Примеры решения задач технической механике

Оглавление:

Примеры решения задач технической механике

Здравствуйте на этой странице я собрала теорию и практику с примерами решения задач по предмету техническая механика с решением по каждой теме, чтобы вы смогли освежить знания!

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Техническая механика

Техническая механика – дисциплина, вмещающая в себя основные механические дисциплины: теоретическую механику, сопротивление материалов, теорию машин и механизмов, детали машин и основы конструирования.

Техническая механика – это наука, изучающая общие законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел.

Основные понятия и аксиомы статики

Техническая механика — комплексная дисциплина. Она включает три раздела: «Техническая механика», «Сопротивление материалов», «Детали машин». « Техническая механика» — раздел, в котором излагаются основные законы движения твердых тел и их взаимодействия. В разделе «Сопротивление материалов» изучаются основы прочности материалов и методы расчетов элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость под действием внешних сил. В заключительном разделе «Технической механики» «Детали машин» рассматриваются основы конструирования и расчета деталей и сборочных единиц общего назначения.

Дисциплина «Техническая механика» является общепрофессиональной, обеспечивающей базовые знания при усвоении специальных дисциплин, изучаемых в дальнейшем.

Задачи технической механики:

Техническая механика наука о механическом движении материальных твердых тел и их взаимодействии. Механическое движение понимается как перемещение тела в пространстве и во времени по отношению к другим телам, в частности к Земле.

Для удобства изучения техническую механику подразделяют на статику, кинематику и динамику.

Статика изучает условия равновесия тел под действием сил.

Кинематика рассматривает движение тел как перемещение в пространстве; характеристики тел и причины, вызывающие движение, не рассматриваются.

Динамика изучает движение тел под действием сил.

В отличие от физики техническая механика изучает законы движения некоторых абстрактных абсолютно твердых тел: здесь материалы, форма тел существенного значения не имеют. При движении абсолютно твердое тело не деформируется и не разрушается. В случае, когда размерами тела можно пренебречь, тело заменяют материальной точкой. Это упрощение, принятое в технической механике, значительно облегчает решение задач о движении.

Лекции:

  1. Понятие о силе и системе сил
  2. Аксиомы статики
  3. Связи и реакции связей

Задача №1.

Груз подвешен на стержнях и канатах и находится в равновесии (рис. 1.13). Изобразить систему сил, действующих на шарнир Примеры решения задач технической механике.

Примеры решения задач технической механике

Решение:

  1. Реакции стержней направлены вдоль стержней, реакции гибких связей направлены вдоль нитей в сторону натяжения (рис. 1.13а).
  2. Для определения точного направления усилий в стержнях мысленно убираем последовательно стержни 1 и 2. Анализируем возможные перемещения точки Примеры решения задач технической механике. Неподвижный блок с действующими на него силами не рассматриваем.
  3. Убираем стержень 1. точка Примеры решения задач технической механике поднимается и отходит от стены, следовательно, реакция стержня 1 направлена к стене.
  4. Убираем стержень 2, точка Примеры решения задач технической механике поднимается и приближается к стене, следовательно, реакция стержня 2 направлена от стены вниз.
  5. Канат тянет вправо.
  6. Освобождаемся от связей (рис. 1.136).

Задача №2.

Шар подвешен на нити и опирается на стену (рис. 1.14а). Определить реакции нити и гладкой опоры (стенки).

Примеры решения задач технической механике

Решение:

  1. Реакция нити — вдоль нити к точке Примеры решения задач технической механике вверх (рис. 1.146).
  2. Реакция гладкой опоры (стенки) — по нормали от поверхности опоры.

Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей геометрическим способом

Знать геометрический способ определения равнодействующей системы сил, условия равновесия плоской системы сходящихся сил.

Уметь определять равнодействующую, решать задачи на равновесие в геометрической форме.

Лекции:

  1. Плоская система сходящихся сил
  2. Равнодействующая сходящихся сил
  3. Порядок построения многоугольника сил
  4. Условие равновесия плоской системы сходящихся сил

Решение задач на равновесие геометрическим способом

Геометрическим способом удобно пользоваться, если в системе три силы. При решении задач на равновесие тело считать абсолютно твердым (отвердевшим).

Порядок решения задач:

  1. Определить возможное направление реакций связей.
  2. Вычертить многоугольник сил системы, начиная с известных сил в некотором масштабе. (Многоугольник должен быть замкнут, все векторы-слагаемые направлены в одну сторону по обходу контура.)
  3. Измерить полученные векторы сил и определить их величину, учитывая выбранный масштаб.
  4. Для уточнения решения рекомендуется определить величины векторов (сторон многоугольника) с помошью геометрических зависимостей.

Задача №3.

Груз подвешен на стержнях и находится в равновесии. Определить усилия в стержнях (рис. 2.5а).

Решение:

  • Усилия, возникающие в стержнях крепления, по величине равны силам, с которыми стержни поддерживают груз (5-я аксиома статики) (рис. 2.5а). Определяем возможные направления реакций связей «жесткие стержни».
Примеры решения задач технической механике

Усилия направлены вдоль стержней.

  • Освободим точку Примеры решения задач технической механике от связей, заменив действие связей их реакциями (рис. 2.56).
  • Система находится в равновесии. Построим треугольник сил.

Построение начнем с известной силы, вычертив вектор Примеры решения задач технической механике в некотором масштабе.

Из концов вектора Примеры решения задач технической механике проводим линии, параллельные реакциям Примеры решения задач технической механике и Примеры решения задач технической механике.

Пересекаясь, линии создадут треугольник (рис. 2.5в). Зная масштаб построений и измерив длину сторон треугольника, можно определить величину реакций в стержнях.

  • Для более точных расчетов можно воспользоваться геометрическими соотношениями, в частности теоремой синусов: отношение стороны треугольника к синусу противоположного угла — величина постоянная
Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Для данного случая:

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Замечание. Если направление вектора (реакции связи) на заданной схеме и в треугольнике сил не совпало, значит, реакция на схеме должна быть направлена в противоположную сторону.

Задача №4.

Груз подвешен на стержнях и канатах и находится в равновесии. Определить усилия в стержнях (рис. 2.6а).

Решение:

Примеры решения задач технической механике
  • Нанесем на схему возможные направления усилий, приложенных в точке Примеры решения задач технической механике. Реакции стержней — вдоль стержней, усилие от каната — вдоль каната от точки Примеры решения задач технической механике к точке Примеры решения задач технической механике.
  • Груз находится в равновесии, следовательно, в равновесии находится точка Примеры решения задач технической механике, в которой пересекаются три силы.

Освободим точку Примеры решения задач технической механике от связей и рассмотрим ее равновесие (рис. 2.66).

Замечание. Рассмотрим только силы, приложенные к точке Примеры решения задач технической механике. Груз растягивает канат силой 45 кН по всей длине, поэтому усилие от каната известно: Примеры решения задач технической механике.

  • Строим треугольник для сил, приложенных в точке Примеры решения задач технической механике, начиная с известной силы Примеры решения задач технической механике. Стороны треугольника параллельны предполагаемым направлениям сил, приложенных в точке Примеры решения задач технической механике.

Образовался прямоугольный треугольник (рис. 2.6в).

  • Неизвестные реакции стержней можно определить из соотношений в прямоугольном треугольнике:
Примеры решения задач технической механике

Замечание. При равновесии векторы сил в треугольнике направлены один за другим (обходим треугольник по часовой стрелке). Сравним направления сил в треугольнике с принятыми в начале расчета на рис. 1.26а. Направления совпали, следовательно, направления реакций определены верно.

Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом

Знать аналитический способ определения равнодействующей силы, условия равновесия плоской сходящейся системы сил в аналитической форме.

Уметь определять проекции силы на две взаимно перпендикулярные оси, решать задачи на равновесие в аналитической форме.

Лекции:

  1. Проекция силы на ось
  2. Определение равнодействующей системы сил аналитическим способом
  3. Условия равновесия плоской системы сходящихся сил в аналитической форме

Задача №5.

Определить величины и знаки проекций представленных на рис. 3.6 сил.

Решение:

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Задача №6.

Определить величину и направление равнодействующей плоской системы сходящихся сил аналитическим способом.

Решение:

  • Определяем проекции всех сил системы на Примеры решения задач технической механике (рис. 3.7а):
Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Сложив алгебраически проекции, получим проекцию равнодействующей на ось Примеры решения задач технической механике.

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Знак говорит о том, что равнодействующая направлена влево.

  • Определяем проекции всех сил на ось Примеры решения задач технической механике значения проекций, получим величину проекции Примеры решения задач технической механике.
Примеры решения задач технической механике

Сложив алгебраически значения проекций, получим величину проекции равнодействующей на ось Примеры решения задач технической механике.

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Знак проекции соответствует направлению вниз. Следовательно, равнодействующая направлена влево и вниз (рис. 3.76).

  • Определяем модуль равнодействующей по величинам проекций:
Примеры решения задач технической механике
  • Определяем значение угла равнодействующей с осью Примеры решения задач технической механике:
Примеры решения задач технической механике

и значение угла с осью Примеры решения задач технической механике:

Примеры решения задач технической механике

Задача №7.

Система трех сил находится в равновесии. Известны проекции двух сил системы на взаимно перпендикулярные оси Примеры решения задач технической механике и Примеры решения задач технической механике:

Примеры решения задач технической механике

Определить, чему равна и как направлена третья сила системы.

Решение:

  • Из уравнений равновесия системы определяем:
Примеры решения задач технической механике
  • По полученным величинам проекций определяем модуль силы:
Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике
  • Направление вектора силы относительно оси Примеры решения задач технической механике (рис. 3.8):
Примеры решения задач технической механике

Угол с осью Примеры решения задач технической механике будет равен

Примеры решения задач технической механике

Пара сил и момент силы относительно точки

Знать обозначение, модуль и определение моментов пары сил и силы относительно точки, условия равновесия системы пар сил.

Уметь определять моменты пар сил и момент силы относительно точки, определять момент результирующей пары сил.

Лекции:

  1. Пара сил, момент пары сил
  2. Момент силы относительно точки

Задача №8.

Дана пара сил Примеры решения задач технической механике; плечо 2 м. Заменить заданную пару сил эквивалентной парой с плечом 0,7 м (рис. 4.5).

Примеры решения задач технической механике

Решение:

Пары сил эквивалентны, если моменты этих пар численно равны:

Примеры решения задач технической механике

Задача №9.

Дана система пар сил (рис. 4.6). Определить момент результирующей пары.

Решение:

Момент результирующей па-равен алгебраической сумме моментов пар системы:

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Подставив численные значения, получим:

Примеры решения задач технической механике

Знак свидетельствует о том, что момент вызывает вращение по часовой стрелке. Величину силы и плеча определить не удается.

Примечание. Чтобы уравновесить данную систему пар, необходимо приложить пару сил, равную по модулю и направленную в обратную сторону. Такую пару сил называют уравновешивающей.

Задача №10.

Рассчитать сумму моментов сил относительно точки Примеры решения задач технической механике (рис. 4.7).

Примеры решения задач технической механике

Решение:

  1. Момент силы относительно точки численно равен произведению модуля силы на плечо силы.
  2. Момент силы равен нулю, если линия действия силы проходит через точку.
Примеры решения задач технической механике

Плоская система произвольно расположенных сил

Иметь представление о главном векторе, главном моменте равнодействующей плоской системы произвольно расположенных сил.

Знать теорему Пуансо о приведении силы к точке, приведение произвольной плоской системы сил к точке, три формы уравнений равновесия.

Уметь заменять произвольную плоскую систему сил одной силой и одной парой.

Лекции:

  1. Теорема Пуансо о параллельном переносе сил
  2. Приведение к точке плоской системы произвольно расположенных сил
  3. Условие равновесия произвольной плоской системы сил

Задача №11.

Найти момент присоединенной пары при переносе силы Примеры решения задач технической механике в точку Примеры решения задач технической механике (рис. 5.3).

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Решение:

Примеры решения задач технической механике

Используем теорему Пуансо.

Примеры решения задач технической механике

Задача №12.

Найти главный вектор системы (рис. 5.4).

Примеры решения задач технической механике

Решение:

Главный вектор равен геометрической сумме сил:

Примеры решения задач технической механике

Задача №13.

Найти главный момент системы относительно точки Примеры решения задач технической механике (использовать данные примера 2).

Решение:

Главный момент равен алгебраической сумме моментов сил относительно точки приведения:

Примеры решения задач технической механике

Задача №14.

К телу приложена уравновешенная система сил (рис. 5.5). Две из них неизвестны. Определить неизвестные силы.

Решение:

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Наносим оси координат и используем уравнения равновесия:

Примеры решения задач технической механике

Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

Иметь представление о видах опор и возникающих реакциях в опорах.

Знать три формы уравнений равновесия и уметь их использовать для определения реакций в опорах балочных систем.

Уметь выполнять проверку правильности решения.

Лекция:

Задача №15.

Одноопорная (защемленная) балка нагружена сосредоточенными силами и парой сил (рис. 6.7). Определить реакции заделки.

Решение:

Примеры решения задач технической механике
  • В заделке может возникнуть реакция, представляемая двумя составляющими Примеры решения задач технической механике. и реактивный момент Примеры решения задач технической механике. Наносим на схему балки возможные направления реакций.

Замечание. Если направления выбраны неверно, при расчетах получим отрицательные значения реакций. В этом случае реакции на схеме следует направить в противоположную сторону, не повторяя расчета.

В силу малой высоты считают, что все точки балки находятся на одной прямой; все три неизвестные реакции приложены в одной точке. Для решения удобно использовать систему уравнений равновесия в первой форме. Каждое уравнение будет содержать одну неизвестную.

  • Используем систему уравнений:
Примеры решения задач технической механике

Знаки полученных реакций (+), следовательно, направления реакций выбраны верно.

  • Для проверки правильности решения составляем уравнение моментов относительно точки Примеры решения задач технической механике/
Примеры решения задач технической механике

Подставляем значения полученных реакций:

Примеры решения задач технической механике

Решение выполнено верно.

Задача №16.

Двухопорная балка с шарнирными опорами Примеры решения задач технической механике и Примеры решения задач технической механике нагружена сосредоточенной силой Примеры решения задач технической механике, распределенной нагрузкой с интенсивностью Примеры решения задач технической механике и парой сил с моментом Примеры решения задач технической механике (рис. 6.8а). Определить реакции опор.

Примеры решения задач технической механике

Решение:

  • Левая опора (точка Примеры решения задач технической механике) — подвижный шарнир, здесь реакция направлена перпендикулярно опорной поверхности.

Правая опора (точка Примеры решения задач технической механике) — неподвижный шарнир, здесь наносим две составляющие реакции вдоль осей координат. Ось Примеры решения задач технической механике совмещаем с продольной осью балки.

  • Поскольку на схеме возникнут две неизвестные вертикальные реакции, использовать первую форму уравнений равновесия нецелесообразно.
  • Заменяем распределенную нагрузку сосредоточенной:
Примеры решения задач технической механике

Сосредоточенную силу помещаем в середине пролета, далее задача решается с сосредоточенными силами (рис. 6.86).

  • Наносим возможные реакции в опорах (направление произвольное).
  • Для решения выбираем уравнение равновесия в виде
Примеры решения задач технической механике
  • Составляем уравнения моментов относительно точек крепления:
Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Реакция направлена верно.

Примеры решения задач технической механике

Реакция отрицательная, следовательно, Примеры решения задач технической механике нужно направить в противоположную сторону.

  • Используя уравнение проекций, получим:
Примеры решения задач технической механике

Примеры решения задач технической механике — горизонтальная реакция в опоре Примеры решения задач технической механике.

Реакция отрицательна, следовательно, на схеме ее направление будет противоположно выбранному.

  • Проверка правильности решения. Для этого используем четвертое уравнение равновесия Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Подставим полученные значения реакций. Если условие выполнено, решение верно:

Примеры решения задач технической механике

Пространственная система сил

Знать момент силы относительно оси, свойства момента, аналитический способ определения равнодействующей, условия равновесия пространственной системы сил.

Уметь выполнять разложение силы на три взаимно перпендикулярные оси, определять момент силы относительно оси.

Пространственная система сил — система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости.

Лекции:

  1. Момент силы относительно оси
  2. Пространственная сходящаяся система сил
  3. Произвольная пространственная система сил

Задача №17.

На тело в форме куба с ребром Примеры решения задач технической механике действуют три силы (рис. 7.6). Определить моменты сил относительно осей координат, совпадающих с ребрами куба.

Примеры решения задач технической механике

Решение:

  • Моменты сил относительно оси Примеры решения задач технической механике:
Примеры решения задач технической механике
  • Моменты сил относительно оси Примеры решения задач технической механике:
Примеры решения задач технической механике
  • Моменты сил относительно оси Примеры решения задач технической механике:
Примеры решения задач технической механике

Задача №18.

На горизонтальном валу закреплены два колеса, Примеры решения задач технической механике; Остальные размеры — на рис. 7.7. К колесу 1 приложена сила Примеры решения задач технической механике, к колесу 2 — силы Примеры решения задач технической механике.

Определить силу Примеры решения задач технической механике и реакции в шарнирах Примеры решения задач технической механике и Примеры решения задач технической механике в состоянии равновесия.

Примеры решения задач технической механике

Напомним:

  • При равновесии выполняются шесть уравнений равновесия.

Уравнения моментов следует составлять относительно опор Примеры решения задач технической механике и Примеры решения задач технической механике.

  • Силы Примеры решения задач технической механикеПримеры решения задач технической механике.

Моменты этих сил относительно соответствующих осей равны нулю.

  • Расчет следует завершить проверкой, использовав дополнительные уравнения равновесия.

Решение:

  • Определяем силу Примеры решения задач технической механике, составив уравнение моментов сил относительно оси Примеры решения задач технической механике.
Примеры решения задач технической механике
  • Определяем реакции в опоре Примеры решения задач технической механике. На опоре действуют две составляющие реакции Примеры решения задач технической механике.

Составляем уравнение моментов сил относительно оси Примеры решения задач технической механике (в опоре Примеры решения задач технической механике).

Поворот вокруг оси Примеры решения задач технической механике не происходит:

Примеры решения задач технической механике

Знак «минус» означает, что реакция направлена в противоположную сторону.

Поворот вокруг оси Примеры решения задач технической механике не происходит, составляем уравнение моментов сил относительно оси Примеры решения задач технической механике (в опоре Примеры решения задач технической механике):

Примеры решения задач технической механике
  • Определяем реакции в опоре Примеры решения задач технической механике. На опоре действуют две составляющие реакции Примеры решения задач технической механике. Составляем уравнение моментов сил относительно оси Примеры решения задач технической механике (опора Примеры решения задач технической механике):
Примеры решения задач технической механике

Составляем уравнение моментов относительно оси Примеры решения задач технической механике (опора Примеры решения задач технической механике):

Примеры решения задач технической механике
  • Проверка. Используем уравнения проекций:
Примеры решения задач технической механике

Расчет выполнен верно.

Центр тяжести

Иметь представление о системе параллельных сил и центре системы параллельных сил, о силе тяжести и центре тяжести.

Знать методы для определения центра тяжести тела и формулы для определения положения центра тяжести плоских фигур.

Уметь определять положение центра тяжести простых геометрических фигур, составленных из стандартных профилей.

Лекции:

  1. Сила тяжести
  2. Центр тяжести однородных плоских тел
  3. Определение координат центра тяжести плоских фигур

Задача №19.

Определить положение центра тяжести фигуры, представленной на рис. 8.4.

Решение:

Примеры решения задач технической механике

Разбиваем фигуру на три части:

1 — прямоугольник,

Примеры решения задач технической механике

2 — треугольник,

Примеры решения задач технической механике

3 — круг,

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

ЦТ фигуры 1: Примеры решения задач технической механике

ЦТ фигуры 2: Примеры решения задач технической механике

ЦТ фигуры 3: Примеры решения задач технической механике

Примеры решения задач технической механике

Аналогично определяется Примеры решения задач технической механике

Задача №20.

Определить координаты центра тяжести составного сечения. Сечение состоит из листа и прокатных профилей (рис. 8.5).

Решение:

Примечание. Часто рамы сваривают из разных профилей, создавая необходимую конструкцию. Таким образом, уменьшается расход металла и образуется конструкция высокой прочности.

Для стандартных прокатных профилей собственные геометрические характеристики известны. Они приводятся в соответствующих стандартах.

Примеры решения задач технической механике
  1. Обозначим фигуры номерами и выпишем из таблиц необходимые данные:

1 — швеллер № 10 (ГОСТ 8240-89); высота Примеры решения задач технической механике; ширина полки Примеры решения задач технической механике; площадь сечения Примеры решения задач технической механике;

2 — двутавр № 16 (ГОСТ 8239-89); высота 160 мм; ширина полки 81 мм; площадь сечения Примеры решения задач технической механике;

3 — лист 5×100; толщина 5 мм; ширина 100 мм; площадь сечения Примеры решения задач технической механике.

  1. Координаты центров тяжести каждой фигуры можно определить по чертежу.

Составное сечение симметрично, поэтому центр тяжести находится на оси симметрии и координата Примеры решения задач технической механике.

Швеллер 1: Примеры решения задач технической механике.

Двутавр 2: Примеры решения задач технической механике.

Лист 3: Примеры решения задач технической механике.

  1. Определение центра тяжести составного сечения:
Примеры решения задач технической механике

Основные понятия кинематики. Кинематика точки

Иметь представление о пространстве, времени, траектории, пути, скорости и ускорении.

Знать способы задания движения точки (естественный и координатный).

Знать обозначения, единицы измерения, взаимосвязь кинематических параметров движения, формулы для определения скоростей и ускорений (без вывода).

Кинематика рассматривает движение как перемещение в пространстве. Причины, вызывающие движение, не рассматриваются. Кинематика устанавливает способы задания движения и определяет методы определения кинематических параметров движения.

Лекция:

Задача №21.

Дано уравнение движения точки: Примеры решения задач технической механике Определить скорость точки в конце третьей секунды движения и среднюю скорость за первые 3 секунды.

Решение:

  • Уравнение скорости
Примеры решения задач технической механике
  • Скорость в конце третьей секунды
Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике
  • Средняя скорость
Примеры решения задач технической механике

Задача №22.

Точка движется по кривой радиуса Примеры решения задач технической механике согласно уравнению Примеры решения задач технической механике (рис. 9.6).

Определить полное ускорение точки в конце второй секунды движения и указать направление касательной и нормальной составляющих ускорения в точке Примеры решения задач технической механике.

Решение:

  • Касательное ускорение определяется как Примеры решения задач технической механике

Уравнение скорости: Примеры решения задач технической механике.

Скорость будет равна Примеры решения задач технической механике.

Касательное ускорение: Примеры решения задач технической механике.

Вывод: касательное ускорение не зависит от времени, оно постоянно.

  • Нормальное ускорение: Примеры решения задач технической механике.

Скорость на второй секунде будет равна Примеры решения задач технической механике.

Величина нормального ускорения: Примеры решения задач технической механике.

  • Полное ускорение: Примеры решения задач технической механике.

Полное ускорение в конце второй секунды:

Примеры решения задач технической механике
  • Нормальное ускорение направлено перпендикулярно скорости к центру дуги.

Касательное ускорение направлено по касательной к кривой и совпадает с направлением скорости, т. к. касательное ускорение — положительная величина (скорость растет).

Кинематика точки

Иметь представление о скоростях средней и истинной, об ускорении при прямолинейном и криволинейном движениях, о различных видах движения точки.

Знать формулы {без вывода) и графики равномерного и равнопеременного движений точки.

Уметь определять параметры движения точки по заданному закону движения, строить и читать кинематические графики.

Лекция:

  1. Анализ видов и кинетических параметров движений
  2. Кинематические графики

Задача №23.

По заданному закону движения Примеры решения задач технической механике Примеры решения задач технической механике определить вид движения, начальную скорость и касательное ускорение точки, время до остановки.

(Рекомендуется обойтись без расчетов, использовать метод сравнения заданного уравнения с уравнениями различных видов движений в общем виде.)

Решение:

  • Вид движения: равнопеременное Примеры решения задач технической механике.
  • При сравнении уравнений очевидно, что

— начальный путь, пройденный до начала отсчета 10 м;

— начальная скорость 20 м/с;

— постоянное касательное ускорение — Примеры решения задач технической механике.

— ускорение отрицательное, следовательно, движение замедленное (равнозамедленное), ускорение направлено в сторону, противоположную направлению скорости движения.

  • Можно определить время, при котором скорость точки будет равна нулю:
Примеры решения задач технической механике

Примечание. Если при равнопеременном движении скорость растет, значит, ускорение — положительная величина, график пути — вогнутая парабола. При торможении скорость падает, ускорение (замедление) — отрицательная величина, график пути — выпуклая парабола (рис. 10.4).

Задача №24.

Точка движется по желобу из точки Примеры решения задач технической механике в точку Примеры решения задач технической механике (рис. 10.5).

Примеры решения задач технической механике

Как изменятся касательное и нормальное ускорения при прохождении точки через Примеры решения задач технической механике и Примеры решения задач технической механике?

Скорость движения считать постоянной. Радиус участка Примеры решения задач технической механике, радиус участка Примеры решения задач технической механике.

Решение:

  • Рассмотрим участок Примеры решения задач технической механике. Касательное ускорение равно нулю Примеры решения задач технической механике.

Нормальное ускорение Примеры решения задач технической механике при переходе через точку Примеры решения задач технической механике увеличивается в 2 раза, оно меняет направление, т. к. центр дуги Примеры решения задач технической механике не совпадает с центром дуги Примеры решения задач технической механике.

  • На участке Примеры решения задач технической механике:

— касательное ускорение равно нулю: Примеры решения задач технической механике;

— нормальное ускорение при переходе через точку Примеры решения задач технической механике меняется: до точки Примеры решения задач технической механике движение вращательное, после точки Примеры решения задач технической механике движение становится прямолинейным, нормальное напряжение на прямолинейном участке равно нулю.

  • На участке Примеры решения задач технической механике полное ускорение равно нулю.

Задача №25.

По заданному графику скорости найти путь, пройденный за время движения (рис. 10.6).

Решение:

Примеры решения задач технической механике
  • По графику следует рассмотреть три участка движения. Первый участок — разгон из состояния покоя (равноускоренное движение).

Уравнение скорости Примеры решения задач технической механике.

Ускорение Примеры решения задач технической механике.

Второй участок — равномерное движение: Примеры решения задач технической механике.

Третий участок — торможение до остановки (равнозамедленное движение).

Уравнение скорости Примеры решения задач технической механике.

Ускорение Примеры решения задач технической механике

  • Путь, пройденный за время движения, будет равен: первый участок:
Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

второй участок:

Примеры решения задач технической механике

третий участок:

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Путь за время движения

Примеры решения задач технической механике

Задача №26.

Тело, имевшее начальную скорость 36 км/ч, прошло 50 м до остановки. Считая движение равнозамедленным, определить время торможения.

Решение:

  • Записываем уравнение скорости для равнозамедленного движения:
Примеры решения задач технической механике

Определяем начальную скорость в м/с: Примеры решения задач технической механике.

Выразим ускорение (замедление) из уравнения скорости: Примеры решения задач технической механике.

  • Записываем уравнение пути:
Примеры решения задач технической механике
  • После подстановки получим:
Примеры решения задач технической механике
  • Определяем время до полной остановки (время торможения):
Примеры решения задач технической механике

Простейшие движения твердого тела

Иметь представление о поступательном движении, его особенностях и параметрах, о вращательном движении тела и его параметрах.

Знать формулы для определения параметров поступательного и вращательного движений тела.

Уметь определять кинематические параметры тела при поступательном и вращательном движениях, определять параметры любой точки тела.

Лекция:

  1. Поступательное движение
  2. Вращательное движение
  3. Скорости и ускорения точек вращающегося тела

Задача №27.

По заданному графику угловой скорости (рис. 11.8) определить вид вращательного движения.

Примеры решения задач технической механике

Решение:

  1. Участок 1 — неравномерное ускоренное движение, Примеры решения задач технической механикеПримеры решения задач технической механике.
  2. Участок 2 — скорость постоянна — движение равномерное, Примеры решения задач технической механике.
  3. Участок 3 — скорость убывает равномерно — равнозамедленное движение, Примеры решения задач технической механике.

Задача №28.

Ротор электродвигателя вращается со скоростью, описываемой уравнением Примеры решения задач технической механике. Определить вид движения.

Решение:

  1. Анализируем выражение для скорости: скорость меняется и зависит от времени линейно. Следовательно, угловое ускорение — постоянно, Примеры решения задач технической механике.
  2. Движение равнопеременное (равноускоренное, т. к. ускорение положительно).

Задача №29.

Тело вращалось равноускоренно из состояния покоя и сделало 360 оборотов за 2 мин. Определить угловое ускорение.

Решение:

  • Один оборот равен Примеры решения задач технической механике радиан. Следовательно:
Примеры решения задач технической механике
  • Закон равнопеременного вращательного движения
Примеры решения задач технической механике

В данном случае Примеры решения задач технической механике.

Следовательно, Примеры решения задач технической механике

Откуда Примеры решения задач технической механике

  • Угловое ускорение равно Примеры решения задач технической механике

Задача №30.

Тело вращалось с угловой частотой 1200 об/мин. Затем движение стало равнозамедленным, и за 30 секунд скорость упала до 900 об/мин. Определить число оборотов тела за это время и время до полной остановки.

Решение:

  1. Построить график изменения скорости за 30 с (рис. 11.9).

Определяем угловую скорость вращения тела:

Примеры решения задач технической механике

Определяем угловое ускорение:

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Определяем угол поворота за прошедшее время:

Примеры решения задач технической механике

Число оборотов за 30 с:

Примеры решения задач технической механике

Определяем время до полной остановки. Скорость при остановке равна нулю, Примеры решения задач технической механике. Таким образом, Примеры решения задач технической механике . Тогда Примеры решения задач технической механике.

Задача №31.

Маховое колесо вращается равномерно со скоростью 120 об/мин (рис. 11.10). Радиус колеса 0,3 м. Определить скорость и полное ускорение точек на ободе колеса, а также скорость точки, находящейся на расстоянии 0,15 м от центра.

Примеры решения задач технической механике

Решение:

  • Угловая скорость
Примеры решения задач технической механике
  • Линейная скорость на ободе колеса
Примеры решения задач технической механике
  • Скорость в точке Примеры решения задач технической механике (рис. 11.10)
Примеры решения задач технической механике
  • Угловое ускорение
Примеры решения задач технической механике

Касательное ускорение точки Примеры решения задач технической механике; нормальное ускорение точки

Примеры решения задач технической механике
  • Полное ускорение точек на ободе колеса
Примеры решения задач технической механике

Сложное движение точки. Сложное движение твердого тела

Иметь представление о системах координат, об абсолютном, относительном и переносном движениях.

Знать разложение сложного движения на относительное и переносное, теорему сложения скоростей.

Знать разложение плоскопараллельного движения на поступательное и вращательное, способы определения мгновенного центра скоростей.

Лекции:

  1. Сложное движение точки
  2. Плоскопараллельное движение твердого тела
  3. Метод разложения сложного движения на поступательное и вращательное
  4. Метод определения мгновенного центра скоростей

Задача №33.

Рассмотрим механизм, в котором стержень Примеры решения задач технической механике вращается вокруг точки Примеры решения задач технической механике со скоростью Примеры решения задач технической механике. Вдоль стержня перемещается ползун Примеры решения задач технической механике со скоростью Примеры решения задач технической механике (рис. 12.8). Определить абсолютную скорость точки Примеры решения задач технической механике.

Примеры решения задач технической механике

Решение:

  1. Относительное движение -вдоль стержня; скорость Примеры решения задач технической механике
  2. Переносное движение — вращение стержня; скорость Примеры решения задач технической механике
  3. Скорость абсолютного движения Примеры решения задач технической механике

Задача №34.

Стержень Примеры решения задач технической механике соскальзывает вниз, опираясь концами о стену и пол (рис. 12.9).

Длина стержня 1,5 м; в момент, изображенный на чертеже, скорость точки Примеры решения задач технической механике Примеры решения задач технической механике. Найти скорость точки Примеры решения задач технической механике.

Примеры решения задач технической механике
  1. Найдем положение МЦС. Скорости точек Примеры решения задач технической механике и Примеры решения задач технической механике направлены вдоль стены и вдоль пола. Восстанет вливая перпендикуляры к векторам скоростей, находим МЦС.
  2. По известной скорости Примеры решения задач технической механике определяем угловую скорость Примеры решения задач технической механике стержня:
Примеры решения задач технической механике

Скорость точки Примеры решения задач технической механике:

Примеры решения задач технической механике

Основные понятия и аксиомы динамики. Понятие о трении

Иметь представление о массе тела и ускорении свободного падения, о связи между силовыми и кинематическими параметрами движения, о двух основных задачах динамики.

Знать аксиомы динамики и математическое выражение основного закона динамики.

Знать зависимости для определения силы трения.

Лекции:

  1. Содержание и задачи динамики
  2. Аксиомы динамики
  3. Понятие о трении. Виды трения

Задача №35.

Свободная материальная точка, масса которой 5 кг, движется согласно уравнению Примеры решения задач технической механике. Определить величину движущей силы.

Решение:

  1. Ускорение точки: Примеры решения задач технической механикеПримеры решения задач технической механике
  2. Действующая сила согласно основному закону динамики Примеры решения задач технической механике.

Задача №36.

К двум материальным точкам массой Примеры решения задач технической механике и Примеры решения задач технической механике приложены одинаковые силы. Сравнить величины ускорений.

Решение:

Согласно третьей аксиоме динамики ускорения обратно пропорциональны массам:

Примеры решения задач технической механике

Задача №37.

На материальную точку действует система сил (рис. 13.5). Определить числовое значение ускорения, полученного материальной точкой Примеры решения задач технической механике. Остальные данные представлены на чертеже.

Решение:

Примеры решения задач технической механике

1-й вариант.

  • Определяем суммарную силу, действующую на точку:
Примеры решения задач технической механике

Определяем ускорение, сообщенное точке:

Примеры решения задач технической механике

2-й вариант.

Определяем ускорения от каждой из сил системы (рис. 13.56):

Примеры решения задач технической механике

Определяем суммарное ускорение:

Примеры решения задач технической механике

Движение материальной точки. Метод кинетостатики

Иметь представление о свободных и несвободных материальных точках, о силах инерции, об использовании силы инерции дм решения технических задач.

Знать формулы для расчета силы инерции при поступательном и вращательном движениях, знать принцип Даламбера уметь определять параметры движения с использованием законов динамики и метода кинетостатики.

Лекции:

  1. Свободная и несвободная точки
  2. Сила инерции
  3. Принцип кинетостатики (принцип Даламбера)

Задача №38.

Рассмотрим движение платформы по шероховатой поверхности с ускорением (рис. 14.4).

Решение:

Активные силы: движущая сила, сила трения, сила тяжести. Реакция в опоре Примеры решения задач технической механике. Прикладываем силу инерции в обратную от ускорения сторону. По принципу Даламбера, система сил, действующих на платформу, становится уравновешенной, и можно составить уравнения равновесия. Наносим систему координат и составляем уравнения проекций сил.

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

где Примеры решения задач технической механике — движущая сила; Примеры решения задач технической механике — сила трения; Примеры решения задач технической механике — сила тяжести; Примеры решения задач технической механике — реакция опоры; Примеры решения задач технической механике — сила инерции; Примеры решения задач технической механике — коэффициент трения.

Задача №39.

Тело весом Примеры решения задач технической механике движется вверх по наклонной плоскости согласно уравнению Примеры решения задач технической механике (рис. 14.5). Определить величину движущей силы, если коэффициент трения тела о плоскость Примеры решения задач технической механике.

Примеры решения задач технической механике

Решение:

  • Составим расчетную схему, выберем систему координат с осью Примеры решения задач технической механике вдоль наклонной плоскости.

Активные силы: движущая, сила трения, сила тяжести. Наносим реакцию в опоре перпендикулярно плоскости. Чтобы верно направить силу инерции, необходимо знать направление ускорения, определить это можно по уравнению движения.

При Примеры решения задач технической механике движение равноускоренное.

  • Определяем ускорение движения:
Примеры решения задач технической механике

Силу Примеры решения задач технической механике направим в обратную от ускорения сторону.

  • По принципу Даламбера составим уравнения равновесия:
Примеры решения задач технической механике
  • Подставим все известные величины в уравнения равновесия
Примеры решения задач технической механике

Выразим неизвестную силу и решим уравнение:

Примеры решения задач технической механике

Задача №40.

График изменения скорости лифта при подъеме известен (рис. 14.6). Масса лифта с грузом 2800 кг. Определить натяжение каната, на котором подвешен лифт на всех участках подъема

Примеры решения задач технической механике

Решение:

  • Рассмотрим участок 1 — подъем с ускорением. Составим схему сил (рис. 14.7). Уравнение равновесия кабины лифта:
Примеры решения задач технической механике

где Примеры решения задач технической механике — натяжение каната; Примеры решения задач технической механике — сила тяжести; Примеры решения задач технической механике — сила инерции растягивающая канат.

Для определения ускорения на участке 1 учтем, что движение на этом участке равнопеременное, скорость

Примеры решения задач технической механике

Следовательно, ускорение:

Примеры решения задач технической механике

Определяем усилие натяжения каната при подъеме с ускорением

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Рассмотрим участок 2 — равномерный подъем.

Ускорение и сила инерции равны нулю. Натяжение каната равно силе тяжести.

Примеры решения задач технической механике

Участок 3 — подъем с замедлением. Ускорение направлено в сторону, обратную направлению подъема. Составим схему сил (рис. 14.8).

Уравнение равновесия: FK„3

Примеры решения задач технической механике

Отсюда

Примеры решения задач технической механике

Ускорение (замедление) на этом участке определяется с учетом того, что Примеры решения задач технической механике

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Натяжение каната при замедлении до остановки:

Примеры решения задач технической механике

Таким образом, натяжение каната меняется при каждом подъеме и опускании, канат выходит из строя в результате усталости материала. Работоспособность зависит от времени.

Задача №41.

Самолет выполняет «мертвую петлю» при скорости Примеры решения задач технической механике, радиус петли 1000 м, масса летчика 75 кг. Определить величину давления тела на кресло в верхней точке «мертвой петли».

Решение:

  1. Схема сил, действующих на летчика (рис. 14.9):

где Примеры решения задач технической механике — сила тяжести, Примеры решения задач технической механике — реакция в опоре, Примеры решения задач технической механике — сила инерции.

Сила давления летчика на кресла равна силе давления опоры на летчика.

Примеры решения задач технической механике
  1. Уравнение равновесия (движение равномерное по дуге, действует только нормальное ускорение):
Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Работа и мощность

Иметь представление о работе силы при прямолинейном и криволинейном перемещениях, о мощности полезной и затраченной, о коэффициенте полезного действия.

Знать зависимости для определения силы трения, формулы для расчета работы и мощности при поступательном и вращательном движениях.

Уметь рассчитывать работу и мощность с учетом потерь на трение и сил инерции.

Лекции:

  1. Работа силы
  2. Работа постоянной силы на криволинейном пути
  3. Работа силы тяжести
  4. Работа равнодействующей силы

Задача №42.

Тело массой 200 кг поднимают по наклонной плоскости (рис. 15.8).

Определите работу при перемещении на 10 м с постоянной скоростью. Коэффициент трения тела о плоскость Примеры решения задач технической механике.

Примеры решения задач технической механике

Решение:

  • При равномерном подъеме движущая сила равна сумме сил сопротивления движению. Наносим на схему силы, действующие на тело:
Примеры решения задач технической механике
  • Используем теорему о работе равнодействующей:
Примеры решения задач технической механике
  • Подставляем входящие величины и определяем работу по подъему:
Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Задача №43.

Определите работу силы тяжести при перемещении груза из точки Примеры решения задач технической механике в точку Примеры решения задач технической механике по наклонной плоскости (рис. 15.9). Сила тяжести тела 1500 Н. Примеры решения задач технической механике.

Примеры решения задач технической механике

Решение:

  • Работа силы тяжести зависит только от изменения высоты груза. Изменение высоты при перемещении из точки Примеры решения задач технической механике в Примеры решения задач технической механике:
Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике
  • Работа силы тяжести:
Примеры решения задач технической механике

Задача №44.

Определите работу силы резания за 3 мин. Скорость вращения детали 120 об/мин, диаметр обрабатываемой детали 40 мм, сила резания 1 кН (рис. 15.10).

Примеры решения задач технической механике

Решение:

  • Работа при вращательном движении
Примеры решения задач технической механике

где Примеры решения задач технической механике — сила резания.

  • Угловая частота вращения 120об/мин.
  • Число оборотов за заданное время составляет Примеры решения задач технической механикеПримеры решения задач технической механике.

Угол поворота за это время

Примеры решения задач технической механике
  • Работа за 3 мин
Примеры решения задач технической механике

Коэффициент полезного действия

Иметь представление о мощности при прямолинейном и криволинейном перемещениях, о мощности полезной и затраченной, о коэффициенте полезного действия.

Знать зависимости для определения мощности при поступательном и вращательном движениях, КПД.

Уметь рассчитать мощность с учетом потерь на трение и сил инерции.

Лекции:

  1. Мощность
  2. Коэффициент полезного действия

Задача №45.

Определить потребную мощность мотора лебедки для подъема груза весом 3 кН на высоту 10 м за 2,5 с (рис. 16.3). КПД механизма лебедки 0,75.

Примеры решения задач технической механике

Решение:

  • Мощность мотора используется на подъем груза с заданной скоростью и преодоление вредных сопротивлений механизма лебедки.

Полезная мощность определяется по формуле Примеры решения задач технической механике. В данном случае Примеры решения задач технической механике; груз движется поступательно.

  • Скорость подъема груза Примеры решения задач технической механике.
  • Необходимое усилие равно весу груза (равномерный подъем).
  • Полезная мощность Примеры решения задач технической механике.
  • Полная мощность, затрачиваемая мотором,
Примеры решения задач технической механике

Задача №46.

Судно движется со скоростью 56 км/ч (рис. 16.4). Двигатель развивает мощность 1200 кВт.

Определить силу сопротивления воды движению судна. КПД машины 0,4.

Примеры решения задач технической механике

Решение:

  • Определяем полезную мощность, используемую на движение с заданной скоростью:
Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике
  • По формуле для полезной мощности можно определить движущую силу судна с учетом условия Примеры решения задач технической механике. При равномерном движении движущая сила равна силе сопротивления воды: Примеры решения задач технической механике.
  • Скорость движения судна: Примеры решения задач технической механике
  • Сила сопротивления воды
Примеры решения задач технической механике

Задача №47.

Точильный камень прижимается к обрабатываемой детали с силой 1,5 кН (рис. 16.5). Какая мощность затрачивается на обработку детали, если коэффициент трения материала камня о деталь 0,28; деталь вращается со скоростью 100 об/мин, диаметр детали 60 мм.

Примеры решения задач технической механике
  • Резание осуществляется за счет трения между точильным камнем и обрабатываемой деталью:
Примеры решения задач технической механике

Момент силы резания:

Примеры решения задач технической механике

Угловая скорость вращения детали:

Примеры решения задач технической механике

Мощность, необходимая для обработки детали:

Примеры решения задач технической механике

Общие теоремы динамики

Иметь представление о понятиях «импульс силы», «количество движения», «кинетическая энергия»-, о системе материальных точек, о внутренних и внешних силах системы.

Знать основные теоремы динамики, основные уравнения динамики при поступательном и вращательном движениях твердого тела, формулы для расчета моментов инерции некоторых однородных твердых тел.

Уметь определять параметры движения с помощью теорем динамики.

Лекции:

  1. Общие теоремы динамики
  2. Основы динамики системы материальных точек

Задача №48.

Автомобиль двигался со скоростью 54 км/ч. В результате резкого торможения автомобиль остановился. Определите время торможения, если коэффициент трения между поверхностью дороги и колесами автомобиля 0,36.

Решение:

Принимаем автомобиль за материальную точку (рис. 17.8).

  1. Считаем, что торможение произошло только за счет трения. Используем теорему об изменении количества движения. Начальная скорость Примеры решения задач технической механике. По теореме изменения количества движения Примеры решения задач технической механике. Конечная скорость Примеры решения задач технической механике (остановка).
  2. Тормозная сила Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

здесь Примеры решения задач технической механике — сила прижатия; Примеры решения задач технической механике — коэффициент трения; Примеры решения задач технической механике — сила тяжести; Примеры решения задач технической механике — масса автомобиля; Примеры решения задач технической механике — ускорение свободного падения; Примеры решения задач технической механике.

Примеры решения задач технической механике

После подстановок получаем формулу для определения времени торможения.

Примеры решения задач технической механике

Задача №49.

После отключения двигателя колесо радиусом 0,5 м и массой 700 кг имело угловую частоту вращения 300 об/мин. Определите момент трения в подшипниках, если вал колеса остановился через 1,5 мин. Вращение принять равнопеременным, колесо считать сплошным цилиндром (рис. 17.9).

Примеры решения задач технической механике

Решение:

  • Запишем уравнение динамики при вращении:
Примеры решения задач технической механике

где Примеры решения задач технической механике — суммарный момент внешних сил; Примеры решения задач технической механике — момент инерции; Примеры решения задач технической механике — угловое ускорение; Примеры решения задач технической механике — движущий момент; Примеры решения задач технической механике — момент трения (сил сопротивления).

  • Определим угловое ускорение по формуле для угловой скорости при равнопеременном движении:
Примеры решения задач технической механике

Тогда

Примеры решения задач технической механике
  • Определим момент инерции колеса, считая его сплошным цилиндром:
Примеры решения задач технической механике
  • Определяем величину тормозного момента — момента трения в подшипниках:
Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Задача №50.

Шкив приводится во вращение ременной передачей (рис. 17.10). Натяжение ведущей ветви ремня Примеры решения задач технической механике, ведомого — Примеры решения задач технической механике. Масса шкива 200 кг, диаметр 80 мм, момент сопротивления в подшипниках 1,2 Н-м. Определить угловое ускорение вала пренебрегая его массой. Шкив считать тонкостенным цилиндром.

Примеры решения задач технической механике

Решение:

  • Используем основное уравнение динамики Примеры решения задач технической механике
  • Определяем суммарный момент внешних сил
Примеры решения задач технической механике
  • Рассчитываем момент инерции шкива, влиянием вала пренебрегаем:
Примеры решения задач технической механике
  • Определяем угловое ускорение шкива
Примеры решения задач технической механике

Основные положения, гипотезы и допущения о сопротивлении материалов

Иметь представление о видах расчетов в сопротивлении материалов, о классификации нагрузок, о внутренних силовых факторах и возникающих деформациях, о механических напряжениях.

Знать основные понятия, гипотезы и допущения в сопротивлении материалов.

«Сопротивление материалов» — это раздел «Технической механики», в котором излагаются теоретико-экспериментальные основы и методы расчета наиболее распространенных элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость.

В сопротивлении материалов пользуются данными смежных дисциплин: физики, теоретической механики, материаловедения, математики и др. В свою очередь сопротивление материалов как наука является опорной базой для целого ряда технических дисциплин.

Любые создаваемые конструкции должны быть не только прочными и надежными, но и недорогими, простыми в изготовлении и обслуживании, с минимальным расходом материалов, труда и энергии.

Расчеты сопротивления материалов являются базовыми для обеспечения основных требований к деталям и конструкциям.

Лекции:

  1. Основные требования к деталям и конструкциям и виды расчетов в сопротивлении материалов
  2. Классификация нагрузок и элементов конструкции
  3. Метод сечений

Задача №51.

Определить величину продольной силы в сечении 1-1 (рис. 19.4).

Решение:

Используем уравнение равновесия

Примеры решения задач технической механике

Рассматривая левую часть бруса, определяем

Примеры решения задач технической механике

Рассматривая правую часть бруса, определяем

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Величина продольной силы п сечении не зависит от того, какая часть бруса рассматривается.

Задача №52.

Определить внутренний силовой фактор в сечении 1-1 (рис. 19.5а).

Решение:

Примеры решения задач технической механике

Используем уравнение равновесия

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Рассматриваем правую часть бруса. На отсеченную часть бруса принято смотреть со стороны отброшенной части (рис. 19.56) Получаем

Примеры решения задач технической механике

Растяжение и сжатие. Внутренние силовые факторы, напряжения. Построение эпюр

Иметь представление о продольных силах, о нормальных напряжениях в поперечных сечениях.

Знать правила построения эпюр продольных сил и нормальных напряжений, закон распределения нормальных напряжений в поперечном сечении бруса.

Уметь строить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.

Лекции:

  1. Растяжение и сжатие
  2. Примеры построения эпюры продольных сил
  3. Напряжения при растяжении и сжатии

Задача №53.

Ступенчатый брус нагружен вдоль оси двумя силами. Брус защемлен с левой стороны (рис. 20.6). Пренебрегая весом бруса, по строить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.

Примеры решения задач технической механике

Решение:

  1. Определяем участки нагружения, их два.
  2. Определяем продольную силу в сечениях 1 и 2.
  3. Строим эпюру.
  4. Рассчитываем величины нормальных напряжений и строим эпюру нормальных напряжений в собственном произвольном масштабе.
  5. Определяем продольные силы.
Примеры решения задач технической механике

Сечение 1

Примеры решения задач технической механике

Сечение 2

Примеры решения задач технической механике

В обоих сечениях продольные силы положительны.

Определяем нормальные напряжения Примеры решения задач технической механике

Сопоставляя участки нагружения с границами изменения площади, видим, что образуется 4 участка напряжений.

Нормальные напряжения в сечениях по участкам:

Примеры решения задач технической механике

Откладываем значения напряжений вверх от оси, т. к. значения их положительные (растяжение). Масштаб эпюр продольной силы и нормальных напряжений выбирается отдельно в зависимости от порядка цифр и имеющегося на листе места.

Растяжение и сжатие. Продольные и поперечные деформации. Закон Гука

Иметь представление о продольных и поперечных деформациях и их связи.

Знать закон Гука, зависимости и формулы для расчета напряжений и перемещений.

Уметь проводить расчеты на прочность и жесткость статически определимых брусьев при растяжении и сжатии.

Лекции:

  1. Деформации при растяжении и сжатии
  2. Закон Гука
  3. Формулы для расчета перемещений поперечных сечений бруса при растяжении и сжатии

Задача №54.

Дана схема нагружения и размеры бруса до деформации (рис. 21.3). Брус защемлен, определить перемещение свободного конца.

Примеры решения задач технической механике

Решение:

  1. Брус ступенчатый, поэтому следует построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.

Делим брус на участки нагружения, определяем продольные силы, строим эпюру продольных сил.

  1. Определяем величины нормальных напряжений по сечениям с учетом изменений площади поперечного сечения.

Строим эпюру нормальных напряжений.

  1. На каждом участке определяем абсолютное удлинение. Результаты алгебраически суммируем.

Примечание. Балка защемлена, в заделке возникает неизвестная реакция в опоре, поэтому расчет начинаем со свободного конца (справа).

  1. Два участка нагружения:

участок 1: Примеры решения задач технической механике; растянут;

участок 2: Примеры решения задач технической механикесжат.

Три участка по напряжениям:

Примеры решения задач технической механике

Удлинения участков (материал — сталь Примеры решения задач технической механике):

Примеры решения задач технической механике

Суммарное удлинение бруса (перемещение свободного конца).

Примеры решения задач технической механике

Механические испытания, механические характеристики

Иметь представление о предельных и допускаемых напряжениях и коэффициенте запаса прочности.

Знать диаграммы растяжения и сжатия пластичных и хрупких материалов, порядок расчетов на прочность.

При выборе материалов для элементов конструкции и расчетов на прочность необходимо знать механические характеристики. Необходимые сведения получают экспериментально при испытаниях на растяжение, сжатие, срез, кручение и изгиб.

Лекции:

  1. Статические испытания на растяжение и сжатие
  2. Механические характеристики
  3. Виды диаграмм растяжения
  4. Предельные и допустимые напряжения
  5. Расчеты на прочность при растяжении и сжатии

Задача №55.

Прямой брус растянут силой 150 кН (рис. 22.6), материал — сталь Примеры решения задач технической механике, запас прочности Примеры решения задач технической механике. Определить размеры поперечного сечения бруса.

Примеры решения задач технической механике

Решение:

  • Условие прочности:
Примеры решения задач технической механике
  • Потребная площадь поперечного сечения определяется соотношением
Примеры решения задач технической механике
  • Допускаемое напряжение для материала рассчитывается из заданных механических характеристик. Наличие предела текучести означает, что материал — пластичный.
Примеры решения задач технической механике
  • Определяем величину потребной площади поперечного сечения бруса и подбираем размеры для двух случаев.
Примеры решения задач технической механике

Сечение — круг, определяем диаметр.

Примеры решения задач технической механике

Полученную величину округляем в большую сторону Примеры решения задач технической механике, Примеры решения задач технической механике.

Сечение — равнополочный уголок № 5 по ГОСТ 8509-86. Ближайшая площадь поперечного сечения уголка—Примеры решения задач технической механике Примеры решения задач технической механике (Приложение 1).

Практические расчеты на срез и смятие. Основные предпосылки расчетов и расчетные формулы

Иметь представление об основных предпосылках и условностях расчетов о деталях, работающих на срез и смятие.

Знать внутренние силовые факторы, напряжения и деформации при сдвиге и смятии, условия прочности.

Уметь определять площади среза и смятия.

Детали соединений (болты, штифты, шпонки, заклепки) работают так, что можно учитывать только один внутренний силовой фактор — поперечную силу. Такие детали рассчитываются на сдвиг.

Лекции:

  1. Сдвиг (срез)
  2. Смятие

Задача №56.

Определить потребное количество заклепок для передачи внешней нагрузки 120 кН. Заклепки расположить в один ряд. Проверить прочность соединяемых листов. Известно: Примеры решения задач технической механике: Примеры решения задач технической механике — 100 МПа; диаметр заклепок 16 мм.

Решение:

  • Определить количество заклепок из расчета на сдвиг (рис. 24.1).
Примеры решения задач технической механике

Условие прочности на сдвиг:

Примеры решения задач технической механике

где Примеры решения задач технической механике Примеры решения задач технической механике — количество заклепок.

Откуда

Примеры решения задач технической механике

Таким образом, необходимо 6 заклепок.

  • Определить количество заклепок из расчета на смятие.

Условие прочности на смятие:

Примеры решения задач технической механике

Примеры решения задач технической механике — нагрузка на одну заклепку.

Откуда

Примеры решения задач технической механике

Таким образом, необходимо 4 заклепки.

Для обеспечения прочности на сдвиг {срез) и смятие необходимо 6 заклепок.

Для удобства установки заклепок расстояние между ними и от края листа регламентируется. Шаг в ряду (расстояние между центрами) заклепок Примеры решения задач технической механике расстояние до края Примеры решения задач технической механике. Следовательно, для расположения шести заклепок диаметром 16 мм необходима ширина листа 288 мм. Округляем величину до 300 мм Примеры решения задач технической механике.

  • Проверим прочность листов на растяжение. Проверяем тонкий лист. Отверстия под заклепки ослабляют сечение, рассчитываем площадь листа в месте, ослабленном отверстиями (рис. 24.2):
Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Условие прочности на растяжение:

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Следовательно, прочность листа обеспечена.

Задача №57.

Проверить прочность заклепочного соединения на срез и смятие. Нагрузка на соединение Примеры решения задач технической механикеПримеры решения задач технической механике.

Решение:

  • Соединение двухсрезными заклепками последовательно воспринимается тремя заклепками в левом ряду, а затем тремя заклепками в правом ряду (рис. 24.3).

Площадь сдвига каждой заклепки Примеры решения задач технической механике Площадь смятия боковой поверхности Примеры решения задач технической механике

  • Проверим прочность соединения на сдвиг (срез).
Примеры решения задач технической механике

Примеры решения задач технической механике — поперечная сила в поперечном сечении заклепки:

Примеры решения задач технической механике

Прочность на сдвиг обеспечена.

  • Проверим прочность соединения на смятие:
Примеры решения задач технической механике

Прочность заклепочного соединения обеспечена.

Задача №58.

Проверить прочность сварного соединения угловыми швами с накладкой. Действующая нагрузка 60 кН, допускаемое напряжение металла шва на сдвиг 80 МПа.

Решение:

  1. Нагрузка передается последовательно через два шва слева, а далее — два шва справа (рис. 24.4). Разрушение угловых швов происходит по площадкам, расположенным под углом 45° к поверхности соединяемых листов.
  2. Проверим прочность сварного соединения на срез.

Двухсторонний угловой шов можно рассчитать по формуле

Примеры решения задач технической механике

где Примеры решения задач технической механике — расчетная площадь среза шва; Примеры решения задач технической механике — катет шва, равен толщине накладки; Примеры решения задач технической механике — длина шва.

Примеры решения задач технической механике

Следовательно,

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Расчетное напряжение меньше допускаемого, прочность обеспечена.

Геометрические характеристики плоских сечений

Иметь представление о физическом смысле и порядке определения осевых, центробежных и полярных моментов инерции, о главных центральных осях и главных центральных моментах инерции.

Знать формулы моментов инерции простейших сечений, способы вычисления моментов инерции при параллельном переносе осей.

При растяжении, сжатии, смятии и сдвиге деталь сопротивляется деформации всем сечением одинаково. Здесь геометрической характеристикой сечения является площадь.

При кручении и изгибе сечение сопротивляется деформации не одинаково, при расчетах напряжений появляются другие геометрические характеристики сечения, влияющие на сопротивления сечения деформированию.

Лекции:

  1. Статический момент площади сечения
  2. Центробежный момент инерции
  3. Осевые моменты инерции
  4. Полярный момент инерции сечения
  5. Моменты инерции простейших сечений
  6. Полярный момент инерции круга
  7. Моменты инерции относительно параллельных осей
  8. Главные оси и главные моменты инерции

Задача №59.

Определить величину осевых моментов инерции плоской фигуры относительно осей Примеры решения задач технической механике и Примеры решения задач технической механике (рис. 25.5).

Примеры решения задач технической механике

Решение:

  1. Определим осевой момент инерции относительно оси Примеры решения задач технической механике. Используем формулы для главных центральных моментов. Представим момент инерции сечения как разность моментов инерции круга и прямоугольника.

Для круга

Примеры решения задач технической механике

Для прямоугольника

Примеры решения задач технической механике

Для прямоугольника ось Примеры решения задач технической механике не проходит через ЦТ. Момент инерции прямоугольника относительно оси Примеры решения задач технической механике:

Примеры решения задач технической механике

где Примеры решения задач технической механике — площадь сечения; Примеры решения задач технической механике — расстояние между осями Примеры решения задач технической механике и Примеры решения задач технической механике.

Примеры решения задач технической механике

Метод инерции сечения

Примеры решения задач технической механике

Осевой момент инерции относительно оси Примеры решения задач технической механике:

Примеры решения задач технической механике

Момент инерции сечения

Примеры решения задач технической механике

Задача №60.

Найти главный центральный момент инерции сечения относительно оси Примеры решения задач технической механике (рис. 25.6).

Примеры решения задач технической механике

Решение:

  • Сечение составлено из стандартных профилей, главные центральные моменты инерции которых приводятся в таблицах ГОСТ, см. Приложение 1. Для двутавра № 14 по ГОСТ 8239-89 Примеры решения задач технической механике.

Для швеллера № 16 по ГОСТ 8240-89 Примеры решения задач технической механике4.

Площадь Примеры решения задач технической механике

  • Определяем координату центра тяжести швеллера относительно оси Примеры решения задач технической механике. В заданном сечении швеллер повернут и поднят. При этом главные центральные оси поменялись местами.
Примеры решения задач технической механике

по ГОСТ находим

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике
  • Момент инерции сечения равен сумме моментов инерции швеллеров и двутавра относительно оси Примеры решения задач технической механике. Используем формулу моментов инерции относительно параллельных осей:
Примеры решения задач технической механике

В данном случае

Примеры решения задач технической механике

Примеры решения задач технической механике — (расстояние между осями координат Примеры решения задач технической механике и Примеры решения задач технической механике).

Примеры решения задач технической механике

Кручение. Внутренние силовые факторы при кручении. Построение эпюр крутящих моментов

Иметь представление о деформациях при кручении, о внутренних силовых факторах при кручении.

Уметь строить эпюры крутящих моментов.

Лекции:

  1. Деформации при кручении
  2. Гипотезы при кручении
  3. Внутренние силовые факторы при кручении
  4. Эпюры крутящих моментов

Задача №61.

На распределительном валу (рис. 26.3) установлены четыре шкива, на вал через шкив 1 подается мощность 12 кВт, которая через шкивы 2, 3, 4 передается потребителю; мощности распределяются следующим образом: Примеры решения задач технической механике вал вращается с постоянной скоростью Примеры решения задач технической механике Построить эпюру крутящих моментов на валу.

Примеры решения задач технической механике

Решение:

  • Определяем моменты пар сил на шкивах. Вращающий момент определяем из формулы мощности при вращательном движении
Примеры решения задач технической механике

Момент на шкиве 1 движущий, а моменты на шкивах 2, 3, 4 — моменты сопротивления механизмов, поэтому они имеют противоположное направление. Брус скручивается между движущим моментом и моментами сопротивления. При равновесии момент движущий равен сумме моментов сопротивления:

Примеры решения задач технической механике
  • Определяем крутящие моменты в поперечных сечениях бруса с помощью метода сечений.
Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Строим эпюру крутящих моментов. Заметим, что скачок кя эпюре всегда численно равен приложенному вращающему момент

Выбираем соответствующий масштаб.

Откладываем значения моментов, штрихуем эпюру поперек, об водим по контуру, записываем значения моментов (см. эпюру под схемой вала (рис. 26.3)). Максимальный крутящий момент на участке III Примеры решения задач технической механике.

Пример 2. Выбрать рациональное расположение колес на вал (рис. 26.5).

Примеры решения задач технической механике

Примечание. Меняя местами колеса (шкивы) на валу можно изменять величины крутящих моментов. Рациональным расположением является такое, при котором крутящие моменты принимают минимальные из возможных значения.

Примеры решения задач технической механике

Рассмотрим нагрузки на валу при различном расположении колес.

Из представленных вариантов наиболее рационально расположение шкивов в третьем случае, здесь значения крутящих моментов минимальны. Вывод: при установке шкивов желательно, чтобы мощность подавалась в середине вала и по возможности равномерно распределялась направо и налево.

Примеры решения задач технической механике

Первый вариант: Примеры решения задач технической механике

Второй вариант: Примеры решения задач технической механике

Третий вариант: Примеры решения задач технической механике

Кручение. Напряжения и деформации при кручении

Иметь представление о напряжении и деформациях при кручении, о моменте сопротивления при кручении.

Знать формулы для расчета напряжений в точке поперечного сечения, закон Гука при кручении.

Лекции:

  1. Напряжения при кручении
  2. Напряжение в любой точке поперечного сечения
  3. Максимальные напряжения при кручении
  4. Виды расчетов на прочность
  5. Расчет на жесткость

Задача №63.

Из расчетов на прочность и жесткость определить потребный диаметр вала для передачи мощности 63 кВт при скорость 30 рад/с. Материал вала — сталь, допускаемое напряжение при кручении 30 МПа; допускаемый относительный угол закручивания Примеры решения задач технической механике; модуль упругости при сдвиге Примеры решения задач технической механике.

Решение:

  • Определение размеров поперечного сечения из расчета на прочность.

Условие прочности при кручении:

Примеры решения задач технической механике

Определяем вращающий момент из формулы мощности при вращении:

Примеры решения задач технической механике

Из условия прочности определяем момент сопротивления вала при кручении

Примеры решения задач технической механике

Значения подставляем в ньютонах и мм.

Примеры решения задач технической механике

Определяем диаметр вала:

Примеры решения задач технической механике
  • Определение размеров поперечного сечения из расчета на жесткость.

Условие жесткости при кручении:

Примеры решения задач технической механике

Из условия жесткости определяем момент инерции сечения при кручении:

Примеры решения задач технической механике

Определяем диаметр вала:

Примеры решения задач технической механике
  • Выбор потребного диаметра вала из расчетов на прочность и жесткость.

Для обеспечения прочности и жесткости одновременно из двух найденных значений выбираем большее.

Полученное значение следует округлить, используя ряд предпочтительных чисел. Практически округляем полученное значение так, чтобы число заканчивалось на 5 или 0. Принимаем значение Примеры решения задач технической механике.

Для определения диаметра вала желательно пользоваться стандартным рядом диаметров, приведенном в Приложении 2.

Кручение. Расчеты на прочность и жесткость при кручении

Иметь представление о рациональных формах поперечного сечения и рациональном расположении колес на валу.

Знать условия прочности и жесткости при кручении.

Уметь выполнять проектировочные и проверочные расчеты круглого бруса для статически определимых систем.

Задача №64.

Для заданного бруса (рис. 28.1) построить эпюры крутящих моментов, рациональным расположением шкивов на валу добиться уменьшения значения максимального крутящего момента. Построить эпюру крутящих моментов при рациональном расположении шкивов.

Примеры решения задач технической механике

Из условия прочности определить диаметры вала для сплошного и кольцевого сечений, приняв Примеры решения задач технической механике. Сравнить полученные результаты по полученным площадям поперечных сечений. Примеры решения задач технической механикеПримеры решения задач технической механике.

Решение:

  • Пользуясь методом сечений, определяем крутящие моменты на участках вала (рис. 28.2).
Примеры решения задач технической механике

Сечение 1 (рис. 28.2а): Примеры решения задач технической механике.

Сечение 2 (рис. 28.26): Примеры решения задач технической механике.

Сечение 3 (рис. 28.2в): Примеры решения задач технической механике.

  1. Строим эпюру крутящих моментов. Значения крутящих моментов откладываем вниз от оси, т. к. моменты отрицательные.

Максимальное значение крутящего момента на валу в этом случае 1000 Н-м (рис. 28.1).

Примеры решения задач технической механике
  • Выберем рациональное расположение колес на валу. Наиболее целесообразно такое размещение колес, при котором наибольшие положительные и отрицательные значения крутящих моментов на участках будут по возможности одинаковыми. Из этих соображений ведущий шкив, передающий момент 1000 Н-м, помещаем ближе к центру вала, ведомые шкивы 1 и 2 размещаем слева от ведущего с моментом 1000 Н-м, шкив 3 остается на том же месте. Строим эпюру крутящих моментов при выбранном расположении шкива (рис. 28.3).

Максимальное значение крутящего момента на валу при выбранном расположении колес на валу 600 Н м.

  1. Определяем диаметры вала по сечениям при условии, что сечение — круг.

Условие прочности при кручении Примеры решения задач технической механике.

Момент сопротивления кручению

Примеры решения задач технической механике

Определяем диаметры вала по сечениям:

Примеры решения задач технической механике

Округляем полученные значения: Примеры решения задач технической механике.

  • Определяем диаметры вала по сечениям при условии, что сечение — кольцо.

Моменты сопротивления остаются теми же.

По условию Примеры решения задач технической механике.

Полярный момент сопротивления кольца

Примеры решения задач технической механике

Формула для определения наружного диаметра вала кольцевого сечения будет следующей:

Примеры решения задач технической механике

Расчет можно провести по формуле

Примеры решения задач технической механике

Диаметры вала по сечениям:

Примеры решения задач технической механике

Наружные диаметры вала кольцевого сечения практически не изменились.

Для кольцевого сечения:

Примеры решения задач технической механике
  • Для вывода об экономии металла при переходе на кольцевое сечение сравним площади сечений (рис. 28.4).

При условии, что сечение — круг (рис. 28.4а):

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Сплошное круглое сечение:

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

При условии, что сечение — кольцо, Примеры решения задач технической механике (рис. 28.46):

Примеры решения задач технической механике

Кольцевое сечение:

Примеры решения задач технической механике

Сравнительная оценка результатов:

Примеры решения задач технической механике

Следовательно, при переходе с кругового на кольцевое сечение экономия металла по весу составит 1,3 раза.

Задача №65.

Стальной вал диаметром 40 мм передает мощность 15 кВт при угловой скорости 80 рад/с (рис. 28.5); проверить прочность и жесткость вала, если допускаемое напряжение кручения 20 МПа. Модуль упругости при сдвиге Примеры решения задач технической механике. Допускаемый угол закручивания Примеры решения задач технической механике. Построить эпюру касательных напряжений и определить значение касательного напряжения в точке, удаленной на 5 мм от оси вала.

Примеры решения задач технической механике

Решение:

  • Определяем вращающий момент на валу:
Примеры решения задач технической механике

Проверка прочности вала.

Из условия равновесия

Примеры решения задач технической механике

Условие прочности:

Примеры решения задач технической механике

где Примеры решения задач технической механике — расчетное напряжение в сечении; Примеры решения задач технической механике — крутящий момент в сечении; Примеры решения задач технической механике — момент сопротивления; Примеры решения задач технической механике — допускаемое напряжение кручения.

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике
  • Прочность обеспечена. Максимальное касательное напряжение в сечении Примеры решения задач технической механике.
  • Проверка жесткости. Условие жесткости:
Примеры решения задач технической механике

где Примеры решения задач технической механике — относительный угол закручивания; Примеры решения задач технической механике — полярный момент инерции при кручении; Примеры решения задач технической механике — допускаемый угол закручивания.

Примеры решения задач технической механике

Угол закручивания участка

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Жесткость обеспечена.

  • Построим эпюру касательных напряжений в поперечном сечении (рис. 28.56). Определим напряжение в точке, удаленной на 5 мм от оси вала.
Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Изгиб. Классификация видов изгиба. Внутренние силовые факторы при изгибе

Иметь представление о видах изгиба и внутренних силовых факторах.

Знать методы для определения внутренних силовых факторов и уметь ими пользоваться для определения внутренних силовых факторов при прямом изгибе.

Лекции:

  1. Изгиб: основные определения
  2. Внутренние силовые факторы при изгибе
  3. Знаки поперечных сил и изгибающих моментов
  4. Дифференциальные зависимости при прямом поперечном изгибе

Задача №66.

На балку действует пара сил с моментом Примеры решения задач технической механике и распределенная нагрузка интенсивностью Примеры решения задач технической механике. Балка защемлена справа (рис. 29.6).

Примеры решения задач технической механике

Рассечем балку на участке 1 на расстоянии Примеры решения задач технической механике от левого края. Рассмотрим равновесие отсеченной части. Из уравнения Примеры решения задач технической механике получим:

Примеры решения задач технической механике

Участок 1 — участок чистого изгиба.

Рассечем балку на участке 2 на расстоянии Примеры решения задач технической механике от края, Примеры решения задач технической механике — расстояние сечения от начала координат.

Из уравнения Примеры решения задач технической механике найдем поперечную силу Примеры решения задач технической механике Заменяем распределенную нагрузку на рассматриваемом участке равнодействующей силой Примеры решения задач технической механике.

Примеры решения задач технической механике

Из уравнения моментов определяем изгибающий момент в сечении:

Примеры решения задач технической механике

На втором участке возникает поперечный изгиб.

Примеры решения задач технической механике

Выводы

При действии распределенной нагрузки возникает поперечная сила, линейно зависящая от координаты сечения.

Изгибающий момент на участке с распределенной нагрузкой меняется в зависимости от координаты сечения по параболическому закону.

Изгиб. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Основные правила построения эпюр

Знать порядок построения и контроля эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

Уметь строить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов можно строить, предварительно разделив балку на участки нагружения и составляя уравнения, выражающие изменения Примеры решения задач технической механике и Примеры решения задач технической механике по участкам.

Напомним, что границы участков нагружения — это сечения, в которых приложены внешние нагрузки.

Задача №67.

На балку действуют сосредоточенные силы и момент (рис. 30.1). Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Примеры решения задач технической механике

Решение:

Последовательно по участкам нагружения рассматриваем внутренние силовые факторы в сечениях. Силовые факторы определяем из условий равновесия отсеченной части. Для каждого участка записываем уравнения внутренних силовых факторов.

Используем известные правила:

— поперечная сила численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил на ось Примеры решения задач технической механике;

— изгибающий момент численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих на отсеченную часть, относительно нейтральной оси, совпадающей с осью Примеры решения задач технической механике;

— принятые знаки поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 30.2):

Примеры решения задач технической механике

Составим уравнения равновесия.

Примеры решения задач технической механике
  • Рассмотрим участок 1 (рис. 30.3а).
Примеры решения задач технической механике

Сила Примеры решения задач технической механике — отрицательна. Сила Примеры решения задач технической механике на участке 1 постоянна.

Примеры решения задач технической механике

Примеры решения задач технической механике — отрицательный.

Примеры решения задач технической механике

при

Примеры решения задач технической механике

при

Примеры решения задач технической механике

Изгибающий момент меняется по линейному закону, график — прямая линия.

  • Рассмотрим участок 2 (рис. 30.36).
Примеры решения задач технической механике

Сила Примеры решения задач технической механике положительна.

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

при

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Примеры решения задач технической механике — отрицательный;

при

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Знак сменился; Примеры решения задач технической механике слева от сечения Примеры решения задач технической механике — положительный.

Поперечную силу и изгибающий момент можно определять сразу из зависимостей Примеры решения задач технической механике, не составляя уравнения равновесия участка.

Знак каждого из слагаемых этих уравнений определяем отдельно (участок 3).

  • Рассмотрим участок 3 (рис. З0.Зв).
Примеры решения задач технической механике

Примеры решения задач технической механике — положительна.

Примеры решения задач технической механике

при

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

при

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Обращаем внимание, что для точки Примеры решения задач технической механике получено два значения изгибающих моментов: из уравнения для участка 2 левее точки Примеры решения задач технической механике и из уравнения для участка 3 — правее точки Примеры решения задач технической механике.

Это объясняется тем, что именно в этой точке приложен внешний момент и поэтому внутренний момент сил упругости меняется Примеры решения задач технической механике точках приложения внешнего момента на эпюре моментов появится скачок, равный величине приложенного момента.

Поперечная сила в точке Примеры решения задач технической механике для второго и третьего участков одинакова. Следовательно, приложение внешнего момента не отражается на эпюре поперечных сил. График поперечной силы на участке 3 — прямая линия.

График изменения изгибающих моментов на третьем участке также прямая линия.

  • Построение эпюр. Порядок построения эпюр остается прежним: масштабы эпюр выбираются отдельно, исходя из значений максимальных сил и моментов.

Графики обводятся толстой основной линией и заштриховываются поперек. На графиках указываются значения поперечных сил, изгибающих моментов и единицы измерения.

Правила построения эпюр (рис. 30.1 и 30.4):

  1. Для участка, где отсутствует распределенная нагрузка, поперечная сила постоянна, а изгибающий момент меняется по линейному закону.
  2. В частном случае, когда поперечная сила на участке равна нулю, изгибающий момент постоянен (чистый изгиб), график — прямая линия, параллельная продольной оси (на рис. 30.1 отсутствует).
  3. В том месте, где к балке приложена внешняя сосредоточенная сила, на эпюре Примеры решения задач технической механике возникает скачок на величину приложенной силы, а на эпюре моментов — излом.
  4. В сечении, где к балке приложена пара сил (сосредоточенный момент), на эпюре Примеры решения задач технической механике возникает скачок на величину момента этой пары. Поперечная сила при этом не изменяется.
  5. В сечении на конце балки поперечная сила равна приложенной в этом сечении сосредоточенной силе или реакции в заделке.
  6. На свободном конце балки или шарнирно опертом конце момент равен нулю, за исключением случаев, когда в этом сечении приложена пара сил (внешний момент).

Задача №68.

На двухопорную балку действуют сосредоточенные силы и моменты (рис. 30.4). Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Для двухопорной балки построение эпюр начинают с определения опорных реакций балки. Для их определения используем систему уравнений равновесия, составляем два уравнения моментов относительно шарнирных опор. Затем проводим проверку правильности решения по уравнению

Примеры решения задач технической механике

Решение:

  • Определение реакций в опорах. Уравнения равновесия:
Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Реакция в опоре направлена в обратную сторону.

Проверка:

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Реакции определены верно.

  • Для упрощения расчетов при построении эпюр поперечный сил и изгибающих моментов можно провести расчет по характерным точкам без составления уравнений.

Для этого используют известные связи между поперечной силой и изгибающим моментом и правила построения эпюр.

Участок 1 (от точки Примеры решения задач технической механике до точки Примеры решения задач технической механике).

В точке Примеры решения задач технической механике приложена реакция Примеры решения задач технической механике, направленная вниз. Поперечная сила на участке постоянна:

Примеры решения задач технической механике

Момент в точке Примеры решения задач технической механике равен нулю.

Точка Примеры решения задач технической механике (слева). Приложена внешняя сила Примеры решения задач технической механике, направленная вверх, — здесь возникнет скачок вверх на величину 35 кН. Момент в точке Примеры решения задач технической механике (слева) может быть рассчитан по известной зависимости

Примеры решения задач технической механике

Участок 2 (от точки Примеры решения задач технической механике справа до точки Примеры решения задач технической механике).

Поперечная сила в точке Примеры решения задач технической механике (справа) равна

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

В точке Примеры решения задач технической механике приложена внешняя пара сил с моментом 80кН-м, следовательно, здесь проявляется скачок на величину приложенного момента:

Примеры решения задач технической механике

Поперечная сила на втором участке постоянна:

Примеры решения задач технической механике

Момент в точке Примеры решения задач технической механике определяется по зависимости

Примеры решения задач технической механике

Справа и слева от точки Примеры решения задач технической механике момент имеет одинаковые значения.

Участок 3 (от точки Примеры решения задач технической механике (справа) до точки Примеры решения задач технической механике).

В точке Примеры решения задач технической механике приложена внешняя сила Примеры решения задач технической механике. Здесь появляется скачок на величину 71 кН,

Примеры решения задач технической механике

Дальше по участку поперечная сила не изменяется. Момент в точке Примеры решения задач технической механике равен нулю, т.к. здесь не приложена внешняя пара сил:

Примеры решения задач технической механике

Рассмотрение поперечных сил и изгибающих моментов можно было провести и справа налево.

По полученным значениям сил и моментов строим эпюры (эпюры под схемой вала, рис. 30.4).

Изгиб. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Приложены сосредоточенные и распределенные нагрузки

Знать дифференциальные зависимости между интенсивностью распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом, основные правша построения эпюр.

Уметь строить эпюры поперечной силы и изгибающего момента в случае приложения сосредоточенных и распределенных нагрузок.

Задача №69.

Одноопорная балка нагружена сосредоточенными силами и распределенной нагрузкой (рис. 31.1). Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Решение:

Задачу решаем с помощью составления уравнений поперечных сил и изгибающих моментов в поперечных сечениях балки.

При проверке эпюр используем дифференциальные зависимости между интенсивностью распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом:

  • Производная от поперечной силы по длине балки равна интенсивности распределенной нагрузки
Примеры решения задач технической механике
  • Производная изгибающего момента по длине балки равна поперечной силе
Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Рассмотрим участок 1, сечение 1. Поперечная сила

Примеры решения задач технической механике

По принятому правилу знаков поперечная сила отрицательна и постоянна на этом участке.

Изгибающий момент

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Рассмотрим участок 2, сечение 2. Поперечная сила

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Поперечная сила изменяется по линейному закону.

Изгибающий момент

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

при Примеры решения задач технической механике изгибающий момент Примеры решения задач технической механике. В точке Примеры решения задач технической механике нет внешнего момента, поэтому изгибающий момент слева и справа от точки Примеры решения задач технической механике одинаков. В этом случае рассчитывать его дважды не следует;

при

Примеры решения задач технической механике

Рассмотрим участок 3, сечение 3.

В точке Примеры решения задач технической механике приложена внешняя сила Примеры решения задач технической механике. На эпюре должен быть скачок, равный приложенной силе; на эпюре моментов должен быть излом.

Поперечная сила на участке 3:

Примеры решения задач технической механике

при

Примеры решения задач технической механике

точка Примеры решения задач технической механике:

Примеры решения задач технической механике

при

Примеры решения задач технической механике

Поперечная сила изменяется по линейному закону.

Изгибающий момент

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

при

Примеры решения задач технической механике

На участках 2 и 3 эпюра изгибающих моментов ограничена квадратичной параболой.

По полученным результатам, учитывая дифференциальные зависимости между поперечной силой и изгибающим моментом, строим эпюры Примеры решения задач технической механике и Примеры решения задач технической механике. На втором и третьем участках поперечная сила не имеет нулевых значений, поэтому на эпюре моментов нет экстремумов.

Основные правила построения эпюр в случае приложения распределенной нагрузки. Контроль правильности решений

  1. Для участка балки с равномерно распределенной нагрузкой поперечная сила Примеры решения задач технической механике изменяется по линейному закону, эпюра ограничена наклонной прямой. Изгибающий момент изменяется по квадратичному закону, эпюра Примеры решения задач технической механике ограничена параболой второго порядка.
  2. В сечении, где эпюра Примеры решения задач технической механике переходит через ноль (наклонная линия пересекает ось абсцисс), изгибающий момент экстремален: касательная к эпюре Примеры решения задач технической механике в этом месте параллельна оси абсцисс.
  3. Параболическая и прямолинейная части эпюры моментов там, где кончается или начинается распределенная нагрузка, сопрягаются плавно, без излома, если в соответствующем сечении к балке не приложена сосредоточенная сила.
  4. Если распределенная нагрузка направлена вниз, то эпюра момента очерчена параболой, обращенной выпуклостью вверх.
  5. Из теоремы Журавского следует:

— если на участке Примеры решения задач технической механике растет;

— если на участке Примеры решения задач технической механике убывает;

— если на участке Примеры решения задач технической механике, изгибающий момент постоянен (чистый изгиб);

— если в точке Примеры решения задач технической механике, изгибающий момент достигает экстремального значения (Примеры решения задач технической механике или Примеры решения задач технической механике).

Задача №70.

Расчет двухопорной балки. Двухопорная балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой (рис. 31.2).

Решение:

При определении реакций в опоре равномерно распределенную нагрузку можно заранее заменить равнодействующей сосредоточенной силой:

Примеры решения задач технической механике

При построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов распределенная нагрузка учитывается постепенно.

Расчет балки можно провести по характерным точкам, при этом необходимо знать правила построения эпюр, перечисленные выше.

Примеры решения задач технической механике

Определяем реакции в опорах балки.

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Проверка:

Примеры решения задач технической механике

Построение эпюр

Анализируем схему балки. Рассмотрим участок 1 до сечения 1.

В опоре Примеры решения задач технической механике действует сосредоточенная сила Примеры решения задач технической механике. На участке 1 поперечная сила остается постоянной: Примеры решения задач технической механике (рис. 31.3).

Примеры решения задач технической механике

Изгибающий момент в точке Примеры решения задач технической механике равен нулю, т.к. здесь нет момента внешней пары сил:

Примеры решения задач технической механике

Момент в точке Примеры решения задач технической механике (граница участка, Примеры решения задач технической механике)

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Эпюра очерчивается прямой линией, наклонной к оси Примеры решения задач технической механике (рис. 31.3).

Рассмотрим участок 2 (рис. 31.3). Здесь действует распределенная нагрузка интенсивностью Примеры решения задач технической механике. При перемещении вдоль оси балки направо распределенная нагрузка суммируется. Эпюра Примеры решения задач технической механике — прямая линия, наклонная к оси Примеры решения задач технической механике. Распределенная нагрузка направлена вниз (см. Основные правила построения эпюр, п. 4), здесь эпюра изгибающего момента очерчена параболой, обращенной выпуклостью вверх.

Реакция в опоре Примеры решения задач технической механике и распределенная нагрузка направлены в разные стороны. Следовательно, возможна точка, в которой, по правилу 2, Примеры решения задач технической механике, а изгибающий момент экстремален.

Для построения эпюры моментов необходимо составить уравнение поперечной силы на участке 2 и приравнять величину поперечной силы нулю. Из уравнения можно определить координату точки, в которой изгибающий момент экстремален.

Проводим необходимые расчеты, определяем величины поперечных сил и изгибающих моментов в характерных точках.

Рассмотрим участок 2, сечение 2 (рис. 31.3).

Уравнение поперечной силы

Примеры решения задач технической механике

Откуда:

Примеры решения задач технической механике

Примеры решения задач технической механике — координата точки, где изгибающий момент экстремален, т.к.

Примеры решения задач технической механике

Уравнение момента на участке 2:

Примеры решения задач технической механике

При

Примеры решения задач технической механике

Максимальное значение изгибающего момента на участке 2

Примеры решения задач технической механике

Значения поперечной силы и изгибающего момента в точке Примеры решения задач технической механике:

Примеры решения задач технической механике

Строим эпюру поперечной силы. Первый участок — прямая линия, параллельная оси Примеры решения задач технической механике. В точке Примеры решения задач технической механике эпюра становится наклонной. Строим эпюру изгибающих моментов (рис. 31.3).

Участок 1 эпюра — прямая линия;

Примеры решения задач технической механике

Участок 2 эпюра — парабола с экстремумом в точке

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Изгиб. Нормальные напряжения при изгибе. Расчеты на прочность

Знать распределение нормальных напряжений по сечению балки при чистом изгибе, расчетные формулы и условия прочности.

Уметь выполнять проектировочные и проверочные расчеты на прочность, выбирать рациональные формы поперечных сечений.

Лекции:

  1. Деформации при чистом изгибе
  2. Формула для расчета нормальных напряжений при изгибе
  3. Рациональные сечения при изгибе

Задача №71.

Сравним моменты сопротивления двух сечений одинаковой площади: двутавра (рис. 32.7г) и круга (рис. З2.7а).

Двутавр № 10 имеет площадь Примеры решения задач технической механике, осевой момент инерции Примеры решения задач технической механике, момент сопротивления Примеры решения задач технической механике.

Круг той же площади имеет диаметр Примеры решения задач технической механике, осевой момент инерции Примеры решения задач технической механике, момент сопротивления Примеры решения задач технической механике.

Примеры решения задач технической механике

Сопротивление изгибу у двутавровой балки в шесть раз выше, чем у балки круглого сечения.

Из этого примера можно сделать вывод: сечения прямоугольные, квадратные, круглые и ромбовидные нерациональны (рис. 32.7а, б).

Примеры решения задач технической механике

Для материалов, обладающих разной прочностью при растяжении и сжатии (хрупкие материалы обладают значительно большей прочностью на сжатие, чем на растяжение), выбирают асимметричные сечения тавр, рельс и др.

Расчет на прочность при изгибе

Рассчитать на прочность — это значит определить напряжение и сравнить его с допустимым.

Условие прочности при изгибе:

Примеры решения задач технической механике

где Примеры решения задач технической механике — допускаемое напряжение.

По этому неравенству проводят проверочные расчеты после окончания конструирования балки.

Для балок из хрупких материалов расчеты ведут по растянутой и сжатой зоне одновременно (рис. 32.8).

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

При проектировочном расчете определяют потребные размеры поперечных сечений балки или подбирают материал. Схема нагружения и действующие нагрузки известны.

По условию прочности можно определить нагрузочную способность балки

Примеры решения задач технической механике

Задача №72.

Подобрать размеры сечения балки в виде двутавра. Известна схема нагружения балки (рис. 32.9), материал — сталь, допускаемое напряжение материала при изгибе

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Для защемленной балки реакции в опоре определять не следует.

Проводим расчеты по характерным точкам. Размеры сечения подбираем из расчета по нормальным напряжениям. Эпюру поперечных сил строить необязательно.

Определяем моменты в характерных точках.

Примеры решения задач технической механике

В точке Примеры решения задач технической механике приложен внешний момент пары, поэтому расчет проводим для левого сечения (без момента) и для правого — с моментом Примеры решения задач технической механике.

Примеры решения задач технической механике

Момент положительный.

Примеры решения задач технической механике

Момент в заделке

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Выбираем соответствующий масштаб по максимальному значению изгибающего момента.

Опасное сечение — сечение балки, где действует максимальный момент. Подбираем размеры балки в опасном сечении по условию прочности

Примеры решения задач технической механике

Основываясь на значении Примеры решения задач технической механике по таблице ГОСТ 8239-89 выбираем двутавр № 30а: момент сопротивления Примеры решения задач технической механике; площадь сечения Примеры решения задач технической механике.

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Сторона квадрата Примеры решения задач технической механике Площадь сечения балки Примеры решения задач технической механике

Примеры решения задач технической механике

Балка квадратного сечения в 4 раза тяжелее.

Понятие о касательных напряжениях при изгибе. Линейные и угловые перемещения при изгибе, их определение

Иметь представление о касательных напряжениях при изгибе, об упругой линии балки, о деформациях при изгибе и методах определения линейных и угловых перемещений.

Знать один из методов определения линейных и угловых перемещений.

Лекции:

  1. Поперечный изгиб. Внутренние силовые факторы
  2. Понятия о линейных и угловых перемещениях при изгибе
  3. Формулы для определения прогибов и углов поворота сечений балок

Задача №77.

Проверить жесткость двутавровой балки (рис. 33.7). Принять Примеры решения задач технической механике. Сечение балки — двутавр № 45.

Решение:

Используем принцип независимости действия сил. По приведенным в таблице формулам рассчитываем прогиб балки в точке от каждого вида нагружения отдельно (рис. 33.7 (1, 2, 3)).

Примеры решения задач технической механике

Поскольку все действующие нагрузки прогибают балку вниз, результаты действия нагрузок можно сложить. Полученный суммарный прогиб сравним с допускаемым прогибом.

Допускаемый прогиб Примеры решения задач технической механике Примеры решения задач технической механике

Суммарный прогиб

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Исходные данные:

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Для двутавра № 45 ГОСТ 8239-89

Примеры решения задач технической механике

Тогда

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

21,33 <25 — условие жесткости выполняется. Максимальный прогиб не превышает допускаемого значения.

Сочетание основных деформаций. Гипотезы прочности

Иметь представление о напряженном состоянии в точке упругого тела, о теории предельных напряженных состояний, об эквивалентном напряженном состоянии, о гипотезах прочности.

Знать формулы для эквивалентных напряжений по гипотезам наибольших касательных напряжений и энергии формоизменения.

Лекции:

  1. Напряженное состояние в точке
  2. Понятие о сложном деформированном состоянии
  3. Расчет круглого бруса на изгиб с кручением

Задача №78.

Для заданного напряженного состояния (рис. 34.4), пользуясь гипотезой максимальных касательных напряжений, вычислить коэффициент запаса прочности, если Примеры решения задач технической механике.

Примеры решения задач технической механике

Решение:

Примеры решения задач технической механике

Примеры решения задач технической механике — коэффициент запаса прочности.

Расчет бруса круглого поперечного сечения при сочетании основных деформаций

Знать формулы для эквивалентных напряжений по гипотезам наибольших касательных напряжений и энергии формоизменения.

Уметь рассчитывать брус круглого поперечного сечения на прочность при сочетании основных деформаций.

Большинство валов испытывают сочетание деформаций изгиба и кручения. Обычно валы — прямые брусья с круглым или кольцевым сечением. При расчете валов касательные напряжения от действия поперечных сил не учитывают из-за их незначительности.

Расчеты проводят по опасным поперечным сечениям. При пространственном нагружении вала пользуются гипотезой независимости действия сил и изгибающие моменты рассматривают в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, а суммарный изгибающий момент определяют геометрическим суммированием.

Лекции:

  1. Формулы для расчета эквивалентных напряжений
  2. Условие прочности при совместном действии изгиба и кручения

Задача №79.

В опасном поперечном сечении круглого бруса возникают внутренние силовые факторы (рис. 35.1) Примеры решения задач технической механике.

Примеры решения задач технической механике и Примеры решения задач технической механике — изгибающие моменты в плоскостях Примеры решения задач технической механике и Примеры решения задач технической механике соответственно; Примеры решения задач технической механике — крутящий момент. Проверить прочность по гипотезе наибольших касательных напряжений, если Примеры решения задач технической механике Исходные данные: Примеры решения задач технической механикеПримеры решения задач технической механике

Решение:

Строим эпюры нормальных напряжений от действия изгибающих моментов относительно осей Примеры решения задач технической механике и Примеры решения задач технической механике и эпюру касательных напряжений от кручения (рис. 35.2).

Примеры решения задач технической механике

Максимальное касательное напряжение возникает на поверхности. Максимальные нормальные напряжения от момента Примеры решения задач технической механике возникают в точке Примеры решения задач технической механике, максимальные нормальные напряжения от момента Примеры решения задач технической механике в точке Примеры решения задач технической механике. Нормальные напряжения складываются, потому что изгибающие моменты во взаимно перпендикулярных плоскостях геометрически суммируются.

Суммарный изгибающий момент:

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Рассчитываем эквивалентный момент по теории максимальных касательных напряжений:

Примеры решения задач технической механике

Условие прочности:

Примеры решения задач технической механике

Момент сопротивления сечения:

Примеры решения задач технической механике

Проверяем прочность:

Примеры решения задач технической механике

Прочность обеспечена.

Задача №80.

Из условия прочности рассчитать необходимый диаметр вала. На валу установлены два колеса. На колеса действуют две окружные силы Примеры решения задач технической механике и две радиальные силы в вертикальной плоскости Примеры решения задач технической механике (рис. 35.3). Диаметры колес соответственно равны Примеры решения задач технической механике.

Примеры решения задач технической механике

Принять для материала вала Примеры решения задач технической механикеПримеры решения задач технической механике.

Задача №81.

Рассчитать размеры вала кольцевого сечения при Примеры решения задач технической механике. Расчет провести по гипотезе максимальных касательных напряжений. Весом вала и колес пренебречь.

Решение:

Указание. Используем принцип независимости действия сил, составляем расчетные схемы вала в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Определяем реакции в опорах в горизонтальной и вертикальной плоскостях в отдельности. Строим эпюры изгибающих моментов (рис. 35.4). Под действием окружных сил вал скручивается. Определяем действующий на валу крутящий момент.

Составим расчетную схему вала (рис. 35.4).

  • Крутящий момент на валу:
Примеры решения задач технической механике
  • Изгиб рассматриваем в двух плоскостях: горизонтальной (пл. Примеры решения задач технической механике) и вертикальной (пл. Примеры решения задач технической механике).

В горизонтальной плоскости определяем реакции в опоре:

Примеры решения задач технической механике

Определяем изгибающие моменты в точках Примеры решения задач технической механике и Примеры решения задач технической механике:

Примеры решения задач технической механике

В вертикальной плоскости определяем реакции в опоре:

Примеры решения задач технической механике

Определяем изгибающие моменты в точках Примеры решения задач технической механике и Примеры решения задач технической механике:

Примеры решения задач технической механике

Суммарные изгибающие моменты в точках Примеры решения задач технической механике и Примеры решения задач технической механике:

Примеры решения задач технической механике

В точке Примеры решения задач технической механике максимальный изгибающий момент, здесь же действует и крутящий момент.

Расчет диаметра вала ведем по наиболее нагруженному сечению.

  • Эквивалентный момент в точке Примеры решения задач технической механике по третьей теории прочности
Примеры решения задач технической механике
  • Определяем диаметр вала круглого поперечного сечения из условия прочности
Примеры решения задач технической механике

Округляем полученную величину: Примеры решения задач технической механике. Примечание. При выборе диаметров вала пользоваться стандартным рядом диаметров (Приложение 2).

  • Определяем необходимые размеры вала кольцевого сечения

при Примеры решения задач технической механике где Примеры решения задач технической механике — наружный диаметр вала.

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Диаметр вала кольцевого сечения можно определить по формуле

Примеры решения задач технической механике

Примем Примеры решения задач технической механике

Перегрузка незначительная. Примеры решения задач технической механике

Округляем до значения Примеры решения задач технической механике

  • Сравним затраты металла по площадям сечения вала в обоих случаях.

Площадь поперечного сечения сплошного вала

Примеры решения задач технической механике

Площадь поперечного сечения полого вала

Примеры решения задач технической механике

Площадь поперечного сечения сплошного вала почти в два раза больше вала кольцевого сечения:

Примеры решения задач технической механике

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Устойчивость сжатых стержней. Основные положения

Иметь представление об устойчивых и неустойчивых формах равновесия, критической силе и коэффициенте запаса устойчивости, о критическом напряжении, гибкости стержня и предельной гибкости.

Знать условие устойчивости сжатых стержней, формулу Эйлера и эмпирические формулы для расчета критической силы и критического напряжения.

Лекции:

  1. Понятие об устойчивом и неустойчивом равновесии
  2. Расчет на устойчивость
  3. Способы определения критической силы
  4. Критические напряжения
  5. Пределы применимости формулы Эйлера
  6. Предельная гибкость
  7. Порядок выполнения расчета на устойчивость
  8. Сопротивление усталости: основные понятия

Задача №82.

Рассчитать гибкость стержня. Круглый стержень диаметром 20 мм закреплен так, как показано на рис. 37.1.

Примеры решения задач технической механике

Решение:

  • Гибкость стержня определяется по формуле
Примеры решения задач технической механике
  • Определяем минимальный радиус инерции для круга.
Примеры решения задач технической механике

Подставив выражения для Примеры решения задач технической механике и Примеры решения задач технической механике (сечение — круг)

Примеры решения задач технической механике

получим

Примеры решения задач технической механике
  • Коэффициент приведения длины для данной схемы крепления
Примеры решения задач технической механике
  • Гибкость стержня будет равна
Примеры решения задач технической механике

Задача №83.

Как изменится критическая сила для стержня, если изменить способ закрепления концов? Сравнить представленные схемы (рис. 37.2)

Примеры решения задач технической механике

Решение:

Примеры решения задач технической механике

Критическая сила увеличится в 4 раза.

Примеры решения задач технической механике

Задача №84.

Как изменится критическая сила при расчете на устойчивость, если стержень двутаврового сечения (рис. 37.3а, двутавр № 12) заменить стержнем прямоугольного сечения той же площади (рис. 37.36)? Остальные параметры конструкции не меняются. Расчет выполнить по формуле Эйлера.

Решение:

Примеры решения задач технической механике

Определим ширину сечения прямоугольника, высота сечения равна высоте сечения двутавра. Геометрические параметры двутавра № 12 по ГОСТ 8239-89 следующие: площадь сечения Примеры решения задач технической механике;

минимальный из осевых моментов инерции Примеры решения задач технической механике. По условию площадь прямоугольного сечения равна площади сечения двутавра. Определяем ширину полосы при высоте 12 см.

Примеры решения задач технической механике

Определим минимальный из осевых моментов инерции.

Примеры решения задач технической механике

Критическая сила определяется по формуле Эйлера:

Примеры решения задач технической механике

При прочих равных условиях отношение критических сил равно отношению минимальных моментов инерции:

Примеры решения задач технической механике

Таким образом, устойчивость стержня с сечением двутавр № 12 в 15 раз выше, чем устойчивость стержня выбранного прямоугольного сечения.

Задача №85.

Проверить устойчивость стержня. Стержень длиной 1м защемлен одним концом, сечение — швеллер № 16, материал — СтЗ, запас устойчивости трехкратный. Стержень нагружен сжимающей силой 82 кН (рис. 37.4).

Примеры решения задач технической механике

Решение:

  • Определяем основные геометрические параметры сечения стержня по ГОСТ 8240-89.

Швеллер № 16: площадь сечения Примеры решения задач технической механике; минимальный осевой момент сечения Примеры решения задач технической механике; минимальный радиус инерции сечения Примеры решения задач технической механике.

  • Определяем категорию стержня в зависимости от гибкости.

Предельная гибкость для материала СтЗ

Примеры решения задач технической механике

Расчетная гибкость стержня при длине

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Рассчитываемый стержень — стержень большой гибкости, расчет ведем по формуле Эйлера.

Примеры решения задач технической механике

Допускаемая нагрузка на стержень

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Условие устойчивости

Примеры решения задач технической механике
Примеры решения задач технической механике

Устойчивость стержня обеспечена.

Возможно эти страницы вам будут полезны: