Линейная алгебра задачи с решением

Линейная алгебра задачи с решением

Прежде чем изучать готовые решения задач, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила очень краткую теорию по предмету «линейная алгебра», после которого, чуть ниже размещены подробные решения задач.

Эта страница подготовлена для школьников и студентов любых специальностей и охватывает полный курс предмета «линейная алгебра».

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Линейная алгебра

Линейная алгебра — это раздел математики, касающийся линейных уравнений. Линейная алгебра занимает центральное место почти во всех областях математики. Например, линейная алгебра является фундаментальной в современных представлениях геометрии, в том числе для определения основных объектов, таких как линии, плоскости и вращения.

Кроме того, функциональный анализ, раздел математического анализа, можно рассматривать как в основном применение линейной алгебры к пространствам функций.

Линейная алгебра также используется в большинстве наук и областей техники , поскольку она позволяет моделировать многие природные явления и эффективно проводить вычисления с такими моделями. Для нелинейных систем, которые не могут быть смоделированы с линейной алгеброй, он часто используются для борьбы с аппроксимациями первого порядка, используя тот факт, что дифференциал из многомерной функции в точке является линейным отображением , что лучше аппроксимирует функцию вблизи этой точки.

Матрицы

Прямоугольная таблица из чисел вида

Решение задач по линейной алгебре

состоящая из Решение задач по линейной алгебре строк и Решение задач по линейной алгебре столбцов, называется матрицей размеров
Решение задач по линейной алгебре
Матрица Решение задач по линейной алгебре называется обратной к квадратной матрице Решение задач по линейной алгебре, если Решение задач по линейной алгебре где Решение задач по линейной алгебре — единичная матрица. Для невырожденной матрицы Решение задач по линейной алгебре — определитель матрицы Решение задач по линейной алгебре, существует единственная обратная матрица

Решение задач по линейной алгебре

где Решение задач по линейной алгебре — алгебраические дополнения элементов Решение задач по линейной алгебре матрицы Решение задач по линейной алгебре. Если матрица Решение задач по линейной алгебре — вырожденная Решение задач по линейной алгебре то обратной к пей не существует.

Задача №4.1.

Найти матрицу Решение задач по линейной алгебре, обратную к матрице

Решение задач по линейной алгебре

Так как Решение задач по линейной алгебре то Решение задач по линейной алгебре — невырожденная и Решение задач по линейной алгебре существует. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы Решение задач по линейной алгебре:

Решение задач по линейной алгебре

Следовательно,

Решение задач по линейной алгебре

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет линейная алгебра

Системы линейных уравнений. Матричный метод. Правило Крамера. Метод Гаусса

Пусть задана система Решение задач по линейной алгебре линейных уравнений с Решение задач по линейной алгебре неизвестными вида.

Решение задач по линейной алгебре
(4.1)

или, в матричной форме
Решение задач по линейной алгебре
где

Решение задач по линейной алгебре

Рассмотрим некоторые методы решения системы (4.1).
Формулы Крамера. Если система (4.1) невырождена, то она имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:

Решение задач по линейной алгебре

где Решение задач по линейной алгебре — определитель, получаемый из определителя Решение задач по линейной алгебре заменой его Решение задач по линейной алгебре столбца на столбец В свободных членов.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Матричный метод

Решение невырожденной системы (4.1) можно найти по формуле

Решение задач по линейной алгебре
Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).

С помощью элементарных преобразований над строками система Решение задач по линейной алгебре линейных уравнений с Решение задач по линейной алгебре неизвестными может быть приведена к виду

Решение задач по линейной алгебре
(4.2)

где Решение задач по линейной алгебре

Система (4.2) эквивалентна исходной системе. Если хотя бы одно из чисел Решение задач по линейной алгебре отлично от нуля, то система (4.2), а следовательно, и исходная система несовместны. Если же Решение задач по линейной алгебреРешение задач по линейной алгебре то система совместна и из уравнений (4.2) выражают последовательно неизвестные Решение задач по линейной алгебре через Решение задач по линейной алгебре

Задача №4.2.

Методом Гаусса решить систему

Решение задач по линейной алгебре

Решение:

Расширенная матрица системы имеет вид

Решение задач по линейной алгебре

Производя элементарные преобразования над строками расширенной матрицы, получаем

Решение задач по линейной алгебре

где цифрами [1] , [2] , [3] обозначены следующие операции:
[1] — первую и вторую строки поменяли местами; [2] — ко второй строке прибавили первую, умноженную на (-2): к третьей прибавили первую, умноженную на (-3); [3] — к третьей строке прибавили вторую, умноженную на (-1).

Этой матрице соответствует система

Решение задач по линейной алгебре

Отсюда последовательно находим

Решение задач по линейной алгебре

Ответ: Решение задач по линейной алгебре

Задача №4.3.

Решить систему уравнений

Решение задач по линейной алгебре

используя формулы Крамера.

Решение:

Так как определитель данной системы

Решение задач по линейной алгебре

то матрица Решение задач по линейной алгебре невырождена и система имеет единственное решение. Находим определители Решение задач по линейной алгебре

Решение задач по линейной алгебре

По формулам Крамера находим решение системы:

Решение задач по линейной алгебре

Возможно эта страница вам будет полезна:

Помощь с линейной алгеброй

Скалярное произведение векторов в R3

Скалярным произведением векторов Решение задач по линейной алгебре и Решение задач по линейной алгебре называется число, обозначаемое Решение задач по линейной алгебре или Решение задач по линейной алгебре и равное Решение задач по линейной алгебре где Решение задач по линейной алгебре — угол между Решение задач по линейной алгебре и Решение задач по линейной алгебре .
Свойства скалярного произведения:

Решение задач по линейной алгебре

Свойство 4 выражает условие ортогональности векторов.
Если векторы Решение задач по линейной алгебре и Решение задач по линейной алгебре представлены своими координатами в ортонормированном базисе Решение задач по линейной алгебре, то скалярное произведение равно Решение задач по линейной алгебре
Из этой формулы и определения скалярного произведения следует:

Решение задач по линейной алгебре

Учитывая, что Решение задач по линейной алгебре где Решение задач по линейной алгебре — проекция вектора Решение задач по линейной алгебре па вектор Решение задач по линейной алгебре, а Решение задач по линейной алгебре скалярное произведение векторов
Решение задач по линейной алгебре можно записать в виде

Решение задач по линейной алгебре

Задача №4.4.

Даны векторы Решение задач по линейной алгебре

Найти Решение задач по линейной алгебре

Решение:


Поскольку Решение задач по линейной алгебре


а векторы Решение задач по линейной алгебре заданы координатами в ортонормированном базисе, то

Решение задач по линейной алгебре


Поэтому

Решение задач по линейной алгебре

Механический смысл скалярного произведения: работал Решение задач по линейной алгебре, производимая силой Решение задач по линейной алгебре, точка приложения которой перемещается из точки Решение задач по линейной алгебре в точку Решение задач по линейной алгебре, вычисляется по формуле Решение задач по линейной алгебре

Возможно эта страница вам будет полезна:

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Векторное произведение векторов

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов Решение задач по линейной алгебре называется правой, если при наблюдении из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки; в противном случае тройка называется левой (рис. 4.1).

Решение задач по линейной алгебре

Рис. 4.1: а — тройка Решение задач по линейной алгебре правая; б — тройка Решение задач по линейной алгебре левая

Векторным произведением вектора Решение задач по линейной алгебре на вектор Решение задач по линейной алгебре называется вектор с, удовлетворяющий условиям:
1) Решение задач по линейной алгебре — угол между векторами Решение задач по линейной алгебре и Решение задач по линейной алгебре;
2) Решение задач по линейной алгебре
3) Упорядоченная тройка Решение задач по линейной алгебре — правая.

Обозначение: Решение задач по линейной алгебре
Свойства векторного произведения

Решение задач по линейной алгебре

4) Решение задач по линейной алгебре — условие коллинеарности векторов.

Если векторы Решение задач по линейной алгебре заданы своими координатами в ортонормированном базисе Решение задач по линейной алгебре то

Решение задач по линейной алгебре

Площадь параллелограмма, построенного на векторах Решение задач по линейной алгебре, можно определить по формуле

Решение задач по линейной алгебре

Задача №4.5.

Найти площадь и длину высоты Решение задач по линейной алгебре треугольника с вершинами в точках Решение задач по линейной алгебре

Решение:

Поскольку площадь Решение задач по линейной алгебре треугольника Решение задач по линейной алгебре равна

Решение задач по линейной алгебре
Решение задач по линейной алгебре
Рис. 4.2
  1. Находим координаты векторов Решение задач по линейной алгебре и длину Решение задач по линейной алгебре вектора Решение задач по линейной алгебре
Решение задач по линейной алгебре

2. Находим Решение задач по линейной алгебре:

Решение задач по линейной алгебре

3. Решение задач по линейной алгебре

Механический смысл векторного произведения. Пусть точка Решение задач по линейной алгебре твердого тела закреплена, а в его точке Решение задач по линейной алгебре приложена сила Решение задач по линейной алгебре.

Тогда возникает вращательный момент Линейная алгебра задачи с решением (момент силы). По определению момент силы относительно точки Линейная алгебра задачи с решением находится по формуле Линейная алгебра задачи с решением

Возможно эта страница вам будет полезна:

Заказать работу по линейной алгебре

Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением трех векторов Линейная алгебра задачи с решением называется число, получаемое следующим образом: векторное произведение Линейная алгебра задачи с решением умножается скалярно на вектор Линейная алгебра задачи с решением. Смешанное произведение векторов Линейная алгебра задачи с решением обозначается Линейная алгебра задачи с решением Таким образом, Линейная алгебра задачи с решением Если векторы Линейная алгебра задачи с решением заданы своими координатами в ортонормированном базисе, то

Линейная алгебра задачи с решением

Объем параллелепипеда Линейная алгебра задачи с решением, построенного на векторах Линейная алгебра задачи с решением, можно вычислить по формуле Линейная алгебра задачи с решением Для того чтобы три вектора Линейная алгебра задачи с решением были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы Линейная алгебра задачи с решением

Задача №4.6.

Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами Линейная алгебра задачи с решением

Решение:

Рассмотрим три вектора

Линейная алгебра задачи с решением

(рис. 4.3).
Можно показать, что объем пирамиды Линейная алгебра задачи с решением равен шестой части объема параллелепипеда, построенного на векторах Линейная алгебра задачи с решением

Линейная алгебра задачи с решением
Рис. 4.3

Тогда Линейная алгебра задачи с решением а так

Линейная алгебра задачи с решением

Возможно эта страница вам будет полезна:

Готовые контрольные работы по линейной алгебре

Прямая на плоскости

1. Прямая на плоскости

В декартовой прямоугольной системе координат Линейная алгебра задачи с решением прямая на плоскости может быть задана уравнениями:

  • общее уравнение прямой
    Линейная алгебра задачи с решением (4.3)
  • уравнение прямой, проходящей через точку Линейная алгебра задачи с решением перпендикулярно нормальному вектору Линейная алгебра задачи с решением
    Линейная алгебра задачи с решением
  • уравнение прямой, проходящей через точку Линейная алгебра задачи с решением параллельно направляющему вектору Линейная алгебра задачи с решением (каноническое уравнение
    прямой):
Линейная алгебра задачи с решением
  • параметрические уравнения прямой
Линейная алгебра задачи с решением
  • уравнение прямой в отрезках
Линейная алгебра задачи с решением

Здесь Линейная алгебра задачи с решением и Линейная алгебра задачи с решением — величины отрезков, отсекаемых на осях координат Линейная алгебра задачи с решением и Линейная алгебра задачи с решением (т.е. длины, взятые с соответствующими знаками);

  • уравнение прямой, проходящей через две данные точки Линейная алгебра задачи с решением и Линейная алгебра задачи с решением
Линейная алгебра задачи с решением
  • уравнение прямой с угловым коэффициентом Линейная алгебра задачи с решением, проходящей через точку Линейная алгебра задачи с решением
Линейная алгебра задачи с решением

Расстояние Линейная алгебра задачи с решением от точки Линейная алгебра задачи с решением до прямой Линейная алгебра задачи с решением, заданной уравнением (4.3), определяется по формуле

Линейная алгебра задачи с решением
(4.4)

Две прямые, заданные уравнениями Линейная алгебра задачи с решением и Линейная алгебра задачи с решением параллельны, если

Линейная алгебра задачи с решением

и перпендикулярны, если Линейная алгебра задачи с решением

Задача №4.7.

Составить уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку Линейная алгебра задачи с решением перпендикулярно вектору, проходящему через точки Линейная алгебра задачи с решением и Линейная алгебра задачи с решением Найти расстояние от точки Линейная алгебра задачи с решением до прямой, проходящей через точки Линейная алгебра задачи с решением и Линейная алгебра задачи с решением

Решение:

Уравнение прямой запишем в виде:

Линейная алгебра задачи с решением

где Линейная алгебра задачи с решением — координаты точки Линейная алгебра задачи с решением, а Линейная алгебра задачи с решением и Линейная алгебра задачи с решением — координаты нормального вектора.
Так как Линейная алгебра задачи с решением то уравнение имеет вид Линейная алгебра задачи с решениемЛинейная алгебра задачи с решением или Линейная алгебра задачи с решением
Для нахождения расстояния от точки Линейная алгебра задачи с решением до прямой Линейная алгебра задачи с решением запишем уравнение этой прямой в виде

Линейная алгебра задачи с решением

или Линейная алгебра задачи с решением
Подставляя в формулу (4.4) координаты Линейная алгебра задачи с решением точки Линейная алгебра задачи с решением,
получаем

Линейная алгебра задачи с решением

2. Плоскость

Плоскость в прямоугольной системе координат может быть задана уравнениями:
Линейная алгебра задачи с решением — общее уравнение плоскости. (4.5)

Если в уравнении (4.5) отсутствует свободный член Линейная алгебра задачи с решением то плоскость проходит через начало координат.

Если в уравнении (4.5) отсутствует одна из переменных, то плоскость параллельна той оси, название которой не входит в это уравнение.

Линейная алгебра задачи с решением

уравнение плоскости, проходящей через точку Линейная алгебра задачи с решением перпендикулярно нормальному вектору Линейная алгебра задачи с решением Линейная алгебра задачи с решением — уравнение плоскости в отрезках,
где Линейная алгебра задачи с решением — величина отрезков, отсекаемых плоскостью па координатных осях;

  • уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
Линейная алгебра задачи с решением
Линейная алгебра задачи с решением
(4.6)

Величина угла Линейная алгебра задачи с решением между двумя плоскостями Линейная алгебра задачи с решением и Линейная алгебра задачи с решением вычисляется по формуле

Линейная алгебра задачи с решением

Условие перпендикулярности данных плоскостей запишется в виде

Линейная алгебра задачи с решением

Условие параллельности рассматриваемых плоскостей имеет вид

Линейная алгебра задачи с решением

Расстояние Линейная алгебра задачи с решением от точки Линейная алгебра задачи с решением до плоскости Линейная алгебра задачи с решением, заданной уравнением (4.5), вычисляется по формуле

Линейная алгебра задачи с решением

Задача №4.8.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки Линейная алгебра задачи с решением

Решение:

Воспользуемся формулой (4.6):

Линейная алгебра задачи с решением

Раскрыв определитель, получаем искомое уравнение плоскости:

Линейная алгебра задачи с решением

Линии второго порядка

Линией второго порядка называется множество точек плоскости, координаты Линейная алгебра задачи с решением которых в прямоугольной системе координат удовлетворяют уравнению второй степени

Линейная алгебра задачи с решением
(4.7)

Уравнение (4.7) называется общим уравнением линии второго порядка (Линейная алгебра задачи с решением не равны нулю одновременно).
При помощи преобразования прямоугольной системы координат (параллельного переноса и поворота) всегда можно найти такую новую прямоугольную систему координат, в которой уравнение (4.7) имеет один из следующих трех видов (каноническое уравнение):

Линейная алгебра задачи с решением
(4.8)
Линейная алгебра задачи с решением
(4.9)
Линейная алгебра задачи с решением
(4.10)

где Линейная алгебра задачи с решением — положительные числа. Уравнение (4.7) может определять так называемую вырожденную кривую (пустое множество, точку, прямую, пару прямых).

При этом линия, приводимая к виду (4.8), (4.9), (4.10), называется соответственно эллипсом, гиперболой или параболой.

Эллипс с каноническим уравнением Линейная алгебра задачи с решением

Линейная алгебра задачи с решением

имеет форму, изображенную на рис. 4.4.

Линейная алгебра задачи с решением
Рис. 4.4

Точки Линейная алгебра задачи с решением и Линейная алгебра задачи с решением где Линейная алгебра задачи с решением называются фокусами эллипса.
Числа Линейная алгебра задачи с решением и Линейная алгебра задачи с решением называются полуосями эллипса.

Гипербола с каноническим уравнением Линейная алгебра задачи с решением
имеет форму, изображенную на рис. 4.5.

Линейная алгебра задачи с решением
Рис. 4.5

Гипербола имеет две оси симметрии (координатные оси), с одной из которых (осью абсцисс) она пересекается в двух точках Линейная алгебра задачи с решениемЛинейная алгебра задачи с решением называемых вершинами гиперболы. Числа Линейная алгебра задачи с решением и Линейная алгебра задачи с решением — полуоси гиперболы: Линейная алгебра задачи с решением — действительная полуось, Линейная алгебра задачи с решением — мнимая. Точки Линейная алгебра задачи с решением и Линейная алгебра задачи с решением где Линейная алгебра задачи с решением, называются фокусами гиперболы.
Парабола с каноническим уравнением Линейная алгебра задачи с решением имеет форму, изображенную на рис. 4.6.

Линейная алгебра задачи с решением
Рис. 4.6

Число Линейная алгебра задачи с решениемназывается параметром параболы, точка Линейная алгебра задачи с решением — ее вершиной, а ось Линейная алгебра задачи с решением — осью параболы, вектор Линейная алгебра задачи с решением — фокальный радиус-вектор точки Линейная алгебра задачи с решением Прямая Линейная алгебра задачи с решением называется директрисой параболы.

Задача №4.9.

Упростить уравнение Линейная алгебра задачи с решением пользуясь переносом начала координат. Построить линию, определяемую этим уравнением.

Решение:

Выделим полные квадраты по переменным Линейная алгебра задачи с решением и Линейная алгебра задачи с решением соответственно.

Линейная алгебра задачи с решением

Обозначая Линейная алгебра задачи с решением получим каноническое уравнение эллипса Линейная алгебра задачи с решением Начало новой системы координат — точка Линейная алгебра задачи с решением оси Линейная алгебра задачи с решением параллельны осям Линейная алгебра задачи с решением и Линейная алгебра задачи с решением соответственно. Большая полуось эллипса Линейная алгебра задачи с решением, малая полуось Линейная алгебра задачи с решением Изобразим кривую на рис. 4.7.

Линейная алгебра задачи с решением
Рис. 4.7

Поверхности второго порядка

Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства, координаты Линейная алгебра задачи с решением которых в прямоугольной системе координат удовлетворяют уравнению второй степени:

Линейная алгебра задачи с решением
(4.11)

Уравнение (4.11) называется общим уравнением поверхности второго порядка (коэффициенты Линейная алгебра задачи с решением не равны нулю одновременно). Если поверхность невырожденная, то при помощи преобразования прямоугольных координат (параллельного переноса и поворота) всегда можно найти такую новую систему координат, в которой уравнение (4.11) имеет один из следующих видов (каноническое уравнение):

Линейная алгебра задачи с решением — эллипсоид; (4.12)

Линейная алгебра задачи с решением — однополостный гиперболоид; (4.13)

Линейная алгебра задачи с решением — двухполостный гиперболоид; (4.14)

Линейная алгебра задачи с решением — конус: (4.15)
Линейная алгебра задачи с решением — эллиптический параболоид; (4.16)
Линейная алгебра задачи с решением — гиперболический параболоид: (4.17)
Линейная алгебра задачи с решением — эллиптический цилиндр; (4.18)
Линейная алгебра задачи с решением — гиперболический цилиндр; (4.19)
Линейная алгебра задачи с решением — параболический цилиндр. (4.20)

В уравнениях (4.12)-(4.20) Линейная алгебра задачи с решением положительны.

Задача №4.10.

Построить тело, ограниченное поверхностями Линейная алгебра задачи с решением

Решение:

Тело ограничено снизу поверхностью параболоида: Линейная алгебра задачи с решением, а сверху — поверхностью сферы Линейная алгебра задачи с решением
Тело изображено на рис. 4.8.

Линейная алгебра задачи с решением
Рис. 4.8

Задача №4.11.

Построить тело, ограниченное поверхностями.

Линейная алгебра задачи с решением

Решение:

Поверхность Линейная алгебра задачи с решением — эллиптический цилиндр.
Он пересечен плоскостями Линейная алгебра задачи с решением (координатные плоскости Линейная алгебра задачи с решением и Линейная алгебра задачи с решением). По оси Линейная алгебра задачи с решением тело ограничено плоскостями Линейная алгебра задачи с решением (рис. 4.9).

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.