Решение задач по гидромеханике

Примеры решения задач по теме: «Гидростатическое давление в жидкости»

Задача 1.5.1.

К резервуару (рис. 1.2), заполненному бензином плотностью , присоединён -образный ртутный манометр, показание которого уровень масла над ртутью

Определить абсолютное давление паров на поверхности бензина и показание пружинного манометра (см. обозначение буквой ), установленного на крышке резервуара, а также возможную высоту уровня бензина в пьезометре при условии, что принять плотность ртути плотность масла .

Решение:

Решение ведём с учётом атмосферного давления, так как по условию задачи требуется определить абсолютное давление паров бензина.

Для решения задачи воспользуемся понятием плоскости уровня. Выберем плоскость уровня 0-0 на разделе жидкостей бензин — ртуть и составим условие равенства давления, приравняв давления в правом и левом колене -образного манометра:

Приравняем давление в нравом и левом колене -образного манометра:

отсюда абсолютное давление паров бензина:

Принимая атмосферное давление

получим:

Показание манометра, установленного на крышке бака, можно определить так:

Для определения возможной высоты бензина в пьезометрической трубке составим условие равновесия жидкости относительно плоскости уровня 0-0, в этом случае расчёты можно вести по избыточному (манометрическому) давлению. Для плоскости уровня 0-0 запишем равенство давлений :

Ответ:

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет гидромеханика

Задача 1.5.2.

Два резервуара, заполненные водой и бензином, линии центров которых находятся на одном уровне, соединены двухколенным ртутным манометром (рис. 1.3). Пространство между уровнями ртути в манометре заполнено маслом плотностью

Определить, в каком резервуаре давление больше и на какую величину, если высоты уровней жидкостей соответственно:

Принять плотность бензина , ртути .

Решение:

Резервуары закрыты, поэтому давление будем рассчитывать по избыточному давлению без умёта атмосферного давления. Обозначим давление на уровне центра в левом резервуаре , в правом — .

Покажем положение плоскостей уровня для данной равновесной системы: это плоскости 0-0; 0-0 и 0 -0. Эти горизонтальные плоскости проводятся по однородной жидкости: плоскость 0-0 по маслу, две другие по ртути. Для этих плоскостей запишем условие равенства давлений:

Плоскость 0-0 является основной плоскостью равновесного состояния, для которой .

Согласно основному уравнению гидростатики (1.1), чтобы записать давление , нужно к давлению в центре резервуара прибавить давление столба воды — получим давление , из давления вычтем (поднимаемся вверх) давление столба ртути и, таким образом, получим давление :

Аналогично запишем давление : к давлению в центре резервуара прибавим давление столба бензина и давление столба ртути -получим давление . Затем от плоскости 0-0 поднимемся вверх до плоскости 0-0, т. е. вычтем давление столба масла и получим давление

Согласно чертежу, высота столба бензина

По распределению уровня ртути в дифференциальном манометре предполагаем, что давление в резервуаре больше, чем давление в резервуаре . Находим эту разность:

При подстановке численных значений следует перевести высоты уровней жидкости в м.

Ответ:

Ответ получился положительным, значит, предположение, что давление в резервуаре больше, верно.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Задачи по гидромеханике

Задача 1.53.

Определить, какое давление — манометрическое или вакуум, показывает мановакуумметр установленный по оси резервуара с керосином, если показание манометра по центру резервуара с водой . Между резервуарами подключён -образный ртутный манометр, показание которого ; расстояние от уровня ртути в левом колене до оси резервуара . Оси центров резервуаров находятся на одной линии (рис. 1.4).

Принять плотность керосина ; ртути —

Примечание. Мановакуумметр — это прибор для измерения как манометрического, так и вакуумметрическош давления, имеющий шкалу Измерения со знаком «+» (манометрическое давление) и со знаком и-» (вакуумметрическое давление).

Решение:

В задачах 1.5.1 и 1.5.2 подробно изложена методика определения давления путём составления условия равенства давления относительно плоскости уровня. Из этих решений следует сделать выводы.

Во-первых, по плоскости уровня можно перейти в любую точку жидкости, и давление останется той же величины.

Во-вторых, при расчёте весового давления жидкости в случае увеличения глубины (отсчёты вниз) давление увеличивается и учитывается со знаком «+», в случае уменьшения глубины (поднимаемся вверх) давление уменьшается и учитывается со знаком

В данной задаче (см. рис. 1.4) основной плоскостью уровня для всей системы является плоскость 0-0, в левой части она проходит по воде, в правой — по ртути -образного манометра. Для этой плоскости . В другой плоскости 0-0′, проведённой в керосине, . Задачу будем решать без учёта атмосферного давления. Значит, если рассчитанное давление на уровне установки мановакуумметра получится положительным, прибор работает как манометр, если давление получится отрицательным, т. е. вакуумметрическим, прибор работает как вакуумметр.

А теперь запишем давление на уровне установки мановакуумметра путем следующих рассуждений. Имеем манометрическое давление по оси резервуара , поднимаемся до плоскости уровня 0-0, значит, вычитаем давление столба воды , получаем давление , по плоскости уровня переходим в левое колено -образного манометра, где . Затем переходим в правое колено манометра, где поднимаемся к плоскости 0 -0′, значит, вычитаем давление столба ртути , получаем давление переходим по плоскости уровня 0-0 к давлению . И последний этап: к полученному давлению прибавляем давление столба керосина , поскольку опускаемся вниз до оси резервуара .

Таким образом, записали давление по оси резервуара с керосином, где установлен мановакуумметр.

Представленные рассуждения запишем следующим образом:

Подставим численные значения:

Знак свидетельствует о том, что мановакуумметр работает как вакуумметр. Показание вакуумметра

( в такой записи индекс вак заменяет знак «-«).

Ответ: мановакуумметр работает как вакуумметр и показывает вакуумметрическое давление

В разделе 1.6 приведены задачи для самостоятельной работы по усвоению знаний определения давления в покоящейся жидкости.

Теория из учебников и готовые задачи на продажу тут.

Примеры решения задач по теме: «Расчёт силы давления жидкости на плоские поверхности»

Задача 23.1.

Прямоугольная крышка (рис. 2.2), расположенная под углом к горизонту, перекрывает патрубок закрытого резервуара с водой. Высота патрубка ширина Крышка может поворачиваться вокруг шарнира Высота уровня воды над шарниром Давление на поверхности воды соответствует показанию -образного ртутного манометра

Определить силу натяжения троса для удержания крышки в закрытом положении. Угол натяжения троса Принять плотность воды

Решение:

Чтобы определить силу натяжения троса для удержания крышки в закрытом положении, нужно определить силу от внешнего давления силу давления воды

Рассмотрим аналитический способ расчёта силы давления и центра давления.

Методика расчёта силы давления включает следующую последовательность:

  • рассчитывается сила давления жидкости и сила от внешнего давления, при этом на чертеже обозначаются центральные оси плоской стенки и глубина погружения центра тяжести стенки от свободной поверхности
  • определяются точки приложения сил, на чертеже обозначается точка приложения силы давления жидкости, т. е. центр давления, и глубина погружения центра давления
  • показывается направление действия сил. Следует помнить, что сила давления всегда направлена по нормали к поверхности.
  • Определим силу от внешнего давления . Значение давления ро по показанию -образного манометра получим из условия равновесия жидкости относительно плоскости уровня 0-0. Давление ро является избыточным:

Значение можно получить другим способом, а именно перевести показание манометра 80 мм рт. ст. в Па:

Сила от внешнего давления, согласно формуле (2,4), где — площадь крышки, .

Для наглядности крышку совместим с плоскостью чертежа, тогда ширина крышки равна а высота

Площадь крышки

Сила от внешнего давления

Покажем линию действия и точку приложения силы . Согласно пояснениям в разделе 2.1, эпюра давления представляет равномерно распределённую прямоугольную нагрузку, равнодействующая от такой нагрузки () проходит через центр тяжести эпюры и приложена в центре тяжести стенки на глубине (рис. 2.2,6). Сила направлена по нормали из жидкости на стенку, как сила внешнего, избыточного давления.

  • Определим силу давления жидкости согласно формуле (2.5):

где

глубину погружения центра тяжести стенки в жидкость отсчитываем от свободной поверхности (см. рис. 2.2, а). Подставим значения:

Чтобы показать геометрическое положение силы давления жидкости , рассчитаем глубину погружения центра давления т.е. точки приложения силы по формуле (2.6):

где

центральный момент инерции прямоугольной крышки относительно горизонтальной оси (т. е. проходящей через центр тяжести крышки).

Подставив все параметры в буквенном выражении, чтобы сделать возможные сокращения, получим глубину погружения центра давления :

Эксцентриситет

т. е. понижение центра давления относительно центра тяжести

Покажем на чертеже (рис. 2.2,а) и . Сила давления жидкости приложена в центре давления (точка ) по нормали из жидкости на крышку.

  • Рассчитаем силу натяжения троса При решении этой задачи можно не находить равнодействующую сил давления. Составим уравнение механики: сумма моментов сил относительно шарнира равна нулю: . От каждой силы берётся момент относительно точки :

После сокращения на и преобразований получим

Ответ: для удержания крышки в закрытом положении необходима сила натяжения троса

Рассмотрим другой вариант в условии задачи 2.3.1, когда показание -образного манометра будет представлено так, что уровень ртути в левом колене -образного манометра будет выше на величину (рис. 2.3).

Из условия равенства давления относительно плоскости уровня 0-0 (см. рис. 2.3) запишем:

На поверхности воды действует вакуумметрическое давление. Это значит, что сила от внешнего вакуумметринеского давления будет приложена в центре тяжести стенки, но направлена по нормали внутрь жидкости (рис. 2.4).

В уравнении моментов сил относительно точки момент от силы нужно учитывать со знаком минус, как и момент от силы :

Возможно, получится такой случай, когда не потребуется трос, а момент от силы давления жидкости будет равен или меньше момента от внешней вакуумметрической силы. Под действием вакуумметрического давления на поверхности воды крышка будет в закрытом положении:

Можно рассчитать предельный вакуум для удержания крышки в закрытом положении. Из приведённого равенства следует:

Зная, что , определим :

Рассчитаем высоту столба ртути в -образном манометре (см. рис. 2.3), при котором крышка будет в закрытом положении под действием вакуума на поверхности воды:

Возможно эта страница вам будет полезна:

Методические указания по гидромеханике

Задача 23.2.

В торцевой стенке цистерны, заполненной бензином, предусмотрена плоская круглая крышка диаметром укреплённая при помощи болтов. Определить силу давления бензина на крышку и точку приложения силы, если высота уровня бензина над нижней кромкой крышки На поверхности бензина действует вакуумметрическое давление

Принять плотность бензина (рис. 2.5).

Решение:

Для определения равнодействующей давления

воспользуемся аналитическим методом. Согласно формуле (2.3), равнодействующая, или сила полного давления:

  • Определим силу от внешнего, вакуумметрического давления:

где — площадь крышки;

Показываем линию действия . Эта сила приложена в центре тяжести крышки (т. ) и направлена по нормали внутрь жидкости, как сила отрицательного, вакуумметрического давления.

  • Рассчитаем силу давления бензина на круглую крышку по формуле

где — глубина погружения центра тяжести крышки в жидкость, отсчитанная от свободной поверхности. Определяем по чертежу (см. рис. 2.5):

Показываем линию действия силы давления бензина. Сила давления жидкости приложена в центре давления на глубине и направлена по нормали из жидкости. По формуле (2.6) глубина погружения центра давления

где

для вертикальной крышки;

— центральный момент инерции круглой крышки относительно горизонтальной оси: (см. приложение, табл. 3).

После подстановки данных в буквенное выражение получим:

Эксцентриситет

Покажем на чертеже

  • Определим величину и положение равнодействующей (или силы полного давления) путём векторного сложения сил и :

Положение равнодействующей можно определить, пользуясь теоремой Вариньона: момент от равнодействующей равен сумме моментов составляющих.

Составим сумму моментов сил относительно оси, проходящей по свободной поверхности бензина. Введём обозначение: пусть глубина погружения центра давления для равнодействующей, тогда

После подстановки численных значений = 1,1 м. Покажем на чертеже , центр давления для равнодействующей и линию действия равнодействующей по нормали внутрь жидкости.

Ответ:

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения по гидромеханике

Задача 2.3.3.

Квадратный затвор со стороной = 1,2 м, перекрывающий выход воды из зумпфа, укреплён шарнирно и может поворачиваться относительно оси, проходящей через центр затвора (рис. 2.6).

Определить силу , которую нужно приложить на расстоянии 0,1 а от нижнего края затвора, чтобы удерживать затвор в закрытом положении при глубине воды перед затвором = 1,5 м.

Решение:

Слева от затвора имеем открытую свободную поверхность с атмосферным давлением, справа щит также находится под действием атмосферного давления, поэтому при определении силы давления будем учитывать только силу давления жидкости, силу от атмосферного давления в таком случае не учитывают.

Решение задачи проведём аналитическим и графо-аналитическим методами.

  • Аналитический метод расчёта.

а) Рассчитаем силу давления воды по формуле (2.5)

где — площадь затвора:

— глубина погружения центра тяжести затвора:

покажем на чертеже.

б) Определим глубину погружения центра давления т. е. точки приложения силы давления по формуле (2.6)

где

центральный момент инерции относительно горизонтальной оси для квадратного затвора

После подстановки всех значений в буквенное выражение и соответствующих сокращений получим:

Эксцентриситет

Покажем на чертеже и силу , приложенную в центре давления (т. )

в) Определим силу для удержания затвора в закрытом положении, т. е. в состоянии равновесия, составив уравнение механики: сумма моментов сил относительно шарнира равна нулю:

  • Графоаналитический метод расчёта силы давления воды и глубины погружения центра давления .

а) Определим давление воды в точках и :

б) Строим эпюру гидростатического давления воды: в любом выбранном масштабе по нормали к стенке откладываем величину давления и соединяем полученные значения наклонной прямой, так как закон изменения давления по глубине линейный (см. раздел 1.3), и заштриховываем горизонтальными штриховыми линиями, стрелками обозначив направление давления. Получим эпюру давления воды в виде трапеции в вертикальной плоскости.

в) Рассчитаем силу давления воды . Согласно формуле (2.11):

После подстановки данных получим:

г) Определим положение центра давления. Согласно графоаналитическому методу сила давления жидкости проходит через центр тяжести эпюры гидростатического давления:

Положение центра тяжести эпюры в виде трапеции определяется по табл. 3 (см. приложение):

Согласно чертежу, глубина погружения центра давления

Таким образом, аналитический и графоаналитический методы расчёта силы давления и глубины погружения центра давления дают одинаковые значения.

Ответ: сила

Эта страница вам может помочь: