Примеры решения задач по электротехнике

Здравствуйте на этой странице я собрала теорию и практику с примерами решения задач по предмету теоретические основы электротехники (ТОЭ) с решением по каждой теме, чтобы вы смогли освежить знания!

Если что-то непонятно вы всегда можете написать мне в воцап и я вам помогу!

Примеры решения задач по теме электрические цепи постоянного тока

К оглавлению…

Пример решения соответствует разделу программы «Электрические цени постоянною тока». Для успешного выполнения и защиты задачи №1 студенту необходимо изучить и научиться практически применять следующие методы расчета цепей постоянного тока:

  • 1) метод уравнении Кирхгофа;
  • 2) метод контурных токов:
  • 3) метод узловых напряжений;
  • 4) метод наложения;
  • 5) метод преобразования (упрощения);
  • 6) метод эквивалентного генератора напряжения (тока);
  • 7) топологические методы.

Необходимо научиться определять напряжения на элементах схемы, мощность, отдаваемую или потребляемую источниками энергии, составлять баланс мощностей и изображать потенциальную диаграмму для замкнутого контура схемы.

Определение токов электрической схемы методом уравнений Кирхгофа

К оглавлению…

Этот метод основан на применении первого и второго законов Кирхгофа, не требует никаких преобразований схемы и пригоден для расчета любой цепи. Количество уравнений, составленных по этому методу, равно количеству неизвестных токов. Положительные направления токов задаются произвольно. Количество уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для цепи, имеющей узлов, равно . Недостающее число уравнений составляется по второму закону Кирхгофа. При выборе контуров по второму закону Кирхгофа нужно придерживаться правила, что каждый из контуров должен отличаться от других хотя бы одной новой ветвью. Такие контуры называются независимыми. Ветви с источниками тока учитываются только при составлении уравнений по первому закону Кирхгофа и не должны быть включены в выбранные независимые контуры.

Пример №1.

Определить токи во всех ветвях схемы (рис. 1.1), если

Решение:

В схеме необходимо задать направление четырех неизвестных токов (рис. 1.2). Схема содержит 3 узла, поэтому по первому закону составим два уравнения (для 2 и 3 узлов):

Два недостающих уравнения составим по второму закону Кирхгофа, для чего выберем два контура (см. рис. 1.2):

Подставив численные значения, получим систему из четырех уравнений:

В результате решения системы уравнений получим токи:

Для проверки правильности решения задачи составим баланс мощностей:

где — мощность, отдаваемая источниками; мощность, потребляемая элементами схемы.

где — напряжение между узлами 3-1; .

Тогда

Метод контурных токов

К оглавлению…

Метод контурных токов основан на использовании только второго закона Кирхгофа. что позволило уменьшить число уравнении. Достигается это разделением схемы на независимые контуры и введением для каждого контура своего тока -контурного, являющегося определяемой величиной. Количество уравнений соответствует количеству уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, и может быть определено из уравнения

где — число ветвей; — число узлов; — число ветвей с источником тока. Контуры, для которых составляются уравнения, не должны содержать ветви с источником тока, но учет падения напряжения от источников тока обязателен. Для этого рекомендуется обозначать контуры, которые содержат источник тока, но только один. В этом случае контурный ток известен и равен но величине источнику тока. Источник тока не может быть включен в несколько контуров.

Пример №2.

Определить токи во всех ветвях схемы (рис. 1.3), если

Решение:

Определим количество уравнений но формуле

Обозначим контурные токи а также известный контурный ток . Уравнения для определения неизвестных контурных токов и :

Подставим численные значения:

откуда

Обозначим токи в ветвях схемы (рис. 1.4). Определим токи в ветвях исходя из известных контурных токов:

Контурный ток берёгся со знаком плюс, если направление контурного тока и тока в ветви совпадают, и со знаком минус, если токи направлены в разные стороны. Для проверки правильности решения составим баланс мощностей:

Метод узловых напряжений

К оглавлению…

Метод основан на использовании первого закона Кирхгофа. Количество уравнений, составляемых по этому методу, определяется из выражения

где — число узлов; — число источников напряжения, включенных между узлами без сопротивления.

При составлении уравнений в качестве базисного узла (узел, потенциал которою принимается равным нулю) целесообразно выбрать тот узел, в котором сходится наибольшее число ветвей. Если в схеме имеется ветвь с источником напряжения без сопротивления, то в качестве базисного выбирают один из тех узлов, к которому присоединена эта ветвь. Если схема содержит две и более подобных ветвей (причем эти ветви не имеют общих узлов), то такую схему необходимо преобразовать.

В результате решения системы узловых уравнении определяются напряжения между узлами схемы. Токи в ветвях находятся с помощью закона Ома.

Пример №3.

а) определить токи в ветвях схемы (рис. 1.5), если

б) построить потенциальную диаграмму для внешнего контура схемы.

Решение:

Определим количество уравнений, необходимых для решения. Для этого обозначим узлы схемы и воспользуемся формулой

Базисным узлом выберем узел 3, тогда напряжение , а уравнения будут иметь вид

Подставив численные значения, получим систему 2 линейных уравнений:

В результате решения определяем узловые напряжения:

Вычисляем напряжения между остальными узлами как разность узловых напряжений:

На основании второго закона Кирхгофа и закона Ома составим уравнения для определения токов в ветвях схемы (рис.1.6):

отсюда

На основании первого закона Кирхгофа для узла 1:

Правильность решения проверим, составив баланс мощностей:

или

Для построения потенциальной диаграммы необходимо знать напряжение на всех элементах контура, а также сопротивления всех элементов контура. На рис. 1.7 показан контур, для которого необходимо построить потенциальную диаграмму.

Базисную точку выберем произвольно, например . Построение будем производить, обходя контур по часовой стрелке.

Определим потенциалы точек:

По оси абсцисс будем откладывать значения сопротивлений элементов, а по оси ординат — значения потенциалов точек Базисную точку помещаем в начало координат (рис. 1.8).

Метод наложения

К оглавлению…

Метод основан на том, что в любой линейной электрической цепи токи могут быть получены как алгебраическая сумма токов, вызываемых действием каждого источника энергии в отдельности. Эти токи называются частичными токами. При определении частичных слагающих токов необходимо учитывать внутреннее сопротивление тех источников энергии, которые принимаются отсутствующими при вычислении слагающих токов. Если в цепи заданы идеальные источники энергии, го при определении токов, вызываемых каким-либо одним источником, все остальные источники напряжения закорачиваются, а ветви, в которых находятся источники тока, -разрываются.

Пример №4.

Определить токи во всех ветвях схемы (рис. 1.9), если

Решение:

1. Определим частичные слагающие токи, вызываемые источником напряжения . Разорвем ветвь с источником тока. Токи в цени (рис. 1.10) определим методом преобразований.

Вычислим сопротивление, эквивалентное сопротивлениям :

тогда

Определим напряжение

тогда

Определим частичные слагающие токи, вызываемые источником тока . Закоротим ветвь, где находится (это равносильно равенству нулю внутреннего сопротивления данного источника) (рис. 1.11).

Сопротивление включены параллельно, заменим их сопротивлением

Определим токи и по правилу плеч:

Аналогично определим токи и :

Для узла 1 составим первое уравнение Кирхгофа и определим ток :

Найдем искомые токи в ветвях схемы (см.рис. 1.9) как алгебраическую сумму частичных слагающих токов:

Правильность решения проверим, составив баланс мощностей:

где — напряжение на зажимах источника тока :

В данном случае источник тока отдает энергию в схему (его мощность больше нуля):

а источник напряжения потребляет энергию (его мощность отрицательна):

Метод преобразования

К оглавлению…

Суть метода заключается в преобразовании электрической схемы различными методами с целью уменьшения числа ветвей и узлов, а значит, и количества уравнений, определяющих электрическое состояние схемы.

Но всех случаях преобразования заданных электрических схем эквивалентными схемами другого вида необходимо выполнять условия неизменности токов и напряжений в тех частях схемы, которые не затронуты преобразованием.

Пример №5.

Определить токи в ветвях схемы (рис. 1.12), если

Решение:

Преобразуем треугольник в звезду на основании следующих формул (рис. 1. 13):

Обозначим последовательно включенные сопротивления

и сопротивления , объединим две ветви ( и ), включенные параллельно, в одну. Общее сопротивление:

Общий источник напряжения:

Преобразованная схема показана на рис. 1.14:

Определим напряжение :

Напряжение на схеме (см. рис. 1.13) позволяет определить ток и ток :

На этой же схеме определим напряжения и :

Для исходной схемы (см. рис.1.12) определим токи:

На основании первого закона Кирхгофа для узла :

для узла :

Правильность решения проверим, составив баланс мощностей для исходной схемы:

или

Метод эквивалентного генератора напряжения (тока)

К оглавлению…

Метод позволяет привести сложную электрическую схему с произвольным числом источников электрической энергии к схеме с одним источником, что упрощает расчет.

Существуют два варианта метода: вариант с источником напряжения и вариант с источником тока.

Метод эквивалентного генератора напряжении (МЭГН)

К оглавлению…

Для того чтобы определить ток в произвольной ветви схемы (рис. 1.15, а) данным методом, необходимо:

Электрическую цепь, к которой подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником напряжения, величина которого определяется напряжением на выходах разомкнутой ветви , а внутреннее сопротивление источника равняется входному сопротивлению пассивной электрической цени со стороны выводов и при разомкнутой ветви . Напряжение на зажимах определятся любым, ранее изученным методом (рис. 1.15, 6). Так как для определения напряжения исключается, то напряжение эквивалентного генератора называют напряжением холостого хода и обозначают .

При определении внутреннего сопротивления источника напряжения (рис. 1.15, в) необходимо ветви, содержащие источники тока, разорвать, т.е. исключить все элементы, находящиеся в таких ветвях, а источники напряжения закоротить, т.е. на месте источников напряжения включить перемычки.

Определить искомый ток по формуле

Пример №6.

Определить ток в ветви с (рис. 1.16) МЭГН, если

Решение:

1 Определим ЭДС эквивалентного генератора напряжения, равную (рис. 1.17).

Исходная схема распалась на две одноконтурные схемы, токи которых равны:

Ток в сопротивлении равен нулю. Определим напряжение :

Для определения источник ЭДС заменим его внутренним сопротивлением (так как , то на месте включим перемычку), ветвь с источником разорвём (рис. 1.18):

Определим ток :

Метод эквивалентного генератора тока (МЭГТ)

К оглавлению…

Для того чтобы определить ток в произвольной ветви схемы МЭГТ (рис. 1.19, а), необходимо:

а) электрическую цепь, к которой подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником тока; ток эквивалентного источника должен быть равен току, проходящему между выводами и (рис. 1.19, б), замкнутыми накоротко, а внутренняя проводимость источника должна равняться входной проводимости пассивной электрической цепи (рис.1.19, в) со стороны выводов и ;

б) определить искомый ток в ветви по формуле

где

Пример №7.

Определить ток в ветви с МЭГТ (рис.1.20), если

Решение:

1. Определим ток короткого замыкания в ветви при условии замены сопротивления перемычкой (рис. 1.21). Используя метод наложения (см. подразд. 1.4), определим ток . При воздействии только источника напряжения

при воздействии только источника тока получаем

Сумма частичных токов и даст общий ток .

Для того чтобы определить , исключим из схемы источник напряжения и источник тока (рис. 1.22):

Определим ток :

или

Указания к расшифровке типового расчета №1

Решение задачи подготовлено с помощью ЭВМ для каждого студента индивидуально. Расшифровка исходных данных для построения исходной схемы пояснена на следующем примере.

Расположить шесть узлов цени в указанном порядке и в соответствии с вариантом задания соединить их ветвями (рис. 1.23).

Перерисовать полученный граф схемы, изменив расположение узлов таким образом, чтобы ветви не пересекались (рис. 1.24).

Включить в ветви сопротивления и заданные ЭДС. Источники тока подключить параллельно соответствующим ветвям (рис. 1.25).

Придать элементам схемы удобное расположение. Обозначить положительные направления источников ЭДС, источников тока и токов ветвей. Положительные направления определяются индексами начального и конечною узлов, к которым присоединена ветвь. Всем сопротивлениям, источникам и токам ветвей присвоить номера соответствующих ветвей (рис. 1.26).

Расчет схем заключается в определении токов во всех ветвях схемы, напряжения между узлами, указанными в задании, составлении баланса мощностей в цепи, определении тока в заданном сопротивлении методом эквивалентного генератора.

Расчет токов методом преобразования

К оглавлению…

Расчет токов методом преобразования

На схеме рис. 1.26 преобразуем источник тока в источник напряжения :

источник тока — в источник напряжения :

а также объединим последовательно включенные сопротивления и :

Полученная схема показана на рис 1.27. На этой схеме объединим источники напряжения и :

Чтобы сделать треугольник 6-3-5 пассивным, преобразуем источник напряжения в источник тока :

Пассивный треугольник 6-3-5 преобразуем в пассивную звезду (рис. 1.28 а,б), где

Источник тока преобразуем в источник напряжения и :

В результате этих преобразований схема будет иметь следующий вид (рис. 1.29):

С целью дальнейшего упрощения схемы объединим источники напряжения и сопротивления:

Схема примет вид, указанный на рис. 1.30.

Далее целесообразно использовать метод узловых напряжений. Для определения напряжения необходимо составить одно уравнение:

Отсюда

Определим токи в схеме рис. 1.30 на основании закона Ома:

По схеме рис. 1.29 определим напряжения между узлами 6, 3, 5:

Определим токи и (см. рис. 1.28):

Для определения неизвестных токов составим уравнения но первому закону Кирхгофа (см. рис. 1.26) для узлов 4, 6 и 2:

для узла 4

для узла 6

для узла 2

Составление баланса мощностей

Мощность источника ЭДС () положительна при совпадающих направлениях ЭДС и тока ветви и отрицательна при противоположном направлении ЭДС и тока ветви (рис. 1.31):

Мощность источника тока () определяется произведен нем тока данного источника и напряжения на его зажимах. Она положительна при противоположных направлениях напряжения на зажимах источника тока и тока источника (рис. 1.32):

Мощность, выделяемая в активных сопротивлениях, всегда положительна и равна

Баланс мощности записывается в виде :

где — число источников ЭДС в схеме; — число источников тока в схеме; — число активных сопротивлении в схеме. Составим баланс мощностей для схемы рис. 1.26:

где

Определение тока в ветви с сопротивлением методом эквивалентного генератора напряжения

Пусть требуется определить ток методом эквивалентного генератора напряжения. Для этого необходимо следующее.

Определить напряжение эквивалентного генератора напряжения, для чего исключим сопротивление из исходной схемы (рис. 1.33). Методом контурных токов определим токи в ветвях схемы. Уравнения имеют вид:

В этих уравнениях контурные токи и равны токам источников тока. После подстановки численных значений получается система уравнений:

отсюда

Токи в ветвях схемы (см. рис. 1.33)

Значения этих трех токов даст возможность определить напряжение :

Далее, закоротив источники ЭДС и разомкнув ветви с источниками тока, находим эквивалентное сопротивление схемы относительно зажимов 2 — 6() (рис. 1.34).

Эквивалентное сопротивление генератора можно определить, преобразовав треугольник сопротивлении в эквивалентную звезду (рис. 1.35) но формулам:

Определить ток в искомой ветви схемы (см. рис. 1.26) по формуле

Примеры решения задач по теме Электрические цепи синусоидального тока

К оглавлению…

Решение задачи соответствует разделу программы »Электрические цепи синусоидального тока». Синусоидальный ток описывается выражением

где — мгновенное значение тока; — амплитудное значение тока; — угловая частота; — начальная фаза тока; — фаза синусоидального колебания.

Кроме этого, синусоидальный ток характеризуется еще следующими значениями: действующим

средним

средним за полпериода или средним выпрямленных значением

Такими же значениями характеризуются синусоидальные напряжения. Для расчета целей синусоидального тока пользуются методом комплексных амплитуд (символическим методом) При этом оперируют не с реальными гармоническими токами и напряжениями, а с их комплексными амплитудами:

или с комплексами действующих значении

где — амплитуды тока и напряжения; — действующие значения тока и напряжения; — начальные фазы тока и напряжения.

Рассмотрим взаимосвязь между синусоидальными токами и напряжениями на основных элементах электрической цепи.

Синусоидальный ток в активном сопротивлении

Мгновенные значения напряжения и тока на активном сопротивлении связаны выражением Если , то , где. Таким образом, на активном сопротивлении напряжение и ток совпадают по фазе. Для комплексных амплитуд запишем

Для комплексов действующих значений

Синусоидальный ток в индуктивности

Мгновенные значения напряжения и тока в индуктивности связаны выражением

Если то где Отсюда следует, что напряжение на индуктивности опережает ток на . Индуктивность в цепи синусоидального тока обладает реактивным сопротивлением , величина которого пропорциональна частоте .

Комплексные амплитуды тока и напряжения на индуктивности запишутся следующим образом:

Для комплексов действующих значений

Комплексное сопротивление индуктивности определяется выражением

Синусоидальный ток в емкости

Мгновенные значения напряжения и тока в емкости связаны выражением

Если то , где . Отсюда следует, что ток в емкости опережает напряжение на 90″. Емкость в цени синусоидального тока обладает реактивным сопротивлением . величина которого обратно пропорциональна частоте

Комплексные амплитуды тока и напряжения на емкости запишутся следующим образом:

Для комплексов действующих значений

Комплексное сопротивление емкости определяется выражением

Комплексное сопротивление линейного пассивного двухполюсника, состоящего из последовательно соединенных активного сопротивления, индуктивности и емкости:

где — полное реактивное сопротивление;

— модуль полного сопротивления;

— угол сдвига фаз между напряжением и током двухполюсника.

Комплексная проводимость линейного пассивного двухполюсника, состоящего из параллельного соединения активного сопротивления, индуктивности и емкости:

где — активная проводимость;

— реактивная проводимость емкости;

— реактивная проводимость индуктивности;

— полная реактивная проводимость;

— модуль полной проводимости;

— угол сдвига фаз между током и напряжением двухполюсника.

Для расчета цепей синусоидального тока можно пользоваться любыми методами расчета цепей, рассмотренными в методических указаниях к выполнению задачи № 1. Однако при этом обязательно используется символический метод. В процессе расчета необходимо уметь переходить от алгебраической формы записи комплексною числа к показательной и обратно:

Следует заметить, что при переходе от алгебраической формы записи комплексного числа к показательной возможно неправильное определение фазы . Это происходит в тех случаях, когда действительная часть комплексного числа отрицательна. Избежав ошибки поможет изображение комплексного числа в алгебраической форме на плоскости.

Примеры расчета электрических цепей синусоидального тока

К оглавлению…

Пример №8.

Рассчитать комплексные входные сопротивление и проводимость цепи, определить их характер, изобразить последовательную и параллельную схемы замещения цепи. Ток и напряжение на входе цепи:

Решение:

Для определения комплексного входного сопротивления необходимо вычислить его модуль и сдвиг фаз :

Проводимость величина, обратная сопротивлению:

Определяя алгебраическую форму записи и , находим активные и реактивные сопротивления и проводимости:

Следовательно:

Знак «+» перед мнимой частью говорит об активно индуктивном характере нагрузки.

Последовательная и параллельная схемы замещения представлены соответственно на рис.2.1, а, б.

Пример №9.

Определить токи в схеме (рис. 2.2, а) при:

Составить баланс мощностей, построить топографическую диаграмму напряжений.

Решение:

Используем метод эквивалентных преобразований. Заменяем параллельные ветви одной эквивалентной ветвью с сопротивлением :

Участки и соединены последовательно, поэтому входное полученное сопротивление цепи:

Поскольку входное сопротивление является активным, в цепи установился резонанс напряжений. Находим токи:

Составим баланс мощностей. Активная мощность источника

Реактивная мощность источника

Активная мощность приемников

Реактивная мощность приемников

Баланс мощностей выполняется : , значит, токи найдены правильно. Векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений приведены на рис.2.2, б Масштабы: .

Пример №10.

Для схемы (рис.2.3) определить комплексы действующих значений токов в ветвях и напряжений на се элементах. Составить баланс мощностей. Построить векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений.

Параметры элементов цепи

Решение:

Определим сопротивление индуктивности и емкости:

Для нахождения токов и напряжений выберем метод контурных токов

где

Вычислим контурный ток :

Откуда

Ток ветвей:

Напряжения на элементах цепи:

Баланс мощностей:

Баланс мощностей выполняется.

Векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений представлены на рис. 2.4. Масштабы по току и напряжению:

Пример №11.

Па рис.2.5 приведена схема электрической цепи с двумя источниками синусоидально изменяющихся ЭДС

Определить действующие значения токов ветвей методом узловых напряжений. Записать уравнения мгновенных значений токов ветвей.

Решение:

Находим узловые напряжения цепи при

Применяя закон Ома, находим комплексы действующих значений токов ветвей:

Действующие значения токов ветвей

Уравнения мгновенных значений токов ветвей

Пример №12.

Параметры цепи (рис.2.6):

Графоаналитическим методом рассчитаем токи и напряжения на участках цени. Графоаналитический метод — совокупность графического метода и метода пропорционального пересчета. Метод основан на том, что в линейной цени токи пропорциональны напряжениям. Векторная диаграмма напряжений и токов, рассчитанная и построенная для одного значения питающего цепь напряжения, сохранит свой вид при изменении величины этого напряжения, на диаграмме при этом изменятся лишь масштабы напряжении и токов.

Решение:

Построение начинаем с наиболее удаленной точки цепи, соответствующей отрицательной полярности источника ЭДС:

Принимаем масштабы:

Задаемся действующим значением тока . Вектор (рис.2.7) откладывается в заданном масштабе в горизонтальном направлении. Вектор напряжения на участке с активным сопротивлением совпадает по фазе с вектором тока .

Действующие значение тока находим по закону Ома:

Ток на индуктивности отстает от напряжения па угол . Вектор тока строим из конца вектора .

По первому закону Кирхгофа в комплексной форме определяем , что соответствует сложению векторов на комплексной плоскости. Ток (определен в масштабе диаграммы). Определяем и строим на диаграмме напряжения на участках

Вектор напряжения отстает от тока на строим этот вектор из точки под углом к току в сторону отставания. Напряжение совпадает по фазе с током , вектор строим из точки параллельно вектору тока . Теперь соединим начало координат (точку ) с точкой , получим вектор приложенной к цепи ЭДС, равный 30 В (в масштабе диаграммы): . Истинные значения токов и напряжений на участках цепи, обусловленных действием указанной в условии задачи ЭДС = 100 В, определим умножением величин на коэффициент пересчета:

Входная ЭДС имеет начальную фазу . С учетом этого построим систему координат, вещественная ось которой должна совпадать с вектором . Относительно этой оси определим начальные фазы всех токов и напряжений. Комплексы действующих значений искомых токов и напряжений следующие:

Построенная в такой последовательности диаграмма напряжений является топографической.

Пример решения расчета цени с одним источником ЭДС

К оглавлению…

При выполнении контрольной работы необходимо:

  1. Расшифровать задание. Листок с заданием вклеить в контрольную работу.
  2. Рассчитать любым известным методом токи во всех ветвях заданной цепи. Результаты расчетов представить в виде комплексов действующих значений и в виде мгновенных значений токов.
  3. Составить баланс мощностей для заданной цепи.
  4. Определить показания ваттметра, включенного в заданную цепь.
  5. По результатам расчетов построить векторную диаграмму токов и совмещенную с ней топографическую векторную диаграмму напряжений.
  6. Полагая наличие индуктивной связи между любыми двумя индуктивными элементами, записать для заданной цепи уравнения по законам Кирхгофа.

Каждый студент получает задание, вариант которого приведен ниже:

Токовая обмотка ваттметра включена в ветвь 2, зажим — к узлу 3, — к узлу 3, — к узлу 2. За пулевой потенциал принять потенциал узла №3.

Расшифровку задания производим следующим образом: изобразим в произвольном порядке шесть точек и пронумеруем их цифрами 01 1 до 6. Соединив точки в соответствии с колонкой «начало — конец» задания, получим граф цепи (рис. 2.8).

Перерисуем полученный граф таким образом, чтобы исключить пересечсения ветвей (рис.2.9). На данном рисунке цифрами в кружках обозначены точки цепи, определенные заданием, а цифрами без кружков — номера ветвей цепи в соответствии с колонкой «Номер ветви» задания. Точки 4, 5, 6 являются узлами цепи.

В каждую ветвь последовательно включаются активные сопротивления, индуктивности, емкости и источники ЭДС в соответствии с исходными данными. Каждому элементу цепи присваивается индекс в соответствии с номером ветви, r которой он находится. Направление включения источника ЭДС определяется по колонке «начало — конец»задания.

Схема электрической цепи, полученная для рассматриваемого варианта задания, изображена на рис.2.10.

Запишем параметры элементов цепи дня приведенной схемы:

Расчет пени с одним источником ЭДС целесообразно проводить методом преобразования. Обозначим направления токов в ветвях заданной цепи (см.рис.2.10). Запишем комплексные сопротивления каждой из ветвей:

Преобразуем заданную цепь. Сопротивление между узлами 4 и 6 цепи определится как сопротивление двух параллельных ветвей: ветви с сопротивлением и ветви, образованной последовательным соединением и :

Сопротивление образовано последовательным соединением и :

Сопротивление определяется как параллельное соединение сопротивлений и :

Эквивалентное сопротивление пассивной части цепи относительно источника ЭДС находим как последовательное соединение и :

Определим токи во всех ветвях заданной цепи. Так как в цепи имеется только один источник ЭДС. то токи в ветвях направим в сторону уменьшения потенциалов.

Комплекс тока в первой и второй ветвях определим как отношение ЭДС к эквивалентному сопротивлению:

Комплекс тока в пятой и шестой ветвях определится выражением

Комплекс тока в седьмой ветви определим по первому закону Кирхгофа для узла 5:

Находим комплекс тока в третьей и четвертой ветвях:

Комплекс тока в восьмой ветви определим по первому закону Кирхгофа для узла 6:

По найденным комплексам действующих значений токов запишем их мгновенные значения:

Определим комплексную мощность, отдаваемую источником ЭДС:

Таким образом, активная мощность, отдаваемая источником ЭДС:

а реактивная мощность

Активная мощность, рассеиваемая на активных сопротивлениях цепи:

Реактивная мощность нагрузки определится выражением

Таким образом, активные и реактивные мощности и цепи с высокой степенью точности оказываются равными между собой.

