Высшая математика примеры с решениями

Оглавление:

Примеры решения задач по высшей математике

Здравствуйте, на этой странице, я собрала весь курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики, это самый полный курс лекций на сегодняшний день в интернете! Он подходит для школьников и студентов всех курсов и специальностей обучения. Курс лекций содержит, правила, теоремы, примеры решения.

Если Вам что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап!

Высшая математика

Высшая математика — это совокупность математических дисциплин, преподаваемых в высших учебных заведениях (ВУЗах). В разных университетах могут преподаваться разные наборы математических дисциплин.

В технических университетах и институтах, например, курс высшей математики может включать следующие разделы:

  • аналитическая геометрия и линейная алгебра;
  • математический анализ в объёме дифференцирования и интегрирования функции одной переменной и функции нескольких переменных;
  • теория кратных интегралов и векторное поле;
  • обыкновенные дифференциальные уравнения;
  • числовые и функциональные ряды;
  • теория функции комплексного переменного;
  • преобразование Лапласа и операционное исчисление;
  • гармонический анализ и теория рядов Фурье;
  • уравнения математической физики; вариационное исчисление.

В высших учебных заведениях с гуманитарной и экономической направленностью курс по высшей математике может существенно отличаться от соответствующего курса в техническом университете. Скорее всего, экономисты и гуманитарии изучают только основы линейной алгебры и математического анализа.

Во многих высших учебных заведениях курс высшей математики включает такие разделы, как дискретная математика: математическая логика; теория графов и др.

Высшая математика считается самым сложным предметом в университете.

Элементы линейной алгебры

Линейная алгебра — раздел алгебры, изучающий объекты линейной природы: векторные (или линейные) пространства, линейные отображения[⇨], системы линейных уравнений[⇨], среди основных инструментов, используемых в линейной алгебре — определители, матрицы[⇨], сопряжение. Теория инвариантов и тензорное исчисление обычно (в целом или частично) также считаются составными частями линейной алгебры. Такие объекты как квадратичные и билинейные формы[⇨], тензоры[⇨] и операции как тензорное произведение непосредственно вытекают из изучения линейных пространств, но как таковые относятся к полилинейной алгебре.

Матрицы

Основные понятия

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая Примеры решения задач по высшей математике строк одинаковой длины (или Примеры решения задач по высшей математике столбцов одинаковой длины). Матрица записывается в виде

Примеры решения задач по высшей математике

или, сокращенно, Примеры решения задач по высшей математике, где Примеры решения задач по высшей математике (т. е. Примеры решения задач по высшей математике) — номер строки, Примеры решения задач по высшей математике (т. е. Примеры решения задач по высшей математике) — номер столбца.

Матрицу Примеры решения задач по высшей математике называют матрицей размера Примеры решения задач по высшей математике и пишут Примеры решения задач по высшей математике. Числа Примеры решения задач по высшей математике, составляющие матрицу, называются ее элементами. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего угла, образуют гласную диагональ.

Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц, т. е.

Примеры решения задач по высшей математике, если Примеры решения задач по высшей математике, где Примеры решения задач по высшей математике, Примеры решения задач по высшей математике.

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера Примеры решения задач по высшей математике называют матрицей Примеры решения задач по высшей математике-го порядка.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Примеры решения задач по высшей математике.

Пример №1.1.

Примеры решения задач по высшей математике

— единичная матрица 3-го порядка.

Примеры решения задач по высшей математике

— единичная матрица Примеры решения задач по высшей математике-го порядка.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Обозначается буквой Примеры решения задач по высшей математике. Имеет вид

Примеры решения задач по высшей математике

В матричном исчислении матрицы Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике играют роль чисел 0 и 1 в арифметике.

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (или вектор-столбец, или вектор-строка соответственно). Их вид:

Примеры решения задач по высшей математике

Матрица размера Примеры решения задач по высшей математике, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т. е. Примеры решения задач по высшей математике есть 5.

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается Примеры решения задач по высшей математике.

Так, если Примеры решения задач по высшей математике, то Примеры решения задач по высшей математике, если Примеры решения задач по высшей математике, то Примеры решения задач по высшей математике.

Транспонированная матрица обладает следующим свойством: Примеры решения задач по высшей математике.

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Действия над матрицами
  2. Элементарные преобразования матриц
  3. Произведение матриц

Определители

Основные понятия

Квадратной матрице Примеры решения задач по высшей математике порядка Примеры решения задач по высшей математике можно сопоставить число Примеры решения задач по высшей математике (или Примеры решения задач по высшей математике, или Примеры решения задач по высшей математике), называемое ее определителем, следующим образом:

Примеры решения задач по высшей математике

Определитель матрицы Примеры решения задач по высшей математике также называют ее детерминантом. Правило вычисления детерминанта для матрицы порядка Примеры решения задач по высшей математике является довольно сложным для восприятия и применения. Однако известны методы, позволяющие реализовать вычисление определителей высоких порядков на основе определителей низших порядков. Один из методов основан на свойстве разложения определителя по элементам некоторого ряда (с. 23, свойство 7). При этом заметим, что определители невысоких порядков (1, 2, 3) желательно уметь вычислять согласно определению.

Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой:

Примеры решения задач по высшей математике

Пример №2.1.

Найти определители матриц

Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике.

Решение:

Примеры решения задач по высшей математике

При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников (или Саррюса), которое символически можно записать так:

Примеры решения задач по высшей математике

Дополнительный пример №2.2.

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Свойства определителей
  2. Невырожденные матрицы

Системы линейных уравнений

Основные понятия

Системой линейных, алгебраических уравнений, содержащей Примеры решения задач по высшей математике уравнений и Примеры решения задач по высшей математике неизвестных, называется система вида

Примеры решения задач по высшей математике

где числа Примеры решения задач по высшей математике, Примеры решения задач по высшей математике называются коэффициентами системы, числа Примеры решения задач по высшей математике — свободными членами. Подлежат нахождению числа Примеры решения задач по высшей математике.

Такую систему удобно записывать в компактной матричной
форме

Примеры решения задач по высшей математике

Здесь Примеры решения задач по высшей математике — матрица коэффициентов системы, называемая основной
матрицей:

Примеры решения задач по высшей математике

Примеры решения задач по высшей математике — вектор-столбец из неизвестных Примеры решения задач по высшей математике,

Примеры решения задач по высшей математике — вектор-столбец из свободных членов Примеры решения задач по высшей математике.

Произведение матриц Примеры решения задач по высшей математике определено, так как в матрице Примеры решения задач по высшей математике столбцов столько же, сколько строк в матрице Примеры решения задач по высшей математике (Примеры решения задач по высшей математике штук).

Расширенной матрицей системы называется матрица Примеры решения задач по высшей математике системы, дополненная столбцом свободных членов

Примеры решения задач по высшей математике

Решением системы называется Примеры решения задач по высшей математике значений неизвестных Примеры решения задач по высшей математике Примеры решения задач по высшей математике при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца

Примеры решения задач по высшей математике

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется оборш решением.

Решить систему — это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

Две; системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.

Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

Примеры решения задач по высшей математике

Однородная система всегда совместна, так как Примеры решения задач по высшей математике является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Решение систем линейных уравнений
  2. Решение невырожденных линейных систем
  3. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
  4. Системы линейных однородных уравнений

Элементы векторной алгебры

Векторная алгебра — это раздел математики, отвечающий за изучение систем линейных уравнений, векторов, матриц, векторных пространств и их линейных преобразований.

Векторная алгебра в высшей математике распределена по разделам:

  • раздел векторного исчисления, изучающий линейные операции с векторами и их геометрические свойства;
  • часть линейной алгебры, занимающаяся векторными пространствами;
  • различные векторные алгебры XIX века (например, кватернионов, бикватернионов, сплит-кватернионов).

Векторы

Основные понятия

Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Примерами скалярных величин являются: площадь, длина, объем, температура, работа, масса.

Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называют векторными. Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора.

Вектор — это направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если Примеры решения задач по высшей математике — начало вектора, а Примеры решения задач по высшей математике — его конец, то вектор обозначается символом Примеры решения задач по высшей математике или Примеры решения задач по высшей математике. Вектор Примеры решения задач по высшей математике (у него начало в точке Примеры решения задач по высшей математике, а конец в точке Примеры решения задач по высшей математике) называется противоположным вектору Примеры решения задач по высшей математике. Вектор, противоположный вектору Примеры решения задач по высшей математике, обозначается —Примеры решения задач по высшей математике.

Длиной или модулем вектора Примеры решения задач по высшей математике называется длина отрезка и обозначается Примеры решения задач по высшей математике. Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается Примеры решения задач по высшей математике. Нулевой вектор направления не имеет.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через Примеры решения задач по высшей математике. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора Примеры решения задач по высшей математике, называется ортом вектора Примеры решения задач по высшей математике и обозначается Примеры решения задач по высшей математике.

Векторы Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают Примеры решения задач по высшей математике.

Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Два вектора Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике называются равными Примеры решения задач по высшей математике, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Примеры решения задач по высшей математике

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора помещать в любую точку Примеры решения задач по высшей математике пространства.

На рисунке 1 векторы образуют прямоугольник. Справедливо равенство Примеры решения задач по высшей математике, но Примеры решения задач по высшей математике. Векторы Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике — противоположные, Примеры решения задач по высшей математике.

Равные векторы называют также свободными.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хота бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны.

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Линейные операции над векторами
  2. Проекция вектора на ось
  3. Разложение вектора по ортам координатных осей
  4. Скалярное произведение векторов и его свойства
  5. Выражение скалярного произведения через координаты
  6. Некоторые приложения скалярного произведения
  7. Векторное произведение векторов и его свойства
  8. Выражение векторного произведения через координаты
  9. Некоторые приложения векторного произведения
  10. Смешанное произведение векторов
  11. Выражение смешанного произведения через координаты
  12. Некоторые приложения смешанного произведения

Аналитическая геометрия на плоскости

Аналитическая геометрия — раздел геометрии, в котором геометрические фигуры и их свойства исследуются средствами алгебры. В основе этого метода лежит так называемый метод координат, впервые применённый Декартом в 1637 году. Каждому геометрическому соотношению этот метод ставит в соответствие некоторое уравнение, связывающее координаты фигуры или тела. Такой метод «алгебраизации» геометрических свойств доказал свою универсальность и плодотворно применяется во многих естественных науках и в технике.

В высшей математике аналитическая геометрия является также основой для других разделов геометрии — например, дифференциальной, алгебраической, комбинаторной и вычислительной геометрии.

Система координат на плоскости

Основные понятия

Под системой координат на плоскости понимают способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости. Одной
из таких систем является прямоугольная (декартова) система координат.

Примеры решения задач по высшей математике

Прямоугольная система координат задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми — осями, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан единичный (масштабный) отрезок. Единицу масштаба обычно берут одинаковой для обеих осей. Эти оси называют осями координат, точку их пересечения Примеры решения задач по высшей математике — началом координат. Одну из осей называют осью абсцисс (осью Примеры решения задач по высшей математике), другую — осью ординат (осью Примеры решения задач по высшей математике) (рис. 23).

На рисунках ось абсцисс, обычно располагают горизонтально и направленной слева направо, а ось ординат — вертикально и направленной снизу вверх. Оси координат делят плоскость на четыре области — четверти (или квадранты).

Единичные векторы осей обозначают Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике.

Систему координат обозначают Примеры решения задач по высшей математике (или Примеры решения задач по высшей математике), а плоскость, в которой расположена система координат, называют координатной плоскостью.

Рассмотрим произвольную точку Примеры решения задач по высшей математике плоскости Примеры решения задач по высшей математике. Вектор Примеры решения задач по высшей математике называется радиусом-вектором точки Примеры решения задач по высшей математике.

Координатами точки Примеры решения задач по высшей математике в системе координат Примеры решения задач по высшей математике (Примеры решения задач по высшей математике) называются координаты радиуса-вектора Примеры решения задач по высшей математике. Если Примеры решения задач по высшей математике, то координаты точки Примеры решения задач по высшей математике записывают так: Примеры решения задач по высшей математике, число Примеры решения задач по высшей математике называется абсциссой точки Примеры решения задач по высшей математике, Примеры решения задач по высшей математике — ординатой точки Примеры решения задач по высшей математике.

Эти два числа Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике полностью определяют положение точки на плоскости, а именно: каждой паре чисел Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике соответствует единственная точка Примеры решения задач по высшей математике плоскости, и наоборот.

Другой практически важной системой координат является полярная система координат. Полярная система координат задается точкой Примеры решения задач по высшей математике, называемой полюсом, лучом Примеры решения задач по высшей математике, называемым полярной осью, и единичным’ вектором Примеры решения задач по высшей математике того же направления, что и луч Примеры решения задач по высшей математике.

Возьмем на плоскости точку Примеры решения задач по высшей математике, не совпадающую с Примеры решения задач по высшей математике. Положение точки Примеры решения задач по высшей математике определяется двумя числами: ее расстоянием Примеры решения задач по высшей математике от полюса Примеры решения задач по высшей математике и углом Примеры решения задач по высшей математике, образованным отрезком Примеры решения задач по высшей математике с полярной осью (отсчет углов ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки) (см. рис. 24).

Примеры решения задач по высшей математике

Числа Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике называются полярными координатами точки Примеры решения задач по высшей математике, пишут Примеры решения задач по высшей математике(Примеры решения задач по высшей математике;Примеры решения задач по высшей математике), при этом Примеры решения задач по высшей математике называют полярным радиусом, Примеры решения задач по высшей математике — полярным углом.

Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол Примеры решения задач по высшей математике ограничить промежутком Примеры решения задач по высшей математике (или Примеры решения задач по высшей математике), а полярный радиус — Примеры решения задач по высшей математике. В этом случае каждой точке плоскости (кроме Примеры решения задач по высшей математике) соответствует единственная пара чисел Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике, и обратно.

Установим связь между прямоугольными и полярными координатами. Для этого совместим полюс Примеры решения задач по высшей математике с началом координат системы Примеры решения задач по высшей математике, а полярную ось — с положительной полуосью Примеры решения задач по высшей математике. Пусть Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике — прямоугольные координаты точки Примеры решения задач по высшей математике, а Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике — ее полярные координаты.

Из рисунка 25 видно, что прямоугольные координаты точки Примеры решения задач по высшей математике выражаются через полярные координаты точки следующим образом:

Примеры решения задач по высшей математике

Полярные же координаты точки Примеры решения задач по высшей математике выражаются через ее декартовы координаты (тот же рисунок) такими формулами:

Примеры решения задач по высшей математике

Определяя величину Примеры решения задач по высшей математике, следует установить (по знакам Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике) четверть, в которой лежит искомый угол, и учитывать, что Примеры решения задач по высшей математике.

Пример №9.1.

Дана точка Примеры решения задач по высшей математике. Найти полярные координаты точки Примеры решения задач по высшей математике.

Решение:

Находим Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике:

Примеры решения задач по высшей математике

Отсюда Примеры решения задач по высшей математике. Но так как точка Примеры решения задач по высшей математике лежит в 3-й четверти, то Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике. Итак, полярные координаты точки Примеры решения задач по высшей математике есть Примеры решения задач по высшей математике, т. е. Примеры решения задач по высшей математике.

Лекции и примеры решения к этой теме:

Преобразование системы координат

Основные понятия

Переход от одной системы координат в какую-либо другую называется преобразованием системы, координат.

Рассмотрим два случая преобразования одной прямоугольной системы координат в другую. Полученные формулы устанавливают зависимость между координатами произвольной точки плоскости в разных системах координат.

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Параллельный перенос осей координат
  2. Поворот осей координат
  3. Линии на плоскости
  4. Уравнения прямой на плоскости
  5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
  6. Уравнение прямой, проходящей через две точки
  7. Уравнение прямой в отрезках
  8. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
  9. Полярное уравнение прямой
  10. Нормальное уравнение прямой
  11. Прямая линия на плоскости

Линии второго порядка на плоскости

Основные понятия

Рассмотрим .пинии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат

Примеры решения задач по высшей математике

Коэффициенты уравнения — действительные числа, но по крайней мере одно из чисел Примеры решения задач по высшей математике или Примеры решения задач по высшей математике отлично от нуля. Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка. Ниже будет установлено, что уравнение (11.1) определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу. Прежде, чем переходить к этому утверждению, изучим свойства перечисленных кривых.

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Окружность
  2. Эллипс
  3. Исследование формы эллипса по его уравнению
  4. Дополнительные сведения об эллипсе
  5. Гипербола
  6. Уравнение равносторонней гиперболы, асимптотами которой служат оси координат
  7. Дополнительные сведения о гиперболе
  8. Парабола
  9. Общее уравнение линий второго порядка

Аналитическая геометрия в пространстве

Аналитическая геометрия — раздел геометрии, в котором с помощью алгебры исследуются геометрические фигуры и их свойства. Этот метод основан на так называемом координатном методе, впервые примененном Декартом в 1637 году. Каждому геометрическому соотношению этот метод ставит в соответствие некоторое уравнение, связывающее координаты фигуры или тела. Этот метод «алгебры» геометрических свойств доказал свою многогранность и плодотворно применяется во многих естественных науках и техниках.

Уравнения поверхности и линии в пространстве

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Уравнения поверхности в пространстве
  2. Уравнения плоскости в пространстве
  3. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
  4. Уравнение плоскости в отрезках
  5. Нормальное уравнение плоскости
  6. Плоскость. Основные задачи
  7. Уравнения прямой в пространстве
  8. Прямая линия в пространстве
  9. Прямая и плоскость в пространстве
  10. Цилиндрические поверхности
  11. Поверхности вращения

Канонические уравнения поверхностей второго порядка

По заданному уравнению поверхности второго порядка (т. е. поверхности, уравнение которой в прямоугольной системе координат является алгебраическим уравнением второй степени) будем определять ее геометрический вид. Для этого применим так называемый метод сечений: исследование вида поверхности будем производить при помощи изучения линий пересечения данной поверхности с координатными плоскостями или плоскостями, им параллельными.

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Эллипсоид
  2. Однополостный гиперболоид
  3. Двухполостный гиперболоид
  4. Эллиптический параболоид
  5. Гиперболический параболоид
  6. Конус второго порядка

Введение в математический анализ

Математический анализ — это совокупность разделов математики, соответствующих историческому разделу под наименованием «анализ бесконечно малых», объединяет дифференциальное[⇨] и интегральное[⇨] исчисления.

Множество чисел

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Множество действительных чисел
  2. Числовые множества
  3. Числовые промежутки

Понятие функции

Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции связано с установлением зависимости (связи) между элементами двух множеств.

Пусть даны два непустых множества Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике. Соответствие Примеры решения задач по высшей математике, которое каждому элементу Примеры решения задач по высшей математике сопоставляет один и только один элемент Примеры решения задач по высшей математике, называется функцией и записывается Примеры решения задач по высшей математике, Примеры решения задач по высшей математике или Примеры решения задач по высшей математике. Говорят еще, что функция Примеры решения задач по высшей математике отображает множество Примеры решения задач по высшей математике на множество Примеры решения задач по высшей математике.

Примеры решения задач по высшей математике

Например, соответствия Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике, изображенные на рисунке 98 а и б, являются функциями, а на рисунке 98 в и г — нет. В случае в — не каждому элементу Примеры решения задач по высшей математике соответствует элемент Примеры решения задач по высшей математике. В случае г не соблюдается условие однозначности.

Множество Примеры решения задач по высшей математике называется областью определения функции Примеры решения задач по высшей математике и обозначается Примеры решения задач по высшей математике. Множество всех Примеры решения задач по высшей математике называется множеством значений функции Примеры решения задач по высшей математике и обозначается Примеры решения задач по высшей математике.

Числовые функции. График функции. Способы задания функций

Пусть задана функция Примеры решения задач по высшей математике.

Если элементами множеств Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике являются действительные числа (т. е. Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике), то функцию Примеры решения задач по высшей математике называют числовой функцией. В дальнейшем будем изучать (как правило) числовые функции, для краткости будем именовать их просто функциями и записывать Примеры решения задач по высшей математике.

Переменная Примеры решения задач по высшей математике называется при этом аргументом или независимой переменной, a Примеры решения задач по высшей математике — функцией или зависимой переменной (от Примеры решения задач по высшей математике). Относительно самих величин Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике говорят, что они находятся в функциональной зависимости. Иногда функциональную зависимость Примеры решения задач по высшей математике от Примеры решения задач по высшей математике пишут в виде Примеры решения задач по высшей математике, не вводя новой буквы (Примеры решения задач по высшей математике) для обозначения зависимости.

Частное значение функции Примеры решения задач по высшей математике при Примеры решения задач по высшей математике записывают так: Примеры решения задач по высшей математике.
Например, если Примеры решения задач по высшей математике, то Примеры решения задач по высшей математике.

Примеры решения задач по высшей математике

Графиком функции Примеры решения задач по высшей математике называется множество всех точек плоскости Примеры решения задач по высшей математике, для каждой из которых Примеры решения задач по высшей математике является значением аргумента, а Примеры решения задач по высшей математике — соответствующим значением функции.

Например, графиком функции Примеры решения задач по высшей математике является верхняя полуокружность радиуса Примеры решения задач по высшей математике с центром в Примеры решения задач по высшей математике (см. рис. 99).

Чтобы задать функцию Примеры решения задач по высшей математике, необходимо указать правило, позволяющее, зная Примеры решения задач по высшей математике, находить соответствующее значение Примеры решения задач по высшей математике.

Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ: функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений.

Например:

Примеры решения задач по высшей математике

Если область определения функции Примеры решения задач по высшей математике не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл. Так, областью определения функции Примеры решения задач по высшей математике является отрезок [-1; 1].

Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию Примеры решения задач по высшей математике.

Графический способ: задается график функции.

Часто графики вычерчиваются автоматически самопишущими приборами или изображаются на экране дисплея. Значения функции Примеры решения задач по высшей математике, соответствующие тем или иным значениям аргумента Примеры решения задач по высшей математике, непосредственно находятся из этого графика.

Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком — его неточность.

Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Например, известные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы.

На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функций, полученных опытным путем или в результате наблюдений.

Основные характеристики функции

1. Функция Примеры решения задач по высшей математике, определенная на множестве Примеры решения задач по высшей математике, называется четной, если высшая математика выполняются условия Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике Примеры решения задач по высшей математике; нечетной, если высшая математика выполняются условия Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике.

График четной функции симметричен относительно оси Примеры решения задач по высшей математике, а нечетной — относительно начала координат.

Например, Примеры решения задач по высшей математике — четные функции; а Примеры решения задач по высшей математике — нечетные функции; Примеры решения задач по высшей математике — функции общею вида, т. е. не четные и не нечетные.

Примеры решения задач по высшей математике

2. Пусть функция Примеры решения задач по высшей математике определена на множестве Примеры решения задач по высшей математике и пусть Примеры решения задач по высшей математике. Если для любых значений Примеры решения задач по высшей математике аргументов из неравенства Примеры решения задач по высшей математике неравенство: Примеры решения задач по высшей математике, то функция называется возрастающей на множестве Примеры решения задач по высшей математике, то функция называется неубывающей на множестве Примеры решения задач по высшей математике, то функция называется убывающей на множестве Примеры решения задач по высшей математике; Примеры решения задач по высшей математике, то функция называется невозрастающей на множестве Примеры решения задач по высшей математике.

Например, функция, заданная графиком (см. рис. 100), убывает на интервале (—2; 1), не убывает на интервале (1; 5), возрастает на интервале (3; 5).

Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве Примеры решения задач по высшей математике называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие — строго монотонными. Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности. На рисунке (выше) функция строго монотонна на (—2; 1) и (3; 5); монотонна на (1;3).

3. Функцию Примеры решения задач по высшей математике, определенную на множестве Примеры решения задач по высшей математике, называют ограниченной на этом множестве, если существует такое число Примеры решения задач по высшей математике, что для всех Примеры решения задач по высшей математике выполняется неравенство Примеры решения задач по высшей математике (короткая запись: Примеры решения задач по высшей математике, называется ограниченной на Примеры решения задач по высшей математике, если Примеры решения задач по высшей математике. Отсюда следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике (см. рис. 101).

4. Функция Примеры решения задач по высшей математике, определенная на множестве Примеры решения задач по высшей математике, называется периодической на этом множестве, если существует такое число Примеры решения задач по высшей математике, что при каждом Примеры решения задач по высшей математике значение Примеры решения задач по высшей математике. При этом число Примеры решения задач по высшей математике называется периодом функции. Если Примеры решения задач по высшей математике — период функции, то ее периодами будут также числаПримеры решения задач по высшей математике, где Примеры решения задач по высшей математике Так, для Примеры решения задач по высшей математике периодами будут числа Примеры решения задач по высшей математике Основной период (наименьший положительный) — это период Примеры решения задач по высшей математике. Вообще обычно за основной период берут наименьшее положительное число Примеры решения задач по высшей математике, удовлетворяющее равенству Примеры решения задач по высшей математике.

Примеры решения задач по высшей математике

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Обратная функция
  2. Сложная функция
  3. Основные элементарные функции
  4. Числовые последовательности
  5. Предельный переход в неравенствах
  6. Предел монотонной ограниченной последовательности

Предел функции

Предел функции в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке. Одно из основных понятий математического анализа.

Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, являющихся образами точек такой последовательности элементов области определения функции, которая сходится к точке, в которой рассматривается предел. Если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению, иначе говорят, что функция расходится.

Лекция и примеры решения к этой теме:

  1. Предел функции в точке
  2. Односторонние пределы
  3. Предел функции при х к бесконечности
  4. Бесконечно большая функция
  5. Бесконечно малые функции
  6. Основные теоремы о пределах
  7. Признаки существования пределов
  8. Первый замечательный предел
  9. Второй замечательный предел

Эквивалентные бесконечно малые функции

Быстрым способом нахождения пределов функций имеющих особенности вида ноль на ноль является применение эквивалентных бесконечно малых функций. Они крайне необходимы если нужно находить границы без применения правила Лопиталя. Эквивалентности заключаются в замене функции ее разложением в ряд Маклорена. Как правило при вычислении предела используют не более двух членов разложения.

Лекция и примеры решения к этой теме:

Непрерывность функций

Непрерывная функция — это функция, которая меняется без мгновенных «скачков» (называемых разрывами), то есть такая, малые изменения аргумента которой приводят к малым изменениям значения функции. График непрерывной функции является непрерывной линией.

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Непрерывность функции в точке
  2. Непрерывность функции в интервале и на отрезке
  3. Точки разрыва функции и их классификация
  4. Основные теоремы о непрерывных функциях
  5. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Производная функции

Производная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

Задачи, приводящие к понятию производной

Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении скорости разных процессов.

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Скорость прямолинейного движения
  2. Касательная к кривой
  3. Определение производной; ее механический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой
  4. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
  5. Производная суммы, разности, произведения и частного функций
  6. Производная сложной и обратной функций
  7. Производные основных элементарных функций
  8. Гиперболические функции и их производные
  9. Таблица производных. Правила дифференцирования. Формулы дифференцирования

Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Дифференцирование неявно заданной функции
  2. Дифференцирование функции, заданной параметрически
  3. Логарифмическое дифференцирование функций

Производные высших порядков

Если функция y=f(x) имеет производную в каждой точке x своей области определения, то ее производная f′(x) есть функция от x. Функция y=f′(x), в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго (высшего) порядка функции y=f(x) (или второй производной) и обозначают символом f′′(x).

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Производные высших порядков явно заданной функции
  2. Механический смысл производной второго порядка
  3. Производные высших порядков неявно заданной функции
  4. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически

Дифференциал функции

Дифференциал — это линейная часть приращения функции.

Понятие дифференциала функции

Пусть функция Примеры решения задач по высшей математике имеет в точке Примеры решения задач по высшей математике отличную от нуля производную Примеры решения задач по высшей математике. Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать Примеры решения задач по высшей математике, где Примеры решения задач по высшей математике при Примеры решения задач по высшей математике, или Примеры решения задач по высшей математике.

Таким образом, приращение функции Примеры решения задач по высшей математике представляет собой сумму двух слагаемых Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике, являющихся бесконечно малыми при Примеры решения задач по высшей математике. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с Примеры решения задач по высшей математике, так как Примеры решения задач по высшей математике, а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем Примеры решения задач по высшей математике:

Примеры решения задач по высшей математике

Поэтому первое слагаемое Примеры решения задач по высшей математике называют главной частью приращения функции Примеры решения задач по высшей математике.

Дифференциалом функции Примеры решения задач по высшей математике в точке Примеры решения задач по высшей математике называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается Примеры решения задач по высшей математике (или Примеры решения задач по высшей математике):

Примеры решения задач по высшей математике

Дифференциал Примеры решения задач по высшей математике называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной Примеры решения задач по высшей математике , т. е. дифференциал функции Примеры решения задач по высшей математике.

Так как Примеры решения задач по высшей математике, то, согласно формуле (24.1), имеем Примеры решения задач по высшей математике Примеры решения задач по высшей математике, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: Примеры решения задач по высшей математике.

Поэтому формулу (24.1) можно записать так:

Примеры решения задач по высшей математике

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (24.2) следует равенство Примеры решения задач по высшей математике. Теперь обозначение производной Примеры решения задач по высшей математике можно рассматривать как отношение дифференциалов Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике.

Пример №24.1.

Найти дифференциал функции

Примеры решения задач по высшей математике

Решение:

По формуле Примеры решения задач по высшей математике находим

Примеры решения задач по высшей математике

Дополнительный Пример №24.2.

Геометрический смысл дифференциала функции

Примеры решения задач по высшей математике

Выясним геометрический смысл дифференциала.

Для этого проведем к графику функции Примеры решения задач по высшей математике в точке Примеры решения задач по высшей математике касательную Примеры решения задач по высшей математике и рассмотрим ординату этой касательной для точки Примеры решения задач по высшей математике (см. рис. 138). На рисунке Примеры решения задач по высшей математике Примеры решения задач по высшей математике. Из прямоугольного треугольника Примеры решения задач по высшей математике имеем:

Примеры решения задач по высшей математике

Но, согласно геометрическому смыслу производной, Примеры решения задач по высшей математике. Поэтому Примеры решения задач по высшей математике.

Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем Примеры решения задач по высшей математике, т. е. дифференциал функции Примеры решения задач по высшей математике в точке Примеры решения задач по высшей математике ранен приращению ординаты, касательной к графику функции в этой точке, когда Примеры решения задач по высшей математике получит приращение Примеры решения задач по высшей математике.

В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.

Основные теоремы о дифференциалах

Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя связь дифференциала и производной функции Примеры решения задач по высшей математике и соответствующие теоремы о производных.

Например, так как производная функции Примеры решения задач по высшей математике равна нулю, то дифференциал постоянной величины равен нулю: Примеры решения задач по высшей математике.

Теорема 24.1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами:

Примеры решения задач по высшей математике

Докажем, например, вторую формулу. По определению дифференциала имеем:

Примеры решения задач по высшей математике

Теорема 24.2. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Пусть Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике две дифференцируемые функции, образующие сложную функцию Примеры решения задач по высшей математике. По теореме о производной сложной функции можно написать

Примеры решения задач по высшей математике

Умножив обе части этого равенства на Примеры решения задач по высшей математике, получаем Примеры решения задач по высшей математике. Но Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике. Следовательно, последнее равенство можно переписать так:

Примеры решения задач по высшей математике

Сравнивая формулы Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике, видим, что первый дифференциал функции Примеры решения задач по высшей математике определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента.

Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.

Формула Примеры решения задач по высшей математике по внешнему виду совпадает с формулой Примеры решения задач по высшей математике, но между ними есть принципиальное отличий: в первой формуле Примеры решения задач по высшей математике — независимая переменная, следовательно, Примеры решения задач по высшей математике, во второй формуле и есть функция от Примеры решения задач по высшей математике , поэтому, вообще говоря, Примеры решения задач по высшей математике.

С помощью определения дифференциала и основных теорем о дифференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу дифференциалов.

Например, Примеры решения задач по высшей математике.

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Таблица дифференциалов
  2. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
  3. Дифференциалы высших порядков

Исследование функций при помощи производных

В заданиях ЕГЭ по математике обязательно встретиться исследование функции с помощью производной. Исследование функций при помощи производных – не самая простая в мире вещь. Но в КИМах не встречается такого, с чем бы не справился ученик средней школы, если он приложил достаточно стараний к учебе.

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Теоремы о дифференцируемых функциях
  2. Правило Лопиталя и раскрытие неопределённостей
  3. Раскрытие неопределенностей различных видов
  4. Возрастание и убывание функций
  5. Максимум и минимум функций
  6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
  7. Выпуклость графика функции. Точки перегиба
  8. Асимптоты графика функции
  9. Общая схема исследования функции и построения графика
  10. Формула Тейлора для функции
  11. Формула Тейлора для многочлена
  12. Формула Тейлора для произвольной функции

Комплексные числа

Комплексное число — это выражение вида a + bi, где a, b — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица, символ, квадрат которого равен –1, то есть i2 = –1. Число a называется действительной частью, а число b — мнимой частью комплексного числа z = a + bi. Если b = 0, то вместо a + 0i пишут просто a. Видно, что действительные числа — это частный случай комплексных чисел.

Понятие и представления комплексных чисел

Основные понятия

Комплексным числом Примеры решения задач по высшей математике называется выражение вида Примеры решения задач по высшей математике, где Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике — действительные числа, а Примеры решения задач по высшей математике — так называемая мнимая единица, Примеры решения задач по высшей математике.

Если Примеры решения задач по высшей математике, то число Примеры решения задач по высшей математике называется чисто мнимым; если Примеры решения задач по высшей математике, то число Примеры решения задач по высшей математике отождествляется с действительным числом Примеры решения задач по высшей математике, а это означает, что множество Примеры решения задач по высшей математике всех действительных чисел является подмножеством множества Примеры решения задач по высшей математике всех комплексных чисел, т. е. Примеры решения задач по высшей математике.

Число Примеры решения задач по высшей математике называется действительной частью комплексного числа Примеры решения задач по высшей математике и обозначается Примеры решения задач по высшей математике, а Примеры решения задач по высшей математике — мнимой частью Примеры решения задач по высшей математике, Примеры решения задач по высшей математике.

Два комплексных числа Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике называются равными (Примеры решения задач по высшей математике) тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части: Примеры решения задач по высшей математике. В частности, комплексное число Примеры решения задач по высшей математике равно нулю тогда и только тогда, когда: Примеры решения задач по высшей математике. Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Два комплексных числа Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Геометрическое изображение комплексных чисел
  2. Формы записи комплексных чисел
  3. Действия над комплексными числами

Неопределенный интеграл

Неопределённый интеграл для функции f(x) — это совокупность всех первообразных данной функции.

Понятие неопределенного интеграла

В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции Примеры решения задач по высшей математике найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию Примеры решения задач по высшей математике, зная ее производную Примеры решения задач по высшей математике (или дифференциал). Искомую функцию Примеры решения задач по высшей математике называют первообразной функции Примеры решения задач по высшей математике.

Функция Примеры решения задач по высшей математике называется первообразной функции Примеры решения задач по высшей математике на интервале Примеры решения задач по высшей математике, если для любого Примеры решения задач по высшей математике выполняется равенство

Примеры решения задач по высшей математике (или Примеры решения задач по высшей математике).

Например, первообразной функции Примеры решения задач по высшей математике, является функция Примеры решения задач по высшей математике, так как

Примеры решения задач по высшей математике

Очевидно, что.первообразными будут также любые функции

Примеры решения задач по высшей математике

где Примеры решения задач по высшей математике — постоянная, поскольку

Примеры решения задач по высшей математике

Теорема 29.1. Если функция Примеры решения задач по высшей математике является первообразной функции Примеры решения задач по высшей математике на Примеры решения задач по высшей математике, то множество всех первообразных для Примеры решения задач по высшей математике задается формулой Примеры решения задач по высшей математике, где Примеры решения задач по высшей математике — постоянное число.

Функция Примеры решения задач по высшей математике является первообразной Примеры решения задач по высшей математике. Действительно, Примеры решения задач по высшей математике.

Пусть Примеры решения задач по высшей математике — некоторая другая, отличная от Примеры решения задач по высшей математике, первообразная функции Примеры решения задач по высшей математике, т. е. высшая математика. Тогда для любого Примеры решения задач по высшей математике имеем

Примеры решения задач по высшей математике

А это означает (см. следствие 25.1), что

Примеры решения задач по высшей математике

где Примеры решения задач по высшей математике — постоянное число. Следовательно, Примеры решения задач по высшей математике.

Множество всех первообразных функций Примеры решения задач по высшей математике для Примеры решения задач по высшей математике называется неопределенным интегралом от функции Примеры решения задач по высшей математике и обозначается символом Примеры решения задач по высшей математике.

Таким образом, по определению

Примеры решения задач по высшей математике

Здесь Примеры решения задач по высшей математике называется подынтегральной функцией, Примеры решения задач по высшей математике — подынтегральным выражением, Примеры решения задач по высшей математике — переменной интегрирования, Примеры решения задач по высшей математике — знаком неопределенного интеграла.

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство «параллельных» кривых Примеры решения задач по высшей математике (каждому числовому значению Примеры решения задач по высшей математике соответствует определенная кривая семейства) (см. рис. 165). График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой.

Примеры решения задач по высшей математике

Для всякой ли функции существует неопределенный интеграл?

Имеет место теорема, утверждающая, что «всякая непрерывная на Примеры решения задач по высшей математике функция имеет на этом промежутке первообразную», а следовательно, и неопределенный интеграл.

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Свойства неопределенного интеграла
  2. Таблица неопределенных интегралов

Основные методы интегрирования

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Метод непосредственного интегрирования
  2. Метод интегрирования подстановкой
  3. Метод интегрирования по частям

Интегрирование рациональных функций

Лекции к этой теме:

  1. Понятия о рациональных функциях
  2. Дробно-рациональная функция
  3. Интегрирование рациональных дробей

Интегрирование тригонометрических функций

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Универсальная тригонометрическая подстановка
  2. Интегралы типа sin m x cos n x dx
  3. Использование тригонометрических преобразований

Интегрирование иррациональных функций

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Квадратичные иррациональности
  2. Дробно-линейная подстановка
  3. Тригонометрическая подстановка
  4. Интегралы типа r x (ax^2+bx+c) dx
  5. Интегрирование дифференциального бинома
  6. «Берущиеся» и «Неберущиеся» интегралы

Определенный интеграл

Определённый интеграл — одно из основных понятий математического анализа, один из видов интеграла. Определённый интеграл является числом, равным пределу сумм особого вида (интегральных сумм)[⇨]. Геометрически определённый интеграл выражает площадь «криволинейной трапеции», ограниченной графиком функции[⇨]. В терминах функционального анализа, определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы
  2. Геометрический и физический смысл определенного интеграла
  3. Основные свойства определенного интеграла
  4. Вычисления определенного интеграла

Несобственные интегралы

Определенный интеграл Примеры решения задач по высшей математике, где промежуток интегрирования Примеры решения задач по высшей математике конечный, а подынтегральная функция Примеры решения задач по высшей математике непрерывна на отрезке Примеры решения задач по высшей математике, называют еще собственным интегралом.

Рассмотрим так называемые несобственные интегралы, т. е. определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования
  2. Интеграл от разрывной функции

Геометрические и физические приложения определенного интеграла

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Схемы применения определенного интеграла
  2. Вычисление площадей плоских фигур
  3. Вычисление длины дуги плоской кривой
  4. Вычисление объема тела
  5. Вычисление площади поверхности вращения

Механические приложения определенного интеграла

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Работа переменной силы
  2. Давление жидкости на вертикальную пластинку
  3. Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой
  4. Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры

Приближенное вычисление определенного интеграла

Лекция и примеры решения к этой теме:

Функции нескольких переменных

Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести понятие функции нескольких переменных.

Будем рассматривать функции двух переменных, так как все важнейшие факты теории функций нескольких переменных наблюдаются уже на функциях двух переменных. Эти факты обобщаются на случай большего числа переменных. Кроме того, для функций двух переменных можно дать наглядную геометрическую интерпретацию.

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Функции двух переменных
  2. Предел функции двух переменных
  3. Непрерывность функции двух переменных
  4. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области

Производные и дифференциалы функции нескольких переменных

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Частные производные первого порядка
  2. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных
  3. Частные производные высших порядков
  4. Дифференцируемость и полный дифференциал функции
  5. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям
  6. Дифференциалы высших порядков
  7. Производная сложной функции
  8. Инвариантность формы полного дифференциала
  9. Дифференцирование неявной функции
  10. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Экстремум функции двух переменных

Основные понятия

Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной (см. п. 25.4).

Пусть функция Примеры решения задач по высшей математике определена в некоторой области Примеры решения задач по высшей математике точка Примеры решения задач по высшей математике.

Точка Примеры решения задач по высшей математике называется точкой максимума функции Примеры решения задач по высшей математике, если существует такая Примеры решения задач по высшей математике-окрестность точки Примеры решения задач по высшей математике, что для каждой точки Примеры решения задач по высшей математике, отличной от Примеры решения задач по высшей математике, из этой окрестности выполняется неравенство Примеры решения задач по высшей математике.

Примеры решения задач по высшей математике

Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек Примеры решения задач по высшей математике, отличных от Примеры решения задач по высшей математике, из Примеры решения задач по высшей математике-окрестности точки Примеры решения задач по высшей математике выполняется неравенство: Примеры решения задач по высшей математике Примеры решения задач по высшей математике.

На рисунке 209: Примеры решения задач по высшей математике — точка максимума, а Примеры решения задач по высшей математике — точка минимума функции Примеры решения задач по высшей математике.

Значение функции в точке максимума (минимума) называется
максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумами.

Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значение функции в точке Примеры решения задач по высшей математике сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к Примеры решения задач по высшей математике. В области Примеры решения задач по высшей математике функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Необходимые и достаточные условия экстремума
  2. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области

Дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение — уравнение, в которое входят производные функции и могут входить сама функция, независимая переменная и параметры. Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или могут отсутствовать вовсе, кроме хотя бы одной производной. Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением.

Общие сведения о дифференциальных уравнениях

Основные понятия

При решении различных задач математики, физики, химии и других наук часто пользуются математическими моделями в виде уравнений, связывающих независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Такие уравнения называются дифференциальными (термин принадлежит Г. Лейбницу, 1676 г.). Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Так, решением уравнения Примеры решения задач по высшей математике является функция Примеры решения задач по высшей математике — первообразная для функции Примеры решения задач по высшей математике.

Рассмотрим некоторые общие сведения о дифференциальных уравнениях (ДУ).

Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, то ДУ называют обыкновенным; в противном случае — ДУ в частных производных. Далее будем рассматривать только обыкновенные ДУ.

Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется порядком этого уравнения.

Например, уравнение Примеры решения задач по высшей математике— обыкновенное ДУ третьего порядка, а уравнение Примеры решения задач по высшей математике — первого порядка; Примеры решения задач по высшей математике — ДУ в частных производных первого порядка.

Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием, а график решения ДУ — интегральной кривой.

Рассмотрим некоторые задачи, решение которых приводит к дифференциальным уравнениям.

Лекция и примеры решения к этой теме:

Дифференциальные уравнения первого порядка

Основные понятия

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае можно записать в виде

Примеры решения задач по высшей математике

Уравнение связывает независимую переменную Примеры решения задач по высшей математике, искомую функцию Примеры решения задач по высшей математике и ее производную Примеры решения задач по высшей математике. Если уравнение (48.1) можно разрешить относительно Примеры решения задач по высшей математике, то его записывают в виде

Примеры решения задач по высшей математике

и называют ДУ первого порядка, разрешенным относительно производной. Мы в основном будем рассматривать эту форму записи ДУ.

Уравнение (48.2) устанавливает связь (зависимость) между координатами точки Примеры решения задач по высшей математике и угловым коэффициентом Примеры решения задач по высшей математике касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно, ДУ Примеры решения задач по высшей математике дает совокупность направлений (поле направлений) на плоскости Примеры решения задач по высшей математике. Таково геометрическое истолкование ДУ первого по рядка.

Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, называется изоклиной. Изоклинами можно пользоваться для приближенного построения интегральных кривых. Уравнение изоклины можно получить, если положить Примеры решения задач по высшей математике, т. е. высшая математика.

Пример №48.1.

С помощью изоклин начертить вид интегральных кривых уравнения Примеры решения задач по высшей математике.

Примеры решения задач по высшей математике

Решение:

Уравнение изоклин этого ДУ будет Примеры решения задач по высшей математике, т. е. изоклинами здесь будут прямые, параллельные оси Примеры решения задач по высшей математике. В точках прямых проведем отрезки, образующие с осью Примеры решения задач по высшей математике один и тот же угол Примеры решения задач по высшей математике, тангенс которого равен Примеры решения задач по высшей математике.

Так, при Примеры решения задач по высшей математике имеем Примеры решения задач по высшей математике, поэтому Примеры решения задач по высшей математике;

при Примеры решения задач по высшей математике уравнение изоклины Примеры решения задач по высшей математике, поэтому Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике;

при Примеры решения задач по высшей математике Примеры решения задач по высшей математике Примеры решения задач по высшей математике

при Примеры решения задач по высшей математике Примеры решения задач по высшей математике Примеры решения задач по высшей математике и т. д.

Построив четыре изоклины и отметив на каждой из них ряд стрелочек, наклоненных к оси Примеры решения задач по высшей математике под определенным углом (см. рис. 213), по их направлениям строим линии. Они, как видно, представляют собой семейство парабол.

Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, можно записать в дифференциальной форме:

Примеры решения задач по высшей математике

где Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике — известные функции. Уравнение (48.3) удобно тем, что переменные Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике в нем равноправны, т. е. любую из них можно рассматривать как функцию другой. Отметим, что от одного вида записи ДУ можно перейти к другому.

Интегрирование ДУ в общем случае приводит к бесконечному множеству решений (отличающихся друг от друга постоянными величинами). Легко догадаться, что решением уравнения Примеры решения задач по высшей математикеявляется функция Примеры решения задач по высшей математике, а также Примеры решения задач по высшей математике, Примеры решения задач по высшей математике и вообще Примеры решения задач по высшей математике где Примеры решения задач по высшей математике.

Чтобы решение ДУ приобрело конкретный смысл, его надо подчинить некоторым дополнительным условиям.

Условие, что при Примеры решения задач по высшей математике функция Примеры решения задач по высшей математике должна быть равна заданному числу Примеры решения задач по высшей математике, т. е. Примеры решения задач по высшей математике называется начальным условием. Начальное условие записывается в виде

Примеры решения задач по высшей математике или Примеры решения задач по высшей математике

Общим решением ДУ первого порядка называется функция Примеры решения задач по высшей математике, содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям:

  1. Функция Примеры решения задач по высшей математике является решением ДУ при каждом фиксированном значении Примеры решения задач по высшей математике.
  2. Каково бы ни было начальное условие (48.4), можно найти такое значение постоянной Примеры решения задач по высшей математике, что функция Примеры решения задач по высшей математике удовлетворяет данному начальному условию.

Частным решением ДУ первого порядка называется любая функция Примеры решения задач по высшей математике, полученная из общего решения Примеры решения задач по высшей математике при конкретном значении постоянной Примеры решения задач по высшей математике.

Если общее решение ДУ найдено в неявном виде, т. е. в виде уравнения Примеры решения задач по высшей математике, то такое решение называется общим интегралом ДУ. Уравнение Примеры решения задач по высшей математике в этом случае называется частным интегралом уравнения.

С геометрической точки зрения Примеры решения задач по высшей математике есть семейство интегральных кривых на плоскости Примеры решения задач по высшей математике, частное решение Примеры решения задач по высшей математике — одна кривая из этого семейства, проходящая через точку Примеры решения задач по высшей математике.

Задача отыскания решения ДУ первого порядка (48.3), удовлетворяющего заданному начальному условию (48.4), называется задачей Коши.

Теорема 48.1 (существования и единственности решения задачи Коши). Если в уравнении (48.2) функция Примеры решения задач по высшей математике и ее частная производная Примеры решения задач по высшей математике непрерывны в некоторой области Примеры решения задач по высшей математике, содержащей точку Примеры решения задач по высшей математике, то существует единственное решение Примеры решения задач по высшей математике этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию (48.4).

(Без доказательства).

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что при выполнении ее условий существует единственная интегральная кривая ДУ, проходящая через точку Примеры решения задач по высшей математике.

Рассмотрим теперь методы интегрирования ДУ первого порядка определенного типа.

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Уравнения с разделяющимися переменными
  2. Однородные дифференциальные уравнения
  3. Линейные уравнения Бернулли
  4. Метод вариации произвольных постоянных
  5. Уравнение в полных дифференциалах интегрирующий множитель
  6. Необходимость (уравнения в полных дифференциалах)
  7. Достаточность (уравнения в полных дифференциалах)
  8. Уравнения Лагранжа и Клеро

Дифференциальные уравнения высших порядков

Основные понятия

Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде

Примеры решения задач по высшей математике

или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей производной:

Примеры решения задач по высшей математике

Будем в основном рассматривать уравнение вида (49.2): от него всегда, можно перейти к (49.1).

Решением ДУ (49.2) называется всякая функция Примеры решения задач по высшей математике, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Общим решением ДУ (49.2) называется функция Примеры решения задач по высшей математике, где Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике — не зависящие от Примеры решения задач по высшей математике произвольные постоянные, удовлетворяющая условиям:

1. Примеры решения задач по высшей математике является решением ДУ для каждого фиксированного значения Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике.

2. Каковы бы ни были начальные условия

Примеры решения задач по высшей математике

существуют единственные значения постоянных Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математикетакие, что функция Примеры решения задач по высшей математике является решением уравнения (49.2) и удовлетворяет начальным условиям (49.3).

Всякое решение Примеры решения задач по высшей математике уравнения (49.2), получающееся из общего решения Примеры решения задач по высшей математике при конкретных значениях постоянных Примеры решения задач по высшей математике, Примеры решения задач по высшей математике, называется частным решением.

Решения ДУ (49.2), записанные в виде

Примеры решения задач по высшей математике

называются общим и частным интегралом соответственно.

График всякого решения ДУ второго порядка называется интегральной кривой. Общее решение ДУ (49.2) представляет собой множество интегральных кривых; частное решение — одна интегральная кривая этого множества, проходящая через точку Примеры решения задач по высшей математике и имеющая в ней касательную с заданным угловым коэффициентом Примеры решения задач по высшей математике.

Переписав ДУ (49.1) в виде

Примеры решения задач по высшей математике

видим, что ДУ второго порядка устанавливает связь между координатами точки Примеры решения задач по высшей математике интегральной кривой, угловым коэффициентом Примеры решения задач по высшей математикекасательной к ней и кривизной Примеры решения задач по высшей математике в точке Примеры решения задач по высшей математике. В этом состоит геометрическое истолкование ДУ второго порядка.

Как и в случае уравнения первого порядка, задача нахождения решения ДУ (49.2), удовлетворяющего заданным начальным условиям (49.3), называется задачей Коши.

Теорема 49.1 (существования и единственности задачи Коши). Если в уравнении (49.2) функция Примеры решения задач по высшей математике и ее частные производные Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике непрерывны в некоторой области Примеры решения задач по высшей математике изменения переменных Примеры решения задач по высшей математике, Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике, то для всякой точки Примеры решения задач по высшей математике существует единственное решение Примеры решения задач по высшей математике уравнения (49.2), удовлетворяющее начальным условиям (49.3).

Примем теорему без доказательства.

Аналогичные понятия и определения имеют место для ДУ Примеры решения задач по высшей математике-го порядка, которое в общем виде записывается как

Примеры решения задач по высшей математике

или

Примеры решения задач по высшей математике

если его можно разрешить относительно старшей производной.

Начальные условия для ДУ (49.4) имеют вид

Примеры решения задач по высшей математике

Общее решение ДУ Примеры решения задач по высшей математике-го порядка является функцией вида

Примеры решения задач по высшей математике

содержащей Примеры решения задач по высшей математике произвольных, не зависящих от Примеры решения задач по высшей математике постоянных.

Решение ДУ (49.4), получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянных Примеры решения задач по высшей математике, называется частным решением.

Задача Коши для ДУ Примеры решения задач по высшей математике-го порядка: найти решение ДУ (49.4), удовлетворяющее начальным условиям (49.5).

Проинтегрировать (решить) ДУ Примеры решения задач по высшей математике-го порядка означает следующее: найти его общее или частное решение (интеграл) в зависимости от того, заданы начальные условия или нет.

Задача нахождения решения ДУ Примеры решения задач по высшей математике-го порядка сложнее, чем первого. Поэтому рассмотрим лишь отдельные виды ДУ высших порядков.

Лекция и примеры решения к этой теме:

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Основные понятия

Многие задачи математики, механики, электротехники и других технических наук приводят к линейным дифференциальным уравнениям.

Уравнение вида

Примеры решения задач по высшей математике

где Примеры решения задач по высшей математике — заданные функции (от Примеры решения задач по высшей математике), называется линейным ДУ Примеры решения задач по высшей математике -го порядка.

Оно содержит искомую функцию Примеры решения задач по высшей математике и все ее производные дашь в первой степени. Функции Примеры решения задач по высшей математике называются коэффициентами уравнения (49.11), а функция Примеры решения задач по высшей математике — его свободным членом.

Если свободный член Примеры решения задач по высшей математике, то уравнение (49.11) называется линейным однородным уравнением; если Примеры решения задач по высшей математике, то уравнение (49.11) называется неоднородным.

Разделив уравнение (49.11) на Примеры решения задач по высшей математике и обозначив

Примеры решения задач по высшей математике

запишем уравнение (49.11) в виде приведенного:

Примеры решения задач по высшей математике

Далее будем рассматривать линейные ДУ вида (49.12) и считать, что коэффициенты и свободный член уравнения (49.12) являются непрерывными функциями (на некотором интервале Примеры решения задач по высшей математике). При этих условиях справедлива теорема существования и единственности решения ДУ (49.12) (см. теорему 49.1).

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Линейные однородные ДУ второго порядка
  2. Линейные однородные ДУ n-го порядка

Интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
  2. Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Структура общего решения ЛНДУ второго порядка
  2. Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ
  3. Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида
  4. Интегрирование ЛНДУ n-го порядка (n>2) с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

Системы дифференциальных уравнений

Основные понятия

Для решения многих задач математики, физики, техники (задач динамики криволинейного движения; задач электротехники для нескольких электрических цепей; определения состава системы, в которой протекают несколько последовательных химических реакций I порядка; отыскания векторных линий ноля и других) нередко требуется несколько функций. Нахождение этих функций может привести к нескольким ДУ, образующим систему.

Системой ДУ называется совокупность ДУ, каждое из которых содержит независимую переменную, искомые функции и их производные.

Общий вид системы ДУ первого порядка, содержащей Примеры решения задач по высшей математике искомых функций Примеры решения задач по высшей математике, следующий:

Примеры решения задач по высшей математике

Система ДУ первого порядка, разрешенных относительно производной, т. е. система вида

Примеры решения задач по высшей математике

называется нормальной системой ДУ. При этом предполагается, что число уравнений равно числу искомых функций.

Замечание. Во многих случаях системы уравнений и уравнения высших порядков можно привести к нормальной системе вида (52.1).

Так, система трех ДУ второго порядка

Примеры решения задач по высшей математике

описывающая движение тонки в пространстве, путем введения новых переменных: Примеры решения задач по высшей математике, приводится к нормальной системе ДУ:

Примеры решения задач по высшей математике

Уравнение третьего порядка Примеры решения задач по высшей математике путем замены Примеры решения задач по высшей математике сводится к нормальной системе ДУ

Примеры решения задач по высшей математике

Из сказанного выше следует полезность изучения именно нормальных систем.

Решением системы (52.1) называется совокупность из Примеры решения задач по высшей математике функций Примеры решения задач по высшей математике, удовлетворяющих каждому из уравнений этой
системы.

Начальные условия для системы (52.1) имеют вид

Примеры решения задач по высшей математике

Задача Коши для системы (52.1) ставится следующим образом: найти решение системы (52.1), удовлетворяющее начальным условиям (52.2).

Условия существования и единственности решения задачи Коши описывает следующая теорема, приводимая здесь без доказательства.

Теорема 52.1 (Коши). Если в системе (52.1) все функции

Примеры решения задач по высшей математике

непрерывны вместе со всеми своими частными производными по Примеры решения задач по высшей математике в некоторой области Примеры решения задач по высшей математике (Примеры решения задач по высшей математике-мерного пространства), то в каждой точке Примеры решения задач по высшей математике этой области существует, и притом единственное, решение Примеры решения задач по высшей математике системы, удовлетворяющее начальным условиям (52.2).

Меняя в области Примеры решения задач по высшей математике точку Примеры решения задач по высшей математике (т. е. начальные условия), получим бесчисленное множество решений, которое можно записать в виде решения, зависящего от Примеры решения задач по высшей математике произвольных постоянных:

Примеры решения задач по высшей математике

Это решение является общим, если по заданным начальным условиям (52.2) можно однозначно определить постоянные Примеры решения задач по высшей математике из системы уравнений

Примеры решения задач по высшей математике

Решение, получающееся из общего при конкретных значениях постоянных Примеры решения задач по высшей математике, называется частным решением системы (52.1).

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Интегрирование нормальных систем
  2. Системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами

Двойные и тройные интегралы

Двойной интеграл — это обобщение понятия определенного интеграла на двумерный случай.

Тройной интеграл — это аналог двойного интеграла для функции трёх переменных, заданной как f(M) = f(x, y, z).

Двойной интеграл

Основные понятия и определения

Обобщением определенного интеграла на случай функций двух переменных является так называемый двойной интеграл.

Примеры решения задач по высшей математике

Пусть в замкнутой области Примеры решения задач по высшей математике плоскости Примеры решения задач по высшей математике задана непрерывная функция Примеры решения задач по высшей математике. Разобьем область Примеры решения задач по высшей математике на «элементарных областей» Примеры решения задач по высшей математике площади которых обозначим через Примеры решения задач по высшей математике, а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) — через Примеры решения задач по высшей математике (а рис. 214).

В каждой области Примеры решения задач по высшей математике выберем произвольную точку Примеры решения задач по высшей математике, умножим значение Примеры решения задач по высшей математике функции в этой точке на Примеры решения задач по высшей математике и составим сумму всех таких произведений:

Примеры решения задач по высшей математике

(53.1) Эта сумма называется интегральной суммой функции Примеры решения задач по высшей математике в области Примеры решения задач по высшей математике.

Рассмотрим предел интегральной суммы (53.1), когда Примеры решения задач по высшей математике стремится к бесконечности таким образом, что Примеры решения задач по высшей математике. Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области Примеры решения задач по высшей математике на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции Примеры решения задач по высшей математике по области Примеры решения задач по высшей математике и обозначается Примеры решения задач по высшей математике Примеры решения задач по высшей математикеили Примеры решения задач по высшей математике.

Таким образом, двойной интеграл определяется равенством

Примеры решения задач по высшей математике

В этом случае функция Примеры решения задач по высшей математике называется интегрируемой в области Примеры решения задач по высшей математике; Примеры решения задач по высшей математике — область интегрирования; Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике — переменные интегрирования; Примеры решения задач по высшей математике (или Примеры решения задач по высшей математике) — элемент площади.

Для всякой ли функции Примеры решения задач по высшей математике существует двойной интеграл? На этот вопрос отвечает следующая теорема, которую мы приведем здесь без доказательства.

Теорема 53.1 (достаточное условие интегрируемости функции). Если функция Примеры решения задач по высшей математике непрерывна в замкнутой области Примеры решения задач по высшей математике, то она интегрируема в этой области.

Замечания.

Примеры решения задач по высшей математике
  1. Далее будем рассматривать только функции, непрерывные в области интегрирования, хотя двойной интеграл может существовать не только для непрерывных функций.
  2. Из определения двойного интеграла следует, что для интегрируемой в области Примеры решения задач по высшей математике функции предел интегральных сумм существует и не зависит от способа разбиения области. Таким образом, мы можем разбивать область Примеры решения задач по высшей математике на площадки
    прямыми, параллельными координатным осям (см. рис. 215). При этом Примеры решения задач по высшей математике, равенство (53.2) можно записать в виде
Примеры решения задач по высшей математике

Геометрический и физический смысл двойного интеграла

Рассмотрим две задачи, приводящие к двойному интегралу, по ссылкам:

  1. Объем цилиндрического тела
  2. Масса плоской пластинки

Основные свойства двойного интеграла

Можно заметить, что процесс построения интеграла в области Примеры решения задач по высшей математике дословно повторяет уже знакомую нам процедуру определения интеграла функции одной переменной на отрезке (см. п. 35). Аналогичны и свойства этих интегралов и их доказательства. Поэтому перечислим основные свойства двойного интеграла, считая подынтегральные функции интегрируемыми.

Примеры решения задач по высшей математике
Примеры решения задач по высшей математике

Примеры решения задач по высшей математике Если область Примеры решения задач по высшей математике разбить линией на две области Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике такие, что Примеры решения задач по высшей математике, а пересечение Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике состоит лишь из линии, их разделяющей (см. рис. 217), то

Примеры решения задач по высшей математике

Примеры решения задач по высшей математике Если в области Примеры решения задач по высшей математике имеет место неравенство Примеры решения задач по высшей математике, то и Примеры решения задач по высшей математике. Если в области Примеры решения задач по высшей математике функции Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике удовлетворяют неравенству Примеры решения задач по высшей математике, то и

Примеры решения задач по высшей математике

Примеры решения задач по высшей математике Примеры решения задач по высшей математике, так как Примеры решения задач по высшей математике.

Примеры решения задач по высшей математике Если функция Примеры решения задач по высшей математике непрерывна в замкнутой области Примеры решения задач по высшей математике, площадь которой Примеры решения задач по высшей математике, то Примеры решения задач по высшей математике, где Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике — соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области Примеры решения задач по высшей математике.

Примеры решения задач по высшей математике Если функция Примеры решения задач по высшей математике непрерывна в замкнутой области Примеры решения задач по высшей математике, площадь которой Примеры решения задач по высшей математике, то в этой области существует такая точка Примеры решения задач по высшей математике, что Примеры решения задач по высшей математике. Величину

Примеры решения задач по высшей математике

называют средним значением функции Примеры решения задач по высшей математике в области Примеры решения задач по высшей математике.

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
  2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
  3. Приложения двойного интеграла

Тройной интеграл

Основные понятия

Обобщением определенного интеграла на случай функции трех переменных является так называемый «тройной интеграл».

Теория тройного интеграла аналогична теории двойного интеграла. Поэтому изложим ее в несколько сокращенном виде.

Пусть в замкнутой области Примеры решения задач по высшей математике пространства Примеры решения задач по высшей математике задана непрерывная функция Примеры решения задач по высшей математике. Разбив область Примеры решения задач по высшей математике сеткой поверхностей на Примеры решения задач по высшей математике частей Примеры решения задач по высшей математике и выбрав в каждой из них произвольную точку Примеры решения задач по высшей математике, составим интегральную сумму Примеры решения задач по высшей математике для функции Примеры решения задач по высшей математике по области Примеры решения задач по высшей математике (здесь высшая математика — объем элементарной области Примеры решения задач по высшей математике).

Если предел интегральной суммы существует при неограниченном увеличении числа Примеры решения задач по высшей математике таким образом, что каждая «элементарная область» Примеры решения задач по высшей математике стягивается в точку (т. е. диаметр области Примеры решения задач по высшей математике стремится к пулю, т. е. Примеры решения задач по высшей математике), то его называют тройным интегралом от функции Примеры решения задач по высшей математике по области Примеры решения задач по высшей математике и обозначают

Примеры решения задач по высшей математике

Таким образом, по определению, имеем:

Примеры решения задач по высшей математике

Здесь Примеры решения задач по высшей математике — элемент объема.

Теорема 54.1 (существования). Если функция Примеры решения задач по высшей математике непрерывна в ограниченной замкнутой области Примеры решения задач по высшей математике, то предел интегральной суммы (54.1) при Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике существует и не зависит ни от способа разбиения области Примеры решения задач по высшей математике на части, ни от выбора точек Примеры решения задач по высшей математике в них.

Тройной интеграл обладает теми же свойствами, что и двойной интеграл:

Примеры решения задач по высшей математике
Примеры решения задач по высшей математике

Примеры решения задач по высшей математике, если Примеры решения задач по высшей математике, а пересечение Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике состоит из границы, их разделяющей.

Примеры решения задач по высшей математике, если в области Примеры решения задач по высшей математике функция Примеры решения задач по высшей математике.

Если в области интегрирования Примеры решения задач по высшей математике, то и

Примеры решения задач по высшей математике

Примеры решения задач по высшей математике, так как в случае Примеры решения задач по высшей математике любая интегральная сумма имеет вид Примеры решения задач по высшей математике и численно равна объему тела.

Примеры решения задач по высшей математике Оценка тройного интеграла:

Примеры решения задач по высшей математике

где Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции Примеры решения задач по высшей математике в области Примеры решения задач по высшей математике.

Примеры решения задач по высшей математике Теорема о среднем значении: если функция Примеры решения задач по высшей математике непрерывна в замкнутой области Примеры решения задач по высшей математике, то в этой области существует такая точка Примеры решения задач по высшей математике, что

Примеры решения задач по высшей математике

где Примеры решения задач по высшей математике — объем тела.

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
  2. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах
  3. Некоторые приложения тройного интеграла

Криволинейные и поверхностные интегралы

Обобщением определенного интеграла на случай, когда область интегрирования есть некоторая кривая, является так называемый криво линейный интеграл.

Криволинейный интеграл I рода

Основные понятия

Пусть на плоскости Примеры решения задач по высшей математике задана непрерывная кривая Примеры решения задач по высшей математике (или Примеры решения задач по высшей математике) длины Примеры решения задач по высшей математике. Рассмотрим непрерывную функцию Примеры решения задач по высшей математике, определенную и точках дуги Примеры решения задач по высшей математике. Разобьем кривую Примеры решения задач по высшей математике точками Примеры решения задач по высшей математике Примеры решения задач по высшей математике на Примеры решения задач по высшей математике произвольных дуг Примеры решения задач по высшей математике с длинами Примеры решения задач по высшей математике Примеры решения задач по высшей математике (см. рис. 233). Выберем на каждой дуге Примеры решения задач по высшей математике произвольную точку Примеры решения задач по высшей математике и составим сумму

Примеры решения задач по высшей математике
Примеры решения задач по высшей математике

Ее называют интегральной суммой, для функции Примеры решения задач по высшей математике по кривой Примеры решения задач по высшей математике.

Пусть Примеры решения задач по высшей математике — наибольшая из длин дуг деления. Если при Примеры решения задач по высшей математике (тогда Примеры решения задач по высшей математике) существует конечный предел интегральных сумм (55.1), то его называют криволинейным интегралом от функции Примеры решения задач по высшей математике по длине кривой Примеры решения задач по высшей математике (или I рода) и обозначают Примеры решения задач по высшей математике (или Примеры решения задач по высшей математике).

Таким образом, по определению,

Примеры решения задач по высшей математике

Условие существования криволинейного интеграла 1 рода (существования предела интегральной суммы (55.1) при Примеры решения задач по высшей математике (Примеры решения задач по высшей математике)) представляет следующая теорема, которую мы приводим здесь без доказательства.

Теорема 55.1. Если функция Примеры решения задач по высшей математике непрерывна в каждой точке гладкой кривой (в каждой точке Примеры решения задач по высшей математике существует касательная к данной кривой и положение ее непрерывно меняется при перемещении точки по кривой), то криволинейный интеграл I рода существует и его величина не зависит ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек в них.

Аналогичным образом вводится понятие криволинейного интеграла от функции Примеры решения задач по высшей математике по пространственной кривой Примеры решения задач по высшей математике.

Приведем основные свойства криволинейного интеграла по длине дуги (I рода).

1. Примеры решения задач по высшей математике, т. е. криволинейный интеграл I рода не зависит от направления пути интегрирования.

2. Примеры решения задач по высшей математике

3. Примеры решения задач по высшей математике

4. Примеры решения задач по высшей математике, если путь интегрирования Примеры решения задач по высшей математике разбит на части Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике такие, что Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике имеют единственную общую точку.

5. Если для точек кривой Примеры решения задач по высшей математике выполнено неравенство Примеры решения задач по высшей математике, то Примеры решения задач по высшей математике.

6. Примеры решения задач по высшей математике, где Примеры решения задач по высшей математике — длина кривой Примеры решения задач по высшей математике.

7. Если функция Примеры решения задач по высшей математике непрерывна на кривой Примеры решения задач по высшей математике, то на этой кривой найдется точка Примеры решения задач по высшей математике такая, что Примеры решения задач по высшей математике (теорема о среднем).

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Вычисление криволинейного интеграла I рода
  2. Некоторые приложения криволинейного интеграла I рода

Криволинейный интеграл II рода

Основные понятия

Решение задачи о вычислении работы переменной силы при перемещении материальной точки вдоль некоторой кривой (и других) приводит к понятию криволинейного интеграла II рода.

Криволинейный интеграл II рода определяется почти так же, как и интеграл I рода.

Пусть в плоскости Примеры решения задач по высшей математике задана непрерывная кривая Примеры решения задач по высшей математике (или Примеры решения задач по высшей математике) и функция Примеры решения задач по высшей математике, определенная в каждой точке кривой. Разобьем кривую Примеры решения задач по высшей математике точками Примеры решения задач по высшей математике в направлении от точки Примеры решения задач по высшей математике к точке Примеры решения задач по высшей математике на Примеры решения задач по высшей математике дуг Примеры решения задач по высшей математике с длинами Примеры решения задач по высшей математике Примеры решения задач по высшей математике.

Примеры решения задач по высшей математике

На каждой «элементарной дуге» Примеры решения задач по высшей математике возьмем точку Примеры решения задач по высшей математике и составим сумму вида

Примеры решения задач по высшей математике

где Примеры решения задач по высшей математике — проекция дуги Примеры решения задач по высшей математике на ось Примеры решения задач по высшей математике (см. рис. 237).

Сумму (56.1) называют интегральной суммой для функции Примеры решения задач по высшей математике по переменной Примеры решения задач по высшей математике. Таких сумм можно составить бесчисленное множество. (Отличие сумм (55.1) и (56.1) очевидно.)

Если при Примеры решения задач по высшей математике интегральная сумма (56.1) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой Примеры решения задач по высшей математике, ни от выбора точек Примеры решения задач по высшей математике, то его называют криволинейным интегралом по координате Примеры решения задач по высшей математике (или II рода) от функции Примеры решения задач по высшей математике по кривой Примеры решения задач по высшей математике и обозначают Примеры решения задач по высшей математике или Примеры решения задач по высшей математике.

Итак,

Примеры решения задач по высшей математике

Аналогично вводится криволинейный интеграл от функции Примеры решения задач по высшей математике по координате Примеры решения задач по высшей математике:

Примеры решения задач по высшей математике

где Примеры решения задач по высшей математике — проекция дуги Примеры решения задач по высшей математике на ось Примеры решения задач по высшей математике.

Криволинейный интеграл II рода общего вида

Примеры решения задач по высшей математике

определяется равенством

Примеры решения задач по высшей математике

Криволинейный интеграл Примеры решения задач по высшей математике по пространственной кривой Примеры решения задач по высшей математике определяется аналогично.

Теорема 56.1. Если кривая Примеры решения задач по высшей математике гладкая, а функции Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике непрерывные на кривой Примеры решения задач по высшей математике, то криволинейный интеграл II рода существует.

Отметим лишь некоторые свойства криволинейного интеграла II рода.

1. При изменении направления пути интегрирования криволинейный интеграл II рода изменяет свой знак на противоположный, т. е.

Примеры решения задач по высшей математике

(проекция дуги Примеры решения задач по высшей математике на оси Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике меняют знаки с изменением направления).

2. Если кривая Примеры решения задач по высшей математике точкой Примеры решения задач по высшей математике разбита на две части Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике, то интеграл по всей кривой равен сумме интегралов по ее частям, т. е.

Примеры решения задач по высшей математике

3. Если кривая Примеры решения задач по высшей математике лежит в плоскости, перпендикулярной оси Примеры решения задач по высшей математике, то

Примеры решения задач по высшей математике (все Примеры решения задач по высшей математике);

аналогично для кривой, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси Примеры решения задач по высшей математике:

Примеры решения задач по высшей математике (все Примеры решения задач по высшей математике).

4. Криволинейный интеграл по замкнутой кривой (обозначается Примеры решения задач по высшей математике) не зависит от выбора начальной точки (зависит только от направления обхода кривой).

Примеры решения задач по высшей математике

Действительно,

Примеры решения задач по высшей математике

(см. рис. 238). С другой стороны,

Примеры решения задач по высшей математике

Таким образом,

Примеры решения задач по высшей математике

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Вычисление криволинейного интеграла II рода
  2. Формула Остроградского-Грина
  3. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования
  4. Некоторые приложения криволинейного интеграла II рода

Поверхностный интеграл I рода

Основные понятия

Обобщением двойного интеграла является так называемый поверхностный интеграл.

Пусть в точках некоторой поверхности Примеры решения задач по высшей математике, с площадью Примеры решения задач по высшей математике, пространства Примеры решения задач по высшей математике определена непрерывная функция Примеры решения задач по высшей математике. Разобьем поверхность Примеры решения задач по высшей математике на Примеры решения задач по высшей математике частей Примеры решения задач по высшей математике, площади которых обозначим через Примеры решения задач по высшей математике (см. рис. 246), а диаметры — через Примеры решения задач по высшей математике, Примеры решения задач по высшей математике. В каждой части Примеры решения задач по высшей математике возьмем произвольную точку Примеры решения задач по высшей математике и составим сумму

Примеры решения задач по высшей математике

Она называется интегральной для функции Примеры решения задач по высшей математике по поверхности Примеры решения задач по высшей математике.

Если при Примеры решения задач по высшей математике интегральная сумма (57.1) имеет предел, то он называется поверхностным интегралом I рода от функции Примеры решения задач по высшей математике по поверхности Примеры решения задач по высшей математике и обозначается Примеры решения задач по высшей математике.

Таким образом, по определению,

Примеры решения задач по высшей математике

Отметим, что «если поверхность Примеры решения задач по высшей математике гладкая (в каждой ее точке существует касательная плоскость, которая непрерывно меняется с перемещением точки по поверхности), а функция Примеры решения задач по высшей математике непрерывна на этой поверхности, то поверхностный интеграл существует» (теорема существования).

Поверхностный интеграл I рода обладает следующими свойствами:

1. Примеры решения задач по высшей математике, где Примеры решения задач по высшей математике — число.

2. Примеры решения задач по высшей математике

Примеры решения задач по высшей математике

3. Если поверхность Примеры решения задач по высшей математике разбить на части Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике такие, что Примеры решения задач по высшей математике, а пересечение Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике состоит лишь из границы, их разделяющей, то

Примеры решения задач по высшей математике

4. Если на поверхности Примеры решения задач по высшей математике выполнено неравенство Примеры решения задач по высшей математике, то Примеры решения задач по высшей математике.

5. Примеры решения задач по высшей математике, где Примеры решения задач по высшей математике — площадь поверхности Примеры решения задач по высшей математике.

6. Примеры решения задач по высшей математике.

7. Если Примеры решения задач по высшей математике непрерывна на поверхности Примеры решения задач по высшей математике, то на этой поверхности существует точка Примеры решения задач по высшей математике такая, что

Примеры решения задач по высшей математике

(теорема о среднем значении).

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Вычисление поверхностного интеграла I рода
  2. Некоторые приложения поверхностного интеграла I рода

Поверхностный интеграл II рода

Основные понятия

Поверхностный интеграл II рода строится по образцу криволинейного интеграла II рода, где направленную кривую разлагали на элементы и проектировали их на координатные оси; знак брали в зависимости от того, совпадало ли ее направление с направлением оси или нет.

Пусть задана двусторонняя поверхность (таковой является плоскость, эллипсоид, любая поверхность, задаваемая уравнением Примеры решения задач по высшей математике, где Примеры решения задач по высшей математике, Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике — функции, непрерывные в некоторой области Примеры решения задач по высшей математике плоскости Примеры решения задач по высшей математике и т. д.). После обхода такой поверхности, не пересекая ее границы, направление нормали к ней не меняется. Примером односторонней поверхности является так называемый лист Мебиуса, получающийся при склеивании сторон Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике прямоугольника Примеры решения задач по высшей математике так, что точка Примеры решения задач по высшей математике совмещается с точкой Примеры решения задач по высшей математике, а Примеры решения задач по высшей математике — с Примеры решения задач по высшей математике (см. рис. 251).

Примеры решения задач по высшей математике

Далее, пусть в точках рассматриваемой двусторонней поверхности Примеры решения задач по высшей математике в пространстве Примеры решения задач по высшей математике определена непрерывная функция Примеры решения задач по высшей математике. Выбранную сторону поверхности (в таком случае говорят, что поверхность ориентирована) разбиваем на части Примеры решения задач по высшей математике, где Примеры решения задач по высшей математике, и проектируем их на координатные плоскости. При этом площадь проекции Примеры решения задач по высшей математике берем со знаком «плюс», если выбрана верхняя сторона поверхности, или, что то же самое, если нормаль Примеры решения задач по высшей математике к выбранной стороне поверхности составляет с осью Примеры решения задач по высшей математике острый угол (см. рис. 252, в), т. е. Примеры решения задач по высшей математике; со знаком «минус», если выбрана нижняя сторона поверхности (или Примеры решения задач по высшей математике) (см. рис. 252, б). В этом случае интегральная сумма имеет вид

Примеры решения задач по высшей математике

где Примеры решения задач по высшей математике — площадь проекции Примеры решения задач по высшей математике на плоскость Примеры решения задач по высшей математике. Ее отличие от интегральной суммы (57.1) очевидно.

Примеры решения задач по высшей математике

Предел интегральной суммы (58.1) при Примеры решения задач по высшей математике, если он существует и не зависит от способа разбиения поверхности Примеры решения задач по высшей математике на части Примеры решения задач по высшей математике и от выбора точек Примеры решения задач по высшей математике, называется поверхностным интегралом II рода (по координатам) от функции Примеры решения задач по высшей математике по переменным Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике по выбранной стороне поверхности и обозначается

Примеры решения задач по высшей математике

Итак,

Примеры решения задач по высшей математике

Аналогично определяются поверхностные интегралы II рода по переменным Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике:

Примеры решения задач по высшей математике

Общим видом поверхностного интеграла II рода служит интеграл

Примеры решения задач по высшей математике

где Примеры решения задач по высшей математике — непрерывные функции, определенные в точках двусторонней поверхности Примеры решения задач по высшей математике.

Отметим, что если Примеры решения задач по высшей математике — замкнутая поверхность, то поверхностный интеграл по внешней стороне ее обозначается Примеры решения задач по высшей математике, по внутренней Примеры решения задач по высшей математике.

Из определения поверхностного интеграла II рода вытекают следующие его свойства:

  1. Поверхностный интеграл II рода изменяет знак при перемене стороны поверхности.
  2. Постоянный множитель можно выносить за знак поверхностного интеграла.
  3. Поверхностный интеграл от суммы функций равен сумме соответствующих интегралов от слагаемых.
  4. Поверхностный интеграл II рода по всей поверхности Примеры решения задач по высшей математике равен сумме интегралов по ее частям Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике (аддитивное свойство), если Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике пересекаются лишь по границе, их разделяющей.
  5. Если Примеры решения задач по высшей математике — цилиндрические поверхности с образующими, параллельными соответственно осям Примеры решения задач по высшей математике, то
Примеры решения задач по высшей математике

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Вычисление поверхностного интеграла II рода
  2. Некоторые приложения поверхностного интеграла II рода

Числовые ряды

Основные понятия

Бесконечные ряды широко используются в теоретических исследованиях математического анализа, имеют разнообразные практические применения.

Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида

Примеры решения задач по высшей математике

где Примеры решения задач по высшей математике — действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, Примеры решения задач по высшей математике — общим членом ряда.

Ряд (59.1) считается заданным, если известен общий член рада Примеры решения задач по высшей математике, выраженный как функция его номера Примеры решения задач по высшей математике.

Сумма первых Примеры решения задач по высшей математике членов ряда (59.1) называется Примеры решения задач по высшей математике-й частичной суммой ряда и обозначается через Примеры решения задач по высшей математике, т. е. Примеры решения задач по высшей математике.

Рассмотрим частичные суммы

Примеры решения задач по высшей математике

Если существует конечный предел Примеры решения задач по высшей математике последовательности частичных сумм ряда (59.1), то этот предел называют суммой ряда (59.1) и говорят, что ряд сходится. Записывают: Примеры решения задач по высшей математике.

Если Примеры решения задач по высшей математике не существует или Примеры решения задач по высшей математике, то ряд (59.1) называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Рассмотрим примеры.

  1. Ряд Примеры решения задач по высшей математике нельзя считать заданным, а ряд 2 + 5 + 8 +… — можно: его общий член задастся формулой Примеры решения задач по высшей математике.
  2. Ряд 0 + 0 + 0 + … + 0 + … сходится, его сумма равна 0.
  3. Ряд 1 + 1 + 1 + … + 1 + … расходится, Примеры решения задач по высшей математике при Примеры решения задач по высшей математике.
  4. Ряд 1—1+1—1+1—1+… расходится, так как последовательность частичных сумм 1,0,1,0,1,0,… Примеры решения задач по высшей математике не имеет предела.
  5. Ряд Примеры решения задач по высшей математике сходится. Действительно,
Примеры решения задач по высшей математике

Следовательно,

Примеры решения задач по высшей математике

т. e. ряд сходится, его сумма равна 1.

Рассмотрим некоторые важные свойства рядов.

Свойство 1. Если ряд (59.1) сходится и его сумма равна Примеры решения задач по высшей математике, то ряд

Примеры решения задач по высшей математике

где Примеры решения задач по высшей математике — произвольное число, также сходится и его сумма равна высшая математика. Если же ряд (59.1) расходится и Примеры решения задач по высшей математике, то и ряд (59.2) расходится.

Обозначим Примеры решения задач по высшей математике-ю частичную сумму ряда (59.2) через Примеры решения задач по высшей математике. Тогда

Примеры решения задач по высшей математике

Следовательно,

Примеры решения задач по высшей математике

т.е. ряд (59.2) сходится и имеет сумму Примеры решения задач по высшей математике.

Покажем теперь, что если ряд (59.1) расходится, Примеры решения задач по высшей математике, то и ряд (59.2) расходится. Допустим противное: ряд (59.2) сходится и имеет сумму Примеры решения задач по высшей математике. Тогда

Примеры решения задач по высшей математике

Отсюда получаем:

Примеры решения задач по высшей математике

т. e. ряд (59.1) сходится, что противоречит условию о расходимости ряда (59.1).

Свойство 2. Если сходится ряд (59.1) и сходится ряд

Примеры решения задач по высшей математике

а их суммы равны Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике соответственно, то сходятся и ряды

Примеры решения задач по высшей математике

причем сумма каждого равна соответственно Примеры решения задач по высшей математике.

Обозначим Примеры решения задач по высшей математике-е частичные суммы рядов (59.1), (59.3) и (59.4) через Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике соответственно. Тогда

Примеры решения задач по высшей математике

т. e. каждый из рядов (59.4) сходится, и сумма его равна Примеры решения задач по высшей математике соответственно.

Из свойства 2 вытекает, что сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.

В справедливости этого утверждения можно убедиться методом от противного.

Заметим, что сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимся, так и расходящимся рядом.

Свойство 3. Если к ряду (59.1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (59.1) сходятся или расходятся одновременно.

Обозначим через Примеры решения задач по высшей математике сумму отброшенных членов, через Примеры решения задач по высшей математике — наибольший из номеров этих членов. Чтобы не менять нумерацию оставшихся членов ряда (59.1), будем считать, что на месте отброшенных членов поставили нули. Тогда при Примеры решения задач по высшей математике будет выполняться равенство Примеры решения задач по высшей математике, где Примеры решения задач по высшей математике — это Примеры решения задач по высшей математике-я частичная сумма ряда, полученного из ряда (59.1) путем отбрасывания конечного числа членов. Поэтому Примеры решения задач по высшей математике. Отсюда следует, что пределы в левой и правой частях одновременно существуют или не существуют, т. е. ряд (59.1) сходится (расходится) тогда и только тогда, когда сходятся (расходятся) ряды без конечного числа его членов.

Аналогично рассуждаем в случае приписывания к ряду конечного числа членов.

Ряд

Примеры решения задач по высшей математике

называется Примеры решения задач по высшей математике-м остатком ряда (59.1). Он получается из ряда (59.1) отбрасыванием Примеры решения задач по высшей математике первых его членов. Ряд (59.1) получается из остатка добавлением конечного числа членов. Поэтому, согласно свойству 3, ряд (59.1) и его остаток (59.5) одновременно сходятся или расходятся.

Из свойства 3 также следует, что если ряд (59.1) сходится, то его остаток Примеры решения задач по высшей математике стремится к нулю при Примеры решения задач по высшей математике, т. е. Примеры решения задач по высшей математике.

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Ряд геометрической прогрессии
  2. Необходимый признак сходимости числового ряда
  3. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
  4. Признак Даламбера
  5. Радикальный признак Коши
  6. Интегральный признак Коши

Знакочередующиеся и знакопеременные ряды

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
  2. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
  3. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов

Степенные ряды

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Функциональные ряды
  2. Сходимость степенных рядов
  3. Свойства степенных рядов

Разложение функций в степенные ряды

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Ряды Тейлора и Маклорена
  2. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)
  3. Некоторые приложения степенных рядов
  4. Приближенное вычисление определенных интегралов
  5. Приближенное решение дифференциальных уравнений
  6. Способ последовательного дифференцирования
  7. Способ неопределенных коэффициентов

Ряды Фурье. Интеграл Фурье

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Периодические функции. Периодические процессы
  2. Тригонометрический ряд Фурье
  3. Разложение в ряд фурье периодических функций с периодом 2п
  4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
  5. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
  6. Представление непериодической функции рядом Фурье
  7. Комплексная форма ряда Фурье
  8. Интеграл Фурье

Элементы теории поля

Основные понятия теории поля

Теория поля — крупный раздел физики, механики, математики, в котором изучаются скалярные, векторные, тензорные поля.

К рассмотрению скалярных и векторных полей приводят многие задачи физики, электротехники, математики, механики и других технических дисциплин. Изучение одних физических полей способствует изучению и других. Так, например, силы всемирного тяготения, магнитные, электрические силы — все они изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния от своего источника; диффузия в растворах происходит по законам, общим с распространением тепла в различных средах; вид силовых магнитных линий напоминает картину обтекания препятствий жидкостью и т. д.

Математическим ядром теории поля являются такие понятия, как градиент, поток, потенциал, дивергенция, ротор, циркуляция и другие. Эти понятия важны и в усвоении основных идей математического анализа функций многих переменных.

Полем называется область Примеры решения задач по высшей математике пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины. Если каждой точке Примеры решения задач по высшей математике этой области соответствует определенное число Примеры решения задач по высшей математике, говорят, что в области определено (задано) скалярное поле (или функция точки). Иначе говоря, скалярное поле — это скалярная функция Примеры решения задач по высшей математике вместе с ее областью определения. Если же каждой точке Примеры решения задач по высшей математике области пространства соответствует некоторый вектор Примеры решения задач по высшей математике, то говорят, что задано векторное поле (или векторная функция точки).

Примерами скалярных полей могут быть поля температуры (воздуха, тела, …), атмосферного давления, плотности (массы, воздуха, …), электрического потенциала и т. д. Примерами векторных полей являются поле силы тяжести, поле скоростей частиц текущей жидкости (ветра), магнитное папе, папе плотности электрического тока и т. д.

Если функция Примеры решения задач по высшей математике) не зависит от времени, то скалярное (векторное) поле называется стационарным (или установившимся); поле, которое меняется с течением времени (меняется, например, скалярное пале температуры при охлаждении тела), называется нестационарным (или неустановившимся).

Далее будем рассматривать только стационарные паля.

Если Примеры решения задач по высшей математике — область трехмерного пространства, то скалярное поле Примеры решения задач по высшей математике можно рассматривать как функцию трех переменных Примеры решения задач по высшей математике (координат точки Примеры решения задач по высшей математике):

Примеры решения задач по высшей математике

(Наряду с обозначениями Примеры решения задач по высшей математике, Примеры решения задач по высшей математике, используют запись Примеры решения задач по высшей математике, где Примеры решения задач по высшей математике — радиус-вектор точки Примеры решения задач по высшей математике.)

Если скалярная функция Примеры решения задач по высшей математике зависит только от двух переменных, например Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике, то соответствующее скалярное поле Примеры решения задач по высшей математике называют плоским.

Аналогично: вектор Примеры решения задач по высшей математике, определяющий векторное поле, можно рассматривать как векторную функцию трех скалярных аргументов Примеры решения задач по высшей математике, Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике: Примеры решения задач по высшей математике (или Примеры решения задач по высшей математике).

Вектор Примеры решения задач по высшей математике можно представить (разложив его по ортам координатных осей) в виде

Примеры решения задач по высшей математике

где Примеры решения задач по высшей математике, Примеры решения задач по высшей математике — проекции вектора Примеры решения задач по высшей математике на оси координат. Если в выбранной системе координат Примеры решения задач по высшей математике одна из проекций вектора Примеры решения задач по высшей математике равна нулю, а две другие зависят только от двух переменных, то векторное поле называется плоским. Например, Примеры решения задач по высшей математике.

Векторное поле называется однородным, если Примеры решения задач по высшей математике — постоянный вектор, т. е. Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике — постоянные величины. Таким полем является поле тяжести. Здесь Примеры решения задач по высшей математике, Примеры решения задач по высшей математике — ускорение силы тяжести, Примеры решения задач по высшей математике — масса точки.

В дальнейшем будем предполагать, что скалярные функции (Примеры решения задач по высшей математике — определяющая скалярное поле, Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике — задающие векторное поле) непрерывны вместе со своими частными производными.

Пример №69.1.

Функция Примеры решения задач по высшей математике определяет скалярное поле в точках пространства, ограниченного сферой с центром в начале координат и радиусом Примеры решения задач по высшей математике; скалярное поле Примеры решения задач по высшей математике определено во всем пространстве, за исключением точек оси Примеры решения задач по высшей математике (на ней Примеры решения задач по высшей математике).

Дополнительный пример №69.2.

Скалярное поле

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Поверхности и линии уровня скалярного поля
  2. Производная по направлению скалярного поля
  3. Градиент скалярного поля и его свойства

Векторное поле

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Векторные линии поля
  2. Поток векторного поля
  3. Дивергенция поля. Формула Остроградского-Гаусса
  4. Циркуляция векторного поля
  5. Ротор векторного поля. Формула Стокса

Оператор Гамильтона

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Векторные дифференциальные операции первого порядка
  2. Векторные дифференциальные операции второго порядка
  3. Свойства основных классов векторных полей

Элементы теории функции комплексного переменного (ТФКП)

Элементы теории функции комплексного переменного (ТФКП) — это раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента.

Функции комплексного переменного

Основные понятия

Пусть даны два множества Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике, элементами которых являются комплексные числа (см. гл. VI). Числа Примеры решения задач по высшей математике множества Примеры решения задач по высшей математике будем изображать точками комплексной плоскости Примеры решения задач по высшей математике, а числа Примеры решения задач по высшей математике множества Примеры решения задач по высшей математике — точками комплексной плоскости Примеры решения задач по высшей математике.

Если каждому числу (точке) Примеры решения задач по высшей математике по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное число (точка) Примеры решения задач по высшей математике, то говорят, что на множестве определена однозначная функция комплексного переменного Примеры решения задач по высшей математике, отображающая множество Примеры решения задач по высшей математике в множество Примеры решения задач по высшей математике (см. рис. 282).

Примеры решения задач по высшей математике

Если каждому Примеры решения задач по высшей математике соответствует несколько значений Примеры решения задач по высшей математике, то функция Примеры решения задач по высшей математике называется многозначной.

Множество Примеры решения задач по высшей математике называется областью определения функции Примеры решения задач по высшей математике; множество Примеры решения задач по высшей математике всех значений Примеры решения задач по высшей математике, которые Примеры решения задач по высшей математике принимает на Примеры решения задач по высшей математике, называется областью значений этой функции (если же каждая точка множества Примеры решения задач по высшей математике является значением функции, то Примеры решения задач по высшей математике — область значений функции; в этом случае функция Примеры решения задач по высшей математике отображает Примеры решения задач по высшей математике на Примеры решения задач по высшей математике).

Далее, как правило, будем рассматривать такие функции Примеры решения задач по высшей математике, для которых множества Примеры решения задач по высшей математике и Примеры решения задач по высшей математике являются областями. Областью комплексной плоскости называется множество точек плоскости, обладающих свойствами открытости и связности (см. п. 43.1).

Функцию Примеры решения задач по высшей математике можно записать в виде

Примеры решения задач по высшей математике

т.е.

Примеры решения задач по высшей математике

где

Примеры решения задач по высшей математике

Функцию Примеры решения задач по высшей математике при этом называют действительной частью функции Примеры решения задач по высшей математике, a Примеры решения задач по высшей математике — мнимой.

Таким образом, задание функции комплексного переменного равносильно заданию двух функций двух действительных переменных.

Пример №74.1.

Найти действительную и мнимую части функции Примеры решения задач по высшей математике.

Решение:

Функцию Примеры решения задач по высшей математике можно записать в виде Примеры решения задач по высшей математике, т.е.

высшая математика

Отсюда следует: Примеры решения задач по высшей математике.

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
  2. Основные элементарные функции комплексного переменного
  3. Дифференцирование функции комплексного переменного
  4. Аналитическая функция тфкп
  5. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
  6. Интегрирование функции комплексного переменного
  7. Интегральная теорема Коши
  8. Интеграл Коши. Интегральная формула Коши

Ряды в комплексной плоскости

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Ряды в комплексной плоскости
  2. Классификация особых точек. Связь между нулем и полюсом функции
  3. Устранимые особые точки
  4. Существенно особая точка

Вычет функции

Вычет функции — это объект (число, форма или когомологический класс формы), характеризующий локальные свойства заданного.

Теория вычетов одного комплексного переменного была в основном разработана О. Коши в 1825—1829 гг. Кроме него, важные и интересные результаты были получены Ш. Эрмитом, Ю. Сохоцким, Э. Линделёфом и многими другими. В 1887 году А. Пуанкаре обобщил интегральную теорему Коши и понятие вычета на случай двух переменных, с этого момента и берёт своё начало многомерная теория вычетов. Однако оказалось, что обобщить это понятие можно различными способами.

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Понятие вычета и основная теорема о вычетах
  2. Вычисление вычетов. Применение вычетов в вычислении интегралов

Элементы операционного исчисления

Операционное исчисление играет важную, роль при решении прикладных задач, особенно в современной автоматике и телемеханике.

Операционное исчисление — один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев сводить исследование дифференциальных и некоторых типов интегральных операторов и решение уравнений, содержащих эти операторы, к рассмотрению более простых алгебраических задач.

Методы операционного исчисления предполагают реализацию следующей условной схемы решения задачи.

  1. От искомых функций переходят к некоторым другим функциям — их изображениям.
  2. Над изображениями производят операции, соответствующие заданным операциям над самими функциями.
  3. Получив некоторый результат при действиях над изображениями, возвращаются к самим функциям.

В качестве преобразования, позволяющего перейти от- функции к их изображениям, будем применять так называемое преобразование Лапласа.

Лекции и примеры решения к этой теме:

  1. Преобразование Лапласа
  2. Свойства преобразования Лапласа
  3. Обратное преобразование Лапласа
  4. Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и их систем

Возможно эти страницы вам будут полезны: