Электростатика и электродинамика задачи с решением

Прежде чем изучать готовые решения задач по электростатике и электродинамике, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила краткую теорию по разделу «электростатика и электродинамика», и примеры решения в которых подробно решены задачи.

Эта страница подготовлена для школьников и студентов.

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Электродинамика. Электростатика. Определения, понятия и законы

К оглавлению…

Электростатикой называется раздел электродинамики, в котором рассматриваются взаимодействия неподвижных в инерциальной системе отсчета электрически заряженных тел или частиц.

Электрические заряды. Элементарный электрический заряд

Физическая величина, характеризующая свойство тел или частиц вступать в электромагнитные взаимодействия и определяющая значения сил, возникающих при таких взаимодействиях, называется электрическим зарядом. Электрические заряды делятся на положительные и отрицательные. Положительный заряд возникает, например, на стекле, натертом кожей, отрицательный — на янтаре, натертом шерстью.
Носителями электрических зарядов являются элементарные частицы и их античастицы. Стабильными носителями положительного заряда являются протон и позитрон, отрицательного — электрон и антипротон. Другие элементарные частицы, имеющие электрические заряды, являются нестабильными, их время «жизни» чрезвычайно мало.

В Международной системе за единицу заряда принят кулон (Кл). Кулон — это заряд, проходящий за 1 с. через поперечное сечение проводника при силе тока 1 ампер (А). Определение единицы силы тока 1 А будет дано в разделе 3.2.

Электрический заряд протона и электрона по абсолютному значению равен Кл. Массы протона и электрона равны, соответственно, кг и кг. Электрический заряд протона и электрона называется элементарным зарядом.
Электрический заряд любого заряженного тела равен целому числу элементарных зарядов. В электрически нейтральном (незаряженном) теле содержится равное число элементарных зарядов противоположного знака. Электрически нейтральными являются неионизованные атомы и молекулы.

Если электрическая нейтральность тела нарушена, то оно называется наэлектризованным, или заряженным. Для электризации тела необходимо, чтобы на нем был создан избыток (недостаток) элементарных зарядов того или другого знака. Электризация тел осуществляется различными способами, простейшим из которых является электризация соприкосновением. Этот способ основан на том, что при соприкосновении некоторых тел, когда происходит контакт между разнородными веществами, валентные электроны могут переходить из одного вещества в другое.

Закон сохранения электрического заряда

При всех явлениях, связанных с перераспределением электрических зарядов в изолированной системе взаимодействующих тел, алгебраическая сумма электрических зарядов остается постоянной. Этот закон, носящий название закона сохранения электрического заряда, является таким же фундаментальным законом физики, как и другие законы сохранения: энергии, импульса и др.

Проводники и диэлектрики

Проводниками называются вещества, в которых может происходить упорядоченное перемещение электрических зарядов (электрический ток). Проводниками являются металлы, водные растворы солей, кислот и др., ионизованные газы. В частности, в металлах валентные электроны взаимодействующих друг с другом атомов отщепляются и становятся свободными, т.е. способными свободно перемещаться в объеме металла. Эти электроны, называемые также электронами проводимости, и обеспечивают электропроводность металлов. Механизмы электропроводности других проводящих веществ будут подробно рассмотрены в разделе 3.2.

Диэлектриками называются вещества, которые не проводят электрический ток. В диэлектриках практически отсутствуют свободные электроны, и упорядоченное движение электрических зарядов в обычных условиях невозможно. К диэлектрикам относятся некоторые твердые вещества (стекло, фарфор, ряд кристаллов и др.), жидкости (химически чистая вода, керосин, минеральное масло и др.) и большинство газов. Валентные электроны в атомах диэлектриков прочно связаны со своими ядрами и в обычных условиях не могут отщепляться от них.

Электрометр и электроскоп

Для обнаружения зарядов и измерения их величины служат электрометры и электроскопы. Простейший электрометр (рис. 3.1.1) содержит легкую алюминиевую стрелку, укрепленную на металлическом стержне с помощью горизонтальной оси.

Рис. 3.1.1. Простейший электрометр

Центр тяжести стрелки находится ниже оси, поэтому у незаряженного электрометра стрелка располагается вертикально. Стержень со стрелкой помещен в металлический корпус, изолированный от стержня. Это делается для того, чтобы внешнее электрическое поле не влияло на показания прибора. Наблюдения за стрелкой проводятся через смотровое окно. Если прикоснуться к шарику электрометра заряженным телом, то на стержне и стрелке возникнут одноименные заряды, которые отталкиваются друг от друга, и подвижная стрелка отклонится. Электрометры обычно градуируют, что позволяет достаточно просто и точно проводить измерения зарядов и разности потенциалов между проводниками. Электроскоп отличается от электрометра тем, что не имеет металлического корпуса, а вместо подвижной стрелки используются две полоски тонкой фольги, подвешенные к нижнему концу стержня. Электроскоп обычно применяют как демонстрационный прибор для обнаружения электрического заряда. При сообщении стержню электроскопа заряда полоски расходятся в разные стороны; по углу между ними можно также грубо оценивать величину заряда.

Взаимодействие электрически заряженных тел. Точечный заряд. Закон Кулона

Силы электростатического взаимодействия зависят от формы и размеров наэлектризованных тел, а также от распределения зарядов на этих телах. Электрические заряды называются точечными, если они располагаются на телах, размеры которых значительно меньше, чем расстояние между ними.

В этом случае ни форма, ни размеры заряженных тел существенно не влияют на взаимодействие между ними.

Количественные характеристики взаимодействия точечных зарядов устанавливает закон Кулона: величина силы электрического взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов и в вакууме пропорциональна произведению величин этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

(3.1.1)

где — электрическая постоянная.
Силы, действующие между точечными зарядами, направлены вдоль прямой, соединяющей эти заряды. Эти силы называются кулоновскими. Заряды одного знака отталкиваются, а заряды разных знаков притягиваются.

Сила взаимодействия зарядов в диэлектрике по сравнению с их взаимодействием в вакууме уменьшается. Это уменьшение характеризуется диэлектрической проницаемостью вещества . Закон Кулона для зарядов, находящихся в диэлектрике, имеет вид:

(3.1.2)

Электрическое поле. Напряженность электрического поля

Любой неподвижный электрический заряд создает вокруг себя электростатическое поле, которое в каждой точке пространства характеризуется векторной физической величиной — напряженностью . Напряженность электрического поля определяется как сила, действующая в данной точке пространства на единичный положительный точечный заряд. В Международной системе единицей напряженности электрического поля является вольт на метр (В/м). Определение единицы напряжения (разности потенциалов) 1 В будет дано ниже.

Линии напряженности электрического поля (силовые линии)

Электрическое поле изображают с помощью линий напряженности (силовых линий). Касательные к этим линиям указывают направление силы, действующей на положительный заряд в каждой точке поля. Силовые линии электростатического поля не замкнуты, они начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных. Силовые линии непрерывны и не пересекаются. Они всегда перпендикулярны поверхности проводника. Распределение силовых линий в пространстве отображает величину поля: их густота в окрестности какой-либо точки пропорциональна величине напряженности поля в этой точке.

Рис. 3.1.2. Примеры силовых линий электростатических полей

Примеры силовых линий полей, создаваемых некоторыми простейшими системами электрических зарядов, представлены на рис. 3.1.2. Там изображены силовые линии следующих полей: положительно заряженного шарика (рис. 3.1.2, а); двух разноименно заряженных шариков (рис. 3.1.2, б); двух одноименно заряженных шариков (рис. 3.1.2, в); двух пластин, заряды которых равны по модулю и противоположны по знаку (рис. 3.1.2, г).

Однородное электрическое поле

Из рис. 3.1.2, г видно, что в пространстве между пластинами вдали от краев пластин силовые линии практически параллельны: электрическое поле здесь одинаково во всех точках.

Электрическое поле, напряженность которого одинакова во всех точках пространства, называется однородным. Силовые линии однородного поля параллельны и располагаются на равных расстояниях друг от друга. В ограниченной области пространства электрическое поле можно считать приблизительно однородным, если напряженность поля внутри этой области меняется незначительно.

Напряженность электростатического поля точечного заряда

В соответствии с законом Кулона (3.1.1) вектор напряженности поля точечного заряда q направлен по прямой, соединяющей точку нахождения заряда и точку наблюдения. Величина напряженности этого поля в вакууме

(3.1.3)

Принцип суперпозиции полей

Опыт показывает, что если на электрический заряд действуют одновременно электрические поля нескольких зарядов, то результирующая сила оказывается равной геометрической сумме сил, действующих со стороны каждого поля в отдельности. Это свойство электрических полей означает, что они подчиняются принципу суперпозиции’, если в данной точке пространства различные заряды создают электрические поля с напряженностями , и т. д., то вектор напряженности результирующего электрического поля равен сумме векторов напряженностей всех электрических полей:

(3.1.4)

где — число зарядов в системе.

Теорема Гаусса

Основная теорема электростатики — теорема Гаусса — базируется на физической величине, называемой потоком напряженности электрического поля.

Выделим в электрическом поле элемент воображаемой поверхности площадью . Этот элемент должен быть настолько малым, чтобы напряженность электрического поля во всех его точках можно было считать одинаковой. Проведем нормаль к элементу и обозначим угол между векторами и через а (рис. 3.1.3). Тогда по определению

Рис. 3.1.3.

Maлый элемент поверхности .

Рис. 3.1.4. Произвольная поверхность

потоком напряженности электрического поля через элемент поверхности называется произведение площади на проекцию напряженности электрического поля на нормаль к элементу:

(3.1.5)

Для вычисления потока через произвольную поверхность нужно разбить всю поверхность на малые элементы площадью
220 Гл. 3. Электродинамика
(рис. 3.1.4), вычислить потоки напряженности через каждый из элементов, а затем просуммировать потоки через все элементы:

(3.1.6)

Так же определяется поток через замкнутую поверхность, причем за положительную нормаль к любому элементу в этом случае выбирается внешняя нормаль, т. е. нормаль, направленная наружу.
Согласно теореме Гаусса, поток напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную:

(3.1.7)

Если замкнутая поверхность не содержит внутри себя электрических зарядов, то поток напряженности электрического поля через нее равен нулю.

Используя теорему Гаусса, можно легко вычислить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела, если имеется какая-либо симметрия поля, например симметрия относительно плоскости или центра.

Электростатическое поле равномерно заряженных плоскости, сферы и шара

Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью, равна

(3.1.8)

где — заряд единицы поверхности (поверхностная плотность зарядов). Линии напряженности перпендикулярны плоскости и направлены от нее в разные стороны (рис. 3.1.5). Две равномерно (с одинаковой плотностью ) и разноименно заряженные бесконечные плоскости

Рис. 3.1.5. Поле бесконечной заряженной плоскости

создают однородное электростатическое поле, напряженность которого в пространстве между плоскостями

(3.1.9)

В остальном пространстве электрическое поле рассматриваемой системы равно нулю.
Напряженность поля равномерно заряженной проводящей сферы радиусом , несущей на поверхности заряд :

(3.1.10)

График зависимости для заряженной проводящей сферы изображен на рис. 3.1.6, а.
Напряженность поля, создаваемого шаром, равномерно заряженным по объему, равна

(3.1.11)

Здесь — полный заряд шара, — его радиус. График зависимости для равномерно заряженного шара изображен на рис. 3.1.6, б.

Рис. 3.1.6. Поле равномерно заряженной проводящей сферы (а) и поле равномерно заряженного по объему шара (б)

Совокупность двух равных по величине и противоположных по знаку точечных зарядов и , расположенных на расстоянии друг от друга, называется электрическим диполем. Диполь характеризуется электрическим моментом , где вектор направлен по оси диполя от отрицательного заряда к положительному. Помещенный в неоднородное внешнее поле, диполь втягивается в область более сильного поля. В однородном внешнем поле на диполь действует момент сил, пытающийся развернуть диполь так, чтобы его дипольный момент был направлен вдоль силовых линий.

Работа сил электростатического поля. Потенциал и разность потенциалов

Работа электростатических сил по перемещению зарядов не зависит от формы траектории и определяется только величиной заряда и положением начальной и конечной точек траектории. Следовательно, электростатические силы потенциальны. Это дает возможность ввести энергетическую характеристику электростатического поля — потенциал .

Потенциал — это работа, которую совершают силы электростатического поля по перемещению единичного положительного заряда из данной точки пространства в точку, потенциал которой принят за нуль. Очевидно, что потенциал также равен работе, которую нужно совершить против электростатических сил, чтобы перенести единичный положительный заряд из точки, в которой потенциал принят за нуль, в данную точку пространства
Физический смысл имеет разность потенциалов между двумя точками, а не значения потенциалов в этих точках. Поэтому выбор точки с нулевым потенциалом определяется соображениями простоты и удобства решения задач. Чаще всего выбирают равным нулю потенциал либо бесконечно удаленной точки, либо потенциал Земли.
Работа поля по перемещению заряда из одной точки пространства в другую

(3.1.12)

где — напряжение (разность потенциалов) между точками 1 и 2.
Единица напряжения и разности потенциалов в СИ называется вольтом (В). 1 В = 1 Дж/1 Кл.

Связь разности потенциалов с напряженностью электростатического поля

Разность потенциалов (напряжение) между двумя точками в однородном электрическом поле, расположенными на одной линии напряженности на расстоянии друг от друга, определяется формулой

(3.1.13)

где — напряженность поля.
В однородном диэлектрике разность потенциалов (как и напряженность электростатического поля) уменьшается в раз по сравнению с этими величинами в вакууме.

Потенциал поля точечного заряда

Потенциал поля точечного заряда в вакууме

(3.1.14)

Потенциал положительного заряда положителен и убывает с расстоянием от заряда, а потенциал отрицательного заряда отрицателен и увеличивается при удалении от заряда.
При наличии нескольких точечных зарядов общий потенциал в некоторой точке поля равен алгебраической сумме потенциалов, созданных отдельными зарядами.
Потенциал проводящей заряженной сферы радиусом , несущей на поверхности заряд , равен

(3.1.15)

Эквипотенциальные поверхности

Геометрическое место точек электростатического поля с одинаковыми потенциалами называется эквипотенциальной поверхностью. Эквипотенциальные поверхности имеют следующие свойства:

  1. в каждой точке эквипотенциальной поверхности вектор напряженности поля перпендикулярен к ней и направлен в сторону убывания потенциала;
  2. работа по перемещению заряда по одной и той же эквипотенциальной поверхности равна нулю.
    Одной из эквипотенциальных поверхностей является поверхность заряженного проводника.
    Наряду с силовыми линиями, эквипотенциальные поверхности являются удобным средством для графического изображения электростатического поля. Обычно их проводят так, чтобы разности потенциалов между двумя соседними поверхностями были одинаковы. В качестве примера на рис. 3.1.7 изображены эквипотенциальные поверхности полей, создаваемых простейшими электрическими системами: положительно заряженным шариком (а); двумя разноименно заряженными шариками (б), двумя одноименно заряженными шариками (в).
Рис. 3.1.7. Эквипотенциальные поверхности

Проводники и диэлектрики в электростатическом поле. Диэлектрическая проницаемость вещества

Если металлический проводник поместить во внешнее электрическое поле, то под действием этого поля помимо теплового, хаотического движения свободных электронов возникнет их упорядоченное движение, в результате которого они будут перемещаться в направлении, противоположном напряженности поля. На поверхности проводника, обращенной навстречу силовым линиям поля, появится избыточный отрицательный заряд, на противоположной поверхности — избыточный положительный. Заряды, появляющиеся на поверхностях проводника, создают внутри него электрическое поле, вектор напряженности которого противоположен вектору напряженности внешнего поля. Упорядоченное движение электронов в проводнике прекратится, когда внутреннее поле станет равным по величине внешнему полю. Под действием внешнего электростатического поля электроны проводимости в проводнике перераспределяются так, что напряженность результирующего поля в любой точке внутри проводника становится равной нулю; некомпенсированные заряды располагаются неподвижно только на поверхности проводника. Явление перераспределения зарядов в проводнике во внешнем электростатическом поле называется электростатической индукцией.

При помещении в электростатическое поле диэлектрика в нем происходят несколько иные процессы. Молекулы диэлектрика электрически нейтральны — суммарные положительные заряды их ядер и отрицательные заряды всех электронов равны друг другу. В зависимости от строения молекул различаются полярные и неполярные диэлектрики.
Если в отсутствие внешнего электрического поля центры положительных и отрицательных зарядов в молекуле диэлектрика совпадают, то он называется неполярным. В отсутствии внешнего поля дипольный момент молекулы неполярного диэлектрика равен нулю. Если молекулу неполярного диэлектрика поместить во внешнее электрическое поле, то произойдет ее деформация и возникнет индуцированный дипольный момент.

В молекулах полярных диэлектриков ядра и электроны расположены таким образом, что центры положительных и отрицательных зарядов не совпадают. Такие молекулы, независимо от внешних электрических полей, ведут себя как жесткие диполи, обладающие электрическим моментом, модуль которого постоянен. Если внешнее электрическое поле не приложено, то из-за теплового хаотического движения молекул в расположении жестких диполей отсутствует упорядоченность. Поэтому, хотя каждый диполь создает свое электрическое поле, суммарная напряженность поля всех хаотически движущихся диполей диэлектрика равна нулю.

При внесении диэлектрика во внешнее поле происходит его поляризация. Поляризацией диэлектрика называется переход его в такое состояние, когда внутри его объема геометрическая сумма векторов дипольных моментов молекул становится отличной от нуля. Механизм явления поляризации для полярных и неполярных диэлектриков различен, но приводит к сходным макроскопическим эффектам.

Если однородный неполярный диэлектрик внесен во внешнее электрическое поле, то в его молекулах происходит смещение положительных и отрицательных зарядов. На поверхностях, ограничивающих диэлектрик, появляются поверхностные связанные заряды. Связанные заряды не проявляют себя внутри любого объема диэлектрика: суммарный электрический заряд молекул в любом объеме равен нулю. Но на поверхностях диэлектрика связанные заряды не скомпенсированы и создают собственное электрическое поле диэлектрика. Вектор напряженности этого поля противоположен напряженности внешнего поля, вызвавшего поляризацию. Поэтому результирующее электрическое поле в однородном изотропном диэлектрике имеет напряженность, в раз меньшую, чем в вакууме. Поляризация диэлектрика с неполярными молекулами, состоящая в возникновении у молекул индуцированного электрического момента, называется электронной или деформационной поляризацией. Поляризация этого типа не зависит от температуры диэлектрика.

При внесении однородного полярного диэлектрика во внешнее электрическое поле каждая молекула — жесткий диполь — будет испытывать ориентирующее влияние поля и будет стремиться развернуться так, чтобы вектор ее дипольного момента был направлен параллельно внешнему полю. Тепловое движение молекул разрушает упорядоченную ориентацию молекул, вследствие чего суммарный дипольный момент молекул диэлектрика в некотором диапазоне изменения внешнего поля оказывается пропорциональным напряженности внешнего поля. На граничных поверхностях поляризованного диэлектрика возникают нескомпенсированные связанные заряды. Как и случае неполярного диэлектрика, эти заряды создают собственное электрическое поле, ослабляющее внешнее поле в раз. Поляризацию описанного типа называется ориентационной поляризацией. Ориентационная поляризация уменьшается с повышением температуры.

Электроемкость

Когда на проводнике увеличивается заряд , то прямо пропорционально заряду возрастает потенциал проводника . Это справедливо для проводников любой геометрической формы. Отношение заряда проводника к его потенциалу не зависит от величины заряда, находящегося на проводнике, и определяется свойствами самого проводника, а также среды, в которой он находится. Характеристикой электрических свойств проводника, определяющей возможность накопления зарядов на нем, является электроемкость (или просто емкость).

Емкостью уединенного проводника называется коэффициент пропорциональности между зарядом, находящимся на этом проводнике, и его потенциалом

(3.1.16)

Емкость уединенного шара радиуса равна

(3.1.17)

Конденсаторы

Два изолированных друг от друга проводника, заряженных равными по величине и противоположными по знаку зарядами, образуют конденсатор. Проводники конденсатора называются обкладками.

Поле плоского конденсатора. Электроемкость плоского конденсатора. Плоский конденсатор представляет собой две параллельные металлические пластины, разделенные слоем диэлектрика. Если расстояние между пластинами мало по сравнению с их поперечным размером, то практически все электрическое поле сосредоточено внутри конденсатора и является однородным за исключением небольших областей вблизи краев пластин (рис. 3.1.2, г). Это поле равно сумме полей, создаваемых положительно и отрицательно заряженными обкладками (см. формулу (3.1.9)). Емкость плоского конденсатора, площадь каждой из пластин которого , а расстояние между пластинами , равна

(3.1.18)

Емкость конденсатора с диэлектриком, заполняющим пространство между обкладками, в раз больше емкости пустого (незаполненного) конденсатора.
Единица электроемкости в Международной системе — фарад (Ф). Электроемкостью 1 Ф обладает такой конденсатор, напряжение между обкладками которого равно 1 В при сообщении обкладкам разноименных зарядов по 1 Кл: 1 Ф = 1 Кл/1 В.

Последовательное и параллельное соединение конденсаторов

При последовательном соединении нескольких конденсаторов общая емкость определяется формулой

(3.1.19)

При параллельном соединении конденсаторов общая емкость равна

(3.1.20)

Энергия электрического поля заряженного конденсатора

Согласно современной теории энергия любых заряженных тел сосредоточена в электрическом поле, создаваемом этими телами. Поэтому говорят об энергии электрического поля, причем считается, что энергия источников поля — заряженных тел — распределена по всему пространству, где имеется электрическое поле. Например, в плоском конденсаторе энергия сосредоточена в пространстве между его обкладками. Эта энергия равна

(3.1.21)

Энергия однородного электрического поля, сосредоточенного в некотором объеме однородной среды, пропорциональна этому объему. Это дает возможность ввести понятие плотности энергии электрического поля, т.е. энергии, сосредоточенной в единице объема. Плотность энергии электрического поля вычисляется по формуле

(3.1.22)

Это выражение справедливо не только для однородного поля, но и для произвольных, в том числе и изменяющихся во времени электрических полей в однородном изотропном диэлектрике.

Указания по решению задач

При расчете разности потенциалов между какими-либо точками часто бывает полезно принять потенциал в одной из точек за нуль и последовательно рассмотреть работы по перемещению единичного положительного заряда из этой точки во все остальные интересующие нас точки. Это касается как определения потенциалов, созданных системой зарядов, так и расчета напряжений в цепях, содержащих конденсаторы.
В задачах, в которых рассматриваются различные типы соединения конденсаторов, следует всегда иметь в виду те соотношения, которые используются при выводе формул (3.1.19) и (3.1.20). В частности, на последовательно соединенных конденсаторах одинаков заряд, а на параллельно соединенных конденсаторах одинаково напряжение.

Примеры решения задач

К оглавлению…

Задача3.1.1.

В двух вершинах равностороннего треугольника помещены одинаковые заряды . Какой точечный заряд необходимо поместить в середину стороны, соединяющей заряды и , чтобы напряженность электрического поля в третьей вершине треугольника оказалась равной нулю?

Решение:

Заряды и создают в вершине электрические поля и , направленные вдоль сторон и соответственно (см. рисунок), причем

где — сторона треугольника. Векторная сумма этих полей направлена вдоль высоты треугольника и по величине равна

Суммарное поле в точке будет равно нулю, если в точку поместить отрицательный заряд , создающий в точке поле . Учитывая, что расстояние между точками и равно

имеем:
Отсюда легко найти ответ:

Задача3.1.2.

Три положительных заряда расположены в вершинах равностороннего треугольника . Величина заряда, находящегося в точке , равна ; величины зарядов в точках и равны . Найти отношение , если напряженность электрического поля, создаваемого этими тремя зарядами в точке , лежащей на середине высоты, опущенной из вершины на сторону , равна нулю.

Решение:

Обозначим через сторону треугольника. Тогда расстояния между точкой и вершинами треугольника (см. рисунок) выразятся следующим образом:

Величины напряженностей полей, создаваемых в точке D зарядами, расположенными в точках , и , равны:

Суммарное поле в точке будет равно нулю при выполнении условия:

Комбинация записанных выражений дает ответ:

Задача3.1.3.

Два точечных заряда и , расположенные, соответственно, в вершинах и квадрата со стороной , создают в вершине электрическое поле напряженностью . В какую точку нужно поместить третий точечный заряд , чтобы напряженность суммарного электрического поля в вершине стала равна ?

Решение:

Заряды, расположенные в точках и , создают в точке электрические поля, величины которых равны:

Сумма этих полей направлена вдоль биссектрисы (см. рисунок) и по величине равна:

Для того, чтобы поле в точке , оставаясь тем же самым по величине, переменило знак на противоположный, заряд должен создать в этой точке поле , направленное против поля . Следовательно, этот заряд нужно поместить внутри квадрата на биссектрисе на таком расстоянии от точки , чтобы выполнялось равенство:

Отсюда находим искомое расстояние:
В итоге приходим к ответу, который формулируется следующим образом: заряд нужно поместить внутри квадрата на биссектрисе на расстоянии от точки .

Задача3.1.4.

К нитям длиной , точки подвеса которых находятся на одном уровне на расстоянии друг от друга, подвешены два одинаковых маленьких шарика массами т каждый. При сообщении им одинаковых по величине разноименных зарядов шарики сблизились до расстояния . Определить величину сообщенных шарикам зарядов . Ускорение свободного падения .

Решение:

Шарики находятся в равновесии под действием сил, изображенных на рисунке, где через обозначена величина силы натяжения нитей, а через — величина кулоновской силы, действующей на каждый из шариков, равная

Вводя угол между нитью вертикалью, запишем условия равновесия шариков в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:

Исключая отсюда , получаем:

Используя для кулоновской силы записанное выше выражение, после несложных преобразований получаем ответ:

Задача3.1.5.

Два маленьких тела с равными зарядами q расположены на внутренней поверхности гладкой непроводящей сферы радиусом . Первое тело закреплено в нижней точке сферы, а второе может свободно скользить по ее поверхности. Найти массу второго тела, если известно, что в состоянии равновесия оно находится на высоте от нижней точки сферы.

Решение:

Заряженное тело, способное свободно скользить по гладкой сферической поверхности, займет положение равновесия, когда сумма действующих на него сил окажется равной нулю. Эти силы показаны на рисунке, где — сила тяжести, — сила реакции поверхности, a — сила кулоновского отталкивания зарядов.
Условие равновесия заряженного тела удобнее всего записать в проекцию на касательную к сфере, проведенную в плоскости рисунка (линию ). С учетом известной из геометрии теоремы об угле, образованном касательной и хордой, имеем:
или
В соответствии с законом Кулона

причем расстояние между заряженными телами , как видно из рисунка, равно: . Из рисунка также видно, что высота , на которую поднимается заряженное тело, выражается как

Отсюда Объединяя записанные выражения, после несложных преобразований получаем ответ:

Задача3.1.6.

Два удаленных друг от друга на большое расстояние металлических шара радиусами и , несущие заряды и соответственно, соединяют тонким проводом. Какой заряд протечет при этом по проводу?

Решение:

Поскольку по условию задачи шары достаточно удалены друг от друга, их потенциалы до соединения проводом можно определить по формуле для потенциала уединенной заряженной сферы. Имеем:

После соединения шаров проводом заряды на них перераспределятся так, что потенциалы шаров станут равными друг другу, т.е.

Следовательно, Пренебрегая емкостью провода, запишем закон сохранения заряда в системе: . Из последних двух уравнений находим заряды на шарах после их соединения:

По проводу протечет заряд . Ответ:

Задача №3.1.7.

Два удаленных друг от друга на большое расстояние металлических шара радиусами и , несущие одинаковые заряды, взаимодействуют с силой . Какова будет сила взаимодействия этих шаров , если их соединить друг с другом тонким проводом?

Решение:

Повторяя рассуждения, приведенные в задаче 3.1.6, находим заряды на шарах после соединения их проводом:

где — заряд на каждом из шаров до их соединения. Сила взаимодействия шаров определяется по закону Кулона: до соединения, после соединения, где — расстояние между шарами. Объединяя полученные выражения, находим ответ:

Задача3.1.8.

Расстояние между двумя одинаковыми металлическими шариками намного больше их радиусов. Когда на шарики поместили некоторые заряды, сила отталкивания между ними оказалась равной . После того, как шарики соединили тонкой проволокой, а затем убрали ее, шарики стали отталкиваться с силой . Определить первоначальные заряды шариков и , Электрическая постоянная .

Решение:

Поскольку по условию задачи шарики достаточно удалены друг от друга, для силы взаимодействия между ними справедлив закон Кулона:

Потенциалы шариков до соединения их проволокой можно определить по формуле для потенциала уединенной заряженной сферы:

где — радиус каждого из шариков. После соединения шариков проволокой заряды на них перераспределятся так, что потенциалы шариков станут одинаковыми:

Пренебрегая емкостью проволоки, запишем закон сохранения заряда в системе:

Поскольку радиусы шариков равны, из равенства их потенциалов после соединения проволокой следует, что на каждом из шариков будет находиться один и тот же заряд:

В результате этого величина силы взаимодействия примет значение:

Имеем систему уравнений:

Находя из нее и получаем ответ:

Задача3.1.9.

Внутри плоского незаряженного конденсатора, пластины которого расположены горизонтально на расстоянии друг от друга, падает положительно заряженная пылинка. Вследствие сопротивления воздуха пылинка движется равномерно, проходя некоторый путь за время . Когда на конденсатор подали напряжение , пылинка начала двигаться равномерно вверх, пройдя тот же путь за время . Определить отношение заряда пылинки к ее массе. Силу сопротивления воздуха считать пропорциональной скорости пылинки, ускорение свободного падения принять .

Решение:

Пусть — коэффициент сопротивления воздуха, — масса пылинки, — пройденный пылинкой путь. Тогда при движении пылинки вниз с постоянной скоростью справедливо уравнение , или
Движение пылинки вверх с постоянной скоростью описывается уравнением , или где — заряд пылинки. Выражая из первого уравнения и подставляя во второе, после несложных преобразований получаем ответ:

Задача3.1.10.

Электрон влетает со скоростью в отверстие в нижней пластине плоского конденсатора. Между пластинами поддерживается разность потенциалов . Определить максимальное удаление электрона от нижней пластины конденсатора, если угол, который составляет вектор начальной скорости электрона с вектором напряженности электрического поля конденсатора, , расстояние между пластинами конденсатора , отношение заряда электрона к его массе = . Считать электрическое поле внутри конденсатора однородным, силу тяжести не учитывать.

Решение:

Составляющая скорости электрона , параллельная пластинам, будет оставаться постоянной, составляющая скорости, перпендикулярная пластинам, при максимальном удалении электрона от нижней пластины обратится в нуль. Поскольку электростатические силы потенциальны, полная механическая энергия электрона при движении внутри конденсатора сохраняется. Обозначив через массу электрона, а через — величину его заряда, имеем:

Отсюда после несложных преобразований получаем ответ:

Задача3.1.11.

Электронный пучок проходит между горизонтально расположенными пластинами плоского конденсатора и попадает на экран. Начальная скорость электронов направлена горизонтально и равна м/с. Пластины конденсатора представляют собой квадраты со стороной см, а величина заряда на каждой из них составляет . Расстояние от правого края конденсатора до экрана равно см. Определить поперечное смещение электронов в плоскости экрана, связанное с действием конденсатора. Электрическая постоянная , отношение величины заряда электрона к его массе . Расстояние между пластинами конденсатора намного меньше их размера. Силу тяжести не учитывать.

Решение:

Поскольку в задаче требуется найти смещение электронов, вызванное действием конденсатора, электрическим взаимодействием между электронами можно пренебречь и считать, что на каждый электрон, находящийся внутри конденсатора, действует сила , направленная вертикально вверх (здесь — заряд электрона, — напряженность поля внутри конденсатора). Вертикальное смещение электрона при движении внутри конденсатора в течение времени равно

При вылете из конденсатора электрон имеет вертикальную скорость
. Пролетая вне конденсатора расстояние в течение времени , он приобретает смещение
Поскольку полное смещение электрона равно . ответ имеет вид:

Задача3.1.12.

Две частицы с одинаковыми массами, заряженные равными по величине разноименными зарядами, движутся по окружности вокруг неподвижного центра масс. Пренебрегая гравитационным взаимодействием между частицами, найти отношение величин потенциальной и кинетической энергий частиц. Принять, что энергия взаимодействия частиц при их удалении на бесконечно большое расстояние равна нулю.

Решение:

Уравнение движения каждой из частиц под действием сил кулоновского притяжения имеет вид:

где — скорость каждой из частиц, — радиус их орбит, — величина их зарядов. Кинетическая энергия частиц

величина потенциальной энергии их притяжения

Находя отношение между этими величинами, получаем ответ:

Задача3.1.13.

Два маленьких шарика массами г и г, несущие заряды Кл и Кл соответственно, удерживаются на расстоянии м друг от друга. В некоторый момент оба шарика отпускают, сообщив одновременно второму из них скорость м/с, направленную от первого шарика вдоль линии, соединяющей их центры. На какое максимальное расстояние разойдутся шарики друг от друга? Силу тяжести не учитывать. Электрическую постоянную принять .

Решение:

Движение шариков происходит под действием силы электростатического притяжения, которая является внутренней силой для рассматриваемой системы. Следовательно, суммарный импульс шариков остается постоянным. Запишем закон сохранения импульса в проекции на координатную ось, положительное направление которой совпадает с направлением начальной скорости второго шарика:

Здесь и — проекции скоростей шариков на эту же ось в произвольный момент времени.
Кулоновские силы относятся к классу потенциальных сил, поэтому в системе сохраняется также полная механическая энергия. Потенциальная энергия электростатического взаимодействия двух зарядов определяется равенством , где — расстояние между зарядами. Заметим, что для разноименных зарядов потенциальная энергия отрицательна и возрастает при удалении зарядов друг от друга. В соответствии с этим кинетическая энергия шариков будет убывать по мере увеличения расстояния между ними и закон сохранения энергии запишется в виде:

При удалении шариков на максимальное расстояние их относительная скорость обратится в нуль. Это утверждение становится очевидным, если перейти в систему отсчета, связанную с одним из шариков. В этой системе движение второго шарика подобно движению камня, брошенного вертикально вверх от поверхности Земли. Ясно, что момент остановки второго шарика относительно первого (т.е. обращения в нуль относительной скорости) действительно соответствует максимальному удалению шариков друг от друга. Таким образом, когда расстояние между шариками максимально, . Используя это равенство, преобразуем исходную систему уравнений к виду:

Исключая из этой системы , находим ответ:

Элементарный анализ показывает, что ответ теряет смысл при
Последнему неравенству можно придать более наглядную форму:

где — начальная кинетическая энергия, — начальная потенциальная энергия системы. Физический смысл этого результата таков: если начальная кинетическая энергия системы равна или превышает взятую с некоторым коэффициентом величину начальной потенциальной энергии притяжения зарядов, то шарики удалятся на бесконечно большое расстояние и никогда не сблизятся. Когда массы шариков соизмеримы, коэффициент отличен от единицы. Это отражает тот факт, что начальная кинетическая энергия системы в процессе взаимодействия шариков перераспределяется между ними. Если неограниченно увеличивать массу первоначально неподвижного шарика, то множитель устремится к единице. Бесконечно тяжелый шарик будет оставаться неподвижным, и мы приходим случаю движения тела около неподвижного силового центра. Напомним, что условие того, что тело, притягивающееся к неподвижному силовому центру, не удалится от него на бесконечность, имеет хорошо известный вид: .

Задача3.1.14.

Металлическая сфера, имеющая небольшое отверстие, заряжена положительным зарядом . Первоначально незаряженные металлические шарики и расположены, как показано на рисунке. Радиус сферы равен , радиусы каждого шарика , расстояние . Определить заряды и , которые индуцируются на шариках, когда их соединяют проволокой, не касаясь сферы.

Решение:

Рассмотрим вначале случай, когда шарики не соединены.
При этом потенциал шарика равен нулю: , а потенциал шарика В равен потенциалу поверхности заряженной сферы:

Распределение потенциала внутри и вне сферы для этого случая изображено на рисунке сплошной линией (через обозначено расстояние от центра сферы до точки наблюдения).
После соединения шариков проволокой их потенциалы выровняются: , причем потенциал шарика понизится, а потенциал шарика повысится, Это произойдет за счет перетекания по проволоке некоторого заряда . В результате на шарике образуется заряду , а на шарике — заряд , причем . Имеем:

Отсюда Распределение потенциала внутри и вне сферы после соединения шариков проволокой изображено на рисунке штриховой линией. Ответ:

Задача3.1.15.

Металлическим пластинам 1 и 2 сообщили положительные заряды Кл и Кл соответственно. Какие заряды Q> Q> Q’z> Q’z расположатся на боковых сторонах пластин?

Решение:

Пренебрегая краевыми эффектами, будем считать, что заряды распределятся на боковых поверхностях пластин равномерно. Вводя для поверхностных плотностей зарядов обозначения, смысл которых ясен из рисунка, имеем:

где — площадь боковой поверхности каждой из пластин. Заряды с такими плотностями создают однородные электрические поля, перпендикулярные поверхностям пластин (см. рисунок). Величины напряженностей этих полей равны, соответственно,

Распределение зарядов по боковым поверхностям пластин таково, что суммарные электрические поля в толще пластин обращаются в нуль. Записывая эти условия, имеем:
(для пластины 1)
(для пластины 2)

В результате получаем уравнения для зарядов:

Разрешая эту систему из четырех уравнений относительно четырех неизвестных, находим:

Ответ:

Задача3.1.16.

Обкладки плоского воздушного конденсатора, подключенного к источнику постоянного напряжения, притягиваются с силой . Какая сила будет действовать на обкладки, если в зазор параллельно им вставить металлическую пластинку, толщина которой в раза меньше величины зазора, а остальные размеры совпадают с размерами обкладок?

Решение:

Найдем вначале силу, с которой притягиваются друг к другу обкладки пустого конденсатора. При этом учтем, что каждая обкладка находится в однородном поле , создаваемом другой обкладкой и равном по величине половине поля внутри конденсатора. Следовательно, искомая сила равна

Здесь — величина заряда на обкладках пустого конденсатора, — напряжение на конденсаторе, равное напряжению на зажимах источника, — емкость пустого конденсатора, — расстояние между обкладками, — площадь одной из них. При внесении металлической пластины в пространство между обкладками напряжение на конденсаторе не изменится, а напряженность поля возрастет, т.к. источник доставит на обкладки дополнительные заряды. Поскольку внутри пластины поле всегда равно нулю, внесение ее внутрь конденсатора эквивалентно уменьшению расстояния между обкладками на величину . В результате емкость конденсатора после внесения пластины станет равной

Вследствие этого сила притяжения между обкладками также изменится:

Сравнивая последнее выражение с выражением для , получаем ответ:

Задача3.1.17.

На рисунке изображена батарея конденсаторов, подключенная к гальваническому элементу с . Емкости конденсаторов равны: . Чему равна разность потенциалов между точками и ? Считать, что до подключения к источнику все конденсаторы были незаряжены.

Решение:

Обозначим через напряжения на конденсаторах соответственно. Тогда величина искомой разности потенциалов выразится как . Исходя из этого, найдем напряжения на конденсаторах, зная их емкости и ЭДС источника. Имеем следующую систему уравнений:

Разрешая ее, получаем:
Ответ:

Задача3.1.18.

Два плоских конденсатора заряжены: первый до разности потенциалов , второй — до разности потенциалов . Площади пластин конденсаторов соответственно: у первого и у второго, расстояние между пластинами у обоих конденсаторов одинаково. Чему будет равно напряжение на конденсаторах , если соединить их одноименно заряженные обкладки?

Решение:

Обозначим через и емкости конденсаторов. Если — расстояние между их обкладками, то

Заряды на конденсаторах до соединения равны, соответственно: . В силу закона сохранения заряда, при соединении обкладок алгебраическая сумма зарядов на каждой паре останется без изменения. Поскольку после соединения обкладок напряжения на конденсаторах станут одинаковыми, их можно рассматривать как два параллельно соединенных конденсатора с общей емкостью . Общий заряд на этих конденсаторах , а напряжение . Объединяя записанные соотношения, получаем: Учитывая выражения для емкостей конденсаторов, находим ответ:

Задача3.1.19.

К источнику с последовательно подключены два конденсатора с емкостью и . После зарядки конденсаторов источник отключают, а параллельно конденсатору подключают через резистор незаряженный конденсатор емкостью . Какое количество теплоты выделится на резисторе в процессе зарядки конденсатора ?

Решение:

При подключении к источнику двух последовательно соединенных конденсаторов (см. рисунок а), они заряжаются до напряжений и , для которых справедлива система уравнений:

Отсюда
После отключения источника напряжение и заряд на конденсаторе меняться не будут. Не изменится также запасенная в нем энергия. В то же время, при подключении к заряженному до напряжения конденсатору незаряженного конденсатора в образовавшейся цепи

(см. рисунок б) произойдет перераспределение зарядов, в результате чего на резисторе выделится некоторая энергия. Используя решение задачи 3.1.18, находим напряжение на этих конденсаторах после перезарядки:

Начальная энергия конденсатора и конечная энергия системы из двух конденсаторов и , соответственно равны:

Разность между этими значениями равна количеству выделившейся на резисторе теплоты: . Отсюда после несложных преобразований получаем ответ:

Возможно эти дополнительные страницы вам будут полезны: