Примеры решения задач по финансовой математике

Здравствуйте на этой странице я собрала теорию и практику с примерами решения задач по предмету финансовая математика с решением по каждой теме, чтобы вы смогли освежить знания!

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Сущность и формула процентных денег. Виды процентных ставок и способы начисления процентов

К оглавлению…

Финансовая математика — это наука, изучающая методы и методики определения стоимостных и временных параметров финансовых и инвестиционных операций, процессов и сделок, а также модели управления инвестициями, капиталом и его составляющими.

Объект финансовой математики — финансовые операции и сделки и их технико-экономическое обоснование, направленное на извлечение прибыли. Предмет — финансовые и актуарные оценки показателей эффективности этих операций и сделок, а также доходов отдельно взятых участников этих сделок, определяемых в виде процентных ставок, норм и коэффициентов, скидок, маржи, котировок ценных бумаг, курсов валют.

Финансовая математика охватывает методы вычислений, необходимость в которых возникает, когда в условиях сделки или финансово-банковской операции оговариваются конкретные значения трех видов параметров:

1) стоимостные характеристики (размеры платежей, долговых обязательств, кредитов и т. д.);

2) временные данные (даты и сроки выплат, продолжительность льготных периодов, отсрочки платежей и т. д.);

3) процентные ставки.

Методы финансовой математики используются в расчетах параметров, характеристик и свойств инвестиционных операций и стратегий, параметров государственных и негосударственных займов, кредитов, в расчетах амортизации, страховых взносов и премий, пенсионных начислений и выплат, при составлении планов погашения долга, оценке прибыльности финансовых сделок.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет финансовая математика

Факторы, учитываемые в финансово-экономических расчетах

К оглавлению…

Финансовые процессы определяются многими факторами, которые условно делятся на внутренние и внешние.

К внутренним относятся те факторы, которые определяют основные и непосредственные характеристики финансового процесса, т. е. структура портфеля активов, контрактные характеристики сделки (способ начисления процентов в кредитных сделках, выбранная схема погашения и т. п.), а также факторы, определяющие начальные условия сделки (величину инвестируемого капитала, начальный момент инвестиций).

Внешние факторы определяют рыночную среду, т. е. условия, в которых протекает финансовый процесс. К ним относятся, во-первых, инфляционные ожидания, влияющие на уровень процентных ставок. Снижение покупательной способности денег за период кредитования приводит к уменьшению реального размера заемных средств, возвращаемых кредитору. Соответственно кредиторы пытаются компенсировать снижение реальных доходов за счет увеличения процентных ставок по активным операциям. Конкуренция на рынке финансовых ресурсов также оказывает влияние на уровень банковских процентных ставок. Развитие рынка ценных бумаг выступает одним из факторов ценообразования на кредитном рынке. Открытость национальной экономики, международная миграция капиталов, обменный курс валют, состояние платежного баланса страны — факторы, также влияющие на национальную систему процентных ставок.

Во-вторых, практически любой финансовой сделке присущ фактор риска. С позиции макроэкономики, риск зависит от экономической, политической и прочих составляющих и часто не поддается управлению.

В-третьих, система налогообложения определяет размер чистой прибыли, остающейся в распоряжении налогоплательщика. Меняя ставки налогообложения, порядок взимания налогов, применяя систему льгот, государство стимулирует определенные экономические процессы.

Задание внутренних и внешних факторов финансового процесса полностью определяет его динамику. Внешние факторы, как правило, не поддаются управлению, однако при проведении финансово-экономических расчетов их необходимо учитывать. Это относится, прежде всего, к учету влияния инфляции, налоговой системы, финансовых рисков. Внутренние факторы могут рассматриваться двояко: как управляющие параметры, либо как параметры, значение которых необходимо определить в ходе выполнения расчетов.

В условиях рыночной экономики при проведении долгосрочных финансовых операций важную роль играет фактор времени. «Золотое» правило бизнеса гласит: «Денежная сумма, полученная сегодня, больше той же суммы, полученной завтра». Поэтому в финансовых расчетах фактор времени играет не меньшую роль, чем размеры денежных сумм. Действительно, всегда найдутся организации и частные лица (заемщики), нуждающиеся в кредитах на тот или иной период и готовые платить за такой заем (ссуду). Таким образом, в большинстве случаев увеличение стоимости капитала происходит в результате предоставления его в долг и взимания процентной ставки.

Фактор времени в финансовой сфере учитывается с помощью процентной ставки. В узком смысле процентная ставка представляет собой цену, уплачиваемую за использование заемных денежных средств. Однако ее также часто используют в качестве уровня (нормы) доходности производимых операций, исчисляемого как отношение полученной прибыли к величине вложенных средств и выражаемого в долях единицы или в процентах.

Виды процентов

К оглавлению…

Методы финансово-экономических расчетов различны в зависимости от вида применяемых процентов. Относительно момента выплаты или начисления дохода за пользование предоставленными денежными средствами проценты подразделяются на обычные (декурсивные) и авансовые (антисипативные).

Отрезок времени между двумя следующими друг за другом процедурами начисления процентов называется периодом начисления процентов. Обычные проценты начисляются в конце периода относительно исходной величины средств. Доход, определяемый обычным процентом, выплачивается в конце периодов финансовой операции. Такие проценты применяются в большинстве депозитных и кредитных операций, а также в страховании. Авансовые проценты начисляются в начале периода относительно конечной суммы денег. Доход, определяемый авансовым процентом, выплачивается в момент предоставления кредита. Такая форма расчетов называется авансовой или учетом. При этом базой расчета процентов служит сумма денег с процентами (сумма погашения долга). Исчисленные таким образом проценты взимаются вперед и являются авансом. Так рассчитывают проценты в некоторых видах кредитования, операциях с дисконтными ценными бумагами, в международных расчетах.

Рассмотренным двум видам процентов на практике соответствуют определенные процентные ставки. Пусть сумма предоставлена в долг условием, что через лет будет возвращена большая сумма .

Обычная годовая ставка процентов рассчитывается по формуле

учетная годовая ставка процентов — по формуле

Обе ставки взаимосвязаны, т. е. зная один из показателей, можно рассчитать другой по формулам соответственно:

Пример №1

Предприниматель получил на два года кредит в размере 100 000 ден. ед. В конце срока он должен возвратить 140 000 ден. ед. Определить доход кредитора в виде процентной и учетной ставок.

Решение:

Параметры задачи: = 2 года, = 100 000 ден. ед., = 140 000 ден. ед. Тогда обычная процентная ставка равна

учетная — .

Видно, что при равной величине процентных денег

величина процентной ставки = 20 % выше величины учетной ставки = 16,7 %.

В зависимости от условий проведения финансовых операций, начисление процентов может осуществляться с применением простых, либо сложных процентов. Базой для исчисления простых процентов за каждый период служит первоначальная сумма сделки. Простые проценты чаще всего используются в краткосрочных финансовых операциях, срок проведения которых меньше года. База для начисления сложных процентов меняется за счет присоединения ранее начисленных процентов, т. е. она включает в себя как исходную сумму сделки, так и сумму уже накопленных к этому времени процентов. Сложные проценты применяются в большей степени в долгосрочных финансовых операциях со сроком проведения более одного года.

Фиксированная процентная ставка — это ставка, определенная в виде конкретного числа в финансовых контрактах. Постоянная — ставка, неизменная на протяжении всего периода финансовой операции. Переменная — ставка, дискретно изменяющаяся во времени, но имеющая конкретную числовую характеристику. Плавающая — ставка, привязанная к определенной величине, изменяющейся во времени, включая надбавку к ней (маржу), которая определяется целым рядом условий (сроком операции и т. п.). Основу процентной ставки составляет базовая ставка, которая является начальной величиной.

Наращение и дисконтирование

К оглавлению…

Процесс, в котором по заданной исходной сумме и процентной ставке необходимо найти ожидаемую в будущем к получению сумму, в финансовых вычислениях называется процессом наращения. Процесс, в котором по заданной ожидаемой в будущем к получению сумме и процентной ставке необходимо найти исходную сумму долга, называется процессом дисконтирования. Логика финансовых операций схематически изображена на рисунке 1.

Наращение позволяет определить будущую величину текущей суммы через некоторый промежуток времени, исходя из заданной процентной ставки . Дисконтирование представляет собой процесс нахождения на заданный момент времени современной величины по ее известному или предполагаемому значению в будущем, исходя из заданной процентной ставки .

Виды процентных ставок и способы начисления процентов. Простые проценты.

Основным свойством денег является их временная ценность, связанная с

  • наличием инфляции,
  • обращением капитала.

Деньги, относящиеся к различным моментам времени, неравноценны, например, сегодняшние деньги ценнее будущих, а будущие, в свою очередь, менее ценны, чем сегодняшние при равенстве их сумм.

Предмет финансовой математики — это специальные модели и алгоритмы, связанные с проблемой «деньги — время» и позволяющие оценить будущие доходы с позиции текущего момента.

Основными задачами финансовой математики являются:

  • измерение конечных результатов финансовой операции;
  • разработка планов выполнения финансовых операций;
  • оценка зависимости конечных результатов операции от ее условий;
  • определение допустимых критических значений параметров операции и расчет параметров эквивалентного (безубыточного) изменения первоначальных условий финансовой операции.

Любая финансовая операция, инвестиционный проект или коммерческое соглашение предполагают наличие ряда условий их выполнения, с которыми согласны участвующие стороны.

К таким условиям относятся следующие количественные данные:

  • денежные суммы,
  • временные параметры,
  • процентные ставки.

Под процентами, понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой его форме: выдача ссуды, продажа товара в кредит, помещение денег на депозитный счет, учет векселя, покупка сберегательного сертификата или облигации и т.д.

Под процентной ставкой понимается относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени — отношение дохода (процентных денег) к сумме долга.

Она измеряется в процентах. При выполнении расчетов процентные ставки обычно измеряются в десятичных дробях.

Временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, называют периодом начисления. В качестве такого периода принимают год, полугодие, квартал, месяц или даже день. Чаще всего на практике имеют дело с годовыми ставками.

Проценты согласно договоренности между кредитором и заемщиком выплачиваются по мере их начисления или присоединяются к основной сумме долга (капитализация процентов).

Процесс увеличения суммы денег во времени в связи с присоединением процентов называют наращением этой суммы.

Возможно определение процентов и при движении во времени в обратном направлении — от будущего к настоящему. В этом случае сумма денег, относящаяся к будущему, уменьшается на величину соответствующего дисконта (скидки). Такой способ называют дисконтированием (сокращением).

Размер процентной ставки зависит от:

  • общего состояния экономики, в том числе денежно-кредитного рынка;
  • кратковременных и долгосрочных ожиданий его динамики; вида сделки, ее валюты; срока кредита;
  • особенностей заемщика (его надежности) и кредитора, истории их предыдущих отношении и т. д.

Виды процентных ставок и способы начисления процентов

  1. Для начисления процентов применяют постоянную базу начисления и последовательно изменяющуюся (за базу принимается сумма, полученная на предыдущем этапе наращения или дисконтирования). В первом случае используют простые, во втором — сложные процентные ставки, при применении которых проценты начисляются на проценты.
  2. Важным является выбор принципа расчетов процентных денег. Существует два таких принципа: от настоящего к будущему и, наоборот, от будущего к настоящему. Соответственно применяют ставки наращения и дисконтные, или учетные ставки. Если проценты начисляются на первоначальную сумму (долга) или на сумму с увеличенными за предшествующие периоды процентами, то в этом случае говорят о ставке процентов (или о ставке наращения). Если же проценты начисляются и вычитаются из суммы ссуды (долга, кредита и т.п.) в начале срока операции, то в этом случае речь идет об учетных ставках. В финансовой литературе проценты, полученные по ставке наращения, принято называть декурсивными, по учетной ставке — антисипативными.
  3. Процентные ставки могут быть: фиксированными (в контракте указываются их размеры), плавающими (floating). В последнем случае указывается не сама ставка, а изменяющаяся во времени база (базовая ставка) и размер надбавки к ней — маржи. Ставка рефинансирования Центрального Банка России — ставка, по которой ЦБ выдает кредит коммерческим банкам.
  4. В практических расчетах применяют так называемые дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за фиксированные интервалы времени (год, полугодие и т.д.). Иначе говоря, время рассматривается как дискретная переменная.

Непрерывные проценты — проценты, начисленные непрерывно, т.е., за бесконечно малые промежутки времени. Проценты начисляются на практике или дискретно (например, в конце месяца за месяц, в конце года за год), или непрерывно (например, ежедневно).

Простые проценты

К оглавлению…

Под наращенной суммой ссуды (депозита, инвестированных средств, платежного обязательства и т.п.) понимается ее первоначальная сумма с начисленными на нее процентами к концу срока наращения. Величина наращенной суммы представляет собой произведение первоначальной суммы ссуды на множитель наращения, который показывает во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной. В зависимости от применяемой процентной ставки и условий наращения формула расчета множителя наращения записывается по-разному.

Например, для наращения по простым процентам наращенная сумма (S) будет рассчитываться так:

где Р — первоначальная сумма ссуды, ден. ед.; — срок ссуды (а днях, месяцах, годах и т. п.); — ставка наращения (простая постоянная), ед.

Выражение (1 + ni) называется множителем наращения.

В финансово-экономических расчетах срок ссуды обычно измеряется годами, поэтому значение ставки наращения есть значение годовой ставки процентов. Проценты, начисленные за весь срок ссуды, в этом случае составят:

где I — процентная сумма (величина дохода), ден. ед.

Представленная выше формула называется формулой простых процентов, а величину I можно определить как процентный доход, или процентные деньги (проценты).

В практической работе банки, коммерческие организации, финансовые институты и т.п. используют различные способы изменения числа дней ссуды (t) и продолжительности года (временной базы для расчета процентов) в днях (К). В зависимости от того, как определяются величины t и К — точно, или приблизительно применяются следующие варианты («практики», «системы») начисления простых процентов.

  1. Точные проценты с фактическим числом дней ссуды (так называемая «английская» практика). Этот вариант дает самые точные результаты и применяется многими центральными и крупными коммерческими банками мира. В этом случае К=365 дням, а в месяцах 28, 29, 30 и 31 день.
  2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (так называемая «французская» практика или банковский метод). Этот вариант дает несколько больший результат, чем применение точных процентов. Так, если число дней ссуды превышает 360, то данный способ измерения времени приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой ставкой. Например, при t = 363 дням, п=363:360= 1,0083, а множитель наращения за этот период будет равен: 1 + 1,0083*i.
  3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды («германская» практика). Подсчет числа дней в этом варианте базируется на годе в 360 дней и месяцах по 30 дней. Поскольку точное число дней ссуды в большинстве случаев больше приближенного, то проценты с точным числом дней обычно больше, чем с приближенным, а следовательно, и наращенная сумма по процентам с точным числом дней обычно выше.

Наращение суммы в случае изменения простой процентной ставки в течение срока ссуды. На практике часто встречается ситуация, когда кредитные договоры (соглашения) предусматривают изменение процентной ставки в течение срока ссуды (например, в связи с изменением ставки рефинансирования; желанием банка учесть темп инфляции и т. д.). При этом годовая ставка процентов, указанная в кредитном договоре, носит название номинальной. В этом случае наращенная сумма будет исчисляться следующим образом:

где — ставка простых процентов в периоде ед.;

— продолжительность периода; лет;

— число периодов, ед.

Наращение суммы при реинвестировании. В целях повышения заинтересованности вкладчиков и быстрого привлечения дополнительных денежных средств, например, в кратко- и среднесрочные депозиты, банки и финансовые компании могут предлагать производить своим клиентам неоднократное наращение вложенной суммы в пределах общего срока займа, т.е. реинвестировать ее. Иными словами, реинвестирование предполагает присоединение начисленных процентов к исходной (первоначальной) сумме и начисление процентов уже на возросшую сумму, и так несколько раз за период. При таком реинвестировании наращенная сумма рассчитывается по формуле:

где — продолжительность периодов наращения, лет;

причем (общий срок сделки);

— ставки реинвестирования, ед.

В частном случае, когда , т.е. когда периоды начисления и ставки процентов равны формула принимает

где — число операций реинвестирования, ед.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Помощь по финансовой математике

Пример №2

На сумму вклада в размере 50 тыс. р. в течение месяца начисляются простые проценты по ставке 24% годовых. Какова будет наращенная сумма, если эта операция будет повторена в течение 6 мес. текущего года (т.е. при реинвестировании этой суммы шесть раз) при расчете точных процентов с фактическим числом дней ссуды с 1 -го марта?

Решение:

По условиям примера Р = 50 тыс. р.; i = 0,24. Точное число дней не високосного года, начиная с марта и заканчивая августом составит: 31 +30+314-30-4-31 ->-31 = 184 дня.

По формуле получаем:

Пример №3

Потенциальный клиент ряда надежных и расположенных в пределах его пешеходной доступности банков города имеет временно свободные денежные средства в размере 10 тыс. р. и хотел бы поместить их на депозитный счет сроком на 1 год. Первый банк (банк А) предлагает ему сделать вклад на условиях ежеквартального начисления по ставке 20% годовых и капитализации (реинвестирования) процентов. Второй банк (банк Б) на следующих условиях: начисление на вклад по ставке 24% годовых дважды в год с капитализацией процентов. Банк В предлагает ежемесячное начисление процентов по ставке 20% годовых и капитализацией начисленных процентов. И, наконец, банк Г предлагает сделать вклад на условиях начисления 25% годовых без капитализации процентов и начисления их в конце срока вклада.

В каком из банков вкладчик может получить наибольшую сумму по окончании срока договора?

Решение:

По условиям примера . Учитывая, что начисление процентов происходит ежеквартально, по полугодиям и ежемесячно с капитализацией, и только в банке Г — в конце года (без реинвестирования), по формуле получим (тыс. р.):

Наращенная сумма при вкладах в конце и в начале каждого года.

Довольно часто по условиям договоров вклада депозитных договоров банки предусматривают возможность довложения определенной (часто — не выше первоначальной) денежной суммы.

В случае если вклады делаются в конце каждого года, то наращенная сумма составит:

где т — число вкладов, ед.; D — величина вклада, ден. ед.

Если вклады по своей величине равны, т.е. , то формулу можно записать так:

или, учитывая, что ,

можно окончательно написать:

Очевидно, что наращение по ставке простых процентов в случае, когда довложения делаются в начале года, существенно выгоднее по сравнению в довложениями в конце года. Это происходит потому, что в первом случае увеличивается на один год наращения.

Расчет суммы необходимого депозита при ежегодных выплатах. Довольно часто (особенно при работе с клиентами — пенсионерами, со вкладами на несовершеннолетних и т.п.) работники банка, работающие со вкладами населения, сталкиваются с задачей определения необходимой первоначальной суммы вклада (депозита) клиента, который смог бы обеспечить ему определенные ежегодные выплаты в течении п лет по заранее оговоренной ставке процентов. В общем случае эта задача сводится к решению задачи определения «вечной» ренты, которая подробно будет рассмотрена ниже. Сейчас же рассмотрим ее решение исходя из тех знаний, которые мы уже имеем.

Используя формулу , можно составить следующее уравнение:

где — определенные ежегодные выплаты, ден, ед.; — время выплат, лет.

При условии равенства ежегодных выплат, т.е. при формулу можно преобразовать в выражение следующего вида:

Для приближенных, оценочных расчетов величины первоначального вклада можно использовать примерное равенство выражений:

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по финансовой математике

Пример №4

Рассчитать необходимую первоначальную величину депозита клиента для того, чтобы он имел возможность ежегодно в течении 5 лет получать со своего счета в банке сумму в размере 6 тыс. руб. при начислении простой процентной ставки, равной 30% годовых.

Решение:

По условиям примера Используя формулу

, получим (тыс. р.):

Расчет по формуле: дает следующий результат:

Расхождение по сравнению с результатом, полученным по первой формуле, равно — 0,046 тыс. руб., или менее 0,3%. Как видим, расчет по второй формуле дает вполне приемлемый результат.

Расчет срока ссуды и уровня процентной ставки. При подготовке обоснования для получения ссуды и расчета ее эффективности возникает задача определения срока ссуды и уровня процентной ставки при имеющихся прочих условиях. В этом случае срок ссуды может быть определен как в годах, так и в днях:

в годах ;

в днях .

Соответственно и размер процентной ставки может быть определен при исчислении срока ссуды в годах как: ,

а при исчислении срока ссуды в днях так: .

Наращение и равномерная выплата процентов в потребительском кредите. В потребительском кредите, т.е. кредите, как правило, на личные нужды для приобретения товаров (или услуг) проценты начисляются на всю сумму кредита и присоединяются к основному долгу чаще всего уже в момент открытия кредита. Такой подход называется разовым начислением процентов, а погашение долга с процентами в этом случае производится обычно равными суммами на протяжении всего срока кредита. Наращенная сумма долга при таком подходе рассчитывается по формуле , а величина разового погасительного платежа (R) так:

где — число погасительных платежей по кредиту в году, ед.

Заметим, что в связи с тем, что проценты начисляются на первоначальную сумму долга, а фактическая его величина постоянно уменьшается со временем, действительная процентная ставка (по фактически использованному кредиту) оказывается заметно выше, чем ставка по первоначальным договорным условиям.

Вычисление наращенной суммы на основе сложных дискурсивных процентов

К оглавлению…

В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием схемы сложных процентов. Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда:

  • проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов;
  • срок ссуды более года.

Если процентные деньги не выплачиваются сразу по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга, то долг, таким образом, увеличивается на невыплаченную сумму процентов, и последующее начисление процентов происходит на увеличенную сумму долга:

— за один период начисления;

— за два периода начисления; отсюда, за n периодов начисления формула примет вид: , где — наращенная сумма долга; — первоначальная сумма долга; -ставка процентов в периоде начисления; — количество периодов начисления. Эта формула называется формулой сложных процентов.

Различие начисления простых и сложных процентов в базе их начисления. Если простые проценты начисляются все время на одну и ту же первоначальную сумму долга, т.е. база начисления является постоянной величиной, то сложные проценты начисляются на увеличивающуюся с каждым периодом начисления базу.

Графическая иллюстрация соотношения наращенной суммы по простым и сложным процентам представлена на рисунке.

Рис.1 Наращение по простым и сложным процентам

Как видно из рисунка, при краткосрочных ссудах начисление по простым процентам предпочтительнее, чем по сложным процентам; при сроке в один год разница отсутствует, но при среднесрочных и долгосрочных ссудах наращенная сумма, рассчитанная по сложным процентам значительно выше, чем по простым.

При любом ,

Таким образом, для лиц, предоставляющих кредит:

  • более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды менее года (проценты начисляются однократно в конце года);
  • более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год;
  • обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.

Достаточно часто финансовые контракты заключаются на период, отличающийся от целого числа лет.

В случае, когда срок финансовой операции выражен дробным числом лет, начисление процентов возможно с использованием двух методов:

общий метод заключается в прямом расчете по формуле сложных процентов:

где — период сделки; — целое число лет; — дробная часть года.

смешанный метод расчета предполагает для целого числа лет периода начисления процентов использовать формулу сложных процентов, а для дробной части года — формулу простых процентов:

Поскольку , следовательно, наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы.

Смешанная схема более выгодна кредитору.

Номинальная и эффективная ставки процентов. Начисление процентов несколько раз в году

К оглавлению…

Период начисления по сложным процентам не всегда равен году, однако в условиях финансовой операции указывается не ставка за период, а годовая ставка с указанием периода начисления — номинальная ставка (i).

Номинальная ставка (nominal rate) — годовая ставка процентов, исходя из которой определяется величина ставки процентов в каждом периоде начисления, при начислении сложных процентов несколько раз в год.

Эта ставка:

  • во-первых, не отражает реальной эффективности сделки;
  • во-вторых, не может быть использована для сопоставлений.

Если начисление процентов будет производиться раз в год, а срок долга — лет, то общее количество периодов начисления за весь срок финансовой операции составит

Отсюда формулу сложных процентов можно записать в следующем виде:

где i — номинальная годовая ставка процентов.

Наряду с номинальной ставкой существует эффективная ставка (effective rate), измеряющая тот реальный относительный доход, который получен в целом за год, с учетом внутригодовой капитализации. Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и -разовое наращение в год по ставке :

Из формулы следует, что эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений.

Расчет эффективной ставки является мощным инструментом финансового анализа, поскольку ее значение позволяет сравнивать между собой финансовые операции, имеющие различные условия: чем выше эффективная ставка финансовой операции, тем (при прочих равных условиях) она выгоднее для кредитора.

Необходимо отметить, что основная формула сложных процентов предполагает постоянную процентную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Однако, предоставляя долгосрочную ссуду, часто используют изменяющиеся во времени, но заранее зафиксированные для каждого периода ставки сложных процентов. В случае использования переменных процентных ставок, формула наращения имеет следующий вид:

где — последовательные во времени значения процентных ставок; — длительность периодов, в течение которых используются соответствующие ставки.

Все ситуации, которые мы до сих пор рассматривали, относились к дискретным процентам, поскольку их начисление осуществляется за фиксированные промежутки времени (год, квартал, месяц, день, час). Но на
практике нередко встречаются случаи, когда проценты начисляются непрерывно, за сколь угодно малый промежуток времени. Если бы проценты начислялись ежедневно, то годовой коэффициент (множитель) наращения выглядел так:

Но поскольку проценты начисляются непрерывно, то т стремится к бесконечности, а коэффициент (множитель) наращения стремится к , где 2,718281, называется числом Эйлера и является одной из важнейших постоянных математического анализа.

Отсюда можно записать формулу наращенной суммы для лет:

Непрерывное начисление процентов используется при анализе сложных финансовых задач, например, обоснование и выбор инвестиционных решений. Оценивая работу финансового учреждения, где платежи за период поступают многократно, целесообразно предполагать, что наращенная сумма непрерывно меняется во времени и применять непрерывное начисление процентов.

Дисконтирование по формуле сложных процентов.

Дисконтирование по сложным процентам осуществляется по формуле:

Понятие эквивалентности процентных ставок. Вывод формул. Принцип финансовой эквивалентности обязательств

К оглавлению…

В финансовой практике часто возникают ситуации, когда необходимо заменить одно обязательство другим, например, с более отдаленным сроком платежа, досрочно погасить задолженность, объединить несколько платежей в один (консолидировать платежи), изменить схему начисления процентов и т. п. Таким общепринятым принципом, на котором базируются изменения условий контрактов, является финансовая эквивалентность обязательств.

Изменение условий контракта основывается на принципе финансовой эквивалентности обязательств, который позволяет сохранить баланс интересов сторон контракта. Этот принцип предполагает неизменность финансовых отношений до и после изменения условий контракта. При изменении способов начисления процентов необходимо учитывать взаимозаменяемость между различными видами процентных ставок.

Эквивалентными называются процентные ставки, которые при замене одной на другую приводят к одинаковым финансовым результатам, т.е. отношения сторон не изменяются в рамках одной финансовой операции.

При изменении условий платежей также необходимо учитывать разновременность платежей, которые производятся в ходе выполнения условий контракта до и после его изменения. Эквивалентными считаются такие платежи, которые оказываются равными после их приведения по заданной процентной ставке к одному моменту времени, либо после приведения одного из них к моменту наступления другого по заданной процентной ставке.

Приведение осуществляется путем дисконтирования (приведение к более ранней дате) или, наоборот, наращения суммы платежа (если эта дата относится к будущему).

Если при изменении условий контракта принцип финансовой эквивалентности не соблюдается, то одна из участвующих сторон терпит ущерб, размер которого можно заранее определить.

Эквивалентность процентных ставок

К оглавлению…

Для нахождения значений эквивалентных процентных ставок следует составлять уравнение эквивалентности.

Эквивалентность простой процентной и простой учетной ставок. Исходные уравнения для вывода эквивалентности

Если результаты наращения равны, то получаем уравнение

Отсюда 1

Для одних и тех же параметров ссуды условие эквивалентности приводит к тому, что . При этом с ростом срока финансовой операции различие между ставками увеличивается.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Задачи по финансовой математике

Пример №5

Определить простую учетную ставку, эквивалентную ставке обычных процентов 12 % годовых, при наращении за 2 года.

Решение:

Параметры задачи: . Тогда

Следовательно, операция, в которой принята учетная ставка 9,7 %, дает тот же финансовый результат для 2-годичного периода, что и простая ставка 12 % годовых.

Эквивалентность простой и сложной процентных ставок. Наращенные суммы по простой и сложной процентным ставкам равны

Если равны результаты наращения, то уравнение эквивалентности

Отсюда

При начислении процентов т раз в году аналогично рассуждая, получим:

Пример №6

Предполагается поместить капитал на 4 года либо под сложную процентную ставку 20 % годовых с полугодовым начислением процентов, либо под простую процентную ставку 26 % годовых. Найти оптимальный вариант.

Решение:

Параметры задачи: . Находим для сложной процентной ставки эквивалентную простую ставку:

Таким образом, эквивалентная сложной ставке, по первому варианту, простая процентная ставка составляет 28,59 % годовых, что выше предлагаемой простой ставки в 26 % годовых по второму варианту. Следовательно, выгоднее разместить капитал по первому варианту, т.е. под 20 % годовых с полугодовым начислением процентов.

Пример №7

По трёхмесячному депозиту назначена ставка 10,2 % годовых. Какую ставку годовых процентов следует назначить на ежемесячные депозиты, чтобы последовательное переоформление этих депозитов привело к такому же результату, что и использование трёхмесячного депозита, если пренебречь двумя днями, которые теряются при переоформлении депозитов (Т = 360)?

Решение:

Приравняем соответствующие множители наращения:

Отсюда получаем, что

Эквивалентность сложной процентной и сложной учетной ставок.

Исходные соотношения есть

Аналогично рассуждая, получим .

Эквивалентность интенсивности процентов в единицу времени и ставок процентов. Интенсивность процентов в единицу времени удобно использовать в теоретических расчетах и обоснованиях финансовых решений. Из соотношений эквивалентности, можно перейти от непрерывного начисления процентов к дискретному, что более приемлемо на практике. Чаще возникает необходимость в соотношениях эквивалентности непрерывной и сложной ставок. Для эквивалентных сложных ставок имеем: .

Отсюда .

Средние величины в финансовых расчетах

К оглавлению…

Для нескольких процентных ставок их среднее значение есть эквивалентная величина.

Схема простых процентов. Пусть за периоды начисляются простые проценты по ставкам . Тогда за весь срок наращения средняя ставка простых процентов получается из уравнения эквивалентности . Откуда

Если же за время финансовой операции изменяется и величина Р, то, средняя ставка простых процентов равна .

Аналогично средняя простая учетная ставка равна .

Средняя ставка — это взвешенная средняя арифметическая величина, дающая такое наращение, которое эквивалентно наращению с применением ряда разных по значению процентных ставок, применяемых на различных интервалах времени.

Схема сложных процентов. Пусть доходность операции с дискретно изменяющейся процентной ставкой на каждом интервале начисления была выражена через сложный процент. Уравнение эквивалентности для определения средней процентной ставки, которая равноценна последовательности ставок за весь период финансовой операции, есть

Отсюда

Следовательно, средняя сложная процентная ставка рассчитывается по формуле средней геометрической взвешенной.

Аналогично средняя сложная учетная ставка равна

Пример №8

Долгосрочный кредит предоставлен на 6 лет на следующих условиях: первые два года под 5 % (сложные проценты), в следующие три года ставка возрастает на 2 %, а в последний год — еще на 1 %. Определить среднюю сложную процентную ставку.

Решение:

Параметры задачи: 1 год, %. Срок финансовой операции равен

Средняя ставка сложных процентов равна

или 6,49 %.

Таким образом, средняя процентная ставка по кредиту равна 6,49 %.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Курсовая работа по финансовой математике

Учет инфляции в финансово-экономических расчетах

К оглавлению…

Инфляция — устойчивый рост среднего уровня цен на товары и услуги в экономике. Внешние признаки инфляции — рост цен и, как следствие, снижение покупательной способности денег. В зависимости от уровня инфляции в год выделяют: нормальную (ползучую) — от 3% до 10%; галопирующую — от 10% до 100%; гиперинфляцию — свыше 50% в месяц.

Темпы инфляции определяются с помощью индекса — относительного показателя, характеризующего среднее изменения уровня цен некоторого фиксированного набора товаров и услуг за данный период времени.

Индекс инфляции показывает во сколько раз выросли цены , а темп инфляции показывает, насколько процентов возросли цены , т.е. по своей сути это соответственно темп роста и темп прироста:

Индекс потребительских цен (ИПЦ) — это показатель международной статистики, регулярно использующийся практически во всех странах мира (CPI — Consumer Price Index), который характеризует динамику затрат на постоянный набор товаров и услуг за счет ценностного фактора.

Расчет ИПЦ в России осуществляется за каждый месяц и нарастающим итогом с начала года (к декабрю прошлого года).

Отечественные исследователи часто расценивают уровень инфляции как темп прироста потребительских цен:

ИПЦ оценивает изменение стоимости фактического фиксированного набора товаров и услуг в отчетном периоде по сравнению с его стоимостью в базисном периоде.

Чтобы определить темп инфляции за период t по данным о значении этого показателя за более короткие промежутки рассматриваемого периода необходимо:

  • Перейти от приростного показателя за короткие промежутки к показателям темпа роста цен. Пример: темп инфляции по кварталам: ; определим темп роста цен: 104%, 103%, 102%, 105%;
  • Перейти от темпа роста к коэффициенту роста:
  • Определить годовой коэффициент роста цен: перемножим коэффициенты за исследуемые периоды:
  • Темп инфляции за год:

Индекс цен за несколько периодов и, следующих друг за другом, вычисляется по формуле

где — номер периода; — индекс цен в периоде ; — темп инфляции в периоде .

Интерпретация:

  1. индекс цен ;
  2. темп роста цен ;
  3. темп прироста цен — уровень инфляции ;
  4. инфляция за год равна произведению индексов цен.

Инфляционные процессы, характерные для экономики многих стран, требуют того, чтобы они учитывались в финансовых расчетах. Особенно необходимо рассчитывать воздействие инфляции при вычислении наращенных сумм и определении действительной ставки процентов.

Определение действительной ставки процентов

К оглавлению…

Показатели финансовой операции могут быть представлены, как: номинальные, т.е. рассчитанные в текущих ценах;

реальные, т.е. учитывающие влияние инфляции, и рассчитанные в сопоставимых ценах базисного периода.

В связи с этим вводится понятие номинальная ставка процента, т.е. ставки с поправкой на инфляцию .

Простые проценты

К оглавлению…

Наращенная сумма при отсутствии инфляции равна , а ее эквивалент в условиях инфляции равен . Из равенства: получаем: , где — простая ставка процентов, характеризующая требуемую реальную доходность финансовой операции (нетто-ставка); Л — процентная ставка с поправкой на инфляцию.

Это ставка, скорректированная на инфляцию, называется брутто-ставкой.

Сложные проценты

К оглавлению…

Проценты 1 раз в год:

Наращенная сумма при отсутствии инфляции равна , а ее эквивалент в условиях инфляции равен . Из равенства: получаем: из которой можно сравнивать уровни процентной ставки и инфляции, проводить анализ эффективности вложений и устанавливать реальный прирост вложенного капитала.

Проценты m раз в год:

При начислении процентов несколько раз в год:

Эти модели позволяют производить учет инфляции и корректировку процентных ставок.

Годовая ставка сложных процентов, обеспечивающая реальную доходность кредитной операции, определяется по формуле Фишера, связывает три показателя:

R — номинальная процентная ставка, а — уровень инфляции

r — реальная процентная ставка (доходность финансовой операции)

Пример №9

Годовой темп инфляции 20%. Банк рассчитывает получить 10% реального дохода в результате предоставления кредитных ресурсов. Какова номинальная ставка, по которой банк предоставит кредит?

Решение:

На практике довольно часто довольствуются сравнением путем вычисления реальной ставки, т.е. уменьшенной ставки доходности на уровень инфляции:

Поскольку покупательная способность денег снижается в условиях инфляции, то происходит обесценивание денежных доходов. Поэтому при наращении денег на депозите вкладчик должен сопоставить номинальную процентную ставку, т.е. ставку, указанную в договоре, с величиной индекса потребительских цен.

Вычисление наращенных сумм

Получаем формулу: , где — уровень инфляции.

Реальная стоимость С суммы S, обесцененная во времени за счет инфляции при индексе цен рассчитывается по формуле:

Если наращение производится по простой ставке в течение n лет, то . С учетом инфляции реальная стоимость суммы S составит

Для определения реальной покупательской способности, наращенную сумму необходимо привести ее к ценам базового периода:

Вследствие начисления процентов происходит увеличение денежных сумм, но их стоимость под влиянием инфляции уменьшается. Поскольку каждая денежная единица обесценивается вследствие инфляции, то в дальнейшем обесцениваются уже обесцененные деньги.

Наращение осуществляется по простым или сложным процентам, но инфляция всегда оценивается по сложному проценту.

Наращенная сумма за и лет с учетом ее обесценивания составит: , здесь множитель наращения, учитывающий темп инфляции.

  • Если темп инфляции больше ставки начисляемых процентов, то полученная наращенная сумма не компенсирует потерю покупательной способности денег. Банковская ставка называется отрицательной.
  • Если темп инфляции меньше ставки начисляемых процентов, то наблюдается реальный рост покупательной способности денег. Банковская ставка называется положительной.
  • Если темп инфляции равен ставке начисляемых процентов, то покупательная способность наращенной суммы равна покупательной способности первоначальной суммы.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Контрольная работа по финансовой математике

Понятия видов потоков платежей и их основные параметры

К оглавлению…

Очень часто в контрактах финансового характера предусматриваются не отдельные разовые платежи, а серию платежей, распределенных во времени. Примерами могут быть регулярные выплаты с целью погашения долгосрочного кредита вместе с начисленными на него процентами, периодические взносы на расчетный счет, на котором формируется некоторый фонд различного назначения (инвестиционный, пенсионный, страховой, резервный, накопительный и т.д.), дивиденды, выплачиваемые по ценным бумагам, выплаты пенсий из пенсионного фонда и пр. Ряд последовательных выплат и поступлений называют потоком платежей. Выплаты представляются отрицательными величинами, а поступления — положительными.

Обобщающими характеристиками потока платежей являются наращенная сумма и современная величина. Каждая из этих характеристик является числом.

Наращенная сумма потока платежей — это сумма всех членов последовательности платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты.

Под современной величиной потока платежей понимают сумму всех его членов, дисконтированных (приведенных) на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока платежей или предшествующий ему.

Конкретный смысл этих обобщающих характеристик определяется природой потока платежей, причиной, его порождающей. Например, наращенная сумма может представлять собой итоговый размер формируемого инвестиционного или какого-либо другого фонда, общую сумму задолженности. Современная величина может характеризовать приведенную прибыль, приведенные издержки.

Понятие финансовой ренты (аннуитета)

К оглавлению…

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом.

Финансовая рента имеет следующие параметры: член ренты — величина каждого отдельного платежа, период ренты — временной интервал между двумя соседними платежами, срок ренты — время, измеренное от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода, процентная ставка — ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту, число платежей в году, число начислений процентов в году, моменты платежа внутри периода ренты.

Виды финансовых рент

К оглавлению…

Классификация рент может быть произведена по различным признакам. Рассмотрим их.

В зависимости от продолжительности периода, ренты делят на годовые и р-срочные, где р — число выплат в году. Довольно часто в практике встречаются ренты, в которые период выплат превышает год и более (например, в инвестиционной деятельности).

По числу начислений процентов различают ренты с начислением один в году, m раз или непрерывно. Моменты начисления процентов могут не совпадать с моментами рентных платежей.

По величине членов различают постоянные (с равными членами) и переменные ренты. Если размеры платежей изменяются по какому-либо математическому закону, то часто появляется возможность вывести стандартные формулы, значительно упрощающие расчеты.

По вероятности выплаты членов различают ренты верные и условные. Верные ренты подлежат безусловной выплате, например, при погашении кредита. Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события. Поэтому число ее членов заранее неизвестно. Например, число выплат пенсий зависит от продолжительности жизни пенсионера.

По числу членов различают ренты с конечным числом членов или ограниченные и бесконечные или вечные. В качестве вечной ренты можно рассматривать выплаты по облигационным займам с неограниченными или не фиксированными сроками.

Так, например, с необходимостью учета и расчета вечной ренты приходится сталкиваться при финансовых вычислениях, связанных с инвестированием денежных средств или покупкой финансового инструмента (материального объекта), если период их функционирования (возможного получения дохода) достаточно продолжительный и не оговорен конкретными сроками (отсюда и возможность получения бессрочной, т.е. «вечной» ренты), в качестве примера можно привести инвестирование в ценные бумаги крупнейших транснациональных компаний и государства (при отсутствии срока окончания их обращения), покупку доходных гостиниц, ферм, участков земли, производств и т.п.

В зависимости от наличия сдвига момента начала ренты по отношению к началу действия контракта или какому-либо другому моменту ренты подразделяются на немедленные и отложенные или отсроченные. Срок немедленных рент начинается сразу, а у отложенных запаздывает.

Ренты различают по моменту выплаты платежей. Если платежи осуществляются в конце каждого периода — года, полугодия, месяца и т.п., то такие ренты называются обычными или постнумерандо. Если же выплаты производятся в начале каждого периода, то ренты называются пренумерандо. Иногда предусматриваются платежи в середине каждого периода.

постнумерандо (когда платежи осуществляются в конце соответствующих периодов) и ренты пренумерандо (когда соответствующие платежи осуществляются в начале указанных периодов). Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования.

Рента пренумерандо отличается от обычной ренты числом периодов начисления процентов. Поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо будет больше наращенной суммы обычной ренты в раз.

Нечасто, но встречаются на практике и ренты, платежи по которым производятся в середине периодов. Такие ренты называются мнннумерандо. Примером такой ренты могут служить, в ряде случаев, авансовые платежи по аренде помещений, а также полугодовые оплаты трат по внешнеторговым контрактам.

Чаще всего в практических финансово-экономических расчетах решается, по существу, двуединая задача определения наращенной суммы или современной величины (стоимости) потока платежей. В данном контексте под современной величиной потока платежей понимается сумма всех его членов, дисконтированных на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока платежей, или упреждающий его. Она может характеризовать капитализированный доход, чистую приведенную прибыль, приведенные издержки, эффективность инвестиций и валютно-финансовых условий внешнеторговых контрактов, доходность вкладов и депозитов и др. финансово-экономических и коммерческих операций.

Формулы наращенной суммы. Обычная годовая рента

К оглавлению…

Пусть в конце каждого года в течение n лет на расчетный счет вносится по R рублей, проценты начисляются один раз в года по ставке . В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины , так как на сумму R проценты начислялись в течение года. Второй взнос увеличится до и т.д. На последний взнос проценты не начисляются. Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической прогрессии, в которой первый член равен R, знаменатель , число членов n. Эта сумма равна

где по схеме постнумерандо.

— по схеме пренумерандо.

Пример: В течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн. руб., на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке 10%. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Годовая рента, начисление процентов m раз в году

К оглавлению…

Посмотрим, как усложнится формула, если предположить теперь, что платежи делают один раз в конце года, а проценты начисляют m раз в году.

по схеме постнумерандо.

— по схеме пренумерандо.

Рента р-срочная,m=1

Найдем наращенную сумму при условии, что рента выплачивается р раз в году равными платежами, а проценты начисляются один раз в конце года.

— по схеме постнумерандо.

— по схеме пренумерандо.

Рента р-срочная, p=m

В контрактах часто начисление процентов и поступление платежа совпадают во времени. Таким образом число платежей р в году и число начислений процентов m совпадают, т.е. . Тогда для получения формулы расчета наращенной суммы можно воспользоваться аналогией с годовой рентой и одноразовым начислением процентов в конце года, для которой .

Различие будет лишь в том, что все параметры теперь характеризуют ставку и платеж за период, а не за год. Таким образом получаем

— по схеме постнумерандо.

— по схеме пренумерандо.

Рента р-срочная, .

Это самый общий случай р-срочной ренты с начислением процентов m раз в году, причем, возможно . Получаем наращенную сумму

— по схеме постнумерандо.

— по схеме пренумерандо.

Отметим, что из нее легко получить все рассмотренные выше частные случаи, задавая соответствующие значения .

Формулы современной величины. Обычная годовая рента

К оглавлению…

Пусть член годовой ренты равен R, процентная ставка , проценты начисляются один раз в конце года, срок ренты . Тогда дисконтированная величина первого платежа равна

, где — дисконтный множитель.

Приведенная к началу ренты величина второго платежа равна : и т.д. В итоге приведенные величины образуют геометрическую прогрессию: , сумма которой равна

где — коэффициент приведения ренты.

Как видим, коэффициент приведения ренты зависит только от двух параметров: срока ренты и процентной ставки .

Рента р-срочная, .

Аналогичные рассуждения позволяют получить формулу для расчета современной величины ренты в самом общем случае для произвольных значений
(1.9) от которой нетрудно перейти к частным случаям при различных .

Зависимость между современной величиной и наращенной суммой ренты

К оглавлению…

Пусть А — современная величина годовой ренты постнумерандо, а S — ее наращенная стоимость к концу срока .

Покажем, что наращение процентов на сумму А за n лет дает сумму, равную S:

Отсюда же следует, что дисконтирование S дает А: ,

а коэффициент дисконтирования и наращения ренты связаны соотношениями:

Определение параметров финансовой ренты

К оглавлению…

Иногда при разработке контрактов возникает задача определения по заданной наращенной сумме ренты S или ее современной стоимости А остальных параметров ренты: . Такие параметры как m и p обычно задаются по согласию двух подписывающих сторон. Остаются параметры . Два из них задаются, а третий рассчитывается. Такие расчеты могут быть неоднократно повторены при различных значениях задаваемых параметров, пока не будет достигнуто согласие сторон.

Определение размера ежегодной суммы платежа R

В зависимости от того какая обобщающая характеристика постоянной ренты задана S или A, возможны два варианта расчета

(1.14) или (1.15)

Определение срока постоянной ренты

Рассмотрим решение этой задачи на примере обычной годовой ренты с постоянными заданными платежами. Решая исходные формулы для S и А

и

относительно срока n, получаем соответственно следующие два выражения

и

Последнее выражение, очевидно, имеет смысл только при .

Определение ставки процентов

Для того, чтобы найти ставку , необходимо решить одно из нелинейных уравнений (опять предполагаем, что речь идет о постоянной годовой ренте постнумерандо) следующего вида

Решить такие уравнения можно несколькими способами. Рассмотрим наиболее распространенные из них: метод линейной интерполяции и метод Ньютона-Рафсона.

Метод линейной интерполяции состоит в том, что сначала методом подбора ищут примерную оценку верхней и нижней ставки i. Затем эти найденные ставки подставляют в уравнение и сравнивают с правой его частью. Далее производится корректировка нижнего значения ставки по следующей формуле:

где — значение коэффициента наращения (или коэффициента приведения) ренты для процентных ставок .

Затем скорректированное нижнее значение ставки подставляют в формулу и сравнивают его с правой частью. Если достигнутой точности недостаточно, повторно корректируют нижнее значение ставки (с заменой приближенной оценки ставки на более точную) по выше указанной формуле и так до момента, когда необходимая точность не будет достигнута.

Метод Ньютона-Рафсона также подразумевает подборку оценок. Этот метод разработан для нелинейных уравнений вида .

В данном методе алгоритм поиска приемлемого решения сводится к трем операциями на каждом шаге, которые зависят от типа ренты и исходных заданных величин.

Сначала будем считать, что известна наращенная сумма S и найдена какая-то начальная оценка процентной ставки (например, методом проб).

Если рассматривать постоянную годовую ренту постнумерандо с начислением процентов один раз в конце года , то необходимо решить следующее уравнение:

Алгоритм уточнения оценки на каждом шаге к будет следующим:

Если рассматривать постоянную р-срочную ренту постнумерандо с начислением процентов один раз в конце года , то необходимо решить следующее уравнение:

Алгоритм уточнения оценки на каждом шаге будет следующим:

Примечание:

Начальную оценку следует выбирать такой, чтобы соответствующий ей множитель наращения был максимально приближен к значению S/R. Это обеспечит сходимость алгоритма и сократит количество итераций. Вычисления прекращаются, как только будет достигнута приемлемая точность при сравнении множителя наращения и отношения S/R.

Теперь будем считать, что известна современная сумма А и найдена какая-то начальная оценка процентной ставки (например, методом проб).

Если рассматривать постоянную годовую ренту постнумерандо с начислением процентов один раз в конце года , то необходимо решить следующее уравнение: или .

Алгоритм уточнения оценки на каждом шаге будет следующим:

Если рассматривать постоянную р-срочную ренту постнумерандо с начислением процентов один раз в конце года , то необходимо решить следующее уравнение:

Алгоритм уточнения оценки на каждом шаге к будет следующим:

Основные способы погашения долга. Методы расчета платежей при погашении долга. Составление планов погашения кредитов

К оглавлению…

Основная задача расчетов по кредиту — выбор и согласование метода определения срочных выплат процентов и основного долга.

Погашение задолженности может осуществляться единовременным платежом в конце срока займа или частичными платежами.

Рассмотрим случай погашения задолженности частичными платежами.

1. Погашение долга равными суммами основного долга.

Основной долг — D, срочная уплата — Р, состоит из b — величины основного дола и величины процентов, и — срок, р — число платежей в году.

Формулы: периодическая величина основного долга .

Срочная уплата: , здесь — остаток задолженности.

Пример №10

клиент банка получил кредит 120 тыс.р., сроком на 1 год с ежемесячными платежами в конце каждого года, ставка 15% годовых. Составить план погашения кредита.

Решение:

2. Погашение долга равными суммами уплатами.

а) известен срок займа

Срочная уплата равна: .

Сумма погашения основного долга:

Пример №11

клиент получил кредит 10 тыс.р. на 3 года по ставке 12% годовых с условием погашения годовыми выплатами.

Решение:

б) задана величина срочного платежа

Определяем срок:

Возможно эта страница вам будет полезна:

Заказать работу по финансовой математике

Пример №12

кредит на сумму 15 тыс. р. выдан под 12% годовых. Срочные уплаты 4 млн.руб. Рассчитать план погашения кредита, если платежи выплачиваются 1 раз в год, 2 раза в год. Получаем: п=5,3 года.

Решение:

3. Погашение займа переменным выплатами основного долга

а) Выплаты изменяются в арифметической прогрессии

Предположим, что контрактом предусмотрено погашение основного долга производить платежами, возрастающими или убывающими в арифметической прогрессии с разностью . В этом случае выплаты основного долга составят R, , … по годам. В последний год соответственно .

Величина основного долга равна сумме всех выплат, т.е. сумме членов возрастающей арифметической прогрессии: . Найдем из этого уравнения

Пример №13

Кредит размером 4,0 млн. р. выдан на 5 лет под 15% годовых с начислением процентов в конце каждого расчетного периода (года). Выплаты основного долга должны возрастать ежегодно на 0,1 млн руб.

Решение:

б) Выплаты изменяются в геометрической прогрессии

Одним из вариантов погашения кредитной задолженности может быть такой, при котором погашение основного долга должно производиться платежами, каждый из которых больше или меньше предыдущего в q раз. Таким образом, эти платежи будут являться членами возрастающей или убывающей геометрической прогрессии. Члены этой прогрессии будут иметь вид: , … . Основной долг — сумма этих членов, т.е. откуда 1 (первый платеж по основному долгу).

Пример №14

Кредит в размере 300,0 тыс. долл, должен быть погашен в течение шести лет ежегодными выплатами. Процентная ставка 15% годовых, начисление процентов один раз в конце года. Платежи, обеспечивающие погашение основного долга, должны увеличиваться в геометрической прогрессии на 5% ежегодно. Составить план погашения кредита.

Решение:

Конверсия займов

К оглавлению…

Конверсия займа — изменение условий погашения кредитов называется конверсией займа. При достижении соглашения о конверсии могут изменяться срок погашения займа, процентная ставка, порядок годовых выплат и т.п.

При любом методе конверсии первоначально определяются сумма выплаченного основного долга и величина непогашенной его части.

Непогашенная часть долга рассматривается как новый долг, подлежащий уплате на новых условиях.

Рассмотрим один из вариантов конверсии, когда изменяются срок погашения займа и процентная ставка, а срочные уплаты как по старым, так и по новым условиям производятся равными платежами; проценты начисляются один раз в конце каждого расчетного периода.

Обозначим параметры займов: первоначальный срок погашения займов до конверсии; срок, на который продлен период погашения в результате конверсии; число оплаченных расчетных периодов до конверсии; процентная ставка до конверсии; процентная ставка после конверсии; величина срочной уплаты до конверсии; величина срочной уплаты после конверсии; величина основного долга; остаток долга на момент конверсии.

Для составления плана погашения конверсионного займа определяют:

1) величину срочной уплаты по старым условиям:

2) остаток долга на момент конверсии: .

3) величину срочной уплаты по новым условиям: .

Пример №15

Кредит в сумме 40,0 тыс. долл., выданный на 5 лет под 6% годовых, подлежит погашению равными ежегодными выплатами в конце каждого года. Проценты начисляются в конце года. После выплаты третьего платежа достигнута договоренность между кредитором и заемщиком о продлении срока погашения займа на 2 года и увеличении процентной ставки с момента конверсии до 10%. Необходимо составить план погашения оставшейся части долга.

Решение:

Величина срочной уплаты по старым условиям: 9,4959 тыс. долл.

Остаток долга на момент конверсии: 17,4097 тыс. долл.

Величина срочной уплаты по новым условиям: 5,4923 тыс. долл.

План погашения на конверсированный кредит:

Проверим правильность расчетов: сумма выплат по основному долгу до конверсии и сумма выплат после должны быть равны в сумме 40 тыс.долл.

(помним формулу: , здесь — остаток задолженности)

7,0959+7,5217+7,9730=22,5906

17,41+22,59=40 тыс. долл.

Порядок действий при других условиях конверсии аналогичен.

Консолидация займов

К оглавлению…

В финансовой практике может возникнуть ситуация, когда кредитору, предоставившему несколько займов одному заемщику, более удобно или выгодно объединить эти займы в один, т.е. произвести их консолидацию. В случае согласия обеих сторон первым шагом при консолидации займов является нахождение величин остатков каждого долга. Рассчитав остатки долгов и просуммировав их, получают объединенный долг, на который составляется новый план погашения.

Пример №16

Банком было предоставлено предприятию два кредита. Первый, в размере 2,0 млн руб. под 8% годовых, должен погашаться равными полугодовыми выплатами в течение 6 лет, начисление процентов — по полугодиям. Второй — 1,5 млн руб. со сроком погашения 4 года, ставка 12%, капитализация ежегодная.

Решение:

После выплаты в течение двух лет два долга объединяются в один на следующих условиях: консолидированный долг имеет срок погашения 8 лет, погашение производится равными полугодовыми срочными выплатами, процентная ставка 14%, капитализация полугодовая. Определить величину полугодовой срочной уплаты.

Срочная уплата первого займа:

Остаток первого основного долга после двух лет его погашений (четыре срочные уплаты):

Срочная уплата второго займа:

Остаток второго основного долга после двух лет его погашений (две срочные уплаты):

Общая величина непогашенных основных долгов после двухгодичных выплат:

1,434 + 0,833= 2,267 млн. р.

Срочная уплата консолидированного займа:

Облигации и их основные параметры. Виды облигаций. Показатели доходности облигаций

К оглавлению…

С юридической точки зрения, ценная бумага представляет собой денежный документ, удостоверяющий имущественные права, осуществление или передача которых возможны только при его предъявлении или если доказано закрепление этих прав в специальном реестре (в случаях, определенных законом).

С экономической точки зрения, ценная бумага — это совокупность имущественных прав на те или иные материальные объекты, которые обособились от своей материальной основы и получили собственную материальную форму. Ценные бумаги могут предоставлять и неимущественные права (например, акция предоставляет право голоса на общем собрании акционеров, а также право получать информацию о деятельности акционерного общества и т. д.).

Фундаментальные свойства ценных бумаг: обращаемость; доступность для гражданского оборота; стандартность и серийность; документальность; признание государством и регулируемость; рыночность; ликвидность; рискованность; обязательность исполнения обязательства.

Облигация (от лат. obligato — «обязательство») — долговая эмиссионная ценная бумага, закрепляющая право ее держателя на получение от эмитента облигации в предусмотренный срок ее номинальной стоимости и зафиксированного в ней процента от этой стоимости или иного имущественного эквивалента.

Доходом по облигации называется процент или купонный доход.

Существуют бескупонные облигации, доход по которым определяется в виде дисконта.

Облигации бывают нескольких видов.

1) Купонные облигации или, как их еще называют, облигации на предъявителя. К таким облигациям прилагаются своеобразные купоны, которые необходимо откалывать 2 раза в год и представлять платежному агенту для осуществления выплаты процентов.

2) Именные облигации. Практически все облигации различных корпораций регистрируются на имена их владельца. Такому владельцу выдается именной сертификат.

3) Балансовые облигации. В настоящее время такие облигации приобретают все большее распространение, поскольку их выпуск практически не связан с выдачей сертификатов и т.п.

4) Гарантированные облигации. Они гарантируются не корпорацией-эмитентом, а другими компаниями-поручителями.

5) По статусу эмитента облигации могут быть выпущены как государственными органами, так и частными компаниями.

6) По цели выпуска: для финансирования инвестиционных проектов и для рефинансирования задолженности эмитента.

7) По сроку обращения облигации могут быть: краткосрочные (до года), среднесрочные (от 1 до 5 лет), долгосрочные (от 5 до 30 лет), сверхдолгосрочные (свыше 30 лет).

8) По способу выплаты дохода: в виде % к ее номинальной стоимости, причем частота выплат может колебаться от 1 до 4 раз в год.

9) По способу обеспечения займа: имущественным залогом, в форме будущих поступлений от хозяйственной деятельности, определенными гарантийными обязательствами.

10) По способу погашения: облигации могут быть погашены в определенный срок по заранее оговоренной цене.

Облигации приобретаются инвесторами с целью получения дохода. Важнейшая черта облигации, характеризующая ее способность приносить доход владельцу, — доходность. Различают три вида доходности:

а) купонная доходность определена при выпуске облигации и равна отношению годовой суммы купонов к номиналу облигации;

б) текущая доходность определяется как отношение доходов по купонам за год к рыночной цене облигации;

в) полная доходность, или доходность к погашению, определяется с учетом всех денежных поступлений — периодических купонных выплат и выплаты номинала при погашении облигации.

Процентный (или купонный) доход измеряется в денежных единицах. Чтобы иметь возможность сравнивать выгодность вложений в разные виды облигаций (и других ценных бумаг), следует сопоставить величину получаемого дохода с величиной инвестиций (ценой приобретения ценной бумаги).

В общем случае, доход по купонным облигациям имеет две составляющие: периодические выплаты и курсовая разница между рыночной ценой и номиналом. Поэтому такие облигации характеризуются несколькими показателями доходности: купонной, текущей (на момент приобретения) и полной (доходность к погашению).

Купонная доходность задается при выпуске облигации и определяется соответствующей процентной ставкой. Ее величина зависит от двух факторов: срока займа и надежности эмитента.

Чем больше срок погашения облигации, тем выше ее риск, следовательно, тем больше должна быть норма доходности, требуемая инвестором в качестве компенсации. Не менее важным фактором является надежность эмитента, определяющая «качество» (рейтинг) облигации. Как правило, наиболее надежным заемщиком считается государство. Соответственно ставка купона у государственных облигаций обычно ниже, чем у муниципальных или корпоративных. Последние считаются наиболее рискованными.

Размер дохода по данным ценным бумагам можно рассчитать по следующей формуле , где N — номинальная стоимость ценной бумаги, руб.; — ставка дивиденда, процента, купона, %.

Как правило, срочные ценные бумаги (вексель, облигация, сертификат) имеют определенный срок обращения. В результате воздействия факторов времени и инфляции реальный доход от приобретения ценных бумаг меняется, что следует учитывать при инвестировании денежных средств.

Увеличение и обесценение капитала можно рассчитать на основе формул простого и сложного процентов, рассмотренных выше.

Пример №17

Облигация номинальной стоимостью 1 000 руб. и фиксированной ставкой дохода 14 % годовых выпускается сроком на 3 года с ежегодной выплатой дохода. Определить целесообразность покупки данной облигации, если среднегодовой уровень инфляции составит 11 %.

Решение:

Таким образом, покупка облигации выгодна для инвестора, так обеспечит доход в размере 53 руб.

Пример №18

На депозитный сертификат номиналом 1 000 руб. и сроком обращения 1 год начисляются проценты исходя из следующих данных: I квартал — 6 % годовых, II квартал — 8 % годовых. Каждый последующий квартал ставка процента увеличивается на 1 %. Рассчитать общую сумму погашения по сертификату, если проценты погашаются в конце срока.

Решение:

Характерной особенностью облигации, также, как и векселя, является существование ситуаций размещения данной ценной бумаги с дисконтом, т. е. по цене, ниже номинальной.

В таком случае, цену приобретения облигации можно рассчитать по формуле

, где С — цена приобретения облигации, тыс. руб.; Р -первоначальная (номинальная) стоимость облигации, тыс. руб.; d — ставка дисконта, выраженная в коэффициенте; t- срок обращения облигации, дни, годы и т. д.

Пример №19

Целевая муниципальная облигация номинальной стоимостью 10 000 руб. имеет процентный доход в размере 8 % годовых, реализуется с дисконтом 4 % годовых. Рассчитать финансовый результат от приобретения облигации, если срок ее обращения составляет 1 год и среднегодовой уровень инфляции 12 %.

Решение:

Сумма погашения облигации: S = 10 000 * (1 + 0,081) = 10 800 руб.

Цена приобретения облигации: С = 10 000*(1-0,04-1) = 9 600 руб.

Увеличение затрат по покупке облигации под влиянием инфляции:

Финансовый результат от покупки облигации:

10 800 — 10 752 = 48 руб.

Приобретение ценной бумаги целесообразно.

Расчет доходности облигаций различных видов

К оглавлению…

Облигации представляют собой один из видов ценных бумаг, выпускаемых государством или коммерческой компанией. Выпустившая облигации организация называется эмитентом. Организация или лицо, приобретшее облигацию, называется держателем или владельцем облигации.

Облигация является долговым обязательством, которым эмитент гарантирует владельцу выплату определенной суммы в указанный момент времени и, возможно, разовую или периодическую выплату процентов.

На облигации обычно указывается ее номинальная стоимость N, т.е. та сумма, которую получит владелец, и дата погашения. Покупная цена облигации Р, по которой она приобретается, может отличаться от номинала.

Покупная цена, выраженная в процентах от номинала, называется курсом облигации

Облигации приобретаются с целью получения дохода. Доход от облигаций состоит из двух основных частей:

  • периодически или в конце срока выплачиваемых процентов;
  • разности между номиналом и ценой приобретения облигации.

Рассмотрим далее только основные виды облигаций: облигации без выплаты процентов, с выплатой процентов при погашении и с периодической выплатой процентов.

а) Облигации без выплаты процентов

Доход от такой облигации образуется за счет разности между номинальной стоимостью и ценой покупки: .

Эту разность называют также дисконтом.

У облигаций такого вида обычно короткий срок погашения (до года), поэтому доходность покупки такой облигации определим, используя эффективную ставку простых процентов, где n — срок в годах от покупки облигации до погашения: .

Здесь — срок в днях, К — временная база (К = 360, 365).

б) Облигации с выплатой процентов при погашении

Такие облигации обычно выпускаются на продолжительный срок.

Прибыль на эти облигации состоит из процентов, начисляемых по ставке сложных процентов, и из разности между номинальной стоимостью облигации и ценой покупки. Цена покупки может быть в данном случае и выше номинальной стоимости.

Доход от облигации рассматриваемого вида при годовом начислении процентов по ставке / вычисляется по формуле

Доходность облигации оценивается эффективной ставкой сложных процентов: .

в) Облигации с периодической выплатой процентов

Это самый общий из рассматриваемых видов облигаций. Прибыль складывается из разности между номинальной стоимостью и ценой покупки и из периодически выплачиваемых по купонам процентов.

Максимальный доход от облигаций такого вида будет получен в том случае, если получаемые процентные деньги реинвестируются, т.е. помещаются на банковский депозит и на них идет наращение процентов.

Пусть — годовая купонная ставка, — количество выплат за год. Тогда каждая выплата равна .

Эта сумма реинвестируется под сложные проценты с номинальной процентной ставкой j и начислением процентов m раз в году. Такой процесс продолжается n лет до погашения облигации. Наращенная сумма купонных выплат есть наращенная сумма общей ренты постнумерандо и она, как известно, равна .

Теперь можем записать общий доход от облигации:

Доходность облигации опять оцениваем эффективной ставкой сложных процентов:

Если полученные по купонам проценты не реинвестируются, то , и соответственно .

Грант-элемент. Погашение потребительского кредита изменяющимися суммами — «правило 78»

К оглавлению…

При погашении кредита иногда возникает необходимость определить сумму, идущую на погашение основного долга, и сумму процентных платежей. Такая ситуация возможна, например, при досрочном погашении долга. Для решения этого вопроса можно воспользоваться «правилом 78».

Для того чтобы объяснить происхождение названия этого правила, рассмотрим пример.

Предположим, кредит предоставлен на один год с ежемесячным погашением. Сумма порядковых номеров месяцев года равна:

1+2 + 3+4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10+11 +12 = 78.

В соответствии с «правилом 78» первый платеж включает сумму, равную 12/78 общей начисляемой суммы процентов, а оставшаяся часть платежа пойдет на уплату основного долга.

При втором платеже на оплату процентов идет денежная сумма, равная 11/78 общей суммы начисленных процентов, а оставшаяся часть направляется на погашение основного долга и т.д.

В общем случае знаменатель этих дробей можно определить по формуле , где — число платежей за весь рассматриваемый период.

Определив знаменатель, следует составить следующую последовательность дробей:

Каждая из этих дробей, в сумме составляющих единицу, показывает, какая часть общей начисленной суммы направляется на уплату процентов. Оставшаяся часть каждого платежа идет на погашение основного долга.

Схема с убывающей суммой уплаты процентов соответствует логике ссудно-заемных операций. Поскольку с течением времени сумма основного долга снижается, то и сумма процентов, начисляемых на непогашенный остаток долга, должна снижаться. Эта схема страхует кредитора на случай досрочного погашения долга, если эта возможность предусмотрена кредитным договором. При досрочном погашении долга заемщик понесет определенный убыток, так как большую часть процентных денег он уже заплатил в начале срока кредитования.

Ипотечные ссуды. погашение потребительского кредита. Виды ипотечных ссуд

К оглавлению…

Ссуды под залог недвижимости, или ипотеки (mortgage), получили широкое распространение в странах с развитой рыночной экономикой как один из важных источников долгосрочного финансирования. В такой сделке владелец имущества (mortgagor) получает ссуду у залогодержателя (mortgagee) и в качестве обеспечения возврата долга передает последнему право на преимущественное удовлетворение своего требования из стоимости заложенного имущества в случае отказа от погашения или неполного погашения задолженности. Сумма ссуды обычно несколько меньше оценочной стоимости закладываемого имущества. В США, например, запрещено, за некоторыми исключениями, выдавать ссуды, превышающие 80% оценочной стоимости имущества. Наиболее распространенными объектами залога являются жилые дома (75% общей суммы закладных в США), фермы, земля, другие виды недвижимости. Ипотечные ссуды выдаются коммерческими банками и специальными ипотечными банками (например, земельными), различными ссудносберегательными ассоциациями. Характерной особенностью ипотечных ссуд является длительный срок погашения — в США до 30 и даже более лет.

Существует несколько видов ипотечных ссуд, различающихся в основном методами погашения задолженности. Большинство видов являются вариантами стандартной, или типовой, ипотечной ссуды. Суть ее сводится к следующему. Заемщик получает от залогодержателя (кредитора) некоторую сумму под залог недвижимости (например, при покупке или строительстве дома). Далее он погашает долг вместе с процентами равными, обычно ежемесячными, взносами.

Модификации стандартной схемы ипотеки нацелены на повышение ее гибкости в учете потребностей как должника, так и кредитора. Так, некоторые из них имеют целью снизить расходы должника на начальных этапах погашения долга, перенося основную их тяжесть на более поздние этапы. Такие ипотеки привлекают тех клиентов, которые ожидают роста своих доходов в будущем, например начинающих предпринимателей и фермеров. Привлекательна ипотека и для молодых семей при строительстве или покупке жилья. В других схемах тем или иным путем учитывается процентный риск.

Кратко охарактеризуем некоторые модификации стандартной схемы ипотек.

Ссуды с ростом платежей (graduated mortgage, GPM). Данный вид ссуды предусматривает постоянный рост расходов по обслуживанию долга в первые пять — десять лет. В оставшееся время погашение производится постоянными взносами. Такая схема погашения может привести к тому, что в первые годы расходы должника по обслуживанию долга (срочные уплаты) окажутся меньше суммы процентов. В связи с этим величина долга некоторое время увеличивается.

Ссуды с периодическим увеличением взносов (step-rate mortgage, SRM/ Схема такой ипотеки является вариантом GPM: по согласованному графику каждые три- пять лет увеличивается сумма взносов.

Ссуда с льготным периодом. В такой ипотеке предполагается наличие льготного периода, в течение которого выплачиваются только проценты по долгу. Такая схема в наибольшей мере сдвигает во времени финансовую нагрузку должника.

В последние два десятилетия в практику вошли и более сложные схемы погашения долга по ипотеке, преследующие в конечном счете те же цели — быть более гибкими и удобными для клиентов. Рассмотрим одну из них.

Ссуда с залоговым счетом (pledged-account mortgage, РАМ). Данная ипотека объединяет черты стандартной ипотеки (для кредитора) и ипотеки GPM (для должника). Суть ее в следующем. Клиент в начале операции вносит на залоговый счет некоторую сумму денег. Кроме того, он периодически выплачивает кредитору погасительные взносы.

Выбор ипотечной ссуды

К оглавлению…

Пример №20

Строительная фирма предлагает клиентам в новом доме квартиры стоимостью 300 тыс. руб. с разными условиями продажи.

Решение:

1) Для молодых семей — 15%-ый первый взнос авансом, а остаток стоимости выплачивается по льготному государственному кредиту в течение 20-ти лет по 5% годовых. Платежи осуществляются равными годовыми суммами в конце каждого года.

2) Аванс — 15%. Остальная сумма выплачивается в кредит сроком на 2 года по номинальной процентной ставке 20% годовых. Проценты начисляются 4 раза в год, а платежи происходят ежемесячно.

3) Аванс — 10%. Предусмотрена отсрочка платежей на один год. Оставшаяся сумма выплачивается в течение трех лет равными месячными платежами с ежемесячным начислением процентов. Номинальная процентная ставка кредита 18%.

Требуется рассчитать периодические выплаты и общую сумму выплат во всех трех случаях.

Условия и финансовые последствия вариантов 1 — 3 приведены в таблице 2.4.

Принятые обозначения:

Р — стоимость квартир; q% — проценты от стоимости квартиры, отчисляемые в качестве аванса; r — номинальная процентная ставка; к — срок кредита; t — продолжительность отсрочки; m — число периодов начисления процентов; р — число периодов начисления платежей; С- величина годового платежа; FV — общая наращенная стоимость финансовой ренты; S — общая сумма выплат по ипотечной ссуде, включая аванс, — будущая сумма кредита к концу срока кредита во всех трех случаях равна 0.

Таблица 2.4

Варнант1

Стоимость кредита PV=P(1 — 0,15)=255 тыс. руб.

Эту же величину можно рассчитать с помощью функции ППЛАТ(0,05; 20; 255)= — 20,462 тыс. руб.

Сколько же выплатят наши молодожены в течение 20 лет (считаем, что выплачивать они начинают с нуля, =0)? Наращенная стоимость всех платежей по формуле

Будущее значения всех выплат по кредиту можно получить и с помощью финансовой функции =БЗ(0,05;20;-20,462)=676,591 тыс. руб.

С учетом аванса молодожены в течение 20-ти лет должны будут выплатить сумму S=676,591+45=721,591 тыс. руб.,

что на 421,591 тыс. руб. превышает первоначальную стоимость их квартиры.

Вариант 2

Стоимость кредита PV=P(1 — 0,15)=255 тыс. руб.

Величина годового платежа С= — 12,938-12= — 155,257 тыс. руб.

Наращенная стоимость финансовой ренты по формуле

С учетом аванса владельцы квартиры должны будут вернуть строительной фирме сумму

Вариант 3

Стоимость кредита PV=P (l-q)=300-(l-0,l)=270 тыс. руб.

Выплаты за год С=-11,671 12= — 140,047 тыс. руб.

Наращенная стоимость финансовой ренты за три года

С учетом аванса владельцам квартиры придется выплатить строительной фирме

Анализ вариантов показывает, чем больше срок кредита, тем большую сумму придется выплачивать владельцам квартир даже при более низкой процентной ставке.

Характеристика эффективности долгосрочных инвестиций

К оглавлению…

Инвестиции — это долгосрочные финансовые вложения экономических ресурсов с целью создания и получения выгоды в будущем, которая должна быть выше начальной величины вложений.

Инвестиционный процесс — это последовательность связанных инвестиций, растянутых во времени, отдача от которых также распределена во времени. Этот процесс характеризуется двусторонним потоком платежей, где отрицательные члены потока являются вложениями денежных средств в инвестиционный проект, а положительные члены потока — доходы от инвестированных средств.

Рис. Графическое изображение инвестиционного процесса

Принято различать:

  • финансовые инвестиции;
  • реальные инвестиции;
  • инвестиции в нематериальные активы.

Финансовые инвестиции — вложение денежных средств в ценные бумаги; реальные инвестиции — вложения в основной капитал и прирост запасов; вложения в нематериальные активы — вложения в развитие научных исследований, повышение квалификации работников, приобретение лицензий и прав.

Реализация инвестиционных проектов требует отказа от денежных средств сегодня в пользу получения дохода в будущем, поэтому любой инвестиционный проект требует анализа и оценки.

Оценивая эффективность инвестиционных проектов, следует учитывать и степень риска, — здесь, как правило, выделяют два вида риска: предпринимательский и финансовый.

Предпринимательский риск — риск, связанный с деятельностью конкретного бизнеса. Финансовый риск — изменениями рыночной ставки дохода на капитал.

Для упрощения исследования эффективности инвестиций предполагается, что необходимая норма прибыли задана и одинакова для всех инвестиционных проектов и для любого из рассматриваемых проектов степень риска одинакова.

Различают простые (статические) и усложненные (динамические) методы. Простые методы традиционно использовались в социалистической экономике и отвечали действующим тогда условиям хозяйствования. В рыночных условиях используются методы, основанные на теории временной стоимости денег, которые устранили недостаток ранее действующих методик.

Важнейшая задача анализа инвестиционных проектов — расчет будущих денежных потоков, возникающих при реализации проекта, но не прибыли. Анализ инвестиционных проектов основан на исследовании доходов и расходов, выраженных в форме денежных потоков, но не на изменениях, вызванных условностями бухгалтерского учета.

В данной главе рассматриваются только методы и показатели эффективности инвестиций, основанные на принципе дисконтирования.

При анализе потоков платежей используются обобщающие показатели:

  • наращенная стоимость;
  • приведенная стоимость;
  • норма доходности.

Эти показатели уже рассматривались в теоретической части, но для инвестиционных процессов они приобретают свою специфику.

1. Чистый приведенный доход

Поскольку денежные средства распределены во времени, то и здесь фактор времени играет важную роль.

При оценке инвестиционных проектов используется метод расчета чистого приведенного дохода, который предусматривает дисконтирование денежных потоков: все доходы и затраты приводятся к одному моменту времени.

Центральным показателем в рассматриваемом методе является показатель NPV (net present value) — текущая стоимость денежных потоков за вычетом текущей стоимости денежных оттоков. Это обобщенный конечный результат инвестиционной деятельности в абсолютном измерении.

При разовой инвестиции расчет чистого приведенного дохода можно представить следующим выражением:

где — годовые денежные поступления в течение n лет, -стартовые инвестиции; — ставка дисконтирования.

Важным моментом является выбор ставки дисконтирования, которая должна отражать ожидаемый усредненный уровень ссудного процента на финансовом рынке. Для определения эффективности инвестиционного проекта отдельной фирмой в качестве ставки дисконтирования используется средневзвешенная цена капитала, используемого фирмой для финансирования данного инвестиционного проекта.

Если проект предполагает не разовую инвестицию, а последовательное инвестирование финансовых ресурсов в течение нескольких лет (m), то формула для расчета модифицируется:

Показатель NPV является абсолютным приростом, поскольку оценивает, на сколько приведенный доход перекрывает приведенные затраты:

  • при NPV> 0 проект следует принять;
  • при NPV< 0 проект не принимается,
  • при NPV = 0 проект не имеет ни прибыли, ни убытков.

Необходимо отметить, что показатель NPV отражает прогнозную оценку изменения экономического потенциала фирмы в случае принятия данного проекта.

Одно из важных свойств данного критерия, что показатель NPV различных проектов можно суммировать, поскольку он аддитивен во времени. Это позволяет использовать его при анализе оптимальности инвестиционного портфеля.

Пример №21

Фирма рассматривает целесообразность инвестиционного проекта, стоимость которого составляет 210 тыс. долларов. По прогнозам ежегодные поступления составят 55 тыс. долларов. Проект рассчитан на 5 лет. Необходимая норма прибыли составляет 8%. Следует ли принять этот проект?

Решение:

Чистая стоимость проекта равна:

Поскольку величина чистой текущей стоимости -5’735 долларов, т.е. NPV < 0, то проект не может быть принят.

Как правило, основываются на том, что величина NPV находится на начало реализации инвестиционного проекта, однако можно определять эту величину на момент завершения процесса вложений или на иной момент времени.

Напомним, что ставка дисконтирования — результат выбора, субъективного суждения. Кроме того, при высоком уровне ставки отдаленные платежи будут оказывать на величину NPVмалое влияние, поэтому варианты, отличающиеся по продолжительности периодов отдачи, могут оказаться равноценными по конечному экономическому эффекту.

2. Срок окупаемости

Для анализа инвестиций применяют и такой показатель, как срок окупаемости (payback period method) — продолжительность времени, в течение которого дисконтированные на момент завершения инвестиций прогнозируемые денежные поступления равны сумме инвестиций. Иными словами — это сумма лет, необходимых для возмещения стартовых инвестиций:

Период окупаемости можно определить как ожидаемое число лет по упрощенной формуле:

= Число лет до года окупаемости + (Нt возмещенная стоимость на начало года окупаемости / Приток наличности в течение года окупаемости)

Данный показатель определяет срок, в течение которого инвестиции будут «заморожены», поскольку реальный доход от инвестиционного проекта начнет поступать только по истечении периода окупаемости.

Пример №22

Рассчитать срок окупаемости проекта, для которого размер инвестиций составляет 1 млн руб., а денежные поступления в течение 5 лет будут составлять: 200; 500; 600; 800; 900 тыс. руб. соответственно. Ставка дисконтирования 15%.

Решение:

Рассчитаем дисконтированный денежный поток:

Срок окупаемости проекта:

Таким образом, период, реально необходимый для возмещения инвестированной сумы, составит 3,12 года или 3 года и 44 дня.

Срок окупаемости существует, если не нарушаются определенные соотношения между поступлениями и размером инвестиций. При ежегодных постоянных поступлениях это соотношение имеет вид: , т.е. не всякий уровень дохода при прочих равных условиях приводит к окупаемости инвестиций.

3. Внутренняя норма доходности

При анализе эффективности инвестиционных проектов широко используется показатель внутренней нормы доходности (IRR — internal rate of return) — это ставка дисконтирования, приравнивающая сумму приведенных доходов от инвестиционного проекта к величине инвестиций, т.е. вложения окупаются, но не приносят прибыль. Величина этой ставки полностью определяется «внутренними» условиями, характеризующими инвестиционный проект.

Применение данного метода сводится к последовательной итерации (повторения) нахождения дисконтирующего множителя, пока не будет обеспечено равенство NPV = 0.

Выбираются два значения коэффициента дисконтирования, при которых функция NPV меняет свой знак, и используют формулу:

Инвестор сравнивает полученное значение IRR со ставкой привлеченных финансовых ресурсов (СС — Cost of Capital):

• если IRR > СС, то проект можно принять;

• если 1RR < СС, проект отвергается;

• IRR = СС проект имеет нулевую прибыль.

Пример №23

Рассчитать внутреннюю ставку доходности по проекту, где затраты составляют 1200 тыс. руб., а доходы 50; 200; 450; 500 и 600 тыс. руб.

Решение:

Расчет по ставке 5%:

Поскольку NPV> 0, то новая ставка дисконтирования должна быть больше 5%.

Расчет по ставке 15%:

Вычисляем внутреннюю ставку доходности:

Внутренняя норма доходности проекта равна 12,05%.

Точность вычисления обратна величине интервала между выбираемыми процентными ставками, поэтому для уточнения величины процентной ставки длина интервала принимается за 1%.

Пример №24

Уточнить величину ставки для предыдущего примера.

Решение:

Для процентной ставки 11%:

Для процентной ставки 12%:

Уточненная величина:

Ставка 11,56 % является верхним пределом процентной ставки, по которой фирма может окупить кредит для финансирования инвестиционного проекта.

Определение эквивалентных сумм в национальной и иностранной валюте при прямой и косвенной котировке. Основные понятия валютных расчетов

К оглавлению…

В периоды экономической нестабильности, высокой инфляции многие граждане предпочитают хранить сбережения в свободно конвертируемой валюте (СКВ) или на валютных депозитах.

Валюта покупается и продается, как и любой другой товар, исходя из спроса и предложения. Конечная цена иностранной валюты, полученная в результате торгов, выражается в валютном курсе. Валютный курс — это цена денежной единицы национальной валюты, выраженная в денежных единицах другой страны. Установление курса иностранной валюты называется котировкой.

Различают прямую и косвенную котировку валюты. При прямой котировке курс валюты показывает, сколько единиц национальной валюты надо заплатить за одну или 100 единиц иностранной валюты. При косвенной котировке — сколько единиц иностранной валюты можно получить за одну или 100 единиц национальной валюты.

Цены продажи и покупки валюты отличаются по величине. Разница между курсом продажи и курсом покупки валюты называется спрэдом. За счет различия в курсах спроса и предложения банк имеет возможность покрыть расходы по совершению сделок, учесть возможный риск, связанный с валютными операциями, и получить определенную прибыль.

Оценка доходности операции покупки валюты

К оглавлению…

Рассмотрим, как оценивается доходность финансовой операции покупки валюты. Предположим, некоторая сумма в объеме PV рублей обменена на валюту. Затем через период п лет совершен ее обмен на рубли.

Обозначим сумму в рублях на начало операции PV ;

FV — сумма в рублях на конец операции;

— курс обмена в начале и в конце операции соответственно, имеющий размерность, например, в руб./долл, или в руб./евро. Иначе говоря, — банковский курс продажи валюты, — банковский курс покупки валюты.

Сумма, полученная в результате проведенной операции, может быть определена по формуле:

Поскольку в течение n лет в результате инфляции покупательная способность полученной суммы в определенной степени снизилась, то ее реальная покупательная способность Сможет быть определена по формуле:

. Здесь — индекс цен за период n лет.

— среднегодовой темп инфляции.

Определим доходность рассматриваемой финансовой операции в виде сложной годовой процентной ставки из равенства: .

Выразив из этого равенства , найдем формулу для определения доходности операции покупки валюты: .

Доходность такой операции равна нулю, если выполняется условие . При операция будет доходной, а при — убыточной.

Пример №25

Предприниматель, имея свободную сумму 500 тыс. рублей предполагает приобрести на нее валюту с целью сохранения средств от инфляции, с тем, чтобы через 1,5 года вновь обменять валюту на рубли и приобрести на эти средства необходимое оборудование. На начало финансовой операции цена покупки доллара банком составляет 24, 15 руб., а цена продажи — 24,20 рублей. Для евро эти показатели соответственно 34, 65 руб. и 34, 75 руб. Предполагается, что концу срока цена покупки долларов банком составит 24,75 руб., а цена продажи — 24,85 руб. Аналогичные показатели для евро на конец операции — 36, 50 руб. и 36, 60 руб. Среднегодовой темп инфляции прогнозируется на уровне 7,5%.

Определить:

а) сумму в рублях, полученную в результате операции покупки-продажи долларов и евро;

б) покупательную способность полученных сумм с учетом инфляции:

в) доходность финансовых операций;

г) курс покупки валюты банком в конце операции, который обеспечил бы полное сохранение средств от инфляции.

Решение:

Таким образом, за 1,5 года цены возрастут на 11,46% ,

Из произведенных расчетов видно, что операция с евро в данном случае дает лучший результат.

б) Скорректируем этот результат с поправкой на инфляцию:

Следовательно, не удается полностью сохранить деньги от инфляции.

в) Определим доходность рассматриваемых финансовых операций.

Операция с долларами является убыточной. Ее доходность отрицательна и составляет — 5,57%.

Операция с евро также убыточна. Ее доходность составляет — 3,88%.

г) Определим, при каком курсе покупки валюты в конце срока, операции по покупке-продаже валюты были бы безубыточны. Для этого используем равенство: .

Оно выполняется в случае покупки долларов, если есть при . Таким образом, при курсе покупки долларов банком по цене 26,97 руб. удается сохранить деньги от инфляции. Для получения прибыли от такой операции, курс покупки должен превысить этот уровень.

Аналогично определим критическое значение курса евро из равенства: . Отсюда .

Полученный пример показывает, что достаточно сложно уберечь деньги от инфляции, не инвестируя их с целью наращения процентов.

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Конверсия валюты и наращение по простым и сложным процентам

К оглавлению…

Рассмотрим финансовые операции, совмещающие конверсию валюты с наращением процентов.

Для того чтобы найти возможности наилучшего размещения денежных средств (с конверсией или без нее), необходимо сравнить результаты непосредственного размещения денежных средств и опосредованно через другую валюту.

Существует четыре варианта для наращения процентов:

Здесь означает процесс конверсии; означает процесс наращения.

Вариант 1 и 3 не представляют интереса, т.к. здесь применяются обычные формулы наращения простых и сложных процентов.

В операциях наращения с конверсией валют можно выделить три этапа: обмен валюты, наращение процентов на полученную сумму и конвертирование в исходную валюту.

При этом существует два источника дохода: изменение курса валют и наращение процента. Причем если второй из них является безусловным источником дохода (ставка процента фиксирована), то этого нельзя сказать о первом. Более того, двойное конвертирование валюты может быть как прибыльным, так и убыточным.

Вариант .

Введем следующие обозначения: *

— исходная сумма в валюте;

— исходная сумма депозита в рублях;

— наращенная сумма депозита в рублях;

— наращенная сумма в валюте;

— курс покупки валюты в начале операции;

— курс продажи валюты в конце операции;

— срок депозита;

— ставка наращения простых процентов на рублевых депозитах;

— ставка наращения для валютного депозита в валюте конкретного вида.

(Знак * показывает, что величина измеряется в денежных единицах выбранной валюты).

Эта финансовая операция предполагает обмен валюты в количестве на рубли, наращение на полученную в рублях сумму простых процентов по ставке и конвертирование в исходную валюту. Рассматривая этот процесс поэтапно, получим следующие результаты:

Таким образом, процесс наращения с конверсией валюты в этом случае выражается формулой:

Нетрудно видеть, что результат операции в случае наращения по сложным процентам может быть определен по формуле:

Доходность операции будет нулевой, если , т.е. при если наращение произведено по простым процентам и при наращении по сложным процентам.

Следовательно, критическое значение курса продажи валюты в конце финансовой операции в случае, если проценты простые, и для сложных процентов.

В случае если , то операция будет убыточной в случае наращения по простым процентам.

Для наращения по сложным процентам операция становится убыточной в случае, если выполняется неравенство: .

Пример №26

Предприниматель намерен поместить 5000 $ на рублевый депозит на 4 месяца. Курс покупки долларов на начало финансовой операции составляет 25,3руб. за доллар. Ожидаемый курс продажи — 25,85руб. за доллар. Процентная ставка по рублевым депозитам 9%. Проценты простые. Определите:

а) наращенную сумму в долларах;

б) доходность операции с конверсией;

в) критическое значение курса продажи доллара в конце сделки, при котором проведение финансовой операции целесообразно.

Решение:

а) Наращенная сумма:

о) Доходность операции с конверсией .

в) Критическое значение .

В случае если , операция становится убыточной.

Поскольку в момент заключения контракта значение курса продажи валюты в конце сделки , неизвестно, полезно знать его максимально допустимое значение, при котором эффективность операции наращения с конверсией валюты будет равна существующей ставке по соответствующим валютным депозитам. В этом случае применение двойного конвертирования не дает дополнительной выгоды.

Предположим, процентная ставка по валютным депозитам равна .

Тогда максимально допустимое значение , может быть определено из равенства: . Таким образом, если , то проводить конверсию валюты нецелесообразно.

Пример №27

В условиях предыдущей задачи определить максимальное значение курса продажи долларов в конце операции, если процентная ставка по долларовому депозиту равна 4%.

Решение:

.

Поскольку в конце операции ожидают, что значение курса продажи долларов будет 25,85руб. за доллар (больше, чем 25,72 руб. за доллар), то применять конверсию нецелесообразно, а лучше положить валюту на долларовый депозит.

Для того, чтобы убедиться в этом, определим наращенную сумму на долларовом депозите:

Следовательно, в этом случае производить конверсию нецелесообразно.

Вариант

Данная финансовая операция предполагает обмен денежной суммы в рублях в количестве валюту, наращение на полученную сумму процентов по ставке и конвертирование валюту наращенной суммы в валюте в рубли. Рассматривая этот процесс поэтапно, получим следующие результаты:

Таким образом, процесс наращения с конверсией в этом случае выражается формулой:

Результат операции в случае наращения по сложным процентам может быть определен по формуле: .

Доходность операции будет нулевой, если если наращение произведено по простым процентам и при наращении по сложным процентам.

Критическое значение курса продажи валюты в конце финансовой операции в случае, если проценты простые, и для сложных процентов.

В случае если , то операция будет убыточной в случае наращения по простым процентам.

Для наращения по сложным процентам операция становится убыточной в случае, если выполняется неравенство:

Определим значение , при котором эффективность операции наращения с конверсией будет равна существующей ставке по рублевому депозиту. В этом случае применение двойного конвертирования не дает дополнительной выгоды.

Тогда минимально допустимая величина может быть определено из равенства: Отсюда

Если , то нецелесообразно проводить конверсию, а лучше положить деньги на рублевый депозит.

Пример №28

Предприниматель, имея сумму в размере 400 тыс. рублей, предполагает поместить ее на долларовом депозите на 3 месяца под процентную ставку 5% годовых, а затем обменять полученную сумму на рубли. Курс продажи долларов на начало срока депозита 25,45 руб., ожидаемый курс покупки через 3 месяца 25,85 руб. Процентная ставка на рублевом депозите 10%. Выяснить целесообразность этой сделки.

Решение:

Оценим целесообразность проведения конверсии. Для этого сравним значения .

Следовательно, целесообразно провести операцию с конверсией. Чтобы убедиться в этом, сравним результаты наращения с конверсией и без нее.

1) наращенная сумма с конверсией:

2) наращенная сумма на рублевом депозите (без конверсии):