Электротехника задачи с решением

Оглавление:

Электротехника задачи с решением

Прежде чем изучать готовые решения задачи по электротехнике, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила краткую теорию по предмету «теоретические основы электротехники», после которой подробно решены задачи.

Эта страница подготовлена для школьников и студентов.

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Теоретические основы электротехники

Теоретические основы электротехники (ТОЭ ) — техническая дисциплина, связанная с изучением теории электричества и электромагнетизма. ТОЭ подразделяется на две части — теорию электрических цепей и теорию поля. Изучение ТОЭ является обязательным во многих технических ВУЗах, поскольку на знании этой дисциплины строятся все последующие: электротехника, автоматика, энергетика, приборостроение, микроэлектроника, радиотехника и другие.

Электротехника – это наука, исследующая вопросы производства, передачи, распределения и использования электрической энергии.

Электрические цепи постоянного тока. Пассивные элементы электрической цепи

Величина сопротивления Решение задач по электротехнике (рис. 1, а), измеряемая в омах, равна отношению напряжения на его зажимах Решение задач по электротехнике, измеряемого в вольтах, к протекающему через сопротивление току Решение задач по электротехнике измеряемому в амперах:

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Поводимость Решение задач по электротехнике — обратна сопротивлению Решение задач по электротехнике и измеряется в сименсах.

Величина индуктивности Решение задач по электротехнике (рис. 1, б), измеряемая в генри, определяется отношением потокосцепления самоиндукции Решение задач по электротехнике протекающему через неё току Решение задач по электротехнике:

Решение задач по электротехнике

Потокосцепление Решение задач по электротехнике равно произведению магнитного потока Решение задач по электротехнике, измеряемого в веберах, и числа витков катушки индуктивности Решение задач по электротехнике.

Решение задач по электротехнике

Магнитный поток Решение задач по электротехнике равен произведению магнитной индукции Решение задач по электротехнике, измеряемой в теслах на сечение магнитопровода Решение задач по электротехнике катушки индуктивности:

Решение задач по электротехнике

Взаимная индуктивность Решение задач по электротехнике двух катушек индуктивностей Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике определяется отношением

Решение задач по электротехнике

где Решение задач по электротехнике — потокосцепление катушки Решение задач по электротехнике, обусловленное током второй катушки Решение задач по электротехнике; Решение задач по электротехнике — потокосцепление катушки Решение задач по электротехнике, обусловленное током первой катушки Решение задач по электротехнике.

Гак же как и индуктивность Решение задач по электротехнике, взаимная индуктивность Решение задач по электротехнике измеряется в генри. Величина ёмкости Решение задач по электротехнике (рис. 1, в) определяется отношением заряда Решение задач по электротехнике, накопленного на этом элементе, к напряжению Решение задач по электротехнике, приложенному к этому элементу:

Решение задач по электротехнике

Заряд Решение задач по электротехнике измеряется в кулонах, емкость Решение задач по электротехнике — в фарадах, напряжение Решение задач по электротехнике — в вольтах.

Эквивалентные преобразования схем электрической цени с пассивными элементами

Последовательное соединение резисторов (рис. 2, а) равно сумме их сопротивлений (рис. 2, б):

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Задача №1 с решением

Найти эквивалентное сопротивление электрической цепи (рис. 3), если Решение задач по электротехнике

Решение задач по электротехнике

Решение:

Решение задач по электротехнике

При параллельном соединении двух резисторов Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике (рис. 4, а) их эквивалентное сопротивление(рис. 4, б)

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

При параллельном соединении трёх резисторов Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике (рис. 4, в) их эквивалентное сопротивление (рис. 4, г)

Решение задач по электротехнике

Задача №2 с решением

Найти эквивалентное сопротивление Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике электрической цепи (см. рис. 4, а и в), если Решение задач по электротехнике

Решение: Для рис. 4, а

Решение задач по электротехнике

Для рис. 4, получим

Решение задач по электротехнике

Последовательное соединение катушек индуктивное гей Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике рассчитывается по формуле (7)

Решение задач по электротехнике

параллельное соединение для Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике рассчитывается по формуле (8)

Решение задач по электротехнике

параллельное соединение для Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике рассчитывается по формуле (9)

Решение задач по электротехнике

Параллельное соединение конденсаторов (рис. 5, а) даёт сумму их ёмкостей (рис. 5, б)

Решение задач по электротехнике

При последовательном соединении конденсаторов (рис. 6) эквивалентная ёмкость

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Для эквивалентного преобразования схем с соединением сопротивлений в виде треугольника (рис. 7, а) и звезды (рис. 7. б) необходимо, чтобы проводимость между любой парой узлов 1, 2, 3 в «треугольнике» и «звезде» были одинаковы при любых сопротивлениях в преобразованной части цепи (в том числе и при сопротивлениях, равных бесконечности), т. е.

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

В левых частях уравнений (15) — (17) записаны проводимости между соответствующими узлами «треугольника» сопротивлений, а в правых частях -проводимости между соответствующими узлами «звезды» сопротивлений.

Решение задач по электротехнике

Считая известными сопротивления Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике сторон «треугольника», можно найти неизвестные сопротивления Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике «звезды» следующим образом: из равенства (15) почленно вычитают равенство (17) и прибавляют равенство (16). В результате

Решение задач по электротехнике

Аналогичным образом находят Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике

Решение задач по электротехнике

Обратное преобразование из «звезды» в «треугольник», считая известными сопротивления Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике, даёт следующие результаты:

Решение задач по электротехнике

Дополнительные задачи:

Эквивалентные преобразования схем электрической цепи с активными элементами

К активным элементам электрической цепи относят источник ЭДС (рис. 13) с внутренним сопротивлением Решение задач по электротехнике и источник тока Решение задач по электротехнике (рис. 14) с внутренней проводимостью Решение задач по электротехнике. На рис. 13 и 14 Решение задач по электротехнике — сопротивление нагрузки.

Решение задач по электротехнике

Для эквивалентной замены источников ЭДС и Решение задач по электротехнике необходимо, чтобы ток Решение задач по электротехнике и напряжение Решение задач по электротехнике па выходе источников при заданной нагрузке Решение задач по электротехнике остались без изменений.

Для источника ЭДС (см. рис. 13)

Решение задач по электротехнике

или

Решение задач по электротехнике

Для источника тока Решение задач по электротехнике (см. рис. 14)

Решение задач по электротехнике

или

Решение задач по электротехнике

Из выражений (25) и (26) следует, что при замене источника ЭДС источником тока

Решение задач по электротехнике

и

Решение задач по электротехнике

Из выражений (24) и (27) следует, что при эквивалентной замене источника тока источником ЭДС

Решение задач по электротехнике

и

Решение задач по электротехнике

Задача №5 с решением

В электрической цепи (рис. 15) Решение задач по электротехнике Решение задач по электротехникеПроизвести эквивалентные преобразования от источника ЭДС к источнику тока и обратно.

Решение: Перейдя от источников ЭДС к источникам тока, получим эквивалентную схему, приведенную на рис. 16, где

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Источники тока Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике на рис. 16 образуют один эквивалентный источник тока Решение задач по электротехнике (рис. 17), где

Решение задач по электротехнике

Перейдя от источника тока (см. рис. 17) к источнику ЭДС, получим схему цепи (рис. 18), эквивалентную исходной, где

Теоретические основы электротехники
Решение задач по электротехнике

Задача №6 с решением

Для цепи рис. 19 заданы параметры: Решение задач по электротехникеРешение задач по электротехнике Определить ток Решение задач по электротехнике, применив метод преобразований.

Решение задач по электротехнике

Решение: Преобразуем источник тока Решение задач по электротехнике в эквивалентный источник ЭДС (рис. 20, 21): Решение задач по электротехнике. Тогда получим Решение задач по электротехнике.

Решение задач по электротехнике

Чтобы дальше свернуть схему, источник ЭДС Решение задач по электротехнике преобразуем в источник тока Решение задач по электротехнике (рис. 22).

Окончательно получим (рис. 23): Решение задач по электротехнике

Решение задач по электротехнике

Тогда ток Решение задач по электротехнике

Дополнительные задачи:

Meтод уравнений Кирхгофа

Суть метода заключается в составлении системы уравнений по 1-му и 2-му законам Кирхгофа и решении этой системы относительно неизвестных токов.

Если сложная электрическая цепь имеет Решение задач по электротехнике узлов и Решение задач по электротехнике ветвей, а следовательно, и Решение задач по электротехнике неизвестных токов, то необходимо составить и решить систему Решение задач по электротехнике линейных независимых уравнений.

По 1-му закону Кирхгофа можно составить столько уравнений, сколько узлов имеет электрическая цепь, т. е. Решение задач по электротехнике уравнений. Однако линейно независимыми будут только Решение задач по электротехнике уравнений, т. е. на одно меньше, чем число узлов в электрической цепи.

Остальные Решение задач по электротехнике линейно независимых уравнений составляются по 2-му закону Кирхгофа.

Таким образом, общее число уравнений, составленных по 1-му и 2-му законам Кирхгофа, будет равно числу ветвей цепи, а значит, и числу независимых токов.

Порядок расчета электрических цепей с помощью законов Кирхгофа следующий:

  1. Определяется число узлов Решение задач по электротехнике и число ветвей Решение задач по электротехнике в цепи, и в соответствии с этим определяется количество уравнений, которые необходимо составить по 1-му и 2-му законам Кирхгофа.
  2. Обозначаются на схеме цепи тока в ветвях и произвольно выбираются их направления. Выбираются независимые замкнутые контуры цепи таким образом, чтобы в каждый исследуемый контур входила одна новая ветвь. Произвольно задаются направления обхода контуров.
  3. Составляется Решение задач по электротехнике уравнений по 1-му закону Кирхгофа. При этом токи, входящие в узел, берутся со знаком «+», а выходящие из узла со знаком « ».
  4. Составляется Решение задач по электротехнике уравнений по 2-му закону Кирхгофа. При составлении этих уравнений величина ЭДС берёгся со знаком «+», если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура, и со знаком «-». если не совпадает. Падения напряжений на сопротивлениях в замкнутых контурах берутся со знаком «+», если направление обхода контура совпадает с выбранным направлением токов в ветвях, и со знаком «-», если не совпадает.
  5. Производится расчёт составленной системы уравнении относительно неизвестных токов. Если при этом некоторые токи получаются отрицательными, то это означает, что их действительные направления противоположны произвольно выбранным направлениям.

Задача №9 с решением

В электрической цепи (рис. 31) Решение задач по электротехнике Решение задач по электротехникеОпределить токи в ветвях цепи с помощью законов Кирхгофа.

Решение: В заданной электрической цепи два узла и два независимых контура. Следовательно, по 1-му закону Кирхгофа составляется одно уравнение, а по второму два.

Для узла Решение задач по электротехнике

Для контуров: Решение задач по электротехнике

Решение задач по электротехнике

После подстановки цифровых данных система уравнений имеет следующий вид:

Решение задач по электротехнике

Решение: этой даст токи ветвей: Решение задач по электротехникеДля проверки правильности решения задачи составляется уравнение баланса мощностей:

Решение задач по электротехнике

При подстановке численных данных получается, что Решение задач по электротехнике т. е. мощности источника Решение задач по электротехнике и нагрузки Решение задач по электротехнике практически совпадают. Значит, токи в ветвях цепи рассчитаны правильно.

Дополнительные задачи:

Метод контурных токов

Расчёт сложных электрических цепей методом контурных токов сводится к решению системы уравнений, составленных только но 2-му закону Кирхгофа. Причём число уравнений в системе равно числу независимых контуров в электрической цепи.

В общем случае для электрической цепи, содержащей Решение задач по электротехнике независимых контурных уравнении, система контурных уравнений имеет вид

Решение задач по электротехнике

где Решение задач по электротехнике — собственные сопротивления 1, 2, …, Решение задач по электротехнике-го контуров; Решение задач по электротехнике и т. д. — взаимные сопротивления между контурами 1 и 2, 2 и 3 и т. д.; Решение задач по электротехнике — контурные токи; Решение задач по электротехнике — контурные ЭДС I, II, …, Решение задач по электротехнике-го контуров.

Взаимные сопротивления между контурами имеют положительные значения, если контурные токи, протекающие через них, имеют одинаковые направления, и отрицательны, если направления контурных токов через взаимные сопротивления встречны.

Контурные токи по абсолютной величине равны токам в ветвях, по которым протекает только один из контурных токов. Если по ветви протекают два контурных тока одного направления, то ток в этой ветви равен сумме контурных токов. Если контурные токи в ветви встречны, то ток в ветви равен разности контурных токов (по абсолютной величине).

Собственное сопротивление контура — это сумма всех сопротивлений, входящих в данный контур.

Контурная ЭДС — это алгебраическая сумма всех ЭДС контура.

Расчёт электрических цепей методом контурных токов производится в следующем порядке:

  1. Определяется число независимых контуров в электрической цепи и произвольно задаются направления контурных токов.
  2. Вычисляются собственные и взаимные сопротивления контуров, а также контурные ЭДС.
  3. Составляется система управлений для контурных токов в соответствии со 2-м законом Кирхгофа, причем число уравнений должно быть равно числу независимых контуров схемы.
  4. Осуществляется решение системы уравнений (например, путём подстановки или с помощью определителей) с целью получения контурных токов.
  5. Определяются токи в ветвях.

Примечание. Вели по условию задачи часть источников энергии задана в виде источников тока, то перед началом расчёта их следует преобразовать в эквивалентные источники ЭДС.

Задача №12 с решением

В электрической цепи (рис. 34) методом контурных токов определить токи в ветвях, если

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Решение: В электрической цепи три независимых контура. Произвольно выбраны направления контурных токов и токи в ветвях. Система из трех контурных уравнений имеет вид

Решение задач по электротехнике

Собственные сопротивления:

Решение задач по электротехнике

Взаимные сопротивления:

Решение задач по электротехнике

Собственные ЭДС контуров:

Решение задач по электротехнике

Тогда система контурных уравнений примет вид

Решение задач по электротехнике

Контурные токи через определители равны:

Решение задач по электротехнике

Определители:

Решение задач по электротехнике

Контурные токи:

Решение задач по электротехнике

Токи в ветвях:

Решение задач по электротехнике

Проверим правильность решения с помощью уравнения баланса мощностей.

Мощность источников ЭДС, отдаваемая в электрическую цепь:

Решение задач по электротехнике

Мощность, потребляемая нагрузкой:

Решение задач по электротехнике

Мощности Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике практически совпадают, значит, токи в ветвях рассчитаны правильно.

Дополнительные задачи:

Метод наложения

Метод наложения позволяет определять токи в ветвях электрической цепи непосредственно по закону Ома без составления и решения системы уравнений. Метод основан на принципе наложения (или суперпозиции), который утверждает, что ток в любой ветви линейной электрической цепи, содержащей несколько источников ЭДС, можно рассматривать как алгебраическую сумму частичных токов, создаваемых в этой ветви действием каждой ЭДС в отдельности.

Таким образом, по методу наложения вначале находят частичные токи в ветвях электрической цепи от действия каждого источника ЭДС в отдельности, принимая остальные ЭДС равными нулю (т. е. заменив их короткозамкнутой перемычкой) и оставляя в схеме только сопротивления и внутренние сопротивления источников ЭДС, а затем находят токи в ве1вях как алгебраические суммы частичных токов.

Задача №16 с решением

Определись токи в ветвях электрической цепи (рис. 38, а) методом наложения, если

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Решение: 1. Приняв Решение задач по электротехнике получим схему, приведенную на рис. 38, б. Частичные токи в этой схеме, создаваемые источником ЭДС Решение задач по электротехнике:

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике
  • Приняв Решение задач по электротехнике получим схему, приведённую на рис. 38. в. Частичные токи в этой схеме, создаваемые источником ЭДС Решение задач по электротехнике:
Решение задач по электротехнике

В ветви с резистором Решение задач по электротехнике токи Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике направлены встречно и Решение задач по электротехнике, поэтому Решение задач по электротехнике

В ветви с резистором Решение задач по электротехнике ток Решение задач по электротехнике

В ветви с резистором Решение задач по электротехнике ток Решение задач по электротехнике

Дополнительные задачи:

Метод узловых потенциалов

Расчёт электрических цепей методом узловых потенциалов, или узловых напряжений, сводится к решению системы уравнений, составленных только по 1-му закону Кирхгофа. Из этих уравнений вначале определяют потенциалы (напряжения) в узлах схемы электрической цепи относительно некоторого базисного узла, потенциал которого принимают равным нулю, а затем токи в ветвях, соединяющих узлы, находят по закону Ома.

Таким образом, при расчёте электрических цепей методом узловых потенциалов целесообразно придерживаться следующего порядка:

  1. Принять потенциал одного из узлов равным нулю. т. е. заземлить один из узлов, а остальные узлы пронумеровать. Произвольно выбрать направления токов в ветвях.
  2. Используя 1-й закон Кирхгофа, составить систему уравнений для не-заземлённых узлов.
  3. Вычислить узловые токи в пронумерованных узлах алгебраически, суммируя токи источников, подсоединённых к этим узлам.
  4. Определить собственные и взаимные проводимости узлов. Причём взаимные проводимости в данном методе всегда отрицательные.
  5. Подставить полученные в пп. 3 и 4 узловые токи и проводимости в систему уравнений узловых потенциалов (напряжений) и решить её относительно узловых потенциалов.
  6. Найти токи в ветвях по закону Ома.

Задача №20 с решением

Определить токи в ветвях электрической цепи (рис. 49), если

Теоретические основы электротехники

Решение: Пусть потенциал узла 3 равен нулю. Тогда система узловых уравнений для определения потенциалов узлов имеет вид

Решение задач по электротехнике

Собственные и взаимные проводимости узлов 1 и 2:

Решение задач по электротехнике

Узловые токи:

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Тогда система узловых уравнений в числах имеет вид:

Решение задач по электротехнике

В результате решения этой системы потенциалы узлов 1 и 2 равны

Решение задач по электротехнике

По закону Ома определяем токи в ветвях:

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Примечание. Знак «-» у токов Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике означает, что истинные направления этих токов в схеме противоположны произвольно выбранным.

Дополнительные задачи:

Метод эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора применяется, как правило, для расчета тока в одной из ветвей электрической цепи. Метод основан на теореме об эквивалентном генераторе напряжения, которая утверждает, что ток в любой ветви аб (рис. 53) линейной электрической цепи не изменится, если остальную часть цепи заменить эквивалентным источником напряжения (рис. 54), ЭДС которого Решение задач по электротехникеравна напряжению на зажимах разомкнутой ветви а и б, а внутреннее сопротивление Решение задач по электротехнике равно сопротивлению между точками а и б при условии, что источники ЭДС и тока заменены их внутренними сопротивлениями.

Решение задач по электротехнике

При расчёте электрических цепей методом эквивалентного генератора целесообразно придерживаться следующего алгоритма:

  1. Произвести разрыв ветви, ток в которой требуется определить.
  2. Определить сопротивление между точками разрыва, заменив источники электрической энергии короткозамкнутой перемычкой (для источника ЭДС) и разрывом (для источника тока).
  3. Определить напряжение между точками разрыва ветви.
  4. Определить ток в ветви по формулам в соответствии с точками разрыва (рис. 55):

1) разрыв в точках а и б: Решение задач по электротехнике

2) разрыв в точках а и в: Решение задач по электротехнике

3) разрыв в точках а и г: Решение задач по электротехнике

4) разрыв в точках в и г: Решение задач по электротехнике

Задача №24 с решением

В схеме электрической цепи, приведенной на рис. 56, найти ток Решение задач по электротехнике методом эквивалентного генератора, если

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Решение: Разорвём ветвь схемы электрической цепи в точках а и б. Ток

Решение задач по электротехнике

Сопротивление между точками разрыва

Решение задач по электротехнике

Напряжение между точками разрыва

Решение задач по электротехнике

но

Решение задач по электротехнике

тогда

Решение задач по электротехнике

Таким образом, ток

Решение задач по электротехнике

Дополнительные задачи:

Электрические цени синусоидальною тока. Представление синусоидальною тока с помощью комплексных чисел

Синусоидальный ток Решение задач по электротехнике может быть представлен либо как проекции вращающегося против часовой стрелки вектора Решение задач по электротехнике (рис. 148) на вертикальную и горизонтальную оси, причем проекция вектора тока Решение задач по электротехнике на вертикальную ось в любой момент времени равна мгновенному значению тока Решение задач по электротехнике, изменяющегося по синусоидальному закону, а проекция вектора тока на горизонтальную ось — по косинусоидальному, либо как комплексное число на комплексной плоскости (рис. 149) точкой с радиусом-вектором Решение задач по электротехнике в трех формах: алгебраической, показательной и тригонометрической:

Решение задач по электротехнике

где Решение задач по электротехнике — модуль комплексного числа; Решение задач по электротехнике — вещественная часть комплексного числа; Решение задач по электротехнике — мнимая часть комплексного числа; Решение задач по электротехнике— аргумент комплексного числа.

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Если Решение задач по электротехнике, т. е. если аргумент комплексного числа является линейной функцией времени, то комплексную функцию можно записать в виде

Решение задач по электротехнике

где аналогично представлению синусоидальною тока вращающимися векторами мнимая часть представляет собой функцию, изменяющуюся по закону синуса, а вещественная по закону косинуса, т. е.

Решение задач по электротехнике

Таким образом, комплексный мгновенный синусоидальный ток

Решение задач по электротехнике

В последнем выражении Решение задач по электротехнике — есть комплексная амплитуда, а функция Решение задач по электротехнике — оператор вращения, значения которого приведены в табл. 1

Решение задач по электротехнике

Если обе части уравнения Решение задач по электротехнике разделить на Решение задач по электротехнике, то получим

Решение задач по электротехнике

или

Решение задач по электротехнике

где Решение задач по электротехнике — комплексный действующий синусоидальный ток, или комплексный ток.

Задача №29 с решением

По известному комплексному току Решение задач по электротехнике записать выражение для его мгновенного значения. Решение:

Находим

Решение задач по электротехнике

Таким образом

Решение задач по электротехнике

Задача №30 с решением

Найти комплексную амплитуду и комплексный ток, если его мгновенное значение равно

Решение задач по электротехнике

Решение:

Решение задач по электротехнике

Задача №31 с решением

Преобразовать комплексные числа из алгебраической формы в показательную:

Решение задач по электротехнике

Задача №32 с решением

Преобразовать комплексные числа из показательной формы в алгебраическую:

Решение:

Решение задач по электротехнике

Последовательное соединение комплексных сопротивлений

В цепи с последовательным соединением комплексных сопротивлений (рис. 150) на основании второго закона Кирхгофа:

Решение задач по электротехнике

где

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Причем Решение задач по электротехнике равно арифметической сумме активных сопротивлений цепи, a Решение задач по электротехнике — алгебраической, т. к. реактивное сопротивление емкости отрицательно.

Задача №33 с решением

В электрической цепи (рис. 151) с последовательным соединением элементов определить ток Решение задач по электротехнике, напряжение на элементах и мощность, если

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Решение: Полное комплексное сопротивление цепи:

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Комплекс действующего тока:

Решение задач по электротехнике

Напряжения на элементах цепи:

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Мощность:

Решение задач по электротехнике

Таким образом, полная мощность Решение задач по электротехнике активная Решение задач по электротехнике реактивная Решение задач по электротехнике

Параллельное соединение комплексных сопротивлений

В цепи с параллельным соединением комплексных сопротивлений (рис. 152) на основании первого закона Кирхгофа

Решение задач по электротехнике

где

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Причем активная проводимость Решение задач по электротехнике равна арифметической сумме активных проводимостей цепи, а реактивная проводимость Решение задач по электротехнике — алгебраической сумме реактивных приводимостей.

Задача №34 с решением

В электрической цепи (рис. 153) определить токи Решение задач по электротехнике и полную мощность, потребляемую схемой, если

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Решение: Определим комплексные сопротивления ветвей

Решение задач по электротехнике

Рассчитаем токи ветвей:

Решение задач по электротехнике

Полная мощность:

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

где активная мощность Решение задач по электротехнике реактивная Решение задач по электротехнике

Смешанное соединение комплексных сопротивлении

Порядок расчета целей синусоидального тока со смешанным соединением комплексных сопротивлений (рис. 154) следующий.

Решение задач по электротехнике

Комплексное эквивалентное сопротивление всей цепи

Теоретические основы электротехники

где

Решение задач по электротехнике

Комплексный ток в неразветвленной части цепи

Решение задач по электротехнике

Комплексное напряжение на параллельном участке цепи

Решение задач по электротехнике

Комплексные токи в параллельных ветвях

Решение задач по электротехнике

Задача №35 с решением

Методом преобразования найти мгновенные значения токов в ветвях схемы Решение задач по электротехнике (рис. 155), если Решение задач по электротехнике Решение задач по электротехнике

Решение задач по электротехнике

Решение: Ответ будем искать в видеРешение задач по электротехнике где Решение задач по электротехнике

Определим комплексное входное сопротивление цепи

Решение задач по электротехнике

Тогда входной ток будет

Решение задач по электротехнике

а токи ветвей соответственно

Решение задач по электротехнике

Мгновенные значения токов ветвей примут вид

Решение задач по электротехнике

Дополнительные задачи:

Цепи с индуктивной связью

У двух индуктивно связанных катушек (рис. 163) в первой катушке наводится ЭДС самоиндукции Решение задач по электротехнике, а во второй — ЭДС взаимной индукции Решение задач по электротехнике где Решение задач по электротехнике — взаимная индуктивность, измеряемая в генри.

Решение задач по электротехнике

Взаимная индуктивность Решение задач по электротехнике равна отношению потокосцеплсния к току: Решение задач по электротехникегде Решение задач по электротехнике — потокосцепление первой катушки индуктивности, обусловленное током Решение задач по электротехнике во второй катушке; Решение задач по электротехнике — потокосцепление второй катушки, обусловленное током Решение задач по электротехнике в первой катушке.

Если соединить между собой зажимы Решение задач по электротехнике второй катушки, то в ней будет наводиться ЭДС самоиндукции Решение задач по электротехнике а в первой катушке — ЭДС взаимной индукции Решение задач по электротехнике.

Степень связи второй катушки с первой:

Решение задач по электротехнике

а степень связи первой катушки со второй:

Решение задач по электротехнике

Среднее геометрическое степеней связи есть коэффициент связи:

Решение задач по электротехнике

При согласном включении катушек результирующая ЭДС, наводимая в катушках, равна сумме их ЭДС самоиндукции и взаимной индукции:

Решение задач по электротехнике

При встречном включении

Решение задач по электротехнике

При последовательном соединении двух индуктивно связанных катушек (рис. 164) на основании второго закона Кирхгофа Решение задач по электротехнике или в комплексной форме

Решение задач по электротехнике

где

Решение задач по электротехнике

т. е. при согласном включении катушек их эквивалентная индуктивность Решение задач по электротехнике при встречном — Решение задач по электротехнике

Решение задач по электротехнике

При параллельном соединении двух индуктивно связанных катушек (рис. 165) на основании второго закона Кирхгофа для каждой из параллельных ветвей система уравнений имеет вид

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Задача №43 с решением

Две индуктивно связанные катушки соединены последовательно (рис. 166). Определить токи в этой цепи при согласном и встречном включении катушек, если

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Решение: Эквивалентное сопротивление катушек при согласном включении:

Решение задач по электротехнике

Ток в цепи при согласном включении катушек:

Решение задач по электротехнике

Эквивалентное сопротивление катушек при встречном включении:

Решение задач по электротехнике

Ток в цепи при встречном включении катушек:

Решение задач по электротехнике

Вывод: ток при встречном включении катуигек больше, чем при согласном.

Задача №44 с решением

Две индуктивно связанные катушки (рис. 167) включены параллельно.

Решение задач по электротехнике

При согласном включении катушек определить токи Решение задач по электротехнике если

Решение задач по электротехнике

Решение: Система уравнении

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Из системы токи Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике:

Решение задач по электротехнике

Ток в неразветвленной части цепи:

Решение задач по электротехнике

Колебательные контуры. Расчет параметров и частотных характеристик последовательною контура

Частотные свойства контура (рис. 168) характеризуют:

1) комплексное входное сопротивление Решение задач по электротехнике

2) комплексная входная проводимость Решение задач по электротехнике

3) комплексный коэффициент передачи по напряжению на активном сопротивлении Решение задач по электротехнике

4) комплексный коэффициент передачи по напряжению на емкости

Решение задач по электротехнике

5) комплексный коэффициент передачи по напряжению на индуктивности

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Комплексная входная проходимость

Решение задач по электротехнике

где Решение задач по электротехнике — есть фактор расстройки; Решение задач по электротехнике — добротность контура, тогда Решение задач по электротехнике откуда амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) Решение задач по электротехнике фазовая характеристика (ФЧХ) Решение задач по электротехнике нормированная АЧХ Решение задач по электротехнике

Полоса пропускания контура диапазон частот, в пределах которого нормированная АЧХ (или резонансная кривая) Решение задач по электротехнике превышает уровень Решение задач по электротехнике максимальною значения.

Граничные значения Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике фактора расстройки можно получить из выражения: Решение задач по электротехнике откуда Решение задач по электротехнике или Решение задач по электротехнике тогда Решение задач по электротехнике где Решение задач по электротехнике а полоса контура Решение задач по электротехнике, резонансная частота Решение задач по электротехнике и относительная полоса пропускания контура есть отношение Решение задач по электротехнике или Решение задач по электротехнике.

Вторичные параметры контура: резонансная частота Решение задач по электротехнике или Решение задач по электротехнике волновое (характеристическое) сопротивление контура Решение задач по электротехнике добротность контура Решение задач по электротехнике где Решение задач по электротехнике — внутреннее сопротивление контура; Решение задач по электротехнике — затухание контура.

Задача №45 с решением

Для последовательного колебательного контура (рис. 169) определить вторичные параметры, если Решение задач по электротехнике Решение задач по электротехнике Построить АЧХ и ФЧХ контура по напряжению на активном сопротивлении.

Решение задач по электротехнике

Решение: Резонансная частота контура

Решение задач по электротехнике

Волновое сопротивление контура

Решение задач по электротехнике

Добротность и затухание контура

Решение задач по электротехнике

Полоса пропускания контура

Решение задач по электротехнике

Комплексная передаточная функция по напряжению на активном сопротивлении

Решение задач по электротехнике

Откуда аналитическое выражение для АЧХ

Решение задач по электротехнике

Нормированное АЧХ

Решение задач по электротехнике

ФЧХ

Решение задач по электротехнике

В табл. 2 приведены рассчитанные значения для Решение задач по электротехнике и Теоретические основы электротехники

Решение задач по электротехнике

Графики АЧХ и ФЧХ приведены на рис. 170.

Расчет параметров и частотных характеристик параллельного колебательного контура

Вторичные параметры простого параллельного колебательного контура (рис. 171):

1) резервная частота высокодобротного контура Решение задач по электротехнике

2) характеристическое сопротивление Решение задач по электротехнике

3) входная проводимость контура

Решение задач по электротехнике

при

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

4) активная проводимость контура на резонансной частоте Решение задач по электротехнике

Решение задач по электротехнике

где Решение задач по электротехнике

5) резонансное сопротивление контура

Решение задач по электротехнике

6) добротность контура Теоретические основы электротехники

7) затухание Решение задач по электротехнике

8) внутреннее сопротивление подключенного к контуру (рис. 172) источника Решение задач по электротехнике (сопротивление шунта) ухудшает добротность контура, т. к. ухудшенная добротность

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Частотные характеристики простого параллельного колебательного контура:

1) входное сопротивление

Решение задач по электротехнике

или

Решение задач по электротехнике

2) амплитудно-частотная характеристика

Решение задач по электротехнике

3) нормированная АЧХ

Решение задач по электротехнике

4) фазочастотная характеристика

Решение задач по электротехнике

5) комплексная передаточная функция по току в индуктивной ветви

Решение задач по электротехнике

АЧХ;

Решение задач по электротехнике

6) комплексная передаточная функция по току в емкостной ветви

Решение задач по электротехнике

АЧХ:

Решение задач по электротехнике

Задача №47 с решением

У параллельного колебательного контура (рис. 173)

Решение задач по электротехнике
Электротехника задачи с решением

Определить добротность, полосу пропускания изобразить качественно резонансные кривые для двух случаев: без учёта шунтирующею действия источника энергии; с учётом шунтирующего действия источника энергии; определить мощность контура при резонансе.

Решение: I. Без учёта шунтирующего действия источника энергии добротность

Электротехника задачи с решением

тогда

Электротехника задачи с решением

Полоса пропускания контура

Электротехника задачи с решением

С учетом шунтирующего действия источника энергии

Электротехника задачи с решением

полоса пропускания

Электротехника задачи с решением

Мощность контура при резонансе

Электротехника задачи с решением

Резонансные кривые приведены на рис. 174.

Электротехника задачи с решением

Вывод: шунтирование источником энергии контура увеличивает полосу его пропускания, а значит, ухудшает качество контура.

Классический (временной) метод анализа переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в цепях первого порядка с источником постоянного напряжения. Свободные токи и напряжения в цепях первого порядка

Определение начальных условий

Задача №48 с решением

В схеме на рис. 1 происходит размыкание ключа. Параметры схемы: Электротехника задачи с решением Необходимо определить напряжение Электротехника задачи с решением, возникающее на сопротивлении Электротехника задачи с решением в момент размыкания ключа.

Электротехника задачи с решением

Решение: В задаче необходимо определить зависимые начальные условия Электротехника задачи с решением. Для решения задачи сначала определим независимые начальные условия, к которым в задаче относится ток в индуктивности. До коммутации ток в индуктивности

Электротехника задачи с решением

В соответствии с законом коммутации ток в индуктивности не может изменяться мгновенно:

Электротехника задачи с решением

В результате коммутации образовалась одноконтурная цепь, состоящая из индуктивности Электротехника задачи с решением и сопротивлений Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением. Ток во всех элементах цепи равен Электротехника задачи с решением

Следовательно, искомое напряжение

Электротехника задачи с решением

Численный результат решения задачи показывает важность изучения процессов в электрических цепях в переходных режимах. Представим, что вместо сопротивления Электротехника задачи с решением в рассматриваемой цепи включён вольтметр с высоким входным сопротивлением. В момент размыкания ключа на зажимах вольтметра возникает большое напряжение, которое может привести к аварийной ситуации, если не принять мер по защите оборудования.

Задача №49 с решением

На рис. 2 происходит замыкание ключа. Параметры схемы:

Электротехника задачи с решением

Составить эквивалентную схему замещения цепи для момента времени Электротехника задачи с решением для расчёта зависимых начальных условий.

Электротехника задачи с решением

Решение: Рассчитаем цепь до коммутации с целью определения независимых начальных условий:

Электротехника задачи с решением

Комплексная амплитуда тока в цепи до коммутации равна

Электротехника задачи с решением

Комплексная амплитуда напряжения на ёмкости в цепи до коммутации равна

Электротехника задачи с решением

По найденным комплексным амплитудам тока в индуктивности и напряжения на ёмкости запишем соответствующие мгновенные значения:

Электротехника задачи с решением

Полагая в последних выражениях Электротехника задачи с решением определим независимые начальные условия:

Электротехника задачи с решением

С учетом законов коммутации:

Электротехника задачи с решением

Напряжение источника ЭДС в момент коммутации было равным 0:

Электротехника задачи с решением

Следовательно, источник ЭДС на эквивалентной схеме заменим его внутренним сопротивлением, которое равно 0, т. е. перемычкой. Для эквивалентной замены реактивных элементов в момент Электротехника задачи с решением воспользуемся табл. 1, следующей из законов коммутации. Из таблицы следует, что в момент Электротехника задачи с решением при нулевых начальных условиях индуктивность может быть заменена источником тока Электротехника задачи с решением, а ёмкость — источником ЭДС с напряжением Электротехника задачи с решением.

Электротехника задачи с решением

Так как Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением при расчёте получились отрицательными, на
эквивалентной схеме полярность на включении можно заменить на противоположную, заменив минус в числителях на плюс.

С умётом изложенного эквивалентная схема рассматриваемой цепи, справедливая для момента времени Электротехника задачи с решением, будет иметь вид (рис. 3).

Электротехника задачи с решением

По полученной схсмс можно рассчитать требуемые зависимые начальные условия, используя любые методы расчёта электрических цепей.

Переходный процесс в линейных электрических цепях (ЛЭЦ) первого порядка с сосредоточенными параметрами (рис. 4) описывается линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами:

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

Решение этого уравнения записывается в виде

Электротехника задачи с решением

Здесь Электротехника задачи с решением — свободная составляющая, в которой Электротехника задачи с решением — постоянная интегрирования, определяемая законами коммутации и начальными условиями в цепи, Электротехника задачи с решением — корень характеристического уравнения Электротехника задачи с решением — принужденная составляющая, т. е. ток или напряжение установившегося после окончания переходного процесса режима при Электротехника задачи с решением:

Электротехника задачи с решением

Свободные процессы в rC-цепи

Задача №50 с решением

В схеме на рис. 5 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: Электротехника задачи с решением. Найти и построить зависимости Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением.

Электротехника задачи с решением

Решение: До коммутации (рис. 5) ёмкость Электротехника задачи с решением заряжена до напряжения Электротехника задачи с решением. После замыкания ключа Электротехника задачи с решением ёмкость начинает разряжаться через сопротивление Электротехника задачи с решением и в цепи возникает переходный процесс. В соответствии со вторым законом Кирхгофа для цепи после коммутации можно записать Электротехника задачи с решением Так как Электротехника задачи с решением то получаем линейное однородное дифференциальное уравнение

Электротехника задачи с решением

общее решение которого ищем в виде

Электротехника задачи с решением

Для нахождения корня Электротехника задачи с решением составим характеристическое уравнение: Электротехника задачи с решением откуда Электротехника задачи с решением, где постоянная времени цепи после коммутации Электротехника задачи с решением.

Постоянная интегрирования Электротехника задачи с решением определяется из начальных условий и закона коммутации:

Электротехника задачи с решением

Так как Электротехника задачи с решением а Электротехника задачи с решением то Электротехника задачи с решением откуда Электротехника задачи с решением. Тогда Электротехника задачи с решением

При

Электротехника задачи с решением

График Электротехника задачи с решением приведен на рис. 6.

Электротехника задачи с решением

Ток

Электротехника задачи с решением

При

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

График Электротехника задачи с решением приведен на рис. 7.

Электротехника задачи с решением

Задача №51 с решением

На рис. 8 происходит замыкание ключа. Параметры схемы:

Электротехника задачи с решением

Найти Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением классическим методом и построить графики.

Электротехника задачи с решением

Решение: После коммутации Электротехника задачи с решением Так как Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением то Электротехника задачи с решением Решение этого уравнения: Электротехника задачи с решением

Из характеристического уравнение Электротехника задачи с решением следует

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

Постоянную интегрирования Электротехника задачи с решением найдём из начальных условий и закона коммутации: Электротехника задачи с решением

Так как Электротехника задачи с решением то Электротехника задачи с решением

Тогда Электротехника задачи с решением а Электротехника задачи с решением

При Электротехника задачи с решением График Электротехника задачи с решением приведен на рис. 9.

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

При

Электротехника задачи с решением

График Электротехника задачи с решением приведен на рис. 10.

Электротехника задачи с решением

Переходные процессы в цепях первого порядка

Задача №52 с решением

На рис. 11 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: Электротехника задачи с решением. Найти Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением временным методом и построить графики.

Электротехника задачи с решением

Решение: Согласно второму закону Кирхгофа в цепи после коммутации

Электротехника задачи с решением

Решение будем искать в виде

Электротехника задачи с решением

Принуждённая составляющая Электротехника задачи с решениемв цепи после коммутации в установившемся режиме Электротехника задачи с решением Свободная составляющая Электротехника задачи с решением

Их характеристического уравнения Электротехника задачи с решением найдем

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

Постоянную интегрирования найдем из начальных условий и закона коммутации:

Электротехника задачи с решением

откуда

Электротехника задачи с решением

Окончательно

Электротехника задачи с решением

На графике (рис. 12.)

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

На графике (рис. 13)

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

Задача №53 с решением

На рис. 14 происходит размыкание ключа. Параметры схемы: Электротехника задачи с решением. Найти Электротехника задачи с решением временным методом и построить графики.

Электротехника задачи с решением

Решение: В цепи после коммутации по второму закону Кирхгофа

Электротехника задачи с решением

или

Электротехника задачи с решением

Решение последнего уравнения ищем в виде

Электротехника задачи с решением

Из схемы (см. рис. 14) следует, что принужденная составляющая Электротехника задачи с решением Свободная составляющая имеет вид Электротехника задачи с решением

Корень Электротехника задачи с решением характеристического уровня Электротехника задачи с решением равен Электротехника задачи с решением а Электротехника задачи с решением

Постоянную интегрирования Электротехника задачи с решением найдём исходя из начальных условий и закона коммутации Электротехника задачи с решением

Если

Электротехника задачи с решением

получаем

Электротехника задачи с решением

Тогда

Электротехника задачи с решением

откуда

Электротехника задачи с решением

Окончательно

Электротехника задачи с решением

На графике (рис. 15)

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

Ток

Электротехника задачи с решением

На графике (рис. 16)

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

Задача №54 с решением

На рис. 17 определить напряжение на конденсаторе Электротехника задачи с решением если Электротехника задачи с решением

Электротехника задачи с решением

Решение: Определим независимое начальное условие — напряжение на конденсаторе до коммутации. Ключ разомкнут и конденсатор разряжен, поэтому

Электротехника задачи с решением

ля составления характеристического уравнения запишем систему интегродифференциальных уравнений по законам Кирхгофа. Направления обхода контуров указаны на схеме рис. 17.

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

Решив систему уравнений относительно одной переменной, например Электротехника задачи с решением, получим

Электротехника задачи с решением

Тогда характеристическое уравнение

Электротехника задачи с решением

имеет один корень Электротехника задачи с решением поэтому свободная составляющая будет

Электротехника задачи с решением

Искомое напряжение запишется в виде двух составляющих

Электротехника задачи с решением

В установившемся режиме

Электротехника задачи с решением

Искомая величина

Электротехника задачи с решением

При Электротехника задачи с решением

По закону коммутации независимое начальное условие — напряжение на емкости Электротехника задачи с решением

Следовательно, постоянная интегрирования Электротехника задачи с решением Записываем искомую величину:

Электротехника задачи с решением

Построим ее график (рис. 18).

Электротехника задачи с решением

Переходные процессы в цепях первого порядка без составления дифференциального уравнения

Задача №55 с решением

На рис. 19 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: Электротехника задачи с решением Необходимо определить переходный процесс по напряжению Электротехника задачи с решением на участке цепи.

Электротехника задачи с решением

Решение: Рассчитаем переходный процесс как сумму принуждённой и свободной составляющих: Электротехника задачи с решением

К независимым начальным условиям относится напряжение на ёмкости в момент коммутации. Если не оговорено значение Электротехника задачи с решением, то примем его равным 0: Электротехника задачи с решением. Но истечении достаточно большого времени после замыкания ключа ёмкость зарядится до напряжения источника ЭДС и зарядный ток станет равным 0. Следовательно, напряжение на сопротивлении Электротехника задачи с решением будет равным 0 и принуждённое напряжение на зажимах Электротехника задачи с решением

Так как цепь содержит только один реактивный элемент цепи, то характеристическое уравнение цепи будет иметь один корень и свободная составляющая искомых переходных процессов будет иметь вид

Электротехника задачи с решением

Из характеристического уравнения цепи Электротехника задачи с решением находим значение корня: Электротехника задачи с решением

Тогда Электротехника задачи с решением Подставим найденные принужденную и свободную составляющие в искомое решение: Электротехника задачи с решением

Для нахождения постоянной интегрирования Электротехника задачи с решением рассмотрим решение при Электротехника задачи с решением Для вычисления Электротехника задачи с решением необходимо знать Электротехника задачи с решением, т. е. зависимые начальные условия, которые легко определить по эквивалент ной схеме цени, изображённой на рис. 20 для момента Электротехника задачи с решением (см. пример 2).

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

Подставив найденное значение Электротехника задачи с решением определим постоянную интегрирования: Электротехника задачи с решением тогда Электротехника задачи с решением

С учетом найденного значения Электротехника задачи с решением закон изменения напряжения на замах Электротехника задачи с решением после коммутации запишем в виде

Электротехника задачи с решением

График приведен на рис. 21.

Электротехника задачи с решением

Длительность переходного процесса:

Электротехника задачи с решением

Задача №56 с решением

Па рис. 22 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: Электротехника задачи с решением Найти Электротехника задачи с решением без составления дифференциального уравнения.

Электротехника задачи с решением

Решение: После коммутации напряжение на емкости в установившемся режиме

Электротехника задачи с решением
  • Свободную составляющую Электротехника задачи с решением найдем, используя закон коммутации и начальные условия:
Электротехника задачи с решением

а

Теоретические основы электротехники

откуда

Электротехника задачи с решением

Тогда

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

График Электротехника задачи с решением приведен на рис. 23.

Электротехника задачи с решением

Переходные процессы при скачкообразном изменении схемы цепи

Задача №57 с решением

На рис. 24 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: Электротехника задачи с решением. Найти ток Электротехника задачи с решением классическим методом и построить график.

Электротехника задачи с решением

Решение: После коммутации ток в цепи будет проходить через коротко-замкнутую перемычку Электротехника задачи с решением минуя сопротивление Электротехника задачи с решением. По второму закину Кирхгофа в цепи, изменившейся скачком, можем записать

Электротехника задачи с решением

или

Электротехника задачи с решением

Решение данного уравнения ищем в виде

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

Из закона коммутации Электротехника задачи с решением или Электротехника задачи с решением откуда Электротехника задачи с решением тогда Электротехника задачи с решением

График тока Электротехника задачи с решением приведен на рис. 25.

Электротехника задачи с решением

Дополнительные задачи:

Переходные процессы в цепях первою порядка с источником синусоидального напряжения

Задача №63 с решением

На рис. 35 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: Электротехника задачи с решением Найти Электротехника задачи с решением классическим методом.

Электротехника задачи с решением

Решение: Напряжение на емкости будем искать в виде

Электротехника задачи с решением

Принужденную составляющую находим из уравнения

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

Тогда

Электротехника задачи с решением

а свободная составляющая имеет вид

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

Постоянную интегрирования Электротехника задачи с решением находим из начального условия и закона коммутации: Электротехника задачи с решением или Электротехника задачи с решением откуда Электротехника задачи с решением. Окончательно Электротехника задачи с решением

Дополнительные задачи:

Переходные процессы в цепях второго порядка с источником постоянною напряжения

При подключении Электротехника задачи с решением-цепи к источнику постоянного напряжения (рис. 41) дифференциальное уравнение переходного процесса следующее:

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

Решение этого уравнения ищем в виде

Электротехника задачи с решением

Так как при Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением то Электротехника задачи с решением Для определения постоянных интегрирования при Электротехника задачи с решением берем производную от выражения Электротехника задачи с решением Из системы уравнений

Электротехника задачи с решением

найдем

Электротехника задачи с решением

Корни характеристического уравнения

Электротехника задачи с решением

Тогда окончательно

Электротехника задачи с решением

Переходный процесс зависит от вида корней Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением харакгеристического уравнения. Возможны три случая.

В первом случае корни вещественные, отрицательные и разные и при Электротехника задачи с решением переходный процесс носит апериодический характер. Во втором случае при Электротехника задачи с решением корни вещественные, отрицательные и равные и переходный процесс — критический апериодический. В третьем случае при Электротехника задачи с решением корни комплексно-сопряжённые и характер переходного процесса в схеме после коммутации будет затухающим колебательным:

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

Задача №66 с решением

На рис. 42 происходит отключение источника. Параметры схемы: Электротехника задачи с решением Найти Электротехника задачи с решением классическим методом

Электротехника задачи с решением

Решение: Согласно второму закону Кирхгофа после коммутации в цени происходит только свободный процесс Электротехника задачи с решением, а дифференциальное уравнение

Электротехника задачи с решением

решение которого будем искать в виде Электротехника задачи с решением

Так как

Электротехника задачи с решением

и

Электротехника задачи с решением
  • откуда Электротехника задачи с решением то корни характеристического уравнения Электротехника задачи с решением будут комплексно-сопряженными: Электротехника задачи с решением где Электротехника задачи с решением

Тогда напряжение

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

Задача №67 с решением

На рис. 43 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: Электротехника задачи с решением Найти классическим методом выражение для Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением.

Электротехника задачи с решением

Решение: Вычисляем Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением:

Электротехника задачи с решением

Так как Электротехника задачи с решением меньше Электротехника задачи с решением более чем на один порядок, то можно принять Электротехника задачи с решением тогда

Электротехника задачи с решением

Максимальное значение Электротехника задачи с решением наступает при

Электротехника задачи с решением

тогда

Электротехника задачи с решением

Переходные процессы в цепях второго порядка с источником синусоидального напряжения

При подключении к цепи второго порядка (рис. 44) источника синусоидального напряжения Электротехника задачи с решениемдифференциальное уравнение переходного режима будет следующим:

Электротехника задачи с решением
  • При подключении контура высокой добротности Электротехника задачи с решением или Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

Принужденную составляющую ищем в виде

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

Свободную составляющую ищем в виде

Электротехника задачи с решением

При

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

где Электротехника задачи с решением

График Электротехника задачи с решением в этом случае является изохронизмом (рис. 45).

Электротехника задачи с решением

Если Электротехника задачи с решением то в цепи возникают биения (рис. 46).

Электротехника задачи с решением

Задача №68 с решением

В цепи рис. 47 происходит замыкание ключа. Параметры схемы

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

Найти Электротехника задачи с решением временным методом.

Решение: Решение ищем в виде Электротехника задачи с решением Принужденное напряжение

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

Тогда

Электротехника задачи с решением

а

Электротехника задачи с решением

Из закона коммутации свободное напряжение на конденсаторе равно

Электротехника задачи с решением

Окончательно имеем

Электротехника задачи с решением

Временные характеристики электрических цепей. Переходная и импульсная характеристики

Если на входе линейной электрической цепи (рис. 48) при нулевых начальных условиях — единичная функция воздействия Электротехника задачи с решением то выходная величина — переходная характеристика, т. е. Электротехника задачи с решением.

Электротехника задачи с решением

Физический смысл Электротехника задачи с решением.

  1. Если на входе цепи напряжение Электротехника задачи с решением и на выходе также измеряется напряжение Электротехника задачи с решением, то переходная характеристика Электротехника задачи с решением — это коэффициент передачи цепи по напряжению Электротехника задачи с решением, если же на выходе цепи измеряется ток Электротехника задачи с решением, то в этом случае переходная характеристика есть проводимость Электротехника задачи с решением
  2. Если же на входе цепи ток Электротехника задачи с решением и на выходе также измеряется ток Электротехника задачи с решением, то переходная характеристика Электротехника задачи с решением — это коэффициент передачи цепи по току Электротехника задачи с решением если же па выходе измеряется напряжение Электротехника задачи с решением то в этом случае переходная характеристика Электротехника задачи с решением есть сопротивление Электротехника задачи с решением
  3. Если же на входе цепи (рис. 49) дельта-функция, т. е. Электротехника задачи с решением, то на выходе импульсная характеристика: Электротехника задачи с решением.
Электротехника задачи с решением

Так как Электротехника задачи с решением-функция является первой производной Электротехника задачи с решением от единичной функции, то между Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением существует следующая связь:

Электротехника задачи с решением

При нулевых начальных условиях

Электротехника задачи с решением

Для схемы рис. 50

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

Тогда переходные характеристики соответственно по напряжению на ёмкости, на сопротивлении и но току в цени:

Электротехника задачи с решением

а импульсные характеристики равны:

Электротехника задачи с решением

Задача №69 с решением

На рис. 51

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

Найти Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением по выходному напряжению Электротехника задачи с решением цепи временным методом.

Электротехника задачи с решением

Решение: При подаче на вход цепи единичной функции включения Электротехника задачи с решением выходное напряжение Электротехника задачи с решением где

Электротехника задачи с решением

Принужденная составляющая

Электротехника задачи с решением

Постоянная интегрирования

Электротехника задачи с решением

т.к.

Электротехника задачи с решением

то

Электротехника задачи с решением

Тогда

Электротехника задачи с решением

а

Электротехника задачи с решением

Импульсная характеристика

Электротехника задачи с решением

Графики Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением представлены соответственно на рис. 52 и 53.

Электротехника задачи с решением

Задача №70 с решением

На рис. 54 Электротехника задачи с решением На вход цепи действует единичная функция включения Электротехника задачи с решением. Найти Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением временным методом

Электротехника задачи с решением

Решение: Значение переходной характеристики в момент подключения Электротехника задачи с решением

Электротехника задачи с решением

т.к. Электротехника задачи с решением поэтому

Электротехника задачи с решением

Так как Электротехника задачи с решением то Электротехника задачи с решением

Электротехника задачи с решением

Переходная характеристика

Электротехника задачи с решением

Импульсная характеристика

Электротехника задачи с решением

Графики Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением приведены на рис. 55 и 56 соответственно.

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

Интеграл Дюамеля

При определении реакции цепи на воздейсчвие произвольной формы используется принцип наложения: входное произвольное воздействие цепи представляют в виде суммы типовых воздействий (в частности, в виде единичных функций включения или дельта-функций), затем определяют отклик цепи на типовое воздействие и далее, суммируя отклики на типовые воздействия, получают отклик цепи на входное воздействие.

Например, отклик цепи па ступенчатое воздействие записывается в виде

Электротехника задачи с решением

Перейдя от суммы к интегралу, получим первую форму интеграла наложения или интеграла Дюамеля:

Электротехника задачи с решением

Все шесть форм интеграла Дюамеля приведены в прил. 1.

Если входное произвольное воздействие цепи представить в виде суммы такого типового воздействия, как дельта-функция или суммы коротких импульсов, то отклик будет равен интегралу от свертки входного сигнала Электротехника задачи с решением и импульсной характеристики Электротехника задачи с решением цепи:

Электротехника задачи с решением

Задача №71 с решением

На рис. 57 Электротехника задачи с решением входное воздействие имеет вил, как показано на рис. 58, где Электротехника задачи с решением Найти Электротехника задачи с решением методом интегралов наложения и построить график.

Электротехника задачи с решением

Решение: Аналитическая запись входного воздействия

Электротехника задачи с решением

Переходная характеристика по выходному напряжению

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

откуда

Электротехника задачи с решением

В результате

Электротехника задачи с решением

Импульсная характеристика по выходному напряжению

Электротехника задачи с решением

Определим выходное напряжение Электротехника задачи с решением, используя пятую форму интеграла Дюамеля (см. прил. 1): Электротехника задачи с решением Реакция цепи (т. е. выходное напряжение) на интервале Электротехника задачи с решением

Электротехника задачи с решением

Реакция цепи на интервале Электротехника задачи с решением

Электротехника задачи с решением

Проверка решения. В точке Электротехника задачи с решением на графике Электротехника задачи с решением при Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением

Электротехника задачи с решением

Числовые значения Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением:

Электротехника задачи с решением

График зависимости Электротехника задачи с решением приведен на рис. 59.

Электротехника задачи с решением

Задача №72 с решением

На вход цепи (рис. 60) с параметрами Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением подаётся линейно нарастающее напряжение (рис. 61) с углом Электротехника задачи с решением.

Найти выходное напряжение Электротехника задачи с решением с помощью интегралов Дюамеля и построить график.

Теоретические основы электротехники

Решение: Переходная характеристика Электротехника задачи с решением-цепи имеет вид Электротехника задачи с решением

Входное напряжение

Электротехника задачи с решением

где Электротехника задачи с решением

Найдем напряжение Электротехника задачи с решением, используя первую форму интеграла Дюамеля (см. прил. 1):

Электротехника задачи с решением

Поскольку

Электротехника задачи с решением

то

Электротехника задачи с решением

График напряжений Электротехника задачи с решением приведен на рис. 62.

Электротехника задачи с решением

Дополнительные задачи:

Операторный метод анализа переходных процессов в линейных электрических цепях. Основные свойства и теоремы преобразований Лапласа

Суть операторного метода, основанного на преобразованиях Лапласа, заключается в том, что функции действительной переменной Электротехника задачи с решением (т. е. временные) преобразуют в функции комплексной переменной Электротехника задачи с решением (т. е. переносят на комплексную плоскость). При этом снижается на единицу степень дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс в цепи, что упрощает решение задачи.

Облегчает решение задачи и обратный переход от переменной Электротехника задачи с решением к Электротехника задачи с решением с помощью таблиц преобразовании, которые созданы Лапласом для большого числа функций.

Переход от временной функции Электротехника задачи с решением, которую называют оригиналом, к функции на комплексной плоскости Электротехника задачи с решением, которую называют изображением Электротехника задачи с решением, осуществляют с помощью прямою преобразования Лапласа:

Электротехника задачи с решением

Переход от функции комплексной переменной Электротехника задачи с решением к функции действительной переменной Электротехника задачи с решением осуществляют с помощью обратного преобразования Лапласа:

Электротехника задачи с решением

Свойства преобразований Лапласа приведены в прил. 2. Теоремы преобразований Лапласа приведены в прил. 3. Таблица преобразований Лапласа для некоторых функций приведена в прил. 4.

Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме

Для схемы на рис. 113 и ее эквивалентной операторной схемы (или схемы замещения) на рис. 114 можно записать соответственно ннтегродифференциальное уравнение:

Электротехника задачи с решением

и на основании свойства линейности преобразования Лапласа и теорем дифференцирования и интегрирования (см. прил. 2 и 3) операторное уравнение для изображений:

Электротехника задачи с решением

откуда закон Ома в операторной форме имеет вид Электротехника задачи с решением, где Электротехника задачи с решением — операторное сопротивление Электротехника задачи с решением — приведенная операторная ЭДС.

Электротехника задачи с решением

Первый закон Кирхгофа в операторной форме

Электротехника задачи с решением

Второй закон Кирхгофа в операторной форме

Теоретические основы электротехники

где

Электротехника задачи с решением

или

Электротехника задачи с решением

здесь

Электротехника задачи с решением

Задача №75 с решением

В схеме на рис. 115 Электротехника задачи с решениемЭлектротехника задачи с решением. Найти ток Электротехника задачи с решением операторным методом и построить график.

Электротехника задачи с решением

Решение: Эквивалентная операторная схема приведена на рис. 116.

Электротехника задачи с решением

Ток в индуктивности по закону Ома в операторной форме

Электротехника задачи с решением

Оригинал тока Электротехника задачи с решением по таблице изображений Лапласа (см. прил. 4)

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

Ток в индуктивности до коммутации

Электротехника задачи с решением

Тогда

Электротехника задачи с решением

График тока Электротехника задачи с решением приведен на рис. 117.

Электротехника задачи с решением

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Дополнительные задачи:

Связь операторных передаточных функций цепи с временными характеристиками

Для четырехполюсника рассматривают операторную передаточную функцию по напряжению Теоретические основы электротехники, по току Электротехника задачи с решением, операторное передаточное сопротивление Электротехника задачи с решением и операторную передаточную проводимость Электротехника задачи с решением. Для двухполюсника это операторное входное сопротивление Электротехника задачи с решением и проводимость Электротехника задачи с решением. При замене у комплексной передаточной функции Электротехника задачи с решением переменной Электротехника задачи с решением оператором Электротехника задачи с решением получают операторную передаточную функцию:

Электротехника задачи с решением

Связь между операторной передаточной функцией Электротехника задачи с решением и временными характеристиками Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением следует из уравнения Электротехника задачи с решением (рис. 134.)

Так как изображение единичной функции включения Электротехника задачи с решением (рис. 135), то для переходной характеристики Электротехника задачи с решением. Если изображение дельта—функции Электротехника задачи с решением (рис. 136), то импульсная характеристика Электротехника задачи с решением имеет изображение Электротехника задачи с решением, т.е. Электротехника задачи с решением.

Электротехника задачи с решением

Задача №83 с решением

На рис. 137 Электротехника задачи с решением. Найти операторную передаточную функцию по напряжению Электротехника задачи с решением и временные характеристики Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением. Построить графики Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением.

Электротехника задачи с решением

Решение: Операторная передаточная функция по напряжению

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

Импульсная характеристика

Электротехника задачи с решением

Из преобразований Лапласа (см. прил. 4) следует, что

Электротехника задачи с решением

Переходная характеристика

Электротехника задачи с решением

Используя прил. 4, получим

Электротехника задачи с решением

Графики Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением представлены на рис. 138.

Электротехника задачи с решением

Возможно эти дополнительные страницы вам будут полезны: