Решение задач по линейной алгебре с примерами

Прежде чем изучать готовые решения задач, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила очень краткую теорию по предмету «линейная алгебра», после которого, чуть ниже размещены подробные решения задач.

Эта страница подготовлена для школьников и студентов любых специальностей и охватывает полный курс предмета «линейная алгебра».

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Матрицы

К оглавлению…

Прямоугольная таблица из чисел вида

состоящая из строк и столбцов, называется матрицей размеров

Матрица называется обратной к квадратной матрице , если где — единичная матрица. Для невырожденной матрицы — определитель матрицы , существует единственная обратная матрица

где — алгебраические дополнения элементов матрицы . Если матрица — вырожденная то обратной к пей не существует.

Задача №4.1.

Найти матрицу , обратную к матрице

Так как то — невырожденная и существует. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы :

Следовательно,

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет линейная алгебра

Системы линейных уравнений. Матричный метод. Правило Крамера. Метод Гаусса

К оглавлению…

Пусть задана система линейных уравнений с неизвестными вида.

или, в матричной форме

где

Рассмотрим некоторые методы решения системы (4.1).
Формулы Крамера. Если система (4.1) невырождена, то она имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:

где — определитель, получаемый из определителя заменой его столбца на столбец В свободных членов.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Матричный метод

К оглавлению…

Решение невырожденной системы (4.1) можно найти по формуле

Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).

С помощью элементарных преобразований над строками система линейных уравнений с неизвестными может быть приведена к виду

где

Система (4.2) эквивалентна исходной системе. Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то система (4.2), а следовательно, и исходная система несовместны. Если же то система совместна и из уравнений (4.2) выражают последовательно неизвестные через

Задача №4.2.

Методом Гаусса решить систему

Решение:

Расширенная матрица системы имеет вид

Производя элементарные преобразования над строками расширенной матрицы, получаем

где цифрами [1] , [2] , [3] обозначены следующие операции:
[1] — первую и вторую строки поменяли местами; [2] — ко второй строке прибавили первую, умноженную на (-2): к третьей прибавили первую, умноженную на (-3); [3] — к третьей строке прибавили вторую, умноженную на (-1).

Этой матрице соответствует система

Отсюда последовательно находим

Ответ:

Задача №4.3.

Решить систему уравнений

используя формулы Крамера.

Решение:

Так как определитель данной системы

то матрица невырождена и система имеет единственное решение. Находим определители

По формулам Крамера находим решение системы:

Возможно эта страница вам будет полезна:

Помощь с линейной алгеброй

Скалярное произведение векторов в

К оглавлению…

Скалярным произведением векторов и называется число, обозначаемое или и равное где — угол между и .
Свойства скалярного произведения:

Свойство 4 выражает условие ортогональности векторов.
Если векторы и представлены своими координатами в ортонормированном базисе , то скалярное произведение равно
Из этой формулы и определения скалярного произведения следует:

Учитывая, что где — проекция вектора па вектор , а скалярное произведение векторов
можно записать в виде

Задача №4.4.

Даны векторы

Найти

Решение:

Поскольку

а векторы заданы координатами в ортонормированном базисе, то

Поэтому

Механический смысл скалярного произведения: работал , производимая силой , точка приложения которой перемещается из точки в точку , вычисляется по формуле

Возможно эта страница вам будет полезна:

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Векторное произведение векторов

К оглавлению…

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если при наблюдении из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки; в противном случае тройка называется левой (рис. 4.1).

Рис. 4.1: а — тройка правая; б — тройка левая

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор с, удовлетворяющий условиям:
1) — угол между векторами и ;
2)
3) Упорядоченная тройка — правая.

Обозначение:
Свойства векторного произведения

4) — условие коллинеарности векторов.

Если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе то

Площадь параллелограмма, построенного на векторах , можно определить по формуле

Задача №4.5.

Найти площадь и длину высоты треугольника с вершинами в точках

Решение:

Поскольку площадь треугольника равна

Находим координаты векторов и длину вектора

2. Находим :

Механический смысл векторного произведения. Пусть точка твердого тела закреплена, а в его точке приложена сила .

Тогда возникает вращательный момент (момент силы). По определению момент силы относительно точки находится по формуле

Возможно эта страница вам будет полезна:

Заказать работу по линейной алгебре

Смешанное произведение векторов

К оглавлению…

Смешанным произведением трех векторов называется число, получаемое следующим образом: векторное произведение умножается скалярно на вектор . Смешанное произведение векторов обозначается Таким образом, Если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе, то

Объем параллелепипеда , построенного на векторах , можно вычислить по формуле Для того чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы

Задача №4.6.

Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами

Решение:

Рассмотрим три вектора

(рис. 4.3).
Можно показать, что объем пирамиды равен шестой части объема параллелепипеда, построенного на векторах

Тогда а так

Возможно эта страница вам будет полезна:

Готовые контрольные работы по линейной алгебре

Прямая на плоскости

К оглавлению…

1. Прямая на плоскости

В декартовой прямоугольной системе координат прямая на плоскости может быть задана уравнениями:

общее уравнение прямой
(4.3)

уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно нормальному вектору
уравнение прямой, проходящей через точку параллельно направляющему вектору (каноническое уравнение
прямой):

параметрические уравнения прямой

уравнение прямой в отрезках

Здесь и — величины отрезков, отсекаемых на осях координат и (т.е. длины, взятые с соответствующими знаками);

уравнение прямой, проходящей через две данные точки и

уравнение прямой с угловым коэффициентом , проходящей через точку

Расстояние от точки до прямой , заданной уравнением (4.3), определяется по формуле

Две прямые, заданные уравнениями и параллельны, если

и перпендикулярны, если

Задача №4.7.

Составить уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору, проходящему через точки и Найти расстояние от точки до прямой, проходящей через точки и

Решение:

Уравнение прямой запишем в виде:

где — координаты точки , а и — координаты нормального вектора.
Так как то уравнение имеет вид или
Для нахождения расстояния от точки до прямой запишем уравнение этой прямой в виде

или
Подставляя в формулу (4.4) координаты точки ,
получаем

2. Плоскость

Плоскость в прямоугольной системе координат может быть задана уравнениями:
— общее уравнение плоскости. (4.5)

Если в уравнении (4.5) отсутствует свободный член то плоскость проходит через начало координат.

Если в уравнении (4.5) отсутствует одна из переменных, то плоскость параллельна той оси, название которой не входит в это уравнение.

уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно нормальному вектору — уравнение плоскости в отрезках,
где — величина отрезков, отсекаемых плоскостью па координатных осях;

уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

Величина угла между двумя плоскостями и вычисляется по формуле

Условие перпендикулярности данных плоскостей запишется в виде

Условие параллельности рассматриваемых плоскостей имеет вид

Расстояние от точки до плоскости , заданной уравнением (4.5), вычисляется по формуле

Задача №4.8.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

Решение:

Воспользуемся формулой (4.6):

Раскрыв определитель, получаем искомое уравнение плоскости:

Линии второго порядка

К оглавлению…

Линией второго порядка называется множество точек плоскости, координаты которых в прямоугольной системе координат удовлетворяют уравнению второй степени

Уравнение (4.7) называется общим уравнением линии второго порядка ( не равны нулю одновременно).
При помощи преобразования прямоугольной системы координат (параллельного переноса и поворота) всегда можно найти такую новую прямоугольную систему координат, в которой уравнение (4.7) имеет один из следующих трех видов (каноническое уравнение):

где — положительные числа. Уравнение (4.7) может определять так называемую вырожденную кривую (пустое множество, точку, прямую, пару прямых).

При этом линия, приводимая к виду (4.8), (4.9), (4.10), называется соответственно эллипсом, гиперболой или параболой.

Эллипс с каноническим уравнением

имеет форму, изображенную на рис. 4.4.

Точки и где называются фокусами эллипса.
Числа и называются полуосями эллипса.

Гипербола с каноническим уравнением
имеет форму, изображенную на рис. 4.5.

Гипербола имеет две оси симметрии (координатные оси), с одной из которых (осью абсцисс) она пересекается в двух точках называемых вершинами гиперболы. Числа и — полуоси гиперболы: — действительная полуось, — мнимая. Точки и где , называются фокусами гиперболы.
Парабола с каноническим уравнением имеет форму, изображенную на рис. 4.6.

Число называется параметром параболы, точка — ее вершиной, а ось — осью параболы, вектор — фокальный радиус-вектор точки Прямая называется директрисой параболы.

Задача №4.9.

Упростить уравнение пользуясь переносом начала координат. Построить линию, определяемую этим уравнением.

Решение:

Выделим полные квадраты по переменным и соответственно.

Обозначая получим каноническое уравнение эллипса Начало новой системы координат — точка оси параллельны осям и соответственно. Большая полуось эллипса , малая полуось Изобразим кривую на рис. 4.7.

Поверхности второго порядка

К оглавлению…

Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства, координаты которых в прямоугольной системе координат удовлетворяют уравнению второй степени:

(4.11)

Уравнение (4.11) называется общим уравнением поверхности второго порядка (коэффициенты не равны нулю одновременно). Если поверхность невырожденная, то при помощи преобразования прямоугольных координат (параллельного переноса и поворота) всегда можно найти такую новую систему координат, в которой уравнение (4.11) имеет один из следующих видов (каноническое уравнение):

— эллипсоид; (4.12)

— однополостный гиперболоид; (4.13)

— двухполостный гиперболоид; (4.14)

— конус: (4.15)
— эллиптический параболоид; (4.16)
— гиперболический параболоид: (4.17)
— эллиптический цилиндр; (4.18)
— гиперболический цилиндр; (4.19)
— параболический цилиндр. (4.20)