Эконометрика задачи с решением

Оглавление:

Эконометрика задачи с решением

Прежде чем изучать готовые решения задач по эконометрике, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила краткую теорию по предмету « эконометрика » и задачи с решением и примерами.

Эта страница подготовлена для школьников и студентов.

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Парный регрессионный анализ. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости

К оглавлению…

Из математики известно понятие функциональной зависимости (связи), когда каждому значению одной переменной соответствует вполне определенное значение другой (например, площадь круга в зависимости от радиуса и т.д.).

В экономике в большинстве случаев между переменными величинами существуют зависимости, когда каждому значению одной переменной соответствует не какое-то определенное, а множества возможных значений другой переменной Иначе говоря, каждому значению одной переменной соответствует определенное (условное) распределение другой переменной. Такая зависимость получила название статистической (или стохастической, вероятностной).

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет эконометрика

Возникновение понятия статистической связи обуславливается тем, что зависимая переменная подвержена влиянию множества неконтролируемых или неучтенных факторов, а таюке тем, что измерение значений переменных сопровождается случайными ошибками. Примером статистической связи является зависимость урожайности от количества внесенных удобрений, производительности труда на предприятии от его энерговооруженности и т.п.

В силу неоднозначности статистической зависимости между Решение задач по эконометрике и Решение задач по эконометрике представляет интерес усредненная по Решение задач по эконометрике схема зависимости, т. е. закономерность в измерении условного математического ожидания Решение задач по эконометрике (математического ожидания случайной переменной Решение задач по эконометрике, вычисленного в предположении, что переменная Решение задач по эконометрике приняла значение Решение задач по эконометрике) в зависимости от Решение задач по эконометрике.

Корреляционной зависимостью между двумя переменными называется функциональная зависимость между значениями одной из них и условным математическим ожиданием другой.

Корреляционная зависимость может быть представлена в виде

Решение задач по эконометрике

где

Решение задач по эконометрике

В регрессионном анализе рассматривается односторонняя зависимость случайной переменной Решение задач по эконометрике от одной (или нескольких) неслучайной независимой переменной Решение задач по эконометрике. Такая зависимость Решение задач по эконометрике от Решение задач по эконометрике (иногда ее называют регрессионной) может быть представлена в виде модельного уравнения регрессии Решение задач по эконометрике по Решение задач по эконометрике (1.1). При этом -зависимую переменную Решение задач по эконометрике называют также функцией отклика объясняемой, выходной. результирухпцей. эндогенной переменной, результативным признаком, а независимую переменную Решение задач по эконометрике — объясняющей, входной. предскашлаюгцей, предикторной, экзогенной переменной, фактором, регрессором, факторным признаком.

Уравнение (1.1) называется модельным уравнением регрессии (или просто уравнением регрессии), а функция Решение задач по эконометрике — модельной функцией регрессии (или просто функцией регрессии), а ее график — модельной линией регрессии (или просто линией регрессии).

Для точного описания уравнения регрессии необходимо знать условный закон распределения зависимой переменной Решение задач по эконометрике при условии, что переменная Решение задач по эконометрике примет значение Решение задач по эконометрике, т.е. Решение задач по эконометрике. На практике такую информацию получить, как правило, не удается, так как обычно исследователь располагает лишь выборкой пар значений Решение задач по эконометрике ограниченного объема Решение задач по эконометрике. В этом случае речь может идти об оценке {приближенном выражении, аппроксимации) по выборке функции регрессии. Такой оценкой является выборочная линия (кривая) регрессии

Решение задач по эконометрике

где Решение задач по эконометрике —условная (групповая) средняя переменной Решение задач по эконометрике при фиксированном значении переменной Решение задач по эконометрике;

Решение задач по эконометрике — параметры кривой.

Уравнение (1.2) называется выборочным уравнением регрессии

При правильно определенной аппроксимирующей функции Решение задач по эконометрике с увеличением объема выборки Решение задач по эконометрике она будет сходиться по вероятности к функции регрессии Решение задач по эконометрике

Линейная парная регрессия

К оглавлению…

Рассмотрим в качестве примера зависимость между сменной добычей угля на одного рабочего Решение задач по эконометрике (в тоннал) и мощностью пласта Решение задач по эконометрике (в метрах) по следующим (условным) данным, характеризующим процесс добычи угля в Решение задач по эконометрике = 10 шахтах.

Решение задач по эконометрике

Изобразим полученную зависимость графически точками координатной плоскости (рис. 1.1). Такое изображение статистической зависимости называется полем корреляции.

Решение задач по эконометрике

По расположению эмпирических точек можно предполагать наличие линейной корреляционной (регрессионной) зависимости между переменными Решение задач по эконометрике и Решение задач по эконометрике. Поэтому уравнение регрессии (1.2) будем искать в виде линейного уравнения

Решение задач по эконометрике

Найдем формулы расчета неизвестных параметров уравнения линейной регрессии. Согласно методу наименьших квадратов неизвестные параметры Решение задач по эконометрике и Решение задач по эконометрике выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений эмпирических значений Решение задач по эконометрике от значений Решение задач по эконометрике найденных по уравнению регрессии (3.3), была минимальной:

Решение задач по эконометрике

На основании необходимого условия экстремума функции двух переменных Решение задач по эконометрике приравниваем к нулю ее частные производные, т. е.

Решение задач по эконометрике

откуда после преобразований получим систему нормальных уравнений для определения параметров линейной регрессии

Решение задач по эконометрике

Разделив обе части уравнений (1.5) на Решение задач по эконометрике, получим систему нормальных уравнении в виде:

Решение задач по эконометрике

где соответствующие средние определяются по формулам:

Решение задач по эконометрике

Решая систему (1.6), найдем

Решение задач по эконометрике

Коэффициент Решение задач по эконометрике называется выборочным коэффициентом регрессии (или просто коэффициентом регрессии) Решение задач по эконометрике по Решение задач по эконометрике

Коэффициент регрессии Решение задач по эконометрике по Решение задач по эконометрике показывает, на сколько единиц в среднем изменяется переменная Решение задач по эконометрике при увеличении переменной Решение задач по эконометрике на одну единицу.

Решение задач по эконометрике

выборочная дисперсия переменной Решение задач по эконометрике.

Решение задач по эконометрике

выборочная ковариация.

Решение задач по эконометрике

Уравнение регрессии примет вид:

Решение задач по эконометрике

Задача №1.1.

По данным табл. 1.1 найти уравнение регрессии Решение задач по эконометрике по Решение задач по эконометрике.

Решение:

Вычислим все необходимые суммы:

Решение задач по эконометрике

Затем находим параметры уравнения регрессии:

Решение задач по эконометрике

Уравнение регрессии Решение задач по эконометрике по Решение задач по эконометрике имеет вид:

Решение задач по эконометрике

Из полученного уравнения регрессии (см. рис. I 1) следует, что при увеличении мощности пласта Решение задач по эконометрике на 1 м добыча угля на одного рабочего Решение задач по эконометрике увеличивается в среднем на 1,12т .

Коэффициент корреляции

К оглавлению…

Оценим тесноту корреляционной зависимости. Рассмотрим случай линейной зависимости вида (1.10):

Решение задач по эконометрике

На первый взгляд, подходящим измерителем тесноты связи Решение задач по эконометрике от Решение задач по эконометрике является коэффициент регрессии Решение задач по эконометрике, так как он показывает, на сколько единиц в среднем изменяется Решение задач по эконометрике, когда Решение задач по эконометрике увеличивается на одну единицу. Однако Решение задач по эконометрике зависит от единиц измерения переменных Например, в полученной ранее зависимости он увеличится в 100 раз, если мощность пласта Решение задач по эконометрике выразить не в метрах, а в сантиметрах. Поэтому для выбора показателя тесноты связи нужна такая система единиц измерения, в которой данные по различным характеристикам оказались бы сравнимы между собой. Представим уравнение (1.10) в эквивалентном виде:

Решение задач по эконометрике

В этом выражении величина Решение задач по эконометрике показывает на сколько величин Решение задач по эконометрике изменится в среднем Решение задач по эконометрике, когда Решение задач по эконометрике увеличится на одно Решение задач по эконометрике.

Величина Решение задач по эконометрике является показателем тесноты связи и называется выборочным коэффициентом корреляции (или просто коэффициентом корреляции). Две корреляционные зависимости переменной Решение задач по эконометрике от Решение задач по эконометрике приведены на рис. 1.2. Очевидно, что в случае а) зависимость между переменными менее тесная и коэффициент корреляции должен быть меньше, чем в случае б), так как точки корреляционного поля а) дальше отстоят от линии регрессии, чем точки поля б).

Решение задач по эконометрике

Если Решение задач по эконометрике то корреляционная связь между переменными называется прямой, если Решение задач по эконометрике — обратной. При прямой (обратной) связи увеличение одной из переменных ведет к увеличению (уменьшению) условной (групповой) средней другой. Учитывая (1.9), формулу для Решение задач по эконометрике представим в виде:

Решение задач по эконометрике

Отметим другие модификации формулы Решение задач по эконометрике:

Решение задач по эконометрике
Решение задач по эконометрике

Выборочный коэффициент корреляции Решение задач по эконометрике (при достаточно большом объеме выборки Решение задач по эконометрике) обладает следующими свойствами.

