Оглавление:
Прежде чем изучать готовые решения задач, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила очень краткую теорию по предмету «линейная алгебра», после которого, чуть ниже размещены подробные решения задач.
Эта страница подготовлена для школьников и студентов любых специальностей и охватывает полный курс предмета «линейная алгебра».
Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу! |
Линейная алгебра
Линейная алгебра — это раздел математики, касающийся линейных уравнений. Линейная алгебра занимает центральное место почти во всех областях математики. Например, линейная алгебра является фундаментальной в современных представлениях геометрии, в том числе для определения основных объектов, таких как линии, плоскости и вращения.
Кроме того, функциональный анализ, раздел математического анализа, можно рассматривать как в основном применение линейной алгебры к пространствам функций.
Линейная алгебра также используется в большинстве наук и областей техники , поскольку она позволяет моделировать многие природные явления и эффективно проводить вычисления с такими моделями. Для нелинейных систем, которые не могут быть смоделированы с линейной алгеброй, он часто используются для борьбы с аппроксимациями первого порядка, используя тот факт, что дифференциал из многомерной функции в точке является линейным отображением , что лучше аппроксимирует функцию вблизи этой точки.
Матрицы
Прямоугольная таблица из чисел вида
состоящая из строк и
столбцов, называется матрицей размеров
Матрица называется обратной к квадратной матрице
, если
где
— единичная матрица. Для невырожденной матрицы
— определитель матрицы
, существует единственная обратная матрица
где — алгебраические дополнения элементов
матрицы
. Если матрица
— вырожденная
то обратной к пей не существует.
Задача №4.1.
Найти матрицу , обратную к матрице
Так как то
— невырожденная и
существует. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы
:
Следовательно,
Возможно эта страница вам будет полезна:
Предмет линейная алгебра |
Системы линейных уравнений. Матричный метод. Правило Крамера. Метод Гаусса
Пусть задана система линейных уравнений с
неизвестными вида.
или, в матричной форме
где
Рассмотрим некоторые методы решения системы (4.1).
Формулы Крамера. Если система (4.1) невырождена, то она имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:
где — определитель, получаемый из определителя
заменой его
столбца на столбец В свободных членов.
Возможно эта страница вам будет полезна:
Примеры решения задач по линейной алгебре |
Матричный метод
Решение невырожденной системы (4.1) можно найти по формуле
Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).
С помощью элементарных преобразований над строками система линейных уравнений с
неизвестными может быть приведена к виду
где
Система (4.2) эквивалентна исходной системе. Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то система (4.2), а следовательно, и исходная система несовместны. Если же
то система совместна и из уравнений (4.2) выражают последовательно неизвестные
через
Задача №4.2.
Методом Гаусса решить систему
Решение:
Расширенная матрица системы имеет вид
Производя элементарные преобразования над строками расширенной матрицы, получаем
где цифрами [1] , [2] , [3] обозначены следующие операции:
[1] — первую и вторую строки поменяли местами; [2] — ко второй строке прибавили первую, умноженную на (-2): к третьей прибавили первую, умноженную на (-3); [3] — к третьей строке прибавили вторую, умноженную на (-1).
Этой матрице соответствует система
Отсюда последовательно находим
Ответ:
Задача №4.3.
Решить систему уравнений
используя формулы Крамера.
Решение:
Так как определитель данной системы
то матрица невырождена и система имеет единственное решение. Находим определители
По формулам Крамера находим решение системы:
Возможно эта страница вам будет полезна:
Помощь с линейной алгеброй |
Скалярное произведение векторов в R3
Скалярным произведением векторов и
называется число, обозначаемое
или
и равное
где
— угол между
и
.
Свойства скалярного произведения:
Свойство 4 выражает условие ортогональности векторов.
Если векторы и
представлены своими координатами в ортонормированном базисе
, то скалярное произведение равно
Из этой формулы и определения скалярного произведения следует:
Учитывая, что где
— проекция вектора
па вектор
, а
скалярное произведение векторов
можно записать в виде
Задача №4.4.
Даны векторы
Найти
Решение:
Поскольку
а векторы заданы координатами в ортонормированном базисе, то
Поэтому
Механический смысл скалярного произведения: работал , производимая силой
, точка приложения которой перемещается из точки
в точку
, вычисляется по формуле
Возможно эта страница вам будет полезна:
Заказать контрольную работу по линейной алгебре |
Векторное произведение векторов
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если при наблюдении из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки; в противном случае тройка называется левой (рис. 4.1).
Рис. 4.1: а — тройка правая; б — тройка
левая
Векторным произведением вектора на вектор
называется вектор с, удовлетворяющий условиям:
1) — угол между векторами
и
;
2)
3) Упорядоченная тройка — правая.
Обозначение:
Свойства векторного произведения
4) — условие коллинеарности векторов.
Если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе
то
Площадь параллелограмма, построенного на векторах , можно определить по формуле
Задача №4.5.
Найти площадь и длину высоты треугольника с вершинами в точках
Решение:
Поскольку площадь треугольника
равна
- Находим координаты векторов
и длину
вектора
2. Находим :
3.
Механический смысл векторного произведения. Пусть точка твердого тела закреплена, а в его точке
приложена сила
.
Тогда возникает вращательный момент (момент силы). По определению момент силы относительно точки
находится по формуле
Возможно эта страница вам будет полезна:
Заказать работу по линейной алгебре |
Смешанное произведение векторов
Смешанным произведением трех векторов называется число, получаемое следующим образом: векторное произведение
умножается скалярно на вектор
. Смешанное произведение векторов
обозначается
Таким образом,
Если векторы
заданы своими координатами в ортонормированном базисе, то
Объем параллелепипеда , построенного на векторах
, можно вычислить по формуле
Для того чтобы три вектора
были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы
Задача №4.6.
Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами
Решение:
Рассмотрим три вектора
(рис. 4.3).
Можно показать, что объем пирамиды равен шестой части объема параллелепипеда, построенного на векторах
Тогда а так
Возможно эта страница вам будет полезна:
Готовые контрольные работы по линейной алгебре |
Прямая на плоскости
1. Прямая на плоскости
В декартовой прямоугольной системе координат прямая на плоскости может быть задана уравнениями:
- общее уравнение прямой
(4.3)
- уравнение прямой, проходящей через точку
перпендикулярно нормальному вектору
- уравнение прямой, проходящей через точку
параллельно направляющему вектору
(каноническое уравнение
прямой):
- параметрические уравнения прямой
- уравнение прямой в отрезках
Здесь и
— величины отрезков, отсекаемых на осях координат
и
(т.е. длины, взятые с соответствующими знаками);
- уравнение прямой, проходящей через две данные точки
и
- уравнение прямой с угловым коэффициентом
, проходящей через точку
Расстояние от точки
до прямой
, заданной уравнением (4.3), определяется по формуле
Две прямые, заданные уравнениями и
параллельны, если
и перпендикулярны, если
Задача №4.7.
Составить уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору, проходящему через точки
и
Найти расстояние от точки
до прямой, проходящей через точки
и
Решение:
Уравнение прямой запишем в виде:
где — координаты точки
, а
и
— координаты нормального вектора.
Так как то уравнение имеет вид
или
Для нахождения расстояния от точки до прямой
запишем уравнение этой прямой в виде
или
Подставляя в формулу (4.4) координаты точки
,
получаем
2. Плоскость
Плоскость в прямоугольной системе координат может быть задана уравнениями:
— общее уравнение плоскости. (4.5)
Если в уравнении (4.5) отсутствует свободный член то плоскость проходит через начало координат.
Если в уравнении (4.5) отсутствует одна из переменных, то плоскость параллельна той оси, название которой не входит в это уравнение.
уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно нормальному вектору
— уравнение плоскости в отрезках,
где — величина отрезков, отсекаемых плоскостью па координатных осях;
- уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
Величина угла между двумя плоскостями
и
вычисляется по формуле
Условие перпендикулярности данных плоскостей запишется в виде
Условие параллельности рассматриваемых плоскостей имеет вид
Расстояние от точки
до плоскости
, заданной уравнением (4.5), вычисляется по формуле
Задача №4.8.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
Решение:
Воспользуемся формулой (4.6):
Раскрыв определитель, получаем искомое уравнение плоскости:
Линии второго порядка
Линией второго порядка называется множество точек плоскости, координаты которых в прямоугольной системе координат удовлетворяют уравнению второй степени
Уравнение (4.7) называется общим уравнением линии второго порядка ( не равны нулю одновременно).
При помощи преобразования прямоугольной системы координат (параллельного переноса и поворота) всегда можно найти такую новую прямоугольную систему координат, в которой уравнение (4.7) имеет один из следующих трех видов (каноническое уравнение):
где — положительные числа. Уравнение (4.7) может определять так называемую вырожденную кривую (пустое множество, точку, прямую, пару прямых).
При этом линия, приводимая к виду (4.8), (4.9), (4.10), называется соответственно эллипсом, гиперболой или параболой.
Эллипс с каноническим уравнением
имеет форму, изображенную на рис. 4.4.
Точки и
где
называются фокусами эллипса.
Числа и
называются полуосями эллипса.
Гипербола с каноническим уравнением
имеет форму, изображенную на рис. 4.5.
Гипербола имеет две оси симметрии (координатные оси), с одной из которых (осью абсцисс) она пересекается в двух точках называемых вершинами гиперболы. Числа
и
— полуоси гиперболы:
— действительная полуось,
— мнимая. Точки
и
где
, называются фокусами гиперболы.
Парабола с каноническим уравнением имеет форму, изображенную на рис. 4.6.
Число называется параметром параболы, точка
— ее вершиной, а ось
— осью параболы, вектор
— фокальный радиус-вектор точки
Прямая
называется директрисой параболы.
Задача №4.9.
Упростить уравнение пользуясь переносом начала координат. Построить линию, определяемую этим уравнением.
Решение:
Выделим полные квадраты по переменным и
соответственно.
Обозначая получим каноническое уравнение эллипса
Начало новой системы координат — точка
оси
параллельны осям
и
соответственно. Большая полуось эллипса
, малая полуось
Изобразим кривую на рис. 4.7.
Поверхности второго порядка
Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства, координаты которых в прямоугольной системе координат удовлетворяют уравнению второй степени:
Уравнение (4.11) называется общим уравнением поверхности второго порядка (коэффициенты не равны нулю одновременно). Если поверхность невырожденная, то при помощи преобразования прямоугольных координат (параллельного переноса и поворота) всегда можно найти такую новую систему координат, в которой уравнение (4.11) имеет один из следующих видов (каноническое уравнение):
— эллипсоид; (4.12)
— однополостный гиперболоид; (4.13)
— двухполостный гиперболоид; (4.14)
— конус: (4.15)
— эллиптический параболоид; (4.16)
— гиперболический параболоид: (4.17)
— эллиптический цилиндр; (4.18)
— гиперболический цилиндр; (4.19)
— параболический цилиндр. (4.20)
В уравнениях (4.12)-(4.20) положительны.
Задача №4.10.
Построить тело, ограниченное поверхностями
Решение:
Тело ограничено снизу поверхностью параболоида: , а сверху — поверхностью сферы
Тело изображено на рис. 4.8.
Задача №4.11.
Построить тело, ограниченное поверхностями.
Решение:
Поверхность — эллиптический цилиндр.
Он пересечен плоскостями (координатные плоскости
и
). По оси
тело ограничено плоскостями
(рис. 4.9).
Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.