Решение высшей математики на заказ

Здравствуйте! Я Людмила Анатольевна Фирмаль занимаюсь помощью более 17 лет. У меня своя команда грамотных, сильных преподавателей. Мы справимся с любой поставленной перед нами работой технического и гуманитарного плана. И не важно она по объёму на две формулы или огромная сложно структурированная на 125 страниц! Нам по силам всё, поэтому не стесняйтесь присылайте.

Для того, чтобы заказать напишите мне в воцап.

Ниже предоставила примеры решения и оформления заказов по всем темам высшей математики, ознакомьтесь с ними, чтобы вы знали как будет выглядеть ваша заказанная работа.

Определители. Способы вычисления

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №1.

Вычислить определители:

Решение:

а) По формуле (1) имеем:

Дополнительный пример:

Системы линейных уравнений. Правило Крамера

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №3.

Пользуясь определителями 2-го порядка решить системы:

Решение:

а) Главный определитель системы

Дополнительные определители

Отсюда по формулам Крамера

Система несовместна.

Второе уравнение системы есть следствие первого; система имеет бесчисленное множество решений.

Дополнительный пример:

Основные определения теории матриц. Сложение и умножение матриц

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №5.

Найти сумму матриц

Решение:

Дополнительный пример:

Транспонирование матрицы

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №7.

Дана матрица . Найти и .

Решение:

Меняя строки на столбцы, получим

Если еще раз поменять строки на столбцы, то получим

т. е. исходную матрицу .

Дополнительный пример:

Обратная матрица

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №9.

Дана матрица найти .

Решение:

Находим определитель и
алгебраические дополнения

Отсюда

Дополнительный пример:

Матричный метод решения системы линейных уравнений

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №11.

Решить матричным методом систему уравнений

Решение:

Запишем исходные матрицы

Найдем

Находим обратную матрицу

Отсюда

Таким образом

Решение системы линейных уравнений методом исключения (метод Гаусса)

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №12.

Дана система уравнений

Доказать ее совместность и решить: а) методом Гаусса; б) методом матричного исчисления.

Решение:

Составим и вычислим определитель

следовательно, система совместна.

а) Решение методом Гаусса. За ведущее уравнение примем первое уравнение. Исключим , из второго и третьего уравнений, прибавив ко второму и третьему уравнению ведущее, умноженное на . Получим

Второе и третье уравнения образуют первую подсистему. За второе ведущее уравнение примем второе уравнение. Исключая из третьего уравнения, получим

Отсюда имеем: .

б) Матричный метод. Запишем исходные матрицы

Найдем

Находим обратную матрицу

Отсюда: .

Дополнительный пример:

Ранг матрицы

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №14.

Найти ранг матрицы

Решение:

Поскольку минор второго порядка

а оба окаймляющие его миноры третьего порядка равны нулю

то ранг матрицы равен двум, а базисным минором является, например, .

Дополнительный пример:

Решение системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №16.

Исследовать систему

Решение:

Запишем расширенную матрицу системы

Прибавим вторую строку к пятой, а третью к четвертой

Разделим четвертую строку на 3, а последнюю строку на 4

Вычтем первую строку из четвертой и последней

Вычеркнем четвертую и пятую строки

Отсюда матрица системы

Найдем определитель последней матрицы

Следовательно, .

Ранг расширенной матрицы также равен , поскольку только что рассмотренный определитель является минором расширенной матрицы. Следовательно, система совместна.

Для решения системы выберем, например, уравнения

Решая систему по формулам Крамера находим, что . Нетрудно убедится, что третье и пятое уравнения при этих значениях неизвестных тождественно удовлетворяются.

Дополнительный пример:

Векторные и скалярные величины. Линейные операции над векторами

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №18.

Даны два вектора и (рис. 2.3). Найти их сумму и разность.

Решение:

а) Векторы и перпендикулярны. Сложение выполняем по правилу треугольника (рис. 2.4).

От произвольной точки отложим вектор , совместим начало вектора с концом вектора , вектор, идущий от начала вектора в конец вектора , есть вектор-сумма. Модуль вектор-суммы находим по теореме Пифагора

б) Совместим начала векторов и и соединим их концы. Вектор, идущий из конца вектора-«вычитаемого»в конец вектора — «уменьшаемого», есть вектор-разность (рис. 2.5).

Длина вектора может быть найдена по теореме Пифагора .

Рассмотрим еще один способ нахождения разности векторов и .

Поместим начало вектора в конец вектора и построим вектор , т. е. вектор противоположно направленный. Поскольку под разностью двух векторов и понимают третий вектор, равный сумме векторов и , то вектор-разность находим по правилу треугольника, т. е. это вектор идущий из начала вектора в конец вектора (рис. 2.6).

Нетрудно заметить, что вектора-разности (рис. 2.5 и рис. 2.6) равны по величине и направлению, следовательно, они равны.

Дополнительный пример:

Разложение вектора по координатным осям

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №20.

Заданы начало и конец вектора . Найти разложение вектора по координатным осям, его модуль и направляющие косинусы.

Решение:

Найдем по формулам (7) проекции вектора на координатные оси

Отсюда вектор равен , а его модуль

По формулам (9) направляющие косинусы

Дополнительный пример:

Скалярное произведение

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №22.

Найти скалярное произведение векторов и .

Решение:

Находим .

Дополнительный пример:

Векторное произведение

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №25.

Даны векторы и . Найти координаты векторного произведения .

Решение:

Воспользуемся формулой (6)

тогда координаты векторного произведения будут .

Дополнительный пример:

Смешанное произведение векторов

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №27.

В пространстве даны четыре точки: и . Найти объем тетраэдра и длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины .

Решение:

Пусть вершина тетраэдра. Найдем координаты векторов , и (рис. 2.19): . Объем тетраэдра находим по формуле (5)

Найдем площадь основания

Поскольку , то .

Дополнительный пример:

Координаты точки на прямой и на плоскости. Длина и направление отрезка

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №29.

Построить на числовой оси точки и , найти величины отрезков и на оси, длину отрезка и проверить равенство .

Решение:

На оси в выбранном масштабе откладываем от начала координат соответственно точки и (рис .3.2). Величины отрезков находим по формуле (1)

Длину отрезка находим по формуле (2)

Подставляя найденные величины отрезков на оси в доказываемое равенство, получим 9+(-4)=5, 5=5.

Дополнительный пример:

Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника и многоугольника. Центр тяжести

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №31.

Найти точку, делящую отрезок между точками и в отношении .

Решение:

Для отыскания координат точки, делящей отрезок в отношении , воспользуемся формулами (1)

Дополнительный пример:

Уравнения прямой линии. Геометрическое истолкование неравенства и системы неравенств первой степени

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №33.

Написать уравнение прямой проходящей через точку и составляющей с угол 45°.

Воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом (2). Угловой коэффициент . Подставляя в уравнение (2) координаты точки и значение , находим параметр : , откуда и уравнение примет вид или в общем виде .

Дополнительный пример:

Задачи на прямую линию

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №35.

Написать уравнения прямых проходящих через точку параллельно и перпендикулярно к прямой .

Решение:

Воспользуемся уравнением пучка прямых (8) и запишем уравнение пучка прямых с центром пучка в точке

Приводим уравнение прямой к уравнению прямой с угловым коэффициентом , отсюда угловой коэффициент прямой . Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны (6). Выбирая из уравнения пучка прямую с угловым коэффициентом находим уравнение прямой параллельной данной

Используя условие перпендикулярности прямых (7), находим угловой коэффициент перпендикулярной прямой . Подставляя этот коэффициент в уравнение пучка, получим уравнение прямой перпендикулярной данной

Дополнительный пример:

Уравнение линии как геометрического места точек

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №37.

Принадлежат ли точки линии ?

Решение:

Если точка принадлежит данной линии, то ее ко ординаты удовлетворяют уравнению данной линии. Подставляем в уравнение заданной линии вместо текущих координат координаты точки . Получим . Равенство выполняется, следовательно, точка принадлежит данной линии.

Подставляя координаты точки в уравнение линии, получим . Следовательно, точка не принадлежит данной линии.

Дополнительный пример:

Кривые второго порядка

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №39.

Найти координаты центра и радиус окружности

Решение:

Дополняя левую часть уравнения до полных квадратов, получим или . Следовательно .

Дополнительный пример:

Преобразование декартовых координат

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №41.

Точка имеет координаты . Найти се координаты, если начало координат перенесено в точку .

Решение:

По условию . Координаты точки в новой системе будут .

Дополнительный пример:

Полярная система координат. Уравнения кривых

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №42.

Найти декартовы координаты точек .

Решение:

Применяя формулы (1), находим . В декартовой системе получим .

Декартовы координаты точки будут: , то есть .

Дополнительный пример:

Пример решённой на заказ задачи №43.

Параметрические уравнения плоских кривых

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №44.

Найти параметрические уравнения окружности , если полярная ось совпадает с осью , а полюс находится в начале координат.

Решение:

Между декартовыми координатами и полярными существует зависимость . В качестве параметра примем полярный угол , тогда уравнение окружности будет . Если в формулы перехода вместо и подставить их выражения в функции , то получим

Откуда .

Дополнительный пример:

Плоскость

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №46.

Дано уравнение плоскости . Привести: а) к нормальному виду; б) к уравнению плоскости в отрезках на осях.

Решение:

а) Найдем нормирующий множитель .
Умножая на данное уравнение, получим

где и .

б) Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим на него уравнение, представив его в виде

Отрезки на осях .

Дополнительный пример:

Прямая линия

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №48.

Составить симметричные уравнения прямой линии

Решение:

Пусть , тогда

откуда .

Воспользуемся теперь формулой (2)

Дополнительный пример:

Прямая и плоскость

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №50.

Найти точку пересечения прямой и плоскости .

Решение:

Запишем уравнение прямой в параметрическом виде: .

Подставляя в уравнение плоскости, находим соответствующее значение .

Отсюда и координаты точки пересечения .

Дополнительный пример:

Поверхности второго порядка

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №52.

По заданному уравнению определить вид поверхности и указать ее расположение в координатной системе:

Решение:

а) Дополним до полных квадратов многочлен в левой части или .

Полагая , находим, что в системе координат ,смещенной относительно системы параллельным переносом в точку с координатами , данная поверхность имеет простейшее уравнение вида . Таким образом, данное уравнение определяет сферу с центром в точке и радиусом равным .

б) Перенесем свободный член в правую часть и разделим на него, тогда будем иметь

Данное уравнение представляет эллипсоид вращения вокруг оси с полуосями .

в) Перенесем свободный член в правую часть и разделим на него, тогда будем иметь .

Данное уравнение представляет однополостный гиперболоид вращения (4) вокруг оси .

г) Разрешим выражение относительно , тогда будем иметь

Данное уравнение представляет эллиптический параболоид (5).

д) Разрешим выражение относительно , тогда получим . Нетрудно заметить, что это уравнение представляет параболоид вращения с осью вращения (рис. 4.13).

ж) Поскольку переменная отсутствует, то уравнение представляет параболический цилиндр с образующими параллельными оси (рис. 4.14). Сечение параболического цилиндра с плоскостью образует параболу, вершина которой находится в точке с координатой .

з) Поскольку переменная отсутствует, то выражение представляет параболический цилиндр, образующие которого параллельны оси (рис. 4.15). Сечение параболического цилиндра с плоскостью образуют параболу, вершина которой находится в точке с координатой .

Дополнительный пример:

Геометрический смысл уравнений с тремя неизвестными в пространстве

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №54.

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек и .

Решение:

Пусть точка будет текущей точкой искомого геометрического места точек. Тогда, по формуле (11, Гл.2.2) данное условие примет вид

Упрощая, получим уравнение геометрического места точек . Полученное уравнение изображает плоскость, перпендикулярную отрезку пересекающую его посередине.

Дополнительный пример:

Параметрические уравнения пространственных кривых

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №56.

Определить линию, заданную уравнениями и .

Решение:

Исключая из второго и третьего уравнения параметр , получим — уравнение плоскости. Находя из второго и подставляя в первое уравнение, будем иметь — параболический цилиндр. Следовательно, мы имеем линию пересечения плоскости с параболическим цилиндром.

Дополнительный пример:

Линейные преобразования

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №58.

Дано линейное преобразование

и даны точки в системе координат : (1,-1,2) и (2,-3,0). Найти координаты этих точек в системе .

Решение:

Подставляя координаты точек в данное линейное преобразование, получим: если , то ; если , то .

Дополнительный пример:

Разложение векторов по базису. Арифметические векторы

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №60.

Выяснить, является ли система арифметических векторов линейно зависимой или линейно независимой. Найти ее ранг и какой-нибудь базис.

Решение:

Составим матрицу , вектор-столбцами которой
будут вектора

Поскольку определитель матрицы равен нулю, а минор второго порядка отличен от нуля, то ранг матрицы равен 2 и исходная система арифметических векторов линейно зависима. Принимая минор второго порядка за базисный полагаем, что арифметические векторы образуют искомый базис.

Дополнительный пример:

Пример решённой на заказ задачи №61.

Собственные числа и собственные векторы матрицы

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №62.

Найти собственные значения и собственные вектора линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей

Решение:

Составляем характеристическое уравнение

или . Отсюда собственные значения: .

Найденное собственное значение линейного преобразования , подставим в систему уравнений (3)

Решая систему уравнений методом Гаусса, находим собственный вектор, соответствующий

Полагаем , тогда и .

Следовательно, , где — любое отличное от нуля действительное число.

Находим собственный вектор, соответствующий . Получим систему

Решая ее методом Гаусса, будем иметь

Откуда . Полагаем , тогда и собственный вектор , где — произвольный, отличный от нуля множитель.

Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №63.

Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка .

Решение:

В данном случае матрица старших членов имеет вид

Составим характеристическое уравнение матрицы

Полагая , для определения соответствующего собственного вектора получим систему уравнений

Отсюда и . Нормируем вектор :

Полагая , для определения второго собственного вектора получим систему уравнений

Отсюда и . Нормируя, находим

Векторы и ортогональны: . Для построения матрицы преобразования координат используем собственные нормированные ортогональные векторы

Отсюда: . Значения и подставим в уравнение кривой

Откуда или — каноническое уравнение эллипса.

Множества и операции над ними

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №64.

Описать перечислением элементов множество .

Решение:

Найдем множество значений переменной , удовлетворяющих неравенству . Так как , то . Поскольку есть множество натуральных чисел, то .

Логическая символика

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №65.

Используя логическую символику, записать утверждение: «число есть точная верхняя грань множества ».

Решение:

То, что число есть точная верхняя грань множества , записывается и означает , причем для сколь угодно малого справедливо условие .

Понятие о функции

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №66.

Дана функция . Найти частное значение функции при .

Решение:

Чтобы найти частное значение функции при , достаточно это значение аргумента подставить вместо . Получим

Дополнительный пример:

Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №68.

Найти пределы:

Решение:

а) Разложим на множители числитель и знаменатель

Сокращая на , будем иметь .

б) Разлагаем числитель и знаменатель на множители

в) Поскольку при многочлены в числителе и знаменателе обращаются в ноль, то их можно разложить на множители, причем одним из сомножителей будет . Тогда, деля многочлены на получим

г) Выполнив очевидные преобразования, получим

Дополнительный пример:

К оглавлению…

Непрерывность и точки разрыва функции

Пример решённой на заказ задачи №70.

Найти приращение функции , если аргумент изменился от до .

Решение:

Найдем приращение аргумента . Вычислим исходное значение функции . Вычислим новое значение функции .

Отсюда приращение функции .

Дополнительный пример:

Вычисление производных

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №72.

Пользуясь только определением производной, найти производные от функций:

Решение:

а) Находим приращение функции

По определению производной имеем

б) Приращение функции равно: .

По определению производной имеем:

в) Находим приращение функции

По определению производной

Дополнительный пример:

Производные функций, не являющихся явно заданными

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №74.

Найти производные

и производные

Решение:

а) Дифференцируем обе части по , считая сложной функцией, зависящей от

Откуда или

б) Дифференцируя обе части равенства по , получим

Разрешая равенство относительно , получим

в) Дифференцируем обе части равенства по , считая сложной функцией, зависящей от

Разрешая равенство относительно , получим

г) Дифференцируем обе части равенства по

Отсюда

Дополнительный пример:

Производные высших порядков

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №76.

Для данных функций найти производные указанного порядка:

Решение:

а) Находим первую производную

Вторую производную находим диференцированием по

б) Находим первую производную

Дифференцируя по , находим вторую производную

Дифференцируя еще раз по , находим третью производную

в) Для нахождения четвертой производной дифференцируем последовательно четыре раза по

г) Для нахождения -й производной дифференцируем последовательно заданную функцию до тех пор, пока не выявим общую закономерность нахождения последующей производной

и т.д.

Отсюда . (См. 3. пункт 5°).

д) Поскольку функция у представляет произведение двух функций , то применяя формулу Лейбница

получим

Дополнительный пример:

Дифференциал функции

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №78.

Найти дифференциалы функций:

Решение:

а) Находим производную данной функции

Отсюда дифференциал равен

б) Находим производную

Отсюда дифференциал

в) Находим производную

Отсюда дифференциал будет

г) Производная по равна . Отсюда дифференциал .

Дополнительный пример:

Приложения производной к задачам геометрии и физики

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №80.

Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке .

Решение:

Находим производную и вычисляем частное значение производной при .

Таким образом, уравнение касательной будет

или .

Уравнение нормали к кривой в точке имеет вид

или .

Дополнительный пример:

Теоремы о среднем

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №82.

Проверить справедливость теоремы Ролля для функций: на отрезке [-1,3]; на отрезке [-1,1].

Решение:

а) Функция определена, непрерывна и дифференцируема при всех значениях . Значения функции на границах отрезка равны между собой и функция имеет конечную производную в каждой точке этого отрезка, следовательно условия теоремы Ролля выполняются. Значение определяем из выражения , т. е. .

б) Функция непрерывна на отрезке [-1,1] и на концах этого отрезка принимает равные значения . Находим производную . В точке производная не существует. Поскольку условия теоремы Ролля не выполнены, то теорема Ролля к данной функции неприменима.

Дополнительный пример:

Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №84.

Найти пределы:

Решение:

а) При имеем неопределенность вида . Применяем правило Лопиталя

б) При неопределенность вида . Применяем правило Лопиталя

При имеем неопределенность вида . Применяем правило Лопиталя еще раз

в) При неопределенность вида .Применяем правило Лопиталя

Выделим первый замечательный предел и воспользуемся теоремами о пределах и правилом Лопиталя еще раз

г) При неопределенность вида . Применяем правило Лопиталя

Дополнительный пример:

Возрастание и убывание функций

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №86.

Определить промежутки монотонности функций:

Решение:

а) Функция определена для всех значений , т. е. область ее существования . Находим производную . Очевидно, что при любом , следовательно, функция возрастает на всем промежутке (рис. 7.17).

б) Функция существует для всех , т. е. область ее существования . Находим производную . Поскольку , то и для всех меньше нуля. Следовательно, данная функция на промежутке убывает (рис. 7.18).

в) Функция определена для всех кроме , где она терпит разрыв. Находим производную и приравниваем ее к нулю . Это уравнение имеет два корня: .

Учитывая точку разрыва , разбиваем числовую ось на промежутки (рис. 7.19) и определяем знак производной на каждом из них. Следовательно, функция возрастает на промежутках и и убывает — (0,1) и (1,2). На рис. 7.20 показан график функции.

г) Функция определена на всей числовой оси . Находим производную . Из уравнения определяем корни производной и . Корни уравнения определяют три промежутка и . Из выражения производной видно, что при переходе через корень производная не меняет знака. При и при имеем: , следовательно, функция убывает. При производная , следовательно функция возрастает.

д) Функция определена на всей числовой оси. Находим ее производную

Отсюда следует, что функция при убывает, так как при любом значении , а при возрастает, так как . График этой четной функции показан на рис. 7.21.

Дополнительный пример:

Максимум и минимум функции

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №88.

Исследовать на экстремум функции:

Решение:

а) Находим производную . Приравниваем ее к нулю . Корни этого уравнения ; являются критическими точками.

Представим производную в следующем виде и рассмотрим методом интервалов, как меняется знак при переходе через критические точки (рис. 7.22 ).

При переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через с минуса на плюс. Значит, при функция имеет максимум, а при функция имеет минимум.

Находим экстремальные значения функции: — максимум функции; — минимум функции. График функции показан на рис. 7.23.

б) Находим производную и приравниваем ее к нулю . Корни этого уравнения , являются критическими точками.

При переходе через точку производная знака не меняет, поскольку данный множитель в квадрате, а при переходе через точку меняет знак с минуса на плюс. Значит, при функция имеет минимум.

Находим экстремальные значения функции, а именно минимум функции . График функции показан на рис. 7.24.

Дополнительный пример:

Наибольшее и наименьшее значение функции

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №90.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

Решение:

а) Находим производную функции и приравниваем ее к нулю . Отсюда критические точки будут . Поскольку критические точки лежат внутри интервала, то находим значения функции в этих точках: . Вычисляем значения функции на концах отрезка . Теперь сравниваем значения функции в критических точках и в точках на концах отрезка. Из сравнения видно, что наибольшее значение функции будет , а наименьшее . График функции на отрезке [-2;2] показан на рис. 7.28.

б) Вычислим производную , приравняем ее к нулю и находим критические точки, принадлежащие отрезку .

В данном случае имеем только одну критическую точку .

Вычисляем значение функции в критической точке и на концах отрезка

Сравнение найденных значений функции показывает, что
наибольшее значение в точке экстремума , а наименьшее на конце отрезка . График функции на отрезке показан на рис. 7.29.

в) Вычисляем производную и, приравнивая ее к нулю, находим критические точки . Поскольку критические точки лежат внутри отрезка [- 6,2], вычисляем значения функции в критических точках . Находим значение функции на концах отрезка .

Сравнивая вычисленные значения функции в критических точках и на границе отрезка, заключаем, что наибольшее значение находится в критической точке и равно , а наименьшее в граничной точке и равно (рис. 7.30).

Дополнительный пример:

Решение задач на максимум и минимум

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №92.

Объем цилиндра . Найти радиус основания, при котором цилиндр имеет наименьшую полную поверхность.

Решение:

Полную поверхность цилиндра принимаем за функцию. , где — высота цилиндра, — радиус основания. Объем цилиндра , отсюда . Исключая из выражения полной поверхности цилиндра, получим . Вычисляя производную по : и приравнивая ее к нулю , находим, что минимум наименьшей полной поверхности будет при радиусе .

Действительно, вторая производная при равна

То есть найденное значение радиуса определяет наименьшую полную поверхность.

Дополнительный пример:

Направление выпуклости кривой. Точки перегиба

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №94.

Исследовать на направление выпуклости и найти точки перегиба кривой: .

Решение:

а) Функция определена для любого значения . Находим производные: и приравниваем вторую производную к нулю . Корни этого уравнения и разбивают область определения функции на три интервала. Определяем методом интервалов (рис. 7.44 ) знак на каждом промежутке.

Поскольку при переходе через эти точки меняет знак, то в точках и функция имеет перегибы. На интервалах и кривая выпукла вниз, а на интервале выпукла вверх.

б) Найдем вторую производную и приравняем се к нулю: .

При вторая производная . Поскольку вторая производная при переходе через точку знака не меняет и при любом значении положительна, то кривая на всей числовой оси направлена выпуклостью вниз.

Дополнительный пример:

Асимптоты кривой

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №96.

Найти асимптоты кривых:

Решение:

а) При функция терпит разрыв, причем

То есть прямая является вертикальной асимптотой. Находим параметры и наклонной асимптоты

Следовательно, уравнение наклонной асимптоты имеет вид . График кривой и асимптоты показаны на рис. 7.47.

б) Так как , то прямые и будут вертикальными асимптотами.

Так как при предел , то прямая будет горизонтальной асимптотой.

Поскольку и , то наклонных асимптот нет. График функции и асимптоты показаны на рис. 7.48.

в) Функция определена на всей числовой оси , бесконечных разрывов не имеет, поэтому не имеет и вертикальных асимптот.

Определяем наклонные асимптоты:

следовательно, будет ее горизонтальной асимптотой.

Данная кривая бесчисленное множество раз пересекает свою асимптоту , переходя с одной ее стороны на другую в точках и неограниченно приближаясь к ней (рис. 7.49).

Дополнительный пример:

Исследование функции и построение графиков

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №98.

Исследовать функции и построить их графики:

Решение:

а) Областью существования функции является вся числовая ось. Функция четная, следовательно, график функции симметричен относительно оси ординат.

Полагая , находим точку пресечения графика с осью ординат .

Приведем функцию к виду , тогда, решая уравнение , точки пересечения с осью абсцисс будут .

Находим производную и приравниваем ее к нулю . Из решения уравнения находим критические точки . Находим вторую производную . Так как , то точки и есть точки минимума функции, а так как , то точка есть точка максимума. Значения функции в экстремальных точках равны: .

Чтобы отыскать возможные точки перегиба, решаем уравнение: , откуда . Так как меняет свой знак при переходе через эти точки, то при этих значениях график функции имеет перегиб. Находим ординаты точек перегиба: .

При неограниченном возрастании по абсолютной величине функция стремится к бесконечности . График функции показан на рис. 7.54.

б) Функция существует всюду, кроме точек . Прямые и являются вертикальными асимптотами функции. Найдем односторонние пределы в точках разрыва

Функция не четна, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат. При имеем , следовательно, график функции проходит через начало координат.

Находим производную и приравниваем ее к нулю . Корни этого уравнения .

Рассмотрим методом интервалов изменение знака при переходе через эти точки (рис. 7.55 ). Следовательно, в точке функция имеет минимум , а в точке имеет максимум . При переходе через производная знака не меняет, следовательно, в точке экстремума нет.

Находим вторую производную . Вторая производная при и меняет знак с минуса на плюс при переходе через эту точку, следовательно, и точка есть точка перегиба.

Находим асимптоты кривой:

следовательно, кривая имеет наклонную асимптоту . График функции показан на рис. 7.56.

в) Находим область существования функции. Функция существует при , т. е. при и (рис. 7.57).

Находим односторонние пределы , . Следовательно, прямые и являются вертикальными асимптотами.

Находим производную . Производная не обращается в нуль ни при каком значении , значит экстремумов нет.

Найдем вторую производную и приравняем ее к нулю , но точка не входит в область существования функции. При имеем — кривая выпукла вниз; при имеем — кривая выпукла вверх.

Находим при предельное значение функции , следовательно, прямая есть горизонтальная асимптота. График функции показан на рис. 7.58.

г) Областью существования функции является вся числовая ось. При функция равна нулю. Так как и , то при любом .

Находим производную и приравниваем ее к нулю .

Решая это уравнение, находим критические точки и . Поскольку производная меняет знак согласно схеме (рис. 7.59), то в точке функция имеет максимум, равный нулю, а в точке минимум, равный .

Находим вторую производную и приравниваем ее к нулю , откуда . Поскольку вторая производная меняет знак согласно схеме (рис. 7.60), то в точках функция имеет перегиб и при кривая выпукла вниз, при кривая выпукла вверх, при кривая выпукла вниз.

Находим пределы:

т. е. прямая есть горизонтальная асимптота. График функции показан на рис. 7.61.

д) Функция существует для всех значений , кроме . При функция терпит разрыв. При функция равна нулю. При имеем , т. е. функция не отрицательна.

Находим производную и приравниваем ее к нулю . Находим вторую производную и определяем ее знак при . Поскольку , то при функция имеет минимум, равный .

Вторая производил при и меняет свой знак с минуса на плюс при переходе через эту точку, следовательно, при кривая имеет перегиб, ордината которого равна .

Находим предел , т. е. прямая есть вертикальная асимптота. При предел , т. е. прямая есть горизонтальная асимптота. График функции показан на рис. 7.62.

Дополнительный пример:

Формула Тейлора и Маклорена

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №101.

Разложить многочлен по степеням двучлена .

Решение:

Введем обозначение и найдем производные:

для . При имеем:

Отсюда

Дополнительный пример:

Понятие о функции нескольких переменных. Область определения

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №103.

Пусть . Найти а) частные значения функции в точках

Решение:

а) Чтобы найти частные значения функции в точках и , необходимо подставить координаты этих точек в выражение функции. Тогда частное значение функции в точке будет , а в точке будет .

б) Чтобы найти требуемые значения функций, необходимо переменным присвоить значения , соответственно, в первом случае и — во втором. Тогда будем иметь

Дополнительный пример:

Предел функции нескольких переменных. Непрерывность

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №105.

Найти пределы функций:

Решение:

а) Преобразуем предел следующим образом

Пусть , тогда .

б) Воспользуемся первым замечательным пределом

в) Пусть , т. е. рассмотрим изменение и вдоль прямой. Тогда

Таким образом, предел имеет различные значения в зависимости от выбранного , т. е. функция не имеет предела.

г) Воспользуемся вторым замечательным пределом . Тогда

Дополнительный пример:

Частные производные первого порядка

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №107.

Найти частные производные:

Решение:

а) Полагая у постоянной величиной, находим производную по :

Полагая постоянной величиной, находим производную по :

б) Полагая постоянной величиной, находим . Полагая постоянной величиной, находим .

Дополнительный пример:

Дифференциал функции и его применение к приближенным вычислениям

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №109.

Найти частные дифференциалы: .

Решение:

а) Находим частные производные

Умножая на соответствующие дифференциалы аргументов, получим

б) Функция трех переменных. Находим частные производные

Отсюда, частные дифференциалы

Дополнительный пример:

Частные производные и дифференциалы высших порядков

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №111.

Найти частные производные второго порядка

Решение:

а) Найдем частные производные первого порядка

Отсюда вторые частные производные

Последние два выражения наглядно доказывают, что смешанные производные нс зависят от порядка дифференцирования.

б) Находим сначала частные производные первого порядка

Отсюда частные производные второго порядка

Дополнительный пример:

Дифференцирование сложных функций

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №113.

Найти производные сложных функций:

Решение:

а) Поскольку промежуточные аргументы являются функциями только одной независимой переменной , то производную находим по формуле (2)

б) Промежуточные аргументы являются функциями двух независимых аргументов . В этом случае формулы (1) примут вид

Отсюда

в) Функция зависит от трех промежуточных аргументов, которые в свою очередь зависят только от одной независимой переменной, поэтому по формуле (2)

г) Здесь независимая переменная явно входит в выражение функции, поэтому воспользуемся формулой (3)

Дополнительный пример:

Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №115.

Найти частные производные:

Решение:

а) Функция задана неявно. Полагая , по формулам (1) имеем

С другой стороны, дифференцируя данное уравнение, будем иметь .

Находим отсюда , т. е. полный дифференциал неявной функции

Сравнивая с формулой полного дифференциала

окончательно получим

б) Полагая , находим частные производные

Отсюда по формулам (1) получим

Второй метод. Дифференцируем

Находим дифференциал

Сравнивая с полным дифференциалом функции от двух переменных, получим

Дополнительный пример:

Замена переменных в дифференциальных выражениях

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №117.

Преобразовать дифференциальное уравнение , полагая .

Решение:

Выразим производные от по через производные от по :

Подставляя полученные производные в данное уравнение и
заменяя на , будем иметь

Дополнительный пример:

Пример решённой на заказ задачи №118.

Экстремум функции

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №119.

Найти экстремальные значения:

Решение:

а) Функция трех переменных. Находим частные производные:

Приравнивая их к нулю, находим стационарные точки и .

Вычисляем вторые частные производные: . Нетрудно заметить, что второй дифференциал в точке равен нулю. Поэтому для выяснения существования экстремума рассмотрим приращение функции в точке , т. е. .

Так как знак приращения функции в точках , достаточно близких к точке , может быть как положительным, так и отрицательным, то экстремума функции в точке нет.

Исследуем функцию на экстремум в стационарной точке . Для этого выясним знак определителя (4) в точке

Поскольку квадратичная форма отрицательна, то в точке функция имеет максимум .

б) Функция двух независимых переменных задана неявно. Найдем частные производные. Полагая , будем иметь

Приравнивая производные к нулю: и , будем иметь . Исключая и из исходного выражения , получим две стационарные точки .

Вычислим вторые производные

Найдем значение в точке . Вычисляя производные: будем иметь . Так как , то в точке функция имеет максимум.

Найдем теперь значение в точке . Вычисляя производные: получим .

Поскольку , то в точке функция имеет минимум.

Дополнительный пример:

Наибольшие и наименьшие значения функций

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №121.

Из всех треугольников данного периметра найти тот, который имеет наибольшую площадь.

Решение:

Обозначим стороны треугольника через ; тогда по формуле Герона или, учитывая, что , будем иметь .

Чтобы найти наибольшее значение площади, достаточно найти наибольшее значение подкоренной функции .

Вычисляем производные и приравниваем их нулю

Из решения системы уравнений находим единственную стационарную точку . Находим вторые производные в этой точке: .

Поскольку , то исследуемая функция имеет в этой точке максимум.

Вопрос о максимуме функции в точке можно было бы решить и чисто геометрически. В данном случае мы имеем равносторонний треугольник и площадь треугольника максимальна, поскольку, чем больше отличается размер одной стороны от двух других, тем площадь треугольника меньше.

Дополнительный пример:

Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №123.

Найти условные экстремумы функций: при при при

Решение:

а) Геометрически задача сводится к отысканию наибольшего, наименьшего значения апликаты плоскости для точек пересечения ее с цилиндром .

Составим функцию Лагранжа и найдем частные производные: . Необходимые условия существования экстремума определяются системой (2)

которая имеет решения

Поскольку , то . При , следовательно, функция имеет в точке условный максимум . При , следовательно, функция имеет в точке условный минимум .

Условный максимум, минимум функции может быть найден также с помощью определителя (3). Для этого находим в точке :

т. е. функция в точке имеет условный максимум.

Аналогично, в точке

т. е. функция имеет в точке условный минимум.

б) Функция трех независимых переменных. Составим функцию Лагранжа

и найдем частные производные

Запишем необходимые условия существования условного экстремума

Из решения этой системы имеем

Вычислим вторые производные

и найдем второй дифференциал в первой критической точке . Поскольку знак второго дифференциала функции Лагранжа положительный, то исследуемая функция в этой точке имеет условный минимум .

Знак второго дифференциал а во второй критической точке отрицательный, следовательно, в этой точке функция имеет условный максимум .

в) В данном случае уравнений связи два. Составляем функцию Лагранжа

Необходимые условия существования условного экстремума определяются системой уравнений

Из решения этой системы уравнений находим критические точки:

Вычисляем вторые частные производные

и определяем знак второго дифференциала в стационарных точках. В точке функция имеет условный минимум . В точке функция имеет условный максимум . Аналогично вычисляется знак второго дифференциала и в четырех остальных точках. Так в точках функция имеет условный минимум равный , а в точках — максимум .

Дополнительный пример:

Касательная и нормаль к плоской кривой

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №125.

Найти уравнение касательной и нормали к кривой в точке .

Решение:

Функция задана неявно. Для нахождения уравнения касательной воспользуемся уравнением (1). Находим значения частных производных в заданной точке

Таким образом, или .

Уравнение нормали находим по формуле (2): или .

Дополнительный пример:

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №127.

Найти углы с осями координат нормали к поверхности в точке (0,2,2).

Решение:

Уравнение поверхности задано неявно. Воспользуемся формулами (5). Найдём сначала частные производные в точке

Таким образом, .

Дополнительный пример:

Кривизна плоской кривой

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №129.

Найти радиусы кривизны в любой точке данных кривых: .

Решение:

а) Находим производные и по формуле определяем радиус кривизны

б) Функция задана неявно .

Находим производные:

Радиус кривизны находим по формуле

в) Находим производные: . Радиус кривизны находим по формуле

г) Находим производные: и по формуле находим радиус кривизны .

Дополнительный пример:

Особые точки плоских кривых

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №131.

Выяснить характер особых точек кривой .

Решение:

Обозначим и найдем частные производные . Из решения системы уравнений

находим координаты особой точки .

Для выяснения типа особой точки находим вторые частные производные в ней

Отсюда . Если , то и точка — узел (рис. 9.14 ).

Составим уравнение касательной в особой точке или , т. е. касательные имеют углы наклона . Если , то и точка — изолированная точка (рис. 9.15 ) и касательной нет. Если , то . Уравнение кривой в этом случае будет или , где , т. е. кривая симметрична относительно оси , которая будет касательной. Следовательно, точка — точка возврата первого рода (рис. 9.16).

Дополнительный пример:

Касание кривых между собой

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №133.

Найти порядок касания цепной линии с параболой в точке .

Решение:

Обозначим и и найдём последовательные производные от этих функций

Вычислим в точке значения данных функций и их производных

Поскольку , а , т. е. , то и кривые имеют третий порядок касания.

Дополнительный пример:

Производная вектор-функции

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №135.

Найти годограф вектор-функции

Решение:

Запишем параметрические уравнения годографа . Исключая параметр , будем иметь . Следовательно, годографом вектор-функции является окружность.

Дополнительный пример:

Естественный трёхгранник пространственной кривой. Касательная и нормальная плоскость к пространственной кривой

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №137.

Дана кривая . В точке найти: а) основные единичные векторы ; б) уравнения касательной, главной нормали и бинормали; в) уравнения касательной, нормальной и соприкасающейся плоскости.

Решение:

а) Составим уравнение вектор-функции и найдём производные

Поскольку в точке параметр , то вектор касательной будет

вектор бинормали

вектор нормали

Таким образом, основные единичные векторы будут

б) Поскольку в точке координаты и производные при равны , то уравнение касательной (2) будет

Уравнение главной нормали (6)

или

Уравнение бинормали (8)

или

в) Уравнение касательной плоскости (7)

или .

Уравнение нормальной плоскости (5)

или

Уравнение соприкасающейся плоскости (9)

или

Дополнительный пример:

Кривизна и кручение пространственной кривой

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №139.

Вычислить кривизну и кручение винтовой линии в любой точке.

Решение:

Уравнение винтовой линии представим вектор-функцией .

Кривизну и кручение определяем по формулам (2) и (5). Для этого сначала найдём производные

Тогда

Окончательно получим

Отсюда следует, что для винтовой линии кривизна и кручение постоянны.

Дополнительный пример:

Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов и простейшие примеры

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №141.

Найти интегралы:

Решение:

а) Представим интеграл как сумму интегралов и воспользуемся табличными интегралами

Проверка: , т. е. производная равна подынтегральной функции.

б) Внесем первый множитель в скобки и представим интеграл в виде разности двух интегралов

в) Сделаем следующие преобразования

г) Вычтем и прибавим в числителе единицу

д) Заменим корни отрицательными степенями и представим интеграл в виде разности двух интегралов

е) Считаем, что в числителе множителем стоит тригонометрическая единица , тогда

Дополнительный пример:

Непосредственное интегрирование

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №143.

Найти интегралы:

Решение:

а) Вносим (-2) под знак дифференциала и делим на (-2), тогда интеграл равен

б) Приводим к одному аргументу

в) Запишем под знаком дифференциала такое же выражение,что и в скобках

г) Преобразуем интеграл следующим образом

д) Запишем под знаком дифференциала выражение такое же, что и в знаменателе, тогда

е) Преобразуем интеграл следующим образом

Дополнительный пример:

Интегрирование методом замены переменной

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №145.

Найти интегралу:

Решение:

а) Сделаем замену , тогда и . Подставим эти выражения под знак интеграла, проинтегрируем и перейдем к старой переменной

б) Сделаем замену , тогда и . Переходим под знаком интеграла к новой переменной

в) Сделаем замену , тогда и . Преобразуем интеграл к новой переменной

Дополнительный пример:

Интегрирование по частям

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №147.

Найти интегралы:

Решение:

а) Сделаем замену переменной , тогда .

Теперь обозначим , тогда . По формуле (1) будем иметь

Переходя к переменной , окончательно получим

б) Делаем замену , тогда и .

Интеграл примет вид

Полагаем , тогда . По формуле (1) имеем

Переходя к переменной , получим

в) Делаем замену , тогда , . Интеграл примет вид

Интегрируем по частям: и . Откуда

Окончательно

Дополнительный пример:

Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №149.

Найти интегралы:

Решение:

а) Выделим в знаменателе полный квадрат

и сделаем замену , тогда получим

б) Выделим в знаменателе полный квадрат

и сделаем замену , тогда получим

в) Выделим под корнем полный квадрат

и сделаем замену , тогда получим

г) Выделим под корнем полный квадрат

и сделаем замену , тогда получим

д) Выделим под корнем полный квадрат

и сделаем замену , тогда получим .

При нахождении данного интеграла воспользуемся обобщенной формулой (7.п. 10.1).

е) Сделаем замену , тогда получим

Дополнительный пример:

Интегрирование рациональных дробей

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №151.

Найти интегралы: ;

Решение:

а) Выделим целую часть в подынтегральной функции , тогда

б) Учитывая кратность корней, подынтегральную функцию представим в виде суммы простых дробей

Приводя к общему знаменателю в правой части, приравниваем числители

или

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим

Из решения этой системы имеем: .

Таким образом

в) Так как , то

Отсюда

г) Раскладываем подынтегральную функцию на множители и, учитывая кратность корней, представим ее в виде суммы простых дробей

Откуда . Составляем систему

Из решения системы имеем: . Таким образом

д) Поскольку один корень действительный, а два комплексные, то подынтегральная функция может быть представлена в виде

Откуда . Приравнивая коэффициенты, имеем

Из решения системы находим: . Таким образом

е) Раскладываем знаменатель подынтегральной функции на множители и представим ее в виде простых дробей

Откуда . Составляем систему

Из решения системы имеем: . Таким образом

Дополнительный пример:

Интегралы от иррациональных функций

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №153.

Найти интегралы:

Решение:

а) Воспользуемся первой подстановкой Эйлера .

Возводя в квадрат, получим .

Подставляя под знак интеграла, будем иметь

Воспользуемся методом Остроградского. Представим подынтегральную функцию в виде

Найдем производную, приведем к общему знаменателю и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях неизвестных

Отсюда: . Интеграл примет вид

Переходя к переменной , окончательно будем иметь

б) Воспользуемся второй подстановкой Эйлера . Возводя в квадрат, получим . Подставляя все это под знак интеграла, будем иметь

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов:

Отсюда . Таким образом:

Переходя к переменной , получим

в) Поскольку подкоренное выражение имеет два действительных корня, то воспользуемся третьей подстановкой Эйлера
, откуда .

Интеграл примет вид

Воспользуемся методом Остроградского

откуда

Отсюда: . Таким образом,

Учитывая, что , и переходя к переменной , окончательно получим

Дополнительный пример:

Интегрирование тригонометрических функций

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №155.

Найти интегралы:

Решение:

а) Пользуемся формулами тригонометрии для половинного угла

б) Отделяем от нечетной степени один множитель первой степени и вносим его под знак дифференциала

в) По формулам половинных углов имеем

г) Вносим синус под знак дифференциала

д) Отделяем в числителе от нечетной степени один множитель первой степени и вносим под знак дифференциала

e) Делаем замену , тогда и . Переходим под знаком интеграла к новой переменной

Выделяем, деля числитель на знаменатель, целую часть

Дополнительный пример:

Интегрирование гиперболических функций

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №157.

Найти интегралы:

Решение:

а) Пользуясь формулами понижения степени, имеем

б) Внесем под знак дифференциала, тогда будем иметь

в) Сделаем замену , тогда получим

г) Преобразуем подынтегральную функцию по формулам половинных углов

е) Воспользуемся дважды формулой интегрирования по частям, принимая . Будем иметь

Принимаем , отсюда . Окончательно получим .

з) Воспользуемся заменой , тогда будем иметь

и) Раскроем гиперболический синус и воспользуемся обобщенной формулой (6)

Дополнительный пример:

Задачи, приводящие к понятию неопределенного интеграла

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №159.

Составить уравнение кривой, проходящей через точку , если угловой коэффициент касательной в каждой точке кривой равен обратной величине абсциссы точки касания.

Решение:

Закон изменения углового коэффициента известен . Поскольку производная от , то — искомая кривая.

Для определения постоянной интегрирования воспользуемся условием, что кривая проходит через точку , тогда и . Таким образом: .

Дополнительный пример:

Определение определенного интеграла. Свойства. Формула Ньютона-Лейбница

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №161.

Вычислить интегралы:

Решение:

а) Представим определенный интеграл в виде суммы двух интегралов и для каждого из них воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница

б) По формуле Ньютона-Лейбница имеем

в) По формуле Ньютона-Лейбница имеем

г) Пользуемся формулой Ньютона-Лейбница

Дополнительный пример:

Замена переменной в определенном интеграле

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №163.

Вычислить определенные интегралы:

Решение:

а) Сделаем замену переменной , тогда . Находим новые пределы интегрирования: при , и при . Интеграл примет вид

б) Полагаем , тогда . Находим новые пределы интегрирования: при и при . Отсюда

в) Сделаем замену , тогда . Перейдем к новым пределам интегрирования: при , и при . Интеграл примет вид

г) Сделаем замену , тогда . Перейдем к новым пределам интегрирования: при и при . Интеграл примет вид

д) Сделаем замену , тогда . Перейдем к новым пределам интегрирования: при и при . Интеграл примет вид

e) В данном определенном интеграле первообразная не выражается через элементарные функции. Воспользуемся искусственным приемом. Сделаем подстановку , тогда и при , а при . Таким образом,

Последние два интеграла равны между собой, т. к. приводятся один к другому с помощью подстановки. Действительно, , причем при , а при и интеграл равен

ж) Воспользуемся подстановкой , тогда при и при . Интеграл примет вид

Поскольку величина определенного интеграла не зависит от переменной интегрирования, то, заменяя в последнем интеграле на и перенося его в левую часть, будем иметь

Интегрирование по частям

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №164.

Вычислить интегралы:

Решение:

а) Полагаем , тогда . Пользуемся формулой (1)

б) Полагаем , тогда .

По формуле (1) имеем

Дополнительный пример:

Теоремы об оценке определенного интеграла

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №166.

Не вычисляя интегралов, выяснить, какой из интегралов больше: или или

Решение:

а) Поскольку на отрезке [0,1] выполняется неравенство , то .

б) Поскольку на отрезке [0,1] выполняется неравенство , то .

Дополнительный пример:

Определенный интеграл как функция верхнего предела

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №168.

Найти производные следующих функций:

Решение:

а) Используя свойство (1°), находим

б) Используя свойство (2°) и учитывая, что , находим

Дополнительный пример:

Несобственные интегралы

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №170.

Вычислить несобственный интеграл или установить его
расходимость:

Решение:

а) Преобразуем подынтегральное выражение и воспользуемся формулой (1)

б) Разбиваем точкой промежуток интегрирования на два интервала, а интеграл на два несобственных интеграла

в) Представим несобственный интеграл с помощью предельного перехода в виде определенного и воспользуемся формулой интегрирования по частям, полагая

Интеграл расходится.

г) Перейдем к новой переменной . При , при и интеграл примет вид

С помощью предельного перехода приводим интеграл к определенному интегралу и вычисляем значение предела

д) Сделаем следующие преобразования

Дополнительный пример:

Общая схема применения определенного интеграла к вычислению различных величин

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №172.

Найти площадь криволинейного треугольника, ограниченного параболой , осью и прямой : а) рассматривая определенный интеграл как предел интегральной суммы; б) посредством дифференциала искомой площади.

Решение:

а) Разобьем отрезок интегрирования [0,1] на равных частей точками деления с абсциссами и выберем из полученных частичных отрезков правые концы, т. е. . Длина каждого из этих частичных промежутков равна .

Так как , то

и приближенное значение каждого элемента выразится в виде произведения

Составим сумму таких произведений

Пользуясь формулой суммы квадратов целых чисел

находим

Искомая площадь определяется пределом при, т.е. при

б) Для криволинейного треугольника, прилежащего к оси (рис. 12.1) дифференциал переменной площади есть площадь прямоугольника со сторонами и , т. е. .

Подставляя сюда значение функции и интегрируя в заданных пределах , получим

Площадь плоской фигуры

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №173.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: осью ординат и прямыми и ее асимптотой; .

Решение:

а) Построим графики (рис. 12.7) и найдем точки пересечения этих линий. Для этого решим систему

Откуда или . Точки пересечения

Применяя формулу (3), будем иметь

б) Построим графики (рис. 12.8) и найдем координаты точки пересечения гиперболы и параболы, решая их уравнения совместно; . Поскольку криволинейная трапеция сверху ограничена различными кривыми, то разбивая промежуток интегрирования на два промежутка и пользуясь формулой (1), получим

в) Площадь криволинейной трапеции (рис. 12.9) находим по формуле (2)

г) Построим графики (рис. 12.10) и из решения системы: найдем точки пересечения этих линий (0,0), (-1,1). Применяя формулу (3), получим

д) Сделаем чертеж (рис. 12.11). Пределы интегрирования даны но условию. Искомая площадь будет

е) Функция нечетная, следовательно, се график симметричен относительно начала координат. Найдем ее асимптоту

таким образом, асимптотой будет прямая , т. е. ось (рис. 12.12).

Вследствие симметрии, достаточно найти половину площади

ж) Функция четная относительно переменной , следовательно, фигура, ограниченная заданной кривой, симметрична относительно оси (рис. 12.13).

Найдем точки пересечения с осью . Полагая , будем иметь , следовательно, изменяется от 0 до .

Половину площади найдем по формуле (1)

Знак минус означает, что фигура расположена ниже оси . Это, кстати, следует даже из того, что подынтегральная функция на промежутке интегрирования отрицательна при . Следовательно, найденный результат надо взятые противоположным знаком. Таким образом, вся площадь будет равна .

Дополнительный пример:

Объем тела

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №175.

Найти объем трехосного эллипсоида

Решение:

В сечении плоскости, перпендикулярной к оси и отстоящей от начала координат на расстоянии , будет эллипс (рис. 12.19).

Подставляя вместо в уравнение эллипсоида , находим уравнение проекции эллипса на плоскость

Полуоси эллипса будут, соответственно, и , а его площадь (см. 2.2, а) в функции переменной равна

Таким образом, по формуле (1) искомый объем равен

Дополнительный пример:

Длина дуги кривой

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №177.

Найти длину дуги: а) кривой от до ;
б) астроиды ; в) кривой между точками пересечения ее с осью ; г) полукубической параболы , заключенной внутри окружности .

Решение:

а) Применяя формулу (1), имеем

б) Поскольку астроида симметрична относительно координатных осей (рис. 12.28), то достаточно найти длину одной ее ветви. Дифференцируя уравнение астроиды, имеем . Длина одной четверти астроиды находится по формуле (2) и равна

Отсюда длина всей астроиды .

в) Кривая представляет параболу симметричную относительно оси (рис. 12.31).

Найдем точки пересечения с осью : при . Вследствие симметрии кривой относительно оси достаточно найти половину длины заданной кривой. Используя формулу (1), будем иметь

Интегрируя по частям , получим

Отсюда

г) Сделаем чертеж (рис. 12.32) и найдем точки пересечения окружности и параболы.

Для этого решим систему . Абсциссы точек пересечения будут 0 и 2.

Вследствие симметрии достаточно найти половину длины дуги. По формуле (1) имеем

Таким образом,

Дополнительный пример:

Площадь поверхности вращения

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №179.

Найти площадь поверхности, образованной вращением: а) астроиды вокруг оси ; б) одной арки циклоиды вокруг ее оси симметрии.

Решение:

а) Вследствие симметрии астроиды относительно координатных осей, достаточно найти площадь поверхности, описанной дугой астроиды, лежащей в первом квадранте . Воспользуемся формулой (3). Вся площадь вращения будет равна

б) При и . Циклоида при имеет координату . Следовательно, ось симметрии (рис. 7.64) проходит через точку с координатами . Воспользуемся формулой (5): . Поверхность вращения образуется вращением половины арки циклоиды вокруг оси симметрии, т. е. переменная изменяется от 0 до .

Таким образом,

Дополнительный пример:

Вычисление статических моментов и моментов инерции

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №181.

Найти статический момент и момент инерции полуокружности радиуса относительно ее диаметра.

Решение:

Расположим декартову систему координат таким образом, чтобы ось совпала с диаметром, а начало координат с центром окружности. В этом случае уравнение окружности в параметрической форме примет вид: .

Тогда дифференциал дуги будет . Воспользовавшись формулами (1) и (8), получим

Дополнительный пример:

Координаты центра тяжести

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №183.

Найти центр тяжести поверхности полусферы.

Решение:

При вычислении центра тяжести полусферы воспользуемся результатами задачи 6.4,б (рис. 12.47). Поскольку полусфера представляет поверхность вращения, то по формуле (8) имеем

Дополнительный пример:

Приложение определенного интеграла к задачам механики и физики

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №185.

Плотина имеет форму трапеции с верхним основанием 200 м, нижним 150 м и высотой 10 м. Определить давление воды на плотину.

Решение:

Сделаем чертеж (рис. 12.55). В силу симметрии давление на всю плотину равно удвоенному давлению на половину плотины. Согласно формуле (1) имеем , где .

Найдем зависимость от . Возьмем на прямой произвольную точку с координатами и рассмотрим два треугольника и .

Из подобия треугольников имеем или , откуда .

Таким образом

Дополнительный пример:

Возможно эти страницы вам будут полезны: