Примеры решения задач по метрологии

Здравствуйте на этой странице я собрала теорию и практику с примерами решения задач по предмету метрология стандартизация и сертификация с решением по каждой теме, чтобы вы смогли подготовиться к экзамену или освежить память перед контрольной работой!

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Введение в метрологию

К оглавлению…

Метрология — наука об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет метрология

В метрологии выделяют основные разделы.

Теоретическая метрология — раздел метрологии, предметом которого является разработка фундаментальных основ метрологии.

Законодательная метрология — раздел метрологии, предметом которого является установление обязательных технических и юридических требований по применению единиц физических величин, эталонов, методов и средств измерений, направленных на обеспечение единства и необходимости точности измерений в интересах общества.

Практическая (прикладная) метрология — раздел метрологии, предметом которого являются вопросы практического применения разработок теоретической метрологии и положений законодательной метрологии.

Физические величины

К оглавлению…

Физической величиной (ФВ) называют одно из свойств физического объекта (явления, процесса), которое является общим в качественном отношении для многих физических объектов, отличаясь при этом количественным значением.

ФВ имеет количественную и качественную характеристику. Количественной характеристикой является размер ФВ, качественной — размерность ФВ.

Размер ФВ — это количественная определенность ФВ, присущая конкретному материальному объекту, системе, явлению или процессу.

Размерность ФВ — это выражение в форме степенного одночлена, составленного из произведений символов основных физических величин в различных степенях и отражающее связь данной ФВ с физическими величинами, принятыми в данной системе величин за основные с коэффициентом пропорциональности, равным 1.

Степени символов основных величин, входящих в одночлен, в зависимости от связи рассматриваемой ФВ с основными, могут быть целыми, дробными, положительными и отрицательными. Понятие «размерность» распространяется и на основные величины. Размерность основной величины в отношении самой себя равна единице, т. е. формула размерности основной величины совпадает с ее символом.

В соответствии с международным стандартом ИСО 31/0, размерность величин следует обозначать знаком . Размерность основных величин: длины ; массы ; времени силы электрического тока ; термодинамической температуры ; силы света ; количества вещества . Размерность производных величин:

где — размерности основных величин в принятой системе единиц; — показатели размерности.

Показатель размерности ФВ — это показатель степени, в которую возведена размерность основной ФВ, входящая в размерность производной ФВ.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Задачи по метрологии

Пример №1.

Вывести и записать размерность силы Ньютона — .

Решение:

Единица физической величины

К оглавлению…

Единица ФВ — физическая величина фиксированного размера, которой условно присвоено числовое значение, равное единице, и применяемая для количественного выражения однородных с ней физических величин.

Единицы ФВ объединяются по определенному принципу в системы единин.

Система единиц ФВ — это совокупность основных и производных единиц ФВ, образованная в соответствии с принципами для заданной системы ФВ.

Эти принципы заключаются в следующем: произвольно устанавливают единицы для некоторых величин, называемых основными единицами, и по формулам через основные получают все производные единицы для данной области измерений.

В 1960 г. на XI Генеральной конференции по мерам и весам Международной организации мер и весов (MOMВ) была принята Международная система единиц (SI), которая в России применяется с 1 января 1963 г.

Международная система единиц (SI)

К оглавлению…

Достоинства системы SI:

  1. универсальность — охват всех областей науки и техники;
  2. унификация единиц для всех областей и видов измерений (механических, тепловых, электрических, магнитных и т. д.);
  3. когерентность единиц — все производные единицы SI получаются из уравнений связи между величинами, в которых коэффициенты равны единице;
  4. возможность воспроизведения единиц с высокой точностью в соответствии с их определениями;
  5. упрощение записи уравнений и формул в физике, химии, а также в технических расчетах в связи с отсутствием переводных коэффициентов;
  6. уменьшение числа допускаемых единиц;
  7. единая система образования кратных и дольных единиц, имеющих собственные наименования.

Основные и производные единицы системы единиц ФВ

К оглавлению…

Основная единица системы единиц ФВ — это единица основной ФВ в данной системе единиц. Основные единицы системы SI приведены в табл. 1.1.

Производные единицы SI образуют по правилам образования когерентных производных единиц SI .

Когерентные производные единицы (далее — производные единицы) Международной системы единиц, как правило, образуют с помощью простейших уравнений связи между величинами (определяющих уравнений), в которых числовые коэффициенты равны 1. Для образования производных единиц обозначения величин в уравнениях связи заменяют обозначениями единиц СИ.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по метрологии

Пример №2.

Единицу скорости образуют с помощью уравнения, определяющего скорость прямолинейно и равномерно движущейся материальной точки

где — скорость; — длина пройденного пути; — время движения материальной точки.

Подстановка вместо и обозначений их единиц SI дает

Следовательно, единицей скорости SI является метр в секунду. Он равен скорости прямолинейно и равномерно движущейся материальной точки, при которой эта точка за время 1 перемещается на расстояние 1 .

Если уравнение связи содержит числовой коэффициент, отличный от 1, то для образования когерентной производной единицы SI в правую часть подставляют обозначения величин со значениями в единицах SI, дающими после умножения на коэффициент общее числовое значение, равное 1.

Пример №3.

Если для образования единицы энергии используют уравнение

где — кинетическая энергия; -масса материальной точки; -скорость движения материальной точки, то для образования когерентной единицы энергии SI используют, например, уравнение

или

Следовательно, единицей энергии SI является джоуль (равный ньютон-метру). В приведенных примерах он равен кинетической энергии тела массой 2 , движущегося со скоростью 1 , или же тела массой 1 , движущегося со скоростью .

Без ограничения срока допускается применять единицы относительных и логарифмических величин.

Единицы, указанные в табл. 1.3, временно допускается применять до принятия по ним соответствующих международных решений.

При новых разработках применение этих внесистемных единиц не рекомендуется.

Правила образования наименований и обозначений десятичных кратных и дольных единиц SI

К оглавлению…

Наименования и обозначения десятичных кратных и дольных единиц SI образуют с помощью множителей и приставок, указанных в таблице 1.4.

Присоединение к наименованию и обозначению единицы двух или более приставок подряд не допускается. Например, вместо наименования единицы микромикрофарад следует писать пикофарад.

Приставку или ее обозначение следует писать слитно с наименованием единицы или, соответственно, с обозначением последней.

Если единица образована как произведение или отношение единиц, приставку или ее обозначение присоединяют к наименованию или обозначению первой единицы, входящей в произведение или в отношение.

Присоединять приставку ко второму множителю произведения или к знаменателю допускается лишь в обоснованных случаях, когда такие единицы широко распространены и переход к единицам, образованным в соответствии с первой частью настоящего пункта, связан с трудностями, например: тонна-километр , вольт на сантиметр , ампер на квадратный миллиметр .

Наименования кратных и дольных единиц исходной единицы, возведенной в степень, образуют, присоединяя приставку к наименованию исходной единицы. Например, для образования наименования кратной или дольной единицы площади — квадратного метра, представляющей собой вторую степень единицы длины — метра, приставку присоединяют к наименованию этой последней единицы: квадратный километр, квадратный сантиметр и т. д.

Обозначения кратных и дольных единиц исходной единицы, возведенной в степень, образуют добавлением соответствующего показателя степени к обозначению кратной или дольной единицы исходной единицы, причем показатель означает возведение в степень кратной или дольной единицы (вместе с приставкой).

Примеры

Выбор десятичной кратной или дольной единицы SI определяется удобством ее применения. Из многообразия кратных и дольных единиц, которые могут быть образованы с помощью приставок, выбирают единицу, позволяющую получать числовые значения, приемлемые на практике.

В принципе кратные и дольные единицы выбирают таким образом, чтобы числовые значения величины находились в диапазоне от 0,1 до 1000.

В некоторых случаях целесообразно применять одну и ту же кратную или дольную единицу, даже если числовые значения выходят за пределы диапазона от 0,1 до 1000, например в таблицах числовых значений для одной величины или при сопоставлении этих значений в одном тексте.

В некоторых областях всегда используют одну и ту же кратную или дольную единицу. Например, в чертежах, применяемых в машиностроении, линейные размеры всегда выражают в миллиметрах.

Для снижения вероятности ошибок при расчетах десятичные кратные и дольные единицы рекомендуется подставлять только в конечный результат, а в процессе вычислений все величины выражать в единицах SI, заменяя приставки степенями числа 10.

Правила написания обозначений единиц

К оглавлению…

При написании значений величин применяют обозначения единиц буквами или специальными знаками , причем устанавливают два вида буквенных обозначений: международное (с использованием букв латинского или греческого алфавита) и русское (с использованием букв русского алфавита). Буквенные обозначения единиц печатают прямым шрифтом. В обозначениях единиц точку как знак сокращения не ставят.

Обозначения единиц помещают за числовыми значениями величин и в строку с ними (без переноса на следующую строку). Числовое значение, представляющее собой дробь с косой чертой, стоящее перед обозначением единицы, заключают в скобки.

Между последней цифрой числа и обозначением единицы оставляют пробел.

Исключения составляют обозначения в виде знака, поднятого над строкой, перед которыми пробел не оставляют.

При наличии десятичной дроби в числовом значении величины обозначение единицы помещают за всеми цифрами.

При указании значений величин с предельными отклонениями числовые значения с предельными отклонениями заключают в скобки и обозначения единиц помещают за скобками или проставляют обозначение единицы за числовым значением величины и за ее предельным отклонением.

Допускается применять обозначения единиц в заголовках граф и в наименованиях строк (боковиках) таблиц.

Допускается применять обозначения единиц в пояснениях обозначений величин к формулам. Помещать обозначения единиц в одной строке с формулами, выражающими зависимости между величинами или между их числовыми значениями, представленными в буквенной форме, не допускается.

Буквенные обозначения единиц, входящих в произведение, отделяют точками на средней линии как знаками умножения. Не допускается использовать для этой цели символ «х».

В машинописных текстах допускается точку не поднимать. Допускается буквенные обозначения единиц, входящих в произведение, отделять пробелами, если это не вызывает недоразумения.

В буквенных обозначениях отношений единиц в качестве знака деления используют только одну косую или горизонтальную черту. Допускается применять обозначения единиц в виде произведения обозначений единиц, возведенных в степени (положительные и отрицательные).

Если для одной из единиц, входящих в отношение, установлено обозначение в виде отрицательной степени (например, ), применять косую или горизонтальную черту не допускается.

При применении косой черты обозначения единиц в числителе и знаменателе помещают в строку, произведение обозначений единиц в знаменателе заключают в скобки.

При указании производной единицы, состоящей из двух и более единиц, не допускается комбинировать буквенные обозначения и наименования единиц, т. е. для одних единиц указывать обозначения, а для других — наименования.

Перевод внесистемных единиц в единицы измерения физических величин

К оглавлению…

Для того чтобы научиться быстрее переводить внесистемные единицы в единицы измерения физических величин, необходимо запомнить несколько шагов:

1) выясните, из каких в какие единицы осуществляется перевод (запомните: если из больших в меньшие выполняется умножение, а если из меньших в большие — деление);

2) устанавливаем соотношение между величинами от большего к меньшему (для квадратных и кубических величин — возводим в соответствующую степень), запомните:

Пример №4.

Переведите в секунды 15 мин.

Решение:

Применяем правило 1 — переводим из больших в меньшие, значит надо выполнить умножение.

Применяем правило 2 — устанавливаем соотношение между минутой и секундой (60).

Соединяем первое и второе правила — умножаем наше число на соотношение и получим 900, то есть 15 мин = 900 с.

Пример №5.

Переведите в квадратные миллиметры .

Решение:

Применяем правило 1 — переводим из больших в меньшие, значит надо выполнить умножение.

Применяем правило 2 — устанавливаем соотношение между сантиметром и миллиметром (10) и возводим в квадрат (100).

Соединяем первое и второе правила — умножаем наше число на соотношение и получим 2500, то есть

Пример №6.

Переведите в метры в секунду 36 км/ч.

Решение:

Работаем по тем же правилам и выполняем перевод одновременно в числителе и знаменателе.

Доверительная вероятность и доверительный интервал

К оглавлению…

Точечные оценки распределения дают оценку в виде числа, наиболее близкого к значению неизвестного параметра. Такие оценки используют только при большом числе измерений. Чем меньше объем выборки, тем легче допустить ошибку при выборе параметра. Для практики важно не только получить точечную оценку, но и определить интервал, называемый доверительным, между границами которого с заданной доверительной вероятностью находится истинное значение оцениваемого параметра.

Для получения доверительного интервала величины необходимо:

• определить точечные оценки по формулам

• выбрать доверительную вероятность из рекомендуемого ряда значений 0,90; 0,95; 0,99 (если не указана в задаче);

• найти верхнюю и нижнюю границы по формулам:

• записать доверительный интервал

Пример №7.

При многократном измерении длины были получены значения в мм: 30,2; 30,0; 30,4; 29,7; 30,3; 29,9; 30,2. Укажите доверительные границы истинного значения длины с вероятностью .

Решение:

Пример №8.

Запишите результат измерений и определите его точность:

Решение:

При решении необходимо округлить погрешность измерения, согласовать ее с измеренным значением по правилам, приведенным в приложении Д. Затем необходимо определить точность измерения, которую показывает относительная погрешность —

Классы точности средств измерений

К оглавлению…

Единые правила установления пределов допускаемых погрешностей показаний по классам точности средств измерений регламентирует ГОСТ 8.401-80 «ГСИ. Классы точности средств измерений».

Класс точности средств измерений — обобщенная характеристика средств измерений, определяемая пределами допускаемых основной и дополнительной погрешностей, а также другими свойствами средств измерений, влияющими на их точность, значения которых устанавливаются в стандартах на отдельные виды средств измерений. Классы точности присваиваются средствам измерений при их разработке с учетом результатов государственных приемочных испытаний. Класс точности хотя и характеризует совокупность метрологических свойств данного средства измерений, однако не определяет однозначно точность измерений, так как последняя зависит от метода измерений и условий их выполнения.

Средствам измерений с двумя или более диапазонами измерений одной и той же физической величины допускается присваивать два или более класса точности. Средствам измерений, предназначенным для измерений двух или более физических величин, допускается присваивать различные классы точности для каждой измеряемой величины. С целью ограничения номенклатуры средств измерений по точности для СИ конкретного вида устанавливают ограниченное число классов точности, определяемое технико-экономическими обоснованиями.

Классы точности цифровых измерительных приборов со встроенными вычислительными устройствами для дополнительной обработки результатов измерений устанавливают без учета режима обработки.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Допуски и посадки
Решение задач по допускам и посадкам
Примеры решение задач по допускам и посадкам

Способы нормирования и формы выражения метрологических характеристик

К оглавлению…

Пределы допускаемых основной и дополнительных погрешностей следует выражать в форме приведенных, относительных или абсолютных погрешностей в зависимости от характера изменения погрешностей в пределах диапазона измерений, а также от условий применения и назначения средств измерений конкретного вида. Пределы допускаемой дополнительной погрешности допускается выражать в форме, отличной от формы выражения пределов допускаемой основной погрешности.

Обозначение классов точности средств измерений в документации

К оглавлению…

Для средств измерений пределы допускаемой основной погрешности которых принято выражать в форме абсолютных погрешностей или относительных погрешностей, причем последние установлены в виде графика, таблицы или формулы, классы точности в документации обозначаются прописными буквами латинского алфавита или римскими цифрами.

В необходимых случаях к обозначению класса точности буквами латинского алфавита добавляют индексы в виде арабской цифры. Классам точности, которым соответствуют меньшие пределы допускаемых погрешностей, соответствуют буквы, находящиеся ближе к началу алфавита, или цифры, означающие меньшие числа.

Для средств измерений пределы допускаемой основной погрешности которых принято выражать в форме приведенной погрешности или относительной погрешности в соответствии с формулой классы точности в документации следует обозначаются числами, которые равны этим пределам погрешности, выраженными в процентах. Обозначение класса точности, таким образом, дает непосредственное указание на предел допускаемой основной погрешности.

Для средств измерений, пределы допускаемой основной погрешности которых принято выражать в форме относительных погрешностей в
соответствии с формулой

классы точности в документации обозначаются числами и , разделенных косой чертой .

В документации на средства измерений допускается обозначать классы точности так же, как на средствах измерений. В эксплуатационной документации на средство измерений конкретного вида, содержащей обозначение класса точности, содержится ссылка на стандарт или технические условия, в которых установлен класс точности этого средства измерений.

Обозначение классов точности на средствах измерений

К оглавлению…

Условные обозначения классов точности наносятся на циферблаты, щитки и корпуса средств измерений.

При указании классов точности на измерительных приборах с существенно неравномерной шкалой, для информации, дополнительно указываются пределы допускаемой основной относительной погрешности для части шкалы, лежащей в пределах, отмеченных специальными знаками (например, точками или треугольниками). К значению предела допускаемой относительной погрешности в этом случае добавляют знак процента и помещают в кружок. Обращаем ваше внимание на то, что этот знак не является обозначением класса точности.

Обозначение класса точности допускается не наносить на высокоточные меры, а также на средства измерений, для которых действующими стандартами установлены особые внешние признаки, зависящие от класса точности, например параллелепипедная и шестигранная форма гирь общего назначения.

За исключением технически обоснованных случаев, вместе с условным обозначением класса точности на циферблат, щиток или корпус средств измерений наносится обозначение стандарта или технических условий, устанавливающих технические требования к этим средствам измерений.

На средства измерений, для одного и того же класса точности которых в зависимости от условий эксплуатации установлены различные рабочие области влияющих величин, наносятся обозначения условий их эксплуатации, предусмотренные в стандартах или технических условиях на эти средства измерений. Обозначения классов точности на средствах измерений приведены в приложении Б.

Пример №9.

Класс точности выражен числом в кружке. Это означает, что относительная погрешность измерения для любого измеренного значения в пределах шкалы равна 1,5 %.

Решение:

Учитывая формулу относительной погрешности

можно легко вычислить абсолютную погрешность. Для нашего примера:

где — измеренное значение физической величины.

Абсолютная погрешность здесь минимальна около нуля и максимальна около предельного значения диапазона измерения.

Пример №10.

Класс точности выражен числом без кружка, например, 0,5. Это означает, что приведенная погрешность средства измерения равна .

Решение:

Тогда абсолютную погрешность можно определить из формулы расчета приведенной погрешности:

Найдем абсолютную погрешность:

где — верхний предел диапазона измерения.

Пример №11.

Класс точности выражен дробью , например, 0,02/0,01.

Решение:

Здесь относительная погрешность определяется двучленной формулой:

В нашем случае:

После вычисления относительной погрешности легко определяется абсолютная погрешность, как показано в примере 1.

Пример №12.

В зависимости от типа средств измерений электрических величин относительная погрешность измерений может выражаться и другими формулами.

Решение:

Например, относительная погрешность некоторых типов вольтметров может быть выражена формулой:

где и — константы, числовые значения которых приводятся в технической или нормативной документации на это СИ.

Пример №13.

Для СИ линейных размеров, углов, температур, массы и ряда других величин классы точности выражаются числами 00, 0, 1, 2, 3.

Решение:

Здесь следует обратиться к НД или ТД на данный тип СИ, где указаны формы выражения погрешностей, такие как

И даны конкретные значения допускаемых погрешностей для данного средства измерения в соответствии с его классом точности и значения констант и .

Пример №14.

Точность СИ может выражаться в . Миллионная доля (пропромилле) — единица измерения каких-либо относительных величин, равная от базового показателя.

Решение:

Аналогична по смыслу проценту или промилле. Обозначается сокращением (от англ. parts per million или лат. pro pro mille, читается «пи-пи-эм», «частей на миллион»), или.

Например,

Рассмотрим несколько примеров расчета погрешностей.

Пример №15.

Миливольтметром B3-38 измерялось напряжение переменного тока. В нормальных условиях получены следующие значения:

а) на поддиапазоне (0-300) мВ:

б) на поддиапазоне (0-300) В:

Оценить погрешности измеренных значений напряжений.

Решение:

Предел допускаемой основной погрешности от конечного значения установленного поддиапазона измерений равен ±2,5 % на поддиапазоне измерений от 1 до 300 мВ и 4 % на поддиапазоне измерений от 1 до 300 В.

Приведенная и абсолютная погрешности в случае а) будут иметь следующие значения:

Приведенная и абсолютная погрешности в случае б) будут иметь следующие значения:

Пример №16.

Универсальным вольтметром В7-17 измерено активное сопротивление цепи при времени преобразования 20 мс на поддиапазоне измерения (0-100) кОм. Получено значение измеренного сопротивления . Оценить погрешность измерения.

Решение:

Из технического описания на В7-17 находим, что формула, выражающая относительную погрешность измерения сопротивления имеет следующий вид:

тогда

Пример №17.

Имеется низкочастотный генератор сигналов Г3-36, на выходе которого установлена частота 50 Гц. Оценить погрешность установки частоты.

Решение:

Из технической документации на генератор находим, что основная погрешность установки частоты данного генератора определяется по формуле:

И для установленной частоты равняется:

Возможно эта страница вам будет полезна:

Нормирование точности и технические измерения решение задач с примерами
Нормирование точности курсовая работа
Нормирование точности и технические измерения

Суммирование систематических погрешностей прямых измерений

К оглавлению…

Систематическая погрешность прямых измерений может представлять результат суммирования нескольких погрешностей. Источники таких погрешностей могут быть самые разнообразные. Например, это может быть погрешность, обусловленная классом точности СИ, погрешности установочных мер, погрешности влияния внешних условий, погрешность метода измерения, табличная погрешность, погрешность параллакса, округления результатов вычисления и т. д.

Обозначим эти погрешности через:

Принято считать, что систематические погрешности распределены, как правило, по равномерному закону внутри своих интервалов .

Знаки и их значения можно рассматривать как случайные величины, тогда суммарная погрешность измерения при отсутствии корреляции между . оценивается по формуле:

где — коэффициент, соответствующий выбранной доверительной вероятности.

Коэффициент , как показывают расчеты, зависит от числа погрешностей в и от соотношения их величин. Значение определяется следующим образом: среди всех составляющих погрешностей выбирается наибольшая по модулю и ближайшая к ней, а затем вычисляется значение как отношение первой ко второй, после чего значение к находится по табл. 2.1.

Расчет суммарной погрешности в можно проводить и без учета числа составляющих . При этом при доверительных вероятностях:

используются соответственно коэффициенты:

Суммарная погрешность здесь может получиться несколько завышенной. Что для большинства практических задач несущественно.

Можно встретить и другие рекомендации оценивания суммарной погрешности. Так, оценка сверху погрешности результата измерения может быть представлена простым суммированием модулей составляющих:

Для оценки суммарной погрешности измерения простое суммирование модулей составляющих считается более целесообразным, когда число суммируемых погрешностей , поскольку в этом случае вероятность того, что все составляющие погрешности имеют одинаковые знаки, существенно выше, чем в случае, когда .

Пример №18.

Два резистора с сопротивлениями и три с сопротивлениями соединены последовательно, причем их систематические погрешности равны и . Определить сопротивление цепи и его погрешность.

Решение:

Общее сопротивление вычисляется по формуле:

При вычислении суммарной погрешности нужно иметь ввиду следующее: если есть уверенность, что знаки погрешностей сопротивлений одинаковы и знаки погрешностей сопротивлений также одинаковы, то можно использовать суммирование модулей составляющих погрешностей, поскольку их по существу только две:

Но если такой уверенности нет, то целесообразнее применить геометрическое суммирование, например при вероятности 0,95. Тогда:

Результат измерения в случае суммирования модулей погрешностей запишется:

Если суммирование погрешностей геометрическое, то

Оценивание неопределенности измерений

К оглавлению…

Неопределенность измерений — неотрицательный параметр, характеризующий рассеяние значений величины, приписываемых измеряемой величине на основании используемой информации.

Неопределенности измерений, также как и погрешности измерений, могут быть классифицированы по различным признакам: по месту (источнику) их проявления на методические, инструментальные и субъективные; по их проявлению на случайные, систематические и грубые; на абсолютные и относительные по способу их выражения.

По характеру проявления неопределенности измерений делятся на два типа: неопределенности по типу и по типу .

• неопределенность по типу статистическими методами;

• неопределенность по типу оценивают нестатистическими методами;

При этом предлагается два метода оценивания неопределенностей и :

• для неопределенности типа — использование известных статистических оценок среднеарифметического и среднеквадратического, используя результаты измерений и опираясь, в основном, на нормальный закон распределения полученных величин;

• для неопределенности типа — использование априорной нестатистической информации, опираясь, в основном, на равномерный закон распределения возможных значений величин в определенных границах.

Таким образом, подчеркнем еще раз: деление на систематические и случайные погрешности обусловлено природой их возникновения и проявления в ходе выполнения измерений, а деление на неопределенности, вычисляемые по типу и по типу — методами их получения и использования при расчете общей неопределенности.

Стандартная неопределенность — неопределенность, выраженная в виде стандартного отклонения.

Расширенная неопределенность — величина, задающая интервал вокруг результата измерения, в пределах которого, как ожидается, находится большая часть распределения значений, которые с достаточным основанием могут быть приписаны измеряемой величине.

Расширенная неопределенность является аналогом доверительных границ погрешностей измерений. Причем каждому значению расширенной неопределенности соответствует вероятность охвата .

Вероятность охвата — вероятность, которой, по мнению оператора, соответствует расширенная неопределенность результата измерений. Вероятность охвата определяется с учетом вероятностного закона распределения неопределенности и аналогом ее в классической теории является доверительная вероятность.

Коэффициент охвата — коэффициент, зависящий от вида распределения неопределенности результата измерений и вероятности охвата и численно равный отношению расширенной неопределенности, соответствующей заданной вероятности охвата, к стандартной неопределенности.

Число степеней свободы — параметр, статистического распределения, равный числу независимых связей оцениваемой статистической выборки.

В табл. 3.1, приведенной ниже, даны соответствия между терминами, используемыми в классической теории погрешностей и концепции неопределенности.

Методика оценивания результата измерений и его неопределенности

К оглавлению…

Оценивание результата измерений и его неопределенности проводится в следующей последовательности:

  • составление уравнения измерений;
  • оценка входных величин и их стандартных отклонений (неопределенностей);
  • оценка измеряемой (выходной) величины и ее неопределенности;
  • составление бюджета неопределенности;
  • оценка расширенной неопределенности результата измерений;
  • представление результата измерений.

Составление уравнения измерения

К оглавлению…

В концепции неопределенности под уравнением измерения понимается математическая зависимость между измеряемыми величинами а также другими величинами, влияющими на результат измерения и результатом измерения

В концепции неопределенности величины называются входными величинами, используемые для оценивания неопределенности результата измерения, а результат измерения — выходной величиной измерения.

В качестве основы для составления уравнения измерения используется уравнение связи (в классическом понимании), то есть зависимость . Далее в результате анализа условий измерений и используемых СИ, устанавливаются другие факторы, влияющие на результат измерений. При этом величины описывающие эти факторы, включают в уравнение (3.1), даже если они незначительно могут повлиять на результат . Задача оператора — по возможности наиболее полно учесть все факторы, влияющие на результат измерения.

Оценка входных величин и их стандартных отклонений (неопределенностей)

К оглавлению…

Пусть имеются результаты , измерений входной величины , где . Как известно, при нормальном распределении наилучшей оценкой этой величины является среднее арифметическое

Стандартную неопределенность типа определяют как средне-квадратическое отклонение по формуле

Для вычисления стандартной неопределенности по типу используют:

  • данные о предыдущих измерений величин, входящих в уравнение измерения;
  • сведения, имеющиеся в метрологических документах по поверки, калибровки и сведения изготовителя о приборе;
  • сведения о предполагаемом вероятностном распределении значений величин, имеющихся в научно-технических отчетах и литературных источниках;
  • данные, основанные на опыте исследователя или общих знаниях о поведении и свойствах соответствующих (подобных) СИ и материалов;
  • неопределенность используемых констант и справочных данных;
  • нормы точности измерений, указанные в технической документации на методы и СИ;
  • другие сведения об источниках неопределенностей, влияющих на результат измерения.

Неопределенности этих данных обычно представляют в виде границ отклонения значения величины от ее оценки. Наиболее распространенный способ формализации неполного знания о значении величины заключается в постулировании равномерного закона распределения возможных значений этой величины в указанных границах (нижней и верхней ) для -й входной величины. При этом стандартную неопределенность по типу В определяют по известной формуле для сред-неквадратического отклонения результатов измерений, имеющих равномерный закон распределения:

а для симметричных границ по формуле

В случае других законов распределений формулы для вычисления неопределенности по типу будут другие. В частности, если известно одно значение величины то это значение принимается в качестве оценки. При этом стандартную неопределенность вычисляют по формуле

где — расширенная неопределенность, — коэффициент охвата.

Если коэффициент охвата не указан, то, с учетом имеющихся сведений, принимают предположение о вероятностном распределении неопределенности величины . Если такие сведения отсутствуют, то для определения коэффициента охвата можно воспользоваться данными табл. 3.2 [1,3].

Если известны граница суммы неисключенных систематических погрешностей, распределенных по равномерному (равновероятному) закону или расширенная неопределенность в терминах концепции неопределенности , то коэффициенты охвата при числе неисключенных систематических погрешностей , зависит от доверительной вероятности. Коэффициент охвата при при [1,3].

Неопределенности входных величин могут быть коррелированны. Для вычисления коэффициента корреляции используют согласованные пары результатов измерений , где -число согласованных пар результатов измерений . Вычисления проводят по известной формуле из статистики и теории вероятности

Значимость коэффициента корреляции определяется критерием отсутствия или наличия связи между аргументами [3].

Оценка измеряемой (выходной) величины и ее неопределенности

К оглавлению…

Оценку измеряемой величины у вычисляют как функцию оценок входных величин по формуле (3.1), предварительно внеся на все источники неопределенности, имеющие систематический характер, — поправки.

Вычисление суммарной неопределенности выходной величины проводят по тем же формулам, которые используются для расчета погрешностей косвенных измерений в классической концепции погрешности измерений.

В случае некоррелированных оценок входных величин, суммарную стандартную неопределенность вычисляют по формуле

и в случае коррелированных оценок — по формуле

где — коэффициент корреляции; — стандартная неопределенность — входной величины, вычисленная по типу или типу ; — коэффициенты чувствительности выходной величины по отношению ко входной величине .

Составление бюджета неопределенности

К оглавлению…

Под бюджетом неопределенности понимается формализованное представление полного перечня источников неопределенности измерений по каждой входной величине с указанием их стандартной неопределенности и вклада их в суммарную стандартную неопределенность результата измерений. В табл. 3.3 приведена рекомендуемая форма представления бюджета неопределенности.

Оценка расширенной неопределенности результата измерений

К оглавлению…

Расширенная неопределенность равна произведению стандартной неопределенности результата измерений на коэффициент охвата :

Руководство по неопределенности [1] рекомендует рассматривать все результаты измерений при доверительной вероятности (вероятности охвата) . При этой вероятности преимущественно определять число степеней свободы по эмпирической формуле Велча-Саттерствейта

При этом коэффициент охвата определяется при вероятности по формуле

где — коэффициент Стьюдента (см. таблицу Г.1 приложение Г).

Формулу для оценки суммарной стандартной неопределенности (3.8) можно записать в более простом виде

так же как и формулу (3.11) для определения числа степеней свободы

где — число степеней свободы при прямых измерениях входной величины; — число измерений; — оценка стандартных неопределенностей, вычисленных по типу и по типу , соответственно.

При оценке вклада неопределенности (см. формулу 3.11) по типу принимают , по типу . При этих условиях легко показать из формулы (3.11), что, если по типу оценивается неопределенность только одной входной величины, то формула (3.11) упрощается

где — число повторных измерений входной величины, оцениваемой по типу .

Представление результата измерений

К оглавлению…

При представлении результатов измерений Руководство рекомендует приводить достаточное количество информации, чтобы можно было проанализировать и/или повторить весь процесс получения результата измерений и вычисления неопределенностей, а именно:

  • алгоритм получения результата измерений;
  • алгоритм расчета всех поправок для исключения систематических погрешностей и их неопределенней;
  • неопределенности всех используемых данных и способы их получения;
  • алгоритмы вычисления суммарной и расширенной неопределенностей, включая значение коэффициента охвата к.

Таким образом, в документации по результатам измерений необходимо представлять:

— суммарную неопределенность;

— расширенную неопределенность;

— коэффициент охвата;

— данные о входных величинах;

— эффективное число степеней свободы.

В протоколе измерений, как правило, делается следующая запись, если результатом измерения является длина детали: «Длина детали составляет 153,2 мм. Расширенная неопределенность результата измерений составляет ± 1,4 мм при коэффициенте охвата равном 2» или «измерения показали, что длина детали находится в интервале (151,8-154,6) мм при коэффициенте, равном 2». По умолчанию предполагается, что эти результаты соответствуют вероятности охвата 0,95.

Пример №19.

Прямые однократные измерения

Производится измерение напряжения постоянного тока с помощью вольтметра В7-37. Показания вольтметра . Необходимо определить результат измерения и оценить неопределенность измерения напряжения.

Решение:

Спецификация измерений:

• измерения производятся в лабораторных условиях при температуре окружающего воздуха +25 °С;

• напряжение измеряется на выходе источника с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением; предел измерения прибора — 2 В;

• температура окружающего воздуха от 5 до 40 °С;

• предел дополнительной погрешности прибора, вызванной изменением температуры окружающего воздуха от нормальной до любой в пределах рабочей области температуры, не более предела основной погрешности на каждые 10 °С изменения температуры;

ступень квантования прибора составляет цену единицы младшего разряда;

предел основной относительной погрешности прибора при измерении постоянного напряжения на поддиапазонах 0,2 и 2 В равен значениям, вычисляемым по формуле:

где — значение установленного поддиапазона измерения, — показание прибора, .

Оценивание неопределенности измерений

  • Составление модельного уравнения
  • Оценивание входных величин, вычисление оценки результата измерения
  • Определение стандартных неопределенностей входных величин

Стандартная основная неопределенность по типу измерения вычисляется через выражение для основной относительной погрешности в предположении о равновероятном распределении погрешности внутри границ. Поскольку границы относительной погрешности равны

то границы абсолютной погрешности определятся как

Отсюда можно рассчитать основную неопределенность измерений:

Стандартная неопределенность по типу , обусловленная отклонением температуры от нормальной (20 °С).

Поскольку измерения производились в лабораторных условиях при температуре +25 °С, а предел дополнительной погрешности прибора, вызванной изменением температуры окружающего воздуха от нормальной до любой в пределах рабочей области температуры, составляет не более предела основной погрешности на каждые 10 °С изменения температуры, то есть

то дополнительная температурная неопределенность будет равна

Стандартная неопределенность по типу В квантования измеряемого напряжения равна границе погрешности квантования

деленной на коэффициент охвата для равномерного закона распределения

Все входные величины независимы, поэтому корреляция между ними отсутствует.

  • Составление бюджета неопределенности
  • Вычисление суммарной стандартной неопределенности

Суммарная стандартная неопределенность вычисляется через вклады неопределенности входных величин по формуле:

  • Определение коэффициента охвата

Все три составляющие неопределенности распределены по равномерному закону, поэтому их композиция распределена по нормальному закону. Коэффициент охвата в этом случае соответствует коэффициенту охвата для нормального закона и доверительной вероятности

  • Вычисление расширенной неопределенности

Расширенная неопределенность определяется по формуле

  • Результат измерения

Записываем результат измерения в виде

Пример №20.

Прямые однократные измерения

Производятся прямые многократные измерения частоты высокочастотного синусоидального сигнала с помощью электронно-счетного частотомера 43-63. Показания частотомера составляют, кГц: 151348; 151342; 151344; 151346; 151348; 151349; 151345; 151351; 151343; 151344; 151359; 151350; 151347; 151348; 151346; 151352; 151345; 151349;151347;151346.

Необходимо получить оценку измеряемой частоты и оценить неопределенность ее измерения.

Решение:

Спецификация измерений:

• измерения производятся в лабораторных условиях при температуре окружающего воздуха +25 °С;

• время счета прибора — 10 мс;

• рабочие условия применения прибора: температура окружающего воздуха от -30 до +50 °С;

• относительная погрешность измерения частоты синусоидальных сигналов в пределах значений, рассчитанных по формуле

• температурный коэффициент частоты опорного генератора не более на каждый 1 °С свыше температуры калибровки (20 °С).

Возможно эта страница вам будет полезна:

Заказать работу по метрологии

Оценивание неопределенности измерений

К оглавлению…

  • Составление модельного уравнения

где — количество наблюдений.

  • Вычисление оценки результата измерения
  • Определение стандартных неопределенностей входных величин. Стандартная неопределенность среднего арифметического значения результатов измерения частоты (тип ):

Стандартная неопределенность типа частоты внутреннего опорного генератора частотомера при единичном измерении частоты вычисляется через выражение для основной относительной погрешности в предположении о равномерном распределении погрешности внутри границ.

Границы относительной погрешности не превышают . Границы абсолютной погрешности будут в этом случае равны

Стандартная неопределенность типа квантования при единичном измерении определяется из границ погрешности квантования

Стандартная неопределенность типа , обусловленная изменением частоты опорного генератора при изменении температуры окружающей среды от 20 °С (температура калибровки частотомера ) до 25 °С (температура окружающей среды в момент измерений ), вычисленная через температурный коэффициент частоты в предположении о равномерном распределении внутри границ будет равна

Стандартная неопределенность типа единичного наблюдения, вызванная погрешностью отсчета показаний, равной половине цены деления младшего разряда

в предположении равномерного распределения НСП внутри границ составляет

Все входные величины независимы, поэтому корреляция между ними отсутствует.

  • Составление бюджета неопределенности
  • Вычисление суммарной стандартной неопределенности

Суммарная стандартная неопределенность вычисляется через вклады неопределенности входной величины по формуле:

  • Определение коэффициента охвата

Поскольку модельное уравнение представляет собой уравнение прямых многократных измерений, коэффициент охвата определяют как коэффициент Стьюдента для эффективного числа степеней свободы, получаемого по формуле:

Коэффициент Стьюдента для и доверительной вероятности равен .

  • Вычисление расширенной неопределенности

Расширенная неопределенность определяется по формуле

  • Записываем результат измерения

Классы точности средств измерений

К оглавлению…

Пример №21.

Указатель амперметра с пределами измерений от -5 до +20 А класса точности 1,5 показывает +8 А. В каких пределах будет находиться истинное значение силы тока?

Решение:

Предельная погрешность измерения амперметра из выражения (2) будет равна

При симметричном распределении погрешности измерения результат измерения силы тока можно записать так:

Более корректная запись результата измерения может быть представлена в виде неравенства 7,7

Для СИ, имеющих шкалу с условным нулем (вне пределов измерений), устанавливают равным модулю разности пределов измерений.

Пример №22.

Милливольтметр термоэлектрического термометра класса точности [1,0] с пределами измерений 400… 1000 °С показывает 560 °С. Определить погрешность измерения температуры.

Решение:

Нормирующее значение

Погрешность измерения

Результат измерения при симметричном распределении погрешности измерения

Если СИ имеет установленное номинальное значение, то принимают равным этому номинальному значению. Например, у цифрового частотомера с номинальной частотой 50 Гц нормирующее значение равно этой частоте.

В некоторых случаях цифры класса точности заключаются в окружность: и т.д. Тогда нормирующее значение принимается равным показанию.

Обработка результатов прямых однократных измерений

К оглавлению…

Пример №23.

При измерении диаметра отверстия производилась настройка индикаторного нутромера на нулевую отметку по концевой мере длины 20 мм. Действительный размер концевой меры по аттестату 19,999 мм. Погрешность настройки равна 1,2 мкм. Отсчет подчиняется равномерному закону распределения вероятностей с предельными отклонениями . Показание индикатора равно +5 мкм. Определите доверительные границы для истинного значения размера.

Решение:

Показание СИ . Систематическая погрешность (погрешность концевой меры) определяется разностью номинального размера и размера по аттестату . Для всех измерений при этой настройке она будет постоянной, поэтому на ее величину с обратным знаком следует внести поправку. Другая систематическая погрешность (погрешность настройки) останется неисключенной. Она может быть в границах .

Случайная составляющая погрешности измерения . Границы равномерно распределенных погрешностей принимают равными:

Отсюда .

Соотношение

Для доверительной вероятности из табл. 3 определим . Тогда, в соответствии с уравнением (9), погрешность измерения

Исправленный результат измерения

где

Тогда доверительные границы истинного размера диаметра

а при симметричном распределении погрешностей измерения можно результат записать

Пример №24.

При измерении у-излучения дозиметр показывает 50 мкР. Отклонение температуры, при которой выполнялись измерения, от нормальной вызывает погрешность . Отсчет результатов распределяется по неизвестному закону с СКО . Установите доверительные границы для истинного значения у-излучения при .

Решение:

Значение поправки . Исправленный результат . По таблице распределения П. Чебышева для доверительной вероятности определим коэффициент . Доверительный интервал . Результат измерения у-излучения , а при симметричном распределении погрешности измерений , .

Обработка результатов косвенных измерений

К оглавлению…

Пример №25.

При косвенном измерении электрической мощности по зависимости , получены значения сопротивления и падения напряжения СКО относительной погрешности средств измерений следующие:

Определить доверительные границы измеряемой мощности с вероятностью .

Решение:

Это будет логарифмируемая функция.

Дисперсия случайной относительной погрешности

При доверительной вероятности по таблице Лапласа . Доверительные границы относительной погрешности . Тогда абсолютная погрешность

и доверительные границы результата измерения .

Пример №26.

Сопротивление резистора определяется по закону Ома . Укажите доверительные границы для истинного значения с вероятностью , если получены результаты измерения , , СКО погрешностей измерений

Решение:

Это будет логарифмируемая функция.

Заменив дифференциалы соответствующими приращениями и обозначив относительные погрешности

получим значение относительных погрешностей

Дисперсия случайной относительной погрешности

При доверительной вероятности по таблице Лапласа . Доверительные границы относительной погрешности

Тогда абсолютная погрешность

и доверительные границы результата измерения

Обнаружение грубых погрешностей

К оглавлению…

Пример №27.

Результаты измерения влажности образцов плит в %: 8,1; 7,8; 8,3; 7,3; 8,2; 7,9; 8,0; 8,4; 8,0; 8,2; 7,9; 8,1; 7,8. Определите грубые результаты наблюдений по критерию с вероятностью 0,9.

Решение. Число измерений . Среднее арифметическое значение

Среднее квадратическое отклонение

Предельное значение критерия (при вероятности ) по табл.

Проверим числа, наиболее удаленные от среднего значения. Это влажность

Следовательно, этот результат является не случайным «выбросом» и его следует исключить. Остальные результаты менее удалены от среднего значения, поэтому проверке не подлежат.

Пример №28.

При диагностировании топливной системы автомобиля результаты пяти измерений расхода топлива на 100 км составили 22, 24, 26, 28 и 34 л. Определить наличие грубых погрешностей в экспериментальных данных.

Решение:

Число измерений . Среднее арифметическое значение

Среднее квадратическое отклонение равно

Предельное значение критерия (при вероятности ) по табл.

Проверим число, наиболее удаленное от среднего значения. Это расход топлива 34 л.

Критерий свидетельствует, что последний результат может быть признан достоверным, т.е. «выброс» случаен и его следует сохранить.

Обработка результатов прямых многократных измерений

К оглавлению…

Пример №29.

Толщиномером, предельная погрешность измерений которого составляет , получены результаты измерений толщины лакового покрытия , мкм: 470, 354, 402, 434, 387, 413, 465, 448, 540, 393, 425, 456, 442. Измерения выполнялись при температуре 30°С. Коэффициент линейного расширения лака, по справочным данным, находится в пределах . Определить результат измерений.

Решение:

Определим среднее арифметическое значение:

Проверим наличие грубых погрешностей:

При допускаемое значение критерия . Действительное значение

Следовательно, результат 540 мкм нужно отбросить.

Определяем значения характеристик по оставшимся 12 наблюдениям:

Доверительные границы для случайной составляющей при (по распределению Стьюдента )

Температурная погрешность

Так как коэффициент линейного расширения задан диапазоном, то будем считать распределение вероятностей его в этом диапазоне равномерным со средним значением

Систематическая составляющая температурной погрешности

Следовательно, к среднему значению можно внести поправку, равную систематической погрешности с обратным знаком

Неисключённая систематическая составляющая температурной погрешности определяется границами равномерного распределения:

Другой неисключённой систематической составляющей погрешности будет предельная погрешность измерения толщиномера. Так как первая погрешность значительно меньше второй, то её можно не учитывать. Следовательно, .

Соотношение поэтому доверительная граница погрешности измерения определяется по выражению (28):

Результат измерения

Проверка нормальности распределения

К оглавлению…

Пример №30.

Проверить соответствие нормальному закону распределения результаты измерения параметра шероховатости , мкм: 0,49; 0,47; 0,48; 0,48; 0,46; 0,45; 0,46; 0,46; 0,56; 0,50; 0,47; 0,47; 0,46; 0,44; 0,39; 0,45; 0,43; 0,47; 0,44; 0,46.

Решение:

Среднее значение

Среднее квадратическое отклонение

Проверим наличие грубых промахов по критерию . Наиболее удалённое от среднего значения показание № 9

При допускаемое отклонение критерия

Следовательно, показание № 9 нужно исключить из результатов.

Критерий 1. Параметры исправленных результатов ; смещённая оценка

По табл. 7 определим: при и . подставим эти значения в неравенство (30): 0,6902 <0,744 <0,9055.

При и . 0,7277 <0,744 <0,8814.

Следовательно, при уровнях значимости равным 1 и 5 % критерий выполняется.

Критерий 2. При из табл. 8 определим и . Несмещенная оценка

Наибольшая разность

Следовательно, при уровне значимости критерий 2 тоже выполняется. Таким образом, при уровнях значимости и полученные результаты соответствуют нормальному распределению.

Обработка результатов нескольких серий измерений

Кстати теория из учебников по метрологии тут.

Пример №31.

На вертикальном оптиметре выполнены три серии измерений отклонений от номинального размера мкм, результаты которых сведены в таблицу.

Решение:

Определим дисперсии для каждой серии:

По распределению Стьюдента проверим значимость различий средних арифметических в сериях. Для этого по формуле (34) вычислим разности:

Для принятой доверительной вероятности с числом степеней свободы по табл. П2 находим значение . При сравнении полученных расчетом значений с предельным установим, что гипотеза о равенстве математических ожиданий всех серий принимается.

Проверим гипотезу о равнорассеянности результатов измерений по критерию Р. А. Фишера:

Задаваясь уровнем значимости 5 % , из таблиц распределения Фишера (табл. П4) найдем . Следовательно, при 5 % уровне значимости серии наблюдений I и II, а также II и III можно считать равноточными, а различие дисперсий в сериях I и III являются значимыми (серии неравнорассеянные).

Для определения наилучшей оценки объединённых результатов измерений неравнорассеянных серий необходимо вычислить весовые коэффициенты:

При равенстве математических ожиданий среднее взвешенное определим по формуле (38):

Среднее квадратическое отклонение среднего взвешенного можно рассчитать по формуле (39):

Для определения доверительных границ результата измерения нужно определить число степеней свободы, которое при малом числе измерений вычисляется по уравнению (40):

Обработка результатов совместных измерении

К оглавлению…

Пример №32.

Построить поле корреляции, определить и построить линейные уравнения регрессии, определить интервальную оценку коэффициента корреляции по результатам измерений двух случайных величин и :

Решение:

Определим числовые характеристики случайных величин:

Эмпирические уравнения регрессии следующие:

Эмпирический коэффициент корреляции

Среднее квадратическое отклонение

Критерий Фишера . Доверительный интервал для нормального закона распределения , где определяют в зависимости от принятой доверительной вероятности по таблице Лапласа.

Задаваясь вероятностью , определим , тогда . Таким образом, с вероятностью величина может принимать значения ,т.е. .По крайним значениям в табл. П6 находим левую и правую границы доверительного интервала коэффициента корреляции .

Из полученной интервальной оценки видно, что при малой выборке точность определения коэффициента корреляции невысока.