Примеры решения задач по начертательной геометрии

Здравствуйте на этой странице я собрала примеры решения задач по предмету начертательная геометрия с решением по каждой теме, чтобы вы смогли освежить знания!

Проецирование геометрических фигур. Параллельное проецирование

К оглавлению…

Любую геометрическую фигуру рассматривают как множество всех при надлежащих ей точек. Чтобы получить параллельную проекцию фигуры на плоскости (плоскости проекций), необходимо через каждую точку фигуры пронести проецирующие лучи параллельно заранее вы бранному направлению до пересечения с (рис. 1).

Основные свойства параллельного проецирования.

  1. Проекция точки есть точка.
  2. Проекции прямой есть прямая или точка ( — точка).

Самоконтроль I. На рис. 2 показано проецирование и на плоскость но направлению . Какой из треугольников расположен в плоскости, параллельной ?

1 a . Треугольник (с. 55).

2 б. Треугольник (с. 56).

Таким образом, Вы отметили еще два свойства параллельного проецировання:

  1. Если фигура расположена в плоскости, параллельной плоскости проекций, то она проецируется на эту плоскость в натуральную величину,
  2. Фигура, принадлежащая проецирующей плоскости, проецируется в отрезок прямой, совпадающей с проекцией плоскости (проецирующая прямая вырождается в точку).

Если направление проецирования , получают ортогональные (прямоугольные) параллельные проекции, которыми чаще всею пользуются на практике.

Проекции точки

К оглавлению…

Проекцией точки называется точка пересечения проецирующего луча, проходящего через точку, с плоскостью проекций.

Одна проекций точки не определяет положение точки в пространстве. Для получения обратимого чертежа ортогональное проецирование осуществляется на две (и более) перпендикулярные плоскости проекций (рис. 3)t которые затем совмещают в одну (метод Монжа). Получается плоское изображение, которое является носителем двух плоскостей. Это изображение называют эпюром или комплексным чертежом.

— горизонтальная плоскость проекций, — фронтальная плоскость проекций, — ось проекций.

На эпюре горизонтальная и фронтальная проекции точки связаны вертикальной линией связи, т.е

Положение точки в пространстве определяется ее расстоянием до плоскостей проекций. При этом покрывает расстояние до — показывает расстояние до .

Самоконтроль 2. Какая из заданных точек (рис. 4) принадлежит плоскости ?

2а. Точка (с. 55) 26. Точка (с. 56).

Характерным признаком эпюра точки, принадлежащей плоскости проекций, является то, что одна проекция точки принадлежит оси проекции.

На рис. 5 показано получение трех картинного чертежа точки .

— профильная плоскость проекций.

Является очевидным, что .

Определитель точки в пространстве — три координаты точки, т.е. расстояние от точки до трех координатных плоскостей Принимается, что плоскости проекций совмещены с координатными плоскостями.

Условная запись определителя точки: . Положение проекции точки определяют две координаты: Определителем точки на эпюре является совокупность двух проекций точки: . Координаты точки устанавливаются измерением (рис. 6).

Пример задачи №1.

Построить три проекции точки .

Решение:

  1. Координатные плоскости принимаем за плоскости проекций и строим на чертеже оси проекций (рис. 7), отмстив на них масштабные единицы.
  2. Последовательно откладываем на соответствующих осях заданные значения
  3. Из полученных точек проводим прямые, параллельные соотвстствуюхцнм осям, и получаем проекции (см. рис. 7).

Проекции прямой

К оглавлению…

Определитель прямой: две точки. Условная запись: . На чертеже прямую определяют двумя проекциями (рис. 8). или .

Условие принадлежности точки прямой: точка принадлежа прямой, если проекции точки принадлежат одноименным проекциям прямой, (см. точку на прямой — рис. 8),

След прямой — точка пересечения прямой с плоскостью проекций (рис. 9). — горизонтальный след прямой, — фронтальный след прямой,

Заметим, что так как . Прямую, которая не параллельна ни одной из плоскостей проекций, называют прямой общего положения. Проекции прямой общего положения всегда наклонены к осям проекций (см. рис. 8, 9).

  • Прямые частного положения делятся на прямые уровня и проецирующие прямые.

Прямые уровня — прямые, параллельные одной плоскости проекций (рис. 10).

Таким образом, направление одной проекции прямой уровня постоянно — параллельно направлению оси проекций. Вторая проекция наклонена к оси под углом.

Проецирующие прямые — прямые, перпендикулярные плоскости проекций (рис. 11).

Таким образом, одна проекция проецирующей прямой — точка, вторая проекция направлена параллельно линиям ивязи.

Самоконтроль 3. На рис 12 изображен отрезок профильной прямой . Можно ли построить горизонтальную проекцию точки , которая принадлежит отрезку, не построив профильную проекцию отрезка?

За. Можно (с. 55) 36. Нельзя (с, ,56)

Пример задачи №2.

Достроить фронтальную проекцию отрезка горизонтальной прямой (рис. 13а).

Решение:

Так как отрезок параллелен горизонтальной плоскости, то фронтальная проекция его должна быть параллельна направлению оси . Положение фронтальной проекции точки определяем в пересечении линии связи, проведенной с вертикально (рис 136), и направления фронтальной проекции прямой.

Пример задачи №3.

Построить проекции фронтально проецирующего отрезка , длина которого 20 мм (рис. 14а).

Решение:

У фронтально проецирующей прямой фронтальная проекция вырожденная — точка, а горизонтальная проекции расположена вертикально,

На горизонтальную плоскость проекций отрезок проецируется без искажения.

Выполненные построения ясны на чертеже (рис. 146).

Взаимное расположение прямых. Прямые параллельны, если одноименные проекции двух прямых параллельны.

Прямые пересекаются, если точки пересечения одноименных проекций двух прямых лежат на одной линии связи.

Если на чертеже отсутствуют признаки параллельности и пересечения, то заданы скрещивающиеся прямые.

Самоконтроль 4. На каком рисунке изображены скрещивающиеся прямые?

4а. На рис. 15а (с. 55)

4б. На рис, 156 (с. 56)

Теорема о проецировании прямого угла. Если одна сторона прямого угла параллельна, а другая сторона не перпендикулярна плоскости проекций, то прямой угол на эту плоскость проецируется в натуральную величину.

Пример задачи №4.

Через точку провести прямую а, пересекающую прямую под прямым углом (рис. 16а),

Решение:

  1. Так как прямая параллельна , то на фронтальной проекции величина прямого угла сохранится.
  2. Построение начинаем с фронтальной проекции, проведя (рис. 16 6),
  3. Отмечаем фронтальную проекцию точки пересечения прямых — .
  4. Строим горизонтальную проекцию точки .
  5. .

Пример задачи №5.

Через точку провести горизонтальную прямую, пересекающую отрезок (рис. 17а),

Решение:

  1. Так как искомая прямая является горизонтальной, то фронтальная проекция ее должна быть направлена параллельно направлению оси . Проводим .
  2. Отмечаем фронтальную проекцию точки пересечения прямых: (рис. 176).
  3. Строим горизонтальную проекцию , учитывая сохранение пропорционального деления отрезка на проекциях.
  4. .

Проекции плоскости

К оглавлению…

Задание плоскости. Плоскость на чертеже задается проекциями ее элементов, которые определяют положении ее в пространстве, а именно; проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой; проекциями параллельных прямых; проекциями пересекающихся прямых; проекциями прямой и точки вне этой прямой, проекциями плоской фигуры; следами.

По отношению к плоскостям проекций плоскости разделяются на плоскости общего и плоскости частного положения. Плоскости частного положения могут быть перпендикулярными к одной из плоскостей (проецирующие) иди к двум плоскостям одновременно {плоскости уровня).

Опознавательным признаком плоскости частного положения является наличие вырожденной проекции (проекции-линии) плоскости на эпюре. Точка и прямая в плоскости. Точка принадлежит плоскости, если она находится на примой, лежащей в данной плоскости.

Прямая лежит в плоскости, если она пересекается с прямыми, задаюшими эту плоскость, или пересекается с одной из них и параллельна другой.

Признаком принадлежности точки и прямой к плоскости частного положения является совмещение на эпюре их проекций с одноименными вырожденными проекциями данной плоскости.

Самоконтроль 6. На каком рисунке прямая принадлежит плоскости ? 6 а. На рис. 19 а (с. 55) б б. На рис. 19 6 (с. 56).

Пример задачи №6.

Построить горизонтальную проекцию прямой , лежащей в плоскости (рис. 20 а).

Решение:

  1. Прямые одной плоскости либо пересекаются, либо параллельны. Так как фронтальная проекция прямой пересекает фронтальные проекции прямых и , то эти прямые в пространстве пересекаются.
  2. Отмечаем фронтальные проекции точек пересечения прямых
  3. Строим горизонтальные проекции точек и , учитывая что .
  4. (см. рис. 20 б).

Пример задачи №7.

Построить фронтальную проекцию прямой , принадлежащей плоскости (рис 21 а).

Решение:

Так как фронтальные проекции прямых и совпадают, то заданная плоскость является фронтально проецирующей плоскостью. В этом случае фронтальная проекция плоскости, (вырожденная проекция) обладает собирательным свойством и поэтому (рис. 216).

Следует отметить, что для плоскости общего положения на эпюре произвольно можно задавать только одну проекцию любой прямой, принадлежащей плоскости. Вторую проекцию этой прямой необходимо строить, учитывая, что прямые одной плоскости либо пересекаются, либо параллельны.

Для проецирующей плоскости достаточно совпадения соответствующей проекции прямой с вырожденной проекцией плоскости, чтобы эта прямая принадлежала плоскости.

Пример задачи №8.

Построить фронтальную проекцию точки , принадлежащей плоскости (рис. 22 а).

Решение:

1. Известно, что точка принадлежит плоскости, если она находится на какой-либо прямой, лежащей в данной плоскости. Поэтому через и (рис. 226) проводим горизонтальную проекцию вспомогательной прямой» лежащей в данной плоскости.

Главные линии плоскости. К главным линиям плоскости относятся:

  1. Линии уровня плоскости, т.е. прямые плоскости, параллельные плоскостям проекций

— горизонталь плоскости; — фронталь плоскости.

  1. Линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций. Такие прямые принадлежат плоскости и перпендикулярны к линиям уровня плоскости.

Для построения горизонтали плоскости (рис. 23) необходимо;

На рис. 23 построены проекции линии наибольшего наклона плоскости к плоскости т.к. (согласно теореме о проекциях прямого угла) Линию наибольшего наклона плоскости к плоскости называют линией ската.

Аналогично на рис. 24 построены проекции фронтали и линии наибольшего наклона плоскости к плоскости .

Самоконтроль 7. Можно ли считать заданной плоскость, если на эпюре задана линия ската плоскости?

7 а. Можно (с. 55)

7 б. Нельзя (с. 56)

Пример задачи №9.

Построить проекции отрезка , принадлежащею плоскости , зная что и величина отрезка равна 30 мм (рис. 25).

Решение:

Отрезок принадлежит горизонтали плоскости, проходящей через . Строим проекции этой горизонтали (рис. 25 а). На горизонтальной проекции горизонтали находим горизонтальную проекцию точки , учитывая что . Находим фронтальную проекцию точки (рис. 25 б).

Параллельность прямой и плоскости двух плоскостей. Признаком параллельности плоскости и прямой является-параллельность прямой некоторой прямой плоскости.

  • Признаком параллельности прямой и плоскости частного положения является параллельность вырожденной проекции плоскости соответствующей проекции прямой.

Признаком параллельности двух плоскостей является параллельность двух пересекающихся прямых одной плоскости, соответственно, двум пересекающимся прямым второй плоскости. Признаком параллельности плоскостей частного положения является взаимная параллельность одноименных вырожденных проекций. У параллельных плоскостей одноименные линии уровня взаимно параллельны.

Пример задачи №10.

Построить горизонтальную проекцию прямой проходящей через точку и параллельной плоскости (рис. 26 а).

Решение:

(Рис. 26 6).

  1. В плоскости проводим фронтальную проекцию , прямой параллельной прямой .
  2. Строим горизонтальную проекцию , учитывая принадлежность прямой плоскости .
  3. Строим .

Перпендикулярность прямой и плоскости, двyx плоскостей. Прямая, перпендикулярная плоскости, изображается на фронтальной проекции перпендикулярной к фронтали плоскости, на горизонтальной — к горизонтали плоскости.

Пример задачи №11.

Опустить перпендикуляр из точки на плоскость (рис. 27 а).

Решение:

(рис. 27 б).

  1. Проводим произвольные горизонталь и фронталь данной плоскости (рис. 27 б).
  2. Затем проводим проекции перпендикуляра rti эАг А п2-L/2;

Пример задачи №12.

Через прямую провести плоскость, перпендикулярную к плоскости (рис. 24 а).

Решение:

(рис. 28 б).

  1. Строим произвольные горизонталь и фронталь плоскости .
  2. Выбираем на прямой произвольную точку .
  3. Из точки опускаем перпендикуляр на плоскость . Это перпендикуляр совместно с прямой определяют искомую плоскость .

Поверхность: общие сведения

К оглавлению…

Поверхность — это совокупность последовательных положений непрерывно перемещающейся в пространстве линии в пространстве линии.

Перемещающуюся в пространстве линию называют образующей. Она может быть прямой, кривой, постоянной или переменной. Образующей может быть также поверхность (рис. 29).

Закон перемещения может быть оговорен словесно (вращательное, поступательное, винтовое) и задан направляющей, т.е, неподвижной линией, по которой скользит перемещающаяся образующая.

Поверхность, которая может быть получена перемещением прямой линии, называют линейчатой (рис. 29 а).

Поверхность, образующей которой может быть только кривая, называют кривой (рис. 29 6).

По признаку перемещения образующей поверхности делят на поверхности вращения, поверхности переноса, винтовые поверхности.

Поверхности делят также на развертываемые и нераввертываемые.

Задание поверхности на чертеже. Поверхность считается заданной, если в отношении любой точки пространства на чертеже однозначно решается вопрос о принадлежности ее данной поверхности.

Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии поверхности!.

Поверхность на чертеже может быть задана ее определителем, очерком, каркасом.

Определитель поверхности — это совокупность условий, однозначно определяющих данную поверхность. Определитель поверхности состоит из двух частей: геометричесхой, задающей форму образующей и направляющей, и алгоритмической, определяющей условия перемещения или же изменения образующей.

На рис. 30 задана поверхность конуса. Ее определителем является направляющая и образующая , пересекающая кривую и проходящая через неподвижную точку .

Точка принадлежит данной поверхности, так как она принадлежит линии этой поверхности.

Очерк поверхности — это линия пересечения плоскости проекций с проецирующей на данную плоскость проекций цилиндрической поверхностью, огибающей заданную поверхность (рис. 31).

Линию касания огибающей проецирующей поверхности с данной поверхностью называют линией контура.

Проекцию линии контура на плоскость, перпендикулярную данной плоскости проекций, называют линией видимости.

Линия контура, так же как и линия видимости, делит поверхность на ее видимую и невидимую части в проекции на данную плоскость,

Каркас поверхности — это совокупность линий, принадлежащих поверхности (рис. 32).

Линейчатые поверхности — что те, у которых образующей может быть прямая, линия (рис. 33).

К ним относят торсы, и как частный случай цилиндрические, конические, призматические и пирамидальные поверхности. Эти поверхности развертываемые.

Неразвертываемые линейчатые поверхности это поверхности с плоскостью параллелизма — цилиндроид, коноид, гиперболический параболоид (косая плоскость).

Поверхностью вращения называют поверхность, образованную вращением некоторой линии (кривой или примой) вокруг неподвижной прямой, называемой осью поверхности (рис. 34).

Окружности, принадлежащие поверхности вращения и лежащие в плоскостих, перпендикулярных оси поверхности, называют параллелями поверхности. Параллель наименьшего радиуса — щрло, наибольшего -экватор.

Любая плоскость, проходящая через ось поверхности вращения, выделяет на поверхности кривую, называемую меридианом поверхности.

Меридианы, проекции которых дают очерки поверхности, называют главными.

Известно, что точка, например, точка на рис. 33, 34, принадлежит поверхности, если она принадлежит линии поверхности. В качестве линии на поверхности выбирают графически простые линии — прямые или окружности. Для линейчатых поверхностей — это будут образующие -прямые линии» для поверхностей вращения — параллели — окружности.

На рис. 35, 36 показано решение задач на построение ортогональных проекций точки , принадлежащей поверхности.

Решение:

Решение задачи на построение точки, принадлежащей поверхности, проводится в следующей последовательности:

1) одну проекцию точки задаем произвольно в пределах очерка поверхности,

2) через заданную проекцию точки проводим одноименную проекцию вспомогательной линии поверхности;

3) находим другую проекцию проведенной линии исходя из принадлежности ее данной поверхности,

4) на найденной проекции вспомогательной линии отмечаем искомую проекцию точки.

На рис. 35 а, б, в проекции точки построены на поверхности наклонной призмы, наклонного конуса, коноида с помощью прямолинейной образующей , проходящей через точку, .

На рис. 36 а,б,в проекции точки , принадлежащей соответственно поверхности вращения общего вида, сфере, тору, построены с помощью вспомогательной окружности-параллели, проходящей через эту точку.

Проекции точки , принадлежащей поверхности кругового конуса, могут быть построены как с помощью окружности-параллели, так и с помощью прямолинейной образующей (рис. 36 г,д).

Поверхность может занимать относительно данных плоскостей проекций проецирующее положение (рис. 36 е.ж).

Поверхность является проецирующей относительно той плоскости проекций, которой ее образующие перпендикулярны. Проецирующей может быть только поверхность цилиндра, призмы.

Построение проекций точки, принадлежащей проецирующей поверхности, не требует введения вспомогательных линий поверхности, так как соответствующие ее проекции будут всегда расположены на вырожденной проекции данной поверхности.

Самоконтроль 8. Которая из отмеченных точек принадлежит заданной на рис. 37 поверхности вращения? Ответ:

8 а — точка А (с. 55) 8 б — точка В (с. 56). Построение проекций линии, принадлежащей поверхности, принципиально не отличается от построения проекций точки, принадлежащей поверхности. Различие состоит в том, что определяются проекции не одной, а множества точек, принадлежащих линии.

Если задана одна проекция линии, принадлежащей поверхности, то решение задачи на построение второй проекции этой линии сводится к следующему:

1) на заданной проекции линии задают проекции некоторых точек;

2) через проекции отмеченных точек проводят одноименные проекции вспомогательных линий поверхности;

3) строят вторую проекцию вспомогательных линий поверхности;

4) находят вторую проекцию отмеченных точек на соответствующих проекциях вспомогательных линий;

5) соединяют построенные проекции отмеченных точек с учетом их видимости и получают искомую проекцию заданной на поверхности линии.

Если необходимо определить проекции линии, принадлежащей проецирующей поверхности, то построения значительно упрощаются за счет наличия вырожденной проекции, обладающей собирательным свойством.

Необходимо отметить, что следует внимательно отнестись к выбору точек, с помощью которых будет строиться вторая проекция заданной линии.

Если нужно строить ломаную линию, то обязательно нужно построить точки излома. Обязательному построению подлежат также точки, лежащие на характерных линиях поверхности (очерковых линиях, ребрах многогранной поверхности), Если заданы закономерные кривые, то необходимо строить характерные точки этой кривой (вершины, точки, определяющие оси симметрии, кривой и т.д.).

На рис. 38-42 приведены примеры построения проекций линий, привадлежащих различным поверхностям. Проследите за выполненными на этих рисунках построениями.

Пример задачи №13.

Задана фронталь проекция линий, принадлежащих поверхности данного тела (рис, 38).

Требуется построить их другие проекции.

Решение:

Боковая поверхность тела — горизонтально проецирующая, поэтому горизонтальные проекции отмеченных на фронтальной проекции точек 1-10 находим на вырожденной проекции тела, т.е. на горизонтальном очерке.

Их профильные проекции строим по двум проекциям — фронтальной и горизонтальной.

Точки 3. 5, 7, 9 — случайные, с их помощью определяют кривизну полученных в профильной проекции кривых.

Пример задачи №14.

Задана горизонтальная проекция линии, принадлежащей поверхности кругового конуса (рис. 39).

Требуется построить отсутствующие проекции этой линии.

Решение Конус — поверхности общего вида. Заданная линия гипербола. Ее вершина определяется точкой 4, Точка 5 определяет видимость кривой во фронтальной проекции, точка 3 — в профильной. Их проекции отмечаем на главных меридианах поверхности. Случайные точки 2, 6 и высшую точку 4 строим с помощью окружностей параллелей, проведенных через эти точки,

Пример задачи №15.

Задана фронтальная проекция двух линий, принадлежащих поверхности сферы (рис. 40).

Требуется пост роить их горизонтальную и профильные проекции.

Решение:

Сфера — поверхность общего вида. Каждая из этих линий половина окружности. Полуокружность 3-9 изображается и горизонтальной и профильной проекциях н виде половины эллипсон. Точки 9, 3 определяют одну ось эллипса, точка 6 — другую полуось, В качестве вспомогательных линий при построении проекций отмеченных точек использованы окружности-параллели сферы.

Пример задачи №16.

Задана фронтальная проекция двух линий, принадлежащих поверхности тора (рис. 41).

Требуется построить их горизонтальную и профильные проекции.

Решение:

Каждую из отмеченных во фронтальной проекции точек находим на других проекциях с помощью окружностей-параллелей, проходящих через эти точки,

Точка 8 определяет видимость кривой 5-10 в горизонтальной проекции. Точка 3 характерна для кривой 1 -5.

Пример задачи №17.

Задана фронтальная проекции линии , принадлежащей поверхности гиперболического параболоида — косой плоскости (рис. 42). Требуется построить ее горизонтальную проекцию.

Решение:

Каждую из отмеченных во фронтальной проекции точек 1-4 кривой определяем с помощью прямолинейных образующих поверхности.

Видимость кривой в горизонтальной проекции не устанавливаем, считая поверхность гиперболического параболоида прозрачной.

Пересечение фигур

К оглавлению…

Фигурой пересечения прямой и плоскости является точка, двух плоскостей — примам линия, прямой и поверхности — две точки, плоскости и поверхности — крипая или ломаная линия.

Среди множества точек, принадлежащих кривым пересечения, выделяют характерные и случайные точки.

Алгоритм построения точек общих для двух пересекающихся фигур различен в зависимости от того, какое положение этифигуры занимают относительно данных плоскостей проекций, общее или проецирующее.

Если обе пересекающиеся фигуры или одна из них проецирующие, то алгоритм решения упрощается, так как в этом случае одна или две проекции искомой фигуры пересечения совпадают с вырожденными проекциями проецирующих фигур.

Другие проекции искомых точек фигуры пересечения находят по двум отмеченным их проекциям или же, в случае если одна фигура проецирующая, по принадлежности этих точек фигуре общего вида, участвующей в данном пересечении.

В том случае, если пересекаются две геометрические фигуры общего вида, то для получения точек общих для них используют способ посредников, плоскостей или поверхностей.

Рассмотрим три варианта решения задач на пересечение фигур при их различном положении относительно данных плоскостей проекций.

Если пересекаются две фигуры, занимающие относительно данных плоскостей проекций проецирующее положение, то две проекции искомой фигуры пересечения совпадают с вырожденными проекциями проецирующих фигур, третью прсекцию находят по двум отмеченным.

Пример задачи №18.

Построить линию пересечения поверхности цилиндра с плоскостью (рис. 44).

Решение:

Анализируя пересекающиеся фигуры, устанавливаем, что боковая поверхность цилиндра горизонтально проецирующая, я плоскость фронтально проецирующая. Отсюда следует, что горизонтальная проекция фигуры пересечения совпадает с вырожденной проекцией цилиндра, т.е. с окружностью, фронтальная — со следом .

Наметив на фронтальной и горизонтальной проекциях фигуры пересечения ряде точек (точки 1-5), строим их профильные проекции (см. значение для точки 4). Кривой пересечения будет эллипс.

Пример задачи №19.

Построить линию пересечения двух цилиндров (рис. 45).

Решение:

Меньший цилиндр горизонтально проецирующий, больший — профильно проецирующий, следовательно горизонтальные и профильные проекции точек, принадлежащих линии пересечения, могут быть отмечены ла соответствующих вырожденных проекциях цилиндров.

Фронтальную проекцию искомой линии находим но двум имеющимся проекциям (см. и ).

Пересекаются две геометрические фигуры из которых одна общего положения, другая — проецирующая

К оглавлению…

В этом случае одна проекция фигуры пересечения совпадаете вырожденной проекцией проецирующей фигуры, другую ее проекцию находим по принадлежности искомых точек фигуре общего вида, участвующей в пересечении,

Пример задачи №20.

Построить пересечение прямой с плоскостью (рис. 46 а).

Решение:

Так как прямая фронтально проецирующая, то фронтальная проекция искомой точки (рис. 46 б) совпадает с вырожденной проекцией прямой . Горизонтальную проекцию находим по принадлежности точки фигуре общего вида, т.е. плоскости . Делаем это с помощью вспомогательной прямой 1-2.

Видимость прямой относительно безграничной непрозрачной плоскости устанавливается по правилу конкурирующих точек (см. ). Проекция выше, а значит проекция в окрестности выбранных конкурирующих точек будет невидима. Видимость проекции прямой меняется после точки пересечения.

Пример задачи №21.

Построить линию пересечения двух плоскостей и (рис. 47 а).

Решение:

— горизонтальная плоскость и в тоже время фронтально проецирующая, следовательно, фронтальная проекция линии пересечения совпадает со следом (рис. 47 б ), горизонтальную проекцию строим по принадлежности этой линии фигуре общего вида, т.е плоскости .

Пример задачи №22.

Определить точки пересечения прямой с поверхностью конуса (рис. 48).

Решение:

Прямая — фронтально проецирующая, значит . проекции и находим по принадлежности искомых точек поверхности общего вида, т.е. конусу, для чего используем вспомогательные образующие .

Пример задачи №23.

Построить линию пересечения наклонного цилиндра с плоскостью (рис. 49).

Решение:

Искомая линия будет кривой. Плоскость — горизонтально проецирующая, следовательно, горизонтальная проекция искомой кривой совпадает со следом

Отмечаем на следе точки, подлежащие определению во фронтальной проекции, выделив при атом обязательно точки, принадлежащие очерковым образующим.

Каждую изотчеченнык точек находим во фронтальной проекции по принадлежности поверхности цилиндра. Делаем это с помощью образующих цилиндра.

Проследите по чертежу за этими построениями. Точки принадлежат горизонтальному очерку цилиндра, — фронтальному очерку. Точки 1, 2 — случайные.

Заметим, что видимой считаем точку, которая принадлежит видимой на данной проекции образующей. Точки 1, 2 во фронтальной проекции обе невидимы, в горизонтальной точка 2 — видима, — невидима.

Пример задачи №24.

Построить линию пересечения тора и цилиндра (рис. 50).

Решение:

Цилиндр — профильно проецирующий, следовательно с его профильной проекцией совпадает профильная проекция искомой линии пересечения.

Намечаем на ней точки, подлежащие определению в других проекциях, и находим каждую ил них по принадлежности фигуре общего вида, т.е. поверхности тора. Делаем это с помощью окружностей — параллелей,

Точки — характерные, Точки определяют видимость кривой в горизонтальной проекции, Точки 1,2- случайные.

Пример задачи №25.

Построить линию пересечения пирамиды и цилиндра (рис. 51).

Решение:

Цилиндр — горизонтально проецирующий, следовательно его горизонтальной проекцией совпадает горизонтальная проекция искомой линии. Фронтальные проекции точек, отмеченных на этой линии, находим по принадлежности и к поверхности пирамиды. Делаем Это с помощью линий, параллельны основанию пирамиды.

Проследите за этими построениями на примере точек I, 2.

Пример задачи №26.

Построить линию пересечения тора и призмы (рис. 52).

Решение:

Призма — горизонтампроецирующая, следовательно с ее горизонтальной проекцией совпадает горизонтальная проекция искомой линии пересечения.

Намечаем на ней точки 1-4, подлежащие определению но фронтальной и профильной проекциях

Точка 3 — случайная. Ее фронтальная проекция построена с помощью окружности — параллели, проведенной через эту точку. Радиус параллели для точки 3 определяется положением точки .

Точка 2 принадлежит фронтальному очерку тора. Радиус параллели для точки 4 определяется положением точки .

Самоконтроль 10. Назовите плоскость, которая пересекает поверхность конуса по гиперболе (рис. 53).

Ответ: 10 а — плоскость (с. 55). 10 б — плоскость (с. 56).

Пересекаются две геометрические фигуры общего положения

К оглавлению…

Для построения проекций их пересечения используют способ посредников. Посредником может быть плоскость или поверхность*

Сущность способа посредников следующая.

Обе заданные фигуры и (рис. 54) пересекают посредником , находят линии и пересечения заданных фигур с посредником и в пересечении полученных линий отмечают точки , общие для пересекающихся фигур.

При выборе посредника руководствуются тем, чтобы линии, получаемые в пересечении посредника с заданными фигурами, был и графически простыми. Количество посредников зависит от вида пересекающихся фигур,

В случае пересечения прямой с плоскостью или поверхностью плоскость посредник, чаще всего проецирующую, проводят через прямую (рис. 55).

Использование плоскостей посредников

Пример задачи №27.

Определить точку пересечения прямой с плоскостью (рис. 56 а).

Решение:

Так как прямая и плоскость — фигуры общего вида, то для решения задачи используют способ посредников.

Посредник, плоскость проводим через прямую (см. рис. 56 б) и строим линию пересечения посредника с заданной плоскостью , линию . Линию определяют точки 1, 2.

В пересечении линии с заданной прямой отмечаем искомую точку .

Видимость прямой относительно непрозрачной плоскости устанавливаем по правилу конкурирующих точек. Так видимость прямой в горизонтальной проекции определяем с помощью горизонтально конкурирующие точек 3, 4 (см, ).

Так как точка 3, принадлежащая прямой , т.е. плоскости во фронтальной проекции расположена выше, чем точка 4, принадлежащая прямой , то плоскость закрывает в горизонтальной проекции прямую , следовательно, прямая в этой части чертежа невидима.

Во фронтальной проекции видимость прямой относительно непрозрачной плоскости устанавливаемой по фронтально конкурирующим точкам Так как проекция ближе к глазу наблюдателя, чем проекция то прямая в этой части чертежа видима.

Пример задачи №28.

Определить точки пересечения прямой с поверхностью вращения (рис.57).

Решение:

Так как пересекаются геометрические фигуры общего вила, то через прямую, также как и в предыдущем примере, проводим фронтально проецирующую плоскость и строим линию пересечения плоскости-посредника с поверхностью вращения, линию . В пересечении полученной линии с прямой отмечаем искомые точки .

Проекции — видимые, — невидимая.

Пример задачи №29.

Определить линию пересечения двух плоскостей (рис.58).

Решение:

Обе плоскости общего положения, поэтому дли определении точек и , общих для них, используем способ посредников. В качестве посредников выбраны плоскости и .

Пример задачи №30.

Определить линию пересечении сферы и тора (рис. 59).

Решение:

Обе поверхности общею вида, поэтому дли решении задачи используем способ посредников.

Посредники, плоскости и перпендикулярны плоскости и оси тора .

Плоскость пересекает сферу и тор по окружностям и , радиусы которых определяют точки и . В пересечении окружностей получаем точки, общие для сферы и тора, точки 1, 2.

С помощью посредника получаем точку , положение которой в горизонтальной проекции определяет переход кривой от ее видимой части к невидимой.

Использование сфер-посредников

К оглавлению…

Соосные поверхности пересекаются по окружностям. Сфера соосна с любой поверхностью вращения, если ее центр расположен на оси поверхности вращении.

Использование концентрических сфер в качестве посредников возможно, ели (рис. 60);

пересекаются поверхности вращения; оси поверхностей вращения пересекаются;

плоскость, образованная осями пересекающихся поверхностей, параллельна плоскости проекций.

На рис. 60 а показано определение точек общих для конуса и цилиндра , с помощью введения посредника — сферы Сфера пересекает конус по окружностям и , цилиндр по окружностям и . В их пересечении отмечаем точки общие для сферы , конуса и цилиндра,

На рис. 60 б построена линия пересечения конуса и цилиндра.

Проведено множество сфер- посредников, среди которых особо нужно выделить сферу с , который определяется размером максимальной нормали.

Горизонтальные проекции полученных точек определяем исходя из принадлежности их поверхности конуса.

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Теорема г. монжа

К оглавлению…

Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности, второго порядка или вписаны а нее), то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания.

На рис- 61 построены проекции линии пересечения конуса и цилиндра, описанных вокруг сферы.

Линией их пересечения являются два эллипса, фронтальные проекции которых изображаются на чертеже в виде прямых линий.

На рис. 62, 6J даны примеры пересекающихся поверхностей, когда проекции линии пересечения, согласно теореме Г.Монжа, представляют собой отрезки прямых линий.

Возможно эти страницы вам будут полезны: