесомых поршня, соединенные невесомой нерастяжимой нитью. Пространство между поршнями

заполнено жидкостью, плотность которой . Найти силу натяжения нити Т, если площади поршней и , а длина нити . Трением поршней о стенки сосуда пренебречь, ускорение свободного падения принять .

Решение:

Поршни находятся в равновесии под действием сил, величины и направления которых указаны на рисунке. Для облегчения анализа рисунка точки приложения некоторых сил условно смещены от их истинного положения. На самом деле точки приложения всех сил расположены на оси симметрии системы.

Будем использовать следующие обозначения: Т — величина силы натяжения нити, которая в силу невесомости нити одинакова во всех ее точках, — атмосферное давление, — давление жидкости на уровне верхнего поршня. Поршни находятся в равновесии при выполнении условий:
для верхнего поршня,
для нижнего поршня.
Из первого уравнения получаем . Отсюда видно, что ответ зависит от разности . Вычитание второго уравнения из первого дает: Используя это выражение, находим ответ:

Дополнительные задачи с решением:

Механические колебания и волны. Звук. Определения, понятия и законы

К оглавлению…

Понятие о колебательном движении

Колебаниями называются движения или изменения состояния системы, обладающие повторяемостью во времени. Колебания весьма разнообразны по своей природе. Модели колебательных процессов широко используются в физике, химии, биологии, науках о Земле. Колебания самой разной природы могут иметь общие количественные закономерности и описываться одинаковыми математическими методами.
Колебания механических систем представляют собой повторяющиеся движения в окрестности устойчивого положения равновесия. Примерами механических колебаний являются движения груза, подвешенного на пружине, качания маятника, колебания натянутой струны, колебания ветвей и ствола дерева на ветру и т.п.
Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени.

Период и частота колебаний

Периодом колебаний называется наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех величин, характеризующих колебательное движение (например, смещения, скорости и ускорения колеблющейся точки). За это время совершается одно полное колебание. Период колебаний измеряется в секундах. Величина, обратная периоду, , называется частотой колебаний. Частота колебаний измеряется в герцах. Один герц — это частота колебаний, период которых равен одной секунде. Круговой или циклической частотой колебаний называют величину . Круговая частота измеряется в радианах в секунду. Она связана с периодом колебаний формулой .

Гармонические колебания. Смещение, амплитуда и фаза при гармонических колебаниях

Частным, но весьма широко распространенным случаем периодических колебаний являются гармонические колебания, происходящие во времени по закону синуса или косинуса. Гармонические колебания в общем случае описываются формулой:

(1.6.1)

где — смещение колеблющегося тела относительно положения равновесия в данный момент времени и — константы, определяемые начальным состоянием тела, т.е. его начальным смещением и начальной скоростью . Во многих случаях удобно вместо (1.6.1) использовать для описания колебаний эквивалентную формулу

(1.6.2)

где — максимальное смещение тела относительно положения равновесия, называемое амплитудой колебаний, — аргумент гармонической функции, называемый фазой колебаний. Амплитуда и фаза колебаний однозначно определяют механическое состояние (т.е. координату и скорость) колеблющегося тела в любой момент времени. Амплитуда и начальная фаза колебаний выражаются через константы и , следующим образом: График зависимости смещения колеблющегося тела от времени изображен на рис. 1.6.1.
Скорость колеблющегося тела равна производной от координаты тела по времени:

(1.6.3)

Скорость изменяется по синусоидальному закону с такой же частотой, что и смещение (рис. 1.6.2). Амплитуда скорости пропорциональна циклической частоте и амплитуде смещения. Фаза скорости опережает фазу смещения на . В частности, скорость колеблющегося тела максимальна по абсолютной величине в момент прохождения телом положения равновесия. При максимальных смещениях тела от положения равновесия его скорость равна нулю.

Рис. 1.6.1. Зависимость смещения от времени
Рис. 1.6.2. Зависимость смещения, скорости и ускорения от времени

Ускорение колеблющегося тела равно второй производной смещения по времени:

(1.6.4)

Ускорение изменяется по косинусоидальному закону с той же частотой, что и смещение (рис. 1.6.2). Амплитуда ускорения пропорциональна квадрату циклической частоты и амплитуде смещения. Фаза ускорения отличается от фазы смещения на . Это означает, что ускорение колеблющегося тела всегда направлено к положению его равновесия. Величина ускорения максимальна при наибольших смещениях тела от положения равновесия.

Свободные колебания. Колебания груза на пружине. Математический маятник. Периоды их колебаний

Особое место в физике занимает определенный тип колебательных движений — свободные колебания. Они возможны в случае, когда в колебательной системе не действуют переменные во времени внешние силы, или когда работа переменных внешних сил равна нулю. Свободные колебания возникают в системе, предоставленной самой себе после какого-либо однократного начального воздействия на нее, приводящего к отклонению от положения равновесия. При свободных колебаниях в системе всегда действуют силы, стремящиеся вернуть ее в положение равновесия. Если внешние и внутренние силы потенциальны, то при колебаниях сохраняется механическая энергия. В этом случае свободные колебания называются незатухающими. Незатухающие свободные колебания в системе возможны лишь при отсутствии трения и любых других сил сопротивления. Амплитуда незатухающих колебаний постоянна (не зависит от времени).

Уравнение движения системы, совершающей свободные гармонические колебания, всегда может быть приведено к виду:

(1.6.5)

Множитель, стоящий перед координатой в уравнении вида (1.6.5), представляет собой квадрат циклической частоты свободных колебаний.
Важным примером колебательной системы является груз, подвешенный на пружине. Такая система способна совершать гармонические колебания, если сила упругости пружины пропорциональна величине смещения груза относительно положения равновесия, т.е. если сила упругости подчиняется закону Гука. Циклическая частота и период свободных колебаний груза, подвешенного на пружине, определяются формулами:

(1.6.6)

Здесь — масса груза, — коэффициент упругости пружины.
Математический маятник представляет собой идеализированную модель колебательной системы: материальную точку, подвешенную на невесомой нерастяжимой нити и находящуюся в поле силы тяжести. Движения маятника происходят под действием силы тяжести и силы натяжения нити. Циклическая частота и период колебаний при малых углах отклонения маятника от вертикали даются выражениями

(1.6.7)

где — длина нити, — ускорение свободного падения.

Превращения энергии при гармонических колебаниях

При свободных гармонических колебаниях полная механическая энергия колебательной системы остается постоянной. Однако она периодически меняет свою форму, превращаясь из кинетической энергии в потенциальную и обратно. Этот процесс повторяется дважды на каждом периоде колебания. Кинетическая энергия достигает максимума в моменты прохождения системой положения равновесия. Потенциальная энергия, напротив, максимальна в моменты наибольших отклонений колеблющегося тела от положения равновесия, т.е. в моменты времени, когда скорость движения обращается в нуль.
Полная энергия гармонических колебаний пружинного маятника пропорциональна квадрату амплитуды колебаний :

(1.6.8)

Для математического маятника, колеблющегося с угловой амплитудой , полная энергия

(1.6.9)

Затухающие колебания

В реальных колебательных системах свободные колебания постепенно затухают под действием сил сопротивления, например, силы трения колеблющегося тела о воздух. Зависимость координаты тела от времени при затухающих колебаниях изображена на рис. 1.6.3.

Рис. 1.6.3. Затухающие колебания

Затухающие колебания представляют собой непериодические движения. Поэтому к ним неприменимы непосредственно понятия периода и частоты, введенные для периодических колебаний. Условным периодом затухающих колебаний называется промежуток времени между двумя последовательными прохождениями колеблющейся системой положения равновесия при движении в одну и ту же сторону. Величина называется циклической частотой затухающих колебаний. Она всегда меньше циклической частоты незатухающих колебаний в идеализированной системе без трения. Разность между и увеличивается с возрастанием коэффициента трения.
Количественной характеристикой затухания является добротность колебаний, определяемая как число свободных колебаний системы, которые произойдут до того, как полная механическая энергия колебательной системы уменьшится в два раза.

Вынужденные колебания. Резонанс

Вынужденными колебаниями называются движения системы, которые вызываются действием на нее внешних сил , периодически изменяющихся во времени. Сила называется вынуждающей силой.
Если вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону

(1.6.10)

где — амплитуда вынуждающей силы, а — ее циклическая частота, то в системе устанавливаются вынужденные колебания, которые также являются гармоническими, происходят с циклической частотой, равной частоте вынуждающей силы, и описываются уравнением

(1.6.11)

Здесь — амплитуда вынужденных колебаний, — разность фаз между смещением и силой . В процессе установления вынужденных колебаний движения в системе носят сложный характер: происходит наложение свободных затухающих колебаний и вынужденных колебаний. После того, как свободные колебания прекратятся, в системе установятся вынужденные колебания.
Амплитуда установившихся вынужденных колебаний зависит от соотношения частот вынуждающей силы и свободных колебаний , а также от трения в системе. Изменение амплитуды колебаний в зависимости от частоты вынуждающей силы при различных коэффициентах трения изображено на рис. 1.6.4. Кривой 1 соответствует минимальное трение, а кривой 3 — максимальное.

Рис. 1.6.4. Резонанс

Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте свободных колебаний системы называется резонансом. Расчет показывает, что при наличии трения в системе резонансная циклическая частота несколько меньше собственной циклической частоты свободных затухающих колебаний. Возрастание амплитуды вынужденных колебаний при резонансе выражено тем отчетливее, чем меньше трение в системе.

Понятие о волновых процессах. Поперечные и продольные волны

Волновым процессом (волной) называется процесс распространения колебаний в пространстве. Примеры волновых процессов — волна на поверхности воды, волна в упругой среде. Волны бывают продольные и поперечные. В продольной волне колебательное движение частиц среды происходит в направлении, параллельном направлению распространения волны. Такова, например, звуковая волна в воздухе. В поперечной волне колебательное движение частиц среды происходит в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны. Примером поперечных волн являются сдвиговые волны в упругой среде.

Длина волны. Скорость распространения волны. Фронт волны. Уравнение бегущей волны

При волновом движении возникает периодичность двоякого рода. Во-первых, отдельные частицы среды совершают колебания около своих положений равновесия с периодом . При этом фазы колебаний частиц, расположенных в разных точках пространства, различны. Во-вторых, в каждый фиксированный момент времени механическое состояние среды периодически повторяется в пространстве вдоль направления распространения волны.
В качестве иллюстрации на рис. 1.6.5 изображен профиль поперечной волны в определенный момент времени (сплошная линия). Через там обозначено смещение от положения равновесия точки среды с координатой в момент времени . С течением времени вся картина перемещается со скоростью слева направо. Спустя промежуток времени волна будет иметь вид, изображенный на рис. 1.6.5 штриховой линией.

Рис. 1.6.5. Профиль поперечной волны в фиксированные моменты времени

Фаза колебаний частиц линейно связана с координатой, отсчитываемой в направлении распространения волны. Кратчайшее расстояние между двумя точками, в которых частицы среды колеблются в одной и той же фазе, называется длиной волны . Такое расстояние волна проходит за время, равное одному периоду колебаний.
Уравнение, описывающее колебательный процесс в любой точке пространства при распространении гармонической волны, называется уравнением бегущей волны. Для волны, бегущей вправо вдоль оси оно имеет вид:

(1.6.12)

Здесь — амплитуда волны, — круговая частота, — волновое число, — начальная фаза.
Геометрическое место точек, в которых частицы среды совершают колебания в одной и той же фазе, называется фронтом волны (волновым фронтом). Волновой фронт может быть, в частности, плоским или сферическим. Скоростью распространения волны называется скорость движения ее волнового фронта. Она вычисляется по формуле

(1.6.13)

где — период, — частота колебаний частиц в волне.

Стоячие волны

В простейшем случае стоячая волна образуется в результате наложения двух волн одинаковой частоты, распространяющихся навстречу друг другу. Например, стоячая волна возникает в натянутом резиновом шнуре, закрепленном в одном из концов, когда другому концу сообщаются в поперечном направлении гармонические колебания. Пусть волна, бегущая в направлении к закрепленному концу шнура (вправо), описывается уравнением

(1.6.14)

Поскольку смещения шнура в отраженной от закрепленного конца волне имеют противоположный знак по сравнению со смещениями в бегущей волне, а амплитуды бегущей и отраженной волн практически совпадают, уравнение отраженной волны имеет вид:

(1.6.15)

где — длина шнура. Результирующее смещение произвольной точки шнура с координатой равно:

(1.6.16)

Видно, что в каждая точка шнура совершает гармонические колебания на частоте , причем модуль максимального смещения колеблющихся точек (амплитуда их колебаний) не зависит от времени и является периодической функцией координаты :

(1.6.17)

На рис. 1.6.6 изображен профиль стоячей волны в близкие моменты времени и . Точки, в которых амплитуда стоячей волны обращается в нуль, называются узлами стоячей волны. Точки, в которых амплитуда колебаний максимальна и равна , называются пучностями стоячей волны. Фаза колебаний всех точек между двумя соседними узлами в стоячей волне одинакова, но при переходе через узел фаза колебаний меняется на , т.е. смещения меняют знак.

Рис. 1.6.6.

Профиль стоячей волны в моменты и .

Интерференция волн

Если в среде возбуждены одновременно несколько волн, то они распространяются, не влияя одна на другую. В каждой точке среды колебания, вызванные различными волнами, складываются. Результирующее перемещение любой частицы представляет собой сумму перемещений, которые происходили бы при распространении одной из волн в отсутствие остальных. В результате такого наложения волн амплитуды колебаний частиц среды, расположенных в разных точках пространства, будут, вообще говоря, различными. В частности, в некоторых точках пространства колебания частиц могут практически отсутствовать, в то время как в других точках амплитуда колебаний может быть велика. Если при наложении волн возникает такое неоднородное распределение амплитуд колебаний в пространстве, и оно сохраняется во времени, то говорят, что имеет место интерференция волн. Для получения устойчивой интерференционной картины необходимо, чтобы источники волн имели одинаковую частоту и фазы их колебаний совпадали, или отличались на некоторую постоянную, не зависящую от времени величину. Источники, удовлетворяющие этим условиям, называются когерентными.

Принцип Гюйгенса

Общий принцип, описывающий распространение волн, впервые был выдвинут голландским ученым X. Гюйгенсом. Согласно этому принципу каждая точка среды, до которой дошло волновое возмущение, становится источником элементарной вторичной волны. Положение волнового фронта распространяющейся волны в следующий момент времени определяется огибающей элементарных вторичных волн. Принцип Гюйгенса по существу определяет направление лучей, т.е. линий, перпендикулярных волновому фронту. С его помощью можно, в частности, вывести законы отражения и преломления волн на границе раздела двух сред.
Для механических волн принцип Гюйгенса имеет наглядное истолкование. Частицы среды, до которых доходят колебания, в свою очередь, колеблясь, приводят в движение соседние частицы среды, с которыми они взаимодействуют.

Дифракция волн.

Дифракцией называют явление огибания волной препятствия, встречающегося на ее пути. Это явление проявляется наиболее отчетливо, если размеры препятствия имеют тот же порядок, что и длина волны . При явление дифракции обычно не играет существенной роли.

Звуковые волны представляют собой чередующиеся области сжатия и разрежения, распространяющиеся в упругой среде. Звуковые волны являются продольными. Они могут распространяться в воздухе, в воде, в почве, в металлах и пр. В частности, сжатия и разрежения воздуха в звуковой волне вызывают колебания давления относительно среднего атмосферного давления. Частота слышимых человеческим ухом волн лежит в пределах звукового диапазона, образующего область частот колебаний от 16 Гц до 20 кГц. Звуковые волны с частотами менее 16 Гц называются инфразвуками, а с частотами более 20 кГц — ультразвуками.
Скорость звука в газе приблизительно равна средней скорости теплового движения молекул и, подобно ей, пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры. При 0°С скорость звука в воздухе составляет 332 м/с.

Громкость звука зависит от интенсивности звуковой волны, т.е. от средней энергии, переносимой волной за единицу времени через единицу площади поверхности, перпендикулярной к направлению распространения волны. Интенсивность звуковой волны пропорциональна квадрату амплитуды колебаний давления воздуха и измеряется в . Наибольшей чувствительностью человеческое ухо обладает к звукам с частотами от 700 до 6000 Гц. В этом диапазоне ухо способно воспринимать звуки с интенсивностью около (порог слышимости). Наибольшая интенсивность, при которой восприятие звука не вызывает болевых ощущений, называется болевым порогом. Болевой порог зависит от частоты звуковых колебаний и при составляет около 1 .
Высота звука определяется частотой колебаний. При этом низкие звуки соответствуют колебаниям воздуха на низких частотах, а высокие — колебаниям на высоких частотах.

Указания по решению задач

Задачи данного раздела в основном делятся на две группы. В одной из них требуется определить период или частоту колебаний какой-либо системы. Для этой цели следует составить уравнение движения системы вблизи положения равновесия, после чего свести его к виду (1.6.5). Тогда множитель, стоящий перед координатой, будет представлять собой квадрат частоты свободных колебаний. В некоторых случаях в уравнении колебаний возникают постоянные слагаемые (например, для груза, подвешенного на пружине и совершающего движения вдоль вертикальной прямой). Наличие таких членов в уравнении не влияет на частоту свободных колебаний.

Вторая группа задач связана с определением амплитуды колебаний. Для таких задач удобным оказывается использование закона сохранения полной механической энергии в колебательной системе. Этому закону следует придать форму, связывающую амплитудные и текущие значения смещения либо скорости колеблющегося тела.

Кстати готовые задачи на продажу тут.

Примеры решения задач

К оглавлению…

Задача1.6.1.

Горизонтальная доска совершает гармонические колебания в горизонтальном направлении с периодом . При какой амплитуде колебаний лежащее на ней тело начнет скользить? Коэффициент трения , ускорение свободного падения .

Решение:

Направим ось горизонтально и совместим начало координат с некоторой фиксированной точкой доски в положении равновесия. Тогда зависимость координаты этой точки от времени будет иметь вид:

Ускорение доски также описывается гармонической функцией времени:


где двумя точками обозначена вторая производная по времени. Амплитудное значение ускорения доски равно

Лежащее на доске тело приводится в движение силой трения. Поскольку максимальное значение силы трения покоя равно , максимальное ускорение, которое она может сообщить телу, . Следовательно, тело начнет скользить по доске, когда амплитудное значение ускорения доски превысит максимально возможное значение ускорения тела, т.е. при . Объединяя записанные выражения, получаем ответ:

Задача1.6.2.

Цилиндр массой т с площадью основания плавает в вертикальном положении в жидкости плотностью . Его погрузили еще немного и отпустили. Определить период малых вертикальных колебаний цилиндра. Сопротивлением жидкости пренебречь. Ускорение свободного падения .

Решение:

Пусть длина погруженной части цилиндра равна . Тогда условие его плавания в жидкости запишется в виде:

При дополнительном погружении цилиндра на глубину архимедова сила станет равной . Если после погружения цилиндра его отпустить, то нескомпенсированная часть выталкивающей силы сообщит ему ускорение , направленное вверх, т.е. против перемещения цилиндра. В соответствии с этим, уравнение движения цилиндра в вертикальном направлении будет:
или
Стоящий перед координатой множитель представляет собой квадрат собственной частоты. Учитывая, что , получаем ответ:

Задача1.6.3.

Тело массой , надетое на гладкий горизонтальный стержень, связано пружиной с неподвижной стенкой. В это тело попадает и застревает в нем пуля массой , летящая горизонтально со скоростью , направленной вдоль стержня. Тело вместе с застрявшей в нем пулей начинает колебаться с амплитудой . Найти период колебаний тела.

Решение:

Считая, что длительность взаимодействия пули с телом при соударении пренебрежимо мала, можно утверждать, что в момент соударения импульс системы «пуля + тело» сохраняется. Следовательно,

где — скорость тела и пули сразу после соударения. Приобретя такую скорость, тело с застрявшей в нем пулей начинает совершать гармонические колебания, причем в момент наибольшего отклонения от положения равновесия начальная кинетическая энергия системы полностью переходит в потенциальную энергию сжатой пружины:

Объединяя эти соотношения, преобразуем получившееся выражение к виду:

С другой стороны, нам известна формула для периода свободных колебаний тела массой на пружине жесткостью Используя эту формулу, окончательно находим

Задача1.6.4.

Тело массой , надетое на гладкий горизонтальный стержень, связано пружиной жесткостью с неподвижной стенкой. Тело смещают от положения равновесия на расстояние и отпускают без начальной скорости. Найти среднюю скорость тела за время, в течение которого оно проходит из крайнего положения путь .

Решение:

Выберем в качестве начала отсчета времени момент, когда тело, смещенное от положения равновесия на расстояние , отпускают без начальной скорости. Тогда его координата будет меняться со временем в соответствии с выражением:

где — круговая частота колебаний, связанная с периодом колебаний соотношением . Обозначив через время, которое тело проходит от крайнего положения путь , можно записать:
,
откуда

Средняя скорость тела за время to определяется выражением: .
Ответ:

Задача1.6.5.

Математический маятник совершает малые колебания. Известно, что через время после прохождения маятником положения равновесия его отклонение составило некоторую величину , а через время — величину . Найти длину маятника, если меньше полупериода его колебаний. Ускорение свободного падения принять .

Решение:

Пусть в момент прохождения маятником положения равновесия . Тогда зависимость угла отклонения маятника от времени имеет вид:

где — амплитуда колебаний, — угловая частота. По условию задачи

Поскольку , из этих равенств следует, что
или
Учитывая, что угловая частота свободных колебаний математического маятника , после несложных преобразований получаем ответ:

Задача1.6.6.

Брусок массой может совершать поступательное движение по прямой между двумя невесомыми пружинами жесткостью Н/м и Н/м. В недеформированном состоянии пружин расстояние между их концами . В начальный момент времени пружина сжата на величину , а брусок расположен вплотную к ее концу. Через какое время т после того, как брусок отпустят, он вернется в исходное положение? Размерами бруска пренебречь.

Решение:

Искомое время складывается из трех времен: половины периода колебаний бруска на пружине , времени равномерного движения бруска между пружинами и половины периода колебаний бруска на пружине . Для нахождения и воспользуемся известной формулой для периода свободных колебаний бруска массой на пружине жесткостью :

Скорость равномерного движения бруска можно найти из закона сохранения энергии, справедливого при свободных колебаниях:

Отсюда . Объединяя записанные выражения, получаем
ответ:

Задача1.6.7.

Маленький шарик, подвешенный на нити, отклоняют от положения равновесия и отпускают без начальной скорости. Определить, с каким ускорением начнет двигаться шарик, если известно, что в момент прохождения шариком нижней точки траектории его ускорение равно . Нить считать невесомой и нерастяжимой, сопротивление воздуха не учитывать. Ускорение свободного падения принять g = 10 .

Решение:

Пусть — масса шарика, — длина нити, — начальный угол отклонения маятника. Поскольку ускорение шарика в начальный момент времени направлено по касательной к траектории, величина ускорения определяется проекцией силы тяжести на это направление, т.е.

По закону сохранения энергии

где — скорость шарика в нижней точке. Ускорение шарика в этой V2
точке равно Объединяя записанные выражения, получаем ответ:

Возможно эти дополнительные страницы вам будут полезны: