Эконометрика: задачи с решением

Прежде чем изучать готовые решения задач по эконометрике, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила краткую теорию по предмету « эконометрика » и задачи с решением и примерами.

Эта страница подготовлена для школьников и студентов.

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Парный регрессионный анализ. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости

К оглавлению…

Из математики известно понятие функциональной зависимости (связи), когда каждому значению одной переменной соответствует вполне определенное значение другой (например, площадь круга в зависимости от радиуса и т.д.).

В экономике в большинстве случаев между переменными величинами существуют зависимости, когда каждому значению одной переменной соответствует не какое-то определенное, а множества возможных значений другой переменной Иначе говоря, каждому значению одной переменной соответствует определенное (условное) распределение другой переменной. Такая зависимость получила название статистической (или стохастической, вероятностной).

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет эконометрика

Возникновение понятия статистической связи обуславливается тем, что зависимая переменная подвержена влиянию множества неконтролируемых или неучтенных факторов, а таюке тем, что измерение значений переменных сопровождается случайными ошибками. Примером статистической связи является зависимость урожайности от количества внесенных удобрений, производительности труда на предприятии от его энерговооруженности и т.п.

В силу неоднозначности статистической зависимости между и представляет интерес усредненная по схема зависимости, т. е. закономерность в измерении условного математического ожидания (математического ожидания случайной переменной , вычисленного в предположении, что переменная приняла значение ) в зависимости от .

Корреляционной зависимостью между двумя переменными называется функциональная зависимость между значениями одной из них и условным математическим ожиданием другой.

Корреляционная зависимость может быть представлена в виде

где

В регрессионном анализе рассматривается односторонняя зависимость случайной переменной от одной (или нескольких) неслучайной независимой переменной . Такая зависимость от (иногда ее называют регрессионной) может быть представлена в виде модельного уравнения регрессии по (1.1). При этом -зависимую переменную называют также функцией отклика объясняемой, выходной. результирухпцей. эндогенной переменной, результативным признаком, а независимую переменную — объясняющей, входной. предскашлаюгцей, предикторной, экзогенной переменной, фактором, регрессором, факторным признаком.

Уравнение (1.1) называется модельным уравнением регрессии (или просто уравнением регрессии), а функция — модельной функцией регрессии (или просто функцией регрессии), а ее график — модельной линией регрессии (или просто линией регрессии).

Для точного описания уравнения регрессии необходимо знать условный закон распределения зависимой переменной при условии, что переменная примет значение , т.е. . На практике такую информацию получить, как правило, не удается, так как обычно исследователь располагает лишь выборкой пар значений ограниченного объема . В этом случае речь может идти об оценке {приближенном выражении, аппроксимации) по выборке функции регрессии. Такой оценкой является выборочная линия (кривая) регрессии

где —условная (групповая) средняя переменной при фиксированном значении переменной ;

— параметры кривой.

Уравнение (1.2) называется выборочным уравнением регрессии

При правильно определенной аппроксимирующей функции с увеличением объема выборки она будет сходиться по вероятности к функции регрессии

Линейная парная регрессия

К оглавлению…

Рассмотрим в качестве примера зависимость между сменной добычей угля на одного рабочего (в тоннал) и мощностью пласта (в метрах) по следующим (условным) данным, характеризующим процесс добычи угля в = 10 шахтах.

Изобразим полученную зависимость графически точками координатной плоскости (рис. 1.1). Такое изображение статистической зависимости называется полем корреляции.

По расположению эмпирических точек можно предполагать наличие линейной корреляционной (регрессионной) зависимости между переменными и . Поэтому уравнение регрессии (1.2) будем искать в виде линейного уравнения

Найдем формулы расчета неизвестных параметров уравнения линейной регрессии. Согласно методу наименьших квадратов неизвестные параметры и выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений эмпирических значений от значений найденных по уравнению регрессии (3.3), была минимальной:

На основании необходимого условия экстремума функции двух переменных приравниваем к нулю ее частные производные, т. е.

откуда после преобразований получим систему нормальных уравнений для определения параметров линейной регрессии

Разделив обе части уравнений (1.5) на , получим систему нормальных уравнении в виде:

где соответствующие средние определяются по формулам:

Решая систему (1.6), найдем

Коэффициент называется выборочным коэффициентом регрессии (или просто коэффициентом регрессии) по

Коэффициент регрессии по показывает, на сколько единиц в среднем изменяется переменная при увеличении переменной на одну единицу.

выборочная дисперсия переменной .

выборочная ковариация.

Уравнение регрессии примет вид:

Задача №1.1.

По данным табл. 1.1 найти уравнение регрессии по .

Решение:

Вычислим все необходимые суммы:

Затем находим параметры уравнения регрессии:

Уравнение регрессии по имеет вид:

Из полученного уравнения регрессии (см. рис. I 1) следует, что при увеличении мощности пласта на 1 м добыча угля на одного рабочего увеличивается в среднем на 1,12т .

Коэффициент корреляции

К оглавлению…

Оценим тесноту корреляционной зависимости. Рассмотрим случай линейной зависимости вида (1.10):

На первый взгляд, подходящим измерителем тесноты связи от является коэффициент регрессии , так как он показывает, на сколько единиц в среднем изменяется , когда увеличивается на одну единицу. Однако зависит от единиц измерения переменных Например, в полученной ранее зависимости он увеличится в 100 раз, если мощность пласта выразить не в метрах, а в сантиметрах. Поэтому для выбора показателя тесноты связи нужна такая система единиц измерения, в которой данные по различным характеристикам оказались бы сравнимы между собой. Представим уравнение (1.10) в эквивалентном виде:

В этом выражении величина показывает на сколько величин изменится в среднем , когда увеличится на одно .

Величина является показателем тесноты связи и называется выборочным коэффициентом корреляции (или просто коэффициентом корреляции). Две корреляционные зависимости переменной от приведены на рис. 1.2. Очевидно, что в случае а) зависимость между переменными менее тесная и коэффициент корреляции должен быть меньше, чем в случае б), так как точки корреляционного поля а) дальше отстоят от линии регрессии, чем точки поля б).

Если то корреляционная связь между переменными называется прямой, если — обратной. При прямой (обратной) связи увеличение одной из переменных ведет к увеличению (уменьшению) условной (групповой) средней другой. Учитывая (1.9), формулу для представим в виде:

Отметим другие модификации формулы :

Выборочный коэффициент корреляции (при достаточно большом объеме выборки ) обладает следующими свойствами.

  1. Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке [-1;1], т.е. . Чем ближе к единице, тем теснее связь.
  2. При корреляционная связь представляет линейную функциональную зависимость. При этом все наблюдаемые значения располагаются на прямой линии (рис. 1.3 а, 6).
  3. При линейная корреляционная связь отсутствует. При этом линия регрессии параллельна оси (рис. 1.3 в).

Следует отметить, что является непосредственно оценкой генерального коэффициента корреляции между и лишь в случае двумерного нормального закона распределения случайных величин и . В других случаях (когда распределения и отклоняются от нормального, одна из исследуемых величин, например , не является случайной и т.п.) выборочный коэффициент корреляции не следует рассматривать как строгую меру взаимосвязи переменных.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения задач по эконометрике

Задача №1.2.

По данным табл. 1.1 вычислить коэффициент корреляции между переменными и

Решение:

В примере 1.1 были вычислены суммы

Вычислим сумму:

Вычислим коэффициент корреляции:

т. е. связь между переменными достаточно тесная

Основные положения регрессионного анализа. Оценка параметров парной регрессионной модели

К оглавлению…

Рассматриваемая в регрессионном анализе зависимость от может быть представлена в виде молельного уравнения регрессии (1.1), но из-за воздействия неучтенных случайных факторов и причин отдельные наблюдения переменной будут в большей или меньшей мере отклоняться от функции регрессии . В этом случае уравнение взаимосвязи двух переменных может быть представлено в виде:

где — случайная переменная (случайный член), характеризующая отклонение от функции регрессии. Эту переменную будем называть возмущающей или просто возмущением (либо ошибкой). Таким образом, в регрессионной модели зависимая переменная есть некоторая функция с точностью до случайного возмущения .

Рассмотрим линейный регрессионный анализ, для которого функция линейна относительно оцениваемых параметров:

Предположим, что для оценки параметров линейной функции регрессии (1.16) взята выборка, содержащая пар значений переменных , где . В этом случае линейная парная регрессионная модель имеет вид:

Отметим основные предпосылки регрессионного анализа.

  • В модели (1.17) возмущение — (или зависимая переменная есть величина случайная, а объясняющая переменная — величина неслучайная.
  • Математическое ожидание возмущения — равно нулю:

(или математическое ожидание зависимой переменной — равно линейной функции регрессии:

  • Дисперсия возмущения — (или зависимой переменной ) постоянна для любого :

или

условие гомоскедастичности или равноизменчивости возмущения (зависимой переменной)).

  • Возмущения и — (или переменные — и ) не коррелированны:
  • Возмущеннее (или зависимая переменная ) есть нормально распределенная случайная величина.

В этом случае модель (1.17) называется классической нормальной линейной регрессионной моделью.

Для получения уравнения регрессии достаточно предпосылок 1-4. Требование выполнения предпосылки 5 (т. е. рассмотрение «нормальной регрессии») необходимо для оценки точности уравнения регрессии и его параметров.

Оценкой модели (1.17) по выборке является уравнение регрессии

Параметры этого уравнения и определяются на основе метода наименьших квадратов.

Воздействие неучтенных случайных факторов и ошибок наблюдений в модели (1.17) определяется с помощью дисперсии возмущений (ошибок) или остаточной дисперсии . Несмещенной оценкой этой дисперсии является выборочная остаточная дисперсия

где — групповая средняя, найденная по уравнению регрессии; — выборочная оценка возмущения или остаток репрессии.

В знаменателе выражения (1.18) стоит число степеней свободы , так как две степени свободы теряются при определении двух параметров прямой из системы нормальных уравнений (1.5).

Ответ на вопрос, являются ли оценки параметров «наилучшими», дает следующая теорема.

Теорема Гаусса—Маркова. Если регрессионная модель (1.17) удовлетворяет предпосылкам 1 -4 , то оценки и имеют наименьшую дисперсию в классе всех линейных несмещенных оценок. Таким образом, оценки и в определенном смысле являются наиболее эффективными линейными оценками параметров и .

Интервальная оценка функции регрессии и ее параметров

К оглавлению…

Построим доверительный интервал для функции регрессии, т.е. для условного математического ожидания , который с заданной надежностью (доверительной вероятностью) накрывает неизвестное значение .

Найдем дисперсию групповой средней представляющей выборочную оценку . С этой целью уравнение регрессии (1.10) представим в виде:

На рис. 1.4 линия регрессии (1.19) изображена графически. Для произвольного наблюдаемого значения выделены его составляющие: средняя , приращение , образующие расчетное значение и остаток .

Дисперсия групповой средней равна сумме дисперсий двух независимых слагаемых выражения (1.19):

Здесь учтено, что — неслучайная величина, при вынесении которой за знак дисперсии ее необходимо возвести в квадрат.

Дисперсии выборочной средней и параметра находятся по формулам

Оценка дисперсии групповых средних вычисляется по формуле:

Основываясь на предпосылках 1 — 5 регрессионного анализа можно показать, что статистика имеет — распределение Стьюдента с степенями свободы и построить доверительный интервал для условного математического ожидания :

где — стандартная ошибка групповой средней . Из формул (1.22) и (1.23) видно, что величина (длина) доверительного интервала зависит от значения объясняющей переменной : три она минимальна, а по мере удаления от величина доверительного интервала увеличивается (рис. 1.5). Таким образом, прогноз значений (определение неизвестных значений) зависимой переменной по уравнению регрессии оправдан, если значение объясняющей переменной не выходит за диапазон ее значений по выборке (причем тем более точный, чем ближе к ). Другими словами, экстраполяция кривой регрессии, т.е. ее использование вне пределов обследованного диапазона значений объясняющей переменной (даже если она оправдана для рассматриваемой переменной исходя из смысла решаемой задачи) может привести к значительным погрешностям

Определим доверительный интервал для индивидуальных значений зависимой переменной. Построенная доверительная область для (см. рис. 1.5) определяет местоположение модельной линии регрессии (т.е. условного математического ожидания), но не отдельных возможных значений зависимой переменной, которые отклоняются от средней. Поэтому при определении доверительного интервала для индивидуальных значений зависимой переменной необходимо учитывать еще один источник вариации рассеяние вокруг линии регрессии, т.е. в оценку суммарной дисперсии следует включить величину . В результате оценка дисперсии индивидуальных значений при равна

а соответствующий доверительный интервал для прогнозов индивидуальных значений будет определятся по формуле:

Построим доверительный интервал для параметров регрессионной модели, в частности для параметров регрессионной модели и .

При выполнении предпосылки 5 регрессионного анализа статистика имеет нормальный закон распределения, а статистика

имеет -распределение Стьюдента с степенями свободы.

Поэтому интервальная опенка параметра на уровне значимости а имеет вид:

При построении доверительного интервала для параметра снисходят из того, что статистика имеет -распределение с степенями свободы. Поэтому интервальная оценка для на уровне значимости имеет вид :

доверительный интервал выбирается таким образом, чтобы

Возможно эта страница вам будет полезна:

Задачи по эконометрике

Задача №1.3.

По данным табл. 1.1 требуется:

1) оценить сменную среднюю добычу угля на одного рабочего для шахт с мощностью пласта 8 м;

2) найти 95% — ные доверительные интервалы для индивидуального и среднего значений сменной добычи угля на 1 рабочего для таких же шахт;

3) найти с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициента рецессии и дисперсии .

Решение:

Уравнение регрессии по было получено в примере ранее , т.е. при увеличении мощности пласта на 1м добыча угля на одного рабочего увеличивается в среднем на 1,12 т.

  • Оценим условное математическое ожидание . Выборочной оценкой является групповая средняя которую найдем но уравнению регрессии:

Для построения доверительного интервала для необходимо знать дисперсию его оценки, т.е. . Составим вспомогательную таблицу подставив значение в полученное уравнению регрессии.

Подставим из таблицы найденные значения в формулы

Следовательно

По таблице значений -критерия Стьюдента находим . Искомый доверительный интервал имеет вид

Средняя сменная добыча угля на одного рабочего для шахт с мощностью пласта 8м с надежностью 0,95 находится в пределах от 2,77 до 6,03 т. 2. Чтобы построить доверительный интервал для индивидуального значения найдем дисперсию его оценки по формуле:

Искомый доверительный интервал примет вид:

Таким образом, индивидуальная сменная добыча угля на одного рабочего для шахт с мощностью пласта 8м с надежностью 0,95 находится в пределах от 0,57 до 8,23 т.

  • Найдем 95% -ный доверительный интервал для параметра по формуле (1.27)

т. е. с надежностью 0,95 при изменении мощности пласта на 1м суточная выработка будет изменяться на величину, заключенную в интервале от 0,332 до 1,907 (т).

Найдем 95%-ный доверительный интервал для параметра

Учитывая, что , найдем по таблице значений -критерия Пирсона

Подставим найденные значения в формулу для оценки интервала получим:

Таким образом, с надежностью 0,95 дисперсия возмущений заключена в пределах от 1,29 до 10,36, а их стандартное отклонение — от 1,13 до 3,22 (т).

Возможно эта страница вам будет полезна:

Курсовая работа по эконометрике

Оценка значимости уравнения регрессии. Коэффициент детерминации

К оглавлению…

Проверить значимость уравнения регрессии — значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной.

Проверка значимости уравнения регрессии производится на основе дисперсионного анализа.

Согласно основной идее дисперсионного анализа

или

где — общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней; — сумма квадратов, обусловленная регрессией; — остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов

Нетрудно убедиться, что третье слагаемое

Представим полученные соотношения в виде таблицы 1.3

Средние квадраты и представляют собой несмещенные оценки дисперсий зависимой переменной, обусловленных соответственно регрессий или объясняющей переменной и воздействием неучтенных случайных факторов и ошибок; — число оцениваемых параметров уравнения регрессии; — число наблюдений.

Уравнение регрессии значимо на уровне , если фактически наблюдаемое значение статистики

Задача №1.4.

По данным табл. 1.1 оценить на уровне значимость уравнения регрессии по .

Решение:

Ранее, были

Вычислим суммы квадратов для определения компонент дисперсии:

Находим значение — распределения

По таблице значений -распределения Фишера определяем табличное значение

Так как

то уравнение регрессии значимо.

Одной из наиболее эффективных оценок адекватности регрессионной модели, мерой качества уравнения регрессии, (или, как говорят, мерой качества подгонки регрессионной модели к найденным значениям ), характеристикой прогностической анализируемой регрессионной модели является коэффициент детерминации, определяемый по формуле

Величина показывает, какая часть (доля) вариации зависимой переменной обусловлена вариацией объясняющей переменной.

Так как , то Чем ближе к единице, тем лучше регрессия аппроксимирует эмпирические данные, тем теснее наблюдения примыкают к линии регрессии. Если , то эмпирические точки лежат на линии регрессии (см. рис. 1.3 а.б) и между переменными и существует линейная функциональная зависимость. Если то (вариация зависимой переменной полностью обусловлена воздействием неучтенных в модели переменных, и линия регрессии параллельна оси абсцисс (рис. 1.3 в).

Заметим, что коэффициент имеет смысл рассматривать только при наличии свободного члена в уравнении регрессии, так как лишь в этом случае, как уже отмечалось, верно, равенство (1.29), а следовательно, и соотношение (1.32).

Если известен коэффициент детерминации , то критерий значимости (1.30) уравнения регрессии или самого коэффициента детерминация может быть записан в виде

В случае парной линейной регрессионной модели коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции, т. е. .

Задача №1.5.

По данным табл. 1.1 найти коэффициент детерминации и пояснить его смысл.

Решение:

В примере 1.4 было получено . Находим

Коэффициент детерминации можно было вычислить и иначе, если учесть, что в примере 1.2 был вычислен коэффициент корреляции . Так как для парной линейной регрессионной модели , то .

Это означает, что вариация зависимой переменной — сменной добычи угля на одного рабочего — на 62% объясняется изменчивостью объясняющей переменной — мощностью пласта.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Заказать работу по эконометрике

Множественный регрессионный анализ. Классическая нормальная линейная модель множественной регрессии

К оглавлению…

Экономические явления, как правило, определяются большим числом одновременно и совокупно действующих факторов. В связи с этим часто возникает задача исследования зависимости одной зависимой переменной от нескольких объясняющих переменных . Эта задача решается с помощью множественного регрессионного анализа.

Обозначим -е наблюдение зависимой переменной а объясняющих переменных — . Тогда модель множественной линейной регрессии можно представить в виде:

где

— удовлетворяет приведенным выше (см. Главу 1) предпосылкам 1-5.

Включение в регрессионную модель новых объясняющих переменных приводит к целесообразности использования матричных обозначений. Магричное описание регрессии облегчает как теоретические концепции анализа, так и необходимые расчетные процедуры.

Введем обозначения:

— матрица-столбец, или вектор значений зависимой переменной размерности ;

матрица значений объясняющих переменных, или матрица плана размерности (в матрицу дополнительно введен столбец, все элементы которого равны 1, т.е. условно полагается, что в модели свободный член умножается на фиктивную переменную принимающую значение 1 дня всех ;

— матрица-столбец, или вектор параметров размерности ,

— матрица-столбец, или вектор, возмущений (случайных ошибок, остатков) размера .

Тогда в матричной форме модель примет вид:

Оценкой этой модели по выборке является уравнение

где

Оценка параметров классической регрессионной модели методом наименьших квадратов

К оглавлению…

Для оценки вектора неизвестных параметров применим метод наименьших квадратов.

Условие минимизации остаточной суммы квадратов запишется в виде:

На основании необходимого условия экстремума функции нескольких переменных необходимо приравнять нулю частные производные по этим переменным или в матричной форме— вектор частных производных

После вычисления вектора частных производных приравняем его 0 — , откуда получаем систему нормальных уравнений в матричной форме для определения вектора :

Для решения этого матричного уравнения относительно вектора оценок параметров введём еще одну предпосылку о том, что матрица является неособенной, т. е. ее определитель не равен нулю. Следовательно, ранг матрицы равен ее порядку, т.е. но , значит, (ранг матрицы плана равен числу ее столбцов). В соответствии с этим сформулируем упомянутую выше предпосылку множественного регрессионного анализа в следующем виде:

  • Векторы значений объясняющих переменных, или столбцы матрицы плана , должны быть линейно независимыми, т. е. ранг матрицы -максимальный .

Кроме того, полагают, что число имеющихся наблюдений (значений) каждой из объясняющих и зависимой переменных превосходит ранг-матрицы , т. е. или , ибо в противном случае в принципе невозможно получение сколько-нибудь надежных статистических выводов.

В новых терминах приведенные ранее предпосылки для множественного регрессионного анализа могут быть записаны следующим образом:

  • В модели (2.2) — случайный вектор, неслучайная (детерминированная) матрица.
  • где — нулевой вектор размера .
  • где -единичная матрица размерности .
  • — нормально распределённый случайный вектор

Модель (2.2), удовлетворяющая приведенным предпосылкам 1-6, называется классической нормальной линейной моделью множественной регрессии, если же среди приведенных не выполняется лишь предпосылка о нормальном законе распределения вектора возмущений с , то модель называется просто классической линейной моделью множественной рефессии.

Решением уравнения (2.4) является вектор

где — матрица, обратная матрице , — матрица-столбец, или вектор ее свободных членов.

Рассмотренная выше для парной регрессионной модели теорема Гаусса — Маркова оказывается верной для модели (2.2) множественной регрессии и может быть сформулирована в следующем виде

При выполнении предпосылок множественного регрессионного анализа оценка метода наименьших квадратов является наиболее эффективной, т е обладает наименьшей дисперсией в классе линейных несмещенных оценок.

Зная вектор , выборочное уравнение множественной регрессии представим в виде:

где групповая (условная) средняя переменной при заданном векторе значений объясняющей переменной

Задача №2.1.

Имеются следующие данные о сменной добыче угля на одного рабочего (т), мощности пласта (м) и уровне механизации работ (%), характеризующие процесс добычи угля в 10 шахтах. Предполагая, что между переменными , и существует линейная корреляционная зависимость, найти ее аналитическое выражение (уравнение регрессии по и ).

Решение:

Обозначим

(в матрицу вводится дополнительный столбец чисел, состоящий из единиц).

Для удобства вычислений составляем вспомогательную таблицу.

Вычислим матрицы:

Умножим матрицу на вектор и получим

Уравнение множественной регрессии имеет вид:

Оно показывает, что при увеличении только мощности пласта (при неизменном ) на 1м добыча угля на одного рабочего увеличивается в среднем на 0,660 т, а при увеличении только уровня механизации работ (при неизменной ) — в среднем на 0,90 т.

Добавление в регрессионную модель новой объясняющей переменной изменило коэффициент регрессии ( по ) с 1,12 для парной регрессии (см. пример 1.1) до 0,66 — для множественной регрессии. В случае парной регрессии учитывает воздействие на не только переменной но и косвенно корреляционно связанной с ней переменной .

Возможно эта страница вам будет полезна:

Лабораторная работа по эконометрике

Ковариационная матрица и ее выборочная оценка

К оглавлению…

Вариации оценок параметров определяют точность уравнения множественной регрессии. Для их измерения в многомерном регрессионном анализе рассматривают так называемую ковариационную матрицу вектора оценок параметров , являющуюся матричным аналогом дисперсии одной переменной

где элементы — ковариации (или корреляционные моменты) оценок параметров и . Ковариация двух переменных определяется как математическое ожидание произведения отклонений этих переменных от их математических ожиданий:

Учитывая, что оценки , полученные методом наименьших квадратов, являются несмещенными оценками параметров , т. е. выражение примет вид

Ковариация характеризует как степень рассеяния значений двух переменных относительно их математических ожиданий, так и взаимосвязь этих переменных.

Определение доверительных интервалов для коэффициентов и функции регрессии

К оглавлению…

Доверительный интервал для параметров регрессионной модели

Оценка дисперсии коэффициента регрессии определяется по формуле:

где — несмещенная оценка параметра ;

— диагональный элемент матрицы Среднее квадратическое отклонение (стандартная ошибка) коэффициента регрессии вычисляется по формуле:

Учитывая, что статистика имеет -распределение Стьюдента с степенями свободы, можно проверить значимость коэффициента регрессии . Гипотеза о равенстве параметра нулю отвергается, если , где табличное значение -критерия Стьюдента, определенное на уровне значимости при числе степеней свободы , т. е. отличается от нуля на уровне значимости .

В обшей постановке гипотеза о равенстве параметра заданному числу отвергается, если

Доверительный интервал для параметра имеет вид.

  • Доверительный интервал для функции репрессии или для условного математического ожидания зависимой переменной

где — групповая средняя, определяемая по уравнению регрессии;

— ее стандартная ошибка, определяемая по формуле:

  • Доверительный интервал для индивидуальных значений зависимой переменной

где

  • Доверительный интервал для параметра .

В множественной регрессии он строится аналогично парной модели с соответствующим изменением числа степеней свободы с критерия

Возможно эта страница вам будет полезна:

Помощь по эконометрике

Задача №2.2

По данным примера 2.1 оценить сменную добычу угля на одного рабочего для шахт с мощностью пласта 8 м и уровнем механизации работ 6%; наши 95%-ные доверительные интервалы для индивидуального и среднего значений сменной добычи угля на одного рабочего для таких же шахт. Проверить значимость коэффициентов регрессии и построить для них 95%-ные доверительные интервалы. Найти интервачьную оценку для дисперсии .

Решение:

В примере 2.1 уравнение регрессии получено в виде

По условию надо оценить , где . Выборочной оценкой является групповая средняя, которую найдем по уравнению регрессии:

Для построения доверительного инггерала для воспользуемся формулой (2.11). Вначале найдем дисперсию . При ей вычислении используем две последних строки табл. 2.2 (групповые средние в них определяются по полученному уравнению регрессии).

Находим

Вычисляем

По таблице значений — критерия Стьюдента при числе степеней свободы

находим . Следовательно, доверительный интервал для равен

Итак, с надежностью 0,95 средняя сменная добыча угля на одного рабочего для шахт с мощностью пласта 8 м и уровнем механизации работ 6% находится в пределах от 4,27 до 7,29 т.

Сравнивая новый доверительный интервал для функции регрессии , полученный с учетом двух объясняющих переменных, с аналогичным интервалом с учетом одной объясняющей переменной (см пример 1.3), можно заметить некоторое уменьшение его величины.

Это связано с тем, что включение в модель новой объясняющей переменной позволяет несколько повысить точность модели за счет увеличения взаимосвязи зависимой и объясняющей переменных.

Найдем доверительный интервал для индивидуального значения при

Вычислим

Итак, с надежностью 0,95 индивидуальное значение сменной добычи угля в шахтах с мощностью пласта 8 м и уровнем механизации работ 6% находится в пределах от 2,80 до 8,76 (т).

Проверим значимость коэффициентов регрессии и . Для стандартная ошибка равна

Так как

тo коэффициент значим.

Аналогично для стандартная ошибка, равна

т. е. коэффициент значим.

Доверительный интервал коэффициента регрессии имеет вид;

Доверительный интервал коэффициента регрессии имеет вид:

Итак, с надежностью 0,95 за счет изменения на 1 м мощности пласта (при неизменном ) сменная добыча угля на одного рабочего будет изменяться в пределах от 0,15 до 1,17 (т), а за счёт изменения на 1% механизации работ (при неизменном ) значения будут изменяться в пределах от 0,27 до 1,53 (т).

Найдем 95%-ный доверительный интервал для параметра . Учитывая, что

степени свободы найдем по таблице значений критерия Пирсона

С помощью формулы (2.14) находим интервал

Таким образом, с надежностью 0,95 дисперсия возмущений заключена в пределах от 0,738 до 6,99, а их стандартное отклонение — от 0,859 до 2,64(т).

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по эконометрике в Excel

Оценка значимости множественной регрессии. Коэффициенты детерминации

К оглавлению…

В модели множественной регрессии, как и в случае парной регрессионной модели, общая вариация — сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней может быть разложена на две составляющие:

где — соответственно сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией, и остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов. Они вычисляются по следующим формулам:

Уравнение множественной регрессии значимо (иначе — гипотеза о равенстве нулю параметров регрессионной модели, т. е.

отвергается), если

где — табличное значение -критерия Фишера — Снелекора.

Коэффициент детерминации является оценкой адекватности модели, мерой качества уравнения регрессии, характеристикой его прогностической силы Множественный коэффициент детерминации определяется по формулам;

Величина характеризует долю вариации зависимой переменной, обусловленной регрессией или изменчивостью объясняющих переменных; чем ближе к единице, тем лучше регрессия описывает зависимость между объясняющими и зависимой переменными.

Вместе с тем использование только одного коэффициента детерминации для выбора наилучшего уравнения регрессии может оказаться недостаточным. Недостатком коэффициента детерминации является то, что он, вообще говоря, увеличивается при добавлении новых объясняющих переменных, хотя это и не обязательно означает улучшение качества регрессионной модели. На практике встречаются случаи, когда плохо определенная модель регрессии может дать сравнительно высокий коэффициент .

Поэтому предпочтительнее использовать скорректированный (адаптированный, поправленный) коэффициент детерминации определяемый по формулам:

Из формул следует, что чем больше число объясняющих переменных , тем меньше по сравнению с . В отличие от скорректированный коэффициент может уменьшаться при введении в модель новых объясняющих переменных, не оказывающих существенного влияния на зависимую переменную. Однако даже увеличение скоррекгированного коэффициента детерминации при введении в модель новой объясняющей переменной не всегда получается, что ее коэффициент регрессии значим (это происходит, как можно показать, только в случае, если соответствующее значение -статистики больше единицы (по абсолютной величине), т. е. . Другими словами, увеличение еще не означает улучшения качества регрессионной модели.

Если известен коэффициент детерминации , то критерий значимости уравнения регрессии может быть записан в виде:

где , т. к. в уравнении множественной регрессии вместе со свободным членом оценивается параметров

Возможно эта страница вам будет полезна:

Системы эконометрических уравнений

Задача №2.3.

По данным примера 2.1 определить множественный коэффициент детерминации и проверить значимость полученного уравнения регрессии по и на уровне .

Решение:

Вычислим произведения векторов (см. пример 2.1):

По формуле (2 18) определим множественный коэффициент детерминации

Коэффициент детерминации свидетельствует о том, что вариация исследуемой зависимой переменной У — сменной добычи угля на одного рабочего на 69,1% объясняется изменчивостью включенных в модель объясняющих переменных— мощности пласта и уровня механизации работ .

Зная , проверим значимость уравнения регрессии. Вычислим фактическое значение критерия:

Оно больше табличного , определенного на уровне значимости при степенях свободы, т. е. уравнение регрессии значимо, следовательно, исследуемая зависимая переменная достаточно хорошо описывается включенными в регрессионную модель переменными и .

Временные ряды и прогнозирование. Общие сведения о временных рядах и задачах их анализа

К оглавлению…

Под временным рядом (динамическим рядом, или рядом динамики) в экономике подразумевается последовательность наблюдений некоторого признака (случайной величины) в последовательные моменты времени. Отдельные наблюдения называются уровнями ряда, которые будем обозначать , где — число уровней.

В табл. 3.1 приведены данные, отражающие спрос на некоторый товар за восьмилетний период (усл. ед.), т. е. временной ряд спроса .

На рис. 3.1 временной ряд изображен графически ломаной линией.

Методы исследования моделей, основанных на данных пространственных выборок и временных рядов, вообще говоря, отличаются Объясняется это Tev что в отличие от пространственных выборок наблюдения во временных ряда как правило, нельзя считать независимыми.

При анализе точности этих моделей и определении интервальных ошибок прогноза на их основе, будем полагать, что рассматриваемые в главе регрессионные модели временных рядов удовлетворяют условиям классической модели.

В общем виде при исследовании экономического временного ряда выделяются несколько составляющих:

где — тренд, плавно меняющаяся компонента, описывающая чистое влияние долговременных факторов, т. е. длительную тенденцию изменения признака (например, показатели экономического развития, рост населения, и т. п.);

— сезонная компонента, отражающая повторяемость экономических процессов в течение не очень длительного периода (года, месяца, недели и т. д., например, объем продаж туристических путевок или перевозок авиапассажиров в различные времена года);

— циклическая компонента, отражающая повторяемость экономических процессов в течение длительных периодов (например, влияние волн экономической активности Кондратьева, демографических «ям», циклов солнечной активности и т. п.);

— случайная компонента, отражающая влияние не поддающихся учету и регистрации случайных факторов.

Первые три составляющие (компоненты) и , в отличие от , являются закономерными, неслучайными.

Важнейшей классической задачей при исследовании экономических временных рядов является выявление и статистическая оценка основной тенденции развития изучаемого процесса и отклонений от нее.

Основные этапы анализа временных рядов:

графическое представление и описание поведения временного ряда; выделение и удаление закономерных (неслучайных) составляющих временного ряда (тренда, сезонных и циклических сост авляющих);

сглаживание и фильтрация (удаление низко — или высокочастотных составляющих временного ряда);

исследование случайной составляющей временного ряда, построение и проверка адекватности математической модели для ее описания;

прогнозирование развития изучаемого процесса на основе имеющегося временного ряда;

исследование взаимосвязи между различными временными рядами. Наиболее распространенными методами анализа временных рядов являются корреляционный и спектральный анализ, модели авторегрессии и скользящей средней

Временной ряд рассматривается как одна из реализаций (траекторий) случайного процесса . Вместе с тем следует иметь в виду принципиальные отличия временного ряда от последовательности наблюдений образующих случайную выборку. Во-первых, в отличие от элементов случайной выборки члены временного ряда, как правило, не являются статистически независимыми. Во-вторых, члены временного ряда не являются одинаково распределенными. Выборка рассматривается как одна из реализаций случайной величины .

Стационарные временные ряды и их характеристики. Автокорреляционная функция

К оглавлению…

Важное значение в анализе временных рядов имеют стационарные временные ряды, вероятностные свойства которых не изменяются во времени.

Временной ряд называется строго стационарным (или стационарным в узком смысле), если совместное распределение вероятностей наблюдений такое же, как и наблюдений при любых и . Другими словами, свойства строю стационарных рядов не зависят от момента , т е закон распределения и его числовые характеристики не зависят от . Следовательно, математическое ожидание среднее квадратическое отклонение могут быть оценены по наблюдениям по формулам:

Степень тесноты связи между последовательностями наблюдений временного ряда

(сдвинутых относительно друг друга на единиц, или, как говорят, с лагом ) может быть определена с помощью коэффициента корреляции

Коэффициент измеряет корреляцию между членами одного и того же ряда, поэтому его называют коэффициентом автокорреляции, а зависимость — автокор реляционной функцией. В силу стационарности временного ряда автокорреляционная функция зависит только от лага , причем , т. е. при изучении можно ограничиться рассмотрением только положительных значений .

Статистической оценкой является выборочный коэффициент автокорреляции , определяемый по формуле:

Функция называется выборочной автокорреляционной функцией, а ее график — коррелограимой.

При расчете необходимо учитывать, что с увеличением число пар наблюдений уменьшается, поэтому лаг должен быть таким, чтобы число было достаточным для определения . Обычно принимается .

Для стационарного временного ряда с увеличением лага г взаимосвязь членов временного ряда и ослабевает , и автокорреляционная функция должна убывать по абсолютной величине, а для ее выборочного (эмпирического) аналога , особенно при небольшом числе пар наблюдений , свойство монотонного убывания (по абсолютной величине) при возрастании может нарушаться.

Наряду с автокорреляционной функцией при исследовании стационарных временных рядов рассматриваем частная автокорреляционная функция , где есть частный коэффициент корреляции между членами временного ряда и , т. е. коэффициент корреляции между и при устранении влияния промежуточных (между и ) членов.

Статистической оценкой является выборочная частная автокорреляционная функция , где — выборочный частный коэффициент корреляции Например, выборочный частный коэффициент автокорреляции 1-го порядка между членами временного, ряда и при устранении влияния может быть вычислен по формуле:

где — выборочные коэффициенты автокорреляции между соответственно.

Задача №3.1

По данным табл. 1 для временного ряда у, найти среднее чначение, среднее квадратическое отклонение, коэффициенты автокорреляции (для лагов г=1;2) и частный коэффициент автокорреляции I-го порядка.

Решение:

Среднее значение временного ряда находим по формуле (3.1):

Дисперсию и среднее квадратическое отклонение вычислим, воспользовавшись соотношением:

Найдем коэффициент автокорреляции временного ряда (для лага ), т. е. коэффициент корреляции между последовательностями семи пар наблюдений , представленных в табл. 3.2.

Сначала вычисляем необходимые суммы:

Затем подставим их в формулу:

при

получим:

Коэффициенты автокорреляции для лага между членами ряда и по шести парам наблюдений и между членами ряда и вычисляются аналогично:

Для определения частного коэффициента корреляции 1-го порядка между членами ряда и при исключении влияния найденные значения подставим в формулу:

Знание автокорреляционных функций и может оказать существенную помощь при подборе и идентификации модели анализируемого временного ряда и статистической оценке его параметров.

Аналитическое выравнивание (сглаживание) временного ряда

К оглавлению…

Одной из важнейших задач исследования экономического временного ряда является выявление основной тенденции изучаемого процесса, выраженной неслучайной составляющей (тренда либо тренда с циклической или (и) сезонной компонентой).

Для решения этой задачи вначале необходимо выбрать вид функции Часто используются следующие функции:

При выборе соответствующей функции используют содержательный анализ (который может установить характер динамики процесса), а также визуальные наблюдения (на основе графического изображения временного ряда). Из двух функций предпочтение обычно отдается той, при которой меньше сумма квадратов отклонений фактических данных от расчетных на основе этих функций. Следует заметить, что для любого ряда из точек можно подобрать полином (-1)-й степени, проходящий через все точки, и соответственно с минимальной ( нулевой ) суммой квадратов отклонений, однако в этом случае не следует говорить о выделении основной тенденции, учитывая случайный характер этих точек. Поэтому при прочих равных условиях предпочтение следует отдавать более простым функциям.

При использовании метола наименьших квадратов для выявления основной тенденции значения временного ряда рассматриваются как зависимая переменная, а время — как объясняющая:

где — возмущения, удовлетворяющие основным предпосылкам регрессионного анализа, т. е. представляющие независимые и одинаково распределенные случайные величины, распределение которых предполагаем нормальным.

Для линейной функции согласно методу наименьших квадратов параметры прямой находятся из системы нормальных уравнений

Задача №3.2.

По данным табл. 3.1 найти уравнение неслучайной составляющей (тренда) для временного ряда у, полагая тренд линейным.

Решение:

Вначале вычислим необходимые суммы:

Система нормальных уравнений имеет вид:

Решая эту систему, находим уравнение тренда:

Это значит, что спрос (см. рис 3.1) ежегодно увеличивается в среднем на 26,5 ед.

Уравнение регрессии с учётом зависимостей (1.7) — (1.10) и (3.7) можно представить в виде:

Проверим значимость полученного уравнения тренда по -критерию на 5%-ном уровне значимости. Вначале подставим в формулу (1.29) соотношения из (3.8) и вычислим:

а) сумму квадратов, обусловленную регрессией

б) общую сумму квадратов отклонений зависимой переменной от средней

в) остаточную сумму квадратов, характеризующую влияние неучтённых факторов

Затем найдем по формуле (1.30) при значение статистики:

По таблице значений критерия Фишера-Снсдекора определяем .

Так как , то условие неравенства (1.31) выполняется и уравнение тренда значимо.

Другим методом выравнивания (сглаживания) временного ряда является метод скользящих средних. Он основан на переходе от начальных значений членов ряда к их средним значениям на интервале времени, длина которого определена заранее. При что и сам выбранный интервал времени «скользит» вдоль ряда.

Получаемый таким образом ряд скользящих средних ведет себя более гладко, чем исходный ряд, из-за усреднения отклонений ряда.

Действительно, если разброс значений члена временного ряда , около своего среднего значения характеризуется дисперсией , то разброс-средней из членов временного ряда около того же значения а будет характеризоваться существенно меньшей величиной дисперсии, равной . Для усреднения могут быть использованы средняя арифметическая (простая и с некоторыми весами), медиана и др

Задача №3.3.

Провести сглаживание временного ряда по данным табл 3.1 методом скользящих средних, используя простую среднюю арифметическую с интервалом сглаживания года.

Решение:

Скользящие средние вычисляем по формуле:

При получим .

Для находим

Для находим

В результате получим сглаженный ряд, представленный в табл. 3.3.

На рис. 3.1 этот ряд изображен графически в виде пунктирной линии

Прогнозирование на основе моделей временных рядов

К оглавлению…

Одна из нажнейших задач (этапов) анализа временного (динамического) ряда состоит в прогнозировании на его основе развития изучаемого процесса. При этом исходят из того, что тенденция развития, установленная в прошлом, может быть распространена (экстраполирована) на будущий период.

Задача ставится так: имеется временной ряд и требуется дать прогноз уровня этого ряда на момент . Выше, в § 1.5, 2.2, 2.4, мы рассматривали точечный и интервальный прогноз значений зависимой переменной , т. е определение точечных и интервальных оценок , полученных для парной и множественной регрессий для значений объясняющих переменных , расположенных вне пределов обследованного диапазона значений .

Если рассматривать временной ряд как регрессионную модель изучаемого признака по переменной «время», то к нему могут быть применены рассмотренные выше методы анализа. Следует, однако, вспомнить, что одна из основных предпосылок регрессионного анализа состоит в том, что возмущения представляют собой независимые случайные величины с математическим ожиданием (средним значением), равным нулю. А при работе с временными рядами такое допущение оказывается во многих случаях неверным. В данной главе мы полагаем, что возмущения удовлетворяют предпосылкам регрессионного анализа, т. е. условиям нормальной классической регрессионной модели.

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Задача №3.4.

По данным табл. 3.1 дать точечную и с надежностью 0,95 интервальную оценки прогноза среднего и индивидуального значений спроса на некоторый товар на момент (девятый год). (Полагаем, что тренд линейный, а возмущения удовлетворяют требованиям классической модели).

Решение:

Выше, в примере 3.2, получено уравнение регрессии т. е. ежегодно спрос на товар увеличивался в среднем на 26,5 ед. Надо оценить условное математическое ожидание .

Оценкой является групповая средняя

Найдем оценку дисперсии

Находим табличное значение . Подставив найденные значения в (1.23) определим интервальную оценку прогноза среднего значения спроса

или

Для нахождения интервальной оценки прогноза индивидуального значения по формуле (1.24) вычислим дисперсию его оценки:

Интервальная оценка для :

или

Итак, с надежностью 0,95 среднее значение спроса на товар на девятый год будет заключено от 345,9 до 468,9 (ед ), а ею индивидуальное значение -от 307,3 до 507,5 (ед ).

Как правило, прогноз развития изучаемого процесса на основе экстраполяции временных рядов оказывается эффективным, r рамка, краткосрочного или среднесрочного периода прогнозирования.

Автокорреляция остатков временного ряда

К оглавлению…

При моделировании реальных экономических процессов част возникают ситуации, в которых условия классической линейной модели регрессии оказываются нарушенными В частности, могут не выполняться предпосылки 3 и 4 регрессионного анализа (см. § 1.4) о том, что случайные возмущения (ошибки) модели имеют постоянную дисперсию и не коррелированны между собой. Так, например, при рассмотрении зависимости расходов на потребление от уровня доходов семей можно ожидать, что в более обеспеченных семьях вариация расходов выше, чем в малообеспеченных, т. е. дисперсии возмущений не одинаковы.

При анализе временных рядов мы часто сталкиваемся с ситуацией, когда наблюдаемые в данный момент значения зависимой переменной коррелированны с их значениями в предыдущие моменты времени, т. е. имеется корреляция между возмущениями в разные моменты времени.

Рассмотрим регрессионную модель временного (динамического) ряда. Упорядоченность наблюдений оказывается существенной в том случае, если прослеживается механизм влияния результатов предыдущих наблюдений на результаты последующих. Математически это выражается в том, что случайные величины в регрессионной модели не оказываются независимыми, в частности, условие не выполняется Такие модели называются моделями с наличием автокорреляции (сериальной корреляции). Рассмотрим в качестве примера /6 / временной ряд — ряд последовательных значений курса ценной бумаги , наблюдаемых в моменты времени 1,…. 100. Результаты наблюдений графически изображены на рис. 3.2. Из рисунка видно, что курс ценной бумаги имеет тенденцию к росту.

Оценивая методом наименьших квадратов зависимость курса от времени (номера наблюдений), получим следующие результаты:

Естественно предположить, что результаты предыдущих торгов оказывают влияние на результаты последующих: если в какой-то момент курс окажется завышенным по сравнению с реальным, то скорее всего он будет завышен на следующих торгах, т. е. имеет место положительная автокорреляция. Графически (см. рис 3.2) положительная автокорреляция выражается в чередовании тех зон, где наблюдаемые значения оказываются выше объясненных (лежащих на прямой ), с зонами, где наблюдаемые значения ниже.

Отрицательная автокорреляция встречается в тех случаях, когда завышенные значения в предыдущих наблюдениях приводят к занижению их в наблюдениях последующих (наблюдения действуют друг на друга по принципу «маятника»). Графически это выражается в том, что результаты наблюдений и оказываются по разные стороны относительно прямой .

Метод наименьших квадратов при наличии коррелированности ошибок регрессии даст несмещенные и состоятельные (разумеется, неэффективные) оценки коэффициентов регрессии, однако, оценки их дисперсий несостоятельные и смешенные (как правило, в сторону занижения), т. е. результаты тестирования гипотез оказываются недостоверными.

Как правило, если автокорреляция присутствует, то наибольшее влияние на последующее наблюдение оказывает результат предыдущего наблюдения Так, например, если рассматривается ряд значений курса какой-либо ценной бумаги, то, очевидно, именно результат последних торгов служит основой для формирования курса на следующих торгах. Ситуация, когда на значение наблюдения у, оказывает основное влияние не результат , а более ранние значения, является достаточно редкой Чаще всего при этом влияние носит циклический характер, например, если наблюдения осуществляются ежедневно и имеют недельный цикл (например, сбор кинотеатра). В этом случае можно составить ряды наблюдений отдельно по субботам, воскресеньям и так далее, после чего наиболее сильная корреляция будет наблюдаться между соседними членами.

Таким образом, отсутствие корреляции между соседними членами позволяет считать, что корреляция отсутствует в целом, и обычный метод наименьших квадратов дает адекватные и эффективные результаты.

Наличие автокорреляции между соседними членами можно определить с помощью теста Дарбина- Уотсона. Этот критерий (тест) Дарбина- Уотсона основан на простой идее: если корреляция ошибок регрессии не равна нулю, то она присутствует и в остатках регрессии получающихся в результате применения обычного метода наименьших квадратов. В тесте Дарбина -Уотсона для оценки корреляции используется статистика вида

В случае отсутствия автокорреляции выборочный коэффициент будет близким к нулю, а значение статистики — близко к двум, близость наблюдаемого значения к нулю должна означать наличие положительной автокорреляции, к четырем — отрицательной..

Тест Дарбина-Уотсона имеет один существенный недостаток -распределение статистики зависит не только от числа наблюдений, но и от значений регрессоров Это означает, что тест Дарбина -Уотсона, вообще говоря, не представляет собой статистический критерий, в том смысле, что нельзя указать критическую область, которая позволяла бы отвергнуть гипотезу об отсутствии корреляции, если бы оказалось, что в эту область попало наблюдаемое значение статистики .

Однако существуют два пороговых значения и зависящие только от числа наблюдений, числа регрессоров и уровня значимости, такие, что выполняются следующие условия.

Если фактически наблюдаемое значение :

а) то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отвергается (принимается);

б) , то вопрос об отвержении или принятии гипотезы остается открытым (область неопределенности критерия);

в) , то принимается альтернативная гипотеза о положительной автокорреляции;

г) , то принимается альтернативная гипотеза об отрицательной автокорреляции

Графическая иллюстрация теста Дарбина-Уотсона приведена на рис. 3.3:

Для -статистики найдены верхняя и нижняя границы на уровнях значимости

Недостатками критерия Дарбина -Уотсона является наличие области неопределенности критерия и то, что критические значения -статистики определены для объемов выборки не менее 15. Тем не менее, тест Дарбина -Уотсона является наиболее употребляемым.

Задача №3.5.

Выявить на уровне значимости 0,05 наличие втокорреляции возмущений для временного ряда_у, по данным табл. 3.1.

Решение:

В примере 3.2 получено уравнение тренда

В табл. 3.4 приведен расчет данных, необходимых для вычисления ^-статистики.

Находим суммы

подставляем в формулу (3.9) и вычисляем значение статистики

По таблице значений критерия Дарбина — Уотсона при определим критические значения: . Фактически найденное находится в пределах от до . При критических значений -статистики в таблице нет, но судя по тенденции их изменений с уменьшением , можно предполагать, что найденное значение останется в игтервале .

Для рассматриваемого временного ряда спроса на уровне значимости 0,05 гипотеза об отсутствии автокорреляции возмущений принимается.