Примеры решения задач по метрологии

Оглавление:

Примеры решения задач по метрологии

Здравствуйте на этой странице я собрала теорию и практику с примерами решения задач по предмету метрология стандартизация и сертификация с решением по каждой теме, чтобы вы смогли подготовиться к экзамену или освежить память перед контрольной работой!

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Введение в метрологию

Метрология — наука об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет метрология

В метрологии выделяют основные разделы.

Теоретическая метрология — раздел метрологии, предметом которого является разработка фундаментальных основ метрологии.

Законодательная метрология — раздел метрологии, предметом которого является установление обязательных технических и юридических требований по применению единиц физических величин, эталонов, методов и средств измерений, направленных на обеспечение единства и необходимости точности измерений в интересах общества.

Практическая (прикладная) метрология — раздел метрологии, предметом которого являются вопросы практического применения разработок теоретической метрологии и положений законодательной метрологии.

Физические величины

Физической величиной (ФВ) называют одно из свойств физического объекта (явления, процесса), которое является общим в качественном отношении для многих физических объектов, отличаясь при этом количественным значением.

ФВ имеет количественную и качественную характеристику. Количественной характеристикой является размер ФВ, качественной — размерность ФВ.

Размер ФВ — это количественная определенность ФВ, присущая конкретному материальному объекту, системе, явлению или процессу.

Размерность ФВ — это выражение в форме степенного одночлена, составленного из произведений символов основных физических величин в различных степенях и отражающее связь данной ФВ с физическими величинами, принятыми в данной системе величин за основные с коэффициентом пропорциональности, равным 1.

Степени символов основных величин, входящих в одночлен, в зависимости от связи рассматриваемой ФВ с основными, могут быть целыми, дробными, положительными и отрицательными. Понятие «размерность» распространяется и на основные величины. Размерность основной величины в отношении самой себя равна единице, т. е. формула размерности основной величины совпадает с ее символом.

В соответствии с международным стандартом ИСО 31/0, размерность величин следует обозначать знаком Примеры решения задач по метрологии. Размерность основных величин: длины Примеры решения задач по метрологии; массы Примеры решения задач по метрологии; времени Примеры решения задач по метрологии силы электрического тока Примеры решения задач по метрологии; термодинамической температуры Примеры решения задач по метрологии; силы света Примеры решения задач по метрологииПримеры решения задач по метрологии; количества вещества Примеры решения задач по метрологии. Размерность производных величин:

Примеры решения задач по метрологии

где Примеры решения задач по метрологии — размерности основных величин в принятой системе единиц; Примеры решения задач по метрологии — показатели размерности.

Показатель размерности ФВ — это показатель степени, в которую возведена размерность основной ФВ, входящая в размерность производной ФВ.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Задачи по метрологии

Пример №1.

Вывести и записать размерность силы Ньютона — Примеры решения задач по метрологии.

Решение:

Примеры решения задач по метрологии

Единица физической величины

Единица ФВ — физическая величина фиксированного размера, которой условно присвоено числовое значение, равное единице, и применяемая для количественного выражения однородных с ней физических величин.

Единицы ФВ объединяются по определенному принципу в системы единин.

Система единиц ФВ — это совокупность основных и производных единиц ФВ, образованная в соответствии с принципами для заданной системы ФВ.

Эти принципы заключаются в следующем: произвольно устанавливают единицы для некоторых величин, называемых основными единицами, и по формулам через основные получают все производные единицы для данной области измерений.

В 1960 г. на XI Генеральной конференции по мерам и весам Международной организации мер и весов (MOMВ) была принята Международная система единиц (SI), которая в России применяется с 1 января 1963 г.

Международная система единиц (SI)

Достоинства системы SI:

  1. универсальность — охват всех областей науки и техники;
  2. унификация единиц для всех областей и видов измерений (механических, тепловых, электрических, магнитных и т. д.);
  3. когерентность единиц — все производные единицы SI получаются из уравнений связи между величинами, в которых коэффициенты равны единице;
  4. возможность воспроизведения единиц с высокой точностью в соответствии с их определениями;
  5. упрощение записи уравнений и формул в физике, химии, а также в технических расчетах в связи с отсутствием переводных коэффициентов;
  6. уменьшение числа допускаемых единиц;
  7. единая система образования кратных и дольных единиц, имеющих собственные наименования.

Основные и производные единицы системы единиц ФВ

Основная единица системы единиц ФВ — это единица основной ФВ в данной системе единиц. Основные единицы системы SI приведены в табл. 1.1.

Примеры решения задач по метрологии

Производные единицы SI образуют по правилам образования когерентных производных единиц SI .

Когерентные производные единицы (далее — производные единицы) Международной системы единиц, как правило, образуют с помощью простейших уравнений связи между величинами (определяющих уравнений), в которых числовые коэффициенты равны 1. Для образования производных единиц обозначения величин в уравнениях связи заменяют обозначениями единиц СИ.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по метрологии

Пример №2.

Единицу скорости образуют с помощью уравнения, определяющего скорость прямолинейно и равномерно движущейся материальной точки

Примеры решения задач по метрологии

где Примеры решения задач по метрологии — скорость; Примеры решения задач по метрологии — длина пройденного пути; Примеры решения задач по метрологии — время движения материальной точки.

Подстановка вместо Примеры решения задач по метрологии и Примеры решения задач по метрологии обозначений их единиц SI дает

Примеры решения задач по метрологии

Следовательно, единицей скорости SI является метр в секунду. Он равен скорости прямолинейно и равномерно движущейся материальной точки, при которой эта точка за время 1 Примеры решения задач по метрологии перемещается на расстояние 1 Примеры решения задач по метрологии.

Если уравнение связи содержит числовой коэффициент, отличный от 1, то для образования когерентной производной единицы SI в правую часть подставляют обозначения величин со значениями в единицах SI, дающими после умножения на коэффициент общее числовое значение, равное 1.

Пример №3.

Если для образования единицы энергии используют уравнение

Примеры решения задач по метрологии

где Примеры решения задач по метрологии — кинетическая энергия; Примеры решения задач по метрологии -масса материальной точки; Примеры решения задач по метрологии -скорость движения материальной точки, то для образования когерентной единицы энергии SI используют, например, уравнение

Примеры решения задач по метрологии

или

Примеры решения задач по метрологии

Следовательно, единицей энергии SI является джоуль (равный ньютон-метру). В приведенных примерах он равен кинетической энергии тела массой 2 Примеры решения задач по метрологии, движущегося со скоростью 1 Примеры решения задач по метрологии, или же тела массой 1 Примеры решения задач по метрологии, движущегося со скоростью Примеры решения задач по метрологии.

Примеры решения задач по метрологии

Без ограничения срока допускается применять единицы относительных и логарифмических величин.

Единицы, указанные в табл. 1.3, временно допускается применять до принятия по ним соответствующих международных решений.

Примеры решения задач по метрологии

При новых разработках применение этих внесистемных единиц не рекомендуется.

Правила образования наименований и обозначений десятичных кратных и дольных единиц SI

Наименования и обозначения десятичных кратных и дольных единиц SI образуют с помощью множителей и приставок, указанных в таблице 1.4.

Примеры решения задач по метрологии

Присоединение к наименованию и обозначению единицы двух или более приставок подряд не допускается. Например, вместо наименования единицы микромикрофарад следует писать пикофарад.

Приставку или ее обозначение следует писать слитно с наименованием единицы или, соответственно, с обозначением последней.

Если единица образована как произведение или отношение единиц, приставку или ее обозначение присоединяют к наименованию или обозначению первой единицы, входящей в произведение или в отношение.

Примеры решения задач по метрологии

Присоединять приставку ко второму множителю произведения или к знаменателю допускается лишь в обоснованных случаях, когда такие единицы широко распространены и переход к единицам, образованным в соответствии с первой частью настоящего пункта, связан с трудностями, например: тонна-километр Примеры решения задач по метрологии, вольт на сантиметр Примеры решения задач по метрологииПримеры решения задач по метрологии, ампер на квадратный миллиметр Примеры решения задач по метрологии.

Наименования кратных и дольных единиц исходной единицы, возведенной в степень, образуют, присоединяя приставку к наименованию исходной единицы. Например, для образования наименования кратной или дольной единицы площади — квадратного метра, представляющей собой вторую степень единицы длины — метра, приставку присоединяют к наименованию этой последней единицы: квадратный километр, квадратный сантиметр и т. д.

Обозначения кратных и дольных единиц исходной единицы, возведенной в степень, образуют добавлением соответствующего показателя степени к обозначению кратной или дольной единицы исходной единицы, причем показатель означает возведение в степень кратной или дольной единицы (вместе с приставкой).

Примеры

Примеры решения задач по метрологии

Выбор десятичной кратной или дольной единицы SI определяется удобством ее применения. Из многообразия кратных и дольных единиц, которые могут быть образованы с помощью приставок, выбирают единицу, позволяющую получать числовые значения, приемлемые на практике.

В принципе кратные и дольные единицы выбирают таким образом, чтобы числовые значения величины находились в диапазоне от 0,1 до 1000.

В некоторых случаях целесообразно применять одну и ту же кратную или дольную единицу, даже если числовые значения выходят за пределы диапазона от 0,1 до 1000, например в таблицах числовых значений для одной величины или при сопоставлении этих значений в одном тексте.

В некоторых областях всегда используют одну и ту же кратную или дольную единицу. Например, в чертежах, применяемых в машиностроении, линейные размеры всегда выражают в миллиметрах.

Для снижения вероятности ошибок при расчетах десятичные кратные и дольные единицы рекомендуется подставлять только в конечный результат, а в процессе вычислений все величины выражать в единицах SI, заменяя приставки степенями числа 10.

Правила написания обозначений единиц

При написании значений величин применяют обозначения единиц буквами или специальными знаками Примеры решения задач по метрологии, причем устанавливают два вида буквенных обозначений: международное (с использованием букв латинского или греческого алфавита) и русское (с использованием букв русского алфавита). Буквенные обозначения единиц печатают прямым шрифтом. В обозначениях единиц точку как знак сокращения не ставят.

Обозначения единиц помещают за числовыми значениями величин и в строку с ними (без переноса на следующую строку). Числовое значение, представляющее собой дробь с косой чертой, стоящее перед обозначением единицы, заключают в скобки.

Между последней цифрой числа и обозначением единицы оставляют пробел.

Примеры решения задач по метрологии

Исключения составляют обозначения в виде знака, поднятого над строкой, перед которыми пробел не оставляют.

Примеры решения задач по метрологии

При наличии десятичной дроби в числовом значении величины обозначение единицы помещают за всеми цифрами.

Примеры решения задач по метрологии

При указании значений величин с предельными отклонениями числовые значения с предельными отклонениями заключают в скобки и обозначения единиц помещают за скобками или проставляют обозначение единицы за числовым значением величины и за ее предельным отклонением.

Примеры решения задач по метрологии

Допускается применять обозначения единиц в заголовках граф и в наименованиях строк (боковиках) таблиц.

Примеры решения задач по метрологии

Допускается применять обозначения единиц в пояснениях обозначений величин к формулам. Помещать обозначения единиц в одной строке с формулами, выражающими зависимости между величинами или между их числовыми значениями, представленными в буквенной форме, не допускается.

Примеры решения задач по метрологии

Буквенные обозначения единиц, входящих в произведение, отделяют точками на средней линии как знаками умножения. Не допускается использовать для этой цели символ «х».

Примеры решения задач по метрологии

В машинописных текстах допускается точку не поднимать. Допускается буквенные обозначения единиц, входящих в произведение, отделять пробелами, если это не вызывает недоразумения.

В буквенных обозначениях отношений единиц в качестве знака деления используют только одну косую или горизонтальную черту. Допускается применять обозначения единиц в виде произведения обозначений единиц, возведенных в степени (положительные и отрицательные).

Если для одной из единиц, входящих в отношение, установлено обозначение в виде отрицательной степени (например, Примеры решения задач по метрологииПримеры решения задач по метрологии), применять косую или горизонтальную черту не допускается.

Примеры решения задач по метрологии

При применении косой черты обозначения единиц в числителе и знаменателе помещают в строку, произведение обозначений единиц в знаменателе заключают в скобки.

Примеры решения задач по метрологии

При указании производной единицы, состоящей из двух и более единиц, не допускается комбинировать буквенные обозначения и наименования единиц, т. е. для одних единиц указывать обозначения, а для других — наименования.

Примеры решения задач по метрологии

Перевод внесистемных единиц в единицы измерения физических величин

Для того чтобы научиться быстрее переводить внесистемные единицы в единицы измерения физических величин, необходимо запомнить несколько шагов:

1) выясните, из каких в какие единицы осуществляется перевод (запомните: если из больших в меньшие выполняется умножение, а если из меньших в большие — деление);

2) устанавливаем соотношение между величинами от большего к меньшему (для квадратных и кубических величин — возводим в соответствующую степень), запомните:

Примеры решения задач по метрологии

Пример №4.

Переведите в секунды 15 мин.

Решение:

Применяем правило 1 — переводим из больших в меньшие, значит надо выполнить умножение.

Применяем правило 2 — устанавливаем соотношение между минутой и секундой (60).

Соединяем первое и второе правила — умножаем наше число на соотношение и получим 900, то есть 15 мин = 900 с.

Пример №5.

Переведите в квадратные миллиметры Примеры решения задач по метрологии.

Решение:

Применяем правило 1 — переводим из больших в меньшие, значит надо выполнить умножение.

Применяем правило 2 — устанавливаем соотношение между сантиметром и миллиметром (10) и возводим в квадрат (100).

Соединяем первое и второе правила — умножаем наше число на соотношение и получим 2500, то есть Примеры решения задач по метрологии

Пример №6.

Переведите в метры в секунду 36 км/ч.

Решение:

Работаем по тем же правилам и выполняем перевод одновременно в числителе и знаменателе.

Примеры решения задач по метрологии

Доверительная вероятность и доверительный интервал

Точечные оценки распределения дают оценку в виде числа, наиболее близкого к значению неизвестного параметра. Такие оценки используют только при большом числе измерений. Чем меньше объем выборки, тем легче допустить ошибку при выборе параметра. Для практики важно не только получить точечную оценку, но и определить интервал, называемый доверительным, между границами которого с заданной доверительной вероятностью находится истинное значение оцениваемого параметра.

Для получения доверительного интервала величины необходимо:

• определить точечные оценки по формулам

Примеры решения задач по метрологии

• выбрать доверительную вероятность Примеры решения задач по метрологии из рекомендуемого ряда значений 0,90; 0,95; 0,99 (если не указана в задаче);

• найти верхнюю Примеры решения задач по метрологии и нижнюю Примеры решения задач по метрологии границы по формулам:

Примеры решения задач по метрологии

• записать доверительный интервал

Примеры решения задач по метрологии

Пример №7.

При многократном измерении длины Примеры решения задач по метрологии были получены значения в мм: 30,2; 30,0; 30,4; 29,7; 30,3; 29,9; 30,2. Укажите доверительные границы истинного значения длины с вероятностью Примеры решения задач по метрологии Примеры решения задач по метрологии.

Решение:

Примеры решения задач по метрологии
Примеры решения задач по метрологии

Пример №8.

Запишите результат измерений и определите его точность:

Примеры решения задач по метрологии

Решение:

При решении необходимо округлить погрешность измерения, согласовать ее с измеренным значением по правилам, приведенным в приложении Д. Затем необходимо определить точность измерения, которую показывает относительная погрешность —

Примеры решения задач по метрологии
Примеры решения задач по метрологии

Классы точности средств измерений

Единые правила установления пределов допускаемых погрешностей показаний по классам точности средств измерений регламентирует ГОСТ 8.401-80 «ГСИ. Классы точности средств измерений».

Класс точности средств измерений — обобщенная характеристика средств измерений, определяемая пределами допускаемых основной и дополнительной погрешностей, а также другими свойствами средств измерений, влияющими на их точность, значения которых устанавливаются в стандартах на отдельные виды средств измерений. Классы точности присваиваются средствам измерений при их разработке с учетом результатов государственных приемочных испытаний. Класс точности хотя и характеризует совокупность метрологических свойств данного средства измерений, однако не определяет однозначно точность измерений, так как последняя зависит от метода измерений и условий их выполнения.

Средствам измерений с двумя или более диапазонами измерений одной и той же физической величины допускается присваивать два или более класса точности. Средствам измерений, предназначенным для измерений двух или более физических величин, допускается присваивать различные классы точности для каждой измеряемой величины. С целью ограничения номенклатуры средств измерений по точности для СИ конкретного вида устанавливают ограниченное число классов точности, определяемое технико-экономическими обоснованиями.

Классы точности цифровых измерительных приборов со встроенными вычислительными устройствами для дополнительной обработки результатов измерений устанавливают без учета режима обработки.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Допуски и посадки
Решение задач по допускам и посадкам
Примеры решение задач по допускам и посадкам

Способы нормирования и формы выражения метрологических характеристик

Пределы допускаемых основной и дополнительных погрешностей следует выражать в форме приведенных, относительных или абсолютных погрешностей в зависимости от характера изменения погрешностей в пределах диапазона измерений, а также от условий применения и назначения средств измерений конкретного вида. Пределы допускаемой дополнительной погрешности допускается выражать в форме, отличной от формы выражения пределов допускаемой основной погрешности.

Обозначение классов точности средств измерений в документации

Для средств измерений пределы допускаемой основной погрешности которых принято выражать в форме абсолютных погрешностей или относительных погрешностей, причем последние установлены в виде графика, таблицы или формулы, классы точности в документации обозначаются прописными буквами латинского алфавита или римскими цифрами.

В необходимых случаях к обозначению класса точности буквами латинского алфавита добавляют индексы в виде арабской цифры. Классам точности, которым соответствуют меньшие пределы допускаемых погрешностей, соответствуют буквы, находящиеся ближе к началу алфавита, или цифры, означающие меньшие числа.

Для средств измерений пределы допускаемой основной погрешности которых принято выражать в форме приведенной погрешности или относительной погрешности в соответствии с формулой Примеры решения задач по метрологии классы точности в документации следует обозначаются числами, которые равны этим пределам погрешности, выраженными в процентах. Обозначение класса точности, таким образом, дает непосредственное указание на предел допускаемой основной погрешности.

Для средств измерений, пределы допускаемой основной погрешности которых принято выражать в форме относительных погрешностей в
соответствии с формулой

Примеры решения задач по метрологии

классы точности в документации обозначаются числами Примеры решения задач по метрологии и Примеры решения задач по метрологии, разделенных косой чертой Примеры решения задач по метрологии.

В документации на средства измерений допускается обозначать классы точности так же, как на средствах измерений. В эксплуатационной документации на средство измерений конкретного вида, содержащей обозначение класса точности, содержится ссылка на стандарт или технические условия, в которых установлен класс точности этого средства измерений.

Обозначение классов точности на средствах измерений

Условные обозначения классов точности наносятся на циферблаты, щитки и корпуса средств измерений.

При указании классов точности на измерительных приборах с существенно неравномерной шкалой, для информации, дополнительно указываются пределы допускаемой основной относительной погрешности для части шкалы, лежащей в пределах, отмеченных специальными знаками (например, точками или треугольниками). К значению предела допускаемой относительной погрешности в этом случае добавляют знак процента и помещают в кружок. Обращаем ваше внимание на то, что этот знак не является обозначением класса точности.

Обозначение класса точности допускается не наносить на высокоточные меры, а также на средства измерений, для которых действующими стандартами установлены особые внешние признаки, зависящие от класса точности, например параллелепипедная и шестигранная форма гирь общего назначения.

За исключением технически обоснованных случаев, вместе с условным обозначением класса точности на циферблат, щиток или корпус средств измерений наносится обозначение стандарта или технических условий, устанавливающих технические требования к этим средствам измерений.

На средства измерений, для одного и того же класса точности которых в зависимости от условий эксплуатации установлены различные рабочие области влияющих величин, наносятся обозначения условий их эксплуатации, предусмотренные в стандартах или технических условиях на эти средства измерений. Обозначения классов точности на средствах измерений приведены в приложении Б.

Пример №9.

Класс точности выражен числом в кружке. Это означает, что относительная погрешность измерения для любого измеренного значения в пределах шкалы равна 1,5 %.

Решение:

Учитывая формулу относительной погрешности

Примеры решения задач по метрологии

можно легко вычислить абсолютную погрешность. Для нашего примера:

Примеры решения задач по метрологии

где Примеры решения задач по метрологии — измеренное значение физической величины.

Абсолютная погрешность здесь минимальна около нуля и максимальна около предельного значения диапазона измерения.

Пример №10.

Класс точности выражен числом без кружка, например, 0,5. Это означает, что приведенная погрешность средства измерения равна Примеры решения задач по метрологии.

Решение:

Тогда абсолютную погрешность можно определить из формулы расчета приведенной погрешности:

Примеры решения задач по метрологии

Найдем абсолютную погрешность:

Примеры решения задач по метрологии

где Примеры решения задач по метрологии — верхний предел диапазона измерения.

Пример №11.

Класс точности выражен дробью Примеры решения задач по метрологии, например, 0,02/0,01.

Решение:

Здесь относительная погрешность определяется двучленной формулой:

Примеры решения задач по метрологии

В нашем случае:

Примеры решения задач по метрологии

После вычисления относительной погрешности легко определяется абсолютная погрешность, как показано в примере 1.

Пример №12.

В зависимости от типа средств измерений электрических величин относительная погрешность измерений может выражаться и другими формулами.

Решение:

Например, относительная погрешность некоторых типов вольтметров может быть выражена формулой:

Примеры решения задач по метрологии

где Примеры решения задач по метрологии и Примеры решения задач по метрологии — константы, числовые значения которых приводятся в технической или нормативной документации на это СИ.

Пример №13.

Для СИ линейных размеров, углов, температур, массы и ряда других величин классы точности выражаются числами 00, 0, 1, 2, 3.

Решение:

Здесь следует обратиться к НД или ТД на данный тип СИ, где указаны формы выражения погрешностей, такие как

Примеры решения задач по метрологии

И даны конкретные значения допускаемых погрешностей для данного средства измерения в соответствии с его классом точности и значения констант Примеры решения задач по метрологии и Примеры решения задач по метрологии.

Пример №14.

Точность СИ может выражаться в Примеры решения задач по метрологии. Миллионная доля (пропромилле) — единица измерения каких-либо относительных величин, равная Примеры решения задач по метрологии от базового показателя.

Решение:

Аналогична по смыслу проценту или промилле. Обозначается сокращением Примеры решения задач по метрологии (от англ. parts per million или лат. pro pro mille, читается «пи-пи-эм», «частей на миллион»), Примеры решения задач по метрологии или.

Примеры решения задач по метрологии

Например,

Примеры решения задач по метрологии

Рассмотрим несколько примеров расчета погрешностей.

Пример №15.

Миливольтметром B3-38 измерялось напряжение переменного тока. В нормальных условиях получены следующие значения:

а) на поддиапазоне (0-300) мВ:

Примеры решения задач по метрологии

б) на поддиапазоне (0-300) В:

Примеры решения задач по метрологии

Оценить погрешности измеренных значений напряжений.

Решение:

Предел допускаемой основной погрешности от конечного значения установленного поддиапазона измерений равен ±2,5 % на поддиапазоне измерений от 1 до 300 мВ и 4 % на поддиапазоне измерений от 1 до 300 В.

Приведенная и абсолютная погрешности в случае а) будут иметь следующие значения:

Примеры решения задач по метрологии

Приведенная и абсолютная погрешности в случае б) будут иметь следующие значения:

Примеры решения задач по метрологии

Пример №16.

Универсальным вольтметром В7-17 измерено активное сопротивление цепи при времени преобразования 20 мс на поддиапазоне измерения (0-100) кОм. Получено значение измеренного сопротивления Примеры решения задач по метрологии. Оценить погрешность измерения.

Решение:

Из технического описания на В7-17 находим, что формула, выражающая относительную погрешность измерения сопротивления имеет следующий вид:

Примеры решения задач по метрологии

тогда

Примеры решения задач по метрологии

Пример №17.

Имеется низкочастотный генератор сигналов Г3-36, на выходе которого установлена частота 50 Гц. Оценить погрешность установки частоты.

Решение:

Из технической документации на генератор находим, что основная погрешность установки частоты Примеры решения задач по метрологии данного генератора определяется по формуле:

Примеры решения задач по метрологии

И для установленной частоты равняется:

Примеры решения задач по метрологии

Возможно эта страница вам будет полезна:

Нормирование точности и технические измерения решение задач с примерами
Нормирование точности курсовая работа
Нормирование точности и технические измерения

Суммирование систематических погрешностей прямых измерений

Систематическая погрешность прямых измерений может представлять результат суммирования нескольких погрешностей. Источники таких погрешностей могут быть самые разнообразные. Например, это может быть погрешность, обусловленная классом точности СИ, погрешности установочных мер, погрешности влияния внешних условий, погрешность метода измерения, табличная погрешность, погрешность параллакса, округления результатов вычисления и т. д.

Обозначим эти погрешности через:

Примеры решения задач по метрологии

Принято считать, что систематические погрешности Примеры решения задач по метрологии распределены, как правило, по равномерному закону внутри своих интервалов Примеры решения задач по метрологии.

Знаки Примеры решения задач по метрологии и их значения можно рассматривать как случайные величины, тогда суммарная погрешность измерения при отсутствии корреляции между Примеры решения задач по метрологии. оценивается по формуле:

Примеры решения задач по метрологии

где Примеры решения задач по метрологии — коэффициент, соответствующий выбранной доверительной вероятности.

Коэффициент Примеры решения задач по метрологии, как показывают расчеты, зависит от числа Примеры решения задач по метрологии погрешностей в и от соотношения Примеры решения задач по метрологии их величин. Значение Примеры решения задач по метрологии определяется следующим образом: среди всех составляющих погрешностей выбирается наибольшая по модулю и ближайшая к ней, а затем вычисляется значение Примеры решения задач по метрологии как отношение первой ко второй, после чего значение к находится по табл. 2.1.

Примеры решения задач по метрологии

Расчет суммарной погрешности Примеры решения задач по метрологии в можно проводить и без учета числа составляющих Примеры решения задач по метрологии. При этом при доверительных вероятностях:

Примеры решения задач по метрологии

используются соответственно коэффициенты:

Примеры решения задач по метрологии

Суммарная погрешность здесь может получиться несколько завышенной. Что для большинства практических задач несущественно.

Можно встретить и другие рекомендации оценивания суммарной погрешности. Так, оценка сверху погрешности результата измерения может быть представлена простым суммированием модулей составляющих:

Примеры решения задач по метрологии

Для оценки суммарной погрешности измерения простое суммирование модулей составляющих считается более целесообразным, когда число суммируемых погрешностей Примеры решения задач по метрологии, поскольку в этом случае вероятность того, что все составляющие погрешности имеют одинаковые знаки, существенно выше, чем в случае, когда Примеры решения задач по метрологии.

Пример №18.

Два резистора с сопротивлениями Примеры решения задач по метрологии и три с сопротивлениями Примеры решения задач по метрологии соединены последовательно, причем их систематические погрешности равны Примеры решения задач по метрологии и Примеры решения задач по метрологии. Определить сопротивление цепи и его погрешность.

Решение:

Общее сопротивление вычисляется по формуле:

Примеры решения задач по метрологии

При вычислении суммарной погрешности нужно иметь ввиду следующее: если есть уверенность, что знаки погрешностей сопротивлений Примеры решения задач по метрологии одинаковы и знаки погрешностей сопротивлений Примеры решения задач по метрологии также одинаковы, то можно использовать суммирование модулей составляющих погрешностей, поскольку их по существу только две:

Примеры решения задач по метрологии

Но если такой уверенности нет, то целесообразнее применить геометрическое суммирование, например при вероятности 0,95. Тогда:

Примеры решения задач по метрологии

Результат измерения в случае суммирования модулей погрешностей запишется:

Примеры решения задач по метрологии

Если суммирование погрешностей геометрическое, то

Примеры решения задач по метрологии

Оценивание неопределенности измерений

Неопределенность измерений — неотрицательный параметр, характеризующий рассеяние значений величины, приписываемых измеряемой величине на основании используемой информации.

Неопределенности измерений, также как и погрешности измерений, могут быть классифицированы по различным признакам: по месту (источнику) их проявления на методические, инструментальные и субъективные; по их проявлению на случайные, систематические и грубые; на абсолютные и относительные по способу их выражения.

По характеру проявления неопределенности измерений делятся на два типа: неопределенности по типу Примеры решения задач по метрологии и по типу Примеры решения задач по метрологии.

• неопределенность по типу Примеры решения задач по метрологии статистическими методами;

• неопределенность по типу Примеры решения задач по метрологии оценивают нестатистическими методами;

При этом предлагается два метода оценивания неопределенностей Примеры решения задач по метрологии и Примеры решения задач по метрологии:

• для неопределенности типа Примеры решения задач по метрологии — использование известных статистических оценок среднеарифметического и среднеквадратического, используя результаты измерений и опираясь, в основном, на нормальный закон распределения полученных величин;

• для неопределенности типа Примеры решения задач по метрологии — использование априорной нестатистической информации, опираясь, в основном, на равномерный закон распределения возможных значений величин в определенных границах.

Таким образом, подчеркнем еще раз: деление на систематические и случайные погрешности обусловлено природой их возникновения и проявления в ходе выполнения измерений, а деление на неопределенности, вычисляемые по типу Примеры решения задач по метрологии и по типу Примеры решения задач по метрологии — методами их получения и использования при расчете общей неопределенности.

Стандартная неопределенность — неопределенность, выраженная в виде стандартного отклонения.

Расширенная неопределенность — величина, задающая интервал вокруг результата измерения, в пределах которого, как ожидается, находится большая часть распределения значений, которые с достаточным основанием могут быть приписаны измеряемой величине.

Расширенная неопределенность является аналогом доверительных границ погрешностей измерений. Причем каждому значению расширенной неопределенности соответствует вероятность охвата Примеры решения задач по метрологии.

Вероятность охвата — вероятность, которой, по мнению оператора, соответствует расширенная неопределенность результата измерений. Вероятность охвата определяется с учетом вероятностного закона распределения неопределенности и аналогом ее в классической теории является доверительная вероятность.

Коэффициент охвата — коэффициент, зависящий от вида распределения неопределенности результата измерений и вероятности охвата и численно равный отношению расширенной неопределенности, соответствующей заданной вероятности охвата, к стандартной неопределенности.

Число степеней свободы — параметр, статистического распределения, равный числу независимых связей оцениваемой статистической выборки.

В табл. 3.1, приведенной ниже, даны соответствия между терминами, используемыми в классической теории погрешностей и концепции неопределенности.

Примеры решения задач по метрологии

Методика оценивания результата измерений и его неопределенности

Оценивание результата измерений и его неопределенности проводится в следующей последовательности:

  • составление уравнения измерений;
  • оценка входных величин и их стандартных отклонений (неопределенностей);
  • оценка измеряемой (выходной) величины и ее неопределенности;
  • составление бюджета неопределенности;
  • оценка расширенной неопределенности результата измерений;
  • представление результата измерений.

Составление уравнения измерения

В концепции неопределенности под уравнением измерения понимается математическая зависимость между измеряемыми величинами Примеры решения задач по метрологии а также другими величинами, влияющими на результат измерения Примеры решения задач по метрологии и результатом измерения Примеры решения задач по метрологии

Примеры решения задач по метрологии

В концепции неопределенности величины Примеры решения задач по метрологии называются входными величинами, используемые для оценивания неопределенности результата измерения, а результат измерения Примеры решения задач по метрологии — выходной величиной измерения.

В качестве основы для составления уравнения измерения используется уравнение связи (в классическом понимании), то есть зависимость Примеры решения задач по метрологии. Далее в результате анализа условий измерений и используемых СИ, устанавливаются другие факторы, влияющие на результат измерений. При этом величины Примеры решения задач по метрологии описывающие эти факторы, включают в уравнение (3.1), даже если они незначительно могут повлиять на результат Примеры решения задач по метрологии. Задача оператора — по возможности наиболее полно учесть все факторы, влияющие на результат измерения.

Оценка входных величин и их стандартных отклонений (неопределенностей)

Пусть имеются результаты Примеры решения задач по метрологии, измерений входной величины Примеры решения задач по метрологии, где Примеры решения задач по метрологии. Как известно, при нормальном распределении наилучшей оценкой этой величины является среднее арифметическое

Примеры решения задач по метрологии

Стандартную неопределенность типа Примеры решения задач по метрологии определяют как средне-квадратическое отклонение по формуле

Примеры решения задач по метрологии

Для вычисления стандартной неопределенности по типу Примеры решения задач по метрологии используют:

  • данные о предыдущих измерений величин, входящих в уравнение измерения;
  • сведения, имеющиеся в метрологических документах по поверки, калибровки и сведения изготовителя о приборе;
  • сведения о предполагаемом вероятностном распределении значений величин, имеющихся в научно-технических отчетах и литературных источниках;
  • данные, основанные на опыте исследователя или общих знаниях о поведении и свойствах соответствующих (подобных) СИ и материалов;
  • неопределенность используемых констант и справочных данных;
  • нормы точности измерений, указанные в технической документации на методы и СИ;
  • другие сведения об источниках неопределенностей, влияющих на результат измерения.

Неопределенности этих данных обычно представляют в виде границ отклонения значения величины от ее оценки. Наиболее распространенный способ формализации неполного знания о значении величины заключается в постулировании равномерного закона распределения возможных значений этой величины в указанных границах (нижней Примеры решения задач по метрологии и верхней Примеры решения задач по метрологии) для Примеры решения задач по метрологии-й входной величины. При этом стандартную неопределенность по типу В определяют по известной формуле для сред-неквадратического отклонения результатов измерений, имеющих равномерный закон распределения:

Примеры решения задач по метрологии

а для симметричных границ Примеры решения задач по метрологии по формуле

Примеры решения задач по метрологии

В случае других законов распределений формулы для вычисления неопределенности по типу Примеры решения задач по метрологии будут другие. В частности, если известно одно значение величины Примеры решения задач по метрологии то это значение принимается в качестве оценки. При этом стандартную неопределенность вычисляют по формуле

Примеры решения задач по метрологии

где Примеры решения задач по метрологии — расширенная неопределенность, Примеры решения задач по метрологии — коэффициент охвата.

Если коэффициент охвата не указан, то, с учетом имеющихся сведений, принимают предположение о вероятностном распределении неопределенности величины Примеры решения задач по метрологии. Если такие сведения отсутствуют, то для определения коэффициента охвата можно воспользоваться данными табл. 3.2 [1,3].

Примеры решения задач по метрологии

Если известны граница суммы неисключенных систематических погрешностей, распределенных по равномерному (равновероятному) закону Примеры решения задач по метрологии или расширенная неопределенность в терминах концепции неопределенности Примеры решения задач по метрологии, то коэффициенты охвата при числе неисключенных систематических погрешностей Примеры решения задач по метрологии, зависит от доверительной вероятности. Коэффициент охвата Примеры решения задач по метрологии при Примеры решения задач по метрологии при Примеры решения задач по метрологии [1,3].

Неопределенности входных величин могут быть коррелированны. Для вычисления коэффициента корреляции Примеры решения задач по метрологии используют согласованные пары результатов измерений Примеры решения задач по метрологии, где Примеры решения задач по метрологии -число согласованных пар результатов измерений Примеры решения задач по метрологии. Вычисления проводят по известной формуле из статистики и теории вероятности

Примеры решения задач по метрологии

Значимость коэффициента корреляции определяется критерием отсутствия или наличия связи между аргументами [3].

Оценка измеряемой (выходной) величины и ее неопределенности

Оценку измеряемой величины у вычисляют как функцию оценок входных величин Примеры решения задач по метрологии по формуле (3.1), предварительно внеся на все источники неопределенности, имеющие систематический характер, — поправки.

Вычисление суммарной неопределенности выходной величины проводят по тем же формулам, которые используются для расчета погрешностей косвенных измерений в классической концепции погрешности измерений.

В случае некоррелированных оценок входных величин, суммарную стандартную неопределенность Примеры решения задач по метрологии вычисляют по формуле

Примеры решения задач по метрологии

и в случае коррелированных оценок — по формуле

Примеры решения задач по метрологии

где Примеры решения задач по метрологии — коэффициент корреляции; Примеры решения задач по метрологии — стандартная неопределенность Примеры решения задач по метрологии — входной величины, вычисленная по типу Примеры решения задач по метрологии или типу Примеры решения задач по метрологии; Примеры решения задач по метрологии — коэффициенты чувствительности выходной величины по отношению ко входной величине Примеры решения задач по метрологии.

Составление бюджета неопределенности

Под бюджетом неопределенности понимается формализованное представление полного перечня источников неопределенности измерений по каждой входной величине с указанием их стандартной неопределенности и вклада их в суммарную стандартную неопределенность результата измерений. В табл. 3.3 приведена рекомендуемая форма представления бюджета неопределенности.

Примеры решения задач по метрологии

Оценка расширенной неопределенности результата измерений

Расширенная неопределенность равна произведению стандартной неопределенности Примеры решения задач по метрологии результата измерений на коэффициент охвата Примеры решения задач по метрологии:

Примеры решения задач по метрологии

Руководство по неопределенности [1] рекомендует рассматривать все результаты измерений при доверительной вероятности (вероятности охвата) Примеры решения задач по метрологии. При этой вероятности преимущественно определять число степеней свободы по эмпирической формуле Велча-Саттерствейта

Примеры решения задач по метрологии

При этом коэффициент охвата определяется при вероятности Примеры решения задач по метрологии по формуле

Примеры решения задач по метрологии

где Примеры решения задач по метрологии — коэффициент Стьюдента (см. таблицу Г.1 приложение Г).

Формулу для оценки суммарной стандартной неопределенности (3.8) можно записать в более простом виде

Примеры решения задач по метрологии

так же как и формулу (3.11) для определения числа степеней свободы

Примеры решения задач по метрологии

где Примеры решения задач по метрологии — число степеней свободы при прямых измерениях входной величины; Примеры решения задач по метрологии — число измерений; Примеры решения задач по метрологии — оценка стандартных неопределенностей, вычисленных по типу Примеры решения задач по метрологии и по типу Примеры решения задач по метрологии, соответственно.

При оценке вклада неопределенности (см. формулу 3.11) по типу Примеры решения задач по метрологии принимают Примеры решения задач по метрологии, по типу Примеры решения задач по метрологии. При этих условиях легко показать из формулы (3.11), что, если по типу Примеры решения задач по метрологии оценивается неопределенность только одной входной величины, то формула (3.11) упрощается

Примеры решения задач по метрологии

где Примеры решения задач по метрологии — число повторных измерений входной величины, оцениваемой по типу Примеры решения задач по метрологии.

Представление результата измерений

При представлении результатов измерений Руководство рекомендует приводить достаточное количество информации, чтобы можно было проанализировать и/или повторить весь процесс получения результата измерений и вычисления неопределенностей, а именно:

  • алгоритм получения результата измерений;
  • алгоритм расчета всех поправок для исключения систематических погрешностей и их неопределенней;
  • неопределенности всех используемых данных и способы их получения;
  • алгоритмы вычисления суммарной и расширенной неопределенностей, включая значение коэффициента охвата к.

Таким образом, в документации по результатам измерений необходимо представлять:

Примеры решения задач по метрологии — суммарную неопределенность;

Примеры решения задач по метрологии — расширенную неопределенность;

Примеры решения задач по метрологии — коэффициент охвата;

Примеры решения задач по метрологии — данные о входных величинах;

Примеры решения задач по метрологии — эффективное число степеней свободы.

В протоколе измерений, как правило, делается следующая запись, если результатом измерения является длина детали: «Длина детали составляет 153,2 мм. Расширенная неопределенность результата измерений составляет ± 1,4 мм при коэффициенте охвата равном 2» или «измерения показали, что длина детали находится в интервале (151,8-154,6) мм при коэффициенте, равном 2». По умолчанию предполагается, что эти результаты соответствуют вероятности охвата 0,95.

Пример №19.

Прямые однократные измерения

Производится измерение напряжения постоянного тока с помощью вольтметра В7-37. Показания вольтметра Примеры решения задач по метрологии. Необходимо определить результат измерения и оценить неопределенность измерения напряжения.

Решение:

Спецификация измерений:

• измерения производятся в лабораторных условиях при температуре окружающего воздуха +25 °С;

• напряжение измеряется на выходе источника с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением; предел измерения прибора — 2 В;

• температура окружающего воздуха от 5 до 40 °С;

• предел дополнительной погрешности прибора, вызванной изменением температуры окружающего воздуха от нормальной до любой в пределах рабочей области температуры, не более предела основной погрешности на каждые 10 °С изменения температуры;

ступень квантования прибора составляет цену единицы младшего разряда;

предел основной относительной погрешности прибора при измерении постоянного напряжения на поддиапазонах 0,2 и 2 В равен значениям, вычисляемым по формуле:

Примеры решения задач по метрологии

где Примеры решения задач по метрологии — значение установленного поддиапазона измерения, Примеры решения задач по метрологии — показание прибора, Примеры решения задач по метрологии.

Оценивание неопределенности измерений

  • Составление модельного уравнения
Примеры решения задач по метрологии
  • Оценивание входных величин, вычисление оценки результата измерения
Примеры решения задач по метрологии
  • Определение стандартных неопределенностей входных величин

Стандартная основная неопределенность по типу Примеры решения задач по метрологии измерения вычисляется через выражение для основной относительной погрешности Примеры решения задач по метрологии в предположении о равновероятном распределении погрешности внутри границ. Поскольку границы относительной погрешности равны

Примеры решения задач по метрологии

то границы абсолютной погрешности определятся как

Примеры решения задач по метрологии

Отсюда можно рассчитать основную неопределенность измерений:

Примеры решения задач по метрологии

Стандартная неопределенность по типу Примеры решения задач по метрологии, обусловленная отклонением температуры от нормальной (20 °С).

Поскольку измерения производились в лабораторных условиях при температуре +25 °С, а предел дополнительной погрешности прибора, вызванной изменением температуры окружающего воздуха от нормальной до любой в пределах рабочей области температуры, составляет не более предела основной погрешности на каждые 10 °С изменения температуры, то есть

Примеры решения задач по метрологии

то дополнительная температурная неопределенность будет равна

Примеры решения задач по метрологии

Стандартная неопределенность по типу В квантования измеряемого напряжения равна границе погрешности квантования

Примеры решения задач по метрологии

деленной на коэффициент охвата для равномерного закона распределения

Примеры решения задач по метрологии

Все входные величины независимы, поэтому корреляция между ними отсутствует.

  • Составление бюджета неопределенности
Примеры решения задач по метрологии
  • Вычисление суммарной стандартной неопределенности

Суммарная стандартная неопределенность вычисляется через вклады неопределенности входных величин по формуле:

Примеры решения задач по метрологии
  • Определение коэффициента охвата

Все три составляющие неопределенности распределены по равномерному закону, поэтому их композиция распределена по нормальному закону. Коэффициент охвата в этом случае соответствует коэффициенту охвата для нормального закона и доверительной вероятности

Примеры решения задач по метрологии
  • Вычисление расширенной неопределенности

Расширенная неопределенность определяется по формуле

Примеры решения задач по метрологии
  • Результат измерения

Записываем результат измерения в виде

Примеры решения задач по метрологии

Пример №20.

Прямые однократные измерения

Производятся прямые многократные измерения частоты высокочастотного синусоидального сигнала с помощью электронно-счетного частотомера 43-63. Показания частотомера Примеры решения задач по метрологии составляют, кГц: 151348; 151342; 151344; 151346; 151348; 151349; 151345; 151351; 151343; 151344; 151359; 151350; 151347; 151348; 151346; 151352; 151345; 151349;151347;151346.

Необходимо получить оценку измеряемой частоты и оценить неопределенность ее измерения.

Решение:

Спецификация измерений:

• измерения производятся в лабораторных условиях при температуре окружающего воздуха +25 °С;

• время счета прибора — 10 мс;

• рабочие условия применения прибора: температура окружающего воздуха от -30 до +50 °С;

• относительная погрешность измерения частоты синусоидальных сигналов Примеры решения задач по метрологии в пределах значений, рассчитанных по формуле

Примеры решения задач по метрологии

• температурный коэффициент частоты опорного генератора не более Примеры решения задач по метрологии на каждый 1 °С свыше температуры калибровки (20 °С).

Возможно эта страница вам будет полезна:

Заказать работу по метрологии

Оценивание неопределенности измерений

  • Составление модельного уравнения
Примеры решения задач по метрологии

где Примеры решения задач по метрологии — количество наблюдений.

  • Вычисление оценки результата измерения
Примеры решения задач по метрологии
  • Определение стандартных неопределенностей входных величин. Стандартная неопределенность среднего арифметического значения результатов измерения частоты (тип Примеры решения задач по метрологии):
Примеры решения задач по метрологии

Стандартная неопределенность типа Примеры решения задач по метрологии частоты внутреннего опорного генератора частотомера при единичном измерении частоты вычисляется через выражение для основной относительной погрешности Примеры решения задач по метрологии в предположении о равномерном распределении погрешности внутри границ.

Границы относительной погрешности Примеры решения задач по метрологии не превышают Примеры решения задач по метрологии. Границы абсолютной погрешности будут в этом случае равны Примеры решения задач по метрологии

Примеры решения задач по метрологии

Стандартная неопределенность типа Примеры решения задач по метрологии квантования при единичном измерении определяется из границ погрешности квантования

Примеры решения задач по метрологии

Стандартная неопределенность типа Примеры решения задач по метрологии, обусловленная изменением частоты опорного генератора при изменении температуры окружающей среды от 20 °С (температура калибровки частотомера Примеры решения задач по метрологии) до 25 °С (температура окружающей среды в момент измерений Примеры решения задач по метрологии), вычисленная через температурный коэффициент частоты Примеры решения задач по метрологии в предположении о равномерном распределении внутри границ будет равна

Примеры решения задач по метрологии

Стандартная неопределенность типа Примеры решения задач по метрологии единичного наблюдения, вызванная погрешностью отсчета показаний, равной половине цены деления младшего разряда

Примеры решения задач по метрологии

в предположении равномерного распределения НСП внутри границ составляет

Примеры решения задач по метрологии

Все входные величины независимы, поэтому корреляция между ними отсутствует.

  • Составление бюджета неопределенности
Примеры решения задач по метрологии
  • Вычисление суммарной стандартной неопределенности

Суммарная стандартная неопределенность вычисляется через вклады неопределенности входной величины по формуле:

Примеры решения задач по метрологии
  • Определение коэффициента охвата

Поскольку модельное уравнение представляет собой уравнение прямых многократных измерений, коэффициент охвата определяют как коэффициент Стьюдента для эффективного числа степеней свободы, получаемого по формуле:

Примеры решения задач по метрологии

Коэффициент Стьюдента для Примеры решения задач по метрологии и доверительной вероятности Примеры решения задач по метрологии равен Примеры решения задач по метрологии.

  • Вычисление расширенной неопределенности

Расширенная неопределенность определяется по формуле

Примеры решения задач по метрологии
  • Записываем результат измерения
Примеры решения задач по метрологии

Классы точности средств измерений

Пример №21.

Указатель амперметра с пределами измерений от -5 до +20 А класса точности 1,5 показывает +8 А. В каких пределах будет находиться истинное значение силы тока?

Решение:

Предельная погрешность измерения амперметра из выражения (2) будет равна

Примеры решения задач по метрологии

При симметричном распределении погрешности измерения результат измерения силы тока можно записать так:

Примеры решения задач по метрологии

Более корректная запись результата измерения может быть представлена в виде неравенства 7,7

Примеры решения задач по метрологии

Для СИ, имеющих шкалу с условным нулем (вне пределов измерений), Примеры решения задач по метрологии устанавливают равным модулю разности пределов измерений.

Пример №22.

Милливольтметр термоэлектрического термометра класса точности [1,0] с пределами измерений 400… 1000 °С показывает 560 °С. Определить погрешность измерения температуры.

Решение:

Нормирующее значение

Примеры решения задач по метрологии

Погрешность измерения

Примеры решения задач по метрологии

Результат измерения при симметричном распределении погрешности измерения

Примеры решения задач по метрологии

Если СИ имеет установленное номинальное значение, то Примеры решения задач по метрологии принимают равным этому номинальному значению. Например, у цифрового частотомера с номинальной частотой 50 Гц нормирующее значение равно этой частоте.

В некоторых случаях цифры класса точности заключаются в окружность: и т.д. Тогда нормирующее значение принимается равным показанию.

Обработка результатов прямых однократных измерений

Пример №23.

При измерении диаметра отверстия Примеры решения задач по метрологии производилась настройка индикаторного нутромера на нулевую отметку по концевой мере длины 20 мм. Действительный размер концевой меры по аттестату 19,999 мм. Погрешность настройки равна 1,2 мкм. Отсчет подчиняется равномерному закону распределения вероятностей с предельными отклонениями Примеры решения задач по метрологии. Показание индикатора равно +5 мкм. Определите доверительные границы для истинного значения размера.

Решение:

Показание СИ Примеры решения задач по метрологии. Систематическая погрешность (погрешность концевой меры) определяется разностью номинального размера и размера по аттестату Примеры решения задач по метрологии. Для всех измерений при этой настройке она будет постоянной, поэтому на ее величину с обратным знаком следует внести поправку. Другая систематическая погрешность (погрешность настройки) останется неисключенной. Она может быть в границах Примеры решения задач по метрологии.

Случайная составляющая погрешности измерения Примеры решения задач по метрологии. Границы равномерно распределенных погрешностей принимают равными: Примеры решения задач по метрологии

Отсюда Примеры решения задач по метрологии.

Соотношение

Примеры решения задач по метрологии

Для доверительной вероятности Примеры решения задач по метрологии из табл. 3 определим Примеры решения задач по метрологии. Тогда, в соответствии с уравнением (9), погрешность измерения

Примеры решения задач по метрологии

Исправленный результат измерения

Примеры решения задач по метрологии

где

Примеры решения задач по метрологии

Тогда доверительные границы истинного размера диаметра

Примеры решения задач по метрологии

а при симметричном распределении погрешностей измерения можно результат записать

Примеры решения задач по метрологии

Пример №24.

При измерении у-излучения дозиметр показывает 50 мкР. Отклонение температуры, при которой выполнялись измерения, от нормальной вызывает погрешность Примеры решения задач по метрологии. Отсчет результатов распределяется по неизвестному закону с СКО Примеры решения задач по метрологии. Установите доверительные границы для истинного значения у-излучения при Примеры решения задач по метрологии.

Решение:

Значение поправки Примеры решения задач по метрологии. Исправленный результат Примеры решения задач по метрологии. По таблице распределения П. Чебышева для доверительной вероятности Примеры решения задач по метрологии определим коэффициент Примеры решения задач по метрологии. Доверительный интервал Примеры решения задач по метрологии. Результат измерения у-излучения Примеры решения задач по метрологии, а при симметричном распределении погрешности измерений Примеры решения задач по метрологии, Примеры решения задач по метрологии.

Обработка результатов косвенных измерений

Пример №25.

При косвенном измерении электрической мощности по зависимости Примеры решения задач по метрологии, получены значения сопротивления Примеры решения задач по метрологии и падения напряжения Примеры решения задач по метрологии СКО относительной погрешности средств измерений следующие:

Примеры решения задач по метрологии

Определить доверительные границы измеряемой мощности с вероятностью Примеры решения задач по метрологии.

Решение:

Примеры решения задач по метрологии

Это будет логарифмируемая функция.

Дисперсия случайной относительной погрешности

Примеры решения задач по метрологии

При доверительной вероятности Примеры решения задач по метрологии по таблице Лапласа Примеры решения задач по метрологии. Доверительные границы относительной погрешности Примеры решения задач по метрологии. Тогда абсолютная погрешность

Примеры решения задач по метрологии

и доверительные границы результата измерения Примеры решения задач по метрологии Примеры решения задач по метрологии.

Пример №26.

Сопротивление резистора определяется по закону Ома Примеры решения задач по метрологии. Укажите доверительные границы для истинного значения Примеры решения задач по метрологии с вероятностью Примеры решения задач по метрологии, если получены результаты измерения Примеры решения задач по метрологии, Примеры решения задач по метрологии, СКО погрешностей измерений

Примеры решения задач по метрологии

Решение:

Примеры решения задач по метрологии

Это будет логарифмируемая функция.

Заменив дифференциалы соответствующими приращениями и обозначив относительные погрешности

Примеры решения задач по метрологии

получим значение относительных погрешностей

Примеры решения задач по метрологии

Дисперсия случайной относительной погрешности

Примеры решения задач по метрологии

При доверительной вероятности Примеры решения задач по метрологии по таблице Лапласа Примеры решения задач по метрологии. Доверительные границы относительной погрешности

Примеры решения задач по метрологии

Тогда абсолютная погрешность

Примеры решения задач по метрологии

и доверительные границы результата измерения

Примеры решения задач по метрологии

Обнаружение грубых погрешностей

Пример №27.

Результаты измерения влажности образцов плит в %: 8,1; 7,8; 8,3; 7,3; 8,2; 7,9; 8,0; 8,4; 8,0; 8,2; 7,9; 8,1; 7,8. Определите грубые результаты наблюдений по критерию Примеры решения задач по метрологии с вероятностью 0,9.

Решение. Число измерений Примеры решения задач по метрологии. Среднее арифметическое значение

Примеры решения задач по метрологии

Среднее квадратическое отклонение

Примеры решения задач по метрологии

Предельное значение критерия (при вероятности Примеры решения задач по метрологии) по табл.

Примеры решения задач по метрологии

Проверим числа, наиболее удаленные от среднего значения. Это влажность

Примеры решения задач по метрологии

Следовательно, этот результат является не случайным «выбросом» и его следует исключить. Остальные результаты менее удалены от среднего значения, поэтому проверке не подлежат.

Пример №28.

При диагностировании топливной системы автомобиля результаты пяти измерений расхода топлива на 100 км составили 22, 24, 26, 28 и 34 л. Определить наличие грубых погрешностей в экспериментальных данных.

Решение:

Число измерений Примеры решения задач по метрологии. Среднее арифметическое значение

Примеры решения задач по метрологии

Среднее квадратическое отклонение равно

Примеры решения задач по метрологии

Предельное значение критерия (при вероятности Примеры решения задач по метрологии) по табл.

Примеры решения задач по метрологии

Проверим число, наиболее удаленное от среднего значения. Это расход топлива 34 л.

Примеры решения задач по метрологии

Критерий свидетельствует, что последний результат может быть признан достоверным, т.е. «выброс» случаен и его следует сохранить.

Обработка результатов прямых многократных измерений

Пример №29.

Толщиномером, предельная погрешность измерений которого составляет Примеры решения задач по метрологии, получены результаты измерений толщины лакового покрытия Примеры решения задач по метрологии, мкм: 470, 354, 402, 434, 387, 413, 465, 448, 540, 393, 425, 456, 442. Измерения выполнялись при температуре 30°С. Коэффициент линейного расширения лака, по справочным данным, находится в пределах Примеры решения задач по метрологии. Определить результат измерений.

Решение:

Определим среднее арифметическое значение:

Примеры решения задач по метрологии

Проверим наличие грубых погрешностей:

Примеры решения задач по метрологии

При Примеры решения задач по метрологии допускаемое значение критерия Примеры решения задач по метрологии. Действительное значение

Примеры решения задач по метрологии

Следовательно, результат 540 мкм нужно отбросить.

Определяем значения характеристик по оставшимся 12 наблюдениям:

Примеры решения задач по метрологии

Доверительные границы для случайной составляющей при Примеры решения задач по метрологии (по распределению Стьюдента Примеры решения задач по метрологии)

Примеры решения задач по метрологии

Температурная погрешность

Примеры решения задач по метрологии

Так как коэффициент линейного расширения задан диапазоном, то будем считать распределение вероятностей его в этом диапазоне равномерным со средним значением

Примеры решения задач по метрологии

Систематическая составляющая температурной погрешности

Примеры решения задач по метрологии

Следовательно, к среднему значению можно внести поправку, равную систематической погрешности с обратным знаком

Примеры решения задач по метрологии

Неисключённая систематическая составляющая температурной погрешности Примеры решения задач по метрологии определяется границами равномерного распределения:

Примеры решения задач по метрологии

Другой неисключённой систематической составляющей погрешности Примеры решения задач по метрологии будет предельная погрешность измерения толщиномера. Так как первая погрешность значительно меньше второй, то её можно не учитывать. Следовательно, Примеры решения задач по метрологии.

Соотношение Примеры решения задач по метрологии поэтому доверительная граница погрешности измерения определяется по выражению (28):

Примеры решения задач по метрологии
Примеры решения задач по метрологии

Результат измерения

Примеры решения задач по метрологии

Проверка нормальности распределения

Пример №30.

Проверить соответствие нормальному закону распределения результаты измерения параметра шероховатости Примеры решения задач по метрологии, мкм: 0,49; 0,47; 0,48; 0,48; 0,46; 0,45; 0,46; 0,46; 0,56; 0,50; 0,47; 0,47; 0,46; 0,44; 0,39; 0,45; 0,43; 0,47; 0,44; 0,46.

Решение:

Среднее значение

Примеры решения задач по метрологии

Среднее квадратическое отклонение

Примеры решения задач по метрологии

Проверим наличие грубых промахов по критерию Примеры решения задач по метрологии. Наиболее удалённое от среднего значения показание № 9 Примеры решения задач по метрологии

При Примеры решения задач по метрологии допускаемое отклонение критерия

Примеры решения задач по метрологии

Следовательно, показание № 9 Примеры решения задач по метрологии нужно исключить из результатов.

Критерий 1. Параметры исправленных результатов Примеры решения задач по метрологии; смещённая оценка

Примеры решения задач по метрологии

По табл. 7 определим: при Примеры решения задач по метрологии и Примеры решения задач по метрологии. подставим эти значения в неравенство (30): 0,6902 <0,744 <0,9055.

При Примеры решения задач по метрологии и Примеры решения задач по метрологии. 0,7277 <0,744 <0,8814.

Следовательно, при уровнях значимости Примеры решения задач по метрологии равным 1 и 5 % критерий выполняется.

Критерий 2. При Примеры решения задач по метрологии из табл. 8 определим Примеры решения задач по метрологии и Примеры решения задач по метрологии. Несмещенная оценка

Примеры решения задач по метрологии

Наибольшая разность

Примеры решения задач по метрологии

Следовательно, при уровне значимости Примеры решения задач по метрологии критерий 2 тоже выполняется. Таким образом, при уровнях значимости Примеры решения задач по метрологии и Примеры решения задач по метрологии полученные результаты соответствуют нормальному распределению.

Обработка результатов нескольких серий измерений

Кстати теория из учебников по метрологии тут.

Пример №31.

На вертикальном оптиметре выполнены три серии измерений отклонений от номинального размера Примеры решения задач по метрологии мкм, результаты которых сведены в таблицу.

Примеры решения задач по метрологии

Решение:

Определим дисперсии для каждой серии:

Примеры решения задач по метрологии

По распределению Стьюдента проверим значимость различий средних арифметических в сериях. Для этого по формуле (34) вычислим разности:

Примеры решения задач по метрологии

Для принятой доверительной вероятности Примеры решения задач по метрологии с числом степеней свободы Примеры решения задач по метрологии по табл. П2 находим значение Примеры решения задач по метрологии. При сравнении полученных расчетом значений Примеры решения задач по метрологии с предельным Примеры решения задач по метрологии установим, что гипотеза о равенстве математических ожиданий всех серий принимается.

Проверим гипотезу о равнорассеянности результатов измерений по критерию Р. А. Фишера:

Примеры решения задач по метрологии
Примеры решения задач по метрологии

Задаваясь уровнем значимости 5 % Примеры решения задач по метрологии, из таблиц распределения Фишера (табл. П4) найдем Примеры решения задач по метрологии. Следовательно, при 5 % уровне значимости серии наблюдений I и II, а также II и III можно считать равноточными, а различие дисперсий в сериях I и III являются значимыми (серии неравнорассеянные).

Для определения наилучшей оценки объединённых результатов измерений неравнорассеянных серий необходимо вычислить весовые коэффициенты:

Примеры решения задач по метрологии

При равенстве математических ожиданий среднее взвешенное определим по формуле (38):

Примеры решения задач по метрологии

Среднее квадратическое отклонение среднего взвешенного можно рассчитать по формуле (39):

Примеры решения задач по метрологии

Для определения доверительных границ результата измерения нужно определить число степеней свободы, которое при малом числе измерений вычисляется по уравнению (40):

Примеры решения задач по метрологии

Обработка результатов совместных измерении

Пример №32.

Построить поле корреляции, определить и построить линейные уравнения регрессии, определить интервальную оценку коэффициента корреляции по результатам измерений двух случайных величин Примеры решения задач по метрологии и Примеры решения задач по метрологии:

Примеры решения задач по метрологии

Решение:

Определим числовые характеристики случайных величин:

Примеры решения задач по метрологии

Эмпирические уравнения регрессии следующие:

Примеры решения задач по метрологии

Эмпирический коэффициент корреляции

Примеры решения задач по метрологии

Среднее квадратическое отклонение

Примеры решения задач по метрологии

Критерий Фишера Примеры решения задач по метрологии. Доверительный интервал для нормального закона распределения Примеры решения задач по метрологии, где Примеры решения задач по метрологии определяют в зависимости от принятой доверительной вероятности по таблице Лапласа.

Задаваясь вероятностью Примеры решения задач по метрологии, определим Примеры решения задач по метрологии, тогда Примеры решения задач по метрологии. Таким образом, с вероятностью Примеры решения задач по метрологии величина Примеры решения задач по метрологии может принимать значения Примеры решения задач по метрологии,т.е. Примеры решения задач по метрологии.По крайним значениям Примеры решения задач по метрологии в табл. П6 находим левую и правую границы доверительного интервала коэффициента корреляции Примеры решения задач по метрологии.

Из полученной интервальной оценки Примеры решения задач по метрологии видно, что при малой выборке точность определения коэффициента корреляции невысока.