Решение высшей математики на заказ

Оглавление:

Здравствуйте! Я Людмила Анатольевна Фирмаль занимаюсь помощью более 17 лет. У меня своя команда грамотных, сильных преподавателей. Мы справимся с любой поставленной перед нами работой технического и гуманитарного плана. И не важно она по объёму на две формулы или огромная сложно структурированная на 125 страниц! Нам по силам всё, поэтому не стесняйтесь присылайте.

Для того, чтобы заказать напишите мне в воцап.

Ниже предоставила примеры решения и оформления заказов по всем темам высшей математики, ознакомьтесь с ними, чтобы вы знали как будет выглядеть ваша заказанная работа.

Определители. Способы вычисления

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №1.

Вычислить определители:

Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) По формуле (1) имеем:

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Системы линейных уравнений. Правило Крамера

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №3.

Пользуясь определителями 2-го порядка решить системы:

Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) Главный определитель системы

Решение высшей математики на заказ

Дополнительные определители

Решение высшей математики на заказ

Отсюда по формулам Крамера

Решение высшей математики на заказ

Система несовместна.

Решение высшей математики на заказ

Второе уравнение системы есть следствие первого; система имеет бесчисленное множество решений.

Дополнительный пример:

Основные определения теории матриц. Сложение и умножение матриц

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №5.

Найти сумму матриц

Решение высшей математики на заказ

Решение:

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Транспонирование матрицы

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №7.

Дана матрица Решение высшей математики на заказ. Найти Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ.

Решение:

Меняя строки на столбцы, получим

Решение высшей математики на заказ

Если еще раз поменять строки на столбцы, то получим

Решение высшей математики на заказ

т. е. исходную матрицу Решение высшей математики на заказ.

Дополнительный пример:

Обратная матрица

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №9.

Дана матрица Решение высшей математики на заказ найти Решение высшей математики на заказ.

Решение:

Находим определитель Решение высшей математики на заказ и
алгебраические дополнения Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ

Отсюда

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Матричный метод решения системы линейных уравнений

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №11.

Решить матричным методом систему уравнений

Решение высшей математики на заказ

Решение:

Запишем исходные матрицы

Решение высшей математики на заказ

Найдем

Решение высшей математики на заказ

Находим обратную матрицу

Решение высшей математики на заказ

Отсюда

Решение высшей математики на заказ

Таким образом Решение высшей математики на заказ

Решение системы линейных уравнений методом исключения (метод Гаусса)

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №12.

Дана система уравнений

Решение высшей математики на заказ

Доказать ее совместность и решить: а) методом Гаусса; б) методом матричного исчисления.

Решение:

Составим и вычислим определитель

Решение высшей математики на заказ

следовательно, система совместна.

а) Решение методом Гаусса. За ведущее уравнение примем первое уравнение. Исключим Решение высшей математики на заказ, из второго и третьего уравнений, прибавив ко второму и третьему уравнению ведущее, умноженное на Решение высшей математики на заказ. Получим

Решение высшей математики на заказ

Второе и третье уравнения образуют первую подсистему. За второе ведущее уравнение примем второе уравнение. Исключая Решение высшей математики на заказ из третьего уравнения, получим

Решение высшей математики на заказ

Отсюда имеем: Решение высшей математики на заказ.

б) Матричный метод. Запишем исходные матрицы

Решение высшей математики на заказ

Найдем Решение высшей математики на заказ

Решение высшей математики на заказ

Находим обратную матрицу

Решение высшей математики на заказ

Отсюда: Решение высшей математики на заказ.

Дополнительный пример:

Ранг матрицы

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №14.

Найти ранг матрицы

Решение высшей математики на заказ

Решение:

Поскольку минор второго порядка

Решение высшей математики на заказ

а оба окаймляющие его миноры третьего порядка равны нулю

Решение высшей математики на заказ

то ранг матрицы Решение высшей математики на заказ равен двум, а базисным минором является, например, Решение высшей математики на заказ.

Дополнительный пример:

Решение системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №16.

Исследовать систему

Решение высшей математики на заказ

Решение:

Запишем расширенную матрицу системы

Решение высшей математики на заказ

Прибавим вторую строку к пятой, а третью к четвертой

Решение высшей математики на заказ

Разделим четвертую строку на 3, а последнюю строку на 4

Решение высшей математики на заказ

Вычтем первую строку из четвертой и последней

Решение высшей математики на заказ

Вычеркнем четвертую и пятую строки

Решение высшей математики на заказ

Отсюда матрица системы

Решение высшей математики на заказ

Найдем определитель последней матрицы

Решение высшей математики на заказ

Следовательно, Решение высшей математики на заказ.

Ранг расширенной матрицы также равен Решение высшей математики на заказ, поскольку только что рассмотренный определитель является минором расширенной матрицы. Следовательно, система совместна.

Для решения системы выберем, например, уравнения

Решение высшей математики на заказ

Решая систему по формулам Крамера находим, что Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ. Нетрудно убедится, что третье и пятое уравнения при этих значениях неизвестных тождественно удовлетворяются.

Дополнительный пример:

Векторные и скалярные величины. Линейные операции над векторами

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №18.

Даны два вектора Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ (рис. 2.3). Найти их сумму и разность.

Решение:

а) Векторы Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ перпендикулярны. Сложение выполняем по правилу треугольника (рис. 2.4).

Решение высшей математики на заказ

От произвольной точки Решение высшей математики на заказ отложим вектор Решение высшей математики на заказ, совместим начало вектора Решение высшей математики на заказ с концом вектора Решение высшей математики на заказ, вектор, идущий от начала вектора Решение высшей математики на заказ в конец вектора Решение высшей математики на заказ, есть вектор-сумма. Модуль вектор-суммы находим по теореме Пифагора

Решение высшей математики на заказ

б) Совместим начала векторов Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ и соединим их концы. Вектор, идущий из конца вектора-«вычитаемого»в конец вектора — «уменьшаемого», есть вектор-разность (рис. 2.5).

Длина вектора Решение высшей математики на заказ может быть найдена по теореме Пифагора Решение высшей математики на заказ.

Рассмотрим еще один способ нахождения разности векторов Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ.

Поместим начало вектора Решение высшей математики на заказ в конец вектора Решение высшей математики на заказ и построим вектор Решение высшей математики на заказ, т. е. вектор противоположно направленный. Поскольку под разностью двух векторов Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ понимают третий вектор, равный сумме векторов Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ , то вектор-разность находим по правилу треугольника, т. е. это вектор идущий из начала вектора Решение высшей математики на заказ в конец вектора Решение высшей математики на заказ (рис. 2.6).

Решение высшей математики на заказ

Нетрудно заметить, что вектора-разности (рис. 2.5 и рис. 2.6) равны по величине и направлению, следовательно, они равны.

Дополнительный пример:

Разложение вектора по координатным осям

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №20.

Заданы начало Решение высшей математики на заказ и конец Решение высшей математики на заказ вектора Решение высшей математики на заказ. Найти разложение вектора Решение высшей математики на заказ по координатным осям, его модуль и направляющие косинусы.

Решение:

Найдем по формулам (7) проекции вектора на координатные оси

Решение высшей математики на заказ

Отсюда вектор равен Решение высшей математики на заказ, а его модуль

Решение высшей математики на заказ

По формулам (9) направляющие косинусы

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Скалярное произведение

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №22.

Найти скалярное произведение векторов Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ.

Решение:

Находим Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ.

Дополнительный пример:

Векторное произведение

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №25.

Даны векторы Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ. Найти координаты векторного произведения Решение высшей математики на заказ.

Решение:

Воспользуемся формулой (6)

Решение высшей математики на заказ

тогда координаты векторного произведения будут Решение высшей математики на заказ.

Дополнительный пример:

Смешанное произведение векторов

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №27.

В пространстве даны четыре точки: Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ. Найти объем тетраэдра Решение высшей математики на заказ и длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины Решение высшей математики на заказ.

Решение:

Пусть Решение высшей математики на заказ вершина тетраэдра. Найдем координаты векторов Решение высшей математики на заказ, Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ (рис. 2.19): Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ. Объем тетраэдра находим по формуле (5)

Решение высшей математики на заказ
Решение высшей математики на заказ

Найдем площадь основания

Решение высшей математики на заказ

Поскольку Решение высшей математики на заказ, то Решение высшей математики на заказ.

Дополнительный пример:

Координаты точки на прямой и на плоскости. Длина и направление отрезка

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №29.

Построить на числовой оси точки Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ, найти величины отрезков Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ на оси, длину отрезка Решение высшей математики на заказ и проверить равенство Решение высшей математики на заказ.

Решение:

На оси Решение высшей математики на заказ в выбранном масштабе откладываем от начала координат соответственно точки Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ (рис .3.2). Величины отрезков находим по формуле (1)

Решение высшей математики на заказ
Решение высшей математики на заказ

Длину отрезка Решение высшей математики на заказ находим по формуле (2)

Решение высшей математики на заказ

Подставляя найденные величины отрезков на оси в доказываемое равенство, получим 9+(-4)=5, 5=5.

Дополнительный пример:

Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника и многоугольника. Центр тяжести

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №31.

Найти точку, делящую отрезок между точками Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ в отношении Решение высшей математики на заказ.

Решение:

Для отыскания координат точки, делящей отрезок в отношении Решение высшей математики на заказ, воспользуемся формулами (1)

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Уравнения прямой линии. Геометрическое истолкование неравенства и системы неравенств первой степени

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №33.

Написать уравнение прямой проходящей через точку Решение высшей математики на заказ и составляющей с Решение высшей математики на заказ угол 45°.

Воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом (2). Угловой коэффициент Решение высшей математики на заказ. Подставляя в уравнение (2) координаты точки Решение высшей математики на заказ и значение Решение высшей математики на заказ, находим параметр Решение высшей математики на заказ: Решение высшей математики на заказ, откуда Решение высшей математики на заказ и уравнение примет вид Решение высшей математики на заказ или в общем виде Решение высшей математики на заказ.

Дополнительный пример:

Задачи на прямую линию

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №35.

Написать уравнения прямых проходящих через точку Решение высшей математики на заказпараллельно и перпендикулярно к прямой Решение высшей математики на заказ.

Решение:

Воспользуемся уравнением пучка прямых (8) и запишем уравнение пучка прямых с центром пучка в точке Решение высшей математики на заказ

Решение высшей математики на заказ

Приводим уравнение прямой к уравнению прямой с угловым коэффициентом Решение высшей математики на заказ, отсюда угловой коэффициент прямой Решение высшей математики на заказ. Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны (6). Выбирая из уравнения пучка прямую с угловым коэффициентом Решение высшей математики на заказ находим уравнение прямой параллельной данной

Решение высшей математики на заказ

Используя условие перпендикулярности прямых (7), находим угловой коэффициент перпендикулярной прямой Решение высшей математики на заказ. Подставляя этот коэффициент в уравнение пучка, получим уравнение прямой перпендикулярной данной

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Уравнение линии как геометрического места точек

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №37.

Принадлежат ли точки Решение высшей математики на заказ линии Решение высшей математики на заказ?

Решение:

Если точка принадлежит данной линии, то ее ко ординаты удовлетворяют уравнению данной линии. Подставляем в уравнение заданной линии вместо текущих координат Решение высшей математики на заказ координаты точки Решение высшей математики на заказ. Получим Решение высшей математики на заказ. Равенство выполняется, следовательно, точка Решение высшей математики на заказ принадлежит данной линии.

Подставляя координаты точки Решение высшей математики на заказ в уравнение линии, получим Решение высшей математики на заказ. Следовательно, точка Решение высшей математики на заказ не принадлежит данной линии.

Дополнительный пример:

Кривые второго порядка

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №39.

Найти координаты центра и радиус окружности Решение высшей математики на заказ

Решение:

Дополняя левую часть уравнения до полных квадратов, получим Решение высшей математики на заказ или Решение высшей математики на заказ. Следовательно Решение высшей математики на заказ.

Дополнительный пример:

Преобразование декартовых координат

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №41.

Точка Решение высшей математики на заказ имеет координаты Решение высшей математики на заказ. Найти се координаты, если начало координат перенесено в точку Решение высшей математики на заказ.

Решение:

По условию Решение высшей математики на заказ. Координаты точки Решение высшей математики на заказ в новой системе будут Решение высшей математики на заказ.

Дополнительный пример:

Полярная система координат. Уравнения кривых

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №42.

Найти декартовы координаты точек Решение высшей математики на заказ.

Решение:

Применяя формулы (1), находим Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ. В декартовой системе получим Решение высшей математики на заказ.

Декартовы координаты точки Решение высшей математики на заказ будут: Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ, то есть Решение высшей математики на заказ.

Дополнительный пример:

Пример решённой на заказ задачи №43.

Параметрические уравнения плоских кривых

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №44.

Найти параметрические уравнения окружности Решение высшей математики на заказ, если полярная ось совпадает с осью Решение высшей математики на заказ, а полюс находится в начале координат.

Решение:

Между декартовыми координатами и полярными существует зависимость Решение высшей математики на заказ. В качестве параметра примем полярный угол Решение высшей математики на заказ, тогда уравнение окружности будет Решение высшей математики на заказ. Если в формулы перехода вместо Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ подставить их выражения в функции Решение высшей математики на заказ, то получим

Решение высшей математики на заказ

Откуда Решение высшей математики на заказ.

Дополнительный пример:

Плоскость

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №46.

Дано уравнение плоскости Решение высшей математики на заказ. Привести: а) к нормальному виду; б) к уравнению плоскости в отрезках на осях.

Решение:

а) Найдем нормирующий множитель Решение высшей математики на заказ.
Умножая на Решение высшей математики на заказ данное уравнение, получим

Решение высшей математики на заказ

где Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ.

б) Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим на него уравнение, представив его в виде

Решение высшей математики на заказ

Отрезки на осях Решение высшей математики на заказ.

Дополнительный пример:

Прямая линия

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №48.

Составить симметричные уравнения прямой линии

Решение высшей математики на заказ

Решение:

Пусть Решение высшей математики на заказ, тогда

Решение высшей математики на заказ

откуда Решение высшей математики на заказ.

Воспользуемся теперь формулой (2)

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Прямая и плоскость

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №50.

Найти точку пересечения прямой Решение высшей математики на заказ и плоскости Решение высшей математики на заказ.

Решение:

Запишем уравнение прямой в параметрическом виде: Решение высшей математики на заказ.

Подставляя Решение высшей математики на заказ в уравнение плоскости, находим соответствующее значение Решение высшей математики на заказ.

Отсюда Решение высшей математики на заказ и координаты точки пересечения Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ.

Дополнительный пример:

Поверхности второго порядка

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №52.

По заданному уравнению Решение высшей математики на заказ определить вид поверхности и указать ее расположение в координатной системе:

Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) Дополним до полных квадратов многочлен в левой части Решение высшей математики на заказ или Решение высшей математики на заказ.

Полагая Решение высшей математики на заказ, находим, что в системе координат Решение высшей математики на заказ,смещенной относительно системы Решение высшей математики на заказ параллельным переносом в точку с координатами Решение высшей математики на заказ, данная поверхность имеет простейшее уравнение вида Решение высшей математики на заказ. Таким образом, данное уравнение определяет сферу с центром в точке Решение высшей математики на заказ и радиусом равным Решение высшей математики на заказ.

б) Перенесем свободный член в правую часть и разделим на него, тогда будем иметь

Решение высшей математики на заказ

Данное уравнение представляет эллипсоид вращения вокруг оси Решение высшей математики на заказ с полуосями Решение высшей математики на заказ.

в) Перенесем свободный член в правую часть и разделим на него, тогда будем иметь Решение высшей математики на заказ.

Данное уравнение представляет однополостный гиперболоид вращения (4) вокруг оси Решение высшей математики на заказ.

г) Разрешим выражение относительно Решение высшей математики на заказ, тогда будем иметь

Решение высшей математики на заказ

Данное уравнение представляет эллиптический параболоид (5).

д) Разрешим выражение относительно Решение высшей математики на заказ, тогда получим Решение высшей математики на заказ. Нетрудно заметить, что это уравнение представляет параболоид вращения с осью вращения Решение высшей математики на заказ (рис. 4.13).

Решение высшей математики на заказ

ж) Поскольку переменная Решение высшей математики на заказ отсутствует, то уравнение Решение высшей математики на заказпредставляет параболический цилиндр с образующими параллельными оси Решение высшей математики на заказ (рис. 4.14). Сечение параболического цилиндра с плоскостью Решение высшей математики на заказ образует параболу, вершина которой находится в точке с координатой Решение высшей математики на заказ.

Решение высшей математики на заказ

з) Поскольку переменная Решение высшей математики на заказ отсутствует, то выражение Решение высшей математики на заказ представляет параболический цилиндр, образующие которого параллельны оси Решение высшей математики на заказ (рис. 4.15). Сечение параболического цилиндра с плоскостью Решение высшей математики на заказ образуют параболу, вершина которой находится в точке с координатой Решение высшей математики на заказ.

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Геометрический смысл уравнений с тремя неизвестными в пространстве

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №54.

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ.

Решение:

Пусть точка Решение высшей математики на заказ будет текущей точкой искомого геометрического места точек. Тогда, по формуле (11, Гл.2.2) данное условие примет вид

Решение высшей математики на заказ

Упрощая, получим уравнение геометрического места точек Решение высшей математики на заказ. Полученное уравнение изображает плоскость, перпендикулярную отрезку Решение высшей математики на заказ пересекающую его посередине.

Дополнительный пример:

Параметрические уравнения пространственных кривых

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №56.

Определить линию, заданную уравнениями Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ.

Решение:

Исключая из второго и третьего уравнения параметр Решение высшей математики на заказ, получим Решение высшей математики на заказ — уравнение плоскости. Находя из второго Решение высшей математики на заказ и подставляя в первое уравнение, будем иметь Решение высшей математики на заказ — параболический цилиндр. Следовательно, мы имеем линию пересечения плоскости с параболическим цилиндром.

Дополнительный пример:

Линейные преобразования

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №58.

Дано линейное преобразование

Решение высшей математики на заказ

и даны точки в системе координат Решение высшей математики на заказ: (1,-1,2) и (2,-3,0). Найти координаты этих точек в системе Решение высшей математики на заказ.

Решение:

Подставляя координаты точек в данное линейное преобразование, получим: если Решение высшей математики на заказ, то Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ; если Решение высшей математики на заказ, то Решение высшей математики на заказ.

Дополнительный пример:

Разложение векторов по базису. Арифметические векторы

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №60.

Выяснить, является ли система арифметических векторов Решение высшей математики на заказ линейно зависимой или линейно независимой. Найти ее ранг и какой-нибудь базис.

Решение:

Составим матрицу Решение высшей математики на заказ, вектор-столбцами которой
будут вектора Решение высшей математики на заказ

Решение высшей математики на заказ

Поскольку определитель матрицы равен нулю, а минор второго порядка Решение высшей математики на заказ отличен от нуля, то ранг матрицы равен 2 и исходная система арифметических векторов линейно зависима. Принимая минор второго порядка за базисный полагаем, что арифметические векторы Решение высшей математики на заказ образуют искомый базис.

Дополнительный пример:

Пример решённой на заказ задачи №61.

Собственные числа и собственные векторы матрицы

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №62.

Найти собственные значения и собственные вектора линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей

Решение высшей математики на заказ

Решение:

Составляем характеристическое уравнение

Решение высшей математики на заказ

или Решение высшей математики на заказ. Отсюда собственные значения: Решение высшей математики на заказ.

Найденное собственное значение линейного преобразования Решение высшей математики на заказ, подставим в систему уравнений (3)

Решение высшей математики на заказ

Решая систему уравнений методом Гаусса, находим собственный вектор, соответствующий Решение высшей математики на заказ

Решение высшей математики на заказ

Полагаем Решение высшей математики на заказ, тогда Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ.

Следовательно, Решение высшей математики на заказ, где Решение высшей математики на заказ — любое отличное от нуля действительное число.

Находим собственный вектор, соответствующий Решение высшей математики на заказ. Получим систему

Решение высшей математики на заказ

Решая ее методом Гаусса, будем иметь

Решение высшей математики на заказ

Откуда Решение высшей математики на заказ. Полагаем Решение высшей математики на заказ, тогда Решение высшей математики на заказ и собственный вектор Решение высшей математики на заказ, где Решение высшей математики на заказ — произвольный, отличный от нуля множитель.

Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №63.

Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка Решение высшей математики на заказ.

Решение:

В данном случае матрица старших членов имеет вид

Решение высшей математики на заказ

Составим характеристическое уравнение матрицы

Решение высшей математики на заказ

Полагая Решение высшей математики на заказ, для определения соответствующего собственного вектора получим систему уравнений

Решение высшей математики на заказ

Отсюда Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ. Нормируем вектор Решение высшей математики на заказ:

Решение высшей математики на заказ

Полагая Решение высшей математики на заказ, для определения второго собственного вектора получим систему уравнений

Решение высшей математики на заказ

Отсюда Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ. Нормируя, находим

Решение высшей математики на заказ

Векторы Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ ортогональны: Решение высшей математики на заказ. Для построения матрицы преобразования координат используем собственные нормированные ортогональные векторы

Решение высшей математики на заказ

Отсюда: Решение высшей математики на заказ. Значения Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ подставим в уравнение кривой

Решение высшей математики на заказ

Откуда Решение высшей математики на заказ или Решение высшей математики на заказ — каноническое уравнение эллипса.

Множества и операции над ними

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №64.

Описать перечислением элементов множество Решение высшей математики на заказ.

Решение:

Найдем множество значений переменной Решение высшей математики на заказ, удовлетворяющих неравенству Решение высшей математики на заказ. Так как Решение высшей математики на заказ, то Решение высшей математики на заказ. Поскольку Решение высшей математики на заказ есть множество натуральных чисел, то Решение высшей математики на заказ.

Логическая символика

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №65.

Используя логическую символику, записать утверждение: «число Решение высшей математики на заказ есть точная верхняя грань множества Решение высшей математики на заказ».

Решение:

То, что число Решение высшей математики на заказ есть точная верхняя грань множества Решение высшей математики на заказ, записывается Решение высшей математики на заказ и означает Решение высшей математики на заказ, причем для сколь угодно малого Решение высшей математики на заказ справедливо условие Решение высшей математики на заказ.

Понятие о функции

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №66.

Дана функция Решение высшей математики на заказ. Найти частное значение функции при Решение высшей математики на заказ.

Решение:

Чтобы найти частное значение функции при Решение высшей математики на заказ, достаточно это значение аргумента подставить вместо Решение высшей математики на заказ. Получим

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №68.

Найти пределы: Решение высшей математики на заказ

Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) Разложим на множители числитель и знаменатель

Решение высшей математики на заказ

Сокращая на Решение высшей математики на заказ, будем иметь Решение высшей математики на заказ.

б) Разлагаем числитель и знаменатель на множители

Решение высшей математики на заказ

в) Поскольку при Решение высшей математики на заказ многочлены в числителе и знаменателе обращаются в ноль, то их можно разложить на множители, причем одним из сомножителей будет Решение высшей математики на заказ. Тогда, деля многочлены на Решение высшей математики на заказ получим

Решение высшей математики на заказ

г) Выполнив очевидные преобразования, получим

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

К оглавлению…

Непрерывность и точки разрыва функции

Пример решённой на заказ задачи №70.

Найти приращение функции Решение высшей математики на заказ, если аргумент Решение высшей математики на заказ изменился от Решение высшей математики на заказ до Решение высшей математики на заказ.

Решение:

Найдем приращение аргумента Решение высшей математики на заказ. Вычислим исходное значение функции Решение высшей математики на заказ. Вычислим новое значение функции Решение высшей математики на заказ.

Отсюда приращение функции Решение высшей математики на заказ.

Дополнительный пример:

Вычисление производных

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №72.

Пользуясь только определением производной, найти производные от функций:

Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) Находим приращение функции

Решение высшей математики на заказ

По определению производной имеем

Решение высшей математики на заказ

б) Приращение функции равно: Решение высшей математики на заказ.

По определению производной имеем:

Решение высшей математики на заказ

в) Находим приращение функции

Решение высшей математики на заказ

По определению производной

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Производные функций, не являющихся явно заданными

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №74.

Найти производные Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ

и производные Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) Дифференцируем обе части по Решение высшей математики на заказ, считая сложной функцией, зависящей от Решение высшей математики на заказ

Решение высшей математики на заказ

Откуда Решение высшей математики на заказ или

Решение высшей математики на заказ

б) Дифференцируя обе части равенства по Решение высшей математики на заказ, получим

Решение высшей математики на заказ

Разрешая равенство относительно Решение высшей математики на заказ, получим

Решение высшей математики на заказ

в) Дифференцируем обе части равенства по Решение высшей математики на заказ, считая Решение высшей математики на заказ сложной функцией, зависящей от Решение высшей математики на заказ

Решение высшей математики на заказ

Разрешая равенство относительно Решение высшей математики на заказ, получим

Решение высшей математики на заказ

г) Дифференцируем обе части равенства по Решение высшей математики на заказ

Решение высшей математики на заказ

Отсюда

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Производные высших порядков

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №76.

Для данных функций найти производные указанного порядка:

Решение высшей математики на заказ
Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) Находим первую производную

Решение высшей математики на заказ

Вторую производную находим диференцированием Решение высшей математики на заказ по Решение высшей математики на заказ

Решение высшей математики на заказ

б) Находим первую производную

Решение высшей математики на заказ

Дифференцируя Решение высшей математики на заказ по Решение высшей математики на заказ, находим вторую производную

Решение высшей математики на заказ

Дифференцируя еще раз по Решение высшей математики на заказ, находим третью производную

Решение высшей математики на заказ

в) Для нахождения четвертой производной дифференцируем последовательно четыре раза по Решение высшей математики на заказ

Решение высшей математики на заказ

г) Для нахождения Решение высшей математики на заказ-й производной дифференцируем последовательно заданную функцию до тех пор, пока не выявим общую закономерность нахождения последующей производной

Решение высшей математики на заказ и т.д.

Отсюда Решение высшей математики на заказ. (См. 3. пункт 5°).

д) Поскольку функция у представляет произведение двух функций Решение высшей математики на заказ, то применяя формулу Лейбница

Решение высшей математики на заказ

получим

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Дифференциал функции

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №78.

Найти дифференциалы функций: Решение высшей математики на заказ

Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) Находим производную данной функции Решение высшей математики на заказ

Отсюда дифференциал равен Решение высшей математики на заказ

б) Находим производную

Решение высшей математики на заказ

Отсюда дифференциал

Решение высшей математики на заказ

в) Находим производную

Решение высшей математики на заказ

Отсюда дифференциал будет

Решение высшей математики на заказ

г) Производная по Решение высшей математики на заказ равна Решение высшей математики на заказ. Отсюда дифференциал Решение высшей математики на заказ.

Дополнительный пример:

Приложения производной к задачам геометрии и физики

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №80.

Написать уравнение касательной и нормали к кривой Решение высшей математики на заказ в точке Решение высшей математики на заказ.

Решение:

Находим производную Решение высшей математики на заказ и вычисляем частное значение производной при Решение высшей математики на заказ.

Таким образом, уравнение касательной будет

Решение высшей математики на заказ или Решение высшей математики на заказ.

Уравнение нормали к кривой в точке Решение высшей математики на заказ имеет вид

Решение высшей математики на заказ или Решение высшей математики на заказ.

Дополнительный пример:

Теоремы о среднем

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №82.

Проверить справедливость теоремы Ролля для функций: Решение высшей математики на заказ на отрезке [-1,3]; Решение высшей математики на заказ на отрезке [-1,1].

Решение:

а) Функция определена, непрерывна и дифференцируема при всех значениях Решение высшей математики на заказ. Значения функции на границах отрезка равны между собой Решение высшей математики на заказ и функция имеет конечную производную Решение высшей математики на заказ в каждой точке этого отрезка, следовательно условия теоремы Ролля выполняются. Значение Решение высшей математики на заказ определяем из выражения Решение высшей математики на заказ, т. е. Решение высшей математики на заказ.

б) Функция непрерывна на отрезке [-1,1] и на концах этого отрезка принимает равные значения Решение высшей математики на заказ. Находим производную Решение высшей математики на заказ. В точке Решение высшей математики на заказ производная не существует. Поскольку условия теоремы Ролля не выполнены, то теорема Ролля к данной функции неприменима.

Дополнительный пример:

Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №84.

Найти пределы:

Решение высшей математики на заказ
Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) При Решение высшей математики на заказ имеем неопределенность вида Решение высшей математики на заказ. Применяем правило Лопиталя

Решение высшей математики на заказ

б) При Решение высшей математики на заказ неопределенность вида Решение высшей математики на заказ . Применяем правило Лопиталя

Решение высшей математики на заказ

При Решение высшей математики на заказ имеем неопределенность вида Решение высшей математики на заказ. Применяем правило Лопиталя еще раз

Решение высшей математики на заказ

в) При Решение высшей математики на заказ неопределенность вида Решение высшей математики на заказ .Применяем правило Лопиталя

Решение высшей математики на заказ

Выделим первый замечательный предел и воспользуемся теоремами о пределах и правилом Лопиталя еще раз

Решение высшей математики на заказ

г) При Решение высшей математики на заказ неопределенность вида Решение высшей математики на заказ. Применяем правило Лопиталя

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Возрастание и убывание функций

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №86.

Определить промежутки монотонности функций:

Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) Функция определена для всех значений Решение высшей математики на заказ, т. е. область ее существования Решение высшей математики на заказ. Находим производную Решение высшей математики на заказ. Очевидно, что при любом Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ, следовательно, функция возрастает на всем промежутке (рис. 7.17).

Решение высшей математики на заказ

б) Функция существует для всех Решение высшей математики на заказ, т. е. область ее существования Решение высшей математики на заказ. Находим производную Решение высшей математики на заказ. Поскольку Решение высшей математики на заказ, то Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ для всех Решение высшей математики на заказ меньше нуля. Следовательно, данная функция на промежутке Решение высшей математики на заказ убывает (рис. 7.18).

Решение высшей математики на заказ

в) Функция определена для всех Решение высшей математики на заказ кроме Решение высшей математики на заказ, где она терпит разрыв. Находим производную Решение высшей математики на заказ и приравниваем ее к нулю Решение высшей математики на заказ. Это уравнение имеет два корня: Решение высшей математики на заказ.

Учитывая точку разрыва Решение высшей математики на заказ, разбиваем числовую ось на промежутки (рис. 7.19) и определяем знак производной на каждом из них. Следовательно, функция возрастает на промежутках Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ и убывает — (0,1) и (1,2). На рис. 7.20 показан график функции.

Решение высшей математики на заказ

г) Функция определена на всей числовой оси Решение высшей математики на заказ. Находим производную Решение высшей математики на заказ. Из уравнения Решение высшей математики на заказ определяем корни производной Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ. Корни уравнения определяют три промежутка Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ. Из выражения производной видно, что при переходе через корень Решение высшей математики на заказ производная не меняет знака. При Решение высшей математики на заказ и при Решение высшей математики на заказ имеем: Решение высшей математики на заказ, следовательно, функция убывает. При Решение высшей математики на заказ производная Решение высшей математики на заказ, следовательно функция возрастает.

д) Функция Решение высшей математики на заказ определена на всей числовой оси. Находим ее производную

Решение высшей математики на заказ

Отсюда следует, что функция при Решение высшей математики на заказ убывает, так как Решение высшей математики на заказ при любом значении Решение высшей математики на заказ, а при Решение высшей математики на заказ возрастает, так как Решение высшей математики на заказ. График этой четной функции показан на рис. 7.21.

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Максимум и минимум функции

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №88.

Исследовать на экстремум функции: Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) Находим производную Решение высшей математики на заказ. Приравниваем ее к нулю Решение высшей математики на заказ. Корни этого уравнения Решение высшей математики на заказ; Решение высшей математики на заказ являются критическими точками.

Представим производную в следующем виде Решение высшей математики на заказ и рассмотрим методом интервалов, как меняется знак при переходе через критические точки (рис. 7.22 ).

Решение высшей математики на заказ

При переходе через точку Решение высшей математики на заказ производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через Решение высшей математики на заказ с минуса на плюс. Значит, при Решение высшей математики на заказ функция имеет максимум, а при Решение высшей математики на заказ функция имеет минимум.

Находим экстремальные значения функции: Решение высшей математики на заказ — максимум функции; Решение высшей математики на заказ — минимум функции. График функции показан на рис. 7.23.

Решение высшей математики на заказ

б) Находим производную Решение высшей математики на заказ и приравниваем ее к нулю Решение высшей математики на заказ. Корни этого уравнения Решение высшей математики на заказ, Решение высшей математики на заказ являются критическими точками.

При переходе через точку Решение высшей математики на заказ производная знака не меняет, поскольку данный множитель в квадрате, а при переходе через точку Решение высшей математики на заказ меняет знак с минуса на плюс. Значит, при Решение высшей математики на заказ функция имеет минимум.

Находим экстремальные значения функции, а именно минимум функции Решение высшей математики на заказ. График функции показан на рис. 7.24.

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Наибольшее и наименьшее значение функции

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №90.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

Решение высшей математики на заказ
Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) Находим производную функции Решение высшей математики на заказ и приравниваем ее к нулю Решение высшей математики на заказ. Отсюда критические точки будут Решение высшей математики на заказ. Поскольку критические точки лежат внутри интервала, то находим значения функции в этих точках: Решение высшей математики на заказ. Вычисляем значения функции на концах отрезка Решение высшей математики на заказ. Теперь сравниваем значения функции в критических точках и в точках на концах отрезка. Из сравнения видно, что наибольшее значение функции будет Решение высшей математики на заказ, а наименьшее Решение высшей математики на заказ. График функции на отрезке [-2;2] показан на рис. 7.28.

Решение высшей математики на заказ

б) Вычислим производную Решение высшей математики на заказ, приравняем ее к нулю Решение высшей математики на заказ и находим критические точки, принадлежащие отрезку Решение высшей математики на заказ.

В данном случае имеем только одну критическую точку Решение высшей математики на заказ.

Вычисляем значение функции в критической точке и на концах отрезка

Решение высшей математики на заказ

Сравнение найденных значений функции показывает, что
наибольшее значение в точке экстремума Решение высшей математики на заказ , а наименьшее на конце отрезка Решение высшей математики на заказ. График функции на отрезке Решение высшей математики на заказ показан на рис. 7.29.

Решение высшей математики на заказ

в) Вычисляем производную Решение высшей математики на заказ и, приравнивая ее к нулю, находим критические точки Решение высшей математики на заказ. Поскольку критические точки лежат внутри отрезка [- 6,2], вычисляем значения функции в критических точках Решение высшей математики на заказ. Находим значение функции на концах отрезка Решение высшей математики на заказ.

Сравнивая вычисленные значения функции в критических точках и на границе отрезка, заключаем, что наибольшее значение находится в критической точке Решение высшей математики на заказ и равно Решение высшей математики на заказ, а наименьшее в граничной точке Решение высшей математики на заказ и равно Решение высшей математики на заказ (рис. 7.30).

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Решение задач на максимум и минимум

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №92.

Объем цилиндра Решение высшей математики на заказ. Найти радиус основания, при котором цилиндр имеет наименьшую полную поверхность.

Решение:

Полную поверхность цилиндра принимаем за функцию. Решение высшей математики на заказ, где Решение высшей математики на заказ— высота цилиндра, Решение высшей математики на заказ — радиус основания. Объем цилиндра Решение высшей математики на заказ, отсюда Решение высшей математики на заказ. Исключая Решение высшей математики на заказ из выражения полной поверхности цилиндра, получим Решение высшей математики на заказ. Вычисляя производную по Решение высшей математики на заказ: Решение высшей математики на заказ и приравнивая ее к нулю Решение высшей математики на заказ, находим, что минимум наименьшей полной поверхности будет при радиусе Решение высшей математики на заказ.

Действительно, вторая производная при Решение высшей математики на заказ равна

Решение высшей математики на заказ

То есть найденное значение радиуса определяет наименьшую полную поверхность.

Дополнительный пример:

Направление выпуклости кривой. Точки перегиба

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №94.

Исследовать на направление выпуклости и найти точки перегиба кривой: Решение высшей математики на заказ.

Решение:

а) Функция определена для любого значения Решение высшей математики на заказ. Находим производные: Решение высшей математики на заказ и приравниваем вторую производную к нулю Решение высшей математики на заказ. Корни этого уравнения Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ разбивают область определения функции на три интервала. Определяем методом интервалов (рис. 7.44 ) знак Решение высшей математики на заказ на каждом промежутке.

Поскольку Решение высшей математики на заказ при переходе через эти точки меняет знак, то в точках Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ функция имеет перегибы. На интервалах Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ кривая выпукла вниз, а на интервале Решение высшей математики на заказ выпукла вверх.

Решение высшей математики на заказ

б) Найдем вторую производную и приравняем се к нулю: Решение высшей математики на заказ.

При Решение высшей математики на заказ вторая производная Решение высшей математики на заказ. Поскольку вторая производная при переходе через точку Решение высшей математики на заказ знака не меняет и при любом значении Решение высшей математики на заказ положительна, то кривая на всей числовой оси направлена выпуклостью вниз.

Дополнительный пример:

Асимптоты кривой

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №96.

Найти асимптоты кривых: Решение высшей математики на заказ

Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) При Решение высшей математики на заказ функция терпит разрыв, причем

Решение высшей математики на заказ

То есть прямая Решение высшей математики на заказ является вертикальной асимптотой. Находим параметры Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ наклонной асимптоты

Решение высшей математики на заказ

Следовательно, уравнение наклонной асимптоты имеет вид Решение высшей математики на заказ. График кривой и асимптоты показаны на рис. 7.47.

Решение высшей математики на заказ

б) Так как Решение высшей математики на заказ, то прямые Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ будут вертикальными асимптотами.

Так как при Решение высшей математики на заказ предел Решение высшей математики на заказ, то прямая Решение высшей математики на заказ будет горизонтальной асимптотой.

Поскольку Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ, то наклонных асимптот нет. График функции и асимптоты показаны на рис. 7.48.

Решение высшей математики на заказ

в) Функция определена на всей числовой оси Решение высшей математики на заказ, бесконечных разрывов не имеет, поэтому не имеет и вертикальных асимптот.

Определяем наклонные асимптоты:

Решение высшей математики на заказ

следовательно, Решение высшей математики на заказ будет ее горизонтальной асимптотой.

Данная кривая бесчисленное множество раз пересекает свою асимптоту Решение высшей математики на заказ, переходя с одной ее стороны на другую в точках Решение высшей математики на заказ и неограниченно приближаясь к ней (рис. 7.49).

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Исследование функции и построение графиков

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №98.

Исследовать функции и построить их графики:

Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) Областью существования функции является вся числовая ось. Функция четная, следовательно, график функции симметричен относительно оси ординат.

Полагая Решение высшей математики на заказ, находим точку пресечения графика с осью ординат Решение высшей математики на заказ.

Приведем функцию к виду Решение высшей математики на заказ, тогда, решая уравнение Решение высшей математики на заказ, точки пересечения с осью абсцисс будут Решение высшей математики на заказ.

Находим производную Решение высшей математики на заказ и приравниваем ее к нулю Решение высшей математики на заказ. Из решения уравнения Решение высшей математики на заказ находим критические точки Решение высшей математики на заказ. Находим вторую производную Решение высшей математики на заказ. Так как Решение высшей математики на заказ, то точки Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ есть точки минимума функции, а так как Решение высшей математики на заказ, то точка Решение высшей математики на заказ есть точка максимума. Значения функции в экстремальных точках равны: Решение высшей математики на заказ.

Чтобы отыскать возможные точки перегиба, решаем уравнение: Решение высшей математики на заказ, откуда Решение высшей математики на заказ. Так как Решение высшей математики на заказ меняет свой знак при переходе через эти точки, то при этих значениях Решение высшей математики на заказ график функции имеет перегиб. Находим ординаты точек перегиба: Решение высшей математики на заказ.

При неограниченном возрастании Решение высшей математики на заказ по абсолютной величине функция стремится к бесконечности Решение высшей математики на заказ. График функции показан на рис. 7.54.

Решение высшей математики на заказ

б) Функция существует всюду, кроме точек Решение высшей математики на заказ. Прямые Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ являются вертикальными асимптотами функции. Найдем односторонние пределы в точках разрыва

Решение высшей математики на заказ

Функция не четна, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат. При Решение высшей математики на заказ имеем Решение высшей математики на заказ, следовательно, график функции проходит через начало координат.

Находим производную Решение высшей математики на заказ и приравниваем ее к нулю Решение высшей математики на заказ. Корни этого уравнения Решение высшей математики на заказ.

Рассмотрим методом интервалов изменение знака Решение высшей математики на заказ при переходе через эти точки (рис. 7.55 ). Следовательно, в точке Решение высшей математики на заказ функция имеет минимум Решение высшей математики на заказ, а в точке Решение высшей математики на заказ имеет максимум Решение высшей математики на заказ. При переходе через Решение высшей математики на заказ производная знака не меняет, следовательно, в точке Решение высшей математики на заказ экстремума нет.

Решение высшей математики на заказ

Находим вторую производную Решение высшей математики на заказ. Вторая производная Решение высшей математики на заказ при Решение высшей математики на заказ и меняет знак с минуса на плюс при переходе через эту точку, следовательно, и точка Решение высшей математики на заказ есть точка перегиба.

Находим асимптоты кривой:

Решение высшей математики на заказ

следовательно, кривая имеет наклонную асимптоту Решение высшей математики на заказ. График функции показан на рис. 7.56.

Решение высшей математики на заказ

в) Находим область существования функции. Функция существует при Решение высшей математики на заказ, т. е. при Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ (рис. 7.57).

Решение высшей математики на заказ

Находим односторонние пределы Решение высшей математики на заказ, Решение высшей математики на заказ. Следовательно, прямые Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ являются вертикальными асимптотами.

Находим производную Решение высшей математики на заказ. Производная не обращается в нуль ни при каком значении Решение высшей математики на заказ, значит экстремумов нет.

Найдем вторую производную Решение высшей математики на заказ и приравняем ее к нулю Решение высшей математики на заказ, но точка Решение высшей математики на заказ не входит в область существования функции. При Решение высшей математики на заказ имеем Решение высшей математики на заказ — кривая выпукла вниз; при Решение высшей математики на заказ имеем Решение высшей математики на заказ — кривая выпукла вверх.

Находим при Решение высшей математики на заказ предельное значение функции Решение высшей математики на заказ, следовательно, прямая Решение высшей математики на заказ есть горизонтальная асимптота. График функции показан на рис. 7.58.

Решение высшей математики на заказ

г) Областью существования функции является вся числовая ось. При Решение высшей математики на заказ функция равна нулю. Так как Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ, то Решение высшей математики на заказ при любом Решение высшей математики на заказ.

Находим производную Решение высшей математики на заказ и приравниваем ее к нулю Решение высшей математики на заказ.

Решая это уравнение, находим критические точки Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ. Поскольку производная меняет знак согласно схеме (рис. 7.59), то в точке Решение высшей математики на заказ функция имеет максимум, равный нулю, а в точке Решение высшей математики на заказ минимум, равный Решение высшей математики на заказ.

Решение высшей математики на заказ

Находим вторую производную Решение высшей математики на заказ и приравниваем ее к нулю Решение высшей математики на заказ, откуда Решение высшей математики на заказ. Поскольку вторая производная меняет знак согласно схеме (рис. 7.60), то в точках Решение высшей математики на заказ функция имеет перегиб и при Решение высшей математики на заказ кривая выпукла вниз, при Решение высшей математики на заказ кривая выпукла вверх, при Решение высшей математики на заказ кривая выпукла вниз.

Решение высшей математики на заказ

Находим пределы:

Решение высшей математики на заказ

т. е. прямая Решение высшей математики на заказ есть горизонтальная асимптота. График функции показан на рис. 7.61.

Решение высшей математики на заказ

д) Функция существует для всех значений Решение высшей математики на заказ, кроме Решение высшей математики на заказ. При Решение высшей математики на заказ функция терпит разрыв. При Решение высшей математики на заказ функция равна нулю. При Решение высшей математики на заказ имеем Решение высшей математики на заказ, т. е. функция не отрицательна.

Находим производную Решение высшей математики на заказ и приравниваем ее к нулю Решение высшей математики на заказ. Находим вторую производную Решение высшей математики на заказ и определяем ее знак при Решение высшей математики на заказ. Поскольку Решение высшей математики на заказ, то при Решение высшей математики на заказ функция имеет минимум, равный Решение высшей математики на заказ.

Вторая производил Решение высшей математики на заказ при Решение высшей математики на заказ и меняет свой знак с минуса на плюс при переходе через эту точку, следовательно, при Решение высшей математики на заказ кривая имеет перегиб, ордината которого равна Решение высшей математики на заказ.

Находим предел Решение высшей математики на заказ, т. е. прямая Решение высшей математики на заказ есть вертикальная асимптота. При Решение высшей математики на заказ предел Решение высшей математики на заказ, т. е. прямая Решение высшей математики на заказ есть горизонтальная асимптота. График функции показан на рис. 7.62.

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Формула Тейлора и Маклорена

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №101.

Разложить многочлен Решение высшей математики на заказ по степеням двучлена Решение высшей математики на заказ.

Решение:

Введем обозначение Решение высшей математики на заказ и найдем производные:

Решение высшей математики на заказ

Решение высшей математики на заказ для Решение высшей математики на заказ. При Решение высшей математики на заказ имеем:

Решение высшей математики на заказ

Отсюда Решение высшей математики на заказРешение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Понятие о функции нескольких переменных. Область определения

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №103.

Пусть Решение высшей математики на заказ. Найти а) частные значения функции в точках Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) Чтобы найти частные значения функции Решение высшей математики на заказ в точках Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ, необходимо подставить координаты этих точек в выражение функции. Тогда частное значение функции в точке Решение высшей математики на заказ будет Решение высшей математики на заказ, а в точке Решение высшей математики на заказ будет Решение высшей математики на заказ.

б) Чтобы найти требуемые значения функций, необходимо переменным Решение высшей математики на заказ присвоить значения Решение высшей математики на заказ, соответственно, в первом случае и Решение высшей математики на заказ — во втором. Тогда будем иметь

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Предел функции нескольких переменных. Непрерывность

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №105.

Найти пределы функций: Решение высшей математики на заказ

Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) Преобразуем предел следующим образом

Решение высшей математики на заказ

Пусть Решение высшей математики на заказ, тогда Решение высшей математики на заказ.

б) Воспользуемся первым замечательным пределом

Решение высшей математики на заказ

в) Пусть Решение высшей математики на заказ, т. е. рассмотрим изменение Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ вдоль прямой. Тогда

Решение высшей математики на заказ

Таким образом, предел имеет различные значения в зависимости от выбранного Решение высшей математики на заказ, т. е. функция не имеет предела.

г) Воспользуемся вторым замечательным пределом Решение высшей математики на заказ. Тогда

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Частные производные первого порядка

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №107.

Найти частные производные: Решение высшей математики на заказ

Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) Полагая у постоянной величиной, находим производную по Решение высшей математики на заказ:

Решение высшей математики на заказ

Полагая Решение высшей математики на заказ постоянной величиной, находим производную по Решение высшей математики на заказ:

Решение высшей математики на заказ

б) Полагая Решение высшей математики на заказ постоянной величиной, находим Решение высшей математики на заказ. Полагая Решение высшей математики на заказ постоянной величиной, находим Решение высшей математики на заказ.

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Дифференциал функции и его применение к приближенным вычислениям

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №109.

Найти частные дифференциалы: Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ.

Решение:

а) Находим частные производные

Решение высшей математики на заказ

Умножая на соответствующие дифференциалы аргументов, получим

Решение высшей математики на заказ

б) Функция трех переменных. Находим частные производные

Решение высшей математики на заказ

Отсюда, частные дифференциалы

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Частные производные и дифференциалы высших порядков

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №111.

Найти частные производные второго порядка

Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) Найдем частные производные первого порядка

Решение высшей математики на заказ

Отсюда вторые частные производные

Решение высшей математики на заказ

Последние два выражения наглядно доказывают, что смешанные производные нс зависят от порядка дифференцирования.

б) Находим сначала частные производные первого порядка

Решение высшей математики на заказ

Отсюда частные производные второго порядка

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Дифференцирование сложных функций

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №113.

Найти производные сложных функций:

Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) Поскольку промежуточные аргументы Решение высшей математики на заказ являются функциями только одной независимой переменной Решение высшей математики на заказ, то производную находим по формуле (2)

Решение высшей математики на заказ

б) Промежуточные аргументы Решение высшей математики на заказ являются функциями двух независимых аргументов Решение высшей математики на заказ. В этом случае формулы (1) примут вид

Решение высшей математики на заказ

Отсюда

Решение высшей математики на заказ

в) Функция Решение высшей математики на заказ зависит от трех промежуточных аргументов, которые в свою очередь зависят только от одной независимой переменной, поэтому по формуле (2)

Решение высшей математики на заказ

г) Здесь независимая переменная Решение высшей математики на заказ явно входит в выражение функции, поэтому воспользуемся формулой (3)

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №115.

Найти частные производные: Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) Функция Решение высшей математики на заказ задана неявно. Полагая Решение высшей математики на заказ, по формулам (1) имеем

Решение высшей математики на заказ

С другой стороны, дифференцируя данное уравнение, будем иметь Решение высшей математики на заказ.

Находим отсюда Решение высшей математики на заказ, т. е. полный дифференциал неявной функции

Решение высшей математики на заказ

Сравнивая с формулой полного дифференциала

Решение высшей математики на заказ

окончательно получим

Решение высшей математики на заказ

б) Полагая Решение высшей математики на заказ, находим частные производные

Решение высшей математики на заказ

Отсюда по формулам (1) получим

Решение высшей математики на заказ

Второй метод. Дифференцируем

Решение высшей математики на заказ

Находим дифференциал

Решение высшей математики на заказ

Сравнивая с полным дифференциалом функции от двух переменных, получим

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Замена переменных в дифференциальных выражениях

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №117.

Преобразовать дифференциальное уравнение Решение высшей математики на заказ, полагая Решение высшей математики на заказ.

Решение:

Выразим производные от Решение высшей математики на заказ по Решение высшей математики на заказ через производные от Решение высшей математики на заказ по Решение высшей математики на заказ:

Решение высшей математики на заказ

Подставляя полученные производные в данное уравнение и
заменяя Решение высшей математики на заказ на Решение высшей математики на заказ, будем иметь

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Пример решённой на заказ задачи №118.

Экстремум функции

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №119.

Найти экстремальные значения: Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) Функция трех переменных. Находим частные производные:

Решение высшей математики на заказ

Приравнивая их к нулю, находим стационарные точки Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ.

Вычисляем вторые частные производные: Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказРешение высшей математики на заказ. Нетрудно заметить, что второй дифференциал в точке Решение высшей математики на заказ равен нулю. Поэтому для выяснения существования экстремума рассмотрим приращение функции в точке Решение высшей математики на заказ, т. е. Решение высшей математики на заказ.

Так как знак приращения функции в точках Решение высшей математики на заказ, достаточно близких к точке Решение высшей математики на заказ, может быть как положительным, так и отрицательным, то экстремума функции в точке Решение высшей математики на заказ нет.

Исследуем функцию на экстремум в стационарной точке Решение высшей математики на заказ. Для этого выясним знак определителя (4) в точке Решение высшей математики на заказ

Решение высшей математики на заказ

Поскольку квадратичная форма отрицательна, то в точке Решение высшей математики на заказ функция имеет максимум Решение высшей математики на заказ.

б) Функция Решение высшей математики на заказ двух независимых переменных Решение высшей математики на заказ задана неявно. Найдем частные производные. Полагая Решение высшей математики на заказ, будем иметь

Решение высшей математики на заказ

Приравнивая производные к нулю: Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ, будем иметь Решение высшей математики на заказ. Исключая Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ из исходного выражения Решение высшей математики на заказ, получим две стационарные точки Решение высшей математики на заказ.

Вычислим вторые производные

Решение высшей математики на заказ

Найдем значение Решение высшей математики на заказ в точке Решение высшей математики на заказ. Вычисляя производные: Решение высшей математики на заказ будем иметь Решение высшей математики на заказ. Так как Решение высшей математики на заказ, то в точке Решение высшей математики на заказ функция имеет максимум.

Найдем теперь значение Решение высшей математики на заказ в точке Решение высшей математики на заказ. Вычисляя производные: Решение высшей математики на заказ получим Решение высшей математики на заказ.

Поскольку Решение высшей математики на заказ, то в точке Решение высшей математики на заказ функция имеет минимум.

Дополнительный пример:

Наибольшие и наименьшие значения функций

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №121.

Из всех треугольников данного периметра Решение высшей математики на заказ найти тот, который имеет наибольшую площадь.

Решение:

Обозначим стороны треугольника через Решение высшей математики на заказ; тогда по формуле Герона Решение высшей математики на заказ или, учитывая, что Решение высшей математики на заказ, будем иметь Решение высшей математики на заказ.

Чтобы найти наибольшее значение площади, достаточно найти наибольшее значение подкоренной функции Решение высшей математики на заказ.

Вычисляем производные и приравниваем их нулю

Решение высшей математики на заказ

Из решения системы уравнений находим единственную стационарную точку Решение высшей математики на заказ. Находим вторые производные в этой точке: Решение высшей математики на заказ.

Поскольку Решение высшей математики на заказ, то исследуемая функция имеет в этой точке максимум.

Вопрос о максимуме функции в точке Решение высшей математики на заказ можно было бы решить и чисто геометрически. В данном случае мы имеем равносторонний треугольник и площадь треугольника максимальна, поскольку, чем больше отличается размер одной стороны от двух других, тем площадь треугольника меньше.

Дополнительный пример:

Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №123.

Найти условные экстремумы функций: Решение высшей математики на заказ при Решение высшей математики на заказ при Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ при Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) Геометрически задача сводится к отысканию наибольшего, наименьшего значения апликаты Решение высшей математики на заказ плоскости Решение высшей математики на заказ для точек пересечения ее с цилиндром Решение высшей математики на заказ.

Составим функцию Лагранжа Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ и найдем частные производные: Решение высшей математики на заказ. Необходимые условия существования экстремума определяются системой (2)

Решение высшей математики на заказ

которая имеет решения Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ

Поскольку Решение высшей математики на заказ, то Решение высшей математики на заказ. При Решение высшей математики на заказ, следовательно, функция имеет в точке Решение высшей математики на заказ условный максимум Решение высшей математики на заказ. При Решение высшей математики на заказ, следовательно, функция имеет в точке Решение высшей математики на заказ условный минимум Решение высшей математики на заказ.

Условный максимум, минимум функции может быть найден также с помощью определителя (3). Для этого находим в точке Решение высшей математики на заказ :

Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ

Решение высшей математики на заказ

т. е. функция в точке Решение высшей математики на заказ имеет условный максимум.

Аналогично, в точке Решение высшей математики на заказ

Решение высшей математики на заказ

т. е. функция имеет в точке Решение высшей математики на заказ условный минимум.

б) Функция трех независимых переменных. Составим функцию Лагранжа

Решение высшей математики на заказ

и найдем частные производные

Решение высшей математики на заказ

Запишем необходимые условия существования условного экстремума

Решение высшей математики на заказ

Из решения этой системы имеем

Решение высшей математики на заказ

Вычислим вторые производные

Решение высшей математики на заказ

и найдем второй дифференциал в первой критической точке Решение высшей математики на заказ. Поскольку знак второго дифференциала функции Лагранжа положительный, то исследуемая функция в этой точке имеет условный минимум Решение высшей математики на заказ.

Знак второго дифференциал а во второй критической точке Решение высшей математики на заказ отрицательный, следовательно, в этой точке функция имеет условный максимум Решение высшей математики на заказ.

в) В данном случае уравнений связи два. Составляем функцию Лагранжа

Решение высшей математики на заказ

Необходимые условия существования условного экстремума определяются системой уравнений

Решение высшей математики на заказ

Из решения этой системы уравнений находим критические точки: Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ

Вычисляем вторые частные производные

Решение высшей математики на заказ

и определяем знак второго дифференциала в стационарных точках. В точке Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ функция имеет условный минимум Решение высшей математики на заказ. В точке Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ функция имеет условный максимум Решение высшей математики на заказ. Аналогично вычисляется знак второго дифференциала и в четырех остальных точках. Так в точках Решение высшей математики на заказ функция имеет условный минимум равный Решение высшей математики на заказ, а в точках Решение высшей математики на заказ — максимум Решение высшей математики на заказ.

Дополнительный пример:

Касательная и нормаль к плоской кривой

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №125.

Найти уравнение касательной и нормали к кривой Решение высшей математики на заказ в точке Решение высшей математики на заказ.

Решение:

Функция задана неявно. Для нахождения уравнения касательной воспользуемся уравнением (1). Находим значения частных производных в заданной точке

Решение высшей математики на заказ

Таким образом, Решение высшей математики на заказ или Решение высшей математики на заказ.

Уравнение нормали находим по формуле (2): Решение высшей математики на заказ или Решение высшей математики на заказ.

Дополнительный пример:

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №127.

Найти углы с осями координат нормали к поверхности Решение высшей математики на заказ в точке (0,2,2).

Решение:

Уравнение поверхности задано неявно. Воспользуемся формулами (5). Найдём сначала частные производные в точке

Решение высшей математики на заказ

Таким образом, Решение высшей математики на заказ.

Дополнительный пример:

Кривизна плоской кривой

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №129.

Найти радиусы кривизны в любой точке данных кривых: Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ.

Решение:

а) Находим производные Решение высшей математики на заказ и по формуле Решение высшей математики на заказ определяем радиус кривизны

Решение высшей математики на заказ

б) Функция задана неявно Решение высшей математики на заказ.

Находим производные: Решение высшей математики на заказ

Решение высшей математики на заказ

Радиус кривизны находим по формуле

Решение высшей математики на заказ
Решение высшей математики на заказ

в) Находим производные: Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ. Радиус кривизны находим по формуле

Решение высшей математики на заказ

г) Находим производные: Решение высшей математики на заказ и по формуле Решение высшей математики на заказ находим радиус кривизны Решение высшей математики на заказ.

Дополнительный пример:

Особые точки плоских кривых

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №131.

Выяснить характер особых точек кривой Решение высшей математики на заказ.

Решение:

Обозначим Решение высшей математики на заказ и найдем частные производные Решение высшей математики на заказ. Из решения системы уравнений

Решение высшей математики на заказ

находим координаты особой точки Решение высшей математики на заказ.

Для выяснения типа особой точки находим вторые частные производные в ней

Решение высшей математики на заказ

Отсюда Решение высшей математики на заказ. Если Решение высшей математики на заказ, то Решение высшей математики на заказ и точка Решение высшей математики на заказ — узел (рис. 9.14 ).

Решение высшей математики на заказ

Составим уравнение касательной в особой точке Решение высшей математики на заказ или Решение высшей математики на заказ, т. е. касательные имеют углы наклона Решение высшей математики на заказ. Если Решение высшей математики на заказ, то Решение высшей математики на заказ и точка Решение высшей математики на заказ — изолированная точка (рис. 9.15 ) и касательной нет. Если Решение высшей математики на заказ, то Решение высшей математики на заказ. Уравнение кривой в этом случае будет Решение высшей математики на заказ или Решение высшей математики на заказ, где Решение высшей математики на заказ, т. е. кривая симметрична относительно оси Решение высшей математики на заказ, которая будет касательной. Следовательно, точка Решение высшей математики на заказ — точка возврата первого рода (рис. 9.16).

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Касание кривых между собой

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №133.

Найти порядок касания цепной линии Решение высшей математики на заказ с параболой Решение высшей математики на заказ в точке Решение высшей математики на заказ.

Решение:

Обозначим Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ и найдём последовательные производные от этих функций

Решение высшей математики на заказ

Вычислим в точке Решение высшей математики на заказ значения данных функций и их производных

Решение высшей математики на заказ

Поскольку Решение высшей математики на заказ, а Решение высшей математики на заказ, т. е. Решение высшей математики на заказ, то Решение высшей математики на заказ и кривые имеют третий порядок касания.

Дополнительный пример:

Производная вектор-функции

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №135.

Найти годограф вектор-функции Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ

Решение:

Запишем параметрические уравнения годографа Решение высшей математики на заказ. Исключая параметр Решение высшей математики на заказ, будем иметь Решение высшей математики на заказ. Следовательно, годографом вектор-функции Решение высшей математики на заказ является окружность.

Дополнительный пример:

Естественный трёхгранник пространственной кривой. Касательная и нормальная плоскость к пространственной кривой

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №137.

Дана кривая Решение высшей математики на заказ. В точке Решение высшей математики на заказ найти: а) основные единичные векторы Решение высшей математики на заказ; б) уравнения касательной, главной нормали и бинормали; в) уравнения касательной, нормальной и соприкасающейся плоскости.

Решение:

а) Составим уравнение вектор-функции Решение высшей математики на заказ и найдём производные

Решение высшей математики на заказ

Поскольку в точке Решение высшей математики на заказ параметр Решение высшей математики на заказ, то вектор касательной будет

Решение высшей математики на заказ

вектор бинормали

Решение высшей математики на заказ

вектор нормали

Решение высшей математики на заказ

Таким образом, основные единичные векторы будут

Решение высшей математики на заказ
Решение высшей математики на заказ

б) Поскольку в точке Решение высшей математики на заказ координаты Решение высшей математики на заказ и производные при Решение высшей математики на заказ равны Решение высшей математики на заказ, то уравнение касательной (2) будет

Решение высшей математики на заказ

Уравнение главной нормали (6)

Решение высшей математики на заказ или Решение высшей математики на заказ

Уравнение бинормали (8)

Решение высшей математики на заказ или Решение высшей математики на заказ

в) Уравнение касательной плоскости (7)

Решение высшей математики на заказ или Решение высшей математики на заказ.

Уравнение нормальной плоскости (5)

Решение высшей математики на заказ или Решение высшей математики на заказ

Уравнение соприкасающейся плоскости (9)

Решение высшей математики на заказ или Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Кривизна и кручение пространственной кривой

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №139.

Вычислить кривизну и кручение винтовой линии Решение высшей математики на заказ в любой точке.

Решение:

Уравнение винтовой линии представим вектор-функцией Решение высшей математики на заказ.

Кривизну и кручение определяем по формулам (2) и (5). Для этого сначала найдём производные

Решение высшей математики на заказ

Тогда

Решение высшей математики на заказ

Окончательно получим

Решение высшей математики на заказ

Отсюда следует, что для винтовой линии кривизна и кручение постоянны.

Дополнительный пример:

Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов и простейшие примеры

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №141.

Найти интегралы: Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) Представим интеграл как сумму интегралов и воспользуемся табличными интегралами

Решение высшей математики на заказ

Проверка: Решение высшей математики на заказ, т. е. производная равна подынтегральной функции.

б) Внесем первый множитель в скобки и представим интеграл в виде разности двух интегралов

Решение высшей математики на заказ

в) Сделаем следующие преобразования

Решение высшей математики на заказ

г) Вычтем и прибавим в числителе единицу

Решение высшей математики на заказ

д) Заменим корни отрицательными степенями и представим интеграл в виде разности двух интегралов

Решение высшей математики на заказ

е) Считаем, что в числителе множителем стоит тригонометрическая единица Решение высшей математики на заказ, тогда

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Непосредственное интегрирование

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №143.

Найти интегралы: Решение высшей математики на заказ

Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) Вносим (-2) под знак дифференциала и делим на (-2), тогда интеграл равен

Решение высшей математики на заказ

б) Приводим к одному аргументу Решение высшей математики на заказ

Решение высшей математики на заказ

в) Запишем под знаком дифференциала такое же выражение,что и в скобках

Решение высшей математики на заказ

г) Преобразуем интеграл следующим образом

Решение высшей математики на заказ

д) Запишем под знаком дифференциала выражение такое же, что и в знаменателе, тогда

Решение высшей математики на заказ

е) Преобразуем интеграл следующим образом

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Интегрирование методом замены переменной

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №145.

Найти интегралу: Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) Сделаем замену Решение высшей математики на заказ, тогда Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ. Подставим эти выражения под знак интеграла, проинтегрируем и перейдем к старой переменной

Решение высшей математики на заказ
Решение высшей математики на заказ

б) Сделаем замену Решение высшей математики на заказ, тогда Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ. Переходим под знаком интеграла к новой переменной

Решение высшей математики на заказ

в) Сделаем замену Решение высшей математики на заказ, тогда Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ. Преобразуем интеграл к новой переменной

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Интегрирование по частям

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №147.

Найти интегралы: Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) Сделаем замену переменной Решение высшей математики на заказ, тогда Решение высшей математики на заказ.

Теперь обозначим Решение высшей математики на заказ, тогда Решение высшей математики на заказ. По формуле (1) будем иметь

Решение высшей математики на заказ

Переходя к переменной Решение высшей математики на заказ, окончательно получим

Решение высшей математики на заказ

б) Делаем замену Решение высшей математики на заказ, тогда Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ.

Интеграл примет вид

Решение высшей математики на заказ

Полагаем Решение высшей математики на заказ, тогда Решение высшей математики на заказ. По формуле (1) имеем

Решение высшей математики на заказ

Переходя к переменной Решение высшей математики на заказ, получим

Решение высшей математики на заказ

в) Делаем замену Решение высшей математики на заказ, тогда Решение высшей математики на заказ, Решение высшей математики на заказ. Интеграл примет вид

Решение высшей математики на заказ

Интегрируем по частям: Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ. Откуда

Решение высшей математики на заказ

Окончательно

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №149.

Найти интегралы: Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) Выделим в знаменателе полный квадрат

Решение высшей математики на заказ

и сделаем замену Решение высшей математики на заказ, тогда получим

Решение высшей математики на заказ

б) Выделим в знаменателе полный квадрат

Решение высшей математики на заказ

и сделаем замену Решение высшей математики на заказ, тогда получим

Решение высшей математики на заказ

в) Выделим под корнем полный квадрат

Решение высшей математики на заказ

и сделаем замену Решение высшей математики на заказ, тогда получим

Решение высшей математики на заказ

г) Выделим под корнем полный квадрат

Решение высшей математики на заказ

и сделаем замену Решение высшей математики на заказ, тогда получим

Решение высшей математики на заказ

д) Выделим под корнем полный квадрат

Решение высшей математики на заказ

и сделаем замену Решение высшей математики на заказ, тогда получим Решение высшей математики на заказ.

При нахождении данного интеграла воспользуемся обобщенной формулой (7.п. 10.1).

Решение высшей математики на заказ

е) Сделаем замену Решение высшей математики на заказ, тогда получим

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Интегрирование рациональных дробей

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №151.

Найти интегралы: Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ; Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) Выделим целую часть в подынтегральной функции Решение высшей математики на заказ, тогда

Решение высшей математики на заказ

б) Учитывая кратность корней, подынтегральную функцию представим в виде суммы простых дробей

Решение высшей математики на заказ

Приводя к общему знаменателю в правой части, приравниваем числители

Решение высшей математики на заказ

или

Решение высшей математики на заказ

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Решение высшей математики на заказ, получим

Решение высшей математики на заказ

Из решения этой системы имеем: Решение высшей математики на заказ.

Таким образом

Решение высшей математики на заказ

в) Так как Решение высшей математики на заказ, то

Решение высшей математики на заказ

Отсюда

Решение высшей математики на заказ

г) Раскладываем подынтегральную функцию на множители и, учитывая кратность корней, представим ее в виде суммы простых дробей

Решение высшей математики на заказ

Откуда Решение высшей математики на заказ. Составляем систему

Решение высшей математики на заказ

Из решения системы имеем: Решение высшей математики на заказ. Таким образом

Решение высшей математики на заказ

д) Поскольку один корень действительный, а два комплексные, то подынтегральная функция может быть представлена в виде

Решение высшей математики на заказ

Откуда Решение высшей математики на заказ. Приравнивая коэффициенты, имеем

Решение высшей математики на заказ

Из решения системы находим: Решение высшей математики на заказ. Таким образом

Решение высшей математики на заказ

е) Раскладываем знаменатель подынтегральной функции на множители и представим ее в виде простых дробей

Решение высшей математики на заказ

Откуда Решение высшей математики на заказ. Составляем систему

Решение высшей математики на заказ

Из решения системы имеем: Решение высшей математики на заказ. Таким образом

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Интегралы от иррациональных функций

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №153.

Найти интегралы: Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) Воспользуемся первой подстановкой Эйлера Решение высшей математики на заказ.

Возводя в квадрат, получим Решение высшей математики на заказ.

Подставляя под знак интеграла, будем иметь

Решение высшей математики на заказ

Воспользуемся методом Остроградского. Представим подынтегральную функцию в виде

Решение высшей математики на заказ

Найдем производную, приведем к общему знаменателю и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях неизвестных

Решение высшей математики на заказ

Отсюда: Решение высшей математики на заказ. Интеграл примет вид

Решение высшей математики на заказ

Переходя к переменной Решение высшей математики на заказ, окончательно будем иметь

Решение высшей математики на заказ

б) Воспользуемся второй подстановкой Эйлера Решение высшей математики на заказ. Возводя в квадрат, получим Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ. Подставляя все это под знак интеграла, будем иметь

Решение высшей математики на заказ

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов:

Решение высшей математики на заказ

Отсюда Решение высшей математики на заказ. Таким образом:

Решение высшей математики на заказ

Переходя к переменной Решение высшей математики на заказ, получим

Решение высшей математики на заказ

в) Поскольку подкоренное выражение имеет два действительных корня, то воспользуемся третьей подстановкой Эйлера
Решение высшей математики на заказ, откуда Решение высшей математики на заказ.

Интеграл примет вид

Решение высшей математики на заказ

Воспользуемся методом Остроградского

Решение высшей математики на заказ

откуда Решение высшей математики на заказРешение высшей математики на заказ

Решение высшей математики на заказ

Отсюда: Решение высшей математики на заказ. Таким образом,

Решение высшей математики на заказ

Учитывая, что Решение высшей математики на заказ, и переходя к переменной Решение высшей математики на заказ, окончательно получим

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Интегрирование тригонометрических функций

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №155.

Найти интегралы: Решение высшей математики на заказ

Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) Пользуемся формулами тригонометрии для половинного угла

Решение высшей математики на заказ

б) Отделяем от нечетной степени один множитель первой степени и вносим его под знак дифференциала

Решение высшей математики на заказ

в) По формулам половинных углов имеем

Решение высшей математики на заказ

г) Вносим синус под знак дифференциала

Решение высшей математики на заказ

д) Отделяем в числителе от нечетной степени один множитель первой степени и вносим под знак дифференциала

Решение высшей математики на заказ

e) Делаем замену Решение высшей математики на заказ, тогда Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ. Переходим под знаком интеграла к новой переменной

Решение высшей математики на заказ

Выделяем, деля числитель на знаменатель, целую часть

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Интегрирование гиперболических функций

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №157.

Найти интегралы: Решение высшей математики на заказ

Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) Пользуясь формулами понижения степени, имеем

Решение высшей математики на заказ

б) Внесем Решение высшей математики на заказ под знак дифференциала, тогда будем иметь

Решение высшей математики на заказ

в) Сделаем замену Решение высшей математики на заказ, тогда получим

Решение высшей математики на заказ

г) Преобразуем подынтегральную функцию по формулам половинных углов

Решение высшей математики на заказ
Решение высшей математики на заказ

е) Воспользуемся дважды формулой интегрирования по частям, принимая Решение высшей математики на заказ. Будем иметь

Решение высшей математики на заказ

Принимаем Решение высшей математики на заказ, отсюда Решение высшей математики на заказ. Окончательно получим Решение высшей математики на заказ.

Решение высшей математики на заказ

з) Воспользуемся заменой Решение высшей математики на заказ, тогда будем иметь

Решение высшей математики на заказ

и) Раскроем гиперболический синус и воспользуемся обобщенной формулой (6)

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Задачи, приводящие к понятию неопределенного интеграла

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №159.

Составить уравнение кривой, проходящей через точку Решение высшей математики на заказ, если угловой коэффициент касательной в каждой точке кривой равен обратной величине абсциссы точки касания.

Решение:

Закон изменения углового коэффициента известен Решение высшей математики на заказ. Поскольку производная от Решение высшей математики на заказ, то Решение высшей математики на заказ — искомая кривая.

Для определения постоянной интегрирования воспользуемся условием, что кривая проходит через точку Решение высшей математики на заказ, тогда Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ. Таким образом: Решение высшей математики на заказ.

Дополнительный пример:

Определение определенного интеграла. Свойства. Формула Ньютона-Лейбница

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №161.

Вычислить интегралы:

Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) Представим определенный интеграл в виде суммы двух интегралов и для каждого из них воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница

Решение высшей математики на заказ

б) По формуле Ньютона-Лейбница имеем

Решение высшей математики на заказ

в) По формуле Ньютона-Лейбница имеем

Решение высшей математики на заказ

г) Пользуемся формулой Ньютона-Лейбница

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Замена переменной в определенном интеграле

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №163.

Вычислить определенные интегралы: Решение высшей математики на заказ

Решение высшей математики на заказ
Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) Сделаем замену переменной Решение высшей математики на заказ, тогда Решение высшей математики на заказ. Находим новые пределы интегрирования: при Решение высшей математики на заказ, Решение высшей математики на заказ и при Решение высшей математики на заказ. Интеграл примет вид

Решение высшей математики на заказ

б) Полагаем Решение высшей математики на заказ, тогда Решение высшей математики на заказ. Находим новые пределы интегрирования: при Решение высшей математики на заказ и при Решение высшей математики на заказ. Отсюда

Решение высшей математики на заказ

в) Сделаем замену Решение высшей математики на заказ, тогда Решение высшей математики на заказ. Перейдем к новым пределам интегрирования: при Решение высшей математики на заказ, Решение высшей математики на заказ и при Решение высшей математики на заказ. Интеграл примет вид

Решение высшей математики на заказ

г) Сделаем замену Решение высшей математики на заказ, тогда Решение высшей математики на заказ. Перейдем к новым пределам интегрирования: при Решение высшей математики на заказ и при Решение высшей математики на заказ. Интеграл примет вид

Решение высшей математики на заказ

д) Сделаем замену Решение высшей математики на заказ, тогда Решение высшей математики на заказ. Перейдем к новым пределам интегрирования: при Решение высшей математики на заказ и при Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ. Интеграл примет вид

Решение высшей математики на заказ

e) В данном определенном интеграле первообразная не выражается через элементарные функции. Воспользуемся искусственным приемом. Сделаем подстановку Решение высшей математики на заказ, тогда Решение высшей математики на заказ и при Решение высшей математики на заказ, а при Решение высшей математики на заказ. Таким образом,

Решение высшей математики на заказ
Решение высшей математики на заказ

Последние два интеграла равны между собой, т. к. приводятся один к другому с помощью подстановкиРешение высшей математики на заказ. Действительно, Решение высшей математики на заказ, причем при Решение высшей математики на заказ, а при Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ и интеграл равен

Решение высшей математики на заказ

ж) Воспользуемся подстановкой Решение высшей математики на заказ, тогда при Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ и при Решение высшей математики на заказ. Интеграл примет вид

Решение высшей математики на заказ

Поскольку величина определенного интеграла не зависит от переменной интегрирования, то, заменяя в последнем интеграле Решение высшей математики на заказ на Решение высшей математики на заказ и перенося его в левую часть, будем иметь

Решение высшей математики на заказ

Интегрирование по частям

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №164.

Вычислить интегралы: Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) Полагаем Решение высшей математики на заказ, тогда Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ. Пользуемся формулой (1)

Решение высшей математики на заказ

б) Полагаем Решение высшей математики на заказ, тогда Решение высшей математики на заказ.

По формуле (1) имеем

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Теоремы об оценке определенного интеграла

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №166.

Не вычисляя интегралов, выяснить, какой из интегралов больше: Решение высшей математики на заказ или Решение высшей математики на заказ или Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) Поскольку на отрезке [0,1] выполняется неравенство Решение высшей математики на заказ, то Решение высшей математики на заказ.

б) Поскольку на отрезке [0,1] выполняется неравенство Решение высшей математики на заказ, то Решение высшей математики на заказ.

Дополнительный пример:

Определенный интеграл как функция верхнего предела

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №168.

Найти производные следующих функций:

Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) Используя свойство (1°), находим

Решение высшей математики на заказ

б) Используя свойство (2°) и учитывая, что Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ, находим

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Несобственные интегралы

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №170.

Вычислить несобственный интеграл или установить его
расходимость:

Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ

Решение:

а) Преобразуем подынтегральное выражение и воспользуемся формулой (1)

Решение высшей математики на заказ

б) Разбиваем точкой Решение высшей математики на заказ промежуток интегрирования на два интервала, а интеграл на два несобственных интеграла

Решение высшей математики на заказ

в) Представим несобственный интеграл с помощью предельного перехода в виде определенного и воспользуемся формулой интегрирования по частям, полагая Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ

Решение высшей математики на заказ

Интеграл расходится.

г) Перейдем к новой переменной Решение высшей математики на заказ. При Решение высшей математики на заказ, при Решение высшей математики на заказ и интеграл примет вид

Решение высшей математики на заказ

С помощью предельного перехода приводим интеграл к определенному интегралу и вычисляем значение предела

Решение высшей математики на заказ

д) Сделаем следующие преобразования

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Общая схема применения определенного интеграла к вычислению различных величин

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №172.

Найти площадь криволинейного треугольника, ограниченного параболой Решение высшей математики на заказ, осью Решение высшей математики на заказ и прямой Решение высшей математики на заказ: а) рассматривая определенный интеграл как предел интегральной суммы; б) посредством дифференциала искомой площади.

Решение:

а) Разобьем отрезок интегрирования [0,1] на Решение высшей математики на заказ равных частей точками деления с абсциссами Решение высшей математики на заказ и выберем из полученных Решение высшей математики на заказ частичных отрезков правые концы, т. е. Решение высшей математики на заказ. Длина каждого из этих частичных промежутков равна Решение высшей математики на заказ.

Так как Решение высшей математики на заказ, то

Решение высшей математики на заказ

и приближенное значение каждого элемента Решение высшей математики на заказ выразится в виде произведения

Решение высшей математики на заказ

Составим сумму таких произведений

Решение высшей математики на заказ

Пользуясь формулой суммы квадратов целых чисел

Решение высшей математики на заказ

находим

Решение высшей математики на заказ

Искомая площадь определяется пределом приРешение высшей математики на заказ, т.е. при Решение высшей математики на заказ

Решение высшей математики на заказ

б) Для криволинейного треугольника, прилежащего к оси Решение высшей математики на заказ (рис. 12.1) дифференциал переменной площади Решение высшей математики на заказ есть площадь прямоугольника со сторонами Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ, т. е. Решение высшей математики на заказ.

Подставляя сюда значение функции и интегрируя в заданных пределах Решение высшей математики на заказ, получим

Решение высшей математики на заказ
Решение высшей математики на заказ

Площадь плоской фигуры

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №173.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: Решение высшей математики на заказ осью ординат и прямыми Решение высшей математики на заказ Решение высшей математики на заказ и ее асимптотой; Решение высшей математики на заказ.

Решение:

а) Построим графики (рис. 12.7) и найдем точки пересечения этих линий. Для этого решим систему

Решение высшей математики на заказ

Откуда Решение высшей математики на заказ или Решение высшей математики на заказ. Точки пересечения

Решение высшей математики на заказ

Применяя формулу (3), будем иметь

Решение высшей математики на заказ
Решение высшей математики на заказ

б) Построим графики (рис. 12.8) и найдем координаты точки Решение высшей математики на заказ пересечения гиперболы и параболы, решая их уравнения совместно; Решение высшей математики на заказ. Поскольку криволинейная трапеция сверху ограничена различными кривыми, то разбивая промежуток интегрирования на два промежутка и пользуясь формулой (1), получим

Решение высшей математики на заказ
Решение высшей математики на заказ

в) Площадь криволинейной трапеции Решение высшей математики на заказ (рис. 12.9) находим по формуле (2)

Решение высшей математики на заказ
Решение высшей математики на заказ

г) Построим графики (рис. 12.10) и из решения системы: Решение высшей математики на заказ найдем точки пересечения этих линий (0,0), (-1,1). Применяя формулу (3), получим

Решение высшей математики на заказ
Решение высшей математики на заказ

д) Сделаем чертеж (рис. 12.11). Пределы интегрирования даны но условию. Искомая площадь будет

Решение высшей математики на заказ
Решение высшей математики на заказ

е) Функция нечетная, следовательно, се график симметричен относительно начала координат. Найдем ее асимптоту

Решение высшей математики на заказ

таким образом, асимптотой будет прямая Решение высшей математики на заказ, т. е. ось Решение высшей математики на заказ (рис. 12.12).

Решение высшей математики на заказ

Вследствие симметрии, достаточно найти половину площади

Решение высшей математики на заказ

ж) Функция четная относительно переменной Решение высшей математики на заказ, следовательно, фигура, ограниченная заданной кривой, симметрична относительно оси Решение высшей математики на заказ (рис. 12.13).

Решение высшей математики на заказ

Найдем точки пересечения с осью Решение высшей математики на заказ. Полагая Решение высшей математики на заказ, будем иметь Решение высшей математики на заказ, следовательно, Решение высшей математики на заказ изменяется от 0 до Решение высшей математики на заказ.

Половину площади найдем по формуле (1)

Решение высшей математики на заказ

Знак минус означает, что фигура расположена ниже оси Решение высшей математики на заказ. Это, кстати, следует даже из того, что подынтегральная функция на промежутке интегрирования отрицательна Решение высшей математики на заказ при Решение высшей математики на заказ. Следовательно, найденный результат надо взятые противоположным знаком. Таким образом, вся площадь будет равна Решение высшей математики на заказ.

Дополнительный пример:

Объем тела

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №175.

Найти объем трехосного эллипсоида Решение высшей математики на заказ

Решение:

В сечении плоскости, перпендикулярной к оси Решение высшей математики на заказ и отстоящей от начала координат на расстоянии Решение высшей математики на заказ, будет эллипс (рис. 12.19).

Решение высшей математики на заказ

Подставляя вместо Решение высшей математики на заказ в уравнение эллипсоида Решение высшей математики на заказ, находим уравнение проекции эллипса на плоскость Решение высшей математики на заказ

Решение высшей математики на заказ

Полуоси эллипса будут, соответственно, Решение высшей математики на заказ и Решение высшей математики на заказ, а его площадь (см. 2.2, а) в функции переменной Решение высшей математики на заказ равна Решение высшей математики на заказ

Таким образом, по формуле (1) искомый объем равен

Решение высшей математики на заказ

Дополнительный пример:

Длина дуги кривой

К оглавлению…

Пример решённой на заказ задачи №177.

Найти длину дуги: а) кривой Решение высшей математики на заказ от Решение высшей математики на заказ до Решение высшей математики на заказ;
б) астроиды Решение высшей математики на заказ; в) кривой Решение высшей математики на заказ между точками пересечения ее с осью