Примеры решения задач по физике

Здравствуйте на этой странице я собрала теорию и примеры задач по физике с решением по каждой теме, чтобы вы смогли подготовиться к экзамену или освежить знания перед контрольной работой!

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Кинематика

Кинематика. Траектория и координаты. путь и перемещение

К оглавлению…

Советы: с чего начинать решать задачу и какие законы применить. Читать обязательно!

При решении задач на определение пути S и перемещения тела надо помнить, что это за величины и не путать их.

Напоминаем:

  • путь — длина траектории тела
  • путь — скалярная величина
  • перемещение — вектор, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением и направленный к конечному положению.

Если траектория движения тела — прямая линия и если направление движения тела одно и то же (нет челночного движения), то путь равен модулю перемещения. Если же траектория тела криволинейная или ломаная, или если тело совершало челночное движение (вперед-назад), то путь больше модуля перемещения. Перемещение тела с течением времени движения может и увеличиваться, и уменьшаться, а путь может только увеличиваться. Если тело вернется в исходное положение, то его перемещение станет равно нулю, а путь — нет, ведь длина траектории с течением времени движения увеличивается, куда бы ни двигалось тело.

При поездке на такси мы оплачиваем пройденный нами путь, а при полете на самолете — перемещение из одного города в другой.

Рассмотрим примеры задач с решением:

  1. Пример решения задачи №1. Часовой охраняет объект, огороженный квадратным забором ABCD (рис. 1-1), обходя его по периметру. Чему будут равны его путь и перемещение, если он из точки А перейдет в точку В, затем в точку С, затем в точку D, после чего вернется в точку А? Длина стороны квадрата а.
  2. Пример решения задачи №2. Спортсмен бросил мяч с высоты h = 1,5 м и поймал его на той же высоте. Чему равен путь S и перемещение мяча?
  3. Пример решения задачи №3. Часовая стрелка показывает 12 ч. Какой путь пройдет конец стрелки и какое перемещение он совершит, когда стрелка будет показывать 6 ч вечера; 9 ч вечера? Длина стрелки R.
  4. Пример решения задачи №4. Мяч скатился по трем ступенькам лестницы с высоты Н = 1,2 м. Высота каждой ступеньки равна ее ширине h. Угол наклона лестницы к горизонту а = 45°. Чему равны путь S и перемещение (рис. 1-3)?
  5. Пример решения задачи №5. Тело переместилось из точки А с координатами (-4; 3) в точку В с координатами (4; 3), а затем — в точку С с координатами (4; -3). Определить его путь и перемещение (рис. 1-4).
  6. Пример решения задачи №6. Мяч упал с высоты м и после удара о землю подпрыгнул на высоту . Определить его путь S и модуль перемещения .
  7. Пример решения задачи №7. Определить путь S и перемещение конца минутной стрелки длиной l = 2 см за t = 15 мин (рис. 1-6).
  8. Пример решения задачи №8. Построить графики движений двух тел, описываемых уравнениями см, в одной системе координат и по графикам определить, через сколько времени с момента: t = 0 координата этих тел станет одинаковой и какой она будет. Время t выразить в секундах, а координату х — в сантиметрах.
  9. Пример решения задачи №9. Материальная точка движется согласно уравнениям Проходит ли ее траектория через точки см? Напишите уравнение траектории точки.
  10. Пример решения задачи №10. Материальная точка движется в плоскости XOY, и при этом ее координаты изменяются с течением времени по закону — константа. Какова траектория точки?
  11. Пример решения задачи №11. Автомобиль проехал км, двигаясь на север. Затем ему пришлось свернуть на восток и проехать еще км, после чего он снова повернул на север и достиг конечного пункта, проехав еще км. Найти путь S и перемещение автомобиля. На сколько путь больше модуля перемещения?

Равномерное прямолинейное движение

К оглавлению…

Советы: с чего начинать решать задачу и какие законы применить. Читать обязательно!

Равномерным прямолинейным движением является движение с постоянной скоростью. Вектор скорости тела равен отношению перемещения ко времени перемещения t:

Модуль скорости равномерного прямолинейного движения равен отношению пути S ко времени t, за которое этот путь пройден:

Уравнения равномерного движения:

Здесь х — координата тела в момент времени — начальная координата тела, — проекция вектора скорости тела на ось координат OX, S — путь, пройденный телом за время t, и — модуль вектора скорости (или просто скорость), t — время движения.

Если в условии задачи сказано, что какая-нибудь из этих величин, например, скорость, увеличивается, например, в 2 раза, то обозначьте скорость до увеличения , а скорость после увеличения — , и в условии задачи запишите:

а если сказано, что скорость уменьшается в 2 раза, то:

Точно так же записывайте условие, если сказано, например, что скорость второго тела вдвое больше или вдвое меньше скорости первого

Если в условии сказано, что некоторая величина, например, время движения в первом случае на столько-то секунд, т. е. на , меньше, чем во втором, то обозначьте время в первом случае а во втором случае — , и запишите в условии:

а если время в первом случае больше, чем во втором, то

Если в условии задачи сказано, что некоторая величина, например, путь пройденный вторым телом, составила 20% пути пройденного первым телом, то, учитывая, что 20% — 0,2, запишем:

А если сказано, что путь, пройденный вторым телом, на 20% меньше пути, пройденного первым телом, то запишем так:

График координаты равномерного движения есть прямая линия, пересекающая ось координат на расстоянии от начала координат (рис. 2-1). График пути равномерного движения есть прямая линия, проходящая через начало координат под углом к оси времени (рис. 2-2). Скорость на графике пути равномерного движения равна (или пропорциональна в зависимости от цены деления на осях координат) тангенсу угла наклона графика к оси времени:

График скорости равномерного движения есть прямая линия, параллельная оси времени (рис. 2-3). Путь на графике скорости равномерного движения равен (или пропорционален) площади прямоугольника Отпр, построенного на осях координат как на сторонах.

Рассмотрим примеры задач с решением:

  1. Пример решения задачи №12. Автомобиль прошел за мин расстояние км. Какое расстояние он пройдет за ч? Движение в обоих случаях равномерное и прямолинейное.
  2. Пример решения задачи №13. Мотоциклист проходит некоторое расстояние в 3 раза быстрее, чем велосипедист. На сколько скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста, если скорость велосипедиста равна 8 м/с?
  3. Пример решения задачи №14. Охотник стреляет в птицу, которая находится в момент выстрела на расстоянии L = 30 м от него. Выстрел производится в направлении, перпендикулярном траектории полета птицы. Скорость птицы, летящей горизонтально, = 15 м/с, скорость дроби = 375 м/с. Какой путь S пролетит птица с момента выстрела до момента, когда в нее попадет дробь?

Равнопеременное прямолинейное движение. прямолинейное движение с переменным ускорением

К оглавлению…

Советы: с чего начинать решать задачу и какие законы применить. Читать обязательно!

Равнопеременным движением называется движение, при котором за любые равные промежутки времени скорость тела изменяется на одинаковую величину и траектория — прямая линия. При этом ускорение тела постоянно по величине и направлению.

Ускорением равнопеременного движения называют отношение изменения скорости тела ко времени t, за которое это изменение произошло:

В скалярной записи: .

Быстроту движения тела при переменном движении характеризуют средней и мгновенной скоростями.

Средней скоростью движения называют отношение пути S ко времени t, за которое путь пройден: .

Средней скоростью перемещения называют отношение перемещения ко времени, за которое это перемещение произошло: .

Мгновенной скоростью называют скорость тела в данный момент времени или данной точке траектории. Спидометр автомобиля показывает его мгновенную скорость. Начальная и конечная v скорости — это тоже мгновенные скорости.

Если а > 0 — движение равноускоренное, если а < 0 — равнозамедленное.

Важнейшие формулы равноускоренного движения:

Здесь x — конечная координата тела, — его начальная координата, — проекция начальной скорости на ось координат, ах -проекция ускорения на эту ось.

Прежде чем приступить к решению задач равнопеременного прямолинейного движения, следует хорошенько выучить все эти формулы.

Исключительно для тех, у кого проблемы с алгебраическими преобразованиями, определим величины, стоящие в правой частя некоторых формул.

Формула .

Определим время t, конечную и и начальную и0 скорости:

Формула

Определим начальную скорость :

Определим ускорение ,

Определим время ,

(знак «минус» перед корнем мы опускаем, так как время не бывает отрицательным).

Формула .

Определим начальную и конечную и скорости:

Определим ускорение а и путь .

Формула

Определим начальную и конечную о скорости:

Формула ,

Определим ускорение .

Определим номер секунды ,

Записывая условие задачи, проверьте, не потеряли ли вы какое-нибудь начальное или граничное условие.

Например, если движение равноускоренное, то определите, равна или не равна нулю начальная скорость? Иногда об этом прямо не говорится, но опять же можно догадаться по смыслу условия. Например, если в условии сказано, что поезд отошел от станции и прошло столько-то времени с этого момента или он прошел такой-то путь, то очевидно, что его начальная скорость была равна нулю. Если речь идет о том, что автомобиль тормозит и останавливается, то очевидно, что в конце торможения его скорость станет равна нулю.

Обычно вначале решают довольно простые задачи на равнопеременное движение, которые, как правило, сводятся к правильному определению типа движения. Затем в соответствии с данными в условии величинами записывают одно или два уравнения, описывающих это движение, после чего сразу или по выполнении необходимой подстановки отыскивают нужную величину сначала в общем виде, затем в числовом выражении. Мы позволим себе привести несколько примеров такой подборки формул, которая дает скорейшее нахождение искомой величины при заданных в условии задач буквенных обозначениях известных величин. Решение в общем виде взято в рамку.

Если тело в конце равнозамедленного движения остановилось, то путь S, пройденный им за это время до остановки, можно определить по формуле , а не по формуле , несмотря на то, что здесь, конечно, не равно нулю. Пользоваться упрощенной формулой здесь можно потому, что путь, пройденный телом за время t до остановки, равен пути, пройденному телом с прежним по модулю ускорением от остановки за это же время. Если же скорость тела уменьшилась, по оно еще не остановилось, то пользоваться упрощенной формулой для определения пути нельзя, можно лишь формулой , где ускорение а — отрицательная величина.

Если в задаче требуется определить путь за какую-нибудь п-ю секунду движения, например, за десятую, то для ее решения удобно пользоваться формулой

Здесь n — номер секунды, считая от начала движения. Не следует путать путь за десятую секунду и путь за десять секунд, это, конечно, совершенно разные пути. Путь за десять секунд от начала движения вы определите по формуле

а путь за десятую секунду можно определить по предыдущей формуле, приняв n = 10. Можно также от пути за десять секунд отнять путь за девять секунд :

Если в задаче на равнозамедленное движение дано ускорение в виде отрицательной величины, например, , то при подстановке этого числа в формулу надо написать модуль ускорения, поскольку минус уже учтен, иначе вместо уравнения равнозамедленного движения у вас получится уравнение равноускоренного движения.

Научитесь по данному вам в условии задачи уравнению определять тип движения, т. е. какое это движение: равномерное или равнопеременное, или, может, переменное с изменяющимся ускорением. Запомните, — если вам дана зависимость координаты. или пути от времени, то характер движения зависит от Показателя степени у времени движения t. Поясним на примерах. Запишем рядом уравнения равномерного и равнопеременного движении:

Сравнивая эти уравнения, мы видим, что при равномерном движении координата х и путь S являются функциями времени t в первой степени, , а при равнопеременном эти величины являются функциями времени t в квадрате, . Таким образом, если вам предложили уравнение пути или координаты и нужно определить, какой тип движения описывает это уравнение, то посмотрите, какая степень у времени t. стоящего в правой части уравнения. И если в правую часть этого уравнения входит время в квадрате, причем квадрат — это максимальный показатель степени у времени t, то это уравнение описывает равнопеременное движение, несмотря на то, что там может находиться еще и член с t в первой степени. А если максимальный показатель степени у времени t в правой части уравнения есть единица, то это уравнение равномерного движения.

Если же координата х или путь S являются функцией или или в большей степени, то ускорение такого движения — переменная величина и формулы равнопеременного движения здесь неприменимы.

Рассмотрим примеры: Уравнение движения материальной точки имеет вид м. Очевидно, что это движение равномерное, ведь здесь координата х зависит от времени t, стоящего в первой степени. Сравнив это уравнение с уравнением равномерного движения , записанным в общем виде, мы можем утверждать, что начальная координата тела, т. е. его координата в момент времени м, а скорость движения м/с, причем вектор скорости антинаправлен оси координат ОХ.

Другой пример: Движение материальной точки задано уравнением м. Здесь в отличие от предыдущего уравнения координата х является функцией (правда, здесь тоже присутствует t в первой степени, но тип движения определяет максимальный показатель степени у t). Значит, это уравнение равнопеременного движения. Теперь опять сравним это уравнение с уравнением такого же движения, записанным в общем виде: . Из сравнения следует, что здесь тоже начальная координата 0 м. Кроме того, сравнение показывает, что начальная скорость тела, т. е. его скорость в момент времени м/с (здесь знак «минус» показывает, что в этот момент она тоже была анти-направлена оси координат ОХ). Далее из сравнения выражений можно сделать вывод, что здесь , откуда следует, что ускорение тела . Движение тела равноускоренное, так как а > 0.

Еще уравнение: м. Очевидно, что это уравнение пути равнопеременного (точнее равноускоренного) движения. Из сравнения его с уравнением пути этого движения, записанным в общем виде: , следует вывод, что здесь начальная скорость тела равна нулю т. е. в момент начала отсчета времени движения тело находилось в состоянии покоя. Кроме того, здесь и, значит, ускорение .

Таким образом, если в уравнении равнопеременного движения, записанном так, что в его правой части только время t обозначено буквой, а все остальные величины заданы числами, имеется слагаемое, в которое не входит время t, то это слагаемое — начальная координата . Если же в таком уравнении имеется член, содержащий время t в первой степени, то величина, которая входит в этот член помимо t, есть начальная скорость . И, наконец, величина, входящая в слагаемое, содержащее ts, есть половина ускорения а.

Отметим, что, кроме уравнения координаты или пути, равнопеременное движение описывается также уравнением скорости. В общем виде это уравнение имеет вид . Значит, в таком уравнении слагаемое, не содержащее время t, является начальной скоростью движения, а слагаемое, содержащее время t. есть at, и значит, величина, входящая в это слагаемое и стоящая в произведении с t, есть ускорение а. Причем знак «плюс» перед at соответствует равноускоренному движению, а знак «минус» — равнозамедленному.

Приведем пример: Движение тела (материальной точки) задано уравнением м/с. Из сравнения этого уравнения с уравнением следует вывод, что это уравнение равноускоренного движения с начальной скоростью м/с и ускорением .

Еще один пример. Движение задано уравнением м/с. Это тоже уравнение равноускоренного движения, ведь знак перед членом, содержащим at, положительный, так как , и следовательно, здесь . Член, не содержащий t, есть начальная скорость м/с, и знак «минус» свидетельствует, что она антинаправлена векторам ускорения и конечной скорости v.

Еще пример, м/с. Это тоже уравнение равноускоренного движения. Здесь начальная скорость и ускорение .

Таким образом, если вам предложат из системы уравнений:

выбрать, какие здесь уравнения соответствуют равномерному, а какие — равнопеременному движению, то мы надеемся, что вы не ошибетесь.

Проверьте себя:

Встречаются задачи, в условиях которых дано уравнение пути (или координаты) равнопеременного движения, а надо написать уравнение скорости, соответствующее данному уравнению пути. Например, м. Как мы уже показали выше, здесь — начальная скорость, — половина ускорения, следовательно, ускорение . Поскольку общий вид уравнения скорости равнопеременного движения (вы ведь уже определили, что данное уравнение соответствует именно этому типу движения, поскольку S есть функция , то уравнение скорости, соответствующее приведенному выше уравнению пути, имеет вид .

Рассмотрим обратный пример: Дано уравнение скорости v = м/с, а требуется записать уравнение пути. Очевидно, что здесь мы имеем тоже равнопеременное движение, поскольку скорость и здесь есть функция времени t в первой степени. Согласно общей формуле (подчеркнем еще раз: путь при равнопеременном движении есть функция , а скорость — функция 0, значит, в этом уравнении . Тогда уравнение пути равнопеременного движения здесь будет выглядеть так: м.

При равнопеременном движении среднюю скорость можно найти двумя способами: можно разделить весь путь S на время его прохождения t:

а можно определить среднюю скорость как среднее арифметическое начальной и конечной и скоростей:

Подчеркнем, что пользоваться последней формулой можно только в случае равнопеременного движения (равноускоренного или равнозамедленного, все равно), в иных случаях можно пользоваться только формулой

Не следует путать среднюю скорость на всем пути со скоростью в средней точке этого пути, это разные величины.

Рассмотрим пример: Уравнение движения тела м. Нужно найти скорость о, которую тело приобретет за четыре секунды, среднюю скорость тела с которой оно двигалось эти четыре секунды , и скорость тела в средней точке пути, пройденного за эти 4 с.

Из уравнения этого равноускоренного движения (ведь здесь S пропорционально и ускорение положительно)

следует, что тело двигалось с начальной скоростью м/с и с ускорением . Тогда уравнение скорости его движения: . Подставив в это уравнение t = 4 с, мы найдем скорость тела в конце четвертой секунды от начала отсчета времени t:

Теперь среднюю скорость можно найти как полусумму начальной и конечной м/с скоростей:

Можно, конечно, найти ее и иначе, определив вначале путь S за эти четыре секунды:

а затем разделив этот путь на время t = 4 с. Ответ, естественно, будет тот же:

Теперь определим скорость тела в средней точке пути . Подчеркнем, что скорость в средней точке пути — это не средняя скорость, а некоторая мгновенная скорость тела на середине его пути. Ее можно найти, зная начальную скорость м/с, ускорение тела , которое постоянно на всем пути, и половину пути м по формуле .

Подчеркнем, что первую половину пути тело проходит за большее время, чем вторую, ведь его скорость все время нарастает, поэтому время прохождения цервой и второй половик пути разное.

Отметим еще раз, что скорость v в конце пути S — это скорость в конце четвертой секунды движения. А если вам нужно будет найти скорость в начале четвертой секунды, то это значит, что прошло всего 3 с движения и в формулу v = 4 + 4t м/с надо подставить время t = 3 с.

Рассмотрим теперь пример на равнозамедленное движение. Уравнение скорости тела: v = 8 — t м/с. Нужно определить, через какое время тело остановится и какой путь оно пройдет до остановки.

Итак, имеем

Из приведенных уравнений следует, что начальная скорость тела м/с, а его ускорение . Слова «тело остановится» означают, что конечная скорость тела v = 0 (запомните, если сказано, что тело остановилось, значит, вы должны записать в условии, что конечная скорость тела v = 0). Если это так, то правую часть данного нам уравнения v = 8 — t м/с мы должны приравнять к нулю и из полученного равенства найти время t движения тела до остановки:

Самый простой способ определения пути, пройденного телом до остановки, через среднюю скорость:

При этом .

Можно также определить путь S по формуле

Отметим, что хоть мы и называем величины скоростью и ускорением, по существу это проекции векторов , и на ось координат, обычно сонаправленную с перемещением тела, т. е. это величины алгебраические и могут быть как положительными, так и отрицательными.

Среди задач на переменное движение отдельную группу составляют задачи на сочетание нескольких видов движения на всем пути. Если при этом требуется определить среднюю скорость на всем пути, то ее можно найти по формуле

При этом следует учесть, что конечная скорость на одном участке пути является начальной скоростью на соседнем участке. Определяя среднюю скорость, выразите все пути и т. д. или времена и т. д. через величины, данные в условии задачи, с учетом вида движения на каждом отрезке, а затем подставьте полученные выражения в формулу Подробное решение таких задач дано ниже. Ни в коем случае не применяйте формулу для отрезков с переменным ускорением.

На рис. 3-1 приведены графики ускорения, скорости, пути и координаты равнопеременного движения.

При движении с переменным ускорением скорость равна первой производной пути по времени: .

В этом случае ускорение равно первой производной скорости по времени: .

Рассмотрим примеры задач с решением:

  1. Пример решения задачи №15. Автомобиль через с от начала движения приобретает скорость км/ч. Через сколько времени от начала движения его скорость станет равна м/с? Ускорение постоянно.
  2. Пример решения задачи №16. Длина разбега при взлете самолета равна км, а скорость отрыва от земли = 240 км/ч. Длина пробега при посадке этого самолета — 800 м, а посадочная скорость = 210 км/ч. Во сколько раз ускорение при взлете больше ускорения при посадке (по модулю)? На сколько различаются время разбега и время посадки ?
  3. Пример решения задачи №17. Автомобиль прошел путь S = 10 км за t = 6 мин с ускорением . Чему равны начальная и конечная и скорости автомобиля?

Относительность движения. Сложение скоростей

К оглавлению…

Советы: с чего начинать решать задачу и какие законы применить. Читать обязательно!

В задачах на относительность движения и сложение скоростей движение тел бывает, как правило, равномерным и прямолинейным, т. е. описывается достаточно простыми уравнениями. Тем не менее эти задачи смело можно отнести к труднейшим задачам механики. При решении таких задач пользуются правилом сложения классических скоростей, т. е. скоростей, значительно меньших скорости света в вакууме: м/с. Правило сложения классических скоростей: скорость тела относительно неподвижной системы отсчета (абсолютная скорость) равна сумме скорости относительно подвижной системы отсчета (собственной скорости) и скорости самой подвижной системы относительно неподвижной (переносной скорости). Рассмотрим несколько примеров, которые покажут вам, как можно приступить к решению подобных задач, с чего начать.

Начнем с задач на сложение скоростей. Любое движение тела может быть представлено как суперпозиция (наложение) двух разных независимых движений, в которых оно одновременно участвует. Если в задаче идет речь о движении тела в тоже движущейся среде, которая это тело увлекает за собой (лодка в реке, пассажир в движущемся поевде, человек на лестнице эскалатора и т. п.), то можно связать неподвижную систему отсчета с наблюдателем, который смотрит на все это со стороны, находясь, например, на берегу или на платформе. Движущуюся систему отсчета — реку, вагон, эскалатор, и т. п. — можно связать с другим неподвижным относительно этой среды наблюдателем, а движение самого тела -лодки, пассажира, человека, бегущего по эскалатору, и т. п. — рассматривать как суперпозицию двух движений: собственного и переносного, которые происходят одновременно, т. е. сколько времени оно само движется, столько времени его переносит среда.

Рассмотрим пример на правило сложения скоростей. Пусть скорость течения реки , а скорость лодки, переплывающей эту реку, относительно воды равна и направлена перпендикулярно берегу (рис. 4-1).

Лодка одновременно участвует в двух независимых движениях: она за некоторое время t переплывает реку

шириной Н со скоростью относительно воды и за это же время ее сносит вниз по течению на расстояние l со скоростью течения . В результате лодка проплывает путь S со скоростью относительно берега, равной по модулю: за это же самое время t. Поэтому мы можем записать три уравнения движения, которые могут пригодиться в процессе решения подобных задач:

Зададим себе вопрос: под каким углом а к берегу должен грести гребец в лодке, чтобы оказаться на противоположном берегу, пройдя во время переправы минимальный путь? За какое время t этот путь будет пройден? С какой скоростью и лодка пройдет этот путь?

Чтобы ответить на все эти вопросы, рассмотрим

внимательно рис. 4-2. Очевидно, что минимальный путь, который может проплыть лодка, пересекая реку, равен ширине реки Н. Чтобы проплыть этот путь, гребец должен направить лодку под таким углом а к берегу, при котором вектор абсолютной скорости лодки будет направлен перпендикулярно берегу. Тогда из прямоугольного треугольника на рис. 4-2 найдем

Скорость v определим из этого же треугольника по теореме Пифагора:

И наконец, время t, за которое лодка пересечет реку шириной Н, двигаясь со скоростью у, будет .

Иногда в подобных задачах спрашивается, как надо направить лодку, чтобы переплыть реку за минимальное время? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно получить такую формулу, в которой время будет определено через постоянные величины и переменный угол между вектором и берегом, а затем подумать, при каком угле а время будет минимальным.

Давайте попытаемся ответить на этот вопрос. Пусть величины нам известны. Рассмотрим рис. 4-3.

Пусть лодка пересекает реку под разными углами . Мы видим, что, чем меньше угол , тем больше скорость лодки .

Но и тем больший путь придется ей проплыть. Теперь внимание! Лодка проплывет реку, пройдя путь S со скоростью и за такое же время t, за какое она пересечет ширину реки Я, двигаясь со скоростью . И за это же время t ее снесет вниз по течению на расстояние I со скоростью . Таким образом, согласно принципу независимости движений справедливы следующие равенства:

где по правилу сложения скоростей скорость лодки относительно берега:

Чтобы ответить на вопрос о минимальном времени, обратимся к формуле .

Так как здесь H и постоянные, то время будет минимальным, когда синус угла а будет максимальным. Вы должны знать, что величина синуса может изменяться от нуля до единицы. Значит, максимальной величиной синуса является 1. Такому значению синуса соответствует угол . Значит, время будет минимальным, когда угол а между вектором и берегом будет равен

Таким образом, чтобы переплыть реку за минимальное время, нужно грести перпендикулярно берегу (запомните, может пригодиться) (рис. 4-4). Вас при этом, правда, снесет вниз по течению, но зато потратите минимум времени. А вот если вы не хотите, чтобы вас снесло, надо грести под тупым углом к течению реки так, чтобы вектор результирующей скорости был перпендикулярен берегу. Времени и сил при этом вы потратите больше, но зато высадитесь напротив того места, откуда отплыли (рис. 4-2).

Задачи на относительность движения тел связаны, как правило, с определением их относительной скорости или относительного положения. Рассмотрим некоторые примеры.

Пусть два поезда движутся по параллельным путям в одном направлении с одинаковыми скоростями, например км/ч относительно некоторого неподвижного наблюдателя, стоящего на платформе. Зададимся вопросом: какова их скорость относительно друг друга, т. е. с какой скоростью один поезд опережает второй? Очевидно, что эта относительная скорость равна нулю, ведь их скорости одинаковы. Если вы при этом будете сидеть у окошка одного из поездов, то вам будет казаться, что второй поезд не движется относительно вас. Это так и есть, ведь относительно вас он не изменяет своего положения.

Теперь пусть ваш поезд увеличил свою скорость до км/ч, а скорость второго поезда осталась неизменной. Какова теперь относительная скорость поездов, т. е. с какой скоростью о ваш поезд будет обгонять соседний поезд? Очевидно, что относительная скорость поездов теперь равна разности их скоростей, так как если второй поезд принять за неподвижный, то ваш поезд будет удаляться от него со скоростью

Так будет, если поезда движутся сонаправлено. А если они движутся навстречу друг другу, то их относительная скорость станет равна сумме скоростей . Действительно, если теперь второй поезд принять за неподвижный, то ваш поезд будет приближаться ко второму со своей собственной скоростью , да еще и со скоростью второго поезда , направленной ему навстречу. Поэтому теперь их относительная скорость

Приведенные примеры относительно просты, поскольку здесь тела движутся параллельным курсом. Сложнее определять относительную скорость, когда скорости тел направлены под углом друг к другу. Пусть, например, два тела движутся со взаимно перпендикулярными скоростями (рис. 4-5).

Для определения относительной скорости этих тел свяжем тело 2 с подвижной системой отсчета т. е. будем считать, что скорость тела — это и есть скорость подвижной системы, или переносная скорость. Тогда скорость тела 1 — это есть скорость относительно неподвижной системы отсчета XOY (рис. 4-5, а), т. е.

абсолютная скорость, а искомая относительная скорость — это его скорость относительно подвижной системы отсчета. Согласно правилу сложения скоростей , откуда .

Таким образом, относительная скорость этих двух тел равна векторной разности их скоростей, (рис. 4-5), а ее модуль можно определить по теореме Пифагора, поскольку в прямоугольном треугольнике, изображенном на рис. 4-5, б), вектор является гипотенузой, а векторы — катетами:

Рассмотрим более сложный случай, когда тело 1 движется, например, горизонтально со скоростью , а тело 2 -под углом к горизонту со скоростью (рис. 4-6 а).

Опять свяжем с телом 2 подвижную систему отсчета и будем считать скорость этого тела, или, что то же самое, скорость подвижной системы переносной скоростью, скорость тела 1 — скоростью относительно неподвижной системы XOY, т. е. абсолютной, а скорость — собственной скоростью тела 1 относительно подвижной системы или связанного с ней тела 2. Тогда, согласно правилу сложения скоростей , откуда .

Для определения модуля относительной скорости воспользуемся теоремой косинусов. Поскольку в тупоугольном треугольнике, образованном векторами (рис. 4-6, б), угол, лежащий против вектора , равен 180° — а, то по теореме косинусов

ведь .

Рассмотрим примеры задач с решением:

  1. Пример решения задачи №18. Катер пересекает реку, двигаясь перпендикулярно берегу со скоростью = 4 м/с относительно воды. Ширина реки Н — 1000 м, а скорость течения реки — 1 м/с. На сколько метров Z-снесет катер по течению, когда он переправится на противоположный берег? Какой путь 5 пройдет катер?
  2. Пример решения задачи №19. Лодка переплывает реку, выдерживая направление перпендикулярно берегу. Скорость лодки относительно берега v = 1 м/с, скорость течения = 0,8 м/с. Чему равен вектор скорости лодки относительно воды? За какое минимальное время лодка переплывет эту реку с прежней по модулю скоростью относительно воды, если ширина реки Н = 100 м? Какова при этом будет скорость лодки относительно берега ? За какое время t лодка переплывет реку, пройдя минимальный путь?
  3. Пример решения задачи №20. Пловцу предстоит переплыть реку шириной Н из точки М в точку N (рис. 4-9). Расстояние от точки О, расположенной напротив точки М; до точки N равно Z, скорость течения . С какой минимальной скоростью относительно воды пловец может плыть, чтобы попасть в точку N на противоположном берегу?

Свободное падение

К оглавлению…

Советы: с чего начинать решать задачу и какие законы применить. Читать обязательно!

Свободным падением называют падение тела в вакууме под действием притяжения к планете. Ускорение свободного падения в средних широтах Земли .

Если в условии задачи сказано, что тело падает, надо решить, как оно падает: свободно или нет. Об этом иногда можно догадаться, исходя из самого условия. Падение пловца, прыгнувшего с вышки, мяча, камня, снаряда смело можно считать свободным, если о сопротивлении среды ничего не сказано в условии, а вот падение парашютиста (если, конечно, парашют раскрыт) считать свободным уже никак нельзя. Если говорится: «Тело падает с высоты…» и ничего не сказано о его начальной скорости, то смело можно считать ее равной нулю. А если сказано, что в процессе падения тело оказалось на такой-то высоте, то на этой высоте его скорость не равна нулю и в процессе падения все время нарастает. Если говорится, что тело упало на землю, то в момент падения его скорость ни в коем случае не равна нулю, а наоборот, она максимальна. Если говорится о теле, брошенном вверх, то его скорость в момент броска — это его начальная скорость и является наибольшей, а по мере взлета тела его скорость будет уменьшаться, поскольку ускорение свободного падения при этом анти-направлено перемещению и тело движется равнозамедленно. Если в условии сказано, что брошенное вверх тело оказалось на такой-то высоте, то следует хорошенько подумать, является ли эта высота максимальной или это просто какая-то промежуточная высота и тело полетело еще выше. Это очень важно, потому что если это высота наибольшего подъема, то конечная скорость тела на этой высоте равна нулю и решение задачи существенно упрощается. А если это промежуточная высота, то там скорость не равна нулю и ее необходимо учитывать.

Падающее тело может участвовать в разных типах движения на разных высотах падения. Например, парашютист в затяжном прыжке падает свободно, а когда он раскрывает парашют, то его ускорение резко уменьшается и может стать равным нулю. Тогда он будет падать равномерно. При этом конечная скорость на одном участке падения является начальной на другом. Решая такую задачу, следует для каждого участка падения записать свои уравнения и ни в коем случае не подставлять всю высоту в какое-нибудь из этих уравнений, а следует ее представить как сумму высот, соответствующих каждому типу движения.

Если два тела, например, падающее и брошенное вверх, встретились на какой-то высоте, значит, у них при этом координата у стала одинаковой. Такие задачи удобно решать, используя уравнение координат

Перед начальной скоростью тоже может стоять «минус», даже когда перед членом «плюс». Так бывает, когда начальная скорость тела антинаправлена оси ОУ или будущему перемещению тела. Например, если какое-то тело взлетало и на некоторой высоте в процессе подъема от него отвалилась часть или из него выпал какой-то предмет, то в этот момент начальная скорость падающего предмета равна скорости взлетающего тела и антинаправлена перемещению предмета, и если перед членом поставить «плюс», то перед следует поставить «минус». Тогда уравнение пути для такого случая примет вид

а уравнение координаты и при этом ось ОУ направлена вниз. Знак перед начальной координатой определяется ее положением на оси ОУ относительно начала отсчета.

Уравнения применимы не только к равнозамедленному движению тела вверх, но и к последующему его падению с максимальной высоты после остановки в высшей точке, поскольку величина ускорения тела остается прежней. Но нужно помнить, что при этом под h следует понимать модуль перемещения тела, т. е. расстояние от его координаты в данный момент до его начальной координаты в момент броска.

Рассмотрим пример: Тело брошено свободно с начальной скоростью м/с вертикально вверх. Нужно найти его путь 8 и перемещение за время t = 8 с. Несложно подсчитать, что тело достигнет высшей точки (v = 0) через время

взлетев при этом на высоту

после чего оно начнет падать. Через t = 8 с с момента броска оно окажется на высоте

Эта высота и есть модуль перемещения тела . Весь путь S, пройденный телом, очевидно, равен сумме высоты Н и отрезка Н — h, который тело прошло с момента начала падения до момента, когда оно оказалось на высоте h:

Если два тела падают друг за другом через промежуток времени At одно после другого, то следует учитывать, что в момент начала падения второго тела их разделяет отрезок

(в случае, когда начальная скорость обоих тел равна нулю). Через время t от начала падения второго тела первое пройдет путь , а второе , поэтому теперь их будет разделять расстояние :

Если же их начальные скорости не равны нулю, то

Приведем еще раз формулы, которые вы, конечно, должны держать в памяти, приступая к решению задач на свободное падение тел. Расстояние, пройденное падающим телом, можно обозначить h или Ну или S и т.п.

Для определения пути пройденного за n-ю секунду падения, можно во всех случаях пользоваться формулой .

Рассмотрим примеры задач с решением:

  1. Пример решения задачи №21. За какое время t тело, начавшее свободное падение из состояния покоя, пройдет путь S = 19,6 м (рис. 5-1)? Какова будет его скорость и в конце пути и на середине пути? Какова будет средняя скорость этого тела на пути S?
  2. Пример решения задачи №22. На некоторой планете ускорение свободного падения на 25% меньше, чем на Земле. Во сколько раз высота свободного падения тела за одно и то же время на этой планете меньше, чем на Земле?
  3. Пример решения задачи №23. Со скалы высотой Н = 200 м брошены вниз два тела: сначала одно, а затем второе. Оба тела упали на землю одновременно. На сколько времени второе тело брошено позже первого, если начальная скорость первого тела 1 равна нулю, а второго — м/с? Падение считать свободным.

Криволинейное движение тел с ускорением свободного падения

К оглавлению…

Советы: с чего начинать решать задачу и какие законы применить. Читать обязательно!

А. Движение тела, брошенного горизонтально

Пусть тело, находившееся на высоте h, брошено горизонтально со скоростью (рис. 6-1). Сопротивлением воздуха можно пренебречь. При этом на тело будет действовать притяжение планеты, в результате чего оно станет свободно падать в направлении оси OY без начальной скорости . Но поскольку ему в точке О была сообщена горизонтальная скорость и нет причин,

которые заставили бы тело изменить эту скорость (никакие другие тела на брошенное тело в горизонтальном направлении не действуют, сопротивление среды, отсутствует), то тело будет одновременно двигаться и в горизонтальном направлении вдоль оси ОХ с постоянной по величине и направлению скоростью . В результате движение тела будет представлять собой суперпозицию двух движений, происходящих одновременно: равномерного и прямолинейного движения в горизонтальном направлении со скоростью и свободного падения, т. е. равноускоренного движения вниз без начальной скорости с высоты h с ускорением свободного падения .

Расстояние, которое тело пролетит по горизонтали, пока не упадет на землю, называют дальностью полета S. Время падения тела с высоты Л равно времени прохождения им расстояния S. Уравнение движения тела по горизонтали будет иметь вид

, а по вертикали . При получим

Если теперь из (6-1) выразить время t и подставить его в уравнение (6-2), то мы получим уравнение, выражающее связь высоты падения тела с дальностью его полета:

, и тогда или , что аналогично уравнению параболы , так как — постоянные величины.

Мы видим, что координата у пропорциональна квадрату координаты х. Такая зависимость на графике изображается плоской кривой линией — параболой. Следовательно, тело, брошенное свободно с некоторой высоты в горизонтальном направлении, движется по параболе, ветвь которой направлена вниз, а вершина располагается в точке бросания.

Время падения t с высоты Л, равное времепи полета на расстояние S, можно найти по формуле (6-3) или из равенства (6-2):

В процессе движения тела по параболе его горизонтальная скорость будет оставаться постоянной, а вертикальная скорость , которая в точке бросания О была равна нулю , будет нарастать. Если сложить векторно скорости , то мы найдем результирующую скорость тела в каждой точке траектории, по которой оно движется. Вектор этой скорости направлен по касательной к параболе в каждой ее точке и по модулю определяется теоремой Пифагора: .

Тангенс угла между вектором и горизонтом можно определить отношением .

Б. Движение пикирующего тела

Если тело пикирует к земле с высоты h под некоторым углом (рис. 6-2) со скоростью , то теперь у его начальной скорости есть вертикальная составляющая , которая является начальной скоростью его свободного падения с высоты h вдоль оси OY. Кроме того, у его начальной скорости есть горизонтальная составляющая , с которой оно будет двигаться равномерно вдоль оси ОХ (см. рис. 6-2).

Теперь уравнения движения тела вдоль осей ОХ и OY будут иметь вид

При или

При решении соответствующих задач, кроме приведенных уравнений, вам могут пригодиться формулы .

и др.

Угол между вектором результирующей скорости и горизонтом будет непрерывно увеличиваться. Тангенс этого угла можно определить отношением скоростей .

На рис. 6-2 приведены некоторые формулы, используемые при решении соответствующих задач.

Траектория движения тела и в этом случае является параболой, в чем нетрудно убедиться, выразив время из уравнения и подставив его в уравнение :

Мы видим, что и здесь координата у является функцией координаты хг, значит, это парабола.

При одинаковой высоте падения дальность полета будет меньше, а скорость падения — больше, чем при горизонтальном бросании с той же скоростью. Вот почему для более точного падения груза на выбранное место при сбрасывании его с самолета самолет пикирует. При этом дальность полета груза меньше и прицельность сбрасывания точнее.

В. Движение тела, брошенного под углом а к горизонту

Пусть тело брошено под углом к горизонту со скоростью (рис. 6-3). Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

При этом опять на тело будет действовать только притяжение планеты вертикально вниз, под действием которого оно будет одновременно участвовать в двух движениях: равномерном и прямолинейном по горизонтали вдоль оси ОХ и сначала — в равнозамедленном движении вверх с убывающей по модулю скоростью до высшей точки подъема, где, а затем — в свободном падении вниз без начальной скорости вдоль оси OY.

Скорость движения тела вдоль оси ОХ будет постоянна и равна .

Координату тела х на оси ОХ можно определить по формуле .

Дальность полета — все время полета.

Скорость движения тела вдоль оси OY будет вначале убывать, пока оно не достигнет высшей точки подъема, где вертикальная скорость станет равна нулю, а затем при свободном падении с максимальной высоты она будет возрастать. Определить можно по формуле .

Угол , под которым тело упадет на землю, равен углу, под которым оно было брошено (эти углы образованы векторами скорости тела и линией горизонта). Скорость тела в момент бросания по модулю равна скорости в момент падения и время взлета t равно времени падения, а все время полета равно удвоенному времени взлета или удвоенному времени падения.

Уравнение движения вдоль оси OY (в случае )

Если сюда подставить , то получим уравнение траектории тела

Это уравнение параболы, вершина которой находится в высшей точке подъема, а ветви направлены вниз. Следовательно, тело, брошенное под углом к горизонту, движется по параболе.

В высшей точке подъема , поэтому

, а максимальная высота взлета

Кроме того,

Все эти формулы используют при решении соответствующих задач.

Определим угол атаки, при котором дальность полета тела будет наибольшей. Углом атаки называют угол а между вектором скорости летящего тела и линией горизонта. Обратимся к уравнению . В этом уравнении начальная скорость тела и ускорение свободного падения g, с которым все время движется тело, остаются постоянными на протяжении всего полета. Значит, дальность полета тела S будет максимальной, когда станет максимальным . Но максимальное значение синуса любого угла равно единице. Если , следовательно, . Таким образом, при угле атаки в 45° дальность полета тела, брошенного свободно под углом к горизонту, будет наибольшей.

Если тело, брошенное под углом к горизонту, испытывает сопротивление внешней среды, например, воздуха, то его движение вдоль оси ОХ уже не будет равномерным, а будет происходить с замедлением, поэтому к такому случаю уравнение равномерного движения применять нельзя.

Движение вверх вдоль оси OY при этом будет происходить не с ускорением свободного падения, а с иным ускорением, обусловленным, кроме притяжения планеты, еще и сопротивлением среды, из-за чего тело будет быстрее тормозиться и, как следствие, поднимется на меньшую высоту. Траектория движения тела в этом случае уже не будет представлять собой параболу, а будет выглядеть примерно так, как показано на рис. 6-4. При составлении уравнений кинематики применительно к такому движению необходимо учитывать влияние сопротивления среды на его кинематические параметры.

При решении задач на движение тел, брошенных горизонтально или под углом к горизонту, под действием только тяготения планеты, следует помнить, что ускорение тела в любой точке траектории направлено вертикально вниз и равно ускорению свободного падения. Решая такие задачи, обязательно выполните чертеж. Изобразите систему координат XOY так, чтобы векторы начальной скорости и ускорения свободного падения лежали в плоскости XOY, направив ось ОХ горизонтально, а ось OY — вертикально вниз, если речь идет о теле, брошенном на некоторой высоте горизонтально, или падающем на землю под углом к горизонту. Если же тело брошено с земли под углом к горизонту или брошено на некоторой высоте так, что вертикальная составляющая его начальной скорости направлена вертикально вверх, то ось OY тоже удобно направлять вверх. При этом начало координат совмещают с точкой бросания или его располагают на поверхности земли под точкой бросания, если тело бросают с некоторой высоты. Не забудьте записать начальные условия в соответствии с выбранной системой координат.

Если тело брошено с земли под углом к горизонту, то на любой высоте h, кроме максимальной, оно окажется дважды: когда будет взлетать и когда будет падать после достижения высшей точки подъема (рис. 6-5). Этим двум разным положениям 1 и 2 будут соответствовать и разные времена , которые можно определить, решив уравнение ,

Время соответствует времени взлета тела на высоту h, а время , соответствует моменту, когда тело вновь оказалось на высоте h, уже начав спускаться после прохождения точки максимального подъема с ускорением g. Этим двум моментам времени будут соответствовать и две дальности полета , определяемые уравнениями .

Если сказано, что тело брошено под углом а к горизонту с некоторой высоты, то здесь возможны два варианта бросания, изображенные на рис. 6-6, а) и б). Соответственно и решения таких задач будут разными. Если не сказано, как оно брошено, рассматривайте оба случая.

Рассмотрим примеры задач с решением:

  1. Пример решения задачи №24. При выстреле из двустороннего пружинного пистолета (рис. 6-7) в горизонтальном направлении один снаряд вылетел со скоростью = 2 м/с. С какой скоростью вылетел второй снаряд, если они упали на землю через t = 0,2 с на расстоянии S = 1 м друг от друга? Сопротивлением воздуха пренебречь. Длина ствола пистолета l = 10 см.
  2. Пример решения задачи №25. Во сколько раз надо изменить скорость тела, брошенного горизонтально, чтобы при вдвое большей высоте, с которой оно брошено, получить прежнюю дальность полета? Сопротивлением воздуха пренебречь.
  3. Пример решения задачи №26. Если стрелу пустить вертикально вверх с некоторой скоростью, то она поднимется на высоту Н. Чему будет равна дальность полета стрелы S, если ее пустить горизонтально с высоты Лис прежней по величине скоростью? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Равномерное движение по окружности

К оглавлению…

Советы: с чего начинать решать задачу и какие законы применить. Читать обязательно!

Тело движется равномерно по окружности, когда равнодействующая всех приложенных к нему сил постоянна по модулю и направлена в каждой точке его траектории по радиусу к центру окружности.

Равномерное движение тела по окружности характеризуют следующими параметрами: угловой скоростью , периодом Т, частотой вращения v, линейной скоростью и и центростремительным ускорением .

Линейная скорость v — это скорость, с которой материальная точка движется по окружности. Она равна отношению длины дуги S ко времени t, за которое пройдена эта дуга:

Угловая скорость равна отношению угла поворота радиуса R, соединяющего материальную точку с центром окружности, ко времени t поворота:

Период Т — это время одного оборота. Он равен отношению всего времени вращения t к числу полных оборотов N:

Частота V — это число оборотов в единицу времени. Она равна отношению числа оборотов N ко времени t:

Связь между всеми параметрами этого движения:

При равномерном движении тела по окружности точки, лежащие на радиусе, движутся с одинаковой угловой скоростью, поскольку радиус за одинаковое время поворачивается на одинаковый угол. А вот линейная скорость и разных точек радиуса различна в зависимости от того, насколько близко или далеко от центра О они располагаются, Например, если две точки 1 и 2 располагаются на радиусе R так, как показано на рис. 7-1, то формулы, устанавливающие связь линейных скоростей этих точек с их угловой скоростью , будут выглядеть так:

Поскольку расстояние r от первой точки до центра вращения О меньше, чем от второй, а их угловые скорости одинаковы, то линейная скорость первой точки меньше, чем второй.

Поделив эти уравнения друг на друга, можно исключить угловую скорость и установить соотношение линейных скоростей этих точек в зависимости от их радиусов вращения:

Из этого соотношения можно определить одну из искомых в задаче величин, если остальные известны.

Решая задачи на вращательное движение стрелок часов, помните, что период вращения секундной стрелки , период вращения минутной стрелки , период вращения часовой стрелки .

Как и прямолинейное движение, движение тела по окружности является относительным, т. е. оно различно в разных системах отсчета. Поэтому траектория тела в одной системе отсчета может быть окружностью, а в другой — нет. Обычно начало отсчета данной системы отсчета совмещают с центром окружности. Если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, то при этом все его точки движутся по окружностям с общим центром и имеют одинаковые угловые скорости, тогда как их линейные скорости и центростремительные ускорения различны.

Если тело движется одновременно и поступательно и вращательно, то его точки движутся по винтовым линиям. При решении задач на такое сложное движение его удобно рассматривать как два независимых движения, происходящих в разных системах отсчета: поступательное — в неподвижной, а вращательное — в движущейся. Для каждой системы записывают соответствующие уравнения кинематики и решают систему уравнений с учетом, что время в разных системах отсчета между одними и теми же событиями одинаково.

Если движение происходит по произвольной кривой, то степень ее кривизны принято характеризовать радиусом кривизны R. Радиусом кривизны называют радиус окружности, которая на бесконечно малом участке криволинейной траектории сливается с ней. Чем менее искривлена траектория, тем больше ее радиус кривизны.

Рассмотрим примеры задач с решением:

  1. Пример решения задачи №27. Конец минутной стрелки часов на Спасской башне Кремля за 1 мин прошел путь S = 0,4 м. Определить длину минутной стрелки кремлевских часов l (рис. 7-2).
  2. Пример решения задачи №28. С какой угловой и линейной и скоростью движутся жители Санкт-Петербурга, участвуя вместе с земным шаром в его суточном вращении? На сколько западнее приземлился бы питерский школьник, прыгнувший на высоту 1 м, если бы во время прыжка не перемещался вместе с Землей? Радиус Земли R = 6400 км.
  3. Пример решения задачи №29. Угловая скорость лопастей вентилятора = 6,28 рад/с. Найти число оборотов N за t = 30 мин.

Переменное и равнопеременное движения по окружности

К оглавлению…

Советы: с чего начинать решать задачу и какие законы применить. Читать обязательно!

Назовем переменным движением материальной точки по окружности движение, при котором точка движется по окружности с переменной скоростью.

При переменном движении материальной точки по окружности быстрота поворота радиуса, соединяющего ее с центром окружности, характеризуется средней и мгновенной угловыми скоростями. Средняя угловая скорость при таком движении определяется так же, как и при равномерном движении, отношением угла поворота радиуса ко времени поворота t:

Частным случаем переменного движения является равнопеременное движение по окружности, т. е. движение с постоянным угловым ускорением. Угловым ускорением такого движения называют отношение изменения угловом скорости ко времени t, за которое оно произошло: .

Здесь — начальная и — конечная угловые скорости.

Если хорошо выучить формулы равномерного и равнопеременного прямолинейного движений, то, сопоставив их с формулами равномерного и равнопеременного движений материальной точки по окружности, нетрудно заметить, что, если в формулах прямолинейного движения заменить путь S на угол , скорость о на угловую скорость и ускорение а на угловое ускорение , то все формулы прямолинейного движения превратятся в формулы движения по окружности. Следовательно, между параметрами и уравнениями кинематики прямолинейного движения и движения по окружности вокруг оси или центра вращения существует аналогия.

Аналогия между параметрами

Аналогия между уравнениями:

Таким образом, если вы хорошо запомнили формулы прямолинейного движения и знаете аналогию между параметрами, то записать формулы движения по окружности для вас не составит труда.

Если твердое тело вращается вокруг закрепленной оси, то все его точки движутся по окружностям с одинаковыми угловой скоростью, угловым ускорением и частотой вращения (периодом) и к ним применимы все приведенные выше формулы.

Решая задачи на движение по окружности, как и в случае прямолинейного движения, непременно обратите внимание на то, к какому типу относится движение, о котором идет речь. И если сказано, что колесо, например, замедляет вращение, то его угловая скорость до этого является его начальной угловой скоростью , а если сказано, что оно остановилось, значит, его конечная угловая скорость равна нулю и точно так же равна нулю и его частота вращения v. Если в такой задаче речь идет о числе оборотов N, то его нельзя определять по формуле , а можно только через среднюю частоту вращения .

По этой же формуле можно определять число оборотов и при равноускоренном движении по окружности.

При переменном движении по окружности время одного оборота, т. е. период Г, изменяется, как и частота вращения v, но эти величины все время остаются обратными друг другу, т. е.

В случае, когда или , можно пользоваться упрощенной формулой .

При переменном угловом ускорении определять среднюю угловую скорость как среднее арифметическое начальной и конечной угловых скоростей нельзя, поскольку за любые равные промежутки времени угловая скорость изменяется теперь произвольно.

Определение мгновенной угловой скорости: угловая скорость равна первой производной угла поворота радиуса, соединяющего материальную точку с центром окружности, по времени: .

Определение углового ускорения: угловое ускорение равно первой производной угловой скорости по времени: .

Если известна зависимость угловой скорости от времени t, то угол поворота можно определить интегрированием

Если к моменту t = 0 радиус уже повернулся на угол то

Если известна зависимость углового ускорения от времени, то

Быстроту изменения скорости при криволинейном движении характеризуют тангециальным нормальным и полным а ускорениями.

Определение тангенциального ускорения: тангенциальное ускорение равно первой производной модуля линейной скорости по времени: . Оно характеризует быстроту изменения линейной скорости по величине.

Вектор тангенциального ускорения сонаправлен с вектором линейной скорости , т. е. направлен по касательной к траектории (рис. 8-1).

Быстрота изменения линейной скорости по направлению характеризуется центростремительным ускорением . Центростремительное ускорение направлено по радиусу к центру кривизны О (см. рис. 8-1) перпендикулярно линейной скорости , поскольку радиус всегда перпендикулярен к касательной. Значит, векторы перпендикулярны друг другу.

Центростремительное ускорение в учебниках по физике высшей школы часто называют нормальным ускорением и обозначают .

Величина, характеризующая быстроту изменения линейной скорости как по величине, так и по направлению, называется полным ускорением при переменном криволинейном движении. Полное ускорение равно векторной сумме тангенциального и центростремительного ускорений:

Поскольку угол между векторами прямой, модуль полного ускорения а можно определить через модули центростремительного и тангенциального ускорений по теореме Пифагора

Тангенциальное ускорение равно произведению углового ускорения и радиуса кривизны траектории: .

По значениям тангенциального и центростремительного ускорений можно судить о типе движения материальной точки.

Если центростремительное ускорение движущегося тела равно нулю, а его линейная скорость и не равна нулю, то в формуле радиус кривизны траектории тела R будет бесконечно велик (ведь ). Этот случай соответствует прямолинейному движению, потому что прямую линию можно рассматривать как окружность бесконечно большого радиуса.

Если при = 0 равно нулю и тангенциальное ускорение , то тело движется прямолинейно и равномерно.

Если не равно нулю, = 0, то тело движется криволинейно с постоянной по модулю линейной скоростью.

Если , а не равно 0, то тело движется прямолинейно с ускорением.

Если — постоянная по модулю величина, то тело движется равномерно по окружности. При этом проходимый им путь можно определять по формуле .

И наконец, если не равны нулю , и то тело движется криволинейно с переменной скоростью.

Напомним, что в СИ угол измеряется в радианах (рад). 1 рад — это центральный угол, длина дуги которого равна радиусу этой дуги. рад.

Если при криволинейном движении угол изменяется линейно с течением времени t, т. е. зависит от t в первой степени , то угловая скорость такого тела или материальной точки постоянна, т. е. оно движется равномерно. Если угол зависит от квадрата времени движения , то это движение равнопеременное, т. е. происходит с постоянным угловым ускорением. Точно так же равнопеременным будет движение, при котором угловая скорость изменяется со временем линейно, т. е. зависит от t в первой степени .

Если при криволинейном движении, в том числе и при движении по окружности, угол зависит от , где показатель степени n больше двух и т. д., или если угловая скорость зависит от квадрата, куба и т. п. времени движения и т. п., то такое движение происходит с переменным угловым ускорением, т. е. является переменным. При решении задач такого типа, если известна зависимость угла поворота от времени , для определения угловой скорости надо брать производную, поскольку . А если дана зависимость угловой скорости от времени , то для определения угла поворота ф приходится интегрировать.

Если дана зависимость угловой скорости от времени с, то для определения углового ускорения надо брать производную этого выражения, а если дана зависимость углового ускорения от времени, то для определения угловой скорости необходимо выполнить интегрирование.

Рассмотрим примеры задач с решением:

  1. Пример решения задачи №30. Маховое колесо, вращаясь равноускоренно, увеличило за t = 4 с частоту вращения с . Чему равно угловое ускорение колеса и число оборотов W, сделанных за это время?
  2. Пример решения задачи №31. Колесо, вращаясь равноускоренно, за t = 10 с сделало N = 20 оборотов и при этом его угловая скорость возросла в 3 раза. Чему равно угловое ускорение колеса?
  3. Пример решения задачи №32. Колесо, вращаясь равнозамедленно, за t = 5 с уменьшило свою частоту с в четыре раза. Чему равен полный угол , на который успело повернуться колесо за это время?

Динамика

Динамика. Законы сохранения

К оглавлению…

В задачах динамики учитывается влияние сил, действующих на тела, а также влияние тел на характер их движения. Этих задач так много, и они столь разнообразны, что невозможно предложить какой-то один или несколько методов их решения, к каждой задаче всякий раз нужен свой подход и новые идеи. Тем не менее мы сделаем попытку огромное количество этих разнообразных задач разделить на несколько типов, в решении которых есть нечто общее, какой-то общий метод или способ. При этом все явления будут происходить только в инерциальных системах отсчета.

В большинстве задач динамики следует делать рисунок, а в задачах на наклонную плоскость, блоки, движение связанных тел он просто необходим. Нарисовав условно движущееся тело и обозначив в его центре «жирной» точкой центр масс, сразу определите, сколько сил действует на данное тело, какие это силы и как они направлены. При этом следует помнить, что к телу приложено столько сил, сколько на него действует реальных тел. Поэтому крайне важно решить, какие тела действуют на тело, о котором говорится в данной задаче. Как правило, в большинстве задач имеется в виду, что на тело действует сила тяжести со стороны Земли, направленная вертикально вниз. Если тело имеет опору, то при этом на него действует также и сила реакции опоры, направленная всегда перпендикулярно площади опоры тела. Если на тело действует сила трения, то она будет антинадравлена перемещению тела только в том случае, если оно движется по поверхности другого неподвижного тела (земли, стола, рельсов, наклонной плоскости и т. д.) или если эта поверхность движется в ту же сторону с меньшей, чем рассматриваемое тело, скоростью. Если же эта поверхность движется с большей, чем само тело, скоростью, то сила трения, приложенная к телу, соналравлсна с его перемещением.

Отметим еще один важный момент. Часто встречаются задачи, в условии которых говорится о теле, движущемся под действием силы, направленной под углом к траектории тела. В этом случае удобно вектор силы, действующей на тело, разложить на две составляющие силы, направив эти составляющие вдоль двух осей координат. Лучше всего одну составляющую силы сонаправить с перемещением тела, а вторую направить перпендикулярно перемещению, и в уравнениях, соответствующих законам Ньютона, использовать уже не саму действующую на тело силу, а модули ее составляющих, имея в виду, что эти составляющие оказывают на тело такое же действие, как и сама сила, направленная под углом к перемещению тела. Иногда, наоборот, следует несколько сил, действующих на данное тело, заменить одной силой — равнодействующей, т. е. произвести сложение нескольких сил, и при этом решение существенно упростится. Повторяем, готовых рецептов здесь нет и быть не может, в каждом конкретном случае следует применять тот или иной способ решения. Поэтому, только решив самостоятельно определенное, но всегда немалое, количество задач, можно надеяться, что решать задачи динамики вы научились.

После того как вы решили задачу в общем виде, непременно проверьте единицу полученной величины. Правда, мы такую проверку делали не во всех задачах в целях экономии места.

Бесспорно, что уравнения кинематики используются и при решении большинства задач динамики, ведь в задачах динамики тоже идет речь о движении тел в пространстве и во времени. Поэтому, прежде чем приступить к решению задач динамики, следует еще раз хорошенько повторить все уравнения кинематики. И, конечно, выучить как следует законы и формулы самой динамики.

В ряде случаев для краткости мы называли векторные величины и их модули одинаково. Например, сила тяжести , сила натяжения и т. п. Кроме того, для уменьшения количества обозначений и индексов одинаковые по модулю силы, приложенные к разным телам, мы обозначали одинаковыми буквами с одинаковыми индексами.

Чтобы правильно определить, какой закон Ньютона следует использовать для решения задачи, следует ответить на вопрос: как движется тело или система тел? Если движение равномерное и прямолинейное, то применяйте первый закон Ньютона. Если движение криволинейное или прямолинейное, но происходит с ускорением, то можно применить второй закон Ньютона.

Первый закон Ньютона: существуют системы отсчета, относительно которых свободное тело сохраняет свою скорость, т. е. движется равномерно и прямолинейно. Такие системы называются инерциальными. Свободным называется тело, на которое не действуют другие тела или их действие скомпенсировано.

Второй закон Ньютона: сила, действующая на тело, равна произведению массы этого тела на ускорение, которое оно приобрело под действием этой силы: .

Если сил несколько, то — их равнодействующая.

Третий закон Ньютона: силы, взаимодействия двух тел равны по модулю и противоположны по направлению.

Рассмотрим задачи на первый и второй законы Ньютона отдельно.

Равномерное прямолинейное движение

Советы: с чего начинать решать задачу и какие законы применить. Читать обязательно!

Если из условия задачи следует, что тело движется равномерно и прямолинейно, значит, согласно первому закону Ньютона все действующие на него силы уравновешены, т. е. они по модулю равны друг другу, но антинаправлены. Поэтому на вашем рисунке каждому вектору силы, направленной, например, вправо, должен соответствовать вектор другой силы, равной по модулю, но направленной влево, каждому вектору силы, направленному вниз, должен соответствовать равный ему по модулю (па чертеже такой же длины) вектор силы, направленный вверх, и т. д. Если какой-то вектор силы на вашем чертеже остался неуравновешенным, значит, вы не учли еще какую-то силу, действующую на данное тело со стороны другого тела, или придумали лишнюю силу, которой на самом деле нет. И в том, и в другом случае правильно решить задачу вы уже не сможете. Потому что, если на тело действует неуравновешенная сила, то оно будет двигаться с ускорением (согласно второму закону Ньютона), но никак не равномерно и прямолинейно.

Если силы, действующие на тело, движущееся с постоянной скоростью, направлены под углом друг к другу, то можно их разложить па такие составляющие, которые уравновесят друг друга. Или, наоборот, сложить так, чтобы остались две уравновешивающие друг друга силы.

При решении задач на связанные нерастяжимой нитью тела лучше записать уравнения движения для каждого тела в отдельности. При этом если все тела движутся с постоянной скоростью, то она для них всех одинакова. Если нерастяжимая нить перекинута через невесомый блок и массой нити тоже можно пренебречь, а трение в блоке мало, то силы натяжения одной и той же нити, привязанной к двум телам, по модулю одинаковы.

Сила трения равна произведению коэффициента трения (другое обозначение k) и силы давления , равной по модулю силе реакции опоры .

Рассмотрим примеры задач с решением:

  1. Пример решения задачи №33. Поезд массой m движется равномерно и прямолинейно в горизонтальном направлении под действием силы тяги Ей противодействует сила сопротивления (рис. 9-1).
  2. Пример решения задачи №34. Тело массой m равномерно перемещается в горизонтальном направлении под действием силы , направленной под углом а к горизонту (рис. 9-2). Кроме силы тяжести , на него еще действуют сила трения сила реакции опоры .
  3. Пример решения задачи №35. Тело под действием силы тяги движется равномерно и прямолинейно вверх по наклонной плоскости с углом наклона при основании а (рис. 9-3). Силой трения можно пренебречь (например, в условии ни о силе трения, ни о коэффициенте трения ничего не сказано).
  4. Пример решения задачи №36. Автомобиль массой m = 2 т движется равномерно по горизонтальному шоссе. Найти силу тяги автомобиля , если коэффициент сопротивления движению k = 0,02.
  5. Пример решения задачи №37. Груз массой m = 100 кг равномерно перемещают по поверхности, прилагая силу под углом к горизонту. Коэффициент трения . Найти величину этой силы.
  6. Пример решения задачи №38. Как легче передвигать тело, к которому прикреплена рукоятка, расположенная под углом к горизонту: тянуть или толкать (рис. 9-14)? Коэффициент трения тела о горизонтальную поверхность равен . Определите отношение силы прилагаемой к телу, когда его тянут за рукоятку, к силе , прилагаемой, когда его толкают перед собой.

Переменное прямолинейное движение

К оглавлению…

Советы: с чего начинать решать задачу и какие законы применить. Читать обязательно!

Рассмотрим некоторые общие правила решения задач па второй закон Ньютона:

По второму закону Ньютона произведение массы тела zn, движущегося с ускорением , и этого ускорения равно векторной сумме всех сил, приложенных к данному телу со стороны других тел. Иными словами, произведение есть равнодействующая всех реальных сил, действующих на тело массой m, движущееся с ускорением . Значит, теперь эти силы не уравновешивают друг друга, поэтому, если на тело действуют две антинаправленные силы , то сила , сонаправленная с вектором ускорения тела, будет больше антинаправленной этому вектору силы (рис. 10-1, а), поэтому и длина вектора на чертеже обязательно должна быть больше длины вектора . В этом случае второй закон Ньютона в векторном виде можно записать так: .

Однако в проекциях на ось ОХ, поскольку силы антинаправлены, он будет записан так: .

Если силы сонаправлены (рис. 10-1, б), то второй закон Ньютона в векторной записи и в проекциях будет выглядеть так:

Если силы ориентированы под углом друг к другу (рис. 10-2), то произведение есть вектор, являющийся диагональю параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах. В этом случае второй закон Ньютона в векторной записи выглядит по-прежнему ,

Чтобы записать второй закон Ньютона для модулей сил и , нужно знать угол а между векторами . Если он известен, то, пользуясь теоремой косинусов, можно записать:

Если угол , то по теореме Пифагора .

Рассмотрим примеры задач с решением:

  1. Пример решения задачи №39. Поезд массой m движется горизонтально с ускорением под действием силы тяги . На него действует также сила сопротивления (рис. 10-3).
  2. Пример решения задачи №40. Два тела массами и связаны нитью, перекинутой через невесомый блок, укрепленный на вершине наклонной плоскости (рис. 10-4).
  3. Пример решения задачи №41. Автомобиль массой m тормозит, двигаясь с выключенным мотором, и останавливается (рис. 10-5).
  4. Пример решения задачи №42. Два тела, связанных друг с другом, поднимают на канате вертикально вверх (рис. 10-14). Верхнее тело имеет массу нижнее — массу . К канату приложена сила тяги Система движется равноускоренно.
  5. Пример решения задачи №43. Поезд массой m = 1000 т на пути S = 500 м увеличивает скорость с = 36 км/ч до v = 72 км/ч. Коэффициент сопротивления движению = 0,005. Найти силу тяги локомотива , считая ее постоянной.
  6. Пример решения задачи №44. На участке дороги, где для автотранспорта установлена предельная скорость 30 км/ч, водитель применил аварийное торможение. Инспектор ГИБДД по следу колес обнаружил, что тормозной путь S = 12 м. Превысил ли водитель предельную скорость в момент начала торможения, если коэффициент торможения = 0,6?
  7. Пример решения задачи №45. Автодрезина ведет равноускоренно две платформы массами . Сила тяги, развиваемая дрезиной, = 1,78 кН. Коэффициент сопротивления движению = 0,05. С какой силой натянуто сцепление между платформами?

Равномерное движение по окружности

К оглавлению…

Советы: с чего начинать решать задачу и какие законы применить. Читать обязательно!

Если материальная точка движется равномерно по окружности в инерциальной системе отсчета, то равнодействующая всех сил, равная их векторной сумме, всегда направлена по радиусу к центру окружности, т. е. туда, куда направлено центростремительное ускорение точки, и равна согласно второму закону Ньютона произведению массы материальной точки и ее центростремительного ускорения . Таким образом, если в задаче говорится о равномерном движении тела по окружности и если при этом на него действует только одна сила, то ее надо направить по радиусу к центру окружности и приравнять произведению массы тела и его центростремительного ускорения. Если на тело действуют несколько сил, то их надо векторно сложить так, чтобы их равнодействующая была обязательно направлена по радиусу к центру окружности, и приравнять эту равнодействующую произведению . Если на такое тело действуют две силы, одна из которых направлена по радиусу к центру окружности, а вторая антинаправлена ей, то больше по модулю будет всегда та, которая направлена по радиусу к центру. При этом произведение массы тела и его центростремительного ускорения будет равно по модулю разности большей и меньшей сил. Рассмотрим примеры на применение второго закона Ньютона к этому виду движения. Во всех примерах и задачах тела движутся относительно инерциальной системы отсчета.

Рассмотрим примеры задач с решением:

  1. Пример решения задачи №46. Автомобиль движется по вогнутому мосту равномерно, т. е. с постоянной по модулю скоростью. При этом на него действуют две силы: сила тяжести mg и сила реакции опоры , причем сила реакции опоры по модулю больше силы тяжести, ведь именно сила реакции опоры направлена по радиусу к центру окружности, который расположен вверху над мостом.
  2. Пример решения задачи №47. Тело массой m вращается по окружности в горизонтальной плоскости, будучи подвешенным на нити (рис. 11-4). Такая система тел называется коническим маятником.
  3. Пример решения задачи №48. Конькобежец массой m движется по окружности. Как правило, в такой задаче силой трения скольжения пренебрегают, потому что когда конек режет лед, то между ним и льдом образуется прослойка воды из-за таяния льда.
  4. Пример решения задачи №49. Летчик массой m делает «мертвую петлю» в вертикальной плоскости. В задаче речь идет о силах давления летчика на кресло в верхней и нижней точках петли (рис. 11-6).
  5. Пример решения задачи №50. На горизонтальной дороге автомобиль делает поворот радиусом R = 16 м. Какова наибольшая величина скорости и, которую может развить автомобиль, чтобы его не занесло, если коэффициент трения скольжения колес о дорогу k = 0,4?
  6. Пример решения задачи №51. Конькобежец движется со скоростью и ~ 10 м/с по окружности радиусом R — 30 м. Под каким углом а к горизонту он должен наклониться, чтобы сохранить равновесие? Трением пренебречь.
  7. Пример решения задачи №52. С какой наибольшей скоростью у может ехать велосипедист по горизонтальной поверхности, описывая дугу радиусом R = 80 м, если коэффициент трения резины о поверхность = 0,5? На какой угол а от вертикального он при этом отклоняется?

Закон всемирного тяготения

К оглавлению…

Советы: с чего начинать решать задачу и какие законы применить. Читать обязательно!

Закон всемирного тяготения: две материальные точки притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними:

Задачи на эффекты гравитации, как правило, сводятся ко второму закону Ньютона, где силой или одной из сил является сила тяготения. Поэтому, если в условии задачи говорится о движении спутника вокруг Земли или другой планеты, или о движении Земли вокруг Солнца и т. д., то имеет смысл начать решение задачи со второго закона Ньютона, записанного в скалярном виде следующим образом:

Здесь — гравитационная постоянная, m -кг масса того тела, которое движется по круговой орбите, — его центростремительное ускорение, — сила тяготения этого тела к планете, М — масса планеты, r — расстояние от тела до центра планеты.

С учетом этого .

Если говорится о высоте тела Н над поверхностью планеты и радиусе планеты R (его можно взять из справочника), то r = R + Н и тогда .

Если высота тела над поверхностью планеты мала по сравнению с радиусом планеты (полезно знать, что радиус земного шара .

Если в условии задачи сказано, что тело находится на высоте 40 м над поверхностью земли, то в законе всемирного тяготения за r смело можно принимать радиус земного шара м, а если говорится о высоте в 1000 и более км, то ослабление гравитации уже надо учитывать, т. е. к радиусу Земли в знаменателе закона всемирного тяготения следует прибавлять и эту высоту.

Если в процессе решения задачи вам приходится иметь дело с произведением гравитационной постоянной на массу Земли , чтобы избежать действий с большими степенями и громоздких вычислений, можно воспользоваться формулой или и заменить , что гораздо проще вычислить. Надо только помнить, что только на земной поверхности и на высотах, много меньших радиуса Земли. Если речь идет, например, о спутнике, то там ускорение свободного падения значительно меньше , и здесь ускорение свободного падения следует определять из формулы

Если необходимо определить силу тяготения шаров, имеющих полость, то эту полость можно принять за тело с отрицательной массой. При этом можно вначале определить силу тяготения сплошных шаров, а затем из нес вычесть силу тяготения одного шара к полости во втором шаре или силу тяготения полостей друг к другу, если они наличествуют в обоих шарах.

Определение силы тяжести: сила тяжести — это сила, действующая на тело вследствие его притяжения к планете. Она равна произведению массы тела и ускорения свободного падения. На полюсе Земли сила тяжести равна силе тяготения тела к Земле.

На экваторе эффект суточного вращения Земли, влияющий на величину силы тяжести, наибольший. Там величина силы тяжести определяется выражением .

Здесь m — масса тела, g — ускорение свободного падения, -сила тяготения, — угловая скорость суточного вращения Земли вокруг своей оси, R — радиус Земли.

Вес тела — это сила, с которой тело действует на опору или подвес вследствие притяжения к планете.

Вес тела равен силе тяжести, когда тело покоится или движется равномерно и прямолинейно вверх или вниз:

Вес тела, опускающегося с ускорением или поднимающегося с замедлением, уменьшается и становится меньше силы тяжести. В этом случае

Если тело свободно падает, . Это явление называется невесомостью.

Вес тела, поднимающегося с ускорением или опускающегося с замедлением, увеличивается и становится больше силы тяжести и его веса в состоянии покоя. Такое состояние называют перегрузкой. В этом случае

Перегрузкой n называют также величину, показывающую, во сколько раз вес тела Р, поднимающегося с ускорением или опускающегося с замедлением, больше веса этого же тела в состоянии покоя .

Рассмотрим примеры задач с решением:

  1. Пример решения задачи №53. Во сколько раз планета Плутон притягивается к Солнцу слабее Земли, если Плутон удален от Солнца на расстояние, в 40 раз большее, чем Земля? Массы Земли и Плутона приблизительно одинаковы.
  2. Пример решения задачи №54. Во сколько раз ускорение свободного падения g на расстоянии от центра Земли, равном n радиусам Земли, меньше ускорения свободного падения на земной поверхности?
  3. Пример решения задачи №55. Расстояние между Землей и Луной равно 60 земным радиусам. В какой точке прямой, соединяющей центры Земли и Луны, ракета, движущаяся к Луне, будет притягиваться к Земле и Луне с одинаковой силой? Масса Земли в 81 раз больше массы Луны, а радиус Земли — в 3,8 раза больше радиуса Луны.

Закон сохранения импульса

К оглавлению…

Советы: с чего начинать решать задачу и какие законы применить. Читать обязательно!

Импульсом тела называется произведение массы тела m и скорости .

Импульс системы тел равен векторной сумме импульсов тел, составляющих систему. Если на систему тел не действуют внешние силы, то такая система называется замкнутой. Импульс замкнутой системы сохраняется при всех изменениях внутри системы. В этом состоит закон сохранения импульса системы тел.

Закон сохранения импульса удобен при решении задач, в которых можно не учитывать или не определять внутренние силы, действующие в данной системе тел. В этом случае решение задачи зачастую получается значительно проще и короче, нежели при использовании законов Ньютона. Однако при этом следует помнить, что закон сохранения импульса выполняется только применительно к замкнутым системам, т. е. к таким системам тел, на которые не действуют внешние силы.

В замкнутой системе тел сумма импульсов всех тел, составляющих систему, до взаимодействия равна сумме импульсов этих же тел после взаимодействия. При этом следует помнить, что импульс — величина векторная, значит, и сумма импульсов — это векторная сумма. Но поскольку при решении задач мы используем скалярные величины, то при решении задач на закон сохранения импульса следует переходить от векторных величин импульсов к их проекциям на выбранные ранее направления.

Проще всего решать такие задачи, когда импульсы всех тел ориентированы вдоль одной прямой. При этом проекции импульсов равны модулям самих импульсов, и задача состоит в том, чтобы выбрать одно из направлений положительным, тогда перед импульсами, сонаправленными с этим положительным направлением, следует поставить знак «плюс», а перед импульсами, направленными противоположно, нужно ставить знак «минус». Тогда по закону сохранения алгебраическая сумма всех импульсов тел с учетом их знаков до взаимодействия равна алгебраической сумме всех импульсов тел после взаимодействия.

Рассмотрим пример. Из орудия массой установленного на движущейся платформе массой , производят выстрел в направлении, противоположном движению платформы. Скорость платформы до выстрела — , скорость ее после выстрела — , масса снаряда — , его скорость при вылете из ствола орудия — . Если принять положительным направление движения платформы до выстрела и считать, что после выстрела оно осталось прежним, то закон сохранения импульса применительно к этому случаю в векторной записи а для модулей импульсов с учетом их направления: .

Поскольку выстрел произведен в противоположном движению платформы направлении, то перед импульсом снаряда после выстрела мы поставим «минус».

Если до взаимодействия сумма импульсов всех тел была равна нулю, то она останется равной нулю и после взаимодействия.

Например, до старта сумма импульсов ракеты и топлива была равна нулю. После старта ракета летит со скоростью , а отработанные газы вылетают со скоростью . Масса ракеты — масса топлива — . Приняв положительным направление движения ракеты, запишем закон сохранения импульса применительно к этому случаю следующим образом в векторном виде: , а для модулей импульсов: или .

Если импульсы тел до или после взаимодействия (или и до, и после) ориентированы под углом друг к другу, не равным 0° или 180°, то проекции этих импульсов на выбранное направление уже не будут численно равны самим импульсам (рис. 13-1, а). В этом случае для записи проекций импульсов без тригонометрических функций в большинстве случаев не обойтись. В некоторых случаях, если углы между импульсами прямые, приходится применять теорему Пифагора, а если углы не прямые, то теорему косинусов.

Рассмотрим пример: Граната массой m, летевшая со скоростью , разорвалась на два осколка массами , разлетевшимися со скоростями под углом а друг к другу (рис. 13-1, б). В векторной записи закон сохранения импульса применительно к этому случаю .

При этом мы обязательно должны учесть, что, если импульс гранаты до взрыва был равен , то векторы импульсов осколков надо сложить так, чтобы их векторная сумма была равна вектору . При этом векторы должны быть сторонами параллелограмма, диагональю которого будет являться вектор . Поэтому в скалярной записи закон сохранения импульса будет записан с использованием теоремы косинусов так:

Здесь мы воспользовались способом векторного сложения импульсов, не проецируя векторы импульсов на выбранные оси координат, т. е. не прибегая к координатному способу решения задачи. Можно записать закон сохранения импульса для этого случая в проекциях векторов импульсов на оси координат ОХ и ОУ, направив ось ОХ по направлению импульса гранаты, а ось ОУ -перпендикулярно оси ОХ. Тогда закон сохранения импульса в скалярной записи примет вид (рис. 13-2) .

Если вы не допустите ошибки в процессе дальнейшего решения задачи, то результат решения обоими способами будет одинаков. Отметим, что первый способ решения предпочтительнее, когда во взаимодействии участвуют только два тела, например, когда граната разрывается только на два осколка: тогда задача решается

проще. Если же граната разрывается на три или более осколков, то лучше воспользоваться способом проекций импульсов на оси координат, так меньше вероятность допустить ошибку.

Если в условии задачи о снаряде, разорвавшемся на два осколка, сказано, что их массы соотносятся, например, как 2:3, то надо представить себе, что вся граната состоит из 2 + 3 = 5 частей, и тогда на первый осколок массой . приходится массы всего снаряда m, т. е. , а на второй осколок массой приходится массы снаряда .

Отметим, что в приведенных примерах есть одно отступление от условия, при котором закон сохранения импульса выполняется. Дело в том, что осколки гранаты не составляют замкнутую систему, на них действуют силы тяжести, как и на саму гранату до взрыва. Однако внутренние силы, возникающие в момент разрыва гранаты, так велики и во столько раз превосходят силу тяжести, что ею здесь смело можно пренебречь и считать систему этих тел замкнутой. А внутренние силы, как бы велики они ни были, как известно, не в состоянии изменить импульс системы.

Условие замкнутости системы при применении закона сохранения импульса можно нарушать еще в одном случае: когда импульсы тел до и после взаимодействия направлены перпендикулярно внешним силам, действующим на эти тела, например, когда тела движутся до и после взаимодействия горизонтально, а на них действует в вертикальном направлении сила тяжести. Тогда закон сохранения импульса выполняется для их проекций на ось координат, перпендикулярную векторам внешних сил.

Если вам известно, куда летел снаряд до взрыва и куда полетел один из двух осколков после взрыва, то определить, куда полетел второй осколок, не очень сложно. Нужно изобразить графически вектор импульса снаряда до взрыва, а затем с помощью штриховых линий полученную фигуру достроить до параллелограмма так, чтобы импульс снаряда до взрыва был его диагональю, а импульс первого осколка — одной из сторон. Другая сторона этого параллелограмма и будет изображать импульс второго осколка (рис. 13-2).

Необходимо отличать такие понятия, как импульс силы и импульс тела. Импульс тела (или системы тел) — это произведение массы тела (или системы) на скорость тела (или системы): . Импульс силы — это произведение силы, действующей на тело (или систему тел), на время ее действия. Изменение импульса тела (или системы) согласно теореме об импульсе (основному закону динамики) равно импульсу силы, подействовавшей в течение времени на тело (или систему): .

Следует знать, что при составлении уравнений закона сохранения импульса нужно всегда брать абсолютную скорость тел, т. е. скорость тел относительно неподвижной системы отсчета.

Рассмотрим примеры задач с решением:

  1. Пример решения задачи №56. Шофер выключил двигатель в тот момент, когда скорость автомобиля была 54 км/ч. Через = 2 с скорость автомобиля упала до v = 18 км/ч. Чему был равен импульс автомобиля в момент выключения двигателя? Чему равно изменение импульса автомобиля ? Чему равен импульс силы сопротивления движению автомобиля ? Сила сопротивления движению в течение времени была постоянна и составляет = 6 кН.
  2. Пример решения задачи №57. Три сцепленных вагона массами m, 2m и Зm, где m = 2 т, движущиеся со скоростью = 1,8 км/ч, столкнулись с неподвижным вагоном, после чего они все стали двигаться со скоростью v = 0,9 км/ч. Чему равна масса неподвижного вагона?
  3. Пример решения задачи №58. Снаряд, выпущенный вертикально вверх, взорвался на максимальной высоте. При этом образовалось три осколка. Два осколка разлетелись под прямым углом друг к другу. Масса первого осколка его скорость масса второго осколка , его скорость . Чему равна скорость третьего осколка массой ?

Работа и мощность

К оглавлению…

Советы: с чего начинать решать задачу и какие законы применить. Читать обязательно!

Напомним формулы работы и мощности в механике:

Здесь А — работа, F — модуль силы, совершающей работу, S -модуль перемещения, — угол между векторами силы и перемещения, k — жесткость, х — деформация, N — мощность, v — скорость, t — время.

В формулах на нахождение работы и мощности не забывайте определить угол а между векторами силы, совершающей работу, и вектором перемещения. В противном случае вы рискуете потерять «минус» и получить неверный ответ.

Подчеркнем, что в формулах совершает работу или развивает мощность некоторое тело, которое действует на данное тело с определенной силой . Это может быть сила тяги или сила натяжения, или, наконец, сила трения и т. д., но не равнодействующая всех сил, действующих на данное тело. Например, если под действием силы тяги поезд массой m движется с ускорением-а, то работа силы тяги .

По второму закону Ньютона откуда

Тогда .

Если под действием силы натяжения тело массой m поднимается вверх с ускорением а на высоту h, то работа, совершаемая этой силой, .

По второму закону Ньютона , откуда

Тогда .

Если перемещаемое тело нельзя рассматривать как материальную точку, то в формуле работы S есть модуль перемещения его центра масс. Например, если канат длиной l и массой m поднимают равномерно за один его конец на всю его длину, то модуль перемещения его центра масс будет равен , поэтому работа прилагаемой к канату силы будет:

Если тело движется равномерно, то в формуле мощности v -скорость этого движения, а если оно движется с переменной скоростью, то в этой формуле о, как правило, является средней скоростью его движения, если речь идет о средней мощности, или мгновенной скоростью, если говорится о мощности тела или механизма в данный момент времени. Работа при упругой деформации определяется по формуле

где k — жесткость и х— деформация.

Если речь идет о работе нескольких сил, то их работа равна алгебраической сумме работ, совершенных каждой силой в отдельности. Если силы приложены к одному и тому же телу, то полная работа всех этих сил равна произведению модуля результирующей силы на модуль перемещения и на косинус угла между векторами силы и перемещения.

Отметим, что работа — это процесс. Ее нельзя накопить, чтобы потом израсходовать, затратить на что-либо. Тем не менее термин «затраченная работа» используется в физике при определении коэффициента полезного действия (КПД) механизмов.

Определение КПД : коэффициентом полезного действия механизма называется отношение полезной работы , совершенной этим механизмом, ко всей затраченной им работе выраженное в процентах:

При этом полезной работой считается работа, которую надо совершить, а затраченной — работа, которую механизм на самом деле совершает. Например, когда тянут тело по наклонпой плоскости с помощью веревки, то полезная работа равна произведению силы тяжести, действующей на тело, на высоту наклонной плоскости р, а затраченная работа равна произведению силы натяжения веревки на длину наклонной плоскости и . В этом случае

КПД может быть выражен не в процентах, а в частях. В этом случае в формуле КПД не надо отношение работ умножать на 100%, т. е. она примет вид

Затраченная работа всегда больше полезной, поэтому КПД любых механизмов всегда меньше 100%. Никакой механизм не может дать выигрыша в работе, а может помочь выиграть только в силе, но при этом обязательно происходит проигрыш в расстоянии. Это утверждение называют «золотым правилом механики».

Рассмотрим примеры задач с решением:

  1. Пример решения задачи №59. Груз массой m поднимают равномерно на канате от основания наклонной плоскости к ее вершине (рис. 14-1). Длина наклонной плоскости l, высота h. Какую работу совершает человек, поднимающий груз? Чему равна работа силы тяжести ? Чему равна работа силы трения , если коэффициент трения груза о плоскость равен ?
  2. Пример решения задачи №60. Подъемный кран поднимает в течение времени t = 2 мин стальную плиту со скоростью v = 0,5 м/с. Длина плиты l=4м, ширина r — 50 см, высота h = 40 см. Какую полезную работу А совершает кран? Плотность стали
  3. Пример решения задачи №61. Мальчик бросил вверх мяч массой m = 200 г и поймал мяч при его падении в точке бросания. При этом мяч проделал путь S = 8 м. Чему равна работа совершенная силой тяжести при подъеме мяча на максимальную высоту? Чему равна работа , совершенная силой тяжести при падении мяча с этой высоты? Чему равна работа , совершенная силой тяжести на всем пути, проделанном мячом?

Закон сохранения энергии в механике

К оглавлению…

Советы: с чего начинать решать задачу и какие законы применить. Читать обязательно!

Если тело способно совершить работу, значит, оно обладает энергией. Энергия в механике определяется положением тел относительно друг друга и их скоростями.

Механическая энергия Е равна сумме потенциальной и кинетической энергий: .

Кинетическая энергия — это энергия, которой обладает тело вследствие своего движения.

Половина произведения массы тела на квадрат его скорости определяет величину его кинетической энергии:

Работа, совершенная некоторой силой, равна изменению кинетической энергии тела, на которое эта сила действовала:

Эта теорема справедлива как в случае действия постоянной, так и в случае действия переменной сил, причем не имеет значения, к какому виду эти силы относятся.

Потенциальная энергия тела — это энергия, которой оно обладает вследствие того, что находится в силовом поле, или вследствие взаимодействия с другими телами.

Работа силы тяжести или силы упругости равна изменению потенциальной энергии тела, взятому со знаком «минус»:

Формула потенциальной энергии тела на высоте h, во много раз меньшей радиуса Земли, выглядит так: .

Потенциальная энергия тела в гравитационном поле планеты определяется формулой .

Потенциальная энергия упругодеформированного тела

При решении задач на закон сохранения энергии следует сразу определить, какой закон можно применить в данной задаче: закон сохранения механической энергии или общий закон сохранения энергии тел.

Закон сохранения механической энергии: в замкнутой системе тел, где действуют между телами только силы тяжести или силы упругости, полная механическая энергия системы сохраняется.

Общий закон сохранения и превращения энергии: энергия не возникает из ничего и не исчезает, а лишь превращается из одного вида в другой в эквивалентных количествах.

Закоп сохранения механической энергии можно использовать в тех случаях, когда система тел замкнута, т. е. на тело или систему тел не действуют внешние силы или они друг друга компенсируют, и, кроме того, в самой системе тел не действуют неконсервативные силы трения или сопротивления, из-за которых механическая энергия превращается во внутреннюю тепловую энергию. Иными словами, закон сохранения механической энергии можно применять, когда тело находится под действием только внутренних сил тяжести (тяготепия) или сил упругости и ничего не сказано о действии сил трения (не дан коэффициент трения или сопротивления, не говорится, что в процессе движения или взаимодействия тела нагреваются, и т. п.).

Начиная решать задачу на закон сохранения механической энергии, сделайте хотя бы простенький чертеж, на котором отметьте все положения движущегося тела, начиная с начального положения и до его конечного положения, и обозначьте, где у тела была какая энергия с соответствующими индексами (где кинетическая, где потенциальная, где начальная, где конечная, где промежуточная, если о пей идет речь). При этом, если тело находится на высоте, то за нулевой уровень потенциальной энергии можно принять поверхность земли, т. е. считать, что на земле потенциальная энергия тела становится равной нулю. А если тело упруго деформировано, то за нулевой уровень потенциальной энергии можно принять положение, при котором его деформация равна нулю, например, когда пружина не сжата и не растянута.

Если в изолированной системе тел действуют только силы тяжести или силы упругости (сила реакции опоры тоже относится к силам упругости), то потенциальная энергия тела может превращаться в кинетическую, и наоборот, но при этом полная механическая энергия системы Е в каждой точке траектории, по которой движется тело, остается неизменной, т. е. сумма потенциальной и кинетической энергий этого тела будет одна и та же. В этом состоит закон сохранения механической энергии, который очень удобно применять при решении задач, когда пе требуется определять силы, действующие на тело в данной замкнутой системе. Достаточно определить кинетическую или потенциальную энергию тел в одном положении (или обе эти энергии) и в другом, выразив их через соответствующие формулы кинетической и потенциальной энергий, а затем суммарные энергии тела в двух разных положениях приравнять друг другу. И из полученного равенства вы можете иногда сразу определить искомую величину, не применяя законы Ньютона или уравнения кинематики. Если же полученное равенство энергии не позволяет сразу найти то, что надо, то тогда можпо добавить закон сохранения импульса (как при упругом ударе) или необходимые уравнения кинематики и динамики.

Рассмотрим примеры задач с решением:

  1. Пример решения задачи №62. Тело массой т падает свободно на землю с высоты Н без начальной скорости.
  2. Пример решения задачи №63. Тело соскользнуло по желобу с высоты Н без начальной скорости и описало петлю радиусом R в вертикальной плоскости (рис. 15-7). Если трение отсутствует, то суммарная потенциальная и кинетическая энергия в любой точке траектории одинакова и равна начальной потенциальной энергии в высшей точке.
  3. Пример решения задачи №64. Найти потенциальную и кинетическую энергии тела массой m = 5 кг, падающего свободно с высоты Н = 10 м, на расстоянии h = 4 м от поверхности земли.
  4. Пример решения задачи №65. Тело массой т = 5 кг падает свободно с высоты Н = 12 м (см. рис. 15-10). Найти изменение его потенциальной энергии через t = 0,5 с после начала падения. Начальная скорость = 0.
  5. Пример решения задачи №66. Снаряд, получивший при выстреле начальную скорость = 300 м/с, летит вертикально вверх (рис. 15-1, в). На какой высоте h его кинетическая энергия станет равна потенциальной ? Сопротивлением пренебречь.

Вращательное движение твердого тела

К оглавлению…

Советы: с чего начинать решать задачу и какие законы применить. Читать обязательно!

В рассматриваемых нами задачах все твердые тела вращаются вокруг неподвижной оси или движущейся при качении тела параллельно самой себе. В этом случае все векторные величины, характеризующие вращение тела, направлены вдоль оси вращения, что позволяет сразу переходить к алгебраической записи соответствующих уравнений, т. е. записи этих уравнений в скалярном виде с учетом соответствующих знаков. Поскольку векторы угловой скорости , углового ускорения , момента силы и момента импульса направлены вдоль оси вращения, то, выбрав за положительное направление поступательного движения правого винта, когда вращение его головки совпадает с направлением вращения твердого тела, перед величинами, векторы которых антинаправлены положительному направлению, будем ставить «минус».

Например, на рис. 16-1, а) тело под действием силы F вращается против часовой стрелки, поэтому векторы его начальной и конечной угловых скоростей положительны, ведь они сонаправлены с положительным направлением, которое показывает большой палец правой руки на рис. 16-1, а), когда четыре пальца этой руки свер1гуты в направлении вращения твердого тела (эти четыре пальца показывают, как в этом случае вращается правый винт, а большой палец показывает направление его поступательного движения). Па тело на рис. 16-1, б), вращавшееся вначале с угловой скоростью стала действовать тормозящая сила трения , направленная в точке m на нас, вследствие чего оно стало двигаться замедленно, поэтому его угловое ускорение стало отрицательным. Вот почему вектор углового ускорения на этом рисунке направлен вниз. По этой же причине антинаправлен положительному направлению оси ОХ и вектор момента силы трения , значит, он тоже отрицателен. А вот вектор момента импульса

положителен и в этом случае, ведь он всегда сонаправлен с вектором угловой скорости, независимо от того, увеличивается опа или уменьшается.

Материал этой темы достаточно сложен. Чтобы легче было в нем разобраться, мы приведем таблицу, демонстрирующую аналогию между «симметричными» величинами поступательного и вращательного движений, а также между соответствующими уравнениями:

Основное уравнение динамики поступательного движения

Основное уравнение динамики вращательного движения

Работа при поступательном движении

Работа при вращательном движении

Кинетическая энергия поступательного движения

Кинетическая энергия вращательного движения

Момент инерции цилиндра (рис. 16-2, a) . (16-1)

По формуле (16-1) можно также определить момент инерции однородных диска и стержня относительно оси, проходящей через их центр перпендикулярно плоскости диска или основанию стержня. Однако если ось вращения проходит через центр стержня перпендикулярно его длине I (рис. 16-2, б), то расчеты показывают, что в этом случае момент инерции вычисляется по формуле

Момент инерции однородного шара радиусом R относительно оси вращения, проходящей через его центр (рис. 16-2, в), определяется формулой

Момент инерции диска, толщина которого много меньше его диаметра, относительно оси вращения, совпадающей с диаметром диска (рис. 16-2, г), определяется формулой

Момент инерции кольца массой т с радиусом R относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости кольца (рис. 16-2, д), определяется по такой же формуле, что и момент инерции материальной точки:

Таким образом, момент инерции тела зависит от его массы, распределения массы в теле, размеров и формы тела и положения оси вращения. Каждое тело обладает бесконечно большим числом значений моментов инерций, соответствующих бесконечно большому числу возможных осей вращения.

Если ось вращения не проходит через центр масс тела (рис. 16-3), то момент инерции тела относительно этой оси можно определить по теореме Штейнера: момент инерции тела J относительно произвольной оси mn равен сумме момента инерции этого тела относительно оси вращения , проходящей через центр масс тела С параллельно оси mn, и произведения массы тела на квадрат расстояния d между этими осями: .

В задачах на блоки, через которые перекинута нить (веревка, канат, шнур), обращайте внимание на то, каким является блок: весомым или невесомым, иными словами, следует учитывать массу блока или ею можно пренебречь. В задачах на блоки, решенных нами ранее, массой блока мы пренебрегали и в связи с этим считали, что силы натяжения нити по обе стороны одинаковы, не вдаваясь в объяснение, почему это так. Теперь постараемся объяснить этот факт. Действительно, если масса блока равна нулю, то нулю равен и его момент инерции J. Но тогда левая часть уравнения

записанного применительно к рис. 16-4, обращается в нуль, из-за чего момент силы натяжения становится равным моменту , созданному силой натяжения :

Но по определению момента силы .

Здесь плечом сил является радиус блока R. Тогда

Таким образом, если блок невесомый (или если его массой можно пренебречь), то силы натяжения нити по обе стороны блока будут одинаковы.

Однако, если массой блока пренебречь нельзя, то необходимо учитывать и момент инерции блока J, вследствие чего произведение не будет равно нулю и моменты не будут равны друг другу, поэтому

Отметим также, что возможен случай, когда и при наличии у блока массы, т. е. когда его моментом инерции пренебречь нельзя. Так будет, если блок будет вращаться равномерно или покоиться, т. е. когда его угловое ускорение будет равно нулю. В этом случае левая часть уравнения (16-2) опять обратится в нуль и вновь станет равен , в результате чего силы натяжения нитей станут одинаковы.

Если тело вращается вокруг неподвижной оси, то его кинетическая энергия определяется формулой .

Если же оно катится по поверхности или летит и одновременно вращается, как снаряд, выпущенный из нарезного ствола, то его общая кинетическая энергия определяется как сумма кинетической энергии поступательного и вращательного движении:

Здесь m — масса тела, v — его линейная скорость, — его угловая скорость, J — момент инерции тела.

Если тело, о котором сказано выше, по какой-то причине изменяет свою кинетическую энергию, например, вследствие неупругого удара или в результате действия силы трения , то количество теплоты Q, выделившейся при неупругом ударе, или работа силы трения , или изменение его механической энергии , или изменение внутренней энергии будут равны изменению общей кинетической энергии тела (точнее ее уменьшению):

Если в задаче сказано, что катившееся тело благодаря запасу кинетической энергии поступательного и вращательного движений поднялось на некоторую высоту h без трения, то изменение его общей кинетической энергии равно приобретенной при этом потенциальной энергии , взятой со знаком «минус»:

Встречаются задачи, в которых тело, скатываясь с некоторой высоты, приобретает кинетическую энергию поступательного и вращательного движений за счет запаса потенциальной энергии, которой оно обладало на этой высоте. Рассмотрим случай, когда мотоциклист массой m, скатываясь с высоты Н, па которой он обладал потенциальной энергией , делает мертвую петлю радиусом R. При этом, если нет сил трения и сопротивления среды, то потенциальная энергия мотоциклиста превращается в кинетическую энергию вращательного движения его колес и потенциальную энергию мотоциклиста на высоте 2R, равной диаметру его орбиты. Тогда по закону сохранения механической энергии (который здесь справедлив, поскольку на велосипедиста действуют только консервативные силы тяжести и упругой реакции опоры) имеем:

При решении задач на закон сохранения момента импульса тела или системы тел, следует помнить, что этот закон справедлив только в том случае, когда на тело или систему тел не действуют внешние силы или когда алгебраическая сумма моментов всех внешних сил равна нулю. Поскольку внутренние силы системы тел не в состоянии изменить общий момент импульса системы, то в этом случае он сохранится, т. е. сумма моментов импульсов всех тел системы до их взаимодействия равна сумме их моментов импульсов после взаимодействия.

Рассмотрим пример на применение закона сохрапепия момента импульса. Человек массой , которого можно принять за материальную точку, стоял на краю неподвижной платформы массой , которую можно считать однородным диском. Очевидно, что суммарный момент импульса платформы с человеком при этом был равен нулю, так как угловая скорость этих тел была равна нулю (рис. 16-5, а).

Когда человек пошел по краю платформы, двигаясь с линейной скоростью , он приобрел момент импульса относительно оси вращения , вокруг которой платформа стала вращаться. Этот момент импульса

где — момент инерции человека, R — радиус платформы. Но по закону сохранения момента импульса суммарный момент импульса человека и платформы должен сохраниться, т. е. остаться равным нулю, поэтому платформа тоже должна начать вращаться, причем с такой угловой скоростью , чтобы ее момент импульса был антинаправлен моменту импульса человека и по модулю равен ему. Поэтому платформа станет вращаться в противоположную сторону (рис. 16-5, б) и по закону сохранения момента импульса станет справедливым равенство или — момент инерции платформы.

Отсюда можно найти новую угловую скорость платформы или ее частоту вращения , или какую-нибудь другую искомую величину.

Закон сохранения момента импульса так же, как и закон сохранения импульса, удобно применять тогда, когда в условии задачи ничего не сказано о силах, действующих на тело. Но при этом результирующий момент внешних сил должен быть равен нулю.

При решении задач на вращательное движение твердого тела часто приходится использовать формулы, связывающие линейную скорость и тангенциальное ускорение его точек . с его угловой скоростью и угловым ускорением .

Напомним их: .

Рассмотрим примеры задач с решением:

  1. Пример решения задачи №67. Чему равен момент инерции J цилиндра с диаметром основания D и высотой h относительно оси , совпадающей с его образующей? Плотность материала цилиндра р.
  2. Пример решения задачи №68. Обруч массой m = 1 кг и радиусом R = 0,2 м вращается равномерно с частотой относительно оси , проходящей через середину его радиуса перпендикулярно плоскости обруча (рис. 16-7). Определить момент импульса обруча L.
  3. Пример решения задачи №69. Однородный диск радиусом R = 0,2 м и массой m = 5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска. Зависимость угла поворота диска от времени дается уравнением , где . Вращению диска противодействует тормозящий момент сил трения . Определить величину касательной силы F, приложенной к ободу диска.

Статика

К оглавлению…

Советы: с чего начинать решать задачу и какие законы применить. Читать обязательно!

В задачах статики рассматривается равновесие тел, принятых за материальные точки, или абсолютно твердых тел, способных вращаться вокруг закрепленной оси. Напомним, что материальная точка остается в равновесии, если векторная сумма приложенных к ней сил равна нулю. Абсолютно твердое тело, способное вращаться вокруг оси, будет в равновесии, если равна нулю не только векторная сумма приложенных к нему сил, но и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно возможных осей вращения.

На рис. 17-1 сила вращает стержень вокруг оси, проходящей через точку О. Прямая mn — линия действия этой силы, а отрезок l — ее плечо.

Момент силы M, вращающей тело, равен произведению модуля этой силы F и ее плеча. Плечо силы l — это кратчайшее расстояние от оси вращения О до линии действия mn силы F (см. рис. 17-1):

Направление вектора момента силы определяется посредством правого винта: если головку правого винта вращать в направлении вращающего действия силы, то направление его поступательного движения совпадает с направлением вектора момента этой силы. На рис. 17-1 вектор момента силы направлен в точке О за чертеж.

На рис. 17-2, а) сила вращает тело по часовой стрелке. Напомним, что правый винт у вас всегда с собой: если четыре пальца правой руки свернуть полукольцом в направлении вращающегося действия силы , то большой палец, отставленный на 90°, докажет направление момента этой силы. Применив это правило, убедимся, что в случае, показанном на рис. 17-2, а), вектор момента силы направлен вправо, а в случае, показанном на рис. 17-2, б), — влево.

На рис. 17-3 изображен неподвижный блок, через который перекинута веревка с прикрепленными к ней грузами. Груз , тяжелее груза , поэтому сила натяжения веревки , приложенная к точке 1 блока, больше силы натяжения приложенной к точке 2. Момент силы направлен к нам, а момент силы направлен от нас за чертеж. Поскольку сила F, больше силы , а плечи этих сил одинаковы и равны радиусу блока R, то и момент силы больше момента силы вследствие чего блок будет вращаться с угловым ускорением. А если бы моменты этих сил были одинаковы, то угловое ускорение блока было бы равно нулю, т. е. он вращался бы равномерно или покоился.

При выполнении конкретных расчетов приходится переходить от векторных величин к скалярным. Если силы действуют в одной плоскости, то выбираем оси координат, на которые проецируем приложенные к телу силы. При равновесии сумма проекций всех сил на любое выбранное направление должна быть равна нулю. При решении некоторых задач иногда удобнее производить

не проецирование векторов сил на оси координат, а выполнить их векторное сложение, но так, чтобы векторная сумма всех Приложенных к телу сил осталась равной нулю, или, наоборот, разложить вектор силы на составляющие, которые при равновесии компенсируют друг друга.

Если тело может вращаться вокруг закрепленной оси, то можно приравнять сумму моментов сил, вращающих это тело по часовой стрелке, сумме моментов сил, вращающих его против нее (сумма положительных моментов равна сумме отрицательных). Выполнив чертеж, следует определить точки приложения всех сил, действующих на тело, указать положение оси вращения и провести линии действия сил. После этого надо определить плечи сил. При этом необходимо помнить, что для определения плеча силы надо опустить перпендикуляр из оси вращения на линию действия этой силы. Длина этого перпендикуляра и есть плечо данной силы. Умножив величину силы на ее плечо, мы получим момент этой силы.

В задачах на определение координат центра тяжести С системы материальных точек или твердого тела различной формы , можно воспользоваться формулами

расположив систему точек или тела в соответствующей системе координат. В таких задачах центр тяжести и центр масс, как правило, совпадают. Можно решать иначе: прикинуть примерно, где расположен центр тяжести тела, и представить, что через него проходит ось вращения, вокруг которой тело может вращаться под действием сил тяжести, приложеппых к его разным участкам. Показать эти силы тяжести и определить их плечи, после чего применить правило моментов сил. Одним из плеч при этом может быть искомое расстояние от центра тяжести до какой-либо характерной точки тела (его конца, геометрического центра, края и т. п.). Если тело имеет вырез (отверстие), то следует определить положение его центра тяжести в отсутствие этого выреза или отверстия (как правило, оно находится в его геометрическом центре), а затем определить положение центра тяжести части тела, вырезанной из него. К центру тяжести тела без выреза надо приложить силу тяжести, действующую на все тело, а к центру тяжести выреза приложить силу, равную весу вырезанной части, но направить ее не вниз, как силу тяжести, а вверх. Прикинуть, где находится искомый центр тяжести тела с вырезом, провести через него ось вращения и определить плечи показанных сил, после чего, применив правило моментов сил, определить положение искомого центра тяжести. Как это делается, будет показано при решении конкретных задач.

На рис. 17-4 показано положение центра тяжести С различных тел. Здесь — сила тяжести, приложенная к телу без выреза или отверстия, — сила, приложенная к центру отверстия, т. е. к центру тяжести вырезанного участка тела, — внешние силы, приложенные к телам.

Указания:

а) центр тяжести С однородной пластинки, имеющей форму равнобедренного треугольника, располагается в 1 точке пересечения его медиан на расстоянии, равном 1/3 высоты треугольника от его основания (рис. 17-5).

б) центр тяжести С однородной пластинки, имеющей форму произвольного треугольника, лежит в точке пересечения его медиан.

в) центр тяжести С полусферы находится на оси симметрии mn (рис. 17-6) на расстоянии 3/8 R от центра окружности О. Здесь R — радиус полусферы.

В некоторых задачах статики требуется определить суммарное действие нескольких сил, приложенных к телу одновременно, т. е. найти их равнодействующую. Или, наоборот, по известной равнодействующей силе найти ее составляющие, произведя разложение равнодействующей на выбранные направления. Напомним, что если составляющие силы ориентированы под углом друг к другу» то на соответствующем рисунке (а без него в этом случае не обойтись) равнодействующая всегда изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах. Если, например, тело укреплено на каких-либо двух опорах или висит на двух подвесах, т. е. на эти опоры или подвесы действует вес тела , то для определения составляющих сил, действующих на каждую

опору или подвес, необходимо разложить вес тела на составляющие, направленные вдоль каждой опоры или подвеса. При этом именно вес (а не какая-либо из этих сил) должен являться диагональю параллелограмма, построенного на составляющих силах как на сторонах (рис. 17-7).

Рассмотрим примеры задач с решением:

  1. Пример решения задачи №70. При помощи укосины длиной м и растяжки длиной м подвешен груз весом Р = 3 кН (рис. 17-8). Расстояние между точками крепления укосины и растяжки к столбу м. Найти силы , с которыми груз действует на укосину и растяжку.
  2. Пример решения задачи №71. К середине троса подвешен груз массой m = 50 кг (рис. 17-9). Угол, образованный половинками троса, . Найти силу натяжения каждой половинки троса. Чему равно удлинение троса , если в нерастянутом состоянии его длина м? Чему равно провисание троса h?
  3. Пример решения задачи №73. К канату, концы которого закреплены на одной высоте, подвешены два груза массами m в 2 кг каждый. Точки подвеса грузов расположены на расстояниях r = 0,1 м от точек закрепления каната (рис. 17-10). Вследствие растяжения провисание каната составило h = 20 см. Найти силы натяжения участков каната.

Гидроаэромеханика

Давление столба жидкости. Закон паскаля

К оглавлению…

Советы: с чего начинать решать задачу и какие законы применить. Читать обязательно!

Законы гидроаэромеханики позволяют решать задачи статики и динамики жидкостей и газов. Ничего принципиально нового в этих задачах по сравнению с задачами других разделов механики нет. Законы и формулы этой темы являются следствиями основных законов механики, таких, как законы Ньютона, законы сохранения энергии и импульса и т. д.

Особенности методики решения задач механики жидкостей и газов связаны с тем, что силы взаимодействия жидкостей и газов со стенками сосудов, внутри которых они заключены, или с находящимися в них твердыми телами, распределены по всей поверхности их соприкосновения, а не приложены к одной точке, как в задачах динамики. Поэтому при решении подобных задач необходимо учитывать производимое этими силами давление на всю эту поверхность.

Давление р — это отношение силы давления к площади опоры тела S: .

Давление столба жидкости равно произведению ее плотности р, высоты столба h и ускорения свободного падения .

В основе гидростатики лежит закон Паскаля: давление, производимое на жидкость или газ, передается по всем паправлениям без изменения.

Часто в задачах гидродинамики рассматриваются случаи, когда давление, производимое жидкостью на тело, одинаково в каждой точке поверхности соприкосновения жидкости с телом, т. е. когда силы давления распределены по поверхности тела равномерно. Так будет, если поверхность соприкосновения тела с однородной жидкостью горизонтальна или если она столь невелика, что изменением давления вследствие увеличения столба жидкости можно принебречь. Например, давление жидкости на поршень гидравлического пресса можно считать одинаковым по всей площади поршня.

Если же поверхность соприкосновения жидкости и тела расположена вертикально или под углом к горизонту и ее размерами пренебречь нельзя, то на одинаковые площадки этой поверхности на разной глубине будут действовать разные силы, т. е. в этом случае силы давления будут распределены по поверхности соприкосновения неравномерно (с этим приходится сталкиваться, например, в задачах о давлении жидкости на боковую поверхность сосуда, в который она налита). При этом следует помнить, что силы давления всегда направлены перпендикулярно площади поверхности, на которую они действуют (подчеркнем, что направлены именно силы давления, но не давление, давление не имеет направления, поскольку оно — скаляр).

При чтении условия задачи необходимо проанализировать, обусловлено ли давление па рассматриваемую площадку наличием силы тяжести жидкости или газа, или необходимо учитывать действие внешних сил, создающих внешние давления. Пренебрежение последним обстоятельством может привести к ошибочному решению.

Возможно совместное действие нескольких сил па одну и ту же поверхность. В этом случае общее давление, оказываемое этими силами, равно сумме давлений, оказываемых каждой силой в отдельности. Например, на подводную лодку действуют вес воды Р над поверхностью лодки и сила давления атмосферы на поверхность воды. В этом случае давление р на корпус лодки площадью S равно сумме давлений, производимых водой, и атмосферой,

где m — масса воды.

Необходимо помнить, что по закону Паскаля при равновесии жидкости давление на поверхность одного уровня одинаково во всех точках этой поверхности. Правильное применение закона Паскаля имеет существенное значение при решении многих задач гидростатики.

Обратите внимание, что в формуле давления столба жидкости

высотой h служит вся высота столба жидкости над тем уровнем, на котором вычисляется давление, независимо от формы сосуда. Так, если требуется определить давление па дно изогнутого сосуда в точке М (рис. 18-1), то в эту формулу нужно подставить высоту Н, а не h. В некоторых старых задачниках вместо плотности вещества р приводится его удельный вес — вес каждой единицы объема вещества:

Поскольку при равновесии , где р — плотность вещества. Единица удельного веса в СИ —. Внесистемная единица удельного веса .

Если на поверхность жидкости в сосуде положить какое-либо плавающее тело, например, деревянный брусок или шарик, то сила давления и давление на дно сосуда увеличатся, поскольку увеличится общий вес тел, давящих на дно сосуда.

Закон сообщающихся сосудов: в открытых сообщающихся сосудах при равновесии давление жидкости на любом горизонтальном уровне одинаково.

Следствие 1: в открытых сообщающихся сосудах при равновесии высоты столбов жидкостей, отсчитанные от уровня, ниже которого жидкость однородна, обратно пропорциональны их плотностям.

Следствие 2: в открытых сообщающихся сосудах при равновесии однородная жидкость устанавливается на одинаковом уровне. При решении задач на закон сообщающихся сосудов непременно выполните чертеж, на котором проведите линию, обозначающую уровень, ниже которого жидкость однородна. Например, в сообщающиеся сосуды сначала палили ртуть, а затем в левое колено налили, например, воду, а в правое — масло (рис. 18-2, а). Уровень mn и есть такой уровень, ниже которого жидкость однородна, т. е. там только ртуть.

Если при этом из условия следует, что сосуды открыты и жидкость находится в равновесии, то можно приравнять давления во всех сосудах па этот уровень вышележащих столбов жидкости друг другу. Если па этот уровень давят несколько жидкостей, находящихся друг над другом в одном колене, то давления столбов отдельных жидкостей надо сложить, и тогда получим результирующее давление на этом уровне.

В случае, изображенном на рис. 18-2, столб масла высотой оказывает меньшее давление, чем столб воды высотой поэтому в левом колене уровень ртути расположен ниже, чем в правом. Обозначим разность уровней ртути в коленах . При равновесии давление столба воды высотой в левом колене на уровне mn равно сумме давлений столба ртути высотой и столба масла высотой на этом же уровне:

Если одно из колен сообщающихся сосудов закрыто, то к давлению столба жидкости следует добавить давление насыщенного пара этой жидкости Рпара , находящегося над ее верхним уровнем (рис. 18-2, б).

В этом случае

или

Давление насыщенного пара может быть дано или по известной температуре в сосуде его можно будет отыскать в соответствующей таблице.

Если колено наклонено под углом а к горизонту и известна длина I столбика жидкости в нем (рис. 18-3), то в формуле высота .

При решении задач на сообщающиеся сосуды часто приходится использовать условие несжимаемости жидкости, согласно которому объем жидкости, вытесненный из сосуда сечением равен объему жидкости, прибывшей в сосуд сечением или — высоты вытесненного и прибывшего столбов этих жидкостей.

В задачах на гидравлический пресс используйте правило: силы, приложенные к поршням, прямо пропорциональны площадям поршней. При этом выигрыша в работе пресс не дает, так как во сколько раз мы выигрываем в силе, во столько же раз проигрываем в расстоянии.

Рассмотрим примеры задач с решением:

  1. Пример решения задачи №74. Определить давление р воды на стенку цилиндрического сосуда с диаметром основания D = 20 см на расстоянии l = 5 см от дна. Объем воды в сосуде V = 10 л, плотность воды
  2. Пример решения задачи №75. Канал перегорожен плотиной, ширина которой r=8м и высота Н = 6 м. Глубина канала h равна половине высоты плотины. С какой силой F вода давит на плотину? Плотность воды
  3. Пример решения задачи №76. Чему равны силы атмосферного давления на боковую стену девятиэтажного здания и на его плоскую крышу, если высота каждого этажа h, длина здания l и ширина r? Атмосферное давление .

Закон Архимеда. Плавание тел

К оглавлению…

Методические указания к решению задач

Закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, направленная вверх и равная весу жидкости или газа, вытесненных телом.

Методика решения задач с учетом архимедовой выталкивающей силы аналогична методике решения задач динамики материальной точки, когда одной из сил, приложенных к точке или поступательно движущемуся телу, является выталкивающая сила.

Если в задаче речь идет о весе тела в воздухе и в жидкости , то во многих случаях имеет смысл начать решение задачи с формулы .

Действительно, ведь вес тела в жидкости меньше его веса в воздухе потому, что на тело в жидкости действует выталкивающая сила, делающая тело легче, поэтому выталкивающая сила равна разности весов тела в воздухе и в жидкости . Иногда в задаче дан вес тела в воздухе а просят найти его истинный вес Р. Здесь под истинным весом подразумевают вес тела в вакууме. В этом случае выталкивающая сила равна разности весов тела в вакууме и в воздухе: .

Далее, выталкивающую силу выражаем через плотность жидкости и объем погруженной части тела или, если тело погружено полностью, через его объем

Вес тела в воздухе можно выразить через его массу m, а массу — через плотность материала р, из которого изготовлено тело, и объем тела: .

Подставив эти выражения в одну из первых формул, можно отыскать искомую величину.

Если в условии задачи что-нибудь сказано о полости в теле, то следует весь объем тела V представить как сумму объема полости и объема вещества, из которого изготовлено тело, :

При этом, как правило, если не сказано, что полость чем-либо заполнена, то в ней — пустота, вакуум, т. е. ее масса равна нулю, поэтому в формуле веса тела — масса только вещества, из которого изготовлено тело, т. е. . Если в процессе решения окажется, что , значит, тело сплошное.

Если в условии задачи сказано или следует из условия, что тело плавает, то можно приравнять выталкивающую силу весу этого тела, т. е. записать: и т. д.

Если плавает несколько тел, то вес Р равен сумме весов всех этих тел. Например, если плавает льдина с человеком па ней, то выталкивающая сила равна сумме веса льдины и веса человека и т.п.

Если при этом не сказано, насколько льдина погружена в воду, то, как правило, имеется в виду, что она погружена полностью, т. е. в формуле подразумевается объем всей льдины, который можно выразить произведением толщины льдины h и ее площади

Если спрашивается, например, сколько нужно взять бревен для плота, чтобы переправить через реку машину массой , то нужно приравнять вес плота плюс вес машины , выталкивающей силе , а затем объем плота выразить через объем бревна: — число бревен, — объем бревна, l — его длина, площадь сечения бревна и D — его диаметр. Затем собрать все эти формулы в одну, например, так: .

Тогда . Здесь — плотность воды, — плотность дерева.

Из последнего выражения несложно определить число бревен N, из которых следует связать плот. Если взять хотя бы на одно бревно больше, то плот точно перевезет машину, причем уже не весь будет погружен в воду. А если взять хотя бы на одно бревно меньше, то вместе с машиной он уйдет под воду.

Если тело плавает па границе раздела двух жидкостей, то выталкивающая сила

Здесь — плотность первой жидкости и объем части тела в пей, — плотность второй и объем тела в ней.

Если выталкивающая сила , действующая на тело, больше силы тяжести mg (численно равной весу неподвижного тела Р), то тело всплывает с ускорением или тонет с замедлением, и в этом случае по второму закону Ньютона или

Подчеркиваем еще раз, что здесь — вес неподвижного тела в воздухе.

Если выталкивающая сила меньше силы тяжести mg, то тело опускается с ускорением или поднимается с замедлением, и по второму закону Ньютона .

Из последней формулы следует, что

Следовательно, если тело опускается с ускорением а = g, т. е. свободно падает, или поднимается с замедлением а = g, то выталкивающая сила . Таким образом, в невесомости архимедова сила на тело не действует и закон Архимеда не выполняется. А вот закон Паскаля остается справедливым и в невесомости, ведь на жидкость там может действовать не только вес вышележащих слоев, но и какая-либо внешняя сила, например давление поршня.

Если же тело в жидкости покоится или опускается равномерно вниз, или поднимается равномерно вверх, то выталкивающая сила равна силе тяжести: .

Разность выталкивающей силы и силы тяжести при равноускоренном подъеме тела в гидростатике называют подъемной силой согласно второму закону Ньютона.

В некоторых задачниках подъемной силой (силой, поднимающей тело) называют саму выталкивающую силу. Так бывает, когда тело поднимается вверх равномерно, обратите на это внимание, чтобы пе ошибиться.

В гидродинамике (динамике движущейся жидкости) подъемной силой называют силу, действующую на тело вверх из-за разности давлений под и над ним, когда скорость течения жидкости или газа над телом больше, чем под ним. Об этом мы поговорим позже. Таким образом, решая задачу с учетом подъемной силы, сначала определите, о какой из трех названных выше сил идет речь.

Если требуется определить работу, совершенную, когда тело вынимают из жидкости или погружают в нее, то следует учитывать, что, кроме выталкивающей силы , силы тяжести и сопротивления жидкости , к телу прилагают ту силу, которая и совершает работу. При этом, пока тело полностью не погрузится или полностью не будет вынуто из жидкости, выталкивающая сила будет переменной, потому что будет изменяться объем погруженного тела: при поднятии он будет уменьшаться, а при погружении — увеличиваться.

Рассмотрим примеры задач с решением:

  1. Пример решения задачи №77. Деревянный шар покоится в сосуде с водой, будучи наполовину погруженным в нее (рис. 19-1). С какой силой F шар давит на дно сосуда? Плотность воды , плотность дерева . Диаметр шара D = 50 см.
  2. Пример решения задачи №78. Под днище плоскодонной лодки попала доска толщиной h = 8 см, длиной l = 2 м и шириной r = 60 см. Какую минимальную горизонтальную силу F нужно приложить к доске, чтобы вытащить ее из-под днища, если коэффициент трения между днищем и доской = 0,6? Плотности воды и дерева взять из условия предыдущей задачи. Сопротивлением воды пренебречь.
  3. Пример решения задачи №79. Вес однородного тела в воде в n раз меньше, чем в воздухе. Найти плотность тела Плотность воды известна, выталкивающей силой в воздухе пренебречь.

Течение жидкости. Уравнение неразрывности струи. Уравнение Бернулли

К оглавлению…

Советы: с чего начинать решать задачу и какие законы применить. Читать обязательно!

В задачах гидроаэродинамики обычно рассматривается стационарное (установившееся) течение жидкости или газа, при котором через любое сечение потока за единицу времени проходит одинаковое количество жидкости или газа. Методика решения задач базируется на уравнении Бернулли, которое по сути представляет собой закон сохранения энергии, записанный применительно к задачам гидромеханики, и уравнении неразрывности струи.

При решении задач школьного курса по данной теме, как правило, пренебрегают сжимаемостью и вязкостью жидкостей и газов. В рамках такой модели можно считать их средами с одинаковой во всех точках плотностью и отсутствием сил вязкости (трения). Простота этой модели приводит к уменьшению количества уравпепий, требующихся для решения задачи, и упрощению их вида.

При стационарном течении идеальной жидкости все частицы жидкости, пересекающие данное сечение одной и той же трубки тока, имеют одинаковую скорость. При этом за один и тот же промежуток времени t через данное сечение проходит одна и та же масса жидкости.

Если скорость потока и и он падает с высоты Н, то такой поток обладает мощностью .

Здесь — кинетическая и потенциальная энергии массы жидкости — время падения.

Полное давление р в движущейся жидкости складывается из ее статического давления и динамического давления , причем их сумма в любом произвольном сечении стационарного потока постоянна согласно уравнению Бернулли:

Работа, совершенная при движении тела в жидкости или газе, может быть определена как разность кинетических энергий в конце и начале процесса или как разность его потенциальных энергий, взятая со знаком «минус».

Пусть жидкость несжимаема, т. е. ее плотность везде одинакова и с течением времени не меняется (большинство жидкостей, в том числе и вода, практически несжимаемы). Тогда некоторая масса жидкости т, пересекающей площадку за время t, может быть определена как:

Здесь р — плотность жидкости, V — объем жидкости массой m, — скорость течения жидкости через площадку

Пусть за такое же время в другом месте трубки тока эта же масса жидкости пересечет площадку со скоростью . Тогда

Приравняв правые части формул (20.1) и (20.2), получим:

Выражение (20.3) называют теоремой о неразрывности струи или теоремой Эйлера: произведение скорости течения жидкости на площадь поперечного сечения одной и той трубки тока одинаково по всей длине.

Рассмотрим примеры задач с решением:

  1. Пример решения задачи №80. Максимально допустимая скорость течения воды в трубе м/с . Чему равен минимальный диаметр трубы при расходе воды ?
  2. Пример решения задачи №81. Сосуд с водой, двигаясь равноускоренно без начальной скорости, проходит расстояние S = 10м за t = 10с. Под каким углом а к горизонту расположится при этом поверхность воды? Чему равно гидростатическое давление воды р в точке М, расположенной на расстоянии l = 4 см от поверхности жидкости по горизонтали. Чему равна выталкивающая сила действующая на тело объемом , погруженное в этот сосуд? Плотность воды .
  3. Пример решения задачи №82. Определить минимальную мощность насоса N, поднимающего воду по трубе на высоту Н = 10 м, если площадь поперечного сечения трубы и за каждую с насос поднимает = 8 кг воды. Плотность воды .

Молекулярная физика и термодинамика

Масса и размеры молекул. Моль. число Авогадро. Концентрация молекул и расчет их числа

К оглавлению…

Советы: с чего начинать решать задачу и какие законы применить. Читать обязательно!

Массы атомов и молекул чрезвычайно малы, поэтому при решении задач молекулярной физики вместо самих масс молекул и атомов используют по предложению Д.Дальтона их относительные величины, сравнивая массу молекулы или атома с частью массы атома углерода.

Определение относительной молекулярной массы: относительная молекулярная масса это отношение массы молекулы к части массы атома углерода:

Здесь — масса молекулы вещества, — масса атома углерода.

Определение относительной атомной массы: относительная атомная масса это отношение массы атома к части массы атома углерода.

Относительные молекулярная и атомная массы — величины безразмерные.

Из-за малости масс молекул и атомов их массы часто измеряют не в единицах СИ — килограммах, а в атомных единицах массы (сокр. а.е.м.) — массы части атома углерода :

Количество вещества, в котором содержится столько же молекул или атомов, сколько их содержится в 12 г углерода, называется молем.

Определение молярной массы М: молярная масса равна отношению массы вещества т к количеству молей v в нем,

Физический смысл молярной массы: молярная масса это масса одного моля. Молярная масса — скалярная величина. Единица молярной массы в СИ — кг/моль. Единица числа молей (количества вещества) в СИ — моль.

Объем одного моля можно найти, разделив молярную массу вещества М на его плотность:

Итальянский физик и химик Авогадро определил количество молекул в одном моле вещества. Это количество назвали числом Авогадро :

Физический смысл числа Авогадро: число Авогадро показывает, что в одном моле любого вещества содержится молекул.

Авогадро установил закон, получивший название закона Авогадро.

Закон Авогадро: в равных объемах различных газов при одинаковых условиях всегда содержится одинаковое число молекул.

Оценим порядок массы молекулы . Для ее определения можно массу одного моля какого-нибудь вещества, т. е. его молярную массу М, разделить на число молекул в одном моле, т. е. па число Авогадро :

Как следует из таблицы Менделеева, молярная масса двухатомной молекулы кислорода равна кг/моль. Тогда

Таким образом, молекулы имеют массу порядка кг.

Массу одной молекулы можно определить и другими способами, например, разделив всю массу вещества m на число молекул N в нем:

Кроме того, массу одной молекулы можно определить, разделив плотность вещества р, т. е. массу единицы объема этого вещества, на концентрацию его молекул n, т. е. на их число в единице объема:

Для оценки объема молекулы можно объем одного моля твердого или жидкого вещества разделить на число молекул в одном моле, т. е. на число Авогадро. Например, один моль воды занимает объем . Тогда объем одной молекулы воды . а ее диаметр 2), считая, что форма молекулы — шар, примерно равен корню кубическому из объема молекулы:

Здесь А — ангстрем — внесистемная единица длины, часто используемая в молекулярной и атомпой физике.

Таким образом, порядок диаметра молекул м.

В воздуха при 0°С и нормальном атмосферном давлении содержится молекул. Это число называется числом Лошмидта.

При решении задач молекулярной физики иногда приходится определять число молекул N в некотором сосуде. Число молекул N можно найти разными способами. Рассмотрим три таких способа:

1) число молекул N в данной массе вещества или в данном

объеме равно произведению числа молекул в одном моле, т. е. числа Авогадро на число молей v в веществе: .

2) число молекул N равно отношению массы вещества m к массе одной молекулы : .

3) число молекул N равно произведению числа молекул в единице объема вещества, т. е. их концентрации n, на объем вещества .

Скорость близкой к которой обладает наибольшее число молекул, называется наиболее вероятной скоростью.

Формула наиболее вероятной скорости

Здесь R = 8,31 Дж/(моль • К) — молярная (универсальная) газовая постоянная, Т — абсолютная температура и М — молярная масса вещества.

Корень квадратный из среднего значения квадратов скоростей всех молекул называется их средней квадратичной скоростью :

Здесь — скорости отдельных молекул, N — их число.

Горизонтальная черточка над буквой здесь и далее есть знак средней величины.

Формула средней квадратичной скорости

Кроме того, быстроту движения молекул характеризуют средней арифметической скоростью средним значением моду\лей скоростей всех молекул:

Здесь — модули скоростей отдельных молекул.

Формула средней арифметической скорости молекул

Скорости получили название характерных скоростей молекул. Они входят в разные уравнения молекулярной физики.

Все формулы, приведенные в этом пункте, находят широкое применение при решении задач молекулярной физики. Поэтому их нужно понять и хорошенько запомнить.

Температура — это мера средней кинетической энергии теплового движения молекул. Температура — скалярная величина.

В международной системе единиц СИ за единицу температуры принят кельвип (К). Это одна из основных единиц СИ.

Один кельвин — это цена деления температурной шкалы, в которой за начало отсчета принят абсолютный нуль — или О К. Физический смысл абсолютного нуля: абсолютный нуль это температура, при которой прекращается тепловое движение молекул. Абсолютный нуль — это нижний температурный предел. Верхнего температурного предела не существует.

Английский ученый Кельвин предложил температурную шкалу, на которой за начало отсчета принят абсолютный нуль. Эта шкала была названа абсолютной шкалой температур, или шкалой Кельвина, а температура, измеренная по этой шкале, получила название абсолютной температуры и обозначается буквой Т, Шкала Кельвина не имеет отрицательных температур, потому что темиературы ниже 0°К не существует, она не имеет физического смысла.

В быту для измерения температуры мы пользуемся другой температурной шкалой — шкалой Цельсия, на которой за начало отсчета принята температура О °C, при которой тает лед. При этой температуре происходит смена времен года, поэтому она имеет важное значение в жизни людей. Температуру, измеренную по шкале Цельсия, мы будем обозначать t °C.

Шкала Цельсия имеет как положительные, так и отрицательные значения температуры.

Между шкалами Цельсия и Кельвина существует следующая связь: .

Отсюда следует, что О К = -273 °C, а О °C = 273 К.

Для большей наглядности на рис. 21-1 изображены рядом шкалы Кельвина и Цельсия.

Цена деления на шкале Кельвина такая же, как и цена деления на шкале Цельсия.

Пусть тело нагрели от температуры до температуры . Тогда изменение его температуры

Следовательно, .

Таким образом, изменение температуры по шкале Кельвина равно изменению температуры по шкале Цельсия. Значит, если в условии задачи сказано, что тело нагрели на 10 К, то это все равно, что его нагрели на 10 °C, и для перевода из шкалы Цельсия в шкалу Кельвина не надо прибавлять к температуре 10° еще 273 ° .

А если сказано, что температура была равна 10 °C, то, чтобы пе-. ревести ее в СИ, надо прибавить к 103С еще 273°, т. е.

10 °C — 10° + 273° = 283 К.

Состояние газа описывают посредством определенных величин, которые называются параметрами состояния. Различают микропараметры (микроскопические параметры) и макронараметры (макроскопические параметры) состояния. К микроскопическим параметрам относятся характеристики самих молекул газа: их масса, размеры, скорость, импульс, энергия. Параметры состояния газа в целом как физического тела называются макропараметрами.

Макропараметрами состояния данной массы газа являются давление газа р, его объем V и абсолютная температура Т.

Давлением газа пазывают суммарную силу ударов молекул газа о единицу площади поверхности сосуда, в котором газ находится.

Определить давление газа р можно, разделив силу давления газа на площадку S стенки сосуда, содержащего газ:

Если в сосуде содержится несколько газов, то каждый газ занимается объем, равный объему сосуда, и все газы имеют одинаковую температуру. При этом давление каждого газа в отдельности называется его парциальным давлением.

Закон Дальтона: давление смеси газов равно сумме их парциальных давлений:

Здесь р — давление смеси N газов, их парциальные давления.

Идеальный газ — это газ, молекулы которого представляют собой материальные точки, а их взаимодействие носит характер абсолютно упругого удара.

Газом, свойства которого близки к свойствам идеального газа, является газ, находящийся под низким давлением и при высокой температуре. Воздух при нормальных условиях

можно приближенно считать идеальным газом. Чем больше расстояния между молекулами по сравнению с их размерами и чем выше температура, тем ближе реальный газ к идеальному.

Основное уравнением кинетической теории идеального газа, или уравнение Клаузиуса — устанавливает зависимость давления идеального газа от массы его молекул, концентрации и их средней квадратичной скорости:

Иная запись основного уравнения кинетической теории идеального газа:

Здесь — средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы идеального газа.

Поскольку плотность газа р равна произведению массы одной молекулы и концентрации молекул , то, подставив в уравнение Клаузиуса вместо плотность р, получим еще одно уравнение, определяющее давление идеального газа:

В 1808 г. французский физик Гей-Люссак установил, что при образовании нового химического соединения из двух химически взаимодействующих газов при одинаковых значениях их давлений и температур объемы этих газов относятся как целые числа. Если, например, при некотором давлении и температуре газообразный водород объемом вступает в химическое соединение с газообразным кислородом при таком же давлении и температуре, то имеет место химическая реакция .

Следовательно, объем водорода относится к объему кислорода

Отсюда следует, что объем кислорода, вступающего в такую реакцию, л.

Другой пример: 1 л водорода при некотором давлении и температуре вступает в химическую связь с 1 л хлора при таких же давлении и температуре. Какой объем займет образовавшийся при этих же условиях хлорид водорода? Для ответа на этот вопрос запишем соответствующую химическую реакцию: Н + Cl — НС1.

Таким образом, объемы этих газов соотносятся как 1:1, и значит, объем образовавшегося хлорида водорода равен 2 л.

Подчеркиваем, что так будет, если давления и температуры как вступающих в реакцию газов, так и продуктов реакции одинаковы.

Если несколько газов, не вступающих в реакцию, находятся в одном сосуде, то объем каждого газа равен объему этого сосуда независимо от их количества. Например, если сосуд объемом 1 л содержит азот, кислород и водород, то объем азота равен 1 л, объем кислорода равен 1 л и объем водорода равен 1 л. При этом давления газов, т. е. их парциальные давления, могут быть разными, а их общее давление согласно закону Дальтона равно сумме их парциальных давлений :

Здесь индекс N — количество газов. Кроме того, общая масса газов равна сумме масс каждого газа в отдельности, а также общее количество их молекул равно сумме количеств молекул каждого газа

Поскольку количество молекул N равно произведению числа молей v на число молекул в одном моле (число Авогадро), то

Общее количество молей разных газов в сосуде равно сумме количеств молей (количеств веществ) каждого газа в отдельности.

Если в сосуде имеются» например, два газа массами по и и с молярными массами по соответственно, а надо найти их общую молярную массу то можно поступить так: поскольку .

Концентрацию молекул n, т. е. их число в единице объема, кроме формул, приведенных выше, определяет формула

Здесь — объем одного моля, V — весь объем и v — число молей. Действительно, — число молекул в одном моле, поэтому если их разделить на объем одного моля, то мы найдем число молекул в единице объема, т. е. концентрацию n.

Массу газа m можно найти, умножив массу одной молекулы на число молекул N в нем, а вот объем газа V найти подобным образом, умножив объем одной молекулы на их число , нельзя, потому что между молекулами газа имеются огромные по сравнению с их размерами промежутки, из-за чего объем газа, кроме случаев сверхвысоких давлений, по много раз больше суммарного объема его молекул.

Молярная масса вещества М числено равна его относительной молекулярной массе или, если это атом, то относительной атомной массе, которую можно определить, посмотрев на соответствующую этому элементу клетку таблицы Менделеева. Например, как следует из таблицы Менделеева, относительная атомная масса кислорода равна 16. Но кислород — двухатомный газ (если только не сказано, что это атомарный кислород), поэтому его относительная молекулярная масса равна 32. Соответственно молярная масса кислорода, выраженная в г/моль, будет М = 32 г/моль, а чтобы выразить ее в единицах СИ, надо это число умножить на . Тогда получим кг/моль. Аналогично молярная масса водорода кг/моль, молярная масса углекислого газа кг/моль кг/моль и т. п.

Подчеркнем еще раз, что единицей количества вещества, или количества (числа) молей в СИ, является моль. Например, сказано, что в сосуде содержится два моля азота. Значит, в условии задачи надо написать: кг/моль и V — 2 моль.

Рассмотрим примеры задач с решением:

  1. Пример решения задачи №83. Чему равен объем v = 50 молей ртути? Молярная масса ртути М = 0,201 кг/моль, плотность ртути.
  2. Пример решения задачи №84. На изделие, имеющее форму круглой пластинки диаметром d = 2 см, нанесен слой меди толщиной h = 2 мкм. Найти число атомов меди N, содержащихся в этом покрытии. Плотность меди , молярная масса меди М = 0,064 кг/моль.
  3. Пример решения задачи №85. Если бы все молекулы водорода, содержащиеся в т = = 10 мг этого газа, расположили вплотную друг к дружке по цепочке, то какова была бы длина l этой цепочки? Диаметр молекулы водорода d = 2,3А, молярная масса водорода кг/моль. Во сколько раз длина этой цепочки больше расстояния от Земли до Луны L = 384 Мм (мегаметров)?

Уравнение состояния идеального газа. Уравнение Менделеева-Клапейрона. Объединенный газовый закон

К оглавлению…

Советы: с чего начинать решать задачу и какие законы применить. Читать обязательно!

Уравнение, устанавливающее зависимость между параметрами состояния данной массы идеального газа — его давлением p, объемом V и температурой Т, — называется уравнением состояния идеального газа.

— уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона).

Здесь р — давление идеального газа, V — его объем, т — масса газа, М — молярная масса, К — 8,31 Дж/(моль-К) — молярная газовая постоянная, Т — абсолютная температура газа. В учебной литературе постоянная R называется универсальной газовой постоянной.

Поскольку — плотность газа, то уравнение состояния идеального газа можно записать так: .

Уравнение состояния идеального газа вывел русский ученый Д. И. Менделеев в 1874 г., исходя из полученного на сорок лет раньше французским физиком Б. Клапейроном объединенного газового закона: .

Объединенный газовый закон (уравнение Клапейрона): произведение давления данной массы идеального газа на его объем, деленное на абсолютную температуру, есть величина постоянная.

Произведение’ концентрации n, т. е. числа молекул в единице объема, и объема одного моля газа равно числу молекул в одном моле, т. е. числу Авогадро

Вместо двух постоянных: универсальной газовой постоянной R и числа Авогадро — была введена постоянная к, равная отношению . Она получила название постоянной Больцмана:

Формула, раскрывающая физический смысл абсолютной температуры: .

Физический смысл абсолютной температуры: абсолютная температура есть мера средней кинетической энергии поступательного движения молекул.

Связь между давлением идеального газа, его концентрацией и абсолютной температурой

Давление идеального газа прямо пропорционально концентрации этого газа и его абсолютной температуре.

Уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона) удобно пользоваться в тех задачах, где речь идет о массе, весе или плотности при неизменных параметрах газа -его давлении, объеме и температуре. Кроме того, без этого уравнения не обойтись, когда параметры газа изменяются и при этом изменяется также и его масса. В этом случае надо записать два уравнения Менделеева-Клапейрона: для начального состояния газа:

и его конечного состояния:

а затем проделать необходимые преобразования в поисках искомой величины.

Если при этом какие-либо параметры состояния газа не изменяются, то индекс у этих параметров можно не менять или вообще его не писать. Например, если в некотором процессе с идеальным газом изменяются, скажем, давление и масса газа, а объем и температура остаются прежними, то уравнение Менделеева-Клапейрона применительно к первому и второму состояниям можно записать так:

Нужно помнить, что если газ находится в закрытом сосуде, то его объем не изменяется, а если газ может свободно расширяться под действием постоянной силы, то не изменяется его давление. В некоторых задачах говорится о том, что с газом происходят разные процессы, например, сжатие или расширение, или изменение давления, но ни слова не сказано о температуре газа ( не говорится о том, что газ нагревается или охлаждается). Значит, следует догадаться самим, что температура газа при этих процессах пе изменяется. Кроме того, температуру следует считать постоянной, если в условии сказано об очень медленном процессе в данном газе.

Если масса газа в некотором процессе не изменяется, а изменяются только все параметры состояния этого газа, то вместо двух уравнений Менделеева-Клапейрона можно записать одно уравнение, объединяющее эти параметры, — уравнение Клапейрона, т. е. объединенный газовый закон

Если в некотором сосуде находится смесь газов, то уравнение Менделеева-Клапейрона можно применять только к каждому газу в отдельности, равно как и все остальные газовые законы, но ни в коем случае ко всей смеси газов. Например, если дана масса смеси из n газов, то эту массу нельзя подставлять в уравнение Менделеева-Клапейрона, равно как нельзя подставлять туда же и давление смеси газов. При этом следует учитывать, что масса смеси m газов равна сумме масс каждого газа в отдельности:

Кроме того, здесь применим закон Дальтона: давление смеси газов равно сумме парциальных давлений каждого газа в отдельности (парциальным давлением называют давление каждого газа, входящего в смесь газов):

Можно также использовать тот факт, что число всех молекул смеси N равно сумме чисел молекул каждого газа в отдельности:

При этом следует помнить, что если смесь газов занимает сосуд объемом V, то это значит, что каждый газ, входящий в эту смесь, занимает объем V, так как каждый газ равномерно растекается по всему сосуду, не мешая распространяться по этому же объему V другому газу из-за очень больших расстояний между молекулами по сравнению с размерами самих молекул. Кроме того, если смесь газов находится при температуре Т, то это значит, что каждый газ смеси имеет эту температуру Т.

Рассмотрим примеры задач с решением:

  1. Пример решения задачи №86. Из-за неисправности вентиля из баллона вытекает газ. Найти массу вытекшего газа , если вначале масса была , а из-за утечки газа давление в баллоне уменьшилось в n раз.
  2. Пример решения задачи №87. Ампула объемом , содержащая воздух при нормальных условиях , оставлена в космосе, где давление можно .принять равным нулю. В ампуле пробито отверстие. Через какое время t давление в ампуле тоже станет равным нулю, если за каждую секунду из нее вылетает молекул?
  3. Пример решения задачи №88. Воздух объемом = 100 л при температуре t° = 27 °C и давлении р = 1 МПа превратили в жидкость. Какой объем он займет в жидком состоянии? Плотность жидкого воздуха , его молярная масса в любом состоянии М = 0,028 кг/моль.

Изопроцессы в идеальном газе. Основные газовые законы и их графики

К оглавлению…

Советы: с чего начинать решать задачу и какие законы применить. Читать обязательно!

Изопроцессами в газах называются процессы, при которых один из параметров состояния: давление, объем или температура — остается неизменным в течение всего процесса. Закономерности, наблюдаемые при изопроцессах, называют газовыми законами. В курсе физики средней школы изучают изотермический, изобарный и изохорный процессы, наблюдаемые в идеальном газе неизменной массы, и соответствующие этим процессам законы Бойля-Мариотта, Гей-Люссака и Шарля.

Закон Бойля-Мариотта. Изотермический процесс.

Изотермическим процессом называется процесс, протекающий при постоянной температуре (от греч. изос — равный, термо -тепло).

Закон Бойля-Мариотта: при постоянной температуре произведение давления данной массы идеального газа и его объема есть величина постоянная.

Графики изотермического процесса в координатных осях p-V, р-Т и V-T изображены на рис. 23-1.

Процесс в реальном газе можно считать изотермическим, если он протекает очень медленно, столь медленно, что изменением температуры газа за некоторый малый промежуток времени можно пренебречь.

Закон Гей-Люссака: при постоянном давлении объем данной массы идеального газа прямо пропорционален его абсолютной температуре.

Процесс, протекающий при постоянном давлении называется изобарным (греч. барос — давление).

Графики изобарного процесса в идеальном газе изображены на рис. 23-2 в координатных осях V-T, p-V и р-Т.

Изобары в координатных осях V-Т на рис. 23-2, а представляют собой прямые, проходящие через начало координат под углом к осям координат, поскольку согласно закону Гей-Люссака объем газа V прямо пропорционален абсолютной температуре Т. При этом изобары, соответствующие разным давлениям одной и той же массы идеального газа на одном графике выходят из одной и той же точки — начала координат, поэтому они не могут быть параллельными друг другу. Изобара, соответствующая более высокому давлению лежит ниже изобары, соответствующей меньшему давлению , так как при неизменной температуре большему давлению соответствует меньший объем газа.

Поскольку абсолютный нуль недостижим и, кроме того, давление и объем газа не могут быть равцы нулю, изобары на рис. 23-2, равно как и изотермы на рис. 23-1 (и изохоры на рис. 23-3), при их приближении к началу или осям координат советуем изображать штриховой линией. / . . .

Изобары в координатных осях р-V и р-Т представляют собой прямые, параллельные оси абсцисс, поскольку координата р остается постоянной в течение всего процесса.

Закон Шарля: при постоянном объеме давление данной массы идеального газа прямо пропорционально его абсолютной температуре, при

Процесс, протекающий при постоянном объеме, называется изохорным процессом (греч. хорос — объем).

Поскольку согласно закону Шарля при изохорном процессе между давлением газа и его температурой существует прямо пропорциональная зависимость, графически изохоры в осях координат р-Т представляют собой прямые линии, проходящие через начало координат под углом к осям координат (рис.23-3, а). При этом изохоры, соответствующие разным объемам, выходят из начала координат — точки 0, поскольку при абсолютном нуле согласно закону Шарля объем газа тоже должен стать равным нулю, что невозможно, ибо тогда молекулы расположатся вплотную друг к другу и не смогут двигаться. Но их движение вечно и неуничтожимо. Поэтому изохоры на рис. 23-3, а не могут быть параллельными друг другу. Кроме того, изохора, соответствующая большему объему лежит ниже изохоры, соответствующей меньшему объему , так как при неизменной температуре большему давлению соответствует меньший объем газа согласно закону Бойля-Мариотта.

Изохора в координатных осях p-V параллельна оси ординат 0-р, так как V = const, а изохора в координатных осях V-T параллельна оси абсцисс 0-Т по той же причине.

Читая условие задачи на процессы в газах, обратите внимание на следующие моменты: говорится ли в условии задачи о массе, весе или плотности газа (если сказано что-то о массе, весе, плотности жидкости или твердого тела, то это в данном случае не имеет значения, потому что газовые законы применимы только к газам), о числе молей в нем или числе молекул. Если нет, то подумайте, меняется ли в указанном процессе масса газа или число молей, или молекул, т. е. истекает газ из сосуда, в котором происходит процесс, или, может быть, его туда впускают. Если нет, то для решения задачи можно пользоваться газовыми законами Бойля-Мариотта, Гей-Люссака или Шарля, применимыми только при неизменной массе одного и того же газа.

Теперь самое главное — определить, какой закон применить в каждом конкретном случае. Внимание! Если в задаче сказано, что температура газа не меняется или что процесс протекает медленно, то тем самым вам дают понять, что он изотермический и здесь можно применять закон Бойля-Мариотта. Но, к сожалению, в условиях большинства задач об этом не сказано ни слова и надо догадываться самим. Например, сказано, что трубка с газом, запертым столбиком ртути, лежала горизонтально, а затем ее поставили вертикально отверстием вверх и поэтому газ сжался, или отверстием вниз — и он расширился. Надо самим догадаться, что температура при этом не менялась. Или сказано, что на поршень, под которым газ, положили гирю или подействовали с силой и объем газа уменьшился, или наоборот, ранее сжатый газ расширился, и т. п. Во всех подобных случаях тем, кто составлял условие задачи, конечно, следовало бы хоть как-то дать понять, как происходил процесс: медленно или быстро. Потому что, если он был медленным, то это был изотермический процесс, а если быстрым — то адиабатный, при котором температура газа изменяется. И решение задачи в этих случаях будет разным. Но в каждом минусе есть свой плюс. Получив подобную задачу, вы можете блеснуть перед экзаменатором своей эрудицией, задав вопрос: как происходил процесс, медленно или быстро, и пояснить, почему вы его задали. Поверьте, преподаватель и экзаменатор будут очень довольны, и ваши шансы резко возрастут.

Если из условия задачи следует, что давление на газ извне не менялось, то процесс в газе изобарный.

И наконец, если сказано, что газ находится в закрытом сосуде, то процесс его нагревания или охлаждения — это изохорный процесс и здесь можно применить закон Шарля.

Из всего сказанного не следует вывод, что при решении таких задач нельзя применять уравнение Менделеева-Клапейрона или объединенный газовый закон. Уравнение состояния газа универсально и, конечно, применимо к любому изопроцессу. Некоторым экзаменаторам даже нравится, когда вы при решении таких задач начинаете с уравнения состояния газа, а затем выводите один из названных выше законов. Просто при применении одного из этих законов решение задачи будет немного короче.

Если вы определили, какой закон подходит для решения, запишите его в общем виде, а затем каждую не известную из условия величину выразите через известные и подставьте их в закон, после чего из полученного выражения ищите искомую величину. Таким путем можно решить большинство задач на газовые законы.

Если в условии сказано что-то о столбике жидкости, то вам для решения может пригодиться формула давления столбика жидкости , а если сказано о массе или весе поршня, или силе давления на поршень, под которым находится газ, или о весе или массе гири, поставленной на поршень, то во всех этих случаях вам может пригодиться формула давления , где силой давления является сила тяжести mg или вес поршня или гири Р, или внешняя сила F.

Не забывайте в задачах молекулярной физики непременно переводить градусы Цельсия в кельвины, иначе у вас в решении появится грубая ошибка.

Если в условии задачи сказало, что сосуд с газом соединяют с другим сосудом, в котором вакуум или другой газ, то газ из первого сосуда, расширившись, займет объем, равный суммарному объему обоих сосудов и к нему можно будет применить закон Бойля-Мариотта, записав вместо конечного объема сумму объемов первого и второго сосудов. И то же самое надо сделать применительно к газу во втором сосуде, если он там был. Давление перемешавшихся при этом газов равно сумме новых парциальных давлений каждого расширившегося газа в отдельности согласно закону Дальтона.

Если вам «повезет» на задачу о насосе, откачивающем или закачивающем в сосуд газ, то надо представить себе механизм этого процесса.

При откачивании газа из сосуда объемом V (рис. 23-4, о), когда поршень идет вверх, под давлением газа в сосуде открывается клапан между сосудом и камерой насоса объемом и в некоторый момент газ занимает весь суммарный объем . Одновременно под давлением газа над поршнем открывается клапан и выпускает этот газ. Л когда поршень идет обратно, эти клапаны закрыты.

При накачивании газа (рис. 23-4, б) клапаны открываются в обратном направлении и момент, когда газ из сосуда объемом V занимает оба объема V и , отсутствует. Решение подобных задач мы подробно рассмотрели ниже.

Решая задачи на построение графиков, помните: если вам дан на графике некоторый круговой процесс (т. е. процесс или цикл, при котором газ переходит в конце концов в исходное состояние с первоначальными параметрами) и надо построить этот процесс в иных координатных осях, то и на графиках, построенных вами, процесс тоже должен быть круговым, т. е. график должен быть замкнут. Если на вашем графике концы отрезков, изображающих отдельные участки кругового процесса, не соединились по окончании построения в одной точке, значит, график построен неверно. Если на исходном графике изображен треугольник, то и на графиках построенного вами кругового процесса, каждая сторона которого соответствует одному из изопроцессов в газе неизменной массы, должен получиться тоже треугольник, за исключением построения графика в координатных осях р — V , где изотерма имеет вид гиперболы (см. рис. 23-1, а). Если в координатных осях p-V график имеет вид выпуклого четырехугольника, то в координатных осях р -Т и V -Т он тоже должен получиться выпуклым четырехугольником.

Принято на графиках процессов в газах давление всегда откладывать по вертикальной оси (оси ординат), а температуру Т — по горизонтальной оси (оси абсцисс). Объем V в координатах p-V откладывают по оси абсцисс, а в координатах V -Т — по оси ординат.

Если масса газа неизменна, то продолжения графиков изобарного в координатах V -Т и изохорного в координатах р-Т процессов непременно проходят через начало координат О (см. рис. 23-2, а) и 23-3, а).

Прежде чем приступать к решению задач на построение графиков, непременно уясните и постарайтесь запомнить (нарисуйте несколько раз самостоятельно) все графики на рис. 23-1 — 23-3.

Если на графиках в координатах V -Т и р-Т продолжения отдельных участков процесса в газе при не проходят через начало координат, а пересекают оси координат на некотором расстоянии от начала координат О, значит, это не изопроцесс, т. е. при таком процессе изменялись все три параметра — .

Рассмотрим примеры задач с решением:

  1. Пример решения задачи №89. При сжатии газа его объем уменьшился на 2 л, а давление увеличилось в 2 раза. Найти первоначальный объем газа
  2. Пример решения задачи №90. Если давление газа изотермически повысить на = 1,5 атм, то его объем уменьшится на л, а если давление увеличить по сравнению с первоначальным на атм, то объем газа уменьшится на л. Найти первоначальные давления и объем газа.
  3. Пример решения задачи №91. Солдат пьет воду из фляжки, плотно прижав ее к губам. Вместимость фляжки (т. е. ее объем) V = 0,5 л, а вода заполняет ее на 2/3. Сколько воды , выпил солдат, если давление оставшегося в ней воздуха понизилось на кПа? Атмосферное давление нормальное.

Средняя длина свободного пробега и число столкновений молекул в единицу времени. Влажность

К оглавлению…

Советы: с чего начинать решать задачу и какие законы применить. Читать обязательно!

Средней длиной свободного пробега молекулы называют расстояние, которое пробегает молекула между двумя последовательными столкновениями, двигаясь со средней арифметической скоростью (черточка над буквой здесь и далее — знак средней величины).

Средняя длина свободного пробега молекулы определяется отношением ее средней арифметической скорости к среднему числу столкновений с другими молекулами в единицу времени

Минимальное расстояние, на которое могут сблизиться центры молекул, называют эффективным диаметром молекул (его иногда обозначают а).

Число столкновений, испытанных данной молекулой в единицу времени:

Величина называется эффективным сечением молекулы.

Формула средней длины свободного пробега молекул

При решении задач, в которых рассматривается движение отдельных молекул, иногда требуется определить, какой путь S проходит молекула за время t, двигаясь со средней арифметической скоростью . Такой путь можно определить произведением средней длины свободного пробега молекулы на число столкновений Z с другими молекулами за это время: .

Если же требуется определить перемещение молекулы за время t от ее первоначального местонахождения, то необходимо учесть, что модуль перемещения молекулы меньше проходимого ею пути из-за ее хаотического движения, при котором все направления движения молекулы в равновесном состоянии газа равновероятны. Тем не менее молекула не «топчется» около одного и того же места, а перемещается, удаляясь от него, что подтверждается диффузией веществ. Расчеты показывают, что модуль перемещения молекулы определяется произведением ее средней длины свободного пробега и корня квадратного из числа столкновений Z этой молекулы за время перемещения

В молекулярной физике быстроту перемещения молекул характеризуют не просто скоростью и, а одной из характерных скоростей: средней квадратичной , средней арифметической или наиболее вероятной . Среднюю квадратичную скорость используют, когда рассчитывают какую-либо величину, пропорциональную квадрату скорости молекул, например, среднюю кинетическую энергию их поступательного движения или давления газа. Среднюю арифметическую скорость связывают с такими величинами, которые пропорциональны скорости в первой степени, например, со средним числом столкновений молекул в единицу времени, средним импульсом молекулы или их средней длиной свободного пробега. Наиболее вероятную скорость используют в задачах, связанных с максвелловским распределением молекул по скоростям. В средней школе такие задачи встречаются редко.

При решении задач, связанных с определением средней длины свободного пробега молекул газа или числа их столкновений, приходится использовать эффективный диаметр молекул. Если в условии такой задачи сказано, какой это газ, то эффективный диаметр его молекул можно определить из справочных таблиц. Эффективным сечением молекулы называют величину .

При решении задач на свойства паров нужно помнить, что газовые законы Бойля-Мариотта, Гей-Люссака, Шарля, уравнение Менделеева-Клапейрона, основное уравнение кинетической теории и иные формулы, справедливые для идеального газа, можно применять только к ненасыщенному пару, а насыщенный пар им не подчиняется. Так, при изотермическом уменьшении объема насыщенного пара его давление не возрастает, а остается постоянным из-за перехода части пара в жидкость. При изохорном повышении температуры насыщенного пара <его давление растет не пропорционально абсолютной температуре, а быстрее, потому что при этом увеличивается не только скорость молекул, но и их концентрация из-за испарения жидкости том же сосуде, где находится насыщенный пар.

Следует помнить, что если насыщенный пар изохорно охлаждать или изотермически сжимать, то он конденсируется, а если его изохорно нагревать или изотермически расширять, то он переходит в ненасыщенный.

Если ненасыщенный пар изохорно охлаждать или изотермически сжимать, то он переходит в насыщенный. А если его нагревать или расширять, то он так и будет оставаться ненасыщенным.

Для характеристики влажности воздуха ввели понятие абсолютной и относительной влажности.

Абсолютной влажностью воздуха называют массу водяного пара, содержащегося в одном кубическом метре воздуха при данной температуре. Иными словами, абсолютная влажность — это плотность водяных паров в воздухе при данной температуре. Поэтому единица измерения абсолютной влажности в СИ — .

Поскольку масса водяного пара в 1 воздуха невелика, для измерения абсолютной влажности часто пользуются внесистемной единицей абсолютной влажности — .

Относительная влажность воздуха равна отношению абсолютной влажности воздуха при некоторой температуре к плотности насыщенного водяного пара при той же температуре:

Здесь р — абсолютная влажность при некоторой температуре, — плотность насыщенного водяного пара при той же температуре.

Относительную влажность обычно измеряют в процентах. Очевидно, что все эти величины скалярные.

Составлены таблицы, в которых приведена плотность насыщенных водяных паров при разных температурах. Такая таблица приведена ниже.

Таблица 24-1

Из этой таблицы можно определить, что плотность насыщенного водяного пара при комнатной температуре 20°С равна . Это значит, что при 20°С в воздухе содержится 17,3 г насыщенного водяного пара. При этом воздух очень сырой, т. е. его влажность равна 100%, так как абсолютная влажность .

Влажность воздуха не может быть больше 100%.

Если температуру воздуха, в котором при 20°С содержится насыщенный водяной пар плотностью 17,3 г/, понизить, например, до 16°С, то теперь плотность насыщенного пара в нем станет равна 13,6 г/ (ее можно найти по той же таблице). Значит, из каждого кубического метра воздуха вследствие конденсации насыщенного пара выделится 3,7 г воды.

Если воздух, в котором содержится насыщенный водяной пар, нагреть, то пар перестанет быть насыщенным, хотя плотность водяного пара в нем не изменится. При этом относительная влажность воздуха уменьшится, т. е. воздух станет суше. Для человека считается нормальной относительная влажность 50-60%.

Температуру, при которой водяной пар становится насыщенным, называют точкой росы, потому что если водяной пар охладить до температуры ниже точки росы, то выпадет роса. По плотности насыщенного водяного пара, приведенного в таблице, можно найти соответствующую этой плотности точку росы.

В современной учебной литературе встречается иное определение относительной влажности воздуха: относительная влажность воздуха равна отношению давления водяных паров в нем при некоторой температуре к давлению насыщенных водяных паров при той же температуре:

Здесь — относительная влажность воздуха, р — давление водяного пара в воздухе при данной температуре (его также называют абсолютной влажностью), — давление насыщенного водяного пара при той же температуре. Величину можно найти для каждой температуры по той же таблице.

Давление водяного пара в воздухе называют также упругостью водяных паров.

Величина относительной влажности ф, вычисленная по этим формулам, будет примерно одинаковой для одного и того же состояния водяного пара в воздухе, несмотря па то, что величины, стоящие в правой части этих формул, будут разными.

Для измерения влажности используют психрометр Августа (изображен на рис. 24-1).

Он состоит из двух термометров, укрепленных на вертикальном штативе. Один термометр сухой, а другой влажный, потому что его конец обернут ватой или марлей, нижний конец которой опущен в открыты^ сосуд с жидкостью (водой или спиртом).

Когда воздух сухой, вода испаряется с марли, вследствие чего ее внутренняя энергия уменьшается, ведь воду покидают молекулы с наибольшей кинетической энергией, самые «быстрые». С уменьшением внутренней энергии марли ее температура понижается, поэтому влажный термометр показывает более низкую температуру, чем сухой.

Чем суше воздух, тем интенсивнее происходит процесс испарения воды с марли и тем больше разность в показаниях сухого и влажного термометров, которую называют психрометрической разностью температур. И наоборот, чем воздух влажнее, тем эта разность меньше, так как процесс испарения влаги с марли протекает менее интенсивно. Когда влажность воздуха равна 100%, т. с. когда водяной пар в воздухе насыщенный, показания сухого и влажного термометров одинаковы.

Таким образом, по психрометрической разности температур можно судить о влажности воздуха. Созданы специальные психрометрические таблицы, в которых каждой психрометрической разности температур совместно с показаниями сухого термометра соответствует определенная относительная влажность.

Рассмотрим пример. Пусть показания сухого и влажного термометров соответственно 20 °C и 16 °C. Следовательно, разпость их показаний 20 °C — 16 °C = 4 °C. На пересечении горизонтального и вертикального столбиков значений относительных влажностей находим, что в этом помещении относительная влажность — 66% (взята в рамочку). Теперь по таблице плотностей и давлений насыщенного пара (см. выше) находим, что при 20 °C плотность насыщенного водяного пара в помещении была бы

Таблица 24-2

давление кПа. Воспользовавшись формулой относительной влажности, мы можем найти и абсолютную влажность в помещении р, т. е. какая там на самом деле плотность водяных паров, а также каково их давление р:

Следует помнить, что мы определили не плотность и давление атмосферного воздуха, а плотность и давление водяных паров в нем.

Если вас спросят, как изменяются абсолютная и относительная влажности воздуха в закрытом сосуде при его нагревании, то следует сказать, что абсолютная влажность не изменяется, ведь она есть плотность водяного пара в сосуде, т. е. масса пара в единице объема, которая остается прежней, поскольку из-за нагревания масса пара не меняется, ведь сосуд закрыт. А вот относительная влажность при нагревании будет уменьшаться. Вспомним ее формулу: при температуре t°C.

Поскольку абсолютная влажность р не изменяется, а плотность насыщенных паров с ростом температуры увеличивается (см. табл. 24-1), т. е. увеличивается знаменатель этой, формулы при неизменном числителе, значит, частное будет уменьшаться. И действительно, чем выше температура воздуха в комнате, тем оп суше, хотя количество водяного пара в нем от этого может не изменяться.

Если водяной пар в закрытом сосуде охлаждать, то его абсолютная влажность не будет изменяться до тех пор, пока не будет достигнута точка росы, т. е. температура, при которой этот пар станет насыщенным. Как только температура станет ниже точки росы, часть пара сконденсируется, а оставшийся пар по-прежнему будет насыщенным, но уже при более низкой’ температуре, и его плотность уменьшится. До тех пор, пока при охлаждении не будет достигнута точка росы, абсолютная влажность р будет оставаться прежней, а относительная влажность воздуха будет расти, потому что будет уменьшаться плотность насыщенного пара в знаменателе формулы относительной влажности. Как только температура опустится до точки росы, относительная влажность станет равна 100% и будет оставаться равной 100% при дальнейшем охлаждении уже насыщенного пара, который при таком охлаждении будет все время конденсироваться, пока весь не перейдет в жидкое состояние.

Напоминаем, что плотность насыщенного пара всегда можно определить по таблице 24-1, если известна температура t°, а чтобы определить абсолютную влажность р, можно воспользоваться формулой, приведенной выше, или, если известна точка росы , то по ее значению из таблицы можно найти абсолютную влажность р, потому что тот пар, который при температуре t° является ненасыщенным, при точке росы становится насыщенным и его плотность приведена в таблице 24-1.

Рассмотрим примеры задач с решением:

  1. Пример решения задачи №92. Одним из компонентов топлива в двигателе ракеты является жидкий водород, плотность которого в момент закипания . Определить среднюю длину свободного пробега молекул водорода при этом, если эффективный диаметр молекулы водорода нм (нанометров). Молярная масса водорода М = 0,002 кг/моль. Газ считать идеальным.
  2. Пример решения задачи №93. В сосуде находится кислород при нормальных условиях. Найти среднее число столкновений молекул в этом объеме за время t = 2 с. Эффективный диаметр молекулы кислорода нм. Молярная масса кислорода М = 0,032 кг/моль.
  3. Пример решения задачи №94. Давление атомарного водорода в космическом пространстве примерно Па при температуре Т — 125 К, эффективный диаметр его молекул нм. Найти, какое время t в среднем движется молекула водорода между последовательными столкновениями. Молярная масса водорода М = 0,002 кг/моль.

Конденсированные состояния

К оглавлению…

Советы: с чего начинать решать задачу и какие законы применить. Читать обязательно!

Поверхностное натяжение жидкости (или коэффициент поверхностного натяжения) равно отношению силы поверхностного натяжения , действующей на некоторый элемент контура, ограничивающего поверхность жидкости, к длине l этого контура,

Другое определение поверхностного натяжения: поверхностное натяжение жидкости равно отношению изменения ее поверхностной энергии при растяжении к изменению площади ее поверхности при этом.

поверхностное натяжение, или удельная поверхностная энергия жидкости.

Высота подъема жидкости в капилляре при смачивании или глубина ее опускания при несмачивании, если известны плотность жидкости р, ее поверхностное натяжение и радиус капилляра R, определяются по формуле .

Высота подъема жидкости в капилляре прямо пропорциональна ео поверхностному натяжению и обратно пропорциональна плотности жидкости и радиусу капилляра.

Плотность твердых и жидких веществ при 0°С приводится в справочной литературе. Плотность газов при данной температуре можно определить, воспользовавшись уравнением Менделеева-Клапейрона:

В задачах о поверхностном натяжении жидкости изменение площади ее поверхности связано с изменением поверхностной энергии жидкости, которую можно приравнять работе внешних сил А. Если силы, растягивающие поверхность жидкости, приложены к контуру, ограничивающему эту поверхность, перпендикулярно этому контуру и растягивают его в противоположных направлениях, то можно записать: — изменение площади поверхности жидкости.

Если растягивающая сила действует на некоторый элемент такого контура только в одном направлении, как на рис. 25-1, то

При этом внешнюю силу F, растягивающую поверхность жидкости на некотором участке ограничивающего ее контура, можно приравнять по модулю силе поверхностного натяжения приложенной к этому же участку со стороны самой жидкости. Если жидкость образует тонкую пленку, то силы поверхностного натяжения действуют вдоль обеих поверхностей этой пленки, верхней и нижней, какой бы тонкой эта пленка ни была.

Пусть цилиндрический стержень длиной с площадью поперечного сечения S удлинился в пределах упругой деформации на , где l — его конечная длина. Величина равная изменению всей длины стержня, называется абсолютным удлинением, или абсолютной деформацией, стержня. Это та величина, которую мы в законе Гука обозначили буквой х.

Для характеристики способности тела к деформации вводят понятие относительной деформации.

Определение относительной деформации относительная деформация определяется отношением абсолютной деформации к первоначальной длине тела: .

Под действием деформирующей силы в теле возникает напряжение.

Напряжение в теле определяется отношением деформирующей его силы к площади поперечного сечения тела S:

При упругих деформациях растяжения и сжатия отношение относительной деформации к напряжению в деформируемом теле есть величина постоянная для данного вещества, не зависящая от формы и размеров изготовленной из него детали:

Величина Е называется модулем упругости, или модулем Юнга, вещества, из которого изготовлена деталь. Её можно найти по справочнику.

Закон Гука: в пределах упругой деформации относительная деформация прямо пропорциональна напряжению в детали:

При решении задач на упругие деформации иногда приходится использовать закон Гука:

Здесь жесткость , деформация

Число n, показывающее, во сколько раз допустимое напряжение меньше предела прочности (т. е. предельного напряжения) данного сооружения или конструкции, называется его запасом прочности: .

Все тела при нагревании расширяются, а при охлаждении сжимаются. Исключение составляет только вода в интервале температур от 0° до 4°С.

При нагревании воды от 0°С она сжимается и при температуре 4°С имеет максимальную плотность и соответственно минимальный для данной массы воды объем. При дальнейшем нагревании воды, т. е. выше 4°С, она начинает расширяться, а при охлаждении ниже 0°С лед начинает сжиматься, как и все остальные вещества.

Зависимость длины тела от температуры устанавливает следующая формула:

Здесь l — длина тела при температуре f°C или T, — длина при 0°С — 273 К, — изменение температуры тела (по Цельсию или Кельвину, все равно), — температурный коэффициент линейного расширения вещества.

Вследствие линейного расширения тел при нагревании их объем увеличивается. Зависимость объема тел от температуры определяет формула

Здесь V — объем тела при температуре t°C или — его объем при 0°С или 273 К, — изменение температуры, |3 — температурный коэффициент объемного расширения твердого тела.

Коэффициент объемпого расширения твердого вещества равен его утроепному коэффициенту линейного расширения:

Зависимость плотности вещества от температуры:

Коэффициент а для твердых веществ и 0 для жидкостей можно найти по справочнику.

В формулах линейного и объемного расширения тел при нагревании в произведении с коэффициентами линейного и объемного расширения вообще-то вместо t° следует записывать разность температур , т. е. мы видим, что здесь изменение температуры равно конечной температуре t°. Решать задачи, используя формулы, в которых температура выражена в градусах Цельсия, проще, чем те, в которых она выражена в кельвинах:

Тем не менее, учитывая, что некоторые экзаменаторы привержены к системе единиц СИ, мы решали задачи с использованием и тех, и других формул. В таких задачах, когда речь идет о нагревании тел от температуры, например, до температуры , причем не равна , в принципе можно использовать не формулы , а упрощенную формулу — объем тела при температуре — объем при температуре . Погрешность при вычислениях в этом случае будет невелика, поскольку коэффициенты большинства веществ чрезвычайно малы, а решение существенно упрощается.

Рассмотрим примеры задач с решением:

  1. Пример решения задачи №95. В опыте, изображенном на рис. 25-1, длина подвижной перемычки I — 4 см. Какую работу А надо совершить, чтобы переместить ее на расстояние х = 1 см? Мыльная пленка, натянутая на проволочный каркас, имеет поверхностное натяжение = 40 мН/м.
  2. Пример решения задачи №96. Какую работу А надо совершить, чтобы каплю ртути диаметром в 5 мм разделить пополам? Поверхностное натяжение ртути = 510 мН/м.
  3. Пример решения задачи №97. Мыльный пузырь имеет радиус R = 4 см. Найти разницу между давлением воздуха внутри пузыря и снаружи. Поверхностное натяжение = 0,04 Н/м.

Внутренняя энергия и количество теплоты. Уравнение теплового баланса

К оглавлению…

Советы: с чего начинать решать задачу и какие законы применить. Читать обязательно!

Внутренняя энергия тела раина сумме кинетических энергий движения его молекул и потенциальных энергий их взаимодействия

Здесь — сумма кинетических энергий всех молекул тела

от 1-й до N-й, — сумма всех потенциальных энергий их t=i взаимодействия.

В процессе теплообмена одни тела отдают, а другие получают некоторое количество теплоты Q. Определение количества теплоты Q: количество теплоты — это мера изменения внутренней энергии тела, не связанного с совершением работы и переносом вещества.

Количество теплоты — скалярная величина. В СИ количество теплоты измеряется в тех же единицах, что работа и энергия, т. е. в джоулях. В старой учебной и научной литературе встречаются внесистемные единицы количества теплоты: калория (сокр. кал) и килокалория (ккал). Полезно знать, что 1 кал = 4,186 Дж и 1 ккал = 4186 Дж.

Если до передачи теплоты внутренняя энергия тела была а после передачи она стала равна , то переданное этому телу количество теплоты

Удельная теплоемкость вещества равна отношению количества теплоты Q, полученной им при нагревании, к массе вещества m и изменению его температуры :

Поскольку изменение температуры по шкале Кельвина равно изменению температуры по шкале Цельсия , то формулу удельной теплоемкости можно записать и так:

Удельная теплоемкость разных веществ приведена в справочной литературе.

Иногда в условии задачи речь идет не об удельной теплоемкости вещества, а о теплоемкости тела (отсутствует слово «удельная»). Это совсем другая величина.

Определение теплоемкости тела Ст: теплоемкость тела — это величина, равная отношению количества теплоты Q, поглощенной телом при нагревании, к изменению его температуры :

Теплоемкость тела равна произведению удельной теплоемкости вещества, из которого оно изготовлено, и массы этого тела:

Определение молярной теплоемкости С: молярная теплоемкость это физическая величина, равная отношению количества теплоты Q, поглощенного веществом при нагревании или выделенного при охлаждении, к количеству молей v в нем и изменению температуры :

Связь молярной и удельной теплоемкостей: молярная теплоемкость вещества равна произведению его удельной теплоемкости и молярной массы этого вещества:

Удельная теплота плавления — это физическая величина, равная отношению количества теплоты Q, поглощенного кристаллическим телом в процессе его плавления, к массе этого тела m:

Удельная теплота парообразования — это физическая величина, равная отношению количества теплоты, необходимого для превращения жидкости в пар при температуре кипения, к массе этой жидкости:

Удельная теплота сгорания топлива — это физическая величина, равная отношению количества теплоты Q, выделенного сгоревшим топливом, к массе этого топлива m:

Задачи термодинамики мы разделили на три условные группы:

I группа — задачи, в которых рассматриваются процессы перехода теплоты от горячих тел к холодным, в результате чего устанавливается тепловое равновесие, т. е. температуры тел выравниваются. При этом работа не совершается и тепловая энергия не превращается в другие виды энергии; Решаются такие задачи с составлением уравнения теплового баланса, из которого определяется искомая величина;

II группа — задачи, в которых рассматриваются процессы перехода механической энергии в тепловую, или наоборот, а также задачи, в которых за счет тепловой энергии совершается работа, или наоборот, за счет совершенной работы тела получают тепловую энергию;

III группа — задачи на применение первого закона термодинамики к процессам в идеальном газе.

Подчеркнем, что такое деление — чисто условное, так как в основе процессов, рассматриваемых в этих задачах, лежит один и тот же закон природы — закон сохранения и превращения тепловой энергии, применяемый к различным телам и происходящим с ними процессам. Тем не менее мы рассмотрим решение этих задач в отдельности, поскольку они составляют группы, объединенные общими формулами и методикой решения.

В задачах, как правило, горячие и холодные тела приводятся в соприкосновение, в результате чего горячие тела отдают некоторое количество теплоты, а холодные его получают. Напомним, что:

  • а) тепло поглощается в процессах НАГРЕВАНИЯ, ПЛАВЛЕНИЯ и ПАРООБРАЗОВАНИЯ;
  • б) тепло выделяется в процессах ОХЛАЖДЕНИЯ, КРИСТАЛЛИЗАЦИИ, КОНДЕНСАЦИИ и СГОРАНИЯ.

Если нет потерь тепловой энергии при передаче тепла от одних тел другим, то по закону сохранения энергии количество теплоты, поглощенное одними телами в процессах нагревания, или плавления, или парообразования (испарения или кипения), равно количеству теплоты, выделенному другими телами в процессах охлаждения, или кристаллизации (отвердевания), или конденсации, или сгорания. При решении подобных задач нужно сумму количеств теплоты, поглощенной каждым телом термодинамической системы в каждом из процессов нагревания, плавления или парообразования, приравнять сумме количеств теплоты, выделенной другими телами этой же системы при их охлаждении, кристаллизации, конденсации или сгорании, или алгебраическую сумму этих количеств теплоты приравнять нулю. При этом можно поглощенное количество теплоты считать положительной величиной, а выделенное — отрицательной, или наоборот.

Уравнение, в котором сумма количеств теплоты, полученных одними телами термодинамической системы, равно сумме количеств теплоты, отданных другими телами этой системы, называют уравнением теплового баланса. Оно в сущности представляет собой закон сохранения тепловой энергии термодинамической системы тел.

Если же все тепло, отданное одними телами термодинамической системы, не полностью получено другими телами этой системы, значит, процессы идут с потерей тепла телами, поглощающими его. Оно, конечно, не исчезает совсем, а поглощается какими-либо иными телами или окружающей средой, о которых речь не идет, но они всегда есть. В таких задачах обычно что-нибудь сказано о коэффициенте полезного действия (КПД) процесса или о тепловых потерях.

Коэффициентом полезного действия (КПД) теплового процесса называют отношение полезно использованного количества теплоты поглощаемого одними телами термодинамической системы, к затраченному количеству теплоты выделенному другими телами этой системы:

При этом следует учитывать, что все поглощенное (полученное) телами, о которых идет речь, тепло, как правило, относится к полезному количеству теплоты, а все выделенное (отданное) — к затраченному.

КПД процессов обычно измеряют в процентах или в частях. Если в предыдущей формуле отношение количеств теплоты умножается на 100%, то и КПД будет выражен в процентах, а если там нет 100%, то КПД будет в частях. Если у вас КПД получился больше 100%, чего быть, конечно, не может, потому что нельзя поглотить больше тепла, чем было выделено, значит, вы, вероятно, перепутали полезное тепло с затраченным, т. е. числитель этой дроби с ее знаменателем. Проанализируйте задачу еще раз и подумайте, где ошибка.

Иногда в условии задачи вместо КПД процесса говорится о тепловых потерях в нем. Например, сказано, что тепловые потери составили 60%. Это значит, что КПД процесса равен 100% — 60% — 40%. Будьте внимательны и не перепутайте КПД процесса с тепловыми потерями, иначе в вашем решении появится ошибка.

В процессах теплообмена всегда участвует несколько тел. При этом важно определить, какие тела поглощают, а какие выделяют теплоту. Определив это, «присвойте» каждому получающему телу свое количество теплоты Q с соответствующим индексом. При этом одно и то же тело может участвовать в разных процессах поглощения, например, сначала нагреваться, потом плавиться, потом снова нагреваться, потом превращаться в пар. Кдждому такому процессу, определяемому, разными формулами с разными величинами, входящими в них, надо тоже «присвоить» свое количество теплоты соответствующим индексом. Затем надо определить, какие процессы выделения теплоты имеют здесь мес.то и какие тела в них участвуют. При этом тела тоже могут участвовать в разных процессах выделения теплоты. Например, тело может сначала, будучи паром, конденсироваться, затем охлаждаться, затем кристаллизоваться и т. д. И каждому такому процессу, происходящему с каждым телом системы, нужно «присвоить» свое количество теплоты Q каждый раз с новым индексом и постараться их не перепутать. После этого сложите все «поглощенные» количества теплоты и приравняйте их сумму сумме всех «выделенных» количеств теплоты (или сложите все количества теплоты с учетом «плюсов» и «минусов» перед ними, как это советуют делать в некоторых учебниках, и приравняйте эту алгебраическую сумму нулю). Так вы получите уравнение теплового баланса. Затем каждое количество теплоты выразите с помощью соответствующей формулы через величины, которые даны в условии задачи или отыскиваются, и подставьте правые части этих формул в уравнение теплового баланса, после чего решайте получившееся уравнение относительно искомой величины.

Приведем еще раз формулы, которые вам придется использовать в процессе решения подобных задач:

Здесь с — удельная теплоемкость вещества, — теплоемкость тела, С — молярная теплоемкость вещества, — удельная теплота плавления, r — удельная теплота парообразования (ее еще обозначают L), q — удельная теплота сгорания вещества. Все эти величины, кроме теплоемкости тела , можно найти в справочниках.

а молярную теплоемкость можно определить, умножив удельную теплоемкость вещества на его молярную массу М: С — сМ.

Следует знать, что удельная теплоемкость одного и того же вещества в разных агрегатных состояниях различна. Например, удельная теплоемкость льда отличается от удельной теплоемкости воды и пара, поэтому в одном уравнении их надо обозначать буквой с с разными индексами.

Все константы с твердых или жидких веществ, , если они не даны в условии, можно найти в справочнике или вашем школьном задачнике.

Если одно и то же вещество полностью переходит из одного агрегатного состояния в другое, то его масса при этом нс изменяется и се можно обозначать одной буквой с одним и тем же индексом. Например, лед массой — 1 кг превратился в воду. Масса этой воды тоже = 1 кг.

Отметим еще одну особенность решения задач на составление уравнения теплового баланса.

Обратимся к формуле для вычисления количества теплоты в процессах нагревания и охлаждения:

Здесь Q — полученное или отданное количество теплоты, m -масса тела, с — удельная теплоемкость его вещества, мы принимаем за высшую температуру, которую имело данное тело в процессе нагревания или охлаждения, а — его низшая температура в этих процессах. Отметим, что буквой можно обозначать конечную температуру тела, а буквой — его начальную температуру, как советуют в некоторых учебных пособиях. Но при этом следует учитывать, что когда идет речь об охлаждении тела, перед соответствующим количеством теплоты необходимо ставить знак «минус». Например, если тело массой охладилась от температуры С до температуры , то отданное им количество теплоты

Если же мы сразу обозначим высшую температуру этого тела 40°С буквой , а его низшую температуру 10°С буквой то мы сразу можем записать: и при этом отпадает необходимость ставить перед количеством теплоты Q знак «минус».

Если вы предпочитаете считать температуру всегда конечной, a — всегда начальной, то вам надо все количества теплоты, полученные и отданные при теплообмене, сложить с учетом их плюсов и минусов и полученную алгебраическую сумму приравнять нулю. Мы же будем складывать только арифметически (т. е. без минусов) все полученные (поглощенные) количества теплоты и приравнивать их тоже арифметической сумме всех отданных (выделенных) количеств теплоты, принимая, повторяем, за всегда низшую температуру данного тела в данном процессе, а за всегда его высшую температуру в этом же процессе. Повторяем, можно решать и так и эдак, результат будет одинаков. Главное — не ошибиться в знаках.

Напомним, что изменение температуры по шкале Цельсия равно изменению температуры по шкале Кельвина, поэтому в формулах можно не переводить градусы Цельсия в кельвины. Мы рассмотрим решение задач, используя формулы, в которые будет входить температура как по шкале Цельсия, так и абсолютная температура.

В некоторых задачниках и справочниках вместо слов «удельная теплоемкость» пишут просто «теплоемкость», имея в виду именно удельную теплоемкость с, а не теплоемкость тела . Чтобы не запутаться, обратите внимание на единицу измерения данной величины. Если там написано , то это удельная теплоемкость, а если , то это теплоемкость тела, но се в справочнике не приведут, поскольку она зависит не только от вещества, но и от массы тела. Точно так же иногда пишут «теплота сгорания» или «теплотворная способность топлива», имея в виду удельную теплоту сгорания q. Если ее единицей является , а не просто Дж, то это удельная теплота сгорания q, а не количество теплоты Q.

Рассмотрим несколько примеров на составление уравнения теплового баланса.

Пример: Горячее тело массой с удельной теплоемкостью вещества , взятое при температуре , опустили в калориметр (прибор для измерения теплоемкости веществ) массой с удельной теплоемкостью , в который налита вода массой с удельной теплоемкостью . Температура холодной воды и калориметра . В результате теплообмена установилась одинаковая температура тела, калориметра и воды t° (ее еще обозначают ). Очевидно, что конечная температура будет меньше начальной температуры горячего тела но больше начальной температуры холодных воды и калориметра . Следовательно, горячее тело выделяет количество теплоты , остывая от высшей для него в этом процессе температуры до низшей для него же конечной температуры а холодные калориметр и вода получают количества теплоты , нагреваясь от низшей для них температуры до высшей для них конечной температуры t°. Уравнение теплового баланса применительно к этому процессу будет выглядеть так:

или с учетом приведенных формул

Очевидно, что никаких иных процессов, кроме нагревания и охлаждения, здесь не происходит (ничто не плавится, не кипит, не сгорает и т. д.), поэтому мы ограничились тремя количествами теплоты . Кроме того, в этом примере ничего не сказано о КПД процесса или о тепловых потерях, поэтому мы вправе считать систему этих трех тел замкнутой и между поглощенной и выделенной тепловой энергией ставить знак равенства. Из последнего выражения можно найти какую-либо искомую величину, если остальные известны.

Рассмотрим примеры задач с решением:

  1. Пример решения задачи №98. Для ванны необходимо приготовить V = 320 л воды при температуре t° = 40°С. Из горячего крана смесителя идет вода при = 70°С, а из холодного — при = 15°С. Сколько горячей и холодной воды нужно влить, чтобы приготовить ванну?
  2. Пример решения задачи №99. Нагретое до температуры = 90°С тело опустили в сосуд с водой, и при этом температура воды повысилась . До какой температуры нагреется эта вода, если после этого в нее, не вынимая первого -тела, опустить еще ‘такое же тело, тоже нагретое до температуры = 90°С ?
  3. Задача №100 В сосуд с водой массой = 250 г при температуре = 18°С, опустили медную гирьку массой = 100 г, нагретую до = 90°С. После этого в сосуде установилась температура = 20°С. Удельная теплоемкость воды = 4186 Дж/(кг • К), удельная теплоемкость меди = 380 Дж/(кг • К). Определить теплоемкость сосуда .

Процессы взаимного перехода механической и тепловой энергий

К оглавлению…

Советы: с чего начинать решать задачу и какие законы применить. Читать обязательно!

В условиях задач этой группы идет речь о процессах перехода механической энергии (потенциальной или кинетической) в тепловую или, наоборот, тепловой в механическую. В последнем случае за счет полученной тепловой энергии может быть совершена механическая работа или за счет совершения механической работы тела могут получать теплоту. Какая энергия переходит в какую, зависит от условия задачи.

Если над системой механическая работа не совершается, то при теплообмене, когда системе передают извне теплоту или, наоборот, когда система отдает теплоту, ее внутренняя энергия изменяется. В первом случае она увеличивается, а во втором уменьшается. При этом изменение внутренней энергии равно количеству теплоты, полученному или отданному при теплообмене:

Следует помнить, что изменение внутренней энергии идеального газа происходит только тогда, когда изменяется его температура, т. е. когда он нагревается или охлаждается, тогда как изменение внутренней энергии твердых или жидких тел происходит и при плавлении или кристаллизации, парообразовании или конденсации.

Тело может получать или отдавать теплоту вследствие частичного или полного превращения механической энергии во внутреннюю. Рассмотрим несколько примеров.

Тело надает с некоторой высоты без начальной скорости в вязкой среде и у поверхности земли приобретает некоторую скорость. В процессе падения из-за сопротивления среды оно нагревается. При этом количество теплоты, полученное телом и средой, равно убыли его механической энергии, т. е. оно равно разности между потенциальной энергией , которую тело имело на высоте, и его кинетической энергией у поверхности земли:

Тело свободно падает с некоторой высоты с начальной скоростью. При ударе о какой-либо предмет на земле оно нагревается и плавится. Здесь опять его механическая энергия, которой тело обладало на высоте, переходит в Тепловую энергию, но теперь среда не оказывает сопротивления, поэтому вся механическая энергия тела на высоте, равная его потенциальной энергии и кинетической , полностью превращается в теплоту, которая идет на нагревание тела и его плавление:

Рассмотрим пример на превращение тепловой энергии в механическую За счет выделенной при сгорании топлива тепловой энергии ракета взлетает на некоторую высоту. Здесь тепловая энергия, если отсутствует сопротивление среды или им можно пренебречь, превращается в потенциальную энергию ракеты на высоте H:

Здесь — масса топлива, q — его удельная теплота сгорания, — масса ракеты, g — ускорение свободного падения, Н -высота подъема ракеты.

Если же сопротивление среды надо учитывать, то часть тепловой энергии, выделенной сгоревшим топливом, превратится во внутреннюю энергию среды и ракеты, т. е. пойдет на их нагревание, а часть — в потенциальную энергию ракеты на высоте Н. В этом случае тепло, пошедшее на нагревание, равно разности между количеством теплоты, выделенным сгоревшим топливом, и потенциальной энергией тела на высоте Н.

Если в условии подобной задачи речь идет о скорости взлетающей ракеты и, то при условии отсутствия сопротивления среды количество теплоты Q, выделенное сгоревшим топливом, можно приравнять кинетической энергии ракеты :

Здесь — масса ракеты.

Если в условии задачи что-нибудь сказано о мощности, развиваемой двигателем за счет тепловой энергии, то эту тепловую энергию можно приравнять работе А, совершенной двигателем за время t (но не мощности, ведь мощность измеряется в ваттах, тепловая энергия — в джоулях, а ставить знак равенства между разноименными физическими величинами ни в коем случае нельзя), а затем эту работу выразить через мощность

Если в условии задачи ничего не сказано о КПД, процесса передачи энергии или о тепловых потерях, т. е. имеется в виду, что вся тепловая энергия превращается в механическую, или наоборот. Если же в условии подобной задачи идет речь о КПД процесса (дан или надо определить) или о тепловых потерях, то можно сразу записать формулу КПД, как отношение полезно использованной энергии (механической или тепловой) ко всей затраченной энергии (тоже механической или тепловой), выразив его в процентах или частях. Где какая энергия, зависит от условия задачи. Отметим, что в числителе или знаменателе формулы КПД, кроме количества теплоты, потенциальной энергии или кинетической энергии , может стоять работа А, тоже полезная или затраченная. Иные величины, которые измеряются не в единицах энергии, здесь стоять в единственном числе не могут. Например, не может быть так, чтобы КПД определялся отношением мощности к количеству теплоты, потому что мощность измеряется в ваттах, а количество теплоты — в джоулях. КПД же измеряется в частях или процентах, поэтому при его определении все иные единицы должны сократиться.

Приведем примеры на применение формулы КПД:

а) за счет выделенного количества теплоты Q (затраченной) тело поднялось на высоту, приобретя при этом потенциальную энергию (полезную):

б) упав с некоторой высоты, где тело обладало потенциальной энергией (затраченной), тело нагрелось, т, е. приобрело количество теплоты Q (полезной):

в) за счет выделенного количества теплоты (затраченной) тело развило скорость, т. е. приобрело кинетическую энергию (полезную):

г) тело, летевшее с некоторой скоростью и потому обладавшее кинетической энергией (затраченной), при ударе о препятствие нагрелось, т. е. получило некоторое количество теплоты (полезной):

д) за счет выделенного количества теплоты (затраченной) тело под действием силы совершило перемещение или развило мощность, т. е. была совершена работа А (полезная):

е) за счет совершенной работы А (затраченной) тело получило некоторое количество теплоты Q (полезной), например, нагрелось или расплавилось и т. п.:

Рассмотрим примеры задач с решением:

  1. Задача №101 Найти изменение внутренней энергии воды массой m = 2 кг, взятой при , при превращении ее в пар при . Удельная теплоемкость воды с = Дж/(кг • К), удельная теплота парообразования воды Дж/кг.
  2. Задача №102 Воду для ванной нагревают с помощью газового нагревателя мощностью N = 20 кВт. Какое время t будет нагреваться вода для ванны объемом л от = — 18°С до = 38°С? Каков будет при этом расход газа (т. е. объем сгоревшего газа)? Удельная теплоемкость воды Дж/(кг • К), удельная теплота сгорания газа , КПД нагревателя , плотность воды .
  3. Задача №103 Для охлаждения пулемета во время стрельбы в его кожух наливают V = 5 л воды при — 10°С. За каждую = 1 с пулемет производит N = 10 выстрелов. При этом в патроне сгорает = 3 г пороха. За какое время t выкипит вся вода в кожухе, если КПД процесса теплообмена , а КПД пулемета ? С какой скоростью и вылетает пуля из ствола пулемета, если ее масса г? Удельная теплота сгорания пороха q = Дж/кг, плотность воды , температура кипения воды = 100°С, удельная теплоемкость воды с = 4,2 • 103 Дж/(кг • К), удельная теплота парообразования воды Дж/кг. Стрельба производится непрерывно.

Работа при изменении объема газа. Первый закон термодинамики. Тепловые двигатели

К оглавлению…

Советы: с чего начинать решать задачу и какие законы применить. Читать обязательно!

Работа А при изобарном изменении объема газа равна произведению давления газа на изменение его объема

При расширении газа силы давления совершают положительную работу, увеличивая объем газа. При сжатии газа внешние силы совершают отрицательную работу, поскольку изменение объема газа в этих формулах меньше нуля, ведь при сжатии конечный объем меньше начального объема ,.

Если давление газа в процессе его расширения или сжатия изменяется, то работа А в этом случае определяется интегрированием в пределах от ,

Работа при изотермическом процессе

При изохорном процессе газ работы не совершает:

Внутренней энергией газа, как и любого другого тела, называется сумма кинетических и потенциальных энергий его молекул. Но молекулы идеального газа на расстоянии не взаимодействуют (они взаимодействуют только при непосредственном столкновении друг с другом, подобно абсолютно упругим шарикам исчезающе малого размера). Поэтому сумма потенциальных энергий молекул идеального газа равна нулю. Вследствие этого внутреннюю энергию идеального газа можно определить следующим образом:

Внутренняя энергия идеального газа равна сумме кинетических энергий его молекул.

Формула внутренней энергии идеального одноатомного газа.

Изменение внутренней энергии идеального газа неразрывно связано с изменением его температуры :

Первый закон термодинамики: количество теплоты, переданное термодинамической системе, расходуется на изменение ее внутренней энергии и на совершение этой системой работы против внешних сил:

Применение первого закона термодинамики к изопроцессам в газе: при изотермическом процессе все количество теплоты, переданное газу извне, расходуется на совершение им работы против внешних сил:

при изохорном процессе все тепло, переданное газу извне, расходуется на увеличение его внутренней энергии. При этом газ нагревается. И наоборот, если газ изохорно отдает во внешнюю среду некоторое количество теплоты, то его внутренняя энергия уменьшается и он охлаждается:

при изобарном процессе все тепло, полученное газом извне, расходуется как на изменение его внутренней энергии, так и на совершение им работы против внешних сил:

Адиабатным называется процесс, протекающий в термодинамической системе без теплообмена с внешней средой.

При адиабатном процессе изменение внутренней энергии термодинамической системы равно работе системы, взятой со знаком «минус»:

Уравнение адиабатного процесса в идеальном газе:

Показатель степени в уравнении адиабаты называется коэффициентом Пуассона, который равен отношению удельной теплоемкости идеального газа при постоянном давлении к удельной теплоемкости этого газа при постоянном объеме :

Процесс в реальном газе можно считать адиабатным, если он протекает очень быстро, столь быстро, что газ не успевает обменяться теплом с внешней средой. Примером такого процесса может служить процесс истечения отработанного газа из сопла ракеты, который резко расширяется и при этом сильно охлаждается.

Работу адиабатного изменения объема идеального одноатомного газа определяет формула .

Степенью свободы молекулы называют любое независимое движение, которое она может совершить. Число таких независимых движений называют числом степеней свободы молекулы и обозначают буквой i.

Одноатомная молекула обладает тремя степенями свободы, т. е. у нее i = 3. Двухатомная молекула имеет пять степеней свободы: три поступательных и две вращательных, т. е. у нее i = 5. Многоатомная молекула имеет шесть степеней свободы: три поступательных и три вращательных, т. е. у нее i = 6.

Уравнение внутренней энергии идеального газа с i степенями свободы молекул .

Молярные теплоемкости Cv и Ср идеального газа при постоянных объеме и давлении зависят только от числа степеней свободы молекул.

Уравнение Р. Майера: молярная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении равна сумме молярной теплоемкости этого газа при постоянном объеме и молярной газовой постоянной R:

Тепловые двигатели — это устройства, в которых тепловая энергия превращается в механическую.

Определение КПД теплового двигателя: коэффициентом полезного действия теплового двигателя называется отношение работы А, совершенной этим двигателем, к количеству теплоты , полученному от нагревателя:

Здесь — количество теплоты, отданное холодильнику.

КПД идеального теплового двигателя, в котором рабочим телом являлся идеальный газ и цикл которого состоит из двух изотерм и двух адиабат — цикл Карно, — определяет формула

здесь — температура нагревателя, — температура холодильника.

При решении задач, в которых применяется первый закон термодинамики и идет речь об идеальном газе, сразу обратите внимание на то, какой это газ и какие с ним происходят процессы. Помните, если этот газ одноатомный, то число степеней свободы его молекул i = 3 и его внутреннюю энергию можно определить по формуле а ее изменение ,

Одноатомными являются инертные газы (аргон, гелий, неон), а такие газы, как водород, кислород, азот, о которых чаще всего идет речь, — двухатомные, и к ним применять эту формулу нельзя. Эти газы могут быть и одноатомными, но об этом должно быть что-нибудь сказано, например, «атомарный водород» или «озон», т. е. одноатомный кислород,, и т. п. У двухатомных газов число степеней свободы молекул i = 5 и для них , а у многоатомных, например у углекислого газа , i = 6. Поэтому имеет смысл сразу записать общую формулу внутренней энергии: а число степеней свободы молекул записать в условие и использовать при подстановке чисел.

В формуле внутренней энергии произведение можно заменить на pV, ведь согласно уравнению Менделеева-Клапейрона .

Тогда получим .

Если в условии задачи сказано, что газ свободно, но не очень быстро, т. е. не адиабатно, расширяется и из условия следует, что при изменении объема газа на него действуют постоянные силы, значит, здесь имеет место изобарный процесс, т. е. давление этого газа . При этом сообщаемое газу тепло Q идет на изменение его внутренней энергии и на работу А газа против внешних сил (если только сами внешние силы не совершают над газом работу, ведь можно одновременно передавать газу тепло и сжимать его). При изобарном процессе изменение внутренней энергии газа, которое во всех случаях может быть записано так: ведь согласно уравнению Менделеева-Клапейрона .

При изобарном процессе могут также пригодиться формулы , где . Кроме того, и . Следует помнить также, что здесь может пригодиться закон Гей-Люссака, согласно которому при

Если в условии задачи идет речь о газовом процессе в закрытом сосуде, значит, этот процесс изохорный, т. е. объем газа V == const. В этом случае работа изменения объема газа А «= 0. При изохорном нагревании тепло Q идет только на изменение внутренней энергии газа , В этом случае из уравнения Менделеева-Клапейрона следует, что

Кроме того, при V = const могут пригодиться формулы

а также закон Шарля .

Если в условии задачи говорится об очень медленном процессе в газе, значит, этот процесс изотермический, т. е. здесь температура Т = const. В таком случае внутренняя энергия газа не изменяется, т. е. ее изменение и все тепло Q идет на совершение газом работы: Q = А. К такому процессу формула расчета количества теплоты при нагревании или охлаждении неприменима, ведь здесь . Работа при изотермическом процессе определяется по формулам

поскольку при Т = const согласно закону Бойля-Мариотта

Если в условии задачи идет речь о газовом процессе в теплоизолированном сосуде (сосуде с теплонепроницаемыми стенками), то этот процесс адиабатный. При нем газ не получает и не отдает тепло Q и первый закон термодинамики применительно к нему записывают так: .

Здесь, как и при любых других процессах, применима формула

Работу при адиабатном процессе можно определить по формуле . Так как .

Если процесс в газе произвольный, работу можно находить только методом интегрирования по формуле .

Если весь термодинамический процесс в газе состоит из нескольких участков, то вся работа, совершенная газом, равна сумме работ на отдельных участках процесса. При этом надо учитывать, что если газ расширяется, то эта работа положительна, а если сжимается, то она отрицательна.

При решении задач на определение КПД идеального теплового двигателя непременно переведите градусы Цельсия в кельвины, ведь КПД идеальной тепловой машины

Напомним, что здесь — абсолютная температура нагревателя, а — абсолютная температура холодильника.

КПД любого теплового двигателя, как идеального, так и реального, определяется формулой

— совершенная двигателем работа, поэтому КПД двигателя может быть также определен формулой .

В этих формулах количество теплоты, переданное нагревателем рабочему телу, a — количество теплоты, отданное рабочим телом холодильнику.

Кстати если вам будет интересно, я тут собрала теорию и готовые задачи которые могу вам продать.

Рассмотрим примеры задач с решением:

  1. Задача №104 При уменьшении объема одноатомного газа вдвое его давление увеличилось на 25%. Во сколько раз изменилась внутренняя энергия этого газа?
  2. Задача №105 Какова внутренняя энергия идеального одноатомного газа 17, занимающего объем V при температуре Т, если концентрация его молекул n?
  3. Задача №106 Найти изменение внутренней энергии воды массой , взятой при , при превращении ее в пар с температурой ? Удельная теплоемкость воды Дж/(кг • К), удельная теплота парообразования воды Дж/кг.

Возможно эти дополнительные страницы вам будут полезны: