Задачи по математическому анализу с решением

Прежде чем изучать готовые решения задач по матанализу, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила очень краткий курс теории по предмету «математический анализ», после которого, чуть ниже размещены подробные решения задач.

Эта страница подготовлена для студентов любых специальностей и охватывает полный курс предмета «математический анализ».

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Комплексные числа

К оглавлению…

Определение 1.1. Многочленом (полиномом) степени с действительными коэффициентами называется любое выражение вида

где ;

— переменная.

Корнем многочлена (1.1) называется любое число такое, что

Нетрудно заметить, что некоторые многочлены вообще не имеют действительных корней, например:

Расширим множество действительных чисел. Добавим к этому множеству символ , такой что ( называется мнимой единицей). Тогда ± — два корня уравнения .

Определение 1.2. Множеством комплексных чисел называется множество .

Суммой двух комплексных чисел называется число

Произведением двух комплексных чисел называется число

Для числа число а называется действительной частью, число b — мнимой частью. Обозначения:

Относительно операций «+» и « • » комплексные числа С обладают такими же свойствами, как и действительные числа. Эти операции коммутативны и ассоциативны; для них существуют обратные операции: вычитание и деление (кроме деления на 0).

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет математический анализ

Задачи с решением:

К оглавлению…

Задача №1.1

Найти .

Решение:

Теорема 1.1 (основная теорема алгебры). Любое уравнение вида (1.2) имеет решение во множестве С.

Задача №1.2

Решить уравнение

Решение:

Определение 1.3. Для комплексного числа число называется комплексно-сопряженным, число называется модулем

Если рассмотреть плоскость с декартовой системой координат и на оси отложить — действительную часть , а на оси — мнимую часть , то получим взаимно однозначное соответствие между множеством С всех комплексных чисел и множеством точек плоскости.

Такая плоскость называется комплексной плоскостью, рис. 1.1.

При этом — длина радиуса-вектора точки .

Определение 1.4. Аргументом комплексного числа называется угол , который образует радиус-вектор точки с положительным направлением оси Аргумент будем обозначать . Аргумент определен с точностью до . При этом значение называется главным и обозначается .

Замечание.

При этом

Если — аргумент , to представляется в виде

тригонометрическая форма комплексного числа.

Теорема 1.2. Пусть .

Тогда

Доказательство

Из формул (1.5) следует, в частности, что

— формула Муавра.

Задача №1.3

. Представить числа в тригонометрической форме.

Решение:

четверти,

поэтому по формуле (1.3)

Тогда по формуле (1.4)

поэтому по формуле (1.3)

Тогда .

поэтому по формуле (1.3)

Тогда по формуле (1.4)

Из формул (1.5), (1.6) видно, что аргумент (р комплексного числа z при умножении, делении, возведении в степень ведет себя как показатель степени. Обозначим

— формула Эйлера. (1.7)

Тогда из теоремы 1.2 следует, что

Учитывая (1.7), формулу (1.4) для можно переписать в виде -показательная форма комплексного числа.

Задача №1.4

Вычислить

Решение:

Согласно задаче 1.3

Поэтому

Определение 1.5. Корнем -й степени из числа называется такое число , что , при этом обозначается Таким образом

Из формулы (1.8) видно что корней n-й степени из числа , при этом, если , то

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения по математическому анализу

Задача №1.5

Найти .

Решение:

, тогда по формуле (1.9)

Пределы числовых последовательностей

К оглавлению…

Определение 2.1. Пусть — множества произвольной природы и каждому элементу поставлен в соответствие некоторый элемент . Такое соответствие называется функцией. Обозначим его или При этом множество называется областью определения функции , а множество называется областью значений функции , рис. 2.1.

Задачи с решением:

К оглавлению…

Задача №2.1

— множество всех неотрицательных чисел из R.

Определение 2.2. Числовой последовательностью называется произвольная функция . При этом числа из области значений обозначаются: . Число называется -м членом последовательности.

Для задания последовательности достаточно задать .

Задача №2.2

. Подставив ,… получим

Определение 2.3. Число а называется пределом числовой последовательности , если существует число такое что выполняется неравенство . Более коротко будем записывать это определение в виде

Последовательности, имеющие предел, называются сходящимися, а не имеющие предела — расходящимися.

Задача №2.3

Доказать, что .

Доказательство

Пусть . Рассмотрим цепочку эквивалентных неравенств

Пусть — натуральное число, большее , например тогда удовлетворяет соотношению (2.1), что и требовалось доказать.

Геометрически равенство означает, что все члены последовательности , начиная с номера , попадают в -окрестность точки (рис. 2.2).

Например, для последовательности из задачи 2.3, если

Определение 2.4. Последовательность называется ограниченной, если , такое что .

Теорема 2.1 (необходимый признак сходимости последовательности).

Если последовательность сходится, то она ограничена.

Доказательство

Из соотношений (2.1) следует, что все члены сходящейся последовательности после номера лежат в интервале , далее доказательство очевидно.

Определение 2.5. Последовательность называется бесконечно большой, если .

Говорят, что бесконечно большая последовательность имеет предел , и пишут .

Если все члены бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера, становятся положительными, то есть

то пишут .

Если все члены бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера, становятся отрицательными, то есть

то пишут .

Задача №2.4

Бесконечно большие последовательности не являются сходящимися и отличаются по своим свойствам от свойств сходящихся последовательностей.

Определение 2.6. Числовая последовательность называется возрастающей (убывающей), если

Возрастающие (убывающие) последовательности называются строго монотонными.

Числовая последовательность называется неубывающей (невозрастающей), если

Неубывающие (невозрастающие) последовательности называются монотонными.

Задача №2.5

1. . При имеем

— возрастающая последовательность.

2. Последовательность

последовательных приближений к числу — неубывающая последовательность.

Теорема 2.2. (достаточный признак сходимости последовательности). Монотонная ограниченная последовательность сходится.

Задача №2.6

Рассмотрим последовательность . Она монотонно возрастает и ограничена, следовательно — сходится:

— трансцендентное число, служащее основанием натурального логарифма: .

Определение 2.7. Суммой, разностью, произведением, частным последовательностей и будем называть последовательности, -й член которых равен соответственно:

Теорема 2.3. Пусть последовательности сходятся и — постоянное число. Тогда

Доказательство

Докажем, например, формулу Так как последовательность сходится, то она ограничена, то есть число , такое что . Пусть

Так как последовательность сходится, то , такой что при

Так как последовательность сходится, то , такой что при (считаем, что ; если , то второго слагаемого в формуле (2.3) нет).

Пусть Тогда из (2.3) при следует

что и требовалось доказать.

Определение 2.8. Пусть , тогда последовательность называется бесконечно малой. Пусть — бесконечно малые последовательности. Тогда называется неопределенностью вида .

Вычисление таких пределов называется раскрытием неопределенности. Аналогично определяются неопределенности вида .

Задача №2.7

Задача №2.8

Задача №2.9

Задача №2.10

Теорема 2.4. а. Пусть последовательность — бесконечно малая . Тогда последовательность — бесконечно большая .

б. Пусть последовательность — бесконечно большая , тогда последовательность — бесконечно малая.

Задача №2.11

Теорема 2.5. (о трех последовательностях).

Пусть тогда сходится и .

Определение 2.9. Последовательность имеет предел при , если .

Легко видеть, что число а в определении 2.9 единственно, поэтому определения 2.3 и 2.9 эквивалентны.

Из определения 2.9 следует, что последовательность — расходящаяся (не имеет предела), если

Пределы функций

К оглавлению…

Определение 3.1. -окрестностью точки называется множество — рис. 3.1.

Выколотой -окрестностью точки называется множество , рис 3.2.

Левой выколотой -окрестностью точки называется множество , рис. 3.3.

Правой выколотой -окрестностью точки называется множество , рис. 3.4.

Окрестности точек необходимы для того, чтобы строго определить понятие близости точек и понятие предела функции.

Определение 3.2. Число А называется пределом функции при (пишут ), если

такое, что

С учетом определения 3.1 вместо (3.1) можно записать

Задачи с решением:

К оглавлению…

Задача №3.1

Рассмотрим функцию

Докажем, что .

Пусть и , тогда , поэтому при соотношение (3.2) будет выполняться.

Определение 3.2 подразумевает, что функция определена в некоторой окрестности точки (или в выколотой окрестности точки ) и называется определением предела функции по Коши.

Определение 3.3 (предел функции по Гейне).

Число А называется пределом функции при , если последовательности такой, что последовательность сходится и .

При этом пишут

Возможно эта страница вам будет полезна:

Задачи по математическому анализу

Задача №3.2

По Коши записывается в виде

Теорема 3.1. Определения 3.2 и 3.3 эквивалентны.

Определение 3.4. Число А называется левым пределом функции при (пишут или .

если

Число А называется правым пределом функции при , если

Задача №3.3

Рассмотрим функцию сигнум (signum — знак):

Тогда

Теорема 3.2. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки или в выколотой окрестности и

Пусть . Тогда

Доказательство

Пусть , тогда по определению 3.4 такие, что

Поэтому, если , что и требовалось доказать.

Теорема 3.3. Пусть , тогда

Доказательство

Следует из теоремы 2.3. Докажем, например, что .

Пусть — произвольная последовательность, такая что и . Тогда по определению 3.3

далее по теореме 2.3 с учетом определения 3.3 , что и требовалось доказать.

Теорема 3.4. Пусть функции определены в некоторой выколотой окрестности точки . Предположим, что

Тогда

Доказательство легко получается, если использовать определение предела по Гейне и теорему 2.5 о трех последовательностях (доказать самостоятельно)

Определение 3.5. Функция называется бесконечно большой в точке , если такое, что

При этом пишут . Аналогично определяются бесконечно-большие функции при (справа и слева в точке ).

Возможно эта страница вам будет полезна:

Методическое пособие по математическому анализу

Задача №3.4

Определение 3.6. Функция называется бесконечно малой в точке , если .

Пусть — две бесконечномалые функции в точке — Тогда называется неопределенностью типа . Нахождение таких пределов называется раскрытием неопределенности.

Аналогично раскрываются неопределенности типа .

Задача №3.5

Задача №3.6

Пусть ,тогда .

Пусть , тогда .

Задача №3.7

Рассмотрим дробно-рациональную функцию

Тогда .

Задача №3.8

Задача №3.9

Задача №3.10

Задача №3.11

Определение 3.7. Функция имеет предел при , если такое что , такое что

Легко видеть, что А в определении 3.7 единственно, поэтому определения 3.2 и 3.7 эквивалентны.

Из определения 3.7 следует, что функция не имеет предела при , если

удовлетворяющий условию , для которого выполнено условие .

Теорема 3.5. (критерий Коши). Для того чтобы имела предел при , необходимо и достаточно, чтобы

такое что

Из теоремы следует, что функция не имеет предела при , если

Теоремы о пределах

К оглавлению…

Теорема 4.1.

— первый замечательный предел. (4.1)

Доказательство

Докажем, что . Пусть . Рассмотрим круг единичного радиуса и центральный угол в радиан, рис. 4.1.

Тогда

Так как радиус круга равен 1, то

поэтому

Так как , то по теореме .

Аналогично

(по теореме 3.2).

Возможно эта страница вам будет полезна:

Математический анализ помощь онлайн

Задачи с решением:

К оглавлению…

Задача №4.1

Из (4.1) следует, что

При этом если — бесконечно малая функция при , то

Задача №4.2

Задача №4.3

Задача №4.4

Теорема 4.2.

— второй замечательный предел. (4.2)

Формула (4.2) аналогична формуле (2.2). Верны также формулы

Формулы (4.4) и (4.5) следуют из (4.3).

Докажем, например, (4.4):

Задача №4.5

Задача №4.6

Задача №4.7

Задача №4.8

Определение 4.1. Пусть — бесконечно малые функции при . Пусть , тогда называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем при . При этом пишут , (о — «о — малое»).

Пусть , тогда — бесконечно малые одного порядка малости при . А если , то и эквивалентные бесконечно малые при . При этом пишут при .

Задача №4.9

Аналогично , . Все эквивалентности при .

Пусть

. Поэтому, согласно задаче 4.9:

Все равенства при .

Теорема 4.3. Пусть при — произвольная функция и пусть , тогда и эти пределы равны.

Действительно,

Задача №4.10

Найти .

Решение:

Тогда, согласно теореме 3.3:

Непрерывность функции

К оглавлению…

Определение 5.1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки непрерывна в точке , если

Функция непрерывна на множестве X если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Точка, в которой функция не является непрерывной, называется точкой разрыва.

Задачи с решением:

К оглавлению…

Задача №5.1

Функция

дробно-рациональная функция, непрерывная во всех точках из области определения (кроме точек, где знаменатель равен 0).

Задача №5.2

Функции непрерывны .

Функция непрерывна .

Функция непрерывна .

Функция непрерывна ,

непрерывна .

Функция — непрерывна из области ее определения.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Математический анализ для 1 курса

Задача №5.3

Рассмотрим функцию Дирихле:

— множество рациональных чисел. Она разрывна .

Определение 5.2. Функция называется непрерывной слева (справа) в точке , если

Задача №5.4

Единичная функция Хевисайда:

непрерывна справа в точке .

Теорема 5.1. Пусть функции непрерывны в точке . Тогда и функции непрерывны в точке . Если — также непрерывны в точке .

Доказательство следует из теоремы 3.3 и определения 5.1.

Определение 5.3. Пусть функция определена на множестве со значениями во множестве и функция определена на множестве со значениями во множестве . Тогда функцию будем называть сложной функцией (композицией функций ), рис. 5.7.

Теорема 5.2. Пусть функция непрерывна в точке и функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция непрерывна в точке .

Доказательство следует из определения 3.2 и определения 5.1.

Задача №5.5

Исследовать на непрерывность функцию

в зависимости от значений .

Решение:

Функция непрерывна (как композиция двух непрерывных функций и (см. теорему 5.2)).

По теореме 5.1 непрерывна . Найдем

Поэтому при функция непрерывна . При разрывна в точке и непрерывна .

Определение 5.4. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, может быть, самой точки . Пусть -точка разрыва функции и при этом существуют конечные пределы . Тогда точка называется точкой разрыва 1-го рода функции . При этом называется скачком функции. Если скачок равен 0, то разрыв называется устранимым.

Задача №5.6

Для функции

(см. задача 3.1), точка — точка устранимого разрыва.

Для функции (см. упражнение 3.4) — точка устранимого разрыва.

Для функции (см. теорему 4.1) — точка устранимого разрыва.

Для функции (см. упражнение 5.2) — точка устранимого разрыва.

Для функции (см. задача 3.3) — точка разрыва 1-го рода. Разрыв — неустранимый. Скачок функции в точке равен 2.

Для единичной функции Хевисайда (см. задача 5.4) — точка разрыва 1-го рода. Разрыв — неустранимый. Скачок функции в точке равен 1.

Определение 5.5. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, может быть, самой точки х0. Точка называется точкой разрыва 2-го рода функции , если хотя бы один из односторонних пределов равен или не существует.

Задача №5.7

Для функций (см. задача 3.2) — точка разрыва 2-го рода. Для функции (см. упражнение 3.4) — точка разрыва 2-го рода.

Для функций (см. упражнения 3.7, 3.8) — точка разрыва 2-го рода. Точки — точки разрыва 1-го рода. Разрывы неустранимые.

Для функции (см. упражнение 5.1) — точка разрыва 2-го рода. Для функции Дирихле (см. задачу 5.3) любая точка — точка разрыва 2-го рода.

Задача №5.8

Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функции , рис. 5.8.

Решение:

Функция — дробно-рациональная. Непрерывна везде, кроме точек, где знаменатель обращается в ноль: .

Рассмотрим точку .

— точка устранимого разрыва.

Рассмотрим точку .

— точка разрыва 2-го рода.

Задача №5.9

Исследовать на непрерывность и определить тип точек разрыва для функции:

Решение:

Функции непрерывны , поэтому и наша функция непрерывна везде, кроме, может быть, точек . Слева и справа от точек функция задается различными аналитическими выражениями.

Пусть .

то есть

поэтому функция непрерывна в точке .

Пусть .

то есть

— точка разрыва 1-го рода (см. определение 5.3). Разрыв — неустранимый, скачок функции равен 1.

Задача №5.10

Исследовать на непрерывность функцию , рис. 5.10.

— точки разрыва функции.

Решение:

— точка разрыва 1-го рода. Разрыв неустранимый, скачок функции равен -2.

— точка разрыва 2-го рода.

Задача №5.11

Определить тип точек разрыва функции в зависимости от значений параметра .

Решение:

— точка разрыва функции. Найдем .

1. Если , то — точка разрыва 2-го рода.

2. Если , то

— точка устранимого разрыва.

Производная функции

К оглавлению…

Определение 6.1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и существует .

Этот предел называется производной функции в точке и обозначается .

Таким образом:

Обозначим , тогда (6.1) перепишется в виде

Другие обозначения производной:

К оглавлению…

Задачи с решением:

Задача №6.1

. Найти .

Решение:

По формуле (6.2)

Таким образом, . Аналогично .

Задача №6.2

. Найти .

Решение:

Таким образом, . Аналогично .

Определение 6.2. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение представляется в виде

где А — постоянное число, не зависящее от ;

— бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем , при .

Теорема 6.1. Для того чтобы была дифференцируема в точке необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная . При этом и формула (6.3) перепишется в виде

Докозательство

Рассмотрим цепочку эквивалентных утверждений:

что и требовалось доказать.

Определение 6.3. Пусть функция дифференцируема в точке

Дифференциалом функции в точке х0 будем называть линейную относительно функцию вида

то есть

Для функции . Поэтому формулу (6.6) можно переписать в виде

Теорема 6.2. Если функция была дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство

Рассмотрим цепочку эквивалентных утверждений:

что и требовалось доказать.

Теорема 6.3. Пусть функции — дифференцируемы, .

Тогда:

1) также дифференцируема и

2) дифференцируема и

3) дифференцируема в точках, где и

Доказательство

Докажем, например, формулу (6.9).

что и требовалось доказать.

Из формул (6.8)—(6.10), с учетом (6.7), получим

Возможно эта страница вам будет полезна:

Сборники и решебники задач по математическому анализу

Задача №6.3

. Найти .

Решение:

Аналогично .

Теорема 6.4. Пусть функции ) дифференцируемы.

Тогда и сложная функция дифференцируема и

Доказательство

Пусть .

что и требовалось доказать.

Задача №6.4

Найти производную .

Решение:

Данная функция представляется как композиция функций

Тогда по формуле (6.11)

Найдем дифференциал функции . По формуле (6.7)

С другой стороны, с учетом формулы (6.11)

Формулы (6.12) и (6.13) показывают инвариантность (неизменяемость) формы дифференциала. В формуле (6.12) , в формуле (6.13) -дифференциал функции . Например, для функции

где ,

где .

Задача №6.5

Найти производную функции .

Решение:

Таким образом

Задача №6.6

. Найти .

Решение:

По формуле (6.14)

Задача №6.7

Найти производную функции .

Решение:

Таким образом,

в частности: .

Задача №6.8

. Найти .

Решение:

По формуле (6.9)

Определение 6.4. Пусть функция определена на множестве со значениями во множестве и такова, что если , рис. 6.1. Пусть — множество значений функции . Для такой функции можно определить обратную функцию , определенную на множестве со значениями во множестве по правилу

Если строго монотонна на интервале то удовлетворяет условиям определения 6.4 и для нее существует обратная , причем если непрерывна, то также непрерывна; если дифференцируема и , то также дифференцируема в точке

и

или

Задача №6.9

Для функции , функция , обратная, и тогда по формуле (6.16)

Задача №6.10

Для функции , функция обратная, и тогда по формуле (6.16)

Таким образом, .

Аналогично

Сводка формул

Таблица производных

Определение 6.5. Пусть функция непрерывна в точке и

тогда имеет в точке бесконечную производную.

Производная функции, заданной параметрически

К оглавлению…

Рассмотрим плоскость с фиксированной системой координат . Пусть точка движется по плоскости, и траектория ее движения

где t — время, или

где — радиус-вектор точки М.

Предположим, что для функции существует обратная функция (например, когда строго монотонна). Тогда (7.1) задается также в виде .

Пусть — точка на кривой (7.1), где

Предположим, что дифференцируемы и .

Тогда по формулам (6.11), (6.15)

Таким образом для функции, заданной в виде (7.1), производная

Задачи с решением:

К оглавлению…

Задача №6.11.1

Найти для функции

Решение:

Функция монотонно убывает на промежутке . Для нее обратная: . По формуле (7.2)

Кривая в задаче — параметрическое задание эллипса (верхней части), заданного уравнением . Если из формулы (7.3) исключить t, то получим

что совпадает с производной .

Сводка формул

Производная функции, заданной неявно

Пусть функция задана неявно в виде

то есть

Дифференцируем уравнение (8.1) по , при этом считаем, что -функция от , получим уравнение, содержащее . Из полученного уравнения выражаем .

Задачи с решением:

К оглавлению…

Задача №8.1

Найти . для функции , заданной неявно:

Решение:

Рассмотренное в задаче 8.1 уравнение эллипса определяет в неявном виде две функции: .

Если рассмотреть параметрическое уравнение эллипса

то после подстановки и в формулу (8.2), получим формулу (7.3) (см. задачу п. 7.1), .

Задача №8.2

Найдем производную степенно-показательной функции где дифференцируемы и .

Решение:

Геометрический и физический смысл производной

К оглавлению…

Пусть — прямоугольная система координат на плоскости. Рассмотрим график функции (множество точек с координатами . Пусть — точки на графике (рис. 9.1).

Рассмотрим секущую на графике, проходящую через точки , тогда

— угловой коэффициент секущей,

и

Определение 9.1. Пусть функция дифференцируема в точке и — ее производная. Касательной к графику функции в точке будем называть прямую, заданную уравнением

Из формулы (9.1) видно, что касательная — предельное положение секущей при .

Действительно, секущая задается уравнением (уравнение прямой, проходящей через точку с угловым коэффициентом . Так как выполняется (9.1), то уравнение а пределе при примет вид (9.2).

Таким образом, — угловой коэффициент касательной к кривой в точке (рис. 9.2).

Определение 9.2. Пусть функция имеет в точке хо бесконечную производную (см. определение 6.5). Тогда касательная к графику функции в точке — вертикальная прямая .

Определение 9.3. Нормалью к графику функции в точке называется прямая, проходящая через точку и перпендикулярная касательной к графику в этой точке.

Если , то из (9.2) следует, что уравнение нормали имеет вид

(так как угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны соотношением ).

Задачи с решением:

К оглавлению…

Задача №9.1

. Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке .

Решение:

, поэтому точка лежит на кривой; . Тогда по формуле (9.2)

— уравнение касательной.

Далее по формуле (9.3)

уравнение нормали.

Задача №9.2

. Написать уравнения касательных к кривой, проходящих через точку М.

Решение:

, поэтому точка М не лежит на кривой. По формуле (9.2)

Так как точка М лежит на касательной, то

поэтому касательные к кривой в точках проходят через точку М.

Тогда из (9.4)

— уравнения касательных.

Упражнение с решением 9.2. Рассмотрим функции ; (см. упражнение 6.6). Написать уравнение касательной и нормали к графикам этих функций в точке .

Рассмотрим точки на графике функции . Тогда по формуле (6.6)

а по формуле (9.2)

приращение касательной, когда приращение независимой переменной равно , поэтому значение равно приращению касательной, рис. 9.3.

Приращение функции отличается от

(см. формулу 6.4), то есть

Задача №9.3

. Рассмотрим точки .

Найти при переходе от

Решение:

В приближенных вычислениях заменяют на и получают формулу

Задача №9.4

Вычислить приближенно .

Решение:

Пусть

Тогда

По формуле (9.6)

Поэтому

Пусть дифференцируема в точке и

— ее производная. (9.7)

Числитель дроби — приращение функции . Сама дробь задает приращение функции на единицу приращения независимой переменной (скорость приращения функции). Поэтому, согласно (9.7), — мгновенная скорость приращения функции. Если тело движется прямолинейно и задает время, а — путь, пройденный телом за время t, то — мгновенная скорость в момент времени .

Задача №9.5

Пусть (см. задача 9.3). Тогда

— путь, пройденный телом на промежутке времени [1; 1,1];

— средняя скорость движения на этом промежутке;

— мгновенная скорость в момент времени .

Пусть точка движется в пространстве, и траектория ее движения

где t — время,

или

где — радиус-вектор точки М.

Концы вектора (9.9) задают траекторию движения (9.8) — годограф вектор-функции .

Определение 9.4. Производной векторной функции в точке называется вектор

Вектор задает мгновенную скорость движения точки при ;

направлен по касательной к кривой (9.8) в точке .

Задача №9.6

— траектория движения точки,

Найдем

Решение:

Производные высших порядков

К оглавлению…

Определение 10.1. Пусть функция дифференцируема и — ее производная. Предположим, что в свою очередь дифференцируема и — ее производная. Она называется второй производной функции и обозначается . Таким образом:

Аналогично,

Другое обозначение для

Задачи с решением:

К оглавлению…

Задача №10.1

. Найти .

Решение:

(см. упражнение 6.4).

Задача №10.2

Найти -ю производную функции .

Решение:

Таким образом .

Задача №10.3

Найти для функции , заданной неявно:

Решение:

(см. задача 8.1).

Упражнение с решением 10.3. Найти для функции , заданной уравнением

Пусть функция задана параметрически в виде

Пусть дважды дифференцируемы и . Тогда (см. п. 7.2)

первая производная функции .

Рассуждая аналогично п. 7:

— вторая производная функции.

При этом

поэтому формула (10.1) перепишется в виде

Задача №10.4

Найти для функции , заданной параметрически в виде

Решение:

По формуле (7.3)

Далее, по формуле (10.1)

Теорема 10.1. Пусть Функции раз дифференцируемы, тогда

формула Лейбница, где : в частности:

Задача №10.5

. Найти .

Решение:

По формуле (10.3):

остальные слагаемые равны 0.

Далее

поэтому

Определение 10.2. Пусть функция дифференцируема и — ее дифференциал. Зафиксируем и будем рассматривать как функцию одной переменной . Дифференциал от дифференциала функции будем называть вторым дифференциалом этой функции и обозначать . Таким образом:

Аналогично

Преобразуем формулы (10.4) и (10.5):

To есть

При вычислении приращение независимой переменной берем равным первоначальному приращению .

Задача №10.6

. Найти .

Решение:

Свойство инвариантности верное для первого дифференциала не выполняется для второго.

Например, для функции из задачи 10.6 имеем ;

Тогда для первого дифференциала

но

Таким образом

Если , то для функции верна формула

Если функции раз дифференцируемы, то для верны формулы, аналогичные формулам (10.2), (10.3). В частности:

Свойства непрерывных функций

Определение 11.1. Пусть — подмножество во множестве действительных чисел называется ограниченным сверху (снизу), если такое число что выполняется неравенство .

При этом называется верхней (нижней) гранью множества . Наименьшая из всех возможных верхних граней множества X называется точной верхней гранью множества X и обозначается (латинское supremum (супремум) — наивысшее). Наибольшая из всех возможных нижних граней множества X называется точной нижней гранью множества X и обозначается (латинское infimum (инфимум) — наинизшее).

Задачи с решением:

К оглавлению…

Задача №11.1

Для множества

Для множества

Аксиома Вейерштрасса. Всякое непустое ограниченное множество имеет конечные точные верхние и нижние грани и .

Для функции определяются, как — множества значений функции при .

Задача №11.2

При этом , рис 11.2.

Теорема 11.1. (теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке своих точных верхней и нижней граней, то есть такие, что

При этом

Если в условии теоремы 10.1 рассматривать не отрезок, а интервал или полуинтервал, то она не выполняется.

Например, для из задачи 11.2

не имеет минимума на множестве (-1,1).

Теорема 11.2. (теорема Больцано-Коши). Если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков, то , такая, что .

Задача №11.3

Проверить, что уравнение имеет корень на интервале рис. 11.3.

Решение:

Функция непрерывна .

по теореме 2 , такая что /.

Свойства дифференцируемых функций

К оглавлению…

Определение 12.1. Функция называется возрастающей в точке , если окрестность этой точки такая, что :

Аналогично определяется убывающая в точке функция.

Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если окрестность этой точки такая, что , :

Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума. Если знаки неравенств в соотношениях (12.1) нестрогие, то говорят о нестрогом локальном максимуме (минимуме).

Теорема 12.1. (теорема Ферма). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , дифференцируема в этой точке и имеет в ней локальный экстремум. Тогда

Доказательство

Докажем теорему, например, для случая, когда — локальный максимум:

, пусть , тогда (см. определение 12.1)

Пусть , тогда

Из (12.2) и (12.3) следует, что , что и требовалось доказать.

Равенство в теореме 12.1 означает, что касательная к графику функции в точке горизонтальна.

Теорема 12.2. Пусть функция дифференцируема в точке и . Тогда /(х) возрастает (убывает) в точке х0.

Доказательство

Докажем для случая . По формуле (6.4)

окрестность , такая что

Если , а для , следовательно условия возрастания функции в точке (см. определение 12.1) выполнены.

Теорема 12.3 (теорема Ролля). Пусть функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

3) .

Тогда такая, что .

Доказательство

По теореме 11.1 такие, что

Если — постоянная функция , и поэтому .

Если , то либо max, либо min достигается на . Пусть, например, . Тогда точка удовлетворяет условиям теоремы 12.1, и поэтому , что и требовалось доказать.

Упражнение с решением 12.1. Проверить, удовлетворяют ли условиям теоремы Ролля функции (см. упражнение 6.6).

Из теоремы Ролля следует, что между двумя последовательными корнями дифференцируемой функции имеется хотя бы один корень ее производной.

Теорема 12.4 (теорема Лагранжа).

Пусть функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале .

Тогда такая, что

Доказательство

Рассмотрим функцию — непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале ; . Поэтому удовлетворяет условиям теоремы 12.3, то есть такая, что что и требовалось доказать.

Угловой коэффициент прямой , проходящей через точки , равен . Поэтому формула (12.4) означает, что такая, что касательная к графику функции в точке параллельна прямой , рис. 12.1.

Если задает время и — путь, пройденный телом при движении по прямой за время , то средняя скорость движения тела на промежутке времени и согласно (12.4) такая, что мгновенная скорость тела в момент времени с равна средней скорости.

Задачи с решением:

К оглавлению…

Задача №11.4.1

Дана кривая и точки на кривой. На интервале (0; 6) найти точку , удовлетворяющую условию (12.4). Написать уравнение касательной в точке . Сделать чертеж.

Решение:

Подставив точки А и В в формулу (12.4), получим

Уравнение касательной к кривой

(см. задача 9.9), рис. 12.2.

Теорема 12.5. (терема Коши). Пусть функции :

1) непрерывны на отрезке ;

2) дифференцируемы на интервале , причем . Тогда такая, что

Доказательство

Рассмотрим функцию

удовлетворяет условиям теоремы 12.3, и далее доказательство аналогично доказательству теоремы 12.4.

Правило Лопиталя

К оглавлению…

Теорема 13.1 (правило Лопиталя). Пусть функции :

1) дифференцируемы в некоторой окрестности точки ;

2) ;

3) ;

4)

Тогда

Доказательство

Рассмотрим случай . Доопределим в точке :

Тогда они непрерывны . Пусть , тогда no теореме Коши (теорема 12.5)

где

, что и требовалось доказать.

1. Если в п. 4 теоремы 13.1 также равен .

2. Аналогичная теорема верна и для односторонних пределов.

Теорема 13.2. Пусть и функции :

1) дифференцируемы при ;

2) :

3) ;

4)

Тогда

Доказательство

Пусть . Рассмотрим функции . Тогда условия 1)-3) теоремы 13.1 выполнены в окрестности точки .

Проверим условие 4):

предел существует, поэтому по теореме 13.1

Тогда

что и требовалось доказать.

По правилу Лопиталя раскрывают неопределенности типа .

Неопределенности необходимо эквивалентными преобразованиями привести к виду . Неопределенности раскрывают путем предварительного логарифмирования.

Задачи с решением:

К оглавлению…

Задача №13.1

. Пусть . Функции :

1) непрерывны и имеют производные при ;

поэтому по теореме 13.2

Задача №13.2

Найти .

Решение:

Задача №13.3

Найти .

Решение:

Имеем неопределенность вида .

Преобразуем функцию .

Найдем

Поэтому

Задача №13.4

Найти .

Решение:

Если в условии теоремы 13.1 предположить дополнительно, что функции дифференцируемы в точке , тогда формула (13.1) перепишется в виде

Геометрически это значит, что предел при отношения значений функций равен отношению угловых коэффициентов касательных к этим функциям в точке .

Задача №13.5

Найти (см. Задача 4.2).

Решение:

Формула Тейлора

К оглавлению…

Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда (см. формулу (9.5)) ее приращение

Пусть , тогда (14.1) перепишется в виде

Рассмотрим многочлен

Многочлен обладает следующими свойствами:

Пусть функция у n раз дифференцируема в точке . Найдем многочлен

обладающий аналогичными свойствами:

Из (14.2), (14.3) следует, что

Поэтому коэффициенты многочлена (14.2) задаются формулой

Далее

Таким образом свойства (14.3) выполняются (при этом коэффициенты многочлена задаются формулами (14.4)). Тем самым теорема доказана.

Теорема 14.1. Пусть функция n раз дифференцируема в точке , тогда

где — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем .

Формула (14.5) называется формулой Тейлора, многочлен

в правой части формулы (14.5) называется многочленом Тейлора, а представление разности в виде -остаточным членом в форме Пеано.

Если функция , то (14.5) перепишется в виде

формула Маклорена.

Если функция раз дифференцируема в некоторой окрестности точки , то остаточный член можно представить в виде

остаточный член в форме Лагранжа и формула

называется формулой Тейлора порядка п с остаточным членом в форме Лагранжа.

Кстати тут, теория из учебников может быть вам поможет она.

Задачи с решением:

К оглавлению…

Задача №14.1

В условиях задачи 9.4 оценим погрешность вычисления значений .

Решение:

Запишем формулу Маклорена первого порядка с остаточным членом в форме Лагранжа:

где

Тогда

Поэтому

Таким образом, вычисленное значение 3,(1) отличается от истинного с точностью до 0,01.

Упражнение с решением 14.2. Записать формулу Маклорена второго порядка для функции и по этой формуле вычислить . Оценить погрешность вычислений.

Запишем формулу Маклорена n-го порядка для функции :

(см. упражнение 10.1.

Таким образом, и по формуле (14.6)

Аналогично

Формулы (14.7)—(14.11) называются основными разложениями.

Задача №14.3

Разложить по формуле Маклорена до члена , используя основные разложения. Оценить погрешность при .

Решение:

Пусть . Тогда (см. формулу (14.10))

Остаточный член запишем в форме Лагранжа:

Если ,

поэтому

Таким образом,

и погрешность при меньше чем 0,001, рис. 14.1.

Рис. 14.1. Графики: / -функции у = (1+л“)2 и 2 — ее многочлена Тейлора

Задача №14.4

Найти .

Решение:

Воспользуемся разложением (14.7):

Тогда