Примеры решения задач по теории вероятности

Здравствуйте на этой странице я собрала примеры решения задач по предмету теории вероятностей с решением по каждой теме, чтобы вы смогли освежить знания!

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Введение

Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах, раскрывает объективные закономерности, присущие массовым явлениям.

Развитие как науки теории вероятностей берет свое начало с переписки Паскаля и Ферма (1654 г.). Но и до этого многих ученых интересовали задачи, относящиеся к азартным играм, теоретико-вероятностные задачи, имеющие прикладное значение (Кардано, Галилей).

Кроме задач азартных игр появлялся интерес к построению таблиц смертности и вопросам страхования (Граунт, Ван Худде, Ван де Витт).

Факты устойчивости частот случайных событий в задачах обработки демографических данных были известны еще в Древнем Китае и Древнем Риме.

С течением времени объект изучения теории вероятностей менялся. Если вначале основной интерес вызывало исследование вероятностей случайных событий, то уже в XIX в. интерес вызывало исследование случайных величин.

Теория вероятностей тесно связана с прикладными исследованиями различной природы. Она применима как в задачах экономики, производства, так и задачах лингвистики и истории. Сейчас без применения понятия доверительного интервала, корреляции, уровня значимости, нормального закона распределения случайной величины сложно представить обширное исследование в педагогике, физике, механике и других науках.

В основе квантовой механики лежат принципы теории вероятностей. В случае радиоактивного распада нет закона природы, позволяющего определить точное время деления ядра. Существуют только законы, согласно которым можно говорить о вероятности рассада ядра за определенный промежуток времени.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет теория вероятностей и математическая статистика

Элементарная теория вероятностей

К оглавлению…

Во многих областях человеческой деятельности существуют ситуации, когда определенные явления могут повторяться неограниченное число раз в одинаковых условиях. Подбрасывание монеты, кости, выброс из колоды карт и т.д.

Заметим, что представляется возможным предсказать исход последующего эксперимента по результатам предыдущих, как бы ни было велико число проведенных испытаний.

Во-вторых, относительная частота определенных исходов по мере роста числа испытаний стабилизируется, приближаясь к определенному числу.

Рассмотрим эксперимент по подбрасыванию монеты. Его результат представлен в таблице 1.

— номер испытания, — количество подбрасываний, в таблице указывается количество выпадений герба.

Наблюдалась стабилизация частот

Обнаруженные закономерности, распространенные на испытания с произвольным числом исходов, позволяют построить простейшую математическую модель случайного эксперимента.

Под опытом, или экспериментом, или испытанием понимают осуществление конкретного комплекса условий. Опыт называется случайным, если его результат нельзя точно предсказать до его осуществления.

Например, если опыт заключается в подбрасывании монеты, то результат его -выпадение герба (Г) или решетки (Р) — нельзя предсказать заранее. Точно также при стрельбе по мишени нельзя заранее предсказать, будет ли точное попадание в цель или промах.

Построение математической модели эксперимента начинается с описания множества всевозможных исходов, которые могут произойти в результате каждого испытания.

Пространство называют пространством элементарных исходов, элемент этого пространства — элементарный исход (элементарное событие).

Событием является любое подмножество .

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в условиях данного опыта. Например, выбор одной годной детали из партии годных деталей есть событие достоверное. Так как достоверное событие является совокупностью всех элементарных событий из , то оно совпадает с пространством и также обозначается .

Невозможным называется событие, которое в условиях данного опыта не может произойти. Невозможное событие в пространстве не имеет точек в и обозначается . Например, невозможно поразить одну и ту же мишень три раза при двух выстрелах.

Если ограничиться рассмотрением пространства элементарных исходов, состоящих из не более, чем счетного числа элементов, то построение вероятностной модели по существу состоит в задании распределения вероятностей на пространстве в соответствие с которым каждому элементарному исходу ставится в соответствие число , называемое вероятностью элементарного события .

Различают элементарные и составные события. События, которые невозможно разложить на более простые, называются элементарными. Все остальные события называются составными. Например, пусть событие состоит в том, что сумма очков, выпавших при бросании двух игральных костей, равна шести. Это событие состоит из пяти возможных элементарных событий — выпадение на гранях костей следующих пар цифр: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) соответственно.

Вероятность любого составного события :

Число интерпретируется как относительная частота появления события в статистическом эксперименте.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в условиях одного и того же опыта.

Два или несколько событий называются равновозможными, если нет оснований утверждать, что одно из них имеет больше данных появиться в итоге опыта по сравнению с другими. Например, извлечение туза, валета, короля или дамы из колоды карт.

Событие , которое обязательно произойдет, если не произойдет событие , называется противоположным событию . Например, выигрыш и проигрыш в лотерее — противоположные события.

Если в задаче дана вероятность , тогда чтобы найти вероятность противоположного события, необходимо воспользоваться следующей формулой:

где — вероятность противоположного события.

Говорят, что несколько событий в условиях данного опыта образуют полную группу событий, если в результате опыта обязательно произойдет хотя бы одно из них. Например, события «извлечение белого шара», «извлечение красного шара», «извлечение голубого шара» образуют полную группу событий в опыте извлечения шара из урны, в которой находятся белые, красные и голубые шары.

Пример №1

  • Подбрасывается монета и регистрируется сторона монеты, которая обращена к наблюдателю после падения. Найти пространство элементарных исходов.

Решение:

Пусть событие Г = {выпал герб}, Р = {выпала решка}.

Тогда .

Пример №2

  • Бросается игральная кость и регистрируется число выпавших очков. Найти пространство элементарных исходов. Найти событие, состоящее в выпадении четного числа очков.

Решение:

Пример №3

  • Бросаются две игральные кости. Описать событие, состоящее в том, что сумма очков больше 10.

Решение:

Вероятностное пространство

К оглавлению…

Пусть — множество элементарных исходов.

Подмножество пространства называется событием , если статистический эксперимент закончился элементарным исходом .

Рассмотрим теоретико-множественные операции в данном пространстве, которые представлены в следующей таблице.

Пусть и — обозначают события выпадения при бросании игральной кости соответственно нечетного числа очков и числа очков, кратного трем. Тогда

и,значит,

Булева алгебра и понятие вероятности

К оглавлению…

Булевой алгеброй называют такой класс подмножеств , что:

Вероятностью на булевой алгебре подмножеств называется отображение в отрезок [0, 1], обладающее следующими свойствами:

1) .

2) Если события несовместны, то .

3) Если — монотонно убывающая последовательность элементов из и , то . Это может быть записано, как .

Замечание. Вероятность на обладает свойствами:

Пара , состоящая из пространства элементарных исходов и булевой -алгебры его подмножеств, называется измеримым пространством. Только элементы называются событиями.

Тройка , где — вероятность на — алгебре , называется вероятностным пространством.

Элементы комбинаторики

К оглавлению…

Комбинаторика — раздел математики, изучающий комбинации конечных множеств элементов различной природы.

Пусть все элементы рассматриваемых множеств различны. Будем изучать комбинации этих элементов, различающихся количеством и/или порядком.

Дано конечное число объектов произвольной природы, которые назовем элементами.

Из них по определенному правилу можно образовать некоторые группы. Подсчетом числа таких возможных групп и занимается комбинаторика.

Будем рассматривать такие множества, в которых каждый элемент входит не более одного раза (соединения без повторений).

Перестановкой из элементов называется конечное множество элементов, в котором установлен порядок. Так, например, из букв можно составить следующие перестановки:

Число возможных перестановок из элементов равно:

Множество, для которого указан порядок расположения элементов, называется упорядоченным. Упорядоченные конечные подмножества некоторого множества называются размещениями.

Число всех возможных размещений, содержащих по элементов из множества, содержащего элементов , определяется по формуле:

Всякое конечное подмножество, состоящее из элементов данного множества из элементов, называется сочетанием элементов из , если каждое подмножества из элементов отличается одно от другого хотя бы одним элементом.

Число всех возможных сочетаний обозначается:

Пример №4

  • В группе 10 юношей и 7 девушек. Из группы случайным образом отбирается 5 студентов. Найти вероятность того, что среди них окажется 4 девушки?

Решение:

Пусть событие состоит в том, что из 5 случайно отобранных студентов окажутся 4 девушки. Общее число исходов будет равно количеству способов, сколькими из 17 студентов можно отобрать по 5 студентов . Благоприятствовать событию будут те исходы, в которых будет 4 девушки и 1 юноша

Тогда

Пример №5

  • Сколько способов существует для выбора команды участников субботника, если известно, что в команде должно быть 5 человек, а в студенческой группе 25 человек?

Решение:

Поскольку порядок следования элементов в подгруппе не имеет значения, значит речь идет о количестве сочетаний

Гипергеометрическое распределение

К оглавлению…

Большой класс задач, которые интерпретируются в рамках урновой схемы. Типовая задача: Пусть в эксперименте рассматриваются: — черных шаров, — белых шаров.

Отбирается шаров из урны. Какова вероятность, что выборка содержит черных шаров?

Нахождение вероятности в рамках данной схемы осуществляется по следующей формуле:

Пример №6

  • Автомат с 30 мягкими игрушками, содержит фигурки зверей и супергероев в пропорции 2:1 соответственно. В случае победы автомат выдает случайным образом две игрушки. Какова вероятность, что это окажутся супергерои?

Решение:

Поскольку в эксперименте есть два ярко выделенных признака, по которым объект можно отнести либо к первому типу (мягкая игрушка), либо ко второму типу (супергерой), речь идет о гипергеометрическом распределении. (количество супергероев), (количество зверей). Тогда общее количество , выбирают игрушек, (среди тех, которые выбрали, оба оказались супергероями). Тогда по формуле гипергеометрического распределения:

Пример №7

  • На складе обоев 10 трубок первой партии и 7 трубок второй партии. Продавец случайным образом выбирает 3 трубки, какова вероятность, что все трубки окажутся одной партии?

Решение:

По вопросу задачи можно сделать вывод, что исходами, благоприятствующими наступлению события = { все три трубки окажутся одной партии}, являются следующие: {три трубки первой партии}, {три трубки второй партии}. Тогда вероятность может быть найдена по следующей формуле:

Примеры вероятностных пространств

К оглавлению…

Рассмотрим в таблице примеры вероятностных пространств.

Разбиение на группы: перестановки, сочетания и размещения с повторениями

К оглавлению…

Пусть — целые неотрицательные числа, причем . Число способов, которыми можно представить множество из элементов в виде суммы множеств , число элементов которых составляет соответственно равно:

Сочетаниями из элементов по элементов с повторениями называются группы, содержащие элементов, причем каждый элемент принадлежит одному из типов.

Число различных сочетаний из типов по объектов с повторениями равно:

Отображение множества первых натуральных чисел 1, 2, 3, …, в данное множество называется размещением с повторением, составленным из данных элементов (количество типов) по . Количество размещений с повторениями находится по следующей формуле:

Пример №8

  • Найдем число различных слов, которые можно получить, переставляя буквы в слове «Математика».

Решение:

Пример №9

  • Найти число способов, которыми можно выбрать три буквы из АААТТТГГГЦЦЦ.

Решение:

Пример №10

  • Найти количество всевозможных размещений с повторениями из букв по две буквы.

Решение:

Независимость. Условные вероятности

К оглавлению…

Зная распределения вероятностей, мы в состоянии оптимизировать свое поведение при игре, производя ставки на те события из , которые обладают наибольшей вероятностью.

Дальнейшая оптимизация такой игры обычно осуществляется за счет дополнительной информации, которой может располагать игрок, и учет такой информации осуществляется в терминах так называемой условной вероятности.

Рассмотрим два случайных события и . Пусть известно, что событие наступило, но неизвестно, какое конкретно из элементарных событий , составляющих событие , наступило. Что можно сказать в этом случае о вероятности наступления события ?

Пусть вероятность события — положительная величина. Условной вероятностью события при условии, что произошло событие , называют число:

Теорема умножения. Пусть

Тогда

Теорема.

Тогда

Задача. Студент знает 20 вопросов из 30. Экзаменатор задает три вопроса. Какова вероятность того, что студент ответит на все вопросы?

Два события называются независимыми, если вероятность появления одного из них не влияет на вероятность наступления другого. Говорят, что событие не зависит от события , если , т.к. его вероятность не зависит от того, произошло ли событие В или нет. Независимость двух событий — свойство симметричное.

События и называются независимыми, если

Случайные события называются попарно независимыми, если для любых

Случайные события называются независимыми в совокупности, если для любого подмножества индексов:

Задача (Пример Бернштейна). На плоскость бросают тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, зеленый и синий цвета, а на четвертой грани есть все цвета. Рассмотреть вероятности событий «выпала грань, которая содержит красный цвет», «выпала грань, которая содержит синий цвет», «выпала грань, которая содержит зеленый цвет». Будут ли эти события попарно независимыми и независимыми в совокупности?

Пример №11

  • В тире девушке и юноше выдали по одному патрону для попадания в цель и получения плюшевого медведя. Вероятность того, что попадет в цель девушка, равна 0,01. Вероятность того, что попадет юноша, равна 0,95. Каждый сделал по одному выстрелу. Какова вероятность, что мишка будет выигран?

Решение:

Исходы, благоприятствующие наступлению этого события:

{юноша попал и девушка попала},{юноша не попал и девушка попала},{юноша попал и девушка не попала}.

Пример №12

  • В вазе стоит 5 роз и 4 гвоздики. Случайным образом выбирается один цветок. После этого выбирается еще один. Какова вероятность того, что второй цветок — роза?

Решение:

Первым выбранным цветком могла оказаться роза, тогда после ее изъятия в вазе останется только 4 розы. Первой могла оказаться гвоздика, тогда после первого изъятия цветка останется 5 роз. Вероятность того, что второй выбранный цветок роза, вычисляется следующим образом:

Формула полной вероятности. Формулы Байеса

К оглавлению…

Конечное или счетное число случайных событий ,… образует полную группу событий (разбиение) если:

Теорема (Формула полной вероятности). Пусть случайные события образует полную группу событий. Тогда для произвольного события В, рассматриваемого на том же вероятностном пространстве выполняется следующее:

Пусть до опыта об исследуемом случайном явлении имеются гипотезы . После опыта становится известной информация о результатах этого

явления, но не полная. Результаты наблюдений показывают, не какой конкретно элементарный исход произошел, а что наступило некоторое событие . Считая, что до опыта были известны (априорные) вероятности и условные вероятности , необходимо определить апостериорные вероятности . Решение поставленной задачи дают формулы Байеса.

Теорема (Формулы Байеса). Пусть случайные события образуют полную группу событий. Пусть для произвольного события . Тогда для любых значений имеют место формулы:

Пример №13

  • Студент выучил 20 билетов из 25 и идет отвечать вторым. Какова вероятность, что он вытянет «удачный билет»?

Решение:

Рассмотрим следующие события:

Тогда

Пример №14

  • Соотношение грузовых автомобилей, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе, равно 2:3. Вероятность того, что будет заправляться грузовая автомашина равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,3. К бензоколонке подъехала для заправки автомашина. Найти вероятность того, что это грузовая автомашина.

Решение:

Пусть событие — к бензоколонке подъехала для заправки автомашина; — подъехала грузовая автомашина; — подъехала легковая автомашина. Тогда

Пример №15

  • При лечении больному необходимо принять лекарства двух видов одинаковой дозировки. Вероятность того, что больному станет легче от первого лекарства равна 0,9; от второго — 0,97. Больному стало легче. Какова вероятность того, что на его состояние повлияло первое лекарство?

Решение:

Рассмотрим равновероятные гипотезы ={больной принимает первое лекарство}, = {больной принимает второе лекарство}.

Также рассмотрим событие = {больному стало легче}. Условные вероятности:

Поскольку известно событие, которое наступило, необходимо использовать формулы Байеса. Вероятность того, что на состояние больного повлияло первое лекарство, будет найдена по формуле:

Пример №16

  • На огороде посажены семена гороха и перца в одинаковых пропорциях. Всхожесть гороха равна 0,06. Всхожесть перца составляет 0,15. Растение проросло, какова вероятность, что это взошел перец?

Решение:

Рассмотрим взаимоисключающие гипотезы ={посажено семя гороха}, ={посажено семя перца}.

Также рассмотрим событие = {всхожесть семени}.

Поскольку известно событие, которое наступило (растение проросло), необходимо использовать формулы Байеса. Вероятность того, что взошел перец, будет найдена по формуле:

Схема Бернулли

К оглавлению…

Под испытанием следует понимать эксперимент со случайным исходом.

Пусть производятся независимых испытаний. Известно, что в каждом испытании возможны два исхода: либо происходит событие (успех), либо событие не происходит (неудача). Данная схема называется схемой Бернулли. При том предполагается, что вероятность успеха и неудачи не изменяются при переходе от испытания к испытанию.

Задача. Известно, что левши составляют 1% от жителей Земли. Найти вероятность того, что среди 200 человек найдется хотя бы 3 левши.

Наивероятнейшее число появления события в независимых испытаниях — число испытаний, при котором достигается максимальная вероятность в независимых испытаниях:

Пример №17

  • Прибор состоит из четырех узлов. Вероятность безотказной работы в течение смены для каждого узла равна 0,85. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что в течение смены откажут ровно два узла.

Решение:

Из условия задачи

Используя формулу Бернулли, получим:

Пример №18

  • Определить вероятность того, что в семье, имеющей пять детей, будет три девочки и два мальчика. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

Решение:

Из условия задачи

Используя формулу Бернулли, получим:

Пример №19

  • В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что среди детей будет не больше трех девочек.

Решение:

Пример №20

  • Вероятность попадания в цель стрелком равна 0,75. Сделано 20 выстрелов. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель.

Решение:

Здесь

Следовательно, применим формулу

Получим:

т.е.

Наивероятнейшее число попаданий в цель равно 15.

Предельные теоремы в схеме Бернулли

К оглавлению…

Схема независимых испытаний служит вероятностной моделью многих реальных явлений, поэтому представляет значительный интерес задача подсчета вероятности . При больших значениях и есть трудности в получении численного значения этих вероятностей.

Естественным образом возникает задача нахождения асимптотических форм, позволяющих приближенно вычислять вероятности для достаточно больших и малых .

Теорема (Локальная предельная теорема Пуассона). Если , так что то

Теорема (Интегральная предельная теорема Пуассона). В схеме Бернулли для любого натурального числа , любого и для любого числового множества справедливо неравенство:

Теперь рассмотрим асимптотическую формулу для вероятности не близкой к нулю.

Теорема (Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа). Если в схеме Бернулли , то для любого положительного с равномерно по всем таких:

справедливо соотношение:

где — бесконечно малая величина при .

Теорема (Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа). При выполнении условий предыдущей теоремы равномерно выполнено предельное соотношение:

Заметим, что при использовании интегральной формулы Муавра-Лапласа формула обеспечивает достаточную точность уже при .

По полученным теоремам составим таблицу.

Пример №21

  • В каждом из 5 опытов событие может появится с вероятностью . Найти вероятность того, что событие появится 3 раза.

Решение:

Применим формулу Бернулли:

Пример №22

  • Найти вероятность того, что в 243 испытаниях событие наступит ровно 70 раз, если вероятность появления этого события в каждом испытании.

Решение:

Применим локальную теорему Муавра-Лапласа:

Пример №23

  • Фабрика выпускает 70% продукции I сорта. Чему равна вероятность того, что в партии из 1000 изделий число изделий I сорта будет в диапазоне [652, 760]?

Решение:

Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа.

Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

К оглавлению…

Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события не превысит положительного числа , приближенно равна удвоенной функции Лапласа при .

Относительная частота события определяется равенством , где — число испытаний, в которых наступило, — общее число произвольных испытаний.

Пример №24

  • Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,5. Найти число испытаний , при котором с вероятностью 0,7698 можно ожидать, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.

Решение:

Их рассмотренной формулы:

получим, что

Пример №25

  • Вероятность выигрыша на турнире по баскетболу равна 0,58. Найти количество турниров , при котором с вероятностью приблизительно равной 0,9 можно ожидать, что относительная частота побед отклонится от вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,1.

Решение:

Случайные величины и их распределения

К оглавлению…

В азартных играх интерес играющих вызывает не наступление случайного исхода, а связанный с ним выигрыш или проигрыш, т.е. определенная числовая величина, которая соответствует исходу.

Примером случайной величины может быть число очков, выпавших при подбрасывании кубика, число бракованных изделий среди общего числа изделий.

Случайная величина есть число, которое ставится в соответствие каждому возможному исходу эксперимента, т.е. ее можно рассматривать как функцию на пространстве элементарных событий .

Пусть — произвольное вероятностное пространство. Случайной величиной называется функция , такая что для любого выполняется следующее:

Определим функцию распределения случайной величины, которая несет всю информацию, заложенную в случайной величине.

Функцией распределения случайной величины называется функция

такая, что для любого действительного выполняется:

Любая функция распределения обладает следующими свойствами:

1)

2) существуют пределы .

3) функция непрерывна слева, т.е. .

4)

5)

Классификация дискретных случайных величин

К оглавлению…

Дискретная случайная величина — это случайная величина, которая принимает не более чем счетное число значений.

Пусть ее значения … такие, что ….

Тогда

Совокупность значений и соответствующих вероятностей называется распределением дискретной случайной величины.

Закон распределения такой величины может быть таблично следующим образом:

Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки , где — возможные значения — соответствующие вероятности; и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения (полигоном).

Пример №26

  • Найти функцию распределения случайной величины, которая представлена таблицей:

Решение:

Запишем функцию распределения в виде сложной функции:

  • Два шахматиста Миша и Коля делают по одному ходу. Вероятность удачного хода Мишей равна 0,7, а для Коли эта вероятность равна 0,76. Найти ряд распределения суммарного числа удачных ходов шахматистами.

Пример №26.7

  • Партия изделий содержит 10% нестандартных. Пусть случайная величина — число стандартных изделий в партии из пяти изделий. Требуется составить закон распределения случайной величины и записать функцию распределения.

Решение:

Случайная величина может принимать значения .

Вероятность найдем по формуле Бернулли:

По условию задачи

Запишем закон распределения случайной величины:

Найдем функцию распределения. По определению:

Окончательно получим:

Классификация абсолютно непрерывных случайных величин

К оглавлению…

Если случайная величина принимает любые значения из некоторых интервалов или отрезков числовой оси, то она называется непрерывной случайной величиной. Примерами такой величины являются дальность полета снаряда, время безотказной работ прибора.

Плотностью распределения вероятностей случайной величины в точке называется предел:

Теорема. Для того, чтобы случайная величина была абсолютно непрерывной, необходимо и достаточно, чтобы:

Распределение случайной величины называется непрерывным, а сама случайная величина — абсолютно непрерывной случайной величиной, если

где — минимальная — алгебра.

Свойства плотности распределения:

Эти три свойства выполняются для любой точки непрерывности функции.

Пример №27

  • Плотность вероятности случайных амплитуд боковой качки корабля подчиняется закону Рэлея с параметрами . Найти вероятность того, что значение случайной амплитуды будет находиться в диапазоне 0,1 до 0,6.

Решение:

Пример №28

  • Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения:

Требуется найти значение параметра с и записать функцию распределения.

Решение:

Значение параметра с определим, используя свойство плотности распределения:

Функцию распределения определим из условия:

Пример №29

  • Дана функция распределения случайной величины. Найти ее плотность распределения.

Решение:

Плотность распределения определим из свойства плотности распределения:

Некоторые законы распределения случайных величин

К оглавлению…

Пример №30

  • Автобусы некоторого маршрута ходят строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 минут.

Решение:

Случайная величина — время прихода пассажира на остановку, распределена равномерно на [0; 5]. Плотность распределения вероятностей имеет вид:

Пассажир будет ожидать автобус менее 3 минут, если он подойдет к остановке в интервале времени от 2 до 5 минут после отправления автобуса.

Пример №31

  • Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Вероятность того, что в течение часа абонент позвонит на станцию, равна 0,01 и постоянна для всех абонентов. Найти вероятность того, что на станцию в течение часа позвонят не более двух абонентов.

Решение:

Дискретная случайная величина распределена по закону Пуассона. Воспользуемся формулой Пуассона:

По условию задачи

Пример №32

  • Время безотказной работы двигателя автомобиля распределено по показательному закону. Известно, что среднее время наработки двигателя на отказ между техническим обслуживанием — 100 ч. Определить вероятность безотказной работы двигателя в течение 80 ч.

Решение:

По условию задачи математическое ожидание случайной величины равно 100 ч. Следовательно,

Тогда плотность распределения времени безотказной работы двигателя имеет вид:

Функция распределения случайной величины принимает вид:

и определяет вероятность отказа двигателя за время продолжительностью . Тогда вероятность безотказной работы двигателя за это время будет равна:

Функцию называют функцией надежности. Для нашего случая

Основные числовые характеристики случайных величии

К оглавлению…

Свойства математического ожидания:
1) Математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности наступления этого испытания.

Заметим, что математическое ожидание случайной величины можно трактовать как вероятностное среднее этой величины.

Для любой случайной величины случайная величина называется центрированной случайной величиной или отклонением.

Пусть случайная величина определена на вероятностном пространстве . Для величина , если она определена, называется моментом -го порядка случайной величины

Величина называется абсолютным моментом -го порядка случайной величины

Моменты случайной величины называются центральными моментами случайной величины .

Центральные моменты четного порядка случайной величины характеризуют степень разброса значений относительно ее среднего значения.

Дисперсией случайной величины называется число , число называется среднеквадратическим отклонением случайной величины .

Свойства дисперсии случайной величины:

Формулы вычисления математического ожидания и дисперсии для некоторых случайных величин:

Ковариацией случайной величины и называется число:

Если математическое ожидание случайной величины является характеристикой ее положения, средним значением, около которого группируются значения случайной величины, то дисперсия и среднеквадратического отклонение являются характеристиками рассеяния случайной величины около математического ожидания.

Пример №33

  • Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины

Решение:

Пример №34

  • Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение непрерывной случайной величины , заданной плотностью распределения:

Решение:

Другие характеристики случайных величин

К оглавлению…

Кроме рассмотренных выше числовых характеристик случайной величины, в приложениях используются так называемые квантили.

Квантилью уровня случайной величины называется решение уравнения:

Квантили имеют названия нижняя квартиль, медиана, верхняя квартиль. Они делят числовую прямую на четыре части, вероятности попадания в которые равны 0,25.

Пример №35

  • Найти моду случайной величины , заданной распределением:

Решение:

Поскольку для моды выполняется равенство:

Наибольшая вероятность достигается при

Пример №36

  • Найти эксцесс случайной величины :

Решение:

Найдем начальные моменты случайной величины первых четырех порядков:

Найдем центральные моменты случайной величины первых четырех порядков:

Тогда среднеквадратическое отклонение случайной величины :

Эксцесс случайной величины найдем по формуле:

Свойства нормальной случайной величины:

1) , график функции расположен выше оси .

2) Ось служит асимптотой графика функции , т.к. .

3) Функция имеет один максимум при равный .

4) График функции симметричен относительно прямой .

5) Точки

являются точками перегиба графика функции .

Вероятность попадания случайной величины

на заданный участок :

Случайная величина принимает свое значения в промежутке с вероятностью 0,9973.

Вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине определяется по формуле:

Вероятность отклонения относительной частоты от вероятности наступления события в серии из независимых испытаний выражается формулой:

Пример №37

  • Суточное потребление электроэнергии исправной печью является случайной величиной, распределенной по нормальному закону со средним 1000 кВт и среднеквадратичным отклонением 50. Если суточное потребление превысит 1100 кВт, то по инструкции печь отключают и ремонтируют. Найти вероятность ремонта печи.

Решение:

Случайная величина есть суточное потребление электроэнергии печью.

Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал (0; 1100). Для этого воспользуемся формулой:

Тогда вероятность ремонта печи равна 1-0,9544 = 0,0456.

Пример №38

  • Рост мальчиков возрастной группы 15 лет есть нормально распределённая случайная величина с параметрами

Какую долю костюмов для мальчиков, имеющих рост от 152 до 158 см, нужно предусмотреть в объёме производства для данной возрастной группы.

Решение:

Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал (152; 158). Для этого воспользуемся формулой:

Пример №39

  • Текущая оценка ценной бумаги представляет собой нормально распределенную случайную величину со средним значением 100 у. е. и дисперсией 9. Найти вероятность того, что цена актива (ценной бумаги) будет находиться в пределах от 91 до 109 у. е.

Решение:

Так как

тогда

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Неравенство Чебышева

К оглавлению…

Необходимо рассмотреть условия, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли.

Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли — простейшим.

Теорема (Неравенство Чебышева). Вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа , не меньше чем

Теорема Чебышева. Если последовательность попарно независимых случайных величин … имеет конечное математическое ожидание и дисперсии этих величин равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то среднее арифметическое случайной величины сходится по вероятности к среднему арифметическому их математического ожидания, т.е. если — любое положительное число, то

В этом случае среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины.

Если проводится серия измерений какой-либо физической величины, причем:

1) результат каждого измерения не зависит от результатов остальных (измерения попарно независимы);

2) измерения производятся без систематических ошибок, (имеют одно и то же математическое ожидание);

3) обеспечена определенная точность измерений, (дисперсии их ограничены)

то при достаточно большом числе измерений их среднее арифметическое окажется сколь угодно близким к истинному значению измеряемой величины.

Теорема Бернулли. Если в каждом из независимых опытов вероятность появления события постоянна, то при достаточно большом числе испытаний вероятность того, что модуль отклонения относительной частоты появлений в опытах от будет сколь угодно малым, как угодно близка к 1.

Закон больших чисел не исследует вид предельного закона распределения суммы случайных величин. Этот вопрос рассмотрен в группе теорем, называемых центральной предельной теоремой. Они утверждают, что закон распределения суммы случайных величин, каждая из которых может иметь различные распределения, приближается к нормальному при достаточно большом числе слагаемых. Этим объясняется важность нормального закона для практических приложений.

Центральная предельная теорема. Если — независимые случайные величины с одинаковым законом распределения, математическим ожиданием и дисперсией , то при неограниченном увеличении закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному.

Пример №40

  • Найти вероятность того, что для случайной величины :

Решение:

По неравенству Чебышева:

Найдем математическое ожидание случайной величины .

Пример №41

  • Найти вероятность того, что для случайной величины :

Решение:

Математическое ожидание случайной величины принимает значение:

Дисперсия равна

Пример №42

  • В ящике 20 деталей, из которых 4 бракованные.

Найти вероятность того, что наугад взятая из ящика деталь окажется бракованной.

Решение:

Так как каждая из имеющихся деталей может быть из ящика, то число всех равновозможных элементарных исходов . Число исходов, благоприятствующих появлению бракованной детали, . Если событие означает, что взятая деталь бракованная, то

Пример №43

  • Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго.

Найти, вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

Решение:

Вероятности появления каждого из двух независимых событий и соответственно равны и .

— появилось только событие ;

— появилось только событие .

Появление события равносильно появлению события (появилось первое событие и не появилось второе), т.е. .

Появление события равносильно появлению события (появилось второе событие и не появилось первое). .

Таким образом, чтобы найти вероятность появления одного из событий и достаточно найти вероятность появления одного, безразлично какого, из событий и . События и несовместны, поэтому применима теорема сложения:

События и — независимы, следовательно, независимы события и , а также и , поэтому применима теорема умножения:

Подставив эти вероятности, найдем искомую вероятность появления только одного из событий и :

Пример №44

  • В вычислительной лаборатории имеется 6 компьютеров одного типа и 4 другого. Вероятность того, что на время выполнения некоторого расчета компьютер I типа не выйдет из строя, равна 0,95; для компьютера другого типа — 0,8. Студент производит расчет на наудачу взятом компьютере.

Найти вероятность того, что до окончания расчета компьютер не выйдет из строя.

Решение:

Обозначим через — компьютер не выйдет из строя до окончания расчета. Возможны следующие предположения (гипотезы) о первоначальном качестве компьютеров; всего компьютеров в лаборатории — 10, из них:

В сумме гипотезы всегда равны 1, проверим:

Условная вероятность того, что студент воспользуется компьютером 1-го типа, равна ; 2-го типа — .

Искомая вероятность того, что до окончания расчета компьютер любого типа не выйдет из строя, равна:

Пример №45

  • Два автомата производят одинаковые детали, которые сбрасываются на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 78% деталей отличного качества, а второй — 86%.

Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

Решение:

Обозначим событие — деталь отличного качества. Можно сделать два предположения (гипотезы): — деталь произведена первым автоматом;

— деталь произведена вторым автоматом; .

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым автоматом, равна

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена вторым автоматом, равна

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна

Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Байсса равна

Пример №46

  • При измерении роста у 18 студентов установлено, что у трех рост — 188 см; у четверых — 182 см; у пятерых — 180 см; у шестерых 178 см. — рост студента.

Записать закон распределения . Вычислить математическое ожидание , дисперсию и среднеквадратическое отклонение .

Решение:

Вероятность обнаружения среди 18 студентов троих с ростом 188 см:

Аналогично вероятность обнаружения среди 18 студентов четверых с ростом 182 см:

Получаем закон распределения в виде следующей таблицы:

Далее находим:

Пример №47

  • Устройство состоит из четырех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента равна 0,2.

Записать закон распределения числа отказавших элементов устройства, найти математическое ожидание и дисперсию.

Решение:

Дискретная случайная величина может принимать значения . Так как то по формуле Бернулли находим:

Математическое ожидание равно

Возможно эти страницы вам будут полезны: