Примеры решения задач по линейной алгебре

Здравствуйте, на этой странице, я собрала теорию с примерами решения по всем разделам линейной алгебры, она подходит для школьников и студентов всех курсов и специальностей обучения. 

Если Вам что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап!

Матрицы. Операции над матрицами

К оглавлению…

Определение 1. Матрицей размерности называется прямоугольная таблица из чисел, записанных в виде

(1)

Если , то матрица называется квадратной порядка .
Замечание. Первый индекс в обозначении элемента — номер строки, второй — номер столбца.

Определение 2. Пусть и две матрицы, размерности . Суммой матриц будем называть матрицу вида (складываются элементы, стоящие на одинаковых местах).

Произведением матрицы на число с будем называть матрицу (каждый элемент матрицы умножается на число ).

Пример задачи №1.

Найти

Решение:

Определение 3. Пусть — матрица размерности вида (1). Транспонированной матрицей к матрице будем называть матрицу размерности вида

(2)

Пример задачи №2.

Найти .

Решение:

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет линейная алгебра

Свойства операций сложения матриц и умножения матрицы на число

К оглавлению…

Для любых матриц размерности и любых действительных чисел выполняются следующие 8 свойств:

  1. — коммутативность сложения.

2. — ассоциативность сложения.

3. Существование нулевого элемента 0, обладающего свойством: В качестве 0 берется матрица, все элементы которой равны 0.

4. Существование противоположного элемента: матрицы матрица такая, что В качестве берется матрица, элементы которой противоположны по знаку соответствующим элементам матрицы .

Определение 4. Пусть и две матрицы размерности и (число столбцов 1-ой матрицы равно числу строк 2-ой). Произведением матриц и называется матрица размерности ,

элементы которой находятся по формуле

(3)

Пример задачи №3.

Найти .

Решение:

По формуле (3):

Замечание.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по линейной алгебре

Определители матриц

К оглавлению…


Определение 5. Пусть — квадратная матрица размерности . Определителем (детерминантом) матрицы будем называть число

Пусть — квадратная матрица размерности

Определителем (детерминантом) матрицы будем называть число

(5)

Пример задачи №4.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Помощь с линейной алгеброй

Свойства определителей

К оглавлению…

  1. Если какую-либо строку (столбец) матрицы умножить на число то и определитель умножится на число то есть определитель полученной матрицы будет равен:
  2. Если переставить местами любые две строки (столбца) матрицы, то определитель поменяет знак, то есть определитель полученной матрицы будет равен:
  3. Если к какой-нибудь строке (столбцу) матрицы А прибавить любую другую строку (столбец) матрицы умноженной на любое число то определитель не изменится, то есть определитель полученной матрицы будет равен:
  4. Определитель единичной матрицы равен 1. (единичная матрица — это матрица, у которой на главной диагонали стоят 1, а все остальные элементы равны 0).
  5. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.
    Замечание. Из свойств 1-5 следуют другие полезные свойства.

Следствие 1. Если строка (столбец) матрицы равны 0, то ее определитель равен 0.
Следствие 2. Если у матрицы две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0.

Пример задачи №5.

Найдем определитель из примера 4, предварительно преобразовав матрицу

  1. Ко второй строке матрицы прибавим первую, и к третьей строке матрицы прибавим первую, умноженную на -2, получим:

2. Переставим местами вторую и третью строки, затем к третьей прибавим вторую, умноженную на -5, получим:

Определение 6. Пусть квадратная матрица порядка и — фиксированный элемент в этой матрице. Мысленно вычеркнем строку и столбец из матрицы и обозначим определитель матрицы, составленной из оставшихся элементов, через Тогда называется алгебраическим дополнением к элементу .

Теорема 1. Пусть — квадратная матрица порядка Тогда

(6)

Формула (6) называется формулой разложения определителя по элементам строки.

Замечание. Аналогичная формула верна для любого столбца.

Формула (6) сводит вычисления определителя -ого порядка к вычислению определителя -1 порядка.

Пример задачи №6.

Вычислим определитель из примера 4. разложенного по элементам первой строки.

Разложим определитель по элементам 2-ого столбца.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Методы вычисления определителя n — ого порядка

К оглавлению…

  1. Разложение по элементам строки (столбца).
    В этом случае используют теорему 1 и сводят вычисление определителя порядка к вычислению определителя порядка (см. пример 6).
  2. Приведение определителя к треугольному виду.
    С помощью свойств определителя приводят матрицу к треугольному виду. Определитель полученной матрицы равен произведению элементов, стоящих на диагонали (следует из теоремы 1).

Пример задачи №7.

Вычислить определитель порядка :

  1. Прибавим к 1-ой строке все остальные строки, получим:

2. Вычтем 1 -ую строку из всех остальных строк, получим:

Упражнение 1.1. Найти матрицу , где

Упражнение 1.2. Даны следующие матрицы:

Возможно эта страница вам будет полезна:

Заказать работу по линейной алгебре

Обратная матрица

К оглавлению…

Определение 1. Пусть квадратная матрица размерностью . Матрица называется обратной матрицей к матрице , если
, (1)
где — единичная матрица.

При этом матрица обозначается как и тогда равенство (1) переписывается в следующем виде:
. (2)

Теорема 1. Если обратная матрица существует. То она единственна.

Доказательство. От противного. Предположим, что для матрицы существует две неравные друг другу матрицы и , такие, что

Тогда рассмотрим равенства

Так как левые части равенств равны, то равны и правые, то есть — противоречие, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Для матрицы существует обратная матрица тогда и только тогда, когда определитель матрицы не равен 0.

Доказательство.

  1. Необходимость. Докажем, что если для матрицы существует обратная матрица , то . По свойству (2): . Тогда поэтому , ч.т.д.
  2. Достаточность. Пусть определитель не равен 0. Докажем, что для матрицы существует обратная.
    Рассмотрим матрицу из алгебраических дополнений к элементам матрицы , составленную так, что алгебраические дополнения к строкам пишутся в соответствующие столбцы:
(3)

Непосредственно проверяем, что для этой матрицы выполняется равенство (2):

Действительно, по формуле (3) элемент равен

элемент равен

и т.д. Теорема доказана.

Пример задачи №8.

Проверить, что для матрицы существует обратная и найти ее.

Решение:

(см. пример 4), поэтому по теореме 2 матрица существует.

Тогда по формуле (3):

Определение 2. Система уравнений вида

(4)

называется системой линейных уравнений с неизвестными.

Матрица , составленная из коэффициентов при неизвестных,

называется матрицей системы, столбец — столбцом свободных членов. При этом систему можно переписать в матричном виде:

(5)

Совокупность чисел — называется решением системы (4), если при подстановке их в систему получаются верные равенства.

Если система (4) имеет хотя бы одно решение, она называется совместной, в противном случае — несовместной.

Теорема 3. Рассмотрим систему линейных уравнений с неизвестными.

(6)

где — матрица системы. Предположим, что для матрицы существует обратная матрица. Тогда система (6) имеет единственное решение

(7)

Доказательство. Умножим обе части равенства (6) на :

поэтому ч.т.д.

Замечание. Решение системы по формуле (7) называется матричным методом решения системы. Из формул (7) и (3) следует:

тогда

где через обозначен определитель матрицы системы, а — определитель матрицы, полученной из матрицы заменой первого столбца столбцом свободных членов. Аналогично, где — определитель матрицы, полученной из матрицы А заменой второго столбца столбцом свободных членов и т.д.
Полученные формулы называются формулами Крамера.

Пример задачи №9.

Решить систему уравнений

1) матричным способом; 2) по формулам Крамера.

Решение:

1) Матричный способ. Перепишем систему в матричном виде:

(см. пример 4), поэтому обратная матрица существует и решение системы единственно.

(см пример 1), тогда по формуле (7)

то есть

2) Формулы Крамера.

Замечание. Если рассмотреть матричное уравнение (8) где и данные матрицы, а — неизвестная матрица, то, рассуждая аналогично теореме 3, получим формулу:
(9)
Аналогично, для матричного уравнения
(10)
получим формулу:
(11)

Пример задачи №10.

Решить матричное уравнение

Решение:

(см. пример 1), тогда по формуле (9):

Упражнение 2.1. Найдите обратные матрицы для заданных матриц:

Упражнение 2.2. Выяснить при каких значениях существует матрица, обратная данной.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Готовые контрольные работы по линейной алгебре

Ранг матрицы

К оглавлению…

Определение 1. Пусть произвольная матрица размерности . Выберем в матрице строк и столбцов и обозначим через

определитель матрицы размерности , составленный из элементов матрицы , стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов.
называется минором порядка .

Пример задачи №11.

Найдем миноры

Решение:

Определение 2. Рангом матрицы называется наибольший из порядков миноров, отличных от нуля. Ранг будем обозначать через или Не равный нулю минор, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным минором.

Замечание. Не обязательно перебирать все миноры матрицы, чтобы найти ее ранг.

Оказывается, для этого достаточно рассматривать вложенные друг в друга миноры. На этом основывается, так называемый, метод окаймляющих миноров.

Для нахождения ранга матрицы проводят настолько долго, насколько это возможно следующие операции.

  1. Рассматривают миноры 1-ого порядка. Если все они равны 0, то и конец алгоритма.
    Если хотя бы одни из них не равен 0, то и переходят на п.2.
  2. Рассматривают все миноры 2-ого порядка, окаймляющие фиксированный ненулевой минор 1-ого порядка. Если все они равны 0, то и конец алгоритма.
    Если хотя бы один из них не равен 0, то и переходят па рассмотрение миноров 3-ого порядка, окаймляющих фиксированный ненулевой минор 2-ого порядка, и т.д., пока есть что окаймлять.

Пример задачи №12.

Найти ранг методом окаймляющих миноров.

  1. поэтому . Рассмотрим минор , окаймляющий .
  2. поэтому
  3. Минор окаймляют два минора третьего порядка и .

поэтому .

Определение 3. Элементарными преобразованиями матрицы называются:
1) перестановка любых 2-х строк (столбцов) матрицы;
2) умножение любой строки (столбца) матрицы на отличное от нуля число;
3) прибавление к любой строке (столбцу) матрицы любой другой строки (столбца) матрицы, умноженных на произвольное число.

Теорема 1. Элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга. С помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к трапециевидному виду:

(1)

Где все строки, начиная с — ой равны 0, а элементы стоящие на диагонали не равны 0. И тогда ранг матрицы равен .

Пример задачи №13.

С помощью элементарных преобразований найти ранг матрицы и базисный минор,

Решение:

1- й шаг. Меняем местами 1-й и 4-й столбцы.
2- й шаг. Ко второй, третьей и четвертой строкам прибавляем первую, умноженную соответственно на -4, -2, -6.
3- й шаг. К третьей и четвертой строкам прибавляем вторую, умноженную соответственно на -1,-2.
4- й шаг. Меняем местами 3-й и 4-й столбцы.
5- й шаг. К четвертому столбцу прибавляем третий, умноженный на -1.

В результате получаем матрицу трапециевидного вида из теоремы 1. Тогда , базисный минор в первоначальной матрице: , так как в результате двух перестановок столбцов первый столбец оказался па третьем месте, а четвертый — на первом.

Упражнение 3.1. Найти миноры указанных матрицах:

Ответы:

Упражнение 3.2. Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров:

Ответы: а) 3; в) 3; с) 2.
Упражнение 3.3. Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований:

Ответы: а) 4; в) 4; с) 4; d) 3.
Упражнение 3.4. Найти ранг матрицы в зависимости от значений параметра ;

При каких значениях матрица имеет обратную?

Решение произвольных систем линейных уравнений

К оглавлению…

Рассмотрим систему линейных уравнений с неизвестными вида:

(1)

или в матричном виде

(2)

где — матрица системы. При этом матрица вида которая получается, если к матрице справа добавить столбец свободных членов, называется расширенной матрицей системы.

Теорема (Кронекера-Капелли)

Для того, чтобы система уравнений (1) имела решение необходимо и
достаточно, чтобы
Докажем необходимость. Дано: система имеет решение. Докажем, что Пусть — решение системы. Тогда при подстановке этих чисел в систему получим верные равенства. Запишем эти равенства в векторном виде:

(3)

Рассмотрим матрицу . Вычтем из последнего столбца первый, умноженный на , второй — умноженный на — умноженный на . Из (3) следует, что в результате такого преобразования получим:

Поэтому

Замечание. Теорема 1 дает конкретный алгоритм решения произвольных систем:

  1. Находят Если они не равны, то система не имеет решений.
  2. Если они равны, рассматриваем базисный минор матрицы . Все уравнения, нс входящие в базисный минор отбрасывают. Неизвестные в оставшихся уравнениях, не входящие в базисный минор, переносят направо и полученную систему решают по правилам Крамера или матричным методом.
    При этом можно находить одновременно методом элементарных преобразований, если последний столбец матрицы не прибавлять к другим столбцам и не переставлять его с другими.

Пример задачи №14.

Решить систему:

Решение:

Найдем

1 — й шаг. Переставляем местами 1-й и 2-й столбцы матрицы.
2 — й шаг. Ко второй и третьей строке прибавляем первую, умноженную на -2 и -4 соответственно.
3 — й шаг. От третьей строки отнимаем вторую, система совместна.
Базисный минор находится в 1, 2 столбце и 1, 2 строке. Отбрасываем 3-е уравнение. Переменные и в оставшихся уравнениях переносим направо ( и — свободные неизвестные).

В результате получим систему:

Решим ее по Правилу Крамера:

Таким образом: где

Метод Гаусса

К оглавлению…

Если при нахождении ранга матриц использовать только элементарные преобразования строк или перестановку столбцов, не переставляя столбец свободных членов с другими, то нет необходимости возвращаться к первичной матрице.

Алгоритм метода Гаусса

К оглавлению…

  1. Прямой ход метода Гаусса. Элементарными преобразованиями матрица приводится к виду:

где Если хотя бы один из элементов то система не имеет решений. Если же то система имеет решение и начинают обратный ход.

Обратный ход метода Гаусса

К оглавлению…

Рассмотрим последнее уравнение и из него выражаем через все остальные неизвестные. Подставляем найденные во все остальные уравнения и из — ого уравнения выражают переменную через остальные и т.д., пока не дойдем до первого уравнения.

Пример задачи №15.

Решить систему по методу Гаусса.

Решение:

Прямой ход метода Гаусса:

система совместна. Обратный ход метода Гаусса:

Из первого уравнения

Пусть тогда где

Упражнение 4.1. Исследовать данную систему и в случае совместности решить её.

Ответы:

Линейные векторные пространства

К оглавлению…

Определение 1. Произвольное множество будем называть линейным векторным пространством, если на определена операция сложения его элементов (векторов), а именно: и операция умножения
вектора на действительное число При этом необходимо, чтобы выполнялись следующие 8 аксиом:

  1. коммутативность сложения векторов.
  2. — ассоциативность сложения векторов.
  3. Существование нулевого элемента : .
  4. Существование противоположного элемента:
    .
  5. .
  6. .
  7. .
  8. .

Пример задачи 1. Множество действительных чисел с обычными операциями сложения и умножения чисел будет линейным векторным пространством (все 8 аксиом выполняются).
Пример задачи 2. Множество всех матриц размерности с обычными операциями сложения и умножения матрицы на число будет линейным векторным пространством (все 8 аксиом выполняются).
Пример задачи 3. Множество матриц вида:

— не будет линейным векторным пространством, так как это множество не замкнуто относительно операции сложения и умножения (сумма двух элементов данного вида не будет элементом данного вида).
Пример задачи 4. Множество матриц вида

будет линейным векторным пространством.

Пример задачи 5. Арифметическое пространство будет линейным векторным пространством, если задать операции сложения его элементов и : и операцию умножения на число : (все 8 аксиом выполняются).

Определение 2. Векторы называются линейно-зависимыми, если такие числа не все равные нулю, что

(1)

Если же равенство (1) выполняется только при нулевых значениях то векторы называются линейно-независимыми.
Базисом пространства называется совокупность векторов , если : 1) они линейно-независимы; 2) любой вектор выражается через базис с какими-то координатами:

(2)

При этом числа в (2) называются координатами вектора в базисе . Число векторов базиса называется размерностью пространства .

Пример задачи 6. Для линейного пространства всех матриц размерности (см.пример 2) матрицы являются базисом, при этом любая матрица

Для линейного пространства всех матриц размерности (см.пример 2) матрицы являются базисом, при этом любая матрица

то есть координатами в данном базисе будут числа .

Теорема 1. Координаты вектора в данном базисе определены однозначно.
Доказательство. От противного. Предположим, что и — два различных выражения вектора через базис. Тогда

(3)

Векторы образующие базис, линейно-независимы, поэтому из (3) следует: , то есть . Противоречие, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Система векторов
заданных своими координатами в некотором базисе, будет линейно независимой тогда и только тогда, когда ранг матрицы, составленный из координат векторов равна — числу векторов.

Доказательство. Достаточность. Дано: ранг матрицы равен . Докажем, что векторы линейно-независимы. От противного. Предположим, что векторы линейно-зависимы. Тогда один из них линейно выражается через остальные. Например и если от последней строки отнять первую, умноженную на , вторую — умноженную на — ю умноженную , то получим нулевую строку, то есть ранг . Противоречие, ч. т. д.

Пример задачи №16.

Даны векторы . Доказать, что они образуют базис в пространстве и найти в этом базисе координаты вектора .

Решение:

Применим теорему 2. Найдем ранг матрицы , составленной из координат векторов: Координаты векторов выпишем в столбцы.

1- й шаг. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную третьей строке прибавляем первую.
2- й шаг. Переставляем местами 2-ю и 3-ю строки.
3- й шаг. К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на -2. векторы линейно-независимы.
Три линейно-независимых вектора трехмерного пространства образуют базис. Найдем координаты вектора в базисе :

Решая систему, получим .

Рассмотрим однородную систему линейных уравнений:

(4)

или в матричном виде где — матрица системы.

Теорема 3. Система (4) всегда совместна. Множество решений системы (4) образует линейное пространство.
Доказательство. является решением системы, поэтому она совместна. Пусть — решения системы, тогда Рассмотрим вектор тогда то есть вектор также является решением системы (4) (множество всех решений замкнуто относительно операции сложения).
Аналогично доказывается, что

— решение системы (4). Значит множество всех решений системы замкнуто относительно операции умножения решений на число. Все 8 аксиом линейного пространства проверяются непосредственно, ч.т.д.

Определение . Базис пространства всех решений системы (4) называется фундаментальной системой решений.

Пример задачи №17.

Найти фундаментальную систему решений:

Решение:

Решим систему по методу Гаусса.

1- й шаг. Ко второй и третьей строкам прибавляем первую умноженную соответственно на -1 и -2.
2- й шаг. К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на -1. Вторую строку сокращаем на 2.

. Из последнего уравнения .

Из второго уравнения . Из первого уравнения .

— общее решение. Количество свободных неизвестных задает размерность пространства решений.

Для того, чтобы получить фундаментальную систему решений, одно из свободных неизвестных приравнивают к 1 остальные берут равными 0.

И так поступают со всеми свободными неизвестными по очереди.

В результате получают векторы фундаментальной системы решений.

— фундаментальная система решений. При этом общее решение:

Упражнение 5.1. Даны векторы . Доказать, что они образуют базис в пространстве и найти в этом базисе координаты вектора .

Метод Жордана — Гаусса

К оглавлению…

Рассмотрим систему уравнений. Решение систем по методу Жордана-Гаусса аналогично решению системы по методу Гаусса. При решении систем проводят элементарные преобразования строк в расширенной матрице системы. При этом, выбрав разрешающий элемент в — ой строке, обнуляют, с помощью элементарных преобразований, все остальные элементы в — ом столбце.
Алгоритм метода Жордана-Гаусса.

  1. Выписываем расширенную матрицу системы и в первой строке среди первых элементов находим ненулевой элемент ( например ). Делим 1-ю строку на . Проведя элементарные преобразования строк, обнуляем остальные элементы -ого столбца.
  2. Во второй строке полученной матрицы находим среди первых элементов ненулевой элемент . Проводя элементарные преобразования строк, обнуляем все остальные элементы — ого столбца и т. д.

Если по ходу алгоритма получаем строки содержащие нули в первых столбцах, опускаем их в конец матрицы. В результате преобразований матрица сведется к виду:

Если хотя бы одно из чисел не равно нулю, то система не имеет решений. Если , то система имеет решение. При этом объявляют свободными неизвестными и переменные выражают через свободные неизвестные. Свободные неизвестные в системе часто будут равными пулю.

В результате получают частное (базисное решение) .

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Пример задачи №18.

Найти все базисные решения системы

Решение: