Начертательная геометрия задачи с решением и примерами

Оглавление:

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Здравствуйте на этой странице я собрала примеры решения задач по предмету начертательная геометрия с решением по каждой теме, чтобы вы смогли освежить знания!

Начертательная геометрия

Начертательная геометрия служит теоретической основой построения технических чертежей в виде графических моделей конкретных объектов машиностроения. Инженерная графика вырабатывает у студентов умение и навыки понимания по чертежу конструкции изделия и принципа действия изображенного технического объекта.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Начертательная геометрия включена в число обязательных дисциплин ведущих технических вузов мира. И связано это, прежде всего, с тем, что она как никакая другая дисциплина развивает логическое конструктивно-геометрическое мышление, пространственное представление и воображение, а также способность к анализу и синтезу пространственных форм.

Задача начертательной геометрии – изучение визуально-образного геометрического языка и технологии его реализации. Она является уникальным техническим языком, информативность которого настолько велика, что заменить его другим практически невозможно. Роль ее в подготовке специалистов и решении прикладных задач возрастает в связи с необходимостью повышения эффективности труда конструктора.

Проецирование геометрических фигур. Параллельное проецирование

Любую геометрическую фигуру рассматривают как множество всех при надлежащих ей точек. Чтобы получить параллельную проекцию фигуры на плоскости (плоскости проекций), необходимо через каждую точку фигуры пронести проецирующие лучи параллельно заранее вы бранному направлению до пересечения с Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 1).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Основные свойства параллельного проецирования.

  1. Проекция точки есть точка.
  2. Проекции прямой есть прямая или точка (Примеры решения задач по начертательной геометрии — точка).
  3. Примеры решения задач по начертательной геометрии
  4. Примеры решения задач по начертательной геометрии
  5. Примеры решения задач по начертательной геометрии
  6. Примеры решения задач по начертательной геометрии

Самоконтроль I. На рис. 2 показано проецирование Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии на плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии но направлению Примеры решения задач по начертательной геометрии. Какой из треугольников расположен в плоскости, параллельной Примеры решения задач по начертательной геометрии?

Примеры решения задач по начертательной геометрии

1 a . Треугольник Примеры решения задач по начертательной геометрии (с. 55).

2 б. Треугольник Примеры решения задач по начертательной геометрии (с. 56).

Таким образом, Вы отметили еще два свойства параллельного проецировання:

  1. Если фигура расположена в плоскости, параллельной плоскости проекций, то она проецируется на эту плоскость в натуральную величину,
  2. Фигура, принадлежащая проецирующей плоскости, проецируется в отрезок прямой, совпадающей с проекцией плоскости (проецирующая прямая вырождается в точку).

Если направление проецирования Примеры решения задач по начертательной геометрии, получают ортогональные (прямоугольные) параллельные проекции, которыми чаще всею пользуются на практике.

Проекции точки

Проекцией точки называется точка пересечения проецирующего луча, проходящего через точку, с плоскостью проекций.

Одна проекций точки не определяет положение точки в пространстве. Для получения обратимого чертежа ортогональное проецирование осуществляется на две (и более) перпендикулярные плоскости проекций (рис. 3)t которые затем совмещают в одну (метод Монжа). Получается плоское изображение, которое является носителем двух плоскостей. Это изображение называют эпюром или комплексным чертежом.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Примеры решения задач по начертательной геометрии — горизонтальная плоскость проекций, Примеры решения задач по начертательной геометрии — фронтальная плоскость проекций, Примеры решения задач по начертательной геометрии — ось проекций.

На эпюре горизонтальная и фронтальная проекции точки связаны вертикальной линией связи, т.е Примеры решения задач по начертательной геометрии

Положение точки в пространстве определяется ее расстоянием до плоскостей проекций. При этом Примеры решения задач по начертательной геометрии покрывает расстояние до Примеры решения задач по начертательной геометрии — показывает расстояние до Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Самоконтроль 2. Какая из заданных точек (рис. 4) принадлежит плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии?

2а. Точка Примеры решения задач по начертательной геометрии (с. 55) 26. Точка Примеры решения задач по начертательной геометрии (с. 56).

Характерным признаком эпюра точки, принадлежащей плоскости проекций, является то, что одна проекция точки принадлежит оси проекции.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

На рис. 5 показано получение трех картинного чертежа точки Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Примеры решения задач по начертательной геометрии — профильная плоскость проекций.

Является очевидным, что Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Определитель точки в пространстве — три координаты точки, т.е. расстояние от точки до трех координатных плоскостей Принимается, что плоскости проекций совмещены с координатными плоскостями.

Условная запись определителя точки: Примеры решения задач по начертательной геометрии. Положение проекции точки определяют две координаты: Примеры решения задач по начертательной геометрии Определителем точки на эпюре является совокупность двух проекций точки: Примеры решения задач по начертательной геометрии. Координаты точки устанавливаются измерением (рис. 6).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Пример задачи №1.

Построить три проекции точки Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Решение:

  1. Координатные плоскости принимаем за плоскости проекций и строим на чертеже оси проекций (рис. 7), отмстив на них масштабные единицы.
  2. Последовательно откладываем на соответствующих осях заданные значения Примеры решения задач по начертательной геометрии
  3. Из полученных точек Примеры решения задач по начертательной геометрии проводим прямые, параллельные соотвстствуюхцнм осям, и получаем проекции Примеры решения задач по начертательной геометрии (см. рис. 7).

Проекции прямой

Определитель прямой: две точки. Условная запись: Примеры решения задач по начертательной геометрии. На чертеже прямую определяют двумя проекциями (рис. 8). Примеры решения задач по начертательной геометрии или Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Условие принадлежности точки прямой: точка принадлежа прямой, если проекции точки принадлежат одноименным проекциям прямой, (см. точку Примеры решения задач по начертательной геометрии на прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии — рис. 8),

След прямой — точка пересечения прямой с плоскостью проекций (рис. 9). Примеры решения задач по начертательной геометрии — горизонтальный след прямой, Примеры решения задач по начертательной геометрии — фронтальный след прямой,

Заметим, что так как Примеры решения задач по начертательной геометрии. Прямую, которая не параллельна ни одной из плоскостей проекций, называют прямой общего положения. Проекции прямой общего положения всегда наклонены к осям проекций (см. рис. 8, 9).

Примеры решения задач по начертательной геометрии
Примеры решения задач по начертательной геометрии
  • Прямые частного положения делятся на прямые уровня и проецирующие прямые.

Прямые уровня — прямые, параллельные одной плоскости проекций (рис. 10).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Таким образом, направление одной проекции прямой уровня постоянно — параллельно направлению оси проекций. Вторая проекция наклонена к оси под углом.

Проецирующие прямые — прямые, перпендикулярные плоскости проекций (рис. 11).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Таким образом, одна проекция проецирующей прямой — точка, вторая проекция направлена параллельно линиям ивязи.

Самоконтроль 3. На рис 12 изображен отрезок профильной прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии. Можно ли построить горизонтальную проекцию точки Примеры решения задач по начертательной геометрии, которая принадлежит отрезку, не построив профильную проекцию отрезка?

Примеры решения задач по начертательной геометрии

За. Можно (с. 55) 36. Нельзя (с, ,56)

Пример задачи №2.

Достроить фронтальную проекцию отрезка горизонтальной прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 13а).

Решение:

Так как отрезок Примеры решения задач по начертательной геометрии параллелен горизонтальной плоскости, то фронтальная проекция его должна быть параллельна направлению оси Примеры решения задач по начертательной геометрии. Положение фронтальной проекции точки Примеры решения задач по начертательной геометрии определяем в пересечении линии связи, проведенной с Примеры решения задач по начертательной геометрии вертикально (рис 136), и направления фронтальной проекции прямой.

Пример задачи №3.

Построить проекции фронтально проецирующего отрезка Примеры решения задач по начертательной геометрии, длина которого 20 мм (рис. 14а).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

У фронтально проецирующей прямой фронтальная проекция вырожденная — точка, а горизонтальная проекции расположена вертикально,

На горизонтальную плоскость проекций отрезок проецируется без искажения.

Выполненные построения ясны на чертеже (рис. 146).

Взаимное расположение прямых. Прямые параллельны, если одноименные проекции двух прямых параллельны.

Прямые пересекаются, если точки пересечения одноименных проекций двух прямых лежат на одной линии связи.

Если на чертеже отсутствуют признаки параллельности и пересечения, то заданы скрещивающиеся прямые.

Самоконтроль 4. На каком рисунке изображены скрещивающиеся прямые?

4а. На рис. 15а (с. 55)

4б. На рис, 156 (с. 56)

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Теорема о проецировании прямого угла. Если одна сторона прямого угла параллельна, а другая сторона не перпендикулярна плоскости проекций, то прямой угол на эту плоскость проецируется в натуральную величину.

Пример задачи №4.

Через точку Примеры решения задач по начертательной геометрии провести прямую а, пересекающую прямую Примеры решения задач по начертательной геометрии под прямым углом (рис. 16а),

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

  1. Так как прямая Примеры решения задач по начертательной геометрии параллельна Примеры решения задач по начертательной геометрии, то на фронтальной проекции величина прямого угла сохранится.
  2. Построение начинаем с фронтальной проекции, проведя Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 16 6),
  3. Отмечаем фронтальную проекцию точки пересечения прямых — Примеры решения задач по начертательной геометрии.
  4. Строим горизонтальную проекцию точки Примеры решения задач по начертательной геометрии.
  5. Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Пример задачи №5.

Через точку Примеры решения задач по начертательной геометрии провести горизонтальную прямую, пересекающую отрезок Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 17а),

Решение:

  1. Так как искомая прямая является горизонтальной, то фронтальная проекция ее должна быть направлена параллельно направлению оси Примеры решения задач по начертательной геометрии. Проводим Примеры решения задач по начертательной геометрии.
  2. Отмечаем фронтальную проекцию точки пересечения прямых: Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 176).
  3. Строим горизонтальную проекцию Примеры решения задач по начертательной геометрии, учитывая сохранение пропорционального деления отрезка на проекциях.
  4. Примеры решения задач по начертательной геометрии.
Примеры решения задач по начертательной геометрии

Проекции плоскости

Задание плоскости. Плоскость на чертеже задается проекциями ее элементов, которые определяют положении ее в пространстве, а именно; проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой; проекциями параллельных прямых; проекциями пересекающихся прямых; проекциями прямой и точки вне этой прямой, проекциями плоской фигуры; следами.

По отношению к плоскостям проекций плоскости разделяются на плоскости общего и плоскости частного положения. Плоскости частного положения могут быть перпендикулярными к одной из плоскостей (проецирующие) иди к двум плоскостям одновременно {плоскости уровня).

Опознавательным признаком плоскости частного положения является наличие вырожденной проекции (проекции-линии) плоскости на эпюре. Точка и прямая в плоскости. Точка принадлежит плоскости, если она находится на примой, лежащей в данной плоскости.

Прямая лежит в плоскости, если она пересекается с прямыми, задаюшими эту плоскость, или пересекается с одной из них и параллельна другой.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Признаком принадлежности точки и прямой к плоскости частного положения является совмещение на эпюре их проекций с одноименными вырожденными проекциями данной плоскости.

Самоконтроль 6. На каком рисунке прямая Примеры решения задач по начертательной геометрии принадлежит плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии? 6 а. На рис. 19 а (с. 55) б б. На рис. 19 6 (с. 56).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Пример задачи №6.

Построить горизонтальную проекцию прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии, лежащей в плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 20 а).

Решение:

  1. Прямые одной плоскости либо пересекаются, либо параллельны. Так как фронтальная проекция прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии пересекает фронтальные проекции прямых Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии, то эти прямые в пространстве пересекаются.
  2. Отмечаем фронтальные проекции точек пересечения прямых Примеры решения задач по начертательной геометрии
  3. Строим горизонтальные проекции точек Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии, учитывая что Примеры решения задач по начертательной геометрии.
  4. Примеры решения задач по начертательной геометрии (см. рис. 20 б).
Примеры решения задач по начертательной геометрии

Пример задачи №7.

Построить фронтальную проекцию прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии, принадлежащей плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис 21 а).

Решение:

Так как фронтальные проекции прямых Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии совпадают, то заданная плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии является фронтально проецирующей плоскостью. В этом случае фронтальная проекция плоскости, Примеры решения задач по начертательной геометрии (вырожденная проекция) обладает собирательным свойством и поэтому Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 216).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Следует отметить, что для плоскости общего положения на эпюре произвольно можно задавать только одну проекцию любой прямой, принадлежащей плоскости. Вторую проекцию этой прямой необходимо строить, учитывая, что прямые одной плоскости либо пересекаются, либо параллельны.

Для проецирующей плоскости достаточно совпадения соответствующей проекции прямой с вырожденной проекцией плоскости, чтобы эта прямая принадлежала плоскости.

Пример задачи №8.

Построить фронтальную проекцию точки Примеры решения задач по начертательной геометрии, принадлежащей плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 22 а).

Решение:

1. Известно, что точка принадлежит плоскости, если она находится на какой-либо прямой, лежащей в данной плоскости. Поэтому через Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 226) проводим горизонтальную проекцию вспомогательной прямой» лежащей в данной плоскости.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Главные линии плоскости. К главным линиям плоскости относятся:

  1. Линии уровня плоскости, т.е. прямые плоскости, параллельные плоскостям проекций

Примеры решения задач по начертательной геометрии — горизонталь плоскости; Примеры решения задач по начертательной геометрии — фронталь плоскости.

  1. Линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций. Такие прямые принадлежат плоскости и перпендикулярны к линиям уровня плоскости.

Для построения горизонтали Примеры решения задач по начертательной геометрии плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии(рис. 23) необходимо;

Примеры решения задач по начертательной геометрии

На рис. 23 построены проекции линии наибольшего наклона плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии к плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии т.к. Примеры решения задач по начертательной геометрии (согласно теореме о проекциях прямого угла) Линию наибольшего наклона плоскости к плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии называют линией ската.

Аналогично на рис. 24 построены проекции фронтали Примеры решения задач по начертательной геометрии и линии наибольшего наклона плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии к плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Самоконтроль 7. Можно ли считать заданной плоскость, если на эпюре задана линия ската плоскости?

7 а. Можно (с. 55)

7 б. Нельзя (с. 56)

Пример задачи №9.

Построить проекции отрезка Примеры решения задач по начертательной геометрии, принадлежащею плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии, зная что Примеры решения задач по начертательной геометрии и величина отрезка Примеры решения задач по начертательной геометрии равна 30 мм (рис. 25).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

Отрезок Примеры решения задач по начертательной геометрии принадлежит горизонтали плоскости, проходящей через Примеры решения задач по начертательной геометрии. Строим проекции этой горизонтали (рис. 25 а). На горизонтальной проекции горизонтали находим горизонтальную проекцию точки Примеры решения задач по начертательной геометрии, учитывая что Примеры решения задач по начертательной геометрии. Находим фронтальную проекцию точки Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 25 б).

Параллельность прямой и плоскости двух плоскостей. Признаком параллельности плоскости и прямой является-параллельность прямой некоторой прямой плоскости.

  • Признаком параллельности прямой и плоскости частного положения является параллельность вырожденной проекции плоскости соответствующей проекции прямой.

Признаком параллельности двух плоскостей является параллельность двух пересекающихся прямых одной плоскости, соответственно, двум пересекающимся прямым второй плоскости. Признаком параллельности плоскостей частного положения является взаимная параллельность одноименных вырожденных проекций. У параллельных плоскостей одноименные линии уровня взаимно параллельны.

Пример задачи №10.

Построить горизонтальную проекцию прямой Примеры решения задач по начертательной геометриипроходящей через точку Примеры решения задач по начертательной геометрии и параллельной плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 26 а).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

(Рис. 26 6).

  1. В плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии проводим фронтальную проекцию Примеры решения задач по начертательной геометрии, прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии параллельной прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии.
  2. Строим горизонтальную проекцию Примеры решения задач по начертательной геометрии, учитывая принадлежность прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии.
  3. Строим Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Перпендикулярность прямой и плоскости, двyx плоскостей. Прямая, перпендикулярная плоскости, изображается на фронтальной проекции перпендикулярной к фронтали плоскости, на горизонтальной — к горизонтали плоскости.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Пример задачи №11.

Опустить перпендикуляр из точки Примеры решения задач по начертательной геометрии на плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 27 а).

Решение:

(рис. 27 б).

  1. Проводим произвольные горизонталь и фронталь данной плоскости (рис. 27 б).
  2. Затем проводим проекции перпендикуляра rti эАг А п2-L/2;
Примеры решения задач по начертательной геометрии

Пример задачи №12.

Через прямую Примеры решения задач по начертательной геометрии провести плоскость, перпендикулярную к плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 24 а).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

(рис. 28 б).

  1. Строим произвольные горизонталь и фронталь плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии.
  2. Выбираем на прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии произвольную точку Примеры решения задач по начертательной геометрии.
  3. Из точки Примеры решения задач по начертательной геометрии опускаем перпендикуляр Примеры решения задач по начертательной геометрии на плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии. Это перпендикуляр совместно с прямой Примеры решения задач по начертательной геометрииопределяют искомую плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Поверхность: общие сведения

Поверхность — это совокупность последовательных положений непрерывно перемещающейся в пространстве линии в пространстве линии.

Перемещающуюся в пространстве линию называют образующей. Она может быть прямой, кривой, постоянной или переменной. Образующей может быть также поверхность (рис. 29).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Закон перемещения может быть оговорен словесно (вращательное, поступательное, винтовое) и задан направляющей, т.е, неподвижной линией, по которой скользит перемещающаяся образующая.

Поверхность, которая может быть получена перемещением прямой линии, называют линейчатой (рис. 29 а).

Поверхность, образующей которой может быть только кривая, называют кривой (рис. 29 6).

По признаку перемещения образующей поверхности делят на поверхности вращения, поверхности переноса, винтовые поверхности.

Поверхности делят также на развертываемые и нераввертываемые.

Задание поверхности на чертеже. Поверхность считается заданной, если в отношении любой точки пространства на чертеже однозначно решается вопрос о принадлежности ее данной поверхности.

Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии поверхности!.

Поверхность на чертеже может быть задана ее определителем, очерком, каркасом.

Определитель поверхности — это совокупность условий, однозначно определяющих данную поверхность. Определитель поверхности состоит из двух частей: геометричесхой, задающей форму образующей и направляющей, и алгоритмической, определяющей условия перемещения или же изменения образующей.

На рис. 30 задана поверхность конуса. Ее определителем является направляющая Примеры решения задач по начертательной геометрии и образующая Примеры решения задач по начертательной геометрии, пересекающая кривую Примеры решения задач по начертательной геометрии и проходящая через неподвижную точку Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Точка Примеры решения задач по начертательной геометрии принадлежит данной поверхности, так как она принадлежит линии Примеры решения задач по начертательной геометрии этой поверхности.

Очерк поверхности — это линия пересечения плоскости проекций с проецирующей на данную плоскость проекций цилиндрической поверхностью, огибающей заданную поверхность (рис. 31).

Линию касания огибающей проецирующей поверхности с данной поверхностью называют линией контура.

Проекцию линии контура на плоскость, перпендикулярную данной плоскости проекций, называют линией видимости.

Линия контура, так же как и линия видимости, делит поверхность на ее видимую и невидимую части в проекции на данную плоскость,

Каркас поверхности — это совокупность линий, принадлежащих поверхности (рис. 32).

Примеры решения задач по начертательной геометрии
Примеры решения задач по начертательной геометрии

Линейчатые поверхности — что те, у которых образующей может быть прямая, линия (рис. 33).

К ним относят торсы, и как частный случай цилиндрические, конические, призматические и пирамидальные поверхности. Эти поверхности развертываемые.

Неразвертываемые линейчатые поверхности это поверхности с плоскостью параллелизма — цилиндроид, коноид, гиперболический параболоид (косая плоскость).

Поверхностью вращения называют поверхность, образованную вращением некоторой линии (кривой или примой) вокруг неподвижной прямой, называемой осью поверхности (рис. 34).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Окружности, принадлежащие поверхности вращения и лежащие в плоскостих, перпендикулярных оси поверхности, называют параллелями поверхности. Параллель наименьшего радиуса — щрло, наибольшего -экватор.

Любая плоскость, проходящая через ось поверхности вращения, выделяет на поверхности кривую, называемую меридианом поверхности.

Меридианы, проекции которых дают очерки поверхности, называют главными.

Известно, что точка, например, точка Примеры решения задач по начертательной геометрии на рис. 33, 34, принадлежит поверхности, если она принадлежит линии поверхности. В качестве линии на поверхности выбирают графически простые линии — прямые или окружности. Для линейчатых поверхностей — это будут образующие -прямые линии» для поверхностей вращения — параллели — окружности.

На рис. 35, 36 показано решение задач на построение ортогональных проекций точки Примеры решения задач по начертательной геометрии, принадлежащей поверхности.

Примеры решения задач по начертательной геометрии
Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

Решение задачи на построение точки, принадлежащей поверхности, проводится в следующей последовательности:

1) одну проекцию точки задаем произвольно в пределах очерка поверхности,

2) через заданную проекцию точки проводим одноименную проекцию вспомогательной линии поверхности;

3) находим другую проекцию проведенной линии исходя из принадлежности ее данной поверхности,

4) на найденной проекции вспомогательной линии отмечаем искомую проекцию точки.

На рис. 35 а, б, в проекции точки Примеры решения задач по начертательной геометрии построены на поверхности наклонной призмы, наклонного конуса, коноида с помощью прямолинейной образующей Примеры решения задач по начертательной геометрии, проходящей через точку, Примеры решения задач по начертательной геометрии.

На рис. 36 а,б,в проекции точки Примеры решения задач по начертательной геометрии, принадлежащей соответственно поверхности вращения общего вида, сфере, тору, построены с помощью вспомогательной окружности-параллели, проходящей через эту точку.

Проекции точки Примеры решения задач по начертательной геометрии, принадлежащей поверхности кругового конуса, могут быть построены как с помощью окружности-параллели, так и с помощью прямолинейной образующей (рис. 36 г,д).

Поверхность может занимать относительно данных плоскостей проекций проецирующее положение (рис. 36 е.ж).

Поверхность является проецирующей относительно той плоскости проекций, которой ее образующие перпендикулярны. Проецирующей может быть только поверхность цилиндра, призмы.

Построение проекций точки, принадлежащей проецирующей поверхности, не требует введения вспомогательных линий поверхности, так как соответствующие ее проекции будут всегда расположены на вырожденной проекции данной поверхности.

Самоконтроль 8. Которая из отмеченных точек принадлежит заданной на рис. 37 поверхности вращения? Ответ:

8 а — точка А (с. 55) 8 б — точка В (с. 56). Построение проекций линии, принадлежащей поверхности, принципиально не отличается от построения проекций точки, принадлежащей поверхности. Различие состоит в том, что определяются проекции не одной, а множества точек, принадлежащих линии.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Если задана одна проекция линии, принадлежащей поверхности, то решение задачи на построение второй проекции этой линии сводится к следующему:

1) на заданной проекции линии задают проекции некоторых точек;

2) через проекции отмеченных точек проводят одноименные проекции вспомогательных линий поверхности;

3) строят вторую проекцию вспомогательных линий поверхности;

4) находят вторую проекцию отмеченных точек на соответствующих проекциях вспомогательных линий;

5) соединяют построенные проекции отмеченных точек с учетом их видимости и получают искомую проекцию заданной на поверхности линии.

Если необходимо определить проекции линии, принадлежащей проецирующей поверхности, то построения значительно упрощаются за счет наличия вырожденной проекции, обладающей собирательным свойством.

Необходимо отметить, что следует внимательно отнестись к выбору точек, с помощью которых будет строиться вторая проекция заданной линии.

Если нужно строить ломаную линию, то обязательно нужно построить точки излома. Обязательному построению подлежат также точки, лежащие на характерных линиях поверхности (очерковых линиях, ребрах многогранной поверхности), Если заданы закономерные кривые, то необходимо строить характерные точки этой кривой (вершины, точки, определяющие оси симметрии, кривой и т.д.).

На рис. 38-42 приведены примеры построения проекций линий, привадлежащих различным поверхностям. Проследите за выполненными на этих рисунках построениями.

Пример задачи №13.

Задана фронталь проекция линий, принадлежащих поверхности данного тела (рис, 38).

Требуется построить их другие проекции.

Решение:

Боковая поверхность тела — горизонтально проецирующая, поэтому горизонтальные проекции отмеченных на фронтальной проекции точек 1-10 находим на вырожденной проекции тела, т.е. на горизонтальном очерке.

Их профильные проекции строим по двум проекциям — фронтальной и горизонтальной.

Точки 3. 5, 7, 9 — случайные, с их помощью определяют кривизну полученных в профильной проекции кривых.

Пример задачи №14.

Задана горизонтальная проекция линии, принадлежащей поверхности кругового конуса (рис. 39).

Требуется построить отсутствующие проекции этой линии.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение Конус — поверхности общего вида. Заданная линия гипербола. Ее вершина определяется точкой 4, Точка 5 определяет видимость кривой во фронтальной проекции, точка 3 — в профильной. Их проекции отмечаем на главных меридианах поверхности. Случайные точки 2, 6 и высшую точку 4 строим с помощью окружностей параллелей, проведенных через эти точки,

Пример задачи №15.

Задана фронтальная проекция двух линий, принадлежащих поверхности сферы (рис. 40).

Требуется пост роить их горизонтальную и профильные проекции.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

Сфера — поверхность общего вида. Каждая из этих линий половина окружности. Полуокружность 3-9 изображается и горизонтальной и профильной проекциях н виде половины эллипсон. Точки 9, 3 определяют одну ось эллипса, точка 6 — другую полуось, В качестве вспомогательных линий при построении проекций отмеченных точек использованы окружности-параллели сферы.

Пример задачи №16.

Задана фронтальная проекция двух линий, принадлежащих поверхности тора (рис. 41).

Требуется построить их горизонтальную и профильные проекции.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

Каждую из отмеченных во фронтальной проекции точек находим на других проекциях с помощью окружностей-параллелей, проходящих через эти точки,

Точка 8 определяет видимость кривой 5-10 в горизонтальной проекции. Точка 3 характерна для кривой 1 -5.

Пример задачи №17.

Задана фронтальная проекции линии Примеры решения задач по начертательной геометрии, принадлежащей поверхности гиперболического параболоида — косой плоскости (рис. 42). Требуется построить ее горизонтальную проекцию.

Решение:

Каждую из отмеченных во фронтальной проекции точек 1-4 кривой определяем с помощью прямолинейных образующих поверхности.

Видимость кривой Примеры решения задач по начертательной геометрии в горизонтальной проекции не устанавливаем, считая поверхность гиперболического параболоида прозрачной.

Примеры решения задач по начертательной геометрии
Примеры решения задач по начертательной геометрии

Пересечение фигур

Фигурой пересечения прямой и плоскости является точка, двух плоскостей — примам линия, прямой и поверхности — две точки, плоскости и поверхности — крипая или ломаная линия.

Среди множества точек, принадлежащих кривым пересечения, выделяют характерные и случайные точки.

Алгоритм построения точек общих для двух пересекающихся фигур различен в зависимости от того, какое положение этифигуры занимают относительно данных плоскостей проекций, общее или проецирующее.

Если обе пересекающиеся фигуры или одна из них проецирующие, то алгоритм решения упрощается, так как в этом случае одна или две проекции искомой фигуры пересечения совпадают с вырожденными проекциями проецирующих фигур.

Другие проекции искомых точек фигуры пересечения находят по двум отмеченным их проекциям или же, в случае если одна фигура проецирующая, по принадлежности этих точек фигуре общего вида, участвующей в данном пересечении.

В том случае, если пересекаются две геометрические фигуры общего вида, то для получения точек общих для них используют способ посредников, плоскостей или поверхностей.

Рассмотрим три варианта решения задач на пересечение фигур при их различном положении относительно данных плоскостей проекций.

Если пересекаются две фигуры, занимающие относительно данных плоскостей проекций проецирующее положение, то две проекции искомой фигуры пересечения совпадают с вырожденными проекциями проецирующих фигур, третью прсекцию находят по двум отмеченным.

Пример задачи №18.

Построить линию пересечения поверхности цилиндра с плоскостью Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 44).

Решение:

Анализируя пересекающиеся фигуры, устанавливаем, что боковая поверхность цилиндра горизонтально проецирующая, я плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии фронтально проецирующая. Отсюда следует, что горизонтальная проекция фигуры пересечения совпадает с вырожденной проекцией цилиндра, т.е. с окружностью, фронтальная — со следом Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Наметив на фронтальной и горизонтальной проекциях фигуры пересечения ряде точек (точки 1-5), строим их профильные проекции (см. значение Примеры решения задач по начертательной геометрии для точки 4). Кривой пересечения будет эллипс.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Пример задачи №19.

Построить линию пересечения двух цилиндров (рис. 45).

Решение:

Меньший цилиндр горизонтально проецирующий, больший — профильно проецирующий, следовательно горизонтальные и профильные проекции точек, принадлежащих линии пересечения, могут быть отмечены ла соответствующих вырожденных проекциях цилиндров.

Фронтальную проекцию искомой линии находим но двум имеющимся проекциям (см. Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Пересекаются две геометрические фигуры из которых одна общего положения, другая — проецирующая

В этом случае одна проекция фигуры пересечения совпадаете вырожденной проекцией проецирующей фигуры, другую ее проекцию находим по принадлежности искомых точек фигуре общего вида, участвующей в пересечении,

Пример задачи №20.

Построить пересечение прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии с плоскостью Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 46 а).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

Так как прямая Примеры решения задач по начертательной геометрии фронтально проецирующая, то фронтальная проекция искомой точки Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 46 б) совпадает с вырожденной проекцией прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии. Горизонтальную проекцию Примеры решения задач по начертательной геометрии находим по принадлежности точки Примеры решения задач по начертательной геометрии фигуре общего вида, т.е. плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии. Делаем это с помощью вспомогательной прямой 1-2.

Видимость прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии относительно безграничной непрозрачной плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии устанавливается по правилу конкурирующих точек (см. Примеры решения задач по начертательной геометрииПримеры решения задач по начертательной геометрии). Проекция Примеры решения задач по начертательной геометрии выше, а Примеры решения задач по начертательной геометрии значит проекция Примеры решения задач по начертательной геометрии в окрестности выбранных конкурирующих точек будет невидима. Видимость проекции прямой меняется после точки пересечения.

Пример задачи №21.

Построить линию пересечения двух плоскостей Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 47 а).

Решение:

Примеры решения задач по начертательной геометрии — горизонтальная плоскость и в тоже время фронтально проецирующая, следовательно, фронтальная проекция линии пересечения совпадает со следом Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 47 б Примеры решения задач по начертательной геометрии), горизонтальную проекцию строим по принадлежности этой линии фигуре общего вида, т.е плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Пример задачи №22.

Определить точки пересечения прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии с поверхностью конуса (рис. 48).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

Прямая Примеры решения задач по начертательной геометрии — фронтально проецирующая, значит Примеры решения задач по начертательной геометрии. проекции Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии находим по принадлежности искомых точек Примеры решения задач по начертательной геометрии поверхности общего вида, т.е. конусу, для чего используем вспомогательные образующие Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Пример задачи №23.

Построить линию пересечения наклонного цилиндра с плоскостью Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 49).

Решение:

Искомая линия будет кривой. Плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии — горизонтально проецирующая, следовательно, горизонтальная проекция искомой кривой совпадает со следом Примеры решения задач по начертательной геометрии

Отмечаем на следе Примеры решения задач по начертательной геометрии точки, подлежащие определению во фронтальной проекции, выделив при атом обязательно точки, принадлежащие очерковым образующим.

Каждую изотчеченнык точек находим во фронтальной проекции по принадлежности поверхности цилиндра. Делаем это с помощью образующих цилиндра.

Проследите по чертежу за этими построениями. Точки Примеры решения задач по начертательной геометрии принадлежат горизонтальному очерку цилиндра, Примеры решения задач по начертательной геометрии — фронтальному очерку. Точки 1, 2 — случайные.

Заметим, что видимой считаем точку, которая принадлежит видимой на данной проекции образующей. Точки 1, 2 во фронтальной проекции обе невидимы, в горизонтальной точка 2 — видима, Примеры решения задач по начертательной геометрии — невидима.

Пример задачи №24.

Построить линию пересечения тора и цилиндра (рис. 50).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

Цилиндр — профильно проецирующий, следовательно с его профильной проекцией совпадает профильная проекция искомой линии пересечения.

Намечаем на ней точки, подлежащие определению в других проекциях, и находим каждую ил них по принадлежности фигуре общего вида, т.е. поверхности тора. Делаем это с помощью окружностей — параллелей,

Точки Примеры решения задач по начертательной геометрии — характерные, Точки Примеры решения задач по начертательной геометрии определяют видимость кривой в горизонтальной проекции, Точки 1,2- случайные.

Пример задачи №25.

Построить линию пересечения пирамиды и цилиндра (рис. 51).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

Цилиндр — горизонтально проецирующий, следовательно его горизонтальной проекцией совпадает горизонтальная проекция искомой линии. Фронтальные проекции точек, отмеченных на этой линии, находим по принадлежности и к поверхности пирамиды. Делаем Это с помощью линий, параллельны основанию пирамиды.

Проследите за этими построениями на примере точек I, 2.

Пример задачи №26.

Построить линию пересечения тора и призмы (рис. 52).

Решение:

Призма — горизонтампроецирующая, следовательно с ее горизонтальной проекцией совпадает горизонтальная проекция искомой линии пересечения.

Намечаем на ней точки 1-4, подлежащие определению но фронтальной и профильной проекциях

Точка 3 — случайная. Ее фронтальная проекция построена с помощью окружности — параллели, проведенной через эту точку. Радиус параллели для точки 3 определяется положением точки Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Точка 2 принадлежит фронтальному очерку тора. Радиус параллели для точки 4 определяется положением точки Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Самоконтроль 10. Назовите плоскость, которая пересекает поверхность конуса по гиперболе (рис. 53).

Ответ: 10 а — плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии (с. 55). 10 б — плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии (с. 56).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Пересекаются две геометрические фигуры общего положения

Для построения проекций их пересечения используют способ посредников. Посредником может быть плоскость или поверхность*

Сущность способа посредников следующая.

Обе заданные фигуры Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 54) пересекают посредником Примеры решения задач по начертательной геометрии, находят линии Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии пересечения заданных фигур с посредником и в пересечении полученных линий отмечают точки Примеры решения задач по начертательной геометрии, общие для пересекающихся фигур.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

При выборе посредника руководствуются тем, чтобы линии, получаемые в пересечении посредника с заданными фигурами, был и графически простыми. Количество посредников зависит от вида пересекающихся фигур,

В случае пересечения прямой с плоскостью или поверхностью плоскость посредник, чаще всего проецирующую, проводят через прямую (рис. 55).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Использование плоскостей посредников

Пример задачи №27.

Определить точку пересечения прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии с плоскостью Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 56 а).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

Так как прямая Примеры решения задач по начертательной геометрии и плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии — фигуры общего вида, то для решения задачи используют способ посредников.

Посредник, плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии проводим через прямую Примеры решения задач по начертательной геометрии (см. рис. 56 бПримеры решения задач по начертательной геометрии) и строим линию пересечения посредника с заданной плоскостью Примеры решения задач по начертательной геометрии, линию Примеры решения задач по начертательной геометрии. Линию Примеры решения задач по начертательной геометрии определяют точки 1, 2.

В пересечении линии Примеры решения задач по начертательной геометрии с заданной прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии отмечаем искомую точку Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Видимость прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии относительно непрозрачной плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрииустанавливаем по правилу конкурирующих точек. Так видимость прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии в горизонтальной проекции определяем с помощью горизонтально конкурирующие точек 3, 4 (см, Примеры решения задач по начертательной геометрии).

Так как точка 3, принадлежащая прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии, т.е. плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии во фронтальной проекции расположена выше, чем точка 4, принадлежащая прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии, то плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии закрывает в горизонтальной проекции прямую Примеры решения задач по начертательной геометрии, следовательно, прямая Примеры решения задач по начертательной геометрии в этой части чертежа невидима.

Во фронтальной проекции видимость прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии относительно непрозрачной плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии устанавливаемой по фронтально конкурирующим точкам Примеры решения задач по начертательной геометрии Так как проекция Примеры решения задач по начертательной геометрии ближе к глазу наблюдателя, чем проекция Примеры решения задач по начертательной геометрии то прямая в этой части чертежа видима.

Пример задачи №28.

Определить точки пересечения прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии с поверхностью вращения (рис.57).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

Так как пересекаются геометрические фигуры общего вила, то через прямую, также как и в предыдущем примере, проводим фронтально проецирующую плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии и строим линию пересечения плоскости-посредника с поверхностью вращения, линию Примеры решения задач по начертательной геометрии. В пересечении полученной линии Примеры решения задач по начертательной геометрии с прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии отмечаем искомые точки Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Проекции Примеры решения задач по начертательной геометрии — видимые, Примеры решения задач по начертательной геометрии — невидимая.

Пример задачи №29.

Определить линию пересечения двух плоскостей Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис.58).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

Обе плоскости общего положения, поэтому дли определении точек Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии, общих для них, используем способ посредников. В качестве посредников выбраны плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Пример задачи №30.

Определить линию пересечении сферы и тора (рис. 59).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

Обе поверхности общею вида, поэтому дли решении задачи используем способ посредников.

Посредники, плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии перпендикулярны плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии и оси тора Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии пересекает сферу и тор по окружностям Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии, радиусы которых определяют точки Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии. В пересечении окружностей Примеры решения задач по начертательной геометрии получаем точки, общие для сферы и тора, точки 1, 2.

С помощью посредника Примеры решения задач по начертательной геометрии получаем точку Примеры решения задач по начертательной геометрии, положение которой в горизонтальной проекции определяет переход кривой от ее видимой части к невидимой.

Использование сфер-посредников

Соосные поверхности пересекаются по окружностям. Сфера соосна с любой поверхностью вращения, если ее центр расположен на оси поверхности вращении.

Использование концентрических сфер в качестве посредников возможно, ели (рис. 60);

пересекаются поверхности вращения; оси поверхностей вращения пересекаются;

плоскость, образованная осями пересекающихся поверхностей, параллельна плоскости проекций.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

На рис. 60 а показано определение точек Примеры решения задач по начертательной геометрии общих для конуса Примеры решения задач по начертательной геометрии и цилиндра Примеры решения задач по начертательной геометрии, с помощью введения посредника — сферы Примеры решения задач по начертательной геометрии Сфера Примеры решения задач по начертательной геометрии пересекает конус по окружностям Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии, цилиндр по окружностям Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии. В их пересечении отмечаем точки Примеры решения задач по начертательной геометрии общие для сферы Примеры решения задач по начертательной геометрии, конуса и цилиндра,

На рис. 60 б построена линия пересечения конуса и цилиндра.

Проведено множество сфер- посредников, среди которых особо нужно выделить сферу с Примеры решения задач по начертательной геометрии, который определяется размером максимальной нормали.

Горизонтальные проекции полученных точек определяем исходя из принадлежности их поверхности конуса.

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Теорема г. монжа

Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности, второго порядка или вписаны а нее), то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания.

На рис- 61 построены проекции линии пересечения конуса и цилиндра, описанных вокруг сферы.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Линией их пересечения являются два эллипса, фронтальные проекции которых изображаются на чертеже в виде прямых линий.

На рис. 62, 6J даны примеры пересекающихся поверхностей, когда проекции линии пересечения, согласно теореме Г.Монжа, представляют собой отрезки прямых линий.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Примеры решения задач по всем темам начертательной геометрии

Начертательная геометрия – это раздел геометрии, в котором пространственные фигуры изучаются с помощью их изображений на плоскости (чертежей). Разработка методов построения и чтения чертежей, решения геометрических и технических задач является предметом изучения начертательной геометрии. В начертательной геометрии используются графические методы решения задач, поэтому к чертежам предъявляются особые требования – обратимость, точность, наглядность и другие.

Правила построения изображений фигур основано на методе проецирования. Наиболее распространенными в начертательной геометрии являются чертежи, полученные при проецировании фигур на две плоскости – комплексные чертежи в системе двух плоскостей проекций. Под фигурой будем понимать любое множество точек.

Изображением точки, которая является элементом фигуры, является пара точек – две связанные между собой проекции точки. Каждой точке пространства соответствует единственная пара точек плоскости чертежа и каждой паре точек плоскости чертежа соответствует единственная точка пространства. Пара точек плоскости чертежа является геометрической моделью точки пространства.

Изображения фигур пространства, получаемые методами начертательной геометрии, являются геометрическими моделями этих фигур на плоскости. Между фигурой и ее изображением устанавливается строгая геометрическая связь, что позволяет судить о форме и размерах фигуры по ее изображению.

Задачи в начертательной геометрии обычно делятся на позиционные (задачи на определение общих элементов заданных фигур), метрические (задачи на определение значений геометрических величин – длин отрезков, размеров углов и т.д.) и конструктивные (задачи на построение фигур, удовлетворяющих заданным условиям). Знание элементарной геометрии, методов решения позиционных и метрических задач дает возможность решать и конструктивные задачи.

Метод проекций

Для того чтобы чертеж соответствовал изображаемому предмету и передавал его свойства, он должен быть построен по определенным геометрическим законам. Правила построения изображений в инженерной геометрии основаны на методе проекций.

Метод проекций предполагает наличие плоскости проекций, объекта проецирования и проецирующих лучей.

Проекцией точки Решение задач по начертательной геометрии на плоскость Решение задач по начертательной геометрии называется точка пересечения Решение задач по начертательной геометрии с этой плоскостью проецирующего луча Решение задач по начертательной геометрии, проходящего в пространстве через точку Решение задач по начертательной геометрии (рис. 1.1).

Различают два метода проецирования: центральное и параллельное.

Центральное и параллельное проецирование

При центральном проецировании все проецирующие лучи проходят через точку Решение задач по начертательной геометрии, называемую центром проекций и не лежащую в плоскости проекций. Для построения проекций некоторых точек Решение задач по начертательной геометрии (рис. 1.2) проводим через эти точки и центр проекций Решение задач по начертательной геометрии проецирующие лучи до пересечения с плоскостью Решение задач по начертательной геометрии. На плоскости проекций Решение задач по начертательной геометрии каждой точке будет соответствовать единственная точка — проекции Решение задач по начертательной геометрии.

Решение задач по начертательной геометрии

Центральное проецирование обладает наглядностью, оно используется при построении изображений архитектурно-строительных объектов, но даст значительное искажение размеров, вследствие чего не применяется для выполнения чертежей.

При параллельном проецировании проецирующие лучи параллельны заданному направлению Решение задач по начертательной геометрии (рис. 1.3). Точки пересечения проецирующих лучей, проходящих через точки Решение задач по начертательной геометрии с плоскостью проекций Решение задач по начертательной геометрии — параллельные проекции Решение задач по начертательной геометрии на плоскости Решение задач по начертательной геометрии.

Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай центрального при бесконечно удаленном центре проекций. В зависимости от направления проецирующих лучей относительно плоскости проекций параллельное проецирование может быть прямоугольным (проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций) и косоугольным (проецирующие лучи составляют с плоскостью проекций угол, не равный Решение задач по начертательной геометрии).

Прямоугольной (ортогональной) проекцией точки Решение задач по начертательной геометрии (рис. 1.4) является основание перпендикуляра Решение задач по начертательной геометрии, проведенного из точки Решение задач по начертательной геометрии на плоскость Решение задач по начертательной геометрии. Динамический рисунок с перемещением точек Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии в пространстве относительно плоскости проекций можно посмотреть здесь.

Ортогональное проецирование имеет ряд преимуществ перед центральным и косоугольным параллельным проецированием.

Решение задач по начертательной геометрии

Для разработки чертежей применяется в основном прямоугольное (ортогональное) проецирование. Прямоугольное проецирование включает в себя все свойства центрального и параллельного проецирования.

  1. Каждая точка и прямая в пространстве имеют единственную проекцию на плоскости, так как через любую точку в пространстве можно провести только один проецирующий луч (рис. 1.4).
  2. Каждая точка на плоскости проекций может быть проекцией множества точек, если через них проходит общий проецирующий луч (рис. 1.5).
  3. Если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит проекции этой прямой (рис. 1.6).
Решение задач по начертательной геометрии
  1. Отношение отрезков прямой равно отношению их проекций (рис. 1.6):
Решение задач по начертательной геометрии
  1. Проекции параллельных прямых параллельны. Если Решение задач по начертательной геометрии, то Решение задач по начертательной геометрии (рис. 1.7). Если прямая перпендикулярна плоскости проекций, то проекцией этой прямой является точка (прямая Решение задач по начертательной геометрии, рис. 1.8).
Решение задач по начертательной геометрии
  1. Если отрезок прямой параллелен плоскости проекций, то на эту плоскость отрезок проецируется в натуральную величину (прямая Решение задач по начертательной геометрии, рис. 1.8).

Точка в системе двух и трех плоскостей проекций

Возьмем в пространстве две взаимно перпендикулярные плоскости. Одна из них располагается горизонтально — ее называют горизонтальной плоскостью проекций и обозначают буквой Решение задач по начертательной геометрии. Другая плоскость перпендикулярна горизонтальной и называется фронтальной плоскостью проекций. Эта плоскость обозначается буквой Решение задач по начертательной геометрии (рис. 1.9). Линия пересечения плоскостей проекций называется осью проекций. Ось проекций Решение задач по начертательной геометрии разделяет каждую из плоскостей на две полуплоскости.

Решение задач по начертательной геометрии

Спроецируем точку Решение задач по начертательной геометрии на плоскости проекций Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии. Горизонтальной проекцией точки называют прямоугольную проекцию точки на горизонтальной плоскости проекций. Горизонтальную проекцию находим как точку пересечения перпендикуляра, проведенного из точки Решение задач по начертательной геометрии, с плоскостью Решение задач по начертательной геометрии. Обозначим ее символом Решение задач по начертательной геометрии. Проведем из точки Решение задач по начертательной геометрии в плоскости Решение задач по начертательной геометрии перпендикуляр на ось Решение задач по начертательной геометрии и отметим вспомогательную точку Решение задач по начертательной геометрии.

Фронтальной проекцией точки называют прямоугольную проекцию точки на фронтальной плоскости проекций. Фронтальную проекцию находим как точку пересечения перпендикуляра, проведенного из точки Решение задач по начертательной геометрии, с плоскостью Решение задач по начертательной геометрии. Обозначим ее Решение задач по начертательной геометрии.

Для получения плоского чертежа точки необходимо совместить плоскость Решение задач по начертательной геометрии с плоскостью Решение задач по начертательной геометрии поворотом вокруг оси Решение задач по начертательной геометрии. При этом отрезки Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии образуют один отрезок Решение задач по начертательной геометрии, перпендикулярный к оси Решение задач по начертательной геометрии. Отрезок Решение задач по начертательной геометрии называется линией проекционной связи (рис. 1.10). Без обозначения плоскостей Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии этот чертеж будет выглядеть так, как показано на рис. 1.11. Полученный чертеж имеет название эпюр Монжа (Epure — чертеж (франц.)), в честь основоположника начертательной геометрии французского ученого Гаспара Монжа.

Решение задач по начертательной геометрии

Иногда двух проекций геометрического элемента бывает недостаточно, чтобы определить его форму и истинные размеры. Тогда выполняют построение изображения на третьей плоскости. Введем в систему Решение задач по начертательной геометрии, Решение задач по начертательной геометрии третью плоскость проекций, перпендикулярную плоскостям Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии. Ее называют профильной плоскостью проекций и обозначают Решение задач по начертательной геометрии (рис. 1.12).

Решение задач по начертательной геометрии

Три взаимно перпендикулярные плоскости проекций называются координатными плоскостями. Они пересекаются по трем взаимно перпендикулярным прямым Решение задач по начертательной геометрии которые называются осями координат и обозначаются Решение задач по начертательной геометрии. Общая точка Решение задач по начертательной геометрии — начало координат.

Рассмотрим построение трех проекций некоторой точки пространства. Зададимся произвольной точкой Решение задач по начертательной геометрии (рис. 1.12). Проецирование на плоскости Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии выполняется аналогично приведенному выше примеру проецирования точки Решение задач по начертательной геометрии на две плоскости проекций. Профильной проекцией точки является прямоугольная проекция точки на профильной плоскости проекций Решение задач по начертательной геометрии. Обозначим ее Решение задач по начертательной геометрии.

Часто с осями проекций совмещают декартову систему координат. Из рис. 1.12 видно, что:

Решение задач по начертательной геометрии (высота Решение задач по начертательной геометрии точки Решение задач по начертательной геометрии — аппликата);

Решение задач по начертательной геометрии (глубина Решение задач по начертательной геометрии точки Решение задач по начертательной геометрии — ордината);

Решение задач по начертательной геометрии (широта Решение задач по начертательной геометрии точки Решение задач по начертательной геометрии — абсцисса).

Чтобы перейти к плоскому изображению, повернем плоскость Решение задач по начертательной геометрии вниз вокруг оси Решение задач по начертательной геометрии и плоскость яз вправо вокруг оси Решение задач по начертательной геометрии до совмещения с плоскостью Решение задач по начертательной геометрии. При развороте плоскостей Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии ось Решение задач по начертательной геометрии воспроизводится дважды.

На рис. 1.13 показано расположение проекций Решение задач по начертательной геометрии точки Решение задач по начертательной геометрии после совмещения плоскостей проекций.

Решение задач по начертательной геометрии

Прямые, соединяющие на чертеже две проекции одной и той же точки, являются линиями проекционной связи, между Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии — вертикальная линия связи, между Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии — горизонтальная линия связи, между проекциями Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии — ломаная линия связи. Переход от оси Решение задач по начертательной геометрии плоскости Решение задач по начертательной геометрии к оси Решение задач по начертательной геометрии плоскости Решение задач по начертательной геометрии может осуществляться при помощи дуги или вспомогательной прямой, проведенной под углом Решение задач по начертательной геометрии к оси Решение задач по начертательной геометрии.

На рис. 1.14 выполнено построение профильной проекции Решение задач по начертательной геометрии точки Решение задач по начертательной геометрии по заданной горизонтальной Решение задач по начертательной геометрии и фронтальной Решение задач по начертательной геометрии. Построение выполняется следующим образом.

  1. Проводим через проекцию Решение задач по начертательной геометрии горизонтальную линию связи, на которой находится профильная проекция Решение задач по начертательной геометрии.
  2. Проводим ломаную линию связи через Решение задач по начертательной геометрии до пересечения с горизонтальной линией связи, проведенной через фронтальную проекцию Решение задач по начертательной геометрии.

Профильную проекцию Решение задач по начертательной геометрии можно получить, откладывая на горизонтальной линии связи от точки Решение задач по начертательной геометрии отрезок, равный координате Решение задач по начертательной геометрии.

Решение задач по начертательной геометрии

Как известно, положение точки в пространстве может быть задано при помощи трех ее координат (абсциссы Решение задач по начертательной геометрии, ординаты Решение задач по начертательной геометрии, аппликаты Решение задач по начертательной геометрии), т. е. трех чисел, выражающих расстояния от этой точки до трех плоскостей проекций. Запись координат точки производится в такой форме: Решение задач по начертательной геометрии. Например, задана точка Решение задач по начертательной геометрии. Эта запись означает, что точка Решение задач по начертательной геометрии определяется координатами Решение задач по начертательной геометрии.

Если масштаб для построения чертежа задан или выбран, то построение проводят так, как показано на рис. 1.13, 1.14 — откладывается на оси Решение задач по начертательной геометрии от точки Решение задач по начертательной геометрии отрезок Решение задач по начертательной геометрии, а на перпендикуляре к этой оси, проведенном из точки Решение задач по начертательной геометрии,откладывают отрезки Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии. Затем строят профильную проекцию Решение задач по начертательной геометрии, как описано выше.

Проекции отрезка прямой линии

Как известно из элементарной геометрии, прямая линия определяется двумя точками, поэтому чтобы построить проекции этой прямой, необходимо иметь проекции двух точек, принадлежащих этой прямой.

Возьмем на произвольной прямой две точки Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии (рис. 1.15). Их проекции Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии на плоскости по определяют прямую, которую можно рассматривать как линию пересечения плоскости Решение задач по начертательной геометрии с плоскостью Решение задач по начертательной геометрии, определяемой прямой Решение задач по начертательной геометрии и проецирующими лучами Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии. Линия пересечения плоскостей Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии проходит через проекции Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии на плоскости Решение задач по начертательной геометрии. Эта линия и является проекцией прямой на плоскости проекций Решение задач по начертательной геометрии.

Одна проекция прямой не определяет ее положения в пространстве. Для однозначного определения прямой в пространстве необходимы как минимум две проекции.

Решение задач по начертательной геометрии

Прямые общего и частного положения

Прямые в пространстве могут занимать относительно плоскостей проекций различное положение. Прямую, не параллельную ни одной из плоскостей проекций, называют прямой общего положения. На рис. 1.16, а дано пространственное изображение, а на рис. 1.16,6-чертеж прямой Решение задач по начертательной геометрии.

Точки Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии находятся на разных расстояниях от каждой из плоскостей проекций, т. е. прямая Решение задач по начертательной геометрии не параллельна ни одной из них. Значит, прямая Решение задач по начертательной геометрии общего положения.

Решение задач по начертательной геометрии

На представленном примере показан перемещающийся в пространстве отрезок Решение задач по начертательной геометрии и его проекции на три плоскости.

По двум известным проекциям отрезка прямой всегда можно построить третью проекцию, так как любая пара проекций содержит все три координаты конечных точек отрезка.

Прямые, параллельные или перпендикулярные к плоскостям проекций, называются прямыми частного положения.

Прямая, параллельная плоскости проекций, называется прямой уровня. Существуют три линии уровня.

Решение задач по начертательной геометрии

Прямая, перпендикулярная к плоскостям проекций, называется проецирующей. Различают три вида проецирующих прямых.

Решение задач по начертательной геометрии

Определение натуральной величины отрезка прямой и углов наклона прямой к плоскостям проекций

Отрезки прямых общего положения не проецируются в натуральную величину ни на одну из плоскостей проекций. Длину (натуральную величину — Решение задач по начертательной геометрии) отрезка можно определить на основании свойства ортогонального проецирования.

Из рисунка 1.17 видно, что натуральная величина отрезка Решение задач по начертательной геометрии общего положения является гипотенузой прямоугольного треугольника Решение задач по начертательной геометрии. В этом треугольнике один катет Решение задач по начертательной геометрии параллелен плоскости Решение задач по начертательной геометрии и равен по длине горизонтальной проекции отрезка Решение задач по начертательной геометрии, а величина второго катета равна разности расстояний точек Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии до плоскости проекций Решение задач по начертательной геометрии, т. е. Решение задач по начертательной геометрии.

Угол Решение задач по начертательной геометрии — угол наклона отрезка Решение задач по начертательной геометрии к горизонтальной плоскости проекций Решение задач по начертательной геометрии.

Решение задач по начертательной геометрии

Таким образом, на горизонтальной проекции отрезка Решение задач по начертательной геометрии (рис. 1.18) можно построить прямоугольный треугольник, взяв вторым катетом Решение задач по начертательной геометрии. Гипотенуза этого треугольника Решение задач по начертательной геометрии будет натуральной величиной отрезка Решение задач по начертательной геометрии, а угол Решение задач по начертательной геометрии определяет угол наклона отрезка Решение задач по начертательной геометрии к горизонтальной плоскости проекций Решение задач по начертательной геометрии.

Аналогичное построение можно сделать на фронтальной плоскости проекций, взяв в качестве второго катета разность расстояний концов отрезка (Решение задач по начертательной геометрии) до фронтальной плоскости проекций Решение задач по начертательной геометрии. Отрезок Решение задач по начертательной геометрии -натуральная величина отрезка Решение задач по начертательной геометрии, угол Решение задач по начертательной геометрии — угол наклона Решение задач по начертательной геометрии к плоскости Решение задач по начертательной геометрии.

Относительное положение точки и прямой

Точка и прямая в пространстве могут занимать различное положение относительно друг друга. Если точка принадлежит прямой, то проекции этой точки лежат на одноименных проекциях данной прямой. Точка Решение задач по начертательной геометрии принадлежит прямой Решение задач по начертательной геометрии (рис. 1.19), так как се проекции Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии лежат на одноименных проекциях прямой Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии. Точки Решение задач по начертательной геометрии не принадлежат прямой Решение задач по начертательной геометрии, так как одна из проекций этих точек не лежит на соответствующей проекции прямой.

Решение задач по начертательной геометрии

Задание плоскости на чертеже

Плоскостью называется поверхность, образуемая перемещением прямой линии, которая движется параллельно самой себе по неподвижной направляющей прямой.

На чертеже плоскость можно изобразить только в том случае, если она проецируется в линию. На рис. 1.20 плоскость Решение задач по начертательной геометрии, расположенная перпендикулярно к плоскости Решение задач по начертательной геометрии, проецируется на нее прямой линией Решение задач по начертательной геометрии.

Если плоскость не перпендикулярна к плоскости проекций, то изобразить ее на чертеже невозможно, так как проекции плоскости занимают полностью всю плоскость проекций.

Однако ее можно задать на чертеже, изобразив отдельные геометрические элементы, определяющие ее.

Решение задач по начертательной геометрии
Решение задач по начертательной геометрии

Такими элементами являются:

  • три точки, не лежащие на одной прямой (рис. 1.21, а);
  • прямая и точка, не лежащая на ней (рис. 1.21, б);
  • пересекающиеся прямые (рис. 1.21, в);
  • две параллельные прямые (рис. 1.21, г);
  • плоская фигура (рис. 1.21, <)).

Плоскости общего и частного положения

Плоскость, не перпендикулярную ни к одной из плоскостей проекций, называют плоскостью общего положения (рис. 1.22). Эти плоскости имеют наибольшее распространение. Причем плоскость не ограничивается задающей ее плоской фигурой, а является бесконечной (если иное не оговорено в условии задачи).

Решение задач по начертательной геометрии

К плоскостям частного положения относятся плоскости, перпендикулярные или параллельные плоскостям проекций.

Если плоскости перпендикулярны к одной из плоскостей проекций, то они называются проецирующими.

Различают горизонтально-проецирующую, фронтально-проецирующую и профильно-проецирующую плоскости.

Плоскости, параллельные какой-либо плоскости проекций, называются плоскостями уровня.

К ним относятся:

  1. горизонтальная плоскость уровня — параллельная плоскости проекций Решение задач по начертательной геометрии;
  2. фронтальная плоскость уровня — параллельная плоскости Решение задач по начертательной геометрии;
  3. профильная плоскость уровня — параллельная плоскости Решение задач по начертательной геометрии.

Прямая и точка в плоскости

К числу основных задач, решаемых на плоскости, относятся: построение прямой, принадлежащей заданной плоскости; построение недостающих проекций точки, лежащей в плоскости. Решение указанных задач основано на известных положениях геометрии, перечисленных ниже.

  • Прямая принадлежит плоскости, если две ее точки принадлежат этой плоскости.

Например, плоскость задана параллельными прямыми Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии (горизонтальные проекции Решение задач по начертательной геометрии и фронтальные проекции Решение задач по начертательной геометрии на рис. 1.23). Требуется построить горизонтальную проекцию Решение задач по начертательной геометрии прямой Решение задач по начертательной геометрии, лежащей в этой плоскости, если известна ее фронтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии.

Прямые Решение задач по начертательной геометрии лежат в одной плоскости, поэтому точки Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии являются точками пересечения соответственно прямых Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии. По линиям связи определяем горизонтальные проекции точек Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии. Через проекции точек Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии проводим горизонтальную проекцию прямой.

Решение задач по начертательной геометрии
  1. Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку этой плоскости параллельно какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости.

Например, плоскость задана треугольником Решение задач по начертательной геометрии (проекции Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии на рис. 1.24). Требуется построить прямую, лежащую в плоскости Решение задач по начертательной геометрии и проходящую через точку Решение задач по начертательной геометрии. Через точку Решение задач по начертательной геометрии проводим прямую Решение задач по начертательной геометрии, параллельную Решение задач по начертательной геометрии.

Следует отметить, что через точку Решение задач по начертательной геометрии в плоскости треугольника можно провести множество прямых.

Точка принадлежит плоскости, если она находится на прямой, лежащей в этой плоскости. Например, необходимо определить фронтальную проекцию точки Решение задач по начертательной геометрии, принадлежащей плоскости, заданной треугольником Решение задач по начертательной геометрии (рис. 1.25). Через точку Решение задач по начертательной геометрии проведем горизонтальную проекцию прямой Решение задач по начертательной геометрии и построим Решение задач по начертательной геометрии. Проекции точки принадлежат одноименным проекциям прямой Решение задач по начертательной геометрии. По линии связи находим фронтальную проекцию Решение задач по начертательной геометрии точки Решение задач по начертательной геометрии.

Прямые особого положения в плоскости

К числу прямых, занимающих особое положение в плоскости, относятся горизонтали, фронтали, профильные линии. Прямая, принадлежащая данной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций Решение задач по начертательной геометрии, называется горизонталью плоскости. Фронтальная проекция горизонтали параллельна оси Решение задач по начертательной геометрии. Построение проекций горизонтали треугольника Решение задач по начертательной геометрии, представленного проекциями Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии на рис. 1.26, начинается с проведения из вершины Решение задач по начертательной геометрии фронтальной проекции горизонтали Решение задач по начертательной геометрии, затем по линиям проекционной связи строится горизонтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии.

Решение задач по начертательной геометрии

На рис. 1.27 построение фронтали (линии, параллельной фронтальной плоскости проекций) треугольника Решение задач по начертательной геометрии удобно начать с горизонтальной проекции Решение задач по начертательной геометрии, затем с помощью линий проекционной связи строится фронтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии.

Задачи с решением №1

Задача №1.

По заданным координатам точки Решение задач по начертательной геометрииРешение задач по начертательной геометрии построить ее проекции.

Решение:

По оси Решение задач по начертательной геометрии откладываем Решение задач по начертательной геометрии (точка Решение задач по начертательной геометрии на рис. 1.28). В точке Решение задач по начертательной геометрии восстанавливаем перпендикуляр к оси (линия связи) и, отложив на нем Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии, получаем Решение задач по начертательной геометрии — горизонтальную и Решение задач по начертательной геометрии — фронтальную проекции точки Решение задач по начертательной геометрии.

Затем из точки Решение задач по начертательной геометрии проведем перпендикуляр к оси Решение задач по начертательной геометрии (точка Решение задач по начертательной геометрии). Радиусом Решение задач по начертательной геометрии переносим точку Решение задач по начертательной геометрии на ось Решение задач по начертательной геометрии на профильной проекции.

Из точки Решение задач по начертательной геометрии проводим горизонтальную линию связи. В пересечении линий связи получим точку Решение задач по начертательной геометрии — профильную проекцию точки Решение задач по начертательной геометрии.

Задача №2.

Через точку Решение задач по начертательной геометрии (проекции Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии на рис. 1.29) провести фронтальную прямую Решение задач по начертательной геометрии длиной Решение задач по начертательной геометрии под углом Решение задач по начертательной геометрии к плоскости Решение задач по начертательной геометрии и отложить на ней отрезок Решение задач по начертательной геометрии.

Решение:

Прямая Решение задач по начертательной геометрии параллельна фронтальной плоскости проекций яг и спроецирустся на эту плоскость в натуральную величину.

Из точки Решение задач по начертательной геометрии проводим прямую под углом Решение задач по начертательной геометрии к оси Решение задач по начертательной геометрии и откладываем на ней отрезок Решение задач по начертательной геометрии.

На фронтальной проекции Решение задач по начертательной геометрии откладываем отрезок Решение задач по начертательной геометрии. По линии связи определяем горизонтальную проекцию точки Решение задач по начертательной геометрии.

Вопросы для контроля

  1. Как называются и обозначаются плоскости проекций?
  2. Сформулируйте основные свойства прямоугольного проецирования.
  3. Какие координаты определяют положение фронтальной проекции точки?
  4. Какая прямая называется прямой общего положения?

Относительное положение двух прямых в пространстве

Прямые в пространстве могут занимать различное взаимное положение — они могут быть параллельными, пересекаться и скрещиваться. Из свойств параллельного проецирования следует, что если прямые параллельны (рис. 2.1), то их проекции также параллельны. На рис. 2.2 приведен чертеж параллельных прямых Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии. Проекции Решение задач по начертательной геометрииРешение задач по начертательной геометрии.

Решение задач по начертательной геометрии

Если прямые в пространстве пересекаются, то их проекции также пересекаются и точка пересечения лежит на одной общей линии связи. Пересекающиеся прямые Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии, приведенные на рис. 2.3, а, имеют общую точку Решение задач по начертательной геометрии.

Решение задач по начертательной геометрии

Поэтому горизонтальная (Решение задач по начертательной геометрии) и фронтальная (К») проекции этой точки лежат на пересечении одноименных проекций данных прямых. На рис. 2.3, б проекции точки Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии соединены линией связи (находятся на одном перпендикуляре к оси проекций).

Если две прямые не параллельны и не пересекаются, то они называются скрещивающимися. Как видно из рис. 2.4, а и б, горизонтальные проекции точек Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии прямых Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии, заданных проекциями Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии, и фронтальные проекции точек Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии сливаются в одну, так как расположены на одной проецирующей прямой. Но эти точки пересечения одноименных проекций (Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии) не являются общими для двух прямых, и, следовательно, прямые Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии скрещиваются.

Решение задач по начертательной геометрии

Пары точек Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии, лежащие на горизонтально-проецирующей прямой, или Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии, лежащие на фронтально-проецирующей прямой, называются конкурирующими.

Параллельность прямой и плоскости

Прямая, не лежащая в плоскости, может быть параллельна плоскости или пересекаться с ней. Решение вопроса о параллельности прямой и плоскости основывается на следующем свойстве: прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскости.

Задача и решение №2

Через точку Решение задач по начертательной геометрии требуется провести горизонтальную прямую, параллельную плоскости треугольника Решение задач по начертательной геометрии (рис. 2.5).

Построение следует начинать с проведения в плоскости треугольника Решение задач по начертательной геометрии произвольной прямой — горизонтали Решение задач по начертательной геометрии, например через вершину Решение задач по начертательной геометрии.

Затем через заданную точку Решение задач по начертательной геометрии проводим прямую Решение задач по начертательной геометрии, параллельную Решение задач по начертательной геометрии.

Если заданы плоскость и прямая, то для определения их параллельности нужно попытаться построить в плоскости прямую, параллельную заданной.

Решение задач по начертательной геометрии

Параллельность двух плоскостей

Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые, принадлежащие одной плоскости, параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Так, на рис. 2.6 плоскость треугольника Решение задач по начертательной геометрии параллельна плоскости двух пересекающихся прямых Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии, проходящих через точку Решение задач по начертательной геометрии, так как две стороны Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии соответственно параллельны прямым Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии.

Решение задач по начертательной геометрии

Задача:

Через точку Решение задач по начертательной геометрии требуется провести плоскость, параллельную плоскости параллельных прямых Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии (рис. 2.7, а).

Решение. Через точку Решение задач по начертательной геометрии проводим прямую Решение задач по начертательной геометрии, параллельную прямым Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии, задающим плоскость (рис. 2.7, б).

Решение задач по начертательной геометрии

Для того чтобы получить вторую прямую, проводим в заданной плоскости произвольную прямую 1-2. Затем проводим через точку Решение задач по начертательной геометрии прямую Решение задач по начертательной геометрии, параллельную прямой 1-2. Прямые Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии пересекаются и параллельны двум пересекающимся прямым заданной плоскости, следовательно, плоскости параллельны.

Пересечение двух плоскостей

Линией пересечения двух плоскостей является прямая, которая строится по двум точкам, общим для обеих плоскостей (рис. 2.8). Линия пересечения, по которой пересекаются между собой две плоскости, проходит через точки Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии, в которых прямые Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии плоскости треугольника пересекают вторую плоскость, т. е. точки Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии принадлежат обеим плоскостям.

Решение задач по начертательной геометрии

Для нахождения точек пересечения приходится выполнять целый ряд вспомогательных построений.

На рис. 2.9 приведен пример построения линии пересечения двух плоскостей: плоскости общего положения, заданной треугольником Решение задач по начертательной геометрии, и фронтально-проецирующей плоскости треугольника Решение задач по начертательной геометрии. В данном случае решение упрощается, так как одна из плоскостей занимает частное положение. Общими точками для этих двух плоскостей будут точки пересечения Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии сторон Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии треугольника Решение задач по начертательной геометрии с «вырожденной» проекцией треугольника Решение задач по начертательной геометрии. Фронтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии линии пересечения совпадает с проекцией Решение задач по начертательной геометрии. Горизонтальные проекции Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии строятся при помощи линий связи.

При рассмотрении фронтальных проекций видно, что часть Решение задач по начертательной геометрии треугольника Решение задач по начертательной геометрии расположена над проекцией Решение задач по начертательной геометрии и на горизонтальной проекции будет видна («накрывает» плоскость треугольника Решение задач по начертательной геометрии). Часть Решение задач по начертательной геометрии располагается под Решение задач по начертательной геометрии и «накрывается» плоскостью треугольника Решение задач по начертательной геометрии.

Теперь рассмотрим общий случай построения линии пересечения двух плоскостей. Пусть в пространстве (рис. 2.10) заданы две плоскости общего положения Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии, плоскость Решение задач по начертательной геометрии — двумя пересекающимися прямыми Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии, плоскость Решение задач по начертательной геометрии — двумя параллельными прямыми Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии. Для построения линии их пересечения необходимо найти две точки, общие для обеих плоскостей.

Для определения этих точек заданные плоскости пересекают двумя вспомогательными плоскостями. В качестве таких плоскостей применяют плоскости частного положения. В данном случае использованы горизонтальные плоскости Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии. Плоскость Решение задач по начертательной геометрии пересекает плоскости Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии по горизонталям 1-2 и 3-4 соответственно. Эти горизонтали, пересекаясь, определяют точку Решение задач по начертательной геометрии, общую для плоскостей Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии. Вторая вспомогательная плоскость Решение задач по начертательной геометрии пересекает заданные плоскости по горизонталям 5-6 и 7-8, которые, пересекаясь, определяют вторую общую точку Решение задач по начертательной геометрии. Прямая Решение задач по начертательной геометрииРешение задач по начертательной геометрии — искомая линия пересечения плоскостей Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии. На рис. 2.11 описанный метод применен для решения этой задачи на проекционном чертеже.

Решение задач по начертательной геометрии
Решение задач по начертательной геометрии

Пересечение прямой линии с плоскостью частного положения

Так как плоскости частного положения проецируются на перпендикулярную к ней плоскость проекций в виде прямой линии, то на этой прямой должна находиться соответствующая проекция точки пересечения прямой с проецирующей плоскостью. Примеры определения точек пересечения прямой с плоскостью частного положения даны на рис. 2.12.

Решение задач по начертательной геометрии

На рис. 2.12, а прямая Решение задач по начертательной геометрии общего положения пересекается с фронтально-проецирующей плоскостью, заданной треугольником Решение задач по начертательной геометрии. Фронтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии точки пересечения находится в точке пересечения фронтальной проекции Решение задач по начертательной геометрии прямой с проекцией Решение задач по начертательной геометрии. Горизонтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии построена при помощи линий связи.

На рис. 2.12,6 прямая Решение задач по начертательной геометрии общего положения пересекается с горизонтальной плоскостью Решение задач по начертательной геометрии, заданной проекцией Решение задач по начертательной геометрии. В этом случае фронтальная проекция точки пересечения Решение задач по начертательной геометрии определена в пересечении фронтальной проекции прямой Решение задач по начертательной геометрии с проекцией плоскости Решение задач по начертательной геометрии. Горизонтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии построена при помощи линии связи.

Во всех случаях плоскость считается «непрозрачной» — та часть прямой, которая закрывается плоскостью, показывается штриховой линией.

Пересечение прямой с плоскостью общего положения

Для определения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения следует выполнить следующие построения:

  • провести через прямую вспомогательную плоскость;
  • построить линию пересечения вспомогательной плоскости с заданной;
  • найти точку пересечения заданной прямой и построенной;
  • определить видимые части проекций данной прямой.

На рис. 2.13 приведено построение точки пересечения прямой Решение задач по начертательной геометрии (проекции Решение задач по начертательной геометрии, Решение задач по начертательной геометрии) с плоскостью, заданной треугольником Решение задач по начертательной геометрии (проекции Решение задач по начертательной геометрии).

Через прямую Решение задач по начертательной геометрии проведена вспомогательная горизонтально-проецирующая плоскость Решение задач по начертательной геометрии. По горизонтальным проекциям Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии точек 1 и 2 находим фронтальные Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии, соединяя которые получаем фронтальную проекцию линии пересечения Решение задач по начертательной геометрии. Проекция Решение задач по начертательной геометрии пересекает фронтальную проекцию Решение задач по начертательной геометрии в точке Решение задач по начертательной геометрии, с помощью линии связи определяем горизонтальную проекцию Решение задач по начертательной геометрии точки Решение задач по начертательной геометрии. Видимость прямой и плоскости на горизонтальной плоскости проекций определяется с помощью горизонтально-конкурирующих точек 2 и 3. Точка 2 лежит на стороне Решение задач по начертательной геометрии а 3 — на прямой Решение задач по начертательной геометрии.

Их фронтальные проекции Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии показывают, что точка 2 находится ниже точки 3, поэтому на горизонтальной плоскости проекций горизонтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии точки 2 будет закрыта проекцией Решение задач по начертательной геометрии точки 3. Отсюда следует, что проекция Решение задач по начертательной геометрии расположена ниже проекции Решение задач по начертательной геометрии и участок этой прямой с левой стороны до Решение задач по начертательной геометрии будет видимым. Относительную видимость на фронтальной плоскости проекций можно определить с помощью фронтально-конкурирующих точек 4 и 5.

На рис. 2.14 изображена горизонтально-проецирующая прямая Решение задач по начертательной геометрии, пересекающаяся с плоскостью общего положения, заданной треугольником Решение задач по начертательной геометрии.

Решение задач по начертательной геометрии

Положение горизонтальной проекции Решение задач по начертательной геометрии точки пересечения Решение задач по начертательной геометрии известно Решение задач по начертательной геометрии а положение фронтальной проекции определено при помощи прямой Решение задач по начертательной геометрии треугольника Решение задач по начертательной геометрии.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.

На рис. 2.15 показано построение перпендикуляра из точки Решение задач по начертательной геометрии к плоскости треугольника Решение задач по начертательной геометрии. Направление проекций перпендикуляра определяется горизонталью Решение задач по начертательной геометрии (прямая Решение задач по начертательной геометрии) и фронталью Решение задач по начертательной геометрии (прямая Решение задач по начертательной геометрии) плоскости треугольника.

Горизонтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии перпендикуляра проведена под прямым углом к проекции Решение задач по начертательной геометрии горизонтали, а фронтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии расположена под прямым углом к фронтальной проекции Решение задач по начертательной геометрии фронтали.

Задача и решение №3

Пусть требуется построить плоскость, проходящую через точку Решение задач по начертательной геометрии и перпендикулярную данной прямой Решение задач по начертательной геометрии (рис. 2.16).

Искомую плоскость задаем двумя пересекающимися прямыми (горизонталью Решение задач по начертательной геометрии и фронталью Решение задач по начертательной геометрии), проходящими через точку Решение задач по начертательной геометрии.

Решение задач по начертательной геометрии

Горизонтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии горизонтали Решение задач по начертательной геометрии перпендикулярна горизонтальной проекции Решение задач по начертательной геометрии прямой Решение задач по начертательной геометрии, фронтальная проекция фронтали Решение задач по начертательной геометрии перпендикулярна фронтальной проекции Решение задач по начертательной геометрии.

Если плоскости занимают частное положение, то перпендикуляры к этим плоскостям располагаются параллельно плоскостям проекций. Так, перпендикуляром к горизонтально-проецирующей плоскости Решение задач по начертательной геометрии (проекция Решение задач по начертательной геометрии) является горизонталь Решение задач по начертательной геометрии (рис. 2.17, а). Фронтальная прямая Решение задач по начертательной геометрии перпендикулярна фронтально-проецирующей плоскости Решение задач по начертательной геометрии (проекция Решение задач по начертательной геометрии рис. 2.17, б). Горизонтально-проецирующая прямая Решение задач по начертательной геометрии является перпендикуляром к горизонтальной плоскости Решение задач по начертательной геометрии (проекция Решение задач по начертательной геометрии рис. 2.17, в).

Решение задач по начертательной геометрии
Решение задач по начертательной геометрии

Взаимно перпендикулярные прямые общего положения образуют прямой угол, который проецируется на плоскости проекций с искажением. В общем случае перпендикуляр к прямой можно построить с помощью плоскости, расположенной перпендикулярно к этой прямой.

На рис. 2.18 показано построение перпендикуляра из точки Решение задач по начертательной геометрии к прямой Решение задач по начертательной геометрии. Сначала через точку Решение задач по начертательной геометрии проводим плоскость, перпендикулярную к прямой Решение задач по начертательной геометрии. Эта плоскость задается двумя пересекающимися прямыми: горизонталью Решение задач по начертательной геометрии и фронталью Решение задач по начертательной геометрии (при этом горизонтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии перпендикулярна к горизонтальной проекции Решение задач по начертательной геометрии, а фронтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии перпендикулярна к фронтальной проекции Решение задач по начертательной геометрии).

Затем определяем точку пересечения Решение задач по начертательной геометрии прямой Решение задач по начертательной геометрии с проведенной плоскостью. Для этого через прямую Решение задач по начертательной геометрии проводим фронтально-проецирующую плоскость Решение задач по начертательной геометрии, которая пересекает плоскость, заданную горизонталью Решение задач по начертательной геометрии и фронталью Решение задач по начертательной геометрии, по линии 1-2 (проекции Решение задач по начертательной геометрии.

Решение задач по начертательной геометрии
Решение задач по начертательной геометрии

В пересечении прямой 1-2 с прямой Решение задач по начертательной геометрии получается точка Решение задач по начертательной геометрии. Прямая Решение задач по начертательной геометрии является искомым перпендикуляром, так как пересекает прямую Решение задач по начертательной геометрии и находится в плоскости, перпендикулярной прямой Решение задач по начертательной геометрии.

При построении проекций перпендикуляра к прямым частного положения задача упрощается, так как одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекции и прямой угол на эту плоскость проекций проецируется без искажения.

Так на рис. 2.19, а показано построение проекций перпендикуляра, проведенного из точки Решение задач по начертательной геометрии к горизонтали Решение задач по начертательной геометрии. Горизонтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии перпендикуляра Решение задач по начертательной геометрии располагается под прямым углом к горизонтальной проекции Решение задач по начертательной геометрии прямой Решение задач по начертательной геометрии. Фронтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии определяется при помощи линий связи (точка Решение задач по начертательной геометрии принадлежит прямой Решение задач по начертательной геометрии). На рис. 2.19, б показано построение проекций перпендикуляра, проведенного из точки Решение задач по начертательной геометрии к фронтально-проецирующей прямой Решение задач по начертательной геометрии. Построение фронтальной проекции Решение задач по начертательной геометрии перпендикуляра очевидно из рисунка, а его горизонтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии перпендикулярна к горизонтальной проекции Решение задач по начертательной геометрии прямой Решение задач по начертательной геометрии.

Перпендикулярность двух плоскостей

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. На рис. 2.20 показано построение плоскости, перпендикулярной к плоскости, заданной треугольником Решение задач по начертательной геометрии. Дополнительным условием здесь служит то, что искомая плоскость должна проходить через прямую Решение задач по начертательной геометрии. Следовательно, искомая плоскость определяется прямой Решение задач по начертательной геометрии и перпендикуляром к плоскости треугольника. Для проведения этого перпендикуляра в плоскости Решение задач по начертательной геометрии взяты горизонталь Решение задач по начертательной геометрии и фронталь Решение задач по начертательной геометрии(Решение задач по начертательной геометрии). Через точку Решение задач по начертательной геометрии прямой Решение задач по начертательной геометрии проведены проекции перпендикуляра Решение задач по начертательной геометрии к плоскости Решение задач по начертательной геометрии.

Образованная пересекающимися прямыми Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии плоскость перпендикулярна к плоскости Решение задач по начертательной геометрии, так как проходит через перпендикуляр к этой плоскости.

Решение задач по начертательной геометрии

Задачи с решением

Задача №1.

Построить фронтальную проекцию отрезка прямой Решение задач по начертательной геометрии, принадлежащую плоскости, заданной двумя параллельными прямыми Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии (рис. 2.21).

Решение:

Обозначим горизонтальные проекции точек пересечения прямой Решение задач по начертательной геометрии с прямыми Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии соответственно Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии.

По линиям связи определяем их фронтальные проекции Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии и проводим искомую проекцию Решение задач по начертательной геометрии.

На примере здесь можно проследить ход решения подобной задачи.

Решение задач по начертательной геометрии

Задача №2.

В плоскости, заданной прямой Решение задач по начертательной геометрии и точкой Решение задач по начертательной геометрии, провести горизонталь на расстоянии 15 мм от горизонтальной плоскости проекций Решение задач по начертательной геометрии (рис. 2.22).

Решение:

Зададим исходную плоскость двумя пересекающимися прямыми. Для этого из точки Решение задач по начертательной геометрии проведем прямую Решение задач по начертательной геометрииРешение задач по начертательной геометрии, пересекающую прямую Решение задач по начертательной геометрии в точке Решение задач по начертательной геометрии. Затем на расстоянии 15 мм от оси Решение задач по начертательной геометрии проведем фронтальную проекцию горизонтали Решение задач по начертательной геометрии. По линиям связи определим горизонтальные проекции точек Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии и через них проведем горизонтальную проекцию Решение задач по начертательной геометрии горизонтали.

Решение задач по начертательной геометрии

Задача №3.

Построить линию пересечения двух плоскостей, заданных треугольниками Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии (условие на рис. 2.23).

Решение задач по начертательной геометрии

Решение:

Для построения линии пересечения двух плоскостей общего положения используем вспомогательные плоскости. На рис. 2.24, а приведено построение линии пересечения Решение задач по начертательной геометрии.

Точка Решение задач по начертательной геометрии найдена как точка пересечения прямой Решение задач по начертательной геометрии с плоскостью треугольника Решение задач по начертательной геометрии. Для ее построения через сторону Решение задач по начертательной геометрии проведена фронтально-проецирующая плоскость Решение задач по начертательной геометрии (на рисунке проекция Решение задач по начертательной геометрии совпадает с проекцией Решение задач по начертательной геометрии). Плоскость Решение задач по начертательной геометрии пересекает плоскость треугольника Решение задач по начертательной геометрии по прямой 1-2; точка Решение задач по начертательной геометрии получается как точка пересечения прямых Решение задач по начертательной геометрии и 1-2. Сначала находим горизонтальную проекцию точки Решение задач по начертательной геометрии, затем по линии связи строим фронтальную проекцию Решение задач по начертательной геометрии. Точка Решение задач по начертательной геометрии линии пересечения треугольников получена с помощью второй плоскости Решение задач по начертательной геометрии, которая проведена через прямую Решение задач по начертательной геометрии треугольника Решение задач по начертательной геометрии.

Фронтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии совпадает с проекцией Решение задач по начертательной геометрии. Плоскость Решение задач по начертательной геометрии пересекает треугольник Решение задач по начертательной геометрии по линии 3-4. На пересечении прямых Решение задач по начертательной геометрии и 3-4 получается точка Решение задач по начертательной геометрии, принадлежащая линии пересечения двух треугольников. Сначала находится горизонтальная проекция точки Решение задач по начертательной геометрии, затем по линии связи определяется фронтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии.

Для определения видимости сторон треугольников надо сравнить положение двух точек, из которых одна принадлежит стороне треугольника Решение задач по начертательной геометрии, вторая — стороне треугольника Решение задач по начертательной геометрии и у которых совпадают либо горизонтальные, либо фронтальные проекции (конкурирующие точки). В первом случае устанавливается, какая из этих точек «закрывает» другую по отношению к горизонтальной плоскости проекций, во втором — относительно фронтальной плоскости проекций.

На рис. 2.24, б в качестве примера приведены две горизонтально-конкурирующие точки — Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии. У этих точек совпадают горизонтальные проекции (Решение задач по начертательной геометрии). Но точка Решение задач по начертательной геометрии принадлежит стороне Решение задач по начертательной геометрии треугольника Решение задач по начертательной геометрии и расположена выше, чем точка Решение задач по начертательной геометрии, принадлежащая стороне Решение задач по начертательной геометрии треугольника Решение задач по начертательной геометрии. Следовательно, для наблюдателя, смотрящего на плоскость Решение задач по начертательной геометрии сверху, точка Решение задач по начертательной геометрии «закрывает» точку Решение задач по начертательной геометрии, а это значит, что данная часть треугольника Решение задач по начертательной геометрии, которой принадлежит точка Решение задач по начертательной геометрии, закрывает треугольник Решение задач по начертательной геометрии. Поэтому часть горизонтальной проекции Решение задач по начертательной геометриистороны, закрытой треугольником Решение задач по начертательной геометрии, показывается штриховой линией.

Для определения видимости фронтальных проекций треугольников рассмотрим относительное положение двух фронтально-конкурирующих точек Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии (рис. 2.24, б), у которых фронтальные проекции совпадают Решение задач по начертательной геометрии.

Решение задач по начертательной геометрии

Точка Решение задач по начертательной геометрии, расположенная на стороне Решение задач по начертательной геометрии треугольника Решение задач по начертательной геометрии, находится ближе к глазу наблюдателя, смотрящего на плоскость Решение задач по начертательной геометрии, чем точка Решение задач по начертательной геометрии, расположенная на стороне Решение задач по начертательной геометрии треугольника Решение задач по начертательной геометрии. Это значит, что часть треугольника Решение задач по начертательной геометрии, которой принадлежит точка Решение задач по начертательной геометрии, закрывает треугольник Решение задач по начертательной геометрии. Поэтому часть фронтальной проекции стороны Решение задач по начертательной геометрии, закрытой треугольником Решение задач по начертательной геометрии, показывается штриховой линией.

Вопросы для контроля

  1. Какая плоскость называется плоскостью общего положения?
  2. Какая плоскость называется проецирующей?
  3. Как проверить принадлежность точки плоскости?
  4. Какие линии в плоскости называются горизонталями, фронталями?
  5. Каковы признаки параллельности прямой и плоскости, двух плоскостей?
  6. Как построить точку пересечения прямой с плоскостью общего положения?

Способы преобразования проекций геометрических объектов

Решение задач значительно упрощается, если прямые линии и плоскости занимают частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае ответ получается или непосредственно по данному чертежу, или при помощи простейших построений.

Переход от общего положения геометрических элементов к частному выполняется следующими способами:

  • введением дополнительных плоскостей проекций, расположенных либо параллельно, либо перпендикулярно рассматриваемому геометрическому элементу;
  • изменением положения линии или плоской фигуры в пространстве при неизменной системе плоскостей проекций.

Основные задачи преобразования:

  1. прямая линия общего положения становится прямой уровня;
  2. прямая линия общего положения становится проецирующей прямой;
  3. плоскость общего положения становится проецирующей плоскостью;
  4. плоскость общего положения становится плоскостью уровня.

Способ замены плоскостей проекций

Сущность способа заключается в том, что положение заданных элементов (точек, линий, фигур, поверхностей) в пространстве остается неизменным, а система плоскостей проекций Решение задач по начертательной геометрии дополняется новыми плоскостями, по отношению к которым элементы задачи (прямая, плоскость) занимают частное положение.

На рис. 3.1 показана точка Решение задач по начертательной геометрии, заданная в системе плоскостей проекций Решение задач по начертательной геометрии. Заменим Решение задач по начертательной геометрии другой вертикальной плоскостью Решение задач по начертательной геометрии и построим новую фронтальную проекцию Решение задач по начертательной геометрии на эту плоскость. Так как плоскость проекций Решение задач по начертательной геометрии является общей для систем Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии, то координата Решение задач по начертательной геометрии точки Решение задач по начертательной геометрии остается неизменной. Следовательно, расстояние от новой фронтальной проекции до новой оси Решение задач по начертательной геометрии равно расстоянию от заменяемой проекции до оси Решение задач по начертательной геометрии. При этом проекция Решение задач по начертательной геометрии определена как основание перпендикуляра, опущенного из Решение задач по начертательной геометрии на Решение задач по начертательной геометрии. Горизонтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии остается прежней, а координата Решение задач по начертательной геометрии в системе Решение задач по начертательной геометрии будет теперь иной и определяется расстоянием от точки Решение задач по начертательной геометрии до плоскости Решение задач по начертательной геометрии.

Для получения плоского чертежа плоскость Решение задач по начертательной геометрии вращением совмещается с Решение задач по начертательной геометрии. Также с Решение задач по начертательной геометрии совмещается новая фронтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии, которая располагается на общем перпендикуляре с оставшейся без изменения горизонтальной проекцией Решение задач по начертательной геометрии (рис. 3.2).

Решение задач по начертательной геометрии

Аналогично можно заменить горизонтальную плоскость проекций на новую, перпендикулярную Решение задач по начертательной геометрии. В этом случае измеряется величина координаты Решение задач по начертательной геометрии, которая определяет расстояние от точки до общей для двух систем плоскости Решение задач по начертательной геометрии.

Преобразование прямой общего положения в положение прямой уровня

Для преобразования прямой Решение задач по начертательной геометрии в прямую уровня (т. е. параллельную плоскости проекций) (рис. 3.3) вводят новую плоскость проекций Решение задач по начертательной геометрии так, чтобы ось проекций Решение задач по начертательной геометрии была параллельна какой-либо проекции Решение задач по начертательной геометрии (в данном случае — Решение задач по начертательной геометрии). Затем проводятся линии связи перпендикулярно оси Решение задач по начертательной геометрии и откладываются координаты Решение задач по начертательной геометрии для построения проекций Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии, равные координатам Решение задач по начертательной геометрии проекций Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии. Новая проекция прямой Решение задач по начертательной геометрии даст натуральную величину отрезка Решение задач по начертательной геометрии и позволяет определить угол наклона Решение задач по начертательной геометрии этого отрезка к плоскости проекций Решение задач по начертательной геометрии. Угол наклона отрезка Решение задач по начертательной геометрии к фронтальной плоскости проекций Решение задач по начертательной геометрии можно определить, построив его изображение на дополнительной плоскости проекций Решение задач по начертательной геометрии (рис. 3.4). Ось Решение задач по начертательной геометрии параллельна фронтальной проекции отрезка Решение задач по начертательной геометрии. Проекция Решение задач по начертательной геометрии также будет представлять собой натуральную величину отрезка Решение задач по начертательной геометрии.

Решение задач по начертательной геометрии

На примере здесь можно проследить последовательность построений при решении задачи с использованием способа замены плоскостей.

Преобразование прямой общего положения в проецирующую

Преобразование прямой общего положения в проецирующее положение требует двойной замены плоскостей проекций, так как плоскость, перпендикулярная прямой, не будет перпендикулярна ни к Решение задач по начертательной геометрии, и к Решение задач по начертательной геометрии.

На рис. 3.5 выполнено преобразование прямой Решение задач по начертательной геометрии общего положения в проецирующее. В результате первой замены происходит преобразование прямой Решение задач по начертательной геометрии в прямую, параллельную плоскости па- Для этого проводится новая ось проекций Решение задач по начертательной геометрии‘ и находится проекция Решение задач по начертательной геометрии .

Затем выполняется вторая замена плоскостей проекций, переход к системе плоскостей Решение задач по начертательной геометрии. При этом ось проекций Решение задач по начертательной геометрии проводится перпендикулярно к Решение задач по начертательной геометрии. В результате прямая Решение задач по начертательной геометрии располагается перпендикулярно к плоскости проекций Решение задач по начертательной геометрии и проецируется в виде точки.

Решение задач по начертательной геометрии

Преобразование плоскости общего положения в проецирующее положение

Известно, что если одна плоскость перпендикулярна другой, то она должна содержать прямую, перпендикулярную этой плоскости. В качестве такой прямой для преобразований плоскости в проецирующее положение следует взять прямую уровня, например горизонталь Решение задач по начертательной геометрии (рис. 3.6).

Плоскость Решение задач по начертательной геометрии, перпендикулярная к горизонтали Решение задач по начертательной геометрии и плоскости Решение задач по начертательной геометрии, является плоскостью, перпендикулярной к плоскости треугольника Решение задач по начертательной геометрии. Новая ось проекций Решение задач по начертательной геометрии проводится перпендикулярно проекции горизонтали Решение задач по начертательной геометрии. Затем определяются проекции вершин треугольника на плоскость Решение задач по начертательной геометрии. Проекция Решение задач по начертательной геометрии вырождается в прямую, что свидетельствует о том, что плоскость треугольника перпендикулярна плоскости Решение задач по начертательной геометрии. При этом угол Решение задач по начертательной геометрии наклона плоскости треугольника Решение задач по начертательной геометрии к плоскости Решение задач по начертательной геометрии на плоскость Решение задач по начертательной геометрии проецируется без искажения.

Аналогичное преобразование выполнено на рис. 3.7, где плоскость Решение задач по начертательной геометрии заменена плоскостью Решение задач по начертательной геометрии, перпендикулярной Решение задач по начертательной геометрии и плоскости треугольника Решение задач по начертательной геометрии. Для этого в плоскости Решение задач по начертательной геометрии проведена фронталь Решение задач по начертательной геометрии, перпендикулярно к которой располагается плоскость Решение задач по начертательной геометрии. Новая ось Решение задач по начертательной геометрии проведена перпендикулярно Решение задач по начертательной геометрии.

Решение задач по начертательной геометрии

На линиях связи, проведенных из вершин треугольника Решение задач по начертательной геометрии перпендикулярно оси Решение задач по начертательной геометрии откладывают отрезки, равные Решение задач по начертательной геометрии Плоскость треугольника относительно Решение задач по начертательной геометрии стала проецирующей. Угол Решение задач по начертательной геометрии наклона плоскости треугольника Решение задач по начертательной геометрии к плоскости Решение задач по начертательной геометрии на плоскости Решение задач по начертательной геометрии проецируется без искажения.

Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня

Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня требует двойной замены плоскостей проекций, так как плоскость, параллельная заданной плоскости, не будет перпендикулярна ни Решение задач по начертательной геометрии ни Решение задач по начертательной геометрии, т. е. она не образует с плоскостью проекций ортогональной системы. На рис. 3.8 показано преобразование плоскости треугольника Решение задач по начертательной геометрии общего положения в положение уровня.

При первой замене (Решение задач по начертательной геометрии па Решение задач по начертательной геометрии) используется горизонталь треугольника Решение задач по начертательной геометрии. Новая ось проекций Решение задач по начертательной геометрии проводится перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали Решение задач по начертательной геометрии. Спроецировав треугольник Решение задач по начертательной геометрии на новую плоскость проекций Решение задач по начертательной геометрии, получим проекцию Решение задач по начертательной геометрии. Эти построения описаны выше.

На втором этапе преобразуем плоскость треугольника Решение задач по начертательной геометрии в плоскость уровня. Для этого перейдем от системы Решение задач по начертательной геометрии к системе Решение задач по начертательной геометрии. Новая плоскость Решение задач по начертательной геометрии устанавливается параллельно треугольнику, а значит, новая ось Решение задач по начертательной геометрии на чертеже проводится параллельно прямой, на которой расположены точки Решение задач по начертательной геометрии.

Решение задач по начертательной геометрии

Через указанные точки проводят перпендикуляры — линии связи к новой оси Решение задач по начертательной геометрии и откладывают на них в плоскости Решение задач по начертательной геометрии отрезки, равные по длине расстояниям от оси Решение задач по начертательной геометрии до вершин Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии соответственно. Полученная проекция Решение задач по начертательной геометрии определяет истинную величину треугольника.

Подобные двойные преобразования используются для решения задач на определение углов при вершинах треугольника, построение высот и биссектрис его углов, центра вписанной (описанной) окружности и т. п., так как эти задачи требуют определения натуральных величин треугольников.

При вращении вокруг неподвижной прямой (оси вращения) каждая точка геометрического элемента перемещается в плоскости, перпендикулярной к оси вращения (плоскости вращения). Точка перемещается по окружности, центр которой находится в точке пересечения оси с плоскостью вращения, а радиус вращения равен расстоянию от вращаемой точки до центра. Если точка находится на оси вращения, то она остается неподвижной.

Вращение точки вокруг проецирующих прямых. На рис. 3.9 точка Решение задач по начертательной геометрии, вращаясь вокруг оси Решение задач по начертательной геометрии, описывает окружность, плоскость а которой перпендикулярна Решение задач по начертательной геометрии. Центр окружности Решение задач по начертательной геометрии (центр вращения) расположен в точке пересечения оси вращения Решение задач по начертательной геометрии с плоскостью Решение задач по начертательной геометрии, а радиус вращения Решение задач по начертательной геометрии равен длине отрезка Решение задач по начертательной геометрии.

Так как плоскость вращения Решение задач по начертательной геометрии параллельна плоскости Решение задач по начертательной геометрии, то проекция траектории вращающейся точки на плоскость представляет собой окружность радиуса Решение задач по начертательной геометрии, а на плоскость Решение задач по начертательной геометрии — отрезок прямой, параллельной оси Решение задач по начертательной геометрии. Через Решение задач по начертательной геометрии обозначено новое положение точки Решение задач по начертательной геометрии, которое она занимает после поворота на угол Решение задач по начертательной геометрии.

На рис. 3.10 приведен ортогональный чертеж точки Решение задач по начертательной геометрии, вращающейся вокруг горизонтально-проецирующей оси Решение задач по начертательной геометрии. После поворота на угол Решение задач по начертательной геометрии точка Решение задач по начертательной геометрии займет новое положение Решение задач по начертательной геометрии (Решение задач по начертательной геометрии — плоскость вращения, Решение задач по начертательной геометрии — центр вращения, Решение задач по начертательной геометрии — радиус вращения).

Если ось вращения Решение задач по начертательной геометрии расположена перпендикулярно плоскости Решение задач по начертательной геометрии (рис. 3.11), то фронтальная проекция точки Решение задач по начертательной геометрии будет перемещаться по окружности, а горизонтальная — по прямой, перпендикулярной линиям связи. Новое положение точки, которое она занимает после поворота на угол Решение задач по начертательной геометрии — точка Решение задач по начертательной геометрии. Плоскость вращения — фронтальная плоскость Решение задач по начертательной геометрии.

Решение задач по начертательной геометрии

Для поворота отрезка прямой на заданный угол необходимо повернуть на этот угол две точки, определяющие отрезок. Каждая из этих точек вращается в плоскости, перпендикулярной оси вращения, и будет иметь свой радиус вращения.

Плоскопараллельное перемещение отрезка

При плоскопараллельном перемещении все точки геометрической фигуры движутся в плоскостях, параллельных плоскости проекций, т. е. сохраняется основной принцип вращения вокруг проецирующих осей. На рис. 3.12 приведено наглядное изображение плоскопараллельного перемещения отрезка Решение задач по начертательной геометрии.

Решение задач по начертательной геометрии

На рис. 3.12, а дано исходное положение отрезка Решение задач по начертательной геометрии — прямой, занимающей относительно плоскостей проекций общее положение. На рис. 3.12, б отрезок Решение задач по начертательной геометрии перемещен в новое положение, при этом точка Решение задач по начертательной геометрии движется в плоскости Решение задач по начертательной геометрии, точка Решение задач по начертательной геометрии — в плоскости Решение задач по начертательной геометрии. Обе плоскости параллельны горизонтальной плоскости проекций.

При таком перемещении угол наклона Решение задач по начертательной геометрии отрезка к плоскости Решение задач по начертательной геометрии сохраняется неизменным, поэтому не изменяется и длина горизонтальной проекции отрезка, т. е. Решение задач по начертательной геометрии. Последнее свойство имеет важное значение для решения задач.

На рис. 3.13 приведен пример плоскопараллельного перемещения отрезка Решение задач по начертательной геометрии в новое положение, параллельное фронтальной плоскости проекций. На этом чертеже отрезок Решение задач по начертательной геометрии перемещается в новое положение параллельно фронтальной плоскости проекций. При этом сначала перемещается в новое положение, параллельное оси Решение задач по начертательной геометрии, горизонтальная проекция отрезка, причем Решение задач по начертательной геометрии. Затем по линиям связи строится фронтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии.

Решение задач по начертательной геометрии

После перемещения отрезка Решение задач по начертательной геометрии в новое положение Решение задач по начертательной геометрии он станет параллельным плоскости Решение задач по начертательной геометрии и его новая фронтальная проекция будет равна натуральной величине. Соответственно, угол Решение задач по начертательной геометрии наклона проекции Решение задач по начертательной геометрии к оси проекций будет равен углу наклона отрезка Решение задач по начертательной геометрии к плоскости Решение задач по начертательной геометрии.

На рис. 3.14 приведено двойное плоскопараллельное перемещение отрезка Решение задач по начертательной геометрии с целью преобразования его в фронтально-проецирующее положение. Вначале произведено перемещение фронтальной проекции в положение, параллельное оси Решение задач по начертательной геометрии, причем Решение задач по начертательной геометрии. Отрезок Решение задач по начертательной геометрии занял положение, параллельное плоскости Решение задач по начертательной геометрии, и его горизонтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии равна длине отрезка. Затем горизонтальная проекция перемещается в положение, перпендикулярное оси Решение задач по начертательной геометрии, причем Решение задач по начертательной геометрии.

Отрезок Решение задач по начертательной геометрии занял фронтально-проецирующее положение и его фронтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии.

На рис. 3.15 показано перемещение треугольника Решение задач по начертательной геометрии, расположенного в плоскости общего положения, в положение плоскости уровня. При первом движении треугольник Решение задач по начертательной геометрии переводится во фронтально-проецирующее положение. Для этого в плоскости треугольника строится горизонтальная прямая Решение задач по начертательной геометрии, затем горизонтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии перемещается в проецирующее положение (на свободном поле чертежа проводится отрезок Решение задач по начертательной геометрии перпендикулярно оси Решение задач по начертательной геометрии).

Решение задач по начертательной геометрии

В процессе перемещения размеры и форма горизонтальной проекции треугольника не изменяются. Построение вершин Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии выполняется засечками с помощью циркуля. Все вершины треугольника на фронтальной плоскости проекций перемещаются по горизонтальным линиям связи, пересечение которых с линиями связи, проведенными из соответствующих вершин новой горизонтальной проекции треугольника Решение задач по начертательной геометрии, образует новую фронтальную проекцию Решение задач по начертательной геометрии, перпендикулярную фронтальной плоскости проекций.

При втором движении все точки треугольника перемещаются в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций, в результате чего он займет положение горизонтальной плоскости уровня и его вырожденная фронтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии расположится перпендикулярно линиям связи, оставаясь неизменной по длине. Новая горизонтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии треугольника Решение задач по начертательной геометрии будет равна его натуральной величине.

Задачи с решением №4

Задача №1.

Определить расстояние между скрещивающимися прямыми Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением (рис. 3.16).

Решение:

Расстояние между скрещивающимися прямыми измеряется длиной перпендикуляра, общего к заданным прямым. Для решения задачи используем способ замены плоскостей проекций

Начертательная геометрия задачи с решением

Если в результате преобразования одна из прямых займет положение проецирующей относительно какой-либо плоскости проекций, т. е. будет представлять собой точку, то перпендикуляр, опущенный из этой точки на другую прямую, будет параллелен этой плоскости проекций и спроецируется на нее в натуральную величину. Прямая Начертательная геометрия задачи с решением преобразуется в проецирующую двойной заменой плоскостей проекций.

Сначала построим проекции Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением на плоскости Начертательная геометрия задачи с решением, расположенной параллельно прямой Начертательная геометрия задачи с решением (проводим Начертательная геометрия задачи с решением).

Затем найдем проекции прямых Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением на плоскость Начертательная геометрия задачи с решением, перпендикулярную прямой Начертательная геометрия задачи с решением. На плоскость Начертательная геометрия задачи с решением прямая Начертательная геометрия задачи с решением спроецируется в точку (Начертательная геометрия задачи с решением ), а расстояние между нею и проекцией Начертательная геометрия задачи с решением (отрезок Начертательная геометрия задачи с решением) будет искомой натуральной величинои расстояния между заданными прямыми.

Далее путем обратного проецирования строим проекцию отрезка Начертательная геометрия задачи с решением на плоскость Начертательная геометрия задачи с решением, при этом точку Начертательная геометрия задачи с решением находим, проведя перпендикуляр из точки Начертательная геометрия задачи с решением к проекции Начертательная геометрия задачи с решением. Прямой угол здесь на искажается, так как проекция Начертательная геометрия задачи с решением параллельна плоскости Начертательная геометрия задачи с решением. С помощью линий связи находим проекции отрезка Начертательная геометрия задачи с решением сначала на плоскости Начертательная геометрия задачи с решением а затем на плоскости Начертательная геометрия задачи с решением.

Задача №2.

Повернуть точку Начертательная геометрия задачи с решением вокруг оси Начертательная геометрия задачи с решением до совмещения ее с плоскостью Начертательная геометрия задачи с решением общего положения, заданной пересекающимися прямыми ВС и CD (рис. 3.17).

Начертательная геометрия задачи с решением

Решение:

Точка Начертательная геометрия задачи с решением вращается вокруг оси Начертательная геометрия задачи с решением, перпендикулярной к плоскости проекций Начертательная геометрия задачи с решением. Через точку Начертательная геометрия задачи с решением проведена плоскость Начертательная геометрия задачи с решением, перпендикулярная к оси вращения и, следовательно, параллельная Начертательная геометрия задачи с решением. Горизонтальная плоскость Начертательная геометрия задачи с решением пересекает заданную (Начертательная геометрия задачи с решением) по горизонтали Начертательная геометрия задачи с решением. При вращении точка Начертательная геометрия задачи с решением описывает окружность радиуса Начертательная геометрия задачи с решением, величина которого определяется длиной перпендикуляра, проведенного из точки Начертательная геометрия задачи с решением на ось.

Окружность проецируется на плоскость Начертательная геометрия задачи с решением без искажения и пересекается с проекцией горизонтали Начертательная геометрия задачи с решением в точках Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением, которые являются горизонтальными проекциями точки Начертательная геометрия задачи с решением, т. е. задача имеет два решения.

По линиям связи находим фронтальные проекции точек Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением, лежащих на горизонтали Начертательная геометрия задачи с решением.

Вопросы для контроля

  1. Сформулируйте основные задачи преобразования чертежа.
  2. Перечислите способы преобразования чертежа.
  3. В чем заключается способ замены плоскостей проекций?
  4. Как перемещаются проекции точки при вращении ее вокруг проецирующих осей?
  5. В чем заключается способ плоскопараллельного перемещения?

Многогранники

Одним из видов пространственных форм являются многогранники — замкнутые пространственные фигуры, ограниченные плоскими многоугольниками. Эти многоугольники образуют грани. Общие стороны многоугольников называются ребрами’, вершины многогранных углов, образованных его гранями, сходящихся в одной точке, — вершинами многогранника. Наибольший практический интерес представляют собой призмы, пирамиды и правильные многогранники.

Призма — многогранник, две грани которого представляют равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами (основаниями) (рис. 4.1). Ребра, не принадлежащие основаниям и параллельные друг другу, называют боковыми. Призму, ребра которой перпендикулярны к основаниям, называют прямой. Прямая призма называется правильной, если ее основаниями являются правильные многоугольники.

Начертательная геометрия задачи с решением

Пирамида — многогранник, одна грань которого — плоский Начертательная геометрия задачи с решением-угольник (основание), а остальные грани — треугольники с общей вершиной (рис. 4.2). Если основанием пирамиды является правильный многоугольник и высота ее проходит через центр этого многоугольника, пирамиду называют правильной.

Многогранник называют правильным, если его грани представляют собой правильные и равные многоугольники.

Точка и прямая линия на поверхности многогранника

Точки на гранях призмы и пирамиды строятся при помощи вспомогательных прямых, принадлежащих соответствующим плоскостям граней. Чтобы определить по заданной фронтальной проекции Начертательная геометрия задачи с решением точки 1, лежащей на грани призмы Начертательная геометрия задачи с решением, горизонтальную проекцию Начертательная геометрия задачи с решением (рис. 4.3), нужно провести через точку Начертательная геометрия задачи с решением фронтальную проекцию вспомогательной прямой Начертательная геометрия задачи с решением, параллельную ребрам призмы.

Фронтальная проекция Начертательная геометрия задачи с решением точки 2, лежащей на грани Начертательная геометрия задачи с решением, построена с помощью вспомогательной прямой Начертательная геометрия задачи с решением, проведенной через проекцию Начертательная геометрия задачи с решением. Недостающую проекцию точки 3, расположенную на ребре Начертательная геометрия задачи с решением определим с помощью линии связи.

На рис. 4.4 показано построение недостающих проекций точек, находящихся на боковой поверхности пирамиды Начертательная геометрия задачи с решением. Фронтальная проекция Начертательная геометрия задачи с решением точки 1, расположенная на грани Начертательная геометрия задачи с решением, представляющей собой профильно-проецирующую плоскость, построена с помощью линий связи.

Начертательная геометрия задачи с решением

Чтобы определить по заданной проекции Начертательная геометрия задачи с решением точки 2, лежащей на грани Начертательная геометрия задачи с решением, проекцию Начертательная геометрия задачи с решением (рис. 4.4), используем горизонталь Начертательная геометрия задачи с решением.

Фронтальная проекция горизонтали Начертательная геометрия задачи с решением проведена через проекцию Начертательная геометрия задачи с решением до пересечения с проекцией Начертательная геометрия задачи с решением ребра Начертательная геометрия задачи с решением в точке Начертательная геометрия задачи с решением.

Горизонтальная проекция Начертательная геометрия задачи с решением горизонтали Начертательная геометрия задачи с решением проходит через точку Начертательная геометрия задачи с решением параллельно проекции Начертательная геометрия задачи с решением стороны Начертательная геометрия задачи с решением.

Чтобы определить по заданной проекции точки Начертательная геометрия задачи с решением, расположенной на грани Начертательная геометрия задачи с решением, проекцию Начертательная геометрия задачи с решением, используем прямую Начертательная геометрия задачи с решением. Фронтальная проекция Начертательная геометрия задачи с решением точки 4, расположенной на ребре Начертательная геометрия задачи с решением, построена с помощью линий связи.

Пересечение многогранников плоскостью

При пересечении многогранника плоскостью в сечении получается многоугольник.

Определение вершин многоугольника сводится к построению точек пересечения прямых (ребер многогранника) с плоскостью — способ ребер. При определении сторон многоугольника решаются задачи на пересечение двух плоскостей — способ граней.

На рис. 4.5 показано построение проекций линии пересечения прямой четырехугольной призмы фронтально-проецирующей плоскостью Начертательная геометрия задачи с решением (проекция Начертательная геометрия задачи с решением).

Пересечение проекции а» с фронтальными проекциями боковых ребер призмы дает проекции Начертательная геометрия задачи с решением вершин многоугольника сечения. Горизонтальные проекции этих вершин совпадают с «вырожденными» проекциями соответствующих ребер, так как призма прямая. Профильные проекции Начертательная геометрия задачи с решением вершин определим при помощи горизонтальных линий связи на соответствующих проекциях ребер призмы.

Начертательная геометрия задачи с решением

Натуральная величина многоугольника еечения найдена способом плоскопараллсльного перемещения. Переместим фронтальную проекцию сечения в горизонтальное положение.

Проекция Начертательная геометрия задачи с решением — натуральная величина многоугольника сечения.

Развертка поверхности призмы

Разверткой называется фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с плоскостью (без наложения элементов поверхности друг на друга).

Начертательная геометрия задачи с решением

Развертки необходимы при изготовлении изделий из листового материала. Построение разверток поверхностей многогранников рассмотрим на примерах призмы и пирамиды.

Развертка боковой поверхности призмы, представленной на рис. 4.5, состоит из четырех прямоугольников, у которых одна сторона равна высоте призмы, а другие стороны равны сторонам основания призмы (рис. 4.6).

Для построения развертки боковой поверхности усеченной призмы наносим на развертку точки Начертательная геометрия задачи с решением расположенные на соответствующих ребрах. Чтобы получить полную развертку усеченной части призмы, к одному из участков линии пересечения Начертательная геометрия задачи с решением пристраиваем натуральную величину сечения.

Развертку усеченной части призмы обводим сплошной толстой основной линией, линии сгиба — штрихпунктирной с двумя точками линией. Достроив к сторонам прямоугольника верхнее и нижнее основание призмы, получим полную развертку ее поверхности.

Пересечение пирамиды проецирующей плоскостью

На рис. 4.7 приведено построение проекций линии пересечения четырехугольной пирамиды Начертательная геометрия задачи с решением фронтально-проецирующей плоскостью Начертательная геометрия задачи с решением.

Начертательная геометрия задачи с решением

Фронтальные проекции Начертательная геометрия задачи с решением вершин многоугольника сечения находятся в пересечении следа-проекции Начертательная геометрия задачи с решением плоскости Начертательная геометрия задачи с решением с фронтальными проекциями боковых ребер пирамиды. Проекции Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением точек 2 и 3, лежащих на ребрах Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением, совпадают, так как грань Начертательная геометрия задачи с решением является фронтально-проецирующей плоскостью. Горизонтальные и профильные проекции точек 1, 2, 3, 4 определяются по линиям связи на соответствующих ребрах пирамиды. Натуральная величина многоугольника сечения найдена способом перемены плоскостей проекций. Это четырехугольник Начертательная геометрия задачи с решением.

Развертка поверхности пирамиды

Развертка боковой поверхности пирамиды состоит из четырех треугольников — боковых граней пирамиды (рис. 4.8). Для построения развертки необходимо знать натуральную величину всех фигур, составляющих развертку.

В данном случае одна из сторон боковых граней определяется натуральной величиной горизонтальной проекции ребра основания пирамиды, поскольку основание пирамиды занимает горизонтальное положение. На рис. 4.7 видно, что ребро Начертательная геометрия задачи с решением параллельно фронтальной плоскости, следовательно проекция Начертательная геометрия задачи с решением — его истинная величина. Для определения натуральной величины других боковых ребер используем способ вращения вокруг оси, проходящей через вершину Начертательная геометрия задачи с решением перпендикулярно плоскости Начертательная геометрия задачи с решением.

Поворачиваем ребра Начертательная геометрия задачи с решением до положения, параллельного плоскости Начертательная геометрия задачи с решением. Длины проекций Начертательная геометрия задачи с решением являются натуральными длинами соответствующих ребер.

На рис. 4.8 представлено построение полной развертки усеченной пирамиды. Вначале на плоскости чертежа строим треугольники — боковые грани пирамиды — по трем сторонам, последовательно достраивая треугольники друг к другу боковыми ребрами. Пристроив к стороне Начертательная геометрия задачи с решением одного из треугольников четырехугольное основание пирамиды, получим полную развертку ее поверхности.

Начертательная геометрия задачи с решением

Чтобы выделить на развертке усеченную часть пирамиды, находим положение вершины Начертательная геометрия задачи с решением фигуры сечения на ребре Начертательная геометрия задачи с решением. Зная натуральную величину многоугольника сечения Начертательная геометрия задачи с решением, последовательно засекаем на ребрах развертки точки Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением, используя величину сторон многоугольника сечения.

Полученные на развертке точки соединяем отрезками прямых. Пристраиваем затем натуральную величину сечения Начертательная геометрия задачи с решением к одному из участков линии пересечения Начертательная геометрия задачи с решением. Полученную полную развертку поверхности усеченной пирамиды обводим сплошной толстой основной линией, а линии сгиба — штрихпунктирной с двумя точками линией.

Задача с решением №5

Задача №1.

Правильная треугольная пирамида усечена двумя плоскостями: фронтально-проецирующей Начертательная геометрия задачи с решением и профильной Начертательная геометрия задачи с решением (рис. 4.9). Построить недостающие проекции усеченной пирамиды.

Начертательная геометрия задачи с решением

Решение:

Плоскость а пересекает грань Начертательная геометрия задачи с решением по отрезку 1-2, грань Начертательная геометрия задачи с решением по отрезку 2-3, грань Начертательная геометрия задачи с решением по отрезку 1-4.

Плоскость р пересекает грань Начертательная геометрия задачи с решением по отрезку 3-5, а грань Начертательная геометрия задачи с решением по отрезку 4-5. При построении проекций точек, принадлежащих линии пересечения, следует учитывать, что профильные проекции Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением‘ совпадают, так как грань SAB пирамиды является профильно-проецирующей плоскостью.

Недостающие проекции точки 1, расположенной на ребре Начертательная геометрия задачи с решением, и точки 5, расположенной на ребре Начертательная геометрия задачи с решением, построены при помощи линий связи. Проекции точки 2, расположенной на ребре Начертательная геометрия задачи с решением, определены при помощи линий связи сначала на профильной проекции ребра, а затем на горизонтальной.

Горизонтальные проекции точек 3 и 4 получены с помощью вспомогательной прямой Начертательная геометрия задачи с решением, принадлежащей грани Начертательная геометрия задачи с решением, и прямой Начертательная геометрия задачи с решением, принадлежащей грани Начертательная геометрия задачи с решением.

Построив горизонтальные проекции Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением этих прямых, по линии связи определим горизонтальные проекции точек 3 и 4, а затем их профильные проекции.

Плоскости Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением пересекаются по фронтально-проецирующей прямой 3-4. Соединив построенные проекции точек, получим проекции линии пересечения.

Вопросы для контроля

  1. Какая фигура называется многогранником?
  2. Дайте определение призмы, пирамиды, правильного многогранника.
  3. Как определить недостающую проекцию точки на поверхности многогранника?
  4. Что представляет собой сечение многогранника плоскостью?
  5. В чем различие способов ребер и граней?
  6. Как используется способ перемены плоскостей проекций при построении сечения многогранника плоскостью?

Поверхности вращения

Поверхность вращения (рис. 5.1) получается вращением прямолинейной или криволинейной образующей Начертательная геометрия задачи с решением вокруг неподвижной прямой Начертательная геометрия задачи с решением — оси поверхности. За ось вращения обычно принимается вертикальная прямая. Каждая точка образующей (например, точка Начертательная геометрия задачи с решением) описывает при своем вращении окружность с центром на оси Начертательная геометрия задачи с решением. Эти окружности называются параллелями. Наибольшая из этих параллелей — экватор, наименьшая — горло.

Плоскости, проходящие через ось вращения, пересекают поверхность по меридианам. Меридиан, расположенный в плоскости, параллельной Начертательная геометрия задачи с решением, называется главным.

Поверхность вращения называют закрытой, если криволинейная образующая пересекает ось поверхности в двух точках. Если образующая — прямая линия, то получается линейчатая поверхность вращения, если кривая — нелинейчатая.

Замкнутую область пространства вместе с ее границей (поверхностью) называют геометрическим телом.

Цилиндр вращения (рис. 5.2) образуется вращением прямой Начертательная геометрия задачи с решением вокруг параллельной ей оси Начертательная геометрия задачи с решением. Все точки образующей Начертательная геометрия задачи с решением (например, точка Начертательная геометрия задачи с решением) описывают окружности (параллели), равные окружностям оснований цилиндра.

Начертательная геометрия задачи с решением

Конус вращения (рис. 5.3) образуется вращением прямой Начертательная геометрия задачи с решением вокруг пересекающейся с ней оси Начертательная геометрия задачи с решением. Все точки образующей Начертательная геометрия задачи с решением описывают окружности различных радиусов (для точки Начертательная геометрия задачи с решением — радиус Начертательная геометрия задачи с решением). Величина радиуса изменяется от нуля до радиуса окружности основания конуса.

Начертательная геометрия задачи с решением

Сфера (рис. 5.4) образуется вращением окружности вокруг ее оси Начертательная геометрия задачи с решением. Каждая точка образующей сферы при таком перемещении описывает свою окружность, радиус которой уменьшается при перемещении точки к полюсам. Например, точка Начертательная геометрия задачи с решением описывает параллель наибольшего радиуса (экватор). Для сферы экватор и меридианы — равные между собой окружности.

Построение точек лежащих на поверхности вращения

Точка принадлежит поверхности, если она находится на линии, лежащей на этой поверхности. В качестве таких линий могут быть выбраны образующие, параллели, меридианы и др. На рис. 5.5 показано построение проекций точек Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением, принадлежащих боковой поверхности цилиндра.

Начертательная геометрия задачи с решением

Горизонтальные проекции точек Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением (Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением) лежат на окружности. Профильные проекции этих точек Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением находятся при помощи линий связи.

Очерковые (крайние) образующие цилиндра разделяют фронтальную и профильные проекции на видимую и невидимые части. Так, образующие Начертательная геометрия задачи с решением