Математика задачи с решением и примерами

Оглавление:

Математика задачи с решением

Прежде чем изучать готовые решения задач по математике, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила краткие лекции по предмету «математика», с подробным решением задач.

Эта страница подготовлена для школьников и студентов.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Математика

Математика – это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. В нее входят такие дисциплины, как арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия, высшая математика (аналитическая геометрия, линейная алгебра, математический анализ, дифференциальное и интегральное исчисления и др.). Каждая из них изучает количественные отношения и пространственные формы мира в особом аспекте и действует своими собственными методами.

Числа в математике

Число — одно из основных понятий математики[1], используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. Письменными знаками для обозначения чисел служат цифры, а также символы математических операций. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа с развитием науки значительно расширилось.

Лекции с примерами решения:

Преобразование алгебраических выражений

Числовые выражения – что это?

  • 3+512+1−618−(4+6)1+1+1+1+1 и т.п. – это все числовые выражения, а если в выражении выполнить указанные действия, то найдем значение выражения.

Числовое выражение — это комбинация чисел, знаков арифметических действий, дробных черт, знаков корня (радикалов), логарифмов, обозначений тригонометрических, обратных тригонометрических и других функций, а также скобок и других специальных математических символов, составленная в соответствии с принятыми в математике правилами.

Ниже приведены задачи с решением тождественных преобразований алгебраических выражений:

Тригонометрия

Тригонометрия — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии.

Лекции с примерами решения:

Уравнения

Уравнение — это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти. Это значение должно быть таким, чтобы при его подстановке в исходное уравнение получалось верное числовое равенство.

Лекции с примерами решения:

Решение уравнений

Решение уравнения — задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.).

  • Аргументы заданных функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными».
  • Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения.
  • Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению.

Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет.

Лекции с примерами решения:

Неравенства

Неравенство в математике — отношение, связывающее два числа или иных математических объекта с помощью одного из перечисленных ниже знаков.

Лекции с примерами решения:

Решение неравенств

Если неравенство содержит символы неизвестных, то решение его означает выяснение вопроса, при каких значениях неизвестных неравенство выполняется.

Лекции с примерами решения:

Решение задач по системам уравнений и неравенств

Системой неравенств называют запись уравнений, объединенных фигурной скобкой с множеством решений одновременно для всех неравенств, входящих в систему.

Лекции с примерами решения:

Решение текстовых задач в математике

Традиционно текстовыми задачами называются задачи на составление уравнений. Однако встречаются задачи, в которых для нахождения требуемых неизвестных величин приходится пользоваться не только уравнениями, но и неравенствами, а иногда и другими условиями, которые не записываются в форме уравнений и неравенств. Поэтому главным, что объединяет задачи такого типа, является лишь то, что условие задано в форме некоторого текста, без формул, без предварительных буквенных обозначений неизвестных. Обычно в задаче описывается более или менее реальная ситуация, в которой одни величины известны, другие неизвестны. Требуется, исходя из условий задачи, определить одну или несколько неизвестных величин, иногда их комбинации и соотношения.

Решение задачи в том случае, когда составляются уравнения, т. е. соотношения между известными и неизвестными величинами, происходит в три этапа:

  1. выбор и обозначение неизвестных;
  2. составление уравнений или неравенств;
  3. решение полученной системы уравнений и неравенств.

При наличии двух или нескольких решений системы выбирается то или те решения, которые соответствуют смыслу задачи. Так, например, не имеет смысла отрицательная стоимость чего-либо и т.п. При решении задачи важны все три этапа. Очень часто удачный выбор неизвестных быстро приводит к получению ответа, в то время как не совсем удачно выбранные неизвестные затягивают решение или делают его невозможным. Если неизвестные выбраны и обозначены, записать уравнения, как правило, труда не составляет, но нужно очень четко представлять, в чем состоит вопрос задачи. В результате решения систем уравнений и неравенств нужно ответить именно на этот вопрос, только тогда задача считается решенной. Для того чтобы записать словесные условия в виде уравнений и неравенств, нужно, читая условие задачи, постепенно вводить неизвестные и сразу записывать связи между известными и неизвестными величинами. Неважно, если неизвестных и уравнений будет много, постепенно ситуация упростится. Лучше выписывать все, что мы знаем о неизвестных величинах, чем упустить что-либо. При этом, если нужно найти какую-то определенную величину, необязательно находить другие величины, входящие в систему уравнений.

Обычно текстовые задачи делят на типы в зависимости от условий, представленных в тексте. Хотя существует достаточно много задач, в которых объединены несколько типичных условий. Так, задачи на «движение» могут включать проценты, а задачи на «работу» — целочисленные неизвестные и т. п. Тем не менее, мы выделили шесть типов текстовых задач, и, хотя готовых рецептов решения задач не существует, определенные подходы для каждого типа могут помочь при их решении. Прежде всего мы остановимся на задачах на проценты, процентное содержание и концентрации.

Лекции с примерами решения:

Решение задач на прогрессии

Арифметическая прогрессия — это ряд чисел, в котором все член получаются из предыдущего методом добавления к нему 1-го и того же числа d, которое называется разностью арифметической прогрессии.

Лекция с примерами решения:

Решение задач на функции

Функция — в математике соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Лекция с примерами решения:

Математика — лекции с примерами решения

Математика — точная наука, наука о пространственных формах и количественных отношениях. Она является основой почти всех наук, даже гуманитарных, поэтому так важно всем с первых классов изучать и понимать этот предмет. Математика не терпит произвола. Это олицетворение строгой логики и порядка. Она помогает изучить наш мир с его законами.

Освоение математики ещё со школьной скамьи позволяет развивать и упорядочивать мышление ребёнка, усиливает умственные способности. Эти знания будут той базой, которая позволит интеллектуально развиваться впоследствии. Здесь вы найдёте коллекцию видеоуроков по математике, а также конспекты, тесты, тренажёры к ним. Это поможет вам изучать и повторять этот предмет в любое время. А выполняя задания к урокам, вы сможете лучше усвоить предложенный материал.

Действительные числа

Действительное, число — математический объект, возникший из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких вычислительных операций, как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений, исследование поведения функций.

Если натуральные числа возникли в процессе счёта, рациональные — из потребности оперировать частями целого, то действительные числа предназначены для измерения непрерывных величин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству вещественных чисел, которое, помимо чисел рациональных, включает элементы, называемые иррациональными числами.

Лекции и примеры с решением:

  1. Прямые и обратные теоремы примеры с решением
  2. Делимость целых чисел примеры с решением
  3. Метод математической индукции примеры с решением
  4. Рациональные числа примеры с решением

Действительные числа, степени и корни, логарифмы. Тождественные преобразования алгебраических выражений

Возведение в степень — арифметическая операция, первоначально определяемая как результат многократного умножения числа на себя.

Корень — это 1) корень степени n из числа a — всякое число x (обозначаемое , a называется подкоренным выражением), n-я степень которого равна a (). Действие нахождения корня называется извлечением корня. 2) Корень уравнения — число, которое после подстановки его в уравнение вместо неизвестного обращает уравнение в тождество.

Логарифм — это степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент, т.е. функция от двух переменных.

Тождественные преобразования представляют собой работу, которую мы проводим с числовыми и буквенными выражениями, а также с выражениями, которые содержат переменные. Все эти преобразования мы проводим для того, чтобы привести исходное выражение к такому виду, который будет удобен для решения задачи.

Алгебраическим выражением называется выражение, получаемое из постоянных и переменных при помощи операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня.

Задания на тождественные преобразования алгебраических выражений часто встречаются в вариантах экзаменов, проводимых в форме ЕГЭ как в качестве отдельных заданий, так и в качестве компонентов заданий (например, при решении алгебраических уравнений и неравенств). Для их выполнения требуется умение применять формулы сокращенного умножения, разложения квадратного трехчлена на множители и знать определения и свойства степеней, уметь выделять полный квадрат.

Лекции и примеры с решением:

  1. Множество действительных чисел примеры с решением
  2. Разложение многочлена на множители примеры с решением
  3. Производные пропорции примеры с решением
  4. Действия с корнями (радикалами) примеры с решением
  5. Степень с рациональным и действительным показателем примеры с решением
  6. Логарифмы примеры с решением

Последовательность. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Предел последовательности

В математике последовательность — это пронумерованный набор каких-либо объектов, среди которых допускаются повторения, причём порядок объектов имеет значение.

Числовая последовательность – это упорядоченный набор чисел. Члены последовательности удобно нумеровать натуральными числами. Последовательности могут быть конечными и бесконечными.

Последовательность мы можем задать несколькими способами:

  1. словесно (описать ее члены, например: последовательность четных натуральных чисел);
  2. аналитически (задать формулу n-го члена как функцию натурального аргумента);
  3. рекуррентно (задать несколько первых членов и выразить каждый следующий член через один или несколько предыдущих).

Частные случаи последовательностей – арифметическая и геометрическая прогрессии.

Арифметическая и геометрическая прогрессии тесно связаны между собой.

Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами.

Лекции и примеры с решением:

  1. Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения
  2. Геометрическая прогрессия с примерами решения
  3. Предел последовательности с примером решения
  4. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Кстати, у меня ещё есть готовые решённые задачи по недорогим ценам, они размещены тут.

Основные формулы тригонометрии. Арксинус, арккосинус и арктангенс числа

Тригонометрия — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии.

Арксинус (arcsin) – это обратная тригонометрическая функция. Арксинус x определяется как функция, обратная к синусу x, при -1≤x≤1.

Арккосинус (arccos) – это обратная тригонометрическая функция. Арккосинус x определяется как функция, обратная к косинусу x, при -1≤x≤1.

Арктангенс (arctg или arctan) – это обратная тригонометрическая функция. Арктангенс x определяется как функция, обратная к тангенсу x, где x – любое число (x∈ℝ).

Лекции и примеры с решением:

  1. Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла с примером решения
  2. Зависимость между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом с примером решения
  3. Четность, нечетность и периодичность тригонометрических функций с примером решения
  4. Формулы двойного и тройного аргумента с примерами решения
  5. Формулы понижения степени с примерами решения
  6. Формулы приведения с примерами решения
  7. Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму с примером решения

Арксинус, арккосинус и арктангенс числа

Арксинус (arcsin) – это обратная тригонометрическая функция. Арксинус x определяется как функция, обратная к синусу x, при -1≤x≤1.

Арккосинус (arccos) – это обратная тригонометрическая функция. Арккосинус x определяется как функция, обратная к косинусу x, при -1≤x≤1.

Арктангенс (arctg или arctan) – это обратная тригонометрическая функция. Арктангенс x определяется как функция, обратная к тангенсу x, где x – любое число (x∈ℝ).

Лекции и примеры с решением:

  1. Арксинус с примером решения
  2. Арккосинус с примерами решения
  3. Арктангенс с примерами решения

Числовые неравенства

Числовое неравенство – это неравенство, в записи которого по обе стороны от знака неравенства находятся числа или числовые выражения.

Лекция и примеры с решением:

Алгебраические уравнения

Алгебраическим уравнением называется уравнение вида P (x) = 0, где P (x)— многочлен с целыми (или рациональными) коэффициентами.

Лекции и примеры с решением:

  1. Уравнение и его корни. Преобразование уравнений
  2. Рациональные уравнения примеры с решением
  3. Иррациональные уравнения примеры с решением

Показательные и логарифмические уравнения

Показательные уравнения — это уравнения в которых неизвестное содержится в показателе степени. Простейшее показательное уравнение имеет вид: ах = аb, где а> 0, а 1, х — неизвестное.

Логарифмические уравнения — это любое уравнение, которое сводится к виду log a f(x) = k, где a > 0, a ≠ 1 — основание логарифма, f(x) — произвольная функция, k — некоторая постоянная.

Лекции и примеры с решением:

  1. Показательные уравнения примеры с решением
  2. Логарифмические уравнения примеры с решением

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения — это уравнение вида sinx=a, cos x=a, tgx=a, где a — некоторое действительное число. Решаются тригонометрические уравнения они проще всего с помощью тригонометрического круга

Лекции и примеры с решением:

  1. Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением
  2. Решение уравнений с помощью введения вспомогательного угла, методом замены неизвестного и разложения на множители, с помощью формул понижения степени примеры с решением
  3. Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей с примерами решения
  4. Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Системы уравнений

Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Лекции и примеры с решением:

Системы алгебраических уравнений

Системы алгебраических уравнений — система уравнений, каждое уравнение в которой является линейным — алгебраическим уравнением первой степени.

В классическом варианте коэффициенты при переменных, свободные члены и неизвестные считаются вещественными числами, но все методы и результаты сохраняются (либо естественным образом обобщаются) на случай любых полей, например, комплексных чисел.

Решение систем алгебраических уравнений — одна из классических задач линейной алгебры, во многом определившая её объекты и методы. Кроме того, линейные алгебраические уравнения и методы их решения играют важную роль во многих прикладных направлениях, в том числе в линейном программировании, эконометрике.

Нелинейные системы уравнений с двумя неизвестными

Решение систем нелинейных уравнений — раздел математики в алгебре считается одним из трудных разделов, так как нет единых способов решения систем алгебраических уравнений, особенно, если речь идет о нелинейных системах уравнений. Так как школьники испытывают затруднения при выполнении такого типа заданий, то возникла идея составить рекомендации для старшеклассников по теме «Нелинейные системы уравнений».

Лекции и примеры с решением:

  1. Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением
  2. Симметрические системы примеры с решением
  3. Решение других типов систем алгебраических систем уравнений
  4. Иррациональные системы с двумя неизвестными с примерами решения
  5. Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Задачи на составление и решение уравнений

На вступительных экзаменах в вузы часто предлагаются задачи на составление и решение уравнений. Для решения таких задач обычно требуется ввести неизвестные, записать условия задачи в виде уравнений, связывающих эти неизвестные, решить полученное уравнение или систему уравнений и произвести отбор решений по смыслу задач.

Лекции и примеры с решением:

  1. Задачи на движение с примерами решения
  2. Задачи на сплавы и смеси с примерами решения
  3. Задачи на совместную работу с примерами решения

Системы показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений

При решении систем уравнений, содержащих неизвестные в показателе степени и в ее основании или под знаком логарифма и в его основании, применяются методы решения систем алгебраических уравнений, а также методы решения показательных и логарифмических уравнений.

Лекции и примеры с решением:

  1. Примеры решения систем показательных уравнений
  2. Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями
  3. Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями
  4. Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Алгебраические неравенства

Алгебраические неравенства — это решение неравенств при которых значение переменной, обращается в это неравенство в верное числовое неравенство.

Алгебраические неравенства подразделяются на неравенства первой степени, второй степени и так далее. 

Метод решения алгебраических неравенств заключается в приведении их с помощью равносильных преобразований к системам или совокупностям легко решаемых рациональных неравенств или уравнений. 

Частным решением алгебраического неравенства называют значение переменной, при которой алгебраическое неравенство является верным числовым неравенством.

Общим решением алгебраического неравенства называют множество всех частных решений данного неравенства.

Решить алгебраическое неравенство — значит найти все его решения (и обосновать, что других решений нет) или доказать, что решений нет.

Неравенства называются равносильными, если они имеют одинаковые решения или решений не имеют.

При решении неравенства его заменяют более простым равносильным неравенством.

  1. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не меняя при этом знак неравенства.
  2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не меняя при этом знак неравенства.
  3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный.

Лекция и примеры с решением:

Квадратный трехчлен и квадратные неравенства

Квадратный трехчлен и квадратные неравенства — это любое квадратное уравнение в котором заменён знак «=» (равно) на любой значок неравенства (> ≥ < ≤ ≠).

Лекция и примеры с решением:

Рациональные неравенства. Метод интервалов

Рациональное неравенство – это неравенство с переменными, обе части которого есть рациональные выражения.

Метод интервалов – простой способ решения дробно-рациональных неравенств. Так называются неравенства, содержащие рациональные (или дробно-рациональные) выражения, зависящие от переменной.

Лекция и примеры с решением:

Расположение корней квадратного трехчлена на числовой оси

Решение многих задач с параметрами по математике, предлагаемых на экзаменах по математике, в частности, на ЕГЭ по математике, требует умения правильно формулировать необходимые и достаточные условия, соответствующие различным случаям расположения корней квадратного трёхчлена на числовой оси.

Лекция и примеры с решением:

Иррациональные неравенства

Иррациональные неравенства – это переменная содержится под знаком корня. Иррациональное неравенство, как правило, сводится к равносильной системе (или совокупности систем) неравенств

Лекция и примеры с решением:

Показательные, логарифмические и тригонометрические неравенства

Показательные неравенства – это неравенства с переменной в показателе степени.

Логарифмические неравенства – это неравенства, содержащее переменную только под знаком логарифма: loga f(х) > logag(х).

Тригонометрические неравенства – это неравенства, которые содержат переменную под знаком тригонометрической функции.

Лекция и примеры с решением:

Логарифмические неравенства

Рассмотрены простейшие логарифмические неравенства, такого типа задания вполне можно встретить в качестве задания 15 на ЕГЭ по математике. При решении логарифмических неравенств очень важно не забывать про область допустимых значений аргумента.

Лекции и примеры с решением:

  1. Логарифмические неравенства с постоянными основаниями с примерами решения
  2. Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Тригонометрические неравенства

Решение тригонометрических неравенств зачастую сводится к решению простейших тригонометрических неравенств вида:  sinx<a sin⁡x<a,  cosx<a cos⁡x<a,  tgx<a tg⁡x<a,  ctgx<a ctg⁡x<a,  sinx>a sin⁡x>a,  cosx>a cos⁡x>a,  tgx>a tg⁡x>a,  ctgx>a ctg⁡x>a,  sinx≤a sin⁡x≤a,  cosx≤a cos⁡x≤a,  tgx≤a tg⁡x≤a,  ctgx≤a ctg⁡x≤a,  sinx≥a sin⁡x≥a,  cos≥a cos≥a,  tgx≥a tg⁡x≥a,  tgx≥a

Лекция и примеры с решением:

Системы неравенств с двумя переменными

Система неравенств с двумя переменными – это система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.

Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая его в верное числовое неравенство.

Лекции и примеры с решением:

  1. Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения
  2. Пример решения линейных неравенств с двумя переменными

Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными

Система линейных уравнений и неравенств с двумя переменными – это неравенства вида ax+by≤()c, где и x и y — неизвестные переменные, а и a, b и c — некоторые числа, причем и a и b отличны от нуля.

Лекции и примеры с решением:

  1. Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения
  2. Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля

Нелинейные системы неравенств с двумя переменными

Нелинейные системы неравенств с двумя переменными – это неравенства вида ах + bу + с<0 или ах + bу + с >0, где х и у – переменные, а, b, c – некоторые числа.

Лекция и примеры с решением:

Возможно эти страницы вам будут полезны: