Электротехника задачи с решением

Прежде чем изучать готовые решения задачи по электротехнике, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила краткую теорию по предмету «теоретические основы электротехники», после которой подробно решены задачи.

Эта страница подготовлена для школьников и студентов.

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Электрические цепи постоянного тока. Пассивные элементы электрической цепи

К оглавлению…

Величина сопротивления (рис. 1, а), измеряемая в омах, равна отношению напряжения на его зажимах , измеряемого в вольтах, к протекающему через сопротивление току измеряемому в амперах:

Поводимость — обратна сопротивлению и измеряется в сименсах.

Величина индуктивности (рис. 1, б), измеряемая в генри, определяется отношением потокосцепления самоиндукции протекающему через неё току :

Потокосцепление равно произведению магнитного потока , измеряемого в веберах, и числа витков катушки индуктивности .

Магнитный поток равен произведению магнитной индукции , измеряемой в теслах на сечение магнитопровода катушки индуктивности:

Взаимная индуктивность двух катушек индуктивностей и определяется отношением

где — потокосцепление катушки , обусловленное током второй катушки ; — потокосцепление катушки , обусловленное током первой катушки .

Гак же как и индуктивность , взаимная индуктивность измеряется в генри. Величина ёмкости (рис. 1, в) определяется отношением заряда , накопленного на этом элементе, к напряжению , приложенному к этому элементу:

Заряд измеряется в кулонах, емкость — в фарадах, напряжение — в вольтах.

Эквивалентные преобразования схем электрической цени с пассивными элементами

К оглавлению…

Последовательное соединение резисторов (рис. 2, а) равно сумме их сопротивлений (рис. 2, б):

Задача №1 с решением

Найти эквивалентное сопротивление электрической цепи (рис. 3), если

Решение:

При параллельном соединении двух резисторов и (рис. 4, а) их эквивалентное сопротивление(рис. 4, б)

При параллельном соединении трёх резисторов и (рис. 4, в) их эквивалентное сопротивление (рис. 4, г)

Задача №2 с решением

Найти эквивалентное сопротивление и электрической цепи (см. рис. 4, а и в), если

Решение: Для рис. 4, а

Для рис. 4, получим

Последовательное соединение катушек индуктивное гей и рассчитывается по формуле (7)

параллельное соединение для и рассчитывается по формуле (8)

параллельное соединение для и рассчитывается по формуле (9)

Параллельное соединение конденсаторов (рис. 5, а) даёт сумму их ёмкостей (рис. 5, б)

При последовательном соединении конденсаторов (рис. 6) эквивалентная ёмкость

Для эквивалентного преобразования схем с соединением сопротивлений в виде треугольника (рис. 7, а) и звезды (рис. 7. б) необходимо, чтобы проводимость между любой парой узлов 1, 2, 3 в «треугольнике» и «звезде» были одинаковы при любых сопротивлениях в преобразованной части цепи (в том числе и при сопротивлениях, равных бесконечности), т. е.

В левых частях уравнений (15) — (17) записаны проводимости между соответствующими узлами «треугольника» сопротивлений, а в правых частях -проводимости между соответствующими узлами «звезды» сопротивлений.

Считая известными сопротивления и сторон «треугольника», можно найти неизвестные сопротивления и «звезды» следующим образом: из равенства (15) почленно вычитают равенство (17) и прибавляют равенство (16). В результате

Аналогичным образом находят и

Обратное преобразование из «звезды» в «треугольник», считая известными сопротивления и , даёт следующие результаты:

Дополнительные задачи:

Эквивалентные преобразования схем электрической цепи с активными элементами

К оглавлению…

К активным элементам электрической цепи относят источник ЭДС (рис. 13) с внутренним сопротивлением и источник тока (рис. 14) с внутренней проводимостью . На рис. 13 и 14 — сопротивление нагрузки.

Для эквивалентной замены источников ЭДС и необходимо, чтобы ток и напряжение па выходе источников при заданной нагрузке остались без изменений.

Для источника ЭДС (см. рис. 13)

или

Для источника тока (см. рис. 14)

или

Из выражений (25) и (26) следует, что при замене источника ЭДС источником тока

и

Из выражений (24) и (27) следует, что при эквивалентной замене источника тока источником ЭДС

и

Задача №5 с решением

В электрической цепи (рис. 15) Произвести эквивалентные преобразования от источника ЭДС к источнику тока и обратно.

Решение: Перейдя от источников ЭДС к источникам тока, получим эквивалентную схему, приведенную на рис. 16, где

Источники тока и на рис. 16 образуют один эквивалентный источник тока (рис. 17), где

Перейдя от источника тока (см. рис. 17) к источнику ЭДС, получим схему цепи (рис. 18), эквивалентную исходной, где

Задача №6 с решением

Для цепи рис. 19 заданы параметры: Определить ток , применив метод преобразований.

Решение: Преобразуем источник тока в эквивалентный источник ЭДС (рис. 20, 21): . Тогда получим .

Чтобы дальше свернуть схему, источник ЭДС преобразуем в источник тока (рис. 22).

Окончательно получим (рис. 23):

Тогда ток

Дополнительные задачи:

Meтод уравнений Кирхгофа

К оглавлению…

Суть метода заключается в составлении системы уравнений по 1-му и 2-му законам Кирхгофа и решении этой системы относительно неизвестных токов.

Если сложная электрическая цепь имеет узлов и ветвей, а следовательно, и неизвестных токов, то необходимо составить и решить систему линейных независимых уравнений.

По 1-му закону Кирхгофа можно составить столько уравнений, сколько узлов имеет электрическая цепь, т. е. уравнений. Однако линейно независимыми будут только уравнений, т. е. на одно меньше, чем число узлов в электрической цепи.

Остальные линейно независимых уравнений составляются по 2-му закону Кирхгофа.

Таким образом, общее число уравнений, составленных по 1-му и 2-му законам Кирхгофа, будет равно числу ветвей цепи, а значит, и числу независимых токов.

Порядок расчета электрических цепей с помощью законов Кирхгофа следующий:

  1. Определяется число узлов и число ветвей в цепи, и в соответствии с этим определяется количество уравнений, которые необходимо составить по 1-му и 2-му законам Кирхгофа.
  2. Обозначаются на схеме цепи тока в ветвях и произвольно выбираются их направления. Выбираются независимые замкнутые контуры цепи таким образом, чтобы в каждый исследуемый контур входила одна новая ветвь. Произвольно задаются направления обхода контуров.
  3. Составляется уравнений по 1-му закону Кирхгофа. При этом токи, входящие в узел, берутся со знаком «+», а выходящие из узла со знаком « ».
  4. Составляется уравнений по 2-му закону Кирхгофа. При составлении этих уравнений величина ЭДС берёгся со знаком «+», если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура, и со знаком «-». если не совпадает. Падения напряжений на сопротивлениях в замкнутых контурах берутся со знаком «+», если направление обхода контура совпадает с выбранным направлением токов в ветвях, и со знаком «-», если не совпадает.
  5. Производится расчёт составленной системы уравнении относительно неизвестных токов. Если при этом некоторые токи получаются отрицательными, то это означает, что их действительные направления противоположны произвольно выбранным направлениям.

Задача №9 с решением

В электрической цепи (рис. 31) Определить токи в ветвях цепи с помощью законов Кирхгофа.

Решение: В заданной электрической цепи два узла и два независимых контура. Следовательно, по 1-му закону Кирхгофа составляется одно уравнение, а по второму два.

Для узла

Для контуров:

После подстановки цифровых данных система уравнений имеет следующий вид:

Решение: этой даст токи ветвей: Для проверки правильности решения задачи составляется уравнение баланса мощностей:

При подстановке численных данных получается, что т. е. мощности источника и нагрузки практически совпадают. Значит, токи в ветвях цепи рассчитаны правильно.

Дополнительные задачи:

Метод контурных токов

К оглавлению…

Расчёт сложных электрических цепей методом контурных токов сводится к решению системы уравнений, составленных только но 2-му закону Кирхгофа. Причём число уравнений в системе равно числу независимых контуров в электрической цепи.

В общем случае для электрической цепи, содержащей независимых контурных уравнении, система контурных уравнений имеет вид

где — собственные сопротивления 1, 2, …, -го контуров; и т. д. — взаимные сопротивления между контурами 1 и 2, 2 и 3 и т. д.; — контурные токи; — контурные ЭДС I, II, …, -го контуров.

Взаимные сопротивления между контурами имеют положительные значения, если контурные токи, протекающие через них, имеют одинаковые направления, и отрицательны, если направления контурных токов через взаимные сопротивления встречны.

Контурные токи по абсолютной величине равны токам в ветвях, по которым протекает только один из контурных токов. Если по ветви протекают два контурных тока одного направления, то ток в этой ветви равен сумме контурных токов. Если контурные токи в ветви встречны, то ток в ветви равен разности контурных токов (по абсолютной величине).

Собственное сопротивление контура — это сумма всех сопротивлений, входящих в данный контур.

Контурная ЭДС — это алгебраическая сумма всех ЭДС контура.

Расчёт электрических цепей методом контурных токов производится в следующем порядке:

  1. Определяется число независимых контуров в электрической цепи и произвольно задаются направления контурных токов.
  2. Вычисляются собственные и взаимные сопротивления контуров, а также контурные ЭДС.
  3. Составляется система управлений для контурных токов в соответствии со 2-м законом Кирхгофа, причем число уравнений должно быть равно числу независимых контуров схемы.
  4. Осуществляется решение системы уравнений (например, путём подстановки или с помощью определителей) с целью получения контурных токов.
  5. Определяются токи в ветвях.

Примечание. Вели по условию задачи часть источников энергии задана в виде источников тока, то перед началом расчёта их следует преобразовать в эквивалентные источники ЭДС.

Задача №12 с решением

В электрической цепи (рис. 34) методом контурных токов определить токи в ветвях, если

Решение: В электрической цепи три независимых контура. Произвольно выбраны направления контурных токов и токи в ветвях. Система из трех контурных уравнений имеет вид

Собственные сопротивления:

Взаимные сопротивления:

Собственные ЭДС контуров:

Тогда система контурных уравнений примет вид

Контурные токи через определители равны:

Определители:

Контурные токи:

Токи в ветвях:

Проверим правильность решения с помощью уравнения баланса мощностей.

Мощность источников ЭДС, отдаваемая в электрическую цепь:

Мощность, потребляемая нагрузкой:

Мощности и практически совпадают, значит, токи в ветвях рассчитаны правильно.

Дополнительные задачи:

Метод наложения

К оглавлению…

Метод наложения позволяет определять токи в ветвях электрической цепи непосредственно по закону Ома без составления и решения системы уравнений. Метод основан на принципе наложения (или суперпозиции), который утверждает, что ток в любой ветви линейной электрической цепи, содержащей несколько источников ЭДС, можно рассматривать как алгебраическую сумму частичных токов, создаваемых в этой ветви действием каждой ЭДС в отдельности.

Таким образом, по методу наложения вначале находят частичные токи в ветвях электрической цепи от действия каждого источника ЭДС в отдельности, принимая остальные ЭДС равными нулю (т. е. заменив их короткозамкнутой перемычкой) и оставляя в схеме только сопротивления и внутренние сопротивления источников ЭДС, а затем находят токи в ве1вях как алгебраические суммы частичных токов.

Задача №16 с решением

Определись токи в ветвях электрической цепи (рис. 38, а) методом наложения, если

Решение: 1. Приняв получим схему, приведенную на рис. 38, б. Частичные токи в этой схеме, создаваемые источником ЭДС :

  • Приняв получим схему, приведённую на рис. 38. в. Частичные токи в этой схеме, создаваемые источником ЭДС :

В ветви с резистором токи и направлены встречно и , поэтому

В ветви с резистором ток

В ветви с резистором ток

Дополнительные задачи:

Метод узловых потенциалов

К оглавлению…

Расчёт электрических цепей методом узловых потенциалов, или узловых напряжений, сводится к решению системы уравнений, составленных только по 1-му закону Кирхгофа. Из этих уравнений вначале определяют потенциалы (напряжения) в узлах схемы электрической цепи относительно некоторого базисного узла, потенциал которого принимают равным нулю, а затем токи в ветвях, соединяющих узлы, находят по закону Ома.

Таким образом, при расчёте электрических цепей методом узловых потенциалов целесообразно придерживаться следующего порядка:

  1. Принять потенциал одного из узлов равным нулю. т. е. заземлить один из узлов, а остальные узлы пронумеровать. Произвольно выбрать направления токов в ветвях.
  2. Используя 1-й закон Кирхгофа, составить систему уравнений для не-заземлённых узлов.
  3. Вычислить узловые токи в пронумерованных узлах алгебраически, суммируя токи источников, подсоединённых к этим узлам.
  4. Определить собственные и взаимные проводимости узлов. Причём взаимные проводимости в данном методе всегда отрицательные.
  5. Подставить полученные в пп. 3 и 4 узловые токи и проводимости в систему уравнений узловых потенциалов (напряжений) и решить её относительно узловых потенциалов.
  6. Найти токи в ветвях по закону Ома.

Задача №20 с решением

Определить токи в ветвях электрической цепи (рис. 49), если

Решение: Пусть потенциал узла 3 равен нулю. Тогда система узловых уравнений для определения потенциалов узлов имеет вид

Собственные и взаимные проводимости узлов 1 и 2:

Узловые токи:

Тогда система узловых уравнений в числах имеет вид:

В результате решения этой системы потенциалы узлов 1 и 2 равны

По закону Ома определяем токи в ветвях:

Примечание. Знак «-» у токов и означает, что истинные направления этих токов в схеме противоположны произвольно выбранным.

Дополнительные задачи:

Метод эквивалентного генератора

К оглавлению…

Метод эквивалентного генератора применяется, как правило, для расчета тока в одной из ветвей электрической цепи. Метод основан на теореме об эквивалентном генераторе напряжения, которая утверждает, что ток в любой ветви аб (рис. 53) линейной электрической цепи не изменится, если остальную часть цепи заменить эквивалентным источником напряжения (рис. 54), ЭДС которого равна напряжению на зажимах разомкнутой ветви а и б, а внутреннее сопротивление равно сопротивлению между точками а и б при условии, что источники ЭДС и тока заменены их внутренними сопротивлениями.

При расчёте электрических цепей методом эквивалентного генератора целесообразно придерживаться следующего алгоритма:

  1. Произвести разрыв ветви, ток в которой требуется определить.
  2. Определить сопротивление между точками разрыва, заменив источники электрической энергии короткозамкнутой перемычкой (для источника ЭДС) и разрывом (для источника тока).
  3. Определить напряжение между точками разрыва ветви.
  4. Определить ток в ветви по формулам в соответствии с точками разрыва (рис. 55):

1) разрыв в точках а и б:

2) разрыв в точках а и в:

3) разрыв в точках а и г:

4) разрыв в точках в и г:

Задача №24 с решением

В схеме электрической цепи, приведенной на рис. 56, найти ток методом эквивалентного генератора, если

Решение: Разорвём ветвь схемы электрической цепи в точках а и б. Ток

Сопротивление между точками разрыва

Напряжение между точками разрыва

но

тогда

Таким образом, ток

Дополнительные задачи:

Электрические цени синусоидальною тока. Представление синусоидальною тока с помощью комплексных чисел

К оглавлению…

Синусоидальный ток может быть представлен либо как проекции вращающегося против часовой стрелки вектора (рис. 148) на вертикальную и горизонтальную оси, причем проекция вектора тока на вертикальную ось в любой момент времени равна мгновенному значению тока , изменяющегося по синусоидальному закону, а проекция вектора тока на горизонтальную ось — по косинусоидальному, либо как комплексное число на комплексной плоскости (рис. 149) точкой с радиусом-вектором в трех формах: алгебраической, показательной и тригонометрической:

где — модуль комплексного числа; — вещественная часть комплексного числа; — мнимая часть комплексного числа; — аргумент комплексного числа.

Если , т. е. если аргумент комплексного числа является линейной функцией времени, то комплексную функцию можно записать в виде

где аналогично представлению синусоидальною тока вращающимися векторами мнимая часть представляет собой функцию, изменяющуюся по закону синуса, а вещественная по закону косинуса, т. е.

Таким образом, комплексный мгновенный синусоидальный ток

В последнем выражении — есть комплексная амплитуда, а функция — оператор вращения, значения которого приведены в табл. 1

Если обе части уравнения разделить на , то получим

или

где — комплексный действующий синусоидальный ток, или комплексный ток.

Задача №29 с решением

По известному комплексному току записать выражение для его мгновенного значения. Решение:

Находим

Таким образом

Задача №30 с решением

Найти комплексную амплитуду и комплексный ток, если его мгновенное значение равно

Решение:

Задача №31 с решением

Преобразовать комплексные числа из алгебраической формы в показательную:

Задача №32 с решением

Преобразовать комплексные числа из показательной формы в алгебраическую:

Решение:

Последовательное соединение комплексных сопротивлений

К оглавлению…

В цепи с последовательным соединением комплексных сопротивлений (рис. 150) на основании второго закона Кирхгофа:

где

Причем равно арифметической сумме активных сопротивлений цепи, a — алгебраической, т. к. реактивное сопротивление емкости отрицательно.

Задача №33 с решением

В электрической цепи (рис. 151) с последовательным соединением элементов определить ток , напряжение на элементах и мощность, если

Решение: Полное комплексное сопротивление цепи:

Комплекс действующего тока:

Напряжения на элементах цепи:

Мощность:

Таким образом, полная мощность активная реактивная

Параллельное соединение комплексных сопротивлений

К оглавлению…

В цепи с параллельным соединением комплексных сопротивлений (рис. 152) на основании первого закона Кирхгофа

где

Причем активная проводимость равна арифметической сумме активных проводимостей цепи, а реактивная проводимость — алгебраической сумме реактивных приводимостей.

Задача №34 с решением

В электрической цепи (рис. 153) определить токи и полную мощность, потребляемую схемой, если

Решение: Определим комплексные сопротивления ветвей

Рассчитаем токи ветвей:

Полная мощность:

где активная мощность реактивная

Смешанное соединение комплексных сопротивлении

К оглавлению…

Порядок расчета целей синусоидального тока со смешанным соединением комплексных сопротивлений (рис. 154) следующий.

Комплексное эквивалентное сопротивление всей цепи

где

Комплексный ток в неразветвленной части цепи

Комплексное напряжение на параллельном участке цепи

Комплексные токи в параллельных ветвях

Задача №35 с решением

Методом преобразования найти мгновенные значения токов в ветвях схемы (рис. 155), если

Решение: Ответ будем искать в виде где

Определим комплексное входное сопротивление цепи

Тогда входной ток будет

а токи ветвей соответственно

Мгновенные значения токов ветвей примут вид

Дополнительные задачи:

Цепи с индуктивной связью

К оглавлению…

У двух индуктивно связанных катушек (рис. 163) в первой катушке наводится ЭДС самоиндукции , а во второй — ЭДС взаимной индукции где — взаимная индуктивность, измеряемая в генри.

Взаимная индуктивность равна отношению потокосцеплсния к току: где — потокосцепление первой катушки индуктивности, обусловленное током во второй катушке; — потокосцепление второй катушки, обусловленное током в первой катушке.

Если соединить между собой зажимы второй катушки, то в ней будет наводиться ЭДС самоиндукции а в первой катушке — ЭДС взаимной индукции .

Степень связи второй катушки с первой:

а степень связи первой катушки со второй:

Среднее геометрическое степеней связи есть коэффициент связи:

При согласном включении катушек результирующая ЭДС, наводимая в катушках, равна сумме их ЭДС самоиндукции и взаимной индукции:

При встречном включении

При последовательном соединении двух индуктивно связанных катушек (рис. 164) на основании второго закона Кирхгофа или в комплексной форме

где

т. е. при согласном включении катушек их эквивалентная индуктивность при встречном —

При параллельном соединении двух индуктивно связанных катушек (рис. 165) на основании второго закона Кирхгофа для каждой из параллельных ветвей система уравнений имеет вид

Задача №43 с решением

Две индуктивно связанные катушки соединены последовательно (рис. 166). Определить токи в этой цепи при согласном и встречном включении катушек, если

Решение: Эквивалентное сопротивление катушек при согласном включении:

Ток в цепи при согласном включении катушек:

Эквивалентное сопротивление катушек при встречном включении:

Ток в цепи при встречном включении катушек:

Вывод: ток при встречном включении катуигек больше, чем при согласном.

Задача №44 с решением

Две индуктивно связанные катушки (рис. 167) включены параллельно.

При согласном включении катушек определить токи если

Решение: Система уравнении

Из системы токи и :

Ток в неразветвленной части цепи:

Колебательные контуры. Расчет параметров и частотных характеристик последовательною контура

К оглавлению…

Частотные свойства контура (рис. 168) характеризуют:

1) комплексное входное сопротивление

2) комплексная входная проводимость

3) комплексный коэффициент передачи по напряжению на активном сопротивлении

4) комплексный коэффициент передачи по напряжению на емкости

5) комплексный коэффициент передачи по напряжению на индуктивности

Комплексная входная проходимость

где — есть фактор расстройки; — добротность контура, тогда откуда амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) фазовая характеристика (ФЧХ) нормированная АЧХ

Полоса пропускания контура диапазон частот, в пределах которого нормированная АЧХ (или резонансная кривая) превышает уровень максимальною значения.

Граничные значения и фактора расстройки можно получить из выражения: откуда или тогда где а полоса контура , резонансная частота и относительная полоса пропускания контура есть отношение или .

Вторичные параметры контура: резонансная частота или волновое (характеристическое) сопротивление контура добротность контура где — внутреннее сопротивление контура; — затухание контура.

Задача №45 с решением

Для последовательного колебательного контура (рис. 169) определить вторичные параметры, если Построить АЧХ и ФЧХ контура по напряжению на активном сопротивлении.

Решение: Резонансная частота контура

Волновое сопротивление контура

Добротность и затухание контура

Полоса пропускания контура

Комплексная передаточная функция по напряжению на активном сопротивлении

Откуда аналитическое выражение для АЧХ

Нормированное АЧХ

ФЧХ

В табл. 2 приведены рассчитанные значения для и

Графики АЧХ и ФЧХ приведены на рис. 170.

Расчет параметров и частотных характеристик параллельного колебательного контура

К оглавлению…

Вторичные параметры простого параллельного колебательного контура (рис. 171):

1) резервная частота высокодобротного контура

2) характеристическое сопротивление

3) входная проводимость контура

при

4) активная проводимость контура на резонансной частоте

где

5) резонансное сопротивление контура

6) добротность контура

7) затухание

8) внутреннее сопротивление подключенного к контуру (рис. 172) источника (сопротивление шунта) ухудшает добротность контура, т. к. ухудшенная добротность

Частотные характеристики простого параллельного колебательного контура:

1) входное сопротивление

или

2) амплитудно-частотная характеристика

3) нормированная АЧХ

4) фазочастотная характеристика

5) комплексная передаточная функция по току в индуктивной ветви

АЧХ;

6) комплексная передаточная функция по току в емкостной ветви

АЧХ:

Задача №47 с решением

У параллельного колебательного контура (рис. 173)

Определить добротность, полосу пропускания изобразить качественно резонансные кривые для двух случаев: без учёта шунтирующею действия источника энергии; с учётом шунтирующего действия источника энергии; определить мощность контура при резонансе.

Решение: I. Без учёта шунтирующего действия источника энергии добротность

тогда

Полоса пропускания контура

С учетом шунтирующего действия источника энергии

полоса пропускания

Мощность контура при резонансе

Резонансные кривые приведены на рис. 174.

Вывод: шунтирование источником энергии контура увеличивает полосу его пропускания, а значит, ухудшает качество контура.

Классический (временной) метод анализа переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами

К оглавлению…

Переходные процессы в цепях первого порядка с источником постоянного напряжения. Свободные токи и напряжения в цепях первого порядка

Определение начальных условий

Задача №48 с решением

В схеме на рис. 1 происходит размыкание ключа. Параметры схемы: Необходимо определить напряжение , возникающее на сопротивлении в момент размыкания ключа.

Решение: В задаче необходимо определить зависимые начальные условия . Для решения задачи сначала определим независимые начальные условия, к которым в задаче относится ток в индуктивности. До коммутации ток в индуктивности

В соответствии с законом коммутации ток в индуктивности не может изменяться мгновенно:

В результате коммутации образовалась одноконтурная цепь, состоящая из индуктивности и сопротивлений и . Ток во всех элементах цепи равен

Следовательно, искомое напряжение

Численный результат решения задачи показывает важность изучения процессов в электрических цепях в переходных режимах. Представим, что вместо сопротивления в рассматриваемой цепи включён вольтметр с высоким входным сопротивлением. В момент размыкания ключа на зажимах вольтметра возникает большое напряжение, которое может привести к аварийной ситуации, если не принять мер по защите оборудования.

Задача №49 с решением

На рис. 2 происходит замыкание ключа. Параметры схемы:

Составить эквивалентную схему замещения цепи для момента времени для расчёта зависимых начальных условий.

Решение: Рассчитаем цепь до коммутации с целью определения независимых начальных условий:

Комплексная амплитуда тока в цепи до коммутации равна

Комплексная амплитуда напряжения на ёмкости в цепи до коммутации равна

По найденным комплексным амплитудам тока в индуктивности и напряжения на ёмкости запишем соответствующие мгновенные значения:

Полагая в последних выражениях определим независимые начальные условия:

С учетом законов коммутации:

Напряжение источника ЭДС в момент коммутации было равным 0:

Следовательно, источник ЭДС на эквивалентной схеме заменим его внутренним сопротивлением, которое равно 0, т. е. перемычкой. Для эквивалентной замены реактивных элементов в момент воспользуемся табл. 1, следующей из законов коммутации. Из таблицы следует, что в момент при нулевых начальных условиях индуктивность может быть заменена источником тока , а ёмкость — источником ЭДС с напряжением .

Так как и при расчёте получились отрицательными, на
эквивалентной схеме полярность на включении можно заменить на противоположную, заменив минус в числителях на плюс.

С умётом изложенного эквивалентная схема рассматриваемой цепи, справедливая для момента времени , будет иметь вид (рис. 3).

По полученной схсмс можно рассчитать требуемые зависимые начальные условия, используя любые методы расчёта электрических цепей.

Переходный процесс в линейных электрических цепях (ЛЭЦ) первого порядка с сосредоточенными параметрами (рис. 4) описывается линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами:

Решение этого уравнения записывается в виде

Здесь — свободная составляющая, в которой — постоянная интегрирования, определяемая законами коммутации и начальными условиями в цепи, — корень характеристического уравнения — принужденная составляющая, т. е. ток или напряжение установившегося после окончания переходного процесса режима при :

Свободные процессы в rC-цепи

К оглавлению…

Задача №50 с решением

В схеме на рис. 5 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: . Найти и построить зависимости и .

Решение: До коммутации (рис. 5) ёмкость заряжена до напряжения . После замыкания ключа ёмкость начинает разряжаться через сопротивление и в цепи возникает переходный процесс. В соответствии со вторым законом Кирхгофа для цепи после коммутации можно записать Так как то получаем линейное однородное дифференциальное уравнение

общее решение которого ищем в виде

Для нахождения корня составим характеристическое уравнение: откуда , где постоянная времени цепи после коммутации .

Постоянная интегрирования определяется из начальных условий и закона коммутации:

Так как а то откуда . Тогда

При

График приведен на рис. 6.

Ток

При

График приведен на рис. 7.

Задача №51 с решением

На рис. 8 происходит замыкание ключа. Параметры схемы:

Найти и классическим методом и построить графики.

Решение: После коммутации Так как и то Решение этого уравнения:

Из характеристического уравнение следует

где

Постоянную интегрирования найдём из начальных условий и закона коммутации:

Так как то

Тогда а

При График приведен на рис. 9.

При

График приведен на рис. 10.

Переходные процессы в цепях первого порядка

К оглавлению…

Задача №52 с решением

На рис. 11 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: . Найти и временным методом и построить графики.

Решение: Согласно второму закону Кирхгофа в цепи после коммутации

Решение будем искать в виде

Принуждённая составляющая в цепи после коммутации в установившемся режиме Свободная составляющая

Их характеристического уравнения найдем

где

Постоянную интегрирования найдем из начальных условий и закона коммутации:

откуда

Окончательно

На графике (рис. 12.)

На графике (рис. 13)

Задача №53 с решением

На рис. 14 происходит размыкание ключа. Параметры схемы: . Найти временным методом и построить графики.

Решение: В цепи после коммутации по второму закону Кирхгофа

или

Решение последнего уравнения ищем в виде

Из схемы (см. рис. 14) следует, что принужденная составляющая Свободная составляющая имеет вид

Корень характеристического уровня равен а

Постоянную интегрирования найдём исходя из начальных условий и закона коммутации

Если

получаем

Тогда

откуда

Окончательно

На графике (рис. 15)

Ток

На графике (рис. 16)

Задача №54 с решением

На рис. 17 определить напряжение на конденсаторе если

Решение: Определим независимое начальное условие — напряжение на конденсаторе до коммутации. Ключ разомкнут и конденсатор разряжен, поэтому

ля составления характеристического уравнения запишем систему интегродифференциальных уравнений по законам Кирхгофа. Направления обхода контуров указаны на схеме рис. 17.

где

Решив систему уравнений относительно одной переменной, например , получим

Тогда характеристическое уравнение

имеет один корень поэтому свободная составляющая будет

Искомое напряжение запишется в виде двух составляющих

В установившемся режиме

Искомая величина

При

По закону коммутации независимое начальное условие — напряжение на емкости

Следовательно, постоянная интегрирования Записываем искомую величину:

Построим ее график (рис. 18).

Переходные процессы в цепях первого порядка без составления дифференциального уравнения

К оглавлению…

Задача №55 с решением

На рис. 19 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: Необходимо определить переходный процесс по напряжению на участке цепи.

Решение: Рассчитаем переходный процесс как сумму принуждённой и свободной составляющих:

К независимым начальным условиям относится напряжение на ёмкости в момент коммутации. Если не оговорено значение , то примем его равным 0: . Но истечении достаточно большого времени после замыкания ключа ёмкость зарядится до напряжения источника ЭДС и зарядный ток станет равным 0. Следовательно, напряжение на сопротивлении будет равным 0 и принуждённое напряжение на зажимах

Так как цепь содержит только один реактивный элемент цепи, то характеристическое уравнение цепи будет иметь один корень и свободная составляющая искомых переходных процессов будет иметь вид

Из характеристического уравнения цепи находим значение корня:

Тогда Подставим найденные принужденную и свободную составляющие в искомое решение:

Для нахождения постоянной интегрирования рассмотрим решение при Для вычисления необходимо знать , т. е. зависимые начальные условия, которые легко определить по эквивалент ной схеме цени, изображённой на рис. 20 для момента (см. пример 2).

Подставив найденное значение определим постоянную интегрирования: тогда

С учетом найденного значения закон изменения напряжения на замах после коммутации запишем в виде

График приведен на рис. 21.

Длительность переходного процесса:

Задача №56 с решением

Па рис. 22 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: Найти без составления дифференциального уравнения.

Решение: После коммутации напряжение на емкости в установившемся режиме

  • Свободную составляющую найдем, используя закон коммутации и начальные условия:

а

откуда

Тогда

где

График приведен на рис. 23.

Переходные процессы при скачкообразном изменении схемы цепи

К оглавлению…

Задача №57 с решением

На рис. 24 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: . Найти ток классическим методом и построить график.

Решение: После коммутации ток в цепи будет проходить через коротко-замкнутую перемычку минуя сопротивление . По второму закину Кирхгофа в цепи, изменившейся скачком, можем записать

или

Решение данного уравнения ищем в виде

где

Из закона коммутации или откуда тогда

График тока приведен на рис. 25.

Дополнительные задачи:

Переходные процессы в цепях первою порядка с источником синусоидального напряжения

К оглавлению…

Задача №63 с решением

На рис. 35 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: Найти классическим методом.

Решение: Напряжение на емкости будем искать в виде

Принужденную составляющую находим из уравнения

где

Тогда

а свободная составляющая имеет вид

где

Постоянную интегрирования находим из начального условия и закона коммутации: или откуда . Окончательно

Дополнительные задачи:

Переходные процессы в цепях второго порядка с источником постоянною напряжения

К оглавлению…

При подключении -цепи к источнику постоянного напряжения (рис. 41) дифференциальное уравнение переходного процесса следующее:

где

Решение этого уравнения ищем в виде

Так как при и то Для определения постоянных интегрирования при берем производную от выражения Из системы уравнений

найдем

Корни характеристического уравнения

Тогда окончательно

Переходный процесс зависит от вида корней и харакгеристического уравнения. Возможны три случая.

В первом случае корни вещественные, отрицательные и разные и при переходный процесс носит апериодический характер. Во втором случае при корни вещественные, отрицательные и равные и переходный процесс — критический апериодический. В третьем случае при корни комплексно-сопряжённые и характер переходного процесса в схеме после коммутации будет затухающим колебательным:

где

Задача №66 с решением

На рис. 42 происходит отключение источника. Параметры схемы: Найти классическим методом

Решение: Согласно второму закону Кирхгофа после коммутации в цени происходит только свободный процесс , а дифференциальное уравнение

решение которого будем искать в виде

Так как

и

  • откуда то корни характеристического уравнения будут комплексно-сопряженными: где

Тогда напряжение

где

Задача №67 с решением

На рис. 43 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: Найти классическим методом выражение для и .

Решение: Вычисляем и :

Так как меньше более чем на один порядок, то можно принять тогда

Максимальное значение наступает при

тогда

Переходные процессы в цепях второго порядка с источником синусоидального напряжения

К оглавлению…

При подключении к цепи второго порядка (рис. 44) источника синусоидального напряжения дифференциальное уравнение переходного режима будет следующим:

  • При подключении контура высокой добротности или

Принужденную составляющую ищем в виде

где

Свободную составляющую ищем в виде

При

где

График в этом случае является изохронизмом (рис. 45).

Если то в цепи возникают биения (рис. 46).

Задача №68 с решением

В цепи рис. 47 происходит замыкание ключа. Параметры схемы

Найти временным методом.

Решение: Решение ищем в виде Принужденное напряжение

Тогда

а

Из закона коммутации свободное напряжение на конденсаторе равно

Окончательно имеем

Временные характеристики электрических цепей. Переходная и импульсная характеристики

К оглавлению…

Если на входе линейной электрической цепи (рис. 48) при нулевых начальных условиях — единичная функция воздействия то выходная величина — переходная характеристика, т. е. .

Физический смысл .

  1. Если на входе цепи напряжение и на выходе также измеряется напряжение , то переходная характеристика — это коэффициент передачи цепи по напряжению , если же на выходе цепи измеряется ток , то в этом случае переходная характеристика есть проводимость
  2. Если же на входе цепи ток и на выходе также измеряется ток , то переходная характеристика — это коэффициент передачи цепи по току если же па выходе измеряется напряжение то в этом случае переходная характеристика есть сопротивление
  3. Если же на входе цепи (рис. 49) дельта-функция, т. е. , то на выходе импульсная характеристика: .

Так как -функция является первой производной от единичной функции, то между и существует следующая связь:

При нулевых начальных условиях

Для схемы рис. 50

Тогда переходные характеристики соответственно по напряжению на ёмкости, на сопротивлении и но току в цени:

а импульсные характеристики равны:

Задача №69 с решением

На рис. 51

Найти и по выходному напряжению цепи временным методом.

Решение: При подаче на вход цепи единичной функции включения выходное напряжение где

Принужденная составляющая

Постоянная интегрирования

т.к.

то

Тогда

а

Импульсная характеристика

Графики и представлены соответственно на рис. 52 и 53.

Задача №70 с решением

На рис. 54 На вход цепи действует единичная функция включения . Найти и временным методом

Решение: Значение переходной характеристики в момент подключения

т.к. поэтому

Так как то

Переходная характеристика

Импульсная характеристика

Графики и приведены на рис. 55 и 56 соответственно.

Интеграл Дюамеля

К оглавлению…

При определении реакции цепи на воздейсчвие произвольной формы используется принцип наложения: входное произвольное воздействие цепи представляют в виде суммы типовых воздействий (в частности, в виде единичных функций включения или дельта-функций), затем определяют отклик цепи на типовое воздействие и далее, суммируя отклики на типовые воздействия, получают отклик цепи на входное воздействие.

Например, отклик цепи па ступенчатое воздействие записывается в виде

Перейдя от суммы к интегралу, получим первую форму интеграла наложения или интеграла Дюамеля:

Все шесть форм интеграла Дюамеля приведены в прил. 1.

Если входное произвольное воздействие цепи представить в виде суммы такого типового воздействия, как дельта-функция или суммы коротких импульсов, то отклик будет равен интегралу от свертки входного сигнала и импульсной характеристики цепи:

Задача №71 с решением

На рис. 57 входное воздействие имеет вил, как показано на рис. 58, где Найти методом интегралов наложения и построить график.

Решение: Аналитическая запись входного воздействия

Переходная характеристика по выходному напряжению

где

откуда

В результате

Импульсная характеристика по выходному напряжению

Определим выходное напряжение , используя пятую форму интеграла Дюамеля (см. прил. 1): Реакция цепи (т. е. выходное напряжение) на интервале

Реакция цепи на интервале

Проверка решения. В точке на графике при и

Числовые значения и :

График зависимости приведен на рис. 59.

Задача №72 с решением

На вход цепи (рис. 60) с параметрами и подаётся линейно нарастающее напряжение (рис. 61) с углом .

Найти выходное напряжение с помощью интегралов Дюамеля и построить график.

Решение: Переходная характеристика -цепи имеет вид

Входное напряжение

где

Найдем напряжение , используя первую форму интеграла Дюамеля (см. прил. 1):

Поскольку

то

График напряжений приведен на рис. 62.

Дополнительные задачи:

Операторный метод анализа переходных процессов в линейных электрических цепях. Основные свойства и теоремы преобразований Лапласа

К оглавлению…

Суть операторного метода, основанного на преобразованиях Лапласа, заключается в том, что функции действительной переменной (т. е. временные) преобразуют в функции комплексной переменной (т. е. переносят на комплексную плоскость). При этом снижается на единицу степень дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс в цепи, что упрощает решение задачи.

Облегчает решение задачи и обратный переход от переменной к с помощью таблиц преобразовании, которые созданы Лапласом для большого числа функций.

Переход от временной функции , которую называют оригиналом, к функции на комплексной плоскости , которую называют изображением , осуществляют с помощью прямою преобразования Лапласа:

Переход от функции комплексной переменной к функции действительной переменной осуществляют с помощью обратного преобразования Лапласа:

Свойства преобразований Лапласа приведены в прил. 2. Теоремы преобразований Лапласа приведены в прил. 3. Таблица преобразований Лапласа для некоторых функций приведена в прил. 4.

Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме

К оглавлению…

Для схемы на рис. 113 и ее эквивалентной операторной схемы (или схемы замещения) на рис. 114 можно записать соответственно ннтегродифференциальное уравнение:

и на основании свойства линейности преобразования Лапласа и теорем дифференцирования и интегрирования (см. прил. 2 и 3) операторное уравнение для изображений:

откуда закон Ома в операторной форме имеет вид , где — операторное сопротивление — приведенная операторная ЭДС.

Первый закон Кирхгофа в операторной форме

Второй закон Кирхгофа в операторной форме

где

или

здесь

Задача №75 с решением

В схеме на рис. 115 . Найти ток операторным методом и построить график.

Решение: Эквивалентная операторная схема приведена на рис. 116.

Ток в индуктивности по закону Ома в операторной форме

Оригинал тока по таблице изображений Лапласа (см. прил. 4)

где

Ток в индуктивности до коммутации

Тогда

График тока приведен на рис. 117.

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Дополнительные задачи:

Связь операторных передаточных функций цепи с временными характеристиками

К оглавлению…

Для четырехполюсника рассматривают операторную передаточную функцию по напряжению , по току , операторное передаточное сопротивление и операторную передаточную проводимость . Для двухполюсника это операторное входное сопротивление и проводимость . При замене у комплексной передаточной функции переменной оператором получают операторную передаточную функцию:

Связь между операторной передаточной функцией и временными характеристиками и следует из уравнения (рис. 134.)

Так как изображение единичной функции включения (рис. 135), то для переходной характеристики . Если изображение дельта—функции (рис. 136), то импульсная характеристика имеет изображение , т.е. .

Задача №83 с решением

На рис. 137 . Найти операторную передаточную функцию по напряжению и временные характеристики и . Построить графики и .

Решение: Операторная передаточная функция по напряжению

где

Импульсная характеристика

Из преобразований Лапласа (см. прил. 4) следует, что

Переходная характеристика

Используя прил. 4, получим

Графики и представлены на рис. 138.

Возможно эти дополнительные страницы вам будут полезны: