Примеры решения задач по теории вероятности

Оглавление:

Примеры решения задач по теории вероятности

Здравствуйте на этой странице я собрала примеры решения задач по предмету теории вероятностей с решением по каждой теме, чтобы вы смогли освежить знания!

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

В различных разделах науки и техники нередко возникают ситуации, когда результат каждого из многих проводимых опытов заранее предугадать невозможно, однако можно исследовать закономерности, возникающие при проведении серии опытов. Нельзя, например, точно сказать, какая сторона монеты окажется сверху при данном броске: герб или цифра – но при большом количестве бросков число выпадений герба приближается к половине количества бросков; нельзя заранее предсказать результат одного выстрела из данного орудия по данной цели, но при большом числе выстрелов частота попадания приближается к некоторому постоянному числу. Исследование вероятностных закономерностей массовых однородных явлений составляет предмет теории вероятностей.

Основным интуитивным понятием классической теории вероятностей является случайное событие.

События, которые могут произойти в результате опыта, можно подразделить на три вида:

  • а) достоверное событие – событие, которое всегда происходит при проведении опыта;
  • б) невозможное событие – событие, которое в результате опыта произойти не может;
  • в) случайное событие – событие, которое может либо произойти, либо не произойти.

Теория вероятностей

Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах, раскрывает объективные закономерности, присущие массовым явлениям.

Развитие как науки теории вероятностей берет свое начало с переписки Паскаля и Ферма (1654 г.). Но и до этого многих ученых интересовали задачи, относящиеся к азартным играм, теоретико-вероятностные задачи, имеющие прикладное значение (Кардано, Галилей).

Кроме задач азартных игр появлялся интерес к построению таблиц смертности и вопросам страхования (Граунт, Ван Худде, Ван де Витт).

Факты устойчивости частот случайных событий в задачах обработки демографических данных были известны еще в Древнем Китае и Древнем Риме.

С течением времени объект изучения теории вероятностей менялся. Если вначале основной интерес вызывало исследование вероятностей случайных событий, то уже в XIX в. интерес вызывало исследование случайных величин.

Теория вероятностей тесно связана с прикладными исследованиями различной природы. Она применима как в задачах экономики, производства, так и задачах лингвистики и истории. Сейчас без применения понятия доверительного интервала, корреляции, уровня значимости, нормального закона распределения случайной величины сложно представить обширное исследование в педагогике, физике, механике и других науках.

В основе квантовой механики лежат принципы теории вероятностей. В случае радиоактивного распада нет закона природы, позволяющего определить точное время деления ядра. Существуют только законы, согласно которым можно говорить о вероятности рассада ядра за определенный промежуток времени.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет теория вероятностей и математическая статистика

Элементарная теория вероятностей

К оглавлению…

Во многих областях человеческой деятельности существуют ситуации, когда определенные явления могут повторяться неограниченное число раз в одинаковых условиях. Подбрасывание монеты, кости, выброс из колоды карт и т.д.

Заметим, что представляется возможным предсказать исход последующего эксперимента по результатам предыдущих, как бы ни было велико число проведенных испытаний.

Во-вторых, относительная частота определенных исходов по мере роста числа испытаний стабилизируется, приближаясь к определенному числу.

Рассмотрим эксперимент по подбрасыванию монеты. Его результат представлен в таблице 1.

Примеры решения задач по теории вероятности

Примеры решения задач по теории вероятности — номер испытания, Примеры решения задач по теории вероятности — количество подбрасываний, в таблице указывается количество выпадений герба.

Наблюдалась стабилизация частот

Примеры решения задач по теории вероятности

Обнаруженные закономерности, распространенные на испытания с произвольным числом исходов, позволяют построить простейшую математическую модель случайного эксперимента.

Под опытом, или экспериментом, или испытанием понимают осуществление конкретного комплекса условий. Опыт называется случайным, если его результат нельзя точно предсказать до его осуществления.

Например, если опыт заключается в подбрасывании монеты, то результат его -выпадение герба (Г) или решетки (Р) — нельзя предсказать заранее. Точно также при стрельбе по мишени нельзя заранее предсказать, будет ли точное попадание в цель или промах.

Построение математической модели эксперимента начинается с описания множества Примеры решения задач по теории вероятности всевозможных исходов, которые могут произойти в результате каждого испытания.

Пространство Примеры решения задач по теории вероятности называют пространством элементарных исходов, элемент этого пространства Примеры решения задач по теории вероятности — элементарный исход (элементарное событие).

Событием является любое подмножество Примеры решения задач по теории вероятности.

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в условиях данного опыта. Например, выбор одной годной детали из партии Примеры решения задач по теории вероятности годных деталей есть событие достоверное. Так как достоверное событие является совокупностью всех элементарных событий из Примеры решения задач по теории вероятности, то оно совпадает с пространством Примеры решения задач по теории вероятности и также обозначается Примеры решения задач по теории вероятности.

Невозможным называется событие, которое в условиях данного опыта не может произойти. Невозможное событие в пространстве не имеет точек в Примеры решения задач по теории вероятности и обозначается Примеры решения задач по теории вероятности. Например, невозможно поразить одну и ту же мишень три раза при двух выстрелах.

Если ограничиться рассмотрением пространства элементарных исходов, состоящих из не более, чем счетного числа элементов, то построение вероятностной модели по существу состоит в задании распределения вероятностей на пространстве Примеры решения задач по теории вероятности в соответствие с которым каждому элементарному исходу Примеры решения задач по теории вероятности ставится в соответствие число Примеры решения задач по теории вероятности, называемое вероятностью элементарного события Примеры решения задач по теории вероятности.

Примеры решения задач по теории вероятности

Различают элементарные и составные события. События, которые невозможно разложить на более простые, называются элементарными. Все остальные события называются составными. Например, пусть событие состоит в том, что сумма очков, выпавших при бросании двух игральных костей, равна шести. Это событие состоит из пяти возможных элементарных событий — выпадение на гранях костей следующих пар цифр: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) соответственно.

Вероятность любого составного события Примеры решения задач по теории вероятности:

Примеры решения задач по теории вероятности

Число Примеры решения задач по теории вероятности интерпретируется как относительная частота появления события Примеры решения задач по теории вероятности в статистическом эксперименте.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в условиях одного и того же опыта.

Два или несколько событий называются равновозможными, если нет оснований утверждать, что одно из них имеет больше данных появиться в итоге опыта по сравнению с другими. Например, извлечение туза, валета, короля или дамы из колоды карт.

Событие Примеры решения задач по теории вероятности, которое обязательно произойдет, если не произойдет событие Примеры решения задач по теории вероятности, называется противоположным событию Примеры решения задач по теории вероятности. Например, выигрыш и проигрыш в лотерее — противоположные события.

Если в задаче дана вероятность Примеры решения задач по теории вероятности, тогда чтобы найти вероятность противоположного события, необходимо воспользоваться следующей формулой:

Примеры решения задач по теории вероятности

где Примеры решения задач по теории вероятности — вероятность противоположного события.

Говорят, что несколько событий в условиях данного опыта образуют полную группу событий, если в результате опыта обязательно произойдет хотя бы одно из них. Например, события «извлечение белого шара», «извлечение красного шара», «извлечение голубого шара» образуют полную группу событий в опыте извлечения шара из урны, в которой находятся белые, красные и голубые шары.

Пример №1

  • Подбрасывается монета и регистрируется сторона монеты, которая обращена к наблюдателю после падения. Найти пространство элементарных исходов.

Решение:

Пусть событие Г = {выпал герб}, Р = {выпала решка}.

Тогда Примеры решения задач по теории вероятности.

Пример №2

  • Бросается игральная кость и регистрируется число выпавших очков. Найти пространство элементарных исходов. Найти событие, состоящее в выпадении четного числа очков.

Решение:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №3

  • Бросаются две игральные кости. Описать событие, состоящее в том, что сумма очков больше 10.

Решение:

Примеры решения задач по теории вероятности

Вероятностное пространство

К оглавлению…

Пусть Примеры решения задач по теории вероятности — множество элементарных исходов.

Подмножество пространства Примеры решения задач по теории вероятности называется событием Примеры решения задач по теории вероятности, если статистический эксперимент закончился элементарным исходом Примеры решения задач по теории вероятности.

Рассмотрим теоретико-множественные операции в данном пространстве, которые представлены в следующей таблице.

Примеры решения задач по теории вероятности
Примеры решения задач по теории вероятности

Пусть Примеры решения задач по теории вероятности и Примеры решения задач по теории вероятности — обозначают события выпадения при бросании игральной кости соответственно нечетного числа очков и числа очков, кратного трем. Тогда

Примеры решения задач по теории вероятности

и,значит,

Примеры решения задач по теории вероятности

Булева алгебра и понятие вероятности

К оглавлению…

Булевой алгеброй называют такой класс Примеры решения задач по теории вероятности подмножеств Примеры решения задач по теории вероятности, что:

Примеры решения задач по теории вероятности

Вероятностью Примеры решения задач по теории вероятности на булевой алгебре Примеры решения задач по теории вероятности подмножеств Примеры решения задач по теории вероятности называется отображение Примеры решения задач по теории вероятности в отрезок [0, 1], обладающее следующими свойствами:

1) Примеры решения задач по теории вероятности.

2) Если события Примеры решения задач по теории вероятности несовместны, то Примеры решения задач по теории вероятности.

3) Если Примеры решения задач по теории вероятности — монотонно убывающая последовательность элементов из Примеры решения задач по теории вероятности и Примеры решения задач по теории вероятности, то Примеры решения задач по теории вероятности. Это может быть записано, как Примеры решения задач по теории вероятности.

Замечание. Вероятность Примеры решения задач по теории вероятности на Примеры решения задач по теории вероятности обладает свойствами:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пара Примеры решения задач по теории вероятности, состоящая из пространства элементарных исходов Примеры решения задач по теории вероятности и булевой Примеры решения задач по теории вероятности-алгебры Примеры решения задач по теории вероятности его подмножеств, называется измеримым пространством. Только элементы Примеры решения задач по теории вероятности называются событиями.

Тройка Примеры решения задач по теории вероятности, где Примеры решения задач по теории вероятности — вероятность на Примеры решения задач по теории вероятности — алгебре Примеры решения задач по теории вероятности, называется вероятностным пространством.

Элементы комбинаторики

К оглавлению…

Комбинаторика — раздел математики, изучающий комбинации конечных множеств элементов различной природы.

Пусть все элементы рассматриваемых множеств различны. Будем изучать комбинации этих элементов, различающихся количеством и/или порядком.

Дано конечное число Примеры решения задач по теории вероятности объектов произвольной природы, которые назовем элементами.

Из них по определенному правилу можно образовать некоторые группы. Подсчетом числа таких возможных групп и занимается комбинаторика.

Будем рассматривать такие множества, в которых каждый элемент входит не более одного раза (соединения без повторений).

Перестановкой из Примеры решения задач по теории вероятности элементов называется конечное множество элементов, в котором установлен порядок. Так, например, из букв Примеры решения задач по теории вероятности можно составить следующие перестановки:

Примеры решения задач по теории вероятности

Число возможных перестановок из Примеры решения задач по теории вероятности элементов равно:

Примеры решения задач по теории вероятности

Множество, для которого указан порядок расположения элементов, называется упорядоченным. Упорядоченные конечные подмножества некоторого множества называются размещениями.

Число всех возможных размещений, содержащих по Примеры решения задач по теории вероятности элементов из множества, содержащего Примеры решения задач по теории вероятности элементов Примеры решения задач по теории вероятности, определяется по формуле:

Примеры решения задач по теории вероятности

Всякое конечное подмножество, состоящее из Примеры решения задач по теории вероятности элементов данного множества из Примеры решения задач по теории вероятности элементов, называется сочетанием Примеры решения задач по теории вероятности элементов из Примеры решения задач по теории вероятности, если каждое подмножества из Примеры решения задач по теории вероятности элементов отличается одно от другого хотя бы одним элементом.

Число всех возможных сочетаний обозначается:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №4

  • В группе 10 юношей и 7 девушек. Из группы случайным образом отбирается 5 студентов. Найти вероятность того, что среди них окажется 4 девушки?

Решение:

Пусть событие Примеры решения задач по теории вероятности состоит в том, что из 5 случайно отобранных студентов окажутся 4 девушки. Общее число исходов будет равно количеству способов, сколькими из 17 студентов можно отобрать по 5 студентов Примеры решения задач по теории вероятности. Благоприятствовать событию Примеры решения задач по теории вероятности будут те исходы, в которых будет 4 девушки и 1 юноша

Примеры решения задач по теории вероятности

Тогда

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №5

  • Сколько способов существует для выбора команды участников субботника, если известно, что в команде должно быть 5 человек, а в студенческой группе 25 человек?

Решение:

Поскольку порядок следования элементов в подгруппе не имеет значения, значит речь идет о количестве сочетаний

Примеры решения задач по теории вероятности

Гипергеометрическое распределение

К оглавлению…

Большой класс задач, которые интерпретируются в рамках урновой схемы. Типовая задача: Пусть в эксперименте рассматриваются: Примеры решения задач по теории вероятности — черных шаров, Примеры решения задач по теории вероятности — белых шаров.

Отбирается Примеры решения задач по теории вероятности шаров из урны. Какова вероятность, что выборка содержит Примеры решения задач по теории вероятности черных шаров?

Нахождение вероятности в рамках данной схемы осуществляется по следующей формуле:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №6

  • Автомат с 30 мягкими игрушками, содержит фигурки зверей и супергероев в пропорции 2:1 соответственно. В случае победы автомат выдает случайным образом две игрушки. Какова вероятность, что это окажутся супергерои?

Решение:

Поскольку в эксперименте есть два ярко выделенных признака, по которым объект можно отнести либо к первому типу (мягкая игрушка), либо ко второму типу (супергерой), речь идет о гипергеометрическом распределении. Примеры решения задач по теории вероятностиПримеры решения задач по теории вероятности (количество супергероев), Примеры решения задач по теории вероятности (количество зверей). Тогда общее количество Примеры решения задач по теории вероятности, выбирают Примеры решения задач по теории вероятности игрушек, Примеры решения задач по теории вероятности (среди тех, которые выбрали, оба оказались супергероями). Тогда по формуле гипергеометрического распределения:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №7

  • На складе обоев 10 трубок первой партии и 7 трубок второй партии. Продавец случайным образом выбирает 3 трубки, какова вероятность, что все трубки окажутся одной партии?

Решение:

По вопросу задачи можно сделать вывод, что исходами, благоприятствующими наступлению события Примеры решения задач по теории вероятности = { все три трубки окажутся одной партии}, являются следующие: {три трубки первой партии}, {три трубки второй партии}. Тогда вероятность может быть найдена по следующей формуле:

Примеры решения задач по теории вероятности

Примеры вероятностных пространств

К оглавлению…

Рассмотрим в таблице примеры вероятностных пространств.

Примеры решения задач по теории вероятности
Примеры решения задач по теории вероятности

Разбиение на группы: перестановки, сочетания и размещения с повторениями

К оглавлению…

Пусть Примеры решения задач по теории вероятности — целые неотрицательные числа, причем Примеры решения задач по теории вероятности. Число способов, которыми можно представить множество Примеры решения задач по теории вероятности из Примеры решения задач по теории вероятности элементов в виде суммы Примеры решения задач по теории вероятности множеств Примеры решения задач по теории вероятности, число элементов которых составляет соответственно Примеры решения задач по теории вероятности равно:

Примеры решения задач по теории вероятности

Сочетаниями из Примеры решения задач по теории вероятности элементов по Примеры решения задач по теории вероятности элементов с повторениями называются группы, содержащие Примеры решения задач по теории вероятности элементов, причем каждый элемент принадлежит одному из Примеры решения задач по теории вероятности типов.

Число различных сочетаний из Примеры решения задач по теории вероятности типов по Примеры решения задач по теории вероятности объектов с повторениями равно:

Примеры решения задач по теории вероятности

Отображение множества Примеры решения задач по теории вероятности первых натуральных чисел 1, 2, 3, …, Примеры решения задач по теории вероятности в данное множество Примеры решения задач по теории вероятности называется размещением с повторением, составленным из данных Примеры решения задач по теории вероятности элементов (количество типов) по Примеры решения задач по теории вероятности. Количество размещений с повторениями находится по следующей формуле:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №8

  • Найдем число различных слов, которые можно получить, переставляя буквы в слове «Математика».

Решение:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №9

  • Найти число способов, которыми можно выбрать три буквы из АААТТТГГГЦЦЦ.

Решение:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №10

  • Найти количество всевозможных размещений с повторениями из букв Примеры решения задач по теории вероятности по две буквы.

Решение:

Примеры решения задач по теории вероятности

Независимость. Условные вероятности

К оглавлению…

Зная распределения вероятностей, мы в состоянии оптимизировать свое поведение при игре, производя ставки на те события из Примеры решения задач по теории вероятности, которые обладают наибольшей вероятностью.

Дальнейшая оптимизация такой игры обычно осуществляется за счет дополнительной информации, которой может располагать игрок, и учет такой информации осуществляется в терминах так называемой условной вероятности.

Рассмотрим два случайных события Примеры решения задач по теории вероятности и Примеры решения задач по теории вероятности. Пусть известно, что событие Примеры решения задач по теории вероятности наступило, но неизвестно, какое конкретно из элементарных событий Примеры решения задач по теории вероятности, составляющих событие Примеры решения задач по теории вероятности, наступило. Что можно сказать в этом случае о вероятности наступления события Примеры решения задач по теории вероятности?

Пусть вероятность события Примеры решения задач по теории вероятности — положительная величина. Условной вероятностью события Примеры решения задач по теории вероятности при условии, что произошло событие Примеры решения задач по теории вероятности, называют число:

Примеры решения задач по теории вероятности

Теорема умножения. Пусть

Примеры решения задач по теории вероятности

Тогда

Примеры решения задач по теории вероятности

Теорема.

Примеры решения задач по теории вероятности

Тогда

Примеры решения задач по теории вероятности

Задача. Студент знает 20 вопросов из 30. Экзаменатор задает три вопроса. Какова вероятность того, что студент ответит на все вопросы?

Два события называются независимыми, если вероятность появления одного из них не влияет на вероятность наступления другого. Говорят, что событие Примеры решения задач по теории вероятности не зависит от события Примеры решения задач по теории вероятности, если Примеры решения задач по теории вероятности, т.к. его вероятность не зависит от того, произошло ли событие В или нет. Независимость двух событий — свойство симметричное.

События Примеры решения задач по теории вероятности и Примеры решения задач по теории вероятности называются независимыми, если

Примеры решения задач по теории вероятности

Случайные события Примеры решения задач по теории вероятности называются попарно независимыми, если для любых

Примеры решения задач по теории вероятности

Случайные события Примеры решения задач по теории вероятности называются независимыми в совокупности, если для любого подмножества индексов:

Примеры решения задач по теории вероятности

Задача (Пример Бернштейна). На плоскость бросают тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, зеленый и синий цвета, а на четвертой грани есть все цвета. Рассмотреть вероятности событий «выпала грань, которая содержит красный цвет», «выпала грань, которая содержит синий цвет», «выпала грань, которая содержит зеленый цвет». Будут ли эти события попарно независимыми и независимыми в совокупности?

Пример №11

  • В тире девушке и юноше выдали по одному патрону для попадания в цель и получения плюшевого медведя. Вероятность того, что попадет в цель девушка, равна 0,01. Вероятность того, что попадет юноша, равна 0,95. Каждый сделал по одному выстрелу. Какова вероятность, что мишка будет выигран?

Решение:

Исходы, благоприятствующие наступлению этого события:

{юноша попал и девушка попала},{юноша не попал и девушка попала},{юноша попал и девушка не попала}.

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №12

  • В вазе стоит 5 роз и 4 гвоздики. Случайным образом выбирается один цветок. После этого выбирается еще один. Какова вероятность того, что второй цветок — роза?

Решение:

Первым выбранным цветком могла оказаться роза, тогда после ее изъятия в вазе останется только 4 розы. Первой могла оказаться гвоздика, тогда после первого изъятия цветка останется 5 роз. Вероятность того, что второй выбранный цветок роза, вычисляется следующим образом:

Примеры решения задач по теории вероятности

Формула полной вероятности. Формулы Байеса

К оглавлению…

Конечное или счетное число случайных событий Примеры решения задач по теории вероятности,… образует полную группу событий (разбиение) если:

Примеры решения задач по теории вероятности

Теорема (Формула полной вероятности). Пусть случайные события Примеры решения задач по теории вероятности образует полную группу событий. Тогда для произвольного события В, рассматриваемого на том же вероятностном пространстве выполняется следующее:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пусть до опыта об исследуемом случайном явлении имеются гипотезы Примеры решения задач по теории вероятности. После опыта становится известной информация о результатах этого

явления, но не полная. Результаты наблюдений показывают, не какой конкретно элементарный исход Примеры решения задач по теории вероятности произошел, а что наступило некоторое событие Примеры решения задач по теории вероятности. Считая, что до опыта были известны (априорные) вероятности Примеры решения задач по теории вероятности и условные вероятности Примеры решения задач по теории вероятности, необходимо определить апостериорные вероятности Примеры решения задач по теории вероятности. Решение поставленной задачи дают формулы Байеса.

Теорема (Формулы Байеса). Пусть случайные события Примеры решения задач по теории вероятности образуют полную группу событий. Пусть для произвольного события Примеры решения задач по теории вероятности. Тогда для любых значений Примеры решения задач по теории вероятности имеют место формулы:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №13

  • Студент выучил 20 билетов из 25 и идет отвечать вторым. Какова вероятность, что он вытянет «удачный билет»?

Решение:

Рассмотрим следующие события:

Примеры решения задач по теории вероятности

Тогда

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №14

  • Соотношение грузовых автомобилей, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе, равно 2:3. Вероятность того, что будет заправляться грузовая автомашина равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,3. К бензоколонке подъехала для заправки автомашина. Найти вероятность того, что это грузовая автомашина.

Решение:

Пусть событие Примеры решения задач по теории вероятности — к бензоколонке подъехала для заправки автомашина; Примеры решения задач по теории вероятности — подъехала грузовая автомашина; Примеры решения задач по теории вероятности — подъехала легковая автомашина. Тогда

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №15

  • При лечении больному необходимо принять лекарства двух видов одинаковой дозировки. Вероятность того, что больному станет легче от первого лекарства равна 0,9; от второго — 0,97. Больному стало легче. Какова вероятность того, что на его состояние повлияло первое лекарство?

Решение:

Рассмотрим равновероятные гипотезы Примеры решения задач по теории вероятности={больной принимает первое лекарство}, Примеры решения задач по теории вероятности= {больной принимает второе лекарство}.

Примеры решения задач по теории вероятности

Также рассмотрим событие Примеры решения задач по теории вероятности = {больному стало легче}. Условные вероятности:

Примеры решения задач по теории вероятности

Поскольку известно событие, которое наступило, необходимо использовать формулы Байеса. Вероятность того, что на состояние больного повлияло первое лекарство, будет найдена по формуле:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №16

  • На огороде посажены семена гороха и перца в одинаковых пропорциях. Всхожесть гороха равна 0,06. Всхожесть перца составляет 0,15. Растение проросло, какова вероятность, что это взошел перец?

Решение:

Рассмотрим взаимоисключающие гипотезы Примеры решения задач по теории вероятности={посажено семя гороха}, Примеры решения задач по теории вероятности={посажено семя перца}.

Примеры решения задач по теории вероятности

Также рассмотрим событие Примеры решения задач по теории вероятности = {всхожесть семени}.

Примеры решения задач по теории вероятности
Примеры решения задач по теории вероятности

Поскольку известно событие, которое наступило (растение проросло), необходимо использовать формулы Байеса. Вероятность того, что взошел перец, будет найдена по формуле:

Примеры решения задач по теории вероятности

Схема Бернулли

К оглавлению…

Под испытанием следует понимать эксперимент со случайным исходом.

Пусть производятся Примеры решения задач по теории вероятности независимых испытаний. Известно, что в каждом испытании возможны два исхода: либо происходит событие Примеры решения задач по теории вероятности (успех), либо событие Примеры решения задач по теории вероятности не происходит (неудача). Данная схема называется схемой Бернулли. При том предполагается, что вероятность Примеры решения задач по теории вероятности успеха и Примеры решения задач по теории вероятности неудачи не изменяются при переходе от испытания к испытанию.

Примеры решения задач по теории вероятности

Задача. Известно, что левши составляют 1% от жителей Земли. Найти вероятность того, что среди 200 человек найдется хотя бы 3 левши.

Наивероятнейшее число появления события Примеры решения задач по теории вероятности в Примеры решения задач по теории вероятности независимых испытаниях Примеры решения задач по теории вероятности — число испытаний, при котором достигается максимальная вероятность в Примеры решения задач по теории вероятности независимых испытаниях:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №17

  • Прибор состоит из четырех узлов. Вероятность безотказной работы в течение смены для каждого узла равна 0,85. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что в течение смены откажут ровно два узла.

Решение:

Из условия задачи

Примеры решения задач по теории вероятности

Используя формулу Бернулли, получим:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №18

  • Определить вероятность того, что в семье, имеющей пять детей, будет три девочки и два мальчика. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

Решение:

Из условия задачи

Примеры решения задач по теории вероятности

Используя формулу Бернулли, получим:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №19

  • В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что среди детей будет не больше трех девочек.

Решение:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №20

  • Вероятность попадания в цель стрелком равна 0,75. Сделано 20 выстрелов. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель.

Решение:

Здесь

Примеры решения задач по теории вероятности

Следовательно, применим формулу

Примеры решения задач по теории вероятности

Получим:

Примеры решения задач по теории вероятности

т.е.

Примеры решения задач по теории вероятности

Наивероятнейшее число попаданий в цель равно 15.

Предельные теоремы в схеме Бернулли

К оглавлению…

Схема независимых испытаний служит вероятностной моделью многих реальных явлений, поэтому представляет значительный интерес задача подсчета вероятности Примеры решения задач по теории вероятности. При больших значениях Примеры решения задач по теории вероятности и Примеры решения задач по теории вероятности есть трудности в получении численного значения этих вероятностей.

Естественным образом возникает задача нахождения асимптотических форм, позволяющих приближенно вычислять вероятности Примеры решения задач по теории вероятности для достаточно больших Примеры решения задач по теории вероятности и малых Примеры решения задач по теории вероятности.

Теорема (Локальная предельная теорема Пуассона). Если Примеры решения задач по теории вероятности, так что Примеры решения задач по теории вероятности то

Примеры решения задач по теории вероятности

Теорема (Интегральная предельная теорема Пуассона). В схеме Бернулли для любого натурального числа Примеры решения задач по теории вероятности, любого Примеры решения задач по теории вероятности и для любого числового множества Примеры решения задач по теории вероятности справедливо неравенство:

Примеры решения задач по теории вероятности

Теперь рассмотрим асимптотическую формулу для вероятности не близкой к нулю.

Теорема (Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа). Если в схеме Бернулли Примеры решения задач по теории вероятности, то для любого положительного с равномерно по всем Примеры решения задач по теории вероятности таких:

Примеры решения задач по теории вероятности

справедливо соотношение:

Примеры решения задач по теории вероятности

где Примеры решения задач по теории вероятности — бесконечно малая величина при Примеры решения задач по теории вероятности.

Теорема (Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа). При выполнении условий предыдущей теоремы равномерно Примеры решения задач по теории вероятности выполнено предельное соотношение:

Примеры решения задач по теории вероятности

Заметим, что при использовании интегральной формулы Муавра-Лапласа формула обеспечивает достаточную точность уже при Примеры решения задач по теории вероятности.

По полученным теоремам составим таблицу.

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №21

  • В каждом из 5 опытов событие Примеры решения задач по теории вероятности может появится с вероятностью Примеры решения задач по теории вероятности. Найти вероятность того, что событие Примеры решения задач по теории вероятности появится 3 раза.

Решение:

Применим формулу Бернулли:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №22

  • Найти вероятность того, что в 243 испытаниях событие Примеры решения задач по теории вероятности наступит ровно 70 раз, если вероятность появления этого события Примеры решения задач по теории вероятности в каждом испытании.

Решение:

Применим локальную теорему Муавра-Лапласа:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №23

  • Фабрика выпускает 70% продукции I сорта. Чему равна вероятность того, что в партии из 1000 изделий число изделий I сорта будет в диапазоне [652, 760]?

Решение:

Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа.

Примеры решения задач по теории вероятности

Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

К оглавлению…

Вероятность того, что в Примеры решения задач по теории вероятности независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна Примеры решения задач по теории вероятности, абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события не превысит положительного числа Примеры решения задач по теории вероятности, приближенно равна удвоенной функции Лапласа при Примеры решения задач по теории вероятности.

Примеры решения задач по теории вероятности

Относительная частота события Примеры решения задач по теории вероятности определяется равенством Примеры решения задач по теории вероятности, где Примеры решения задач по теории вероятности — число испытаний, в которых Примеры решения задач по теории вероятности наступило, Примеры решения задач по теории вероятности — общее число произвольных испытаний.

Пример №24

  • Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,5. Найти число испытаний Примеры решения задач по теории вероятности, при котором с вероятностью 0,7698 можно ожидать, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.

Решение:

Их рассмотренной формулы:

Примеры решения задач по теории вероятности

получим, что

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №25

  • Вероятность выигрыша на турнире по баскетболу равна 0,58. Найти количество турниров Примеры решения задач по теории вероятности, при котором с вероятностью приблизительно равной 0,9 можно ожидать, что относительная частота побед отклонится от вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,1.

Решение:

Примеры решения задач по теории вероятности
Примеры решения задач по теории вероятности

Случайные величины и их распределения

К оглавлению…

В азартных играх интерес играющих вызывает не наступление случайного исхода, а связанный с ним выигрыш или проигрыш, т.е. определенная числовая величина, которая соответствует исходу.

Примером случайной величины может быть число очков, выпавших при подбрасывании кубика, число бракованных изделий среди общего числа изделий.

Случайная величина Примеры решения задач по теории вероятности есть число, которое ставится в соответствие каждому возможному исходу эксперимента, т.е. ее можно рассматривать как функцию Примеры решения задач по теории вероятности на пространстве элементарных событий Примеры решения задач по теории вероятности.

Пусть Примеры решения задач по теории вероятности — произвольное вероятностное пространство. Случайной величиной называется функция Примеры решения задач по теории вероятности, такая что для любого Примеры решения задач по теории вероятности выполняется следующее:

Примеры решения задач по теории вероятности

Определим функцию распределения случайной величины, которая несет всю информацию, заложенную в случайной величине.

Функцией распределения случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности называется функция

Примеры решения задач по теории вероятности

такая, что для любого действительного Примеры решения задач по теории вероятности выполняется:

Примеры решения задач по теории вероятности

Любая функция распределения обладает следующими свойствами:

1) Примеры решения задач по теории вероятности

2) существуют пределы Примеры решения задач по теории вероятности.

3) функция непрерывна слева, т.е. Примеры решения задач по теории вероятности.

4) Примеры решения задач по теории вероятности

5) Примеры решения задач по теории вероятности

Классификация дискретных случайных величин

К оглавлению…

Дискретная случайная величина — это случайная величина, которая принимает не более чем счетное число значений.

Пусть ее значения Примеры решения задач по теории вероятности… такие, что Примеры решения задач по теории вероятности….

Тогда

Примеры решения задач по теории вероятности

Совокупность значений Примеры решения задач по теории вероятности и соответствующих вероятностей Примеры решения задач по теории вероятности называется распределением дискретной случайной величины.

Закон распределения такой величины может быть таблично следующим образом:

Примеры решения задач по теории вероятности
Примеры решения задач по теории вероятности

Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки Примеры решения задач по теории вероятностиПримеры решения задач по теории вероятности, где Примеры решения задач по теории вероятности — возможные значения Примеры решения задач по теории вероятности — соответствующие вероятности; и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения (полигоном).

Пример №26

  • Найти функцию распределения случайной величины, которая представлена таблицей:
Примеры решения задач по теории вероятности

Решение:

Запишем функцию распределения в виде сложной функции:

Примеры решения задач по теории вероятности
  • Два шахматиста Миша и Коля делают по одному ходу. Вероятность удачного хода Мишей равна 0,7, а для Коли эта вероятность равна 0,76. Найти ряд распределения суммарного числа удачных ходов шахматистами.
Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №26.7

  • Партия изделий содержит 10% нестандартных. Пусть случайная величина Примеры решения задач по теории вероятности — число стандартных изделий в партии из пяти изделий. Требуется составить закон распределения случайной величины и записать функцию распределения.

Решение:

Случайная величина Примеры решения задач по теории вероятности может принимать значения Примеры решения задач по теории вероятности.

ВероятностьПримеры решения задач по теории вероятности найдем по формуле Бернулли:

Примеры решения задач по теории вероятности

По условию задачи

Примеры решения задач по теории вероятности
Примеры решения задач по теории вероятности

Запишем закон распределения случайной величины:

Примеры решения задач по теории вероятности

Найдем функцию распределения. По определению:

Примеры решения задач по теории вероятности
Примеры решения задач по теории вероятности

Окончательно получим:

Примеры решения задач по теории вероятности

Классификация абсолютно непрерывных случайных величин

К оглавлению…

Если случайная величина Примеры решения задач по теории вероятности принимает любые значения из некоторых интервалов или отрезков числовой оси, то она называется непрерывной случайной величиной. Примерами такой величины являются дальность полета снаряда, время безотказной работ прибора.

Плотностью распределения вероятностей случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности в точке Примеры решения задач по теории вероятности Примеры решения задач по теории вероятности называется предел:

Примеры решения задач по теории вероятности

Теорема. Для того, чтобы случайная величина Примеры решения задач по теории вероятности была абсолютно непрерывной, необходимо и достаточно, чтобы:

Примеры решения задач по теории вероятности

Распределение случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности называется непрерывным, а сама случайная величина — абсолютно непрерывной случайной величиной, если

Примеры решения задач по теории вероятности

где Примеры решения задач по теории вероятности — минимальная Примеры решения задач по теории вероятности — алгебра.

Свойства плотности распределения:

Примеры решения задач по теории вероятности

Эти три свойства выполняются для любой точки непрерывности функции.

Примеры решения задач по теории вероятности
Примеры решения задач по теории вероятности
Примеры решения задач по теории вероятности
Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №27

  • Плотность вероятности случайных амплитуд боковой качки корабля подчиняется закону Рэлея с параметрами Примеры решения задач по теории вероятности. Найти вероятность того, что значение случайной амплитуды будет находиться в диапазоне 0,1 до 0,6.

Решение:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №28

  • Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения:
Примеры решения задач по теории вероятности

Требуется найти значение параметра с и записать функцию распределения.

Решение:

Значение параметра с определим, используя свойство плотности распределения:

Примеры решения задач по теории вероятности
Примеры решения задач по теории вероятности

Функцию распределения определим из условия:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №29

  • Дана функция распределения случайной величины. Найти ее плотность распределения.
Примеры решения задач по теории вероятности

Решение:

Плотность распределения определим из свойства плотности распределения:

Примеры решения задач по теории вероятности
Примеры решения задач по теории вероятности

Некоторые законы распределения случайных величин

К оглавлению…

Примеры решения задач по теории вероятности
Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №30

  • Автобусы некоторого маршрута ходят строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 минут.

Решение:

Случайная величина Примеры решения задач по теории вероятности — время прихода пассажира на остановку, распределена равномерно на [0; 5]. Плотность распределения вероятностей имеет вид:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пассажир будет ожидать автобус менее 3 минут, если он подойдет к остановке в интервале времени от 2 до 5 минут после отправления автобуса.

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №31

  • Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Вероятность того, что в течение часа абонент позвонит на станцию, равна 0,01 и постоянна для всех абонентов. Найти вероятность того, что на станцию в течение часа позвонят не более двух абонентов.

Решение:

Дискретная случайная величина распределена по закону Пуассона. Воспользуемся формулой Пуассона:

Примеры решения задач по теории вероятности

По условию задачи

Примеры решения задач по теории вероятности
Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №32

  • Время Примеры решения задач по теории вероятности безотказной работы двигателя автомобиля распределено по показательному закону. Известно, что среднее время наработки двигателя на отказ между техническим обслуживанием — 100 ч. Определить вероятность безотказной работы двигателя в течение 80 ч.

Решение:

По условию задачи математическое ожидание случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности равно 100 ч. Следовательно,

Примеры решения задач по теории вероятности

Тогда плотность распределения времени безотказной работы двигателя имеет вид:

Примеры решения задач по теории вероятности

Функция распределения случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности принимает вид:

Примеры решения задач по теории вероятности

и определяет вероятность отказа двигателя за время продолжительностью Примеры решения задач по теории вероятности. Тогда вероятность безотказной работы двигателя за это время будет равна:

Примеры решения задач по теории вероятности

Функцию Примеры решения задач по теории вероятности называют функцией надежности. Для нашего случая

Примеры решения задач по теории вероятности

Основные числовые характеристики случайных величии

К оглавлению…

Примеры решения задач по теории вероятности

Свойства математического ожидания:
1) Математическое ожидание числа появлений события Примеры решения задач по теории вероятности в одном испытании равно вероятности Примеры решения задач по теории вероятности наступления этого испытания.

Примеры решения задач по теории вероятности

Заметим, что математическое ожидание случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности можно трактовать как вероятностное среднее этой величины.

Для любой случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности случайная величина Примеры решения задач по теории вероятности называется центрированной случайной величиной или отклонением.

Пусть случайная величина Примеры решения задач по теории вероятности определена на вероятностном пространстве Примеры решения задач по теории вероятности. Для Примеры решения задач по теории вероятности величина Примеры решения задач по теории вероятности, если она определена, называется моментом Примеры решения задач по теории вероятности-го порядка случайной величины

Величина Примеры решения задач по теории вероятности называется абсолютным моментом Примеры решения задач по теории вероятности-го порядка случайной величины

Моменты случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности называются центральными моментами случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности.

Центральные моменты четного порядка случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности характеризуют степень разброса значений относительно ее среднего значения.

Дисперсией случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности называется число Примеры решения задач по теории вероятности, число Примеры решения задач по теории вероятности называется среднеквадратическим отклонением случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности.

Примеры решения задач по теории вероятности

Свойства дисперсии случайной величины:

Примеры решения задач по теории вероятности

Формулы вычисления математического ожидания и дисперсии для некоторых случайных величин:

Примеры решения задач по теории вероятности
Примеры решения задач по теории вероятности

Ковариацией случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности и Примеры решения задач по теории вероятности называется число:

Примеры решения задач по теории вероятности

Если математическое ожидание случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности является характеристикой ее положения, средним значением, около которого группируются значения случайной величины, то дисперсия и среднеквадратического отклонение являются характеристиками рассеяния случайной величины около математического ожидания.

Пример №33

  • Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности
Примеры решения задач по теории вероятности

Решение:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №34

  • Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение непрерывной случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности, заданной плотностью распределения:
Примеры решения задач по теории вероятности

Решение:

Примеры решения задач по теории вероятности

Другие характеристики случайных величин

К оглавлению…

Примеры решения задач по теории вероятности

Кроме рассмотренных выше числовых характеристик случайной величины, в приложениях используются так называемые квантили.

Квантилью уровня Примеры решения задач по теории вероятности случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности называется решение уравнения:

Примеры решения задач по теории вероятности

Квантили Примеры решения задач по теории вероятности имеют названия нижняя квартиль, медиана, верхняя квартиль. Они делят числовую прямую на четыре части, вероятности попадания в которые равны 0,25.

Пример №35

  • Найти моду случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности, заданной распределением:
Примеры решения задач по теории вероятности

Решение:

Поскольку для моды выполняется равенство:

Примеры решения задач по теории вероятности

Наибольшая вероятность достигается при

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №36

  • Найти эксцесс случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности:
Примеры решения задач по теории вероятности

Решение:

Найдем начальные моменты случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности первых четырех порядков:

Примеры решения задач по теории вероятности

Найдем центральные моменты случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности первых четырех порядков:

Примеры решения задач по теории вероятности

Тогда среднеквадратическое отклонение случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности:

Примеры решения задач по теории вероятности

Эксцесс случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности найдем по формуле:

Примеры решения задач по теории вероятности

Свойства нормальной случайной величины:

1) Примеры решения задач по теории вероятности, график функции расположен выше оси Примеры решения задач по теории вероятности.

2) Ось Примеры решения задач по теории вероятности служит асимптотой графика функции Примеры решения задач по теории вероятности, т.к. Примеры решения задач по теории вероятности.

3) Функция Примеры решения задач по теории вероятности имеет один максимум при Примеры решения задач по теории вероятности равный Примеры решения задач по теории вероятности.

4) График функции Примеры решения задач по теории вероятности симметричен относительно прямой Примеры решения задач по теории вероятности.

5) Точки

Примеры решения задач по теории вероятности

являются точками перегиба графика функции Примеры решения задач по теории вероятности.

Вероятность попадания случайной величины

Примеры решения задач по теории вероятности

на заданный участок Примеры решения задач по теории вероятности:

Примеры решения задач по теории вероятности

Случайная величина Примеры решения задач по теории вероятности принимает свое значения в промежутке Примеры решения задач по теории вероятности с вероятностью 0,9973.

Вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине определяется по формуле:

Примеры решения задач по теории вероятности

Вероятность отклонения относительной частоты Примеры решения задач по теории вероятности от вероятности наступления события Примеры решения задач по теории вероятности в серии из Примеры решения задач по теории вероятности независимых испытаний выражается формулой:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №37

  • Суточное потребление электроэнергии исправной печью является случайной величиной, распределенной по нормальному закону со средним 1000 кВт и среднеквадратичным отклонением 50. Если суточное потребление превысит 1100 кВт, то по инструкции печь отключают и ремонтируют. Найти вероятность ремонта печи.

Решение:

Случайная величина Примеры решения задач по теории вероятности есть суточное потребление электроэнергии печью.

Примеры решения задач по теории вероятности

Найдем вероятность попадания случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности в интервал (0; 1100). Для этого воспользуемся формулой:

Примеры решения задач по теории вероятности

Тогда вероятность ремонта печи равна 1-0,9544 = 0,0456.

Пример №38

  • Рост мальчиков возрастной группы 15 лет есть нормально распределённая случайная величина Примеры решения задач по теории вероятности с параметрами
Примеры решения задач по теории вероятности

Какую долю костюмов для мальчиков, имеющих рост от 152 до 158 см, нужно предусмотреть в объёме производства для данной возрастной группы.

Решение:

Примеры решения задач по теории вероятности

Найдем вероятность попадания случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности в интервал (152; 158). Для этого воспользуемся формулой:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №39

  • Текущая оценка ценной бумаги представляет собой нормально распределенную случайную величину со средним значением 100 у. е. и дисперсией 9. Найти вероятность того, что цена актива (ценной бумаги) будет находиться в пределах от 91 до 109 у. е.

Решение:

Так как

Примеры решения задач по теории вероятности

тогда

Примеры решения задач по теории вероятности

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Неравенство Чебышева

К оглавлению…

Необходимо рассмотреть условия, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли.

Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли — простейшим.

Теорема (Неравенство Чебышева). Вероятность того, что отклонение случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа Примеры решения задач по теории вероятности, не меньше чем

Примеры решения задач по теории вероятности
Примеры решения задач по теории вероятности

Теорема Чебышева. Если последовательность попарно независимых случайных величин Примеры решения задач по теории вероятности… имеет конечное математическое ожидание и дисперсии этих величин равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то среднее арифметическое случайной величины сходится по вероятности к среднему арифметическому их математического ожидания, т.е. если Примеры решения задач по теории вероятности — любое положительное число, то

Примеры решения задач по теории вероятности

В этом случае среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины.

Если проводится серия измерений какой-либо физической величины, причем:

1) результат каждого измерения не зависит от результатов остальных (измерения попарно независимы);

2) измерения производятся без систематических ошибок, (имеют одно и то же математическое ожидание);

3) обеспечена определенная точность измерений, (дисперсии их ограничены)

то при достаточно большом числе измерений их среднее арифметическое окажется сколь угодно близким к истинному значению измеряемой величины.

Теорема Бернулли. Если в каждом из независимых опытов вероятность появления события Примеры решения задач по теории вероятности постоянна, то при достаточно большом числе испытаний вероятность того, что модуль отклонения относительной частоты появлений Примеры решения задач по теории вероятности в Примеры решения задач по теории вероятности опытах от Примеры решения задач по теории вероятности будет сколь угодно малым, как угодно близка к 1.

Закон больших чисел не исследует вид предельного закона распределения суммы случайных величин. Этот вопрос рассмотрен в группе теорем, называемых центральной предельной теоремой. Они утверждают, что закон распределения суммы случайных величин, каждая из которых может иметь различные распределения, приближается к нормальному при достаточно большом числе слагаемых. Этим объясняется важность нормального закона для практических приложений.

Центральная предельная теорема. Если Примеры решения задач по теории вероятности — независимые случайные величины с одинаковым законом распределения, математическим ожиданием Примеры решения задач по теории вероятности и дисперсией Примеры решения задач по теории вероятности, то при неограниченном увеличении Примеры решения задач по теории вероятности закон распределения суммы Примеры решения задач по теории вероятности неограниченно приближается к нормальному.

Пример №40

  • Найти вероятность того, что Примеры решения задач по теории вероятности для случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности:
Примеры решения задач по теории вероятности

Решение:

По неравенству Чебышева:

Примеры решения задач по теории вероятности

Найдем математическое ожидание случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности.

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №41

  • Найти вероятность того, что Примеры решения задач по теории вероятности для случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности:
Примеры решения задач по теории вероятности

Решение:

Математическое ожидание случайной величины принимает значение:

Примеры решения задач по теории вероятности

Дисперсия равна

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №42

  • В ящике 20 деталей, из которых 4 бракованные.

Найти вероятность того, что наугад взятая из ящика деталь окажется бракованной.

Решение:

Так как каждая из имеющихся деталей может быть из ящика, то число всех равновозможных элементарных исходов Примеры решения задач по теории вероятности. Число исходов, благоприятствующих появлению бракованной детали, Примеры решения задач по теории вероятности. Если событие Примеры решения задач по теории вероятности означает, что взятая деталь бракованная, то

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №43

  • Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго.

Найти, вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

Решение:

Вероятности появления каждого из двух независимых событий Примеры решения задач по теории вероятности и Примеры решения задач по теории вероятности соответственно равны Примеры решения задач по теории вероятности и Примеры решения задач по теории вероятности.

Примеры решения задач по теории вероятности — появилось только событие Примеры решения задач по теории вероятности;

Примеры решения задач по теории вероятности — появилось только событие Примеры решения задач по теории вероятности.

Появление события Примеры решения задач по теории вероятности равносильно появлению события Примеры решения задач по теории вероятности (появилось первое событие и не появилось второе), т.е. Примеры решения задач по теории вероятности.

Появление события Примеры решения задач по теории вероятности равносильно появлению события Примеры решения задач по теории вероятности (появилось второе событие и не появилось первое). Примеры решения задач по теории вероятности.

Таким образом, чтобы найти вероятность появления одного из событий Примеры решения задач по теории вероятности и Примеры решения задач по теории вероятности достаточно найти вероятность появления одного, безразлично какого, из событий Примеры решения задач по теории вероятности и Примеры решения задач по теории вероятности. События Примеры решения задач по теории вероятности и Примеры решения задач по теории вероятности несовместны, поэтому применима теорема сложения:

Примеры решения задач по теории вероятности

События Примеры решения задач по теории вероятности и Примеры решения задач по теории вероятности — независимы, следовательно, независимы события Примеры решения задач по теории вероятности и Примеры решения задач по теории вероятности, а также Примеры решения задач по теории вероятности и Примеры решения задач по теории вероятности, поэтому применима теорема умножения:

Примеры решения задач по теории вероятности

Подставив эти вероятности, найдем искомую вероятность появления только одного из событий Примеры решения задач по теории вероятности и Примеры решения задач по теории вероятности:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №44

  • В вычислительной лаборатории имеется 6 компьютеров одного типа и 4 другого. Вероятность того, что на время выполнения некоторого расчета компьютер I типа не выйдет из строя, равна 0,95; для компьютера другого типа — 0,8. Студент производит расчет на наудачу взятом компьютере.

Найти вероятность того, что до окончания расчета компьютер не выйдет из строя.

Решение:

Обозначим через Примеры решения задач по теории вероятности — компьютер не выйдет из строя до окончания расчета. Возможны следующие предположения (гипотезы) о первоначальном качестве компьютеров; всего компьютеров в лаборатории — 10, из них:

Примеры решения задач по теории вероятности

В сумме гипотезы всегда равны 1, проверим:

Примеры решения задач по теории вероятности

Условная вероятность того, что студент воспользуется компьютером 1-го типа, равна Примеры решения задач по теории вероятности; 2-го типа — Примеры решения задач по теории вероятности.

Искомая вероятность того, что до окончания расчета компьютер любого типа не выйдет из строя, равна:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №45

  • Два автомата производят одинаковые детали, которые сбрасываются на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 78% деталей отличного качества, а второй — 86%.

Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

Решение:

Обозначим событие Примеры решения задач по теории вероятности — деталь отличного качества. Можно сделать два предположения (гипотезы): Примеры решения задач по теории вероятности — деталь произведена первым автоматом;

Примеры решения задач по теории вероятности — деталь произведена вторым автоматом; Примеры решения задач по теории вероятности.

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым автоматом, равна

Примеры решения задач по теории вероятности

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена вторым автоматом, равна

Примеры решения задач по теории вероятности

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна

Примеры решения задач по теории вероятности

Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Байсса равна

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №46

  • При измерении роста у 18 студентов установлено, что у трех рост — 188 см; у четверых — 182 см; у пятерых — 180 см; у шестерых 178 см. Примеры решения задач по теории вероятности — рост студента.

Записать закон распределения Примеры решения задач по теории вероятности. Вычислить математическое ожидание Примеры решения задач по теории вероятности, дисперсию Примеры решения задач по теории вероятности и среднеквадратическое отклонение Примеры решения задач по теории вероятности.

Решение:

Вероятность обнаружения среди 18 студентов троих с ростом 188 см:

Примеры решения задач по теории вероятности

Аналогично вероятность обнаружения среди 18 студентов четверых с ростом 182 см:

Примеры решения задач по теории вероятности

Получаем закон распределения в виде следующей таблицы:

Примеры решения задач по теории вероятности

Далее находим:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №47

  • Устройство состоит из четырех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента равна 0,2.

Записать закон распределения числа отказавших элементов устройства, найти математическое ожидание и дисперсию.

Решение:

Дискретная случайная величина Примеры решения задач по теории вероятности может принимать значения Примеры решения задач по теории вероятности Примеры решения задач по теории вероятности. Так как Примеры решения задач по теории вероятности то по формуле Бернулли находим:

Примеры решения задач по теории вероятности

Математическое ожидание равно

Примеры решения задач по теории вероятности

Возможно эти страницы вам будут полезны: