Гидромеханика задачи с решением

Гидромеханика задачи с решением

Гидромеханика

Гидромеханика — это раздел физики, посвященный законам движения и равновесия жидкостей, а также законам взаимодействия жидких сред с телами, содержащимися в них.

Гидромеханика, как и другие области механики, подразделяется на статическую, кинематическую и динамическую.

Часть гидромеханики, изучающая баланс жидкостей и газов, называется гидростатикой. Кинематика жидкостей и газов изучает их движение во времени, не рассматривая причины этого движения. Гидродинамика изучает движение жидкостей и газов в связи с их взаимодействием.

В гидромеханике они отвлекаются от молекулярной структуры жидкостей и газов, рассматривая их как твердую среду, которая непрерывно распределяется в пространстве. Эта модель не применима к разреженным газам, которые не могут быть изучены методами гидроаэродинамики и изучаются в молекулярной физике.

Отличительной особенностью жидкостей и газов по сравнению с твердыми является их текучесть, т.е. низкое сопротивление сдвиговой деформации. При бесконечном снижении скорости деформации сила сопротивления жидкости или газа этой деформации стремится к нулю.

Примеры решения задач по теме: Гидростатическое давление в жидкости

Задача 1.5.1.

К резервуару (рис. 1.2), заполненному бензином плотностью Решение задач по гидромеханике, присоединён Решение задач по гидромеханике-образный ртутный манометр, показание которого Решение задач по гидромеханике уровень масла над ртутью Решение задач по гидромеханике

Определить абсолютное давление Решение задач по гидромеханике паров на поверхности бензина и показание пружинного манометра (см. обозначение буквой Решение задач по гидромеханике), установленного на крышке резервуара, а также возможную высоту уровня бензина в пьезометре Решение задач по гидромеханике при условии, что Решение задач по гидромеханике принять плотность ртути Решение задач по гидромеханике плотность масла Решение задач по гидромеханике.

Решение задач по гидромеханике

Решение:

Решение ведём с учётом атмосферного давления, так как по условию задачи требуется определить абсолютное давление паров бензина.

Для решения задачи воспользуемся понятием плоскости уровня. Выберем плоскость уровня 0-0 на разделе жидкостей бензин — ртуть и составим условие равенства давления, приравняв давления в правом Решение задач по гидромеханике и левом колене Решение задач по гидромеханике-образного манометра:

Решение задач по гидромеханике

Приравняем давление в нравом и левом колене Решение задач по гидромеханике-образного манометра:

Решение задач по гидромеханике

отсюда абсолютное давление паров бензина:

Решение задач по гидромеханике

Принимая атмосферное давление

Решение задач по гидромеханике

получим:

Решение задач по гидромеханике

Показание манометра, установленного на крышке бака, можно определить так:

Решение задач по гидромеханике

Для определения возможной высоты бензина в пьезометрической трубке Решение задач по гидромеханике составим условие равновесия жидкости относительно плоскости уровня 0-0, в этом случае расчёты можно вести по избыточному (манометрическому) давлению. Для плоскости уровня 0-0 запишем равенство давлений Решение задач по гидромеханике:

Решение задач по гидромеханике

Ответ:

Решение задач по гидромеханике

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет гидромеханика

Задача 1.5.2.

Два резервуара, заполненные водой и бензином, линии центров которых находятся на одном уровне, соединены двухколенным ртутным манометром (рис. 1.3). Пространство между уровнями ртути в манометре заполнено маслом плотностью Решение задач по гидромеханике

Определить, в каком резервуаре давление больше и на какую величину, если высоты уровней жидкостей соответственно:

Решение задач по гидромеханике
Решение задач по гидромеханике

Принять плотность бензина Решение задач по гидромеханике, ртути Решение задач по гидромеханике.

Решение:

Резервуары закрыты, поэтому давление будем рассчитывать по избыточному давлению без умёта атмосферного давления. Обозначим давление на уровне центра в левом резервуаре Решение задач по гидромеханике, в правом — Решение задач по гидромеханике.

Покажем положение плоскостей уровня для данной равновесной системы: это плоскости 0-0; 0-0 и 0 -0. Эти горизонтальные плоскости проводятся по однородной жидкости: плоскость 0-0 по маслу, две другие по ртути. Для этих плоскостей запишем условие равенства давлений:

Решение задач по гидромеханике
Решение задач по гидромеханике

Плоскость 0-0 является основной плоскостью равновесного состояния, для которой Решение задач по гидромеханике.

Согласно основному уравнению гидростатики (1.1), чтобы записать давление Решение задач по гидромеханике, нужно к давлению в центре резервуара Решение задач по гидромеханике прибавить давление столба воды Решение задач по гидромеханике — получим давление Решение задач по гидромеханике, из давления Решение задач по гидромеханике вычтем (поднимаемся вверх) давление столба ртути Решение задач по гидромеханике и, таким образом, получим давление Решение задач по гидромеханике:

Решение задач по гидромеханике

Аналогично запишем давление Решение задач по гидромеханике: к давлению в центре резервуара Решение задач по гидромеханикеРешение задач по гидромеханике прибавим давление столба бензина Решение задач по гидромеханике и давление столба ртути Решение задач по гидромеханике-получим давление Решение задач по гидромеханике. Затем от плоскости 0-0 поднимемся вверх до плоскости 0-0, т. е. вычтем давление столба масла Решение задач по гидромеханике и получим давление Решение задач по гидромеханике

Решение задач по гидромеханике

Согласно чертежу, высота столба бензина

Решение задач по гидромеханике

По распределению уровня ртути в дифференциальном манометре предполагаем, что давление в резервуаре Решение задач по гидромеханике больше, чем давление в резервуаре Решение задач по гидромеханике. Находим эту разность:

Решение задач по гидромеханике

При подстановке численных значений следует перевести высоты уровней жидкости в м.

Ответ:

Решение задач по гидромеханике

Ответ получился положительным, значит, предположение, что давление в резервуаре Решение задач по гидромеханике больше, верно.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Задачи по гидромеханике

Задача 1.53.

Определить, какое давление — манометрическое или вакуум, показывает мановакуумметр Решение задач по гидромеханике установленный по оси резервуара Решение задач по гидромеханике с керосином, если показание манометра по центру резервуара Решение задач по гидромеханике с водой Решение задач по гидромеханике. Между резервуарами подключён Решение задач по гидромеханике-образный ртутный манометр, показание которого Решение задач по гидромеханике; расстояние от уровня ртути в левом колене до оси резервуара Решение задач по гидромеханике. Оси центров резервуаров находятся на одной линии (рис. 1.4).

Принять плотность керосина Решение задач по гидромеханике; ртути — Решение задач по гидромеханике

Примечание. Мановакуумметр — это прибор для измерения как манометрического, так и вакуумметрическош давления, имеющий шкалу Измерения со знаком «+» (манометрическое давление) и со знаком и-» (вакуумметрическое давление).

Решение задач по гидромеханике

Решение:

В задачах 1.5.1 и 1.5.2 подробно изложена методика определения давления путём составления условия равенства давления относительно плоскости уровня. Из этих решений следует сделать выводы.

Во-первых, по плоскости уровня можно перейти в любую точку жидкости, и давление останется той же величины.

Во-вторых, при расчёте весового давления жидкости Решение задач по гидромеханике в случае увеличения глубины (отсчёты вниз) давление увеличивается и учитывается со знаком «+», в случае уменьшения глубины (поднимаемся вверх) давление уменьшается и учитывается со знаком

В данной задаче (см. рис. 1.4) основной плоскостью уровня для всей системы является плоскость 0-0, в левой части она проходит по воде, в правой — по ртути Решение задач по гидромеханике-образного манометра. Для этой плоскости Решение задач по гидромеханике. В другой плоскости 0-0′, проведённой в керосине, Решение задач по гидромеханике. Задачу будем решать без учёта атмосферного давления. Значит, если рассчитанное давление на уровне установки мановакуумметра Решение задач по гидромеханике получится положительным, прибор работает как манометр, если давление получится отрицательным, т. е. вакуумметрическим, прибор работает как вакуумметр.

А теперь запишем давление на уровне установки мановакуумметра путем следующих рассуждений. Имеем манометрическое давление Решение задач по гидромеханике по оси резервуара Решение задач по гидромеханике, поднимаемся до плоскости уровня 0-0, значит, вычитаем давление столба воды Решение задач по гидромеханике, получаем давление Решение задач по гидромеханике, по плоскости уровня переходим в левое колено Решение задач по гидромеханике-образного манометра, где Решение задач по гидромеханике. Затем переходим в правое колено манометра, где Решение задач по гидромеханике поднимаемся к плоскости 0 -0′, значит, вычитаем давление столба ртути Решение задач по гидромеханике, получаем давление Решение задач по гидромеханике переходим по плоскости уровня 0-0 к давлению Решение задач по гидромеханике. И последний этап: к полученному давлению Решение задач по гидромеханике прибавляем давление столба керосина Решение задач по гидромеханике, поскольку опускаемся вниз до оси резервуара Решение задач по гидромеханике.

Таким образом, записали давление по оси резервуара с керосином, где установлен мановакуумметр.

Представленные рассуждения запишем следующим образом:

Решение задач по гидромеханике

Подставим численные значения:

Решение задач по гидромеханике

Знак свидетельствует о том, что мановакуумметр работает как вакуумметр. Показание вакуумметра

Решение задач по гидромеханике

( в такой записи индекс вак заменяет знак «-«).

Ответ: мановакуумметр работает как вакуумметр и показывает вакуумметрическое давление

Решение задач по гидромеханике

В разделе 1.6 приведены задачи для самостоятельной работы по усвоению знаний определения давления в покоящейся жидкости.

Теория из учебников и готовые задачи на продажу тут.

Примеры решения задач по теме: Расчёт силы давления жидкости на плоские поверхности

Задача 23.1.

Прямоугольная крышка Решение задач по гидромеханике (рис. 2.2), расположенная под углом Решение задач по гидромеханике к горизонту, перекрывает патрубок закрытого резервуара с водой. Высота патрубка Решение задач по гидромеханике ширина Решение задач по гидромеханике Крышка может поворачиваться вокруг шарнира Решение задач по гидромеханике Высота уровня воды над шарниром Решение задач по гидромеханике Давление на поверхности воды соответствует показанию Решение задач по гидромеханике-образного ртутного манометра Решение задач по гидромеханике

Определить силу натяжения троса Решение задач по гидромеханике для удержания крышки Решение задач по гидромеханике в закрытом положении. Угол натяжения троса Решение задач по гидромеханике Принять плотность воды Решение задач по гидромеханике

Решение:

Чтобы определить силу натяжения троса Решение задач по гидромеханике для удержания крышки Решение задач по гидромеханике в закрытом положении, нужно определить силу от внешнего давления Решение задач по гидромеханике силу давления воды Решение задач по гидромеханике

Рассмотрим аналитический способ расчёта силы давления и центра давления.

Методика расчёта силы давления включает следующую последовательность:

  • рассчитывается сила давления жидкости и сила от внешнего давления, при этом на чертеже обозначаются центральные оси плоской стенки и глубина погружения центра тяжести стенки от свободной поверхности Решение задач по гидромеханике
  • определяются точки приложения сил, на чертеже обозначается точка приложения силы давления жидкости, т. е. центр давления, и глубина погружения центра давления Решение задач по гидромеханике
  • показывается направление действия сил. Следует помнить, что сила давления всегда направлена по нормали к поверхности.
  • Определим силу от внешнего давления Решение задач по гидромеханике. Значение давления ро по показанию Решение задач по гидромеханике-образного манометра получим из условия равновесия жидкости относительно плоскости уровня 0-0. Давление ро является избыточным:
Решение задач по гидромеханике

Значение Решение задач по гидромеханике можно получить другим способом, а именно перевести показание манометра 80 мм рт. ст. в Па:

Решение задач по гидромеханике

Сила от внешнего давления, согласно формуле (2,4), Решение задач по гидромеханике где Решение задач по гидромеханике — площадь крышки, Решение задач по гидромеханике.

Для наглядности крышку совместим с плоскостью чертежа, тогда ширина крышки равна Решение задач по гидромеханике а высота

Решение задач по гидромеханике

Площадь крышки

Решение задач по гидромеханике

Сила от внешнего давления

Решение задач по гидромеханике

Покажем линию действия и точку приложения силы Решение задач по гидромеханике. Согласно пояснениям в разделе 2.1, эпюра давления Решение задач по гидромеханике представляет равномерно распределённую прямоугольную нагрузку, равнодействующая от такой нагрузки (Решение задач по гидромеханике) проходит через центр тяжести эпюры и приложена в центре тяжести стенки на глубине Решение задач по гидромеханике (рис. 2.2,6). Сила Решение задач по гидромеханике направлена по нормали из жидкости на стенку, как сила внешнего, избыточного давления.

  • Определим силу давления жидкости Решение задач по гидромеханике согласно формуле (2.5):
Решение задач по гидромеханике

где

Решение задач по гидромеханике

глубину погружения центра тяжести стенки в жидкость Решение задач по гидромеханике отсчитываем от свободной поверхности (см. рис. 2.2, а). Подставим значения:

Решение задач по гидромеханике
Решение задач по гидромеханике

Чтобы показать геометрическое положение силы давления жидкости Решение задач по гидромеханике, рассчитаем глубину погружения центра давления Решение задач по гидромеханике т.е. точки приложения силы Решение задач по гидромеханике по формуле (2.6):

Решение задач по гидромеханике

где

Решение задач по гидромеханике

центральный момент инерции прямоугольной крышки относительно горизонтальной оси (т. е. проходящей через центр тяжести крышки).

Подставив все параметры в буквенном выражении, чтобы сделать возможные сокращения, получим глубину погружения центра давления Решение задач по гидромеханике:

Решение задач по гидромеханике

Эксцентриситет

Решение задач по гидромеханике

т. е. понижение центра давления относительно центра тяжести

Решение задач по гидромеханике

Покажем на чертеже (рис. 2.2,а) Решение задач по гидромеханике и Решение задач по гидромеханике. Сила давления жидкости Решение задач по гидромеханике приложена в центре давления (точка Решение задач по гидромеханике) по нормали из жидкости на крышку.

  • Рассчитаем силу натяжения троса Решение задач по гидромеханике При решении этой задачи можно не находить равнодействующую сил давления. Составим уравнение механики: сумма моментов сил относительно шарнира Решение задач по гидромеханике равна нулю: Решение задач по гидромеханике. От каждой силы Решение задач по гидромеханике берётся момент относительно точки Решение задач по гидромеханике:
Решение задач по гидромеханике

После сокращения на Решение задач по гидромеханике и преобразований получим Решение задач по гидромеханике

Ответ: для удержания крышки Решение задач по гидромеханике в закрытом положении необходима сила натяжения троса Решение задач по гидромеханике

Рассмотрим другой вариант в условии задачи 2.3.1, когда показание Решение задач по гидромеханике-образного манометра будет представлено так, что уровень ртути в левом колене Решение задач по гидромеханике-образного манометра будет выше на величину Решение задач по гидромеханике (рис. 2.3).

Решение задач по гидромеханике

Из условия равенства давления относительно плоскости уровня 0-0 (см. рис. 2.3) запишем:

Решение задач по гидромеханике

На поверхности воды действует вакуумметрическое давление. Это значит, что сила от внешнего вакуумметринеского давления будет приложена в центре тяжести стенки, но направлена по нормали внутрь жидкости (рис. 2.4).

Решение задач по гидромеханике

В уравнении моментов сил относительно точки Решение задач по гидромеханике момент от силы Решение задач по гидромеханике нужно учитывать со знаком минус, как и момент от силы Решение задач по гидромеханике:

Решение задач по гидромеханике

Возможно, получится такой случай, когда не потребуется трос, а момент от силы давления жидкости будет равен или меньше момента от внешней вакуумметрической силы. Под действием вакуумметрического давления на поверхности воды крышка будет в закрытом положении:

Решение задач по гидромеханике

Можно рассчитать предельный вакуум для удержания крышки в закрытом положении. Из приведённого равенства следует:

Решение задач по гидромеханике

Зная, что Решение задач по гидромеханике, определим Решение задач по гидромеханике:

Решение задач по гидромеханике

Рассчитаем высоту столба ртути Решение задач по гидромеханике в Решение задач по гидромеханике-образном манометре (см. рис. 2.3), при котором крышка будет в закрытом положении под действием вакуума на поверхности воды:

Решение задач по гидромеханике

Возможно эта страница вам будет полезна:

Методические указания по гидромеханике

Задача 23.2.

В торцевой стенке цистерны, заполненной бензином, предусмотрена плоская круглая крышка диаметром Решение задач по гидромеханике укреплённая при помощи болтов. Определить силу давления бензина на крышку и точку приложения силы, если высота уровня бензина над нижней кромкой крышки Решение задач по гидромеханике На поверхности бензина действует вакуумметрическое давление Решение задач по гидромеханике

Принять плотность бензина Решение задач по гидромеханике (рис. 2.5).

Решение задач по гидромеханике

Решение:

Для определения равнодействующей давления

воспользуемся аналитическим методом. Согласно формуле (2.3), равнодействующая, или сила полного давления:

Решение задач по гидромеханике
  • Определим силу от внешнего, вакуумметрического давления:
Решение задач по гидромеханике

где Решение задач по гидромеханике — площадь крышки;

Решение задач по гидромеханике
Решение задач по гидромеханике

Показываем линию действия Решение задач по гидромеханике. Эта сила приложена в центре тяжести крышки (т. Решение задач по гидромеханике) и направлена по нормали внутрь жидкости, как сила отрицательного, вакуумметрического давления.

  • Рассчитаем силу давления бензина на круглую крышку по формуле
Решение задач по гидромеханике

где Решение задач по гидромеханике — глубина погружения центра тяжести крышки в жидкость, отсчитанная от свободной поверхности. Определяем Решение задач по гидромеханике по чертежу (см. рис. 2.5):

Решение задач по гидромеханике
Решение задач по гидромеханике

Показываем линию действия силы давления бензина. Сила давления жидкости Решение задач по гидромеханике приложена в центре давления на глубине Решение задач по гидромеханике и направлена по нормали из жидкости. По формуле (2.6) глубина погружения центра давления

Решение задач по гидромеханике

где

Решение задач по гидромеханике

для вертикальной крышки;

Решение задач по гидромеханике — центральный момент инерции круглой крышки относительно горизонтальной оси: Решение задач по гидромеханике (см. приложение, табл. 3).

После подстановки данных в буквенное выражение Решение задач по гидромеханике получим:

Решение задач по гидромеханике

Эксцентриситет

Решение задач по гидромеханике

Покажем на чертеже

Решение задач по гидромеханике
  • Определим величину и положение равнодействующей Решение задач по гидромеханике (или силы полного давления) путём векторного сложения сил Решение задач по гидромеханике и Решение задач по гидромеханике:
Решение задач по гидромеханике

Положение равнодействующей можно определить, пользуясь теоремой Вариньона: момент от равнодействующей равен сумме моментов составляющих.

Составим сумму моментов сил относительно оси, проходящей по свободной поверхности бензина. Введём обозначение: пусть Решение задач по гидромеханике глубина погружения центра давления для равнодействующей, тогда

Решение задач по гидромеханике

После подстановки численных значений Решение задач по гидромеханике = 1,1 м. Покажем на чертеже Решение задач по гидромеханике, центр давления для равнодействующей и линию действия равнодействующей Решение задач по гидромеханике по нормали внутрь жидкости.

Ответ:

Решение задач по гидромеханике

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения по гидромеханике

Задача 2.3.3.

Квадратный затвор Решение задач по гидромеханике со стороной Решение задач по гидромеханике = 1,2 м, перекрывающий выход воды из зумпфа, укреплён шарнирно и может поворачиваться относительно оси, проходящей через центр затвора (рис. 2.6).

Определить силу Решение задач по гидромеханике, которую нужно приложить на расстоянии 0,1 а от нижнего края затвора, чтобы удерживать затвор в закрытом положении при глубине воды перед затвором Решение задач по гидромеханике = 1,5 м.

Решение:

Слева от затвора имеем открытую свободную поверхность с атмосферным давлением, справа щит также находится под действием атмосферного давления, поэтому при определении силы давления будем учитывать только силу давления жидкости, силу от атмосферного давления в таком случае не учитывают.

Решение задачи проведём аналитическим и графо-аналитическим методами.

Решение задач по гидромеханике
  • Аналитический метод расчёта.

а) Рассчитаем силу давления воды по формуле (2.5)

Решение задач по гидромеханике

где Решение задач по гидромеханике — площадь затвора:

Решение задач по гидромеханике

Решение задач по гидромеханике — глубина погружения центра тяжести затвора:

Решение задач по гидромеханике

покажем Решение задач по гидромеханике на чертеже.

Решение задач по гидромеханике

б) Определим глубину погружения центра давления Решение задач по гидромеханике т. е. точки приложения силы давления Решение задач по гидромеханике по формуле (2.6)

Решение задач по гидромеханике

где

Решение задач по гидромеханике

центральный момент инерции относительно горизонтальной оси для квадратного затвора

Решение задач по гидромеханике

После подстановки всех значений в буквенное выражение Решение задач по гидромеханике и соответствующих сокращений получим:

Решение задач по гидромеханике

Эксцентриситет Решение задач по гидромеханике

Покажем на чертеже Решение задач по гидромеханике и силу Решение задач по гидромеханике, приложенную в центре давления (т. Решение задач по гидромеханике)

в) Определим силу Решение задач по гидромеханике для удержания затвора в закрытом положении, т. е. в состоянии равновесия, составив уравнение механики: сумма моментов сил относительно шарнира Решение задач по гидромеханике равна нулю:

Решение задач по гидромеханике
  • Графоаналитический метод расчёта силы давления воды Решение задач по гидромеханике и глубины погружения центра давления Решение задач по гидромеханике.

а) Определим давление воды в точках Решение задач по гидромеханике и Решение задач по гидромеханике:

Решение задач по гидромеханике

б) Строим эпюру гидростатического давления воды: в любом выбранном масштабе по нормали к стенке откладываем величину давления Решение задач по гидромеханике и Решение задач по гидромеханике соединяем полученные значения наклонной прямой, так как закон изменения давления по глубине линейный (см. раздел 1.3), и заштриховываем горизонтальными штриховыми линиями, стрелками обозначив направление давления. Получим эпюру давления воды в виде трапеции в вертикальной плоскости.

в) Рассчитаем силу давления воды Решение задач по гидромеханике. Согласно формуле (2.11):

Решение задач по гидромеханике

После подстановки данных получим:

Решение задач по гидромеханике

г) Определим положение центра давления. Согласно графоаналитическому методу сила давления жидкости проходит через центр тяжести эпюры гидростатического давления:

Решение задач по гидромеханике

Положение центра тяжести эпюры в виде трапеции определяется по табл. 3 (см. приложение):

Решение задач по гидромеханике

Согласно чертежу, глубина погружения центра давления Решение задач по гидромеханике

Решение задач по гидромеханике

Таким образом, аналитический и графоаналитический методы расчёта силы давления Решение задач по гидромеханике и глубины погружения центра давления Решение задач по гидромеханике дают одинаковые значения.

Ответ: сила Решение задач по гидромеханике

Эта страница вам может помочь: