ЭММ задачи с решением

Оглавление:

ЭММ задачи с решением

Прежде чем изучать готовые решения задач по ЭММ, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила краткую теорию по предмету «ЭММ» и задачи с решением и примерами.

Эта страница подготовлена для школьников и студентов.

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Экономико-математические методы

Экономико-математические методы и модели применяют с целью отыскания наилучшего решения, то есть решения, оптимального в том или ином смысле (максимума или минимума).

На данной странице даны рекомендации по построению математических моделей и решению задач исследования операций в области: линейного программирования, сетевого планирования, регрессионного анализа, прогнозирования временных рядов, управления запасами.

В целях более эффективного усвоения учебного материала каждая тема содержит краткое теоретическое введение, подробные методические указания с описанием решения конкретных задач, варианты задач для самостоятельного решения, включая задачи повышенной сложности.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет экономико-математические методы (ЭММ)

Особое внимание было уделено вопросам построения математических моделей как основополагающему и наиболее творческому этапу решения задач. В связи с тем, что современное компьютерное программное обеспечение позволяет значительно упростить процесс поиска оптимальных решений, наиболее трудоемкие методы решения задач (симплекс-метод, метод потенциалов, методы оптимизации сетевых моделей) в учебном пособии рассмотрены не были.

Одноиндексные задачи линейного программирования. Построение моделей одноиндексных задач

Математическое программирование («планирование») — это раздел математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных значений функции, на аргументы которой наложены ограничения. Методы математического программирования используются в экономических, организационных, военных и др. системах для решения так называемых распределительных задач. Распределительные задачи Решение задач по ЭММ возникают в случае, когда имеющихся в наличии ресурсов не хватает для выполнения каждой из намеченных работ эффективным образом и необходимо наилучшим образом распределить ресурсы по работам в соответствии с выбранным критерием оптимальности.

Линейное программирование (ЛП) является наиболее простым и лучше всего изученным разделом математического программирования. Характерные черты задач ЛП следующие:

1) показатель оптимальности Решение задач по ЭММ представляет собой линейную функцию от элементов решения Решение задач по ЭММ;

2) ограничительные условия, налагаемые на возможные решения, имеют вид линейных равенств или неравенств.

Общая форма записи модели задачи ЛП

Целевая функция (ЦФ)

Решение задач по ЭММ

при ограничениях

Решение задач по ЭММ

При описании реальной ситуации с помощью линейной модели следует проверять наличие у модели таких свойств, как пропорциональность и аддитивность. Пропорциональность означает, что вклад каждой переменной в ЦФ и общий объем потребления соответствующих ресурсов должен быть прямо пропорционален величине этой переменной. Например, если, продавая Решение задач по ЭММ-й товар в общем случае по цене 100 рублей, фирма будет делать скидку при определенном уровне закупки до уровня цены 95 рублей, то будет отсутствовать прямая пропорциональность между доходом фирмы и величиной переменной Решение задач по ЭММ. Т.е. в разных ситуациях одна единица Решение задач по ЭММ-го товара будет приносить разный доход. Аддитивность означает, что ЦФ и ограничения должны представлять собой сумму вкладов от различных переменных. Примером нарушения аддитивности служит ситуация, когда увеличение сбыта одного из конкурирующих видов продукции, производимых одной фирмой, влияет на объем реализации другого.

Допустимое решение — это совокупность чисел (план) Решение задач по ЭММ, удовлетворяющих ограничениям задачи (1.1).

Оптимальное решение- это план, при котором ЦФ принимает свое максимальное (минимальное) значение.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение экономико математических методов

Задача № 1.01

Фабрика производит два вида красок: первый — для наружных, а второй -для внутренних работ. Для производства красок используются два ингредиента: А и В. Максимально возможные суточные запасы этих ингредиентов составляют 6 и 8 т соответственно. Известны расходы А и В на 1 т соответствующих красок (табл. 1.1). Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску 2-го вида никогда не превышает спроса на краску 1-го вида более, чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску 2-го вида никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3 тыс. руб. для краски 1-го вида; 2 тыс. руб. для краски 2-го вида.

Необходимо построить математическую модель, позволяющую установить, какое количество краски каждого вида надо производить, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.

Решение:

Прежде чем построить математическую модель задачи, т.е. записать ее с помощью математических символов, необходимо четко разобраться с экономической ситуацией, описанной в условии. Для этого необходимо с точки зрения экономики, а не математики, ответить на следующие вопросы:

1) Что является искомыми величинами задачи?

2) Какова цель решения? Какой параметр задачи служит критерием эффективности (оптимальности) решения, например, прибыль, себестоимость, время и т.д. В каком направлении должно изменяться значение этого параметра (к max или к min) для достижения наилучших результатов?

3) Какие условия в отношении искомых величин и ресурсов задачи должны быть выполнены? Эти условия устанавливают, как должны соотноситься друг с другом различные параметры задачи, например, количество ресурса, затраченного при производстве, и его запас на складе; количество выпускаемой продукции и емкость склада, где она будет храниться; количество выпускаемой продукции и рыночный спрос на эту продукцию и т.д.

Только после экономического ответа на все эти вопросы можно приступать к записи этих ответов в математическом виде, т.е. к записи математической модели.

1) Искомые величины являются переменными задачи, которые как правило обозначаются малыми латинскими буквами с индексами, например, однотипные переменные удобно представлять в виде Решение задач по ЭММ.

2) Цель решения записывается в виде целевой функции, обозначаемой, например, Решение задач по ЭММ. Математическая формула ЦФ Решение задач по ЭММ отражает способ расчета значений параметра — критерия эффективности задачи.

3) Условия, налагаемые на переменные и ресурсы задачи, записываются в виде системы равенств или неравенств, т.е. ограничений. Левые и правые части ограничений отражают способ получения (расчет или численные значения из условия задачи) значений тех параметров задачи, на которые были наложены соответствующие условия.

В процессе записи математической модели необходимо указывать единицы измерения переменных задачи, целевой функции и всех ограничений.

Построим модель задачи №1.01, используя описанную методику.

Переменные задачы

В задаче №1.01 требуется установить, сколько краски каждого вида надо производить. Поэтому искомыми величинами, а значит, и переменными задачи являются суточные объемы производства каждого вида красок:

Решение задач по ЭММ — суточный объем производства краски 1-го вида, [т краски/сутки]; Решение задач по ЭММ — суточный объем производства краски 2-го вида, [т краски/сутки].

Целевая функция

В условии задачи №1.01 сформулирована цель — добиться максимального дохода от реализации продукции. Т.е. критерием эффективности служит параметр суточного дохода, который должен стремится к максимуму. Чтобы рассчитать величину суточного дохода от продажи красок обоих видов, необходимо знать объемы производства красок, т.е. Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ т краски в сутки, а также оптовые цены на краски 1-го и 2-го видов- согласно условию, соответственно 3 и 2 тыс. руб. за 1 т краски. Таким образом, доход от продажи суточного объема производства краски 1-го вида равен 3xj тыс. руб. в сутки, а от продажи краски 2-го вида — 2Решение задач по ЭММ тыс. руб. в сутки. Поэтому запишем ЦФ в виде суммы дохода от продажи красок 1-го и 2-го видов (при допущении независимости объемов сбыта каждой из красок)

Решение задач по ЭММ

Возможные объемы производства красок Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ ограничиваются следующими условиями:

• количество ингредиентов А и В, израсходованное в течение суток на производство красок обоих видов, не может превышать суточного запаса этих ингредиентов на складе;

• согласно результатам изучения рыночного спроса суточный объем производства краски 2-го вида может превышать объем производства краски 1-го вида, но не более, чем на 1 т краски;

• объем производства краски 2-го вида не должен превышать 2 т в сутки, что также следует из результатов изучения рынков сбыта;

• объемы производства красок не могут быть отрицательными.

Таким образом, все ограничения задачи №1.01 делятся на 3 группы, обусловленные:

1) расходом ингредиентов;

2) рыночным спросом на краску;

3) неотрицательностью объемов производства.

Ограничения по расходу любого из ингредиентов имеют следующую содержательную форму записи

Решение задач по ЭММ

Запишем эти ограничения в математической форме.

Левая часть ограничения — это формула расчета суточного расхода конкретного ингредиента на производство красок. Так из условия известен расход ингредиента А на производство 1 т краски 1-го вида (1 т ингр. А) и 1 т краски 2-го вида (2 т ингр. А) (см. табл. 1.1). Тогда на производство Решение задач по ЭММ т краски 1-го вида и Решение задач по ЭММ т краски 2-го вида потребуется 1Решение задач по ЭММ + 2Решение задач по ЭММ т ингр. А.

Правая часть ограничения — это величина суточного запаса ингредиента на складе, например, 6 т ингредиента А в сутки (см. табл. 1.1). Таким образом, ограничение по расходу А имеет вид

Решение задач по ЭММ

Аналогична математическая запись ограничения по расходу В

Решение задач по ЭММ

Примечание 1.1. Следует всегда проверять размерность левой и правой части каждого из ограничений, поскольку их несовпадение свидетельствует о принципиальной ошибке при составлении ограничений.

Ограничение по суточному объему производства краски 1-го вида по сравнению с объемом производства краски 2-го вида имеет

содержательную форму

Решение задач по ЭММ

и математическую форму

Решение задач по ЭММ

Ограничение по суточному объему производства краски 1-го вида имеет

содержательную форму

Решение задач по ЭММ

и математическую форму

Решение задач по ЭММ

Неотрицательность объемов производства задается как

Решение задач по ЭММ

Таким образом, математическая модель этой задачи имеет вид

Решение задач по ЭММ
Решение задач по ЭММ

Выполнить заказ по производству 32 изделий Решение задач по ЭММ и 4 изделий Решение задач по ЭММ взялись бригады Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ. Производительность бригады Решение задач по ЭММ по производству изделий Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ составляет соответственно 4 и 2 изделия в час, фонд рабочего времени этой бригады 9,5 ч. Производительность бригады Решение задач по ЭММ — соответственно 1 и 3 изделия в час, а ее фонд рабочего времени — 4 ч. Затраты, связанные с производством единицы изделия, для бригады Решение задач по ЭММ равны соответственно 9 и 20 руб., для бригады Решение задач по ЭММ — 15 и 30 руб.

Составьте математическую модель задачи, позволяющую найти оптимальный объем выпуска изделий, обеспечивающий минимальные затраты на выполнение заказа.

Переменные задачи

Искомыми величинами в задаче являются объемы выпуска изделий. Изделия Решение задач по ЭММ будут выпускаться двумя бригадами Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ. Поэтому необходимо различать количество изделий Решение задач по ЭММ, произведенных бригадой Решение задач по ЭММ, и количество изделий Решение задач по ЭММ произведенных бригадой Решение задач по ЭММ. Аналогично, объемы выпуска изделий Решение задач по ЭММ бригадой Решение задач по ЭММ и бригадой Решение задач по ЭММ также являются различными величинами. Вследствие этого в данной задаче 4 переменные. Для удобства восприятия будем использовать двухиндексную форму записи Решение задач по ЭММ — количество изделий Решение задач по ЭММ, изготавливаемых бригадой Решение задач по ЭММ, а именно,

Решение задач по ЭММ

Примечание 1.2. В данной задаче нет необходимости привязываться к какому-либо временному интервалу (в задаче №1.01 была привязка к суткам), поскольку здесь требуется найти не объем выпуска за определенное время, а способ распределения известной плановой величины заказа между бригадами.

Целевая функция

Целью решения задачи является выполнение плана с минимальными затратами, т.е. критерием эффективности решения служит показатель затрат на выполнение всего заказа. Поэтому ЦФ должна быть представлена формулой расчета этих затрат. Затраты каждой бригады на производство одного изделия Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ известны из условия. Таким образом, ЦФ имеет вид

Решение задач по ЭММ

Ограничения

Возможные объемы производства изделий бригадами ограничиваются следующими условиями:

• общее количество изделий Решение задач по ЭММ, выпущенное обеими бригадами, должно равняться 32 шт., а общее количество изделий Решение задач по ЭММ — 4 шт.;

• время, отпущенное на работу над данным заказом, составляет для бригады Решение задач по ЭММ — 9,5 ч, а для бригады Решение задач по ЭММ — 4 ч;

• объемы производства изделий не могут быть отрицательными величинами.

Таким образом, все ограничения задачи №1.02 делятся на 3 группы, обусловленные:

1) величиной заказа на производство изделий;

2) фондами времени, выделенными бригадам;

3) неотрицательностью объемов производства.

Для удобства составления ограничений запишем исходные данные в виде таблицы 1.2.

Решение задач по ЭММ

Ограничения по заказу изделий имеют следующую содержательную форму записи

Решение задач по ЭММ

Математическая форма записи имеет вид

Решение задач по ЭММ

Ограничение по фондам времени имеет содержательную форму

Решение задач по ЭММ
Решение задач по ЭММ

Проблема заключается в том, что в условии задачи прямо не задано время, которое тратят бригады на выпуск одного изделия Решение задач по ЭММ или Решение задач по ЭММ, т.е. не задана трудоемкость производства. Но имеется информация о производительности каждой бригады, т.е. о количестве производимых изделий в 1 ч. Трудоемкость Тр и производительность Пр являются обратными величинами, т.е.

Решение задач по ЭММ

Поэтому используя табл. 1.2, получаем следующую информацию:

Решение задач по ЭММ

Запишем ограничения по фондам времени в математическом виде

Решение задач по ЭММ

Неотрицательность объемов производства задается как

Решение задач по ЭММ

Таким образом, математическая модель этой задачи имеет вид

Решение задач по ЭММ

Возможно эта страница вам будет полезна:

Экономико-математические методы задачи с решением и примерами

Задача №1.03*

Для пошива одного изделия требуется выкроить из ткани 6 деталей. На швейной фабрике были разработаны два варианта раскроя ткани. В табл. 1.3 приведены характеристики вариантов раскроя 10 Решение задач по ЭММ ткани и комплектность, т.е. количество деталей определенного вида, которые необходимы для пошива одного изделия. Ежемесячный запас ткани для пошива изделий данного типа составляет 405 Решение задач по ЭММ. В ближайший месяц планируется сшить 90 изделий.

Постройте математическую модель задачи, позволяющую в ближайший месяц выполнить план по пошиву с минимальным количеством отходов.

Решение задач по ЭММ

Решение:

Переменные задачи. В данной задаче искомые величины явно не указаны, но сказано, что должен быть выполнен ежемесячный план по пошиву 90 изделий. Для пошива 90 изделий в месяц требуется раскроить строго определенное количество деталей. Крой производится из отрезов ткани по 10 Решение задач по ЭММ двумя различными способами, которые позволяют получить различное число деталей. Поскольку заранее неизвестно, сколько ткани будет раскраиваться первым способом и сколько — вторым, то в качестве искомых величин можно задать количество отрезов ткани по 10 Решение задач по ЭММ, раскроенных каждым из способов:

Решение задач по ЭММ — количество отрезов ткани по 10 Решение задач по ЭММ , раскроенных первым способом в течение месяца, [отрез./мес.];

Решение задач по ЭММ — количество отрезов ткани по 10 Решение задач по ЭММ , раскроенных вторым способом в течение месяца, [отрез./мес.].

Целевая функция

Целью решения задачи является выполнение плана при минимальном количестве отходов. Поскольку количество изделий строго запланировано (90 шт./мес.), то этот параметр не описывает ЦФ, а относится к ограничению, невыполнение которого означает, что задача не решена. А критерием эффективности выполнения плана служит параметр «количество отходов», который необходимо свести к минимуму. Поскольку при раскрое одного отреза (10 Решение задач по ЭММ) ткани по 1-му варианту получается 0,5 Решение задач по ЭММ отходов, а по 2-му варианту — 0,35 Решение задач по ЭММ (см. табл. 1.3), то общее количество отходов при крое (ЦФ) имеет вид

Решение задач по ЭММ

Ограничения

Количество раскроев ткани различными способами ограничивается следующими условиями:

• должен быть выполнен план по пошиву изделий, другими словами, общее количество выкроенных деталей должно быть таким, чтобы из него можно было пошить 90 изделий в месяц, а именно: деталей 1-го вида должно быть как минимум 90 и деталей остальных видов — как минимум по 180 (см. комплектность в табл. 1.3).

• расход ткани не должен превышать месячного запаса его на складе;

• количество отрезов раскроенной ткани не может быть отрицательным. Ограничения по плану пошива пальто имеют следующую содержательную форму записи

Решение задач по ЭММ

Математически эти ограничения записываются в виде

Решение задач по ЭММ

Ограничение по расходу ткани имеет следующие формы записи:

содержательную

Решение задач по ЭММ

и математическую

Решение задач по ЭММ

Неотрицательность количества раскроенных отрезов задается в виде

Решение задач по ЭММ

Таким образом, математическая модель задачи №1.03 имеет вид

Решение задач по ЭММ

Вопрос 1.1*. При составлении математической модели задачи на следующий месяц следует учесть, что с прошлого месяца, возможно, остались выкроенные, но неиспользованные детали. Как это сделать?

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по ЭММ

Графический метод решения одноиндексных задач

Графический метод довольно прост и нагляден для решения задач ЛП с двумя переменными. Он основан на геометрическом представлении допустимых решений и ЦФ задачи.

Каждое из неравенств задачи ЛП (1.1) определяет на координатной плоскости Решение задач по ЭММ некоторую полуплоскость (рис. 2.1), а система неравенств в целом — пересечение соответствующих плоскостей. Множество точек пересечения данных полуплоскостей называется областью допустимых решений (ОДР). ОДР всегда представляет собой выпуклую фигуру, т.е. обладающую следующим свойством: если две точки Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ принадлежат этой фигуре, то и весь отрезок Решение задач по ЭММ принадлежит ей. ОДР графически может быть представлена выпуклым многоугольником, неограниченной выпуклой многоугольной областью, отрезком, лучем, одной точкой. В случае несовместности системы ограничений задачи (1.1) ОДР является пустым множеством.

Примечание № 2.1. Все вышесказанное относится и к случаю, когда система ограничений (1.1) включает равенства, поскольку любое равенство

Решение задач по ЭММ

можно представить в виде системы двух неравенств (см. рис. 2.1)

Решение задач по ЭММ

Решение задач по ЭММ при фиксированном значении Решение задач по ЭММ определяет на плоскости прямую линию Решение задач по ЭММ. Изменяя значения Решение задач по ЭММ, мы получим семейство параллельных прямых, называемых линиями уровня.

Это связано с тем, что изменение значения Решение задач по ЭММ повлечет изменение лишь длины отрезка, отсекаемого линией уровня на оси Решение задач по ЭММ (начальная ордината), а угловой коэффициент прямой Решение задач по ЭММ останется постоянным (см. рис. 2.1).

Поэтому для решения будет достаточно построить одну из линий уровня, произвольно выбрав значение Решение задач по ЭММ.

Вектор Решение задач по ЭММ с координатами из коэффициентов ЦФ при Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ перпендикулярен к каждой из линий уровня (см. рис. 2.1). Направление вектора Решение задач по ЭММ совпадает с направлением возрастания ЦФ, что является важным моментом для решения задач. Направление убывания ЦФ противоположно направлению вектора Решение задач по ЭММ.

Суть графического метода заключается в следующем. По направлению (против направления) вектора Решение задач по ЭММ в ОДР производится поиск оптимальной точки Решение задач по ЭММ. Оптимальной считается точка, через которую проходит линия уровня Решение задач по ЭММ, соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции Решение задач по ЭММ. Оптимальное решение всегда находится на границе ОДР, например, в последней вершине многоугольника ОДР, через которую пройдет целевая прямая, или на всей его стороне.

При поиске оптимального решения задач ЛП возможны следующие ситуации: существует единственное решение задачи; существует бесконечное множество решений (альтернативный оптиум); ЦФ не ограничена; область допустимых решений — единственная точка; задача не имеет решений.

Решение задач по ЭММ

Возможно эта страница вам будет полезна:

Помощь по экономико математическим методам

Методика решения задач графическим методом

I. В ограничениях задачи (1.1) замените знаки неравенств на знаки точных равенств и постройте соответствующие прямые.

II. Найдите и заштрихуйте полуплоскости, разрешенные каждым из ограничений-неравенств задачи (1.1). Для этого подставьте в конкретное неравенство координаты какой-либо точки [например, (0;0)], и проверьте истинность полученного неравенства.

Если неравенство истинное, то надо заштриховать полуплоскость, содержащую данную точку;

иначе (неравенство ложное) надо заштриховать полуплоскость, не содержащую данную точку.

Поскольку Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ должны быть неотрицательными, то их допустимые значения всегда будут находиться выше оси Решение задач по ЭММ и правее оси Решение задач по ЭММ, т.е. в 1-м квадранте.

Ограничения-равенства разрешают только те точки, которые лежат на соответствующей прямой, поэтому выделите на графике такие прямые.

III. Определите ОДР как часть плоскости, принадлежащую одновременно всем разрешенным областям, и выделите ее. При отсутствии ОДР задача не имеет решении, о чем сделайте соответствующий вывод.

IV. Если ОДР — не пустое множество, то постройте целевую прямую, т.е. любую из линий уровня Решение задач по ЭММ, где Решение задач по ЭММ — произвольное число, например, кратное Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ, т.е. удобное для проведения расчетов. Способ построения аналогичен построению прямых ограничений.

V. Постройте вектор Решение задач по ЭММ, который начинается в точке (0;0), заканчивается в точке Решение задач по ЭММ. Если целевая прямая и вектор Решение задач по ЭММ построены верно, то они будут перпендикулярны.

VI. При поиске max ЦФ передвигайте целевую прямую в направлении вектора Решение задач по ЭММ, при поиске min ЦФ — против направления вектора Решение задач по ЭММ. Последняя по ходу движения вершина ОДР будет точкой max или min ЦФ. Если такой точки (точек) не существует, то сделайте вывод о неограниченности ЦФ на множестве планов сверху (при поиске max) или снизу (при поиске min).

VII. Определите координаты точки max (min) ЦФ Решение задач по ЭММ и вычислите значение ЦФ Решение задач по ЭММ. Для вычисления координат оптимальной точки Решение задач по ЭММ решите систему уравнений прямых, на пересечении которых находится Решение задач по ЭММ.

Задача №2.01

Найдем оптимальное решение задачи № 1.01 о красках, математическая модель которой имеет вид

Решение задач по ЭММ

Построим прямые ограничений, для чего вычислим координаты точек пересечения этих прямых с осями координат (рис. 2.2).

Решение задач по ЭММ

Прямая (4) проходит через точку Решение задач по ЭММ = 2 параллельно оси Решение задач по ЭММ.

Решение задач по ЭММ

Определим ОДР. Например, подставим точку (0;0) в исходное ограничение (3), получим 0 < 1, что является истинным неравенством, поэтому стрелкой (или штрихованием) обозначим полуплоскость, содержащую точку (0;0), т.е. расположенную правее и ниже прямой (3). Аналогично определим допустимые полуплоскости для остальных ограничений и укажем их стрелками у соответствующих прямых ограничений (см. рис. 2.2). Общей областью, разрешенной всеми ограничениями, т.е. ОДР является многоугольник Решение задач по ЭММ.

Целевую прямую можно построить по уравнению

Решение задач по ЭММ

Строим вектор Решение задач по ЭММ из точки (0;0) в точку (3;2). Точка Решение задач по ЭММ — это последняя вершина многоугольника допустимых решений Решение задач по ЭММ, через которую проходит целевая прямая, двигаясь по направлению вектора Решение задач по ЭММ. Поэтому Решение задач по ЭММ -это точка максимума ЦФ. Определим координаты точки Решение задач по ЭММ из системы уравнений прямых ограничений (1) и (2)

Решение задач по ЭММ

Максимальное значение ЦФ равно

Решение задач по ЭММ

[тыс. руб./сутки]. Таким образом, наилучшим режимом работы фирмы является ежесуточное производство краски 1-го вида в объеме Решение задач по ЭММ т и краски 2-го вида в объеме Решение задач по ЭММ— т. Доход от продажи красок составит Решение задач по ЭММ тыс. руб. в сутки.

Задача № 2.02

Решение задач по ЭММ

Построим ограничения (рис. 2.3).

Решение задач по ЭММ
Решение задач по ЭММ

Целевую прямую построим по уравнению

Решение задач по ЭММ

Определим ОДР. Ограничение-равенство (4) допускает только точки, лежащие на прямой (4). Подставим точку (0;0) в ограничение (3), получим 0 >9, что является ложным неравенством, поэтому стрелкой (или штрихованием) обозначим полуплоскость, не содержащую точку (0;0), т.е. расположенную выше прямой (3). Аналогично определим и укажем допустимые полуплоскости для остальных ограничений (см. рис. 2.3). Анализ полуплоскостей, допустимых остальными ограничениями-неравенствами, позволяет определить, что ОДР — это отрезок Решение задач по ЭММ.

Строим вектор Решение задач по ЭММ из точки (0;0) в точку (-2;-1). Для поиска минимума ЦФ двигаем целевую прямую против направления вектора Решение задач по ЭММ. Точка Решение задач по ЭММ — это последняя точка отрезка Решение задач по ЭММ, через которую проходит целевая прямая, т.е. Решение задач по ЭММ -точка минимума ЦФ.

Определим координаты точки Решение задач по ЭММ из системы уравнений прямых ограничений (3) и (4)

Решение задач по ЭММ

Минимальное значение ЦФ равно

Решение задач по ЭММ

При поиске точки максимума ЦФ будем двигать целевую прямую по направлению вектора Решение задач по ЭММ. Последней точкой отрезка Решение задач по ЭММ, а значит, и точкой максимума будет Решение задач по ЭММ. Определим координаты точки Решение задач по ЭММ из системы уравнений прямых ограничений (1) и (4)

Решение задач по ЭММ

Максимальное значение ЦФ равно

Решение задач по ЭММ

Таким образом, Решение задач по ЭММ — точка минимума, Решение задач по ЭММ; Решение задач по ЭММ — точка максимума, Решение задач по ЭММ.

Задача № 2.03

Решение задач по ЭММ

Построим ограничения (рис. 2.4)

Решение задач по ЭММ

Прямая (3) — проходит через точку Решение задач по ЭММ = 4 параллельно оси Решение задач по ЭММ. Целевую прямую построим по уравнению

Решение задач по ЭММ

Определим ОДР. Подставим точку (0;0) в ограничение (2), получим 0 > 5, что является ложным неравенством, поэтому стрелкой (или штрихованием) обозначим полуплоскость, не содержащую точку (0;0), т.е. расположенную правее и выше прямой (2).

Решение задач по ЭММ

Аналогично определим и укажем допустимые полуплоскости для остальных ограничений (см. рис.2.4). Анализ допустимых полуплоскостей позволяет определить, что ОДР — это незамкнутая область, ограниченная прямыми (2), (3), (4) и осью Решение задач по ЭММ.

Строим вектор Решение задач по ЭММ из точки (0;0) в точку (1;-3). Для поиска минимума ЦФ двигаем целевую прямую против направления вектора Решение задач по ЭММ. Поскольку в этом направлении ОДР не ограничена, то невозможно в этом направлении найти последнюю точку ОДР. Отсюда следует, что ЦФ не ограничена на множестве планов снизу (поскольку идет поиск минимума).

При поиске максимума ЦФ будем двигать целевую прямую по направлению вектора Решение задач по ЭММ до пересечения с вершиной Решение задач по ЭММ — последней точкой ОДР в этом направлении. Определим координаты точки Решение задач по ЭММ из системы уравнений прямых ограничений (2) и (4)

Решение задач по ЭММ

Максимальное значение ЦФ равно

Решение задач по ЭММ

Таким образом, в данной задаче ЦФ не ограничена на множестве планов снизу а Решение задач по ЭММ является точкой максимума ЦФ, Решение задач по ЭММ.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Курсовая работа по экономико математическим методам

Анализ чувствительности оптимального решения одноиндексных задач

Неизбежное колебание значений таких экономических параметров, как цены на продукцию и сырье, запасы сырья, спрос на рынке и т.д. может привести к неоптимальности или непригодности прежнего режима работы. Для учета подобных ситуаций проводится анализ чувствительности, т.е. анализ того, как возможные изменения параметров исходной модели повлияют на полученное ранее оптимальное решение задачи ЛП.

Для решения задач анализа чувствительности ограничения линейной модели классифицируются следующим образом. Связывающие ограничения проходят через оптимальную точку. Несвязывающие ограничения не проходят через оптимальную точку. Аналогично ресурс, представляемый связывающим ограничением, называют дефицитным, а ресурс, представляемый несвязывающим ограничением — недефицитным. Ограничение называют избыточным в том случае, если его исключение не влияет на ОДР и, следовательно, на оптимальное решение. Выделяют следующие три задачи анализа на чувствительность.

Решение задач по ЭММ

Анализ сокращения или увеличения ресурсов:

• на сколько можно увеличить (ограничения типа Решение задач по ЭММ) запас дефицитного ресурса для улучшения оптимального значения ЦФ?

• на сколько можно уменьшить (ограничения типа Решение задач по ЭММ) запас недефицитного ресурса при сохранении оптимального значения ЦФ?

  1. Увеличение (ограничения типа Решение задач по ЭММ) запаса какого из ресурсов наиболее выгодно?
  2. Анализ изменения коэффициентов ЦФ: каков диапазон изменения коэффициентов ЦФ, при котором не меняется оптимальное решение?

Методика графического анализа чувствительности оптимального решения

Первая задача анализа на чувствительность (анализ на чувствительность к правой части ограничений)

Проанализируем чувствительность оптимального решения задачи № 1.01 о производстве красок. ОДР задачи № 1.01 (рис. 3.1)- многоугольник Решение задач по ЭММ. В оптимальной точке Решение задач по ЭММ пересекаются прямые (1) и (2). Поэтому ограничения (1) и (2) являются связывающими, а соответствующие им ресурсы (ингредиенты Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ) — дефицитными.

Рассмотрим экономический смысл этих понятий. Точка максимума ЦФ Решение задач по ЭММ соответствует суточному производству Решение задач по ЭММ т краски 1-го вида и Решение задач по ЭММ т краски 2-го вида. В производстве красок используются ингредиенты Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ. Суточный запас на складе ингредиентов Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ — это правые части связывающих ограничений (1) и (2) (6 и 8 т ингр./сутки). Согласно этим ограничениям, на производство в точке Решение задач по ЭММ расходуется

Решение задач по ЭММ
Решение задач по ЭММ

Таким образом, понятие «связывающие ограничения» (1) и (2) означает, что при производстве красок в точке Решение задач по ЭММ запасы ингредиентов Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ расходуются полностью и по этой причине невозможно дальнейшее наращивание производства.

В этом заключается экономический смысл понятия дефицитности ресурсов, т.е. если фирма сможет увеличить суточные запасы ингредиентов, то это позволит увеличить выпуск красок.

В связи с этим возникает вопрос: до какого уровня целесообразно увеличить запасы ингредиентов и на сколько при этом увеличится оптимальное производство красок?

Правило № 3.1

Чтобы графически определить максимальное увеличение запаса дефицитного ресурса, вызывающее улучшение оптимального решения, необходимо передвигать соответствующую прямую в направлении улучшения ЦФ до тех пор, пока это ограничение не станет избыточным.

При прохождении прямой (1) через точку Решение задач по ЭММ (рис. 3.2) многоугольник Решение задач по ЭММ становится ОДР, а ограничение (1) — избыточным. Действительно, если удалить прямую (1), проходящую через точку Решение задач по ЭММ, то ОДР Решение задач по ЭММ не изменится. Точка Решение задач по ЭММ становится оптимальной, в этой точке ограничения (2) и (4) становятся связывающими.

Решение задач по ЭММ

Правило № 3.2

Чтобы численно определить максимальную величину запаса дефицитного ресурса, вызывающую улучшение оптимального решения, необходимо: 1) определить координаты точки Решение задач по ЭММ, в которой соответствующее ограничение становится избыточным;

2) подставить координаты Решение задач по ЭММ в левую часть соответствующего ограничения.

Координаты точки Решение задач по ЭММ(3;2) находятся путем решения системы уравнений прямых (2) и (4). Т.е. в этой точке фирма будет производить Зт краски 1-го вида и 2т краски 2-го вида. Подставим Решение задач по ЭММ в левую часть ограничения (1) и получим максимально допустимый запас ингредиента Решение задач по ЭММ

Решение задач по ЭММ

Дальнейшее увеличение запаса ингредиента Решение задач по ЭММ нецелесообразно, потому что это не изменит ОДР и не приведет к другому оптимальному решению (см. рис. 3.2). Доход от продажи красок в объеме, соответствующем точке Решение задач по ЭММ, можно рассчитать, подставив ее координаты (3;2) в выражение ЦФ

Решение задач по ЭММ

Рассмотрим вопрос о целесообразности увеличения запаса ингредиента Решение задач по ЭММ. Согласно правилу № 3.1, соответствующее ограничение (2) становится избыточным в точке Решение задач по ЭММ, в которой пересекаются прямая (1) и ось переменной Решение задач по ЭММ (рис. 3.3). Многоугольник Решение задач по ЭММ становится ОДР, а точка Решение задач по ЭММ(6;0) -оптимальным решением.

Решение задач по ЭММ

В точке Решение задач по ЭММ выгодно производить только краску 1-го вида (6 т в сутки). Доход от продажи при этом составит

Решение задач по ЭММ

Чтобы обеспечить такой режим работы, согласно правилу № 3.2, запас ингредиента В надо увеличить до величины

Решение задач по ЭММ

Ограничения (3) и (4) являются не связывающими, т.к. не проходят через оптимальную точку Решение задач по ЭММ (см. рис. 3.1). Соответствующие им ресурсы (спрос на краски) являются недефицитными. С экономической точки зрения это означает, что в данный момент уровень спроса на краски непосредственно не определяет объемы производства. Поэтому некоторое его колебание может никак не повлиять на оптимальный режим производства в точке Решение задач по ЭММ.

Например, увеличение (уменьшение) спроса на краску 2-го вида будет соответствовать перемещению прямой ограничения Решение задач по ЭММ (4) вверх (вниз). Перемещение прямой (4) вверх никак не может изменить точку Решение задач по ЭММ максимума ЦФ. Перемещение же прямой (4) вниз не влияет на существующее оптимальное решение только до пересечения с точкой Решение задач по ЭММ (см. правило № 3.3). Из рис. 3.1 видно, что дальнейшее перемещение (4) приведет к тому, что точка Решение задач по ЭММ будет за пределами новой ОДР, выделенной более темным цветом. Кроме того, любое оптимальное решение для этой новой ОДР будет хуже точки Решение задач по ЭММ.

Правило № 3.3

Чтобы определить максимальное уменьшение запаса недефицитного ресурса, не меняющее оптимальное решение,

необходимо передвигать соответствующую прямую до пересечения с оптимальной точкой.

Правило № 3.4

Чтобы численно определить минимальную величину запаса недефицитного ресурса, не меняющую оптимальное решение,

необходимо подставить координаты оптимальной точки в левую часть соответствующего ограничения.

Чтобы выяснить, до каких пределов падение спроса на краску 2-го вида не повлияет на производство в точке Решение задач по ЭММ используем правило № 3.4.

Подставляем в левую часть ограничения (4) координаты точки Решение задач по ЭММ, получаем

Решение задач по ЭММ

Делаем вывод: предельный уровень, до которого может упасть спрос на краску 2-го вида и при котором не изменится оптимальность полученного ране решения, равен Решение задач по ЭММ т краски в сутки.

Экономический смысл ограничения (3)

Решение задач по ЭММ

в том, что объем продаж краски 2-го вида может превысить объем продаж краски 1-го вида максимум на 1 т. Дальнейшее увеличение продаж краски 2-го вида по сравнению с краской 1-го вида графически отобразится перемещением прямой (3) влево и вверх, но никак не повлияет на оптимальность точки Решение задач по ЭММ. Но если разность спросов на краску 2-го и 1-го видов будет уменьшаться, то прямая (3) будет перемещаться ниже и правее. Последним положением прямой (3), при котором точка Решение задач по ЭММ остается оптимальной, является пересечение с точкой Решение задач по ЭММ (см. рис. 3.1). Согласно правилу № 3.4, подставим координаты точки

Решение задач по ЭММ

в левую часть ограничения (3)

Решение задач по ЭММ

Получаем, что разность спросов на краску 2-го и 1 -го вида в точке стала отрицательной. То есть, прохождение прямой (3) через точку Решение задач по ЭММ означает, что краску 2-го вида будут покупать в меньшем объеме, чем краску 1-го вида

Решение задач по ЭММ

Делаем вывод: максимальное превышение спроса на краску 1-го вида над спросом на краску 2-го вида, при котором оптимальное решение в точке Решение задач по ЭММ не изменится, составляет 2 т краски в сутки.

Результаты решения первой задачи анализа оптимального решения на чувствительность представлены в табл. 3.1.

Решение задач по ЭММ

Вторая задача анализа на чувствительность

Анализ табл. 3.1 показывает, что к улучшению оптимального решения, т.е. к увеличению суточного дохода приводит увеличение дефицитных ресурсов. Для определения выгодности увеличения этих ресурсов используют понятие ценности дополнительной единицы Решение задач по ЭММ-го ресурса Решение задач по ЭММ

Решение задач по ЭММ

где Решение задач по ЭММ — максимальное приращение оптимального значения ЦФ; Решение задач по ЭММ — максимально допустимый прирост объема Решение задач по ЭММ-го ресурса.

Например, из табл. 3.1 следует, что увеличение суточного запаса ингредиента Решение задач по ЭММ [ограничение (1)] на 1т позволит получить дополнительный доход, равный Решение задач по ЭММ тыс. руб. / сутки, в то время как увеличение запаса Решение задач по ЭММ [ограничение (2)] на 1т принесет Решение задач по ЭММтыс. руб. / сутки. Недефицитные ресурсы имеют нулевые ценности, поскольку изменение этих ресурсов не приводит к увеличению дохода.

Вывод: дополнительные вложения в первую очередь необходимо направлять на увеличение ресурса Решение задач по ЭММ, а лишь потом на ресурс Решение задач по ЭММ. Изменять недефицитные ресурсы нет необходимости.

Третья задача анализа на чувствительность

Графический анализ допустимого диапазона изменения цен

Изменение цен на продукцию, т.е. изменение коэффициентов ЦФ, представляется на графике вращением целевой прямой вокруг оптимальной точки. Так, при увеличении коэффициента ЦФ Решение задач по ЭММ или уменьшении Решение задач по ЭММ целевая прямая вращается по часовой стрелке. При уменьшении Решение задач по ЭММ или же увеличении Решение задач по ЭММ целевая прямая вращается против часовой стрелки (рис. 3.4).

При таких поворотах точка Решение задач по ЭММ будет оставаться оптимальной до тех пор, пока наклон целевой прямой не выйдет за пределы, определяемые наклонами прямых ограничений (1) и (2). Так, например, если наклон целевой прямой совпадет с наклоном прямой (1), то оптимальным решением будут точки отрезка Решение задач по ЭММ.

Решение задач по ЭММ

При совпадении с прямой (2) оптимальным решением будут точки отрезка Решение задач по ЭММ. Если целевая прямая выйдет за пределы наклона (1) или (2), то оптимальной точкой станет соответственно Решение задач по ЭММ или Решение задач по ЭММ.

Допустим, что цена на краску 2-го вида не меняется, т.е. зафиксируем значение целевого коэффициента Решение задач по ЭММ. Проанализируем графически результаты изменения значения целевого коэффициент Решение задач по ЭММ т.е. цены на краску 1-го вида. Оптимальное решение в точке Решение задач по ЭММ не будет меняться при увеличении Решение задач по ЭММ до тех пор, пока целевая прямая не совпадет с прямой (2). Аналогично, оптимальное решение в точке Решение задач по ЭММ не будет меняться при уменьшении Решение задач по ЭММ до тех пор, пока целевая прямая не совпадет с прямой (1).

Аналитический поиск допустимого диапазона изменения цен

Совпадение в процессе вращения целевой прямой с прямой ограничения означает, что углы их наклона относительно горизонтальной оси сравнялись, а значит, стали равны тангенсы углов наклона этих прямых.

Чтобы определить границы допустимого диапазона изменения коэффициента ЦФ, например Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ,

необходимо приравнять тангенс угла наклона целевой прямой Решение задач по ЭММ поочередно к тангенсам углов наклона прямых связывающих ограничений, например Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ (рис. 3.5 и 3.6).

Решение задач по ЭММ

Определим насколько максимально может снизиться цена на краску 1-го вида, не изменяя оптимальную точку Решение задач по ЭММ. Для этого применим правило № 3.5 и формулу расчета тангенса угла наклона прямой (рис. 3.7).

Решение задач по ЭММ

Определим тангенсы углов наклона:

1) целевой прямой Решение задач по ЭММ, учитывая, что Решение задач по ЭММ фиксировано

Решение задач по ЭММ

2) связывающего ограничения

Решение задач по ЭММ
Решение задач по ЭММ

3) связывающего ограничения

Решение задач по ЭММ
Решение задач по ЭММ

Для нахождения Решение задач по ЭММ целевая прямая должна совпасть с прямой (1) (см. рис. 3.5):

Решение задач по ЭММ
Решение задач по ЭММ

Для нахождения Решение задач по ЭММ целевая прямая должна совпасть с прямой (2) (см. рис. 3.6):

Решение задач по ЭММ

Таким образом, если цены на краску первого вида будут колебаться в пределах 1 < Решение задач по ЭММ < 4 тыс. руб. / т, то оптимальное решение задачи не изменится.

Из приведенных выше расчетов и графической их иллюстрации следует, что если цена на краску первого вида станет меньше 1 тыс. руб. / т (Решение задач по ЭММ <1), то наиболее выгодным будет производство красок в точке Решение задач по ЭММ (см. рис. 3.5). При этом общее потребление ингредиента Решение задач по ЭММ снизится, что приведет к его недефицитности [ресурс (2)], а дефицитными будут ресурсы (1) и (4).

Возможно эта страница вам будет полезна:

Контрольная по экономико математическим методам

Двухиндексные задачи линейного программирования. Построение моделей транспортной задачи

Задача о размещении (транспортная задача) — это РЗ, в которой работы и ресурсы измеряются в одних и тех же единицах. В таких задачах ресурсы могут быть разделены между работами, и отдельные работы могут быть выполнены с помощью различных комбинаций ресурсов. Примером типичной транспортной задачи (ТЗ) является распределение (транспортировка) продукции, находящейся на складах, по предприятиям-потребителям.

Стандартная ТЗ определяется как задача разработки наиболее экономичного плана перевозки продукции одного вида из нескольких пунктов отправления в пункты назначения. При этом величина транспортных расходов прямо пропорциональна объему перевозимой продукции и задается с помощью тарифов на перевозку единицы продукции.

Исходные параметры модели ТЗ

1) Решение задач по ЭММ — количество пунктов отправления, Решение задач по ЭММ — количество пунктов назначения.

2) Решение задач по ЭММ — запас продукции в пункте отправления Решение задач по ЭММ [ед. прод.].

3) Решение задач по ЭММ — спрос на продукцию в пункте назначения Решение задач по ЭММ [ед. прод.].

4) Решение задач по ЭММ — тариф (стоимость) перевозки единицы продукции из пункта отправления Решение задач по ЭММ в пункт назначения Решение задач по ЭММ [руб. / ед. прод.].

Искомые параметры модели ТЗ

1) Решение задач по ЭММ — количество продукции, перевозимой из пункта отправления Решение задач по ЭММ в пункт назначения Решение задач по ЭММ [ед. прод.].

2) Решение задач по ЭММ — транспортные расходы на перевозку всей продукции [руб.].

Этапы построения модели

I. Определение переменных.

И. Проверка сбалансированности задачи.

III. Построение сбалансированной транспортной матрицы.

IV. Задание ЦФ.

V. Задание ограничений.

Транспортная модель

Решение задач по ЭММ

ЦФ представляет собой общие транспортные расходы на осуществление всех перевозок в целом. Первая группа ограничений указывает, что запас продукции в любом пункте отправления должен быть равен суммарному объему перевозок продукции из этого пункта. Вторая группа ограничений указывает, что суммарные перевозки продукции в некоторый пункт потребления должны полностью удовлетворить спрос на продукцию в этом пункте. Наглядной формой представления модели ТЗ является транспортная матрица (табл. 4.1).

Решение задач по ЭММ

Из модели (4.1) следует, что сумма запасов продукции во всех пунктах отправления должна равняться суммарной потребности во всех пунктах потребления, т.е.

Решение задач по ЭММ

Если (4.2) выполняется, то ТЗ называется сбалансированной (закрытой), в противном случае — несбалансированной (открытой). В случае, когда суммарные запасы превышают суммарные потребности, необходим дополнительный фиктивный (реально не существующий) пункт потребления, который будет формально потреблять существующий излишек запасов, т.е.

Решение задач по ЭММ

Если суммарные потребности превышают суммарные запасы, то необходим дополнительный фиктивный пункт отправления, формально восполняющий существующий недостаток продукции в пунктах отправления:

Решение задач по ЭММ

Для фиктивных перевозок вводятся фиктивные тарифы Решение задач по ЭММ, величина которых обычно приравнивается к нулю Решение задач по ЭММ=0. Но в некоторых ситуациях величину фиктивного тарифа можно интерпретировать как штраф, которым облагается каждая единица недопоставленной продукции. В этом случае величина Решение задач по ЭММ может быть любым положительным числом.

Задача о назначениях — частный случай ТЗ. В задаче о назначениях количество пунктов отправления равно количеству пунктов назначения. Объемы потребности и предложения в каждом из пунктов назначения и отправления равны 1. Примером типичной задачи о назначениях является распределение работников по различным видам работ, минимизирующее суммарное время выполнения работ.

Переменные задачи о назначениях определяются следующим образом

Решение задач по ЭММ

Возможно эта страница вам будет полезна:

Заказать работу по экономико математическим методам

Стандартная транспортная задача

Задача № 4.01

Заводы некоторой автомобильной фирмы расположены в городах Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ. Основные центры распределения продукции сосредоточены в городах Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ. Объемы производства указанных трех заводов равняются 1000, 1300 и 1200 автомобилей ежеквартально. Величины квартального спроса в центрах распределения составляют 2300 и 1400 автомобилей соответственно. Стоимости перевозки автомобилей по железной дороге по каждому из возможных маршрутов приведены в табл. 4.2.

Решение задач по ЭММ

Постройте математическую модель, позволяющую определить количество автомобилей, перевозимых из каждого завода в каждый центр распределения, таким образом, чтобы общие транспортные расходы были минимальны.

Решение:

Определение переменных

Обозначим количество автомобилей, перевозимых из Решение задач по ЭММ-го завода в Решение задач по ЭММ-й пункт потребления через Решение задач по ЭММ.

Проверка сбалансированност и зада чи

Проверим равенство суммарного производства автомобилей и суммарного спроса

Решение задач по ЭММ

откуда следует вывод — задача несбалансирована, поскольку спрос на автомобили превышает объем их производства. Для установления баланса введем дополнительный фиктивный завод с ежеквартальным объемом производства 200 шт. (3700-3500 = 200). Фиктивные тарифы Решение задач по ЭММ приравняем к нулю (т.к. перевозки в действительности производиться не будут).

Построение транспортной матрицы

Согласно результатам проверки сбалансированности задачи № 4.01 в транспортной матрице должно быть четыре строки, соответствующих заводам и два столбца, соответствующих центрам распределения (см. табл. 4.3). Тариф перевозки обычно вписывают в правом нижнем углу клетки матрицы для удобства дальнейшего нахождения опорных планов задачи.

Решение задач по ЭММ

Задание ЦФ

Суммарные затраты в рублях на ежеквартальную перевозку автомобилей определяются по формуле

Решение задач по ЭММ

Модификации стандартной транспортной задачи

Недопустимые перевозки

Иногда в определенных направлениях перевозки продукции невозможны, например, по причине ремонта транспортных магистралей. Такие ситуации моделируются с помощью введения так называемых запрещающих тарифов Решение задач по ЭММ. Запрещающие тарифы должны сделать невыгодными перевозки в соответствующих направлениях. Для этого величина запрещающих тарифов должна быть больше реальных тарифов в транспортной матрице

Решение задач по ЭММ

Максимизация ЦФ

Существующий алгоритм решения транспортных задач (метод потенциалов) предполагает, что ЦФ стремится к минимуму. Однако существуют ситуации, когда в рамках транспортной модели требуется максимизировать ЦФ, например, общий доход, объем продаж, прибыль, качество выполняемых работ и т.д. В этом случае в модель вместо искомой ЦФ Решение задач по ЭММ вводится ЦФ Решение задач по ЭММ, в которой тарифы умножаются на (-1). Таким образом, максимизация Решение задач по ЭММ будет соответствовать минимизации Решение задач по ЭММ.

Много продуктовые модели

Если в задаче идет речь о том, что из каждого пункта отправления можно перевозить продукцию нескольких видов, то при построении модели можно использовать один из следующих вариантов:

• каждому виду продукции должна соответствовать одна транспортная матрица;

• все виды продукции представлены в одной общей матрице с использованием запрещающих тарифов в клетках, связывающих разные виды продукции.

Методы нахождения опорных планов

Опорный план является допустимым решением ТЗ и используется в качестве начального базисного решения при нахождении оптимального решения методом потенциалов. Существует три метода нахождения опорных планов: метод северо-западного угла, метод минимального элемента и метод Фогеля. «Качество» опорных планов, полученных этими методами, различается: в общем случае метод Фогеля дает наилучшее решение (зачастую оптимальное), а метод северо-западного угла — наихудшее.

Все существующие методы нахождения опорных планов отличаются только способом выбора клетки для заполнения. Само заполнение происходит одинаково независимо от используемого метода. Следует помнить, что перед нахождением опорного плана транспортная задача должна быть сбалансирована.

Метод северо-западного угла

На каждом шаге метода северо-западного угла из всех не вычеркнутых клеток выбирается самая левая и верхняя (северо-западная) клетка. Другими словами, на каждом шаге выбирается первая из оставшихся не вычеркнутых строк и первый из оставшихся не вычеркнутых столбцов.

Для того, чтобы заполнить клетку Решение задач по ЭММ, необходимо сравнить текущий запас товара в рассматриваемой Решение задач по ЭММ-й строке Решение задач по ЭММ с текущей потребностью в рассматриваемом Решение задач по ЭММ-м столбце Решение задач по ЭММ.

Если существующий запас позволяет перевезти всю потребность, то

• в клетку Решение задач по ЭММ в качестве перевозки вписывается значение потребности Решение задач по ЭММ;
Решение задач по ЭММ-й столбец вычеркивается, поскольку его потребность уже исчерпана;

• от существующего запаса в Решение задач по ЭММ-й строке отнимается величина сделанной перевозки, прежний запас зачеркивается, а вместо него записывается остаток, т.е. Решение задач по ЭММ.

Если существующий запас не позволяет перевезти всю потребность, то

• в клетку Решение задач по ЭММ в качестве перевозки вписывается значение запаса Решение задач по ЭММ;

Решение задач по ЭММ-я строка вычеркивается, поскольку ее запас уже исчерпан;

• от существующей потребности в Решение задач по ЭММ-й строке отнимается величина сделанной перевозки, прежняя потребность зачеркивается, а вместо нее записывается остаток, т.е. Решение задач по ЭММ

Нахождение опорного плана продолжается до тех пор, пока не будут вычеркнуты все строки и столбцы.

Метод минимального элемента

На каждом шаге метода минимального элемента из всех не вычеркнутых клеток транспортной матрицы выбирается клетка с минимальной стоимостью перевозки Решение задач по ЭММ. Заполнение выбранной клетки производится по правилам, описанным выше.

Метод Фогеля

На каждом шаге метода Фогеля для каждой Решение задач по ЭММ-й строки вычисляются штрафы Решение задач по ЭММ как разность между двумя наименьшими тарифами строки. Таким же образом вычисляются штрафы Решение задач по ЭММ для каждого Решение задач по ЭММ-го столбца. После чего

выбирается максимальный штраф из всех штрафов строк и столбцов. В строке или столбце, соответствующем выбранному штрафу, для заполнения выбирается не вычеркнутая клетка с минимальным тарифом Решение задач по ЭММ.

Если существует несколько одинаковых по величине максимальных штрафов в матрице, то в соответствующих строках или столбцах выбирается одна не вычеркнутая клетка с минимальным тарифом Решение задач по ЭММ.

Если клеток с минимальным тарифом также несколько, то из них выбирается клетка Решение задач по ЭММ с максимальным суммарным штрафом, т.е. суммой штрафов по Решение задач по ЭММ-й строке и Решение задач по ЭММ-му столбцу.

Формально и реальные и фиктивные столбцы и строки в транспортной матрице абсолютно равноправны. Поэтому при нахождении опорных планов фиктивные строки, столбцы и тарифы необходимо анализировать и использовать точно так же как и реальные. Но при вычислении значения ЦФ фиктивные перевозки не учитываются, поскольку они реально не были выполнены и оплачены.

Если величина фиктивных тарифов превышает максимальный из реальных тарифов задачи Решение задач по ЭММ, то методы минимального элемента и Фогеля позволяют получить более дешевые планы перевозок, чем в случае с нулевыми фиктивными тарифами.

Задача № 5.01

Найти тремя методами опорный план ТЗ, в которой запасы на трех складах равны 210, 170, 65 ед. продукции, потребности четырех магазинов равны 125, 90, 130, 100 ед. продукции, тарифы перевозки в рублях за единицу продукции следующие:

Решение задач по ЭММ

Решение:

Проверка сбалансированности задачи показывает, что суммарный объем запасов равен суммарному объему потребностей, т.е. введение фиктивных столбцов или строк не потребуется

Решение задач по ЭММ

Результаты нахождения опорного плана различными методами представлены в табл. 5.1, 5.2 и 5.3.

Решение задач по ЭММ

Опорный план Решение задач по ЭММ, найденный методом северо-западного угла

Решение задач по ЭММ

Соответствующая ЦФ (общие затраты на перевозку)

Решение задач по ЭММ

Опорный план Решение задач по ЭММ, найденный методом минимального элемента

Решение задач по ЭММ

На первом шаге нахождения опорного плана методом Фогеля возникает ситуация равенства значений максимальных штрафов транспортной матрицы (см. табл. 5.3)

Решение задач по ЭММ

Минимальные тарифы в этих столбцах также совпадают

Решение задач по ЭММ

Поэтому необходимо сравнить суммарные штрафы Решение задач по ЭММ клеток (2,1) и (3,2)

Решение задач по ЭММ

Т.к. Решение задач по ЭММ, то выбираем на первом шаге для заполнения клетку (2,1). Опорный план Решение задач по ЭММ, найденный методом Фогеля

Решение задач по ЭММ

Общая распределительная задача линейного программирования

Общая распределительная задача ЛП — это РЗ, в которой работы и ресурсы (исполнители) выражаются в различных единицах измерения. Типичным примером такой задачи является организация выпуска разнородной продукции на оборудовании различных типов.

Исходные параметры модели РЗ

1) Решение задач по ЭММ — количество исполнителей;

2) Решение задач по ЭММ — количество видов выполняемых работ;

3) Решение задач по ЭММ — запас рабочего ресурса исполнителя Решение задач по ЭММ [ед. ресурса];

4) Решение задач по ЭММ — план по выполнению работы Решение задач по ЭММ [ед. работ];

5) Решение задач по ЭММ — стоимость выполнения работы Решение задач по ЭММ исполнителем Решение задач по ЭММ [руб./ед. работ];

6) Решение задач по ЭММ — интенсивность выполнения работы Решение задач по ЭММ исполнителем Решение задач по ЭММ [ед. работ / ед. ресурса].

Искомые параметры модели РЗ

1) Решение задач по ЭММ — планируемая загрузка исполнителя Решение задач по ЭММ при выполнении работ Решение задач по ЭММ [ед. ресурса];

2) Решение задач по ЭММ — количество работ Решение задач по ЭММ, которые должен будет произвести исполнитель Решение задач по ЭММ [ед. работ];

3) Решение задач по ЭММ — общие расходы на выполнение всего запланированного объема работ [руб.].

Этапы построения модели

I. Определение переменных.

II. Построение распределительной матрицы (см. табл. 6.1).

III. Задание ЦФ.

IV. Задание ограничений.

Решение задач по ЭММ

где Решение задач по ЭММ — это количество работ Решение задач по ЭММ-го вида, выполненных Решение задач по ЭММ-м исполнителем.

Этапы решения РЗ

I. Преобразование РЗ в ТЗ:

1) выбор базового ресурса и расчет нормированных производительностей ресурсов Решение задач по ЭММ:

Решение задач по ЭММ

2) пересчет запаса рабочего ресурса исполнителей Решение задач по ЭММ:

Решение задач по ЭММ

3) пересчет планового задания Решение задач по ЭММ:

Решение задач по ЭММ

4) пересчет себестоимостей работ:

Решение задач по ЭММ

II. Проверка баланса пересчитанных параметров Решение задач по ЭММ и построение транспортной матрицы.

III. Поиск оптимального решения ТЗ Решение задач по ЭММ.

IV. Преобразование оптимального решения ТЗ Решение задач по ЭММ в оптимальное решение РЗ Решение задач по ЭММ, причем переход Решение задач по ЭММ выполняется по формуле (6.6)

Решение задач по ЭММ

где Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ — соответственно элементы решения РЗ и ТЗ.

V. Определение количества работ Решение задач по ЭММ, соответствующее

Решение задач по ЭММ

VI. Определение ЦФ распределительной задачи Решение задач по ЭММ согласно (6.1).

Задача № 6.01

На фабрике эксплуатируются три типа ткацких станков, которые могут выпускать четыре вида тканей. Известны следующие данные о производственном процессе:

• производительности станков по каждому виду ткани, м/ч

Решение задач по ЭММ

себестоимость тканей, руб./м

Решение задач по ЭММ

• фонды рабочего времени станков (Решение задач по ЭММ): 90, 220, 180 ч;

• планируемый объем выпуска тканей (Решение задач по ЭММ): 1200, 900, 1800, 840 м.

Требуется распределить выпуск ткани по станкам с целью минимизации общей себестоимости производства ткани.

Решение:

Пусть переменные Решение задач по ЭММ — это время, в течение которого Решение задач по ЭММ-й станок будет выпускать Решение задач по ЭММ-ю ткань. Сведем исходные данные задачи в распределительную таблицу (табл. 6.2).

Решение задач по ЭММ

ЦФ имеет смысл себестоимости выпуска запланированного количества ткани всех видов

Решение задач по ЭММ

Ограничения имеют вид

Решение задач по ЭММ

Преобразуем РЗ в ТЗ, т.е. представим исходную задачу в виде, когда ткани производит только один станок — базовый и все параметры задачи согласуем с его характеристиками. В качестве базового можно выбирать любой из станков. Мы выберем станок с максимальной производительностью, т.е. Решение задач по ЭММ. По формуле (6.2) определим производительности станков Решение задач по ЭММ, нормированные относительно производительности базового станка:

Решение задач по ЭММ

Таким образом, базовый станок работает в два раза быстрей второго станка и в три раза быстрей третьего.

Пересчитаем фонды времени станков по формуле (6.3):

Решение задач по ЭММ

Из этих величин следует, что тот объем работ, который второй станок выполняет за свой фонд времени 220 ч базовый станок сможет выполнить за 110 ч. Аналогично объем работ, который третий станок выполняет за 180 ч базовый выполнит за 60 ч.

Пересчитаем плановое задание по формуле (6.4):

Решение задач по ЭММ

Отсюда следует, что план выпуска первого вида ткани базовый станок выполнит за 50 ч, второго вида — за 30 ч и т.д.

Пересчет себестоимостей производим по формуле (6.5), например:

Решение задач по ЭММ

В полученной ТЗ условие баланса (4.2) не выполняется, т.к. суммарный фонд времени станков больше, чем это необходимо для выполнения плана по выпуску всех тканей (260 ч > 200 ч). Введем фиктивный столбец Решение задач по ЭММ и запишем все пересчитанные параметры РЗ в транспортную матрицу (см. табл. 6.3). Фиктивные тарифы для упрощения приравняем к нулю.

Решение задач по ЭММ

Для упрощения вместо оптимального решения рассмотрим опорный план Решение задач по ЭММ , найденный методом северо-западного угла.

Решение задач по ЭММ

Преобразуем опорный план ТЗ Решение задач по ЭММ в опорный план РЗ Решение задач по ЭММ согласно (6.6)

Решение задач по ЭММ

Таким образом, первый станок должен 50 ч производить ткань первого вида, 30 ч — ткань второго вида и 10 ч- ткань третьего вида. Второй станок должен 180 ч производить ткань третьего вида и 40 ч — ткань четвертого вида. Решение задач по ЭММ третий станок будет простаивать, не выпуская ткань вообще, т.к. согласно решению, его загрузка находится в фиктивном столбце Решение задач по ЭММ

Определим, сколько метров ткани каждого вида должны произвести станки по формуле (6.7)

Решение задач по ЭММ

Определим общую себестоимость производства по формуле (6.1), используя вычисленные значения элементов матрицы Решение задач по ЭММ

Решение задач по ЭММ

Сетевое планирование. Построение сетевых моделей

Построение сетевой модели (структурное планирование) начинается с разбиения проекта на четко определенные работы, для которых определяется продолжительность. Работа — это некоторый процесс, приводящий к достижению определенного результата, требующий затрат каких-либо ресурсов и имеющий протяженность во времени. По количеству затрачиваемого времени работа может быть:

• действительной, т.е. требующей затрат времени;

• фиктивной, т.е. формально не требующей затрат времени. Фиктивная работа может реально существовать, например, «передача документов от одного отдела к другому». Если продолжительность такой работы несоизмеримо мала по сравнению с продолжительностью других работ проекта, то формально ее принимают равной 0. Существуют фиктивные работы, которым в реальности не соответствуют никакие действия. Такие фиктивные работы только представляют связь между другими работами сетевой модели.

Работы связаны друг с другом таким образом, что выполнение одних работ может быть начато только после завершения некоторых других. Событие — это момент времени, когда завершаются одни работы и начинаются другие. Событие представляет собой результат проведенных работ и, в отличие от работ, не имеет протяженности во времени.

Взаимосвязь работ и событий, необходимых для достижения конечной цели проекта, изображается с помощью сетевого графика (сетевой модели). Работы изображаются стрелками, которые соединяют вершины, изображающие события. Начало и окончание любой работы описываются парой событий, которые называются начальным и конечным событиями.

Поэтому для указания конкретной работы используют код работы Решение задач по ЭММ, состоящий из номеров начального (Решение задач по ЭММ-го) и конечного (Решение задач по ЭММ-го) событий (рис. 7.1).

Решение задач по ЭММ

Любое событие может считаться наступившим только тогда, когда закончатся все входящие в него работы. Поэтому работы, выходящие из некоторого события, не могут начаться, пока не будут завершены все работы, входящие в это событие. Событие, не имеющее предшествующих ему событий, т.е. с которого начинается проект, называют исходным. Событие, которое не имеет последующих событий и отражает конечную цель проекта, называется завершающим.

Методические рекомендации по построению сетевых моделей

При построении сетевого графика необходимо следовать следующим правилам:

  • длина стрелки не зависит от времени выполнения работы;
  • стрелка может не быть прямолинейным отрезком;
  • для действительных работ используются сплошные, а для фиктивных -пунктирные стрелки;
  • каждая операция должна быть представлена только одной стрелкой;
  • между одними и теми же событиями не должно быть параллельных работ, т.е. работ с одинаковыми кодами;
  • следует избегать пересечения стрелок;
  • не должно быть стрелок, направленных справа налево;
  • номер начального события должен быть меньше номера конечного события;
  • не должно быть висячих событий (т.е. не имеющих предшествующих событий), кроме исходного;
  • не должно быть тупиковых событий (т.е. не имеющих последующих событий), кроме завершающего;
  • не должно быть циклов (рис. 7.2).
Решение задач по ЭММ

Исходные данные для построения сетевой модели могут задаваться различными способами, например,

• описанием предполагаемого проекта. В этом случае необходимо самостоятельно разбить его на отдельные работы и установить их взаимные связи;

• списком работ проекта. В этом случае необходимо проанализировать содержание работ и установить существующие между ними связи;

• списком работ проекта с указанием их упорядочения. В этом случае необходимо только отобразить работы на сетевом графике.

Построение сетевого графика необходимо начинать с выявления исходных работ модели. Если согласно условию некоторая работа может выполняться, не ожидая окончания каких-либо других работ, то такая работа является исходной в сетевой модели и ее начальным событием является исходное событие. Если исходных работ несколько, то их стрелки выходят все из одного исходного события.

Если, согласно условию, после окончания некоторой работы не должны выполняться никакие другие работы, то такая работа является завершающей работой сетевой модели и ее конечным событием является завершающее событие. Если завершающих исходных работ несколько, то их стрелки заходят все в одно завершающее событие.

Если, согласно условию, несколько работ имеют общее начальное и общее конечное события, то они являются параллельными, имеют одинаковый код, что недопустимо. Для устранения параллельности работ вводят дополнительное событие и фиктивную работу (которой в реальности не соответствует никакое действие) таким образом, чтобы конечные события работ различались (рис. 7.3.).

Решение задач по ЭММ

Задача № 7.01

Постройте сетевую модель программы опроса общественного мнения, которая включает разработку (Решение задач по ЭММ; 1 день) и распечатку анкет (Решение задач по ЭММ; 0,5 дня), прием на работу (Решение задач по ЭММ; 2 дня) и обучение (Решение задач по ЭММ; 2 дня) персонала, выбор опрашиваемых лиц (Решение задач по ЭММ; 2 дня), рассылку им анкет (Решение задач по ЭММ; 1 день) и анализ полученных данных (Решение задач по ЭММ; 5 дней).

Решение:

Из условия задачи нам известно содержание работ, но явно не указаны взаимосвязи между работами. Поэтому для их установления необходимо проанализировать смысл каждой конкретной работы и выяснить, какие из остальных работ должны ей непосредственно предшествовать. Исходной работой, начинающей сетевой график, в данном случае является «прием на работу» (Решение задач по ЭММ), поскольку все остальные работы должны выполняться уже принятыми на работу сотрудниками (рис. 7.4). Перед выполнением всех работ по опросу общественного мнения сотрудников необходимо обучить персонал (Решение задач по ЭММ). Перед тем как разослать анкеты (Решение задач по ЭММ), их надо разработать (Решение задач по ЭММ), распечатать (Решение задач по ЭММ) и выбрать опрашиваемых лип (Решение задач по ЭММ), причем работу с анкетами и выбор лиц можно выполнять одновременно. Завершающей работой проекта является анализ полученных данных (Решение задач по ЭММ), который нельзя выполнить без предварительной рассылки анкет (Решение задач по ЭММ). В результате этих рассуждений построим сетевую модель и пронумеруем события модели (см. рис. 7.4).

Решение задач по ЭММ

Задача № 7.02

Постройте сетевую модель, включающую работы Решение задач по ЭММ, которая отображает следующее упорядочение работ:

1) Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ — исходные операции проекта;

2) Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ предшествуют Решение задач по ЭММ;

3) Решение задач по ЭММ предшествует Решение задач по ЭММ, Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ;

4) Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ предшествует Решение задач по ЭММ;

5) Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ предшествуют Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ;

6) Решение задач по ЭММ, Решение задач по ЭММ, Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ предшествуют Решение задач по ЭММ;

7) Решение задач по ЭММ предшествует Решение задач по ЭММ.

Решение:

В пункте 1) условия явно указано, что Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ являются исходными работами, поэтому изобразим их тремя стрелками, выходящими из исходного события 1. Пункт 2) условия означает, что стрелки работ Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ должны окончиться в одном событии, из которого выйдет стрелка работы Решение задач по ЭММ. Но поскольку стрелки работ Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ также и начинаются в одном событии, то имеет место параллельность работ, которая недопустима правилами построения сетевых моделей (см. рис. 7.5).

Решение задач по ЭММ

Для ее устранения введем дополнительное событие 2, в которое войдет работа Решение задач по ЭММ, после чего соединим события 2 и 3, в которые входят работы Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ пунктирной стрелкой фиктивной работы. В данном случае фиктивная работа (2,3) не соответствует никакой реальной работе, а лишь отображает логическую связь между работами Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ. Дальнейшее построение рассмотрим с помощью рис. 7.6.

Решение задач по ЭММ

Согласно пункту 3) условия задачи из события 2, выходят три стрелки работ Решение задач по ЭММ, Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ. Согласно пункту 4) условия задачи стрелки работ Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ должны войти в общее событие, из которого выйдет стрелка работы Решение задач по ЭММ. Проблема с параллельностью работ Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ [пункт 5) условия задачи] решается путем введения дополнительного события 5 и фиктивной работы (5,6). Для отображения в сетевой модели пункта 6) условия задачи введем стрелки работ Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ в событие 7, а связь работ Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ с работой Решение задач по ЭММ отобразим с помощью фиктивной работы (4,7). Стрелки работ Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ нельзя было напрямую вводить в событие 7, потому что после них должна следовать работа Решение задач по ЭММ, которая с работами Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ никак не связана. Стрелка работы Решение задач по ЭММ выходит из события 8, т.е. после окончания работы Решение задач по ЭММ в соответствии с пунктом 7) условия задачи.

Поскольку в условии не указано, что работы Решение задач по ЭММ, Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ предшествуют каким-либо другим работам, то эти работы являются завершающими и их стрелки войдут в завершающее событие 9. Нумерацию событий проводят после построения сетевого графика, следя за тем, чтобы номер начального события каждой работы был меньше номера ее конечного события.

Расчет и анализ сетевых моделей

Календарное планирование предусматривает определение моментов начала и окончания каждой работы и других временных характеристик сетевого графика. Это позволяет проанализировать сетевую модель, выявить критические работы, непосредственно определяющие срок выполнения проекта, провести оптимизацию использования ресурсов (временных, финансовых, исполнителей).

Расчет сетевой модели начинают с временных параметров событии, которые вписывают непосредственно в вершины сетевого графика (рис. 8.1):

Решение задач по ЭММ — ранний срок наступления события Решение задач по ЭММ, минимально необходимый для выполнения всех работ, которые предшествуют событию Решение задач по ЭММ;

Решение задач по ЭММ — поздний срок наступления события Решение задач по ЭММ, превышение которого вызовет аналогичную задержку наступления завершающего события сети;

Решение задач по ЭММ — резерв события Решение задач по ЭММ, т.е. время, на которое может быть отсрочено наступление события Решение задач по ЭММ без нарушения сроков завершения проекта в целом.

Решение задач по ЭММ

Ранние сроки свершения событий Решение задач по ЭММ рассчитываются от исходного (И)

к завершающему (3) событию следующим образом:

1) для исходного события И Решение задач по ЭММ;

2) для всех остальных событий I

Решение задач по ЭММ

где максимум берется по всем работам Решение задач по ЭММ, входящим в событие Решение задач по ЭММ — длительность» работы Решение задач по ЭММ (рис. 8.2).

Решение задач по ЭММ

Поздние сроки свершения событий Решение задач по ЭММ рассчитываются от завершающего к исходному событию:

1) для завершающего события 3 Решение задач по ЭММ

2) для всех остальных событий

Решение задач по ЭММ

где минимум берется по всем работам Решение задач по ЭММ, выходящим из события Решение задач по ЭММ — длительность работы Решение задач по ЭММ

Решение задач по ЭММ

Временные параметры работ определяются на основе ранних и поздних сроков событий:

Решение задач по ЭММ

максимальное время, на которое можно увеличить длительность работы Решение задач по ЭММ или отсрочить ее начало, чтобы не нарушился срок завершения проекта в целом;

Решение задач по ЭММ — свободный резерв работы показывает

максимальное время, на которое можно увеличить продолжительность работы Решение задач по ЭММ или отсрочить ее начало, не меняя ранних сроков начала последующих работ.

Путь — это последовательность работ в сетевом графике (в частном случае это одна работа), в которой конечное событие одной работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы. Полный путь — это путь от исходного до завершающего события. Критический путь — максимальный по продолжительности полный путь. Работы, лежащие на критическом пути, называют критическими. Критические работы имеют нулевые свободные и полные резервы. Подкритический путь — полный путь, ближайший по длительности к критическому пути.

Для проведения анализа временных параметров сетевой модели используют график привязки, который отображает взаимосвязь выполняемых работ во времени. По вертикальной оси графика привязки откладываются коды работ, по горизонтальной оси — отрезки, соответствующие длительностям работ (раннее начало и раннее окончание работ). График привязки можно построить на основе данных о продолжительности работ. При этом необходимо помнить, что работа Решение задач по ЭММ может выполняться только после того как будут выполнены все предшествующие ей работы Решение задач по ЭММ.

Задача № 8.01

Компания разрабатывает строительный проект. Исходные данные по основным операциям проекта представлены в табл. 8.1. Постройте сетевую модель проекта, определите критические пути модели и проанализируйте, как влияет на ход выполнения проекта задержка работы Решение задач по ЭММ на 4 недели.

Решение задач по ЭММ

Решение:

Построим сетевую модель и рассчитаем временные параметры событий (рис. 8.3). При поиске критических путей на сетевом графике будем использовать следующие условия его критичности:

• необходимое условие- нулевые резервы событий, лежащих на крит ическом нут и;

• достаточное условие — нулевые полные резервы работ, лежащих на крит ическом нут и.

Согласно необходимому условию два полных пути сетевой модели (см. рис. 8.3)

Решение задач по ЭММ

могут быть критическими. Проверим достаточное условие критичности для работ (1,2) и (1,3)

Решение задач по ЭММ

Путь Решение задач по ЭММ, начинающийся с работы (1,3) не является критическим, т.к. как минимум одна из его работ (1,3) не является критической. Работа (1,3) имеет ненулевой полный резерв, а значит может быть задержана с выполнением, что недопустимо для критических работ.

Таким образом, сетевая модель имеет единственный критический путь Решение задач по ЭММ длительностью Решение задач по ЭММ недель. За выполнением работ этого пути необходим особый контроль, т.к. любое увеличение их длительности нарушит срок выполнения проекта в целом.

Работа Решение задач по ЭММ или (2,5) не является критической, ее полный резерв равен 3-м неделям. Это означает, что при задержке работы в пределах 3-х недель срок выполнения проекта не будет нарушен. Поэтому если согласно условию работа Решение задач по ЭММ задержится на 4 недели, то весь проект закончится на 1 неделю позже.

Решение задач по ЭММ

Задача № 8.02

По данным о кодах и длительностях работ в днях (табл. 8.2) постройте график привязки сетевой модели, определите критические пути и их длительность. Определите свободные и полные резервы каждой работы, отметьте на графике привязки свободные резервы работ.

Решение задач по ЭММ

Общие рекомендации

При поиске критических путей следует помнить, что признаком критической работы являются нулевые значения резервов времени. Это означает, что каждая последующая критическая работа будет начинаться строго в момент окончания предыдущей критической работы. Вследствие этого сдвиг любой из работ критического пути обязательно приведет к увеличению первоначальной длительности проекта (Ткр). Кроме того, следует

учесть, что критический путь является полным, т.е. соединяет исходное и завершающее события сети. Поэтому на графике привязки первая из работ критического пути всегда начинается в исходном событии сети с нулевого (начального) момента времени, а последняя из работ критического пути всегда завершается позже всех остальных работ сети в завершающем событии.

Из вышеприведенных соображений следует способ определения критического пути на графике привязки (все найденные работы выписываются последовательно справа налево)’.

1) найти на графике привязки и выписать работу Решение задач по ЭММ, которая заканчивается позже всех остальных. Это будет последняя работа критического пути (ее конечное событие иметь номер завершающего события сети);

2) из всех работ сети Решение задач по ЭММ, конечное событие которых Решение задач по ЭММ совпадает с начальным событием Решение задач по ЭММ работы Решение задач по ЭММ, найденной в п. 1), выбрать и выписать ту, которая на графике вплотную примыкает к работе Решение задач по ЭММ;

3) из всех работ сети Решение задач по ЭММ, конечное событие которых к совпадает с начальным событием Решение задач по ЭММ работы Решение задач по ЭММ, найденной в п. 2), выбрать и выписать ту, которая на графике вплотную примыкает к работе Решение задач по ЭММ;

4) продолжать п. 3) до тех пор, пока не будет найдена исходная работа сети, т.е. начинающаяся в нулевой момент времени (ее начальное событие будет иметь номер исходного события сети, например, 1).

Следует заметить, что если в сетевой модели несколько критических путей, то, выполняя вышеописанные действия, можно обнаружить несколько работ, удовлетворяющих сформулированным требованиям. В таком случае необходимо продолжать поиск по каждой из таких работ в отдельности. В сложных сетевых моделях подобные разветвления могут привести к большим затратам времени на поиск критически путей. Тем не менее, такой способ хорош для учебных целей, поскольку дает понимание значения критических работ в сетевой модели и учит «читать» и понимать график привязки.

Решение:

I. Поиск критических путей

1) Построим график привязки (рис. 8.4).

Решение задач по ЭММ

2) Начнем поиск критических путей (справа налево) с работ, завершающих проект. На графике привязки (см. рис. 8.4) две работы (6,7) и (3,7), которые заканчиваются позже остальных в завершающем событии № 7. Записываем работы, определенные как критические справа налево

Решение задач по ЭММ

3) Найдем критическую работу из Решение задач по ЭММ, предшествующую (6,7). Код этой работы должен оканчиваться на 6. Таких работ две — (4,6) и (3,6). Но только одна из них, работа (3,6) по времени своего окончания вплотную «примыкает» на графике к началу работы (6,7). Допишем слева найденную критическую работу (3,6) к выражению (8.1)

Решение задач по ЭММ

4) Найдем критическую работу из Решение задач по ЭММ, предшествующую (3,6). Код этой работы должен оканчиваться на 3. Таких работ две — (2,3) и (1,3). Но только одна из них, работа (2,3) по времени своего окончания вплотную «примыкает» на графике к началу работы (3,6). Допишем слева найденную критическую работу (2,3) к выражению (8.2)

Решение задач по ЭММ

5) Найдем критическую работу из Решение задач по ЭММ, предшествующую (2,3). Код этой работы должен оканчиваться на 2. Работа (1,2) по времени своего окончания вплотную «примыкает» на графике к началу работы (2,3). С этой работы начинается критический путь Решение задач по ЭММ

Решение задач по ЭММ

6) Аналогичный поиск работ критического пути Решение задач по ЭММ приводит к результату

Решение задач по ЭММ

В другой форме записи

Решение задач по ЭММ

7) Для наглядности выделим на графике привязки критические работы жирной линией.

II. Поиск резервов работ

1) Для всех найденных критических работ впишем в табл.3 нулевые значения свободного и полного резервов. Рассмотрим некритические работы, начиная с конца табл. 8.3.

Решение задач по ЭММ

2) Работа (5,7), согласно графику привязки (см. рис. 8.4) заканчивается в 13-й день, а завершающее событие 7 сети, в которое она входит, наступает лишь в 14-й день. Т.е. если работа (5,7) задержится на 1 день, то это не повлияет на срок выполнения проекта Решение задач по ЭММ. Поскольку (5,7) завершающая работа сети, то ее полный и свободный резервы равны

Решение задач по ЭММ

3) Работа (4,6) заканчивается в 8-й день, в то время как последующая работа (6,7) начинается в 10-й день. То есть, работа (4,6) может задержаться на 2 дня и это никак не повлияет на время начала последующей работы (6,7), т.е.

Решение задач по ЭММ

Правило А№ 8.1

Полный резерв любой работы складывается из собственного свободного резерва и минимального из полных резервов непосредственно следующих работ.

За работой (4,6) следует только критическая работа (6,7) с нулевым полным резервом. Поэтому

Решение задач по ЭММ

4) Работа (4,5) заканчивается в 12-й день, в этот же день начинается следующая работа (5,7), т.е. любая задержка выполнения работы (4,5) приведет к задержке начала работы (5,7). Это означает, что работа (4,5) не имеет свободного резерва Решение задач по ЭММ. Но если сдвинуть во времени работу (4,5) на 1 день, то работа (5,7) также сдвинется на 1 день и это не нарушит срок выполнения проекта, т.к. у работы (5,7) есть временной резерв. Таким образом согласно правилу № 8.1

Решение задач по ЭММ

5) Работа (1,5) заканчивается в 10-й день, в то время как последующая работа (5,7) начинается в 12-й день. Т.е. работа (1,5) может задержаться на 2 дня и это никак не повлияет на время начала последующей работы (5,7), т.е. Решение задач по ЭММ. Кроме того, поскольку последующая работа (5,7) имеет резерв в 1 день, то, в общем, работу (1,5) можно сдвинуть на 3 дня и это не нарушит сроков проекта (см. рис. 8.4), т.е.

Решение задач по ЭММ

6) Работа (1,4) заканчивается во 2-й день, и в этот же день начинаются следующие работы (4,5) и (4,6). Т.е. работа (1,4) не имеет свободного резерва времени Решение задач по ЭММ. Поскольку после работы (1,4) следуют две работы с различными полными резервами, то согласно правилу № 8.1

Решение задач по ЭММ

7) Работа (1,3) заканчивается в 3-й день, а следующие за ней работы (3,6) и (3,7) начинаются в 5-й день, т.е. Решение задач по ЭММ. Поскольку обе последующие работы критические, то полный и свободный резерв работы (1,3) совпадают

Решение задач по ЭММ

8) Ненулевые свободные резервы работ обозначены на графике привязки фигурными скобками (см. рис. 8.4).

Регрессионный и корреляционный анализ

Регрессионный и корреляционный анализ позволяет установить и оценить зависимость изучаемой случайной величины Решение задач по ЭММ от одной или нескольких других величин Решение задач по ЭММ, и делать прогнозы значений Решение задач по ЭММ. Параметр Решение задач по ЭММ, значение которого нужно предсказывать, является зависимой переменной. Параметр Решение задач по ЭММ, значения которого нам известны заранее и который влияет на значения Решение задач по ЭММ, называется независимой переменной. Например, Решение задач по ЭММ — количество внесенных удобрений, Решение задач по ЭММ — снимаемый урожай; Решение задач по ЭММ — величина затрат компании на рекламу своего товара, Решение задач по ЭММ — объем продаж этого товара и т.д.

Корреляционная зависимость Решение задач по ЭММ от Решение задач по ЭММ — это функциональная зависимость

Решение задач по ЭММ

где Решение задач по ЭММ — среднее арифметическое (условное среднее) всех возможных значений параметра Решение задач по ЭММ, которые соответствуют значению Решение задач по ЭММ. Уравнение (9.1) называется уравнением регрессии Решение задач по ЭММ на Решение задач по ЭММ, функция Решение задач по ЭММ — регрессией Решение задач по ЭММ на Решение задач по ЭММ, а ее график — линией регрессии Решение задач по ЭММ на Решение задач по ЭММ.

Основная задача регрессионного анализа — установление формы корреляционной связи, т.е. вида функции регрессии (линейная, квадратичная, показательная и т.д.).

Метод наименьших квадратов позволяет определить коэффициенты уравнения регрессии таким образом, чтобы точки, построенные по исходным данным Решение задач по ЭММ, лежали как можно ближе к точкам линии регрессии (9.1).

Формально это записывается как минимизация суммы квадратов отклонений (ошибок) функции регрессии и исходных точек

Решение задач по ЭММ

где Решение задач по ЭММ — значение, вычисленное по уравнению регрессии; Решение задач по ЭММ —отклонение Решение задач по ЭММ (ошибка, остаток) (рис. 9.1); Решение задач по ЭММ — количество пар исходных данных.

Решение задач по ЭММ

В регрессионном анализе предполагается, что математическое ожидание случайной величины Решение задач по ЭММ равно нулю и ее дисперсия одинакова для всех наблюдаемых значений Решение задач по ЭММ. Отсюда следует, что рассеяние данных возле линии регрессии должно быть одинаково при всех значениях параметра Решение задач по ЭММ. В случае, показанном на рис. 9.2 данные распределяются вдоль линии регрессии неравномерно, поэтому метод наименьших квадратов в этом случае неприменим.

Решение задач по ЭММ

Основная задача корреляционного анализа — оценка тесноты (силы) корреляционной связи. Теснота корреляционной зависимости Решение задач по ЭММ от Решение задач по ЭММ оценивается по величине рассеяния значений параметра Решение задач по ЭММ вокруг условного среднего Решение задач по ЭММ. Большое рассеяние говорит о слабой зависимости Решение задач по ЭММ от Решение задач по ЭММ, либо об ее отсутствии и, наоборот, малое рассеяние указывает на наличие достаточно сильной зависимости.

Коэффициент детерминации Решение задач по ЭММ показывает, на сколько процентов (Решение задач по ЭММ 100%) найденная функция регрессии описывает связь между исходными значениями параметров Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ

Решение задач по ЭММ

где Решение задач по ЭММ — объясненная вариация; Решение задач по ЭММ — общая вариация (рис. 9.3).

Решение задач по ЭММ

Соответственно, величина (1-Решение задач по ЭММ)100% показывает, сколько процентов вариации параметра Решение задач по ЭММ обусловлены факторами, не включенными в регрессионную модель. При высоком (Решение задач по ЭММ >75%) значении коэффициента детерминации можно делать прогноз Решение задач по ЭММ для конкретного значения Решение задач по ЭММ.

Для проведения регрессионного анализа и прогнозирования необходимо:

1) построить график исходных данных и попытаться зрительно, приближенно определить характер зависимости;

2) выбрать вид функции регрессии, которая может описывать связь исходных данных;

3) определить численные коэффициенты функции регрессии;

4) оценить силу найденной регрессионной зависимости на основе коэффициента детерминации Решение задач по ЭММ;

5) сделать прогноз (при Решение задач по ЭММ >75%) или сделать вывод о невозможности прогнозирования с помощью найденной регрессионной зависимости. При этом не рекомендуется использовать модель регрессии для тех значений независимого параметра Решение задач по ЭММ, которые не принадлежат интервалу, заданному в исходных данных.

Линейная регрессии

Коэффициенты линейной регрессии Решение задач по ЭММ вычисляются по следующим формулам (все суммы берутся по Решение задач по ЭММ парам исходных данных)

Решение задач по ЭММ

Для удобства вычислений используют вспомогательную таблицу (табл. 9.1), в которой рассчитываются необходимые суммы.

Решение задач по ЭММ

Задача№ 9.01

Некоторая фирма занимается поставками различных грузов на короткие расстояния внутри города. Перед менеджером стоит задача оценить стоимость таких услуг, зависящую от затрачиваемого на поставку времени. В качестве наиболее важного фактора, влияющего на время поставки, менеджер выбрал пройденное расстояние. Были собраны исходные данные о десяти поставках (табл. 9.2).

Решение задач по ЭММ

Постройте график исходных данных, определите по нему характер зависимости между расстоянием и затраченным временем, проанализируйте применимость метода наименьших квадратов, постройте уравнение регрессии, проанализируйте силу регрессионной связи и сделайте прогноз времени поездки на 2 мили.

Решение:

На рис. 9.4 построены исходные данные по десяти поездкам.

Решение задач по ЭММ

Помимо расстояния на время поставки влияют пробки на дорогах, время суток, дорожные работы, погода, квалификация водителя, вид транспорта. Построенные точки не находятся точно на линии, что обусловлено описанными выше факторами. Но эти точки собраны вокруг прямой линии, поэтому можно предположить линейную связь между параметрами. Все исходные точки равномерно распределены вдоль предполагаемой прямой линии, что позволяет применить метод наименьших квадратов.

Вычислим суммы, необходимые для расчета коэффициентов линейной регрессии, коэффициента детерминации с помощью табл. 9.3.

Решение задач по ЭММ

По формулам (9.3) вычислим коэффициенты линейной регрессии

Решение задач по ЭММ

Таким образом, искомая регрессионная зависимость имеет вид

Решение задач по ЭММ

Наклон линии регрессии Решение задач по ЭММ минут на милю — это количество минут, приходящееся на одну милю расстояния. Координата точки пересечения прямой с осью Решение задач по ЭММ минут — это время, которое не зависит от пройденного расстояния, а обуславливается всеми остальными возможными факторами, явно не учтенными при анализе.

По формуле (9.2) вычислим коэффициент детерминации

Решение задач по ЭММ

Таким образом, линейная модель объясняет 91,8% вариации времени доставки. Не объясняется 100% — 91,8% = 8,2% вариации времени поездки, которые обусловлены остальными факторами, влияющими на время поставки, но не включенными в линейную модель регрессии.

Поскольку коэффициент детерминации имеет достаточно высокое значение и расстояние 2 мили, для которого надо сделать прогноз, находится в пределах диапазона исходных данных (см. табл. 9.2), то мы можем использовать полученное уравнение линейной регрессии (9.4) для прогнозирования

Решение задач по ЭММ

При прогнозах на расстояния, не входящие в диапазон исходных данных, нельзя гарантировать справедливость модели (9.4). Это объясняется тем, что связь между временем и расстоянием может изменяться по мере увеличения расстояния. На время дальних перевозок могут влиять новые факторы такие, как использование скоростных шоссе, остановки на отдых, обед и т.п.

Приблизительным, но самым простым и наглядным способом проверки удовлетворительности регрессионной модели является графическое представление отклонений (рис. 9.5).

Решение задач по ЭММ

Отложим отклонения Решение задач по ЭММ по оси Решение задач по ЭММ, для каждого значения Решение задач по ЭММ. Если регрессионная модель близка к реальной зависимости, то отклонения будут носить случайный характер и их сумма будет близка к нулю. В рассмотренном примере

Решение задач по ЭММ

Нелинейная регрессия

Рассмотрим наиболее простые случаи нелинейной регрессии: гиперболу, экспоненту и параболу. При нахождении коэффициентов гиперболы и экспоненты используют прием приведения нелинейной регрессионной зависимости к линейному виду. Это позволяет использовать для вычисления коэффициентов функций регрессии формулы (9.3).

Гипербола

При нахождении гиперболы Решение задач по ЭММ вводят новую переменную Решение задач по ЭММ тогда уравнение гиперболы принимает линейный вид Решение задач по ЭММ.

После этого используют формулы (9.3) для нахождений линейной функции, но вместо значении Решение задач по ЭММ используются значения Решение задач по ЭММ

Решение задач по ЭММ

При проведении вычислений во вспомогательную таблицу вносятся соответствующие колонки.

Экспонента

Для приведения к линейному виду экспоненты Решение задач по ЭММ проведем логарифмирование

Решение задач по ЭММ

Введем переменные

Решение задач по ЭММ

тогда

Решение задач по ЭММ

откуда следует, что можно применять формулы (9.3), в которых вместо значений Решение задач по ЭММ надо использовать Решение задач по ЭММ

Решение задач по ЭММ

При этом мы получим численные значения коэффициентов Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ, от которых надо перейти к Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ, используемых в модели экспоненты. Исходя из введенных обозначений и определения логарифма, получаем

Решение задач по ЭММ

Парабола

Для нахождения коэффициентов параболы

Решение задач по ЭММ

необходимо решить линейную систему из трех уравнений

Решение задач по ЭММ

Сила регрессионной связи для гиперболы и параболы определяется непосредственно по формуле (9.2). При вычислении коэффициента детерминации экспоненты все значения параметра Решение задач по ЭММ (исходные, регрессионные, среднее) необходимо заменить на их логарифмы, например, Решение задач по ЭММ — на Решение задач по ЭММ и т.д.

Методы скользящего среднего и экспоненциального сглаживания

Методы скользящего среднего и экспоненциального сглаживания используются для прогнозирования временных рядов. Формально временной ряд — это множество пар данных Решение задач по ЭММ, в которых Решение задач по ЭММ — это моменты или периоды времени (независимая переменная), a Решение задач по ЭММ — параметр (зависимая переменная), характеризующий величину исследуемого явления. Цель исследования временных рядов состоит в выявлении тенденции изменения фактических значений параметра Решение задач по ЭММ во времени и прогнозировании будущих значений Решение задач по ЭММ. Модель, построенную по ретроспективным данным можно использовать при наличии устоявшейся тенденции в динамике значений прогнозируемого параметра. К возможным ситуациям нарушения такой тенденции относятся: коренное изменение плана деятельности фирмы, которая стала терпеть убытки; резкое изменение параметров внутренней или внешней ситуации (цен на сырье; уровня инфляции); стихийные бедствия, военные действия, общественные беспорядки.

Суть методов скользящего среднего и экспоненциального сглаживания состоит в том, фактические уровни исследуемого временного ряда заменяются их средними значениями, погашающими случайные колебания. Это позволяет более четко выделить основную тенденцию изменения исследуемого параметра. Эти относительно простые методы прогнозирования временных рядов, основанные на представлении прогноза Решение задач по ЭММ в виде суммы Решение задач по ЭММ предыдущих наблюдаемых значений Решение задач по ЭММ, причем каждое из них учитывается с определенным весовым коэффициентом Решение задач по ЭММ

Решение задач по ЭММ

Использование методов скользящего среднего и экспоненциального сглаживания основано на следующих допущениях:

• временной ряд является устойчивым в том смысле, что его элементы являются реализациями следующего случайного процесса:

Решение задач по ЭММ

где Решение задач по ЭММ — неизвестный постоянный параметр, Решение задач по ЭММ — случайная ошибка.

• случайная ошибка Решение задач по ЭММ имеет нулевое математическое ожидание и постоянную дисперсию;

• данные для различных периодов времени не коррелированны.

Метод скользящего среднего

Расчет прогноза и сглаживание временного ряда методом скользящего среднего производится по формуле

Решение задач по ЭММ

При этом предполагается, что все Решение задач по ЭММ значений Решение задач по ЭММ за Решение задач по ЭММ моментов времени вносят равный вклад в прогнозируемое значение Решение задач по ЭММ и учитываются с одинаковым весовым коэффициентом Решение задач по ЭММ.

Метод экспоненциального сглаживания

В методе экспоненциального сглаживания весовые коэффициенты предыдущих наблюдаемых значений увеличиваются по мере приближения к последним (по времени) данным. Кроме того, в формировании прогнозируемого значения участвуют все Решение задач по ЭММ известных значений Решение задач по ЭММ Решение задач по ЭММ временного ряда

Решение задач по ЭММ

Для расчета прогноза и для сглаживания временного ряда методом экспоненциального сглаживания используют формулу (10.2) в виде

Решение задач по ЭММ

где Решение задач по ЭММ — константа сглаживания. Таким образом, значение Решение задач по ЭММ можно вычислить рекуррентно на основании значения Решение задач по ЭММ.

Задачам 10.01

Постройте и проанализируйте график временного ряда, представленного в табл. 10.1 с точки зрения применимости методов скользящего среднего и экспоненциального сглаживания.

Решение задач по ЭММ

Сделайте прогноз для Решение задач по ЭММ методом скользящей средней для Решение задач по ЭММ; методом экспоненциального сглаживания для Решение задач по ЭММ.

Решение:

График исходного временного ряда представлен на рис. 10.1.

Решение задач по ЭММ

Из графика видно, что наблюдается явная тенденция к возрастанию значений временного ряда Решение задач по ЭММ, что приведет к неточности в прогнозах, выполненных методами скользящего среднего и экспоненциального сглаживания (это следует из допущений методов), к подавлению этой тенденции.

Для прогнозирования методом скользящего среднего достаточно выполнить единственный расчет

Решение задач по ЭММ

Для прогнозирования методом экспоненциального сглаживания необходимо провести расчеты для всех моментов времени, за исключением Решение задач по ЭММ:

Решение задач по ЭММ

Не существует четкого правила для выбора числа членов скользящей средней Решение задач по ЭММ или параметра экспоненциального сглаживания Решение задач по ЭММ. Они определяются статистикой исследуемого процесса. Чем меньше Решение задач по ЭММ и чем больше Решение задач по ЭММ, тем сильнее реагирует прогноз на колебания временного ряда, и наоборот, чем больше Решение задач по ЭММ и чем меньше ос, тем более инерционным является процесс прогнозирования. На практике величина Решение задач по ЭММ обычно принимается в пределах от 2 до 10, а Решение задач по ЭММ — в пределах от 0,01 до 0,30. При наличии достаточного числа элементов временного ряда значение Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ, приемлемое для прогноза, можно определить следующим образом:

• задать несколько предварительных значений Решение задач по ЭММ;

• сгладить временной ряд, используя каждое заданное значение Решение задач по ЭММ;

• вычислить среднюю ошибку прогнозирования как среднее абсолютное отклонение (mean absolut deviation — MAD)

Решение задач по ЭММ

• выбрать значение Решение задач по ЭММ, соответствующее минимальной ошибке.

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Управление запасами. Основные модели управления запасами

Модель Уилсона

Математические модели управления запасами (УЗ) позволяют найти оптимальный уровень запасов некоторого товара, минимизирующий суммарные затраты на покупку, оформление и доставку заказа, хранение товара, а также убытки от его дефицита. Модель Уилсона является простейшей моделью УЗ и описывает ситуацию закупки продукции у внешнего поставщика, которая характеризуется следующими допущениями:

• интенсивность потребления является априорно известной и постоянной величиной;

• заказ доставляется со склада, на котором хранится ранее произведенный товар;

• время поставки заказа является известной и постоянной величиной;

• каждый заказ поставляется в виде одной партии;

• затраты на осуществление заказа не зависят от размера заказа;

• затраты на хранение запаса пропорциональны его размеру;

• отсутствие запаса (дефицит) является недопустимым.

Входные параметры модели Уилсона

1) Решение задач по ЭММ — интенсивность (скорость) потребления запаса, [ед. тов. / ед. t];

2) Решение задач по ЭММ — затраты на хранение запаса, [руб./ед.тов. • ед. t ];

3) Решение задач по ЭММ— затраты на осуществление заказа, включающие оформление и доставку заказа, [руб.];

4) Решение задач по ЭММ — время доставки заказа, [ед. t ].

Выходные параметры модели Уилсона

1) Решение задач по ЭММ— размер заказа, [ед. тов.];

2) Решение задач по ЭММ — общие затраты на управление запасами в единицу времени, [руб./ед-t];

3) Решение задач по ЭММ — период поставки, т.е. время между подачами заказа или между поставками, [ед.t];

4) Решение задач по ЭММ — точка заказа, т.е. размер запаса на складе, при котором надо подавать заказ на доставку очередной партии, [ед. тов.].

Циклы изменения уровня запаса в модели Уилсона графически представлены на рис. 11.1. Максимальное количество продукции, которая находится в запасе, совпадает с размером заказа Решение задач по ЭММ.

Уровень запасов

Решение задач по ЭММ

где Решение задач по ЭММ — оптимальный размер заказа в модели Уилсона;

Решение задач по ЭММ

График затрат на УЗ в модели Уилсона представлен на рис. 11.2

Решение задач по ЭММ

11.1.2. Модель планирования экономичного размера партии

Модель Уилсона, используемую для моделирования процессов закупки продукции у внешнего поставщика, можно модифицировать и применять в случае собственного производства продукции. На рис. 11.3 схематично представлен некоторый производственный процесс. На первом станке производится партия деталей с интенсивностью Решение задач по ЭММ. деталей в единицу времени, которые используются на втором станке с интенсивностью Решение задач по ЭММ [дет./ед.t].

Решение задач по ЭММ

1) Решение задач по ЭММ — интенсивность производства продукции первым станком, [ед. тов./ед. t];

2) Решение задач по ЭММ — интенсивность потребления запаса, [ед. тов./ед. t];

3) Решение задач по ЭММ — затраты на хранение запаса, [руб./ед.тов. • ед t ];

4) Решение задач по ЭММ — затраты на осуществление заказа, включающие подготовку (переналадку) первого станка для производства продукции, потребляемой на втором станке, [руб.];

5) Решение задач по ЭММ — время подготовки производства (переналадки), [ед t ].

Выходные параметры модели планирования экономичного размера партии

1)Решение задач по ЭММ— размер заказа, [ед. тов.];

2) Решение задач по ЭММ — общие затраты на управление запасами в единицу времени, [руб./ед t ];

3) Решение задач по ЭММ — период запуска в производство партии заказа, т.е. время между включениями в работу первого станка, [ед. t];

4) Решение задач по ЭММ — точка заказа, т.е. размер запаса, при котором надо подавать заказ на производство очередной партии, [ед. тов.].

Изменение уровня запасов происходит следующим образом (рис. 11.4):

• в течение времени Решение задач по ЭММ работают оба станка, т.е. продукция производится и потребляется одновременно, вследствие чего запаса накапливается с интенсивностью Решение задач по ЭММ;

• в течение времени Решение задач по ЭММ работает только второй станок, потребляя накопившийся запас с интенсивностью Решение задач по ЭММ.

Решение задач по ЭММ

Формулы модели экономичного размера партии

Решение задач по ЭММ

где * — означает оптимальность размера заказа;

Решение задач по ЭММ

Основная сложность при решении задач по УЗ состоит в правильном определении входных параметров задачи, поскольку не всегда в условии их числовые величины задаются в явном виде. При использовании формул модели УЗ необходимо внимательно следить за тем, чтобы все используемые в формуле числовые величины были согласованы по единицам измерения. Так, например, оба параметра Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ должны быть приведены к одним и тем же временных единицам (к дням, к сменам или к годам), параметры Решение задач по ЭММ и Решение задач по ЭММ должны измеряться в одних и тех же денежных единицах и т.д.

Задача № 11.01

Объем продажи некоторого магазина составляет в год 500 упаковок супа в пакетах. Величина спроса равномерно распределяется в течение года. Цена покупки одного пакета равна 2 руб. За доставку заказа владелец магазина должен заплатить 10 руб. Время доставки заказа от поставщика составляет 12 рабочих дней (при 6-дневной рабочей неделе). По оценкам специалистов, издержки хранения в год составляют 40 коп. за один пакет. Необходимо определить: сколько пакетов должен заказывать владелец магазина для одной поставки; частоту заказов; точку заказа. Известно, что магазин работает 300 дней в году.

Решение:

Примем за единицу времени год, тогда Решение задач по ЭММ = 500 шт. пакетов в год, Решение задач по ЭММ =10 руб., Решение задач по ЭММ = 0,4 руб./шт.-год. Поскольку пакеты супа заказываются со склада поставщика, а не производятся самостоятельно, то будем использовать модель Уилсона.

Решение задач по ЭММ

Поскольку число пакетов должно быть целым, то будем заказывать по 158 штук. При расчете других параметров задачи будем использовать не

Решение задач по ЭММ

Годовые затраты на УЗ равны

Решение задач по ЭММ

Подачу каждого нового заказа должна производиться через

Решение задач по ЭММ

Поскольку известно, что в данном случае год равен 300 рабочим дням, то

Решение задач по ЭММ

Заказ следует подавать при уровне запаса, равном

Решение задач по ЭММ

т.е. эти 20 пакетов будут проданы в течение 12 дней, пока будет доставляться заказ.

Задача №11.02

На некотором станке производятся детали в количестве 2000 штук в месяц. Эти детали используются для производства продукции на другом станке с интенсивностью 500 шт. в месяц. По оценкам специалистов компании, издержки хранения составляют 50 коп. в год за одну деталь. Стоимость производства одной детали равна 2,50 руб., а стоимость на подготовку производства составляет 1000 руб. Каким должен быть размер партии деталей, производимой на первом станке, с какой частотой следует запускать производство этих партий?

Решение:

Решение задач по ЭММ =1000 руб., Решение задач по ЭММ = 2000 шт. в месяц или 24000 шт. в год, Решение задач по ЭММ = 500 шт. в месяц или 6000 шт. в год, Решение задач по ЭММ = 0,50 руб. в год за деталь. В данной ситуации необходимо использовать модель планирования экономичного размера партии.

Решение задач по ЭММ

Частота запуска деталей в производство равна

Решение задач по ЭММ

Общие затраты на УЗ составляют

Решение задач по ЭММ

доставки гравия, которые были проанализированы при решении задачи. Покажите на этих графиках оптимальные объемы заказа для каждого из вариантов и окончательно выбранный размер заказа.

Задача № 11.7

В течение смены длительностью 24 дня в санатории отдыхают 83 человека. Ежедневно каждый из отдыхающих должен получить 200 г кефира. Кефир на молокозаводе пакуется в пакеты по 0,5 л (6 руб./шт) и 1 л (10 руб./шт) и доставляется транспортом санатория в течение 2 часов. Срок годности кефира ограничен 5 днями. Его хранение в холодильниках санатория обходится в среднем в 12 коп. за 1 л в сутки. Стоимость оформления и доставки заказа составляет 54 руб.

Организуйте поставку кефира в санаторий в течение одной санаторной смены, учитывая в затратах на УЗ (12.1) цену покупки кефира. Постройте график циклов изменения запаса кефира.

Задачам 11.8*

Придумайте условие задачи УЗ, максимально приближенное к реальности, для которого могут быть использованы описанные модели УЗ (одна из моделей). Решите эту задачу.

Пример ситуации для задачи: семья из трех человек решает, что выгодней — делать запас картофеля на всю зиму или покупать картофель в течение зимы мелкими партиями. При этом надо учесть такие факторы, как потери картофеля при хранении в домашних условиях, возможное повышение цен на картофель в течение рассматриваемого периода и т.д.

Модель управления запасами, учитывающая скидки

Уравнение общих затрат для ситуации, когда учитываются затраты на покупку товара, имеет вид

Решение задач по ЭММ

где Решение задач по ЭММ — цена товара [руб./ед. тов.]; Решение задач по ЭММ — затраты на покупку товара в единицу времени [руб./ед.t]. Если цена закупки складируемого товара постоянна и не зависит от Решение задач по ЭММ, то ее включение в уравнение общих затрат приводит к перемещению графика этого уравнения параллельно оси Решение задач по ЭММ и не изменяет его формы (см. рис. 12.1). Т.е. в случае постоянной цены товара ее учет не меняет оптимального решения Решение задач по ЭММ.

Решение задач по ЭММ

Если на заказы большого объема предоставляются скидки, то заказы на более крупные партии повлекут за собой увеличение затрат на хранение, но это увеличение может быть компенсировано снижением закупочной цены. Таким образом, оптимальный размер заказа может изменяться по сравнению с ситуацией отсутствия скидок.

Поэтому затраты на приобретение товара необходимо учитывать в модели покупок со скидками.

Новые входные параметры модели, учитывающей скидки

1) Решение задач по ЭММ — точки разрыва цен, т.е. размеры покупок, при которых начинают действовать соответственно первая и вторая скидки, [ед. тов.];

2) Решение задач по ЭММ — соответственно исходная цена, цена с первой скидкой, цена со второй скидкой, [руб./ед. тов.].

Влияние единственной скидки на общие затраты на УЗ показано на рис. 12.2.

Чтобы определить оптимальный размер заказа Решение задач по ЭММ, необходимо проанализировать, в какую из трех областей попадает точка разрыва цены Решение задач по ЭММ (см. рис. 12.2). Правило выбора Решение задач по ЭММ для случая с одной скидкой имеет вид:

Решение задач по ЭММ

Правильность решения задач с УЗ со скидками в большой степени определяется качественно построенным графиком общих затрат с указанием на графике всех параметров, используемых при решении. Поэтому в первую очередь необходимо анализировать ситуацию графически и только после этого проводить численные вычисления. Например, если внимательно проанализировать ситуации на рис. 12.2, то можно принимать решение без непосредственного использования правила (12.2). Зрительно легко определить более «выгодный» объем заказа, найдя точку, координата которой по оси Решение задач по ЭММ лежит ниже других вариантов заказов.

Решение задач по ЭММ

При решении задач с двумя скидками сначала находится оптимальный объем заказа с учетом первой скидки, а затем рассматривается вторая скидка, т.е. обе подзадачи решаются по правилу (12.2).

Задача №12.01

Пусть затраты на заказ равны 10 руб., затраты на хранение продукции

1 руб. в сутки, интенсивность потребления товара 5 шт. в день, цена товара —

2 руб. за штуку, а при объеме закупки 15 шт. и более — 1 руб. Определите оптимальный размер заказа, цену покупки и затраты на УЗ.

Решение:

Начинаем решение с приблизительного построения пунктирными линиями графиков двух функций общих затрат, соответствующих двум ценам, которые указываем над соответствующими линиями затрат: Решение задач по ЭММ = 2 руб./шт. и Решение задач по ЭММ =1 руб./шт. (рис. 12.3).

Решение задач по ЭММ

Поскольку объем заказа, задаваемый формулой Уилеона (11.1), легко определяется зрительно как точка минимума обеих функций, то без предварительных вычислений графически находим объем Уилеона Решение задач по ЭММ и отмечаем его на графике.

Только после этого, используя параметры Решение задач по ЭММ =10 руб., Решение задач по ЭММ = 5 шт. в день, Решение задач по ЭММ = 1 руб. за 1 шт. в сутки, вычисляем значение Решение задач по ЭММ и подписываем его на графике под обозначением Решение задач по ЭММ.

Решение задач по ЭММ

Очевидно, что в область I Решение задач по ЭММ = 15 шт. не попадает, т.к. Решение задач по ЭММ. Таким образом, Решение задач по ЭММ может попасть в области II или III. Границей между этими областями служит размер заказа Решение задач по ЭММ, уравнивающий общие затраты при цене со скидкой 1 руб./шт. и затраты при заказе Решение задач по ЭММ по исходной цене 2 руб./шт. Сначала строим Решение задач по ЭММ графически (рис. 12.4).

Решение задач по ЭММ

Только после этого найдем Решение задач по ЭММ численно. Используя рис. 12.4, запишем выражение, показывающее равенство затрат,

Решение задач по ЭММ

с численными значениями параметров:

Решение задач по ЭММ

После использования (12.1) для раскрытия левой и правой частей (12.3) получаем

Решение задач по ЭММ

Всегда выбираем больший из корней Решение задач по ЭММ=26,18, т.к. меньший по

значению корень не дает нам информации о границе областей II и III (см. рис. 12.4), и отмечаем численное значение 26,18 на графике.

Таким образом, точка разрыва цен Решение задач по ЭММ = 15 попадает в область II, т.к.

Решение задач по ЭММ

Отметим эту точку на графике в любом месте области II (рис. 12.5).

Решение задач по ЭММ

После этого сплошной линией обведем те участки обеих функций затрат, которые соответствуют действующим ценам, т.е. до объема Решение задач по ЭММ =15 обведем верхнюю линию затрат, а после — нижнюю.

Согласно правилу (12.2) и графику (см. рис. 12.5) оптимальным является объем заказа Решение задач по ЭММ=15 шт. по цене 1 руб./шт. Таким образом, в данной ситуации скидкой пользоваться выгодно. Общие затраты при этом составляют

Решение задач по ЭММ

Если бы заказывали по 10 шт. товара, то общие затраты составили бы 20 рублей, т.е. при заказе в 15 шт. экономия средств составляет 4,17 рублей в сутки.

Задача №12.02

Рассмотрим задачу № 11.01. Пусть поставщик супа в пакетах предоставляет следующие скидки

Решение задач по ЭММ

Следует ли владельцу магазина воспользоваться одной из скидок, предоставляемых поставщиком? Каковы при этом будут размер заказа и общие затраты на УЗ?

Решение:

  • Строим пунктирными линиями графики трех функций затрат и обозначаем на них соответствующие цены Решение задач по ЭММ (рис. 12.6). Строим на графике точку, соответствующую Решение задач по ЭММ.
Решение задач по ЭММ
  • Вычисляем значение Решение задач по ЭММ = 158 (см. решение задачи № 11.01), отмечаем это значение на графике.
  • Поскольку Решение задач по ЭММ = 200 не попадает в область I, то необходимо найти границу областей II и III. Для этого строим на графике уровень затрат, соответствующий заказу Решение задач по ЭММ и цене с=2 руб. до пересечения со второй линией затрат, и графически находим и строим Решение задач по ЭММ.
  • Находим Решение задач по ЭММ численно, используя выражение
Решение задач по ЭММ
  • Используя правило (12.2) и график на рис. 12.6, находим более дешевый объем заказа (с учетом только первой скидки)
Решение задач по ЭММ
  • Чтобы рассмотреть вторую скидку, построим на графике уровень затрат, соответствующий заказу, оптимальному при действии только первой #1 скидки, т.е. Решение задач по ЭММ и цене Решение задач по ЭММ руб./шт. При пересечении этого уровня и третьей линии общих затрат графически определяем Решение задач по ЭММ .
  • Находим численно Решение задач по ЭММ=354, исходя из выражения
Решение задач по ЭММ
  • Используя правило (12.2) и график затрат, находим наиболее дешевый объем заказа с учетом первой и второй скидок
Решение задач по ЭММ
  • Таким образом, пользоваться второй скидкой владельцу магазина невыгодно. Оптимальный для него вариант — заказывать 200 пакетов по цене 1,96 руб./шт. обойдется в
Решение задач по ЭММ