Примеры решения задач по начертательной геометрии

Оглавление:

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Здравствуйте на этой странице я собрала примеры решения задач по предмету начертательная геометрия с решением по каждой теме, чтобы вы смогли освежить знания!

Начертательная геометрия

Начертательная геометрия служит теоретической основой построения технических чертежей в виде графических моделей конкретных объектов машиностроения. Инженерная графика вырабатывает у студентов умение и навыки понимания по чертежу конструкции изделия и принципа действия изображенного технического объекта.

Начертательная геометрия включена в число обязательных дисциплин ведущих технических вузов мира. И связано это, прежде всего, с тем, что она как никакая другая дисциплина развивает логическое конструктивно-геометрическое мышление, пространственное представление и воображение, а также способность к анализу и синтезу пространственных форм.

Задача начертательной геометрии – изучение визуально-образного геометрического языка и технологии его реализации. Она является уникальным техническим языком, информативность которого настолько велика, что заменить его другим практически невозможно. Роль ее в подготовке специалистов и решении прикладных задач возрастает в связи с необходимостью повышения эффективности труда конструктора.

Проецирование геометрических фигур. Параллельное проецирование

Любую геометрическую фигуру рассматривают как множество всех при надлежащих ей точек. Чтобы получить параллельную проекцию фигуры на плоскости (плоскости проекций), необходимо через каждую точку фигуры пронести проецирующие лучи параллельно заранее вы бранному направлению до пересечения с Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 1).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Основные свойства параллельного проецирования.

  1. Проекция точки есть точка.
  2. Проекции прямой есть прямая или точка (Примеры решения задач по начертательной геометрии — точка).
  3. Примеры решения задач по начертательной геометрии
  4. Примеры решения задач по начертательной геометрии
  5. Примеры решения задач по начертательной геометрии
  6. Примеры решения задач по начертательной геометрии

Самоконтроль I. На рис. 2 показано проецирование Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии на плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии но направлению Примеры решения задач по начертательной геометрии. Какой из треугольников расположен в плоскости, параллельной Примеры решения задач по начертательной геометрии?

Примеры решения задач по начертательной геометрии

1 a . Треугольник Примеры решения задач по начертательной геометрии (с. 55).

2 б. Треугольник Примеры решения задач по начертательной геометрии (с. 56).

Таким образом, Вы отметили еще два свойства параллельного проецировання:

  1. Если фигура расположена в плоскости, параллельной плоскости проекций, то она проецируется на эту плоскость в натуральную величину,
  2. Фигура, принадлежащая проецирующей плоскости, проецируется в отрезок прямой, совпадающей с проекцией плоскости (проецирующая прямая вырождается в точку).

Если направление проецирования Примеры решения задач по начертательной геометрии, получают ортогональные (прямоугольные) параллельные проекции, которыми чаще всею пользуются на практике.

Проекции точки

Проекцией точки называется точка пересечения проецирующего луча, проходящего через точку, с плоскостью проекций.

Одна проекций точки не определяет положение точки в пространстве. Для получения обратимого чертежа ортогональное проецирование осуществляется на две (и более) перпендикулярные плоскости проекций (рис. 3)t которые затем совмещают в одну (метод Монжа). Получается плоское изображение, которое является носителем двух плоскостей. Это изображение называют эпюром или комплексным чертежом.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Примеры решения задач по начертательной геометрии — горизонтальная плоскость проекций, Примеры решения задач по начертательной геометрии — фронтальная плоскость проекций, Примеры решения задач по начертательной геометрии — ось проекций.

На эпюре горизонтальная и фронтальная проекции точки связаны вертикальной линией связи, т.е Примеры решения задач по начертательной геометрии

Положение точки в пространстве определяется ее расстоянием до плоскостей проекций. При этом Примеры решения задач по начертательной геометрии покрывает расстояние до Примеры решения задач по начертательной геометрии — показывает расстояние до Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Самоконтроль 2. Какая из заданных точек (рис. 4) принадлежит плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии?

2а. Точка Примеры решения задач по начертательной геометрии (с. 55) 26. Точка Примеры решения задач по начертательной геометрии (с. 56).

Характерным признаком эпюра точки, принадлежащей плоскости проекций, является то, что одна проекция точки принадлежит оси проекции.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

На рис. 5 показано получение трех картинного чертежа точки Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Примеры решения задач по начертательной геометрии — профильная плоскость проекций.

Является очевидным, что Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Определитель точки в пространстве — три координаты точки, т.е. расстояние от точки до трех координатных плоскостей Принимается, что плоскости проекций совмещены с координатными плоскостями.

Условная запись определителя точки: Примеры решения задач по начертательной геометрии. Положение проекции точки определяют две координаты: Примеры решения задач по начертательной геометрии Определителем точки на эпюре является совокупность двух проекций точки: Примеры решения задач по начертательной геометрии. Координаты точки устанавливаются измерением (рис. 6).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Пример задачи №1.

