Начертательная геометрия задачи с решением и примерами

Здравствуйте на этой странице я собрала примеры решения задач по предмету начертательная геометрия с решением по каждой теме, чтобы вы смогли освежить знания!

Начертательная геометрия

Начертательная геометрия служит теоретической основой построения технических чертежей в виде графических моделей конкретных объектов машиностроения. Инженерная графика вырабатывает у студентов умение и навыки понимания по чертежу конструкции изделия и принципа действия изображенного технического объекта.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Начертательная геометрия включена в число обязательных дисциплин ведущих технических вузов мира. И связано это, прежде всего, с тем, что она как никакая другая дисциплина развивает логическое конструктивно-геометрическое мышление, пространственное представление и воображение, а также способность к анализу и синтезу пространственных форм.

Задача начертательной геометрии – изучение визуально-образного геометрического языка и технологии его реализации. Она является уникальным техническим языком, информативность которого настолько велика, что заменить его другим практически невозможно. Роль ее в подготовке специалистов и решении прикладных задач возрастает в связи с необходимостью повышения эффективности труда конструктора.

Проецирование геометрических фигур. Параллельное проецирование

Любую геометрическую фигуру рассматривают как множество всех при надлежащих ей точек. Чтобы получить параллельную проекцию фигуры на плоскости (плоскости проекций), необходимо через каждую точку фигуры пронести проецирующие лучи параллельно заранее вы бранному направлению до пересечения с (рис. 1).

Основные свойства параллельного проецирования.

1. Проекция точки есть точка.
2. Проекции прямой есть прямая или точка ( — точка).
3. 
4. 
5. 
6. 

Самоконтроль I. На рис. 2 показано проецирование и на плоскость но направлению . Какой из треугольников расположен в плоскости, параллельной ?

1 a . Треугольник (с. 55).

2 б. Треугольник (с. 56).

Таким образом, Вы отметили еще два свойства параллельного проецировання:

1. Если фигура расположена в плоскости, параллельной плоскости проекций, то она проецируется на эту плоскость в натуральную величину,
2. Фигура, принадлежащая проецирующей плоскости, проецируется в отрезок прямой, совпадающей с проекцией плоскости (проецирующая прямая вырождается в точку).

Если направление проецирования , получают ортогональные (прямоугольные) параллельные проекции, которыми чаще всею пользуются на практике.

Проекции точки

Проекцией точки называется точка пересечения проецирующего луча, проходящего через точку, с плоскостью проекций.

Одна проекций точки не определяет положение точки в пространстве. Для получения обратимого чертежа ортогональное проецирование осуществляется на две (и более) перпендикулярные плоскости проекций (рис. 3)t которые затем совмещают в одну (метод Монжа). Получается плоское изображение, которое является носителем двух плоскостей. Это изображение называют эпюром или комплексным чертежом.

— горизонтальная плоскость проекций, — фронтальная плоскость проекций, — ось проекций.

На эпюре горизонтальная и фронтальная проекции точки связаны вертикальной линией связи, т.е

Положение точки в пространстве определяется ее расстоянием до плоскостей проекций. При этом покрывает расстояние до — показывает расстояние до .

Самоконтроль 2. Какая из заданных точек (рис. 4) принадлежит плоскости ?

2а. Точка (с. 55) 26. Точка (с. 56).

Характерным признаком эпюра точки, принадлежащей плоскости проекций, является то, что одна проекция точки принадлежит оси проекции.

На рис. 5 показано получение трех картинного чертежа точки .

— профильная плоскость проекций.

Является очевидным, что .

Определитель точки в пространстве — три координаты точки, т.е. расстояние от точки до трех координатных плоскостей Принимается, что плоскости проекций совмещены с координатными плоскостями.

Условная запись определителя точки: . Положение проекции точки определяют две координаты: Определителем точки на эпюре является совокупность двух проекций точки: . Координаты точки устанавливаются измерением (рис. 6).

Пример задачи №1.

Построить три проекции точки .

Решение:

1. Координатные плоскости принимаем за плоскости проекций и строим на чертеже оси проекций (рис. 7), отмстив на них масштабные единицы.
2. Последовательно откладываем на соответствующих осях заданные значения
3. Из полученных точек проводим прямые, параллельные соотвстствуюхцнм осям, и получаем проекции (см. рис. 7).

Проекции прямой

Определитель прямой: две точки. Условная запись: . На чертеже прямую определяют двумя проекциями (рис. 8). или .

Условие принадлежности точки прямой: точка принадлежа прямой, если проекции точки принадлежат одноименным проекциям прямой, (см. точку на прямой — рис. 8),

След прямой — точка пересечения прямой с плоскостью проекций (рис. 9). — горизонтальный след прямой, — фронтальный след прямой,

Заметим, что так как . Прямую, которая не параллельна ни одной из плоскостей проекций, называют прямой общего положения. Проекции прямой общего положения всегда наклонены к осям проекций (см. рис. 8, 9).

• Прямые частного положения делятся на прямые уровня и проецирующие прямые.

Прямые уровня — прямые, параллельные одной плоскости проекций (рис. 10).

Таким образом, направление одной проекции прямой уровня постоянно — параллельно направлению оси проекций. Вторая проекция наклонена к оси под углом.

Проецирующие прямые — прямые, перпендикулярные плоскости проекций (рис. 11).

Таким образом, одна проекция проецирующей прямой — точка, вторая проекция направлена параллельно линиям ивязи.

Самоконтроль 3. На рис 12 изображен отрезок профильной прямой . Можно ли построить горизонтальную проекцию точки , которая принадлежит отрезку, не построив профильную проекцию отрезка?

За. Можно (с. 55) 36. Нельзя (с, ,56)

Пример задачи №2.

Достроить фронтальную проекцию отрезка горизонтальной прямой (рис. 13а).

Решение:

Так как отрезок параллелен горизонтальной плоскости, то фронтальная проекция его должна быть параллельна направлению оси . Положение фронтальной проекции точки определяем в пересечении линии связи, проведенной с вертикально (рис 136), и направления фронтальной проекции прямой.

Пример задачи №3.

Построить проекции фронтально проецирующего отрезка , длина которого 20 мм (рис. 14а).

Решение:

У фронтально проецирующей прямой фронтальная проекция вырожденная — точка, а горизонтальная проекции расположена вертикально,

На горизонтальную плоскость проекций отрезок проецируется без искажения.

Выполненные построения ясны на чертеже (рис. 146).

Взаимное расположение прямых. Прямые параллельны, если одноименные проекции двух прямых параллельны.

Прямые пересекаются, если точки пересечения одноименных проекций двух прямых лежат на одной линии связи.

Если на чертеже отсутствуют признаки параллельности и пересечения, то заданы скрещивающиеся прямые.

Самоконтроль 4. На каком рисунке изображены скрещивающиеся прямые?

4а. На рис. 15а (с. 55)

4б. На рис, 156 (с. 56)

Теорема о проецировании прямого угла. Если одна сторона прямого угла параллельна, а другая сторона не перпендикулярна плоскости проекций, то прямой угол на эту плоскость проецируется в натуральную величину.

Пример задачи №4.

Через точку провести прямую а, пересекающую прямую под прямым углом (рис. 16а),

Решение:

1. Так как прямая параллельна , то на фронтальной проекции величина прямого угла сохранится.
2. Построение начинаем с фронтальной проекции, проведя (рис. 16 6),
3. Отмечаем фронтальную проекцию точки пересечения прямых — .
4. Строим горизонтальную проекцию точки .
5. .

Пример задачи №5.

Через точку провести горизонтальную прямую, пересекающую отрезок (рис. 17а),

Решение:

1. Так как искомая прямая является горизонтальной, то фронтальная проекция ее должна быть направлена параллельно направлению оси . Проводим .
2. Отмечаем фронтальную проекцию точки пересечения прямых: (рис. 176).
3. Строим горизонтальную проекцию , учитывая сохранение пропорционального деления отрезка на проекциях.
4. .

Проекции плоскости

Задание плоскости. Плоскость на чертеже задается проекциями ее элементов, которые определяют положении ее в пространстве, а именно; проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой; проекциями параллельных прямых; проекциями пересекающихся прямых; проекциями прямой и точки вне этой прямой, проекциями плоской фигуры; следами.

По отношению к плоскостям проекций плоскости разделяются на плоскости общего и плоскости частного положения. Плоскости частного положения могут быть перпендикулярными к одной из плоскостей (проецирующие) иди к двум плоскостям одновременно {плоскости уровня).

Опознавательным признаком плоскости частного положения является наличие вырожденной проекции (проекции-линии) плоскости на эпюре. Точка и прямая в плоскости. Точка принадлежит плоскости, если она находится на примой, лежащей в данной плоскости.

Прямая лежит в плоскости, если она пересекается с прямыми, задаюшими эту плоскость, или пересекается с одной из них и параллельна другой.

Признаком принадлежности точки и прямой к плоскости частного положения является совмещение на эпюре их проекций с одноименными вырожденными проекциями данной плоскости.

Самоконтроль 6. На каком рисунке прямая принадлежит плоскости ? 6 а. На рис. 19 а (с. 55) б б. На рис. 19 6 (с. 56).

Пример задачи №6.

Построить горизонтальную проекцию прямой , лежащей в плоскости (рис. 20 а).

Решение:

1. Прямые одной плоскости либо пересекаются, либо параллельны. Так как фронтальная проекция прямой пересекает фронтальные проекции прямых и , то эти прямые в пространстве пересекаются.
2. Отмечаем фронтальные проекции точек пересечения прямых
3. Строим горизонтальные проекции точек и , учитывая что .
4. (см. рис. 20 б).

Пример задачи №7.

Построить фронтальную проекцию прямой , принадлежащей плоскости (рис 21 а).

Решение:

Так как фронтальные проекции прямых и совпадают, то заданная плоскость является фронтально проецирующей плоскостью. В этом случае фронтальная проекция плоскости, (вырожденная проекция) обладает собирательным свойством и поэтому (рис. 216).

Следует отметить, что для плоскости общего положения на эпюре произвольно можно задавать только одну проекцию любой прямой, принадлежащей плоскости. Вторую проекцию этой прямой необходимо строить, учитывая, что прямые одной плоскости либо пересекаются, либо параллельны.

Для проецирующей плоскости достаточно совпадения соответствующей проекции прямой с вырожденной проекцией плоскости, чтобы эта прямая принадлежала плоскости.

Пример задачи №8.

Построить фронтальную проекцию точки , принадлежащей плоскости (рис. 22 а).

Решение:

1. Известно, что точка принадлежит плоскости, если она находится на какой-либо прямой, лежащей в данной плоскости. Поэтому через и (рис. 226) проводим горизонтальную проекцию вспомогательной прямой» лежащей в данной плоскости.

Главные линии плоскости. К главным линиям плоскости относятся:

1. Линии уровня плоскости, т.е. прямые плоскости, параллельные плоскостям проекций

— горизонталь плоскости; — фронталь плоскости.

1. Линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций. Такие прямые принадлежат плоскости и перпендикулярны к линиям уровня плоскости.

Для построения горизонтали плоскости (рис. 23) необходимо;

На рис. 23 построены проекции линии наибольшего наклона плоскости к плоскости т.к. (согласно теореме о проекциях прямого угла) Линию наибольшего наклона плоскости к плоскости называют линией ската.

Аналогично на рис. 24 построены проекции фронтали и линии наибольшего наклона плоскости к плоскости .

Самоконтроль 7. Можно ли считать заданной плоскость, если на эпюре задана линия ската плоскости?

7 а. Можно (с. 55)

7 б. Нельзя (с. 56)

Пример задачи №9.

Построить проекции отрезка , принадлежащею плоскости , зная что и величина отрезка равна 30 мм (рис. 25).

Решение:

Отрезок принадлежит горизонтали плоскости, проходящей через . Строим проекции этой горизонтали (рис. 25 а). На горизонтальной проекции горизонтали находим горизонтальную проекцию точки , учитывая что . Находим фронтальную проекцию точки (рис. 25 б).

Параллельность прямой и плоскости двух плоскостей. Признаком параллельности плоскости и прямой является-параллельность прямой некоторой прямой плоскости.

• Признаком параллельности прямой и плоскости частного положения является параллельность вырожденной проекции плоскости соответствующей проекции прямой.

Признаком параллельности двух плоскостей является параллельность двух пересекающихся прямых одной плоскости, соответственно, двум пересекающимся прямым второй плоскости. Признаком параллельности плоскостей частного положения является взаимная параллельность одноименных вырожденных проекций. У параллельных плоскостей одноименные линии уровня взаимно параллельны.

Пример задачи №10.

Построить горизонтальную проекцию прямой проходящей через точку и параллельной плоскости (рис. 26 а).

Решение:

(Рис. 26 6).

1. В плоскости проводим фронтальную проекцию , прямой параллельной прямой .
2. Строим горизонтальную проекцию , учитывая принадлежность прямой плоскости .
3. Строим .

Перпендикулярность прямой и плоскости, двyx плоскостей. Прямая, перпендикулярная плоскости, изображается на фронтальной проекции перпендикулярной к фронтали плоскости, на горизонтальной — к горизонтали плоскости.

Пример задачи №11.

Опустить перпендикуляр из точки на плоскость (рис. 27 а).

Решение:

(рис. 27 б).

1. Проводим произвольные горизонталь и фронталь данной плоскости (рис. 27 б).
2. Затем проводим проекции перпендикуляра rti эАг А п2-L/2;

Пример задачи №12.

Через прямую провести плоскость, перпендикулярную к плоскости (рис. 24 а).

Решение:

(рис. 28 б).

1. Строим произвольные горизонталь и фронталь плоскости .
2. Выбираем на прямой произвольную точку .
3. Из точки опускаем перпендикуляр на плоскость . Это перпендикуляр совместно с прямой определяют искомую плоскость .

Поверхность: общие сведения

Поверхность — это совокупность последовательных положений непрерывно перемещающейся в пространстве линии в пространстве линии.

Перемещающуюся в пространстве линию называют образующей. Она может быть прямой, кривой, постоянной или переменной. Образующей может быть также поверхность (рис. 29).

Закон перемещения может быть оговорен словесно (вращательное, поступательное, винтовое) и задан направляющей, т.е, неподвижной линией, по которой скользит перемещающаяся образующая.

Поверхность, которая может быть получена перемещением прямой линии, называют линейчатой (рис. 29 а).

Поверхность, образующей которой может быть только кривая, называют кривой (рис. 29 6).

По признаку перемещения образующей поверхности делят на поверхности вращения, поверхности переноса, винтовые поверхности.

Поверхности делят также на развертываемые и нераввертываемые.

Задание поверхности на чертеже. Поверхность считается заданной, если в отношении любой точки пространства на чертеже однозначно решается вопрос о принадлежности ее данной поверхности.

Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии поверхности!.

Поверхность на чертеже может быть задана ее определителем, очерком, каркасом.

Определитель поверхности — это совокупность условий, однозначно определяющих данную поверхность. Определитель поверхности состоит из двух частей: геометричесхой, задающей форму образующей и направляющей, и алгоритмической, определяющей условия перемещения или же изменения образующей.

На рис. 30 задана поверхность конуса. Ее определителем является направляющая и образующая , пересекающая кривую и проходящая через неподвижную точку .

Точка принадлежит данной поверхности, так как она принадлежит линии этой поверхности.

Очерк поверхности — это линия пересечения плоскости проекций с проецирующей на данную плоскость проекций цилиндрической поверхностью, огибающей заданную поверхность (рис. 31).

Линию касания огибающей проецирующей поверхности с данной поверхностью называют линией контура.

Проекцию линии контура на плоскость, перпендикулярную данной плоскости проекций, называют линией видимости.

Линия контура, так же как и линия видимости, делит поверхность на ее видимую и невидимую части в проекции на данную плоскость,

Каркас поверхности — это совокупность линий, принадлежащих поверхности (рис. 32).

Линейчатые поверхности — что те, у которых образующей может быть прямая, линия (рис. 33).

К ним относят торсы, и как частный случай цилиндрические, конические, призматические и пирамидальные поверхности. Эти поверхности развертываемые.

Неразвертываемые линейчатые поверхности это поверхности с плоскостью параллелизма — цилиндроид, коноид, гиперболический параболоид (косая плоскость).

Поверхностью вращения называют поверхность, образованную вращением некоторой линии (кривой или примой) вокруг неподвижной прямой, называемой осью поверхности (рис. 34).

Окружности, принадлежащие поверхности вращения и лежащие в плоскостих, перпендикулярных оси поверхности, называют параллелями поверхности. Параллель наименьшего радиуса — щрло, наибольшего -экватор.

Любая плоскость, проходящая через ось поверхности вращения, выделяет на поверхности кривую, называемую меридианом поверхности.

Меридианы, проекции которых дают очерки поверхности, называют главными.

Известно, что точка, например, точка на рис. 33, 34, принадлежит поверхности, если она принадлежит линии поверхности. В качестве линии на поверхности выбирают графически простые линии — прямые или окружности. Для линейчатых поверхностей — это будут образующие -прямые линии» для поверхностей вращения — параллели — окружности.

На рис. 35, 36 показано решение задач на построение ортогональных проекций точки , принадлежащей поверхности.

Решение:

Решение задачи на построение точки, принадлежащей поверхности, проводится в следующей последовательности:

1) одну проекцию точки задаем произвольно в пределах очерка поверхности,

2) через заданную проекцию точки проводим одноименную проекцию вспомогательной линии поверхности;

3) находим другую проекцию проведенной линии исходя из принадлежности ее данной поверхности,

4) на найденной проекции вспомогательной линии отмечаем искомую проекцию точки.

На рис. 35 а, б, в проекции точки построены на поверхности наклонной призмы, наклонного конуса, коноида с помощью прямолинейной образующей , проходящей через точку, .

На рис. 36 а,б,в проекции точки , принадлежащей соответственно поверхности вращения общего вида, сфере, тору, построены с помощью вспомогательной окружности-параллели, проходящей через эту точку.

Проекции точки , принадлежащей поверхности кругового конуса, могут быть построены как с помощью окружности-параллели, так и с помощью прямолинейной образующей (рис. 36 г,д).

Поверхность может занимать относительно данных плоскостей проекций проецирующее положение (рис. 36 е.ж).

Поверхность является проецирующей относительно той плоскости проекций, которой ее образующие перпендикулярны. Проецирующей может быть только поверхность цилиндра, призмы.

Построение проекций точки, принадлежащей проецирующей поверхности, не требует введения вспомогательных линий поверхности, так как соответствующие ее проекции будут всегда расположены на вырожденной проекции данной поверхности.

Самоконтроль 8. Которая из отмеченных точек принадлежит заданной на рис. 37 поверхности вращения? Ответ:

8 а — точка А (с. 55) 8 б — точка В (с. 56). Построение проекций линии, принадлежащей поверхности, принципиально не отличается от построения проекций точки, принадлежащей поверхности. Различие состоит в том, что определяются проекции не одной, а множества точек, принадлежащих линии.

Если задана одна проекция линии, принадлежащей поверхности, то решение задачи на построение второй проекции этой линии сводится к следующему:

1) на заданной проекции линии задают проекции некоторых точек;

2) через проекции отмеченных точек проводят одноименные проекции вспомогательных линий поверхности;

3) строят вторую проекцию вспомогательных линий поверхности;

4) находят вторую проекцию отмеченных точек на соответствующих проекциях вспомогательных линий;

5) соединяют построенные проекции отмеченных точек с учетом их видимости и получают искомую проекцию заданной на поверхности линии.

Если необходимо определить проекции линии, принадлежащей проецирующей поверхности, то построения значительно упрощаются за счет наличия вырожденной проекции, обладающей собирательным свойством.

Необходимо отметить, что следует внимательно отнестись к выбору точек, с помощью которых будет строиться вторая проекция заданной линии.

Если нужно строить ломаную линию, то обязательно нужно построить точки излома. Обязательному построению подлежат также точки, лежащие на характерных линиях поверхности (очерковых линиях, ребрах многогранной поверхности), Если заданы закономерные кривые, то необходимо строить характерные точки этой кривой (вершины, точки, определяющие оси симметрии, кривой и т.д.).

На рис. 38-42 приведены примеры построения проекций линий, привадлежащих различным поверхностям. Проследите за выполненными на этих рисунках построениями.

Пример задачи №13.

Задана фронталь проекция линий, принадлежащих поверхности данного тела (рис, 38).

Требуется построить их другие проекции.

Решение:

Боковая поверхность тела — горизонтально проецирующая, поэтому горизонтальные проекции отмеченных на фронтальной проекции точек 1-10 находим на вырожденной проекции тела, т.е. на горизонтальном очерке.

Их профильные проекции строим по двум проекциям — фронтальной и горизонтальной.

Точки 3. 5, 7, 9 — случайные, с их помощью определяют кривизну полученных в профильной проекции кривых.

Пример задачи №14.

Задана горизонтальная проекция линии, принадлежащей поверхности кругового конуса (рис. 39).

Требуется построить отсутствующие проекции этой линии.

Решение Конус — поверхности общего вида. Заданная линия гипербола. Ее вершина определяется точкой 4, Точка 5 определяет видимость кривой во фронтальной проекции, точка 3 — в профильной. Их проекции отмечаем на главных меридианах поверхности. Случайные точки 2, 6 и высшую точку 4 строим с помощью окружностей параллелей, проведенных через эти точки,

Пример задачи №15.

Задана фронтальная проекция двух линий, принадлежащих поверхности сферы (рис. 40).

Требуется пост роить их горизонтальную и профильные проекции.

Решение:

Сфера — поверхность общего вида. Каждая из этих линий половина окружности. Полуокружность 3-9 изображается и горизонтальной и профильной проекциях н виде половины эллипсон. Точки 9, 3 определяют одну ось эллипса, точка 6 — другую полуось, В качестве вспомогательных линий при построении проекций отмеченных точек использованы окружности-параллели сферы.

Пример задачи №16.

Задана фронтальная проекция двух линий, принадлежащих поверхности тора (рис. 41).

Требуется построить их горизонтальную и профильные проекции.

Решение:

Каждую из отмеченных во фронтальной проекции точек находим на других проекциях с помощью окружностей-параллелей, проходящих через эти точки,

Точка 8 определяет видимость кривой 5-10 в горизонтальной проекции. Точка 3 характерна для кривой 1 -5.

Пример задачи №17.

Задана фронтальная проекции линии , принадлежащей поверхности гиперболического параболоида — косой плоскости (рис. 42). Требуется построить ее горизонтальную проекцию.

Решение:

Каждую из отмеченных во фронтальной проекции точек 1-4 кривой определяем с помощью прямолинейных образующих поверхности.

Видимость кривой в горизонтальной проекции не устанавливаем, считая поверхность гиперболического параболоида прозрачной.

Пересечение фигур

Фигурой пересечения прямой и плоскости является точка, двух плоскостей — примам линия, прямой и поверхности — две точки, плоскости и поверхности — крипая или ломаная линия.

Среди множества точек, принадлежащих кривым пересечения, выделяют характерные и случайные точки.

Алгоритм построения точек общих для двух пересекающихся фигур различен в зависимости от того, какое положение этифигуры занимают относительно данных плоскостей проекций, общее или проецирующее.

Если обе пересекающиеся фигуры или одна из них проецирующие, то алгоритм решения упрощается, так как в этом случае одна или две проекции искомой фигуры пересечения совпадают с вырожденными проекциями проецирующих фигур.

Другие проекции искомых точек фигуры пересечения находят по двум отмеченным их проекциям или же, в случае если одна фигура проецирующая, по принадлежности этих точек фигуре общего вида, участвующей в данном пересечении.

В том случае, если пересекаются две геометрические фигуры общего вида, то для получения точек общих для них используют способ посредников, плоскостей или поверхностей.

Рассмотрим три варианта решения задач на пересечение фигур при их различном положении относительно данных плоскостей проекций.

Если пересекаются две фигуры, занимающие относительно данных плоскостей проекций проецирующее положение, то две проекции искомой фигуры пересечения совпадают с вырожденными проекциями проецирующих фигур, третью прсекцию находят по двум отмеченным.

Пример задачи №18.

Построить линию пересечения поверхности цилиндра с плоскостью (рис. 44).

Решение:

Анализируя пересекающиеся фигуры, устанавливаем, что боковая поверхность цилиндра горизонтально проецирующая, я плоскость фронтально проецирующая. Отсюда следует, что горизонтальная проекция фигуры пересечения совпадает с вырожденной проекцией цилиндра, т.е. с окружностью, фронтальная — со следом .

Наметив на фронтальной и горизонтальной проекциях фигуры пересечения ряде точек (точки 1-5), строим их профильные проекции (см. значение для точки 4). Кривой пересечения будет эллипс.

Пример задачи №19.

Построить линию пересечения двух цилиндров (рис. 45).

Решение:

Меньший цилиндр горизонтально проецирующий, больший — профильно проецирующий, следовательно горизонтальные и профильные проекции точек, принадлежащих линии пересечения, могут быть отмечены ла соответствующих вырожденных проекциях цилиндров.

Фронтальную проекцию искомой линии находим но двум имеющимся проекциям (см. и ).

Пересекаются две геометрические фигуры из которых одна общего положения, другая — проецирующая

В этом случае одна проекция фигуры пересечения совпадаете вырожденной проекцией проецирующей фигуры, другую ее проекцию находим по принадлежности искомых точек фигуре общего вида, участвующей в пересечении,

Пример задачи №20.

Построить пересечение прямой с плоскостью (рис. 46 а).

Решение:

Так как прямая фронтально проецирующая, то фронтальная проекция искомой точки (рис. 46 б) совпадает с вырожденной проекцией прямой . Горизонтальную проекцию находим по принадлежности точки фигуре общего вида, т.е. плоскости . Делаем это с помощью вспомогательной прямой 1-2.

Видимость прямой относительно безграничной непрозрачной плоскости устанавливается по правилу конкурирующих точек (см. ). Проекция выше, а значит проекция в окрестности выбранных конкурирующих точек будет невидима. Видимость проекции прямой меняется после точки пересечения.

Пример задачи №21.

Построить линию пересечения двух плоскостей и (рис. 47 а).

Решение:

— горизонтальная плоскость и в тоже время фронтально проецирующая, следовательно, фронтальная проекция линии пересечения совпадает со следом (рис. 47 б ), горизонтальную проекцию строим по принадлежности этой линии фигуре общего вида, т.е плоскости .

Пример задачи №22.

Определить точки пересечения прямой с поверхностью конуса (рис. 48).

Решение:

Прямая — фронтально проецирующая, значит . проекции и находим по принадлежности искомых точек поверхности общего вида, т.е. конусу, для чего используем вспомогательные образующие .

Пример задачи №23.

Построить линию пересечения наклонного цилиндра с плоскостью (рис. 49).

Решение:

Искомая линия будет кривой. Плоскость — горизонтально проецирующая, следовательно, горизонтальная проекция искомой кривой совпадает со следом

Отмечаем на следе точки, подлежащие определению во фронтальной проекции, выделив при атом обязательно точки, принадлежащие очерковым образующим.

Каждую изотчеченнык точек находим во фронтальной проекции по принадлежности поверхности цилиндра. Делаем это с помощью образующих цилиндра.

Проследите по чертежу за этими построениями. Точки принадлежат горизонтальному очерку цилиндра, — фронтальному очерку. Точки 1, 2 — случайные.

Заметим, что видимой считаем точку, которая принадлежит видимой на данной проекции образующей. Точки 1, 2 во фронтальной проекции обе невидимы, в горизонтальной точка 2 — видима, — невидима.

Пример задачи №24.

Построить линию пересечения тора и цилиндра (рис. 50).

Решение:

Цилиндр — профильно проецирующий, следовательно с его профильной проекцией совпадает профильная проекция искомой линии пересечения.

Намечаем на ней точки, подлежащие определению в других проекциях, и находим каждую ил них по принадлежности фигуре общего вида, т.е. поверхности тора. Делаем это с помощью окружностей — параллелей,

Точки — характерные, Точки определяют видимость кривой в горизонтальной проекции, Точки 1,2- случайные.

Пример задачи №25.

Построить линию пересечения пирамиды и цилиндра (рис. 51).

Решение:

Цилиндр — горизонтально проецирующий, следовательно его горизонтальной проекцией совпадает горизонтальная проекция искомой линии. Фронтальные проекции точек, отмеченных на этой линии, находим по принадлежности и к поверхности пирамиды. Делаем Это с помощью линий, параллельны основанию пирамиды.

Проследите за этими построениями на примере точек I, 2.

Пример задачи №26.

Построить линию пересечения тора и призмы (рис. 52).

Решение:

Призма — горизонтампроецирующая, следовательно с ее горизонтальной проекцией совпадает горизонтальная проекция искомой линии пересечения.

Намечаем на ней точки 1-4, подлежащие определению но фронтальной и профильной проекциях

Точка 3 — случайная. Ее фронтальная проекция построена с помощью окружности — параллели, проведенной через эту точку. Радиус параллели для точки 3 определяется положением точки .

Точка 2 принадлежит фронтальному очерку тора. Радиус параллели для точки 4 определяется положением точки .

Самоконтроль 10. Назовите плоскость, которая пересекает поверхность конуса по гиперболе (рис. 53).

Ответ: 10 а — плоскость (с. 55). 10 б — плоскость (с. 56).

Пересекаются две геометрические фигуры общего положения

Для построения проекций их пересечения используют способ посредников. Посредником может быть плоскость или поверхность*

Сущность способа посредников следующая.

Обе заданные фигуры и (рис. 54) пересекают посредником , находят линии и пересечения заданных фигур с посредником и в пересечении полученных линий отмечают точки , общие для пересекающихся фигур.

При выборе посредника руководствуются тем, чтобы линии, получаемые в пересечении посредника с заданными фигурами, был и графически простыми. Количество посредников зависит от вида пересекающихся фигур,

В случае пересечения прямой с плоскостью или поверхностью плоскость посредник, чаще всего проецирующую, проводят через прямую (рис. 55).

Использование плоскостей посредников

Пример задачи №27.

Определить точку пересечения прямой с плоскостью (рис. 56 а).

Решение:

Так как прямая и плоскость — фигуры общего вида, то для решения задачи используют способ посредников.

Посредник, плоскость проводим через прямую (см. рис. 56 б) и строим линию пересечения посредника с заданной плоскостью , линию . Линию определяют точки 1, 2.

В пересечении линии с заданной прямой отмечаем искомую точку .

Видимость прямой относительно непрозрачной плоскости устанавливаем по правилу конкурирующих точек. Так видимость прямой в горизонтальной проекции определяем с помощью горизонтально конкурирующие точек 3, 4 (см, ).

Так как точка 3, принадлежащая прямой , т.е. плоскости во фронтальной проекции расположена выше, чем точка 4, принадлежащая прямой , то плоскость закрывает в горизонтальной проекции прямую , следовательно, прямая в этой части чертежа невидима.

Во фронтальной проекции видимость прямой относительно непрозрачной плоскости устанавливаемой по фронтально конкурирующим точкам Так как проекция ближе к глазу наблюдателя, чем проекция то прямая в этой части чертежа видима.

Пример задачи №28.

Определить точки пересечения прямой с поверхностью вращения (рис.57).

Решение:

Так как пересекаются геометрические фигуры общего вила, то через прямую, также как и в предыдущем примере, проводим фронтально проецирующую плоскость и строим линию пересечения плоскости-посредника с поверхностью вращения, линию . В пересечении полученной линии с прямой отмечаем искомые точки .

Проекции — видимые, — невидимая.

Пример задачи №29.

Определить линию пересечения двух плоскостей (рис.58).

Решение:

Обе плоскости общего положения, поэтому дли определении точек и , общих для них, используем способ посредников. В качестве посредников выбраны плоскости и .

Пример задачи №30.

Определить линию пересечении сферы и тора (рис. 59).

Решение:

Обе поверхности общею вида, поэтому дли решении задачи используем способ посредников.

Посредники, плоскости и перпендикулярны плоскости и оси тора .

Плоскость пересекает сферу и тор по окружностям и , радиусы которых определяют точки и . В пересечении окружностей получаем точки, общие для сферы и тора, точки 1, 2.

С помощью посредника получаем точку , положение которой в горизонтальной проекции определяет переход кривой от ее видимой части к невидимой.

Использование сфер-посредников

Соосные поверхности пересекаются по окружностям. Сфера соосна с любой поверхностью вращения, если ее центр расположен на оси поверхности вращении.

Использование концентрических сфер в качестве посредников возможно, ели (рис. 60);

пересекаются поверхности вращения; оси поверхностей вращения пересекаются;

плоскость, образованная осями пересекающихся поверхностей, параллельна плоскости проекций.

На рис. 60 а показано определение точек общих для конуса и цилиндра , с помощью введения посредника — сферы Сфера пересекает конус по окружностям и , цилиндр по окружностям и . В их пересечении отмечаем точки общие для сферы , конуса и цилиндра,

На рис. 60 б построена линия пересечения конуса и цилиндра.

Проведено множество сфер- посредников, среди которых особо нужно выделить сферу с , который определяется размером максимальной нормали.

Горизонтальные проекции полученных точек определяем исходя из принадлежности их поверхности конуса.

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Теорема г. монжа

Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности, второго порядка или вписаны а нее), то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания.

На рис- 61 построены проекции линии пересечения конуса и цилиндра, описанных вокруг сферы.

Линией их пересечения являются два эллипса, фронтальные проекции которых изображаются на чертеже в виде прямых линий.

На рис. 62, 6J даны примеры пересекающихся поверхностей, когда проекции линии пересечения, согласно теореме Г.Монжа, представляют собой отрезки прямых линий.

Примеры решения задач по всем темам начертательной геометрии

Начертательная геометрия – это раздел геометрии, в котором пространственные фигуры изучаются с помощью их изображений на плоскости (чертежей). Разработка методов построения и чтения чертежей, решения геометрических и технических задач является предметом изучения начертательной геометрии. В начертательной геометрии используются графические методы решения задач, поэтому к чертежам предъявляются особые требования – обратимость, точность, наглядность и другие.

Правила построения изображений фигур основано на методе проецирования. Наиболее распространенными в начертательной геометрии являются чертежи, полученные при проецировании фигур на две плоскости – комплексные чертежи в системе двух плоскостей проекций. Под фигурой будем понимать любое множество точек.

Изображением точки, которая является элементом фигуры, является пара точек – две связанные между собой проекции точки. Каждой точке пространства соответствует единственная пара точек плоскости чертежа и каждой паре точек плоскости чертежа соответствует единственная точка пространства. Пара точек плоскости чертежа является геометрической моделью точки пространства.

Изображения фигур пространства, получаемые методами начертательной геометрии, являются геометрическими моделями этих фигур на плоскости. Между фигурой и ее изображением устанавливается строгая геометрическая связь, что позволяет судить о форме и размерах фигуры по ее изображению.

Задачи в начертательной геометрии обычно делятся на позиционные (задачи на определение общих элементов заданных фигур), метрические (задачи на определение значений геометрических величин – длин отрезков, размеров углов и т.д.) и конструктивные (задачи на построение фигур, удовлетворяющих заданным условиям). Знание элементарной геометрии, методов решения позиционных и метрических задач дает возможность решать и конструктивные задачи.

Метод проекций

Для того чтобы чертеж соответствовал изображаемому предмету и передавал его свойства, он должен быть построен по определенным геометрическим законам. Правила построения изображений в инженерной геометрии основаны на методе проекций.

Метод проекций предполагает наличие плоскости проекций, объекта проецирования и проецирующих лучей.

Проекцией точки на плоскость называется точка пересечения с этой плоскостью проецирующего луча , проходящего в пространстве через точку (рис. 1.1).

Различают два метода проецирования: центральное и параллельное.

Центральное и параллельное проецирование

При центральном проецировании все проецирующие лучи проходят через точку , называемую центром проекций и не лежащую в плоскости проекций. Для построения проекций некоторых точек (рис. 1.2) проводим через эти точки и центр проекций проецирующие лучи до пересечения с плоскостью . На плоскости проекций каждой точке будет соответствовать единственная точка — проекции .

Центральное проецирование обладает наглядностью, оно используется при построении изображений архитектурно-строительных объектов, но даст значительное искажение размеров, вследствие чего не применяется для выполнения чертежей.

При параллельном проецировании проецирующие лучи параллельны заданному направлению (рис. 1.3). Точки пересечения проецирующих лучей, проходящих через точки с плоскостью проекций — параллельные проекции на плоскости .

Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай центрального при бесконечно удаленном центре проекций. В зависимости от направления проецирующих лучей относительно плоскости проекций параллельное проецирование может быть прямоугольным (проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций) и косоугольным (проецирующие лучи составляют с плоскостью проекций угол, не равный ).

Прямоугольной (ортогональной) проекцией точки (рис. 1.4) является основание перпендикуляра , проведенного из точки на плоскость . Динамический рисунок с перемещением точек и в пространстве относительно плоскости проекций можно посмотреть здесь.

Ортогональное проецирование имеет ряд преимуществ перед центральным и косоугольным параллельным проецированием.

Для разработки чертежей применяется в основном прямоугольное (ортогональное) проецирование. Прямоугольное проецирование включает в себя все свойства центрального и параллельного проецирования.

1. Каждая точка и прямая в пространстве имеют единственную проекцию на плоскости, так как через любую точку в пространстве можно провести только один проецирующий луч (рис. 1.4).
2. Каждая точка на плоскости проекций может быть проекцией множества точек, если через них проходит общий проецирующий луч (рис. 1.5).
3. Если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит проекции этой прямой (рис. 1.6).

1. Отношение отрезков прямой равно отношению их проекций (рис. 1.6):

1. Проекции параллельных прямых параллельны. Если , то (рис. 1.7). Если прямая перпендикулярна плоскости проекций, то проекцией этой прямой является точка (прямая , рис. 1.8).

1. Если отрезок прямой параллелен плоскости проекций, то на эту плоскость отрезок проецируется в натуральную величину (прямая , рис. 1.8).

Точка в системе двух и трех плоскостей проекций

Возьмем в пространстве две взаимно перпендикулярные плоскости. Одна из них располагается горизонтально — ее называют горизонтальной плоскостью проекций и обозначают буквой . Другая плоскость перпендикулярна горизонтальной и называется фронтальной плоскостью проекций. Эта плоскость обозначается буквой (рис. 1.9). Линия пересечения плоскостей проекций называется осью проекций. Ось проекций разделяет каждую из плоскостей на две полуплоскости.

Спроецируем точку на плоскости проекций и . Горизонтальной проекцией точки называют прямоугольную проекцию точки на горизонтальной плоскости проекций. Горизонтальную проекцию находим как точку пересечения перпендикуляра, проведенного из точки , с плоскостью . Обозначим ее символом . Проведем из точки в плоскости перпендикуляр на ось и отметим вспомогательную точку .

Фронтальной проекцией точки называют прямоугольную проекцию точки на фронтальной плоскости проекций. Фронтальную проекцию находим как точку пересечения перпендикуляра, проведенного из точки , с плоскостью . Обозначим ее .

Для получения плоского чертежа точки необходимо совместить плоскость с плоскостью поворотом вокруг оси . При этом отрезки и образуют один отрезок , перпендикулярный к оси . Отрезок называется линией проекционной связи (рис. 1.10). Без обозначения плоскостей и этот чертеж будет выглядеть так, как показано на рис. 1.11. Полученный чертеж имеет название эпюр Монжа (Epure — чертеж (франц.)), в честь основоположника начертательной геометрии французского ученого Гаспара Монжа.

Иногда двух проекций геометрического элемента бывает недостаточно, чтобы определить его форму и истинные размеры. Тогда выполняют построение изображения на третьей плоскости. Введем в систему , третью плоскость проекций, перпендикулярную плоскостям и . Ее называют профильной плоскостью проекций и обозначают (рис. 1.12).

Три взаимно перпендикулярные плоскости проекций называются координатными плоскостями. Они пересекаются по трем взаимно перпендикулярным прямым которые называются осями координат и обозначаются . Общая точка — начало координат.

Рассмотрим построение трех проекций некоторой точки пространства. Зададимся произвольной точкой (рис. 1.12). Проецирование на плоскости и выполняется аналогично приведенному выше примеру проецирования точки на две плоскости проекций. Профильной проекцией точки является прямоугольная проекция точки на профильной плоскости проекций . Обозначим ее .

Часто с осями проекций совмещают декартову систему координат. Из рис. 1.12 видно, что:

(высота точки — аппликата);

(глубина точки — ордината);

(широта точки — абсцисса).

Чтобы перейти к плоскому изображению, повернем плоскость вниз вокруг оси и плоскость яз вправо вокруг оси до совмещения с плоскостью . При развороте плоскостей и ось воспроизводится дважды.

На рис. 1.13 показано расположение проекций точки после совмещения плоскостей проекций.

Прямые, соединяющие на чертеже две проекции одной и той же точки, являются линиями проекционной связи, между и — вертикальная линия связи, между и — горизонтальная линия связи, между проекциями и — ломаная линия связи. Переход от оси плоскости к оси плоскости может осуществляться при помощи дуги или вспомогательной прямой, проведенной под углом к оси .

На рис. 1.14 выполнено построение профильной проекции точки по заданной горизонтальной и фронтальной . Построение выполняется следующим образом.

1. Проводим через проекцию горизонтальную линию связи, на которой находится профильная проекция .
2. Проводим ломаную линию связи через до пересечения с горизонтальной линией связи, проведенной через фронтальную проекцию .

Профильную проекцию можно получить, откладывая на горизонтальной линии связи от точки отрезок, равный координате .

Как известно, положение точки в пространстве может быть задано при помощи трех ее координат (абсциссы , ординаты , аппликаты ), т. е. трех чисел, выражающих расстояния от этой точки до трех плоскостей проекций. Запись координат точки производится в такой форме: . Например, задана точка . Эта запись означает, что точка определяется координатами .

Если масштаб для построения чертежа задан или выбран, то построение проводят так, как показано на рис. 1.13, 1.14 — откладывается на оси от точки отрезок , а на перпендикуляре к этой оси, проведенном из точки ,откладывают отрезки и . Затем строят профильную проекцию , как описано выше.

Проекции отрезка прямой линии

Как известно из элементарной геометрии, прямая линия определяется двумя точками, поэтому чтобы построить проекции этой прямой, необходимо иметь проекции двух точек, принадлежащих этой прямой.

Возьмем на произвольной прямой две точки и (рис. 1.15). Их проекции и на плоскости по определяют прямую, которую можно рассматривать как линию пересечения плоскости с плоскостью , определяемой прямой и проецирующими лучами и . Линия пересечения плоскостей и проходит через проекции и на плоскости . Эта линия и является проекцией прямой на плоскости проекций .

Одна проекция прямой не определяет ее положения в пространстве. Для однозначного определения прямой в пространстве необходимы как минимум две проекции.

Прямые общего и частного положения

Прямые в пространстве могут занимать относительно плоскостей проекций различное положение. Прямую, не параллельную ни одной из плоскостей проекций, называют прямой общего положения. На рис. 1.16, а дано пространственное изображение, а на рис. 1.16,6-чертеж прямой .

Точки и находятся на разных расстояниях от каждой из плоскостей проекций, т. е. прямая не параллельна ни одной из них. Значит, прямая общего положения.

На представленном примере показан перемещающийся в пространстве отрезок и его проекции на три плоскости.

По двум известным проекциям отрезка прямой всегда можно построить третью проекцию, так как любая пара проекций содержит все три координаты конечных точек отрезка.

Прямые, параллельные или перпендикулярные к плоскостям проекций, называются прямыми частного положения.

Прямая, параллельная плоскости проекций, называется прямой уровня. Существуют три линии уровня.

Прямая, перпендикулярная к плоскостям проекций, называется проецирующей. Различают три вида проецирующих прямых.

Определение натуральной величины отрезка прямой и углов наклона прямой к плоскостям проекций

Отрезки прямых общего положения не проецируются в натуральную величину ни на одну из плоскостей проекций. Длину (натуральную величину — ) отрезка можно определить на основании свойства ортогонального проецирования.

Из рисунка 1.17 видно, что натуральная величина отрезка общего положения является гипотенузой прямоугольного треугольника . В этом треугольнике один катет параллелен плоскости и равен по длине горизонтальной проекции отрезка , а величина второго катета равна разности расстояний точек и до плоскости проекций , т. е. .

Угол — угол наклона отрезка к горизонтальной плоскости проекций .

Таким образом, на горизонтальной проекции отрезка (рис. 1.18) можно построить прямоугольный треугольник, взяв вторым катетом . Гипотенуза этого треугольника будет натуральной величиной отрезка , а угол определяет угол наклона отрезка к горизонтальной плоскости проекций .

Аналогичное построение можно сделать на фронтальной плоскости проекций, взяв в качестве второго катета разность расстояний концов отрезка () до фронтальной плоскости проекций . Отрезок -натуральная величина отрезка , угол — угол наклона к плоскости .

Относительное положение точки и прямой

Точка и прямая в пространстве могут занимать различное положение относительно друг друга. Если точка принадлежит прямой, то проекции этой точки лежат на одноименных проекциях данной прямой. Точка принадлежит прямой (рис. 1.19), так как се проекции и лежат на одноименных проекциях прямой и . Точки не принадлежат прямой , так как одна из проекций этих точек не лежит на соответствующей проекции прямой.

Задание плоскости на чертеже

Плоскостью называется поверхность, образуемая перемещением прямой линии, которая движется параллельно самой себе по неподвижной направляющей прямой.

На чертеже плоскость можно изобразить только в том случае, если она проецируется в линию. На рис. 1.20 плоскость , расположенная перпендикулярно к плоскости , проецируется на нее прямой линией .

Если плоскость не перпендикулярна к плоскости проекций, то изобразить ее на чертеже невозможно, так как проекции плоскости занимают полностью всю плоскость проекций.

Однако ее можно задать на чертеже, изобразив отдельные геометрические элементы, определяющие ее.

Такими элементами являются:

• три точки, не лежащие на одной прямой (рис. 1.21, а);
• прямая и точка, не лежащая на ней (рис. 1.21, б);
• пересекающиеся прямые (рис. 1.21, в);
• две параллельные прямые (рис. 1.21, г);
• плоская фигура (рис. 1.21, <)).

Плоскости общего и частного положения

Плоскость, не перпендикулярную ни к одной из плоскостей проекций, называют плоскостью общего положения (рис. 1.22). Эти плоскости имеют наибольшее распространение. Причем плоскость не ограничивается задающей ее плоской фигурой, а является бесконечной (если иное не оговорено в условии задачи).

К плоскостям частного положения относятся плоскости, перпендикулярные или параллельные плоскостям проекций.

Если плоскости перпендикулярны к одной из плоскостей проекций, то они называются проецирующими.

Различают горизонтально-проецирующую, фронтально-проецирующую и профильно-проецирующую плоскости.

Плоскости, параллельные какой-либо плоскости проекций, называются плоскостями уровня.

К ним относятся:

1. горизонтальная плоскость уровня — параллельная плоскости проекций ;
2. фронтальная плоскость уровня — параллельная плоскости ;
3. профильная плоскость уровня — параллельная плоскости .

Прямая и точка в плоскости

К числу основных задач, решаемых на плоскости, относятся: построение прямой, принадлежащей заданной плоскости; построение недостающих проекций точки, лежащей в плоскости. Решение указанных задач основано на известных положениях геометрии, перечисленных ниже.

• Прямая принадлежит плоскости, если две ее точки принадлежат этой плоскости.

Например, плоскость задана параллельными прямыми и (горизонтальные проекции и фронтальные проекции на рис. 1.23). Требуется построить горизонтальную проекцию прямой , лежащей в этой плоскости, если известна ее фронтальная проекция .

Прямые лежат в одной плоскости, поэтому точки и являются точками пересечения соответственно прямых и и и . По линиям связи определяем горизонтальные проекции точек и . Через проекции точек и проводим горизонтальную проекцию прямой.

1. Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку этой плоскости параллельно какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости.

Например, плоскость задана треугольником (проекции и на рис. 1.24). Требуется построить прямую, лежащую в плоскости и проходящую через точку . Через точку проводим прямую , параллельную .

Следует отметить, что через точку в плоскости треугольника можно провести множество прямых.

Точка принадлежит плоскости, если она находится на прямой, лежащей в этой плоскости. Например, необходимо определить фронтальную проекцию точки , принадлежащей плоскости, заданной треугольником (рис. 1.25). Через точку проведем горизонтальную проекцию прямой и построим . Проекции точки принадлежат одноименным проекциям прямой . По линии связи находим фронтальную проекцию точки .

Прямые особого положения в плоскости

К числу прямых, занимающих особое положение в плоскости, относятся горизонтали, фронтали, профильные линии. Прямая, принадлежащая данной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций , называется горизонталью плоскости. Фронтальная проекция горизонтали параллельна оси . Построение проекций горизонтали треугольника , представленного проекциями и на рис. 1.26, начинается с проведения из вершины фронтальной проекции горизонтали , затем по линиям проекционной связи строится горизонтальная проекция .

На рис. 1.27 построение фронтали (линии, параллельной фронтальной плоскости проекций) треугольника удобно начать с горизонтальной проекции , затем с помощью линий проекционной связи строится фронтальная проекция .

Задачи с решением №1

Задача №1.

По заданным координатам точки построить ее проекции.

Решение:

По оси откладываем (точка на рис. 1.28). В точке восстанавливаем перпендикуляр к оси (линия связи) и, отложив на нем и , получаем — горизонтальную и — фронтальную проекции точки .

Затем из точки проведем перпендикуляр к оси (точка ). Радиусом переносим точку на ось на профильной проекции.

Из точки проводим горизонтальную линию связи. В пересечении линий связи получим точку — профильную проекцию точки .

Задача №2.

Через точку (проекции и на рис. 1.29) провести фронтальную прямую длиной под углом к плоскости и отложить на ней отрезок .

Решение:

Прямая параллельна фронтальной плоскости проекций яг и спроецирустся на эту плоскость в натуральную величину.

Из точки проводим прямую под углом к оси и откладываем на ней отрезок .

На фронтальной проекции откладываем отрезок . По линии связи определяем горизонтальную проекцию точки .

Вопросы для контроля

1. Как называются и обозначаются плоскости проекций?
2. Сформулируйте основные свойства прямоугольного проецирования.
3. Какие координаты определяют положение фронтальной проекции точки?
4. Какая прямая называется прямой общего положения?

Относительное положение двух прямых в пространстве

Прямые в пространстве могут занимать различное взаимное положение — они могут быть параллельными, пересекаться и скрещиваться. Из свойств параллельного проецирования следует, что если прямые параллельны (рис. 2.1), то их проекции также параллельны. На рис. 2.2 приведен чертеж параллельных прямых и . Проекции .

Если прямые в пространстве пересекаются, то их проекции также пересекаются и точка пересечения лежит на одной общей линии связи. Пересекающиеся прямые и , приведенные на рис. 2.3, а, имеют общую точку .

Поэтому горизонтальная () и фронтальная (К») проекции этой точки лежат на пересечении одноименных проекций данных прямых. На рис. 2.3, б проекции точки и соединены линией связи (находятся на одном перпендикуляре к оси проекций).

Если две прямые не параллельны и не пересекаются, то они называются скрещивающимися. Как видно из рис. 2.4, а и б, горизонтальные проекции точек и прямых и , заданных проекциями и , и фронтальные проекции точек и сливаются в одну, так как расположены на одной проецирующей прямой. Но эти точки пересечения одноименных проекций ( и ) не являются общими для двух прямых, и, следовательно, прямые и скрещиваются.

Пары точек и , лежащие на горизонтально-проецирующей прямой, или и , лежащие на фронтально-проецирующей прямой, называются конкурирующими.

Параллельность прямой и плоскости

Прямая, не лежащая в плоскости, может быть параллельна плоскости или пересекаться с ней. Решение вопроса о параллельности прямой и плоскости основывается на следующем свойстве: прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскости.

Задача и решение №2

Через точку требуется провести горизонтальную прямую, параллельную плоскости треугольника (рис. 2.5).

Построение следует начинать с проведения в плоскости треугольника произвольной прямой — горизонтали , например через вершину .

Затем через заданную точку проводим прямую , параллельную .

Если заданы плоскость и прямая, то для определения их параллельности нужно попытаться построить в плоскости прямую, параллельную заданной.

Параллельность двух плоскостей

Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые, принадлежащие одной плоскости, параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Так, на рис. 2.6 плоскость треугольника параллельна плоскости двух пересекающихся прямых и , проходящих через точку , так как две стороны и соответственно параллельны прямым и .

Задача:

Через точку требуется провести плоскость, параллельную плоскости параллельных прямых и (рис. 2.7, а).

Решение. Через точку проводим прямую , параллельную прямым и , задающим плоскость (рис. 2.7, б).

Для того чтобы получить вторую прямую, проводим в заданной плоскости произвольную прямую 1-2. Затем проводим через точку прямую , параллельную прямой 1-2. Прямые и пересекаются и параллельны двум пересекающимся прямым заданной плоскости, следовательно, плоскости параллельны.

Пересечение двух плоскостей

Линией пересечения двух плоскостей является прямая, которая строится по двум точкам, общим для обеих плоскостей (рис. 2.8). Линия пересечения, по которой пересекаются между собой две плоскости, проходит через точки и , в которых прямые и плоскости треугольника пересекают вторую плоскость, т. е. точки и принадлежат обеим плоскостям.

Для нахождения точек пересечения приходится выполнять целый ряд вспомогательных построений.

На рис. 2.9 приведен пример построения линии пересечения двух плоскостей: плоскости общего положения, заданной треугольником , и фронтально-проецирующей плоскости треугольника . В данном случае решение упрощается, так как одна из плоскостей занимает частное положение. Общими точками для этих двух плоскостей будут точки пересечения и сторон и треугольника с «вырожденной» проекцией треугольника . Фронтальная проекция линии пересечения совпадает с проекцией . Горизонтальные проекции и строятся при помощи линий связи.

При рассмотрении фронтальных проекций видно, что часть треугольника расположена над проекцией и на горизонтальной проекции будет видна («накрывает» плоскость треугольника ). Часть располагается под и «накрывается» плоскостью треугольника .

Теперь рассмотрим общий случай построения линии пересечения двух плоскостей. Пусть в пространстве (рис. 2.10) заданы две плоскости общего положения и , плоскость — двумя пересекающимися прямыми и , плоскость — двумя параллельными прямыми и . Для построения линии их пересечения необходимо найти две точки, общие для обеих плоскостей.

Для определения этих точек заданные плоскости пересекают двумя вспомогательными плоскостями. В качестве таких плоскостей применяют плоскости частного положения. В данном случае использованы горизонтальные плоскости и . Плоскость пересекает плоскости и по горизонталям 1-2 и 3-4 соответственно. Эти горизонтали, пересекаясь, определяют точку , общую для плоскостей и . Вторая вспомогательная плоскость пересекает заданные плоскости по горизонталям 5-6 и 7-8, которые, пересекаясь, определяют вторую общую точку . Прямая — искомая линия пересечения плоскостей и . На рис. 2.11 описанный метод применен для решения этой задачи на проекционном чертеже.

Пересечение прямой линии с плоскостью частного положения

Так как плоскости частного положения проецируются на перпендикулярную к ней плоскость проекций в виде прямой линии, то на этой прямой должна находиться соответствующая проекция точки пересечения прямой с проецирующей плоскостью. Примеры определения точек пересечения прямой с плоскостью частного положения даны на рис. 2.12.

На рис. 2.12, а прямая общего положения пересекается с фронтально-проецирующей плоскостью, заданной треугольником . Фронтальная проекция точки пересечения находится в точке пересечения фронтальной проекции прямой с проекцией . Горизонтальная проекция построена при помощи линий связи.

На рис. 2.12,6 прямая общего положения пересекается с горизонтальной плоскостью , заданной проекцией . В этом случае фронтальная проекция точки пересечения определена в пересечении фронтальной проекции прямой с проекцией плоскости . Горизонтальная проекция построена при помощи линии связи.

Во всех случаях плоскость считается «непрозрачной» — та часть прямой, которая закрывается плоскостью, показывается штриховой линией.

Пересечение прямой с плоскостью общего положения

Для определения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения следует выполнить следующие построения:

• провести через прямую вспомогательную плоскость;
• построить линию пересечения вспомогательной плоскости с заданной;
• найти точку пересечения заданной прямой и построенной;
• определить видимые части проекций данной прямой.

На рис. 2.13 приведено построение точки пересечения прямой (проекции , ) с плоскостью, заданной треугольником (проекции ).

Через прямую проведена вспомогательная горизонтально-проецирующая плоскость . По горизонтальным проекциям и точек 1 и 2 находим фронтальные и , соединяя которые получаем фронтальную проекцию линии пересечения . Проекция пересекает фронтальную проекцию в точке , с помощью линии связи определяем горизонтальную проекцию точки . Видимость прямой и плоскости на горизонтальной плоскости проекций определяется с помощью горизонтально-конкурирующих точек 2 и 3. Точка 2 лежит на стороне а 3 — на прямой .

Их фронтальные проекции и показывают, что точка 2 находится ниже точки 3, поэтому на горизонтальной плоскости проекций горизонтальная проекция точки 2 будет закрыта проекцией точки 3. Отсюда следует, что проекция расположена ниже проекции и участок этой прямой с левой стороны до будет видимым. Относительную видимость на фронтальной плоскости проекций можно определить с помощью фронтально-конкурирующих точек 4 и 5.

На рис. 2.14 изображена горизонтально-проецирующая прямая , пересекающаяся с плоскостью общего положения, заданной треугольником .

Положение горизонтальной проекции точки пересечения известно а положение фронтальной проекции определено при помощи прямой треугольника .

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.

На рис. 2.15 показано построение перпендикуляра из точки к плоскости треугольника . Направление проекций перпендикуляра определяется горизонталью (прямая ) и фронталью (прямая ) плоскости треугольника.

Горизонтальная проекция перпендикуляра проведена под прямым углом к проекции горизонтали, а фронтальная проекция расположена под прямым углом к фронтальной проекции фронтали.

Задача и решение №3

Пусть требуется построить плоскость, проходящую через точку и перпендикулярную данной прямой (рис. 2.16).

Искомую плоскость задаем двумя пересекающимися прямыми (горизонталью и фронталью ), проходящими через точку .

Горизонтальная проекция горизонтали перпендикулярна горизонтальной проекции прямой , фронтальная проекция фронтали перпендикулярна фронтальной проекции .

Если плоскости занимают частное положение, то перпендикуляры к этим плоскостям располагаются параллельно плоскостям проекций. Так, перпендикуляром к горизонтально-проецирующей плоскости (проекция ) является горизонталь (рис. 2.17, а). Фронтальная прямая перпендикулярна фронтально-проецирующей плоскости (проекция рис. 2.17, б). Горизонтально-проецирующая прямая является перпендикуляром к горизонтальной плоскости (проекция рис. 2.17, в).

Взаимно перпендикулярные прямые общего положения образуют прямой угол, который проецируется на плоскости проекций с искажением. В общем случае перпендикуляр к прямой можно построить с помощью плоскости, расположенной перпендикулярно к этой прямой.

На рис. 2.18 показано построение перпендикуляра из точки к прямой . Сначала через точку проводим плоскость, перпендикулярную к прямой . Эта плоскость задается двумя пересекающимися прямыми: горизонталью и фронталью (при этом горизонтальная проекция перпендикулярна к горизонтальной проекции , а фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальной проекции ).

Затем определяем точку пересечения прямой с проведенной плоскостью. Для этого через прямую проводим фронтально-проецирующую плоскость , которая пересекает плоскость, заданную горизонталью и фронталью , по линии 1-2 (проекции .

В пересечении прямой 1-2 с прямой получается точка . Прямая является искомым перпендикуляром, так как пересекает прямую и находится в плоскости, перпендикулярной прямой .

При построении проекций перпендикуляра к прямым частного положения задача упрощается, так как одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекции и прямой угол на эту плоскость проекций проецируется без искажения.

Так на рис. 2.19, а показано построение проекций перпендикуляра, проведенного из точки к горизонтали . Горизонтальная проекция перпендикуляра располагается под прямым углом к горизонтальной проекции прямой . Фронтальная проекция определяется при помощи линий связи (точка принадлежит прямой ). На рис. 2.19, б показано построение проекций перпендикуляра, проведенного из точки к фронтально-проецирующей прямой . Построение фронтальной проекции перпендикуляра очевидно из рисунка, а его горизонтальная проекция перпендикулярна к горизонтальной проекции прямой .

Перпендикулярность двух плоскостей

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. На рис. 2.20 показано построение плоскости, перпендикулярной к плоскости, заданной треугольником . Дополнительным условием здесь служит то, что искомая плоскость должна проходить через прямую . Следовательно, искомая плоскость определяется прямой и перпендикуляром к плоскости треугольника. Для проведения этого перпендикуляра в плоскости взяты горизонталь и фронталь (). Через точку прямой проведены проекции перпендикуляра к плоскости .

Образованная пересекающимися прямыми и плоскость перпендикулярна к плоскости , так как проходит через перпендикуляр к этой плоскости.

Задачи с решением

Задача №1.

Построить фронтальную проекцию отрезка прямой , принадлежащую плоскости, заданной двумя параллельными прямыми и (рис. 2.21).

Решение:

Обозначим горизонтальные проекции точек пересечения прямой с прямыми и соответственно и .

По линиям связи определяем их фронтальные проекции и и проводим искомую проекцию .

На примере здесь можно проследить ход решения подобной задачи.

Задача №2.

В плоскости, заданной прямой и точкой , провести горизонталь на расстоянии 15 мм от горизонтальной плоскости проекций (рис. 2.22).

Решение:

Зададим исходную плоскость двумя пересекающимися прямыми. Для этого из точки проведем прямую , пересекающую прямую в точке . Затем на расстоянии 15 мм от оси проведем фронтальную проекцию горизонтали . По линиям связи определим горизонтальные проекции точек и и через них проведем горизонтальную проекцию горизонтали.

Задача №3.

Построить линию пересечения двух плоскостей, заданных треугольниками и (условие на рис. 2.23).

Решение:

Для построения линии пересечения двух плоскостей общего положения используем вспомогательные плоскости. На рис. 2.24, а приведено построение линии пересечения .

Точка найдена как точка пересечения прямой с плоскостью треугольника . Для ее построения через сторону проведена фронтально-проецирующая плоскость (на рисунке проекция совпадает с проекцией ). Плоскость пересекает плоскость треугольника по прямой 1-2; точка получается как точка пересечения прямых и 1-2. Сначала находим горизонтальную проекцию точки , затем по линии связи строим фронтальную проекцию . Точка линии пересечения треугольников получена с помощью второй плоскости , которая проведена через прямую треугольника .

Фронтальная проекция совпадает с проекцией . Плоскость пересекает треугольник по линии 3-4. На пересечении прямых и 3-4 получается точка , принадлежащая линии пересечения двух треугольников. Сначала находится горизонтальная проекция точки , затем по линии связи определяется фронтальная проекция .

Для определения видимости сторон треугольников надо сравнить положение двух точек, из которых одна принадлежит стороне треугольника , вторая — стороне треугольника и у которых совпадают либо горизонтальные, либо фронтальные проекции (конкурирующие точки). В первом случае устанавливается, какая из этих точек «закрывает» другую по отношению к горизонтальной плоскости проекций, во втором — относительно фронтальной плоскости проекций.

На рис. 2.24, б в качестве примера приведены две горизонтально-конкурирующие точки — и . У этих точек совпадают горизонтальные проекции (). Но точка принадлежит стороне треугольника и расположена выше, чем точка , принадлежащая стороне треугольника . Следовательно, для наблюдателя, смотрящего на плоскость сверху, точка «закрывает» точку , а это значит, что данная часть треугольника , которой принадлежит точка , закрывает треугольник . Поэтому часть горизонтальной проекции стороны, закрытой треугольником , показывается штриховой линией.

Для определения видимости фронтальных проекций треугольников рассмотрим относительное положение двух фронтально-конкурирующих точек и (рис. 2.24, б), у которых фронтальные проекции совпадают .

Точка , расположенная на стороне треугольника , находится ближе к глазу наблюдателя, смотрящего на плоскость , чем точка , расположенная на стороне треугольника . Это значит, что часть треугольника , которой принадлежит точка , закрывает треугольник . Поэтому часть фронтальной проекции стороны , закрытой треугольником , показывается штриховой линией.

Вопросы для контроля

1. Какая плоскость называется плоскостью общего положения?
2. Какая плоскость называется проецирующей?
3. Как проверить принадлежность точки плоскости?
4. Какие линии в плоскости называются горизонталями, фронталями?
5. Каковы признаки параллельности прямой и плоскости, двух плоскостей?
6. Как построить точку пересечения прямой с плоскостью общего положения?

Способы преобразования проекций геометрических объектов

Решение задач значительно упрощается, если прямые линии и плоскости занимают частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае ответ получается или непосредственно по данному чертежу, или при помощи простейших построений.

Переход от общего положения геометрических элементов к частному выполняется следующими способами:

• введением дополнительных плоскостей проекций, расположенных либо параллельно, либо перпендикулярно рассматриваемому геометрическому элементу;
• изменением положения линии или плоской фигуры в пространстве при неизменной системе плоскостей проекций.

Основные задачи преобразования:

1. прямая линия общего положения становится прямой уровня;
2. прямая линия общего положения становится проецирующей прямой;
3. плоскость общего положения становится проецирующей плоскостью;
4. плоскость общего положения становится плоскостью уровня.

Способ замены плоскостей проекций

Сущность способа заключается в том, что положение заданных элементов (точек, линий, фигур, поверхностей) в пространстве остается неизменным, а система плоскостей проекций дополняется новыми плоскостями, по отношению к которым элементы задачи (прямая, плоскость) занимают частное положение.

На рис. 3.1 показана точка , заданная в системе плоскостей проекций . Заменим другой вертикальной плоскостью и построим новую фронтальную проекцию на эту плоскость. Так как плоскость проекций является общей для систем и , то координата точки остается неизменной. Следовательно, расстояние от новой фронтальной проекции до новой оси равно расстоянию от заменяемой проекции до оси . При этом проекция определена как основание перпендикуляра, опущенного из на . Горизонтальная проекция остается прежней, а координата в системе будет теперь иной и определяется расстоянием от точки до плоскости .

Для получения плоского чертежа плоскость вращением совмещается с . Также с совмещается новая фронтальная проекция , которая располагается на общем перпендикуляре с оставшейся без изменения горизонтальной проекцией (рис. 3.2).

Аналогично можно заменить горизонтальную плоскость проекций на новую, перпендикулярную . В этом случае измеряется величина координаты , которая определяет расстояние от точки до общей для двух систем плоскости .

Преобразование прямой общего положения в положение прямой уровня

Для преобразования прямой в прямую уровня (т. е. параллельную плоскости проекций) (рис. 3.3) вводят новую плоскость проекций так, чтобы ось проекций была параллельна какой-либо проекции (в данном случае — ). Затем проводятся линии связи перпендикулярно оси и откладываются координаты для построения проекций и , равные координатам проекций и . Новая проекция прямой даст натуральную величину отрезка и позволяет определить угол наклона этого отрезка к плоскости проекций . Угол наклона отрезка к фронтальной плоскости проекций можно определить, построив его изображение на дополнительной плоскости проекций (рис. 3.4). Ось параллельна фронтальной проекции отрезка . Проекция также будет представлять собой натуральную величину отрезка .

На примере здесь можно проследить последовательность построений при решении задачи с использованием способа замены плоскостей.

Преобразование прямой общего положения в проецирующую

Преобразование прямой общего положения в проецирующее положение требует двойной замены плоскостей проекций, так как плоскость, перпендикулярная прямой, не будет перпендикулярна ни к , и к .

На рис. 3.5 выполнено преобразование прямой общего положения в проецирующее. В результате первой замены происходит преобразование прямой в прямую, параллельную плоскости па- Для этого проводится новая ось проекций ‘ и находится проекция .

Затем выполняется вторая замена плоскостей проекций, переход к системе плоскостей . При этом ось проекций проводится перпендикулярно к . В результате прямая располагается перпендикулярно к плоскости проекций и проецируется в виде точки.

Преобразование плоскости общего положения в проецирующее положение

Известно, что если одна плоскость перпендикулярна другой, то она должна содержать прямую, перпендикулярную этой плоскости. В качестве такой прямой для преобразований плоскости в проецирующее положение следует взять прямую уровня, например горизонталь (рис. 3.6).

Плоскость , перпендикулярная к горизонтали и плоскости , является плоскостью, перпендикулярной к плоскости треугольника . Новая ось проекций проводится перпендикулярно проекции горизонтали . Затем определяются проекции вершин треугольника на плоскость . Проекция вырождается в прямую, что свидетельствует о том, что плоскость треугольника перпендикулярна плоскости . При этом угол наклона плоскости треугольника к плоскости на плоскость проецируется без искажения.

Аналогичное преобразование выполнено на рис. 3.7, где плоскость заменена плоскостью , перпендикулярной и плоскости треугольника . Для этого в плоскости проведена фронталь , перпендикулярно к которой располагается плоскость . Новая ось проведена перпендикулярно .

На линиях связи, проведенных из вершин треугольника перпендикулярно оси откладывают отрезки, равные Плоскость треугольника относительно стала проецирующей. Угол наклона плоскости треугольника к плоскости на плоскости проецируется без искажения.

Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня

Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня требует двойной замены плоскостей проекций, так как плоскость, параллельная заданной плоскости, не будет перпендикулярна ни ни , т. е. она не образует с плоскостью проекций ортогональной системы. На рис. 3.8 показано преобразование плоскости треугольника общего положения в положение уровня.

При первой замене ( па ) используется горизонталь треугольника . Новая ось проекций проводится перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали . Спроецировав треугольник на новую плоскость проекций , получим проекцию . Эти построения описаны выше.

На втором этапе преобразуем плоскость треугольника в плоскость уровня. Для этого перейдем от системы к системе . Новая плоскость устанавливается параллельно треугольнику, а значит, новая ось на чертеже проводится параллельно прямой, на которой расположены точки .

Через указанные точки проводят перпендикуляры — линии связи к новой оси и откладывают на них в плоскости отрезки, равные по длине расстояниям от оси до вершин и соответственно. Полученная проекция определяет истинную величину треугольника.

Подобные двойные преобразования используются для решения задач на определение углов при вершинах треугольника, построение высот и биссектрис его углов, центра вписанной (описанной) окружности и т. п., так как эти задачи требуют определения натуральных величин треугольников.

При вращении вокруг неподвижной прямой (оси вращения) каждая точка геометрического элемента перемещается в плоскости, перпендикулярной к оси вращения (плоскости вращения). Точка перемещается по окружности, центр которой находится в точке пересечения оси с плоскостью вращения, а радиус вращения равен расстоянию от вращаемой точки до центра. Если точка находится на оси вращения, то она остается неподвижной.

Вращение точки вокруг проецирующих прямых. На рис. 3.9 точка , вращаясь вокруг оси , описывает окружность, плоскость а которой перпендикулярна . Центр окружности (центр вращения) расположен в точке пересечения оси вращения с плоскостью , а радиус вращения равен длине отрезка .

Так как плоскость вращения параллельна плоскости , то проекция траектории вращающейся точки на плоскость представляет собой окружность радиуса , а на плоскость — отрезок прямой, параллельной оси . Через обозначено новое положение точки , которое она занимает после поворота на угол .

На рис. 3.10 приведен ортогональный чертеж точки , вращающейся вокруг горизонтально-проецирующей оси . После поворота на угол точка займет новое положение ( — плоскость вращения, — центр вращения, — радиус вращения).

Если ось вращения расположена перпендикулярно плоскости (рис. 3.11), то фронтальная проекция точки будет перемещаться по окружности, а горизонтальная — по прямой, перпендикулярной линиям связи. Новое положение точки, которое она занимает после поворота на угол — точка . Плоскость вращения — фронтальная плоскость .

Для поворота отрезка прямой на заданный угол необходимо повернуть на этот угол две точки, определяющие отрезок. Каждая из этих точек вращается в плоскости, перпендикулярной оси вращения, и будет иметь свой радиус вращения.

Плоскопараллельное перемещение отрезка

При плоскопараллельном перемещении все точки геометрической фигуры движутся в плоскостях, параллельных плоскости проекций, т. е. сохраняется основной принцип вращения вокруг проецирующих осей. На рис. 3.12 приведено наглядное изображение плоскопараллельного перемещения отрезка .

На рис. 3.12, а дано исходное положение отрезка — прямой, занимающей относительно плоскостей проекций общее положение. На рис. 3.12, б отрезок перемещен в новое положение, при этом точка движется в плоскости , точка — в плоскости . Обе плоскости параллельны горизонтальной плоскости проекций.

При таком перемещении угол наклона отрезка к плоскости сохраняется неизменным, поэтому не изменяется и длина горизонтальной проекции отрезка, т. е. . Последнее свойство имеет важное значение для решения задач.

На рис. 3.13 приведен пример плоскопараллельного перемещения отрезка в новое положение, параллельное фронтальной плоскости проекций. На этом чертеже отрезок перемещается в новое положение параллельно фронтальной плоскости проекций. При этом сначала перемещается в новое положение, параллельное оси , горизонтальная проекция отрезка, причем . Затем по линиям связи строится фронтальная проекция .

После перемещения отрезка в новое положение он станет параллельным плоскости и его новая фронтальная проекция будет равна натуральной величине. Соответственно, угол наклона проекции к оси проекций будет равен углу наклона отрезка к плоскости .

На рис. 3.14 приведено двойное плоскопараллельное перемещение отрезка с целью преобразования его в фронтально-проецирующее положение. Вначале произведено перемещение фронтальной проекции в положение, параллельное оси , причем . Отрезок занял положение, параллельное плоскости , и его горизонтальная проекция равна длине отрезка. Затем горизонтальная проекция перемещается в положение, перпендикулярное оси , причем .

Отрезок занял фронтально-проецирующее положение и его фронтальная проекция .

На рис. 3.15 показано перемещение треугольника , расположенного в плоскости общего положения, в положение плоскости уровня. При первом движении треугольник переводится во фронтально-проецирующее положение. Для этого в плоскости треугольника строится горизонтальная прямая , затем горизонтальная проекция перемещается в проецирующее положение (на свободном поле чертежа проводится отрезок перпендикулярно оси ).

В процессе перемещения размеры и форма горизонтальной проекции треугольника не изменяются. Построение вершин и выполняется засечками с помощью циркуля. Все вершины треугольника на фронтальной плоскости проекций перемещаются по горизонтальным линиям связи, пересечение которых с линиями связи, проведенными из соответствующих вершин новой горизонтальной проекции треугольника , образует новую фронтальную проекцию , перпендикулярную фронтальной плоскости проекций.

При втором движении все точки треугольника перемещаются в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций, в результате чего он займет положение горизонтальной плоскости уровня и его вырожденная фронтальная проекция расположится перпендикулярно линиям связи, оставаясь неизменной по длине. Новая горизонтальная проекция треугольника будет равна его натуральной величине.

Задачи с решением №4

Задача №1.

Определить расстояние между скрещивающимися прямыми и (рис. 3.16).

Решение:

Расстояние между скрещивающимися прямыми измеряется длиной перпендикуляра, общего к заданным прямым. Для решения задачи используем способ замены плоскостей проекций

Если в результате преобразования одна из прямых займет положение проецирующей относительно какой-либо плоскости проекций, т. е. будет представлять собой точку, то перпендикуляр, опущенный из этой точки на другую прямую, будет параллелен этой плоскости проекций и спроецируется на нее в натуральную величину. Прямая преобразуется в проецирующую двойной заменой плоскостей проекций.

Сначала построим проекции и на плоскости , расположенной параллельно прямой (проводим ).

Затем найдем проекции прямых и на плоскость , перпендикулярную прямой . На плоскость прямая спроецируется в точку ( ), а расстояние между нею и проекцией (отрезок ) будет искомой натуральной величинои расстояния между заданными прямыми.

Далее путем обратного проецирования строим проекцию отрезка на плоскость , при этом точку находим, проведя перпендикуляр из точки к проекции . Прямой угол здесь на искажается, так как проекция параллельна плоскости . С помощью линий связи находим проекции отрезка сначала на плоскости а затем на плоскости .

Задача №2.

Повернуть точку вокруг оси до совмещения ее с плоскостью общего положения, заданной пересекающимися прямыми ВС и CD (рис. 3.17).

Решение:

Точка вращается вокруг оси , перпендикулярной к плоскости проекций . Через точку проведена плоскость , перпендикулярная к оси вращения и, следовательно, параллельная . Горизонтальная плоскость пересекает заданную () по горизонтали . При вращении точка описывает окружность радиуса , величина которого определяется длиной перпендикуляра, проведенного из точки на ось.

Окружность проецируется на плоскость без искажения и пересекается с проекцией горизонтали в точках и , которые являются горизонтальными проекциями точки , т. е. задача имеет два решения.

По линиям связи находим фронтальные проекции точек и , лежащих на горизонтали .

Вопросы для контроля

1. Сформулируйте основные задачи преобразования чертежа.
2. Перечислите способы преобразования чертежа.
3. В чем заключается способ замены плоскостей проекций?
4. Как перемещаются проекции точки при вращении ее вокруг проецирующих осей?
5. В чем заключается способ плоскопараллельного перемещения?

Многогранники

Одним из видов пространственных форм являются многогранники — замкнутые пространственные фигуры, ограниченные плоскими многоугольниками. Эти многоугольники образуют грани. Общие стороны многоугольников называются ребрами’, вершины многогранных углов, образованных его гранями, сходящихся в одной точке, — вершинами многогранника. Наибольший практический интерес представляют собой призмы, пирамиды и правильные многогранники.

Призма — многогранник, две грани которого представляют равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами (основаниями) (рис. 4.1). Ребра, не принадлежащие основаниям и параллельные друг другу, называют боковыми. Призму, ребра которой перпендикулярны к основаниям, называют прямой. Прямая призма называется правильной, если ее основаниями являются правильные многоугольники.

Пирамида — многогранник, одна грань которого — плоский -угольник (основание), а остальные грани — треугольники с общей вершиной (рис. 4.2). Если основанием пирамиды является правильный многоугольник и высота ее проходит через центр этого многоугольника, пирамиду называют правильной.

Многогранник называют правильным, если его грани представляют собой правильные и равные многоугольники.

Точка и прямая линия на поверхности многогранника

Точки на гранях призмы и пирамиды строятся при помощи вспомогательных прямых, принадлежащих соответствующим плоскостям граней. Чтобы определить по заданной фронтальной проекции точки 1, лежащей на грани призмы , горизонтальную проекцию (рис. 4.3), нужно провести через точку фронтальную проекцию вспомогательной прямой , параллельную ребрам призмы.

Фронтальная проекция точки 2, лежащей на грани , построена с помощью вспомогательной прямой , проведенной через проекцию . Недостающую проекцию точки 3, расположенную на ребре определим с помощью линии связи.

На рис. 4.4 показано построение недостающих проекций точек, находящихся на боковой поверхности пирамиды . Фронтальная проекция точки 1, расположенная на грани , представляющей собой профильно-проецирующую плоскость, построена с помощью линий связи.

Чтобы определить по заданной проекции точки 2, лежащей на грани , проекцию (рис. 4.4), используем горизонталь .

Фронтальная проекция горизонтали проведена через проекцию до пересечения с проекцией ребра в точке .

Горизонтальная проекция горизонтали проходит через точку параллельно проекции стороны .

Чтобы определить по заданной проекции точки , расположенной на грани , проекцию , используем прямую . Фронтальная проекция точки 4, расположенной на ребре , построена с помощью линий связи.

Пересечение многогранников плоскостью

При пересечении многогранника плоскостью в сечении получается многоугольник.

Определение вершин многоугольника сводится к построению точек пересечения прямых (ребер многогранника) с плоскостью — способ ребер. При определении сторон многоугольника решаются задачи на пересечение двух плоскостей — способ граней.

На рис. 4.5 показано построение проекций линии пересечения прямой четырехугольной призмы фронтально-проецирующей плоскостью (проекция ).

Пересечение проекции а» с фронтальными проекциями боковых ребер призмы дает проекции вершин многоугольника сечения. Горизонтальные проекции этих вершин совпадают с «вырожденными» проекциями соответствующих ребер, так как призма прямая. Профильные проекции вершин определим при помощи горизонтальных линий связи на соответствующих проекциях ребер призмы.

Натуральная величина многоугольника еечения найдена способом плоскопараллсльного перемещения. Переместим фронтальную проекцию сечения в горизонтальное положение.

Проекция — натуральная величина многоугольника сечения.

Развертка поверхности призмы

Разверткой называется фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с плоскостью (без наложения элементов поверхности друг на друга).

Развертки необходимы при изготовлении изделий из листового материала. Построение разверток поверхностей многогранников рассмотрим на примерах призмы и пирамиды.

Развертка боковой поверхности призмы, представленной на рис. 4.5, состоит из четырех прямоугольников, у которых одна сторона равна высоте призмы, а другие стороны равны сторонам основания призмы (рис. 4.6).

Для построения развертки боковой поверхности усеченной призмы наносим на развертку точки расположенные на соответствующих ребрах. Чтобы получить полную развертку усеченной части призмы, к одному из участков линии пересечения пристраиваем натуральную величину сечения.

Развертку усеченной части призмы обводим сплошной толстой основной линией, линии сгиба — штрихпунктирной с двумя точками линией. Достроив к сторонам прямоугольника верхнее и нижнее основание призмы, получим полную развертку ее поверхности.

Пересечение пирамиды проецирующей плоскостью

На рис. 4.7 приведено построение проекций линии пересечения четырехугольной пирамиды фронтально-проецирующей плоскостью .

Фронтальные проекции вершин многоугольника сечения находятся в пересечении следа-проекции плоскости с фронтальными проекциями боковых ребер пирамиды. Проекции и точек 2 и 3, лежащих на ребрах и , совпадают, так как грань является фронтально-проецирующей плоскостью. Горизонтальные и профильные проекции точек 1, 2, 3, 4 определяются по линиям связи на соответствующих ребрах пирамиды. Натуральная величина многоугольника сечения найдена способом перемены плоскостей проекций. Это четырехугольник .

Развертка поверхности пирамиды

Развертка боковой поверхности пирамиды состоит из четырех треугольников — боковых граней пирамиды (рис. 4.8). Для построения развертки необходимо знать натуральную величину всех фигур, составляющих развертку.

В данном случае одна из сторон боковых граней определяется натуральной величиной горизонтальной проекции ребра основания пирамиды, поскольку основание пирамиды занимает горизонтальное положение. На рис. 4.7 видно, что ребро параллельно фронтальной плоскости, следовательно проекция — его истинная величина. Для определения натуральной величины других боковых ребер используем способ вращения вокруг оси, проходящей через вершину перпендикулярно плоскости .

Поворачиваем ребра до положения, параллельного плоскости . Длины проекций являются натуральными длинами соответствующих ребер.

На рис. 4.8 представлено построение полной развертки усеченной пирамиды. Вначале на плоскости чертежа строим треугольники — боковые грани пирамиды — по трем сторонам, последовательно достраивая треугольники друг к другу боковыми ребрами. Пристроив к стороне одного из треугольников четырехугольное основание пирамиды, получим полную развертку ее поверхности.

Чтобы выделить на развертке усеченную часть пирамиды, находим положение вершины фигуры сечения на ребре . Зная натуральную величину многоугольника сечения , последовательно засекаем на ребрах развертки точки и , используя величину сторон многоугольника сечения.

Полученные на развертке точки соединяем отрезками прямых. Пристраиваем затем натуральную величину сечения к одному из участков линии пересечения . Полученную полную развертку поверхности усеченной пирамиды обводим сплошной толстой основной линией, а линии сгиба — штрихпунктирной с двумя точками линией.

Задача с решением №5

Задача №1.

Правильная треугольная пирамида усечена двумя плоскостями: фронтально-проецирующей и профильной (рис. 4.9). Построить недостающие проекции усеченной пирамиды.

Решение:

Плоскость а пересекает грань по отрезку 1-2, грань по отрезку 2-3, грань по отрезку 1-4.

Плоскость р пересекает грань по отрезку 3-5, а грань по отрезку 4-5. При построении проекций точек, принадлежащих линии пересечения, следует учитывать, что профильные проекции и ‘ совпадают, так как грань SAB пирамиды является профильно-проецирующей плоскостью.

Недостающие проекции точки 1, расположенной на ребре , и точки 5, расположенной на ребре , построены при помощи линий связи. Проекции точки 2, расположенной на ребре , определены при помощи линий связи сначала на профильной проекции ребра, а затем на горизонтальной.

Горизонтальные проекции точек 3 и 4 получены с помощью вспомогательной прямой , принадлежащей грани , и прямой , принадлежащей грани .

Построив горизонтальные проекции и этих прямых, по линии связи определим горизонтальные проекции точек 3 и 4, а затем их профильные проекции.

Плоскости и пересекаются по фронтально-проецирующей прямой 3-4. Соединив построенные проекции точек, получим проекции линии пересечения.

Вопросы для контроля

1. Какая фигура называется многогранником?
2. Дайте определение призмы, пирамиды, правильного многогранника.
3. Как определить недостающую проекцию точки на поверхности многогранника?
4. Что представляет собой сечение многогранника плоскостью?
5. В чем различие способов ребер и граней?
6. Как используется способ перемены плоскостей проекций при построении сечения многогранника плоскостью?

Поверхности вращения

Поверхность вращения (рис. 5.1) получается вращением прямолинейной или криволинейной образующей вокруг неподвижной прямой — оси поверхности. За ось вращения обычно принимается вертикальная прямая. Каждая точка образующей (например, точка ) описывает при своем вращении окружность с центром на оси . Эти окружности называются параллелями. Наибольшая из этих параллелей — экватор, наименьшая — горло.

Плоскости, проходящие через ось вращения, пересекают поверхность по меридианам. Меридиан, расположенный в плоскости, параллельной , называется главным.

Поверхность вращения называют закрытой, если криволинейная образующая пересекает ось поверхности в двух точках. Если образующая — прямая линия, то получается линейчатая поверхность вращения, если кривая — нелинейчатая.

Замкнутую область пространства вместе с ее границей (поверхностью) называют геометрическим телом.

Цилиндр вращения (рис. 5.2) образуется вращением прямой вокруг параллельной ей оси . Все точки образующей (например, точка ) описывают окружности (параллели), равные окружностям оснований цилиндра.

Конус вращения (рис. 5.3) образуется вращением прямой вокруг пересекающейся с ней оси . Все точки образующей описывают окружности различных радиусов (для точки — радиус ). Величина радиуса изменяется от нуля до радиуса окружности основания конуса.

Сфера (рис. 5.4) образуется вращением окружности вокруг ее оси . Каждая точка образующей сферы при таком перемещении описывает свою окружность, радиус которой уменьшается при перемещении точки к полюсам. Например, точка описывает параллель наибольшего радиуса (экватор). Для сферы экватор и меридианы — равные между собой окружности.

Построение точек лежащих на поверхности вращения

Точка принадлежит поверхности, если она находится на линии, лежащей на этой поверхности. В качестве таких линий могут быть выбраны образующие, параллели, меридианы и др. На рис. 5.5 показано построение проекций точек и , принадлежащих боковой поверхности цилиндра.

Горизонтальные проекции точек и ( и ) лежат на окружности. Профильные проекции этих точек и находятся при помощи линий связи.

Очерковые (крайние) образующие цилиндра разделяют фронтальную и профильные проекции на видимую и невидимые части. Так, образующие