Решение экономико математических методов

Прежде чем изучать готовые решения по экономико математическим методам, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила краткую теорию по предмету «Экономико математические методы» и решения с примерами.

Эта страница подготовлена для студентов.

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Экономико-математические методы

Термин экономико-математические методы понимается как обобщающее название комплекса экономических и математических научных дисциплин, объединенных для изучения социально-экономических систем и процессов. Под социально-экономической системой будем понимать сложную вероятностную динамическую систему, охватывающую процессы производства, обмена, распределения и потребления материальных и других благ.

Основным методом исследования систем и процессов является метод моделирования, т. е. способ теоретического анализа и практического действия, направленный на разработку и использование моделей. При этом под моделью будем понимать образ реального объекта (процесса) в материальной или идеальной форме (т. е. описанный знаковыми средствами на каком-либо языке), отражающий существенные свойства моделируемого объекта (процесса) и замещающий его в ходе исследования и управления. В дальнейшем мы будем говорить только об экономикоматематическом моделировании, т. е. об описании знаковыми математическими средствами социально-экономических систем.

Практическими задачами экономико математического моделирования являются:

  • анализ экономических объектов и процессов;
  • прогнозирование развития экономических процессов;
  • выработка управленческих решений на всех yровнях хозяйственной иерархии.

Постановка задачи линейного программирования

Задача линейного программирования (ЛП) в общем виде записывается следующим образом (1.1)—(1.4). Каждой задаче ЛП может быть поставлена в соответствие другая вполне определенная задача ЛП, такая, что при решении одной из них одновременно решается и другая. Эти задачи названы парой взаимодвойственных задач. Любой задаче ЛП (1.1)—(1.4) можно поставить в соответствие двойственную задачу вида (1.5)—(1.8):

Решение экономико математических методов

где Решение экономико математических методов — неизвестные величины;

Решение экономико математических методов — заданные действительные числа;

(1.1), (1.5) — целевые функции (ЦФ);

(1.2), (1.3), (1.6), (1.7) — основные ограничения задачи;

(1.4) — не основные ограничения;

Решение экономико математических методов имеет произвольный знак для Решение экономико математических методов .

Для решения задач ЛП может быть использован графический метод, симплекс-метод, метод искусственного базиса, модифицированный симплекс-метод и двойственный симплекс-метод.

Правила составления двойственных задач:

1) число неизвестных одной задачи равно числу ограничений второй;

2) матрицы коэффициентов системы ограничений получаются одна из другой путем транспонирования;

3) знаки неравенств в системе ограничений заменяют на противоположные, например, < на >, и наоборот;

4) свободные члены ограничений исходной задачи становятся коэффициентами целевой функции двойственной задачи и, наоборот, коэффициенты целевой функции исходной задачи преобразуются в свободные члены ограничений двойственной;

5) критерий оптимальности целевой функции заменяется на противоположный, например, max на min.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет экономико-математические методы (ЭММ)

Анализ линейных моделей на чувствительность (устойчивость)

Анализ линейных моделей на чувствительность — это процесс, реализуемый после нахождения оптимального решения. При таком анализе рассматривается комплекс линейных оптимизационных моделей. Это придаст задаче определенную динамичность, что позволяет проанализировать влияние возможных изменений исходных данных на полученное ранее оптимальное решение.

Неизбежное колебание значений таких экономических параметров, как цены на продукцию и сырье, запасы сырья, спрос на рынке и т. д., может привести к нсоптимальности или непригодности прежнего режима работы. Для учета подобных ситуаций проводится анализ чувствительности, т. е. анализ того, как возможные изменения параметров исходной модели повлияют на полученное ранее оптимальное решение задачи ЛП.

Отсутствие такого анализа может привести к тому, что полученное оптимальное решение устареет еще до своей реализации.

Основные задачи анализа на чувствительность’.

  • Анализ изменения запасов ресурсов позволяет ответить на вопросы:
  • на сколько можно увеличить запас некоторого дефицитного ресурса с целью улучшения значения целевой функции;
  • на сколько можно уменьшить запас некоторого недефицитного ресурса с сохранением полученного ранее оптимального значения целевой функции.

Если ресурс израсходован полностью, его относят к разряду дефицитных. Ресурс в избытке называют недефицитным. Объем недефицитного ресурса можно уменьшить на величину избытка без изменения значения целевой функции. Объем дефицитного ресурса не следует увеличивать сверх того предела, когда соответствующее ему ограничение становится избыточным.

  • Определение наиболее выгодного ресурса позволяет ответить на вопрос, какому из дефицитных ресурсов следует отдать предпочтение при вложении дополнительных средств. Вводится характеристика ценности единицы ресурса:
Решение экономико математических методов

где Решение экономико математических методов — теневая цена ресурса.

Теневая цена показывает, на сколько изменится значение целевой функции при изменении запаса ресурса на единицу.

Теневая цена позволяет определить статус ресурса. У недефицитного ресурса теневая цена равна нулю, положительное значение теневой цены говорит о дефицитности данного ресурса.

Значение теневой цены ресурсов — это решение задачи, двойственной к данной.

  • Определение пределов изменения коэффициентов ЦФ позволяет ответить на вопросы:
  • каков диапазон изменения того или иного коэффициента ЦФ, при котором не происходит изменение оптимального решения;
  • на сколько следует изменить тот или иной коэффициент ЦФ, чтобы сделать дефицитный ресурс недефицитным, и наоборот.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Экономико-математические методы задачи с решением и примерами

Экономическая интерпретация решения задач

Задача №1.1.

Предприятие изготавливает два вида продукции — Решение экономико математических методов и Решение экономико математических методов. Для производства продукции используется два вида сырья — А и Б. Максимально возможные запасы сырья, расход сырья на единицу приведены в таблице.

Решение экономико математических методов

Опыт работы показал, что суточный спрос на продукцию Решение экономико математических методов никогда не превышает спрос на продукцию Решение экономико математических методов больше, чем на единицу. Спрос на продукцию Решение экономико математических методов не превышает 2-х единиц в сутки. Цена реализации Решение экономико математических методов составляет 3 денежные единицы, Решение экономико математических методов — 4 денежные единицы.

Какой объем продукции каждого вида должно выпускать предприятие, чтобы максимизировать свой суточный доход?

Решение:

Введем переменные: Решение экономико математических методов — объем выпуска продукции Решение экономико математических методов; Решение экономико математических методов — объем выпуска продукции Решение экономико математических методов. Математическая модель задачи и задача в каноническом виде имеют следующий вид:

Решение экономико математических методов

Дополнительные переменные (Решение экономико математических методов которые прибавили к левым частям соответствующих неравенств) имеют экономический смысл: они показывают величину неиспользованного ресурса. Так, в данном примере Решение экономико математических методов показывает величину неиспользованного сырья А, Решение экономико математических методов — сырья Б, Решение экономико математических методов показывает неиспользованную разницу в спросе на продукцию Решение экономико математических методов и Решение экономико математических методов, Решение экономико математических методов — невостребованное количество продукции Решение экономико математических методов.

Составим исходную симплекс-таблицу:

Решение экономико математических методов

Решая задачу симплекс-методом, получим следующую итоговую симплекс-таблицу:

Решение экономико математических методов

Итоговая симплекс-таблица позволяет ответить на ряд вопросов, касающихся анализа на чувствительность:

  • Остаточные (балансовые или дополнительные) переменные Решение экономико математических методов позволяют определить статус ресурсов. Если значение остаточной переменной равно нулю (Решение экономико математических методов и Решение экономико математических методов), то ресурс израсходован полностью, т. е. является дефицитным.

Положительное значение остаточной переменной (Решение экономико математических методов = 3, Решение экономико математических методов = 0,6) говорит о недефицитности соответствующего ресурса. Это и есть величина избытка. Соответствующие ресурсы можно уменьшить на полученную величину без изменения значения ЦФ.

  • Теневая цена ресурсов указана в последней строке симплекс-таблицы. Наиболее выгодный — первый ресурс (сырье А, ему соответствует переменная Решение экономико математических методов), т. к. он имеет наибольшую теневую цену Решение экономико математических методов = 1,4. Поэтому дополнительные капиталовложения в первую очередь следует направлять на увеличение запаса сырья А (первый ресурс) и лишь затем — на формирование разницы в спросе на продукцию Решение экономико математических методов и Решение экономико математических методов.
  • Максимальное изменение запаса ресурса.

Пусть запас первого ресурса (сырье А) изменится на величину Решение экономико математических методов, тогда результирующая симплекс-таблица примет следующий вид:

Решение экономико математических методов

Так как изменение величины ресурса сказывается только на элементах столбца «Решение», то это может повлиять только на допустимость решения, поэтому должна выполняться система

Решение экономико математических методов

Решая систему неравенств, получим: -7 < Решение экономико математических методов < 3. Таким образом, уменьшение запаса сырья А (первый ресурс) более чем на 7 единиц или увеличение более чем на 3 единицы приведет к недопустимости полученного решения и новой совокупности базисных переменных. Внутри указанного интервала решение будет действительным. Запас сырья А должен быть в следующих пределах:

Решение экономико математических методов

Вывод: запас сырья А можно увеличить на 3 единицы с 9 до 12, это приведет к увеличению ЦФ с 12,8 до 17 единиц (12,8+1,4-3 = 17).

  • Анализ на чувствительность оптимального решения к изменению коэффициентов ЦФ.

Пусть доход, получаемый с единицы продукции Решение экономико математических методов, изменится на величину Решение экономико математических методов, тогда итоговая симплекс-таблица примет следующий вид:

Решение экономико математических методов

Решение экономико математических методов и Решение экономико математических методов не вошли в базис, должно выполняться:

Решение экономико математических методов

При изменении цены на первый вид продукции от 8/3 до Решение экономико математических методов оптимальные значения переменных останутся неизменными:

Решение экономико математических методов

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по ЭММ

Экономическая интерпретация двойственности

Задача, двойственная к задаче об ассортименте продукции, рассмотренной в примере 1.1, имеет вид:

Решение экономико математических методов

Аналогично как и для прямой задачи, двойственную задачу представляют в каноническом виде, т. е. вводят дополнительные переменные Решение экономико математических методов которые прибавляют к левым частям соответствующих неравенств. В целевую функцию все дополнительные переменные вводят с коэффициентами, равными нулю.

Решая двойственную задачу симплекс-методом, получим следующую итоговую таблицу:

Решение экономико математических методов

Переменные Решение экономико математических методов двойственной задачи называют двойственными оценками, они представляют собой теневые цены соответствующих ресурсов прямой задачи.

Анализ на чувствительность оптимального решения базируется на следующих свойствах двойственных оценок (ДО):

  • ДО характеризуют дефицитность ресурсов: чем больше значение ДО, тем более дефицитным является ресурс. Для не-дефицитных ресурсов Решение экономико математических методов = 0.
  • ДО показывают, как влияют изменения в правой части ограничений (запасов ресурсов) на значение ЦФ.

Практический интерес представляет верхняя и нижняя границы изменения ресурсов, в которых значения оценок остаются неизменными.

Для дефицитных ресурсов:

нижняя граница:

Решение экономико математических методов

верхняя граница:

Решение экономико математических методов

где Решение экономико математических методов — номер ресурса;

Решение экономико математических методов — индекс базисной переменной; Решение экономико математических методов — оптимальное значение базисной переменной; Решение экономико математических методов — элементы матрицы коэффициентов при базисных переменных в итоговой симплекс-таблице прямой задачи.

Для примера 1.1 для дефицитных ресурсов (см. итоговую табл. пункта 1.3):

Решение экономико математических методов

Для недефицитных ресурсов верхняя граница интервала устойчивости определяется исходными данными, а нижняя равна величине фактически израсходованных ресурсов.

Таким образом, интервалы устойчивости оценок по отношению к изменению ресурсов будут равны:

Решение экономико математических методов

Если изменения запасов ресурсов находятся в пределах устойчивости двойственных оценок, их раздельное влияние на значение ЦФ равно произведению двойственной оценки и величины изменения запасов ресурса.

Решение экономико математических методов

Суммарное возможное увеличение ЦФ составит:

Решение экономико математических методов
  • ДО являются показателем эффективности производства отдельных видов продукции с точки зрения критерия оптимальности. С этой позиции в оптимальный план может быть включена лишь та продукция, для которой выполняется условие
Решение экономико математических методов

Например, введение в план третьего вида продукции с технологическими коэффициентами Решение экономико математических методов и ценой Решение экономико математических методов выгодно, поскольку выполняется условие:

Решение экономико математических методов

Математическая модель задачи примет следующий вид:

Решение экономико математических методов
  • ДО позволяют производить сравнение суммарных условных затрат и результатов. Так, например, приобретение двух единиц первого ресурса (сырье А) по цене Решение экономико математических методов денежных единиц целесообразно, т. к.:

а) изменение ресурса находится в пределах устойчивости ДО;

б) Решение экономико математических методов

Решение экономико математических методов

т. е. прибыль увеличивается.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Помощь по экономико математическим методам

Задача №2

На предприятии выпускают Решение экономико математических методов видов продукции Решение экономико математических методов. При ее изготовлении используются ресурсы Решение экономико математических методов и Решение экономико математических методов. Размеры допустимых затрат ресурсов ограничены соответственно величинами Решение экономико математических методов и Решение экономико математических методов. Расход ресурса Решение экономико математических методов-го вида Решение экономико математических методов на единицу продукции Решение экономико математических методов-го вида составляет Решение экономико математических методов денежных единиц. Цена единицы продукции Решение экономико математических методов-го вида равна Решение экономико математических методов денежных единиц.

Задание, соответствующее номеру варианта (по порядковому номеру в списке группы), приведено в таблицах 1.1, 1.2.

Требуется:

1) составить математическую модель задачи, позволяющую найти сбалансированный план выпуска продукции, обеспечивающий предприятию максимальный доход;

2) найти оптимальный план выпуска продукции каждого вида симплекс-методом (дать содержательный ответ, раскрыв экономический смысл всех переменных, приведенных в решении задачи);

3) составить математическую модель двойственной задачи и определить ее решение по итоговой симплекс-таблице исходной задачи;

4) определить статус ресурсов и теневую цену всех ресурсов, найти наиболее выгодный ресурс;

5) определить максимальное изменение запаса каждого ресурса;

6) определить пределы изменения каждого коэффициента целевой функции;

7) с помощью двойственных оценок определить верхнюю и нижнюю границы изменения запаса каждого ресурса (найти 14 интервалы устойчивости оценок по отношению к изменению ресурсов);

8) определить, выгодно ли введение в план производства нового вида продукции с технологическими коэффициентами Решение экономико математических методов и ценой Решение экономико математических методов, представленными в таблице 1.2.

Решение экономико математических методов
Решение экономико математических методов
Решение экономико математических методов

Возможно эта страница вам будет полезна:

Курсовая работа по экономико математическим методам

Транспортные модели. Транспортная задача и ее особенности

При планировании перевозок однородных грузов от поставщика к потребителям, что широко используется в энергетике, возникают вопросы наиболее рациональной их организации.

Часто требуется найти такой план перевозок, при котором стоимость перевозок была бы минимальной. Такая задача называется транспортной задачей (ТЗ) по критерию стоимости.

В общем виде транспортная задача формулируется так: имеется Решение экономико математических методов поставщиков и Решение экономико математических методов потребителей однородного груза. Запасы Решение экономико математических методов-го поставщика обозначим Решение экономико математических методов, спрос Решение экономико математических методов-го потребителя — Решение экономико математических методов. Если обозначить Решение экономико математических методов — стоимость перевозки единицы груза, а Решение экономико математических методов -количество перевозимого груза от Решение экономико математических методов-го поставщика Решение экономико математических методов-му потребителю, то математическая модель задачи будет иметь следующий вид:

1) суммарные запасы на перевозку должны быть минимальные:

Решение экономико математических методов

2) объем поставок Решение экономико математических методов-го поставщика равен его запасу:

Решение экономико математических методов

3) объем поставок Решение экономико математических методов-му потребителю равен его спросу:

Решение экономико математических методов

4) неотрицательность переменных:

Решение экономико математических методов

Вместо матрицы затрат Решение экономико математических методов может задаваться матрица расстояний Решение экономико математических методов.

Если суммарный объем отправляемых грузов равен потребности в этих грузах, то ТЗ называется закрытой (сбалансированной):

Решение экономико математических методов

иначе — открытой.

Если имеет место открытая ТЗ, ее нужно свести к закрытой форме следующим образом:

1) если спрос превышает предложение, то вводят фиктивного поставщика с недостающим объемом спроса; тарифы Решение экономико математических методов, связывающие фиктивные пункты с реальными, равны штрафам за недопоставку продукции;

2) если спрос меньше предложения, то вводят фиктивного потребителя с недостающим объемом потребления; элементы матрицы Решение экономико математических методов, связывающие фиктивные пункты с реальными, равны стоимости хранения единицы нераспределенного груза.

Если указанные в п. 1, 2 затраты неизвестны, то соответствующие элементы Решение экономико математических методов = 0.

Транспортная задача решается в два этапа. Сначала необходимо найти исходный опорный план, а затем производится последовательно его улучшение до получения оптимального плана. На первом этапе для распределения ресурсов можно использовать правило «северо-западного угла» (здесь не учитываются тарифы и план далек от оптимального) или правило «минимального элемента», при котором необходимо осуществлять максимальные поставки ресурсов в клетки с минимальными тарифами. На втором этапе можно применить распределительный метод или метод потенциалов.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Контрольная по экономико математическим методам

Метод потенциалов

Каждому поставщику (ограничению по запасам) поставим в соответствие потенциал Решение экономико математических методов, а каждому потребителю (ограничению по спросу) — потенциал Решение экономико математических методов.

Согласно теореме о потенциалах, каждой занятой клетке будет соответствовать уравнение Решение экономико математических методов. Так как всех занятых клеток должно быть Решение экономико математических методов, т. е. на единицу меньше числа потенциалов, то для определения чисел Решение экономико математических методов необходимо решить систему из Решение экономико математических методов уравнений с Решение экономико математических методов неизвестными: Решение экономико математических методов. Одному из потенциалов задают обычно значение, равное нулю.

Для исследования плана на оптимальность по каждой свободной клетке проверяется условие Решение экономико математических методов. Если хотя бы одна свободная клетка не удовлетворяет данному условию, то опорный план не является оптимальным, его можно улучшить за счет загрузки этой клетки. Если таких клеток несколько, то наиболее перспективной для загрузки является клетка, для которой разность (оценка) между тарифом клетки и суммой потенциалов наименьшая, т. е.

Решение экономико математических методов

Например, для клеток Решение экономико математических методов и Решение экономико математических методов имеем оценки: Решение экономико математических методов Решение экономико математических методов. Здесь наиболее потенциальной является клетка Решение экономико математических методов. Экономически оценка показывает, на сколько денежных единиц уменьшатся транспортные издержки от загрузки данной клетки единицей груза. Эффективность плана от загрузки потенциальной клетки грузом в Решение экономико математических методов единиц составит Решение экономико математических методов денежных единиц. Если для всех свободных клеток оценки Решение экономико математических методов, то опорный план перевозок является оптимальным.

Итак, если для опорного плана перевозок указанное условие оптимальности не выполняется, то за счет загрузки свободной клетки с отрицательной оценкой план перевозок улучшается. Для наиболее перспективной свободной клетки строится замкнутый цикл с вершинами в загруженных клетках. Вершинам этого цикла условно приписываются знаки: свободной клетке — плюс, следующей по часовой или против часовой стрелки занятой клетке — минус, следующей — снова плюс и т. д. Из поставок в клетках цикла с «отрицательными» вершинами выбирается наименьшее количество Решение экономико математических методов груза, которое и перемещается по клеткам этого цикла: прибавляется к поставкам в положительных вершинах и вычитается из поставок в отрицательных вершинах, в результате чего баланс цикла не нарушится.

Сформулируем алгоритм решения ТЗ методом потенциалов:

1) построить опорный план по одному из правил;

2) вычислить потенциалы поставщиков и потребителей Решение экономико математических методов и Решение экономико математических методов

Решение экономико математических методов, решив систему уравнений вида Решение экономико математических методов;

3) вычислить оценки Решение экономико математических методов для всех свободных клеток по формуле Решение экономико математических методов. Если все Решение экономико математических методов, то полученный план является оптимальным. При этом если все Решение экономико математических методов, то полученный оптимальный план единственный. В случае, если хотя бы одна оценка Решение экономико математических методов, имеем бесчисленное множество оптимальных планов с одним и тем же значением целевой функции.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Заказать работу по экономико математическим методам

Задача №2.1.

В трех хранилищах Решение экономико математических методов имеется соответственно 70, 90 и 50 т топлива. Требуется спланировать перевозку топлива четырем потребителям Решение экономико математических методов спрос которых равен соответственно 50, 70, 40 и 40 т, так, чтобы затраты на транспортировку были минимальны. Стоимость перевозки 1 т указана в таблице.

Решение экономико математических методов

Решение:

Поскольку запасы топлива в хранилищах превышают спрос потребителей, задача является открытой, вводится фиктивный потребитель, спрос которого Решение экономико математических методов.

Все затраты для фиктивного потребителя Решение экономико математических методов. После введения фиктивного потребителя открытая модель задачи преобразовалась в закрытую, а распределительная таблица принимает следующий вид:

Решение экономико математических методов

Исходный опорный план получим, например, по правилу «минимального элемента». Так как наименьшими являются нулевые тарифы для клеток (1; 5), (2; 5), (3; 5), то загрузим первой, например, клетку (1; 5), Решение экономико математических методов. Второй загружаем клетку (3; 3), Решение экономико математических методов. Далее загружаем клетки (1; 2), (3; 1), (2; 2), (2; 4), Полагая

Решение экономико математических методов
Решение экономико математических методов

В результате распределения топлива по потребителям получили невырожденный план: условие для занятых клеток

Решение экономико математических методов

выполняется.

Для определения потенциалов составляем уравнения для занятых клеток:

Решение экономико математических методов
Решение экономико математических методов

Положим, например,

Решение экономико математических методов

тогда

Решение экономико математических методов

Определим оценки свободных клеток:

Решение экономико математических методов

Определив потенциалы, устанавливаем, что среди оценок свободных клеток одна отрицательная: Решение экономико математических методов, следовательно, план перевозок можно улучшить за счет загрузки клетки (2; 5). Цикл для нее выделен линией в предыдущей таблице.

Наименьшее количество топлива в отрицательных вершинах цикла равно 10 т. После смещения по циклу 10 т получаем новый план перевозок. Полученный план является вырожденным. Поставим число 0, например, в клетку (2; 2).

Решение экономико математических методов

Для нового плана определяем новые потенциалы и находим оценки свободных клеток:

Решение экономико математических методов
Решение экономико математических методов

Оценки всех свободных клеток Решение экономико математических методов следовательно, получен оптимальный план. Поскольку среди оценок имеются равные нулю, то за счет загрузки клеток (1; 4), (3; 4) можно получить новые планы, но значение целевой функции не изменится. Это случай бесчисленного множества оптимальных планов.

Итак, в предыдущей таблице получили оптимальный план

Решение экономико математических методов

для которого значение целевой функции равно

Решение экономико математических методов

Десять тонн топлива, находящегося в хранилище Решение экономико математических методов, осталось нераспределенным.

Транспортные задачи в усложненной постановке

Рассмотренная выше постановка ТЗ в экономике предприятия встречается редко. Для того, чтобы свести задачу к задаче транспортного типа, приходится учитывать ряд дополнительных ограничений:

  1. Отдельные поставки от определенных поставщиков некоторым потребителям должны быть исключены из-за отсутствия необходимых условий хранения, чрезмерной загрузки транспортных коммуникаций и т. д. Это достигается путем искусственного завышения тарифов в тех ячейках транспортной таблицы, перевозки через которые следует запретить.
  2. На предприятии необходимо оценить суммарные затраты на производство и транспортировку продукции. С подобной задачей сталкиваются при планировании размещения производственных объектов. С этой точки зрения может оказаться экономически более выгодным поставлять сырье из более отдаленных регионов, но по меньшей его себестоимости. В таких задачах в качестве критерия оптимальности принимают суммарные затраты на транспортировку и производство продукции (в транспортной таблице к стоимости перевозки добавляется себестоимость изготовления продукции).
  3. Ряд транспортных маршрутов, по которым необходимо доставить груз, имеет ограничения по пропускной способности (ограничение «не более чем»).

Например, если по маршруту Решение экономико математических методов можно доставить не более чем Решение экономико математических методов единиц груза, столбец Решение экономико математических методов разбивается на два столбца: Решение экономико математических методов и Решение экономико математических методов. В первом спрос равен Решение экономико математических методов, во втором — Решение экономико математических методов.

Несмотря на то, что транспортные затраты в обоих столбцах одинаковы и равны исходным, ячейка Решение экономико математических методов блокируется (в ней ставится завышенный тариф).

  1. Поставки по определенным маршрутам обязательны и должны войти в план поставок независимо от того, выгодно это или нет (ограничение «не менее чем»). В этом случае уменьшают запас груза и спрос у соответствующих поставщиков и потребителей на величину обязательных поставок и решают задачу относительно тех поставок, которые необязательны. После чего задачу корректируют с учетом обязательных поставок.
  2. Необходимо максимизировать целевую функцию в ТЗ. Для этого надо изменить знак в тарифах на противоположный.

Задача №3

Задание, соответствующее номеру варианта (по порядковому номеру в списке группы), приведено в таблицах 2.1, 2.2.

Нефтеперерабатывающие заводы Решение экономико математических методов ежедневно производят бензин, который направляется в бензохранилища Решение экономико математических методов. Объем производства бензина и вместимость бензохранилищ представлены в таблице 2.1. Все бензохранилища связаны с заводами трубопроводами, по которым и перекачивается бензин. Стоимость перекачки 1 тыс. л бензина с заводов в бензохранилища приведена в таблице 2.1. Себестоимость 1 тыс. л бензина на нефтеперерабатывающих заводах соответственно равна 7, 4, 5, 8, 8 у. е.

Решение экономико математических методов

При этом необходимо учитывать, что из-за ремонтных работ временно нет возможности перевозить бензин с некоторых заводов в бензохранилища. В таблице 2.2 это показано в столбце «Запрет поставки» в формате [№ завода х № бензохранилища]. Например, «2×3» обозначает, что нельзя перевозить бензин с завода № 2 в бензохранилище № 3.

Решение экономико математических методов

Кроме того, необходимо учесть, что некоторые бензохранилища имеют договоры на гарантированную поставку бензина с определенных заводов в определенных объемах (условия «не более» или «не менее»), В таблице 2.2 это показано в столбце «Условие по поставке» в формате [№ завода х № бензохранилища «не более» / «не менее» объем поставки]. Например, «1×4 не менее 40» обозначает, что между заводом № 1 и бензохранилищем № 4 заключен договор на поставку не менее 40 тыс. л бензина.

Требуется составить план перекачки бензина с заводов в бензохранилища, обеспечивающий минимальные затраты.

Необходимо:

  1. составить транспортную таблицу, позволяющую найти план перевозки бензина с заводов Решение экономико математических методов в бензохранилища Решение экономико математических методов, отразив в ней все дополнительные условия ‘,
  2. найти исходный опорный план перевозки бензина;
  3. решить задачу методом потенциалов, сформулировать вывод относительно распределения поставок бензина;
  4. вычислить величину Решение экономико математических методов минимальных суммарных затрат на производство и доставку бензина;
  5. назвать пункты, в которых остается нераспределенная продукция, и указать объемы такой продукции.

Методы сетевого планирования и управления (мспиу). Построение сети проекта

При планировании сложных комплексов взаимосвязанных работ актуально использование МСПиУ.

Основой МСПиУ является сетевой график (сетевая модель), которая отражает логическую взаимосвязь и логическую взаимообусловленность всех входящих в проект элементарных операций (работ).

Различают три вида событий: исходное — соответствует началу выполнения проекта, не имеет предшествующих работ; завершающее — соответствует достижению конечной цели, не имеет последующих работ; промежуточное — все остальные события.

Пока не будут завершены все входящие в событие работы, не может свершиться само событие и, следовательно, не может быть начата ни одна из выходящих из этого события работа. Событие — это момент времени, когда завершаются одни работы и начинаются другие.

Событие представляет собой результат проведенных работ и, в отличие от работ, не имеет протяженности во времени.

Существует три вида работ (операций):

  1. Решение экономико математических методов действительная: работа, которая требует затрат

времени и ресурсов, например, разработка проекта, выполнение СМР и т. д.;

2) Решение экономико математических методов операция ожидания: процесс, требующий только затрат времени, например, затвердевание бетона, естественная сушка краски и т. д.;

3) Решение экономико математических методов фиктивная работа или логическая зависимость:

отражает ресурсную или логическую зависимость при выполнении некоторых операций. Фиктивная работа имеет нулевую продолжительность.

Работа называется критической, если она должна начинаться и заканчиваться в строго отведенное время, т. е. не имеет резерва времени своего начала и окончания, который не влиял бы на продолжительность выполнения всего проекта.

Для некритических работ возможен некоторый сдвиг времени их начала, но в определенных пределах, которые не влияют на срок выполнения всего проекта.

При построении сетевого графика необходимо следовать правилам: длина стрелки не зависит от времени выполнения работы; стрелка может не быть прямолинейным отрезком; для действительных работ используются сплошные, а для фиктивных — пунктирные стрелки; каждая операция должна быть представлена только одной стрелкой; между одними и теми же событиями не должно быть параллельных работ, т. е. работ с одинаковыми кодами; следует избегать пересечения стрелок; не должно быть стрелок, направленных справа налево; номер начального события должен быть меньше номера конечного события; не должно быть висячих событий (т. е. не имеющих предшествующих событий), кроме исходного; не должно быть тупиковых событий (т. е. не имеющих последующих событий), кроме завершающего; не должно быть циклов.

Анализ проектов методом критического пути. Расчет временных параметров сетевого графика. График Ганта

Введем следующие обозначения:

Решение экономико математических методов — самое раннее возможное время свершения Решение экономико математических методов-го события;

Решение экономико математических методов — самое позднее возможное время свершения Решение экономико математических методов-го события;

Решение экономико математических методов — длительность работы Решение экономико математических методов.

Расчет временных параметров сетевого графика проходит в два этапа:

  1. Вычисляются ранние сроки свершения событий.

Решение экономико математических методов. Для узла Решение экономико математических методов определим узлы Решение экономико математических методов, которые связаны с узлом Решение экономико математических методов работами Решение экономико математических методов и для которых уже вычислены самые ранние сроки свершения начальных событий, тогда

Решение экономико математических методов

Первый этап заканчивается, когда будет вычислен Решение экономико математических методов последнего Решение экономико математических методов-го события. Решение экономико математических методов. Критический путь — наибольший путь от начального события до завершающего.

  • Вычисляются поздние сроки свершения событий.

Полагаем, что

Решение экономико математических методов

Для узла Решение экономико математических методов определим узлы Решение экономико математических методов, которые связаны с узлом Решение экономико математических методов работами Решение экономико математических методовРешение экономико математических методов и для которых уже вычислены самые поздние сроки свершения соответствующих событий

Решение экономико математических методов

Второй этап заканчивается, когда будет вычислено

Решение экономико математических методов

Резервы времени событий:

Решение экономико математических методов

Рассчитанные численные значения временных параметров записываются прямо в вершины сетевого графика (рисунок 3.1).

Решение экономико математических методов

Для критических работ должна получиться непрерывная последовательность от начального события до завершающего. Сумма продолжительностей работ, лежащих на критическом пути, равна минимальному сроку выполнения проекта и равна Решение экономико математических методов.

Резервы времени событий, лежащих на критическом пути, равны нулю. Для сетевого графика может быть несколько критических путей.

Удобным дополнением к сетевому графику является линейный график (график Ганта). На таком графике каждая работа изображается горизонтальным отрезком в привязке к оси времени, длина которого равна продолжительности выполнения работы. Начало каждой работы совпадает с ранним сроком свсршсния ее начального события. Критические работы образуют на графике Ганта непрерывный путь от начала выполнения проекта до его завершения без временных зазоров и перекрытий. Их суммарная длительность равна длительности выполнения всего проекта.

Некритические работы предпочитают начинать в самый ранний возможный срок, в этом случае остается запас времени, который можно использовать для решения неожиданно возникающих в ходе выполнения проекта проблем. Вместе с тем, можно перенести начало выполнения какого-либо некритического процесса.

Оптимизация сетевых моделей по ресурсам (исполнителям)

При оптимизации использования ресурса рабочей силы чаще всего сетевые работы стремятся организовать таким образом, чтобы количество одновременно занятых исполнителей было минимальным; выровнять потребность в людских ресурсах на протяжении срока выполнения проекта.

Суть оптимизации загрузки сетевых моделей по ресурсам заключается в следующем: необходимо таким образом организовать выполнение сетевых работ, чтобы количество одновременно работающих исполнителей было минимальным. Для проведения подобных видов оптимизации необходимо построить и проанализировать график привязки (график Ганта) и график загрузки.

График Ганта отображает взаимосвязь выполняемых работ во времени и строится на основе данных о продолжительности работ. По вертикальной оси графика привязки откладываются коды работ, по горизонтальной оси — длительность работ.

На графике загрузки по горизонтальной оси откладывается время, например в днях, по вертикальной — количество человек (ресурсов), занятых работой в каждый конкретный день.

Описанные виды оптимизации загрузки выполняются за счет сдвига во времени некритических работ, т. е. работ, имеющих полный и/или свободный резервы времени. Полный и свободный резервы любой работы можно определить без специальных расчетов, анализируя только график привязки. Сдвиг работы означает, что она будет выполняться уже в другие дни (т. е. изменится время ее начала и окончания), что в свою очередь приведет к изменению количества исполнителей, работающих одновременно (т. е. уровня ежедневной загрузки сети).

Задача №3.1.

Для выполнения комплекса операций по ремонту энергетического оборудования предприятие в первые три дня выделяет 7 единиц ресурсов (ед. рос.), в 4 и 5 дни -6 ед. рес., в последующие — 8 ед. рсс. Сетевой график представлен на рисунке 3.2. Каждой работе графика приписаны два числа: 1) временная оценка, дней; 2) интенсивность потребления ресурса, ед. рос. Работа (1, 2) — 3; 4; (1, 3) — 5; 5; (1,4)- 7; 2; (2, 3) — 2; 3; (2, 4) — 4; 4; (3, 4) — 4; 1. Определить сроки выполнения операций таким образом, чтобы завершить весь комплекс работ за минимальное время, при условии, что операции не допускают перерывов в выполнении.

Решение экономико математических методов

Решение:

  • Рассчитав временные параметры сетевого графика, определили, что весь проект может быть выполнен за Решение экономико математических методов.

На критическом пути лежат работы (1, 2), (2, 3), (3, 4). Представим график Ганта и график загрузки на рисунке 3.3, а. Из графика загрузки видно, что в первые пять дней потребность в ресурсах больше их наличия (на графике выделено серым цветом).

Следовательно, выполнить проект за девять дней невозможно, поэтому необходимо провести оптимизацию по ресурсам, чтобы выполнить работы с помощью имеющихся ресурсов.

  • Проецируем на ось времени начало и окончание каждой работы. Проекцию, совпадающую с началом координат, обозначим Решение экономико математических методов — окончание работы (1, 2). Определим полные резервы времени Решение экономико математических методов операций, расположенных на промежутке от Решение экономико математических методов до Решение экономико математических методов, нумеруем эти операции в порядке возрастания полных резервов. Операции с одинаковыми резервами времени нумеруют в порядке убывания интенсивности. Решение экономико математических методовРешение экономико математических методов дня. Нумеруем работы по важности:
Решение экономико математических методов
  • Последовательно суммируем интенсивности работ, расположенных над промежутком от Решение экономико математических методов до Решение экономико математических методов в порядке возрастания их номеров и сравниваем полученные суммы с заданной величиной имеющихся ресурсов Решение экономико математических методов. Все операции, сумма интенсивностей которых не превышает наличие ресурсов Решение экономико математических методов, оставляем в первоначальном положении. Если после добавления интенсивности какой-либо операции окажется, что суммарное потребление ресурсов больше Решение экономико математических методов, то эту операцию сдвигают вправо на величину рассматриваемого промежутка. Переходят к добавлению интенсивности следующей операции, расположенной на промежутке от Решение экономико математических методов до Решение экономико математических методов. Результатом выполнения этого действия будет новый график Ганта, момент Решение экономико математических методов которого считаем началом оставшейся части комплекса операций (рисунок 3.3, б). Операции Решение экономико математических методов, расположенные над промежутком от Решение экономико математических методов до Решение экономико математических методов, изображают так, чтобы их начала совпадали с новыми сроками свершения событий.
Решение экономико математических методов
  1. Проецируем на ось времени начало и окончание операций, расположенных на промежутке от Решение экономико математических методов до Решение экономико математических методов. Ближайшую к Решение экономико математических методов проекцию обозначим Решение экономико математических методов дней. Определим полные резервы операций, расположенных на промежутке от Решение экономико математических методов до Решение экономико математических методов и нумеруем их. Сначала нумеруют операции, начатые левее момента Решение экономико математических методов согласно возрастанию разностей между полными резервами времени этих операций и длительностью от начала до Решение экономико математических методов. Операции с одинаковыми разностями нумеруют в порядке убывания интенсивностей. Все остальные операции нумеруют как в п. 2. Выполняют действия, аналогичные действиям из п. 3. Если сдвигается операция, начатая левее Решение экономико математических методов, начало се устанавливают в Решение экономико математических методов.
Решение экономико математических методов

Нумеруем работы по важности:

Решение экономико математических методов

Отмечаем работы на новом графике Ганта согласно данной нумерации (рисунок 3.4, а).

Далее аналогично рассматриваем промежутки от Решение экономико математических методов

Решение экономико математических методов

и выполняем действия пп. 2-4 (рисунок 3.4, б). После каждого графика Ганта необходимо провести проверку графика загрузки, чтобы определить, достаточно ли имеющихся ресурсов для выполнения комплекса работ.

Кстати дополнительная теория из учебников по экономико математическим методам тут.

Задача №3.2.

Задание, соответствующее номеру варианта (по порядковому номеру в списке группы), приведено в таблицах 3.1, 3.2.

Дана последовательность работ по разработке стенда.

Необходимо:

1) на основании данных таблицы 3.1 составить сетевой график комплекса работ;

2) рассчитать временные параметры графика работ, определить критический путь, назвать работы, лежащие на критическом пути;

3) построить график Ганта и график загрузки;

4) провести оптимизацию комплекса работ по ресурсам (исполнителям).

Решение экономико математических методов
Решение экономико математических методов
Решение экономико математических методов