Математический анализ задачи с решением

Оглавление:

Математический анализ задачи с решением

Прежде чем изучать готовые решения задач по матанализу, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила очень краткий курс теории по предмету «математический анализ», после которого, чуть ниже размещены подробные решения задач.

Эта страница подготовлена для студентов любых специальностей и охватывает полный курс предмета «математический анализ».

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Математический анализ

Точный объем понятия «математический анализ» зависит от того, в какой ситуации оно употребляется. В школьном учебнике математики говорится, что математический анализ — это «часть математики, которая изучает дифференциальное и интегральное исчисление». Авторитетный общероссийский (а еще недавно общесоюзный) реферативный журнал «РЖ математика» относит к математическому анализу , кроме того, теорию функций комплексного переменного, дифференциальные уравнения, вариационное исчисление, функциональный анализ и ряд других разделов.

Само словосочетание «математический анализ» несет в себе очень мало информации — сюда при желании можно было бы отнести, например, и аналитическую геометрию, и математическую логику. С другой стороны, интегральное исчисление можно было бы назвать не анализом, а синтезом. Впрочем, подобным образом нетрудно раскритиковать громадное число терминов, и не только математических. Попробуем все же установить, что в современной математике выделяется термином математический анализ.

Думаю, главной особенностью математического анализа в сравнении с другими областями математики является метод предельного перехода и связанный с этим аппроксимативный подход (т.е. использование приближенных выражений, допускающих любую степень точности). Недаром греческая буква Математический анализ (эпсилон) — точность аппроксимации — занимает такое почетное место в математическом анализе. Имея это в виду, попробуем дать короткое и, разумеется, не исчерпывающее, определение: математический анализ — это раздел математики, изучающий и применяющий (очень разнообразно применяющий) понятие предела.

Комплексные числа

Определение 1.1. Многочленом (полиномом) степени решение задач по математическому анализу с действительными коэффициентами называется любое выражение вида

решение задач по математическому анализу

где решение задач по математическому анализу;

решение задач по математическому анализу— переменная.

Корнем многочлена (1.1) называется любое число решение задач по математическому анализу такое, что

решение задач по математическому анализу

Нетрудно заметить, что некоторые многочлены вообще не имеют действительных корней, например:

решение задач по математическому анализу

Расширим множество действительных чисел. Добавим к этому множеству символ решение задач по математическому анализу, такой что решение задач по математическому анализу (решение задач по математическому анализу называется мнимой единицей). Тогда ±решение задач по математическому анализу — два корня уравнения решение задач по математическому анализу.

Определение 1.2. Множеством комплексных чисел называется множество решение задач по математическому анализу.

Суммой двух комплексных чисел решение задач по математическому анализу называется число

решение задач по математическому анализу

Произведением двух комплексных чисел решение задач по математическому анализу называется число

решение задач по математическому анализу

Для числа решение задач по математическому анализу число а называется действительной частью, число b — мнимой частью. Обозначения:

решение задач по математическому анализу

Относительно операций «+» и « • » комплексные числа С обладают такими же свойствами, как и действительные числа. Эти операции коммутативны и ассоциативны; для них существуют обратные операции: вычитание и деление (кроме деления на 0).

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет математический анализ

Задачи с решением:

Задача №1.1

Найти решение задач по математическому анализу.

Решение:

решение задач по математическому анализу

Теорема 1.1 (основная теорема алгебры). Любое уравнение вида (1.2) имеет решение во множестве С.

Задача №1.2

Решить уравнение решение задач по математическому анализу

Решение:

решение задач по математическому анализу

Определение 1.3. Для комплексного числа решение задач по математическому анализу число решение задач по математическому анализу называется комплексно-сопряженным, число решение задач по математическому анализу называется модулем решение задач по математическому анализу

решение задач по математическому анализу

Если рассмотреть плоскость с декартовой системой координат решение задач по математическому анализу и на оси решение задач по математическому анализу отложить решение задач по математическому анализу — действительную часть решение задач по математическому анализу, а на оси решение задач по математическому анализу — мнимую часть решение задач по математическому анализу, то получим взаимно однозначное соответствие между множеством С всех комплексных чисел и множеством точек плоскости.

Такая плоскость называется комплексной плоскостью, рис. 1.1.

При этом решение задач по математическому анализу — длина радиуса-вектора точки решение задач по математическому анализу.

решение задач по математическому анализу

Определение 1.4. Аргументом комплексного числа решение задач по математическому анализу называется угол решение задач по математическому анализу, который образует радиус-вектор точки решение задач по математическому анализу с положительным направлением оси решение задач по математическому анализу Аргумент будем обозначать решение задач по математическому анализу. Аргумент определен с точностью до решение задач по математическому анализу. При этом значение решение задач по математическому анализу называется главным и обозначается решение задач по математическому анализу.

Замечание. решение задач по математическому анализу

При этом

решение задач по математическому анализу

Если решение задач по математическому анализу — аргумент решение задач по математическому анализу, to решение задач по математическому анализу представляется в виде

решение задач по математическому анализу

тригонометрическая форма комплексного числа.

Теорема 1.2. Пусть решение задач по математическому анализу.

Тогда

решение задач по математическому анализу

Доказательство

решение задач по математическому анализу

Из формул (1.5) следует, в частности, что

решение задач по математическому анализу — формула Муавра.

Задача №1.3

решение задач по математическому анализу. Представить числа решение задач по математическому анализу в тригонометрической форме.

Решение:

решение задач по математическому анализу четверти,

поэтому по формуле (1.3)

решение задач по математическому анализу

Тогда по формуле (1.4)

решение задач по математическому анализу

поэтому по формуле (1.3)

решение задач по математическому анализу

Тогда решение задач по математическому анализу.

решение задач по математическому анализу

поэтому по формуле (1.3)

решение задач по математическому анализу

Тогда по формуле (1.4)

решение задач по математическому анализу

Из формул (1.5), (1.6) видно, что аргумент (р комплексного числа z при умножении, делении, возведении в степень ведет себя как показатель степени. Обозначим

решение задач по математическому анализу

решение задач по математическому анализу — формула Эйлера. (1.7)

Тогда из теоремы 1.2 следует, что

решение задач по математическому анализу

Учитывая (1.7), формулу (1.4) для решение задач по математическому анализу можно переписать в виде решение задач по математическому анализу -показательная форма комплексного числа.

Задача №1.4

Вычислить решение задач по математическому анализу

Решение:

Согласно задаче 1.3

решение задач по математическому анализу

Поэтому

решение задач по математическому анализу

Определение 1.5. Корнем решение задач по математическому анализу-й степени из числа решение задач по математическому анализу называется такое число решение задач по математическому анализу, что решение задач по математическому анализу, при этом решение задач по математическому анализу обозначается решение задач по математическому анализу Таким образом

решение задач по математическому анализу

Из формулы (1.8) видно что решение задач по математическому анализу корней n-й степени из числа решение задач по математическому анализу, при этом, если решение задач по математическому анализу, то

решение задач по математическому анализу

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения по математическому анализу

Задача №1.5

Найти решение задач по математическому анализу.

Решение:

решение задач по математическому анализу, тогда по формуле (1.9)

решение задач по математическому анализу

Пределы числовых последовательностей

Определение 2.1. Пусть решение задач по математическому анализу — множества произвольной природы и каждому элементу решение задач по математическому анализу поставлен в соответствие некоторый элемент решение задач по математическому анализу. Такое соответствие называется функцией. Обозначим его решение задач по математическому анализу или решение задач по математическому анализу При этом множество решение задач по математическому анализу называется областью определения решение задач по математическому анализу функции решение задач по математическому анализу, а множество решение задач по математическому анализу называется областью значений решение задач по математическому анализу функции решение задач по математическому анализу, рис. 2.1.

решение задач по математическому анализу

Задачи с решением:

Задача №2.1

решение задач по математическому анализу — множество всех неотрицательных чисел из R.

решение задач по математическому анализу

Определение 2.2. Числовой последовательностью называется произвольная функция решение задач по математическому анализу. При этом числа решение задач по математическому анализу из области значений решение задач по математическому анализу обозначаются: решение задач по математическому анализу. Число решение задач по математическому анализу называется решение задач по математическому анализу-м членом последовательности.

Для задания последовательности достаточно задать решение задач по математическому анализу.

Задача №2.2

решение задач по математическому анализу. Подставив решение задач по математическому анализу,… получим

решение задач по математическому анализу

Определение 2.3. Число а называется пределом числовой последовательности решение задач по математическому анализу, если решение задач по математическому анализу существует число решение задач по математическому анализу такое что решение задач по математическому анализу выполняется неравенство решение задач по математическому анализу. Более коротко будем записывать это определение в виде

решение задач по математическому анализу

Последовательности, имеющие предел, называются сходящимися, а не имеющие предела — расходящимися.

Задача №2.3

Доказать, что решение задач по математическому анализу.

Доказательство

Пусть решение задач по математическому анализу. Рассмотрим цепочку эквивалентных неравенств

решение задач по математическому анализу

Пусть решение задач по математическому анализу — натуральное число, большее решение задач по математическому анализу, например решение задач по математическому анализу тогда решение задач по математическому анализу удовлетворяет соотношению (2.1), что и требовалось доказать.

Геометрически равенство решение задач по математическому анализу означает, что решение задач по математическому анализу все члены последовательности решение задач по математическому анализу, начиная с номера решение задач по математическому анализу, попадают в решение задач по математическому анализу -окрестность решение задач по математическому анализу точки решение задач по математическому анализу (рис. 2.2).

решение задач по математическому анализу

Например, для последовательности решение задач по математическому анализу из задачи 2.3, если решение задач по математическому анализу

Определение 2.4. Последовательность решение задач по математическому анализу называется ограниченной, если решение задач по математическому анализу, такое что решение задач по математическому анализу.

Теорема 2.1 (необходимый признак сходимости последовательности).

Если последовательность сходится, то она ограничена.

Доказательство

Из соотношений (2.1) следует, что все члены сходящейся последовательности после номера решение задач по математическому анализу лежат в интервале решение задач по математическому анализу, далее доказательство очевидно.

Определение 2.5. Последовательность решение задач по математическому анализу называется бесконечно большой, если решение задач по математическому анализу.

Говорят, что бесконечно большая последовательность имеет предел решение задач по математическому анализу, и пишут решение задач по математическому анализу.

Если все члены бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера, становятся положительными, то есть

решение задач по математическому анализу

то пишут решение задач по математическому анализу.

Если все члены бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера, становятся отрицательными, то есть

решение задач по математическому анализу

то пишут решение задач по математическому анализу.

Задача №2.4

решение задач по математическому анализу

Бесконечно большие последовательности не являются сходящимися и отличаются по своим свойствам от свойств сходящихся последовательностей.

Определение 2.6. Числовая последовательность называется возрастающей (убывающей), если

решение задач по математическому анализу

Возрастающие (убывающие) последовательности называются строго монотонными.

Числовая последовательность называется неубывающей (невозрастающей), если

решение задач по математическому анализу

Неубывающие (невозрастающие) последовательности называются монотонными.

Задача №2.5

1. решение задач по математическому анализу. При решение задач по математическому анализу имеем

решение задач по математическому анализу — возрастающая последовательность.

2. Последовательность

решение задач по математическому анализу

последовательных приближений к числу решение задач по математическому анализу — неубывающая последовательность.

Теорема 2.2. (достаточный признак сходимости последовательности). Монотонная ограниченная последовательность сходится.

Задача №2.6

Рассмотрим последовательность решение задач по математическому анализу. Она монотонно возрастает и ограничена, следовательно — сходится:

решение задач по математическому анализу

решение задач по математическому анализу — трансцендентное число, служащее основанием натурального логарифма: решение задач по математическому анализу.

Определение 2.7. Суммой, разностью, произведением, частным последовательностей решение задач по математическому анализу и будем называть последовательности, решение задач по математическому анализу-й член которых равен соответственно:

решение задач по математическому анализу

Теорема 2.3. Пусть последовательности решение задач по математическому анализу сходятся и решение задач по математическому анализу — постоянное число. Тогда

решение задач по математическому анализу

Доказательство

Докажем, например, формулу решение задач по математическому анализу Так как последовательность решение задач по математическому анализу сходится, то она ограничена, то есть решение задач по математическому анализу число решение задач по математическому анализу, такое что решение задач по математическому анализу. Пусть

решение задач по математическому анализу

Так как последовательность решение задач по математическому анализу сходится, то решение задач по математическому анализу, такой что при

решение задач по математическому анализу

Так как последовательность решение задач по математическому анализу сходится, то решение задач по математическому анализу, такой что при решение задач по математическому анализу (считаем, что решение задач по математическому анализу; если решение задач по математическому анализу, то второго слагаемого в формуле (2.3) нет).

Пусть решение задач по математическому анализу Тогда из (2.3) при решение задач по математическому анализу следует

решение задач по математическому анализу

что и требовалось доказать.

Определение 2.8. Пусть решение задач по математическому анализу, тогда последовательность решение задач по математическому анализу называется бесконечно малой. Пусть решение задач по математическому анализу — бесконечно малые последовательности. Тогда решение задач по математическому анализу называется неопределенностью вида решение задач по математическому анализу.

Вычисление таких пределов называется раскрытием неопределенности. Аналогично определяются неопределенности вида решение задач по математическому анализу.

Задача №2.7

решение задач по математическому анализу

Задача №2.8

решение задач по математическому анализу

Задача №2.9

решение задач по математическому анализу

Задача №2.10

решение задач по математическому анализу

Теорема 2.4. а. Пусть последовательность решение задач по математическому анализу — бесконечно малая решение задач по математическому анализу. Тогда последовательность решение задач по математическому анализу — бесконечно большая решение задач по математическому анализу.

б. Пусть последовательность решение задач по математическому анализу — бесконечно большая решение задач по математическому анализу, тогда последовательность решение задач по математическому анализу — бесконечно малая.

Задача №2.11

решение задач по математическому анализу

Теорема 2.5. (о трех последовательностях).

Пусть решение задач по математическому анализу тогда решение задач по математическому анализу сходится и решение задач по математическому анализу.

Определение 2.9. Последовательность решение задач по математическому анализу имеет предел при решение задач по математическому анализу, если решение задач по математическому анализу.

Легко видеть, что число а в определении 2.9 единственно, поэтому определения 2.3 и 2.9 эквивалентны.

Из определения 2.9 следует, что последовательность решение задач по математическому анализу — расходящаяся (не имеет предела), если

решение задач по математическому анализу

Пределы функций

Определение 3.1. решение задач по математическому анализу-окрестностью точки решение задач по математическому анализу называется множество решение задач по математическому анализу — рис. 3.1.

решение задач по математическому анализу

Выколотой решение задач по математическому анализу-окрестностью точки решение задач по математическому анализу называется множество решение задач по математическому анализу, рис 3.2.

решение задач по математическому анализу

Левой выколотой решение задач по математическому анализу-окрестностью точки решение задач по математическому анализу называется множество решение задач по математическому анализу, рис. 3.3.

решение задач по математическому анализу

Правой выколотой решение задач по математическому анализу-окрестностью точки решение задач по математическому анализу называется множество решение задач по математическому анализу, рис. 3.4.

решение задач по математическому анализу

Окрестности точек необходимы для того, чтобы строго определить понятие близости точек и понятие предела функции.

Определение 3.2. Число А называется пределом функции решение задач по математическому анализу при решение задач по математическому анализу (пишут решение задач по математическому анализу), если

решение задач по математическому анализу

такое, что

решение задач по математическому анализу

С учетом определения 3.1 вместо (3.1) можно записать

решение задач по математическому анализу

Задачи с решением:

Задача №3.1

Рассмотрим функцию решение задач по математическому анализу

Докажем, что решение задач по математическому анализу.

решение задач по математическому анализу

Пусть решение задач по математическому анализу и решение задач по математическому анализу, тогда решение задач по математическому анализу, поэтому при решение задач по математическому анализу соотношение (3.2) будет выполняться.

Определение 3.2 подразумевает, что функция решение задач по математическому анализу определена в некоторой окрестности точки решение задач по математическому анализу (или в выколотой окрестности точки решение задач по математическому анализу) и называется определением предела функции по Коши.

Определение 3.3 (предел функции по Гейне).

Число А называется пределом функции решение задач по математическому анализу при решение задач по математическому анализу, если решение задач по математическому анализу последовательности решение задач по математическому анализу такой, что решение задач по математическому анализупоследовательность решение задач по математическому анализу сходится и решение задач по математическому анализу.

При этом пишут решение задач по математическому анализу

Возможно эта страница вам будет полезна:

Задачи по математическому анализу

Задача №3.2

решение задач по математическому анализу

По Коши решение задач по математическому анализу записывается в виде

решение задач по математическому анализу

Теорема 3.1. Определения 3.2 и 3.3 эквивалентны.

Определение 3.4. Число А называется левым пределом функции решение задач по математическому анализу при решение задач по математическому анализу (пишут решение задач по математическому анализу или решение задач по математическому анализу.

если

решение задач по математическому анализу

Число А называется правым пределом функции решение задач по математическому анализу при решение задач по математическому анализу решение задач по математическому анализу, если

решение задач по математическому анализу

Задача №3.3

Рассмотрим функцию сигнум (signum — знак):

решение задач по математическому анализу

Тогда решение задач по математическому анализу

Теорема 3.2. Пусть функция решение задач по математическому анализу определена в некоторой окрестности решение задач по математическому анализу точки решение задач по математическому анализу или в выколотой окрестности решение задач по математическому анализу и решение задач по математическому анализу

Пусть решение задач по математическому анализу. Тогда решение задач по математическому анализу

Доказательство

Пусть решение задач по математическому анализу, тогда по определению 3.4 решение задач по математическому анализу такие, что

решение задач по математическому анализу

Поэтому, если решение задач по математическому анализу, что и требовалось доказать.

Теорема 3.3. Пусть решение задач по математическому анализу, тогда

решение задач по математическому анализу

Доказательство

Следует из теоремы 2.3. Докажем, например, что решение задач по математическому анализу.

Пусть решение задач по математическому анализу — произвольная последовательность, такая что решение задач по математическому анализу и решение задач по математическому анализу. Тогда по определению 3.3

решение задач по математическому анализу

далее по теореме 2.3 решение задач по математическому анализу с учетом определения 3.3 решение задач по математическому анализу, что и требовалось доказать.

Теорема 3.4. Пусть функции решение задач по математическому анализу определены в некоторой выколотой окрестности решение задач по математическому анализу точки решение задач по математическому анализу. Предположим, что

решение задач по математическому анализу

Тогда

решение задач по математическому анализу

Доказательство легко получается, если использовать определение предела по Гейне и теорему 2.5 о трех последовательностях (доказать самостоятельно)

Определение 3.5. Функция решение задач по математическому анализу называется бесконечно большой в точке решение задач по математическому анализу, если решение задач по математическому анализу такое, что

решение задач по математическому анализу

При этом пишут решение задач по математическому анализу. Аналогично определяются бесконечно-большие функции при решение задач по математическому анализу (справа и слева в точке решение задач по математическому анализу).

Возможно эта страница вам будет полезна:

Методическое пособие по математическому анализу

Задача №3.4

решение задач по математическому анализу

Определение 3.6. Функция решение задач по математическому анализу называется бесконечно малой в точке решение задач по математическому анализу, если решение задач по математическому анализу.

Пусть решение задач по математическому анализу — две бесконечномалые функции в точке решение задач по математическому анализу — Тогда решение задач по математическому анализу называется неопределенностью типа решение задач по математическому анализу. Нахождение таких пределов называется раскрытием неопределенности.

Аналогично раскрываются неопределенности типа решение задач по математическому анализу.

Задача №3.5

решение задач по математическому анализу

Задача №3.6

решение задач по математическому анализу

Пусть решение задач по математическому анализу,тогда решение задач по математическому анализу.

Пусть решение задач по математическому анализу, тогда решение задач по математическому анализу.

Задача №3.7

решение задач по математическому анализу

Рассмотрим дробно-рациональную функцию

решение задач по математическому анализу

Тогда решение задач по математическому анализу.

Задача №3.8

решение задач по математическому анализу

Задача №3.9

решение задач по математическому анализу

Задача №3.10

решение задач по математическому анализу

Задача №3.11

решение задач по математическому анализу

Определение 3.7. Функция решение задач по математическому анализу имеет предел при решение задач по математическому анализу, если решение задач по математическому анализу такое что решение задач по математическому анализу, такое что

решение задач по математическому анализу

Легко видеть, что А в определении 3.7 единственно, поэтому определения 3.2 и 3.7 эквивалентны.

Из определения 3.7 следует, что функция решение задач по математическому анализу не имеет предела при решение задач по математическому анализу, если

решение задач по математическому анализу

удовлетворяющий условию решение задач по математическому анализу, для которого выполнено условие решение задач по математическому анализу.

Теорема 3.5. (критерий Коши). Для того чтобы решение задач по математическому анализу имела предел при решение задач по математическому анализу, необходимо и достаточно, чтобы

решение задач по математическому анализу

такое что

решение задач по математическому анализу

Из теоремы следует, что функция решение задач по математическому анализу не имеет предела при решение задач по математическому анализу, если

решение задач по математическому анализу

Теоремы о пределах

Теорема 4.1.

решение задач по математическому анализу — первый замечательный предел. (4.1)

Доказательство

Докажем, что решение задач по математическому анализу. Пусть решение задач по математическому анализу. Рассмотрим круг единичного радиуса и центральный угол в решение задач по математическому анализу радиан, рис. 4.1.

математический анализ

Тогда

математический анализ

Так как радиус круга равен 1, то

математический анализ

поэтому

математический анализ

Так как математический анализ, то по теореме математический анализ.

Аналогично

математический анализ (по теореме 3.2).

Возможно эта страница вам будет полезна:

Математический анализ помощь онлайн

Задачи с решением:

Задача №4.1

математический анализ

Из (4.1) следует, что

математический анализ

При этом если математический анализ — бесконечно малая функция при математический анализ, то

математический анализ

Задача №4.2

математический анализ

Задача №4.3

математический анализ

Задача №4.4

математический анализ

Теорема 4.2.

математический анализ — второй замечательный предел. (4.2)

Формула (4.2) аналогична формуле (2.2). Верны также формулы

математический анализ

Формулы (4.4) и (4.5) следуют из (4.3).

Докажем, например, (4.4):

математический анализ

Задача №4.5

математический анализ

Задача №4.6

математический анализ

Задача №4.7

математический анализ

Задача №4.8

математический анализ

Определение 4.1. Пусть математический анализ — бесконечно малые функции при математический анализ. Пусть математический анализ, тогда математический анализ называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем математический анализ при математический анализ. При этом пишут математический анализ, (о — «о — малое»).

Пусть математический анализ, тогда математический анализ — бесконечно малые одного порядка малости при математический анализ. А если математический анализ, то математический анализ и математический анализ эквивалентные бесконечно малые при математический анализ. При этом пишут математический анализ при математический анализ.

Задача №4.9

математический анализ

Аналогично математический анализ, математический анализ. Все эквивалентности при математический анализ.

Пусть математический анализ

математический анализ

математический анализ. Поэтому, согласно задаче 4.9:

математический анализ

Все равенства при математический анализ.

Теорема 4.3. Пусть математический анализ при математический анализ — произвольная функция и пусть математический анализ, тогда математический анализ и эти пределы равны.

Действительно,

математический анализ

Задача №4.10

Найти математический анализ.

Решение:

математический анализ

Тогда, согласно теореме 3.3:

математический анализ

Непрерывность функции

Определение 5.1. Пусть функция математический анализ определена в некоторой окрестности математический анализ точки математический анализ непрерывна в точке математический анализ, если

математический анализ

Функция математический анализ непрерывна на множестве X если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Точка, в которой функция не является непрерывной, называется точкой разрыва.

Задачи с решением:

Задача №5.1

Функция

математический анализ

дробно-рациональная функция, непрерывная во всех точках из области определения (кроме точек, где знаменатель равен 0).

Задача №5.2

Функции математический анализ непрерывны математический анализ.

математический анализ

Функция математический анализ непрерывна математический анализ.

Функция математический анализ непрерывна математический анализ.

математический анализ

Функция математический анализ непрерывна математический анализ,

математический анализ непрерывна математический анализ.

математический анализ

Функция математический анализ — непрерывна математический анализ из области ее определения.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Математический анализ для 1 курса

Задача №5.3

Рассмотрим функцию Дирихле:

математический анализ — множество рациональных чисел. Она разрывна математический анализ.

Определение 5.2. Функция математический анализ называется непрерывной слева (справа) в точке математический анализ, если математический анализ

Задача №5.4

Единичная функция Хевисайда:

математический анализ непрерывна справа в точке математический анализ.

математический анализ

Теорема 5.1. Пусть функции математический анализ непрерывны в точке математический анализ. Тогда и функции математический анализ непрерывны в точке математический анализ. Если математический анализ — также непрерывны в точке математический анализ.

Доказательство следует из теоремы 3.3 и определения 5.1.

Определение 5.3. Пусть функция математический анализ определена на множестве математический анализ со значениями во множестве математический анализ и функция математический анализ определена на множестве математический анализ со значениями во множестве математический анализ. Тогда функцию математический анализ будем называть сложной функцией математический анализ (композицией функций математический анализ), рис. 5.7.

математический анализ

Теорема 5.2. Пусть функция математический анализ непрерывна в точке математический анализ и функция математический анализ непрерывна в точке математический анализ. Тогда сложная функция математический анализ непрерывна в точке математический анализ.

Доказательство следует из определения 3.2 и определения 5.1.

Задача №5.5

Исследовать на непрерывность функцию

математический анализ

в зависимости от значений математический анализ.

Решение:

Функция математический анализ непрерывна математический анализ (как композиция двух непрерывных функций математический анализ и математический анализ (см. теорему 5.2)).

По теореме 5.1 математический анализ непрерывна математический анализ. Найдем

математический анализ

Поэтому при математический анализ функция непрерывна математический анализ. При математический анализ разрывна в точке математический анализ и непрерывна математический анализ.

Определение 5.4. Пусть функция математический анализ определена в некоторой окрестности математический анализ точки математический анализ, кроме, может быть, самой точки математический анализ. Пусть математический анализ -точка разрыва функции математический анализ и при этом существуют конечные пределы математический анализ. Тогда точка математический анализ называется точкой разрыва 1-го рода функции математический анализ. При этом математический анализ называется скачком функции. Если скачок равен 0, то разрыв называется устранимым.

Задача №5.6

Для функции

математический анализ

(см. задача 3.1), точка математический анализ — точка устранимого разрыва.

Для функции математический анализ (см. упражнение 3.4) математический анализ — точка устранимого разрыва.

Для функции математический анализ (см. теорему 4.1) математический анализ — точка устранимого разрыва.

Для функции математический анализ (см. упражнение 5.2) математический анализ— точка устранимого разрыва.

Для функции математический анализ (см. задача 3.3) математический анализ — точка разрыва 1-го рода. Разрыв — неустранимый. Скачок функции в точке математический анализ равен 2.

Для единичной функции Хевисайда математический анализ(см. задача 5.4) математический анализ — точка разрыва 1-го рода. Разрыв — неустранимый. Скачок функции в точке математический анализ равен 1.

Определение 5.5. Пусть функция математический анализ определена в некоторой окрестности математический анализ точки математический анализ, кроме, может быть, самой точки х0. Точка математический анализ называется точкой разрыва 2-го рода функции математический анализ, если хотя бы один из односторонних пределов математический анализ равен математический анализ или не существует.

Задача №5.7

Для функций математический анализ (см. задача 3.2) математический анализ — точка разрыва 2-го рода. Для функции математический анализ (см. упражнение 3.4) математический анализ — точка разрыва 2-го рода.

Для функций математический анализ (см. упражнения 3.7, 3.8) математический анализ — точка разрыва 2-го рода. Точки математический анализ — точки разрыва 1-го рода. Разрывы неустранимые.

Для функции математический анализ (см. упражнение 5.1) математический анализ — точка разрыва 2-го рода. Для функции Дирихле математический анализ (см. задачу 5.3) любая точка математический анализ — точка разрыва 2-го рода.

Задача №5.8

Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функции математический анализ, рис. 5.8.

математический анализ

Решение:

Функция — дробно-рациональная. Непрерывна везде, кроме точек, где знаменатель обращается в ноль: математический анализ.

Рассмотрим точку математический анализ.

математический анализ

математический анализ — точка устранимого разрыва.

Рассмотрим точку математический анализ.

математический анализ

математический анализ — точка разрыва 2-го рода.

Задача №5.9

Исследовать на непрерывность и определить тип точек разрыва для функции:

математический анализ

Решение:

Функции математический анализ непрерывны математический анализ, поэтому и наша функция непрерывна везде, кроме, может быть, точек математический анализ. Слева и справа от точек математический анализ функция задается различными аналитическими выражениями.

Пусть математический анализ.

математический анализ

то есть

математический анализ

поэтому функция непрерывна в точке математический анализ.

Пусть математический анализ.

математический анализ

то есть

математический анализ — точка разрыва 1-го рода (см. определение 5.3). Разрыв — неустранимый, скачок функции равен 1.

математический анализ

Задача №5.10

Исследовать на непрерывность функцию математический анализ, рис. 5.10.

математический анализ — точки разрыва функции.

математический анализ

Решение:

математический анализ — точка разрыва 1-го рода. Разрыв неустранимый, скачок функции равен -2.

математический анализ — точка разрыва 2-го рода.

Задача №5.11

Определить тип точек разрыва функции математический анализ в зависимости от значений параметра математический анализ.

Решение:

математический анализ — точка разрыва функции. Найдем математический анализ.

1. Если математический анализ, то математический анализ — точка разрыва 2-го рода.

2. Если математический анализ, то

математический анализ — точка устранимого разрыва.

Производная функции

Определение 6.1. Пусть функция математический анализ определена в некоторой окрестности математический анализ точки математический анализ и существует математический анализ.

Этот предел называется производной функции в точке математический анализ и обозначается математический анализ.

Таким образом:

математический анализ

Обозначим математический анализ, тогда (6.1) перепишется в виде

математический анализ

Другие обозначения производной: математический анализ

Задачи с решением:

Задача №6.1

математический анализ. Найти математический анализ.

Решение:

По формуле (6.2)

математический анализ

Таким образом, математический анализ. Аналогично математический анализ.

Задача №6.2

математический анализ. Найти математический анализ.

Решение:

математический анализ

Таким образом, математический анализ. Аналогично математический анализ.

Определение 6.2. Функция математический анализ называется дифференцируемой в точке математический анализ, если ее приращение математический анализ представляется в виде

математический анализ

где А — постоянное число, не зависящее от математический анализ;

математический анализ — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем математический анализ, при математический анализ.

Теорема 6.1. Для того чтобы математический анализ была дифференцируема в точке математический анализ необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная математический анализ. При этом математический анализ и формула (6.3) перепишется в виде

математический анализ

Докозательство

Рассмотрим цепочку эквивалентных утверждений:

математический анализ

что и требовалось доказать.

Определение 6.3. Пусть функция математический анализ дифференцируема в точке математический анализ

Дифференциалом математический анализ функции математический анализ в точке х0 будем называть линейную относительно математический анализ функцию вида

математический анализ

то есть

математический анализ

Для функции математический анализ. Поэтому формулу (6.6) можно переписать в виде

математический анализ

Теорема 6.2. Если функция математический анализ была дифференцируема в точке математический анализ, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство

Рассмотрим цепочку эквивалентных утверждений:

математический анализ

что и требовалось доказать.

Теорема 6.3. Пусть функции математический анализ — дифференцируемы, математический анализ.

Тогда:

1) математический анализ также дифференцируема и

математический анализ

2) математический анализ дифференцируема и

математический анализ

3) математический анализ дифференцируема в точках, где математический анализ и

математический анализ

Доказательство

Докажем, например, формулу (6.9).

математический анализ

что и требовалось доказать.

Из формул (6.8)—(6.10), с учетом (6.7), получим

математический анализ

Возможно эта страница вам будет полезна:

Сборники и решебники задач по математическому анализу

Задача №6.3

Задачи по математическому анализу с решением. Найти Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

Задачи по математическому анализу с решением

Аналогично Задачи по математическому анализу с решением.

Теорема 6.4. Пусть функции Задачи по математическому анализу с решением) дифференцируемы.

Тогда и сложная функция Задачи по математическому анализу с решением дифференцируема и

Задачи по математическому анализу с решением

Доказательство

Пусть Задачи по математическому анализу с решением.

Задачи по математическому анализу с решением

что и требовалось доказать.

Задача №6.4

Найти производную Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

Данная функция представляется как композиция функций

Задачи по математическому анализу с решением

Тогда по формуле (6.11)

Задачи по математическому анализу с решением

Найдем дифференциал функции Задачи по математическому анализу с решением. По формуле (6.7)

Задачи по математическому анализу с решением

С другой стороны, с учетом формулы (6.11)

Задачи по математическому анализу с решением

Формулы (6.12) и (6.13) показывают инвариантность (неизменяемость) формы дифференциала. В формуле (6.12) Задачи по математическому анализу с решением, в формуле (6.13) Задачи по математическому анализу с решением -дифференциал функции Задачи по математическому анализу с решением. Например, для функции

Задачи по математическому анализу с решением

где Задачи по математическому анализу с решением,

Задачи по математическому анализу с решением

где Задачи по математическому анализу с решением.

Задача №6.5

Найти производную функции Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

Задачи по математическому анализу с решением

Таким образом

Задачи по математическому анализу с решением

Задача №6.6

Задачи по математическому анализу с решением

Задачи по математическому анализу с решением. Найти Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

По формуле (6.14)

Задачи по математическому анализу с решением

Задача №6.7

Найти производную функции Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

Задачи по математическому анализу с решением

Таким образом,

Задачи по математическому анализу с решением

в частности: Задачи по математическому анализу с решением.

Задача №6.8

Задачи по математическому анализу с решением. Найти Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

По формуле (6.9)

Задачи по математическому анализу с решением

Определение 6.4. Пусть функция Задачи по математическому анализу с решением определена на множестве Задачи по математическому анализу с решением со значениями во множестве Задачи по математическому анализу с решением и такова, что если Задачи по математическому анализу с решением, рис. 6.1. Пусть Задачи по математическому анализу с решением — множество значений функции Задачи по математическому анализу с решением. Для такой функции можно определить обратную функцию Задачи по математическому анализу с решением, определенную на множестве Задачи по математическому анализу с решением со значениями во множестве Задачи по математическому анализу с решением по правилу

Задачи по математическому анализу с решением
Задачи по математическому анализу с решением

Если Задачи по математическому анализу с решением строго монотонна на интервале Задачи по математическому анализу с решением то Задачи по математическому анализу с решением удовлетворяет условиям определения 6.4 и для нее существует обратная Задачи по математическому анализу с решением, причем если Задачи по математическому анализу с решением непрерывна, то Задачи по математическому анализу с решением также непрерывна; если Задачи по математическому анализу с решением дифференцируема и Задачи по математическому анализу с решением, то Задачи по математическому анализу с решением также дифференцируема в точке Задачи по математическому анализу с решением

и Задачи по математическому анализу с решением

или Задачи по математическому анализу с решением

Задача №6.9

Для функции Задачи по математическому анализу с решением, функция Задачи по математическому анализу с решением, обратная, и тогда по формуле (6.16)

Задачи по математическому анализу с решением

Задача №6.10

Для функции Задачи по математическому анализу с решением, функция Задачи по математическому анализу с решением обратная, и тогда по формуле (6.16)

Задачи по математическому анализу с решением

Таким образом, Задачи по математическому анализу с решением.

Аналогично

Задачи по математическому анализу с решением

Сводка формул

Задачи по математическому анализу с решением

Таблица производных

Задачи по математическому анализу с решением

Определение 6.5. Пусть функция Задачи по математическому анализу с решением непрерывна в точке Задачи по математическому анализу с решением и

Задачи по математическому анализу с решением

тогда Задачи по математическому анализу с решением имеет в точке Задачи по математическому анализу с решением бесконечную производную.

Производная функции, заданной параметрически

Рассмотрим плоскость с фиксированной системой координат Задачи по математическому анализу с решением. Пусть точка Задачи по математическому анализу с решением движется по плоскости, и траектория ее движения

Задачи по математическому анализу с решением

где t — время, или

Задачи по математическому анализу с решением

где Задачи по математическому анализу с решением — радиус-вектор точки М.

Предположим, что для функции Задачи по математическому анализу с решением существует обратная функция Задачи по математическому анализу с решением (например, когда Задачи по математическому анализу с решением строго монотонна). Тогда (7.1) задается также в виде Задачи по математическому анализу с решением.

Пусть Задачи по математическому анализу с решением — точка на кривой (7.1), где

Задачи по математическому анализу с решением

Предположим, что Задачи по математическому анализу с решением дифференцируемы и Задачи по математическому анализу с решением.

Тогда по формулам (6.11), (6.15)

Задачи по математическому анализу с решением

Таким образом для функции, заданной в виде (7.1), производная

Задачи по математическому анализу с решением

Задачи с решением:

Задача №6.11.1

Найти Задачи по математическому анализу с решением для функции Задачи по математическому анализу с решением

Задачи по математическому анализу с решением

Решение:

Функция Задачи по математическому анализу с решением монотонно убывает на промежутке Задачи по математическому анализу с решением. Для нее Задачи по математическому анализу с решением обратная: Задачи по математическому анализу с решением. По формуле (7.2)

Задачи по математическому анализу с решением

Кривая в задаче — параметрическое задание эллипса (верхней части), заданного уравнением Задачи по математическому анализу с решением. Если из формулы (7.3) исключить t, то получим

Задачи по математическому анализу с решением

что совпадает с производной Задачи по математическому анализу с решением.

Сводка формул

Задачи по математическому анализу с решением

Производная функции, заданной неявно

Пусть функция Задачи по математическому анализу с решением задана неявно в виде

Задачи по математическому анализу с решением

то есть Задачи по математическому анализу с решением

Дифференцируем уравнение (8.1) по Задачи по математическому анализу с решением, при этом считаем, что Задачи по математическому анализу с решением -функция от Задачи по математическому анализу с решением, получим уравнение, содержащее Задачи по математическому анализу с решением. Из полученного уравнения выражаем Задачи по математическому анализу с решением.

Задачи с решением:

Задача №8.1

Найти Задачи по математическому анализу с решением. для функции Задачи по математическому анализу с решением, заданной неявно: Задачи по математическому анализу с решением

Решение:

Задачи по математическому анализу с решением

Рассмотренное в задаче 8.1 уравнение эллипса определяет в неявном виде две функции: Задачи по математическому анализу с решением.

Если рассмотреть параметрическое уравнение эллипса

Задачи по математическому анализу с решением

то после подстановки Задачи по математическому анализу с решением и Задачи по математическому анализу с решением в формулу (8.2), получим формулу (7.3) (см. задачу п. 7.1), Задачи по математическому анализу с решением.

Задача №8.2

Найдем производную степенно-показательной функции Задачи по математическому анализу с решением где Задачи по математическому анализу с решением дифференцируемы и Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

Задачи по математическому анализу с решением

Геометрический и физический смысл производной

Пусть Задачи по математическому анализу с решением — прямоугольная система координат на плоскости. Рассмотрим график функции Задачи по математическому анализу с решением (множество точек с координатами Задачи по математическому анализу с решением. Пусть Задачи по математическому анализу с решением — точки на графике (рис. 9.1).

Задачи по математическому анализу с решением

Рассмотрим секущую на графике, проходящую через точки Задачи по математическому анализу с решением, тогда

Задачи по математическому анализу с решением

Задачи по математическому анализу с решением — угловой коэффициент секущей,

и

Задачи по математическому анализу с решением

Определение 9.1. Пусть функция Задачи по математическому анализу с решением дифференцируема в точке Задачи по математическому анализу с решением и Задачи по математическому анализу с решением — ее производная. Касательной к графику функции в точке Задачи по математическому анализу с решением будем называть прямую, заданную уравнением

Задачи по математическому анализу с решением

Из формулы (9.1) видно, что касательная — предельное положение секущей Задачи по математическому анализу с решением при Задачи по математическому анализу с решением.

Действительно, секущая Задачи по математическому анализу с решением задается уравнением Задачи по математическому анализу с решением (уравнение прямой, проходящей через точку Задачи по математическому анализу с решением с угловым коэффициентом Задачи по математическому анализу с решением. Так как выполняется (9.1), то уравнение Задачи по математическому анализу с решением а пределе при Задачи по математическому анализу с решением примет вид (9.2).

Таким образом, Задачи по математическому анализу с решением — угловой коэффициент касательной к кривой Задачи по математическому анализу с решением в точке Задачи по математическому анализу с решением (рис. 9.2).

Задачи по математическому анализу с решением

Определение 9.2. Пусть функция Задачи по математическому анализу с решением имеет в точке хо бесконечную производную (см. определение 6.5). Тогда касательная к графику функции в точке Задачи по математическому анализу с решением — вертикальная прямая Задачи по математическому анализу с решением.

Определение 9.3. Нормалью к графику функции Задачи по математическому анализу с решением в точке Задачи по математическому анализу с решением называется прямая, проходящая через точку Задачи по математическому анализу с решением и перпендикулярная касательной к графику в этой точке.

Если Задачи по математическому анализу с решением, то из (9.2) следует, что уравнение нормали имеет вид

Задачи по математическому анализу с решением

(так как угловые коэффициенты Задачи по математическому анализу с решением перпендикулярных прямых связаны соотношением Задачи по математическому анализу с решением).

Задачи с решением:

Задача №9.1

Задачи по математическому анализу с решением. Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

Задачи по математическому анализу с решением, поэтому точка Задачи по математическому анализу с решением лежит на кривой; Задачи по математическому анализу с решением. Тогда по формуле (9.2)

Задачи по математическому анализу с решением — уравнение касательной.

Далее по формуле (9.3)

Задачи по математическому анализу с решением уравнение нормали.

Задача №9.2

Задачи по математическому анализу с решением. Написать уравнения касательных к кривой, проходящих через точку М.

Решение:

Задачи по математическому анализу с решением, поэтому точка М не лежит на кривой. По формуле (9.2)

Задачи по математическому анализу с решением

Так как точка М лежит на касательной, то

Задачи по математическому анализу с решением

поэтому касательные к кривой в точках Задачи по математическому анализу с решением проходят через точку М.

Тогда из (9.4)

Задачи по математическому анализу с решением — уравнения касательных.

Упражнение с решением 9.2. Рассмотрим функции Задачи по математическому анализу с решением; Задачи по математическому анализу с решением (см. упражнение 6.6). Написать уравнение касательной и нормали к графикам этих функций в точке Задачи по математическому анализу с решением.

Рассмотрим точки Задачи по математическому анализу с решением на графике функции Задачи по математическому анализу с решением. Тогда по формуле (6.6)

Задачи по математическому анализу с решением

а по формуле (9.2)

Задачи по математическому анализу с решением

приращение касательной, когда приращение независимой переменной Задачи по математическому анализу с решением равно Задачи по математическому анализу с решением, поэтому значение Задачи по математическому анализу с решением равно приращению касательной, рис. 9.3.

Задачи по математическому анализу с решением

Приращение Задачи по математическому анализу с решением функции Задачи по математическому анализу с решением отличается от Задачи по математическому анализу с решением

(см. формулу 6.4), то есть

Задачи по математическому анализу с решением

Задача №9.3

Задачи по математическому анализу с решением. Рассмотрим точки Задачи по математическому анализу с решением.

Найти Задачи по математическому анализу с решением при переходе от Задачи по математическому анализу с решением

Решение:

Задачи по математическому анализу с решением

В приближенных вычислениях Задачи по математическому анализу с решениемзаменяют на Задачи по математическому анализу с решением и получают формулу

Задачи по математическому анализу с решением

Задача №9.4

Вычислить приближенно Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

Задачи по математическому анализу с решением

Пусть

Задачи по математическому анализу с решением

Тогда

Задачи по математическому анализу с решением

По формуле (9.6)

Задачи по математическому анализу с решением

Поэтому Задачи по математическому анализу с решением

Пусть Задачи по математическому анализу с решением дифференцируема в точке Задачи по математическому анализу с решением и

Задачи по математическому анализу с решением — ее производная. (9.7)

Числитель дроби Задачи по математическому анализу с решением — приращение функции Задачи по математическому анализу с решением. Сама дробь задает приращение функции на единицу приращения независимой переменной Задачи по математическому анализу с решением (скорость приращения функции). Поэтому, согласно (9.7), Задачи по математическому анализу с решением — мгновенная скорость приращения функции. Если тело движется прямолинейно и Задачи по математическому анализу с решением задает время, а Задачи по математическому анализу с решением — путь, пройденный телом за время t, то Задачи по математическому анализу с решением — мгновенная скорость в момент времени Задачи по математическому анализу с решением.

Задача №9.5

Пусть Задачи по математическому анализу с решением (см. задача 9.3). Тогда

Задачи по математическому анализу с решением — путь, пройденный телом на промежутке времени [1; 1,1];

Задачи по математическому анализу с решением — средняя скорость движения на этом промежутке;

Задачи по математическому анализу с решением — мгновенная скорость в момент времени Задачи по математическому анализу с решением.

Пусть точка Задачи по математическому анализу с решением движется в пространстве, и траектория ее движения

Задачи по математическому анализу с решением

где t — время,

или Задачи по математическому анализу с решением

где Задачи по математическому анализу с решением — радиус-вектор точки М.

Концы вектора (9.9) задают траекторию движения (9.8) — годограф вектор-функции Задачи по математическому анализу с решением.

Определение 9.4. Производной векторной функции Задачи по математическому анализу с решением в точке Задачи по математическому анализу с решением называется вектор

Задачи по математическому анализу с решением

Вектор Задачи по математическому анализу с решением задает мгновенную скорость движения точки при Задачи по математическому анализу с решением;

Задачи по математическому анализу с решением

Задачи по математическому анализу с решением направлен по касательной к кривой (9.8) в точке Задачи по математическому анализу с решением.

Задача №9.6

Задачи по математическому анализу с решением — траектория движения точки,

Задачи по математическому анализу с решением

Найдем Задачи по математическому анализу с решением

Решение:

Задачи по математическому анализу с решением

Производные высших порядков

Определение 10.1. Пусть функция Задачи по математическому анализу с решением дифференцируема Задачи по математическому анализу с решением и Задачи по математическому анализу с решением — ее производная. Предположим, что Задачи по математическому анализу с решением в свою очередь дифференцируема и Задачи по математическому анализу с решением — ее производная. Она называется второй производной функции Задачи по математическому анализу с решением и обозначается Задачи по математическому анализу с решением. Таким образом:

Задачи по математическому анализу с решением

Аналогично,

Задачи по математическому анализу с решением

Другое обозначение для Задачи по математическому анализу с решением

Задачи с решением:

Задача №10.1

Задачи по математическому анализу с решением. Найти Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

Задачи по математическому анализу с решением (см. упражнение 6.4).

Задачи по математическому анализу с решением

Задача №10.2

Найти Задачи по математическому анализу с решением-ю производную функции Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

Задачи по математическому анализу с решением

Таким образом Задачи по математическому анализу с решением.

Задача №10.3

Найти Задачи по математическому анализу с решением для функции Задачи по математическому анализу с решением, заданной неявно:

Задачи по математическому анализу с решением

Решение:

Задачи по математическому анализу с решением (см. задача 8.1).

Задачи по математическому анализу с решением

Упражнение с решением 10.3. Найти Задачи по математическому анализу с решением для функции Задачи по математическому анализу с решением, заданной уравнением

Задачи по математическому анализу с решением

Пусть функция Задачи по математическому анализу с решением задана параметрически в виде

Задачи по математическому анализу с решением

Пусть Задачи по математическому анализу с решением дважды дифференцируемы и Задачи по математическому анализу с решением. Тогда (см. п. 7.2)

Задачи по математическому анализу с решением

первая производная функции Задачи по математическому анализу с решением.

Рассуждая аналогично п. 7:

Задачи по математическому анализу с решением — вторая производная функции.

При этом

Задачи по математическому анализу с решением

поэтому формула (10.1) перепишется в виде

Задачи по математическому анализу с решением

Задача №10.4

Найти Задачи по математическому анализу с решением для функции Задачи по математическому анализу с решением, заданной параметрически в виде

Задачи по математическому анализу с решением

Решение:

По формуле (7.3)

Задачи по математическому анализу с решением

Далее, по формуле (10.1)

Задачи по математическому анализу с решением

Теорема 10.1. Пусть Функции Задачи по математическому анализу с решением раз дифференцируемы, тогда

Задачи по математическому анализу с решением
Задачи по математическому анализу с решением

формула Лейбница, где Задачи по математическому анализу с решением: в частности:

Задачи по математическому анализу с решением

Задача №10.5

Задачи по математическому анализу с решением. Найти Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

По формуле (10.3):

Задачи по математическому анализу с решением

остальные слагаемые равны 0.

Далее

Задачи по математическому анализу с решением

поэтому

Задачи по математическому анализу с решением

Определение 10.2. Пусть функция Задачи по математическому анализу с решением дифференцируема и Задачи по математическому анализу с решением — ее дифференциал. Зафиксируем Задачи по математическому анализу с решением и будем рассматривать Задачи по математическому анализу с решением как функцию одной переменной Задачи по математическому анализу с решением. Дифференциал от дифференциала Задачи по математическому анализу с решением функции Задачи по математическому анализу с решением будем называть вторым дифференциалом этой функции и обозначать Задачи по математическому анализу с решением. Таким образом:

Задачи по математическому анализу с решением

Аналогично

Задачи по математическому анализу с решением

Преобразуем формулы (10.4) и (10.5):

Задачи по математическому анализу с решением

To есть

Задачи по математическому анализу с решением

При вычислении Задачи по математическому анализу с решением приращение независимой переменной берем равным первоначальному приращению Задачи по математическому анализу с решением.

Задача №10.6

Задачи по математическому анализу с решением. Найти Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

Задачи по математическому анализу с решением

Свойство инвариантности верное для первого дифференциала не выполняется для второго.

Например, для функции Задачи по математическому анализу с решением из задачи 10.6 имеем Задачи по математическому анализу с решением;

Задачи по математическому анализу с решением

Тогда для первого дифференциала

Задачи по математическому анализу с решением

но

Задачи по математическому анализу с решением

Таким образом

Задачи по математическому анализу с решением

Если Задачи по математическому анализу с решением, то для функции Задачи по математическому анализу с решением верна формула

Задачи по математическому анализу с решением

Если функции Задачи по математическому анализу с решением раз дифференцируемы, то для Задачи по математическому анализу с решением верны формулы, аналогичные формулам (10.2), (10.3). В частности:

Задачи по математическому анализу с решением

Свойства непрерывных функций

Определение 11.1. Пусть Задачи по математическому анализу с решением — подмножество во множестве действительных чисел Задачи по математическому анализу с решением называется ограниченным сверху (снизу), если Задачи по математическому анализу с решением такое число Задачи по математическому анализу с решением что выполняется неравенство Задачи по математическому анализу с решением.

При этом Задачи по математическому анализу с решением называется верхней (нижней) гранью множества Задачи по математическому анализу с решением. Наименьшая из всех возможных верхних граней множества X называется точной верхней гранью множества X и обозначается Задачи по математическому анализу с решением (латинское supremum (супремум) — наивысшее). Наибольшая из всех возможных нижних граней множества X называется точной нижней гранью множества X и обозначается Задачи по математическому анализу с решением (латинское infimum (инфимум) — наинизшее).

Задачи с решением:

Задача №11.1

Задачи по математическому анализу с решением
Задачи по математическому анализу с решением

Для множества Задачи по математическому анализу с решением

Задачи по математическому анализу с решением

Для множества Задачи по математическому анализу с решением

Задачи по математическому анализу с решением

Аксиома Вейерштрасса. Всякое непустое ограниченное множество Задачи по математическому анализу с решением имеет конечные точные верхние и нижние грани Задачи по математическому анализу с решением и Задачи по математическому анализу с решением.

Для функции Задачи по математическому анализу с решением определяются, как Задачи по математическому анализу с решением — множества значений Задачи по математическому анализу с решением функции Задачи по математическому анализу с решением при Задачи по математическому анализу с решением.

Задача №11.2

Задачи по математическому анализу с решением

При этом Задачи по математическому анализу с решением, рис 11.2.

Задачи по математическому анализу с решением

Теорема 11.1. (теорема Вейерштрасса). Если функция Задачи по математическому анализу с решением непрерывна на отрезке Задачи по математическому анализу с решением, то она достигает на этом отрезке своих точных верхней и нижней граней, то есть Задачи по математическому анализу с решением такие, что

Задачи по математическому анализу с решением

При этом

Задачи по математическому анализу с решением

Если в условии теоремы 10.1 рассматривать не отрезок, а интервал Задачи по математическому анализу с решением или полуинтервал, то она не выполняется.

Например, для Задачи по математическому анализу с решением из задачи 11.2

Задачи по математическому анализу с решением

не имеет минимума на множестве (-1,1).

Теорема 11.2. (теорема Больцано-Коши). Если функция Задачи по математическому анализу с решением непрерывна на отрезке Задачи по математическому анализу с решением и принимает на его концах значения разных знаков, то Задачи по математическому анализу с решением, такая, что Задачи по математическому анализу с решением.

Задача №11.3

Проверить, что уравнение Задачи по математическому анализу с решением имеет корень на интервале Задачи по математическому анализу с решением рис. 11.3.

Задачи по математическому анализу с решением

Решение:

Функция Задачи по математическому анализу с решением непрерывна Задачи по математическому анализу с решением.

Задачи по математическому анализу с решением

по теореме 2 Задачи по математическому анализу с решением, такая что /Задачи по математическому анализу с решением.

Свойства дифференцируемых функций

Определение 12.1. Функция Задачи по математическому анализу с решением называется возрастающей в точке Задачи по математическому анализу с решением, если Задачи по математическому анализу с решением окрестность Задачи по математическому анализу с решением этой точки такая, что Задачи по математическому анализу с решением:

Задачи по математическому анализу с решением

Аналогично определяется убывающая в точке Задачи по математическому анализу с решением функция.

Точка Задачи по математическому анализу с решением называется точкой локального максимума (минимума) функции Задачи по математическому анализу с решением, если Задачи по математическому анализу с решением окрестность Задачи по математическому анализу с решением этой точки такая, что Задачи по математическому анализу с решением, Задачи по математическому анализу с решением:

Задачи по математическому анализу с решением

Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума. Если знаки неравенств в соотношениях (12.1) нестрогие, то говорят о нестрогом локальном максимуме (минимуме).

Теорема 12.1. (теорема Ферма). Пусть функция Задачи по математическому анализу с решением определена в некоторой окрестности Задачи по математическому анализу с решением точки Задачи по математическому анализу с решением, дифференцируема в этой точке и имеет в ней локальный экстремум. Тогда

Задачи по математическому анализу с решением

Доказательство

Докажем теорему, например, для случая, когда Задачи по математическому анализу с решением — локальный максимум:

Задачи по математическому анализу с решением, пусть Задачи по математическому анализу с решением, тогда (см. определение 12.1)

Задачи по математическому анализу с решением

Пусть Задачи по математическому анализу с решением, тогда

Задачи по математическому анализу с решением

Из (12.2) и (12.3) следует, что Задачи по математическому анализу с решением, что и требовалось доказать.

Равенство Задачи по математическому анализу с решением в теореме 12.1 означает, что касательная к графику функции Задачи по математическому анализу с решением в точке Задачи по математическому анализу с решением горизонтальна.

Теорема 12.2. Пусть функция Задачи по математическому анализу с решением дифференцируема в точке Задачи по математическому анализу с решением и Задачи по математическому анализу с решением. Тогда /(х) возрастает (убывает) в точке х0.

Доказательство

Докажем для случая Задачи по математическому анализу с решением. По формуле (6.4)

Задачи по математическому анализу с решением

Задачи по математическому анализу с решением окрестность Задачи по математическому анализу с решением, такая что

Задачи по математическому анализу с решением

Если Задачи по математическому анализу с решением, а для Задачи по математическому анализу с решением, следовательно условия возрастания функции в точке (см. определение 12.1) выполнены.

Теорема 12.3 (теорема Ролля). Пусть функция Задачи по математическому анализу с решением:

1) непрерывна на отрезке Задачи по математическому анализу с решением;

2) дифференцируема на интервале Задачи по математическому анализу с решением;

3) Задачи по математическому анализу с решением.

Тогда Задачи по математическому анализу с решением такая, что Задачи по математическому анализу с решением.

Доказательство

По теореме 11.1 Задачи по математическому анализу с решением такие, что

Задачи по математическому анализу с решением

Если Задачи по математическому анализу с решением — постоянная функция Задачи по математическому анализу с решением, и поэтому Задачи по математическому анализу с решением.

Если Задачи по математическому анализу с решением, то либо max, либо min достигается на Задачи по математическому анализу с решением. Пусть, например, Задачи по математическому анализу с решением. Тогда точка Задачи по математическому анализу с решением удовлетворяет условиям теоремы 12.1, и поэтому Задачи по математическому анализу с решением, что и требовалось доказать.

Упражнение с решением 12.1. Проверить, удовлетворяют ли условиям теоремы Ролля функции Задачи по математическому анализу с решением (см. упражнение 6.6).

Из теоремы Ролля следует, что между двумя последовательными корнями дифференцируемой функции имеется хотя бы один корень ее производной.

Теорема 12.4 (теорема Лагранжа).

Пусть функция Задачи по математическому анализу с решением:

1) непрерывна на отрезке Задачи по математическому анализу с решением;

2) дифференцируема на интервале Задачи по математическому анализу с решением.

Тогда Задачи по математическому анализу с решением такая, что

Задачи по математическому анализу с решением

Доказательство

Рассмотрим функцию Задачи по математическому анализу с решением — непрерывна на отрезке Задачи по математическому анализу с решением и дифференцируема на интервале Задачи по математическому анализу с решением; Задачи по математическому анализу с решением. Поэтому Задачи по математическому анализу с решением удовлетворяет условиям теоремы 12.3, то есть Задачи по математическому анализу с решением такая, что Задачи по математическому анализу с решением что и требовалось доказать.

Угловой коэффициент прямой Задачи по математическому анализу с решением, проходящей через точки Задачи по математическому анализу с решением, равен Задачи по математическому анализу с решением. Поэтому формула (12.4) означает, что Задачи по математическому анализу с решением такая, что касательная к графику функции Задачи по математическому анализу с решением в точке Задачи по математическому анализу с решением параллельна прямой Задачи по математическому анализу с решением, рис. 12.1.

Задачи по математическому анализу с решением

Если Задачи по математическому анализу с решением задает время и Задачи по математическому анализу с решением — путь, пройденный телом при движении по прямой за время Задачи по математическому анализу с решением, то Задачи по математическому анализу с решением средняя скорость движения тела на промежутке времени Задачи по математическому анализу с решением и согласно (12.4) Задачи по математическому анализу с решением такая, что мгновенная скорость Задачи по математическому анализу с решением тела в момент времени с равна средней скорости.

Задачи с решением:

Задача №11.4.1

Дана кривая Задачи по математическому анализу с решением и точки Задачи по математическому анализу с решением на кривой. На интервале (0; 6) найти точку Задачи по математическому анализу с решением, удовлетворяющую условию (12.4). Написать уравнение касательной в точке Задачи по математическому анализу с решением. Сделать чертеж.

Задачи по математическому анализу с решением

Решение:

Подставив точки А и В в формулу (12.4), получим

Задачи по математическому анализу с решением

Уравнение касательной к кривой Задачи по математическому анализу с решением

Задачи по математическому анализу с решением (см. задача 9.9), рис. 12.2.

Теорема 12.5. (терема Коши). Пусть функции Задачи по математическому анализу с решением:

1) непрерывны на отрезке Задачи по математическому анализу с решением;

2) дифференцируемы на интервале Задачи по математическому анализу с решением, причем Задачи по математическому анализу с решением Задачи по математическому анализу с решением. Тогда Задачи по математическому анализу с решением такая, что

Задачи по математическому анализу с решением

Доказательство

Рассмотрим функцию

Задачи по математическому анализу с решением

Задачи по математическому анализу с решением удовлетворяет условиям теоремы 12.3, и далее доказательство аналогично доказательству теоремы 12.4.

Правило Лопиталя

Теорема 13.1 (правило Лопиталя). Пусть функции Задачи по математическому анализу с решением:

1) дифференцируемы в некоторой окрестности Задачи по математическому анализу с решением точки Задачи по математическому анализу с решением;

2) Задачи по математическому анализу с решением;

3) Задачи по математическому анализу с решением;

4) Задачи по математическому анализу с решением

Тогда

Задачи по математическому анализу с решением

Доказательство

Рассмотрим случай Задачи по математическому анализу с решением. Доопределим Задачи по математическому анализу с решением в точке Задачи по математическому анализу с решением :

Задачи по математическому анализу с решением

Тогда они непрерывны Задачи по математическому анализу с решением. Пусть Задачи по математическому анализу с решением, тогда no теореме Коши (теорема 12.5)

Задачи по математическому анализу с решением

где Задачи по математическому анализу с решением

Задачи по математическому анализу с решением, что и требовалось доказать.

1. Если в п. 4 теоремы 13.1 Задачи по математическому анализу с решением также равен Задачи по математическому анализу с решением.

2. Аналогичная теорема верна и для односторонних пределов.

Теорема 13.2. Пусть Задачи по математическому анализу с решением и функции Задачи по математическому анализу с решением:

1) дифференцируемы при Задачи по математическому анализу с решением;

2) Задачи по математическому анализу с решением:

3) Задачи по математическому анализу с решением;

4) Задачи по математическому анализу с решением

Тогда Задачи по математическому анализу с решением

Доказательство

Пусть Задачи по математическому анализу с решением. Рассмотрим функции Задачи по математическому анализу с решением. Тогда условия 1)-3) теоремы 13.1 выполнены в окрестности Задачи по математическому анализу с решением точки Задачи по математическому анализу с решением.

Проверим условие 4):

Задачи по математическому анализу с решением

предел существует, поэтому по теореме 13.1

Задачи по математическому анализу с решением

Тогда

Задачи по математическому анализу с решением

что и требовалось доказать.

По правилу Лопиталя раскрывают неопределенности типа Задачи по математическому анализу с решением.

Неопределенности Задачи по математическому анализу с решением необходимо эквивалентными преобразованиями привести к виду Задачи по математическому анализу с решением. Неопределенности Задачи по математическому анализу с решением раскрывают путем предварительного логарифмирования.

Задачи с решением:

Задача №13.1

Задачи по математическому анализу с решением. Пусть Задачи по математическому анализу с решением. Функции Задачи по математическому анализу с решением:

1) непрерывны и имеют производные при Задачи по математическому анализу с решением;

Задачи по математическому анализу с решением

поэтому по теореме 13.2

Задачи по математическому анализу с решением

Задача №13.2

Найти Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

Задачи по математическому анализу с решением

Задача №13.3

Найти Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

Имеем неопределенность вида Задачи по математическому анализу с решением.

Преобразуем функцию Задачи по математическому анализу с решением.

Найдем

Задачи по математическому анализу с решением

Поэтому

Задачи по математическому анализу с решением

Задача №13.4

Найти Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

Задачи по математическому анализу с решением

Если в условии теоремы 13.1 предположить дополнительно, что функции Задачи по математическому анализу с решением дифференцируемы в точке Задачи по математическому анализу с решением, тогда формула (13.1) перепишется в виде

Задачи по математическому анализу с решением

Геометрически это значит, что предел при Задачи по математическому анализу с решением отношения значений функций Задачи по математическому анализу с решением равен отношению угловых коэффициентов касательных к этим функциям в точке Задачи по математическому анализу с решением.

Задача №13.5

Найти Задачи по математическому анализу с решением (см. Задача 4.2).

Решение:

Задачи по математическому анализу с решением

Формула Тейлора

Пусть функция Задачи по математическому анализу с решением дифференцируема в точке Задачи по математическому анализу с решением. Тогда (см. формулу (9.5)) ее приращение Задачи по математическому анализу с решением

Задачи по математическому анализу с решением

Пусть Задачи по математическому анализу с решением, тогда (14.1) перепишется в виде

Задачи по математическому анализу с решением

Рассмотрим многочлен

Задачи по математическому анализу с решением

Многочлен Задачи по математическому анализу с решением обладает следующими свойствами:

Задачи по математическому анализу с решением

Пусть функция уЗадачи по математическому анализу с решением n раз дифференцируема в точке Задачи по математическому анализу с решением. Найдем многочлен

Задачи по математическому анализу с решением

обладающий аналогичными свойствами:

Задачи по математическому анализу с решением

Из (14.2), (14.3) следует, что

Задачи по математическому анализу с решением

Поэтому коэффициенты Задачи по математическому анализу с решением многочлена (14.2) задаются формулой

Задачи по математическому анализу с решением

Далее

Задачи по математическому анализу с решением

Таким образом свойства (14.3) выполняются (при этом коэффициенты многочлена Задачи по математическому анализу с решением задаются формулами (14.4)). Тем самым теорема доказана.

Теорема 14.1. Пусть функция Задачи по математическому анализу с решением n раз дифференцируема в точке Задачи по математическому анализу с решением, тогда

Задачи по математическому анализу с решением

где Задачи по математическому анализу с решением — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем Задачи по математическому анализу с решением.

Формула (14.5) называется формулой Тейлора, многочлен

Задачи по математическому анализу с решением

в правой части формулы (14.5) называется многочленом Тейлора, а представление разности Задачи по математическому анализу с решением в виде Задачи по математическому анализу с решением -остаточным членом в форме Пеано.

Если функция Задачи по математическому анализу с решением, то (14.5) перепишется в виде

Задачи по математическому анализу с решением

формула Маклорена.

Если функция Задачи по математическому анализу с решением раз дифференцируема в некоторой окрестности Задачи по математическому анализу с решением точки Задачи по математическому анализу с решением, то остаточный член Задачи по математическому анализу с решением можно представить в виде

Задачи по математическому анализу с решением

остаточный член в форме Лагранжа и формула

Задачи по математическому анализу с решением

называется формулой Тейлора порядка п с остаточным членом в форме Лагранжа.

Кстати тут, теория из учебников может быть вам поможет она.

Задачи с решением:

Задача №14.1

В условиях задачи 9.4 оценим погрешность вычисления значений Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

Запишем формулу Маклорена первого порядка с остаточным членом в форме Лагранжа:

Задачи по математическому анализу с решением

где Задачи по математическому анализу с решением

Тогда

Задачи по математическому анализу с решением

Поэтому

Задачи по математическому анализу с решением

Таким образом, вычисленное значение 3,(1) отличается от истинного с точностью до 0,01.

Упражнение с решением 14.2. Записать формулу Маклорена второго порядка для функции Задачи по математическому анализу с решением и по этой формуле вычислить Задачи по математическому анализу с решением. Оценить погрешность вычислений.

Запишем формулу Маклорена n-го порядка для функции Задачи по математическому анализу с решением:

Задачи по математическому анализу с решением

Задачи по математическому анализу с решением (см. упражнение 10.1. Задачи по математическому анализу с решением

Таким образом, Задачи по математическому анализу с решением и по формуле (14.6)

Задачи по математическому анализу с решением

Аналогично

Задачи по математическому анализу с решением

Формулы (14.7)—(14.11) называются основными разложениями.

Задача №14.3

Разложить Задачи по математическому анализу с решением по формуле Маклорена до члена Задачи по математическому анализу с решением, используя основные разложения. Оценить погрешность при Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

Пусть Задачи по математическому анализу с решением. Тогда (см. формулу (14.10))

Задачи по математическому анализу с решением

Остаточный член запишем в форме Лагранжа:

Задачи по математическому анализу с решением

Если Задачи по математическому анализу с решением,

поэтому

Задачи по математическому анализу с решением

Таким образом,

Задачи по математическому анализу с решением и погрешность при Задачи по математическому анализу с решением меньше чем 0,001, рис. 14.1.

Задачи по математическому анализу с решением

Рис. 14.1. Графики: / -функции у = (1+л“)2 и 2 — ее многочлена Тейлора

Задача №14.4

Найти Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

Воспользуемся разложением (14.7):

Задачи по математическому анализу с решением

Тогда

Задачи по математическому анализу с решением