Для нахождения показания ваттметра, включенного в цепь в соответствии с вариантом задания, необходимо определить напряжение на зажимах ваттметра. При этом первый индекс у напряжения соответствует узлу, к которому подключен зажим , а второй индекс — узлу, к которому подключен зажим .

В рассматриваемом примере

Необходимо также знать величину тока, протекающего через токовую обмотку ваттметра. При этом за положительное направление тока принимается ток, втекающий в зажим ваттметра. В нашем примере это ток . Тогда показание ваттметра определится выражением , где — разность фаз между напряжением на зажимах ваттметра и протекающим через прибор током:

Векторы всех найденных токов, отложенные из начала координат комплексной плоскости, представляют собой векторную диаграмму токов. Для удобства построения найденные комплексные значения токов целесообразно представить в алгебраической форме:

Анализ приведенных значений показывает, что для тока удобно выбрать масштаб

Характерной особенностью топографической векторной диаграммы напряжений является то, что на ней комплексные потенциалы отдельных точек цени откладываются по отношению к одной точке, потенциал которой принимается равным нулю.

При этом порядок расположения векторов напряжения на диаграмме соответствует порядку расположения элементов цепи на схеме и каждой точке электрической цени соответствует определенная точка на диаграмме.

На схеме электрической цепи (см. рис.2.10) определены заданием точки 1 — 6, остальные точки обозначим числами 7-12. По условию задачи нулевой потенциал имеет точка 3:

Определим потенциалы остальных точек:

Мы вычислили потенциалы точек одного из контуров заданной цепи. Между точками 3 и 9 этою контура включен источник ЭДС. Вычислим напряжение

Напряжение оказалось равным заданному напряжению на зажимах источника ЭДС. Это подтверждает правильность выполненных расчетов но определению потенциалов. Найдем потенциалы остальных точек:

Сравним значение с полученным выше потенциалом точки 5. Они оказываются равными:

Потенциал совпадает с полученным ранее значением.

По вычисленным значениям потенциалов выбираем масштаб по напряжению на комплексной плоскости таким образом, чтобы векторы токов и напряжений были соизмеримы.

Принимаем . Диаграмма, построенная по полученным численным значениям токов и напряжений, приведена на рис. 2.11. 6. Полагаем, что существует индуктивная связь между индуктивностями и .

Наличие индуктивной связи обозначим на рис.2.10 двухсторонней стрелкой, возле которой указывается взаимная индуктивность . Одноименные зажимы индуктивно связанных катушек обозначены на этом же рисунке точками. Так как токи относительно одноименных зажимов направлены одинаково, то имеет место согласное включение индуктивностей.

Определим число уравнений, необходимое для описания цепи по законам Кирхгофа. Неизвестных токов в цепи — пять, число узлов в цепи — три. Следовательно, по первому закону Кирхгофа необходимо записать два уравнения. Остальные три уравнения запишем по второму закону Кирхгофа. Для мгновенных значений токов и напряжений уравнения будут иметь вид:

Запишем эти же уравнения в комплексной форме:

Примеры задач на расчёт переходных процессов в электрических цепях

К оглавлению…

Пример №13.

Определить ток- в индуктивности классическим методом и построить его график, если .

Решение:

Закон изменения тока ищем в виде

Здесь — принужденная составляющая тока;

— свободная составляющая тока. Данная схема — с нулевыми начальными условиями. Независимое начальное условие

где — значение тока непосредственно перед коммутацией; — значение тока сразу после коммутации.

Определим принужденную (установившуюся) составляющую тока:

Получим характеристическое уравнение. Для этого в цепи после коммутации мысленно разомкнём ветвь с индуктивностью, а источник ЭДС заменим его внутренним сопротивлением, т.е. закоротим его зажимы. Запишем сопротивление цепи в операторной форме относительно точек размыкания и приравняем его к нулю. Можно определять сопротивление в операторной форме относительно зажимов источника:

Характеристическое уравнение

откуда

Свободная составляющая имеет вид

Определим постоянную интегрирования из начальных условий

Подставим соответствующие значения в данное уравнение и найдем пишем решение в окончательном виде

График тока имеет вид (рис. 3.2)

Пример №14.

Определить и классическим методом, если .

Решение:

Решение для имеет вид

Независимое начальное условие

Принужденное значение

Характеристическое уравнение и его решение

Свободная составляющая

Запишем исходное уравнение для и определим постоянную интегрирования

Решение для напряжения на ёмкости

Вычислим ток

Графики напряжения и тока приведены на рис. 3.4

Пример №15.

Определить ток классическим методом, если

Решение:

Запишем закон изменения тока :

Независимое начальное условие

Находим принуждённый ток символическим методом

Для определения характеристического уравнения для цепи после коммутации запишем сопротивление в операторном виде относительно зажимов источника ЭДС и приравняем его к нулю:

Характеристическое уравнение

Корень характеристическою уравнения

Свободная составляющая

Находим постоянную интегрирования, используя начальные условия:

Левая часть этого уравнения — зависимое начальное условие. Исходя из того, что , емкость представляет собой коротко замкнутый участок при :

откуда

Окончательно

График тока показан на рис. 3.6.

Пример №16.

Определить ток операторным методом (рис. 3.7), если .

Решение:

Находим независимое начальное условие.

Согласно закону коммутации,

Составим операторную схему замещения цепи для послекоммутационной цепи (рис. 3.8). Определим изображение тока :

Вычислим оригинал тока , используя табличные формулы соответствия между оригиналами и изображениями:

Известно, что

Используя эти формулы, получим

График тока изображен на рис. 3.9.

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Пример решения задачи по теме переходные процессы в линейных электрических цепях. Классический метод расчёта переходных процессов

К оглавлению…

Решение задачи соответствует разделу программы Переходные процессы в линейных электрических цепях. Классический метод расчёта переходных процессов.

Задание для контрольной работы генерируется ЭВМ каждому студенту индивидуально.

Распечатка одного из вариантов задания представлена на рис. 3.10.

В задаче необходимо:

  1. Записать шифр задания и вклеить листок с распечаткой задания в контрольную работу.
  2. Получить и записать исходные данные контрольной работы по распечатке, начертить схему цепи.
  3. Рассчитать классическим методом переходные процессы но току в индуктивности и по напряжению на ёмкости .
  4. По результатам расчётов построить графики переходных процессов .

Рассмотрим выполнение варианта типового расчета, представленного на рис. 3.10. с необходимыми комментариями:

  1. Шифр задания 13040616 записан на карточке слева.
  2. Для получения исходных данных контрольной работы необходимо изобразить схему электрической цепи. Для этого вместо на графической части листка с заданием начертить активные сопротивления, вместо — ёмкость, вместо — индуктивность, вместо — источник ЭДС. Ключ должен находиться в положении 1. Коммутация происходит путём размыкания ключа . Величины сопротивлений заданы в строке «ПАРАМЕТРЫ» листка, величины индуктивностей и ёмкостей — в строке «КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД»: . Для всех вариантов задания . Схема электрической цепи приведена на рис. 3.11
  3. Расчет переходного процесса классическим методом сводится к непосредственному решению дифференциальных уравнений, описывающих цепь. Известно, что решение дифференциального уравнения имеет две составляющие. >го частное решение неоднородного и общее решение однородного дифференциальных уравнений. И электротехнике указанные составляющие называются принуждённой и свободной. Принужденная составляющая переходного процесса, или установившийся режим, рассчитывается в цепи после коммутации изученными ранее методами расчёта цепей. Свободная составляющая переходного процесса определяется корнями характеристического уравнения. Расчёт переходного процесса классическим методом производится в следующем порядке:
  • рассчитывается цепь до коммутации для определения независимых начальных условий:
  • рассчитываются установившийся режим после коммутации;
  • составляется характеристическое уравнение цепи и определяются его корни;
  • записываются общее решение для свободных составляющих и полное выражение для переходного процесса искомой величины как сумма принуждённой и свободной составляющих;
  • рассчитываются необходимые зависимые начальные условия и определяются постоянные интегрирования;
  • найденные постоянные интегрирования подставляются в полное решение. Расчёт переходных процессов в цепи, представленной на рис. 3.11, произведём в предложенном порядке.

Начальные условия это значения токов в ветвях, напряжений на элементах цепи, их производных любого порядка в момент коммутации. Различают независимые и зависимые начальные условия. К независимым начальным условиям относятся ток в индуктивности и напряжение на ёмкости, так как они в момент коммутации не могут измениться скачком. Это определяется законами коммутации:

Остальные начальные условия относятся к зависимым.

До коммутации в рассматриваемом варианте цепи отсутствует ёмкость (сё зажимы закорочены ключом ). Следовательно, напряжение на емкости до коммутации будет равно нулю и, согласно закону коммутации, не измени гея непосредственно после размыкания ключа: .

Расчёт тока в индуктивности до коммутации проведём по схеме электрической цени, представленной на рис. 3.12.

Так как в цепи включён источник синусоидального напряжения, расчёт проводим символическим методом.

Реактивное сопротивление индуктивности

Реактивное сопротивление емкости

Комплексное сопротивление цепи относительно источника

Комплексная амплитуда тока в цепи источника определится по закону Ома:

Комплексную амплитуду тока в ветви с индуктивностью определим по правилу плеч:

Мгновенное значение тока в цепи с индуктивностью запишется в виде

Полагая в последнем выражении , получим величину тока в индуктивности непосредственно перед коммутацией:

По законам коммутации ток в индуктивности не может измениться скачком. Следовательно, .

Принужденные составляющие тока в индуктивности и напряжения на емкости определим по схеме цепи на рис. 3.11.

Комплексное сопротивление цепи относительно источника

Комплексная амплитуда тока в ветви источника определится по закону Ома:

Комплексную амплитуду тока в ветви с индуктивностью определим но правилу плеч:

Мгновенное значение тока в индуктивности, т.е. искомая принуждённая составляющая, запишется в виде

Комплексную амплитуду тока в цепи с ёмкостью определим по правилу плеч:

Комплексная амплитуда напряжения на ёмкости определится по закону Ома:

Мгновенное значение напряжения на ёмкости, т.е. искомая принуждённая составляющая, запишется в виде

Характеристическое уравнение цепи составляется по дифференциальному уравнению, описывающему цепь. Можно также составить характеристическое уравнение через входное сопротивление. Для этого в цени после коммутации исключают источники (вместо источников необходимо включить их внутренние сопротивления). В полученной пассивной цепи разрываю!любую ветвь и относительно разрыва записывают комплексное входное сопротивление . В выражении заменяют на . Выражение приравнивают к нулю. Для рассматриваемого варианта задания в цепи на рис 3.11 замыкаем накоротко зажимы источника ЭДС. Разрываем ветвь с емкостью. Комплексное входное сопротивление относительно разрыва запишется в виде

Полагая в последнем выражении , получим

После выполнения алгебраических преобразований получим характеристическое уравнение в юрою порядка

Подставляя численные значения параметров цени, находим

Корни уравнения

По виду корней характеристического уравнения записывается свободная составляющая переходною процесса. Так как число корней равно двум и они действительные, то

Для случая комплексно-сопряженных корней

или

Полный переходной ток в индуктивности равен сумме принуждённой и свободной составляющих:

В последнем уравнении неизвестными являются и следовательно, для их однозначного определения необходимо второе уравнение. Получим его дифференцированием первого

Полагая в вышеприведенных уравнениях , получим

Производная тока в индуктивности в момент коммутации относится к зависимым начальным условиям. Для определения зависимых начальных условий составим систему уравнений по законам Кирхгофа для момента времени послекоммутационной схемы

Подставляя численные значения найденных ранее независимых начальных условий и значение , получим

Тогда уравнения для определения постоянных интегрирования примут вид

Постоянные интегрирования будут равны

Окончательное выражение для переходного тока в индуктивности запишется в виде

Переходной процесс по напряжению на емкости рассчитывается аналогично. Записываем выражение для как сумму двух составляющих:

Принуждённая составляющая переходною процесса определена выше. Свободную составляющую ищем в виде суммы двух экспонент. С учётом этого

Второе уравнение, необходимое для однозначного определения постоянных интегрирования, получим дифференцированием первого

Полагая в обоих уравнениях , получим

Производная напряжения на ёмкости в момент коммутации относится к зависимым начальным условиям. Определим сё значение но выражению

Значение определим из системы уравнений но законам Кирхгофа для момента времени , записанной выше. Тогда

Уравнения для определения постоянных интегрирования примут вид

Решая полученную систему уравнений, определим постоянные интегрирования

Окончательное выражение для переходного напряжения на ёмкости

При построении графиков переходных процессов прежде всего необходимо определить их длительность. Теоретически переходные процессы длятся бесконечно долго, практически же оканчиваются за время, равное трём постоянным времени . За это время свободная составляющая переходного процесса будет иметь значение, составляющее 5% от значения при .

Постоянная времени определяется как величина, обратная минимальному по модулю корню характеристического уравнения

Следовательно, длительность переходного процесса для рассматриваемой задачи

Графики переходных процессов и представлены соответственно на рис. 3.13 и 3.14.

Пример решения задачи по теме переходные процессы в линейных электрических цепях. Операторный метод расчета переходных процессов

К оглавлению…

Решение задачи соответствует разделу программы Переходные процессы в линейных электрических цепях. Операторный метод расчета переходных процессов». Задание для задачи расчета генерируется ЭВМ каждому студенту индивидуально. Распечатка одного из вариантов задания представлена на рис.3.10. В задаче расчете необходимо:

Записать шифр задания.

Получить и записать исходные данные задачи по распечатке, начертить схему цепи.

Рассчитать операторным методом переходные процессы по току в индуктивности и по напряжению на емкости .

По результатам расчётов построить трафик переходных процессов. Рассмотрим выполнение варианта задачи, представленного рис. 3.10, с необходимыми комментариями:

Шифр задания 13040616 записан на карточке слева.

Для получения исходных данных задачи необходимо изобразить схему электрической цени. Для этого вместо у на графической части листка с заданием начертить активные сопротивления, вместо — емкость, вместо индуктивность. вместо — источник ЭДС. Ключ должен быть разомкнут. Коммутация происходит путём переключения ключа из положения 1 в положение 2. Величины сопротивлений заданы в строке «ПАРАМЕТРЫ» листка, величины индуктивностей и емкостей — в строке «ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД»: рис. 4.1

Для всех вариантов задания .

Схема электрической цени приведена на рис. 4.1.

Расчёт переходных процессов операторным методом основан на использовании преобразования Лапласа. Это позволяет перейти от непосредственного решения дифференциальных уравнений, описывающих цепь во временной области, к решению алгебраических уравнений в области изображений.

Расчёт переходных процессов операторным методом производится в следующем порядке:

  • рассчитывается цепь до коммутации с целыо определения независимых начальных условий;
  • составляется операторная схема замещения цепи:
  • производится расчёт операторной схемы замещения. в результате чего определяются изображения по Лапласу искомых функций;
  • на основе обратного преобразования Лапласа от найденных изображений переходят к оригиналам. Расчёт переходных процессов в цепи, представленной на рис. 4.1, произведем в предложенном порядке.

До коммутации в цепи был включён источник постоянного напряжения На постоянном токе индуктивность обладает нулевым сопротивлением, а ёмкость-бесконечно большим. В эквивалентной схеме цепи для расчёта независимых начальных условий, изображенной на рис. 4.2, реактивные элементы показаны как короткое замыкание и обрыв.

Ток в цепи с индуктивностью определится выражением

Напряжение на емкости:

Согласно законам коммутации, ток в индуктивности и напряжение на ёмкости в момент коммутации не могут измениться скачком. Следовательно.

При составлении операторной схемы замещения все элементы цени замещаются их операторными эквивалентами. Так, индуктивность замещается операторным индуктивным сопротивлением . ёмкость операторным ёмкостным сопротивлением ; активное сопротивление не изменяется. При этом ненулевые начальные условия учитываются в цепях с индуктивностью и с ёмкостью дополнительными источниками ЭДС (рис 4.3).

Операторная схема замещения послекоммутационной цепи для рассматриваемого примера, построенная в соответствии с изложенным выше, приведена на рис. 4.4.

Для расчёта операторной схемы замещения может быть применён любой известным метод: метод узловых потенциалов, метод наложения, метод контурных токов и т.д. Однако целесообразно использовать метод контурных токов, который при надлежащем выборе независимых контуров обеспечивает наиболее быстрое получение конечного результата.

Выберем независимые контуры таким образом, чтобы общая ветвь содержала только сопротивление . Тогда контурные токи и будут равны изображениям токов в ёмкости и в индуктивное!и.

Уравнения, описывающие цепь на рис. 4.4 по методу контурных токов, запишутся в виде

Решая полученную систему с помощью определителей, получим

Разделив числитель и знаменатель в двух последних выражениях на и подставив численные значения, получим

Ёмкость на операторной схеме замещения цепи изображается операторным сопротивлением и источником ЭДС, учитывающим ненулевые начальные условия. Поэтому выражение для операторного напряжения на ёмкости запишется в виде

После подстановки получим

Для перехода от найденных операторных изображений токов и напряжений к оригиналам воспользуемся теоремой разложения. Если изображение по Лапласу искомой зависимости представлено в виде отношения двух полиномов

то оригинал находится по выражению

где -й корень характеристического уравнения ; — порядок характеристического уравнения; — производная полинома . Для тока в индуктивности запишем

Решая характеристическое уравнение , находим два корня и . При этом ток в индуктивности в соответствии с теоремой разложения запишется в виде

Коэффициенты при экспонентах в случае комплексно-сопряжённых корней тоже будут комплексно-сопряжёнными.

Поэтому при суммировании мнимая часть будет равна нулю и ток можно определить как удвоенное значение вещественной части первого или второго слагаемых.

После подстановки в последнее выражение численных значений получим

Переходное напряжение на ёмкости вычислим, используя полученное раньше изображение и свойство линейности преобразования Лапласа.

Сумме изображений

будет соответствовать сумма оригиналов

Введем обозначения

Изображению в области оригиналов будет соответствовать константа .

Оригинал определим, используя теорему разложения. Характеристическое уравнение имеет три корня: . Следовательно,

После подстановки численных значений и выполнения всех преобразований получим

Складывая и , находим полное переходное напряжение на ёмкости

Длительность переходного процесса равна трём постоянным времени. Постоянная времени определяется как величина, обратная действительной части корня характеристического уравнения.

Графики переходных процессов по току в индуктивности и по напряжению на ёмкости представлены соответственно на рис. 4.5 и 4.6.

Пример решения задачи по теме цепи с распределенными параметрами

К оглавлению…

Решение задачи соответствует разделу программы «Цепи с распределенными параметрами»». В нем исследуется однородная длинная линия без потерь в установившемся и переходном режимах.

Исходные данные контрольной работы определяются числом , где — порядковый номер фамилии студента в журнале; номер столбца из табл. 5.1; — номер строки из табл. 5.2; — номер схемы нагрузки из рис. 5.1.

Первичные параметры линии для всех вариантов одинаковы и равны: .

Входное напряжение линии определяется выражениями:

где Длина линии

В контрольной работе необходимо:

  1. Рассчитать исходные данные работы согласно варианту задания и записать их.
  2. Найти распределение действующих значений напряжения и тока вдоль линии, замкнутой на заданную нагрузку в установившемся режиме. Построить графики .
  3. Произвести расчёт установившегося режима в линии, заменив нагрузку волновым сопротивлением. Построить графики .
  4. Произвести расчёт установившегося значения в линии при отключенной нагрузке (режим холостого хода). Построить графики .
  5. Построить графики распределения падающих волн напряжения и тока в переходном режиме для момента, когда фронт падающих волн достигнет конца линии.
  6. Определить законы изменения тока и напряжения нагрузки в переходном режиме. Построить графики .
  7. Определить законы изменения отражённых волн напряжения и тока в сечении нагрузки. Построить графики .
  8. Построить графики u0(x), i0(x) распределения напряжения и тока отражённой волны вдоль линии при переходном режиме для момента времени, когда фронт отражённой волны достигнет точки на расстоянии «» от конца линии.
  9. Построить графики распределения напряжения и тока вдоль линии при переходном режиме для момента времени, когда фронт отраженной волны достигнет точки на расстоянии «» от конца линии.
  10. Построить графики при переходном режиме для точки, находящейся на расстоянии «» от конца линии.

Изобразим линию в виде, представленном на рис. 5.2. где — расстояние от начала линии до некоторого сечения;

  • — расстояние от конца линии до этого же сечения;
  • — входное напряжение линии;
  • — входной ток линии;
  • — напряжение в конце линии;
  • — ток в конце линии.

Пусть номер варианта определяется числом 30357, где — порядковый номер фамилии студента в журнале; — номер столбца из табл. 5.1; — номер строки из табл. 5.2; — схема нагрузки 7 из рис. 5.1. Тогда

Параметры нагрузки: . Схема нагрузки приведена ниже

Найти распределение действующих значений напряжения и тока вдоль линии, замкнутой на заданную нагрузку в установившемся режиме. Построить графики .

Напряжение и ток в произвольном сечении линии без потерь, находящемся на расстоянии от конца линии, описываются выражениями:

где

Преобразуем уравнение 5.1:

где

Согласно варианту задания,

Полагая , из первого уравнения (5.2) выразим выражение :

Подставляя численные значения, получим

Тогда ток в конце линии определится выражением

Комплексы действующих значений напряжения и тока в произвольном сечении линии, находящемся на расстоянии от её конца, получим из уравнений (5.2) с учётом найденных значении и :

В комплексных выражениях и выделяем действительные и мнимые части:

Модули действующих значений и напряжения и тока определятся выражениями:

По выражениям и с учётом численных значений построены графики, представленные на рис. 5.3 и 5.4.

При выполнении этого пункта задания в контрольной работе необходимо привести окончательные выражения и для построения соответствующих графиков.

Произвести расчет установившегося режима в линии, заменив нагрузку волновым сопротивлением. Построить графики и . Полагая , из уравнений (5.2) получим

Модули действующих значений напряжения и тока в произвольном сечении линии не зависят от расстояния .

В линии имеет место режим бегущих волн. Напряжение и ток в произвольном сечении линии равны входным напряжению и току:

Графики и представлены на рис. 5.5, 5.6.

Произвести расчёт установившегося режима в линии при отключённой нагрузке (режим холостого хода). Построить графики и . И режиме холостою хода ток , тогда уравнения (5.1) запишутся в виде

Полагая в первом уравнении , определим напряжение :

Комплексы действующих значений напряжения и тока в произвольном сечении линии на расстоянии от её конца получим из последней системы уравнений с учетом найденного значения :

Из этих уравнений получим модули действующих значений напряжения и тока в произвольном сечении линии на расстоянии от её конца:

Графики и представлены на рис. 5.7. 5.8.

Построить графики распределения падающих волн напряжения и тока в переходном режиме для момента, когда фронт падающих волн достигнет конца линии.

К линии подключается источник постоянного напряжения . При этом возникают падающие волны напряжения и тока и , распространяющиеся вдоль линии с фазовой скоростью

Величины напряжения и тока падающих волн равны . Графики распределения падающих волн и представлены на рис. 5.9, 5.10.

Определить законы изменения тока и напряжения нагрузки в переходном режиме. Построить графики .

Эквивалентная схема цепи для расчёта переходного напряжения и тока в нагрузке линии представлена на рис.5.11.

Произведем расчет классическим методом. Решение найдем в виде суммы принужденной и свободной составляющих:

Определим принужденную составляющую переходного напряжения на нагрузке:

Решая характеристическое уравнение цепи

определим , следовательно .

Для определения постоянной интегрирования решения

рассмотрим при

Зависимые начальные условия определим с учётом независимых начальных условий .

тогда

Окончательно получим . Аналогично определяем

Графики и приведены на рис. 5.12, 5.13.

Определить законы изменения отражённых волн напряжения и тока в сечении нагрузки. Построить графики .

Если сопротивление нагрузки линии не равно волновому сопротивлению, то возникают отраженные волны напряжения и тока. Напряжение и ток в любом сечении линии, в том числе и в сечении нагрузки, складываются соответственно из напряжения и тока падающей волны и напряжения и тока отражённой волны:

Для сечения нагрузки

Из последних соотношений с учетом результатов пп. 5, 6 получим

Графики и представлены на рис. 5.14, 5.15.

Построить графики распределения напряжения и тока отражённой волны вдоль линии при переходном режиме для момента времени, когда фронт отраженной волны достигнет точки на расстоянии от конца линии.

Возникнув в сечении нагрузки, отраженные волны тока и напряжения распространяются к началу линии с фазовой скоростью. Точки, отстоящей от конца линии на , фронт отраженной волны достигнет спустя время . Напряжение и ток отражённой волны в произвольном сечении линии из интервала определяем но выражениям и . полученным в п.7, задаваясь значениями времени . При этом принимает значения из диапазона . Графики и представлены на рис. 5.16, 5.17.

Построить графики распределения напряжения и тока вдоль линии при переходном режиме для момента времени, когда фронт отраженной волны достигнет точки на расстоянии от конца линии. Так как в произвольном сечении линии напряжение и ток складываются из падающих и отраженных волн , то соответствующие распределения, представленные на рис. 5.18, 5.19, получаются из графиков на рис.5.9, 5.16 и из графиков на рис. 5.16 и 5.17 с учётом последних соотношений

Построить графики при переходном режиме для точки, находящейся на расстоянии от конца линии.

Падающие волны напряжения и тока, возникающие в линии при подключении источника напряжения, достигнут точки на расстоянии от конца линии (или па расстоянии от начала линии) спустя время

Далее падающие волны распространяются к нагрузке. Возникшие в сечении нагрузки отражённые волны достигают точки спустя время

После этого в точке появляются отражённые волны, которые складываются с падающими. Закон изменения отражённых волн получен в п.7. Построенные с учётом изложенного графики и представлены на рис. 5.20, 5.21.

Возможно эти дополнительные страницы вам будут полезны: