Сопромат примеры задач с решением

Прежде чем изучать примеры решения задач по сопромату, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила краткий курс лекций вместе с примерами решения.

Эта страница подготовлена для студентов любых специальностей и охватывает полный курс предмета «сопротивление материалов».

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Введение. Основные понятия

К оглавлению…

Назначение дисциплины

«Сопротивление материалов» рассматривает расчет отдельных элементов конструкций.

Элементы конструкций рассчитываются на прочность, жесткость и устойчивость.

Прочность — способность элемента конструкции воспринимать нагрузку не разрушаясь.

Жесткость — способность элемента конструкции оказывать сопротивление деформации, допуская ее в определенных пределах.

Устойчивость — способность элемента конструкции сохранять под нагрузкой первоначальную форму равновесия.

Гипотезы и допущения

К оглавлению…

В теории дисциплины при выводе расчетных формул применяется ряд гипотез и допущений.

Основные из них:

  • материал принимается сплошным, однородным и изотропным (свойства в любой точке и направлении считаются одинаковыми);
  • материал до определенной степени нагружения деформируется линейно;
  • деформации элемента конструкции весьма малы по сравнению с размерами самого элемента;
  • до приложения внешних сил в материале отсутствуют напряжения.

Геометрическая схематизация элементов строительных конструкций. Расчетная схема

К оглавлению…

Расчет строительной конструкции начинается с геометрической схематизации ее элементов. Все формы элементов строительных конструкций с достаточной степенью точности можно отнести к четырем основным формам: брус, пластина, массив и оболочка.

Расчет пластин, массивов и оболочек осуществляется с использованием теории упругости, а расчет бруса — с использованием сопротивления материалов.

После схематизации геометрических форм производят выбор расчетной схемы. Расчетная схема представляет собой упрощенную схему элемента, которая отражает наиболее существенные его особенности под действием нагрузки. При составлении расчетной схемы брус не вычерчивают полностью, а только его продольную ось, поскольку она является геометрическим местом центров тяжести поперечных сечений. Все действующие на элемент внешние силы приводятся к этой оси по правилу механики.

На расчетной схеме намечается система трех взаимно перпендикулярных осей координат: Z— вдоль продольной оси, X, Y — поперек продольной оси (рис. 1, а, б). Начало координатных осей обычно располагается в крайней левой точке расчетной схемы.

Каждый элемент конструкции соединяется с другим элементом или основанием при помощи опорных устройств. Опоры подразделяются на шарнирно-подвижные, шарнирно-неподвижные, защемления (заделки), см. рис. 1, а, б.

В зависимости от конструктивного назначения брус могут называть стержнем, балкой, колонной или валом.

  • Стержень — это брус, работающий на растяжение (сжатие).
  • Балка — брус, работающий на изгиб.
  • Колонна — вертикально стоящий брус, предназначенный для восприятия сжимающей нагрузки.
  • Вал — брус, работающий на кручение.

Внешние силы

К оглавлению…

Элементы конструкций испытывают воздействие внешних сил, которые делятся на активные (нагрузки) и реактивные (реакции опор). Среди нагрузок различают сосредоточенные F, М, Т (считаются приложенными в точке элемента или конкретном сечении) и распределенные q (по длине или площади элемента), см. рис. 1, а, б. Опорные реакции плоской системы определяются из трех условий равновесия (статики): см- Рис- 1, а, б.

Внутренние силы

К оглавлению…

В результате действия внешних сил в элементе конструкции возникают внутренние силы (усилия), которые сопротивляются действию внешних сил и обусловлены упругим взаимодействием частиц материала.

Внутренние силы (рис. 1, в) привязываются к системе координатных осей стержня и подразделяются:

  • на продольные силы N, действующие по продольной оси Z;
  • поперечные силы и , действующие в плоскости поперечного сечения и направленные по координатным осям X и Y;
  • изгибающие моменты и , действующие относительно координатных осей X и У;
  • крутящие моменты Т действующие относительно продольной оси Z.

Для определения внутренних сил используется метод сечений. Стержень в исследуемом сечении мысленно рассекается на две части. Одна часть стержня отбрасывается, а действие отброшенной части на оставленную (рассматриваемую) заменяется неизвестными внутренними силами. Для оставшейся части составляются уравнения равновесия, из которых и определяются неизвестные внутренние силы.

Напряжения

К оглавлению…

Различают нормальные а и касательные напряжения. Нормальные напряжения действуют перпендикулярно поперечному сечению и являются функцией

а касательные — в плоскости поперечного сечения и являются функцией

Виды напряженного состояния материала

К оглавлению…

В общем случае действия внешних сил на тело (элемент конструкции) по граням элементарно малого прямоугольного параллелепипеда, выделенного в любой точке, действует совокупность нормальных и касательных напряжений, определяющих напряженное состояние в этой точке (рис. 2, а). На невидимых гранях элемента возникают соответственно такие же напряжения, но противоположно направленные.

Нормальным напряжениям присваивают индекс, указывающий ось, параллельно которой они направлены. Для обозначения касательных напряжений используется двойной индекс. Первый указывает ось, параллельно которой направлено касательное напряжение, второй — ось, параллельно которой направлена нормаль к площадке, где действует касательное напряжение.

С поворотом параллелепипеда вокруг точки значение напряжений будет изменяться, и можно найти такое его положение, при котором касательные напряжения по его граням исчезнут, а нормальные сохранятся (рис. 2, б). Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называются главными, а действующие на них нормальные напряжения — главными нормальными напряжениями. Они обозначаются , причем .

По совокупности главных напряжений различают три вида напряженного состояния материала:

  • объемное, когда все три главных напряжения отличны от нуля (см. рис. 2, б);
  • плоское, когда два главных напряжения отличны от нуля (рис. 2, в);
  • линейное, когда отлично от нуля лишь одно главное напряжение (рис. 2, г).

Деформации и перемещения

К оглавлению…

Под воздействием внешних нагрузок элементы конструкции деформируются, т. е. изменяют свои размеры и форму. Деформации могут быть упругими и пластическими. Упругие деформации исчезают после снятия нагрузки, а пластические сохраняются.

В зависимости от условий загружения внешними силами брус может испытывать такие виды деформаций, как растяжение (сжатие), сдвиг, кручение и изгиб. Эти четыре вида деформаций относят к простым. На практике брус часто подвергается одновременно нескольким простым деформациям, например, изгиб с растяжением, изгиб с кручением и растяжением и т. д. Такую деформацию называют сложной.

В случае когда длина бруса намного больше его поперечных размеров (например, чертежная линейка), сжимающие силы могут изогнуть его. Произойдет особый вид деформации — продольный изгиб.

При деформациях точки элемента конструкции перемещаются в пространстве. Различают линейные перемещения — для точек и угловые — для линий (рис. 3, а).

В конкретных видах деформаций перемещения приобретают определенные обозначения и названия. При растяжении-сжатии -продольная деформация (рис. 3, б); при кручении — угол закручивания (рис. 3, в); при изгибе — прогиб, а угол поворота сечения (рис. 3, г).

Методы расчета на прочность и жесткость

К оглавлению…

В расчетной практике используется несколько методов расчета на прочность. Наиболее распространены два из них.

Расчет деталей машин и механизмов ведется по методу допускаемых напряжений, а расчет элементов строительных конструкций -по методу предельных состояний.

По методу допускаемых напряжений условие прочности при линейном напряженном состоянии имеет вид

  • где — максимальные напряжения в элементе конструкции;
  • )- допускаемые напряжения для материала элемента.

Максимальные напряжения определяются от нормативной нагрузки, т. е. нагрузки, установленной нормами проектирования.

Допускаемые напряжения устанавливаются по результатам испытания материала с учетом общего коэффициента запаса прочности.

По методу предельных состояний условие прочности имеет вид

где — расчетные сопротивления для материала элемента.

Максимальные напряжения определяются от расчетной нагрузки, учитывающей возможность ее отклонения от нормативной.

Расчетные сопротивления также устанавливаются по результатам испытания материала, но с использованием ряда частных коэффициентов, каждый из которых учитывает какой-либо один фактор, влияющий на его прочность.

Расчет по методу предельных состояний позволяет спроектировать элемент конструкций более рационально, т. е. с меньшими затратами материала.

Из условия прочности можно решить три типа задач:

  1. Проверить прочность стержня, когда известны нагрузка, форма и размеры поперечного сечения и род материала.
  2. Определить размеры поперечного сечения стержня, если известны нагрузка, форма поперечного сечения и род материала.
  3. Определить наибольшую допустимую нагрузку на стержень, если известны форма и размеры поперечного сечения и род материала.

Для случаев сложной деформации, т. е. сложного напряженного состояния (плоского и объемного), задача составления условия прочности решается с помощью теорий прочности, каждая из которых основана на определенной гипотезе, объясняющей причину разрушения материала.

При оценке прочности материала при сложном напряженном состоянии вводится понятие расчетного напряжения , которое определяется по принятой теории прочности и сравнивается с тем же расчетным сопротивлением материала R, полученным испытанием материала на растяжение-сжатие:

В частном случае плоского напряженного состояния — чистом сдвиге, когда в поперечном сечении стержня возникают только касательные напряжения, условие прочности используется в виде

где — расчетное сопротивление материала сдвигу.

Расчет на жесткость элементов конструкции сводится к определению максимальных перемещений (линейных или угловых) под действием нормативной нагрузки и сравнении ее с допустимым значением , установленным нормами проектирования.

Условие жесткости имеет вид

Необходимо отметить, что в дисциплине «Сопротивление материалов» рассматриваются принципы расчета на прочность и жесткость, а не конкретные конструкции, поэтому в настоящем издании для упрощения все нагрузки указываются в расчетных значениях, а расчеты выполняются по методу предельных состояний. Исключение составляют расчеты на изгиб с кручением, которые выполнены по методу допускаемых напряжений.

Растяжение и сжатие

К оглавлению…

Элемент конструкции подвергается деформации растяжения или сжатия, когда равнодействующая внешних сил действует на него по центральной оси Z (рис. 1.1, а). Такое растяжение-сжатие называется центральным (осевым).

Действующая на элемент конструкции система сил должна находиться в равновесии: .

При растяжении длина стержня (участка) в продольном направлении увеличивается (деформация обозначается знаком «плюс»), а при сжатии — уменьшается (знак «минус»).

Внутренние силы

К оглавлению…

При центральном растяжении-сжатии в поперечном сечении стержня возникает только один внутренний силовой фактор — продольная сила N. Для ее определения на стержне, исходя из вида нагрузки и ее расположения, выделяются расчетные участки: между точками приложения сосредоточенных сил F и в пределах распределенной нагрузки q.

В пределах каждого участка намечаются сечения (I, II, …, i) и отмечаются их положения в системе координатных осей

Для определения продольной силы N используется метод сечений. Стержень в исследуемом сечении мысленно рассекается на две части. Одна из частей его «отбрасывается». Поскольку весь стержень находится в равновесии, то и его рассматриваемая часть под действием известных внешних сил (F, q) и неизвестной внутренней N также должна находиться в равновесии, т. е. удовлетворять условию .

Составить выражения для определения продольной силы N можно двумя способами.

Первый способ. На схеме для каждого участка показывается отсеченная часть стержня и составляется уравнение равновесия этой части с использованием правила знаков для сил, принятое в курсе теоретической механики.

Так, для сечения III (рис. 1.1,б) уравнение равновесия имеет вид

откуда

Второй способ. На рисунке для всех участков отсеченная часть стержня не показывается.

Выражения для определения продольной силы составляются по следующему правилу: продольная сила N в сечении стержня численно равна алгебраической сумме всех внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения:

При определении N можно рассматривать любую часть «рассеченного» стержня.

Правило знаков для сил связано с учетом характера вызываемой ими деформации стержня (растяжение или сжатие).

Если внешняя сила (F, q) направлена от рассматриваемого сечения стержня (стремится растянуть его рассматриваемую часть), то в этом сечении возникает положительная продольная сила ,

и если направлена к сечению (стремится сжать), то в сечении возникает отрицательная продольная сила .

Изложенное правило знаков иллюстрируется на рис. 1.2

Полученный в результате вычислений знак при N укажет на характер деформации участка стержня от суммарного действия сил: «плюс» означает, что участок стержня растянут, «минус» — что участок сжат. Так, для сечения III (см. рис. 1.2, б) выражение для продольной силы будет

Второй прием составления выражений для N сокращает объем вычислений и является общим для всех видов сопротивлений.

По вычисленным на участках стержня значениям N строится эпюра продольных сил (см. примеры).

Напряжения. Условие прочности

К оглавлению…

При деформации растяжения или сжатия в сечениях стержня возникают нормальные напряжения.

Продольная сила N связана с нормальным напряжением зависимостью

  • где N — продольная сила в сечении стержня;
  • А — площадь поперечного сечения стержня.

При вычислении нормальных напряжений по длине стержня также выделяются расчетные участки. К указанным выше границам этих участков добавляются точки, где изменяются размеры поперечных сечений (см. рис. 1.1, а). По вычисленным значениям строится эпюра (см. примеры).

Нормальное напряжение о распределяется по поперечному сечению равномерно. График, показывающий изменение напряжения по высоте сечения стержня, называется эпюрой напряжений (эп. ), рис. 1.1, в.

При растяжении-сжатии стержня его материал в любой точке находится в условии линейного напряженного состояния, поэтому проверка прочности ведется по максимальному нормальному напряжению и условие прочности имеет вид

  • где — продольная сила на наиболее нагруженном участке стержня;
  • R — расчетное сопротивление материала стержня растяжению-сжатию.

Для пластичных материалов (сталь) расчетные сопротивления при растяжении и сжатии одинаковы, для хрупких (чугун, бетон) -разные.

Деформации. Условие жесткости

К оглавлению…

Возникновение продольной силы N в сечении стержня сопровождается его продольной деформацией : удлинением при растяжении и укорочением при сжатии.

Абсолютная продольная деформация от сосредоточенных сил F определяется по формуле Гука

  • где N — продольная сила в стержне (на участке);
  • l — длина стержня (участка);
  • Е — модуль продольной упругости (модуль Юнга) материала стержня;
  • А — площадь поперечного сечения стержня (участка).

Абсолютная продольная деформация от равномерно распределенной нагрузки q (действующей на данном участке стержня) определяется по формуле


Абсолютная продольная деформация от собственного веса стержня определяется по формуле

где — вес единицы объема материала стержня.

Вычислив деформации на участках стержня, можно найти перемещения его характерных сечений и построить эпюру перемещений (см. примеры).

Относительная продольная деформация стержня (или его участка) определяется по формуле

  • где — абсолютная продольная деформация стержня (участка); l — длина стержня (участка).

Условие жесткости при растяжении-сжатии имеет вид

где — предельно допустимая относительная продольная деформация.

Закон Гука при растяжении-сжатии (из формулы (1.3)), выражающий зависимость между напряжением и деформацией, имеет вид

Модуль продольной упругости Е характеризует способность материала сопротивляться деформациям растяжения-сжатия в зависимости от его свойств.

Статически определимые системы

К оглавлению…

Статически определимыми являются системы, усилия в элементах которых можно определить при помощи одних лишь уравнений равновесия (статики).

Для плоской системы сил их три:

Пример задачи №1.1

Пример задачи 1.1 Стальная полоса прямоугольного поперечного сечения нагружена системой расчетных сил F (рис. 1.3, а).

Статически неопределимые системы

К оглавлению…

Статически неопределимыми являются системы, внутренние силы в элементах которых невозможно определить при помощи одних лишь уравнений равновесия (статики).

Степень статической неопределимости определяется разностью между числом неизвестных (внутренних сил и реакций опор) и числом возможных уравнений равновесия.

Для раскрытия статической неопределимости, т. е. определения внутренних сил в элементах системы, к уравнениям равновесия нужно составить столько дополнительных уравнений, сколько раз система статически неопределима.

Существует несколько методов раскрытия статической неопределимости. Наиболее простой — метод сравнения деформаций, построенный на принципе совместности перемещений.

Принцип совместности перемещений означает, что элементы системы в результате действия нагрузки должны перемещаться совместно, без разрушений, разъединений, смещений друг относительно друга.

Чтобы составить уравнение совместности перемещений, необходимо представить систему в деформированном состоянии и установить геометрическую зависимость между деформациями ее стержней.

Совместное решение уравнений равновесия с уравнениями перемещений позволяет раскрыть статическую неопределимость.

Следует заметить, что в статически определимых системах искомые внутренние силы в стержнях предварительно направлялись произвольно. В статически неопределимых многостержневых системах искомые внутренние силы в стержнях нужно направлять в соответствии с предполагаемой деформацией стержня. Так, если стержень удлиняется — неизвестная внутренняя сила в нем направляется от сечения, если укорачивается — к сечению.

Пример задачи №1.5

Пример задачи 1.5 Абсолютно жесткий элемент Р, нагруженный расчетной нагрузкой F = 136 кН, подвешен на трех стальных стержнях одинаковой длины и площади поперечного сечения (рис. 1.7).

Сдвиг

К оглавлению…

Деформация сдвига наблюдается в тех случаях, когда внешние силы, действующие на стержень, пытаются сдвинуть одну его часть по отношению к другой (рис. 2.1).

Это происходит, когда на стержень перпендикулярно продольной оси Z на очень близком расстоянии а друг от друга действуют две равные сосредоточенные силы F, направленные в противоположные стороны.

Деформации сдвига (среза) подвергаются в основном соединительные элементы конструкций: заклепки, болты, швы электросварки, врубки, шпонки.

При сдвиге в поперечном сечении стержня возникают поперечная сила Q и изгибающий момент М. В большинстве случаев определяющее значение имеет поперечная сила, а изгибающим моментом пренебрегают, т. е. сдвиг считают чистым. Поперечная сила Q определяется методом сечений.

Поперечная сила приводит к образованию касательных напряжений , которые, как принято считать, по площади сдвига (среза) распределяются равномерно и определяются по формуле

  • где Q — поперечная сила в сечении сдвига;
  • А — площадь поперечного сечения в зоне сдвига.

В зоне чистого сдвига материал элемента находится в условии плоского напряженного состояния. Но поскольку в зоне сдвига возникают только касательные напряжения, условие прочности записывается в виде

где — расчетное сопротивление материала сдвигу.

В зоне сдвига наблюдаются следующие деформации: — абсолютный сдвиг и относительный сдвиг (см. рис. 2.1). Закон Гука при сдвиге выражается формулой

где G — модуль упругости материала при сдвиге (модуль упругости второго рода).

Расчет заклепочных соединений

К оглавлению…

В реальных условиях соединений заклепки рассчитываются на срез по касательным напряжениям, а контактирующие элементы (заклепки, соединяемые части) — еще и на смятие по нормальным напряжениям (рис. 2.2).

Принято считать, что при статической нагрузке заклепки вдоль линии действия внешних сил нагружены одинаково.

Различают заклепочные соединения одно- и многосрезные (см. примеры).

Условие прочности на срез имеет вид


где Q — поперечная (срезывающая) сила в заклепочном соединении: Q =f (F);

  • — суммарная площадь срезаемых заклепок;
  • А — площадь поперечного сечения одной заклепки;
  • п — число заклепок в соединении;
  • — число срезов в одной заклепке;
  • — расчетное сопротивление материала заклепки срезу.

В местах контакта заклепки с соединяемыми элементами возникают усилия смятия, приводящие к образованию по площади контакта нормальных напряжений . Считается, что эти напряжения распределяются по условной площади сечения (d t) равномерно. Условие прочности на смятие имеет вид

  • где N — сминающая сила: N =f (F);
  • — суммарная площадь сопротивления смятию;
  • d -диаметр заклепки;
  • п — число заклепок в соединении;
  • — наименьшая суммарная толщина элементов соединения, сминающихся в одном направлении;
  • — расчетное сопротивление материала смятию.

Количество заклепок в соединении определяется из условий прочности на срез (2.1) и смятие (2.2). В расчет принимается большее их количество.

Поскольку площадь поперечного сечения соединяемых элементов конструкции уменьшена (ослаблена) отверстиями под заклепки, требуется проверка их прочности на растяжение по нормальным напряжениям:

  • где N — продольная сила в соединяемых элементах;
  • — площадь ослабленного сечения (нетто);
  • R — расчетное сопротивление материала соединяемых элементов на растяжение.

Ослабление сечения отверстиями под заклепки у прокатных профилей составляет около 15 % Болтовые соединения рассчитываются аналогично заклепочным.

Пример задачи №2.1

Пример задачи 2.1 Стальная полоса 1 сечением 130 *8 мм, с расчетной нагрузкой F = 160 кН прикрепляется к фасонному листу 2 толщиной 10 мм заклепками диаметром d = 16 мм, рис. 2.3. Проверить прочность заклепочного соединения. Расчетные сопротивления: для соединяемых элементов — на растяжение R = 210 МПа, на смятие = 420 МПа, для заклепок — на срез = 200 МПа.

Расчет сварных соединений

К оглавлению…

В строительных конструкциях наиболее применимы сварные соединения внахлестку, которые выполняются угловыми (валиковыми) электрошвами. Швы, расположенные в направлении действующей силы, называются боковыми (фланговыми), а расположенные перпендикулярно к этому направлению — торцевыми (лобовыми), рис. 2.5.

Угловые швы (боковые и торцевые) работают в основном на срез. Образующиеся в них касательные напряжения считаются равномерно распределенными по площади среза.

Условие прочности на срез для угловых швов имеет вид.

  • где — касательное напряжение по площади среза;
  • Q — усилие среза: Q =f(F);
  • — площадь среза шва;
  • — коэффициент, зависящий от вида сварки: = 0,7-1,0;
  • — толщина (катет) углового шва;
  • — суммарная расчетная длина швов;
  • — расчетное сопротивление материала шва срезу.

Проектная длина каждого участка шва увеличивается на 1 см против расчетной в связи с неполным проваром его концов. Длина отрезка шва должна быть в пределах

Пример задачи №2.3

Пример задачи 2.3 Стальная полоса, нагруженная расчетной силой F=160kH (рис. 2.6), угловыми швами приварена к фасонному листу. Толщина шва = 8 мм. Сварка выполнена ручным способом. Проверить прочность полосы и сварных швов, если R = 210 МПа,= 150 МПа.

Расчет врубок

К оглавлению…

Врубки как способ соединения деревянных элементов конструкций, вследствие различной сопротивляемости древесины вдоль и поперек волокон, рассчитываются на скалывание (сдвиг) вдоль волокон и смятие вдоль и поперек волокон по площади соприкосновения соединяемых элементов (рис. 2.8).

Условие прочности врубки на скалывание вдоль волокон имеет вид

  • где — касательное напряжение в зоне скалывания;
  • — усилие скалывания вдоль волокон;
  • — площадь скалывания вдоль волокон;
  • b — ширина врубки;
  • l — длина зоны скалывания;
  • — расчетное сопротивление древесины на скалывание (вдоль волокон).

Условие прочности врубки на смятие вдоль волокон имеет вид

  • где — нормальное напряжение по площади смятия (вдоль волокон);
  • — усилие смятия вдоль волокон;
  • — площадь смятия вдоль волокон;
  • F — сила, действующая на стропильную ногу;
  • b — ширина врубки; а — глубина врубки;
  • — расчетное сопротивление древесины смятию вдоль волокон.

Условие прочности врубки на смятие поперек волокон имеет вид

  • где — нормальное напряжение по площади смятия (поперек волокон);
  • — усилие смятия поперек волокон;
  • — площадь смятия поперек волокон;
  • с — длина врубки;
  • b — ширина врубки;
  • — расчетное сопротивление древесины смятию поперек волокон.

Соединение деревянных элементов конструкций при помощи шпонок, а также соединение на шип рассчитываются аналогично расчету врубок.

Пример задачи №2.5

Пример задачи 2.5 Соединение стропильной ноги 1 с затяжной 2 выполнено с помощью лобовой врубки. Усилие в стропильной ноге F = 100 кН (рис. 2.9).

Геометрические характеристики плоских сечений

К оглавлению…

Плоское поперечное сечение любого стержня характеризуется рядом геометрических величин: площадью А;

  • координатами центра тяжести , ;
  • статическим моментом S;
  • осевыми моментами инерции , ;
  • полярным моментом инерции ;
  • центробежным моментом инерции .

Эти величины используются при расчетах элементов конструкций на прочность и жесткость.

Площадь поперечного сечения А характеризует сопротивляемость стержня растяжению и сжатию.

Осевые моменты инерции и характеризуют сопротивляемость изгибу, а полярный — кручению, в зависимости от размеров и формы сечения.

Формулы для определения некоторых геометрических характеристик для простых фигур приведены на рис. 3.1.

Для прокатных профилей (двутавр, швеллер, уголок) данные о геометрических характеристиках приводятся в соответствующих стандартах на сортаменты (приложения).

Для определения координат центра тяжести сложного сечения произвольно выбирается прямоугольная система вспомогательных осей XOY. Сечение разделяется на простые фигуры, центры тяжести и площади которых легко определяются, отмечаются эти центры , проводятся центральные оси , и обозначаются расстояния , и ,- от центральной оси каждой простой фигуры до вспомогательных осей (рис. 3.2).

Координаты центра тяжести сложного сечения определяются по формулам

где — сумма статических моментов простых фигур относительно соответствующей вспомогательной оси;

— суммарная площадь простых фигур.

Статические моменты площади сечения относительно вспомогательных осей равны произведению площади на расстояние от ее центра тяжести до данной оси:

где , — координаты центра тяжести отдельных простых фигур в системе вспомогательных осей;

; — площади сечений этих отдельных фигур.

Статический момент площади фигуры в зависимости от положения фигуры относительно рассматриваемой оси может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Статический момент площади относительно центральной оси равен нулю.

Если фигура имеет ось симметрии, то ее центр тяжести лежит на этой оси. Если фигура имеет две оси симметрии, то ее центр тяжести совпадает с точкой пересечения этих осей.

Осевые и центробежные моменты инерции сложного сечения относительно его центральных осей определяются исходя из значений моментов инерций для простых фигур с учетом

формулы перехода к параллельным осям (переход от центральной оси простой фигуры к центральной оси всего сечения):

где — моменты инерции простых фигур относительно собственных центральных осей;

, и — расстояния между центральными осями простых фигур и центральными осями всего сечения (см. рис. 3.2).

Моменты инерции измеряются единицами длины в четвертой степени (, , ). Осевые моменты инерции всегда положительны, а центробежный момент может быть положительным, отрицательным и равным нулю в зависимости от положения фигуры относительно координатных осей.

Центробежный момент инерции сечения относительно центральных осей, из которых хотя бы одна является осью симметрии, равен нулю.

Для неравнополочного и равнополочного уголков значение центробежного момента инерции относительно центральных осей, параллельных полкам, определяется по формуле

где — минимальный момент инерции сечения (приводится в сортаменте).

В некоторых сортаментах приводятся готовые значения . Знак для уголка зависит от его положения в сечении. Рекомендуется пользоваться схемой, приведенной на рис. 3.1, где показаны возможные положения уголка в сечении и приведены знаки для .

Главные центральные оси

К оглавлению…

При повороте центральных взаимно перпендикулярных осей вокруг центра тяжести сечения (точки О) значения осевых и центробежного моментов инерции изменяются. При некотором положении этих осей центробежный момент инерции сечения станет равным нулю. Эти оси называются главными центральными и обозначаются буквами U и V. Положение их обусловлено углом (см. рис. 3.2), определяемым по формуле


Угол отсчитывается от оси с большим моментом инерции (или ), положительное значение — против хода часовой стрелки. Так определяется положение оси U, а ось V ей перпендикулярна.

Осевые моменты инерции сечения относительно главных центральных осей имеют экстремальные значения (максимальное и и минимальное ) и определяются по формуле

В теории сопротивления материалов доказывается, что сумма осевых моментов инерции сечения при повороте осей относительно их центра тяжести не изменяется, т. е.

Это положение может быть использовано для контроля определения моментов инерции, вычисленных по формуле (3.5).

В сечении, имеющем одну ось симметрии, эта ось является одной из главных центральных осей. Если сечение имеет две оси симметрии, то они являются главными центральными осями.

Главные центральные моменты инерции, как имеющие экстремальные значения, характеризуют наибольшую и наименьшую жесткость (сопротивляемость) балки при изгибе. Они позволяют рационально расположить сечение балки по отношению к нагрузке.

Пример задачи №3.1

Пример задачи 3.1 Для заданного сечения определить значения главных центральных моментов инерции.

Кручение

К оглавлению…

Стержень подвергается деформации кручения при нагружении его парой сил F, лежащих в плоскости, перпендикулярной продольной оси Z. Пара сил приводится к моменту

который называется скручивающим (внешним) моментом (рис. 4.1)

Прямой стержень круглого поперечного сечения, работающий на кручение, называется валом. Нагрузка вала (скручивающие моменты) образуется от приводных шкивов и зубчатых колес, насаженных на вал, а также от двигателя.

Если вал находится в состоянии покоя или равномерного вращения, условие равновесия выражается уравнением

Внутренние силы при кручении

К оглавлению…

В поперечных сечениях скручиваемого стержня возникают внутренние силы сопротивления — крутящие моменты Т. Они определяются методом сечении, по которому стержень мысленно разделяется на две части и рассматривается равновесие любой из них (см. рис. 4.1).

Из условия равновесия вытекает, что крутящий момент Т в сечении вала равен алгебраической сумме всех скручивающих моментов , действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения (слева или справа):

Правило знаков для моментов таково: скручивающий момент образует в поперечном сечении положительный крутящий момент (Т> 0), если он () направлен по ходу часовой стрелки при взгляде со стороны сечения, и наоборот.

Изложенное правило знаков иллюстрируется на рис. 4.2.

Поскольку сопротивление кручению материалов в ту или другую сторону одинаково, можно применять и обратное правило знаков.

По вычисленным значениям Т на расчетных участках вала (между сечениями, где приложены моменты) строится эпюра крутящих моментов.

Кручение стержней круглого поперечного сечения

К оглавлению…

Напряжения при кручении

При кручении стержня круглого поперечного сечения применима гипотеза плоских сечений — смежные сечения поворачиваются одно относительно другого, оставаясь плоскими при неизменном расстоянии между ними. Радиусы, проведенные в сечении до деформации, остаются прямыми и после нее.

Элементы материала скручиваемого стержня испытывают деформацию чистого сдвига и сопровождаются касательными напряжениями .

Формула для определения касательного напряжения в любой точке скручиваемого стержня круглого поперечного сечения имеет вид

  • где Т— крутящий момент в рассматриваемом сечении стержня;
  • — полярный момент инерции сечения стержня;
  • — расстояние от рассматриваемой точки до центра тяжести сечения (радиус рассматриваемой точки сечения).

Касательные напряжения распределяются по поперечному сечению стержня неравномерно, нарастая от продольной оси Z к поверхности по линейному закону: в центре тяжести сечения = 0;

на контуре сечения, где — достигают максимального значения (рис. 4.3).

Максимальные касательные напряжения в скручивающем стержне

где r — радиус сечения стержня.

Отношение

называется полярным моментом сопротивления, который характеризует сопротивляемость сечения деформации кручения в зависимости от его размеров и формы.

Поскольку в поперечном сечении скручиваемого стержня возникают только касательные напряжения, материал его находится в условиях чистого сдвига, как частный случай плоского напряженного состояния.

Если кручение стержня происходит от нагрузки в состоянии покоя (статическое действие), то условие прочности для пластичного материала используется в виде

Для стержня круглого (сплошного и кольцевого) сечения условие прочности при кручении принимает вид

  • где — максимальный крутящий момент в стержне;
  • — полярный момент сопротивления сечения;
  • — расчетное сопротивление материала стержня сдвигу. Для круглого сплошного сечения

Для кольцевого сечения

где d — диаметр сплошного (наружный диаметр кольцевого) сечения; с — отношение внутреннего диаметра к наружному d в кольцевом сечении

Деформации при кручении. Условие жесткости

К оглавлению…

При кручении стержня круглого поперечного сечения его продольная ось остается прямой и не изменяет своей длины. Поперечные сечения, оставаясь плоскими и перпендикулярными к продольной оси, поворачиваются на некоторый угол (рис. 4.4).

Абсолютный угол закручивания (поворота сечения) определяется по формуле

  • где — угол закручивания (в радианах);
  • Т — крутящий момент на участке стержня;
  • l — длина участка стержня;
  • G — модуль сдвига материала стержня;
  • — полярный момент инерции.

Для сплошного круглого сечения

для кольцевого

Вычислив значения на участках стержня, можно найти перемещения граничных сечений и построить эпюру перемещений (см. примеры).

Величина угла закручивания ограничивается определенными пределами, которые обычно задаются в относительных величинах.

Условие жесткости при кручении имеет вид

  • где — относительный угол закручивания;
  • — наибольший допустимый угол закручивания (радиан/метр). Напомним, что

Из условий прочности и жесткости можно решить три типа задач: проверить прочность и жесткость стержня, определить его диаметр и наибольшую допустимую нагрузку.

При определении диаметра стержня по названным условиям из двух его найденных значений принимается большее.

Значение скручивающего момента , передаваемого двигателем на вал, определяется по формуле

  • где Р — мощность двигателя, кВт;
  • п — частота вращения, об/мин.

Кручение стержней прямоугольного поперечного сечения

К оглавлению…

При кручении стержня прямоугольного поперечного сечения

гипотеза плоских сечений на опыте не подтверждается — поперечные сечения искривляются (депланируют) и касательные напряжения распределяются по сечению по более сложному закону (рис. 4.5).

Наибольшие касательные напряжения возникают посередине длинной стороны сечения и определяются по формуле

  • где — момент сопротивления при кручении;
  • b и h — меньшая и большая стороны прямоугольного сечения;
  • а — коэффициент, зависящий от соотношения сторон прямоугольника (h/b), принимаемый по табл. 4.1

Посередине короткой стороны касательные напряжения составляют часть максимального напряжения по длинной стороне:

где — коэффициент, зависящий от отношения h/b.

В угловых точках и в центре тяжести прямоугольного сечения касательные напряжения равны нулю.

Угол закручивания стержня прямоугольного сечения определяется по формуле

  • где — момент инерции при кручении стержня прямоугольного сечения;
  • — коэффициент, зависящий от соотношения сторон прямоугольника.

Значения коэффициентов , и для прямоугольного сечения приведены в табл. 4.1.

Пример задачи №4.1

Пример задачи 4.1 Стальной стержень круглого поперечного сечения (рис. 4.6) находится под действием скручивающей нагрузки (моментов ). Определить диаметр стержня из условий прочности и жесткости. Для материала стержня

Прямой изгиб

К оглавлению…

Изгиб — это деформация, при которой происходит искривление оси бруса. Изгиб бывает плоский и пространственный, прямой и косой.

В этом разделе рассматривается плоский прямой изгиб, при котором вся нагрузка, включая и реакции опор, лежит в одной плоскости, называемой силовой ), и эта плоскость проходит по линии симметрии поперечных сечений балки (рис. 5.1).

При прямом изгибе деформированная ось балки также находится в плоскости действия нагрузки.

При изучении изгиба используется обычная система координатных осей: ось Z совпадает с продольной осью балки, а оси X и У

располагаются в плоскостях поперечных сечении и совпадают с главными центральными осями инерции.

Плоский изгиб балки может происходить в плоскости YOZ (вертикальной) или XOZ (горизонтальной).

Внутренние силы. Эпюры

К оглавлению…

Балка как элемент конструкции соединяется с другими элементами при помощи устройств, называемых опорами. Различают три типа опор: шарнирно-неподвижную, шарнирно-подвижную и защемление (заделка). Опорные устройства препятствуют произвольному перемещению балок от воздействия нагрузки, накладывая на балку определенное число связей (ограничений). В наложенных на балку связях возникают реакции, называемые опорными. Число опорных реакций равно числу наложенных связей.

Так, шарнирно-неподвижная опора А (рис. 5.2, а) имеет две связи -вертикальную и горизонтальную, дает две реакции и . Шар-нирно-подвижная опора В имеет одну связь — дает одну реакцию . Защемление С имеет три связи — дает три реакции: , , (рис. 5.2, б).

Наименьшее число связей, обеспечивающих неподвижность балки по отношению к другим элементам конструкции в плоской системе сил, равно трем. Эти связи должны быть расположены рационально: не быть параллельными друг другу или пересекаться в одной точке.

Под действием нагрузки и опорных реакций балка должна находиться в равновесии. Поэтому для определения опорных реакций

можно воспользоваться тремя условиями равновесия (для плоской системы сил):

Сумма моментов берется относительно любой точки, лежащей в плоскости действия сил.

Рекомендуется такой порядок определения опорных реакций:

Балки, опорные реакции которых можно определить при помощи трех уравнений равновесия, называются статически определимыми. Такие балки рассматриваются в настоящем разделе.

В результате действия внешних сил (нагрузки) в поперечных сечениях балки возникают внутренние силы (усилия): поперечная сила и изгибающий момент . Такой изгиб называют поперечным. В частном случае в поперечных сечениях балки может возникать только один изгибающий момент . В этом случае изгиб называют чистым. Внутренние силы, как и при других, изученных выше деформациях, определяются методом сечений.

Балка в исследуемом сечении мысленно рассекается на две части (рис. 5.3, а). Одна из частей балки мысленно отбрасывается. Поскольку вся балка находится в равновесии, то и оставшаяся ее часть (рис. 5.3, б) под действием известных внешних сил (активных q, М и реактивной) и неизвестных внутренних в исследуемом сечении также должна находиться в равновесии и удовлетворять условиям (момент относительно центра тяжести рассматриваемого сечения):

откуда

откуда

Исходя из названных условий равновесия выработано правило определения поперечной силы и изгибающего момента в сечениях балки. При этом сами уравнения равновесия не составляются, а сразу записываются выражения для и .

Правило таково — в рассматриваемом сечении балки:

поперечная сила численно равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил (активных и реактивных), расположенных по одну сторону от этого сечения:

изгибающий момент численно равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести сечения всех внешних сил, расположенных по одну сторону от этого сечения:

Для определения и можно рассматривать любую часть «рассеченной» балки.

  • При вычислении и принято следующее правило знаков:
  • -если внешняя сила (активная или реактивная) стремится повернуть рассматриваемую часть балки относительно центра тяжести исследуемого сечения по часовой стрелке, то возникающая в этом сечении поперечная сила считается положительной, а если против часовой стрелки — отрицательной;
  • -если внешняя сила (F, М, q) изгибает рассматриваемую часть балки относительно исследуемого сечения выпуклостью вниз, то возникающий в этом сечении изгибающий момент считается положительным, если выпуклостью вверх — отрицательным.

Изложенное правило знаков иллюстрируется на рис. 5.4.

Для проведения расчетов балки на прочность необходимо знать максимальные значения и . Для этого нужно выявить закон изменения этих величин по длине балки:

Изменения и по длине балки удобно представлять графически в виде эпюр (рис. 5.5).

Исходя из нагрузки, на балке выделяют расчетные участки: между точками приложения сосредоточенных нагрузок (F, М) и в пределах распределенной (q).

В пределах каждого расчетного участка намечаются сечения (I, II, i) и отмечаются их положения в системе координатных осей

Затем на каждом расчетном участке балки по ранее изложенным правилам составляются выражения для определения и . По составленным выражениям вычисляются значения и в характерных сечениях каждого участка балки. По этим данным в выбранном масштабе строятся соответствующие эпюры (см. рис. 5.5).

Положительные ординаты откладываются вверх от оси эпюры, отрицательные — вниз. Эпюра изгибающих моментов в строительном проектировании строится со стороны растянутых волокон балки. Это значит, что положительные значения откладываются вниз от оси эпюры, а отрицательные — вверх.

При построении эпюр и и для проверки их правильности могут быть использованы дифференциальные зависимости между , и q:

где индекс z при Q и М означает, что эти параметры являются функцией абсциссы z балки.

Из названных дифференциальных зависимостей вытекает ряд важных следствий (см. рис. 5.5):

  1. Если на участке балки q = 0 (АС, DK), то поперечная сила = const, а изгибающий момент изменяется по линейному закону.
  2. Если на участке балки , то поперечная сила изменяется по линейному закону, а изгибающий момент — по закону параболы (выпуклостью по направлению нагрузки q).
  3. Если на участке балки поперечная сила = 0 (ЕК), то изгибающий момент = const.
  4. Если на участке балки поперечная сила > 0 (AL), то изгибающий момент возрастает, и наоборот (LE).
  5. В сечении балки, где поперечная сила переходит через нуль (= 0), изгибающий момент имеет экстремальное значение (максимум или минимум) — сечение L.
  6. В сечении балки, где приложена сосредоточенная сила F (сечение В,Е), на эпюре имеется «скачок» на величину этой силы и в ее направлении, а на эпюре — излом.
  7. В сечении балки, где приложен сосредоточенный момент М (сечение E), на эпюре имеется «скачок» на величину этого момента, а на эпюре изменений нет.
  8. Поперечная сила в данном сечении балки может рассматриваться как тангенс угла наклона касательной к эпюре М в соответствующей этому сечению точке (точка N на рис. 5.5).

Из построенных эпюр поперечных сил и изгибающих моментов для расчета на прочность выбираются максимальные значения и ...

Пример задачи №5.1

Пример задачи 5.1 Для консольной балки построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 5.6).

Напряжения при изгибе. Условия прочности

К оглавлению…

Как было отмечено выше, в общем случае нагружения балки в ее поперечных сечениях возникают изгибающий момент и поперечная сила или в частном случае — только изгибающий момент (при чистом изгибе).

Принято считать, что при чистом изгибе поперечное сечение, плоское до деформации, остается плоским и после деформации (гипотеза плоских сечений). Предполагается, что продольные волокна балки не давят друг на друга, но каждое из них претерпевает простое растяжение или сжатие.

При изгибе продольные волокна балки принимают криволинейное очертание. При этом с выпуклой стороны они удлиняются (растягиваются), а с вогнутой — укорачиваются (сжимаются) (см. рис. 5.4). Существует промежуточный слой волокон, который не деформируется — это нейтральный слой. В поперечном сечении он проходит через центр тяжести сечения, совпадает с главной центральной осью и называется нейтральной осью (н.о.) или нулевой линией (н.л.). Нейтральная ось делит поперечное сечение балки на две части — растянутую и сжатую.

Поскольку волокна балки при чистом изгибе испытывают простое растяжение или сжатие, в них возникают нормальные напряжения , действующие перпендикулярно поперечному сечению (рис. 5.11, а).

Нормальные напряжения ст в любой точке поперечного сечения балки определяются по следующей формуле:

  • где — изгибающий момент в сечении балки;
  • — момент инерции сечения относительно нейтральной оси;
  • у — расстояние от рассматриваемой точки до нейтральной оси.

Напряжение ст зависит от величины у линейно, поэтому эпюра нормальных напряжений прямолинейна (рис. 5.11, в). Максимальные нормальные напряжения появляются в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси.

Знак нормальных напряжений устанавливается по смыслу: если точка расположена в растянутой зоне сечения и — если в сжатой. Характер деформации зоны сечения устанавливается по эпюре .

При поперечном изгибе характер деформации волокон балки несколько изменяется: отдельные волокна сдвигаются относительно друг друга, отчего поперечные сечения слегка искривляются, т. е. гипотеза плоских сечений нарушается.

Поскольку влияние указанных изменений на величину нормальных напряжений невелико, формула (5.1), полученная для случая чистого изгиба, используется и при поперечном изгибе.

Так как при поперечном изгибе волокна балки претерпевают сдвиг, в ее сечении возникают касательные напряжения х, которые лежат в плоскости сечения (рис. 5.12, а) и в любой его точке определяются по формуле Журавского:

  • где — поперечная сила в сечении балки;
  • — статический момент части площади сечения, расположенной выше или ниже рассматриваемого слоя, относительно нейтральной оси; равен произведению отсеченной площади на расстояние от центра тяжести этой площади до нейтральной оси;

— момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси; b — ширина сечения на уровне точки, в которой определяется напряжение.

Для произвольной точки К (рис. 5.12, б), расположенной на расстоянии от нейтральной оси, статический момент

Считается, что касательные напряжения распределяются по ширине сечения равномерно. По высоте сечения т изменяются по закону параболы (рис. 5.12, в). Наибольшее касательное напряжение появляется на нейтральной оси, проходящей через центр тяжести сечения. В крайних точках сечения = 0, так как для этих точек = 0.

Следует обратить внимание, что напряжение достигает максимума в тех точках сечения, где напряжение = 0, а напряжение достигает максимума в тех точках, где = 0. Поэтому материал балки в различных точках по высоте сечения находится в разных напряженных состояниях.

Рассмотрим тавровое поперечное сечение (рис. 5.13).

В крайних точках поперечного сечения= 0, . Материал балки здесь находится в условиях линейного напряженного состояния (рис. 5.13, г) и условие прочности имеет вид

На нейтральной оси поперечного сечения = 0, . Здесь материал испытывает чистый сдвиг (рис. 5.13, в), являющийся частным случаем плоского напряженного состояния, и условие прочности записывается в виде

Во всех остальных точках поперечного сечения изгибаемого стержня, где и имеет место общий случай плоского напряженного состояния (рис. 5.13, а, б) и проверку прочности следует вести по теориям прочности.

Для большинства случаев проверка прочности балок проводится отдельно по нормальным а и отдельно по касательным напряжениям.

Условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид

  • где — максимальный изгибающий момент в балке;
  • — момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси;
  • — ордината точки сечения, наиболее удаленной от нейтральной оси;
  • R — расчетное сопротивление материала балки растяжению (сжатию).

Для балок, поперечные сечения которых симметричны относительно нейтральной оси, условие прочности по нормальным напряжениям целесообразно использовать в виде


где — момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси.

Момент сопротивления сечения характеризует сопротивляемость балки изгибу и зависит только от формы и размеров поперечного сечения.

Для прямоугольного сечения

для круглого

Для прокатных профилей (двутавр, швеллер) значения приведены в таблицах сортамента.

Отклонение максимального нормального напряжения от расчетного сопротивления не должно превышать ±5 %. При подборе сечений балок из прокатных профилей допускаются и более значительные отклонения в сторону уменьшения .

Проверку прочности балок, изготовленных из хрупкого материала, ведут по растягивающим напряжениям, так как расчетное сопротивление растяжению меньше, чем сжатию . Однако следует проверять и сжимающие напряжения.

Условие прочности по касательным напряжениям имеет вид

  • где — максимальная поперечная сила в балке;
  • — статический момент относительно нейтральной оси части площади сечения, расположенной от нейтральной оси до края сечения;
  • — момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси;
  • b — ширина поперечного сечения балки у нейтрального слоя;
  • — расчетное сопротивление материала балки сдвигу.

В сопротивлении материалов принято, что касательные напряжения во всех точках прямоугольного поперечного сечения параллельны силе . В действительности для некоторых других форм сечений (круг, двутавр, швеллер) по контуру сечения и в крайних точках его направление несколько изменяется.

Поскольку максимальные касательные напряжения (по которым ведется проверка прочности) расположены на нейтральной оси, где параллельны Q, формула (5.5) применима практически для всех типов сечений.

Для отдельных форм сечения балок (двутавр, швеллер, тавр) и в отдельных случаях нагружения (короткая балка, большая нагрузка вблизи опор) возникает необходимость проверить прочность не в крайних точках сечения и не на нейтральной оси, а в некоторой промежуточной точке, например К, где одновременно действуют и нормальные и касательные напряжения (см. рис. 5.13), т. е. произвести полную проверку прочности.

По граням прямоугольного элемента, выделенного вокруг т. К, действует система напряжений: по поперечным сечениям и , по продольным — только т (по закону парности касательных напряжений) (см. рис. 5.13, а).

При некотором положении прямоугольного элемента (под углом к нейтральной оси) по его граням касательные напряжения станут равными нулю ( = 0), а нормальные достигнут экстремальных (максимальных или минимальных) значений (см. рис. 5.13, б), которые называются главными напряжениями и определяются по формуле

гдеи— напряжения в поперечном сечении, определяемые по формулам (5.1) и (5.2).

Положение главных площадок (направление главных напряжений) определяется по формуле

где угол отсчитывается от направления нейтральной оси. Положительные значения — против хода часовой стрелки.

По площадкам, образующим с главными площадками угол 45° (рис. 5.13, в)у действуют максимальные касательные напряжения

Для полной проверки прочности балки сначала по эпюрам и находится сечение, в котором оба их значения одновременно возможно большие. Это будет опасное сечение. Далее по высоте сечения выбирается точка, в которой одновременно значения и также возможно большие. Это будет опасная точка сечения. Для прямоугольного сечения эта точка не явна. Для сечений типа двутавр, швеллер, тавр опасная точка — точка соединения стенки с полкой.

Полная проверка прочности балки проводится по гипотезам прочности.

Для пластического материала, например, по четвертой (энергетической) теории, условие прочности имеет вид

  • где — приведенное напряжение;
  • , — напряжения в проверяемой точке сечения.

Рациональной формой сечения балки будет та, при которой обеспечена прочность при малом весе. В большинстве случаев потеря прочности связана с нормальными напряжениями. Из эпюры ст (см. рис. 5.12, 5.13) видно, что материал у нейтральной оси напряжен слабо. Поэтому часть материала можно «перенести» от нейтральной оси к краям сечения, где напряжения большие и где материал будет использоваться полнее. Чем дальше от нейтральной оси расположены частицы сечения, тем больше будет момент сопротивления .

Экономичность поперечного сечения балки можно оценить отношением : чем больше это отношение, тем экономичнее сечение.

Для пластичных материалов (сталь) рациональной является форма двутавра.

Для хрупких материалов (чугун), у которых сопротивление сжатию больше, чем растяжению, рациональным является такой тип сечения, у которого нейтральная ось сдвинута в сторону растянутых волокон. Это тавровое сечение.

Практика показала, что в большинстве случаев расчет балок на прочность ведется по нормальным напряжениям для крайних точек сечения по условию

По этому условию можно решить три типа задач:

  • проверить прочность при заданной форме и размерах сечения;
  • подобрать размеры поперечного сечения (через ) при принятой форме сечения;
  • определить наибольшую допустимую нагрузку (через ) при известной форме и размерах поперечного сечения.

Деформации при изгибе. Проверка на жесткость

К оглавлению…

Под действием нагрузки балка деформируется. Ось ее искривляется и при плоском изгибе представляет собой плавную плоскую кривую, называемую упругой линией (или осью изогнутой балки). При этом поперечные сечения балки претерпевают перемещения, преимущественно линейные (прогиб перпендикулярно оси балки) и угловые (угол поворота сечения относительно первоначального положения) (рис. 5.19). Перемещения вдоль оси Z незначительные и ими пренебрегают.

Для определения перемещений балки необходимо получить уравнения ее упругой линии: Такие уравнения в дифференциальной форме составлены для случая чистого изгиба . Поскольку влияние поперечной силы на величину перемещений незначительно, уравнения

считаются допустимыми и для случая поперечного изгиба, когда

Для определения перемещений (, ) в балке существует несколько методов.

  1. Метод непосредственного интегрирования дифференциального уравнения упругой линии. Метод применяется для простых балок с одним или двумя участками нагружения.
  2. Метод начальных параметров: используются универсальные уравнения упругой линии балки, пригодные для любых (по сложности нагрузок) балок и позволяющие определить перемещения в любых ее сечениях.
  3. Метод Мора с непосредственным интегрированием формулы перемещений, а также с использованием правила Верещагина для решения интеграла Мора. Метод универсален, применим как для прямых, так и ломаных стержней, как при изгибе, так и других деформациях. Целесообразен для определения перемещений в конкретном сечении.

В настоящее время для определения перемещений в балках наиболее часто используются универсальные уравнения упругой линии, а также формула Мора и правило Верещагина.

Проверка жесткости балки сводится к требованию, по которому наибольший прогиб не должен превышать определенной, установленной нормами проектирования, допустимой величины.

Обычно нормами задается допустимый относительный прогиб, т. е. максимальный прогиб, отнесенный к длине пролета (расстоянию между опорами).

В зависимости от назначения конструкции допустимый относительный прогиб в строительном проектировании колеблется в пределах


Условие жесткости при изгибе имеет вид

  • где — максимальный прогиб в пролете балки;
  • допустимый относительный прогиб.

Практически можно считать, что максимальный прогиб в пролетной части балки наблюдается посередине ее длины. Прогибы на консолях оговариваются отдельно.

Метод начальных параметров

К оглавлению…

За начало координатных осей выбирается крайнее левое сечение балки, а положительные направления их — вправо (Z) и вверх (Y) (рис. 5.20).

Универсальными уравнениями оси изогнутой балки (упругой линии) являются:

уравнение углов поворота сечений

уравнение прогибов

  • где E — модуль продольной упругости материала балки;
  • Jx — момент инерции сечения балки относительно нейтральной оси;
  • — угол поворота исследуемого сечения балки;
  • — угол поворота сечения в начале координатных осей (начальный параметр);
  • — прогиб в исследуемом сечении балки;
  • — прогиб балки в начале координатных осей (начальный параметр);
  • z — абсцисса исследуемого сечения;
  • — абсциссы точек приложения соответствующей внешней силы (М, F) и начала распределенной нагрузки q;
  • М, F, q — внешние силы (активные и реактивные).

При составлении уравнений упругой линии балки для конкретного сечения следует включать в них только те силовые факторы, которые расположены левее этого сечения, и назначить знаки слагаемых, принятые для изгибающих моментов (см. рис. 5.4).

Если распределенная нагрузка q не доходит до конца балки, то ее продлевают и прикладывают компенсирующую нагрузку (рис. 5.21, а).

Начальные параметры и определяются из условий закрепления опор балок: в защемлении = 0, = 0 (см. рис. 5.21, а), на шарнирной опоре (рис. 5.21, б).

Если начало отсчета координатных осей находится на свободном конце балки (рис. 5.21, в), начальные параметры и определяются из условий закрепления на опорах:

По вычисленным значениям и в характерных сечениях балки (обычно на границе расчетных участков) можно построить графики — эпюры углов поворота сечений и прогибов .

В сечениях балки, где = 0, на эпюре имеется перегиб, а сам прогиб достигает максимального значения (рис. 5.21, г).

При решении задач следует иметь в виду, что положительный прогиб направлен вверх (в сторону положительного направления оси Y), а положительный угол поворота сечения — против хода часовой стрелки (от первоначального положения сечения).

Пример задачи №5.11

Пример задачи 5.11 Для консольной балки определить углы поворота и прогибы сечений В и С (в долях от жесткости сечения балки — ), рис. 5.22.

Метод Мора и Верещагина

К оглавлению…

Формула (интеграл) Мора, позволяющая определить перемещения в любом отдельном сечении балки, имеет вид

  • где — перемещение (угловое, линейное) в исследуемом сечении;
  • — выражение изгибающих моментов от заданной нагрузки;
  • М — выражение изгибающих моментов от вспомогательной единичной силы;
  • — жесткость сечения балки.

На рис. 5.26, а показана заданная балка, у которой нужно определить угол поворота и прогиб концевого сечения.

На рис. 5.26, б, в показаны вспомогательные состояния той же балки.

При определении прогиба в искомом сечении прикладывается единичная сила F = 1, а при определении угла поворота — единичный момент М= 1.

Составляются выражения для и и по формуле (5.11) определяется искомое перемещение.

Если балка имеет сложную нагрузку и много участков нагруже-ния, непосредственное интегрирование выражений изгибающих моментов трудоемко.

Вместо непосредственного вычисления интеграла Мора можно воспользоваться способом Верещагина — это графоаналитический прием решения интеграла перемещений, основанный на перемножении эпюр.

По способу Верещагина перемещение (угол поворота сечения или прогиб) в любом сечении балки определяется по формуле

  • где , — площадь эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки (силовая площадь);
  • ; — ордината эпюры изгибающих моментов от единичной силы, лежащая против центра тяжести эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки.

Определяются (рис. 5.27) прогиб в сечении п и угол поворота в сечении т.

На рис. 5.27, а изображена эпюра изгибающих моментов от заданной нагрузки.

На рис. 5.27, б — единичная эпюра от вспомогательной единичной силы F = 1 (для определения прогиба ), а на рис. 5.27, в -единичная эпюра от вспомогательного единичного момента М = 1 (для определения угла поворота ).

Эпюра , которая может быть любой формы, в пределах расчетных участков разделяется на простые фигуры, площади и центры тяжести которых можно легко определить.

По формуле (5.12) прогиб в сечении п

угол поворота в сечении т

  • где — площади простых фигур на одной из эпюр изгибающих моментов;
  • у, у’ — ординаты под центром тяжести этих фигур на другой эпюре.

Эпюры изгибающих моментов от единичных сил всегда прямолинейны.

Если в пределах расчетного участка обе эпюры ( и ) прямолинейны, то можно брать площадь со любой из них. Если эпюра криволинейна, то площадь берется обязательно с этой эпюры.

Положительный результат перемножения эпюр означает, что направление перемещения (, ) совпадает с направлением единичной силы (или момента); если результат отрицательный — перемещение происходит в обратном направлении вектора единичной силы.

В табл. 5.1 приведены выражения для определения площадей некоторых простых фигур и положение их центра тяжести.

Параболические эпюры, приведенные в табл. 5.1, получены от действия только распределенной нагрузки q.

В тех случаях, когда в сложной эпюре криволинейные участки получены от одновременного действия q, F, М, их (участки) надо разделить на простые фигуры (см. примеры).

Пример задачи №5.15

Пример задачи 5.15 Определить угол поворота и прогиб сечения В консольной балки (в долях от жесткости сечения ), рис. 5.28.

Статически неопределимые балки

К оглавлению…

Статически неопределимыми называются балки, опорные реакции у которых невозможно определить при помощи одних лишь уравнений равновесия, так как они имеют «лишние» неизвестные реакции.

Степень статической неопределимости определяется разностью между числом неизвестных реакций и числом независимых уравнений равновесия.

Балки, изображенные на рис. 6.1, имеют четыре опорные связи, а следовательно и четыре опорные реакции. При трех возможных уравнениях равновесия они являются один раз статически неопределимыми (4 — 3 = 1).

Раскрытие статической неопределимости балки заключается в определении лишних неизвестных реакций путем составления дополнительных уравнений к имеющимся уравнениям равновесия. Дополнительных уравнений должно быть столько, сколько лишних неизвестных, т. е. сколько раз балка статически неопределима.

Существует несколько методов раскрытия статической неопределимости балок. Выбор метода связан со степенью статической неопределимости. Если «лишних» неизвестных немного (одна-две), дополнительные уравнения целесообразно составить, исходя из деформационных условий (прогибов) на опорах балки, используя метод начальных параметров.

У неразрезных балок степень статической неопределимости может быть высокой. В таких случаях дополнительные уравнения составляются исходя из деформационных условий (углов поворота сечений) на промежуточных опорах балки с использованием метода сил.

Из совместного решения уравнений равновесия и дополнительных уравнений определяются все опорные реакции балки.

Для расчета статически неопределимой балки выбирается так называемая основная система, которая получается из статически неопределимой балки путем удаления «лишних» связей. Основная система должна быть статически определимой, геометрически и кинематически неизменяемой.

В качестве «лишних» неизвестных могут быть выбраны внешние (реакции опор) или внутренние факторы (изгибающие моменты в каком-либо сечении балки).

Дополнительные уравнения составляются из условий совместности перемещений основной системы и заданной балки. Существует несколько способов составления этих уравнений. Наиболее общим и распространенным является метод сил.

В неразрезной балке (рис. 6.2, а) решение по методу сил получается наименее трудоемким, если основную систему выбрать путем установки шарнира на промежуточной опоре (рис. 6.2, б). Тогда неразрезная балка разделится на две статически определимые, а в качестве неизвестной принимается изгибающий момент на промежуточной опоре (обозначается буквой X).

Эквивалентная система получается путем загружения основной системы заданными внешними силами и неизвестными опорными моментами (рис. 6.2, в) и составлением условия совместности перемещения (основной системы и заданной балки).

Система канонических уравнений метода сил, полученная исходя из условий совместности перемещений основной системы и заданной балки, имеет вид

  • где — неизвестные изгибающие моменты на промежуточных опорах;
  • — коэффициенты — перемещения от единичных сил;
  • — свободные члены — перемещения от заданных внешних сил (F, q, М).

Первый индекс коэффициентов и свободных членов уравнений означает направление перемещения и одновременно номер промежуточной опоры, второй — причину, вызвавшую перемещение (номер единичной силы).

Физический смысл уравнений метода сил для неразрезных балок заключается в неразрывности упругой линии над промежуточными опорами, т. е. в совместности угловых перемещений сечений над опорами (рис. 6.2, и).

Для определения параметров канонических уравнений необходимо построить эпюры изгибающих моментов для однопролетных балок основной системы: сначала от заданной нагрузки (грузовые эпюры ), рис. 6.2, г, а затем от опорных моментов, принятых равными единице: X = 1 (единичные эпюры ), рис. 6.2, д.

Коэффициенты , и свободные члены , канонических уравнений определяются по способу Верещагина путем перемножения единичных и грузовых эпюр:

У одной из эпюр берется ее площадь , а у другой — ордината у, измеренная против центра тяжести первой (см. п. 5.3).

Перемножая единичные эпюры сами на себя, получают значения а между собой Исходя из теоремы о взаимности перемещений справедливы равенства Перемножив грузовые эпюры на единичные, получают значения свободных членов

Решив систему канонических уравнений, находят значения изгибающих моментов на промежуточных опорах неразрезной балки: Этим заканчивается раскрытие ее статической неопределимости.

Окончательные эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М строятся отдельно для каждого пролета балки, загруженного заданной нагрузкой и найденными опорными реакциями с учетом их знаков (рис. 6.2, е, ж).

Эпюра прогибов (см. рис. 6.2, и) строится по значениям прогибов, полученных любым из ранее названных способов.

Заметим, что на промежуточной опоре В угол поворота одинаковый как для левого примыкающего сечения, так и для правого, т. е. выполняется условие совместности перемещений, заложенное в канонические уравнения.

Расчет статически неопределимых балок на прочность и жесткость ведется так же, как и статически определимых.

Пример задачи №6.1

Пример задачи 6.1 Для балки (рис. 6.3, а) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и определить прогиб посередине пролета. Изобразить ось изогнутой балки.

Анализ напряженного состояния в точке

К оглавлению…

В разделе «Введение» было определено, что материал конструкции может находиться в линейном, плоском или объемном напряженном состоянии, в зависимости от того, испытывает ли выделенный вокруг точки элементарный параллелепипед растяжение или сжатие соответственно в одном, двух или трех взаимно перпендикулярных направлениях. В этом разделе рассматриваются линейное и плоское напряженные состояния. Объемное напряженное состояние рассматривается в курсе «Теория упругости».

Анализ напряженного состояния в точке деформированного тела сводится к определению напряжений в наклонных площадках при известных главных напряжениях (прямая задача) и определению главных напряжений по известным не главным напряжениям (обратная задача).

Значения главных напряжений используются при проверке прочности элементов конструкций по соответствующим теориям прочности.

Нормальные и касательные напряжения на площадках элемента определяются по формулам сопротивления материалов, а также методами теории упругости. Эти напряжения могут быть получены и опытным путем посредством электротензометрии.

Установим правило знаков для напряжений. Растягивающее нормальное напряжение будем считать положительным, сжимающее -отрицательным. Касательное напряжение будет положительным, если оно стремится повернуть бесконечно малый элемент конструкции по ходу часовой стрелки, и наоборот (рис. 7.1).

Линейное напряженное состояние

К оглавлению…

Этот вид напряженного состояния имеет место в материале элементов конструкций, подвергающихся растяжению-сжатию, в некоторых точках сечений изгибаемых элементов и других видах деформаций (сопротивлений).

При линейном (одноосном) напряженном состоянии по исходным граням элемента действуют только нормальные напряжения и только в одном направлении (по одной оси): — при растяжении (рис. 7.2, а) или — при сжатии (рис. 7.2, б). Касательные напряжения по этим граням отсутствуют.

В наклонных площадках (сечениях), образующих новый элемент внутри исходного, действуют как нормальные, так и касательные напряжения (рис. 7.3, а).

Угол , отсчитываемый от направления главного напряжения к нормали Р в наклонной площадке против хода часовой стрелки, считается положительным (рис. 7.3, б).

При решении прямой задачи, т. е. при определении нормальных и касательных напряжений в наклонных площадках, используются следующие формулы:


Здесь — нормальное напряжение в поперечном сечении стержня. Из формул (7.1) и (7.2) следует, что

Проведем анализ напряжений в элементе при линейном напряженном состоянии:

Очевидно, что максимальные нормальные напряжения появляются при = 0, т. е. в поперечном сечении стержня. Максимальные касательные напряжения появляются в наклонном под углом 45° сечении и равны половине нормального напряжения.

Пример задачи №7.1

Пример задачи 7.1 На элементарный параллелепипед, выделенный в окрестности некоторой точки деформированного стержня, действует нормальное напряжение (рис. 7.4).

Плоское напряженное состояние

К оглавлению…

Этот вид напряженного состояния имеет место в материале элементов конструкций, подвергающихся изгибу, в трубах с внутренним давлением, при изгибе с кручением и других видах деформаций (сопротивлений).

При плоском (двухосном) напряженном состоянии в элементе, выделенном в окрестности исследуемой точки, по двум взаимно перпендикулярным направлениям: и или и , или и (рис. 7.6), действуют два главных отличных от нуля напряжения

Решение прямой задачи — определение напряжений по наклонным площадкам при известных главных напряжениях, действующих по исходным граням (рис. 7.7), производится по формулам

Таким образом, , т. е. по двум взаимно перпендикулярным

площадкам всегда действуют равные по величине касательные напряжения, направленные так, что поворачивают элемент в противоположные направления — закон парности касательных напряжений. При любых значениях угла

Наибольшие нормальные напряжения в случае плоского напряженного состояния

а наибольшие касательные напряжения

Угол отсчитывается от большего главного напряжения против хода часовой стрелки при положительном его значении (см. рис. 7.3,б).

Для определения значений главных напряжений, максимальных касательных напряжений, а также положения главных площадок (обратная задача) используются формулы

при этом или (рис. 7.8).

Плоское напряженное состояние, при котором , называют чистым сдвигом. В этом случае по площадкам под углом нормальные напряжения равны нулю, а касательные равны главным (рис. 7.9).

Пример задачи №7.1.2

Пример задачи 7.1.2 По исходным граням параллелепипеда действуют нормальные напряжения, как показано на рис. 7.10, а. Определить значения напряжений по площадкам нового параллелепипеда, повернутого по отношению к исходному на угол по ходу часовой стрелки, а также максимальное касательное напряжение.

Сложное сопротивление

К оглавлению…

В рассмотренных выше деформациях, таких как, например, растяжение-сжатие, изгиб, кручение, внешние силовые факторы, действующие на брус, по отношению к его продольной оси Z направлены строго определенным образом:

при растяжении-сжатии — по его продольной оси (рис. 8.1, а); изгибе — перпендикулярно продольной оси, но в одной из главных плоскостей сечения (рис. 8.1, б);

кручении — вокруг продольной оси (рис. 8.1, в).

На практике часто имеют место случаи, когда внешние силы ориентированы по отношению к продольной оси Z бруса произвольно: параллельно продольной оси, но с эксцентриситетом b к ней (рис. 8.1, г), перпендикулярно продольной оси, но не в главной плоскости сечения (рис. 8.1, д), перпендикулярно продольной оси, но с эксцентриситетом а к ней (рис. 8.1, е). В таких случаях в поперечном сечении бруса возникает одновременно несколько внутренних силовых факторов и он находится в условиях сложного сопротивления (сложной деформации).

Вид сложного сопротивления в простых случаях загружения стержня легко установить по направлению внешних сил по отношению к его продольной оси. При сложной нагрузке вид сопротивления устанавливается после определения внутренних сил.

Для выявления внутренних сил все действующие на брус произвольно направленные внешние силы (рис. 8.2, а) должны быть разложены на составляющие по направлению координатных осей (рис. 8.2, б) и приведены к продольной оси Z по правилам механики (рис. 8.2, в). Заметим, что оси X и У являются главными центральными осями сечения бруса. В общем случае действия сил в сечении бруса образуются продольная сила N, изгибающие моменты и , крутящий момент и поперечная сила Q.

По сочетанию внутренних сил могут быть следующие виды сложного сопротивления: косой изгиб (, ), внецентренное растяжение-сжатие (,,), изгиб с кручением (,,) и др. Поперечная сила Q при расчете на прочность при сложном сопротивлении не играет существенной роли.

При расчетах сложного сопротивления используется принцип независимости действия сил. Это значит, что напряжения и перемещения от различных силовых воздействий суммируются: нормальные напряжения — алгебраически, а касательные напряжения и перемещения — геометрически.

Последовательность расчета элементов конструкций на прочность следующая: определяются опорные реакции, вычисляются значения внутренних сил, строятся их эпюры, выявляются опасное сечение и наиболее напряженная его точка, устанавливается вид напряженного состояния и с использованием теории прочности вычисляется значение наибольшего напряжения.

Перемещения в элементах конструкции при сложном сопротивлении определяются теми же методами, что и при простых сопротивлениях.

Условие прочности и жесткости при сложном сопротивлении составляется идентично простым видам сопротивлений: максимальные напряжения и перемещения не должны превышать допустимых значений.

Косой изгиб

К оглавлению…

Косой изгиб наблюдается в тех случаях, когда плоскость действия нагрузки, проходящая через продольную ось бруса, не совпадает ни с одной из главных плоскостей (рис. 8.3, б), или когда она действует одновременно в двух главных плоскостях (рис. 8.3, а).

В поперечном сечении бруса, подвергающегося косому изгибу, возникают, как и при плоском поперечном изгибе, поперечная сила Q и изгибающий момент М, но только не в одной, а в двух взаимно перпендикулярных главных плоскостях. Косой изгиб есть сочетание двух плоских изгибов.

Определение внутренних сил (изгибающих моментов), построение их эпюр и нахождение напряжений при косом изгибе ведутся по тем же правилам и формулам, что и при плоском изгибе.

Нормальные напряжения при косом изгибе в любой точке поперечного сечения определяются по формуле

  • где , — изгибающие моменты в главных плоскостях исследуемого сечения;
  • , — моменты инерции сечения относительно главных центральных осей;
  • х,у — координаты точки, в которой определяется напряжение.

Знаки напряжений устанавливаются в зависимости от расположения рассматриваемой точки в растянутой или сжатой зоне сечения. Характер деформации зоны устанавливается по направлению изгибающих моментов и в данном сечении.

На рис. 8.4, а показаны эпюры нормальных напряжений в двух главных плоскостях сечения и результирующая (эпюра ).

Заметим, что изгибающий момент растягивает часть сечения, расположенную выше оси X, а нижнюю часть сжимает (см. эпюру ). Изгибающий момент растягивает часть сечения, расположенную справа от оси У, а левую часть сжимает (см. эпюру ).

При сложной нагрузке характер деформации зоны сечения удобнее определять по эпюрам изгибающих моментов (см. примеры).

Нормальные напряжения при косом изгибе распределяются в поперечном сечении по линейному закону, но неравномерно (как и при плоском изгибе). Наибольшие напряжения возникают в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси (и.о.). На рис. 8.4, а это точка К.

При косом изгибе нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения и делит его на две зоны: растянутая и сжатая зона.

На нейтральной оси волокна не деформируются, а следовательно, нормальные напряжения в этой области равны нулю. Положение нейтральной оси определяется по формуле

где — угол наклона нейтральной оси к главной центральной оси X.

В приведенной формуле следует учитывать знаки изгибающих моментов. Положительное значение угла отсчитывается от оси X против хода часовой стрелки, отрицательное — по ходу.

Максимальные нормальные напряжения действуют по контуру сечения бруса, где касательные напряжения равны нулю. Следовательно, в названных точках имеет место линейное напряженное состояние и условие прочности используется в виде

В развернутом виде условие прочности при косом изгибе для любой формы сечения в наиболее напряженной (опасной) точке имеет вид

  • где , — координаты точки, наиболее удаленной от нейтральной оси;
  • R — расчетное сопротивление материала стержня.

Для бруса из хрупкого материала следует проверять прочность как по растягивающим, так и по сжимающим напряжениям.

При сложной нагрузке, когда изгибающие моменты изменяются по длине бруса по различным законам, в поисках опасного сечения приходится проверять несколько сечений, где оба изгибающих момента достигают возможно больших значений (см. примеры).

Для поперечных сечений, имеющих две оси симметрии и выступающие (незакругленные) углы (прямоугольник, двутавр, швеллер и подобные другие), условие прочности можно представить в виде

где , — моменты сопротивления сечения относительно главных центральных осей.

При подборе размеров сечения условие прочности целесообразно использовать в виде

где — приведенный (расчетный) момент;

к — коэффициент, равный отношению / .

Для прямоугольного сечения к = h/b, среднее значение для прокатного двутавра k = 8, для швеллера k=7.

Наибольшее значение расчетного момента определяется путем пробных вычислений в нескольких сечениях бруса.

Для бруса круглого поперечного сечения =. Поэтому косой изгиб сводится к плоскому и условие прочности принимает вид

где — суммарный изгибающий момент в опасном сечении бруса.

Рациональной формой поперечного сечения при косом изгибе является сечение, у которого выполняется условие

Для прямоугольного сечения минимальная площадь сечения получается при условии

Перемещения при косом изгибе определяются теми же методами, что и при плоском. Рекомендуется использовать уравнения метода начальных параметров, а также метод Мора и способ Верещагина.

Перемещения определяются отдельно в каждой из главных плоскостей (в горизонтальной и вертикальной ) от действующих в них внешних сил или их составляющих (см. рис. 8.4, б).

Полный (суммарный) прогиб определяется по выражению

и направлен перпендикулярно нейтральной оси и под углом Р к вертикальной оси сечения

При косом изгибе продольная ось бруса представляет собой плоскую или пространственную кривую.

Пример задачи №8.1

Пример задачи 8.1 Проверить прочность и жесткость стальной консольной балки составного поперечного сечения (рис. 8.5, а), если нагрузка F направлена под углом к вертикальной оси сечения.

Внецентренное растяжение-сжатие

К оглавлению…

Элемент конструкции (стержень) подвергается деформации вне-центренного растяжения-сжатия, когда внешняя сила действует параллельно его продольной оси с некоторым эксцентриситетом от центра тяжести сечения (рис. 8.8, а).

Расчетная схема стержня составляется путем переноса внешней силы F к центру тяжести сечения по правилам механики (рис. 8.8, б). При этом образуются продольная сила N = F и изгибающие моменты относительно главных центральных осей сечения

где и — координаты точки приложения силы F. Поперечная сила Q отсутствует.

Эпюры внутренних сил показаны на рис. 8.8, в. Следует заметить, что строить эпюры необязательно, так как все внутренние силы по длине стержня постоянны.

Таким образом, внецентренное растяжение-сжатие есть сочетание центрального растяжения-сжатия и чистого изгиба в главных плоскостях сечения стержня.

Для определения напряжений используются формулы, полученные для центрального растяжения-сжатия и чистого изгиба.

Продольная сила N и изгибающие моменты и связаны с нормальными напряжениями, которые в любой точке поперечного сечения внецентренно растянутого или сжатого стержня определяются по формуле

  • где , , — внутренние силовые факторы в сечении стержня;
  • А, , — геометрические характеристики сечения;
  • х, у — координаты точки сечения, в которой определяются напряжения.

Знаки напряжений устанавливаются в зависимости от того, расположена точка в растянутой или сжатой зоне сечения стержня. Характер деформации зоны сечения устанавливается исходя из направления действия внутренних силовых факторов (, , ) по отношению к этому сечению (см. примеры).

При внецентренном растяжении-сжатии нормальные напряжения распределяются в сечении по линейному закону, но не равномерно. Нейтральная ось (где ) не проходит через центр тяжести сечения. Она располагается в четверти сечения, противоположной точке приложения внешней силы F, и делит сечение на растянутую и сжатую зоны (рис. 8.9).

Положение нейтральной оси в сечении стержня определяется по формулам

  • где , — отрезки, отсекаемые нейтральной осью на главных центральных осях сечения;
  • , — координаты точки приложения внешней силы F в тех же осях

В выражениях (8.5) следует учитывать знаки координат точки приложения внешней силы F. Заметим, что координаты , и , всегда имеют разные знаки, так как полюс силы и нейтральная ось лежат по разные стороны от центра тяжести сечения (в противоположных четвертях).

Положение нейтральной оси зависит от размеров и формы сечения и координат полюса силы F, но не зависит от ее величины.

При внецентренном растяжении-сжатии в любой точке поперечного сечения стержня (кроме точек нейтральной оси) возникают лишь нормальные напряжения , а касательные отсутствуют. Это значит, что материал стержня находится в условиях линейного напряженного состояния и условие прочности используется в виде

В раскрытом виде это условие для любой формы сечения стержня принимает вид


где , — координаты опасной точки сечения, т. е. наиболее удаленной от нейтральной оси точки.

Опасные точки определяются при помощи касательных, проведенных к сечению параллельно нейтральной оси (нулевой линии) (на рис. 8.9 — точки К и Д).

Для пластичных материалов опасной является максимально удаленная от нейтральной оси точка сечения, где напряжения по абсолютному значению наибольшие. Для хрупких материалов проверка прочности должна производиться как по растягивающим, так и по сжимающим напряжениям.

Для стержней, имеющих сечение с двумя осями симметрии и выступающими углами (прямоугольник, двутавр и подобные), условие прочности можно представить в виде

где , — моменты сопротивления сечения изгибу относительно главных центральных осей.

Для названных выше типов сечений наиболее напряженными всегда являются угловые точки.

Подбор размеров сечения при внецентренном растяжении-сжатии не дает однозначного решения, так как геометрические параметры A, , взаимно связаны. Рекомендуется проведение ряда последовательных попыток.

Между полюсом внешней силы F и положением нейтральной оси существует определенная взаимосвязь — они расположены по разные стороны от центра тяжести поперечного сечения. При приближении силы F к центру тяжести сечения нейтральная ось удаляется от него, и наоборот. При некотором положении полюса силы F нейтральная ось будет касаться контура сечения. При этом по всему сечению напряжения будут иметь один и тот же знак.

Зона в сечении стержня, расположенная вокруг его центра тяжести, в пределах которой следует прикладывать нагрузку, чтобы по всему сечению напряжения имели один и тот же знак, называется ядром сечения (рис. 8.10).

Координаты ядра сечения , связаны с положением нейтральной оси, т. е. с ее координатами ,, и определяются по следующим формулам, полученным из (8.5):

Формулы (8.7) можно привести к другому виду, более удобному для многократных вычислений, используя такую геометрическую характеристику, как радиус инерции сечения:


Тогда формулы (8.7) примут вид

Для построения ядра сечения задаются рядом последовательных положений нейтральной оси, касающейся контура сечения (не пересекая его), вычисляются значения координат этих положений нейтральной оси, а затем координаты точек ядра сечения.

Форму и размеры ядра сечения важно знать при расчете внецентренно нагруженных элементов конструкции, выполненных из хрупкого материала.

Пример задачи №8.4

Пример задачи 8.4 Стальная полоса прямоугольного поперечного сечения, имеющая выточки (рис. 8.11, а)у нагружена растягивающими силами F = 20 кН по продольной оси Z.

Изгиб с кручением

К оглавлению…

Элемент конструкции (брус) подвергается деформации изгиба с кручением, когда внешние силы или их составляющие действуют перпендикулярно продольной оси Z в главных плоскостях сечения (т. е. создают изгиб), и пары сил, действующих в плоскости, перпендикулярной продольной оси, с моментом вокруг этой оси (т. е. создают кручение), рис. 8.14, а.

Деформации изгиба с кручением подвергаются в основном детали машин и валы различных механизмов, имеющие преимущественно круглое поперечное сечение, а также элементы пространственных систем.

В поперечном сечении вала при изгибе с кручением образуются следующие внутренние силовые факторы: крутящий момент Т, изгибающие моменты , (рис. 8.14, в) и поперечные силы ,.

Последние на прочность вала существенно не влияют (на рис. 8.14 не показаны).

Определение внутренних сил и построение их эпюр ведется по тем же правилам, что и при простых видах сопротивлений (рис. 8.14, б). По построенным эпюрам , Т устанавливается опасное сечение вала, т. е. сечение, где их сочетание наиболее неблагоприятное.

Изгибающие моменты связаны с нормальными напряжениями, которые в любой точке сечения определяются по формулам

а крутящие моменты — с касательными напряжениями:

Поскольку в поперечном сечении вала, подвергающегося изгибу с кручением, одновременно возникают нормальные и касательные напряжения, материал вала находится в условиях плоского напряженного состояния, поэтому проверка прочности производится по теориям прочности для точек, лежащих на контуре сечения, где имеется самое неблагоприятное сочетание и (см. рис. 8.14, в).

Условие прочности, выраженное через внутренние силовые факторы, для вала круглого поперечного сечения имеет вид

  • где — расчетное напряжение;
  • — приведенный момент в опасном сечении вала;
  • — осевой момент сопротивления сечения;
  • — допускаемое напряжение в материале вала, которое зависит от предела текучести и коэффициента запаса прочности К:

Для круглого сплошного сечения

для кольцевого сечения

По четвертой (энергетической) теории прочности приведенный момент

  • где , — изгибающие моменты;
  • Т — крутящий момент;
  • — суммарный изгибающий момент.

В поисках опасного сечения вала часто приходится просчитывать значение для нескольких по длине вала сечений, ориентируясь на эпюры внутренних сил.

Приведенное условие прочности применимо и для расчета валов кольцевого сечения.

Пример задачи №8.7

Пример задачи 8.7 Консольный стальной брус (рис. 8.15, а) круглого поперечного сечения диаметром d = 40 мм нагружен системой внешних сил. В опасном сечении бруса построить эпюры нормальных и касательных напряжений, отыскать его опасную точку. Проверить прочность стержня.

Общий случай сложного сопротивления

К оглавлению…

В общем случае сложного сопротивления (рис. 8.17, а) внешние силы действуют на элемент конструкции (брус) таким образом, что в его поперечном сечении возникает шесть внутренних силовых факторов: продольная сила N, изгибающие моменты, , крутящий момент Т и поперечные силы , (рис. 8.17, б). Поперечные силы на прочность бруса существенно не влияют, и их эпюры на рисунке не показаны.

Таким образом, общий случай сложного сопротивления элемента конструкции (стержня) есть сочетание нескольких простых сопротивлений: центрального растяжения-сжатия, плоского изгиба в одной или двух главных плоскостях сечения и кручения.

Продольная сила N и изгибающие моменты , связаны с нормальным напряжением , а крутящий момент Т — с касательным напряжением . Эпюры этих напряжений показаны на рис. 8.17, в.

В общем случае сложного сопротивления материал элемента конструкции находится в условиях сложного напряженного состояния, поэтому условие прочности составляется по теориям прочности для наиболее напряженной точки сечения.

Для элемента с круглым поперечным сечением наиболее напряженная (опасная) точка лежит на контуре сечения.

Для пластичных материалов наиболее приемлема четвертая (энергетическая) теория прочности, по которой условие прочности, выраженное через напряжения, имеет вид

  • где — расчетное напряжение;
  • — нормальное напряжение от растяжения-сжатия и изгиба;
  • — касательное напряжение от кручения;
  • R — расчетное сопротивление материала стержня;
  • — допустимое напряжение в материале стержня.

Заметим, что касательные напряжения от поперечной силы Q на контуре сечения, где расположена опасная точка, равны нулю.

Продольный и продольно-поперечный изгибы

К оглавлению…

В предыдущих главах пособия рассматривался расчет элементов конструкций, для которых основным являлся вопрос о прочности или жесткости. При этом напряжения и деформации линейно зависели от нагрузки, т. е. с ростом нагрузки они увеличивались постепенно, без резких скачков.

Однако встречаются случаи, когда при постепенном увеличении нагрузки резко изменяется форма равновесия элемента конструкции, вследствие чего может произойти его внезапное разрушение. В таких случаях наряду с проблемой прочности существует проблема устойчивости, т. е. сохранения под действием нагрузки первоначальной формы равновесия.

Несущая способность элемента конструкции может быть исчерпана потерей устойчивости задолго до потери прочности. При этом утрачивается первоначальная форма равновесия.

Искривление стержня, вызванное только продольными сжимающими силами, называется продольным изгибом.

Продольно-поперечный изгиб стержня происходит в случае действия как продольных сжимающих, так и поперечных изгибающих сил.

Продольный изгиб (устойчивость сжатых стержней)

К оглавлению…

В механике твердого тела различают три формы равновесия твердого тела: устойчивая, безразличная и неустойчивая. Эти формы равновесия присущи сжатым гибким (длинным, тонким) стержням (рис. 9.1).

При незначительной сжимающей силе F, меньшей некоторого критического значения первоначальная прямолинейная форма стержня является устойчивой (рис. 9.1, а).

При сжатый стержень находится в состоянии безразличного равновесия, когда возможны как первоначальная прямолинейная форма равновесия, так и несколько близких к ней криволинейных (рис. 9.1, б).

Если F > , первоначальная форма стержня становится неустойчивой, происходит интенсивное нарастание деформации изгиба (прогиб), рис. 9.1, в.

Устойчивость — способность стержня под действием сжимающей нагрузки находиться в состоянии упругого равновесия и сохранять первоначальную форму.

Критическая сила — осевая сжимающая сила, при которой стержень будет в состоянии безразличного равновесия (критическое состояние), а малейшее ее превышение приведет к интенсивному росту прогибов (к потере устойчивости).

Критическая нагрузка является опасной и считается разрушающей. Разрушение происходит внезапно.

Допустимая (безопасная) сжимающая нагрузка на стержень составляет некоторую часть критической:

  • где — допустимая нагрузка;
  • — критическая нагрузка;
  • — коэффициент запаса устойчивости.

Критическая нагрузка для сжатого прямолинейного стержня постоянного поперечного сечения определяется по формуле Эйлера:

  • где Е — модуль упругости материала стержня;
  • — минимальный момент инерции сечения относительно одной из главных центральных осей;
  • — коэффициент приведения действительной длины стержня к расчетной (зависит от способа закрепления концов стержня);
  • l— длина стержня.

Непосредственно формула Эйлера была получена для случая стержня с шарнирными опорами. Влияние других видов опор Ф. С. Ясинский предложил учитывать коэффициентом , значения которого приведены на рис. 9.2. Пунктиром показана ось стержня при потере устойчивости.

Если моменты инерции сечения относительно главных центральных осей не равны между собой, то продольный изгиб произойдет в плоскости наименьшей жесткости, т. е. стержень будет искривляться перпендикулярно оси, относительно которой момент инерции будет меньшим.

Напряжение, вызванное в стержне действием критической силы, также называется критическим и определяется исходя их формулы Эйлера:

где ——гибкость стержня;

минимальный радиус инерции сечения.

Гибкость стержня — геометрическая характеристика, зависящая от способа закрепления его концов, длины, формы и размеров сечения.

Формула Эйлера (9.3) применима при условии, что критическое напряжение не превышает предела пропорциональности материала:

т. е. при работе материала в упругой стадии. Обычно это условие выражается через гибкость стержня и записывается в виде

где — предельная гибкость, ниже которой формула Эйлера не применима. Предельная гибкость зависит от механических свойств материала. Для стали для древесины

В случаях когда потеря устойчивости происходит за пределами упругости материала и расчет на устойчивость ведется по формуле Ясинского:

где а и b — коэффициенты, полученные экспериментальным путем и зависящие от механических свойств материала.

Для стали а= 310 МПа, b = 1,14 МПа;

для древесины а = 28,7 МПа, b = 0,19 МПа.

Критическая нагрузка в этих случаях

Различают три категории гибкости стержня (для стали):

  1. Стержни большой гибкости расчет которых ведется на устойчивость по формуле Эйлера.
  2. Стержни средней гибкости расчет которых на устойчивость ведется по формуле Ясинского.
  3. Стержни малой гибкости рассчитываемые на прочность при сжатии (потеря устойчивости не происходит).

Условие прочности для стержня малой гибкости имеет вид

где — расчетное сопротивление материала на сжатие.

Стержни средней и большой гибкости рассчитываются на устойчивость по формуле

где — коэффициент запаса устойчивости.

Этот коэффициент кроме чистого изгиба учитывает еще ряд других факторов: возможный небольшой эксцентриситет нагрузки, небольшое начальное искривление стержня, неоднородность материала и др. Для данного материала коэффициент не является постоянной величиной, а зависит от гибкости стержня. Так, для металлов = 1,5-3; для древесины = 2,5-3,2.

Для удобства проведения расчета сжатых стержней строительных конструкций принят общий вид условия устойчивости

где — коэффициент уменьшения расчетного сопротивления материала стержня (коэффициент продольного изгиба), зависящий от материала, гибкости стержня, принятого коэффициента запаса устойчивости.

Значения коэффициента изменяются от 0 до 1 и для различных материалов в зависимости от значения гибкости приводятся в виде таблиц (табл. 9.1, 9.2) или графиков (рис. 9.3).

Таким образом, расчет на устойчивость сводится к недопущению потери первоначальной формы равновесия сжатого стержня. Достигается это уменьшением допустимых нормальных напряжений против расчетных значений , причем для каждого значения гибкости стержень будет иметь свое допускаемое напряжение.

Подбор сечения по формуле (9.8) затруднителен тем, что при неизвестной площади сечения А невозможно вычислить гибкость и получить значение . Поэтому рекомендуется предварительно задаться значением (для начала = 0,5 — середина интервала) и из (9.8) определить площадь сечения А, затем и .

Если выбранный и вычисленный коэффициенты близки — проверяют условие (9.8).

Значительное их различие требует продолжение расчета (см. примеры).

Расхождение между и не должно превышать 3-5 %.

Сечение стержня, «работающего» на устойчивость, будет рациональным, если минимальный момент инерции будет возможно большим при возможно меньшей площади сечения А. Этому требованию удовлетворяют трубчатые, коробчатые сечения, а также некоторые сечения, составленные из прокатных профилей (швеллеров, уголков).

Если у сечения главные моменты инерции равны — стержень будет равноустойчивым.

Пример задачи №9.1

Пример задачи 9.1 Стальная стойка квадратного поперечного сечения (а = 7 см) длиной l = 3м центрально нагружена сжимающей силой F(рис. 9.4, а). Нижний конец стойки защемлен, а верхний в направлении главной центральной оси Х — защемлен, в направлении оси Y — свободен. Определить наибольшее допустимое значение силы F, если R = 210 МПа, Е = 200 ГПа, а коэффициент запаса устойчивости

Продольно-поперечный изгиб

К оглавлению…

Изгиб прямого стержня называется продольно-поперечным, если к нему одновременно приложены продольная и поперечная нагрузки (рис. 9.8, а).

При расчете массивных элементов конструкций, обладающих большой жесткостью, можно использовать принцип независимости действия сил, суммируя отдельно напряжения от изгиба и от сжатия:

Для стержней, обладающих значительной гибкостью, принцип независимости действия сил неприменим. Необходимо рассматривать деформированную схему стержня (см. рис. 9.8, а), у которого — прогиб от поперечной нагрузки, a — дополнительный прогиб от продольной сжимающей силы F.

Задача определения полного прогиба и изгибающего момента М является довольно затруднительной (особенно при сложной нагрузке). В таких случаях используются приближенные, более простые, приемы расчета. Принимают, что прогибы и являются независимыми и что форма упругой линии балки близка к синусоиде.

Исходя их этих допущений получена формула для определения полного прогиба при продольно-поперечном изгибе:

  • где эйлерова сила;
  • J — момент инерции сечения балки, зависящий от ее положения по отношению к поперечной нагрузке.

Это может быть (рис. 9.8, б) или (рис. 9.8, в).

Если используется — эйлерова сила равна критической:

В поперечных сечениях стержня, подвергающегося продольно-поперечному изгибу, возникают изгибающие моменты как от поперечных нагрузок , определяемых обычным способом, так и дополнительные от продольной:

Полный изгибающий момент

В изгибаемых балках с шарнирными опорами максимальный изгибающий момент при симметричной нагрузке имеет место посередине пролета и вблизи середины — при несимметричной. В консольной балке наблюдается в защемлении. Максимальный изгибающий момент в балке

Проверка прочности при продольно-поперечном изгибе осуществляется по нормальным напряжениям, возникающим в крайних точках сечения с наибольшим изгибающим моментом, по формуле


Формулу (9.13) можно представить в развернутом виде:


Следует заметить, что нормальные напряжения нелинейно связаны с продольной силой F, и при приближении ее величины к эйлеровой силе напряжения будут стремительно возрастать, достигая опасных значений. Поэтому продольная сжимающая нагрузка должна быть в пределах

При большой продольно-сжимающей силе F необходима проверка стержня на устойчивость по условию (9.8) в направлении, свободном от поперечных нагрузок .

Пример задачи №9.8

Пример задачи 9.8 Деревянная консольная балка длиной l = 2 м прямоугольного поперечного сечения нагружена сосредоточенной силой F = 5 кН в точке К под углом к оси Z (рис. 9.12, а). Проверить прочность и устойчивость балки.

Расчеты при действии динамических нагрузок

К оглавлению…

В предыдущих разделах рассмотрены расчеты на статическую нагрузку, величина которой остается постоянной или изменяется во времени медленно, плавно, и ускорениями точек элемента конструкции можно пренебречь. Однако часто приходится сталкиваться с нагрузками, воздействующими на конструкцию с большими и неравномерными скоростями, а также нагрузками внезапного кратковременного действия. Такие нагрузки называются динамическими. При действии динамических нагрузок появляются большие инерционные силы, которые необходимо учитывать в расчетах.

Физические условия работы элемента конструкции при динамическом действии нагрузки являются более сложными, чем при статическом. Для выработки расчетных условий требуется привлечение более сложных математических методов. Многие факторы еще недостаточно изучены. Поэтому на практике пользуются упрощенными методами расчета, основанными на ряде допущений. В частности, допускается, что в пределах упругих деформаций при динамических нагрузках верен закон Гука, т. е. напряжения и деформации связаны линейной зависимостью

Установлено, что практически во всех случаях силы динамического воздействия пропорциональны статическим. Поэтому расчеты на прочность при динамических нагрузках выполняются по методам, разработанным для статических нагрузок, но с введением динамического коэффициента.

Различают следующие виды расчета на динамическую нагрузку:

  1. расчет на действие сил инерции;
  2. расчет на ударную нагрузку;
  3. расчет на колебательную (вибрационную) нагрузку.

Расчет на действие сил инерции

К оглавлению…

Инерционной нагрузке подвержены элементы подъемников, лифтов, транспортеров, деталей машин и механизмов, движение которых происходит с ускорением (рис. 10.1, а).

Согласно принципу Даламбера, всякое движущееся тело можно считать находящимся в состоянии мгновенного равновесия, если к действующим на него внешним силам добавить силу инерции, направив ее в сторону, противоположную ускорению (рис. 10.1, а, б).

Сила инерции Р численно равна произведению массы движущегося элемента т на ускорение движения а:

Р = та.

Для случая, показанного на рис. 10.1, б, на отсеченную часть стержня действуют собственный вес этой части

где q — вес погонного метра стержня (линейная плотность), и сила инерции

Р = та,

где т — масса части стержня.

В случае наличия груза Q (рис. 10.1, в) на рассматриваемую часть стержня действуют вес груза Q, собственный вес части стержня и сила инерции

Р = т’а,

где — масса груза и части стержня.

Напряжение в стержне, движущимся с ускорением:

  • где — динамическое напряжение;
  • — напряжение от статического действия собственного веса (груза);
  • — динамический коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличится статическое напряжение от воздействия сил инерции. Для случая на рис. 10.1, б

Для случая на рис. 10.1, в

Динамический коэффициент определяется по формуле

  • где а — ускорение движения;
  • g — ускорение силы тяжести (свободного падения).

Условие прочности при учете сил инерции имеет вид

При значительном весе груза Q и небольшой длине стержня (троса) собственным весом троса можно пренебречь.

Пример задачи №10.1

Пример задачи 10.1 Груз массой т = 1,5 т при помощи троса поднимается на высоту Н = 30 м (рис. 10.2). В первые три секунды подъема с постоянным ускорением груз проходит путь s = 22,5 м. Определить площадь сечения троса, если его расчетное сопротивление R = 190 МПа, модуль продольной упругости Е = 100 ГПа, объемная плотность

Расчет на ударную нагрузку

К оглавлению…

Ударной называется нагрузка, которая за короткий промежуток времени достигает значительной величины.

Поскольку продолжительность удара измеряется долями секунды, образующиеся большие ускорения приводят к большой инерционной силе, воздействующей на элемент конструкции, воспринимающий удар.

В зависимости от характера взаимодействия соударяющихся тел различают продольный (сжимающий или растягивающий), поперечный (изгибающий) и скручивающий удары. Во всех этих случаях степень воздействия ударной нагрузки зависит от массы и скоростей (в момент удара) обоих соударяющихся тел. Массой ударяемого элемента можно пренебречь, если она значительно меньше массы ударяющего тела.

В случае продольного удара (рис. 10.5) коэффициент динамичности определяется по формуле

  • где Н — высота падения груза;
  • — деформация стержня от статического действия ударяющей силы:
  • А — площадь поперечного сечения;
  • Е — модуль продольной упругости материала стержня.

В случае изгибающего удара (рис. 10.6) динамический коэффициент определяется по формуле

где H — высота падения груза;

— прогиб балки в ударяемом сечении от статического действия ударяющей силы.

Например, при ударе посередине длины балки прогиб

при ударе на конце консоли


Анализ формул для определения показывает, что при внезапном приложении нагрузки (Н = 0) коэффициент динамичности Если высота падения груза H значительно больше , то в формулах (10.2), (10.3) единицей под корнем можно пренебречь.

Если известна скорость падения груза V в начале удара, то коэффициент динамичности можно определить по формуле

где или в зависимости от вида удара (продольный или поперечный).

Условие прочности по методу предельных состояний при ударном действии нагрузки имеет вид

  • где — максимальное динамическое напряжение;
  • — максимальное статическое напряжение;
  • — динамический коэффициент, зависящий от вида динамического воздействия (10.2), (10.3).
  • Деформация элемента конструкции
  • где — деформация от динамического действия силы ;
  • — деформация от статического действия силы

В теории доказывается, что величина динамических напряжений зависит от объема подвергающегося удару элемента конструкции (стержня, балки, вала) и качества его материала.

Чем больше объем и чем меньше модуль упругости, тем меньше динамические напряжения в элементе конструкции.

Для снижения динамических напряжений нужно увеличить податливость (деформативность) элемента путем увеличения, например, его длины или замены на материал с более низким модулем упругости. Применимы и амортизирующие устройства (прокладки, пружины).

Изложенный выше способ расчета на действие ударной нагрузки не учитывает массу элемента конструкции, который подвергается удару. Вследствие этого формулы (10.2)—(10.6) дают несколько преувеличенное значение определяемых параметров, что идет в запас прочности и жесткости.

Приведем формулу для вычисления динамического коэффициента с учетом массы ударяемого элемента конструкции:

  • где — коэффициент приведения массы ударяемого элемента к месту удара;
  • — собственный вес ударяемого элемента;
  • Q — вес ударяющего груза.

Пример задачи №10.4

Пример задачи 10.4 На стальной стержень длиной l = 1 м квадратного поперечного сечения (а = 5 см), рис. 10.7, с высоты Н = 10 см падает груз массой т = 30,6 кг. Проверить прочность стержня без и с учетом его массы, если допускаемое напряжение из расчета на устойчивость составляет R = 74,1 МПа.

Расчет на колебательную (вибрационную) нагрузку

К оглавлению…

Всякий упругий элемент конструкции (балка, вал, пружина) определенной массы т под действием внезапно приложенной нагрузки Q способен около положения равновесия совершать собственные (свободные) непериодические колебания с частотой и, благодаря наличию внутренних упругих сил, постепенно затухающей амплитудой до восстановления равновесия (рис. 10.10)

Если на балку действует один груз Q и ее собственная масса т значительно меньше, чем масса груза, то такая балка обладает одной степенью свободы и перемещения всех ее точек в любой момент времени можно выразить через перемещение одной точки (под грузом). Балка, несущая п сосредоточенных грузов, имеет п степеней свободы.

По виду деформации элемента конструкции различают продольные (при растяжении-сжатии стержня, пружины), поперечные (при изгибе балки) и крутильные (при кручении вала) колебания.

Частота собственных колебаний для любого элемента конструкции с одной степенью свободы независимо от вида совершаемых колебаний — линейных (при растяжении-сжатии, изгибе), угловых (при кручении) — определяется по формуле

  • где — частота собственных колебаний;
  • — статическое перемещение под действием веса колеблящегося груза;
  • g — ускорение силы тяжести.

Для консольной балки с грузом на ее конце

Для двухопорной балки с грузом посредине пролета

При определении частоты собственных колебаний силами сопротивления в опорах конструкции, а часто и ее собственным весом, пренебрегают.

Если на элемент конструкции кроме постоянного груза Q будет действовать периодически изменяющаяся возмущающая сила с амплитудой Р и частотой , то этот элемент станет совершать вынужденные колебания с частотой возмущающей силы (рис. 10.11).

Возмущающую силу (вибрацию) создают механизмы с вращающимися, не вполне уравновешенными частями за счет возникающей центробежной силы инерции (электродвигатели, лебедки, валы механизмов).

В отличие от собственных колебаний, которые быстро затухают, вынужденные остаются постоянными, так как энергия со стороны возмущающей силы подводится непрерывно.

Расчет ведется по вертикальной амплитуде центробежной силы Р,совпадающей с направлением постоянного груза Q.

От соотношения частот вынужденных и собственных колебаний зависит степень силового воздействия на элемент конструкции, которая оценивается динамическим коэффициентом

  • где — частота вынужденных колебаний;
  • — частота собственных колебаний.

Из формулы (10.9) следует, что если частота вынужденных колебаний приближается к частоте собственных колебаний , то динамический коэффициент, а следовательно, деформации и напряжения в элементе конструкции неограниченно возрастают.

Если , коэффициент возрастает до бесконечности — наступает явление резонанса, представляющего собой опасность для элемента конструкции. Соответствующая частота возмущающей силы называется критической. Нецелесообразно допускать эксплуатацию конструкции в зоне резонанса, так как обеспечение прочности потребует значительного расхода материала. Частота собственных колебаний должна быть примерно на 30 % больше частоты вынужденных.

Деформации и напряжения в элементе конструкции от возмущающей силы Р определяются с использованием динамического коэффициента:

Суммарные деформации и напряжения слагаются из статических и динамических:

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Пример задачи №10.7

Пример задачи 10.7 Электродвигатель весом Q = 1,5 кН установлен на консольных деревянных балках прямоугольного поперечного сечения при соотношении сторон h / b= 1,5 (рис. 10.12, а).

Возможно вам будут полезны эти страницы: