Линейная алгебра задачи с решением

Прежде чем изучать готовые решения задач, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила очень краткую теорию по предмету «линейная алгебра», после которого, чуть ниже размещены подробные решения задач.

Эта страница подготовлена для школьников и студентов любых специальностей и охватывает полный курс предмета «линейная алгебра».

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Линейная алгебра

Линейная алгебра — это раздел математики, касающийся линейных уравнений. Линейная алгебра занимает центральное место почти во всех областях математики. Например, линейная алгебра является фундаментальной в современных представлениях геометрии, в том числе для определения основных объектов, таких как линии, плоскости и вращения.

Кроме того, функциональный анализ, раздел математического анализа, можно рассматривать как в основном применение линейной алгебры к пространствам функций.

Линейная алгебра также используется в большинстве наук и областей техники , поскольку она позволяет моделировать многие природные явления и эффективно проводить вычисления с такими моделями. Для нелинейных систем, которые не могут быть смоделированы с линейной алгеброй, он часто используются для борьбы с аппроксимациями первого порядка, используя тот факт, что дифференциал из многомерной функции в точке является линейным отображением , что лучше аппроксимирует функцию вблизи этой точки.

Матрицы

Прямоугольная таблица из чисел вида

состоящая из строк и столбцов, называется матрицей размеров

Матрица называется обратной к квадратной матрице , если где — единичная матрица. Для невырожденной матрицы — определитель матрицы , существует единственная обратная матрица

где — алгебраические дополнения элементов матрицы . Если матрица — вырожденная то обратной к пей не существует.

Задача №4.1.

Найти матрицу , обратную к матрице

Так как то — невырожденная и существует. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы :

Следовательно,

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет линейная алгебра

Системы линейных уравнений. Матричный метод. Правило Крамера. Метод Гаусса

Пусть задана система линейных уравнений с неизвестными вида.

или, в матричной форме

где

Рассмотрим некоторые методы решения системы (4.1).
Формулы Крамера. Если система (4.1) невырождена, то она имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:

где — определитель, получаемый из определителя заменой его столбца на столбец В свободных членов.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Матричный метод

Решение невырожденной системы (4.1) можно найти по формуле

Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).

С помощью элементарных преобразований над строками система линейных уравнений с неизвестными может быть приведена к виду

где

Система (4.2) эквивалентна исходной системе. Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то система (4.2), а следовательно, и исходная система несовместны. Если же то система совместна и из уравнений (4.2) выражают последовательно неизвестные через

Задача №4.2.

Методом Гаусса решить систему

Решение:

Расширенная матрица системы имеет вид

Производя элементарные преобразования над строками расширенной матрицы, получаем

где цифрами [1] , [2] , [3] обозначены следующие операции:
[1] — первую и вторую строки поменяли местами; [2] — ко второй строке прибавили первую, умноженную на (-2): к третьей прибавили первую, умноженную на (-3); [3] — к третьей строке прибавили вторую, умноженную на (-1).

Этой матрице соответствует система

Отсюда последовательно находим

Ответ:

Задача №4.3.

Решить систему уравнений

используя формулы Крамера.

Решение:

Так как определитель данной системы

то матрица невырождена и система имеет единственное решение. Находим определители

По формулам Крамера находим решение системы:

Возможно эта страница вам будет полезна:

Помощь с линейной алгеброй

Скалярное произведение векторов в R3

Скалярным произведением векторов и называется число, обозначаемое или и равное где — угол между и .
Свойства скалярного произведения:

Свойство 4 выражает условие ортогональности векторов.
Если векторы и представлены своими координатами в ортонормированном базисе , то скалярное произведение равно
Из этой формулы и определения скалярного произведения следует:

Учитывая, что где — проекция вектора па вектор , а скалярное произведение векторов
можно записать в виде

Задача №4.4.

Даны векторы

Найти

Решение:

Поскольку

а векторы заданы координатами в ортонормированном базисе, то

Поэтому

Механический смысл скалярного произведения: работал , производимая силой , точка приложения которой перемещается из точки в точку , вычисляется по формуле

Возможно эта страница вам будет полезна:

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Векторное произведение векторов

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если при наблюдении из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки; в противном случае тройка называется левой (рис. 4.1).

Рис. 4.1: а — тройка правая; б — тройка левая

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор с, удовлетворяющий условиям:
1) — угол между векторами и ;
2)
3) Упорядоченная тройка — правая.

Обозначение:
Свойства векторного произведения

4) — условие коллинеарности векторов.

Если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе то

Площадь параллелограмма, построенного на векторах , можно определить по формуле

Задача №4.5.

Найти площадь и длину высоты треугольника с вершинами в точках

Решение:

Поскольку площадь треугольника равна

1. Находим координаты векторов и длину вектора

2. Находим :

3.

Механический смысл векторного произведения. Пусть точка твердого тела закреплена, а в его точке приложена сила .

Тогда возникает вращательный момент (момент силы). По определению момент силы относительно точки находится по формуле

Возможно эта страница вам будет полезна:

Заказать работу по линейной алгебре

Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением трех векторов называется число, получаемое следующим образом: векторное произведение умножается скалярно на вектор . Смешанное произведение векторов обозначается Таким образом, Если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе, то

Объем параллелепипеда , построенного на векторах , можно вычислить по формуле Для того чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы

Задача №4.6.

Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами

Решение:

Рассмотрим три вектора

(рис. 4.3).
Можно показать, что объем пирамиды равен шестой части объема параллелепипеда, построенного на векторах

Тогда а так

Возможно эта страница вам будет полезна:

Готовые контрольные работы по линейной алгебре

Прямая на плоскости

1. Прямая на плоскости

В декартовой прямоугольной системе координат прямая на плоскости может быть задана уравнениями:

• общее уравнение прямой
  (4.3)

• уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно нормальному вектору
  
• уравнение прямой, проходящей через точку параллельно направляющему вектору (каноническое уравнение
  прямой):

• параметрические уравнения прямой

• уравнение прямой в отрезках

Здесь и — величины отрезков, отсекаемых на осях координат и (т.е. длины, взятые с соответствующими знаками);

• уравнение прямой, проходящей через две данные точки и

• уравнение прямой с угловым коэффициентом , проходящей через точку

Расстояние от точки до прямой , заданной уравнением (4.3), определяется по формуле

Две прямые, заданные уравнениями и параллельны, если

и перпендикулярны, если

Задача №4.7.

Составить уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору, проходящему через точки и Найти расстояние от точки до прямой, проходящей через точки и

Решение:

Уравнение прямой запишем в виде:

где — координаты точки , а и — координаты нормального вектора.
Так как то уравнение имеет вид или
Для нахождения расстояния от точки до прямой запишем уравнение этой прямой в виде

или
Подставляя в формулу (4.4) координаты точки ,
получаем

2. Плоскость

Плоскость в прямоугольной системе координат может быть задана уравнениями:
— общее уравнение плоскости. (4.5)

Если в уравнении (4.5) отсутствует свободный член то плоскость проходит через начало координат.

Если в уравнении (4.5) отсутствует одна из переменных, то плоскость параллельна той оси, название которой не входит в это уравнение.

уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно нормальному вектору — уравнение плоскости в отрезках,
где — величина отрезков, отсекаемых плоскостью па координатных осях;

• уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

Величина угла между двумя плоскостями и вычисляется по формуле

Условие перпендикулярности данных плоскостей запишется в виде

Условие параллельности рассматриваемых плоскостей имеет вид

Расстояние от точки до плоскости , заданной уравнением (4.5), вычисляется по формуле

Задача №4.8.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

Решение:

Воспользуемся формулой (4.6):

Раскрыв определитель, получаем искомое уравнение плоскости:

Линии второго порядка

Линией второго порядка называется множество точек плоскости, координаты которых в прямоугольной системе координат удовлетворяют уравнению второй степени

Уравнение (4.7) называется общим уравнением линии второго порядка ( не равны нулю одновременно).
При помощи преобразования прямоугольной системы координат (параллельного переноса и поворота) всегда можно найти такую новую прямоугольную систему координат, в которой уравнение (4.7) имеет один из следующих трех видов (каноническое уравнение):

где — положительные числа. Уравнение (4.7) может определять так называемую вырожденную кривую (пустое множество, точку, прямую, пару прямых).

При этом линия, приводимая к виду (4.8), (4.9), (4.10), называется соответственно эллипсом, гиперболой или параболой.

Эллипс с каноническим уравнением

имеет форму, изображенную на рис. 4.4.

Точки и где называются фокусами эллипса.
Числа и называются полуосями эллипса.

Гипербола с каноническим уравнением
имеет форму, изображенную на рис. 4.5.

Гипербола имеет две оси симметрии (координатные оси), с одной из которых (осью абсцисс) она пересекается в двух точках называемых вершинами гиперболы. Числа и — полуоси гиперболы: — действительная полуось, — мнимая. Точки и где , называются фокусами гиперболы.
Парабола с каноническим уравнением имеет форму, изображенную на рис. 4.6.

Число называется параметром параболы, точка — ее вершиной, а ось — осью параболы, вектор — фокальный радиус-вектор точки Прямая называется директрисой параболы.

Задача №4.9.

Упростить уравнение пользуясь переносом начала координат. Построить линию, определяемую этим уравнением.

Решение:

Выделим полные квадраты по переменным и соответственно.

Обозначая получим каноническое уравнение эллипса Начало новой системы координат — точка оси параллельны осям и соответственно. Большая полуось эллипса , малая полуось Изобразим кривую на рис. 4.7.

Поверхности второго порядка

Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства, координаты которых в прямоугольной системе координат удовлетворяют уравнению второй степени:

Уравнение (4.11) называется общим уравнением поверхности второго порядка (коэффициенты не равны нулю одновременно). Если поверхность невырожденная, то при помощи преобразования прямоугольных координат (параллельного переноса и поворота) всегда можно найти такую новую систему координат, в которой уравнение (4.11) имеет один из следующих видов (каноническое уравнение):

— эллипсоид; (4.12)

— однополостный гиперболоид; (4.13)

— двухполостный гиперболоид; (4.14)

— конус: (4.15)
— эллиптический параболоид; (4.16)
— гиперболический параболоид: (4.17)
— эллиптический цилиндр; (4.18)
— гиперболический цилиндр; (4.19)
— параболический цилиндр. (4.20)

В уравнениях (4.12)-(4.20) положительны.

Задача №4.10.

Построить тело, ограниченное поверхностями

Решение:

Тело ограничено снизу поверхностью параболоида: , а сверху — поверхностью сферы
Тело изображено на рис. 4.8.

Задача №4.11.

Построить тело, ограниченное поверхностями.

Решение:

Поверхность — эллиптический цилиндр.
Он пересечен плоскостями (координатные плоскости и ). По оси тело ограничено плоскостями (рис. 4.9).

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.