Разложение функций в ряд Маклорена

Разложение функций в ряд Маклорена находит широкое практическое применение в вопросах приближённого вычисления значений функций.

Пусть требуется вычислить значение функции при . Если функцию в интервале можно разложить в степенной ряд то точное значение равно сумме этого ряда при

а приближённое — частичной сумме т.е.

Точность этого равенства увеличивается с ростом .

Пример решения заказа контрольной работы №109.

Найдите приближённое значение выражения с точностью до 0,0001, используя известные разложения функций в ряд Маклорена.

Решение:

Воспользуемся известным разложением в ряд Маклорена функции

Поскольку

подставим в данное разложение вместо 0,04, получим

как мы имеем знакочередующийся ряд, то при замене его суммы некоторой частичной суммой абсолютная погрешность не превышает модуля первого отброшенного члена. Непосредственной проверкой убеждаемся, что

следовательно, достаточно ограничиться двумя первыми членами разложения:

Ответ:

Аналогичным образом можно получить разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций, которые рекомендуется запомнить:

3) биномиальный ряд (бином Ньютона):

Разложение некоторых функций в ряд Маклорена можно получить, выполняя те или иные преобразования над уже имеющимися разложениями. К таким преобразованиям относятся замена переменной, сложение, вычитание, умножение, дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

Рассмотрим примеры получения подобных разложений.

Пример решения заказа контрольной работы №107.

Используя известные разложения, разложите в ряд Маклорена функцию

Решение:

Воспользуемся известным разложением в ряд функции

Заменим в данном разложении на , получим:

Таким образом,

Ответ:

Формально ряд Тейлора (Маклорена) можно построить для любой бесконечно дифференцируемой функции в окрестности точки . Но отсюда ещё не следует, что он будет сходиться к данной функции . Условия, при которых ряд Тейлора (Маклорена) сходится к порождающей функции, изложены в теореме.

Теорема: Если все производные функции ограничены в некоторой окрестности точки одним и тем же числом, то для любого из этой окрестности ряд Тейлора (Маклорена) для функции сходится к данной функции, т.е. имеет место разложение

Дли разложении некоторой функции в ряд Маклорена удобно использовать следующий алгоритм:

1)вычислить значения функции и всех её производных при =0;

2)составить ряд Маклорена для функции :

3)проверить выполнение условий теоремы о разложении функции в ряд (доказать, что все производные функции ограничены в некоторой окрестности точки =0 одним и тем же числом);

4)записать разложение функции в ряд Маклорена:

Рассматривая разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций, ограничимся рядами, которые чаще всего используются на практике.

Пример решения заказа контрольной работы №106.

Разложите функцию в ряд Маклорена.

Решение:

Для разложения функции в ряд Маклорена воспользуемся алгоритмом.

1) Найдём значения функции и последовательно её производных в точке =0:

Поскольку для функции

2) Составим для функции ряд Маклорена, подставив найденные значения в формулу ряда Маклорена

3) Проверим выполнение условий теоремы о разложении функции в ряд: для данного найдём интервал , содержащий число , и обозначим . Тогда для любой производной функции имеем

Таким образом, все производные функции в некоторой окрестности =0 ограничены одним и тем же числом . Значит, условия теоремы выполнены, и функция может быть разложена в ряд.

4) Запишем разложение функции в ряд Маклорена:

Ответ:

На этой странице вы сможете заказать контрольную работу и познакомиться с теорией и другими примерами решения:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Другие похожие примеры возможно вам будут полезны:

Решение задачи Коши
Алгоритм решения уравнений с разделяющимися переменными
Нахождение интервала сходимости для степенного ряда
Определения сходимости знакочередующегося ряда составленного из модулей членов