Электротехника — задачи с решением и примерами

Оглавление:

Электротехника задачи с решением

Прежде чем изучать готовые решения задачи по электротехнике, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила краткую теорию по предмету «теоретические основы электротехники», после которой подробно решены задачи.

Эта страница подготовлена для школьников и студентов.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Теоретические основы электротехники

Теоретические основы электротехники (ТОЭ ) — техническая дисциплина, связанная с изучением теории электричества и электромагнетизма. ТОЭ подразделяется на две части — теорию электрических цепей и теорию поля. Изучение ТОЭ является обязательным во многих технических ВУЗах, поскольку на знании этой дисциплины строятся все последующие: электротехника, автоматика, энергетика, приборостроение, микроэлектроника, радиотехника и другие.

Электротехника – это наука, исследующая вопросы производства, передачи, распределения и использования электрической энергии.

Электрические цепи постоянного тока. Пассивные элементы электрической цепи

Величина сопротивления Решение задач по электротехнике (рис. 1, а), измеряемая в омах, равна отношению напряжения на его зажимах Решение задач по электротехнике, измеряемого в вольтах, к протекающему через сопротивление току Решение задач по электротехнике измеряемому в амперах:

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Поводимость Решение задач по электротехнике — обратна сопротивлению Решение задач по электротехнике и измеряется в сименсах.

Величина индуктивности Решение задач по электротехнике (рис. 1, б), измеряемая в генри, определяется отношением потокосцепления самоиндукции Решение задач по электротехнике протекающему через неё току Решение задач по электротехнике:

Решение задач по электротехнике

Потокосцепление Решение задач по электротехнике равно произведению магнитного потока Решение задач по электротехнике, измеряемого в веберах, и числа витков катушки индуктивности Решение задач по электротехнике.

Решение задач по электротехнике

Магнитный поток Решение задач по электротехнике равен произведению магнитной индукции Решение задач по электротехнике, измеряемой в теслах на сечение магнитопровода Решение задач по электротехнике катушки индуктивности:

Решение задач по электротехнике

Взаимная индуктивность Решение задач по электротехнике двух катушек индуктивностей Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике определяется отношением

Решение задач по электротехнике

где Решение задач по электротехнике — потокосцепление катушки Решение задач по электротехнике, обусловленное током второй катушки Решение задач по электротехнике; Решение задач по электротехнике — потокосцепление катушки Решение задач по электротехнике, обусловленное током первой катушки Решение задач по электротехнике.

Гак же как и индуктивность Решение задач по электротехнике, взаимная индуктивность Решение задач по электротехнике измеряется в генри. Величина ёмкости Решение задач по электротехнике (рис. 1, в) определяется отношением заряда Решение задач по электротехнике, накопленного на этом элементе, к напряжению Решение задач по электротехнике, приложенному к этому элементу:

Решение задач по электротехнике

Заряд Решение задач по электротехнике измеряется в кулонах, емкость Решение задач по электротехнике — в фарадах, напряжение Решение задач по электротехнике — в вольтах.

Эквивалентные преобразования схем электрической цени с пассивными элементами

Последовательное соединение резисторов (рис. 2, а) равно сумме их сопротивлений (рис. 2, б):

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Задача №1 с решением

Найти эквивалентное сопротивление электрической цепи (рис. 3), если Решение задач по электротехнике

Решение задач по электротехнике

Решение:

Решение задач по электротехнике

При параллельном соединении двух резисторов Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике (рис. 4, а) их эквивалентное сопротивление(рис. 4, б)

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

При параллельном соединении трёх резисторов Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике (рис. 4, в) их эквивалентное сопротивление (рис. 4, г)

Решение задач по электротехнике

Задача №2 с решением

Найти эквивалентное сопротивление Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике электрической цепи (см. рис. 4, а и в), если Решение задач по электротехнике

Решение: Для рис. 4, а

Решение задач по электротехнике

Для рис. 4, получим

Решение задач по электротехнике

Последовательное соединение катушек индуктивное гей Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике рассчитывается по формуле (7)

Решение задач по электротехнике

параллельное соединение для Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике рассчитывается по формуле (8)

Решение задач по электротехнике

параллельное соединение для Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике рассчитывается по формуле (9)

Решение задач по электротехнике

Параллельное соединение конденсаторов (рис. 5, а) даёт сумму их ёмкостей (рис. 5, б)

Решение задач по электротехнике

При последовательном соединении конденсаторов (рис. 6) эквивалентная ёмкость

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Для эквивалентного преобразования схем с соединением сопротивлений в виде треугольника (рис. 7, а) и звезды (рис. 7. б) необходимо, чтобы проводимость между любой парой узлов 1, 2, 3 в «треугольнике» и «звезде» были одинаковы при любых сопротивлениях в преобразованной части цепи (в том числе и при сопротивлениях, равных бесконечности), т. е.

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

В левых частях уравнений (15) — (17) записаны проводимости между соответствующими узлами «треугольника» сопротивлений, а в правых частях -проводимости между соответствующими узлами «звезды» сопротивлений.

Решение задач по электротехнике

Считая известными сопротивления Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике сторон «треугольника», можно найти неизвестные сопротивления Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике «звезды» следующим образом: из равенства (15) почленно вычитают равенство (17) и прибавляют равенство (16). В результате

Решение задач по электротехнике

Аналогичным образом находят Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике

Решение задач по электротехнике

Обратное преобразование из «звезды» в «треугольник», считая известными сопротивления Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике, даёт следующие результаты:

Решение задач по электротехнике

Дополнительные задачи:

Эквивалентные преобразования схем электрической цепи с активными элементами

К активным элементам электрической цепи относят источник ЭДС (рис. 13) с внутренним сопротивлением Решение задач по электротехнике и источник тока Решение задач по электротехнике (рис. 14) с внутренней проводимостью Решение задач по электротехнике. На рис. 13 и 14 Решение задач по электротехнике — сопротивление нагрузки.

Решение задач по электротехнике

Для эквивалентной замены источников ЭДС и Решение задач по электротехнике необходимо, чтобы ток Решение задач по электротехнике и напряжение Решение задач по электротехнике па выходе источников при заданной нагрузке Решение задач по электротехнике остались без изменений.

Для источника ЭДС (см. рис. 13)

Решение задач по электротехнике

или

Решение задач по электротехнике

Для источника тока Решение задач по электротехнике (см. рис. 14)

Решение задач по электротехнике

или

Решение задач по электротехнике

Из выражений (25) и (26) следует, что при замене источника ЭДС источником тока

Решение задач по электротехнике

и

Решение задач по электротехнике

Из выражений (24) и (27) следует, что при эквивалентной замене источника тока источником ЭДС

Решение задач по электротехнике

и

Решение задач по электротехнике

Задача №5 с решением

В электрической цепи (рис. 15) Решение задач по электротехнике Решение задач по электротехникеПроизвести эквивалентные преобразования от источника ЭДС к источнику тока и обратно.

Решение: Перейдя от источников ЭДС к источникам тока, получим эквивалентную схему, приведенную на рис. 16, где

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Источники тока Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике на рис. 16 образуют один эквивалентный источник тока Решение задач по электротехнике (рис. 17), где

Решение задач по электротехнике

Перейдя от источника тока (см. рис. 17) к источнику ЭДС, получим схему цепи (рис. 18), эквивалентную исходной, где

Теоретические основы электротехники
Решение задач по электротехнике

Задача №6 с решением

Для цепи рис. 19 заданы параметры: Решение задач по электротехникеРешение задач по электротехнике Определить ток Решение задач по электротехнике, применив метод преобразований.

Решение задач по электротехнике

Решение: Преобразуем источник тока Решение задач по электротехнике в эквивалентный источник ЭДС (рис. 20, 21): Решение задач по электротехнике. Тогда получим Решение задач по электротехнике.

Решение задач по электротехнике

Чтобы дальше свернуть схему, источник ЭДС Решение задач по электротехнике преобразуем в источник тока Решение задач по электротехнике (рис. 22).

Окончательно получим (рис. 23): Решение задач по электротехнике

Решение задач по электротехнике

Тогда ток Решение задач по электротехнике

Дополнительные задачи:

Meтод уравнений Кирхгофа

Суть метода заключается в составлении системы уравнений по 1-му и 2-му законам Кирхгофа и решении этой системы относительно неизвестных токов.

Если сложная электрическая цепь имеет Решение задач по электротехнике узлов и Решение задач по электротехнике ветвей, а следовательно, и Решение задач по электротехнике неизвестных токов, то необходимо составить и решить систему Решение задач по электротехнике линейных независимых уравнений.

По 1-му закону Кирхгофа можно составить столько уравнений, сколько узлов имеет электрическая цепь, т. е. Решение задач по электротехнике уравнений. Однако линейно независимыми будут только Решение задач по электротехнике уравнений, т. е. на одно меньше, чем число узлов в электрической цепи.

Остальные Решение задач по электротехнике линейно независимых уравнений составляются по 2-му закону Кирхгофа.

Таким образом, общее число уравнений, составленных по 1-му и 2-му законам Кирхгофа, будет равно числу ветвей цепи, а значит, и числу независимых токов.

Порядок расчета электрических цепей с помощью законов Кирхгофа следующий:

  1. Определяется число узлов Решение задач по электротехнике и число ветвей Решение задач по электротехнике в цепи, и в соответствии с этим определяется количество уравнений, которые необходимо составить по 1-му и 2-му законам Кирхгофа.
  2. Обозначаются на схеме цепи тока в ветвях и произвольно выбираются их направления. Выбираются независимые замкнутые контуры цепи таким образом, чтобы в каждый исследуемый контур входила одна новая ветвь. Произвольно задаются направления обхода контуров.
  3. Составляется Решение задач по электротехнике уравнений по 1-му закону Кирхгофа. При этом токи, входящие в узел, берутся со знаком «+», а выходящие из узла со знаком « ».
  4. Составляется Решение задач по электротехнике уравнений по 2-му закону Кирхгофа. При составлении этих уравнений величина ЭДС берёгся со знаком «+», если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура, и со знаком «-». если не совпадает. Падения напряжений на сопротивлениях в замкнутых контурах берутся со знаком «+», если направление обхода контура совпадает с выбранным направлением токов в ветвях, и со знаком «-», если не совпадает.
  5. Производится расчёт составленной системы уравнении относительно неизвестных токов. Если при этом некоторые токи получаются отрицательными, то это означает, что их действительные направления противоположны произвольно выбранным направлениям.

Задача №9 с решением

В электрической цепи (рис. 31) Решение задач по электротехнике Решение задач по электротехникеОпределить токи в ветвях цепи с помощью законов Кирхгофа.

Решение: В заданной электрической цепи два узла и два независимых контура. Следовательно, по 1-му закону Кирхгофа составляется одно уравнение, а по второму два.

Для узла Решение задач по электротехнике

Для контуров: Решение задач по электротехнике

Решение задач по электротехнике

После подстановки цифровых данных система уравнений имеет следующий вид:

Решение задач по электротехнике

Решение: этой даст токи ветвей: Решение задач по электротехникеДля проверки правильности решения задачи составляется уравнение баланса мощностей:

Решение задач по электротехнике

При подстановке численных данных получается, что Решение задач по электротехнике т. е. мощности источника Решение задач по электротехнике и нагрузки Решение задач по электротехнике практически совпадают. Значит, токи в ветвях цепи рассчитаны правильно.

Дополнительные задачи:

Метод контурных токов

Расчёт сложных электрических цепей методом контурных токов сводится к решению системы уравнений, составленных только но 2-му закону Кирхгофа. Причём число уравнений в системе равно числу независимых контуров в электрической цепи.

В общем случае для электрической цепи, содержащей Решение задач по электротехнике независимых контурных уравнении, система контурных уравнений имеет вид

Решение задач по электротехнике

где Решение задач по электротехнике — собственные сопротивления 1, 2, …, Решение задач по электротехнике-го контуров; Решение задач по электротехнике и т. д. — взаимные сопротивления между контурами 1 и 2, 2 и 3 и т. д.; Решение задач по электротехнике — контурные токи; Решение задач по электротехнике — контурные ЭДС I, II, …, Решение задач по электротехнике-го контуров.

Взаимные сопротивления между контурами имеют положительные значения, если контурные токи, протекающие через них, имеют одинаковые направления, и отрицательны, если направления контурных токов через взаимные сопротивления встречны.

Контурные токи по абсолютной величине равны токам в ветвях, по которым протекает только один из контурных токов. Если по ветви протекают два контурных тока одного направления, то ток в этой ветви равен сумме контурных токов. Если контурные токи в ветви встречны, то ток в ветви равен разности контурных токов (по абсолютной величине).

Собственное сопротивление контура — это сумма всех сопротивлений, входящих в данный контур.

Контурная ЭДС — это алгебраическая сумма всех ЭДС контура.

Расчёт электрических цепей методом контурных токов производится в следующем порядке:

  1. Определяется число независимых контуров в электрической цепи и произвольно задаются направления контурных токов.
  2. Вычисляются собственные и взаимные сопротивления контуров, а также контурные ЭДС.
  3. Составляется система управлений для контурных токов в соответствии со 2-м законом Кирхгофа, причем число уравнений должно быть равно числу независимых контуров схемы.
  4. Осуществляется решение системы уравнений (например, путём подстановки или с помощью определителей) с целью получения контурных токов.
  5. Определяются токи в ветвях.

Примечание. Вели по условию задачи часть источников энергии задана в виде источников тока, то перед началом расчёта их следует преобразовать в эквивалентные источники ЭДС.

Задача №12 с решением

В электрической цепи (рис. 34) методом контурных токов определить токи в ветвях, если

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Решение: В электрической цепи три независимых контура. Произвольно выбраны направления контурных токов и токи в ветвях. Система из трех контурных уравнений имеет вид

Решение задач по электротехнике

Собственные сопротивления:

Решение задач по электротехнике

Взаимные сопротивления:

Решение задач по электротехнике

Собственные ЭДС контуров:

Решение задач по электротехнике

Тогда система контурных уравнений примет вид

Решение задач по электротехнике

Контурные токи через определители равны:

Решение задач по электротехнике

Определители:

Решение задач по электротехнике

Контурные токи:

Решение задач по электротехнике

Токи в ветвях:

Решение задач по электротехнике

Проверим правильность решения с помощью уравнения баланса мощностей.

Мощность источников ЭДС, отдаваемая в электрическую цепь:

Решение задач по электротехнике

Мощность, потребляемая нагрузкой:

Решение задач по электротехнике

Мощности Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике практически совпадают, значит, токи в ветвях рассчитаны правильно.

Дополнительные задачи:

Метод наложения

Метод наложения позволяет определять токи в ветвях электрической цепи непосредственно по закону Ома без составления и решения системы уравнений. Метод основан на принципе наложения (или суперпозиции), который утверждает, что ток в любой ветви линейной электрической цепи, содержащей несколько источников ЭДС, можно рассматривать как алгебраическую сумму частичных токов, создаваемых в этой ветви действием каждой ЭДС в отдельности.

Таким образом, по методу наложения вначале находят частичные токи в ветвях электрической цепи от действия каждого источника ЭДС в отдельности, принимая остальные ЭДС равными нулю (т. е. заменив их короткозамкнутой перемычкой) и оставляя в схеме только сопротивления и внутренние сопротивления источников ЭДС, а затем находят токи в ве1вях как алгебраические суммы частичных токов.

Задача №16 с решением

Определись токи в ветвях электрической цепи (рис. 38, а) методом наложения, если

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Решение: 1. Приняв Решение задач по электротехнике получим схему, приведенную на рис. 38, б. Частичные токи в этой схеме, создаваемые источником ЭДС Решение задач по электротехнике:

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике
  • Приняв Решение задач по электротехнике получим схему, приведённую на рис. 38. в. Частичные токи в этой схеме, создаваемые источником ЭДС Решение задач по электротехнике:
Решение задач по электротехнике

В ветви с резистором Решение задач по электротехнике токи Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике направлены встречно и Решение задач по электротехнике, поэтому Решение задач по электротехнике

В ветви с резистором Решение задач по электротехнике ток Решение задач по электротехнике

В ветви с резистором Решение задач по электротехнике ток Решение задач по электротехнике

Дополнительные задачи:

Метод узловых потенциалов

Расчёт электрических цепей методом узловых потенциалов, или узловых напряжений, сводится к решению системы уравнений, составленных только по 1-му закону Кирхгофа. Из этих уравнений вначале определяют потенциалы (напряжения) в узлах схемы электрической цепи относительно некоторого базисного узла, потенциал которого принимают равным нулю, а затем токи в ветвях, соединяющих узлы, находят по закону Ома.

Таким образом, при расчёте электрических цепей методом узловых потенциалов целесообразно придерживаться следующего порядка:

  1. Принять потенциал одного из узлов равным нулю. т. е. заземлить один из узлов, а остальные узлы пронумеровать. Произвольно выбрать направления токов в ветвях.
  2. Используя 1-й закон Кирхгофа, составить систему уравнений для не-заземлённых узлов.
  3. Вычислить узловые токи в пронумерованных узлах алгебраически, суммируя токи источников, подсоединённых к этим узлам.
  4. Определить собственные и взаимные проводимости узлов. Причём взаимные проводимости в данном методе всегда отрицательные.
  5. Подставить полученные в пп. 3 и 4 узловые токи и проводимости в систему уравнений узловых потенциалов (напряжений) и решить её относительно узловых потенциалов.
  6. Найти токи в ветвях по закону Ома.

Задача №20 с решением

Определить токи в ветвях электрической цепи (рис. 49), если

Теоретические основы электротехники

Решение: Пусть потенциал узла 3 равен нулю. Тогда система узловых уравнений для определения потенциалов узлов имеет вид

Решение задач по электротехнике

Собственные и взаимные проводимости узлов 1 и 2:

Решение задач по электротехнике

Узловые токи:

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Тогда система узловых уравнений в числах имеет вид:

Решение задач по электротехнике

В результате решения этой системы потенциалы узлов 1 и 2 равны

Решение задач по электротехнике

По закону Ома определяем токи в ветвях:

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Примечание. Знак «-» у токов Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике означает, что истинные направления этих токов в схеме противоположны произвольно выбранным.

Дополнительные задачи:

Метод эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора применяется, как правило, для расчета тока в одной из ветвей электрической цепи. Метод основан на теореме об эквивалентном генераторе напряжения, которая утверждает, что ток в любой ветви аб (рис. 53) линейной электрической цепи не изменится, если остальную часть цепи заменить эквивалентным источником напряжения (рис. 54), ЭДС которого Решение задач по электротехникеравна напряжению на зажимах разомкнутой ветви а и б, а внутреннее сопротивление Решение задач по электротехнике равно сопротивлению между точками а и б при условии, что источники ЭДС и тока заменены их внутренними сопротивлениями.

Решение задач по электротехнике

При расчёте электрических цепей методом эквивалентного генератора целесообразно придерживаться следующего алгоритма:

  1. Произвести разрыв ветви, ток в которой требуется определить.
  2. Определить сопротивление между точками разрыва, заменив источники электрической энергии короткозамкнутой перемычкой (для источника ЭДС) и разрывом (для источника тока).
  3. Определить напряжение между точками разрыва ветви.
  4. Определить ток в ветви по формулам в соответствии с точками разрыва (рис. 55):

1) разрыв в точках а и б: Решение задач по электротехнике

2) разрыв в точках а и в: Решение задач по электротехнике

3) разрыв в точках а и г: Решение задач по электротехнике

4) разрыв в точках в и г: Решение задач по электротехнике

Задача №24 с решением

В схеме электрической цепи, приведенной на рис. 56, найти ток Решение задач по электротехнике методом эквивалентного генератора, если

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Решение: Разорвём ветвь схемы электрической цепи в точках а и б. Ток

Решение задач по электротехнике

Сопротивление между точками разрыва

Решение задач по электротехнике

Напряжение между точками разрыва

Решение задач по электротехнике

но

Решение задач по электротехнике

тогда

Решение задач по электротехнике

Таким образом, ток

Решение задач по электротехнике

Дополнительные задачи:

Электрические цени синусоидальною тока. Представление синусоидальною тока с помощью комплексных чисел

Синусоидальный ток Решение задач по электротехнике может быть представлен либо как проекции вращающегося против часовой стрелки вектора Решение задач по электротехнике (рис. 148) на вертикальную и горизонтальную оси, причем проекция вектора тока Решение задач по электротехнике на вертикальную ось в любой момент времени равна мгновенному значению тока Решение задач по электротехнике, изменяющегося по синусоидальному закону, а проекция вектора тока на горизонтальную ось — по косинусоидальному, либо как комплексное число на комплексной плоскости (рис. 149) точкой с радиусом-вектором Решение задач по электротехнике в трех формах: алгебраической, показательной и тригонометрической:

Решение задач по электротехнике

где Решение задач по электротехнике — модуль комплексного числа; Решение задач по электротехнике — вещественная часть комплексного числа; Решение задач по электротехнике — мнимая часть комплексного числа; Решение задач по электротехнике— аргумент комплексного числа.

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Если Решение задач по электротехнике, т. е. если аргумент комплексного числа является линейной функцией времени, то комплексную функцию можно записать в виде

Решение задач по электротехнике

где аналогично представлению синусоидальною тока вращающимися векторами мнимая часть представляет собой функцию, изменяющуюся по закону синуса, а вещественная по закону косинуса, т. е.

Решение задач по электротехнике

Таким образом, комплексный мгновенный синусоидальный ток

Решение задач по электротехнике

В последнем выражении Решение задач по электротехнике — есть комплексная амплитуда, а функция Решение задач по электротехнике — оператор вращения, значения которого приведены в табл. 1

Решение задач по электротехнике

Если обе части уравнения Решение задач по электротехнике разделить на Решение задач по электротехнике, то получим

Решение задач по электротехнике

или

Решение задач по электротехнике

где Решение задач по электротехнике — комплексный действующий синусоидальный ток, или комплексный ток.

Задача №29 с решением

По известному комплексному току Решение задач по электротехнике записать выражение для его мгновенного значения. Решение:

Находим

Решение задач по электротехнике

Таким образом

Решение задач по электротехнике

Задача №30 с решением

Найти комплексную амплитуду и комплексный ток, если его мгновенное значение равно

Решение задач по электротехнике

Решение:

Решение задач по электротехнике

Задача №31 с решением

Преобразовать комплексные числа из алгебраической формы в показательную:

Решение задач по электротехнике

Задача №32 с решением

Преобразовать комплексные числа из показательной формы в алгебраическую:

Решение:

Решение задач по электротехнике

Последовательное соединение комплексных сопротивлений

В цепи с последовательным соединением комплексных сопротивлений (рис. 150) на основании второго закона Кирхгофа:

Решение задач по электротехнике

где

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Причем Решение задач по электротехнике равно арифметической сумме активных сопротивлений цепи, a Решение задач по электротехнике — алгебраической, т. к. реактивное сопротивление емкости отрицательно.

Задача №33 с решением

В электрической цепи (рис. 151) с последовательным соединением элементов определить ток Решение задач по электротехнике, напряжение на элементах и мощность, если

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Решение: Полное комплексное сопротивление цепи:

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Комплекс действующего тока:

Решение задач по электротехнике

Напряжения на элементах цепи:

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Мощность:

Решение задач по электротехнике

Таким образом, полная мощность Решение задач по электротехнике активная Решение задач по электротехнике реактивная Решение задач по электротехнике

Параллельное соединение комплексных сопротивлений

В цепи с параллельным соединением комплексных сопротивлений (рис. 152) на основании первого закона Кирхгофа

Решение задач по электротехнике

где

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Причем активная проводимость Решение задач по электротехнике равна арифметической сумме активных проводимостей цепи, а реактивная проводимость Решение задач по электротехнике — алгебраической сумме реактивных приводимостей.

Задача №34 с решением

В электрической цепи (рис. 153) определить токи Решение задач по электротехнике и полную мощность, потребляемую схемой, если

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Решение: Определим комплексные сопротивления ветвей

Решение задач по электротехнике

Рассчитаем токи ветвей:

Решение задач по электротехнике

Полная мощность:

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

где активная мощность Решение задач по электротехнике реактивная Решение задач по электротехнике

Смешанное соединение комплексных сопротивлении

Порядок расчета целей синусоидального тока со смешанным соединением комплексных сопротивлений (рис. 154) следующий.

Решение задач по электротехнике

Комплексное эквивалентное сопротивление всей цепи

Теоретические основы электротехники

где

Решение задач по электротехнике

Комплексный ток в неразветвленной части цепи

Решение задач по электротехнике

Комплексное напряжение на параллельном участке цепи

Решение задач по электротехнике

Комплексные токи в параллельных ветвях

Решение задач по электротехнике

Задача №35 с решением

Методом преобразования найти мгновенные значения токов в ветвях схемы Решение задач по электротехнике (рис. 155), если Решение задач по электротехнике Решение задач по электротехнике

Решение задач по электротехнике

Решение: Ответ будем искать в видеРешение задач по электротехнике где Решение задач по электротехнике

Определим комплексное входное сопротивление цепи

Решение задач по электротехнике

Тогда входной ток будет

Решение задач по электротехнике

а токи ветвей соответственно

Решение задач по электротехнике

Мгновенные значения токов ветвей примут вид

Решение задач по электротехнике

Дополнительные задачи:

Цепи с индуктивной связью

У двух индуктивно связанных катушек (рис. 163) в первой катушке наводится ЭДС самоиндукции Решение задач по электротехнике, а во второй — ЭДС взаимной индукции Решение задач по электротехнике где Решение задач по электротехнике — взаимная индуктивность, измеряемая в генри.

Решение задач по электротехнике

Взаимная индуктивность Решение задач по электротехнике равна отношению потокосцеплсния к току: Решение задач по электротехникегде Решение задач по электротехнике — потокосцепление первой катушки индуктивности, обусловленное током Решение задач по электротехнике во второй катушке; Решение задач по электротехнике — потокосцепление второй катушки, обусловленное током Решение задач по электротехнике в первой катушке.

Если соединить между собой зажимы Решение задач по электротехнике второй катушки, то в ней будет наводиться ЭДС самоиндукции Решение задач по электротехнике а в первой катушке — ЭДС взаимной индукции Решение задач по электротехнике.

Степень связи второй катушки с первой:

Решение задач по электротехнике

а степень связи первой катушки со второй:

Решение задач по электротехнике

Среднее геометрическое степеней связи есть коэффициент связи:

Решение задач по электротехнике

При согласном включении катушек результирующая ЭДС, наводимая в катушках, равна сумме их ЭДС самоиндукции и взаимной индукции:

Решение задач по электротехнике

При встречном включении

Решение задач по электротехнике

При последовательном соединении двух индуктивно связанных катушек (рис. 164) на основании второго закона Кирхгофа Решение задач по электротехнике или в комплексной форме

Решение задач по электротехнике

где

Решение задач по электротехнике

т. е. при согласном включении катушек их эквивалентная индуктивность Решение задач по электротехнике при встречном — Решение задач по электротехнике

Решение задач по электротехнике

При параллельном соединении двух индуктивно связанных катушек (рис. 165) на основании второго закона Кирхгофа для каждой из параллельных ветвей система уравнений имеет вид

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Задача №43 с решением

Две индуктивно связанные катушки соединены последовательно (рис. 166). Определить токи в этой цепи при согласном и встречном включении катушек, если

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Решение: Эквивалентное сопротивление катушек при согласном включении:

Решение задач по электротехнике

Ток в цепи при согласном включении катушек:

Решение задач по электротехнике

Эквивалентное сопротивление катушек при встречном включении:

Решение задач по электротехнике

Ток в цепи при встречном включении катушек:

Решение задач по электротехнике

Вывод: ток при встречном включении катуигек больше, чем при согласном.

Задача №44 с решением

Две индуктивно связанные катушки (рис. 167) включены параллельно.

Решение задач по электротехнике

При согласном включении катушек определить токи Решение задач по электротехнике если

Решение задач по электротехнике

Решение: Система уравнении

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Из системы токи Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике:

Решение задач по электротехнике

Ток в неразветвленной части цепи:

Решение задач по электротехнике

Колебательные контуры. Расчет параметров и частотных характеристик последовательною контура

Частотные свойства контура (рис. 168) характеризуют:

1) комплексное входное сопротивление Решение задач по электротехнике

2) комплексная входная проводимость Решение задач по электротехнике

3) комплексный коэффициент передачи по напряжению на активном сопротивлении Решение задач по электротехнике

4) комплексный коэффициент передачи по напряжению на емкости

Решение задач по электротехнике

5) комплексный коэффициент передачи по напряжению на индуктивности

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Комплексная входная проходимость

Решение задач по электротехнике

где Решение задач по электротехнике — есть фактор расстройки; Решение задач по электротехнике — добротность контура, тогда Решение задач по электротехнике откуда амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) Решение задач по электротехнике фазовая характеристика (ФЧХ) Решение задач по электротехнике нормированная АЧХ Решение задач по электротехнике

Полоса пропускания контура диапазон частот, в пределах которого нормированная АЧХ (или резонансная кривая) Решение задач по электротехнике превышает уровень Решение задач по электротехнике максимальною значения.

Граничные значения Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике фактора расстройки можно получить из выражения: Решение задач по электротехнике откуда Решение задач по электротехнике или Решение задач по электротехнике тогда Решение задач по электротехнике где Решение задач по электротехнике а полоса контура Решение задач по электротехнике, резонансная частота Решение задач по электротехнике и относительная полоса пропускания контура есть отношение Решение задач по электротехнике или Решение задач по электротехнике.

Вторичные параметры контура: резонансная частота Решение задач по электротехнике или Решение задач по электротехнике волновое (характеристическое) сопротивление контура Решение задач по электротехнике добротность контура Решение задач по электротехнике где Решение задач по электротехнике — внутреннее сопротивление контура; Решение задач по электротехнике — затухание контура.

Задача №45 с решением

Для последовательного колебательного контура (рис. 169) определить вторичные параметры, если Решение задач по электротехнике Решение задач по электротехнике Построить АЧХ и ФЧХ контура по напряжению на активном сопротивлении.

Решение задач по электротехнике

Решение: Резонансная частота контура

Решение задач по электротехнике

Волновое сопротивление контура

Решение задач по электротехнике

Добротность и затухание контура

Решение задач по электротехнике

Полоса пропускания контура

Решение задач по электротехнике

Комплексная передаточная функция по напряжению на активном сопротивлении

Решение задач по электротехнике

Откуда аналитическое выражение для АЧХ

Решение задач по электротехнике

Нормированное АЧХ

Решение задач по электротехнике

ФЧХ

Решение задач по электротехнике

В табл. 2 приведены рассчитанные значения для Решение задач по электротехнике и Теоретические основы электротехники

Решение задач по электротехнике

Графики АЧХ и ФЧХ приведены на рис. 170.

Расчет параметров и частотных характеристик параллельного колебательного контура

Вторичные параметры простого параллельного колебательного контура (рис. 171):

1) резервная частота высокодобротного контура Решение задач по электротехнике

2) характеристическое сопротивление Решение задач по электротехнике

3) входная проводимость контура

Решение задач по электротехнике

при

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

4) активная проводимость контура на резонансной частоте Решение задач по электротехнике

Решение задач по электротехнике

где Решение задач по электротехнике

5) резонансное сопротивление контура

Решение задач по электротехнике

6) добротность контура Теоретические основы электротехники

7) затухание Решение задач по электротехнике

8) внутреннее сопротивление подключенного к контуру (рис. 172) источника Решение задач по электротехнике (сопротивление шунта) ухудшает добротность контура, т. к. ухудшенная добротность

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Частотные характеристики простого параллельного колебательного контура:

1) входное сопротивление

Решение задач по электротехнике

или

Решение задач по электротехнике

2) амплитудно-частотная характеристика

Решение задач по электротехнике

3) нормированная АЧХ

Решение задач по электротехнике

4) фазочастотная характеристика

Решение задач по электротехнике

5) комплексная передаточная функция по току в индуктивной ветви

Решение задач по электротехнике

АЧХ;

Решение задач по электротехнике

6) комплексная передаточная функция по току в емкостной ветви

Решение задач по электротехнике

АЧХ:

Решение задач по электротехнике

Задача №47 с решением

У параллельного колебательного контура (рис. 173)

Решение задач по электротехнике
Электротехника задачи с решением

Определить добротность, полосу пропускания изобразить качественно резонансные кривые для двух случаев: без учёта шунтирующею действия источника энергии; с учётом шунтирующего действия источника энергии; определить мощность контура при резонансе.

Решение: I. Без учёта шунтирующего действия источника энергии добротность

Электротехника задачи с решением

тогда

Электротехника задачи с решением

Полоса пропускания контура

Электротехника задачи с решением

С учетом шунтирующего действия источника энергии

Электротехника задачи с решением

полоса пропускания

Электротехника задачи с решением

Мощность контура при резонансе

Электротехника задачи с решением

Резонансные кривые приведены на рис. 174.

Электротехника задачи с решением

Вывод: шунтирование источником энергии контура увеличивает полосу его пропускания, а значит, ухудшает качество контура.

Классический (временной) метод анализа переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в цепях первого порядка с источником постоянного напряжения. Свободные токи и напряжения в цепях первого порядка

Определение начальных условий

Задача №48 с решением

В схеме на рис. 1 происходит размыкание ключа. Параметры схемы: Электротехника задачи с решением Необходимо определить напряжение Электротехника задачи с решением, возникающее на сопротивлении Электротехника задачи с решением в момент размыкания ключа.

Электротехника задачи с решением

Решение: В задаче необходимо определить зависимые начальные условия Электротехника задачи с решением. Для решения задачи сначала определим независимые начальные условия, к которым в задаче относится ток в индуктивности. До коммутации ток в индуктивности

Электротехника задачи с решением

В соответствии с законом коммутации ток в индуктивности не может изменяться мгновенно:

Электротехника задачи с решением

В результате коммутации образовалась одноконтурная цепь, состоящая из индуктивности Электротехника задачи с решением и сопротивлений Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением. Ток во всех элементах цепи равен Электротехника задачи с решением

Следовательно, искомое напряжение

Электротехника задачи с решением

Численный результат решения задачи показывает важность изучения процессов в электрических цепях в переходных режимах. Представим, что вместо сопротивления Электротехника задачи с решением в рассматриваемой цепи включён вольтметр с высоким входным сопротивлением. В момент размыкания ключа на зажимах вольтметра возникает большое напряжение, которое может привести к аварийной ситуации, если не принять мер по защите оборудования.

Задача №49 с решением

На рис. 2 происходит замыкание ключа. Параметры схемы:

Электротехника задачи с решением

Составить эквивалентную схему замещения цепи для момента времени Электротехника задачи с решением для расчёта зависимых начальных условий.

Электротехника задачи с решением

Решение: Рассчитаем цепь до коммутации с целью определения независимых начальных условий:

Электротехника задачи с решением

Комплексная амплитуда тока в цепи до коммутации равна

Электротехника задачи с решением

Комплексная амплитуда напряжения на ёмкости в цепи до коммутации равна

Электротехника задачи с решением

По найденным комплексным амплитудам тока в индуктивности и напряжения на ёмкости запишем соответствующие мгновенные значения:

Электротехника задачи с решением

Полагая в последних выражениях Электротехника задачи с решением определим независимые начальные условия:

Электротехника задачи с решением

С учетом законов коммутации:

Электротехника задачи с решением

Напряжение источника ЭДС в момент коммутации было равным 0:

Электротехника задачи с решением

Следовательно, источник ЭДС на эквивалентной схеме заменим его внутренним сопротивлением, которое равно 0, т. е. перемычкой. Для эквивалентной замены реактивных элементов в момент Электротехника задачи с решением воспользуемся табл. 1, следующей из законов коммутации. Из таблицы следует, что в момент Электротехника задачи с решением при нулевых начальных условиях индуктивность может быть заменена источником тока Электротехника задачи с решением, а ёмкость — источником ЭДС с напряжением Электротехника задачи с решением.

Электротехника задачи с решением

Так как Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением при расчёте получились отрицательными, на
эквивалентной схеме полярность на включении можно заменить на противоположную, заменив минус в числителях на плюс.

С умётом изложенного эквивалентная схема рассматриваемой цепи, справедливая для момента времени Электротехника задачи с решением, будет иметь вид (рис. 3).

Электротехника задачи с решением

По полученной схсмс можно рассчитать требуемые зависимые начальные условия, используя любые методы расчёта электрических цепей.

Переходный процесс в линейных электрических цепях (ЛЭЦ) первого порядка с сосредоточенными параметрами (рис. 4) описывается линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами:

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

Решение этого уравнения записывается в виде

Электротехника задачи с решением

Здесь Электротехника задачи с решением — свободная составляющая, в которой Электротехника задачи с решением — постоянная интегрирования, определяемая законами коммутации и начальными условиями в цепи, Электротехника задачи с решением — корень характеристического уравнения Электротехника задачи с решением — принужденная составляющая, т. е. ток или напряжение установившегося после окончания переходного процесса режима при Электротехника задачи с решением:

Электротехника задачи с решением

Свободные процессы в rC-цепи

Задача №50 с решением

В схеме на рис. 5 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: Электротехника задачи с решением. Найти и построить зависимости Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением.

Электротехника задачи с решением

Решение: До коммутации (рис. 5) ёмкость Электротехника задачи с решением заряжена до напряжения Электротехника задачи с решением. После замыкания ключа Электротехника задачи с решением ёмкость начинает разряжаться через сопротивление Электротехника задачи с решением и в цепи возникает переходный процесс. В соответствии со вторым законом Кирхгофа для цепи после коммутации можно записать Электротехника задачи с решением Так как Электротехника задачи с решением то получаем линейное однородное дифференциальное уравнение

Электротехника задачи с решением

общее решение которого ищем в виде

Электротехника задачи с решением

Для нахождения корня Электротехника задачи с решением составим характеристическое уравнение: Электротехника задачи с решением откуда Электротехника задачи с решением, где постоянная времени цепи после коммутации Электротехника задачи с решением.

Постоянная интегрирования Электротехника задачи с решением определяется из начальных условий и закона коммутации:

Электротехника задачи с решением

Так как Электротехника задачи с решением а Электротехника задачи с решением то Электротехника задачи с решением откуда Электротехника задачи с решением. Тогда Электротехника задачи с решением

При

Электротехника задачи с решением

График Электротехника задачи с решением приведен на рис. 6.

Электротехника задачи с решением

Ток

Электротехника задачи с решением

При

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

График Электротехника задачи с решением приведен на рис. 7.

Электротехника задачи с решением

Задача №51 с решением

На рис. 8 происходит замыкание ключа. Параметры схемы:

Электротехника задачи с решением

Найти Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением классическим методом и построить графики.

Электротехника задачи с решением

Решение: После коммутации Электротехника задачи с решением Так как Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением то Электротехника задачи с решением Решение этого уравнения: Электротехника задачи с решением

Из характеристического уравнение Электротехника задачи с решением следует

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

Постоянную интегрирования Электротехника задачи с решением найдём из начальных условий и закона коммутации: Электротехника задачи с решением

Так как Электротехника задачи с решением то Электротехника задачи с решением

Тогда Электротехника задачи с решением а Электротехника задачи с решением

При Электротехника задачи с решением График Электротехника задачи с решением приведен на рис. 9.

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

При

Электротехника задачи с решением

График Электротехника задачи с решением приведен на рис. 10.

Электротехника задачи с решением

Переходные процессы в цепях первого порядка

Задача №52 с решением

На рис. 11 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: Электротехника задачи с решением. Найти Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением временным методом и построить графики.

Электротехника задачи с решением

Решение: Согласно второму закону Кирхгофа в цепи после коммутации

Электротехника задачи с решением

Решение будем искать в виде

Электротехника задачи с решением

Принуждённая составляющая Электротехника задачи с решениемв цепи после коммутации в установившемся режиме Электротехника задачи с решением Свободная составляющая Электротехника задачи с решением

Их характеристического уравнения Электротехника задачи с решением найдем

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

Постоянную интегрирования найдем из начальных условий и закона коммутации:

Электротехника задачи с решением

откуда

Электротехника задачи с решением

Окончательно

Электротехника задачи с решением

На графике (рис. 12.)

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

На графике (рис. 13)

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

Задача №53 с решением

На рис. 14 происходит размыкание ключа. Параметры схемы: Электротехника задачи с решением. Найти Электротехника задачи с решением временным методом и построить графики.

Электротехника задачи с решением

Решение: В цепи после коммутации по второму закону Кирхгофа

Электротехника задачи с решением

или

Электротехника задачи с решением

Решение последнего уравнения ищем в виде

Электротехника задачи с решением

Из схемы (см. рис. 14) следует, что принужденная составляющая Электротехника задачи с решением Свободная составляющая имеет вид Электротехника задачи с решением

Корень Электротехника задачи с решением характеристического уровня Электротехника задачи с решением равен Электротехника задачи с решением а Электротехника задачи с решением

Постоянную интегрирования Электротехника задачи с решением найдём исходя из начальных условий и закона коммутации Электротехника задачи с решением

Если

Электротехника задачи с решением

получаем

Электротехника задачи с решением

Тогда

Электротехника задачи с решением

откуда

Электротехника задачи с решением

Окончательно

Электротехника задачи с решением

На графике (рис. 15)

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

Ток

Электротехника задачи с решением

На графике (рис. 16)

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

Задача №54 с решением

На рис. 17 определить напряжение на конденсаторе Электротехника задачи с решением если Электротехника задачи с решением

Электротехника задачи с решением

Решение: Определим независимое начальное условие — напряжение на конденсаторе до коммутации. Ключ разомкнут и конденсатор разряжен, поэтому

Электротехника задачи с решением

ля составления характеристического уравнения запишем систему интегродифференциальных уравнений по законам Кирхгофа. Направления обхода контуров указаны на схеме рис. 17.

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

Решив систему уравнений относительно одной переменной, например Электротехника задачи с решением, получим

Электротехника задачи с решением

Тогда характеристическое уравнение

Электротехника задачи с решением

имеет один корень Электротехника задачи с решением поэтому свободная составляющая будет

Электротехника задачи с решением

Искомое напряжение запишется в виде двух составляющих

Электротехника задачи с решением

В установившемся режиме

Электротехника задачи с решением

Искомая величина

Электротехника задачи с решением

При Электротехника задачи с решением

По закону коммутации независимое начальное условие — напряжение на емкости Электротехника задачи с решением

Следовательно, постоянная интегрирования Электротехника задачи с решением Записываем искомую величину:

Электротехника задачи с решением

Построим ее график (рис. 18).

Электротехника задачи с решением

Переходные процессы в цепях первого порядка без составления дифференциального уравнения

Задача №55 с решением

На рис. 19 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: Электротехника задачи с решением Необходимо определить переходный процесс по напряжению Электротехника задачи с решением на участке цепи.

Электротехника задачи с решением

Решение: Рассчитаем переходный процесс как сумму принуждённой и свободной составляющих: Электротехника задачи с решением

К независимым начальным условиям относится напряжение на ёмкости в момент коммутации. Если не оговорено значение Электротехника задачи с решением, то примем его равным 0: Электротехника задачи с решением. Но истечении достаточно большого времени после замыкания ключа ёмкость зарядится до напряжения источника ЭДС и зарядный ток станет равным 0. Следовательно, напряжение на сопротивлении Электротехника задачи с решением будет равным 0 и принуждённое напряжение на зажимах Электротехника задачи с решением

Так как цепь содержит только один реактивный элемент цепи, то характеристическое уравнение цепи будет иметь один корень и свободная составляющая искомых переходных процессов будет иметь вид

Электротехника задачи с решением

Из характеристического уравнения цепи Электротехника задачи с решением находим значение корня: Электротехника задачи с решением

Тогда Электротехника задачи с решением Подставим найденные принужденную и свободную составляющие в искомое решение: Электротехника задачи с решением

Для нахождения постоянной интегрирования Электротехника задачи с решением рассмотрим решение при Электротехника задачи с решением Для вычисления Электротехника задачи с решением необходимо знать Электротехника задачи с решением, т. е. зависимые начальные условия, которые легко определить по эквивалент ной схеме цени, изображённой на рис. 20 для момента Электротехника задачи с решением (см. пример 2).

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

Подставив найденное значение Электротехника задачи с решением определим постоянную интегрирования: Электротехника задачи с решением тогда Электротехника задачи с решением

С учетом найденного значения Электротехника задачи с решением закон изменения напряжения на замах Электротехника задачи с решением после коммутации запишем в виде

Электротехника задачи с решением

График приведен на рис. 21.

Электротехника задачи с решением

Длительность переходного процесса:

Электротехника задачи с решением

Задача №56 с решением

Па рис. 22 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: Электротехника задачи с решением Найти Электротехника задачи с решением без составления дифференциального уравнения.

Электротехника задачи с решением

Решение: После коммутации напряжение на емкости в установившемся режиме

Электротехника задачи с решением
  • Свободную составляющую Электротехника задачи с решением найдем, используя закон коммутации и начальные условия:
Электротехника задачи с решением

а

Теоретические основы электротехники

откуда

Электротехника задачи с решением

Тогда

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

График Электротехника задачи с решением приведен на рис. 23.

Электротехника задачи с решением

Переходные процессы при скачкообразном изменении схемы цепи

Задача №57 с решением

На рис. 24 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: Электротехника задачи с решением. Найти ток Электротехника задачи с решением классическим методом и построить график.

Электротехника задачи с решением

Решение: После коммутации ток в цепи будет проходить через коротко-замкнутую перемычку Электротехника задачи с решением минуя сопротивление Электротехника задачи с решением. По второму закину Кирхгофа в цепи, изменившейся скачком, можем записать

Электротехника задачи с решением

или

Электротехника задачи с решением

Решение данного уравнения ищем в виде

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

Из закона коммутации Электротехника задачи с решением или Электротехника задачи с решением откуда Электротехника задачи с решением тогда Электротехника задачи с решением

График тока Электротехника задачи с решением приведен на рис. 25.

Электротехника задачи с решением

Дополнительные задачи:

Переходные процессы в цепях первою порядка с источником синусоидального напряжения

Задача №63 с решением

На рис. 35 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: Электротехника задачи с решением Найти Электротехника задачи с решением классическим методом.

Электротехника задачи с решением

Решение: Напряжение на емкости будем искать в виде

Электротехника задачи с решением

Принужденную составляющую находим из уравнения

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

Тогда

Электротехника задачи с решением

а свободная составляющая имеет вид

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

Постоянную интегрирования Электротехника задачи с решением находим из начального условия и закона коммутации: Электротехника задачи с решением или Электротехника задачи с решением откуда Электротехника задачи с решением. Окончательно Электротехника задачи с решением

Дополнительные задачи:

Переходные процессы в цепях второго порядка с источником постоянною напряжения

При подключении Электротехника задачи с решением-цепи к источнику постоянного напряжения (рис. 41) дифференциальное уравнение переходного процесса следующее:

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

Решение этого уравнения ищем в виде

Электротехника задачи с решением

Так как при Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением то Электротехника задачи с решением Для определения постоянных интегрирования при Электротехника задачи с решением берем производную от выражения Электротехника задачи с решением Из системы уравнений

Электротехника задачи с решением

найдем

Электротехника задачи с решением

Корни характеристического уравнения

Электротехника задачи с решением

Тогда окончательно

Электротехника задачи с решением

Переходный процесс зависит от вида корней Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением харакгеристического уравнения. Возможны три случая.

В первом случае корни вещественные, отрицательные и разные и при Электротехника задачи с решением переходный процесс носит апериодический характер. Во втором случае при Электротехника задачи с решением корни вещественные, отрицательные и равные и переходный процесс — критический апериодический. В третьем случае при Электротехника задачи с решением корни комплексно-сопряжённые и характер переходного процесса в схеме после коммутации будет затухающим колебательным:

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

Задача №66 с решением

На рис. 42 происходит отключение источника. Параметры схемы: Электротехника задачи с решением Найти Электротехника задачи с решением классическим методом

Электротехника задачи с решением

Решение: Согласно второму закону Кирхгофа после коммутации в цени происходит только свободный процесс Электротехника задачи с решением, а дифференциальное уравнение

Электротехника задачи с решением

решение которого будем искать в виде Электротехника задачи с решением

Так как

Электротехника задачи с решением

и

Электротехника задачи с решением
  • откуда Электротехника задачи с решением то корни характеристического уравнения Электротехника задачи с решением будут комплексно-сопряженными: Электротехника задачи с решением где Электротехника задачи с решением

Тогда напряжение

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

Задача №67 с решением

На рис. 43 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: Электротехника задачи с решением Найти классическим методом выражение для Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением.

Электротехника задачи с решением

Решение: Вычисляем Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением:

Электротехника задачи с решением

Так как Электротехника задачи с решением меньше Электротехника задачи с решением более чем на один порядок, то можно принять Электротехника задачи с решением тогда

Электротехника задачи с решением

Максимальное значение Электротехника задачи с решением наступает при

Электротехника задачи с решением

тогда

Электротехника задачи с решением

Переходные процессы в цепях второго порядка с источником синусоидального напряжения

При подключении к цепи второго порядка (рис. 44) источника синусоидального напряжения Электротехника задачи с решениемдифференциальное уравнение переходного режима будет следующим:

Электротехника задачи с решением
  • При подключении контура высокой добротности Электротехника задачи с решением или Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

Принужденную составляющую ищем в виде

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

Свободную составляющую ищем в виде

Электротехника задачи с решением

При

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

где Электротехника задачи с решением

График Электротехника задачи с решением в этом случае является изохронизмом (рис. 45).

Электротехника задачи с решением

Если Электротехника задачи с решением то в цепи возникают биения (рис. 46).

Электротехника задачи с решением

Задача №68 с решением

В цепи рис. 47 происходит замыкание ключа. Параметры схемы

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

Найти Электротехника задачи с решением временным методом.

Решение: Решение ищем в виде Электротехника задачи с решением Принужденное напряжение

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

Тогда

Электротехника задачи с решением

а

Электротехника задачи с решением

Из закона коммутации свободное напряжение на конденсаторе равно

Электротехника задачи с решением

Окончательно имеем

Электротехника задачи с решением

Временные характеристики электрических цепей. Переходная и импульсная характеристики

Если на входе линейной электрической цепи (рис. 48) при нулевых начальных условиях — единичная функция воздействия Электротехника задачи с решением то выходная величина — переходная характеристика, т. е. Электротехника задачи с решением.

Электротехника задачи с решением

Физический смысл Электротехника задачи с решением.

  1. Если на входе цепи напряжение Электротехника задачи с решением и на выходе также измеряется напряжение Электротехника задачи с решением, то переходная характеристика Электротехника задачи с решением — это коэффициент передачи цепи по напряжению Электротехника задачи с решением, если же на выходе цепи измеряется ток Электротехника задачи с решением, то в этом случае переходная характеристика есть проводимость Электротехника задачи с решением
  2. Если же на входе цепи ток Электротехника задачи с решением и на выходе также измеряется ток Электротехника задачи с решением, то переходная характеристика Электротехника задачи с решением — это коэффициент передачи цепи по току Электротехника задачи с решением если же па выходе измеряется напряжение Электротехника задачи с решением то в этом случае переходная характеристика Электротехника задачи с решением есть сопротивление Электротехника задачи с решением
  3. Если же на входе цепи (рис. 49) дельта-функция, т. е. Электротехника задачи с решением, то на выходе импульсная характеристика: Электротехника задачи с решением.
Электротехника задачи с решением

Так как Электротехника задачи с решением-функция является первой производной Электротехника задачи с решением от единичной функции, то между Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением существует следующая связь:

Электротехника задачи с решением

При нулевых начальных условиях

Электротехника задачи с решением

Для схемы рис. 50

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

Тогда переходные характеристики соответственно по напряжению на ёмкости, на сопротивлении и но току в цени:

Электротехника задачи с решением

а импульсные характеристики равны:

Электротехника задачи с решением

Задача №69 с решением

На рис. 51

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

Найти Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением по выходному напряжению Электротехника задачи с решением цепи временным методом.

Электротехника задачи с решением

Решение: При подаче на вход цепи единичной функции включения Электротехника задачи с решением выходное напряжение Электротехника задачи с решением где

Электротехника задачи с решением

Принужденная составляющая

Электротехника задачи с решением

Постоянная интегрирования

Электротехника задачи с решением

т.к.

Электротехника задачи с решением

то

Электротехника задачи с решением

Тогда

Электротехника задачи с решением

а

Электротехника задачи с решением

Импульсная характеристика

Электротехника задачи с решением

Графики Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением представлены соответственно на рис. 52 и 53.

Электротехника задачи с решением

Задача №70 с решением

На рис. 54 Электротехника задачи с решением На вход цепи действует единичная функция включения Электротехника задачи с решением. Найти Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением временным методом

Электротехника задачи с решением

Решение: Значение переходной характеристики в момент подключения Электротехника задачи с решением

Электротехника задачи с решением

т.к. Электротехника задачи с решением поэтому

Электротехника задачи с решением

Так как Электротехника задачи с решением то Электротехника задачи с решением

Электротехника задачи с решением

Переходная характеристика

Электротехника задачи с решением

Импульсная характеристика

Электротехника задачи с решением

Графики Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением приведены на рис. 55 и 56 соответственно.

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

Интеграл Дюамеля

При определении реакции цепи на воздейсчвие произвольной формы используется принцип наложения: входное произвольное воздействие цепи представляют в виде суммы типовых воздействий (в частности, в виде единичных функций включения или дельта-функций), затем определяют отклик цепи на типовое воздействие и далее, суммируя отклики на типовые воздействия, получают отклик цепи на входное воздействие.

Например, отклик цепи па ступенчатое воздействие записывается в виде

Электротехника задачи с решением

Перейдя от суммы к интегралу, получим первую форму интеграла наложения или интеграла Дюамеля:

Электротехника задачи с решением

Все шесть форм интеграла Дюамеля приведены в прил. 1.

Если входное произвольное воздействие цепи представить в виде суммы такого типового воздействия, как дельта-функция или суммы коротких импульсов, то отклик будет равен интегралу от свертки входного сигнала Электротехника задачи с решением и импульсной характеристики Электротехника задачи с решением цепи:

Электротехника задачи с решением

Задача №71 с решением

На рис. 57 Электротехника задачи с решением входное воздействие имеет вил, как показано на рис. 58, где Электротехника задачи с решением Найти Электротехника задачи с решением методом интегралов наложения и построить график.

Электротехника задачи с решением

Решение: Аналитическая запись входного воздействия

Электротехника задачи с решением

Переходная характеристика по выходному напряжению

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

откуда

Электротехника задачи с решением

В результате

Электротехника задачи с решением

Импульсная характеристика по выходному напряжению

Электротехника задачи с решением

Определим выходное напряжение Электротехника задачи с решением, используя пятую форму интеграла Дюамеля (см. прил. 1): Электротехника задачи с решением Реакция цепи (т. е. выходное напряжение) на интервале Электротехника задачи с решением

Электротехника задачи с решением

Реакция цепи на интервале Электротехника задачи с решением

Электротехника задачи с решением

Проверка решения. В точке Электротехника задачи с решением на графике Электротехника задачи с решением при Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением

Электротехника задачи с решением

Числовые значения Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением:

Электротехника задачи с решением

График зависимости Электротехника задачи с решением приведен на рис. 59.

Электротехника задачи с решением

Задача №72 с решением

На вход цепи (рис. 60) с параметрами Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением подаётся линейно нарастающее напряжение (рис. 61) с углом Электротехника задачи с решением.

Найти выходное напряжение Электротехника задачи с решением с помощью интегралов Дюамеля и построить график.

Теоретические основы электротехники

Решение: Переходная характеристика Электротехника задачи с решением-цепи имеет вид Электротехника задачи с решением

Входное напряжение

Электротехника задачи с решением

где Электротехника задачи с решением

Найдем напряжение Электротехника задачи с решением, используя первую форму интеграла Дюамеля (см. прил. 1):

Электротехника задачи с решением

Поскольку

Электротехника задачи с решением

то

Электротехника задачи с решением

График напряжений Электротехника задачи с решением приведен на рис. 62.

Электротехника задачи с решением

Дополнительные задачи:

Операторный метод анализа переходных процессов в линейных электрических цепях. Основные свойства и теоремы преобразований Лапласа

Суть операторного метода, основанного на преобразованиях Лапласа, заключается в том, что функции действительной переменной Электротехника задачи с решением (т. е. временные) преобразуют в функции комплексной переменной Электротехника задачи с решением (т. е. переносят на комплексную плоскость). При этом снижается на единицу степень дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс в цепи, что упрощает решение задачи.

Облегчает решение задачи и обратный переход от переменной Электротехника задачи с решением к Электротехника задачи с решением с помощью таблиц преобразовании, которые созданы Лапласом для большого числа функций.

Переход от временной функции Электротехника задачи с решением, которую называют оригиналом, к функции на комплексной плоскости Электротехника задачи с решением, которую называют изображением Электротехника задачи с решением, осуществляют с помощью прямою преобразования Лапласа:

Электротехника задачи с решением

Переход от функции комплексной переменной Электротехника задачи с решением к функции действительной переменной Электротехника задачи с решением осуществляют с помощью обратного преобразования Лапласа:

Электротехника задачи с решением

Свойства преобразований Лапласа приведены в прил. 2. Теоремы преобразований Лапласа приведены в прил. 3. Таблица преобразований Лапласа для некоторых функций приведена в прил. 4.

Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме

Для схемы на рис. 113 и ее эквивалентной операторной схемы (или схемы замещения) на рис. 114 можно записать соответственно ннтегродифференциальное уравнение:

Электротехника задачи с решением

и на основании свойства линейности преобразования Лапласа и теорем дифференцирования и интегрирования (см. прил. 2 и 3) операторное уравнение для изображений:

Электротехника задачи с решением

откуда закон Ома в операторной форме имеет вид Электротехника задачи с решением, где Электротехника задачи с решением — операторное сопротивление Электротехника задачи с решением — приведенная операторная ЭДС.

Электротехника задачи с решением

Первый закон Кирхгофа в операторной форме

Электротехника задачи с решением

Второй закон Кирхгофа в операторной форме

Теоретические основы электротехники

где

Электротехника задачи с решением

или

Электротехника задачи с решением

здесь

Электротехника задачи с решением

Задача №75 с решением

В схеме на рис. 115 Электротехника задачи с решениемЭлектротехника задачи с решением. Найти ток Электротехника задачи с решением операторным методом и построить график.

Электротехника задачи с решением

Решение: Эквивалентная операторная схема приведена на рис. 116.

Электротехника задачи с решением

Ток в индуктивности по закону Ома в операторной форме

Электротехника задачи с решением

Оригинал тока Электротехника задачи с решением по таблице изображений Лапласа (см. прил. 4)

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

Ток в индуктивности до коммутации

Электротехника задачи с решением

Тогда

Электротехника задачи с решением

График тока Электротехника задачи с решением приведен на рис. 117.

Электротехника задачи с решением

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Дополнительные задачи:

Связь операторных передаточных функций цепи с временными характеристиками

Для четырехполюсника рассматривают операторную передаточную функцию по напряжению Теоретические основы электротехники, по току Электротехника задачи с решением, операторное передаточное сопротивление Электротехника задачи с решением и операторную передаточную проводимость Электротехника задачи с решением. Для двухполюсника это операторное входное сопротивление Электротехника задачи с решением и проводимость Электротехника задачи с решением. При замене у комплексной передаточной функции Электротехника задачи с решением переменной Электротехника задачи с решением оператором Электротехника задачи с решением получают операторную передаточную функцию:

Электротехника задачи с решением

Связь между операторной передаточной функцией Электротехника задачи с решением и временными характеристиками Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением следует из уравнения Электротехника задачи с решением (рис. 134.)

Так как изображение единичной функции включения Электротехника задачи с решением (рис. 135), то для переходной характеристики Электротехника задачи с решением. Если изображение дельта—функции Электротехника задачи с решением (рис. 136), то импульсная характеристика Электротехника задачи с решением имеет изображение Электротехника задачи с решением, т.е. Электротехника задачи с решением.

Электротехника задачи с решением

Задача №83 с решением

На рис. 137 Электротехника задачи с решением. Найти операторную передаточную функцию по напряжению Электротехника задачи с решением и временные характеристики Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением. Построить графики Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением.

Электротехника задачи с решением

Решение: Операторная передаточная функция по напряжению

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

Импульсная характеристика

Электротехника задачи с решением

Из преобразований Лапласа (см. прил. 4) следует, что

Электротехника задачи с решением

Переходная характеристика

Электротехника задачи с решением

Используя прил. 4, получим

Электротехника задачи с решением

Графики Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением представлены на рис. 138.

Электротехника задачи с решением

Теоретические основы электротехники с примерами решения задач и заданий

Теоретические основы электротехники (ТОЭ ) — техническая дисциплина, связанная с изучением теории электричества и электромагнетизма. ТОЭ подразделяется на две части — теорию электрических цепей и теорию поля. Изучение ТОЭ является обязательным во многих технических ВУЗах, поскольку на знании этой дисциплины строятся все последующие: электротехника, автоматика, энергетика, приборостроение, микроэлектроника, радиотехника и другие.

Основные явления электромагнитного поля

  1. Основные явления электромагнитного поля, применяемые в теории электрических цепей
  2. Проводники, диэлектрики и полупроводники
  3. Электрические токи проводимости, переноса и смещения
  4. Электродвижущая сила (ЭДС)

Основные понятия и законы магнитного поля

  1. Магнитная индукция и напряженность магнитного поля
  2. Понятие магнитного потока
  3. Закон полного тока

Явление электромагнитной индукции

  1. Закон электромагнитной индукции
  2. Электродвижущая сила самоиндукции и коэффициент самоиндукции
  3. Электродвижущая сила взаимной индукции. Взаимная индуктивность контуров. Принцип электромагнитной инерции.
  4. Энергия магнитного поля катушки индуктивности, плотность энергии магнитного поля

Основные понятия и законы теории электрических цепей

  1. Электрическая цепь и ее основные элементы
  2. Пассивные идеальные элементы. Идеальный резистор. Идеальная катушка индуктивности. Идеальный конденсатор.

Задачи с решением

Задача №2.1.

Определить внешнюю индуктивность провода длиной Задачи по электротехнике (рисунок 2.3), при условии, что Задачи по электротехнике а среда — воздух. Магнитное потокосцепление, созданное током провода, учитывать через площадку Задачи по электротехнике с размером Задачи по электротехникеЗадачи по электротехнике. Вычислить внешнюю индуктивность единицы длины провода.

Решение:

Магнитное поле провода длиной Задачи по электротехнике обладает осевой симметрией, т.е. все точки цилиндрической поверхности, ось которой совпадает с осью провода, равноудалены от источника поля и величина вектора напряженности магнитного поля одинакова, а направление вектора напряженности магнитного поля определим разбив весь провод на симметричные пары элементов Задачи по электротехнике и Задачи по электротехнике с током провода Задачи по электротехнике. Определяем приращение индукции магнитного поля от элементов Задачи по электротехнике и Задачи по электротехнике по закону Био — Савара — Лапласа (1.28):

Задачи по электротехнике

Так как Задачи по электротехнике выбираем равным Задачи по электротехнике, а катет Задачи по электротехнике общий, то учитывая, что отрезок Задачи по электротехнике перпендикулярен проводу с током Задачи по электротехнике, Задачи по электротехнике, т.е. Задачи по электротехнике и величина Задачи по электротехнике.

Направления векторов Задачи по электротехнике и Задачи по электротехнике находим по правилу раскрытия векторного произведения. Т.е. направления векторов Задачи по электротехнике и Задачи по электротехнике совпадают. Аналогичные направления будут от приращения Задачи по электротехнике всех пар с током Задачи по электротехнике. Поскольку вектора Задачи по электротехнике и Задачи по электротехнике направлены перпендикулярно к плоскости, в которой лежит треугольник Задачи по электротехнике, то вектор магнитной индукции Задачи по электротехнике и вектор напряженности Задачи по электротехнике от всего провода будут всегда перпендикулярны к радиусу Задачи по электротехнике окружности с центром в точке 0. в соответствии с законом полного тока (1.25)

Задачи по электротехнике

учитывая, что Задачи по электротехнике для всех точек окружности Задачи по электротехнике и Задачи по электротехнике,

Задачи по электротехнике
Задачи по электротехнике
Задачи по электротехнике

Рассчитаем магнитное потокосцепление провода. Введем ось переменной Задачи по электротехнике с началом в центре провода (рисунок 2.5).

На рисунке 2.5 представлен разрез провода Задачи по электротехнике и вектор индукции магнитного поля Задачи по электротехнике. Магнитное потокосцепление провода вычислим через площадку Задачи по электротехнике (рисунок 2.3), учитывая симметричный характер магнитного поля.

Вектор магнитной индукции Задачи по электротехнике для всех точек площадки Задачи по электротехнике (рисунок 2.3):

Задачи по электротехнике

Внешняя индуктивность провода Задачи по электротехнике:

Задачи по электротехнике

Индуктивность единицы длины провода Задачи по электротехнике:

Задачи по электротехнике

Задача №2.2.

Рассчитать внешнюю индуктивность единицы длины двухпроводной воздушной линии с током Задачи по электротехнике, если Задачи по электротехнике (рисунок 2.6).

Решение:

В этом случае воспользуемся принципом наложения для линейных сред и рассчитаем магнитное поле линии как результат векторного суммирования магнитных полей, созданных каждым проводом в отдельности. Тогда в некоторой точке Задачи по электротехнике на оси Задачи по электротехнике индукция результирующего магнитного поля Задачи по электротехнике:

Задачи по электротехнике

Здесь Задачи по электротехнике — индукция магнитного поля, созданного первым током Задачи по электротехнике, а Задачи по электротехнике, -индукция магнитного поля, созданного током Задачи по электротехнике второго провода. Величины

Задачи по электротехнике
Задачи по электротехнике

Направления векторов Задачи по электротехнике и Задачи по электротехнике совпадают, что позволяет перейти к алгебраическому суммированию векторов:

Задачи по электротехнике

Рассчитаем поток вектора магнитной индукции через площадь прямоугольника Задачи по электротехнике (рисунок 2.6):

Задачи по электротехнике

Индуктивность единицы длины линии Задачи по электротехнике:

Задачи по электротехнике

Если Задачи по электротехнике, то Задачи по электротехнике. Т.е. индуктивность двухпроводной линии будет в два раза больше, чем одного провода. При уменьшении величины Задачи по электротехнике внешняя индуктивность двухпроводной линии уменьшается до нуля.

Задача №2.3.

Задана двухпроводная воздушная линия постоянного тока Задачи по электротехнике, в магнитном поле которой расположена катушка индуктивности (рисунок 2.7 а) прямоугольной формы со сторонами Задачи по электротехнике и Задачи по электротехнике и числом витков Задачи по электротехнике. Считая длину

Задачи по электротехнике

линии намного больше расстояния Задачи по электротехнике между проводами, рассчитать коэффициент взаимной индукции Задачи по электротехнике между линией и катушкой, если катушка расположена в параллельной плоскости проводов на расстоянии Задачи по электротехнике.

Решение:

Воспользуемся принципом наложения для расчета магнитного потока, созданного двухпроводной линией и сцепленного с одним витком катушки.

Задачи по электротехнике

Для расчета магнитного потокосцепления, созданного первым проводом с одним витком катушки, воспользуемся сечением на рисунке 2.7 6 и результатом расчета вектора магнитной напряженности одного провода с током (пример 2.1):

Задачи по электротехнике

где Задачи по электротехнике — площадь одного витка катушки; Задачи по электротехнике — ток первого провода; Задачи по электротехнике — расстояние от оси первого провода до произвольной точки Задачи по электротехнике на поверхности витка (изменяется от Задачи по электротехнике до Задачи по электротехнике); Задачи по электротехнике — угол между вектором Задачи по электротехнике и единичным вектором Задачи по электротехнике.

В процессе интегрирования угол Задачи по электротехнике изменяется от 90° в точке Задачи по электротехнике до величины Задачи по электротехнике в точке Задачи по электротехнике.

Задачи по электротехнике

На рисунке 2.7 6 из точки Задачи по электротехнике восстановлена ось Задачи по электротехнике, совпадающая по направлению с шириной рамки Задачи по электротехнике. Вектора напряженности магнитного поля Задачи по электротехнике и индукции магнитного поля Задачи по электротехнике построены по направлению, совпадающему с направлением касательной к окружности (силовой линии) в точках поверхности Задачи по электротехнике витка.

Учитывая осевую симметрию поля Задачи по электротехнике (во всех точках площадки Задачи по электротехнике величина индукции Задачи по электротехнике одинакова), перейдем к одной переменной интегрирования Задачи по электротехнике так как Задачи по электротехнике, получим:

Задачи по электротехнике

Расчет магнитного потокосцепления Задачи по электротехнике выполняем аналогично по рисунку 2.8. На рисунке 2.8. построены вектора магнитной индукции Задачи по электротехнике, напряженности магнитного поля Задачи по электротехнике, от второго проводника с учетом обратного направления тока Задачи по электротехнике (к нам):

Задачи по электротехнике

где Задачи по электротехнике— площадь одного витка катушки; Задачи по электротехнике — ток второго провода; Задачи по электротехнике — расстояние от оси второго провода до произвольной точки Задачи по электротехнике на поверхности витка (изменяется от Задачи по электротехнике до Задачи по электротехнике); Задачи по электротехнике — угол между вектором Задачи по электротехнике и единичным вектором Задачи по электротехнике.

С учетом осевой симметрии поля Задачи по электротехнике, перейдем к одной переменной интернирования Задачи по электротехнике так как Задачи по электротехнике, получим:

Задачи по электротехнике

Магнитное потокосцепление всех витков Задачи по электротехнике:

Задачи по электротехнике

Коэффициент магнитной индукции Задачи по электротехнике определяем из соотношения:

Полученная формула универсальна. Для любого нового расположения катушки при соблюдении параллельности сторон Задачи по электротехнике катушки результат вычисления в общем виде аналогичен.

Для данного примера:

Задачи по электротехнике
Задачи по электротехнике

Задача №2.4.

Рассчитать энергию, запасенную в магнитном поле катушки с кольцевым сердечником, предполагая это поле равномерным (рисунок 2.9), и коэффициент самоиндукции Задачи по электротехнике. Все величины заданы на рисунке в общем виде, как и Задачи по электротехнике.

Решение:

Воспользуемся формулой (1.42) для расчета энергии магнитного поля:

Задачи по электротехнике

В соответствии с законом полного тока:

Задачи по электротехнике

Учитывая равномерность поля в катушке:

Задачи по электротехнике

что позволяет рассчитать напряженность магнитного поля:

Задачи по электротехнике
Задачи по электротехнике

Следовательно:

Задачи по электротехнике

где

Задачи по электротехнике

Индуктивность катушки можно определить для внешнего магнитного поля, воспользовавшись общим определением:

Задачи по электротехнике

Подставив в последнюю формулу выражение Задачи по электротехнике, получим:

Задачи по электротехнике

Задача №2.5.

Рассчитать индуктивность одножильного кабеля (рисунок 2.13) полагая, что внутренний провод является прямым, а наружный — обратным. Магнитным потоком в обратном проводе пренебречь ввиду малой толщины этого провода. Геометрические размеры и величину магнитной проницаемости материалов считать заданными в общем виде, где: Задачи по электротехнике — длина кабеля; Задачи по электротехнике — радиус жилы; Задачи по электротехнике — внутренний радиус оболочки.

Задачи по электротехнике

Решение:

Расчет магнитного поля для заданного примера выполняем с учетом осевой симметрии поля по диапазонам значения Задачи по электротехнике (см. пример 2.1).

При значениях Задачи по электротехнике выбираем силовую магнитную линию. Так как все точки этой окружности равноудалены от источника поля, величина напряженности магнитного поля постоянна и в соответствии с законом полного тока:

Задачи по электротехнике

где Задачи по электротехнике — расстояние от оси кабеля до точки, в которой определяется Задачи по электротехнике; Задачи по электротехнике — площадь круга с радиусом Задачи по электротехнике.

Эта формула верна при постоянном токе Задачи по электротехнике. Рассчитаем магнитное потокосцепление внутри внутреннего провода (жилы) через площадку Задачи по электротехнике, где Задачи по электротехнике — длина кабеля. Магнитное потокосцепление через заштрихованную площадку Задачи по электротехнике:

Задачи по электротехнике

а через всю площадь Задачи по электротехнике:

Задачи по электротехнике

Магнитное поле обратного провода не учитывается в соответствии с законом полного тока.

Расчет магнитного потокосцепления в слое изоляции Задачи по электротехнике, т.е. через площадку Задачи по электротехнике (рисунок 2.11).

Напряженность магнитного поля в слое изоляции Задачи по электротехнике в соответствии с законом полного тока определяется как в примере 2.1:

Задачи по электротехнике
Задачи по электротехнике

Магнитное потокосцепление в слое изоляции:

Задачи по электротехнике

Индуктивность кабеля:

Задачи по электротехнике

Задача №2.6.

Рассчитать емкость плоского конденсатора в общем виде (рисунок 2.12), пренебрегая искажением поля у краев пластин и считая поле между пластинами однородным.

Решение:

Для случая Задачи по электротехнике можно считать при параллельном расположении пластин и идеальном диэлектрике, что в любой плоскости между пластинами и параллельной пластинам все точки одинаково расположены по отношению к заряженным пластинам и, следовательно, имеют равные потенциалы и характеристики Задачи по электротехнике и Задачи по электротехнике. Если воспользоваться теоремой Гаусса для параллелепипеда Задачи по электротехнике, учитывая, что поток вектора Задачи по электротехнике через грань Задачи по электротехнике равен нулю, из-за отсутствия поля вне объема конденсатора, поток вектора электрической индукции будет равен:

Задачи по электротехнике

где Задачи по электротехнике — поверхностная плотность электрических зарядов пластины; Задачи по электротехнике — площадь поверхности электрода.

Так как величина заряда пластины Задачи по электротехнике не зависит от размера Задачи по электротехнике, следовательно, учитывая Задачи по электротехнике, приходим к выводу о равномерности поля для всех точек внутри конденсатора. Уменьшая размеры параллелепипеда до элементарного объема, можно получить равенство Задачи по электротехнике, или Задачи по электротехнике для любой точки на поверхности пластины.

По определению:

Задачи по электротехнике

где Задачи по электротехнике — напряженность электрического поля, равная

Задачи по электротехнике

Задача №2.7.

Получить формулу для емкости одножильного кабеля (рисунок 2.13) в общем виде. Размеры указаны на чертеже. Задачи по электротехнике — радиус внутреннего электрода (жилы), a Задачи по электротехнике — внутренний радиус второго электрода (оболочки). Диэлектрическая проницаемость диэлектрика — Задачи по электротехнике — длина кабеля.

Решение:

Рассмотрим сечение кабеля на рисунке 2.14. Внутренняя жила кабеля 1 подключена к положительному зажиму источника питания, а оболочка 2 подключена к отрицательному зажиму источника питания. В результате происходит зарядка жилы зарядом + Задачи по электротехнике и оболочки зарядом — Задачи по электротехнике.

Рассмотрим характер электростатического поля, созданного электродами. Выбираем произвольную точку Задачи по электротехнике в диэлектрике и соединим центральную точку Задачи по электротехнике с точкой а отрезком Задачи по электротехнике. Так, как свободные электрические заряды жилы и оболочки противоположного знака, то под действием сил притяжения они перемещаются на поверхность. Так как система проводников носит коаксиальный характер (соосный), то заряды располагаются по поверхности проводников равномерно с плотностью Задачи по электротехнике и Задачи по электротехнике.

Задачи по электротехнике

Выбираем на поверхности жилы на расстоянии Задачи по электротехнике две одинаковые площадки Задачи по электротехнике и Задачи по электротехнике, симметрично расположенные относительно точки к. центры этих площадок — точки Задачи по электротехнике и Задачи по электротехнике Заряды на площадках Задачи по электротехнике и Задачи по электротехнике соответственно Задачи по электротехнике и Задачи по электротехнике, одинаковы: Задачи по электротехнике. Прямоугольные треугольники Задачи по электротехнике и Задачи по электротехнике равны друг другу, так как Задачи по электротехнике, а сторона Задачи по электротехнике общая, следовательно, Задачи по электротехнике.

Напряженность электрического поля в точке а, созданная зарядами Задачи по электротехнике и Задачи по электротехнике:

Задачи по электротехнике

где

Задачи по электротехнике

так как Задачи по электротехнике

Задачи по электротехнике

Следовательно, Задачи по электротехнике, а вектор Задачи по электротехнике имеет только радиальную составляющую, совпадающую по направлению с отрезком Задачи по электротехнике.

Если окружность с радиусом Задачи по электротехнике разбить на симметричные пары участков, то все пары внесут в вектора напряженности электрического поля в точке а только радиальные составляющие.

Все точки окружности с радиусом Задачи по электротехнике, как и все точки цилиндрической поверхности, имеют одинаковую напряженность электрического поля в связи с одинаковым расположением относительно заряженных поверхностей. Такое поле называют осесимметричным. Так как вектор электрической индукции Задачи по электротехнике, то воспользуемся теоремой Гаусса для определения вектора напряженности электрического поля по потоку вектора Задачи по электротехнике через цилиндрическую поверхность Задачи по электротехнике единицы длины кабеля:

Задачи по электротехнике

где Задачи по электротехнике — площадь поверхности цилиндра с радиусом Задачи по электротехнике; Задачи по электротехнике — площадь поверхности жилы; Задачи по электротехнике — заряд жилы на единицу длины, Задачи по электротехнике — поверхностная плотность заряда.

Следовательно, Задачи по электротехнике, Задачи по электротехнике.

Разность потенциалов между жилой и оболочкой (точки 1, 2 рисунок 2.14):

Задачи по электротехнике

Следовательно:

Задачи по электротехнике

Задача №2.8.

Получить выражение для емкости единицы длины двухпроводной линии передачи электрической энергии длиной Задачи по электротехнике с цилиндрическими проводами (рисунок 2.15) без учета влияния земли. При этом следует считать, что радиус провода Задачи по электротехнике поперечного сечения проводов значительно меньше расстояния Задачи по электротехнике между ними и Задачи по электротехнике.

Задачи по электротехнике

Решение:

Для воздушных линий электропередачи обычно Задачи по электротехнике и заряды распределяются равномерно по длине каждого провода и влиянием конечного размера длины можно пренебречь.

Результирующее электрическое поле можно рассчитать по принципу наложения двух электрических полей проводов (жил) заряженных линейными плотностями равных зарядов + Задачи по электротехнике и — Задачи по электротехнике по величине и противоположных по знаку. Напряженность электрического поля, созданного первым проводом, можно определить по формуле для жилы предыдущего примера 2.7:

Задачи по электротехнике

а напряженность электрического поля, созданного вторым проводом:

Задачи по электротехнике

Характер электрического поля каждого из проводов носит осимметричный характер и имеет только радиальную составляющую.

Напряженность результирующего электрического поля:

Задачи по тоэ

так как оба вектора направлены одинаково, можно перейти к скалярному уравнению:

Задачи по тоэ

На основании формулы (1.6) рассмотрим разность электрических потенциалов Задачи по тоэ между проводами 1 и 2 вдоль линейного отрезка:

Задачи по тоэ

Для второго интеграла перейдем к новой переменной интегрирования Задачи по тоэ, следовательно, Задачи по тоэ и разность потенциалов определяется выражением:

Задачи по тоэ

Следовательно, искомая емкость:

Задачи по тоэ

Схемы замещения реальных электротехнических устройств

  1. Схемы замещения реальных электротехнических устройств
  2. Линейные и нелинейные идеальные пассивные элементы и электрические цепи
  3. Электрические цепи с сосредоточенными и распределенными параметрами
  4. Активные идеальные элементы
  5. Основные топологические понятия схемы электрической цепи

Основные задачи теории электрических цепей

Задачи теории электрических цепей делят на две группы. К первой группе относят задачи анализа. Целью задач анализа является расчет электрических процессов в заданных электрических цепях: при заданной конфигурации электрической цепи и заданными величинами всех элементов цепи необходимо рассчитать величины токов в ветвях и падений напряжений на элементах.

Вторая группа задач — задачи синтеза, когда необходимо отыскать конфигурацию электрической цепи и характеристики элементов, при которых электрический процесс в цепи будет подчиняться заданному режиму, заданным величинам токов и напряжений, т.е. целью синтеза является обратная задача. В данном пособии решается первая группа задач.

При этом, линейные электрические цепи постоянного тока являются наиболее простыми для вывода основных методов расчета и доказательства теорем. При расчете линейных цепей синусоидального тока применимы в дальнейшем все методы расчета, формулы и теоремы, полученные для линейных цепей постоянного тока.

Линейные электрические цепи постоянного тока с сосредоточенными параметрами. Основные положения и законы

  1. Определение линейных электрических цепей постоянного тока и законы Кирхгофа
  2. Закон Ома для ветви, содержащей ЭДС
  3. Потенциальная диаграмма
  4. Баланс мощностей

Метод эквивалентного преобразования электрических цепей

Сущность и цель преобразований

Цель преобразования электрических цепей состоит в упрощении схем путем эквивалентных преобразований, приводящих к уменьшению числа ветвей и узлов. Эквивалентные преобразования входят во все методы расчета в качестве первого шага в последовательностях расчета. Под эквивалентными преобразованиями мы будем понимать преобразования одной части схемы, при которых в остальной части величины токов и напряжений остаются неизменными, как и сама схема.

Задачи с решением

Задача №3.4.

Рассчитать напряжение Задачи по тоэ (рисунок 3.17), если величины элементов имеют значения:

Задачи по тоэ
Задачи по тоэ

Решение:

Выбираем направление обхода контура по часовой стрелке. По первому закону Кирхгофа можно составить уравнение для расчета тока Задачи по тоэ:

Задачи по тоэ

По второму закону Кирхгофа можно составить уравнение и рассчитать Задачи по тоэ:

Задачи по тоэ

Следовательно:

Задачи по тоэ

Эквивалентные преобразования резисторов, включенных в виде «треугольника» или трехлучевой «звезды»

Эквивалентные преобразования участков цепи с источниками энергии

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

Матричная форма уравнений по методу непосредственного применения законов Кирхгофа (МНЗ)

Примеры расчета по методу непосредственного применения законов Кирхгофа

Задача №3.7.

Рассчитать токи Задачи по тоэ и Задачи по тоэ методом непосредственного применения законов Кирхгофа, если:

Задачи по тоэ
Задачи по тоэ

Решение:

Первый этап. Выбираем направления токов в ветвях схемы и упрощаем электрическую цепь путем преобразования ветви с источником тока Задачи по тоэ. Так как внутреннее сопротивление источника тока бесконечно,a Задачи по тоэ конечное, последнее исчезает, а вместо одной ветви с источником тока можно зарисовать две ветви с источником тока (рисунок 3.42).

Применяем эквивалентное преобразование параллельных ветвей с источником тока, получаем упрощенную цепь (рисунок 3.43.), где Задачи по тоэ.

В упрощенной схеме на две ветви и на два узла меньше, чем в предыдущей схеме. Число неизвестных токов три, а узлов — два.

Задачи по тоэ

Второй этап. По первому закону Кирхгофа составляем одно уравнение Задачи по тоэ для первого узла:

Задачи по тоэ

Третий этап. По второму закону Кирхгофа составляем два недостающих уравнения для независимых контуров I и II.

Задачи по тоэ
Задачи по тоэ

Подставляем значения величин в уравнения (3.28) и (3.29), получаем:

Задачи по тоэ

Четвертый этап. Решаем полученную систему с помощью определителей:

Задачи по тоэ

Ток Задачи по тоэ в схеме, изображенной на рисунке 3.41, находим по первому закону Кирхгофа для узла 4:

Задачи по тоэ

Ток Задачи по тоэ находим по уравнению Задачи по тоэ для узла 3.

Пятый этап. Проверим достоверность полученных результатов по выполнению баланса мощностей для заданной электрической цепи (рисунок 3.41):

Задачи по тоэ

Напряжение Задачи по тоэ на зажимах источника тока можно вычислить по уравнению, составленному по второму закону Кирхгофа для контура III (рисунок 3.41):

Задачи по тоэ

Следовательно:

Задачи по тоэ

Подставляем полученные значения в уравнение 3.31:

Задачи по тоэ

Расчет выполнен верно.

Недостаток метода непосредственного применения законов Кирхгофа связан с необходимостью составления и решения большого количества уравнений, если не производить упрощения электрических цепей.

Задача №3.8.

Рассмотрим пример решения задачи, где необходимо рассчитать параметры источника энергии. Рассчитать токи и напряжения на всех участках электрической цепи и значение напряжения источника ЭДС Задачи по тоэ для схемы на рисунке 3.44, если

Задачи по тоэ
Задачи по тоэ

Направление токов указано на схеме (рисунок 3.44).

Задачи по тоэ

Решение:

Схема достаточно проста, поэтому по второму этапу составим уравнение по первому закону Кирхгофа для второго узла. А по третьему этапу составим уравнения по второму закону Кирхгофа для первого и второго контуров:

для узла 2

Задачи по тоэ

для первого контура

Задачи по тоэ

для второго контура

Задачи по тоэ

Общее число неизвестных величин токов Задачи по тоэ и ЭДС Задачи по тоэ — четыре, поэтому систему уравнений (3.33) — (3.35) дополняем четвертым уравнением по закону Ома:

Задачи по тоэ

По четвертому этапу решаем уравнение (3.35) относительно тока Задачи по тоэ, подставляя параметры элементов Задачи по тоэ откуда:

Задачи по тоэ

Из уравнения (3.33) находим:

Задачи по тоэ

Величину ЭДС Задачи по тоэ вычисляем из уравнения (3.34):

Задачи по тоэ

Для линейных электрических цепей наиболее часто применяется метод контурных токов и метод узловых потенциалов, которые основаны на различных вариантах решения уравнений, составленных по законам Кирхгофа.

Примеры расчёта методом контурных токов (MKT)

Задача №3.10.

Для электрической цепи, схема которой изображена на рисунке 3.49 выполнить расчёт токов в ветвях электрической цепи, если параметры элементов имеют следующие значения:

Задачи по тоэ
Задачи по тоэ

Решение:

На первом этапе упростим электрическую схему, заменив источник тока на источник ЭДС:

Задачи по тоэ
Задачи по тоэ

На втором этапе выбираем положительные направления токов в ветвях схемы и независимые контуры с неизвестными контурными токами и их положительными направлениями.

Так как независимых контуров три, схема будет содержать три неизвестных контурных тока Задачи по тоэ.

На третьем этапе составляем стандартную систему из трёх уравнений:

Задачи по тоэ
Задачи по тоэ

Для данной схемы:

Задачи по тоэ

Решаем систему (3.65) с помощью определителей:

Задачи по тоэ

На четвёртом этапе вычисляем токи ветвей:

Задачи по тоэ

Ток Задачи по тоэ, исходной схемы рисунка 3.49 вычисляем для узла Задачи по тоэ:

Задачи по тоэ

На пятом этапе выполняем проверку расчётов по балансу мощности. Уравнение энергетического баланса для схемы рисунка 3.50 имеет вид:

Задачи по тоэ

Задача №3.11.

Для условия примера 3.9. выполнить расчет методом контурных токов,

Задачи по тоэ

не заменяя источники тока на источники ЭДС, то есть без первого этапа упрощения электрической цепи.

Решение:

На втором этапе выбираем положительные направления токов в ветвях схемы и независимые контуры с неизвестными контурными токами и их положительные направления.

Кроме неизвестных контурных токов Задачи по тоэ вводим три известных контурных тока: Задачи по тоэ

На рисунке 3.51 представлены все шесть контуров с контурными токами. На третьем этапе составим стандартную систему уравнений по MKT для трёх неизвестных контурных токов Задачи по тоэ:

Задачи по тоэ

Здесь:

Задачи по тоэ

Переносим слагаемые с известными контурными токами в правую часть системы уравнений (3.68). Получим:

Задачи по тоэ

Сравниваем полученную систему уравнений (3.69) с системой уравнений (3.57), приходим к выводу об их полном совпадении. Дальнейшие вычисления токов полностью повторяют решение предыдущего примера 3.9.

Примеры расчёта методом узловых потенциалов (МУП)

Задача №3.13.

Выполнить расчет токов в ветвях электрической цепи рисунка 3.56 в общем виде: считая заданными параметры элементов; сопротивлением амперметра пренебрегаем, а сопротивление вольтметра Задачи по тоэ учитываем при расчете.

Задачи по тоэ

Решение:

На первом этапе упростим электрическую цепь рисунка 3.56, объединяем узлы связанные ветвями без элементов, и выберем положительные направления токов.

На втором этапе пронумеруем узлы, выбрав самый старший по номеру узел 5, ограничивающий ветви с бесконечной проводимостью. «Заземляем» узел 5, а потенциалы узлов 2, 3, 4 являются известными:

Задачи по тоэ
Задачи по тоэ

Неизвестным потенциалом является потенциал только первого узла.

На третьем этапе составляем одно уравнение с одним неизвестным потенциалом:

Задачи по тоэ

Здесь:

Задачи по тоэ
Задачи по тоэ

Очевидно, что:

Задачи по тоэ

На четвертом этапе рассчитываем токи в ветвях электрической цепи рисунка 3.57 по закону Ома для ветви, содержащей ЭДС:

Задачи по тоэ

На пятом этапе рассчитываем остальные токи по первому закону Кирхгофа для рисунка 3.56 заданной схемы:

Задачи по тоэ

Задача №3.14.

Для электрической цепи примера 3.10. выполнить расчет токов в ветвях методом узловых потенциалов.

Решение:

Выбираем упрощенную схему 3.50. По второму этапу проставляем направления токов и пронумеруем узлы электрической схемы.

Принимаем потенциал узла 4 равным нулю Задачи по тоэ.

На третьем этапе для трех неизвестных потенциалов Задачи по тоэ и Задачи по тоэ составляем стандартную систему уравнений:

Задачи по тоэ
Задачи по тоэ

Подставляем формулы коэффициентов в уравнения (3.94):

Задачи по тоэ

Решаем полученную систему (3.96) с помощью определителей:

Задачи по тоэ

Здесь:

Задачи по тоэ

На четвертом этапе рассчитываем токи в ветвях электрической цепи по закону Ома для ветви содержащей ЭДС:

Задачи по тоэ

Пятый и шестой этапы выполнены в примере 3.11.

Основные теоремы теории линейных электрических цепей

Метод эквивалентного генератора

Условие передачи максимальной мощности от активного двухполюсника в нагрузку (приемник)

Теорема компенсации

Линейные соотношения в линейных электрических цепях

Готовые задачи с решениями по всем темам: теоретических основ электротехники (ТОЭ)

Теоретические основы электротехники (ТОЭ) — техническая дисциплина, связанная с изучением теории электричества и электромагнетизма. ТОЭ подразделяется на две части — теорию электрических цепей и теорию поля. Изучение ТОЭ является обязательным во многих технических ВУЗах, поскольку на знании этой дисциплины строятся все последующие: электротехника, автоматика, энергетика, приборостроение, микроэлектроника, радиотехника и другие.

Электротехника – это наука, исследующая вопросы производства, передачи, распределения и использования электрической энергии.

Примеры решения задач по теме электрические цепи постоянного тока

Пример решения соответствует разделу программы «Электрические цени постоянною тока». Для успешного выполнения и защиты задачи №1 студенту необходимо изучить и научиться практически применять следующие методы расчета цепей постоянного тока:

  1. метод уравнении Кирхгофа;
  2. метод контурных токов:
  3. метод узловых напряжений;
  4. метод наложения;
  5. метод преобразования (упрощения);
  6. метод эквивалентного генератора напряжения (тока);
  7. топологические методы.

Необходимо научиться определять напряжения на элементах схемы, мощность, отдаваемую или потребляемую источниками энергии, составлять баланс мощностей и изображать потенциальную диаграмму для замкнутого контура схемы.

Определение токов электрической схемы методом уравнений Кирхгофа

Этот метод основан на применении первого и второго законов Кирхгофа, не требует никаких преобразований схемы и пригоден для расчета любой цепи. Количество уравнений, составленных по этому методу, равно количеству неизвестных токов. Положительные направления токов задаются произвольно. Количество уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для цепи, имеющей Примеры решения задач по электротехнике узлов, равно Примеры решения задач по электротехнике. Недостающее число уравнений составляется по второму закону Кирхгофа. При выборе контуров по второму закону Кирхгофа нужно придерживаться правила, что каждый из контуров должен отличаться от других хотя бы одной новой ветвью. Такие контуры называются независимыми. Ветви с источниками тока учитываются только при составлении уравнений по первому закону Кирхгофа и не должны быть включены в выбранные независимые контуры.

Примеры решения задач по электротехнике

Пример №1.

Определить токи во всех ветвях схемы (рис. 1.1), если Примеры решения задач по электротехникеПримеры решения задач по электротехнике

Решение:

В схеме необходимо задать направление четырех неизвестных токов (рис. 1.2). Схема содержит 3 узла, поэтому по первому закону составим два уравнения (для 2 и 3 узлов):

Примеры решения задач по электротехнике

Два недостающих уравнения составим по второму закону Кирхгофа, для чего выберем два контура (см. рис. 1.2):

Примеры решения задач по электротехнике

Подставив численные значения, получим систему из четырех уравнений:

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

В результате решения системы уравнений получим токи:

Примеры решения задач по электротехнике

Для проверки правильности решения задачи составим баланс мощностей:

Примеры решения задач по электротехнике

где Примеры решения задач по электротехнике — мощность, отдаваемая источниками; Примеры решения задач по электротехнике мощность, потребляемая элементами схемы.

Примеры решения задач по электротехнике

где Примеры решения задач по электротехнике — напряжение между узлами 3-1; Примеры решения задач по электротехнике.

Тогда

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

Метод контурных токов

Метод контурных токов основан на использовании только второго закона Кирхгофа. что позволило уменьшить число уравнении. Достигается это разделением схемы на независимые контуры и введением для каждого контура своего тока -контурного, являющегося определяемой величиной. Количество уравнений соответствует количеству уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, и может быть определено из уравнения

Примеры решения задач по электротехнике

где Примеры решения задач по электротехнике — число ветвей; Примеры решения задач по электротехнике — число узлов; Примеры решения задач по электротехнике — число ветвей с источником тока. Контуры, для которых составляются уравнения, не должны содержать ветви с источником тока, но учет падения напряжения от источников тока обязателен. Для этого рекомендуется обозначать контуры, которые содержат источник тока, но только один. В этом случае контурный ток известен и равен но величине источнику тока. Источник тока не может быть включен в несколько контуров.

Пример №2.

Определить токи во всех ветвях схемы (рис. 1.3), если

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

Решение:

Определим количество уравнений но формуле

Примеры решения задач по электротехнике

Обозначим контурные токи Примеры решения задач по электротехнике а также известный контурный ток Примеры решения задач по электротехнике. Уравнения для определения неизвестных контурных токов Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

Подставим численные значения:

Примеры решения задач по электротехнике

откуда

Примеры решения задач по электротехнике

Обозначим токи в ветвях схемы (рис. 1.4). Определим токи в ветвях исходя из известных контурных токов:

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

Контурный ток берёгся со знаком плюс, если направление контурного тока и тока в ветви совпадают, и со знаком минус, если токи направлены в разные стороны. Для проверки правильности решения составим баланс мощностей:

Примеры решения задач по электротехнике

Метод узловых напряжений

Метод основан на использовании первого закона Кирхгофа. Количество уравнений, составляемых по этому методу, определяется из выражения

Примеры решения задач по электротехнике

где Примеры решения задач по электротехнике — число узлов; Примеры решения задач по электротехнике — число источников напряжения, включенных между узлами без сопротивления.

При составлении уравнений в качестве базисного узла (узел, потенциал которою принимается равным нулю) целесообразно выбрать тот узел, в котором сходится наибольшее число ветвей. Если в схеме имеется ветвь с источником напряжения без сопротивления, то в качестве базисного выбирают один из тех узлов, к которому присоединена эта ветвь. Если схема содержит две и более подобных ветвей (причем эти ветви не имеют общих узлов), то такую схему необходимо преобразовать.

В результате решения системы узловых уравнении определяются напряжения между узлами схемы. Токи в ветвях находятся с помощью закона Ома.

Пример №3.

а) определить токи в ветвях схемы (рис. 1.5), если

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

б) построить потенциальную диаграмму для внешнего контура схемы.

Решение:

Определим количество уравнений, необходимых для решения. Для этого обозначим узлы схемы и воспользуемся формулой

Примеры решения задач по электротехнике

Базисным узлом выберем узел 3, тогда напряжение Примеры решения задач по электротехнике, а уравнения будут иметь вид

Примеры решения задач по электротехнике

Подставив численные значения, получим систему 2 линейных уравнений:

Примеры решения задач по электротехнике

В результате решения определяем узловые напряжения: Примеры решения задач по электротехнике

Примеры решения задач по электротехнике

Вычисляем напряжения между остальными узлами как разность узловых напряжений:

Примеры решения задач по электротехнике

На основании второго закона Кирхгофа и закона Ома составим уравнения для определения токов в ветвях схемы (рис.1.6):

Примеры решения задач по электротехнике

отсюда

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

На основании первого закона Кирхгофа для узла 1:

Примеры решения задач по электротехнике

Правильность решения проверим, составив баланс мощностей:

Примеры решения задач по электротехнике

или

Примеры решения задач по электротехнике

Для построения потенциальной диаграммы необходимо знать напряжение на всех элементах контура, а также сопротивления всех элементов контура. На рис. 1.7 показан контур, для которого необходимо построить потенциальную диаграмму.

Базисную точку выберем произвольно, например Примеры решения задач по электротехнике. Построение будем производить, обходя контур по часовой стрелке.

Примеры решения задач по электротехнике

Определим потенциалы точек:

Примеры решения задач по электротехнике

По оси абсцисс будем откладывать значения сопротивлений элементов, а по оси ординат — значения потенциалов точек Базисную точку помещаем в начало координат (рис. 1.8).

Примеры решения задач по электротехнике

Метод наложения

Метод основан на том, что в любой линейной электрической цепи токи могут быть получены как алгебраическая сумма токов, вызываемых действием каждого источника энергии в отдельности. Эти токи называются частичными токами. При определении частичных слагающих токов необходимо учитывать внутреннее сопротивление тех источников энергии, которые принимаются отсутствующими при вычислении слагающих токов. Если в цепи заданы идеальные источники энергии, го при определении токов, вызываемых каким-либо одним источником, все остальные источники напряжения закорачиваются, а ветви, в которых находятся источники тока, -разрываются.

Примеры решения задач по электротехнике

Пример №4.

Определить токи во всех ветвях схемы (рис. 1.9), если

Примеры решения задач по электротехнике

Решение:

1. Определим частичные слагающие токи, вызываемые источником напряжения Примеры решения задач по электротехнике. Разорвем ветвь с источником тока. Токи в цени (рис. 1.10) определим методом преобразований.

Вычислим сопротивление, эквивалентное сопротивлениям Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

тогда

Примеры решения задач по электротехнике

Определим напряжение Примеры решения задач по электротехнике

Примеры решения задач по электротехнике

тогда

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

Определим частичные слагающие токи, вызываемые источником тока Примеры решения задач по электротехнике. Закоротим ветвь, где находится Примеры решения задач по электротехнике (это равносильно равенству нулю внутреннего сопротивления данного источника) (рис. 1.11).

Примеры решения задач по электротехнике

Сопротивление включены параллельно, заменим их сопротивлением

Примеры решения задач по электротехнике

Определим токи Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике по правилу плеч:

Примеры решения задач по электротехнике

Аналогично определим токи Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

Для узла 1 составим первое уравнение Кирхгофа и определим ток Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

Найдем искомые токи в ветвях схемы (см.рис. 1.9) как алгебраическую сумму частичных слагающих токов:

Примеры решения задач по электротехнике

Правильность решения проверим, составив баланс мощностей:

Примеры решения задач по электротехнике

где Примеры решения задач по электротехнике — напряжение на зажимах источника тока Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

В данном случае источник тока Примеры решения задач по электротехнике отдает энергию в схему (его мощность больше нуля):

Примеры решения задач по электротехнике

а источник напряжения Примеры решения задач по электротехнике потребляет энергию (его мощность отрицательна):

Примеры решения задач по электротехнике

Метод преобразования

Суть метода заключается в преобразовании электрической схемы различными методами с целью уменьшения числа ветвей и узлов, а значит, и количества уравнений, определяющих электрическое состояние схемы.

Примеры решения задач по электротехнике

Но всех случаях преобразования заданных электрических схем эквивалентными схемами другого вида необходимо выполнять условия неизменности токов и напряжений в тех частях схемы, которые не затронуты преобразованием.

Пример №5.

Определить токи в ветвях схемы (рис. 1.12), если

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

Решение:

Преобразуем треугольник Примеры решения задач по электротехнике в звезду на основании следующих формул (рис. 1. 13):

Примеры решения задач по электротехнике

Обозначим последовательно включенные сопротивления

Примеры решения задач по электротехнике

и сопротивления Примеры решения задач по электротехнике, объединим две ветви (Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике), включенные параллельно, в одну. Общее сопротивление:

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

Общий источник напряжения:

Примеры решения задач по электротехнике

Преобразованная схема показана на рис. 1.14:

Примеры решения задач по электротехнике

Определим напряжение Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

Напряжение Примеры решения задач по электротехнике на схеме (см. рис. 1.13) позволяет определить ток Примеры решения задач по электротехнике и ток Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

На этой же схеме определим напряжения Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

Для исходной схемы (см. рис.1.12) определим токи:

Примеры решения задач по электротехнике

На основании первого закона Кирхгофа для узла Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

для узла Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

Правильность решения проверим, составив баланс мощностей для исходной схемы:

Примеры решения задач по электротехнике

или

Примеры решения задач по электротехнике

Метод эквивалентного генератора напряжения (тока)

Метод позволяет привести сложную электрическую схему с произвольным числом источников электрической энергии к схеме с одним источником, что упрощает расчет.

Существуют два варианта метода: вариант с источником напряжения и вариант с источником тока.

Метод эквивалентного генератора напряжении (МЭГН)

Для того чтобы определить ток в произвольной ветви схемы (рис. 1.15, а) данным методом, необходимо:

Электрическую цепь, к которой подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником напряжения, величина которого определяется напряжением на выходах разомкнутой ветви Примеры решения задач по электротехнике, а внутреннее сопротивление источника равняется входному сопротивлению пассивной электрической цени со стороны выводов Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике при разомкнутой ветви Примеры решения задач по электротехнике. Напряжение на зажимах Примеры решения задач по электротехнике определятся любым, ранее изученным методом (рис. 1.15, 6). Так как для определения напряжения Примеры решения задач по электротехнике исключается, то напряжение эквивалентного генератора называют напряжением холостого хода и обозначают Примеры решения задач по электротехнике.

При определении внутреннего сопротивления источника напряжения (рис. 1.15, в) необходимо ветви, содержащие источники тока, разорвать, т.е. исключить все элементы, находящиеся в таких ветвях, а источники напряжения закоротить, т.е. на месте источников напряжения включить перемычки.

Примеры решения задач по электротехнике

Определить искомый ток по формуле

Примеры решения задач по электротехнике

Пример №6.

Определить ток в ветви с Примеры решения задач по электротехнике (рис. 1.16) МЭГН, если

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

Решение:

1 Определим ЭДС эквивалентного генератора напряжения, равную Примеры решения задач по электротехнике (рис. 1.17).

Исходная схема распалась на две одноконтурные схемы, токи которых равны:

Примеры решения задач по электротехнике

Ток в сопротивлении Примеры решения задач по электротехнике равен нулю. Определим напряжение Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

Для определения Примеры решения задач по электротехнике источник ЭДС Примеры решения задач по электротехнике заменим его внутренним сопротивлением (так как Примеры решения задач по электротехнике, то на месте Примеры решения задач по электротехнике включим перемычку), ветвь с источником Примеры решения задач по электротехнике разорвём (рис. 1.18):

Примеры решения задач по электротехнике

Определим ток Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

Метод эквивалентного генератора тока (МЭГТ)

Для того чтобы определить ток в произвольной ветви схемы МЭГТ (рис. 1.19, а), необходимо:

а) электрическую цепь, к которой подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником тока; ток эквивалентного источника должен быть равен току, проходящему между выводами Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике (рис. 1.19, б), замкнутыми накоротко, а внутренняя проводимость источника Примеры решения задач по электротехнике должна равняться входной проводимости пассивной электрической цепи (рис.1.19, в) со стороны выводов Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике;

Примеры решения задач по электротехнике

б) определить искомый ток в ветви по формуле

Примеры решения задач по электротехнике

где

Примеры решения задач по электротехнике

Пример №7.

Определить ток в ветви с Примеры решения задач по электротехнике МЭГТ (рис.1.20), если Примеры решения задач по электротехникеПримеры решения задач по электротехнике

Примеры решения задач по электротехнике

Решение:

1. Определим ток короткого замыкания в ветви при условии замены сопротивления Примеры решения задач по электротехнике перемычкой (рис. 1.21). Используя метод наложения (см. подразд. 1.4), определим ток Примеры решения задач по электротехнике. При воздействии только источника напряжения Примеры решения задач по электротехнике

Примеры решения задач по электротехнике

при воздействии только источника тока Примеры решения задач по электротехнике получаем Примеры решения задач по электротехнике

Сумма частичных токов Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике даст общий ток Примеры решения задач по электротехнике.

Для того чтобы определить Примеры решения задач по электротехнике, исключим из схемы источник напряжения Примеры решения задач по электротехнике и источник тока Примеры решения задач по электротехнике (рис. 1.22):

Примеры решения задач по электротехнике

Определим ток Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

или

Примеры решения задач по электротехнике

Указания к расшифровке типового расчета №1

Решение задачи подготовлено с помощью ЭВМ для каждого студента индивидуально. Расшифровка исходных данных для построения исходной схемы пояснена на следующем примере.

Примеры решения задач по электротехнике

Расположить шесть узлов цени в указанном порядке и в соответствии с вариантом задания соединить их ветвями (рис. 1.23).

Примеры решения задач по электротехнике

Перерисовать полученный граф схемы, изменив расположение узлов таким образом, чтобы ветви не пересекались (рис. 1.24).

Включить в ветви сопротивления и заданные ЭДС. Источники тока подключить параллельно соответствующим ветвям (рис. 1.25).

Придать элементам схемы удобное расположение. Обозначить положительные направления источников ЭДС, источников тока и токов ветвей. Положительные направления определяются индексами начального и конечною узлов, к которым присоединена ветвь. Всем сопротивлениям, источникам и токам ветвей присвоить номера соответствующих ветвей (рис. 1.26).

Примеры решения задач по электротехнике

Расчет схем заключается в определении токов во всех ветвях схемы, напряжения между узлами, указанными в задании, составлении баланса мощностей в цепи, определении тока в заданном сопротивлении методом эквивалентного генератора.

Расчет токов методом преобразования

Расчет токов методом преобразования

Примеры решения задач по электротехнике

На схеме рис. 1.26 преобразуем источник тока Примеры решения задач по электротехнике в источник напряжения Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

источник тока Примеры решения задач по электротехнике — в источник напряжения Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

а также объединим последовательно включенные сопротивления Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике