Признак Даламбера для общего члена ряда

Заметим, что признак Даламбера целесообразно применять в том случае, когда общий член ряда содержит выражение вида или .

Иногда для исследования сходимости положительного ряда удобно использовать радикальный признак Коши, во многом схожий с признаком Даламбера.

Признак Коши (радикальный): Пусть дан положительный числовой ряд , и существует конечный или бесконечный предел . Тогда:

• если , то ряд сходится;

• если , то ряд расходится;

• если , признак не применяется (вопрос о сходимости ряда остается открытым).

Исследовать ряд на сходимость но признаку Коши удобно по следующему неопределенности алгоритму:

1)найти ;

2) найти ;

3) найти и проанализировать полученное значение:

• если , то ряд сходится;

• если , то ряд расходится;

если , то признак Коши ответа не дает (требуется дополнительное исследование).

Пример решения заказа контрольной работы №97.

Исследуйте ряд на сходимость, применяя признак Коши.

Решение:

Для исследования сходимости ряда но признаку Коши воспользуемся алгоритмом:

1) найдем

2) найдём

3) найдём

Получили, что . Значит, но признаку Коши ряд сходится.

Ответ: сходится.

Заметим, что признак Коши целесообразно применять в том случае, когда общий член ряда представляет собой -ую степень выражения.

В некоторых ситуациях, когда ни один из признаков сравнения, Даламбера, Коши не дает ответ о сходимости положительного ряда, исследовать ряд на сходимость позволяет интегральный признак Коши.

Интегральный признак Коши: Если члены положительного ряда могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке функции так, что то данный ряд и несобственный интеграл одновременно сходятся или расходятся.

Пример решения заказа контрольной работы №98.

Исследуйте ряд на сходимость, применяя интегральный признак Коши.

Решение:

Рассмотрим функцию . Эта функция непрерывна, монотонно убывает на , и следовательно, можно применить интегральный признак Коши.

Выясним, будет ли несобственный интеграл сходиться или расходиться.

Имеем:

Отдельно найдём неопределённый интеграл методом замены переменной:

Найдем предел:

Таким образом, получили . Следовательно, несобственный интеграл расходится. Значит, в силу интегрального признака Коши, ряд также будет расходиться.

Ответ: расходится.

На этой странице вы сможете заказать контрольную работу и познакомиться с теорией и другими примерами решения:

Заказать контрольную работу по высшей математике

Другие похожие примеры возможно вам будут полезны:

Нахождение интервала сходимости для степенного ряда
Определения сходимости знакочередующегося ряда составленного из модулей членов
Основные свойства рядов
Геометрический смысл двойного интеграла от единичной функции