  1. Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке [-1;1], т.е. Решение задач по эконометрике. Чем ближе Решение задач по эконометрике к единице, тем теснее связь.
  2. При Решение задач по эконометрике корреляционная связь представляет линейную функциональную зависимость. При этом все наблюдаемые значения располагаются на прямой линии (рис. 1.3 а, 6).
  3. При Решение задач по эконометрике линейная корреляционная связь отсутствует. При этом линия регрессии параллельна оси Решение задач по эконометрике (рис. 1.3 в).

Следует отметить, что Решение задач по эконометрике является непосредственно оценкой генерального коэффициента корреляции Решение задач по эконометрике между Решение задач по эконометрике и Решение задач по эконометрике лишь в случае двумерного нормального закона распределения случайных величин Решение задач по эконометрике и Решение задач по эконометрике. В других случаях (когда распределения Решение задач по эконометрике и Решение задач по эконометрике отклоняются от нормального, одна из исследуемых величин, например Решение задач по эконометрике, не является случайной и т.п.) выборочный коэффициент корреляции не следует рассматривать как строгую меру взаимосвязи переменных.

Решение задач по эконометрике

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения задач по эконометрике

Задача №1.2.

По данным табл. 1.1 вычислить коэффициент корреляции между переменными Решение задач по эконометрике и Решение задач по эконометрике

Решение:

В примере 1.1 были вычислены суммы

Решение задач по эконометрике

Вычислим сумму:

Решение задач по эконометрике

Вычислим коэффициент корреляции:

Решение задач по эконометрике

т. е. связь между переменными достаточно тесная

Основные положения регрессионного анализа. Оценка параметров парной регрессионной модели

К оглавлению…

Рассматриваемая в регрессионном анализе зависимость Решение задач по эконометрике от Решение задач по эконометрике может быть представлена в виде молельного уравнения регрессии (1.1), но из-за воздействия неучтенных случайных факторов и причин отдельные наблюдения переменной Решение задач по эконометрике будут в большей или меньшей мере отклоняться от функции регрессии Решение задач по эконометрике. В этом случае уравнение взаимосвязи двух переменных может быть представлено в виде:

Решение задач по эконометрике

где Решение задач по эконометрике — случайная переменная (случайный член), характеризующая отклонение от функции регрессии. Эту переменную будем называть возмущающей или просто возмущением (либо ошибкой). Таким образом, в регрессионной модели зависимая переменная Решение задач по эконометрике есть некоторая функция Решение задач по эконометрике с точностью до случайного возмущения Решение задач по эконометрике.

Рассмотрим линейный регрессионный анализ, для которого функция Решение задач по эконометрике линейна относительно оцениваемых параметров:

Решение задач по эконометрике

Предположим, что для оценки параметров линейной функции регрессии (1.16) взята выборка, содержащая Решение задач по эконометрике пар значений переменных Решение задач по эконометрике, где Решение задач по эконометрике. В этом случае линейная парная регрессионная модель имеет вид:

Решение задач по эконометрике

Отметим основные предпосылки регрессионного анализа.

  • В модели (1.17) возмущение Решение задач по эконометрике— (или зависимая переменная Решение задач по эконометрике есть величина случайная, а объясняющая переменная Решение задач по эконометрике — величина неслучайная.
  • Математическое ожидание возмущения Решение задач по эконометрике — равно нулю:
Решение задач по эконометрике

(или математическое ожидание зависимой переменной Решение задач по эконометрике — равно линейной функции регрессии:

Решение задач по эконометрике
  • Дисперсия возмущения Решение задач по эконометрике — (или зависимой переменной Решение задач по эконометрике) постоянна для любого Решение задач по эконометрике:
Решение задач по эконометрике

или

Решение задач по эконометрике

условие гомоскедастичности или равноизменчивости возмущения (зависимой переменной)).

  • Возмущения Решение задач по эконометрике и Решение задач по эконометрике — (или переменные Решение задач по эконометрике — и Решение задач по эконометрике) не коррелированны:
Решение задач по эконометрике
  • Возмущеннее Решение задач по эконометрике (или зависимая переменная Решение задач по эконометрике) есть нормально распределенная случайная величина.

В этом случае модель (1.17) называется классической нормальной линейной регрессионной моделью.

Для получения уравнения регрессии достаточно предпосылок 1-4. Требование выполнения предпосылки 5 (т. е. рассмотрение «нормальной регрессии») необходимо для оценки точности уравнения регрессии и его параметров.

Оценкой модели (1.17) по выборке является уравнение регрессии

Решение задач по эконометрике

Параметры этого уравнения Решение задач по эконометрике и Решение задач по эконометрике определяются на основе метода наименьших квадратов.

Воздействие неучтенных случайных факторов и ошибок наблюдений в модели (1.17) определяется с помощью дисперсии возмущений (ошибок) или остаточной дисперсии Решение задач по эконометрике. Несмещенной оценкой этой дисперсии является выборочная остаточная дисперсия

Решение задач по эконометрике

где Решение задач по эконометрике — групповая средняя, найденная по уравнению регрессии; Решение задач по эконометрике— выборочная оценка возмущения Решение задач по эконометрике или остаток репрессии.

В знаменателе выражения (1.18) стоит число степеней свободы Решение задач по эконометрике, так как две степени свободы теряются при определении двух параметров прямой из системы нормальных уравнений (1.5).

Ответ на вопрос, являются ли оценки Решение задач по эконометрике параметров Решение задач по эконометрике «наилучшими», дает следующая теорема.

Теорема Гаусса—Маркова. Если регрессионная модель (1.17) удовлетворяет предпосылкам 1 -4 , то оценки Решение задач по эконометрике и Решение задач по эконометрике имеют наименьшую дисперсию в классе всех линейных несмещенных оценок. Таким образом, оценки Решение задач по эконометрике и Решение задач по эконометрике в определенном смысле являются наиболее эффективными линейными оценками параметров Решение задач по эконометрике и Решение задач по эконометрике.

Интервальная оценка функции регрессии и ее параметров

К оглавлению…

Построим доверительный интервал для функции регрессии, т.е. для условного математического ожидания Решение задач по эконометрике, который с заданной надежностью (доверительной вероятностью) Решение задач по эконометрике накрывает неизвестное значение Решение задач по эконометрике.

Найдем дисперсию групповой средней Решение задач по эконометрике представляющей выборочную оценку Решение задач по эконометрике. С этой целью уравнение регрессии (1.10) представим в виде:

Решение задач по эконометрике

На рис. 1.4 линия регрессии (1.19) изображена графически. Для произвольного наблюдаемого значения Решение задач по эконометрике выделены его составляющие: средняя Решение задач по эконометрике, приращение Решение задач по эконометрике, образующие расчетное значение Решение задач по эконометрике и остаток Решение задач по эконометрике.

Дисперсия групповой средней равна сумме дисперсий двух независимых слагаемых выражения (1.19):

Решение задач по эконометрике

Здесь учтено, что Решение задач по эконометрике — неслучайная величина, при вынесении которой за знак дисперсии ее необходимо возвести в квадрат.

Решение задач по эконометрике

Дисперсии выборочной средней Решение задач по эконометрике и параметра Решение задач по эконометрике находятся по формулам

Решение задач по эконометрике

Оценка Решение задач по эконометрике дисперсии групповых средних Решение задач по эконометрике вычисляется по формуле:

Решение задач по эконометрике

Основываясь на предпосылках 1 — 5 регрессионного анализа можно показать, что статистика Решение задач по эконометрике имеет Решение задач по эконометрике — распределение Стьюдента с Решение задач по эконометрике степенями свободы и построить доверительный интервал для условного математического ожидания Решение задач по эконометрике:

Решение задач по эконометрике

где Решение задач по эконометрике — стандартная ошибка групповой средней Решение задач по эконометрике. Из формул (1.22) и (1.23) видно, что величина (длина) доверительного интервала зависит от значения объясняющей переменной Решение задач по эконометрике: три Решение задач по эконометрике она минимальна, а по мере удаления Решение задач по эконометрике от Решение задач по эконометрике величина доверительного интервала увеличивается (рис. 1.5). Таким образом, прогноз значений (определение неизвестных значений) зависимой переменной Решение задач по эконометрике по уравнению регрессии оправдан, если значение Решение задач по эконометрике объясняющей переменной Решение задач по эконометрике не выходит за диапазон ее значений по выборке (причем тем более точный, чем ближе Решение задач по эконометрике к Решение задач по эконометрике). Другими словами, экстраполяция кривой регрессии, т.е. ее использование вне пределов обследованного диапазона значений объясняющей переменной (даже если она оправдана для рассматриваемой переменной исходя из смысла решаемой задачи) может привести к значительным погрешностям

Решение задач по эконометрике

Определим доверительный интервал для индивидуальных значений зависимой переменной. Построенная доверительная область для Решение задач по эконометрике (см. рис. 1.5) определяет местоположение модельной линии регрессии (т.е. условного математического ожидания), но не отдельных возможных значений зависимой переменной, которые отклоняются от средней. Поэтому при определении доверительного интервала для индивидуальных значений Решение задач по эконометрике зависимой переменной необходимо учитывать еще один источник вариации рассеяние вокруг линии регрессии, т.е. в оценку суммарной дисперсии Решение задач по эконометрике следует включить величину Решение задач по эконометрике. В результате оценка дисперсии индивидуальных значений Решение задач по эконометрике при Решение задач по эконометрике равна

Решение задач по эконометрике

а соответствующий доверительный интервал для прогнозов индивидуальных значений Решение задач по эконометрике будет определятся по формуле:

Решение задач по эконометрике

Построим доверительный интервал для параметров регрессионной модели, в частности для параметров регрессионной модели Решение задач по эконометрике и Решение задач по эконометрике.

При выполнении предпосылки 5 регрессионного анализа статистика Решение задач по эконометрике имеет нормальный закон распределения, а статистика

Решение задач по эконометрике

имеет Решение задач по эконометрике-распределение Стьюдента с Решение задач по эконометрике степенями свободы.

Поэтому интервальная опенка параметра Решение задач по эконометрике на уровне значимости а имеет вид:

Решение задач по эконометрике

При построении доверительного интервала для параметра Решение задач по эконометрике снисходят из того, что статистика Решение задач по эконометрике имеет Решение задач по эконометрике-распределение с Решение задач по эконометрике степенями свободы. Поэтому интервальная оценка для Решение задач по эконометрике на уровне значимости Решение задач по эконометрике имеет вид :

Решение задач по эконометрике

доверительный интервал выбирается таким образом, чтобы

Решение задач по эконометрике

Возможно эта страница вам будет полезна:

Задачи по эконометрике

Задача №1.3.

По данным табл. 1.1 требуется:

1) оценить сменную среднюю добычу угля на одного рабочего для шахт с мощностью пласта 8 м;

2) найти 95% — ные доверительные интервалы для индивидуального и среднего значений сменной добычи угля на 1 рабочего для таких же шахт;

3) найти с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициента рецессии Решение задач по эконометрике и дисперсии Решение задач по эконометрике.

Решение:

Уравнение регрессии Решение задач по эконометрике по Решение задач по эконометрике было получено в примере ранее Решение задач по эконометрике, т.е. при увеличении мощности пласта Решение задач по эконометрике на 1м добыча угля на одного рабочего Решение задач по эконометрике увеличивается в среднем на 1,12 т.

  • Оценим условное математическое ожидание Решение задач по эконометрике. Выборочной оценкой Решение задач по эконометрике является групповая средняя Решение задач по эконометрике которую найдем но уравнению регрессии:
Решение задач по эконометрике

Для построения доверительного интервала для Решение задач по эконометрике необходимо знать дисперсию его оценки, т.е. Решение задач по эконометрике. Составим вспомогательную таблицу подставив значение Решение задач по эконометрике в полученное уравнению регрессии.

Решение задач по эконометрике

Подставим из таблицы найденные значения в формулы

Решение задач по эконометрике

Следовательно

Решение задач по эконометрике

По таблице значений Решение задач по эконометрике-критерия Стьюдента находим Решение задач по эконометрике. Искомый доверительный интервал имеет вид

Решение задач по эконометрике
Решение задач по эконометрике

Средняя сменная добыча угля на одного рабочего для шахт с мощностью пласта 8м с надежностью 0,95 находится в пределах от 2,77 до 6,03 т. 2. Чтобы построить доверительный интервал для индивидуального значения Решение задач по эконометрике найдем дисперсию его оценки по формуле:

Решение задач по эконометрике

Искомый доверительный интервал примет вид:

Решение задач по эконометрике

Таким образом, индивидуальная сменная добыча угля на одного рабочего для шахт с мощностью пласта 8м с надежностью 0,95 находится в пределах от 0,57 до 8,23 т.

  • Найдем 95% -ный доверительный интервал для параметра Решение задач по эконометрике по формуле (1.27)
Решение задач по эконометрике

т. е. с надежностью 0,95 при изменении мощности пласта Решение задач по эконометрике на 1м суточная выработка Решение задач по эконометрике будет изменяться на величину, заключенную в интервале от 0,332 до 1,907 (т).

Найдем 95%-ный доверительный интервал для параметра Решение задач по эконометрике

Учитывая, что Решение задач по эконометрике, найдем по таблице значений Решение задач по эконометрике -критерия Пирсона

Решение задач по эконометрике

Подставим найденные значения в формулу для оценки интервала получим:

Решение задач по эконометрике

Таким образом, с надежностью 0,95 дисперсия возмущений заключена в пределах от 1,29 до 10,36, а их стандартное отклонение — от 1,13 до 3,22 (т).

Возможно эта страница вам будет полезна:

Курсовая работа по эконометрике

Оценка значимости уравнения регрессии. Коэффициент детерминации

К оглавлению…

Проверить значимость уравнения регрессии — значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной.

Проверка значимости уравнения регрессии производится на основе дисперсионного анализа.

Согласно основной идее дисперсионного анализа

Решение задач по эконометрике

или

Решение задач по эконометрике

где Решение задач по эконометрике — общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней; Решение задач по эконометрике — сумма квадратов, обусловленная регрессией; Решение задач по эконометрике — остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов

Нетрудно убедиться, что третье слагаемое

Решение задач по эконометрике

Представим полученные соотношения в виде таблицы 1.3

Решение задач по эконометрике

Средние квадраты Решение задач по эконометрике и Решение задач по эконометрике представляют собой несмещенные оценки дисперсий зависимой переменной, обусловленных соответственно регрессий или объясняющей переменной Решение задач по эконометрике и воздействием неучтенных случайных факторов и ошибок; Решение задач по эконометрике — число оцениваемых параметров уравнения регрессии; Решение задач по эконометрике — число наблюдений.

Уравнение регрессии значимо на уровне Решение задач по эконометрике, если фактически наблюдаемое значение статистики

Решение задач по эконометрике

Задача №1.4.

По данным табл. 1.1 оценить на уровне Решение задач по эконометрике значимость уравнения регрессии Решение задач по эконометрике по Решение задач по эконометрике.

Решение:

Ранее, были

Решение задач по эконометрике

Вычислим суммы квадратов для определения компонент дисперсии:

Решение задач по эконометрике

Находим значение Решение задач по эконометрике— распределения

Решение задач по эконометрике

По таблице значений Решение задач по эконометрике -распределения Фишера определяем табличное значение

Решение задач по эконометрике

Так как

Решение задач по эконометрике

то уравнение регрессии значимо.

Одной из наиболее эффективных оценок адекватности регрессионной модели, мерой качества уравнения регрессии, (или, как говорят, мерой качества подгонки регрессионной модели к найденным значениям Решение задач по эконометрике), характеристикой прогностической анализируемой регрессионной модели является коэффициент детерминации, определяемый по формуле

Решение задач по эконометрике

Величина Решение задач по эконометрике показывает, какая часть (доля) вариации зависимой переменной обусловлена вариацией объясняющей переменной.

Так как Решение задач по эконометрике, то Решение задач по эконометрике Чем ближе Решение задач по эконометрике к единице, тем лучше регрессия аппроксимирует эмпирические данные, тем теснее наблюдения примыкают к линии регрессии. Если Решение задач по эконометрике, то эмпирические точки Решение задач по эконометрике лежат на линии регрессии (см. рис. 1.3 а.б) и между переменными Решение задач по эконометрике и Решение задач по эконометрике существует линейная функциональная зависимость. Если Решение задач по эконометрике то (вариация зависимой переменной полностью обусловлена воздействием неучтенных в модели переменных, и линия регрессии параллельна оси абсцисс (рис. 1.3 в).

Заметим, что коэффициент Решение задач по эконометрике имеет смысл рассматривать только при наличии свободного члена в уравнении регрессии, так как лишь в этом случае, как уже отмечалось, верно, равенство (1.29), а следовательно, и соотношение (1.32).

Если известен коэффициент детерминации Решение задач по эконометрике, то критерий значимости (1.30) уравнения регрессии или самого коэффициента детерминация может быть записан в виде

Решение задач по эконометрике

В случае парной линейной регрессионной модели коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции, т. е. Решение задач по эконометрике.

Задача №1.5.

По данным табл. 1.1 найти коэффициент детерминации и пояснить его смысл.

Решение:

В примере 1.4 было получено Решение задач по эконометрике. Находим

Решение задач по эконометрике

Коэффициент детерминации можно было вычислить и иначе, если учесть, что в примере 1.2 был вычислен коэффициент корреляции Решение задач по эконометрике. Так как для парной линейной регрессионной модели Решение задач по эконометрике, то Решение задач по эконометрике.

Это означает, что вариация зависимой переменной Решение задач по эконометрике — сменной добычи угля на одного рабочего — на 62% объясняется изменчивостью объясняющей переменной Решение задач по эконометрике — мощностью пласта.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Заказать работу по эконометрике

Множественный регрессионный анализ. Классическая нормальная линейная модель множественной регрессии

К оглавлению…

Экономические явления, как правило, определяются большим числом одновременно и совокупно действующих факторов. В связи с этим часто возникает задача исследования зависимости одной зависимой переменной Решение задач по эконометрике от нескольких объясняющих переменных Решение задач по эконометрике. Эта задача решается с помощью множественного регрессионного анализа.

Обозначим Решение задач по эконометрике-е наблюдение зависимой переменной а объясняющих переменных — Решение задач по эконометрике. Тогда модель множественной линейной регрессии можно представить в виде:

Решение задач по эконометрике

где

Решение задач по эконометрике

Решение задач по эконометрике— удовлетворяет приведенным выше (см. Главу 1) предпосылкам 1-5.

Включение в регрессионную модель новых объясняющих переменных приводит к целесообразности использования матричных обозначений. Магричное описание регрессии облегчает как теоретические концепции анализа, так и необходимые расчетные процедуры.

Введем обозначения:

Решение задач по эконометрике — матрица-столбец, или вектор значений зависимой переменной размерности Решение задач по эконометрике;

Решение задач по эконометрике

матрица значений объясняющих переменных, или матрица плана размерности Решение задач по эконометрике (в матрицу дополнительно введен столбец, все элементы которого равны 1, т.е. условно полагается, что в модели свободный член Решение задач по эконометрике умножается на фиктивную переменную Решение задач по эконометрике принимающую значение 1 дня всех Решение задач по эконометрике;

Решение задач по эконометрике — матрица-столбец, или вектор параметров размерности Решение задач по эконометрике,

Решение задач по эконометрике — матрица-столбец, или вектор, возмущений (случайных ошибок, остатков) размера Решение задач по эконометрике.

Тогда в матричной форме модель примет вид:

Решение задач по эконометрике

Оценкой этой модели по выборке является уравнение

Решение задач по эконометрике

где

Решение задач по эконометрике

Оценка параметров классической регрессионной модели методом наименьших квадратов

К оглавлению…

Для оценки вектора неизвестных параметров Решение задач по эконометрике применим метод наименьших квадратов.

Условие минимизации остаточной суммы квадратов запишется в виде:

Решение задач по эконометрике

На основании необходимого условия экстремума функции нескольких переменных Решение задач по эконометрике необходимо приравнять нулю частные производные по этим переменным или в матричной форме— вектор частных производных

Решение задач по эконометрике

После вычисления вектора частных производных приравняем его 0 — Решение задач по эконометрике, откуда получаем систему нормальных уравнений в матричной форме для определения вектора Решение задач по эконометрике:

Решение задач по эконометрике

Для решения этого матричного уравнения относительно вектора оценок параметров Решение задач по эконометрике введём еще одну предпосылку о том, что матрица Решение задач по эконометрике является неособенной, т. е. ее определитель не равен нулю. Следовательно, ранг матрицы Решение задач по эконометрике равен ее порядку, т.е. Решение задач по эконометрике но Решение задач по эконометрике, значит, Решение задач по эконометрике (ранг матрицы плана Решение задач по эконометрике равен числу ее столбцов). В соответствии с этим сформулируем упомянутую выше предпосылку множественного регрессионного анализа в следующем виде:

  • Векторы значений объясняющих переменных, или столбцы матрицы плана Решение задач по эконометрике, должны быть линейно независимыми, т. е. ранг матрицы Решение задач по эконометрике-максимальный Решение задач по эконометрике.

Кроме того, полагают, что число имеющихся наблюдений (значений) каждой из объясняющих и зависимой переменных превосходит ранг-матрицы Решение задач по эконометрике, т. е. Решение задач по эконометрике или Решение задач по эконометрике, ибо в противном случае в принципе невозможно получение сколько-нибудь надежных статистических выводов.

В новых терминах приведенные ранее предпосылки для множественного регрессионного анализа могут быть записаны следующим образом:

  • В модели (2.2) Решение задач по эконометрике — случайный вектор, Решение задач по эконометрике неслучайная (детерминированная) матрица.
  • Решение задач по эконометрике где Решение задач по эконометрике — нулевой вектор размера Решение задач по эконометрике.
  • Решение задач по эконометрике где Решение задач по эконометрике-единичная матрица размерности Решение задач по эконометрике.
  • Решение задач по эконометрике — нормально распределённый случайный вектор
  • Решение задач по эконометрике

Модель (2.2), удовлетворяющая приведенным предпосылкам 1-6, называется классической нормальной линейной моделью множественной регрессии, если же среди приведенных не выполняется лишь предпосылка о нормальном законе распределения вектора возмущений с , то модель называется просто классической линейной моделью множественной рефессии.

Решением уравнения (2.4) является вектор

Решение задач по эконометрике

где Решение задач по эконометрике — матрица, обратная матрице Решение задач по эконометрике, Решение задач по эконометрике — матрица-столбец, или вектор ее свободных членов.

Рассмотренная выше для парной регрессионной модели теорема Гаусса — Маркова оказывается верной для модели (2.2) множественной регрессии и может быть сформулирована в следующем виде

При выполнении предпосылок множественного регрессионного анализа оценка метода наименьших квадратов Решение задач по эконометрике является наиболее эффективной, т е обладает наименьшей дисперсией в классе линейных несмещенных оценок.

Зная вектор Решение задач по эконометрике, выборочное уравнение множественной регрессии представим в виде:

Решение задач по эконометрике

где Решение задач по эконометрике групповая (условная) средняя переменной Решение задач по эконометрике при заданном векторе значений объясняющей переменной

Решение задач по эконометрике

Задача №2.1.

Имеются следующие данные о сменной добыче угля на одного рабочего Решение задач по эконометрике(т), мощности пласта Решение задач по эконометрике (м) и уровне механизации работ Решение задач по эконометрике (%), характеризующие процесс добычи угля в 10 шахтах. Предполагая, что между переменными Решение задач по эконометрике, Решение задач по эконометрике и Решение задач по эконометрике существует линейная корреляционная зависимость, найти ее аналитическое выражение (уравнение регрессии Решение задач по эконометрике по Решение задач по эконометрике и Решение задач по эконометрике).

Эконометрика задачи с решением

Решение:

Обозначим

Эконометрика задачи с решением

(в матрицу Эконометрика задачи с решением вводится дополнительный столбец чисел, состоящий из единиц).

Для удобства вычислений составляем вспомогательную таблицу.

Эконометрика задачи с решением

Вычислим матрицы:

Эконометрика задачи с решением

Умножим матрицу Эконометрика задачи с решением на вектор Эконометрика задачи с решением и получим

Эконометрика задачи с решением

Уравнение множественной регрессии имеет вид:

Эконометрика задачи с решением

Оно показывает, что при увеличении только мощности пласта Эконометрика задачи с решением (при неизменном Эконометрика задачи с решением) на 1м добыча угля на одного рабочего Эконометрика задачи с решением увеличивается в среднем на 0,660 т, а при увеличении только уровня механизации работ Эконометрика задачи с решением (при неизменной Эконометрика задачи с решением) — в среднем на 0,90 т.

Добавление в регрессионную модель новой объясняющей переменнойЭконометрика задачи с решением изменило коэффициент регрессии Эконометрика задачи с решением (Эконометрика задачи с решением по Эконометрика задачи с решением) с 1,12 для парной регрессии (см. пример 1.1) до 0,66 — для множественной регрессии. В случае парной регрессии Эконометрика задачи с решением учитывает воздействие на Эконометрика задачи с решением не только переменной Эконометрика задачи с решением но и косвенно корреляционно связанной с ней переменной Эконометрика задачи с решением.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Лабораторная работа по эконометрике

Ковариационная матрица и ее выборочная оценка

К оглавлению…

Вариации оценок параметров определяют точность уравнения множественной регрессии. Для их измерения в многомерном регрессионном анализе рассматривают так называемую ковариационную матрицу вектора оценок параметров Эконометрика задачи с решением, являющуюся матричным аналогом дисперсии одной переменной

Эконометрика задачи с решением

где элементы Эконометрика задачи с решением — ковариации (или корреляционные моменты) оценок параметров Эконометрика задачи с решением и Эконометрика задачи с решением. Ковариация двух переменных определяется как математическое ожидание произведения отклонений этих переменных от их математических ожиданий:

Эконометрика задачи с решением

Учитывая, что оценки Эконометрика задачи с решением, полученные методом наименьших квадратов, являются несмещенными оценками параметров , т. е. Эконометрика задачи с решением выражение примет вид

Эконометрика задачи с решением

Ковариация характеризует как степень рассеяния значений двух переменных относительно их математических ожиданий, так и взаимосвязь этих переменных.

Определение доверительных интервалов для коэффициентов и функции регрессии

К оглавлению…

Доверительный интервал для параметров регрессионной модели

Эконометрика задачи с решением

Оценка Эконометрика задачи с решением дисперсии Эконометрика задачи с решением коэффициента регрессии Эконометрика задачи с решением определяется по формуле:

Эконометрика задачи с решением

где Эконометрика задачи с решением — несмещенная оценка параметра Эконометрика задачи с решением;

Эконометрика задачи с решением — диагональный элемент матрицы Эконометрика задачи с решением Среднее квадратическое отклонение (стандартная ошибка) коэффициента регрессии Эконометрика задачи с решением вычисляется по формуле:

Эконометрика задачи с решением

Учитывая, что статистика Эконометрика задачи с решением имеет Эконометрика задачи с решением-распределение Стьюдента с Эконометрика задачи с решением степенями свободы, можно проверить значимость коэффициента регрессии Эконометрика задачи с решением. Гипотеза Эконометрика задачи с решением о равенстве параметра Эконометрика задачи с решением нулю Эконометрика задачи с решением отвергается, если Эконометрика задачи с решением, где Эконометрика задачи с решением табличное значение Эконометрика задачи с решением-критерия Стьюдента, определенное на уровне значимости Эконометрика задачи с решением при числе степеней свободы Эконометрика задачи с решением, т. е. Эконометрика задачи с решением отличается от нуля на уровне значимости Эконометрика задачи с решением.

В обшей постановке гипотеза Эконометрика задачи с решением о равенстве параметра Эконометрика задачи с решением заданному числу Эконометрика задачи с решением отвергается, если

Эконометрика задачи с решением

Доверительный интервал для параметра Эконометрика задачи с решением имеет вид.

Эконометрика задачи с решением
  • Доверительный интервал для функции репрессии или для условного математического ожидания зависимой переменной Эконометрика задачи с решением
Эконометрика задачи с решением

где Эконометрика задачи с решением — групповая средняя, определяемая по уравнению регрессии;

Эконометрика задачи с решением — ее стандартная ошибка, определяемая по формуле:

Эконометрика задачи с решением
  • Доверительный интервал для индивидуальных значений зависимой переменной Эконометрика задачи с решением
Эконометрика задачи с решением

где

Эконометрика задачи с решением
  • Доверительный интервал для параметра Эконометрика задачи с решением.

В множественной регрессии он строится аналогично парной модели с соответствующим изменением числа степеней свободы с критерия Эконометрика задачи с решением

Эконометрика задачи с решением

Возможно эта страница вам будет полезна:

Помощь по эконометрике

Задача №2.2

По данным примера 2.1 оценить сменную добычу угля на одного рабочего для шахт с мощностью пласта 8 м и уровнем механизации работ 6%; наши 95%-ные доверительные интервалы для индивидуального и среднего значений сменной добычи угля на одного рабочего для таких же шахт. Проверить значимость коэффициентов регрессии и построить для них 95%-ные доверительные интервалы. Найти интервачьную оценку для дисперсии Эконометрика задачи с решением.

Решение:

В примере 2.1 уравнение регрессии получено в виде

Эконометрика задачи с решением

По условию надо оценить Эконометрика задачи с решением, где Эконометрика задачи с решением. Выборочной оценкой Эконометрика задачи с решением является групповая средняя, которую найдем по уравнению регрессии:

Эконометрика задачи с решением

Для построения доверительного инггерала для Эконометрика задачи с решением воспользуемся формулой (2.11). Вначале найдем дисперсию Эконометрика задачи с решением. При ей вычислении используем две последних строки табл. 2.2 (групповые средние Эконометрика задачи с решением в них определяются по полученному уравнению регрессии).

Находим

Эконометрика задачи с решением

Вычисляем

Эконометрика задачи с решением

По таблице значений Эконометрика задачи с решением — критерия Стьюдента при числе степеней свободы

Эконометрика задачи с решением

находим Эконометрика задачи с решением. Следовательно, доверительный интервал для Эконометрика задачи с решением равен

Эконометрика задачи с решением

Итак, с надежностью 0,95 средняя сменная добыча угля на одного рабочего для шахт с мощностью пласта 8 м и уровнем механизации работ 6% находится в пределах от 4,27 до 7,29 т.

Сравнивая новый доверительный интервал для функции регрессии Эконометрика задачи с решением, полученный с учетом двух объясняющих переменных, с аналогичным интервалом с учетом одной объясняющей переменной (см пример 1.3), можно заметить некоторое уменьшение его величины.

Это связано с тем, что включение в модель новой объясняющей переменной позволяет несколько повысить точность модели за счет увеличения взаимосвязи зависимой и объясняющей переменных.

Найдем доверительный интервал для индивидуального значения Эконометрика задачи с решениемпри

Эконометрика задачи с решением

Вычислим

Эконометрика задачи с решением
Эконометрика задачи с решением

Итак, с надежностью 0,95 индивидуальное значение сменной добычи угля в шахтах с мощностью пласта 8 м и уровнем механизации работ 6% находится в пределах от 2,80 до 8,76 (т).

Проверим значимость коэффициентов регрессии Эконометрика задачи с решением и Эконометрика задачи с решением. Для Эконометрика задачи с решением стандартная ошибка Эконометрика задачи с решением равна

Эконометрика задачи с решением

Так как

Эконометрика задачи с решением

тo коэффициент Эконометрика задачи с решением значим.

Аналогично для Эконометрика задачи с решением стандартная ошибкаЭконометрика задачи с решением, равна

Эконометрика задачи с решением

т. е. коэффициент Эконометрика задачи с решением значим.

Доверительный интервал коэффициента регрессии Эконометрика задачи с решением имеет вид;

Эконометрика задачи с решением

Доверительный интервал коэффициента регрессии Эконометрика задачи с решением имеет вид:

Эконометрика задачи с решением

Итак, с надежностью 0,95 за счет изменения на 1 м мощности пласта Эконометрика задачи с решением (при неизменном Эконометрика задачи с решением) сменная добыча угля на одного рабочего Эконометрика задачи с решением будет изменяться в пределах от 0,15 до 1,17 (т), а за счёт изменения на 1% механизации работ Эконометрика задачи с решением (при неизменном Эконометрика задачи с решением) значения Эконометрика задачи с решением будут изменяться в пределах от 0,27 до 1,53 (т).

Найдем 95%-ный доверительный интервал для параметра Эконометрика задачи с решением. Учитывая, что

Эконометрика задачи с решением

степени свободы найдем по таблице значений критерия Пирсона

Эконометрика задачи с решением
Эконометрика задачи с решением

С помощью формулы (2.14) находим интервал

Эконометрика задачи с решением

Таким образом, с надежностью 0,95 дисперсия возмущений заключена в пределах от 0,738 до 6,99, а их стандартное отклонение — от 0,859 до 2,64(т).

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по эконометрике в Excel

Оценка значимости множественной регрессии. Коэффициенты детерминации

К оглавлению…

В модели множественной регрессии, как и в случае парной регрессионной модели, общая вариация Эконометрика задачи с решением — сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней может быть разложена на две составляющие:

Эконометрика задачи с решением

где Эконометрика задачи с решением — соответственно сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией, и остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов. Они вычисляются по следующим формулам:

Эконометрика задачи с решением

Уравнение множественной регрессии значимо (иначе — гипотеза о равенстве нулю параметров регрессионной модели, т. е.

Эконометрика задачи с решением

отвергается), если

Эконометрика задачи с решением

где Эконометрика задачи с решением — табличное значение Эконометрика задачи с решением-критерия Фишера — Снелекора.

Коэффициент детерминации Эконометрика задачи с решением является оценкой адекватности модели, мерой качества уравнения регрессии, характеристикой его прогностической силы Множественный коэффициент детерминации Эконометрика задачи с решением определяется по формулам;

Эконометрика задачи с решением

Величина Эконометрика задачи с решением характеризует долю вариации зависимой переменной, обусловленной регрессией или изменчивостью объясняющих переменных; чем ближе Эконометрика задачи с решением к единице, тем лучше регрессия описывает зависимость между объясняющими и зависимой переменными.

Вместе с тем использование только одного коэффициента детерминации Эконометрика задачи с решением для выбора наилучшего уравнения регрессии может оказаться недостаточным. Недостатком коэффициента детерминации Эконометрика задачи с решением является то, что он, вообще говоря, увеличивается при добавлении новых объясняющих переменных, хотя это и не обязательно означает улучшение качества регрессионной модели. На практике встречаются случаи, когда плохо определенная модель регрессии может дать сравнительно высокий коэффициент Эконометрика задачи с решением.

Поэтому предпочтительнее использовать скорректированный (адаптированный, поправленный) коэффициент детерминации Эконометрика задачи с решением определяемый по формулам:

Эконометрика задачи с решением

Из формул следует, что чем больше число объясняющих переменных Эконометрика задачи с решением, тем меньше Эконометрика задачи с решением по сравнению с Эконометрика задачи с решением. В отличие от Эконометрика задачи с решением скорректированный коэффициент Эконометрика задачи с решением может уменьшаться при введении в модель новых объясняющих переменных, не оказывающих существенного влияния на зависимую переменную. Однако даже увеличение скоррекгированного коэффициента детерминации Эконометрика задачи с решением при введении в модель новой объясняющей переменной не всегда получается, что ее коэффициент регрессии значим (это происходит, как можно показать, только в случае, если соответствующее значение Эконометрика задачи с решением-статистики больше единицы (по абсолютной величине), т. е. Эконометрика задачи с решением. Другими словами, увеличение Эконометрика задачи с решением еще не означает улучшения качества регрессионной модели.

Если известен коэффициент детерминации Эконометрика задачи с решением, то критерий значимости уравнения регрессии может быть записан в виде:

Эконометрика задачи с решением

где Эконометрика задачи с решением, т. к. в уравнении множественной регрессии вместе со свободным членом оценивается Эконометрика задачи с решениемпараметров

Возможно эта страница вам будет полезна:

Системы эконометрических уравнений

Задача №2.3.

По данным примера 2.1 определить множественный коэффициент детерминации и проверить значимость полученного уравнения регрессии Эконометрика задачи с решением по Эконометрика задачи с решением и Эконометрика задачи с решением на уровне Эконометрика задачи с решением.

Решение:

Вычислим произведения векторов (см. пример 2.1):

Эконометрика задачи с решением

По формуле (2 18) определим множественный коэффициент детерминации

Эконометрика задачи с решением

Коэффициент детерминации Эконометрика задачи с решением свидетельствует о том, что вариация исследуемой зависимой переменной У — сменной добычи угля на одного рабочего на 69,1% объясняется изменчивостью включенных в модель объясняющих переменных— мощности пласта Эконометрика задачи с решением и уровня механизации работ Эконометрика задачи с решением.

Зная Эконометрика задачи с решением, проверим значимость уравнения регрессии. Вычислим фактическое значение критерия:

Эконометрика задачи с решением

Оно больше табличного Эконометрика задачи с решением, определенного на уровне значимости Эконометрика задачи с решением при Эконометрика задачи с решением степенях свободы, т. е. уравнение регрессии значимо, следовательно, исследуемая зависимая переменная Эконометрика задачи с решением достаточно хорошо описывается включенными в регрессионную модель переменными Эконометрика задачи с решением и Эконометрика задачи с решением.

Временные ряды и прогнозирование. Общие сведения о временных рядах и задачах их анализа

К оглавлению…

Под временным рядом (динамическим рядом, или рядом динамики) в экономике подразумевается последовательность наблюдений некоторого признака (случайной величины) Эконометрика задачи с решением в последовательные моменты времени. Отдельные наблюдения называются уровнями ряда, которые будем обозначать Эконометрика задачи с решением, где Эконометрика задачи с решением — число уровней.

В табл. 3.1 приведены данные, отражающие спрос на некоторый товар за восьмилетний период (усл. ед.), т. е. временной ряд спроса Эконометрика задачи с решением.

Эконометрика задачи с решением

На рис. 3.1 временной ряд Эконометрика задачи с решением изображен графически ломаной линией.

Эконометрика задачи с решением

Методы исследования моделей, основанных на данных пространственных выборок и временных рядов, вообще говоря, отличаются Объясняется это Tev что в отличие от пространственных выборок наблюдения во временных ряда как правило, нельзя считать независимыми.

При анализе точности этих моделей и определении интервальных ошибок прогноза на их основе, будем полагать, что рассматриваемые в главе регрессионные модели временных рядов удовлетворяют условиям классической модели.

В общем виде при исследовании экономического временного ряда Эконометрика задачи с решением выделяются несколько составляющих:

Эконометрика задачи с решением

где Эконометрика задачи с решением— тренд, плавно меняющаяся компонента, описывающая чистое влияние долговременных факторов, т. е. длительную тенденцию изменения признака (например, показатели экономического развития, рост населения, и т. п.);

Эконометрика задачи с решением — сезонная компонента, отражающая повторяемость экономических процессов в течение не очень длительного периода (года, месяца, недели и т. д., например, объем продаж туристических путевок или перевозок авиапассажиров в различные времена года);

Эконометрика задачи с решением — циклическая компонента, отражающая повторяемость экономических процессов в течение длительных периодов (например, влияние волн экономической активности Кондратьева, демографических «ям», циклов солнечной активности и т. п.);

Эконометрика задачи с решением — случайная компонента, отражающая влияние не поддающихся учету и регистрации случайных факторов.

Первые три составляющие (компоненты) Эконометрика задачи с решением и Эконометрика задачи с решением, в отличие от Эконометрика задачи с решением, являются закономерными, неслучайными.

Важнейшей классической задачей при исследовании экономических временных рядов является выявление и статистическая оценка основной тенденции развития изучаемого процесса и отклонений от нее.

Основные этапы анализа временных рядов:

графическое представление и описание поведения временного ряда; выделение и удаление закономерных (неслучайных) составляющих временного ряда (тренда, сезонных и циклических сост авляющих);

сглаживание и фильтрация (удаление низко — или высокочастотных составляющих временного ряда);

исследование случайной составляющей временного ряда, построение и проверка адекватности математической модели для ее описания;

прогнозирование развития изучаемого процесса на основе имеющегося временного ряда;

исследование взаимосвязи между различными временными рядами. Наиболее распространенными методами анализа временных рядов являются корреляционный и спектральный анализ, модели авторегрессии и скользящей средней

Временной ряд Эконометрика задачи с решением рассматривается как одна из реализаций (траекторий) случайного процесса Эконометрика задачи с решением. Вместе с тем следует иметь в виду принципиальные отличия временного ряда Эконометрика задачи с решением от последовательности наблюдений Эконометрика задачи с решением образующих случайную выборку. Во-первых, в отличие от элементов случайной выборки члены временного ряда, как правило, не являются статистически независимыми. Во-вторых, члены временного ряда не являются одинаково распределенными. Выборка Эконометрика задачи с решением рассматривается как одна из реализаций случайной величины Эконометрика задачи с решением.

Стационарные временные ряды и их характеристики. Автокорреляционная функция

К оглавлению…

Важное значение в анализе временных рядов имеют стационарные временные ряды, вероятностные свойства которых не изменяются во времени.

Временной ряд Эконометрика задачи с решением называется строго стационарным (или стационарным в узком смысле), если совместное распределение вероятностей Эконометрика задачи с решением наблюдений Эконометрика задачи с решением такое же, как и Эконометрика задачи с решением наблюдений Эконометрика задачи с решением при любых Эконометрика задачи с решением и Эконометрика задачи с решением. Другими словами, свойства строю стационарных рядов Эконометрика задачи с решением не зависят от момента Эконометрика задачи с решением, т е закон распределения и его числовые характеристики не зависят от Эконометрика задачи с решением. Следовательно, математическое ожидание Эконометрика задачи с решением среднее квадратическое отклонение Эконометрика задачи с решением могут быть оценены по наблюдениям Эконометрика задачи с решением по формулам:

Эконометрика задачи с решением

Степень тесноты связи между последовательностями наблюдений временного ряда

Эконометрика задачи с решением

(сдвинутых относительно друг друга на Эконометрика задачи с решением единиц, или, как говорят, с лагом Эконометрика задачи с решением) может быть определена с помощью коэффициента корреляции

Эконометрика задачи с решением
Эконометрика задачи с решением

Коэффициент Эконометрика задачи с решением измеряет корреляцию между членами одного и того же ряда, поэтому его называют коэффициентом автокорреляции, а зависимость Эконометрика задачи с решением — автокор реляционной функцией. В силу стационарности временного ряда Эконометрика задачи с решением автокорреляционная функция Эконометрика задачи с решением зависит только от лага Эконометрика задачи с решением, причем Эконометрика задачи с решением, т. е. при изучении Эконометрика задачи с решением можно ограничиться рассмотрением только положительных значений Эконометрика задачи с решением.

Статистической оценкой Эконометрика задачи с решением является выборочный коэффициент автокорреляции Эконометрика задачи с решением, определяемый по формуле:

Эконометрика задачи с решением

Функция Эконометрика задачи с решением называется выборочной автокорреляционной функцией, а ее график — коррелограимой.

При расчете Эконометрика задачи с решением необходимо учитывать, что с увеличением Эконометрика задачи с решением число Эконометрика задачи с решением пар наблюдений Эконометрика задачи с решением уменьшается, поэтому лаг Эконометрика задачи с решением должен быть таким, чтобы число Эконометрика задачи с решением было достаточным для определения Эконометрика задачи с решением. Обычно принимается Эконометрика задачи с решением.

Для стационарного временного ряда с увеличением лага г взаимосвязь членов временного ряда Эконометрика задачи с решением и Эконометрика задачи с решением ослабевает , и автокорреляционная функция Эконометрика задачи с решением должна убывать по абсолютной величине, а для ее выборочного (эмпирического) аналога Эконометрика задачи с решением, особенно при небольшом числе пар наблюдений Эконометрика задачи с решением, свойство монотонного убывания (по абсолютной величине) при возрастании Эконометрика задачи с решением может нарушаться.

Наряду с автокорреляционной функцией при исследовании стационарных временных рядов рассматриваем частная автокорреляционная функция Эконометрика задачи с решением, где Эконометрика задачи с решением есть частный коэффициент корреляции между членами временного ряда Эконометрика задачи с решением и Эконометрика задачи с решением, т. е. коэффициент корреляции между Эконометрика задачи с решением и Эконометрика задачи с решением при устранении влияния промежуточных (между Эконометрика задачи с решением и Эконометрика задачи с решением) членов.

Статистической оценкой Эконометрика задачи с решением является выборочная частная автокорреляционная функция Эконометрика задачи с решением, где Эконометрика задачи с решением — выборочный частный коэффициент корреляции Например, выборочный частный коэффициент автокорреляции 1-го порядка между членами временного, ряда Эконометрика задачи с решением и Эконометрика задачи с решением при устранении влияния Эконометрика задачи с решением может быть вычислен по формуле:

Эконометрика задачи с решением

где Эконометрика задачи с решением — выборочные коэффициенты автокорреляции между Эконометрика задачи с решением соответственно.

Задача №3.1

По данным табл. 1 для временного ряда у, найти среднее чначение, среднее квадратическое отклонение, коэффициенты автокорреляции (для лагов г=1;2) и частный коэффициент автокорреляции I-го порядка.

Решение:

Среднее значение временного ряда находим по формуле (3.1):

Эконометрика задачи с решением

Дисперсию и среднее квадратическое отклонение вычислим, воспользовавшись соотношением:

Эконометрика задачи с решением

Найдем коэффициент автокорреляции Эконометрика задачи с решением временного ряда (для лага Эконометрика задачи с решением), т. е. коэффициент корреляции между последовательностями семи пар наблюдений Эконометрика задачи с решением, представленных в табл. 3.2.

Эконометрика задачи с решением

Сначала вычисляем необходимые суммы:

Эконометрика задачи с решением

Затем подставим их в формулу:

Эконометрика задачи с решением

при

Эконометрика задачи с решением

получим:

Эконометрика задачи с решением

Коэффициенты автокорреляции Эконометрика задачи с решением для лага Эконометрика задачи с решением между членами ряда Эконометрика задачи с решением и Эконометрика задачи с решением по шести парам наблюдений и Эконометрика задачи с решением между членами ряда Эконометрика задачи с решением и Эконометрика задачи с решением вычисляются аналогично:

Эконометрика задачи с решением

Для определения частного коэффициента корреляции 1-го порядка Эконометрика задачи с решением между членами ряда Эконометрика задачи с решением и Эконометрика задачи с решением при исключении влияния Эконометрика задачи с решениемнайденные значения Эконометрика задачи с решением подставим в формулу:

Эконометрика задачи с решением

Знание автокорреляционных функций Эконометрика задачи с решением и Эконометрика задачи с решением может оказать существенную помощь при подборе и идентификации модели анализируемого временного ряда и статистической оценке его параметров.

Аналитическое выравнивание (сглаживание) временного ряда

К оглавлению…

Одной из важнейших задач исследования экономического временного ряда является выявление основной тенденции изучаемого процесса, выраженной неслучайной составляющей Эконометрика задачи с решением (тренда либо тренда с циклической или (и) сезонной компонентой).

Для решения этой задачи вначале необходимо выбрать вид функции Эконометрика задачи с решением Часто используются следующие функции:

Эконометрика задачи с решением

При выборе соответствующей функции Эконометрика задачи с решением используют содержательный анализ (который может установить характер динамики процесса), а также визуальные наблюдения (на основе графического изображения временного ряда). Из двух функций предпочтение обычно отдается той, при которой меньше сумма квадратов отклонений фактических данных от расчетных на основе этих функций. Следует заметить, что для любого ряда из Эконометрика задачи с решением точек можно подобрать полином (Эконометрика задачи с решением-1)-й степени, проходящий через все точки, и соответственно с минимальной ( нулевой ) суммой квадратов отклонений, однако в этом случае не следует говорить о выделении основной тенденции, учитывая случайный характер этих точек. Поэтому при прочих равных условиях предпочтение следует отдавать более простым функциям.

При использовании метола наименьших квадратов для выявления основной тенденции значения временного ряда Эконометрика задачи с решением рассматриваются как зависимая переменная, а время Эконометрика задачи с решением — как объясняющая:

Эконометрика задачи с решением

где Эконометрика задачи с решением — возмущения, удовлетворяющие основным предпосылкам регрессионного анализа, т. е. представляющие независимые и одинаково распределенные случайные величины, распределение которых предполагаем нормальным.

Для линейной функции согласно методу наименьших квадратов параметры прямой Эконометрика задачи с решением находятся из системы нормальных уравнений

Эконометрика задачи с решением

Задача №3.2.

По данным табл. 3.1 найти уравнение неслучайной составляющей (тренда) для временного ряда у, полагая тренд линейным.

Решение:

Вначале вычислим необходимые суммы:

Эконометрика задачи с решением

Система нормальных уравнений имеет вид:

Эконометрика задачи с решением

Решая эту систему, находим уравнение тренда:

Эконометрика задачи с решением

Это значит, что спрос (см. рис 3.1) ежегодно увеличивается в среднем на 26,5 ед.

Уравнение регрессии с учётом зависимостей (1.7) — (1.10) и (3.7) можно представить в виде:

Эконометрика задачи с решением
Эконометрика задачи с решением

Проверим значимость полученного уравнения тренда по Эконометрика задачи с решением-критерию на 5%-ном уровне значимости. Вначале подставим в формулу (1.29) соотношения из (3.8) и вычислим:

а) сумму квадратов, обусловленную регрессией

Эконометрика задачи с решением

б) общую сумму квадратов отклонений зависимой переменной от средней

Эконометрика задачи с решением

в) остаточную сумму квадратов, характеризующую влияние неучтённых факторов

Эконометрика задачи с решением

Затем найдем по формуле (1.30) при Эконометрика задачи с решением значение статистики:

Эконометрика задачи с решением

По таблице значений критерия Фишера-Снсдекора определяем Эконометрика задачи с решением.

Так как Эконометрика задачи с решением, то условие неравенства (1.31) выполняется и уравнение тренда значимо.

Другим методом выравнивания (сглаживания) временного ряда является метод скользящих средних. Он основан на переходе от начальных значений членов ряда к их средним значениям на интервале времени, длина которого определена заранее. При что и сам выбранный интервал времени «скользит» вдоль ряда.

Получаемый таким образом ряд скользящих средних ведет себя более гладко, чем исходный ряд, из-за усреднения отклонений ряда.

Действительно, если разброс значений члена временного ряда Эконометрика задачи с решением, около своего среднего значения Эконометрика задачи с решением характеризуется дисперсией Эконометрика задачи с решением, то разброс-средней из Эконометрика задачи с решением членов временного ряда Эконометрика задачи с решением около того же значения а будет характеризоваться существенно меньшей величиной дисперсии, равной Эконометрика задачи с решением. Для усреднения могут быть использованы средняя арифметическая (простая и с некоторыми весами), медиана и др

Задача №3.3.

Провести сглаживание временного ряда Эконометрика задачи с решением по данным табл 3.1 методом скользящих средних, используя простую среднюю арифметическую с интервалом сглаживания Эконометрика задачи с решением года.

Решение:

Скользящие средние вычисляем по формуле:

Эконометрика задачи с решением

При Эконометрика задачи с решением получим Эконометрика задачи с решением.

Для Эконометрика задачи с решением находим

Эконометрика задачи с решением

Для Эконометрика задачи с решением находим

Эконометрика задачи с решением

В результате получим сглаженный ряд, представленный в табл. 3.3.

Эконометрика задачи с решением

На рис. 3.1 этот ряд изображен графически в виде пунктирной линии

Прогнозирование на основе моделей временных рядов

К оглавлению…

Одна из нажнейших задач (этапов) анализа временного (динамического) ряда состоит в прогнозировании на его основе развития изучаемого процесса. При этом исходят из того, что тенденция развития, установленная в прошлом, может быть распространена (экстраполирована) на будущий период.

Задача ставится так: имеется временной ряд Эконометрика задачи с решением и требуется дать прогноз уровня этого ряда на момент Эконометрика задачи с решением. Выше, в § 1.5, 2.2, 2.4, мы рассматривали точечный и интервальный прогноз значений зависимой переменной Эконометрика задачи с решением, т. е определение точечных и интервальных оценок Эконометрика задачи с решением, полученных для парной и множественной регрессий для значений объясняющих переменных Эконометрика задачи с решением, расположенных вне пределов обследованного диапазона значений Эконометрика задачи с решением.

Если рассматривать временной ряд как регрессионную модель изучаемого признака по переменной «время», то к нему могут быть применены рассмотренные выше методы анализа. Следует, однако, вспомнить, что одна из основных предпосылок регрессионного анализа состоит в том, что возмущения Эконометрика задачи с решением представляют собой независимые случайные величины с математическим ожиданием (средним значением), равным нулю. А при работе с временными рядами такое допущение оказывается во многих случаях неверным. В данной главе мы полагаем, что возмущения Эконометрика задачи с решением удовлетворяют предпосылкам регрессионного анализа, т. е. условиям нормальной классической регрессионной модели.

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Задача №3.4.

По данным табл. 3.1 дать точечную и с надежностью 0,95 интервальную оценки прогноза среднего и индивидуального значений спроса на некоторый товар на момент Эконометрика задачи с решением (девятый год). (Полагаем, что тренд линейный, а возмущения удовлетворяют требованиям классической модели).

Решение:

Выше, в примере 3.2, получено уравнение регрессии Эконометрика задачи с решением т. е. ежегодно спрос на товар увеличивался в среднем на 26,5 ед. Надо оценить условное математическое ожидание Эконометрика задачи с решением.

Оценкой Эконометрика задачи с решением является групповая средняя

Эконометрика задачи с решением

Найдем оценку Эконометрика задачи с решением дисперсии Эконометрика задачи с решением

Эконометрика задачи с решением

Находим табличное значение Эконометрика задачи с решением. Подставив найденные значения в (1.23) определим интервальную оценку прогноза среднего значения спроса

Эконометрика задачи с решением

или

Эконометрика задачи с решением

Для нахождения интервальной оценки прогноза индивидуального значения Эконометрика задачи с решением по формуле (1.24) вычислим дисперсию его оценки:

Эконометрика задачи с решением
Эконометрика задачи с решением

Интервальная оценка для Эконометрика задачи с решением:

Эконометрика задачи с решением

или

Эконометрика задачи с решением

Итак, с надежностью 0,95 среднее значение спроса на товар на девятый год будет заключено от 345,9 до 468,9 (ед ), а ею индивидуальное значение -от 307,3 до 507,5 (ед ).

Как правило, прогноз развития изучаемого процесса на основе экстраполяции временных рядов оказывается эффективным, r рамка, краткосрочного или среднесрочного периода прогнозирования.

Автокорреляция остатков временного ряда

К оглавлению…

При моделировании реальных экономических процессов част возникают ситуации, в которых условия классической линейной модели регрессии оказываются нарушенными В частности, могут не выполняться предпосылки 3 и 4 регрессионного анализа (см. § 1.4) о том, что случайные возмущения (ошибки) модели имеют постоянную дисперсию и не коррелированны между собой. Так, например, при рассмотрении зависимости расходов на потребление от уровня доходов семей можно ожидать, что в более обеспеченных семьях вариация расходов выше, чем в малообеспеченных, т. е. дисперсии возмущений не одинаковы.

При анализе временных рядов мы часто сталкиваемся с ситуацией, когда наблюдаемые в данный момент значения зависимой переменной коррелированны с их значениями в предыдущие моменты времени, т. е. имеется корреляция между возмущениями в разные моменты времени.

Рассмотрим регрессионную модель временного (динамического) ряда. Упорядоченность наблюдений оказывается существенной в том случае, если прослеживается механизм влияния результатов предыдущих наблюдений на результаты последующих. Математически это выражается в том, что случайные величины Эконометрика задачи с решением в регрессионной модели не оказываются независимыми, в частности, условие Эконометрика задачи с решением не выполняется Такие модели называются моделями с наличием автокорреляции (сериальной корреляции). Рассмотрим в качестве примера /6 / временной ряд Эконометрика задачи с решением — ряд последовательных значений курса ценной бумаги Эконометрика задачи с решением, наблюдаемых в моменты времени 1,…. 100. Результаты наблюдений графически изображены на рис. 3.2. Из рисунка видно, что курс ценной бумаги Эконометрика задачи с решением имеет тенденцию к росту.

Эконометрика задачи с решением

Оценивая методом наименьших квадратов зависимость курса от времени (номера наблюдений), получим следующие результаты:

Эконометрика задачи с решением

Естественно предположить, что результаты предыдущих торгов оказывают влияние на результаты последующих: если в какой-то момент курс окажется завышенным по сравнению с реальным, то скорее всего он будет завышен на следующих торгах, т. е. имеет место положительная автокорреляция. Графически (см. рис 3.2) положительная автокорреляция выражается в чередовании тех зон, где наблюдаемые значения оказываются выше объясненных (лежащих на прямой Эконометрика задачи с решением), с зонами, где наблюдаемые значения ниже.

Отрицательная автокорреляция встречается в тех случаях, когда завышенные значения в предыдущих наблюдениях приводят к занижению их в наблюдениях последующих (наблюдения действуют друг на друга по принципу «маятника»). Графически это выражается в том, что результаты наблюдений Эконометрика задачи с решением и Эконометрика задачи с решением оказываются по разные стороны относительно прямой Эконометрика задачи с решением.

Метод наименьших квадратов при наличии коррелированности ошибок регрессии даст несмещенные и состоятельные (разумеется, неэффективные) оценки коэффициентов регрессии, однако, оценки их дисперсий несостоятельные и смешенные (как правило, в сторону занижения), т. е. результаты тестирования гипотез оказываются недостоверными.

Как правило, если автокорреляция присутствует, то наибольшее влияние на последующее наблюдение оказывает результат предыдущего наблюдения Так, например, если рассматривается ряд значений курса какой-либо ценной бумаги, то, очевидно, именно результат последних торгов служит основой для формирования курса на следующих торгах. Ситуация, когда на значение наблюдения у, оказывает основное влияние не результат Эконометрика задачи с решением, а более ранние значения, является достаточно редкой Чаще всего при этом влияние носит циклический характер, например, если наблюдения осуществляются ежедневно и имеют недельный цикл (например, сбор кинотеатра). В этом случае можно составить ряды наблюдений отдельно по субботам, воскресеньям и так далее, после чего наиболее сильная корреляция будет наблюдаться между соседними членами.

Таким образом, отсутствие корреляции между соседними членами позволяет считать, что корреляция отсутствует в целом, и обычный метод наименьших квадратов дает адекватные и эффективные результаты.

Наличие автокорреляции между соседними членами можно определить с помощью теста Дарбина- Уотсона. Этот критерий (тест) Дарбина- Уотсона основан на простой идее: если корреляция ошибок регрессии не равна нулю, то она присутствует и в остатках регрессии Эконометрика задачи с решением получающихся в результате применения обычного метода наименьших квадратов. В тесте Дарбина -Уотсона для оценки корреляции используется статистика вида

Эконометрика задачи с решением

В случае отсутствия автокорреляции выборочный коэффициент Эконометрика задачи с решением будет близким к нулю, а значение статистики Эконометрика задачи с решением — близко к двум, близость наблюдаемого значения к нулю должна означать наличие положительной автокорреляции, к четырем — отрицательной..

Тест Дарбина-Уотсона имеет один существенный недостаток -распределение статистики Эконометрика задачи с решением зависит не только от числа наблюдений, но и от значений регрессоров Эконометрика задачи с решением Это означает, что тест Дарбина -Уотсона, вообще говоря, не представляет собой статистический критерий, в том смысле, что нельзя указать критическую область, которая позволяла бы отвергнуть гипотезу об отсутствии корреляции, если бы оказалось, что в эту область попало наблюдаемое значение статистики Эконометрика задачи с решением.

Однако существуют два пороговых значения Эконометрика задачи с решением и Эконометрика задачи с решением зависящие только от числа наблюдений, числа регрессоров и уровня значимости, такие, что выполняются следующие условия.

Если фактически наблюдаемое значение Эконометрика задачи с решением:

а) Эконометрика задачи с решением то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отвергается (принимается);

б) Эконометрика задачи с решением, то вопрос об отвержении или принятии гипотезы остается открытым (область неопределенности критерия);

в) Эконометрика задачи с решением, то принимается альтернативная гипотеза о положительной автокорреляции;

г) Эконометрика задачи с решением, то принимается альтернативная гипотеза об отрицательной автокорреляции

Графическая иллюстрация теста Дарбина-Уотсона приведена на рис. 3.3:

Эконометрика задачи с решением

Для Эконометрика задачи с решением-статистики найдены верхняя Эконометрика задачи с решением и нижняя Эконометрика задачи с решением границы на уровнях значимости

Эконометрика задачи с решением

Недостатками критерия Дарбина -Уотсона является наличие области неопределенности критерия и то, что критические значения Эконометрика задачи с решением-статистики определены для объемов выборки не менее 15. Тем не менее, тест Дарбина -Уотсона является наиболее употребляемым.

Задача №3.5.

Выявить на уровне значимости 0,05 наличие втокорреляции возмущений для временного ряда_у, по данным табл. 3.1.

Решение:

В примере 3.2 получено уравнение тренда

Эконометрика задачи с решением

В табл. 3.4 приведен расчет данных, необходимых для вычисления ^-статистики.

Эконометрика задачи с решением

Находим суммы

Эконометрика задачи с решением

подставляем в формулу (3.9) и вычисляем значение статистики

Эконометрика задачи с решением

По таблице значений критерия Дарбина — Уотсона при Эконометрика задачи с решением определим критические значения: Эконометрика задачи с решением. Фактически найденное Эконометрика задачи с решением находится в пределах от Эконометрика задачи с решением до Эконометрика задачи с решением. При Эконометрика задачи с решением критических значений Эконометрика задачи с решением -статистики в таблице нет, но судя по тенденции их изменений с уменьшением Эконометрика задачи с решением, можно предполагать, что найденное значение останется в игтервале Эконометрика задачи с решением.

Для рассматриваемого временного ряда спроса на уровне значимости 0,05 гипотеза об отсутствии автокорреляции возмущений принимается.