Построить три проекции точки Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Решение:

  1. Координатные плоскости принимаем за плоскости проекций и строим на чертеже оси проекций (рис. 7), отмстив на них масштабные единицы.
  2. Последовательно откладываем на соответствующих осях заданные значения Примеры решения задач по начертательной геометрии
  3. Из полученных точек Примеры решения задач по начертательной геометрии проводим прямые, параллельные соотвстствуюхцнм осям, и получаем проекции Примеры решения задач по начертательной геометрии (см. рис. 7).

Проекции прямой

Определитель прямой: две точки. Условная запись: Примеры решения задач по начертательной геометрии. На чертеже прямую определяют двумя проекциями (рис. 8). Примеры решения задач по начертательной геометрии или Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Условие принадлежности точки прямой: точка принадлежа прямой, если проекции точки принадлежат одноименным проекциям прямой, (см. точку Примеры решения задач по начертательной геометрии на прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии — рис. 8),

След прямой — точка пересечения прямой с плоскостью проекций (рис. 9). Примеры решения задач по начертательной геометрии — горизонтальный след прямой, Примеры решения задач по начертательной геометрии — фронтальный след прямой,

Заметим, что так как Примеры решения задач по начертательной геометрии. Прямую, которая не параллельна ни одной из плоскостей проекций, называют прямой общего положения. Проекции прямой общего положения всегда наклонены к осям проекций (см. рис. 8, 9).

Примеры решения задач по начертательной геометрии
Примеры решения задач по начертательной геометрии
  • Прямые частного положения делятся на прямые уровня и проецирующие прямые.

Прямые уровня — прямые, параллельные одной плоскости проекций (рис. 10).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Таким образом, направление одной проекции прямой уровня постоянно — параллельно направлению оси проекций. Вторая проекция наклонена к оси под углом.

Проецирующие прямые — прямые, перпендикулярные плоскости проекций (рис. 11).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Таким образом, одна проекция проецирующей прямой — точка, вторая проекция направлена параллельно линиям ивязи.

Самоконтроль 3. На рис 12 изображен отрезок профильной прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии. Можно ли построить горизонтальную проекцию точки Примеры решения задач по начертательной геометрии, которая принадлежит отрезку, не построив профильную проекцию отрезка?

Примеры решения задач по начертательной геометрии

За. Можно (с. 55) 36. Нельзя (с, ,56)

Пример задачи №2.

Достроить фронтальную проекцию отрезка горизонтальной прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 13а).

Решение:

Так как отрезок Примеры решения задач по начертательной геометрии параллелен горизонтальной плоскости, то фронтальная проекция его должна быть параллельна направлению оси Примеры решения задач по начертательной геометрии. Положение фронтальной проекции точки Примеры решения задач по начертательной геометрии определяем в пересечении линии связи, проведенной с Примеры решения задач по начертательной геометрии вертикально (рис 136), и направления фронтальной проекции прямой.

Пример задачи №3.

Построить проекции фронтально проецирующего отрезка Примеры решения задач по начертательной геометрии, длина которого 20 мм (рис. 14а).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

У фронтально проецирующей прямой фронтальная проекция вырожденная — точка, а горизонтальная проекции расположена вертикально,

На горизонтальную плоскость проекций отрезок проецируется без искажения.

Выполненные построения ясны на чертеже (рис. 146).

Взаимное расположение прямых. Прямые параллельны, если одноименные проекции двух прямых параллельны.

Прямые пересекаются, если точки пересечения одноименных проекций двух прямых лежат на одной линии связи.

Если на чертеже отсутствуют признаки параллельности и пересечения, то заданы скрещивающиеся прямые.

Самоконтроль 4. На каком рисунке изображены скрещивающиеся прямые?

4а. На рис. 15а (с. 55)

4б. На рис, 156 (с. 56)

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Теорема о проецировании прямого угла. Если одна сторона прямого угла параллельна, а другая сторона не перпендикулярна плоскости проекций, то прямой угол на эту плоскость проецируется в натуральную величину.

Пример задачи №4.

Через точку Примеры решения задач по начертательной геометрии провести прямую а, пересекающую прямую Примеры решения задач по начертательной геометрии под прямым углом (рис. 16а),

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

  1. Так как прямая Примеры решения задач по начертательной геометрии параллельна Примеры решения задач по начертательной геометрии, то на фронтальной проекции величина прямого угла сохранится.
  2. Построение начинаем с фронтальной проекции, проведя Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 16 6),
  3. Отмечаем фронтальную проекцию точки пересечения прямых — Примеры решения задач по начертательной геометрии.
  4. Строим горизонтальную проекцию точки Примеры решения задач по начертательной геометрии.
  5. Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Пример задачи №5.

Через точку Примеры решения задач по начертательной геометрии провести горизонтальную прямую, пересекающую отрезок Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 17а),

Решение:

  1. Так как искомая прямая является горизонтальной, то фронтальная проекция ее должна быть направлена параллельно направлению оси Примеры решения задач по начертательной геометрии. Проводим Примеры решения задач по начертательной геометрии.
  2. Отмечаем фронтальную проекцию точки пересечения прямых: Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 176).
  3. Строим горизонтальную проекцию Примеры решения задач по начертательной геометрии, учитывая сохранение пропорционального деления отрезка на проекциях.
  4. Примеры решения задач по начертательной геометрии.
Примеры решения задач по начертательной геометрии

Проекции плоскости

Задание плоскости. Плоскость на чертеже задается проекциями ее элементов, которые определяют положении ее в пространстве, а именно; проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой; проекциями параллельных прямых; проекциями пересекающихся прямых; проекциями прямой и точки вне этой прямой, проекциями плоской фигуры; следами.

По отношению к плоскостям проекций плоскости разделяются на плоскости общего и плоскости частного положения. Плоскости частного положения могут быть перпендикулярными к одной из плоскостей (проецирующие) иди к двум плоскостям одновременно {плоскости уровня).

Опознавательным признаком плоскости частного положения является наличие вырожденной проекции (проекции-линии) плоскости на эпюре. Точка и прямая в плоскости. Точка принадлежит плоскости, если она находится на примой, лежащей в данной плоскости.

Прямая лежит в плоскости, если она пересекается с прямыми, задаюшими эту плоскость, или пересекается с одной из них и параллельна другой.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Признаком принадлежности точки и прямой к плоскости частного положения является совмещение на эпюре их проекций с одноименными вырожденными проекциями данной плоскости.

Самоконтроль 6. На каком рисунке прямая Примеры решения задач по начертательной геометрии принадлежит плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии? 6 а. На рис. 19 а (с. 55) б б. На рис. 19 6 (с. 56).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Пример задачи №6.

Построить горизонтальную проекцию прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии, лежащей в плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 20 а).

Решение:

  1. Прямые одной плоскости либо пересекаются, либо параллельны. Так как фронтальная проекция прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии пересекает фронтальные проекции прямых Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии, то эти прямые в пространстве пересекаются.
  2. Отмечаем фронтальные проекции точек пересечения прямых Примеры решения задач по начертательной геометрии
  3. Строим горизонтальные проекции точек Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии, учитывая что Примеры решения задач по начертательной геометрии.
  4. Примеры решения задач по начертательной геометрии (см. рис. 20 б).
Примеры решения задач по начертательной геометрии

Пример задачи №7.

Построить фронтальную проекцию прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии, принадлежащей плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис 21 а).

Решение:

Так как фронтальные проекции прямых Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии совпадают, то заданная плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии является фронтально проецирующей плоскостью. В этом случае фронтальная проекция плоскости, Примеры решения задач по начертательной геометрии (вырожденная проекция) обладает собирательным свойством и поэтому Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 216).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Следует отметить, что для плоскости общего положения на эпюре произвольно можно задавать только одну проекцию любой прямой, принадлежащей плоскости. Вторую проекцию этой прямой необходимо строить, учитывая, что прямые одной плоскости либо пересекаются, либо параллельны.

Для проецирующей плоскости достаточно совпадения соответствующей проекции прямой с вырожденной проекцией плоскости, чтобы эта прямая принадлежала плоскости.

Пример задачи №8.

Построить фронтальную проекцию точки Примеры решения задач по начертательной геометрии, принадлежащей плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 22 а).

Решение:

1. Известно, что точка принадлежит плоскости, если она находится на какой-либо прямой, лежащей в данной плоскости. Поэтому через Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 226) проводим горизонтальную проекцию вспомогательной прямой» лежащей в данной плоскости.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Главные линии плоскости. К главным линиям плоскости относятся:

  1. Линии уровня плоскости, т.е. прямые плоскости, параллельные плоскостям проекций

Примеры решения задач по начертательной геометрии — горизонталь плоскости; Примеры решения задач по начертательной геометрии — фронталь плоскости.

  1. Линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций. Такие прямые принадлежат плоскости и перпендикулярны к линиям уровня плоскости.

Для построения горизонтали Примеры решения задач по начертательной геометрии плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии(рис. 23) необходимо;

Примеры решения задач по начертательной геометрии

На рис. 23 построены проекции линии наибольшего наклона плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии к плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии т.к. Примеры решения задач по начертательной геометрии (согласно теореме о проекциях прямого угла) Линию наибольшего наклона плоскости к плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии называют линией ската.

Аналогично на рис. 24 построены проекции фронтали Примеры решения задач по начертательной геометрии и линии наибольшего наклона плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии к плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Самоконтроль 7. Можно ли считать заданной плоскость, если на эпюре задана линия ската плоскости?

7 а. Можно (с. 55)

7 б. Нельзя (с. 56)

Пример задачи №9.

Построить проекции отрезка Примеры решения задач по начертательной геометрии, принадлежащею плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии, зная что Примеры решения задач по начертательной геометрии и величина отрезка Примеры решения задач по начертательной геометрии равна 30 мм (рис. 25).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

Отрезок Примеры решения задач по начертательной геометрии принадлежит горизонтали плоскости, проходящей через Примеры решения задач по начертательной геометрии. Строим проекции этой горизонтали (рис. 25 а). На горизонтальной проекции горизонтали находим горизонтальную проекцию точки Примеры решения задач по начертательной геометрии, учитывая что Примеры решения задач по начертательной геометрии. Находим фронтальную проекцию точки Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 25 б).

Параллельность прямой и плоскости двух плоскостей. Признаком параллельности плоскости и прямой является-параллельность прямой некоторой прямой плоскости.

  • Признаком параллельности прямой и плоскости частного положения является параллельность вырожденной проекции плоскости соответствующей проекции прямой.

Признаком параллельности двух плоскостей является параллельность двух пересекающихся прямых одной плоскости, соответственно, двум пересекающимся прямым второй плоскости. Признаком параллельности плоскостей частного положения является взаимная параллельность одноименных вырожденных проекций. У параллельных плоскостей одноименные линии уровня взаимно параллельны.

Пример задачи №10.

Построить горизонтальную проекцию прямой Примеры решения задач по начертательной геометриипроходящей через точку Примеры решения задач по начертательной геометрии и параллельной плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 26 а).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

(Рис. 26 6).

  1. В плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии проводим фронтальную проекцию Примеры решения задач по начертательной геометрии, прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии параллельной прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии.
  2. Строим горизонтальную проекцию Примеры решения задач по начертательной геометрии, учитывая принадлежность прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии.
  3. Строим Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Перпендикулярность прямой и плоскости, двyx плоскостей. Прямая, перпендикулярная плоскости, изображается на фронтальной проекции перпендикулярной к фронтали плоскости, на горизонтальной — к горизонтали плоскости.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Пример задачи №11.

Опустить перпендикуляр из точки Примеры решения задач по начертательной геометрии на плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 27 а).

Решение:

(рис. 27 б).

  1. Проводим произвольные горизонталь и фронталь данной плоскости (рис. 27 б).
  2. Затем проводим проекции перпендикуляра rti эАг А п2-L/2;
Примеры решения задач по начертательной геометрии

Пример задачи №12.

Через прямую Примеры решения задач по начертательной геометрии провести плоскость, перпендикулярную к плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 24 а).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

(рис. 28 б).

  1. Строим произвольные горизонталь и фронталь плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии.
  2. Выбираем на прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии произвольную точку Примеры решения задач по начертательной геометрии.
  3. Из точки Примеры решения задач по начертательной геометрии опускаем перпендикуляр Примеры решения задач по начертательной геометрии на плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии. Это перпендикуляр совместно с прямой Примеры решения задач по начертательной геометрииопределяют искомую плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Поверхность: общие сведения

Поверхность — это совокупность последовательных положений непрерывно перемещающейся в пространстве линии в пространстве линии.

Перемещающуюся в пространстве линию называют образующей. Она может быть прямой, кривой, постоянной или переменной. Образующей может быть также поверхность (рис. 29).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Закон перемещения может быть оговорен словесно (вращательное, поступательное, винтовое) и задан направляющей, т.е, неподвижной линией, по которой скользит перемещающаяся образующая.

Поверхность, которая может быть получена перемещением прямой линии, называют линейчатой (рис. 29 а).

Поверхность, образующей которой может быть только кривая, называют кривой (рис. 29 6).

По признаку перемещения образующей поверхности делят на поверхности вращения, поверхности переноса, винтовые поверхности.

Поверхности делят также на развертываемые и нераввертываемые.

Задание поверхности на чертеже. Поверхность считается заданной, если в отношении любой точки пространства на чертеже однозначно решается вопрос о принадлежности ее данной поверхности.

Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии поверхности!.

Поверхность на чертеже может быть задана ее определителем, очерком, каркасом.

Определитель поверхности — это совокупность условий, однозначно определяющих данную поверхность. Определитель поверхности состоит из двух частей: геометричесхой, задающей форму образующей и направляющей, и алгоритмической, определяющей условия перемещения или же изменения образующей.

На рис. 30 задана поверхность конуса. Ее определителем является направляющая Примеры решения задач по начертательной геометрии и образующая Примеры решения задач по начертательной геометрии, пересекающая кривую Примеры решения задач по начертательной геометрии и проходящая через неподвижную точку Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Точка Примеры решения задач по начертательной геометрии принадлежит данной поверхности, так как она принадлежит линии Примеры решения задач по начертательной геометрии этой поверхности.

Очерк поверхности — это линия пересечения плоскости проекций с проецирующей на данную плоскость проекций цилиндрической поверхностью, огибающей заданную поверхность (рис. 31).

Линию касания огибающей проецирующей поверхности с данной поверхностью называют линией контура.

Проекцию линии контура на плоскость, перпендикулярную данной плоскости проекций, называют линией видимости.

Линия контура, так же как и линия видимости, делит поверхность на ее видимую и невидимую части в проекции на данную плоскость,

Каркас поверхности — это совокупность линий, принадлежащих поверхности (рис. 32).

Примеры решения задач по начертательной геометрии
Примеры решения задач по начертательной геометрии

Линейчатые поверхности — что те, у которых образующей может быть прямая, линия (рис. 33).

К ним относят торсы, и как частный случай цилиндрические, конические, призматические и пирамидальные поверхности. Эти поверхности развертываемые.

Неразвертываемые линейчатые поверхности это поверхности с плоскостью параллелизма — цилиндроид, коноид, гиперболический параболоид (косая плоскость).

Поверхностью вращения называют поверхность, образованную вращением некоторой линии (кривой или примой) вокруг неподвижной прямой, называемой осью поверхности (рис. 34).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Окружности, принадлежащие поверхности вращения и лежащие в плоскостих, перпендикулярных оси поверхности, называют параллелями поверхности. Параллель наименьшего радиуса — щрло, наибольшего -экватор.

Любая плоскость, проходящая через ось поверхности вращения, выделяет на поверхности кривую, называемую меридианом поверхности.

Меридианы, проекции которых дают очерки поверхности, называют главными.

Известно, что точка, например, точка Примеры решения задач по начертательной геометрии на рис. 33, 34, принадлежит поверхности, если она принадлежит линии поверхности. В качестве линии на поверхности выбирают графически простые линии — прямые или окружности. Для линейчатых поверхностей — это будут образующие -прямые линии» для поверхностей вращения — параллели — окружности.

На рис. 35, 36 показано решение задач на построение ортогональных проекций точки Примеры решения задач по начертательной геометрии, принадлежащей поверхности.

Примеры решения задач по начертательной геометрии
Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

Решение задачи на построение точки, принадлежащей поверхности, проводится в следующей последовательности:

1) одну проекцию точки задаем произвольно в пределах очерка поверхности,

2) через заданную проекцию точки проводим одноименную проекцию вспомогательной линии поверхности;

3) находим другую проекцию проведенной линии исходя из принадлежности ее данной поверхности,

4) на найденной проекции вспомогательной линии отмечаем искомую проекцию точки.

На рис. 35 а, б, в проекции точки Примеры решения задач по начертательной геометрии построены на поверхности наклонной призмы, наклонного конуса, коноида с помощью прямолинейной образующей Примеры решения задач по начертательной геометрии, проходящей через точку, Примеры решения задач по начертательной геометрии.

На рис. 36 а,б,в проекции точки Примеры решения задач по начертательной геометрии, принадлежащей соответственно поверхности вращения общего вида, сфере, тору, построены с помощью вспомогательной окружности-параллели, проходящей через эту точку.

Проекции точки Примеры решения задач по начертательной геометрии, принадлежащей поверхности кругового конуса, могут быть построены как с помощью окружности-параллели, так и с помощью прямолинейной образующей (рис. 36 г,д).

Поверхность может занимать относительно данных плоскостей проекций проецирующее положение (рис. 36 е.ж).

Поверхность является проецирующей относительно той плоскости проекций, которой ее образующие перпендикулярны. Проецирующей может быть только поверхность цилиндра, призмы.

Построение проекций точки, принадлежащей проецирующей поверхности, не требует введения вспомогательных линий поверхности, так как соответствующие ее проекции будут всегда расположены на вырожденной проекции данной поверхности.

Самоконтроль 8. Которая из отмеченных точек принадлежит заданной на рис. 37 поверхности вращения? Ответ:

8 а — точка А (с. 55) 8 б — точка В (с. 56). Построение проекций линии, принадлежащей поверхности, принципиально не отличается от построения проекций точки, принадлежащей поверхности. Различие состоит в том, что определяются проекции не одной, а множества точек, принадлежащих линии.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Если задана одна проекция линии, принадлежащей поверхности, то решение задачи на построение второй проекции этой линии сводится к следующему:

1) на заданной проекции линии задают проекции некоторых точек;

2) через проекции отмеченных точек проводят одноименные проекции вспомогательных линий поверхности;

3) строят вторую проекцию вспомогательных линий поверхности;

4) находят вторую проекцию отмеченных точек на соответствующих проекциях вспомогательных линий;

5) соединяют построенные проекции отмеченных точек с учетом их видимости и получают искомую проекцию заданной на поверхности линии.

Если необходимо определить проекции линии, принадлежащей проецирующей поверхности, то построения значительно упрощаются за счет наличия вырожденной проекции, обладающей собирательным свойством.

Необходимо отметить, что следует внимательно отнестись к выбору точек, с помощью которых будет строиться вторая проекция заданной линии.

Если нужно строить ломаную линию, то обязательно нужно построить точки излома. Обязательному построению подлежат также точки, лежащие на характерных линиях поверхности (очерковых линиях, ребрах многогранной поверхности), Если заданы закономерные кривые, то необходимо строить характерные точки этой кривой (вершины, точки, определяющие оси симметрии, кривой и т.д.).

На рис. 38-42 приведены примеры построения проекций линий, привадлежащих различным поверхностям. Проследите за выполненными на этих рисунках построениями.

Пример задачи №13.

Задана фронталь проекция линий, принадлежащих поверхности данного тела (рис, 38).

Требуется построить их другие проекции.

Решение:

Боковая поверхность тела — горизонтально проецирующая, поэтому горизонтальные проекции отмеченных на фронтальной проекции точек 1-10 находим на вырожденной проекции тела, т.е. на горизонтальном очерке.

Их профильные проекции строим по двум проекциям — фронтальной и горизонтальной.

Точки 3. 5, 7, 9 — случайные, с их помощью определяют кривизну полученных в профильной проекции кривых.

Пример задачи №14.

Задана горизонтальная проекция линии, принадлежащей поверхности кругового конуса (рис. 39).

Требуется построить отсутствующие проекции этой линии.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение Конус — поверхности общего вида. Заданная линия гипербола. Ее вершина определяется точкой 4, Точка 5 определяет видимость кривой во фронтальной проекции, точка 3 — в профильной. Их проекции отмечаем на главных меридианах поверхности. Случайные точки 2, 6 и высшую точку 4 строим с помощью окружностей параллелей, проведенных через эти точки,

Пример задачи №15.

Задана фронтальная проекция двух линий, принадлежащих поверхности сферы (рис. 40).

Требуется пост роить их горизонтальную и профильные проекции.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

Сфера — поверхность общего вида. Каждая из этих линий половина окружности. Полуокружность 3-9 изображается и горизонтальной и профильной проекциях н виде половины эллипсон. Точки 9, 3 определяют одну ось эллипса, точка 6 — другую полуось, В качестве вспомогательных линий при построении проекций отмеченных точек использованы окружности-параллели сферы.

Пример задачи №16.

Задана фронтальная проекция двух линий, принадлежащих поверхности тора (рис. 41).

Требуется построить их горизонтальную и профильные проекции.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

Каждую из отмеченных во фронтальной проекции точек находим на других проекциях с помощью окружностей-параллелей, проходящих через эти точки,

Точка 8 определяет видимость кривой 5-10 в горизонтальной проекции. Точка 3 характерна для кривой 1 -5.

Пример задачи №17.

Задана фронтальная проекции линии Примеры решения задач по начертательной геометрии, принадлежащей поверхности гиперболического параболоида — косой плоскости (рис. 42). Требуется построить ее горизонтальную проекцию.

Решение:

Каждую из отмеченных во фронтальной проекции точек 1-4 кривой определяем с помощью прямолинейных образующих поверхности.

Видимость кривой Примеры решения задач по начертательной геометрии в горизонтальной проекции не устанавливаем, считая поверхность гиперболического параболоида прозрачной.

Примеры решения задач по начертательной геометрии
Примеры решения задач по начертательной геометрии

Пересечение фигур

Фигурой пересечения прямой и плоскости является точка, двух плоскостей — примам линия, прямой и поверхности — две точки, плоскости и поверхности — крипая или ломаная линия.

Среди множества точек, принадлежащих кривым пересечения, выделяют характерные и случайные точки.

Алгоритм построения точек общих для двух пересекающихся фигур различен в зависимости от того, какое положение этифигуры занимают относительно данных плоскостей проекций, общее или проецирующее.

Если обе пересекающиеся фигуры или одна из них проецирующие, то алгоритм решения упрощается, так как в этом случае одна или две проекции искомой фигуры пересечения совпадают с вырожденными проекциями проецирующих фигур.

Другие проекции искомых точек фигуры пересечения находят по двум отмеченным их проекциям или же, в случае если одна фигура проецирующая, по принадлежности этих точек фигуре общего вида, участвующей в данном пересечении.

В том случае, если пересекаются две геометрические фигуры общего вида, то для получения точек общих для них используют способ посредников, плоскостей или поверхностей.

Рассмотрим три варианта решения задач на пересечение фигур при их различном положении относительно данных плоскостей проекций.

Если пересекаются две фигуры, занимающие относительно данных плоскостей проекций проецирующее положение, то две проекции искомой фигуры пересечения совпадают с вырожденными проекциями проецирующих фигур, третью прсекцию находят по двум отмеченным.

Пример задачи №18.

Построить линию пересечения поверхности цилиндра с плоскостью Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 44).

Решение:

Анализируя пересекающиеся фигуры, устанавливаем, что боковая поверхность цилиндра горизонтально проецирующая, я плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии фронтально проецирующая. Отсюда следует, что горизонтальная проекция фигуры пересечения совпадает с вырожденной проекцией цилиндра, т.е. с окружностью, фронтальная — со следом Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Наметив на фронтальной и горизонтальной проекциях фигуры пересечения ряде точек (точки 1-5), строим их профильные проекции (см. значение Примеры решения задач по начертательной геометрии для точки 4). Кривой пересечения будет эллипс.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Пример задачи №19.

Построить линию пересечения двух цилиндров (рис. 45).

Решение:

Меньший цилиндр горизонтально проецирующий, больший — профильно проецирующий, следовательно горизонтальные и профильные проекции точек, принадлежащих линии пересечения, могут быть отмечены ла соответствующих вырожденных проекциях цилиндров.

Фронтальную проекцию искомой линии находим но двум имеющимся проекциям (см. Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Пересекаются две геометрические фигуры из которых одна общего положения, другая — проецирующая

В этом случае одна проекция фигуры пересечения совпадаете вырожденной проекцией проецирующей фигуры, другую ее проекцию находим по принадлежности искомых точек фигуре общего вида, участвующей в пересечении,

Пример задачи №20.

Построить пересечение прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии с плоскостью Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 46 а).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

Так как прямая Примеры решения задач по начертательной геометрии фронтально проецирующая, то фронтальная проекция искомой точки Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 46 б) совпадает с вырожденной проекцией прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии. Горизонтальную проекцию Примеры решения задач по начертательной геометрии находим по принадлежности точки Примеры решения задач по начертательной геометрии фигуре общего вида, т.е. плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии. Делаем это с помощью вспомогательной прямой 1-2.

Видимость прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии относительно безграничной непрозрачной плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии устанавливается по правилу конкурирующих точек (см. Примеры решения задач по начертательной геометрииПримеры решения задач по начертательной геометрии). Проекция Примеры решения задач по начертательной геометрии выше, а Примеры решения задач по начертательной геометрии значит проекция Примеры решения задач по начертательной геометрии в окрестности выбранных конкурирующих точек будет невидима. Видимость проекции прямой меняется после точки пересечения.

Пример задачи №21.

Построить линию пересечения двух плоскостей Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 47 а).

Решение:

Примеры решения задач по начертательной геометрии — горизонтальная плоскость и в тоже время фронтально проецирующая, следовательно, фронтальная проекция линии пересечения совпадает со следом Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 47 б Примеры решения задач по начертательной геометрии), горизонтальную проекцию строим по принадлежности этой линии фигуре общего вида, т.е плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Пример задачи №22.

Определить точки пересечения прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии с поверхностью конуса (рис. 48).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

Прямая Примеры решения задач по начертательной геометрии — фронтально проецирующая, значит Примеры решения задач по начертательной геометрии. проекции Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии находим по принадлежности искомых точек Примеры решения задач по начертательной геометрии поверхности общего вида, т.е. конусу, для чего используем вспомогательные образующие Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Пример задачи №23.

Построить линию пересечения наклонного цилиндра с плоскостью Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 49).

Решение:

Искомая линия будет кривой. Плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии — горизонтально проецирующая, следовательно, горизонтальная проекция искомой кривой совпадает со следом Примеры решения задач по начертательной геометрии

Отмечаем на следе Примеры решения задач по начертательной геометрии точки, подлежащие определению во фронтальной проекции, выделив при атом обязательно точки, принадлежащие очерковым образующим.

Каждую изотчеченнык точек находим во фронтальной проекции по принадлежности поверхности цилиндра. Делаем это с помощью образующих цилиндра.

Проследите по чертежу за этими построениями. Точки Примеры решения задач по начертательной геометрии принадлежат горизонтальному очерку цилиндра, Примеры решения задач по начертательной геометрии — фронтальному очерку. Точки 1, 2 — случайные.

Заметим, что видимой считаем точку, которая принадлежит видимой на данной проекции образующей. Точки 1, 2 во фронтальной проекции обе невидимы, в горизонтальной точка 2 — видима, Примеры решения задач по начертательной геометрии — невидима.

Пример задачи №24.

Построить линию пересечения тора и цилиндра (рис. 50).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

Цилиндр — профильно проецирующий, следовательно с его профильной проекцией совпадает профильная проекция искомой линии пересечения.

Намечаем на ней точки, подлежащие определению в других проекциях, и находим каждую ил них по принадлежности фигуре общего вида, т.е. поверхности тора. Делаем это с помощью окружностей — параллелей,

Точки Примеры решения задач по начертательной геометрии — характерные, Точки Примеры решения задач по начертательной геометрии определяют видимость кривой в горизонтальной проекции, Точки 1,2- случайные.

Пример задачи №25.

Построить линию пересечения пирамиды и цилиндра (рис. 51).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

Цилиндр — горизонтально проецирующий, следовательно его горизонтальной проекцией совпадает горизонтальная проекция искомой линии. Фронтальные проекции точек, отмеченных на этой линии, находим по принадлежности и к поверхности пирамиды. Делаем Это с помощью линий, параллельны основанию пирамиды.

Проследите за этими построениями на примере точек I, 2.

Пример задачи №26.

Построить линию пересечения тора и призмы (рис. 52).

Решение:

Призма — горизонтампроецирующая, следовательно с ее горизонтальной проекцией совпадает горизонтальная проекция искомой линии пересечения.

Намечаем на ней точки 1-4, подлежащие определению но фронтальной и профильной проекциях

Точка 3 — случайная. Ее фронтальная проекция построена с помощью окружности — параллели, проведенной через эту точку. Радиус параллели для точки 3 определяется положением точки Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Точка 2 принадлежит фронтальному очерку тора. Радиус параллели для точки 4 определяется положением точки Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Самоконтроль 10. Назовите плоскость, которая пересекает поверхность конуса по гиперболе (рис. 53).

Ответ: 10 а — плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии (с. 55). 10 б — плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии (с. 56).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Пересекаются две геометрические фигуры общего положения

Для построения проекций их пересечения используют способ посредников. Посредником может быть плоскость или поверхность*

Сущность способа посредников следующая.

Обе заданные фигуры Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 54) пересекают посредником Примеры решения задач по начертательной геометрии, находят линии Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии пересечения заданных фигур с посредником и в пересечении полученных линий отмечают точки Примеры решения задач по начертательной геометрии, общие для пересекающихся фигур.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

При выборе посредника руководствуются тем, чтобы линии, получаемые в пересечении посредника с заданными фигурами, был и графически простыми. Количество посредников зависит от вида пересекающихся фигур,

В случае пересечения прямой с плоскостью или поверхностью плоскость посредник, чаще всего проецирующую, проводят через прямую (рис. 55).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Использование плоскостей посредников

Пример задачи №27.

Определить точку пересечения прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии с плоскостью Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 56 а).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

Так как прямая Примеры решения задач по начертательной геометрии и плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии — фигуры общего вида, то для решения задачи используют способ посредников.

Посредник, плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии проводим через прямую Примеры решения задач по начертательной геометрии (см. рис. 56 бПримеры решения задач по начертательной геометрии) и строим линию пересечения посредника с заданной плоскостью Примеры решения задач по начертательной геометрии, линию Примеры решения задач по начертательной геометрии. Линию Примеры решения задач по начертательной геометрии определяют точки 1, 2.

В пересечении линии Примеры решения задач по начертательной геометрии с заданной прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии отмечаем искомую точку Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Видимость прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии относительно непрозрачной плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрииустанавливаем по правилу конкурирующих точек. Так видимость прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии в горизонтальной проекции определяем с помощью горизонтально конкурирующие точек 3, 4 (см, Примеры решения задач по начертательной геометрии).

Так как точка 3, принадлежащая прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии, т.е. плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии во фронтальной проекции расположена выше, чем точка 4, принадлежащая прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии, то плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии закрывает в горизонтальной проекции прямую Примеры решения задач по начертательной геометрии, следовательно, прямая Примеры решения задач по начертательной геометрии в этой части чертежа невидима.

Во фронтальной проекции видимость прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии относительно непрозрачной плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии устанавливаемой по фронтально конкурирующим точкам Примеры решения задач по начертательной геометрии Так как проекция Примеры решения задач по начертательной геометрии ближе к глазу наблюдателя, чем проекция Примеры решения задач по начертательной геометрии то прямая в этой части чертежа видима.

Пример задачи №28.

Определить точки пересечения прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии с поверхностью вращения (рис.57).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

Так как пересекаются геометрические фигуры общего вила, то через прямую, также как и в предыдущем примере, проводим фронтально проецирующую плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии и строим линию пересечения плоскости-посредника с поверхностью вращения, линию Примеры решения задач по начертательной геометрии. В пересечении полученной линии Примеры решения задач по начертательной геометрии с прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии отмечаем искомые точки Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Проекции Примеры решения задач по начертательной геометрии — видимые, Примеры решения задач по начертательной геометрии — невидимая.

Пример задачи №29.

Определить линию пересечения двух плоскостей Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис.58).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

Обе плоскости общего положения, поэтому дли определении точек Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии, общих для них, используем способ посредников. В качестве посредников выбраны плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Пример задачи №30.

Определить линию пересечении сферы и тора (рис. 59).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

Обе поверхности общею вида, поэтому дли решении задачи используем способ посредников.

Посредники, плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии перпендикулярны плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии и оси тора Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии пересекает сферу и тор по окружностям Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии, радиусы которых определяют точки Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии. В пересечении окружностей Примеры решения задач по начертательной геометрии получаем точки, общие для сферы и тора, точки 1, 2.

С помощью посредника Примеры решения задач по начертательной геометрии получаем точку Примеры решения задач по начертательной геометрии, положение которой в горизонтальной проекции определяет переход кривой от ее видимой части к невидимой.

Использование сфер-посредников

Соосные поверхности пересекаются по окружностям. Сфера соосна с любой поверхностью вращения, если ее центр расположен на оси поверхности вращении.

Использование концентрических сфер в качестве посредников возможно, ели (рис. 60);

пересекаются поверхности вращения; оси поверхностей вращения пересекаются;

плоскость, образованная осями пересекающихся поверхностей, параллельна плоскости проекций.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

На рис. 60 а показано определение точек Примеры решения задач по начертательной геометрии общих для конуса Примеры решения задач по начертательной геометрии и цилиндра Примеры решения задач по начертательной геометрии, с помощью введения посредника — сферы Примеры решения задач по начертательной геометрии Сфера Примеры решения задач по начертательной геометрии пересекает конус по окружностям Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии, цилиндр по окружностям Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии. В их пересечении отмечаем точки Примеры решения задач по начертательной геометрии общие для сферы Примеры решения задач по начертательной геометрии, конуса и цилиндра,

На рис. 60 б построена линия пересечения конуса и цилиндра.

Проведено множество сфер- посредников, среди которых особо нужно выделить сферу с Примеры решения задач по начертательной геометрии, который определяется размером максимальной нормали.

Горизонтальные проекции полученных точек определяем исходя из принадлежности их поверхности конуса.

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Теорема г. монжа

Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности, второго порядка или вписаны а нее), то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания.

На рис- 61 построены проекции линии пересечения конуса и цилиндра, описанных вокруг сферы.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Линией их пересечения являются два эллипса, фронтальные проекции которых изображаются на чертеже в виде прямых линий.

На рис. 62, 6J даны примеры пересекающихся поверхностей, когда проекции линии пересечения, согласно теореме Г.Монжа, представляют собой отрезки прямых линий.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Возможно эти страницы вам будут полезны: