Примеры решения задач по линейной алгебре

Примеры решения задач по линейной алгебре

Здравствуйте, на этой странице, я собрала теорию с примерами решения по всем разделам линейной алгебры, она подходит для школьников и студентов всех курсов и специальностей обучения. 

Если Вам что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап!

Линейная алгебра

Линейная алгебра — это раздел математики, касающийся линейных уравнений. Линейная алгебра занимает центральное место почти во всех областях математики. Например, линейная алгебра является фундаментальной в современных представлениях геометрии, в том числе для определения основных объектов, таких как линии, плоскости и вращения.

Кроме того, функциональный анализ, раздел математического анализа, можно рассматривать как в основном применение линейной алгебры к пространствам функций.

Линейная алгебра также используется в большинстве наук и областей техники , поскольку она позволяет моделировать многие природные явления и эффективно проводить вычисления с такими моделями. Для нелинейных систем, которые не могут быть смоделированы с линейной алгеброй, он часто используются для борьбы с аппроксимациями первого порядка, используя тот факт, что дифференциал из многомерной функции в точке является линейным отображением , что лучше аппроксимирует функцию вблизи этой точки.

Матрицы. Операции над матрицами

Определение 1. Матрицей размерности Примеры решения задач по линейной алгебре называется прямоугольная таблица из Примеры решения задач по линейной алгебре чисел, записанных в виде

Примеры решения задач по линейной алгебре
(1)

Если Примеры решения задач по линейной алгебре, то матрица называется квадратной порядка Примеры решения задач по линейной алгебре.
Замечание. Первый индекс в обозначении элемента — номер строки, второй — номер столбца.

Определение 2. Пусть Примеры решения задач по линейной алгебре и Примеры решения задач по линейной алгебре две матрицы, размерности Примеры решения задач по линейной алгебре. Суммой матриц Примеры решения задач по линейной алгебре будем называть матрицу вида Примеры решения задач по линейной алгебре (складываются элементы, стоящие на одинаковых местах).

Произведением матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре на число с будем называть матрицу Примеры решения задач по линейной алгебре (каждый элемент матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре умножается на число Примеры решения задач по линейной алгебре).

Пример задачи №1.

Примеры решения задач по линейной алгебре

Найти Примеры решения задач по линейной алгебре

Решение:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Определение 3. Пусть Примеры решения задач по линейной алгебре — матрица размерности Примеры решения задач по линейной алгебре вида (1). Транспонированной матрицей к матрице Примеры решения задач по линейной алгебре будем называть матрицу Примеры решения задач по линейной алгебре размерности Примеры решения задач по линейной алгебре вида

Примеры решения задач по линейной алгебре
(2)

Пример задачи №2.

Примеры решения задач по линейной алгебре Найти Примеры решения задач по линейной алгебре.

Решение:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет линейная алгебра

Свойства операций сложения матриц и умножения матрицы на число

Для любых матриц Примеры решения задач по линейной алгебре размерности Примеры решения задач по линейной алгебре и любых действительных чисел Примеры решения задач по линейной алгебре выполняются следующие 8 свойств:

  1. Примеры решения задач по линейной алгебре — коммутативность сложения.

2. Примеры решения задач по линейной алгебре — ассоциативность сложения.

3. Существование нулевого элемента 0, обладающего свойством: Примеры решения задач по линейной алгебре В качестве 0 берется матрица, все элементы которой равны 0.

4. Существование противоположного элемента: Примеры решения задач по линейной алгебре матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре матрица Примеры решения задач по линейной алгебре такая, что Примеры решения задач по линейной алгебре В качестве Примеры решения задач по линейной алгебре берется матрица, элементы которой противоположны по знаку соответствующим элементам матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре.

Примеры решения задач по линейной алгебре

Определение 4. Пусть Примеры решения задач по линейной алгебре и Примеры решения задач по линейной алгебре две матрицы размерности Примеры решения задач по линейной алгебре и Примеры решения задач по линейной алгебре (число столбцов 1-ой матрицы равно числу строк 2-ой). Произведением матриц Примеры решения задач по линейной алгебре и Примеры решения задач по линейной алгебре называется матрица Примеры решения задач по линейной алгебре размерности Примеры решения задач по линейной алгебре,

элементы которой находятся по формуле

Примеры решения задач по линейной алгебре
(3)

Пример задачи №3.

Примеры решения задач по линейной алгебре Найти Примеры решения задач по линейной алгебре.

Решение:

По формуле (3):

Примеры решения задач по линейной алгебре

Замечание. Примеры решения задач по линейной алгебре

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по линейной алгебре

Определители матриц


Определение 5. Пусть Примеры решения задач по линейной алгебре — квадратная матрица размерности Примеры решения задач по линейной алгебре. Определителем (детерминантом) матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре будем называть число

Примеры решения задач по линейной алгебре

Пусть Примеры решения задач по линейной алгебре — квадратная матрица размерности

Примеры решения задач по линейной алгебре

Определителем (детерминантом) матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре будем называть число Примеры решения задач по линейной алгебре

Примеры решения задач по линейной алгебре
(5)

Пример задачи №4.

Примеры решения задач по линейной алгебре

Возможно эта страница вам будет полезна:

Помощь с линейной алгеброй

Свойства определителей

  1. Если какую-либо строку (столбец) матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре умножить на число Примеры решения задач по линейной алгебре то и определитель умножится на число Примеры решения задач по линейной алгебре то есть определитель полученной матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре будет равен: Примеры решения задач по линейной алгебре
  2. Если переставить местами любые две строки (столбца) матрицы, то определитель поменяет знак, то есть определитель полученной матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре будет равен: Примеры решения задач по линейной алгебре
  3. Если к какой-нибудь строке (столбцу) матрицы А прибавить любую другую строку (столбец) матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре умноженной на любое число Примеры решения задач по линейной алгебре то определитель не изменится, то есть определитель полученной матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре будет равен: Примеры решения задач по линейной алгебре
  4. Примеры решения задач по линейной алгебре
  5. Определитель единичной матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре равен 1. (единичная матрица — это матрица, у которой на главной диагонали стоят 1, а все остальные элементы равны 0).
  6. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.
    Замечание. Из свойств 1-5 следуют другие полезные свойства.

Следствие 1. Если строка (столбец) матрицы равны 0, то ее определитель равен 0.
Следствие 2. Если у матрицы две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0.

Пример задачи №5.

Найдем определитель из примера 4, предварительно преобразовав матрицу

  1. Ко второй строке матрицы прибавим первую, и к третьей строке матрицы прибавим первую, умноженную на -2, получим:
Примеры решения задач по линейной алгебре

2. Переставим местами вторую и третью строки, затем к третьей прибавим вторую, умноженную на -5, получим:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Определение 6. Пусть Примеры решения задач по линейной алгебре квадратная матрица порядка Примеры решения задач по линейной алгебре и Примеры решения задач по линейной алгебре — фиксированный элемент в этой матрице. Мысленно вычеркнем Примеры решения задач по линейной алгебре строку и Примеры решения задач по линейной алгебре столбец из матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре и обозначим определитель матрицы, составленной из оставшихся элементов, через Примеры решения задач по линейной алгебре Тогда Примеры решения задач по линейной алгебре называется алгебраическим дополнением к элементу Примеры решения задач по линейной алгебре.

Теорема 1. Пусть Примеры решения задач по линейной алгебре — квадратная матрица порядка Примеры решения задач по линейной алгебре Примеры решения задач по линейной алгебре Тогда

Примеры решения задач по линейной алгебре
(6)

Формула (6) называется формулой разложения определителя по элементам Примеры решения задач по линейной алгебре строки.

Замечание. Аналогичная формула верна для любого столбца.

Формула (6) сводит вычисления определителя Примеры решения задач по линейной алгебре-ого порядка к вычислению определителя Примеры решения задач по линейной алгебре-1 порядка.

Пример задачи №6.

Вычислим определитель из примера 4. разложенного по элементам первой строки.

Примеры решения задач по линейной алгебре

Разложим определитель по элементам 2-ого столбца.

Примеры решения задач по линейной алгебре
Примеры решения задач по линейной алгебре

Возможно эта страница вам будет полезна:

Заказать контрольную работу по линейной алгебре

Методы вычисления определителя n — ого порядка

  1. Разложение по элементам строки (столбца).
    В этом случае используют теорему 1 и сводят вычисление определителя порядка Примеры решения задач по линейной алгебре к вычислению определителя порядка Примеры решения задач по линейной алгебре (см. пример 6).
  2. Приведение определителя к треугольному виду.
    С помощью свойств определителя приводят матрицу к треугольному виду. Определитель полученной матрицы равен произведению элементов, стоящих на диагонали (следует из теоремы 1).

Пример задачи №7.

Вычислить определитель порядка Примеры решения задач по линейной алгебре: Примеры решения задач по линейной алгебре

  1. Прибавим к 1-ой строке все остальные строки, получим:
Примеры решения задач по линейной алгебре

2. Вычтем 1 -ую строку из всех остальных строк, получим:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Упражнение 1.1. Найти матрицу Примеры решения задач по линейной алгебре, где

Примеры решения задач по линейной алгебре

Упражнение 1.2. Даны следующие матрицы:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Возможно эта страница вам будет полезна:

Заказать работу по линейной алгебре

Обратная матрица

Определение 1. Пусть Примеры решения задач по линейной алгебре квадратная матрица размерностью Примеры решения задач по линейной алгебре. Матрица Примеры решения задач по линейной алгебре называется обратной матрицей к матрице Примеры решения задач по линейной алгебре, если
Примеры решения задач по линейной алгебре, (1)
где Примеры решения задач по линейной алгебре — единичная матрица.

При этом матрица Примеры решения задач по линейной алгебре обозначается как Примеры решения задач по линейной алгебре и тогда равенство (1) переписывается в следующем виде:
Примеры решения задач по линейной алгебре. (2)

Теорема 1. Если обратная матрица существует. То она единственна.

Доказательство. От противного. Предположим, что для матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре существует две неравные друг другу матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре и Примеры решения задач по линейной алгебре, такие, что
Примеры решения задач по линейной алгебре
Тогда рассмотрим равенства
Примеры решения задач по линейной алгебре
Так как левые части равенств равны, то равны и правые, то есть Примеры решения задач по линейной алгебре — противоречие, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Для матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре существует обратная матрица Примеры решения задач по линейной алгебре тогда и только тогда, когда определитель матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре не равен 0.

Доказательство.

  1. Необходимость. Докажем, что если для матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре существует обратная матрица Примеры решения задач по линейной алгебре, то Примеры решения задач по линейной алгебре. По свойству (2): Примеры решения задач по линейной алгебре. Тогда Примеры решения задач по линейной алгебре поэтому Примеры решения задач по линейной алгебре, ч.т.д.
  2. Достаточность. Пусть определитель Примеры решения задач по линейной алгебре не равен 0. Докажем, что для матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре существует обратная.
    Рассмотрим матрицу из алгебраических дополнений к элементам матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре, составленную так, что алгебраические дополнения к строкам пишутся в соответствующие столбцы:
Примеры решения задач по линейной алгебре
(3)

Непосредственно проверяем, что для этой матрицы выполняется равенство (2):

Примеры решения задач по линейной алгебре
Примеры решения задач по линейной алгебре

Действительно, по формуле (3) элемент Примеры решения задач по линейной алгебре равен

Примеры решения задач по линейной алгебре

элемент Примеры решения задач по линейной алгебре равен

Примеры решения задач по линейной алгебре

и т.д. Теорема доказана.

Пример задачи №8.

Примеры решения задач по линейной алгебре Проверить, что для матрицы существует обратная и найти ее.

Решение:

Примеры решения задач по линейной алгебре (см. пример 4), поэтому по теореме 2 матрица Примеры решения задач по линейной алгебре существует.

Примеры решения задач по линейной алгебре

Тогда по формуле (3):

Примеры решения задач по линейной алгебре

Определение 2. Система уравнений вида

Примеры решения задач по линейной алгебре
(4)

называется системой Примеры решения задач по линейной алгебре линейных уравнений с Примеры решения задач по линейной алгебре неизвестными.

Матрица Примеры решения задач по линейной алгебре, составленная из коэффициентов при неизвестных,

Примеры решения задач по линейной алгебре

называется матрицей системы, столбец Примеры решения задач по линейной алгебре — столбцом свободных членов. При этом систему можно переписать в матричном виде:

Примеры решения задач по линейной алгебре
(5)

Совокупность чисел Примеры решения задач по линейной алгебре — называется решением системы (4), если при подстановке их в систему получаются верные равенства.

Если система (4) имеет хотя бы одно решение, она называется совместной, в противном случае — несовместной.

Теорема 3. Рассмотрим систему Примеры решения задач по линейной алгебре линейных уравнений с Примеры решения задач по линейной алгебре неизвестными.

Примеры решения задач по линейной алгебре
(6)

где Примеры решения задач по линейной алгебре — матрица системы. Предположим, что для матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре существует обратная матрица. Тогда система (6) имеет единственное решение

Примеры решения задач по линейной алгебре
(7)

Доказательство. Умножим обе части равенства (6) на Примеры решения задач по линейной алгебре:

Примеры решения задач по линейной алгебре

поэтому Примеры решения задач по линейной алгебре ч.т.д.

Замечание. Решение системы по формуле (7) называется матричным методом решения системы. Из формул (7) и (3) следует:

Примеры решения задач по линейной алгебре

тогда

Примеры решения задач по линейной алгебре

где через Примеры решения задач по линейной алгебре обозначен определитель матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре системы, а Примеры решения задач по линейной алгебре — определитель матрицы, полученной из матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре заменой первого столбца столбцом свободных членов. Аналогично, Примеры решения задач по линейной алгебре где Примеры решения задач по линейной алгебре — определитель матрицы, Примеры решения задач по линейной алгебре полученной из матрицы А заменой второго столбца столбцом свободных членов и т.д.
Полученные формулы называются формулами Крамера.

Пример задачи №9.

Решить систему уравнений Примеры решения задач по линейной алгебре

1) матричным способом; 2) по формулам Крамера.

Решение:

1) Матричный способ. Перепишем систему в матричном виде:

Примеры решения задач по линейной алгебре

(см. пример 4), поэтому обратная матрица существует и решение системы единственно.

Примеры решения задач по линейной алгебре (см пример 1), тогда по формуле (7)

Примеры решения задач по линейной алгебре

то есть Примеры решения задач по линейной алгебре

2) Формулы Крамера. Примеры решения задач по линейной алгебре

Примеры решения задач по линейной алгебре

Замечание. Если рассмотреть матричное уравнение Примеры решения задач по линейной алгебре (8) где Примеры решения задач по линейной алгебре и Примеры решения задач по линейной алгебре данные матрицы, а Примеры решения задач по линейной алгебре — неизвестная матрица, то, рассуждая аналогично теореме 3, получим формулу:
Примеры решения задач по линейной алгебре (9)
Аналогично, для матричного уравнения
Примеры решения задач по линейной алгебре (10)
получим формулу:
Примеры решения задач по линейной алгебре (11)

Пример задачи №10.

Решить матричное уравнение Примеры решения задач по линейной алгебре

Решение:

Примеры решения задач по линейной алгебре

(см. пример 1), тогда по формуле (9):

Примеры решения задач по линейной алгебре

Упражнение 2.1. Найдите обратные матрицы для заданных матриц:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Упражнение 2.2. Выяснить при каких значениях Примеры решения задач по линейной алгебре существует матрица, обратная данной.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Готовые контрольные работы по линейной алгебре

Ранг матрицы

Определение 1. Пусть Примеры решения задач по линейной алгебре произвольная матрица размерности Примеры решения задач по линейной алгебре. Выберем в матрице Примеры решения задач по линейной алгебре строк Примеры решения задач по линейной алгебре и Примеры решения задач по линейной алгебре столбцов Примеры решения задач по линейной алгебре и обозначим через
Примеры решения задач по линейной алгебре
Примеры решения задач по линейной алгебре определитель матрицы размерности Примеры решения задач по линейной алгебре, составленный из элементов матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре, стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов.
Примеры решения задач по линейной алгебре называется минором порядка Примеры решения задач по линейной алгебре.

Пример задачи №11.

Примеры решения задач по линейной алгебре Найдем миноры Примеры решения задач по линейной алгебре

Решение:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Определение 2. Рангом матрицы называется наибольший из порядков миноров, отличных от нуля. Ранг будем обозначать через Примеры решения задач по линейной алгебре или Примеры решения задач по линейной алгебре Не равный нулю минор, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным минором.

Замечание. Не обязательно перебирать все миноры матрицы, чтобы найти ее ранг.

Оказывается, для этого достаточно рассматривать вложенные друг в друга миноры. На этом основывается, так называемый, метод окаймляющих миноров.

Для нахождения ранга матрицы проводят настолько долго, насколько это возможно следующие операции.

  1. Рассматривают миноры 1-ого порядка. Если все они равны 0, то Примеры решения задач по линейной алгебре и конец алгоритма.
    Если хотя бы одни из них не равен 0, то Примеры решения задач по линейной алгебре и переходят на п.2.
  2. Рассматривают все миноры 2-ого порядка, окаймляющие фиксированный ненулевой минор 1-ого порядка. Если все они равны 0, то Примеры решения задач по линейной алгебре и конец алгоритма.
    Если хотя бы один из них не равен 0, то Примеры решения задач по линейной алгебре и переходят па рассмотрение миноров 3-ого порядка, окаймляющих фиксированный ненулевой минор 2-ого порядка, и т.д., пока есть что окаймлять.

Пример задачи №12.

Примеры решения задач по линейной алгебре

Найти ранг Примеры решения задач по линейной алгебре методом окаймляющих миноров.

  1. Примеры решения задач по линейной алгебре поэтому Примеры решения задач по линейной алгебре. Рассмотрим минор Примеры решения задач по линейной алгебре, окаймляющий Примеры решения задач по линейной алгебре.
  2. Примеры решения задач по линейной алгебре поэтому Примеры решения задач по линейной алгебре
  3. Минор Примеры решения задач по линейной алгебре окаймляют два минора третьего порядка Примеры решения задач по линейной алгебре и Примеры решения задач по линейной алгебре.
Примеры решения задач по линейной алгебре

поэтому Примеры решения задач по линейной алгебре.

Определение 3. Элементарными преобразованиями матрицы называются:
1) перестановка любых 2-х строк (столбцов) матрицы;
2) умножение любой строки (столбца) матрицы на отличное от нуля число;
3) прибавление к любой строке (столбцу) матрицы любой другой строки (столбца) матрицы, умноженных на произвольное число.

Теорема 1. Элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга. С помощью элементарных преобразований любую матрицу Примеры решения задач по линейной алгебре можно привести к трапециевидному виду:

Примеры решения задач по линейной алгебре
(1)

Где все строки, начиная с Примеры решения задач по линейной алгебре — ой равны 0, а элементы стоящие на диагонали Примеры решения задач по линейной алгебре не равны 0. И тогда ранг матрицы равен Примеры решения задач по линейной алгебре.

Пример задачи №13.

С помощью элементарных преобразований найти ранг матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре и базисный минор,

Примеры решения задач по линейной алгебре

Решение:

Примеры решения задач по линейной алгебре
Примеры решения задач по линейной алгебре

1- й шаг. Меняем местами 1-й и 4-й столбцы.
2- й шаг. Ко второй, третьей и четвертой строкам прибавляем первую, умноженную соответственно на -4, -2, -6.
3- й шаг. К третьей и четвертой строкам прибавляем вторую, умноженную соответственно на -1,-2.
4- й шаг. Меняем местами 3-й и 4-й столбцы.
5- й шаг. К четвертому столбцу прибавляем третий, умноженный на -1.

В результате получаем матрицу трапециевидного вида из теоремы 1. Тогда Примеры решения задач по линейной алгебре, базисный минор в первоначальной матрице: Примеры решения задач по линейной алгебре, так как в результате двух перестановок столбцов первый столбец оказался па третьем месте, а четвертый — на первом.

Упражнение 3.1. Найти миноры Примеры решения задач по линейной алгебреПримеры решения задач по линейной алгебре указанных матрицах:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Ответы:

Примеры решения задач по линейной алгебре
Примеры решения задач по линейной алгебре

Упражнение 3.2. Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Ответы: а) 3; в) 3; с) 2.
Упражнение 3.3. Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Ответы: а) 4; в) 4; с) 4; d) 3.
Упражнение 3.4. Найти ранг матрицы в зависимости от значений параметра Примеры решения задач по линейной алгебре;

Примеры решения задач по линейной алгебре

При каких значениях Примеры решения задач по линейной алгебре матрица имеет обратную?

Решение произвольных систем линейных уравнений

Рассмотрим систему Примеры решения задач по линейной алгебре линейных уравнений с Примеры решения задач по линейной алгебре неизвестными вида:

Примеры решения задач по линейной алгебре
(1)

или в матричном виде

Примеры решения задач по линейной алгебре
(2)

где Примеры решения задач по линейной алгебре — матрица системы. При этом матрица Примеры решения задач по линейной алгебре вида Примеры решения задач по линейной алгебре которая получается, если к матрице Примеры решения задач по линейной алгебре справа добавить столбец свободных членов, называется расширенной матрицей системы.

Теорема (Кронекера-Капелли)

Для того, чтобы система уравнений (1) имела решение необходимо и
достаточно, чтобы Примеры решения задач по линейной алгебре
Докажем необходимость. Дано: система имеет решение. Докажем, что Примеры решения задач по линейной алгебре Пусть Примеры решения задач по линейной алгебре — решение системы. Тогда при подстановке этих чисел в систему получим верные равенства. Запишем эти равенства в векторном виде:

Примеры решения задач по линейной алгебре
(3)

Рассмотрим матрицу Примеры решения задач по линейной алгебре. Вычтем из последнего столбца первый, умноженный на Примеры решения задач по линейной алгебре, второй — умноженный на Примеры решения задач по линейной алгебре — умноженный на Примеры решения задач по линейной алгебре. Из (3) следует, что в результате такого преобразования получим:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Поэтому Примеры решения задач по линейной алгебре

Замечание. Теорема 1 дает конкретный алгоритм решения произвольных систем:

  1. Находят Примеры решения задач по линейной алгебре Если они не равны, то система не имеет решений.
  2. Если они равны, рассматриваем базисный минор матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре. Все уравнения, нс входящие в базисный минор отбрасывают. Неизвестные в оставшихся уравнениях, не входящие в базисный минор, переносят направо и полученную систему решают по правилам Крамера или матричным методом.
    При этом Примеры решения задач по линейной алгебре можно находить одновременно методом элементарных преобразований, если последний столбец матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре не прибавлять к другим столбцам и не переставлять его с другими.

Пример задачи №14.

Решить систему: Примеры решения задач по линейной алгебре

Решение:

Найдем Примеры решения задач по линейной алгебре

Примеры решения задач по линейной алгебре

1 — й шаг. Переставляем местами 1-й и 2-й столбцы матрицы.
2 — й шаг. Ко второй и третьей строке прибавляем первую, умноженную на -2 и -4 соответственно.
3 — й шаг. От третьей строки отнимаем вторую, Примеры решения задач по линейной алгебре система совместна.
Базисный минор находится в 1, 2 столбце и 1, 2 строке. Отбрасываем 3-е уравнение. Переменные Примеры решения задач по линейной алгебре и Примеры решения задач по линейной алгебре в оставшихся уравнениях переносим направо (Примеры решения задач по линейной алгебре и Примеры решения задач по линейной алгебре — свободные неизвестные).

В результате получим систему: Примеры решения задач по линейной алгебре

Решим ее по Правилу Крамера:

Примеры решения задач по линейной алгебре
Примеры решения задач по линейной алгебре

Таким образом: Примеры решения задач по линейной алгебре где Примеры решения задач по линейной алгебре

Метод Гаусса

Если при нахождении ранга матриц Примеры решения задач по линейной алгебре использовать только элементарные преобразования строк или перестановку столбцов, не переставляя столбец свободных членов с другими, то нет необходимости возвращаться к первичной матрице.

Алгоритм метода Гаусса

  1. Прямой ход метода Гаусса. Элементарными преобразованиями матрица Примеры решения задач по линейной алгебре приводится к виду:
Примеры решения задач по линейной алгебре

где Примеры решения задач по линейной алгебре Если хотя бы один из элементов Примеры решения задач по линейной алгебре то система не имеет решений. Если же Примеры решения задач по линейной алгебре то система имеет решение и начинают обратный ход.

Обратный ход метода Гаусса

Рассмотрим последнее Примеры решения задач по линейной алгебре уравнение и из него выражаем Примеры решения задач по линейной алгебре через все остальные неизвестные. Подставляем найденные Примеры решения задач по линейной алгебре во все остальные уравнения и из Примеры решения задач по линейной алгебре — ого уравнения выражают переменную Примеры решения задач по линейной алгебре через остальные и т.д., пока не дойдем до первого уравнения.

Пример задачи №15.

Решить систему по методу Гаусса.

Примеры решения задач по линейной алгебре

Решение:

Прямой ход метода Гаусса:

Примеры решения задач по линейной алгебре
Примеры решения задач по линейной алгебре

система совместна. Обратный ход метода Гаусса:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Из первого уравнения

Примеры решения задач по линейной алгебре

Пусть Примеры решения задач по линейной алгебре тогда Примеры решения задач по линейной алгебре где Примеры решения задач по линейной алгебре

Упражнение 4.1. Исследовать данную систему и в случае совместности решить её.

Примеры решения задач по линейной алгебре

Ответы: Примеры решения задач по линейной алгебре

Примеры решения задач по линейной алгебре

Линейные векторные пространства

Определение 1. Произвольное множество Примеры решения задач по линейной алгебре будем называть линейным векторным пространством, если на Примеры решения задач по линейной алгебре определена операция сложения его элементов (векторов), а именно: Примеры решения задач по линейной алгебре и операция умножения
вектора на действительное число Примеры решения задач по линейной алгебре При этом необходимо, чтобы выполнялись следующие 8 аксиом:

  1. Примеры решения задач по линейной алгебре коммутативность сложения векторов.
  2. Примеры решения задач по линейной алгебре — ассоциативность сложения векторов.
  3. Существование нулевого элемента Примеры решения задач по линейной алгебре: Примеры решения задач по линейной алгебре.
  4. Существование противоположного элемента:
    Примеры решения задач по линейной алгебре.
  5. Примеры решения задач по линейной алгебре.
  6. Примеры решения задач по линейной алгебре.
  7. Примеры решения задач по линейной алгебре.
  8. Примеры решения задач по линейной алгебре.

Пример задачи 1. Множество действительных чисел Примеры решения задач по линейной алгебре с обычными операциями сложения и умножения чисел будет линейным векторным пространством (все 8 аксиом выполняются).
Пример задачи 2. Множество Примеры решения задач по линейной алгебре всех матриц размерности Примеры решения задач по линейной алгебре с обычными операциями сложения и умножения матрицы на число будет линейным векторным пространством (все 8 аксиом выполняются).
Пример задачи 3. Множество матриц вида:

Примеры решения задач по линейной алгебре — не будет линейным векторным пространством, так как это множество не замкнуто относительно операции сложения и умножения (сумма двух элементов данного вида не будет элементом данного вида).
Пример задачи 4. Множество матриц вида

Примеры решения задач по линейной алгебре будет линейным векторным пространством.

Пример задачи 5. Арифметическое пространство Примеры решения задач по линейной алгебре будет линейным векторным пространством, если задать операции сложения его элементов Примеры решения задач по линейной алгебре и Примеры решения задач по линейной алгебре:Примеры решения задач по линейной алгебре и операцию умножения на число Примеры решения задач по линейной алгебре: Примеры решения задач по линейной алгебре (все 8 аксиом выполняются).

Определение 2. Векторы Примеры решения задач по линейной алгебре называются линейно-зависимыми, если Примеры решения задач по линейной алгебре такие числа Примеры решения задач по линейной алгебре не все равные нулю, что

Примеры решения задач по линейной алгебре
(1)

Если же равенство (1) выполняется только при нулевых значениях Примеры решения задач по линейной алгебреПримеры решения задач по линейной алгебре то векторы называются линейно-независимыми.
Базисом пространства Примеры решения задач по линейной алгебре называется совокупность векторов Примеры решения задач по линейной алгебре, если : 1) они линейно-независимы; 2) любой вектор Примеры решения задач по линейной алгебре выражается через базис с какими-то координатами:

Примеры решения задач по линейной алгебре
(2)

При этом числа Примеры решения задач по линейной алгебре в (2) называются координатами вектора Примеры решения задач по линейной алгебре в базисе Примеры решения задач по линейной алгебре. Число Примеры решения задач по линейной алгебре векторов базиса называется размерностью пространства Примеры решения задач по линейной алгебре.

Пример задачи 6. Для линейного пространства Примеры решения задач по линейной алгебре всех матриц размерности Примеры решения задач по линейной алгебре (см.пример 2) матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре являются базисом, при этом любая матрица

Для линейного пространства Примеры решения задач по линейной алгебре всех матриц размерности Примеры решения задач по линейной алгебре (см.пример 2) матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре являются базисом, при этом любая матрица

Примеры решения задач по линейной алгебре

то есть координатами Примеры решения задач по линейной алгебре в данном базисе будут числа Примеры решения задач по линейной алгебре.

Теорема 1. Координаты вектора в данном базисе определены однозначно.
Доказательство. От противного. Предположим, что Примеры решения задач по линейной алгебре и Примеры решения задач по линейной алгебре — два различных выражения вектора Примеры решения задач по линейной алгебре через базис. Тогда

Примеры решения задач по линейной алгебре
(3)

Векторы образующие базис, линейно-независимы, поэтому из (3) следует: Примеры решения задач по линейной алгебре, то есть Примеры решения задач по линейной алгебре. Противоречие, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Система векторов
Примеры решения задач по линейной алгебре заданных своими координатами в некотором базисе, будет линейно независимой тогда и только тогда, когда ранг матрицы, составленный из координат векторов равна Примеры решения задач по линейной алгебре — числу векторов.

Доказательство. Достаточность. Дано: ранг матрицы равен Примеры решения задач по линейной алгебре. Докажем, что векторы линейно-независимы. От противного. Предположим, что векторы линейно-зависимы. Тогда один из них линейно выражается через остальные. Например Примеры решения задач по линейной алгебре и если от последней строки отнять первую, умноженную на Примеры решения задач по линейной алгебре, вторую — умноженную на Примеры решения задач по линейной алгебре — ю умноженную Примеры решения задач по линейной алгебре, то получим нулевую строку, то есть ранг Примеры решения задач по линейной алгебре. Противоречие, ч. т. д.

Пример задачи №16.

Даны векторы Примеры решения задач по линейной алгебре. Доказать, что они образуют базис в пространстве Примеры решения задач по линейной алгебре и найти в этом базисе координаты вектора Примеры решения задач по линейной алгебре.

Решение:

Применим теорему 2. Найдем ранг матрицы Примеры решения задач по линейной алгебре, составленной из координат векторов: Примеры решения задач по линейной алгебре Координаты векторов выпишем в столбцы.

Примеры решения задач по линейной алгебре

1- й шаг. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную третьей строке прибавляем первую.
2- й шаг. Переставляем местами 2-ю и 3-ю строки.
3- й шаг. К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на -2. Примеры решения задач по линейной алгебре векторы линейно-независимы.
Три линейно-независимых вектора трехмерного пространства образуют базис. Найдем координаты вектора Примеры решения задач по линейной алгебре в базисе Примеры решения задач по линейной алгебре:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Решая систему, получим Примеры решения задач по линейной алгебре.

Рассмотрим однородную систему линейных уравнений:

Примеры решения задач по линейной алгебре
(4)

или в матричном виде Примеры решения задач по линейной алгебре где Примеры решения задач по линейной алгебре — матрица системы.

Теорема 3. Система (4) всегда совместна. Множество решений системы (4) образует линейное пространство.
Доказательство. Примеры решения задач по линейной алгебре является решением системы, поэтому она совместна. Пусть Примеры решения задач по линейной алгебре — решения системы, тогда Примеры решения задач по линейной алгебре Рассмотрим вектор Примеры решения задач по линейной алгебре тогда Примеры решения задач по линейной алгебре то есть вектор Примеры решения задач по линейной алгебре также является решением системы (4) (множество всех решений замкнуто относительно операции сложения).
Аналогично доказывается, что Примеры решения задач по линейной алгебре

Примеры решения задач по линейной алгебре — решение системы (4). Значит множество всех решений системы замкнуто относительно операции умножения решений на число. Все 8 аксиом линейного пространства проверяются непосредственно, ч.т.д.

Определение . Базис пространства всех решений системы (4) называется фундаментальной системой решений.

Пример задачи №17.

Найти фундаментальную систему решений:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Решение:

Решим систему по методу Гаусса.

Примеры решения задач по линейной алгебре

1- й шаг. Ко второй и третьей строкам прибавляем первую умноженную соответственно на -1 и -2.
2- й шаг. К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на -1. Вторую строку сокращаем на 2.

Примеры решения задач по линейной алгебре

Примеры решения задач по линейной алгебре. Из последнего уравнения Примеры решения задач по линейной алгебре.

Из второго уравнения Примеры решения задач по линейной алгебре. Из первого уравнения Примеры решения задач по линейной алгебре.

Примеры решения задач по линейной алгебре — общее решение. Количество свободных неизвестных задает размерность пространства решений.

Для того, чтобы получить фундаментальную систему решений, одно из свободных неизвестных приравнивают к 1 остальные берут равными 0.

И так поступают со всеми свободными неизвестными по очереди.

В результате получают векторы фундаментальной системы решений.

Примеры решения задач по линейной алгебре — фундаментальная система решений. При этом общее решение:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Упражнение 5.1. Даны векторы Примеры решения задач по линейной алгебре. Доказать, что они образуют базис в пространстве Примеры решения задач по линейной алгебре и найти в этом базисе координаты вектора Примеры решения задач по линейной алгебре.

Метод Жордана — Гаусса

Рассмотрим систему уравнений. Решение систем по методу Жордана-Гаусса аналогично решению системы по методу Гаусса. При решении систем проводят элементарные преобразования строк в расширенной матрице системы. При этом, выбрав разрешающий элемент Примеры решения задач по линейной алгебре в Примеры решения задач по линейной алгебре — ой строке, обнуляют, с помощью элементарных преобразований, все остальные элементы в Примеры решения задач по линейной алгебре — ом столбце.
Алгоритм метода Жордана-Гаусса.

  1. Выписываем расширенную матрицу Примеры решения задач по линейной алгебре системы и в первой строке среди первых Примеры решения задач по линейной алгебре элементов находим ненулевой элемент ( например Примеры решения задач по линейной алгебре). Делим 1-ю строку на Примеры решения задач по линейной алгебре. Проведя элементарные преобразования строк, обнуляем остальные элементы Примеры решения задач по линейной алгебре -ого столбца.
  2. Во второй строке полученной матрицы находим среди первых Примеры решения задач по линейной алгебре элементов ненулевой элемент Примеры решения задач по линейной алгебре. Проводя элементарные преобразования строк, обнуляем все остальные элементы Примеры решения задач по линейной алгебре — ого столбца и т. д.

Если по ходу алгоритма получаем строки содержащие нули в первых Примеры решения задач по линейной алгебре столбцах, опускаем их в конец матрицы. В результате преобразований матрица Примеры решения задач по линейной алгебре сведется к виду:

Примеры решения задач по линейной алгебре

Если хотя бы одно из чисел Примеры решения задач по линейной алгебре не равно нулю, то система не имеет решений. Если Примеры решения задач по линейной алгебре, то система имеет решение. При этом Примеры решения задач по линейной алгебре объявляют свободными неизвестными и переменные Примеры решения задач по линейной алгебре выражают через свободные неизвестные. Свободные неизвестные в системе часто будут равными пулю.

В результате получают частное (базисное решение) Примеры решения задач по линейной алгебре.

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Пример задачи №18.

Найти все базисные решения системы

Примеры решения задач по линейной алгебре

Решение:

Примеры решения задач по линейной алгебре