Электростатика и электродинамика задачи с решением

Оглавление:

Электростатика и электродинамика задачи с решением

Прежде чем изучать готовые решения задач по электростатике и электродинамике, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила краткую теорию по разделу «электростатика и электродинамика», и примеры решения в которых подробно решены задачи.

Эта страница подготовлена для школьников и студентов.

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Электродинамика. Электростатика. Определения, понятия и законы

Электростатикой называется раздел электродинамики, в котором рассматриваются взаимодействия неподвижных в инерциальной системе отсчета электрически заряженных тел или частиц.

Электрические заряды. Элементарный электрический заряд

Физическая величина, характеризующая свойство тел или частиц вступать в электромагнитные взаимодействия и определяющая значения сил, возникающих при таких взаимодействиях, называется электрическим зарядом. Электрические заряды делятся на положительные и отрицательные. Положительный заряд возникает, например, на стекле, натертом кожей, отрицательный — на янтаре, натертом шерстью.
Носителями электрических зарядов являются элементарные частицы и их античастицы. Стабильными носителями положительного заряда являются протон и позитрон, отрицательного — электрон и антипротон. Другие элементарные частицы, имеющие электрические заряды, являются нестабильными, их время «жизни» чрезвычайно мало.

В Международной системе за единицу заряда принят кулон (Кл). Кулон — это заряд, проходящий за 1 с. через поперечное сечение проводника при силе тока 1 ампер (А). Определение единицы силы тока 1 А будет дано в разделе 3.2.

Электрический заряд протона и электрона по абсолютному значению равен Решение задач по электростатике и электродинамике Кл. Массы протона и электрона равны, соответственно, Решение задач по электростатике и электродинамике кг и Решение задач по электростатике и электродинамике кг. Электрический заряд протона и электрона называется элементарным зарядом.
Электрический заряд любого заряженного тела равен целому числу элементарных зарядов. В электрически нейтральном (незаряженном) теле содержится равное число элементарных зарядов противоположного знака. Электрически нейтральными являются неионизованные атомы и молекулы.

Если электрическая нейтральность тела нарушена, то оно называется наэлектризованным, или заряженным. Для электризации тела необходимо, чтобы на нем был создан избыток (недостаток) элементарных зарядов того или другого знака. Электризация тел осуществляется различными способами, простейшим из которых является электризация соприкосновением. Этот способ основан на том, что при соприкосновении некоторых тел, когда происходит контакт между разнородными веществами, валентные электроны могут переходить из одного вещества в другое.

Закон сохранения электрического заряда

При всех явлениях, связанных с перераспределением электрических зарядов в изолированной системе взаимодействующих тел, алгебраическая сумма электрических зарядов остается постоянной. Этот закон, носящий название закона сохранения электрического заряда, является таким же фундаментальным законом физики, как и другие законы сохранения: энергии, импульса и др.

Проводники и диэлектрики

Проводниками называются вещества, в которых может происходить упорядоченное перемещение электрических зарядов (электрический ток). Проводниками являются металлы, водные растворы солей, кислот и др., ионизованные газы. В частности, в металлах валентные электроны взаимодействующих друг с другом атомов отщепляются и становятся свободными, т.е. способными свободно перемещаться в объеме металла. Эти электроны, называемые также электронами проводимости, и обеспечивают электропроводность металлов. Механизмы электропроводности других проводящих веществ будут подробно рассмотрены в разделе 3.2.

Диэлектриками называются вещества, которые не проводят электрический ток. В диэлектриках практически отсутствуют свободные электроны, и упорядоченное движение электрических зарядов в обычных условиях невозможно. К диэлектрикам относятся некоторые твердые вещества (стекло, фарфор, ряд кристаллов и др.), жидкости (химически чистая вода, керосин, минеральное масло и др.) и большинство газов. Валентные электроны в атомах диэлектриков прочно связаны со своими ядрами и в обычных условиях не могут отщепляться от них.

Электрометр и электроскоп

Для обнаружения зарядов и измерения их величины служат электрометры и электроскопы. Простейший электрометр (рис. 3.1.1) содержит легкую алюминиевую стрелку, укрепленную на металлическом стержне с помощью горизонтальной оси.

Решение задач по электростатике и электродинамике
Рис. 3.1.1. Простейший электрометр

Центр тяжести стрелки находится ниже оси, поэтому у незаряженного электрометра стрелка располагается вертикально. Стержень со стрелкой помещен в металлический корпус, изолированный от стержня. Это делается для того, чтобы внешнее электрическое поле не влияло на показания прибора. Наблюдения за стрелкой проводятся через смотровое окно. Если прикоснуться к шарику электрометра заряженным телом, то на стержне и стрелке возникнут одноименные заряды, которые отталкиваются друг от друга, и подвижная стрелка отклонится. Электрометры обычно градуируют, что позволяет достаточно просто и точно проводить измерения зарядов и разности потенциалов между проводниками. Электроскоп отличается от электрометра тем, что не имеет металлического корпуса, а вместо подвижной стрелки используются две полоски тонкой фольги, подвешенные к нижнему концу стержня. Электроскоп обычно применяют как демонстрационный прибор для обнаружения электрического заряда. При сообщении стержню электроскопа заряда полоски расходятся в разные стороны; по углу между ними можно также грубо оценивать величину заряда.

Взаимодействие электрически заряженных тел. Точечный заряд. Закон Кулона

Силы электростатического взаимодействия зависят от формы и размеров наэлектризованных тел, а также от распределения зарядов на этих телах. Электрические заряды называются точечными, если они располагаются на телах, размеры которых значительно меньше, чем расстояние между ними.

В этом случае ни форма, ни размеры заряженных тел существенно не влияют на взаимодействие между ними.

Количественные характеристики взаимодействия точечных зарядов устанавливает закон Кулона: величина силы электрического взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов Решение задач по электростатике и электродинамике и Решение задач по электростатике и электродинамике в вакууме пропорциональна произведению величин этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния Решение задач по электростатике и электродинамике между ними:

Решение задач по электростатике и электродинамике
(3.1.1)

где Решение задач по электростатике и электродинамике — электрическая постоянная.
Силы, действующие между точечными зарядами, направлены вдоль прямой, соединяющей эти заряды. Эти силы называются кулоновскими. Заряды одного знака отталкиваются, а заряды разных знаков притягиваются.

Сила взаимодействия зарядов в диэлектрике по сравнению с их взаимодействием в вакууме уменьшается. Это уменьшение характеризуется диэлектрической проницаемостью вещества Решение задач по электростатике и электродинамике. Закон Кулона для зарядов, находящихся в диэлектрике, имеет вид:

Решение задач по электростатике и электродинамике
(3.1.2)

Электрическое поле. Напряженность электрического поля

Любой неподвижный электрический заряд создает вокруг себя электростатическое поле, которое в каждой точке пространства характеризуется векторной физической величиной — напряженностью Решение задач по электростатике и электродинамике. Напряженность электрического поля определяется как сила, действующая в данной точке пространства на единичный положительный точечный заряд. В Международной системе единицей напряженности электрического поля является вольт на метр (В/м). Определение единицы напряжения (разности потенциалов) 1 В будет дано ниже.

Линии напряженности электрического поля (силовые линии)

Электрическое поле изображают с помощью линий напряженности (силовых линий). Касательные к этим линиям указывают направление силы, действующей на положительный заряд в каждой точке поля. Силовые линии электростатического поля не замкнуты, они начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных. Силовые линии непрерывны и не пересекаются. Они всегда перпендикулярны поверхности проводника. Распределение силовых линий в пространстве отображает величину поля: их густота в окрестности какой-либо точки пропорциональна величине напряженности поля в этой точке.

Решение задач по электростатике и электродинамике
Рис. 3.1.2. Примеры силовых линий электростатических полей

Примеры силовых линий полей, создаваемых некоторыми простейшими системами электрических зарядов, представлены на рис. 3.1.2. Там изображены силовые линии следующих полей: положительно заряженного шарика (рис. 3.1.2, а); двух разноименно заряженных шариков (рис. 3.1.2, б); двух одноименно заряженных шариков (рис. 3.1.2, в); двух пластин, заряды которых равны по модулю и противоположны по знаку (рис. 3.1.2, г).

Однородное электрическое поле

Из рис. 3.1.2, г видно, что в пространстве между пластинами вдали от краев пластин силовые линии практически параллельны: электрическое поле здесь одинаково во всех точках.

Электрическое поле, напряженность которого одинакова во всех точках пространства, называется однородным. Силовые линии однородного поля параллельны и располагаются на равных расстояниях друг от друга. В ограниченной области пространства электрическое поле можно считать приблизительно однородным, если напряженность поля внутри этой области меняется незначительно.

Напряженность электростатического поля точечного заряда

В соответствии с законом Кулона (3.1.1) вектор напряженности поля точечного заряда q направлен по прямой, соединяющей точку нахождения заряда и точку наблюдения. Величина напряженности этого поля в вакууме

Решение задач по электростатике и электродинамике
(3.1.3)

Принцип суперпозиции полей

Опыт показывает, что если на электрический заряд Решение задач по электростатике и электродинамике действуют одновременно электрические поля нескольких зарядов, то результирующая сила оказывается равной геометрической сумме сил, действующих со стороны каждого поля в отдельности. Это свойство электрических полей означает, что они подчиняются принципу суперпозиции’, если в данной точке пространства различные заряды создают электрические поля с напряженностями Решение задач по электростатике и электродинамике, Решение задач по электростатике и электродинамике и т. д., то вектор напряженности результирующего электрического поля равен сумме векторов напряженностей всех электрических полей:

Решение задач по электростатике и электродинамике
(3.1.4)

где Решение задач по электростатике и электродинамике — число зарядов в системе.

Теорема Гаусса

Основная теорема электростатики — теорема Гаусса — базируется на физической величине, называемой потоком напряженности электрического поля.

Выделим в электрическом поле элемент воображаемой поверхности площадью Решение задач по электростатике и электродинамике. Этот элемент должен быть настолько малым, чтобы напряженность электрического поля во всех его точках можно было считать одинаковой. Проведем нормаль Решение задач по электростатике и электродинамике к элементу и обозначим угол между векторами Решение задач по электростатике и электродинамике и Решение задач по электростатике и электродинамике через а (рис. 3.1.3). Тогда по определению

Решение задач по электростатике и электродинамике
Рис. 3.1.3.

Maлый элемент поверхности Решение задач по электростатике и электродинамике.

Решение задач по электростатике и электродинамике
Рис. 3.1.4. Произвольная поверхность

потоком Решение задач по электростатике и электродинамике напряженности электрического поля Решение задач по электростатике и электродинамике через элемент поверхности Решение задач по электростатике и электродинамике называется произведение площади Решение задач по электростатике и электродинамике на проекцию напряженности электрического поля Решение задач по электростатике и электродинамике на нормаль к элементу:

Решение задач по электростатике и электродинамике
(3.1.5)

Для вычисления потока через произвольную поверхность нужно разбить всю поверхность на малые элементы площадью Решение задач по электростатике и электродинамике
220 Гл. 3. Электродинамика
(рис. 3.1.4), вычислить потоки напряженности через каждый из элементов, а затем просуммировать потоки через все элементы:

Решение задач по электростатике и электродинамике
(3.1.6)

Так же определяется поток через замкнутую поверхность, причем за положительную нормаль к любому элементу в этом случае выбирается внешняя нормаль, т. е. нормаль, направленная наружу.
Согласно теореме Гаусса, поток напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную:

Решение задач по электростатике и электродинамике
(3.1.7)

Если замкнутая поверхность не содержит внутри себя электрических зарядов, то поток напряженности электрического поля через нее равен нулю.

Используя теорему Гаусса, можно легко вычислить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела, если имеется какая-либо симметрия поля, например симметрия относительно плоскости или центра.

Электростатическое поле равномерно заряженных плоскости, сферы и шара

Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью, равна

Решение задач по электростатике и электродинамике
(3.1.8)

где Решение задач по электростатике и электродинамике — заряд единицы поверхности (поверхностная плотность зарядов). Линии напряженности перпендикулярны плоскости и направлены от нее в разные стороны (рис. 3.1.5). Две равномерно (с одинаковой плотностью Решение задач по электростатике и электродинамике) и разноименно заряженные бесконечные плоскости

Решение задач по электростатике и электродинамике
Рис. 3.1.5. Поле бесконечной заряженной плоскости

создают однородное электростатическое поле, напряженность которого в пространстве между плоскостями

Решение задач по электростатике и электродинамике
(3.1.9)

В остальном пространстве электрическое поле рассматриваемой системы равно нулю.
Напряженность поля равномерно заряженной проводящей сферы радиусом Решение задач по электростатике и электродинамике, несущей на поверхности заряд Решение задач по электростатике и электродинамике:

Решение задач по электростатике и электродинамике
(3.1.10)

График зависимости Решение задач по электростатике и электродинамике для заряженной проводящей сферы изображен на рис. 3.1.6, а.
Напряженность поля, создаваемого шаром, равномерно заряженным по объему, равна

Решение задач по электростатике и электродинамике
(3.1.11)

Здесь Решение задач по электростатике и электродинамике — полный заряд шара, Решение задач по электростатике и электродинамике — его радиус. График зависимости Решение задач по электростатике и электродинамике для равномерно заряженного шара изображен на рис. 3.1.6, б.

Решение задач по электростатике и электродинамике
Рис. 3.1.6. Поле равномерно заряженной проводящей сферы (а) и поле равномерно заряженного по объему шара (б)

Совокупность двух равных по величине и противоположных по знаку точечных зарядов Решение задач по электростатике и электродинамике и Решение задач по электростатике и электродинамике, расположенных на расстоянии Решение задач по электростатике и электродинамике друг от друга, называется электрическим диполем. Диполь характеризуется электрическим моментом Решение задач по электростатике и электродинамике, где вектор Решение задач по электростатике и электродинамике направлен по оси диполя от отрицательного заряда к положительному. Помещенный в неоднородное внешнее поле, диполь втягивается в область более сильного поля. В однородном внешнем поле на диполь действует момент сил, пытающийся развернуть диполь так, чтобы его дипольный момент был направлен вдоль силовых линий.

Работа сил электростатического поля. Потенциал и разность потенциалов

Работа электростатических сил по перемещению зарядов не зависит от формы траектории и определяется только величиной заряда и положением начальной и конечной точек траектории. Следовательно, электростатические силы потенциальны. Это дает возможность ввести энергетическую характеристику электростатического поля — потенциал Решение задач по электростатике и электродинамике.

Потенциал — это работа, которую совершают силы электростатического поля по перемещению единичного положительного заряда из данной точки пространства в точку, потенциал которой принят за нуль. Очевидно, что потенциал также равен работе, которую нужно совершить против электростатических сил, чтобы перенести единичный положительный заряд из точки, в которой потенциал принят за нуль, в данную точку пространства
Физический смысл имеет разность потенциалов между двумя точками, а не значения потенциалов в этих точках. Поэтому выбор точки с нулевым потенциалом определяется соображениями простоты и удобства решения задач. Чаще всего выбирают равным нулю потенциал либо бесконечно удаленной точки, либо потенциал Земли.
Работа поля по перемещению заряда из одной точки пространства в другую

Решение задач по электростатике и электродинамике
(3.1.12)

где Решение задач по электростатике и электродинамике — напряжение (разность потенциалов) между точками 1 и 2.
Единица напряжения и разности потенциалов в СИ называется вольтом (В). 1 В = 1 Дж/1 Кл.

Связь разности потенциалов с напряженностью электростатического поля

Разность потенциалов (напряжение) Решение задач по электростатике и электродинамике между двумя точками в однородном электрическом поле, расположенными на одной линии напряженности на расстоянии Решение задач по электростатике и электродинамике друг от друга, определяется формулой

Решение задач по электростатике и электродинамике
(3.1.13)

где Решение задач по электростатике и электродинамике — напряженность поля.
В однородном диэлектрике разность потенциалов (как и напряженность электростатического поля) уменьшается в Решение задач по электростатике и электродинамике раз по сравнению с этими величинами в вакууме.

Потенциал поля точечного заряда

Потенциал поля точечного заряда Решение задач по электростатике и электродинамике в вакууме

Решение задач по электростатике и электродинамике
(3.1.14)

Потенциал положительного заряда положителен и убывает с расстоянием от заряда, а потенциал отрицательного заряда отрицателен и увеличивается при удалении от заряда.
При наличии нескольких точечных зарядов общий потенциал в некоторой точке поля равен алгебраической сумме потенциалов, созданных отдельными зарядами.
Потенциал проводящей заряженной сферы радиусом Решение задач по электростатике и электродинамике, несущей на поверхности заряд Решение задач по электростатике и электродинамике, равен

Решение задач по электростатике и электродинамике
(3.1.15)

Эквипотенциальные поверхности

Геометрическое место точек электростатического поля с одинаковыми потенциалами называется эквипотенциальной поверхностью. Эквипотенциальные поверхности имеют следующие свойства:

  1. в каждой точке эквипотенциальной поверхности вектор напряженности поля перпендикулярен к ней и направлен в сторону убывания потенциала;
  2. работа по перемещению заряда по одной и той же эквипотенциальной поверхности равна нулю.
    Одной из эквипотенциальных поверхностей является поверхность заряженного проводника.
    Наряду с силовыми линиями, эквипотенциальные поверхности являются удобным средством для графического изображения электростатического поля. Обычно их проводят так, чтобы разности потенциалов между двумя соседними поверхностями были одинаковы. В качестве примера на рис. 3.1.7 изображены эквипотенциальные поверхности полей, создаваемых простейшими электрическими системами: положительно заряженным шариком (а); двумя разноименно заряженными шариками (б), двумя одноименно заряженными шариками (в).
Решение задач по электростатике и электродинамике
Рис. 3.1.7. Эквипотенциальные поверхности

Проводники и диэлектрики в электростатическом поле. Диэлектрическая проницаемость вещества

Если металлический проводник поместить во внешнее электрическое поле, то под действием этого поля помимо теплового, хаотического движения свободных электронов возникнет их упорядоченное движение, в результате которого они будут перемещаться в направлении, противоположном напряженности поля. На поверхности проводника, обращенной навстречу силовым линиям поля, появится избыточный отрицательный заряд, на противоположной поверхности — избыточный положительный. Заряды, появляющиеся на поверхностях проводника, создают внутри него электрическое поле, вектор напряженности которого противоположен вектору напряженности внешнего поля. Упорядоченное движение электронов в проводнике прекратится, когда внутреннее поле станет равным по величине внешнему полю. Под действием внешнего электростатического поля электроны проводимости в проводнике перераспределяются так, что напряженность результирующего поля в любой точке внутри проводника становится равной нулю; некомпенсированные заряды располагаются неподвижно только на поверхности проводника. Явление перераспределения зарядов в проводнике во внешнем электростатическом поле называется электростатической индукцией.

При помещении в электростатическое поле диэлектрика в нем происходят несколько иные процессы. Молекулы диэлектрика электрически нейтральны — суммарные положительные заряды их ядер и отрицательные заряды всех электронов равны друг другу. В зависимости от строения молекул различаются полярные и неполярные диэлектрики.
Если в отсутствие внешнего электрического поля центры положительных и отрицательных зарядов в молекуле диэлектрика совпадают, то он называется неполярным. В отсутствии внешнего поля дипольный момент молекулы неполярного диэлектрика равен нулю. Если молекулу неполярного диэлектрика поместить во внешнее электрическое поле, то произойдет ее деформация и возникнет индуцированный дипольный момент.

В молекулах полярных диэлектриков ядра и электроны расположены таким образом, что центры положительных и отрицательных зарядов не совпадают. Такие молекулы, независимо от внешних электрических полей, ведут себя как жесткие диполи, обладающие электрическим моментом, модуль которого постоянен. Если внешнее электрическое поле не приложено, то из-за теплового хаотического движения молекул в расположении жестких диполей отсутствует упорядоченность. Поэтому, хотя каждый диполь создает свое электрическое поле, суммарная напряженность поля всех хаотически движущихся диполей диэлектрика равна нулю.

При внесении диэлектрика во внешнее поле происходит его поляризация. Поляризацией диэлектрика называется переход его в такое состояние, когда внутри его объема геометрическая сумма векторов дипольных моментов молекул становится отличной от нуля. Механизм явления поляризации для полярных и неполярных диэлектриков различен, но приводит к сходным макроскопическим эффектам.

Если однородный неполярный диэлектрик внесен во внешнее электрическое поле, то в его молекулах происходит смещение положительных и отрицательных зарядов. На поверхностях, ограничивающих диэлектрик, появляются поверхностные связанные заряды. Связанные заряды не проявляют себя внутри любого объема диэлектрика: суммарный электрический заряд молекул в любом объеме равен нулю. Но на поверхностях диэлектрика связанные заряды не скомпенсированы и создают собственное электрическое поле диэлектрика. Вектор напряженности этого поля противоположен напряженности внешнего поля, вызвавшего поляризацию. Поэтому результирующее электрическое поле в однородном изотропном диэлектрике имеет напряженность, в Решение задач по электростатике и электродинамике раз меньшую, чем в вакууме. Поляризация диэлектрика с неполярными молекулами, состоящая в возникновении у молекул индуцированного электрического момента, называется электронной или деформационной поляризацией. Поляризация этого типа не зависит от температуры диэлектрика.

При внесении однородного полярного диэлектрика во внешнее электрическое поле каждая молекула — жесткий диполь — будет испытывать ориентирующее влияние поля и будет стремиться развернуться так, чтобы вектор ее дипольного момента был направлен параллельно внешнему полю. Тепловое движение молекул разрушает упорядоченную ориентацию молекул, вследствие чего суммарный дипольный момент молекул диэлектрика в некотором диапазоне изменения внешнего поля оказывается пропорциональным напряженности внешнего поля. На граничных поверхностях поляризованного диэлектрика возникают нескомпенсированные связанные заряды. Как и случае неполярного диэлектрика, эти заряды создают собственное электрическое поле, ослабляющее внешнее поле в Решение задач по электростатике и электродинамике раз. Поляризацию описанного типа называется ориентационной поляризацией. Ориентационная поляризация уменьшается с повышением температуры.

Электроемкость

Когда на проводнике увеличивается заряд Решение задач по электростатике и электродинамике, то прямо пропорционально заряду возрастает потенциал проводника Решение задач по электростатике и электродинамике. Это справедливо для проводников любой геометрической формы. Отношение заряда проводника к его потенциалу не зависит от величины заряда, находящегося на проводнике, и определяется свойствами самого проводника, а также среды, в которой он находится. Характеристикой электрических свойств проводника, определяющей возможность накопления зарядов на нем, является электроемкость (или просто емкость).

Емкостью уединенного проводника называется коэффициент пропорциональности между зарядом, находящимся на этом проводнике, и его потенциалом

Решение задач по электростатике и электродинамике
(3.1.16)

Емкость уединенного шара радиуса Решение задач по электростатике и электродинамике равна

Решение задач по электростатике и электродинамике
(3.1.17)

Конденсаторы

Два изолированных друг от друга проводника, заряженных равными по величине и противоположными по знаку зарядами, образуют конденсатор. Проводники конденсатора называются обкладками.

Поле плоского конденсатора. Электроемкость плоского конденсатора. Плоский конденсатор представляет собой две параллельные металлические пластины, разделенные слоем диэлектрика. Если расстояние между пластинами мало по сравнению с их поперечным размером, то практически все электрическое поле сосредоточено внутри конденсатора и является однородным за исключением небольших областей вблизи краев пластин (рис. 3.1.2, г). Это поле равно сумме полей, создаваемых положительно и отрицательно заряженными обкладками (см. формулу (3.1.9)). Емкость плоского конденсатора, площадь каждой из пластин которого Решение задач по электростатике и электродинамике, а расстояние между пластинами Решение задач по электростатике и электродинамике, равна

Решение задач по электростатике и электродинамике
(3.1.18)

Емкость конденсатора с диэлектриком, заполняющим пространство между обкладками, в Решение задач по электростатике и электродинамике раз больше емкости пустого (незаполненного) конденсатора.
Единица электроемкости в Международной системе — фарад (Ф). Электроемкостью 1 Ф обладает такой конденсатор, напряжение между обкладками которого равно 1 В при сообщении обкладкам разноименных зарядов по 1 Кл: 1 Ф = 1 Кл/1 В.

Последовательное и параллельное соединение конденсаторов

При последовательном соединении нескольких конденсаторов общая емкость определяется формулой

Решение задач по электростатике и электродинамике
(3.1.19)

При параллельном соединении конденсаторов общая емкость равна

Решение задач по электростатике и электродинамике
(3.1.20)

Энергия электрического поля заряженного конденсатора

Согласно современной теории энергия любых заряженных тел сосредоточена в электрическом поле, создаваемом этими телами. Поэтому говорят об энергии электрического поля, причем считается, что энергия источников поля — заряженных тел — распределена по всему пространству, где имеется электрическое поле. Например, в плоском конденсаторе энергия сосредоточена в пространстве между его обкладками. Эта энергия равна

Решение задач по электростатике и электродинамике
(3.1.21)

Энергия однородного электрического поля, сосредоточенного в некотором объеме однородной среды, пропорциональна этому объему. Это дает возможность ввести понятие плотности энергии электрического поля, т.е. энергии, сосредоточенной в единице объема. Плотность энергии электрического поля вычисляется по формуле

Решение задач по электростатике и электродинамике
(3.1.22)

Это выражение справедливо не только для однородного поля, но и для произвольных, в том числе и изменяющихся во времени электрических полей в однородном изотропном диэлектрике.

Указания по решению задач

При расчете разности потенциалов между какими-либо точками часто бывает полезно принять потенциал в одной из точек за нуль и последовательно рассмотреть работы по перемещению единичного положительного заряда из этой точки во все остальные интересующие нас точки. Это касается как определения потенциалов, созданных системой зарядов, так и расчета напряжений в цепях, содержащих конденсаторы.
В задачах, в которых рассматриваются различные типы соединения конденсаторов, следует всегда иметь в виду те соотношения, которые используются при выводе формул (3.1.19) и (3.1.20). В частности, на последовательно соединенных конденсаторах одинаков заряд, а на параллельно соединенных конденсаторах одинаково напряжение.

Примеры решения задач

Задача3.1.1.

В двух вершинах равностороннего треугольника помещены одинаковые заряды Решение задач по электростатике и электродинамике. Какой точечный заряд Решение задач по электростатике и электродинамике необходимо поместить в середину стороны, соединяющей заряды Решение задач по электростатике и электродинамике и Решение задач по электростатике и электродинамике, чтобы напряженность электрического поля в третьей вершине треугольника оказалась равной нулю?

Решение:

Заряды Решение задач по электростатике и электродинамике и Решение задач по электростатике и электродинамике создают в вершине Решение задач по электростатике и электродинамике электрические поля Решение задач по электростатике и электродинамике и Решение задач по электростатике и электродинамике, направленные вдоль сторон Решение задач по электростатике и электродинамике и Решение задач по электростатике и электродинамике соответственно (см. рисунок), причем Решение задач по электростатике и электродинамике

Решение задач по электростатике и электродинамике

где Электростатика и электродинамика задачи с решением — сторона треугольника. Векторная сумма этих полей Электростатика и электродинамика задачи с решением направлена вдоль высоты треугольника Электростатика и электродинамика задачи с решением и по величине равна
Электростатика и электродинамика задачи с решением
Суммарное поле в точке Электростатика и электродинамика задачи с решением будет равно нулю, если в точку Электростатика и электродинамика задачи с решением поместить отрицательный заряд Электростатика и электродинамика задачи с решением, создающий в точке Электростатика и электродинамика задачи с решением поле Электростатика и электродинамика задачи с решением. Учитывая, что расстояние между точками Электростатика и электродинамика задачи с решением и Электростатика и электродинамика задачи с решением равно
Электростатика и электродинамика задачи с решением
имеем: Электростатика и электродинамика задачи с решением
Отсюда легко найти ответ: Электростатика и электродинамика задачи с решением

Задача3.1.2.

Три положительных заряда расположены в вершинах равностороннего треугольника Электростатика и электродинамика задачи с решением. Величина заряда, находящегося в точке Электростатика и электродинамика задачи с решением, равна Электростатика и электродинамика задачи с решением; величины зарядов в точках Электростатика и электродинамика задачи с решением и Электростатика и электродинамика задачи с решением равны Электростатика и электродинамика задачи с решением. Найти отношение Электростатика и электродинамика задачи с решением, если напряженность электрического поля, создаваемого этими тремя зарядами в точке Электростатика и электродинамика задачи с решением, лежащей на середине высоты, опущенной из вершины Электростатика и электродинамика задачи с решением на сторону Электростатика и электродинамика задачи с решением, равна нулю.

Электростатика и электродинамика задачи с решением
Решение:

Обозначим через Электростатика и электродинамика задачи с решением сторону треугольника. Тогда расстояния между точкой Электростатика и электродинамика задачи с решением и вершинами треугольника (см. рисунок) выразятся следующим образом:
Электростатика и электродинамика задачи с решением

Величины напряженностей полей, создаваемых в точке D зарядами, расположенными в точках Электростатика и электродинамика задачи с решением, Электростатика и электродинамика задачи с решением и Электростатика и электродинамика задачи с решением, равны:
Электростатика и электродинамика задачи с решением
Суммарное поле в точке Электростатика и электродинамика задачи с решением будет равно нулю при выполнении условия:
Электростатика и электродинамика задачи с решением

Электростатика и электродинамика задачи с решением

Комбинация записанных выражений дает ответ: Электростатика и электродинамика задачи с решением

Задача3.1.3.

Два точечных заряда Электростатика и электродинамика задачи с решением и Электростатика и электродинамика задачи с решением, расположенные, соответственно, в вершинах Электростатика и электродинамика задачи с решением и Электростатика и электродинамика задачи с решением квадрата Электростатика и электродинамика задачи с решением со стороной Электростатика и электродинамика задачи с решением, создают в вершине Электростатика и электродинамика задачи с решением электрическое поле напряженностью Электростатика и электродинамика задачи с решением. В какую точку нужно поместить третий точечный заряд Электростатика и электродинамика задачи с решением, чтобы напряженность суммарного электрического поля в вершине Электростатика и электродинамика задачи с решением стала равна Электростатика и электродинамика задачи с решением?

Электростатика и электродинамика задачи с решением

Решение:

Заряды, расположенные в точках Электростатика и электродинамика задачи с решением и Электростатика и электродинамика задачи с решением, создают в точке Электростатика и электродинамика задачи с решением электрические поля, величины которых равны: Электростатика и электродинамика задачи с решением

Сумма этих полей направлена вдоль биссектрисы Электростатика и электродинамика задачи с решением (см. рисунок) и по величине равна:
Электростатика и электродинамика задачи с решением

Для того, чтобы поле в точке Электростатика и электродинамика задачи с решением, оставаясь тем же самым по величине, переменило знак на противоположный, заряд Электростатика и электродинамика задачи с решением должен создать в этой точке поле Электростатика и электродинамика задачи с решением, направленное против поля Электростатика и электродинамика задачи с решением. Следовательно, этот заряд нужно поместить внутри квадрата на биссектрисе Электростатика и электродинамика задачи с решением на таком расстоянии Электростатика и электродинамика задачи с решением от точки Электростатика и электродинамика задачи с решением, чтобы выполнялось равенство:
Электростатика и электродинамика задачи с решением

Электростатика и электродинамика задачи с решением

Отсюда находим искомое расстояние: Электростатика и электродинамика задачи с решением
В итоге приходим к ответу, который формулируется следующим образом: заряд Электростатика и электродинамика задачи с решением нужно поместить внутри квадрата на биссектрисе Электростатика и электродинамика задачи с решением на расстоянии Электростатика и электродинамика задачи с решением от точки Электростатика и электродинамика задачи с решением.

Задача3.1.4.

К нитям длиной Электростатика и электродинамика задачи с решением, точки подвеса которых находятся на одном уровне на расстоянии Электростатика и электродинамика задачи с решением друг от друга, подвешены два одинаковых маленьких шарика массами т каждый. При сообщении им одинаковых по величине разноименных зарядов шарики сблизились до расстояния Электростатика и электродинамика задачи с решением. Определить величину сообщенных шарикам зарядов Электростатика и электродинамика задачи с решением. Ускорение свободного падения Электростатика и электродинамика задачи с решением.

Электростатика и электродинамика задачи с решением
Решение:

Шарики находятся в равновесии под действием сил, изображенных на рисунке, где через Электростатика и электродинамика задачи с решением обозначена величина силы натяжения нитей, а через Электростатика и электродинамика задачи с решением — величина кулоновской силы, действующей на каждый из шариков, равная
Электростатика и электродинамика задачи с решением
Вводя угол Электростатика и электродинамика задачи с решением между нитью вертикалью, запишем условия равновесия шариков в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:
Электростатика и электродинамика задачи с решением
Исключая отсюда Электростатика и электродинамика задачи с решением, получаем:
Электростатика и электродинамика задачи с решением
Используя для кулоновской силы записанное выше выражение, после несложных преобразований получаем ответ:
Электростатика и электродинамика задачи с решением

Задача3.1.5.

Два маленьких тела с равными зарядами q расположены на внутренней поверхности гладкой непроводящей сферы радиусом Электростатика и электродинамика задачи с решением. Первое тело закреплено в нижней точке сферы, а второе может свободно скользить по ее поверхности. Найти массу второго тела, если известно, что в состоянии равновесия оно находится на высоте Электростатика и электродинамика задачи с решением от нижней точки сферы.

Электростатика и электродинамика задачи с решением
Решение:

Заряженное тело, способное свободно скользить по гладкой сферической поверхности, займет положение равновесия, когда сумма действующих на него сил окажется равной нулю. Эти силы показаны на рисунке, где Электростатика и электродинамика задачи с решением — сила тяжести, Электростатика и электродинамика задачи с решением — сила реакции поверхности, a Электростатика и электродинамика задачи с решением — сила кулоновского отталкивания зарядов.
Условие равновесия заряженного тела удобнее всего записать в проекцию на касательную к сфере, проведенную в плоскости рисунка (линию Электростатика и электродинамика задачи с решением). С учетом известной из геометрии теоремы об угле, образованном касательной и хордой, имеем:
Электростатика и электродинамика задачи с решением или Электростатика и электродинамика задачи с решением
В соответствии с законом Кулона
Электростатика и электродинамика задачи с решением
причем расстояние между заряженными телами Электростатика и электродинамика задачи с решением, как видно из рисунка, равно: Электростатика и электродинамика задачи с решением. Из рисунка также видно, что высота Электростатика и электродинамика задачи с решением, на которую поднимается заряженное тело, выражается как
Электростатика и электродинамика задачи с решением

Отсюда Электростатика и электродинамика задачи с решением Объединяя записанные выражения, после несложных преобразований получаем ответ: Электростатика и электродинамика задачи с решением

Задача3.1.6.

Два удаленных друг от друга на большое расстояние металлических шара радиусами Электростатика и электродинамика задачи с решением и Электростатика и электродинамика задачи с решением, несущие заряды Электростатика и электродинамика задачи с решением и Электростатика и электродинамика задачи с решением соответственно, соединяют тонким проводом. Какой заряд Электростатика и электродинамика задачи с решением протечет при этом по проводу?

Решение:

Поскольку по условию задачи шары достаточно удалены друг от друга, их потенциалы до соединения проводом можно определить по формуле для потенциала уединенной заряженной сферы. Имеем:
Электростатика и электродинамика задачи с решением

После соединения шаров проводом заряды на них перераспределятся так, что потенциалы шаров станут равными друг другу, т.е.
Электростатика и электродинамика задачи с решением
Следовательно, Электростатика и электродинамика задачи с решением Пренебрегая емкостью провода, запишем закон сохранения заряда в системе: Электростатика и электродинамика задачи с решением. Из последних двух уравнений находим заряды на шарах после их соединения:
Электростатика и электродинамика задачи с решением
По проводу протечет заряд Электростатика и электродинамика задачи с решением. Ответ:
Электростатика и электродинамика задачи с решением

Задача №3.1.7.

Два удаленных друг от друга на большое расстояние металлических шара радиусами Электростатика и электродинамика задачи с решением и Электростатика и электродинамика задачи с решением, несущие одинаковые заряды, взаимодействуют с силой Электростатика и электродинамика задачи с решением. Какова будет сила взаимодействия этих шаров Электростатика и электродинамика задачи с решением, если их соединить друг с другом тонким проводом?

Решение:

Повторяя рассуждения, приведенные в задаче 3.1.6, находим заряды на шарах после соединения их проводом:
Электростатика и электродинамика задачи с решением
где Электростатика и электродинамика задачи с решением — заряд на каждом из шаров до их соединения. Сила взаимодействия шаров определяется по закону Кулона: Электростатика и электродинамика задачи с решением до соединения, Электростатика и электродинамика задачи с решением после соединения, где Электростатика и электродинамика задачи с решением — расстояние между шарами. Объединяя полученные выражения, находим ответ: Электростатика и электродинамика задачи с решением

Задача3.1.8.

Расстояние между двумя одинаковыми металлическими шариками Электростатика и электродинамика задачи с решением намного больше их радиусов. Когда на шарики поместили некоторые заряды, сила отталкивания между ними оказалась равной Электростатика и электродинамика задачи с решением. После того, как шарики соединили тонкой проволокой, а затем убрали ее, шарики стали отталкиваться с силой Электростатика и электродинамика задачи с решением. Определить первоначальные заряды шариков Электростатика и электродинамика задачи с решением и Электростатика и электродинамика задачи с решением, Электрическая постоянная Электростатика и электродинамика задачи с решением.

Решение:

Поскольку по условию задачи шарики достаточно удалены друг от друга, для силы взаимодействия между ними справедлив закон Кулона:
Электростатика и электродинамика задачи с решением
Потенциалы шариков до соединения их проволокой можно определить по формуле для потенциала уединенной заряженной сферы:
Электростатика и электродинамика задачи с решением
где Электростатика и электродинамика задачи с решением — радиус каждого из шариков. После соединения шариков проволокой заряды на них перераспределятся так, что потенциалы шариков станут одинаковыми:
Электростатика и электродинамика задачи с решением
Пренебрегая емкостью проволоки, запишем закон сохранения заряда в системе:
Электростатика и электродинамика задачи с решением
Поскольку радиусы шариков равны, из равенства их потенциалов после соединения проволокой следует, что на каждом из шариков будет находиться один и тот же заряд:
Электростатика и электродинамика задачи с решением
В результате этого величина силы взаимодействия примет значение:
Электростатика и электродинамика задачи с решением
Имеем систему уравнений:
Электростатика и электродинамика задачи с решением
Находя из нее Электростатика и электродинамика задачи с решением и Электростатика и электродинамика задачи с решением получаем ответ:
Электростатика и электродинамика задачи с решением

Задача3.1.9.

Внутри плоского незаряженного конденсатора, пластины которого расположены горизонтально на расстоянии Электростатика и электродинамика задачи с решением друг от друга, падает положительно заряженная пылинка. Вследствие сопротивления воздуха пылинка движется равномерно, проходя некоторый путь за время Электростатика и электродинамика задачи с решением. Когда на конденсатор подали напряжение Электростатика и электродинамика задачи с решением, пылинка начала двигаться равномерно вверх, пройдя тот же путь за время Электростатика и электродинамика задачи с решением. Определить отношение Электростатика и электродинамика задачи с решением заряда пылинки к ее массе. Силу сопротивления воздуха считать пропорциональной скорости пылинки, ускорение свободного падения принять Электростатика и электродинамика задачи с решением.

Решение:

Пусть Электростатика и электродинамика задачи с решением — коэффициент сопротивления воздуха, Электростатика и электродинамика задачи с решением — масса пылинки, Электростатика и электродинамика задачи с решением — пройденный пылинкой путь. Тогда при движении пылинки вниз с постоянной скоростью Электростатика и электродинамика задачи с решением справедливо уравнение Электростатика и электродинамика задачи с решением, или Электростатика и электродинамика задачи с решением
Движение пылинки вверх с постоянной скоростью Электростатика и электродинамика задачи с решением описывается уравнением Электростатика и электродинамика задачи с решением, или Электростатика и электродинамика задачи с решением где Электростатика и электродинамика задачи с решением — заряд пылинки. Выражая из первого уравнения Электростатика и электродинамика задачи с решением и подставляя во второе, после несложных преобразований получаем ответ:
Электростатика и электродинамика задачи с решением

Задача3.1.10.

Электрон влетает со скоростью Электростатика и электродинамика задачи с решением в отверстие в нижней пластине плоского конденсатора. Между пластинами поддерживается разность потенциалов Электростатика и электродинамика задачи с решением. Определить максимальное удаление Электростатика и электродинамика задачи с решением электрона от нижней пластины конденсатора, если угол, который составляет вектор начальной скорости электрона с вектором напряженности электрического поля конденсатора, Электростатика и электродинамика задачи с решением, расстояние между пластинами конденсатора Электростатика и электродинамика задачи с решением, отношение заряда электрона к его массе Электростатика и электродинамика задачи с решением = Электростатика и электродинамика задачи с решением. Считать электрическое поле внутри конденсатора однородным, силу тяжести не учитывать.

Электростатика и электродинамика задачи с решением
Решение:

Составляющая скорости электрона Электростатика и электродинамика задачи с решением, параллельная пластинам, будет оставаться постоянной, составляющая скорости, перпендикулярная пластинам, при максимальном удалении Электростатика и электродинамика задачи с решением электрона от нижней пластины обратится в нуль. Поскольку электростатические силы потенциальны, полная механическая энергия электрона при движении внутри конденсатора сохраняется. Обозначив через Электростатика и электродинамика задачи с решением массу электрона, а через Электростатика и электродинамика задачи с решением — величину его заряда, имеем:
Электростатика и электродинамика задачи с решением
Отсюда после несложных преобразований получаем ответ:
Электростатика и электродинамика задачи с решением

Задача3.1.11.

Электронный пучок проходит между горизонтально расположенными пластинами плоского конденсатора и попадает на экран. Начальная скорость электронов направлена горизонтально и равна Электростатика и электродинамика задачи с решением м/с. Пластины конденсатора представляют собой квадраты со стороной Электростатика и электродинамика задачи с решением см, а величина заряда на каждой из них составляет Электростатика и электродинамика задачи с решением. Расстояние от правого края конденсатора до экрана равно Электростатика и электродинамика задачи с решением см. Определить поперечное смещение Электростатика и электродинамика задачи с решением электронов в плоскости экрана, связанное с действием конденсатора. Электрическая постоянная Электростатика и электродинамика задачи с решением, отношение величины заряда электрона к его массе Электростатика и электродинамика задачи с решением. Расстояние между пластинами конденсатора намного меньше их размера. Силу тяжести не учитывать.

Электростатика и электродинамика задачи с решением
Решение:

Поскольку в задаче требуется найти смещение электронов, вызванное действием конденсатора, электрическим взаимодействием между электронами можно пренебречь и считать, что на каждый электрон, находящийся внутри конденсатора, действует сила Электростатика и электродинамика задачи с решением, направленная вертикально вверх (здесь Электростатика и электродинамика задачи с решением — заряд электрона, Электростатика и электродинамика задачи с решением — напряженность поля внутри конденсатора). Вертикальное смещение электрона при движении внутри конденсатора в течение времени Электростатика и электродинамика задачи с решением равно
Электростатика и электродинамика задачи с решением
При вылете из конденсатора электрон имеет вертикальную скорость
Электростатика и электродинамика задачи с решением. Пролетая вне конденсатора расстояние Электростатика и электродинамика задачи с решением в течение времени Электростатика и электродинамика задачи с решением, он приобретает смещение Электростатика и электродинамика задачи с решением
Поскольку полное смещение электрона равно Электростатика и электродинамика задачи с решением. ответ имеет вид: Электростатика и электродинамика задачи с решением

Задача3.1.12.

Две частицы с одинаковыми массами, заряженные равными по величине разноименными зарядами, движутся по окружности вокруг неподвижного центра масс. Пренебрегая гравитационным взаимодействием между частицами, найти отношение Электростатика и электродинамика задачи с решением величин потенциальной и кинетической энергий частиц. Принять, что энергия взаимодействия частиц при их удалении на бесконечно большое расстояние равна нулю.

Решение:

Уравнение движения каждой из частиц под действием сил кулоновского притяжения имеет вид:
Электростатика и электродинамика задачи с решением
где Электростатика и электродинамика задачи с решением — скорость каждой из частиц, Электростатика и электродинамика задачи с решением — радиус их орбит, Электростатика и электродинамика задачи с решением — величина их зарядов. Кинетическая энергия частиц
Электростатика и электродинамика задачи с решением
величина потенциальной энергии их притяжения
Электростатика и электродинамика задачи с решением
Находя отношение между этими величинами, получаем ответ: Электростатика и электродинамика задачи с решением

Задача3.1.13.

Два маленьких шарика массами Электростатика и электродинамика задачи с решением г и Электростатика и электродинамика задачи с решением г, несущие заряды Электростатика и электродинамика задачи с решением Кл и Электростатика и электродинамика задачи с решением Кл соответственно, удерживаются на расстоянии Электростатика и электродинамика задачи с решением м друг от друга. В некоторый момент оба шарика отпускают, сообщив одновременно второму из них скорость Электростатика и электродинамика задачи с решением м/с, направленную от первого шарика вдоль линии, соединяющей их центры. На какое максимальное расстояние Электростатика и электродинамика задачи с решением разойдутся шарики друг от друга? Силу тяжести не учитывать. Электрическую постоянную принять Электростатика и электродинамика задачи с решением.

Электростатика и электродинамика задачи с решением
Решение:

Движение шариков происходит под действием силы электростатического притяжения, которая является внутренней силой для рассматриваемой системы. Следовательно, суммарный импульс шариков остается постоянным. Запишем закон сохранения импульса в проекции на координатную ось, положительное направление которой совпадает с направлением начальной скорости второго шарика:
Электростатика и электродинамика задачи с решением
Здесь Электростатика и электродинамика задачи с решением и Электростатика и электродинамика задачи с решением — проекции скоростей шариков на эту же ось в произвольный момент времени.
Кулоновские силы относятся к классу потенциальных сил, поэтому в системе сохраняется также полная механическая энергия. Потенциальная энергия электростатического взаимодействия двух зарядов определяется равенством Электростатика и электродинамика задачи с решением, где Электростатика и электродинамика задачи с решением — расстояние между зарядами. Заметим, что для разноименных зарядов потенциальная энергия отрицательна и возрастает при удалении зарядов друг от друга. В соответствии с этим кинетическая энергия шариков будет убывать по мере увеличения расстояния между ними и закон сохранения энергии запишется в виде:
Электростатика и электродинамика задачи с решением

При удалении шариков на максимальное расстояние их относительная скорость Электростатика и электродинамика задачи с решением обратится в нуль. Это утверждение становится очевидным, если перейти в систему отсчета, связанную с одним из шариков. В этой системе движение второго шарика подобно движению камня, брошенного вертикально вверх от поверхности Земли. Ясно, что момент остановки второго шарика относительно первого (т.е. обращения в нуль относительной скорости) действительно соответствует максимальному удалению шариков друг от друга. Таким образом, когда расстояние между шариками максимально, Электростатика и электродинамика задачи с решением. Используя это равенство, преобразуем исходную систему уравнений к виду:
Электростатика и электродинамика задачи с решением

Исключая из этой системы Электростатика и электродинамика задачи с решением, находим ответ:
Электростатика и электродинамика задачи с решением
Элементарный анализ показывает, что ответ теряет смысл при Электростатика и электродинамика задачи с решением
Последнему неравенству можно придать более наглядную форму:
Электростатика и электродинамика задачи с решением
где Электростатика и электродинамика задачи с решением — начальная кинетическая энергия, Электростатика и электродинамика задачи с решением — начальная потенциальная энергия системы. Физический смысл этого результата таков: если начальная кинетическая энергия системы равна или превышает взятую с некоторым коэффициентом величину начальной потенциальной энергии притяжения зарядов, то шарики удалятся на бесконечно большое расстояние и никогда не сблизятся. Когда массы шариков соизмеримы, коэффициент Электростатика и электродинамика задачи с решением отличен от единицы. Это отражает тот факт, что начальная кинетическая энергия системы в процессе взаимодействия шариков перераспределяется между ними. Если неограниченно увеличивать массу Электростатика и электродинамика задачи с решением первоначально неподвижного шарика, то множитель Электростатика и электродинамика задачи с решением устремится к единице. Бесконечно тяжелый шарик будет оставаться неподвижным, и мы приходим случаю движения тела около неподвижного силового центра. Напомним, что условие того, что тело, притягивающееся к неподвижному силовому центру, не удалится от него на бесконечность, имеет хорошо известный вид: Электростатика и электродинамика задачи с решением.

Задача3.1.14.

Металлическая сфера, имеющая небольшое отверстие, заряжена положительным зарядом Электростатика и электродинамика задачи с решением. Первоначально незаряженные металлические шарики Электростатика и электродинамика задачи с решением и Электростатика и электродинамика задачи с решением расположены, как показано на рисунке. Радиус сферы равен Электростатика и электродинамика задачи с решением, радиусы каждого шарика Электростатика и электродинамика задачи с решением, расстояние Электростатика и электродинамика задачи с решением. Определить заряды Электростатика и электродинамика задачи с решением и Электростатика и электродинамика задачи с решением, которые индуцируются на шариках, когда их соединяют проволокой, не касаясь сферы.

Электростатика и электродинамика задачи с решением
Решение:

Рассмотрим вначале случай, когда шарики не соединены.
При этом потенциал шарика Электростатика и электродинамика задачи с решением равен нулю: Электростатика и электродинамика задачи с решением, а потенциал шарика В равен потенциалу поверхности заряженной сферы:
Электростатика и электродинамика задачи с решением

Электростатика и электродинамика задачи с решением

Распределение потенциала внутри и вне сферы для этого случая изображено на рисунке сплошной линией (через Электростатика и электродинамика задачи с решением обозначено расстояние от центра сферы до точки наблюдения).
После соединения шариков проволокой их потенциалы выровняются: Электростатика и электродинамика задачи с решением, причем потенциал шарика Электростатика и электродинамика задачи с решением понизится, а потенциал шарика Электростатика и электродинамика задачи с решением повысится, Это произойдет за счет перетекания по проволоке некоторого заряда Электростатика и электродинамика задачи с решением. В результате на шарике Электростатика и электродинамика задачи с решением образуется заряду Электростатика и электродинамика задачи с решением, а на шарике Электростатика и электродинамика задачи с решением — заряд Электростатика и электродинамика задачи с решением, причем Электростатика и электродинамика задачи с решением. Имеем:
Электростатика и электродинамика задачи с решением
Отсюда Электростатика и электродинамика задачи с решением Распределение потенциала внутри и вне сферы после соединения шариков проволокой изображено на рисунке штриховой линией. Ответ: Электростатика и электродинамика задачи с решением

Задача3.1.15.

Металлическим пластинам 1 и 2 сообщили положительные заряды Электростатика и электродинамика задачи с решением Кл и Электростатика и электродинамика задачи с решением Кл соответственно. Какие заряды Q> Q> Q’z> Q’z расположатся на боковых сторонах пластин?

Электростатика и электродинамика задачи с решением
Решение:

Пренебрегая краевыми эффектами, будем считать, что заряды распределятся на боковых поверхностях пластин равномерно. Вводя для поверхностных плотностей зарядов обозначения, смысл которых ясен из рисунка, имеем:
Электростатика и электродинамика задачи с решением
где Электростатика и электродинамика задачи с решением — площадь боковой поверхности каждой из пластин. Заряды с такими плотностями создают однородные электрические поля, перпендикулярные поверхностям пластин (см. рисунок). Величины напряженностей этих полей равны, соответственно,
Электростатика и электродинамика задачи с решением
Распределение зарядов по боковым поверхностям пластин таково, что суммарные электрические поля в толще пластин обращаются в нуль. Записывая эти условия, имеем:
Электростатика и электродинамика задачи с решением (для пластины 1)
Электростатика и электродинамика задачи с решением (для пластины 2)

Электростатика и электродинамика задачи с решением

В результате получаем уравнения для зарядов:
Электростатика и электродинамика задачи с решением
Разрешая эту систему из четырех уравнений относительно четырех неизвестных, находим:
Электростатика и электродинамика задачи с решением
Ответ:
Электростатика и электродинамика задачи с решением

Задача3.1.16.

Обкладки плоского воздушного конденсатора, подключенного к источнику постоянного напряжения, притягиваются с силой Электростатика и электродинамика задачи с решением. Какая сила Электростатика и электродинамика задачи с решением будет действовать на обкладки, если в зазор параллельно им вставить металлическую пластинку, толщина которой в Электростатика и электродинамика задачи с решением раза меньше величины зазора, а остальные размеры совпадают с размерами обкладок?

Решение:

Найдем вначале силу, с которой притягиваются друг к другу обкладки пустого конденсатора. При этом учтем, что каждая обкладка находится в однородном поле Электростатика и электродинамика задачи с решением, создаваемом другой обкладкой и равном по величине половине поля Электростатика и электродинамика задачи с решением внутри конденсатора. Следовательно, искомая сила равна
Электростатика и электродинамика задачи с решением

Здесь Электростатика и электродинамика задачи с решением — величина заряда на обкладках пустого конденсатора, Электростатика и электродинамика задачи с решением — напряжение на конденсаторе, равное напряжению на зажимах источника, Электростатика и электродинамика задачи с решением — емкость пустого конденсатора, Электростатика и электродинамика задачи с решением — расстояние между обкладками, Электростатика и электродинамика задачи с решением — площадь одной из них. При внесении металлической пластины в пространство между обкладками напряжение на конденсаторе не изменится, а напряженность поля возрастет, т.к. источник доставит на обкладки дополнительные заряды. Поскольку внутри пластины поле всегда равно нулю, внесение ее внутрь конденсатора эквивалентно уменьшению расстояния между обкладками Электростатика и электродинамика задачи с решением на величину Электростатика и электродинамика задачи с решением. В результате емкость конденсатора после внесения пластины станет равной
Электростатика и электродинамика задачи с решением
Вследствие этого сила притяжения между обкладками также изменится:
Электростатика и электродинамика задачи с решением
Сравнивая последнее выражение с выражением для Электростатика и электродинамика задачи с решением, получаем ответ:
Электростатика и электродинамика задачи с решением

Задача3.1.17.

На рисунке изображена батарея конденсаторов, подключенная к гальваническому элементу с Электростатика и электродинамика задачи с решением. Емкости конденсаторов равны: Электростатика и электродинамика задачи с решениемЭлектростатика и электродинамика задачи с решением. Чему равна разность потенциалов Электростатика и электродинамика задачи с решением между точками Электростатика и электродинамика задачи с решением и Электростатика и электродинамика задачи с решением? Считать, что до подключения к источнику все конденсаторы были незаряжены.

Электростатика и электродинамика задачи с решением
Решение:

Обозначим через Электростатика и электродинамика задачи с решениемЭлектростатика и электродинамика задачи с решением напряжения на конденсаторах Электростатика и электродинамика задачи с решениемЭлектростатика и электродинамика задачи с решением соответственно. Тогда величина искомой разности потенциалов выразится как Электростатика и электродинамика задачи с решением. Исходя из этого, найдем напряжения на конденсаторах, зная их емкости и ЭДС источника. Имеем следующую систему уравнений:
Электростатика и электродинамика задачи с решением
Разрешая ее, получаем:
Электростатика и электродинамика задачи с решением Ответ: Электростатика и электродинамика задачи с решением

Задача3.1.18.

Два плоских конденсатора заряжены: первый до разности потенциалов Электростатика и электродинамика задачи с решением, второй — до разности потенциалов Электростатика и электродинамика задачи с решением. Площади пластин конденсаторов соответственно: Электростатика и электродинамика задачи с решением у первого и Электростатика и электродинамика задачи с решением у второго, расстояние между пластинами у обоих конденсаторов одинаково. Чему будет равно напряжение на конденсаторах Электростатика и электродинамика задачи с решением, если соединить их одноименно заряженные обкладки?

Решение:

Обозначим через Электростатика и электродинамика задачи с решением и Электростатика и электродинамика задачи с решением емкости конденсаторов. Если Электростатика и электродинамика задачи с решением — расстояние между их обкладками, то
Электростатика и электродинамика задачи с решением
Заряды на конденсаторах до соединения равны, соответственно: Электростатика и электродинамика задачи с решением. В силу закона сохранения заряда, при соединении обкладок алгебраическая сумма зарядов на каждой паре останется без изменения. Поскольку после соединения обкладок напряжения на конденсаторах станут одинаковыми, их можно рассматривать как два параллельно соединенных конденсатора с общей емкостью Электростатика и электродинамика задачи с решением. Общий заряд на этих конденсаторах Электростатика и электродинамика задачи с решением, а напряжение Электростатика и электродинамика задачи с решением. Объединяя записанные соотношения, получаем: Электростатика и электродинамика задачи с решением Учитывая выражения для емкостей конденсаторов, находим ответ: Электростатика и электродинамика задачи с решением

Задача3.1.19.

К источнику с Электростатика и электродинамика задачи с решением последовательно подключены два конденсатора с емкостью Электростатика и электродинамика задачи с решением и Электростатика и электродинамика задачи с решением. После зарядки конденсаторов источник отключают, а параллельно конденсатору Электростатика и электродинамика задачи с решением подключают через резистор незаряженный конденсатор емкостью Электростатика и электродинамика задачи с решением. Какое количество теплоты Электростатика и электродинамика задачи с решением выделится на резисторе в процессе зарядки конденсатора Электростатика и электродинамика задачи с решением?

Электростатика и электродинамика задачи с решением
Решение:

При подключении к источнику двух последовательно соединенных конденсаторов (см. рисунок а), они заряжаются до напряжений Электростатика и электродинамика задачи с решением и Электростатика и электродинамика задачи с решением, для которых справедлива система уравнений:
Электростатика и электродинамика задачи с решением
Отсюда Электростатика и электродинамика задачи с решением
После отключения источника напряжение и заряд на конденсаторе Электростатика и электродинамика задачи с решением меняться не будут. Не изменится также запасенная в нем энергия. В то же время, при подключении к заряженному до напряжения Электростатика и электродинамика задачи с решением конденсатору Электростатика и электродинамика задачи с решением незаряженного конденсатора Электростатика и электродинамика задачи с решением в образовавшейся цепи

Электростатика и электродинамика задачи с решением

(см. рисунок б) произойдет перераспределение зарядов, в результате чего на резисторе выделится некоторая энергия. Используя решение задачи 3.1.18, находим напряжение Электростатика и электродинамика задачи с решением на этих конденсаторах после перезарядки:
Электростатика и электродинамика задачи с решением
Начальная энергия конденсатора Электростатика и электродинамика задачи с решением и конечная энергия системы из двух конденсаторов Электростатика и электродинамика задачи с решением и Электростатика и электродинамика задачи с решением, соответственно равны:
Электростатика и электродинамика задачи с решением
Разность между этими значениями равна количеству выделившейся на резисторе теплоты: Электростатика и электродинамика задачи с решением. Отсюда после несложных преобразований получаем ответ: Электростатика и электродинамика задачи с решением

Возможно эти дополнительные страницы вам будут полезны: